Propiedades de los Sistemas y Suma de la Convolución Oscar J. Quinde Solórzano Universidad Israel, Sede Matriz Electrónica Digital y Telecomunicaciones – Procesamiento Digital de Señales. Quito, Ecuador.
Resumen. El presente documento pertenece al trabajo 2, ejercicios de propiedades de los sistemas, y de la suma de la convolución. I. Un sistema discreto en el tiempo puede ser: 1. Estático o dinámico 2. Lineal o no lineal 3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 4. Causal o no causal 5. Estable o inestable Examine los siguientes sistemas respecto de las propiedades enumeradas. a) 𝑦(𝑛) = cos[𝑥(𝑛)] 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = cos[𝑥1 (𝑛)] ; 𝑦2 (𝑛) = cos[𝑥2 (𝑛)] 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[cos[a1 𝑥1 (𝑛)] + cos[a 2 𝑥2 (𝑛)]] = cos[a1 𝑥1 (𝑛)] + cos[a 2 𝑥2 (𝑛)] a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 cos[𝑥2 (𝑛)] + a 2 cos[𝑥2 (𝑛)] 𝑦3 (𝑛) ≠ a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es no lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = cos[𝑥(𝑛)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = cos[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛 − 𝑘) = cos[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = cos[𝑥(𝑛)] ∞
∫ cos[𝑥(𝑛)]𝑑𝑥 < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable.
b) 𝑦(𝑛) = ∑𝑛+1 𝑘=−∞ 𝑥(𝑘) 1. Estático o dinámico El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2.
Lineal o no lineal 𝑛+1 𝑦1 (𝑛) = ∑𝑛+1 𝑘=−∞ 𝑥1 (𝑘) ; 𝑦2 (𝑛) = ∑𝑘=−∞ 𝑥2 (𝑘) 𝑛+1 𝑛+1 𝑛+1 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[∑𝑘=−∞ a1 𝑥1 (𝑘) + ∑𝑘=−∞ a 2 𝑥2 (𝑘)] = ∑𝑛+1 𝑘=−∞ a1 𝑥1 (𝑘) + ∑𝑘=−∞ a 2 𝑥2 (𝑘) 𝑛+1 a1 𝑦2 (𝑛) + a 2 𝑦1 (𝑛) = ∑𝑛+1 𝑘=−∞ a1 𝑥1 (𝑘) + ∑𝑘=−∞ a 2 𝑥2 (𝑘) 𝑦3 (𝑛) = a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = ∑𝑛+1 𝑖=−∞ 𝑥(𝑖) 𝑦(𝑛, 𝑘) = ∑𝑛+1 𝑥(𝑖 − 𝑘) 𝑖=−∞ 𝑛+1 𝑦(𝑛 − 𝑘) = ∑𝑖=−∞ 𝑥(𝑖 − 𝑘) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es no causal, pues depende de entradas futuras.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = ∑𝑛+1 𝑘=−∞ 𝑥(𝑘) ∞
𝑛+1
∫∑ −∞
𝑘=−∞
𝑛+1
𝑥(𝑘) = ∑ 𝑘=−∞
∞
∫ 𝑥(𝑘) = ∞ −∞
El sistema no está acotado, es inestable.
c) 𝑦(𝑛) = x(n)cos(w0 𝑛) 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = 𝑥1 (n)cos(𝑤0 𝑛) ; 𝑦2 (𝑛) = 𝑥2 (n)cos(𝑤0 𝑛) 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[a1 𝑥1 (n)cos(w0 𝑛) + a 2 𝑥2 (n)cos(w0 𝑛)] = a1 𝑥1 (n)cos(w0 𝑛) + a 2 𝑥2 (n)cos(w0 𝑛) a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 𝑥1 (n)cos(w0 𝑛) + a 2 𝑥2 (n)cos(w0 𝑛) 𝑦3 (𝑛) = a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = x(n)cos(w0 𝑛) 𝑦(𝑛, 𝑘) = x(n − k)cos(w0 𝑛) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = x(n − k)cos[w0 𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛, 𝑘) ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es variante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = x(n)cos(w0 𝑛) ∞
∫ x(n)cos(w0 𝑛) < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable.
d) 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛 + 2) 1. Estático o dinámico El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = 𝑥1 (−𝑛 + 2) ; 𝑦2 (𝑛) = 𝑥2 (−𝑛 + 2) 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[a1 𝑥1 (−𝑛 + 2) + a 2 𝑥2 (−𝑛 + 2)] = a1 𝑥1 (−𝑛 + 2) + a 2 𝑥2 (−𝑛 + 2) a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 𝑥1 (−𝑛 + 2) + a 2 𝑥2 (−𝑛 + 2) 𝑦3 (𝑛) = a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑥(−𝑛 + 2) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥(−𝑛 + 2 − k) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(−𝑛 + 2 − k) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛 + 2) ∞
∫ 𝑥(−𝑛 + 2) < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable. e) 𝑦(𝑛) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] , donde 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] indica la parte entera de x(n) obtenida por truncamiento. 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥1 (𝑛)] ; 𝑦2 (𝑛) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥2 (𝑛)] 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[𝑇𝑟𝑢𝑛[a1 𝑥1 (𝑛)] + 𝑇𝑟𝑢𝑛[a 2 𝑥2 (𝑛)]] = 𝑇𝑟𝑢𝑛[a1 𝑥1 (𝑛)] + 𝑇𝑟𝑢𝑛[a 2 𝑥2 (𝑛)] a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥1 (𝑛)] + a 2 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥2 (𝑛)] 𝑦3 (𝑛) ≠ a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es no lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] ∞
∫ 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable. f)
y(n) = Round[x(n)], donde Round[x(n)] indica la parte entera de x(n) obtenida por redondeo 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = Round[𝑥1 (𝑛)] ; 𝑦2 (𝑛) = Round[𝑥2 (𝑛)] 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[Round[a1 𝑥1 (𝑛)] + Round[a 2 𝑥2 (𝑛)]] 𝑦3 (𝑛) = Round[a1 𝑥1 (𝑛)] + Round[a 2 𝑥2 (𝑛)] a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 Round[𝑥1 (𝑛)] + a 2 Round[𝑥2 (𝑛)] 𝑦3 (𝑛) ≠ a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es no lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = Round[𝑥(𝑛)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = Round[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛 − 𝑘) = Round[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = Round[𝑥(𝑛)] ∞
∫ Round[𝑥(𝑛)] < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable. Nota: los sistemas de los apartados (e) y (f) son cuantificadores que efectúan truncamiento y redondeo, respectivamente.
g) y(n) = |x(n)| 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = |𝑥1 (𝑛)| ; 𝑦2 (𝑛) = |𝑥2 (𝑛)| 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[|a1 𝑥1 (𝑛)| + |a 2 𝑥2 (𝑛)|] = |a1 𝑥1 (𝑛)| + |a 2 𝑥2 (𝑛)| a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 |𝑥1 (𝑛)| + a 2 |𝑥1 (𝑛)| 𝑦3 (𝑛) ≠ a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es no lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = |x(n)| 𝑦(𝑛, 𝑘) = |x(n − k)| 𝑦(𝑛 − 𝑘) = |x(n − k)| 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = |x(n)| ∞
∫ |x(n)| < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable.
h) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = 𝑥1 (𝑛)𝑢(𝑛) ; 𝑦2 (𝑛) = 𝑥2 (𝑛)𝑢(𝑛) 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[a1 𝑥1 (𝑛)𝑢(𝑛) + a 2 𝑥2 (𝑛)𝑢(𝑛)] = a1 𝑥1 (𝑛)𝑢(𝑛) + a 2 𝑥2 (𝑛)𝑢(𝑛) a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 𝑥1 (𝑛)𝑢(𝑛) + a 2 𝑥2 (𝑛)𝑢(𝑛) 𝑦3 (𝑛) = a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)𝑢(𝑛)] = 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥(𝑛 − 𝑘)𝑢(𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(𝑛 − 𝑘)𝑢(𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) ∞
∫ 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) = ∞ ; 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑛) = 𝑢(𝑛) 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 −∞
El sistema no está acotado, es inestable. i)
y(n) = x(n) + nx(n + 1) 1. Estático o dinámico El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = 𝑥1 (𝑛) + 𝑥1 (𝑛 + 1) ; 𝑦2 (𝑛) = 𝑥2 (𝑛) + 𝑥2 (𝑛 + 1) 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[a1[𝑥1 (𝑛) + 𝑥1 (𝑛 + 1)] + a 2 [𝑥2 (𝑛) + 𝑥2 (𝑛 + 1)]] 𝑦3 (𝑛) = a1 [𝑥1 (𝑛) + 𝑥1 (𝑛 + 1)] + a 2 [𝑥2 (𝑛) + 𝑥2 (𝑛 + 1)] a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 [𝑥1 (𝑛) + 𝑥1 (𝑛 + 1)] + a 2 [𝑥2 (𝑛) + 𝑥2 (𝑛 + 1)] 𝑦3 (𝑛) = a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = x(n) + nx(n + 1) 𝑦(𝑛, 𝑘) = x(n − k) + nx(n + 1 − k) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = x(n − k) + (n − k)x(n + 1 − k) 𝑦(𝑛, 𝑘) ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es variante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es no causal, pues depende de entradas futuras.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = x(n) + nx(n + 1) ∞
∫ x(n) + nx(n + 1) < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable. j)
𝑦(𝑛) = 𝑥(2𝑛) 1. Estático o dinámico El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2. Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = 𝑥1 (2𝑛) ; 𝑦2 (𝑛) = 𝑥2 (2𝑛) 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[a1 𝑥1 (2𝑛) + a 2 𝑥2 (2𝑛)] = a1 𝑥1 (2𝑛) + a 2 𝑥2 (2𝑛) a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 𝑥1 (2𝑛) + a 2 𝑥2 (2𝑛) 𝑦3 (𝑛) = a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑥(2𝑛) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥(2𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(2(𝑛 − 𝑘)) 𝑦(𝑛, 𝑘) ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es variante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es no causal, pues depende de entradas futuras.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥(2𝑛) ∞
∫ 𝑥(2𝑛) < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable.
𝑥(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) ≥ 0 k) 𝑦(𝑛) = { 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) < 0 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑥 (𝑛), 𝑠𝑖 𝑥1 (𝑛) ≥ 0 𝑥 (𝑛), 𝑠𝑖 𝑥2 (𝑛) ≥ 0 𝑦1 (𝑛) = { 1 ; 𝑦2 (𝑛) = { 2 0, 𝑠𝑖 𝑥1 (𝑛) < 0 0, 𝑠𝑖 𝑥2 (𝑛) < 0 a1 𝑥1 (𝑛), 𝑠𝑖 a1 𝑥1 (𝑛) ≥ 0 a 2 𝑥2 (𝑛), 𝑠𝑖 a 2 𝑥2 (𝑛) ≥ 0 𝑦3 (𝑛) = 𝒯 [{ }+{ }] 0, 𝑠𝑖 a1 𝑥1 (𝑛) < 0 0, 𝑠𝑖 a 2 𝑥2 (𝑛) < 0 a 𝑥 (𝑛), 𝑠𝑖 a1 𝑥1 (𝑛) ≥ 0 a 𝑥 (𝑛), 𝑠𝑖 a 2 𝑥2 (𝑛) ≥ 0 𝑦3 (𝑛) = { 1 1 }+{ 2 2 } 0, 𝑠𝑖 a1 𝑥1 (𝑛) < 0 0, 𝑠𝑖 a 2 𝑥2 (𝑛) < 0 a 𝑥 (𝑛), 𝑠𝑖 𝑥1 (𝑛) ≥ 0 a 𝑥 (𝑛), 𝑠𝑖 𝑥2 (𝑛) ≥ 0 a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = { 1 1 }+{ 2 2 } 0, 𝑠𝑖 𝑥1 (𝑛) < 0 0, 𝑠𝑖 𝑥2 (𝑛) < 0 𝑦3 (𝑛) ≠ a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es no lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑥(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) ≥ 0 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = { 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) < 0 𝑥(𝑛 − 𝑘), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛 − 𝑘) ≥ 0 𝑦(𝑛, 𝑘) = { 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛 − 𝑘) < 0 𝑥(𝑛 − 𝑘), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛 − 𝑘) ≥ 0 𝑦(𝑛 − 𝑘) = { 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛 − 𝑘) < 0 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑥(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) ≥ 0 𝑦(𝑛) = { 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) < 0 ∞
𝑥(𝑛), ∫{ 0,
𝑠𝑖 𝑥(𝑛) ≥ 0 < ∞ 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) < 0
−∞
El sistema está acotado, es estable. l)
𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛) 1. Estático o dinámico El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = 𝑥1 (−𝑛) ; 𝑦2 (𝑛) = 𝑥2 (−𝑛) 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[a1 𝑥1 (−𝑛) + a 2 𝑥2 (−𝑛)] = a1 𝑥1 (−𝑛) + a 2 𝑥2 (−𝑛) a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 𝑥1 (−𝑛) + a 2 𝑥2 (−𝑛) 𝑦3 (𝑛) = a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑥(−𝑛) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥(−𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(−𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es no causal, pues depende de entradas futuras. 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛) ; 𝑥 = −1 ∴ 𝑦(−1) = 𝑥(1) = 1
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛) ∞
∫ 𝑥(−𝑛) < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable. m) 𝑦(n) = sign[x(n)] 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = sign[𝑥1 (𝑛)] ; 𝑦2 (𝑛) = sign[𝑥2 (𝑛)] 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[sign[a1 𝑥1 (𝑛)] + sign[a 2 𝑥2 (𝑛)]] 𝑦3 (𝑛) = sign[a1 𝑥1 (𝑛)] + sign[a 2 𝑥2 (𝑛)] a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 sign[𝑥1 (𝑛)] + a 2 sign[𝑥2 (𝑛)] 𝑦3 (𝑛) ≠ a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es no lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = sign[x(n)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = sign[x(n − k)] 𝑦(𝑛 − 𝑘) = sign[x(n − k)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = sign[x(n)] ∞
∫ sign[x(n)] < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable. n) 𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑥𝑎(𝑡) 𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑥(𝑛) = 𝑥𝑎(𝑛𝑇), −∞ < 𝑛 < ∞ 1. Estático o dinámico El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2.
Lineal o no lineal 𝑦1 (𝑛) = 𝑥1 𝑎(𝑛𝑇) ; 𝑦2 (𝑛) = 𝑥2 𝑎(−𝑛) 𝑦3 (𝑛) = 𝒯[a1 𝑥1 𝑎(𝑛𝑇) + a 2 𝑥2 𝑎(𝑛𝑇)] = a1 𝑥1 𝑎(𝑛𝑇) + a 2 𝑥2 𝑎(𝑛𝑇) a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) = a1 𝑥1 𝑎(𝑛𝑇) + a 2 𝑥2 𝑎(𝑛𝑇) 𝑦3 (𝑛) = a1 𝑦1 (𝑛) + a 2 𝑦2 (𝑛) El sistema es lineal
3.
Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥𝑎(𝑛𝑇 − 𝑘) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥𝑎(𝑛𝑇 − 𝑘) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘) El sistema es invariante en el tiempo
4.
Causal o no causal El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas.
5.
Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) ∞
∫ 𝑥𝑎(𝑛𝑇), < ∞ −∞
El sistema está acotado, es estable.
II. Calcule y dibuje las convoluciones x(n) ∗ h(n) y h(n) ∗ x(n) para las siguientes parejas de señales. a)
𝑥(𝑛) = {1, 1,1,1} ↑
;
ℎ(𝑛) = {6, 5,4,3,2,1} ↑
𝑛
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0
x(n) 0 1 2 3 4
h(n) * 1 1 1 1 0
0 6 6 6 6 6 0
1 5 5 5 5 5 0
2 4 4 4 4 4 0
3 3 3 3 3 3 0
4 2 2 2 2 2 0
5 1 1 1 1 1 0
6 0 0 0 0 0 0
𝑦(𝑛) = {6, 11,15,18,14,10,6,3,1} ↑
b)
𝑥(𝑛) = {1, 1,1,1} ↑
;
ℎ(𝑛) = {6,5,4, 3, 2,1} ↑
𝑛
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0
x(n) 0 1 2 3 4
h(n) * 1 1 1 1 0
-3 6 6 6 6 6 0
-2 5 5 5 5 5 0
-1 4 4 4 4 4 0
0 3 3 3 3 3 0
1 2 2 2 2 2 0
2 1 1 1 1 1 0
3 0 0 0 0 0 0
𝑦(𝑛) = {6,11,15, 18, 14,10,6,3,1} ↑
c)
𝑥(𝑛) = {0, 0,0,1,1,1,1} ↑
;
ℎ(𝑛) = {0,1,1,0,0, 0, 0} ↑
𝑛
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0
x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7
h(n) * 0 0 0 1 1 1 1 0
-4 1 0 0 0 1 1 1 1 0
-3 1 0 0 0 1 1 1 1 0
-2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
𝑦(𝑛) = {1, 2, 2,2,1} ↑
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
d)
𝑥(𝑛) = {0, 0,1,1,1,1} ↑
;
ℎ(𝑛) = {0,1,1,0,0, 0, 0} ↑
𝑛
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑘=0
x(n) 0 1 2 3 4 5 6
h(n) * 0 0 1 1 1 1 0
-4 0 0 0 0 0 0 0 0
-3 0 0 0 0 0 0 0 0
-2 1 0 0 1 1 1 1 0
-1 1 0 0 1 1 1 1 0
𝑦(𝑛) = {1, 2,2,2,1} ↑
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0
