pre-esforco ist

ESTRUTURAS DE BETÃO II FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 1 - PRÉ-ESFORÇO

Carla Marchão Júlio Appleton

Ano Lectivo 2008/2009

ÍNDICE

1.

INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 1 1.1.

2.

TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO.......................................................... .................................................................... .......... 1 2.1. 2.2.

3.

PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO................................................................. ...................................................................................... ..................... 1 PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO................................................................. ...................................................................................... ..................... 1

COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO ................................................... 2 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

4.

VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ -ESFORÇO .................................................................. 1

ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO.................................................................... ......................................................................................... ..................... 2 ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO.................................................................. ....................................................................................... ..................... 3 BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................. .............................................................................................. ................................. 3 SISTEMAS DE INJECÇÃO .................................................................. ................................................................................................... ................................. 3

EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO............................................................... ................................................................................................ ................................. 4 4.1. 4.2.

RAZÃO DA UTILIZAÇÃO DE AÇOS DE ALTA RESISTÊNCIA PARA APLICAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO ......... 5 COMPARAÇÃO ENTRE O COMPORTAMENTO EM SERVIÇO E CAPACIDADE RESISTENTE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E DE BETÃO PRÉ -ESFORÇADO...................................................... 6

5.

PRÉ-DIMENSIONAMENTO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO ............................... 7 5.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO ........................................................... ................................................................................ ..................... 7 5.2. TRAÇADO DO CABO .............................................................. .......................................................................................................... ............................................ 7 5.2.1. Princípios base para a definição defi nição do traçado dos cabos de pré-esforço ............... 8 5.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL ................................................ 9

6.

CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS P ARABÓLICOS ................................................ 15 6.1. 6.2. 6.3.

7.

EQUAÇÃO DA PARÁBOLA ................................................................. ................................................................................................ ............................... 15 DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS ................... 16 DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO – TROÇO RECTO ....... 16

CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO .............................................................. 17 7.1.

ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS CABOS )............................................................................ ................... 17 SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES)......................................................... 7.2. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO ........................................................... .............................................................................. ................... 17 7.3. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES .......................................................... .................................................................. ........ 17 7.3.1. Zona das ancoragens ........................................................... .......................................................................................... ............................... 17 7.3.2. Traçado parabólico ...................................................................................... .............................................................................................. ........ 18 7.3.3. Traçado poligonal ................................................................................................ ................................................................................................ 18

ÍNDICE

1.

INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 1 1.1.

2.

TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO.......................................................... .................................................................... .......... 1 2.1. 2.2.

3.

PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO................................................................. ...................................................................................... ..................... 1 PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO................................................................. ...................................................................................... ..................... 1

COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO ................................................... 2 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

4.

VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ -ESFORÇO .................................................................. 1

ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO.................................................................... ......................................................................................... ..................... 2 ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO.................................................................. ....................................................................................... ..................... 3 BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................. .............................................................................................. ................................. 3 SISTEMAS DE INJECÇÃO .................................................................. ................................................................................................... ................................. 3

EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO............................................................... ................................................................................................ ................................. 4 4.1. 4.2.

RAZÃO DA UTILIZAÇÃO DE AÇOS DE ALTA RESISTÊNCIA PARA APLICAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO ......... 5 COMPARAÇÃO ENTRE O COMPORTAMENTO EM SERVIÇO E CAPACIDADE RESISTENTE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E DE BETÃO PRÉ -ESFORÇADO...................................................... 6

5.

PRÉ-DIMENSIONAMENTO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO ............................... 7 5.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO ........................................................... ................................................................................ ..................... 7 5.2. TRAÇADO DO CABO .............................................................. .......................................................................................................... ............................................ 7 5.2.1. Princípios base para a definição defi nição do traçado dos cabos de pré-esforço ............... 8 5.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL ................................................ 9

6.

CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS P ARABÓLICOS ................................................ 15 6.1. 6.2. 6.3.

7.

EQUAÇÃO DA PARÁBOLA ................................................................. ................................................................................................ ............................... 15 DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS ................... 16 DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO – TROÇO RECTO ....... 16

CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO .............................................................. 17 7.1.

ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS CABOS )............................................................................ ................... 17 SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES)......................................................... 7.2. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO ........................................................... .............................................................................. ................... 17 7.3. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES .......................................................... .................................................................. ........ 17 7.3.1. Zona das ancoragens ........................................................... .......................................................................................... ............................... 17 7.3.2. Traçado parabólico ...................................................................................... .............................................................................................. ........ 18 7.3.3. Traçado poligonal ................................................................................................ ................................................................................................ 18

8.

VALOR DA FORÇA FO RÇA DE PRÉ-ESFORÇO .......................................................................... .......................................................................... 23 8.1. FORÇA MÁXIMA DE TENSIONAMENTO ............................................................ ............................................................................... ................... 23 8.2. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO .............................................................. ............................................................................................. ............................... 23 8.2.1. Perdas por Atrito................................................................... .................................................................................................. ............................... 24 8.2.2. Perdas por reentrada reentrad a das cunhas (ou dos cabos) .............................................. 25 8.2.3. Perdas por deformação instantânea instantâ nea do betão .................................................... 26 8.2.4. Cálculo do alongamento a longamento teórico dos cabos de pré-esforço pré-esforç o ................................ 26 8.2.5. Perdas por retracção do betão be tão .................................................................... ............................................................................ ........ 31 8.2.6. Perdas por fluência do betão .............................................................................. 31 8.2.7. Perdas por relaxação da armadura ............................................................. ..................................................................... ........ 31

9.

VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE LIM ITE ÚLTIMOS ............................ 35 9.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO ................................................................................. ................... 35 F LEXÃO .............................................................. 9.1.1. Pré-esforço do d o lado da resistência res istência .............................................................. ...................................................................... ........ 35 9.1.2. Pré-esforço do lado da acção ............................................................................. 35 9.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO.......................................................... 37

10.

VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ....................... 42

10.1. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESMAGAMENTO DO BETÃO ............................................ 42 10.2. DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DE REFORÇO NA ZONA DAS ANCORAGENS................... 43 10.2.1. Modelos de escoras e tirantes ............................................................................ 43 10.2.2. Tensões de tracção a absorver ................................................................... ........................................................................... ........ 44 11.

PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL .............................................. .............................................. 52

11.1. CONSIDERAÇÃO DO EFEITO DO PRÉ -ESFORÇO ................................................................. 52 12.

EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS ........................... ........................... 54

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2008/2009

Estruturas de Betão II

1. Introdução 1.1. VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO 

Vencer vãos maiores



Maiores esbeltezas



Diminuição do peso próprio



Melhoria do comportamento em serviço



Utilização racional dos betões e aços de alta resistência

2. Técnicas e sistemas de pré-esforço 2.1. PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO 

As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão;



A transferência de força é realizada por aderência;



É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços de amarração).

2.2. PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO 



As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência necessária; A transferência é realizada quer nas extremidades, através de dispositivos mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longo das armaduras.

MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

1



3. Componentes de um sistema de pré-esforço 3.1. ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter as seguintes formas:

Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm

•

fios

•

cordões

•

(compostos por 7 fios) Designação

Secção nominal [cm2]

Diâmetro [mm]

0.5” 0.6”N 0.6”S

0.987 1.4 1.5

12.7 15.2 15.7

Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm

barras

(podem ser lisas ou roscadas)

Características dos aços de alta resistência utilizados em armaduras de pré-esforço: fp0,1k [Mpa]

fpk [Mpa]

Ep [Gpa]

fios e cordões

1670

1860

195 ± 10

barras

835

1030

170

Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha)

Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas de pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem).


