CALCULO III “CONSTRUCCION DE UN CONTENEDOR
DE VOLUMEN MAXIMO PARA RETIRO DE MATERIALES DE UN TUNEL” GRUPO IV
INTRODUCCIÓN Las matemáticas podemos encontrar en todas nuestras actividades diarias y cosas tangibles, está allí presente, intrínseco y todo lo que vemos podemos transformar en funciones matemáticas para poder conocer alguna propiedad que estemos indagando, llámese, área, volumen, presión, velocidad, rapidez. etc. En este proyecto de estudio, planteamos la construcción de un contenedor sujeto a la restricción, la búsqueda de un óptimo (máximo o mínimo) sujeto a una restricción.
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CAPÍTULO 1: PROBLEMATICA En la actualidad observamos una diversidad de obras de infraestructura de diversas magnitudes en las cuales muchas veces se presentan muchos problemas que requieren del uso de la ingeniería para su solución. Por ejemplo en las construcciones de túneles se requiere retirar los restos de tierra o piedra que origina su construcción en el menor tiempo y con el menor costo posible. Entonces se requiere diseñar un contenedor de máximo volumen que abrevie el tiempo en el retiro de la tierra o piedras. Es decir planteamos la construcción de un contenedor sujeto a la restricción. Es decir la búsqueda de un optimo (máximo o mínimo) sujeto a una restricción
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CAPÍTULO 2: ANTECEDENTES Cuando se trata de un proceso de eliminación del material de excavación, se intenta siempre optimizar el ciclo de operaciones con los recursos que están disponibles, de manera a que el avance sea máximo empezando así a recurrir a equipos mecanizados. Para elegir el sistema de excavación a emplear en un determinado túnel se manejan varios criterios, algunos de índole técnica y otra económica. A continuación mostramos los aspectos que se tienen en cuenta en cada uno de ellos. Por supuesto, en cada caso concreto puede tener condicionantes de otro tipo que obliguen a una determinada solución.
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CAPÍTULO 3: JUSTIFICACION Este estudio permitirá dar solución a un problema de ingeniería a través de la construcción de un contenedor de volumen máximo sujeto a restricción. Para lo cual se aplicarán cálculos matemáticos usando optimización con restricciones Hay que tener presente que lo abstracto de las matemáticas no permite que se puedan ver y manipular entes matemáticos, generándose confusiones y problemas para interpretar la información que un determinado elemento pueda proporcionar. Siendo así, con mayor dificultad podrán emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situación. Pero si lo aplicamos a situaciones reales los resultados van hacer más significativos.
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CAPÍTULO 4: PREGUNTA DE INVESTIGACION 4.1. Objetivos 4.2. General
- Determinar el volumen máximo que debe tener la construcción de un contenedor para el retiro de materiales de un túnel en construcción.
4.3. Es p ec í f ic o s
- Establecer las medidas del contenedor medidas del túnel.
teniendo en cuenta
las
- Utilizar las derivadas parciales, la optimización con restricciones a través de los multiplicadores de Lagrange para el cálculo del volumen del contenedor.
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CAPÍTULO 5: FUNDAMENTO TEORICO 1.Conceptos sobre derivadas parciales En matemática , una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en calculo vectorial y geometría diferencial.
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CAPÍTULO 6: MODELACION 6.1. Toma de datos: Las dimensiones de la tolva o cubierta son las mostradas en la figura, de allí se deduce la ecuación del cilindro parabólico.
Donde x˃0 ˄z˃0 sujeto a la restricción: 8
CAPÍTULO 6: MODELACION
Forma de hallar las variables de la función restricción:
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6.2. Planteamiento matemático del problema (Formulación matemática)
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CAPÍTULO 6.3: SOLUCION DEL PROBLEMA
Para el desarrollo de este problema usaremos el método de multiplicadores de lagrange, dado que tenemos una restricción, que es la cubierta parabólica, para poder optimizar y hallar el volumen máximo. Considerando que los únicos variables son x ˄ z. y es una constante, por lo tanto trabajaremos en el cuadrante mostrado en la figura. 11
…
…………… (II)
(II) En I)
Hallamos que xmáx. y zmáx. s 1.15m y 2m respectivamente. ………………………… .
(I)
, Por lo tanto par este valor el volumen será también máximo.
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CAPÍTULO 6.4: ELABORACION DE GRAFICOS Enseguida procedemos a comprobar y demostrar, con valores próximos delxencontrado,que el área es máxima para dichos puntos críticos.
x (lado base)
z (lado altura)
A (Área)
X vs Z 3.50
-0.05 0.150
2.98
0.89
0.350
2.91
2.04
0.550
2.77
3.05
0.750
2.58
3.87
0.950
2.32
4.41
1.150
2.01
4.6
1.00
1.350
1.63
4.41
0.50
1.550
1.20
3.71
1.750
0.70
2.46
0.00 0.000
1.950
0.15
0.58
2.150
-0.47
-2.01
3.00 z
2.50 2.00 1.50
Series1
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
x
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CAPÍTULO 7: RESULTADOS Hallamos que x máx. y zmáx. es 1.15m y 2m respectivamente. , Por lo tanto para este valor el volumen será también máximo.
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CAPÍTULO 8: CONCLUSIONES Se llegó a las siguientes conclusiones: - Se logró determinar el volumen máximo que debe tener la construcción de un contenedor para el retiro de materiales de un túnel en construcción. - Se logró establecer las medidas del contenedor teniendo en cuenta las medidas del túnel. - Se logró utilizar las derivadas parciales, la optimización con restricciones a través de los multiplicadores de Lagrange para el cálculo del volumen del contenedor.
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CAPÍTULO 9: RECOMENDACIONES •
Se recomienda utilizar las derivadas parciales y multiplicadores de Langrage para calcular y demostrar los parámetros de construcción.
•
Que este trabajo monográfico sirvacomo referencia para posteriores estudios sobre aplicaciones de derivadas.
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GRACIAS
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