Pratique Du Calcul Sismique _ Guide d'Application de l'Eurocode 8

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EYROLLES

Pratique du calcul sismique Sous la direction de Victor Oavidovici, avec Dominique Corvez, Alain Capra, Shahrokh Ghavamian, Véronique Le Corvec et Claude Saintjean

onçu et éditésous ladirection de Victor Davidovici, ce guide d'application du calcul sismique croise l'expérience des auteurs avec les exigences de l'Eurocode 8. • Dans lepremier chapitre, Actions sismiques et réponses desstructures, Dominique Corvez se propose de faire le lien entrelecomportement dynamique des bâtiments et l'action sismique, sous fo rme de spectres ou d'accélérogrammes. Les notions d'amortissement et de ductilité sont également développées. • Dansle deuxième chapitre, Méthodes de calcul, Victor Oavidovici - qui acoordonné l'ouvrage - expose l'utilisation des méthodes de calcul modale et statique équivalent, depuis la stratégie du calcul sismiquejusqu'à la va lidati on des résultats; il s'agit du domaine linéaire. La modélisation des structures, celle des masses et le détail de l'interaction sol-stru cture sont également présentés.

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• À partir d'une explication théorique suivie d'exemples d'applicati on, Shahrokh Ghavamian et Véronique Le Corvec mettent en évidence, dans le troisième chapitre intitulé Approche non-linéaire : pushover, le coefficient de comportement et le calcu l des marges.

• Dans le quatrième chapitre, (a/cul du ferraillage à partir des éléments finis, Alain Capra réactualise la méthode très utilisée par tous les logiciels pour la détermination des sections d'armatures. Le développement théorique seratrès utile à la compréhension de la méthode et à la mise àjour des logiciels correspondants. • Dans le cinquième et dernier chapitre, Pratique des logiciels de calcul sismique, Claude Saintjean regroupe le retour d'expérience des diverses astuces de modélisations ainsi que celui de l'utilisation des logiciels les plus courants dans les bureaux d'études. Réalisation : Hervé Soulard

Publics Professionnels et futurs professionnels du bâtiment : ingénieurs des bureaux d'étude et maîtres d' œuvre des entreprises de construction, enseignants et étudiants de la filière universitaire, farmateurs et stagiaires de la formation continue.

Co uverture (d roits rése rvés) : ferraill age d'extrémité de murs en béton armé, modélisation numérique de la fonderie de Mulhouse réhabilitée, isolateurs sismiques, hôpita l de Nice, isolateur sismique avec vérin provisoire. 7

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Alain Capra 1 Ancien directeur scientifique de Vinci Construction Grands Projets ; consultant chez Dodin/CampenonBernard - [email protected] Dominique Corvez l Ingénieur-architecte, directeur technique BFUP et Ductal chez Lafarge - dominiQue.corvez@ lafarge.com Victor Oavidovici 1 Président d'honneur de I' Association française de génie parasismique ; consultant, Dynamic Concept - [email protected] Shahrokh Ghavamian 1 Directeur associé de NECS(Dr, Ph.D., lng.) - [email protected] Véronique le Corvec ! Ingénieur de structure (Ph.O., lng.), NECS - [email protected] Claude Saintjean 1 Spécialiste des calculs dynamiques à la Direction des techniques et des méthodes de Socotec - c/aude.saintjean@socoteuom

Sous la direction de

Victor Davidovici avec

Dominique Corvez Alain Capra Shahrokh Ghavamian Véronique Le Corvec Claude Saintjean

Pratique du calcul sismique Guide d'application de l'Eurocode 8 3e tirage 2015, avec nouvelle présentation

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EYROLLES

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ÉD I T I ON S

ÉDITIONS EYROLLES 61, bd Saint-Germain 75240 Paris Cedex 05 www.editions-eyrolles.com

AFNOR ÉDITIONS 11 , rue Francis-de-Pressensé 93571 La Plaine Saint-Denis Cedex www.boutique-livres.afnor.org

Le programme des Eurocodes structuraux comprend les normes suivantes, chacune étant en général constituée d' un certain nombre de parties : EN EN EN EN EN EN EN EN EN EN

1990 Eurocode 0 1991Eurocode1 1992 Eurocode 2 1993 Eurocode 3 1994 Eurocode 4 1995 Eurocode 5 1996 Eurocode 6 1997 Eurocode 7 1998 Eurocode 8 1999 Eurocode 9

: Bases de calcul des structures : Actions sur les structures : Calcul des structures en béton : Calcul des structures en acier : Calcul des structures mixtes acier-béton : Calcul des structures en bois : Calcul des structures en maçonnerie : Calcul géotechnique : Calcul des structures pour leur résistan ce aux séism es : Calcul des structures en aluminium

Les normes Eurocodes reconnaissent la responsabilité des autorités réglementaires dans chaque État membre et ont sauvegardé le droit de celles-ci de déterminer, au niveau national, des valeurs relatives aux questions réglementaires de sécurité, là où ces valeurs continuent à différer d'un État à un autre.

En couverture :

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Le bâtiment tertiaire sch ématisé en rouge, gris et violet - ossature en béton armé avec remplissage de maçonnerie-situé en zone sismique est étudié ici sous deux configurations: actuelle et isolée avec des appuis parasismiques. La figure représente la superposition du mode principal du bâtiment dans ces deux configurations (en gris : actuelle ; en rouge et en violet: isolée) : la partie inférieure (en violet) correspond à la partie enterrée du bâtiment, la partie supérieure (en rouge) à ce qui est au-dessus du niveau du sol ; les appuis sont disposés entre ces deux parties (document © NECS).

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En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que ce soir, sans l'aucorisarion de !'Éditeur ou du Centre Français d'exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris.

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La première édition du présent ouvrage est parue en 2013 sous l'ISBN 978-2-212- 13582-4. À l'occasion de ce troisième tirage, elle bénéficie d' une nouvelle couverture. Globalement inchangé, le texte a bénéficié d'une nouvelle révision typographique.

© Afnor et Groupe Eyrolles, 20 15 ISBN Afnor : 978-2- 12-465401 -7 ISBN Eyrolles: 978-2-2 12-14 135-1

Table des matières

CHAPITRE 1.

1.1

1.2

vi

1.3

Actions sismiques et réponses des structures .........................................................................

3

Modes de vibration des structures.......................................................... 1.1.1 Pourquoi étudier les modes de vibration des structures....................... 1.1.2 Typologie des modes de vibration .... ....... ........... .............. ....... .... ....... 1.1.3 Étude de l'oscillateur simple...............................................................

2 5 7

Représentation de l'action sismique.... .................. .............. ..................

11

1.2.1 Généralités. ............................................. ........................................... 1.2.2 Spectre de réponse .. .... ....... ....... ....... ....... .... ... .... ....... ... .... ....... .... ....... 1.2.2.1 Détermination du spectre de réponse ....................................... 1.2.2.2 Spectres réglementaires et de calcul. ............ ....... .... .............. .... 1.2.2.3 Déplacement de calcul du sol ....... .... ....... ....... ...... . ....... .... ....... 1.2.3 Accélérogrammes ............................................................................... 1.2.3.1 Accélérogrammes artificiels... ................................................... 1.2.3.2 Accélérogrammes naturels ............ .............. ....... .... ..................

11 11 11 17 20 21 21 21

Réponse dissipative des structures aux actions sismiques.................

21

1.3.1 Accumulation et dissipation de l'énergie............................................. 1.3.2 Amortissement des structures ............................................................. 1.3.2.1 Caractérisation de l'amortissement d'une structure ................... 1.3.2.2 Composition du coefficient d'amortissement d'une structure ...... 1.3.2.3 Amortissement et coefficient de comportement.. ........................ 1.3.2.4 Valeurs communes de l'amortissement. ........ ............................. 1.3.2.5 Valeurs particulières de l'amortissement ............. ...................... 1.3.2.6 Commentaires sur l'amortissement des structures ...................... 1.3.3 Classes de ductilité ......... ....... ....... .... ....... ....... ....... ....... .... ....... ....... .... 1. 3. 3 .1 Ductilité locale et globale ........................................................ 1.3.3.2 Trois classes de ductilité.. .. ................................ ...................... 1.3.3.3 Cas des structures en béton..... ...... .............. ........... ....... ....... .... 1.3.3.4 Cas des structures en acier........ .... ....... ....... ....... ......................

22 24 24 25 26 27 29 30 31 31 32 33 34

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IV

1

Lo pratique du calcul sismique

1.4 Coefficient de comportement .......... ....... ....... .... ..................... ...............

1.4.1

1.4.2

1.4.3

1.4.4

1.4.5 1.4.6

1.4.7 1.4.8

Notion de coefficient de comportement............................................. 1.4.1.1 Pourquoi un coefficient de comportement ................................. 1.4.1.2 Contenu du coefficient de comportement........ .......................... Coefficients de comportement pour les bâtiments en béton................ 1.4.2.1 Tjpes de structures... ............................................................... 1.4.2.2 Évaluation du coefficient de comportement... ........................... 1.4.2.3 Cas particulier de structures superposées de nature différente ..... 1.4.2.4 Spécificité des coefficients de comportement des composants préfabriqués.. .......................... ............................................... Coefficients de comportement des constructions métalliques ..... ........ 1.4.3.1 Pour un comportement de structure faiblement dissipatif...... ... . 1.4.3.2 Pour un comportement de structure dissipatif.... ....................... 1.4.3.3 Synthèse ............... .............. ........................................... ........ 1.4.3.4 Tjpes de structures....... ........................................ ................... 1.4.3.5 Évaluation du coefficient de comportement pour les constructions métalliques . ... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... . .. . ... . .. . ... . .. . ... . ... .... ... . ... ... . ... . Coefficients de comportement des structures mixtes en acier-béton ... 1.4.4.1 Tjpes de structures ............... ........................ ........ .... ............... 1.4.4.2 Coefficients associés.... ................................... .................. ........ Coefficients de comportement des bâtiments en bois ......................... Coefficients de comportement des bâtiments en maçonnerie porteuse 1.4.6.1 Tjpes de structures ............... ................................................... 1.4.6.2 Coefficients de comportement retenus ...... ...... ........................... Coefficients de comportement pour les éléments non structuraux...... Coefficients de comportement pour installations classées et ouvrages stratégiques ......................................................................

34 34 35 38 39 40 41 44 47 48 48 49 49 50

53 54 54 56 57 58 58 59 60 60

Méthodes de calcul .........................................................

61

2.1 Stratégie de calcul sismique.............. ....................................... ...............

61

2.2 Modélisations ............................ ........... ....... ......................... ....... ...............

65

2.2. 1 Modélisation de la structure (un bon modèle est un modèle utile)...... 2.2. 1.1 Quelle modélisation pour quel résultat ?.................... ........... .... 2.2.1.2 Représentation des éléments structuraux secondaires et non structuraux ..... ....... ....... ................................ .... ....... .... 2.2.1.3 Recommandations pour la modélisation ..... .............. .... ....... .... 2.2.1.4 Prise en compte des torsions d'axe vertical ... ....... ....... .... ....... .... 2.2.1.5 Hauteur de calcul, enfoncement du bâtiment. .......................... 2.2.2 Modélisation des masses.... ........... ........... ............................ ............... 2.2.3 Modélisation de l'interaction sol-structure (ISS) ....... .... ........ .............. 2.2.3.1 Nécessité de modéliser le sol.. ................................................... 2.2.3.2 Caractéristiques dynamiques des sols..... ................................... 2.2.3.3 Modélisation du sol p ar un système de ressorts amortis ..............

65 67

CHAPITRE 2. vi Q) 0

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70 72 80 83 85 89 89 93 100

Tobie des matières

2.2.3.4 Méthode Newmark-Rosenblueth ....... ....... ....... ....... .... ....... ...... 2.2.3.5 Méthode de Deleuze............ ...................................................

101 103

Méthode d'analyse par forces latérales ................................................

106

2.3.1

Conditions de régulari té ..................................................................... 2.3.1.1 Conditions générales ...... ....... .... ....... ....... ....... ....... .... ....... ...... 2.3.1.2 Critères de régularité en plan ..... ....... ....... ....... ....... .... ............. 2.3.1-3 Critères de régularité en élévation ........................................... 2.3. 1.4 Cas d'un soubassement rigide. .... ............................................. 2.3.2 Analyse par forces latérales ................................................................. 2.3.2. l Conditions d'application ........................................................ 2.3.2.2 Périodes de vibration du mode fondamental ..... ........................ 2.3.2.3 Effort tranchant à la base et distribution des forces .. .................

106 106 106 108 110 111 111 111 11 2

2.4 Méthode d'analyse modale ....................................................................

11 4

2.4.1 Méthodologie de calcul..................................................... ................. 2.4.2 Recherche des modes propres............................................................. 2.4.3 Sélection des modes utiles .................................................................. 2.4.3.1 Les masses modales effectives ................................................... 2.4.3.2 Les énergies de déformation ................................... ................. 2.4.4 Prise en compte des modes négligés : les pseudo-modes .... ................. 2.4.5 Combinaisons des réponses modales ........ .......................................... 2.4.5.1 Combinaison arithmétique... .............. .................................... 2.4.5.2 Combinaison quadratique {superposition quadratique)............ 2.4.5.3 Combinaison quadratique complète (CQC) ............................. 2.4.6 Analyse statique 3-D - brochette dynamique - analyse statique équivalente 3-D ................................................... 2.4.6. 1 Modélisation 3-D, calcul statique, calcul des modes propres ...... 2.4.6.2 Définition et calage du modèle brochette .................................. 2.4.6.3 Analyse dynamique de la brochette ............................... .......... 2.4.6.4 Calcul statique équivalent de la structure réelle ....................... 2.4.7 Incidence du décollement du bâtiment ....... ................................ .......

114 115 117 118 118 120 124 125 125 126

2.5 Calcul des périodes propres........ ............................................. ...............

133

2.3

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2. 5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5

Méthode de Rayleigh .. . ... ... . .. . ... . ... ... . ... ... . ... .... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... Structures préfabriquées......... ....... ....... ........... ....... ......................... ... Bâtiments industriels.......................................................................... Masse répartie sur un e console de section constante ............. ........... ... Masse concentrée au sommet d' une console de section constante et de masse non négligeable.................. .............................................. 2.5.6 Masse unique située sur une poutre de section constante et de masse négligeable .. . . .. . .. . .... .. . . ... . .. . ... . .. . .. . . .. . ... . .. . .. . . ... ... . ... . .. . ... . .. . 2.5.7 Poutres de section constante et de masse uniformément répartie........ 2.5.8 Plaques rectangulaires d'épaisseur constante et de masse uniformément répartie ...... . ....... .... ........ ...... ....... ....... ....... .... .... ... .......

134 136 137 139

2.6 Validation du comportement dynamique..............................................

142

139 140 14 1 14 1

1

V

VI

1


Approche non-linéaire : pushover ...................

145

3.1

Historique....................................................................................................

145

3.2

Rappel de la méthode de pushover ............... ........................................

146

3.3 Méthode de calcul ................................................... .................................

148

CHAPITRE 3.

3.3. 1 Modélisation de la structure et prise en compte des comportements

Établissemenc de la courbe de comportement (pushover) ..... .............. . Conversions dans le diagramme accélération/déplacement A/D ........ . Prise en compte de la dissipation d'énergie de la structure ......... ....... . . Recherche du point de fonctionnement ............................................ . Critères de ruine .............................................................................. . . Applications spécifiques .................................................................... .

149 149 151 152 152 153 154 156 157 157

Applications ...... ....... ....... .... .... ... ....... ....... ....... .... ....... ....... ........... ....... ...... ..

158

3.4.1

158 158 161 164

non linéaires ........ ....... ............................................................. ........... 3.3.1. 1 Modèle éléments finis ............................................................ . 3.3.1 .2 Lois de comportement ....... ............. ........................................ . 3.3.1.3 Interaction sol-structure ......................... .................. .... .......... .

3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.4

Cas du diagnostic sismique d'un bâtiment tertiaire en béton armé ..... 3.4.1.1 Géométrie et modélisation de la structure. ................................ 3.4.1.2 Éléments de réponse de la structure .......................................... 3.4.2 Cas de l'évaluation des marges sismiques d' un bâtiment industriel.....

CHAPITRE 4.

vi

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Calcul du ferraillage à partir des éléments finis

169

4.1

Introduction.................................................... ............................................

169

4.2

Éléments de membrane............................... ............................................

170

4.2.1 Définition ....... ....... .... .... ... ....... ....... ....... .... ....... .... ... .... ....... ....... ...... .. 4.2.2 Calcul des armatures........................................................................... 4.2.2. 1 Première démonstration ... .... ........ .......... .............. ....... .... ........ 4.2.2.2 Seconde démonstration et compléments .... ...... ....... ....... .... ........ 4.2.2.3 Précautions d'emploi ....... .... ....... ........... ....... ....... ....... .... ........ 4.2.3 Exemple de calcul............................................................................... 4. 2. 3 .1 A rmatures verticales . ... . ... ... . ... . ... ... . ... . .. . ... . .. . ... . .. . ... . ... ... . ... . ... . 4.2.3.2 A rmatures horizontales. .......... ............................. .............. .....

170 170 171 172 173 174 175 175

Éléments de coque..................... ........................................... ....................

175

4.3.1

175

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4.3

D éfinitions ............................................. ........................................... .

Table des matieres

4.3.2 Méthode générale............................................................................... 4.3.2.1 Principe de la méthode........................................................... 4.3.2.2 Remarque.............................................................................. 4.3.2.3 Vérification du béton.............................................................. 4.3.2.4 Traitement des combinaisons ................................................... 4.3.3 Méthode simplifiée........................... ........... ....................................... 4.3.3.1 Définition des paramètres z et e .............................................. 4.3.3.2 Calcul des efforts dans les membranes ...... ................................ 4.3.4 Armatures transversales des éléments de coque ................................... 4.3.4. l Définitions............................................................................ 4.3.4.2 Données réglementaires .......................................................... 4.3.4.3 Procédure de calcul.. ................... ........................................... 4.3.4.4 Interprétation des cartes de ferraillage des coques ......................

177 177 178 178 180 180 181 182 182 182 183 184 185

Prise en compte du séisme ....................................................................

185

4.4.1

Combinaisons quadratiques ............................................................... 4 .4 .1.1 Cas d'un seul paramètre.......................................................... 4.4.1.2 Cas de deux paramètres............................ .............................. Utilisation pratique des combinaisons quadratiques........................... 4.4.2.1 Méthode de calcul enveloppe................................................... 4.4.2.2 Méthode du polygone ...................................................... ....... 4.4.2.3 Combinaison quadratique signée.. ........................................... Application de l'Eurocode 8 ...... ... ........... .............. ....... .... ....... ........... 4.4.3.1 Combinaisondesmodes .......................................................... 4.4.3.2 Combinaison des directions du séisme...... ................................ Cas des éléments de membrane .......................................................... 4 .4 .4 .1 Calcul de la section Ax .. ...... .. .. .. .. .... .. .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.4.4.2 CalculdelasectionAy ........................................................... 4.4.4.3 Calcul de la compression maximale.......................................... Éléments de coque - méthode approchée.......................... .................. Éléments de coque- méthode générale.............................. ................. 4.4.6. 1 Transformation des données..................................................... 4.4.6.2 Sélection des couples (N, M) représentatifs................................ 4.4.6.3 Calcul en flexion composée...................................................... 4.4.6.4 Calcul des armatures..............................................................

186 186 186 187 187 187 188 188 188 189 189 190 191 191 191 191 191 192 192 192

Cas particuliers de ferraillage..................................... .............................

192

4.5.1

Méthode rigoureuse ........................................................................... 4.5. l. l Cas général................................................... .............. ........... 4.5.1.2 Cas particulier du ferraillage orthogonal ................................. 4.5.1 Méthode approchée ...........................................................................

192 192 193 193

4.6 Conclusion.............................. ................................ ....................................

194

4.4

4.4.2

4.4.3

4.4.4

4.4.5 4.4.6

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4.5

VII

VIII

1

La pratique du calcul sismique

Pratique des logiciels de calcul sur ordinateur ........................................................................

195

Modélisation informatique ......................................................................

195

Modélisation 3-D............................................................................... 5 .1.1.1 Précision du maillage et taille optimale des éléments .. ... . ... ... . ... . 5.1.1.2 Modélisation des linteaux....................................................... 5.1.1.3 Exploitation des résultats..... ................................................... Modélisation « brochette »............ .. ....... .... . .. ..... .... ......... ..... ....... .. ...... Prise en compte de l'inertie fissurée dans les modèles.......................... Prise en compte de l'interaction sol-structure........... ........................... Prise en compte du décollement des fondations .... ....... .................. .....

195 19 5 197 197 199 199 201 202

CHAPITRE

5.1

s.

5.1.1

5 .1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.2

Exemples de calcul ................................................................................... 203 5.2.1

Présentation du bâtiment.................................................................... 5.2.1.1 Géométrie .............................................................................. 5.2.1.2 Hypothèses sismiques .............................................................. 5.2.1.3 Hypothèses concernant les charges............................................ 5.2.2 Méthodologie des calculs.......... .................. .............. .......................... 5.2.2.1 Étape 1 - constitution du modèle.. ........................................... 5.2.2.2 Étape 2 - vérification du modèle.............................................. 5.2.2.3 Étape 3 - calcul des modes propres...... ............ .......................... 5.2.2.4 Étape 4 - application du spectre de calcul..... ............................ 5 .3

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203 203 204 204 204 204 205 205 205

Modélisation à l'aide du logiciel Hercule............................................... 206 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6 5.3.7

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Étape 1 - constitution du modèle....................................................... 206 Étape 2 - vérification du modèle ............................... .............. ............ 207 Étape 3 - calcul des modes propres..................................................... 207 Étape 4 - application du spectre..................... ..................................... 208 Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment............ 209 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles................................. 209 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles.............................................. 210 5.3.7.1 Géométrieduvoile ................................................................. 210 5.3.7.2 Calcul de la section des chaînages........ .................................... 210 5.3.7.3 Calcul des armatures d'effort tranchant...... .............. .... ....... ..... 210 5.3.7.4 Vérification du non-glissement au niveau des reprises de bétonnage à la base du voile................................................ 211

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5.4 Modélisation à l'aide du logiciel Advance Design................................

5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5

Étape 1 - constitution du modèle....................................................... Étape 2 - vérification du modèle....................................... .................. Étape 3 - calcul des modes propres............................. ........................ Étape 2 - application du spectre........................ .................................. Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment... .........

2 12 2 12 213 214 2 15 215

Table des matieres

5 .4.6 Étape 6 5.4.7 Étape 7 5 .4. 7 .1 5.4.7.2 5.4.7.3

- édition des torseurs à la base des voiles................................. - calcul du ferraillage des voiles.............................................. Calcul de la section des chaînages . .... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... ... . ... . .. . Calcul des armatures d'effort tranchant...... ............................. Vérification du non-glissement au niveau des reprises de bétonnage à la base du voile................................................

216 217 217 217 2 18

5.5 Modélisation à l'aide du logiciel Robot Structural Analysis Professional (ex-Robot Millenium) ......................................................... 218 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5 5.5.6 5.5.7

5 .6

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Étape 1 - constitution du modèle....................................................... Étape 2 - vérification du modèle ......................................................... Étape 3 - calcul des modes propres ..................................................... Étape 4 - application du spectre ......................................................... Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment............ Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles................................ Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles........................ .................. .... 5 .5. 7 .1 Calcul de la section des chaînages . ... . .. . ... . .. . ... . ... ... . ... . .. . ... . .. . ... . 5.5.7.2 Calcul des armatures d'effort tranchant.......... .... .................. .... 5.5.7.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises de bétonnage à la base du voile . .. . ... . .. . .. . . .. . ... . ... .. . . ... . .. . ... . .. . .. . .

219 219 220 221 222 222 223 223 223 224

Modélisation à l'aide du logiciel Epicentre ....... .............. .... ....... ........... 225 5.6.1 Étape 1 - constitution du modèle ............ .............. ....... ...................... 5.6.2 Étape 2 - vérification du modèle......................................................... 5.6.3 Étape 3 - calcul des modes propres ........................ .............. .............. . 5.6.3.1 Vérification des charges statiques.............................................. 5.6.3.2 Descente de charges statiques................................................... 5.6.3.3 Tableaux des modes p ropres et des masses participantes .............. 5.6.4 Étape 4 - application du spectre ......................................................... 5.6.5 Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment.. .......... 5.6.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles................. ............... 5 .6.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles .............................................. 5.6.7.1 Calcul de la section des chaînages..... .................... ................... 5.6.7.2 Calcul des armatures d'effort tranchant.................................. . 5.6. 7.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises de bétonnage à la base du voile .......... .....................................

225 226 226 226 226 227 228 228 229 229 229 230 230

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5.7 Modélisation à l'aide du logiciel Hercule - prise en compte de l'interaction sol-structure... .................. ............................ ................... 5.7.1 5.7.2 5.7.3 5.7.4 5.7.5 5.7.6

23 1

Hypothèses concernant le sol ..................................................... ........ 231 Détermination des ressorts de sol.... ................................ ................... 231 Calcul des modes propres ................................................................... 232 Étape 4 - application du spectre ......................................................... 233 Étape 5 - édition des torseurs sismiques ......... ....... ....... .................. ..... 233 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles ................................ 234

1

IX

X 1 Lo pratique du calcul sismique

5.7.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles.......... .............. ....... ........... .... 5.7 .1.1 Calcul de la section des chaînages ... . .. .. .. . ... ... . .. .. .. . ... ... . ... . .. . ... . 5.7.1.2 Calcul des armatures d'effort tranchant ...... ............................. 5.7.1.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises

235 23 5 235

de bétonnage à la base du voile .................................... ...........

235

5.8 Modélisation à l'aide du logiciel Hercule - modèle brochette ........... 236 5.8. 1 Calage de la brochette ........................................................................ 5.8. 1.1 Étape 1 - application d 'une charge horizontale de 10 000 kN

236

répartie sur le plancher haut . ... .... ... . ... ... . ... ... . ... .. . . ... ... . ... . .. . ... . 5.8.1.2 Étape 2 - détermination des caractéristiques géométriques des barres de la brochette. ........................................................ 5.8. 1.3 Étape 3 - vérifications du modèle... ..........................................

236

5.8.2 5.8.3 5.8.4 5.8.5 5.8.6

23 7 237 Calcul des efforts sismiques à la base du bâtiment .............................. 238 Calcul des accélérations à chaque niveau du bâtiment ............... ......... 239 Ajustement des accélérations ............... ....... ....... ................................. 239 Injection des accélérations dans le modèle 3-D et édition des efforts .. 240 Calcul du ferraillage des voiles........................... ....... ........... ............... 240 5.8.6. 1 Calcul de la section des chaînages. ... .............. .......................... 240 5.8.6.2 Calcul des armatures d'effort tranchant ......... .......................... 24 1 5.8.6.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises de bétonnage à la base du voile............... ................................. 24 1

Bibliographie .................................................................................

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243

Préface

Les récents séismes à travers le monde, la publication des Eurocodes en tant que normes nationales et le développement constant des moyens de calcul ont eu pour conséquence l'amélioration du savoir en génie parasismiq ue, et, en corollaire, l'évolution de la prise en compte du risque sismique. Avec l'extension des zones à risque sismique en France, on assiste, de plus, à l'implication de nouveaux bureaux d'études. Lancé en 1975, le vaste chantier d'harmonisation européenne des spécifications techniques dans le domaine de la construction a abouti en 2004 à la publication de l'ensemble de normes constituant la collection Eurocodes. La particularité de l'Eurocode 8 réside dans son application, qui ne peut se faire que conjointement avec les autres Eurocodes. Néanmoins, face à la puissance des outils actuels et au regard de l' immodestie qu' ils suscitent souvent, il ne faut pas oublier que les fondements du génie parasismique sont le fruit d'observations empiriques et d'approches synthétiques des phénomènes. Ce constat établi par Dominique Corvez 1 dans le premier chapitre est d'autant plus significatif qu'il est formulé par un jeune ingénieur - architecte qui a complété sa formation par un Master en Génie Civil à l'Université de Californie - Berkeley.

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La complexité de la réponse des structures est abordée par l'Eurocode 8 au niveau global par l'introduction d'un coefficient de comportement. Au niveau local, la conception des zones de concentration potentielle d'énergie, via des déformations plastiques, permet à la structure d'avoir un comportement ductile « théoriquement» maîtrisé. On connaît mieux le phénomène, on connaît mieux le comportement des bâtiments et on maîtrise de mieux en mieux la simulation numérique. On dispose ainsi d'un ensemble de méthodes de calcul pour apprécier la réponse sismique des structures .

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Lobjectif poursuivi est de faire ressortir les notions de base et les phases essentielles du calcul dynamique. Ce sont elles qui constituent l'arrière-plan théorique indispensable pour prévoir correctement les conséquences d'une conception du comportement sismique d'un ouvrage.

1.

Ingénieur-architecte, directeur technique BFUP et Ductal chez Lafarge

XII

1


Toujours à la recherche de méthodes plus élaborées pour diminuer le temps de calcul et déterminer un ferraillage plus réaliste, Alain Capra 1 a repris la théorie qu'il avait développée en 1978 et qui est depuis implantée dans tous les logiciels. Son activité de consultant lui permet aujourd'hui de valider cette théorie. Bien qu'intégrée par l'Eurocode 8, l'approche non linéaire par « pushover » est très récente. Son usage n'est pas encore généralisé. Le chapitre correspondant profite de l'utilisation pratique de Shahrokh Ghavamian2 et de la connaissance de Véronique Le Corvec3 acquise lors de son Master en Génie Civil à l'Université de Californie - Berkeley. La facilité apportée par de nombreux logiciels de calcul sismique est évidente. Encore faut-il qu'on puisse avoir suffisamment de pratique pour apprécier les limites d'application et les « pièges » éventuels. Claude Saintj ean 4 , à la Direction technique de la Socotec, occupe une position idéale pour suivre l'évolution des logiciels, leur utilisation dans des cas réels de projets et pour en faire la synthèse dont profite cet ouvrage. Il est important de rappeler que La pratique du calcul sismique n'est qu'une étape intermédiaire entre la phase de conception du bâtiment- avec l'application des dispositions techniquement cohérentes -, et celle essentielle de l'exécution. Loriginalité et la force de cet ouvrage, c'est qu'il est le résultat d'une pratique quotidienne de l'ensemble de ses auteurs. Labord progressif des connaissances, la nature pratique des méthodes de calculs examinées, les nombreux exemples traités en font un outil de référence pour tous ceux qui, étudiants ou ingénieurs, veulent compléter leur formation dans le domaine du calcul sismique. J'ai eu la chance de pouvoir mobiliser les rédacteurs de ces pages. Je les remercie à la fois pour leur confiance et pour le temps que chacun a accepté de soustraire à son travail quotidien , toujours prioritaire, pour rédiger cet ouvrage. Victor DAvrnov1c1 Présiden t d' h o nneur de ]'Association française d e génie parasismique Consultant, Dynamique Co ncept

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1. 2. 3. 4.

C onsu lcanc ch ez Dodin/Campenon-Bernard Direcceur associé de N ECS (Dr, Ph.D ., Ing.) Ingénieur de structure (Ph.D . lng.), N ECS Spécialiste des calculs dynam iques à la Direction des techniques et des méthodes de Soco rec

CHAPITRE 1

Actions sismiques et réponses des structures Dominique Corvez

Les progrès sensibles réalisés depuis les années 1960- 1970 ont permis une amélioration notable de caractérisation de l'aléa sismique. Néanmoins, si les spectres réglementaires et accélérogrammes constituent des outils théoriques puissants pour le dimensionnement, il conviendra toujours de nuancer leur utilisation avec les caractéristiques propres des sites sur lesquels s'inscrivent les projets archi tecturaux. C omme le rappelle Jacques Betbeder dans [Betbeder & Matibet, 2003c], l'écart type des formules employées dans les codes parasismiques est d u mêm e ordre que la valeur moyenne.

Vl

D e m ême, la réponse sismique est envisagée pour des structures tridimensionnelles régulières dont les modes de vibration sont clairement distincts. Aussi, la complexité de la réponse des structures hyperstatiques en terme d'accumulation d'énergie est aujourd'hui introduite via un coefficient de comportem ent constituant à ce jour la mani ère la plus simple et la plus directe d'encadrer la réponse. Une large partie de ce chapitre traitera de cette notion.

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LEurocode 8 enrichit cette approche globale par un traitement local des modes de dissipatio n d'énergie. En prédétermi nant dès la conception des zones de concentratio n potentielle d'énergie via des déformations plastiques, le schéma de rupture est forcé dans une direction où la structure présentera un comportem ent ductile et « théoriquement » m aîtrisé. Néanmoins, face à la puissance des outils actuels et l' immodestie qu' ils peuvent p rocurer, il faudra toujours conserver à l'esprit que les fondements du génie parasismique sont le fruit d'observations empiriques et d'approches synthétiques des phénomènes. La validation globale du comportem ent d'un ouvrage devra ainsi toujours être effectuée par des raisonnements simples et par des o rdres de grandeur que nous tenterons de présenter aussi souvent que cela est possible dans cet ouvrage.

2

1

Actions sismiques et réponses des structures

1.1

Modes de vibration des structures

1.1.1

Pourquoi étudier les modes de vibration des structures

C ertains des actions susceptibles de s'exercer sur une structure peuvent être à l'origine de sollicitations rapidement variables dans le temps. C es actions présentent un caractère dynamique lorsque les déformati ons correspondantes sont suffisamment rapides pour que les forces d'inertie 1 ainsi mises en jeu cessent d'être négligeables vis-à-vis des sollicitations d'autre nature agissant sur la structure, et lorsque par la suite, la réponse de cette dernière aux actions considérées apparaît comme conditionnée dans une propo rtion signifi cative par ces forces d'inertie. Ainsi, les charges roulantes, les machines vibrantes, le vent, le séisme, les explosions produisent de semblables effets. Le mouvement sismique est appliqué à la surface du sol [EC8-1/3.2.2-{l)P]. Le calcul dynamique suppose la détermination de la réponse des structures à la sollicitation sismique par la prise en compte des forces d'inertie (celles-ci n'existant que pendant la durée du séisme) mises en jeu. La connaissance de !'état de contrainte à tout instant en découle. Lorsqu'une structure se trouve soumise à une action sismique, elle effectue tout d'abord une série d'oscillations dont l' intensité augmente. C'est la phase dite« transitoire». Puis, tant que dure le séisme, s'installe une série d'oscillations (vibrations) forcées régies par des lois en général complexes. Enfin, leur succèdent, dès que le séisme a pris fin, des oscillations libres, qui obéissent à des lois plus simples, et qui finissent par s'amortir plus ou moins rapidement (figure 1.1-1). Il est à noter qu'en absence d'amortissement et d'excitation extérieurs, les structures peuvent osciller indéfiniment suivant une fonction sinusoïdale du temps. Suivant la fréquence d'excitation, l'amplitude de la réponse est différente. Pour les ouvrages dont la fréquence propre2 de vibration est voisine de celle de l'action sismique, les effets dynamiques entrent en jeu : la réponse de l'ouvrage interagit avec l'action (il y a résonance) . Vl Q)

En réalité, les structures ont autant de modes de vibration que de degrés de liberté.

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I..:idée m aîtresse dans la démarche de calcul de la réponse selon l'Eurocode 8 sera de superposer correctement les réponses « unitaires » associées à chacun des modes de vibration multipliés par l'amplitude de l'excitation du mode à la fréquence considérée [EC8-1/ 4.3.3. 1-(2)P]. La figure 1.1-2 donne respectivement dans le cas d' un portique (déformations de type cisaillem ent) et dans le cas d'un voile (défo rmations de type flexion) les défo rmations correspondant aux premiers modes et aux modes supérieurs.

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1. 2.

Tout corps dont la vitesse varie avec le temps (accélération non nulle) subit une force d'inertie dont l'effet est de s'opposer à cette variation de vitesse. La fréquence d' une grandeur périodique est le nomb re de fo is qu'elle se reproduit identiq uement à elle-même dans l'unité de temps; c'est l'inverse de la période. La fréquence propre est la fréquence de vibration naturelle d' une structure en l'absence de l'excitation extérieure (séisme).


1

3

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Temps

Oscillations forcées

Oscillations libres amorties

Temps

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u Figure l. l-1 Accélération du sol et réponse de la structure a) Accélérations du sol - b) Réponse en déplacements c) Réponse en vitesses - d) Réponse en accélérations

4

1


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Au repos

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Figure 1.1-2 Modes de vibration a) Portique : premier mode - b) Portique : modes supérieurs c) Voile : premier mode - d) Voile : modes supérieurs

Dans cette situation, l'étude de l'oscillateur simple est essentielle, car le calcul dynamique d'une structure élastique comportant plusieurs degrés de liberté et plusieurs masses se ramène à celui de l'étude d'un certain nombre d'oscillateurs simples caractérisés chacun par un mode


de vibration, c'est-à-dire par une période propre3 , une déformée propre et un coefficient d'amortissement z. Le cumul de réponses (voir § 2.4.5) de ces oscillateurs simples permet d'obtenir la réponse de la structure. Le mode de vibration, caractéristique intrinsèque de la structure, est un mouvement naturel (libre), pour lequel il n'y a pas de forces appliquées et qui donc peut être étudié au préalable.

1.1.2 Typologie des modes de vibration Le mouvement du sol est connu a posteriori par son accélérogramme (t) enregistré lors d'un séisme ; on peut envisager trois situations des structures liées au sol : • Structures parfaitement raides (la période T = O) ; c'est-à-dire que chaque point de la structure a le même déplacement absolu que le sol (figure 1.3), donc la même accélération y(t). • Le déplacement relatif de la masse, quel que soit l'amortissement de la structure par rapport au sol est nul ; la réponse del' oscillateur est quasi statique : d(t) = O. • Laccélération de l'oscillateur tend vers l'accélération du sol (l'amplification de l'oscillateur tend vers l'unité) appelée accélération à période nulle ou à fréquence infinie. • En conséquence, une masse m attachée à cette structure (figure 1. l-3a), lui communique une force d'inertie : F = m.y(t) . :.__d(t)---+-1 1

0

m

Î------~

î=O

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Figure 1.1-3 Réponses des structures

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a) Oscillateur infiniment raide - b) Oscillateur infiniment souple

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• Structures parfaitement souples (T = oo) ; le déplacement absolu des masses de la structure en dehors de celles directement liées au sol (les fondations par exemple) est nul sous l'action des forces d'inertie. Le déplacem ent relatif d(t) de la structure par rapport au sol passe par un maximum, et est opposé au déplacement absolu du sol (figure 1. l -3b). 3.

Pour un osci llateur simple ou une structure à un degré de libertés, la période propre esc le temps mis pour effectuer un aller-retour dans le mouvement d'oscillation naturelle. Une structure a n degrés de liberté à n périodes propres. La période propre la plus longue est de loin la plus importante. On l'appelle « période propre fondamentale» ou « péri ode fo ndamentale». La fréquence la plus basse est la fréquence fondamentale.

1

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6

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Au repos

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u Figure 1.1 -4 Modes de vibration dans le cas d'un niveau élastique a) Portique au rez-de-chaussée, voile en béton armé aux étages b) Portique au rez-de-chaussée et portique, remplissage en m açonnerie aux étages c) « Coup de fouet » : dernier étage en retrait d) « Coup de fouet » : dernier étage très souple

.....


• Structures courantes; le déplacement absolu des masses de la structure par rapport à celui du sol n'est ni nul ni égal. On rencontre aussi des structures comportant à la fois des parties souples et de parties raides, extrêmement contrastées, comme par exemple : • des niveaux élastiques (portiques) situés généralement au rez-de-chaussée (figure l. l-4a et b) ; • le dernier étage en retrait ou d'une raideur beaucoup plus faible que l'étage courant (figure l.l -4c et d) , qui engendre des modes supérieurs mobilisant beaucoup d'énergie: effet « coup de fouet ».

Il est intéressant de remarquer que dans le cas même de structures courantes, certaines parties peuvent avoir un comportement de structure raide (type a); c'est notamment le cas quand la période tend vers zéro, et donc cette partie de la structure sera soumise à l'accélération du sol. On appelle ce comportement en mode rigide un pseudo-mode.

1.1.3 Étude de l'oscillateur simple Lorsqu'on écarte un système tel qu' un oscillateur simple constitué d'une masse m fixée au bout d'une tige d' une position d'équilibre, compte tenu des liaisons et des déformations qui lui sont imposées, il y a apparition des forces de rappel qui tendent à le ramener à sa position de repos (figure 1.1 -5). Sous l'action du séisme, l'oscillateur est soumis à sa base au point A à un mouvement du sol D (t) variable avec le temps ; le mouvem ent que prend la masse oscillante est un mouvement plan entièrement défini par le déplacement du centre de gravité de la masse au temps t. Donc le système dépend d'un seul degré de liberté : le déplacement relatif d (t) de la masse par rapport au sol. La réponse sismique d'une structure est exprimée par la prise en compte de l'équilibre dynamique des forces, s'exerçant sur la structure pendant la durée du séisme et déterminée lorsque la masse m occupe la position déformée défi.nie par d(t) et est soumise aux forces horizontales suivantes: Vl Q)

• une force de rappel élastique exercée par le support de raideur k, qui est proportionnelle au déplacement relatif d (t) :

0

F1 = - k d(t)

1....

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(1.1-1)

• une force de freinage proportionnelle à l'amortissement c et à la vitesse relative v(t) autrement dit, à déplacement nul, l'amortissement est nul aussi :

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F2 = - c v(t)

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(1.1-2)

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• une force d' inertie développée par la masse m dans le sens contraire à l'accélération (t) de l'actio n sismique; les forces d' inertie caractérisent la résistance qu'opposent les masses à leur mise en mouvement ou à leur freinage, elles sont donc opposées aux forces élastiques : F = - mr(t) = - m [y(t) + a(t)] avec: -y(t) = l'accélération du sol ; - a(t) = l'accélération de la m asse m par rapport au sol.

(1.1-3)

1

7

8

1


A

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~(t)

-i-----------·-

Déplacement horizontal

.... '- '

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1

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1

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I

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1

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1 1 1

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Déplacement absolu

1 1 1

/

m

\

r(t)

1

1-.-- - - + - -

-

k, c

,,1:: )

.

: : _F(_t) _ _ _..,.

Déplacement relatif de la masse (m) dû au mouvement du sol d(t)

Déplacement du sol dans le repère fixe D(t)

Accélération du sol

1

Accélér~L

de la masse (m) a(t)

y(t)

Figure 1.1-5 Oscillateur simple

vi

Q)

Les déplacements de la masse m sont mesurés, soi e dans un repère relaciflié au point A (déplacement d(t)), soit dans un repère absolu (déplacement D(t)). Les déplacements sont liés par la relation :

0

~ (t)

1....

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= D (c) + d(t)

(1.1-4)

w

l.D M

En écrivant l'équilibre des forces, on obtient:

0 N

-F(t)

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(1. 1-5)

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On en déduit l'équation du mouvement:

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mr{t) + c v(t) +k d(t)

0

u

=0

(1.1-6)

soit compte tenu de la relation 1.1-3, on a : m [y(t) + a(t)] + c v(c) + k d(t)

=0

( 1.1-7)

soit encore : m

y(c)+ c v(c) + k d(t)

=-

m a(t)

( 1.1-8)


On constate qu'on se ramène à l'étude d'un oscillateur simple dans le repère relatif (figure 1.1-5), en supposant la masse soumise à une force fictive - m.a(t) proportionnelle à l'accélération a(t) du point d'appui A. En posant:

• k = la raideur du système; • ro = la pulsation du système non amorti (radian/seconde) ; • T = la période (en secondes) ; le mouvement étant périodique, la durée d'un cycle est appelée période du mouvement ;

• f = la fréquence (Hertz) ; on obtient le tableau d'équivalences (tableau 1.1). Tableau 1.1-1 Équivalences des grandeurs dynamiques

k T période (s)

-

m

T (*)

-

2n \ k

k 2n \ rn

f

-

fréquence (hertz) (cycles/s)

1

-2n

f

-

û)

û)

T

-

2n

-mk

\

w

1

1

w pulsation (rad/s)

f

2it

2nf

T

-

(*) Dans cette relation o n do it utiliser les unités du système in ternational : - la masse est exprimée en kilogrammes (ou en tonnes) ; - le coefficient ken newtons par mètre (ou en kilonewtons par mètre).

Rappel : une force est la résultante d'une distribution de contraintes sur une surface définie, elle s'exprime en newtons. Du point de vue dynamique, la force est le produit de la masse m par une accélération :

F = m.a. Vl Q)

0

Cas particulier : le poids est la force s'exerçant sur un corps soumis à l'accélération de la pesanteur:

1....

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P= m.g

w

soit

m=

l.D M

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u

g

Si on exprime k en kilogrammes-force par m ètre (ou tonnes-force par mètre) comme il est usuel de le faire, il convient d'effectuer un changem ent d'unité et la relation devient:

..c 0. 0

p

= 2n

r-p

Jgk

avec g = 9,81 m/s2

p

où :

k = xsr est la fl èche statique.

En prenant g::::: 981 cm /s 2 , la flèche statique xsc étant en centimètres, on a :

ro =

3 1,35

1x

'J " sr

[radis]

et

f= -

5 -

F:

[hertz]

1

9

10 1 Actions sismiques et réponses des strudures

Avec les notations du tableau 1.1-1 ec en tenant compte de la définition de l'amortissement z (relation 1.3-5), l'équation 1.1 -8 peut s'écrire sous la forme: y(c) + 2roÇ v(c) + ro2 d (c) = -a(t)

( 1.1-9)

La solution est donnée par l'incégrale de Duhamel, on obtient le déplacement relacif: d (t) = - - 1- J'r y('t) e-Çro(r- t) sin ro (t-'t) d't WD

0

0

(1. 1- 10)

avec:

~ 1 - Ç2 pseudo-pulsation des oscillations libres amorties ;

•

ro0 =

•

t =variable d 'intégration.

On constate que la valeur du d éplacement ne dépend que d e la pulsation ro, du coefficient d'amortissement Ç et de l' accéléracion y du sol.

À partir de (1.1-10), on obtient facilement la vitesse relative ec l'accélération absolue. Les scructures ayant toujours des amortissements très faibles (voir les tableaux 1.1-2 et 1.1-3), on peuc considérer que w 0 = ro, ce qui correspo nd à un oscillateur très peu amorti ; et en négligeant les termes secondaires, les composan tes du m ouvement sismique d eviennent: • le déplacement relatif: d (t) = - J_ J'r y('t) e-Çro(r-t) sin ro(t-'t) d't û)

• la vitesse relacive : v(t) = • la pseudo-accélération : a(t) = - ro

I

I

(1. 1-11 )

0

y('t) e-Çro(c-t) cos ro(c-'t) d't

y('t) e-Çro(c-t) sin ro(t-'t) d't

= -

(1. 1- 12)

ro2 d(t)

(1.1 - 13)

Lorsque le d éplacem ent relacif d de la masse a écé calculé, on peut en d éduire la force de rappel (voir 1.1-1) et donc calculer les efforts dans la structure : (1. 1- 14)

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

On peut aussi effectuer un calcul indirect en su pposant la masse soumise à une accélération fictive dite« pseudo-accélération » (voir 1.1 -3) ayant pour valeur:

M

0 N

a

@ .......

..c Ol

= ro2 d

(1. 1-1 5)

L effort dans la structure est e nsuite évalué par un calcul statique sous l'accio n d e la force:

·;::

>-

F = ma

Q_

0

(1.1 -16)

u appliquée à la m asse et supposée constante (figure 1.7). La force de rappel a donc pour valeur : F 1 = - F = - mro2 d en tenant compte de la relation do nnée par le tableau 1.1- 1 :

(1.1-1 7)

Représentation de l'action sismique

ro2 =

1

!_ m

on retrouve bien la valeur calculée par la relation ( 1.1-14) : F 1 = - k d. Les deux méthodes sont donc équivalentes et l'emploi de la seconde, qui est moins directe, ne peut se justifier que pour des raisons pratiques. En effet, dans des nombreux cas, l'étude de la réponse d'un bâtiment à l'action sismique est effectuée à l'aide d'un modèle très simple de type brochette pour déterminer les pseudoaccélérations qui constituent ensuite un cas de charge statique pour une structure modélisée plus finement, ce qui permet d'évaluer les efforts dans tous les éléments. Dans le cas d'un oscillateur non amorti F 2 (1.1-6) s'écrit:

r

=0

(relation 1.1 -2), l'équation du mouvement

= - ro 2 d =-a

(1.1-18)

On constate donc que, pour l'oscillateur non amorti, la pseudo-accélération est égale à l'accélération absolue, au signe près ; pour l'oscillateur amorti, elle ne constitue qu'une approximation.

1.2


1.2.1

Généralités

Laction sismique est la traduction en« données d'entrées » physiques permettant de décrire le phénomène sismique. Il s'agit des hypothèses du calcul par nature simplifiées pour décrire la complexité du phénomène. Par commodité et par absence de moyens/méthodes, l'action sismique a longtemps été représentée par un effort latéral mobilisant les masses discrétisées de la structure via une accélération plutôt que par une analyse dynamique ou temporelle. Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

Cela se traduisait notamment par une absence de couplage propre des modes de vibration en dynamique linéaire. La méthode principale stipulée dans l'Eurocode 8 est l'analyse modale spectrale de réponse [EC 4.3.3.1 (2)].

« La méthode de référence pour déterminer les effets sismiques doit être l'analyse modale

spectrale utilisant un modèle élastique linéaire de la structure. »

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

1.2.2 Spectre de réponse

0

u

1.2.2.1

Détermination du spectre de réponse

Les expressions 1.1-11 à 1.1-13 permettent, à partir de l'enregistrement (accélérogramme) d'un séism e, de calculer systématiquem en t pour tous les oscillateurs simples possibles (c'està-dire pour toute la gamme de périodes et d'amortissements possibles), les valeurs de la réponse maximale en termes de déplacement ld(t)lmax et de tracer les graphiques correspon-

11


dams dits spectres de réponses des déplacements (figure 1.2-1). De même, on peut tracer les réponses maximales en termes de vitesse lv(t)lrnax et d'accélération la(t)lrnax· Le déplacement d(t) de la masse étant calculé pour chaque oscillateur, on peut déduire: le spectre de réponse du déplacement (figure l.2-3c) est déterminé d'après 1.1-15 avec la(t)lrnax/ co =Sv:

s

V

ld(t)lrnax

(1.2-1)

Drnax

Maximum de déplacements relatifs Il

I\ \'t

I

' v'1

1 1

1

1 1

I

1 1

~~

: ,'

~ \\

Spectres pour ,,/ diverses valeurs , • d'amortissement Ç

~

~\

1 1 I

,,

,,"

'' ''

1

'',',,,

1

1 1

Allure du spectre élastique PS 92

' - .............

1 1

!

',,

'

1 1

1 I

I I I

I I

I

1 I

.. d e T = 2n Peno 00

Déplacements relatifs

Déplacements relatifs

m

·1--\---·J->.,"""',..........,,,...

vi Q) 0

1....

>-

w

m Temps

0

Temps

k, ç ,...,_ _ _ _

k,

ç

Accélération

@ ---~ 1

l.D M

0 N

@

Temps

ro-~

(s)

.......

..c Ol

·;::

>-

Figure 1.2-1 Construction d'un spectre de déplacements

Q_

0

u

a) Accélérogramme enregistré b) Choix d'oscillateurs simples avec un amortissement~ et une période T, connus c) Réponses en déplacements des oscillateurs choisis d) Spectre de réponse en déplacement pour diverses valeurs d'amortissement

le spectre de réponse de vitesse : (1.2-2)


1

• le spectre de réponse de laccélération peur être tracé de la même façon (figure 1.2-2), puisque l'accélération maximale et le déplacement maximal sont liés par la relation : (1.2-3) ou encore : (1.2-4)

Accélération spectrale Accélération maximale du sol

3 Argile de consistance molle à moyenne et sable

/

Sols profonds sans cohésion

2

Sols de consistance raide

Période

T (s) 0

~------,------,--------.-------,------...--------,----

0,5

0

1,0

2,0

1,5

2,5

3,0

Figure 1.2-2 Allures des spectres d'accélération moyenne pour différents sols

En réalité, la forme de spectres de réponse correspondant aux mouvements sismiques est très irrégulière et leur utilisation en l état peut entraîner une variation très importante de la lecture spectrale. N ormalement en cas d'erreur de 5 % dans la détermination de la fréquence, la lecture spectrale doit être quasiment identique. Il faut donc procéder à la correction (lissage) du spectre (figure 1.2-3) de telle sorte que les diverses régions du spectre soient ramenées à des segments de droite. vi

Q)

Accélération (g)

0

1...

>-

w

l.D

Spectre , - - - - de projet

M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0,1

Q_

0

u

0,01 - > - - + - - - - - - - - + - - - - - - - - - + - - - - - - - - + -

Fréquences

(Hz) 0,1

10

Figure 1.2-3 Lissage du spectre

100

13


Les spectres de déplacements et de pseudo-accélération peuvent être représentés sur la même figure si on utilise des coordonnées logarithmiques. En effet, à chaque instant du mouvement, d'après (1.1-1), on a:

=

Fmax

(1.2-5)

kDmax

à remarquer, suivant le tableau 1.1-1, la relation :

ro2 = ~

(1.2-6)

m

d'où on obtient :

=

F max

(1.2-7)

m ro2 Dmax

Tout se passe comme si la masse m se trouvait soumise à une accélération maximale: amax

=

002

(1.2-8)

D max

d'où la force statique équivalente: (1.2-9) par ailleurs, d'après (1.1-15), on a: V(pseudo-vitesse) = ro D max =

a max

(1.2-10)

CO

En mettant l'expression (1.2-4) sous une forme logarithmique, on obtient: log V = log ro + log D max = log a 111 ax - log ro et avec T

=

2

7t

(1.2-11)

(tableau 1.1-1), on obtient:

Ü)

I

l

log amax log Dmax

= log V =

T log -

2n

(1.2- 12)

T log V -log2n

Ainsi on peut repérer les valeurs log Dmax' log V et log amaxsur le même graphique en utilisant la première et la deuxième bissectrice comme axes de coordonnées (figure 1.2-4). Log D

Log amax

Vl Q)

0

1....

--)~ ,~,:: ::'î

>-

w

l.D M

0 N

,,

,

,,

,

@ .......

,,, ' lojg}, ' /

..c Ol

·;::

,,

>-

Q_

0

V,

, ,, , ,, , ,

Log l

l 27t

Log Dmax

,,

,, '

u Logl 27t

Figure 1.2-4 Formes logarithmiques log DmaX' log V et log amax


1

Dans ces conditions, on peut représenter les spectres de réponse d'accélération, de vitesse et du déplacement à un tracé unique dans la représentation dite tri-logarithmique dont la lecture devra être effectuée conformément aux indications de la figure 1.2-5. Vitesse relative

Spectre de réponse

/

V

d

Paramètres du mouvement du sol

a

''

Fréquence Basses fréquences

1Env.2Hz ]

Hautes

•fréquences•

Figure 1.2-5 Représentation schématique d'un spectre de réponse logarithmique

On voit sur les figures 1.2-4 et 1.2-5 que les courbes correspondant aux différents amortissements tendent asymptotiquement vers une valeur const ante d'accélération pour les hautes fréquences et vers une valeur constante de déplacement pour les basses fréquences :

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

• les hautes fréquences (> 25 Hz) correspondent à des oscillations de structures extrêmement raides (figure 1.1-3 a) ; pour de telles oscillations et quel que soir l'amortissement, la masse suit pratiquement le mouvement du sol, l'accélération maximale de la masse est donc pratiquement égale à l'accélération maximale du sol appelée accélération à période nulle. Le mouvement de l'oscillateur n'étant plus amplifié par rapport au mouvement du sol on appelle cette fréquence, fréquence de coupure ; • les basses fréquences correspondent à des oscillations de structures extrêmement souples (figure 1.1-3 b) ; pour de telles oscillations, la masse reste pratiquement immobile par rapport au sol, puisque le mouvement que lui transmet son support est quasiment nul ; le déplacement relatif maximal de la masse par rapport au sol est donc pratiquement égal au déplacement absolu (figure 1.1-5) du sol. Généralement, les spectres de réponse (figure 1.2-6) ne sont pas tracés pour des fréquences suffisamment basses pour m ettre en évidence cette valeur. Dans un tel spectre (figure 1.2-6), les ordonnées représentent la pseudo-vitesse et les abscisses peuvent représenter les périodes ou les fréquences. Les valeurs d'accélération er celles du déplacement peuvent être lues sur des axes à± 45° par rapport à l'axe des abscisses.

15


t" --

Déplacement (m) 1

- - - - - - - --

10-1 - - - - - - - - - 10- 2 - - --

-

--

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

10-1- - - - - - - - - -

- - - - - - - - - 10-1-

-

25Hz -

- -- - 10-2-

Fréquence (Hz) Figure 1.2-6 Exemple de spectre de réponse logarithmique

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Lorsqu'il s'agit de déterminer le spectre de réponse à prendre en compte pour le calcul des ouvrages en un site donné, il est bien entendu exclu d'utiliser un seul accélérogramme m ême si par chance, il a été enregistré au voisinage du site. Il convient donc de déterminer un spectre de calcul (de proj et) qui sera l'enveloppe d'un ensemble de spectres correspondant à des accélérogrammes convenablement enregistrés dans des sices comparables au site étudié. L idéal serait de pouvoir choisir dans un catalogue de séismes enregistrés ceux qui correspondent aux conditions du site étudié (même mécanisme au foyer probable, même magnitude, même profondeur et même distance focale, même nature du terrain, etc.).


1

En ce qui concerne la France, région pour laquelle on ne dispose pas d'un nombre suffisant d'enregistrements de mouvements forts, l'évaluation sismique de référence est fondée tout d'abord sur les données régionales historiques sous forme d'intensités macrosismiques et deuxièmement sur des enregistrements obtenus ailleurs dans le monde. Dans cette situation, les spectres réglementaires ou les spectres de référence propres à un site sont en réalité des spectres de réponse synthétiques. Les accélérogrammes utilisés résultent de séismes d'importance différente et les spectres de réponse que l'on déduit ne sont pas directement comparables. Il faut donc au préalable appliquer à chaque spectre une affinité pour qu'ils aient tous la même valeur d'intensité spectrale. Les spectres ainsi obtenus sont alors appelés« spectres normalisés ». On peut aussi normaliser les spectres en prenant en compte l'accélération maximale du sol au lieu d'intensité spectrale. Il convient d'insister sur le fait que les contenus fréquentiels 4 définis par les spectres normalisés sont des contenus fréquentiels de calcul, qui ne prétendent pas représenter le contenu fréquentiel d'un séisme réel, passé ou futur, considéré isolément. Les spectres normalisés constituent seulement un moyen de couvrir de façon rationnelle l'ensemble des éventualités défavorables dans lesquelles peut se trouver placée une structure. De ce traitement des accélérogrammes découle un intérêt pratique évident. Muni du spectre de réponse, on peut déterminer, immédiatement et par simple lecture graphique, le déplacement et l'accélération maximaux d'un système quelconque; il suffit de connaître le coefficient d'amortissement et la période propre T.

1.2.2.2

Spectres réglementaires et de calcul

L'Eurocode 8 pose comme principe que « le mouvement dû au séisme en un point donné de la surface du sol est représenté par un spectre de réponse élastique en accélération, dénommé "spectre de réponse élastique".» [ECB-1 /3.2.2. 1-(l)P] L'action sismique est décrite par deux composantes horizontales supposées indépendantes et représentées par le même spectre de réponse [EC8-1/3.2.2.l-(3)P).

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

Les actions sismiques sont ainsi caractérisées par des spectres paramétrés : • d'une part par des« accélérations d'ancrage» , dénotées ag, dépendant d'un e part de la zone de sismicité et de la classe d'importance du bâtiment ; • et d'autre part des formes spectrales normalisées dépendant de conditions de site ; Les deux niveaux d'actions sismiques d'état limite ultime et aux états limites de limitation des dommages répondent aux exigences de non-effondrement.

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

La forme du spectre de réponse élastique dépend des paramètres suivants: • L'accélération maximale de référence au niveau d'un sol de type rocheux (classe A au sens [ECB-1/3.2.1-(2)) - voi r ci-dessous classes de sol), agr' résultant de la situation du bâtiment par rapport à la zone sismique, Les valeurs des accélérations agr' exprimées en mètres par seconde au carré, sont données par le tableau 1.2-1.

4.

Le contenu fréquentiel est l'ensemble des fréque nces dont les ordonnées spectrales (accélération, vitesse, etc.) sont significatives. Le contenu fréquentiel d 'une excitation (accélérograrnme) est l'ensemble des fréquences des composantes sinusoïdales en lesquelles on peut décomposer l'excitation. D ans ce cas, on peut ne retenir que les fréquences dont les composantes ont une amplitude importante.

17


Tableau 1.2-1 Accélération de référence au niveau du sol en fonction de la zone de sismicité

Zones de sismicité

a2,

Très faible

Pas de prise en compte d e l'aléa sismique dans les constructions à risque normal ==> pas de valeur d'accélération agR pour les bâtiments de classe I,II, III et IV.

Faible

0,7

Modérée

1,1

Moyenne

1,6

Forte

3

Zonage sismique de la France m vigueur df1>UIS le 1• mat 201 l

(art. O 563·8-1 du Code de rmwonnement)

0

..A .Sl. Mallin

50

IOOkm

Zones de sismicité

Vl Q)

1 (très faible)

0

1....

2 (faible)

w

3 (modérée)

>-

l.D M

-

4 (moyenne)

0 N

-

5 (forte)

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

•f

les Saintes

.

Marunique

·~

)

Satnt·P•e
,J • ·-

Figure 1.2-7 Zonage sismique français

[accélération de calcul au niveau d'un sol de type rocheux (classe A au sens de la norme NF EN 1998- 1), ag, est égale à agr multipliée par le coefficient d'importance y1 (tableau 1.2-2), soit ag ='Yr . agr·


1

Tableau 1.2-2 Coefficient d'importance y1 Coefficient d'importance y1

1

0,8

GI GI

Il

l

;~

Ill

1,2

IV

l ,4

GI -c .,,

"'E 'O m

De la nature du sol par l' intermédiaire du paramètre de sol S (tableau 1.2-3). Les valeurs du paramètre de sol S, résultant de la classe de sol (au sens de la norme NF EN 1998-1) sous le bâtiment, sont données par le tableau 1.2-3. Tableau 1.2-3 Coefficient de sol Classes de sol

s

s

(pour les zones de sismicité 1 à 4)

(pour la zone de sismicité 5)

A

1

1

B

1,35

1,2

c

l ,5

l , 15

D

l ,6

1,35

E

1,8

1,4

Les modalités d'utilisation du paramètre de sol S sont définies dans la norme NF EN 1998-1 en fonction des classes de sol qui se décomposent de la manière suivante (tableau 1.2-4) : Tableau 1.2-4 Classes de sol Paramètres Classe

Vl Q)

0

1....

>-

l.D

......,

N (SPT)

C u (kPa)

>800

-

-

Rocher, au plus 5 m d'alluvions

B

Sable rrès dense, gravier, argile raide, h > 1Om

360-800

>5 0

>250

c

Sable dense, m oyennement dense argile raide, !Om
180-360

15-50

70-250

D

Sable lâche, moyennem ent dense, argile ferme à molle

<180

<15

<70

E

Alluvion Cou D, 5 m < h < 20 m surmoncant rocher A

Sl

Couches con tenant states h > l 0 m, argile molle (IP > 40) w élevée

< 100 (indicatif)

-

10-20

S2

Sires liquéfiab les, tout autre rype de sire non référencé ci-dessus

0 N

@

V5,30 (mis) A

w M

Description

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

• Pour les structures importantes (yI > 1,0), il faut tenir compte des effets d'amplification topographique [ECS-1/3.2.2. 1-(6)]. Une majoration de l'action sismique est introduite par l'application d'un coefficient d'amplification topographique, dans les vérifications de la stabilité du sol pour les structures de catégorie III ou IV [EC8-5/4.1.3.2-(2)P]. • TB et TC, qui sont respectivement la limite inférieure et supérieure des périodes correspondant au palier d'accélération spectrale constante et T D , qui est la valeur définissant le début de la branche à déplacement spectral constant. Les valeurs de TB, TC et TD, exprimées en secondes, sont données par le tableau 1.2-5.

19

20

1

Adions sismiques et réponses des strudures

Tableau 1.2-5 Valeurs des périodes TB, TC et TD en fonction des classes de sol Pour les zones de sismicité 1 à 4

Pour la zone de sismicité 5

Classes de sol

Te

Tc

To

Te

Tc

To

A

0,03

0,2

2,5

0, 15

0,4

2

B

0,05

0,25

2.5

0, 15

0.5

2

c

0,06

0,4

2

0,2

0,6

2

D

0,1

0,6

1,5

0,2

0,8

2

E

0,08

0,45

1,25

0,15

0,5

2

Spectre vertical Les valeurs recommandées sont rassemblées dans le tableau 1.2-6. Tableau 1.2-6 Valeurs recommandées des paramètres décrivant les spectres de réponse élastique verticale Spectre

Te

avg/ag

Tc

To

Type 1

0,90

0,05

0,15

1,00

Type 2

0,45

0,05

0, 15

1,00

Pour mémoire, dans le règlement PS 92, la valeur du séisme vertical était fixée forfaitairement à 0,70 de la valeur du séisme horizontal.

Spectre de calcul Afin d'éviter d'effectuer une analyse structurale non élastique explicite, le comportement ductile de la structure est pris en compte en réalisant une analyse élastique basée sur un spectre de réponse réduit par rapport au spectre élastique par l'introduction du coefficient de comportement q [EC8-1 /2 .2.2-(2) ;/3.2.2.5-(2)]. Cette notion est vue particulièrement dans le§ 1.4. Pour la composante verticale on adopte q = 1,5 pour tous les matériaux et tous les systèmes structuraux [EC8-1/3.2.2.5-(6)]. Déplacement de calcul du sol

1.2.2.3 Vl Q)

0

1....

>-

w

Le déplacement de calcul au niveau du sol dg correspondant à l'accélération de calcul au niveau du sol peut être estimé à l'aide de l'expression suivante [EC8- 1/3.2.2.4-(1)] :

l.D

d g = 0 ' 025 · ag · S · T C · T D

M

0 N

@

(1.2-13)

Tableau 1.2-7 Déplacem ents d8 (m) au niveau du sol pour les bâtiments de classe 11*) (coefficient d' importance y= 1)

.......

