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LABORATORIO N° 1
RESUMEN El ensayo consiste en determinar como varían las coordenadas del centro de presiones de un cuerpo, conforme se lo va sumergiendo en un líquido tanto de forma experimental como teórica. Para la realización de este ensayo se tomará un cuadrante cilíndrico pivotado en su centro geométrico balanceado por un contrapeso y rígidamente conectado a un brazo por el cual una pesa se desliza conforme va aumentando el nivel del agua sobre el cuerpo sumergido. L a pesa se deslizará cada cierta distancia correspondiente a un nivel de agua para contrarrestar la fuerza hidrostática de empuje que se genera sobre el sistema. Se tomaran los datos de distancias y niveles de agua para hacer tablas en donde mediante fórmulas que surgen del contexto del experimento, formulas obtenidas teóricamente y gráficos, analizaremos la exactitud exactitud de los datos experimentales experimentales en base a la teoría. Se verá que los datos experimentales son aceptables y no hubo lugar a muchas incertidumbres debido a su acercamiento a un modelo matemático teórico.
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INTRODUCCIÓN Las fuerzas distribuidas debidas a las presiones de un fluido sobre un área finita curva o plana pueden remplazarse convenientemente por una fuerza resultante que genere el mismo efecto sobre la superficie. Es de suma importancia que el ingeniero sepa calcular la magnitud de esta fuerza resultante y su punto de acción medido con
respecto a un sistema de
referencia inercial (centro de presiones),
el fin de poder diseñar satisfactoriamente las las estructuras que están sometidas sometidas a dichas dichas
fuerzas.
Por ende, el centro de presiones es un concepto que se debe tener claro, ya que su determinación es fundamental para la evaluación de los efectos que ejerce la presión de un fluido sobre una superficie determinada. Por ejemplo, si se quiere determinar el momento que está actuando sobre una compuerta sumergida, las fuerzas sobre las paredes de un reservorio de agua o la estabilidad de un barco en reposo, la determinación del centro de presiones es un requisito indispensable.
En el presente informe se hallaran las coordenadas del centro de presiones de un cuerpo sumergido de manera experimental mediante un equipo de laboratorio, para luego contrastarlas con las obtenidas mediante las ecuaciones de la hidrostática.
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1. OBJETIVOS
Determinar experimentalmente la ubicación del centro de presiones de la fuerza hidrostática ejercida por una altura de agua sobre una superficie curva.
Analizar la relación entre las coordenadas de este centro de presiones y la altura de agua que ejerce presión.
Verificar lo obtenido experimentalmente con lo que se conoce teóricamente.
2. MA RCO TE ÓRICO La estátic a de f lu id os es el estudio de fluidos en el que no hay movimiento relativo entre sus partículas. Para que haya movimiento relativo deben existir esfuerzos cortantes que los generen, pero en un fluido estático no se presencian. El único esfuerzo que existe es el esfuerzo normal, la presión, de modo que esta tiene más importancia en estática de fluidos.
Todos los puntos ubicados en un mismo plano horizontal, dentro de un mismo fluido, tienen la misma presión. E n un fluido de peso específico γ constante tenemos que la presión manométrica a determinada profundidad h está dada por la ecuación:
=ℎ …2.1
Fig. 2.1
La superficie libre de un líquido es horizontal. En realidad es concéntrica con la tierra pero en dimensiones reducidas (comparadas con las de la tierra) es prácticamente horizontal.
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El g ráfico de presio nes muestra la distribución de la presión sobre una su perficie en contacto con un fluido (principalmente se aplica al caso de un líquido).
Fuerzas sobre sup erficies planas En este caso se tiene una distribución de fuerzas lineal que actúan en forma continua en toda el área de la superficie.
Fig. 2.2
La magnitud de la fuerza resultante F se calcula como:
==ℎ=sin=sin=ℎ = …2.2 Donde:
ℎ: á : á : ′′ á Página 4
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El v alor de
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se calcula como:
==sin = = ̅ ̅ = sinsi n = ̅ …2.3
Donde:
̅: Fuerzas sobre superficies curvas Una superficie curva en contacto con un líquido experimentará una fuerza hidrostática que suele ser analizada según sus componentes horizontal y vertical.
Fig. 2.3
de la resultante de las presiones que un líquido ejerce sobre una La com ponente horizontal superficie curva es igual en magnitud y de sentido contrario a la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyección de la superficie sobre un plano vertical y tiene la misma línea de acción, es decir, pasa por el centro de presión de dicha proyección.
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La magnitud de la fuerza resultante horizontal y su punto de acción
se calcula mediante las
ecuaciones (2.2) y (2.3) respectivamente. Se calculan para el área de la proyección vertical de la superficie curva.
