GRAHAM RIEST
UNA BREVÍSIM INTODUCCIÓN A L LÓGICA
EDI:
Roglio Carvajal Dávila
UNA BREVÍSIMA INTRODUCCIÓN A LA ÓGICA Título oiinal: LOGC. � VRY SHORT NTROUCTO Taduo, adaptó, ajustó y coigió e depatamento editoial de Oceano de la edición edición oiginal en inglés de Oxfod Univesity Pess © 2000, Gaha Piest Publicado oiginalent oiginalent en inglés en 2000 Publicado según acuedo con Oxfod Univesity Pess D R.© 2006, EDITORIA OCEANO E MÉXICO, S.A DE C.V Eugenio Sue 59, Colonia Chapultpec Polanco Mguel Hidalgo, Código Postal11560, México, DF �5279 9000 5279 9006 �
[email protected]mx PRIMERA EDICIÓN ISBN 970-777-026-0 Quedan rigurosamente prohibid as, as, sin la autorización escrita del editor bo las sanciones establecida en las leyes la reproducción parcial o total de esta ob por C alquier medio o procedimiento comprendidos la reprogrfa y el trataiento y la distribución de jemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
Este libro libro está dedicado a todos los que alguna vez han pensado pen sado en la lógia, lógia, o lo harán alguna alguna vez.
ÍNICE
Pracío, 9 r 2 4 6 7 9 ro
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Validez: ¿é se sigue de qué?, 3 Funciones de verdad ¿o no?, 2 Nombres y cuanticadores: ¿Nada es algo?, 33 Descripciones y existeca ¿Adoraron los griegos a Zeus?, 4 Autorreferencialidad ¿De qué trata este capítulo?, 49 Necesidad y posibilidad ¿Lo que será debe ser?, 9 Condicionales ¿é ¿é hay en n ? 7 El turo y el pasado ¿Es real el tiempo?, r Identidad y cambio ¿Es cualquier cosa siempre lo mismo?, 9 Vaguedad ¿ómo dejamos de resbalar or una falacia de presunción?, 99 Probabilidad El extraño caso de la clase de referencia perdida, ro9 Probabilidad inversa ¡No podemos ser indiferentes a ella!, 9 Teoría de la decisión: Grandes expectativas, 29 Un poco de historia y algunas lecturas adiconales, 39
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Glosario 49
ÓGC
REACO
Problemas Referencias de las ilustraciones 9 Bibliografa 6 Índice teático 6 Índice de nombres 6 Solución a los problemas 6
L
ógic es un de l s disciplins intelectul intelectules es má s ntigs y un de ls más modens. Sus pincipios se emon hst el siglo . C. Ls únics disciplins más más ntgs son l oso y ls mtemátics, con s que siempre h estdo íntimme ne elciond Se evolucio evolucio ó cerc de l tnsición l siglo con el so de nuevs técics mtemátics, y en l útim mitd de dicho si glo econtó ppeles diclmente nuevos e impotntes en compucón y e pocesmieno de dtos. Es, po o tno, un mt ei cenl p l myo pe del p ensmieo y esfezo humnos Ese libo es un intoducción l lógic como l compenden los ógicos contempoáneos. Sin embgo, no tiene intención de se un libo de texo Hy muchos de ellos disponibles hoy en dí. E popósito de éste es expo s íces de l lógic, que se sumegen po fundmente en l oso En el cmino expicemos lgo de lógic fom fom En cd uno de los cpíuos pinciples comen zo tomndo lgún pobem losóco o enigm lógico pticul Entonces expico gun poximción él. Con fecuenci éste es muy común; peo en lguns de s áes no hy un espuest estánd: los ógicos ún
ÓGC
te inteesante Casi todas las apoximaciones, ya sean comues o no, pueden cuestionase emino cada capítulo con algunos poblemas que plantea la apoximación qe he explicado En ocasiones stos son comnes; en otas no A veces tendán espuestas sencias; otas, quizá no El popósito es plantea el desao de lo que debe hacese con el tema La lógica modena es una mateia muy matemátca He tatado de escibi el texto de tal manea que evite casi todas las matemáticas Lo máximo que necesitamos es un poco de álgeba de secundaia paa los últimos capí tulos Es necesaia tambin la deteminación paa domina algo del sim bolismo que pobablemente esulte nue vo paa el lecto; peo esto es mucho menos de lo que se equiee paa tene una compensión básica de cualquie nuevo lenguaje Y la claidad que da el si mbolismo a peguntas complejas hace que cualquie dicultad paa apendelo haya valido la pena Una advetencia, sin e m bago: lee n libo sobe lógica o losoa no es como ee una novela Po momentos hay que lee despacio y cuidadosamente Algunas veces hay que detenese y pensa sobe las cosas; y hay que esta pepaado paa egesa y elee n páafo si es necesaio El capítulo nal del libo tata del desaollo de la lógica He intentado situa algunas de las cuestiones que tata el libo dento de na pespectiva históica paa mosta que la lógica es una mateia viva, que siempe ha evolucionado y ue continuaá hacndolo El capítulo tambin contiene sugeencias paa futuas lectuas Hay dos apndices El pimeo contiene un glosaio de tminos y símbolos Puede consultase si se olvi-
'REFC
II
contiene una pegunta elevante paa cada capítulo, la que puede ponese a pueba la compensión de sus incipales ideas El libo busca más el aliento que la pofundidad eía fácil escibi un libo sobe el tema de cada capílo y, cietamente, se han escito muchos de ese tipo Y n así, hay muchas cuestiones impotantes sobe la ló ica que ni siquie a he tocado aquí Peo si el libo se lee asta el nal, puede obtenese una buena idea sobe los ndamentos de la lógica modena, y de po qu las peonas considean que vale la pena pensa en ese campo de estudio
AD EZ: ¿U SE SGUE DE ?
A
la mayoía de las pesonas les guta pensa que azonan de una foma lógica Decile a alguien No ess siendo lógico es, po lo comú , una foma de cítica e ilógico es esta confundido, embollado, se iacioal Peo ¿qu es la lógica? En A travé del espeo el libo de ewis Caoll, Alicia se encuenta con el pa de lógi cambiante Tweedledum y Tweedledee Cuando Alcia e queda sin palabas, ellos atacan: S lo que estás pensando dijo Tweedle dum: peo no es así, de ninguna manea Al contaio continuó Tweedledee si fue así, podía se ; y si fuea así, s eá peo como no es, no seá Eso es lógico o que está haciendo Tweedledee al menos en la paodia de Caoll es azona Y, como l lo dice, de eso tata la lógica Todos azonamos Tatamos de az ona sobe las ba ses de lo que ya sabemos Tatamos de pesuadi a otos de que algo es así dándoles azones a lógca es el est dio de lo que cuenta como una buena azón paa expli-
G
Q S SG DE QÉ
r
badas de raonamiento que os ógicos aman n a
Roma es a caita de taia y este avión aterria en
Roma entonces e avión aterria en taia Moscú es a caita de Estados Unidos en tonces no uedes ir a Moscú sin ir a Estados Unidos En ca da caso, as armaciones anteriores a ento son raones determinadas os ógicos as aman pre a; as armaciones osteriores a entonces que l ógicos aman concusiones es aqueo de o que son ones as raones E rimer ejemo de raonamiento e bien ero e segundo es bastante irremediabe, y no rsuadirá a nadie que tenga agún conocimiento eemen de geografa a remi sa de que Moscú es a caita de stados Unidos, es simemente fasa Si a remisa u era sido cierta si, digamos, Estados Unidos ubiera mrado toda Rusia y no sóo Aaska) y hubiera mudado a Casa Banca a Moscú ara estar más cerca de os entros de oder en Euroa a concusión ubiera sido n efecto correcta Hubiera resutado de as remisas; y en so se interesa a ógica No e interesa si as remisas de una inferencia son verdaderas o fasas É se es asunto de aguien más en este caso de os geógrafos) Le interesa, simemente, si a concusión resuta de as remisas Los ógicos aman válda a una inferencia cuando a concusión en verdad resuta de as remisas As qe a meta centra de a ógica es comrender a vaide Podras ensar que ésta es una tarea aburrida, un
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LÓGICA
de tocar el piano, pero Juan no pued e"; aquí hablamos de aptitudes humana s C ompara No puedes venir aquí: ne cesitas un permiso; aquí hablamos de algo que permite o prohibe un código de reglas. Es natural entender el sentido del no puedes" re levante para el presente caso de esta forma decir que las premisas no pueden ser verdaderas sin que la conclusión lo sea es decir que en todas las situaciones donde todas las premisas son verdaderas, también lo es la conclusión Hasta aquí está bien; pero ¿qué es exactamente una si tuación? ¿Qé tip o de cosas intervienen en su conformación, y cómo se relacionan estas cosas entre sí? ¿Y qué es que sea •uerdadero? Ahora, aquí, hay un problema losóco para ti, parece decirnos Tweedledee . Estas cuestiones nos interesarán luego; pero dejé moslas por el momento, y terminemos con algo m ás No debemos irnos corriendo y dejar así, nada más, la idea de que la explicación de la validez deductiva que acabo de dar o tiene problemas (En losoa, todas las amaciones interesantes son contenciosas) Aquí hay una dicultad Suponiendo que la declaración sea correcta, saber que una inferencia es deductivamente válida es saber que no hay sitaciones donde las premisas sean verdaderas y la con clusión no. Ahora, en cualquier comprensión razonable de lo que e s una situación, hay una gran cantidad de ellas: situaciones relacionadas con los planetas de estrellas dis tantes; situaciones con acontecimientos anteriores a que hubiera seres vivientes en el cosmos; situaciones descri tas en obras de cción; situaci ones imaginadas por visio narios ¿Cómo podemos saber lo que inuye en todas las
V.\Z: ¿QUl� SE SIGUE DE Ú
aquí a dos años, situaciones de aquí a tres años ) . Es, r lo tanto, impos ible, incluso en princi pio, examinar das las situacio nes Así que si esta a r mación de vali z es correct a, y ya que po demos conside rar las inferen ·as válidas o inváld as (a l men os en muchos ca so s) de mos tener alguna revela ción de :lguna fuente especia l.
de
fuent e? ;Qé
¿N ecesitam os invocar algún tipo de intuició n míst i ? No necesa riamen te. Consi deremos un probl ema análo !0. Todos podem os dis tngur entre c adenas gramat icales e palabras y cadenas no gramaticales de nuestr a lengua aterna sin mayor problem a Por ejemplo, cualqu ier halante nativo del espaol reconocerá qe E sto es ua s pero lla es una ora ción q ue sigue una adena gramatcal, Una e s es to silla" no Pero parece que hay un nmer o in nito de oracio nes grama tcales y no rama ticales (Por J. ep1 o "U no es u numer o , I) os es un num ero" , Tres s un númer o", so todas oraco nes graatica es . Y s Hcil hacer e nsaada s de palabra ad libitum. Enton es cómo lo hacemo s? oa m Cho msk y, quizá el lingüita ode rno más import ane, sugirió que podem os haerl o ebido a que las colecci ones in nitas están encapsuladas n una colecció n n ta de reglas que están muy enraiaas en nsotros; que evolci ó ns ha progrmado c on ua gramática nter a Podrí ser ual a ógica? ¿Es tán las regas de a ógica ta enraz adas en nosot os de '
la mis a fora?
"
·
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LÓGICA
FUNCONES DE VERDAD ¿O NO
Principes ideas del capítlo •
na neena váda e auea en a ue a nun euta de a( ema() na neena dedutvamente váda e aue a en a ue n hay una tuan dnd t da a ema ean vedadea e n uón
Y
a ea ue a ega de a vadan etén muy enaza da en nt n td tenem ntune muy ete be a vadez de vaa neena N haba uh deaued ejem en ue a guente ne na e váda Ea e muje y banuea a ue ea e anuea O en ue a guente neena e nváda: É es ante a ue é e ante y juega beb. Pe aguna vee nueta ntune ueden me n en bema ¿Qé ena de a guente ne ena La d ema aaeen be a nea a n un debaj de ea La ena e a La ena n e a L ed ueden va
.1 ¡
Dede ueg ue n aee váda La ueza de a ena gande n n aee tene eaón n a habdade aenáuta de ed ¿Pe ué enam be a guente d ne ena La ena e a.
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G
O l rein es ric o los cerdos pueden volr L rein no es ric Los cerdos pueden volr L primer de éss prece válid Consider su con lusión Los lógicos llmn diyunión ese ipo de orcnes; y ls cláusuls mbos ldos de o" se llmn disnivs Luego, ¿qué se necesi pr qu un disyun ción se verdder? Sólo que culquier de ls disnivs se verdd Así que en culquier siución donde un premis es verdder, lo es l conclusión L segund inferenci mbén prece válid Si un u or de dos r mciones es verdder y un de éss no lo es, l or de be serlo nonces el problem es que l poner juns ess dos inferencis en prienci válids, obenemos un inferenci inválid, como é s L ein es ric O l rein es ric o cerdo s pueden volr L rein no es ric Los cerdos pueden volr so no p uede ser verdd ncdenr in ferencis válid s de es mner no puede drnos un in ferenci in válid Si ods ls premiss son verdders en culquier enonces mbién lo son sus conclusiones ls sucn, conclusiones que resuln de éta; y sí, hs que lcn zmos l conclusión nl ¿Qé h slido ml
1 ONES DE ERDD ¿o NO
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mos l orción Los c erdos pueden volr" como p y
L rción L rein es ric" como q. so hce ls coss 1 poco más compcs pero no sólo eso si pienss en
por un momeno, puedes ver que ls dos orciones en iculr que se esán usndo en el ejemplo e rrib no nen mucho que ver con ls c oss ue hber orgni o oo usndo dos orciones culquier sí que pode s ignorr su conenido so e s lo que hcemos l escri ls orciones sólo como un pr e lers L orción O l rein es ric o los cerdos pueden lr" hor s e uelve Y se que q o p Los lógicos esiben eso como q V p. ¿Qé hy sobre L rein no es c''? Reescribmos eso como no es el cso si l rein es c" gregndo l prícul negiv l frene e l orión or lo no l orción se vuelve no es el cso e ue q Los lógicos escriben eso como � q y lo llmn l ngación de q o no q. Mienrs esmos en ell, ¿qué hy de l orción L rein e s ric y los ceros pueen volr", so es, "q y p? Los lgicos escriben eso como q p y l llmn conjunción de q y p q y p son los conjunos Con ese mecnismo bjo l mng, podemos escribir l inferenci encend que enconrmos sí
q q p p p ¿Qé podemos decir de es inferenci? L orciones pueden ser verdders, y pueden ser flss Usemos pr verddero, y F pr flso Gr cis
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LÓGICA
FUNCIOES DE VERDAD ¿ O O?
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[omatemático alemán Gottlob Frege, a éstas se les llama frecuentemente valores de verdad. Dada cualquier ora ción, a, ¿cuál es la conexión entre el valor de verdad de a y el de su negación, �a? Una respuesta natural es que si una es verdadera la otra es falsa, y viceversa. Podemos re gistrar esto como sigue: �a tiene el valor V sólo si a tiene el valor F. � a tiene el valor F sólo si a tiene el valor V
Los lógicos llaman a esto las condiciones de verdad para la negación Si asummos que c ada oración es verda dera o falsa, pe o no mbas, pode mos representar las con diciones en la siguiente tabla, que los lógicos llaman tabla de verdad:
S a tiene el valor de verdad dado en la columna de abajo, �a tene el valor correspondiente de la derecha ¿Qé hay de la disynción, V? Como a lo he re saltado, una suposición natural es que una disyunción, a V , es verdadera si a o b (o quizá ambas) son verdade ras, y falsa si ninguna de las dos lo es Podemo s registrar esto en las condiciones de verdad para la disnción a V b tiene el valo V sólo si al menos
b tienen
igura 2. Gotlob Frege (1848-1925), uno de os fundadores de a ógca moderna.
z6
LI
a V b tiene el vlor F sólo si tnto a como b tienen el vlor F
UOES DE VERDD ¿o O
Ests condiciones pueden representrse en l S iente tl de verdd:
a
b
aVb
a
b
a\b
V V F F
V F V F
V V V F
V V F F
V F V F
V F F F
Cd renglón -excepto el primero, que es el enc ezdo- registr hor un cominción posile de v lores pr a (primer column) y b (segund column). Hy cutro posiles cominciones, y por lo tn to cutro renglones. Pr cd cominción, el vlor co rrespondiente de a V b está sentdo su derech ( terce r column) De nuevo, mientrs estmos en eso, ¿cuál es l co nexión entre los vlores verdderos de a y b y de los de a b? Un suposición nturl es que a b es verdder si tnto a y b son verdders, y fls de otr mner Así, por ejemplo, "Jun tiene 5 ños y pelo cfé es verdder sólo si "Jun tiene 5 ños y "Jun tiene el pelo cfé son verdders Podemos registrr esto en ls condiciones de verdd pr l conjunción:
Ahor, ¿cómo soport todo esto el prolem con l que empezmos? Regresemos l pregu nt �e hice _ l nl del cpítulo nterior: ¿qué es un s1tucwn? n pensmiento nturl es que culquier cos que se un itución, determin un vlor de verdd pr cd or ción. Así, por ejemplo, en un situción en prticulr, po dr ser cierto que l rein fuer ric y los cerdos podrn volr. (¡Advirtmos que ests situciones son mermen te hipotétics!) En otrs plrs, un situción deter min que cd proposición pued ser tnto V como F En ests proposiciones no prece nunc "y, "o, o "no ) Dd l informción ásic sore un Stu ción, podemos usr tls de verdd pr resolver los v lores de verdd de ls proposiciones que intervienen Por ejemplo, imgin que tenemos l siguiente si tución:
a b tiene el vlor V sólo si tnto a como b tienen el vlor a b tiene el vlor F sólo si l menos un de a y b
podr ser l orción "el etel es nutritivo, y "p :
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LÓGCA
q
p
q �q
p
V V F F
V F V F
V V F F
V F V F
F F V V
De nuevo, la inferencia es válida; y ahora sabemos por qué. No hay renglón en el que ambas premisas sean verdaderas y la conclusión, falsa. En efecto, no hay algún renglón en el que ambas premisas sean verdaderas ¡En verdad la conclusión no importa para nada! Algunas veces, los lógicos describen esta situación diciendo que la inferencia es vacuamente válida, sólo porque las premisas nunca podrán ser verdaderas al estar juntas Aquí, entonces, hay una solución al problema con el que empezamos. De acuerdo con esta solución, nuestras intuiciones originales sobre esta inferencia están mal D es pués de todo, las intuiciones de la gente con frecuencia pueden llevar a conclusiones erróneas Para todos parece obvio que la tierra no se mueve, hasta que toman un curso de física y descubren que e n realidad está girando e n el espacio Incluso podemos ofrecer una explicación de por qué estuvieron equivocadas nuestras intuiciones lógicas Pero la mayoría de las in ferencias que encontramos en la práctica no son de este tipo. Nuestras intuiciones se desarrollan en esta clase de contexto y no aplican de manera general, igual que los hábitos que se c onstruyen al aprender a caminar (por ejemplo, no inclinarnos) no siempre funcionan en otros contextos (por ejemplo, cuando apren-
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FUNCIONES DE VERDAD ¿ O NO?
Regresaremos a esta materia en un capítulo posterior Pero terminemos e ste con una breve mirad a a la adecuación del meca nismo que he mos utilizado Aquí las cosas no son tan sencillas como uno hubiera esperado. De acuerdo con e sta explicación, el valor de verdad de la oración � está completamente determinado po r el valor de verdad de la sentencia a. De la mis ma manera, los valores de verdad de las proposiciones a V y a 1 están completamente determ inados por los valores de verdad de a y h. Los lógicos llaman a las operaciones que funcionan así funciones de verdad. Pero hay buenas razoTes para supo - 1 , y" y o" no son fun ner que, como ocurre en e1 espano ciones de verdad, al menos, no siempre Por ejemplo, de acuerdo con la tabla de valores para , "a y b" siempre tiene el mismo valor verdadero de y a: a saber, ambos son verdaderos si a y también son verdaderos, y falsos de otra manera Mas consideremos las oraciones: "
r. 2.
