Théorie générale des coques
Définition Définition des coques • Structure d'épaisseur faible à modérée par rapport aux dimensions globales • Surface de référence non plane
Rappel de géométrie des surfaces Quelques définitions Surface moyenne Σ Normale n Epaisseur t mesurée selon la normale, t << L et t << a
Rappel de géométrie des surfaces Définition de la surface moyenne Paramétrique: X = X(α, β ) Explicite
Y = Y(α, β)
Z = Z(α, β)
: Z = Z(X,Y)
Vectorielle : OA = x(α, β ) = Xe1 + Ye2 + Ze3
α, β : Coordonnées curvilignes
Rappel de géométrie des surfaces Courbure • Normale n • Section normale P • Courbe ν : en A, rayon de courbure tangent rn et courbure 1/rn • Rotation de P autour de n : Æ Variation de 1/r entre 1/rmax et 1/rmin (dans deux plans perpendiculaires) Æ deux directions principales
Rappel de géométrie des surfaces Lignes de courbure • Définition: enveloppes des directions principales (2 familles de lignes) • Peuvent être choisies comme système de coordonnées curvilignes (choix particulier de α et β) • Avantages: 1/ Réseau orthogonal 2/ La normale reste dans un même plan lorsqu’on se déplace le long d’un tronçon de ligne de courbure (Æ on peut isoler un élément de la surface à l’aide de 2 paires de plans)
Rappel de géométrie des surfaces Rappel d’analyse des surface En coordonnées curvilignes (selon les lignes de courbure principale) Sous forme paramétrique [ x = x(α, β )] Vecteurs tangents
x,α = ∂x ∂α
x,β = ∂x ∂β Vecteur normal
x,α x,α a= = A x,α x,β x,β b= = B x,β
n = a × b = 1 (x,α × x,β ) AB
A et B : paramètres de Lamé de la surface
Rappel de géométrie des surfaces Dérivées du repère [ a , b , n] ⎡ 0 1 ∂A A ⎤ − ⎧a ⎫ ⎢ B ∂β rα ⎥ ∂ ⎪⎨b ⎪⎬ = ⎢ 1 ∂A 0 0⎥ ⎢ B ∂β ⎥ ∂α ⎪n ⎪ ⎢ A ⎩ ⎭ − 0 0⎥ ⎢⎣ rα ⎥⎦ Première forme fondamentale dx = x,α dα + x,β dβ ds2 = dx ⋅ dx = (x,α ⋅ x,α )dα 2 + (x,β ⋅ x,β )dβ 2 = A2dα 2 + B2dβ 2
En particulier dsα = A dα dsβ = B dβ dΩ = dsα dsβ = AB dα dβ
⎡ ⎧a ⎫ ⎢ ∂ ⎪⎨b ⎪⎬ = ⎢ − ⎢ ∂β ⎪n ⎪ ⎢ ⎩ ⎭ ⎢ ⎣
0 1 ∂B A ∂α 0
1 ∂B A ∂α 0 −B rβ
⎤ 0⎥ B⎥ rβ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎦
Théorie des coques minces - introduction • Love (1888) – « première approximation cohérente » en théorie de coques Koiter (1960) – validation des hypothèses de Love • Notion d’élément de coque - système de coordonnées: lignes de courbure + normale - épaisseur constante - découpe par deux paires de sections droites infiniment voisines, contenues dans les sections normales associées aux lignes de courbure
Théorie des coques minces - introduction • Love (1888) – « première approximation cohérente » en théorie de coques Koiter (1960) – validation des hypothèses de Love • Notion d’élément de coque - au niveau de la surface moyenne, arcs de longueur respectives :
dsα et dsβ - à un niveau z ≠ 0, arcs de longueur :
dsα' = ⎛⎜1 − z ⎞⎟ dsα ⎝ rα ⎠
⎛ ⎞ dsβ' = ⎜1 − z ⎟ dsβ ⎝ rβ ⎠
Théorie des coques minces - hypothèses 1. Hypothèses de linéarisation - Linéarisation géométrique: petits déplacements (placement infinitésimal) - Linéarisation matérielle : Loi de Hooke + matériau homogène isotrope 2. Hypothèses de structure mince - Normales à la surface moyenne restent normales après déformation ne changent pas de longueur (épaisseur constante)
γαz = 0 et γβz = 0 εz = 0
- Contrainte normale transversale négligeable
σz = 0
Æ État plan de contrainte, mais avec une incohérence εz = 0 ET σz = 0
Théorie des coques minces - hypothèses 3. Hypothèses de faible épaisseur - Epaisseur de la coque t faible vis-à-vis du rayon de courbure minimal rmin de la surface moyenne (en pratique, t/rmin < 1/10) Conséquence:
z << 1 rα dsα' ≅ dsα
z << 1 rβ dsβ' ≅ dsβ
Æ Les faces de l’élément de coque sont rectangulaires Æ Vu que εz = 0, on peut supposer que les charges agissent au niveau de la surface moyenne Æ L’ordre de grandeur des termes négligeables est fixé
Théorie des coques minces - cinématique Configuration initiale : A B ; a,b,n ; x Æ Configuration déformée : A’ B’ ; a’,b’,n’ ; x’
x' = x + u = x + ua + vb + wn Problème: exprimer le repère associé à la configuration déformée [a’ , b’, n’] en fonction du repère associé à la configuration initiale [a b n], ainsi que les paramètres de Lamé A’ et B’
a' =
x,α' x,α' = A' x,α'
x,β' x,β' b' = = B' x,β'
n' = a'×b'
Théorie des coques minces - cinématique Après calcul, et en négligeant les termes petits vis-à-vis de l’unité et les termes non linéaires en les déplacements, on obtient : B' = B (1 + ε β )
A' = A (1 + εα )
avec
εα = 1 ∂u + v ∂A − w A ∂α AB ∂β rα ε β = u ∂B + 1 ∂v − w AB ∂α B ∂β rβ
⎧a' ⎫ ⎡ 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨b'⎬ = ⎢ ε βα ⎪n'⎪ ⎢ − θ ⎩ ⎭ ⎣ α
εαβ 1 − θβ
εαβ = − u ∂A + 1 ∂v AB ∂β A ∂α ε βα = 1 ∂u − v ∂B B ∂β AB ∂α
θα ⎤ ⎧a ⎫ ⎥⎪ ⎪ θβ ⎥ ⎨b ⎬ 1 ⎥⎦ ⎪⎩n ⎪⎭
θα = u + 1 ∂w rα A ∂α θβ = v + 1 ∂w rβ B ∂β
Théorie des coques minces - cinématique Interprétation des termes θα et θβ ⎧a' ⎫ ⎡ 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨b'⎬ = ⎢ ε βα ⎪n'⎪ ⎢ − θ ⎩ ⎭ ⎣ α
εαβ 1 − θβ
θα ⎤ ⎧a ⎫ ⎥⎪ ⎪ θβ ⎥ ⎨b ⎬
n'⋅a = −θα n'⋅b = −θβ
1 ⎥⎦ ⎪⎩n ⎪⎭
Rem: poutre : θ = ∂∂vx plaque : θ y = ∂∂wx
θx = ∂w ∂y
θα et θβ sont les composantes de la rotation de la normale
Coque : θα = 1A ∂∂αw + ru α θβ = 1 ∂w + v B ∂β rβ
Théorie des coques minces - cinématique Déplacement d’un point situé hors du plan moyen (B Æ B’) uB = BA + AA' + A' B' = u + z(n'−n) n'−n = (− θαa − θβ b + n ) − n uB = ua + vb + wn − z (θαa + θβ b ) uB = u − zθα vB = v − zθβ wB = w
Le déplacement d’un point quelconque est obtenu par superposition du déplacement du point correspondant au niveau de la surface moyenne et d’une fonction linéaire de la position z du point considéré (suite à l’hypothèse de conservation de la normale)
Théorie des coques minces - cinématique Déformations membranaires ↔ au niveau de la surface moyenne ⎧a' ⎫ ⎡ 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨b'⎬ = ⎢ ε βα ⎪n'⎪ ⎢ − θ ⎩ ⎭ ⎣ α
Dilatation
Glissement
εαβ 1 − θβ
θα ⎤ ⎧a ⎫ ⎥⎪ ⎪ θβ ⎥ ⎨b ⎬
A' = A (1 + εα )
1 ⎥⎦ ⎪⎩n ⎪⎭
dsα = A dα dsα' = A' dα = A(1 + εα )dα dsα'−dsα = εα dsα
B' = B (1 + ε β )
Id. dans la direction β
(2 ) = A ∂ ( u )+ B ∂ ( v ) B ∂β A A ∂α B
γ = π −ψ ≅ sin π −ψ = cosψ = a'⋅b' 2
= εαβ + ε βα
Théorie des coques minces - cinématique Déformations flexionnelles ↔ hors de la surface moyenne w ∂u v εαB = 1 B + B ∂A − B A ∂α AB ∂β rα
ET
