Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería División de Ingeniería Mecánica e Industrial (DIMEI) Laboratorio de Dinámica de Maquinaria Profesor: Ing. Sandoval Murcia Mario Semestre 2018-1
Práctica No. 5
P r ecesi cesió ón de de un Gi G i r oscop scopi o Grupo: 07 Alumnos:
Chávez Tiburcio Andrea Guadalupe González Huerta Tania Suárez Martínez Nicolás Emiliano Cd. Universitaria a 03 de octubre de 2017
Fecha de entrega: 17 de octubre de 2017
Laboratorio de Dinámica de Maquinaria
Práctica 5 Precesión de un G iroscopio Introducción
Giroscopio
Es un dispositivo de forma esférica que posee un objeto discoidal en su centro, lo que le permite rotar libremente en cualquier dirección sobre su eje de simetría. Su principio de funcionamiento se basa en la conservación del momentum angular. En cuanto a historia, el primer giroscopio se construyó en 1743 y fue utilizado como nivelador para ubicar el horizonte ante la presencia de neblina o poca visibilidad; posteriormente, en 1817, el giroscopio fue empleado como instrumento didáctico hasta que se descubrió su importancia como instrumento de corrección del rumbo de los barcos. En la actualidad, el giroscopio se utiliza como acelerómetro debido a los avances en la manufactura y precisión de los instrumentos de construcción. Por ende, las aplicaciones que se tienen de este dispositivo son: Sistemas de correc ción de rutas de proyectiles, de impulsos en atracciones mecánicas, de estabilidad en vehículos aéreos no tripulados, etc.
Precesión de un giroscopio
Es un fenómeno de la naturaleza que se presenta en todos los cuerpos que giran, el cual da lugar a la presencia de un eje de simetría sobre algún cuerpo en rotación cuando se desvía de la vertical. Así mismo, al aplicarle una fuerza, ésta se manifiesta 90º más tarde en la dirección del giro.
Como ejemplo de esta situación se encuentra el movimiento de un tropo, el cual gira con una velocidad angular que apunta hacia arriba. Al mismo tiempo que va perdiendo su velocidad angular, su movimiento de precesión aumenta; por ende, el movimiento de precesión está ligado a la velocidad angular del trompo y a la localización de su centro de masa, ya que la precesión es el reflejo de la oposición del momento.
Este fenómeno se presenta también en el movimiento del planeta tierra; la precesión de los equinoccios (el cambio lento y gradual en la orientación del eje de rotación de la Tierra) se debe al movimiento de precesión de la Tierra causado por el momento de fuerza ejercido por el sistema Tierra-Sol en función de la inclinación del eje de rotación terrestre con respecto al Sol (alrededor de 23°43' actualmente).
Objetivo
̇
̇
Determinar una ecuación que relacione la velocidad de precesión de un giroscopio, con la velocidad de rotación .
̇ ̇ = .
Obtener del momento de inercia del giroscopio por medio de la pendiente de la gráfica
Desarrollo
Figura 1. Diagrama del giroscopio
̇̇
Nomenclatura:
-
Velocidad de precesión Velocidad de rotación Ángulo de nutación
̇ ̇
Precesión estable: , y son constantes
= − − = −− − −
La cantidad de movimiento angular se define como: Donde es el momento de inercia y es la velocidad angular Escribiendo de manera tensorial:
ℎ
Al usar planos de simetría, las componentes del momento de inercia en los planos xy , xz e yz son igual a cero. La velocidad de precesión referida al sistema de referencia relativo (color azul) es:
0 ̇ = −− ̇̇
La velocidad angular total del giroscopio referida al sistema de referencia relativo es:
0 = ̇−+ ̇ ̇ 0 0 0 ∴ = 00 0 0 ̇−+ ̇ ̇ = − ̇+ ( ̇ + ̇) ̇ = ̇ +
Calculando la variación de la cantidad de movimiento angular respecto del tiempo:
Donde: -
El subíndice xyz indica que la variación en magnitud y dirección de la cantidad de movimiento angular están referidos al sistema de referencia relativo.