2



3.2. ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO

•

Activas Permitem o tensionamento

•

Passivas Ficam embebidas no betão

•

De continuidade (acoplamentos)

Parte passiva, parte activa

3.3. BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO •

Metálicas

•

Plásticas

3.4. SISTEMAS DE INJECÇÃO •

Materiais rígidos (ex: calda de cimento)

•

Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras)


3



4. Efeito do Pré-Esforço

O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicação em estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais. Considere-se a seguinte viga pré-esforçada: pp

Apresenta-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada (secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para as seguintes situações: A – acção do pré-esforço isolado B – Acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio) C – situação após a aplicação do pré-esforço

B

A +

C Mpp =

+ e


P0

-

+

ε P0

+

+

ε P0

4



4.1. RAZÃO DA UTILIZAÇÃO DE AÇOS DE ALTA RESISTÊNCIA PARA APLICAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO Considere o tirante de betão pré-esforçado, cuja secção transversal se apresenta. 0.50

Materiais:C25/30 (ϕ = 2.5) A400NR A1600/1800

0.50

Para os dois tipos de aço indicados e admitindo que se pretende aplicar uma força de pré-esforço P0’ = 3000 kN, cálcule a área de aço necessária, bem como a força que ficará instalada a longo prazo, considerando o efeito da fluência do betão. 1. Determinação da área de aço necessária P' P0' = 0.75 f uk As ⇒ As = 0.750 f uk •

Armadura ordinária:

3000 As = 0.75 × 400×103 ×104 = 100 cm 2

•

Armadura de alta resistência:

3000 A s = 0.75 × 1800×103 ×104 = 22.2 cm2

2. Cálculo da perda de tensão nas armaduras, por efeito da fluência do betão (i) Cálculo do encurtamento instantâneo do betão devida à aplicação do pré-esforço σc(t0) =

P 3000 12 σc 2 = = 12000 kN/m = 12 MPa = εc(t0) = ⇒ Ac 0.5 × 0.5 Ec 31×103 = 0.39 ‰

(ii) Determinação do encurtamento devido à fluência ∆εc(t,t0) = εcc(t,t0) = ϕ × εc(t0) = 2.5 × 0.39 = 0.975 ‰

(iii) Perda de tensão nas armaduras ∆σs = ∆εc(t,t0) × Es = 0.975×10-3 × 200×106 = 195 MPa

3. Cálculo da força de pré-esforço a longo prazo • Armadura ordinária: ∆P = ∆σs × As = 195×103 × 100×10-4 = 1950 kN ⇒ P∞=1050 kN • Armadura de alta resistência: ∆P = 195×103 × 22.2×10-4 = 432.9 kN ⇒ P∞ = 2567 kN


5



4.2. COMPARAÇÃO ENTRE O COMPORTAMENTO EM SERVIÇO E CAPACIDADE RESISTENTE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E DE BETÃO PRÉ -ESFORÇADO Considere o tirante de betão, cuja secção transversal está representada na figura, e os seguintes casos: Caso 1 – tirante de betão armado (armadura ordinária) Caso 2 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P ∞ = 500 kN) Caso 3 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P ∞ = 1000 kN) 0.40 0.40

Materiais:C25/30 A400NR A1600/1800

Para um esforço normal de dimensionamento N sd = 1395 kN, calcule a área de armadura necessária para verificar o estado limite último de tracção. Para cada solução calcule o esforço normal de fendilhação do tirante (N cr). •

Caso 1

(i) Determinação da área de armadura necessária N 1395 As = f sd = 348×103 × 10-4 = 40 cm2 yd (ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (N cr) 200 Ncr = Ah × fctm = (Ac + α As) fctm =  0.42 + 31 × 40×10-4 × 2.6×103 = 483.1 kN   •

Caso 2

(i) Determinação da área de armadura necessária N 1395 Ap = f sd = 1600 ×103 / 1.15 × 10-4 = 10 cm2 pyd (ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (N cr) Ncr P∞ Ah = f N = A × fctm + P∞ × ⇒ ctm cr h Ah Ac Ac


6



200 2 0.4 + × 10×10-4 31 200 2 Ncr =  0.4 + × 10×10-4 × 2.6×103 + 500 × = 952.9 kN 31 0.42   •

Caso 3

(i) Determinação da área de armadura necessária N 1395 Ap = f sd = 1600 ×103 / 1.15 × 10-4 = 10 cm2 pyd (ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (N cr). 200 2 0.4 + × 10×10-4 31 200 Ncr =  0.42 + 31 × 10×10-4 × 2.6×103 + 1000 × = 1473.1 kN 0.42 

Conclusão: A capacidade resistente do tirante é igual nos três casos. No que se refere à fendilhação, verifica-se um melhor comportamento dos tirantes pré-esforçados relativamente ao tirante de betão armado, e em particular no caso 3 em que a força de pré-esforço é maior.

5. Pré-dimensionamento de um elemento pré-esforçado 5.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO L A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h ≅ 15 a 20. 5.2. TRAÇADO DO CABO A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços das cargas permanentes.


7



5.2.1. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço

1.5 Øbainha

1.5 Øbainha 0.35L a 0.5L

0.05L a 0.15L L

• Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau) • Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota) • Sempre que possível, nas extremidades, os cabos deverão situar-se dentro do

núcleo central da secção • O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade

da secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes • Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limites

correspondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessários para resistir às forças de ancoragem Notas: i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para as bainhas dos cabos de pré-esforço: c min = min (φbainha; 0.08 m); ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos de excentricidade máxima; iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que, simplificadamente pode ser obtido pela expressão R min = 3 Pu (onde Pu representa a força útil em MN).


8



5.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimada através dos seguintes critérios: • Critério do balanceamento das cargas

qeq ≅ (0.8 a 0.9) q cqp ou, de uma forma mais rigorosa, • Critério da limitação da deformação δpe = (0.8 a 0.9) δcqp, tal que no final δtotal = (1 + ϕ) (δcqp – δpe) ≤ δadmissível

L L com δadmissível ≅ 500 a 1000 (dependente da utilização da obra) • Critério da descompressão

EC2 – parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar Tabela 7.1N Valores recomendados para w máx (mm)

Classe de exposição

Elementos de betão armado ou pré- esforçado (p.e. não aderente)

Elementos de betão pré-esforçado (p.e. aderente)

Comb. quase-permanente de acções

Combinação frequente de acções

0.4

0.2

X0, XC1

0.2 1

XC2, XC3, XC4 XD1, XD2, XS1, XS2, XS3 (1)

0.3

Descompressão

Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções

A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita se, nas secções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no interior da zona comprimida e a uma distância de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m relativamente à zona traccionada, para estruturas de edifícios ou pontes, respectivamente. Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem tracções ao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por efeito dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço. MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

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EXERCÍCIO PE1 Considere a viga indicada na figura seguinte.

Parábola

Parábola

A

Parábola

B

e1 = 0.15

Recta

D

C

e2 = 0.38 8.00

Parábola

e3 8.00

e4 = -0.22 e5 4.00

e6 = -0.10

1.00

4.00

Secção Transversal da Viga: 1.50 0.20 0.37

Propriedades geométricas da secção: A = 0.61 m 2 I = 0.0524 m4

0.50 0.53 0.20

Materiais:C30/37 A400NR A1670/1860 (baixa relaxação)

0.30 0.80

Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções: Q

q pp + rcp

-

Cargas permanentes ( γ g = 1.35):

pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m

-

sobrecargas ( γ q = 1.5; ψ 1 = 0.6; ψ 2 = 0.4):

q = 20 kN/m e Q = 100 kN

Nota: q e Q actuam em simultâneo


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a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quase permanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kN. b) Qual o valor de P ∞ que seria necessário para garantir a descompressão para a combinação quase permanentes de acções, nas secções B e C? c) Qual o valor de P ∞ que seria necessário para garantir a condição σc < fctk para combinação frequente de acções nas secções B e C? d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura. e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço para uma força de pré-esforço de 1000 kN. f) Qual o valor de P ∞ que seria necessário para contrariar 80% de deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes? g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P ∞ = 0.86 P0 e P0 = 0.90 P’0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 f pk. h) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformação instantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos. i) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação das armaduras). j) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite último de flexão. l) Calcule a área de armadura transversal. m) Verifique a segurança na zona das ancoragens.


