2. PRO PRO BA BILIDA DAD D
B2
B4
A
B1
(A
B1)
B3
(A
B2)
(A
B3)
(A
B4)
Tema 2: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Defin finició ició n de probabilid ad y propi pr opie edade dades s
3.
Prob roba abil bilidad idad condicio condi cionada nada y tota tot al
4.
Independ Indepe ndencia encia de su sucesos cesos
5.
Teor Te orema ema de Bayes
1. Introducción
Probabilidad: medida de la incertidumbre sobre un suceso ¿ocurrirá ¿ocurr irá o no? SUCESO: resultado de un experimento Ejemplo A: sacar un dos al lanzar un dado B: sacar más de 3 al lanzar un dado C: que el ordenador ordenador O tarde tarde más más de 10 sg en hacer hacer la tarea tarea T D: que el material M1 resista el peso P
Antes de realizar el experimento: ¿Observaremos el suceso no?
Probabilid Proba bilidad= ad= medid medida a de la incertidumbr incertidumbre e sobre dicho suceso suceso
Conceptos importantes
EXPERIMENTO: Cualquier procedimiento de obtención de un dato, dadas unas condiciones de experimentación Si obtenemos un nuevo dato manteniendo constantes las condiciones de experimentación estamos REPITIENDO el experimento Ejemplo: comprobar si una muestra del material M1 resiste el peso P Ejemplo:: cronometrar Ejemplo cronometrar el tiempo tiempo que el ordenador ordenador O tarda en hacer hacer la tarea T Ejemplo:: medir la longitud Ejemplo longitud de una pieza del del tipo T producida producida por la máquina máquina M Ejemplo: calcular el resultado de sumar su mar 10+4
Tipos de experimentos Experimento determinista: es aquél en el que cada vez que se repite se obtiene el mismo resultado ¿Por qué? porque las condiciones de experimentación contiene a TODOS los factores que influyen
Ejemplo: calcular el resultado de sumar 10+4
Experimento aleatorio:
es aquél en el que no siempre se obtiene el mismo resultado = INCERTIDUMBRE ¿Por qué? porque las condiciones de experimentación NO contiene a TODOS los factores que influyen.
Ejemplo: comprobar si una muestra del material M1 resiste el peso P Ejemplo: cronometrar el tiempo que el ordenador O tarda en hacer la tarea T Ejemplo: medir la longitud de una pieza del tipo T producida por la máquina M
Conceptos importantes SUCESO ELEMENTAL: cada uno de los resultados elementales del experimento aleatorio Ejemplo: Al lanzar un dado, los sucesos elementales son 1,2,3,4,5,6 Al medir el tiempo de realización de una misma tarea, los sucesos elementales son infinitos
SUCESO COMPUESTO: unión de sucesos elementales Ejemplo: Al lanzar un dado, sacar un número par A:{2,4,6}
SUCESO CONTRARIO o COMPLEMENTARIO: El suceso complementario a A , Ā , es el que se observa cuando no ocurre A Ejemplo: Al lanzar un dado, sacar un número par A:{2,4,6} y su contrario será sacar impar, Ā :{1,3,5}
Conceptos importantes
ESPACIO MUESTRAL: conjunto de todos los sucesos posibles en un experimento. E. Se suele definir uniendo los elementales. También se le llama el Suceso Seguro Ejemplo Al lanzar un dado, E={1,2,3,4,5,6} Al medir el tiempo de realización de una tarea E={t≥0}
SUCESO IMPOSIBLE o VACÍO:
suceso que nunca puede observarse, Ø
Ejemplo Al medir el tiempo de realización de una tarea Ø ={t<0}
Diagrama de Venn Representación gráfica de sucesos
E
A B
C
E A
Ā
A ∪ Ā =E
Ejemplo: sucesos elementales al lanzar un dado
1
1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6=E
2
3
4
5
6
Unión de sucesos: es el suceso que ocurre cuando ocurre alguno de los que se unen
A
B
A
A
B
o bien
B
A+B
Ejemplo: A: sacar 2 ó 3 al lanzar un dado; A={2,3} B: sacar un número par; B={2,4,6}
A+B={2,3,4,6}
Intersección de sucesos: es el suceso que ocurre cuando ocurren simultáneamente
A
B
A
B o bien AB
A
B
A
(sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes)
Ejemplo: A: sacar 2 ó 3 al lanzar un dado; A={2,3} B: sacar un número par; B={2,4,6}
B= Ø
AB={2}
Tema 2: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definició n de probabilid ad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
2. Definición de probabilidad y propiedades A : suceso en el que estamos interesados. Ejemplo, A: sacar cara al lanzar una moneda Ejemplo, B: tardar más de 10 sg en realizar una tarea Ejemplo, C: que mañana llueva Ejemplo, D: que apruebe la asignatura Hacemos el experimento y ...