..c Ol

·;::

>-

Classe de sols

Zones sismiques

0. 0

A

B

c

D

E

2

0,0088

0,0 147

0,021

0,0252

0,0099

2

0,0 138

0,023 1

0,033

0,0396

0,0 156

2

0,020

0,0336

0,048

0,0576

0,0227

2

0,060

0,09

0, 1035

0, 162

0, 105

agR

u

Faible: Modérée:

agR = 0,7 m/s agR = 1,1 m/s

Moyen ne: agR = 1,6 m/s Forte:

agR = 3,0 m/s

'l Pour les classes I, III et IV les valeurs du déplacement dg ci-dessus doivent être multipliées par les coefficients

d'importance respectifs: 0,8; 1,2; 1,4

Réponse dissipative des structures aux actions sismiques

1

1.2.3 Accélérogrammes L Eurocode 8 permet l'utilisation de représentations chronologiques du mouvement sismique (accélérogrammes) comme représentation de base de l'action sismique [EC8-1/3.2.2.1-{7)]. Cette approche plus naturelle de la représentation de l'action dynamique, qui permet une m eilleure appréciation de la réponse en déplacem ent, nécessite néanmoins le paramétrage de calculs numériques complexes. Aussi, il conviendra de comparer les résultats obtenus en effort avec un calcul modal spectral dont le spectre sera obtenu à partir du contenu fréquentiel des accélérogrammes utilisés pour la simulation temporelle. Dans le cas de l'utilisation d'accélérogrammes artificiels, cette disposition est rappelée en tant que principe [EC8-1 / 3.2.3.l.2-(l)P]. En fonction de la nature de l'application (calcul transitoire), la description du mouvement sismique est basée sur l'utilisatio n des accélérogrammes artificiels ou accélérogramme enregistrés [EC8-1/ 3.2.3.1 .1-{3)].

1.2.3.1

Accélérogrammes artificiels

Les accélérogrammes artificiels doivent être établis de m anière :

s

• à correspondre aux spectres de réponse élastique avec un amortissement de = 5 % [EC8-1 / 3.2.3.1.2-{l)Pl; • à avoir une durée stationnaire minimale de 10 s [EC8-1 / 3.2.3.1.2-{3)) et à être compatibles avec la m agnitude et autres caractéristiques propres à l'événem ent sismique servant à la définition de ag [EC8-1/3.2.3.l.2-{2)P] ; • à utiliser un minimum de trois accélérogrammes [EC8-1 /3.2.3. l .2-{4a)) ; • à obtenir que !'accélération spectrale à valeur nulle (calculée à partir des accélérogrammes) soit ~ a"".S pour le site en question [EC8-1 /3.2.3. l.2-{4b)] ; " • à obtenir pour le domaine compris entre 0,2T 1 et 2T 1 (T 1 = période fondamental e) qu'aucune valeur du spectre de réponse élastique = 5 %) ne soit inférieure à 90 % de la valeur co rrespo ndante du spectre élastique [EC8-1/ 3.2.3.l.2-{4c)].

(s

Vl

1.2.3.2 Accélérogrammes naturels

Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

Des accélérogrammes enregistrés [ECa-1 / 3.2.3.1.3-{1 )P) o u élaborés à partir à partir d' une simulation physique des m écanism es à la source et de propagations des ondes peuvent être utilisés à condition de respecter les mêmes conditions exigées pour les accélérogrammes artificiels.

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

1.3

~ép~nse

dissipative des structures aux actions s1sm1ques

La ductilité caractérise la capacité d'une structure ou d'une partie d'une structure (ductilité globale ou locale) à se déformer de manière notable sans se rompre, permettant à d'autres parties de la structure de se déformer égalem ent en dissipant de l'énergie. Cette propriété est essentielle po ur d issiper l'énergie accumulée par la sollicitatio n sismique.

21

22

1


1.3.1

Accumulation et dissipation de l'énergie

La sollicirarion sismique est un déplacement imposé variable dans le remps qui induit, dans une structure, des forces d'inertie. À celles-ci correspondent l'énergie cinétique de mouvem ent des masses, des forces d'amortissement dissipatives er des efforts internes de déformation, auxquels on associe l'énergie de déformation des éléments structuraux, conservative, en cas de déformation élastique. Mais en fin de compre, quelle que soir l'origine du « pompage» de l'énergie dans la structure, elle doir être entièrement dissipée par frorrements internes er, le cas échéant, par des plastifications (entraînant de l'endommagement à l'échelle du matériau) , dans la mesure où elle n'esr pas restituée au sol par le ph énomène d'interaction sol-srrucrure. Lamortissement des effers dynamiques par absorption d'énergie constirue l'élément fondam ental de la renue des ouvrages. Au cours du mouvement, le séisme« injecte» dans la srrucrure, à l'occasion de chaque cycle, une certaine quantité d'énergie E1. Une partie de cerre énergie esr resriruée au sol, E 5, par le phénomène d'interaction sol-srrucrure. Une aurre partie EA est dissipée par le phénomène d'amortissement. Le surplus se retrouve dans la structure sous forme d'énergie cinétique Ec de mouvement de masses et en énergie de déformation élastique E 0 E des éléments structuraux. En notant EE l'énergie accumulée (potentielle) par la structure dans le domaine élastique er E 0 l'énergie dissipée par la structure dans le domaine inélastique, le bilan énergétiques' érablir comme suit:

(1.3- 1)

+ énergie induire (injecrée dans la srrurure)

énergie resriruée au sol

énergie accum ulée par la srrucrure dans le domaine élasrique

+ énergie cinétique Vl Q)

0

énergie diss ipée dans la srrucrure dans le do maine inélasrique

+

(1.3-2)

+

énergie de énergie déformation d'am ortissement correspondant dissipée en chaleur à la parrie réversible des déformarions

énergie hysrérétique

1....

>-

w

l.D

Il esr à norer que l'énergie potentielle Ep esr en chaque instant égale à :

M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

(1.3-3) En régime parfaitement élastique, il y a transformation intégrale d'une forme d'énergie dans l'autre. Lorsque les masses passent par leur position d'équilibre, l'énergie de déformation élastique est nulle et taure l'énergie potentielle est constiruée d'énergie cinétique.

0

u

En examinant le bilan énergétique (1.3-1), plusieurs choix ou stratégies s'offrent au moment de la conception des ouvrages : • Diminuer l'énergie injectée E1 (énergie induite par le séisme), par exemple en s'élo ignant du palier du spectre (voir § 1.3). Il s'agit, dans le cas de sols fermes, d'augmen ter la période du mode fondamental de la structure, par exemple par l'interposition des appuis parasismiques. Dans ce cas, bien entendu, il faur maîtriser les déplacements importants qui en résultent.

Réponse dissipative des structures aux actions sismiques 1 23

Par la réduction de l'action sismique, on diminue la sollicitation des éléments structuraux ainsi que les contraintes au sol. • Augmenter la possibilité d'accumuler l'énergie E E. Le maintien de la structure dans l'état élastique suppose la réalisation des éléments capables de stocker de grandes quantités d'énergie sous les faibles déformations du domaine élastique, c'est-à-dire des pièces raides et de grandes sections : murs porteurs en maçonnerie ou en béton armé. • Augmenter la possibilité de dissiper l'énergie E 0 . Lamélioration de la dissipation d'énergie par amortissement est une démarche récente qui suppose l'introducrion des amortisseurs visqueux. Dans la pratique courante, on compte plutôt sur des éléments capables d'avoir pendant plusieurs cycles de grandes déformations excédant la limite élastique et avant rupture, des comportements du type dissipatif (assemblages métalliques), de façon à consommer le plus possible d'énergie de déformation post-élastique, ce qu'il est convenu d'appeler ductilité et à diminuer la part à stocker sous forme d'énergie de déformation élastique. En effet, le comportement d'une structure à l'action sismique dépendant à la fois de sa résistance et de sa ductilité, la difficulté consiste à choisir la combinaison optimale de ces deux paramètres selon les situations. Parfois, la résistance avec un minimum de ductilité peut suffire, alors que dans d'autres cas, la combinaison d'une résistance réduite et d'une grande ductilité peut être indiquée. Lorsqu'il s'agit de trouver un compromis entre la résistance et la ductilité, il faut tenir compte de la résistance et de la ductilité de chaque élément ou de chaque composant. Techniquement et économiquement il n'est pas possible d'agir uniquement sur E 1 ou sur EE, ou encore sur E 0 , il faut trouver un bon équilibre entre l'économie et la sécurité. Le choix stratégique à faire est dans le dosage de ces trois possibilités d'action qui sont à notre disposition et qui permettent d'avancer quelques idées directrices : • les forces ou déformations s'exerçant sur une structure ne dépendent du mouvem ent sismique qu'au travers de la réponse de cette structure. On aura donc intérêt à diminuer la masse du bâtiment et par conséquent les forces d'inertie (réduction E1) ; • on aura intérêt à réduire les effets dus à la torsion en diminuant la distance entre le centre de gravité de masse et celui d'inertie. Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

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>-

Q_

0

u

En fait, il est prouvé que toute sollicitation dynamique d'une certaine sévérité risquerait de donner lieu à des efforts et des déplacements dans la structure bien supérieurs (déformations permanentes excessives, effondrement de l'ouvrage, etc.) aux valeurs normalement tolérées, si un comportement ductile ne devait pas intervenir. Cette intervention est faite à l'aide du coefficient de comportement q (voir § 1.4). C ela permet d'expliquer la bonne tenue, souvent constatée, de certains types de structures (structures à murs en béton armé) ayant par ailleurs une grande capacité d'absorption d'énergie. La réduction des accélérations, et donc de l énergie injectée dans la structure, peut être aussi obtenue par l'introduction des appuis parasismiques entraînant des translations importantes du bâtiment par rapport à sa fondation. D'après l'équation du mouvement (1.1 -18), on peut établir une relation entre les déplacements, les accélérations et les périodes propres. Cette relation de caractère purement cinématique est indépendante du système et du matériau utilisé.

24

1


Si l'on pose d'après le tableau 1.1-1 : (0 =

27t

T

on peut écrire :

y2

d = -1 4it

(1.3-4)

L'importance du déplacement traduit le fait que l'énergie tnJectée par le séisme dans le système, au lieu de se trouver stockée (sous forme d'énergie de déformation) et dissipée (sous forme d'amortissement) dans l'ensemble de la structure, se trouve maintenant en grande partie stockée dans les appuis.

1.3.2 Amortissement des structures L'amortissement est une propriété dynamique d'un système mécanique qui s'oppose aux déformations et aux déplacements. La réponse des structures soumises aux forces sismiques, variables au cours du temps, dépend en particulier des propriétés d'amortissement des matériaux constitutifs de la structure, des assemblages des différents éléments de structure et des liaisons avec le milieu environnant, donc de l'interaction sol-structure. Les phénomènes physiques intervenant dans l'amortissement d'une structure ou du sol sont nombreux : frottem ent, viscosité et plasticité des matériaux, rayonnement au niveau du sol, etc.

1.3.2.1

Caractérisation de l'amortissement d'une structure

Dans la réalité, les degrés d'amortissement, qui ont été déterminés à partir d'observations et de mesures, présentent une gamme de valeurs assez étendue; mais par prudence, pour l'amortissement équivalent (de type visqueux), on choisit généralement des valeurs d'amortissement inférieures aux valeurs estimatives médianes ou moyennes. Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

Pour effectuer la lecture spectrale, il convient donc, pour chaque mode, de déterminer le coefficient d'amortissement Ç. L'amortissement Ç est le rapport de l'amortissement réel c à l'amortissement critique c0 (figure 1.3- 1) :

0 N

@ .......

..c

Ç=

amortissement effectif c c c amortissement critique = c 0 = 2mro = 2 ~

(1.3-5)

Ol

·;::

>-

Q_

0

u

L'amortissement critique est défini comme celui qui, dans un système à un degré de liberté, ne présenterait pas d'oscillations en absence d'une force extérieure. Ce rapport fournit la mesure del' efficacité del' amortissement du point de vue de la réduction de la réponse.


X

Ç= 1 (c < c0 ) ', , ____

~Ç> 1

(o<<;,)

Amortissement critique

--

0

Amortissement effectif

,, T'

Figure 1.3-1 Amortissement réel (effectif) et amortissement critique

On distingue trois situations : • c ~ c0 ; Ç > 1 ; l'amortissem ent effectif est supérieur à l'amortissement critique, la masse revient asymptotiquement au repos sans effectuer d'oscillations (amo rtissement trop important) ; • c = c0 ; Ç= 1 ; comme dans le cas précédent, le mouvement ne présente pas d'oscillations, cas de l'amortissement critique ; on met en évidence l'instant où le mouvem ent perd son caractère vibratoire ; • c ~ c0 ; Ç < 1 ; l'amortissem ent effectif est inféri eur à l'amortissement critique, la masse effectue une séri e d'oscillations d'amplitude décroissante tendant asymptotiquement vers zéro (amortissement faible). C'est le seul cas intéressant pour l'analyse du comportement dynamique des structures, celles-ci ayant toujours un amortissement inférieur à l'amortissement critique. Vl Q)

0

1....

>-

w

1.3.2.2

Composition du coefficient d'amortissement d'une structure

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

L'amortissement d'une structure se compose de : • l'amortissement interne ou structural ; celui-ci se p roduit dans les matériaux à l'occasion des déformations qu' ils subissent et représente la principale cause de dissipatio n d'énergie. Il comporte essentiellement deux termes : - amo rtissem ent visqueux, lié à la viscoélasticité des m atériaux et dépendant de la fréquence; il caractérise la capacité d'absorption d'énergie dans le domaine élastique, - amo rtissem ent d'hystérésis, indépendant de la fréquence et ayant son origine dans la non-linéarité du comportem ent des éléments structuraux. Il est bien évident que tant que la structure reste dans le domaine élastique, cet amo rtissem ent tend vers zéro ;

26

1


• les amortissements externes, qui correspondent à des frottements divers et se résument essentiellement à ceux qui interviennent le long des surfaces de contact entre la structure et les éléments non structuraux, lorsqu'ils en existent. La contribution des éléments non structuraux à l'amortissement total est assez importante aux fortes amplitudes d'oscillations, mais elle peut diminuer ou même s'annuler en cas d'endommagement ou de ruine des éléments en cause. On classe dans cette famille le frottement entre les fondations et le sol, appelé aussi amortissement géométrique, pris en compte dans les modèles de l'interaction sol-structure. Pour faciliter le calcul, les amortissements externes et l'amortissement d'hystérésis sont convertis en un amortissement équivalent de type visqueux. Le principe est d'utiliser une équivalence énergétique entre les dissipations hystérétiques ou externes et la dissipation visqueuse, aboutissant à un amortissement total (équivalent) exprimé en terme d'amortissement effectif Ç. 1

ÇOA0 = effectif ••

Visqueux :

t Interne (structural)

\.\ \

\

cnt1que

< 1

\

\

\ \

\

\

.

\

Convertis \

\

\

\

\

i

\

1 1

\

r/

\

'

1 D'hystérésis

\

I

,.,.

, ,,

,

1 1 1 1 1

1 Amortissements 1

Ext erne (frottements)

!;:

\

I

I

' ''

I

,,

Figure 1.3-2 Amortissements

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

Par amortissement équivalent, on entend un amortissement conduisant, pour un niveau de déformation comportan t de faibles incursions dans le domaine plastique, à la même d issipation d'énergie par cycle que les amortissements et les frottem ents réels. Pendant la réponse linéaire des structures sous l'action sismique, l'absorption de l'énergie est due principalement à l'amortissement.

M

0 N

@

1.3.2.3

Amortissement et coefficient de comportement

.......

..c Ol

·;::

>Q_

Lorsque la structure subit des incursions dans le domaine plastique, l'amortissement effectif devrait augmenter fortement.

0

u

Ainsi, plus l'amortissement est important, plus l'amplification du spectre sera faible. Les spectres de réponse élastique dépendent ainsi du coefficient de correction d'amortissement visqueux effectif 11 [EC8-1 /3.2.2 .2{1)P]. Néanmoins, les effets de l'augmentation de l'amortissement réel sont en réalité inclus dans le coefficient de comportement q qui permet une prise en compte p lus fiable dans l'analyse spectrale de la dissipation d'énergie dans le domaine non linéaire. L'amortissement n'est donc pas majoré par l'incursion dans le domaine no n linéaire.


Sa valeur est considérée conventionnellement comme constante pendant toute la durée du mouvement et quel que soit le mode de vibration, et l'amortissement équivalent est pris en compte dans l'établissement du spectre de calcul en fonction de la nature du matériau au sens large: matériau au sens composite et grands principes d'assemblages (voir paragraphe suivant). Pour mémoire, c'est donc bien l'amortissement de la structure qui est pris en compte ici et non l'amortissement du sol. Celui-ci intervient de manière : indirecte par l'intermédiaire des classes de sol ; • directe si la modélisation de l'interaction sol-structure est réalisée avec des ressorts visqueux.

1.3.2.4

Valeurs communes de l'amortissement

Deux cas peuvent se présenter : • la structure est composée d' un matériau unique ; • la structure est composée de plusieurs matériaux. 1.3.2.4.1 Structure composée d'un matériau unique Lorsque les éléments structuraux sont constitués d'un seul type de matériau, l'amortissement est le même pour tous les modes. Pour les bâtiments, équipements et installations de la catégorie dire l'amortissement est donné par le tableau 1.3- 1.

«

à risque normal

»

Si le bâtiment comporte une densité de cloisons comparable à celle des bâtiments d'habitatio n, il est d'usage d'augm enter ces valeurs de 1 % dans le cas de structures à murs et de 2 % dans le cas des portiques traduisant l'amortissement complémentaire. Tableau 1.3-1 Amortissements pour les ouvrages de la catégorie dite « à risque normal »

Matériau

Ouvrages avec peu des éléments secondaires Ç o/o

Vl

Bâtiments avec une densité de cloisons équivalente à celle des bâtiments d'habitation scruccures à murs

scructures à portiques

Ço/o+ 1 %

Ç% + 2% 4 6

Q)

0

1....

>-

w

l.D

Struccures m étalliques • soudées • boulonnées

2 4

-

Struccures en béton • non armé • armé • préconcrai nc

3 4 2

4

-

5 -

6 4

Maçonneries • armées • chaînées

6

7

-

5

6

-

4 4

-

6 6

5

-

7

-

M

0 N

@ ....... ..c Ol

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>-

0. 0

u

Struccures en bois • lam ellé collé • boulo nné • cloué

28

1


1.3.2.4.2 Structure composée de plusieurs matériaux

Lorsque la structure est constituée de plusieurs matériaux ayant des coefficients d'amortissement différents, on ne peut utiliser un coefficient unique pour tous les modes (voir chapitre 2, « Méthodes de calcul »). En effet, selon le mode de vibration considéré, un matériau sera plus ou moins sollicité que les autres, ce qui change la valeur de l'amortissement de la structure. Pour un mode donné, l'importance de la déformation imposée à chaque matériau peut être évaluée globalement par l'énergie potentielle correspondante. On calcule un coefficient d'amortissement moyen de la structure en pondérant les coefficients d'amortissement de chacun des matériaux par les énergies. Dans le cas de trois matériaux, par exemple le sol, le béton armé, la charpente métallique soudée (figure 1.3-3), auxquels correspondent des amortissements Ç1, Ç2 et Ç3, on calcule pour chaque mode les énergies potentielles El> E 2 et E 3 . La valeur de l'amortissement moyen Çest donnée par l'expression :

-·- -·- - - -·-·-- - - -- - - - - ---

-·-·-·-·-·-·-·-·-·------------ --

Vl Q)

Figure 1.3-3 Structure avec trois matériaux d'amortissements différents

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

(1.3-6)

@

.L: Ol

·~

B

On est ainsi conduit à défini r un spectre a priori différent pour chacun des modes, en fonction de cette valeur moyenne du coefficient d'amortissement.

À partir de cet exemple ont été tracées les courbes d'accélérations de la figure 1.3-4 dans deux situations : • avec la prise en compte de l'amortissement du sol, et le calcul d'un amortissement modal pondéré Ç* 0 ; • sans la prise en compte de l'amortissement du sol Ç = O.

Réponse dissipative des structures aux actions sismiques

z(m)

z(m)

14

14

12

12

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0

0

-2

1

-2 2

x(m/s 2)

2

y(mfs2)

Figure 1.3-4 Influence de la prise en compte de l'amortissement du sol sur les valeurs des accélérations (en m/ s')

Par la seule prise en compte de l'amortissement du sol, on peut constater une diminution des accélérations d'environ 30 % dans le sens x et de 15 % dans le sens y.

1.3.2.5

Valeurs particulières de l'amortissement

En cas d'actions dynamiques faiblement énergétiques (par exemple, le trafic routier) pour lesquelles les amplitudes de vibrations sont telles que les contraintes dans la structure restent très inférieures à la limi te élastique, les coefficients d'amortissement peuvent être très faibles : entre 0,05 % et 0,5 % . Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

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..c Ol

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>-

Q_

0

u

En présence de liquides modifiant sensiblement les effets d'inertie, les coefficients d'amortissement s' établissent généralement dans la gamme 0,5 % à 2 %, sans que cet effet soit toujours expliqué. L amortissement augmente encore lo rsque le liquide est en mouvem ent, atteignant des valeurs de 3 % à 7 %. Certains dispositifs d'ADA (amortisseurs dynamiques accordés) utilisent cette propriété dans des tours de grande hauteur. Pour les bâtiments, équipements et installations de la catégorie dite « à risque spécial », les valeurs de l'amortissem ent sont données par le tableau 1.3-2. Ces valeurs sont issues du Regulatory Guide 1.61 (norme américaine), et correspondant aux deux types de niveau de sollicitatio n SMHV (séisme m aximal historiquem ent vraisemblable) et SMS (séisme m ajoré de sécurité) .

29

30

1


Tableau 1.3-2 Amortissements pour les ouvrages de la catégorie dite« à risque spécial »

Type de structure Structures métalliques • soudées • boulonnées Structures en béton • armé • précontraint Tuyauterie • petites 0 ~ 300 mm • grosses 0 >300 mm

1.3.2.6

SMHV (50% de la limite élastique)

SMS ("" la limite élastique)

Ço/o

Ço/o

2

4

4

7

4 2

7 5

1 2

2 3

Commentaires sur l'amortissement des structures

Il y a lieu de remarquer [Newmark 3] que, lorsqu'on examine la réponse d'une strucrure à des mouvements sismiques majeurs, il faut tenir compte des incidences des dégâts qu'elle peut subir ; ces dégâts - en dehors de tout effondrement - peuvent être de degrés divers - par exemple, des fissures. Certaines installations doivent nécessairement demeurer dans le domaine élastique, ou presque, afin de jouer le rôle qui leur incombe en matière de sécurité. Toutefois, dans de nombreux cas, une analyse élastique purement linéaire peut se révéler d'une prudence excessive, si l'on considère que, même près du point de rupture (yield point), il se produit un assez grand nombre de phénomènes non linéaires qui permettent de réduire considérablement les spécifications prévues. Ces phénomènes non linéaires traduisent l'absorption et la dissipation de l'énergie qui sont dues principalement à l'amortissement.

Vl Q)

0

Toujours d'après Newmark, dans la réalité, les degrés d'amortissement, qui ont été déterminés à partir d'observations et de mesures, présentent une gamme assez étendue ; mais pour la commodité de l'analyse, on admet en général que l'amortissement est visqueux et on le considère comme rel. Par prudence, on choisit généralement des valeurs d'amortissement inférieures aux valeurs estimatives médianes ou moyennes.

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ ....... ..c Ol

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>-

Enfin, Newmark conclut que la plus faible des deux valeurs indiquées dans le tableau ci-après (tableau 1.3-3) est presque une limite inférieure et doit par conséquent être considérée comme très en deçà du niveau normal ; la valeur supérieure représente une valeur moyenne, ou légèrement supérieure à la moyenne, et c'est probablement celle qui doit être utilisée lorsque les estimations des autres paramètres intervenant dans les spécifications sont d'une prudence modérée.

Q_

0

u

Tableau 1.3-3 Fourchette d'amortissement d'après Newmark 0.8.E. / S.M.H.V.

S.S.E. / S.M.S.

50 % de la limite élastique

la limite élastique

3-5 % D ébut de la fissuration

7 - 10 %

Structures méralliques soudées

2 -3%

5 - 7%

Structures métalliques boulonnées

5 - 7%

10 - 15 %

Type de structure Structures en béton armé


À partir d'une synthèse des résultats des essais effectués sur différentes structures à travers le monde, des valeurs réglementaires (Regularnry Guide) ont été définies où l'on considère l'amortissement constant quel que soit le mode. Tableau 1.3-4 Valeurs recommandées d'amortissement (Regulatory Guide)

0 .B.E. / S.M.H.V.

S.S.E. / S.M.S.

50 O/o de la limite élastique

la limite élastique

Structures en béron armé

4%

7%

Srructures méralliques soudées

2%

4%

Srructures méralliques boulonnées

4%

7%

Type de structure

D 'après une analyse très détaillée [Betbeder-Matibet, 2003b] des caractéristiques dynamiques (modes propres, amortissements, influence de la torsion, etc.) des différents types de structures ayant subi sans endommagements apparents des séismes majeurs (0, 12 g et 0,67 g) : Morgan Hill, 1984 (10 enregistrements), Whittier Narrows, 1987 (15 enregistrements) et Loma Prieta, 1989 (33 enregistrements), les valeurs des amortissements sont les suivantes: • structures en béton armé : 4 à 10 % ; • structures en charpente métallique: 2 à 7 % ; • structures en béton armé + charpente métallique : 6 à 9 %. Il est fort probable que pour une structure dégradée, on arrive aux valeurs proposées par Newmark, qui atteignent et dépassent 10 %. Enfin il est connu [EN 1998-1 /POG-030-1 /Eurocode 8] que la prise en compte de l'interaction solstructure (amortissement radiatif) diminue les valeurs fréquentielles des modes propres.

1.3.3 Classes de ductilité 1.3.3.1 Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

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0. 0

u

Ductilité locale et globale

L'Eurocode 8 [EC8-1/4.4.2.3] rappelle les conditions de ductilité locale et globale. Il est mis l'accent sur le fait que la ductilité doit se vérifier localement au niveau des éléments structuraux et globalement au niveau de la structure [ECB-1/4.4.2.3-{ l)P] . Il est introduit notamment la notion de dimensionnem ent en capacité, visant à créer un schéma de rupture contrôlée de la structure, non fragile, par la mise en place d'une hiérarchie de résistance des éléments structuraux [EC8-1/4.4.2.3-{2)P]. Ainsi, il convient de placer des rotules plastiques dans les zones souhaitées de plastification et de veiller à« surdimensionner» en résistance les parties adjacentes pour qu'elles résistent lorsque les rotules plastifient. Pour les bâtiments de plusieurs étages, c'est un mode de rupture global et non circonscrit à un niveau qui doit être déployé pour éviter de concentrer efforts et demandes de ductilité sur une partie trop localisée [EC8-1/4.4.2 .3-{3) P]. Ils'agit de développer un schéma global mobilisant un maximum d'éléments et ainsi de jouer sur l'hyperstaticité de la structure. Ainsi, pour des bâtiments à ossatures [ECB-1/4.4.2.3-{4)], quel que soit le matériau, on vérifie pour l'ensemble des poutres et poteaux (à l'exception du denier étage [ECB-1/4.4.2.3-{6)]) que :

32

1


2, MRc

>

1,3 2, MRb

(1.3-7)

avec:

• 2, MRc, la somme des valeurs de calcul des résistances à la flexion des poteaux connectés au nœud. Il convient d'utiliser la valeur minimale des résistances à la fl exion des poteaux dans l'intervall e de variation des efforts normaux des poteaux dans la situation sismique de calcul ;

• 2, MRb, la somme des valeurs de calcul des résistances à la flexion des poucres connectées au nœud. Lorsque des assemblages à résistance partielle sont utilisés, les résistances à la flexion de ces assemblages sont prises en compte dans le calcul de 2, MRb. Pour l'évaluation des moments, il faut considérer, en toute rigueur, le moment au centre du nœud et donc la part de flexion déviée imposée par les efforts tranchants. Il est loisible de la négliger en premi ère approche. Il convient de bien vérifier l'inégalité dans les directions principales du bâtiment (a priori deux) et pour des sollicitations alternées [ECB- 1/4.4.2.3-(5)]. On notera cependant qu'une analyse en poussée progressive (pushover) est suffisante si [ECB- 1/4.4.2.3-(8)] :

• les mécanismes plastiques obtenus par l'analyse en poussée progressive sont satisfaisants ; • les demandes de ductilité et de déformation globales par niveau, et locales, déterminées par des analyses en poussée progressive (avec différentes distributions de charges latérales) ne dépassent pas les capacités correspondantes ; • les élém ents fragiles restent dans le domaine élastique

1.3.3.2

Trois classes de ductilité

Dans la pratique [EC8-l/2.2.2-(2)P], l'arbitrage entre la résistance et la capacité de dissipation d'énergie est caractérisé par les valeurs du coefficient de comportement q et les classes de ductilité associées. Suivant la nature et l'importance des dispositions constructives, l'Eurocode 8 propose trois niveaux de ductilité: Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

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>-

Q_

0

u

• classe de ductilité limite DCL. Structures faiblement dissipatives ; les dispositions constructives n'améliorent que dans une proportion très faible la ductilité de l'ensemble de la structure. Aucune dissipation d'énergie n'est acceptable et le coefficient de comportement pour les constructions en béton armé est limité à q :::; 1,5. Cette classe correspond à l'application de l'Eurocode 8 [ECS-115.3.1-(1)] considéré conférer une ductilité minimale dont il est possible de bénéficier. Pour les constructions métalliques et les bâtiments mixtes acier-béton, le coefficient de comportement est limité à q = 1,5-2,0. Cette approche minimale est intéressante dans les zones de faible sismicité ou lorsque l'action du vent est prépondérante ; • classe de ductilité moyenne DCM. Les dispositions constructives ont pour objet de mettre la structure en état de supporter quelques cycles de déformations post-élastiques répétées ou alternées, d'amplitude relativement modérée sans ruptures fragi les ; • classe de ductilité élevée DCH. Les dispositions constructives visent à mettre la structure en état de dissiper d'importantes quantités d'énergie sous plusieurs cycles de déformations.


Si au contraire, la rigidité del' ouvrage n'est pas imposée, alors dans le cas de structures à faible ductilité, on aura un coefficient de comportement réduit et les forces sismiques seront importantes. À l'opposé, pour un niveau de ductilité élevé, le coefficient de comportement sera également élevé, les forces sismiques étant alors réduites. Les valeurs numériques données ci-après dans le chapitre sont donc essentiellement tirées de l'observation in situ des performances de bâtiments pendant les séismes m ajeurs et de la discussion des résultats de calcul. Il est à noter que l'observation in situ ne permet de valider que les valeurs globales qui ont été réajustées au fur et à mesure. En pratique, les forces sismiques sont déterminées à partir d'un spectre de calcul (§ 1.2.2) obtenu en divisant le spectre élastique par le coefficient de comportement q : q=

Forces sismiques dans le cas d'une réponse élastique de la structure, amortissement 5 % Forces sismiques de calcul avec un modèle linéaire conventionnel

( 1.3-8)

Le coefficient de comportem ent q ne s'applique qu'aux sollicitations et aux forces. Il s'ensuit que lorsque au lieu d'être déterminés directement, les déplacements et déformations sont calculés à partir des forces de calcul par les méthodes de calcul élastiques classiques, les résultats doivent être multipliés par q pour fournir la valeur correcte. Le coefficient de comportement relatif à la composante verticale du séisme doit être pris , l a: ' ega max (1 ; q/2) (1.3-9) Enfin, il est important de noter que le coefficient de comportement ou la ductilité globale (à l'échelle de la structure) dépendent directement de la possibilité de formation de rotules plastiques, donc de la ductilité locale et de sa bonne répartition sur l'ensemble de la structure [EC8- l /5.2 . l-(3)P].

1.3.3.3

Vl Q)

0

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Cas des structures en béton

Pour les structures en béton, il est donc exigé une capacité de dissipation d'énergie suffisante [EC8- l /5.2. 1-(1 )P] : « La conception des bâtiments en béton résistant aux séismes doit assurer à la structure une capacité de dissipation d'énergie suffisante, sans réduction sensible de sa résistance globale sous l'effet des charges horizontales et verticales. » Pour ce faire, « dans la situation sismique de calcul, une résistance adéquate de tous les éléments de la structure doit être assurée, alors que les demandes de déformations non linéaires dans les zones critiques doivent être compatibles avec la ductilité globale considérée dans les calculs». L'Eurocode 2 précise les exigences et critères minimaux à respecter pour les structures en béton. Cela correspond à la classe de ductilité limitée où les structures en béton sont conçues avec une capacité de dissipation dite limitée. Cela est satisfait à partir du moment où l'on respecte uniquement les dispositions de l'Eurocode 2. Il est recommandé : • de ne pas employer d'appuis parasismiques dans la mesure où l'on se situe dans des classes de déformations faibles ; • de n'employer cette capacité de dissipation limitée que dans des cas de faible sismicité.

34

1


Au-delà, les bâtiments doivent être conçus pour fournir une dissipation d'énergie et un comportement ductile global. Un comportem ent ductile global est obtenu si l'ensemble de la structure tend à se déformer avec un grand nombre d'élém ents se déformant localement aux niveaux de zones critiques bien réparties [EC8-l / 5.2.l-(3)P]. Pour ce faire, les modes de rupture ductile (ex : flexion des rotules plastiques) doivent précéder les modes de rupture fragile. On parle de dimensionnement en capacité de ces zones. La fiabilité, c'est-à-dire les coefficients de sécurité associés, est augmentée pour prévenir le risque de rupture précoce (ex. : rupture par effort tranchant d'un pied de poteau court) [ EC8- l / 5.2. l-{3)P].

D eux classes de ductilité sont définies en fonction de leur dissipation d'énergie (mesurée par les diagrammes force déplacement et comportement hystérétique) (EC8-l / 5.2.l -{4)P] : classe D CM (ductilité moyenne) et D C H (haute ductilité) L'enj eu est de développer des m écanism es stables associés à une importante dissipation d'énergie sous charges alternées répétées sans subir de rupture fragile. Il convient donc de concevoir et dimensionner avec des dispositio ns constructives spécifiques qui vont décider de l'appartenance à la classe D CM ou D C H . En fonction des niveaux de ductilité, différentes valeurs de coefficient de comportement pourront être utilisées (§ 1.4) .

1.3.3.4

Cas des structures en acier

Les bâtiments en acier [EC8- l / 6.1.2-{l )P] peuvent être dimensionnés selon l'un des deux principes suivants : • comportem ent de structure faiblem ent dissipatif ; • comportem ent de structure dissipatif. Tableau 1.3-5 Comportement structurel et classe de ductilité associée

Principe de dimensionnement

Classe de ductilité de la structure

Principe a) Comportement de structure faiblement d issipatif

DCL (l imitée)

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Pri ncipe b) Comportemen t de structure d issipatif

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D CM (moyenne) D C H (haure)

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D ans le premier cas, une analyse globale linéaire élastique est suffisante sans tenir compte des no n-linéarités du matériau.

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1.4

Coefficient de comportement

1.4.1

Notion de coefficient de comportement

Le coefficient de com portement, bien q ue discutable scientifiq uement, a un intérêt pratique notable, qui est de permettre un rattrapage empiriq ue entre la sollicitation élastiq ue et celle d'un matériau dans le domaine non linéaire. Ce coefficient s'applique linéairem ent sur le spectre élastique pour donner un spectre de calcul.


1

Le coefficient de comportement q est une approximation du rapport entre les forces sismiques que la structure subirait si sa réponse était complètement élastique avec un amortissement visqueux de 5 % et les forces sismiques qui peuvent être utilisées lors de la conception et du dimensionnement, avec un modèle linéaire conventionnel, en continuant d'assurer une réponse satisfaisante de la structure. » (EC8-1 /3.2.2.5-(3)P]

«

Amortissement et coefficient de comportement sont donc couplés et il est précisé dans le même paragraphe de l'Eurocode 8 que les valeurs du coefficient de comportement q, incluant également l'influence d'amortissements visqueux différents de 5 %, doivent être indiquées pour divers matériaux et systèmes structuraux selon divers niveaux de ductilité. Il est à noter que la réponse en déplacement est, elle, à multiplier par q.

1.4. l. l

Pourquoi un coefficient de comportement

Il est connu que les accélérations produites sur les constructions, pendant les séismes majeurs, sont de l'ordre de 0,3 g à 0,8 g plutôt que celles de 0,1 g à 0,3 g imposées par les règlements. Comment donc expliquer la résistance de la plupart des ces constructions ? Les déformations subies par la structure en phase post-élastique ont pour effet de diminuer les forces agissantes sur la structure et interviennent de ce fait comme des !imitateurs d'efforts. En contrepartie, les déformations sont considérablem ent amplifiées par rapport à celles que la structure subirait, sous ces mêmes forces, en phase élastique. Les sollicitations sismiques sont essentiellement du type déformation imposée, ce qui. entraîne que le mode de ruine est généralement associé à une limite de déformation plutôt qu'à une limite de résistance qui détermine la sécurité des constructions. Les forces d'inertie qui apparaissent du fait des actions sismiques dans un élément donné résultent des actions transmises par les liaisons de cet élément avec le reste de la structure; ces forces d'inertie ne peuvent donc excéder la capacité de résistance, en termes de forces, de ces liaisons ; les déformations qui leur correspondent peuvent par contre atteindre un niveau inacceptable pour lequel la ruine est inévitable par instabilité plastique (le cas le plus fréquent) ou instabilité de forme. Vl Q)

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La plupart des matériaux présentant une capacité importante de déformation plastique avant rupture, il est donc possible d'obtenir une sécurité acceptable en autorisant des incursions significatives dans le domaine plastique (post-élastique). Cette propriété fondamentale est appelée ductilité (figure 1.4-1). Grâce à elle, pour un séisme majeur, on n'est pas obligé d'exiger une résistance maximale sous l'action de Fcl (figure 1.4- lc) , mais une résistance considérablement plus faible Fr (figure 1.4-lc), pourvu que le système dispose d'une ductilité suffisante. Les déplacements imposés par le séisme dépassent vice la limite du comportement linéaire (point B), et le système « répond » avec des forces Fr inférieures aux forces élastiques Fe1 qui pourraient se développer si le systèm e continuait à être élastique (point C). Le système ne peur développer une réaction supérieure à Fr et il continue sa déformation plastique sans qu'on atteigne la ruine de la structure à condition que sa capacité de déformation plastique ne soit pas encore épuisée. D 'ap rès la figure 1.4- lc, o n peut comparer les efforts correspondant à la même énergie potentielle à l'élongation maximale, soit Fmax pour le diagramm e a et Fr pour le diagramme b.

35

36

1


Force

©

Force

~e -----------------------

C

Déformation Système réel élasto-plastique

D

F,

Force

I

F

1 1

E

Déformation : G

A"---~-------+-------+-+o--- - - - be -----i~

Déformation o---------

bu

Figure 1.4-1 Diagrammes forces/déformations a) Matériau fragile - b) Matériau ductile c) Équivalence des diagrammes élastique et élasto-plastique

La figure 1.4-2 établie pour un oscillateur simple soumis à une accélération horizontale montre l'évolution des déformations : diagramme a pour un oscillateur « élastique », diagramme b pour un oscillateur « élasto-plastique » avec une rotule plastique formée à la base. Leffet de l'amortissem ent n'est pas pris en compte. Il est toutefois possible de traduire l'effet de la ductilité par une augm entation de l'amortissem ent, m ais cela ne rend pas compte de l'augmentation des déplacements. Vl Q)

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Force

Force

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Figure 1.4-2 Réponse d'un oscillateur simple a) Élastique - b) Élasto-plastique

Coefficient de comportement 1 37

La déformation au-delà de la limite élastique (figure 1.4-2), représentée par la branche B-F du diagramme b rend compte des possibilités de ductilité de la structure correspondant à un effort constant. Cénergie potentielle de l'oscillateur est représentée par les aires hachurées. Céchange total entre !'énergie potentielle et cinétique n'existe que dans le cas élastique (figure l.4-2a). Loscillateur élasto-plastique (figure l.4-2b) absorbe de l'énergie, ce qui explique la résistance des constructions à des accélérations importantes. Le problème qui se pose en génie parasismique est qu'il n'est pas réaliste, en dehors des ouvrages à risque spécial, de considérer que le comportement des structures reste dans le domaine linéaire pour des séismes de forte intensité. Il faut donc donner au concepteur, qui ne dispose que des résultats d'un calcul linéaire, le moyen de déterminer à partir de ces résultats le niveau de déformation qui correspondrait à la réalité (comportement non-linéaire). Loption retenue par les règles parasismiques est d'admettre que les déformations réelles (avec comportement non linéaire) sont sensiblement égales à celles que l'on calcule sur un modèle linéaire correspondant à l'état initial (non fissuré) de la structure. Ce choix est généralement vérifié pour des oscillateurs simples dont la déformée suit une loi élastique parfaitement plastique (figure I.4-2b), à condition que la période des oscillations élastiques (figure I.4-2a) soit supérieure à la période dominante du signal sismique. Il en résulte alors que: d 1 d 'J ') I . , a: L errorc ans e mo e e e asto-p astique

=

Effort dans le modèle élastique , Coefficient µd e ductilité de 1 oscillateur

( 1.4-1)

Le « coefficient de ductilité » µ est défini (figure 1.4-lc) comme le rapport du déplacem ent ultime (maximal) de l'oscillateur ou à la partie élastique 80 de ce m ême déplacement. Lanalyse de la réponse d'oscillateurs présentant des fonctions« force-déformation » de type élasto-plastique (figure I.4-2b) montre qu'à fréquence propre égale :

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• pour les basses fréquences propres, les déplacements relatifs sont les mêmes pour l' oscillateur élastique et l'oscillateur élasto-plastique : critère d'égalité des déplacements ; • pour des fréquences propres intermédiaires situées entre 2 et 8 Hz (cas des constructions usuelles), l'énergie totale absorbée est la même pour l'oscillateur élastique et l'oscillateur élasto-plastique : critère d'égalité des énergies ; • pour les hautes fréquences propres au-delà de 25 à 33 H z, les efforts sont les mêmes pour l'oscillateur élastique et l'oscillateur élasto-plastique : critère d'égalité des accélérations du sol et de la structure (voir figure l.l -3a). Il convient de remarquer que: • cette façon de faire correspond à un calcul quasi statique en ce sens qu'on ne prend pas en considération les conséquences dues à l'alternance d'efforts ; • le calcul spectral, qu'il s'agisse de méthodes simplifiées ou d'une analyse modale, ne donne que des valeurs de dimensionnement qui risquent d'être individuellement dépassées, et surtout n'ont aucune chance d'être atteintes simultanément ; • en fait, le coefficient de comportement est une fonction de la période du mode fondamental et pour conserver à q son caractère de coefficient constant, c'est le spectre de dimensionnement qui est modifié et transformé en spectre de calcul par la prolongation du plateau de la zone amplifiée jusqu'au point de période nulle et au relèvement de la branche descendante ;

38

1


• le coefficient de comportement n'est relié qu'à la non-linéarité de la loi de comportement. En réalité, il dépend aussi de la variation de l'amortissement et de la modification de la distribution des forces sur la hauteur du bâtiment, dans le comportement dynamique réel par rapport au comportement élastique linéaire ; • normalement, le coefficient de comportement dépend aussi du niveau del' action sismique, car pour un séisme de faible niveau, la structure reste dans un état élastique (q = 1).

1.4.1.2

Contenu du coefficient de comportement

La protection face à !'action sismique autorise, dans la plupart des ouvrages à risque normal, des incursions dans le domaine plasti que donc des valeurs du coefficient de comportement q > 1 ; ces valeurs ne peuvent être utilisées qu'associées à un spectre de dimensionnement (voir § 1.2.2). En ce qui concerne les installations classées et plus généralement les ouvrages stratégiques, !'exigence de rester dans le domaine élastique impose un coefficient de comportement de q = 1, éventuellement légèrement supérieur à 1 - cas dans lequel il faut apporter les justifications nécessaires. Dans l'établissem ent des valeurs des coefficients de comportement fait par l'Eurocode 8, il a été tenu compte de ces multiples paramètres. Le coefficient de comportement s'efforce de : • rendre compte, en association avec le spectre de dimensionnement, des réductions de sollicitations résultant en phase post-élastique : - de l' utilisatio n des réserves de ductilité (limitation des sollicitations et « transformation » des sollicitations en déformations), - de l'accroissem ent correspondant d'énergie ;

Vl Q)

0

1....

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• rendre compte de la dégradation des rigidités et de ses incidences sur la réponse ainsi que de la dégradation des résistances aux états limites ultimes ; la structure assouplie devient moins sensible aux excitations à haute fréquence (faibles périodes) habituellement à plus fortes accélérations, de mêm e qu'à toute « pointe » spectrale à laquelle la structure peut échapper par diminution de raideur des parties les plus sollicitées. Lattention est égalem ent attirée sur le fait quel' état élastique de la structure (dom aine des petites oscillations) est pris comme état de référence auquel sont rapportés le spectre de dimensionnement et le coefficient q . Il en résulte, indépendamment de toute autre considération, que l'introduction dans l'évaluation des caractéristiques dynamiques de la structure (périodes, amortissem ent) de valeurs basées sur la considération de rigidités dégradées (par exemple par la fissuration sous la répétition de cycles) n'est pas justifiable ;

.......

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u

• intégrer d'une façon générale l'évolution du système au cours du mouvement. Par exemple, du fai t que les rotules plastiques ne se forment pas simultanément, mais dans un ordre que le dimensionnement en capacité ne peut déterminer, ou encore du fait de la destruction d'éléments non structuraux de rigidité non négligeable. Dans le cas réel inélastique, les « rotules plastiques » qui se forment les premières subissent ensuite l'essentiel des cycles du fait de leur souplesse accrue. Ces rotules ne sont pas prises en compte dans le calcul élastique classique multimodal ;


• remédier à l'arbitraire du calcul élastique de référence aussi bien pour l'analyse modale que pour les méthodes simplifiées : - omission ou prise en compte de l'interaction sol-structure ; les calculs habituels (modèles à bases encastrées) ne prennent pas en compte l'interaction sol-structure, qui apporte une souplesse à la base, généralement favorable, - excitation unidimensionnelle d'un modèle le plus souvent plan, - évaluation approximative des sollicitations de torsion ; • couvrir les approximations et incertitudes propres au calcul des structures en situation sismique: - petites non-linéarités géométriques lorsque leur prise en compte explicite n'est pas exigée, - influence de la variabilité des propriétés des matériaux sur les propriétés dynamiques de la structure, sur la réponse élastique, et surtout sur la réponse post-élastique ; les déformations hystérétiques donnent habituellement des taux d'amortissement équivalents plus forts que les 5 % pris en compte pour le spectre de dimensionnement, - l'aspect chronologique de l'action sismique, - le type de mouvement : composante horizontale ou verticale du séisme, - l'usage du principe de superposition, alors que dans le système réel ce principe cesse rapidement d'être applicable ; • tenir compte de particularités aux conséquences difficiles à appréhender : - irrégularité, grandes ou petites, étages transparents, - situation de « pendule inversé », - présence ou absence d'une « deuxième ligne de résistance système.

»,

la redondance du

Plutôt que de se préoccuper des détériorations de chaque élément et des incertitudes propres au calcul, l'obj ectif principal est d'obtenir une sécurité globale pour éviter un effondrement partiel ou total, cela en vue d'assurer la sécurité des personnes et de limiter les dommages d'ordre économique. Vl Q)

0

1....

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w

Bien entendu, un comportement purement élastique non dissipatif doit être envisagé par les installations classées, celles-ci comprenant les bâtiments et les installations pour lesquels les effets des dommages, mêmes mineurs, sur les personnes, les biens et l'environnement ne peuvent être circonscrits au voisinage immédiat.

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Si l'on suppose que les propriétés dynamiques de la structure (rigidité, périodes, etc.) sont fixées, le niveau des forces sismiques ne dépend pratiquement plus que des niveaux de plastifications (comportement non linéaire) des différents éléments. Il pourrait donc être fixé par le concepteur dans la mesure où celui-ci est maître de ce choix.

>-

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0

u

1.4.2 Coefficients de comportement pour les bâtiments en béton Les bâtiments en béton [EC8-1/5.2.l-(4)P] conçus pour développer des mécanismes stables associés à une importante dissipation d'énergie sans subir des ruptures fragiles (bonne ductilité globale) sont classés en deux classes de ductilité: ductilité moyenne (DCM) et haute ductilité (DCH).

40

1


1.4.2. l

Types de structures

Les types de structures concernées sont définis en (EC8-1 /5. l.2-(1 )] et sont à classer en différents systèmes d'après [EC8-1 /5.2.2.1 -(1 )P] : • • • •

système à ossatures (a) : structures en portiques ; système à contreventement mixte (b) : structures en portiques et murs porteurs ; système de murs (couplés ou non) (c) : la résistance; système de murs de grandes dimensions en béton peu armé (d): développe une fissuration limitée et un comportement non élastique dans la situation sismique de calcul ; • système en pendule inversé (e) : > 50 % de la masse est située dans le tiers supérieur et !'effort normal réduit vd > 0,3 ; • système à noyau (f). Il est à noter selon l'[EC8-1/5.2.2.1 -(2)P] qu'à l'exception des systèmes à noyau, les bâtiments en béton peuvent être classés selon un type de système structural dans une direction horizontale et selon un autre dans l'autre direction horizontale, ce qui engendre des coefficients de comportement potentiellement différents par direction de sollicitation. Les quatre premiers types de système (c'est-à-dire système à ossature, à contreventement mixte et les deux types de système de murs) doivent [EC8-1 /5.2.2.l-(4)P] présenter une rigidité à la torsion minimale définie par l'expression rx :::: ls dans les deux directions avec : • rx est la racine carrée du rapport de la rigidité de torsion à la rigidité latérale dans la direction y(« rayon de torsion ») ; • ls est le rayon de giration massique du plancher en plan (racine carrée du rapport entre le moment d'inertie polaire du plancher en plan par rapport au centre de gravité du plancher et la masse du plancher). Pour les systèmes à ossature ou de murs dont les éléments verticaux sont bien distribués en plan, cette exigence peut être considérée comme satisfaite sans vérification analytique [EC8-1 /5.2.2. l-(5)P]. Les systèmes a, b et c doivent donc présenter une rigidité minimale à la torsion et à défaut, on doit les classer comme des systèmes à noyau [ECS-1 /5.2.2. 1-(6)). Vl Q)

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u

Un système de murs (EC8-1/5.2.2. l-3(P)) doit être classé comme système de murs de grandes dimensions en béton peu armé si : • dans la direction horizontale considérée, il comprend au moins deux murs dont la dimension horizontale n'est pas inférieure à 4,0 mou 2 hw/3, en prenant la valeur inférieure, qui portent collectivement au moins 20 % de la charge gravitaire totale dans la situation sismique de calcul ; • il a une période fondamentale Tl (la base étant supposée fixe vis-à-vis de la rotation) inférieure ou égale à 0,5 s. Il est suffisant qu'il n'y ait qu'un seul mur respectant les conditions ci-dessus dans une des deux directions, sous réserve que les deux conditions suivantes soient respectées : • la valeur de base du coefficient de comportement q 0 dans cette direction soit minorée d'un facteur de 1,5 sur la valeur donnée dans le tableau 1.4- 1 ; • deux murs au moins respectent les conditions ci-dessus dans la direction orthogonale. Si un système structural ne peut pas être considéré comme un système de murs de grandes dimensions en béton peu armé selon les principes ci-dessus, il convient alors de dimensionner et de concevoir en détail tous ses murs comme des murs ductiles.


1.4.2.2

Évaluation du coefficient de comportement

1.4.2.2.1 Régularité Les valeurs des coefficients de comportement q sont modulées en fonction de la régularité du bâtiment et de la classe de ductilité. On distingue des bâtiments réguliers et des bâtiments irréguliers répondant aux critères détaillés dans [EC8-1 /4.2.3.3). 1.4.2.2.2 Valeur minimale Pour chaque direction de calcul, et en fonction du système structural , la valeur du coefficient de comportement à appliquer (ECB-1 /5.2.2.2) au spectre de calcul (§ 1.2.2) est au minimum: (1.4-2) 1.4.2.2.3 Coefficient q0 Tableau 1.4-1 Valeurs de base*) du coefficient de comportement q0 . Cas de bâtiments réguliers en élévation

Type structural Système à ossature Système à contreventemen t mixte Système de murs couplés Système de mur non couplés

DCM ductilité moyenne

DCH haute ductilité

qo

qo

3,0

a _.\!.

4 ,5

a1

3,0

a _.\!.

a1

4,0

a _.\!.

a1

Système à noyau

2,0

3,0

Système en pendule inversé

1,5

2,0

Q)

Si un plan de systèm e de qualité (ECB-1 / 5.2.2.2-(10)] particulier est appliqué, on peut augmenter les valeurs de q 0 de 20 %

0

La possibilité de bénéficier de cette majoration de 20 % est soumise aux conditions suivantes :

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1....

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w

l.D M

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@

• pour la conception, la période calculée en sectio n fissurée doit être justifiée par une analyse appropriée en partant de la période fondamentale élastique calculée par des méthodes autres que celles simplifiées ;

>-

• pour l'exécution, le plan qualité doit notamment demander la vérification systématique de la bonne mise en place des armatures dans les zones critiques. La traçabilité des contrôles effectués devra être assurée.

u

A contrario, les coefficients de comportement des bâtiments irréguliers en élévation sont

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0. 0

réduits de 20 % d'après

[ECB-1 /5.2.2.2-(3)].

Cas particulier défini en [EC8-1 /5.2.2.2-(10)) : la valeur de q0 donnée pour les systèm es en pendule inversé peut être augmentée s'il peut être démontré qu' une dissipation d'énergie plus élevée, lui correspondant, est assurée dans la zone critique de la structure.

42

1


1.4.2.2.4 Coefficient a 1 et au

Les coefficients a 1 et au, indicateurs de la possibilité d'incursion dans le domaine élastoplastique sont définis comme suit en (EC8-1 /5.2.2.2-(4)] : a 1 = « valeur avec laquelle l'action sismique de calcul est multipliée pour atteindre la résistance à la flexion d'un élément quelconque de la structure, toutes les autres actions de calcul étant constantes » ; au = « valeur avec laquelle l'action sismique horizontale de calcul est multipliée pour obtenir la formation de rotules plastiques en nombre de sections suffisant pour développer une instabilité globale de la structure, toutes les autres actions de calcul étant constantes. Le coefficient au est normalement obtenu à partir d'une analyse pushover. » Action sismique horizontale de calcul

D Déplacement latéral Figure 1.4-3 Incursion dans le domaine élastoplastique Tableau 1.4-2 Valeurs forfaitaires, sans analyse pushover*), du rapport au/a 1 Bâtiments réguliers en plan

Bâtiments irréguliers en plan**)

a.Ja 1

a.Ja 1

Bâtiments d 'un étage

1, 1

1,05

Q)

Portiques à une travée de plusieurs étages

1,2

l , 10

0

Contreven tement mixte équivalent à une ossature

1,3

1,15

Uniquement 2 murs par direction

1,0

l ,00

.......

Plusieurs murs non couplés par direction

1,1

1,05

Ol

Système de murs couplés Contreventement mixte équivalent à des murs

1,2

1, 10

Type structural

Système à ossature ou système à contreventement mixte équivalent à une ossature [EC8-1/5.2.2.3-(5a)J :

Vl

1....

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Système à contreventemen t mixte de murs ou équivalent à des murs [EC8-1/5.2.2.3-(5b)] :

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0 N

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u

En cas d'analyse pushover, des valeurs supérieures du rapport aja 1 peuvent être utilisées [EC8-1 /5.2.2.2-(7)) sans toutefois dépasser 1,5 [EC8- 1/5.2.2.2-(8)]. **) Moyennes en tre 1,0 et les valeurs de a)a 1 des bâtiments réguliers [ECS-1 /5.2.2.2-(6)).

*)

1.4.2.2.5 Coefficient

kw

Le coefficient ~ est indicateur du mode de rupture prédominant (ECS-1/5.2.2.2-(ll)P] pour le contreventement par murs :


~"=

l l

0,5

pour les ossatures l +a0 < --

( 1.4-3) ~

1

pour les murs et noyaux

3

Si le rapport de forme ~i/fwi de tous les murs obligatoirement fondés ne diffère pas de m anière significative, le rapport de forme a 0 est égal à :

a0

=

"~ hWI.

(1.4-4)

e. WI

Avec: h wi = f wi

hauteur de mur i ;

= longueur de la section du mur i.

1.4.2.2.6 Synthèse kw Tableau 1.4-3 Coefficients de comportement q 0 Classe DCM - ductilité moyenne Réguliers

Réguliers

Irréguliers

Irréguliers

en plan

en plan

en plan

en plan

et en élévation

irréguliers en élévation

réguliers en élévation

et en élévation

Portiques d' un étage

3,3

2,64

3,15

2,52


3,6

2,88

3,30

2,64

Portiques à plusieurs travées de plusieurs étages

3,9

3, l 2

3,45

2,76

Contreventement mixte équivalent à une ossature:> 50 % de l'effort tranch ant repris par l'ossature

3,9

3,1 2

3,45

2,76

r3,o

2,40

3,0

2,4""'

Type structural

kw

Ossarnre ou systèm e à contreventem ent mixte équivalent à une ossature

[ECS-1/5.2.2.3-(Sa)] :

Vl Q)

Système à contreventement mixte de murs ou équivalent à des murs

[ECS-115.2.2.3-(Sb)] :

0

1...

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Conueventement par 2 murs par direction

l.D

Plusieurs murs non couplés par direction

3,3

2,40

3,0

2,4

0 N

Système de murs couplés

3,6

2,88

3,3

2,64

@

Murs de grandes d imensions en béton peu armé avec au minimum 2 murs par direction

w M

.......

..c

Mêmes coefficients que ci-dessus

Ol

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0. 0

u

l

Murs de gran des dimensions en béton peu armé avec 1 mur dans une direction et 2 murs dans la direction orthogo nale

Les coefficients ci-dessus son t d ivisés par 1,5 dans la direction comportant un mur \.

Contreventement mixte équivalent à des murs:> 50 % de l'effo rt tranchant repris par des murs

3,6

2,88

3,3

2,64

Système à noyau

2,0

1,6

2,0

1,6


L,5

1,5

1,5

J,5

Valeurs encadrées à multiplier avec kw avec minimum q 0 ~ 1,5

0,5 <

~V~

1

44

1


Tableau 1.4-4 Coefficients de comportement q 0 Classe DCH - haute ductilité

Réguliers en plan et en élévation

Réguliers en plan irréguliers en élévation

Portiques d'un étage

4,95

3,96

4,72

3,78


5,40

4,32

4,95

3,96

Portiques à plusieurs travées de plusieurs étages

5,85

4,68

5, 17

4, 14

Contrevenremenr mixte équivalent à une ossature: > 50 % de l'effort tranchant repris par lossature

5,85

4,68

5, 17

4,14

, 4,0

3,2

4,0

3,2 "

4,4

3,52

4,2

3,36

'4,8

3,84

5,4

4,32~

Type structural

Irréguliers Irréguliers en plan en plan réguliers et en en élévation élévation

kw

Ossature ou système à conrreventemenr mixte équivalent à une ossature

[EC8- l/5.2.2.3-(5a)] :

1

Système à contrevenrement mixte de murs ou équivalent à des murs

[EC8-l/5.2.2.3-(5b)] : Contreventement par 2 murs par direction Plusieurs murs non couplés par direction Système de murs couplés Murs de grandes dimensions en béton peu armé

Vl

Mu rs pas ductiles ~ non admis en O H

Contrevenrement mixte équivalent à des murs:> 50 % de l'effort tranchant repris par des murs

5,4

4,32

4,95

3,96

Système à noyau

3,0

2,4

3,0

2,4


2,0

1,6

2,0

1,6

1.4.2.3

0,5 < k,v '.5: 1

Cas particulier de structures superposées de nature différente

Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

Dans le cas d'un contreventement composé de structures superposées de nature différente (voiles et portiques), la valeur du coefficient~ sera obtenue par interpolation, par exemple, entre la valeur q 1 attribuée au portique et <ù attribuée au voile. Cette interpolation sera basée sur la valeur des énergies élastiques E 1 et E2 correspondant au portique et au voile : q1E1+ qzE2

(1.4-5)

>Q_ 0

u

Il faut, par ailleurs, veiller à la cohérence entre le coefficient de comportement et la distribution des forces horizontales. Or, les errements habituels seraient de calculer, à partir du spectre de dimensionnement (q = 1), la force F élastique totale, de la diviser par le coefficient de comportement q (q t:. 1) puis de dimensionner les divers élém ents de contreventement sans tenir compte de la redistribution. La m éthode écrête les efforts sismiques dans toute la structure en les ramenant à la fraction (1 / q) de ceux issus d' une analyse élastique pure.


Quelles sont les conséquences de cette absence de cohérence ? • comme les divers contreventem enrs atteindront simultanément leur limite du domaine linéaire (figure 1.4-4), le contreventement le moins ductile sera sous-dimensionné (F ~ 1 ) ; l'autre sera surdimensionné (F~ 2 ) ; • si les ductilités sont conservées, seul le contreventemenc le moins ductile atteindra son déplacement limite 8~ 1 ; l'autre n'épuisera pas sa capacité de ductilité. Lénergie de déformation non-linéaire sera inférieure à celle prise en compte dans la détermination de (q) , ce qui n'est pas dans le sens de la sécurité. On coure le risque d'amorcer de« rupture inattendue » ou, au mieux, de voir migrer les rotules plastiques effectives hors des zones critiques. q=

Force

F

r------------r---------- i.o - - - - I

I

,,

I

___ I

Comportement : • idéalement élastique • essentiellement élastique

I

I

I I

• À ductilité limitée

I

I I

1 1

I I

,,' ,'

'

,~ --------------------- - - + ------------------ ~

''

1--./-;f-~...;..-=====--=~-___;·~- 3.0 --+-- - -

ôo

•Ductile

Déplacement 8

Distribution cohérente avec q Disribution élastique linéaire

Vl Q)

0

1....

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w

Figure 1.4-4 Cohérence dans le choix des coefficients de comportem ent (d'après [Fouré, 1991] et EC8)

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

La vérification de la compatibilité (la validation) du coefficient de comportement suppose la connaissance des déformations de la structure à l'état limite ultime. On procède comme suie (figure 1.4-5) :

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>-

0. 0

u

(1) on se fixe a priori une valeur du coefficient de compo rtem ent q en fonction d u matériau et du type de structure ; (2) on effectue une analyse sismique élastique à partir du spectre de réponse (d'accélérations) et on détermine les déplacem ents et les efforts ; (3) puis on effectue la réduction des efforts en divisant par le coefficient de comportem ent

(q); (4) on d imensionne les sections d'armatures lo ngitudinales et o n détermine l' inertie fiss urée et la flèche à l'état limite ulcime au sommet d u bâtiment ;

46

1


(5) on vérifie la valeur des cisaillements dans les sections critiques (rotules), c'est-à-dire qu'il n'y a pas de rupture fragile par effort tranchant. Dans le cas où les efforts tranchants sont trop importants, il convient de redimensionner les sections de béton et le calcul reprend au niveau de l'analyse élastique; (6) le coefficient de comportement est supposé validé si par exemple, le déplacement ultime 8u (étape 4 ci-dessus) est supérieur à la partie élastique 80 (étape 2 ci-dessus) de ce même déplacement. Cette formulation peut conduire à surestimer le coefficient de comportement dans le cas où les rotules n'apparaissent pas simultanément. Une définition plus conservative est de prendre la moyenne des coefficients de comportement obtenus aux différents niveaux de la structure. Si les résultats sont acceptables, le calcul est fini, sinon on réitère le procède avec un coefficient (q) réduit. La validation (critère de cohérence) est d'autant plus contraignante que la valeur de l'accélération nominale aN est faible .

• • • • • vi

Q)

0

1....

>-

Hypothèse sur q ,__._ _,

Analyse sismique élastique (chapitre 2) Détermination de la flèche 80 Redimensionnement des sections de béton concernées

Efforts divisés par q Détermination des sections d'armatures Détermination des inerties fissurées et des flèches 80

Redimensionnement des armatures ou des sections

Inacceptable

0

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Coefficient q validé

.......

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Figure 1.4-5 Validation du coefficient de comportement q

Q_

0

u La valeur choisie pour (q) est considérée comme satisfaisante si l'énergie emmagasinée dans le comportement du béton armé (figure 1.4-lc) est au moins égale à celle emmagasinée dans le comportement élastique. Le calcul d'une structure doit être fait pour chaque sens de chargement et pour chaque direction. Pour l'ensemble de la structure, on a un coefficient de comportement unique. On retient donc la valeur la plus faible du coefficient de comportement q.


Pour les structures parfaitement symétriques (bâtiments réguliers) dans les deux directions horizontales, donc avec des modes découplés, on peut très bien prendre un coefficient de comportement différent pour chaque direction, par exemple: voiles dans le sens transversal : q = 2 ; portiques sans remplissages dans le sens longitudinal : q = 5.

1.4.2.4 Spécificité des coefficients de comportement des composants préfabriqués Le domaine des structures préfabriquées en béton comprend des éléments d'habillage et des éléments structuraux d'ossature, de murs ou à vocation de contreventement sans être des murs (panneaux muraux ou alvéolées par exemple). Sont concernées notamment les ossatures à un ou plusieurs niveaux, contreventées par portiques, poteaux et poutres préfabriqués en béton armé ou en béton précontraint associés éventuellement à des planchers. Parmi ces ossatures, on distingue deux grandes familles d'ouvrages : • les bâtiments de type industriel, à un niveau, y compris la présence éventuelle de mezzanine (notamment halls industriels, entrepôts, hypermarchés, etc.), composés essentiellement d'un ensemble de poteaux associé à une poutraison de toiture; • les bâtiments comportant des planchers (bureaux, écoles, hôpitaux, etc.), composés essentiellement de portiques dont les traverses sont des poutres industrielles incorporées à ces planchers. LEurocode 8 [EC8-1 /5. 11.1.2] propose une démarche d' identification du comportement en quatre phases : • distinction entre les éléments structuraux résistant uniquement aux charges gravitaires (ex. : poteaux articulés) et ceux destinées à reprendre les efforts sismiques ; • distinction entre éléments satisfaisant les dispositions constructives des éléments en béton selon la classe de ductilité retenue ; • identification de potentiels éléments non structuraux(« d'habillage ») pouvant s'opposer à de grandes déformations; • identification des zones d'assemblages (figure 1.4-6) selon qu'elles se situent : Vl Q)

- hors zones critiques ; - en zones critiques mais surdimensionnés pour rester élastiques et garantir des plastifications dans d'autres zones critiques ;

0

1...

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w

l.D M

- en zones critiques avec nécessité d'apporter une ductilité importante.