= La comp onente vertical de la fuerza resultante de las presiones que un líquido ejerce sobre una superficie curva es igual al peso del volumen, real o ficticio, de líquido que se encuentra verticalmente por encima de esta y se extiende hasta el nivel de la superficie libre. En el caso en el cual la superficie recibe una presión contraria en sentido a este peso, la componente vertical tendrá el mismo valor (será evaluada del mismo modo) pero tendrá sentido contrario. El punto de aplicación se ubicaría en el CG del volumen.
La magnitud de la fuerza resultante vertical se calcula mediante la fórmula
= ….2.4 Donde:
: = ∫ ∫ …2.5 El valor de
se calcula mediante:
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3. DESCR IPCIÓN DEL EQUIPO Sistema basculante Es el elemento principal del ensayo, es un cuadrante cilíndrico pivotado en su centro geométrico. Se encuentra balanceado por un contrapeso y conectado a una pesa movible. El sistema posee dos niveles de burbuja instalados.
Fig. 3.1
Recipiente de agua Recipiente transparente está provisto de dos llaves conectadas a dos mangueras, para el ingreso y salida del agua. El sistema tiene cuatro tornillos de nivelación en la base.
Fig. 3.2 Dimensiones: Radio interior del cuadrante cilíndrico……… 135 mm Radio exterior del cuadrante cilíndrico…… 250 mm Longitud perpendicular al dibujo…….115 mm Masa de la pesa deslizante (W/g)……. 0,605 kg
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Reglas de metal milim etradas para la m edición de las alturas y desplazamientos.
4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. Nivelar el recipiente. Ubicar la pesa deslizante indicando la longitud 10 cm (do) en la regla graduada horizontal. Si la superficie horizontal del cuadrante cilíndrico no se hallase perfectamente horizontal (observar el nivel de burbuja adherido), nivelar utilizando el contrapeso. 2. Abrir la llave de ingreso de agua para empezar el llenado del recipiente. La llave de desagüe debe estar completamente cerrada. 3. A medida que la superficie libre se aproxima al cuadrante cerrar parcialmente la llave de ingreso para que el llenado sea más lento. 4. Leer la altura a la que se encuentra la superficie libre del agua, ho, haciendo uso de la regla graduada vertical ubicada a un lado del recipiente. la superficie horizontal del cuadrante cilíndrico debe seguir nivelada. 5. Continuar con el llenado del recipiente abriendo nuevamente la llave de ingreso. Se observará que la superficie curva empieza a levantarse por efecto de la fuerza hidrostática del agua. La pesa deslizante debe ser desplazada a fin de equilibrar este empuje manteniendo la superficie horizontal nivelada. 6. Obtener los valores de desplazamiento de la pesa deslizante correspondientes a las diferentes alturas de agua que se experimente. 7. Leer la altura a la cual se ubica la superficie libre de agua, h.
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.
Tabla 1. Datos obtenidos N°
h(m)
d(m)
H=h-h0
D=d-d0
1
0.100
0.125
0.031
0.025
2
0.110
0.143
0.041
0.043
3
0.122
0.165
0.053
0.065
4
0.133
0.196
0.064
0.096
5
0.141
0.220
0.072
0.120
6
0.150
0.251
0.081
0.151
7
0.162
0.292
0.093
0.192
8
0.171
0.322
0.102
0.222
9
0.173
0.335
0.104
0.235
10
0.178
0.359
0.109
0.259
11
0.133
0.193
0.064
0.093
12
0.100
0.123
0.031
0.023
13
0.110
0.143
0.041
0.043
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5. PROCEDIMIENTO DE CÁLCUL O
La distribución de presiones al interior del agua ejerce una fuerza hidrostática sobre las superficies que entran en contacto con estas presiones. En el caso estudiado se tienen dos superficies en contacto con el agua para cada altura de agua: una superficie plana vertical y una superficie curva.
Al inicio se tiene la pesa deslizante a una distancia
d
que se equilibra con el contrapeso y
mantiene el sistema horizontal, además de que el tanque esta v ació.
Fig. 5.1
Para hallar las componentes del centro de presiones consideramos a la masa deslizante como un cuerpo externo que actúa sobre el sistema regla, contrapeso y cuerpo.
Tomando momentos respecto al pivote se tendría la relación:
=0:
= Página 10
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Donde:
: :
Fig. 5.2
Luego de haber ingresado el agua y equilibrar el sistema de manera horizontal desplazando la masa una distancia D. La componente horizontal de la fuerza hidrostática sobre la superficie curva se cancela con la fuerza horizontal sobre la superficie plana pues ambas tienen el mismo valor y la misma ubicación, entonces tomando momentos respecto al pivote se tendría:
ΣMpivote=0: Wd=XF+M Wd D=Wd WD=XF M WD=XF X = WDF …5.1 Página 11
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Podemos representar de otro modo las fuerzas actuantes, sería equivalente al esquema mostrado anteriormente.
