PRACTIK CONTROL

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL

LA PAZ – BOLIVIA

1. Una empresa de bienes raíces evalúa formas de convenio de ventas, usando el plan de muestreo sencillo N=1500, n=110 y c=3. Trace una curva OC usando unos 7 puntos. Datos: N=1500 n=110 c=3

Es distribución binomial, pero utilizando la aproximación mediante poisson: p

λ=n*p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Pa

1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7

0,97425818 0,81935242 0,5803382 0,35944777 0,2016992 0,10515101 0,05181875

CO 1,5 1 0,5 0 0

0,02

0,04

0,06

0,08

2. En el consultorio de un médico se evalúan aplicadores con punta de algodón, desechables, usando el plan de muestreo sencillo N=8000, n=62 y c=1. Trace la curva OC usando unos 7 puntos. Datos: N=1500 n=110 c=3


λ=n*p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Pa

0,62 0,87146999 1,24 0,64822065 1,86 0,44522372 2,48 0,29142643 3,1 0,18470173 3,72 0,11438433 4,34 0,06961506

3. Trazar la curva OC tipo B para el plan de muestreo único n=50, c=1.

Para el plan de muestreo único tipo B, que es la binomial tenemos: n

C 50

1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Pa 0,91056469 0,73577139 0,55527987 0,4004812 0,27943175

p

CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

1. Una empresa de bienes raíces evalúa formas de convenio de ventas, usando el plan de muestreo sencillo N=1500, n=110 y c=3. Trace una curva OC usando unos 7 puntos. Datos: N=1500 n=110 c=3


λ=n*p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Pa

1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7

0,97425818 0,81935242 0,5803382 0,35944777 0,2016992 0,10515101 0,05181875

CO 1,5 1 0,5 0 0

0,02

0,04

0,06

0,08

2. En el consultorio de un médico se evalúan aplicadores con punta de algodón, desechables, usando el plan de muestreo sencillo N=8000, n=62 y c=1. Trace la curva OC usando unos 7 puntos. Datos: N=1500 n=110 c=3


λ=n*p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Pa

0,62 0,87146999 1,24 0,64822065 1,86 0,44522372 2,48 0,29142643 3,1 0,18470173 3,72 0,11438433 4,34 0,06961506

3. Trazar la curva OC tipo B para el plan de muestreo único n=50, c=1.

Para el plan de muestreo único tipo B, que es la binomial tenemos: n

C 50

1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Pa 0,91056469 0,73577139 0,55527987 0,4004812 0,27943175

p


0,06 0,07 0,08 0,09

0,19000326 0,1264935 0,08271202 0,05323846

4. Trace la curva CO para los planes de muestreo simple n=50, c=2 y n=100, c=3. Comente los gráficos obtenidos indicando cuál de ellos favorece más al fabricante y cuál al comprador. Datos y Cálculos: %DEF

λ=n*P

Pa c= 2

λ=n*P

Pa c= 3

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

1 0,98561232 0,9196986 0,80884683 0,67667642 0,54381312 0,42319008 0,3208472 0,23810331 0,17357807

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0,98101184 0,85712346 0,64723189 0,43347012 0,26502592 0,15120388 0,08176542 0,04238011 0,02122649

CO 1,2 1 0,8 Pa c= 2

0,6

Pa c= 3

0,4 0,2 0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

Respuesta: Al observar el grafico CO, el mejor plan para el fabricante es n=50, n =50, el mejor plan para el comprador es n=100. 5. Suponer que un producto se embarca en lotes de tamaño N=5000. El procedimiento de inspección de recepción usado es un muestreo único con n=50, c=1. a. Trazar la curva OC tipo A para el plan. b. Trazar la curva OC tipo B para este plan y compararla con la curva OC tipo A qué se encontró en el inciso a). CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

c. ¿Cuál de la curvas es la apropiada para esta situación? n

C

50

1

CO tipo A

1 Pa 0,9 0,01 50 0,91134639 0,8 0,02 100 0,73581184 0,7 0,03 150 0,55447557 0,6 0,04 200 0,39914856 0,5 0,05 250 0,27791077 0,4 0,06 300 0,18853533 0,3 0,07 350 0,12521117 0,2 0,08 400 0,08166522 0,1 0,09 450 0,05242564 0 0 0,02 0,04 0,06 0,1 500 0,03317894 0,11 550 0,02072572 0,12 600 0,01279003 B) Comparación de las Curvas CO tipo A y tipo B para este plan

p

x

p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12

A

B

0,91134639 0,73581184 0,55447557 0,39914856 0,27791077 0,18853533 0,12521117 0,08166522 0,05242564 0,03317894 0,02072572 0,01279003

0,91056469 0,73577139 0,55527987 0,4004812 0,27943175 0,19000326 0,1264935 0,08271202 0,05323846 0,03378586 0,02116465 0,01309904

0,08

0,1

0,12

Para esta situación, el grafico esta tan superpuesta que solamente en la tabla de datos podemos ver diferencias tan mínimas, por lo tanto las dos son muy apropiadas. 6. Un plan de muestreo único viene dado por n=120, c=3. ¿Cuál es la calidad de indiferencia? ¿Cuál es la calidad de un lote que tiene un 95% de probabilidad de aceptación? Datos: n=120 c=3


0,14

Por la tabla: p

λ=n*p 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Pa

0 1,2 2,4 3,6 4,8 6 7,2 8,4 9,6

CO

1 0,96623103 0,77872291 0,51521611 0,29422992 0,15120388 0,07191712 0,03226037 0,01382587

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 a) La calidad de indiferencia =0.5 porque el fabricante y el consumidor asumen los mismos riesgos en este plan; entonces en la tabla debemos interpolar linealmente ya que se trata de valores muy pequeños:

p

pa

0,02 0,77872291 0,03 0,51521611 0,03057745 0,5 Respuesta: Entonces p=0.0306 b) Calidad de aceptación de 0.95, realizamos de la misma manera: p

pa

0 0,01 0,01480649

1 0,96623103 0,95

Respuesta: Entonces p=0.0148 7. Se presenta un lote defectuoso al 5% para un plan de muestreo único con inspección de rectificación, n=120, c=3. ¿Cuál es la calidad media de salida? ¿Y l a ITM si los lotes son de tamaño 2000? DATOS: N=2000

n=120

P=0,05

Fracción λ=n*p defectuosa 0,05 6 De la fórmula de Calidad media de salida:

C=3 Pa 0,151203883

   

Para la inspección total media (ITM): CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

0,12

       

8. Encontrar un plan de muestreo único para el que AQL=0,01, α=0,05, LTPD=0,15 y β=0,10.

NCA o AQL;

p1=0,01, α=0,05

CL o LTPD:

p2=0,15 y β=0,10

        De la tabla:

c

0,05

0,1

p'n1-a

p'nb

R

0,051

2,30

45,10

0

0.88 0.3190257762 3.701845343 1

0,355

3,89

15 10,96

Interpolando: Para c=1

      

     

La solución aproximada será intermedia y el plan será: n=28 9. Encontrar un plan de muestreo único para el que AQL=0,02, α=0,05, LTPD=0,06 y β=0,10.

NCA o AQL;

p1=0,02, α=0,05

CL o LTPD:

p2=0,06 y β=0,10

        c

0,05

0,1

p'n1-a

p'nb

R

6

3,285

10,53

3,21

6.84

3.86964

11.5716

3

7

3,981

11,77

2,96

Para c=7 CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

       La solución del plan será: n=193.171= 193

     

c=7

10. Una compañía utiliza el siguiente procedimiento de muestreo de aceptación. Se toma una muestra igual a 10% del lote. Si 2% o menos de los artículos de esta muestra son defectuosos, el lote es aceptado; en caso contrario es rechazado. Si el tamaño de los lotes puestos a consideración varía de 5000 a 10000 unidades. ¿Qué puede decirse acerca de la protección de este plan? Si 0,05 es la LTPD deseada, ¿este esquema ofrece una protección razonable para el consumidor? Datos:

N=5000 n=0.1*N=500 C=0.02*n =10 N=10000 n=0.1*N=1000 C=0.02*n =20 N p

c

500

10

5 10 15 20 25

Pa 0,98630473 0,58303975 0,11846441 0,01081172 *

λ=n*p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

n



c

1000 20 λ=n*p Pa 10 0,99841174 20 0,55909258 30 * 40 * 50 *

  

*En este caso debemos calcular los valores que tiene de la Normal a la Poisson por lo tanto tendremos: P acep=P (X<10)

  √   P acep=P (X<10)

  √   P acep=P (X<10)

  √   P acep=P (X<10)

  √   CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

El plan protege al consumidor, ya que cuanta más alta es la probabilidad de defectuosos más bajo es la probabilidad de aceptación. 11. Una compañía utiliza un tamaño de muestra igual a la raíz cuadrada del tamaño del lote. Si 1% o menos de los artículos de la muestra son defectuosos, el lote es aceptado; caso contrario, es rechazado. El tamaño de los lotes puestos a consideración varía de 1000 a 5000 unidades. Comentar la efectividad de este procedimiento.

  √   √    N=5000   √   √    N= 1000

N

1000 N

N

c

n

32 p

5000

c

0

71

0

λ=n*p

0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Por lo que se puede apreciar conseguir una probabilidad consumidor.

Pa λ=n*p Pa 0,16 0,85214379 0,355 0,70117344 0,32 0,72614904 0,71 0,4916442 0,64 0,52729242 1,42 0,24171402 0,96 0,38289289 2,13 0,11883729 1,28 0,2780373 2,84 0,05842567 1,6 0,20189652 3,55 0,02872464 en la tabla, el plan es mas exigente con respecto a la calidad para alta de aceptacion, esto es beneficioso para el comprador o

12. Suponer que se está usando un plan de muestreo único con n=150 y c=2 en la inspección de recepción donde el proveedor embarca el producto en lotes de tamaño N=3000. a. Trazar la curva OC para este plan. b. Trazar la curva AOQ y encontrar el AOQL. c. Trace la curva ATI para este plan.

A) Datos: N=3000 n=150 c=2 p

λ=n*p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5

Pa

0,80884683 0,42319008 0,17357807 0,0619688 0,02025672 0,0062322 0,00183462

CO 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0


0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

B) p 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

AOQ

ATI

0 0,80884683 0,84638016 0,52073421 0,24787522 0,10128358 0,03739317 0,01284231

150 694,786533 1793,90827 2505,3025 2823,38891 2942,26836 2982,23824 2994,77134

AOQ 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

AOQ MAXIMO= AOQL=0,9140089

0,02

0,04

0,06

0,08

ATI 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

13. Suponer que un proveedor embarca componentes en lotes de tamaño N=5000. Se está usando un plan de muestreo único con n=50 y c=2 en la inspección de recepción. Los lotes rechazados se examinan y todos los artículos defectuosos se reprocesan y se reintegran al lote. a. Trazar la curva OC para este plan. b. Encontrar el nivel de calidad del lote que será rechazado 90 % de las veces. c. La administración ha objetado el uso del procedimiento de muestreo anterior y desea usar un plan con un numero de aceptación c=0, argumentando que es más consistente con su programa de cero defectos. ¿Qué piensa usted al respecto? d. Diseñar un plan de muestreo único con c=0 que de una probabilidad de rechazo de 0,90 de los lotes que tengan el nivel de calidad encontrado en el inciso b). Obsérvese que ahora los dos planes tienen el mismo punto LTPD. Trazar la curva OC para este plan y compararla con la que se obtuvo para n=50 y c=2 en el inciso a). CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

e. Suponer que los lotes de entrada tienen 0,5% unidades desconformes. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar estos lotes con ambos planes? Calcular la ATI en este punto de ambos planes. ¿Cuál plan sería preferible? ¿Por qué? Datos: N=5000 n=50 C=2 a) p

λ=n*p

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Pa

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

1 0,98561232 0,9196986 0,80884683 0,67667642 0,54381312 0,42319008 0,3208472

CO 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

b) Para que se cumpla que el 90% de las veces sea rechazado, el 10 % tiene que ser la probabilidad de aceptación, debemos interpolar: P

λ=n*p

Pa

0,1 5 0.1067957599 5.339787995 0,11 5,5 c) Si c=0 p

λ=n*p

0,12465202 0.10 0,08837643

Pa

0,001 0,05 0,95122942 0,002 0,1 0,90483742 0,004 0,2 0,81873075 0,006 0,3 0,74081822 0,008 0,4 0,67032005 0,01 0,5 0,60653066 0,02 1 0,36787944 Vemos en la tabla que la probabilidad de aceptación se acepta siempre en cuento la probabilidad de defectuosos sea mínima, por lo tanto este plan es demasiado exigente para el proveedor.

d) Para c=0 probabilidad de rechazo 90%, probabilidad aceptación p=10% CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

p 0,04 0.04663569844 0,05 tomamos p=0.1067957599

Si

Tenemos = λ=n*p =

λ=n*p

Pa

2 2.331784922 2,5

0,13533528 0.10 0,082085

n=λ/p n=2.331784922/0.1067957599 n=21.83 =22

CO 1,2

1

0,8 Pa (a)

0,6

Pa (b) 0,4

0,2

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

14. Trazar las curvas OC primaria y complementarias para un plan de muestreo doble con n1=50, c1=2, n2=100, c2=6. Si los lotes de entrada tienen una fracción disconforme p=0,05. ¿Cuál es la probabilidad de aceptación en la primera muestra? ¿Cuál es la probabilidad de aceptación final? Calcular la probabilidad de rechazo en la primera muestra. Datos:

n1=50, c1=2, n2=100, c2=6 p=0.05 P

λ1

P(X1<2)

λ2

P(X1=4)

P(X2<2)

P(X1=5)

P(X2<1)

L

0,05 2,5 0,54381312 5 0,13360189 0,12465202 0,06680094 0,04042768 0,61982021 a) para la primera muestra la probabilidad de aceptación es 0.544.

b) La probabilidad de aceptación final es 0.6198 c)La probabilidad de rechazo para la primera muestra es: 0.2565 CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

