INDUCCIÓN A LA LÓGICA Robinson Calfual NIVELACIÓN MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS Instituto IACC 01 de a!"o del #01$
Desarrollo
p≡ F
1. Si
;
q ≡V
;
⌐ r ≡ F , determine el valor de verdad de
( p ∨ q ) ⇒ ( r ∧ q ) a) %a!a
!esol&e! este e'e!(i(io) teneos *ue sabe! *ue este (o!!es+onde a una i+li(an(ia) sin eba!,o +a!a +ode! desa!!olla!lo ne(esitaos !esol&e! el +!ie! +a!-ntesis el (ual (o!!es+onde a una dis.un(i/n) +o! lo *ue (abiaos el &alo! de &e!dad en las +!o+osi(iones si+les) *ue .a (ono(eos se,n el enun(iado
( p ∨ q ) ( F ∨ V ) Al !esol&e! este +a!-ntesis nos da *ue la +!o+osi(i/n ad*uie!e el &alo! d &e!dad ( F ∨ V ) ≡V b) El
se,undo +aso a !eali"a! es !esol&e! el se,undo +a!-ntesis) el (ual (o!!es+onde a una (on'un(i/n) +o! lo *ue (abiaos los &alo!es *ue .a sabeos en las +!o+osi(iones si+les
( r ∧ q ) ) (oo sabeos *ue el &alo! de
⌐r≡F
2 el &alo! de
r ≡V
( V ∧ V ) ) Al !esol&e! esta (on'un(i/n obtend!3aos *ue el &alo! es de &e!dad ( V ∧ V ) ≡ V c) Coo .a sabeos abos &alo!es de los +a!-ntesis) +odeos desa!!olla! la i+li(an(ia
( V ⇒ V ) ≡ V Respuesta:
2. Si
El &alo! de la e4+!esi/n ad*uie!e un &alo! de &e!dad
( p ⇒ q ) ∨ ( r ∧ ⌐ q )
( p ∨ q ) ⇒ ( r ∧ q ) ≡ V
, Determine el valor de verdad de p, q y r .
a) Para poder resolver el ejercicio, tenemos que saber que corresponde a disyunción, por lo que al saber esto sabemos que de la única manera que la expresión adquiera un valor falso, ambas expresiones compuestas también deben adquirir el valor de falso.
( p ⇒ q ) ∨ ( r ∧ ⌐ q ) ≡ F F ∨ F ≡ F
b) Lo segundo que debemos realizar es la resolución del primer paréntesis. ( p ⇒ q ) ≡ F , Para resolver esta expresión, debemos saber que esta corresponde a una implicancia, por lo que según la tabla de implicancia el primer el valor es verdadero y el segundo falso, entendiendo que la proposición compuesta es falsa en el caso verdadero implica falso.
( V ∨ F ) ≡ F Por lo tanto tenemos que
p≡ V
!
q ≡ F
y a su vez
⌐q≡V
c) "l siguiente paso es resolver el segundo paréntesis, en el cual igual ⌐q≡V , debemos obtener un valor falso! como ya tenemos el valor de podemos reemplazarlo en la proposición compuesta.
( r ∧ ⌐q ) ≡ F ( r ∧ V ) ≡ F , #omo ya tenemos uno de los valores y entendiendo que la conjunción nos da con un valor falso, cuando la segunda proposición posee un valor verdadero y la primera proposición un valor falso, para que se cumpla el valor de la proposición compuesta, quedando esta de la siguiente manera ( F ∧ V ) ≡ F , Por lo tanto el valor de es falso r ≡ F Respuesta: Por lo tanto tenemos que
p≡ V
!
q ≡ F
,
⌐q≡V
y
r ≡ F
3. Traduzca el lenguaje lógico y determine el valor de verdad de la siguiente proposición: “Si Santiago es la capital de !ile y !ile pertenece al continente americano, entonces las personas "ue nacen en Santiago tambi#n nacen en el continente americano$. a) Para resolver la primera parte del enunciado debemos expresión a un lenguaje lógico.
traducir la
p $antiago es la capital de #%ile. q #%ile pertenece al continente americano. r Las personas que nacen en $antiago también nacen en el continente americano. b) $abemos que todas las proposiciones adquieren un valor de verdad, quedando estas de la siguiente manera p≡ V q ≡V r ≡V
c) "l siguiente paso debemos escribir y resolver la proposición compuesta quedando esta as&
( p ∧ q ) ⇒ r #ambiamos los valores de las proposiciones simples
( V ∧ V ) ⇒ V 'ebemos resolver el primer paréntesis o mejor dic%o la primera proposición compuesta, la cual es una conjunción, las cuales al ser dos proposiciones verdaderas el resultado de la expresión de la proposición compuesta adquiere un valor de verdad.
( V ∧ V ) ≡ V #omo ya sabemos el valor de la primera proposición compuesta, continuamos desarrollando la implicancia la cual adquiere un valor real debido a que ambas proposiciones simples tienen valor de verdad.
( V ∧ V ) ⇒ V V ⇒ V ≡ V V
La proposición compuesta adquiere un valor de verdad, debido a que todas las proposiciones simples también tienen valor de verdad, adem(s que cada proposición compuesta adquirió un valor de verdad al ser desarrollada. Respuesta:
Bibliografía
-Contenidos de la semana 1 !ntrod"cci#n a la l#gica). -$oro semana 1 -%ec"rsos adicionales.
