CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL 1º.- Una pelota de 250 g con una velocidad de 10 m/s es golpeada por un jugador y sale en la misma dirección pero en sentido contrario con una velocidad de 15 m/s. Sabiendo que la duración del golpe es 0,01s, hallar la fuerza media ejercida por la pelota sobre el jugador I=∆P
F . t = m ∆V
F=
m∆V t
=
m(v f − vo ) t
−3
250.10 Kg (−15m / s − 10m / s) = - 625 N 0'01s
F=
2º.- Se tiene un bloque de madera de masa 1 Kg que cuelga de un hilo de 2 m de longitud que está fijo por el otro extremo. Se dispara una bala de 10 g sobre el bloque quedando incrustada en él. a) Si el conjunto bala-bloque se elevara un ángulo de 60º sobre la vertical ¿cuál sería la velocidad del proyectil? b) ¿ Cuál debe ser la velocidad mínima a la que debe llegar la bala para que el conjunto bala-bloque describa una circunferencia vertical? Rª: V = M+m/m (2 µgx)1/2 a)
mv=(M+m)V
x
m
M +m
M + m
V’
mv=(M+m)V P
P+T=(M+m)
T
T=0
1 1 ( M+m) V2 = ( M + m ) g 2 r + ( M + m ) r g 2 2 M + m m
V
1kg + 0'01kg 2.9'8m.s −2 1m = 451’68 m/s 0'01kg
V '
2
r
r=l
P = ( M + m ) g =( M + m )
v=
m
h = l – x = l – l sen 60º = 2 m – 2 .0’5 m = 1 m
2.g.h =
m
b)
M + m
1 ( M+m) V2 = ( M + m ) g h 2 V = 2.g.h
60º l
v=
v=
5gr =
V=
1'01kg 5.9'8.2 m/s = 1010 m/s 0'01kg
V '
2
r
⇒ V ’2 = r g
4 gr + gr = 5 gr
3º.- Una bala de masa m se introduce en un bloque de madera de masa M que está unido a un resorte espiral de constante de recuperación K. Por el impacto se comprime el resorte una longitud x. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el suelo es µ, calcular en función de estos datos la velocidad de la bala antes de choque. Mv=(M+m)V
1 1 ( M + m ) V 2 = K x2 + µ ( M + m ) g x 2 2 M + m Kx 2 + 2 µ ( M + m) gx
v=
2
2
V =
Kx + 2 µ ( M + m) gx M + m
M + m
m
4º.- Una bala de masa m animada de velocidad v se incrusta en un bloque de masa M que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal Como consecuencia del impacto el bloque desliza una distancia x por la superficie. Llamando µ al coeficiente de rozamiento, deducir la fórmula que permite hallar la velocidad del proyectil en función de los datos anteriores. ¿Qué energía se ha perdido en el choque? Rª: V = M+m/m (2 µgx)1/2 mv=(M+m)V
1 ( M + m ) V 2 = µ ( M + m ) g x 2
⇒ V=
2 µ .g. x
M + m
2 µ .g. x m ∆ E = Eo – Ef = ½ m v2 - ½ ( M + m ) V 2 v=
5º.- Dos cuerpos de 6 y 9 Kg, que se mueven con velocidades de 2 m/s y 3 m/s, respectivamente, efectúan un choque frontal. Si después del choque permanecen juntos, calcular la velocidad final: a) si se movían en sentidos contrarios ( 1 m/s ) b) si se movían en el mismo sentido, alcanzando el más rápido al más lento. ( 2,6 m/s ) a) •
•
m1 = 6 Kg v1 = 2 m/s V=
m2 = 9 Kg v2 = 3 m/s
m1v1 − m 2 v 2 m1 + m2
=
m1 v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 ) V m1 v1 – m2 v2 = ( m1 + m2 ) V
6 Kg.2m / s − 9kg.3m / s − 15 Kg.m / s = = - 1 m/s 15 Kg 15 Kg
b) •
•
m1 = 6 Kg v1 = 2 m/s V=
m2 = 9 Kg v2 = 3 m/s
m1v1 + m2 v 2 m1 + m2
=
m1 v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 ) V m1 v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 ) V
6 Kg.2m / s + 9kg.3m / s 39 Kg.m / s 39 = = m/s = 2’6 m/s 15 Kg 15Kg 15
6º.- Dos cuerpos de masa 2 y 4 kg respectivamente se mueven sobre una misma recta en sentidos opuestos, con velocidades de 4 y 6 m/s. Después del choque elástico ( los dos quedan unidos ) ¿Cuál será su velocidad? Sol: 2’7 m/s
•
•
m1 = 2 Kg v1 = 4 m/s
m2 = 4 Kg v2 = 6 m/s
8 – 24 = 6 V
V=