15. Se compra un producto en lotes de 600 elementos cada uno. Se proponen cinco alternativas para la inspección de muestreo: (1) n=32, c=1; (2) n=50, c=2; (3) n=80, c=3; (4) n=100 c=4 y el plan doble (5) n1=50, c1=1, r1=3, n2=50, c2=4. Calcular el AOQ y ATI de cada plan si la calidad de entrada es defectuosa al 2%. ¿Qué plan minimiza ATI? ¿Qué plan da el mejor AOQ? ¿Qué plan se escogería? DATOS: Plan simple

n

c

1 2 3 4 Plan doble 5

32 50 80 100 n1 50

1 2 3 4 n2 50

c1 1

c2 4

r1 3

N=600 Plan simple 1 2 3 4

n

c

p

λ=n*p Pa

32 50 80 100

1 2 3 4

0,02 0,02 0,02 0,02

0,64 1,00 1,60 2,00

0,86475958 0,91969860 0,92118651 0,94734698

% CMS o (Pa*p) 1,729519151 1,839397206 1,842373026 1,894693965

AOQ

ITM o ATI 108,816561 94,1657684 120,983013 126,326509

Para el plan Doble: Datos: Plan doble

n1

n2

c1

c2

r1

5

50

50

1

4

3

Como vemos:

p 0,02

        λ1

P(X1<1)

1

0,73575888

λ2

1

P(X1=2)

P(X2<2)

L

0,18393972

0,9196986 0.904927983

                            [  (     )    ]              L CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

% CMS o AOQ ITM (Pa*p) ATI

o

0.904927983 1.809855966

110.75

16. Un plan de doble muestreo viene dado por n1=100, c1=1, r1=3, n2=100, c2=3. a) Calcular la probabilidad de aceptación de un lote defectuoso al 2% b) Si se usa inspección de rectificación y el tamaño del lote es 3000, calcula AOQ y ATI.Contesta a las dos cuestiones anteriores cambiando a r1=4.

Para r1=3 n1

c1

n2

100 p

1

c2

100

3

λ1

P(X1<1) λ2 P(X1=2) P(X2<1) L 0,02 2 0,40600585 2 0,27067057 0,40600585 0,51589968 La probabilidad de aceptación para este plan es 0.5159

                            [  (     )    ]        % CMS o AOQ ITM o ATI (Pa*p) 0,51589968 1,03179937 L



Para r1=4 p

λ1 0,02

P(X1<1)

2

λ2

0,40600585

P(X1=2)

2

P(X2<1)

P(X1=3)

P(X2<0)

L

0,27067057 0,40600585 0,18044704 0,13533528 0,54032053

La probabilidad de aceptación para este plan es 0.5403

                            [  (     )    ]     [  (     )    ]          % CMS o AOQ (Pa*p) 0,51589968 1,03179937 L


ITM o ATI



17. Deduzca la ecuación de la curva OC para el plan de muestreo N=10000, n1=200, c1=2, d1=6, n2=350, c2=6 y d2=7. Trace la curva con unos 5 puntos. p

λ1 P(X1<2)

0,01 2 0,02 4 0,03 6 0,04 8 0,05 10

0,67667642 0,23810331 0,0619688 0,01375397 0,0027694

λ2

P(X1=3)

P(X2<3)

3,5 7 10,5 14 17,5

0,18044704 0,53663267 0,19536681 0,08176542 0,08923508 0,00714743 0,02862614 0,00047425 0,00756665 2,6738E-05

P(X1=4)

P(X2<2)

0,09022352 0,3208472 0,19536681 0,02963616 0,13385262 0,00183462 0,05725229 9,3963E-05 0,01891664 4,3095E-06

P(X1=5)

P(X2<1)

L

0,03608941 0,13588823 0,15629345 0,00729506 0,16062314 0,00031667 0,09160366 1,2473E-05 0,03783327 4,6453E-07

1 0,9 0,8 0,7 0,6

Pa (n1)

0,5

Pa (n2)

0,4

L

0,3 0,2 0,1 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

18. Determine la ecuación de la curva OC para los siguientes planes de muestreo: a. N=500, n1=50, c1=0, d1=3, n2=70, c2=2 y d2=3 b. N=6000, n1=80, c1=2, d1=4, n2=160, c2=5 y d2=6 c. N=22000, n1=260, c1=5, d1=9, n2=310, c2=8 y d2=9 d. N=10000, n1=300, c1=4, d1=9, n2=300, c2=8 e. N=800, n1=100, c1=0, d1=5, n2=100, c2=4.

a) N=500, n1=50, c1=0, d1=3, n2=70, c2=2 y d2=3 p

λ1

P(X1<0)

λ2

P(X1=1)

0,000

P(X2<1 ) 1,000

P(X1=2 ) 0,000

P(X2<0 ) 1,000

0

0,00

1,000

0

0.01

0,50

0,607

0,7

0,303

0,844

0,076

0,497

0.02

1,00

0,368

1,4

0,368

0,592

0,184

0,247

0.03

1,50

0,223

2,1

0,335

0,380

0,251

0,122

0.04

2,00

0,135

2,8

0,271

0,231

0,271

0,061

0.05

2,50

0,082

3,5

0,205

0,136

0,257

0,030


L

1,00 0 0,90 0 0,63 1 0,38 1 0,21 4 0,11

0,80736229 0,26100765 0,06290304 0,01377407 0,0027697

0.06

3,00

0,050

4,2

0,149

0,078

0,224

L 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 0

2

4

6

8

10

b) N=6000, n1=80, c1=2, d1=4, n2=160, c2=5 y d2=6 p

λ1

P(X1<2)

λ2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0,00 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80

1,000 0,953 0,783 0,570 0,380 0,238 0,143

0 1,6 3,2 4,8 6,4 8 9,6


P(X1=3) P(X2<2)

0,000 0,038 0,138 0,209 0,223 0,195 0,152

1,000 0,783 0,380 0,143 0,046 0,014 0,004

L

1,000 0,983 0,836 0,600 0,390 0,241 0,143

0,015

8 0,06 5

L 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 0

2

4

6

8

10

12

c) N=22000, n1=260, c1=5, d1=9, n2=310, c2=8 y d2=9 p

λ1

0 0,00 0.01 2,60 0.02 5,20 0.03 7,80 0.04 10,40 0.05 13,00 0.06 15,60

P(X1<5)

λ2

1,000 0,951 0,581 0,210 0,053 0,011 0,002

0 3,1 6,2 9,3 12,4 15,5 18,6

P(X1=6) P(X2<2) P(X1=7) P(X2<1) P(X1=8) P(X2<0)

0,000 0,032 0,151 0,128 0,053 0,015 0,003

1,000 0,401 0,054 0,005 0,000 0,000 0,000

0,000 0,012 0,113 0,143 0,079 0,028 0,007

1,000 0,185 0,015 0,001 0,000 0,000 0,000

0,000 0,004 0,073 0,139 0,103 0,046 0,015

1,000 0,045 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000

L

1,000 0,966 0,591 0,211 0,053 0,011 0,002

L 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0

1

2

3

4

5

6

-0,200

d) N=10000, n1=300, c1=4, d1=9, n2=300, c2=8 p

λ1

P(X1<4)

0 0.01

0,00 3,00

1,000 0,815

λ2 P(X1=5)

0 3

0,000 0,101

P(X2<3) P(X1=6) P(X2<2) P(X1=7) P(X2<1) P(X1=8) P(X2<0)

1,000 0,647


0,000 0,050

1,000 0,423

0,000 0,022

1,000 0,199

0,000 0,008

1,000 0,050

L

1,000 0,907

0.02 6,00 0.03 9,00 0.04 12,00 0.05 15,00 0.06 18,00

0,285 0,055 0,008 0,001 0,000

6 9 12 15 18

0,161 0,061 0,013 0,002 0,000

0,151 0,021 0,002 0,000 0,000

0,161 0,091 0,025 0,005 0,001

0,062 0,006 0,001 0,000 0,000

0,138 0,117 0,044 0,010 0,002

0,017 0,001 0,000 0,000 0,000

4

5

0,103 0,132 0,066 0,019 0,004

0,002 0,000 0,000 0,000 0,000

0,322 0,057 0,008 0,001 0,000

L 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0

1

2

3

-0,200

e) N=800, n1=100, c1=0, d1=5, n2=100, c2=4. p

λ1

P(X1<0)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00

1,000 0,368 0,135 0,050 0,018 0,007 0,002

λ2 P(X1=1) P(X2<3) P(X1=2) P(X2<2) P(X1=3) P(X2<1) P(X1=4) P(X2<0)

0 1 2 3 4 5 6

0,000 0,368 0,271 0,149 0,073 0,034 0,015

1,000 0,981 0,857 0,647 0,433 0,265 0,151


0,000 0,184 0,271 0,224 0,147 0,084 0,045

1,000 0,920 0,677 0,423 0,238 0,125 0,062

0,000 0,061 0,180 0,224 0,195 0,140 0,089

1,000 0,736 0,406 0,199 0,092 0,040 0,017

0,000 0,015 0,090 0,168 0,195 0,175 0,134

1,000 0,368 0,135 0,050 0,018 0,007 0,002

L

1,000 0,949 0,636 0,294 0,106 0,033 0,009

19. Una empresa de montaje compra componentes a tres proveedores A, B y C, que aseguran que su calidad de fabricación es del 1% defectuoso. Sin embargo, cada uno de los proveedores realiza un plan de muestreo diferente antes de enviar el pedido a la empresa de montaje: Proveedor A: n=30 c=1 Proveedor B: n=60 c=2 Proveedor C: n=90 c=3 a) ¿Cuál de los proveedores es más exigente con su muestreo? b) Si los tres proveedores envían sus productos en lotes de 2800 elementos, ¿cuál de ellos tiene un menor costo de inspección? c) La empresa de montaje plantea una calidad límite del 10% defectuoso. ¿Cuál de los tres planes con lleva una protección mayor frente a lotes tan defectuosos?

Datos: P=1% Proveedor A: n=30 c=1 Proveedor B: n=60 c=2 Proveedor C: n=90 c=3 N=2800 a) Proveedor

Plan simple

p λ=n*p n c 30 1 0,01 0,3 A 60 2 0,01 0,6 B C 90 3 0,01 0,9 Respuesta a) El plan del Proveedor A es el más exigente con su muestreo.

Pa

0,96306369 0,97688471 0,98654128

Con N=2800 Pa

ITM

0,96306369 0,97688471 0,98654128

132,313587 123,335888 126,473133

Respuesta b) Al hallar la Inspecciones Total Media para cada proveedor, el plan del proveedor B es el que tiene menor costo de inspección. Proveedor A B

Plan simple

n 30 60

c 1 2


p

λ=n*p

Pa

0,1 0,1

3 6

0,19914827 0,0619688

C

90

3

0,1

9

0,02122649

Respuesta c) El proveedor C es el que conlleva una protección mayor frente a lotes tan defectuosos. 20. Supongamos que se envía un producto en lotes de tamaño N=5000. El procedimiento de inspección en la recepción es un muestreo simple con n=50 y c=1. Trace la curva CO. Calcula el NCA y la CL para que unos riesgos de α=0,05 y β=0,08. Comenta los resultados obtenidos. N

5000

n

c 50

p

λ=n*p 0 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

0 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

1 Pa 1 0,97350098 0,90979599 0,73575888 0,5578254 0,40600585 0,2872975 0,19914827 0,13588823 0,09157819

CO 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

Si α=5%, entonces para hallar NCA debemos calcular al 95% de probabilidad.Debemos interpolar: CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

p

λ=n*p

0,3 0,006 0,35 0,007 0.007113246361 0.3556623181

Pa

0,96306369 0,95132892 0.95

       

El porcentaje de defectuosos aceptable es 0.71%, por lo tanto este plan es exigente para el fabricante, para que la probabilidad de aceptación sea de 95%. Si β=10%, entonces para hallar CL debemos calcular al 10% de probabilidad.Debemos interpolar: p

λ=n*p 0,07 0.07809934498 0,08

3,5 3.904967249 4

Pa

0,13588823 0.1 0,09157819

        

Este es un plan no favorable para el consumidor, ya que la calidad limite es 7.81%, esto quiere decir que para que se rechace 8% de los lotes, el lote debe tener más del 8 % de defectuosos. 21. Proyectar un plan de muestreo sencillo que se aproxime a los siguientes requisitos: P1=0,02 α=0,05 p2=0,06 β=0,08


El plan será: C=7 n=220 22. Proyectar un plan de muestreo sencillo que se aproxime a los siguientes requisitos: P1=0,01 α=0,03 punto de indiferencia=0,06

La solución del plan será: n=28

c=1


23. Encuentre un plan de muestreo simple para el cual p1=0,01, α=0,05, p2=0,10 y β=0,10. Suponga que se someten lotes de N=2000 a la inspección. Trace la curva ITM para este plan. Trace también la curva CMS y determine el LCMS. Datos:

NCA o AQL;

p1=0,01, α=0,05

CL o LTPD:

p2=0,10 y β=0,10

N=2000

        De la tabla: c

0,05

0,1

0

p'n1-a 0,051

p'nb 2,30


R 45,098

Interpolando:

0,355 0,818 0,455

1 2 1,21 ~1

3,89 5,32 4,198

10,958 6,504 10

Para c=1

      

     

La solución aproximada será intermedia y el plan será: n=44 p

λ=n*p

Pa

ITM

CMS

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,44 0,88 1,32 1,76 2,20 2,64 3,08 3,52 3,96

0,927412446 0,779791874 0,619753901 0,474843824 0,354570107 0,259755021 0,187513767 0,133789447 0,094553047

185,9812549 474,7270945 787,7613705 1071,2054800 1306,4608712 1491,9191786 1633,2230715 1738,3078417 1815,0542403

0,927412446 1,559583748 1,859261702 1,899375297 1,772850534 1,558530127 1,312596370 1,070315576 0,850977422

LCMS

Curva CO:

CO 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 0

0,05

Curva CMS:


0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

CMS 2,500 2,000 1,500 CMS

1,000 0,500 0,000 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

24. Una compañía utiliza el siguiente procedimiento de muestreo para aceptación. Se toma una muestra igual al 10% del lote. Si el 2% o menos de los artículos son defectuosos, se acepta el lote; de otra manera se rechaza. Si los lotes enviados varían en tamaño de 5000 a 10000 artículos, ¿qué se puede decir acerca de la protección mediante este plan? ¿Ofrece este esquema una protección razonable para el consumidor, si el PDTL deseado es 0,05? Datos:

N=5000 n=0.1*N=500 C=0.02*n =10 N=10000 n=0.1*N=1000 C=0.02*n =20 n P

c

500

10

5 10 15 20 25

Pa 0,98630473 0,58303975 0,11846441 0,01081172 *

λ=n*p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

n



c

1000 20 λ=n*p Pa 10 0,99841174 20 0,55909258 30 * 40 * 50 *

  

*En este caso debemos calcular los valores que tiene de la Normal a la Poisson por lo tanto tendremos: P acep=P (X<10)

  √   P acep=P (X<10)


  √   P acep=P (X<10)

  √   P acep=P (X<10)

  √   El plan protege al consumidor, ya que cuanta más alta es la probabilidad de defectuosos más bajo es la probabilidad de aceptación. 25. Una compañía utiliza un tamaño muestral igual a la raíz cuadrada del tamaño del lote. Si el 1% o menos de los artículos en la muestra son defectuosos, se acepta el lote; de otra manera, se rechaza. Los lotes enviados varían en tamaño de 1000 a 5000 artículos. Comente la eficacia de este procedimiento. a. Derivar un plan de muestreo secuencial artículo por artículo para el que AQL=0,01, α=0,05, LTPD=0,10 y β=0,10. b. Trazar la curva OC para este plan.

  √   √    N=5000   √   √    N= 1000

N

1000

n

c 32

p 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Por lo que se puede apreciar conseguir una probabilidad consumidor.

N

n

c

71 0 λ=n*p Pa λ=n*p Pa 0,16 0,85214379 0,355 0,70117344 0,32 0,72614904 0,71 0,4916442 0,64 0,52729242 1,42 0,24171402 0,96 0,38289289 2,13 0,11883729 1,28 0,2780373 2,84 0,05842567 1,6 0,20189652 3,55 0,02872464 en la tabla, el plan es mas exigente con respecto a la calidad para alta de aceptacion, esto es beneficioso para el comprador o


0

5000

CO 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

26. Considerar la inspección con rectificación para un muestreo único. Desarrollar una ecuación AOQ suponiendo que todos los artículos defectuosos se eliminan pero no se reemplazan con artículos satisfactorios. 27. Suponga que se usa un plan de muestreo simple con n=150 y c=2 en la inspección a la recepción para un producto que el proveedor envía en lotes de tamaño 3000. a) Trace la curva CO para este plan. b) Grafique la curva CMS y encuentre el LCMS. c) Dibuje la curva ITM para este plan.

Datos: n=150 c=2 n=150 p

c=2

λ=n*p 0 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0 1,5 1,65 1,8 1,95 2,1 2,25 2,4 2,55 2,7 2,85 3 4,5 6 7,5 9


Pa

AOQ

ATI

1 0,80884683 0,7703602 0,73062109 0,69020709 0,64963135 0,60933927 0,56970875 0,53105293 0,49362449 0,45762088 0,42319008 0,17357807 0,0619688 0,02025672 0,0062322

0 0,00808847 0,00847396 0,00876745 0,00897269 0,00909484 0,00914009 0,00911534 0,0090279 0,00888524 0,0086948 0,0084638 0,00520734 0,00247875 0,00101284 0,00037393

150 694,786533 804,473442 917,729905 1032,90979 1148,55065 1263,38309 1376,33007 1486,49915 1593,1702 1695,78048 1793,90827 2505,3025 2823,38891 2942,26836 2982,23824

10,5

0,07

0,00183462

0,00012842

2994,77134

CO 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,06

0,07

0,08

CMS o AOQ 0,01 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

Dónde: De la tabla podemos encontrar el valor máximo de CMS o AOQ que es CMSL o AOQL =0.00914

ATI 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0

0,02

0,04


0,06

0,08

28. Suponga que un proveedor envía componentes en lotes de tamaño 5000. Se utiliza un plan de muestreo simple con n=50 y c=2 para inspección a la recepción. Se tamizan los lotes rechazados y se vuelven a trabajar todos los artículos defectuosos para después regresarlos al lote. a) Trace la curva CO para este plan. b) Obtenga el nivel de calidad del lote que se rechazaría el 90% de las veces. c) La administración se puso al empleo del procedimiento anterior de muestreo, y quiere usar un plan con número de aceptación c=0, argumentando que esto es más acorde con su programa de cero defectos. ¿qué opina de esto? d) Diseñe un plan de muestreo simple con=0 que corresponde a una probabilidad de 0,90 de rechazar lotes con el nivel de calidad encontrado en el inciso b). Observe que los dos planes se equiparan ahora en el punto de PTDL. Trace la curva CO para este plan y compárelo con aquel para el cual n=50, c=2.

Datos: N=5000 n=50 C=2 a) P

Pa

λ=n*p

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

1 0,98561232 0,9196986 0,80884683 0,67667642 0,54381312 0,42319008 0,3208472

CO 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

b) Para que se cumpla que el 0 0,05 0,1 0,15 0,2 90% de las veces sea rechazado, el 10 % tiene que ser la probabilidad de aceptación, debemos interpolar: P

λ=n*p

Pa

0,1 5 0.1067957599 5.339787995 0,11 5,5 c) Si c=0 P

λ=n*p 0,001 0,002 0,004

0,05 0,1 0,2

0,12465202 0.10 0,08837643

Pa

0,95122942 0,90483742 0,81873075


0,25

0,006 0,3 0,74081822 0,008 0,4 0,67032005 0,01 0,5 0,60653066 0,02 1 0,36787944 Vemos en la tabla que la probabilidad de aceptación se acepta siempre en cuento la probabilidad de defectuosos sea mínima, por lo tanto este plan es demasiado exigente para el proveedor.

d) Para c=0 probabilidad de rechazo 90%, probabilidad aceptación p=10% p

λ=n*p

Pa

2 0,13533528 0,04 0.10 0.04663569844 2.331784922 2,5 0,082085 0,05 Si tomamos p=0.1067957599 Tenemos = λ=n*p =

n=λ/p n=2.331784922/0.1067957599 n=21.83 =22

CO 1,2

1

0,8 Pa (a)

0,6

Pa (b) 0,4

0,2

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

29. Un proveedor embarca un componente en lotes de tamaño N=3000. El AQL para este producto se ha establecido en 1%. Encontrar los planes de muestreo único con inspección normal, rigurosas y reducida para esta situación a partir del estándar MIL STD 105E, suponiendo que el nivel II de inspección general es apropiado. Datos: N=3000

AQL=1% Nivel de Inspección II La letra será K NORMAL RIGUROSA REDUCIDA n 125 125 50 CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

c r

3 4

2 3

1 4

30. Repetir el ejercicio 32 usando el nivel I de inspección general. Discutir las diferencias en los diferentes planes de muestreo. Datos:

Nivel I con Inspección General N=5000 AQL es 0.65% a) Con la letra J, para los planes de inspección normal, rigurosa y reducida usando tablas tenemos: NORMAL n 80 c 1 r 2

RIGUROSA 80 1 2

REDUCIDA 32 0 2

b) n1

80 n2

c1 λ=n*p

p 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

80 n3

32

1 c2 1 c3 0 NORMAL λ=n*p RIGUROSA λ=n*p REDUCIDA 1 0 1 0 1 0,80879214 0,8 0,80879214 0,32 0,72614904 0,52493095 1,6 0,52493095 0,64 0,52729242 0,30844104 2,4 0,30844104 0,96 0,38289289 0,17120126 3,2 0,17120126 1,28 0,2780373 0,09157819 4 0,09157819 1,6 0,20189652 0,04773253 4,8 0,04773253 1,92 0,14660696

CO (I) 1,2 1 0,8 NORMAL 0,6

RIGUROSA

0,4

REDUCIDA

0,2 0 0

0,02

0,04


0,06

0,08

CO (II) 1,2 1 0,8 NORMAL 0,6

RIGUROSA

0,4

REDUCIDA

0,2 0 0

0,02

0,04

0,06

0,08

c) Los dos planes 31. Un producto se surte en lotes de tamaño N=10000. El AQL se ha especificado en 0,10%. Encontrar los planes de muestreo único con inspección normal, rigurosa y reducida para la situación a partir del estándar MIL STD 105E, suponiendo que se usa el nivel II de inspección general. Datos:

N=10000 AQL =0.10% Nivel de Inspección General II será la letra L Por lo tanto: los planes de inspección normal, rigurosa y reducida usando tablas tenemos: NORMAL n 200 c 0 r 1

RIGUROSA 200 0 1

REDUCIDA 50 0 1

32. Se está utilizando el estándar MIL STD 105E para inspeccionar lotes de entrada de tamaño N=5000. Se emplea un muestreo único, el nivel II de inspección general y un AQL de 0,65%. a) Encontrar los planes de inspección normal, rigurosa y reducida. b) Trazar la misma grafica de curvas OC de los planes de inspección normal, rigurosa y reducida.

Datos: Nivel II con Inspección General N=5000 AQL es 0.65%


a) Con la letra L, para los planes de inspección normal, rigurosa y reducida usando tablas tenemos: NORMAL n 200 c 3 r 4

RIGUROSA 200 2 3

REDUCIDA 80 1 4

b) p

NORMAL

λ=n*p 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0 2 4 6 8 10 12

RIGUROSA λ=n*p

λ=n*p

1 0,85712346 0,43347012 0,15120388 0,04238011 0,01033605 0,00229179

0 2 4 6 8 10 12

1 0,67667642 0,23810331 0,0619688 0,01375397 0,0027694 0,00052226

REDUCIDA

0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

1 0,80879214 0,52493095 0,30844104 0,17120126 0,09157819 0,04773253

CO 1,2 1 0,8 NORMAL 0,6

RIGUROSA

0,4

REDUCIDA

0,2 0 0

0,02

0,04

0,06

0,08

33. Se va a usar muestreo simple con nivel II de inspección general Y AQL 0,65%. El tamaño del lote es 5000. Si el producto tiene una calidad media de 0,5%. a. ¿Cuál es la probabilidad de aceptación con inspección reducida? b. Si la calidad del producto cambia a 1%, ¿Cuál es la probabilidad de que (después de que se inspeccione la primera muestra) se continúe con la inspección reducida? ¿y de que se acepte el lote y se pase a inspección normal? ¿y de que se rechace el lote? c. Determine la probabilidad de aceptación de un lote 0,8% defectuoso con inspección normal y con inspección rigurosa. Datos:

AQL=0,65% N=5000 CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

a) Calidad Media 0,5% b) Calidad Media 1% c) Pa=? Si p=0,8% Solución: De acuerdo con las tablas: MIL STD105E, la letra destinada es L, con nivel II de inspección general: NORMAL n 200 c 3 r 4

RIGUROSA 200 2 3

REDUCIDA 80 1 4

a) p

λ=n*p

0.005

REDUCIDA

0,4

0,93844806

b) Si continuamos con la reducida la probabilidad cambiara en: p

λ=n*p

REDUCIDA

0.01 0,8 0,80879214 Si aceptamos luego el lote pasamos a la normal: p

λ=n*p

NORMAL

0.01 2 0,18044704* *Al pasar a la normal la probabilidad es puntual, y no acumulada.

Si calculamos la probabilidad de aceptación con 0.8% de defectuosos: p

λ=n*p

0.008 p 0.008

NORMAL

1,6

0,92118651 RIGUROSA

1,6

0,78335849

λ=n*p

34. En un muestreo de aceptación que utiliza MIL STD – 105E, se usa muestreo simple con letra código M y AQL 0,40%. Se pide: a) ¿Cuáles son los criterios de aceptación con inspección normal, rigurosa y reducida? b) ¿Cuál es el intervalo más probable del tamaño del lote? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote con calidad 0,5% sea aceptado bajo inspección rigurosa? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote con calidad 0,5% sea aceptado bajo inspección reducida?

Datos: Letra M, AQL =0.4% a) Mediante las tres tablas de inspección normal, rigurosa y reducida tenemos: CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

NORMAL RIGUROSA n 315 315 c 3 2 r 4 3 b) El intervalo más probable, con una suposición que muestreo simple con nivel II de inspección general:

REDUCIDA 125 1 4 se encuentre la letra M que se usó un

De 10001 a 35000 C) P =0.5% para inspección rigurosa n=315 c=2 r=3. Utilizando por acercamiento la distribución poisson: Para hallar la probabilidad de aceptación en el punto: P

Pa

0.05 0,7897985 Por lo tanto la probabilidad será: Pa=0,7897985

C) P =0.5% para inspección rigurosa n=125 c=1 r=4. Utilizando por acercamiento la distribución poisson: Para hallar la probabilidad de aceptación en el punto: P

Pa

0.05 0,86979982 Por lo tanto la probabilidad será: Pa=0,86979982 35. MIL STD 105E no incluye inspección rectificadora. Sin embargo un proveedor de un departamento del gobierno utiliza planes MIL STD 105E con inspección rectificadora para inspeccionar el producto terminado antes de despacharlo a su destino. EL proveedor usa muestreo doble, el nivel II de inspección normal, AQL 1,0% y tamaño 5000 de lote. Si la calidad media del proceso es 1,5% ¿Cuál es el AOQ?