¿Observaremos el suceso A?
Medida de la incertidumbre de observar A. Probabilidad de observar el suceso A en la siguiente repetición del experimento aleatorio
P(A)
Probabilidad de un suceso A: es la frecuencia relativa de aparición del suceso si repitiésemos el experimento indefinidamente • 0 P(A) 1 • P(E)=1
• P(Ø)=0 • P(Ā)=1-P(A)
A
B
Para sucesos mutuamente excluyentes P(A+B)=P(A)+P(B)
Si no restamos P(AB), estamos contando el suceso intersección dos veces
Si no son mutuamente excluyentes P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
A
B
¿Cómo calcular probabilidades? (puede ser muy complicado)
• Usando las reglas anteriores • Si tenemos N sucesos elementales equiprobables (ejemplo: dado, o moneda) P(suceso elemental)=1/N • Si A: unión de k sucesos elementales equiprobables P(A)=k/N • Usando las reglas que veremos en las secciones siguientes • Empíricamente: repitiendo el experimento muchas veces (próximos temas)
Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente: Tipo I
Tipo II
TOTAL
Aceptables
46
184
230
Defectuosas
4
16
20
TOTAL
50
200
250
Si seleccionamos un artículo al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
P(Defectuoso)=20/250=0.08
Si seleccionamos un artículo al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea del Tipo II?
P(Tipo II)=200/250=0.80
Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente: Tipo I
Tipo II
TOTAL
Aceptables
46
184
230
Defectuosas
4
16
20
TOTAL
50
200
250
Un comprador quiere una pieza del Tipo II que funcione. Se extrae una pieza al azar de las 250 ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza NO VÁLIDA)
Solución 1:
P(no vale)=P(Defectuosa ∪ Tipo I) =P(Defectuosa)+P(Tipo I)-P(Defectuosa ∩ Tipo I)
20 50 4 = + 250 250 250
=
0.264
Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente: Tipo I
Tipo II
TOTAL
Aceptables
46
184
230
Defectuosas
4
16
20
TOTAL
50
200
250
Un comprador quiere una pieza del Tipo II que funcione. Se extrae una pieza al azar de las 250 ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza NO VÁLIDA)
Solución 2:
P(no vale)=1-P(vale) =1- P(Aceptable ∩ Tipo II) 184 =1= 0.264 250
Ejemplo
Se quiere saber la probabilidad de que un aislante del tipo A, soporte una atmósfera corrosiva durante al menos 100 horas Se toman n unidades de dicho aislante y transcurridas 100 horas se encuentra que d unidades han resistido.
• ¿Cuál es la probabilidad de que el aislante del tipo A resista? • ¿Cuánto debe ser n para que d/n sea dicha probabilidad? • ¿Cuánto debe ser n para que d/n sea una aproximación suficiente de dicha probabilidad?
Próximos temas
Tema 2: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definició n de probabilid ad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
3. Probabilidad condicionada y total La probabilidad de un suceso depende de la información que tengamos A: sacar un 2 al lanzar un dado ¿Y si nos dicen que el número que ha salido es par?
P(A)=1/6 P(A sabiendo que ha salido un número par) =1/3>1/6 Probabilidad condicionada
Notación: Definimos el suceso que no se ha observado aún y el que sí se ha observado • Suceso que no sabemos si se observará: A . Por ejemplo A: sacar un 2 • Suceso conocido: B. Por ejemplo B: es un número par Probabilidad de A condicionada a B Probabilidad de A dado B
P(A|B)
Ejemplo
En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la siguiente forma: Chicas
Chicos
TOTAL
Fuman
15
15
30
No fuman
105
165
270
TOTAL
120
180
300
Si seleccionamos a una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumadora?
Si seleccionamos a una persona al azar y vemos que es chico, ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador?