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1

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4

3

2

-~

Q_

0

u

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---!:

1-

- ,

1 11 1 1 1

-

--

j 1j 1

--

T Figure 1.4-6 Assemblages en zones critiques (d'après EC8- 1/Figure 5.14)

48

1


Les valeurs du coefficient de comportement qp peuvent être déterminées par l'expression suivante, sauf lorsque des études particulières autorisent d'autres valeurs : qp = kp

X

(1.4-6)

q

avec: • q coefficient de comportement déterminé conformément à l'expression q = q 0 .kw ~ 1,5; • kp coefficient de réduction dépendant de la capacité de dissipation d'énergie des structures préfabriquées valant : - 1 pour des assemblages conçus et respectant les dispositions constructives préconisées par l'ECS [ECB-1 /5.11.2. l ], - 0,5 pour les autres types d'assemblages. Dans le cas de structures préfabriquées qui ne respectent pas les dispositions de dimensionnement, il convient de supposer le coefficient de comportement qp au plus égal à 1,5. Il y a lieu de distinguer les structures traditionnelles faisant l'objet de l'Eurocode 8 et celles sous avis techniques du CSTB (Centre scientifique et technique du bâtiment). Dans ce dernier cas, sauf justification particulière basée sur la vérification de compatibilité des déformations, les valeurs du coefficient q à appliquer aux ossatures sont définies par le tableau 1.4-5 (groupe GS n° 3 du CSTB). Tableau 1.4-5 Coefficient de comportement pour ossatures préfabriquées selon le GS 3

Poteaux en béton armé et poutres en béton armé (classes Il ou Ill) ou poutres en béton précontraint (classe 1)

Présence d'un plancher intermédiaire (ou d'une mezzanine) oui

non

Poteaux encastrés en pied et articulés en tête

Po utres justifiées en classes I, II ou III

2,4

3

Poteaux encastrés

Pou tres classe I

4

5

en tête et en pied

Poutres classes II ou III

2,67

3,33

1.4.3 Coefficients de comportement des constructions métalliques Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

Les valeurs du coeffici ent de comportement dépendent de la conception de la structure concernée, essentiellem ent du point de vue de la mani ère dont les efforts horizontaux y sont repris pour assurer la stabilité générale et de sa capacité à avoir un fonctionnement plastique.

M

0 N

La structure métallique peut être conçue :

@

• soit avec un comportement faiblement dissipatif; • soit avec un comportement dissipatif: comportant des zones dissipatives (appelées également régions critiques) où est localisée l'aptitude de la structure à dissiper l'énergie.

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Q_

0

u

Pour des raisons de cohérence et d'homogénéité de la sécurité, il est impératif d'utiliser, pour un ouvrage, une seule et même conception.

1.4.3.1 Pour un comportement de structure faiblement dissipatif • Les effets de l'action peuvent être calculés sur la base d'une analyse élastique globale sans tenir compte d'un comportement non linéaire significatif du matériau. Lorsque le spectre de calcul défini en est utilisé, la limite supérieure de la valeur de référence du coefficient de


comportement q peut être prise égale à une valeur comprise entre 1,5 et 2. En cas d'irrégularité en élévation, il convient de corriger le coefficient de comportement q comme indiqué ci-après, mais il n'est pas nécessaire de le prendre inférieur à 1,5 [EC8- l /6. l.2-(2)P]. • Si la limite supérieure de la valeur de référence de q est prise supérieure à 1,5, il y a lieu que les éléments sismiques primaires de la structure soient des classes de section 1, 2 ou 3. [EŒ-1/6.1.2-(3)].

• Il convient d'évaluer la résistance des éléments et des assemblages conformément à l'Eurocode 3, sans exigence complémentaire. • Pour les bâtiments qui ne sont pas isolés sismiquement, le dimensionnement selon un comportement de structure faiblement dissipatif est recommandé uniquement pour les cas de faible sismicité [EC8-l /6.1.2-(4)].

1.4.3.2

Pour un comportement de structure dissipatif

• La capacité de certaines parties de la structure (zones dissipatives) à résister aux actions du séisme au-delà du domaine élastique est prise en compte [EC8-l/6.l.2-(5)P]. Lorsqu'on utilise le spectre de calcul défini au § 1.2, la valeur de référence du coefficient de comportement q peur être prise plus grande que la valeur supérieure donnée pour le comportement de structure faiblement dissipatif. La limite supérieure de la valeur de q dépend de la classe de ductilité et du type de structure (voir§ 1.4.3.1). sous réserve du respect des dispositions constructives. • Ces structures dimensionnées avec un comportement dissipatif doivent appartenir aux classes de ductilité D CM ou DCH. Ces classes correspondent à une capacité accrue de la structure à dissiper l'énergie par des m écanismes plastiques. Selon la classe de ductilité, des exigences particulières relatives à un ou plusieurs des aspects suivants doivent être respectées : classe des sections en acier et capacité de rotation des assemblages [EC8- l / 6. l .2-(6)P].

1.4.3.3 Vl Q)

Synthèse Tableau 1.4-6 Principes de dimensionnement, classes de ductilité des structures et limites supérieures des valeurs de référence des coefficients de comportement

0

1....

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l.D M

0 N

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..c

Principe de dimensionnement Principe a) com portement de structure faiblement dissipatif

Classe de ductilité de la structure D C L (limitée)

Intervalle des valeurs de référence du coefficient de comportement q $ 1,5 - 2

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Q_

0

u

DC M (moyenne)

$ 4 égalem ent limi té par les valeurs du Tableau 1.20

D C H (haute)

uniquement limi té par les valeurs du Tableau 1.20

Principe b) comportement de structure d issipatif

Note 1 : la valeur recommandée pour la limi te supérieure de q pour le comportement faiblement dissipatif est 1,5. C ependant la valeur q = 2,0 peut être em ployée selon l' annexe nationale. Note 2 : l'annexe natio nale d'un pays peut limiter l'usage des principes de dimensionnement et de la classe de ductili té autorisés dans le pays.

50

1


1.4.3.4 Types de structures Les bâtiments en acier doivent être classés dans l'une des catégories suivantes de structures, en fonction du comportement de leur structure sismique primaire sous les actions sismiques [ECB-1/6.3.1-(l)P) (voir figures 1.4-7 à 1.4-15): • ossatures en portique : ce sont les structures dans lesquelles la résistance aux forces horizontales est assurée principalement par flexion ; • ossatures avec triangulation à barres centrées : ce sont les structures dans lesquelles la résistance aux forces horizontales est assurée principalement par des éléments soumis à des efforts normaux ; • ossatures avec triangulation à barres excentrées : ce sont les structures dans lesquelles la résistance aux forces horizontales est assurée principalement par des éléments soumis à des efforts normaux m ais où l'excentricité de la configuration est telle que l'énergie peur être dissipée dans des tronçons sismiques, soit par flexion cyclique, soit par cisaillement cyclique; • structures en pendule inversé, (idem définition § 1.4.2 : ce sont les structures dans lesquelles les zones dissipatives sont situées à la base des poteaux) ; • structures avec noyaux ou murs en béton : ce sont les structures dans lesquelles la résistance aux forces horizontales est assurée principalement par ces noyaux ou ces murs ; • ossatures en portiques, combinées avec des entretoises centrées ; • ossatures en portiques, combinées avec des remplissages. Dans les ossatures en portiques [ECB-1/6.3.1-(2)) , il convient que les zones dissipatives soient principalement situées dans des rotules plastiques formées dans les poutres ou dans les assemblages poteau-poutre, de sorte que l'énergie soit dissipée par flexion cyclique. Les zones dissipatives peuvent aussi être situées dans les poteaux :

• à la base de l'ossature ; • au sommet des poteaux dans le dernier étage de bâtiments à plusieurs étages ; • au sommet et à la base des poteaux dans les bâtiments à un étage dans lesquels NEd dans les poteaux respecte la condition : NEd/ N p!, Rd < 0,3. Vl Q)

0

1....

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Q_

0

u

D ans les ossatures avec triangulation à barres centrées [ECB-1 /6.3.1-(3)), il convient que les zones dissipatives soient principalement situées dans les diagonales tendues. La triangulation peut appartenir à l' une des catégories suivantes : • la triangulation diagonale, dans laquelle la résistance aux forces horizontales est assurée uniquement par les diagonales tendues, les diagonales comprimées étant négligées; • la triangulation en V, dans laquelle la résistance aux forces horizontales peur être assurée à la fois par les diagonales tendues et comprimées; le point d'intersection de ces diagonales est situé sur une barre horizontale qui doit être continue ; • les triangulations en K, dans lesquelles l' intersection des diagonales est située sur un poteau (voir figure 6.9 de l'Eurocode 8, ici figure 1.4-1 5), ne peuvent pas être utilisées. Pour les ossatures avec triangulation à barres excentrées [ECB-1/6.3.1-(4)), il convient d'utiliser des configurations permettant de garantir que tous les tronçons d' excentrement seront actifs. Les structures en pendule inversé [ECB-1 /6.3.1-(S)P) peuvent être considérées comme des ossatures en portique, sous réserve que les structures résistant aux séismes possèdent plus d'un poteau dans chaque plan de résistance et que la condition de limitation de l'effort no rmal : NEd < 0,3 Npl, Rd soit satisfaite dans chaque poteau.


Figure 1.4-7 D'après ECS-1, figure 6.1

Figure 1.4-8 D'après ECB-1, figure 6.2

Vl Q)

0

1....

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l.D

a

b

c

Figure 1.4-9 D'après ECB-1, figure 6.3

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~= 1 ,2 a

0. 0

u

u

Figure 1.4- 10 D'après ECB- 1, figure 6.4

52

1


~"

a-=1,1 1

Figure 1.4- 11 D'après EC8- 1, figure 6.5

Figure 1.4-12 D'après EC8-1, figure 6.6

D D D 1

+

1

Figure 1.4-13 D'après EC8-1, figure 6.7

Vl Q)

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1....

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Q_

0

u


au a-= 1,2 1


1.4.3.5

Évaluation du coefficient de comportement pour les constructions métalliques

1.4.3.5. l Bâtiments réguliers Pour les systèmes structuraux réguliers [ECS- 1/6.3.2-(1)], il convient de prendre le coeffici ent de comportement q avec des limites supérieures des valeurs de référence données dans le tableau 1.4-7, sous réserve que les dispositions constructives soient respectées [ECS-1 / 6.5 à 6.11]. Tableau 1.4-7 Limite supérieure de la valeur de référence du coefficient de comportement pour les systèmes réguliers en élévation

Classe de ductilité Type structural DCM

DCH

a) Ossatures en portique

4

5a)a1

b) Ossature avec triangulation à barres centrées - entrecoises diagonales - entretoises en V

4 2

4 2,5

c) O ssature avec triangulation à barres excentrées

4

5a) a1

d) Pendule inversé

2

2aJa 1

e) Structures avec noyaux ou murs en béton

Voir [ECS/ 5.2.2.2-(l)P]

4

4 a)a 1

- remplissages en béton ou en maçonnerie non connectés, en contact avec l'ossature

2

2

- remplissages en béton armé connectés

Voir [ECS/7.3.2-(1 )]

- remplissages isolés de l'ossature en portique {voir ossatures en porrique)

4

f) Ossature en portique avec triangulation centrée

g) Ossature en portique avec remplissages

5aJa1

Pour les bâtim ents réguli ers en plan, si les calculs perm ettant d'évaluer a j a 1 ne sont pas effectués, les valeurs par défaut approximatives du rapport aja 1 présentées dans les figures 1.4-7 à 1.4- 14 peuvent être utilisées [ECS-1 /6.3.2-(3)]. Vl

Les paramètres a 1 et a u sont défini s comme suit :

Q)

0

•

a 1 est la valeur par laquelle les actions sismiques horizontales de calcul sont multipliées pour atteindre pour la première fo is la résistance plastique dans un élément de la structure, les valeurs de calcul de toutes les autres actions étant maintenues constantes » ;

•

«

1....

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w

l.D

«

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0. 0

u

au est la valeur par laquelle les actions sismiques horizontales de calcul sont multipliées

pour que se forment des rotules plastiques dans un nombre suffisant de sections pour que l'instabilité d'ensemble de la structure se développe, les valeurs de calcul de toutes les autres actions étant maintenues constantes. Le coefficient a u peut être obtenu à partir d'une analyse globale statique non linéaire (en poussée progressive). » 1.4.3.5.2 Bâtiments irréguliers Si le bâtiment est irrégulier en élévation, il convient de réduire les limites supérieures des valeurs de q indiquées dans le tableau 1.4-7 de 20 % récapitulées dans le tableau 1.4-8 [ECS-1 /6.3.2-(2)].

54

1


Tableau 1.4-8 Limite supérieure de la valeur de référence du coefficient de comportement pour les systèmes irréguliers en élévation


DCH


3,2

4aJa 1

b) Ossature avec rriangularion à barres cenrrées - entreroises diagonales - entreroises en V

3,2 1,6

3,2 2

c) Ossature avec rriangularion à barres excentrées

3,2

4aJa 1

d ) Pendule in versé

1,6

1,6aJa 1

e) Srructures avec noyaux o u murs en béron

Voir [ECB/S.2.2.2-( 1)P]

f) Ossarure en portique avec triangularion centrée

3,6

3,6 aJa 1

1,6

1,6

g) Ossature en portique avec remplissages - remplissages en béron o u en maçonnerie non con nectés, en contact avec l'ossatu re - remplissages en béton armé connectés - remplissages isolés de lossature en portique (voir ossatures en portique)

Voir [ECB/7.3.2-(l)]

3,2

4 aJa 1

valeur approximative de aja. 1 qui peut être utilisée, si cette valeur n'est pas évaluée par le calcul, est égale à la moyenne de (a) 1,0 et de (b) la valeur donnée dans les figures 1.4-7 à 1.24-14. [ECS- 1/6.3.2-(4)] La

Des valeurs de a.ja. 1 supérieures sont admises, sous réserve de les confirmer par le calcul de a.Ja. 1 avec une analyse globale statique non linéaire (en poussée progressive) [EC8-1/6.3.2-(5)] . Avec néanmoins une valeur maximale de a.Ja. 1 pour le dimensionnement égale à 1,6, même si l'analyse globale non linéaire indique des valeurs potentiellement plus élevées [EC8-1 /6.3.2-(6)].

1.4.4 Coefficients de comportement des structures mixtes

en acier-béton Vl Q)

0

1....

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w

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Q_

0

u

1.4.4.1 Types de structures Il convient de classer les structures mixtes selon le comportement de leur structure primaire [EC8- 1/7.3. 1- 1 (P)] :

• ossatures mixtes en portique: structures ayant la même définition et les mêmes limitations qu'indiqué en [ECS-1 /6.3 .l (l )a], mais dans lesquelles les poutres et les poteaux peuvent être en acier ou mixtes ; • ossatures mixtes avec triangulation à barres centrées : structures ayant la même définition et les mêmes limitations qu'indiqué en [ECS-1 /6.3. l(l ) b] et dans les figures 1.4-8 et 1.4-9. Les poteaux et les poutres peuvent être en acier ou mixtes acier-béton. Les entretoises doivent être en acier ; • ossatures mixtes avec triangulation à barres excentrées : structures ayant la même définition et les mêmes limitations qu'indiqué en [ECS-1/6.3.1 (l )c] et dans la figure 1.4-10. Les éléments qui ne contiennent pas les tronçons d'excentrement peuvent être en acier ou


mixtes acier-béton. À l'exception de la dalle, les tronçons d' excentrement doivent être en acier. La dissipation d'énergie ne doit se produire que par plastification en flexion ou en cisaillement de ces tronçons ; • structures en pendule inversé : structures ayant la même définition et les mêmes limitations qu'indiqué en (EC8-l/6.3.l(l)d] (voir figure 1.4-11); • systèmes structuraux mixtes : structures qui se comportent principalement comme des murs en béton armé. Les systèmes mixtes peuvent appartenir à l' un des types suivants : - le type 1 correspond à une ossature en acier ou mixte utilisée avec des panneaux de remplissage en béton connectés à la structure en acier (voir figure 1.4-16a), - le type 2 est un mur en béton armé dans lequel des profilés en acier enrobés, connectés à la structure en béton, sont utilisés comme renforts verticaux de rive (voir figure 1.4-16b), - le type 3, des poutres en acier ou mixtes sont utilisées pour coupler deux ou plusieurs murs en béton armé ou mixtes (voir figure 1.4-1 7); • murs de cisaillement mixtes avec plaque en acier : structures consistant en une plaque en acier verticale et continue sur toute la hauteur du bâtiment avec enrobage en béton armé sur une ou deux faces de la plaque et avec des éléments de rive en acier ou mixtes. La dissipation d'énergie, dans l'ensemble des systèmes structuraux mixtes se fait (EC8- l /7.3. l-2(P)] : • dans les profilés ; • dans les armatures verticales des murs. Pour les systèmes structuraux de type 3, la dissipation de l'énergie peut également se produire dans les poutres de liaison. Si les éléments du mur ne sont pas connectés, on applique les coefficients de comportement des structures en béton et acier.

Vl Q)

0

1....

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Figure 1.4-16 D'après ECS-1, figure 7.1

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0. 0

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Figure 1.4-17 D'après EC8-l, figure 7.2

56

1


1.4.4.2 Coefficients associés Le coefficient de comportement q prend en compte la capacité de dissipation de l'énergie de la structure. On distingue les bâtiments réguliers et irréguliers. 1.4.4.2.1 Bâtiments réguliers

Pour les systèmes structuraux réguliers, il convient d'utiliser les valeurs du tableau 1.4-9 en fonction de la classe de ductilité et du type de structure. Tableau 1.4-9 Coefficients de comportement des structures mixtes


DCH


4

5 a.ja.1

b) Ossature avec triangulation à barres centrées entretoises diagonales entretoises en V

4 2

4 2,5

c) Ossature avec triangulation à barres excentrées

4

5 a.ja.1

d) Pendule inversé

2

2a.Ja.1

3a.ja.1

4a.ja.1

3a.ja.1

4,5 a.Ja.1

e) Systèmes structuraux mixtes murs mixtes (types 1 et 2) murs mixtes o u en béton couplés par des poutres en acier u m ixtes (type 3) f) Murs de cisaillement mixtes avec plaque en acier

3

a.Ja.,

4

a.Ja.,

• Si les calculs permettant d'évaluer aja 1 (§ 1.4.3.2.2) ne sont pas effectués, les valeurs par défaut approximatives du rapport a j a 1 présentées dans les figures 1.4-7 à 1.4- 14 peuvent être utilisées [ECB-1 /7.3.2 (3)].

Vl

• Pour les systèmes structuraux mixtes, la valeur par défaut peut être prise égale à aja 1 = 1, 1 (EC8- l /7.3.2 (3)].

Q)

0

1....

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w

Pour les murs de cisaillement mixtes avec plaque en acier, la valeur par défaut peut être prise égale à aja 1 = 1,2 [ECB-1 /7.3.2 (3)].

l.D M

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1.4.4.2.2 Bâtiments irréguliers

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0

u

• Un abattement de 20 % des valeurs est à appliquer [ECB-1 / 7.3.2 (2)] . • La valeur approximative de aja 1 pouvant être utilisée, lorsqu'une évaluatio n par le calcul n'est pas effectuée, est selon (ECB-1 /7.3 .2 (4)] la moyenne de (a) 1,0 et de (b) la valeur donnée dans l'alinéa sur les bâtiments réguliers. • Des valeurs de aja 1 supérieures à celles spécifiées sont admises, sous réserve de les confirmer par le calcul de aj a 1 avec une analyse en poussée progressive (ECB-1 /7.3.2 (5)]. Néanmoins, la valeur maximale de aja 1 pouvant être utilisée pour le dimensionnement est égale à 1,6, mêm e si l'analyse glo bale non linéaire indique des valeurs potentiellement plus élevées (ECB-1 /7.3.2 (6)].


1.4.5 Coefficients de comportement des bâtiments en bois Les constructions en bois concernées par ce paragraphe, comportent essentiellement les types de structures suivants : • charpentes traditionnelles en bois massif; • charpentes industrielles (fermettes, poutrelles) ; • charpentes en bois lamellé-collé ; • murs en ossature bois. Il est nécessaire de classer les bâtiments bois dans l'une des trois classes de ductilité [EC8-1 /8.3-(1 )P].

Le tableau 1.4-10 présente les limites des valeurs des coefficients de comportement en fonction de leur comportement ductile et de leur capacité de dissipation d'énergie sous l'effet des actions sismiques. Lannexe nationale n'impose pas de conditions restrictives géographiques d'emploi de la classe de ductilité M sur le territoire français. Par contre, elle limite à 3 le coefficient de comportement actuellement pour la classe de ductilité H par insuffisance d'éléments scientifiques probants. Tableau 1.4-10 Coefficients de comportement des structures en bois

Principe de dimensionnement et classe de ductilité

Capacité réduite à dissiper l'énergie, DCL

Capacité moyenne à dissiper l'énergie, DCM

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1....

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l.D M

Capacité élevée à dissiper l'énergie, DCH

q

Exemple des structures

1,5

Co nsoles, poutres, arcs avec deux ou trois assemblages brochés ; treillis assemblés par connecteurs

2

Panneaux de murs collés avec diaph ragmes collés, assemblés par clous et boulons ; treillis avec assemblages brochés et boulonnés ; structures mixtes composées d' une ossature en bo is (résistant aux forces horizontales) et d' un remplissage non porteur

2,5

Portiques hyperstatiques avec assemblages brochés et boulonnés (voir (EC8/8. l.3(3)P])

3

Panneaux de mur cloués avec diaphragmes collés, assemblés par clous et boulons ; trei llis avec assemblages cloués

4

Portiques hyperstatiques avec assemblages brochés et boulonnés (voir (EC8/8. l.3(3)P])

5

Panneaux de mur cloués avec diaphragmes cloués, assemblés par clous et boulons

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Dans tous les cas, la valeur du coefficient de comportement ne peut être inférieure à 1. Les valeurs permises par l'Eurocode 8 sont sensiblement supérieures à celles permises par les PS 92 et il n'y a plus lieu de considérer spécifiquement pour chaque cas une conception régulière ou irrégulière. Un abattement forfaitaire de 20 % s'applique [ECS-1 /8.3-(2)]. C et abattement est toutefois limité à 1,5. La validation des coefficients de comportement [EC8-1 /8.3-(3)P] et leur utilisation impliquent que la réduction de résistance dans les zones dissipatives sous charges cycliques (trois cycles complets avec inversion de sens) ne dépasse pas 20 % et que le rapport de ductilité soit supérieur à :

58

1


• 4 pour la classe de ductilité M ; • 6 pour la classe de ductilité H. Toutefois, il n'est pas nécessaire selon [ECS-1/8.3-(4)] de procéder à ces tests coûteux si des dispositions constructives minimales sont rempli es : • dans les assemblages, si l'épaisseur des élém ents connectés est au minimum de lüd et que le diamètre d du connecteur ne dépasse pas 12 mm ; • dans les murs de contreventement et diaphragmes, si le matériau de panneau est à base de bois et son épaisseur minimale est de 4d, le diamètre d du clou ne dépasse pas 3, 1 mm ; • si les exigences ne sont pas respectées (par exemple épaisseurs minimales de 8d et 3d respectivement au deux cas précédents), des valeurs réduites peuvent être employées (tableau 1.4-11). Tableau 1.4-11 Types de structures et limites supérieures réduites des coefficients de comportement Types de structure

Coefficient de comportement q

Portiques hyperscaciques avec assemblages brochés ec boulonnés

2,5

Panneaux de murs cloués avec diaphragmes cloués

4,0

Enfin, l' [ECS-1/8.3-(5)) stipule que « pour les structures ayant des propriétés différentes et indépendantes dans les deux directions horizontales, il y a lieu que le coefficient q à utiliser pour le calcul des effets de l'action sismique dans chacune des directions principales corresponde aux propriétés de la structure dans la direction considérée. » Il est ainsi possible d'utiliser des coefficients de comportement différents dans les deux directions. *Annexe nationale Ces dispositions ne sont coucefois pas applicables pou r des assemblages comporcanc plus de deux plans de cisaillement. En ce qui concerne les assemblages bois-mécal, il convient de s'assurer que la capacité des placs m écalliques esc suffisance pour évicer couc phénomène de rupmre fragile en section nene.

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1....

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1.4.6 Coefficients de comportement des bâtiments en maçonnerie porteuse

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1.4.6.1

Types de structures

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Les matériaux constitutifs concernés par ce type de structures sont :

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• les moellons de pierre ;

0

• les pierres de tailles ou « prétaillées

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» ;

• les briques et blocs de terre cuite ; • les blocs en béton ; • les blocs de béton cellulaire. [ECS-1/9.3-( 1)] décrit qu'il convient de classer les bâtiments en maçonnerie dans un des types de construction suivants :


1

• constructions en maçonnerie non armée ; construction en maçonnerie chaînée ; constructions en maçonnerie armée. La maçonnerie non armée, conforme à l'Eurocode 6 (EN 1996), en raison de sa faible résistance en traction et de sa faible ductilité, offre une capacité de dissipation limitée, soit une classe de ductilité limitée (DCL). Il convient de n'employer ce type de conception dans le cas de faible sismicité. Lannexe nationale précise que les maçonneries non armées ne sont pas admises dans le champ du présent texte, si ce n'est les maçonneries avec blocs de pierres naturelles, au plus dans des zones de faible séismicité et pour des bâtiments d'au plus deux étages et dont la hauteur n'excède pas 6 m à la sablière. Il est nécessaire toutefois de bien vérifier l'épaisseur effective des murs, qui ne doit pas être inférieure à 350 mm.

1.4.6.2 Coefficients de comportement retenus Les coefficients de comportement retenus dans l'Eurocode 8 pour les structures en maçonnerie sont les suivants (tableau 1.4-12) . Tableau 1.4-12 Coefficients de comportement selon le type de structure maçonnée

Maçonnerie non armée co nforme à l'EN 1996

q = 1,5

Maçonnerie non armée co nforme à !'EN 1996 ec à !' EN 1998- 1

q = 2,0

Maçonnerie chaînée, joints vercicaux remplis ou no n

q = 2,5 (3 si procédures qualicé5) q = 3,0

Maçonnerie armée

Pour les bâtiments mixtes (comportant des éléments de contreventement en béton et en maçonnerie) , il est loisible selon l'annexe nationale de retenir un coefficient de comportement par la formul e suivante : 1/q = [I(Vi/qi) 2 / I Vi 2 ] 0 ' 5 ,

(1.4-7)

avec Vi et qi l'effort tranchant à la base et le coefficient de comportement de l'élément i. Vl Q)

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Les systèmes de maçonnerie à ductilité améliorée ne sont pas couverts par l'Eurocode 8 mais nécessitent une procédure d'agrément (avis technique ou ATEx) via le CSTB. Les valeurs permises par l'Eurocode 8 sont légèrement supérieures à celles permises par les PS 92 et il n'y a plus lieu de considérer spécifiquement pour chaque cas une conception régulière ou irrégulière et le séisme vertical ou horizontal. Un abattement forfaitaire de 20 % s'applique [ECB-1/9.3-(5)]. Cet abattement est toutefois limité à 1,5.

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5.

Il esc admis de recenir une valeur majorée, sans excéder q = 3,0, sous réserve d e l'exisrence d 'un plan de qualiré respectant les trois conditions suivantes : - pour la conception la rigidité élastique fissurée doit être justifiée par une analyse appropriée et donc non par la simple application du § 4.3.1 (7). Cette clause ne s'applique pas aux bâtiments relevant de la section 9 ; - le bârimenr érudié a plus de un niveau (érage selon la rerminologie du tableau 9.3 NF) ; - pour l'exécution le plan qualiré doic noramment demander la vérification sysrémarique de la bonne mise en œuvre des chaînages, de leurs croisem ents et de leurs recouvrements, compre renu de l'existence d' un cahier de dérails adapré à la construction et du fait de l'existence d' une formation interne à l'entreprise sur ces points particuliers.

59

60

1


1.4.7 Coefficients de comportement pour les éléments

non structuraux donne les valeurs maximales du coefficient de comportement qa pour les éléments non structuraux (tableau 1.4-13).

L(ECS-1/4.3.5.4-(1)]

Tableau 1.4-13 Valeurs de q. pour les éléments non structuraux

Type d'élément non structural

qa

Garde-corps ou ornements Signalisations et panneaux d'affichage C hem inées, mâts et réservoirs sur poteaux se comportant en consoles non contrevencées sur plus de la moitié de leur hauteur totale

1,0

Murs de façade et intermédiaires C loisons et façades C heminées, mâts et réservoirs sur poteaux, se comportant en consoles non conuevencées sur moins de la moitié de leur hauteur totale, ou contrevencées ou haubanées à la structure au niveau ou au-dessus de leur centre de gravité Élém ents de fixations des meubles lourds et des bibliothèques supportés par les planchers Éléments de fixations des faux-plafonds et autres dispositifs légers de fi xation

2,0

1.4.8 Coefficients de comportement pour installations classées

et ouvrages stratégiques En règle générale, les installations classées sont l'objet d' une réglementation spécifique et de coefficients de comportement égaux à 1 pour des raisons de sûreté.

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I..:arrêté du 10 mai 1993 autorise néanmoins, pour les installations classées, la possibilité d'incursion dans le domaine plastique par la prise en compte de coefficients ce comportement q > 1. Probablement, l'allure du spectre devra être modifiée pour devenir un spectre de dimensionnement. En tour état de cause, les coefficients retenus seront compatibles avec la fonction de sûreté de l'équipement considéré. Pour la justification du coefficient de comportement, il s'agit d'effectuer la vérification de la compatibilité des déformations avec diverses conditions : présence de remplissages ou de parois rigides, supportage de charpentes métalliques ou d'équipem ents, voisinage immédiat d'autres constructions, etc. Il faut aussi vérifier le niveau de l' action sismique au-dessus duquel les déformations irréversibles apparaissent ; cette condition peut être déterminante si la probabilité d'occurrence de séismes modérés durant la vie de l' installation est élevée. Tout en étant prémuni contre la ruine de la structure, on risquerait sa mise hors servi ce prématurée ; un état limite de service doit éventuellement être imposé.

CHAPITRE 2

Méthodes de calcul Victor Davidovici

Lobjectif poursuivi par ce chapitre est de ne faire ressortir que les notions de base et les phases essentielles du calcul dynamique, qui constituent l'arrière-plan théorique indispensable pour prévoir correctement les conséquences d'une conception donnée sur le comportement sismique de l'ouvrage. Dans le même esprit, on présentera l'analyse modale spectrale dans la mesure où, dans la pratique, elle constitue la méthode de calcul la mieux adaptée aux moyens actuels des bureaux d'études ; de plus, de manière plus ou moins explicite, elle se trouve à la base des méthodes simplifiées envisagées par l'Eurocode 8.

2.1 Vl Q)

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Stratégie de calcul sismique

Le développement des moyens de calcul libère de plus en plus l'ingénieur des « phases mécaniques » de l'évaluation des sollicitations statiques et dynamiques dans le cadre d'une réglementation de plus en plus complexe. Mais il faut garder présent à l'esprit que !'ordinateur calcule à partir du modèle qu'on lui donne, que celui-ci soit adapté ou non au problème posé compte tenu de la structure et des possibilités du logiciel utilisé . Les logiciels comportent des procédures d'autocontrôle qui leur permettent de repérer les fautes de codage, mais !'erreur de jugement faire a priori au niveau du choix du modèle et a posteriori au niveau de l'interprétation des résultats ne peut être mise en évidence par aucun programme. Cela met en relief l'un des plus gros problèmes que l'on connaît lors de l'utilisation de !'ordinateur : le fait quel' on ait tendance à abdiquer toute responsabilité devant lui. Du temps, en effet, où l'on établissait une note de calculs entièrement à la main, on s'en estimait responsable. Aujourd'hui, lorsque l'ordinateur a« parlé », très peu de monde vérifie ses affirmations, c'est-à-dire interprète convenablement les résultats.

62

1

Méthodes de calcul

Il s'agit donc de faire un usage averti et cohérent des moyens de calcul informatique qui s'avèrent indispensables sur le plan pratique, pour mener à bien toute analyse dynamique autre qu' élémentaire. Il est important d'apprécier la variabilité de la résistance des éléments de l'ouvrage, en tant que fonction de l'histoire de la sollicitation (niveau et signe des chargements précédents). Il faut aussi, pour l'appréciation de la sécurité d'un ouvrage, qu'à toutes les étapes de l'étude on puisse évaluer les incertitudes et les marges de sécurité ; il est donc essentiel que l'ingénieur formalise, au fur et à m esure, les choix qu'il est amené à faire. Le choix des méthodes de calcul et la maîtrise de la modélisation de la structure (figure 2.1-1) doivent donc avoir pour objectif une approche aussi fidèle que possible du comportement réel de l'ouvrage considéré compte tenu non seulement du type d'ossature, mais aussi des caractéristiques du matériau constitutif et, bien entendu, des conséquences dues aux approximations habituelles, telles que la non-prise en compte des éléments secondaires de structures et des éléments non structuraux ; l'expérience et le jugement du calculateur sont ici des facteurs déterminants. ....----- Ouvrages ~ Risque normal ou spécial ~

Habitations, bureaux, hôpitaux installations classées, ponts ~ Types de structures : -+ portiques, treillis, ....----- Modélisations_ _ _ _--1 -+ murs en béton armé .... Actions sismiques _ ......,.._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _...... ~ Accélérogrammes ~ Interaction sol - structure : -+ modèle 3- D du sol et de l'ouvrage -+ naturels -+ modèle simplifié du sol et ouvrage 3- D -+ artificiels ~ Structure : ~ Spectres de réponse -+ modèle 3- D : filaires et éléments finis -+ réglementaires -+ spécifiques du site L...-_ -+_ b_ro_c_h_e_ t te_ _ _ _ _ _ _ _ _---.._ _ _ Méthodes de calcul ~ Analyse par forces latérales

-

~

amax

~

Vl

Analyse modale ~ Analyses temporelles linéaires : -+ analyse directe, -+ analyse sur base modale ~ Analyses temporelles non linéaires : -+ non linéarité interne (pushover) -+ non linéarité externe

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Figure 2.1-1 Stratégie du calcul sismique

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Une étape essentielle, avant tout calcul, consiste dans l'établissement d' un ensemble cohérent des hypothèses, validées à la fois par le maître d'ouvrage, le maître d' œuvre, le bureau d'études et le bureau de contrôle. On connaît l'interdépendance entre l'intensité de l'action sismique et les conséquences sur la réponse de la structure. Dans cette situation, il est important de ne pas perdre de vue que la précision des résultats est plus ou moins entachée d'incertitude du fait des hypothèses auxquelles les m éthodes de calcul doivent faire appel. Il est utile de rappeler que le comportement élastique-linéaire (loi de Hook) repose sur trois hypothèses (élasticité, linéarité et isotropie du comportement) : • l'hypothèse d'élasticité revient à supposer les déformations réversibles : il ne subsiste donc aucune déformation permanente ou résiduelle quand on annule le chargement appliqué ;

Stratégie de calcul sismique

1

• l'hypothèse de linéarité s'applique à la relation entre les contraintes et la déformation ; • l'isotropie du comportement implique que si l'on fait tourner les axes principaux de la sollicitation par rapport au matériau, sa réponse (à la rotation près) reste identique. On sait que ces trois hypothèses ne sont guère réalistes dans le cas du sol ou du béton armé. Pour apprécier le réalisme des résultats de calcul, on doit donc prendre en compte la variabilité de l'action sismique, des caractéristiques de sol (module dynamique, densité, etc.) et de la rigidité de la structure (module du béton fissuré, inerties, etc.). Il n'est pas exclu d'avoir à faire plusieurs calculs avec différentes valeurs du même param ètre pour apprécier l' incidence de leur variation sur les résultats : modules dynamiques du sol, modules du béton, rigidités, etc. II s'agit d'estimer si une imprécision dans les donn ées du calcul n'entraîne pas une variation excessive au niveau des résultats. La déterminati.on de la réponse de la structure et son dimensionnement peuvent se faire par trois méthodes de calcul (figure 2.1-1) dont le choix est fonction à la fois du type de la structure et de la nature de l'excitation dynamique; il s'agit donc de s'orienter vers l'une ou l'autre des méthodes suivantes (figure 2.1-2): Modélisation du sol Période du mode fondamental

Modélisation de la structure

Spectres

Accélérogrammes Analyse modale Analyse transitoire

Analyse par forces latérales

Sollicitations maximales

Calcul des spectres de plancher

Sollicitations

à chaque pas de temps Analyse de la réponse de l'équipement

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Dimensionnement de l'équipement

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Dimensionnement de la structure

Dimensionnement de la structure

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Figure 2.1-2 Étapes du calcul sismique

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• analyse par forces latérales. Cette analyse [ECS-1/4.3.3.2] est en réalité le calcul statique équivalent qui implique la substitution au calcul dynamique des équivalents statiques censés produire les mêmes effets. Le calcul statique peut être considéré comme dérivant de l'analyse modale par les simplifications suivantes : - le seul mode fondamental est pris en compte, les masses modales négligées étant reportées sur ce mode, - la déformée du mode fondamental est arbitrairement assimilée à une droite pour les structures à portiques et à une parabole pour les structures à voiles ;

63

64

1

Méthodes de calcul

• analyse modale spectrale. Il s'agit de mettre en évidence les modes propres du mouvement libre (caractéristique de la structure) et d'introduire le spectre de dimensionnement qui fournit la valeur de la réponse maximale à un instant donné [EC8-1 /4.3.3.3]. De point de vue du génie parasismique, la réponse maximale d'un ouvrage, au cours d'un séisme, importe plus que la chronologie détaillée du mouvement dans le temps ; • analyse temporelle (transitoire). À partir des accélérogrammes, [EC8-1/4.3.3.1-{4d)P], elle donne la valeur de la réponse de la structure en fonction du temps. Lanalyse transitoire est en fait une analyse modale pour laquelle l'accélération de chaque mode est déterminée en fonction du temps par l'intégrale de Duhamel de l'accélérogramme. Elle se différencie donc principalement de!' analyse modale« spectrale» par le fait que pour cette dernière méthode, le spectre de réponse d'oscillateur donne directement le maximum d'accélération pour chaque mode (mais non pas sa variation) ; • il ne faut pas confondre cette méthode transitoire avec l'intégration directe, qui est un calcul pas à pas utilisé essentiellement pour les structures qui présentent un caractère non linéaire : entrechoquement, décollement des fondations, dispositifs d'appuis parasismiques. Lanalyse du comportement des structures à l'action sismique est fonction (figure 2.1-1) : • de la catégorie du bâtiment ou de l'installation industrielle :

- à risque normal en fonction de la catégorie d'importance II, III, IV, - à risque spécial pour les installations classées et assimilées ; • dans le cas du risque normal, de la régularité du bâtiment : - bâtiments respectant les critères de régularité : analyse par forces latérales ; - bâtiments de hauteur < 10 m : méthode de calcul simplifiée, - bâtiments irréguliers : analyse modale spectrale ; • des modèles de calcul : - modèle de l'action sismique, accélérogrammes ou spectres, - modélisations de l'interaction sol-structure : encastrement parfait ; modèle global unique sol et ouvrage, - modélisations de la structure : modèle par éléments finis ; modèle à masses concentrées et raideurs équivalentes, - modèle des masses reparties ou concentrées agissant en translation et en rotation.

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Les limites d'utilisation des méthodes de calcul s' établissent :

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• • • •

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soit par réglementation; soit à partir de l'expérience acquise par l'ingénieur ; soit après l'examen des ouvrages à la suite d'un séisme ; soit, encore, à partir des essais.

Dans le choix de la méthode de calcul et des coefficients de comportement associes l'Eurocode 8 classe [EC8-1 /4.2.3.1-{1 )P] les structures de bâtiment en structures régulières et structures irrégulières. Les conséquences de la régularité de la structure sur l'analyse et le calcul sismique sont résumées dans le tableau 2. 1- 1 (figure 2.1 -3).

Modélisations

Complexes

Régulières

c w

.!2~ 13 Ill c

·"' Q.~ Cl.

1

Par forces latérales Modale

Ill

·"' w ~~ ~ ~

Pushover

· ;a~

EE

8~

Transitoire

Figure 2.1-3 Catégorie de structures et méthode d'analyse

Tableau 2.1 -1 Conséquences de la régularité de la structure sur l'analyse sismique [ECS-1/4.2.3. l -(3)P]

Régularité

Conséquences Coefficient de comportement

Plan

Élévation

Modèle

Oui

Oui

2-D

Forces latérales

Valeur de référence c)

Oui

Non

2-D

Modale

Valeur minorée de 0,8

3-D

Forces latérales

Valeur de référence c)

3-D

Modale

Valeur minorée de 0,8

Non Non

a)

b)

Oui Non

b)

Analyse

(a) Cirrégularité en plan associée à la régularité en élévation permet néanmoins de faire une analyse par forces latérales avec les valeurs de référence pour le coefficient de comportement à condition toutefois que la période fondamentale T 1 soit :

T,

=

J 4. Tc

12,0 s

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(b) La réduction de (0,8) du coefficient de comportement s'applique uniquement en cas d'irrégularité en élévation [EC8-1/4.2.3.1-(2)]. Le non-respect de la totalité des critères de régularité en élévation et plus particulièrement la non-continuité [EC8-1/4.2.3.3-(2)] des éléments de contreventement depuis les fondations et jusqu'au sommet du bâtiment impose d'emblée l'application de la réduction du coefficient de comportement. (c) Les valeurs de référence des coefficients de comportement sont détaillées au chapitre 1.

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l.D M

Les critères de régularité en plan et en élévation sont indiqués au paragraphe 2.3.

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2.2

Modélisations

2.2.1

Modélisation de la structure (un bon modèle est un modèle utile)

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La modélisation consiste dans l'établissement de modèles à partir de la structure réelle. Il s'agit ensui te, lors de l'exploitation des résultats, de dimensionner ou de vérifi er (par le règlement ou le par le savoir-faire) la structure d'origine.

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66

1

Méthodes de calcul

:Caction sismique concerne l'ouvrage dans sa globalité, sans distinction artificielle entre les différentes parties de structures qui peuvent le composer ni les différents matériaux constitutifs ; sans distinction non plus de la manière dont a été fait le modèle. Or, même sans le savoir, le calculateur, de manière intuitive, construit implicitement des modèles. Une question se pose alors : pourquoi construire explicitement les modèles, les valider et les tester ? Plusieurs raisons incitent à cette démarche de modélisation : tout d'abord, cela force le calculateur à établir clairem ent et à estimer les interrelations sous-jacentes ; • ensuite, la confiance aveugle dans l'intuition , surtout dans le domaine de la dynamique, peut amener à une mauvaise appréciation du vrai comportement de la structure sous l'action sismique ; • de plus, les interactions avec le sol, avec le voisinage, avec les éléments non structuraux, sont des relations « marginales », qui ne sont que quelques éléments d'un modèle global, mais qui doivent être testées et validées, afin d'apprécier leur véritable incidence, ce qui n'est pas fait dans la démarche intuitive; • enfin, il est nécessaire de fournir en même temps que la modélisation une mesure de confiance que le calculateur peut lui accorder, c'est-à-dire la précision que l'on peut en attendre. Là encore, l'utilisation de méthodes purement intuitives exclut toute m esure quantitative de la fiabilité d'une modélisation. La détermination d'un modèle, tenant compte le plus correctement possible de la masse et de la raideur de tous les éléments d'une structure, est donc une phase essentielle pour l'étude de la réponse au séisme. Si le calcul des masses et de leur position peut être effectué avec une bonne précision, en revan che, celui des raideurs est souvent très approximatif: • dans le cas des constructions en béton armé, les inerties des sections sont modifiées par la fissuration et il existe une imprécision sur la valeur des modules et des largeurs des tables de compression ; Vl Q)

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• pour les ossatures métalliques, le calcul des raideurs est plus précis, mais dans le cas des charpentes boulonnées, une erreur est introduite par le jeu dans les assemblages; quel que soit le type de structure, il faut tenir compte de l'imprécision souvent très importante des caractéristiques dynamiques du sol.

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Compte tenu de toutes ces imprécisions, il est donc inutile de détailler excessivement un modèle dans le seul but de restituer la raideur de la structure ; par contre, il faut prévoir un nombre suffisant de masses concentrées ce qui, dans la plupart des cas, donne la limite des simplifications admissibles pour le modèle. D es règles simples déduites de considératio ns sur les formes des modes exci tés par un séisme d'une direction do nnée permettent le choix du nombre minimum de masses . On peut être ainsi conduit à établir des modèles différents selon la direction du séisme étudié. Dans cette situation, on doit chercher à rendre autant que possible explicites, modifiables et validables les connaissances mises en jeu dans l'établissement du modèle et dans l'interprétation des résultats.

Modélisations

1

Les approximations introduites lors du choix des hypothèses et du modèle de calcul ainsi que la variation des divers paramètres ont des conséquences sur les résultats dont il faudra apprécier l'incidence sur le fonctionnement réel de la construction et maîtriser en conséquence les résultats du calcul dynamique. Il faut donc que la modélisation soit faite, non seulement en fonction des hypothèses de calcul et de la nature de l'ouvrage, mais aussi et surcout en fonction des résultats recherchés.

2.2.1.1

Quelle modélisation pour quel résultat ?

L'analyse dynamique requiert toujours de créer d'abord un modèle de calcul représentant la structure. Ce modèle, introduit ensuite dans un programme de calcul dynamique, permet alors la détermination des modes propres de vibration et des efforts engendrés par l'action sismique. Deux types de modèles peuvent être envisagés : • modélisation par éléments finis; • modélisation à masses concentrées et raideurs équivalentes (brochette). Schématiquement, l'étude sismique d'un ouvrage doit prendre en compte le sol, la structure et les fondations associées. Cet ensemble doit être modélisé plus ou finement en fonction des résultats attendus. Apparaît la notion d'échelle de la modélisation qui définit l'importance du modèle en fonction du résultat attendu : • modélisation 2-D, représentation plane dont les nœuds sont affectés de trois degrés de liberté : une translation verticale, une translation horizontale et une rotation situées dans le plan; • modélisation tridimensionnelle, 3-D, dont les nœuds sont affectés de six degrés de liberté. Les éléments finis sont des éléments de plaque, coque ou volume ou encore des éléments barres.

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À la base de la modélisation en éléments finis se trouve le principe de discrétisation : on limite l'analyse à un nombre fini de points (éléments) sélectionnés dans une structure donc les caractéristiques sont, en fait, continûment réparties ; à l'intérieur des éléments, les inconnues varient selon des lois bien précises (constantes, linéaires, etc.). En particulier, la déformée sous un chargement donné sera approchée par le déplacement de ces points arbitrairement choisis. Ces déplacements, qui peuvent être des translations aussi bien que des rotations, constituent les N degrés de liberté de la structure ou plutôt de sa modélisation. Les différents points retenus pour la description du comportement sont liés entre eux par des éléments qui représentent les caractéristiques élastiques de la structure et assurent l'interpolation entre les déplacements des nœuds qu'ils relient. La décision de faire un calcul dynamique d' un ouvrage à partir d'un modèle 3-D doit être bien réfléchie et résulter d'une analyse détaillée d'utilisation qui sera faite . De tels modèles, souvent assez importants, ne sont pas en général suffisamment précis pour représenter finement tous les éléments du bâtiment ; par exemple, pour les planchers, considérés comme des élém ents rigides et indéformables dans leurs plans, ils visent à donner une indication de la répartition des efforts dans les éléments de contreventement et ne fournissent aucune indication sur la fl exion des dalles.

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68

1

Méthodes de calcul

La modélisation de la structure est fonction du nombre de degrés de liberté. Dans le cas général de l'espace à 3-D, on a six degrés de liberté pour chaque masse (trois de translation et trois de rotation). Un système composé den masses, dans le cas le plus général, a 6N degrés de liberté. Un système avec masses distribuées a une infinité de degrés de liberté. Dans le cas d'un solide obligé de se déplacer dans un plan, il ne reste que trois degrés de liberté (deux de translation et un de rotation). Si le solide ne peur se déplacer sans rotation suivant une droite, il reste qu'un seul degré de liberté (translation). Le choix entre un modèle plan (2-D) et modèle spatial (3-D) se pose régulièrement en analyse dynamique. Ce choix doit être, pour l'essentiel, guidé par la prévision du comportement d ynamique probable de la structure. À cette fin, il est nécessaire de connaître les différentes catégories de modes propres que présentent habituellement les structures (figure 2.2-1) : • les modes horizontaux: m ettent en jeu, de m anière prépondérante, des déplacements dans une direction horizontale particulière (figure 2.2-2a) correspondant à une orientation des plans de contreventement ; le plus souvent, ce sont les deux directions orthogonales qui se trouvent ainsi privilégiées ;

0

Figure 2.2-1 Modes de vibration a) Mode horizontal dans une direction prépondérante b) Mode vertical ascendant - c) Mode de torsion

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l.D

• les modes verticaux: (figure 2.2- 1b) apparaissent pour des fréquences généralem ent élevées car, sauf mise en fl exion d'éléments horizontaux par des masses réparties, ils mettent en jeu essentiellement la raideur d'effort normal des poteaux ou des voiles ; • les modes de torsion mettent en jeu des rotations générales des différents niveaux de la structure autour d'un axe vertical (figure 2.2- l c), par effet inertiel des masses excentrées par rapport au centre de gravité des raideurs de la structure à chacun de ces niveaux.

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À partir de cette description , il apparaît nécessaire de faire une distinction entre les structures symétriques et les structures dissymétriques . Dans le p remier cas où à la fois les masses et les rigidités sont symétriquement réparties, on pourra compter sur un net découplage entre les différents types de modes.

0

u

Sous une sollicitation sismique de direction horizontale donnée, on observera, sur un modèle global, des déplacements quasi nuls sur toutes les directions, saufla direction du séisme (la réponse à l'excitation sismique est essentiellement plane sans apparition de mouvements de torsion d'axe vertical) et cela se répétera pour la direction orthogonale de la sollicitation.

On se trouve alors dans la situation où le recours à de simples modèles plans est justifié ; !'étude dans chacune de deux directions horizontales peut être menée de faço n complètement

Modélisations

1

z

z

0

z

0

z

Figure 2.2-2 Structure symétrique. Modèle plan équivalent a) Mode« horizontal» - b) Mode« vertical»

indépendante. Pour une direction horizontale de séisme donnée, on peut étudier la structure à l'aide d'un modèle plan (figure 2.2-2) obtenu en superposant les différents portiques parallèles ; certains nœuds sont donc confondus et les masses correspondantes cumulées. Il convient toutefois d'être vigilant sur la rigidité de torsion des structures qui doit être importante, même si les dissymétries de masses et de raideurs sont modérées ou faibles. En effet, s'il n'en est pas ainsi, la période propre du mode de torsion peut alors se rapprocher de celle des modes de flexion horizontale ; ce mode pourra être excité de manière sensible, même pour des excentricités modérées de masses et de raideurs. La présence significative d'un mode de torsion est un indicateur d'une mauvaise conception comme nous montre le retour d'expérience après séisme et cela même si la structure est justifiée par calcul. Le cas de structures nettement dissymétriques fait apparaître un couplage des déformations : pour une direction horizontale donnée du séisme, la structure présente ses déplacements maximaux dans la direction en question, mais ceux-ci s'accompagnent de façon systématique de déplacements non négligeables dans la direction orthogonale, ainsi que d'effets de torsion. On conçoit alors que seul un modèle 3-D soit apte à représenter de manière réaliste le comportement de la structure. Vl Q)

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La modélisation n'est pas la même lorsqu'il s'agit d'établir un avant-projet ou un projet d'exécution :

l.D

• la phase d'avant-projet est une phase de conception et de dimensionnement de la structure;

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• lors de la phase du projet d'exécution, il s'agit de justifier (valider) la solution d'avantprojet . La complexité et le coût du calcul dynamique font que parfois le calcul réalisé dans la phase d'avant-projet est retenu aussi pour la phase d'exécution. Bien entendu, l'existence d'un modèle et du calcul associé ne doit pas empêcher l'optimisation de l'ouvrage en phase d'exécution. On se trouve, dans cette phase, confronté au problème du choix d'un compromis acceptable sur le degré de finesse du modèle pour satisfaire deux objectifs contradictoires : • la maniabilité du modèle et la facilité d'exploitation des résultats ; • la fiabilité de ces mêmes résultats.

69

70

1

Méthodes de calcul

:Cutilisation de modèles très détaillés doit être évitée, car ces modèles peuvent conduire : • à accroître la complexité des calculs; obligation de l'extraction d'un nombre important de modes de caractère local, d'éléments structuraux secondaires ;

• à une exploitation délicate des résultats justement à cause de leur trop grand nombre ; les modes principaux en deviennent plus difficiles d'accès avec une précision convenable. Dans le cadre d'un modèle global, il est donc préférable d'éliminer les possibilités de mise en vibration d'éléments très souples mettant en jeu des masses limitées ; cela est en particulier obtenu en reportant ces masses aux nœuds d'extrémité des éléments concernés. C'est pourquoi il est conseillé d'utiliser des modèles poutres, mono ou multibrochette, plus simples à mettre en œuvre et plus faciles à exploiter. Cette approche s'applique très bien aux bâtiments à étages: • le calcul dynamique est conduit sur une modélisation simplifiée à l'extrême (figure 2.2-3a), de façon à ne conserver que le comportement global ; à la limite, le modèle se réduit à une simple console verticale d'inertie variable sur laquelle sont distribuées les masses correspondant aux différents niveaux. Les résultats extraits de ce calcul sont limités aux pseudoaccélérations (figure 2.2-3b) obtenues par lecture spectrale; • un calcul équivalent statique est ensuite effectué en introduisant les forces d'inertie correspondant à ces pseudo-accélérations dans un modèle aussi complexe que nécessaire (figure 2.2-3c) pour la vérification détaillée du dimensionnement.

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Figure 2.2-3 Modèle simple dynamique -7 Modèle complet statique équivalent

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a) Modèle - b) Calcul dynamique - c) Calcul statique équivalent

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On sait que dans le cas d'un oscillateur faiblement amorti, ce qui est en général le cas de bâtiments, la pseudo-accélération est approximativement égale à 1' accélération absolue. C'est pourquoi dans la suite du texte on utilisera l'appellation d'accélération au lieu de pseudo-

accélération.

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u

2.2.1.2

Représentation des éléments structuraux secondaires et non structuraux

Toute structure de bâtiment comprend plusieurs éléments structuraux, des propriétés diverses, dont l'influence sur la réponse est plus ou moins importante. II faut donc pouvoir distinguer parmi ces éléments structuraux, ceux qui n'influencent pas essentiellem ent la rigidité de la structure et qui peuvent être négligés lors de !'élaboration du modèle de calcul.

Modélisations

1

Il convient de veiller à l'exactitude du schéma structural choisi. Si, dans la résistance aux actions latérales, on est conduit à négliger certains éléments porteurs (éléments structuraux secondaires) [EC8-1/4.2.2-(l)Pl dont la participation au contreventement est jugée peu importante, et qui ne sont donc pas modélisés, on ne peut pour autant admettre qu'ils soient endommagés et donc être en situation de ne plus pouvoir transmettre les charges verticales. Ces éléments et leurs liaisons doivent être conçus pour permettre le cheminement des charges gravitaires lorsqu'ils sont soumis aux déplacem ents imposés par l'action sismique et veiller à leur résisrance (non-fragilité). Tous les éléments non choisis comme éléments sismiques secondaires sont considérés comme des éléments sismiques primaires [EC8-1 /4.2.2-(3)] ; ils font partie du systèm e structural résistant aux actions sismiques et sont modélisés en tant que tels. D 'une manière générale, sont « secondaires » ceux qui ne contribuent pas à la résistance de l'ouvrage: éléments de remplissage, divers équipements, liquides contenus, etc. Pour l'analyse dynamique, il y a lieu d'apprécier leur influence sur la réponse de l'ouvrage : • augmentation de la raideur due aux panneaux de remplissage, qui peut modifier le comportement dynamique dans un sens défavorable ; dans le cas d 'élém ents non structuraux importants, des nœuds supplémentaires sont normalement rajoutés pour tenir compte de la rigidité de ces éléments ; les structures m étalliques étant très souvent déformables, cela entraîne en cas d'action sismique importante des efforts non négligeables dans les panneaux de remplissage ; • amplification des réactions d'appuis des équipements due à leur réponse propre; • pressions dynamiques et oscillations de la surface libre des liquides contenus. Cette appréciation conduit à classer ces éléments en deux catégories : • ceux qui « suivent le mouvem ent » et peuvent n'être représentés que par leur m asse, c'està-dire qu'on cherche à soustraire les éléments en question à toute mise en charge par des dispositifs d'attache adaptés et/ ou une rigidité suffisante de la structure principale. Dans leur choix ou dans leur dimensionnement il faut tenir compte : - des effets du second ordre (P-d) , Vl Q)

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- que la contribution de tous les élém ents à la raideur latérale ne dépasse pas de plus de 15 % celle de tous les éléments sismiques primaires [ECB-1 /4.2.2-(4)] : dans un contreventement par voiles en béton armé, certains éléments de voiles peuvent être négligés dans la m odélisation à condition qu'ils soient soumis du fait des déformations imposées qu'à des sollicitations négligeables, - de ne pas choisir ces éléments pour modifier la classification de structure irrégulière en structure régulière [ECB-1 /4.2.2-(5)] ;

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ceux dont la raideur doit être intégrée au modèle, c'est-à-dire qu'on les fait explicitement participer au comportement dynamique de la structure ; ce qui pourrait être le cas des portiques comportant des panneaux de remplissage en m açonnerie [ECB-1/4.3.1 -(8)] . D ans un contreventement par portiques, la présence des murs en m açonnerie fausse au départ le calcul de la période propre et par conséquent la valeur de la charge sismique. Alors que pour un calcul sous l'action des charges verticales, les murs en maçonnerie sont pris e n compte pour leur poids et non pour leur rigidité.

71

72 1 Méthodes de calcul

2.2.1.3

Recommandations pour la modélisation

Quel que soit le type de structure, une bonne modélisation nécessite un ensemble de réflexions et de choix dont quelques aspects sont présentés ci-après. 2.2.1.3.1 Disposition du maillage

Le maillage horizontal du modèle est déterminé à partir de la position des files principales du bâtiment, ainsi que de la position des voiles, des poteaux, des poutres et des ouvertures, aux différents niveaux du bâtiment. Les hauteurs des différents niveaux du bâtiment déterminent le maillage vertical du modèle. Entre deux planchers, sur la hauteur du niveau concerné, un seul élément fini peut être ucilisé pour la modélisation des voiles et des poteaux, à l'exception des éléments de voiles comportant des ouvertures où plusieurs éléments finis sont utilisés pour modéliser la géométrie des ouvertures. 2.2.1.3.2 Degré de raffinement du modèle, modélisation des ouvertures

Dans la pratique, il faut que le choix de la taille et du nombre des éléments soit suffisant pour que la modélisation soit physiquement valable. Ainsi la modélisation n'aura pas la même finesse, suivant qu'on en attend une connaissance détaillée des sollicitations dans les différents éléments ou simplement une réponse globale qui fournira des données pour des analyses locales fines dans la phase d'exécution. La finesse de modélisation des voiles doit permettre de prendre en compte les conséquences de la présence des ouvertures et trémies importantes sur leur rigidité et leur résistance. La notion de l'importance des ouvertures est difficile à définir, car elle ne peut être séparée de son contexte. Le retour d'expérience nous permet toutefois de donner les indications suivantes:

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• pour des éléments finis dont la plus grande dimension est f 3 m, on modélisera les ouvertures dont la plus grande dimension dépasse 114 de la dimension significative nécessaire au fonctionnement du panneau (figure 2.2-4a) ; • pour les éléments finis dont la plus grande dimension est > 3 m, on modélisera les ouvertures dont la plus grande dimension dépasse 1/5 de la dimension significative nécessaire au fonctionnement du panneau (figure 2.2-4b) ; • les autres ouvertures sont prises en compte forfaitairement, soit sous une forme regroupée par la modélisation d'une ouverture fictive de surface totale équivalente, soit encore en assouplissant (figure 2.2-4c) les éléments finis concernés par la diminution du module dynamique du béton (Ed/4 par exemple) . Le choix de l'assouplissem ent de l'élément fini par la réduction de son épaisseur n'est pas conseillé car contrairement à une ouverture, ce choix ne change pas le comportement de l élément en cause.

Modélisations

1

73

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Figure 2.2-4 Rapports à respecter entre les dimensions des ouvertures et celles des éléments finis a) Rapport 1/4 - b) Rapport 1/5 - c) Cas d'un élément fini dont l'assouplissement est obtenu par la réduction du module dynamique

2.2.1.3.3 Types d'éléments utilisés Généralement, la modélisation des ouvrages en béton armé est faite à base d 'éléments de membrane, de plaque, de coque à quatre nœuds et plus rarement d'élém ents de volume. Le temps de calcul et surtout l' interprétation des résultats sont bien sûr plus faciles pour les éléme nts de type membrane, plaque et coque. Il s'agit donc de faire un choix entre divers types d'éléments finis en fonction de la nature ou de la qualité des résultats désirés. Cependant, dans le cas de constructions courantes comportant des voiles et planchers en béton armé, c'est l'élément coque qui est le plus utilisé, surtout pour la commande« poids propre automatique ». Ces éléments autorisent aussi une définition à trois nœ uds ; ce type d'élément étant toutefois réputé moins précis, il est conseillé de ne l'utiliser dans la modélisation que de manière très limitée et dans des zones ne présentant pas de singularité. • Les éléments finis de type membrane ne prennent en compte que les efforts dans leur plan.

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0

• Les éléments finis de type plaque ne peuvent être chargés perpendiculairement à leur plan et ne sont donc soumis qu'à des moments de flexion. Bien entendu, l'épaisseur de la plaque est supposée négligeable devant les autres dimensions et les déformations d'effort tranchant sont négligées (conformément aux hypothèses des plaques minces) .

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• Les éléments finis de type coque sont obtenus par simples superpositions des éléments de type membrane et de type plaque. Les hypothèses courantes, habituellem ent, retenues dans les modèles de coques sont les suivantes :

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- l'épaisseur reste faible par rapport aux autres dimensions m êm e dans le cas des coques dites« épaisses»,

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- les déformations dans la direction normale à la coque ne sont pas prises en compte,

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- les contraintes normales varient linéairement sur l'épaisseur de la coque, - les contraintes de cisaillement varient paraboliquement sur l'épaisseur de la coque, - les normales à la coque restent droites et orthogonales au feuillet moyen dans le cas des coques dites« minces», - la composante normale de la rotation n'est pas prise en compte ni dans l'élément de m embrane ni dans l'élément de plaque. En conséquence, un modèle de coque possède a priori cinq degrés de liberté par nœud.


Pour une bonne précision de calcul, le rapport entre les dimensions de deux côtés successifs d'un élément fini doit être généralement compris entre 0,33 et 3,0. D ans le cas d'un bâtiment dont le contreventement est assuré par des voiles et comportant quelques poteaux, ces derniers seront modélisés par des éléments de type barre à deux nœuds. Seule la raideur axiale est prise en compte dans ces éléments. Par contre, dans le cas où on utilise dans le même plan à la fois des éléments de coque et des éléments de type poutre, tels que les linteaux ou les trumeaux élancés, il convient de s'assurer que leur fonctionnement en flexion est possible. Ainsi les couples associés aux degrés de liberté de rotation doivent être convenablement équilibrés aux interfaces entre les deux types d'éléments, par exemple l'ancrage des linteaux dans des éléments de coque : les moments d'encastrem ent ne peuvent être équilibrés par des efforts membranaires qu'à condition d'appuyer le linteau sur deux nœuds (figure 2.2-5a).

0

« Contact » d'un élément

Linteau

.........

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de coque et d'un élément de volume

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Élément de coque

.........

V

Modèle - 1/4 linteau

3 <>-+---

Élément de volume

Figure 2.2-5 Modélisations de l'interface a) Linteau-membrane - b) Coque-volume

De mêm e, l'association entre un élément de coque et un élément de volume (massif) doit se faire par l'utilisation d'un élément de « contact » (.figure 2.2-5b) , de manière à assurer la continuité entre les deux élém ents. Vl Q)

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2.2.1.3.4 Jndéformabilité des planchers La rigidité à la flexion des planchers n'est normalement pas prise en compte ; ils sont en revanche considérés comme parfaitement rigides dans leur plan. Pour satisfaire au critère d'indéformabilité des d iaphragm es horizontaux dans leur plan, la déformabilité relative des planchers et des éléments de contreventement doit être estimée [ECS-1 / 4.2. 1.5) : le déplacem ent de tous les planchers doit pouvoir être assimilé à un déplacement de corps rigide, incluant éventuellement une torsion d'ensemble. Ce critère est réputé satisfait [ECS-1/4.2. 1.5-(4)) si pour chaque plancher, le déplacemen t des intersections du plancher et des plans de contreventement s'écarte de moins de 10 % du déplacement du diaphragme rigide. L'hypothèse d'indéformabilité des planchers est matérialisée par des éléments finis reliant les nœ uds d'un m ême niveau. Parfois, pour des facilités de calcul, on modélise le plancher par des éléments « bielles » (figure 2.2-6) travaillant aussi bien à la compressio n qu'à la tractio n et reliant aussi les nœ uds d'un même niveau.

Modélisations

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Figure 2.2-6 Modélisation du plancher a) En éléments finis - b) En éléments« bielles»

2.2.1.3.5 Modélisation des panneaux de remplissage par des bielles La modélisation de strucrures en portiques comportant des panneaux de remplissage en maçonnerie est obtenue en disposant deux bielles (figure 2.2-7) suivant les diagonales du panneau (ou deux profilés métalliques pouvant travailler aussi bien à la traction qu'à la compression). En fonction de la direction du séisme, les bielles seront sollicitées alternativement à la compression. Comme en réalité, une seule bielle est sollicitée à la fois, les efforts de compression doivent être multipliés par deux. Cette valeur sera utilisée pour la vérification de la bielle et de ses extrémités.

Il

Structure réelle

Modélisation pour le calcul dynamique

Démodélisation

Figure 2.2-7 Modélisation des panneaux avec des bielles comprimées

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On procède de même dans le cas d'une structure métallique avec des palées de stabilité réalisées par des diagonales disposées en croix de saint André. En fonction de la direction du séisme, une diagonale sera sollicitée à la traction et l'autre à la compression pour laquelle il y aura lieu d'apprécier le risque d'une instabilité locale. Comme une analyse dynamique comportant des non-linéarités de certains éléments structuraux n'est pas d' un usage courant, il est conseillé d'utiliser un modèle simple pour le calcul dynamique et un modèle complet pour le calcul statique équivalent avec les bielles orientées pour travailler en traction.