Juan se golpeó la ca beza y se cayó Juan se cayó y se golpeó la cabeza
La primera dice que Juan se golpeó la cabeza y se cayó La segunda dice que Juan se cayó y entonces se golpeó la cabeza. Es claro que la primera puede ser verdadera mientras qe la segunda es falsa y viceversa. Por tanto, no sólo so n importantes los valores de verdad de los conjuntos , sino cuál causó cuál Problemas similares acosan a o" De acuerdo con el cálculo que tenemos, "a o " es verdadera si o son verdaderas Pero supongamos
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LÓGICA
O sales ahora o llegaremos tarde; y entonces salimos Dada la tabla de valores para V, la disyunción es verdadera. Pero suponga mos que descubr mos que nuestro amigo nos ha estado engañando: hubiéramos podido salir media hora de spués y aún así llegar a tiempo. Bajo estas circunstancias, con seguridad diremos que nuestro amigo ha mentido: lo que ha dicho era fal so De nuevo, lo importante no so n simplemente los valo res de verdad, sino la existencia d e una conexión de cierto tipo entre ellos. Ahora debemos pensar en estos temas El material que hemos visto nos da por lo me nos una explicación funcional de cómo trabaja cierta maquinaria lógica. Utilizaremos esto e n los próximos capítulos, a menos que la idea de esos capítulos lo anule explícitamente, lo cual ocurrirá algunas ocasiones. La maquinaria en cuestión trata sólo con cierto tipo de inferencias: existen muchos o tros. Apenas hemos em pezado.
Principes ideas del ca ítlo
• En ua situaió se asiga a cada proposició u var ic de verdd (V o F) • �a es V sólo si a es F. • a V es V si al menos a 1 es • a 1 es V sólo s tant a como so
. N OMBRES Y CANTIICADORES : ¿NADA ES ALGO?
Lterior involucraban frases como o" y no es el caso as inferencias que he mos obse rvado e n el capítulo an-
ue", palabras que agregan o unen oraciones completas ara hacer otras oraciones completas; pero hay muchas in erencias que par ece n trabaja de manera muy diferente. onsidera, por ejemplo, la inferencia: Maros me dio un libro Alguien me dio un libro Ni la premisa ni la conclusión tienen una parte que, n sí misma, sea una oración completa. S i la inferencia s válida, lo es por lo que ocurre dentro de las oraciones ompletas. La gramática tradicional nos dice que las oraciones ompletas más simples están compuestas por un sujeto y n predicado. Entonces, consideremos los ejemplos: r. 2. 3·
4·
Marcos vio al elefante Anita se durmió. Alguien me pegó. N a die vino a mi esta . La primera palabra, en c ada caso, e s el sujeto de la
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LÓGICA
OMBRES
Y
CUANTFCADORES: ¿ NADA ES ALGO?
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redicado: nos dice algo sobre él Ahora bien, ¿cuándo s erdadera una oració n así? Tomemo s el segundo ejemplo . s verdadera si el objeto al que se reere el sujeto "An ta tiene la propedad expresada por el predcado, esto e s, e durmió Todo correcto y bien, pero ¿a qué se rere el objeto de la oracón 3 ? ¿A la persona que me pe gó? Pero tal vz nadie me pegó . Nadie djo que ésta era una oració n verddera. El caso de la oración 4 es aún peor ¿A quién se reee "nade? En A tvés del espejo, justo antes de su encuento con l león y el unicornio, icia se cruza con el Rey Bla nco, quien espe ra a un mensajero (Por alguna razón, cuan do el mensajero voltea, se parece sorprendentemente a n conejo) Cuando el Rey se encuentra a Alcia, le dice Sólo obs erva por el camino, y dime si pueds ver. [al Mensajero] Puedo ver a nadie e n el camino djo Alicia Dsearía tener semejantes ojos resaltó l Rey en un tono impaciente ¡Para ser capaz de vr a Nadie! ¡Y también a esa distancia! ¡Hombre, s todo lo que puedo hacer para ver personas reals, con esta luz! Carroll está haciendo un chiste lógico, como ocrre con frecuencia. Cuando Alicia dice que ve a nadi e, no está diciendo que puede ver a una persona real o e cualquier tpo "Nadie no se reere a una persona o a cualquier otra cosa Los lógicos modernos llaman cuanticadores a p-
ÓGI
mos de ve es que, si bien ano los cuanicadoes como los nombes popios pueden se los sujeos gamaicales de oacion es, deben funciona de fomas muy difeenes ¿mo funcionan los cuanicadoes? Aquí hay una espuesa modena esánda Un a siuacin esá povisa de una canidad de objeos En nueso caso , los objeos elevanes son odas las pe sonas Todos los nombes que apaecen en nueso aonamieno sobe esa siuacin se eeen a uno de los objeos en esa coleccin Po lo ano, si escibimos m paa Macos" , m se eee a uno de esos objeo s Y si escibimos Hpo es feli", enonc es la oacin m Hes vedadea en la siuacin pecisa en que el objo al que nos efeimos como m iene la popiedad expesada po H. (Po pevesas aones popias, los lgicos con fecuencia invieen el oden, y es ciben Hm en ve de m H Es slo cuesin de cosumbe) Ahoa considea la oacin Alguien es feli" Eso slo es vedad en la siuacin en que hay un objeo u oo, en la coleccin de objeos, que es feli eso es, algún objeo de la coleccin, llamémoslo x, es al que x es feli Escibamos Algún objeo, x es al que" co mo: 3x Enonces podíamos escibi la oacin como: "3x x es feli"; o, ecodando que esamos escibindo es feli" como H, así: 3x x H Los lgicos a eces llaman a 3x cuantcador partcuar. ¿Qé hay de Todos son felices"? Eso e s vedad en una siuacin en la que cada objeo de la coeccin elevane es feli Eso es, cada objeo, x, de la coleccin es al que x es feli Si escibimos ada objeo, x, es al que" como
OMBRES NTIIDORES ¿ ND ES GO
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Ahoa no hay pemios po adivina cmo vamos a enende Nadie es feli" Eso slo signica que no hay bjeo, x, de la colecci n elevane, al que x sea feli Poemos ene un símbolo especial que signique Ningún objeo, x, es al que" Peo de hecho, los lgicos nomalmene no se molesan en usalo Poque deci que nadie es feli es deci que no e s el caso que alguien es feli Así que podemos escibi eso como � 3x x H. Ese análisis de cuanicadoes nos muesa que los nombes y los cuanicadoes funcionan de manea muy ifeene En paicula, el hecho de que Macos es feli" y 'lguien es feli" se esciban como m Hy 3x x H, especivamene, nos muesa eso, además, esa foma ga maical apaenemene simple puede lleva a conclusiones eneas No odos los sujeos gamaicales son iguales ncidenalmene, eso nos muesa po qué la infeencia on la que empeamos es válida Esibamos paa me dio el libo" Enonc es la infeencia es:
m 3x x Es clao que si, en aluna siuacin, el objeo efe ido po el nombe m me dio el libo, enonces algún obeo de la coleccin elevane me dio el libo Po conase, el Rey Blanco esá deduciendo del hecho de que Alicia vio a nadie que ella vio a alguien (a sabe, Nadie) Si escibimos es viso po Alicia" como A enonces la infeencia del Rey es:
ÓGI
Eso es claaene inválido Si no hay ningún objeo en e l doinio elevane que fue viso po Alicia, obviaene no es vedad que haya algún objeo del doinio elevane que fuea viso po ella. Podías pensa que es ucho albooo po nada; de hecho, slo una anea de echa a pede un buen chise. Peo es ucho ás s eio que eso; pueso que los cuanicadoes juegan un papel cenal en uchos aguenos ipoanes en aeáicas y losofía. Aquí hay un ejeplo losco. Es una suposicin naual de que no pasa nada sin explicacin las pesonas no se enfean sin an; los auos no se descoponen sin habe enido alguna falla. Todo, enonces, iene una causa. ¿Peo cuál podía se la causa de odo? Obviaene no puede se nada sico, coo una pesona; o incluso algo coo el Big Bang de la cosología Esas cosas deben ene sus popias causas. Así que debe se algo eafísico Dios es el candidao obvio. É sa es una vesin de un agueno paa la exis encia de Dios, con fecuencia llaado el Argumnto Cos moógco. U no podía objealo de divesas aneas Peo en su coan hay una enoe falacia lgica La oacin Todo iene una causa" es abigua Puede signica que odo lo que sucede iene una causa u oa; eso es, paa cada x hay una y, de al foa que x es causada po o puede signica que hay algo que es la causa de odo, eso es, hay alguna y paa cada x, x es causada po y. Penseos en el doinio elevane de los objeos coo causas y efecos, y escibaos x es causado po y coo: xCy.
OMBRES NTIIDORES: ¿ ND ES GO
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\x 3y xCy 2 3y \x xCy
Ahoa, ésas no son lgicaene equivalenes La iea se sigue de la segunda. Si hay una cosa que es la ausa de todo, enonces, desde luego, odo lo que sucede iene aguna causa u otra, peo no esula que haya una osa y la isa que sea la causa de odo. (opaa: de Todos ienen una ade", no esula que haya alguien que sea la ade de odos") Esa visin del Agueno osolgico negocia con la abigüedad Lo que se esablece al habla de enfeedades y auos es Peo inediaaene, el agueno cabia al peguna cuál es la causa, asuiendo que 2 es lo que se ha esablecido Adeás, al deslia ieno esá oculo poque, en español, Todo iene una causa" puede usase paa expesa ano coo Noeos abién, que no hay abigüedad si los cuanicadoes se eeplaan po nobes La adiacin de fon do del cosos e s causada po el Big Bang" no es del odo abigua Bien podía se que una falla al disingui ene nobes y cuanicadoes sea una an adicional de p o qué uno podía falla al ve esa abigüedad Así que una copensin coeca de los cuanicadoes es ipoane, no slo po lgica Las palabas algo", nada", ecéea, no suplen a los objeos, sino que funcionan de una anea uy difeene. O, al enos, pueden hacelo las cosas no son an siples. onsidea al cosos de nuevo. O se exiende inniaene hacia el pasado, o epe a exisi en un iepo en paicula. En el pie caso, no uvo coieno, sino que siepe
LÓG
inado En difeentes é pocas, la sica nos ha dicho difeentes cosas sobe la vedad de este asnto Sin ipota esto, sin ebago, slo considea la segnda posibilidad. En este caso, el cosos epe a existi de la nada o de nada físico, siendo el co sos, de todas foas, la totalidad de todo lo sico. Ahoa considea esa oacin El cosos epe a existi de la nada Dejeos qe sea el cosos , y escibaos " epe a existi de " coo Ey Entonces , dada nesta copensin de los canticadoes, es ta oacin debeía signica � 3 cE Peo no signica esto; ya qe es to es igalente vedadeo en la piea altenativa cosolgica En ésta, el cosos, siendo innito en tiepo pasado, no epe a existi del todo En paticla, entonces, no epe a existi d algo o de oto ando decios qe en la segnda cosología el cosos epe a existi de la nada, qeeos deci qe vino a se de la nada Así qe nada pud se na cosa Despés de tod o el Rey Blanco no ea tan tonto.
inies ideas de ca pí
a oacin n es vedadea en na sitacin si el objeto al qe se eee po n tiene la po piedad expesada po en esa sitacin es vedadea en na stacin slo si algún objeto en la sitacin, x es aqél de • es vedadea en na sitacin slo si cada objeto e n la sitacin, , es aqél de
¡ ESIPIONES Y EXSTENIA
ADOARON LOS GRIEGOS A EUS?
M
ientas estaos en el tpico de sjetos y pedicados, hay cieto tipo de fases, del qe aún no heos hablado, qe pede se el objeto de oacion es Po lo ún, los lgicos los denoinan dscrcons dndas, a veces slo dscrcons anqe debes adveti qe n téino técnico Las descipc iones son fases coo el hobe qe atei pieo en la Lna y el únio objeto en la Tie a hecho po el hobe qe e s visible esde el espacio. En geneal, las descipciones tienen la a: objto qu satac ta cua stuacón Sigiendo lsofo y ateático inglés Betand Rssell, no de s fndadoes de la lgica odena, p odeos escibilas oo sige Reescibe el hobe qe atei pieo en la Lna coo: el objeto, , de tal foa qe es n obe y atei pieo en la Lna Ahoa escibe L pa el objeto, , tal qe, y esto se conviete en: ( es n hobe y atei pieo en la Lna) Si esci ios paa es n hobe y paa atei pieo en la Lna, entonces obteneos: L(M & En geeal, na descipcin es algo de la foa Lc> donde es na condicin qe contiene apaiciones de (Paa eso
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Fgua
ÓG
Betand Russel
(72970 oto de los fudadoes de a lógca modea.
> ·SRIPÓN ESTENI
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Ya que las descipciones son sujeos, pueden conase con los pedicados paa hace oaciones cople s Así, si e scibios U paa naci en Esados Unidos", onces el hobe que aei pieo en la Luna na ó en Esados Uni dos" es : ( & F)U Escibaos J o signo aquigáco paa ( & F) (Uilicé una a giega paa ecodae que es en ealidad una desipcin) Enonces eso es JU Igual: el pie hobe ue aei en la Luna es un hobe y él aei pie o en la Luna " es & JF En éinos de la divisin del úlio capíulo las descipciones son nobes , no cuanicadoes Eso es, se eeen a objeos (si en eos suee: egesaeos a ello) sí, el hobe que aei pieo en la Luna naci en Esados Unidos", JU es vedad slo si la pesona en pa icula a la que se eee la fase J iene la popiedad expesada po U Peo las descipcione s son ipos especiales de nobes A difeencia de lo que p odeos llaa nombrs proos coo 'nia" y el Big Bang", llevan infoacin sobe el objeo al que se eeen Así, po ejeplo, el hobe que aei pieo en la Luna" lleva la infoacin de que e l obje o al que se eee iene la popiedad de se un hobe y de se el pieo en la Luna Todo es o puede paece banal y obvio, peo las cosas no son an siples coo paecen Ya que las descipciones llevan infoacin de esa anea, con fecuencia son cenales paa aguenos ipoanes en aeáicas y losofía; y una anea de apecia algunas de esas coplejidades es consida un ejeplo de eal agueno Ése es oo agueno sobe la exisencia de Dios, con
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SRIPIÓN EISTENI
o in vaias vsions, po aquí hay una foma sim pl él: Dios s l s con oas las pfccions Po la xisncia s una pfcción. Así qu Dios in xisncia s ci, Dios xis. Si no s han nconao ans con s agumno, pacá confuso Paa mpza, qué s una pfcción? Más o mnos, una pfcción s algo así como la omniscincia sa oo lo qu hay po sa), la omniponcia hac oo lo qu pua hacs), y la pfcción moal acua simp la mjo mana po sil). E n gnal, las pfccions s on oa s sas popi as qu s muy uno n Ahoa, la sguna pmi sa ic qu la xisncia s una pfcción Po qué s cio? La azón po la qu poíamos supon so s muy complja, y sá naizaa n la losofía uno los os pnsaos gigos más impoans, Plaón Po founa, pomos aaja so s ma Pomos hac una lisa popias como omniscincia, om niponcia, céa; incuyamos a la xisncia n la lisa, y simplmn jmos qu pfcción" signiqu caa popia ésa Po oa pa, ommos a Dios" como sinónimo minaa scipción, a s a, l s qu in oas las pfccions s ci, las popias la lisa)" En l Agumno Onológico, amas pmisas ahoa son va po nición, y así sugn la ima gn Enoncs l Agumno s uc a una lína El ojo qu s omniscin, omnipon, moal
¡ ·ji¡
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poíamos agga, s omnipon, moalmn p co, y así sucsivamn. Eso in pac s cio Pa a hac las cosas más claas, supongamos qu sciimos a lisa las popias Dios com o I 2 , , Así u la úlima, , s la xisncia La nición Dios" s Lx(x . Esciamos paa so úlimo noncs qua . la qu s sigu Es s un caso spcial algo más gnal, a sa : objto qu satac ta ta condcón satac sa msma condcón Eso con fcuncia s llama l rncpo d Cactrzacón una cosa qu in las popias qu a caacizan). Aviamos so como PC. Ya hmos nconao un jmplo PC, c on l pim hom qu aizó n la Luna s un hom y aizó pimo n la Luna", & F En gnal, onmos un caso PC si omamos alguna scipción, Lxc y la susiuimos po caa apaición x n la conición Ahoa, paa oo l muno, PC pac s vao po nición. Po supuso, las cosas inn sas popi as qu s caacizan po n Dsafounaamn n gnal, so s falso, ya qu muchas cosas qu s si gun llo son falsas s in iscusi ón Paa mpza, pomos usalo paa uci la xis ncia oo ipo cosas qu n alia no xisn Consimos a los númos nos nongaivos) 2 , . . Ahí no hay un máximo Po al usa PC, pomos mosa la xisncia un máximo. Djmos qu sa la conición s l máximo no x xis" Djmos qu sa Lxc Enoncs l PC nos a s l máximo n o, y xis" Los ispaas no acaan aquí Consi mos a una psona sola, igamos l Papa Pomos
ÓGI
po los gigos, céa Po Po n alia no ha ía ani guos ioss gigos. D hcho, llos no xision Si so s coco, noncs la scipción l más pooso los aniguos ioss gigos" no s a algo. Po n s caso, son oaci ons vaas vaas sujo/pic sujo/picao ao n la qu l émino ém ino sujo faca facasa sa n la aa a a fis fis a cualqui cosa, como a l más pooso os aniguos ioss gigos fu aoao po los gigos" Paa pon lo mana nnciosa, spués oo hay vas so ojos qu no xisn.
Idea pincipal del capílo
c s vao n una siuación sóo si, n sa siuación, ha u ojo único, qu sa isac e, P
AUTORREERENCIALIDAD: ¿DE U É TRTA ESTE CAPTULO?
e
uano uno pinsa n casos nomals con cuncia las cosas pacn simpls; po so pu s nga oso. consia casos más infcuns, la simplici a pu sapac Así pasa con la fncia En capíulo capíulo anio vimos qu las cos as no son an sncillas como s poía supon, supon, una vz qu qu omamos n cuna qu algunos noms pun no fis a algo Sugn nuvas complicacions cuano consiamos oo ipo caso inusual: a auofncia. Es mu posi qu un nom s a a algo lo qu é mismo s pa Po jmpo, consimos la oación Esa oación in cinco palaas" E nom qu s l sujo la oación , sa oación, s a oa la oación, la qu s nom foma pa Cosas similas sucn n un conjuno gulacions qu coninn la cláusula Esa s gulacions gulacions poían s visaas po una cisión mayoiaia Dpaamn o iosofía". O po una psona qu pinsa Si soy pnsano s pnsamino, noncs o sa cons cin". Toos sos son casos auofncia laiva mn sin polma s. Hay oos ca sos muy ifns ifns Po
ÓGI
o
Esa oación qu soy ponunciano ponunciano ahoa s falsa. Llammos a sa oación A ¿Es A vaa o fal sa? Buno, si s vaa vaa,, noncs lo qu ic s l caso, así qu A s falsa falsa.. Po si s falsa, falsa, nonc noncs, s, ya qu so s xacamn lo qu ama, s vaa vaa En amos c asos, A pac s vaa y falsa La oación s como una cina Moius, una conguación opológica on, io a un gio, l inio s l xio, y l xio s l inio: ini o: la va s falsa y la falsa falsa s va. O supongamos qu alguin ic: Esa oación qu soy ponunciano ahoa s v aa. ¿E s vaa vaa o falsa? falsa? Buno, s i s vaa, s v v aa, ya qu so s lo qu ic. Y si s falsa, noncs s falsa, ya qu c qu s vaa. Po lo ano, an o la suposición qu s vaa como la qu s falsa pacn s consisns. Amás, pac no ha ningún oo hcho qu sulva l ma valo v a qu in N o sóo só o s s qu nga algún valo qu no soos no conocmos o, incluso, no pomos conoc. conoc. En vz vz so, pacía pacía qu no haía naa qu lo mi n como falso o vao. Pac qu no s ni va o ni falso. Esas paaojas son muy aniguas, la pima lls pac ha sio scuia po l lósofo gi go Euúlis, y con fcuncia s l llama la aradoja de mentroso Hay muchas más, y más cins, paaojas
TORREERENIIDD: ¿ DE QÉ TRT ESTE PÍTO PÍTO
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l cucial n pas cnals l azonamino ma máico. Aquí hay oo jmplo. Un conjuno s una co lcción ojos ojos . Así, po jmplo, jmplo, uno po ía n l conjuno oas las psonas, l oos los númos, l oas las ias asacas. Los conjunos pun s mimos oos co njunos . Enonc s, po jmplo, l conjuno oas las psonas una haiación s un conjuno, y po lo ano pnc al conjuno o os los conjunos conjunos . Algunos conjunos pun incluso s mimos sí mismos l conjuno oos los oj os mncionaos n sa página s un ojo mnciona o n sa página lo acao mnciona) y, po lo ano, un mimo sí mismo. Y algunos conjunos conjunos s lu go no son mimos sí mi smos: smos : l conjuno oa la gn no s una psona y, po lo ano, no s un mim o l conjuno oa la gn. Ahoa, consimos l conjuno conjuno oos so s con junos qu no pncn a sí mismos. Llammos a so R ¿Es R un mimo sí mismo o no lo s? Si s un mimo sí mismo, s una las cosas qu no s un mimo sí mismo y, po lo ano, no s un mimo sí mismo; s uno sos conjunos conjunos qu no son mi m os llos mismo s y, y, po lo ano, es mimo sí mis mo. Pacía qu R, s y no s mimo sí mismo. Esa paaoja fu scuia po Ban Russll, a quin conocimos n l capíulo anio, y po so s llama padoja de Russe Como la paaoja paaoja l mnio so, in una conapa. ¿é hay l conjuno o os los conjunos qu son mimos mimos llos llos mismos? ¿Es és un mimo mimo sí mismo o no? Buno, si lo s, lo s y si no lo no. D nuvo, pacía pacía qu no hay alg
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TORREERENCDD ¿ DE QÉ TRT TRT ESTE CPÍT O
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Los jmplos jmp los st tipo safían safían la suposic ión qu hicimos n l captulo 2 qu caa oación s vaa o falsa, po no vaa y falsa Esta oación s falsa", y R no s un mimo s mismo" pac s tanto v ao como falso y sus contapats pacn no s ni vaas ni falsas. ¿Cómo pu aomoas sta ia? Simplmn t al toma n cuanta sas otas posiilias. Asumamos qu n cualqui situaci ón, caa oacón o acón s s va vaaa po no falsa, falsa po no vaa, tanto falsa como va a o ni falsa ni vaa Rcomos, l captulo 2 qu las conicio ns va va paa la ngación, conjunción y isyunción son las siguints. En cualqui situación
�a tin l valo sólo si a tin l valo a tn l valo F sólo si a tin l valo V a h tin l valo V sólo si tanto a como h tinn l valo V a h tin l valo F sólo si al mnos una a y h tin l valo F. a h tin l valo sólo si al mnos una a y h tin l valo V a h tin l alo F sólo si tato a como h tinn l valo F.