P(Fuma)=30/300=0.10
P(Fuma|Chico)=15/180=0.083 Ya sabemos que es chico
15 P (Fuma | Chico) = 180
Ejemplo
En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la siguiente forma:
15 P (Fuma | Chico) = 180
=
Chicas
Chicos
TOTAL
Fuman
15
15
30
No fuman
105
165
270
TOTAL
120
180
300
nº de personas que son chicos Y fuman nº de chicos
=
15/ 300 180/ 300
=
15/300 P(Fuma ∩ Chico) = 180 / 300 P(Chico)
P (Fuma
=
(nº de personas que son chicos Y fuman)/(nº de personas) (nº de chicos)/(nº de personas)
| Chico) =
P(Fuma ∩ Chico) P(Chico)
Regla de la probabilidad condicionada
P( A | B) =
P( A ∩ B) P (B )
De esta regla también puede tenerse
P ( A ∩ B ) = P ( A | B )P ( B ) Análogamente:
P (B | A ) =
P( A ∩ B) P ( A)
P ( A ∩ B ) = P (B | A)P ( A)
Regla de la probabilidad total Sean B1,B2,...,Bn sucesos de un experimento cuya unión sea E B2
n
B4
∪B
i
=E
i =1
A
Sea A otro suceso que se observa al mismo tiempo que los sucesos Bi B1
B3 Ejemplo:
B1: ser varón B2: ser mujer A: ser fumador
Problema Queremos saber P(A: ser fumador), pero lo que sabemos es P(A|varón) y P(A|mujer) ¿Cómo podemos reconstruir la probabilidad total?
B1 + B2 = E
B2
B4
P ( A) = P ( A ∩ E )
A
n
como
∪B
i
=E
i =1
B1
B3
n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ P ( A) = P ⎜ ⎜⎜ A ∩ ⎜⎜∪ Bi ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎝ i 1 ⎠⎟⎠ ⎝ =
(A
B1)
(A
B2)
(A
B3)
P ( A) = P
(A
B4)
(( A ∩ B1) ∪ ( A ∩ B2 )( A ∩ B )) n
mutuamente excluyentes
(
)
(
)
(
P ( A) = P A ∩ B1 + P A ∩ B2 + + P A ∩ Bn
)
B2
B4
(
) )
(
P ( A) = P A ∩ B1 + P A ∩ B2 A
(
+ + P A ∩ Bn
B1
)
B3 usando que
(A
B1)
(A
(A
B2)
(
B3)
(A
P ( A ∩ Bi ) = P ( A | Bi )P (Bi )
B4)
)
(
)
(
)
P ( A) = P A | B1 P ( B1 ) + P A | B2 P (B2 ) + + P A | Bn P (Bn )
Regla de la Probabilidad Total n
P ( A) =
∑ P ( A | B )P(B ) i
i =1
i
B2
B4
Regla de la Probabilidad Total n
A
P ( A) =
∑ P ( A | B )P(B ) i
i
i =1
B1
(A
B3
B1)
(A
B2)
Ejemplo:
(A
B3)
(A
B4)
B1: ser varón B2: ser mujer A: ser fumador
Queremos saber P(A: ser fumador), pero lo que sabemos es P(A|varón) y P(A|mujer)
P(Fumador)=P(Fumador|Mujer)P(Mujer)+P(Fumador|Varón)P(Varón)
Ejemplo
En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la siguiente forma: Chicas
Chicos
TOTAL
Fuman
15
15
30
No fuman
105
165
270
TOTAL
120
180
300
P(Fuma|chica)=15/120=0.125 P(Chica)=120/300=0.40
P(Fuma|chico)=15/180=0.0833 P(Chico)=180/300=0.60
P(Fuma)=P(Fuma|Chica)P(Chica)+P(Fuma|Chico)P(Chico) =
0.125 × 0.40 + 0.0833 × 0.60 = 0.10
Tema 2: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definició n de probabilid ad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
4. Independencia de sucesos La información que tengamos de uno de ellos no nos sirve para conocer mejor el otro
¿Qué significa que dos sucesos A y B sean independientes?
La probabilidad de uno de ellos no cambia por observar o no el otro P(A|B) P(A|B)=P(A) =P(A) ; P(B|A) P(B|A)=P(B) =P(B) Ejemplos: A: sacar 2 con un dado B: sacar cara con una moneda
P(A)=1/6; P(A|B)=1/6=P(A) son independientes
B: sacar número par con un dado
P(A)=1/6; P(A|B)=1/3≠ P(A) son dependientes
B: sacar número impar con un dado
P(A)=1/6; P(A|B)=0≠ P(A) son dependientes
4. Independencia de sucesos Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de uno de ellos no cambia por observar o no el otro P(A|B)=P(A) ; P(B|A)=P(B)
por la regla de la probabilidad condicionada
P( A | B) =
P( A ∩ B)
Independencia:
Dependencia:
P (B )
= P ( A)
P (B | A) =
P( A ∩ B)
P ( A ∩ B ) = P ( A)P (B ) P ( A ∩ B ) = P ( B | A)P( A)
ó
P ( A ∩ B ) = P ( A | B )P ( B )
P ( A)
= P (B )
Ejemplo
Unas piezas cilíndricas pueden ser defectuosas por tener una longitud inadecuada o por tener un diámetro inadecuado, siendo ambos tipos de defectos independientes. Si la proporción de cilindros con longitud inadecuada es de 5% y la de cilindros con diámetro inadecuado es del 3%. ¿Qué porcentaje de cilindros son defectuosos?