m1 v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 ) V m1 v1 – m2 v2 = ( m1 + m2 ) V
= - 2’7 m/s el signo menos indica que se desplaza hacia la izquierda
7º.- Un depósito de masa M = 20 Kg se mueve a una velocidad de 15 m/s por una superficie horizontal sin rozamiento. Verticalmente cae agua en el depósito a la velocidad de 1 l/s. Calcular: a) Expresión de la velocidad del depósito en función del tiempo. b) La velocidad del conjunto cuando el depósito lleva 30s en movimiento. c) Expresión de la posición en función del tiempo. a) P = Cte V=
Po = P f
m M + m.t
M.V = ( M + m.t ) v
v
20 20 15m / s = .15m / s = 6m / s 20 + 1.30 50 ln( M + m.t ) M .V dt c) s = ∫ Vdt = ∫ dt = M .V ∫ = M .V M + m.t M + mt m b) V =
8º.- Un depósito de 50 Kg se mueve sin rozamiento a una velocidad de 10 m/s por una superficie horizontal. Verticalmente cae dentro del depósito 1 litro de agua por segundo.. Calcula la expresión que proporciona la velocidad con que se mueve el depósito en función del tiempo e indica con que velocidad se moverá cuando contenga 20 litros de agua
P = Cte
Po = P f
M.V = ( M + m.t ) v
50 Kg.10m / s 500 m/s = (50 + 1.t ) kg 50 + t M + m.t 500 500 V= m / s = m / s = 7'14 m / s 50 + 20 70
V=
m
v =
9º.- Desde la plataforma de un vagón se efectúa un disparo formando un ángulo de 60º con la dirección de las vías. Si la bala sale a 500 m/s y tiene una masa de 2 Kg, calcular el tiempo que tarda en pararse el conjunto vagón-cañón de 500 kg, considerando un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,4. ( 0,25 s )
P
P y
)60º P = m V = 2 Kg 500 m/s = 1000 Kgm/s ; P x P cos α = 1000 Kgm/s.0’5 = 500 m/s Pr = M.vr Px = Pr = M.vr
vr =
P x
=
M R = µ N = µ Mg
µ = 0’4
Vf = Vo – a t
0 = Vo – a t
500 kgm / s = 1 m/s 500 kg µ Mg = ma
t=
V o a
=
a = µ g 1m / s
0'4.9'8m / s 2
= 0’25 s
10º.- Un tractor de 7500 Kg marcha hacia el este con una velocidad de 5 m/s y choca con un automóvil de 1500 Kg que lleva una velocidad de 20 m/s y se dirige en la dirección sudoeste formando 30º con el este. Los dos vehículos quedan empotrados después del choque. Calcular la velocidad y la dirección que llevarán después del mismo. Px,t = mt vt = 7500 Kg.5 m/s = 37.500 Kg m/s Px,a = ma va = 1500 Kg.20 m/s
Px,a
)30º Pt
Pa
Py,a
Px,I = Px,t + Px,a = 37500 Kgm/s – 26000 Kgm/s = 11500 Kgm/s Py,a = ma va sen 210 = - 1500 Kg 20 m/s .0’5 = - 15000 Kgm/s Px,I = Px,f
Px,f = 11500 kgm/s Pf =
P = Cte
Py,I = Py,f
V=
2 2 P x , f + P y , f
m1 + m2
θ = arc tg
− 15000
11500
3 = 26000 Kg m/s 2
=
Py,f = 15000 kgm/s
18900kgm / s = 2’1 m/s 9000kg
= arc tg ( - 1’3 ) = - 52º
P x2, f + P y2, f = (m + m ) V 1 2
11º.- Una bala de masa m = 20 g se lanza horizontalmente sobre un bloque de madera de masa M = 2 Kg, suspendido por su centro de gravedad de un hilo inextensible, quedando empotrada en él. Después del impacto, el bloque oscila experimentando un desplazamiento vertical de 10 cm. Calcular la velocidad que lleva la bala en el momento del impacto . Rª: 141,4 m/s P = Cte
mv=(M+m)V
Po = P f
Eco = Epf V= v=
½ ( M + m ) V2 = ( M + m ) g h
2.g.h
M + m m
V =
2'02kg 2.9'8m / s 2 0'1m = 141’4 m 0'02kg
h = 10 m
12º.- Un proyectil en la cúspide de su trayectoria lleva una velocidad v y se rompe en tres trozos iguales. Uno de ellos sale despedido hacia atrás con una velocidad v 1 = v/2 y los otros dos salen hacia adelante formando ángulos de +60º y -60º con respecto a la horizontal. a) Calcular la velocidad de estos dos trozos b) ¿En qué orden llegarán a tierra?
P2,y V2,y P1
m /3 m /3 M /3
m, v V2
V1
V2,x V3,x
P2,x
V2,x = V2 cos 60 = ½ V 2
P3,x
V2,y = V2 sen 60 = V3,y P3,y
V3
P = Cte ⇒ ∆ P = 0 ⇒
V1 = V / 2 V2 V3
3
2 V2
α = 180 º β = 60º γ = - 60º
V3,x = V3 cos (-60) = ½ V 3 V3,y = V3 sen (-60) = -
Pi = P f
Px = Cte. ⇒ Px,i = Px,f
Px,i = m V
P = Cte ⇒
P2,y = P3,y
Py = Cte. ⇒ Py,I = Py,f Py,I = 0 ⇒ P2,y = P3,y m m ; V2 sen 60 = V3 sen 60 ⇒ V2 = V3 = V’ ⇒ V2,x = V3,x =
3
3
m1 m V 1 V’ + V’ 32 32 3 2 mV ' mV ' mV mV= ⇒ 6 V = V’ + V’ – V + − 6 6 6
Px,f =
1 V’ 2
m
⇒ 7 V = 2 V’
V’ =
7 V 2
3
2 V3
13º.- Un proyectil de 10 Kg de masa se dispara con un ángulo de 30º por un cañón cuya parte móvil ( que recibe el retroceso del disparo ) pesa 500 Kg. Si el alcance del disparo es de 8 Km: a) ¿ Cuál es la velocidad de salida del proyectil ? El retroceso se frena con un resorte ideal de constante K = 1800 N/m, que supondremos sin masa y sin mortiguamiento. b) Calcula la energía que es capaz de almacenar c) ¿ Cuál ha de ser su longitud mínima ? d) ¿ Cuál su periodo de oscilación ? a)
Vx = v cos α
α = 30º, x = 8000m
V
x = V cos α t
Vo,y = V sen α
y = V sen α -
t=0
1 2 g t = 0 2
V sen α t -
X = V cos α
t=
2Vsenα g
= = 304’9 m/s
V
=
2
1 2 gt 2
2Vsenα g
2.senα .. cos α g
V=
x.g
2senα . cosα
8.10 4 = = sen2α 2.0'5.0'86 x.g
V = 305 m/s
b) mv=MV Ec = c)
V=
m M
v=
10 304'9 m/s = 6’09 m/s = 6 m/s 500
1 1 M V2 = 500 kg 36 m2 /s2 = 9000 J 2 2
Ec = Epe =
1 2 Kx 2
x=
2.9000 J = 10 m = 3’16 m 1800 N / m
d) F = m.a = - m w 2 x = - k x 2
a) k = m w = m T=
4π 2 m k
4π 2 T 2
= 2π .
500 s= 1800
14º.- Sobre una masa M = 5 Kg, situada en un plano horizontal, se dispara un proyectil en una dirección que forma un ángulo de 30º con la horizontal y de masa 250 g. Después del impacto el conjunto masa-proyectil recorre 50 m hasta pararse. Determinar la velocidad del proyectil sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la masa y el plano es 0,4.
30º (
M
P 0 = P f
P0,x = Pf,x
m v cos α = ( M + m ) V
1 ( M + m ) V 2 = µ ( M + m ) g x V = 2 µ gx 2 5'25kg M + m 2 µ gx = v= 2.0'4.9'8m.s −2 50m = 488’3 m/s m cos α 0'25kg.0'86
15º.- Sobre una masa de 2 Kg que está al pie de un plano inclinado 30º se dispara un proyectil de masa 20 g que queda incrustado en ella. El conjunto asciende por el plano y comprime 40 cm un muelle de constante K = 400 N/m que se encuentra en la parte más alta del mismo. El espacio total recorrido por el conjunto es de 2 m y el coeficiente de rozamiento entre la masa y el plano es de 0,2. Determinar la velocidad del proyectil. mv=(M+m)V
Eco = WFR + Epg + Epe
1 1 ( M + m ) V 2 = µ ( M+m g ) cos α . x + ( M + m ) g e sen α + K x2 2 2 2 µ ( M + m) g cos α . x + 2( M + m) g.e.senα + K . x 2 V= ( M + m) V=
2'02kg 2.0'2.2'02kg.9'8m.s −2 0'86.2m + 2.2'02kg.9'8m.s −2 .0'5 + 400 N .m −1 .0'16m 2 V = m 0'02kg 2'02kg
M + m
= 749’87 m/s 16º.- Un cuerpo inicialmente en reposo explota y se divide en tres fragmentos iguales: uno vuela hacia el oeste a 80 m/s, otro hacia el sur a 60 m/s. ¿Cuál es la velocidad y dirección del tercero? ( 100 m/s; 36º52´11´´) ¿Cuál es la velocidad de cada fragmento respecto al centro de masas?
P 1 = m.v 1
m.v3 = P 2 = m.v 2
α = arctg
P1 + P 2 + P 3 = 0
P o = P f
P3
v3 =
2 2
2 2
2
P3 = P 1 + P 2
2
m v1 + m v2 = m v1 + v 2 2
2
v1 + v 2 =
80 2 + 60 2 = 100 m/s
60 = 36’869º = 36º52’11’’ 80
17º.- Un proyectil de 10 g de masa se mueve horizontalmente con una velocidad de 400 m/s y se empotra en un bloque de 300 g de masa que está en reposo sobre una superficie pulida. ¿ Qué velocidad adquiere el conjunto bloque-proyectil ? ( 12,9 m/s ) P = Cte
Po = P f
m v = ( m + M) V 10.10 −3 Kg.400m / s m V= = 12’9 m/s v = M + m. 310.10 −3 kg
18º.- La velocidad con que se mueve una granada es 2 m/s en dirección horizontal. Estalla y se divide en tres fragmentos de la misma masa. Uno de ellos sigue desplazándose horizontalmente, con una velocidad de 4 m/s, otro se desplaza hacia arriba, en una dirección que forma un ángulo de 60º con la horizontal y el tercero se desplaza hacia abajo, formando también un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula la velocidad con que se mueve el segundo y tercer fragmento. ( v 2 = v3 = 2 m/s ) P i = P f
P2,y
P2 = m2V2 = m V2
3m Pi = 3 m Vi
P2,y = m V2 sen 60 P2,x = m V2 cos 60
)60º
•
)60º P3,y
P1 = m1 V1 = m V1 P3 = m3V3 = m V3
P3,y = m V3 sen 60 P3,x = m V3 cos 60
m V2 sen 60 = m V 3 sen 60 ⇒ V2 = V3 = V 3m Vi = m V1 + m V cos 60 + m V cos 60 3 m 2 = m 4 + m V 0’5 + m V 0’5 6 m = 4 m + m V ; 6 = 4 + V ; V = 6 – 4 = 2 m/s
ΣPy = 0 ΣPx,f = Px,I
19º.- Un cañón de 500 Kg de masa desliza por un plano inclinado 10º. En el instante en que su velocidad es 2 m/s, dispara un proyectil de 5 Kg, en dirección paralela al plan, dirigido hacia abajo. Calcula la velocidad con que se dispara el proyectil si se sabe que, como resultado del disparo, el cañón asciende, deteniendo su movimiento 2 s después. Desprecia los posibles efectos del rozamiento. ( 540 m/s ) V
N Px = m g sen α
Py
10º = α ( P
mg sen α = m a Vf = Vo – a t Vo = Vr = a t = g sen α t
a = g sen α 0 = Vo – a t
M.Vc = M Vr + m Vb P i = P f 500 kg . 2 m/s = - 500 Kg .2 s . 9’8 sen 10º m/s 2 + 5 Kg Vb 1000 + 500.2.g.sen10º 1000 + 1701'75 Vb = = 540 m/s =
5
5
20º.- Un pez de 6 Kg de masa se desplaza con una velocidad de 0,4 m/s hacia la derecha. Se traga otro pez de 250 g de masa, que nada hacia él con una velocidad de 1,6 m/s. ¿ Con qué velocidad se moverá el pez grande inmediatamente después de la comida ? ( 0,32 m/s )
•
•
m1 = 6 Kg v1 = 0’9 m/s V=
m2 = 0’25 Kg v2 = 1’6 m/s
m1v1 − m2 v2 m1 + m2
=
m1 v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 ) V m1 v1 – m2 v2 = ( m1 + m2 ) V
6 Kg.0'4m / s − 0'25Kg.1'6m / s 2'4 Kg.m / s − 0'4 Kg.m / s = = 0’32 m/s 6'25Kg 6'25Kg
21º.- Una partícula de 2 Kg de masa se mueve sobre el eje de ordenadas, en sentido positivo, con una velocidad de 4 m/s. Otra partícula de 1,5 Kg se mueve sobre el eje de abscisas, también en sentido positivo, con una velocidad de 3 m/s. Tras el choque, que se produce en el origen de coordenadas, la primera partícula se mueve en el primer cuadrante en una dirección que forma un ángulo de 60º con el eje de abscisas. Su velocidad es 2 m/s. Calcula la velocidad con que se moverá la otra partícula tras la interacción. ( 3,45 m/s, α = 61º 14,8´) P1 = m1 v1 Pi = P1 + P2
Pi
Pi,x = m2 v2 = 1’5 kg.3m/s = 4’5 Kg m/s P1,y = m1 v1 = 2 kg.4m/s = 8 Kg m/s
P2 = m2 v2
P1, f = m1 v1`' P1,f x = m1 v1,x = m1 v1 cos 60º = 2 Kgm/s P1,f y = m1 v1,y = m1 v1 sen 60º = 2 Kg 2 m/s 0’866 = 3’464 Kgm/s
P 2, f = m2 .v' 2
P2,f,x = m2 V’2,x = 1’5.V’2,x
P 1, f = m1 .v'1
P2,f,y = m2 V’2,y = 1’5.V’2,y
4'5 − 2 = 1’66 m/s 1'5
ΣPx = Cte
Px,i = Px,f
⇒ 4’5 = 2 + 1’5 V’2,x
V’2,x =
ΣPy = Cte
Py,I = Py,f
⇒ 8 = 3’464 + 1’5 V’2,y
V’2,y = 3’024 m/s
V2 = V 22, x + V 22, y = α = arc tag
V 2, y V 2 , x
1'66 2 + 3'024 2 = 11'90 = 3’449 m/s = 3’45 m/s
= arctg
3'024 = 61’23º 1'66
22º.- Un resorte elástico se comprime, utilizando para ello dos masas de 12 y 4 Kg respectivamente, apoyadas en sus extremos. En cierto instante se liberan las masas, que comienzan a moverse en sentidos opuestos. Si la masa de 12 Kg se mueve con una velocidad de 5 m/s hacia la izquierda, encontrar: a) la velocidad con que se moverá la masa de 4 Kg ( 15 m/s ) b) la energía cinética de las masas antes y después de dejarlas en libertad ( E co = 0, Ecf = 600 J ) c) calcula el trabajo realizado por las fuerzas internas del sistema (600J) d) ¿cuál es la velocidad del centro de masas tras dejar libres las masas ?( 0 ) e) Calcula la energía cinética que posee el sistema referida al centro de masas. ( 600 J ) m1 = 12 Kg, v1,o = 0 m2 = 4 Kg, v2,o = 0 a) Po = P f
v1,f = - 5 m/s v2,f ?
0 = m1 v1,f + m2 v2,f
v2,f =
− m1v1, f m2
=
− 12Kg.(−5m / s)
4 Kg
b Ec0 = 0 Ecf =
= 15 m/s
1 1 1 1 m1 v12, f + m2 v 22, f = 12 Kg .25m 2 .s − 2 + 4 Kg .225m 2 .s − 2 = 150 J + 450 J = 600 J 2 2 2 2
c) W = ∆ Ec = 600 J m1v1, f + m2 v2, f 12Kg (−5m / s) + 4 Kg.15m / s = a) VCM = = 0 16Kg m1 + m2
Ó V CM =
m1 .v1 + m2 .v 2
M u1 = v1,f – VCM = -5 m/s – 0 = - 5 m/s u2 = v2,f – VCM = 15 m/s – 0 = 15 m/s
e) ó
u 1 = v1 − V CM = - 5 i u 2 = v 2 − V CM = 15 i
Ec =
1 1 1 1 m1u12 + m2 u 22 = 12Kg .25m 2 .s − 2 + 4 Kg.225m 2 .s − 2 = 150 J + 450 J = 600 J 2 2 2 2
23º.- Se dispara una bala de 500 g contra un bloque de madera de 1,5 Kg suspendido de un hilo de 2 m de longitud. La bala se incrusta en el bloque. El conjunto se eleva formando el hilo un ángulo de 60º con la posición inicial. ¿ Con qué velocidad se disparó la bala ? ( 17,8 m/s ) a) l=2m h
h = l cos 60º = 2m.0’5 = 1 m
60º l M+m
m
v=
M +m
M + m
m Ec,p = Ep,g
h’ = l – h = 2m + 1 m = 1m
2.g.h =
1kg + 0'01kg 2.9'8m.s −21m = 451’68 m/s 0'01kg
1 ( M+m) V2 = ( M + m ) g h 2 V = 2.g.h Pb = Pc
mv=(M+m)V v=
v=
M + m m
V =
M + m m
2.g.h
2 Kg 2.9'8m / s 2 .1m = 17’88 m/s 0'5Kg
24º.- Disparamos una bala de masa m contra un bloque de madera de masa M, unido a un muelle cuya constante elástica es K. Tras el choque la bala queda incrustada dentro del bloque, desplazándose el sistema, de forma que el muelle se contrae una longitud x. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el suelo es µ, se pide: a) La expresión de la velocidad de la bala en el instante de su impacto en función de los datos anteriores b) Particularizar la expresión anterior al caso en que m = 5 g, M = 995 g, x = 5 cm, K = 10 N/cm, µ = 0,4. mv=(M+m)V
v=
M + m m
V
1 1 ( M + m ) V2 = K x2 + µ ( M + m ) g x 2 2 2
V=
K . x + 2. µ .( M + m) g. x M + m
1000 N .m −1 25.10 −4 m 2 + 2.0'4.1Kg.9'8m.s −2 5.10 −2 m V= = 2'9 m/s 1Kg v=
M + m m
V =
1kg 2'9 m/s = 340 m/s 5.10 −3 kg
25º.- Un muchacho de 50 Kg de masa persigue corriendo a otro, de la misma masa, que circula montado en una bicicleta, cuya masa es 20 Kg. La bicicleta se mueve con una velocidad de 10 km/h y el muchacho salta sobre el asiento posterior con una velocidad de 15 Km/h. Calcula la velocidad de la bicicleta tras subir el segundo muchacho. ( 12,08 Km/h ) P = Cte
Po = mm Vm + ( mb + mm ) Vb Pf = ( 2 mm + mb ) V 50 Kg.15 Km/h + ( 50 kg + 20 kg ) 10 Km/h = 120 kg V 750 Kg.Km / h + 700 Kg.Km / h V= = 12’08 km/h 120kg Po = P f
26º.-Una canica de 10 g de masa se lanza con una velocidad constante de 10 m/s sobre una bola de billar de 250 g, inicialmente en reposo. Tras el choque la canica rebota hacia atrás con una velocidad de 4 m/s. Calcula la velocidad con que se mueve la bola de billar. m1 = 10 g
v1 = 10 m/s
v1' = - 4 m/s
m2 = 250 g
v2 = 0
v 2' ?
Po = P f
m1.v1 i = - m1 . v1' .i + m2 v 2' r
' v2
=
(m1.v1 +
' m1 v1
. )i
r
m2
(10.10 −3 kg.10m / s + 10.10 −3 kg.4m / s)i 14 = = i m / s = 0'56i m / s 25 250.10 −3 kg r
r
r
ó m1.v1 = - m1.v’1 + m2 v’2 ' ' m1 .v1 − m1 .v1 m1 (v1 − v1 ) 10 g (10 + 4)m / s 14 = = = v’2 = m/s 250g 25 m2 m2 27º.- Un disco de hockey A, en reposo sobre una superficie lisa de hielo, es golpeado por un segundo disco B, de igual masa, que se mueve a 30 m/s y es desviado 30 o de su dirección. El disco A adquiere una velocidad que forma un ángulo de 60 o con la dirección inicial de B. Determinar: a) La velocidad de cada disco después del choque . b) La velocidad del C.M. c) ¿ Es perfectamente elástico el choque ? En caso negativo, ¿qué fracción de la energía cinética inicial de A se pierde? B )30º B
A
A
a)
m.vB = m v’B cos 30º + m v’A cos 60º 0 = m v’B sen 30º + m v’ A sen 60º
vB = v’B cos 30º + v’ A cos 60º v’B sen 30º = v’A sen 60º
3 + v’ 1 = v’ ( 3 + 1 ) = 2 v’ A A A 2 2 2 2 m.v A + m.v B v = B = 15 m/s b) VCM = ó 2m 2 3
vB = v’A
v’A =
v B
2
= 15 m/s;
=> v’B = v’B =
3 v’A
3 .15 m/s
3 1 4 + 15. 15 m.v' B cos 30º + m.v ' A cos 60º 2 2 2 = = VCM,x = =15 m/s 2m 2 2 1 3 − 15. 15 3 m.v' B sen30º + m.v ' A sen60º 2 2 = O VCM,y = = 2m 2 15 3
VCM =
V x2 + V y2 = 15 m/s
1 m v B2 2 3v B 2 1 v B2 1 3v B 2 1 v B2 1 1 1 '2 1 '2 Ecf = m v B + m v A = m ( ) + m = m ( + m = m 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 3 1 1 v B2 ( + ) = m v B2 = Eco Si es perfectamente elástico. 4 4 2
d) Eco =
28º.- En el cañón sin retroceso de 70 mm la masa del proyectil con su espoleta es de 7 Kg y la velocidad del mismo 200 m/s. Calcular la masa de los gases producidos en la combustión de la carga de proyección, teniendo en cuenta que la velocidad de salida de los mismos es de 700 m/s. Rª: 2 Kg.
∆P = 0
P1 + P2 = 0
;
m1 v1 = m2 v2
m1 = 7 Kg v1 = 200 m/s m2?
V2 = 700 m/s
m2 =
m1 .v1 v2
=
7 kg.200m / s = 2 kg 700m / s
29º.- Un hombre de 80 Kg, que se encuentra de pie sobre una superficie helada, arroja horizontalmente una pelota de 100 g con una velocidad de 25 m/s. a) ¿En qué dirección y con qué velocidad comenzará a moverse el hombre? b) Si el hombre arroja 4 de estas pelotas cada 3 s, ¿cuál es la fuerza media que actúa sobre él? (Se supone nulo el rozamiento) Rª: a) -0,03 m/s; b) 3,33 N.
a) P = Cte.
m1 v1 + m2 v 2 = 0 m2 .v 2
v1 = − b) F.t = m.v1
F=
m.v1 t
m.
m1
=
− 0'1kg.25m / s
80kg
m.v1 = 4 m2 v2
4m2 v 2
=
m t
=
m1 v1 = m2 v2
4m2 v 2 t
v1 =
= - 0’03 m/s
4m2 v 2 m
4.0'1kg.25m / s 10 = N 3s 3
=
30º.- Sobre un trozo de madera cuya masa es 20 Kg hacemos un disparo de fusil. Teniendo en cuenta que en el momento del impacto el proyectil (m=40 g) lleva una velocidad de 300 m/s y suponiendo que el proyectil queda incrustado en la madera, calcular la velocidad que adquiere el conjunto madera-proyectil . Rª: 0,59 m/s P = Cte
Po = P f
mv=(M+m)V
40.10 −3 kg.300m / s V= = 0’598 m/s = 0’60 m/s = 20'04kg M + m m.v
31º.- En el cañón sin retroceso de 70 mm la masa del proyectil con su espoleta es de 7 Kg y la velocidad del mismo 200 m/s. Calcular la masa de los gases producidos en la combustión de la carga de proyección, teniendo en cuenta que la velocidad de salida de los mismos es de 700 m/s. Rª: 2 Kg.
∆P = 0
P1 + P2 = 0
;
m1 v1 = m2 v2
m1 = 7 Kg v1 = 200 m/s m2?
V2 = 700 m/s
m2 =
m1 .v1 v2
=
7 kg.200m / s = 2 kg 700m / s
EJERCICIOS CON SOLUCIONES 1º.- Un proyectil de 5 g se dispara horizontalmente sobre un bloque de madera de 3 kg que se halla en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficvie es 0’2. El proyectil permanece empotrado en el bloque y se oobserva que éste desliza 25 cm sobre la superficie. ¿Cuál será la velocidad del proyectil? Sol: 595 m/s 2º.-Al dinamitar una roca ésta sale despedida en tres fragmentos. Dos de ellos de masas 10 y 20 Kg salen en ángulo recto con velocidades respectivas de 15 y 10 m/s. El tercero es desprendido con velocidad de 50 m/s. Indíquese en un diagrama la dirección del tercer fragmento y calcúlese su masa. Sol 127º; 5 Kg 3º.- Sobre una balsa de 400 kg se encuentra un cañón de masa 100 kg atado a la misma. Dispara una granada de masa 10 kg con una velocidad de 500 m/s con un ángulo sobre la horizontal de 30º. ¿Cuál es la velocidad de retroceso de la balsa con el cañón sobre el lago? Sol: 8’7 m/s 4º.- Se dispara horizontalmente una bala de 15 g sobre un bloque de madera de 3 Kg, suspendido de una cuerda quedando la bala incrustada en él. Calcular la velocidad de la bala sabiendo que el bloque oscila y alcanza una altura de 10 m por encima de su posición inicial. Rª: 284’6 m/s 5º.- Los dos bloques A y B se aproximan comprimiendo el resorte que hay entre ellos. Se deja de actuar sobre el resorte y los bloques empiezan a moverse en sentidos contrarios sobre la superficie horizontal A B que supondremos perfectamente pulida. Una vez distendido el resorte cae a la superficie al no estar sujeto a los bloques. Si las masas de estos últimos son, respectivamente, m A = 3 Kg y m B = 10 Kg, calcular la velocidad que adquiere el bloque A si la del B es 4 m/s. ( 40/3 m/s ) 6º.- Un barco de 10 T se mueve con una velocidad constante de módulo 0,5 m/s. Empieza a llover y al cabo de cierto tiempo la cubierta ha recogido 1000 kg de agua. Suponiendo que las gotas de lluvia caen verticalmente, ¿ qué velocidad adquiere el barco ? ( 5/11 m/s ) 7º.- Un hombre de 70 Kg de masa está montado en un vagón de 50 Kg que rueda sobre un suelo horizontal a una velocidad de 3 m/s. Salta fuera del vagón con una velocidad en relación al suelo de 1 m/s en sentido opuesto al movimiento del vagón. a) ¿ Cuál es la velocidad del centro de masas antes y después del salto del hombre ? ( V CM = 3 m/s ) b) ¿ Cuál es la velocidad del vagón después ? ( V = 43/5 m/s ) 8º.- Una masa de 15 Kg se mueve con una velocidad de 10 m/s y está dando alcance a otra masa de 10 Kg que se mueve con velocidad de 2 m/s. Hallar la velocidad del centro de masas en el sistema-L de referencia y en el sistema-C. Si después de darle alcance permanecen unidas, ¿ cuál es la velocidad del conjunto ? Rª: S-L: 34/5 m/s, S-C: 0, 6,8 m/s 9º.- Una pelota de tenis que pesa 50 gr y se mueve con una velocidad de 180 km/h es golpeada por un jegador y vuelve en sentido opuesto con una velocidad de 60 m/s. ¿Cuál ha sido la variación del momento lineal? Si el golpe duró un instante de 0’02 s ¿Cuál habrá sido la fuerza media ejercida sobre la misma? Sol: 5’5 kg.m/s; 275 N 10º.- Una persona se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento y lanza una piedra de 2 Kg hacia arriba, formando un ángulo de 60ª con la horizontal, con una velocidad de 100 m/s. ¿Con qué velocidad se moverá la persona si su masa es de 80 Kg? Rª: -1,25m/s. 11º.- Un cañón de 600 Kg lanza un proyectil de 10 Kg con una velocidad de 700 m/s y una inclinación de 30º por encima de la horizontal. Calcular la velocidad de retroceso horizontal del cañón. Rª: -10,1 m/s.
12º.- Dos masas de 16 g y 4 g se mueven en sentido contrario con velocidades respectivas de 3 cm/s y 5 cm/s. Tras chocar entre si continúan moviéndose unidas. Calcular la velocidad del conjunto. Rª: 1,4 cm/s. 13º.- Una bola de billar que se mueve con una velocidad de 4 m/s pega de refilón a otra bola idéntica en reposo, reduciéndose su velocidad a 2m/s, en una dirección de 60º con la del movimiento original. Calcular la velocidad y dirección del movimiento de la segunda bola después del choque. Rª: 3,48 m/s, 30º. 14º.- Un cañón de masa M, situado sobre el suelo horizontal, dispara horizontalmente un proyectil de masa m con velocidad v. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cañón y el suelo es µ, determinar el retroceso, X, del cañón. Rª: X = V2 /2µg 15º.- Al dinamitar una roca, ésta sale despedida en tres fragmentos. Dos de ellos, de masas 10 y 20 Kg, salen en ángulo recto con velocidades de 15 m/s y 10 m/s, respectivamente. Deducir la masa del tercer fragmento, cuya velocidad es de 5 m/s. Rª: 50 Kg.
