F unci ones reales de un vector
PRÁCTICA 5. DERIVADAS PARCIALES Alberto Gutiérrez Borda*
y 2 yx2 , si x - y 1. Si g ( x, y ) x y , hallar g(-1,1)/ g(-1,1)/x y g(-1,1)/ g(-1,1)/y. 1 , si x = - y 2. Dada la función
y 2 yx 2 , si ( x, y ) (0, 0) 0) , determine si f/ f/x, f ( x, y ) x y 0 , si ( x, y ) (0, (0, 0)
f/ f/y
son
continuas en (0, 0). 2 3. Si f(x, y, z) = x + y2 + z2 + 2xy – 3xz 3xz + x + y + z, x = 2s + 3t, y = 2s – 3t, z = s – s – 4t. 4t. Determine: f/ f/s; f/ f/t. 4. Sea la función, 6 yx , si ( x, y ) (0, 0) 0) 2 2 g derivable derivable en (0, 0)? g ( x, y ) x y 0 , si ( x , y ) (0,0) (0,0) 5.
Analice la continuidad de las derivadas parciales de, 2x 2 y 2xy, si x2 y 0 h(x, y) x 2 y . 2xy , si x 2 y 0
6. Si W = g(x g(x +y , x - y) y) y g es una función que tiene tiene derivadas derivadas parciales continuas, demostrar que: (W/ W/x).( x).(W/ W/y)= ( (g/ g/s)2 - ( (g/ g/t)2. 2
2
7. Si z = 2u + v , u = (x + 2)/y, v = (y-1)/x ; halle (z/ z/x + z/ z/y) en (x, y) = (1,3). 8. Sea f(x, y) = y3ne -x/2y, halle un valor de la constante n de modo que f satisface la ecuación: f
( x, y ) y
2
x
( x
f
( x, y ) x
)
9. Dado f: IR 2IR definida mediante f(x, y) = 4xy/(x2 + y2) si (x, y) y)(0,0) y f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0); halle los vectores u en los cuales existe la derivada direccional, Duf(0,0). 10. Hallar la derivada de la función función f(x, y)= y)= Arctg(2xy) + Coshx + Senhy, en el punto punto (1,0) en la dirección de bisectriz del primer ángulo coordenado. 11. Obtenga todas las derivadas parciales de las funciones indicadas: a) f(x, y) = (2x +3y) x + ( 3y +2x) y . b) g(x, y) = Arctg (2x +3Senx) +3 Senx) y. c) () √ ( )
Alberto E. Gutiérrez Borda
Facultad de Ciencias -UNICA
1
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d) f(x, y, z) = xysenz + xzcosy + yztgx. e) g(x, y, z, u) = x y+z+u.zx+y+u. 12. Sea ()
. Calcule las derivadas parciales de
esta función en el punto (1, 1, 1). 13. Dada la función
f(x, y) y) = h(x).g(h(y)) + g(y).h(g(x)). Calcule sus derivadas derivadas
parciales donde g, h: IR IR son funciones definidas en IR derivables (es decir g´(t) y h´(t) h´(t) existen para todo t en IR). 14. Sea g una función real diferenciable de una variable real; determine sus derivadas parciales para G(x, y) = g(3x3y4).g(3x3 + y4). 4 4 15. Calcule el ángulo entre las gradientes de las funciones g(x, y, z) = x + 3y z, f(x, y, z) = x +3y – +3y – 2z 2z en el punto (1, 2, 1). 16. Sea f: IR 3IR la función f(x, y, y, z) = z - x2 – y – y2. Determine los puntos (x, y, z) de 3 IR en el que el gradiente de esta función es perpendicular al vector u = (2,-1,1). 17. Sea z = f(x, y) y) = sen(senx.cosy), determine un vector vector normal a su gráfica en el punto P = ( (, ). 18. Se da la superficie xy + xz + zx – 3xyz = 0, en ellas como superficie de nivel nivel de funciones, u = F(x, y, z), determine un vector normal a cada una en el punto punto A = (1, 1, 1). 2 2 2 19. Se da la ecuación de una superficie S: x +2y + 3z = 1, y un vector normal N = (-2, 3, 6) IR 3. Determine el (o los) punto(s) (si los hay) para los que normal de S.
N, es un vector
20. Pruebe que si f: A IR n IR, es una función homogénea de grado m, y tiene derivadas parciales continuas, entonces, x1(f(x1,x2 ,..,xn)/ )/x1 ) + x2(f(x1,x2 ,..,xn)/ )/x2 ) + . . . + x n(f(x1,x2 ,..,xn)/ )/xn ) = mf(x1, x2 ,.., xn). 21. ¿Cuál es el valor del ángulo para el cual la derivada direccional direccional de G(x, G(x, y) = (25 2 2 1/2 – x x – y y ) en el punto (1, 4) es mínimo, y cuál es este valor mínimo? 22. La ley del gas ideal es, pV = nRT (n es el número de moles del gas, R es una constante) determina cada una de las tres variables en p, V, T (presión, volumen y temperatura) en función de las otras dos. Muestre que, ( p/ p/V). ( (V/ V/T). ( (T/ T/ p) = - 1. 23. Geométricamente, es evidente que todo plano tangente al cono, z 2 = x2 + y2, pasa por el origen. Muestre esto con los métodos métodos del cálculo. 24. Suponga que W = f(x, y), y), y que existe una constante tal que, x = ucos ucos - vsen vsen, y = usen usen + vcos vcos; encontrar, (W/ W/u)2(W/ W/v)2 – ( (W/ W/x)2 – ( (W/ W/y)2. 25. Una función es definida por una ecuación de la forma W = xy.f((x + y )/xy), probar 2
2
que satisface a la ecuación, x (W/ W/x) – x) – y (W/ W/y) = G(x, y)W, y)W, y encontrar G(x, y). 26. Si z = f(x2, xsenx, x + y ). Hallar z/ z/x , z/ z/y.
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F unci ones reales de un vector
f(x, y)/ y)/x = 4 [ y f(x, y)/ y)/y]/ y]/y . 28. Si W = f(x, y, z) = x 2 + y2 – z2; x = e r cost, y = er sent, z = et : Calcular, W/ W/r, W/ W/t. 29. Halle, D1 f(0,0) y D 2 f(0,0), f(0,0), si existen, donde:
x 2 y , si ( x, y ) (0, 0) f ( x, y ) x 2 y 2 0, 0) si ( x, y ) (0, 0) 30. Halle, D1 f(0,y) y D 2 f(x,0), f(x,0), si existen donde:
xy( x 2 - y 2 ) , si ( x, y ) (0, 0) f ( x, y ) x 2 y 2 0, 0) si ( x, y ) (0, 0) x 2 y 2 , si ( x, y ) ¹ (0 (0, 0) 31. Sea f ( x, y ) x 4 y 4 . Determinar D1 f(0,0) y D2 f(0,0), 0, 0) si ( x, y ) (0, 0) si existen. 32. Hallar f x (-1,1) y f y (-1,1) (-1,1) de la función;
x3 y 2 ) , si y 2 x ¹ 0 2 f ( x, y ) y x 0, si y 2 x 0 33. Sean f, g : U IR 3 IR Demuestre que:
dos funciones diferenciables, y un número real.
a)
(f + g) = f + g. g.
b)
(f. g) = f. f.g + g. g.f.
c)
. ( (f x g) = 0 (suponga clase C para para f y g).
2
3
3
3
34. Sean F, G: U U IR IR dos campos vectoriales diferenciables y f: U U IR IR una función diferenciable. Demuestre que: a)
(F + G ) = F + G, G, IR.
b)
x (f + g) = x f + x x g, IR.
c)
. (f x g) g) = ( x f).G – f).G – ( ( x G).F.
d)
x(f.F) = f. f. x F + ( ( f) x F.
35. Si r = real.
= (x2 + y2 + z2)1/2. hallar r n y (1/r), donde n es cualquier número r =
36. Hallar (f .). ). y (f .).g en (1, 1, 1), si f (x, (x, y, z) = (- y, x, z),
g(x, y, z) = 3xyz 2 i +
2xy3 j – x x2yz k , y (x, y, z) = xyz. 37. Usar la identidad: div ( ( .V ) = .( .(.V ) = .div(V) + V.(), para hallar: a)
. (r n. r).
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38. Si las segundas derivadas parciales de las funciones y existen, entonces demostrar que, 2
( / ) = [ [ - ]/ ]/ . 39. Si, = x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 , V = xy. i + + yz. , calcular: j + xz.k a) Rot (grad ). b) Div (rot V). 40. Demostrar que la función z determinada por la ecuación, E(x – mz, y – nz) = 0, donde E es una función diferenciable, cualquiera variable cumple que, z/ z/x + nz/ z/y = 1. 2
2
41. Aplicando la regla de la cadena, cadena, halle W/ W/x y W/ W/y si W = u + v , siendo u = (x + 2)/y, v = (y + 2)/x en (1, 3). 42. Considerando z = f(u).g(u), donde u = x + y, y, v = y/x y/x son funciones cualesquiera, hallar x xz/ z/x + y yz/ z/y, si se conoce f ´(u)g(v) = 1/2u. 43. Si x = r.cos r.cos , y = r.sen r.sen; f(x, y) = g(r, g(r,): Pruebe que f/ f/x = (cos (cos). ).g/ g/r ((1/r).sen ((1/r).sen.) .)g/ g/,, y f/ f/y = (sen (sen). ).g/ g/r + ((1/r).cos ((1/r).cos.) .)g/ g/.. u u 44. Si x = e cosv, y = e senv, determinar dos dos funciones f y g, tales que u = f(x, y), v = g(x, y). Hallar también el ángulo ángulo formado por las gradientes gradientes de f y g. 45. Si ( ) . Hallar 46. Sea . Hallar . _____________________ ________________________________ _______________ ____ * Docente principal
Doctor en Educación Matemática Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” Ica -Perú l:
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