1. En un experimento se aprobaron tres dietas diferentes se probaron tres dietas diferentes (A, B, C) para medir su efecto en la producción de leche. Las dietas se aplicaron a tres vacas en tres periodos de lactancia diferentes. Los resultados son:
1 PERIODO
I II III SUMA
A B C
450 580 690 1720
VACA 2 B 690 C 890 A 660 2240
SUMA
3 C A B
880 720 7 20 810 2410
2020 2190 2160 6370
Probar la igualdad de efectos de raciones, vacas, periodos
SOLUCIÓN:
A B C
450 580 690
REPETICIÓN 660 690 880
720 810 890
SUMA 1830 2080 2460
r
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ FV PERIODOS VACAS TRATAMIENTOS ERROR TOTAL
SC 5488.889 86155.556 67088.889 422.222 159155.556
GL 2 2 2 2 8
CM 2744.444 43077.778 33544.444 211.111
FC 13 204.053 158.895
F tab 19
3
2. Se requiere estudiar el efecto de cinco diferentes catalizadores A, B, C, D y E sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material solo permite cinco corridas y cada corrida requiere aproximadamente 1.5 horas, por lo que solo se puede realizar cinco corridas diarias. El experimentador decide correr los experimentos con un diseño cuadrado latino para controlar activamente los lotes y días. Los datos obtenidos son:
LOTE 1 2 3 4 5 SUMA
1 A C B D E
DÍA 3
2 8 11 4 6 4 33
B E A C D
7 2 9 8 2 28
D A C E B
4 1 7 10 6 3 27
C D E B A
5 7 3 1 6 8 25
E B D A C
3 8 5 10 8 34
SUMA 26 31 29 36 25 147
SOLUCIÓN: A B C D E
8 4 11 6 4
9 7 8 2 2
REPETICIÓN 7 3 10 1 6
8 6 7 3 1
SUMA 42 28 44 17 16
10 8 8 5 3
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ANVA: FV Tratamientos Lotes Días Error Total
SC 141.44 15.44 12.24 37.52 206.64
GL 4 4 4 12 24
CM 35.36 3.86 3.06 3.1267
Fc 11.309 1.235 0.979
F tab 3.259 3.259 3.259
Y..
a) ¿Cómo se aleatorizó el diseño? Con un diseño CUADRADO LATINO. b) Anote la ecuación del modelo y las hipótesis estadísticas correspondientes ECUACIÓN:
HIPÓTESIS: Ho: αi =0 vs Ha: αi ≠ 0 Ho: τj =0 vs Ha: τj ≠ 0 Ho: βk =0 vs Ha: βk ≠ 0
c) ¿Existen diferencia entre los tratamientos? ¿Cuáles tratamientos son diferentes entre sí? Si existe diferencia y todos los tratamientos son diferentes entre si d) ¿Los factores de ruido, lote y día afectan el tiempo de reacción del proyecto? El único efecto significativo son los tratamientos (ruido) y ninguno de los factores lote y día afectan el tiempo de reacción del proyecto. 3. En el problema anterior elimine el factor bloque días y conteste:
LOTE 1 2 3 4 5 SUMA
A 8 7 9 10 8 42
CATALIZADORES B C D 7 7 1 8 11 3 4 10 5 6 8 6 3 8 2 28 44 17
E 3 2 1 6 4 16
SUMA 26 31 29 36 25 147
Y
SOLUCIÓN:
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
ANVA: FV Catalizadores Lote Error Total
SC 141.44 15.44 49.76 206.64
GL 4 4 16 25
CM 35.36 3.86 3.11
Fc 11.3697749 1.24115756
F tab 3.00691728 3.00691728
a) Sin tomar en cuenta el día, señale el nombre del diseño, el modelo y las hipótesis más adecuadas del problema NOMBRE:
Diseño en bloques completos al azar
MODELO:
HIPÓTESIS: Ho: τ1 = τ2 =… τt = 0 Ha: τi ≠ 0 para algún i
Ho: β1 = β2 =… βr = 0 Ha: βj ≠ 0 para algún j
b) Pruebe las hipótesis y obtenga conclusiones El único efecto significativo son los catalizadores y ninguno de los factores de bloque tienen un efecto significativo sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. c) Compare el cuadrado medio del error, en este caso con el del problema anterior ¿Qué observa? ¿Cómo lo explica? No varía mucho es decir ha disminuido con respecto al cuadrado medio del error anterior por lo tanto hay un menor error en el experimento realizado d) ¿Se observan las mismas conclusiones en los tratamientos de este problema y del anterior? ¿Por qué? Si se observan las mismas conclusiones porque ambos influyen significativamente en el experimento
4. Con respecto a los dos problemas anteriores, además de eliminar el factor día, ahora elimine el factor lote. Conteste lo siguiente:
A B C D E
8 4 11 6 4
9 7 8 2 2
7 3 10 1 6
8 6 7 3 1
Yi. 42 28 44 17 16 147
10 8 8 5 3 Y..