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na cnta de Moebs. Adeno es afera y aera es adenro La verdad es fasedad y a faedad verdad.
Usano sta infomación, s fácil solv los valo s va oacions ajo l nuvo égimn. Po jmplo: Supongamos qu s F po no V Entoncs, ya qu
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amos olviano sas p osiilias qu pun surgir n casos poco comuns como los auorrfrns. ¿Cuál xplicación s mjor? ¿Aqulla con la qu rminamos l capíulo 2, o la qu nmos ahora? Los jo pnsano n sa cusión. Trminmos mjor como simpr saano un poco las ias sor las qu s cansa la nuva xplcación . C onsirmos la pa raoja l mniroso y su conrapar. Tommos primro a la úli ma La oración sa oración s vrara" supusamn fu un jmplo algo qu no s ni vraro ni fal so. Supongamos u so s así Enoncs n paricular so no s vra. Pro por sí m isma ic qu so s vr a Así qu sr falsa conraria a nusra suposi ción qu no s ni falsa ni vrara. Parc qu hmos rminao n una conraicción O ommos la oración qu min Esa oración s falsa" u supusamn un jmplo una oración qu s ano rara como falsa. Torzámosa un poco. Consirmos n s u lugar la oración Esa oración no s vrara" ¿C uál s l va lor vra so? Si s vrara noncs lo qu ic s l caso así qu no s vrara Pro si no s vr ara noncs como so s lo qu ic s vra ra. D cualquir forma parc sr vrara y no vra ra. D nuvo nmos una conraicción n nusras manos. No s sólo qu una oración pua omar los va lors V y F; n vz so una propocisión pu sr y no sr V Las siuacions s ipo han hcho la auor frncia muy conrovrsia! ya s Euúlis Es cir amn un asuno muy nrao.
;\UTORREFERENIDD: ¿ DE QÉ TRT ESTE PÍT O?
Principal idea de capítlo
as oracions pun sr vraras alsas vrdadras y falsas o ni vraas ni falsas.
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6.
NECE SIDAD Y PO SIBILIDAD: L O UE SER Á DEBE S ER?
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on frcuncia armamos no sólo qu algo es, sino qu debe ser Dcimos: D llovr", N o pu sr qu no lluva", Ncsariamn va a llovr" Tamié n nmos muchas formas cirlo, aunqu algo no pua, hcho, sr l caso, podría sr. Dcimos: poría llovr mañana", s posil qu mañana lluva", no s imposi l qu lluva mañana" Si a s cualquir oración, los lógico s usualmn scrin la armación qu a sr ciro como Da, y la claración qu a poría sr vraro como a o y son llamaos opedores modales, ya qu xprsan los moos n qu las cosas son vraras o falsas ncsariamn, posilmn) Los os opraors s án, hcho, concaos. D cir qu algo sr l caso s cir qu no s posil para so no sr l caso Eso s, Da signica lo mismo qu �O�a. D forma smjan, cir qu s posil qu algo sa l caso s cir qu no s ncsariamn l caso qu so sa falso Eso s, Oa signica lo mismo qu ��a Para una una mia, pomos xprsar l hcho qu s imposil qu a sa vraro, inifrnmn, como �Oa no s posil
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A diferencia de los operadores que hemos encon trado hasta ahora, D no son funcione s de vrdad. Co mo vimos en el capítulo 2 cuando conocemos el valor de verdad de a, es posible resolver el valor de verdad de �a De iual forma, cuando conocemos los valores de verdad de a b, puedes resolver los valores de verdad de a b a b Pero no podemos inferir el valor de ver dad de a simplemente del conocimiento del valor de verdad de a. or ejemplo, dejemos que sea la oración Mañana me levantaré antes de las 7 a. m." . es, de he cho, falso. Pero ciertamente podría ser verdadera Podría proramar mi despertador levantarme temprano. Por lo tanto, es verdadera. Por contraste, dejemos que j sea la oración Saltaré fuera de la cam a levitaré 2 m so bre el suelo". C omo , esto también e s falso. Pero a dife rencia de , ni siquiera es posible que sea verdadero. Eso violaría las lees de ravedad. Por lo tanto, es falso. Así que el valor de verdad de una oració n, a, no determi na que : j son falsos ambos, pero es verdadero es falso. D e la mi sma manera, el valor de verdad de a no determ ina el valor de verdad de Da. Dejemo s ahora que sea la oración Mañana me levantaré antes de las 8 a. m ". Esto, de hecho, es verdadero; pero no es necesa riamente verdadero. Podría quedarme en la cama. Deje mos que j ahora sea la oración Si salto de la ca ma ma ñana en la mañan a, me habré movido". Eso también es verdadero, pero no ha manera de que o pudiera ser fal so. Es necesariamente verdadero. Por lo tanto, j son ambas verdadero, pero una es necesariamente verdade ra, la otra no. Los operadores moales son, por lo tanto, operado
EESDD Y POSBLDD ¿ LO QE SER DEBE SER
asta ahora. También son operadores importantes con ecuencia intriantes. Para ilustrarlo, aquí ha un aru ento para el fatalismo, creado por el otro de los dos sofos rieos más inuentes de la antiüedad, Aris óteles. El fatalismo es la visión de que cualquier cosa que ucede tn qu suceder no hubiera podido evitarse. Cuan do ocurre un accidente, o una pers ona muere, no ha nada que hubiera podido hacerse para evitarlo. El fatalismo es na visión que ha atraído a aluno s. Cua ndo alo va mal, ha cierto rado de consuelo derivado de la idea de que no hubiera podido ser de otra manera. Sin embaro, el fatalismo supone que esto impo sibilitado para alterar lo que sucede, esto parece simplemente falso. Si ho me veo involucrado en un accidente de tráco, pude haber lo evitado con sólo haber tomado otro camino. ¿Enton ces cuál es el arumento de Aristóteles? Avanza de esta forma. Por ahora, inoremos las letras en neritas; lueo reresaremos a ellas.) Tomemos cualquier armación; di amos, para ilus trar el ejemplo, que mañana me veré involucrado en un accidente de tráco. Ahora, podríamos no saber aún si esto es verdadero, pero sabemos que o me veré involu crado en un accidente o no. Suponamos lo primero. Y si s vrdad dcir qu m vré invlucrad n un accidnt ntncs n pud f qu sa l cas d vrm invlucrad. Eso es, debe ser el caso de que me vea in volucrado. Suponamos , por otro lado, que de hecho ma ñana no me veré involucrado en un accidente de tráco. Entonces es verdadero decir que no me veré involucrado en un accidente; si esto es así, no puede falla que sea
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gra
6 Arstóteles (822 aC), el ndador de la ógca omal.
ECESIDD Y POSIBIIDD: ¿ O QE SER DEBE SER
dos cosa s que sceda, entonces, tiene qe suceder Esto es l fatalismo. ¿Qé puede uno decir sobre esto? Para responder, chemos un vistazo a la moderna comprensión estándar de los operadores modales. Suponemos que cada stuación, s, vene acompañada de un montón de posblida des, esto es, situacones que son tan posibles hasta donde llea s de ser denitvas; damos, situacones que pueden surir sin violar las lees de la sica Por lo tanto, si s es la situación en la que ahora me encuentro estar en Australia), mi estadía en Londres dentro de una semana es una situación posible; mientras que mi estadía en Alfa Centaur a más de cuatro años luz de distancia) no lo es. De acuerdo con el lósofo lóico del si lo XI, Lebniz, los lóicos llaman con frecuencia a es tas situaciones posibles, de manera mu colorda, mnds psibles. Ahora, decr que Oa es posible el caso de que a) es verdadero en s, es decir, que a es de hecho verdadero en al mens n de los mundos posibles asocados con s Y decir que a es necesaramente el caso de que a) es verdadero en s, es como decir que a es verdadero en tds los mundos posibles asociados con s Esto es porqué O no son funcones de verdad Porque a b podrían tener el mis mo valor de verdad en s, damos pero podrían tener dferentes valores verdaderos en los mundos asociados con s. Por ejemplo, a podría ser certo en uno de ellos diamos, s"), pero b podría ser certo en ninuno de ellos como esto
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ESDD Y POSBDD: ¿ O QE SER DEBE SER
es en i por lo tanto, a es verdadero en De forma milar, es verdadero en por lo tanto, es verdadero n Pero a no es verdadero en ninún mundo asociao; por o tanto, a no es verdadero en
Por contraste, la siuiente inferencia es válida;
a
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Este reporte nos da una forma de aalizar inferencias empleando operadores modales. Por ejemplo, consideemos la inferenci a Esto no es válido Para ver por qué, suponamos que las situaciones asociadas con son i que los valores verdaderos so como siue:
Porque si las premisas son verdaderas en una siuación s, entonces a son verdaderas en todos los undos asociados con Pero entonces es verdadera en todos esos mundos. Eso es, a es verdadera en s. Antes de que p odamos reresar a la preunta de cóo se apoa esto en el arumento de Aristótees, necesiamos hablar brevemente sobre otro oper ador lóico que aún no conocemos. Escribamos si a entonces como . Las oraciones con esta forma se llaman cndicinales nos interesarán mucho en e siuiente capítulo Todo lo que debemos notar en el presente es que la maor inferencia donde parecen estar invoucrados los condicionaes es ésta:
Por ejemplo: Si ella hace ejercicio con reularidad entonces e stá en forma. E a hace ejercicio con reularidad; entonces está en forma. Los lóicos modernos usual-
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ron os óicos medievaes: mdspnens. Literamente, es to sini c a e método de proponer" No preunten) Ahora, para e arumento de Aristótees, necesitamos pensar un poco sobre condicionaes de a forma: Si entonces no puede dejar de ser e caso que Semejantes oraciones so n, de hecho, ambiuas Pueden sinicar es que si , de hecho, es verdadera, enton ces necesariamente o es Esto es, si es verdadera en a situación de a que estamos habando, s entonces es verdadera en todas as posibes situaciones asociadas con s. Podemos escribir esto como . La oración parece usarse de esta forma cuando decimos cosas c omo: No puedes cambiar e pasado Si ao es verdadero de pasado, entonces no puede dejar de ser verdadero. No ha nada que puedas hacer para cambiaro de otro modo: es irrevocabe" E seundo sinicado de un condiciona de a forma si entonces no puede dejar de ser e caso que ", es mu diferente. Con frecuencia usamos esta combinación de paabras para epresar e hecho de que se siue de . Estaríamos usando a oración de esta forma si dijéramos ao como: si Pedro va a divorciarse en tonces no puede dejar de estar casado". No estamos diciendo que si Pedo va a divorciarse, su matrimonio es irrevocabe Estamos diciendo que no es posibe obtener un divorcio a menos que estemos casados No ha ninuna situación posibe en a que tena más una casa, pero no a otra. Eso es, en cuaquier situación posibe, si una es verdadera entonces o es a otra. Esto es, ) es
CESIDD Y POSBIIDD ¿ O QE SER DEBE SER
Ahora, ) sinican cosas mu difentes Y desd e ueo, a primera no resuta de a seunda simpe hecho de que es verdadera en toda situaión asociada con s no sinica que s ea verdadera n s. a podría ser verdadera en s mientras que no: tanto h como podrían dejar de se r verdaderas en aún mundo asociado O, para dar un contraejempo concreto: es ecesariamente verdadero que si Juan se está divorciando, sté casado pero no es verdadero que si Juan se está di vorciando está necesaria e irrevocabemente) casado Para reresar a n a arumento de Aristótees , consideremos a oración que escribimos en neritas: Si es verdad deci r que me veré invoucrado en un accide nte e ntonces no puede dejar de ser e caso de que me veré invoucrado" Esto es eactamente de a forma de a que hemos estado habando Es, por o tanto, ambiua Es más, e arumento neocia con es ta ambiedad Si es a ora ción Es verdad decir que estaré invoucrado en un accidente de tráco", es a oración Estaré invoucrado en un accidente de tráco), entonces a condiciona en neritas es verdadero en e se ntido: r )
Necesariamente, si es verdad decir ao, entonces ese ao es e caso Pero o que necesita estabecerse es:
De spués de todo, e siuiente paso de arumento es precisamente inferir de por mds pn Pero
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to, el arumento de Aristóteles e s inválido. En buena me dida, eactamente el mismo problema sure en la seun da parte del arumento, con el condicional Si es verdad decir que no estaré involucrado en un accidente de trá co no pued e dejar de ser el caso d e que no estaré involu crado en un accidente É sta parece u na respuesta satisfactoria al arumen to de Aristóte es. Pero ha un arumento mu relaciona do que no puede responderse tan cilmente Reresem os al ejemplo qu e tenemo s sobre modicar el pas ado. Parece ser verdadero que si aluna armación sobre el pasado es verdadera, ahora es necesariamente verdadera. Es impo sible , ahora, volverla falsa. La batalla de Hast ins se llevó a cabo en ro66, ahora no ha nada que uno pueda hacer para que se haa llevado a cabo en ro 67 Por lo tanto, si p es aluna armación sobre el pasado, p op Ahora consideremos aluna declaración sobre el fu turo. De nuevo, por ejemplo, dejemos que sea la arma ción de que mañana estaré involucrado en un accidente de tráco. Suponamos que esto es verdadero. Entonces si aluien pronunció esta frase hace roo años, habló con la verdad E incluso si nadie de hecho la pronunció, si al uien lo hubiera hecho, habra hablado con la verdad. Por lo tanto, el que mañana estaré inolucrado en un acc iden te de tráco fue verdadero hace roo años. Esta declara ción e s desd e lueo una declaración sobre el pasado , por lo tanto, a que es verdadera, es necesariamente ver dadera op Entonces debe ser necesariamente verdadero que mañana estaré inolucrado en un accidente de trá co Pero eso fue sólo un ejemplo el mismo razonamiento podra aplicarse a cualquier cosa. E ntonces, cualquier cosa
" FESDD Y OSBDD ¿ O QE SERÁ DEBE SER?
lsmo no comete la mis ma falacia (eso es, usa el msm umento inválido que la primera que di Es el fats l verdaero después de todo?
Ies principes e cp
• Cada situación viene con una colección de si tuacones posibes asociadas. • a es verdadera en una situación, s s a es ver dadera en cada situación asoc iada con s • a es verdadera en una situación, s si a es ver dadera en auna situación asocada con s
CONDICIONALES UÉ HAY EN UN S
n este cpítulo reresremos l operdor lóico que introduje de pso en el cpítulo nterior, el condi ionl Recordemos que un orción condicionl es de form si a entonces e , que estmos escribiendo como ac. Los lóicos llmn a el antecedente de l condi cionl y e el consecuente. Tmbién notmos que un de ls inferencis básics de l condicionl es el odus ponens a a_ c/c. Los condicionles son fundmentles pr rn prte de nuestro rzonmiento. El cpítulo nterior sólo mostró un ejemplo de ello. Aún sí son profund mente desconcertntes. Hn sido estudidos en l lói c desde los tiempos más temprnos De hecho, un nti uo comentrist (Clímco) reportó en u ocsión que hst los cuervos de los tejdos estbn rznndo sobre los condicionles. emos por qué o, l menos, un rzón por l cul los condicionles son desconcertntes. S i sbemos que a_ c, prec e que podemos inferir que � a �e (no es el cso de que a y no e Suponmos, por ejemplo, que luien nos inform que si perdemos el utobús, estre mos retrsdos . Podemos inferir de ello que es flso que perderemos el utobús y no estremos retrsdos. con
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ferir de e so que ac Suponamos, por ejempo, que a uien nos dice que no iremos a cine sin asar dinero no es e caso que vaamos a cine no asemos dinero) Podemos inferir que si vamos a cine, asaremos dinero . � a � e con frecuencia se escribe como a : e, se a ma condicional ateial Enonces, parecería que ac a : e sinican a misma cosa . En par icuar, asumiendo a maquinaria de capíuo 2 deberán ener a misma aba de verdad. E s un ejercicio simp e, que incuo aquí, para mosrar que es como siue:
a V V F F
ac V V F F V V F V e
Pero eso es eraño. Sinica que si e es verdade ra en una siuación primer ercer renón), enonces es ac Eso con dicuad parece correco. Es verdade ro, por ejempo, que Canberra sea a capia feder de Ausraia, pero a condiciona si Canberra no es a c api a federa de Ausraia, C anberra es a capia federa de Ausraia" parece si mpemene fasa. Simiarmene, a a ba de verdad nos muesra que si a es fasa ercer cuar o renón), ac Pero eso ambién difícimene parece correco. La co ndiciona si Sdne es a capia federa de Ausraia, enonces Brisbane es a capi a federa" ambién parece de odo fasa. ¿ é ha saido ma? no Lo que parecen mosrar esos ejempos e
NDCONES: ¿ QÉ HY EN N S
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á deerminado por os vaores de verdad de a c Tan t Roma e sá en rancia" como Beijin esá e n rancia" n fasas; pero es verdad que: Si Iaia es pare de rancia, Roma esá en rancia. ienras que es faso: Si Iaia es pare de rancia, Beijin es á en rancia. Así que ¿cómo funcionan os condicionae s? Puede darse una respuesa usando e mecanismo de mundos posibes de capíuo anerior. Consideremos as dos úimas condicionaes. En cuaquier siuación po sibe en a que Iaia haa sido incorporada a rancia, Ro ma cieramene hubiera esado en rancia Sin embaro, ha siuaciones posibes en as que Iaia e incorporada a rancia, pero eso no iene efeco en China para nada. Así que Beijin aún no esaba en rancia. Eso suiere que a condiciona ac es verdadera en auna siuación, s, sóo si e es verdadera en cada una de as posibes siua ciones asociadas con s en as que a es verdadera; es fasa en s si e es fasa en auna posibe siuación asociada con s en a que a es verdadera. Eso da cuena de de manera pausibe. Por ejem po, muesra por qué e odus ponens es váido a me nos en una suposición La suposición es que conamos a s como una de as posibes siuaciones asociadas con s Eso parece razonabe: cuaquier cosa que es en ealidad e caso en s seuramene es posible Ahora, suponamos que a ac son verdaderas en aunas siuaciones asociadas c
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das con en las que a es verdadera. Pero es una de esas situaciones, a es verdadera en ella. Por lo tanto, también es e, como se reqere. Reresando al arumento con el que empeamos, ahora podemos ver dónde falla. La inferencia de la que depende el arumento es
� a �e Y esto no es válido. Por ejemplo, si a es F en aluna si tuación, , esto basta para hacer la premisa verdadera en Pero no nos dice nada sobre cómo se comportan a e en las posibles situaciones asociadas con Bien podría ser que en una de es as, diamos ', a sea verdadera e no, como aquí
Así que ac no es verdadera en . ¿Qé ha sobre el ejemplo que teníam os antes, do n
ONDCONES: QÉ HY EN N SI?