Fig. 5.3 Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y la distribución de presiones en la superficie curva, equivalente a las componentes horizontal y vertical actuantes sobre esta. El momento, respecto al pivote, de las fuerzas distribuidas sobre la superficie curva es igual a cero debido a todas apuntan hacia el pivote, entonces tomando momentos tenemos:
ΣMpivote=0: Wd=YF+M Wd D=Wd WD=YF+M WD=YF
Y = WDF …5.2
Utilizando las mediciones efectuadas podemos determinar
X Y y
experimentalmente.
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6. PRESENTACIÓN DE LO S RESULTA DOS
1.
Deducir las expresiones para el cálculo las componentes horizontales,
, y vertical,
,
de la
fuerza hidrostática que ejerce el agua sobre la superficie curva en función del radio exterior R, el ancho B y la carga de agua H.
Calculo de la fuerza horizontal De la ecuación (2.2) se tiene:
F =γwhA Donde:
γw: 4℃
Fig. 6.1 Del gráfico se tiene:
ℎ = 2 = Reemplazando:
F =γw H2 B…6.1 Página 13
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Calculo de la fuerza vertical La fuerza vertical es igual al peso de un volumen ficticio de agua que actúa sobre la superficie curva. Se calcula mediante la fórmula (2.4):
F =γwV…2.4′ Donde:
V:Volumen de agua ficticio
Fig. 6.2 El volumen se calcula como:
V=AB=(A −Aá)B Á R−H ⏞ Á á ⏞ arccos R R−H√ R − R−H R A= 2 − 2 Reemplazando en (2.4)’:
arccosR−H √ R R−H R − R−H R F =γw [ 2 − 2 ]B…6.2 Página 14
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2.
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Deducir las expresiones teóricas para hallar la ubicación del centro de presiones función de R y H.
X Y e
en
Calculo d e
Fig. 6.3 De la fórmula (2.3) para la figura (6.3) se tiene: :
Y′ =Y′ Y′ Avert ̅ ical ⁄12 2H BH H Y′ = 2 (H⁄2)BH = 3
Además se tiene la relación:
Y =Y′ R−H Y = 2H3 R−H Entonces:
Y =R− H3 …6.3 Página 15
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Caculo de
De la gráfica figura (6.3), la ecuación (2.5) se reduce a:
X = ∫xdA ∫dA R−H 3H 6 √ R − R−H ….6.4 X = Rar− R−H 2 − 2 Los cálculos se mostraran a detalle en el apéndice.
3.
Calcular los valores de
y
para cada valor de H utilizando las expresiones deducidas en 1.
En la parte 1 se demostró las fórmulas de la tabla 1, se halló sus respectivos respectivamente.
Tabla 2.
F F y
y
y
en función de H, R y B. Para cada valor de H de por medio de las ecuaciones (6.1) y (6.2)
hallados con fórmulas demostradas (6.1) y (6.2).
N°
H (m)
Fh (N)
Fv (N)
1
0.031
0.5420761
2.8481036
2
0.041
0.9482101
4.3048039
3
0.053
1.5844867
6.2785247
4
0.064
2.3104512
8.2719379
5
0.072
2.9241648
9.8185067
6
0.081
3.7008961
11.6456787
7
0.093
4.8786847
14.2110870
8
0.102
5.8686363
16.2221937
9
0.104
6.1010352
16.6784491
10
0.109
6.7017751
17.8331458
11
0.064
2.3104512
8.2719379
12
0.031
0.5420761
2.8481036
13
0.041
0.9482101
4.3048039
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4.
Los
Calcular los correspondientes valores de
Y e
X Y
se calculan a partir de los datos de
(5.1) y (5.2) respectivamente
Tabla 3.
X Y e
e
usando las expresiones (5.1) y (5.2).
y
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obtenidos de la tabla 2. y las ecuaciones
hallados con fórmulas (5.1) y (5.2).
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H (m) 0.031
D (m) 0.025
Xcp (m) 0.0520965
Ycp (m) 0.2737185
2 3 4 5
0.041 0.053 0.064 0.072
0.043 0.065 0.096 0.120
0.0592843 0.0614441 0.0688792 0.0725371
0.2691462 0.2434721 0.2466033 0.2435588
6 7 8 9 10 11 12 13
0.081 0.093 0.102 0.104 0.109 0.064 0.031 0.041
0.151 0.192 0.222 0.235 0.259 0.093 0.023 0.043
0.0769549 0.0801860 0.0812209 0.0836251 0.0861978 0.0667268 0.0479288 0.0592843
0.2421556 0.2335731 0.2245123 0.2286066 0.2293688 0.2388969 0.2518210 0.2691462
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5.
