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MÉTODOS NUMÉRICOS
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
Alumno: Rojas Polino José.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 1
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Contenido INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 4 1.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VALOR .............................................................. 5
2.
TEOREMA DE BOLZANO (TB) ................................................................................... 10
3.
MÉTODO DE BISECCIÓN ............................................................................................ 11
4.
Método de Regula Falsi o Método de Falsa Posición ...................................................... 16
5.
MÉTODO DE LA SECANTE ......................................................................................... 20
6. MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS ............................................................................................................................ 23 7.
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON .............................................................................. 27
8.
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES ............................... 30 8.1.
Algoritmo del Punto Fijo en dos variables : ........................................................... 30
8.2.
Algoritmo de Newton – Rapson ( N.R ) en dos variables :.................................... 35
9.
METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES ............................. 40 9.1.
METODO DE CROUT - DOOLITLE ........................................................................... 40
9.2.
METODO DE CHOLESKY .......................................................................................... 43
10.
MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ............... 47
11.
MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ......... 55
12.
SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ........................ 65
12.1.
METODO DE JACOBI ............................................................................................. 65
12.2.
METODO DE GAUSS- SEIDEL ............................................................................... 74
13.
INTERPOLACIÓN ......................................................................................................... 88
13.1.
INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL .................................................................. 88
13.2.
INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL ................................................................ 93
13.2.1.
Interpolación de Stirling ............................................................................... 93
13.2.2. Interpolación de Bessel ................................................................................ 94 PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 2
UNMSM 13.2.3. 13.3.
14.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Interpolación de Everett............................................................................... 94
INTERPOLACIÓN INVERSA.................................................................................. 97
13.3.1.
Interpolación Inversa No Lineal ( IINL ) ...................................................... 97
13.3.2.
Interpolación Inversa No Lineal de tercer orden ............................................ 99
INTEGRACIÓN NUMERICA ........................................................................................ 110
14.1.
Para intervalos Simples ..................................................................................... 110
14.1.1.
Método del trapecio .................................................................................... 110
14.1.2.
Método de Simpson de 1/3 ........................................................................ 110
14.1.3.
Método de Simpson de 3/8 ........................................................................ 111
14.2.
Integración Numérica para intervalos compuestos ........................................ 114
14.2.1.
Método del trapecio compuesto ................................................................ 114
14.2.2.
Método de Simpson de 1/3 compuesta. .................................................... 114
14.2.3.
Método de Simpson de 3/8 compuesta. .................................................... 117
15.
EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) ............................................................. 119
16.
INTEGRACION DE ROMBERG ................................................................................... 131
17. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL...................................................................................................................... 137 18.
DIFERENCIA NUMERICA ........................................................................................... 149
18.1.
Para Newton Progresivo ( NP ) ............................................................................ 150
18.2.
Para Newton Regresivo ( NR ) ............................................................................ 151
19.
PREDICTOR – CORRECTOR....................................................................................... 156
20.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR .......................................... 158
CONCLUSIONES .................................................................................................................... 161
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Pág. 3
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INTRODUCCIÓN En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.
Para una mejor organización y búsqueda rápida de cada tema se ha implementados con un índice al principio del trabajo para su fácil ubicación de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, además en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.
Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación (personales) de los métodos directos (que son mas difíciles de programar). El lenguaje de programación idóneo para tal fin será matlab 6.0
Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superación en los próximos trabajos que se han de mostrar.
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1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VALOR 1.1.
Definición de cifras significativas
Son valores o números diferentes de cero. El cero no será considerado cifra significativa si está en el extremo. Ejemplo
El cero no será considerado cifra significativa si está en el extremo. Pero el si el cero está entre los números diferentes de cero, entonces es cifra significativa.
1.2.
Descomposición polinómica de un número.
Todo valor o número se le puede expresar como una descomposición de potencia de 10. Ejemplo 1.2.1.
Ejemplo 1.2.2.
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Ejemplo 1.2.3.
1.3.
Orden de la descomposición polinómica {
}
Ejemplo 1.3.1. {
}
entonces
Ejemplo 1.3.2. {
}
entonces
Ejemplo 1.3.3. {
1.4.
}
entonces
Error absoluto
Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS: Se define por la siguiente relación: Donde: es el orden de la descomposición polinómica. número de cifras significativas exactas. DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS: Se define por la siguiente relación: Donde: numero de cifras decimales exactas. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
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Ejemplo 1.4.1.
Sea
Para
Error Absoluto ( |
{
) |
}
Entonces
Cifra significativa exacta
Entonces tiene dos cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene 2 cifras decimales exactas
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Para
Error Absoluto ( |
) |
{
}
Entonces
Cifra significativa exacta
Entonces tiene dos cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene 2 cifras decimales exactas
Para
Error Absoluto (
) |
|
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{
}
Entonces
Cifra significativa exacta
Entonces tiene cuatro cifras significativas exactas.
Cifras decimales exactas
Entonces tiene cuatro cifras decimales exactas.
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2. TEOREMA DE BOLZANO (TB) Sea la ecuación no lineal ( ) Donde ( ) es función no trascendente (trigonométrica, exponencial, logarítmica o polinomial), definida y continua en Si
( ) ( )
〈
entonces existe la raíz o solución
〉 tal que
( )
Ejemplo 2.1. ( ) Por Teorema de Bolzano localizamos el intervalo donde exista la raíz. Es evidente que ( ) sigue siendo continua en
〈
Como
( ) ( )
entonces
〈
〉
〉 tal que
( )
Observación: Es evidente que si
( ) ( )
entonces
o
es la raíz de la ecuación.
El teorema de Bolzano nos garantiza mostrar que existirá por lo menos una raíz si es que cumple los requisitos. El intervalo apropiado a usar se recomienda que sea distanciado a 1 o menor, como lo fue en este 〉 del ejemplo 2.1. caso del intervalo 〈
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3. MÉTODO DE BISECCIÓN Dado la ecuación no lineal ( ) tal que existe la raíz por T.B. El método de bisección consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo
La idea es encontrar el valor que se aproxime o sea igual a la raíz
de la ecuación ( )
Algoritmo de bisección: ( )
P-1.-
Dado la ecuación
P-2.-
Generar la sucesión {
P-3. –
Hallar Si
(
(
) (
) (
tal que existe la raíz }
por T.B.
mediante la siguiente relación
)
)
entonces hacer Es decir, que tome el valor de Y que tome el valor de
Si
(
) (
)
entonces hacer Es decir, que tome el valor de Y que tome el valor de
Si
P-4. -
(
) (
)
entonces hacer Es decir, que sea la raíz de ( )
Dejar de iterarse |
para el caso de cifras Significativas exactas (
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 3.1. ( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
〉
b) Por Bisección hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( Se dejará de iterar si Entonces
|
|
|
|
|
|
Si es verdadera entonces
).
es solución con dos cifras significativas exactas.
Iteración inicial Entonces (
) ( )
( ) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Primera iteración Entonces |
|
(
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)
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Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Segunda iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Tercera iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Cuarta iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces {
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MÉTODOS NUMÉRICOS Entonces
,
Quinta iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Sexta iteración Entonces |
|
(
)
Se sigue iterando (
) (
)
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Sexta iteración Entonces |
Entonces
|
(
)
es raíz con dos cifras significativas
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Relación válida sólo para Bisección Dado la ecuación
( )
tal que existe la raíz
por T.B.
Conociendo: El intervalo inicial
de la Bisección.
el orden de la descomposición polinómica de numero de cifras significativas exacta de .
.
Entonces esta fórmula:
Donde
numero entero menor, indicando la cantidad de iteraciones
Ejemplo 3.2. Tomando el ejemplo 3.1., comprobando el número de iteraciones que se requiere dado su número de cifras significativas exactas( ), es el siguiente:
( ) ( )
Entonces
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4. Método de Regula Falsi o Método de Falsa Posición Es un método similar al método de bisección en la que en vez de hallar el promedio simple de dos intervalos El método de R.F. determina el promedio ponderado de los intervalos
Algoritmo del método de R.F. P-1.P-2.-
( )
Dado la ecuación Generar la {
}
tal que existe la raíz mediante la relación
( ( P-3. –
(
Hallar Si
(
) (
) (
por T.B.
) )
( ) ( )
)
)
entonces hacer Es decir, que tome el valor de Y que tome el valor de
Si
(
) (
)
entonces hacer Es decir, que tome el valor de Y que tome el valor de
Si
P-4. -
(
) (
)
entonces hacer Es decir, que sea la raíz de ( )
Dejar de iterarse |
para el caso de cifras Significativas exactas (
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
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Ejemplo 4.1. ( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
〉
b) Por RF hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( | | Se dejará de iterar si Entonces
|
|
|
|
Si es verdadera entonces
).
es solución con dos cifras significativas exactas.
Iteración inicial (
(
) ( )
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
( ) ( )
Entonces
( )( )
Entonces { Entonces
,
Primera iteración (
) (
)
( (
) )
( )
( ( )
|
|
(
) )
Entonces
(
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)
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Se sigue iterando ( ) ( )
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Primera iteración (
) (
)
( (
) )
( )
( ( )
|
)
(
Entonces
)
|
(
)
Se sigue iterando (
) ( )
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Tercera iteración (
) (
)
( (
) )
|
( )
( ( )
(
) )
Entonces
|
(
)
Se sigue iterando (
) ( )
(
) (
)
( )( )
Entonces {
Entonces
,
Cuarta iteración (
) (
)
( (
|
) )
( )
( ( )
(
) )
Entonces
|
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(
)
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Se sigue iterando (
) ( )
(
) (
)
( )( )
Entonces { Entonces
,
Quinta iteración (
) (
( (
)
|
Entonces
) )
( )
( ( )
(
) )
Entonces
|
(
)
es raíz con dos cifras significativas
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5. MÉTODO DE LA SECANTE Algoritmo del método de la secante. P-1.P-2.-
( )
Dado la ecuación Generar la {
}
tal que existe la raíz mediante la relación
( ( P-3. -
por T.B.
) )
( )
(
Dejar de iterarse |
)
para el caso de cifras Significativas exactas | para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2.
Ejemplo 5.1. ( ) a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
〉
b) Por la secante hallaremos la solución con dos cifras significativas exactas ( | | Se dejará de iterar si Entonces
|
|
|
|
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).
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Si es verdadera entonces
es solución con dos cifras significativas exactas.
Sea
Entonces
,
Segunda iteración (
) (
)
( (
) )
( ) ( )
( ) ( )
|
Entonces
|
(
)
Tercera iteración (
) (
)
( (
) )
(
) (
|
( ) ) ( )
Entonces
|
(
)
Cuarta iteración (
) (
)
( (
) )
(
) (
|
( )
) (
Entonces
)
|
(
)
Quinta iteración (
) (
)
( (
) )
(
) (
)
( (
) )
Entonces |
|
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(
)
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Sexta iteración (
) (
( (
)
) )
(
) (
)
( (
) )
Entonces |
|
(
)
Séptima iteración (
) (
)
( (
) )
(
) (
)
( (
) )
Entonces |
Entonces
|
(
)
es raíz con dos cifras significativas
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6. MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS Algoritmo: P-1.P-2.-
( )
Dado la ecuación De
( )
despejar
tal que existe la raíz
por T.B.
de diferentes formas y obtener una ecuación de la siguiente forma: ( ) Donde
Generar la {
}
( ) es llamado punto fijo.
mediante la relación ( ) Donde
Tomando como valor
arbitrario tal que
¿Condición de convergencia ? Existe { a)
b)
}
si se cumple lo siguiente:
( ) ( ) tal que | ( ) | ; es llamado constante de Lipschitz { |
P-3. -
Dejar de iterarse |
〈
〉
( )|
|
( )| }
para el caso de cifras Significativas exactas (
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
( )
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Ejemplo 6.1.
( )
( )
a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
〉
b) Por punto fijo verificamos convergencia {
De ( 1 )
( ) Entonces ( )
Análisis para
( )
,
( )
,
( )
( )
( ) ( )
Primera condición ¿ ( )
?
( ) no cumple la primer condición Entonces
{
}
con
Entonces
{
}
con
( )
Análisis para
Primera condición ¿ ( )
( )
?
( ) no cumple la primer condición
( )
Análisis para
Primera condición ¿ ( )
,
( )
?
( )
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MÉTODOS NUMÉRICOS
( )|
Segunda condición ¿ | Si
( ) (
)|
|
(
)| (
{|
)| |
(
〉?
⁄
( )
entonces
|
〈 ,
{
)| }
}
( )|
entonces |
{
}
( )
con
c) Obtener una solución con dos cifras significativa exacta( n = 2 ) Se deja de iterar si
Con
( )
|
|
|
|
Con
su relación de recurrencia :
( )
entonces
⁄
Sea
Iteración inicial ⁄
⁄
Entonces |
|
(
)
Primera iteración ⁄
|
|
Entonces (
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)
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Segunda iteración ⁄
|
Entonces
|
(
)
(
)
Tercera iteración ⁄
|
Entonces
|
Cuarta iteración ⁄
|
Entonces
Entonces
|
(
)
es raíz con dos cifras significativas
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MÉTODOS NUMÉRICOS
7. MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON El Método de Newton - Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación ( ) , ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de ( ) y se necesita una aproximación inicial muy cercana a la raíz. Se requiere que
( ) sea doblemente continua y diferenciable en
.
Algoritmo: P-1.P-2.-
( )
Dado la ecuación Generar la {
}
tal que existe la raíz
por T.B.
mediante la relación
( ) ( )
Convergencia de N-R. Existe {
}
si
Esto significa que
P-3. -
|
) ( )( (
)
)
|
y
( )
( )(
)
está muy cercano a la raíz.
Dejar de iterarse |
(
para el caso de cifras Significativas exactas (
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
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Ejemplo 7.1.
( )
( )
a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raíz.
〈
b) Verificar su convergencia por N.R. Si ( ) entonces Veremos si ( )
(
( )(
)
)
(
)
es válido o no. ( )(
Veremos si ( )
( )
〉
)
entonces
no es válido para iterar.
es válido o no ( )(
)
entonces |
( )
es válido para iterar. ( )(
) |
( )
(
) {
}
por N.R.
c) En la iteración ¿ Cuantas cifras significativas exactas tiene la solución ? ( ) ( ) Con y con ( ) , ( ( (
) )
) (
)
Escogeremos para dos cifras significativas exactas ( n = 2 ) Se deja de iterar si
|
|
|
|
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Con
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Iteración inicial ( (
) )
( ) ( )
Entonces |
|
(
)
Primera Iteración ( (
) )
( (
) )
Entonces |
|
(
)
Segunda Iteración ( (
) )
( (
) )
Entonces |
|
(
)
Segunda Iteración ( (
) )
( (
) )
Entonces | Entonces
|
(
)
es solución con dos cifras significativas exactas.
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8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES Dado el Sistema: (
)
(
)
…(1) ,
tal que
8.1. P-1.-
Algoritmo del Punto Fijo en dos variables :
De ( 1 ) despejar
e
respectivamente para obtener una relación de la siguiente forma. ( (
P-2.-
…(2)
) )
De ( 2 ) generar la sucesión: {
}
{
}
Mediante la siguiente relación de recurrencia: (
) ,
(
) Donde
P-3. -
Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( |
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
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MÉTODOS NUMÉRICOS
para el caso de cifras Significativas exactas ( |
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en
Condición de convergencia del punto fijo: {
} |
{
|(
)
|
} |(
Si se cumple lo siguiente: )
y
|
|(
)
|
|(
)
Donde (
)
(
)
Ejemplo 8.1.1.
( (
) )
a) Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial (
(i)
(ii)
Primero formamos de (1) la forma ( ) De (2) se obtiene ( ) De ( ) en (1) se obtiene
( ) ( )
).
( )
Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
〈
(iii)
〉
De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1
〈 Sea Luego de ( ) :
{
b) ( (
) )
〉
entonces
}
{
}
se tiene se tiene
( (
entonces entonces
| |
|( |(
)
|
|(
)
|
|(
|
| |
|( |( |
) )
(
)
|
|(
)
|
|(
) )
)
| (
) ) )
| (
)
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Por lo tanto f y g cumplen la condición de convergencia. c) Por punto fijo obtener una solución con dos cifras significativas exactas ( Se dejará de iterar si:
Entonces
| |
| |
con con
|
|
con
| |
).
| | |
|
) es solución con dos cifras significativas exactas.
Si es verdadera entonces ( Teniendo :
entonces entonces con (
)
(
) (
) (
|
Entonces )
Entonces
|
|
(
|
(
)
( ) (
(
)
(
)
Entonces
|
)
)
Entonces
| |
(
) (
|
)
(
(
)
) (
)
Entonces
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MÉTODOS NUMÉRICOS (
|
|
|
|
(
)
)
(
( )
|
|
|
|
)
|
|
|
|
)
(
)
)
(
)
Entonces
)
)
)
(
)
Entonces
|
(
)
Entonces
| |
(
)
(
Por lo tanto (
)
Entonces
( (
|
(
)
(
)
)
Entonces
( (
(
(
Entonces
(
)
)
) (
(
Entonces
(
)
(
)
) es raíz con dos cifras significativas exacta.
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UNMSM
8.2.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Algoritmo de Newton – Rapson ( N.R ) en dos variables :
P-1.-
P-2.-
,
Dado el sistema siguiente tal que tal que (
)
(
)
por T.B.
Generar la sucesión: {
}
{
}
Mediante la siguiente relación de recurrencia:
|
|
|
(
)
(
)
|
|
|
|
|
(
)
(
)
Donde (
P-3. -
)
(
)
(
)
(
)
Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( |
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
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Pág. 35
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
para el caso de cifras Significativas exactas ( |
)
| para el caso de cifras Decimales exactas
Caso contrario ir al P-2 en Condición de convergencia del NR: {
}
{
}
Si se cumple : (
)
|(
|
)
Ejemplo 8.2.1. ( (
) )
Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial ( (i)
Primero formamos de (1) la forma De (2) se obtiene De ( ) en (1)
(ii)
se obtiene
( ) ( )
). ( ) ( )
( )
Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.
〈
〉
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Pág. 36
UNMSM
(iii)
MÉTODOS NUMÉRICOS
De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1
〈 Sea Luego de ( ) :
〉
entonces Entonces el punto inicial es (
{
a)
}
{
)
(
)
}
Verificando su convergencia por Newton Raphson (
(
)
|
|
| (
)
)
|
(
(
)
)
Entonces Por lo tanto
{
}
(
)
{
}
Sea lo siguiente:
| |
| (
)
(
)
|
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Pág. 37
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
|
| (
|
|
|
|
|
|
)
(
)
(
)
(
)
|
| (
|
(
)
|
(
)
)
(
)
b) Por este método, una solución con dos cifras significativas exactas ( n = 2 ). Se dejará de iterar si:
Entonces
| |
| |
con con
|
|
con
Si es verdadera entonces (
(
)
(
| |
| | |
|
) es solución con dos cifras significativas exactas.
)
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Pág. 38
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS Entonces
(
)
Entonces
(
|
|
(
)
|
|
(
)
)
(
)
Entonces
(
)
Entonces
Por lo tanto (
|
|
(
)
|
|
(
)
)
(
)
(
) es raíz con dos cifras significativas exacta.
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Pág. 39
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
9. METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES 9.1.
METODO DE CROUT - DOOLITLE
Consiste en factorizar una matriz cuadrada “A” en un producto “LU”. Esto es:
Donde: A: es la matriz a factorizar. L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama “L” porque viene de la palabra inglesa “low”, que significa “bajo”.
U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el método de la eliminación gaussiana. Se llama “U” porque viene de la palabra inglesa “up”, que significa “arriba”.
Ejemplo 9.1.1. [
]
Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.
[
]
[
] [
]
Se tiene un sistema de 9 ecuaciones con 12 variables, entonces existe infinitas soluciones. Se fijará tres variables. Sea
[
]
[
] [
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]
Pág. 40
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Primera columna: Entonces Entonces Entonces
Segunda columna: Entonces Entonces Entonces
Tercera columna: Entonces Entonces Entonces [
]
[
] [
]
Para un sistema lineal de la forma:
Donde A se factoriza de la forma:
L: Matriz Triangular Inferior U: Matriz Triangular Superior Sea: (
)
Ejemplo 9.1.2. Calculando
[
] tal que
con
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[
]
y
[
]
Pág. 41
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Se sabe (
) (
Sea
[
la cual
)
]
Entonces [
] [
]
[
Entonces
]
Entonces
Entonces [
] [
]
[
Entonces
]
Entonces
[
]
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Pág. 42
UNMSM 9.2.
MÉTODOS NUMÉRICOS
METODO DE CHOLESKY
Primera versión También para resolver el sistema 1) 2)
para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente:
es simétrico, es decir debe cumplir sea definida positiva.
Ejemplo 9.2.1. Desarrolle: [
][
]
[
]
Dado : [
]
entonces
Viendo si es definida positiva: entonces [
]
[
entonces ]
entonces
Por lo tanto A es positiva, entonces se puede aplicar cholesky.
Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.
[
]
[
] [
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]
Pág. 43
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Primera columna: (
Segunda columna:
)
Entonces Entonces
(
)
(
)
Entonces
Entonces Entonces
Tercera columna:
(
)
(
)
(
[
)
√
Entonces
]
[
] [
]
√
Calculando
[
√
] tal que
con
[
] y
[
]
Se sabe (
) (
Sea
[
la cual
)
]
Entonces [
] [
]
[
Entonces
]
√
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√
Entonces
√
Pág. 44
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS √
[
] [
]
√
[
√
Entonces Entonces
] √
Entonces
[
]
Segunda versión cuando
Para la solución del sistema hacer transformar.
no es simétrica. Pero hacia
se le puede
Ejemplo 9.2.2. Para la solución del sistema:
[
][
]
[
]
En donde A no es simétrica. Se le puede hacer transformar en pasos elementales de Matriz. [
]
( (
[
Entonces la nueva matriz es
[
) ) ]
]
con
[
]
Siendo A simétrica y positiva
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Pág. 45
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
[
][
]
[
]
Es idéntico al ejemplo 9.2.1. Obtiene esta expresión, en la que
El desarrollo, para hallar
[
[
] se mantiene igual:
], es la misma en la versión 1, obteniendo [
[
] es solución de [
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]
][
[
]
]
[
]
Pág. 46
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
10. MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el sistema de ecuaciones de la forma:
(
)(
)
(
)
ALGORITMO TRIDIAGONAL: P-1:
Del sistema Sea ̅
, expresarlo como
̅ { }
, C es constante arbitraria /
De la Ec. (1) despejar ̅ De la Ec. (2) despejar ̅ De la Ec. (3) despejar ̅ …………. De la Ec. (n-1) despejar ̅ De la Ec. (n) despejar ̅ Pero como no existe ̅
se hace lo siguiente:
̅ Tal que: Se tiene ̂
( ( ̅ ̅
)
̅ donde R: vector residual
̅ )
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Pág. 47
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Si Si
es solución de es solución de
P-2: Del sistema llegando a lo siguiente:
expresarlo como
̅
y sea ̅
̅ (
Tal que: Se tiene ̂
) ( ̅
̅
̅
donde S: vector residual ̅ )
Si Si
es solución de es solución de …….. ( ) …….. ( )
Se tiene: ()
, se procede como P-2,
( )
(
)
(
) 0
Se busca una relación: Tal que:
(
)
⁄
Ejemplo 10.1. Sea el sistema: ( ( ( (
) ) ) )
( ( ( (
) ̅̅̅ ) ̅̅̅ ) )
Paso 1 Sea el sistema: ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅
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̅̅̅ ̅̅̅
Pág. 48
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MÉTODOS NUMÉRICOS
̅̅̅
Sea
constante arbitraria.
En ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ̅̅̅
,
En ( 4 ) Como No existe
̅̅̅
̅̅̅
,
se hace lo siguiente: Tal que r es valor residual.
Entonces
Paso 2 Del sistema Sea tal que
̅
entonces ̿̿̿
{ }
̿̿̿
( ( ( (
) ̿̿̿ ) ̿̿̿ ) )
De ( 1 ) , ( 2 ) , y ( 3 ) se consigue ̿̿̿
,
En ( 4 ) Como No existe ̿
̿̿̿ ̿̿̿̿ ̿
̿̿̿ ̿̿̿ ̿̿̿ ̿ ̿
̿̿̿
̿̿̿
,
se hace lo siguiente:
̿
Tal que t es valor residual.
Del paso 1 se obtiene:
̂
(
Del paso 2 se obtiene:
̂
(
)
Entonces
con )
con
La solución es: ̂
̂
(
(
)
(
)
) Entonces
,
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,
,
Pág. 49
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 10.2. Resolver:
2 2 ̅
Del sistema ̅
̅
2 ̅
……… (1) ̅
̅
2 ̅
̅
̅ Sea ̅
….….. (2) ̅
……… (3)
̅
……… (4)
{ }
,
̅
̅
De (1): De (2): De (3): ̅
0 ̅
De la ec. (4) despejo ̅ , pero como no existe ̅ ̅
̅ ( ̅
̂
̅ ) ̅
(
) ̅
Del sistema Sea ̅
̅ ̿
̿ ̿ ̿
, en , en ̿
,
̿
( ̅
̅
̿
̿
̿
̿
̿
en
Observación: Si ̂
, luego se procede como P-2
̿
̿
̅
cambiar el valor inicial de ̅ )
(
̿
)
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Pág. 50
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ̂
Se busca una solución
̂
𝑥
Verificando:
⁄
⁄
Tal que:
𝑥
𝑥
𝑥
2 2(
)
(
)
(
)
Ejemplo 2 (Solución de sistemas lineales en Tribanda) Sea
en Tribanda. ( ) ( ) ( ) ( )
Algoritmo del sistema Tridiagonal Solución: ̅
Del sistema ( )
̅
( ) ̅
( ) ̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
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Pág. 51
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ( )
Sea ̅
̅
̅
̅
̅
{ }
, C vector arbitrario talque ̅
Entonces:
De (1) despejo ̅ :
( ) ̅
̅ ̅
De (2) despejo ̅ : ( ) ̅
̅
̅ ̅
De (3) despejo ̅ : ( ) ̅
̅
̅ ̅
De (4) despejar ̅ ; pero ( ) ̅
̅
( ̅
̂
Y se tiene que:
( ) ( ) ( )
̿
̅
̅
̿
Ahora expresarlo como ( )
̅ :
̅ )
(
)
es un vector nulo.
̿
̿ ̿
̿ ̿ ̿
̿
̿ ̿
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Pág. 52
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS { }
Sea ̿ ̿
sea
De (1) despejar ̿ : ( ) ̿
̿ ̿
De (2) despejar ̿ : ( ) ̿
̿
̿ ̿
De (3) despejar ̿ : ( )
̂
̿
( ̿
̿
̿
̿
̿ )
De (4) despejar ̿ , pero ( ) ̿
̿ ̿
(
)
̿ entonces:
̿
Entonces: ̂ [
]
[
̂
[
]
]
[
[
]
]
Comprobación: PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 53
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MÉTODOS NUMÉRICOS
-46+24+13 -22+13=-9
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Pág. 54
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
11. MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ejemplo 11.1. Dado el sistema
se tiene lo siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Paso 1 Del sistema original
( )
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
( )
̅̅̅
̅̅̅
( )
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
( ) ( ) ̅̅̅
Sea
̅
expresando en la forma
̅̅̅
De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )
( Uno de ellos debe ser diferente de cero y el otro debe ser cero )
se obtiene ̅̅̅
De ( 4 ) como NO existe ̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅
De ( 5 ) como NO existe ̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
,
̅̅̅
,
̅̅̅
se hace lo siguiente ̅̅̅
entonces
se hace lo siguiente
̅̅̅
entonces Entonces
Se tiene
̂
(
[
]
[ ]
)
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Pág. 55
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Paso 2
primera solución homogénea
Del sistema original ̿
expresando en la forma
( )
̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿̿ ̿̿̿̿
( )
̿̿̿
̿̿̿
( )
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
( ) ( )
̿̿̿
Sea
̿̿̿
De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )
( dos números cualesquiera )
̿̿̿
se obtiene
De ( 4 ) como NO existe ̿̿̿
̿̿̿̿
De ( 5 ) como NO existe ̿̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿
̿̿̿ ̿̿̿
̿̿̿
,
,
̿̿̿
se hace lo siguiente ̿̿̿
̿̿̿
entonces
se hace lo siguiente
̿̿̿
entonces Entonces
Se tiene
̂
Paso 3
(
[
]
[
]
)
segunda solución homogénea
Del sistema original ̿ ̅
expresando en la forma
( ) ( )
̿̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
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Pág. 56
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ( )
̿̿̿ ̅̅̅
( )
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
( )
̿̿̿ ̅̅̅
Sea
̿̿̿ ̅̅̅
De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )
̿̿̿ ̅̅̅
se obtiene
De ( 4 ) como NO existe ̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿̿ ̅̅̅̅
De ( 5 ) como NO existe ̿̿̿̿ ̅̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
,
̿̿̿ ̅̅̅
,
se hace lo siguiente
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ ̅̅̅
entonces
se hace lo siguiente
̿̿̿ ̅̅̅
entonces Entonces
Se tiene
̂
(
[
]
[
]
)
Paso 4 [
]
[
[ ]
[
]
[
]
]
[
] Entonces
̂
La solución (
)
( (
̂
̂
)
(
)
)
Es decir
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Pág. 57
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 11.2. Dado el sistema
resolver el siguiente sistema pentadiagonal
2
+ 3 +
=
3
+ 2
+4
+
+ 4
+
+4
+4 2
8
EC(1)
= 15
EC(2)
+2
= 13
EC(2)
+2
+
= 19
EC(4)
+
+7
= 15
EC(5)
PASO DEL ALGORITMO P-1: Expresar el sistema como A.
=b
2
+ 3
+
3
+ 2
+4
+
+ 4
+
+4
+4 2 Sea
=0
=1
Ec(1)
= 15
Ec(2)
+ 2
= 13
Ec(3)
+2
+
= 19
Ec(4)
+
+7
= 15
Ec(5)
cte arbitrario
De Ec(1) despejar
=5 pues
0 + 3(1) +
De Ec(2) despejar
=8
= 7 Pues
0 + 2(1) +4(8) +
De Ec(3) despejar
= 15
= 16
Pues De Ec(4) despejar
= 8
0 + 4(1) + 5 + 4( 7) + 2 ; como
+ 4
+ 2
= 13
, hacemos lo sgte. : +
= 19 +
1 + 4(5) + 2( 7) + 16 = 19 +
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= 45
Pág. 58
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
De la Ec(5) despejar
; como
2
+
hacemos
+7
= 15 +
2(5) + ( 7) +7(16) = 15 +
R=
[
],
como R
;
= 100
A. ̂ = b + R
Se tiene:
̂=
= [
ó [
]
)
̂ =(
]
P-2: Primera solución homogénea del sistema A.x = b, expresarlo como A. ̿=
Sea
̿ = 10
2̿̿̿ + 3̿̿̿ + ̿̿̿
= 0
Ec(1)
3̿̿̿ + 2̿̿̿ + 4̿̿̿ + ̿̿̿
= 0
Ec(2)
̿̿̿ + 4̿̿̿ + ̿̿̿ + 4̿̿̿ + 2̿̿̿
= 0
Ec(3)
̿̿̿+ 4̿̿̿ + 2̿̿̿ + ̿̿̿
= 0
Ec(4)
2̿̿̿ + ̿̿̿ + 7̿̿̿
= 0
Ec(5)
̿̿̿= 20
De Ec(1) despejar ̿̿̿; pues De Ec(2) despejar ̿̿̿; Pues De Ec(3) despejar ̿̿̿;
̿̿̿ = 80 2(10) + 3(29) + ̿̿̿ = 0 ̿̿̿= 250 3(10) +2(20) + 4( 8) + ̿̿̿= 0 ̿̿̿=
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Pág. 59
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS pues 10 + 4(20) + ( 80) + 4(250) + 2̿̿̿ =0
De Ec(4) despejar ̿̿̿; como
̿̿̿ hacemos
̿̿̿ + 4̿̿̿ + 2̿̿̿ + ̿̿̿ = 0 + 20 + 4( 80) + 2(250) + ( 505) = 0 + De Ec(5) despejar ̿̿̿; como
;
= 1445
̿̿̿ hacemos
2̿̿̿ + ̿̿̿ + 7̿̿̿ = 0 + 2(
)+ (250) + 7(
)=0+
S=
̂ [
[
]
]
P-3: Segunda solución homogénea del sistema A.x = b expresar A. ̅̿= 0 ̅̅̅ + 3̿̿̿ ̅̅̅ + ̿̿̿ ̅̅̅ 2̿̿̿
= 0
Ec(1)
̿̿̿ + 2̅̅̅ ̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ + ̅̅̅ ̿̿̿ 3̅̅̅
= 0
Ec(2)
= 0
Ec(3)
̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ + 2̿̿̿ ̅̅̅ ̅̅̅ + ̿̿̿ ̅̅̅ = 0
Ec(4)
̿̿̿ ̅̅̅+ 4̿̿̿ ̅̅̅ + ̿̿̿ ̅̅̅ + 4 ̿̿̿ ̅̅̅ + 2̿̿̿ ̅̅̅
̅̅̅ + 2̿̿̿ Sea
̿̿̿= 20 ̅̅̅
De Ec(1)
̿̿̿ ̅̅̅ + 7̿̿̿ ̅̅̅ = 0
Ec(5)
̿̿̿= 10 ̅̅̅
̅̅̅; despejar ̿̿̿
̿̿̿=
Pues 2(20) + 3(10) + ̿̿̿ = 0 ̅̅̅ De Ec(2) despejar ̿̿̿
̿̿̿ =
̿̿̿ + 2̅̅̅ ̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ + ̅̅̅ ̿̿̿ = 0 3̅̅̅ 3(20) + 2(10) + 4(
) + ̿̿̿ = 0
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Pág. 60
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ̿̿̿ ̅̅̅
De Ec(3) despejar
̿̿̿ = 395
̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ + ̿̿̿ ̿̿̿ + 2̅̅̅ ̿̿̿ = 0 ̅̅̅ ̅̅̅ + 4̅̅̅ 20 + 4(10) + (
̅̅̅ como De Ec(4) despejar ̿̿̿
̅̅̅= 0 ) + 4(200) + 2̿̿̿
̿̿̿ ̅̅̅, hacemos
̿̿̿ + 4̅̅̅ ̿̿̿ +2̅̅̅ ̿̿̿ + ̅̅̅ ̿̿̿ = 0 + ̅̅̅ 10 + 4(
= 1925
) 2(200) + 395 = 0 +
̅̅̅; como De Ec(5) despejar ̿̿̿
̿̿̿ ̅̅̅
̿̿̿ + ̅̅̅ ̿̿̿ +7̅̅̅ ̿̿̿ = 0 + 2̅̅̅
= -2705
̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅ ̂
̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅ ̅̅̅ ] [ ̿̿̿
[
]
[
]
[
]
A.̂ = + T P-4: Y se llega a lo siguiente A. ̂ = b + R A.̂ = 0 + S A.̂ = 0 + T
R–
–
+
=0 =R
R= [
]
S=[
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]
Pág. 61
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
[
]+ [
]= [
1445 + 1925
=
2705
= 100
x = ̂
x=
= [
]
]
T=[
;
= 0.025992507
; ̂
+ 0.025992507 [
]
]
= 0.003865364 ̂
+ 0.003865364 [
]
[
]
X= [ Comprobación : 2
+3
]
[
]
Ec(1) +
=8
0.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 8 8 Y tambien cumple tod
=
8
l
u i
Cumple!!!
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Pág. 62
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
NORMA DE UNA MATRIZ La Norma de una matriz
es un número real tal que satisface las siguientes condiciones
( 𝑖 ) ‖𝐴‖ ≥ ( 𝑖𝑖) ‖𝐴‖ 𝑠𝑖 𝐴 (𝑖𝑖𝑖) ‖𝜏𝐴‖ |𝜏|‖𝐴‖ 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ‖ 𝐴‖ (𝑖𝑣) ‖𝐴 𝐵‖ ‖𝐴‖ ‖𝐵‖ ( 𝑣) ‖𝐴𝐵‖ ‖𝐴‖‖𝐵‖
‖𝐴‖
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |
|
Principales Normas
-Norma “m” o Norma ‖ ‖
{ ∑|
| ∑|
|
∑|
| }
‖ ‖
{ ∑|
| ∑|
|
∑|
| }
-Norma “l”,
-Norma “k”, ‖ ‖
√∑ |
|
Ejemplo 1:
[
Sea
]
‖ ‖
{ |
‖ ‖
{|
|
)
(
‖ ‖
√(
|
|
}
| |
)
}
|
{ {
} }
√
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Pág. 63
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
{ | | | |
‖ ‖
Para el vector X = [
]
‖ ‖
| |
‖ ‖
√| |
| | | |
| |
| }
|
| |
Ejemplo 2: Sea X = (
) { |
‖ ‖ ‖ ‖
|
‖ ‖
√(
|
| |
)
| }
| | (
)
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Pág. 64
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
12. SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 12.1.
METODO DE JACOBI
Dado el sistema
Ec.(1)
a11x1 + a12x2 + …………………………………………………….. + a1mxm = b1
Ec.(2)
a21X1 + a22X2 + …………………………………………………….. + a2mXm = b2
Ec.(3)
a31X1 + a32X2 + …………………………………………………….. + a3mXm = b3
. .
. . am1X1 + am2X2 + …………………………………………………….. + ammXm = b. m . . . . . . .
Ec.(m)
.
.
.
.
. . .
Donde:
𝑎 A=[
𝑎𝑚
⋯
𝑎
𝑏
𝑚
⋯ 𝑎𝑚𝑚
]
b=
𝑥
y si aii ≠ 0
𝑏
X=
𝑥𝑚
Despejamos X de la ecuación 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = β + αX De la siguiente manera.
Despejamos
X1 = X2 = . . .
. . .
. . .
Xm =
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Pág. 65
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Dandole forma:
(
; con
)
⋯
[
]
⋯ Con todo esto se puede expresar en la siguiente forma X = β + αX
X
[
=
]
β
[
+
]
αX
⋯
[
] [
]
⋯ El Sistema sugiere Jacobi la siguiente relación de recurrencia
X (k+1) = β + αX (k) , De la relación se obtiene la sucesión generalmente
X (0)=0
Obs.
{
}
k = 0, 1, 2, … … … tomando como valor inicial arbitrario, que
ó X (0) = β ó
β=1
X (k+1) = ( X1(k+1) , X2(k+1), … … … … … … … … … … … … … , Xm(k+1) )t X (0) = ( X1(0) , X2(0),… … … … … … … … … … … … … …, Xm (0) ) t
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Pág. 66
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
ALGORITMO DE JACOBI: P-1
Dado el Sistema Expresarlo en el sistema equivalente X = β + αX
P-2 Tomando como solución inicial X (0) arbitrario generar la sucesión { X (k) } → X (*) mediante la relación de recurrencia: X (k+1) = β + αX (k) P-3
,
k = 0, 1, 2,…
Dejar de iterar si
‖
( )
(
)
‖
( )‖
‖ caso contrario ir al P-2
CONVERGENCIA DE JACOBI {
( )
}
( )
Si ‖ ‖
Observación Para que se cumpla esa condición es necesario que A del sistema original | | ≥ ∑| | de su fila y de su columna diagonalmente dominante, es decir
sea
Ejemplo 12.1.1. Sea el sistema siguiente:
( ) ( ) ( ) (a)
Por JACOBI verificando su convergencia
Obs. Para que se cumpla ‖ ‖ diagonalmente dominante. De
Con
¿
{
}
es necesario que del sistema
Si ‖ ‖
? , A sea
(1) → X1: (2) → X2: (3) → X3:
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Pág. 67
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Entonces
[
‖
‖
]
‖
[
]
[
{
‖
‖
|
]
|
|
| |
|
{
‖
[
|
]
| |
|
|
}
|
} {
(b)
}
Por el Método Jacobi Hallar una solución con (
Si
‖ (
)
‖
) ( )
( )
‖
( )‖
entonces
(
( )
=
Obs. Se toma como valor inicial arbitrario
( )
Sea K=0
es solución con
=
Sea
(
)
( )
)
( )
[
]
[
] [
]
[
]
(
K=1
Sea
(
)
)
[
]
( )
( )
[
]
[
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] [
]
[
]
Pág. 68
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
( )
‖
‖
K=2
( )
‖[
)
]‖
( )
)
( )
( )
‖
( ) ( )‖
]
] ‖
[
]
[
] [
]
[
(
‖
[
(
( )‖
Sea
(
‖ [
‖
)
‖
‖ [
]
)
]
] ‖ (
‖[
Entonces
[
)
]‖
( )
es solución con
NOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBI Sea el sistema Donde:
A =[
La matriz A se le puede descomponer en la forma
]
A=D + L +U
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, donde
Pág. 69
UNMSM
𝑎 𝐷
[
𝑎
MÉTODOS NUMÉRICOS
⋯ ⋯
] 𝑎𝑚𝑚
Matriz Diagonal
Así el sistema
𝐿
𝑎
⋯
𝑎
[ 𝑎𝑚
] 𝑎𝑚(𝑚
𝑈
[
𝑎 ⋯ 𝑎 ⋯
)
Matriz Triangular inferior
Matriz Triangular superior
se le puede expresar como:
( D + L + U )X = b DX + ( L + U ) X = b DX = b – ( L + U ) X X = D-1b – D-1( L + U ) X X = D-1b + [-D-1(L + U)] X
→
Si el método de Jacobi es
X = β + αX
β = D-1b
α = -D-1( L + U )
^
Matricialmente es: → X = D-1b – D-1( L + U ) X Su relación de recurrencia es X (k+1) = D-1b – D-1 (L + U) X (k) ,
k=0, 1, 2 …
Solución Matricial de Jacobi Del sistema
tal que
(
Entonces
⏟
)
⏟
(
)
Desarrollo del ejemplo anterior
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Pág. 70
𝑚 𝑚
]
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
[
[
]
[
]
[
]
[
] [ ]
)
[ ]
]
[ ]
con
⏟
Entonces
[
]
[
⏟
⏟
(
] [
[
[
]
[
]
] [
]
[
Entonces
]
Entonces
[
]
]
[
]
Ejemplo 12.1.2. Sea el siguiente sistema Ec (1) 20x1 + 5x3 =2 Ec (2) x1 + 20x2 + 2x3 = 4 Ec (3) x1 + 9x2 + 20x3 = 6
Por Jacobi verificar su convergencia
CONVERGENCIA DE JACOBI {
}
( )
Si ‖ ‖
…………….. (i)
Observación Para que se cumpla (i)
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Pág. 71
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Es necesario que A del sistema original
sea diagonalmente dominante, es decir
|
| ≥ ∑|
| de su fila y de su columna
Así:
≥
de su fila
≥
de su columna
≥
de su fila
≥
de su columna
Igual para a33 x1 =
+ 0
+
0 -
x2 =
-
+
0 -
x3 =
-
-
x = β
+ αx
+
= [
α= [ ‖ ‖
máx.{ 0 + 0 + |
‖ ‖
máx.{ 0.25 , 0.15, 0.5 }
| ,|
0
]
] |+0+ |
| , |
| + |
| +0}
‖ ‖ {
}
( )
por jacobi
Por jacobi obtener una solución con ( ) Si la relación de jacobi es
( )
Para k = 0 Interacción inicial (
)
( )
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Pág. 72
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Observación
Sea
es arbitraria
=
=
=
+
β
+
α *
=
Para k = 1 Primera iteración
=
=
=β+α
+
Donde = 0.1 +
= 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\ = 0.2 +
= 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165 = 0.205
Para k = 2 Segunda iteración
=β+α
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UNMSM
=
=
MÉTODOS NUMÉRICOS
+
=
β
α*
k =3 =β+α
Tercera iteración
=
=
+
β
=
α*
Verificamos si se llego a la solución
=
= = ( )
( )
12.2.
= 0.03289625 < = con
METODO DE GAUSS- SEIDEL
También determina la solución del sistema De la relación matricial del sistema (
iterativamente. :
) (
)
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(
)
( )
Pág. 74
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
De ( ) se obtiene la relación matricial de G-S , siguiente: (
)
(
(
)
)
(
( )
)
Observación: (
*Si
) {
*La relación ( ) se puede obtener al igual que Jacobi del sistema despejar la variable , para obtener la Matriz .
, de la ecuación
Algoritmo del método de Gauss-Seidel: Paso1: Dado el sistema
obtener su sistema ( )
Paso 2: Para un punto inicial arbitrario siguiente relación: (
)
(
Paso 3: Dejar de iterar si ‖
( )
( ( )
) )
.
generar la sucesión {
(
‖
)
(
)
( )
}
( )
mediante la
( )
; caso contrario ir al paso 2.
Observación: En la convergencia del método de Gauss-Seidel también se cumple que: ‖ ‖
entonces
{
( )
}
( )
Ejercicios resueltos: 1) Dados:
(
)
(
),
( )
( )
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Pág. 75
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Resuelva el sistema Ax = b por el método de Gauss-Seidel.
Solución: Utilizando Gauss-Seidel: (
)
(
)
( )
(
)
( )
Operando obtenemos la secuencia: ( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
Claramente converge a la solución exacta (
) .
La tasa de convergencia del método de Gauss-Seidel viene dada por la norma de: ( Cuyas normas son: ‖ ‖
)
[
= 0.454
y
] ‖ ‖
= 0.4.
2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones: [
]
[ ]
¿Puede resolver este sistema por el método de Gauss-Seidel? ¿Por qué? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solución nula y determine la tasa numérica de convergencia. Además calcula la tasa exacta de convergencia. ¿Cuántas iteraciones necesitará para alcanzar un error absoluto de .
Solución: El método de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simétrica definida positiva. Dos iteraciones conducen a:
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Pág. 76
UNMSM ( ) ( )
( (
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
) )
(
)
Y la tasa de convergencia numérica la podemos calcular como (en norma infinito) ( )
‖
‖
( )
Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta: ( (
)
)
NOTA: Calculando con más iteraciones nos acercamos a la tasa teórica, por ejemplo: (
‖
)
‖
( )
Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor que iteraciones.
se requieren 13
Ejemplo 12.2.1. Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia. Hallar su solución con Solución:
Analizar su divergencia [
]
[
]
Luego: (
)
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Pág. 77
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
[
][
]
[
]
[
{
‖ ‖
]
}
{
Entonces
( )
}
( )
Hallar su solución con
[
De
(
][ ]
)
[
(
[
)
]
( )
]
( ) ( )
Sea
[
( )
]
[ ]
( )
( )
( )
[
]
( )
( ) ( )
[
( ) ( )
( )
]
[
]
[
][
( )
]
[
][ ]
( )
( )
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Pág. 78
UNMSM ( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[
]
[
]
( )
: 1era Iteración ( ) ( ) ( )
( )
[
( )
[
( )
]
( )
]
[
]
[
( )
][
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
[
( )
]
[
]
( )
: 2da Iteración
( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( ) ( )
( )
]
[
]
[
][
( )
]
[
][
]
( )
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Pág. 79
UNMSM
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
[
( )
( )
]
( ) ( ) ( )
( )
[
]
: 3era Iteración ( )
[
( )
]
( )
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
( )
[
][
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( ) ( )
( )
‖
[
( )‖
( )
‖
]
( )‖
( )
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Pág. 80
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 12.2.2. Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con Solución: Analizar su divergencia [
]
[
]
Luego: (
)
[
][
‖ ‖
{
]
[
]
}
{
entonces
( )
}
( )
Hallar su solución con
[
De
(
)
][ ]
[
(
[
)
]
]
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( )
Pág. 81
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
Sea
( )
[
( )
]
[ ]
( ) ( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
: 1era Iteración ( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( )
(
)
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Pág. 82
UNMSM
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
)
( )
( )
[
]
: 2da Iteración ( )
( )
[
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][
]
( )
( )
( )
(
( )
( )
‖
(
[
)
]
( )‖
( )
‖
)
( )‖
( )
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Pág. 83
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 12.2.3. Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con Solución: Analizar su divergencia [
]
[
]
Luego: (
)
[
][
]
[
]
[
‖ ‖
{ {X
]
}
(k)}
X*
Hallar su solución con
[
De
(
)
][ ]
[
(
[
)
]
]
( )
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Pág. 84
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
Sea
[
( )
]
[ ]
( )
( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][ ]
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
[
( )
]
[
]
( )
: 1era Iteración ( )
[
( )
]
( )
( ) ( )
[
( ) ( )
( )
]
[
]
[
][
( )
]
[
][
]
( )
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Pág. 85
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
[
( )
]
[
]
( )
: 2da Iteración ( )
[
( )
( )
]
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
[
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( )
( )
]
( ) ( ) ( )
( )
[
]
: 3era Iteración ( )
[
( )
]
( )
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Pág. 86
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
[
( )
( )
]
[
]
[
][
( )
( )
]
[
][
]
( )
( ) ( ) ( )
( )
‖
[
( )‖
( )
‖
]
( )‖
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 87
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
13. INTERPOLACIÓN Supongamos que se conoce f0 , f1, f2, …….fn valores correspondientes a X0, X1, X2, ….., Xn valores independientes de una variable independiente X.( X0
a) Interpolación directa.- consiste en que dado un valor XP diferente de los Xi pero correspondido entre X0 y Xn, se desea hallar el valor de su imagen fP
b) Interpolación inversa.- consiste en que dado el valor de la imagen fP se desea hallar el valor XP que genera dicha imagen.
13.1.
INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL
XP = valor a interpretar
f
FP = f (XP) imagen de XP
F(X)
(X1,f1) (X0,f0 ) (XP,fP)
Xo
XP
X1
X
n
INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO Y NEWTON – REGRESIVO. Para un conjunto de (n+1) puntos igualmente espaciados Interpolación consiste, en dado un valor no considerado , en la tabla, se debe hallar su imagen . Hay dos tipos de Interpolación. A) Interpolación Directa. Consiste en que dado se debe hallar su imagen . B) Interpolación Inversa. Consiste en que dado el valor de la imagen , se debe hallar el valor
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.
Pág. 88
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
1) Interpolación Directa de Newton Progresivo (IDNP) Se utiliza cuando se desea interpolar un valor Utiliza la siguiente fórmula. (
)
(
dado al principio de la tabla o
)(
)
⋯
(
sector de la tabla.
) (
(
))
,
Donde
Utiliza la siguiente Tabla de omisión de Términos ( T.0.T )
Newton Progresivo Newton Regresivo
4
8
12
16
Observación: Si
|
|< 4 Se tiene Inter. Directa Lineal y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la
Diferencia, o
sea;
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Pág. 89
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Si | |< 8 Se tiene Inter. Directa No Lineal (IDNL) y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la Diferencia, o sea; (
Si
|
|< 12
)
Se utiliza IDNL y en la fórmula de NP se utiliza hasta la (
)
(
diferencia, osea )(
)
(4) Tanto en (1),(2) y (3) solo se considera las cifras significativas.
Ejemplo 1:
En la Siguiente tabla si
( )
, hallar 1
1.1
1.2
1.3
4
4.3
4.6
4.9
Sol: ( )
1
4
| Como | se aplica IDL y se utiliza de NP hasta la Diferencia anterior o sea hasta la diferencia
3= 1.1
4.3 3
1.2
4.6
0 3
1.3
|
|
〈
〉
4.9
→
→
(
)
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Pág. 90
UNMSM
Ejemplo 2:
MÉTODOS NUMÉRICOS
En la Siguiente tabla si
6.2 l
( )
x
( )
( )
l
, hallar
6.4
6.6
6.8
7
7.2
0.79239 0.30618 0.81954 0.83251 0.84510 0.85733
( )
6.2
0.79239 =
6.4
0.30618 =
6.6
0.8195 =
6.8
0.83251 =
1279= -43= 1336=
4 -39=
1297=
1 -38=
1259= 7
2
0.84510 =
-36= 1223=
7.2
0.85733 =
(
) (
Si
( )
( ) entonces
(
)
(
)(
)
)
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Pág. 91
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
2) Interpolación de Newton Regresivo (NR) Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte final de la tabla. Su fórmula es
(
〈
Donde
Ejemplo Si x 3
(
)
)(
)
⋯
(
) (
(
))
〉
hallar ( )
20.08 4.45
3.2
24.53
0.98 5.43
3.4
.22
29.96
1.20
6
6.63 3.6
36.59
3.8
44.7
.28 1.48
2
8.11
.30 1.78
9.89 4.0
54.59
|
|
Se aplica
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de NR hasta la
diferencia
Pág. 92
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( (
)(
(
)
(
) )(
)(
(
)
)
)(
)(
)
Polinomio de Newton )(
(
Donde ( )(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
))
(
)
Si son entre n puntos, entonces el grado de
13.2.
)(
(
)
(
(
)(
(
⋯
(
)
)
) )
( ) debe ser n – 1.
INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL
Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte central de la tabla. Se tienen las siguientes formulas: 13.2.1. Interpolación de Stirling 〈
Se aplica si
〉
Su formula es: p
=
+ S1 (
-1/2
+
1/2
) + S2
+ S3 (
-1/2
+
1/2
) + S4
+…
Donde:
S1 =
; S2 =
; S3 =
(
)
; S4 =
(
)
; S5 =
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
(
)(
)
; …
Pág. 93
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
13.2.2. Interpolación de Bessel 〈
Se aplica si p
〉
Su formula es:
(
+
)
(
)…
Donde: 1=
;
(
2=
)
;
3=
(
)(
)
;
(
4=
)(
)(
)
; …
13.2.3. Interpolación de Everett 〈
Se aplica si
〉
Su formula es:
=
…
Donde:
; ;
(
(
)(
)
)(
(
; ) ;
)(
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)(
)(
)(
)
) (
)(
; … )
; …
Pág. 94
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
*Tabla de Omisión de Términos (T.O.T):
Bessel o Stirling 4
60
Everett
no existe 20
4
20
500
100
no existe 100
Ejemplos resueltos: En la siguiente tabla se tiene: X
f(x)= 0
+
+ x +1
1
0.111
0.026
0.006
0
0.1
1.111
0.137
0.032
0.006
0
0.2
1.248
0.169
0.038
0.006
0.3
1.417
0.207
0.044
0.4
1.624
0.251
0.5
1.875
Como: ; No cumple
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 95
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
; cumple con la T.O.T, según P se aplica Bessel, Stirling o Everett. Entonces hallar: fp a) Si
;
Solución a): Se sabe que:
Entonces: 〈
〉
Como: 〈
〉
|
|
Se aplica Stirling y Everett porque
〈
〉
〈 〉 y | | Para Stirling su es hasta su 2ºdiferencia, como se aplica Everett o hasta su anterior pero como no existe la 3º diferencia; el de Everett es hasta la 2º diferencia. *Solución según Stirling: p
=
0
+ S1 (
-1/2
p=
1.248 + 0.12 (0.137 + 0.169) + 0.0288*0.032
p=
1.2856416
+
1/2)
+ S2
0
valor aproximado
Con calculadora: p=
1.285415424
*Solución según Everett: = p
= 0.76*1.248+0.24*1417-(0.053504*0.032)-(0.037606*0.038)
p
= 1.285415424
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 96
UNMSM
13.3.
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACIÓN INVERSA.
Para ( n + 1 ) puntos igualmente espaciados de la forma (
( ) ) con
Interpolación Inversa consiste en dado la imagen Se tiene los siguientes casos.
13.3.1. Cuando
P-1
, halla su respectivo valor de
.
Interpolación Inversa No Lineal ( IINL ) |
|
, su algoritmo es:
Hallar el error de p ( o sea
) donde Donde n es el numero de cifras decimales de
P-2
( ) )
Hallar la primera aproximación de p ( o sea
Donde
P-3
Hallar la primera aproximación de
( )
( )
( ) tal que
)
( )
Hallar la segunda aproximación de p ( o sea ( ) )
( ) P-5
(
( )
,
o sea de
P-4
( )
Hallar la segunda aproximación de
( )
( o sea
( )
( )
)
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
( )
( )
Pág. 97
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Entonces se tiene que
( )
( )
( )
( )
(
)
(
( ) P-6
Si el valor de p
( )
(
)
)
( ) se deja de iterar y el último
P-7
Determinar el valor óptimo de p tal que
P-8
Determinar el
[
( )
obtenido es
]
Ejemplo 13.3.1.1. En la siguiente tabla si
hallar
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 98
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
P-1 (
( )
P-2
( )
P-3
( )
P-4
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) [
]
( ) ( )
P-5
P-6
Si
( )
( )
( )
( )
( ) se deja de iterar y el último ( ) obtenido es el valor
de p
P-7
P-8
]
entonces
13.3.2. Cuando
P-1
[
Determinar el valor óptimo de p tal que
Interpolación Inversa No Lineal de tercer orden |
|
y
|
Hallar el error de p ( o sea
|
,
su algoritmo es:
) donde Donde n es el numero de cifras decimales de
P-2
Hallar la primera aproximación de p ( o sea
( )
( ) )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 99
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Donde
P-3
Hallar la primera aproximación de
y
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) P-4
)
y
( )
tal que
y
( )
tal que
( ) ( )
Hallar la segunda aproximación de p ( o sea ( ) )
( ) P-5
( )
, o sea de
(
( )
( )
( )
Hallar la primera aproximación de
y
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
, o sea de
( )
( ) ( )
Entonces se tiene que
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
) ( )
(
) ( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
(
)
( )
Pág. 100
UNMSM P-6
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
Si
y el último
(
)
obtenido es el valor de
( )
(
)
se deja de iterar
̅
P-7
Determinar el valor óptimo de p tal que
P-8
Determinar el
[ ̅
̅
]
Ejemplo 13.3.1.2. En la siguiente tabla si
hallar
P-1 P-2
entonces
( )
(
)
P-3 ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 101
UNMSM P-4
Hallar la segunda aproximación de p ( o sea ( ) )
( ) P-5
( )
( )
( )
Hallar la primera aproximación de
( ) ( )
P-6
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
( )
( )
( )
( )
( )
y
, o sea de
( )
y
( )
tal que
( ) ( )
( ) ( )
( ) ̅
P-7
P-8
Determinar el
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 102
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
( X0 , f0 ) , ( X1 , f1 ), …, ( Xn , fn )
Sean
Entonces existe un polinomio de grado
( n+1 ) ptos
que para por dichos puntos
( X0 < X1 < X2 < ………………………. < Xn ) F(X) = a0(X-X1) (X-X2)…..(X-Xn)+a1(X-X0)(X-X2)….(X-Xn)+……+an(X-X0)(X-X1)(X-X2)...(X-Xn-1)
OBS: en el primer termino falta (X-X0), en el 2º termino (X-X1), y así sucesivamente en el ultimo termino falta (X-Xn) esto es una cualidad de dicho polinomio. Como f(x) debe contener a los puntos dados Si X = X0
; f(X0)= a0(X0 - X1) (X0 - X2)……..(X0 - Xn)
a = Si X = X1
f(o)
(X X1)(X X2)(X X3)………(X Xn)
; f(X1)= a1(X1-X0) (X1-X2)……..(X1-Xn)
a1=
f(1)
(X1 X )(X1 X2)(X1 X3)………(X1 Xn)
. . . Si X = Xn
; f(Xn)= an(Xn-X0)(Xn-X1)(Xn-X2)……..(Xn-Xn-1)
an=
(n)
(Xn X1)(Xn X2)(Xn X3)………(Xn Xn 1)
Remplazando los así en el polinomio P(X) PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 103
UNMSM
f(X)=
(X (
1 )(X 1 )(
MÉTODOS NUMÉRICOS
)…(X 2 )…(
) )
+
( (
1
)( )(
L0(X) F(X)
=
2 )…( 2 )…( 1
) )
+…+
(X (
L1(X) L0(X)
+
L1(X)
+
)(X )(
1 )…(X 1 )…(
Ln(X) …………….
+ Ln(X) Polinomio de Lagrange
Donde: (X) =
(X (
)…..( X )…..(
)( X )(
i
)…( X )…(
) )
Función multiplicadora de Lagrange
TEOREMA.- Sean ( X0 , f0) , ( X1, f1 ) ,…, ( Xn , fn ) además ( X0 < X1 < X2 <……< Xn ) Entonces existe un único polinomio de grado
para los puntos ( n+1 ) y
que pasa por dichos puntos.
DEMOSTRACIÓN i). La existencia del polinomio está generalizada por el `polinomio de aproximación de Lagrange. ii). La unicidad: supongamos que existen dos polinomios P(X) y Q(X) de grado que pasan por los puntos dados. 〈 〉 Probaremos que P(X) = Q(X) , Consideremos R(X) = P(X) - Q(X) R(X) es de grado
( ya que el grado de P(X) y Q(X) es
)
Además: PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 104
1) 1)
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
R(X0) = P(X0) - Q(X0) = f0 - f0 = 0 R(X1) = P(X1) - Q(X1) = f1 - f1 = 0
En general R ( Xi ) = 0
i = 0, 1, , ,……n
Entonces. X0, X1, X2 ,…., Xn son las raíces de R(X) R(X) tiene (n+1) raíces ( pero el grado de R(X) es menor o igual a n ) Entonces R(X) debe ser el polinomio nulo ( el único que tiene más raíces que su grado) R(X) = P(X) - Q(X) = 0 P(X) = Q(X)
〈
,
〉
Ahora consideremos X
-1
Fx
2
0 2 1
5
El polinomio P(X) = X2 +1 pasa por estos puntos, también pasa por estos puntos el polinomio Q(X) = X3 - 2X + 1 ¿Contradice el teorema? No contradice el teorema, ya que el teorema establece que son iguales para aquellos que tengan grado , luego pueden muchos otros de grado >n que sean diferentes al del grado grado
INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE Polinomio de Lagrange: Dado un conjunto de (n+1) puntos de la forma ( Se puede aproximar a un polinomio de grado Sea el siguiente polinomio ( )
,
); i = 0, 1, 2,…, n.
n.
( ) a determinar:
( ) ( )( )( ) ( ) ( ( )( LUCIO )(AVILIO ) MALASQUEZ ( ) . RUIZ ⋯ PROFESOR:
)(
)(
)
(
)
Pág. 105
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Observación: El polinomio ( ) se caracteriza por: ), en el 2º término falta el factor ( ) , en el 3º termino falta En el 1º término falta el factor ( ) y así sucesivamente, en el n-ésimo termino falta el factor ( ). el factor (
En el polinomio de Lagrange los puntos ( , ) no necesariamente son igualmente espaciados, es decir h no es constante. i
Para hallar el polinomio de Lagrange se debe hallar los
; de la siguiente manera:
Si x= ( )
(
( )
)( ( (
)( )(
)(
) ( )(
)
(
) (
)(
) (
) (
)
)(
)(
) (
)
⋯
)(
)(
) (
)
⋯
)(
)(
) (
)
⋯
)
)
( ) (
)(
)(
Si x = ( )
(
( )
)( ( (
)( )(
)(
)(
( (
)(
) ( )(
)
(
) (
) (
)
)
)
)(
) (
)
Si x = ( )
(
( )
)( ( (
)( )(
)(
)( (
(
)(
) ( )(
)(
)
(
) (
) (
) )
) ) (
)
Remplazando los coeficientes en ( ) tenemos:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 106
UNMSM (
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
)( )(
(
)( )( (
) ( ) ( )( )(
)( )(
(
)
( )
)( )(
(
) ( ) (
)( )(
) ( ) (
) )
) )
El polinomio de Lagrange, también se puede expresar como: ( )
( )
∑
Ó ( )
( )
( )
( )
⋯
Ejemplo: 1 En la siguiente tabla: a) Aproximar a un polinomio de Lagrange. b) Si
=1.1
Determinar
por Lagrange.
Tenemos: ( )
X
2 1 2
26
a) Solución: El polinomio de Lagrange
( ) ( (
)( )(
( (
)( )( )( )( )( )( ) )( )( )
( )
)( )(
( )
)
( )
( (
( )( )(
)( )(
, será:
)( )( )( )(
)( )( )
)( )(
)
( )
(
)( )(
)( )(
)( )(
) )
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 107
UNMSM
( ) ( (
)( )(
( ( )( )(
)( )( )( )(
MÉTODOS NUMÉRICOS
)( )( ) )
)( )(
) ) ( (
( ( )( )(
)( )( )( )(
)( )( )( )(
)( )(
) )
( (
)( )(
)( )(
)( )(
) )
) )
Luego, resolviendo tenemos: ( ) b) Solución: Como:
( ) ( )
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
Aprox. E interpolación de un polinomio de newton. ( )
(
)(
)
)(
(
)
)(
(
)
⋯
(
)(
)
Donde: (
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)(
(
)( ) |
(
)(
)
(
)( ) |
( (
)( )(
)( )(
(
)
)(
)( )
(
)(
) )(
)
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 108
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo: 2 Aproximar la siguiente tabla a un polinomio de newton
x
( )
1.1
1.04 =
1.2
1.08=
0.04 -0.02 0.03 1.3
0.02
1.11=
-0.01 0.04
1.4
1.15=
Donde:
h = 1.4 - 1.3 = 0.1 )(
( )(
( ( ( )
)(
)
(
(
)
)( )
( )(
(
)
)
)( )(
) ( )(
(
)( ( )(
)
(
)
) )
)
(
)( ( )(
)
)
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 109
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
14. INTEGRACIÓN NUMERICA 14.1. Para intervalos Simples 14.1.1.
∫
Método del trapecio
( )
(
)
,
( )
Donde
14.1.2.
( )=
max { |
m є [X0, X1]
( )|
|
}
Método de Simpson de 1/3
(
∫
)
,
( )
Donde
( )|
( )
{|
( )|
m є [X0, X1] |
( )|
}
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 110
UNMSM 14.1.3.
∫
MÉTODOS NUMÉRICOS
Método de Simpson de 3/8
( )
( )
{|
( )
( )|
|
( )|
}
Ejemplo:
∫
(
i
)
Por el trapecio Simple
Solución:
X
f(x)
X0=1
f0=0.841471
X0+h=X1=2
f1=1.818595
Obs: Los puntos Xi son dela forma Xi=X0+hi Determinación del Si i ( ) ( ) ( )
i i
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Pág. 111
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS {| {|
( ) ( )
( )|
|
( )|
| |
} |}
(
( )
)
Entonces (
i
∫
)
Solución por el método Simpson de 1/3 para intervalo simple Sol:
X
f(x)
X0=1
f0=0.841471
X0+h=1.5
f1=1.496242
X0+2h=2
f2=1.818595
Determinación del Si
i
( )
i
( )
( )
{|
( )
{
( )|
|
( )|
}
}
(
( )
)
Entonces: ∫
( )
(
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 112
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Por Simpson 3/8 para intervalo Simple
Sol: ∫
(
i
)
, es igual al ejemplo anterior
{
( )
i
f(X)
X0=1
f0=0.841471
X1=4/3
f1=1.295917
X2=5/3
f2=1.659013
X3=2
f3=1.818595
}
(
( )
∫
X
(
)
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 113
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
14.2. Integración Numérica para intervalos compuestos 14.2.1.
Método del trapecio compuesto
Demostración:
∫
( )
∫
( )
∫
( )
(
)
(
)
(
) … …
m veces h
( )
∫
(
)
Entonces la suma todas las integrales seria:
∫
( )
(
Determinación del
(
)
(
)
del trapecio
) ( )
14.2.2.
Método de Simpson de 1/3 compuesta.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 114
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Demostración:
∫
(
)
∫
(
)
∫
(
) …
(
∫
)
Entonces la suma de todas las integrales seria: ( )
∫
(
Determinación del
)
(
⋯
)
(
⋯
)
de Simpson de 1/3 compuesta
( ) ( )
… … ( ( )
) ( )
Ejemplo:
∫
i
Por trapecio compuesto con m=5 Sol:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 115
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
X
f(X)
X0=1 X1=1.2 X2=1.4 X3=1.6 X4=1.8
f0 f1 f2 f3 f4
X5=2
f5
(
)
Es igual al ejemplo del trapecio simple
(
)
( )
∫
( )
(
)
( )
(
)
= 1.436070589 +
Simpson de 1/3 compuesto con m=3
X X0=1 X1=7/5 X2=8/6 X3=9/6 X4=10/6 X5=11/6 X6=2 (
)
f(X) f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6=fm (
)
( )
∫
i
(
Es igual al ejemplo de Simpson de 1/3
( )
)
(
)
(
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)
2.493614005 +
Pág. 116
UNMSM 14.2.3.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Método de Simpson de 3/8 compuesta. (
∫
( )
(
)
)
(
)
⋯
(
)
(
)
( ( )
) ( )
Ejemplo: ∫
( )
Solución Sea
( )
( )
Entonces
( )
Determinación de
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 117
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ( )
( )
( )
(
(
)
(
(
)
{ |
)
(
( )| |
(
)
(
)| }
{
( )
(
( )
)
)
)
)
( )
}
(
( )
(
)
(
)
Entonces ∫
( )
((
)
∫
(
)
(
) )
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 118
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
15. EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) Definición ER: Consiste en que a partir de dos estimación (o aproximaciones) de una integral, obtener una tercera aproximación (muchas veces la mejor). Se tiene los siguientes casos: Para intervalos simples: ER entre la Regla del trapecio y la 1º formula abierta (Integración abierta) “ambas de precisión uno” porque ( ) Sea
( )
∫
por dos métodos anteriores se tiene:
Regla Trapecio (RT):
𝐸
𝑓 𝑖𝑖 ( )
(𝑥 𝑥 )
(𝑏
𝐸
𝑎)
𝑓 𝑖𝑖 ( )
(𝑎 𝑏)
1º Regla Abierta de Newton – Cotes:
𝐸
𝑓
𝑖𝑖 (
)
(𝑥 𝑥 )
𝐸
(
𝑏
𝑎
)
𝑓 𝑖𝑖
( )
(𝑎 𝑏)
El valor de la integral I* (generalmente es el mejor). Que se cumple: ( ) Tomando el cociente de errores ( (
) )
( )
(
)
( )
Supongamos que: ( )
( )
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( )
Pág. 119
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(2) en (1)
(
)
(3) en (1)
(
) ( )
ó
E.R. entre la R. trapecio Simple y la primera formula abierta
𝑰
𝟏 𝑰 𝟑 𝟏
𝟐 𝑰 𝟑 𝟐
FORMULA EXTRAPOLACION -(ER) ENTRE TRAPECIO SIMPLE Y 1RA FORMULA ABIERTA.
Ejemplo: ( )
∫
Solución
Sea
,
,
( )
( )
Calculando
(
)
con entonces
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Pág. 120
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
(
)
(
) Entonces
Calculando con
entonces
( )
(
) Entonces
Luego Entonces
∫
( )
Ejemplo: Calcular ∫ (
)
( )
Aplicando: 4 es decir:
i
= 1 + 1(1) = 2
i
= 1 + 2(1) = 3
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Pág. 121
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
)
(
)
( )
f(X) f1 ( )( )
Aplicando (4)
(
)
x0
(
x1
x2
) ( )
E.R. ENTRE LAS FORMULAS DE SIMPSON DE 1/3 Y 3/8 SIMPLE
Se sabe que para Simpson de 1/3 para intervalo simple es: ∫
(
(
( )
)
(
)
)
(
(
)
)
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( (
)
)
(
)
Pág. 122
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Y que para Simpson de 3/8 es: ∫
(
( )
(
(
)
) (
)
)
(
(
)
(
)
(
)
)
( ) Sea el siguiente cociente de errores: (
)
(
)
(
Si
)
(
(
)
(
)
(
)
)
( )
(2)’ en (1)’: (
)
( )
(3)’ en (1)’: (
𝐈
𝟗 𝐈 𝟓 𝟐
)
𝟒 𝐈 𝟓 𝟏
… (4)`
Formula De Extrapolación entre Simpson de 1/3 y Simpson de 3/8 para Intervalo Simple
Ejemplo: Aplicando la fórmula ∫ (
para hallar: )
Solución:
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Pág. 123
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
)
( ) (
( )
∫
( )
)
X0+1h = (
(
)
)
( ) (
∫
( )
∫
)
(
)
(
( )
{
(
(
)
)
(
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(
)
)
)}
Pág. 124
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(E.R) PARA EL TRAPECIO COMPUESTO
Sea:
( ) Para
aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto, análogamente:
Para
aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto tomando el cociente de errores:
(
)
(
)
(
) (
(
)
)
Si:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(2)” en (1)”: ( ) ( ) [
( ) ]
(
)
( )
(3)” en (1)”: Para
en (3)”. Se tiene: (
⁄
)
( ) (4)” en (1)” (
)
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Pág. 125
UNMSM
𝐈
MÉTODOS NUMÉRICOS
𝟒 𝐈 𝟑 𝐧𝟐
𝟏 𝐈 𝟑 𝐧𝟏
Extrapolación de Richardson (E.R.) para el Trapecio Compuesto para n1 y n2.
Ejemplo 1: ) ) y despues “cuatro Calcular ∫ ( usando “1º dos aplicaciones” ( ) de la regla del Trapecio compuesto y despues aplicar E.R. para encontrar una aplicaciones” ( 3º aproximacion (que es la mejor).
Solución:
(
( )
⋯
Se tiene: y Para:
(
∑
)
Como
(
( ) 1 2
( ))
1 9 2.5
Para:
(
∑
)
Como
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Pág. 126
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ( )
1 1.5 2.5 3
i
1 4 9 15 25
(
(
( (
(
)
)) ))
Aplicando:
(
)
(
)
Ejemplo 2: Evaluar ∫
igual a la pregunta anterior.
Solución: Para:
( ) 1 2
1 1/2 1/3
∫ ( )
(
∑
(
( ))
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)
Pág. 127
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Para:
( ) 1 1.5
∫ ( )
1 2/3 1/2 2.5 1/3
2.5 3
( )
(
∑
(
(
) ))
( )
E.R. PARA LAS REGLAS DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO
Sea
( ) ( Donde
^
Aplicando donde:
Si ( )
(
)
(
⋯
son aproximaciones de ^
)
⋯
aplicaciones de la R. de Simpson de 1/3 compuesto y su cociente de errores,
(
(
)
(
)
)
(
) (
(
)
( )
) ( )
( )
( )
( ) ( )
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Pág. 128
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ( )
(
)
( )
Para: en ( )
(
)
( ( )
)
( )
( ) (
Extrapolación de Richardson (E.R.) entre las reglas de Simpson de 1/3 compuesto para y aplicaciones.
)
𝟒 𝐈 𝟑 𝐧𝟐
𝐈
𝟏 𝐈 𝟑 𝐧𝟏
…
( )
Ejemplo (1):
∫
i
Para :
X X0=1 X1=2
(
)
f(X) f0 f1
(
)
Para :
X X0=1 X1=1.5 X2=2
f(X) f0 f1 f2
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Pág. 129
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MÉTODOS NUMÉRICOS
(
)(
)
Entonces:
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Pág. 130
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
16. INTEGRACION DE ROMBERG Es un método que combina la convergencia de las reglas del Trapecio o Simpson con las técnicas de extrapolación de Richardson para retener una sucesión que converge hacia el verdadero valor de la integral. Descripción de la técnica de integración de Romberg Vamos a introducir la
y
Trapecio Compuesto para Para:
∫
, la aproximacion de la integral
y
( )
utilizando la regla del
.
; se sugiere la siguiente tabla:
1
2
3
4
1
2
4
8
…
n
La integración de Romberg da su respuesta en forma matricial:
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
Se sugiere hallar
. .
con la siguiente formula.
𝑅
𝐾
𝐾
(𝑘
𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏)
∑
𝑖
)
𝑓(𝑎
𝑖
𝐾)
Nos generamos las siguientes sucesiones
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Pág. 131
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∫
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
( ( )
( ))
Obs: Para las demás filas y columnas se sugiere hallar con la siguiente formula 𝐾
𝑅𝐾
𝑅(𝐾
)
𝐾
∑
𝑖
𝑓(𝑎
(𝑖
)
𝐾
)
De la segunda columna hacia adelante se calculara con la siguiente fórmula: 𝑗
𝑅𝑖𝑗
𝑅𝑖 𝑗
𝑅𝑖
𝑗
𝑗
i = 2, 3, 4,…n j = 2, 3, 4,…n
Para la segunda columna se utilizara:
k = 2,3,… Para la tercera columna k=3 será:
k = 3,4,…
Para la cuarta columna k=4 será:
k = 4,5,…
Para la quinta columna k=5 será:
k = 5,6,…
Para la sexta columna k=6 será:
k = 6,7,…
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Pág. 132
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejercicio 1 Hallar ∫
; con n=6 por Romberg
Solución: Tenemos de datos: a=0 b=0.8 n=6 ( ) Realizando la tabla 1
2
3
4
5
6
1
2
4
8
16
32
0.8
0.4
0.2
0.1
0.05
0.025
Hallamos la primera fila y columna
( )
( )
∑
(
∑
)
Cuando K = 1
[ ( )
(
)
( )
(
)
(
)]
( ) ( ) (
)
Calculando la primera columna y demás filas. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 133
UNMSM
(
MÉTODOS NUMÉRICOS
∑
)
(
(
)
)
Cuando K = 2
[
(
)
∑
(
(
)
)]
[
(
)
∑
(
(
)
)]
[
(
)
∑
(
(
)
)]
[
(
)
∑
(
(
)
)]
[
(
)
∑
(
(
)
)]
Cuando K = 3
Cuando K = 4
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA SEGUNDA COLUMNA:
Cuando K = 2
Cuando K = 3
Cuando K = 4
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Pág. 134
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA TERCERA COLUMNA:
Cuando K = 3
Cuando K = 4
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA CUARTA COLUMNA:
Cuando K = 4
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Pág. 135
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA QUINTA COLUMNA:
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA SEXTA COLUMNA:
Cuando K = 6
LA MATRIZ FINAL SERÁ: 0.712173 0.594777
0.55545
0.564899
0.554939
0.554891
0.557395
0.554889
0.554889
0.554888
0.555517
0.554890
0.554890
0.554890
0.554890
0.555047
0.554890
0.554889
0.554889
0.554889
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0.554889
Pág. 136
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
17. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL. I) De un solo paso: Dada la Ecuación Diferencial Ordinaria:
(
) /
Con la condición inicial:
( ) a) Método de Euler: Es de la forma:
O
(
)
Observación: Euler es un caso particular de Taylor de orden 1. Ejemplos resueltos: 1º forma de pregunta 1) Dado:
Con: ( ) Hallar: (
)
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Pág. 137
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Solución: Como: Entonces: Para i=0 , Donde: (
)
( )
Luego: ( ) Donde:
Reemplazando en ( ):
(
(
)( )( )( )
)
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Pág. 138
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
2º forma de pregunta 2) Dado:
Con: ( ) Hallar: (
) para
, con n=4
Solución: Como: 0
1
1
2
1.25 1.5 (
)
(
)
(
)
(
)
Para i=0, con (
)
(
Para i=1, con (
)
(
Para i=2, con (
)
(
3
4
1.75
2
)
)
)
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Pág. 139
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Para i=3, con (
)
(
Para i=4, con (
)
(
)
)
Ejemplo : (a) ( ) Hallar (
) Solución
( )
entonces
Sea
entonces
entonces
Formula
i=0 (
)
(
)
calcularé entonces
(
)
( )
entonces
(b) ( )
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Pág. 140
UNMSM En
MÉTODOS NUMÉRICOS
con Solución
( )
entonces entonces
entonces
i=0 (
)
(
) entonces (
( )
)
entonces
i=1 (
)
(
) entonces (
)
(
)
entonces
i=2 (
)
(
) entonces (
)
(
)
entonces
b) Método de Taylor de orden K: Es de la siguiente forma: ( )
⋯ O
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Pág. 141
UNMSM
(
MÉTODOS NUMÉRICOS
)
( )
( )
( )
( )
( )
⋯
( )
Donde: El error local es de la forma: (
)
( )
Ejemplos resueltos: 1º forma de pregunta Dado: ( ) Con: ( ) Por Taylor de orden 3 hallar: (
)
Solución: Como: Y de (
) se sabe que:
Luego, Taylor de orden 3 es de la forma:
Para i=0 con (
)
(
)
Se requiere hallar:
( ) ( )
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Pág. 142
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Derivando ( ) ( )
( )
( )( )
Derivando ( ) (
)
(
)
(( )( )
( )( ))
Por último, reemplazando: )( )
(
(
) ( )
(
) ( )
)
2º forma de pregunta Dado: ( ) Con: ( ) Por Taylor de orden 3 en el segmento
con n=2, hallar: (
)
Solución:
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Pág. 143
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Como: Determinamos los puntos:
)
Para i=0 con (
(
/
)
(Resuelto anteriormente)
)
Para i=1 con (
(
)
Se requiere hallar: De ( ) …( )
Derivando ( ): ( )
(
)
(
)(
)
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Pág. 144
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Derivando ( ) (
)
(
) )(
((
)
(
)(
))
Luego, reemplazando:
(
)
Para i=2 con (
)(
)
(
(
) (
)
(
) (
)
)
Se requiere hallar: De ( ) …( )
Derivando ( ): ( )
( )
(
)(
)
Derivando ( )
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Pág. 145
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
)
(
) )(
((
)
(
)(
))
Luego, reemplazando:
(
)(
)
(
) (
)
(
) (
)
Método Runge – Kutta de Orden 4 ( RK4 ) (
De (
) con
( )
, el método RK4 es con
)
(
)
(
)
(
)
Donde
Ejemplo 1
Dado
√
( )
(
)
Solución ( ) (
entonces )
(
)
entonces
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Pág. 146
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS entonces
i=0 (
)
(
)
con (
)
(
(
) (
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) entonces
Ejemplo 2
Dado ( )
√
Solución entonces ( ) (
entonces
entonces )
√
i=0 (
)
(
)
con (
)
(
(
) (
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
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)
Pág. 147
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS entonces
i=1 (
)
(
) (
con )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) entonces
i=2 (
)
(
) (
con )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
) ) entonces
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Pág. 148
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
18. DIFERENCIA
NUMERICA
Aproximaciones a la Derivada
Generación de Formulas de Diferenciación Numérica
Primera y Segunda Derivada Aplicando los Métodos de Newton Progresivo y Regresivo y Métodos Centrales.
Diferenciación numérica Dado una tabla de (n+1) puntos igualmente espaciados de la forma: ( ) , ( ) ,…, ( ) continua y diferenciable en El problema de la Diferenciación Numérica es que dado un valor hallar el valor tal que ( ) , donde: Sea
(
entonces (
. se desea
)
)
Entonces en general ( )
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Pág. 149
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
18.1. Para Newton Progresivo ( NP ) Que se utiliza al principio de la tabla. De la fórmula de Interpolación de NP siguiente. (
(
)
)(
(
) (
(
)
(
)
)(
)(
)(
)( )(
(
) )
⋯
)
⋯
Formula 1
[ Formula 2 Si
(
→
)
(
)
(
)
⋯]
P = 0 en formula 1
⋯ Formula 3
(
(
)
)
⋯
Formula 4
⋯
Formula 5
(
)
(
)
⋯
Formula 6
⋯
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Pág. 150
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
18.2. Para Newton Regresivo ( NR ) Que se utiliza al final de la tabla. De la fórmula de Interpolación de NR siguiente. (
(
)
)(
(
) (
(
)
(
)(
)(
)
)(
)(
)
)(
)
(
)
⋯
Formula 7 (
[ Formula 8 Si
→
)
(
)
(
)
⋯]
P = 0 en formula 1
[
⋯]
Formula 9
(
(
)
)
⋯
Formula 10
⋯
Formula 11
[
(
)
(
)
⋯]
Formula 12
⋯
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Pág. 151
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo: En la siguiente tabla determinar (a) X 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
f(X) 1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840
(
y (b)
) por NP
∆2
∆ 513 539 566 596 626
∆3
26 27 30 30
1 3 0
Solución(a): [
]
[
]
Solución (b)
es una derivada que esta al principio de la tabla → se emplea la formula de Newton Progresivo, como XP= . 55 es un punto intermedio → XP [ . 5, .1 ], → X0=0.05. Se halla su valor de P de: . (
)
→
H=0.05
f0 X0 0.05 1.0513
i (
(
[ )
[
∆f0 539 )
∆2f0 27
(
(
)
)(
)
∆3f0 3
] [
(
)
(
)
](
)]
Ejemplo de la Fórmula Newton Regresivo Hallar(a) (
) y (b) (
)
Solución (a)
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Pág. 152
UNMSM
Para P = 0 y |
MÉTODOS NUMÉRICOS
|
se utiliza →
[
]
(
porque X0 = 0.25 en la tabla
)
de NR (
[
)
]
Solucion(b)
(
[
(
)
(
)
[
)
(
[
(
)
)
](
)
[
]
(
)
(
)
](
)]
FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE BESSEL
(
) (
[
⋯ )
⋯]
i (
)
(
)(
)
Si XP es un punto tabulado XP=X0 → P=0 [
(
)
⋯]
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Pág. 153
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE STIRLING (
)
[ (
(
)
i
( (
i
)(
)
⋯ ⋯]
)
( )
i
(
i
[
)
)(
)
(
]
)
(
)
⋯
En XP = X0 → P = 0 (
)
Ejemplo 3: Hallar(a)
(
[
(
)
),
(
(b)
⋯]
)
Solución(a) ( ) ( ) Como 0.10 [0.10, 0.15] →
i
i
u
|
u (
[
)
(i)
[
(
| ]
li
i li
i li
u
u i
i
(i)
i
)
]
En la tabla se tiene:
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Pág. 154
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS (
) (
(
[
)
)
]
Solución (b) (
|
)
|
(i) (
(
)
( )(
)
(i)
)
(
)
(
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)(
i
)
Pág. 155
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
19. PREDICTOR – CORRECTOR Como su nombre lo indica se predice un valor , después se usa una formula diferente para corregir este valor. Los métodos Predictor-Corrector hallar el valor del pto( ) utiliza información del pto( ) y sus precedentes donde cada pto precedente indica un paso, de aquí su nombre como método de múltiples pasos. A diferencia de los métodos de Runge-Kuta, Taylor, Euler, que son métodos de un solo paso (Para utiliza la información de )
Ejemplo: Usando el método predictor – corrector
Predictor: Corrector:
Con h=0.5, hallar
( )
(
)
sabiendo que satisface:
Solución: (
Y h=0.5
)
Por condición del problema. (
) ( )
Para aplicar el predictor corrector, se necesita hallar (puede ser Taylor, o RK), Sea RK-4. ( (
)
( )
( )
)
(
)
(
orden
)
(
(
por un método no menor de
(
)
( ))
)(
)
( )(
(
)
( (
)( )(
) ))
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Pág. 156
UNMSM (
MÉTODOS NUMÉRICOS
)
(
)
(
(
)(
)
)
(
(
(
)
(
))
)
(
)(
)
(
) ( )
(
)(
(
)
)(
)
Aplicando el predictor:
(
( )
)(
)
( )
(
( )
)
( )(
)
Aplicando el corrector: ( ( ) ( )
) (
)
→ este es el corrector
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Pág. 157
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
20. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se puede transformar en un sistema de EDO de orden 1. Así se tiene una EDO de orden n:
( )
con las condiciones iniciales
(
(
(
)
( )
)
)
n condiciones iniciales
Sea las sgtes transformaciones
. (
)
Se tiene
. (
(
Sea
( )=
( )
)
)
→
( )
( )
( )
( )
…
…
( )
( )
Ejemplo 1: La Sgte. EDO de Con
( )
( )
orden
( )
Como un conjunto de ecuaciones de
orden
Solución: De Sea ( )
( )
( )
( )
( )
( )
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Pág. 158
UNMSM La EDO de
MÉTODOS NUMÉRICOS
orden se expresa como un conjunto de 3 ecuaciones de
orden sgte:
Matricialmente se tiene: =
Con las Sgts. condiciones iniciales ( )
( )
=
( ) ( )
Ejemplo 2: Dado
con
( ) ( )
Expresar como un sistema de EDO de
( ) ( )
orden
Solución Sea
El sistema de EDO de
( )
( )
orden es:
( )
( )
Matricialmente
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Pág. 159
UNMSM =
MÉTODOS NUMÉRICOS
=
( )
,i=0,1,2
( ) ( ) ( )
Sea ( )
( )
( )
=
( ) ( ) ( )
=
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UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
CONCLUSIONES Ventajas y desventajas de los métodos iterativos comparados con los métodos directos Ventajas: Probablemente son más eficientes que los métodos directos para sistemas de orden muy alto. Más simples de programar. Pueden aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación existe. Se obtiene fácilmente bajo aproximaciones burdas de la solución. Son menos sensibles a los errores de redondeo (valiosos en sistemas mal condicionados). Se requiere menos memoria de maquina. Generalmente, las necesidades de memoria son proporcionales al orden de la matriz. Desventajas: Si se tiene varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representara ahorro de cálculos ni tiempo de maquina, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método seleccionado. Aun cuando la convergencia este asegurada, puede ser lenta y, por; lo tanto, los cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles. El tiempo de maquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia. Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela. No se tiene ventaja particular alguna (tiempo de maquina por iteración) si la matriz coeficiente es simétrica. No se obtiene la inversa de A ni el determinante de A.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
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