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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes pcqp = cp + ψ 2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 × 20 = 38 kN/m Qcpq = ψ 2 Q = 0.4 × 100 = 40 kN Qcqp p cqp 20.00

5.00

R1 DEV [kN]

R2

346.3

230.0

(+)

(+)

40.0

(-) 413.8 DMF [kNm]

675.0

8.00

(-) (+) 1554.0

Σ MC = 0 ⇔ – R1 × 20 + 38 × 20 × 10 – 40 × 5 – 38 × 5 × 2.5 = 0 ⇒ R1 = 346.3 kN

⇒ R2 = 38 × (20 + 5) + 40 – 346.3 = 643.8 kN

2. Cálculo das tensões na secção B (i) Características geométricas da secção B 1.50

A = 0.61 m2 I = 0.0524 m2

0.37

I 0.0524 winf = v = 0.53 = 0.09886m3 inf

G 0.53


0.38

I 0.0524 wsup = v = 0.37 = 0.1416m3 sup

12



(ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço P/A

(-)

M cqp

Pxe

M cqp

ω

ω

(+)

(-)

+

+

P

(-)

(+)

σinf = -

P P × e Mcqp 1000 1000 × 0.38 1554 + = + A winf winf 0.61 0.09886 0.09886 = 10.2MPa

σsup = -

P P × e Mcqp 1000 1000 × 0.38 1554 + = + A wsup wsup 0.61 0.1416 0.1416 = - 9.9MPa

ALÍNEA B) 1. Secção B P∞ / A

MB

(+)

(-)

ω

(-)

MB

P∞ x e

+

ω

+

P∞

(-)

(+)

P∞ P∞ × e MB P∞ P∞ × 0.38 1554 + < 0 + ⇔A w w 0.61 0.09886 0.09886 < 0 ⇔ ⇔ P∞ > 2866.8 kN σinf < 0 ⇔ -

2. Secção C P∞ / A

(-)

MC

(-)

(+)

ω

P∞ MC

P∞ x e

ω

+

+ (+)

(-)

P∞ P∞ × e MC P∞ P∞ × 0.22 675 + < 0 + ⇔A w w 0.61 0.1416 0.1416 < 0 ⇔ ⇔ P∞ > 1492.9 kN σsup < 0 ⇔ -

⇒ P∞ > 2866.8 kN MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

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ALÍNEA C) 1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente pfr = cp + ψ 1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 × 20 = 42 kN/m Qfr = ψ 1 Q = 0.6 × 100 = 60 kN Qfr pfr 20.00

R1 DMF [kNm]

5.00

R2 825.0

8.00

(-) (+) 1686.0

Σ MB = 0 ⇔ – R1 × 20 + 42 × 20 × 10 – 60 × 5 – 42 × 5 × 2.5 = 0 ⇒ R1 = 378.8 kN

⇒ R2 = 42 × (20 + 5) + 60 – 378.8 = 731.3 kN

2. Secção B σinf < fctk ⇔ -

P∞ P∞ × e MB P∞ P∞ × 0.38 1686 3 + < f + ⇔ctk A w w 0.61 0.09886 0.09886 < 2 × 10 ⇔

⇔ P∞ > 2745.6 kN

3. Secção C P∞ P∞ × e MC P∞ P∞ × 0.22 825 3 + < f + ⇔ctk A w w 0.61 0.1416 0.01416 < 2 × 10 ⇔ ⇔ P∞ > 1198.3 kN σsup < fctk ⇔ -

⇒ P∞ > 2745.6 kN


14



6. Características dos traçados parabólicos 6.1. EQUAÇÃO DA PARÁBOLA Equação geral da parábola: y = ax 2 + bx + c (para determinar os parâmetros a , b e c é necessário conhecer 3 pontos)

x1

x3

x2

y1 y2 y3

Caso se utilize um referencial local: 1)

y = ax 2 + c

x

(y’ (0) = 0 ⇒ b = 0)

y 2)

y

y = ax 2

(y’ (0) = 0 ⇒ b = 0 e y (0) = 0 ⇒ c = 0) x Determinação do parâmetro a L/2 θ

L/2 f f

θ

2f 4f tg θ = L/2 = L 4f i) y’ (- L/2) = 2a × L/2 = tg θ ⇒ a = L2

ou

2

L 4f ii) y (L/2) = f ⇔ a ×  = f ⇒ a = L2  2 

Determinação da curvatura da parábola

1 8f = y" (L/2) = 2a = R L2 MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

15



6.2. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS

f 2 e2 e1 f 1 L1

L2

O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, f1 e1 + e2 L1 ⇒ f1 = = L1 L1 + L2 L1 + L2 (e1 + e2) e f2 = (e2 + e1) – f1

6.3. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO – TROÇO RECTO

θ

e f f

L1 L2

e-f e+f ⇔ (e – f) L2 = (e + f) L 1 ⇔ e L2 – f L2 = e L1 + f L1 ⇔ tg θ = L = L 1 2 ⇔ f L1 + f L2 = e L2 – e L1 ⇔ f (L1 + L2) = e (L2 – L1) ⇔


e (L - L ) f = L 2+ L 1 1 2

16



7. Cargas equivalentes de pré-esforço A acção do pré-esforço pode ser simulada através de cargas – cargas equivalentes de pré-esforço. 7.1. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES )

 

Forças nas ancoragens; Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão.

7.2. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO

 

Forças nas ancoragens; Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamente opostas às que o betão exerce sobre o cabo.

7.3. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES 7.3.1. Zona das ancoragens P tgα P α

e

P ⇔

Pe

Nota: tg α ≅ sen α e cos α ≅ 1 MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

17



7.3.2. Traçado parabólico

Considere-se o seguinte troço infinitesimal de cabo de pré-esforço, e as acções que o betão exerce sobre este, dβ dβ 1 ds = R dβ ⇒ ds = R R

q* ds

P

dβ dβ P 2 + (P + dP) 2 = q* ds P dβ P dβ = q* ds ⇒ q* = P ds ou q* = R P+dP

dβ/2 ds

Notas:

dβ dβ dβ  dβ ≅ tg - ângulo muito pequeno ⇒ sen 2 ≅ 2  e cos 2  2 ≅ 1;  - consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio. Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado, L/2

L/2

α

dβ 2f 4f 8f tg α = 2 = L/2 = L ⇒ dβ = L ds ≅ L A partir de (1) e (2), obtém-se 8fP dβ 8 f ⇒ q* = L2 = 2 ds L

f f

(1) (2)

7.3.3. Traçado poligonal

f

Q*

f tg β = L 1

β

L1 Q* q* s MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

f Q* = q* s = P tg β = P L ⇔ 1 ⇔ Q* = P tg β

18



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO) ALÍNEA D) Parábola 1

Parábola 2

e1 = 0.15

Parábola 3

e2 = 0.38 8.00

Parábola 4

Recta

e4 = -0.22 8.00

4.00

1.00

e6 = -0.10 4.00

(i) Parábola 1

y = ax2

8.00

y(8) = 0.23 ⇔ a × 82 = 0.23

y 0.23 x

⇒ a = 3.59375 × 10-3

y(x) = 3.59375 × 10 -3 x 2

(ii) Parábola 2

1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão

0.6

x 8.00 12.00

12 0.6 8 = x ⇒ x = 0.4 2. Determinação da equação da parábola 8.00 y

y (8) = 0.4 ⇒ a = 6.25 × 10-3

0.4 x


y = ax2 y (x) = 6.25 × 10 -3 x 2

19



(iii) Parábola 3 x y

4.00

y = ax2

0.2

y (4) = 0.2 ⇒ a = 0.0125 y (x) = 0.0125 x 2

(iv) Parábola 4 e troço recto

0.12

y

x y 1.00

4.00

x

1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância

f f

y’ (1, 0) = tg θ = 2 f 0.12 + f tg θ = 5

θ

1.0

⇒2f=

0.12 + f ⇔ 10 f = 0.12 + f ⇒ f = 0.01333 m 5

2. Determinação das equações da parábola e do troço recto Parábola 4: y (1) = 0.01333 ⇒ y (x) = 0.01333 x 2 Troço recto: y = mx + b = 2 × 0.01333 x ⇒ y (x) = 0.02667 x