Graficar (
X Y vs H) e (
vs H).
Se grafica con los datos de la tabla 3 las siguientes dos figuras.
Gráfica 1.
X
Gráfica Xcp vs H 0.09 0.08 ) 0.07 m ( p c X 0.06
0.05 0.04 0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
H (m)
Gráfica 2.
Y
Gráfica Ycp vs H 0.28 0.27 0.26 ) 0.25 m ( 0.24 p c Y
0.23 0.22
Ycp
0.21
Linea Tendencia
0.2 0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
H (m)
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6.
Superponer las expresiones teóricas deducidas en 2 ecuaciones (6.3) y (6.4) (línea recta o curva según corresponda).
Gráfica 3. Superposición
X
Gráfica Xcp vs H 0.1 0.09 0.08 0.07 ) 0.06 m ( p 0.05 c X 0.04
Teorico Experimental
0.03 0.02 0.01 0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
H (m)
Gráfica 4. Superposición
Y
Gráfica Ycp vs H 0.3 0.25 0.2
) m ( 0.15 p c Y
Teorico
0.1
Experimental
0.05 0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
H (m)
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7. CUESTIONARIO
1. Comente el ajuste obten ido de los resultado s experimentales con l o s teóricos en lo s gráfico s soli citado s
vs H e
vs H.
En ambos casos la gráfica experimental se asemeja mucho a la gráfica teórica, tiene similar forma, similar concavidad, sin embargo, las curvas experimentales están por encima de su respectiva curva teórica esto significa valores más grandes del centro de presiones del eje X y Y.
2. ¿E xist en pu nto s ab su rd o s q u e d eb en ser el im in ad os? Existen puntos que se alejan demasiado del comportamiento de los demás y mantenerlos provoca resultados finales más alejados de los teóricos. Un ejemplo es en la segunda gráfica, el primer punto está muy alejado de la línea de tendencia, eliminar ese dato disminuiría el error.
3. ¿Q u éfu en tes d e er ro r p o d rían est ar afe ctan d o su s m ed icio n es y res u l tad o s? Una fuente de error es que el agua está totalmente estable, tiene un leve movimiento que produce esfuerzos cortantes en la superficie del cuadrante. Otra fuente de error sería la nivelación del agua, el error visual al tomar medidas con las reglas de la altura del nivel de agua, además, cuando movemos la pesa movible y la colocamos a una distancia d, puede darse que el sistema no esté completamente nivelado generando un error en los resultados finales.
4. ¿A l h ac er la últi m a m ed ició n, n u ev am en te p ar a d = do = 10 cm , log ra m ed ir nu evamen te el m ismo valor de h = ho? ¿Por q uésío p or qu éno ? No, porque el cuadrante al final de las pruebas se encuentra mojado, muy probablemente haya ingresado agua en el sólido, generando un mayor peso y variando los resultados finales de la altura del agua para compensar los momentos.
5. Indique tres casos d e estructuras en lo s cu ales requeriría calcular las co mp on entes vertical y horizon tal de la fuerza sobre una sup erficie curva y su p unto de aplicación. En el diseño de las represas para calcular las dimensiones necesarias para soportar las inmensas cantidades de agua así como las fuerzas que se necesitan para poder abrir compuertas sumergidas. En los barcos, para estudiar los tipos de estabilidad que presentan. En los submarinos para calcular la presión que actúan sobre su superficie y las fuerzan a las que están sometidos.
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8. CONCL USIONES
Los datos obtenidos experimentalmente se acercan bastante a los teóricos obtenidos con cálculos matemáticos. No son iguales, porque la toma de medidas es imperfecta, los equipos para medir tienen error o no están bien calibrados, se aproximan en muchos casos los decimales para facilitar el trabajo como la gravedad y la densidad del agua, el agua no es completamente estable, se mueve levemente produciendo pequeños esfuerzos cortantes que varían los datos obtenidos.
El centro de presión
Y y
depende de la altura de agua sumergida (H) y de las
dimensiones del cuerpo (R, B)
El centro de presiones
Y Y y
no depende del tipo de líquido en las ecuaciones
teóricas, solo depende de la geometría del cuerpo sumergido ya que el peso específico del agua no aparece en estas ecuación. Pero si depende de manera experimental ya que en las ecuaciones en este contexto
y
dependen del peso específico del agua.
Los puntos absurdos se deberían de eliminar para disminuir el error de las gráficas experimentales.
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9. ANEXOS
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