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Práctica Nº 3 Variación Variación de la conductividad térmica 1 INTRODUCCIÓN En la práctica anterior se ha definido la conductividad térmica como una propiedad de transporte de un material, también se calculó suponiendo que ésta es constante independientemente del gradiente de temperatura que se tenga a lo largo del sólido. En esta práctica se hará énfasis en el cálculo de la conductividad térmica teniendo en cuenta su dependencia con la temperatura.
O!"#TIVO$ a) b) c)
Determina Determinarr la conducti conductividad vidad térmi térmica ca de una probeta probeta de de sección sección variable. variable. Verificar Verificar la influencia influencia de la temperatura sobre sobre la conductividad conductividad térmica. Dibujar Dibujar el el perfil perfil de temperat temperatura ura a lo lo largo largo de la probeta probeta..
3 T#OR%& 3'1 Conductividad térmica varia(le eg!n la ecuación la ecuación de "ourier, la conductividad térmica se define#
k ≡
−
q
& x
%∂T $ ∂ x )
%'.') De acuerd acuerdo o a esta esta e(pres e(presión ión,, se observ observaa que la conduc conductiv tivida idad d térmic térmicaa cambia cambia con la temper temperatu atura, ra, comportamiento que se observa en la maor*a de las sustancias. i se hace referencia a ciertos materiales como por ejemplo, el cobre el aluminio, se encontrará que estos metales tienen caracter*sticas caracter*sticas opuesta en el comportamiento de la conductividad térmica, a que en el aluminio esta propiedad aumenta con la temperatura contrario a lo que ocurre con el cobre. En muchos casos se puede suponer que e(iste una relación apro(imadamente lineal, entre la conductividad térmica la temperatura, tal como se describe con la siguiente ecuación#
k %T )
=
k o [' + β ( T − T o ) ]
%'.+)
Donde# k o, es el
valor de la conductividad térmica a la temperatura T o T o, es la temperatura de referencia T , es la temperatura a la cual se está evaluando la conductividad térmica β , es una constante, su valor signo dependerán del comportamiento de k ara este modelo lineal, la ecuación de "ourier resulta#
q x
= −k o [' + β ( T − T o ) ] A
dT dx
%'.-)
onocida la variación de la conductividad térmica a lo largo de un dominio, es posible definir un valor promedio de ésta ésta en un intervalo intervalo determinado como# como#
+
k m
=
' T +
− T '
T +
∫ k
%T ) dT
%'./)
T '
El poder utili0ar una e(presión o la otra para la conductividad térmica, dependerá de la solución que se desee, de la información la facilidad para la solución de las ecuaciones.
3' &náli)i) *ara determinar la conductividad térmica onsidérese un probeta troncocónica por la cual flue calor en dirección longitudinal, desde un diámetro menor, d, hacia un diámetro maor, D, tal como se lustra en la siguiente figura '. "igura '
D
θ
2
r
(
d i se hace un análisis riguroso de la dirección del flujo de calor, se observará que ocurre en dos direcciones. 1 medida que el área transversal se incrementa, el calor se disipa en todo el sólido, para lo cual se puede pensar en dos componentes para el flujo de calor, una en la dirección a(ial, q(, otra en la dirección radial, qr , tal como se ilustra en la figura +.
q( qr
-
"igura +
El cálculo de la conductividad térmica de esta probeta, considerando flujo de calor en dos direcciones se puede complicar, a que se requiere hacer un análisis bidimensional. in embargo el esp*ritu de esta práctica es proponer una solución sencilla rápida. En tal sentido, debido a las dimensiones de la probeta la componente del calor en la dirección radial, q r , se despreciará con la finalidad de simplificar el calculo. i se considera la ecuación de "ourier para calcular la conductividad térmica, se tiene#
= −kA dT
q x
dx
1ntes de pretender aplicar esta ecuación, ha que tener en cuenta que tanto la conductividad térmica como el área transversal var*an. El área transversal aumenta en la dirección al flujo de calor, la conductividad térmica var*a de forma desconocida con la temperatura. i se separan las variables en la ecuación de "ourier, se tiene#
dx A% x )
=−
'
k %T ) dT
q x
%+.')
ara encontrar una función entre el área la variable, (, se puede plantear una relación trigonométrica en la figura ', tomando en cuenta los diámetros la longitud de la probeta, con respecto a una posición genérica, as*#
D − d
+r − d
D − d
+ L
+ x
L
tng θ =
=
⇒
r =
x + d
∗
%+.+)
+
De esta manera se tiene el área como una función de, (# +
A% x )
= π r % x+ )
D − d ∗ x + d = π L +
%+.-)
ustituendo la ecuación +.- en la ecuación +.', resulta#
dx +
D − d ∗ x + d L +
π
=−
' k %T ) dT q x
%+./)
1hora bien, para encontrar una relación entre la conductividad térmica la temperatura, se tiene una situación comprometedora, a que se desconoce por completo el valor de ésta la posible variación de la misma. ara poder resolver este inconveniente supóngase que se tienen dos puntos, a b, mu pró(imos el uno de otro, ubicados respecto a un sistema de referencia a unas distancias, ( a ( b con unas temperaturas, 3 a 3 b,
/ tal como se ilustra en la figura -. 1l estar totalmente definidos estos puntos, se puede proponer una solución numérica, en la cual se discreti0a la ecuación +./.