ALÍNEA E)

1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P∞ = 1000 kN) q=

8 f P∞ L2


Parábola

f (m)

L (m)

q (kN/m)

1 2 3 4

0.23 0.4 0.2 0.0133

16 16 8.0 2.0

7.2 12.5 25.0 26.6

20



2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo

Extremidade Esquerda

tg α = y’ (8) = 2 × 3.59375 × 10-3 × 8 = 0.0575 P × tg α = 57.5 kN P × e = 1000 × 0.15 = 150.0 kNm Extremidade Direita

tg α = y’ (1) = 0.02667 P × tg α = 26.7 kN P × e = 1000 × 0.10 = 100.0 kNm

25.0 kN/m 57.5 kN

7.2 kN/m

26.6 kN/m

12.5 kN/m

100.0 kNm

1000 kN 150.0 kNm

8.00

8.00

4.00

1.00

4.00

1000 kN 26.7 kN

como curiosidade, Σ Feq = - 57.5 + 7.2 × 8 + 12.5 × 8 - 25.0 × 4 - 26.6 × 1 + 26.7 ≅ 0


21



ALÍNEA F)

1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quasepermanentes Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão do tramo apoiado é dada por: 1  5pL4 L2  δ= EI  384 + 16 (M1 + M2) onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e entram na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de materiais. Deste modo, 5 × 38 × 204 202  δ= + 16 (0 - 675.0) = 0.036 m 384 33×106 × 0.0524  1

2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P ∞ = 1000 kN (cargas equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada: δ = 0.010 m

3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% da deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes δpe = 0.8 δcqp = 0.8 × 0.036 = 0.029 m

⇒ P∞ = 1000 × 0.029/0.010 = 2900 kN


22



8. Valor da força de pré-esforço 8.1. FORÇA MÁXIMA DE TENSIONAMENTO

De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pela seguinte expressão Pmáx = Ap ⋅ σp,máx onde, = min (0.8 f pk; 0.9 fp0,1k) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordões. σp,máx

8.2. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO



Perdas instantâneas (8% – 15%) Pós-tensão • Perdas por atrito • Perdas por reentrada de cabos • Perdas por deformação instantânea do betão Pré-tensão • Relaxação da armadura até à betonagem • Escorregamento nas zonas de amarração • Deformação instantânea do betão



Perdas diferidas (12% – 15%) • • •

Perdas por retracção do betão Perdas por fluência do betão Perdas por relaxação da armadura 8% – 15%

12% – 15%

P0’ ( força de tensionamento) → P0 → P∞ P0 – força de pré-esforço após perdas imediatas P∞ – força de pré-esforço útil ou a tempo infinito MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

23



8.2.1. Perdas por Atrito

dβ

q* ds

P

P+dP

(Fa = µN) q* ds = P dβ

dβ/2 µ q* ds = µ P dβ

ds

Por equilíbrio de forças horizontais, dP P – P – dP – µ P dβ = 0 ⇔ dP = – µ P dβ ⇔ P = – µ dβ ⇔ P0 ⇔ ⌠ ⌡P0'

⇔

β 1 P0 ⌠ µ β ⇔ µ × β ⇔ dP = d Log P Log P ' = Log 0 0 ⌡0 P P0' = – µβ ⇔

P0 -µβ - µβ P0' = e ⇔ P 0 = P 0 ’ × e

Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento, P0 (x) = P0’ e-µ(β+kx) onde, µ representa o coeficiente de atrito (usualmente toma

valores entre 0.18 e 0.20);

β representa a soma dos ângulos de desvio;

k representa o desvio angular parasita (valor máximo 0.01 m -1; geralmente 0.004 a 0.005m-1), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento dos cabos de pré-esforço. Esta expressão também pode aparecer com a forma, P0 (x) = P0’ e-(µβ + k’x)


(neste caso k’ = kµ e representa o coeficiente de atrito em recta)

24



8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) P P0' ∆P

P0(x)

x

L

ω

∆L – comprimento de reentrada das cunhas ( ≅ 6mm) ω – comprimento até onde se faz sentir as perdas por

reentrada das cunhas

Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo com curvatura aproximadamente constante), ⌠ ω ∆L = ⌠ ⌡0 ∆ε dx = ⌡ 0

ω

⇒

∆P × ω

2

∆σ

Ep

1 ω dx = E × A ⌠ ⌡0 ∆P dx ⇔ Adiagrama = ∆L × Ep × Ap p p

= ∆L × Ep × Ap

(1)

∆P Como 2 = p × ω ⇔ ∆P = 2 p ω (2) onde p representa a perda de tensão por atrito, por metro (declive do diagrama)

Substituindo (2) em (1) obtém-se, 2pω×ω = ∆L × Ep × Ap ⇔ ω = 2

∆L × Ep × Ap

p

8.2.2.1. Casos particulares (i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.) P P0'

∆L × Ep × Ap

∆P × L = ∆L × Ep × Ap ⇔

∆P

⇔ ∆P =

∆L × Ep × Ap

L

L – comprimento do cabo L MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

x

25



(ii) Se ω > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pré- esforço mais condicionante) P

∆P×L–p×L×L=∆L×Ep×Ap ⇔

∆L × E p × A p

P 0'

p×L

∆P

⇔ ∆P =

x

L

∆L

L × Ep× Ap + p×L

L – comprimento do cabo

8.2.3. Perdas por deformação instantânea do betão

A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão: ∆Pel = Ap ⋅ Ep ⋅

∑

 j ⋅ ∆σc(t)   Ecm(t) 

onde, Ecm(t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do préesforço; j = (n-1) / 2n , onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos, tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal; ∆σc(t)

representa a tensão no betão, ao nível do centro de gravidade dos cabos de pré-esforço, para a totalidade do efeito do pré-esforço (após perdas por atrito e reentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes.

8.2.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço ⌠ ∆L = ⌠ ⌡ ε dz = L

0

L

⌡0

P 1 L dz = ⌠ ⌡ Ap Ep Ap Ep 0 P dz

Papós atrito [kN] P0'

∆L ≅

Papós at. (L)

L

P0' + Papós atrito (L) ×L 2 Ap Ep

x m

Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos. MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

26



ALÍNEA G)

P∞ = 2866.8 kN (valor resultante da verificação da descompressão) P∞ 2866.8 P0 = 0.86 = 0.86 = 3333.5 kN P 3333.5 P0’ = 0.90 = 0.9 = 3703.9 kN P0' × 104 = 26.6 cm2 P0' = 0.75 Fpk ⇒ Ap = 0.75 × 1860 × 103 A 26.6 nº de cordões = A p = 1.4 = 19 cordões ⇒ 2 cabos de 10 cordões de 0.6" cordão P0’ = 10 × 2 × 1.4 × 10-4 × 1860 × 103 × 0.75 = 3906 kN

ALÍNEA H)

1. Cálculo das perdas por atrito P0 (x) = P0’ e-µ (β + kx) 1

(Adopta-se µ = 0.20 e k = 0.004) 2

Parábola 1

e1 = 0.15

3 Parábola 2

e2 = 0.38 8.00

Parábola 3

6 Recta

e4 = -0.22 e5 = -0.21

e3 = -0.02 8.00

4 5 Par. 4

4.00

1.00

e6 = -0.10 4.00

Cálculo dos ângulos de desvio (i) Parábola 1

y’(8) = 2 × 3.59375 × 10-3 × 8 = 0.0575 (ii) Parábola 2

y’(8) = 6.25 × 10-3 × 2 × 8 = 0.1


27



(iii) Parábola 3

y’(4) = 2 × 0.0125 × 4 = 0.1 (iv) Parábola 4

y’(1) = 2 × 0.01333 = 0.02666 Secção

x (m)

β

(rad)

Papós atrito (kN)

% perdas

1

0

0

3906.0

0

2

8

0.0575

3836.7

1.8

3

16

0.1575

3736.7

4.3

4

20

0.2575

3651.0

6.5

5

21

0.2842

3628.7

7.1

6

25

0.2842

3617.1

7.4

2. Cálculo das perdas por reentrada das cunhas (i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas ( ω)

1ª Iteração 4000

3800

3600

3400

3200

3000 0

5

10

15

20

2

Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito

x = 8.0m ⇒ p = ω=

3906 - 3836.7 = 8.66 kN/m 8

∆L × Ep × Ap

P

=


0.006 × 195 × 106 × 20 × 1.4 × 10-4 = 19.4 m 8.66

28



2ª Iteração 4000

3800

3600

3400

3200

3000 0

5

x = 20.0m ⇒ p =

10

15

20

2

3906 - 3651 = 12.75 kN/m (admitindo que a perda por atrito é 20 aproximadamente linear)

ω=

0.006 × 195 × 106 × 20 × 1.4 × 10-4 = 16.03 m 12.34

(ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas ∆P = 2pω = 2 × 12.75 × 16.03 = 408.8 kN

408.8 204.8 0

0.8 16 16.03

8

408.8 16.03 x = 8.03 ⇒ x = 204.8 kN 402.3 16.03 x = 0.03 ⇒ x = 0.8 kN

Secção

x (m)

Papós atrito (kN)

∆Preentrada

(kN)

Papós reentrada (kN)

% perdas

1

0

3906.0

408.8

3497.2

10.5

2

8

3836.7

204.8

3631.9

7.0

3

16

3736.7

0.8

3735.9

4.4

4

20

3651.0

0

3651.0

6.5

5

21

3628.7

0

3628.7

7.1

6

25

3617.1

0

3617.1

7.4


29



3. Cálculo das perdas por deformação instantânea do betão Admitindo que o pré-esforço é aplicado aos 28 dias, Ecm(t = 28) = 33 GPa ; E p = 195 GPa

∆Pel = Ap ⋅ Ep ⋅

∑

 j ⋅ ∆σc(t)  = A ⋅ E ⋅ n - 1 ⋅ ∆σc(t) p p 2n Ecm(t)  Ecm(t) 

Secção 2



15.25

Mpp = 656 kNm

M pp

Mpe = P × e = 3631.9 × 0.38 = 1380.1 kNm

8.00 143.0

M pp × v I

M pe × v I

P/A

(-)

(+) +

(-)

+

(+)

(-)

∆σc =

Mpp × v P Mpe × v 656 × 0.38 3631.9 1380.1 × 0.38 - A = 0.0524 - 0.61 = - 11.2 MPa I I 0.0524

∆Pel =

2-1 11.2 20 × 1.4×10-4 × 195×106 × 2 × 2 × 33×103 =46.3 kN

P0 (secção 2) = 3631.9 – 46.3 = 3585.6 kN ⇒ % perdas ≅ 8.2% 4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos ∆L =

1 1 3906 + 3617.1 L ≅ × × 25 = 0.172m P dx ⌠ -4 6 Ap Ep ⌡0 2 28 × 10 × 195 × 10


30



8.2.5. Perdas por retracção do betão

∆σ = Ep × εcs ⇔

∆P

Ap = Ep × εcs ⇒ ∆P = – E p × Ap × ε cs

εcs – extensão de retracção do betão ( ≅ 3.0 × 10-4)

8.2.6. Perdas por fluência do betão

εc =

σc × ϕc

Ecm

∆σ = Ep × εc ⇔

∆P

Ap =

Ap × E p × σ c × ϕ c Ep × σc × ϕc ∆P = – ⇒ E cm Ecm

σc – tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às

cargas permanentes e ao efeito do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas).

8.2.7. Perdas por relaxação da armadura

Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são da ordem de: 

Aços de relaxação normal ∆P < 15%



Aços de baixa relaxação ∆P < 6%



Aços de muito baixa relaxação ∆P = 2 a 4%

Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de alta resistência agrupam-se em três classes: 

Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal ( ρ1000 = 8%)



Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação ( ρ1000 = 2.5%)



Classe 3: aço em barra ( ρ1000 = 4%)

O parâmetro ρ1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provete tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20 °C. MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

31



A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes expressões, consoante a classe da armadura:

(i) (ii) (iii)

6.7µ

 t   1000

0.75 (1- µ)

9.1µ

 t   1000

0.75 (1- µ)

Classe 1: ∆σpr = 0.8 × 5.39 ρ1000 e Classe 2: ∆σpr = 0.8 × 0.66 ρ1000 e

8µ

Classe 3: ∆σpr = 0.8 × 1.98 ρ1000 e

 t   1000

0.75 (1- µ)

σpi × 10-5 σpi × 10-5

σpi × 10-5

onde, σpi

representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdas

imediatas; t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de pré-esforço por relaxação (poderá considerar-se t ∞ = 500000 horas ≈ 57 anos); µ = σpi / fpk


32



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA I)

1. Perdas por retracção do betão Considerando εcs = - 3.0 × 10-4, ∆P = Ep × Ap × εcs = 195 × 106 × 28 × 10-4 × 3.0 × 10-4 = 163.8 kN

2. Perdas por fluência do betão Secção 2



Considerando ϕc = 2.5 Ap × Ep × σc × ϕc 28 × 10-4 × 195 × 106 × 6.4 × 103 × 2.5 ∆P = = = 264.7 kN Ecm 33 × 106 Cálculo de σ c 15.25+14.75=30

Mcp = 1290 kNm

Mcp 8.00

Mpe = 3585.6 × 0.38 = 1362.5 kNm

281.3

σc =

Mcp × v P Mpe × v 1290× 0.38 3585.6 1362.5 × 0.38 - A = 0.0524 - 0.61 = - 6.40 MPa I I 0.0524

3. Perdas por relaxação das armaduras 

Secção 2

Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, ρ1000 = 2.5%. ∆σpr = 0.8 × 0.66 ρ1000

9.1µ

e

= 0.8 × 0.66 × 2.5 × e


 t   1000 9.1 × 0.69

0.75 (1- µ)

σpi × 10-5 =

500000  ×   1000 

0.75 (1-0.69)

× 1280.6 × 10-5

= 38.2MPa

33


σpi = µ=


3585.6 28 × 10-4 = 1280.6MPa σpi

fpk

1280.6 = 1860 = 0.69

⇒ ∆Ppr = 38.2 × 103 × 28 × 10-4 = 107.0 kN ∆Pp,r+s+c = 163.8 + 264.7 + 107.0 = 535.5 kN ⇒ P∞secção 2

= 3585.6 – 535.5 = 3050 kN

% perdas diferidas → 14.9%


34



9. Verificação da Segurança aos Estados Limite Últimos 9.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO 9.1.1. Pré-esforço do lado da resistência Pelo método do diagrama rectangular simplificado,

Msd = γ g Mg + γ q Mq 0.85fcd x

LN

Fc

0.8x

Fc = 0.85 fcd × 0.8 x × b

Msd

fp0,1k Fp = Ap × fpyd = Ap × 1.15

Fp

Ap As

Fs = As × fyd

Fs

b

Através das equações de equilíbrio, (i) Equilíbrio de momentos ( Σ MAs = Msd ⇒ x = ...) (ii) Equilíbrio de forças ( Σ F = 0 ⇔ Fc = Fp + Fs ⇒ As = ...)

Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.)

P f pyd = σp = A∞ p

9.1.2. Pré-esforço do lado da acção Pelo método do diagrama rectangular simplificado,

Msd = γ g Mg + γ q Mq + Mpe 0.85fcd x

LN

Fc

0.8x

Fc = 0.85 fcd × 0.8 x × b

P∞ Msd

e Ap As b


∆Fp = Ap × (fpyd - σp) = Ap × ∆Fp

Fs

 f - P∞   pyd Ap 

Fs = As × fyd

35



Através das equações de equilíbrio, (i) Equilíbrio de momentos ( Σ MAs = Msd - P∞ × e ⇒ x = ...) (ii) Equilíbrio de forças ( Σ F = P∞ ⇔ Fc = ∆Fp + Fs + P∞ ⇒ As = ...)

Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) (f pyd - σp) = 0 ⇒ ∆Fp = 0 Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de extensões na rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de pré-esforço são as de cálculo. εc x

LN

∆εp

Ap As

εs

b εp = ∆εp + εp0, com εp0 =

εp0

P∞

Ap × Ep

Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo f pyd, será necessário adoptar um método iterativo (método geral) σc (εc)

εc x

M

LN

N Ap As b

∆εp

εp0 εs

σp (εp0 + ∆εp) σs (εs)

Por exemplo, determina-se x tal que N ≅ 0. Então M = M Rd.


36



9.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO

A V - P sen α (i) Cálculo da armadura transversal: ssw = zsd⋅ cotg θ ⋅ f yd V - P sen α fck  (ii) Verificação da tensão de compressão: σc = z ⋅ b sd⋅ sen θ ⋅ cos θ ≤ 0.6 1 - 250  fcd w (iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no

apoio As fyd ≥ V cotg θ1) Notas: •

Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados) θ ≅ 20° a 26°;

•

Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes num determinado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deve considerar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetros das bainhas.


37



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA J)

psd = 1.35 × (15.25 + 14.75) + 1.5 × 20 = 70.5 kN/m Qsd = 100 × 1.5 = 150 kN 150 70.5 A

C

20.00

5.00

R1

R2

Σ MC = 0 ⇔ - R1 × 20 + 70.5 × 25 × 7.5 – 150 × 5 = 0 ⇔ R1 = 623.4 kN

⇒ MB = 2731.5 kNm 

Secção B

1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular Hipótese : LN no banzo da secção 1.50 0.85fcd LN

Fc

0.8x Msd Fp Fs

fp0,1k 1670 Fp = Ap × 1.15 = 28 × 10-4 × 1.15 × 103 = 4066.1 kN Fs = As × fyd = As × 348 × 103 Fc = 1.5 × 0.8x × 0.85 × 20 × 103 = 20400x (i) Equilíbrio de momentos ( Σ MAs = Msd)

Fc × (0.85 – 0.4x) – F p × 0.10 = Msd ⇔ 20400x × (0.85–0.4x) = 2731.5 + 4066.1 × 0.10 ⇒ x = 0.20 m

Fc = 20400 × 0.20 = 4080 kN MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

38



(ii) Equilíbrio de forças ( Σ F = 0)

Fc – Fp – Fs = 0 ⇔ 4080 – 4066.1 – A s × 348 × 103 = 0 ⇔ As = 0.4 cm2 (iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras εc 0.20

LN

∆εp

εp0 εs

Hipótese : εc = 3.5‰ Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias



3.5‰ = 0.85 - 0.20 0.20 ⇒ εs = 11.4‰ εs

Como εs, máx = 10‰ ⇒ εs = 10‰ e εc < 3.5‰ εc 10‰ = 0.85 - 0.20 0.20 ⇒ εc = 3.08‰

Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço



3.08‰ = 0.75 - 0.20 0.20 ⇒ ∆εp = 8.5‰ ∆εp

εp0 =

P∞ 3050 = -4 Ap Ep 28×10 × 195×106 = 5.6‰

εp = εp0 + ∆εp =

f 1670 / 1.15 14.1‰ > εpyd = Epyd = 195×103 = 7.4‰ p

2. Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado) Hipótese : deq ≅ dp = 0.75 µ=

Msd 2731.5 2 = 2 2 3 = 0.162 ⇒ ω = 0.181 ; A s,tot = 117.3 cm b d fcd 1.5 × 0.75 × 20 × 10

1670 As = As,tot – Asp, eq = 117.3 – 28 × 400 = 0.4 cm2 deq ≅

0.75 × 20 × 1.4 × 1670 + 0.4 × 0.85 × 400 = 0.75 m 20 × 1.4 × 1670 + 0.4 × 400


39



ALÍNEA L) 150 70.5 20.00

5.00

623.4 DEV [kN]

1289.1

623.4

502.5

(+)

150

(+) (-) 786.6

DEVp [kN] ( -)

286.4 (+) 76.5

164.8 DEVtotal 458.6 [kN] (+)

502.5 (+)

(-)

355.5

76.5

73.5

(-) 786.6

Notas: - O diagrama de esforço transverso devido ao pré-esforço foi obtido

considerando P∞ = 2866.8 kN; - Para a verificação da segurança ao esforço transverso utiliza-se DEV total 

Apoio A

θ = 25° ⇒ z cotg θ = 0.9 × 0.85 × cotg 25° = 1.64m

Vsd (z cotg θ) = 458.6 – 49.9 × 1.64 = 376.8 kN Considerando dois cabos de 10 cordões cujas bainhas têm 80 mm de diâmetro cada, balma 0.30 φbainha ≥ 8 = 8 = 0.038 m ⇒ bw =0.30 – 0.16 / 2 = 0.22 m 1. Cálculo da armadura transversal Asw Vsd 376.8 4 2 = = s z ⋅ cotg θ ⋅ fyd 1.64 × 348 × 103 × 10 = 6.6 cm /m MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

40



2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas σc =

Vsd 376.8 2 ≅ 5.8 MPa = = 5845.2 kN/m z ⋅ bw ⋅ sen θ ⋅ cos θ 0.9×0.85×0.22×sen 25°×cos 25°

fck  30  3 2  0.6 1 - 250 f cd = 0.6 1 - 250 × 20 × 10 = 10560 kN/m = 10.6MPa    3. Cálculo da armadura longitudinal no apoio de extremidade

As fyd = V cotg θ1 ⇔ As =


Vsd ⋅ cotg θ1 458.6 × cotg 30° × 104 = 22.8 cm2 = fyd 348 × 103

41



10. Verificação da segurança nas zonas das ancoragens Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas as hipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada é transmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da placa de distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção de aplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta zona, devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de tracção nas direcções transversais. Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em limitar as tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para absorção das forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada.

10.1. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESMAGAMENTO DO BETÃO

Imediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões de compressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensões admissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o mesmo esteja correctamente confinado. De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada, aplicada com uma distribuição uniforme numa determinada área A c0, pode ser determinado através da expressão: FRdu = Ac0 ⋅ fcd

Ac1 Ac0 ≤ 3.0 fcd ⋅ Ac0

onde, Ac0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa de ancoragem); Ac1 representa a maior área homotética a A c0, contida no contorno da peça, com o mesmo centro de gravidade de A c0 e cuja dimensão dos lados não pode exceder em três vezes a dimensão dos lados correspondentes de A c0. No caso da existência de várias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias forças não se devem sobrepor.


42



Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a idade de 28 dias, o valor de f cd deve ser substituído por f ck,j / γ c, representando f ck,j o valor característico da tensão de rotura à compressão aos j dias.

10.2. DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DE REFORÇO NA ZONA DAS ANCORAGENS

De acordo com o parágrafo 8.10.3 do EC2, a avaliação das forças de tracção que surgem devido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a modelos de escoras e tirantes. A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima de 300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controle da fendilhação, e tem em conta a dificuldade de garantir uma boa amarração. 10.2.1. Modelos de escoras e tirantes

Os modelos de escoras e tirantes (“strut-and-tie models”) identificam os campos de tensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras aos campos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção. Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de descontinuidade, como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados (zonas de aplicação de cargas localizadas). Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da zona estrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor energia de deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes, sendo assim necessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em linha de conta com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de tracção e, consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta deverá ser a mais conveniente do ponto de vista construtivo.


43



10.2.2. Tensões de tracção a absorver 10.2.2.1. Caso de uma só ancoragem

Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível obter o valor da força de tracção. P/2 P/2 P/2

P/2

De acordo com o Eurocódigo 2 , a força de tracção para a qual as armaduras devem ser dimensionadas, é dada pela expressão: a0  Ft1sd = 0.25 Fsd  1 (com Fsd = 1.35 P0’)  a1  onde, a1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor distância entre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão; a0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da ancoragem. 10.2.2.1.1. Disposição das armaduras

As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a 1 e ser repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a 1 e a1, tendo em consideração que a resultante se situa à cota 0.4a 1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a 1.

F

a1

b a0 0.1a1 a1 MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

44



A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensão correspondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno da peça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção normal à direcção considerada. No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragem excêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto à superfície do elemento, destinada a absorver na direcção em causa uma força de tracção, como em baixo se ilustra

Ft = Fc2 Fc2

e

Fc1 = P

P

O valor da força de tracção pode ser obtido através da expressão: e 1 Ft0sd = Fsd  (com Fsd = 1.35 P0’)  a 6  10.2.2.2. Caso de várias ancoragens 10.2.2.2.1. Ancoragens muito próximas

Um grupo de ancoragens muito próximas pode ser tratado considerando uma só ancoragem equivalente, sendo válidos os princípios indicados no ponto anterior. Deve no entanto verificar-se a segurança para a actuação de cada força, isoladamente. As áreas de influência a considerar são as seguintes: área de influência para uma ancoragem individual F F F área de influência do grupo de ancoragens MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

45



10.2.2.2.2. Ancoragens muito afastadas

No caso de duas forças concentradas afastadas entre si de uma distância superior à distância entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de tensões normais, surgem forças de tracção junto à face de aplicação das cargas, como se indica: P P

P P

Deste modo, além das armaduras necessárias para cada ancoragem individual, deve dispor-se uma armadura junto à face do elemento, na direcção em causa, destinada a absorver uma força de tracção igual a 0.2P. É de notar que desde que existam vários cabos, estes não são pré-esforçados simultaneamente, variando os esforços locais ao longo das operações de pré-esforço. O plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforços momentâneos exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta que podem existir estados provisórios mais desfavoráveis do que o que surge no sistema final. 10.2.2.3. Aspectos particulares em estruturas pré-esforçadas 10.2.2.3.1. Ancoragens interiores

No caso de uma ancoragem interior, além das tensões transversais atrás mencionadas, surgem tracções longitudinais atrás da ancoragem como resultado da deformação local do betão. A resultante das tensões de tracção depende da relação entre a dimensão da zona carregada e a largura da difusão dos efeitos localizados.


46



Considerando uma análise elástica que assuma igual rigidez do betão atrás e à frente da ancoragem, a força de tracção deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a experiência mostra que a força de tracção longitudinal pode ser considerada igual a P/4 pois, devido à fendilhação, a rigidez do betão atrás da ancoragem diminui, diminuindo também a tensão instalada. Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com um comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da secção. CORTE LONGITUDINAL

CORTE TRANSVERSAL

10.2.2.3.2. Forças de desvio

Sempre que um cabo de pré-esforço muda de direcção, são introduzidas forças radiais no betão quando o cabo é tensionado. Estas forças radiais actuam no plano de curvatura e têm uma intensidade igual ao quociente entre a força de pré-esforço e o raio de curvatura. Embora estas forças sejam na generalidade das situações muito úteis, podem no entanto causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do betão. Nos casos em que os cabos estejam junto à face das peças e a sua curvatura provoque forças de desvio dirigidas para o exterior é necessário dimensionar armadura transversal para a absorção destas forças, devendo ser disposta em toda a zona em que actuem, como se indica na planta abaixo.


47



10.2.2.4. Disposições Construtivas Construtivas

Nas zonas de aplicação de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposição de armaduras em várias camadas, constituídas por varões de pequeno diâmetro. Estas armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a dispersão dos efeitos localizados. A solução geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais ramos, como se exemplifica a seguir. PORMENOR TRANSVERSAL

PORMENOR LONGITUDINAL


48



No caso em que a carga actue fora do núcleo central, as armaduras dimensionadas para este efeito devem ser dispostas junto à face do betão ao longo de toda a sua dimensão e convenientemente amarradas, com a disposição indicada. PORMENOR LONGITUDINAL


PORMENOR TRANSVERSAL

49



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO) ALÍNEA M) 

Extremidade do lado esquerdo

0.37 0.30 0.38

0.23 0.30

Força de puxe: P0’ = 10 × 1.4×10-4 × 1860×103 × 0.75 = 1953 kN 1. Verificação da pressão local do betão (i) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré- esforço (considerando a geometria inicial da viga)

FRdu = 1.35 P0’ = 1.35 × 1953 = 2536.6 kN FRdu = Ac0 ⋅ fcd

Ac1 FRdu 2636.6 ⇔ fcd = = = 35155 kPa 2 Ac0 Ac0 ⋅ Ac1 / Ac0 0.25 ⋅ 0.32 / 0.252

fck = 35155 × 1.5 = 52.7 MPa (ii) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré- esforço (considerando um espessamento da alma da viga junto às extremidades) 0.33

0.38 0.38


0.19

50


fcd =


FRdu 2536.6 = = 26701 kPa 2 Ac0 ⋅ Ac1 / Ac0 0.25 ⋅ 0.382 / 0.252

fck = 26701 × 1.5 = 40.0 MPa 2. Cálculo das armaduras de reforço na zona das ancoragens (i) Direcção horizontal

a0  0.25  237.8 2 × 2536.6 ×  1Ft1sd = 0.25 Fsd  1 = 0.25 = 237.8 kN ⇒ A = = 7.93 cm s a 0.4 30    1 (i) Direcção horizontal Tensionamento do primeiro cabo (cabo superior)

0.25 393.9 Ft1sd = 0.25 × 2536.6 ×  1- 2 × 0.33  = 393.9 kN ⇒ As = 30 = 13.13 cm2   Ambos os cabos tensionados

0.25  216.9 2 ⇒ Ft1sd = 0.25 × 2536.6 ×  1= 216.9 kN A = s 30 = 7.23 cm  0.38 


51



11. Pré-esforço em vigas com secção variável 11.1. CONSIDERAÇÃO DO EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO

Considere-se a viga pré-esforçada representada na figura seguinte, bem como os diagramas de momentos flectores e esforço transverso devido ao pré-esforço (diagramas de momentos flectores e esforço transverso isostáticos).

α

DMF pe

e1 e2

P e2 (-)

P e1 P tgα

DEV pe (+) (-)

P tgα

O facto da altura da secção transversal ser variável, originando diferentes excentricidades dos cabos de pré-esforço ao longo do seu desenvolvimento, mesmo para um traçado dos cabos recto, faz com que o diagrama de momentos isostáticos não seja constante. Apresentam-se em seguida dois modos de considerar o efeito do pré-esforço entrando em linha de conta com a variação da secção transversal. 1) Modelação da viga através da linha do centro de gravidade das secções transversais e consideração das cargas equivalentes de extremidade referentes ao traçado dos cabos P

P P e1


P e1

52



2) Modelação da viga sem considerar a variação da linha do centro de gravidade e introdução de cargas equivalentes que traduzem a posição relativa entre o traçado dos cabos e a linha do centro de gravidade. 2P tgα

P tgα

P tgα

P

P P e1

P e1

Outros exemplos:

1) Linha do centro de gravidade com variação parabólica e1 α

e2

P

P P e1

P e2 P tgα

ou q=P/R

P

P P e2

P e1

2)

xG1

xG2

xG2 - xG1

P(xG2 - xG1) MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

P(xG2 - xG1)

53



12. Efeito do pré-esforço em estruturas hiperstáticas Os esforços hiperstáticos em elementos pré-esforçados surgem devido ao facto da estrutura estar impedida de se deformar livremente. Exemplos

1) Considere-se a seguinte viga pré-esforçada.

Caso não existisse o apoio central ( sistema base ), a deformada da viga seria a abaixo ilustrada.

Devido ao facto do deslocamento vertical a meio da viga estar restringido surgem reacções verticais (reacções hiperstáticas ), correspondendo a do apoio central à força que seria necessário aplicar nesse ponto para que o deslocamento fosse nulo.

Apresentam-se em seguida os diagrama de esforço transverso e momentos flectores hiperstáticos, bem como o diagrama de momentos flectores isostáticos.

DEV hip (+) (-)

DMF hip (+)


54



DMF isost (-)

P×e

2) Para um traçado dos cabos de pré-esforço parabólico, o raciocínio é semelhante.

Deformada no sistema base

Deformada real

Reacções hiperstáticas

Diagramas de esforços hiperstáticos

DEV hip (+) (-)

DMF hip (+)


55



Diagramas de esforços isostáticos

P×tgα

DEV isost (+)

(+)

(-)

(-)

DMF isost (-)

(-)

P×e

(+)

Os esforços hiperstáticos deverão ser considerados não só no cálculo de tensões normais devidas ao pré-esforço, mas também para a verificação da segurança aos estados limites últimos de flexão e esforço transverso .


56



EXERCÍCIO PE2 Considere a viga pré-esforçada representada na figura, bem como o diagrama de momentos flectores devido à acção do pré-esforço. 14.00

14.00

5.00

7.00

2.00

2.00

7.00

5.00

g, q

1.00

e = 0.188 m

0.20

e = 0.352 m

e = 0.10 m

0.60

0.482 0.40

Acções : g = 40 kN/m

Materiais: Betão C30/37

q = 12 kN/m (ψ 1 = 0.4; ψ 2 = 0.2)

Aço A400NR

(γ g = 1.35; γ q = 1.5)

A1670/1860

Características geométricas da secção transversal da viga : A = 0.44 m2; I = 0.02 m4. 0.293P 0.1P

(-) 5.00

(-) (+) 0.354P

a) Calcule e represente as cargas equivalentes ao efeito do pré-esforço para o traçado de cabos indicado (constituído por troços parabólicos), considerando uma força de pré-esforço genérica P. b) Estime o valor da força de pré-esforço útil necessária para garantir a descompressão da viga, para a combinação quase-permanente de acções. Indique o número de cabos e cordões que adoptaria, justificando todos os pressupostos. c) Calcule as perdas por atrito ao longo da viga considerando que o tensionamento é efectuado em ambas as extremidades (adopte µ =0.20 e k = 0.004 m -1). d) Verifique a segurança ao estado limite último de flexão da viga. MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

57



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE2 ALÍNEA A) Parábola 1

e = 0.10 m

Parábola 2

Parábola 3

e = 0.352 m 5.00

e = 0.188 m 7.00

2.00

1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas 8fP q = L2 ∞ Parábola

f (m)

L (m)

q (kN/m)

1 2 3

0.252 0.420 0.120

10.0 14.0 4.0

0.0202 0.0171 0.060

Determinação da coordenada do ponto de inflexão entre as parábolas 2 e 3

0.352 + 0.188 x = 7 ⇒ x = 0.42 m 7+2 2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo 2f 2 × 0.252 P tg α = L P = P = 0.1008 P 5 P × e = P × 0.10

0.060 P

0.1008 P

0.0202 P

0.10 P

5.00

P


0.0171 P 7.00

2.00

58



ALÍNEA B)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanente (i) Diagramas de esforços para uma carga unitária p

14.00

14.00 24.5 p (-)

A (+) 5.00

(+)

B

13.75 p

(ii) Momentos flectores para a combinação de acções quase-permanente pcqp = cp + ψ 2 sc = 40 + 0.2 × 12 = 42.4 kN/m Mcqp,A = 13.75 × 42.4 = 583.0 kNm ; M cqp,B = 24.5 × 42.4 = 1038.8 kNm 2. Verificação da descompressão (i) Características geométricas da secção transversal 1.00

A = 0.44 m2 ; I = 0.020 m2

0.318

I 0.020 winf = v = 0.482 = 0.0415 m 3 inf

0.80 0.482

I 0.020 wsup = v = 0.318 = 0.063 m 3 sup 0.40

(ii) Secção A

Mpe

P∞/ A

MA

ω

ω

(-)

(+)

MA P∞

σinf = -

(-)

+

+ (-)

(+)

P∞ Mpe MA P∞ 0.293 P∞ 583 ⇔+ < 0 + A winf winf 0.44 0.0415 0.0415 < 0 ⇔ P∞ > 1505.2 kN


59



(iii) Secção B P∞/ A

(-)

MB

(-)

(+)

ω

P∞ MB

Mpe

ω

+

+ (+)

σsup = -

(-)

P∞ Mpe MB P∞ 0.354 P∞ 1038.8 ⇔+ < 0 + A w w 0.44 0.063 0.063 < 0 ⇔ P∞ > 2089.4 kN

⇒ P∞ > 2089.4 kN

3. Cabos e cordões a adoptar Considerando 10% de perdas imediatas e 15% de perdas diferidas, P 2089.4 P0' = - 0.90 ×∞0.85 = 0.90 × 0.85 = 2731.2 kN P' 2731.2 Ap = - 0.750 f = 0.75 × 1860×103 × 104 = 19.58 cm2 pk A 19.58 nº de cordões = A p = 1.4 = 14 cordões 1 cordão ∴ Adoptam-se 2 cabos com 7 cordões de 0.6”

ALÍNEA C)

1. Cálculo das perdas por atrito P0 (x) = P0’ e-µ (β + kx)

(Adopta-se µ = 0.20 e k = 0.004)

2

1 Parábola 1

e = 0.10 m

3 Parábola 2

e = 0.352 m 5.00

7.00

4

5

6

7

Par. 3 Par. 3

Parábola 2

Parábola 1

e = 0.188 m 2.00 2.00

7.00

5.00

Cálculo da força de tensionamento

P0’ = 14 × 1.4×10-4 × 0.75 × 1860×103 = 2734.2 kN MÓDULO 1 – Pré-Esforço Carla Marchão; Júlio Appleton

60



Cálculo dos ângulos de desvio (i) Parábola 1 β1 ≅ tan β1 =

2f 2 × 0.252 = 0.101 L = 5

(ii) Parábola 2 β2 =

2f 2 × 0.42 = 0.120 L = 7

Secção

x (m)

β

(rad)

Papós atrito (kN)

1

0

0

2734.2

2

5.0

0.101

2668.8

3

12.0

0.221

2591.0

4

14.0

0.341

2525.5

5

12.0

0.221

2591.0

6

5.0

0.101

2668.8

7

0

0

2734.2

ALÍNEA D)

1. Determinação dos esforços de dimensionamento psd = 1.35 × 40 + 1.5 × 12 = 72 kN/m Msd = 13.75 × 72 = 990.0 kNm 2. Determinação do momento hiperstático devido ao pré-esforço (i) Diagrama de momentos isostáticos (M isost = P × e) 0.352P 0.1P

(-)

(-) (+)

5.00


0.188P

61

pre-esforco ist

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