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2.2.1.3.6 Cas des éléments non alignés La quasi-totalité des planchers et des voiles doit être modélisée en respectant la géométrie exacte du bâtiment. Cependant, pour éviter d'augmenter le nombre de nœuds et d'éléments finis et de compliquer inutilement le modèle, certains voiles secondaires décalés par rapport au plan du maillage seront modélisés comme étant dans le plan même du maillage (figure 2.2-Sa).

75


~ File principale . - du mariage

Armatures de transfert des efforts horizontaux

Vérification du plancher à l'effort de cisaillement transmis par le voile

J

1_ .

-- -

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---

-1

Armatures poutre-cloison

Figure 2.2-8 Décalage des voiles a) Simplification du plan de maillage - b) Dispositions constructives

Bien entendu il faudra vérifier qu'en cas de décalage des voiles de concreventement, le plancher pourra transmettre les efforts tranchants véhiculés par les voiles (figure 2.2-Sb). La continuité m écanique des voiles disposés en baïonnette peur être assurée par deux chaînages horizontaux: reliés par des armatures transversales dont la section est déterminée pour assurer la transmission des efforts horizontaux (figure 2.2-Sb). Pour faciliter la mise en place des armatures de la poutre-cloison, il est conseillé de prévoir une retombée.

Vl Q)

0

Pour un plancher présentant des épaisseurs différentes, on retiendra de préférence un seul plan moyen de maillage. Pour assurer le bon transfert des efforts, dans le cas des planchers à des niveaux différents, un plan moyen unique peur être urilisé si la distance encre les deux dalles ne dépasse pas deux fois l'épaisseur du mur. La continuité mécanique des planchers est assurée par le chaînage et les barres en équerre (figure 2.2-9).

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de modélisation

Figure 2.2-9 Planchers en baïonnette

Modélisations

1

2.2.1.3.7 Études indépendantes par direction

Pour l'application des méthodes de calcul simplifiées, distinctement dans les deux directions principales du bâtiment [EC8-1 /4.2 .3. l-(3)P], [EC8-1/4.3.3.2], il faut décomposer les éléments verticaux d'un bâtiment en un certain nombre de consoles indépendantes disposées dans un plan (figure 2.2- 1Ob etc). En réalité, étant donné la continuité des éléments (figure 2.2-1 Oa) suivant les deux directions, cette décomposition n'est valable qu'à condition de vérifier que les liaisons entre divers éléments sont suffisantes.

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Figure 2.2-10 Modélisation en consoles indépendantes

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a) Cas réel - b) Modélisation sens transversal c) Modélisation sens longitudinal

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2.2.1.3.8 Incidence dans la modélisation de la dimension de l'élément

Si la modélisation est faite avec les valeurs entraxes des éléments, en négligeant ses dimensions (épaisseur du voi le, largeur poteau, hauteur poutre, etc.) , alors on confère au bâtiment une raideur plus faible qu'ell e n'est en réalité :

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voile en béton armé : la modélisation en éléments finis situés dans le plan moyen des voiles (figure 2.2-1 l a) prend en compte deux fo is le volume commun situé à l'intersection des voiles (figure 2.2-11 b). Si pour des épaisseurs courantes (» 20 cm) cette modélisation n'a pas des conséquences significatives, par contre pour les bâtiments industriels avec des murs en béton armé épais (40 à 90 cm) , il y a lieu d'analyser l'incidence de cette approche. Dans le cas des éléments d'épaisseur > 40 cm, il faut que la modélisation soit faite de telle sorte qu'on obtienne les sections d'armatures en flexion aux nus des radiers ou des voiles (figure 2.2-1 lc) ;

77


0

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Élémeot de
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1 1 1

Figure 2.2-11 Conséquences de la modélisation des voiles : a) Diminution de la raideur - b) Prise en compte deux fois du volume commun c) Proposition de modélisation au croisement

portiques la modélisation entre axes néglige souvent la largeur des poteaux et/ou la hauteur des poutres (figure 2.2-12) . ~ Axe

~ ~Axe poteau

poteau

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1

Plan dalle: plan de modélisation

Plan dalle : plan de modélisation

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Axe poutre

Axe poutre

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Figure 2.2-12 Modélisations

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a) Sans la prise en compte des dimensions des éléments du portique b) Avec la prise en compte des dimensions des éléments du portique

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2.2.1.3.9 Parties de structure modélisées en deuxième phase Certaines parties de structure peuvent avoir des raideurs très différentes (figure 2.2-13). Il est donc judicieux de ne pas compliquer le modèle initial et d'envisager leur calcul à partir de !'action locale du séisme représentée par un spectre transféré.

Modélisations

1

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Modélisation pour le calcul dynamique de la structure et transfert de spectre

Structure réelle

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-

..____, ~

Appuis néoprène

Structures réelles

Modélisation pour le calcul de la cheminée à partir du spectre transféré

1/2 1/2 masse masse '- 1

r

~ llll" "lr*'

Transfert de spectre \

Appuis néoprène

Modélisation de chaque bâtiment, calcul dynamique indépendant et transfert de spectre

néoprène

Calcul de la passerelle

à partie du spectre transféré, valeurs enveloppes

Figure 2.2- 13 Exemples d'utilisation du spectre transféré a) Calcul d'une cheminée en 2• phase - b) Calcul d'une passerelle en 2e phase

2.2.1.3.10 Modélisation des équipements/interface équipements-structure Vl Q)

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Pour ne pas compliquer le modèle d'ensemble et souvent parce qu'ils ne sont pas définis ou mal définis en phase du projet de génie civil, les équipements (tuyauteries, gaines, armoires électriques, diverses installations, etc.) situés dans les bâtiments industriels sont souvent calculés au séisme dans une phase ultérieure, à partir des spectres de plancher transférés par rapport au sol, et souvent amplifiés, situation aggravante. Cette démarche est d'autant plus justifiée que les résultats de la modélisation globale ne seraient pas nécessairem ent plus fiables à cause de trois facteurs : • l'augmentation du nombre de degrés de liberté donc des modes propres ; • !'écart entre les masses des équipements et de la structure pouvant provoquer des écarts liés à la précision des calculs, cela ne permet pas une sélection précise des modes utiles ; • les problèm es rencontrés en cas de mise en résonance. Cette procédure doit aussi être adaptée en fonction de la masse et de la raideur del' équipement: masse et raideur négligeables par rapport à celles du génie civil, le calcul dynamique s'effectue en deux étapes :

79

80

1

Méthodes de calcul

- calcul dynamique de la structure avec le transfert de l'action sismique au niveau de l'équipement, - calcul dynamique de l'équipement ; • masse et raideur comparables à celles du génie civil ; alors on procède à une seule étape du calcul dynamique avec un modèle unique pour la structure et pour l'équipement. 2.2.1.3.11 Présence des appareils de levage

Le terme d'appareil recouvre l'ensemble des appareils mécaniques de levage: ponts roulants, poutres roulantes, monorails et leurs supports (chem ins de roulement et la structure). Le pont ne doit pas devenir projectile ni créer de projectile lors du séisme (pour les bâtiments à risque spécial, on considère le niveau de séisme SMS). Deux types d'exigences de stabilité (sûreté) s'appliquent aux équipements de levage : • soit il n'est pas nécessaire de conserver son état de marche après le séisme : il doit rester en place et ne pas perdre ses composants. Il sera donc muni de dispositifs antidéraillement; • soit le pont doit conserver son état de marche après séisme ; sa structure et ses mécanismes ne devront donc pas être déformés. Le choix de la modélisation dépend de l'élément calculé : le calcul d'ensemble de la structure support du pont ou le calcul du pont lui-même. Calcul d'ensemble de la structure - modélisation globale

Deux cas peuvent se présenter : soit le pont se trouve à l'extrémité du hall en position de garage, soit son fonctionnement est maintenu pendant le séisme. Il y a lieu de retenir le cas le plus défavorable pour la structure. Ce modèle doit perm ettre de dimensionner la structure support, y compris les poutres de roulement en tenant compte de l'interaction dynamique pont-structure. Calcul du pont roulant à partir du spectre transféré

• Sollicitations verticales : Vl Q)

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- le pont sur les rails de roulements est considéré sur appui simple, - le pont sera placé dans la position correspondant à la plus grande déformation, entre deux appuis, des chemins de roulement, - la totalité de la charge est prise en compte. • Sollicitations horizontales en translation ou en direction : la charge capable du pont n'est pas prise en compte .

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2.2.1.4

Prise en compte des torsions d'axe vertical

Les oscillations de torsion d'axe vertical ont une triple origine : • les oscillations d'origine structurelle, dues à l' excentrement du centre de gravité (G) des masses par rapport au centre de torsion (T) de la structure aux niveaux considérés (figure 2.2-14) ;

Modélisations

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Figure 2.2-14 Torsions d'axe vertical a) Pas de torsion - b) etc) Torsions dues à l'excentrement du G et T

• les oscillations d'origine accidentelle, dues à la variabilité spatiale des charges permanentes ou à une distribution défavorable des charges d'exploitation ; • les oscillations dues aux mouvements différentiels du sol. En effet, les considérations sur la propagation quasi verticale des ondes de volumes et la faible influence des effets de déphasage de ces ondes dans le plan horizontal ne sont justifiées que pour les sites ayant des couches horizontales surmontant un bedrock horizontal. Par contre, pour des sites plus complexes au point de vue stratigraphique (par exemple couches inclinées) et topographique, la propagation des ondes n'est plus verti cale et l'effet du déphasage peut être significatif. C'est pourquoi en pratique, dans l'Eurocode 8 [EC8-1 /4.3.2-(1 )P], les deux derniers effets sont confondus et la prise en com pte de la torsion autour d'un axe vertical se traduit par une formulation forfaitaire de l' excentricité accidentelle : (2.2-1) avec : • eai = excentricité accidentelle de la masse d u niveau i par rapport à sa position nominale, appliquée dans la même di rection à tous les niveaux; • Lr = dimension horizontale du planch er dans la direction perpendiculaire à l'action sismique. Vl Q)

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En posant e0 i la distance entre les centres de gravité des masses et de torsion, l'excentricité de calcul e s'écrit : (2.2-2)

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Figure 2.2-15 Positions de la force sismique

81

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1

Méthodes de calcul

On peut remarquer d'après la figure 2.2- 15 qu'on doit effectuer quatre calculs différents de contreventement en fonction de la position de la masse. 2.2.1.4. 1 Cas des bâtiments réguliers faisant l'objet d'une analyse par forces latérales Le choix de la méthode de calcul dépend des critères de régularité en plan et en élévation (voir tableau 2.1-1). Si l'analyse est effectuée à l'aide de deux modèles plans, un pour chaque direction horizontale principale (ECS-1/ 4.3.3.2.4-(2)], les effets de torsion peuvent être déterminés par l'application aux effets des actions du coefficient d donné par la formule 2.2-3 : X

8 = l+ 1,2 L

(2.2-3)

e

où:

• x est la distance en plan de l'élément considéré au centre de masse du bâtiment en plan, mesurée perpendiculairement à la direction de l'action sismique considérée; • Le est la distance entre les deux éléments de contreventement extrêmes, m esurée perpendiculairement à la direction de !'action sismique considérée.

G· T ·-----·--·---·-·- ---'O:· '-·--------·- --·-·- X

Figure 2.2-16 Excentricité accidentelle Vl Q)

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Dans le cas particulier d'une répartition symétrique de la raideur latérale et de la masse, les (EC8-1 / 4.3.3.2.4-(1 )] effets de torsion accidentels peuvent être pris en compte en multipliant les effets des actions dans chaque élément de contreventement résultant par le coefficient 8 donné par la formule 2.2-4 :

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(2.2-4)

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2.2.1.4.2 Cas des bâtiments faisant l'objet d'une analyse modale

u C haque fois qu'un modèle 3-D est utilisé pour l'analyse modale (ECS-1 /4.3 .3.3.3-(1)), les effets de torsion accidentels peuvent être déterminés comme l'enveloppe des effets résultant de la prise en compte de charges statiques horizontales Fi consistant en des mom ents de to rsion Mai d'axe vertical appliqués à chaque niveau i. Mai

=

(± 0,05 L) · Fi

(2.2-5)

Modélisations

1

Avec Fi [ECS-1 /4.3 .3.2.3-(2)P] : (2.2-6) où: Fi = force horizontale agissant au niveau i ; Fb =effort tranchant à la base [ECS-1/4.3.3.2.2]; si, si= déplacements des masses mi, mj dans le mode fondamental; mi, mj =masses des niveaux.

2.2.1.5

Hauteur de calcul, enfoncement du bâtiment

Une première difficulté rencontrée dans le calcul sismique réside dans le choix de la hauteur de calcul et du niveau d'application du chargement sismique . .Laction sismique a en effet l'originalité d'être un chargement défini par un mouvement du sol en surface, dans l'hypothèse de l'absence de toute construction : on parle du mouvement en champ libre. C'est une définition conventionnelle. La hauteur de calcul peut être déterminée : • si on procède à un calcul dit de« déconvolution » qui ramènerait le chargement sismique du niveau du champ libre à celui des fondations (figure 2.2-l 7a), la hauteur de calcul sera la hauteur totale; la partie enterrée est modélisée par des ressorts ; • soit au niveau du champ libre, en cas de très bon sol ou bien à un niveau inférieur si la qualité du sol en surface est médiocre (figure 2.2-1 7 b); • soit encore directement au niveau des fondations (figure 2.2-l 7c) ; c'est notamment le cas des ouvrages où par mesure de sécurité, on ne considère pas l'effet de fichage dans le sol.

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Figure 2.2-17 Hauteur de calcul a) Application après déconvolution - b) Fonction de la qualité du sol c) Application au niveau des fondations

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u .Leffet d'enfoncement (fichage) du bâtiment dans le sol est en général négligé dans l'analyse dynamique pour les configurations courantes où les bâtiments sont peu enterrés et où les caractéristiques de raideur des terrains contigus au bâtiment (souvent constitués de remblais) sont modérées. r effet d'enfoncem ent dans le sol dépend de nombreux paramètres : nature du sol, géométrie de la fouille, mode de réalisation des fouilles, etc.

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1

M éthodes de calcul

À défaut donc de modéliser les liaisons avec le sol sous forme de ressorts et d'amortisseurs, et lorsque les bâtiments comportent une infrastructure, on prend en compte l'interaction sol-structure d'une manière approximative [AFPS-90/17.41] par le choix d'une hauteur de dimensionnement H définie en fonction des hauteurs respectives de l'infrastructure H 1 et de la superstructure H 0 , (figure 2.2-18). Dans le cas d'une couche unique, la hauteur H est donnée par le tableau 2.2-1.

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Structure

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Modè le

Figure 2.2-18 Définition de la hauteur de calcul

Tableau 2.2-1 Haute ur de calcul e n fonction de la qualité du sol (cas du sol monocouche)

Type de sol

Hauteur de calcul H

* Rocher sain

* Structure fondée sur un sol de classe A ou B sols de bonne à très bonne résistance : sables et graviers compacts, argiles ou marnes dures Vl Q)

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* Structure fon dée sur un sol de classe C sols de résistance moyenne : rocher altéré, sables et graviers moyennement compacts, argiles ou marnes de raideur moyenne.

* Structu re fondée sur un sol de classe D ou E, sols de faible résistance : sables ou graviers lâches, argdes molles, craie altérée, vases.

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Lorsque le sol est constitué d'une bicouche pour déterminer la hauteur de calcul H, on peut prendre un ou plusieurs niveaux supplémentaires enterrés comme dans les cas indiqués par la fi gure 2.2-19. Dans le cas où la prise en compte de !'effet d 'enfoncem ent est utile et plausible, pour la stabilité au séism e du bâtiment, il faut définir les paramètres de raideur et d'amortissem ent de l'interaction sol-structure.

Modélisations

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- i Figure 2.2-19 Exempl es de hauteurs H de dimensionnem ent dans le cas de bicouches Vl Q)

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2.2.2

Modélisation des masses

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Dans la réalité, les structures sont composées d'un certain nombre de masses oscillantes, une partie d'entre elles sont concentrées en divers niveaux, et d'autres sont réparties sur toute la hauteur de la structure.

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Suivant le type de structure, les masses réparties sur la hauteur peuvent soit être traitées comme celles, soit remplacées par des masses concentrées suffisamment rapprochées. Dans le cas général, le problème est rarement soluble sous sa première forme, et l'on se trouve contraint de recourir à la décomposition en masses discrètes. La figure 2.2-20 résume les cas les plus courants de modélisation de masses pour différents ouvrages:

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Méthodes de calcul

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Bâtiment courant

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Modélisation

Modélisations


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Équivalent mécan ique

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Figure 2.2-20 Modélisation des masses pour divers types d'ouvrages


Modélisation

Modélisations

1

• constructions courantes (figure 2.2-20a) : avec un système porteur vertical et des planchers horizontaux, la plupart de la masse totale est concentrée au niveau des planchers. On accepte d'habitude comme modèle dynamique un système où la totalité de la masse de l'étage est concentrée au niveau du plancher. Dans cette hypothèse la barre fictive, support des masses, est considérée sans poids propre. Un schéma plus exact (équivalent mécanique) mais très rarement utilisé (car la précision supplémentaire obtenue ne vauc pas les complications de calcul qui interviennent) considère les masses afférentes aux planchers concentrées, alors que la masse des éléments verticaux est supposée uniformément répartie le long de la barre fictive ; • constructions élancées de type cheminées, réfrigérants, pylônes, etc. (figure 2.2-20b). La masse est répartie d'une façon continue sur la hauteur de la construction. Le calcul direct (équivalent mécanique) est impossible dans le cas où la loi de la variation de la masse est quelconque. Il est admis qu'une précision satisfaisante est obtenue en divisant la structure en un nombre assez important d'éléments finis dont les masses sont considérées concentrées au droit des nœuds ; • structures particulières : châteaux d'eau, colonnes de l'industrie chimique (figure 2.2-20c). La masse du support étant du même ordre de grandeur que la masse du réservoir et du fluide, on peut très bien adopter un modèle avec masses concentrées et masse répartie ou éventuellement une multitude des m asses concentrées. Pour un calcul global, enveloppe du château d'eau, l'eau contenue dans le réservoir peut être considérée solidaire du cuvelage; • constructions de type massif, très rigides : monuments, fondations massives, etc. (figure 2.2-20d). Les m asses seront considérées comme concentrées au niveau du centre de gravité de chaque élément, dans ce cas, la barre fictive de liaison est sans masse mais de rigidité infinie. Cette modélisation est utilisée aussi dans le cas de structures sur isolateurs sismiques. On voit donc que dans les cas habituels, on a exclusivem ent recours à des m asses concentrées aux différents nœuds du modèle et elles ne sont activées que suivant les trois directions de translation ; dans la m ajorité des cas, ces m asses agissan t en rotation ne seront pas utilisées. Vl Q)

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En effet, à ces m asses correspondent des couples ou des accélérations en rotation qui présentent les inconvénients suivants [Capra & D avidovici, 1982] : • dans le cas où le calcul est effectué à l'aide du m ême modèle 3-D pour le calcul dynamique et pour la détermination des sollicitations, les couples concentrés en un certain nombre de nœuds peuvent entraîner des difficultés d'interprétation lors de la justification de la résistance; • dans le cas où l'on utilise deux modèles distincts (un modèle simplifié pour le calcul dynamique et un m odèle complet pour le calcul pseudo-statique), ces accélérations compliquent l'échange de données entre deux modèles.

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On utilise donc, en général, uniquement des masses en translation. Il va de soi que le nombre et la position de ces m asses doivent être déterminés de manière à respecter la répartition des masses réelles, que ce soit en élévation ou en plan ; en particulier, il s'agit de restituer les moments d'inertie m assique autour des axes principaux de la structure et par rapport à sa fondation, sinon le calcul des périodes propres risque d'être erroné.

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1

Méthodes de calcul

Pour une bonne modélisation des masses, il faut s'assurer de leur concentration (condensation) sur un certain nombre de nœuds principaux de la structure. Cette opération tient compte éventuellement de la direction particulière de séisme étudiée. Pour un séisme dans une direction horizontale, les modes propres excités correspondent, en général, à des déplacements verticaux faibles par rapport aux déplacements horizontaux ; on n'introduit donc pas d'erreur notable en concentrant aux nœuds principaux la masse des planchers, considérés comme rigides dans leur plan . Cette concentration s'effectue conformém ent aux règles élém entaires de la statique, en affectant une surface de plancher à chaque nœud (figure 2.2-2la). La masse des éléments verticaux est concentrée aux nœuds principaux les plus voisins. Cette approximation n'est toutefois valable que si la m asse de l'élément vertical est faible, comparée à celle des planchers contigus ; dans le cas contraire, il convient de prévoir des nœ uds secondaires.

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Figure 2.2-21 Concentration des masses

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a) Cas du séisme horizontal - b) Cas du séisme vertical

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Les modes propres exci tés par le séisme vertical correspondent, en général, à des déplacements horizontaux faibles par rapport aux déplacements verticaux ; on pourra donc condenser aux nœuds principaux la masse des éléments verticaux. Par contre, on ne peut pas condenser la masse des planchers seulement aux nœuds principaux. En effet, la rigidité à la flexion des éléments horizontaux est en général faible, comparée à la rigidité à la compression des éléments verticaux ; ainsi le déplacement vertical d'une masse dépend de sa position sur l'élément horizontal qui la supporte. La m asse d'un plancher doit donc être concentrée aux nœuds principaux et en un certain nom bre de nœ uds secondaires (figure 2.2-2 lb).

Modélisations

1

Les masses comprennent : la masse propre de la structure, les autres charges permanentes (cloisons, plafonds suspendus, etc.) , une partie des charges d'exploitation et, s'il y a lieu, des équipements.

2.2.3 Modélisation de l'interaction sol-structure (ISS) 2.2.3.1

Nécessité de modéliser le sol

Le mouvement sismique est le mouvement à la surface du sol en champ libre, en l'absence de toute construction, et défini à partir d'enregistrements réels des mouvements d'un point du sol. Or, les enregistrements réels actuellement disponibles ont presque tous été obtenus en surface ou à très faible profondeur. Le mouvement sismique donné, déduit de tels enregistrements, est donc essentiellement représentatif du mouvement d'un point au voisinage de la surface. La réponse de la structure à ce mouvement sismique dépend de la nature de ce dernier, des propriétés dynamiques de l'ouvrage et de celles du sol. Il y a donc interaction entre la structure et le milieu extérieur. Il faut rappeler que c'est essentiellement la structure que l'on souhaite dimensionner et non le milieu extérieur. On souhaite, par conséquent, limiter le plus possible l'interaction avec le sol, à la fois pour des raisons de coût et de complexité de l'analyse à effectuer. La procédure la plus radicale pour éliminer le problèm e de l'ISS est de considérer la structure parfaitement encastrée dans le sol, hypothèse d'autant plus valable que le sol de fondation est peu déformable (figure 2. 2-22a) vis-à-vis de la structure ; laquelle peut donc être considérée comme encastrée (cas de bâtiments courants, réguliers, faisant l'obj et des m éthodes de calcul simplifiées) . Il n'y a pas non plus d'interaction dans le cas d'un bâtiment rigide sur un sol rocheux, parce qu'en pratique, les déformations du sol comme celles au droit du bâtiment sont négligeables devant les déformations du bâtiment (figure 2.2-22b). Ce constat est d'autant plus valable que si la lecture spectrale est sur le palier.

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En général, et plus particulièrement dans le cas de bâtiments massifs sur des sols moyennem ent ou faiblement raides (figure 2.2-22c), il y a une intervention non négligeable du sol (modes de sol) et une modification de la réponse de la structure.

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Figure 2.2-22 Interaction sol-structure a) Sans ISS, bâtiment souple et sol de très bonn e résistan ce m écanique b) Sans ISS, bâtiment raide et sol de très bonne résistance mécanique c) Avec ISS, bâtiment raide et sol de faible ou moyenne résistance mécanique

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1

Méthodes de calcul

Enfin , on peut rencontrer une multitude de situations intermédiaires pour lesquelles la prise en compte de l'ISS doit être décidée cas par cas. Par exemple, dans le cas des niveaux supérieurs (figure 2.2-23) plus souples que les niveaux inférieurs, l'effet « coup de fouet » sera aggravé par les mouvements du sol et il faut donc prendre en considération l'ISS .

.... Figure 2.2-23 ISS à prendre en compte pour modéliser l'amplification du phénomène « coup de fouet »

D 'une manière générale l'interaction dynamique sol-structure [EC8-5/annexe D-(Dl)] entraîne : • un allongem ent de la période de vibration du 1er mode notamment, qui peut provoquer une variation en plus ou en moins de la valeur de l'accélératio n selon la zone où l'on se situe sur le spectre élastique ; • un amortissement non négligeable (amortissement radiatif + amortissement propre au matériau - sol) puisque toujours supérieur à celui des matériaux de la structure. Ne pas le prendre en compte conduit à surestimer la réponse ; • une rotation de la fondation qui peut modifier sensiblement le calcul de la déformée modale et donc la répartition des accélérations sur la hauteur du bâtiment ; • le mouvement du sol à la base du bâtiment est supposé identique à celui du champ libre. D ans les cas courants, on constate toutefois que cette approximation est acceptable. D 'après l'Eurocode 8-5, on doit étudier [EC8-5/ 6-(l)P] les effets de l'interaction dynamique solstructure dans les cas suivants : Vl Q)

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• structures pour lesquelles les effets P-8 (2e ordre) jouent un rôle significatif ; structure avec fondations massives ou profondes, comme les piles de ponts, les silos ou tout ouvrage industriel équivalent ; • structures hautes et élan cées, comme les tours et les cheminées ; • structures supportées par des sols très mous, sols classe S 1 avec des vitesses des ondes de cisaillement de V:,m ax < 1OO ml s.

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Pour les autres structures, la prise en compte de l'ISS permet en général une réduction des sollicitations par une dissipation au niveau du sol et par une lecture spectrale plus favorable. D 'une façon générale, il convient d'observer que même lorsqu'elle a un effet globalement favorable, l'interaction sol-structure peut occasionner des amplifications locales au niveau de certains degrés de liberté, principalement en cas d'excursions en phase post-élastique. On peut retenir cependant que les effets favorables correspondent en moyenne à une réduction de la réponse de 10 à 12 %, et à une aggravation de quelques pour cent lorsqu'ils agissent dans un sens défavorable.

Modélisations

1

La modélisation la plus fréquente de l'ISS suppose que la structure est fondée en surface sur un sol homogène (solide élastique) et horizontal, avec des propriétés mécaniques connues et constantes au cours du séisme, et que le mouvement sollicitant la structure soit des ondes de volume se propageant verticalement à partir d'un substratum horizontal. En réalité, le substratum présente parfois un certain pendage, le sol est hétérogène et les caractéristiques dynamiques varient au cours du séisme, la structure peut être aussi sollicitée par des ondes de surface, et la fondation, voire une partie de l'ouvrage, est le plus souvent disposée à une certaine profondeur. Enfin, le solide élastique est supposé avoir le même module en traction qu'en compression, ce qui se concilie mal avec un sol ; ce module est supposé le même en tout point du sol, et notamment au centre et sous les bords du radier, ce qui est contradiction avec la réalité. Lensemble de ces incertitudes fait que le calcul de l'ISS reste encore approximatif et donc une certaine prudence s'impose à l'exploitation des résultats obtenus. Par ailleurs, ces incertitudes conduisent à paramétrer les caractéristiques du sol (voir§ 2.2.3.2) et à prendre l'enveloppe des résultats. Dans telles conditions, l'ingénieur est souvent amené à raisonner de manière différente plus intuitive et pragmatique, pour tenter de trouver une solution satisfaisante au problème si complexe de l'ISS. Les méthodes courantes d'études de l'ISS font appel à une représentation simplifiée des actions sismiques, du sol et de l'ouvrage. On ne doit donc pas utiliser un modèle comportant un encastrement parfait à la base si de grandes déformations du sol sont prévisibles. C'est ainsi, par exemple, le cas de bâtiments très rigides, fondés sur un sol de résistance mécanique moyenne; les déformations les plus importantes peuvent alors se produire dans le sol plutôt que dans la structure. On est ainsi amené à concevoir des modèles dans lesquels le sol est représenté (figure 2.2-24b etc) par des ressorts ou des éléments finis.

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u Figure 2.2-24 Types de modèles a) Encastrement parfait - b) Ressorts - c) Éléments finis

Pour la modélisation, on peut intégrer dans un même modèle le sol associé (modélisé par des ressorts) et la structure. C'est de loin la méthode la plus utilisée.

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1


Soit encore, pour des ouvrages spécifiques (domaine nucléaire ou équivalent) considérer l'hypothèse que le mouvement sismique en champ libre est provoqué par un mouvement vibratoire de translation du substratum rigide (ou bedrock) situé à une certaine profondeur sur un plan horizontal (figure 2.2-24c). D ans certains cas, ce substratum peut être identifié à un e couche rocheuse existant réellement sous le site considéré, dans d'autres cas (sols alluvionnaires de grande épaisseur), il peuc être purement fictif, mais sa profondeur doit être justifiée. Latéralem ent le volume de sol, perturbé par la structure, est délimité par des frontières artificielles verticales auxquelles on impose des conditions aux limites d'un type particulier ; afin d'évi ter les réflexions d'ondes sismiques, on les appelle les frontières absorbantes. Le substratum, plan horizontal, se comporte comme une table vibrante dont le mouvement en surface doit coïncider avec le mouvement sismique donné. Généralement, pour des ouvrages importants tels que centrales nucléaires, barrages, etc. , l'accélérogramme ou le spectre d'accélération est spécifié à la surface. Le substratum étant situé en profondeur, son mouvement est très différent de celui en surface du sol (en champ libre) et n'est pas connu a priori. Cet ajustement se fait par une opération de déconvolution. Le calcul comporte les étapes suivantes : • on doit étudier au préalable le sol en l'absence de toute construction, pour déterminer le mouvement du substratum qui produit en surface le mouvement du champ libre défini par l' accélérogramme donné : opération de déconvolution, effectuée par un programme de calcul. Le sol est représenté par des couches successives d'éléments empilés sur un soubassement rocheux. Chaque couche est caractérisée par un module d'élasticité, un coefficient de Poisson, une m asse volumique et un coefficient d'amortissement ; • on est ramené à l'étude d'un modèle, composé en partie d'éléments de sol et en partie par une représentation simplifiée de l'ouvrage avec des éléments de poutre (m odèle brochette) , à la base duquel on impose un mouvem ent défini par l' accélérogramme déconvolué ; • finalement, l'étude de la structure sera effectuée sur un modèle plus élaboré avec un mouvem ent défini par l' accélérogramme transféré, ou le spectre équivalent. Il faut enfin remarquer que si l'on n'est intéressé que par la réponse du sol, le modèle de l'ouvrage peut se réduire à sa fondation et à une poutre unique de type brochette. Vl Q)

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LÉcole centrale a développé le logiciel MISS, qui permet la prise en compte des effets de site, des amplifications dues à une stratification , du déphasage sur les fondations des ouvrages. Le logiciel MISS est fondé sur une hypothèse de base relativement forte, supposant la linéarité tant du point de vue géométrique que du point de vue du comportem ent des matériaux. Il est donc restreint à l'élasticité ou à la viscoélasticité linéaire pour les solides. Cette hypothèse de linéarité est à la base de la dém arche puisque au travers de la propriété de superposition, elle permet les techniques suivantes : • la résolution dans le domaine des fréquences; • la sous-structuration dynamique ; • l'utilisation d'équations intégrales et d'éléments finis de frontière : couplage entre des domaines traités par éléments finis de frontière (BEM) et des domaines modélisés par élém ents finis.

Modélisations

1

2.2.3.2 Caractéristiques dynamiques des sols Les reconnaissances et études de sol doivent permettre : • la détection du risque de liquéfaction ; • le classem ent du site par rapport aux sites types [EC8-1/ 3.1.2-(1)] ; • la modélisation de l'interaction sol-structure impliquant la prise en compte des propriétés dynamiques du sol. Par hypothèse, à l'échelle des dimensions en plan des fondations, le sol est supposé être un milieu semi-infini, homogène et isotrope, de comportement élastique et linéaire, les couches du sol étant supposées horizontales. Le sol est défini par ses caractéristiques mécaniques : • • • • •

le module dynamique d'Young E, ou le module transversal G dynamique ; le coefficient de Poisso n dynamique ; la masse volumique ; l'amortissement interne de frottement; un sol stratifié représenté par différentes couches, définies par leur épaisseur et leurs caractéristiques mécaniques. Ces caractéristiques sont compatibles avec les déformations induites par le séisme (tableau 2.2-3) et perm ettent de définir un sol homogène équivalent.

G énéralement, la connaissance des caractéristiques de sol est assez imprécise. L'hypothèse faite sur l'homogénéité est rarem ent vérifiée : les sols sont la plupart du temps stratifiés et leurs propriétés mécaniques augmentent généralement avec la p rofondeur ; de plus, il arrive que la stratigraphie d'un site soit trop contrastée pour permettre de défini r un m odule de sol équivalent. Afin de tenir compte de l'ensemble de ces incertitudes, et étant donné la sensibilité de la réponse d'une structure ou de l'équipement, la représentation d'un sol constitué de couches superposées par un sol homogène n'est acceptable qu'à condition d'utiliser une variation de modules dans les fourchettes suivantes :

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

1/2 E

f-

2/3 E

f-

E ou E

~

2E

~

3/2 E

Les expériences sur site et en laboratoire ont permis de faire les constatations suivantes concernant le module d'élasticité : • pour une couche importante et homogène d'argile saturée, ou un grand remblai bien compacté, le module E est le même en chaque point (homogène) et dans toutes les di rections (isotrope) ; • pour une couche épaisse de sable ou de gravier, le module E croît pro portionnellem ent avec la profondeur (non hom ogène mais isotrope) ; • pour un sol constitué de couches minces alternativement molles et résistantes, le module E est constant en tout point (homogène), mais le fre ttage des couches molles par les couches résistantes produit une anisotropie ; • le module E du sable ne varie qu'insensiblement avec l'humid ité, la granulométrie et la porosité. Par contre, le module dépend de la forme des grains : plus les grains sont anguleux, plus le module est fort à indice des vides égal ; • le module d'élasticité des argiles diminue rapidement avec l'h umidité ou lorsque le coefficient de porosité augm ente.

93

94

1

Méthodes de calcul

Les modules dynamiques étant fonction des vitesses des ondes longitudinales et des ondes transversales, leur détermination se fait par des essais sismiques à partir des forages. Précisément, la connaissance de la propagation des ondes sismiques dans un milieu non homogène (sol) est le domaine couvert par la prospection sismique. Léchelle de mesures de 5 à 20 m est celle des structures de génie civil. Ces mesures peuvent être faites assez exceptionnellement à partir de la surface du sol ou, c'est le cas général, à partir des sondages; on réalise l'ensemble des essais classiques sous les noms de cross-hole, down-hole et up-hole. Les essais cross-hole se font à partir de deux ou trois forages (figure 2.2-25a) : • un forage dit forage d'émission ; un ou deux forages de réception. On détermine les modules E, G et n suivant une direction horizontale. Les essais down-hole et up-hole se font à partir de deux forages, ou à partir de la surface avec la réception dans un forage. Ces forages sont situés le plus près possible l'un de l'autre. On choisit un point Ze dans un forage, de façon à avoir des trajets les plus verticaux possibles. Généralement, et pour des raisons pratiques, on se limite à un ou deux points de réception par couche pour une même émission. D ans le cas du dispositif down-hole (figure 2.2-25b), le signal est émis en surface ou dans un forage et réceptionné à divers niveaux dans un forage situé à proximité de façon que la plupart des traj ets soient subverticaux.

0

Enregistreur

Point d'émission E

Enregistreur

©

Enregistreur

Point de réception 191----l~

- ---\01 R

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

Figure 2.2-25 Essais sismiques pour la caractérisation du sol

....... ..c

a) Cross-hole - b) Down-hole - c) Up-hole

Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Le dispositif up-hole est dans son principe identique au down-hole. Lémission est choisie en profondeur, ce qui conduit souvent à obtenir un signal plus énergétique qu'en surface et des résultats de mesures plus fiables. On réalise très souvent les deux essais down-hole et up-hole, qui doivent bien évidemment donner des résultats de mesure concordants. On détermine les modules E, G et n suivant une direction verticale. Le calcul des vitesses nécessite une connaissance précise des distances, qui est obtenue par des m esures d'inclinomètres des forages. La précision qu'on peut attendre des mesures de temps,

Modélisations

1

de distance et de masse volumique conduit à des modules déterminés en moyenne à 10 % près. Les écarts augmentent dans les terrains sans cohésion dans lesquels !'énergie des ondes de cisaillement semble s'amortir très vite. On est amené à choisir des distances émissionréception faibles, ce qui nuit à la précision relative des mesures. Les modules de compression mesurés se classent par ordre croissant suivant la dureté des terrains :

• • • •

terrains cristallins sains : 50 000 à 1OO 000 MPa ; terrains cristallins fracturés : 15 000 à 30 000 MPa ; calcaires tendres, craie : 5 000 à 10 000 MPa ; terrains rocheux altérés : 1 000 à 5 000 MPa; sables et graviers, remblais rocheux : 500 à 1 500 MPa ; argiles : 1OO à 500 MPa ; argiles très molles, vases, remblais hydrauliques : 10 à 1OO MPa.

La valeur du module de compression d'une formation superficielle n'est pas notablement différente suivant que ce terrain se trouve hors nappe ou sous nappe. Par exemple, dans le cas particulier d'un remblai à base de calcaire rocheux ayant hors nappe une vitesse sismique longitudinale de 800 mis, on aura sous nappe une vitesse de 2 000 mis. Par contre, la vitesse de cisaillement ne sera pas modifiée et le module E passera de 800 à 900 MPa. Les vitesses des ondes sismiques (tableau 2.2-2) sont de l'ordre de plusieurs centaines à plusieurs milliers de mètres par seconde. Tableau 2.2-2 Vitesses des ondes sismiques de cisaillement/densités

Vitesse des ondes de cisaillement v, (m/s)

Densités p (kg/m 1)

Gran ice

3 000

2 500

Schisces

1 500 à 1 700

Type de sol

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

Roche fraccurée

800 à 1 600

Calcaires francs

1 400 à 2 000

Faciès gréseux durs ec poudingues

1 100 à 1 200

Calcaire blanc à beige

1 000

2 300

M

0 N

Faciès mamo-gréseux tendres

@

Tufs volcaniques

700

Calcaires altérés

400

.......

..c Ol

·;::

900 à 1 100

>-

Sables

150 à 400

u

Argi les

200 à 350

0. 0

Argiles molles

150

Faciès alluviaux, vase tourbeuse

300

Remblais hydrauliques

180

Vase

100 à 120

2 100

l 400 à 2 100

1 800

95

96

1

Méthodes de calcul

Tableau 2.2-3 Densités des différents types de sable

Description

Densités p (kg/m3 ) État sec

Saturé

Sable uniforme, peu compact

l 400

1 900

Sable uniforme, compact

l 750

2 100

Sable à granulométrie complexe, peu compact

1 600

2 000

Sable à gran ulométrie complexe, compact

1 850

2 150

Le comportement dynamique des sols est complexe et les mesures des caractéristiques dynamiques sur le site, comme au laboratoire, font appel à des techniques variées. La nature et le nombre d'essais à effectuer dépendent du sol : plus le sol est hétérogène, plus les essais seront nombreux et détaillés. Le module dynamique mesuré par la méthode de cross-hole est une mesure sous sollicitations faibles (comportement élastique linéaire), pour lesquelles les modules d'élasticité E et de cisaillement G sont élevés. On sait que sous sollicitations fortes (déformation induire par le séisme), le module de cisaillement G à prendre en compte est plus faible que celui sous sollicitations faibles. Dans la modélisation de l'ISS, il y a donc lieu de tenir compte de la diminution du module de déformation avec!' augmentation du niveau de déformation. Ne disposant que de mesures sous sollicitations faibles (ce qui est le cas pour tous les essais in situ), on doit extrapoler les résultats pour les sollicitations fortes, afin de tenir compte des déformations engendrées par les ondes sismiques. La différence encre les valeurs de Vs à faibles déformations [ECS-5/4.2.3-( l)P] , telles que celles mesurées dans des essais in situ, et les valeurs correspondant aux niveaux de déformation induits par le séisme de calcul, doit être prise en compte dans tous les calculs utilisant les propriétés dynamiques du sol dans des conditions stables.

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

Pour des conditions locales [ECS-5/4.2.3-(2)] de sols de classe C ou D, avec une nappe phréatique à faible profondeur, et sans matériaux ayant un indice de plasticité PI > 40, cela peut être réalisé, à défaut de données spécifiques, en utilisant les coefficients de réduction de Vs donnés dans le tableau 2.2-3. Pour des profils de sols plus rigides et un niveau de nappe plus profond, l'importance de la réduction doit être proportionnellement plus faible (et la plage de variation réduite).

M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Pour cela, et à défaut de justification particulière, l'Eurocode 8-5 propose de déterminer cette valeur à partir du module tangent Gmax' auquel on applique un coefficient réducteur en fonction de l'accélération du sol (tableau 2.2-3) . Si le produit agS est égal ou supérieur à 0,10 g (c'est-à-dire égal ou supérieur à 0,98 m/s 2 ), et en l'absence de mesures spécifiques, l'Eurocode 8-5 demande [ECS-5/4.2.3-(3)] d' utiliser le tableau 2.2-4 comprenant: les coefficients d'amortissement interne, coefficients de réduction moyens (± un écart type) pour la vitesse Vs des ondes de cisaillement et pour le module de cisaillement G, jusqu'à une profondeur de 20 m.

Modélisations

Tableau 2.2-4 Coefficients moyens d'amortissem ent de sol et de réduction moyens pour la vitesse Vs et le module de cisaillement G, jusqu'à une profondeur de 20 m Rapport d'accélération du sol

Gs

Vs

Coefficient d'amortissement max.

--

--

Ys.max

Gs,rnax

0,10

0,03

0,90 (± 0,07)

0,80 (± 0, 10)

0,20

0,06

0,70 (± 0,15)

0,50 (± 0,20)

0,30

0,30

0,60 (± 0,15)

0,36 (± 0,20)

a .S

vs,max =valeur moyenne de Vs à faibles déformations(< 10-5), ne dépassant pas 360 mis. G 111 ax =module de cisaillement moyen à faibles déformations. Les variations ± un écart type permettent d'introduire différents degrés de conservatisme selon des facteurs tels que la rigidité ec la stratification du profil du sol. Il serait par exemple possible d'utiliser des valeurs de V/Vs.max et de G/Gmax supérieures à la moyenne pour des profils plus raides, et des valeurs V/Vs.max et G/G 111ax inférieures à la moyenne pour des profils plus mous.

À titre d'exemple, les tableaux 2.2-5 , 2.2-6, 2.2-7, 2.2-8, 2.2-9 et 2.2-10 donnent les valeurs maximales des modules élastiques E (longitudinal) et G (cisaillement) pour deux cas de profils de sols stratifiés, obtenues après des essais cross-ho!e. Tableau 2.2-5 Caractéristiques dynamiques

Profondeur (m)

E (MPa)

C (MPa)

V

1 - 7,5

800

300

0 ,36

Grave

7.5 - 9,5

1 300 à 1 400

480 à 510

0 ,35 à 0,40

Marne

> 9.5

1900

660

0,44

Coupe géologique

Remblais

Tableau 2.2-6

Coupe géologique

Vl

Caractéristiques dynamiques

Profondeur (m)

E (MPa)

C (MPa)

V

Remblais

1-3

300

105

0,40

Colluvions

3-5

700

250

0,40

Grès altéré

5-7

1 200

400

0,44

7 - 15

8 000 à 16 000

2 800 à 6 000

0,42 à 0,37

> 15

18 500 à 20 000

6 800 à 7 400

0,36 à 0,35

Q)

0

1....

>-

Grès sain plus ou moins fracturé

l.D

Grès sain

w M

0 N

@

Tableau 2.2-7

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Coupe géologique

Profondeur (m)

Caractéristiques dynamiques E (MPa)

C (MPa)

V

5

127

46

0,37

8

180

61

0,48

Sable fin limoneux à argileux

10

149

50

0,49

Tourbe et/ou alternance argilo-sablotou rbeuse

13

186

64

0,47

51

922

3 13

0,47

150

625

2 11

0,48

Remblais de sable fin Argile supérieure

Sable coquiller Argile de Boom

1

97

98

1

Méthodes de calcul

Tableau 2.2-8 Caractéristiques dynamiques Coupe géologique

Profondeur (m) E (MPa)

G (MPa)

V

8

600

220

0,37

Faciès marne-gréseux rendre

16

5 400 à 6 900

2 1OO à2 500

0,38 à 0,40

Faciès gréseux durs et poudingues

25

7 500 à 8 300

2 600 à 2 900

0,42 à 0,43

Faciès all uviaux

Tableau 2.2-9

Coupe géologique

Profondeur (m)

Vs (m/s)

p


(kg/ml)

E (MPa)

G (MPa)

V

0 - 1,80

700

1 800

1 853

693

0,33

Vase tourbeuse puis tourbe noire

1,80 - 4,00

450

1 300

830

286

0,44

Sable argileux gris coquillier

4,00 - 5,00

480

1 600

1 11 7

383

0,45

Argile verte consistante

5,00 - 5,80

733

1 700

2 580

903

0,39

Tuf volcanique rouge altéré mais compact avec des joints argileux

5,80 - 9,00

840

2 200

2 800

990

0,4 1

Tuf volcanique friable puis dur

9,00 - 10,00

600

2 200

1 675

570

0,47

Sable argileux calcai re compact

10,00 - 12,20

600

2 200

1 750

593

0,46

Calcaire blanc dur avec passage friab le

12,20 - 17,00

600

2 200

1 950

660

0,47

Calcaire beige avec des rognons durs blancs

17,00 - 19,00

1 000

2 300

2 500

880

0,42

Remblai de tuf calcaire

Tableau 2.2- 10

Coupe géologique

Profondeur (m)

Vitesse de l'onde (m/s) Vp

G (MPa)

V

1 800 1 800 1 800 1 800 1 800 1 800

1 030 1 120 980 800 890 1 360

380 4 10 360 290 330 540

0,37 0,35 0,36 0,39 0,36 0,26

Alluvions sableuses indurées

8 9 10 11

l 067 1 200 1 129 980

600 6 19 61 1 400

1 800 1 800 1 800 1 800

1 640 1 820 1 740 810

650 690 670 290

0,27 0,32 0,29 0,40

Alluvio ns sable-graveleuses

12 13 14 15 16 17 18

1 0 11 980 1 247 1 371 1 23 1 l 4 12 l 655

468 490 578 640 696 676 814

1 800 1 800 1 800 1 800 1 800 1 800 1 800

1 080 1 150 1 640 2 010 2 200 2 220 3 190

390 430 600 740 870 820 1 190

0,36 0,33 0,36 0,36 0,27 0,35 0,34

Marnes

19 20 21

2 133 2 526 2 286

1 01 1 1 297 1 17 1

2 200 2 200 2 200

6 090 9 780 7 970

2 250 3 700 3 020

0,36 0,32 0,32

0

1....

>w l.D M

.......

..c Ol

·;::

>-

E (MPa)

457 480 447 400 427 549

Vl

Q_

p

1 0 11 1 011 960 960 9 14 960

Q)

@


2 3 4 5 6 7

Alluvio ns graveleuses

0 N

Vs

Densité (kg/ml)

0

u

Modélisations

1

2.2.3.2.1 Période fondamentale du sol Pour certaines combinaisons d'actions ou dans les calculs des fondations profondes, on doit disposer de la période fondamentale du sol Ts et aussi du déplacement maximal dmax d' un sol de profil homogène (figure 2.2-26).

Rocher Figure 2.2-26 Déformée de sol

La période fondamentale est donnée par Novak [Novak, 1983) en fonction de l'épaisseur H de la couche et de la vitesse Vs des ondes de cisaillement:

T

= s

4H Vs

=

4H

;_e_

\ G

(2.2-7)

Dans le cas d'un sol à profil stratifié, cette période peut être considérée comme égale à

4H

~

I Vl Q)

(2.2-8)

I,G; H;

P; ~

Par ailleurs on peut admettre, dans le cas d'un sol de profil homogène, que la déformée du sol est un quart de sinusoïde défini par le déplacement à la surface, soie :

0

1....

>-

(2.2-9)

w

l.D M

0 N

avec: À=

1 pour les sols de classe A ou B ;

.......

À=

0,9 pour les sols de classe C ;

Ol

À = 0,8 pour les sols de classe D ou E.

@ ..c ·;::

>-

Q_

0

u

2.2.3.2.2 Mesure du bruit de fond Cette méthode expérimentale permet de déterminer la fréquence de résonance du sol à partir de l'enregistrement du bruie de fond sismique, en un point, par un capteur à trois composantes. La fréquence de résonance du sol est un des paramètres qui permet de caractériser la réponse du sol aux sollicitations sismiques. Elle est caractéristique :

99

1OO

1

Méthodes de calcul

• d'une part des propriétés mécaniques du sol (différentes pour le rocher et pour les sols mous); • et d'autre part de l'épaisseur du sol considéré. Cette mesure permet de classer les sols (ECS-1/3.1.2-{1)]: • sol rocheux, fréquence de résonance comprise entre 10 et 15 Hz ; • sol raide de faible épaisseur (inférieure à 10 m), fréquence de résonance environ de 10 Hz; sol raide de grande épaisseur ou sol mou de faible épaisseur, fréquence de résonance comprise entre 1 et 10 Hz; • sol mou sur une grande épaisseur, fréquence de résonance inférieure à 1 Hz.

2.2.3.3 Modélisation du sol par un système de ressorts amortis Une méthode simple et maintenant classique pour la prise en compte de l'interaction solstructure consiste dans la séparation du sol et de la structure (approche par sous-structures). Dans ces conditions, le mouvement du bâtiment est égal à la somme des efforts résultant de la somme des efforts induits dans le bâtiment et principalement dans les fondations profondes: • calcul statique dans l'hypothèse d'un bâtiment fictif supposé sans masse sous l'action d'un déplacement imposé du sol en profondeur~ interaction cinématique; • calcul dynamique du bâtiment et du mouvement réel, en l'absence d'excitation sismique à la base du modèle, s'il était soumis aux forces d'inerties résultant d'un calcul utilisant le mouvement précédent ~ interaction inertielle. Pour un bâtiment dont les fondations sont superficielles, l'interaction cinématique est nulle et le mouvement de la base du modèle est identique au mouvement du sol en champ libre. On est alors dans le cas d'un modèle unique sol-structure où l'on représente le sol par un système de ressorts amortis dont les caractéristiques sont obtenues pour chaque module de sol de la façon suivante : • on calcule en première approximation les raideurs de sol par la méthode NewmarkRosenblueth [Newmark & Rosenblueth, 1971] (§ 2.2.3.4), méthode indépendante de la fréquence, donc avec des coefficients constants ; Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

• on calcule la fréquence f0 de la structure à partir des raideurs ainsi obtenues ; • on détermine les nouvelles raideurs et l'amortissement géométrique selon la méthode Deleuze(§ 2.2.3.5), fondations circulaires ou assimilées sur un milieu semi-infini. Pour les autres types de fondations superficielles, on peut déterminer les raideurs d'après Sieffert et Cevaer [Sieffert & Cevaer, 1992] ; • les valeurs de raideurs du sol résultent d'un processus itératif qui converge rapidement (trois à quatre itérations). Pour l'étude de l'interaction sol-structure, en plus de l'amortissement interne du sol, on considère l'amortissement géométrique ou radiatif. L'amortissement géométrique correspond à une perte d'énergie par propagation à l'infini, par rayonnement des vibrations dans le sol. On l'appelle amortissement géométrique, car il ne dépend que de la forme de la fondation, des propriétés du sol et de la fréquence du mouvem ent. L'amortissement géométrique augmente avec la fréquence. Il y correspond un e réaction déphasée par rapport au mouvement, dont l'importance relative augmente avec la fréquence ;

Modélisations

1

elle peut être 2, 5, 10 fois plus grande que la force correspondant à la raideur statique pour les modes de translation. Les majorations (par exemple 3 à 5 fois) empiriques ou intuitives appliquées aux coefficients de Winkler statiques peuvent correspondre, au moins en partie, à cette réalité. Les valeurs de l'amortissement géométrique dépendent de la nature du mouvement: • modes de translation verticale et horizontale : ---7 Ç > 20 % ; • modes de rotation : roulis et torsion

---7

ç < 10 % .

Comme le milieu semi-infini (demi-espace) élastique homogène est connu pour surévaluer les valeurs de l'amortissement radiatif, par rapport au milieu stratifié plus réaliste, l'amortissement de chaque ressort pris en compte dans les calculs sera réduit et pris égal à la somme de : Amortissement du ressort = (amortissement géométrique ou radiatif + amortissement interne de frottement du sol) ::=: 30 % L'amortissement géométrique ou radiatif: • est limité forfaitairement à 50 % de sa valeur th éorique, lorsque celle-ci est calculée par une méthode utilisant la théorie du demi-espace de sol infini ; • peut être supérieur à 50 % lorsque sa valeur théorique est calculée par une méthode prenant en compte la stratigraphie et les hétérogénéités du sol. L'amortissement géométrique sera calculé pour chaque composante du mouvement sismique, chaque mode et chaque type de ressort du sol. L'amortissement interne de frottement du sol est égal à 5 %, quels que soient le mode et le sol. Ces limitations introduites concernant la valeur d'amortissement ont pour objet de tenir compte des réflexions d'ondes résultant de la stratification rencontrée dans les sols. On obtient ainsi formellement quatre raideurs de sol en fonction de la fréquence f: • raideur de translation verticale : ~ (f) ; • raideur de translation horizontale : kh (f) ; • raideur de balancement (rocking) : kF (f) ; • raideur de torsion autour d'un axe vertical : kR (f). Vl Q)

>-

En défi nitive, on peut construire un modèle sol-structure relevant du même type de modélisation que pour les superstructures et accessible aux mêmes programmes de calcul.

l.D

C haque ressort est caractérisé par sa raideur et son amortissement réduit.

0

1....

w M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

La prise en compte d'une modélisation du sol par ressorts ne s'impose pas pour des structures souples (portiques) et légères comme les constructions métalliques, d'autant que le plus souvent elles sont articulées en pied .

>-

Q_

0

u

2.2.3.4 Méthode Newmark-Rosenblueth La méthode est indépendante de la fréquence, donc avec des coefficients constants. Elle permet d'estimer et de contrôler les valeurs des raideurs, des amortissements du sol et des fréquences propres de la structure qu'on peut calculer d'une manière plus précise avec d'autres m éthodes (par exemple la méthode de Deleuze, voir § 2.2.3-5) .

101

102

1

Méthodes de calcul

Pour obtenir un meilleur ajustement dans la bande des basses et moyennes fréquences, qui sont celles présentant le plus d'intérêt dans le cas des séismes, Rosenblueth a introduit une masse virtuelle de sol, liée à la fondation du bâtiment. Toutefois, l'introduction d'une masse additionnelle à la base de la structure ne modifie pas radicalement sa réponse dynamique. On prend le nœud d'interface sol-fondation au niveau inférieur du radier (attention, les inerties massiques doivent être exprimées par rapport à ce niveau). La masse de sol additionnelle est concentrée en ce nœud. N otations : • A aire de la fondation ; • a = dimension parallèle à la direction du séism e ; • b = dimension perpendiculaire à la direction du séisme ; • r = masse volumique du sol ;

• Mb = m asse du bâtiment ; • Ms = A.H.p = masse de sol additionnelle ayant même aire que la fondation du bâtiment; • H =hauteur du prisme de sol (tableau 2.2-10);

• lb, h = inerties massiques du bâtiment par rapport à la fondation ;

• Is, Js = inerties massiques de la masse additionnelle de sol par rapport à la fondation ; • r0 = rayon d'une fondation circulaire ; G =

E

2( l+v )

= module de cisaillement d ynamique du sol ;

• n = coefficient de Poisson. On obtient les quatre raideurs de sol à partir de l'abaque 2.2- 1 et du tableau 2.2-11.

P, Px Vl

3

p

Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

.._,

..c Ol

·;::

2

r--_

-

a

--

- -

= ~X-

-

1

1

-' P" \. Z)

>-

· -~

\. X ,1

rp \

-

·~

-

1~

'

0,2

0,3

0,4 0,5

l

-r r-

1

2

1~

-

@

1

1,0

2

>-

Q_

0

u

- - - - ·- ·--

y

i '----~ ----

3

1

1

---0,1

-'--=

-

Abaque 2.2-1 Valeurs des coefficients p,, p" P<1>

3

4

5

Rapport

10

a/ b

>-

Modélisations

1

Tableau 2.2-11 Coefficients d'amortissement et de raideur

Mouvement

Hauteur du prisme de sol

Amortissement relatif ou critique

H

.,

Vertical

o,27fA

2,71 ,, ~

Horizontal

o,o5[A

20,55 ./

Balancement

0,35{A

0,485

Rotation autour de l'axe vertical

o,25fA

1,88 . pH'

1

Fondation circulaire

H3

pH

k V

3

\! Mb+M,

. pH' \

Raideurs k

kh =

G

4 G·r =_ _o 1-

!<,, = -~fi. 1- V z

V

32( 1 - v) G·r0 7- 8v

kv = 2(1+v)G ~x

-

k

R

k =- ~ a2 b J - V

3( 1 - v)

16 G · r0

=--

3

{A

G

G·r k _8_ _ o

lb +I,

\ Jb +J,

Fondation rectangulaire

1 +v

(A

kR =- - G~, (a2 +b2 )\ A 4

2.2.3.5 Méthode de Deleuze Cette méthode [Deleuze, 1967] peut être appliquée dans le cas où les fondations, circulaires ou assimilées, peuvent être considérées comme superficielles et suffisamment rigides. Le sol est représenté par un système de ressorts qui relient le ou les nœ uds représentatifs de la fondation de l'ouvrage (figure 1.2-27) au repère de sol en champ libre. La modélisation de l'ISS par ressorts concentrés (figure l.2-27a) est plus simple pour l'analyse dynamique d'ensemble (hypothèse du radier rigide), mais nécessite par la suite une modélisation spécifique du radier. La modélisation de I'ISS par ressorts répartis (figure l.2-27b) est plus complexe, mais les efforts obtenus sont directem ent exploitables pour le dimensionnement du radier. C haque ressort est caractérisé par sa raideur et son amortissement réduit. Les ressorts se répartissent suivant trois types :

Vl

• translation verticale (symbole V) ; • translation horizontale (symbole H) ; • rotation autour d'un axe horizontal, balancement (symbole F).

Q)

0

1....

>-

w

0

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

Figure 2.2-27 Modélisation du sol par un système de ressorts a) Ressorts concentrés - b) Ressorts répartis

l 03

104

1

Méthodes de calcul

Cette représentation est admise en cas de sol homogène à l'échelle des dimensions en plan des fondations, c'est-à-dire en cas de sol stratifié dont les couches présentent des contrastes faibles de module G. Les coefficients de raideur sont calculés pour chaque direction sismique en fonction des coefficients de transmittance f (tableaux 1.2-12, 1.2-13 et 1.2-14), par les expressions:

fVl

Ky= G·r0

fÇl + f.J2 fHI

KH = G · r0

f~, + f~2 fRl f; , + f;2

K<1> = G·r6

(2.2-1 O) (2.2-1 1) (2.2-12)

:Lexpression de l'amortissement géométrique en fonction des coefficients de transmittance des tableaux 2.2-12, 2.2-13 et 2.2-14 est, pour chacun des types de ressort de sol: 1 fv2

llv

= -- -

11H

= - -

(2.2- 13)

2 fvt 1

-

fH2

fHI 1 f R2

(2.2-14)

2

11<1> = - - 2 fRI

(2.2-15)

Notations : • a = dimension parallèle à la direction du séisme ; • b = dimension perpendiculaire à la direction du séisme ; • r0 = rayon du cercle équivalent d'une fondation circulaire. Il est calculé comme suit: - cas des coefficients de raideur en translation : l'aire du cercle équivalent est égale à l'aire de la surface d'appui ,

r0 Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

=

~

(2.2-16)

- cas du coefficient de raideur en rotation (balancement) : le moment d'inertie de la surface du cercle équivalent est égal au moment d' inertie de la surface d'appui de la fondation, rapporté à l'axe perpendiculaire à la composante passant par le centre de gravité de la surface

0 N

@

en balancement :

ro = J ba3 3n

en torsion:

ro =

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

ba(b 2+a 2) 4

67t

(2.2-1 7) (2.2-18)

0

u

• G =

E

2(1 +v )

= module de cisaillement dynamique du sol ;

• r = masse volumique du sol ; • f = fréquence du mode de vibration fondamental dans la direction de séisme considérée, déterminée à l'aide d'un calcul modal préliminaire avec les coefficients et masses de sol de Rosenblueth ; • a0 = 2 nfr0

Jt

= paramètre des tableaux 2.2- 12, 2.2- 13 et 2.2-14.

Modélisations

1

La méthode est applicable si le rayon de fondation est suffisamment petit devant la longueur d'onde dans le sol; en pratique, il faut que: a0 < 2. Les tableaux 2.2-11, 2.2-12, 2.2-13 de coefficients de transmittance fv, fH , f
V=

0,01

V=

0,25

V=

0,50

ao 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

fv1

fV2

fv1

0,2675 0,2533 0,2356 0,2032 0, 1629 0,1202 0,0799 0,0459 0,0206

0,0000 - 0,0518 - 0,0985 - 0,1355 - 0,160 -0,1709 - 0,1691 - 0,1 570 - 0,1381

0,2026 0,1928 0,1818 0,1604 0,1332 0, 1034 0,0743 0,0484 0,0274

fV2 -

0,0000 0,0365 0,0698 0,097 1 0,1165 0,1270 0,1290 0,1236 0, 11 28

fv1

fv2

0,1351 0,1285 0,1211 0,1066 0,0878 0,0669 0,0457 0,0259 0,0090

0,0000 - 0,0258 - 0,0495 - 0,0695 -0,0888 -0,0935 -0,0969 - 0,0949 - 0,0887

Tableau 2.2-13 Coefficients de transmittance horizontale fH du sol

Vl

V=

Q)

0

1....

fHl

>-

w

l.D M

0 N

@

......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

0,01

V=

0,25

V=

0,40

V=

0,50

ao 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

0,2688 0,2636 0,2491 0,2267 0,1988 0, 1684 0,1 377 0, 1087 0,0829

fHl -

0,0000 0,0404 0,0779 0,1099 0, 1346 0, 1520 0, 1590 0, 1596 0, 1542

fHl 0,2364 0,2324 0,221 5 0,2045 0, 1833 0, 1597 0, 1354 0, 111 8 0,0899

fHl -

0,0000 0,0323 0,0625 0,0890 0, 1103 0,1257 0, 1349 0, 1384 0, 1369

fHl 0,2161 0,2127 0,2034 0,1889 0, 1707 0, 1504 0,1 294 0, 1089 0,0997

fHl -

0,0000 0,0281 0,0546 0,0780 0,0971 0,1112 0,1200 0,1240 0,1236

fHl

fHl

0,2026 0, 1995 0, 19 10 0,1 778 0, 1610 0, 1424 0,123 1 0,1043 0,0866

0,0000 - 0,0259 - 0,0502 - 0,0718 - 0,0894 - 0,1025 - 0,1108 - 0,1146 -0,1144

l 05

106

1

Méthodes de calcul

Tableau 2.2-14 Coefficients de transmittance en rotation fF du sol

V

=0,01

V=

0,25

V=

0,40

V=

0,50

ao 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

fRI

fR2

fRI

0,4280 0,4361 0,4587 0,4874 0,5128 0,5252 0,5160 0,4801 0,4177

0,0000 - 0,0018 - 0,0137 -0,0435 - 0,0941 -0,1632 - 0,2434 - 0,3240 - 0,3931

0,3242 0,3295 0,3445 0,3642 0,383 1 0,3952 0,3949 0,3782 0,3439

fR2

-

0,0000 0,0001 0,0085 0,0270 0,0590 0,1039 0,1578 0,2147 0,2674

fR2

fRI 0,2594 0,2635 0,2752 0,2908 0,3064 0,31 74 0,3196 0,3098 0,2863

-

0,0000 0,0008 0,0063 0,0202 0,0445 0,0788 0,1208 0,1664 0,2102

fR2

fRI 0,2161 0,2197 0,2299 0,2437 0,2577 0,2683 0,2719 0,2655 0,2477

-

0,0000 0,0007 0,0053 0,0170 0,0376 0,0670 0,1033 0,1434 0, 1829

On calcule ainsi les caractéristiques (raideur et amortissem ent réduit) d'un ressort unique. Si le modèle ISS est constitué par des ressorts répartis, les raideurs correspondantes sont obtenues en privilégiant la direction horizontale et la direction verticale dont les déplacements sont issus d'une rotation : •

direction horizontale --7

•

direction verticale avec : S

=

--7

surface de la fondation ; I

=

inertie de la fondation.

2.3

Méthode d'analyse par forces latérales

2.3.1

Conditions de régularité

2.3.1.1

Conditions générales

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Les conditions générales à remplir par les structures régulières et à régularité moyenne sont les suivantes: • le bâtiment doit comporter au moins trois plans de contreventement non concourants et de rigidité comparable; • les planchers doivent présenter une rigidité suffisante par rapport aux contreventements verticaux . La forme du bâtiment en plan, ainsi que la distribution des masses et des rigidités suivant la hauteur doivent satisfaire aux conditions de régularités indiquées aux paragraphes 2.3.1 et 2.3.2.

2.3.1 .2 Critères de régularité en plan • Le bâtiment présente une configuration sensibl em ent symétrique par rapport aux deux directions orthogonales (raideurs latérales et masses) (ECS-1/4.2.3.2-(2)].

Méthode d'analyse par forces latérales 1 107

• L'élancement en plan du bâtiment vérifie la relation

[EC8-1/4.2.3.2-(5)] :

î c:

_}

~---J_

L L min .

