Pentágono regular El pentágono regular era el símbolo de los pitagóricos. pitagóricos. El pentág pentágon ono o regula regularr es una figura figura geomét geométric rica a plana plana cuyos cuyos cinco cinco lados y ángulos son iguales. Los triángulos AGB, AFC y AED son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales. POr lo tanto: AB / GB = AC / FC = AD / ED, pero como GB = BC y FC = CD, podemos establecer que AB / BC = AC / AB = AD / AC. El pent pentág ágon ono o regu regula larr está está relac relacio iona nado do con con el núme número ro de oro oro. Si hacemos ED = 1, AC será igual al número de oro.
El triángulo ADE se llama triángulo áureo, porque el cociente entre los lados mayores y el lado menor es el número de oro. Un pentág pentágono ono regular regular es aquél aquél que tiene todos todos sus sus lados lados y ángulos ángulos internos internos iguales. iguales. La suma de los ángulos ángulos internos internos de un pentágono regular vale (5-2)180° (5-2)180° = 540° ó 3π radianes. radianes. Cada ángulo interno mide 108 grados ó 3π / 5 radianes. Así, por ejemplo (véase la figura), el ángulo BCD mide 108°. Como los segmentos DE, EA, y AB son iguales, los arcos que ellos determinan en la circunferencia circunscrita son iguales. Esto implica
que los tres ángulos DCE, ECA y ACB son iguales. Como la suma de ellos es 108°, cada uno de ellos mide 36°. Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º ó 2π / 5 rad. Relación con el número áureo Veamos que la razón entre un segmento que una dos de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la número áureo, por ejemplo que
Por simetría, los segmentos CE y CA son iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que
Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es la mitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto
Sustituyendo CE/CD por φ tenemos
en otras palabras φ − 1 = 1 / φ. Esta ecuación describe la razón dorada. φ es el único número positivo que cuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso. De la discusión anterior se desprende: Si en un triángulo isósceles, el
ángulo opuesto a la base vale 108°, la razón de la base del triángulo y uno de los otros lados es la razón dorada.
Algunas consideraciones sobre triángulos
Consideremos un pentágono (regular) y la circunferencia circunscrita a dicho pentágono. Tracemos la perpendicular por el centro de la circunferencia al lado DA del pentágono y sea M la intersección de esta perpendicular con la circunferencia El ángulo AOB mide 360°/5=72° y el ángulo AOM es su mitad, es decir 36°. El ángulo MOB, suma de estos dos vale 108° y como el triángulo AOB es isósceles tenemos que
1. La razón entre el segmento MB y el radio OM de la circunferencia es la razón dorada 2. Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio OM y el segmento PM es la razón dorada. Finalmente, el triángulo OBP también es isósceles, con lo que PB = OB ( =OM). Tenemos
Lo anterior se puede interpretar como una demostración geométrica de la ecuacíon (1). Un pentágo
Esta figura se obtiene prolongando los lados de un pentágono regular hasta los puntos de intersección. Uniendo estos puntos de intersección por líneas rectas, se obtiene un nuevo pentágono, en escala mayor que el primero; este procedimiento puede ser continuado hasta el infinito, comprobándose que el pentágono crece "hacia afuera". Pero el mismo procedimiento puede repetirse "hacia adentro". Si en el pentágono original trazamos las cinco diagonales, obtenemos una estrella de cinco puntas (pentagrama) en escala reducida; esta estrella lleva a su vez inscrito otro pentágono regular, en el cual puede volver a trazarse las diagonales, y así sucesivamente, hasta el infinito. El pentagrama posee la curiosa propiedad de poder crecer, según sus propias leyes, hacia afuera y hacia adentro hasta el infinito, esto es, que puede reproducir su crecimiento exterior por su crecimiento hacia adentro. Pero continuemos nuestra ideación: supongamos que el pentágono fuese nuestro yo habitual, cotidiano. Si por algún secreto acto de carácter místico de la expansibilidad del yo se lograse llegar a inscribir dentro de nosotros todo aquello que vemos expandido como figura geométrica prolongada hasta lo inconmensurable, del mismo modo en que el grano de sal de la metáfora de Ramakrishna dejó penetrar el agua dentro de si, no tendríamos más necesidad que la de mirar dentro de nosotros mismos para reencontrar allí reproducida la imagen de lo exterior reducida hasta el infinito, o para decirlo con las palabras de los antiguos: el macrocosmos en el microcosmos, el mundo grande en el pequeño, el mundo exterior en el mundo interior.
CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRAPEZOIDE Recuerda que un trapezoide es un cuadrilátero, en el que ninguno de sus lados es paralelo a otro, por lo tanto, no se trata de un paralelogramo. Como en todos los cuadriláteros, la suma de sus ángulos es de 360º. La longitud de sus lados es diferente por lo que sus ángulos también miden distinto lo mismo que sus diagonales:
El área del trapezoide lo estudiaremos en el tema correspondiente a Trigonometría.
CÁLCULO DEL ÁREA DE UN PENTÁGONO REGULAR Primero, dibuja un pentágono regular.
Recuerda que un polígono regular es el tiene sus lados iguales (como consecuencia también sus ángulos. Une el centro del pentágono con cada vértice:
Observarás que nos han quedado tantos triángulos como lados tiene el polígono:
Trazamos la altura de uno de los triángulos que también es la apotema del polígono:
Recorta el hexágono que has dibujado y tienes en tus manos una superficie hexagonal. Para calcular el área de un polígono, en este caso, un pentágono , regular podemos calcular el área de dos formas: 1ª Calculamos el área de un triángulo y a este valor le multiplicamos por 5 que son el número de triángulos.
2ª Podríamos considerar al pentágono como un triángulo que tiene como base la suma de las bases de cada triángulo del polígono y por altura el valor de la apotema:
Para comprobar vamos a calcular el área del pentágono regular aplicando las dos maneras que acabas de estudiar. 15(2).18 Calcular el área del pentágono:
Respuesta: 1ª Solución: El área de uno de los triángulos es:
Como son 5 triángulos el área será: 2ª Solución: La base total sería:
15(2).19 Calcula el área del pentágono que tienes en la figura siguiente de las dos maneras explicadas. Comprueba si los dos resultados son exactamente iguales:
Respuesta:
