CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Tema
VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
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Sesión: 03 I.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
1. Sea X el número de defectos diarios de artículos industriales que produce la Fabrica “EDELSA SAC”. La función de probabilidad para X es: Nº de defectos
0
1
2
3
4
5
6
Probabilidad
k
k
k
K+0.2
0.2
k
k
Calcule: a) b) c) d) e) f)
El valor de la constante K sabiendo que la distribución distribuci ón es de probabilidad. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea superior a 4. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea por lo menos 2. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea menos de 2. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea a lo más 3. La probabilidad probabilidad de que el número de de defectos diarios diarios en los artículos artículos sea por por lo menos 2 y a lo más 5. g) Determine el número esperado de defectos diarios y su desviación estándar.
2. Se lanza una moneda tres veces y definimos a la variable X como el número de caras. Calcule: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Su distribución distribuc ión de probabilidad. La probabilidad de que el número de caras sea 1. La probabilidad de que el número de caras sea lo más 2 La probabilidad de que el número de caras sea más de 1. La probabilidad de que el número de caras sea por lo menos 1 La probabilidad de que el número de caras sea a lo más 3 La probabilidad de que el número de caras sea 2 Calcular la probabilidad P 1 X 3 Determine el número esperado de caras y su desviación estándar.
3. Sea X el número de accidentes mensuales en una empresa procesadora de alimentos. La función de probabilidad para X es: Nº de accidentes Probabilidad
0
1
2
3
4
5
0,01
a
0,4
0.2
0,1
0,09
Calcule: a) b) c) d)
El valor de a. La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es 3. La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es a lo más 4 La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es por lo menos 2. e) La probabilidad de que el número de accidentes mensuales como máximo es 3. f) Hallar el nº esperado de accidentes mensuales y su desviación estándar. Departamento De Ciencias Cajamarca –
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4. Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30,40,50 y 60 con probabilidades 0.40; 0.20; 0.10 y 0.30. Represente en una tabla su función de probabilidad y determine las siguientes probabilidades. a) P(X≥60) b) P(X<40) c) P(30≤X) d) P( 40 ≤ X ≤ 60) 5. Una muestra aleatoria con reposición de tamaño n=2 se selecciona del conjunto 1,2,3 , produciendo el espacio de 9 elementos: Ω = ( 1,1); ( 1,2); ( 1,3); ( 2,1); ( 2,2); ( 2,3); (3,1); ( 3,2); ( 3,3). Se define a X como la suma de los dos números: a) Encuentre la distribución de probabilidad de X. b) Encuentre el valor esperado y la varianza de X 6. Un trabajador recibirá un premio de 300, 200 o 100 soles, según el tiempo que tarde en realizar un trabajo en menos de 10 horas, entre 10 y 15 horas y más de 15 horas respectivamente. La probabilidad de realizar el trabajo en cada uno de estos casos es de 0.5; 0.4 y 0.1. a) Determine la esperanza y la función de probabilidad de la variable aleatoria X = Premio recibido. b) Defina una nueva variable aleatoria Y, con valor 1 si tarda menos de 10 horas y valor 0, en caso contrario. Obtenga su distribución de probabilidad, esperanza y varianza. II.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
7. El 20% de los trabajadores de una empresa irá a la huelga. Se seleccionan 5 trabajadores de dicha empresa. Obtenga la probabilidad: a) b) c) d)
De que al menos tres vayan a la huelga. De que todos vayan a la huelga. De que ninguno vaya a la huelga. Hallar media y varianza
8. El almacenero del laboratorio reporta que de las treinta puntas de un dosificador electrónico de reactivos, el 20% están malogradas, él desea saber la probabilidad de que:
a) b) c) d) e)
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Estén malogradas 4 puntas de prueba. Ninguna punta esté malograda A lo más 3 puntas están malogradas Más de 2 puntas estén malogradas Hallar la media y Varianza
9. Una cadena grande de tiendas compra cierto tipo de dispositivo electrónico de un fabricante. El fabricante indica que el porcentaje de defectuosos es de 3%. i. El inspector de la cadena elige 20 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo mas dos artículo defectuoso? ii. El inspector de la cadena elige 10 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un artículo defectuoso? 10. En la empresa SAVA S.A. se realiza la producción de tornillos para motores diesel por parte de una máquina automática italiana. Esta máquina dependiendo de factores externos produce el 1% de tornillos defectuosos. El Ingeniero jefe del área de Control de Calidad selecciona en forma aleatoria 18 tornillos al azar de la producción: a.
Cuál es la probabilidad de que exista a los más 3 defectuosos.
b.
Cuál es la probabilidad de que exista por lo menos 3 defectuosos.
c.
Cuál es la probabilidad de que haya entre 2 y 4 defectuosos inclusive.
d.
Hallar la media y Varianza
11. Cuando se prueban tarjetas de circuitos empleados en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%. Sea X = número de tarjetas defectuosas en una muestra aleatoria de tamaño 25. Determine: a. b. c. d. e.
P ( X ≤ 2) P ( X ≥ 5) P ( 1 ≤ X ≤ 4)
¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté defectuosa? Calcule el valor esperado y desviación estándar de X. 12. Se conjetura que hay impurezas en 30% de los pozos de agua potable de cierta comunidad aledaña a una actividad minera. Para obtener algún conocimiento del problema se determina que debería realizarse algún tipo de prueba. Es muy costos probar todos los pozos del área por lo que se eligieron 10 aleatoriamente para la prueba.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres pozos tengan impurezas, considerando que la conjetura es cierta? b. ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres pozos tengan impurezas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos pozos pero menos o igual a 5 pozos tengan impurezas?
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13. La probabilidad de error de un determinado programa de automatización industrial es 0,28. Calcular la probabilidad de que una vez instalado en 15 máquinas: a) Ninguna tenga error b) Todos tengan un error c) Dos de ellas tengan error 14. Un ingeniero se presenta a un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas cada una con tres respuestas opcionales. Si el ingeniero está adivinando al responder cada pregunta y además se sabe que para aprobar el examen debe responder correctamente 6 o más preguntas. ¿ Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?. 15. Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificar como “de segunda”
a) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿ Qué tan probable es que sólo una sea de segunda? b) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean de segunda? c) Entre 5 copas seleccionadas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 4 sean de segunda? III.
DISTRIBUCIÓN POISSON
16. En un paradero de mina, se determino que los trabajadores en horas no punta llegan aleatoriamente a una tasa promedio de 24 trabajadores por hora. Se desea calcular las siguientes probabilidades: a. Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 20 trabajadores durante esa hora? b. Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 15 trabajadores durante esa hora? c. Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 15 trabajadores durante esa hora? d. Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 18 trabajadores durante esa hora? 17. Un ingeniero Jefe del Área de Control de Calidad de la empresa Coca Cola, realiza un examen de control respecto al agua que está utilizando para la elaboración de Gaseosas. Este líquido contiene ciertas bacterias no nocivas para la salud a razón de 5 bacterias por cm 3. Si toma una muestra de 1 cm 3, calcular las siguientes probabilidades a. b. c.
Cuál es la probabilidad que la muestra no contenga bacteria alguna? Cuál es la probabilidad de que en ½ cm 3 haya por lo menos 2 bacteria? Cuál es la probabilidad de que en 2 cm 3 haya a lo más 8 caterias?
18. Se ha observado que las cajas de cerveza Pilsen se toman de los estantes de cierto supermercado a razón de 10 cajas por hora durante el periodo de mayor venta. a) ¿Cuál es la probabilidad que se saque al menos una caja durante los primeros 6 minutos de un periodo mayor de venta? b)
¿ Cuál de que se saque a lo más 5 cajas en un periodo de 30 minutos?
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19. En un estudio por parte del Ministerio de Transporte y Comunicaciones (MTC), se ha determinado que en la carretera panamericana con destino a Lima, hay en promedio de 18 accidentes por semana (7 días), calcular las siguientes probabilidades: a. b. c.
Cuál es la probabilidad de que en una semana no haya ningún accidente. Cuál es la probabilidad de que en dos semanas haya 10 accidentes. Cuál es la probabilidad de que en 1semana ocurra menos de 15 accidentes.
REGLA: (aproximación de la distribución Binomial a la distribución Poisson)
Si en una distribución binomial , n
es grande (n ≥ 100) y la probabilidad de ocurrencia es pequeña (p ≤ 0.05), aproximar la distribución Binomial a la distribución Poisson, calculando ( λ = np).
20. En un estudio de Control de Calidad de determino que el 0.01% de los relojes producidos por una empresa Taiwanesa son defectuosos. a. Cuál es la probabilidad de que un pedido de 1000 relojes exista exactamente un reloj defectuoso?. b. Cuál es la probabilidad de que en el mismo pedido de 1000 relojes existan al menos dos defectuosos? 21. Un Jefe sanitario realiza una inspección en un centro educativo; sobre la calidad del agua que consumen los estudiantes y que contiene un promedio de 4 bacterias por cm 3 a) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 0.5 cm 3 de agua. b) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 1 cm 3 de agua. c) Hallar la probabilidad de que el inspector encuentre a lo más 2 bacterias en 1 cm agua.
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de
22. En un proceso productivo de tornillos el 0.8% son defectuosos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de 1000 tornillos contenga uno o más defectuosos? b. Cuál es la probabilidad de que en este mismo lote exista exactamente 4 tornillos defectuosos?
H.G. Wells.
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