_!!!1.!_

<

4

(2.3-1)

• La configuration en plan doit être compacte (figure 1.3-2) [EC8-1/4.2.3.2-(3)], c'est-à-dire qu'elle doit être délimitée pour chaque plancher par un contour polygonal convexe. Lorsqu' il existe des retraits par rapport à ce contour (angles rentrants ou retraits en rive), la régularité en plan peut toujours être considérée comme satisfaite si : {Surface du contour polygonal convexe enveloppant} {Surface du plancher}

compactes

0 Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

D

~ l ,OS

Dî D l-Lx--+-1 ---------------------------------'

0

c3 c:J Vo 0

----- - ------ - ------------ - -- - --- ~

Formes avec parties rentrantes ou saillantes Figure 2.3-2 Formes de bâtiments

108

1

•

Méthodes de calcul

À chaque niveau et pour chaque direction de calcul x et y, l'excentricité structurale e0xou e0Y doit vérifier les deux conditions [ECa-1 /4.2.3.2-(6)] : y eox, 1

lyl

1

1

X3 1

X2 '' ____, 1 1

X1

1

-0:! G-·

----------

----------------

1

1

·-·0 -·-·-· 1

---------------

J_,

T

1

Y2

lx1

1 1 1

lx2

j

lx3

1

1

1

IY2 Figure 2.3.-3 Disposition des plans de contreventement

j

eox ::; rX

0,30 rx

~ 1s

2

rX

L lix x~ + L liy ~ L Iix (2.3-2)

j Vl Q)

0

e0Y

::;

0,30 ry

ry ~ 1s 2 =

15

2

ry

II.IX x21 +IL1y Y'.1-

L Iiy

Moment d ' inertie polaire du plancher Masse du plancher

(2.3-3)

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ ....... ..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

2.3.1.3 Critères de régularité en élévation • Tous les éléments de contreventement, comme les noyaux centraux, les murs ou les portiques, doivent être continus depuis les fondations jusqu'au sommet du bâtiment ou, lorsqu'il existe des retraits à différents niveaux, jusqu'au sommet de la partie concernée du bâtiment [ECS-1 /4.2.3.2-(S)b], [EC8-1 /4.2.3.3-(2)]. Ce critère est fondamental, car c'est la seule exigence de l'Eurocode 8 pour vérifier la régularité en élévation.


a

b

1

c

d

1

h

e

Figure 2.3-4 Dispositions en élévation a) Structure régulière en portiques - b) c) d) Configurations irrégulières en portiques e) Structure régulière en voiles - f) g) h) Configurations irrégulières en voiles

Vl Q)

0

1....

>-

w

• La structure ne doit comporter aucun élément porteur vertical dont la charge ne se transmette pas en ligne directe à la fondation, de façon à éviter un couplage significatif entre degrés de liberté horizontaux et verticaux. • Il est indiqué (ECB- 1/ 4.2.3.3-(3)] , sans précision sur des valeurs limites, que la raideur latérale et la masse de chaque niveau doivent demeurer constantes ou sont réduites progressivement, sans changement brutal, entre la base et le sommet du bâtiment considéré. Dans les bâtiments à ossature, le rapport entre la résistance effective de chaque niveau et la résistance exigée par le calcul ne doit pas varier de manière disproportionnée d'un niveau à l'autre. Une attention particulière doit être portée au cas particulier des ossatures en béton avec maçonnerie de remplissage.

l.D M

0 N

@ ....... ..c Ol

·;::

>Q_ 0

u

Lorsque le bâtiment présente des retraits, les dispositions supplémentaires suivantes s'appliquent : - D ans le cas de retraits successifs maintenant une symétrie axiale, le retrait à un niveau quelconque doit respecter la condition :

110

1

Méthodes de calcul

- Dans le cas d'un seul retrait situé au-dessus de 0, 15 H, la structure doit respecter la condition : L3+ L1 L

~

0,20

lJ ___.~. ____ ~

0,15 H

i~ L -1

- Dans le cas d'un seul retrai t situé en dessous de 0, 15 H, la structure doit respecter la condition: L3 + L 1 L

~ 0,50

Par ailleurs il faut concevoir la structure de la partie inférieure située à l'intérieur de la projection verticale des étages supérieurs, de manière à résister à au moins 75 % de l'effort tranchant horizontal qui agirait à ce niveau

1~L----1

[EC8- l/4.2.3.3-(5)b].

- Dans le cas de retraits non symétriques, la structure doit respecter les conditions : L-L2 L

~

0,30

H

Vl Q)

-

0

1....

- - - L - - -..

>-

w

l.D M

0 N

2.3.1.4

Cas d'un soubassement rigide

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

Pour les bâtiments comportant des sous-sols, il est courant que la structure en élévation soit différente de celle de l'infrastructure. Si la superstructure, considérée comme isolée, respecte les critères de régularité des paragraphes 2.3.1 et 2.3.2, alors d'une manière implicite, l'Eurocode 8 accepte de faire le calcul comme pour les bâtiments réguliers, à condition d'avoir en infrastructure un soubassement de type caisson. Cette infrastructure de type caisson portant une structure dissipative doit comprendre [EC8- l / 5.8.1-(5)]:

• une dalle de béton agissant comme un diaphragme rigide au sommet de l'infrastructure ; • un dallage ou une grille de chaînages ou de longrines au niveau des fondations ;

Méthode d'analyse par forces latérales

1

• des murs de fondations périphériques et/ou intermédiaires qui doivent être calculés de manière à rester dans le domaine élastique ; • la hauteur de calcul H de la superstructure est à considérer à partir du sommet du soubassement avec des diaphragmes rigides et des murs périphériques [EŒ-1 /5.4.3.4.2-(1)]. Le calcul des périodes fondamentales fait référence explicite depuis le sommet d'un soubassement rigide (voir§ 2.3.2-2). La masse totale du bâtiment peut être déterminée soubassement rigide (voir § 2.3.2-3).

[ECB- 1/4.3.3.2.2-(3)]

[ECB-1 /4.3.3.2.2-(1)P]

à la hauteur

à partir du dessus du

2.3.2 Analyse par forces latérales 2.3.2.1

Conditions d'application

Ce type d'analyse peur être appliqué [EŒ-1/4.3.3.2.1-(2)] aux bâtiments dont la réponse n'est pas affectée de manière significative par les contributions de modes de vibration de rang plus élevé que le mode fondamental dans chaque direction principale. Ces exigences sont considérées comme satisfaites dans les bâtiments qui remplissent les deux conditions suivantes : • ils respectent les critères de régularité (voit tableau 2.1-1) en élévation donnés en 2.3.1-3 et 2.3.1-4; • ils présentent dans les deux directions des périodes de vibration T 1 inférieures aux valeurs suivantes:

T, ::;

l

4. Tc

2,0 s

où Tc est la limite supérieure (tableau 2.3- 1) des périodes correspondant au palier d' accélération spectrale constante. Tableau 2.3-1 Valeurs des périodes Tc Classes de sol

Zones de sismicité 1 à 4

Zone de sismicité 5

0

A

0,20

0,40

w

>-

B

0,25

0,50

l.D

c

0,40

0,60

D

0,60

0,80

E

0,45

0,50

Vl Q) 1....

M

0 N

@ ....... ..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

2.3.2.2

Périodes de vibration du mode fondamental

Il faut tout d'abord se demander s'il convient de tenir compte de la rigidité apportée par les éléments non structuraux dans le calcul des caractéristiques dynamiques du bâtiment, et notamment dans le calcul de la période propre. Ne pas oublier que dans la première phase de l'action sismique, les élém ents non structuraux n'ont pas encore souffert, que la période propre est plus courte que celle de la structure« nue»

111

112

Méthodes de calcul

1

et que l'accumularion de l'énergie esr celle qui correspond à certe période courte. Par contre, on ne peut compter que sur la structure pour équilibrer les forces d 'inertie ainsi mobilisées. Pour tenir compte de la présence des éléments non structuraux, les périodes fondamentales, lors de l'utilisation de méthodes de calcul simplifiées, sont déterminées à partir des formules forfaitaires. Pour déterminer les périodes fondamentales (ECB-1/4.3.3.2.2-(2, 3)] de vibration T 1 des deux modèles plans du bâtiment, des expressions approchées basées sur les méthodes de dynamique des structures (par exemple, mérhode de Rayleigh,§ 2.5.1) peuvent être utilisées. Ainsi, pour les bâtiments réguliers jusqu'à 40 m de hauteur, une valeur approchée de T 1 (en secondes) peut êrre obrenue par l'expression suivante:

(2.3-4) où:

• et= 0,085 dans le cas des portiques spariaux en acier; • et = 0,075 dans le cas des portiques spariaux en béron et pour les rriangularions excentrées en acier;

• et = 0,050 pour coures les aurres srructures sauf conrrevenremenr par murs ;

e

•

= t

où:

0,075 ' . rA pour le conrrevenremenr par murs en b eron ou en maçonnene y Ac c

Ac

=

L

[A; · ( 0,2 + (

~i

)

r]

(2.3-5)

avec:

- H = h auteur du bâtiment, en mètres, depuis les fondations ou le sommet d' un soubassement rigide,

- Ac = aire effective totale, en mètres carrés, des sections des murs de contrevenrement au premier niveau du bâtiment,

- Ai = aire effective de la section transversale du mur de contreventement dans la direcrion considérée i au premier niveau du bâtiment, en mètres carrés,

- .fwi = longueur du mur de contreventement i au premier niveau dans la direction parallèle aux forces appliquées, en mèrres, sous la condition que .fw/H ne dépasse pas 0,9.

a'.)

o >-

1...

w

l.D M

~

@

Si l'on connaît le déplacement élastique horizontal d (en mèrres) du sommer du bâtiment dû aux charges gravitaires appliquées horizontalement, la période T 1 (en secondes) peut être esrimée [ECS-1 / 4.3.3.2.2-(5)] par l'expression suivante:

.......

..c

(2.3-6)

Ol

·;::

>Q_ 0

u

2.3.2.3

Effort tranchant à la base et distribution des forces

L'effort rranchant à la base, Fb, esr déterminé, pour chaque direcrion principale dans laquelle le bâtiment est analysé, au moyen de l'expression suivante [ECB- 1/4.3.3.2.2-(l)P]:

(2.3-7) \

ou:


Sd =ordonnée du spectre de calcul pour la période T 1 (voir§ 2.3.2-2) ; m = masse totale du bâtiment, au-dessus des fondations ou du sommet d'un soubassement rigide; À= 0,85 si T 1 :::; 2Tcet si le bâtiment a plus de deux étages; À = 1,00 dans les autres cas. Le coefficient de correction À traduit le fait que dans les bâtiments d'au moins trois étages avec des degrés de liberté de translation dans chaque direction horizontale, la masse modale effective du premier mode (fondamental) est inférieure en moyenne de 15 % à la masse totale du bâtiment. L'effort tranchant à la base et ensuite distribué [EC8-1/4.3.3.2.3-(l)P] sur la hauteur du bâtiment en appliquant, dans les deux modèles plans, des forces horizontales Fi à cous les étages.

(2.3-8) où:

Fi est la force horizontale agissant au niveau i ; Fb est l'effort tranchant à la base obtenu par la relation (2.3-7) ; si, sj sont les déplacements des masses mi, mj dans le mode fondamental ; mi, mj sont les masses des niveaux. Déformée simplifiée

0

z l.S

m.

- - - - .. 1

'

1

- ,' - ...' - ...'' '

- -

1

,. 1

h,

m, ':!r_,'

h,

m,

H

,' ~

- ' U2 1

--11

'

1 1 1

-{

u -::= z'·s

1 1 1 1

..'

'

1

'

1

m,

h,

'

u,

' l e' mode Mode fondamental

Vl

Déformée simplifiée

Q)

m,

1

0

1....

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w

,__

,''

l.D

1

M

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0 N

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..c Ol

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1 1

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1 1

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--

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.

1 1

...

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..'

1

h,

'' m, ~r_/

h,

m,

u =z1.5 1 ~ u,

h,

m,

'' u, '

H

.· ~

1

''

--1'

>-

Q_

0

u

1e'mode Mode fondamental

Compromis

'

1 -{

Forme

Figure 2.3-6 Déformées simplifiées du mode fondamental a) Cas des portiques dont les déplacements horizontaux croissent linéairement b) Cas des murs de contreventement

114

1

Méthodes de calcul

Lorsque le mode fondamental est déterminé de manière approximative en supposant que les déplacements horizontaux croissent linéairement [ECS-1/4.3.3.2.3-(3)] suivant la hauteur (figure 2.3-6a), les forces horizontales F; sont données par l'expression : F.1 -- Fb zi ·mi

~ Z· ·ffi· ~

J

(2.3-9)

J

où : Z;, zj sont les hauteurs des masses m;, mj au-dessus du niveau d'application de l'action sismique (fondations ou sommet d'un soubassement rigide). Les forces horizontales F; ainsi déterminées sont distribuées entre les éléments de contreventement en supposant les planchers rigides dans leur plan et en tenant compte de l'effet de torsion (voir§ 2.2.1-4).

2.4

Méthode d'analyse modale

Lanalyse modale spectrale désigne la méthode de calcul des effets maximaux d'un séisme sur une structure, basée sur : • la sollicitation sismique décrite sous form e d'un spectre de réponse; • le comportement supposé élastique de la structure permettant le calcul des modes propres. Lanalyse modale est basée sur les observations suivantes : La réponse d'une structure, description des oscillations sous l'action du séisme, est prépondérante au voisinage de certaines fréquences, dites fréquences modales ; le comportement de la structure pour ces fréquences particulières est appelé mode de vibration, le comportement global peut être considéré comme la somme des contributions des différents modes.

Vl Q)

0

Lanalyse dynamique/méthode modale spectrale peut être appliquée à tout type de structure (bâtiments irréguliers, ouvrages à risque spécial qu'ils soient réguliers ou irréguliers), à l'exception de ceux présentant des non-linéarités géométriques accusées (décollement des radiers ;::: 30 % suivant le paragraphe 2.4.5, entrechoquement) ou des non-linéarités mécaniques (isolateurs et amortisseurs).

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

2.4.1

Méthodologie de calcul

Après le choix des hypothèses de calcul et l'établissement du modèle de calcul, la méthode modale spectrale comporte les étapes suivantes (figure 2.4-1) :

·;::

>-

Q_

0

u

• • • •

recherche des modes propres; sélection des modes utiles et prise en compte éventuellement du pseudo-mode; combinaisons des réponses modales ; cumul des effets des composantes du mouvement sismique.

Les «sorties » de toute simulation numérique devront être suffisamment nombreuses et être accompagnées de notes d'interprétation des résultats comportant les données particulières de calcul et les résultats intermédiaires, afin que les choix techniques et logiques soient facilem ent mis en évidence.


Modèles de: •sol • structure •masses

Modélisations, caractéristiques du sol et des matériaux

1

Vérification des modèles : • masse totale • dessins de la structure

Calcul des rigidités

1 Recherche des modes

Dessins des modes propres

Modes propres de vibrations

)

Amortissements pondérés

z Coef. de participation, masses modales effectives

Sélection des modes utiles • critères masse modale • critère énergie •pseudo-mode

1 ..._ Re_'p_o_n_s_e_m _o_d_a_le_ _ _)

Spectre de réponse, coefficient de comportement

Calcul de la réponse modale Explication des résultats Combinaisons des réponses modales : • sollicitations • déplacements X

Vérification de la structure sous sollicitations statiques et dynamiques Vl Q)

0

Cumul des réponses des composantes X, y, et Z du mouvement sismique

1....

>-

w

l.D

Figure 2.4-1 Méthodologie de calcul par analyse modale

M

0 N

@ .......

..c Ol

2.4.2 Recherche des modes propres

·;::

>-

Q_

0

u

La schématisation d'une struccure réelle par un oscillateur simple ne permet d'aborder valablement qu'un nombre réduit d'ouvrages, du type masse concentrée sur un support de masse négligeable. Pour une approche plus réaliste, l'étude du comportement dynamique des structures doit donc impérativement être élargie aux systèmes à plusieurs degrés de liberté. En effet, il est possible d'interpréter le mouvem ent global d' une structure (oscillateur multiple) soumise à un chargement dynamique quelconque, comme une combinaison des n déformées des modes de vibration (décomposition m odale), pondérées chacune de m anière adéquate.

115

116

1

Méthodes de calcul

La figure 2.4-2 présente le principe de cette approche dans le cas simple d'une console verticale, dont la déformée est discrétisée par les déplacements horizontaux des nœuds disposés sur la hauteur. Mode l

5

us

4

3 2

Mode2

5

Mode3

Mode4

Mode 5

a2u52

4 UJ

3 2

-+-------

a1Li22

1

a,u,

+

+

+

Figure 2.4-2 Déformées propres des cinq premiers modes propres de vibration d'un portique

La décomposition modale permet donc de ramener l'étude d'un système à N degrés de liberté à celle de n oscillateurs simples, et reconduire ainsi les conclusions auxquelles on a abouti pour l'oscill ateur simple. On sait qu'en théorie, l'analyse dynamique va nécessiter la détermination d'autant de modes propres n (périodes et déformées modales) que la structure comporte de degrés de liberté N . Comme il n'est pas question en pratique d'extraire autant de modes propres que de degrés de liberté, il revient au calculateur de prendre deux initiatives qui tém oignent l'attitude interactive qu'il doit avoir face au calcul sur l'ordinateur. Il doit choisir : • le nombre de modes à extraire ; • la précision souhaitée dans la détermination de ces modes, la m éthode de calcul étant itérative.

Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

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Q_

0

u

Le calcul débute par une déformée initiale aléatoire, choisie par l'ordinateur ou par la déformée calculée précédemment. On va chercher d'abord les modes propres non amortis du système, c'est-à-dire les modes de déformation de la structure qui, en absence d' amortissement et d'excitation extérieure, correspondent à des efforts internes qui équilibrent exactem ent les forces d'inertie correspondant à une variation sinusoïdale de ces déformations dans le temps. On recherche par itération la déform ée du mode suivant.

À chaque itération, on obtient une allure améliorée de la déformée modale, qui est réintroduite comme déformée initiale. En ce qui concerne la précision de la détermination d'un mode donné, on estime généralement qu'elle est atteinte lorsque, d'une itération à l'autre, la valeur propre, exprimée en fréquence, conserve au moins cinq chiffres significatifs in changés . Il faut noter que les derniers modes sont toujours imprécis. Il est d'usage d'abord d'éditer un nombre limité de modes propres, afin d'apprécier rapidem ent le comportement dynamique de la structure : la période (ou la fréquence) et l'allure des premiers modes de vibration constituent en effet un excellent diagnostic de la qualité de la modélisation. Bien entendu, pour bénéficier de souplesse dans la fixation de ces choix, il est essentiel que le logiciel utilisé permette toutes les modalités de reprise du calcul en exploitant déjà les résultats obtenus.


1

Pour les structures courantes relativement simples, le nombre de modes significatifs se situe autour de la dizaine. Les structures plus complexes peuvent nécessiter l'extraction de plusieurs dizaines de modes. On voit là aussi l'importance du jugement et de l'expérience du calculateur qui doit décider à chaque étape si l'approximation atteinte est suffisante ou si, au contraire, de nouvelles itérations sont nécessaires. Cette étape d'extraction des modes propres doit obligatoirement se conclure par un examen des valeurs des périodes propres, mais aussi des allures des déformées modales. La connaissance de la réponse des ouvrages permet de juger la représentativité des résultats.

À partir des modes propres, on doit être en mesure d'apprécier le comportement dynamique du bâtiment et de mettre en évidence une erreur de modélisation. Le dessin des déformées modales est un outil privilégié pour cette appréciation. Il permet de visualiser les modes globaux, essentiels, et les modes « parasites » à caractère local. La limitation du nombre des modes calculés ne constitue pas pour autant un handicap, pour trois raisons : • pour une action sismique donnée, la réponse globale de la structure est essentiellement constituée par la contribution de quelques modes principaux ; au-delà d'une certaine fréquence (généralement la fréquence de coupure), l'apport des modes « supérieurs » est négligeable ; • de plus, la précision des modes est d'autant plus illusoire qu'ils sont d'ordre supérieur ; • enfin la technique du « mode résiduel » (pseudo-mode) permet de prendre en compte l'ensemble des m odes supérieurs situés au-delà de la fréquence de coupure.

2.4.3 Sélection des modes utiles Après l'étape de recherche des modes, o n dispose d'un certain nombre des modes propres de la structure, connus par les périodes (ou fréquences) propres et les déformées propres, avec une précision qui décroît vers les modes supérieurs. L'analyse des modes de vibration permet de détecter les imprécisions dues à la conception du modèle. Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

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Q_

0

u

En pratique, une partie seulement de ces modes va apporter une contribution signi ficative à la réponse de la structure. C'est ainsi que pour les bâtiments courants, très souvent seuls, deux ou trois modes ont une influence significative sur la réponse vis-à-vis d'une direction donnée du séisme et, parmi eux, le premier mode est largement prépondérant ; cette constatation se trouve à la base des méthodes simplifiées (chapitre 2.3). En aucun cas donc le nombre de modes retenus ne doit être inférieur à trois. Le premier mode ayant la période la plus grande est appelé mode fondamental ; pour les bâtiments courants et réguliers leur période proportionnelle à la hauteur H 314 est donnée par la formule 2.3-4. Dans le cas général, le simple examen des déformées propres ne constitue pas une méthode suffisamment fiable pour faire la sélection nécessaire et on a besoin de critères quantitatifs pour apprécier l'importance de chacun. En effet, par définition , les modes propres ne sont connus qu'à un facteur de proportionnalité près : seule leur allure est déterminée. Dans les programmes de calcul, o n est donc amené à avoir une règle commune pour fixer ce facteur de proportionnalité : on parle de normalisation.

117

118

1

Méthodes de calcul

2.4.3. l

Les masses modales effectives

Le critère le plus généralement pratiqué pour valider la sélection effectuée sur les modes est celui des masses modales effectives, qui consiste donc à normaliser par rapport aux masses. Par définition, la masse modale pour le mode i, c'est la masse« effective» dans la direction de séisme étudiée, c'est-à-dire celle accélérée par l'accélération fournie par le spectre de réponse. Il en résulte une force d'inertie égale à l'effort horizontal propre à la réponse de la structure sur ce mode.

sa

Cette propriété met en évidence l'intérêt pratique considérable des masses effectives dans le cas du séisme donc le mouvement est imposé de la base. En effet, ce type de calcul permet les possibilités additionnelles suivantes par rapport à une simple analyse modale : • évaluation simple de la contribution des modes aux réactions à la base et évaluation de la masse apparente d'une structure ; • classification des modes en modes locaux ou globaux : en effet, l'importance de la masse effective par rapport à la masse totale constitue un critère pertinent du mode considéré ; • validation de la représentativité globale des modèles dynamiques : la représentativité globale d'un modèle de structure avec mouvement imposé à la base dépend uniquement de son spectre de fréquence et de ses masses effectives ; • définition de modèles dynamique simples mais globalem ent représentatifs de modèles complexes aux éléments finis : il suffit pour cela de sélectionner les modes ayant les masses effectives les plus importantes. Dans le cas de structures ayant des modes découplés, la méthode de sélection des modes par les masses effectives permet de définir des modèles simples représentatifs des effets dynamiques. Dans chacune des directions étudiées, le calcul des modes de vibrations doit être poursuivi jusqu'à la fréquence de coupure du spectre : • ouvrages à risque normal: 33 Hz ; • ouvrages à risque spécial: 25 Hz. La sélection des modes peut également être interrompue au droit des fréquences de coupure [ECB-2/4.2. 1.2-(3)] indiquées ci-dessus, à condition que la somme des masses modales L. Mi représente au moins 7 0 % de la masse totale vibrante M. Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

Pour une décomposition modale complète, il faut que la somme des masses modales soit égale au total des masses actives dans la direction étudiée . .Lobtencion d'une somme de masses modales d'au moins 90 % de la masse totale est une vérification particulièrement efficace pour éviter de négliger un mode important.

@

La différence entre la masse totale M de la structure et la somme des masses modales effectives

....... ..c

L. Mi des modes retenus peut être importante. Elle correspond à la masse résiduelle .

Ol

·;::

>-

Q_

0

u

La correction pour tenir compte de ce défaut de masse s'effectue au moyen d'un mode rigide ou pseudo-mode.

2.4.3.2

Les énergies de déformation

Un autre critère de sélection de modes est constitué par l'énergie maximale de déformation (potentielle) que va emmagasiner la structure dans sa réponse sur chacun de ces modes . On peut donc établir un classement des différents modes et faire ainsi ressortir leur importance relative. En affectant par exemple la valeur 100 au mode ayant l'énergie du mode la plus


1

importante et l'énergie maximale (voir tableau 1.4-1), on peut classer les autres modes par ordre décroissant. Mais comme on ne connaît pas tous les modes, on ne sait pas a priori s'il n'y a pas de modes d'énergie plus importante : • les énergies des modes supérieures à l'unité seront sélectionnées jusqu'à un total de 90 %. Si l'énergie d'un mode n'intervient que pour 4 % de l'énergie maximale, du point de vue de la déformation, sa participation est de: D = 20 %. Dans ces conditions il est donc raisonnable de tenir compte de l'influence de ce mode. En effet, l'énergie de déformation WP est fonction de la force F et du déplacement D:

/4% : :

FD 2

(2.4-1)

mais

~

soit:

WP

ou encore:

D = ; 2wP

=

\

kD

k

2

(2.4-2) (2.4-3)

• pour les autres modes extraits, dont les valeurs des énergies sont inférieures à l'unité, ils peuvent être purement et simplement abandonnés pour la suite du calcul. Il convient de souligner que cette démarche consiste à comparer entre eux les modes qui ont été effectivement calculés. Elle ne permet donc pas de garantir qu'un mode d'ordre supérieur, donnant une réponse significative, n'est pas sélectionné. Pour éviter cette insuffisance, il y a lieu de vérifier le cumul réglementaire de la masse modale. En prenant pour exemple un pylône (figure 2.4-3), les périodes et les énergies correspondantes des quatre premiers modes sont données par le tableau 2.4- 1.

Tableau 2.4-1 Énergies de déformation

Vl

Modes propres

Périodes (sec)

Énergie de déformation %

l

l , 115

100,00

2

0,3 10

2 1,24

3

0,144

0,82

4

0,0915

1,30

Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

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>-

Figure 2.4-3 Pylône avec les masses modélisées (concentrées) au croisement des barres

Q_

0

u

À la lecture du tableau 2.4-1, on peut constater : • l'énergie maximale stockée sur le deuxième mode de vibration est très importante, 2 1,24 % par rapport à celle correspondant au premier mode ; on peut déduire que la structure a un comportement complexe quand l'influence des modes supérieurs est importante ;

119

120

1

Méthodes de calcul

l'augmentation relative de l'énergie correspondant au quatrième mode de vibration (1,30 %) par rapport au troisième mode (0,82 %) est due à la richesse de l'accélérogramme en composantes de périodes proches de 0,0915 s (en quelque sorte, c'est une résonance). Une fois les modes sélectionnés, il s'agit de déterminer la réponse de la structure sur chaque mode donné, à partir d'une lecture sur le spectre de réponse des valeurs maximales des réponses des modes propres retenus.

2.4.4

Prise en compte des modes négligés : les pseudo-modes

Si, à la fréquence de coupure (33 H z ou 25 H z), le cumul des masses modales dans la direction du séisme étudié n'atteint pas 90 % de la masse totale de l'ouvrage, on doit prendre en compte les modes négligés, appelés aussi modes résiduels ou pseudo-modes. Pour chaque direction du séisme et à chaque niveau, l'effet du mode négligé est la différence entre la réponse statique sous l'accélération du sol et la somme des masses modales.

À défaut de procéder au calcul d'un mode résiduel, il faut majorer toutes les variables d'intérêt (forces, déplacements, contraintes, etc.), obtenues par la combinaison des réponses modales, par le facteur [ECB-2/4.2.1 .2-{3)] : (2.4-4) Pour illustrer la procédure de calcul du pseudo-mode, prenons pour exemple un bâtiment industriel comportant des voiles en béton armé, dont les dimensions en plan sont 25,00 x 33,00 m et la hauteur de 11 ,00 m.

z

Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

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>-

Q_

0

u

Figure 2.4-4 Bâtiment industriel avec voiles en béton armé

Les caractéristiques dynamiques sont les suivantes : • sol de fondation (modules dynamiques) : Edy = 11 680 MPa; • béton: fc28 = 25 MPa;

Edy

= 35 000 MPa;

Gdy

= 14 600 MPa; v = 0,20.


1

L'analyse dynamique est faite à partir d'une brochette équivalente (tableau 2.4-2) dont les caractéristiques (inerties et sections réduites) sont déterminées à partir des formules de Bresse. Tableau 2.4-2 Caractéristiques dynamiques de la brochette équivalente

Masses Nœuds

Sens X

(t)

1 (m 4 )

Sens Y S1 (ml)

I (m 4)

23, l

S1 (ml)

41

642

188,77

0,3

31

568

834,69

4,87

1 218, 11

4,87

21

544

1 354,43

6,87

3 055,96

22,43

11

645

1

721

7 492,54

26,67

22 340, l

0,4

89,04

L'interaction sol-structure est modélisée par des ressorts en translation et en rotation, dont les raideurs sont déterminées par la méthode de Newmark-Rosenblueth (cf. § 2.2.3-4) et par l'introduction d'une masse additionnelle (virtuelle) au niveau des fondations, nœud 1 (tableau 2.4-3). Tableau 2.4-3 Interaction sol-structure/Newmark-Rosenblueth

Module dynamique du sol 11680 MPa

Ressorts et masses au nœud 1 Ressorts en translation :

X

z

6.7900E7 6.7900E7 9.4420E7

RX RY

6.3964E9 8.5 l 76E9

y

Ressorts en rotation :

Masses de sol associées et radier, en tonnes : X Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

y

z RX (inertie massique) RY (inertie massique)

721 721 1 511 1 252 1 252

M

0 N

@ .......

..c Ol

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>-

Q_

0

u

L'action sismique est définie par le spectre du séisme lointain SMHV (figure 2.4-5) pour les amortissements de 2 %, 5 %, 10 % et 20 %, calé à une accélération du sol de 0, 12 g. On peut aussi remarquer que la fréquence de coupure se situe à 25 Hz. Normalem ent, on retient les modes jusqu'à la fréquence de coupure. Les accélérations développées par les modes supérieurs négligés sont prises en compte par le pseudo-mode. Les résultats de l'analyse modale sont donnés par le tableau 1.4-4. On constate qu'à la fréquence de coupure de 25 Hz, on mobilise 64,80 % dans le sens X, 24,50 % dans le sens Y et 23,80 % dans le sens Z. Les six prem iers modes propres sont donnés par la figure 1.4-6.

121

122

1

Méthodes de calcul

Déplacem ent (m) 10

1 - --

-

- - --

10-2 _ _ _ _ 10-l

10-1-

10-1 JOl ,......_ Ill ........

s
Ill Ill

.....
>

10 2

101

- - - - 101- - - - 102- -- - 103 -

10-2- - - - 10-1 - - - -

Fréquence Hz Figure 1.4-5 Spectre SMHV Ta bleau 2.4-4 Périodes propres et masses effectives Vl Q)

0

Modes

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Masses effectives en %

Périodes (sec)

Fréquence

(Hz)

Sens X

Sens Y

Sens Z

0, 162 0,137 0,059 0,053 0,034 0,020 0,020 0,01 5 0,014 0,0 10 0,009 0,007 0,006 0,005 0,004

6, 16 7,28 17,07 19,00 29,50 49,53 49,93 67,06 70,73 10 1,02 107,42 142,67 163,53 191,76 223,79

27,70 0,0 0,0 37,10 0,0 0,0 9,00 8,80 0,0 0,0 0,0 0,0 17,40 0,0 0,0

0,0 24,50 0,0 0,0 40,90 0,0 0,0 0,0 14,20 0,0 12,60 0,0 0,0 7,80 0,0

0,0 0,0 23,80 0,0 0,0 39,80 0,0 0,0 0,0 27,80 0,0 7,30 0,0 0,0 1,30


z

z

41

z

z

41

z

41

1

z

41

41

41 31

31

31

21

21

21

11

11

31

31

31

21

11

11

y

X

y

C>

C>

X

X

C>

C>

t

t

t

t

t

Mode 1 6,16 Hz

Mode 2 7,28 Hz

Mode 3 17,07 Hz

Mode 4 19,00 Hz

Mode 5 29,90 Hz

C>

Mode 6 49,53 Hz

Figure 2.4-6 Premiers mode propres

Lamortissement de la structure en béton armé a été pris égal à 7 % et celui du sol à 20 %. Le logiciel calcule automatiquement pour chaque mode les amortissements pondérés (tableau 2.4-5), ceux-ci étant limité à 30 %. Tableau 2.4-5 Amortissements pondérés et par zone

Modes

1 2

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Amortissements pondérés %

7,0 7,0 7, 1 7, 1 7,1 8,2 7,2 7,3 7,5 10,4 8,0 8,8 10,3 9,0 7,7

Contribution par zone en % Sol X

Sol Y

Soll

SolRX

0,3 0,4

Sol RY

Béton

0,2

99,5 99,2 97,7 95, I 85,9 71,8 93,5 88,8 80, 1 35,6 63,5 60,2 9,4 33,8 80,9

0,4 2,3 1,1

3,8 10,I

4 28,2

6,3 11

0, 1 0,3 19,1

0,8 64,4

36,3

0, 1 39,8 0, 1

90,5 64,4

1,8 19,1

Les tableaux 2.4-6, 2.4-7 et 2.4-8 donnent, par direction, les vari ations des accélérations sur la hauteur du bâtiment. On peut constater que, quelle que soit la qualité du sol, la prise en compte de l'ISS par l'introduction de ressorts ind uit une réduction de!' accélération au niveau du sol d'environ 10 % : on passe de 1,20 m/s2 à 1,09 m/s 2 (sens x) , 1, 11 m/s 2 (sens y) et 1, 10 m/s 2 (sens z).

123

124

1

Méthodes de calcul

La structure dans son ensemble est assez rigide (modes> 6 Hz). Ainsi l'incidence du pseudomode est prépondérante aux nœuds 1 et 11 pour le sens x et concerne presque toute la hauteur pour les sens y et z : nœuds l , 11 , 21et31. Tableau 2.4-6 Variations des accélérations, séisme sens X

Nœuds

Mode 1 (m/sl)

Mode4 (m/sl)

S.Q.*)

Modes 1+4 (m/sl)

Pseudo-mode (m/sl)

S.Q.*)

Pseudo-mode + 1 + 4 (m/sl)

41

2,409

- 0, 186

2,416

0,007

2,416

31

0,264

1,342

1,367

- 0,302

1,400

21

0,154

0,956

0,969

0,123

0,976

11

0,039

0,267

0,270

0,840

0,882

1

0,004

0,029

0,029

1,085

1,085

*) S.Q. - superposition quadratique Tableau 2.4-7 Variations des accélérations, séisme sens Y

S. Q.*)

Mode2 (m/s2)

41

2,125

2, 125

- 0,099

2,127

31

0, 136

0,136

1,037

1,046

21

0,064

0,064

1,078

1,080

11

0,01 9

0,01 9

1,104

1, 104

1

0,004

0,004

1,11 2

1, 11 2

Mode2 (m/s2)

Pseudo-mode (m/s2)

S.Q.*)

Nœuds

Pseudo-mode + 2 (m/s2)

*) S.Q. - superposition quadratique Tableau 2.4-8 Variations des accélérations, séisme sens Z

S. Q.*)

Mode3 (m/sl)

41

1,435

1,435

- 0,2 14

1,45 1

Q)

31

0, 187

0,187

0,941

0,959

0

1....

21

0,09 1

0,091

1,031

1,035

w

11

0,037

0,037

1,084

1,085

1

0,014

0,0 14

1, 101

1, 102

Vl

>-

l.D M

0 N

@

Mode3 (m/s2)

Pseudo-mode (m/sl)

S.Q.*)

Nœuds

Pseudo-mode + 3 (m/s2)

*) S.Q. - superposition quadratique

.......

..c Ol

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>-

Q_

2.4.5 Combinaisons des réponses modales

0

u

Les réponses modales (effets élémentaires [déplacements et efforts maximaux]) calculées pour les différents modes retenus sont combinées de façon à reconstituer l'ensemble des effets du séisme réel. Le dimensionnement de l'ouvrage doit tenir compte de: • la multiplicité des directions (x, y et z) d'arrivée d'ondes sismiques par le cumul des réponses des composantes du mouvement sismique [EC8-1/4.3.3.5);


1

• la combinaison del' action sismique avec les autres actions concomitantes [EC0-2002/6.4.3.4] ; les effets d 'in ertie de l'action sismique de calcul doivent être évalués en prenant en compte la présence des masses associées à toutes les charges gravitaires pouvant être présentes pendant la durée du séisme [ECS-1 / 3.2.4-(2)P] :

I, G k>). (( + )) I, \j/E . . Qk·l.

(2.4-5)

,1

• avec \j/E, i =

Catégories A à C*)

4JE,i

Étage

q>

Toit

1,0

Étages à occupations corrélées

0,8

Étages à occupations indépendantes

0,5

Catégories D à f*) et archives

1,0

*) Catégories définies dans l' EN 1991 -1- 1: 2002

• la multiplicité des modes de l'oscillateur constitué par l'ouvrage ; leur cumul est présenté ci-après.

À ce stade, pour chaque paramètre de dimensio nnement (moment de flexion, effort normal , effort tranchant) et pour chaque param ètre de contrôle (rotations, déplacements), on connaît le maximum de la réponse pour chacun des modes. D e plus, s'agissant de réponse vibratoire, on doit envisager la possibilité d'un changement de signe de l'ensemble de paramètres . On se trouve alors confronté au problème de la combinaison des réponses des modes retenus [ECS-1/ 4.3.3.3.2] puisque a p riori les réponses des modes ne sont pas concomitantes ; différentes m éthodes peuvent être adoptées pour effectuer cette combi naison pour une direction sismique.

2.4.5.1 Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

Combinaison arithmétique

Les différentes réponses modales sont supposées passer toutes par leur valeur maximale, au mêm e instant, et avec le sig ne le plus défavorable pour le dimensionnem ent. On est ainsi amené à effectuer une addition pure et simple, dans le sens le plus défavorable, des diverses composantes modales. Sauf cas très particulier où un mode serait largement prédominant, une telle m éthode est en fait impraticable car elle conduirait à des surdimensionnements très importants et, po ur une bonne part, injustifiés .

..c Ol

·;::

>-

Q_

2.4.5.2

Combinaison quadratique (superposition quadratique)

0

u

Elle est utilisable quand les différents modes n'atteig nent pas leur m aximum au m êm e instant. Les réponses de deux modes de vibration i et j (y compris les modes de torsion et de translation) peuvent être prises comme indépendantes [ECS-1/ 4.3.3.3.2-(1)] l'une de l'autre si leurs péri odes Ti et T j satisfont à la conditio n suivante (Tj ::; T ) : (2.4-6)

125

126

1

Méthodes de calcul

Si l'on postule l'absence de corrélation entre les différentes réponses modales, on suppose alors que ces réponses sont statistiquement indépendantes. Dans ces conditions, le maximum probable C d'une réponse de la structure (sollicitations, déplacements, contraintes, accélérations) est la racine carrée de la somme des carrés des réponses xi, correspondant aux différents modes:

X= \

ff?J

(2.4-7)

1=1

Chaque fois que routes les réponses modales prises en compte peuvent être considérées comme indépendantes les unes des autres, la valeur maximale EE de l'effet d'une action sismique peut être prise égale [ECB-1/4.3.3.3.2-(2)] à:

(2.4-8) où:

• EE = effet de l'action sismique considéré (force, déplacement, etc.) ; • EEi

=

valeur de cet effet de l'action sismique due au mode de vibration i.

Cette combinaison constitue une bonne approximation de la réalité dans le cas où le spectre de réponse possède une large bande de fréquences et où les modes propres de la structure sont bien séparés. Dans le cas des modes dont les fréquences sont voisines (écart inférieur à 10 %), sa validité n'est pas établie parce que leurs réponses ne peuvent plus être considérées comme indépendantes et il faut adopter (EC8-1/4.3.3.3.2-(3)P] la combinaison quadratique complète.

2.4.5.3

Combinaison quadratique complète (CQC)

Les réponses modales sont combinées en considérant systématiquement une corrélation entre deux réponses en fonction de l'écart existant entre les deux fréquences propres associées à ces réponses :

X = \

"""" ~ a 1.,J. X.1X.J

(2.4-9)

1,J

Les coefficients ai,j étant des termes de couplage (figure 2.4-7) ou coefficients de corrélation des fréquences (ou des pulsations roi,roj) et des coefficients d'amortissement des modes i et j. Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ ......,

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>-

Q_

0

u

Figure 2.4-7 Terme de couplage a;i


1

a ij est égal à 1 pour i = j et décroît rapidement lorsque le rapport ro/roi augmente à partir de 1 ; en prenant le même coefficient d'amortissement réduit pour tous les modes, on peut tracer aij en fonction du seul rapport ro/ roi. La figure 2.4-7 montre les courbes obtenues pour z = 5 %, 10 % et 20 % ; on constate que la décroissance de aij est moins rapide lorsque

l'amortissement augmente. La combinaison quadratique habituelle n'est qu'un cas particulier de la CQC. Il convient de signaler que la combinaison, quel que soit son type, doit être appliquée directement sur la grandeur que l'on souhaite analyser: • le déplacement différentiel entre deux points ; il ne faut pas ['obtenir à partir des déplacements, calculés par la combinaison, de chacun des points. La m éthode correcte consiste à déterminer le déplacement différentiel pour chacun des modes et faire la combinaison sur ces déplacements différentiels modaux ; • les efforts doivent être calculés par la combinaison des efforts modaux et non à partir des forces d'inertie que l'on pourrait déterminer en considérant les accélérations calculées par combinaison des accélérations modales.

2.4.6 Analyse statique 3-D ~ brochette dynamique ~ analyse statique équivalente 3-D Le développement des logiciels d'une part et l'accroissement de la puissance de calcul des ordinateurs d'autre part permettent de constituer des modèles aux éléments finis à plusieurs milliers de nœuds (10 000, 20 000 et même jusqu'à 80 000 nœuds sont de p ratique courante). Si l'utilisation de ces modèles est assez aisée pour les calculs statiques, elle devient complexe pour les cal culs dynamiques et cela pour plusieurs raisons : • la discrétisation des masses à chaque nœud de la structure induit l'apparition de nombreux modes locaux. Il est donc nécessaire de calculer un nombre très important de modes avant d'obtenir la restitution de 90 % des masses modales ; Vl Q)

0

• le cumul des réponses modales couramment utilisées par superposition quadratique ou cumul quadratique complet fait perdre le signe des efforts d'où, en béton armé, la difficulté de déterminer le ferraillage ;

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

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>-

Q_

0

u

• la représentation par un sol homogène (sol équivalent) n'est acceptable qu'à condition d'utiliser une variation (minimum trois valeurs) de modules de sol, donc plusieurs calculs dyn amiques et autant des résultats à gérer ; • afin d'apprécier la sensibilité de la réponse d'une structure ou de l'équipem ent, il est parfois demandé de prendre en compte deux modules du béton ; • en cas de doute sur la classe du sol il y a lieu de considérer, par exemple, deux spectres différents. Devant l'importance des calculs et des résultats associés se développe l'idée de modéliser le bâtiment par un modèle simplifié à barres appelé modèle brochette. Si pour les modes significatifs, on peut considérer qu'un certain nombre de masses de l'ouvrage ont des mouvements relatifs négligeables, il est alors possible de remplacer mu tes

127

128

1

Méthodes de calcul

les masses par une masse unique. C'est le cas de l'ensemble des masses d'un plancher si les déformations du plancher restent faibles devant son mouvement d'ensemble. Dans cette situation, il sera possible de ne conserver pour l'étude dynamique que les seuls degrés de liberté affectés à la masse unique. La modélisation en brochette, par masses concentrées et raideurs équivalentes, consiste donc à représenter la structure complexe d'un bâtiment par un ensemble de poutres liées entre elles et qui reproduisent la déformabilité du bâtiment dont les nœuds correspondent aux planchers principaux du bâtiment. Ladoption de ce type de modélisation soulève plusieurs difficultés : • décomposition de la structure en sous-ensembles de poutres ; • calcul des raideurs affectées à chaque élément de poutre ; chacune de ces poutres ayant les mêmes raideurs en compression, flexion , cisaillement et torsion que les différents niveaux de la structure réelle (calage de la brochette) ; • définition des masses concentrées ; les masses sont supposées placées dans leur centre de gravité correspondant aux planchers principaux du bâtiment; • redistribution des efforts obtenus par le calcul dynamique du modèle simplifié sur les éléments (voiles, poutres, poteaux, etc.) de la structure réelle. Cette méthode est très pratique et relativement exacte à condition que le « calage la brochette soit effectué d'une manière rigoureuse.

»

de

Des modèles différents sont constitués pour l'étude des trois directions du séisme en fonction de la position réciproque des centres de gravité des masses et de torsion.

À un modèle de type brochette on peut appliquer : • soit une analyse dynamique, dans quel cas il faut définir les paramètres de rigidité : inerties équivalentes et sections réduites équivalentes ; • soit une analyse statique équivalente pour des structures qui respectent des critères de régularités.

Vl Q)

0

1....

>-

w

Il est préférable d'utiliser le modèle 3-D pour le calcul pseudo-statique et des modèles poutres « brochettes » pour le calcul dynamique. La possibilité de procéder par étapes peut être mise à profit : l'utilisation d'une méthode simplifiée n'étant pas à exclure même si une étude complexe est envisagée.

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

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>-

Dans le cas de structures à niveaux répétitifs et « équilibrés » (bâtiments d'h abitation ou assimilés) une modélisation en brochette ne présente pas de difficultés importantes, les degrés de liberté étant relativement aisés à sélectionner, ainsi que la détermination des rigidités ,, d etage.

Q_

0

u

Dans le cas de structures complexes, les degrés de liberté ne sont pas simples à définir. Dans un tel contexte, on peut utiliser la méthodologie suivante (figure 2.4-8) :


1

©

0

y

X

Figure 2.4-8 Méthodologie du calcul a) Analyse statique sur le modèle 3-D - b) Calage de la brochette et calcul dynamique c) Analyse statique équivalente sur le modèle 3-D

2.4.6.1

Modélisation 3-D, calcul statique, calcul des modes propres (figure 2.4-Ba)

On considère le modèle 3-D comme encastré au niveau du contact avec le sol et on effectue l'ensemble du calcul statique. Ce modèle peut être assez fin pour intégrer des singularités éventuelles telles qu' ouvertures, modifications localisées de la structure, etc. Le modèle permet d'évaluer les fréquences propres et les déplacements.

2.4.6.2

Définition et calage du modèle brochette (figure 2.4-Bb)

Le modèle dynamique est sommaire : broch ette, modèle plan à trois (ou parfois m ême un seul) degrés de liberté par nœ ud. Les paramètres de rigidité (inerties équivalentes et sections réduites équivalentes) sont extraits du modèle 3-D, compatibles avec la modélisation de type brochette. On procède au calage de la brochette en déplacement et en fréquences.

Vl

2.4.6.3 Analyse dynamique de la brochette (figure 2.4-Bb)

Q)

0

1...

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w

l.D M

0 N

@ .......

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>-

Q_

0

u

U ne fois la brochette« validée» on applique la m éthodologie de calcul du paragraphe 2.4.1 , avec les m asses et le spectre de projet (au lieu d'accélération unitaire). Pour chacun des modes de vibration, on calcule la déformation de la structure et les pseudo-accélérations qui, appliquées de manière statique aux masses, permettent de déduire les efforts tranchants d'où les forces statiques équivalentes à appliquer au modèle 3-D. • On peut compléter le modèle brochette en remplaçant !'encastrem ent à la base par des ressorts de sol représentatifs d'un module de Young donné; on obtient des modèles d'interaction sol-structure. On en constitue et on en étudie autant de modèles que de modules de sol retenus pour l'analyse.

2.4.6.4 Calcul statique équivalent de la structure réelle (figure 2.4-Bc) • O n revien t au modèle 3-D d 'origin e et on applique les forces statiques équivalentes déterminées à l'aide du modèle brochette et les cas de charges statiques (poids propre, charges d'exploitation, etc.).

129

130

1

Méthodes de calcul

• On poursuit d'une manière tout à fait classique le calcul de contreventement : les efforts sonc ensuite combinés et la justification de résistance des éléments de la structure peut alors être effectuée.

2.4.7 Incidence du décollement du bâtiment Lanalyse modale est basée sur la recherche des réponses maximales de chaque mode de la structure, par lecture sur un spectre de réponse, donc indépendamment du temps. Cette méchode suppose que les équacions du mouvemenc sonc linéaires. Si le niveau de l'action sismique est élevé, cette analyse peut conduire à la conclusion que le moment de renversement est supérieur au moment de stabilicé: l'action du séisme engendre un décollement partiel et intermittent. Lanalyse linéaire néglige plusieurs phénomènes importants dès que le bâriment se soulève : plastification éventuelle du sol, modification de la surface d'appui au sol. Cette évolution de l'interface sol-fondacion accentue le comportement non linéaire du bâciment. En effet la variation de la surface d'appui induit une variation de la rigidité globale du sol, ce qui modifie la réponse du bâtiment. Ce phénomène entraîne une augmentation des périodes propres, et une amplification du mouvement de rotation donc des déplacements. Pour évaluer cet effet, on peut utiliser un modèle de bâtiment rigide reposant sur des ressorts répartis de raideur k. Le soulèvem ent induit un couplage entre le pompage vertical (séisme vertical ascendant ou descendant) et la rocation, ce qui permet le cransfert d'une partie de l'énergie d' un mouvement vers l' aucre. Cet effet, favorable dans le cas de forts soulèvements, permet d'avancer l'hypothèse que le mouvement réel est plus stable que le mouvement calculé par la théorie élastique. Il en résulte qu'on ne commet pas une erreur de plus de 10 % si on ne tient pas compte des non-linéarités tant que les soulèvements restent inférieurs à 30 % .

0 Vl Q)

0

1...

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jijjfffflta

w

l.D M

0 N

@

Amortissement structure seule

......

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>-

Q_

0

u

,'

'---

~

~ -

Amortissement sol-structure

- - - - - - - Amortissement sol seul

Figure 1.4-9 Décollement de bâtiments a) Sol linéaire ~ interface non linéaire ~ structure linéaire b) Sol non linéaire ~ interface non linéai re ~ structure linéaire c) Sol non linéaire ~ interface non linéaire ~ structure non linéaire d) Enfouissement du bâtiment - e) Amortissem ents


1

Si l'implantation de l'ouvrage le permet, il faut augmenter les dimensions du radier pour que le décollement calculé soit inférieur à 30 % environ. Cette réduction est évaluée à partir de la sollicitation agissant sur la fondation, dans l'hypothèse d'une répartition linéaire des réactions du sol. Au-delà de 30 % de décollement, le phénomène doit être analysé par des modèles non linéaires conduisant à un calcul pas à pas dans le temps. a) Le sol conserve un comportement linéaire et élastique (pas de plastification du sol, figure 2.4-9a). Reste à vérifier qu'il n'y a pas de soulèvement. En effet, la prise en compte de la déformation du sol pendant le séisme (figure 2.4-9b) est un élément favorable pour la stabilité de l'ouvrage, mais cela nécessite une modélisation globale intégrant le sol et la structure. b) On admet que la fondation est infiniment rigide et reste dans le domaine linéaire, quel que soit l'état de la superstructure (figure 2.4-9a) ; en réalité, la fondation aura une certaine déformation. c) La conjugaison du comportement non linéaire du sol et de la déformation des fondations (figure 2.4-9c) a un effet favorable sur la stabilité de la structure. d) Les éléments d'interface sol-structure (ressorts) modélisée par des ressorts sont dans le domaine non linéaire (figure 1.4-9a) et suivent une loi de comportement déplacement vertical-angle de rotation. En effet, les ressorts ne transmettant pas les tractions verticales (liaisons unilatérales), ils permettent de prendre en compte le décollement. e) On ne tient pas compte de l'enfouissement (figure 2.4-9d) du bâtiment qui a un effet favorable sur la stabilité de l'ouvrage. f) Le calcul temporel sera effectué avec des accélérogrammes appliqués dans les deux directions principales du bâtiment. Une attention particulière sera portée à la durée del' accélérogramme, sachant que le maximum pour les deux directions est atteint à des instants différents. Il faut aussi définir le pas de temps ; deux approches sont possibles en fonction des programmes disponibles :

Vl Q)

0

• pas de temps constant ; • pas de temps variable : on choisit d'abord un pas principal, période fondamentale/30, modifiée par la suite (pas plus fin), pour assurer la convergence des éléments d'interface.

1....

>-

w

l.D M

0 N

g) On considère que l'amortissement (figure 2.4-9e) ne varie pas avec l'apparition du décollement. Autrement dit, on accepte un amortissement moyen le long de l'ouvrage entre la partie décollée et la partie en contact.

@ .......

..c Ol

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>-

Q_

0

u

Pour le dimensionnement du radier, il faut considérer les efforts enveloppe dans les deux hypothèses de la linéarité et de la non-linéarité. L'exemple de la figure 2.4-10 donne directement le taux de décollement d'un radier, d'abord dans le cas d'une analyse linéaire, et ensuite par une analyse non linéaire en utilisant un accélérogramme. Il existe évidemment un moment maximum possible pour lequel le bâtiment repose sur une arête de la fondation. La contrainte dans le sol est alors infinie. Il s'agit de vérifier l'équilibre du bâtiment sur l'arête. Cela souligne les limites du modèle ; ce type d'étude est plutôt mené au titre de précautions à prendre dans le dimensionnement du radier pour supporter une éventuelle situation de

131

132

1


décollement, qu'au titre de la connaissance de ce que serait effectivement le décollement du radier pour le niveau de séisme supposé ; les hypothèses faites sont trop simplificatrices pour prétendre atteindre un tel résultat.

@

y

y

430 kN/m 2

461 kN/m 2

z

z

\

\ \

\ \

\ \

\

X

X \

\ \

Décollement 45,4 %

Décollement 51,3%

\ \

\ \

,, '

\ \

\

y

y

380 kN/ m2

374 kN/m 2

z

z

'\ '\ \

\

'\ '\ \

X

X

\ Décoll ement 31 ,8 %

'\

Décollement 36,7 %

'\ \

y

y 332 kN/m 2

\ Vl Q)

355 kN/ m 2

'\

'lz

0

1....

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w

l.D

z

\ \

\

M

0 N

@ .......

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>-

X

\ \

\

Décollemènt 17,8 %

'

'

',

X

', ''

,, Décollement ', ' , ', 16, 16 %

0. 0

' '

,,

u

Figure 2.4-10 Exemples des décollements d'un bâtiment a) Modèle linéaire avec séisme vertical ascendant - b) Modèle non-linéaire avec séisme vertical ascendant c) Modèle non-linéaire avec séisme vertical descendant

En tout état de cause, même dans le domaine non linéaire, le décollem ent du radier doit rester inférieur à 40 %.

Calcul des périodes propres

1


2.5

Il est important de noter que : • la période propre est fonction uniquement (caractéristique intrinsèque) des propriétés mécaniques du système ; • la période propre augmente avec la masse ; • la période propre augmente quand la rigidité diminue. Dans les problèmes de dynamique, même pour l'application des formules les plus simples, il convient de veiller à la correction des unités employées. Les solides interviennent par leur masse et non par leur poids : les masses étant exprimées en kilogrammes (unité SI), les forces doivent être exprimées en Newtons. En posant: • k = la raideur du système ; • ro = la pulsation du système non amorti (radians/seconde) ; • T = la période (en secondes) ; le mouvement étant périodique, la durée d'un cycle est appelée période du mouvement ; • f = la fréquence (Hertz) ; on obtient le tableau 1.1-1 d'équivalences, p. 9. Ainsi, dans le cas d'une masse unique située au sommet d'une console de masse négligeable, la période propre est donnée par la relation (tableau 1.1 -1) : T = ln = 2n: ro

= 2n: j P v{M T gk

= 2n: {[ \ g

avec (figure 2.5- 1) :

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

Figure 2.5-1 Cas d'une masse unique située au sommet de la console

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·;::

>-

Q_

0

u

• T = période (s) ; • P = poids (kgf) correspondant à M ; • M = R. la masse en kg (out) ; g

• f = flèche (m) statique due à P horizontal ; • k = El la raideur à la flexion en N/m ou kN/m ; t'.S

• E = module en N/m 2 (ou kN/m 2 ).

(2.5-1)

133

134

1

Méthodes de calcul

La formule (2.5-1) peur s'appliquer aux bâtiments assimilables à un oscillateur simple, si le mode de balancement (rotation) autour d'un axe horizontal est découplé de celui de translation horizontale (flexion).

2.5.1

Méthode de Rayleigh

On imagine la structure retournée de 90° dans le champ de pesanteur (figure 2.5-2a). Soit x 1, x2 , •.• ,x 11 les flèches prises alors par les diverses masses mi, en supposant que les déformations restent entièrement élastiques. La période du mode fondamental est alors donnée par la formule : (2.5-2) D ans cette relation, la flèche xi au numérateur doit être prise en valeur absolue pour que le produit Pi xi soit positif (figure 2.5-2b). La force est appliquée dans le sens du déplacement propre suivant le premier mode.

0

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

Figure 2.5-2 Méthode de Rayleigh a) Cas d'une console - b) Cas d'une poutre avec console avec x2 < 0 et x1 > 0

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Exemple d'application de la formule de RAYLEIGH

Il s'agit d'une pièce métallique d'un équipement (E = 210 000 MPa) et I = 3217.10-8 m 4), modélisée comme une poutre sur appuis simples à ses extrém ités, la masse oscillante est constituée par (figure 1.5-3 a) :


1

0,335

-

- - - - f/2 - - - --X2 = 2,252 _ _ _ _ _ _ __.,

\.+-- - - - - -

2,515

-------~

-

- - - - - - - - X3=

-

- - - - - - - - - f= 2,824

---------~

p

a

Figure 2.5-3 Méthode de Rayleigh : cas d'une poutre sur appuis simples

• On applique une masse répartie de 157,83 d'où la masse totale: M

=

157,83 kg/m

2,824

x

444 kg

=

P = 4,44 kN

---7

• Trois masses concentrées : M1 M2 M3 Vl Q)

=

= =

580 kg 600 kg 215 kg

---7 ---7 ---7

P1 P2 P3

=

= =

5,8 kN 6 kN 2,15 kN

Soit fla flèche au milieu de la poutre soumise à l'action du poids des diverses masses (figure 1.5-3 b) :

0

f(a,P) =

1....

>-

w

Pa E (3t 2 - 4a 2) 48 1

(2.5-3)

l.D M

0 N

f = _l_ { 5Mt'.2 + M1x1 (3t2 - 4x2) + M1(t- x2) [3t2 - 4(t-x )2] + M3(t - x3) [3t2 - 4(t-x )2]} E1

@ .......

..c

f=

Ol

·;::

384

1

48 1

2, 1

108

X

32 17 lQ- 8

2

48

48

3

(130,201 + 95,029 + 167,706 + 32,687) = 0,062 1 m

>-

Q_

0

u

Si on assim ile la déformée de la poutre soumise à ce système de charges à une parabole de fl èche maximale f, la déformée au poinc d'abscisse x a pour valeur : 4

y(x) = f où: 0:

=

!;

4 =

X

X

(t'.-x)

ez

~:~~~~

= 0:

2 11

=

X

(t-x)

0,0003115

135

136

1

Méthodes de calcul

La formule de Rayleigh appliquée à cette poutre s'écrit:

± .•

M;y 2 (x;) + m ry2(x) dx

T = 2n \ g

1

.o

~

M;y(x) +mg

f

(2.5-4) y(x) dx

a 2 [M 1 y((f-x 1) 2 + M 2 y}(f-x2 ) 2 + M 3 yl(f -x3 ) 2 ]

=

1,484

3

g

L, Miy(x;)

=

g a [M 1 y 1 (f-x 1) + M 2 y 2 (f-x 2) + M 3 y3 (f -x3 ) ]

435,65

=

i= 1

m

.c

J0

gm

M 2 y 2 (x) dx = ~

Le

y(x) dx =

T = 2n et la fréquence

.e

=

[c x(f-x) 2 dx

.0

~Le x(f -x) dx

; 1,484 + 0,9133 \ 435,65 + 180,34 1

T

0,9133

=

= 0, 392 s

2,55 Hz.

2.5.2 Structures préfabriquées C'est le cas des structures préfabriquées avec la poutre posée en tête de poteau sur appuis en élastomère. Le modèle est celui d'une masse concentrée au sommet d'une console (poteau) de section constante. On peut remarquer dans la formule (1.5- 1) que la flèche statique sous l'action de la charge P agissant à l'horizontale à force égale est égale à :

fsranque .

= -

p

k

on a donc:

T =~ Vg ) fscacique Vl Q)

(2.5-5)

et avec g = 981 cm/s 2 , on obtient pour la période du mode fondamental à l'horizontale:

0

1....

>-

T 1 = 0,2

w

V

f scacique

(2.5-6)

(cm)

l.D M

0 N

@

Exemple : prenons le cas d'un portique encastré avec au sommet une poutre sur deux articulations (figure 2.5-4).

.......

..c

>-

0. 0

u

~

p =4t/ml

Ol

·;::

tttt tttttti

----

30/120

/

/

/

/

/

/

/

/

I

/

30/60

30/60

/

I

+---- - L= 12 m - -.-

Figure 2.5-4 Portique préfabriqué

-;.

I I

~

,,-,

' .,~ ' 1

'' '

P=M.g


1

La rigidité de ce système est donnée par:

k=

3E L

! poteaux

H3

et la flèche statique est obtenue à partir de :

fsranquc .

PH3 3E L

! poteaux

avec: •

lpoceaux

= 54,104 cm4 = 0,0054 m 4 ;

• P = 480 kN; • E = 34 500 MPa. On obtient:

f .

srauque

=

3

x

0,480 X 6 3 34 500 x 2 x 0,0054

= 0,093 m

d'où la période : T = 0,2 ) 9,3 = 0,61 s

2.5.3

Bâtiments industriels

Dans le cas de portiques de bâtiments industriels à un niveau avec une poutre rigide (figure 2.5-5a), le modèle comporte une masse concentrée au sommet d'un poteau de section constante. Les poteaux vont avoir le même déplacement en tête ; la rigidité totale dépendra du degré d'encastrement au niveau du sol: encastrement parfait (figure 2.5-5b), encastrement partiel (figure 2.5-5c), rotule.

vi

Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

®

©

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Figure 2.5-5 Portique d'un bâtiment industriel

137

138

1

Méthodes de calcul

La rigidité et la flèche du système sont données par : • Cas de l'encastrement parfait :

L }poteaux

12 E

(2.5-7)

H3 PH3

fsranque .

12 E

(2.5-8)

L Jpoteaux

• Cas de la rotule : 3E L

}poteaux

(2.5-9)

H3

PH3

fstauque .

3E L

(2.5-10)

I poreaux

Les périodes T (encastrement parfait) et T 0 (rotule) du mode fondamental sont obtenues à partir des relations (2.5-8) et respectivement (2.5-10). Soit F la rotation de la section encastrée élastiquement et <1>0 la rotation de la même section en cas d'articulation, on peut écrire : À=

(2.5-11)

À varie entre 0 et 1.

La variation de To en fonction de À est donnée par la figure 2.5-6. On constate que:

T

• pour À= 0, To = 1 --7 T 0 = T; cas de l'encastrem ent parfait;

T

• pour À = 1, T 0 = 2 ~ T 0 = 2T ; cas de l'articulation : la période est deux fois plus grande T que dans le cas de l'encastrement parfait. ' îo T 2

,,,/

1,9

vi

Q)

/

1,8

/ V

0

1....

>-

1,7

l.D

1,6

w

1/

M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

1,5

/

1,4 1,3 1,2 1,1

V

;''

/

/

,v

V 0, 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

À. ~

1

Figure 2.5-6 Variation de la période en fonction du degré d'encastrement


1

2.5.4 Masse répartie sur une console de section constante

1-

f statique

1

H

m.g H

Figure 2.5-7 Méthode de Rayleigh : masse répartie

En appliquanr la méthode de Rayleigh, la masse éranr condensée en quarre nœuds équidisranrs, on obrienr pour la période du mode fondamental l'expression suivante avec le module E (en kN/m 2 ou MPa) er la masse m (en kg out) : T

=

1,83 \ /

~~

3

(2.5-12)

La solution exacte est toutefois égale à :

T

=

1 79 / m H 3 '

\

EI

(2.5- 13)

expression qui peur se merrre sous la forme :

T = 1,6 \/ fscanque . (m)

Vl Q)

0

2.5.5

Masse concentrée au sommet d'une console de section constante et de masse non négligeable

1....

>-

w

l.D

M

M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

(2.5- 14)

El

m

H

Figure 2.5-8 Méthode Rayleigh/masse concentrée au sommet

139

140

1


La période du premier mode est donnée par l'expression :

T = 27t

\

~ /~

(2.5-15)

3E I

avec (figure 2.5-8) : M ' = M + 33 m · 140

•

'

M = masse concentrée (t) ; m = masse de la console par unité de longueur (t/m) ; H = longueur de la console (m) ; E = module d'élasticité du matériau (kN/ m 2) ; I = inertie (m 4).

2.5.6

Masse unique située sur une poutre de section constante et de masse négligeable

La période du premier mode est donnée par l'expression:

T = 27t

)~

(2.5-16)

avec : • M = m asse concentrée (t) ; • k = constante de rappel de la poutre d'après le tableau 2.5-2 (kN/ m).

Tableau 2.5-2 Constantes de rappel k de la poutre

Conditions aux appuis

a= b=f./2


a laz

.

a ,.:

b

~

~·~b~

a ~~

El

Vl

----

Q)

c------1

0

1....

>-

w

- 3-EI

l.D M

cz(e+c)

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

12(a + b)3 a3b 2(3a + 4b)

ET

12 El c2(3t'.+4 c)

a= b = f./2


1

2.5.7 Poutres de section constante et de masse uniformément

répartie La période des cinq premiers modes est donnée par l'expression :

T

= À~ 2

avec : • m = masse par unité de longueur (t/m) ; • ~ = longueur de la poutre (m) ; • E = module d'élasticité du matériau (kN/m 2 )

(2.5- 17)

/ m

\ El

;

(m 4) ;

• I = inertie • À= coefficient déduit du tableau 2.5-3. Tableau 2.5-3 Coefficients À et déformées propres


Mode 1

Console

~ 11 !{1 1! ! ! l

~

Poutre sur appuis simples p

~ À= 0,6 36

À= 0,280

0,060

À= 0,280

À= 0, 102

0,500

0,333 0,667

FI À= 0,159 0 ,500

~ !l !!~l! II ~ ~~~ ~ 111t11 1 11i

~~ 1

Poutre encasrée

Po utre encastéearticulée

Mode 3 o,~oo

À= 1,784

ff l ! l l l ! l l i

Model

1

1

Mode4 0,356 0,906 110,1644 1

~ À= 0,0519

0,25 0,75 [ O,?O 1

Mode 5 0,500

0,926

I! ~- o,~19 1 o,~23

À= 0,0353 0,40 0,80 0,70 [ O,?O [

r~~~~o~:~ ·1 ~ t~ À= 0,0397

0,359 0,64 1

0,278

0,722

À= 0,0254 0,409

0,773

~~~~ À= 0, 102 0,560

À= 0,0519

0,384 0,692

À= 0,03 14

0,294 0,765 1 0,529 1

À= 0,02 11

0,429 0,910

o,~38 [ o,~ 1 9 [

~t ~~ ~ ~ ~~ À= 0,408

À= 0,126

À= 0,0604

À= 0,0353

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

2.5.8 Plaques rectangulaires d'épaisseur constante et de masse

uniformément répartie

0 N

@ .......

..c

La période du premier mode est donnée par l'expression :

Ol

·;::

>-

(2.5-18)

0. 0

u

avec: • • • • •

m = poids de la masse par unité de surface (t/m 2 ) e = épaisseur de la plaque (m) ; E = module d'élasticité du matériau (t/m 2) ; n = coefficient de Poisson ; À = coeffi cient déduit du tableau 2.5-4.

;

141

142

1

Méthodes de calcul

Une valeur approchée du coefficient 1 esr donnée par la formule (2.5-19) :

(2. 5-19)

À=

Tableau 2.5-4 Coefficients f..

Rapport des cotes b/a Mode d'appui

î

1 1 1 1 1

a

1

-- -

î

''' '

b

2,0

2,5

3,0

1,090

1,509

1,744

1,879

1,962

2, 18

0,910

1,139

1,242

1,294

1,323

1,395

0,743

0,859

0,903

0,925

0,936

0,962

0,598

0,797

0,876

0,905

0,928

0,962

cO

1

~--------------

1 1 1 1

a

1,5

- - -- --,

1 ' 1 l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J'

1

1,0

...

'' '' '' '

1: /

1 -

b

1

/

î '''' li

1

' ' ' '

a

r

' ' '

b

1

-~

t a ,

l

/ /

/

/ /

1

,'h 1

b

1

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

2.6

Validation du comportement dynamique

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Étant donné la manière complexe dont le séisme sollicite un ouvrage, la confiance dans les calculs dynamiques et leurs équivalents statiques doit être limitée. Si la conception de l'ouvrage et quelques règles de base ont une influence fondamentale sur sa résistance, les vérifications de « bon sens » sont essentielles pour valider les calculs, quelle que soit leur complexité. Lhyporhèse de base sur laquelle reposent ces vérifications est donc fondée sur le retour d' expérience fair par assimilation et intégration de nouveaux cas rencontrés. Ainsi, on pourra s' adapœr à des siruacions nouvelles et réduire le risque d'erreurs. Pour le calcul dynamique, domaine rempli d'incertitudes, il faut faire systématiquement deux calculs:

Validation du comportement dynamique

1

• approche pragmatique de l'ordre de grandeur par l'utilisation d'une démarche simplifiée; • approche formalisée, à l'aide d'un logiciel (en permanente évolution grâce aux méthodes de calculs émergentes et à la puissance des ordinateurs). Pour estimer si une imprécision dans les données n'entraîne pas une variation excessive au niveau des résultats, il faut envisager la possibilité de faire plusieurs calculs avec différentes valeurs du même paramètre. Avant tout calcul dynamique, il est important de tenir compte des remarques suivantes : • connaître le comportement de la structure sous l'action du chargement statique pour pouvoir vérifier la validité du modèle. En effet, même dans le cas d'une modélisation 3-D, la connaissance d'un bâtiment passe par la descente de charges, qu'elle soit faite manuellement ou à l'aide de !'ordinateur ; • en appliquant l'accélération de la gravité suivant les directions x, y et z, vérifier qu'il n'y a aucun degré de liberté bloqué constituant un appui parasite qui fausse les résultats. L'analyse des résultats fournis par ce calcul (uniquement déplacements et réactions des nœuds d'appuis) constitue un moyen sûr de vérification des liaisons mécaniques et géométriques des nœuds faisant partie du modèle, son fonctionnement d'ensemble ; elle permet par ailleurs de vérifier que la totalité des masses ont été modélisées ; • la structure étant modélisée en 3-D avec le module dynamique du béton (pour faciliter le recoupement avec le calcul dynamique), intégrer le fait que la répartition des composantes horizontales de l'action sism ique sera correcte, mais que le déplacement du modèle sous chargement statique ne représentera qu'environ le tiers des déplacements prévisibles à long terme. Un modèle est de qualité s'il satisfait les critères suivants : • être clair, facilement compréhensible ; • ne contenir que peu d'éléments arbitraires ou paramétrables; • s'accorder avec les prescriptions réglementaires et les observations suite aux retours d' expériences après séisme ; • permettre de prédire de façon explicite le comportement de l'ouvrage. Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

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Q_

0

u

La modélisation de la structure et des m asses étant validée, on peut procéder au calcul dynamique.

143

Vl Q)

0

1....

>w l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

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>-

Q_

0

u

CHAPITRE 3

Approche non-linéaire ·

pushover Charles Shahrokh Ghavamian - Véronique Le Corvec

3.1

Historique

Le comportement d' une structure sous séisme est complexe à prédire et ce d'autant plus que le comportement ne peut plus être considéré comme linéaire. Les non-linéarités peuvent avoir pour o rigines le sol (déformations irréversibles), le matériau des éléments de structures (fissuration du béton, plastification de l'acier des armatures et de la charpente), les liaisons entre la structure et le sol (décollem ent, glissement, enfoncement de semelle, radier, pieux) ainsi que d'autres mécanismes susceptibles d'exister (appareils parasismiques, éléments secondaires, entrechoquement. .. ). À cela s'ajoutent le facteur temps (dynamique) et le caractère aléatoire du chargement sismique, et tout ce que cela implique concernant la prise en compte des effets inertiels, amortissement, et autres.

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

......

..c Ol

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>-

Q_

0

u

Disposer des moyens permettant de tenir compte de ces phénomènes a longtemps été limité par les moyens de calcul à base de méthodes de simulations numériques. Avec l'évolution de la puissance de calcul des ordinateurs, des progrès importants ont vu le jour en matière de modélisation du comportement des matériaux, algorithmes de résolution numérique, sans oublier les logiciels qui les rendent accessibles aux ingénieurs. Néanmoins, malgré ces progrès, l'exercice reste délicat. En effet, les modèles numériques capables de décrire fidèlement le comportement cyclique des matériaux continuent à souffrir de manque de robustesse, de fiabilité et de moyens de maîtrise des paramètres. Le problème est d'autant plus important qu'on est face à des géomatériaux (sol, béton armé, maçonnerie) dont le comportement est complexe à décrire, aussi bien expérimentalem ent que par des modèles analytiques. Assez généralement, les modèles mathématiques les plus riches (2-D et 3-D) conduisent à des difficultés de résolution numérique. L'ingénieur peut alors se retrouver confronté à des temps de calcul significatifs, quand ce n'est pas un arrêt net sur une absence de solution (par exemple, absence de convergence). Considérant ces limites de modélisation (modèles de comportement cyclique, robustesse des algorithmes de résolution numérique ... ) et le coût associé, les analyses temporelles non linéaires sont rarement mises en œ uvre dans le domaine industriel, hormis pour des cas très spécifiques.

146 1 Approche non-linéaire: pushover

Les ingénieurs ont ainsi recours à des modèles plus simplifiés basés sur des approches statiques (forces latérales) ou à une méthode modale-spectrale. L'avantage de ces méthodes est qu'elles sont relativement plus simples à m ettre en œuvre, et leurs coûts de préparation/calcul/posttraitement plus acceptables. En effet, les modèles de comportement non cycliques offrent plus de robustesse et de fiabilité, et les temps de réalisation des simulations sont bien inférieurs à ceux des analyses dynamiques transitoires. En contrepartie, ces méthodes ont des limitations qu'il convient d'examiner avant de les mettre en œuvre. Pour les codes parasismiques habituels, les effets non linéaires sont pris en compte par l'utilisation d'un coefficient de comportement unique qui réduit forfaitairement les efforts sismiques. La détermination du coefficient de comportement (q) est fondée sur l'allure de la courbe de comportement du bâtiment sous l'effet des forces horizontales. On distingue ainsi différentes classes de bâtiments selon la ductilité qu'ils présentent. La ductilité, qui s'exprime comme le ratio du déplacement maximal atteint sur le déplacement en limite d'élasticité, permet de diminuer les efforts sismiques perçus par le bâtiment. Néanmoins, l'évaluation du coefficient de comportement est bien souvent assez arbitraire ; de plus, la conversion entre la ductilité estimée et le coefficient de comportement est souvent faite sur la base d'une hypothèse de comportement élastique parfaitement plastique du bâtiment. Enfin, les vérifications de l'admissibilité des contraintes sous chargement diminuée par le coefficient de comportement ne prennent pas souvent en considération le fait qu'il est impo rtant que la ductilité soit effectivement développée. Vérifier que les contraintes ne dépassent jamais les contraintes de limites d'élasticité pour un calcul avec coefficient de comportem ent supérieur à 1 est infondé.

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

La méthode en poussée progressive (pushover) tente d'apporter une évaluation raisonnable de la ductilité effectivement développée dans la structure et de quantifier rationnellem ent la diminution des efforts sismiques perçus par la structure. La m éthode permet également de vérifier l'homogénéité en résistance de la structure et de réaliser des optimisations. Cette méthode peut aussi guider l'ingénieur dans la mise au point des renforts pour des projets de diagnostic et confortement parasismiques. D ans ce qui suit, la m éthode pushover est décrite en détail, avant d'établir ses limitations, ainsi q ue les résultats qu'elle permet d'obtenir à travers quelques illustrations de projets. La méthode offre un réel avantage technique et économique à l'industrie de la construction, notamment pour le diagnostic et le renfort des bâtis existants. Au grand bonheur des ingénieurs à la quête d'études à fortes valeurs ajoutées. Cette méthode fait partie des m éthodes d' analyses non-linéaires qui sont encore peu enseignées dans les formations d'ingénieurs et qui m ettent du temps à se généraliser. Au-delà des outils et des méthodes de calculs, c'est la compétence et l'expérience de l'ingénieur qui assure le succès d'une étude par ses choix de modélisation, de méthodologie, maîtrise des outils et par l'interprétation des résultats.

>-

Q_

0

u

3.2

Rappel de la méthode de pushover

La littérature est riche en documents traitant le sujet [FEMA 440, 2005 ; C hopra & Goel, 2002 ; Krawinkler & Seneviratna, 1998]. Ici, on ne présente pas en détail les d iverses variances de cette méthode. On rappelle dans cette section la philosophie générale de la méthode, avant de présenter au paragraphe suivant les détails de la démarche globale.

Rappel de fa méthode de pushover 1 147

L'ingrédient fondam ental de la méthode se base sur l'assimilation de la réponse vibratoire de la structure à celle d'un simple système à un degré de liberté équivalent. Cette réponse est présentée grâce à une courbe force-déplacement où le déplacement correspond alors à celui d'un point particulier de la structure (par exemple, le sommet du bâti où les mouvements sont les plus importants), et la force représente l'effort tranchant en pied. Cette courbe est obtenue par un calcul statique non linéaire du modèle global de la structure, soumise à l'action horizontale du séisme. L'action sismique se présente sous forme de champs d'accélérations ou de forces appliquées sur la hauteur du bâtiment selon un profil donné (généralement identique à la déformée du mode fondamental). L'intensité de l'action sismique est alors augmentée de manière incrémentale pour construire la courbe de réponse non linéaire.

À la différence d'un calcul linéaire élastique, où la réponse sismique d'un systèm e se lit sur un spectre en accélération à partir de sa fréquence de vibration, pour un système non linéaire, la réponse doit tenir compte de la variation de la fréquence apparente et de la dissipation d'énergie de la structure via le calcul d'un amortissement équivalent affectant le spectre sismique. Partant du spectre de chargement et de la courbe de capacité, le niveau de sollicitation atteint au cours d'un événement sismique s'obtient par la recherche de l'intersection entre ces deux courbes. Pour cela, on superpose la courbe de spectre de réponse et la courbe de comportement dans un même diagramme accélération/déplacement (A/ D , figure 3.2-1). La comparaison entre capacité et demande s'effectue par la recherche itérative d'un point de fonctionnement. Plus le point de fo nctionn ement conduit à solliciter la structure au-delà de sa limite de comportement linéaire, plus la structure dissipe de l'énergie. L'énergie dissipée peut être traduite par un amortissem ent équivalent employé pour la réactualisation du spectre de chargement sismique.

Courbe de comportement

Accélération

Vl Q)

0

1....

>-

Spectre de dimensionnement

w

l.D M

0 N

@ .......

Déplacement

A

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>-

Q_

0

u

Figure 3.2-1 Schéma de la méthode de pushover

Lors du processus itératif, la première intersection entre les deux courbes permet d'évaluer une nouvelle estimation de l'amortissement. La prise en compte de cette ductilité permet d'établir un nouveau spectre de réponse. L'évolution de cet amortissement ralentit quand on converge vers le point de fo nctionnement du système statique équivalent.


En résumé, on peut imaginer de manière simple que le problème pushover revient à résoudre le cas d'un problème élastique linéaire dont la fréquence et l'amortissement dépendent de l'amplitude des déplacements. Avant de présenter plus en détail cette méthode, on peut déjà lister les principales limitations qu'elle présente, afin de ne pas tirer de conclusions dépassant le cadre des hypothèses du calcul: • l'action sismique est représentée uniquement par son spectre. Les autres paramètres caractérisant l'évolution aléatoire des mouvements, tels que la durée, le nombre et la disposition des pics ne rentrent pas en considération. Ainsi, la méthode ne permet-elle pas de calculer des résultats de type spectre de réponse de plancher ; • la déformée de la structure est assimilée à celle d'un système simplifié à un degré de liberté. Selon la configuration de la structure, cette simplification peut conduire à des approximations plus ou moins importantes qu'il faut maîtriser ; • la méthode se base sur un modèle de comportement non linéaire de la structure. Tous les paramètres impliqués dans l'estimation de la réponse du modèle doivent être maîtrisés, et la sensibilité des résultats à ces paramètres étudiée. Certaines de ces limitations sont également présentes dans les approches plus classiques (méthode modale-spectrale, forces latérales). Quand elle est employée dans de bonnes conditions, cette méthode permet d'accéder aux informations nécessaires pour pouvoir conduire une analyse en capacité pertinente : • évaluation rationnelle de la ductilité du bâtiment ; • identification des élém ents qui apportent de la ductilité ; • analyse précise des modes de dégradation des éléments et de leur localisation ; • observation des flux des contraintes dans la structure et de leurs évolutions avec l' appari tian des non-linéarités ; • possibilité d'évaluer la capacité résiduelle d' une structure pour un séisme donné, par rapport à un état limite défini.

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

La littérature propose un grand nombre de variantes de la m éthode pushover. Elles se distinguent par la manière d'approcher l'allure du chargement sismique par une action statique équivalente, la forme des modes, la m anière de représenter la courbe de comportem ent et la grandeur de pilotage (par exemple, le déplacement au sommet de la structure). Le lecteur est invité à consulter des ouvrages dédiés sur la présentation de ces m éthodes [FEMA 440, 2005 ; EC 8- l /NF EN 1998-1 ; EC 8- l /NF EN 1998-3 ; Chopra & Goel, 2002].

M

0 N

Dans la suite, on présente en détail l'applicatio n d'une méthode spécifique.

@ .......

..c Ol

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>-

Q_

0

u

3.3

Méthode de calcul

Le cœur de la difficulté se situe sur l'estimation du comportement non linéaire de la structure. C'est de la fiabilité de ce résultat que dépend la qualité de l'étude de tenue au séisme et d'évaluatio n des marges . En résumé, il s'agit de soumettre la structure à une série d'actions (description en plan et en élévation , selo n les différentes directio ns et sens) et d'en déduire l'effort nécessaire pour l'amener jusqu'à des niveaux de sollicitatio ns de plus en plus importants, jusqu'à atteindre la« ruine » définie par un certain nombre de critères et de limites.

Méthode de calcul

1

Pour répondre à ce besoin, on élabore généralement un modèle aux éléments finis, avec une prise en compte des sources de non-linéarités de façon plus ou moins raffinée. L'analyse statique non linéaire sous un chargement sismique équivalent conduit à une courbe de comportement (pushover) qui est convertie en un diagramme de capacité. La comparaison de ce diagramme de capacité avec le spectre du chargement sismique permet d'estimer la dissipation d'énergie de la structure et, grâce à un processus itératif, de retrouver in fine un point de fonctionnement, si un équilibre existe. En effet, il faut souligner que la méthode n'aboutit pas nécessairement à une solution, soit parce que la capacité de la structure ne permet pas de résister à l'action sismique, soit parce que la méthode ne permet pas d'atteindre la solution recherchée.

3.3.1

Modélisation de la structure et prise en compte des comportements non linéaires

L'analyse aux éléments finis repose sur la modélisation de la structure en prenant en compte son comportement non linéaire. Le comportement de matériau est le principal élément de non-linéarité et peut être modélisé grâce à des lois plus ou moins riches. On y associe également d'autres mécanismes non linéaires susceptibles de s'activer sous chargement important, comme le décollement des fondations ou le poinçonnement du sol. II est donc indispensable d'étudier le système constructif pour en déduire les principes de dimensionnement, chemins de transfert des efforts, et identifier les éléments participant à la résistance de la structure et leur capacité à transférer les efforts vers les interfaces. Pour le cas d'une structure en béton armé, cela implique les étapes suivantes : • modélisation de la section de coffrage des éléments de structure, et non de la section réduite; • détermination de la section de ferraillage des éléments, en prenant en compte des ancrages et longueurs de recouvrement; • évaluation de la pertinence de la prise en compte des modes de rupture locaux possibles tels que la rupture des jonctions (nœuds) poutres-poteau, la perte d'appui de dalles, le déraillement du pont roulant. Ces comportements locaux peuvent par exemple être modélisés par des éléments spécifiques ; Vl Q)

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u

• représentation de la fondation et de l'interaction sol-structure : semelles, puits, pieux. Par exemple, dans le dernier cas, la résistance doit tenir compte des phénomènes pouvant s'activer pour les intensités importantes du séisme considéré (par exemple, perte de frottement). Le premier choix qui se pose dans la réalisation du modèle numérique est le choix d' un modèle plan (2-D) ou d'un modèle spatial (3-D). Le comportement dynamique prévisible de la structure guide ce choix. II s'agit de savoir en particulier si des couplages existent entre les deux principales directions du bâtiment et si les modes de torsion dus à des excentrements peuvent être excités par le chargement sism ique, cela aussi bien pour un comportement élastique que non linéaire du modèle. L'Eurocode 8 [EC8-1/4.2.3.2 ou EC8-1/4.3.3. l] prescrit les critères de régularités pour lesquels un modèle plan peut être utilisé.

3.3.1.1

Modèle éléments finis

Le choix des éléments utilisés dépend du type de structure étudiée et des résultats désirés. Les structures de génie civil sont généralement modélisées par des « élém ents structuraux » de

149

150 1 Approche non-linéaire : pushover

type : membranes, plaque, coque, poutre et barre. Dans certains cas, des éléments volumiques, pour le sol par exemple, peuvent être utilisés. En outre, lors de la modélisation, il incombe à l'ingénieur de définir les éléments structuraux ou non structuraux qui ne seront pas modélisés, car ne participant pas à la résistance de la structure. Ils peuvent être ignorés du modèle ou simplement représentés par des masses ponctuelles. Au final, le modèle numérique doit représenter correctement la répartition de rigidité, de masse et de résistance de la structure [EC8-1 / 4.3.1). Les planchers, les voiles et les semelles sont des éléments porteurs en béton armé. Ils peuvent être modélisés en leur feuillet moyen par des éléments de plaques multicouche. Chaque couche représentant le comportement des différents matériaux (béton et acier d'armature). Alternativement, les nappes d'acier peuvent être modélisées par un maillage élément fini indépendant, qui est en parallèle au modèle multicouche du béton (figure 3.3-1).

Béton armé

Maillage éléments finis

/~7

Figure 3.3-1 Modélisation multicouche des éléments de béton armé

a'.)

Les poteaux, poutres et longrines peuvent être modélisés par des éléments linéiques, basés sur la formulation d'Euler ou Timoshenko. À l'image du cas des dalles, les éléments multifibre permettent une modélisation de la section (modélisation des armatures) et une prise en compte des lois de comportement non linéaire des matériaux, toue en tenant compte d'éventuels excen trements.

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Axe de la poutre

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Feuillet moyen du plancher

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u Partie modélisée du béton de la poutre

•

• Figure 3.3-2 Modèle de poutre

•

Armatures modélisées

Méthode de calcul

1

La liaison entre les différents éléments finis doit représenter la transmission des efforts: liaison parfaire, liaison rigide ou rotule (entre éléments poutres). Le choix de la discrétisation du modèle doit également être adapté au type de structure, à la précision et à la qualité des résultats attendus. Plus précisément, il faut s'assurer que les résultats globaux ne dépendent pas de la discrétisation du maillage. À l'inverse, les mesures de déformations ne sont pas comparables entre un maillage fin et grossier. Un maillage homogène est recommandé. D e plus, une trop grande finesse de maillage peut conduire à des phénomènes de localisation et des concentrations de contraintes. Pour plus de détails, le lecteur peut se référer à des ouvrages de référence sur la modélisation éléments finis [Batoz & Dhatt, 1990].

3.3.1.2

Lois de comportement

Le choix des lois de comportement des m atériaux joue un rôle primordial dans la prédiction de la courbe de comportement de la structure. Les principales caractéristiques recherchées pour une loi de comportement sont listées ci-dessous : • fiable : la réponse du modèle aux trajets de chargem ent doit refléter le plus fidèlem ent possible les observations expérimentales. Le choix d' une loi de comportement doit en particulier tenir compte des types d'éléments structuraux concernés et de la façon do nt ils seront sollici tés. Les limitations inhérentes à chacune des lois ne doivent pas venir à l'encontre des besoins spécifiques de l'étude. Par exemple, une loi médiocre pour représenter le cisaillement en 3-D peut être suffisante pour un tirant en béton armé; •

robuste : la résolution numérique du modèle doit permettre que le résultat soit atteint dans de bonnes conditions, c'est-à-dire dans un temps raiso nnable et sans problèm e de convergence;

• paramétré : les paramètres doivent pouvoir être identifiés selon un protocole déterminé facilitant l'usage du m odèle et représenter un phénomène physique mesuré expérimentalem ent. Sensibilité du modèle par rapport aux paramètres qui définissent les matériaux ; •

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richesse du modèle : le modèle doit être capable de fournir des grandeurs d' intérêt. C ela concerne notamment les modèles intégrant plusieurs phénomènes ou multimatériau. Par exemple, un macro-modèle (ou modèle homogénéisé) de béton armé peut fournir une déformation unique, ou des valeurs distinguant le béton de l'arm ature. Compte tenu du fait que certaines données concernent les matériaux considérés individuellem ent, un modèle qui ne donn e pas accès à cette information présente une limitation. À titre d'exemple, la rupture d'un tirant en béton armé se caractérise par l'allo ngement local de l'acier. Un modèle béton armé qui fournit une déformation unique ne permet pas de connaître la déformation de l'acier à comparer à un critère de ruine spécifique aux armatures. U n m odèle plus riche basé sur la représentation individuelle des deux m atériaux et de l'interface associée permet de mieux apprécier la grandeur d'intérêt (déformation acier) en tenant en compte de !'effet raidisseur ;

• un autre élément important, lié à la richesse du modèle, est sa capacité à représenter sa dégradation non seulement avant le pic de résistance, mais même au-delà du pic par un adoucissement. Ce mécanisme est indispensable si l'on cherche à exploiter au maximum la capacité d'une structure. La sur-résistance des éléments doit également être prise en compte afin de s'assurer de l'ordre d'apparition des rotules plastiques et d'éviter des désordres indésirables (par exemple, la rupture d'un poteau avant celle des poutres).

151

152

1

Approche non-linéaire : pushover

3.3.1.3

Interaction sol-structure

Enfin, la réponse sismique d'une structure dépend de la nature du terrain. Linteracrion solstructure peut se caractériser par une modification des fréquences propres de la structure ou de son amortissement, ainsi que de la répartition des sollicitations dans la structure. Il convient donc d'ajouter un modèle de l'interaction sol-structure (ISS) (ECB-1/4.3.1]. En l'absence de modélisation de l'ISS, la structure est simplement encastrée à sa base. La prise en compte de l'ISS peut se faire via la modélisation d'une base de radier rigide avec un ressort avec six raideurs concentrées correspondant aux mouvements de corps rigides de la fondation. Le sol peut aussi être modélisé par un tapis de ressorts distribué sous le radier de la structure. Plusieurs méthodes existent pour l'évaluation des raideurs ou impédances équivalentes dans le cas des ressorts concentrés ou répartis (méthode de Newmark-Rosenblueth, méthode Deleuze . . .). Enfin, une représentation volumique en éléments finis du sol est parfois nécessaire, pour les bâtiments partiellement ou totalement enfouis par exemple.

3.3.2

Établissement de la courbe de comportement (pushover)

La courbe pushover (ou courbe de comportement) est obtenue avec le chargement incrémental latéral de la structure jusqu'à la rupture ou l'atteinte d'un déplacement cible dont il sera fait mention au paragraphe 3.3.5. Rappelons que la courbe de comportement porte en abscisse le déplacement du point pilote et en ordonnée l'effort latéral total. Force 1dn ~

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A.F" A.F; 1'.F2 A.Fi

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mn

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-

~

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Déplacement

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Figure 3.3-3 Définition du chargem ent et cou rbe de comportement de la méthode pushover

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Plus que le choix du point pilote, le choix de la distribution des forces est l'aspect le plus critique de la méthode. P lusieurs distributions sont proposées dans les réglementations (ECB-1 /4.3.3.4.2.2, ATC40] : uniforme, linéaire, quadratique, selon les déplacements du mode fondamental . Avec cette dernière distribution, les efforts latéraux sont appliqués en tout point de la structure par des vecteurs-force d'intensité proportionnelle au vecteur-déplacement du mode fondamental et à la masse qui lui est attribuée. La force horizontale appliquée au niveau i est : (Eq. B. 1

[ECB-1 /B l] )

Où mi est la m asse du niveau i et i les déplacements du mode fondamental normalisés au nœud de contrôle n : <1>11 = 1.

Méthode de calcul

1

Selon Chopra et Goel [Chopra & Goel, 1999], pour des bâtiments où la masse modale effective représente 75 % de la masse totale du bâtiment, cette distribution est la plus pertinente. D'un point de vue éléments finis, le vecteur-force global exercé sur la structure est obtenu en faisant le produit de la matrice de masse par le vecteur-déplacement du mode fondamental. Lavantage principal de cette distribution est qu'elle ne présuppose pas une direction principale du mode. Les trois composantes du déplacement modal sont utilisées, ce qui permet de disposer d'un profil de chargement qui prend en compte la torsion naturelle et les effets de balancement que peut présenter le mode fondamental.

3.3.3

Conversions dans le diagramme accélération/déplacement

A/D Une fois la courbe pushover obtenue, on cherche à la transformer en une courbe de capacité équivalente reliant l'accélération d'une structure à un degré de liberté à son déplacement. La masse du système équivalent à un seul degré de liberté est donnée par : (Eq. B.2

[EC8-1/B2])

(Eq. B.3

[EC8- 1/B3])

et le coefficient de transformation est : * r= - -m -

Lm/I>;

Le déplacement et la force de la structure à un degré de liberté équivalente peuvent alors être pris selon :

d*= ~ r

F*

=

!!?.. r

(Eq. B.5 et B.4

[ECB-1/BS; EC8-1/B4])

où d 0 est le déplacement du nœud pilote Net Fb l'effort tranchant à la base de la structure. Courbe de poussée progressive (pushover)

a* = F* / m*

Courbe de capacité

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d* = dn /

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Spectre de dimensionnement

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r

Spectre de capacit é

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d =....!:!... A 4,,2 A

A

D Figure 3.3-4 Schéma de la conversion dans de la courbe de comportement et du spectre de dimensionnement (d'après [Chopra & Goel, 1999])

153


On peut relier l'effort cranchanc à la base à l' accéléracion d'un syscème à un degré de libercé équivalent grâce à la masse équivalente: F* a*= m*

Il fauc désormais convertir le speccre de réponse, habicuellement fourni sous la forme Sa(T) dans le même diagramme (A/D) que la courbe pushover. Pour l'oscillaceur simple utilisé dans la construction du spectre de réponse, la pseudo-accélération est reliée au déplacement relatif de la masse par : Sa = w2 Sd, ce qui fournit la transformation à appliquer au spectre Sa(T) pour l'exprimer dans un diagramme accélération/déplacement, avec w la pulsation correspondant à la période T.

3.3.4

Prise en compte de la dissipation d'énergie de la structure

Le coefficient de comportement q évoqué au paragraphe 3. 1 vise à prendre en compte la capacité du système réel à dissiper!' énergie et à limiter les efforts. Cette capacité est principalement liée au développement de non-linéarités dans la scruccure ; les incursions dans le domaine pose-élastique tendent à diminuer les efforts perçus dans la structure. Pour un système anélastique à un degré de liberté, le diagramme de capacité peut être approché par une courbe affine par morceaux (usuellement appelée courbe bilinéaire approchée). Pour une intensité de chargement donnée (traduite par une accélération am* du système à un degré de liberté équivalent) , la ductilité effectivement appelée est évaluée. En annexe B, l'Eurocode 8 [ECS- 1/B] propose une méthode où le comportement non linéaire est idéalisé par une courbe élasco-plastique parfaite. Accélération

a* y Vl Q)

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Déplacement

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Figure 3.3-5

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La dissipation de l'énergie sismique est pour un système élastique habituellement modélisée par un amortissement de type visqueux, aussi C hopra [Chopra & Goel, 1999] propose de calculer un amortissement visqueux équivalent pour rendre compte de la dissipation d'énergie due à l'incursion pose-élastique du système non linéaire. Le modèle d'amortissement est estimé en égalant l'énergie dissipée E 0 par le système non linéaire au cours d'un cycle (c'est-à-dire dans une boude d'hystérésis) et l'énergie de déformation d'un systèm e élastique linéaire équivalent E5 .

Méthode de calcul

1

Accélération

Déplacement

Figure 3.3-6 Système élastique équivalent

Le système élastique équivalent est défini par la raideur sécante comme présenté sur la figure 3.3-4. Aussi d'après Chopra [Chopra & Goel, 1999] , l'expression de l'amortissement visqueux équivalent peut se mettre sous la forme :

Seq

1 E0

=

Se+ -47t

-E

s

Sc correspond

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à l'amortissement du système linéaire élastique. Lexpression de l'énergie dissipée en terme d'aire balayée au cours d'un cycle nous apporte un moyen pertinent de déterminer la courbe bilinéaire équivalente. En effet, de nombreuses possibilités de régressions a priori semblables seraient possibles. Cependant, étant donné que la« mesure» utile de la courbe de capacité est l'aire sous la courbe, il est intéressant que celle-ci soit identique pour la courbe bilinéaire équivalente. Laccélération de plastification ~* étant facilement identifiable, comme le premier point singulier de la courbe de comportement, on dispose alors d'une méthode déterministe pour approcher de manière pertinente la courbe de capacité réelle par une courbe bilinéaire équivalente. Cette équivalence des énergies avait déjà été initiée par Newmark dans une investigation sur l'oscillateur élasro-plastique. Le PS 92 [NF P06-013] propose également pour le dim ensionnement des murs une méthode d'équivalence énergétique. La pente initiale (Ke) de la courbe de capacité dans le diagramme (A/D) correspond à la période du système à un degré de liberté équivalent ; aussi, certains auteurs imposent que la courbe bilinéaire équivalente soit telle que cette pente soit égale à la période propre du mode fondamental du système à N degrés de liberté. Il est également possible de modifier la valeur de l'amortissement équivalent pour prendre en compte la forme de la boucle complète, tous les matériaux ne présentant pas un comportement élasro-plastique à écrouissage cinématique, il en va de même de la structure complète. Le FEMA 440 (FEMA 440, 2005] propose l'utilisation d'un coefficient, qui enveloppe l'énergie dissipée au cours d'un cycle pour différentes classes de matériaux.

155


3.3.5

Recherche du point de fonctionnement

La connaissance de l'amortissement équivalent permet de considérer comme spectre de réponse anélastique, le spectre de réponse élastique initial pour ce coefficient d'amortissement équivalent. Ce dernier peut être déterminé à partir du spectre de réponse pour un coefficient d'amortissement de Se en effectuant une homothétie de rapport p = (Se/Seq)ü.4, la pseudoaccélération à période nulle étant inchangée [AFPS 90/C.5.434). Lobj ectif est maintenant de déterminer le déplacement maximal du point pilote pour un spectre de réponse donné, c'est-à-dire l'intersection entre la courbe de capacité et le spectre de réponse anélastique calculé grâce à l'amortissement équivalent. La difficulté vient du fait que l'expression du coefficient d'amortissement dépend de la ductilité effectivement appelée par le système anélasrique, ce qui suppose de connaître a priori le spectre anélastique à considérer pour vérifier que l'appel à ductilité est suffisant pour justifier le coefficient d'amortissement équivalent utilisé. La procédure proposée dans l'ATC 40 (appelée procédure A, cipe général suit les étapes suivantes :

[ATC 40])

est itérative. Son prin-

1) sélection d'un point de perfo rmance test, obtenu par exemple avec la sélection d'un déplacement cible D~ sur le diagramme de capacité ou du spectre de réponse élastique; 2) idéalisation de la courbe par une approximation bilinéaire ; 3) calcul de l'amortissement équivalent. Réduction du spectre de demande calculé avec l'amortissement obtenu; 4) obtention de l'intersection de la courbe de capacité bilinéaire avec le spectre réduit (D~) ; 5) si les valeurs de D~ et 0~1 sont proches (5 % de tolérance par exemple), le point de performance est D 1, sinon sélectionner D ~1 = 0~1 et retourner au pas 2. Mais il faut rappeler que la méthode n'est pas nécessairement toujours convergente.

Accélération

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Spectre de chargement

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Spectre

Ç=Çeq

Courbe de comportement -~o____-~

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u Dlm*

Déplacement

Figure 3.3-7 Recherche du point de fonctionnement

Méthode de calcul

1

3.3.6 Critères de ruine Le point de fonctionnement déterminé précédemment correspond à la réponse maximale en déplacement pour un spectre de chargement, sachant que la capacité ultime de la structure est supérieure au chargement atteint pour ce point. La capacité ultime est déterminée à la ruine de la structure, après une étude approfondie des résultats du calcul non-linéaire. Le mécanisme de ruine de la structure doit être conforme aux hypothèses proposées : identification des zones dissipatives, où a lieu la déformation plastique, et des zones non-dissipatives, avec par exemple la formation de rotules plastiques dans les poutres plutôt que dans les colonnes («poteaux forts-poutres faibles»). Un ou plusieurs critères de ruine peuvent être considérés. Ces critères portent sur des zones identifiées comme ductiles ou fragiles, mais aussi sur les zones qui ont été modélisées par une loi élastique linéaire. La vérification a posteriori des hypothèses du modèle peut conduire à conclure à la défaillance de la structure : • critères locaux: il s'agi t de limites sur les déformations ou contraintes dans les éléments ; • critères semi-globaux : il s'agit de limites sur les rotations des sections (courbures), de rotations de corde, de limites sur la longueur des rotules plastiques développées. Les valeurs limites sont indiquées dans [EC8-1/A, EC8-1/B, EC8-1/C, EC8/ EN1998.3/2004]. Il peut s'agir également de la vérification de limites en flambement des armatures. La résistance à l'effort tranchant pour les poutres, poteaux et murs doit également être vérifiée; les critères semiglobaux peuvent aussi porter sur des éléments non structuraux, qui ne sont pas inclus dans le modèle : avec la vérification des spectres de plancher dimensionnants po ur les équipem ents; • critères globaux : il s'agit de déplacements maximaux, du décollement des appuis, ou du glissem ent des fondations. Ces critères peuvent s'accompagner d'une vérification des hypothèses du modèle. En particulier, l'effet P-Li peut être négligé dans le cas où les déplacem ents horizontaux relatifs entre étages respectent certaines conditions (EC8-1/ 4.4.2.2, EC8-1/4.4.3.2].

Vl

Les valeurs atteintes par ces différents critères peuvent être associées à trois états limites définis dans l'Eurocode 8 : état limite de limitatio n des dommages (DL), état limite de dommages significatifs (SD), état limite de quasi-effondrement (NC) (EC8/EN 1998.3/2004].

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3.3.7 Applications spécifiques

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Des disposi tions spécifiques pour l'analyse en poussée progressive et des vérifications de résistance sont données pour différents types de bâtiment dans EC8 : ponts (EC8/EN 1998-2/2005] , silos, réservoirs et canalisations [EC8/ EN 1998-4/2006], tours, mâts et cheminées [EC8/EN 1998-6 /2002]. Dans le cas des ponts, une procédure d'application de la méthode pushover est recommandée en annexe H : les deux directions horizontales d'applications de la charge statique équivalente sont définies, deux répartitions de charges le long de la structure sont spécifiées et les critères de vérifications (rotules plastiques, soulèvement des appareils d'appui du tablier, modes de rupture non ductile) sont donnés.

157


3.4

Applications

3.4.1

Cas du diagnostic sismique d'un bâtiment tertiaire en béton armé

3.4.1.1 Géométrie et modélisation de la structure Il s'agit d'un bâtiment en béton armé constitué de plusieurs blocs séparés par des joints de dilatation. Ici, on s'intéresse au cas d' un bloc de IO étages donc l'emprise au sol est 40 x 15 m.

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Figure 3.4- 1 Vue d'ensemble des bâtiments

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Des poteaux préfabriqués (0,2 x 0,7 m) articulés au niveau de chaque plancher sont présents en façade pour supporter les planchers et ne participent donc pas au contreventement du bâtiment. Dans le sens longitudinal, le contreventemenr du bâtiment est assuré par deux voiles de part et d'autre du couloir central, ainsi que par les parois de la cage d'escalier et del' ascenseur situé à une extrémité du bâtiment. Dans les niveaux supérieurs, la résistance de ces voiles est limitée par la présence des ouvertures de portes avec la présence de linteaux de 80 cm. Sur les niveaux inférieurs, la résistance de la structure est essentiellem ent assurée par des voiles complém entaires. Signalons de plus que les voiles des niveaux supérieurs sont constitués de béton banché très peu ferraillé.

Applications

1

Dans la direction transversale, le contreventement est assuré par des voiles pignons présentant une file d'ouverture (couloir de passage entre blocs de bâtiment), séparant chaque mur de refend en deux parties. Compte tenu de la faible capacité des voiles supérieurs faiblement ferraillés, dès le départ de l'étude, il a été décidé que ces voiles seraient renforcés. Le comportement pouvait donc être considéré élastique linéaire en considérant un module de section fissurée. Le système de fondation est constitué de semelles filantes au droit des voiles, élargies au niveau des poteaux. Pour l'étude de cette structure, un modèle aux éléments finis 3-D a été construit. Les dalles et les voiles de béton armé sont modélisés à l'aide d'éléments de coques pour le béton et d'éléments de grilles excentrées pour chacune des nappes d'armatures. Cette modélisation semi-globale présente l'avantage de ne pas surcharger démesurément les calculs (avec des modèles volumiques pour le béton ou de barres pour les armatures) tout en permettant une prise en compte réaliste des mécanismes de dégradation des éléments de structure en béton armé. Lexamen des dispositions constructives de liaisons entre les dalles et les voiles nous a conduits à faire l'hypothèse qu'aucun moment n'était transmis entre un plancher et le voile qui le supporte. Bien que de tels aciers existent et que la liaison présente à la fois une raideur et un moment résistant mêm e faible, il a été estimé que sous une sollicitation horizontale, ce moment résistant serait vite dépassé, entraînant la formation d'une articulatio n. Dans une structure dont le contreventement est assuré par des voiles (contrairement à celles à portiques), l'énergie dissipée ne provient pas de la formation de telles rotules aux liaisons interéléments, mais bien de l'endommagement au sein des éléments de contreventement. Les poteaux de façade ne participant pas au contreventement de la structure, ils sont représentés par des éléments barres linéaires élastiques. Et les fondations constituées de semelles filantes sont modélisées par des lignes de ressorts de sol. Le comportement du béton pour les zones non-élastiques est représenté par une loi nonlinéaire, dont les valeurs numériques des paramètres sont identifiées à partir des valeurs conventionnelles présentées par Bisch et Coin [Coin & Bisch, 2009] afin de représenter le bon comportement de leur résistance à la flexion et cisaillement, notamment en phase postélastique. Vl Q)

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Signalons que pour une analyse non linéaire de type pushover, le comportement des matériaux doit être au plus proche de la réalité. Contrairement à l'approche classique, qui affecte les matériaux de coefficients de sécurité, le dimensionnement en capacité nécessite la localisation des zones de possibles plastifications ; aussi, un coefficient de sécurité matériau trop important fausserait la conclusion, en affirmant qu' un élément développe de la ductilité alors qu'il est encore en phase élastique (capacity design,) [Priestley & Paulay, 199 1]. Aussi, on cherchera à reproduire le plus exactem ent possible les m écanism es d'apparitio n des nonlinéarités . La loi de compo rtement non linéaire du béton s'appuie sur le modèle d'endommagement isotrope développé dans sa forme locale par Mazars. Le comportement mécanique du béton est décrit à l'aide d'une variable scalaire D (l'endommagement) qui quantifie l'influence de la microfissuration. La dégradation du matériau se traduit donc par une perte de rigidité élastique et de contrainte de résistance (sous traction et compression). On présente en figure 3.4-2a la courbe de comportement en traction et en compression d'une éprouvette numérique.

159


0

Contrainte

Contrainte

(J

(J

Tension

Compression

E

E

Déformation

Déformation

Compression

Figure 3.4-2 Lois de comportement non linéaires du béton et de l'acier des armatures a) Loi de comportement du béton - b) Loi de comportement de l'acier

Le comportement retenu pour l'acier est un modèle élastique parfaitement plastique (branche horizontale) avec adoucissement au-delà la limite de rupture. La courbe de comportement est donnée par la relation contraintes-déformations (figure 3.4-2b). Pour la modélisation de l' interaction sol-structure, on utilise le logi ciel Miss3D qui est basé sur la méthode des éléments de frontière. La méthodologie utilisée pour traiter les problèmes d'interaction sol-structure se fonde sur une sous-structuration dynamique dans laquelle le comportement du sol sera représenté par une impédance dynamique ramenée au niveau de l'interface sol-structure (figure 3.4-4). Lévaluation de cette impédance est réalisée à travers la méthode des éléments de frontière basée sur le calcul des fonctions de Green d'un sol stratifié horizontalement.

Vl

D ans la perspective d' un calcul pushover, seule la partie réelle de la matrice d' impédance est utilisée, le déphasage entre le déplacement de la fondation et l'effort appliqué n'ayant pas de sens pour un calcul statique. Limpédance est modélisée par un ressort pour chaque degré de liberté, en rappelant que la raideur de ce ressort est le produit de la raideur statique et d'un terme qui représente la partie dynamique (et qui dépend de la fréquence de l'excitation). Pour le calcul pushover, nous retenons la valeur d'impédance pour une fréquence proche de la fréquence du mode fondamental des structures (3 H z) .

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Figure 3.4-3 Modèle élémentaire de l'interaction sol-structure

Applications

3.4.1.2

1

Éléments de réponse de la structure

Les effares de poussées de la méthode pushover dans les deux directions longitudinales et transversales sont étudiés séparément. Dans la direction transversale, la courbe de comportement obtenue ne présence pas beaucoup de ductilité (figure 3.4-4). On remarque de plus que le point de fonctionnement se situe dans la zone faiblement non linéaire de la courbe de capacité. Rappelons néanmoins que les voiles longitudinaux, constitués de béton hanché pour les six niveaux supérieurs présentant des files d'ouvertures, one été affectés d'un comportement élastique. Cévaluation des efforts dans ces voiles permet dans un second temps de dimensionner les renforcements nécessaires pour assurer la validité de cette hypothèse. Le point de fonctionnement correspond à une mesure de déplacement en tête de 12 mm et à un effort tranchant à la base de 20 MN. Sur la déformée (figure 3.4-5) du modèle, on observe que le bâtiment présence un point d'inflexion, ce qui se traduit par une inversion de la face tendue dans les voiles. Cincensité du béton sous compression n'est pas particulièrement élevée (moins de 7 MPa) ; sous traction, le béton ne dépasse pas la limite de résistance. 16

_.,,.... .- Courbe de comportement

14

,/

12

,/

/

10

/Première apparition ~ de plastification ,rd'armature ~--..... Spectre de séisme / 4

2

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Point de fonctionnement

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Figure 3.4-4 Point de fonctionnement pour pushover selon la direction longitudinale

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Figure 3.4-5 Allure de la déformée selon la direction longitudinale (déplacement amplifié 100 fois)

161

162

Approche non-linéaire: pushover

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Contraintes de traction verticale (MPa)

Figure 3.4-6 État des contraintes sous chargement pushover selon la direction longitudinale

D ans la direction transversale, la courbe de comportem ent présente cette fois-ci plus de ductilité (figure 3.4-7) : au point de fonctionn ement, la ductilité effectivement appelée est de 3,5, ce qui permettrait de justifier u n coefficient de comportement global de 1,4. Le point de fon ctionnem ent correspond à un déplacement du point pilote de près de 50 mm pour un effort sismique à la base de 18 MN.

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Spectre de séisme de départ

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D(m) Figure 3.4-7 Point de fonctionnement pour pushover selon la direction transversale

Applications

1

Figure 3.4-8 Allure de la déformée pour pushover selon la direction transversale (déplacement amplifié 200 fois)

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1,6

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Vl Q)

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Figure 3.4-9 État des contraintes sous chargement pushover selon la direction transversale

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À gauche : contraintes de compression verticale (MPa) - À droite : contraintes de traction verticale (MPa)

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On o bserve que l'allure de la déformée des vo iles transversaux présente un point d'inflexion de la courbure, la tête du bâtiment est redressée (figure 3.4-8). Ce type de déform ée, peu habituel pour un mode fondamental, s'explique par la continuité de la rigidité en élévation au niveau du bloc de la cage d'escalier latérale alors que la masse participante diminue. ~élancement des voiles transversaux est tel que leur réponse en flexion est prédominante, néanmoins les sollicitations de cisaillement sont importantes. Sur la carte des contraintes de traction (figure 3.4-9), on voit qu' une grande partie du bloc de voiles est fortement tendue; l'examen de la déformation des aciers verticaux montre qu'une rotule plastique se forme au niveau 2 avec des déformations d'acier relativement importantes Qusqu'à 8 %0) . Les efforts de cisaill em ent importants observés engendrent un endommagement du béton dans le voile pignon selon des directions inclinées (figure 3.4- 10).

163


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Figure 3.4-10 Indice d'endommagement du béton au point de fonctionnement

Les plastifications des aciers surviennent en des lieux où le taux de ferraillage est bien identifié ; aussi, le développem ent de non-linéarités localisées er contrôlées est particulièrement dissipatif d'énergie, sans pour autant être source d'instabili té. D e plus, la loi de comportem ent des aciers retenue est parfai tement plastique. E n réalité, les armatures pourraient reprend re plus d'efforts.

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Ce raisonnement en capacité, initié par l'école néo-zélandaise [Priesdey & Paulay, 1991 ], permet de justifier le bâtiment à un niveau de dommage acceptable pour assurer le noneffondrement. L'avantage majeur de l'approche pushover (par rapport au recours à un coefficient de comportement forfaitaire) est l'identification des mécanismes non linéaires qui perm ettent la dissipation de l'énergie sismique, afin de les contrôler soigneusement et au besoin d'élaborer des renforts adaptés. Plus que le contrôle de !'admissibilité des sollicitations dans le domaine pose-élastique, l'intégration dans le modèle du ferraillage réellement mis en place (état T Q C détaillé), permet d'assurer que les non-linéarités seront effectivement développées, ce qui est rarement vérifié dans l'approche par coefficient de comportement, souvent rédui re à la seule diminution de l'ensemble des efforts sismiques.

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8

3.4.2 Cas de l'évaluation des marges sismiques d'un bâtiment

industriel Il s'agir d'un bâtiment de forme parallélépipédique de largeur 40 m , de longueur 50 m et de hauteur 40 m. Il possède sept niveaux de planchers principaux, une toiture-terrasse er des niveaux intermédiaires partiels. La structure du bâtiment est en béton armé. Elle est constituée de planchers (dalles + quelques poutres) et d'un réseau de voiles orthogonaux. La fo ndation est réalisée par un radier d'épaisseur 1,50 m, fo ndé sur un sol de très bonne qualité.

Applications

1

Le conrreventement du bâtiment est assuré par le réseau de voiles orthogonaux, comprenant quatre voiles périphériques monolithiques et des voiles intérieurs plus ou moins ajourés, les planchers assurant la fonction de diaphragmes horizontaux. La concepti.on d'ensemble du bloc principal est relativement régulière au sens des règles de conception parasismique. En particulier, le conrreventement comporte une grande redondance d'éléments (huit files de voiles principaux dans chaque direction).

Figure 3.4-11 Vue d'ensemble et coupe du bâtiment étudié À gauche: vue d'ensemble - À droite : coupe en plan

À nouveau, ce bâtiment est modélisé en tridimensionnel et traité par la méthode en éléments finis. Les dalles et voiles sont modélisés par éléments de plaque DKT. Les poteaux et poutres sont modélisés par des éléments de poutre d'Euler. Les éléments secondaires ne sont pas modélisés en tant que rigidité, mais uniquement en tant que masse. Vl Q)

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Le modèle non linéai re des parois en béton armé est de type coque multicouche: le béton est modélisé par un élément de coque multicouche et les armatures par des grilles d'armatures excentrées, comme dans le premier exemple (figure 3.4-1). Pour les poutres, le modèle non linéaire est de type poutre mulcifibre représentant le comportement en flexion composée/ déviée des sections de béton armé. La loi de comportement du béton ti ent compte de la fissuration (loi selon l'Eurocode 2), et est unidimensionnelle. Sa mise en œuvre dans le cadre des éléments de coque multicouche est réalisée en appliquant la loi indépendamment dans chaque direction principale de déformation, et dans chaque couche de l'élément multicouche (à chaque point de Gauss sur la surface et dans l'épaisseur de l'élément). La loi de comportement de l'acier est élasto-plastique avec écrouissage cinématique. Les lois de comportement utilisées pour le béton et les armatures sont représentées (figure 3.4-12).

165


Contrainte

Contrainte

()

()

Tension

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Déformation

Déformation

Compression Compression Figure 3.4-12 Lois de comportement non linéaire du béton et des armatures

Linteraction sol-structure est modélisée par un tapis de ressorts uniformément répartis sur la surface du radier, comme dans l'exemple précédent (figure 3.4-3) . Les impédances dynamiques de la fondation sont calculées à partir des caractéristiques dynamiques du sol de fondation. Le calcul est réalisé dans l'hypothèse d'une fondation monolithique, par la méthode des éléments frontières, à l'aide du logiciel Miss3D-Pro [Clouteau/ECP]. C e calcul permet de définir les courbes d' impédance de la fondation (raideur, amortissem ent) en fonction de la fréquence, pour chaque composante du mouvement de la fondation. Lamortissement du sol, somme de l'amortissement interne et de l'amortissement radiatif, est plafonné à 30 %. Une poussée progressive est réalisée dans la direction +X. La courbe de comportement et les courbes de capacité sont données figure 3.4- 13. Les résultats permettent de conclure quant à la capacité de résistance de la structure à différents niveaux de séisme au-delà du dimensionnement. Ils permettent également d'évaluer l'état d'endommagement de la structure pour ces niveaux de sollicitation. 0,90 0,80 0,70

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U{m) Figure 3.4-13 Diagramme de capacité - Séisme direction +X

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0,0 5

Applications

Figure 3.4-14

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Pushover +X - Déformée pour le niveau de séisme adesign

1

+

1,5 M (amplification x 100)

y

Lx

On présente, pour différents niveaux de sollicitation (adcsign' 2 x adcsign' 3 x adcsign' adcsign + 1,5 M) , la cartographie des déformations principales maximales du béton, permettant d' identifier les zones fissurées, c'est-à-dire celles où la déformation principale maximale dépasse Efiss = 1/33 000 = 0,03 o/oo. Les cartographies de déformations dans deux voiles du bâtiment (voiles 1 et2, figure 3.4-15), permettent de caractériser l'état d'endommagement de la structure pour ces différents niveaux de séisme:

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• au niveau adesign' l'étendue des zones fissurées est très faible. Elle reste localisée dans des zones de concentration de contraintes au voisinage d'ouvertures. Cela se traduit sur la courbe pushover par une faible diminution de rigidité par rapport au comportement élastique linéaire : la rigidité sécante au point de fonctionnement correspondant à adesign est 1,4 fois plus faible que la rigidité initiale élastique linéaire (figure 3.4-1 3); • pour des niveaux de séismes plus forts, jusqu'à adesign + 1,5 M, l'étendue des zones fissurées augmente, jusqu'à concerner la quasi-totalité de la surface des voiles dans la direction du séisme. Cela se traduit sur la courbe pushover par une forte diminution de rigidité par rapport au comportement élastique linéaire : la rigidité sécante au point de fonctionnement correspondant au adcsign + 1,5 M est 4 fois plus faible que la rigidité initiale élastique linéaire; pour tous les niveaux de séism e, jusqu'à adesign + 1,5 M, les déformations et contraintes de compression dans le béton restent faibles. Les déformations maximales se produisent dans les sections d'encastrement des linteaux des couloirs, et ne dépassent pas 1,4 %0; • pour tous les niveaux de séisme, jusqu'à adesign + 1,5 M, les déformations de traction dans les armatures restent inférieures à la limite d'élasticité de !' acier, à quelques exceptions très locales près. Il n'y a quasiment pas de plastification des armatures sous séisme, même au niveau adesign + 1,5 M. Par conséquent, l'endommagement prévisible de la structure est faible, même au niveau de séisme fortement majoré correspondant à 1,5 degré de magnitude au-delà du adesign· Ce résultat de !'analyse des déformations locales est cohérent avec le résultat global obtenu par analyse de la déformée de la structure : la distorsion moyenne du bâtiment sur la hauteur est très faible (0,11 %).

À nouveau on constate que grâce à cette méthode de diagnostic de tenue au séisme, la capacité évaluée de façon plus réaliste (best estimate) permet de démontrer des marges de sécurité importantes selon le niveau d'agression sismique considéré.

167

Copyright© 2016 Eyrolles. ......

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Figure 3.4-15 Pushover. Déformations principales maximales de tract ion de béton (%0) - Repérage des zones fissurées

CHAPITRE 4

Calcul du ferraillage à partir des éléments finis Alain Capra

4.1

Introduction

Les sollicitations des éléments finis sont définies à l'aide des paramètres suivants : • pour les éléments de membrane : trois forces par unité de longueur • pour les éléments de coque trois fo rces et trois mom ents permettant la vérifi cation en flexion, deux forces perpendiculai res à l'élément permettant le calcul à l'effort tranchant. Différentes solutions sont possibles pour les armatures de flexion des éléments en béton armé, et une procédure d'optimisation permet de définir la plus économique [Capra & Maury, 1978] . La présentation des résultats peut se faire sous la forme de cartes de ferraillage qui sont actuellement d'usage courant, en particulier pour l'étude des voiles de contreventement des bâtiments. Vl Q)

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La commodité d'emploi de ces cartes peut inciter à les utiliser directement pour le dessin du ferraillage. Cependant, dans le cas de ces voiles, elles proposent un ferraillage non conventionnel et ne respectant pas totalement les règles usuelles de calcul du béton armé et les dispositions spécifiques au séisme. Elles devront alors être analysées et complétées si nécessaire. Pour guider les utilisateurs ce chapitre décrit tout d'abord les méthodes de calcul des armatures des éléments de membrane ou de coque et compare, à partir d'un exemple simple de mur, les résultats obtenus par une carte de ferraillage et par la méthode manuelle usuelle. Le cas particulier du séisme est ensuite abordé : les carres peuvent être établies de manière conservative en supposant concomitantes les valeurs m aximales des différents paramètres intervenant dan s le calcul du ferraillage (3 pour les membranes, 8 pour les coques), mais il en résul te alors un grand nombre de combinaisons et un surdimensionnement des sections d'armatures. Des méthodes plus élaborées sont donc proposées ci-après, pour à la fois diminuer le temps de calcul, et déterminer un fe rraillage plus réaliste.

170

1

Calcul du ferrmJ/age à partir d'éléments finis

4.2

Éléments de membrane

4.2.1

Définition

Les éléments finis du type membrane prennent en compte uniquement les efforts dans leur plan (figure 4 .2-1) mesurés par unité de longueur et notés : Nx: effort normal par m sur une facette perpendiculaire à l'axe Ox (e = 0°) Ny : effort normal par m sur une facette perpendiculaire à l'axe Oy (e = 90°) Nxy: effort de cisaillement sur les facettes perpendiculaires à l'axe Ox ou Oy y

Nx

t

Nxyl

e X

Figure 4.2-1 Élément de membrane. Sollicitations

Par la suite, la traction sera comptée positive. Ce type d'élément peut être utilisé, par exemple, pour modéliser des voiles de contreventement des bâtiments pour lesquels on peut négliger la flexion hors plan.

4.2.2 Calcul des armatures Vl Q)

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On suppose les armatures orientées suivant l'axe O x (section Ax par mètre) et l'axe Oy (section Ay par mètre) (figure 4.2-2). On considère les hyporhèses suivantes: • les armatures travaillent uniquement en traction et avec la même contrainte cra ; • les contraintes de compression du béton sont sup posées acceptables.