εαB = εα − zcα ε βB = ε β − zcβ γ B = γ − zc θ ∂θ cα = 1 α + β ∂A = 1 − 1 avec A ∂α AB ∂β rα' rα ∂θ θ cβ = α ∂B + 1 β AB ∂α B ∂β ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞ c = A ∂ ⎜ α ⎟+ B ∂ ⎜ β ⎟ B ∂β ⎝ A ⎠ A ∂α ⎝ B ⎠
uB = u − zθα vB = v − zθβ wB = w
Variations de courbure flexionnelle Variations de courbure torsionnelle
Théorie des coques minces - cinématique Inconnues et équations cinématiques 9 inconnues : 3 déplacements : u, v, w + 6 déformations : εα, εβ, γ, cα, cβ, c + 2 rotations : θα, θβ Reliés par 6 équations cinématiques (relations déformation-déplacement) εα = 1 ∂u + v ∂A − w A ∂α AB ∂β rα ε β = u ∂B + 1 ∂v − w AB ∂α B ∂β rβ γ = A ∂ u +B ∂ v B ∂β A A ∂α B
()
()
θ ∂θ cα = 1 α + β ∂A A ∂α AB ∂β ∂θ θ cβ = α ∂B + 1 β AB ∂α B ∂β ⎛θ ⎞ θ c = A ∂ ⎛⎜ α ⎞⎟ + B ∂ ⎜ β ⎟ B ∂β ⎝ A ⎠ A ∂α ⎝ B ⎠
+ 2 relations rotation-déplacement θα = u + 1 ∂w rα A ∂α
θβ = v + 1 ∂w rβ B ∂β
Théorie des coques minces - statique Théorie bidimensionnelle Æ intégration des contraintes sur l’épaisseur pour obtenir de efforts intérieurs par unité de longueur curviligne
Théorie des coques minces - statique Théorie bidimensionnelle Æ intégration des contraintes sur l’épaisseur pour obtenir de efforts intérieurs par unité de longueur curviligne Efforts normaux t/2
Nα = ∫
−t / 2
σα dz
t/2
Nβ = ∫
−t / 2
σ β dz
Efforts tangentiels t/2
Nαβ = ∫
−t / 2
Moments de flexion t/2
Moments de torsion t/2
ταβ dz
Efforts tranchants t/2
Mα = ∫
σα zdz
Mαβ = ∫
ταβ zdz
Vα = ∫
ταzdz
Mβ = ∫
σ β zdz
M βα = ∫
τ βα zdz
Vβ = ∫
τ βzdz
−t / 2 t/2 −t / 2
−t / 2 t/2
−t / 2
Réciprocité des contraintes tangentielles : Nαβ = Nβα Æ 8 efforts inconnus
−t / 2 t/2 −t / 2
t/2
Nβα = ∫
et Mαβ = M βα
−t / 2
τ βα dz
Théorie des coques minces - statique Réciproquement, si on connaît les efforts, on peut en déduire la distribution de contraintes
Remarque: forme du domaine d’intégration des contraintes. Sous l’hypothèse de faible épaisseur : domaine rectangulaire (dsα’≈ dsα) Mais en réalité, le domaine est trapézoïdal : t/2
Nαβ = ∫
−t / 2
t/2 ταβ(1 − z )dz ≠ Nβα = ∫ τ βα(1 − z )dz
rβ
−t / 2
rα
Æ 10 efforts inconnus
Théorie des coques minces - statique Réciproquement, si on connaît les efforts, on peut en déduire la distribution de contraintes
Remarque: forme du domaine d’intégration des contraintes Sous l’hypothèse de faible épaisseur : domaine rectangulaire (dsα’≈ dsα) Mais en réalité, le domaine est trapézoïdal : t/2
Nαβ = ∫
−t / 2
t/2 ταβ(1 − z )dz ≠ Nβα = ∫ τ βα(1 − z )dz
rβ
−t / 2
rα
Æ 10 efforts inconnus
Théorie des coques minces - statique Equations d’équilibre de manière vectorielle Résultante des forces sur un bord
Fα = ( Nαa + Nαβ b + Vαn )dsβ
Résultante des moments sur un bord
Cα = (− M αβ a + Mα b )dsβ
Théorie des coques minces - statique Equilibre de translation ΣF=0 ∂ ( BN ) + ∂ ( AN ) − ∂B N + ∂A N − AB V + ABp = 0 α βα α ∂β ∂α β ∂β αβ rα α ∂α ∂ (BN ) + ∂ ( AN ) + ∂B N − ∂A N − AB V + ABp = 0 αβ β β ∂α ∂β ∂α βα ∂β α rβ β ∂ ( BV ) + ∂ ( AV ) + AB N + AB N + ABp = 0 α β z ∂α ∂β rα α rβ β
Equilibre de rotation Σ C = 0 + contribution des F ∂ (BM ) + ∂ ( AM ) + ∂B M − ∂A M − ABV = 0 αβ β β ∂β ∂α βα ∂β α ∂α ∂ (BM ) + ∂ ( AM ) − ∂B M + ∂A M − ABV = 0 α βα α ∂α β ∂β αβ ∂β ∂α Nαβ − Nβα − 1 Mαβ + 1 M βα = 0 rα rβ
Théorie des coques minces - statique Equilibre de translation ΣF=0 ∂ ( BN ) + ∂ ( AN ) − ∂B N + ∂A N − AB V + ABp = 0 α βα α ∂β ∂α β ∂β αβ rα α ∂α ∂ (BN ) + ∂ ( AN ) + ∂B N − ∂A N − AB V + ABp = 0 αβ β β ∂α ∂β ∂α βα ∂β α rβ β ∂ ( BV ) + ∂ ( AV ) + AB N + AB N + ABp = 0 α β z ∂α ∂β rα α rβ β
Equilibre de rotation Σ C = 0 + contribution des F ∂ (BM ) + ∂ ( AM ) + ∂B M − ∂A M − ABV = 0 αβ β β ∂α ∂β ∂α βα ∂β α ∂ ( BM ) + ∂ ( AM ) − ∂B M + ∂A M − ABV = 0 α βα α ∂α β ∂β αβ ∂β ∂α Nαβ − Nβα − 1 Mαβ + 1 M βα = 0 αβ rα βαrβ αβ
• Impossible à vérifier sous l’hypothèse de faible minceur (sauf cas particulier)
N − N − 1 M + 1 M βα = 0 • Identité si cette hypothèse est levée rα rβ
Æ On suppose une identité, mais avec Nαβ = Nβα et Mαβ = Mβα !!
Æ 5 équations d’équilibre pour 8 efforts inconnus
Théorie des coques minces – loi constitutive Etat plan de contrainte dans chaque lamelle de la coque (càd pour chaque valeur de z) σαα = E 2 (εαα + νε ββ ) 1 −ν σ ββ = E 2 (ε ββ + νεαα ) 1 −ν ταβ = E γ αβ = Gγ αβ 2(1 +ν )
εαα ≡ εαB = εα − zcα avec ε ββ ≡ ε βB = ε β − zcβ γ αβ ≡ γ B = γ − zc
Intégration de la loi constitutive sur l’épaisseur de la coque Nα = C (εα +νε β ) Nβ = C (ε β + νεα ) Nαβ = C 1 −ν γ = Gtγ 2
avec
C = Et 2 1 −ν Et3 D= 12(1 −ν 2 )
Mα = −D (cα + νcβ ) M β = −D (cβ + νcα ) 3 Mαβ = −D 1 −ν c = −G t c 2 12
Rigidité extensionnelle Rigidité flexionnelle
Découplage des lois membranaires et flexionnelles
Théorie des coques minces – bilan 17 Inconnues : • trois déplacements • six déformations • huit efforts intérieurs 17 équations : • six équations cinématiques • cinq équations statiques • six équations constitutives Æ Système différentiel d’ordre 8. Si on simplifie au maximum en choisissant les déplacements comme inconnues de base, on obtient un système de 3 équations aux dérivées partielles couplées d’ordre 2 en u et v et d’ordre 4 en w.
Théorie des coques minces – conditions limites Système d’ordre 8 Æ on a besoin de 4 conditions aux limites par bord de coque Conditions cinématiques : imposer des conditions sur u, v, w et θ (autrement dit imposer une relation entre u et v ou entre u et w) Conditions statiques : imposer des conditions sur Nα , Nαβ , Mα , Mαβ , Vα Æ une condition de trop Le problème est identique à ce qui se passe dans les plaques: le moment de torsion n’est pas indépendant des autres efforts. On doit donc imposer la condition sur les efforts de bord équivalents : V * = V + 1 ∂Mαβ et N* = N − Mαβ α
α
B ∂β
Combinaison de conditions statiques et cinématiques
αβ
αβ
rβ
Théorie des coques minces – conclusions Système d’équations différentielles pratiquement impossible à résoudre de manière analytique Æ Première solution: particulariser les équations pour une série de cas particuliers pour lesquels le problème devient soluble (moyennant éventuellement des hypothèses complémentaires). Æ Deuxième solution: utiliser une approche numérique (en général la méthode des éléments finis ou une de ses variantes). Il faut alors être capable de choisir le « bon » élément fini et d’interpréter les résultats. Æ En général, étude en deux phases: approche analytique sur un problème simplifié, puis calcul numérique détaillé.
Théorie membranaire des coques minces Premier cas particulier Hypothèse complémentaire: les efforts flexionnels sont très petits Æ on les néglige. Mα = M β = Mαβ = M βα = Vα = Vβ = 0 Il reste 3 efforts inconnus:
Nα Nβ Nαβ
Simplification de équations d’équilibre ∂ ( BN ) + ∂ ( AN ) − ∂B N + ∂A N − AB V + ABp = 0 α βα α ∂α ∂β ∂α β ∂β αβ rα α ∂ (BN ) + ∂ ( AN ) + ∂B N − ∂A N − AB V + ABp = 0 αβ β β ∂α ∂β ∂α βα ∂β α rβ β ∂ (BV ) + ∂ ( AV ) + AB N + AB N + ABp = 0 α β z rα α rβ β ∂α ∂β
∂ (BM ) + ∂ ( AM ) + ∂B M − ∂A M − ABV = 0 αβ β β ∂β ∂α βα ∂β α ∂α ∂ ( BM ) + ∂ ( AM ) − ∂B M + ∂A M − ABV = 0 α βα α ∂α ∂β ∂α β ∂β αβ
∂ (BN ) + ∂ ( AN ) − ∂B N + ∂A N + ABp = 0 α αβ α ∂α ∂β ∂α β ∂β αβ ∂ (BN ) + ∂ ( AN ) + ∂B N − ∂A N + ABp = 0 αβ β β ∂α ∂β ∂α αβ ∂β α Nα Nβ + + pz = 0 rα rβ Identité 0 = 0 Identité 0 = 0
SYSTEME ISOSTATIQUE
Théorie membranaire des coques minces On utilise ensuite les contributions membranaires des équations cinématiques et de la loi constitutive εα = 1 ∂u + v ∂A − w A ∂α AB ∂β rα ε β = u ∂B + 1 ∂v − w AB ∂α B ∂β rβ
()
()
γ = A ∂ u +B ∂ v B ∂β A A ∂α B Nα = C (εα +νε β ) Nβ = C (ε β + νεα ) Nαβ = C 1 −ν γ = Gtγ 2
1 ∂u + v ∂A − w = 1 (N −νN ) β A ∂α AB ∂β rα Et α u ∂B + 1 ∂v − w = 1 (N −νN ) α AB ∂α B ∂β rβ Et β A ∂ u +B ∂ v = 1 N B ∂β A A ∂α B Gt αβ
()
()
En pratique, on résout donc successivement deux systèmes d’équations différentielles du second ordre à 3 inconnues. Conditions limites: 2 par bord Æconditions sur Nα , Nαβ , u ou v
Coques surbaissées Deuxième cas particulier La courbure est faible en tout point Æ On définit un plan à peu près parallèle à la surface moyenne et on décrit cette surface par rapport aux axes cartésiens de ce plan (formulation explicite)
Z = Z(X,Y) avec
( ) << 1 ( ) << 1 ∂Z ∂X
2
∂Z ∂Y
2
∂Z ∂Z << 1 ∂X ∂Y
dsx ≅ dX dsy ≅ dY cos ω ≅ 0 dA ≅ dX dY
Coques surbaissées Particularisation des équations (théorie de Marguerre) Rotations
θα = u + 1 ∂w rα A ∂α θβ = v + 1 ∂w rβ B ∂β
θ X = ∂w
∂X θY = ∂w ∂Y
εα = 1 ∂u + v ∂A − w A ∂α AB ∂β rα ε β = u ∂B + 1 ∂v − w AB ∂α B ∂β rβ Equations cinématiques
()
()
γ = A ∂ u +B ∂ v B ∂β A A ∂α B θ ∂θ cα = 1 α + β ∂A A ∂α AB ∂β ∂θ θ cβ = α ∂B + 1 β AB ∂α B ∂β ⎛θ ⎞ θ c = A ∂ ⎛⎜ α ⎞⎟ + B ∂ ⎜ β ⎟ B ∂β ⎝ A ⎠ A ∂α ⎝ B ⎠
ε X = ∂u + ∂Z ∂w
∂X ∂X ∂X εY = ∂v + ∂Z ∂w ∂Y ∂Y ∂Y γ = ∂u + ∂v + ∂Z ∂w + ∂Z ∂w ∂Y ∂X ∂Y ∂X ∂X ∂Y 2 ∂θ cX = X = ∂ w2 ∂X ∂X 2 ∂θ cY = Y = ∂ w2 ∂Y ∂Y 2 ∂θ ∂θ c = X + Y =2 ∂ w ∂Y ∂X ∂X∂Y
Coques surbaissées Particularisation des équations (théorie de Marguerre) Equations statiques ∂ ∂α ∂ ∂α ∂ ∂α ∂ ∂α ∂ ∂α
(BNα ) + ∂∂β (ANβα ) − ∂∂αB Nβ + ∂∂βA Nαβ − AB V + ABpα = 0 r α α
(BNαβ ) + ∂∂β (ANβ ) + ∂∂αB Nβα − ∂∂βA Nα − AB V + ABpβ = 0 rβ β (BVα ) + ∂∂β ( AVβ ) + AB N + AB N + ABpz = 0 rα α rβ β (BMαβ ) + ∂∂β (AM β ) + ∂∂αB M βα − ∂∂βA Mα − ABVβ = 0 (BMα ) + ∂∂β (AM βα ) − ∂∂αB M β + ∂∂βA Mαβ − ABVα = 0
Équilibre d’une membrane
∂N X ∂N XY + + pX = 0 Équilibre d’une plaque en configuration ∂X ∂Y ∂N XY ∂NY déformée (avec w remplacé par Z) + + pY = 0 ∂X ∂Y 2 2 2 ∂V ∂V N X ∂ Z2 + 2N XY ∂ Z + NY ∂ Z2 + X + Y + pZ − pX ∂Z − pY ∂Z = 0 ∂X∂Y ∂X ∂Y ∂X ∂Y ∂X ∂Y ∂M XY ∂M XY + − VY = 0 ∂X ∂X ∂M X ∂M XY Équilibre d’une plaque fléchie + − VX = 0 ∂X ∂Y
Coques surbaissées Particularisation des équations (théorie de Marguerre) Equations statiques ∂ ∂α ∂ ∂α ∂ ∂α ∂ ∂α ∂ ∂α
(BNα ) + ∂∂β (ANβα ) − ∂∂αB Nβ + ∂∂βA Nαβ − AB V + ABpα = 0 r α α
(BNαβ ) + ∂∂β (ANβ ) + ∂∂αB Nβα − ∂∂βA Nα − AB V + ABpβ = 0 rβ β (BVα ) + ∂∂β ( AVβ ) + AB N + AB N + ABpz = 0 rα α rβ β (BMαβ ) + ∂∂β (AM β ) + ∂∂αB M βα − ∂∂βA Mα − ABVβ = 0 (BMα ) + ∂∂β (AM βα ) − ∂∂αB M β + ∂∂βA Mαβ − ABVα = 0
Base du développement de plusieurs approches numériques (E.F.)
Équilibre d’une membrane
∂N X ∂N XY + + pX = 0 Équilibre d’une plaque en configuration ∂X ∂Y ∂N XY ∂NY déformée (avec w remplacé par Z) + + pY = 0 ∂X ∂Y 2 2 2 ∂V ∂V N X ∂ Z2 + 2N XY ∂ Z + NY ∂ Z2 + X + Y + pZ − pX ∂Z − pY ∂Z = 0 ∂X∂Y ∂X ∂Y ∂X ∂Y ∂X ∂Y ∂M XY ∂M XY + − VY = 0 ∂X ∂X ∂M X ∂M XY Équilibre d’une plaque fléchie + − VX = 0 ∂X ∂Y
Coques de révolution – théorie membranaire
Introduction Surfaces de révolution: sphère, calotte sphérique, cône, tronc de cône, cylindre, paraboloïde, hyperboloïde… Utilisations Construction: réservoirs, châteaux d’eau, silos, cheminées, tours de télécommunication, enceintes de réacteurs, tunnels, conduites forcées, tours de refroidissement… Autres applications: citernes, chaudières, tuyauteries, fusées, sous-marins…
La théorie membranaire est relativement simple d’utilisation et fournit des résultats acceptables
Géométrie • Surface obtenue par rotation d’une courbe plane (= méridien) autour d’un axe situé dans le plan méridien. • Chaque point décrit un cercle (= parallèle) • Système de coordonnées: θ et ϕ • (X,Y,Z) : axes cartésiens • OZ : axe de révolution • (a,b,n) : repère de Σ en A, déduit de (x,y,z) par deux rotations successives θ et ϕ • z : axe normal en A (selon n), porte les rayons de courbures principaux rθ et rϕ • r : rayon du parallèle en A • s : coordonnée curviligne sur le méridien
Géométrie Quelques relations utiles (dans le plan méridien)
r = rθ sin ϕ ds = rϕ dϕ
dr = ds cos ϕ
dr = r cos ϕ dϕ ϕ
Equations d’équilibre • On isole un élément de coque compris entre deux méridiens voisins (ϕ et ϕ+dϕ) et deux parallèles voisins (θ et θ+dθ ) • On extériorise les efforts intérieurs membranaires Nϕ, Nθ et Nθϕ • On calcule la résultante des efforts agissant sur chacun des bords de l’élément de coque • On définit les trois composantes de la charge extérieure pϕ, pθ et pz
Equations d’équilibre Equilibre dans la direction méridienne - Σ Fϕ = 0
∑ Fϕ = −Nϕ rdθ + Nϕ rdθ + ∂∂ϕ (Nϕ rdθ )dϕ − Nθϕ rϕ dϕ + Nθϕ rϕ dϕ + ∂ (Nθϕ rϕ dϕ )dθ ∂θ − Nθ rϕ dϕ dθ cos ϕ + pϕ rϕ dϕ rdθ = ∂ (Nϕ r )dθ dϕ + ∂ (Nθϕ )rϕ dθ dϕ ∂ϕ ∂θ − Nθ rϕ dϕ dθ cos ϕ + pϕ rϕ rdϕ dθ = 0 ∂ (r N )+ r ∂Nθϕ − r N cos ϕ + p r r = 0 ϕ ϕ ϕ θ ϕ ϕ ∂ϕ ∂θ
Equations d’équilibre Equilibre dans la direction méridienne - Σ Fϕ = 0
∑ Fϕ = −Nϕ rdθ + Nϕ rdθ + ∂∂ϕ (Nϕ rdθ )dϕ − Nθϕ rϕ dϕ + Nθϕ rϕ dϕ + ∂ (Nθϕ rϕ dϕ )dθ ∂θ − Nθ rϕ dϕ dθ cos ϕ + pϕ rϕ dϕ rdθ = ∂ (Nϕ r )dθ dϕ + ∂ (Nθϕ )rϕ dθ dϕ ∂ϕ ∂θ − Nθ rϕ dϕ dθ cos ϕ + pϕ rϕ rdϕ dθ = 0 ∂ (r N )+ r ∂Nθϕ − r N cos ϕ + p r r = 0 ϕ ϕ ϕ θ ϕ ϕ ∂ϕ ∂θ
Equations d’équilibre Equilibre dans la direction circonférentielle - Σ Fθ = 0
∑ Fθ = −Nθ rϕ dϕ + Nθ rϕ dϕ + ∂∂θ (Nθ rϕ dϕ )dθ − Nϕθ rdθ + Nϕθ rdθ + ∂ (Nϕθ rdθ )dϕ ∂ϕ + Nθϕ rϕ dϕ dθ cos ϕ + pθ rϕ dϕ rdθ = ∂ ( Nθ ) rϕ dϕ dθ + ∂ (Nϕθ r )dθ dϕ ∂θ ∂ϕ + Nθϕ rϕ dϕ dθ cos ϕ + pθ rϕ rdϕ dθ = 0 ∂ (r N )+ r ∂Nθ + r N cos ϕ + p r r = 0 θϕ ϕ ϕ θϕ θ ϕ ∂ϕ ∂θ
Equations d’équilibre Equilibre dans la direction circonférentielle - Σ Fθ = 0
∑ Fθ = −Nθ rϕ dϕ + Nθ rϕ dϕ + ∂∂θ (Nθ rϕ dϕ )dθ − Nϕθ rdθ + Nϕθ rdθ + ∂ (Nϕθ rdθ )dϕ ∂ϕ + Nθϕ rϕ dϕ dθ cos ϕ + pθ rϕ dϕ rdθ = ∂ ( Nθ ) rϕ dϕ dθ + ∂ (Nϕθ r )dθ dϕ ∂θ ∂ϕ + Nθϕ rϕ dϕ dθ cos ϕ + pθ rϕ rdϕ dθ = 0 ∂ (r N )+ r ∂Nθ + r N cos ϕ + p r r = 0 θϕ ϕ ϕ θϕ θ ϕ ∂ϕ ∂θ
Equations d’équilibre Equilibre dans la direction normale - Σ Fz = 0
∑ F = Nϕ r dθ dϕ + Nθ rϕ dϕ dθ sin ϕ z
+ pz rϕ r dϕ dθ = 0 Nϕ Nθ + + pz = 0 rϕ rθ
Eq. d’équilibre – chargement de révolution Symétrie de révolution Æ Les efforts intérieurs restent constants le long d’un parallèle Æ les dérivées par rapport à θ disparaissent (on n’a plus que la variable ϕ) ∂ (r N )+ r ∂Nθϕ − r N cos ϕ + p r r = 0 ϕ ϕ ϕ θ ϕ ϕ ∂θ ∂ϕ ∂ (r N )+ r ∂Nθ + r N cos ϕ + p r r = 0 θϕ ϕ ϕ θϕ θ ϕ ∂ϕ ∂θ Nϕ Nθ + + pz = 0 rϕ rθ
d (r N )− r N cos ϕ + p r r = 0 ϕ ϕ θ ϕ ϕ dϕ d (r N ) + r N cos ϕ + p r r = 0 θϕ ϕ θϕ θ ϕ dϕ Nϕ Nθ + + pz = 0 rϕ rθ
L’équation 2 se découple des équations 1 et 3 Æ On peut traiter séparément les deux cas suivants: Effort tangentiel Nθϕ dû à la composante pθ Efforts normaux Nϕ et Nθ dus aux composantes pϕ et pz
Eq. d’équilibre – chargement de révolution Effort tangentiel ∂ (r N ) + r N cos ϕ + p r r = 0 θϕ ϕ θϕ θ ϕ ∂ϕ
dr = r cos ϕ dϕ ϕ
(
)
d r 2 N = −p r 2 r θϕ θ ϕ dϕ Nθϕ = − 12 r
[∫ p r r dϕ + C ] ϕ
θ
2
ϕ
dTz = ∫
2π
0
Équilibre de torsion
r pθ dA
avec dA = (rϕ dϕ )(r dθ )
dTz = 2π pθ r 2rϕ dϕ Tz = 2π
(∫ p r r dϕ + C )
Nθϕ = −
ϕ
θ
Tz 2π r 2
2
ϕ
Eq. d’équilibre – chargement de révolution Efforts normaux d (r N )− r N cos ϕ + p r r = 0 ϕ ϕ θ ϕ ϕ dϕ Nϕ Nθ + + pz = 0 rϕ rθ
d (r N sin ϕ ) = −( p sin ϕ + p cos ϕ )r r ϕ ϕ z ϕ dϕ Équilibre longitudinal
Nϕ = −
1 r sin ϕ
[ ∫ ( p sinϕ + p cos ϕ )r r dϕ + Q] ϕ
ϕ
ϕ
z
dFz = ∫
2π
0
(p
ϕ
sin ϕ + pz cos ϕ )dA
avec dA = (rϕ dϕ )(r dθ )
dFz = 2π ( pϕ sin ϕ + pz cos ϕ )r rϕ dϕ Fz = 2π
(∫ ( p sin ϕ + p cos ϕ )r r dϕ + Q ) ϕ
ϕ
Fz 2π r sin ϕ ⎛N ⎞ Nθ = −rθ ⎜ ϕ + pz ⎟ ⎝ rϕ ⎠
Nϕ = −
z
ϕ
Cinématique - déformations Calcul sous chargement de révolution et avec pθ = 0 Æ Nθϕ = 0
Æ γθϕ = 0 et v = 0 Sous la composante méridienne u, • l’arc ds = rϕ dϕ s’allonge de du • le rayon r s’accroît de u cosϕ Sous la composante normale w, • l’arc ds = rϕ dϕ se raccourcit de w dϕ • le rayon r diminue de w sinϕ
Les dilatations méridienne et circonférentielle valent donc
εϕ = du − wdϕ = 1 ⎛⎜ du − w ⎞⎟ rϕ dϕ rϕ ⎝ dϕ ⎠ u cos ϕ − w sin ϕ 1 = (u ctgϕ − w ) εθ = r
rθ
Cinématique - déplacements εϕ = du − wdϕ = 1 ⎛⎜ du − w ⎞⎟ rϕ dϕ rϕ ⎝ dϕ ⎠ u cos ϕ − w sin ϕ 1 εθ = = (u ctgϕ − w ) r
du − u ctgϕ = ε r − ε r ϕ ϕ θ θ dϕ
(*)
rθ
1 (N −νN ) Loi constitutive (Hooke) : εϕ = Et ϕ θ
εθ = 1 (Nθ −νNϕ ) Et
εϕ rϕ − εθ rθ = 1 (Nϕ (rϕ +ν rθ ) − Nθ (rθ + ν rϕ )) = f (ϕ ) Et
f (ϕ ) u = ⎛⎜ ∫ dϕ + C ⎞⎟ sin ϕ ⎝ ϕ sin ϕ ⎠ 1 (N − νN ) r et w = u ctgϕ − Et θ ϕ θ
Solution de (*) :
La constante C est déterminée par une condition limite sur u
