Para Concurso
UNIDADE VII
2. Fração Algébrica ou Expressão Algébrica
CAPÍTULO 01 I. Classificação das expressões algébrica 1. Expressão algébrica a) Racional:
Não possuí variável sob radiciação.
3x a) 2y
Inteira
- Não possuí variável no denominador Exemplos: a) x3 + x2 + x +
b)
6
b) y + 2xy + 3 5
7
- Possuí variável no denominador
x3 − x2 + x − 4 a) x− 4
3x 2
x
Solução:
+1
x–4≠0⇔x≠4
x2 + x + 1 b) 2xy
”x” ”x” pode pode assu assumi mirr qual qualqu quer er valo valorr em IR (reais), com exceção de x = 4 pois, anularia o denominador
b) Irracional
- Possuí variável sob radiciação (dentro da raiz)
x4 − x3 − x2 b) ( x − 2)( x + 2)
a) 2 x + y
Solução:
x −2
x–2≠0⇔x≠2 x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2
3x + 4y + 1
b)
x +1
Exercícios resolvidos 1. Classificar as expressões algébricas abaixo: 3x4 − x2 + x +1 (Expressão algébrica
racional inteira)
irracional) 2a3 5
+
a2 2
+ a (Expressão algébrica racional
a
+ x2 +
1 2
(Expressão Algébrica racional
e) x + 2x + y (Expressão algébrica racional fracionária)
a) Racional inteira b) Irracional c) Racional
2
(EsPCEX)
2 3 x − x2 − x é: 3 5
a)
fracionária) -2
Exercícios
2.
inteira) 2xy
”x” ”x” pode pode assu assumi mirr qual qualqu quer er valo valorr em IR (reais), com excessão de x = ± 2, pois anularia os denominadores da mesma.
−1 −0,5 1. (EMM-80) A expressão x + x é: x −1
1
b) x 3 + 2xy−1 (Expressão algébrica
d)
a− 2
2k
Exemplos:
a)
c)
2 3 2 d) k − k − k
3xy
Fracionária
Exemplos:
a)
x3 − x2 + x + 1 c) x− 5
O denominador de uma fração algébrica tem que ser sempre diferente de zero pois a divisão de qualquer número por zero é impossível.
3
3
É a razão entre dois polinômios A e B, sendo B ≠ 0, representados em forma de fração. Os polinômios acima citados são con conside sidera rado doss term termos os da fraç fração ão,, ond onde A é numerador e B o denominador. Exemplos:
Fracionário
racional b) Fracionário
Cláudio Freire
d) Numérica e) Homogênia
O
polinômio
e
−1
32
+ 4−2.
d) Inteiro e)
Fracionário
e 59
Para Concurso
irracional c) Irracional
3.
(C.NA C.NAV VAL) AL)
Cla Classif sifiqu ique
a
c)
x3 – y3, quando x = -1 e y = -1/2
d)
x2y – xy2, quando x = -1/2 e y = -2
expre xpresssão são
x+ 3 x3 − 5x2 + 2x + 4
a) b) c) d) e)
Expressã Expressão o algéb algébrica rica racional racional inteira inteira Expressã Expressão o algébri algébrica ca racion racional al fracio fracionári nária a Expres Expressã são o algéb algébric rica a irracio irraciona nall Expressã Expressão o algéb algébrica rica irraciona irracionall inteira inteira Expressã Expressão o algébri algébrica ca irracio irracional nal fracioná fracionária ria 4. (ET (ETFQ) FQ) Para Para que o poli polinô nômi mio o em x e y m x +y +x −1 seja racional,é necessário que m seja igual a: a) 1 b) 4 c) 3 d) x e) 0
Gabarito
2. (EEAr-91) A expressão 2a2 -
b
+ 4m – 3a2
+ ab-1 tem valor numérico igual a 10 para a = -1 e b = 2, então o valor de m é: a) 19/8 b) 21/8 c) 38 d) 42
3. (EEAr-89) O valor numérico da expressão: x +y c +d − para x = -1, y = 2, c = 3 e d = -4: y − x d−c a) –10/21
1. b) Irracional
2a
b) –4/21
c) 10/21
d) 4/21
4. (EsSA-85) O valor da expressão algébrica
2. d) Inteiro
x-2 -
3. b) Expressão algébrica racional fracionária
1
+ x3/ 2 +
x− 1
a) 47/4
b) 35/3
x , para x = 4 é:
c) 35/3
d) 467/48
e) 17/4
4. e) 0 5. (EsSA-96) a-1 + b-1 = c-1 para a = -1/2 e b =
CAPÍTULO 02
1/3, então c vale: a) –1 b) 1
I. Valo Valorr numé numéri rico co de uma uma expr expres essã são o algébrica
6. (EsSA-96) O valor da expressão –5a 2 – b3 para a
É o valor numérico que se obtém substituindo substituindo as variáveis pelos seus respectivos valores.
Exercícios resolvidos 1. Calcular o valor numérico da expressão x 3 – x2 – 2xy – x – y para x = -2 e y = -1.
= -2 e b = -1 é: a) –43 b) 21
e) –19
7. (EPS (EPSJV JV-2 -20 000) 00) Para Para x = 5, a expr expres essã são o 4 2 2x + 5x vale: 5x3 − 2x2
então (abc)12 é igual a a) 9912 b) 992 1/2
Exercícios
Gabarito
1. Dete Determ rmin ine e o valo valorr de cada cada expr expres essã são o
1. a) 1/10 2. b) 21/8
x2 + xy, quando x = -1/3 e y = 2
3. d) 4/21 60
d) -17
e) 1/5
8. (EEAr-2001) Se a 2 = 996, b 3 = 997 e c4 = 998,
(-2)3 – (-2)2 – 2 . (-2) . (-1) – (-2) – (-1) = = -8 – 4 – 4 + 2 + 1 = -13
b)
c) 19
d) –1/6
a) 11/17 b) 43/19 c) 29/71 d) 55/23 e) 37/13
Solução:
numérica: a) 2a + b, quando a = -1/5 e b = 1/2
c) 1/6
Cláudio Freire
b) 5/9
c) 9928
d) 9988
c) 7/8
d) 3/2
Para Concurso
irracional c) Irracional
3.
(C.NA C.NAV VAL) AL)
Cla Classif sifiqu ique
a
c)
x3 – y3, quando x = -1 e y = -1/2
d)
x2y – xy2, quando x = -1/2 e y = -2
expre xpresssão são
x+ 3 x3 − 5x2 + 2x + 4
a) b) c) d) e)
Expressã Expressão o algéb algébrica rica racional racional inteira inteira Expressã Expressão o algébri algébrica ca racion racional al fracio fracionári nária a Expres Expressã são o algéb algébric rica a irracio irraciona nall Expressã Expressão o algéb algébrica rica irraciona irracionall inteira inteira Expressã Expressão o algébri algébrica ca irracio irracional nal fracioná fracionária ria 4. (ET (ETFQ) FQ) Para Para que o poli polinô nômi mio o em x e y m x +y +x −1 seja racional,é necessário que m seja igual a: a) 1 b) 4 c) 3 d) x e) 0
Gabarito
2. (EEAr-91) A expressão 2a2 -
b
+ 4m – 3a2
+ ab-1 tem valor numérico igual a 10 para a = -1 e b = 2, então o valor de m é: a) 19/8 b) 21/8 c) 38 d) 42
3. (EEAr-89) O valor numérico da expressão: x +y c +d − para x = -1, y = 2, c = 3 e d = -4: y − x d−c a) –10/21
1. b) Irracional
2a
b) –4/21
c) 10/21
d) 4/21
4. (EsSA-85) O valor da expressão algébrica
2. d) Inteiro
x-2 -
3. b) Expressão algébrica racional fracionária
1
+ x3/ 2 +
x− 1
a) 47/4
b) 35/3
x , para x = 4 é:
c) 35/3
d) 467/48
e) 17/4
4. e) 0 5. (EsSA-96) a-1 + b-1 = c-1 para a = -1/2 e b =
CAPÍTULO 02
1/3, então c vale: a) –1 b) 1
I. Valo Valorr numé numéri rico co de uma uma expr expres essã são o algébrica
6. (EsSA-96) O valor da expressão –5a 2 – b3 para a
É o valor numérico que se obtém substituindo substituindo as variáveis pelos seus respectivos valores.
Exercícios resolvidos 1. Calcular o valor numérico da expressão x 3 – x2 – 2xy – x – y para x = -2 e y = -1.
= -2 e b = -1 é: a) –43 b) 21
e) –19
7. (EPS (EPSJV JV-2 -20 000) 00) Para Para x = 5, a expr expres essã são o 4 2 2x + 5x vale: 5x3 − 2x2
então (abc)12 é igual a a) 9912 b) 992 1/2
Exercícios
Gabarito
1. Dete Determ rmin ine e o valo valorr de cada cada expr expres essã são o
1. a) 1/10 2. b) 21/8
x2 + xy, quando x = -1/3 e y = 2
3. d) 4/21 60
d) -17
e) 1/5
8. (EEAr-2001) Se a 2 = 996, b 3 = 997 e c4 = 998,
(-2)3 – (-2)2 – 2 . (-2) . (-1) – (-2) – (-1) = = -8 – 4 – 4 + 2 + 1 = -13
b)
c) 19
d) –1/6
a) 11/17 b) 43/19 c) 29/71 d) 55/23 e) 37/13
Solução:
numérica: a) 2a + b, quando a = -1/5 e b = 1/2
c) 1/6
Cláudio Freire
b) 5/9
c) 9928
d) 9988
c) 7/8
d) 3/2
Para Concurso
1−
4. d) 467/48
2+
5. b) 1 1−
6. e) –19
2+
7. d) 55/23 1−
8. d) 99
88
2+
CAPÍTULO 03 I. Simplificação de Expressões Algébricas
1−
x−1
x + 1− x + 1
x+ 1 = x+ 1 x 2x + 2 + x x+ 1
x+ 1
x− 1
2
x+ 1 = x+ 1 x 3x + 2 x+ 1
x+ 1
x− 1
x + 1 = 2 . ( x + 1) x ( x + 1) 3x + 2 x+ 1 x− 1 x+ 1 = 2 x 3x + 2
Fatora Fatoramo moss o nume numerad rador or e o denom denomina inador dor guando necessário e simplificamos os mesmos.
2+
Exercícios resolvidos
Exercícios
1. Simplifique:
1. (EAM-98) Sendo a = 2b, então o valor de
a)
20b4x3k 2 6
15b x
20b4x3k 15b2x6
20 b4 x3 = . 2 . 6 .k 15 b x
x+ 1
a+10b é: − 2a+ 6b
a) 0
4 1 = b2. 3 .k 3 x
2.
b) 1 (Faa (FaaP/ P/SP SP))
a) a
b)
b)
(3x2 + 6x − 9)(x2 − 3x + 9) = 3(x2 + 2x − 3)(x2 − 3x + 3( x2 − 1)(x3 + 27) 3( x − 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x2 − 3
(3x2 + 6x − 9)( x2 − 3x + 9) = 3( x + 3)( x + 1) 3( x − 1) ( x + 1) ( x + 3) 3( x2 − 1)( x3 + 27)
x− 1 x+ 1 = x 2+ x+ 1 1−
c)
x− 1 − 1 x+ 1 x+ 1 1 2 x + 1 x x+ 1 x+ 1 1
d) 6
Simpl implif ific ican ando do
e) 8 a
expr expres essã são o
ax−ay obtemos: x( x − y) − y( x − y)
20b4x3k 4b2k = 3 15b2x6 3x
(3x2 + 6x − 9)(x2 − 3x + 9) = 1 x −1 3( x2 − 1)( x3 + 27)
c) 2
1 x −y
c)
a x −y
d)
a x+y
a+ b 6x 3. (EAM-98) A expressão é igual a: 2a + 2b x a) 1/10 b) 1/12 c) 2/6 d) 1/5 e) 2/12
4.
(EEAR-98) (EEAR-98)
Simplifi Simplifican cando-s do-se e
,obtém-se: a) 8 b) –1/2
c) 1/4
2n+1 −2n−2 2n
d) 7/4
5. (E.T (E.T.F .F.Q .Q.N .N..-98 98)) Co Cons nsid ider ere e N o valo valorr da expressão
( a+ b) 2 , com ab ≠ 0, tal que a2 + b 2 ab
= 10ab. Deter eterm mine ine o número ero positivos de N.
Cláudio Freire
de
divis ivisor ores es pares res
61
Para Concurso 3 2 6. (EEAR-98) A expressão a3 + 22a + a é igual
a
a: a
a)
b)
a −1
a a+1
c)
+ a − a−1
1
d)
a−1
1 a +1
2x 4
2x
+ 3x
3
− 3x − 27 , encontramos: − 9x2 − 27x − 8
b)
d)
1
x−3 x+3 e) x−3
1 x+ 3
c) x – 3
8. (CTUR-2000) Simplificando a expressão 1 a+ b , obtém-se: 1 b+ a
d)
(
3 2 2 c) 2x a x
3 2 2 b) 2 a x
3 2 2 d) 2 a x
3x
3ax
10. Simplifique M = a)
x −1 5
b)
x +1 5
−2
)3
,
3x
62
15.
(ExPCEX-84)
1− x +
Efetuar
e
simplificar:
1− x 1+ x 1
(EsSa-89)
Calculando
x3 − 3x2 + 3x −1
:
x −3 2 x+ 3 2x− 9 + 5 15
obtemos: x−6 2 x−6 b) 15
a)
c) 3(x – 6)
17.
(Química
d) x – 6 e)
3 (x −6) 2
têxtil-93)
Simplificando
2
a
3
a
11. (EPS-JV-2000) Para x = 5, a expressão 5x3 − 2x2
–3/2 –1/2 1/2 3/2 1
16.
x −1 3
2x4 + 5x2
(8+ x3)(x2 − 4) (x2 + 4x+ 4)(x2 − 2x+ 4)( 4−2x)
1 + 1− x 1− x2
3x
5x2 −10x + 5
após
x +1 x −1 − x −1 x +1 = 1 + 1 x +1 x −1
c) x + 1 d)
2
14. (EsPECEX-81) Simplifique a expressão:
2a2x 2 2 9. (EEAR-2000) Simplificando .a x 3 com a > 0 e x > 0 temos: 3 2 2 a) 2a a x
( 2x2 − x −1)( x + 3) , y=
real
13. Simplifique a) b) c) d) e)
b+1 a a+1 e) b+1
b a a b) b a+1 c) b
a)
função
x + 2x − 3 convenientemente simplificada, é equivalente, é equivalente a: a) y = 2x + 1 para lR – {-3,1} b) y = x2 + 1 para lR – {-3,1} c) y = x – 2 para lR – {-3,1} d) y = x + 1/2 para lR – {-3,1} e) y = 3x + 1 para lR – {-3,1}
2
a) x + 3
11/7 43/19 29/71 55/23 37/13
12. (EsPCEx-2001) Pode-se afirmar que a
7. (CM.RJ-99) Simplificando a fração algébrica 3
a) b) c) d) e)
+ ab− a−b : + a2b− a−b
a) (a + b) / (a – b) b) (a – b) / a + 1 c) 1/a – 1
, vale: Cláudio Freire
d) 1/a + 1 e) (a – b) / a – 1
Para Concurso 3 18. (CEFET-91) Simplifique x2 − 8 :
x
19.
(CEFET-89)
25. (EPCAR-81) Simplificando e calculando o
−4
Simplifique
a
fração:
2x2 −2y2 x2 + 2xy+ y2
20. (CEFET-85) Se x ≠ 1 e x ≠ -1 simplificando a x3 + 2x2 + x expressão você obtém: 1− x2 2 a) x + x d) x3 + x + 2 1− x b)
1
e)
1− x
1+ x x
a) b)
1+1
c)
a −1 a+ 1
d)
a2 + 4
22.
(EsSa-89)
3x2 −10x −8 : 2x2 −7x −4 x+2 a) x+1 x+8 b) x+4 x+ 3 c) x+2
obterá: a) zero b) 16 c) 8
d) 64 e) impossível
26.
(ETFQ-93) Simplificando a equação x4 − y4 (x ≠ 0 e y ≠ 0), ao máximo x3 + x2y + xy2 + y3 possível,encontraremos:
fração
x. A soma dos valores de a,b e c é: a) 4 b) 2 c) -3 d) 0
e) 1
Gabarito
a2 − 4 a2 + 1
1. d) 6
a2 + 4
2. c) a
a x −y
fração
3. b) 3x + 3 2x + 2 3x + 2 e) 2x + 1
d)
23. (EsSA-92) Simplificando a fração encontramos: a) x – 3 / x + 3 b) x – 2 / x+ 3 c) x – 3 / x
a
a+ 1
Simplificando
a− b
27. (C.NAVAL-82) O valor da expressão ( a− 2) x3 + ( b− 1) x2 + ( c − 1) x + 10 independe de x2 − x + 5
1 c) 1− x
21. (EEAR-87) Simplificando a3 + a2 − 4a − 4 encontramos: a4 − 16
2 2 valor numérico de a − b para a = b = 4, você
1 12
7 4
4. d)
5. 4 divisores x2 − 6x + 9 x2 − 9
6. a)
a a −1
7. b)
1
x+ 3 a 8. b) b
d) 1 e) –1
24. (EsSA-91) Simplificando a fração algébrica x3 − x2 − x +1 x3 − x
obtemos: x a) x +1 b) c)
1 x −1
x −1 x
, para x ≠ 1, x ≠ - 1 e x ≠ 0
d) e)
x −1 x +1
3 2 2 9. d) 2 a x
3x
10. a)
1
x −1 5
x +1
11. d) Cláudio Freire
55 23
63
Para Concurso
Exercícios resolvidos
12. a) y = 2x + 1 para lR – {-3,1}
a)
1 13. b) − 2
15. (1 – x2)
17. d)
3( x − 6) 2x 1
(x – 1) .
a +1
(x – 1) . 1 .
