MOMENTO INTERMEDIO PASO PASO 2 – USO DE LAS TABLAS DE VERDAD
POR: ELIANA ELIZABETH MORILLO CC: 1086299099 GRUPO_ 419
TUTOR: JOHN JAIRO GETIAL
UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD NACIONAL NACIONA L ABIERTA ABIERTA A DISTANCIA UNAD! ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOG"AS E INGENIER"AS INGENIER"A INDUSTRIAL PASTO 201#
INTRODUCCION. Este trabajo ha sido de gran utilidad en nuestro aprendizaje ya que nos permite oneptualizar! la terminolog"a de la l#gia matem$tia omo son% Concepto de proposición lógica, Proposiciones simples y compuestas, Las cuatro Tablas de verdad: conjunción, disyunción, implicación y bicondicional, bicondicional, Tautologías, contradicciones y contingencias, Cuantifcadores y proposiciones proposiciones categóricas, Silogismos categóricos.
Como tambi&n analizar y argumentar de 'orma adeuada los proedimientos desde la l#gia proposiional utilizados para demostrar la (eraidad y (alidez ( alidez de situaiones espe"'ias del mundo real) y as" mismo (eri'iar si la tabla de (erdad generada! es una tautolog"a! ontradii#n o ontingenia! mediante el simulador TRUT* +or otra parte hemos aprendido a omprobar la (alidez de un silogismo mediante la Representai#n en diagramas de ,enn. ,enn.
O-ETI,O /ENER01% Coneptualizar! analizar y omprender los temas% 1#gia proposiional! tablas de (erdad en proposiiones ompuestas! $lgebra de proposiiones! tautolog"as! ontradiiones y ontingenias! proposiiones ateg#rias! silogismos.
O-ETI,O2 E2+ECI3ICO2% • •
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Coneptualizar! la terminolog"a de la l#gia matem$tia Coneptualizar la 1#gia +roposiional y estableer la respeti(a lasi'iai#n de las proposiiones y sus arater"stias Identi'iar los di'erentes onetores l#gios y sus respeti(as representaiones en las tablas de (erdad. Interpretar un enuniado de una situai#n probl&mia del mundo real y representarla a tra(&s del $lgebra proposiional y estableer su (alor de (erdad! lasi'i$ndola en
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tautolog"a! ontradii#n o ontingenia seg4n sea el aso. Coneptualizar las proposiiones ateg#rias omo enuniados que representan un e(ento
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o sueso de manera uni(ersal o partiular. Representar gr$'iamente a tra(&s de los Diagramas de ,enn un enuniado onoido omo silogismo
CUANTI$ICADORES PROPOSICIONES CATEG%RICAS
CUANTI$ICADORES C&'()*+*,'-./ U(*/'3 E*)(,*'3: E5isten espeialmente en matem$tias! e5presiones que ontienen (ariables tales omo 5! y! z! et.! para las uales su (alor de (erdad depende del (alor que tome la (ariable.
EJEMPLO 1! 512 Esta proposii#n es (erdadera si 1 y 'alsa si 6 1. 0 estas proposiiones se les llama
7P/..*,*.( '*/)'. *asta el momento se han tratado proposiiones a las uales se les puede asignar un (alor De (erdad! ya sea 'also o (erdadero! ahora en esta sei#n! se estudia la l#gia de proposiiones abiertas! para ello! se asigna una e5presi#n llamada ,&'()*+*,'-./; que +ermite restringir los (alores de las (ariables! de tal 'orma que la proposii#n toma un solo ,alor de (erdad para diha restrii#n. En el ejemplo! la proposii#n se puede enuniar de las siguientes 'ormas% 7. E5iste 1 tal que 5 1 2. +roposii#n (erdadera 8. +ara todo 6 1; se tiene que 5 1 2 . +roposii#n 'alsa.
2imb#liamente! en el primer aso el uanti'iador reibe el nombre de ,&'()*+*,'-./
E*)(,*'3! pues est$ in'ormando que e5iste un solo (alor para que hae (erdadera la proposii#n dada! mientras que en el segundo aso el uanti'iador se llama &(*/'3
porque a'irma que todos los (alores de di'erentes de 1 haen la proposii#n 'alsa! es deir! que un (alor de di'erente de 1 on(ierte 5 1 2 en proposii#n 'alsa. Cualquier uanti'iador de la 'orma para todo! todo! para ada! o ada se llama Cuanti'iador uni(ersal y se simboliza por 7∀9
EJEMPLO 2! < ∀ = > < 5 4 4 5 =! 2igni'ia que todo (eri'ia la euai#n. 1a palabra algunos:s; signi'ia que por lo menos uno (eri'ia la ondii#n. 1os uanti'iadores de la 'orma e5iste por lo menos uno! y se llaman uanti'iadores e5isteniales y se representan as": 7∃7! :∃5 < 7; = :5 > 7 < 8; ,erdadera. :∀ 5 6 7 ; = : 5 > 7 < 8; 3alsa.