SOLUCIÓN:
∑ ∑ ∑ ∑ ANVA: Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Cuadrado Medio
Catalizadores Error Total
141.44 65.2 206.64
4 20 24
35.36 3.26
F
F tab
10.8466258
2.8660814
a) Después de la doble eliminación, señale el nombre del diseño, el modelo y las hipótesis más adecuadas al problema NOMBRE:
Modelos factorial con un factor
MODELO:
HIPÓTESIS:
b) Pruebe las hipótesis y obtenga conclusiones Se concluye que los tratamientos son estadísticamente significativos. c) Compare el cuadrado medio del error obtenido con los dos problemas anteriores. ¿Qué observa? ¿Cómo lo explica? Se observa que el cuadrado medio del error ha aumentado con lo que se concluye que hay un mayor error en el experimento realizado.
d) ¿Por qué se obtiene las mismas conclusiones en los tratamientos de este problema y de los anteriores? Porque los tratamientos influyen significativamente en el experimento.
5. La información se refiere al rendimiento de leche (libras) para un periodo de seis semanas. Las columnas representan vacas, las hileras periodos sucesivos durante la lactación y los tratamientos A (postura), B (poco grano), C (todo es grano). VACA PERIODOS
I II III
1 A: 815 B: 914 C: 1015
2 B: 948 C: 1245 A: 9100
3 C: 1110 A: 915 B: 986
Efectúe el ANVA
SOLUCIÓN: Con r = 3
PERIODOS
A B C SUMA
1 815 914 1015 2744
I II III SUMA
815 914 1015 2744
2 948 1245 9100 11293
REPETICIÓN 9100 948 1245 11293
3 1110 915 986 3011
915 986 1110 3011
SUMA 2873 3074 11101 17048 SUMA 10830 2848 3370 17048
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) F.V PERIODOS VACAS TRATAMIENTOS ERROR TOTAL ANVA:
S.C 14685901.6 15749801.6 13292934.2 14808758.2 58537395.6
g.l 2 2 2 2 8
CM 7342950.78 7874900.78 6646467.11 7404379.11
F 0.992 1.064 0.898
F tab 19
CONCLUSIÓN: Por lo tanto como F < F tab, no existe efecto significativo entre los tratamientos y tampoco en los factores de bloque se encuentra efecto significativo sobre el rendimiento de la leche.
6. Se hizo un experimento con 25 vacas, para analizar cinco tratamientos (dietas) y medir el aumento de peso en kilogramos. La información es: B: 280 C: 310 D: 320 A: 319 E: 390
D: 300 A: 316 E: 370 B: 313 C: 360
C: 295 B: 296 A: 365 E: 314 D: 325
A: 340 E: 286 C: 195 D: 316 B: 317
E: 300 D: 380 B: 315 C: 321 A: 330
Efectúe el ANVA SOLUCIÓN:
PERIODOS
A B C D
I II III IV V SUMA
319 280 310 320
1 280 310 320 319 390 1619
2 300 316 370 313 360 1659
316 313 360 300
3 295 296 365 314 325 1595
REPETICIÓN 365 296 295 325
4 340 286 195 316 317 1454
340 317 195 316
5 300 380 315 321 330 1646
330 315 321 380
SUMA 1515 1588 1565 1583 1722 7973 SUMA 1670 1521 1481 1641
E SUMA
390 1619
370 1659
314 1595
286 1454
300 1646
1660 7973
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ANVA: F.V PERIODOS VACAS TRATAMIENTOS ERROR TOTAL
S.C 4724.24 5430.6 6087.4 19513.5 35755.84
g.l 4 4 4 12 24
CM 1181.06 1357.66 1521.86 1626.13
Fc 0.726 0.835 0.936
Ftab 3.259
CONCLUSIÓN: Por lo tanto como Fc < Ftab , no existe efecto significativo entre los tratamientos y tampoco en los factores de bloque se encuentra efecto significativo en el aumento de peso de las vacas.