P(longitud inadecuada)=0.05 P(diámetro inadecuado)=0.03
P(defecto)=P(long ∪ diam) =P(long)+P(diam)-P(long ∩ diam)
P(long ∩ diam)=P(long) × P(diam)=0.05 × 0.03=0.0015
sucesos independientes
P(defecto)=P(long)+P(diam)-P(long ∩ diam)=0.05+0.03-0.0015=0.0785
Tema 2: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definició n de probabilid ad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
5. Teorema de Bayes
Problema:
Conocemos P(B|A), ¿Cómo podemos calcular P(A|B)?
¿P(A|B)? Por la regla de la probabilidad condicionada
P( A | B) =
pero también tenemos que
P (B | A ) =
P( A ∩ B) P (B ) P( A ∩ B) P ( A)
P ( A ∩ B ) = P (B | A )P ( A )
Teorema de Bayes P( A | B) =
P (B | A )P ( A ) P (B )
Ejemplo
Una empresa que gestiona la red de una gran empresa adquiere un antivirus con las siguientes características. Si hay virus, da la alarma con probabilidad 0.95. Aunque no haya virus, hay una probabilidad de 0.08 de que dé una falsa alarma de virus.
Si la red de dicha empresa suele recibir un ataque de virus por cada 1000 accesos, calcula la probabilidad de que cuando dé la alarma de virus, haya de verdad un ataque
A: al analizar un mensaje se da la alarma V: el mensaje tiene un virus
P (V
| A) =
P ( A | V )
=
P (V
P ( A)
Regla de la Probabilidad Total n
∑ P ( A | B )P (B ) i
i =1
=
0.95
0.08 P (V ) = 0.001
P ( A | V ) P (V )
P(A) =
P ( A | V )
i
| A) =
0.95 × 0.001 P ( A)
Ejemplo
Una empresa que gestiona la red de una gran empresa adquiere un antivirus con las siguientes características. Si hay virus, da la alarma con probabilidad 0.95. Aunque no haya virus, hay una probabilidad de 0.08 de que dé una falsa alarma de virus.
Si la red de dicha empresa suele recibir un ataque de virus por cada 1000 accesos, calcula la probabilidad de que cuando dé la alarma de virus, haya de verdad un ataque
A: al analizar un mensaje se da la alarma V: el mensaje tiene un virus
P (V
P ( A)
| A) =
=
=
P ( A | V ) P (V )
P ( A | V )
=
P ( A | V )
=
0.08 P (V ) = 0.001 P (V
P ( A)
| A) =
P ( A | V ) P (V ) + P ( A | V ) P (V )
0.95 × 0.001 + 0.08 × 0.999 = 0.08087
P (V
| A) =
0.95
0.95 × 0.001 = 0.012 0.08087
0.95 × 0.001 P ( A)
Teorema de Bayes P( A | B) =
P (B | A )P ( A ) P (B )
También suele expresarse como
P( A | B) =
P (B | A) P (B )
P ( A)
Probabilidad DESPUES de observar B Probabilidad ‘a posteriori’ actualizamos nuestra incertidumbre
Probabilidad ANTES de observar B Probabilidad ‘a priori’
Ejemplo
Una empresa petrolífera ha de decidir si un emplazamiento es adecuado para hacer una prospección petrolífera. La empresa iniciará la prospección si después de analizar el terreno, la probabilidad de encontrar petróleo es mayor que 0.5.
Dadas las condiciones geológicas de la zona, P(Hay petróleo)=0.40 Es posible contratar una prueba sísmica para detectar la presencia de petróleo. P(positivo|Hay petróleo)=0.40 P(positivo|No hay petróleo)=0.10 ¿Debe la empresa petrolífera realizar esa prueba sísmica? Le interesa si P(Hay petróleo|positivo)>0.5
P( A | B) =
P (B | A )
P(positivo|Hay petróleo) P(Hay petróleo|positivo)=
P(Hay petróleo) P(positivo)
P(positivo)= P(positivo|Hay) P(Hay)+P(positivo|No hay) P(No hay) =(0.40)(0.40)+(0.10)(0.60)=0.22
P (B )
P ( A)