= ̇ ̇ = ̇ ̇ ∴ ̇ = (− ̇+ ̇) (− ̇+ ( ̇ + ̇)) ̇ = ̇ − ̇( ̇ + ̇) ̇ ≪ ̇ => ̇ ≈ 0 ̇ = − ̇ ̇ = ∑ = − -
Ya que, por un lado, , y son constantes; y por el otro lado, el sistema de referencia relativo sigue el movimiento del giroscopio, lo cual provoca que el momento de inercia se mantenga constante.
Si
La única fuera que genera momento es el peso del giroscopio alrededor del eje x :
∴ − ̇ ̇ = − ̇ ̇ ̇ ̇ =
Despejando al producto de las velocidades
̇ ̇
:
Donde , e son constantes, de tal modo que el producto de las velocidades queda en función de la distancia al centro de gravedad del giroscopio , y dicha función es de la forma:
= + = = 0
Que representa la ecuación de una recta, donde:
Despejando a
de
:
=
Datos y Ecuaciones
== 9.3.7284 = =4 − ̇ = 22[ ] ̇ = 18 [ ] Evento
t [s]
1 2 3 4 5
17.04 32.32 9.34 5.69
̇
[rad/s]
0.36873 0.1944 0 -0.67271 -1.10425
f [Hz]
̇
[rad/s]
37.11 12.95383 23.49 8.19955 22.86 7.97964 30.53 10.65698
̇ ̇
[rad/s]
4.77646 1.5940 0 -5.36798 -11.76797
Tabla 1. Datos experimentales
S [m]
d [m]
0.011 0.024 0.04 0.06325 0.0997
0.029 0.016 0 -0.02325 -0.0597
̇
Observación: En los eventos 4 y 5, el producto
̇
casos, la velocidad de precesión rotación
La gráfica de los puntos
̇ ̇
̇ ̇
es negativo ya que para esos
gira en sentido contrario a la velocidad de
en función de d es:
̇
y = 185.13x - 0.7479
̇
6 4 2 0 -0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
-2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
-4 -6 -8 -10 -12 -14
̇ ̇ ̇ ̇ = 185.131 − 0.74794 = = 185.131 [ 1∙ ] 3. 2 4 9. 7 8 = = 185.131 1∙ = 0.1711 ∙
Gráfica 1. d contra
, su ajuste lineal y su respectiva ecuación
Utilizando regresión lineal para determinar la ecuación de la recta que se ajusta a los datos de la Tabla 1 se obtiene:
Donde:
Calculando el porcentaje de error a partir del dato experimental
, = 0.124 ∙ % = | −,|100 = |0.17110.1711− 0.124 |100
% = 27.52% Conclusiones
Mediante esta práctica se comprueba la utilidad de las ecuaciones propuestas en clase, y es posible observar que la velocidad de precesión y la velocidad de rotación de un giroscopio se relacionan. Así mismo, es posible determinar el momento de inercia de masa – de forma experimental – a partir de la pendiente de la gráfica construida con los datos recabados del experimento. De la práctica también es posible observar que el sentido de giro del giroscopio se modifica conforme cambia la distancia d (a partir del punto de referencia) por lo cual esta debe considerarse para que los valores del cálculo sean correctos. De igual manera, el relativamente alto porcentaje de error entre el valor teórico y el experimental puede deberse principalmente a que el ángulo de nutación no se mantuvo constante durante el movimiento, sino que hubo ligeras variaciones al momento de hacer girar el giroscopio, provocando pequeñas variaciones de alrededor del eje X .
Asimismo, cabe mencionar que en el caso cuando d = 0 el sistema se encuentra en equilibrio dinámico y, por lo tanto, la cantidad de movimiento angular se conserva. Esto debido a que si no existe una distancia que genere momento, la suma de momentos será cero, provocando que no haya variación en la cantidad de movimiento angular. Bibliografía
Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., David F. Mazurek, Mecánica Vectorial Para Ingenieros, Dinámica , novena edición, editorial McGraw Hill Giroscopio. Consultado el 16 de octubre de 2017. Disponible en: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/gyr.html