3 b ( b
3a (a "igura -
i los dos puntos están mu pró(imos el uno del otro, se puede suponer que la conductividad térmica no var*a en dicho intervalo, lo cual permite integrar la ecuación +./ entre a b# xb
' π
T
dx
∫ D − d
xa
+
∗ x + d +
L
=−
b ' k dT q x T a
∫
%+.4)
onociendo el flujo de calor, se puede calcular la conductividad térmica entre a b, la cual corresponderá a un valor promedio %k a→ b) en el intervalo. in embargo, si se considera que la conductividad térmica es función de la temperatura, se debe adjudicar el valor calculado a una temperatura determinada, el cual puede corresponder a un promedio aritmético entre 3a 3 b, es decir# T
=
T a
+ T b +
%+.5)
i se repite el procedimiento anterior, entre otros puntos consecutivos, se puede encontrar la conductividad térmica para muchos valores de temperatura, as* poder llenar la tabla '.
T
+ ,-.m-/0
3abla ' 6na ves tabulada la información, se debe reali0ar la representación gráfica de los valores calculados, de tal manera de obtener la relación matemática promediada que indique la dependencia o la influencia de la temperatura sobre la conductividad térmica. Esta relación permitirá integrar la ecuación +./ entre dos puntos cualesquiera, sean o no consecutivos, as*#
' π
x+
dx
∫ D − d
x'
L
+
∗ x + d +
=
− ' q x
T +
∫ k
%T )
T '
dT
%+.7)
2a ecuación +.7 permite tener un panorama general de lo que ocurre en una probeta como la ilustrada en la figura '. 6na posible aplicación de esta ecuación, es poder dibujar el perfil de temperatura, estudiar la influencia de la variación, tanto del área como la conductividad térmica sobre el gradiente térmico.
4
D#$CRIPCIÓN D#2 #UIPO alida de agua
ección de enfriamiento
3'8 Válvula de control 3: robeta de cobre 39
37
35
Elemento aislante
3ermopares tipo ; 34
3/
3-
3+
3' ección de calentamiento
Dimen)ione) de la *ro(eta Parámetro)
4edida) en mil5metro)
Diámetro menor, d Diámetro maor, D 2ongitud total, 2 Distancia entre nodos Distancia entre la base el primer nodo 3abla '
+4,/ 48,9 +:+/,5' /:,+'
5 El esquema ilustrado, representa la 6nidad - del banco de <=D63><= :84 del laboratorio, el cual está provisto de un total de 4 unidades. En este equipo se pueden reali0ar prácticas similares a las anteriores, sin embargo para efectos prácticos sólo se utili0arán las unidades - 4. Esta !ltima está representada por el circuito de agua de enfriamiento que se requiere para e(traer el calor en la unidad de enfriamiento.
Pro(eta de co(re
Esta probeta tiene forma troncocónica, con las dimensiones indicadas anteriormente. ara registrar el gradiente de temperatura a lo largo de ésta, se tienen instaladas '8 termopares tipo ;, a una distancia de +/,5' mm cada una. En la parte inferior superior, se encuentran las secciones de calentamiento enfriamiento respectivamente.
$ección de calentamiento
Esta sección es similar a la utili0ada en las unidades 3?'' 3?'+ en las prácticas anteriores. onsiste de una resistencia eléctrica montada sobre una base cerámica, que irradia calor hacia una placa unida a la probeta en la sección menor. Esta sección permite regular el calentamiento de la probeta a través de un potenciómetro ubicado en la parte frontal de la unidad. 3ambién inclue un termostato bimetalito que regula la temperatura de calentamiento.
$ección de en6riamiento
Esta sección está ubicada en la parte superior de la unidad -. @ealmente es una cavidad de la misma probeta, en la cual entra sale agua para producir el enfriamiento. El caudal de agua se puede regular mediante la válvula de control. ara poder medir el caudal de agua, se cuenta con una válvula adicional de bpass, que desv*a el flujo hacia un recipiente o hacia el drenaje.
#lemento ai)lante
onsiste en un tubo concéntrico de asbesto, en cuo interior se encuentra un corcho granulado. 3anto el asbesto como el corcho, tienen por finalidad minimi0ar las perdidas de calor hacia los alrededores.
