Picard y su relación con la demostración de dicho teorema. El teorema de Picard asegura una solución única en el intervalo que contiene alguna t o si f y sus derivadas parciales df/dy son continuas. El teorema forma una secuencia de funciones que convergen a la solución integral de la ecuación y, por lo tanto, la solución de valor inicial. Dicha formación se denomina iteraciones de Picard. t
∫ f (s , y ( s) ) ds
y (t )= y ( t 0 ) +
Se inicia el método con una aproimación inicial de y 0 (t )= y 0
elección m"s simple es
t 0
. !a
.
t
#hora se calcula
Si
y 1 ( t )= y 0
∫ f ( s , y ( s ) ) ds
y 1 ( t )= y 0 +
0
t 0
, entonces
y (t )= y 0
es una solución de
t
∫ f (s , y ( s) ) ds
y (t )= y ( t 0 ) +
t 0
y 1 ( t )
. Si no, se utili$a
como la siguiente
t
aproimación, y se calcula
∫ f ( s , y ( s ) ) ds
y 2 ( t )= y 0 +
1
t 0
.
t
En general, calculada
!as funciones
y n (t )
∫ f ( s , y − ( s) ) ds
y n−1 ( t )= y 0 +
n
1
t 0
son llamadas aproimaciones o iteraciones de Picard .
#hora veamos la relación de las iteraciones con el teorema de Picard. Sa%emos que toda ecuación diferencial de primer orden se puede escri%ir en la forma normal&
dy =f ( x , y ) , donde f es es una función de dos varia%les definida en dx
todo el plano y o %ien en una parte del plano llamada el dominio de f .
Sa%emos tam%ién que un P'( de primer orden es de la forma& dy =f ( x , y ) ,con y ( x 0)= y 0 . dx dy =f ( x , y ) , entonces por dx
Si una función )*+- es una solución de la ecuación
la segunda parte del teorema *undamental del "lculo& x
∫ F ´ (t ) dt = F (t )| x x = F ( x )− F ( x ) 0
x 0
0
Despeando *+& x
∫
F ( x )= F ( x 0)+ F ´ ( t ) dt . x 0
Por ser y0*+ una solución de la ecuación de%e de cumplir con *+ 10y1 y con * 2+0 dy/dx 0 f (x, y), de donde *2+t 0 f(t, y) 0 f(t, F(t)). 3esulta entonces que, si y0 *+ es una solución de la ecuación, entonces de%e de satisfacer a la siguiente integral& x
∫ f (t , F (t )) dt .
F ( x )= y 0 +
x 0
El esquema de aproimación es como sigue&
F 0 ( x )
es cualquier aproimación a
la solución4 a falta de información se escoge comúnmente de ah5 se definen&
[
x
[
]
∫ f (t , F (t )) dt
F 1 ( x )= y 0 +
0
x 0
x
]
∫ f (t , F (t )) dt
F 2 ( x )= y 0 +
1
x 0
⋮
F ( x 0 )= y 0
, y a partir
[
x
]
∫ f ( t , F (t )) dt
F n +1 ( x )= y 0 +
n
x0
uando las condiciones que de%e cumplir f+,y se satisfacen, este esquema converge con %astante rapide$ a la única solución de la ecuación de pro%lema de valor inicial.