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Ay Figure 4.2-2 Élément de membrane. Armatures

Eléments de membrane

1

La solution correspondant à la section totale Ax + Ay minimum a été donnée par J. Wood [Wood, 1968] et reprise par la NF EN 1992-1-1 P 18-6-711-1 annexe F : • Cas 1 Ax cra = Nx + [Nxy]

(4.2-1)

Ay cra = Ny + [Nxy] • Cas 2 Si (4.2-1) conduit à une valeur de Ax < 0, on peut annuler Ax et conserver la valeur calculée pour Ay, mais une solution plus économique est donnée par : Ax=O Ay cra = Ny- (Nxy) 2 /Nx

(4.2-2)

• Cas 3 Si (4.2-1) conduit à une valeur de Ay < 0, on peut annuler Ay et conserver la valeur calculée pour Ax, mais une solution plus économique est donnée par : Ax cra = Nx - (Nxy) 2 /Ny

(4.2-3)

Ay=O • Cas 4 Si (4.2-1) conduit à une valeur de Ax < 0 et Ay < 0, aucune armature n'est nécessaire: Ax = Ay = O

4.2.2.1

(4.2-4)

Première démonstration

Pour toute facette d'orientation e, l'effort normal a pour valeur : N(e) = Nx cos2 e + Ny cos 2 e + 2Nxy sine case

(4.2-5)

et l'effort résistant des armatures dans la direction perpendiculaire à la facette: R(e) = Ax cra cos 2 e + Ay cra sin 2 e Vl Q)

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(4.2-6)

La figure 4.2-3 représente les graphes de la relation (4.2-5) qui ne dépend que des efforts appliqués et de la relation (4.2-6) qui dépend des sections Ax et Ay. On cherche les valeurs de Ax et Ay telles que :

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R(e) > N(e) pour -90° < e < 90° Ax + Ay soit minimum .

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Une démonstration mathématique conduit alors aux relations (4.2- 1) à (4.2-4).

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On notera que l'effort normal aux facettes est seul considéré et qu'aucune vérification du béton en compression n'est effectuée.

171

172

1


Ay aa

Ay aa

Ny

Ny

e Figure 4.2-3 Fonctions N(9) et R(9)

4.2.2.2 Seconde démonstration et compléments On équilibre les efforts de membrane par une bielle inclinée d' un angle a par rapport à l'axe Ox et deux tirants d'axe Ox et Oy (figure 4.2-4). En écrivant l'équilibre des forces, on obtient la section des armatures et l'effort normal N(a) dans la bielle : Ax cra = Nx + Nxy cotg a Ay cra = Ny + N xy tga

(4.2-7)

N(a) = - Nxy (tga + corg a) La valeur minimum de Ax + Ay correspond à celle de Nxy (tg a+ cotg a) , soit : a=+ 45 si Nxy > 0 a = - 45° si Nxy < 0 On obtient alors les cas suivants : Vl Q)

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• Cas 1. a

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45° Axcra = Nx + [ Nxy] Ay cra = Ny + [Nxy]

(4.2-8)

N(a) = -2 [Nxy] • Cas 2. Si le cas 1 conduit à une valeur de Ax < 0, on écrit Ax = 0, ce qui correspond à : tga = - Nxy/Nx d'où: Ax = 0 Ay cra = Ny - (Nxy)2/Nx (4.2-9) N(a) = N x + Nxy2 /Nx • Cas 3. Si le cas 1 conduit à une valeur de Ay < 0, alors : tga = - Ny/Nxy Ax cra = Nx - (Nxy) 2 /Ny Ay

(4.2-10)

=0 2

N(a) = Ny + Nxy /Ny

Eléments de membrane

1

• Cas 4. Si le cas 1 conduit à des valeurs Ax < 0 et Ay < 0, le béton est entièrement comprimé.

Ax=Ay= 0 N(cx) = (Nx + Ny)/2

- J(Nx - N y)

2

/4 +Nxy2

(4.2- 11)

Ny/sino:

y

Nxy/ coso: Nx/ cosa

t--_...,...._______

Axoa/cosa

1 ~-~~ X

0 Ayoa/sina Figure 4.2-4 Système de bielles et tirants

4.2.2.3

Précautions d'emploi

• Pour la bonne utilisation de cette m éthode, un certain nombre de précautions doivent être pnses :

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0

- contrôle de la compression du béton. Les formules (4.2-8) à (4.2-11) permettent le calcul de l'effort normal dans le béton et donc de le vérifier en compression ; - dans le cas des structures soumises principalement à des efforts de membrane, la méthode ne doit pas être utilisée pour des calculs à l'état limite de service, mais uniquement pour des calculs à l'état limite ultime (ELU). En effet la contrainte des armatures, fixée a priori, ne peut être la même en tout point du modèle, sauf si les armatures sont plastifiées. L'exemple d'un voile de contreventement donné ci-après permet d'apprécier les approximations du calcul, même dans un cas ELU. Pour des éléments de structure assimilables à des poutres, la méthode détermine un ferraillage différent dans son principe de celui obtenu par la méthode usuelle.

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Le raisonnement en treillis dans chaque élément de membrane conduit en effet à : - un ferraillage de flexion réparti et non concentré ; - une majoration des armatures de flexion tenant compte de l'effort tranchant, élément par élément, procédure comparable à celle du décalage de la courbe des moments pour les poutres calculées de manière usuelle ; - des cadres calculés en fonction de la con trainte de cisaillement locale, et non de la moyenne sur la section droite. De plus, aucune réduction n'est faite pour tenir compte d'un terme béton ; - les dispositions parasismiques ne sont pas prises en compte et doivent donc faire l'objet d'un calcul complémentaire. Dans les règles PS 92 comme dans l'Eurocode, ce calcul est basé sur les efforts globaux (effort normal, effort tranchant, moment) appliqués à une section droite.

173

174

1


• Conclusion. Les carres de ferraillage couramment utilisées dans le calcul des bâtiments sont en général établies à partir d'éléments finis de coque et non de membrane, mais cela conduit au même résultat si on néglige la flexion hors plan (voir paragraphe 4.3.2.2). Ces cartes sont très utiles pour traiter des cas complexes (murs à ouvertures décalées, voiles en drapeau, etc.), mais dans des cas plus simples, il est préférable de recourir à un calcul en poutre à partir des efforts globaux sur une section droire. Ces efforts pourront être calculés à partir des modèles aux éléments finis utilisés pour établir les cartes en réalisant des « coupures » si le logiciel employé le permet (voir chapitre 5).

4.2.3

Exemple de calcul

On considère un mur de section 0,2 x 4 m 2 , modélisé en éléments finis de membrane. Une coupure horizontale fournit les efforts globaux N, M, T dans le mur assimilé à une poutre verticale. On considère deux cas ELU : • cas a) • cas b)

N= 1400 kN, N = 1400 kN,

M = ±3600 kN, M = ± 3 600 kN,

T = ±700 kN; T = ± 2 1OO kN.

U n calcul de résistance des matériaux (RDM) fournit la répartition des efforts normaux Ny et le cisaillem ent Nxy que donnerait un modèle aux éléments finis avec un maillage très fin (figure 4.2-5). La section droite est tendue sur 1,5 m environ et dans cette zone, des armatures travaillant dans le domaine élastique ne pourraient avoir la même contrainte. La méthode n'est donc applicable qu'à !'ELU, avec un fonctionnement en bielles et tirants très éloigné du comportem ent élastique. 4m

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Eléments de coque

4.2.3. l

1

Armatures verticales

Le calcul aux éléments finis conduit à une section rotale tendue (sur une demi largeur de mur) de 23 cm 2 dans le cas a) et de 39 cm 2 dans le cas b). En assimilant le mur à une poutre verticale, le calcul en flexion composée donne une section tendue de 8 cm 2 mais le décalage de la courbe des moments suivant la théorie des treillis multiples revient à rajouter une section T/ (2cra), d'où un total de 16 cm 2 dans le cas a) et 32 cm 2 dans le cas b). L'écart des résultats entre les deux méthodes provient principalement de la réduction du bras de levier quand les armatures verticales sont réparties.

4.2.3.2 Armatures horizontales Le calcul en poutre, basé sur un cisaillement moyen, conduit à moins de quantités, sauf si on réduit la section des armatures horizontales aux extrémités du mur, solution peu usuelle.

Armature verticale

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Armature verticale

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Carte de ferraillage

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Armature horizontale

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Calcul en poutre

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Figure 4.2-6 Exemple de ca lcul. Ferraillage

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4.3

Éléments de coque

4.3.1

Définitions

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0. 0

u

Les éléments finis du type coque (figure 4.3- 1) prennent en compte les efforts N x, N y, N xy dans leur plan et les efforts de flexion : M x : moment fléchissant donnant des efforts normaux dans la direction O x My : moment fléchissant donnant des efforts normaux dans la direction O y M xy : moment de torsion

175

176

1


y

Mxy Nx

e X

Nxy

My

Figure 4.3-1 Élément de coque. Sollicitations de flexion

Les armatures sont orientées suivant les axes Ox et Oy, en nappe supérieure et inférieure (figure 4.3-2). Les distances aux parements sont notées a pour les armatures de direction Ox, b pour les armatures de direction Oy (figure 4.3-2).

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

0

X

.......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

Figure 4.3-2 Élément de coque. Ferraillage

u

Ces éléments fournissent de plus la valeur des deux efforts tranchants perpendiculaires à leur plan et appliqués sur les facettes parallèles à Ox et Oy Le calcul des armatures transversales éventuellement nécessaires est traité au paragraphe 4 .3.4 ci-après.

Eléments de coque

1

4.3.2 Méthode générale 4.3.2. l

Principe de la méthode

On considère une série de facettes repérées par un angle e variant par intervalle régulier (par exemple 5°) de - 90 à + 90° [Capra & Maury, 1978]. Pour chacune d'elles, on évalue l'effort normal et le moment : N(e) = Nx cos 2 e + Ny sin2 e + 2 Nxy sine cose M(e) =Mx cos 2 e +My sin 2 e + 2 Mxy sine cose

(4.3-1)

Pour chaque facette, un calcul en flexion composée fournit les efforts de traction perpendiculaires à la facette que les armatures doivent équilibrer en nappe supérieure ou inférieure, notés respectivement Fs(e) et Fi(e) et comptés positifs ou nuls. Pour effectuer ce calcul, il est nécessaire de connaître la hauteur utile, c'est-à-dire la position de la résultante de l'effort de traction des armatures qui dépend de leur section, non connue à ce stade du calcul. On pourra alors employer la méthode approchée suivante : • lorsque la position exacte des lits d'armatures n'est pas connue, on effectuera le calcul avec un enrobage c égal au plus grand des enrobages a et b ; • lorsque la position exacte des lits d'armatures est connue, on posera: Cas a< b Cas a> b

c = a+ (b-a)[e] /45 c=b c=a c = a+ (b-a)([e) -45)/45

[e] < 45 SI 45< [e] < 90 si [e] < 45 Sl 45 < [e] < 90 SI

(4.3-2)

Dans la direction e, les armatures en nappe supérieure ou inférieure ont un effort résultant, compté positif pour la traction : Rs(e) = Axs cra cos 2 e + Ays cra sin 2 e Ri(e) = Axi cra cos 2 e + Ayi cra sin 2 e

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

(4.3-3)

La résistance est supposée assurée si pour toute valeur de l'angle e on a : Rs(e) > Fs(e) et Ri(e) > Fi(e), soit: Axs cos 2 e + Ays sin 2 e > Fs(e)/cra (4.3-4) Axi cos 2 e + Ayi sin 2 e > Fi(e)/cra

M

0 N

@

Les fonctions Rs(e) et Ri(9) sont paires : on pourra donc résoudre le système (4.3-4) dans l'intervalle 0 < e < 90° seulement, à condition de remplacer Fs(0) et Fi(0) par :

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

max {Fs(e), Fs(-0)} et max {Fi(e), Fi(-0)}

(4.3-5)

0

u

Le système (4.3-4) comporte pour inconnues les quatre sections d'armatures ; on recherche la solution la plus économique qui minimise les quantités (Axs +Ays) pour la nappe supérieure et (Axi + Ayi) pour la nappe inférieure. Pour la nappe supérieure, par exemple, les relations (4.3-3) définissent, pour chaque valeur de 0 une droite D(0) d'équation: Axs cos 2 0 + Ays sin 2 0 = Fs(0)/cra délimitant la zone où doit se trouver le point représentatif de coordonnées Axs et Ays.

177

178

1


Ays cra

Ays cra

Figure 4.3-3 Fonctions Rs(e) et Fs (0) -90°

0

90°

En traçant les droites D(8) correspondant à toutes les valeurs de 8, on obtient une frontière de la zone. La solution optimale correspond alors au point de cette frontière dont la projection sur la bissectrice est la plus proche del' origine des axes (point 2 de la figure 4.3-4). Axs

Figure 4.3-4 Procédure d'optimisation

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

/

M

Axs

0 N

@ .......

..c

4.3.2.2 Remarque

Ol

·;::

>-

0. 0

u

Dans le cas où les moments de flexion sont négligeables, la coque se comporte en fait comme une membrane et le raisonnement utilisé, identique à celui décrit au paragraphe 4.2.3, conduit donc aux m êmes résultats.

4.3.2.3

Vérification du béton

La méthode d'optimisation suppose a priori que la compressio n du béton est acceptable et que les armatures sont tendues à la contrainte cra. La vérification de ces hypoth èses est donc indispensable.

Eléments de coque

1

Calcul rigoureux en flexion composée

D ans le cas d'une compression excessive du béton des armatures comprimées sont nécessaires La méthode d'optimisation décrite précédemment, qui suppose toutes les armatures tendues et soumises à la même con trainte, est alors en défaut et doit être adaptée comme suit : On considère par exemple les armatures en nappe supérieure (fig 5. 11). Un calcul en flexion composée fournit l'effort Fs(0) appliqué dans la direction 0, qui peut être positif (traction) ou négatif (compression). Dans le cas de la compression, si celle-ci excède la résistance du béton, on détermine la fo rce F'(0) > 0 complémentaire qui doit être équil ibrée en compression par une ou les deux armatures. Une solution n'est possible que si:

o < Fs(e) < Rs(e)

ou

Rs(e) < F's(e) <

o

On peut alors trouver par exemple un e armature tendue (Ays sur la figure 4.3.5) et une comprimée (Axs sur la fi gure 4.3.5) assurant la résistance nécessaire pour tous les angles. U ne procédure automatique similai re à celle décrite en 4 .3.2.1 peut être établie sur les bases suivantes : • d'après le signe de F(O) et F(90), déterminer quelle est l'armature comprimée (Ax pour la suite de l'exposé) ; • ignorer les valeurs de 0 pour lesquelles Fs(0) et F's(0) sont nuls • résoudre le système : Fs(e) < - Axs crc cos2 e + Ays cra sin 2 e < F's(0)

(4.3-6)

avec crc et cra contraintes de l'acier en compression et en traction. • La procédure est ensuite la m ême que pour traiter le systèm e (4.3-4).

Traction Ayscra

Ayscra

vi

Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

9

-90°

0

·;::

>-

- i Axscra

Q_

0

u

Compression

Figure 4 .3-5 Cas d' une a rmature compri mée

179

180

1

Calcul du ferraillage à partir d'éléments finis

Calcul approché en flexion composée

La méthode consiste à se fixer un moment résistant Mr de flexion simple à ne pas dépasser et à utiliser le bras de levier z correspondant. Dans le cas de la flexion composée, on calcule le moment Ma au niveau de l'acier tendu, et pour des valeurs inférieures à Mr, on est assuré que le bras de levier réel est supérieur à z, et donc que le calcul est conservatif. Si par exemple, on considère un diagramme des déformations relatives : acier 10/1 000, béton 3,5/ 1 000, on obtient : z = 0,9 (h- c) (4.3-7) Mr = 0,19 (h- c)2 crb Le calcul devient alors très simple : Ma= M-N(h/2-c) • Cas Ma > Mr, l'équilibre de la section est impossible. • Cas Ma < Mr le calcul peut être poursuivi : Si Ma > 0, la section est partiellement tendue et +N As = 0 Si Ma< 0, la section est entièrement tendue et Ai cra = M /(h-2c) + N/2 As cra = - M/(h-2c) + N/2

Ai cra = Ma/z

(4.3-8)

Cette procédure est rapide et peu conservacive, mais devra être employée de préférence pour des structures peu comprimées, ou bien pour de très gros modèles. On limitera ainsi les temps de calcul, quitte à appliquer la méthode générale aux seuls éléments où des dépassements de moment résistant sont détectés.

4.3.2.4

Traitement des combinaisons

Deux procédures sont possibles suivant l'architecture du logiciel de calcul utilisé :

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

• pour chaque combinaison, on calcule les quatre sections d'armature et on retient pour chaque section la plus grande valeur trouvée; • on calcule les valeurs de Fs(0) et de Fi(0) pour coutes les valeurs de 0 et toutes les combinaisons et on retient leur enveloppe. On recherche ensuite la valeur optimale des quatre sections d'armatures. Cette procédure comporte le même nombre de calculs en flexion composée que la précédente, mais une seule procédure d'optimisation et conduit à une solution plus économique. Elle n'est pas applicable aux combinaisons nécessitant des armatures comprimées qui doivent être examinées séparément.

@ .......

..c Ol

4.3.3

Méthode simplifiée

·;::

>-

Q_

0

u

La méthode générale nécessite de nombreux calculs de flexion composée qui peuvent être évités par l'emploi de la méthode simplifiée décrite dans l'annexe LL de l'EN 1992-2. Cette méthode consiste à remplacer la coque par deux plaques de béton d'épaisseur e espacées de z (fig 4.3-6), soumises à des efforts de traction ou de compression centrés. Cette hypothèse destine donc plus particulièrement cette méthode à l'étude des combinaisons à l'état limite ultime, seul cas retenu ci-dessous. Les armatures, d'enrobage c, sont axées dans ces plaques quel que soit le lit considéré. On est ainsi ramené à l'étude de deux éléments de m embrane associés entre eux.

Eléments de coque

y

1

c

h

f

Figure 4.3-6 Élément de coque simplifiée

4.3.3.1

~r~t-

Définition des paramètres z et e

Plusieurs solutions étant possibles pour le choix de z et e, on pourra par exemple appliquer la méthode suivante : • Lallongement relatif€ de l'acier est supposé compris entre l ü°/°° et la limite élastique~\ . • On utilise un diagramme simplifié pour le béton dont la contrainte est supposée uniforme sur une hauteur e0 = 0,8 x = 2,8z/(2, 1 + 1000 E), x représentant la profondeur de l'axe neutre ( fig 4.3-7). 3,5 O/oo

-----t

e 0 = 0,8x

/

---+

N

Vl Q)

0

1....

>-

w

>------+----+----<

10 O/oo

E

------

Ee

l.D M

0 N

Figure 4.3-7 Diagramme limite de flexio n

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Par ailleurs, pour respecter la hauteur totale h de la coque, l'enrobage c ne doit pas excéder la valeur c0 = 1,4 h I (4,9 +1000 E) a) Si on désire obtenir des valeurs importantes du bras de levier z, on choisira e = 10°/ On obtient alors : c0 = 0,094 h et e0 = 0,23 1 z.

00 •

La procédure est alors la suivante : Choisir la valeur minimum de c compatible avec les enrobages réels - Si c<0,094 h

z= h- 2c

et

e = 2c

- Si c> 0,094 h

z = h - 2c

et

e = 0,23 1 z

(4.3-9)

181

182

1


Dans ce dernier cas la hauteur totale de la coque considérée dans le calcul est inférieure à la hauteur réelle et a pour valeur: 1, 19 h-2 c < h. C'est ce cas qui est représenté sur la figure 4.3.6. b) Si on désire obtenir des valeurs importantes de e pour ne pas avoir de problèmes de compression du béton, on choisira une valeur de f. inférieure à 10°/°°, par exemple 2,5 °/° limite élastique du fe 500. 0

,

On obtient alors : c0 = 0, 189 h et e0 = 0,609 z. La procédure est alors la suivante : Choisir une valeur c = 0,189 h, à moins qu'une valeur plus importante ne soit nécessaire pour respecter les enrobages réels. -Sic<0,189h

z

=

h-2c

et

e = 2c

- Sic> 0,189 h

z

=

h-2c

et

e = 0,609 z

(4.3-10)

4.3.3.2 Calcul des efforts dans les membranes Les efforts dans les deux membranes ont pour valeur : Membrane supérieure : Membrane inférieure :

Nxs = Nx/2 - Mx/z, Ny = Ny/2 - My/z Nxys = Nxy/2 - Mxy/z

(4.3- 11)

Nxi = Nx/2 + Mx/z, Ny = Ny/2 + My/z Nxyi = Nxy/2 + Mxy/z

Dans ces expressions Nx, Ny, Nxy et Mx, My, Mxy représentent les efforts dans l'élément de coque.

À partir des efforts (4.3-11 ), le calcul des armatures s'effectuera indépendamment dans chacune des deux membranes suivant la procédure décrite au chapitre 4.2. Nota

- Cette méthode néglige une partie du béton et il est indispensable de vérifier la contrainte de compression suivant les formules (4.2-8) à (4.2-11). Vl Q)

0

1....

>-

- Elle a le mérite d'être sim ple, mais risque d'être en défaut pour des éléments très comprimés. - Elle prend en compte facilement le séisme (voir§ 4.4).

w

l.D M

0 N

@

4.3.4 Armatures transversales des éléments de coque

.......

..c Ol

·;::

4.3.4.1

Définitions

>-

0. 0

u

On considère l'élément de coque défini par la figure 4.3-8, soumis à des efforts tranchants perpendiculaires à son plan. On note: Vx l'effort tranchant par unité de longueur agissant sur la facette orthogonale à l'axe Ox Vy l'effort tranchant par unité de longueur agissant sur la facette orthogonale à l'axe Oy

Eléments de coque

Sur une facette repérée par un angle V

1

l'effort tranchant a pour valeur ;

= Vx cos2 + Vy sin 2

(4.3-12)

La valeur maximum V 0 de V est donnée par : V0

=

VVx

2

+ Vy2

(4 .3-13)

Elle correspond à la facette repérée par l'angle
tg
Sur cette même facette on note N 0 et M 0 l'effort normal et le moment fléchissant concomitants avec V 0 . z

y

X

Figure 4.3-8 Élément de coque. Efforts tranchants

4.3.4.2

Données réglementaires

l:article 6.2.2 de l'EN 1992-1.1 définit dans quel cas des armatures d'effort tranchant ne sont pas requises, en distinguant trois types d'éléments :

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

a) D alles « bénéficiant d'un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré». b) Poutres et autres types de dalles c) Voiles (en pratique même règle que le cas a) Une dalle est définie comme un élément dont la plus petite dimension en plan excède cinq fois son épaisseur. La notion de redistribution n'est pas explicitée et on peut supposer qu'elle dépend de l' influence plus ou moins grande d'un défaut sur la résistance : si la dalle présente un e dimension suffisan te en plan, ou fl échir suivant deux directions, un défaut local peut être compensé par un report des charges de part et d'autre. Il nous paraît ainsi possible d'inclure dans le cas a) tous les types de dalles, portant sur deux à quatre appuis continus, à l'exclusion des poutres dalles (dalles de faible largeur portant dans un seul sens), et ceci quel que soit le type de chargement (concentré ou réparti). La limite entre dalle et poutre-dalle n'est pas donnée ; elle est donc laissée à ['appréciation de l'ingénieur en fonction du type de chargement considéré. l:article 6.2.3 de !'EN 1992- 1.1 permet de calculer les armatures d'effort tranchant lorsqu'ell es sont nécessaires.

183

184

1


Les formules réglementaires, applicables aux combinaisons à l'état limite ultime, sont basées sur la théorie du treillis avec un angle d'inclinaison des bielles ajustable par l' utilisateur. Elles font intervenir à la fois !'effort tranchant et l'effort normal, et donc on ne connait pas a priori l'orientation de la facette la plus défavorable. Toutefois l'annexe LL de l'EN 1992-2 indique que pour les coques les formules peuvent être basées uniquement sur V 0 , valeur maximum de l'effort tranchant et N 0 , effort normal concomitant. Cette méthode est adoptée dans la procédure décrite ci-après.

4.3.4.3 Procédure de calcul La procédure proposée pour les éléments de coque est basée sur les paramètres fixés par l'EN 1992-1-1 INA pour les parois et les dalles « bénéficiant d'un effet de redistribution transversale». Pour chacune des combinaisons considérées on calcule l'effort tranchant maximum V 0 , l'effort normal concomitant N 0 (direction de facette <1>0) compté positif pour la compression, et la hauteur utile d si une valeur moyenne n'est pas adoptée (cf. § 4.3.2.1). a) Des armatures transversales ne sont pas requises si les trois conditions suivantes sont vérifiées : N0 > 0 V 0 1d < 0,341yc ) fck + 0,15 crcp V 0 1d < 0,3 (1 - fckl250) fcklyc

(4.3- 15)

avec : crcp = Min {N 01h , 0,2 fck/yc} fck : résistance caractéristique en compression du béton yc = 1,5 (ELU durable ou transitoire), ou 1,2 (ELU accidentel) suivant l'EN 1992-1-1 § 2.4.2.4 ou 1,3 (ELU sismique) suivant l'EN 1998-1/NA § 5.2.4. h : haute totale de !'élément b) Éléments avec armatures transversales : La section des cadres par unité de surface est donnée par:

Aswls = V 0 tg e I (0,9 d fylys)

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

Avec : 0: angle des bielles par rapport au plan moyen de l'élément ys = 1,15 (ELU durable ou transitoire) ou 1 (ELU accidentel) fy : limite élastique de l' acier des armatures transversales Langle 0 des bielles pourra être fixé comme suit:

·;::

>-

Q_

0

u

e = 45° e = 45°

pour pour

N0 > 0 (compression) 0 > N 0 > - 0,84 fctm

cotg e = 2.51 ) 1 +actl fctm) Avec: crct = No I h fctm : résistance à la traction du béton

pour

- 0,84 fctm > crct > -fctm

(4.3- 16)

Prise en compte du séisme

1

Par ailleurs on doit vérifier : • Que la section de béton est au moins partiellement comprimée dans le cas d'un effort normal de traction. Il n'y a donc de solution possible que si : N 0 > - fctm

et

• Que la compression des bielles est adm issible, soit:

V0 /d < 0,54 acw fck /yc (1-fck/250)/(tg e +cotg e) avec :

acw= 1 +(N0 /h) /fctm acw= 1 + (N 0 /h)/fcd

(4.3-1 7)

si N 0 est négatif (traction) si 0
acw= 1,25 acw = 2,5 (1-N0 /h/fcd) fcd = fck/yc

Si la candi tion (4.3-17) n'est pas vérifiée, il est nécessaire d'augmenter l épaisseur de l'élément ou la qualité du béton.

4.3.4.4 Interprétation des cartes de ferraillage des coques .Lanalogi e avec un treillis est utilisée pour l'étude de l'effort tranchant, ce qui conduit à prolonger les armatures de fl exion au delà de leur point de calcul pour tenir compte de l'inclinaison des bielles. Dans le cas de bielles inclinées à 45° ou plus comme proposé ci-dessus, ce décalage qui dépend de la hauteur utile d de l'élém ent et de la longueur d'ancrage Id des armatures de flexion, devra être pris égal à : • lorsque des armatures d'effort tranchant ne sont pas nécessaires Id + d

[EN 1992-1-1 §6.2.2(5)]

lorsque des armatures d'effort tranchant sont nécessaires Id+ 0,5 d

Vl Q)

0

1....

>-

[EN 1992-1-1 §9.2.1.3(2)]

• lorsque l'effort tranchant est négligeable (fonctionnem ent en membrane)

w

Id

l.D M

0 N

Ces règles devront être appliquées aux 4 lits d'armatures.

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

4.4


u

Le séisme engendre dans une structure des efforts continuellement variables dans le temps, résultant de la combinaison des réponses suivant les différents modes de vibration , et donc impossibles à représenter par un seul cas de charge . .Lanalyse spectrale, méthode la plus couramment employée, permet d'évaluer la valeur maximale des efforts suivant chacun des modes, mais ne donne aucun renseignement sur leur concomitance.

185

186

1


On est donc en pratique conduit à considérer séparément chacun des éléments du modèle pour évaluer une ou plusieurs séries d'efforts concomitants (effort normal, moment, par exemple) qui produisent un effet maximal (traction dans une armature, compression du béton, par exemple). Des m éthodes approchées ont été développées, basées sur des combinaisons quadratiques, qui permettent de calculer la valeur maximale d' un paramètre donné, et dans le cas de deux param ètres, de déterminer plusieurs couples de paramètres dimensionnants [Capra & Davidovici, 1982] . Le but de ce chapitre est d'étendre ce type de méthode aux éléments finis de coque, dont le calcul nécessite en principe la prise en compte de six paramètres, afin de pouvoir réaliser des cartes de ferraillage.

4.4.1

Combinaisons quadratiques

La méthode des combinaisons quadratique a été développée à l'origine à partir des hypothèses suivantes : • les réponses modales sont assimilées à des variables aléatoires indépendantes ; • les déplacements du sol suivant les trois directions du séism e sont assimilés à des variables aléatoires indépendantes. Dans la formulation la plus simple, la valeur maximale

X:

=

x d' un paramètre x est donnée par :

f r, xj' 2 + L x"j2 + L x"'j 2

(4.4- 1)

avec : • x'j valeu r maximale de x pour le mode jet le séisme Ox; • x" valeur maximale de x pour le mode j et le séisme Oy ; • x"'j valeur maximale de x pour le mode j et le séisme Oz; • L. représente la somme des n modes pris en compte (j = l, n).

4.4.1 .1 Cas d'un seul paramètre Vl Q)

Lorsqu'on utilise un seul paramètre x, les vérifications sont faites pour les valeurs :

0

X=

1....

>-

w

l.D

x0 +X

X=

x0 -

x

x0 étant la valeur permanente de x concom itante avec le séisme.

M

0 N

@

4.4.1.2

Cas de deux paramètres

.......

..c Ol

·;::

Les couples (x, y) possibl es sont situés à l'intérieur d'une ellipse (figure 4.4-1) d'équation :

>Q_

(x/X.) 2 + (y/y) 2 - 2p(x/x)(y/y)

0

u

avec :

=1-

p2

Jr, x'j2 + L x"j2 + L x"'j2 y= Jr, y'j2 + r, y"j 2 + r, y"'j2 x

=

y'j valeur maximale de y pour le mode j et le séisme Ox ; y"j valeur maximale de y pour le mode j et le séisme Oy ; y"'j valeur maximale de y pour le mode j et le séisme Oz.

(4.4-2)

(4.4-3)


p

1

= ( :E x'j y'j + :E x"j y"j + :E x"'j y"'j) / (x y)

L'orientation de l'ellipse dépend du signe de p qui est compris entre 1 et -1. y y

D

px

A

PY

-

X X

B

Figure 4.4-1 Ellipse d'interaction (x, y)

Si on fait le calcul avec un seul mode, le paramètre p vaut 1 si xl et yl ont le même signe, - 1 dans le cas contraire. L'ellipse se réduit alors à la droite AC (p = 1) ou BD (p = -1) Dans le cas d'un mode très prépondérant par rapport aux autres, la valeur absolue de p est proche de 1 et l'ellipse est très étroite (figure 4.4- 1).

Vl

4.4.2

Utilisation pratique des combinaisons quadratiques

4.4.2.1

Méthode de calcul enveloppe

Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

.....,

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Les couples (x, y) représentant le séisme sont obtenus de manière enveloppe en remplaçant l'ellipse par le rectangle ABCD. En pratique, le calcul est effectué avec les coordonnées des sommets. Par cumul avec le couple (x0 , y0 ) correspondant aux charges permanentes, on obtient ainsi quatre couples de paramètres de calcul. Pour des valeurs absolues de p proches de 1 (cas d'un mode prépondérant), deux des sommets représentent une bonne approximation, les deux aurres une mauvaise, le signe des efforts pouvant même paraître illogique à l'utilisateur.

4.4.2.2

Méthode du polygone

On remplace l'ellipse par un polygone circonscrit (figure 4.4-2). La solution, moins enveloppe que la précédente est alors obtenue en utilisant les coordonnées des huit sommets, ce qui fournit donc huit combinaisons.

187

188

1


Les coordonnées des quatre sommets E, F, G, Hont pour valeur:

E[x, exy] avec:

ex =

F[exx, y]

J2(1 + p) -

1

G[~x,yJ

et

~

=1-

H[x, ~y]

(4.4-4)

) 2(1-p)

Celles des quatre autres sommets s'en déduisent par symétrie.

X

G'

F'

Figure 4.4-2 Polygone circonscrit

4.4.2.3

Vl Q)

0

1....

Combinaison quadratique signée

On utilise les valeurs maximales x et y supposées concomitantes, en leur attribuant le signe du mode principal. Cela revient à remplacer l'ellipse par la droite AC ou BD (figure 4.4-1). On voit donc que le calcul ne peut être dans le sens de la sécurité que si la valeur absolue de p est proche de 1, c'est-à-dire s'il existe un mode très prépondérant.

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

4.4.3 Application de l'Eurocode 8 Les combinaisons quadratiques simples utilisées au paragraphe 4.1 ne donnent pas des résultats corrects si deux modes ont des périodes voisines. Leur formulation a donc été améliorée et, à ce jour, l'Eurocode NF EN 1998-2 article 4.2.1.3 prescrit :

u

4.4.3.1 Combinaison des modes Pour une direction de séisme donnée, on effectue une« combinaison quadratique complète» (CQC) des modes basée sur la fonction : S(x)

= :E:E rij

xi xj

Le coefficient rij dépend de l'amortissement et de la période des deux modes i et j.

(4.4-5)


L représente l'opération somme (i = 1, n ou j

=

1

1, n) pour les n modes pris en compte.

La valeur maximale du paramètre x est donnée par :

x=

CQC(x) =

{SW

(4.4-6)

Dans le cas de deux paramètres utiles x et y, on obtient de même :

y=

CQC(y) =

JS{i)

(4.4-7)

Aucune indication n'est donnée pour !'évaluation de la corrélation entre x et y. Par analogie avec (4.4-3), on écrira: S(x,y) = LL rij xi yj

(4.4-8)

p = S(x,y) / (x y)

(4.4-9)

4.4.3.2 Combinaison des directions du séisme Deux méthodes sont proposées dans l'Eurocode NF EN 1998-1article4.3.3.5.1. 4.4.3.2. l Première méthode La valeur maximale du paramètre x est obtenue par combinaison des modes et des trois directions du séisme suivant la formule :

-x = ' x± 03,'x ' ±03--,,, ,x x', x", x'" représentant la valeur maximale du paramètre x pour chacune des trois directions du séisme. En changeant les signes et en permutant les directions du séisme, on obtient finalement 24 valeurs de dont on retient le maximum en valeur absolue.

x

Cette procédure génère beaucoup de calculs et s'avère utilisable uniquement pour des méthodes simplifiées. On lui préférera la seconde méthode. 4.4.3.2.2 Seconde méthode

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

On combine les directions de séisme en utilisant des combinaisons quadratiques simples. Cela revient à utiliser les formules (4.4-3) en utilisant les CQC relatives aux trois directions du séisme. Finalement, l'étude d'un couple (x,y) pour l'ensemble des modes et des directions de séisme s'effectuera à l'aide des trois paramètres :

x = VS(x') + S(x") + S(x'")

y = VS(y') + S(y") + S(y"')

(4 .4- 1O)

p = { S(x' y') + S(x" y") + S(x"' y"')} / (x y)

>-

0. 0

u

4.4.4 Cas des éléments de membrane On admettra l'hypothèse d'un treillis à 45°, en renonçant donc à une optimisation du ferraillage basée sur une adaptation de cet angle. Dans ces conditions, le calcul de chacune des sections d'armature utilise uniquement deux paramètres (Nx et Nxy pour Ax, Ny et Nxy pour Ay), et on peut donc raisonner à partir de l'ellipse définie au paragraphe 4.4.1.2.

189

190

1


4.4.4.1

Calcul de la section Ax

La formule (4.2-1) s'écrit: Ax cra = Nx0 + Nx + [Nxy0 + Nxy]

(4.4- 11)

avec • Nx0 , Nxy0 efforts permanents; • Nx, Nxy efforts sismiques résultant de la combinaison des modes et des trois directions du séisme. Ces efforts sismiques sondes coordonnées d'un point de l'ellipse définie par les formules (4.4-10) dans lesquelles on remplace x par Nx, y par Nxy et qui fournissent les trois paramètres: Nx=CQC(Nx)

Nxy = CQC(Nxy)

et

p

La valeur maximale de Ax est obtenue en dérivant (4.4-11) par rapport à Nx. On obtient ainsi deux valeurs de la dérivée Â. = dNxy/dNx: si Nxy0 + Nxy < 0;

À= 1 Â.

si Nxy° + Nxy > O.

= -1

Les couples (Nx, Nxy) recherchés sont donc les points de l'ellipse de pente 1 ou - 1 (points P et Q de la figure 4.4-3) et d'abscisse Nx >O. Finalement, le calcul s'effectue comme suit : A = (p/... Nx - Nxy) / (/... Nx - p Nxy) Nx = Nx .j(l - p2 )

/

avec À = 1 ou - 1

(1-2pA+A2)

Nxy = ANxy .j(l-p 2 )

/

(4.4-12)

(1 - 2pA+A2)

Les valeurs de Nx et Nxy correspondant aux deux points Pet Q sont ensuite reportées dans (4.4-11). On obtient ainsi deux valeurs de Ax dont on retiendra le maximum.

Nxy

vi

Q)

0

l

Nx

1

t

1....

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w

\,() M

0 N

@ Nx

.......

..c Ol

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Q_

0

u

Figure 4.4-3 Éléments de membrane. Calcul de la section Ax


1

4.4.4.2 Calcul de la section Ay Le calcul s'effectue comme précédemment à parrir des paramètres Ny et Nxy.

4.4.4.3 Calcul de la compression maximale Le calcul de la compression maximale fair appel aux trois paramètres Nx, Ny, Nxy et ne peut être réalisé dans le cadre de cerre méthode simplifiée.

4.4.5

Éléments de coque - méthode approchée

La méthode approchée (décrite au § 4.3.3) consiste à remplacer la coque par deux membranes parallèles. Pour la prise en compte du séisme, il suffira d'utiliser pour chacune de ces deux membranes la méthode décrire au paragraphe 4.4.4.

4.4.6 Éléments de coque - méthode générale La méthode générale, décrite au paragraphe 4.3.2 considère des facettes repérées par un angle e soumises à des efforts N(e) et M(e). Dans le cas du séisme, on utilisera ces efforts comme données de base. La procédure se présente alors sous la forme suivante :

4.4.6.1

Transformation des données

Pour un mode j et une direction de séisme donnée, le calcul sismique fournir les efforrs Nxj, Nyj, Nxyj et Mxj, Myj, Mxyj. Pour chaque valeur de l'angle e, on calcule les efforts sur la facette :

= Nxj cos 2 e + Nyj cos 2 e + 2 Nxyj sine cose Mj(q) = Mxj cos 2 e +Myj cos 2 e + 2 Mxy j sine cos e Nj(e)

(4.4-13)

Vl Q)

0

1....

>-

w

\,() M

Puis on calcule les CQC de ces efforts en combinant les modes et les trois directions de séisme : N(e)

M(e)

et

p(e)

0 N

@ .......

..c Ol

4.4.6.2 Sélection des couples (N, M) représentatifs

·;::

>-

Q_

0

u

On utilise la méthode du polygone circonscrit décrire au paragraphe 4.4.2.2. Les efforts sismiques seront alors définis par les huit couples {N(e),M(e)} correspondant aux huit sommets du polygone, obtenus en remplaçant dans (4.4-4) : x par N(e)

er

x par

N(e)

y par M(e)

er

y par

M(e)

191

192

1

Calcul du ferraillage à p artir d'éléments finis

4.4.6.3

Calcul en flexion composée

Pour chacun des huit couples {N(0),M (0)}, combiné avec le couple représentant le cas statique concomitant, un calcul en flexion composée fournit les forces de traction Fl(0) et FS (0) des nappes inférieure et supérieure. On ne conserve que les valeurs enveloppe de ces huit cas.

4.4.6.4

Calcul des armatures

À partir des valeurs enveloppe des forces de traction FI (0) et FS(e), le calcul des armatures est effectué avec la même méthode d'optimisation que pour les autres cas de charge (voir § 4.3.2).

4.5

Cas particuliers de ferraillage

Les méthodes de calcul exposées précédemment supposent des lits de ferraillage orthogonaux entre eux et orientés suivant les axes des éléments finis. Or, il est parfois peu commode de réaliser le maillage du modèle selon les directions du ferraillage et, d'autre part, dans de rares cas, le ferraillage peut être biais. Il est cependant possible de traiter ces cas de m anière rigoureuse, ou à défaut, de définir par excès les sections d'armature nécessaires à partir de celles qui sont calculées pour un ferraillage orthogonal supposé orienté suivant les axes des éléments finis.

4.5.1

Méthode rigoureuse

4.5.1.1

Cas général

On considère un élément de coque comportant des armatures de section Asl et As2 en face supérieure, et de section Ai 1 et Ai2 en face inférieure, orientées respectivement d'un angle a et ~ par rapport à O x. (fig 4.5.1) Vl Q)

0

1....

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Les résistances en traction du lit supérieur et du lit inférieur dans une direction 0 par rapport à O x ont pour valeurs :

w

l.D M

0 N

@ .......

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Q_

0

u

Rs(e) Ri (0)

= Asl cra cos2 (0 - a) + As2 cra cos2 (0 - ~) = Ail cra cos2 (e - a) + Ai2 cra cos2 (e - ~)

(4.5-1)

On pourra alors utiliser la méthode générale décrite dans le paragraphe 4-3-2 en remplaçant les expressions (4.3.3) par les expressions (4.5.1).

Cas particuliers de ferraillage 1 193

r>-'

X

Figure 4.5-1 Disposition du ferraillage. Cas général

4.5.1.2

Cas particulier du ferraillage orthogonal

Dans le cas d'un ferraillage orthogonal, o rienté d' un angle a par rapport à Ox, on pourra effectuer un changem ent d'axe pour exprimer les efforts dans le repère du ferraillage. Il sera ensuite possible d'appliquer toutes les méthodes décrites dans les paragraphes 4-2 et 4-3 .

4.5.2 Méthode approchée On suppose connues, pour un lit d'armature, les sections Ax et Ay calculées suivant les axes de l'élément. On effectuera un calcul conservatif, en écrivant que : dans une direction 0 donnée, les armatures de section Al et A2 ont une résultante supérieure à celle des armatures de section Ax et Ay, soit: Vl Q)

0

1....

>-

Al cos 2 (0 - a) + A2 cos 2 (0 - ~) > Ax cos 2 0 + Ay sin 2 0 (A l + A2) minimum

(4.5-2)

w

l.D M

0 N

@ .......

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>-

Il est possible de calculer Al et A2 dans les 2 cas particuliers suivants : • Cas n° 1 : armatures orthogonales (a différent de 0 et~ = a+ 90°). On obtient:

Al = Ax cos 2 a + Ay sin 2 a + I (Ax - Ay) sin a cos a I A2 = Ax sin 2 a+ Ay cos 2 a+ I (Ax - Ay) sin a cos a I

(4.5-3)

Q_

0

u

• Cas n° 2 : arm atures biaises (a= 0

et~

différent de 90°)

Al = Ax + Ay (cos 2 ~ + Icos ~I) / sin 2 ~ A2 = Ay (cos 2 ~ + Icos ~I) / sin 2 ~

(4.5-4)

194

1


4.6

Conclusion

Deux procédures de calcul des éléments de coque ont été exposées dans ce chapitre : • une méthode générale basée sur la considération de facettes tournantes autour du point de calcul. Cette méthode fournit une solution facilement vérifiable lorsque les directions principales des efforts de membrane et de flexion coïncident avec les directions du ferraillage, moins évidente à justifier dans le cas contraire, mais, compte tenu de son utilisation depuis de nombreuses années, on peut considérer qu'elle est validée par l' usage, faute de l'avoir été par des essais ; • une méthode simplifiée, plus rapide mais moins universelle, basée sur la modélisation d'un élément de coque par deux membranes parallèles. Dans le cas du séisme, il est proposé tout d'abord une adaptation des prescriptions de l'Eurocode : • les directions du séisme sont combinées en utilisant une combinaison quadratique simple ; • la corrélation entre deux paramètres est évaluée en utilisant la combinaison quadratique complète préconisée pour la combinaison des modes Cela permet de définir par une ellipse d' « interaction » les couples de paramètres utiles. Pour la méthode générale comme pour la méthode simplifiée, il est montré que le calcul du ferraillage peut s'effectuer en utilisant seulement deux paramètres. Lutilisation del' ellipse d'interaction permet alors de déterminer les couples de paramètres utiles et de calculer de la manière la plus rapide possible chacune des sections d'arm atures avec une précision comparable.

Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

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Q_

0

u

CHAPITRE 5

Pratique des logiciels de calcul sur ordinateur Claude Saint-jean

5.1

Modélisation informatique

Lanalyse des bâtiments sous séisme est menée, le plus souvent, à l'aide d'une modélisation informatique. À de rares exceptions près, la méthode toujours utilisée est la méthode modale. Lanalyse peut être effectuée sur un modèle tridimensionnel ou sur un modèle à barres verticales dit modèle brochette. Chaque type de modélisation présente ses avantages, mais aussi ses inconvénients.

5.1.1

Modélisation 3-D

C'est la méthode la plus utilisée, car les logiciels actuels offrent une saisie interactive de la géométrie très performante : il est relativement aisé de prendre en compte chaque élément résistant ainsi que les points singuliers comme les ouvertures dans les voiles et les planchers. Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

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..c

Il est habituel de modéliser les planchers et les voiles en éléments finis de coque, les poteaux et poutres (y compris les linteaux) en éléments barres. Cette facilité occulte, en fait, un certain nombre de problèmes. Lingénieur doit rester avant tout maître de son modèle. Les mailleurs automatiques facilitent grandement la tâche de modélisation mais, lorsque la géométrie d'une structure est complexe, il faut savoir imposer au mailleur un certain nombre de contraintes, notamment la taille et la forme des éléments finis .

Ol

·;::

>-

Q_

0

u

5.1 .1.1 Précision du maillage et taille optimale des éléments La forme des éléments finis est primordiale pour la précision des résultats. Il est tentant de prendre en compte toutes les singularités d'un bâtiment (petites ouvertures dans les voiles, décalage des lignes moyennes de certains éléments . .. ), mais il faut avoir en tête que les m ailleurs automatiques génèrent alors des éléments le plus souvent trian gulaires dont les« rapports de forme » sont trop importants. Un logiciel comme Hercule signale tous les éléments trop

196

1

Pratique des logiciels de calcul sur ordinateur

allongés (rapport de forme supérieur à 3) ; ce n'est pas malheureusement pas le cas des logiciels comme Robot Millénium et Advance Design : le modélisateur perd donc de la précision dans les résultats locaux de son modèle, alors qu'il pense avoir approché au mieux la géométrie de la structure !

,-

+ 1012301

00772 + 101220

Figure 5.1-1 Effet sur le maillage automatique du décalage des lignes moyennes

Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u Figure 5.1-2 Effet sur le maillage automatique de la prise en compte d'une ouverture de petite taille

Afin d'obtenir des résultats fiables localement, il est conseillé d'utiliser des éléments finis quadrangulaires de 1 m x 1 m. Cette taille peut être toutefois augmentée si on désire uniquem ent des résultats globaux pour le bâtiment.

Modélisation informatique 1 197

5.1.1.2

Modélisation des linteaux

Si le modélisateur ne fait rien de plus que de modéliser les linteaux par des éléments de barres reliés aux nœuds des éléments finis, les linteaux sont articulés à leurs extrémités car les éléments de coque ne possèdent pas de degré d e liberté de rotation actif autour de l'axe perpendiculaire à leur plan. Le meilleur moyen pour contourner ce problème est de prolonger, de chaque côté, la barre représentant le linteau par une barre jusqu'aux nœuds voisins. Les barres de prolongement doivent être très rigides pour ne pas modifier la longueur de flexion du linteau.

4349

Barres rigides 0

0607

Linteau

Figure 5.1-3 Prolongement d'un linteau par des barres rigides

5.1.1.3

Exploitation des résultats

Linconvénient de la modélisation 3-D est la lourdeur d e l'exploitation d es résultats, vu la quantité d'informations générées par les logiciels.

Vl

Dans les bâtiments contreventés par d es voiles en béton armé, les résultats peuvent être exploités :

Q)

0

soit directement par des cartes de ferraillage ;

1....

>-

w

l.D M

0 N

• soit par des coupures horizontales dans les voiles pour obtenir le torseur des efforts résultants (M , N et T) et par calculs du ferraillage, à partir de ces efforts, selon les règles parasismiques utilisées.

@ .......

..c

5.1.1.3.1 Cartes de ferraillage

Ol

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0. 0

u

Lavantage d e la méthode est sa rapidité d'exécution, mais ell e présente d eux inconvénients majeurs: • les sections obtenues résultent des efforts d e m embrane dus à la flexion des voiles dans leur plan ainsi que des efforts de flexion hors du plan des voiles ; les efforts de membrane conduisent à une répartition des armatures le long du voile; certaines armatures situées en milieu d e voile sont nettement moins efficaces que celles des chaînages situées en about ; globalem ent, la section d'armatures mise en place est donc légèrement supérieure à celle obtenue par la méthode des coupures ;

198

1


• ces sections ne respectent pas les méthodes de calcul de ferraillage des voiles exposées dans les normes sismiques (PS 92 ou Eurocode 8), notamment la détermination des armatures d'effort tranchant à partir d'un effort tranchant majoré et la vérification de non-glissement. La méthode peut toutefois être utilisée pour localiser rapidement les zones de la structure où les efforts sont maximaux (voir paragraphe 5.1.1.3.2 ci-dessous). 5.1 .1.3.2 Méthode des coupures La méthode adéquate pour respecter au mieux les règles parasismiques est d'effectuer des coupures horizontales dans les voiles pour obtenir les torseurs résultant des efforts de membrane au niveau de ces coupures : le moment fléchissant et l'effort normal permettent de calculer, en flexion composée, les armatures de chaînage ; • !'effort tranchant permet de calculer les armatures d'effort tranchant et de glissement éventuel. Il est à noter que certains logiciels sous-estiment les valeurs de ces efforts : les coupures ne sont pas effectuées au niveau des nœuds situés sur la coupure mais au niveau du centre de gravité des éléments finis immédiatement au-dessus de celle-ci. Cette erreu r est faible si la taille du maillage adopté est relativement réduite (bras de levier erroné de 50 cm pour un maillage de 1 m de haut) mais peut devenir rédhibitoire en cas de maillage lâche (bras de levier erroné de 1,50 m pour un maillage de 3 m de haut correspondant à une hauteur d'étage). einconvénient de cette méthode est sa lourdeur, même si les logiciels effectuent automatiquement les coupures : dans l'absolu, il faut effectuer des coupures pour tous les voiles, à tous les niveaux et pour toutes les combinaisons de cas de charges, Il est conseillé, dans un premier temps, d'éditer les cartes de ferraillage. Celles-ci, même si elles ne respectent pas les m éthodes de ferraillage des règlements sismiques, permettent de visualiser très rapidement les voiles les plus sollicités de la structure. Lorsque les cartes indiquent des sections d'armatures voisines de 0 cm21m, il est certain que la méthode des coupures aboutira à mettre en place les ferraillages minimaux des règles parasismiques ; il est donc inutile d'effectuer les coupures dans ces voiles et il est préférable de se concentrer sur les voiles les plus sollicités. Vl

5.1.1.3.3 Résultats obtenus par superposition quadratique

Q)

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0

u

Les résultats obtenus le sont tous par superposition quadratique (déplacements, accélérations, efforts) : il y a donc une perte des signes. Dans les règlements parasismiques, rien n'est dit pour pallier cet inconvénient. Par contre, certains logiciels permettent d'affecter aux résultats des superposi rions q uadratiques le signe des efforts obtenus pour le mode prépondérant. Cette méthode peut sembler, à première vue, présenter un certain avantage mais, malheureusement, elle n'est pas applicable dans tous les cas. Dans les bâtiments à l'irrégularité très prononcée, le mode prépondérant ne correspond qu'à 30 ou 40 % de la masse totale : il y a donc un très grand nombre d'éléments pour lesquels le mode qui donne le plus d'efforts n'est pas le mode prépondérant pour l'ensemble du bâtiment: cette méthode est donc à proscrire dans ces cas. Il est conseillé de n'appliquer cette méthode que lorsque la masse participante du mode prépondérant correspond au moins à 60 % de la masse totale, et cela pour les deux directions de séisme horizontal.

Modélisation informatique

1

5.1.2 Modélisation « brochette » Ce rype de modélisation dace des années 1975-1980 ; à l'époque, il étaie hors de question d'effectuer un calcul modal sur un modèle 3-D, vu la lenteur des ordinateurs. Ces calculs étaient menés sur des modèles (plans ou spatiaux) à barres verticales plus ou moins sophistiqués dits modèles « brochettes » . Ces modèles devaient être, bien sûr, les plus représentatifs possible des modèles 3-D. Les nœuds de la brochette correspondent aux centres de torsion de chaque étage, les masses étant si tuées aux centres de gravité. Dans le modèle, les centres de gravité sont reliés aux centres de torsion par des barres infiniment rigides. Les masses correspondent aux charges (permanentes et d'exploitation) appliquées sur chaque plancher ainsi qu'au poids propre des éléments verticaux situés entre planchers. Dans ce rype de modélisation, il y a une phase de « calage » qui perm et de déterminer les caractéristiques géométriques de la brochette à partir de celles du modèle 3-D. Le calage est satisfaisant si les déplacements (translations et rotations) des nœuds de la brochette correspondent aux déplacements et rotations d'ensemble des nœuds de planchers du modèle 3-D. Ces déplacements sont obtenus pour un même chargement, en général le poids propre de la structure appliqué à l'horizontal. Le fait de déduire les sections et inerties des barres à partir du coffrage des voiles ne conduit pas toujours un calage satisfaisant ; il faut souvent avoir recours à un calage plus fin en déduisant sections réduites et inerties des barres de la brochette à partir des déplacements moyens des nœuds du modèle 3-D, en utilisant les formules de Bresse. Une fois, le calage obtenu, les calculs sismiques conduisent à l'obtention d'accélérations à chaque nœud de la brochette, ces accélérations étant obtenues par superposition quadratique des accélérations maximales de chaque mode. Elles sont ensuite injectées dans le modèle 3-D et les efforts sismiques pseudo-statiques en découlent.

Vl Q)

0

1....

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l.D

Toutefois, cette méthode ne respecte le principe intangible qu'il ne faut pas utiliser le résultat d'une superposition quadratique d'une variable pour en calculer une autre, sous peine d'obtenir un résultat très majorant. Il est donc nécessaire d'effectuer un ajustement des accélérations à chaque niveau pour restituer les valeurs de l'effort tranchant et du mo ment de renversem ent à la base du bâtiment et cela dans chaque directio n. Les inconvénients de cette méthode résident dans la difficulté, souvent sous-estimée, du calage et de son délai d'exécution. Déterminer des caractéristiques géomécriq ues « à la louche » sans calage conduit à des résultats complètement erronés.

M

0 N

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......

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Le délai d'exécution est incompatible à l'heure actuelle avec les délais demandés aux BET pour fournir les résultats. C'est pourquoi, cette m éthode est peu utilisée malgré sa pertinence. Un exempl e est toutefois donné au paragraphe 5.8 .

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Q_

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u

5.1.3

Prise en compte de l'inertie fissurée dans les modèles

LEurocode 8 [EC8- 1/4.3.1 -(6)] indique qu'il « convient généralement d'évaluer la rigidité des éléments porteurs en tenant compte des effets de la fissuration ». Sauf étude plus précise, la fissuration est prise en compte en divisant la rigidité par 2 [EC8-1/4.3 .1-(7)] ; dans les calculs, cela revient à diviser le module d'élasticité du béton par 2.

199

200

1


:Cinterprétation du paragraphe est ambiguë : « il convient généralement » signifie-t-il « il faut » ou est-ce simplement un conseil ? La Commission de normalisation des règles parasismiques (CN/PS) a statué sur le fait qu'il y avait obligation de tenir compte de la fissuration, afin de satisfaire au principe énoncé dans le paragraphe. Il est très simple, lorsque les modèles sont encastrés ou articulés à la base, de se rendre compte de l'influence de la prise en compte de la fissuration sur la période du bâtiment. Exemple : la période du mode fondamental d'un bâtiment est égale à T 1, en considérant le béton non fissuré. On en déduit que la période T 2, en considérant le béton fissuré (module instantané du béton divisé par 2), est égale à T 1 =

{2.

Il suffit de se rappeler la formule donnant la période T d'un oscillateur simple de masse m, relié à un support par un ressort de raideur k.

La période est inversement proportionnelle à la racine carrée de la raideur. Quand on applique les spectres de l'EC8, il peut se produire quatre cas : • le bâtiment est très raide; sa période T 1 est inférieure à T 8 . Le fait de diminuer sa raideur va augmenter sa période propre T 2, donc par conséquent les efforts sismiques vont également augmenter (figure 5.1-4, cas 1);

Vl Q)

0

Cas 1

Cas 2

1....

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u

Cas 3 Figure 5. 1-4 Influence de la prise en compte de la fissuration du béton sur la valeur des périodes propres

Modélisation informatique 1 201

• le bâtiment est raide et sa période correspond au palier du spectre tout en étant proche de T B· Le fait de diminuer sa raideur va augmenter sa période qui va, néanmoins, rester sur le palier. Il n'y a donc aucune conséquence sur la valeur des efforts sismiques (figure 5.1-4, cas 2) ; • le bâtiment est raide et sa période correspond au palier du spectre tout en étant proche de TC. Le fait de diminuer sa raideur va augmenter sa période qui va correspondre au début de la branche descendante du spectre. Les efforts sismiques vont alors diminuer (figure 5.1-4, cas 3) ; • le bâtiment est relativement souple et sa période correspond au début de la branche descendante du spectre. Le fait de diminuer sa raideur va augmenter sa période qui correspond toujours à la branche descendante mais en s'éloignant de T c- Les efforts sismiques vont alors diminuer (figure 5.1-4, cas 4). Attention : ce raisonnement n'est pas entièrement transposable pour une modélisation comportant des ressorts de sol, puisque seule la raideur du bâtiment est alors modifi ée.

5.1.4 Prise en compte de l'interaction sol-structure Il est possible dans les modèles informatiques de prendre en compte l'interaction sol-structure (ISS) par l'intermédiaire de ressorts et d'amortisseurs. Cela permet, le plus souvent, de diminuer les effo rts sismiques, notamment lorsque le sol est souple et que le bâtiment est massif. L'Eurocode 8 indique même qu'il faut prendre en compte l'ISS chaque fois que c'est défavorable, en particulier pour le calcul de la largeur des joints ou lorsque les effets du second ordre ne sont pas négligeables. Toutefois, cette prise en compte doit être régie par un certain nombre de règles, sous peine d'obtenir des résultats complètement erronés :

• il est nécessaire de connaître le module de déformation du sol sous charges de courte durée (module« dynamique») ; celui-ci ne peut être directement déduit du module« statique» et il est donc nécessaire d'avoir recours à des essais spécifiques comme les essais cross-hole; • les essais permettent d'obtenir, en règle générale, le module transversal dynamique G ; l'étape suivante consiste à calculer les ressorts et les amortisseurs. Vl Q)

0

1....

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u

- pour les fondations superficielles, les méthodes les plus utilisées (Deleuze ou Rosenblueth) ne posent pas de problèm e particulier pour leur application, - pour les fondations profondes, les calculs sont plus complexes, notamment en raison de l'effet de groupage; il est à noter qu'un nombre très restreint de bureaux d 'études spécialisés ont les compétences nécessaires pour effectuer ces calculs. En outre, lorsqu'on tient compte de l'ISS, l'Eurocode 8 recommande que l'amortissement total du système soit limité à 5 % quand un comportement dissipatif est pris en compte pour la structure. Il en résulte que le calculateur a le choix entre deux options : • effectuer un calcul linéaire élastique non dissipatif de la structure en tirant totalem ent profit de l'effet bénéfique de l'amortissement radiatif du sol, mais en prenant le spectre élastique avec un coefficient de comportement à 1 ; • effectuer un calcul inélastique dissipatif de la structure en prenant le spectre de calcul avec un coefficient de comportement supérieur à 1,5 mais en limitant l'amortissement radiatif à 5 %.

202

1


Il est à noter que le Guide pour la conception parasismique des bâtiments en acier ou en béton selon l'Eurocode 8 édité par l'AFPS autorise la première solution (prise en compte de l'effet de l'amortissement radiatif du sol) en utilisant le spectre de calcul avec q = 1,5. En conclusion, la prise en compte de l'ISS n'est pas une méthode « magique » pour diminuer les efforts sismiques. Elle est très souvent complexe tant au niveau de la détermination des hypothèses que dans sa partie calculatoire. Cette complexité va m alheureusement de pair avec un surcoût financier des études.

5.1.5 Prise en compte du décollement des fondations Pour certains bâtiments, on constate qu'une partie des fondations est soulevée sous certaines combinaisons de cas sismiques. S'il est loisible de négliger ces soulèvements lorsqu'ils sont limités, il faut, par contre, les prendre en compte lorsqu'ils concernent une grande partie ou m ême la totalité d'un certain nombre de voiles, le plus souvent situés aux extrémités du bâtiment. Il est à noter que : • le fait de dire que, si moins de 30 % de l'emprise des fondations est soulevé, on peut négliger les soulèvements est faux : cecce affirmation provient du fait qu'il étaie écrie dans les règles concernant l'industrie nucléaire, que les calculs modaux étaient valables tant que les soulèvements des fondations représentai ent moins de 30 % de l'emprise du bâtiment; • le fait de dire que, dans la réalité, le bâtiment se soulève et don c que les efforts obtenus dans le modèle sont « fictifs» est vrai, mais il ne faut pas oublier que lors du soulèvem ent, il y a une redistribution des efforts dans le reste du bâtiment et que celle-ci ne peut être appréciée dans le modèle encastré à la base du bâtim ent. Pour apprécier cette redistribution d'efforts, il faut reprendre le modèle en modifiant les conditions d'appui, c'est-à-dire supprimer tous les appuis « tendus » par itérations successives; certains logiciels font cela automatiquement. Attentio n ! Il n'y a plus linéarité des calculs :

• il faut faire autant de calculs qu'il y a de combinaisons de cas de charges ; il est totalem ent faux d'effectuer les combinaisons en final; Vl Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

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Q_

0

u

• on ne peut plus effectuer de calcul modal. Il faut donc prendre en compte l'effet du séisme par des cas de charges dits « pseudo-statiques », obtenus en multipliant les différentes masses par les accélérations quadratiques à chaque niveau obtenues par le calcul modal d'origine sur le modèle encastré. Malheureusement, en faisant cela, on transgresse le principe« de base» selon lequel les résultats d'une combinaison quadratique ne doivent pas servir de données pour calculer d'autres grandeurs (voir § 5.1.2) : en faisant cette erreur couramment rencontrée, on obtient des efforts nettement supérieurs à ceux obtenus en faisant la superposition quadratique des efforts modaux. Il convient alors de se « caler », par exemple en comparant, dans chaque direction, l'effort tranchant et le moment de renversem ent dus au séism e obtenus par les deux m éthodes de calculs. Les accélérations quadratiques sont multipliées par les coefficients appropriés pour o btenir les mêm es résultats selon les deux méthodes de calcul. En conclusion, la prise en compte des décollem ents, tout comme l'ISS , n'est pas une méthode simple. Elle doit suivre une m éthodologie bien précise sous peine d'obtenir des efforts sismiques totalem ent erronés.

Exemples de calcul

5.2

1

Exemples de calcul

Le bâtiment présenté au paragraphe 5.2.1 est calculé successivement avec Hercule, Advance Design, Robot Structure Analysis et Epicentre. Ce sont les programmes les plus utilisés par les bureaux d'études pour effectuer les calculs sismiques.

5.2.1

Présentation

5.2.1.1

Géométrie

du bâtiment

:s:•-- =2as=-_1s vi

0

1...

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550

l.D M

0 N

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Q_

0

u

126

15

-11

15

-r

270

285

15

15

285 210

285

15

il

1

Q)

w

285

~t 1

1

--

1 73

140

n__73i 1'0 2_n~

15

1800

Figure 5.2-1 Perspective et vue en plan du bâtiment

15

15

203

204

1


Les caraccéristiques géomécriques du bâciment sont les suivames : • hauceur wcale : H = 16,00 m (4 niveaux de 4,00 m chacun) ; • longueur: Lx= 18,00 m; • largeur: Ly = 11 ,26 m. Il esc contreventé par des voiles en béton armé de 20 cm d'épaisseur. Les plan chers ont une épaisseur de 18 cm.

5.2.1.2

Hypothèses sismiques

Le bâtiment est de catégorie IV et est situé en zone de sismicité 4. Le coefficient d'importance y 1 est égal à 1,4, l'accélération au rocher agR est égale à 1,6 m/s 2, l'accélération ag est égale à 2,24 m/s2 (ag = y1 x agR) et le spectre utilisé est de type 2. Le sol est constitué, à partir d'un substratum marna-calcaire, d'une couche variable (5 à 11 m) d'argile gris vert et en surface d'un remblai de tuf calcaire de 5 m. Le sol est donc de catégorie D et le coefficient S est égal à 1,6. Lassise du bâtiment est horizontale : le coefficient de site est égal à 1. Le coefficient de comportement q est égal à 1,9 (bâtiment irrégulier, classe de ductilité moyenne DCM et ~ estimé à 0,80: q = 0,8 x ~ x q0 = 0,8 x 0,8 x 3 = 1,9).

5.2.1.3

Hypothèses concernant les charges

• Poids propre. • Plancher étage courant: g = 3 kN/m 2 et q = 2,5 kN/m 2 • • Plancher terrasse: g = 5 kN/ m 2 et q = 1 kN/m 2 .

5.2.2 Méthodologie des calculs Cette méthodologie est appliquée quel que soit le logiciel utilisé.

Vl

5.2.2.1

Étape 1 - constitution du modèle

Q)

0

1....

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w