Otro) e7ui*o)8
3ermómetro digital tipo ;. ables compensadores. Volt*metro digital. 3abla de datos para un termopar tipo ;. @ecipiente graduado. ronómetro analógico
9 4ONT&"# D#2 #UIPO El montaje del equipo no permite manipular los elementos involucrados, a que todo se encuentra en una unidad sellada, sin embargo, se deben tener las siguientes precauciones. Verifique que le suministro de agua es adecuado, mantenga la válvula cerrada. 3ambién verifique que el suministro eléctrico está conectado, para ello puede energi0ar las unidades - / observar la lámpara piloto, si la lámpara se enciende significa que las unidades están energi0adas. Aantenga el potenciómetro en la posición m*nima. onecte el termómetro digital tipo ; o el volt*metro digital en los terminales de cada termopar, con la finalidad de medir las temperaturas requeridas.
: PROC#DI4I#NTO 1bra la válvula de control permitiendo que pase agua hacia la unidad de enfriamiento, fije un caudal de acuerdo a las indicaciones del instructor. ara medir el caudal de agua derive el flujo de agua con la válvula de bpass.
7 1juste la posición del reóstato para una potencia de calentamiento má(ima, deje que las temperaturas de la probeta se estabilicen registre los valores de 3 ', 3+, ..... 3 '8. ara medir las temperaturas en los nodos, disponga de un selector de termopares ubicado al lado derecho de la unidad -. 2a respuesta de cada termopar, se puede ver en el termómetro digital tipo ;, conectado en los terminales de cada uno o utili0ando las tabla de termopares midiendo previamente la respuesta de los mismos en voltios. Debido al sistema de control onBoff que tiene la unida, es recomendable tomar varias lecturas de las temperaturas para tener un valor más representativo de la medida, para lo cual se recomienda hacer dos registros de la temperatura, uno cuando se interrumpe el calentamiento, otro registro cuando se activa el mismo. 2uego obtenga un promedio de estos valores llenando la tabla +.
Nodo)
Tem*eratura ºC To66 Ton 3
3' 3+ 33/ 34 35 37 39 3: 3'8 3abla + 3ambién mida la temperatura del agua a la entrada a la salida en la unidad de enfriamiento. ara esto utilice el selector de unidades ubicándolo en la posición 4. 2a temperatura del agua a la entrada se registrará con el selector de termopares en la posición 4, mientras que la temperatura del agua a la salida se registrará estando el selector de termopares en la posición -. 6tili0ando el recipiente graduado, mida el caudal volumétrico de agua que circula por la unidad de enfriamiento. 2lene la tabla -.
Tem*eratura) ºC 3e
3s
V .2-)0
t .)0
3abla -
; C<2CU2O$ = R#$U2T&DO$
?aga una representación gráfica del gradiente de temperatura a lo largo de la probeta, para ello utilice las dimensiones indicadas en la tabla ' los valores promedios de la temperatura registrados en la tabla +. e recomienda utili0ar Aicrosoft E(cel.
onocido el modelo matemático, calcule con éste las temperaturas correspondientes a cada nodo. Este procedimiento permite promediar los valores en términos del modelo minimi0ar los errores de cálculo al evitar la dispersión de las medidas. ara ello elabore una tabla similar a la tabla +.
1plicando la primera le de la termodinámica en la unidad de enfriamiento, calcule el calor transferido por conducción a lo largo de la probeta. ara ello utilice los datos de la tabla -.
9
on la ecuación +.4 +.5 calcule la conductividad térmica la temperatura promedio en cada intervalo. @ecuerde que debe tomar una serie de intervalos que estén mu pró(imos el uno del otro, por ejemplo, entre el nodo ' el nodo +, o entre el nodo 4 el nodo 5. omo usted observa puede calcular un total de : valores de C para : temperaturas promedio. Elabore una tabla de resultados.
?aga una representación gráfica donde se muestre la variación de la conductividad térmica en función de la temperatura, utili0ando los valores calculados en le punto anterior. e recomienda utili0ar Aicrosoft E(cel.
on el modelo matemático obtenido, utilice la ecuación +.7 dibuje el perfil de temperatura. ompare la curva teórica con la curva e(perimental.
> CONC2U$ION#$
omente sobre los resultados obtenidos anteriormente. Estimar el error e(perimental sobre las variables manipuladas.
? !I!2IO@R&A%& • • •
"undamentos de transferencia de calor. "ranC . >ncropera David . Deitt. '::9. 2a transmisión del calor, principios fundamentos. ". reith . F. GlacC. ':74. 3ransferencia de calor. G. V. ;arleCar @. A. Desmond. '::4.
Este material fue preparado por# >ng. Asc