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No parece válida la inferencia en este caso? Supona os que sabemos que no iremos al cine sin astar dinero � ¿En realidad podemos concluir que si vamos al cine astaremos dinero g? No necesariamente. Su onamos que no iremos al cine, incluso si la entrada es ratis esa noch e. Ha un prorama en la televisión mu ho más interesante. ntonces sabemos que no es verdad que iremos �g), por lo tanto que no es verdad que ire os no astaremos dinero � �m). ¿Entonces po demos in ferir que si vamos astaremos dinero? En reali dad no podría ser una noche ratis s importante notar que en la situacn donde aprendiste que la premisa es verdadera al ser informado de elo, otros factores operan, por lo común. Cuando al uien nos dice alo como � �), normalmente no lo hace sobre la base de que sabe que �g es verdadera Si supiera eso, e n eneral no tendría sentido que nos di jera mucho sobre la situación. Si nos dicen eso, es sobre la base de que ha aluna coneión entre g de que no podemos tener a g como verdadera sin que lo sea esto es eactamente lo que toma el condicional para ser verdadero. Así que en el caso donde se nos informa la premisa, normalmente es raonable inferir que g; pero no a partir del contenido de lo que fue dicho, sino del hecho de habe ido dicho De hecho, con frecuencia hacemos correcta mente in ferencias de este tipo sin pen sar. Suponamos, por ejem plo que le preunto a aluien cómo loro que mi com putadora haa aluna cosa u otra, me responde Ha un manual sobre la repisa". Inero que es un manual de computadora Esto no se siue de lo que realmente se
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(
i' rue fuea un manual de com¡utadoa } {
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La condicional que hemos e stado viendo parece de ir adiós por lo meno s hasta donde hem os visto. Enfrena sin embaro varios problemas. Aquí ha uno. Consi eremos las siuientes inferencias Si vamos a Roma estamos en Italia. Si estamos en Italia estamos en Europa Por lo tanto si vamos a Roma estaremos en Europa. Si x es maor que entonces x es maor que 5 Por lo tanto si x es maor que menor que OO entonces x es maor que 5 Estas inferencias parecen perfectamente válidas lo son Podemos escribir la primera inferencia como
gua
Saando
a as concusones
nos que el manual sea un manual de computadoras las personas normalmente bscan decir lo relevante. Por lo tanto puedo concluir que es un manual de computadoras por el hecho de que dijo lo que dijo. La inferencia no es una inferencia deductiva Después de todo la persona pudo haber dicho esto no ser un manual de computadoras Pero la inferencia es an una ecelente inferencia inductiva. Es de un tipo llamado con frecuencia iplica-
Para ver que esto resulta válido suponaos que la s premisas son verdaderas en aluna situación Entonces b es verdadera en toda situación posible asociada con s donde a es verdadera; en forma s imilar e es verdadera en toda situación asociada donde b lo es Así que e es verdadera en cualquier situación donde a es verdadera. sto es ac es verdadera en Podemos escribir la seunda inferencia como 2
ac a b)c
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Para ver que esto resulta válido, suponamos que l a premisa es verdadera en aluna situación, s Entonces es verdadera en cad a posible situación asociada con s donde a es verdadera. Ahora, suponamos que a A es verda dera en una situación asociada entonces a es desde lue o verdadera en esa situación, por lo tanto lo es Por lo tanto, a _ es verdadera en s. Hasta aquí vamos bien El problema es que ha in ferencias que son eactamente de esta forma, pero pare cen ser iválidas Por ejemplo, suponamos que ha una elección para primer ministro con sólo dos candidatos, Smith, la actual primera ministro, Jones. Ahora consi deremos la siuiente inferencia Si Smith muere antes de la elección, Jones anará Si Jones ana la elección, S mith se retirará tomará su pensión. Por lo tanto, si S mith muere antes de la elección, ella se retirará tomará su pe nsión . Esta es eactamente una inferencia de la forma Parece claro que podría haber una situación e n la que a m bas premisas sean verdaderas Pero no la conclusión; a menos que estemos considerando una situación etraña en la que el obierno pueda hacer efectivos los paos de pensión en la otra vida O consi deremos la siuiente inferencia que concier ne al mencionado Smith Si Smith salta de lo alto de un precipicio, morirá debido a la caída Por lo tanto, si Smith salta de lo
NDCONES ¿ QÉ H EN N SI
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Esta es una inferencia de la forma 2 Aún así, de evo, parece claro que puede haber situaciones donde la misa es verdadera la conclusión no Qé podríamos decir sobre este estado de cosas? aré que piensen en ello A pesar del hecho de que l condicionales son centrales en nuestros razonamien t ()S sobre la maoría de las cos as, aún son una de las áreas s controvertidas de la lóica S i los pájaros a no están nando sobre los condicionales, los lóicos desde lue � aú lo hacen
Prnc de de co
• a es veradera en una sitació s, sólo si es verdadera en cada situación asociada con donde s verdadera
EL UTURO Y EL PASADO E S REAL E L TIEMPO?
tiemp o nos es mu familiar. Planeamos hac er cosas en el futuro; recordamos cosas del pasado; a veces disfrutamos estar sólo en el presente Y parte de encontrar nuestro camino en el tiempo e s hacer inferencias re lacionadas con el tiempo. Por ejemplo, las dos siuientes inferencias son intuitivamente válidas
Está lloviendo. Habrá estado lloviendo.
Será cierto que siempre ha estado lloviendo Está lloviendo.
Todo esto parece elemental. Pero en cuanto uno empieza a pensar en el tiempo, uno parece quedar enredado en nudos Co mo dijo Austín, si nadie me preunta qué es el tiempo, entonces lo sé mu bien; pero cuando aluien me lo preunta, dejo de saberlo Una de las cosas más intriantes sobre el tiempo es que parece uir El presente parece moverse primero es ho; lueo es mañana; así. Pero cómo puede c ambiar el tiempo? El tiempo es lo que mide la velocidad a la que todo lo deás cambia. Este problema se encuentra en el
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Uno de el los fue establecido , a principios del silo por el lósofo británico John McTaart Ellis McTaart. Es correcto. Como muchos lósofos, McTaart estu vo tentado por la visión de que el tiempo es irreal, de que en el último orden de las cosas, es una ilusión. Para eplicar el arument de McTaart sobre es to, nos auda tener un poco de símbolos. Tomemos una oración en pasado, c omo El sol e stuvo brillando". Pode mos epresar esto de modo equivalente, aunque un poco raro, como ue el caso que el sol está brillando". Escri bamos ue el caso que" como P de pasado". Entonces podemos escribir esta oración como "P el sol est á brillan do", o, escribir s para El sol está brillando", simplemen te Ps. De iual forma, tomemos cualquier oración e n fu turo, diamos, El sol estará brillando" Podemos escr ibir esto como S erá el caso que el sol está brillando". Si es cri bimos Será el caso que" como F de futuro", entonces podemos escribir esto como Fs No confundamos esta F con la del valor de verdad P F so n operadores, como , que se unen a oraciones en eneral para hacer oraciones completas. Ade más, como D , no son funciones d e verdad Son las p.m ." son las p.m. del 2 de aosto de 999 son am bas verdaderas en el instante en que las escribí "Serán las p.m." también es verdadero en el momento presen te pues son las p.m. una vez al día, aunque "Serán las p.m. del 2 de aosto de 999 no lo es. Los lóicos lla man a P a F pedres temprales. Los operadores tem porales pueden ser iterativos o compuestos. Por ejem plo, podemos decir El sol habrá estad brillando", eso es,
E RO E SDO ¿ ES RE E EMO
FPs. O podemos decir El sol ha estad brillando, es o es , ue el c aso que fue el caso de q ue el so l está brillando": PPs Los operadores modales que encontramos en el ca pítulo anterior también pueden ser iterativos de esta for ma, aunque no consideramos eso ahí. Podemos llamar a las repeticiones de P F, tales como FP, PP, FFP, tiemps cmpuests. Ahora, reresemos a MTaart. MTaart razo nó que no habría tiempo si no hubiera pasado futuro: éstos son su e sencia. Aún así, el pasado el futuro, aleó, son inherentemente contradictorios así que en realidad nada puede corresponder a ellos. B ueno, quizá. Pero ¿por qué el pasado el futuro son contradictorios Para em pezar, el pasado el futuro son incompatibles. Si alún evento instantáneo es pasado, no es futuro, viceversa. Dejemos que e sea alún evento instantáneo. Puede ser cualquier cosa, pero suponamos que es el paso de la pri mera bala por el corazón del zar Nicolás e n la Revolución rusa. Dejemos que h sea la oración "e está ocurriendo". Entonces tenemos (Ph Fh) Pero e, como todos los eventos, es pasado futuro Porque el tiempo ue, todos los eventos tienen la pro piedad de ser futuro antes de que sucedan la propie dad de ser pasado después de que suceden:
Ph Fh
LÓGICA
No es probable que este argumento convenza a alguien por mucho tiempo. Un acontecimiento no puede ser pasado y futuro al mismo tiempo. El instante en que la bala pasó a través del corazón del zar e pasado y tu ro en tiempos drentes Comenzó como futuro; se convir tió en presente durante un doloroso instante; y luego fue pasado. Pero ahora y ésta es la parte más astuta del argumento de McTaggart, ¿qué estamos diciendo aquí? Estamos aplicando tiempos compuestos a h. Estamos diciendo que fue el caso que el evento fue futuro, PFh; luego fue el caso que fue pasado, PPh. Ahora, muchos tiempos compuestos de tiempo, como los tiempos simples, son incompatibles . Por ejemplo, si cualquier evento será futuro, no es el caso que fue pasado:
�(PPh 1 FFh) Pero, al igual que con los tiempos simples, el ujo del tiempo es suciente para asegurar que todos los eventos también tienen todos los tiempos compuestos. En el pasado, Fh; como en el pasado lejano FFh. En el futuro, Ph; como en el futuro lejano, PPh
PPh 1 FFh Y regresamos a la contradicción ienes quieran ser ingeniosos al respecto, replicarán, igual que antes, que h tiene sus tiempos compuestos en diferentes momentos. ue el caso que FFh; luego, más tarde, fue el caso que PPh. Pero ¿qué estamos dicien do aquí? Aplicamos tiempos compuestos más complejos
EL FUTURO
Y
E PASADO: ¿ ES REAL EL TIEMPO ?
el mismo argumento con éstos Estos tiempos compuesto s no so n del todo consistentes entre sí, pero el ujo del tiempo asegura que h los posee a todos. Qizás hagamos de nuevo la misma réplca, pero también está abierta a la misma contrarréplica. Cuando tratamos de salir de la contradicción con un conjunto de tiempos, sólo lo hacemos describiendo co sas en términos de otros tiempos que son igual de contradictorios; así que nunca escapamos de la contradicción É se es el argumento de McTaggart. ¿Qé tenemos que decir sobre esto? Para responder, veamos la validez de las inferencias relacionadas con los tiempos. Para dar cuenta de esto, suponemos que cada situación, s0, viene junto a un montón de otras situaciones; no, en esta ocasión, con las situaciones que represen tan posibilidades asociadas a s0 (como con los operadores modales), sino situaciones anteriores a S0 o posteriores a s0• Asumiendo, como normalmente lo hacemos, que el tiempo es unidimensional e innito en ambas direccio nes, pasado y futuro, podemos representar las situaciones de una forma familiar:
La izquierda es antes; la derecha, después. Como siempre, cada s proporciona un valor de verdad, V o F, para cada oración sin operadores temporales. ¿Qé hay de las oraciones con operadores temporales? Bueno, es V en cualquier situación, s, ólo si a es verdadera en alguna situación a la izquierda de s; y es verdadera en s sólo si a es verdadera en alguna situación a la derecha de s. Mientras hacemos todo esto, podemos agregar dos
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como Siempre será el caso que , Ga es verdadero e cualquier situació, , sólo si a es verdadero e las si tuacioes a la derecha de . puede leerse como S iem pre ha sido el ca so que", a es verdadero e cada situa ció, , sólo si a es verdadero e todas las situacioes a la izquierda de (G correspode a F P, respectiva mete, e la mism a forma e que correspode a ) Este mecaismo os muestra por qué so válidas las dos i ferecias co las que empeza mos el capítulo. emplear operadores temporales, estas iferecias puede escribirse, respectivamete, como:
FP
F
La primera iferecia es válida, a que si es verda dera e cualquier situació, , etoces e cualquier si tuació hacia la derecha de , diamos P es verdade ra a que está a su izquierda). Pero etoces, FP es verdadera e , a que está a su derecha. Podemos re presetar las cosas de este modo •
•
•
5_3
5_
_ 5 53 P FP
La seuda iferecia es válida, a que si F es verdadera e , e toces e alua situació a la derecha de , diamos 5 es verdadera. Pero etoces e to das las situacioes hacia la izquierda de , por lo tato
FL UTURO Y E ASADO ¿ ES REA E TEMO 53 5 _ 5
F
53 "
Además, determiadas combiacioes de tiempos o imposibles, como podríamos esperarlo Por lo tato, h es ua oració verdadera e sólo ua situació, dia os , etoces Ph 1 Fh es falsa e cada Ambas c o ucioes so falsas e la prmera co jució es fasa a la izquierda de ; la seuda c ojuci ó es falsa a la de echa Del mismo modo, por ejemplo, PPh 1 Fh es falsa e cada . Dejo a ustedes la tarea de revisar los detalles. Ahora, ¿cómo soporta todo esto el arumeto de cTaart? Recuerda que la coclusió del arumeto de cTaart e que, dado que h tiee cualquier tiem po posible, uca es posible evitar la cotradicció Re olver las cotradiccioes e u ivel de complejidad para los tiempos compuestos sólo las crea e otro. El recueto de estos operadores temporales que acabo de dar, mues ra que esto es falso. Supoamos que h es verdadera e • Etoces, cualquier armació co u tiempo com puesto que cociere a h es verdadera e alún lua Por ejemplo, cosideremos a FPPFh Esto es verdadero e como lo muestra el siuiete diarama: • . 53
5_
h
5
Fh PFh PPFh
53
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LÓGICA
Claramente, podemos hacer lo mismo para cada tie mpo compuesto formado de y , zigzagueando hacia la izquierda o la derecha, como se requiere Y todo esto e s perfectamente consistente. La innitud de diferentes situaciones nos permite asignar a todos los tiempos compuestos en los lugares apropiados sin violar las variadas incompatibilidades entre ellos, teniendo, por ejemplo, a y como verdaderas en la mi sma situa ción. El argumento de McTaggart, por lo tanto, fracasa. É ste es un feliz resultado para quienes de sean creer en la realidad del tiempo. Pero aquellos que están de acuerdo con McTaggart podrían aún no estar persuadidos por nuestras consideracione s. Supongamos que les doy un conjunto de especic aciones para construir una casa: la puerta del frente va aquí; una ventana aquí. . ¿Cómo saben que todas estas especicaciones son consistentes? ¿Cómo saben que, cuando hagan la construcción todo funcionará y no pondrán, por ejemplo, la puerta en posiciones incompatibles? Una orma de de terminarlo es construir un mode lo a escala en concordancia con todas las especic aciones Si tal modelo puede construirse, las especicaciones son consistentes. Eso es exactamente lo que hemos he cho con nuestra plática temporal. El modelo es la secuencia de las situaciones, junto con la manera de asignar V y F a las oraciones temporaes. Es un poco más abstracto que el modelo de una casa, pero el principio es esencialmente el mismo. Sería posible objetar a un modelo, sin emb argo. Algunas veces un modelo ignora cosas importantes. Por ejemplo, en el modelo a escala de una casa, tal vez una
EL FUTU RO Y EL PASADO: ¿ ES REAL EL TEMPO?
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vocados descansan sobre una ambiüedad mu simple. Debemos disinuir enre un objeo sus propiedades Cuando decimos que co n un peinado diferene somos di ferenes decimos que enemos diferenes propiedades No resula que seamos lieralmene personas diferenes de la manera en que o so diferene a used es Una razón de por qué uno podría errar al disin uir enre ser un objeo deerminado ener deermina das propiedades es que en inlés por ejemplo el verbo "t b sus personas de la conjuación is" am" ecée ra puede usarse para expresar ambas cosas. (Y sucede lo mismo con palabras similares en oros idiomas. Si deci mos la me sa es roja" u pelo es coro" cosas similares esamos aribuendo una propiedad a un objeo. Pero si aluien dice o so Graham Pries " la pers ona que anó la carrera es la misma persona que anó el año pasado" ecé era se es á idenicando un objeo de aluna manera deerminada Eso e s se e sá esableciendo su idenidad. Los lóicos llaman al primer uso de "is el "is dl pdicad; al seundo uso el "is d idntidad Y porque de aluna manera ése iene pr opiedades diferenes lo e scri ben de formas diferenes Al "is del predicado lo encon ramos en el capíulo Juan es rojo" se escribe ípica mene en la forma . (De hecho como lo hic e noar en el capíulo J es más común escribirlo revés co mo . El "is de idenidad se escribe con = como en las mae máicas d e la escuela Por lo ano Juan s la persona que anó la carrera" se escribe = (Aquí el nombre e s una descripción pero eso no iene imporancia para ese n. Las oraciones como esa se llaman idntidads.
ENTDD CMBO
s Por ejemplo v es una relación. Si decimos Ju v María" esamos esableciendo una relación enre ellos os objeos relacionados no necesariamene ienen que er diferenes Si decimos Juan se ve a sí mismo" (qui zá en un espejo esablece mos una relación que Juan sos ene con Juan. Ahora bien la idenidad es una relación mu especial Es una relación que cada objeo lleva con io mismo nada más. Podría pensarse q ue ello hace a la idenidad una re ación inúil pero de hecho no es así Por ejemplo si d e cimos Juan es la persona que anó la carrera" eso di iendo que la relación de idenidad se sosiene enre e objeo referido por Juan" el objeo referido p or la pe r sona que anó la carrera" en oras palabras que esos dos nombres se reeren a una a la misma pe rsona. Ello puede ser i nformación mu relevane. Lo más imporane sobre la idenidad sin embar o son las inferencias que la involucran Aquí enemos un ejemplo Juan e s la pers ona que anó la carrera. La persona que anó la carrera anó un premio Así que Juan anó un premio Podemos escribir eso como
J = Esa inferencia es válida en virud de que par a cual objeo iene cualquier
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DENTDD Y CMBO
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to o tee a propedad e cuestó, o o a tee Esto es amado y d ibniz, por Lebz, a que coocmos e e capítuo 6 E ua apcacó de a L e de Lebz, ua premsa es ua a r macó de detdad, damos m n; a seuda premsa es ua oracó que cotee uo de os ombres que aquea e so de ua, damos m; a cocusó se obtee a susttur n por m La Le de Lebz es mu mportate, tee mu chas apcacoes ada probemátcas. Por ejempo, e á ebra de secudara os aseura que y)(x y) X2 y2 Así que s estamos resovedo u probema, estabeces que, damos, X2 y2 = podemos apcar a Le de Lebz para err que y) y) Su eañosa smp cdad, s embaro, ocuta mútpes pro bemas E partcuar, parece haber muchos cotraejem pos. Cosderemos, por ejempo, a suete ereca Jua es a persoa que aó a carrera. María sabe que a persoa que aó a carrera ob tuvo u premo Así que María sabe que Jua aó u premo Esto parece ua apcacó de a Le de Lebz, a que a cocu só se obtee a susttur Jua" por a persoa que aó a carrera" e a seuda premsa. Aú así, es tá caro que a prems a be podría ser verdadera s que a cocusó o fuese María podría o saber que a persoa que aó a carrera es Jua. ¿Es ua voacó a a Le de Lebz? No ece saramete. La e dce que s y etoces cuaquer propedad de es ua prope dad de Ahora be, ¿epresa a codcó María sabe
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Gottfred Wlem Lebnz (66-76) e últmo ógco otabe ates de peodo modero
o e su uar, parece epresar ua propedad de María. S María dejara de estr de repete, ¡esto o cambaría para ada a La óca de frases como sabe que " es aú u sub judic e a óca.) També sure probemas como e que sue Aquí
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aremos Y aquí ha una carretera e terra; a ama remos d. Las os carreteras, sn embaro, son a msma carretera, d. Es sóo que e pavmento se termna ha ca e na e a carretera. Así que a Le e Lebnz no ce que es una carretera e terra d es una carretera pavmentaa o cua no es certo. ¿ Qé saó ma aquí? No poemos ecr que e pavmento o a terra no son en reaa propeaes e a carretera, porque ese ueo sí o son. Lo que ha sao ma scutbemente) es esto no estamos seno o sucentemente precsos en nues tra especcacón e propeaes. Las propeaes m portantes son spavimn d al a al pun, s d ia d al a alpun. Ya que d son a msm a carretera, ambos tenen propeaes, no estamos voano a Le e Lebnz. Hasta aquí vamos ben. Estos probemas son rea tvamente sencos. Ahora veamos uno que no o es. Y aquí, e tempo reresa a asunto. Para epcar cuá es e probema, sería út empear os operaores tempora es e capítuo anteror, especícamente G sempre va a ser e caso que"). Dejemos que sea cuaquer cosa, un árbo, una persona, conseremos a proposcón = . Esto ce que tene a propea e ser éntco a , o que obvamente es certo es parte e sncao msmo e enta. Y esto es así, sn mportar e tem po. Es certo ahora, certo en too momento e futuro, certo en too mome nto e pasao. En partcuar, en tonces, G = es vera Ahora, aquí ha un ejempo e a Le e Lebnz
=y
G
ENTDAD Y MO
No ejemos que nos confuna e hecho e haber sttuo por una e as aparcones e en a seuna remsa. Taes apcacones e a Le e Lebnz son per ctamente váas. Sóo conseremo s Juan es a perso a que anó a carrera; Juan ve a Juan; así que Juan ve a a persona que anó a carrera".) Lo que muestra a nf renca es que s es éntca a y tene a propea er éntca a en too momento futuro, o msmo ocu re con y Y a que a seuna p remsa es veraera, como o hemos notao, resuta que s os cosas son éntcas, sempre o serán. Y qué ha de eso? Smpemente , no sempre parce er veraero. Por ejempo, conseremos una ameba. Las amebas son craturas acuátcas unceuares que se mu pcan por són un a ameba se ve por a mta para formar os amebas. Ahora, tomemos a una ameba, A que se ve para formar os amebas, C. Antes e a vsón, tanto como C fueron A. Así que antes e a vsón, = C. Después e a vsón, sn em aro, C son amebas ferentes. Así que s os co sas son a msma, no necesaramente se sue que sem pre vaan a sero. N o poemos sar e este probema e a m sma manera en que samos e anteror. La propea e ser éntco a en too mom ento futuro es certamente una propea e . Y no parece ser e caso e que a prope a se haa panteao e una manera mu bura. Pare ce que no ha forma e hacero con maor precsón para evtar e probema Qé más poemos ecr? Un pensamento natura es que antes e a vsón, no era A sóo era una pa
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lar no tiene partes que sean amebas. Así que B no puee ser parte de A. Más radicalmente, uno podría suerir que B C en realidad no eistieron antes de la división, que empezaron a eistir entonces . Si no eistieron antes de la división , enton ces no fueron A antes de la división. Así que no es el caso que B = C ant es de la divisió n. Pero esto también parece estar mal. B no es una nueva ameba; simplemente es A aunque alunas de sus propiedades han cambiado. Si esto no está claro, sólo imaina que C iba a morir en la división. En ese caso, no tendríamos duda al decir que B es A. Sólo sería como una serpiente que cambia de piel. ) Ahora, la identidad de alo no pue de resultar afectada porque ha ts cosas alrededor. Así que A es B; de iual forma A es C Por supuesto, uno podría insistir que sólo porque A asume nuevas propiedades, es, estrictamente hablando, un objeto nuevo; no sólo un objeto viejo con nuevas propiedades. Así que B no es realmente A. ual ocurre con C. Pero ahora reresamos al problema con el que iniciamos el capítulo.