3x2 − 3x + 6 x2 − 1
a+ 1
+
3x2 − 3x + 6
a2 + 4
x2 − 1
3x + 2 2x + 1
3x2 − 3x + 6 2
x
x−3 23. a) x+3
24. c)
(x + 1) 1 1
; ; ;
(x + 1) 1 1
x+1 x–1
3x2 − 3x + 6 6 3x2 − 3x + 6 + 6( x − 1) + = 2 + x 1 ( x + 1)( x − 1) x −1 − x 1 1
x + x2 a) 1− x
22. e)
x+ 1
m.m.c = (x + 1) (x – 1)
2( x − y) 19. x +y
21. b)
6
m.m.c
2 18. x + 2x + 4 x +2
20.
x2 - 1
+
Para calcular o m.m.c., fatoramos cada denominador e em seguida aplicamos a decomposição simultânea em fatores primos ( aritmética )
14. 2
16. c)
3x2 + 3x + 6
−1
6 3x2 − 3x + 6+ 6x − 6 = ( x + 1)( x − 1) x+1
+
3x2 + 3x x + 1 ( x + 1)( x − 1)
+
3x( x + 1) x + 1 ( x + 1)( x − 1)
6
6
=
=
x −1
1. (EEAR-88) Efetuando as operações:
x
3
5+ x 5− x
a)
27. a) 4
CAPÍTULO 04 I. Adição e Algébricas
4
-
26. (x – y)
b)
subtração
de
frações
1- 2x 25− x2 5x + 5
x2 - 25
+
2x 25− x2
,o resultado será:
c) d)
5x + 5 25- x2 10x x2 - 25
2. (EAM-98) Simplificando a expressão:
1. Regra Prática
64
3x x −1
Exercícios
25. c) 8
=
Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador (m.m.c. dos denominadores). Adicionamos e/ou subtraímos os respectivos numeradores repetindo o denominador comum. Simplificamos a fração final quando possível através da fatoração.
x2 - 4 x2 - 2x + 1 + + 3, obtemos: x+ 2 x −1
a) 2x b) 3x c) 6x
Cláudio Freire
Para Concurso
d) 5x e) 10x
3. (UNB) A expressão 4 é igual,a: 1 a) a−4 2 b) a−4
3a− 4
1 ,com a ≠ ± a2 −16 a− 4
−
Quando do produto, basta simplificar as frações através da fatoração se possível, e em seguida multiplicar os termos finais. Quando da divisão, devemos repetir a primeira fração multiplicar pelo inverso sa segunda e em seguida aplicar o mesmo procedimento do produto. Exemplos: 2 a) x − 25. 3a + 3b = ?
xa+ bx 2x + 10
1
c)
Solução:
a+ 4 2 d) a+ 4
( x− 5)( x + 5) . 3( a+ b) = 3( x − 5) x( a+ b) 2( x + 5) 2x
4. (UNB) Sendo a e b dois números reais diferentes de zero, a expressão a: a) b)
b + 2a a( a + b) 3
c) d)
a2b
1 2
a
+
2 é igual ab
(
3
)
2 − 1 ( 3x − 3) x + x + 1 b) =? : 2x − 2 x2 − 1
x
b + 2a
Solução:
a2b 1
2( x − 1) 2 ( x − 1) ( x2 + x + 1) . = ( x − 1)( x + 1) 3( x − 1)( x2 + x + 1) 3( x + 1)
a2b
5. (EEAr-91) Qual a fração que quando adicionada a
-2x a) 2 x -4
2
, obtém-se
x +2 2x
b)
x2 - 4
4 2
x -4 2x - 8 8 - 2x c) 2 d) 2 x -4 x -4
Gabarito 5x + 5 1. b) 2 x − 25
Exercícios 1.
4. c) 5. d)
Simplificando
1 2 a 5
2. A expressão 21− : 1− a)
1
d)
a+ 2 2 b) a a+4 5a c) a +1
2 x+4
b + 2a a2b
a
a2 + a a2 − a b2 − 1 , obtemos: . . b2 + b b2 − b a2 − 1 a a2 b2 b) a) 2 c) 2 b b a
2. a) 2x 3. d)
(UF-Goiás)
e)
expressão
d)
b a
1 é igual a: a2
3 a−1
1 2a +1
8 - 2x
3. (FAETEC-97) A fração que você vai obter
x2 - 4
quando multiplicar
I. Produto Algébricas
2( x + 2) x−2 b) 2
a)
CAPÍTULO 05 e
Divisão
de
Frações
c)
Cláudio Freire
x2 − 4 2x2
por
4x2
x2 − 4x + 4 2x + 4 d) x
:
e) 2x
1 x
65
Para Concurso
4. (CMRJ-97) O resultado simplificado da x
.
y
expressão: x − y x + y y2
a)
2
2
4. a)
x −1 y
d) −
y −x 1−y b) x −y
c)
−
1
2
y
8. a)
2
−x
4+ 2 5
UNIDADE VIII 1
2
x
CAPÍTULO 01
−1
I. Polinômio
xy−1
e)
y2
x+y
É toda expressão algébrica racional inteira.
xy− x − y x2 − y2
Indicação:
5. (EAM-2000) Considere a expressão:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … a1x + a0
ax+ bx− an− bn a2 − 2ab+ b2 . a2 − b2 x2 − n2
x ∈ lR, n ∈ lN e (an, an-1 ... a1, a0) ∈ lR
Efetuando os cálculos e simplificando-os obtémse: a) b) c) d) e) a−b b− a a− b a +b a+ b x −n x−n x+n x+n x+n
6. (EEAr-98) Simplificando a expressão: a − 2a2 1 1 : + ,obtém-se : a2 − 1 3a − 3 a + 1 a)
−a 2
b)
−3a 2
−2a
c)
d)
3
2
8.
b)
(CM-2000)
m
Se
c)
d)
n
M=
c)
4+ 2
P(-1) = -1 + 1 + 1 P(-1) = 1
b
2. c)
5a a+1
3. a)
2( x + 2) x−2
66
2. Raíz ou zero de um polinômio Se P(x) = 0, podemos dizer que x é uma raiz ou zero do polinômio P(x).
m+ n
2
é:
e
Exercícios resolvidos 1. As raízes do polinômio P(x) = x 2 – 5x + 6, estão no conjunto {1,2,3} verificar quais são: P(1) = 12 – 5 . 1 + 6 P(1) = 1 – 5 + 6 = 2 (não é raíz) P(2) = 22 – 5 . 2 + 6 P(2) = 4 – 10 + 6 = 0 (2 é raíz)
Gabarito 2 1. a) a2
Considerando o polinômio P(x) = x3 + x2 + 1, calcular P(-1). O valor numérico será encontrado substituindo x no polinômio por (1).
3
5x2 −10x + 5
M x3 −1 , o valor de , para x = N 5x +10 a) 4 + 2 d) 4 − 2 5 5 b) 1+ 2 e) 4 + 7 7 7
1. Valor numérico de um polinômio
5a
x3 − 3x2 + 3x −1
N=
a) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 1
P(-1) = (-1)3 + (-1)2 + 1
7. (EEAr-200) O quociente da divisão de : 1+ m− n m− n por 1− , obtém-se: m+ n m+ n n m −a m+ n a)
Exemplo:
5. b) 6. b)
P(3) = 32 – 5 . 3 + 6
a−b x+n
P(3) = 9 – 15 + 6 = 0 ( 3 é raíz )
−3a
Solução:
2
7. c)
m
As raízes são {2 e 3}
n
3. Polinômio completo Cláudio Freire
Para Concurso
Possuem todos os termos de grau “n”(maior grau) até o grau “0”(menor grau), ou seja, possuem n + 1 termos. Exemplos:
5. Polinômio homogênio
a) P(x) = x – 3x + 2x – x + 1 4
3
Resposta: k = –2
2
Um polinômio é homogênio guando todos os termos são do mesmo grau.
b) P(x) = 3x5 – 3x4 – 2x2 – x + 6
Exemplos:
c) P(a) – a – 6a + 10 2
2x3y −4x2y2 −5xy3
4ºgrau
4. Grau de um polinômio
4ºgrau
4ºgra
Exercícios resolvidos
É o monômio de mais alto grau
1. Para que o valor de k, o polinômio em x e y
Exercícios resolvidos
4x3y2 – 5x5 – 4x4y – k + 1 é homogênio
1. Qual é o grau do polinômio:
-k + 1 = 0 -k = -1(-1) k=1
4 x3 + 2 x2 + x + 1 a) P(x) = x + 2
40
30
20
10
conseqüentemente:
00
Polinômio do 4ºgrau
4x3y2 − 5 x5 5ºgrau
b) Qual é o grau do polinômio;
1. (EMM) O polinômio x3 – 2x4 + 3x – 4x2 é:
5º
7º
6º
5ºgrau 5ºgra
Exercícios
3 xy x3y2 − 4x4y3 − 2 xy5 − 4 +2 4º
−4x4y
0º
Polinômio do 7ºgrau
Polinômio do 4ºgrau em relação a x
Polinômio do 5ºgrau em relação a y
a) b) c) d) e)
completo não reduzido ordenado incompleto homogênio
2. (E.T.F.Q) O produto (2x2 . y-2) (3xm . y) (-xy3) será do 2ºgrau se o valor de m for:
c) Determinar o valor de k para que o polinômio P( x) = k2 −4 x4 −(k −2) x3 −2x2 −1 seja do 3ºgrau. Solução:
Coeficiente de x4 k2 – 4 = 0 k2 = 4 k=±
4
k=±2 coeficiente de x3 k–2≠0 k≠2
a) b) c) d) e)
1 2 -1 -2 -3
3. (E.T.F.Q) O polinômio em
e y , x 2 + y 2 + 3xy + m – 1 é homogênio se m for igual a: a) b) c) d) e)
x
0 1 2 -1 -2
4. (EEAR-89) Se –2/3 é um dos zeros do polinômio P(x) = ax2 – (a – 1) x + 4, então o valor de “a”; é: a) –21 Cláudio Freire
67
Para Concurso
b) –15 c) –3,3 d) –3
CAPÍTULO 02
5. (UniRio) O grau do polinômio (x + 2) (x – 4)4 (x + 6)6 (x – 8)8 ..... (x + 18)18 é:
I. Polinômios identicamente nulos Um polinômio P(x) qualquer identicamente nulo, quando todos coeficientes forem iguais a zero
a) 2.9! b) 90 c) 29 . 9! d) 180 e) 18!
