Métodos Cuantitativos
Práctica N° 8 -PROBABILIDADES Tema:
Calculo e interpretación del cálculo de probabilidades con fórmulas fórmulas y Uso de Megastat en Excel.
I.- En los siguientes ejemplos, indique si el experimento es o no es aleatorio, justifique su respuesta.
Ejemplo 1: Sea el experimento: “Lanzar dos monedas y observar los resultados”
( ALEATORIO ) Porque luego veremos a ver el resultado si cae cara o escudo.
Ejemplo 2: Sea el experimento: “Elegir una muestra de tornillos de tamaño cinco, de un total de 100 tornillos defectuosos, para verificar su estado final”.
(NO ALEATORIO) Porque todos son defectuosos.
Ejemplo 3: Sea el experimento: “Considere un experimento donde se seleccionan dos clientes y clasificarlos según el medio de pago en un restaurante de comida criolla”
(ALEATORIO) Porque va a llegar el cliente y no sabemos si va a pagar con billete o sencillo.
Ejemplo 4: Sea el experimento: “Apostar en la carrera de automóviles” ( ALEATORIO) Porque no vamos a
saber cual será el resultado.
Ejemplo 5: Sea el experimento: “Considere un experimento en el que, cada diez minutos, se verifica el
volumen de llenado de las latas de refresco de una máquina llenadora automática, con la finalidad de determinar si las latas cumplen con las especificaciones de volumen que deben contener”.
(ALEATORIO) Porque no sabemos si las latas van estar llenados en la misma cantidad.
Ejemplo 6: Sea el experimento: “Colocar un plástico en un horno a 250° por
30 minutos” ( NO ALEATORIO) Porque se va a repetir. 1
Métodos Cuantitativos
II.- En los siguientes experimentos aleatorios, determine su correspondiente espacio muestral y liste los elementos de los eventos requeridos.
Experimento 1: Un ingeniero planea la compra de 3 mezcladoras, para ser utilizadas en un nuevo proyecto, asignado a su empresa, según experiencia previa hay una alta probabilidad de que cada mezcladora llegue en perfecto estado operativo al finalizar los 6 meses. Utilice B para denotar el buen estado y utilice M para denotar un mal estado. Espacio Muestral:
B…..BBB
B B
M….BBM B…..BMB
M
M….BMM
B…..MBB
B M
M….MBM B…..MMB
M
M….MMM
Eventos: A= por lo menos 2 mezcladoras estén en mal estado.
A BMM , MBM , MMB, MMM
n(A)= 4
B= las tres mezcladoras están en buen estado. B
BBB
n(B) = 1
Experimento 2: Un administrador planea la compra de 2 máquinas, para ser utilizadas en su empresa, le informan los proveedores que las maquinas pueden llegar en condiciones Buenas (B), Regulares (R) o Malas (M), describa el espacio muestral correspondiente:
2
Métodos Cuantitativos
Espacio Muestral: B
BB
R=
BR
M=
BM
B =
RB
R
=
RR
M
=
RM
R
C/MAQUINA
B =
B=
MB
R=
MR
M=
MM
M
Eventos: A=Por lo menos 1 máquina llega en buenas condiciones A= { BB, BR, BM, RB, MB}
n(A)= 5
B=A lo más una de las maquinas llega en malas condiciones. B = {BM , RM , MB}
n( B) = 4
III.- Cálculo de Probabilidades y uso de propiedades (Algebra de eventos) EJERCICIO 1: Se analizan los discos de USB de un proveedor para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación se resumen los resultados obtenidos al analizar 100 muestras.
Resistencia a los Golpes
Resistencia a las Rayaduras TOTAL
Alta Baja
Alta 80
9
6 86
5 14
Baja 89 11 100
3
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a. Si se toma un USB al azar, ¿cuál es la probabilidad de que presente resistencia alta a los golpes? P(ARG) =
= 0.86
86%
b. Si se toma un USB al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el disco seleccionado presente
resistencia alta a los golpes o resistencia alta a las rayaduras? P(ARG U ARR) = P(A) + P(B) – P(A Ո B) P( ARG) + P (ARG) – P (ARG Ո ARR) 86/100 + 89/100 – 80/100 = 95/100 = 0.95 O
95%
c. Si se toma un USB al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el USB seleccionado presente
resistencia alta a los golpes o resistencia baja a las rayaduras? P (ARG U BRR) 86/100 + 14/ 100 =1 d. Si se toma un USB al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el USB seleccionado presente
resistencia baja a los golpes y resistencia baja a las rayaduras? P (BRG Ո BRR) 5/100 = 0.05
0
5%
e. Si se sabe que el USB presenta resistencia alta a las rayaduras, ¿cuál es la probabilidad de que el
USB seleccionado presente resistencia baja a los golpes? P ( BRG /ARR) = n( BRG Ո ARR / n ( ARR) 9/ 89 = 0.101 f.
10.1%
Si se sabe que el USB presenta resistencia baja a los golpes, ¿cuál es la probabilidad de que el USB seleccionado presente resistencia alta a las rayaduras? P( ARR / BRG) = n (ARR Ո BRG) / (n) BRG 9/ 14 = 0.643
64.3%
4
Métodos Cuantitativos EJERCICIO 2C” Opinion
Genero
a.
Favorable 12
Masculino Femenino
Desfavorable 16
88
34
Si la persona es del género masculino, ¿cuál es la probabilidad de que su opinión haya sido favorable?
100 = 0.67 150
( ) =
b.
Ó
67%
Si la opinión fue desfavorable, ¿cuál es la probabilidad de que persona sea del género femenino?