o AGUEDAD
¿C ÓMO DEJOS DE RESBALAR POR UNA ALACA DE PRESUNC Ó N?
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a que estamos en la materia de la identidad , aquí ha otro problema relacionada con ella. Todo se aota en el tiempo. Alunas veces, las partes se reemplazan. Las motocicletas los coches obtienen nuevos frenos, l as ca sas, techos nuevos, e incluso las células individuales del cuerp de las personas son reemplazadas con el tiempo. Cambs como estos no afectan la identidad del obje to en cuestión. Cuando reemplazo los frenos de mi mo tocicleta, siue siendo la misma motocicleta. Ahora, suponamos que durante un periodo de unos cuantos años, reemplazo cada parte de la motocicleta Blake Thunder. Siendo un tipo cuidadoso, uardo todas las partes viejas. u ando todo ha sido reemplazado, armo todas la s partes . veas para recrear la moto oriinal . Pero comencé con la Black Thunder, cambiar una parte de la moto no afecta su identidad aún es la misma moto. Así que con cada reemplazo, la máquina siue siendo Bl ack Thunder hasta que, al nal, es Bla ck Thunder. Pero sabemos que e so no puede s er correcto. Ahora la Black Thunder está estacionada a su lado en el arae Aquí ha otro ejemplo del mismo problema. Una
Pncpales deas del capíl
• = es dder sóo si s nomres se ree al mismo ojo • S ds os son lo mismo cuquer propiad e no es una pop ied d de otro Le de
Leinz
roo
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co. Si auien es un niño, siue siendo un niño un seun do después. En cuo caso, siue siendo niño un seundo después de ese seundo, también un seundo después, así sucesivamente, hasta después de 6072oooo seundos, siue siendo un niño. ¡Pero entonces tiene 25 años de edad Seún a opinión común, arumentos como este fueron inventados por Eubúides, e mismo que inven tó a paradoja de capítuo 5· Ahora son amadas padjas srits Una forma común de arumento dice que e efecto de arear cada vez un rano de arena no for ma un montón; sorites" viene de "srs rieo para m n tón.) É sas son aunas de as paradojas más fastidiosas de a óica. Suren cuando e predicado utiizado es Back Thunder", es un niño" es va en cierto sentido; eso es , cuando su apicación soporta cambios mu pequeños: si se apica a un objeto, entonces un cambio mu pequeño en e objeto no aterará e hecho irtuamente todos os predicados que empeamos en e discurso norma son va os en este sentido: es rojo" está despierto", es feiz", está borracho", incuso está muerto" morir toma tiem po. Así que os arumentos resbaadizos faacias de pre sunción o slpry slp) de tpo srits son potenciamen te endémicos en nuestro razonamiento Para enfocar e asunto que es concierne, conside remos con maor detae uno de estos arumentos Jack será e niño de cinco años. a0 será a oración Jack es un niño después de o seundos". L a oración Jack es un niño después de r seundo" será a¡ así consecutivamente Si n es cuaquier número, a es a oraci ón Jack es un niño después de n seundos". Dejemos que k sea aún núme
VGEDD
0
02
ÓGC
emos que a0 es verdadero. (Después que han pasado o seundos, Jack aún tiene 5 años) Y para cada número, n, sabemos que aa+· (Si Jack es un ni ño en cualquier momento, siue siendo niño un seundo después.) Pode mos enlazar todas estas premisas por medio de una secuencia de in ferencias del mdus pnns, como esto:
IOJ
GEDD
erdad de �a es r menos el valor de verdad de a Supon amos que escribimos el valor de verdad de a como 1 a 1 ; entonces tenemos:
�a r a Aquí ha una tabla d e alunos ejemplos d e valores:
a
La conclusión nal es a, sabemos que no es cierta. Alo ha salido mal , parece que no ha mucho maren de maniobra. Entonce s, qué vamos a decir? Aquí ha una respuesta, que a veces se llama lóia brrsa. Ser un niño parece desvanecerse, radualmente, iual que ser un adulto (biolóico) parece desvanecerse radualmente Parece natural suponer que el valor verdadero de Jack es un niño" también se derada de verdadero a falso. Lo verdadero, entonces, aparece por rados. Suponamos que medimos estos rados por números entre el r el o el es completamente verdadero el o completamente falso. Cada situación, entonce s, asina a cada oración básica tal número. é ha de oraciones que contienen operadores como nea ción conjunción? Conforme Jack se va haciendo viejo, el valor verdadero de Jack es un n iño" parecería
�a
o I 075 025 05 05 025 075 I o
é ha sobre el valor de verdad de las conjunciones? Una conjunción sólo puede ser tan buena como su peor parte. Así que e s natural suponer que el valor de ver dad de a es el mínimum (menor) de 1 a b
a b = Min( a , b ) Aquí ha una tabla con alunas muestras de valores. Lo s valores de a están abajo en l a columna de la qerda; los valores de b están a lo laro del renlón superior. Los valores correspondientes de a b están donde se encuentran la columna el renlón indicados. Por ejemplo, si queremos encontrar a b, donde a = 025 b 05, vemos donde se encuentran la columna el renlón
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a b
I
075
025
I 0 75 05
I 075 05
075 0·75 05
025 025 025 025
o
De la misma forma, el valor de la disunción es el maxmum maor) de los valores de los disntos:
a b = Max( a, b ) Dejo a ustedes la construcción de una tabla con alunos valores muestra. E s prudente noar que, de acue do con los datos en la parte superior, �, / V todavía son funciones de verdad. Esto es, por ejemplo, el valor de verdad de a b está determinado por los valores de verdad de a b Es sólo que ahora esos valores son núme ros entre en vez de V F Qizá vale la pena seña lar, sin emb aro, que si pens amos en I como como F los resultados en los que sólo están involucrados son los mismos que obtenemos para las funciones de ver dad del capítulo 2 como ustedes mismos pueden com probarlo.) ¿Y qué ocurre con los condicionales? En el capítulo vimos qe ha buenas razones para supones que no es una función de verdad, pero por el momento haamos a n lado esas preocupaciones. Si es una función de verdad, ¿cuál es, ahora qe debemos tomar en cuenta los
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VGUEDD
obvia. Aquí suerimos una bastante estándar) que, por lo menos, parece dar los tips correctos de resultados. Si a b a b = Si b < a : a b = I ( a b) ( < sinica meno r a"; : sinic a menor o ial a".) De esta forma, si el antecedente es menos verdadero que el consecu ente, el condici onal es completa mente verdade ro. Si el anteced ente es más verd adero q ue el conse cuente ' entonc es el condicional es menor a la verda d máima por la difere ncia existente entre sus valores . Aquí p resen tamos una tabla con los valores muestr a. (Recuer den que los valores de a están abajo de la columna del extremo iz quierdo, y los de b a lo larg o de la hilera superio r y se cruzan en un sistema de coord enadas. )
a I 0 - 75
05 025
I I I I I I
0 · 75 0 75
I I I
0 ·75
I I I
025 025 05 025 0 7 5 05 I 0 ·75 I I
¿ é ha de la validez? Una inferencia es válida si la conclsión se sostiene en cada situación donde se sos tienen las premisas. Pero, ahora, ¿qué sinica que alo se sostena en una situación? Qe sea lo sucientemente verdadero. ¿Pero cuán verdadero es suciente? E so sólo depende del conteto. Por ejemplo, es una motocicleta
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ÓG
de motocicletas que dice que determinada moto es nue va, esperamos que nunca antes se haa usado. Eso es, es peramos que es una mot ocicle ta nueva" tena un valor r Suponamos, por otro lado, que vamos a un ral, nos piden que seleccionemos as motocicetas nuevas. Seec cionaremos as que tienen menos de un año. E n otras pa abras, tu criterio de lo que es aceptable como motocicle ta nueva es más relajado. Esta e s una motociceta nueva" necesita tener un valor de sóo, diamos, 09 o maor. Así que suponemos que ha alún nivel de acepta bilidad determinado por el conteto. Este será un núme ro entre o I quizás e mismo I en casos etremos. Escribamos este número como B Entonces una inferen cia es váida para ese conteto sóo si la concusión tiene un vaor al menos iual a en cada situación donde todas as premisas tienen vaores a menos iuaes B Ahora, cómo se sostiene todo esto en la parado ja sits? Suponamos que tenemos una secuencia sits Como arriba, dejemos que a sea la oración Jack es un niño después de n seundos", pero para permitir que sea manejable, suponamos que Jack crece en cuatro se undos. Entonces un reistro de valores de verdad po dría ser:
ao
ar
az
a3
a4
I
0 ·75
05
0 . 25
o
ao -ar tiene vaor 0. 75 ( = (r - (r - o.75) ); igual que a1 d h
VGUEDD
0 7
Lo que esto nos dice sobre la paradoja sits de pende del nive de aceptabilidad, B que se impone aquí. Suponamos que el conteto impone el maor nivel de aceptación; B es I En este caso, e mdus pnns es vá lido. Porque suponamos que la = I 1 ab i I Ya que a b 1 r debemos tener 1 a b l . Resuta que 1 b I Por lo tanto el arumento sits es válido. En este caso, sin embaro, cada premisa condicional, que tena el vaor 0 75 es inaceptable. Si, por otro lado, establece mos e nivel de aceptabi lidad por debajo de r entonces el mdus pnns resulta in válido. Suponamos , por ejemplo, que B es 0 75 Como a hemos visto, a aa2 tienen ambos valores 075 pero a tiene valor 05 que es menor a 0 75 De cualquier forma que o veamos, e arumento fa lla. O aunas de as premisas son inaceptables; o, si son aceptables, as conclusiones no resutan váidas. Por qué hemos caído tan fácilmente en os arumentos sits? Tal vez por que confundimos la verdad completa con la ver dad casi competa. Por lo norma una falla para sacar la distinción no hace mucha diferencia pero si o hacemos de nuevo, otra otra vez, . . sí la marca. É se e s un dianóstico de problema. Pero ante la va uedad nada es recto. Cuá e el problema a decir que Jack es un niño" simplemente es verdadero hasta un pun to particuar del tiempo, cuando simpemente se vueve falso? Sólo que ahí parece no haber tal punto. Cuaquier luar que uno eija para trazar la ínea es por completo arbitrario; puede ser, cuando mucho, un asunto de mera convención. Pero ahora, en qué punto de crecimiento
oS
ÓGC
t_ , un vlor por bjo d Culquir lur qu uno pr trzr st lín prc tn rbitrrio como n ts Esto luns vcs s conoc como l problm d vaguedad de alt rden. ) Si so s corrcto, n rlidd no hmos rsulto l problm más fundmntl d l v udd: sólo lo hmos rplntdo.
Principaes ideas de capí
• Los vors d vrdd son númros ntr 0 (incusiv). • ! a = a • a V b = Ma( a , b! ) • a \ b = Min( a , b !) a b = si a b a b = ( a b ) d otr mnr • n orción s vrddr n un situción s ó lo s su vor d vrdd s mno s iu qu l v d cptbiidd ( dtrmindo cont tuamnt).
�
r PROBABLDAD: EL ETRAÑ O CASO DE LA CLASE DE REERENCA PERDDA
L
os cpítulos ntriors nos hn ddo l mnos l s n sció n d qu ls infrncis so n dductivmnt vá lids, por qué. Ahor s timpo d rrsr l custión d vlidz inductiv: sto s, l vidz d qulls inf rncis n qu ls prmiss dn lun bs pr l con clusión, dond, incluso si ls prmiss son vrddrs n lun situción, l conclusión ún podrí rsultr fls. Como lo hic notr n l cpítulo , Shrlock Hol ms r mu buno pr st tipo d infrncis. Emp cmos con un jmpo suo. El mistrio d a ga de las Cabezas Rjas cominz cundo Holms l doctor Wtson rcibn un visit dl sñor Jbz Wison. Cun do ntr Wilson, Wtson busc vr lo qu Homs h in frido sobr él: Más llá dl hcho vidnt d qu n lún momnto h rlizdo un lbor mnul, us rpé, s ms ón, h stdo n Chin últimmnt h s crito mucho, no pudo dducir nd más. El sñor Jbz Wilson s sobrsltó n su si ll, con su ddo índic sobr pp, pro sus ojos
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III
Cómo, en el nombre de la buena foruna, supo used odo eso, señor Holmes? preunó. Holmes se complace en eplicar. Por ejemplo, sobre la es criura: Qé más puede indicar esa mana derecha con alunos cenímeros an brillanes, la izquierda con un parche cerca del codo donde lo descansa sobre el escriorio? A pesar del hecho de qe Holmes no llamaría deducción a es e ipo de inferencia, la inferencia es, de he cho, induciva Es mu posible qe el abrio de Wilson hubiera mosrado esos parones sin que él hubiera escrio mucho. Pudo, p or ejemplo, habér selo robado a aluien que lo hubiera hecho Sin embaro, la inferencia es sin duda mu buena Qé hace buenas ese ipo de inferencias? Una respuesa plausible esá en érminos de probabilidad. Así que hablemos d e ello, lueo podremos reresar a la preuna. Una probabilidad es un número asinado a una ora ción que mide cuán probable es, en alún senido, que la oración sea verdadera Escribamos p() para la probabilidad de Convencionalmene, medimos las probabilidades en una escala enre o Si p() = es desde lueo falsa; enonces, conforme p() aumena, es más probable que sea erdadera; hasa que p() = r es por complo verdadera. Qé más podemos decir sobre esos números ? amos a ilusrarlo con un simple ejemplo. Suponamos que
gura
Hol mes desplega su destrea lógca.
Dejemos que w sea una oración qu e es a no verdadera o falsa seún el día, diamos, hace calor, dejemos que sea ora, diamos, esá lloviendo. Dejemos que la siuiene abla resuma la información relevane: lun.
mar.
w
miér eves vernes sáb. dom.