Indicação
P(x) ≡ 0 (Lê-se: P(x) é idêntico a zero)
6. (Unifor-CE) Dados os polinômios p, q e r de graus 2,4 e 5, respectivamente, é verdade que o grau de p + q + r: a) b) c) d) e)
Não pode ser determinado Pode ser igual a 2 Pode ser igual a 4 Pode ser menor que 5 É igual a 5
Gabarito 1. d) incompleto
será seus
Exemplos:
Considerando o polinômio identicamente nulo, calcule x, y e z
P(x)
P(X) = (2x + 5)x4 – (y + 1)x3 + (3z + 9)x2 Solução:
2x + 5 = 0 ⇒ x = -5/2 y + 1 = 0 ⇒ y = -1 3z + 9 = 0 ⇒ z = -9/3 ⇔ z = -3
2. e) -3 3. b) 1 4. b) -15
Resposta: x = -5/2, y = -1 e z = -3
1. Polinômios idênticos Os dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos se e somente se todos os seus coeficientes respectivos de mesmo grau, forem iguais Indicação:
5. b) 90 6. e) é igual a 5
A(x) ≡ B(x) ⇔ A(x) = B(x), ∀x ∈ lR
Exercícios resolvidos 1. Os polinômios P(x) e h(x) abaixo são idênticos;calcule o valor de A, B e C. P(x) = (A – 2)x3 + (2B – 6)x2 + (C – 1)x – 10 h(x) = 6x3 + 4x – 10 Solução:
P(x) = h(x), logo: 2 (A−2) x3 + (2B −6) x2 +(C− 1) x 10= 6 x3+ − 0x + 4x−
A–2=6⇒A=6+2⇒A=8 2B – 6 = 0 ⇒ B = 6/2 ⇒ B = 3 C–1=4⇒C=4+1⇒C=5 68
Cláudio Freire
Para Concurso
2.
Calcule a
x− 3
+
b x+ 3
a
=
e
3x − 2 x2 − 9
b
de
forma
que
, sendo x ≠ ± 3.
Logo:
P(x) = ax2 + bx + c P(x – 1) = a(x – 1)2 + b(x – 1) + c
Solução:
m.m.c. (x – (x + 3); 3); 1; x + 3; 1;
1;
membro da equação é um polinômio do 2ºgrau (x2 – 5x + 6).
P(x – 1) = a(x2 – 2x + 1) + bx – b + c (x – 3) 1; 1;
(x + 3) (x + 3) 1;
P(x – 1) = ax2 –2ax + a + bx – b + c
x–3
P(x – 1) = ax2 + (-2a + b)x + a – b + c
x+3
Substituindo na função inicial
(x – 3) (x + 3)
a= 1 − 2a+ b = − 5 a− b+ c = 6
Continuando:
a b 3x + 3 + = 2 x− 3 x+ 3 x −9 x+ 3 x− 3 1 ax + 3a + bx – 3b = 3x + 3 ax + bx + 3a – 3b = 3x + 3
Substituindo
(a+b) x + 3a 3b = 3x + 3 −
2 ax2 + ( −2a +b) x+ + 5x+ 6 a− b c = x −
em
e
tem:
-2a + b = -5 -2 . 1 + b = -5 b = -5 + 2 b = -3 a–b+c=6 1 – (-3) + c = 6 c=6–1–3 c=2
Resolvendo o sistema:
a + b= 3 x(3) 3a − 3b= 3
P(x) = ax2 + bx + c P(x) = 1x2 – 3x + 2 P(-1) = (-1)2 – 3(-1) + 2 P(-1) = 1 + 3 + 2 = 6
3a+ 3b= 9 3a− 3b= 3
Exercícios 1. (EPCAR-82) Se
6a = 12 a = 12/6 = 2
5 2
x
a) A = 2 e B = 3 b) A = 5/2 e B = 5/2 c) A = 6 e B = 1
Substituindo:
a+b=3 2+b=3 b=3–2 b=1
2. (PUC) Se
2x −1 x( x + 1)
−4
=
=
A B − , então: x− 2 x+ 2
d) A = 5/4 e B = 5/4 e) A = 2 e B = 1/2
A B + , com x ≠ 0 e x ≠ x x +1
-1, é correto afirmar que o produto A . B é igual a: a) -3 b) -2 c) 0 d) 2 e) 3
Resposta: a = 2, b = 1
3. Sendo P(x – 1) = x 2 – 5x + 6, calcule P(x) e P(-1)
3. (UFPE) Existem números reais A e B tais que,para todo x ≠ 1 e x ≠ 2: 1
Solução:
2
Precisamos primeiramente calcular P(x), que só pode ser P(x) = ax2 + bx + c, pois o 2º
x
Cláudio Freire
− 3x+ 2
=
A B + . Determine B – A x−1 x− 2
69
Para Concurso
4.
(ITA-SP)
A
identidade
3
+4 a bx+ c é valida para todo = 1+ + 2 3 x +1 x − x + 1 x +1
x
número real x ≠ -1. Então a + b + c é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
Gabarito 1. d) A = 5/4 e B = 5/4
3. (CTUR-2000) Numa adição de polinômio encontra-se 7x 2 + 10x – 8, mas verificou-se que a parcela 2x 2 + 7x + 2 havia sido incluída indevidamente. O resultado correto da adição é: a) 5x2 + 3x – 10 d) 9x2 + 17x – 10 b) 5x2 + 3x – 6 e) 9x2 – 17x + 6 c) 9x2 + 17x – 6
2. a) -3
Gabarito
3. B – A = 2 4. d) 2
1. c) x(x + 1)2 2. e) –4x2 + 12x + 8 3. a) 5x2 + 3x – 10
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
I. Adição e Subtração de Polinômios
I. Produto de um polinômio
Basta adicionar ou subtrair os mesmos fazendo a redução dos termos semelhantes. Exemplos:
Multiplicamos todos os termos de um polinômio por todos do outro e em seguida reduzimos os termos semelhantes.
Sendo A(x) = -x 3 + x2 – x + 1 B(x) = x4 – x3 – 2, calcule:
Exemplos:
a) A(x) – B(x) = -x3 + x2 – x + 1 – (x4 – x3 – 2) A(x) – B(x) = -x3 + x2 – x + 1 – x4 + x3 + 2 A(x) – B(x) = -x4 + x2 – x + 3
(x – 2) (x2 – 3x + 1) = x 3 – 3x 2 + x – 2x2 + 6x – 2 (x – 2) (x2 – 3x + 1) = x3 – 5x2 + 7x – 2 a)
ou b) A(x) + B(x) = -x3 + x2 – x + 1 + x4 – x3 – 2 A(x) + B(x) = x4 – 2x3 + x2 – x – 1
Exercícios resolvidos 1. Quanto devo somar na expressão (x – 1) 2,
x2 – 3x + 1 x x–1 2 -2x + 6x – 2 3 + x – 3x2 + x + x3 – 5x2 + 7x – 2
para obter (x – 2)2
b) 2x(3x3 – 2x – 1) = 6x4 – 4x2 – 2x
Solução:
1. Divisão de Polinômios
(devemos somar o polinômio “K” ) (x – 1)2 + k = (x – 2)2 x2 – 2x + 1 + k = x2 – 4x + 4 k = x2 – 4x + 4 – x2 + 2x – 1 k = -2x + 3
Dividimos todos os termos do polinômio pelo monômio divisor. Exemplos: a) (6x4 – 9x3 – 15x2 – 3x) : (-3x) =
Resposta: -2x + 3
Solução
Exercícios 1. (EEAr-91) A expressão que se deve somar a (x + 1)2, para se obter (x + 1)3 é: a) x + 1 c) x(x + 1)2 b) –(x + 1) d) –x(x + 1)2
6x4 – 9x3 – 15x2 – -3x 3x -2x3 + 3x2 + 5x +1 Dividir o polinômio : P(x) = x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2 por h(x) = x – 1
2. (EAM-2000) Sejam A = -x 2 – x – 1 e A – B = x 2 – 7x – 5. Então o valor de 2B é: a) 6x2 + 10x – 8 d) –4x2 – 12x + 8 b) 6x2 + 12x – 8 e) –4x2 + 12x + 8 c) 4x2 + 12x + 8 70
2. Método das chaves
Cláudio Freire
Regra:
Para Concurso
Devemos colocar o dividendo e o divisor sempre em ordem decrescente em relação a suas potências
Resposta: Quociente = x3 – x2 + x – 3 Resto: = - 5
Exercícios resolvidos
x4 – 2x 3 + 2x 2 – 4x x – 1 –2
1. Determinar o quociente e o resto da divisão P(x) = 4x3 + 4x + 10 por h(x) = x – 2
Dividimos o primeiro termo do dividendo x 4 pelo primeiro termo do divisor x e em seguida multiplicamos o resultado no quociente por todo o divisor, colocando o resultado no dividendo que será subtraído do mesmo. x4 – 2x 3 + 2x 2 – 4x x – 1 –2 -x4 + x3 x3 -x3 + 2x2 – 4x – 2
4x3 + 0x2 + 4x + x – 2 10 -4x3 + 8x2 4x2 + 8x + 20 2 8x + 4x + 10 -8x2 + 16x 20x + 10 -20x + 40 50 Resposta: Quociente: 4x2 + 8x + 20 e Resto: =
Dividimos novamente o primeiro termo do dividendo –x3 pelo primeiro termo do divisor x e repetimos a operação acima.
50
Prova Real
Multiplicamos o quociente pelo divisor e somamos o resultado com o resto, e o polinômio final deve ser igual ao dividendo.
x4 – 2x 3 + 2x 2 – 4x x – 1 –2 -x4 + x3 x3 – x2 -x3 + 2x2 – 4x – 2 +x3 – x2 x2 – 4x – 2 O grau do dividendo x 2 continua menor que o grau do divisor x, o que determina toda operação novamente.
4x2 + 8x + 20 x–2 -8x2 – 16x – 40 4x3 + 8x2 + 20x 4x3 + 0x2 – 4x – 40 Logo:
x4 – 2x 3 + 2x 2 – 4x x – 1 –2 -x4 + x3 x3 – x2 + x 3 2 -x + 2x – 4x – 2 +x3 – x2 x2 – 4x – 2 -x2 + x -3x – 2
4x3 + 4x – 40 + 50 = 4x 3 + 4x + 10 quocient resto e Exercícios
1. O resto da divisão de P(x) = x4 – 7x3 + 11x2
O grau do dividendo “3x” é igual ao grau do divisor “x” o que determina a última divisão a ser feita x4 – 2x 3 + 2x 2 – 4x x – 1 –2 -x4 + x3 x3 – x2 + x –3 3 2 -x + 2x – 4x – 2 +x3 – x2 x2 – 4x – 2 -x2 + x -3x – 2 +3x – 3 -5
+ 7x – 12 por h(x) = x2 – 3x – 4 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 0
2. O resto da divisão de P(x) = x4 – 7x3 + 11x2 + 7x – 12 por h(x) = x2 – 7x + 12 é: a) 2 b) 3 c) 0 d) 1
3. (O sec-SP) O polinômio x 3 – 2x + ax + b é divisível por x2 + 4. Então, a e b valem respectivamente: a) 4 e –8 d) 4 e 8 b) –2 e 4 e) –2 e 2 c) 2 e 0
O grau do dividendo é menor que o grau do divisor.A divisão está encerrada. Cláudio Freire
71
Para Concurso
4. (ITA) Os valores de a,
β e y que formam o P(x) = 4x + 2x4 – 2x3 + ax2 + βx
polinômio + y divisível por Q(x) = 2x3 + x2 – 2x + 1 satisfazem as desigualdades d) b > y > a a) a > β > y e) y > a > b b) a > y > β c) b > a > y 5
5. (U.F.R.R.J-99) Determine o valor de m para que o polinômio x + 2x – 3x – mx + m, seja divisível por (x – 1)2 4
3
2
Obs.: Este exercício também pode ser feito por simplificação de polinômio através da fatoração.
6. (E.N.) A expressão que multiplicada por b – [a – (-b + c)] dá resultado a2 – c2 é: a) a + c d) a + b b) a – c e) a – b c) a2 + c2
I. Divisão de polinômio por binômios do 1ºgrau 1. Teorema do resto Considerando um polinômio qualquer P(x) e o binômio ax + b e dividindo P(x) por ax + b, temos: P(x) ax + b ⇒ P(x) = (ax + b) . Qx + Rx R(x) Q(x) Como o binômio ax + b tem grau 1, logo, o resto R(x) terá grau zero ou será nulo; concluímos que R(x) é uma constante que designaremos por k. Calcularemos o valor de P(x), substituindo x por –b/a (raíz do binômio) P(x) = (ax + b) . Qx + k
−b +b .Qx+k a
P(x) = a.
7. (Química têxtil-93)O polinômio: -2x 6 + x5 + 8x4 – 4x3 é o resultado do produto do monômio 1 − x3 por: 2
a) x3 + x3/2 + 4x – 2 b) x3 – x3/2 – 4x + 2 c) 4x3 – 2x2 – 16x + 8
d) 4x3 + 2x2 + 16x + 8 e) 4x3 – 2x2 – 16x – 8
8. (CESGRANRIO) O resto da divisão do polinômio: P(x) = x3 – x + 1 pelo polinômio D(x) = x2 + x + 1 é igual a: a) 0 b) x + 2 c) x – 2 d) –x + 2 e) –x – 2
Gabarito 1. d) 0
P(x) = 0 . Qx + k P(x) = k (resto) O resto da divisão de um polinômio P(x), pelo binômio ax + b será igual ao valor numérico b (raíz a
do polinômio P(x) substituindo x = − do binômio)
Exercícios resolvidos 1. Calcular o resto da divisão de P(x) = x3 – 2x2 + 4x – 1 por x + 3 Solução:
x + 3 = 0 ⇒ x = -3 (raíz do binômio) P(-3) = (-3)3 – 2 . (-3)2 + 4 . (-3) – 1 P(-3) = -27 – 18 – 12 – 1 P(-3) = -58
2. Calcular o resto da divisão de P(x) = x3 – 6x2
2. c) 0
+ 12x – 8 por x – 2
3. d) 4 e 8
Solução:
4. b) a > y > β
x – 2 = 0 ⇒ = +2 (raíz do binômio)
5. m = 4
P(+2) = (+2)3 – 6 . (+2)2 + 12 . (+2) – 8 P(+2) = +8 – 24 + 24 – 8
6. b) a – c
P(2) = 0 (Divisão exata pois o resto é zero)
7. c) 4x3 – 2x2 – 16x + 8
2. Teorema de Dalembert É uma extensão do teorema do resto.
8. d) –x + 2
CAPÍTULO 05 72
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax + b, quando: Cláudio Freire
Para Concurso
3. (Unificado 98) O resto da divisão do
b P − = 0 a
polinômio x3 + px + q por x + 1 é 4 e o resto da divisão desse mesmo polinômio por x – 1 é 8. O valor de P é: a) 5 b) -4 c) 0 d) 1 e) 8
raiz do binômi
4. (Unificado-98) Se o polinômio P(x) = 2x 3 – 4x
Exercícios resolvidos 1. Verificar se o polinômio P(x) = 4x2 – 12x + 9
+ a é dividido por D(x) = x – 2. O valor de a é: a) -8 b) -6 c) –4 d) –2 e) 2
é divisível por 2x – 3
5. (EEAR-88) O resto da divisão de:
Solução:
P(x) = 2x3 + 3x2 + kx – 3 por 2x + 1 é 2. O valor de k/3 é: a) -3 b) -2 c) 2 d) 3
2x – 3 = 0 ⇒ x = 3/2 (raíz do binômio)
6. (C.NAVAL-82) O polinômio x3 + px2 + x + q é
2
divisível por x + 1. Logo p + q é igual a: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
3 = 4. 3 −12. 3 + 9 2 2 2 9 3 P = 4. −18+9 4 2 3 P = 9−18+9 2 3 P = 0( sim) 2 P
7. (FEI-SP)Se na divisão do polinômio P(x) = x 3 + 5x – 4 pelo polinômio Q(x) obtém-se um quociente x e um resto R(x) que é divisível por x – 1, então R(x) vale: a) x – 1 d) 4(x – 1) b) 2(x – 1) e) 5(x – 1) c) 3(x – 1)
8. (UEBA) No polinômio P(x) = x 3 + mx2 + m2x – 2. Encontrar o valor de k para que o polinômio P(x) = 3x3 – 2x2 – 3x – 2k seja divisível por x – 1 Solução:
x – 1 = 0 ⇒ x = 1 (raiz do binômio)
5 para que P(-1) = 2 . P(1) é preciso ter: a) m = 1 ou m = -2 b) m = 2/3 ou m = -1 c) m = 3/2 ou m = -2 d) m = -1 ou m = -2 e) m = 2/3 ou m = 1
9. (UNIRIO) O resto da divisão de um polinômio
P(1) = 0
P(x) por x – 3 é: a) 1 b) 3
P(1) = 3 . 13 – 2 . 12 – 3 . 1 – 2k = 0 3 – 2 – 3 – 2k = 0
c) -3
d) P(3)
e) P(-3)
10. (CESGRANRIO) Se x5 + ax4 + b é divisível
-2k = 2.(-1)
por x(x – 1) então a + b vale: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1
+2k = -2 k = -2/2 ⇒ k = -1
e) 2
11. (UFRRJ) Se dividirmos o polinômio P(x) = x 4n
Exercícios 1. (U.F.R.R.J.) O polinômio 2x3 – 9x2 + 13x + k é divisível por (x – 2).Então a constante k é: a) -9 b) -6 c) 0 d) 2 e) 10
2. (U.F.R.J.2000) O polinômio:
+ 1 por Q(x) = x + 1, o resto da divisão será: a) sempre um b) sempre zero c) um, se “n” é impar d) zero se, somente se,”n” é par e) sempre dois 12. (UERJ) A figura a seguir representa o gráfico de um polinômio P e uma reta r que lhe é secante nos pontos A(2,-3) e B(4,15)
P(x) = x3 – 2x2 – 5x + d, d ∈ lR é divisível por (x – 2) b) Determine d c) Calcule as raízes da equação P(x) = 0
y 1 5
Sugestão: Depois de encontrar “d” usar do P(2) = 0 fatorar o polinômio por agrupamento e em seguida achar as raizes x1, x2 e x3 Cláudio Freire
•B
2 4 -3
•A π
x 73
Para Concurso
qn−1xn−1 +qn−2xn−2 +...q1x +q0 e o resto será
uma constante k conforme modelo abaixo: a) Determine o resto da divisão de P(x) por x – 4. b) Mostre que a reta representa r graficamente o resto da divisão de P(x) por (x – 2) (x – 4)
13. (EFOMM-2002) Sendo o polinômio P(x) = Qx + 2x + 3x – 5 para qualquer x real sendo 1 raiz de P(x) e zero raiz de Q(x) calcule P(0) + Q(1). a) -5 b) -3 c) 0 d) 3 e) 5 2
Gabarito
P(x) x – a k qn−1xn−1 +qn−2xn−2 +....+ Logo pela prova real.
(qn-1xn-1 + qn-2xn-2 + ....q1x + q0 )( x - a) + k = P( x) = qn-1xn + ( qn-2 - aqn-1) xn-1 + ....+ ( q1 - aq2 ) x2
+ ( q0 - aq1) x + k - aq0 = anxn + an-1xn-1 + ..+ a2x2 + a1x + a0
1. b) –6
Por polinômios idênticos, temos:
2.
an =qn−1
a) d = 10 b) x1 = 2, x2 =
5,
x3 = -
an−1 = qn−2 − aqn−1 ⇒ qn−2 = aqn−1 + an−1
5
a2 = q1 − aq2 ⇒ q1 = aq2 + a2 a1 = q0 − aq1 ⇒ q0 = aq1 + a1
3. d) 1
a0 = k − aq0 ⇒ k = k = aq0 + a0 resto
4. a) –8
A demonstração acima se adapta ao dispositivo abaixo, conhecido como Briot-Ruffini.
5. a) –3
Raiz
a
6. a) 2
an an
an-1 … a2 a1 a0 q2a+ a q1a+ q0a+ a ana+an
qn-1
q1
qn-2
q0
resto
7. d) 4(x – 1)
Exercícios resolvidos 8. b) m = 2/3 ou m = -1
1. Calcula o quociente e o resto da divisão de:
9. d) P(3)
P(x) = x4 – 2x3 + 2x – 4 po 2x – 4
10. b) –1
Solução:
11. e) sempre dois a) resto 15 b) com o professor
Como o divisor é da forma ax + b sendo a ≠ 1 e a ≠ 0, aplicamos o dispositivo prático de BriotRuffini, e devemos dividir o quociente pelo coeficiente de a, pois: P(x) = (ax + b) . Qx + k
13. a) –5
P(x) = a. x + .Qx +k
12.
CAPÍTULO 06 I. Dispositivo prático de Briot-Ruffini
P(x) =
b a
x+ b .[a.Q ] + k ( x) a Q( x rest )
1
Quando dividimos um determinado polinômio: P(x) = anxn + an−1xn−1 + anx−−22 + ...+ a1x + a0 por um binômio do 1º grau x – a, o quociente se apresentará sob a forma Q(x) = 74
Concluímos que: Q1 = a . Qx ⇒ Q(x) =
Cláudio Freire
Q1(x) a
Para Concurso
3. (PUC-PR) Na divisão de um polinômio P(x) pelo
a = [coeficiente de x em (ax + b)]
binômio (x – a), aplicou-se o dispositivo prático de Briot Ruffini, obtendo-se:
Fique ligado!
-3
Todas as vezes que obtermos o quociente em uma divisão usando Briot-Rufini, devemos dividir o quociente pelo coeficiente de x
5 P
m 15
m+n
49 q
n 0
(x4 – 2x3 + 2x – 4) : (2x – 4) = ?
O número
2x – 4 = 0 ⇒ x = 4/2 ⇒ x = 2 (raiz de2x – 4)
a) 38
Coeficientes de P(x)
4. (UFF) O polinômio P(x) = x 4 – 5x3 + 9x2 – 7x +
Raiz 2
Coeficientes de P(x)
1
-2 0 igua igua l mai l mai mai s 0 s 0 s
2 -4 igua igua l mai l 2 s 0 resto vezes
p−q
vale:
b) 39
c) 40
d) 41
e) 42
2 também pode ser escrito como P(x) = (x – 1) n ) (x – p). Assim, o valor de p é: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
5. (CESGRANRIO) Se x3 – 2x2 + 5x – 4 = 0 tem
Quociente que é do 3º grau pois o dividendo é do 4º grau (x4) e o divisor é do 1º grau (x).
uma raiz x1 = 1, então as outras duas raízes da equação são: a) Complexas não reais d) Negativas b) Racionais e) Reais de sinais opostos c) Positivas
Logo:
6. (UNI-RIO) Sabendo-se que o número 3 é raiz
1 vezes
vezes
vezes
dupla da equação ax 3 + bx + 18 = 0 os valores de a e b são, respectivamente: a) 1/3 e –9 d) –1/3 e 9 b) 1/3 e 9 e) 1 e –3 c) –1/3 e –9
3 2 Quociente = 1x + 0x + 0x + 2
2
Quociente
= 1x3 +
7. (UFF) Para que o polinômio P(x) = x 4 – 4x3 +
2
3x2 + mx + n tenha 1 e -1 como raízes,os valores de m e n devem ser, respectivamente: a) 0 e 1 d) 4 e –4 b) 1 e 0 e) 4 e 4 c) –4 e –4
Resto = 0
2. Encontrar o quociente da divisão de: P(x) = x4 – 8x3 + 12x2 + 32x – 17 por h(x) = x2 – 4x + 4
8. (UFRJ) Considere o polinômio P(x) = x3 – 2x2 –
Solução:
h(x) = (x – 2) (x – 2) Transformamos
em binômio do
3x + 6. Considere o resto da divisão de P(x) por (x – 2). Ache as raízes de P(x) = 0.
1ºgrau
Aplicamos Briot Ruffini duplamente, a saber :
Gabarito
x–2=0⇒x=2 2 1 -8 2 1 -6 1 -4
1. Q(x) = 2x – 1
+12 0 -8
+32 +32 +16
-17 +47
.......... ........ .......... .......... .......... quociente
Quociente = 1x – 4x – 8 2
R(x) = -1
2. Q(x) =x2 + 4x – 3 3. e) 42 4. a) 2 5. a) Complexos não reais
Exercícios 1. (CEFET-89 2º fase) Determine o quociente e o resto da divisão de (2x2 – 5x + 1) por (x – 2) 2. (CEFET-91 2º fase) Dê o resultado da divisão de: x3 + 2x2 – 5x – 7 por x – 2
6. a) +1/3 e –9 7. d) 4 e –4 8. x = 2, x = ±
Cláudio Freire
3
75
Para Concurso
UNIDADE IX
V
CAPÍTULO 01 I. Equação literal São equações que além da variável principal aparecem “outras” denominadas “parâmetros” O processo de resolução é o mesmo da fracionária ou da equação do 1º grau.
=
2 x= , sendo a≠ − b ou b≠ − a, a≠ 0 e b≠ 0 a+ b
Exercícios resolvidos
Exercícios
1. Resolver as equações literais em x.
1. (EsPCEx) A raiz da equação
a)
2xk + x = -2x + 3
Solução:
2.
2xk + x + 2x = 3 2xk + 3x = 3 x(2k + 3) = 3 x=
3 , 2k + 3
verificação do denominador 2k + 3 ≠ 0 ⇒ =
−3 2
3 3 V = x= , sendo k ≠ − 2 2k + 3 b)
x x 2 + = a b ab
Solução
m.m.c. = (a.b)
x + x= 2 a b ab b a 1
a) a+b
x=
76
2 a+ b
(EAM-2002)
c) 1 Na
a
x
a+ b
b
a.b
+ =
d) a equação
e) a.b 1 1 1 = + , R a b
expressando “a” em função de “R” e “b”, têmse: a) a+b a +b b) a −b Rb c) b −R b −R d) R e)
Ra b
3. (EEAr-99) Seja a equação (x – a) (x – b) = x(x + c) na variável x. Sabendo-se que “a”, “b” e “c” são os números que expressam as medidas dos lados de um triângulo, cujo perímetro é 8 m. Pode-se afirmar que a raiz dessa equação é: a) b) c) d)
xb + xa = 2 x(a + b) = 2
b) b
x
ab 4 ab 8 ab 4 ac 8
4. (CEFET-2001) Sobre o conjunto verdade da equação 2 x + y x2 + y2 x.y = x2.y2 , no universo dos números reais podemos afirmar que: a) é infinito b) é vazio c) contém números negativos d) contém dízimas periódicas Cláudio Freire
Para Concurso
5. (ETFQ-98) Seja a fração
P onde P + t = 3 e t
P . t = 5. Que número devemos adicionar aos termos da fração para encontrar o inverso do seu quadrado.
Gabarito 1. c) 1
2x + 2 2 2mx− 2 − = 3 1 2 2 6 3
4x – 6mx = -6 – 4 + 12 x(4 – 6m) = 2
ab 8
x=
4. b) é vazio 5. −
Solução
4x + 4 – 12 = 6mx – 6
Rb 2. c) b −R
3. b)
2x + 2 2mx− 2 − 2= 3 2
Logo:
4
4 – 6m = 0
3
–6m = -4
CAPÍTULO 02 I. Discussão de um equação literal do 1º grau Considerando a equação literal do 1º grau abaixo, temos: ax – b = 0, a ≠ 0 e (a e b) ∈ IR
ou 2 2 (substituindo m por fará com que o 3 3
m=
denominador seja zero (0)) Logo: m=
ax = b x=
x(-1)
4 6
m=
Encontrando o valor de x, vem
2 4 − 6m
2 ⇔V=∅ 3
2. Determine os valores de “P” para os quais a
b a
equação
Quando a = 0 e b = 0, a equação terá infinitas soluções conforme ilustrado abaixo:
1+
x +1 +Px =− P 4
a) Admite uma única solução
ax = b Solução:
x = -1, x = -2, x = 0, x = 2, x = 3, x = 4, x = m, etc Verifica-se a igualdade
Quando a 0 a equação terá uma única solução. Quando a = 0 e b 0 a equação será impossível (conjunto vazio)
Exercícios resolvidos
mmc = 4p
1 x + 1 Px + = 1 P 4 4P 4 P 4P + 4x + 4 = +P2x 4x – P2x = –4 – 4P x(4 – P2) = –4 – 4P
1. O conjunto verdade da equação abaixo, na variável x será vazio se:
x= Cláudio Freire
−4−4P 4−P2 77
Para Concurso
c) 3 valores distintos de k d) 2 valores distintos de k e) nenhum valor de k
diferente de zero 4 – P2 ≠ 0 ⇒ P2 ≠ 4 ⇒ P ≠ ± 2 Resposta P ≠ ± 2 e P ≠ 0
3. (ETFQ) Para que a equação mx + 1 = 2x – m tenha uma só solução é necessário que: a) m = 2 b) m ≠ 1 c) m ≠ 2 d) m ≠ 0 e) m = 1
b) Não se admite solução diferente de zero x=
−4 − 4P 4 − P2
igual a zero 4 – P2 = 0 ⇒ P = ±
4. (CN) Para que valor de “a” a equação 4 ⇒
P=±2
(
)
( 2x − a) a2 − 1 a+ 2 é indeterminada: = a+ 2 2 2− a 2− a
–4 – 4P ≠ 0 ⇒ –4P ≠ 4 ⇒ P ≠ –4/4 ⇒ P ≠ –1 Resposta: P = ±2 ou P ≠ –1
a) a = -1
c) Admite infinitas soluções
b) a ≠ 2
igual a zero
c) a = 2
−4−4P x= 4−P2
d) a ≠ 1 e) a = -3
igual a zero –4 – 4P = 0
5. (CN) Considere a equação do primeiro grau
e também
em “x”, m2x – 9x = m – 3. Pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se: a) m = 3
4 – P2 = 0 ⇒ P2 = 4 ⇒ P = ± 2
b) m = -3
–4P = 4
x(-1)
P = –4/4 ⇒ P = –1
Resposta: Não existe nenhum valor para “p” que −4−4P substituindo em x zere o numerador e 4−P2 denominador ao mesmo tempo.
c) m ≠ 3 d) m ≠ 3 e) m ≠ 3 e m ≠ -3
Exercícios
6. (FUVEST-96) Determine todos os valores de
1. (QUIMICA TEXTIL-93) O conjunto verdade da
m para os quais a equação
equação
kx− 1 x + 1 = − 1 na variável x será o 2 3
conjunto vazio se: a) k = -3/2 b) k = -2/3 c) k = 2/3 d) k = 3/2 e) k = 1/3
78
a)
Admite uma única solução.
b)
Não admite solução.
c)
Admite infinitas soluções.
7. (EsPCEx-94) Considere a equação em x dado
2. (CN-84) A equação k2x – kx = k2 – 2k – 8 + 12x é impossível para: a) um valor positivo de k b) um valor negativo de k
mx x − 2 − =1 4 m
por (m + 2) x = m2 – 4. Podemos então afirmar que esta equação: a) Admite uma única solução x = m – 2 ∀ m ∈ IR
Cláudio Freire
Para Concurso
b)
Não admite solução para m = -2
c)
Admite uma única solução para m ≠ -2
d)
Admite infinitas soluções, ∀ m ∈ IR
Gabarito
O denominador de uma fração nunca pode ser zero, pois torna a divisão impossível. Depois de resolvermos uma equação fracionária devemos substituir o valor da variável no denominador de todas as frações para verificar se não torna o denominador nulo; o que inviabilizaria o valor da referida variável.
Exercícios resolvidos
1. c) K = 2/3
1. Resolver as equações abaixo em IR.
2. b) um valor negativo de k
3
a)
3. c) m ≠ 2
2x − 2
+
6 3− 3x
=
12 x2 − x
Solução
Tirando o m.m.c. entre os denominadores fatorados 2x – 2 = 2(x – 1) 3 – 3x = 3(x – 1) x2 = x(x – 1)
4. a) a = -1 5. e) m ≠ 3 e m ≠ -3
m.m.c. = 2 . 3 . x(x – 1) Fator comum e não comum com os maiores expoentes.
6. a)
m ≠ 2, m ≠ -2 e m ≠ 0
b)
m = -2
3 6 12 + = 2x − 2 3 − 3x x2 − x 3x 2x 2.3
c)
m=2
9x + 12x = 72 21x = 72
7. c) Admite uma única solução para m
≠ -2
x=
UNIDADE X
72÷3 21÷3 24
CAPÍTULO 01
x=
I. Equação fracionária
Verificação dos denominadores 2x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 3 – 3x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 x2 – x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 e x ≠ 1
É toda equação em que aparece a variável principal no denominador Exemplos: a) b)
Portanto:
2 8 + 3= 5 x+1
24 7
V=
3x − 1 3x = x + 2 x −1
b)
1. Método de resolução
Devemos extrair o m.m.c. entre os denominadores Dividimos o resultado por seu respectivo numerador Reduzimos os termos semelhantes Isolamos a variável principal
Fique ligado!
7
4 4− x
−
2 − 2x ( 4 − x)( x − 3)
=
4 x−3
Tirando m.m.c. por decomposição simultânea em fatores primos
(4 x); Cláudio Freire
denominador da 1ª denominador da 2ª fração fração denominador da 3ª fração – (4 – x) (x – (x – 3) 4–x 3); 79
Para Concurso
1; 1;
1 . (x – 3); 1 . 1;
(x – 3) 1
x–3
m.m.c. = (x – 3) (x
m.m.c. (4 – x) (x – 3)
Dividindo o m.m.c. por cada denominador, vem:
4 2 − 2x 4 − = 4− x ( x − 3)( 4 − x) x − 3 x− 3 4− x 1
6x2 + 18x + 2x + 6 = 6x 2 – 18x + 2x – 1 6x2 – 6x2 + 18x + 2x + 18x – 2x = –1 – 6
4x + 4x + 2x = 16 + 12 + 2
36x = –7
10x = 30 30
36
10
Verificação dos denominadores x–3≠0⇒x≠3 x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ –3 9 – x2 ≠ 0 ⇔ x2 ≠ 9 ⇒ x ≠ ± 3
Verificação dos denominadores 4–x≠0⇒x≠4 x–3≠0⇒x≠3
Logo:
Portanto: V=∅
7 36
V = −
6x + 2 x− 3
=
6x x+ 3
−
2x − 1
Exercícios
9− x2
Verificamos que se o sinal do denominador da 3ª fração fossem opostos, o m.m.c. seria o produto dos outros dois denominadores, o que tornaria bem mais fácil a resolução. Vamos colocar o sinal menos em evidência no denominador 3ª fração e em seguida, o multiplicar pelo sinal da fração. Se não fizéssemos o procedimento acima o m.m.c. seria: (x – 3) (x + 3) (-x + 3) o que dificultaria sensivelmente a sua resolução. Solução
6x + 2 x− 3
=
6x x+ 3
−
2x − 1
(
6x + 2 x− 3
=
6x x+ 3
+
1. (ETFQ) O conjunto verdade da equação abaixo é: 2x x− 2
a) b) c) d) e)
−
x x+ 2
= 1−
8 x2 − 4
S = {-2} S = {2} S=∅ S = {-1} S = {–4}
2. (ETFQ-90) Determine o valor de x em:
9− x2
x
6x + 2 6x 2x − 1 = − x − 3 x + 3 − x2 − 9
)
= 2
9− x
3x x+ 3
−
3x + 1 x− 3
3. (ETFQ-94) Resolva a equação abaixo.
2x − 1 x2 − 9
x −1 x( x + 3)
m.m.c.
(x – 3); (x + 3); (x – 3) . (x + 3) (x – 3) 1 . (x + 3); 1; (x + 3) (x + 3) 1 . 1; 1 . 1 80
−7
x=
x=3
c)
6x + 2 6x 2x − 1 = + 2 x− 3 x+ 3 x −9 x+ 3 x− 3 1 (6x + 2) (x + 3) = 6x (x – 3) + (2x – 1) . 1
4x – 12 – 2 + 2x = 16 – 4x
x=
+ 3)
+
1 x− 3
=
2x2 + 5 x3 − 9x
4. (ETFQ-93) Resolver a equação abaixo
Cláudio Freire
Para Concurso
3
2
+
2x + 1 1− 2x
−
x+ 3 2
4x
=0
10. (EAM-98) O conjunto solução da equação
−1
5. (EsSA-93) O conjunto solução da equação
a) b) c) d) e)
1 3 5 − 2 − = 0 é: 2x − 3 2x − 3x x
4 3
a) V = −
x+1 x−1 − x − 1 x + 1 = 1 é igual a 2 2 + x + 1 x −1
3 2
c) V = d) V = {0}
α) ∅
e) V = {∅} (EPCAr)
3=
{1/2} {-2} {-1/2} {2} {-2/3}
11. (CN-2002) O conjunto solução da equação
4 3
b) V =
6.
5 1 − 3= , sendo U = R* é: 2x x
Resolvendo-se
1 1 1− 1 1+ 1 1− x
a
equação
podemos afirmar que a sua
b) c) d) e)
IR IR – {-1,0,1} IR – {-1,1} {0}
Gabarito 1. c) S = ∅
raiz é um número. a) múltiplo de 3
2. S = {-1/6}
b) racional menor que –6
3. S = {-2}
c) natural maior que 8
4. S = {8}
d) racional não negativo
5. b) V = 4/3
e) inteiro negativo
6. e) inteiro negativo 2
7. (EAM-2000) Para a equação x2 + 2x = 8 o x − 2x valor de x que a satisfaz está entre: a) 2,4 e 2,5 b) 2,4 e 2,5 c) 2,5 e 2,56 d) 2,56 e 2,8 e) 2,58 e 2,9
8. 24 9. V= {4} 10. a) {1/2}
8. (ETFQ-2000) Determine o valor da expressão (25 – 25x2), sabendo que o número real x é solução da equação 1
1 1 = e que x ≠ ± 1 x2 − 1 2x − 2 3x − 3
−
9. (ETFQ-98) Resolver a equação
7. d) 2,56 e 2,8
11. a) ∅
UNIDADE XI CAPÍTULO 01 I. Radicais Considerando os números reais “x” e “y” e “n” um número inteiro e positivo, obtemos:
2x x 3x2 − 4 , para x ≠ ± 1 − = 2 x + 1 1− x x −1
n
Cláudio Freire
x =y
⇔
yn = x
Radiciaçã Potenciaç o ão Operação inversa
81
Para Concurso
Exemplos: Considerando vem:
3
= 5, pois 53 = 125,
12
3
• • •
125 5 3
= radicando = raiz = índice do radical
a)
4
4 16 = 2,pois 2 = 16
b)
5
5 24 = 3, pois 3 = 243
b)
4
16= 2
c)
4
4
3
5
−32 = -2, pois (-2)5 = -32
3
−1 = -1, pois (-1)3 = -1
3
27 = 3, pois 3 = 27
3
= 32 = 9
4 4
4
=
22
2
=
2 34
=
3
3
9= 3
5
32= 2
=
= 21 = 2 1 2 3
=
3
=
=
2 2 .23 1
= 23 22 = 23 4 3
3
= ( x − 2) 3 = ( x − 2) 1 = x − 2
1
x2 + 2xy+ y2 = 4 ( x + y) 2 = ( x + y) 4 = ( x + y) 2 = x + y g) 4
72x6y5
= 23.32.x4.x2.y4.y1 =x1.y1.4 23.32.x2.y 2
4
2
2 2 2 4 4 x.y.2 .3 .x4 .4
2
=x.y 2 .2.3 .x .y =
= x.y h)
3
=
a)
64
b)
81 =
c)
−36 = ∃ no conjunto IR pois qual é o
6+4 15+ 1
3
3
2
=
9, pois (9 ) = 81
número “positivo” que elevado ao quadrado resulte em –36.
−16= ∃ no conjunto IR, pois, qual é o
número “positivo” que elevado a quarta potência resulte em –16.
3 23
= -6 o sinal está
3. Simplificação de radicais
=
16= 2
4
4 22
a) b) c) d)
64 =
3
−12 = 4 −8 = 3
=
10
f)
7
16y
=
g) 32x4.y5 = h) 36x2 −12x +1 = i) - 25x2 = j) 4 − 64 = l)
5
m)
5− 13+3 27 4
=
3
13+ 23+ 14+5 32
=
2. Simplifique os radicais da forma mais simples
A potenciação é o inverso da radiciação, portanto, transformamos a radiciação em potenciação, simplificamos e em seguida, se possível transformamos a mesma em radiciação.
= 22 = 4
1. Calcule:
fora da raiz - 36 ≠ −36, pois −36 = ∃ solução em IR
=
Exercícios
e) 4 62 =
Fique ligado!
=3 6+4 15+1 =3 6+2 =3 8 =
= 21 = 2
1 162
i) 160,5 =
2
2y
2.3x.4 2y =xy 6x.4 2y
= 8, pois 82 = 64
36
2 .2
3 2 23.23
4
3
-
2
x3 − 6x2 + 12x − 8 = 3 ( x − 2)
Exemplos:
82
=
6 33
f)
Consideramos raiz de um número de índice par “por convenção”, ao número “real positivo” que elevado ao índice resulte no radicando.
d)
6
729= 3
3
2. Raízes de índice par
4
3
e)
1. Raízes de índice ímpar a) b) c)
3
d)
12 = radical
•
a)
a)
3
64 =
e)
200 =
b)
4
25 =
f)
80
Cláudio Freire
45
=
Para Concurso
c)
20
=
200
g)
72 3
d)
72
=
h)
3
24 81
= Elevando-se ao quadrado vem:
=
A± A±
Gabarito 1. a) 4 b) –5 c) ∃ em IR d) 10 e) 5 f) 4y3 y
g) 4x y h) 6x – 1 i) –5x j) ∃ em IR l) 1 m) 2 2 2
=
B B
x± y
)
2
= x ± 2 xy + y = x + y ± 4xy
x+y=A⇒y=A–x
2y
4xy = B
Resolvendo o sistema e substituindo vem: 4x . (A – x) = B
em
4Ax – 4x2 = B Resolvendo a equação literal, vem: 4x2 – 4Ax + B = 0
2. a) 4 b)
(
2
A ± B
c) 2 d) 6
5
5
2
e) 10 f) 4/3
g) 5/3 h) 2/3
2
2 x = 4A ± 16A −16B
8
CAPÍTULO 02 2 x = 4A ±4 A −B
I. Radical duplo
8
Todo radical tipo A ± B é considerado radical duplo, conforme veremos nos exemplos abaixo. a) 6± A=6 B = 20 b) 8± A=8 B = 15 c) 2± A=2 B=3
d) 3± A=3 B=5
20
e) 4± A=4 B=2
15
2 x = A ± A −B
2
2 x1 = A + A − B
5
2
2 x2 = A − A −B
2
2
Substituindo x1 e x2 em ou obtemos: 2 2 x = A + A − B e y = A − A −B
3
2
2
Substituindo, vem:
Repare que (A2 – B) é um quadrado perfeito nos exemplos letras “a”, “b”, “c” e “d”.
A± B
=
x ±
No exemplo letra “e” não é um quadrado perfeito, pois A2 = B = 16 – 2 = 14.
A± B
=
A + A2 − B 2
Dica
A ±B =
Só conseguimos transformar radical duplo em radical simples quando (A2 – B) for um quadrado perfeito .
II. Transformação de radical duplo em radical simples Demonstração A± B
Radic al Duplo
=
A + A2 − B 2
±
Exercícios resolvidos
±
A − A2 − B 2
A − A2 − B 2
1. Transformar os radicais duplos em simples: a)
6+ 20 =
A
x± y
Radic al Simpl
y
Cláudio Freire
A + A2 − B 2
+
A − A2 − B 2
B 83
Para Concurso
c) 6+ 4
6+ 20 =
2
6− 4
+
4.25.2 = 4 .
2 =2.5.
25.
2 =10 2
2. