INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS Comunicaciones I. Teoría de las Comunicaciones.
Práctica No. 07 Modulación en Frecuencia (FM) Por Alejandro Raúl Zerón Hernández | Mayo 12, 2010
FUNDAMENTOS TEÓRICOS En una señal analógica pueden variar tres propiedades: la amplitud, la frecuencia y la fase. En las anteriores prácticas, tratamos sobre la modulación en amplitud, ahora es momento de presentar la modulación en frecuencia (FM) y la modulación en fase (PM). La modulación en frecuencia y en fase, son formas de la modulación angular. A ambas, técnicas de la modulación angular se les llama simplemente modulación en frecuencia (FM) cuando, en realidad, existe una diferencia clara (aunque sutil), entre las dos. Existen varias ventajas en utilizar la modulación angular en vez de la modulación en amplitud, tal como la reducción de ruido, la fidelidad mejorada del sistema y el uso más eficiente de la potencia. Sin embargo, FM y PM, tienen varias desventajas importantes, las cuales incluyen requerir un ancho de banda extendida y circuitos más complejos, tanto en el transmisor, como en el receptor.
La modulación angular resulta cuando el ángulo de fase (), de una onda sinusoidal, varía con respecto al tiempo sin tocar los otros parámetros. Una señal con modulación angular se expresa de la siguiente manera: [
Donde
]
(1)
. Por tanto, sustituyendo ésta expresión en (1), queda: [
]
(2)
De tal manera que dicha modulación queda expresada en términos de la frecuencia angular y la fase. Con esto, podemos decir que la modulación angular se puede producir de dos maneras: primero, haciendo variar a [modulación en frecuencia FM]; segundo, haciendo variar a
con f(t)
con f(t) [modulación en fase PM]. Así, los términos
y , dejan de ser constantes para convertirse en cantidades variables con el tiempo. Por ésta razón, definimos la variación de frecuencia o frecuencia angular instantánea: (3)
Para entender dicho concepto observe la figura 7.1. En la figura 7.1a, se ilustra una señal sinusoidal f(t) cuya frecuencia es
en el intervalo [0,T]. En t = T, la frecuencia cambia bruscamente de
valor hasta t = 2T en donde regresa al valor
a
y permanece con este
. Estas variaciones repentinas de la señal se ilustra en la figura 7.1b. En
lugar de variaciones bruscas, se pueden presentar variaciones graduales de la frecuencia como en la figura 7.1c. En este caso, la frecuencia de la señal cambia en forma continua con velocidad uniforme de (figura 7.1d); por tanto, la frecuencia es distinta para cada instante.
a2
en el intervalo de 0 a T
Figura 7.1 Señal de FM En FM, la frecuencia de la portadora se hace variar en forma lineal con f(t) lo cual, por la relación (3), produce también variación lineal del ángulo con la integral de f(t), es decir: (4) y (5)
∫ Así, la forma de la señal de FM es: [ Kf es la constante del sistema. La constante entonces queda como:
∫
]
(6)
se puede hacer cero sin perder generalidad en la ecuación anterior que
[
∫
(7)
]
Señal de PM En PM, la fase de la portadora se hace variar de forma lineal con f(t), lo cual implica la variación lineal de f(t). Es decir, en PM:
con
(8) Kp es la constante del sistema. Sin embargo,
de la señal de PM es: (9)
Así, la señal PM es: [ Si
]
(10)
, [
]
(11)
Se concluye que en FM, la frecuencia angular instantánea varía de forma lineal con f(t) en tanto que varía en forma lineal con la integral de f(t). Mientras que, en PM, la frecuencia angular instantánea varía en forma lineal con la derivada de f(t) en tanto que varía en forma lineal con f(t).