La paloma indica que la oración es verdadera ese día, el espacio en blanco que no lo es. Ahora, si esamos hablando sobre esa semana en
2
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siete días en total. Así que la probabilidad es de 4/7· De iual forma, hubo tre s días e n que llovió, así que la pro babilidad de que llueve es de /7
prw)
= 4/7
prr) = 7 En eneral, si escribimos #a para señalar el núme ro de días en los que la oración a es verdadera, N para el total de número de días
elación entre estos dos números? Para encontrar el ú ero de día s cuando V r es verdadero, podemos emp ar sumando los días en que e s verdadero, lueo sumar l número de días en que r es verdadero. Esto no resulta, a que alunos días pueden aber sido contados dos e ces miércoles sábado. ueron los días en lo s que llovió e hizo calor. Así que para obtener la cia correcta, debemos restar el número de días en que sucedieron ambas cosas
# w V r)
Dividiendo ambos lados entre N, obtenemos # r # + N N = Esto es, pr + pr ) = Para la conjunción la disunción hubo dos días en los que hizo calor llovió, así que r r) = # r)N /7 Y hubo cinco días en los que hizo calor o llo
= #w + #r - # r)
Dividiendo ambas partes entre N obtenemos
pra) = #a/N ¿Cómo se relaciona la probabilidad con la nea ción, la conjunción la disunción? Empecemos con la neación. ¿Cuál es la probabilidad de ? Bueno, hubo tres días en los que no hubo calor, así que pr w) = /7 Notemos que prw) prw) han aumentado a Esto no es ninún accidente. Tenemos
ODD
# V r)
N
#r #w ! r) = #w N + N
prw V r)
= prw) + prr) - prw r)
Esto es
Esta es la relación eneral entre las probabilidades de conjuncio nes de disunciones. En el capítulo anterior vimos qe los rados de ver dad también pueden medirse por números entre o podría ser naral suponer que los rados de verdad probabilidades son lo mismo. Pero no es así. En particular, la conjunción la disnción trabajan en forma mu diferen te. Para los rados de verdad, la disunción en una nción verdadera. Especícamente, V r es el máimo de r Pero pr V r) no está determinada solamente por pr w) prr) como acabamos de ver. En particular, para /7 rprw) 47prr) /7 prw V r)
LÓGICA
Antes de regresar a las inferencias inductivas nece sitamos un poco más de información sobre la pro b abilidad Dada nuestra sem ana de muestra, la probabilidad de que llueva algún día, elegido al azar, es 3/7. Pero supongamos que sabes que el día en cuestión hizo calor ¿Cuál es ahora la probabilidad de que llueva? Bueno, hubo cuatro días calurosos, pero sólo dos de ellos llovió, así que la probabilidad es de z4 · Esta cifra es llamada probabilidad condicional, y se escribe así: pr(r w), la probabilidad de r dado w. Si pensamos en esto un momento, podemos establecer una fórmua general para calcular probabilidades condicionales. ¿Cómo llegamos a la cifra z4 ? Primero, nos restringimos a aquellos días en que w es verdadera luego dividimos esto entre el número de días en que r es verdadera, esto es, el número de días cuando tanto w como r son verdaderas. En otras palabras
pr(rw)=(w r) - #w Un poco de álgebra nos dice que esto equivale a:
#(w r) #w N N _
Y esto es pr( w r) - pr( w) Así que aquí está nuestra fórmula general para la probabilidad condicional PC:
pr(wr)
=
pr(w r)pr(w)
Se requiere un poco de cuidado al aplicar esta fór ula. Dividi entre el número no tiene sentido /
ns
PROBABILIDAD
ación indnida En la fórmula para pr( w r), hemos diidido entre pr( w ) , lo que tiene sentido sólo si éste no es ero, esto e s, sólo si w es verdadera al menos algunas ve es. De otro modo, la probabilidad condicional está in denida. Aora, al n po demos regresar a las inferencias inductivas. ¿ Qé necesita un a inferencia para ser inductivamente válida? Sólo que las premisas hagan la conclusión más probable que su negación. Esto es, la probabilidad ondicional de e, la conclusión, dada p, la premisa (o la onjunción de las premisas si hay más de una), es mayor que la de la negación de e:
pr(cp) > pr( �c p) Entonces , si estamos razonando sobre la semana de nuestro ejemplo, la inferencia Fue un día lluvioso; así que hizo calor; es inductivamente válida Ya que es fácil revisar, pr( w 1 r) = 2/3, y pr( �w r) = 1/3 El análisis puede aplicarse para mostrar por qué la nferencia de Holmes con la que empezamos es válida. Holmes concluyó que Jabez Wilson había estado escribiendo mucho ( e ) . Su premisa resultó de haber notado ciertas marcas de uso en el saco de Wilson . Ahora, si hubiéramos visitado el Londres de los días de Holmes, y reunido a todas las personas que usaran sacos del tipo en cuestión, la mayoría hubiera sido oci nistas, personas que dedicaban sus vidas laborales a escribir o eso hubiéra
6
ÓG
hubiera estado esribiendo muho, dado que su sao lle vaba esas maras, era mayor que la probabilidad de que no hubiera sido así La inferenia de Holmes es induti vamente válida Terminemos señalando un enigma produto de menismo que aabamos de d esplegar Como hemos vis to, una pobabilidad puede alularse omo una relaión: tomamos ierta clase de rrencia luego alulamos los números de varios grupos dentro de ell a y haemos algunas divisiones ¿Pero qué lase de referenia usamos? En el ejemplo ilustrativo sobre el lim a, empeé espeiando la lase de referenia en uestión los días de esa se mana en partiular Pero los problemas de la vida real no se plantean de esta forma Regresemo s a Jabez Wilson Para resolver las probabilidades relevantes de este aso, sugerí que tomára mos una lase de referenia que omprendía a las per sonas que vivieron en el Londres de los días de Holmes ¿Pero por qué es esto? ¿Por qué no a la s personas que vi vieron en toda Inglaterra, o en Europa, o sólo a los varones de Lon dres, o sólo a las personas que podían ir a ve a Holmes? Tal vez en algunos de los asos , no hubiera marado muha difereia Pero en otros iertamente lo hubiera heho Po ejemplo, todas las personas que iban a ver a Holmes tenían una situaión más o menos aomodada, y no es probable que hubieran usado saos de segunda mano Las osas hubieran sido un poo diferentes on una poblaión más amplia ¿Así que uál debió haber sido la lase de referenia apropiada? É ste es el tipo de pregunta que mantiene a los atuarios (que tratan de alular los fatores de riesgo para las ompañías de se
'ODD
En el último anális is, la lase de referenia má s aerda paree ser la que omprende sólo al propio Wilson espués de t odo, ¿qué tienen que ver on él los hehos obre otras personas? Pero en ese aso, o e stuvo esribiendo muho, o no En el primer aso, la probabilidad de ue haya estado esribiendo ya que tiene un a manga on rillo, es , y la inferenia es válida; en la segunda, es o la inferenia no es válida En otras palabras, la validez de la inferenia depend e por ompleto de la veraidad de la onlusión Así que no podemos emplear la inferenia para determinar si la onlusión es verdadera o no Si vamos tan lejos, la noión d e validez que obtenemos es por ompleto inútil
Prncip le ea del cpo La proabia d u afracó número ca n q vrera, ií tre l úro o e la d r ei pr( �) r r(a) • ( V b) = a + b - pa 1 b • (a = (a (b) Ua ifereci e tiam vá sólo · i la robi a odiona ou ió da la (conjión de) l ) prmia (s) es mayr qu la de u negi da reias.
•
•
•
=
-
rz PROBABILIDAD INERSA
NO PODEMOS SER INDIERENTES A ELLA!
E
apulo aneio nos apoó una om pensión básia de la pobabilidad y del papel que poda d esempeña en las infeenias induivas En ese apulo onsideaemos algunos aspeos poseioes de ello. Empeemos esudian do una famosa infeenia induiva. El osmos sio no es sólo un desoden al aza Muesa paones muy disinivos la maeia se esu ua en galaxias que, a su vez, se esuuan en esellas y sisemas planeaios, y en algunos de esos sisemas planeaios, la maeia se esutua de al manea omo paa podui iauas vivienes om o nosoos ¿ Cuál es la expliaión oea? Podamos dei que esá deeminada po las leyes de l a sia y la biologa. Y quizá as sea ¿P eo po qué son as las leyes de la fsia y la biolo ga? De spués de odo, pudieon habe sido muy difeenes. Po ejemplo, la gavedad pudo habe sido una fueza de repulsión no de aaión. En ese aso, nuna hubiea habido fagmenos esables de maeia, y la vida omo la onoemos hubiea sido imposible en ualquie pae del osmos. ¿No nos da eso una exelene azón paa ee en la exisenia de un eado del osmos, juno on sus
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ÓG
ODD VES
II
Ahoa, desde luego es vedad que la pobabilidad ondiional de uando g es vedadea, es muho mayo que la de uando g es falsa: r pr(g)>pr( g
Peo esto no nos da lo que queemos Paa que sea una buena azón indutva de g neesitamos que la po babilidad de g dada sea mayo que la de su negaión: pr)>pr(�g)
gua
2
a matea tene ua estuctua dstntva na galaxa de emoo
poas palabas, ¿ no nos d a motivo paa pensa en la exis tenia de un dios de ieto tipo el heho de que el osmos sio esté odenado omo lo está? Con feuenia este agumento es llamado 'gumento del Diseño (paa la existenia de Dios) Debeía se llamado Agumento para el Diseño peo eso no impota. Pensemos en ello más detenidamente La pemisa del agumento, es una amaión a efeto de que el osmos esté odenado de una manea deteminada La onlusión, g asegua la existenia de un Dios eado A menos que g fuea vedadea, seía más poo po bable así que, el agumento desapaee, dado que g es
Y el heho de que pr(g) sea elevada no signia neesaiamente que pr ) lo sea Po ejemplo, la pobabilidad de que estemos en Austalia, si vemos un anguo suelto, es muy alta (En ualquie ota pate debió de habe esapado de un zoológio.) Peo la pobabilidad de que veamos a un anguo suelto, dado que vivimos en Austalia, es muy baja. (Yo viví en Austalia duante ro años antes de ve uo) pr(g) y pr(g) son llamadas praldads ner sas y hemos visto que paa que funione el agumen to del diseño, la elaión ente ellas debe se tal omo paa llevanos de r a ¿Lo es? Hay, de heho un elaión muy simple ente las pobabilidades invesas Reueda la euaión P del apítulo anteio que, po deniión:
pr(a ) pr(a / )pr() Así que
ÓGC
22
PROBBDD NVERS
O, eaoodando la euaión:
De odo siia:
p(a) p( a)p (a) Así que:
Reodeos que paa que el Aguento paa el Diseño funione, debeos obtene 2 lo que es equivalente a:
· p(a) p(a) = p( a)
Peo p(a ) p( a) ya que a a so vedadeas en exataente as isas situaiones Po o tanto, 3 y nos da:
p(a) p() = p(a) p(a) Asuiendo que p() no es debo hae suposiiones de este tipo sin ayo enión podeos eaegla esta euaión paa obtene: lnv: p(a ) p( a) p(a)p()
Esta es la eaió ete pobabiidades invesas Paa eoda esto puede ayudanos nota que del lado deeho, su piea esultó de una a y luego de una esultó una a) Usando lnv paa eesibi la s pobabilidades invesas en I obteeos:
p() p() pr(g l o) X pr (g) > pr( �gl o) X pr ( �g) Y anelando p( ) en abos lados nos da:
p(g)
p(
p(g ) p) 5 · pr( �glo) pr( �g)
)
I
Paeeía que la úni a osa plausible que nos taeá p) esto de 5 es p( �g) � I esto es:
p(g) � p( �g) Los valoes p(g) y p(�g) se llaman pailidades pevias; esto es, las pobabilidades de g y �g pevias a la apliaión de ualquie evidenia, omo Po lo tanto, lo que al paee neesitaos paa hae que funione el Aguento es que la pobabilidad pevia de que hay un Dios eado sea mayo que o igual que la pobabilidad pevia de que no lo hay ¿Es así? Desafotunadaente, no hay azón paa eelo De heho, paee que es todo lo ontaio Supongaos que no sabeos qué día de la semana es Dejeos que m sea la hipótesis de que es lunes Entones � m es la hipótesis de que no es lunes ¿Qé es más po bable, m o � m? Con seguidad � m poque hay uhas más fomas de que no sea lunes de las que existen pa que lo sea Podía se ates, iéoles, jueves ) Pasa algo seejante on Dios Es pausible onsidea que hay
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do E intuitivamente, sólo poas de ellas están ordenadas de modo signiativo: el orden es algo especial que, después de todo, d a su razón al Argumento para el Diseño Pero entones hay relativamente poos osmos posibles en los que existe un As que a , es muho más probable que no haya un reador a que lo haya Lo que vemos, e ntone s, es que el Argumento para el Dise ño falla Es sedutor porque la gente on freuen ia onfunde las probabilidades o n sus inversos , y por lo tanto se deslizan sobre una parte ruial del argumento Muhos argumentos indutivos requieren que razonemos sobre las probabilidades inversas El Argumento para el Diseño no es espeial en esta onsideraión Pero muhos argumentos son más exitosos para haerlo Déjenme ilustrarlo Supongamos que visitamos un asino ienen dos ruedas de ruleta, y B Un amigo nos ha diho que una de ellas está arreglada, aunque no pudo deir uál En vez de dar rojo la mitad del tiempo y negro la otra mitad, omo lo hara una ruleta normal, ae en rojo (R) j/4 partes del tiempo, y en negro (N) r/4 parte del tiempo (Estritamente hablando, las verdaderas ruedas de ruleta oasionalmente también aen en verde pero ignoremos este heho para mantener simples las osas) Ahora, supongamos que observamos una de las ruedas, digamos la A, y en ino giros suesivos da los siguientes resultados: R, R, R, R, N ¿enemos justiaión para suponer que ésta es la rueda arreglada? En otras palabras, dejemos que sea una armaión para el efeto de e ia que resultó en
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PODD NVS
la arreglada ¿ Es la inferenia de a f una adeuada inferenia indutiva? Neesitamos saber si pr(f pr( Usando la euaión lnv para onvertir esto en una relaión entre probabilidades inversas, lo que esto signia es que:
pr(j pr(elf ) = pr( e) > pr(e �j)
X
pr ( �j pr(e)
Multipliando ambos lados por pr( resulta:
pr(j pr(f pr( �j pr( �j ¿Es verdadero esto? Para empezar, ¿uáles son las probabilidades previas de y ? Sabemos que ya se a o B está arreglada (pero no ambas) No tenemos más ra zón para reer que es la rueda la que está arreglada, en vez de la B o vieversa As que la probabilidad de que sea la rueda es de rh y la probabilidad de que sea la rueda B es de rh En otras palabras, pr(f = rh y pr( ) = rh As que podemos anelar esto, y la ondiión i mportante se onvierte en:
pr(j pr( �j La probabilidad de observar la seuenia estableida por dado que la rueda está arreglada de la manera desrita, pr(f es (j/4 ( /4 (No importa si no saben por qué: pueden reer en mi palabra de que as es ) Esto es 8 r/4 que resulta 0079· La probabilidad de que la seuenia sea observada, dado que la rueda no está arre(rh (de nueglada, y por lo tanto es justa, pr( j
, !26
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ta .3 Esto es menos que 0079 Así que la inferencia es válida a manera en que hemos resuelto probabilidades previas aquí no vale nada. Tenemos dos posibilidades: o la rueda A está arreglada, o la rueda B Y no tenemos información que distinga entre estas dos posibilidades Así que les asignamos la mism a probabilidad Esto e s una aplicación del Princi de Indrencia Tal Principio nos dice que cuando tenemos un número de posibilidades, sin di ferencia importante entre sí, todas tienen la misma probabilidad. Por lo tanto, si hay posibilidades en todos, todos tie nen probabilidad / El Principio d e Indiferencia es un tipo de principio de simetría No podemos aplicar el Principio en el Argumento para el Diseño En el caso de la ruleta, hay dos po sibles situaciones completamente simétricas: la rueda A está arreglada la rueda B está arreglada En el Argumento para el Diseño, hay dos situaciones: un dioscreador existe un dioscreador no existe Pero estas dos situaciones no son más simétricas que: hoy es lunes hoy no es lunes. Como vimos, intuitivamente, hay muchas más posibilidades en las que no hay un creador, que posibilidades en las que si lo hay. El Principio de Indiferencia es una parte importante del razonamiento intuitivo sobre la probabilidad. Terminemos este capítulo notando que no deja de tener problemas. S abemos bien que algunas de sus aplicaciones llevan a paradojas Aquí hay una Supongamos que un carro sale de Brisbane al me dio día, rumbo a un pueblo a 300 k m de distancia. El ca dia una velocidad constante entre los km/h
, �1
ODD VES
del horario de su llegada? Bueno, si va a km/h ll rá a las 3 p m y si va a km/h, llegará a las 6 p.m . Por lo tanto, llegará entre esos dos horarios. El punto medio entre estos horarios es 4 :30 pm. Así que por el principio de indiferencia, es tan probable que el carro llegue antes de las 430 p.m como después de esa hora Pero ahora, la mitad entre km/h y km/h es 7 km/h Así que de nuevo según el principio de indiferencia, e s tan probable que el carro viaje arriba de los 7 km/h como que lo haga por debajo de los 7 km/h. Si viaja a 7 km/h, llegará a las 4 pm Así que es tan probable que llegue antes de las 4 pm como que llegue despué s de las 4 p m En particular, entonces, es más probable que llegue antes de las 430 p.m a que lo haga después (E so le da media hora extra) os dejo pensando sobre esto. ¡He mos tenido su ciente sobre la probabilidad para un solo capítulo!
Prncpales deas del ca píl
• pr(ab = pr(ba X
pr(a pr b
ado un número de posibilidades, sin dife-
rencia importante entre ellas, todas tienen la mism probailidad (Principio de Indiferencia)
r3. TEO A DE LA DECISI ÓN: GRANDES EXPECTATIAS
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hemos u n vistzo un pu nto nl eltivo l zo nmiento indutivo Este tem vees es llmdo znament práctc y que zon sobe ómo debeímos tu Aquí hy un fmos piez de zonmiento pátio Podemos elegi ee en l existeni de un Dios istino puedes elegi no helo Supongmos que elegimos ee O Dios existe o no existe Si Dios existe, todo está bien Si no, entones nuest eeni es un inonveniente meno: signi que hemos pedido un poo de tiempo en l iglesi, y quizá hymos heho un p de oss que de oto modo no hubiémos queido he peo nd de esto es desstoso Aho supongmos, po oto ldo, que elegimos no ee en l existeni de Dios De nuevo, puede se que Dios exist o que no Si Dios no existe, todo está bien Peo si Dios s existe, ¡vy que estmos en poblems! Nos espe muho sufimiento en el más llá quizá po tod l etenidd si no hy un poo de miseiodi Así que ulquie peson inteligente debeí ee en l existeni de Dio s Es el únio mino pudente
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al, quién lo utilizó pimeo ¿Qé puede uno dei sobe la Apuesta Pensemos un poo ómo funiona este tipo de azonamiento, empezando on un ejemplo un poo menos polémi o Cuando ealizamos aione s, on feuenia no podemos esta seguos de sus esultados, los que quizá no estén po ompleto bajo nuesto ontol Peo on feuenia podemos estima uán pobables son los difeentes esultados e, igual de impotante, podemos alula el alr de los difeentes esultados paa nosotos mismos Convenionalmente, podemos med i el valo de una onseuenia asignándole un númeo en la siguiente esala, on un nal abieto en ambas dieiones
Los númeos positivos son buenos , y ente más haia la deeha se enuenten, mejo Los númeos negati vos son malos, y ente más haia la izquieda se enuenten, son peoes son un punto de indifeenia de todas fomas no nos inteesa Ahoa, supongamos que hay alguna aión que ealizamos, digamos da un paseo en moto Podía, sin em bago, llove Un paseo en moto uando no llueve es muy divetido, así que podemos valoa eso en, digamos, + Peo un paseo en moto uando está lloviendo puede se muy desagadable, así que podem os valoa eso en , digamos, - 5· ¿Qé valo debe ponese en la únia osa que está bajo nuesto ontol i de paseo? Podemos sólo añadi las dos ifas, 5 y , peo e so seía pede una pate impotante de la imagen Puede se muy poo pobable
EOR DE DEC ÓN GR NDE EXECIV
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mala, no qeemos darle muho peso Supongamos que la probabilidad de lluvia es, digamos, or; en onseuenia, la pobabilidad de qe no lueva es de 09 Entones podemos medir los valoes on las pobabilidades apropiadas para llegar a un valo geneal X ( 5 + 09 X
Esto e s igual a 85 y se llama la expecaia de la aión en uestión, dar n paseo Expetativa es un término ténio vituamente no tiene nada qe ver on el signiado de la alabra y s uso normal en español En geneal, dejamos qe a sea la armaión de que realizamos una aión u ota Supongamos, paa simpliar, que hay dos posibles esltados dejem os que es tableza uno de estos resltados, y qe 2 estableza el segundo inalmente, dejemos que ) sea el valor que asignamos si es verdadero Entones la expetativa de a E(a) es el númeo denido po
pr(J X (J pr() X ( Estitamente hablando, las pobabilidades en ue stión debeían ser pobabilidades ondiionales, pr( a) y pr( a) respetivamente Peo, en el ejemplo, da un paseo no tiene efeto sobe la probabilidad de que llueva Lo mismo es vedadero en todos los otros ejemplos que veremos Así que nos podemos apega a las simples pobabilidades pevias Hasta aquí todo va bien ¿Pero ómo m e ada esto a deidi si da o no un paseo en moto? Conozo el va-
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omo aabamos de ve ¿Cuál es la expetativa de no da el paseo? De nuevo, ya sea que llueva o no, on las mismas pobabilidades Lo s dos esultados ahoa son (i que lloveá y me quedaé en asa y (ii que no lloveá y me quedaé en asa En ada uno de estos aso s, no obtengo el plae de un paseo en moto Podía se un poo peo si no lloviea En ese aso estaía molesto po no habe ido Peo ninguno de los asos es tan malo omo empa pase Así que los valoes podían se o si llueve, y r si no llueve Ahoa puedo alula la expetativa de qu edame en asa: or X o + 09 X ( r
Esto esulta en o9 y me da la infomaión que neesito, puesto que debeía elegi esa aión que tiene el valo geneal más alto, esto es, la expetativa En este aso, i tiene la expetativa de 85 mientas que quedame en asa tiene un valo de 09 Así que debeía da el paseo Po lo tanto, dada una seleión ente a y �a de beía elegi ualquiea que ten ga la mayo expetativa ( Si son iguales , simplemente puedo elegi al aza, po ejemplo aojando una moneda En el aso pevio, sólo hay dos posibilidades En geneal, debeía habe más (digamos, da un paseo, i al ine, y quedame en asa El pinipio es el mismo, sin embago alulo la expetativa de a da posibilidad, y elijo la que tiene la mayo expetativa Este tipo de azonamiento es un simple ejemplo de la ama de la lógia llamada tería de la decsón Ahoa, egesemos a la Apuesta de Pasal En este aso, hay dos aiones posibles: ee o no hay dos posi bilidades impotantes: Dios existe o no existe Podemos
EORÍ DE DECSÓ: GRDES EXPECVS
epesenta la infomaión elevante en la foma de la si guiente tabla Dios existe or + I0 Ceo () No eo ( �) or rd'
Dios no existe 09 ro 09 + ro
Las ifas hai a la izquieda de las diagonales inve tidas son las pobabilidades impotantes, or de que Dios existe, digamos, y 09 de que Dios no existe (Lo que yo ea o no, no tiene efeto sobe la existenia de Dios, así que las pobabilidades son las mismas en ambos englones Las ias en la deeha de las diagonales son los valoes impotantes No me impota muho si Dios existe o no lo impotante es que lo tengo lao así que el valo en ada uno de los asos es +o (izá las pefeenias de uno aquí podían no se exatamente las mismas, peo no impota demasiado, omo veemos Cee, uando Dios no existe, es un inonveniente meno, así que obtiene el valo ro No ee, uando Dios sí existe, es ealmente malo, sin embago, po lo que obtiene el valo ro• Dados estos valoes, podemos omputa las expetativas elevantes:
E() = or X I0 + 09 X ( ro o E( �) = or X ( ro + 09 X I0 ro ( signia es apoximadamente igual a Debeé elegi la aión que tnga una mayo expetativa, la ual es ee Podíamos pensa que los valoes peisos que he
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heho, los valores preisos no importan mho en realidad El importante es • Esta ifra representa algo qe es realmente malo Algnas vees, n teório de la deisi ón podra esribir esto omo - Es tan malo qe hndirá a todas las otras ifras, inlso si la probabilidad de qe Dios exista es my baja É sa es la erza en la Apesta de Pasal a Apesta podra pareer my persasiva, pero de heho omete n error simple de teora de la deisión teória Omite algnas posibilidades relevantes No hay sólo n dios posible, hay mhos: el Dios ristiano, el Alá del Islam, el Brahman del Hindismo, y mhos otros qe veneran varias religiones menores Y mhos de éstos son nos dioses my elosos Si Dios existe, y no reemos en él, estás en problemas pero si Alá existe y no reemos en él, también estamos en problemas y as Además, si Dios existe y tú rees en Alá o vieversa es aún peor, ya qe tanto en el ristianismo omo e n el Islam, reer en dioses falsos es peor qe ser n simple ateo Hagamos na tabla on n poo de informaión más realista No existe No reer 09\+ n Creer en 09\ Dios (g Creer en 09\ Alá a
Dios Alá ningún existe existe dios \ \ .. \+ \
\
\+
TEORÍ DE DECSÓN : RND ES EXPECTTVS
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Si omptamos las expetativas inlso en esta limitada antidad de informaión, obtenemos:
En) = 09 X 0 + X ( ) + X ( ) X ) = 09 ( ) X + X ( ) E a 09 X ( ) X ) X as osas no pareen prometedoras Pero es laro qe los reyentes en algún dios resltarán peor No debe ramos reer en ngno Terminemos, omo he onlido todos los aptlos, on algnas razones de por qé deberamos pregntarnos sobre el maro referenial desplegado espeamente, en este aso, la poltia de deidir de aerdo on la mayor expetativa Hay sitaiones donde esto denitivamente paree dar los resltados eqivoados Spongamos qe haemos l a jgada eqivoada en la Apesta de Pasal, y terminamos en el inerno Despés de n os poos d as, aparee el diablo on na oferta Dios ha ordenado qe se nos debe tener algo de piedad As qe el diablo ha maqinado n plan N os va a dar na oportnidad para salir del inerno Podemos arrojar na moneda si ae ara, saldremos e iremos al ielo Si ae rz, nos qedaremos en el inerno para siempre Sin embargo, la moneda no e s na mon eda imparial y el dia blo ontrola ss posibilidade s Si la arrojam os hoy, la posibilidad de qe aiga ara es de / por ejemplo, ) S i esperamos a mañana, la posibilidad amenta a 3/4 por ejemplo, / ) Smemos la informaión:
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Aojala hoy (d) Aojala mañana ( m
TEORÍ DE DESÓ: GRDES EXETTVS
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edase en Esaa el ineno 05\ 05\ 75\+ 5\
Esaa tiene un valo ositivo muy gande quedase en el ineno tiene un valo negativo muy gande. Además, estos valoes son los mismos hoy que mañana. Es ieto que si eseamos a mañana, debeemos as a un día más en el ineno, eo un día es insigniante omaado on el innito númeo de días que sig uen Así que haemos los álulos:
E(d) = 05 X rd 0.5 X ( ) = E( m = 075 X + 025 X ( ) 0.5 X Y deidimos esea a mañana. Peo maña na viene el diablo y nos die que si eseamos un día más, las obabilidades seán aún mejoes aumentaán a 7/8 (o ejemlo r-r/z3). Dejaé que hagan los álulos. Así que deidimos esea hasta el día si guiente El oblema es que cada día viene el diablo y nos ofee mejoes obabilidades si ese amos al día siguiente Las obabilidades son mejoes, día tas día, omo sige rr/z, rr/zZ, rr/z3, rrlz4, , rr/z1,
Cada día haemos los álulos. La exetativa de aoja la moneda el día n es:
Figura
Un plan diabólico: nnca hagas hoy lo que puedes deja paa mañana.
