∮ √
37. Comprobar el teorema de Green en el plano para siendo c el contorno de la región definida por: a) SOLUCIÓN: Si:
∮ ∬ . / √ a)
∫ ∫√ ∮
∫ 3/2 ……………..RTA
∫
∮
…………..RTA
38. Hallar siendo c una circunferencia de radio 2 con centro en el origen del plano xy y que se recorre en sentido positivo. SOLUCIÓN: De lo anterior:
∫ ∮
………………….RTA
40. Hallar
a lo largo del contorno de la region definida por: . a) directamente, b) aplicando el teorema de Green.
SOLUCION:
1. Directamente:
√ √ √ √ √ . / √ √ √ √
1.
De
2.
De
:
3.
√ √ √ √ √ √ √ √ . / √ √ √
De
C=C1+C2+C3 C=128/5
………………………..RTA
4. Aplicando el teorema de Green.
∮ ∬ . / ∫ Si:
………………………….RTA
41. Hallar .
SOLUCION:
a lo largo de la cicloide
∮ ∬ . / ∮ Si:
Como vemos es una diferencial exacta, por lo tanto la solucion es la siguiente:
………………………RTA
42. Hallar (0,0),(2,0),(3,1) y (1,1)
a lo largo del paralelogramo de vértices
SOLUCION: 1.
De (0,0) → (2,0) = C1
2.
De (2,0) → (3,1) = C2
3.
De (3,1) → (1,1) = C3
∫ ∫ ( ) ∫ . /
∫ 4.
De (1,1) → (0,0) = C4
∫ ∫ . / C=C1+C2+C3+C4 C= - 6
43.
……………………………..RTA
⃗ , - =
44
P-46)
∫ ∫ ∫ 3sen2
47 Hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas e= 3 sen 2 φ. SOLUCIÓN:
r2 = a2 cos 2φ Área de un lazo: ∏/4
∫ a cos2φdφ
A0 = ½
2
-∏/4
A0 = A0 =
∏/4
∫ a cos2φdφ
2
2
-∏/4
2
A0 =
2
A0 =
2
∏/4
(½ sen2φ) -∏/4
[ ½ (sen
– sen
[ ½ (2)] =
2
]
(Área de un lazo)
2
Rpta= a2
Área de 2 lazos = x 2 48.
( a, a)
Ecuación del folio de Descartes:
Hacer:
Ecuaciones paramétricas:
, Solución:
Luego el área de la región es:
49. Comprobar el teorema de Green en el plano para siendo C el contorno de la región limitada por las circunferencias
SOLUCION:
Tenemos:
{ Parametrizando:
∮
∫ …………………………….RTA
50. Hallar
a lo largo de los caminos siguientes:
5.
Quebrada que une los puntos (1,0),(1,1),(-1,1) y (-1,0).
6.
Quebrada que une los puntos (1,0),(1,-1),(-1,-1) y (-1,0).
7.
Demostrar aunque puntos (1,0) y (-1,0).
la integral curvilinea depende de la trayectoria que une los
SOLUCIÓN: 8. Quebrada que une los puntos (1,0),(1,1),(-1,1) y (-1,0).
Desarrollamos por integracion separadas: 9. De (1,0) → (1,1) = C1
∫
10.
De (1,1) → (-1,1) = C2
∫ 11.
De (-1,1) → (-1,0) = C3
12.
De (-1,0) → (1,0) = C4
∫ ∫
C=C1+C2+C3+C4 C= π ……………………………..RTA
b) Quebrada que une los puntos (1,0),(1,-1),(-1,-1) y (-1,0).
13.
De (1,0) → (1,-1) = C1
∫
14.
De (1,-1) → (-1,-1) = C2
15.
De (-1,-1) → (-1,0) = C3
16.
De (-1,0) → (1,0) = C4
∫ ∫ ∫ C=C1+C2+C3+C4 C= - π
……………………………..RTA
c) Demostrar aunque puntos (1,0) y (-1,0).
la integral curvilinea depende de la trayectoria que une los
Si:
Por lo tanto es una diferencial exacta
∬ Tambien:
Como vemos ambos dependen de la trayectoria que une los puntos (1,0) y (-1,0). 52. Hallar 17.
La superficie del paralelepípedolimitado por. x=0, y=0, z=0, x=2, y=1, z=3.
18.
La superficie de la region limitada por x=0, y=0, y=3, z=0, y x+2z=6.
SOLUCION: Tenemos:
a) La superficie del paralelepípedolimitado por. x=0, y=0, z=0, x=2, y=1, z=3.
19.
………………………….RTA
La superficie de la region limitada por x=0, y=0, y=3, z=0, y x+2z=6.
. /. / . / . /
. / . / ∬ ……………………RTA
53. comprobar el teorema de la divergencia para del primer octante limitada por y x=2. SOLUCION:
…………………………………….RTA
54. Hallar
extendida a lo largo
20.
La esfera de radio 2 y con centro en (0,0,0)
21.
La superficie del cubo limitado por
22.
La superficie limitada por el paraboloide
SOLUCION:
.
Si:
23.
La esfera de radio 2 y con centro en (0,0,0)
……………………….RTA
24.
La superficie del cubo limitado por
…………………………..RTA
25.
La superficie limitada por el paraboloide
Solo se tomara la cuarta parte:
……………………………..RTA
∫ ∫ r.n ds siendo s:
54 Hallar
s
(a) la esfera de radio 2 con centro en (0,0,0). (b) La superficie del cubo limitado por x = -1, y = -1, z = -1 ; x = 1, y = 1, z = 1 (c) La superficie limitada por el paraboloide z = 4 – (x2 + y2) y el plano xy. SOLUCIÓN: (a) X2 + y2 + z2 = 2
y2 = 2 – x2 – z2
– –
y=
– –
– – – – As
=
– – – – – – – –
∫
Rpta = 32 π (b) 2
1
∫ ∫ 2xy 0
0
1
∫ y(x ) 2
2
0
0
1
1
2
3
∫ ∫ 2xy 0
∫ ∫ zx 0
0
1
∫
y(
0
1
3
3
)0
∫
0
2
0
x(
2
)0
4
∫
0
9
2i
∴
∫
0
(
9/2j
2
)
0
9
método de comas
A = 2x2 = y
#x4
NºComas 6x4 =24
Rpta= 24
(c) Paraboloide: Z = 4 – x2 + y2 Y2 = 4 – x2 - z Y=
– –
– – – – As
=
As
=
– – – – ∫ – – – – ∫ – – – – s
s
Rpta = 24 π
58 Demotrar que
∫∫∫
=
∫∫(
SOLUCIÓN:
∫∫∫
=
∫∫(
dϕ. dl.dA =dV
)dS
)dS
dV= dS.r
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫(
∫∫ ∫∫
)dS =
(
∫∫(
)dS =
=
)dS
(
(
)dS
)dS
Donde r.N = r.r = ll r ll2 / ll r ll = ll r ll = a
∫∫∫ ∫∫∫
= =
∫∫∫
∫∫(
⇔
area x l= Volumen
)dS
(
)dS
. /. /. / 63.
∬ 64.
65.
∮ ∮ ∬ ∬ ( ) , - [ ()]
66.
PROBLEMAS COORDENADAS CURVILINEAS
36. Enunciar y trazar las superficies y líneas coordenadas de los sistemas : (a) Ciindricas elípticas (b) Bipolares (c) Cilindricas parabolicas SOLUCION a) Las superficies coordenadas son
u= es cilindro elíptico cuyo eje es el eje z. v= es cilindro hiperbólico cuyo eje es el eje z. z= son planos. Las coordenadas son: Intersección de u= y v= (línea z). Intersección de u= y z= (línea v). Intersección de v= y z= (línea u).
b) Las superficies coordenadas son:
u= es un cilindro recto. v= es un cilindro recto. z= son planos. Las coordenadas son: Intersección de u= y v= en el eje y. Intersección de u= y z= en el eje x. Intersección de v= y z=
(línea z), con el plano x, y es una circunferencia de centro (línea v), con el plano x, yes una circunferencia de centro (línea u).
C )Las superficies coordenadas son:
u= es un cilindro parabólico v= es un cilindro parabólico z= son planos. Las coordenadas son: Intersección de u= y v= (línea z), con el plano x, y es una parábola coaxial con vértice en el eje z.
Intersección de u= vértice en el eje z. Intersección de v=
y z=
(línea v), con el plano x, y es una parábola coaxial con
y z=
(línea u).
37. Transformar las coordenadas:
A) Esféricas en rectangulares: Las ecuaciones que definen la transformación de las coordenadas rectangulares a esféricas son:
x= y= z=
1) 2) 3)
,
,
Elevando al cuadrado (1), (2) y (3) sumando tenemos +
+
+
(
+
+
)+
)
.
Elevando al cuadrado (1), (2) y sumando tenemos +
(
+
=
)
.1…………………………………….. (a)
Despejamos “r” de (3) :
=
……………………………………...... (b)
Remplazamos (b) en(a) +
=
=
=
Dividimos (2) en (1):
=
POR LO TANTO:
.
=
=
B) esféricas en cilíndricas: Las ecuaciones que definen la transformación de las coordenadas cilíndricas a esféricas son:
x= y= z=
1) 2) 3)
,
,
Elevando al cuadrado (1), (2) y (3) sumando tenemos +
+
+
(
+
+
)+
)
………………. (a)
Donde por coordenadas cilíndricas se tiene que: =
…………………………………………………… (b)
Remplazamos (b) en (a):
Elevando al cuadrado (1), (2) y sumando tenemos
+
(
+
=
)
.1…………………………………….. (a)
Despejamos “r” de (3) :
=
……………………………………...... (b)
Remplazamos (b) en(a)
+
=
=
=
…………………………………… (m)
Donde por coordenadas cilíndricas se tiene que: =
…………………………………………………….. (p)
Remplazamos (p) en (m): = =
POR LO TANTO:
.
=
.
=
38. Expresar en coordenadas esféricas los lugares geométricos siguientes: (a)Esfera (b)Cono
+
+
(c) Paraboloide (d)Plano (e)Plano
SABEMOS QUE:
Las ecuaciones que definen la transformación de las coordenadas rectangulares a esféricas son: 1) 2)
x= y=
,
,
z=
3)
Elevando al cuadrado (1), (2) y (3) sumando tenemos +
+
+
(
+
+
)+
)
.
Elevando al cuadrado (1), (2) y sumando tenemos +
(
+
)
=
.1…………………………………….. (a)
Despejamos “r” de (3) :
=
……………………………………...... (b)
Remplazamos (b) en(a) +
=
=
=
Dividimos (2) en (1):
=
POR LO TANTO:
.
=
Reemplazamos los valores que nos dan. a) Esfera
Pero:
+
+
=
Entonces:
√ √ b)
Cono Pero
.
=
Entonces:
Por lo tanto
c) Paraboloide
Pero
=
y
Entonces:
y
d) Plano
por lo tanto
0
Pero
Entonces:
por lo tanto
e) Plano
Pero
=
Entonces:
por lo tanto:
y :
⁄
39. Siendo las coordenadas cilíndricas, enunciar los lugares geométricos que se indican y hallar su expresión en coordenadas rectangulares :(a) ;(b) ; (c) ; (d) , .
⁄
Primero Expresar las coordenadas cilíndricas en función de las rectangulares:
Coordenadas cilíndricas: 1) 2) 3)
x= y= z=z
,
,
Elevando al cuadrado (1) y (2) y sumando
+
(
)
Ya que
Dividiendo (2) por (1)
Por lo tanto la transformación pedida es : .
.
.
REMPLAZAMOS LOS VALORES a)
.
.
4=
b)
4=
z=0
circunferencia
⁄
c)
Cilindro cuyo eje coincide con z
;
d)
⁄ ,
.
√ ,
,
40. Siendo u, v,z las coordenadas elípticas y a= 4, enunciar los lugares geométricos que se indican y hallar su expresión en coordenadas rectangulares: (a) v = ;
(b) u =0 , z=0 ;
(c) u= ln2 , z= 2 ;
SOLUCION (a) Y =
√ √ √
√ (b)
u =0
(d) y=0 , z= 0
x=1
y=0
(c)
z=0
,
ECUACION Pero .
donde z=2
=9
b=3
Y de
a=5
y
b=3
(d ) y = 0 z = 0
,
,
P (a , b , c)
P ( 0 , 0 , a)
a=1
R=8
a=4
42. (a) Hallar los vectores unitarios
(b) Expresar
del sistema de coordenadas esféricas en función de
en función de
SOLUCION
43. Representar en coordenadas esféricas el vector
SOLUCION
y hallar las componentes
47.- Expresar la velocidad (v) y la aceleración(a) del movimiento de una partícula en coordenadas esféricas. SOLUCIÓN: El vector de posición en coordenadas esféricas es: N=xî + yj + zk Y los vectores: Velocidad:
Aceleración:
= î + =
j+
k
i+
j+
k
En coordenadas esféricas: r =
φ
φ
φ
Los vectores tangentes a las líneas (r, φ) esta dado por: Siendo:
Entonces:
…………………(I)
e =e = || φ φ e = = = | | =
1
r
φ
φ
φ
=
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
e3= φ=
φ
|| 2
=
φ
φ
φ
φ
=
φ
φ
Entonces:
er= = φ=
φ
φ
φ
φ
φ
φ
i=
j=
k=
REMPLAZANDO EN (I): r=xi + yj + zk = φ
Luego:
v=
=
)+
+
φ
φ
Por lo tanto obtendremos:
φ
φ
v=
φ φ
DERIVANDO V: a=
Por lo tanto obtendremos:
a=
φ φ
φ φ
48.- Hallar el cuadrado del elemento de línea y los factores de escala correspondientes en el sistema de coordenadas: a) Paraboidales. b) Cilíndricas elípticas.
c) Esferoidales achatadas. SOLUCION:
a) Paraboloides: (u, v, ) ; Siendo: x= y=
z=
, entonces.
Luego:
Reduciendo:
Siendo los factores de escala:
b) Cilíndricas elípticas: ( x= y= z=z
)
Entonces:
Obteniendo:
Reduciendo tenemos:
De donde:
c) Esferoidales achatadas: ;
;
.
Por lo tanto obtenemos:
Por tanto obtendremos:
;
A=
.
B= C=
Ahora:
.
.
√ ;
:
Obteniendo:
Donde:
49.- Hallar el elemento de volumen Solución:
en coordenadas: paraboloides, cilíndricas elípticas y bipolares.
√
a) Paraboloides: x=
;
;
˰
Se sabe que:
, entonces:
Remplazando:
Por lo tanto obtenemos:
b) Cilíndricas elípticas: ( Donde:
)
,
Como:
Entonces obtendremos:
c) Bipolares :
:
Entonces:
Donde:
Por lo tanto obtenemos:
50.- En el sistema de coordenadas esferoidales alargadas hallar: los factores escala y el elemento volumen .
SOLUCIÓN: a) Coordenadas esferoidales alargadas:
Derivando implícitamente:
Entonces:
Obtendremos:
b) El elemento de volumen: Donde:
Obtendremos que: La respuesta será:
54. Hallar el jacobiano
en el caso del sistema de coordenadas: cilíndricas, esféricas,
cilíndricas parabólicas, cilíndricas elípticas, esferoidales alargadas.
a) En coordenadas colindricas:
=
b) En coordenadas esféricas:
c) En coordenadas cilíndricas parabólicas:
d) En coordenadas cilíndricas elípticas:
∭ ∫ ∫ ∫ ∫
e) En coordenadas esferoidales alargadas:
55. Hallar
, siendo V la región limitada por
SOLUCION
∫ ∫
∫
∭
0
2
0
56. Hallar el volumen de la menor de las regiones limitadas por la esfera
SOLUCION
y el cono
* √ √ √ √ √ √ √ √ .√ (√ )/√ √ √ √ √ √ √ √ }
57. Empleando coordenadas esféricas, hallar el volumen de la menor de las dos regiones limitadas por una esfera de radio a y un plano que la corta a una distancia h de su centro. SOLUCION
* +
58. Enunciar las superficies y las líneas coordenadas del sistema
Demostrar que dicho sistema es ortogonal. Hallar el jacobiano del mismo. Demostrar que estan relacionadas con las coordenadas cilíndricas determinar las ecuaciones de transformación