La mayoría de los sistemas de FM que se emplean en la actualidad son del tipo de banda ancha. La señal de FM de banda ancha se obtiene cuando es ahora lo suficientemente grande para la condición no se cumpla. En este caso el análisis de las señales se vuelve sumamente complicado para la señal moduladora general f(t). Por esta razón, mediante un procedimiento heurístico, es decir mediante artificio, obtendremos el ancho de banda de la señal de frecuencia modulada de banda ancha. El máximo ancho de banda con una frecuencia angular instantánea mayor se define: [
|
|
] |
Donde el término: :
|
|
[
|
|
]
|
se conoce como desviación máxima de la frecuencia portadora y la denotamos por
|
|
Así que:
Evidentemente el ancho de banda de toda la señal de FM está comprendido entro de este rango. Para FM de banda ancha , por tanto:
Se concluye que el ancho de banda de la señal de FM de banda ancha es el doble de la desviación máxima de frecuencia. Verifiquemos el resultado anterior para el caso de la modulación de tono, es decir, con la modulante:
Si f(t) se aplica en t = 0. ∫
∫
La frecuencia instantánea es:
De esta expresión podemos ver que la máxima desviación de frecuencia es [ Por último, definimos el índice de modulación
, así:
]
como:
DESARROLLO 1.
Modular en frecuencia la siguiente portadora: (
∫
)
Considere que:
Donde:
. Tomando en cuenta lo anterior:
1.1 Graficar la portadora modulada en ángulo y su respectivo espectro, para los siguientes casos: a. c. b. d. También los siguientes casos especiales, los cuales hacen referencia a las raíces de la función de Bessel de grado 0: e.
f.
g.
1.2 Usando los comandos, repetir para los casos de (1.1) y comparar los resultados con f(t).
Solución: Tomando en cuenta las consideraciones y los valores dados, podemos reescribir la ecuación de modulación de la siguiente forma: (
∫
)
(
)
(
Ahora, sólo basta con resolver los casos para los cuales se dan diferentes índices de modulación
)
.
CÓDIGO EN MATLAB® A continuación se muestra el código desarrollado, en cuya ejecución, pedirá al usuario que ingrese el índice de modulación (correspondiente a cada caso) y en base a los datos dados al inicio y a la forma de ecuación dada, se obtendrán las respectivas gráficas indicadas. %ZERON HERNANDEZ ALEJANDRO RAUL %EJERCICIO 1
GRUPO:4BV2
clc; clear all; close all; wc=20; wm=1; t=0:0.01:2*pi; A=1; mf=input('Ingrese el índice de modulación: '); %<<
En las siguientes páginas de este reporte, se expondrán las gráficas obtenidas al momento de ejecutar el anterior código en MATLAB®: Señal FM correspondiente a un índice de modulación, espectro de frecuencia, y 2 gráficas más, donde se ocupan los comandos fmmod y fmdemod.
(a) Para
Figura 7.2a Señal FM con índice de modulación mf=0.1
Figura 7.2b Espectro de la señal FM con mf = 0.1
Figura 7.2c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 0.1. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.2a.
Figura 7.2d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=0.1. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t)=cos t.
(b) Para
Figura 7.3a Señal FM con índice de modulación mf = 1
Figura 7.3b Espectro de la señal FM con mf = 1
Figura 7.3c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 1. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.3a.
Figura 7.3d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=1. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t)=cos t.
(c) Para
Figura 7.4a Señal FM con índice de modulación mf = 10
Figura 7.4c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 10. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.4a.
Figura 7.4b Espectro de la señal FM con mf = 10
Figura 7.4d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=10. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t)=cos t.
(d) Para
Figura 7.5a
Señal FM con índice de modulación mf = 50
Figura 7.5c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 50. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.5a. Sólo que invertida.
Figura 7.5b Espectro de la señal FM con mf = 50
Figura 7.5d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=50. Nótese que se trata de aproximar a la gráfica de la función f(t)=cos t; pero debido a un índice muy grande se distorsiona la señal.
(e) Para
Figura 7.6a
Señal FM con índice de modulación mf = 2.405
Figura 7.6b Espectro de la señal FM con mf = 2.405
Figura 7.6c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 2.405. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.6a.
Figura 7.6d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=2.405. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t)=cos t.
(f) Para
Figura 7.7a
Señal FM con índice de modulación mf = 5.5
Figura 7.7c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 5.5. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.7a.
Figura 7.7b Espectro de la señal FM con mf = 5.5
Figura 7.7d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=5.5. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t)=cos t.
(g) Para
Figura 7.8b Espectro de la señal FM con mf = 8.65
Figura 7.8d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=8.65. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t)=cos t.
Figura 7.8a
Señal FM con índice de modulación mf = 8.65
Figura 7.8c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 8.65. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.8a.
2.
Modular en frecuencia la siguiente portadora: (
∫
)
Considere que:
Figura 7.9
Señal f(t) a modular en frecuencia.
Donde: anterior:
. Tomando en cuenta lo
2.1 Graficar la portadora modulada en ángulo y su respectivo espectro, para los siguientes casos: h. j. i. k. También los siguientes casos especiales, los cuales hacen referencia a las raíces de la función de Bessel de grado 0: l.
m.
2.2 Usando los comandos, repetir para los casos de (1.1) y comparar los resultados con f(t).
n.
Solución: Tomando en cuenta las consideraciones y los valores dados, podemos reescribir la ecuación de modulación de la siguiente forma: (
∫(
)
)
(
(
))
(
Ahora, sólo basta con resolver los casos para los cuales se dan diferentes índices de modulación
(
))
.
CÓDIGO EN MATLAB® A continuación se muestra el código desarrollado, en cuya ejecución, realizará la misma operación que en el ejercicio anterior para así obtener las respectivas gráficas indicadas. %ZERON HERNANDEZ ALEJANDRO RAUL %EJERCICIO 2
GRUPO:4BV2
clc; clear all; close all; wc=20; wm=1; t=-3:0.01:6; A=1; mf=input('Ingrese el índice de modulación: '); %Aquí se introducirá el índice de modulación mf Fi=A*cos((wc*t)+mf.*((1/6).*t.^2+t)); figure(1) %Gráfica de la Señal FM plot(t,Fi,'linewidth',2) axis([-3 6 -1.2 1.2]) xlabel('Tiempo (t)') ylabel('Función Fi(t)') title('Señal FM con índice mf = x') N=length(Fi); % Longitud de Fi % Espectro de Fi X=fftshift(fft(Fi,N))/N; % Frecuencia discreta f=linspace(-N/2,(N/2),N); % Visualiza resultados figure(2) plot(f/100,abs(X),'linewidth',1.4) axis([-3.3 3.3 -0.005 0.145]) xlabel('Frecuencia w') ylabel('Fi(w)') title('Espectro discreto de Fi[w] con mf = x') %Usando los comando fmmod y fmdemod t=-3:.01:6; fc=wc/2*pi; fs=length(t); x=(0).*((t>-2)&(t<=0))+(-(1/3).*t+1).*((t>0)&(t<3))+(0).*((t>3)&(t<5)); %desviacion de frecuencia dw=mf*wm; FM=fmmod(x,fc,fs,dw); figure(3) plot(t,FM,'linewidth',2) axis([-3 6 -1.2 1.2]) xlabel('Tiempo (t)') ylabel('Función Fi(t)') title('Señal FM con índice mf = x') DEM=fmdemod(FM,fc,fs,dw); figure(4) plot(t,DEM) axis([-3 6 -.05 1.2]) xlabel('Tiempo (t)') ylabel('Función Fi(t)') title('Señal demodulada FM con índice mf = x')
(a) Para
Figura 7.10a
Señal FM con índice de modulación mf = 0.1
Figura 7.10b Espectro de la señal FM con mf = 0.1
Figura 7.10c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 0.1. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.10a.
(b) Para
Figura 7.11a
Señal FM con índice de modulación mf = 1
Figura 7.11b Espectro de la señal FM con mf = 1
Figura 7.11c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 1. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.11a.
Figura 7.11d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=1. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t)
(c) Para
Figura 7.12a
Señal FM con índice de modulación mf = 10
Figura 7.12c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 10. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.12a.
Figura 7.12b Espectro de la señal FM con mf = 10
Figura 7.12d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=10. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t).
(d) Para
Figura 7.13a Señal FM con índice de modulación mf = 50
Figura 7.13b Espectro de la señal FM con mf = 50
Figura 7.13c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 50. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.13a.
Figura 7.13d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=50. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t).
(e) Para
Figura 7.14a
Señal FM con índice de modulación mf = 2.405
Figura 7.14b Espectro de la señal FM con mf = 2.405
Figura 7.14c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 2.405. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.14a.
Figura 7.14d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=2.405. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t).
(f) Para
Figura 7.15a
Señal FM con índice de modulación mf = 5.5
Figura 7.15c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 5.5. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.15a.
Figura 7.15b Espectro de la señal FM con mf = 5.5
Figura 7.15d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=5.5. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t).
(e) Para
Figura 7.16a
Señal FM con índice de modulación mf = 8.65
Figura 7.16b Espectro de la señal FM con mf = 8.65
Figura 7.16c Con el comando fmmod se obtuvo la señal FM con mf = 8.65. Nótese que se asemeja con la Fig. 7.16a.
Figura 7.16d Con el comando fmdemod se obtuvo la demodulación de la señal FM con mf=8.65. Nótese que se aproxima a la gráfica de la función f(t).
OBSERVACIONES Y COMENTARIOS El comando de frecuencia modulada,
de MATLAB®, cumple la función de modular una
señal de mensaje x utilizando modulación en frecuencia. La señal portadora tiene una frecuencia muestreo
, donde
debe ser de al menos
El argumento
es la constante de desviación de frecuencia (Hz) de la
señal modulada. Y el comando de demodulación en frecuencia, la señal FM
para una señal portadora con frecuencia
(Hz), donde debe ser de al menos modulada.
El argumento
(Hz) y una de
(Hz). La señal portadora y
de MATLAB®, demodula tienen una frecuencia muestra
es la constante de desviación de frecuencia (Hz) de la señal
Un dato relevante es que MATLAB® incorpora comandos que nos sirven para modular y demodular una señal, pero observamos nuevamente limitaciones al tener un computador digital ya que idealmente mediante cálculo matemático se obtienen cosas que resultan ser definiciones y que bien conocemos, pero en MATLAB® al tratar de obtener los resultados se observa que se entregan solamente aproximaciones que si bien nos sirven y se parecen a los resultados teóricos, pero en algunas ocasiones y en determinados casos, no son iguales. Por ejemplo, los comandos fft, fmmod y fmdemod, éstos al momento de trabajar con ellos generan datos discretos, es decir, puntos que “aproximan” al resultado real, originando variaciones pequeñas en los resultados o en los gráficos.
CONCLUSIONES En esta práctica se encontró que el espectro de frecuencias de una señal es muy importante y útil al analizar este tipo de casos ya que se observa gráficamente en el espacio de frecuencias la señal y podemos analizar si es una señal de FM de banda ancha o de banda angosta, se observo muy fácilmente que un cambio en el parámetro mf (índice de modulación) afecta en gran medida el ancho de la banda de la señal, también se observó que en Matlab se obtienen graficas idénticas de la señal modulada mediante el comando prediseñado fmmod y el método manual, así también como la demodulación de la señal FM, para obtener una función aproximada a la modulante de banda base. Se observa también que cuando el índice de modulación es muy pequeño la potencia de la portadora es grande y que como prueba adicional tomamos valores donde las funciones de Bessel nos daban un cero en la potencia de la portadora lo cual representaba un aprovechamiento de la potencia en las bandas laterales.
REFERENCIA [1]
HERRERA PÉREZ, Enrique; “Comunicaciones I. Señales, Modulación y Transmisión. Una introducción a la teoría de la comunicación eléctrica moderna”; 1era. Edición, LIMUSA, México, 2008. Capítulo VI Modulación en Frecuencia; págs. 149 a 156.
[2] LATHI, B. P., “Modern Digital and Analog Communication Systems”; 3rd. Edition, Oxford University Press, New York 1998. Chapter 5: Frequency Modulation; pages viewed 181 to 200. «PDF format file» [3] Página WEB de Mathworks: http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/comm/ . Consultada en Mayo 07, 2010.