( ) = c.
50 = 0.5 150
Ó
50%
¿Cuál es la probabilidad de que persona sea del género femenino o su opinión haya sido favorable?
( ) =
88 = 0.58 150
Ó
58%
EJERCICIO 3: Un experimento puede resultar en uno o ambos de los eventos A y B con las probabilidades que se muestran en esta tabla de probabilidad:
A
B
B
C
A
C
0.34
0.46
0.15
0.05
Encuentre las siguientes probabilidades:
a)
P( B) = 0.34 + 0.46 = 0.80
b)
P( A / B)= 0.34/0.80 = 0.425
c)
P A B
P A P B P A B 0.49 0.80 0.34 0.95 5
Métodos Cuantitativos d)
0.34 0.15 0.49
P A
e) P( A y B) = 0.34
f) P ( A/B) = 0.34/ 0.49 = 0.694
EJERCICIO 4: En el depósito de almacenamiento de una empresa privada se encuentran 80 to neladas en sacos de 50 kilos de harina de pescado que sirve como alimentación del ganado vacuno. 20 toneladas han sido producidas por la empresa HAYDUK, 35 toneladas por la empresa SIPESA y el r esto por la empresa MALABRIGO. Se sabe también que la empresa HAYDUK, produce el 3% de sacos defectuosos, la empresa SIPESA el 5% y la empresa MALABRIGO el 4%. a. Si se selecciona 1 saco de harina de pescado ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b. Si se selecciona 1 saco de harina de pescado y se encuentra que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la empresa SIPESA? c. Si se selecciona un saco de harina de pescado y se encuentra que NO es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la empresa HAYDUK? SOLUCION:
Obtendremos la producción en sacos: La producción total es de 80 toneladas (1 tonelada=1000 kg.), lo equivalente a 80000 kg, la producción de sacos (peso por saco=50 kg.) por Empresa es la siguiente: Total de Sacos Producidos: 1600 Sacos Empresa HAYDUK Producción: 20 Toneladas (20000 kg.) Sacos Producidos: 400 Sacos Empresa SIPESA Producción: Sacos Producidos:
35 Toneladas (35000 kg.) 700 Sacos
Empresa MALABRIGO Producción: 25 Toneladas (25000 kg.) Sacos Producidos: 500 Sacos
Sean los eventos: A1: “El saco proviene de la Empresa HAYDUK”. A2: “El saco proviene de la Empresa SIPESA”. A3: “El saco proviene de la Empresa MALABRIGO”. D: “El saco producido es defectuoso”.
6
Métodos Cuantitativos P ( A1 )
0.25
P ( A2 )
0.438
P ( A3 )
0.313
P ( D / A1 )
0.03
P ( D / A2 )
0.05
P ( D / A3 )
0.04
a) P ( D) P ( Ai ) * P ( D / Ai ) P ( D)
P ( A1 ) * P ( D / A1 ) P ( A2 ) * P ( D / A2 ) P ( A3 ) * P ( D / A3 )
P ( D)
0.25 * 0.03 0.438 * 0.05 0.313 * 0.04
P ( D)
0.042
b) P ( A2 / D)
P ( A2 ) * P ( D / A2 ) P ( D)
0.438 * 0.05
0.042
0.521
c) Teniendo en cuenta que la probabilidad que sea defectuoso es 0.042, entonces: Sea el evento D:El artículo no es d efectuoso
P D 1 P D 1 P D 1 0.042 0.958
P D
La probabilidad solicitada es: P A1 / D
P A1 P D / A1
P D
, por dato tenemos:
0.25; P D 0.958,
P A1
para hallar P D / A1 , decimos:
0.03........... Por dato P D A 0.03 P D A 0.030.25 0.0075 P A
P D / A1
1
1
1
Reemplazando en la probabilidad solicitada:
P D A P D A P D A P A P D A P A1
1
P D A1
P D / A1
1
1
1
1
0.25 0.0075 0.2425
P D A1
P A1
0.2425
0.25
0.97
P A1 P D / A1
0.250.97
P A1 / D
P A1 / D
P D
0.958
0.2531
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Métodos Cuantitativos EJERCICIO 5: En una operación de llenado automático, la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 0.001 cuando el proceso se realiza a baja velocidad. Cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, la probabilidad de un llenado incorrecto es 0.01. Suponga que el 30% de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, m ientras que el resto se ejecuta el proceso se lleva a casa a baja velocidad. a. ¿Cuál es la probabilidad de enco ntrar un contenedor lleno con un volumen incorrecto?
p(AV/i)=(0,7*0,01)/((0,3*0,001)+(0,7*0,01))= 0,95890411 b. Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen incorrecto, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a alta velocidad?
En este caso, se pide calcular P(A|C 0 ) Entonces P(A|C 0 ) = P(A)P(C 0 |A) P(C0 ) = (0.30)(0.01) 0.00325 = 0.7692
EJERCICIO 6: Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura látex es de 0.75. De los que compran pintura látex, 60% también compra rodillos. Sin embargo, sólo 30% de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea pintura látex?
SOLUCION:
Definamos los sucesos L = “látex”; R = “Rodillo”. Por lo tanto se sabe que P(L) = 0.75; P(R/L) = 0.6 la probabilidad de que se venda pintura semi esmaltada P(SE) = 0.25 y la probabilidad que compren semi esmaltada sabiendo que se compró rodillo es P(SE/R) = 0.3, por lo tanto se pide la P(L/R) = P(R/L) . P(L)/ P(R) = 0.75*0.6/0. 525 = 0.857
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