Po2 Metode Routh Hurwitz

Metode Routh Hurwitz By: kemalasari

Routh Hurwitz Method •

Metode yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya akar-akar dari persamaan polynomial pada sumbu real positip.

•

Jika persamaan polynomial adalah persamaan karakteristik, maka metode ini dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem.

Routh Hurwitz Method •

Transfer function suatu sistem: G( S )

•

a n S 

n

 a n 1

S 

n 1

 an 2

S 

n2



............. a0

Persamaan karakteristik: an S 

•



1

n



a n 1 S 

n 1



an  2 S 

Membangun Deret Routh: Untuk baris 1 dan 2 :

n2

 ..........

........



a0



0

Routh Hurwitz Method Untuk Baris 3 dan selanjutnya:

Routh Hurwitz Method •

Deret Routh:

Kriteria Stabilitas Routh •

Jumlah akar2 pers karakteristik yang terletak disebelah kanan sumbu khayal pada bidang S = Jumlah perubahan tanda pada koefisien2 kolom pertama pada deret Routh

•

In other words: a system is stable if and only if there are no sign changes in the first column

Contoh Soal *)

Tentukan stabilitas sistem dengan metode routh hurwitz, jika persamaan karakteristik sistem adalah:

Jawab: Routh Array:

•

Terdapat 2 perubahan tanda pada koefisien kolom pertama deret routh, jadi sistem tidak stabil

Aturan pada Deret Routh 1. Setiap baris pada deret Routh dapat dibagi dengan bil.konstan positip 2. Bila salah satu koefisien pada kolom pertama = 0, maka substitusi harga s = 1/x 3. Bila sebuah baris, semua koefisiennya = nol, maka persamaan diatasnya (yg koefisiennya tidak nol) diturunkan

Contoh Soal 1 Tentukan stabilitas sistem dengan metode routh hurwitz, jika persamaan karakteristik sistem adalah: Q(S) = S6 + 3 S5 + 2 S4 + 9 S3 + 5 S2 + 12 S +20

•

Terdapat 2 perubahan tanda pada koefisien kolom pertama deret routh, jadi sistem tidak stabil

Contoh Soal 2 •

Tentukan stabilitas sistem dengan metode routh hurwitz,  jika persamaan karakteristik sistem adalah: Q(S) = S5 + S4 + 2 S3 + 2 S2 + 3 S + 15

•

Terdapat 2 perubahan tanda pada koefisien kolom pertama deret routh, jadi sistem tidak stabil

Contoh Soal 3 •

Tentukan stabilitas sistem dengan metode routh hurwitz,  jika persamaan karakteristik sistem adalah: Q(S) = S4 + 2 S3 + 11 S2 + 18 S + 18 S2 + 9 = 0

•

Diturunkan: 2S=0

Tidak ada perubahan tanda pada koefisien kolom pertama deret routh, jadi sistem stabil

Routh Hurwitz Method •

Metode Routh Hurwitz dapat digunakan untuk menentukan range penguatan pada suatu sistem

Contoh: Q(s) = S3 + 6 S2 + 11 S + 6 + k

 Agar sistem stabil, harga k harus terletak :



6  k   60

Contoh Soal 4

System unity negative feedback pada gambar diatas mempunyai 2 pole pada titik asal dan 1 pole pada S = - 5 a. Apakah system akan stabil pada K ≠ 0 dan tentukan banyaknya pole yang terletak pada bagian real positip. b. Tentukan stabilitas sistem, jika pada diberi feedback controller : S+1  Assumsi: K > 0

Jawab: a.

C ( S )  R( S )



K  2

S  ( S   5)  K 

Persamaan karakteristik :

3

S 



2

5S 



K   0

Contoh Soal 4 •

Deret Routh Hurwitz :

Sistem tidak stabil, jika K = 0 Sistem tidak stabil, jika K > 0, karena ada 2 pole di sebelah kanan bidang S Sistem tidak stabil, jika K < 0, karena ada 1 pole di sebelah kanan bidang S

Contoh Soal 4 b.

Persamaan karakteristik : •

3

S 



2

5 S 



K  S   K   0

Deret Routh Hurwitz : Sistem Stabil, jika K > 0

Soal 6

1. Q ( S )  3S 

5

4 S 



3

2 S 



2

5S   1



S 



7 S   4



2. Q ( S )  S 5  2 S 4  S   2 4

3. Q( S )  S 

5

4. Q( S )  S 



 4

5. Q( S )  S  4

6. Q( S )  S 

5

7.Q(S )  S 

4

8. Q( S )  S 

3

S 

2

2S 

 4

4S  

 2

S 

3



25 S 



2 S 



K  S 

4

3

2S   3

3

8S 

 





2

8S 

2 S   2 2

15 S  3

4 S 





2

5 S 





20 S   K  2

8 S 





10 S  6

10 S   10 K 

9.

Soal

Tentukan range nilai K supaya sistem diatas stabil