Datos: Letra L, AQL =1% N=5000 De tablas: Letra L. n1=125 c1=2 r1=5 p

λ1 0,015

P(X1<2)

1,875

λ2

0,67667642

n2=125 c=6 r2=7 P(X1=3)

P(X2<3)

P(X1=4)

P(X2<2)

L

0,1684808

0,87894561

0,07897537

0,71046481

0,8808711

1,875

L 0,8808711


% CMS o AOQ (Pa*p)

1,32130665

36. Se viene inspeccionando un producto usando muestreo simple, letra – código J y AQL 1,0. La cantidad de elementos defectuosos hallados en los diez primeros lotes fue: 3, 1, 2, 2, 4, 0, 1, 1, 0 y 1 ¿Qué decisión sobre iniciar/continuar la inspección normal, rigurosa o reducida se tomará después de cada inspección de l a muestra? Datos: Letra J

AQL =1 Cantidad de elementos defectuosos hallados en los primeros diez lotes fue 3, 1, 2, 2, 4, 0, 1, 1, 0, 1 Primero calculamos datos a partir de las tablas, como ya sabemos pertenece a la letra J: de ahí tenemos que: c=2 r=3 con n=80, por lo que ahora veremos los cinco primero datos de los lotes y analizaremos: LOTE 1 # 3 Defectuosos ¿Se acepta? no

2 1

3 2

4 2

5 4

si

si

si

no

Como hemos visto en nuestra tabla, el número de lotes rechazados es 2 de los cinco lotes consecutivos que elegimos, y como vemos nuestro grafico debemos pasar a una inspección RIGUROSA. Para la inspección rigurosa, debemos buscar tablas de acuerdo a la letra J: De ahí tenemos que: c=1 r=2 con n=80, por lo que ahora veremos los siguientes cinco datos de los lotes y analizaremos: LOTE 6 7 8 9 10 # 0 1 1 0 1 Defectuosos ¿Se acepta? si si si si si Como hemos visto en nuestra tabla, el número de lotes aceptados son los cinco lotes consecutivos, y como vemos nuestro grafico debemos pasar a una inspección NORMAL: 37. Siguiendo con el plan de muestreo anterior con inspección normal, la inspección de diez lotes consecutivos de producto mostró 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1 y 0 defectos, respectivamente ¿Puede utilizarse inspección reducida con dicho producto?

Respuesta: Siguiendo el plan anterior vemos que para plan NORMAL de las tablas es c=2 r=3 con n=80, y vemos que los diez lotes se aceptan.


Para que la inspección sea reducida, veremos en la tabla de los números límite para la inspección REDUCIDA; CON AQL=1% vemos que es 4 lo máximo, por lo tanto se puede cambiar a una inspección REDUCIDA. 38. Un producto se embarca en lotes de tamaño N=2000. Encontrar un plan de muestreo único Dodge – Roming para el que LTPD =1%, suponiendo que el promedio del proceso es 0,25% de unidades defectuosas. Trazar la curva OC y la curva ATI para este plan. ¿Cuál es el AOQL para este plan de muestreo? Datos: N=2000 LTPD=1% El promedio del proceso es 0.25%

Trazar OC, ATI, AOQL Tenemos: n=490 c=2 AOQL=0.21 p

λ=n*p 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

0 0,49 0,98 1,47 1,96 2,45 2,94 3,43 3,92 4,41 4,9

Pa

AOQ

ATI

1 0,98635913 0,92334037 0,81633894 0,68750178 0,5567015 0,43676608 0,33398871 0,25006129 0,18395708 0,13333107

0 0,09863591 0,18466807 0,24490168 0,27500071 0,27835075 0,26205965 0,2337921 0,20004903 0,16556137 0,13333107

490 510,59772 605,756048 767,328202 961,872311 1159,38074 1340,48322 1495,67705 1622,40746 1722,22481 1798,67008

CO 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,002

0,004


0,006

0,008

0,01

0,012

ATI 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,01

0,012

AOQ 0,3

AOQL=0,27835075

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

0,002

0,004

0,006

0,008

39. Quiere encontrarse un plan de muestreo único para una situación en la que se embarcan lotes de un proveedor. El proceso del proveedor opera con un nivel de porción caída fuera de 0,5% de unidades defectuosas. Se requiere que el AOQL de la actividad de inspección sea 3%. a. Encontrar un plan Dodge – Roming apropiado. b. Trazar la curva OC y la curva ATI para este plan ¿Cuál será la inspección necesaria en promedio, si el proceso del proveedor opera cerca del nivel de porción caída fuera promedio? c. ¿Cuál es la protección LTPD para este plan? 40. Un proveedor embarca un producto en lotes de tamaño N=8000. Quiere tenerse un AOQL de 3% y se usará un muestreo único. No se conoce la porción caída del proceso del proveedor pero se presume que es a lo sumo del 1% de unidades defectuosas. a. Encontrar el plan Dodge – Roming apropiado. CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

b. Encontrar la ATI para este plan, suponiendo que los lotes de entrada tienen 1% de unidades defectuosas. Datos: N=8000 AOQL =3 % A lo sumo tienen 1% de unidades defectuosas a) Plan Dodge – Roming n=65 c= 3 Calidad limite=LQ=10.3 B) p

λ=n*p 0,01

Pa

ATI

0,65 0,99555217 100,293513

41. Suponer que la estimación obtenida del promedio del proceso del proveedor es incorrecta y que es en realidad del 0,25% de unidades defectuosas. ¿Qué plan de muestreo deberá usarse? ¿Qué reducción en la ATI se habría obtenido si se hubiera usado el plan correcto?

Datos: N=8000 AOQL =3 % tienen 0.25% de unidades defectuosas a) Plan Dodge – Roming n=46 c= 2 Calidad limite=LQ=11.6 B) p

λ=n*p

Pa

AOQ

ATI

0,0025 0,115 0,99976741 0,24994185 47,8500282 La reducción en ATI más del 50%, por lo tanto este plan es que por menor cantidad de defectuosos más probabilidad de aceptación y una reducción del ATI, debió tomarse este plan desde un principio. 42. Un consumidor está preocupado por la posibilidad de aceptar un producto con el 5% de elementos defectuosos. Se sugieren dos planes posibles: 1) un plan estándar de Philips con punto de control 3% (n=85 c=2); y 2) un plan de muestreo simple de Dodge – Roming con AOQL 2% (n=65, c=2). El tamaño del lote es 800 y la media del proceso asumida es 1% (promedio del proceso) ¿Cuál de los dos planes proporcionará mayor protección al consumidor? Datos: P=5% Plan 1 Estándar de Philips Punto de Control 3% n=85 c=2 Plan 2 muestreo simple de Dodge – Roming AOQL 2% n=65 c=2 N=800 AQL=1%

Para el plan 2, vemos que en la tabla coinciden los datos además que a partir de ello tenemos PDTL=8 CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

n1

85 n2

65

c1 2 c2 2 p Pa Plan 1 Pa Plan2 λ1=n1*p λ2=n2*p 0,05 4,25 0,20371109 3,25 0,36956667 Por lo tanto decimos que con p=5%, el plan 1 le favorece al consumidor.

43. Se compra un elemento en lotes de 5000. Para un riesgo del 10% por parte del consumidor con una tolerancia del 5% en el lote, las tablas de Dodge-Romig dan los siguientes planes alternativos, según el valor estimado de la media del proceso: a) n=105; c=2 b) n=160; c=4 c) n=235; c=7

Comparar la inspección media total y la calidad de salida de estos tres planes si la calidad de entrada es realmente 0,4% defectuosa. Datos: N=5000

PLAN

LTPD=5%

A B C

B=10%

n

c

105 160 235

2 4 7

Con p= 0.4% p=0,004

λ=n*p

Pa

CMS

ITM

A 0,42 0,99095801 0,39638321 149,260523 B 0,64 0,99947286 0,39978915 162,551345 C 0,94 0,99999341 0,39999737 235,031381 Respuesta:El que tiene mejor plan para el caso del fabricante es el a) ya que su ITM es el menor de todos, pero para el consumidor el mejor plan es el a) porque así nos aseguramos la calidad media de salida. 44. Un departamento del Gobierno compra a un fabricante grandes cantidades de un pequeño producto. El tamaño del lote es 1200. Cuando se recibe el producto, dicho departamento usa un plan de muestreo simple para inspeccionarlo. Este plan lo obtiene del MIL STD 105E basado en AQL 0,65 y nivel II de inspección general. Cuando se fabrica, el producto se somete a una inspección de muestreo y rectificadora antes de su envío. El fabricante usa un plan Dodge – Roming con AOQL 2% con la asunción de que la calidad media del proceso es igual al AOQL establecido por el departamento del gobierno si la calidad media del proceso es igual al AQL establecido por el departamento del Gobierno (n=65, c=2). a) ¿Cuál es la calidad media del producto enviado al departamento del Gobierno si la calidad real de producción es 0,65% b) ¿Cuál es la probabilidad de que el departamento del Gobierno acepte el producto recibido? CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

Datos: N=1200 AQL=0.65 Nivel II Inspección General

Por Tablas tenemos vemos que corresponde a la letra JPara plan n=80 c=1 r=2 El fabricante usa plan Dodge – Roming =AOQL=2% AOQ=LTPD =8.2

Calidad Media del proceso=AQL n=65, C=2LCMS

45. Un proveedor surte un producto en lotes de tamaño N=5000. Se desea tener un LCMS de 2%, y se utilizará un muestreo simple. No se conoce el rechazo del proceso del proveedor (p), pero se sospecha que es de alrededor de 1% de defectuosos. a) Obtenga el plan de Dodge – Roming apropiado (n=125, c=4). b) Halle la ITM para este plan, suponiendo que los lotes que llegan tienen 1% de defectuosos. c) Suponga que su estimación del promedio del proceso del proveedor es incorrecta, y que realmente es igual a 0,25% de defectuosos. Entonces el plan de muestreo adecuado sería n=42, c=1 ¿Cuál habría sido la reducción en la ITM si se hubiera utilizado el plan correcto? Datos: N=5000 LCMS= 2%

P=? Se sospecha 1% a) Plan Dodge – Roming: n=125, c=4 LTPD=6.4 b) P=1% p

λ=n*p 0,01

1,25

Pa

ITM

0,99087572

169,480861

C) n

42

c 1 p λ=n*p Pa ITM 0,0025 0,105 0,9948586 67,4910738 Para el plan verdadero vemos que el ITM es mucho mejor que antes, esto es mejor para el fabricante. 46. Un plan de muestreo único se da como n=15, c=1. ¿Cuáles serían las probabilidades de aceptación de lotes que son defectuosos al 6%, 10% y 18%? Datos: n=15 c=1 Hallar las probabilidades para 6, 10 y 18% n

15


c λ=n*p

P 0,06 0,1 0,18

1 Pa 0,9 0,77248235 1,5 0,5578254 2,7 0,2486604

47. Proyectar un plan de muestreo secuencial para los siguientes especificaciones; α=0,05; β=0,10; p1=0,015 y p2=0,07. Dibujar la gráfica del plan de unidades defectuosas frente a inspeccionadas indicando los valores más representativos para aceptación y rechazo de lotes. Datos: α=0,05; β=0,10 p1=0,015 y p2=0,07

Tenemos que calcular:

                                                                               Entonces tendremos: CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

    ACEPTACION Piezas malas (Y) Aceptamos con (n) 0 39,1821648 1 66,9925372 2 94,8029095 3 122,613282 4 150,423654 5 178,234027

RECHAZO Piezas malas (Y) Para rechazo n 0 -50,3049061 1 -22,4945337 2 5,31583866 3 33,126211 4 60,9365834 5 88,7469558

700 600 500 400 300 200 100 0 -100 0

1

2

3

4

5

6

-200 -300

48. Proyectar un plan de muestreo secuencial para los siguientes especificaciones: α=0,05; β=0,10; p1=0,02 y p2=0,08. Dibujar la gráfica del plan de unidades defectuosas frente a inspeccionadas indicando los valores más representativos para aceptación y rechazo de lotes. Datos: α=0,05; β=0,10 p1=0,02 y p2=0,08


                        CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

Entonces tendremos:

                                                  

ACEPTACION Piezas malas (Y) Aceptamos con (n) 0 35,6336014 1 58,5759639 2 81,5183264 3 104,460689 4 127,403051 5 150,345414

RECHAZO Piezas malas (Y) Para rechazo n 0 -45,749003 1 -22,8066405 2 0,13572202 3 23,0780845 4 46,020447 5 68,9628095

700 600 500 400 300 200 100 0 -100

0

1

2

-200 -300


3

4

5

6

49. Se está realizando un plan de muestreo secuencial con las siguientes especificaciones: α=5%, p1=0 ,65%, β=10%, p2=3%. Calcula las rectas de aceptación y rechazo que te permitan contestar a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuántos elementos deberemos inspeccionar para aceptar el lote con 0 defectuosos? b) ¿Cuántos elementos deberemos inspeccionar para aceptar el lote con 1 defectuoso? c) ¿Cuántos elementos inspeccionaremos para rechazar el lote con 1 defectuoso? d) ¿y cuántos inspeccionaremos para rechazar el lote con 4 defectuosos? Datos: α=5%, p1=0,65%, β=10%, p2=3%.


                                                                            Entonces tendremos:

    CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

ACEPTACION RECHAZO Piezas malas (Y) Aceptamos con (n) Piezas malas (Y) Para rechazo n 0 0 94,0468165 -120,744127 1 1 158,936691 -55,8542524 4 4 353,606314 138,815371 a) Los elementos que debemos inspeccionar para aceptar el lote con 0 defectuosos es 95.

b) Los elementos que debemos inspeccionar para aceptar el lote con 1 defectuoso es 159. c) Los elementos que debemos inspeccionar para rechazar el lote con 1 defectuoso es negativo, por lo tanto nunca lo rechazaremos. d) Los elementos que debemos inspeccionar para rechazar el lote con 4 defectuosos es 139. 50. Se está realizando un plan de muestreo secuencial con la siguientes especificaciones:α=5%, p1=0,4%, β=10%, p2=2%. Calcula las rectas de aceptación y rechazo que te permitan contestar a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuántos elementos deberemos inspeccionar para aceptar el lote con 0 defectuosos? b) ¿Cuántos elementos deberemos inspeccionar para aceptar el lote con 1 defectuoso? c) ¿Cuántos elementos inspeccionaremos para rechazar el lote con 1 defectuoso? d) ¿y cuántos inspeccionaremos para rechazar el lote con 3 defectuosos? Datos: α=5%, p1=0,4%, β=10%, p2=2%.


                                           


PRACTIK CONTROL

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