EJEMPLO ? <∃ = > < 2 5 2 @ =!
V'3./ D V/-'- D E/*.( C.( C&'()*+*,'-./ +ara determinar el (alor de (erdad de una e5presi#n que ontiene un uanti'iador es Importante tener laros los siguientes oneptos% 7. Conjunto Uni(ersal% es el onjunto que ontiene todos los elementos Considerados en un estudio determinado. 8. Conjunto dominio de la (ariable% orresponde al onjunto de (alores posibles de
la (ariable.
EJEMPLO 1! <∀ R = > < 2 – 1 0 = que se lee ? para todo 5 que pertenee a los reales se (eri'ia @ue 2 – 1 0 ?. En esta proposii#n el onjunto uni(ersal est$ 'ormado por los n4meros reales y el dominio De la (ariable es El ejemplo a'irma que ).-. n4mero real (eri'ia 2 – 1 0! lo ual es 'also! pero si se Cambia el onjunto uni(ersal! por el onjunto 1>2 ; la proposii#n se on(ierte en ,erdadera y se enunia as"%
<∀ 1>2 = > < 2 – 1 0= es (erdadera. 1o anterior ondue a la siguiente a'irmai#n% Una proposii#n que ontiene un uanti'iador uni(ersal es (erdadera si y solo si el Dominio de la (ariable es igual al onjunto uni(ersal.
EJEMPLO 2! <∃ R= > < 2 1 0= Conjunto uni(ersal% R :reales; Dominio de la (ariable% 1 !; 1 En este aso el uanti'iador e5istenial a'irma que por lo menos e5iste un (alor que satis'ae la proposii#n! as"! el ejemplo 8 es (erdadero.
EJEMPLO ?.
<∃ R = < 2 5 1 0= El onjunto uni(ersal est$ 'ormado por los n4meros reales! pero el dominio de la (ariable es el onjunto (aio! pues! no hay un n4mero real que al ele(arlo al uadrado y sumarle 7 de omo resultado ero! esto hae que la proposii#n sea 'alsa. Del an$lisis de los ejemplos 8 y A se puede a'irmar% Una proposii#n on un uanti'iador e5istenial es ,erdadera si y solo si el dominio de la (ariable no es (aio.
PROPOSICIONES CATEG%RICAS El estudio l$sio o aristot&lio de la dedui#n esta entrado en argumentos que ontienen solamente proposiiones de un tipo espeial! llamadas /..*,*.( ,')F/*,'. El tipo espeial se re'iere a que las proposiiones pueden ser%
U(*/'3 <'+*/')*' . (F')*'= . P'/)*,&3'/ <'+*/')*' . (F')*'=! +or lo tanto! se puede a'irmar que hay uatro 'ormas est$ndar de proposiiones ateg#rias. 1os siguientes ejemplos ilustran ada una de ellas. Proposición Categórica Universal Afirmativa
Todos los conductores de automóviles que no son seguros son personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás.
Esta es una proposii#n uni(ersal a'irmati(a. 2e re'iere a dos lases% 1. Conductores de automóviles inseguros y 2. personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás
y die que la primera lase esta ontenida en la segunda! lo ual signi'ia que ada
miembro de la primera lase es tambi&n miembro de la segunda.
En este ejemplo! el termino sujeto ,.(-&,)./! designa a la lase de todos los ondutores y el termino prediado )/'/*'! designa a la lase de todas las personas temerarias. Este tipo de proposii#n ateg#ria se llama uni(ersal a'irmati(a! porque la proposii#n a'irma que la relai#n de inlusi#n entre las dos lases es ompleta! todos los elementos o miembros de S tambi&n lo son de P. Todas las proposiiones uni(ersales a'irmati(as se pueden esribir simb#liamente as"%
T.-. S P ! donde S representa el sujeto y P el prediado.
Proposición Categórica Universal Negativa
Ningún conductor de automóvil responsable es un peligro para la vida de los demás.
Esta es una proposii#n uni(ersal negati(a. Niega :en 'orma uni(ersal; que los ondutores responsables son un peligro para la (ida de los dem$s.
En este aso se hae re'erenia a dos lases% 1. Conductor de automóvil responsable y 2. personas que ponen en peligro la vida de los demás
3' /*/' ,3' ,3& ' 3' F&(-'! la e5luye totalmente! es deir! que no hay ning4n miembro de la primera lase :ondutor responsable; que tambi&n perteneza a la segunda :que represente un peligro para la (ida de los dem$s;. Todas las proposiiones uni(ersales negati(as se pueden esribir as"%
N*(F( S P donde 2 representa el termino sujeto y + el termino prediado.
1a proposii#n reibe el nombre &(*/'3 (F')*.; porque la proposii#n niega que la Relai#n de inlusi#n de lase tenga lugar entre las dos lases y lo niega en 'orma uni(ersal% no hay ning4n miembro de S que tambi&n lo sea de P.
Proposiciones Categóricas Afirmativa Particular
Algunos estudiantes de la secundaria ingresan a la educación superior.
Este ejemplo a'irma que algunos de los miembros de la lase de todos los estudiantes de seundaria son :ingresan; miembros de la lase de estudiantes de uni(ersidad. +ero no a'irma esto uni(ersalmente% no die que todos los estudiantes de seundaria :sin e5epi#n; ingresan a la uni(ersidad! sino mas bien algunos en partiular. Esta proposii#n no a'irma ni niega que ?todos9 los estudiantes ingresan a la uni(ersidad! se re'iere solo a algunos.
C3': 1. Estudiantes de secundaria y 2. Estudiantes que ingresan a la educación superior
1a palabra ?algunos9 es inde'inida! signi'ia .9 al menos uno 9B! .9 al menos dos9B! .9al menos tres9B O.9al menos uantos9B +ara mayor preisi#n! se aostumbra usar este termino omo ?al menos uno ?. +or lo tanto una proposii#n a'irmati(a partiular se esribe 2imb#liamente as"%
A3F( S P! 1o ual signi'ia que por lo menos un miembro de la lase designada on el termino sujeto
S tambi&n es miembro de la lase designada por el t&rmino prediado P. El nombre '+*/')*' '/)*,&3'/ hae re'erenia a que la proposii#n a'irmati(a se umple en la
Relai#n de inlusi#n entre lases! pero no lo a'irma de la primera lase uni(ersalmente! solo parialmente! de algunos miembros partiulares de la primera lase.
Proposiciones Categóricas Negativa Particular
Algunos números reales no son positivos.
C3' 1. Números reales y 2. Números negativos
En este ejemplo el anteedente :algunos n4meros reales; es partiular en el sentido que no se re'iere uni(ersalmente a los n4meros reales! solo a algunos de ellos! algunos miembros de esa lase. +ero a di'erenia del ejemplo anterior! no a'irma que los miembros partiulares de la primera lase a los que se re'iere :n4meros reales; est$n inluidos en la segunda lase :reales no positi(os;! esto es preisamente lo que se niega. Una proposii#n partiular negati(a! se esribe en 'orma simb#lia as"%
A3F( S (. P! die que por lo menos un miembro que pertenee a la lase designada por el termino sujeto! S! es e5luido de la totalidad de la lase designada por el termino prediado! P.
Cualidad Y Cantidad De Las Proposiciones Categóricas
Cada proposii#n ateg#ria de 'orma est$ndar tiene una ,&'3*-'- y una ,'()*-'-! Cualidad Afirmativa O Negativa:
1a ualidad de una proposii#n es a'irmati(a o negati(a! seg4n el sujeto! ompleta o parialmente! a'irme o niegue la inlusi#n de la lase. +or lo tanto las proposiiones a'irmati(as uni(ersales y partiulares tienen ualidad a'irmati(a! en ambio las proposiiones negati(as uni(ersales y partiulares tienen ualidad negati(a. Cantidad Universal O Particular De Cantidad:
1a antidad de una proposii#n es uni(ersal o partiular seg4n que la proposii#n se re'iera a todos los miembros o solamente a algunos de la lase designada por el termino sujeto. 0s"! las proposiiones uni(ersales a'irmati(as o negati(as son uni(ersales de antidad y las proposiiones partiulares a'irmati(as o negati(as son partiulares de antidad.
L' ,3' 01/UNO2 < +0RTICU10R TODO2 < UNI,ER201
Proposiciones Contrarias, De Contingencia Y Su Contrarias
1as proposiiones ateg#rias en 'orma est$ndar que tienen el mismo termino sujeto y termino prediado! pueden di'erir unas de otras en ualidad o en antidad o en ambas
E5isten iertas relaiones importantes orrelaionadas on los di(ersos tipos de oposii#n :di'erenia en ualidad! antidad o en ambas; estas pueden ser de CONTR0DICCION! CONTIN/ENCI0! o! 2U-CONTR0RI02 Proposiciones Contradictorias
Dos proposiiones son CONTR0DICTORI02 si una de ellas es la negai#n de la otra! es deir! las dos proposiiones no pueden ser a la (ez (erdaderas ni a la (ez 'alsas. Es laro que dos proposiiones ateg#rias en 'orma est$ndar que tienen el mismo termino sujeto y termino prediado! pero son di'erentes tanto en antidad omo en ualidad! son ontraditorias entre si.
EJEMPLO 1 1as proposiiones
P% todos los juees son abogados K% algunos juees no son abogados 2on ontraditorias porque .( .&)' )'(). ( ,'()*-'- ,.. ( ,&'3*-'-! 1a proposii#n P es uni(ersal a'irmati(a! mientras que la proposii#n K es partiular negati(a.
EJEMPLO 2 1as siguientes proposiiones tambi&n son ontraditorias.
P% algunos n4meros reales son negati(os. Es partiular a'irmati(a K% todos los n4meros reales son negati(os. Es uni(ersal negati(a. En este aso son opuestas en antidad y en ualidad. Otra 'orma de identi'iar las proposiiones ontrarias! es uando la (erdad de una proposii#n implia la 'alsedad de la otra.
EJEMPLO ? P% A es mayor que 7 K% 7 es mayor que A. 2on ontraditorias porque la proposii#n P es 'alsa y esto implia que la proposii#n K sea (erdadera.
EJEMPLO 4 Dadas las proposiiones
P: hoy es lunes K: hoy no es lunes. 2on ontraditorias porque si P es (erdadera autom$tiamente K ser$ 'alsa y lo ontrario. Proposiciones Contradictorias Y Contrarias
Es importante alarar la di'erenia entre proposiiones ontraditorias y proposiiones ontrarias. Proposiciones Contrarias:
2e die que dos proposiiones son CONTR0RI02 si no pueden ser ambas (erdaderas! aunque ambas puedan ser 'alsas.
EJEMPLO @ Considerando las proposiiones
P: +aola es mayor que 0ng&lia
K: 0ng&lia es mayor que +aola Iniialmente se podr"a pensar que son ontraditorias! es deir! que si P es (erdadera! K seria 'alsa! y onseuentemente! si P es 'alsa! entones K seria (erdadera! pero al onsiderar el heho de que +aola y 0ng&lia tengan la misma edad! ambas proposiiones serian 'alsas! por lo tanto no serian ontraditorias! y en este aso se llamar"an
,.()/'/*'! debido a que ambas no pueden ser (erdaderas pero si 'alsas. En 'orma general se puede deir que dos proposiiones uni(ersales que tienen los mismos sujetos y prediados pero di'ieren en ualidad son ontrarias. El siguiente ejemplo muestra laramente la di'erenia entre las proposiiones ontraditorias y ontrarias.
EJEMPLO 6 Dadas las proposiiones%
P: todos los n4meros enteros son positi(os K: algunos enteros son positi(os R: todos los enteros son negati(os 2e puede a'irmar que las proposiiones P y K son ontraditorias porque una es la negai#n de la otra :en este aso P es 'alsa mientras que K es (erdadera;. las proposiiones P y R son ontrarias ya que ambas no pueden se (erdaderas pero si son ambas 'alsas.
N.),(*' Contrarias < ambas pueden ser 'alsas Contraditorias < uando una es (erdadera la otra es 'alsa y (ie(ersa. Proposición Contingente
Una proposii#n que no es neesariamente (erdadera ni neesariamente 'alsa se llama
CONTIN/ENTE.
EJEMPLO 1 P% todos los matem$tios son 'il#so'os Esta es una proposii#n que no es neesariamente (erdadera :no todos los matem$tios son 'il#so'os;! ni neesariamente 'alsa :e5isten matem$tios que si son 'il#so'os;
EJEMPLO 2 K: todos los uadrados son ret$ngulos No neesariamente es 'alsa porque el uadrado es un tipo de ret$ngulo! ni es Neesariamente (erdadera porque no todos los uadrados son ret$ngulos Proposiciones Sucontrarias
2e die que dos proposiiones son 2ubontrarias si no pueden ser ambas 'alsas pero si ambas (erdaderas
EJEMPLO 1 1as proposiiones
P% algunos enteros son positi(os K% algunos enteros son negati(os 2on 2ubontrarias debido a que ambas son (erdaderas.
3' C3' Obser(a que neesariamente! al a'irmar que ?algunos enteros son negati(os9! estamos
0'irmando que el resto son enteros positi(os. Esto imposibilita que ambas proposiiones sean 'alsas.
En 'orma general se a'irma que dos proposiiones partiulares que tienen el mismo termino sujeto y termino prediado pero di'erente ualidad son 2ubontrarias
EJEMPLO 2 P algunos ingenieros de sistemas son matemáticos ! algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos
1as proposiiones P y K pueden ser las dos (erdaderas! pero no pueden ser las dos 'alsas! por lo tanto se die que son 2ubontrarias.
N.),(*' ontrarias < ambas pueden ser 'alsas 2ubontrarias < ambas pueden ser (erdaderas ontraditorias < uando una es (erdadera (,'/*'() la otra es 'alsa y (ie(ersa.
DIAGRAMAS PARA PROPOSICIONES CATEG%RICAS +ara representar las uatro proposiiones ateg#rias de 'orma est$ndar se sombrea o se inserta en (arias partes de la gra'ia! a ontinuai#n se presenta ada uno de los
asos%
T.-. S P! simbolizada por SP 0! su representai#n gra'ia es%
Ningún ! es "# o# Ningún " es ! simboli$adas por !" % & y "! % &# 'espectivamente# la representación grá(ica en ambos casos es
Alg"n S es P, simoli#ada por SP <$, su representación gr%fica es:
A3F( S (. P! simbolizada por SP 6 0; su representai#n gra'ia es%
En el aso A3F( P (. S! simbolizada por PS < 0! su representai#n gra'ia es%
L' *F&*() .( '3F&(' ./',*.( ',/,' - 3' //()',*.( F/'+*,' R'3*'-': 1! El diagrama simple de los dos "rulos! sin otro tipo de maras o indiaiones! Representa lases pero no representa ninguna proposii#n.
2! Un espaio en blano a la izquierda no signi'ia nada :ni que una lase tiene o no Tiene miembros;.
?! 1as proposiiones solo las representan aquellos diagramas en los que una parte ha 2ido sombreada o en la que se ha insertado una .
4! 1os diagramas de ,enn onstituyen una representai#n de las proposiiones Categ#rias en 'orma est$ndar! en las uales las inlusiones y e5lusiones Espaiales orresponden a inlusiones y e5lusiones no espaiales de lases.
@! +roporionan un m&todo laro de notai#n y se onstituyen en la base del m&todo F$s simple y direto para probar la (alidez de los silogismos ateg#rios :,er 2iguiente ap"tulo;.
ANEO 1 SITUACIONES PROBLMICAS DE LA L%GICA PROPOSICIONAL $ASE INDIVIDUAL 4!In&s est$ hablando on sus amigas de la uni(ersidad! y ellas quieren saber si es (erdad que In&s no neesita dinero para pagar la matr"ula del pr#5imo semestre! para lo ual In&s omenta lo siguiente% ?No es ierto que soy bene'iiaria del r&dito ondonable que otorga el Estado y obtengo un promedio alto en mi periodo aad&mio. 2oy bene'iiaria del r&dito ondonable que otorga el Estado y reibo un bono de estudio en la empresa. Obtengo un promedio alto en mi periodo aad&mio y reibo un bono de estudio en la empresa. +or onsiguiente soy bene'iiaria del r&dito ondonable que otorga el Estado9. G2er$ que es (erdad lo que ha diho In&sB! una de las amigas tom# nota de lo que dijo In&s y lo plasm# en una tabla de (erdad) Gqu& resultado obtu(o la amiga en la tabla que hizoB 2O1UCION
PROPOSICIONES SIMPLES : 2oy bene'iiaria del r&dito ondonable que otorga el Estado : Obtengo un promedio alto en mi periodo aad&mio /: Reibo un bono de estudio en la empresa
PROPOSICIONES COMPUESTAS 1! No 2oy bene'iiaria del r&dito ondonable que otorga el Estado y Obtengo un promedio alto en mi periodo aad&mio 2! 2oy bene'iiaria del r&dito ondonable que otorga el Estado y reibo un bono de estudio en la empresa ?! Obtengo un promedio alto en mi periodo aad&mio y reibo un bono de estudio en la empresa +or onsiguiente soy bene'iiaria del r&dito ondonable que otorga el Estado PROPOSICIONES COMPUESTAS LENGUAJE $ORMAL 1! Q:
2! Q/: ?! Q/: !! : LENGUAJE $ORMAL < Q = Q < Q / = Q < Q / =
T0-10 DE ,ERD0D p q r
~
( ~ p
<Q/=
< Q /=
[(~p ^ q ) ^ ( p ^ r )
p
^ ( q ^ r )]
p ^q) V V V $ $ V V $ $ $ V $ V $ $
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V
T0UTO1O/H0 Dentro de la l#gia se onsidera que el anterior es un argumento ($lido.
+0NT0110O DE COF+RO-0CIJN DE 10 T0-10 DE ,ERD0D CON E1 2IFU10DOR TRUT*
ANEO 2 ENUNCIADOS DENOMINADOS SILOGISMOS $ASE INDIVIDUAL 2! Todo Espaio ,etorial onsta de antidades (etoriales y esalares. En el urso de Klgebra 1ineal todos los enuniados son de Espaios ,etoriales. En el urso de Klgebra 1ineal todos los enuniados onstan de antidades (etoriales y esalares.
RE+RE2ENT0CIJN DE1 2I1O/I2FO EN DI0/R0F02 DE ,ENN +REFI20 7% Todo Espaio ,etorial onsta de antidades (etoriales y esalares. +REFI20 8% En el urso de Klgebra 1ineal todos los enuniados son de Espaios ,etoriales. CONC1U2ION% En el urso de Klgebra 1ineal todos los enuniados onstan de antidades (etoriales y esalares.
E CV
CA
E3 *3.F*. 3*-. EV% Espaio ,etorial CVE% Cantidades ,etoriales Esalares CAL% Curso De 0lgebra 1ineal CONC 1U2IJN% 1a l#gia proposiional se desarroll# omo respuesta a la neesidad de onstruir argumentos! para de'ender o re'utar los pensamientos de los dem$s! la l#gia establee proedimientos para determinar la (erdad o 'alsedad de proposiiones ompuestas! reduiendo argumentos omplejos en simples! para lo ual representa el onoimiento! en una 'orma que pueda ser usado por un razonamiento me$nio! a este esquema se le llama lógica simbólica.
0dem$s dentro de la l#gia proposiional se han 'ormulado los prinipios del razonamiento simb#lio y el an$lisis l#gio! mediante tablas de (erdad para omprobar la (eraidad de proposiiones ompuestas. 0s" mismo! se oneptualiza un silogismoomo un argumento deduti(o en el que se in'iere una onlusi#n a partir de dos premisas. Un silogismo ateg#rio es un argumento deduti(o onsistente en tres proposiiones ateg#rias que ontienen e5atamente tres t&rminos! ada uno de los uales solo aparee en dos de las proposiiones que lo onstituyen. Dos de las proposiiones reiben el nombre de premisas y la otra se llama onlusi#n. 1a (alidez de estos silogismos adem$s de otros m&todos la podemos omprobar mediante representaiones en diagramas de ,enn.
-I-1IO/R03H0% •
0mador 0! +asual C. :7LLM;. )ógica *atemática Teor+a y "ráctica. https%==boos.google.om.o=boos=about=1CA-AgiaPmatemCA07tia.htmlB id<2DiI@00C00QredirPes
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0rgoty! 1. :87S;. 'epaso )ógica *atemática. Reuperado dehttp%==erenriquez.net=largoty=O(a7FD=
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-ustamante 0. 0. :8L;. )ógica y Argumentación ,e los argumentos inductivos a las álgebras de -oole. 1 . Edii#n. F&5io% Editorial +earson. :pp. AM7;. Reuperado
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Ch$(ez! C. +. :8;. Compendio de lógica. 1arousse /rupo Editorial +atria. :pp. 7S7 78;. Reuperado de% http%==hdl.handle.net=7SL=SS8
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