Víctor Daniel Rojas Cerna
Matemática III
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA N° 3 (2008-III) 1. Demuestre que:
f x, y dxdy E
f x, y dxdy
E
Solución:
Dado que las integrales dobles representan áreas o superficies, la integral
f x, y dxdy será considerada como la acción de un campo escalar
f sobre dicha
E
superficie, tal que dicha función pueda ser positiva o negativa para cierto dominio. Dividimos la superficie E en dos partes tal que en E 1 y E 2 la integral siempre tenga un valor positivo o negativo (Sea el valor en E 1 igual a M y en E 2 igual a N ), entonces:
f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy M N E
E1
f x, y dxdy E
E 2
f x, y dxdy
E1
f x, y dxdy
E2
f x, y dxdy M N
f x, y dxdy f x, y dxdy E1
E 2
M N
E
(Se puede sacar el valor absoluto de la integral porque en E 1 y E 2 tendrán un solo valor, positivo o negativo) Por desigualdad triangular tendremos que:
M N M N Entonces queda demostrado que:
f x, y dxdy f x, y dxdy E
E
2. Hallar el volumen de la intersección de los cilindros x y a y x y a , 2
a 0 Solución:
1
2
2
2
2
2
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Debido a la simetría que se presente en el sólido, solo trabajaremos con la octava parte del volumen total. Del gráfico mostrado el volumen será:
V 8
2 2 a x
a
0
2 2 a x dydx
0
a
a
V 8
x 2 dx
2
0
V
16 3
a
3
3. Demostrar que: 2
1
x x
4 2 4 2 x x dydx 2 x Sen dydx 3 2 y 2y
Sen
Solución:
Las acotaciones son: 1 x
2
x y x 2 x
4
x y 2 Graficando el dominio:
2
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x=y
y
x x y2
2 1
1
2
4
Haciendo un cambio en las variables de integración: 2 y
2
1 y
x 4 8 dxdy 3 2 y
Sen
2 2 y
4 2 x Sen dxdy 3 2 y 1 y
4. Hallar el centroide de la región E en el primer cuadrante limitada por la parábola
y 2 4ax , el eje x y el lado recto de esta parábola ( y 0 ). Solución:
y 2 4ax La fórmula canónica de la parábola es: y 4ap 2
p a AB 2 p 2a
3
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0 x a 0 y 2 ax
x
xdA dA a
x 0
0
a
0
4
x
5 4 3
ax
2
0
a3 a
2
2
y
a
0
0
a
dydx
0
y
3
a 5
3
a
2
2
ydydx
ax
0
a3 4
ax
2
y
xdydx
ax
ydA dA dydx
3 4
a
3 3 El centroide de E se encuentra en a; a 5 4
5. Hallar el volumen de la porción de E de la esfera x 2 y 2 z 2 a 2 ( a 0 ), que se encuentra dentro del cilindro r aSen ( ). Solución:
S1 : x2 y 2 z 2 a 2 r aSen ( ) S2 : x 2 y 2 y Transformando a coordenadas cilíndricas:
x rCos( ) y rSen( ) z z
4
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0 r aSen( ) 0
a2 r 2 z a2 r 2
V
aSen
0
0
dV V
a 2 r 2
a 2 r 2
rdzdrd
V 23 a 2 43 a
6. Calcule la integral
2 2 y z dV siendo D el sólido interior al elipsoide cuya
D
ecuación es 4 x y z 2 16 y exterior al paraboloide de ecuación 12 x y 2 z 2 . 2
2
Solución:
S1 : 4x 2 y 2 z 2 16 S2 :12 x y 2 z 2 En coordenadas cilíndricas:
x z y rCos z rSen 0
r 4
0
2 2 z x
0
Donde:
r y se obtienen de proyectar el sólido en el plano yz y x0 se obtiene de intersecar las superficies S 1 y S 2
5
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S1 S 2 : 4 x0
2
y z 16 2
2
2 2 2 y z 16 4 x0
12 x0
y z
12 x0
16 4 x
2
2
2
0
x0 2 3 x0 4 0
x 3 x 1 0 0
0
x0 1
( x0 pertenece al eje x )
y z dV 2
2
rdV r drd dz 2
D
D
1
y 2 z 2 dV
D 2
D
2 0
4
0
r 2drd dz
y 2 z 2 dV 128 D
7. Calcular ydx zdy xdz donde es la intersección de la superficie x y 2 y
x 2 y 2 z 2 2 x y , recorrida en sentido horario vista desde el origen. Solución:
S1 : x y 2 S 2 : x 2 y2 z 2 2 x y 2
2
x 1 y 1 z 2 2 Parametrizando:
x 1 Cos t dx Sen t dt y 1 Cos t dy Sen t dt z 2Sen t dz 2Cos t dt
6
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0 t 2 Reemplazando y evaluando en la integral de línea:
ydx zdy xdz
2
0
y t dx t z t dy t x t dz t
ydx zdy xdz 2 2
8. Calcular la integral
y dx xdy a lo largo del astroide . 2
Solución:
Sea la ecuación del astroide: 2
2
2
: x y a 3 3
3
Parametrizando:
x aCos3 t dx 3aCos 2 t Sen t dt y aSen3 t dy 3aSen2 t Cos t dt
0 t 2
y 2 dx xdy
2
0
y 2 t dx t x t dy t
3
y 2 dx xdy a 2
8
7
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9. Demostrar mediante integrales dobles:
e
k 2 x2
dx
k
, k 0
Solución:
Sea:
E 2 E
e k x dx 2 2
2 2
e k x dx
ek
2 2
dy
y
ek
2 2
y
dy
ek
2 2
x
.e k y dxdy 2 2
A continuación transformaremos la integral doble en coordenadas cartesianas a una integral en coordenadas polares.
E 2
2
0
0
re
k 2 r 2
drd
k 2
Despejando de la expresión tenemos:
E
k
e k x dx 2 2
k
10. Un leñador corta una pieza W con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol: uno horizontal y otro con ángulo . Calcular el volumen de la cuña W . Solución:
Ecuación plano que corta el cilindro para formar la cuña:
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S1 : ax by cz d 0 S1 : z
h r
y, donde h r tan
Ecuación de la base de la cuña:
S2 : x 2 y 2 r 2 Las acotaciones en polares serían:
h
0 z
r * sen r 0 r* r 0
V
r
0
0
h r
0
r*sen
r * dzdr * d 2
V r 3 tan 3
9
2 3
r 2h