Un oo de aitmétia nos die que esto es X 1 . La exetativa o esea hasta el día siguiente, n + e día es la misma, on n eem lazado o n + r Esto es, X (rrlz) lo que es mayo (r/z es meno que rJzn) Cada día, la exeta tiva aumenta. Po lo tanto, ada día haemos lo azonable y ese(rz/z1) X (rr/2
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mos la moneda, ¡así que nos quedamos paa siempe en el ineno! Aojala ualquie día debe se mejo que eso Así que, al paee, la únia osa aional po hae ¡es se iaional!
4 UN POCO DE H ISORIA Y ALGUNAS LECURAS ADICIONALES
Principales ideas del capílo
Ea) p o ) X o ) p o) X o)
donde o o establee todas l as onseen ias posibles que podían esulta si a fuea ve dadea La aión aional es la que hae vedadea la delaaión on la m ayo exetativa
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as ideas que hemos visto en este libo se desaollaon en vaios mo mentos y lugaes difeentes. En es te apítulo d esibié la histo ia de la lógia, y loalizaé las ideas en su ontexto históio. Pimeo delineaé bevemente la histoia de la lógia en geneal luego, apítulo po apítlo, expliaé ómo enajan los detalles dento del onjunto mayo. Confome avanemos, también eomendaé algu na letua adiional, donde puedan ontinua algunos de los temas que deseen. Esto no es tan simple omo podía pens ase. Po muho, los lógio s, lósofos y matemátios peeen esibi unos paa otos. Resulta así que estos esitos no son senillos paa los inipiantes, peo he heho lo mejo que pude En la histoia inteletual de Oidente, ha habido tes gandes peiodos de desaollo dento de la lógia, on algunos peiodos estéiles ente ellos. El pime gan peiodo fue el de la antigua Geia, ente los años 400 y 200 a. C. La gua más impotante aquí es Aistó teles (3 4 322), a quien onoimos en el apítuo 6 Ais tóteles de saolló una teoía s istemátia de infeenias lla
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Toos [algunos] s son [no son] s Toos [algunos] Bs son [no son] s. Entones, toos [algunos] s son [no son] s. Aristóteles vivió en Atenas la mayor parte e su via, funó una esuela e losofía llamaa e l Lieo, y por lo general se le reonoe omo el funaor e la lógia. Pero era e la misma époa, hubo otra esuela oreiente e lógia en Megara, omo a 50 k al oeste e Atenas. Se sabe poo e los lógios e Megara, pero pareen haber estao partiularmente interes aos en los oniionales, y también en las paraojas lóg ias Eubúlies (a quien onoimos en los apítulos 5 y ) fue e Megara Otro movimiento losóo importante omenzó en Atenas alreeor el año 300 a C ue llamao estoiismo, por el porhe (en griego stoa) one se llevaban a abo sus primeras reuniones Lo s intereses l osóos el estoiismo eran muho más amplios que la lógia, pero ésta era uno e los más importantes G eneralmente se ha supuesto que la lógia e Megara tuvo inuenia en los lógios estoios En ualquier proporión, uno e los prinipales intereses e los lógi os estoios e la investigaión el omportamiento e la negaión, la onjunión, la isyunión y el oniional También ebe menionarse que alreeor e la misma époa, mientras too esto sueía en Greia, en la Inia, prinipalmente los lógios buistas, esarrollaban teorías lógias Aunque estas teorías fueron importantes nuna alanzaron los sostiaos niveles a los que llegó la lógia en Oiente. El seguno perioo e reimiento e la lógi-
UN OCO DE HISTORI Y GUNS ECTURS DCONS
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ievales, omo la e París y la e Oxfor, entre los siglos y La lógia meieval inluye a personajes tan notables omo Duns E soto (2 30) y William of Okham (253 49), quienes sistematizaron y esarrolla ron on muho la lógia que herearon e la antigua Greia. D espués e este perioo, la lógia se estanó hasta la seguna mita el siglo el únio punto brillante en el horizonte urante este lap so fue Leibn iz (4 7 ), a quién onoimos en los apítulos y 9 Leibniz antiipó algunos e los moernos es arrollos e la lógia, pero las matemátias e su tiempo no permitieron que sus ieas espegaran. El esarroo el álgebra abstrata en el siglo proporionó lo neesario, y isparó el iniio el último, y quizá mayor, e los tres perioos . Iea s lógias raialmente nuevas fueron esarrollaas por pensaores omo rege ( 4925) y Russell (7297), a quienes onoimos en los apítulos 2 y 4, respetivamente Las teorías lógias que se esarrollaron a partir e esta obra se o nsieran, normalmente, omo lógica mdena en oposiión a la lógica tadicinal que la preeió Los esarrollos en la lógia ontinuaron on rapiez urante el siglo y aún no an signos e esaelerarse. Una historia estánar e l a lógia es la e Kneale y Kneale ( 975) Hoy está algo esatualizaa, y se arate riza por más optimism o el justiao, por su atitu e que los primeros lógios moernos nalmente hiieron too bien; pero sigue sieno una obra e referenia Ca pl 1 La iferenia ent re la vali ez inutiva y la eutiva se remonta hasta Aristóteles Las teorías e
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La visión desrita en el apítulo una inferenia es de dutivamente válida sólo si la on lusió n es verdadera en ualquier situaión don de sus premi sas son verdaderas puede rastrearse, disutilemente, hasta la lógia medie val pero su artiulaión es una parte entral de la lógia moderna. Una advertenia lo que he llamado stuacón es más omúnmente llamado nterpretacón, estructura o a vees, mdel La palara situaión por sí misma tiene un sentido diferente y ténio en un área de la lógia. Lewis C arroll (uyo nomre verdadero era Charles Dodgson) no era un lógio, pero pulió varias oras de lógia tradiional. Capí . El argumento para el efeto de que las ontradiiones implian todo e s una invenión medieval. No está laro exatamente quién fue su autor, pero iertamente puede enontrarse en Esoto. La omprensión de la verdad funional de la negaión, onjunión y disyunión paree haer surgido en la Edad Media. (La visión estoia no era una verdad funional en un sentido moderno.) Su forma ompletamente artiulada aparee en los fundadores de la lóg ia moderna , rege y Russell. Un disidente moderno es Strawson (92) Capí 3· La diferenia entre nomres y uantiadores es, sore todo, una riatura de la lógia moderna. De heho, el análisis de los uantiadores on freuenia se onsidera omo un momento denitorio de la lógia moderna. Es una aportai ón de rege que más tarde adopta Russell. Alrededor de la mi sma époa, el lósofo y lógio estadunidens e, C. S. Peire, desarrolló ideas similares. 3x on freuenia se l lama uantiador exstencal; pero e sta terminología pasa de ontraando en una teoría
U PC E HISTR GUS ECTURS CES
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rrol sore Alca están llenas de romas losóas. Para onoer un ome ntario exelente sore ellas, véase Heath (974) Con respeto a muhas de las propias romas de Heath sore la nada, véase Heath (9 7) Las teorías expliadas en los apítulos a 3 pueden enontrarse en ualquier texto estándar moderno de ló gia. Hodges (977) e s uno que no tiene u n nivel tan for midale tampoo Lemmon (97 ) Capí La separaión de desripiones omo una ategoría lógia importante tamién e s algo que sólo se enuentra en la lógia moderna. Qizá el análisis más famoso de ellas lo hizo Russell en 90 La exposiión dada en este apítulo no es de Russell, pero es muy erana en espíritu. Las desripiones se disuten en algunos textos estándar de lógia moderna. Hodges (977) es un uen ejemplo de ello. Cpí arias versiones diferentes de la paradoja del mentiroso pueden enontrarse en la losoa griega antigua. Se inventaron y disutieron más paradojas de autoreferenia en toda la lógia medieval. Inluso se desurieron más haia el amio del siglo y en esta oasión en el mismo entro de las matemátias. Des de entones, se han onvertido en tema entral en la lógia. Las aproximaiones para resolverlas son muy numerosas. La idea de que puede haer algunas proposiiones que no s on ni verdaderas ni falsas se remonta hasta Aristóteles De Interpretatne; sin emargo, él no huiera simpatizado on la idea simétria de que algunas proposiiones podrían ser tanto verdaderas omo falsas Soste ner que puede haer tales oraiones, y que las oraiones paradójias pueden estar entre elas, e s una visión no orto
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últimos uaenta años Las disusiones de las paadojas de autoefeenia tienden muy ápido a volvese téni as Pueden enontase buenas dis usiones intodutoias en Read (1994, apítulo 6) y en Sainsbuy (r995, apítulos 5 6) La idea ompleta aún es objeto de muhos debates Cap 6 El estudio de la s infeenias que invo lua a los opeadoes modales etoede hasta Aistóteles y ontinúa en la Edad Media El lósofo estadunidense C I Lewis, alededo de 1915 y 1930, empezó las modenas investigaiones La noión de un mundo posible se enuenta en Leibniz, peo la foma en que se aplia en este apítulo se debe pinipalmente a oto lósofo estadunidense, Saul Kipke, quién eó las ideas en la déada de 1960 Una intoduión estánda en esa áea es la de Hughes y Cesswell (1996); peo es impobable que obtengamos muho de ella antes de lee un libo intodutoio de lógia de un tipo más e stánda El agumento de Aistótees paa el fatalismo poede de De Interpretat ne apítulo 9· Lo onsideó falaz, peo no po las azones expuestas en este apítulo Una disusión azonablemente aesible al espeto puede enontase en Haak (1 974, apítulo 3) El agumento on el que onluye el apítulo es una vesión del Agumento Maesto delaado po el lógio de Megaa, Diódoo Conos Cap · El debate sobe la natualeza de los ondiionales data de los megaianos y los estoios, quienes podujeon vaias teoías difeentes El tema también fue muy disutido en la Edad Media La ide a de que el ondiional es una vedad funional es un punto de vista megaiano ue apobado en la modena lógia tempan a po ege y Russell S u foma en este aptulo puede enon-
N POCO DE HSOR NS ECRS DCONES
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modena, se debe a C I Lewis, quién desaolló la lógia modena alededo de ésta La noión de la impliaión onvesaional se debe al lósofo bitánio Paul Gie en la déa da de 19 70 (aunque la usó en defensa del ondiiona mateial) La natuaeza de los ondiionales es aún objeto de debates Read (1994, apítulo 3) ofe e una intoduión ompensible, igual que la Pate 1 de Sanfod (1989) Cap 8 El azonamiento tempoa se disute en vaios lógios medievales El aeamiento desito en este apítulo fue onebido pinipalmente po el lógio neozelandés Athu Pio en a déada de 1960, ins piado po desaollos de la lógia modal hstm y Hasle (1995) dan uenta del tema de manea ompensi ble El agumento de MTaggat apaeió oiginalmente en 1908, aunque su pesentaión es de alguna manea difeente a la mía Mi pesentaión sigue a la de Mello (1981, apítulo 7) Cap · La difeenia ente el es de dentdad y el es de predcad data de Platón (maesto de Aistóteles) en la losofía de a antigua Geia El oigen del planteamiento de la identidad que he dado aquí es inieto El pensamiento de que es posible ustitui iguales po iguales se enuenta en Eulides ( c 300 a de C) Algo omo lo popuesto aquí puede enontase en Okham, y desde luego en Leibniz En su foma modena, se enuenta en ege y Russell Existen pesentaiones de ello e n textos de lógia modena más estánda, omo los de Hodges (1977) y Lemmon (1971) En la losoa hay legiones de aetijos sobe la identidad El que iea el aptulo
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su Quinta Meditación Las vesiones biológi as del Agumento paa el Dis eño, muy populaes en el siglo fueon destuidas p o la Teoía de la Evoluión Las vesiones osmológias, del tipo que se pesenta en el apítulo rz, se hiieon muy populaes en el siglo . Una pequeña oba de efeenia buena sobe agumentos de la existenia de Dios es la de Hik (94) Hay, po supuesto, muho más sobe la histoia de la lógia de lo que dien los detalles anteioes. De igual manea, hay muho de la misma lógia que es tá po ompleto ausente en este libo. Hemos estado patinando sobe la supeie de la lóg ia Tiene gand es pofundidades y bellezas que uno no puede ni siquiea empeza a tansmiti en un libo de este tipo Peo muhos de los gandes lógios del pasado se ompometieon on la mateia justo gaias al tipo de onsideaiones y poblemas que disute este libo. Si también los han animado a ustedes, no puedo pedi más
GLOSAO
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siguiente glosaio ontiene los téminos y símbolos de la lógia que se emplean en este libo. Los apuntes no tienen la intenión de se deniiones peisas, sino la intenión de tansmiti la idea pinipal paa una efeenia ápida. Los téminos y símboos son azonable ment e stánda, aunque hay muhos otos juegos de sím boos también de uso omún. antecedente: lo que esulta del si en un ondiional. autoreferencia: una oaión aea de una situaión que se eeja de nuevo en sí misma. clase de referencia: el gupo de objetos desde los uales los adios de pobabilidades se omputan. conclusión: la pate de una infeenia en la que se dan las azones. condicional: si . . entones . . condicional material: no ambos ( . y no . ) condiciones de verdad: oaiones que explian ómo los valoes de vedad de una oaión dependen de los va loes de vedad de sus omponentes. conjunción: . y conjuntos: las dos oaiones involuadas en una onjun-
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consecuente: lo que esulta de entones en un ondi
ional. cunticdor: una palaba o fase que puede se sujeto de una oaión, peo que no s e eee a ningún objeto cunticdor prticur: algo es tal que cunticdor univers: todo es tal que . . descripción (denid): un nombe de la foma la osa on tal y tal popiedades disyunción: o. . o . . disyuntivs: las dos oaiones involuadas en una disnión "es de identidd: . es el mismo objeto que . "es de predicdo: una pate del pediado que india la apliaión de la popiedad expesada po el esto de él expecttiv: el esultado de toma ada posible esultado, multipliando su valo po su pobabilidad, y sumando todos los esultados nción de verdd: un símbolo lógio que uando se aplia a oaiones paa da una oaión más ompleja es tal que el valo de vedad del ompuesto está ompletamente deteminado po el (los) valo(es) de vedad de su(s) omponente(s). impicción converscion: una infeenia, no de lo que se die, sino del heho que sea diho inferenci: un tipo de aonamiento en el que las pemisas son dadas omo aones paa una onlusión Ley de Leibniz: si dos objetos son idéntios, ualquie popiedad de uno es popiedad del oto. ógic borros: un tipo de lógia en que las oaiones toman valoes de vedad que pueden s e ualquie núme-
GOSRO
ógic modern: las teoías y ténias lógias que sugieon de la evoluión de la lógia a iniios del siglo ógic trdicion: teoías y ténias lógias empleadas antes del siglo modus ponens: la foma de infeenia l mundo posibe: una situaión asoiada on ota, s don-
de las osas, de heho, son omo simplemente podían se en s necesidd: debe se el aso que negción: no es el aso que nombre: ategoía gamatial paa una palaba que se e ee a un objeto. nombre propio: un nombe que no es una desipión operdor tempor: una fase sumada a una o aión, paa foma ota oaión que expese uándo es vedadea o falsa la pime oaión (pasado o futuo) operdor mod: una fase sumada a una oaión paa foma ota oaión que expese la manea en la que la pimea oaió e s vedadea o falsa (posiblemente, neesaiamente, etétea). Prdoj de Russe: oniene al onjunto de todos los que no son miembos de sí mismos Prdoj de Mentiroso : Esta oaión es falsa prdoj sorite s: un tipo de paadoja que involua apliaiones eiteadas de un pediado inieto posibiidd: podía se el aso que predicdo: paa el tipo de oaión gamatialmente más simple, pate que expesa lo que sea que se die sobe lo que tata la oaión.