l.D M

0 N

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..c Ol

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>-

Q_

0

u

Les voiles et les planchers sont modélisés en éléments finis de coque. Les quelques poteaux sont modélisés en éléments barres. La finesse du maillage est importante : les dimensions en plan des éléments finis varient de 50 à 70 cm environ. Dans un premier temps, le bâtiment est considéré encastré à la base. Les charges sont décrites selon trois cas : poids propre automatique ; • charges perm an ences ; • charges d'exploitation.

Exemples de calcul

5.2.2.2

1

Étape 2 - vérification du modèle

Avant de s'engager dans les calculs sismiques, il est impératif de s'assurer de la validité du modèle constitué. La première vérification concerne le maillage : il convient de s'assurer que les différents éléments sont bien connectés les uns aux autres. C'est ce qu'on appelle les« boutonnières». Pour les logiciels comme Hercule qui n'ont pas de mailleur automatique, ces boutonnières proviennent d'une erreur de saisie des maillages. Pour les logiciels utilisant des mailleurs automatiques, cela provient d'une mauvaise maîtrise de ces mailleurs.

5.2.2.3

Étape 3 - calcul des modes propres

Il convient tout d'abord de transformer les charges en masses. Il n'y a aucune difficulté à ce stade du travail, mais il existe un piège dans Robot Millénium. Le logiciel effectue automatiquement le transfert du« poids propre» en« masse propre» : si l'utilisateur demande le transfert, il y a un risque que la « masse propre » soit prise en compte deux fois. Il est donc important de vérifier que la masse totale excitée correspond bien à la somme du poids propre, des charges permanentes et d'une part 'VEdes charges d'exploitation.

La lecture du tableau des modes propres avec l'indication des périodes, fréquences et pourcentages de masses restituées est primordiale : pour les bâtiments courants contreventés par des voiles en béton armé, la période du mode fondamental est le plus souvent comprise entre 0, 1 et 0,5 s. La présence de modes avec des périodes supérieures découle le plus souvent d'erreurs de modélisation : lexamen des déformées modales permet alors de localiser le problème.

5.2.2.4

Étape 4 - application du spectre de calcul

Si l'application du spectre ne présente aucune difficulté particulière, c'est à ce stade qu'il faut

entrer plusieurs paramètres importants pour la validité des résultats :

Vl Q)

0

• la valeur du coefficient de comportement q. Pour les bâtiments contreventés par des voiles en béton armé, cette valeur doit être issue du tableau 5.1 de l'Eurocode 8 ; le bâtiment étant irrégulier, on adopte une valeur de q égale à 1,9 en estimant une valeur de ~égale à 0,8;

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

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>-

Q_

0

u

possibilité de signer les modes 5.1 .1.3.3).

à n'utiliser qu'avec discernement (voir paragraphe

205

206

1


Modélisation à l'aide du logiciel Hercule

5.3

Dans toute cette section, les forces sont exprimées en kilonewtons et les moments en kilonewcons/mètre. Les masses sont exprimées en tonnes.


5.3.1

Les dessins ci-dessous représentent respectivement un plancher et l'élévation du voile dont le ferraillage est étudié aux paragraphes 5.3.6 et 5.3.7. I?

0

I?

Q

·-if=~~~~~!2fi=~·-1 ~~-....!... ··-i-·. '

Q

~F!Qi521E~~~~31if=!i=F'5ëlp!C3!E!!i4!-·

.fi= I

• ..:.... ··---·-~ ~--·.. ~ .. ~ .• i-:.. ,....:.... . .:.... .. ....: ~-0

(!) · -

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1

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Q

Q

~

Q

Q

Q

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1

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1

1

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u

1

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i

1 0

1

0

_/ · Voile étudié Coupure

_/

1

0

1
1

0

Figure 5.3-1 Repérage du voile étudié sur la vue en plan du bâtiment et élévation de ce voile

Voile étudié


1

5.3.2 Étape 2 - vérification du modèle Il est possible de merrre en évidence les bouronnières en demandant, par une commande appropriée, le dessin de la perspective du bâtiment.

Figure 5.3-2 Perspective du bâtiment

5.3.3 Vl Q)

0

Étape 3 - calcul des modes propres

Vérification que la masse totale excitée correspond bien à la somme du poids propre, des charges permanentes et d'une pan 'If E des charges d'exploitation (ici, 'If E = 0, 15 pour rous les planchers).

1....

>-

w

Tableau 5.3-1 Tableau des charges statiques

l.D M

0 N

@

Cas

X

y

z

RX

RY

RZ

1- G

0,000

0,000

13 407

76 982

- 122 251

0,000

2-Q

0,000

0,000

1 536

8 205

- 13 888

0,000

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u Le cas 1 regroupe le poids propre et les charges permanentes, le cas 2 correspond aux charges d'exploitation.

207

208

1


Tableau 5.3-2 Tableau des modes propres

Masses totales. s uivant

0 135650+04

X.Y et Z ·

0 . 135650+04

0 . 13565D+04

.................................................................................. •

•

•

•

•

FREQUENCE • MASSES EFFECTIVES NUMERO • NUMERO * PERIODE • * • DU MODE • • // X // y • • // z DU CAS • • • • * • • • • • ...............................................................................

• • • • •

1 2

• • • • •

0 1817

5 5038

0 1489

6 . 7162

• • • • •

66 . 5

3 9

0.0

5.7

66 5

0.0

• •

101

•

102

• *

• •

• * *

•• 0 0205 • 0 . 1 •* 48 7094 •* 220 0.0 0.0 • • • • *............................................................................... * • • • 97 . 6 84 . 7 • 92 6 TOTAL • •* •* • •*

120

• • • • ............... .•....................................................................... Le module instan tané du béton est divisé par 2 (voir paragraphe 5.1.3). Il est nécessaire de calculer 120 modes afin de restituer 90 % de la masse totale du bâtiment comme le dem an de l'Eurocode 8 [ECS-1/ 4.3.3.3.1-(3)) . On s'aperçoit que la masse totale 1 357 t est légèrem ent inférieure à : (13407 + 0, 15

X

1536)/9,81

=

1390

t.

Ce genre de différence doit attirer l'attention, cela peut provenir d'une erreur dans la conversion des charges en masses.

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

Ici, cela provient du fait que le bâtiment est encastré à la base et donc que les m asses attachées aux nœ uds de liaison ne sont pas prises en compte dans la masse totale. Il est facile de le vérifier : le linéaire de voiles au niveau des fondations est de 93,50 m et la hauteur moyenne de la première maille des voiles est égale à 1,55 m: la masse« manquante» correspondant aux voiles est donc égale à 93,50 x 0,20 x 2,5 x 1,55/2 = 36 t. On obtient bien 1 357 + 36"" 1 390

t.

Les valeurs des périodes propres (T = 0,18 s dans la direction X et 0,15 s dans la direction Y) sont dans l'intervalle donné au paragraphe 5.2.2.3.

@ .......

.c Ol

·;::

>Q_ 0

u

5.3.4 Étape 4 - application du spectre La figure 5.3-3 permet de situer les périodes propres sur le spectre utilisé.


1

Ac Séisme X

5. ~

\

4. 3.

2.

\

~

1.

~

o. 0.0

0.5

1.0

1.5

----

2.0

r--....

2.5

Pe 3.0

3.5

4.0

Figure 3.3-3 Repérage des périodes propres du bâtiment sur le spectre de calcul

Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment

5.3.5

Avant toute exploitation des calculs sismiques, il est important de vérifier qu'il n'y a pas d'erreur sur l'ordre de grandeur des torseurs sismiques, pour chaque direction de séisme. • Sens X: le mode 1 est prépondérant (masse participante 66,5 %). • Sens Y: le mode 2 est prépondérant (masse participante 66,5 %). Tableau 5.3-3 Tableau des torseurs sismiques

cas

X

y

Sens X - mode 1

4 256

1 036

Sens Y - mode 2

1 243

4 253

La masse excitée est égale à 1 357 t. Dans les deux directions de séisme, le mode prépondérant est situé sur le plateau du spectre ; pour un sol de classe D: SiT) = ag x S x 2,5/q = 2,24 x 1,6 x 2,5/ 1,9 = 4,72 m/s2 • Vl Q)

0

Pour le sens X (mode 1) et pour le sens Y (mode 2) , l'effort tranchant à la base est égal à : 1 357 x Ü,665 x 4,72 = 4 259 kN.

1....

>-

w

l.D M

Cette vérification très simple permet de vérifier que les masses et le spectre pris en compte sont corrects.

0 N

@ .......

..c

5.3.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles

Ol

·;::

>-

0. 0

Les torseurs sont édités pour le voile repéré au début de ce chapitre.

u

Tableau 5.3-4 Tableau des cas élémentaires

Cas

R.X

R.Y

R.Z

R.MX

R.MY

R.MZ

G

30,7

0,0

- 844,9

0,2

- 61 ,8

1,4

Q

8 ,5

0,0

- 102,5

0,0

- 16,0

- 0,1

Séisme X

1 008,3

4, 1

401 ,0

6,9

4 136,9

8,3

Séisme Y

5 10,9

7,0

2 11 ,8

10,5

987,9

2,6

209

210

1


Il faut ensuite effectuer les combinaisons de Newmark [ECS-1 /4.3.3.5. 1-(3)] et faire les superpositions des cas de charges décrites dans I'Eurocode 0 [EC0/6.4.3.4] . Les calculs sont menés de façon exhaustive pour toutes les combinaisons. Le tableau suivant donne les combinaisons correspondant à G + 0,3 x Q + Ed. Tableau 5.3-5 Torseurs résultants

Cas

R.X

R.Y

R.Z

R.MX

R.MY

R.MZ

1001

1 194,8

6,3

- 411,0

10,3

4366,6

10,4

1002

- 821,8

- 2,0

- l 213,l

- 3,5

- 3 907, l

- 6,2

1003

888,3

2,1

- 538, l

4,0

3773,9

8,8

1004

- 1 128,4

- 6,2

- 1 340,2

- 9,9

- 4 499,9

- 7,7

1005

846,7

8,3

- 543,5

12,8

2162,3

6,4

1006

24 1,7

5,8

-784,1

8,7

- 319,8

1,5

1007

- 175,2

-5,7

-967, 1

- 8,2

186,6

1,2

1008

- 780,2

- 8,2

- 1 207,7

- 12,4

- 2 295.5

- 3,8

Le signe - pour RZ correspond à un effort de compression.

5.3.7

Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles

Pour optimiser les quantités de fer raillage à disposer dans les voiles, il est recommandé d'utiliser les principes donnés par l'Eurocode 8 [ECS-1/5.4.2.5], pour les «voiles de grandes dimensions en béton peu armé » et la ductilité moyenne DCM. Le ferraillage des voiles est ensuite mené selon les prescriptions de l'Eurocode 2. Les cartes de ferraillage établies par les logiciels ne respectent pas le dimensionnement en capacité imposé par l'Eurocode 8. Toutefois, elles peuvent servir d'indicateurs pour détecter rapidement les parties les plus sollicitées de la structure. Dans le cas traité, elles indiquent que le voile le plus sollicité est celui indiqué sur les figures du paragraphe 5.3.1. Vl Q)

5.3.7.1

Géométrie du voile

0

1...

w

>-

• Épaisseur : 20 cm.

l.D M

• Longueur : 6 m.

0 N

• Hauteur :

4 m.

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>Q_ 0

u

5.3.7.2

Calcul de la section des chaînages

Un calcul en flexion composée selon l'Eurocode 2 conduit à une section de chaînage égale à 10,2 cm 2 • Cela conduit à disposer 6 HA16 (12,06 cm 2 ) ; cette section est supérieure aux dispositions constructives minimales de l'Eurocode 8 (4 HA12) [ECS-1/5 .4.3.5.3-(2)].

5.3.7.3

Calcul des armatures d'effort tranchant

Les calculs des armatures d'effort tranchant sont menés selon l'Eurocode 8 liaison avec l'Eurocode 2. Ils peuvent être résumés ci-dessous :

[ECS-1/5.4.3.5.2]

en


1

l +q = 1195. l+l, 9 = 1733 kN 2 2

Effort tranchant de calcul : V Ed = v~d

Effort tranchant résistant VRd,c [EC2-1-1 /6.2.2]: VRd,c =max

((O,~c8. k. (100·prfck)1 13 + 0,15-<\p) (0,~5. fX5 + 0,15· a cp)). bw·d 2 0

~

k = min ( 1+ / .

CTcp =m m

2) = min ( 1+

( NEd

)

A,,

)

p1 =m in ( b ·d 0,02 =min w

~

.

Ac 0,2·fcd =mm

VRd,c =max

(

(

l+

J gg

2 5 0 2) = 1, 184

0,411 ) 0, 20 xG,OO 0,2x19,2 = 0,34 MPa 12,06 -10-4 ) 0,02 = 0,0010 0,20 X 5 ,90

(( 01~: ·l,184·(100 * 0,001 x25) 113 +0, 15·0,34) ( 0;~; · {25 + 0, 15

X

0,35)) . 0,20 X 5,90 = 1 650 kN

L'effort tranchant V ED étant supérieur à V Rd,c> il faut disposer des armatures d'effort tranchant. Celles-ci sont calculées avec un angle d'inclinaison des bielles

A.w s

V Ed x _l_ 0,9 X d fyd

=

1,733 x _l_ 0,9 X 5,90 500

=

«

classique » de 45° : 6 , 5 cm

2

ffi

Cette section peut être optimisée en considérant un angle d'inclinaison des bielles plus faible, comme le permet l'Eurocode 2.

5.3.7.4

Vérification du non-glissement au niveau des reprises de bétonnage à la base du voile

Les calculs des armatures de glissement sont menés selon l'Eurocode 8 [EC8-1/5.4.3.5.2-(4)] en liaison avec l'Eurocode 2 [EC2-1-1 /6.2.5]. Vl

La valeur de la contrainte de cisaillement à l'interface vEdi est égale à :

Q)

0

1....

>-

w

1 733 ' = 1,63 MPa 0,9 X 5,90 X 0,20

l.D M

0 N

@

La contrainte sn engendrée par la force normale externe (positive) agissant en même temps que l'effort de cisaillement est égale à :

.......

..c Ol

·;::

>-

. ( N Ed ) . ( 0,411 ) CT 11 = mm 0,6xfcd bw xx =mm 0,6x 19,2 0,20 x0, = 7,3 MPa 28

Q_

0

u

x désigne la position de l'axe neutre obtenue dans le calcul en flexion composée: ici x = 0,28 m. Pour calculer le pourcentage d'armatures p, le groupe de suivi de l'Eurocode 2 recommande de prendre en compte : • routes les armatures traversant la zone comprimée; • uniquement les armatures tendues n'ayant pas été prises en compte dans le calcul de la flexion.

211

212

1


(12,06 - 10,20) + 12,06 + 6,50 X (6,00 - 0,40) 20 x600

0,004193

On suppose que la surface de reprise est lisse : cela conduit à une valeur du coefficient c égale à 0,35 et à une valeur du coefficientµ égale à 0,60. La valeur de c est divisée par 2

[EC2-1 / 6.2.5-(5)] .

La valeur de calcul de la contrainte correspondant à l'atteinte de la résistance au cisaillement de l'interface vRdi est alors égale à : VRdi

=

min(0,5 x0,6x (1-

VRdi = min(o,5 x0,6x(1 -

2;~ )x fcd ~ x fccd + µ x

Œn

+ p x fyd x µ)

2~o)x 19,2o,;sX 1,38+0,6 X7,3+0,004193 X500 X0,6) = 5,9 MPa

La condition de non-glissement est vérifiée puisque vEdi

5.4

=

1,63 MPa < vRdi

=

5,9 MPa.

Modélisation à l'aide du logiciel Advance Design

Dans toute cette section, les forces sont exprimées en kilonewtons et les moments en kilonewtons/mètre. Les masses sont exprimées en tonnes.

5.4. l

Étape l - constitution du modèle

Les dessins ci-dessous représentent respectivement un plancher et l'élévation du voile dont le ferraillage est étudié aux paragraphes 5.4.6 et 5.4.7 .

-

L.

Vl

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

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Q_

0

u

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1

1

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.-

'-

,_ _ ,

1

---

1

-v

-

~

-1

- ·-

i-

1

--

1

.........

J

1

1 ~

1j

' t

Figure 5.4- 1 Repérage du voile étudié sur la vue en plan du bâtiment

1

Voile étudié


1

1 1

,............ r - - -

-

-r-- f ~

~r--

Voile étudié

H

-~--

Coupure · - ~-

-

1 ,_,_

.i .L . ·"-

Figure 5.4-2 Élévation du voile étudié

5.4.2 Étape 2 - vérification du modèle Il est possible d'obtenir ce type de vue qui permet de visualiser l'ensemble du bâtiment. Toutefois, il n'est pas possible de vérifier la qualité du maillage obtenu.

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Figure 5.4-3 Perspective du bâtiment

213

214

1


5.4.3 Étape 3 - calcul des modes propres Vérification que la masse totale excitée correspond bien à la somme du poids propre, des charges permanentes et d'une part 'l'E des charges d'exploitation (ici, 'l'E = 0,15 pour tous les étages). Tableau 5.4-1 Tableau des charges statiques Somme des actions aux appuis et blocages des nœuds (repère global) Centre de poussée

Cas

Forces résultantes

Moments résultants

no

X(m)

Y(m)

Z(m)

FX(kN)

FY(kN)

FZ(kN)

MX(kN*m)

MY(kN*m)

MZ(kN*m)

1

9,15

5,83

0

0

0

-10 83 1

0

0

0

2

9,0 1

5,39

0

0

0

- 2 627

0

0

0

3

9,04

5,34

0

0

0

- 1 566

0

0

0

Le cas 1 correspond au poids propre, le cas 2 aux charges permanentes et le cas 3 aux ch arges d' exploitation. Tableau 5.4-2 Tableau des masses participantes Masse totale excitée Xm(m)

Ym(m)

Zm(m)

MX(T)

MY(T)

MZ(T)

9, 11

5,7 1

9,32

1 362,42

1 362,42

1 362,42

Tableau 5.4-3 Tableau des modes propres Grandeurs des modes propres Mode N* Pulsation

Période Fréquence

(s)

(s)

Énergie

Masses modales

(J)

XT (%)

YT (%)

Amortissement

(%) 5

1

36,02

0,17

5,73

648,5 7

948,52 (69,62)

32,86 (2,4 1)

5

2

43,9 1

0,14

6,99

963,44

46,6 5 (3,42)

944,20 (69,30)

5

3

64, 19

0 ,1

10,22

2 059,29

100,85 (7,40)

8,86 (0,65)

5

4 363,84

2 ,66 (0,20)

0,03 (0,00)

5

6 ,68 (0,49)

5

Vl Q)

4

93,59

>-

5

100,22

0,06

15,95

5 001 ,82

0 ,78 (0,06)

l.D

6

108,37

0,06

17 ,25

5 860,96

76,42 (5,6 1)

0,59 (0,04)

5

0 N

7

110,42

0,06

17 ,57

6 084,88

73,92 (5,43)

0,47 (0,03)

5

@

8

111 ,49

0,06

17,74

6 200, 96

26,29 (l ,93)

0,09 (O,O1)

5

120

259,68

0 ,02

41 ,33

10 101,83

(0,00)

0,00 (0,00)

5

81,40 (5,97)

154,35 (11 ,33)

0

1....

w

0,07

14,89

M

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

résiduel

Total

130 55 1,2

0,01

1 362,42 ( 100,00) 1 362,42 (100,00)

Pour les tabl eaux 5.4-2 et 5.4-3 : • le module instantané du béton est divisé par 2 (voir § 5.1.3) ; • il est nécessaire de calculer 120 modes afin de restituer 90 % de la masse totale du bâtiment comme le demande l'Eurocode 8 [ECB-1/4.3.3.3.1-(3)].


1

Ons' aperçoit que la masse totale, 1 362 t, est inférieure à 10 830 + 2 627 + 0, 15 x 1 566)/9 ,81 = 1 396 t. Ce genre de différence doit attirer l'attention, cela peut provenir d'une erreur dans la conversion des charges en masses. Cela provient du fait que le bâtiment est encastré à la base et donc que les masses attachées aux nœuds de liaison ne sont pas prises en compte dans la masse totale. Il est facile de le vérifier : le linéaire de voiles au niveau des fondations est de 93,50 met la hauteur moyenne de la première maille des voiles est égale à 1,55 m: la masse« manquante» correspondant aux voiles est donc égale à 93,50 x 0,20 x 2,5 x 1,55/2 = 36 t. On obtient bien 1 362 + 36

=

1 398 "' 1 396 t.

Les valeurs des périodes propres (T = 0, 17 s dans la direction X et 0, 14 s dans la direction Y) sont dans l'intervalle donné au paragraphe 5.2.2.3.

5.4.4 Étape 2 - application du spectre ·dateur de fonction

®

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

5.4.5 Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment Avant toute exploitation des calculs sismiques, il est important de vérifier qu' il n'y a pas d'erreur sur l'ordre de grandeur des torseurs sismiques, pour chaque direction de séisme. • Sens X: le mode 1 est prépo ndérant (masse participante 69,6 %). • Sens Y: le mode 2 est prépondérant (m asse participante 69,3 %) . Le logiciel Advance Design permet d'éditer le torseur de la superposition quadratique des modes par directio n de séism e mais pas le torseur mode par mode.

215

216

1


Tableau 5.4-4 Tableau des torseurs sismiques CQC Somme des actions aux appuis et blocages des nœuds (repère global) Centre de poussée

Cas

Forces résultantes

Moments résultants

no

X(m)

Y(m)

Z(m)

FX(kN)

FY(kN)

FZ(kN)

MX(kN*m)

MY(kN*m)

MZ(kN*m)

4 (CQC) 5 (CQC)

9,11 9,11

5,71 5,71

9 9

4 624 1 163

1 163 4 582

79 239

14 597 56 567

54 006 13 553

13 313 3 556

La masse excitée est égale à 1 362 t. Les deux modes étudiés sont situés sur le plateau du spectre pour un sol de classe D: SiT) = ag x S x 2,5 /q = 2,24 x 1,6 x 2,5/1,9 = 4,72 m/s 2 . Pour le sens X (mode 1), l'effort tranchant à la base est égal à: 1 362 x 0,696 x 4,72 = 4 474 kN. Pour le sens Y (mode 2), l'effort tranchant à la base est égal à: 1362 x 0,693 x 4,72 = 4 455 kN. Il faut comparer les résultats manuels aux résultats obtenus par le logiciel : Pour le sens X, il faut rapprocher 4 474 kN (manuel, mode 1) à 4 624 kN (logiciel, CQC) et pour le sens Y, 4 455 kN (manuel, mode 2) à 4 582 kN (logiciel, CQC). Lordre de grandeur est vérifié ; les légers écarts proviennent des modes négligés dans le calcul manuel. Cette vérification très simple permet de vérifier que les masses et le spectre pris en compte sont corrects.

5.4.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles Les torseurs sont édités pour le voile repéré au début de ce chapitre. Tableau 5.4-5 Tableau des cas élémentaires Torseurs des voiles (repère local) N° Élément

Cas de charges

M bas (kN*m)

N bas (kN)

Txy bas (kN)

23407

1 2 3 4 (CQC) 5 (CQC)

- 2 18 - 40 - 22 3 52 1 l 079

- 61 3 - 147 - 89 518 201

1 6 4 1 046 254

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

Il faut ensuite effectuer les combinaisons de Newmark [ECS-1 / 4.3.3.5. 1-(3)] et faire les superpositions des cas de charges décrites dans l'Eurocode 0 [EC0/6.4.3.4]. Les calculs sont menés de façon exhaustive pour toutes les combinaisons. Le tableau suivant donne les combinaisons correspondant à G + 0,3 x Q + E.

.......

Tableau 5.4-6 Torseurs résultants

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

N° Élément

Cas de charges

M bas (kN*m)

N bas (kN)

Txy bas (kN)

23407

101 102 103 104 105 106 107 108

3 580 2 932 - 3 462 - 4 109 l 87 1 -288 - 241 - 2 400

- 208 - 329 - 1 244 - 1 365 - 430 - 832 -74 1 - 1 143

1 130 978 - 942 - 1 114 525 68 -52 - 559


1

5.4.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles Pour optimiser les quantités de ferraillage à disposer dans les voiles, il est recommandé d'utiliser les principes donnés par l'Eurocode 8 (ECS-1 /5.4.2.5], pour les « voiles de grandes dimensions en béton peu armé » et la ductilité moyenne DCM. Le ferraillage des voiles est ensui te mené selon les prescriptions de l'Eurocode 2. Les cartes de ferraillage établies par les logiciels ne respectent pas le dimensionnement en capacité imposé par l'Eurocode 8. Toutefois, elles peuvent servi r d'indicateurs pour détecter rapidem ent les parties les plus sollicitées de la structure. Dans le cas traité, elles indiquent que le voile le plus sollicité est celui indiqué sur les figures du paragraphe 5 .4.1.

5.4.7.1


Un calcul en flexion composée selon l'Eurocode 2 conduit à une section de chaînage égale à 10,50 cm 2 , soit 6 HA16; cette section est supérieure aux dispositions constructives minimales de l'Eurocode 8 (4 HA12) (ECS-1 /5.4.3.5.3-(2)].

5.4.7.2


Les calculs des armatures d'effort tranchant sont m enés selon l'Eurocode 8 liaison avec l'Eurocode 2. Ils peuvent être résumés ci-dessous : 1 1 19 Effort tranchant de calcul : V Ed = VEd · ; q = 1 130 · + ' = 1 639 kN

(ECS-1 /5.4.3.5.2)

en

2

Effort tranchant résistant VRd,c (EC2-1-l /6.2.2]: VRd,c =max

(( 0 '~c8 · k · (100·p 1·fcJ 113 + 0,15·crcp) ( 0 ·~5 · fc~,5 + 0,1 5-crcp)) · bw·d

k = min (1+

/ 2~ 0 2)

=min ( 1+

j52~g0 2) = 1,184

N Ed ) ( 0,208 ) crcp = min ( ~ 0,2-fc
0

1...

>-

w

A,1 ) ( 12,06- 10-4 ) p1 =min ( bw·d 0,02 =min 1+ 0, x , 0,02 = 0,001022 20 5 90

l.D M

0 N

=> VRd,c = max

(( 01~: · 1,184·(100 x0,001022x25) 113 + 0,15· 0,1 73) ( 0;~} ·{25 + 0,15 x 0,173)) · 0,20x5,90 = 1619kN

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

Leffort tranchant VED étant (légèrement) supérieur à VRd,c, il faut disposer des armatures d'effort tranchant. Celles-ci sont calcul ées avec un angle d'inclinaison des bielles « classique » de 45° :

A,w

s

V Ed

0,9 X d

x _I_ fyd

= 1,639 0,9 X 5,90

x _l_

500

= 6 ,2 cm 2 ffi

Cette section peut être optimisée en considérant un angle d'inclinaison des bielles plus faible, comme le permet l'Eurocode 2.

217

218

1


5.4.7.3


Les calculs des armatures de glissement sont menés selon l'Eurocode 8 [ECS-1 /5.4.3.5.2-(4)] en liaison avec l'Eurocode 2 (EC2-1-1 /6.2.5] . La valeur de la contrainte de cisaillement à l'interface vEdi est égale à : 1 639 '

VEd

VEd'= - - - ! 0,9 xd X bw

0,9 X 5,90 X 0,20

= 1,54 MPa

La contrainte sn engendrée par la force normale externe (positive) agissant en même temps que l'effort de cisaillement est égale à : NEd ) ( 0,208 )
x désigne la position de l'axe neutre obtenue dans le calcul en flexion composée: ici x = 0,28 m. Pour calculer le pourcentage d'armatures p, le groupe de suivi de l'Eurocode 2 recommande de prendre en compte: • toutes les armatures traversant la zone comprimée ; • uniquement les armatures tendues n'ayant pas été prises en compte dans le calcul de la flexion. (12,06 - 10,50) + 12,06 + 2,47 X (5,80 - 0,27) 0,0023 20 X 600 On suppose que la surface de reprise est lisse: cela conduit à une valeur du coefficient c égale à 0,35 et à une valeur du coefficientµ égale à 0,60. La valeur de c est divisée par 2 (EC2-1 /6.2.5-(5)]. La valeur de calcul de la contrainte correspondant à l'atteinte de la résistance au cisaillement de l'interface vRdi est alors égale à : VRdi = min(0,5x0,6x(1Vl Q)

0 ._

2;~)xfcd ~ x(rd+ µ xcr

VRdi = min(o,5 x0,6x(l- 2~0)x19,2

°·;

5

11

+ pxfydxµ)

xl,38+0,6 X 3,7 +0,0027 X 500 X 0,6) = 3,27 MPa

>-

w

\,() M

La condition de non-glissement est vérifiée puisque vEdi = 1,54 MPa < vRdi = 3,27 MPa.

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

5.5

Modélisation à l'aide du logiciel Robot Structural Analysis Professional (ex-Robot Millenium)

Dans toute cette section, les forces sont exprimées en kilonewtons et les moments en kilonewtons/ mètre. Les masses sont exprimées en tonnes.


5.5.1

1


Les dessins ci-dessous représentent respectivem ent un plancher et l'élévation du voile dont le ferraillage est érudié aux paragraphes 5.5.6 et 5.5.7.

IL

.-

...--llL

..- ..- -..

..- .-

-..

.J IL

-...

l lL

·O

..

li•

-.. ., .....-

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-,_

~

[.À h

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i--

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ü

--

Voile étudié

,___ -

-

0

-

~

t,J h

••

.

..- -

.1..

..1

....

Figure 5.5- 1 Repérage du voile étudié sur la vue en plan du bâtiment

Vl Q)

Voile étudié

0

1....

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w

l.D M

o

N

@ .......

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Ol

.

~u~œ l

1

' 1 4i

!

' '1

"

Figure 5.5-2 Élévation du voile étudié

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>-

Q_

0

u

5.5.2 Étape 2 - vérification du modèle Il est possible d'obtenir ce type de vue qui permet de visualiser l'ensemble du bâtiment. Toutefois, il n'est pas possible de vérifier la qualité du maillage obtenu.

219

220

1


Figure 5.5-3 Repérage du voile étudié sur la perspective du bâtiment

5.5.3 Étape 3 - calcul des modes propres Vérification que la masse totale excitée correspond bien à la somme du poids propre, des charges permanentes et d'une part 'l'E des charges d'exploitation (ici, 'l'E = 0, 15 pour tous les étages). Tableau 5.5-1 Tableau des charges statiques

lloeud 1Cas

FX [kll)

fZ (kll)

FY [kll) 1

1

MX [kllm) 1

1

MY [kllm)

MZ [kllm) 1

1

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>Q_ 0

u

Poids propre Cas 1 0.0 Somme t otale -0 Somme r éactio 0.0 Somme efforts -0 Vérification 5 .58072e-004 Précision

0.0 -0 0.0 -0 6.28377e-015

0 .0 10853 -10853 0

0.0 63321 -63321 0

0.0 -99051 99051 -0

0.0 0 0.0 0

permanente Cas 2 0.0 Somme t otale -0 Somme r éactio 0.0 Somme efforts -0 Vérification 3 .75632e-007 Précis ion

0.0 0 0.0 0 4.35778e-014

0 .0 2576 -2576 -0

0.0 13882 -13882 0

0.0 -23209 23209 -0

0.0 -0 0.0 -0

ex1>loitation Cas 3 0.0 Somme totale -0 Somme r éactio 0.0 Somme effo rts -0 Vérification 3 .92201 e-007 Précision

0.0 -0 0.0 -0 4 .72611 e-014

0 .0 1536 -1 536 0

0.0 8202 -8202 0

0.0 -13883 13883 -0

0.0 -0 0.0 -0


1

221

Tableau 5.5-2 Tableau des modes propres et des masses participantes

Fré quen ce [Hz)

Cas •Mode

1

1

1

41

1

41

2

.i·

Masse Masse Modale UX l° o) Mo dale UY

Pério de [ sec)

0 .18

l°•l

3.50

l°~J

l°•l

Tot .m as.UX (kg)

Tot.mas.UV (kg)

1

5 .47

1

6 .79

0 .15

5 .15

67 .04

3

9 .94

0 .10

7 .76

1.1 6

79.72

71 .71

1365731

1 365731

41

4

14.13

0 .07

0 .19

O.Q1

79.90

71 .71

1365731

1365731

4;

117

38.04

0 .03

0 .02

0.00

97.36

91 .28

1365731

1 365731

4•

118

38.10

0 .03

0 .00

0.00

97.36

91 .28

1365731

1 365731

4;

119

38.20

0 .03

0 .00

0 .03

97.36

91 .31

1365731

1365731

4•

120

1365731

1365731

38.26

66.81

Masses Masses Cumulées UX Cumulées UY

0 .03

0 .00

0.01

66.81

3.50

1365731

1365731

71 .96

70.55

1365731

1365731

97.36

91 .32

Pour le tableau 5.5-2 : • le module instantané du béton est divisé par 2 (voir § 5 .1.3) ; il est nécessaire de calculer 120 modes afin de restituer 90 % de la masse totale du bâtim ent comme le demande l'Eurocode 8 [ECS- 1/ 4.3.3.3.1-(3)] . On s'aperçoit que la m asse totale, 1 366 t, est inférieure à (10 853 + 25 76 +0,15 x 1 536)/9,81 = 1 392 t. Ce genre de différence doit atti rer l'attention, cela peut provenir d'une erreur dans la conversion des charges en masses. C ela provient du fai t que le bâtiment est encastré à la base et do nc que les masses attachées aux nœ uds de liaison ne sont pas p rises en compte dans la masse totale. Il est facile de le vérifier : le linéaire de voiles au niveau des fondati ons est de 93,50 m et la hauteur m oyenne de la première maille des voiles est égale à 1,00 m : la masse « manquante » correspondant aux voiles est donc égale à 93,50 x 0,20 x 2,5 x 1,00/2 = 23 t. On obtient bien 1 366 + 23

=

1 389 "" l 392 tonn es.


5.5.4 Étape 4 - application du spectre Vl Q)

Limite du palier non actualisée

0

1....

>-

w

l.D M

5.0

y

1

0 N

@

4.0

Ol

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3.0

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0. 0

u

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I 1

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2.0

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1.0

~

C llU

uc \ }

0 .0

0.0

1.0

2.0

Figure 5.5-4 Description du spectre de ca lcul

3 .0

222

1


5.5.5


Avanr route exploirarion des calculs sismiques, il esr important de vérifier qu'il n'y a pas d'erreur sur l'ordre de grandeur des rorseurs sismiques, pour chaque direction de séisme. • Sens X: le mode 1 est prépondérant (masse participante 66,8 %) . • Sens Y: le mode 2 est prépondérant (masse participante 67,0 %). Tableau 5.5-3 Tableau des torseurs sismiques

=i 5 - Sis mique EC 8 Dir. - masses_X

Cas ~ode1

1

Somme totale

1

Somme réactions

1

l

Somme efforts

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

-4304

-986

-43

12088

-50693

6241

4304

986

41

-12095

50705

-6243

ëas. ... . . . . . . ... . . . . . . ... . . . . . . ... . ]6 - Sis mique EC 8 Dir. - masses_Y Mode2

1

Somme totale

1

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

Somme réactions

1

1196

-4319

-99

53883

14779

-47665

Somme efforts

1

-1196

4319

99

-53883

-14778

47665

La m asse excitée est égale à 1 366 t. Les deux modes étudiés sont sirués sur le plateau du spectre pour un sol de classe D: SiT) = ag x S x 2,5/q = 2,24 x 1,6 x 2,5/ 1,9 = 4,72 m/s 2 . Pour le sens X (mode 1), l'effort rranchant à la base est égal à: 1 366 x 0,668 x4,72 = 4 307 kN. Pour le sens Y (mode 2), l'effort tranchant à la base esr égal à: 1 366 x 0,670 x 4,72 = 4 320 kN. Cette vérification très simple permet de vérifier que les masses et le spectre pris en compte sonr corrects.

5.5.6

Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles

Les torseurs sont édités pour le voile repéré au début de ce chapi.tre. vi

Tableau 5.5-4 Tableau des cas élémentaires

Q)

0

1....

>-

w

PanneamCoupe..cas:Mode

llRx (kll]

MRz (kllm]

TRy (kll]

l.D M

0 N

25053!

13140-13160.i

1!

-578

34

20

@

250531

1 3140-13160.i

2•

-147

21

13

Ol

250531

13140-13160.i

Ji

-89

14

9

>Q_

25053i

13140-13160.i

5•

coc

345

3714

1102

25053!

13140-13160.i

6.i

coc

158

843

520

.......

..c ·;:: 0

u

Il faut ensuite effectuer les combinaisons de Newmark [ECS-1/ 4.3.3.5.1 -(3)] et faire les superpositions des cas de charges décrires dans l'Eurocode 0 [EC0/6.4.3.4]. Les calculs sont menés de façon exhaustive pour toutes les combinaisons. Le tableau suivant donne les combinaisons correspondant à G + 0,3 x Q + E.


1

Tableau 5.5-5 Torseurs résultants

,i. . . . . . . . . . . . . . . . .·-· · Panneau •Cou1>e/Cas

llRx [ktl]

MRz [ktlm]

!

TRy [ktl]

!

25053/

131-10-13160!'

7 (C) (COC)

-360

4026

1293

25053i

131.W-13160•'

8 (C) (COC)

-455

3520

981

25053/

131.W-13160/

9 (C) (COC)

-1 050

-3402

-911

25053.i

131.W-13160 !

10 (C) (COC)

-1 144

-3908

-1223

25053/

131.W-13160 ,•

11 (C) (COC)

-491

2016

885

25053/

131.W-13160 ,·

12 (C) (COC)

-806

330

-154

25053/

131.W-13160 ..

13 (C) (COC)

-698

-212

224

25053'

13140-13160!

14(C) (COC)

-1 013

-1899

-815

5.5.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles Pour optimiser les quantités de ferraillage à disposer dans les voiles, il est recommandé d' utiliser les principes donnés par l'Eurocode 8 [ECB-1 /5.4.2.5), pour les « voiles de grandes dimensions en béton peu armé » et la ductilité moyenne DCM. Le ferraillage des voiles est ensuite m ené selon les prescriptions de l'Eurocode 2. Les cartes de ferraillage établies par les logiciels ne respectent pas le dimensionnement en capacité imposé par l'Eurocode 8. Toutefois, elles peuvent servir d'indicateurs pour détecter rapidem ent les parties les plus sollicitées de la structure. Dans le cas traité, elles indiquent que le voile le plus sollicité est celui indiqué sur les figures du paragraphe 5.5.1.

5.5.7.1 Vl Q)

0

1....


Un calcul en flexion composée selon l'Eurocode 2 conduit à une section de chaînage égale à 9,6 cm 2 . C ela conduit à disposer 6 HA16 (12,06 cm 2) ; cette section est supérieure aux dispositions constructives minimales de l'Eurocode 8 (4 HA1 2) (ECB-1 /5.4.3.5.3-(2)).

>-

w

l.D M

0 N

@ ....... ..c Ol

5.5.7.2


Les calculs des armatures d'effort tranchant sont m enés selon l'Eurocode 8 liaison avec l'Eurocode 2. Ils peuvent être résumés ci-dessous :

·;::

>-

0. 0

u

EŒrrort tranch ant d e ca1cu1 : V Ed

=

V'Ed

1 ·

2

+q =

Effort tranchant résistant V Rd,c [EC2-1- 1/6.2 .2)

1 1 1293 . + ' 9 -- 1875 kN 2

:

. (1 + \ {j§§_ . ( 1+ \//2 oü 2) = l , 184 k = mm d 2) = mm S 900

(ECB-1 /5.4.3.5.2)

en

223

224

1


crcp =m in

(

N Ed A

0,2·fcd) = min

(

l+

c

.

( A.1

)

.

p1 =m m -bd 0,02 = mm v/

~

VRd,c = max

(

0,360 x OO 0,2x19,2) = 0,30 MPa 0 ' 20 6 '

12,06· 10-4 ) 0,02 = 0,0010 0,20 X 5,90

(( 0i~: ·1,184·(100 x0,00051 x25) 113 + 0, 15 ·0,30) ( 0;~] · {25 + 0,15

x0,30)) · 0,20 x 5,90 = 1641 kN

Leffort tranchant V ED étant supérieur à VRd,c' il faut disposer des armatures d'effort tranchant. Celles-ci sont calculées avec un angle d'inclinaison des bielles « classique A.w

-- =

s

»

de 45° :

2 V Ed 1 1,875 1 x-= x - = 7,0 cm 0,9 X d fyd 0,9 X 5,90 500 m

Cette section peut être optim isée en considérant un angle d'inclinaison des bielles plus faible, comme le permet l'Eurocode 2.

5.5.7.3


Les calculs des armatures de glissement sont menés selon l'Eurocode 8 (ECS-1 /5.4.3.5.2-(4)] en liaison avec l'Eurocode 2 [EC2-1-1 /6.2.5] . La valeur de la contrainte de cisaillement à l' interface vEdi est égale à : VEd. = 1

1 875 '

V Ed

0,9 x d X bw

0,9 X 5,90 X 0,20

= 1,76 MPa

La contrainte sn engendrée par la force normale externe (positive) agissant en même temps que l'effort de cisaillement est égale à : NEd ) crn = min ( 0,6 xfcd b-= min ( 0,6 x 19,2 w X X

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0,360 ) = 6,4 MPa 0,20 X 0,28

x désigne la position de l'axe neutre obtenue dans le calcul en flexion composée : ici x = 0,28 m. Pour calculer le pourcentage d'armatures p, le groupe de suivi de l'Eurocode 2 recommande de prendre en compte :

0 N

• toutes les armatures traversant la zone comprimée ;

@

• uniquement les armatures tendues n'ayant pas été prises en compte dans le calcul de la flexion .

.......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

(12,06 - 9 ,60)

+

12,06 + 7,0 X (5,80 - 0,28) = 0,0044 20 X 600

On suppose que la surface de reprise est lisse : cela conduit à une valeur du coefficient c égale à 0,35 et à une valeur du coefficientµ égale à 0,60. La valeur de c est divisée par 2 (EC2- l /6.2.5-(5)]. La valeur de calcul de la contrainte correspondant à l'attein te de la rés istance au cisaillement de l' interface vRdi est alors égale à :

Modélisation à l'aide du logiciel Epicentre

2;~ )x fcd ~ x fcrd + µx cr

VRdi

=

min(0,5 x 0,6 x (1-

VRdi

=

min(o,5 x0,6x(1- 2 ;o)x

2

11

+ px fyd x

µ)

19,20,~ 5 X1,38 + 0,6 x6,4 +0,0044 X500 xo,6) = 5,4 MPa


5.6

1

=

1,76 MPa < vRdi

=

5,4 MPa.


Dans toute cette section, les forces sont exprimées en kilonewtons et les moments en kilonewrons/ mètre. Les masses sont exprimées en tonnes. Le logiciel Epicentre n'est pas un logiciel« éléments finis» comme ceux étudiés précédemment. Il est fondé sur la méthode des matrices transfert pour la partie statique (descente de charges) et la méthode de Vianello-Stodola pour l'analyse modale. Les planchers sont supposés indéformables dans leur plan et les masses sont concentrées au niveau de ces planchers.

5.6.1


La figure 5.6-1 représente le plancher situé à la cotez = 2,62 m. Le voile étudié aux paragraphes 5.6.6 et 5.6.7 est repéré par une flèche.

Il

vi

Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

11

@ .......

..c Ol

·;::

&>

>Q_ 0

u

J

l Figure 5.6-1 Repérage du voile étudié sur la vue en plan du bâtiment

225

226

1


5.6.2 Étape 2 - vérification du modèle Cette étape revient à vérifier sur toutes les vues en plan la position et le coffrage des différents éléments de contreventement verticaux.

5.6.3 Étape 3 - calcul des modes propres 5.6.3.1 Vérification des charges statiques Il est possible de vérifier graphiquement, plancher par plancher, la valeur des charges permanentes et des charges d'exploitation appliquées au modèle. Le schéma indique également et '1'2 qui servent au calcul du coefficient 'l'E·

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Vl Q)

0

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w

l.D M

0 N

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---O•Tlo.~ .. -.------- o•·»"'•-----~---a··»..,.•----1••-o•·io~,..,,.,.

@ .......

..c

Figure 5.6-2 Affichage des valeurs des charges sur les planchers

Ol

·;::

>-

Q_

0

u

5.6.3.2

Descente de charges statiques

Le logiciel édite graphiquem ent la valeur de la descente de ch arges statiques sur chaque voile. Ci-dessous (figure 5.6-3), c'est la combinaison G + 'l'EQ (G + 0, 15 Q) qui est représentée.


1

227

...,, 11

'"'°"'

UN •1':):4~

4

tl'UtN

1

1

,}..,,,

•

t71, JcH

ftJ~-.i"H~

1...,t.f(m

...

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1. ..... .._

R11kN

IJtN

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Juj1j,

J2~ ru~têHJ

m'l1ll!O'•' f.\#J

,,,,,,.,,,

rno:t-....1

.......

J1. .

m:(cN

12

1 l'

l'lll'l°tN 111·,_..,,J

...

( "'°l'.

Figure 5.6-3 Descente de charges du cas statique G + 0, 15 Q

5.6.3.3 Tableaux des modes propres et des masses participantes Le module instantané du béton est divisé par 2 automatiquement par le logiciel (voir § 5.1.3). Il est nécessaire de calculer six modes afin de restituer 90 % de la masse totale du bâtiment comme le demande l'Eurocode 8 [EŒ-1 /4.3.3.3.1-{3)]. Tableau 5.6-1 Tableau des modes propres Vl Q)

l'la:sses l'lodales et Inerties l'la:ssiques l'lodales Ettectives

0

1....

>-

w

\,() M

0 N

l'lasse totale du b &timent Inertie ~ssique totale du b4timent

1203 t 60256 t.m2

@

.._,

..c

Jl!odes

T(s)

1 2 3 4 5 6

0.153 0.118 0.076 0.046 0.026 0.023

IJX(t)

Jl!Y(t)

J (t.m2)

Ol

·;::

>-

0. 0

u

Cumul

853 2 59 200 1 3

(7H) (0\ ) (5\) (17\) (0%) (0%)

1 792 58 0 229 8

(0\) (66\) (5\) (0\) (19%) (1\)

3563 2207 39 125 85 1330 8251

(6\) (4\) (65\) (0\) (2%) (14%)

1118

(93% )

1089

(91\)

5 4560

(91\)


tN

228

1


5.6.4 Étape 4 - application du spectre I...:application du spectre se fait à partir d'écran spécifique dans le logiciel, mais il n'existe pas de dessin du spectre entré.

5.6.5


Avant toute exploitation des calculs sismiques, il est important de vérifier qu'il n'y a pas d'erreur sur l'ordre de grandeur des torseurs sismiques, pour chaque direction de séisme. • Sens X: le mode 1 est prépondérant (masse participante 7 1 %). • Sens Y: le mode 2 est prépondérant (masse participante 66 %). Tableau 5.6-2 Tableau des torseurs sismiques

Efforts Tranchants Globaux à la

B~e

(kN)

Modes 1 2 3 4 5 6

FXl 402 4.1 9.9 24 4.8 694.0 3.2 8.2

FYl -160.7 -192 . 1 2 43.7 -22 . 2 - 46. 7 -13 .8

FX2 -160 . 7 -192 .1 243 .7 -22.2 - 46. 7 -13.8

FY2 6.4 3734.2 242.6 0.7 686.1 23.4

CQC

4091. 7

361.5

361.5

3806 . 9

Moments de Renversement et Couples de Torsion Globaux (kN.m)

Modes

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

MYl

l!Xl

Cl

MY2

MX2

C2

1 2 3 4 5 6

49302 111 3294 1488 -4 13

1409 2 452 -2790 -213 157 37

-7117 -1512 -5846 -1336 -331 331

-1969 - 2159 3279 -48 64 -22

-56 -47672 -2777 7 -23 14 -63

284 29407 -5819 43 4868 -561

CQC

49444

4054

9530

4473

47815

30361

0 N

@ .......

..c Ol

·~

g-

u

La masse excitée est égale à 1 203

t.

Le premier mode en X et en Y est situé sur le plateau du spectre : pour un sol de classe D : SiT) = ag x S x 2,5/q = 2,24 x 1,6 x 2,5/1,9 = 4,72 m /s 2 • Dans le se ns X, l'effort tranchant à la base est égal à : 1 203 x 0,71 x 4,72

=

4 030 kN.

Dans le sens Y, l'effort tranchant à la base est égal à: 1 203 x 0,66 x 4,72

=

3 747 kN.

Cette vérification très simple permet de vérifier que les masses et le spectre pris en compte sont corrects.


1

229

5.6.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles Outre la valeur des torseurs à la base des voiles, le logiciel indique automatiquement les sections de ferraillage à l'écran ; il est possible, en même temps, d'éditer les combinaisons de N ewmark correspondantes [ECS-1 / 4.3.3.5.1-(3)] et [EC0/ 6.4.3.4].

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1 (5211.,. ._, 2'\H) .... 124 Cl'C1

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9

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lt~ J tlh

Figure 5.6-4 Affichage des torseurs à la base du voile étudié Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

5.6.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles

M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

Pour o ptimiser les quantités de ferraillage à disposer dans les voiles, il est recommandé d' utiliser les principes do nnés par l'Eurocode 8 [ECS-1/5.4.2.5] pour les« voiles de grandes dimensions en béton peu armé» et la ductilité moyenne D CM. Le ferraillage des voiles est ensuite mené selon les prescriptions de l'Eurocode 2.

0

u

5.6.7.1

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10

1

~

_,

,._...;,;,..,


Pour le voile étudié, la section de chaînage calculée automatiquement par le logiciel est égale à 12,4 cm 2 • Cela conduit à disposer 6 HAIG. Le torseur sismique ayant abo uti au ferraillage maximum est également affiché par le logiciel.

230

1


5.6.7.2


Le logiciel indique automatiquement les sections de ferraillage à l'écran ; il est possible, en même temps, d'éditer les combinaisons de Newmark correspondantes [EŒ-1 /4.3 .3.5. 1-(3)) et [EC0/6.4.3.4].

.......

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10

1

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1

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J

1

101 tlll)

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(11)Q

F-1

1•s 1l

1

1

L

-

Figure 5.6-5 Affichage des sections d'armatures d'effort tranchant

Vl Q)

0 ._

>-

w

l.D M

0 N

@

.....,

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

5.6.7.3


Les calculs des armatures de glissement sont menés selon l'Eurocode 8 liaison avec l'Eurocode 2 [EC2-1- 1/6.2.5].

(ECB-1/5.4.3.5.2-(4)]

en

Modélisation à l'aide du logiciel Hercule - prise en compte de /'interaction sol-structure

231

1

,........ ···1

1'

10 1

1s

s

•

9

•

' 1'5 1)

J

"

'S

~

Figure 5.6-6 Affichage des sections d'armatures de glissement

5.7

Modélisation à l'aide du logiciel Hercule prise en compte de l'interaction sol-structure

Vl Q)

0

1....

>-

w

Le modèle étudié est celui élaboré par Hercule au paragraphe 5.3, avec la p rise en compte de l'interaction sol-structure (ISS), le bâtiment étant considéré fondé sur radier.

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

5.7.1

Hypothèses concernant le sol

• Module transversal : G = 300 MPa . Coefficient de Poisson : v = 0,35. • Masse volumique : p = 1,8 t/m3·

5.7.2

Détermination des ressorts de sol

Le sol est modélisé sous forme de ressorts répartis sous le radier. Les valeurs de ces ressorts sont déterminées à partir de la m éthode de Rosenblueth.

232 1 Pratique des logiciels de calcul sur ordinateur

@

j

SOCOJEC

ISS ·Version 1.01.035

-~~~~~~~~~~~~~~~~~~Pag -e ~ 1 , 1 ~~~-

1

Données saisies :

Données du radier ou de la semelle

18 m 11,26 m

Lon!)Jeur du radier L8'geur du radier Hauteur du b~1ment Masse du bâtiment

10,63 m 975

t

Données du sol

Module transversal Coeffiaent de poisson Masse volumique

300 MPa 0,35 1,8

tfm3

Résultats des calculs Méthode de Rosenblueth Modèle éléments finis 30 Ressorts

Honzontal (sens X) Honzontal (sens Y) Vertical correspondant à la rotation Ry Vertical correspondant é la rotation Rx

55982 58 245 172 264 215 239

kN/m3 kN/m3 kN/m3 kN/m3

Amortissements totaux

Honzontal De rotation

28,6 % 12,9 % Figure 5.7-1

5.7.3 Vl Q)

0

1....

>-

w

Calcul des modes propres

I..:édirion du tableau des premiers modes propres montre, bien sûr, une augmentation des périodes propres, sans toutefois que les périodes des modes principaux ne quittent le palier du spectre. Tableau 5.7-1 Masses effectives des quatre premiers modes

l.D M

0 N

Masses t o t a l es

@ .......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

s uiva nt

X Y et Z

0 15451D+04

0 15 4510+04

0 154510+04

...............................................................................

....

.

llUMERO

• •

1

*

2

..

..

• MASSES EFFECTI VES * tfUlŒRO FREQUEllCE • • * PERIODE •* DU CAS • * * y DU M ODE X z • • • • * • * * * * ................................................................................ • • * •

3

• *

0 285 4

3 5036

..

0 2657

3 7638

*

0 1521

6 5765

•

0 0775

• •

•

• • *

• • •

..

• •

49 9

17 5

0 0

* *

101

*

17 0

52 6

0 0

102

•

8 0

0 0

0 0

..*

*

.. *

103

•

*

•

0 9 0 9 63 1 • 104 • * •............................................................................... • • * *

*

4

12 908 1

Modélisation à l'aide du logiciel Hercule - prise en compte de /'interaction sol-structure

5.7.4

1

Étape 4 - application du spectre

La méthode de Rosenbluerh donne des valeurs d'amortissements de sol; ces amortissements étant supérieurs à ceux du béton, il serait avantageux de les prendre en compte dans la modélisation. Malheureusement, cela est impossible avec l'Eurocode 8 car la valeur de l'amortissement du béton est incluse dans la valeur du coefficient de comportement et il est impossible de modifi er les paramètres du spectre de calcul [ECB-1 /3.2.2.5]. Une solution serait alors de considérer le spectre de réponse élastique [Eca-1 /3.2.2.2] et de modifier la valeur du coefficient Tl ; malheureusement, cette solution entraîne la prise en compte d'un coefficient de comportement q égal à 1. Leffet « bénéfique » de la prise en compte de l'amortissement de sol est perdu par la diminution de la valeur du coefficient de comportement. Il est à noter que certains experts préconisent de prendre une valeur de q égale à 1,5 mais cela n'est pas acté dans l'Eurocode 8. Dans cet exemple, le spectre considéré est le spectre de calcul et !'amortissement du sol n'est pas pris en compte. Ac 5

\

4

3

2

\

"

~

~~ ----.J

0 0,0

0,5

1,5

1,0

2,0

1

1

2,5

3,0

Pe 3,5

4,0

Figure 5.7-2 Repérage des périodes propres du bâtiment sur le spectre de ca lcul Vl Q)

0

1....

>-

w

5.7.5

Étape 5 - édition des torseurs sismiques

l.D M

@

Avant toute exploitation des calculs sismiques, il est important de vérifier qu'il n'y a pas d'erreur sur l'ordre de grandeur des torseurs sismiques, pour chaque direction de séisme.

....... ..c

• Sens X: les modes 1 et 2 sont prépondérants (masses participantes 49,9 % et 17, 0 %) .

0 N

Ol

·;::

>-

0. 0

u

• Sens Y: le mode 2 est prépondérant (masses participantes 17,5 % et 52,6 %). Tableau 5.7-2 Tableau des torseurs sismiques

cas

X

Sens X - mode 1

3637

Sens X - mode 2

1242

y

Sens Y - mode l

1276

Sens Y - mode 2

3836

233

234

1


La masse excitée est égale à 1 514 t. Les quatre modes étudiés sont situés sur le plateau du spectre pour un sol de classe D: SiT) = ag x S x 2,5/q = 2,24 x 1,6 x 2,5/1,9 = 4,72 m/s 2 • Pourle sens X (mode 1), l'effort tranchant à la base est égal à: 1514x0,499 x 4,72 = 3 566 kN. Pour le sens X (mode 2), l'effort tranchant à la base est égal à: 1514 x 0,170 x 4,72 = 1 215 kN. Pour le sens Y (mode 1), l'effort tranchant à la base est égal à: 1514x0,175 x 4,72 = 1 251 kN. Pour le sens Y (mode 2), l'effort tranchant à la base est égal à: l 514x 0,526 x4,72 = 3 759 kN. Cette vérification très simple permet de vérifier que les masses et le spectre pris en compte sont corrects.

Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles

5.7.6

Les torseurs sont édités pour le voile repéré au début de ce chapitre. Tableau 5.7-3 Tableau des cas élémentaires

Cas

R.X

R.Y

R.Z

G

- 49,5

- 6,7

- 973,0

Q

1,8

- 0,9

séisme X

894,9

séisme Y

677,8

R.MX

R.MY

R.MZ

7,3

-160,9

15,9

- 11 5,2

1,1

- 20,6

1,6

42,1

725,4

51,1

2497,7

51,5

48,0

334,5

59,2

975,6

25,4

Il faut ensuite effectuer les combinaisons de Newmark décrites au paragraphe 4.3.3.5.1 (3) de l'Eurocode 8 et faire les superpositions des cas de charges décrites au paragraphe 6.4.3.4 de l'Eurocode O. Les calculs sont menés de façon exhaustive pour routes les combinaisons. Le tableau suivant donne les combinaisons correspondant à G + 0,3 x Q + Ed. Tableau 5.7-4 Torseurs résultants Vl Q)

0

Cas

R.X

R.Y

R.Z

R.MX

R.MY

R.MZ

1001

1 049,3

49,5

- 181,8

76,5

2 623,3

75,4

1002

- 740,6

- 34,6

- 1 632,6

- 25,7

- 2 372,1

-27, 5

1....

>-

w

l.D M

0 N

1003

642,6

20,7

- 382,5

41,0

2 037,9

60,2

.......

1004

- 1 147,2

-63,4

- 1 833,3

- 61 ,2

- 2 957,5

-42,7

Ol

1005

897,3

53,6

- 455,4

82, l

1 557,9

57,2

1006

360,3

28,4

- 890,7

51,4

59,3

26,3

1007

- 458,3

- 42,4

- 1 124,5

-36,2

- 393,4

6,4

1008

- 995,2

- 67,6

- 1 559,7

- 66,9

- 1 892,0

- 24,5

@ ..c ·;::

>-

Q_

0

u

Le signe - pour RZ correspond à un effort de compression.

Modélisation à l'aide du logiciel Hercule - prise en compte de l'interaction sol-structure

1

Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles

5.7.7

Pour optimiser les quantités de ferraillage à disposer dans les voiles, il est recommandé d'utiliser les principes donnés par l'Eurocode 8 (ECB-1 /5.4.2.S] pour les « voiles de grandes dimensions en béton peu armé » et la ductilité moyenne DCM. Le ferraillage des voiles est ensuite mené selon les prescriptions de l'Eurocode 2.


5.7.1.1

Un calcul en flexion composée selon l'Eurocode 2 conduit à une section de chaînage égale à 7,35 cm 2, soit 6 HA14. Cette section correspond aux dispositions constructives minimales de l'Eurocode 8 (ECB- 1/5.4.3.5.3-(2)].


5.7.1.2

Les calculs des armatures d'effort tranchant sont menés selon l'Eurocode 8 liaison avec l'Eurocode 2. Ils peuvent être résumés ci-dessous : Effort tranchant de calcul: V Ed=

v~d

.

1

;q

(ECB-1 /5.4.3.5.2]

en

1 9 = 1 049. +;, = 1 521 kN

Effort tranchant résistant VRd,c [EC2-1-1 /6.2.2]: VRd,c =max

(( 0 '~c8 · k · (100·p 1·fcJ 113 + 0,15·acp) ( 0 '~5 · fce,5 + 0,15·acp)) · bw·d

k = min (1+

/ 2~ 0 2)

a cp= min

=min ( 1+

) ( 0,182 ) ~ 0,2·fc
N Ed (

. (A,'

) . (0,20 9,24-10- 0,02 5,90 4

p1 = mm b d 0,02 = mm w·

~

VRd,c = max

(( 01~:

·

)

= 0,0008

X

1,184· (100 x 0,0008 x 25) 113+0,15·O,15)

0 ( ; :; ·

Vl

j52~g0 2) = 1,184

{25 + 0,15

X

0,15)) . 0,20 X 5,90 = 1615 kN

Q)

0

1...

>-

w

l.D M

0 N

Leffort tranchant Ym étant inférieur à VRd,c' il n'y a pas lieu de disposer des armatures d'effort tranchant issues du calcul ; en outre, il n'est pas obligatoire, en vertu du paragraphe 5.4.3.5.2(1) de l'Eurocode 8, d'adopter la section mi nimale donnée au paragraphe 9.2.2 de l'Eurocode 2.

@ .......

..c Ol

·;::

>-

5.7.1.3


Q_

0

u

Les calculs des armatures de glissement sont menés selon l'Eurocode 8 liaison avec l'Eurocode 2 (EC2-1- 1/6.2.5]. La valeur de la contrainte de cisaillement à l'interface VEdi est égale à :

VEd

VEdi = - - - 0,9 xd X bw

1,521 0,9 X 5,90 X 0,20

1,43 MPa

[ECB-1 /5.4.3.5.2-(4)]

en

235

236

1


La contrainte sn engendrée par la force normale externe (positive) agissant en même temps que l'effort de cisaillement est égale à :

.(

NEdJ

.(

0,182 ) 0,20 X 0,21

= 4,4 MPa

x désigne la position del' axe neutre obtenue dans le calcul en flexion composée : ici x = 0,21 m. Pour calculer le pourcentage d'armatures p, le groupe de suivi de l'Eurocode 2 recommande de prendre en compte: • toutes les armatures traversant la zone comprimée ; • uniquement les armatures tendues n'ayant pas été prises en compte dans le calcul de la flexion. p = ~ = (9,24 - 7,35) + 9,24 = 0,0009 bw X Iw

20 X 600

On suppose que la surface de reprise est lisse : cela conduit à une valeur du coefficient c égale à 0,35 et à une valeur du coefficientµ égale à 0,60. La valeur de c est divisée par 2 [EC2-1/6.2.5-(5)]. La valeur de calcul de la contrainte correspondant à l'atteinte de la résistance au cisaillement de l'interface ; vRdi est alors égale à : VRdi

=

min(0,5x0,6 x (1- 2;~) x(d cx(cd + µx
VRdi

=

min(0,5x0,6x(l- 2~~)xl9,2

11

+ pxfyd xµ)

0,35xl,38+0,6x 4,4+0,0009 x 500x0,6)


5.8

=

1,43 MPa < vRdi

=

=

3,4 MPa

3,40 MPa.

Modélisation à l'aide du logiciel Hercule modèle brochette

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

Il s'agit de modéliser le bâtiment décrit au paragraphe 5.2 à l'aide d'un modèle simple à barres verticales, appelé communément modèle brochette. Ce modèle doit représenter le plus fidèlem ent poss ible le comportement dynamique du bâtiment.

M

0 N

@ .......

La première étape, qui est la plus longue et la plus délicate, est de déterminer les caractéristiques géométriques des barres.

..c Ol

·;::

~

5.8. l

Calage de la brochette

5.8.1.1

Étape 1 - application d'une charge horizontale de 10 000 kN répartie sur le plancher haut

u

On applique cette charge selon X et selon Y et on calcule ensuite les déplacements globaux correspondants (translations X et Y, rotations autour de X et Y) de chaque plancher.

Modélisation à l'aide du logiciel Hercule - modèle brochette

1

Tableau 5.8-1 Sens X Niveau

Déplacement X

Rotation autour de Y

0,00

0,000000

0,00000000

4,00

0,002376

0,00008475

8,00

0,005603

0,00014167

12,00

0,009474

0,000 17636

16,00

0,013788

0,00019002

Tableau 5.8-2 Sens Y

5.8.1.2

Niveau

Déplacement Y

Rotation autour de X

0,00

0,000000

0,00000000

4,00

0,001281

0,00019017

8,00

0,003866

0,00032670

12,00

0,0072 17

0,00040506

16,00

0,010971

0,00043 142

Étape 2 - détermination des caractéristiques géométriques des barres de la brochette

Ici, on utilise les formules de Bresse. Tableau 5.8-3 Caractéristiques géométriques Section réduite sens X (m 1)

Inertie autour de Y (m 4 )

Entre 0,00 et 4,00

2,7

184

Entre 4,00 et 8,00

2,2

183

En tre 8,00 et 12,00

1,9

191

Entre 12,00 et 16,00

1,7

190

Barre

Section réduite sens Y (m 1)

Inertie autour de X (m 4 )

Entre 0,00 et 4 ,00

6,8

413

Entre 4,00 et 8,00

3,9

439

0 N

Entre 8,00 et 12,00

3,2

432

@

Entre 12,00 et 16,00

2,9

366

Barre

Vl Q)

0

1....

>-

w

\,() M

.......

..c Ol

·;::

>-

Q_

0

u

5.8.1.3

Étape 3 - vérifications du modèle

Pour cela, d'une part, on applique une force de 10 000 kN en têre de brochette et, d'autre part, on calcule les périodes propres. On obtient :

237

238

1


Tableau 8.5-4

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • CAS 1 • • • • • 10000 k1lonevtons - sens X • •...................................................• Noeud SYS • X RY • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 0 • • DEPLACEMEllT 2 0 002376069 • 0 000084750 • 0 • • 0 000141670

• DEPLACEKEllT • DEPLACEMEJIT • DEPLACEKEllT

3 4

0 • 0 ..

0 005602612 0 009 473762 0 013786879

• ..

0 000176360 0 000190020

..• ..

s ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

.. ..

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • CAS 2 • • • • • 10000 k1lonevtons - sens Y • • ................................................... y lloeud SYS • RX • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 0 ..

• • • •

DEPLACEKEllT DEPLACEKEHT DEPLACEMEllT DEPLACEKEllT

2 3 4

0 •

0 •

0 0 0 0

* -0 000190170 *

001281020 00386S84S 007217008 010970712

• • ..

-0 000326700 - 0 000 405060 - 0 000431420

• • ..

0 .. s ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

..

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • * FREQUEllCE * MASSES EFFECTIVES * llUMERO •* PERIODE • DU KODE • // X // y // z •* • • • • • • ..................................................................

.

..

.

•*

1

•*

0 1783

5 6070

•*

83 . 8

0 0

0 0

•*

•.

2

•

0 1513

6 6111

0 0

76 8

0 0

. •

0 0639

•.

••

*

..•

•

•

•

•

..

11 9 0 0 0 0 • • • 4 0 0486 20 5668 • 0 0 15 6 0 0 * • • • • ......................................................................

*

3

*

15 6389

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D

Lédition des déplacements et du tableau des m odes propres valide le calage (voir § 5.3.3). Étant donné que les masses sont concentrées aux quatre nœuds de la brochette, les masses participantes des modes principaux sont plus importantes que celles du modèle 3-D.

M

0 N

@ ....... ..c

Ces masses concentrées sont estimées à 289 t pour le niveau 16, 00 met à 343 t pour les autres mveaux .

Ol

·;::

>-

0. 0

5.8.2 Calcul des efforts sismiques à la base du bâtiment

u

Tableau 5.8-5 Torseurs

y

Cas

X

Séisme X

5248

0

0

60758

Séisme Y

0

4836

58085

0

MX

MY


5.8.3

1

Calcul des accélérations à chaque niveau du bâtiment Tableau 5.8-6 Torseurs résultants

n i veau niveau

4 OO 4 OO

sens X 2 222003 sens Y 0 000000

0 000000 1 880756

ni veau niveau

8 OO 8 OO

sens X 3 797333 sens Y 0 000000

0 000000 3 450760

niveau 12 OO n i veau 12 OO

sens X 5 1367 40 sen s Y 0 000000

0 000000 4 8878 47

niveau 16 OO n i veau 16 OO

sens X 6 400 450 sen s Y 0 000000

0 000000 6 575717

On obtient les torseurs à la base en multipliant les masses par les accélérations à chaque niveau. Effort tranchant, séisme X :

Vx = 289

X

6,40 + 343

X

5, 14 + 343

X

3,80 + 343

X

2,22 = 5 677 kN.

Moment de renversement, séisme X : My= 289 =

X

6,40

X

16 + 343

X

5, 14 *12 + 343

3,80

X

8 + 343

X

2,22

X

4

X

64 195 kN/m.

Effort tranchant, séisme Y : Vy = 289

X

6,58 + 343

X

4,89 + 343

X

3,45 + 343

X

1,88 = 5 407 kN.

Moment de renversement, séisme X : Mx= 289 =

X

6,58

X

16 + 343

X

4,89

X

12 + 343

X

3,45

X

8 + 343

X

1,88

X

4

62 600 kN/m.

5.8.4 Ajustement des accélérations Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@

Comme indiqué au paragraphe 5. 1.2, le fait de calculer des efforts dans le modèle 3-D à partir d'accélérations obtenues par superposition quadratique conduirait à une surestimation des résultats. Aussi, il est préférable d'ajuster les valeurs des accélérations. Pour cela, on compare les torseurs à l'encastrement de la brochette obtenus, d' une part par la méthode modale, d'autre part par application des accélérations. Effort tranchant, séisme X :

.......

5 248/5 677

..c Ol

=

0,924 .

·;::

>-

0. 0

Moment de renversement, séisme X :

u

60 758/64 195 = 0,946. Effort tranchant, séisme Y: 4 836/5 407

=

0,894.

Moment de renversement, séisme X : 58 085/62 600 = 0,928.

239

240

1


La meilleure solution est de faire un ajustement séparément vis-à-vis de l'effort tranchant et du moment de renversement. Ici, pour simplifier, on effectue un ajustement global pour les deux efforts. On adopte 0,93 pour le sens X et 0,91 pour le sens Y.

5.8.5

Injection des accélérations dans le modèle 3-D et édition des efforts

Les efforts dans les éléments sont déterminés sans l'inconvénient que représente la perte des signes avec les superpositions quadratiques. En reprenant l'exemple du voile étudié au paragraphe 5.3.6, on obtient les efforts à la base du voile suivants (tableau 5.8-7) : Tableau 5.8-7

Cas

R.X

R.Y

R.Z

R.MX

R.MY

R.MZ

G -1

30,7

0,0

- 844,9

0,2

-61,8

1,4

Q-2

8,5

0,0

- 102,5

0,0

-16,0

-0,1

Séisme X

1 188,3

0,7

- 235,5

- 2, 1

3 975,3

6,7

Séisme Y

- 22 1,5

7,8

- 2 12,4

- 11 ,4

853,9

- 0,6

Le tableau des combinaisons de Newmark devient (tableau 5.8-8) : Tableau 5.8-8 Torseurs résultants

Cas

R.X

1001

1 155, 1

3, 1

1002

- l 22 1,6

1003

R.MX

R.MY

R.MZ

- 1 174,8

- 5,3

4164,8

7,9

1,7

- 703,9

- 1, 1

- 3 785,7

- 5,6

1 288,0

- 1,6

- 1 047,3

1,6

3652,5

8,3

1004

- 1 088,6

-3,0

- 576,4

5,7

- 4 298, l

- 5,2

1005

- 254,7

10,2

- 1 151,8

- 14,7

1043,5

0,5

1006

- 121,8

5,5

- 1 024,3

- 7,8

531,1

0,9

>-

1007

188,3

- 5,4

- 726,9

8,2

-664,4

1,8

l.D

1008

32 1,2

- 10, J

- 599,4

15, 1

- 1 176,7

2,2

Vl Q)

R.Y

R.Z

0

1....

w M

0 N

@ ....... ..c Ol

5.8.6 Calcul du ferraillage des voiles

·;::

>-

Q_

Le ferraillage est calculé comme indiqué au paragraphe 5.3.7.

0

u

5.8.6.1 Calcul de la section des chaînages Un calcul en flexion composée selon l'Eurocode 2 conduit à une section de chaînage égale à 8,70 cm 2. Cela conduit à disposer 6 HA16 (12,06 cm 2 ) ; cette section est supérieure aux dispositions constructives m inimales de l'Eurocode 8 (4 HA12) (ECB-1/5.4.3.5.3-(2)].


1


5.8.6.2

Les calculs des armatures d'effort tranchant sont menés selon l'Eurocode 8 [EC8-1 /5.4.3.5.2) en liaison avec l'Eurocode 2. Ils peuvent être résumés ci-dessous : Effort tranchant de calcul: V Ed=

V~d

·

1

;q

1 9 = 1 288 · +; , = 1 867 kN

Effort tranchant résistant VRd,c [EC2-1-1/6.2.2): VRd,c = max

(( '~c

k =min (1+

/ 2~ 0 2)

crcp =min

0

8

· k · (100·Pr(J

NEd (

= min ( 1+ )

Ac 0,2·fcd = min

A,1

)

(

(

113

+ 0,15 ·crcp)

(°'~5 · fc~,5 + 0,15·crcp)) · bw·d

J52~g0 2) = 1,184

1,047 ) 0 ,20 x ,00 0,2x19,2 = 0,87 MPa 6 12,06- 10--4

)

p1 = min ( bw·d 0,02 =min 1+ 0, 20 x , 0,02 = 0,0010 5 90 ::?

(( 01~: ·1,184 ·(100 x 0,001x25) 113 + 0,15·0,87)

VRd,c =max

( 01~; ·'125 + 0,15 x0,87)) · 0,20 x5,90

= l 743 kN

.Leffort tranchant V ED étant supéri eur à V Rd,c' il faut d isposer des armatures d'effort tranchant. Celles-ci sont calculées avec un angle d'inclinaison d es bielles « classique » de 45° :

A.w

V Ed 0,9 X d

1

--- X -

s

fyd

=

1,867 0,9 X 5,90

1 500

---- X -

7,0 cm

2

m

5.8.6.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises de bétonnage

à la base du voile Les calculs des armatures de glissement sont menés selon l'Eurocode 8 [ECS-1 /5.4.3.5.2-(4)) en liaison avec l'Eurocode 2 [EC2-1-1 /6.2.5). Vl Q)

La valeur de la contrainte de cisaillement à l'interface vEdi est égale à :

0

1....

>-

w

l.D

V

@ .......

V Ed '

M

0 N

-

Edi - 0 9 X d X b

w

1 867 ' = 1,76 MPa 0,9 X 5,90 X 0,20

La contrainte sn engendrée par la force normale externe (positive) agissant en même temps que l'effort de cisaillem ent est égale à :

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

. (

NEd )

. (

1,047 ) cr11 =mm 0,6 x fcd bw x x = mm 0,6x 19,2 0, 20 x 0,4 = 10,9 MPa 8

x désigne la position de l' axe neutre obtenue dans le calcul en flexion composée: ici x = 0,48 m. Pour calculer le pourcentage d'armatures p, le groupe de suivi de l'Eurocode 2 recommande de prendre en compte : • toutes les armatures traversant la zone comprimée ; • uniquement les armatures tendues n'ayant pas été prises en compte dans le calcul de la flexion.

241

242

1


=

(12,06 - 8,70) + 12,06 + 7 ,0 X(6,00 - 0,40) = 0046 0 20 X 600 '

On suppose que la surface de reprise est lisse : cela conduit à une valeur du coefficient c égale à 0,35 et à une valeur du coefficientµ égale à 0,60. La valeur de c est divisée par 2, conformément à l'article 6.2.5 (5) de l'Eurocode 2. La valeur de calcul de la contrainte correspondant à l'atteinte de la résistance au cisaillement de l'interface vRdi est alors égale à : VRdi

=

min(0,5 x 0,6 x

(1 - 2;~)x fcd ~

x fcrd + µ x cr 11 +p x fyd x µ)

2 VRdi = min(o,5 X0,6x(1 - 2 ?o)x 19,2o,;sX 1,38+0,6X10,9 + 0,0046 X500 X0,6) = 8,1 MPa La condition de glissement est vérifiée puisque vEdi besoin d'ajouter des armatures supplém entaires.

Vl Q)

0

1....

>-

w

l.D M

0 N

@ .......

..c Ol

·;::

>-

0. 0

u

=

1,76 MPa < vRdi

=

8, 1 MPa. Il n'y a pas

Bibliographie Références

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@ .......

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Pratique Du Calcul Sismique _ Guide d'Application de l'Eurocode 8

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