Cinématique - déplacements Déplacement exprimé selon ses composantes cartésiennes : Déplacements méridien u et normal w Æ déplacements radial uX et axial wZ uX = u cos ϕ − w sin ϕ wZ = u sin ϕ + w cos ϕ uX = εθ rθ sin ϕ = εθ r = 1 (Nθ −νNϕ )r Et f (ϕ ) wZ = ∫ dϕ − εθ rθ cos ϕ + C * ϕ sin ϕ
La constante d’intégration peut donc également être déterminée par une condition limite sur le déplacement axial wZ
Cinématique - déplacements Expression de la rotation θϕ - rotation de la normale (ou de la tangente) en A
θϕ = θϕ u + θϕ w = u + dw = 1 ⎛⎜ u + dw ⎞⎟ r ds r dϕ ϕ
ϕ
⎝
⎠
Terme classique + terme lié à la courbure méridienne
dw du θϕ = 1 ⎛⎜ Z cos ϕ − X sin ϕ ⎞⎟ = 1 ⎛⎜ f(ϕ) ctgϕ − d (εθ rθ )⎞⎟ rϕ ⎝ dϕ dϕ dϕ ⎠ ⎠ rϕ ⎝ Expression liée aux déplacements cartésiens, permet un contrôle des calculs numériques
Conditions aux limites Calcul sous chargement de révolution et avec pθ = 0 Nϕ = −
1 r sin ϕ
[ ∫ ( p sinϕ + p cos ϕ )r r dϕ + Q] ϕ
ϕ
Nθ
z
ϕ
f (ϕ ) u = ⎛⎜ ∫ dϕ + C ⎞⎟ sin ϕ ⎝ ϕ sin ϕ ⎠ w
Æ Les conditions au limite ne peuvent porter que sur Nϕ ou u (une condition par bord de la coque) (a) Une condition statique + une condition cinématique (coque isostatique) (b) 2 conditions cinématiques (coque hyperstatique) (c) 1 bord Æ 1 condition cinématique (la deuxième condition est implicite et à la continuité en S
Application – réservoir cylindrique Cas particulier de coque de révolution rϕ = ∞ ⇒ rϕ dϕ → dx rθ = r = a = cste
ϕ = cste = π 2 → ctgϕ = 0; cos ϕ = 0; sin ϕ = 1 Nϕ = −
Equilibre
Fz 2π r sin ϕ
θ
θϕ = 1 ⎛⎜ u + dw ⎞⎟ → θx = dw r dϕ dx ϕ
⎝
⎠
Fz
2π a
⎛N ⎞ Nθ = −rθ ⎜ ϕ + pz ⎟ → Nθ = −a pz ⎝ rϕ ⎠
εϕ = 1 ⎛⎜ du − w ⎞⎟ → ε x = du rϕ ⎝ dϕ dx ⎠
Cinématique εθ = r1 (u ctgϕ − w) → εθ = − wa
→ Nx = −
Loi constitutive
ε x = 1 ( Nx −νNθ )
Et εθ = 1 ( Nθ −νN x ) Et
Application – réservoir cylindrique Mise en charge :
px = 0 → FZ = 0 pz = −pρ = −ρ g (h − x)
On est bien en état membranaire vu les conditions d’appui Efforts internes : Nx = 0
Nθ = −a pz = a ρ g (h − x )
ν ν du Déformations : ε x = dx = − Et Nθ = − Et a ρ g (h − x ) εθ = − w = 1 Nθ = 1 a ρ g (h − x ) a
Déplacements :
Et
Et
⎛ ( x − h )2 ⎞ aρ g ν ν + C ⎟⎟ = − ν u= a ρ g ∫ ( x − h )dx = a ρ g ⎜⎜ x ( 2h − x ) Et Et Et 2 2 ⎝ ⎠ a2 ρ g (h − x ) w=− Et a2 ρ g θx = Et
Application – réservoir cylindrique
ν ν du Déformations : ε x = dx = − Et Nθ = − Et a ρ g (h − x ) εθ = − w = 1 Nθ = 1 a ρ g (h − x ) a
Déplacements :
Et
Et
⎛ ( x − h )2 ⎞ aρ g ν ν + C ⎟⎟ = − ν u= a ρ g ∫ ( x − h )dx = a ρ g ⎜⎜ x ( 2h − x ) Et Et Et 2 2 ⎝ ⎠ a2 ρ g (h − x ) w=− Et a2 ρ g θx = Et
Coques de révolution – théorie flexionnelle
Introduction Théorie membranaire • Solution relativement simple • Selon les conditions d’appui, risque d’incompatibilité cinématiques • Problème complémentaire en cas de chargement ‘concentré’ (anneau de force)
Æ Nécessité de recourir à une théorie plus complète, incluant les effets flexionnels Rem: On suppose toujours un chargement de révolution, avec pθ = 0 (pas d’effets de torsion)
Géométrie, charges, efforts internes Symétrie de révolution ÆIndépendance vis-à-vis de θ Vθ = Mθϕ = Mϕθ = 0 pθ = 0 Æ Nθϕ = Nϕθ = 0
Le long d’un parallèle, Nθ = Cste et Mθ = Cste Æ Efforts non nuls : Nϕ , Nθ , Mϕ , Mθ et Vϕ
Equations d’équilibre A priori, 5 équations: • Translation dans les directions a, b et n • Rotation autour de a et b Symétrie Æ translation b et rotation a sont des identités
Equations d’équilibre A priori, 5 équations: • Translation dans les directions a, b et n • Rotation autour de a et b Symétrie Æ translation b et rotation a sont des identités 3 équations: • Σ Fϕ = 0 (id. membranaire avec un terme supplémentaire) • Σ Fz = 0 (id. membranaire avec un terme supplémentaire) • Σ Mθ = 0
Equations d’équilibre - cinématique Equations d’équilibre :
d (r N ) − r N cos ϕ − r V + p r r = 0 ϕ ϕ θ ϕ ϕ ϕ dϕ r Nϕ + rϕ Nθ sin ϕ + d (rVϕ ) + pz r rϕ = 0 dϕ d (r M ) − r M cos ϕ − r r V = 0 ϕ ϕ θ ϕ ϕ dϕ
Equations cinématiques : Dilatations et rotation de la normale calculées comme en théorie membranaire
εϕ = 1 ⎛⎜ du − w ⎞⎟ rϕ ⎝ dϕ ⎠ εθ = 1 (u ctgϕ − w ) rθ
θϕ = 1 ⎛⎜ u + dw ⎞⎟ rϕ ⎝ dϕ ⎠
Cinématique Variations de courbure :
rϕ' (dϕ + dθϕ ) = (1 + εϕ )rϕ dϕ rθ' sin (ϕ + θϕ ) = (1 + εθ ) r cϕ = 1 − 1 rϕ' rϕ =
dϕ + dθϕ −1 (1 + εϕ )rϕ dϕ rϕ
cθ = 1 − 1 rθ' rθ =
sin (ϕ + dϕ ) 1 (1 + εθ ) r − rθ
εϕ << 1
εθ << 1
θϕ << 1
r = rθ sin ϕ
sin (ϕ + θϕ ) = sin ϕ cos θϕ + cos ϕ sin θϕ ≅ sin ϕ + θϕ cos ϕ
cϕ =
dϕ + dθϕ 1 1 dθϕ − = rϕ dϕ rϕ rϕ dϕ
cθ =
sin ϕ + θϕ cos ϕ 1 θϕ − = ctgϕ rθ sin ϕ rθ rθ
Loi constitutive, bilan, conditions aux limites Loi constitutive
Nϕ = C (εϕ +νεθ ) Nθ = C (εθ +νεϕ )
Mϕ = −D (cϕ + νcθ )
Mθ = −D (cθ +νcϕ )
Bilan : 12 équations (3 eq. statiques, 5 éq. cinématiques, 4 éq. Constitutives) pour 12 inconnues (5 efforts Nϕ , Nθ , Mϕ , Mθ et Vϕ ; 2 dilatations, 2 variations de courbure, 2 déplacements et une rotation)
Système différentiel d’ordre 6 Æ 3 conditions aux limites par bord (statiques sur Nϕ , Mϕ , Vϕ et/ou cinématiques sur u, v et θϕ )
Coque cylindrique – équations générales rϕ = ∞ ⇒ rϕ dϕ → dx rθ = r = a = cste
ϕ = cste = π 2 → ctgϕ = 0; cos ϕ = 0; sin ϕ = 1
Equilibre d (r N ) − r N cos ϕ − r V + p r r = 0 ϕ ϕ θ ϕ ϕ ϕ dϕ r Nϕ + rϕ Nθ sin ϕ + d (rVϕ ) + pz r rϕ = 0 dϕ d (r M ) − r M cos ϕ − r r V = 0 ϕ ϕ θ ϕ ϕ dϕ
dN x + px = 0 dx dV Nθ + a x + a pz = 0 dx dM x − Vx = 0 dx
Nx = −∫ px dx + C x
On peut calculer l’effort Nx par équilibre axial indépendamment des autres efforts (solution membranaire)
Coque cylindrique – équations générales Cinématique εϕ = 1 ⎛⎜ du − w ⎞⎟ rϕ ⎝ dϕ ⎠ εθ = 1 (u ctgϕ − w ) rθ
θϕ = 1 ⎛⎜ u + dw ⎞⎟ rϕ ⎝ dϕ ⎠
ε x = du
dθ cϕ = 1 ϕ rϕ dϕ
dx εθ = − w a θx = dw dx
cθ =
θϕ rθ
ctgϕ
dθx d 2w = 2 dx dx cθ = 0
cx =
Lois constitutives N x = C (ε x +νεθ )
Nθ = C (εθ +νε x )
M x = −Dcx Mθ = −Dνcx = νM x
Et3 avec C = Et 2 et D = 1 −ν 12 1 −ν 2
(
)
12 équations à 12 inconnues, mais avec Nx connu indépendamment, cθ nul et Mθ directement lié à Mx Æ 9 équations à 9 inconnues.