7. Un investigador está interesado en el efecto del porcentaje de lisina y del porcentaje de proteína en la producción de vacas lecheras. Se consideran siete niveles en cada factor % de lisina: 0.0(A), 0.1 (B), 0.2(C), 0.3 (D), 0.4 (E), 0.5 (F), 0.6 (G) % de proteína: 2(α), 4(β), 6(ρ), 8(δ), 10(ε), 12(ϕ), 14(ϒ) Para el estudio, se seleccionan vacas al azar, a las cuales se les da un seguimiento de siete periodos de tres meses. Los datos en galones de leche fueron los siguientes. a) Analice este experimento ¿qué factores tienen efecto en la producción de leche? b) ¿Cómo puede explicar la falta de efectos en vacas y periodos? c) ¿Qué porcentajes de lisina y proteína dan los mejores resultados? VACAS 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
304 (A α) 381(B β) 432 (C ρ) 442 (D δ) 496 (E ε) 534 (F ϕ)
436 (B ε) 505 (C ϕ) 566 (D ϒ) 372 (E α) 449 (F β) 421 (G ρ)
350(C β) 425 (D ρ) 479 (E δ) 536 (F ε) 493 (G ϕ) 352 (A ϒ)
543 (G ϒ)
386 (A δ)
435 (B α)
PERIODOS 4 504 (D ϕ)
5 417 (E ρ)
564 (E ϒ) 357 (F α) 366(G β) 345 (A ρ) 427 (B δ) 485 (C ε)
6
7
494 (F δ) 461 (G ε) 495 (A ϕ) 509 (B ϒ) 346 (C α)
519 (F ϒ) 350 (G α) 340(A β) 425(B ρ) 481 (C δ) 478 (D ε)
432 (G δ) 413 (A ε) 502 (B ϕ) 507 (C ϒ) 380 (D α) 397 (E β)
406(D β)
554 (E ϕ)
410 (F ρ)
SOLUCIÓN: METODOS A B C D E F G
304 381 432 442 496 534 543
386 436 505 566 372 449 421
LUGAR DE TRABAJO α β ρ δ ε ϕ ϒ
TIEMPO DE ENSAMBLE 352 345 495 435 427 509 350 485 346 425 504 406 479 564 417 536 357 494 493 366 461
340 425 481 478 554 519 350
413 502 507 380 397 410 432 Y..
TIEMPO DE ENSAMBLE 304 381 432 442 496 534 543
372 449 421 386 436 505 566
435 350 425 479 536 493 352
357 366 345 427 485 504 564
346 406 417 494 461 495 509
350 340 425 481 478 554 519
380 397 410 432 413 502 507 Y..
Yi.. 2635 3115 3106 3201 3279 3299 3066 21701
Yi..2 6943225 9703225 9647236 10246401 10751841 10883401 9400356 67575685
Yi..
Yi..2
2544 2689 2875 3141 3305 3587 3560 21701
6471936 7230721 8265625 9865881 10923025 12866569 12673600 68297357
ORDEN DEL ENSAMBLE 1 2 3 4 5 6 7 Yi.. Yi..2
1
2
3
4
5
6
7
Yi..
Yi..2
304 381 432 442 496 534 543 3132 9809424
436 505 566 372 449 421 386 3135 9828225
350 425 479 536 493 352 435 3070 9424900
504 564 357 366 345 427 485 3048 929030
417 494 461 495 509 346 406 3128 9784384
519 350 340 425 481 478 554 3147 9903609
432 413 502 507 380 397 410 3041 9247681
2962 3132 3137 3143 3153 2955 3219 21701 6728852
8773444 9809424 9840769 9878449 9941409 8732025 10361961
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ANVA: FV METODO OPERADOR ORDEN LUGAR ERROR TOTAL
SC 42783.551 1761.0 8754.4 145879.6 23662.8 222841.265
gl 6 6 6 6 24 48
CM 7130.592 293.497 1459.068 24313.259 985.949
F 7.23 0.30 1.48 24.66
F tab 2.51
CONCLUSIÓN: Por lo tanto como F > Ftab , existe efecto significativo entre los tratamientos. Y también en uno de los factores de bloque se encuentra efecto significativo en la producción de vacas lecheras.
8. El rendimiento de un proceso químico fue medido usando cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones de ácido, cinco tiempos de reposo (A, B, C, D y E) y cinco concentraciones del catalizador (α, β, ϒ, δ y ε). Se utilizó el cuadrado grecolatino que se presenta a continuación. Analice los datos y obtenga las conclusiones.