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Prncpo de Indferenc: dado un númeo de posibilidades, si n difeenia elevante ente ellas, todas tie nen la misma pobabilidad pobbldd: un númeo ente o y que mide que tan pobable es algo probbldd condconl: la pobabilidad de alguna poposiión, dada alguna ota infomaión. probbldd nvers: la elaió ente la pobabilidad ondiional de a dado y de dado a probbldd prev: la pobabilidad de alguna poposiión antes de que ualquie evidenia se tome en uenta slosmo: una foma de infeenia on dos pemisas y ua onus ón, uya teoía fue eada po Aistóteles stucón: un estado de asuntos, quizá hipotétios, en los que las pemisas onlusiones pueden se vedad as o falsas. sueto: paa el tipo de oaión gamatalmente más sim ple, la pate qe nos die de qué tata la oaión. tbl de vedd: un diagama que epesenta las ondiiones de vedad. teoí de l decsón: la teoía de ómo toma deisiones bajo ondiiones d e infomaión nieta tempo: pasado, pesente o futuo. vuedd: una popiedad de un pediado que expesa la idea de que los pequeños ambios en un objeto no haen ninguna difeenia paa la apliaión del pediado vldez: se aplia a una infeenia en la que las pemisas ealmente popoionan una azón de algún tipo pa
GOSRO
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vldez deductv: una infeenia es dedutivamente válida uando las pemisas no pueden se vedadeas sin que la onlusión también lo sea. vldez nductv: una infeenia es indutivamente válida uando las pemisas popoionan alguna base azonable, aunque no neesaiamente onlusiva paa la onlusión. vlor de vedd: vedadeo () o falso F)
LÓGICA
!5 4
Símboo
Sgfcado
F
verdadero (en una situación) falso (en una situación)
Nombre
valors de verdad
0. . . 0. .
dsyunción
. y
conjunción
no es el caso que. .
negacón
3x
algún objeto, x, es tal que
cuanticador particular
\x
todo objeto, x es tal que .. .
cuanticador universal
LX
el objeto x es tal que.
operador descriptivo
D
debe ser el aso que .
o
podría ser el caso que.
}
si.. . entonces. .
condicional
no ambos ( ... y no ... )
condconal material
p H G
fue el caso que ...
1
será el caso que . siempre ha sdo el caso que.. siempre será el caso que ... .es el mism o objeto que .. .
<
. .es menos que .. .
:
. es menos o gual que .
•
1
el mayor de. . . y ..
Min
l menor d .. y.. .
pr pr( l .
E V
operador modal
operadoes tem porales
identidad
el númeo que es el valor de verdad de . .
Max
la probabilidad de. . •
)
la probabilidad de. . dado que la expctativa de que sea el caso que el valor de que sea el caso que
Problemas
probabilidad condicional
P siguiente apatado popone un ejeiio donde pue aa ada uno de os pi nipaes aptuos de ibo, e
den poba su ompensión de ontenido de ese aptuo. Las souiones de os pobemas se enuentan en as páginas 69: Capío 1. ¿La siguiente ineenia es dedutivamente váida, indutivamente váida, o ning una de as dos ¿Po qué José es español; la mayoría de los españoles son católicos; así que José es católco Capítlo Simboiza a siguiente ineenia, y evaúa su vaidez. O Jones es un bribón o es un tonto; pero desde luego es un bribón; así que no es un tonto Capítlo 3· Simboiza a siguiente ineenia, y evaúa su vaidez. Alguien o vio el tiroteo o lo escuchó; así que o alguien vio el tiroteo o alguien lo escuchó. Capítlo 4· Simboiza a siiente ineenia, y eva úa su vaidez. Todos querían ganar el premio; así que la persona que ganó la carrera quería ganar el premio. Capítlo 5· Simboiza a siguiente ineenia, y evaúa su vaidez. Hiciste una omelette, y no haces un a omelette sin romper un huevo; así que rompiste un huevo Capítlo 6 Simboiza a siguiente ineenia, y evaúa su vaidez. Pa los cerdos es imposible vola y para los
G
cas que ls cerds n pueden lar n pueden resprar a el agua Cpí · Simboliza la siguiente infeenia, y evalúa su validez. S crees en Ds, entnces as a la glesa tú as a la glesa, as que crees en Ds Cpí 8 Si mboliza la siguiente infeenia, y evalúa su validez. Sempre ha lld, y sempre llerá as que ahra está llend. Cpí · Simboliza la siguiente infeenia, y evalúa su validez. Pat es una mue y la persna que lmpó las entanas n es una muer as que Pat n es la persna que lmpó las entanas. Cpí 10. Simboliza la siguiente infeenia y eva lúa su validez, donde el nivel de aeptaión es o enny es ntelgente y enny n es ntelgente es nta as que ]enny es nta Cpí 11. El siguiente onjunto de estadístias se ealizó a pati de ro pesonas (llamado rro)
Altos Rios elies
I 2 3 4 5 , , , , , , , , , ,
6
7
8
9 ro ,
, , , ,
Si es una pesona elegida al aza en esta oleión, detemina la validez indutiva de la siguiente infeenia r es alt y rc, así que r eslz. Cpí 1. Supongan que hay dos enfemedades, A y B que tienen exatamente los mismos síntomas visi-
ROBEMS
157
nen la enfemedad A; el oto ro% tienen la enfemedad B Supongamos, también, que hay una pueba de patolo gía paa distingui ente A y B La pueba da la espuesta oeta 9 vees de ro r ¿Cuál es la pobabilidad de que es a pueba, uando se aplia a una pesona al aza que pesenta los sín tomas, diga que tiene la enfemedad ? (Tip: onsideen una muesta típia de oo pesonas on los síntomas, y esuelvan uantas puebas dián que tienen la enfemedad B) 2 ¿Cuál es la pobabilidad de que alguien on los síntomas t enga la enfemedad B dado que las puebas digan que la tiene? (Tip: neesitan usa la pimea pegunta) Cpí 1. Rentan un ao S i no ontatan el seguo, y tienen un aidente, les ostaá $roo Si ontatan el seguo, y tienen un aidente, les ostaá $300 El seguo uesta $9o y ustedes e stiman que la pobabilidad de sufi un aidente es de oo Suponiendo que las únias onsideaiones son las nanieas, ¿debeían ontata el seguo?
Rrencias de las ilustraciones
I
Tweedledum y Tweedledee [p 1 4
7 · Saltando a las conclusiones [p. 76]
© Mary Evans Picture
© Jhn Taylr
Library
2
Gottlob Fege [p. ]
8.
Ftgrafía: AKG Londrs
3·
Nadie [p 34] © Mar Evans Pictur
Th Musum Mder Art, Nuva Yrk Dnad pr un anónim. tgraa © 2000 Th usm Mdrn Art, Nuva Yrk
ibrary
4 Betand Russell [p 42] 5 · Una cinta de Moebius [p. 52]
9·
Leibniz [p 95] © The Science Museum, ndres
Aistóteles [p . 62]
El dilema del motociclista [p IO I ]
Archivi Alinari, lrencia
© Jhn Taylr
tdisc. tgraa Nick Kudis
6
La persistencia de la memoria (S alvado Dal) [p 89]
ro
r6o r r.
LÓGICA
Sherlock Holmes
[ p. rrr] May Evans Picture Library
©
r3 Un plan diabólico p. IJ ©
Bibliograía
John Taylo
r2 Galaxia de remolino [p I20] Siene Photo Library. Foografa: Chri Butler
E J Gracely, "Playing Games with Eternity: the Devils Ojr, Anasis 48 r988, p. IIJ. S. Haack, Deviant Logic, Cambridge University Press, Cambridge I974· Peter Heath, "Nothing P Edwards ed. , vol. 5 Encyclopedia Philosophy, 1acmillan, London, r967 Peter Heath, The Philosopher' Alice, St. Martín Press, New York, I974· John Hick Arguments for he Existence � God, CollierMacmillan, Ltd., London, r964 \lfrid Hodges, Logic Penguin Books, London, I9 77 · Colns Howso y Peter Urbac, Scientc Reasoning the Bayesean Approach, Open Cort, La Salle, II, r989 G E Hughes y l1. Cresswell, A N· Introduction to Modal Logic, Routledge London, r996 Richard C Jefey, The Logic Decision, University of Chago Press, Chicago, zda. edición, r983. E J Lemmon, Beginning Logic, Thomas Nelson and Sons Ltd, London, r9 7r William Kneale y artha Kneale, Te Development Logic, Clarendon Press , Oxford, I975· D H. Mellor, Real Time Cambridge University Press, Cambridge, r98r da. edición, Routlege, London, I998)
r62
ÓGC
Y stm y Halse, Tempoal Logic: Fom A ciet Ideas to Atcial Itelligece, Kluwe Academic Publishes, Dodecht, 1995 S Read, Thikig about Logi a Itoductio to the Phi losophy Logic Oxfod U nivesity Pess, Oxfod, 1994· R M Sainsbuy, Padoxes, Cambidge Univesity Pess, Cambidge, 2da edición, 1995 David H Sanfod, P the Q Coditioals a d the Fou datios Reasoig, Routledge, London, r9S9 Bian Skyms, Choice a d Chace, Dickenson Publishing Co, Encino, CA, 19 75 Pete Stawson, Itoductio to Logical Theoy, Methuen & Co, London, 1952 Timothy Williamson, gueess Routledge, London, 1994·
Ídice temático
Las efeencias envían a las páginas, a menos que se indique capítulo, caso en el que envían a capítulos Cuando existe más de una efeencia se señala la pincipal en negitas
aceptabilidad, nivel de, ro 6 - roS Alicia (e el Pa de las Ma avillas y A tavés del es po) r3r4, 3435, 37 antecedente, , 105, 149 autoefeencialidad, capí 143144, 149 baco de Teseo, 146 cambio, 919S clase de efeencia, 6, 149 conclusión, véase pemisa(s) condicional, 65, capí 04 roS, 40, 144, 149, 154
mateial, , 149, 154 conjunción , , 2630, 31, ]2, 5354, OJ, ro S, 2
consecuente, , ros, 149 cuanticado, capí , 44, 142, 154 pacula (existencial), 6, 40, 142, 150, 154 unive 6, 40, 142, 10, deciión te í de la) ca p , 47 152 descpcón denida) ca ptu 4, 43 50 Dios Agumento paa el Di seño (paa la xistencia de), , , 14S Agumento Cosmológico soe la existen cia de, 8, 147 Agumento Ontológico sobe la existencia de,
64
Apuesta de Pasca para creer en a eistencia de, 111, 323 disyunción, , 24 32 3 4 ro4 roS n2n6 rq 40 142 0 14 es (de identidad o predica do), 6, 14 rso estructura, 142 eistencia, 4447 epectativa, 111, r3S rso rs4 fataiso, 61, 6S69 arguento aristotéico sobre e, 616, 144 46 "arguento aestro sobre e, 686, r44 futuro, véase pasado graática, r9 37 S2 S3 identidad, capí , 99 r4s s4 ipicación conversacio na, 6, r44 4 r0 inferencia, 1 , 2r2S 2932 33 rosro S ro9 O nsrq 9 39 4
G
interpretación, 41r42 Ley de Leibit 949 rso ógica antiguos griegos, 1 1, 143 r44 4 r46 estoica, 1, 42 144 borrosa, capí 1, rso en a ndia, 1 edieva 66 11, 142 145
de Megara, 1, 44 !46 oda, capí 6, 144 14 oderna, 1, 1434 sr tradiciona, 11, rsr oebius, cinta de, sos2 odeo, r4rr42 mous ponens 66, 67 7r 02 ro7 rsr undo posibe, 66, 73 74 rsr nada, capí nobre, capí , 43 142 prop, , rsr
ÍNDE EMÁO
necesidad, capí 6, negación, 23 32 34 ro2ro3 ro7roS n2n rq 40 142 rsr objeto, , 43 4647 4S 99S operador oda, capí 6, S3 sS6 44 rsr de tiepo, capí 8, 96 rsr rs4 paradoja, 40 entirosa, capí , 43 rsr Russe, de, capí , rsr sorites, capí 1, r46 rsr pasado y futuro, capí 8, posibiidad, capí 6, rsr predicado, , 4r rsr preisa(s) y concusión, 1, r62o 2S32 47 ros 09 ns rsr Principio de Caracteriza ción, 44S Principio de Indiferencia,
r6s
probabiidad, capí 11, capítuo 12 capítuo 3 147 2 condiciona, 1111, ca pÍtuo 2 13 2 4 interpretació de fre cuencia, 46 inversa, capí 1, 146 12 preva 1, 2 propiedad, , 40 43 929S raonaiento, 3rS práctico, 129 siogiso, 1, 2 situación, 18 , 27 32 36 39 40 464S 34 63 6 7 69 73 7779 S6S7 90 ro2 ros roS r42 r2 sujeto, , 4r 43 4S 49 rs2 tiepo, 81, 9r 96 ro7 arguento de McTaggart en contra de a reaidad de, 88, S 790 copuesto, 88, S7 SS ujo de, Sr S4S S9
ÓGIC
r66
vaguedad, capí r52 de alo orden, roS valide, capí r4r r52 deduciva, qr9 2S 54 ros r4rr42 r46 r53 induciva, q 76 capí r25 r4rr42 r46 rsJ vacua, JO valor (de una siuación dada), r3o verdad, rS condiciones de, 26 53 r49
y conexo, ros grados de, IIJ y fals edad,
Íice e ombres
23- 24, 49 57,
r43
función de, capí 60 S 2 r04 r42 abla de, 72 r52 valores verdaderos, sJ s 6 s7 s roJ ro7 roS r53 r54 (véase tambié siuación)
Anselmo (de Canerbury), r47 Arisóeles, 6r 6 2 r39 r4o r4r r43 r44 r45 Agusn (de Hipona), Sr Bayes, homas, r47 Bernoulli, famila, r46 Calmaco, 7r Carnap, Rodolph, 146 Carroll, Lewis, r3 r42r43 r44
Choms, Noam, r9 Cresswell, M , r44 Dal, Salvador, S9 Descares, René, r4 7 Diodoro Cronos, r44 Dodgson, Charles véase Carroll, Lewis
Eubúlides, so 56 roo r40 Euclides, r45 rege, Golab, 24 25 r4r r42 r44 r45 Gracely, E, r47 Grice, Paul, r45 Haack, S, r44 Hasle, P, r45 Heah, P., r43 Hick, J ohn, r4S Hobbes, homas, r46 Hodges, Wilfrid, r43 r45 Holmes, Sherlock, r7 ro9 rn nsn6 Howson, Colins, r47 Hughes, G., r44
GC
168
Kneale, William ata, 141 Kipke, S aul, 144
Peice, C, 14 Platn, 44, 145 Pio Atu, 145
Laplace, Piee de, 146 Leibniz, Gottfied, 63, 94, 95, 141, 144, 145 Lemmon, E, 143, 145 Lewi, C, 145 ukaiewicz, Jan , 146
Read, S, 144, 145 Ruell, Betand, 41, 4, 51, 141, 14, 143, 144, 145
McTaggat, Jon, 8, 145 Mello, D , 145
Sainbu, M, 144, 146 Sanfod, David, 145 Skm, Biand, 146 Stawo, Pete, 14 Tomá de Aquino, 147
Soluión a los oblemas
L
a que iguen on la oucione a lo poblema de la página 15518 co ca o, en epecial don de una infeencia e inálida, la olucione no on única: ota olucione, igual de vália, on po completo poible
Ockam, William of, 141, 145
Ubac, Pete, 14 7
Cpí
Williamon, Timot 146
La infeencia no e válida deduian mu poi ble que la pemia ean vedade y qu entonce ea de la minoía de epañole q n ico Co todo, la pemia en conjunto n bue ue no deciiva) azn paa upone que l li edadea Po lo tanto, la infeencia e inducmene váld<
tm, Pete, 145 Pacal, Blaie, 19130
Cpí
Digamo que:
k ea Jone e un bib f ea "]one e un tonto
qo
LÓC
ntonces a inferencia es: kVk �¡
oLucióN Los PRBLEMS
qr
objeto, x en e mbito e es a situación a a que xS V xH. Daas as coniciones e vera ara V o x o xH n e rimer caso, 3x xS; en e seguno, 3x xH. n ningún caso, 3x xS V 3x xH es veraero en a situ ación.
vauemos su vaie: Capí
k
f
F F
F F
k Vj F
k F F
�¡ F F
n a rimera hiera, ambas remisas son V y a concusión es F Por o tanto, a inferencia es invia.
Digamos que:
xP sea "x querían ganar e remio xR sea "x ganó a carrera. Y ejemos que os objetos en cuestión sean a gen te. ntonces a inferencia es:
x xP (x xR)P
Capí
Digamos que:
xS sea "x vio e tiroteo. xH sea "x escuchó e tiroteo. Y ejemos que os objetos en cuestión sean a gen te. ntonces a inferencia es:
3x ( xS V x 3 x x S V 3 x xH La inferencia es via s e suoner que a remi
La inferencia es invia. Tomemos una situación, s en a que toos quean satisfechos P ero e n a que na ie se satisface R (A o mejor a carrera se canceó ) n tonces a remisa que es veraera es s Pero a escri ción X xR no se reere a naa. Por o tanto, a concusión es fasa en s Capí
Digamos que: m sea Hiciste una omeette.
I2
ÓG
ntnces la infeencia es � ( �) Esta infeencia es inválida Tmems la sigiente sitación Fpe n V Vy F Entnces � es V (y n F; así qe � es V y F (ambs cnjnts sn vedades, y n es fals); así �( !\ �) es V y F n esta sitación ambas pemisas sn V y la cnclsión n
I3
UÓN OS PROBES
jnts sn vedades en esa sitación P l tant, n ay na sitación asciada , s dnde es vedade (pime cnjnt) es vedade (segnd cnjnt) Est es, en tda sitación asciada, s ' � � es vedadea P l tant, la cnclsión es vedadea en s Capí
Digams qe sea Cees en Dis e sea as a la iglesia Entnces a infeencia es e
Capí 6
Digams qe sea ls ceds vuelan sea ls ceds espian baj el aga Entnces la infeencia es � O (� �) La infeencia es válida Es de spne qe la pemi-
La infeencia es inválida Es de cnsidea na si tación, s cn na sitación asciada, s ' dnde las csas sn cm se epesentan en el diagama sigiente
LÓGICA
En toda situación donde b es verdadera, lo es c. Por lo tanto, b _ es verdadera en s. Así que ambas premisas son verdaderas en s, pero la conclus ión no.
SoLUCIÓN A Los P ROBLEMAs
Capítlo 9
Digamos que: sea "Pat. sea "la persona que limpió las ventanas. w se a "es una mujer.
Capítlo 8
Digamos que: Entonces la in ferencia es: sea " está lloviendo W 1 �w � =
Entonces la inferencia es H / G Esta inferencia es inválida. Es de suponer que las cosas son como se representan en el siguiente grupo de situaciones: .
. 5_ 3
5 2
s r
so
S I
52
53 '
�
r
r
.
•
es verdadera en todos los momentos anteriores a so así que H es verdadera en 50• es verdadera en todos los momentos posteriores a s0; así que G es verdadera en 50 Por lo tanto, H G es verdadera en s0, pero la conclusión no
La inferencia es válida Tomemos cualquier situa ción donde la premisa sea verdadera. Luego en esa situación, cualquiera ea el nombre que remite para tener la propiedad que expresa W y cualquiera sea el nombre que remite para no tenerla Por lo tanto, se gún la Ley de Leibniz, y signican diferentes cosas (¡aceptando que nada puede s er verdadero y falso a la vez!) . E sto es, � = es verdadera
Capítlo 10
Digamos que: sea "Jenny es inteligente. b sea "Jenny es bonita.
,
q6
G
Entnce a infeencia e
� b b La infeencia e inváida Tmem una ituación dnde vae de vedad de y b n cm igue
Lueg e va de vedad de � en eta ituación e 05 (r os), y aí e va de vedad de � b e taién 05 (Máx(os, 02)) Pe entnce ama pemia n aceptae (�os), y a cncuión n Capí
Digam que:
t ea e at w ea e ic h ea e fei La infeencia e váida Pngam que hay te pena que n ata y ca, y d de ea n feice P tant, pr h 1 tw 2/ Una de ea e infei, aí que pr �h 1 \w = / P tant, prh 1 tw > pr �h 1 tw.
oN os PRBEMS
Capí 1
Paa a pate r: cnideem una mueta típica de roo pena cn íntma 90 tendán a enfemedad A y ro tendán a enfemedad Ya que a puea da a epueta cecta 9 vece de ro, diá que Sr de 90 tienen A (90 X 9/ro), y 9 de e tienen De ro cn enfemedad , diá que 9 tienen enfemedad y r tiene enfemedad A. P tant, un tta de r8 puede decie que tiene , y aí a paiidad de que una ( ecgida a aa) pena eute que tenga e de 8roo Paa a pate 2: digam que r ea una pena ecgida a aa cn ínt ma, y digam que:
b ea 'r tiene a enfemedad t ea a puea dice que r tiene a e nfemedad Lueg:
pr t 1 b 9/ro, ya que a puea e 90% egua; pr b rlro, ya que una pena de cada ro tiene enfemedad ; y pr t 8/roo, p a pate r P a eación ente a paiidade invea, prb 1 t prt 1 b X prbprt 9/ro X rlro Siroo = r/z