Coque cylindrique – formulation déplacement Si on suppose Nx connu par la solution membranaire (équation d’équilibre découplée), on peut éliminer toutes les inconnues pour ne conserver que l’inconnue déplacement w. On obtient : d 2 ⎛⎜ D d 2w ⎞⎟ + Et w = p* dx2 ⎝ dx2 ⎠ a2 avec
p = pz + ν Nx a *
Une fois w connu, toutes les autres inconnues peuvent en être déduites.
Cas particulier: t = cste, E = cste et ν = cste Æ D = cste 4
D d w4 + Et2 w = p* dx a
(
si on pose λ = 3 1 −ν 4
4 4 p* λ d w → 4 +4 4 w= D dx a
2
)(
a t
)
2
Equation similaire à l’équation gouvernant le comportement des poutres sur fondation élastique
Coque cylindrique – effet de bord * 4 4 p λ d w La solution de +4 4 w= D dx4 a
est donnée par w(x) = w0(x) + w1(x)
• w1 : solution particulière associée à p*/D. Cette contribution traduit l’effet des charges de surface px (via Nx) et pz. • w0 : solution générale de l’équation homogène, incluant 4 constantes C1 à C4 à déterminer par les conditions d’appui. Cette contribution traduit l’effet des bords. (h − x) Si on pose ξ = λ x et ξ ' = λ a a Alors w0(x) est donnée par : w0 = C1' γ 3(ξ' ) + C2' γ 4(ξ' ) + C3 γ 3(ξ ) + C4 γ 4(ξ )
Coque cylindrique – effet de bord w0 = C1' γ 3(ξ' ) + C2' γ 4(ξ' ) + C3 γ 3(ξ ) + C4 γ 4(ξ )
• Les fonctions γ3 et γ4 décroissent très rapidement lorsque ξ ou ξ’ augmente. • Les constantes C1’ et C2’ sont donc liées au comportement au voisinage de ξ’= 0 (bord supérieur), et C3 et C4 au comportement au voisinage de ξ = 0 (bord inférieur)
Coque cylindrique – effet de bord Longueur limite Si ξ > 4, les fonctions γ sont inférieures à 3% (les effets de bords deviennent négligeables).
Llim ≅ 4 a ≅ 3 at
λ
Si t/a =1/10, Llim ≈ a Si t/a = 1/50, Llim ≈ 0.4 a • l’effet flexionnel de bord a un caractère très localisé • un cylindre est qualifié de long si sa hauteur h > 2 Llim
Coque cylindrique – effet de bord Longueur limite Si ξ > 4, les fonctions γ sont inférieures à 3% (les effets de bords deviennent négligeables).
Llim ≅ 4 a ≅ 3 at
λ
Si t/a =1/10, Llim ≈ a Si t/a = 1/50, Llim ≈ 0.4 a • l’effet flexionnel de bord a un caractère très localisé • un cylindre est qualifié de long si sa hauteur h > 2 Llim
Coque cylindrique – approche par superposition 2 4 a p*(x) est une solution particulière de D d w4 + Et2 w = p* w1(x) = Et dx a si p* est au maximum de degré 3.
D’autre part, en approche membranaire, on a:
wm 1 = ( N − νN x ) a Et θ Nθ = −apz
εθ = −
(
)
2 2 → wm(x) = a (apz +νN x ) = a pz + ν N x = a p* Et Et Et a
De plus, si p*(x) est au maximum de degré 1, d 2w1 d 3w1 = 3 = 0 → M x (w1 ) = Vx (w1 ) = 0 dx2 dx
Dans une coque cylindrique pour laquelle p* est au maximum une fonction linéaire de x, la solution particulière flexionnelle est identique à la solution membranaire !
Coque cylindrique – approche par superposition Dans ce cas, w(x) = w0(x) + wm(x) est la solution exacte du problème de la coque cylindrique. La solution homogène (effets flexionnels de bord) peut dés lors être considérée comme une correction de la solution membranaire destinée à restaurer la compatibilité cinématique. Approche par superposition: le principe énoncé ci-dessus est étendu • à tous les types de chargement ( p* de forme quelconque) • à toutes les formes de coque de révolution (approx. de Geckeler) Æ Méthode de travail: • rendre la coque isostatique et calculer la solution membranaire (wm) • restaurer la compatibilité des déplacements en appliquant les effets de bord (w1) Dans la plupart des cas, la solution ainsi obtenue est une bonne approximation de la solution exacte.
Coque cylindrique – application 1° Approche complète Nx = 0 et pz linéaire Æ pz* linéaire d 4w + 4 λ4 w = − ρ g (h − x ) D dx4 a4 w = w0 + w1 = w0 + wm = w0 − dw0 ρ g a2 dw θx = = + dx dx Et 2 d 2w0 d w M x = −D 2 = −D 2 dx dx 3 d 3w0 d w Vx = −D 3 = −D 3 dx dx
ρ g a2 Et
(h − x )
Conditions aux limites M x = Vx = 0 en ξ' = 0 → C1' = C2' = 0 Hyp. de cylindre long
w = θx = 0 en ξ = 0
(
→ C3 = 1 ρ ga2h et C4 = 1 ρ ga2 h − a Et Et λ
)
Coque cylindrique – application
dw0 ρ g a2 dw θx = = + dx dx Et 2 d 2w0 d w M x = −D 2 = −D 2 dx dx 3 d 3w0 d w Vx = −D 3 = −D 3 dx dx
Conditions aux limites M x = Vx = 0 en ξ' = 0 → C1' = C2' = 0 Hyp. de cylindre long
w = θx = 0 en ξ = 0
(
→ C3 = 1 ρ ga2h et C4 = 1 ρ ga2 h − a Et Et λ
)
Coque cylindrique – application 2° Approche par superposition
Utilisation du résultat de base (calculé à l’aide de la solution homogène w0)
wbase = wm + wM + wH = 0
M =…
θx,base = θx,m + θx,M + θx,H = 0
H =…
(
wξ =0 = − 2aλ λ M + H Et a 2 2 λ 2λ M +H θξ =0 = Et a
(
)
)
Coque sphérique – solution générale Particularisation des 12 éq. à 12 inconnues de la théorie flexionnelle (sans charge extérieure Æ uniquement effets de bord) : On procède à une série d’éliminations pour se ramener à 2 éq. à 2 inconnues Vϕ et θϕ
(
)
d 2Vϕ dVϕ ctgϕ − ctg 2ϕ −ν Vϕ = Etθϕ 2 + dϕ dϕ d 2θϕ dθϕ 2 a2 V + ctg ϕ − ctg ϕ + ν θ = − ϕ D ϕ Cylindre dϕ 2 dϕ w0 = C1' γ 3(ξ' ) + C2' γ 4(ξ' ) + C3 γ 3(ξ ) + C4 γ 4(ξ ) avec ξ = λ x et ξ ' = λ (h − x) a a 0 w0 = O (λ )
(
( )
dw0 = O λ1 dx d 2w0 2 2 =O λ dx d 3w0 3 3 =O λ dx
( )
( )
+ relations du même ordre entre les dérivées de toutes les grandeurs
λ ∝ a/t Æ une fonction est négligeable devant sa dérivée d’ordre supérieur
)
Coque sphérique – approximation de Geckeler Extension de l’hypothèse sur les dérivées déduite du cas du cylindre + hyp. complémentaire : ϕ >> Æ ctg ϕ ≈ 0
(
)
d 2Vϕ dVϕ ctgϕ − ctg 2ϕ −ν Vϕ = Etθϕ 2 + dϕ dϕ
d 2Vϕ ≅ Etθϕ dϕ 2
d 2θϕ dθϕ 2 a2 V + ctg ϕ − ctg ϕ + ν θ = − ϕ D ϕ dϕ 2 dϕ
d 2θϕ a2 V ≅ − D ϕ dϕ 2
Vϕ = −2 λ M γ 4 − Hγ 2 sin α a
Nϕ = −Vϕ ctgϕ
(
ξ =λ s
a
= λ (α − ϕ ) = λ ω
)
(
Nθ = 2λ − λ M γ 2 + Hγ 3 sin α a M = −M γ + a Hγ sin α ϕ
1
λ
)
a sin ϕ Nθ Et Mθ = a 2 1 −ν 2 ctgϕ − 2 λ M γ 3 + Hγ1 sin α + ν Mϕ a 2λ
ux =
(
4
(
Au niveau du bord (ϕ = α) : ux = 2a λ sin α − λ M + H sin α
Et
d 4Vϕ 4 4 + 4λ Vϕ = 0 dϕ Eq. similaire au cas du cylindre
a
)
)
(
)
(
2 et θϕ = 2λ 2 λ M − H sin α Et a
)
Coque de forme quelconque Si a/t et α sont grands, l’effet de bord est limité à
slim ≅ 2 at ≅ 0.4 a
ωlim ≅ 20° ≅ 0.4 rad
Seule la zone correspondante travaille Æ hors de la zone d’effet de bord, la forme (et même la présence) de la coque est sans conséquence. • On peut donc obtenir la solution complète approchée d’une coque sphérique en superposant les solutions membranaires et flexionnelles (cf. cylindre). • On peut déterminer l’effet de bord de toute coque en y inscrivant une sphère tangente, et donc procéder par superposition pour une coque de révolution de forme quelconque.
Problème de la jonction de coques Etat membranaire Å efforts extérieurs équilibrés uniquement par des efforts internes de type Nϕ Å conditions d’appui telles que les composantes w et θϕ puissent se développer librement Ce n’est en général pas le cas aux jonctions de coques: les déplacements membranaires sont incompatibles et il apparaît des efforts flexionnels locaux qui servent à restaurer cette compatibilité.
Poussée au vide Nϕ = Nθ = −
pa 2
u=0 pa2 (1 −ν ) w= 2Et
Calotte sphérique avec conditions d’appui membranaires R 2π a sin α = pπ a2 sin2 α pa sin α 2 R = Nϕ sin α
→ R= et
Calotte sphérique sur appuis verticaux : la réaction ne peut pas équilibrer l’effort membranaire
Poussée au vide
Apparition d’une poussée au vide P, telle que : R = A + P Le force P (= Nϕ cos α) • provoque un aplatissement de la coque • est du type effet de bord Æ introduit une sollicitation flexionnelle dans la coque Pour limiter ces efforts de bord, on peut placer un anneau raidisseur destiné à reprendre les poussées au vide. Sous l’effet de P, l’anneau se met en traction et la coque reste en état membranaire.
Poussée au vide
Apparition d’une poussée au vide P, telle que : R = A + P Le force P (= Nϕ cos α) • provoque un aplatissement de la coque • est du type effet de bord Æ introduit une sollicitation flexionnelle dans la coque Pour limiter ces efforts de bord, on peut placer un anneau raidisseur destiné à reprendre les poussées au vide. Sous l’effet de P, l’anneau se met en traction et la coque reste en état membranaire.
Types de raccords
Cas 1 : raccord tangentiel. Les efforts membranaires sont alignés, pas de poussée au vide Cas 2 : raccord non tangentiel avec anneau raidisseur. La poussée au vide est reprise par l’anneau en compression et les deux coques raccordées restent en état essentiellement membranaire (effets flexionnels éventuels pour assurer la compatibilité). Cas 3 : raccord non tangentiel sans anneau raidisseur. Etat flexionnel complet, non seulement pour assurer la compatibilité, mais également l’équilibre du système. Cas 4 : Raccord à l’aide d’un tore de révolution. La calotte et le cylindre restent dans un état essentiellement membranaire, mais le tore est très sollicité. De plus les effets flexionnels de compatibilité sont plus importants que dans le cas 2.
Calcul des coques Approche "éléments finis"
Introduction générale Méthodes des éléments finis : AVANTAGES GENERAUX • 1EF: taille petite et forme simple Æ choix rationnel de fonctions d’interpolation (pas évident pour les coques !) • Structure: pratiquement pas de limite de forme et de chargement • Possibilité d’estimer l’erreur commise (pas évident pour les coques !!) INCONVENIENTS • Difficultés de modélisation et discrétisation • Grand volume de données et de résultats • Résolution de problèmes complexes sans maîtrise par l’utilisateur
Exigences relatives aux EF Modèle – Sur quel type de modèle est basé l’EF utilisé (déplacement, contrainte, hybride) ? Convergence – Le modèle converge-t-il vers une solution en raffinant le maillage ? Vers quelle solution ? Å Modes rigides – l’EF peut-il représenter les modes rigides (mouvements de corps rigides sans contraintes) ? Å Modes homogènes – l’EF peut-il représenter les modes à déformation constante ? Å Conformité – la continuité des déplacements est-elle assurée au passage d’un EF à un autre ? Sinon, l’EF vérifie-t-il le patch test ?
Théories et EF Pour mettre au point un EF, nécessité d’évaluer l’énergie de déformation Æ Plusieurs théories possibles: Love-Koiter (coques minces), ReissnerMindlin (coques épaisses), Marguerre ou Donnell (coques surbaissées)… Æ Plusieurs familles d’éléments finis: • Eléments de coque à surface moyenne courbe, d’épaisseur faible ou modérée • Eléments de coque surbaissée • Eléments plans (plaques membranes) d’épaisseur faible ou modérée • Eléments solides tridimensionnels (coque épaisse)
Contrôle d’un EF Pourquoi contrôler un EF de coque ? Coque mince: conformité de type C1 (rotations = fonction des déplacements) Coque d’épaisseur modérée: conformité de type C0 (rotations et déplacements discrétisés indépendamment les uns des autres) Rarement assurée !!! Æ théorème de convergence non vérifié Pas de patch test pour les coques !!!
Contrôle d’un EF Comment contrôler un EF de coque ? • tester les modes rigides (sur un élément et sur un groupe d’éléments); • patch test classique sur un groupe d’éléments de courbure nulle situés dans un même plan (en membranaire et en flexionnel Æ ε cst et χ cst); • tester la sensibilité aux verrouillages (de membrane et de cisaillement); • tester la sensibilité aux différents schémas d’intégration disponibles (différents schémas peuvent même coexister dans un même EF – une sousintégration peut être nécessaire pour éliminer un verouillage, mais risque de provoquer des mécanismes); • réaliser des tests simples, dont la solution analytique est connue; • réaliser des tests type reconnus (Benchmarks).
Contrôle d’un EF – modes rigides Exemple: Elément basé sur Love-Koiter Champs de déplacements discrétisés: u,v et w, avec des fonctions d’interpolation cubiques w = cste : pas mode rigide
y r x
4
1 η,v 3 ζ,w 2 ξ,u
wz = cste (mode rigide) u = 0, v = C sinϕ, w = C cosϕ Ne peut être vérifié qu’à la limite !!
Contrôle d’un EF – verrouillages Verrouillage (ou locking): phénomène de surrigidité artificielle de l’élément fini, qui apparaît lorsque plusieurs composantes du déplacement interagissent de manière déséquilibrée dans l’expression d’une composante de la déformation. Exemple : coque surbaissée 2 types:
ε x = ∂u + ∂w ∂Z
∂X ∂X 2 et cx = ∂ w2 ∂X ∂X
Avec interpolations différentes pour u, w et Z
• Verrouillage de membrane (membrane locking): propre aux éléments courbes. Il apparaît lorsque courbures χ et dilatations ε interagissent: apparition d’un effort membranaire non voulu sous une sollicitation purement flexionnelle Æ tester un élément courbe en flexion pure. • Verrouillage de cisaillement (shear locking): propre aux éléments d’épaisseur modérée. Lié à une interaction entre courbures χ et cisaillements γ: surestimation de l’énergie de déformation en cisaillement Æ tester un élément plan en flexion pure.
Eléments de coque mince • Les plus difficiles à développer et à utiliser. • Deux systèmes de référence possibles: • En coordonnées curvilignes (problème de modes rigides) • En coordonnées cartésiennes
Eléments de coque mince • Les plus difficiles à développer et à utiliser. • Deux systèmes de référence possibles: • En coordonnées curvilignes (problème de modes rigides) • En coordonnées cartésiennes • Problème de surcompatibilité y r x
4 η,v 3 ζ,w ξ,u
(
)(
= β1 + β2ξ + β3ξ 2 + β4ξ 3 γ1 + γ 2η + γ 3η 2 + γ 4η 3
)
= α1 + α2ξ + α3η + α4ξ 2 + α5ξη + α6η 2 + α7ξ 3 + α8ξ 2η + α9ξη 2 + α10η 3 + α11ξ 3η + α12ξ 2η 2 + α13ξη 3 + α14ξ 3η 2 + α15ξ 2η 3 + α16ξ 3η 3
1
2
w(ξ,η ) = wpoutre(ξ ) wpoutre(η )
v(ξ,η ) = idem
48 paramètres !!
u (ξ,η ) = idem
w
12 connecteurs ∂w ∂s par noeuds ∂w r ∂θ ∂2w ∂s r ∂θ
u
v
∂u ∂s ∂u r ∂θ
∂v ∂s ∂v r ∂θ
∂2u ∂s r ∂θ
∂2v ∂s r ∂θ
Eléments de coque mince • Les plus difficiles à développer et à utiliser. • Deux systèmes de référence possibles: • En coordonnées curvilignes (problème de modes rigides) • En coordonnées cartésiennes • Problème de surcompatibilité • Problème du transfert de la rotation de la normale d’un EF au suivant (problème de conformité) θϕ = 1 ⎛⎜ v + ∂w ⎞⎟ = v + ∂w ≈ ∂w ?? ∂ϕ ⎠ r ∂s ∂s r⎝
• Pratiquement impossible à étendre au domaine non linéaire (actuellement quasi-abandonnés).
Eléments de coque mince • Les plus difficiles à développer et à utiliser. • Deux systèmes de référence possibles: • En coordonnées curvilignes (problème de modes rigides) • En coordonnées cartésiennes • Problème de surcompatibilité • Problème du transfert de la rotation de la normale d’un EF au suivant (problème de conformité)
• Pratiquement impossible à étendre au domaine non linéaire (actuellement quasi-abandonnés).
Eléments de coque mince surbaissée • Simplification de la formulation par rapport à Love-Koiter ; • Localement, un élément peut être surbaissé, même si la coque globale ne l’est pas ; • Deux formulations possibles • Coordonnées curvilignes (Donnell) • Coordonnées cartésiennes (Marguerre)
Eléments de coque mince surbaissée • Simplification de la formulation par rapport à Love-Koiter ; • Localement, un élément peut être surbaissé, même si la coque globale ne l’est pas ; • Deux formulations possibles • Coordonnées curvilignes (Donnell) • Coordonnées cartésiennes (Marguerre) • Attention à la convergence de la solution !! Donnell
Solution globale surbaissée
Marguerre
Solution globale à forte courbure Tout type de coque
Uniquement coques surbaissées
Eléments de coque mince surbaissée • Simplification de la formulation par rapport à Love-Koiter ; • Localement, un élément peut être surbaissé, même si la coque globale ne l’est pas ; • Deux formulations possibles • Coordonnées curvilignes (Donnell) • Coordonnées cartésiennes (Marguerre) • Attention à la convergence de la solution !!
Eléments “plaque-membrane” minces • Elément plan, avec superposition d’un champ membranaire et d’un champ flexionnel dissociés
• Plus de couplage local, mais couplage global • Modèle « à facettes » • Cas particulier de Marguerre Æ convergence vers une solution à forte courbure, mais plus lente qu’avec une formulation Marguerre.
Eléments de coque d’épaisseur modérée Eléments tridimensionnels dégénérés • Idée de base: modéliser une coque à l’aide d’éléments solides tridimensionnels • Problèmes: mauvais conditionnement de la matrice de rigidité et augmentation très importante du nombre de nœuds
• Solution: adapter l’élément isoparamétrique à des exigences de comportement de coque, en jouant sur les interpolations et les lois constitutives Normale rectiligne Æ u et v linéaires sur l’épaisseur Normale de longueur constante Æ εz = 0 Contrainte normale négligeable Æ σz ≈ 0
Eléments de coque d’épaisseur modérée Deux formulations possibles 1.
Description ramenée à la surface moyenne
Avantages:
2x moins de nœuds Inconnues statiques: efforts Intersections plus faciles à décrire
Inconvénients:
Problème du 6ème DDL de rotation Pas de possibilité de prendre en compte des effets à travers l’épaisseur
2.
Définition par paires de nœuds sur les faces supérieures et inférieures
Avantages:
absence des DDL de rotation Connexion aisée avec les éléments 3D vrais Prise en compte possible d’effets d’épaisseur
Inconvénients:
Plus de noeuds Intégration numérique sur l’épaisseur, travail en contraintes
Eléments de coque d’épaisseur modérée Intérêts des élément 3D dégénérés: • simplicité de la formulation (isoparamétrique) • géométrie fixée par les coordonnées des nœuds • conformité C0 + modes rigides généralement satisfaits Æ convergence assurée Remarques • pour la deuxième formulation, s’assurer qu’il s’agit bien d’une coque !!! • problème possible de verrouillage d’épaisseur (volume locking), si on veut introduire un effet d’épaisseur. Flexion pure autour de ξ Æ variation linéaire de ση Avec εζ = 1 (σζ −ν (σξ + ση )) Æ εζ linéaire E Mais déplacement linéaire sur l’épaisseur Æ εζ constant !!
Problèmes relatifs à la discrétisation Approximation de la géométrie • Coques à facettes
• Mais même pour des EF coques à courbure Exemple: EF 3D dégénéré isoparamétrique à 3 noeuds Æinterpolation parabolique de la forme
Problèmes relatifs à la discrétisation Approximation de la géométrie • Eléments surbaissés en coordonnées cartésiennes (Marguerre): dislocation le long des frontières
De manière générale, ces approximations ont assez peu d’influence sur le résultat. A considérer au cas par cas. • Contrexemple: raccord coque – raidisseur: risque de surestimer la résistance dans le cas d’une étude de stabilité.
Problèmes relatifs à la discrétisation Arêtes artificielles et moments parasites Exemple: cylindre sous pression Solution théorique: Nϕ = cste et Mϕ = 0 Modèle à facette: création de ‘points durs’ artificiels qui attirent du moment ! Ces perturbations tendent vers 0 en raffinant le maillage
Problèmes relatifs à la discrétisation Problème de conformité dans les maillages à facettes Assurer la continuité des déplacements entre deux éléments adjacents
Cas typique: champ membranaire (u, v) linéaire + champ flexionnel w cubique
Raccord de 2 EF
Problèmes relatifs à la discrétisation Problème du 6ème degré de liberté Pour la plupart des EF coque, la rotation autour de la normale n’est pas alimentée en raideur Æ 5 DDL effectifs Mais les structures étudiées sont spatiales Æ l’assemblage des matrices locales alimentent en raideur les 6 DDL globaux. Nécessité de distinguer les nœuds coplanaires des nœuds non coplanaires et de leur faire subir un traitement spécial, sinon risque de mécanismes
Attention au cas des éléments quasi-coplanaires.
Problèmes relatifs à la discrétisation Problème du 6ème degré de liberté Connexion entre différentes parties de structure utilisant des types d’éléments différents.
Problèmes relatifs à la discrétisation Eléments spéciaux avec introduction d’un 6ème DDL DDL de rotation autour de la normale, associé au comportement membranaire
• Augmentation du degré d’interpolation des champs membranaires (surcompatibilité) • OU rotation normale assimilée à l’angle de rotation moyen des arêtes aboutissant au nœud • OU… Cela améliore le comportement, mais ne résout pas tout (la rigidité associée à ce DDL reste souvent faible Æ le risque de mécanisme peut subsister
Eléments finis particuliers EF coque de révolution • Nœuds = cercles nodaux (parallèles) • Plusieurs manières possibles de décrire le comportement dans le plan méridien • Particulièrement efficace si le chargement est de révolution (sinon artifices utilisant des développements en série le long des parallèles)
Stabilité des coques
Introduction Rappel: phénomènes d’instabilité Poteaux: flambement
Poutre: déversement
Plaques: voilement
Coques: voilement
Cas des coques: structures qui résistent bien grâce à leur forme Æ Faibles épaisseurs (en particulier dans le cas des coques métalliques) Æ Grande sensibilité aux instabilités (locales et globales) De plus, très grande sensibilité aux imperfections initiales !
Sensibilité aux imperfections – cas du cylindre Résultat de l’analyse linéarisée (bifurcation): σ cr =
t E 2 a 3 1 −ν
(
)
Résultat d’essais :
Différences dues aux imperfections: • géométriques: géométrie d’ensemble (tolérances de construction), courbure, épaisseur, positions des charges, conditions d’appui • matérielles: contraintes résiduelles, retrait, fluage, fissuration, dispersion des propriétés mécaniques, hétérogénéités diverses (bois, béton)
Sensibilité aux imperfections – cas du cylindre Au contraire des plaques et poutres, comportement non linéaire (même élastique) radicalement différent du comportement critique linéarisé:
Bifurcation Æ divergence avec point limite
Etude de stabilité Comment traiter le problème en pratique ? • Calcul numérique non linéaire, pour autant que tous les paramètres puissent être pris en compte (grands déplacements, non linéarités matérielles, imperfections…) • problème numériquement complexe • besoin de lois matérielles bidimensionnelles • imperfections mal connues, voire pas connues du tout • Essais de laboratoire: validation préalable à la construction ou utilisation de résultats d’essais existants. Attention aux conditions de construction ! • Normalisation: utilisation de réglementations (par exemple EC3 partie 17). Attention au domaine d’utilisation des formules proposées ! • De manière générale, surtout penser aux dispositions constructives (forme de la coque, raidissage adéquat…)
Formes rationnelles des coques Coque ou cylindre sous pression (théorie linéarisée):
()
2 pcr,sphère = E t 2 a 3 1 −ν
(
)
2
pcr,cylindre =
()
t 1 2 E a 4 1 −ν
(
)
3
Æ Conclusions qualitatives • Coques à double courbure plus stables que coques à simple courbure • La diminution du rayon de courbure augmente la stabilité (éviter de construire trop surbaissé) • L’augmentation de l’épaisseur augmente la stabilité (problème de fissuration du béton) • L’augmentation du module élastique augmente la stabilité D’autre part, les bords libres sont souvent très sensibles au risque d’instabilité Æ solutions: épaississage local, accroissement local de la courbure, raidissage…
Approche normative Voilement d’un cylindre en acier (recommendations CECM) • Définition de la qualité de fabrication de la coque, par mesure des imperfections à l’aide d’une latte rectiligne de longueur Lcr = 4 at
Bonne qualité:
w = 0.01 Lcr
Qualité standard: w = 0.02 Lcr Æ Facteur de réduction α (sur base d’une exploitation statistique d’essais)
Approche normative • Courbe adimensionnelle de voilement ⎧1 − 0.4123 λ ⎪ σ =⎨ 3 ⎪⎩ 4 λ 2
1.2
si λ ≤ 2 si λ ≥ 2
σ =
avec λ=
σu σe σe α σ cr
Coques à double courbure gaussienne positive Ordre de grandeur (pour prédimensionnement): Avec
coques en aluminium η ≅ 0.32 coques en béton
η ≅ 0.10
coques en acier
η ≅ 0.15
2 t pu ≅ η E rmax rmin