LOTE
CONCENTRACIÓN DE ÁCIDO 2 3 4
1
1 2 3 4 5
26 (A α) 18 (B ϒ) 20 (C ε) 15 (D β) 10 (E δ)
16 (B β) 21 (C δ) 12 (D α) 15 (E ϒ) 24 (A ε)
19 (C ϒ) 18 (D ε) 16 (E β) 22 (A δ) 17 (B α)
16 (D δ) 11 (E α) 25 (A ϒ) 14 (B ε) 17 (C β)
5 13 (E ε) 21 (A β) 13 (B δ) 17 (C α) 14 (D ϒ)
SOLUCIÓN: MÉTODOS A B C D E
26 18 20 15 10
TIEMPO DE ENSAMBLE 24 22 25 16 17 14 21 19 17 12 18 16 15 16 11
21 13 17 14 13 Y..
LUGAR DE TRABAJO α ϒ ε β δ
TIEMPO DE ENSAMBLE 26 18 20 15 10
12 15 24 16 21
17 19 18 16 22
11 25 14 17 16
17 14 13 21 13 Y..
ORDEN DEL ENSAMBLE 1 2 3 4 5
Yi.. 118 78 94 75 65 430
Yi..2 13924 6084 8836 5625 4225 38694
Yi..
Yi..2
83 91 89 85 82 430
6889 8281 7921 7225 6724 37040
1
2
3
4
5
Yi..
Yi..2
26 18 20 15 10
16 21 12 15 24
19 18 16 22 17
16 11 25 14 17
13 21 13 17 14
90 89 86 83 82
8100 7921 7396 6889 6724
Yi.. Yi..2
89 7921
88 7744
92 8464
83 6889
78 6084
430 37102
37030
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ANVA: FV MÉTODO OPERADOR ORDEN LUGAR ERROR TOTAL
SC 342.8 24.4 10.0 12.0 46.8 436
gl 4 4 4 4 8 24
CM 85.70000 6.10000 2.50000 3.00000 5.85000
Fc 14.65 1.04 0.43 0.51
Ftab 3.84
CONCLUSIÓN: Por lo tanto como Fc > Ftab , existe efecto significativo entre los tratamientos. Como Fc < Ftab podemos concluir que ninguno de los factores de bloque tiene efecto significativo en el rendimiento de un proceso químico.
9. Un ingeniero está investigando el efecto que tienen cuatro métodos de ensamblaje (A, B, C y D) sobre el tiempo de ensamblaje de un componente para televisores a color. Selecciona cuatro operadores para realizar este estudio. El método de ensamblaje produce fatiga (el tiempo que se tarda en el último ensamblaje puede ser mayor que el primero, independientemente del método). Para controlas esta posible fuente de variabilidad, el ingeniero utiliza el diseño cuadrado latino. Pero se sospecha que el lugar de trabajo usado por los cuatro operadores puede representar otra fuente de variabilidad; por lo que se introduce el lugar de trabajo (α, β, γ y δ) como un cuarto factor. Se produce un cuadrado
grecolatino. Analice los datos y obtenga conclusiones. Operador
Orden de ensamble 1 2 3 4
1
2
3
4
C β = 11 Bα=8 Aδ=9 Dγ=9
B γ = 10 C δ = 12 D α = 11 Aβ=8
D δ = 14 A γ = 10 Bβ=7 C α = 18
Aα=8 D β = 12 C γ = 15 Bδ=6
SOLUCIÓN: MÉTODOS A B C D
9 8 11 9
TIEMPO DE ENSAMBLE 8 10 10 7 12 18 11 14
8 6 15 12 Y....
LUGAR DE TRABAJO α β ϒ δ
TIEMPO DE ENSAMBLE 8 11 9 9
11 8 10 12
18 7 10 14
8 12 15 6 Y....
ORDEN DEL ENSAMBLE 1 2 3 4 Y…l Y…l2
Y .j.. 35 31 56 46 168
Y.j..2 1225 961 3136 2116 7438
Y..k.
Y..k.2
45 38 44 41 168
2025 1444 1936 1681 7086
1
2
3
4
Yi...
Yi...2
11 8 9 9 37 1369
10 12 11 8 41 1681
14 10 7 18 49 2401
8 12 15 6 41 1681
43 42 42 41 168 7132
1849 1764 1764 1681 7058
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ANVA: FV L. LAT. L. GR RENGL. COLUM. ERROR TOTAL
SC 95.5 7.5 0.5 19.0 27.5 150
GL 3 3 3 3 3 15
CM 31.83 2.50 0.17 6.33 9.17
Fc 3.47 0.27 0.02 0.69
Ftab 9.28
CONCLUSIÓN: Por lo tanto como Fc < Ftab , no existe efecto significativo entre los tratamientos. Como Fc < Ftab podemos concluir que ninguno de los factores de bloque tiene efecto significativo en el tiempo de ensamblaje del componente de televisores a color.
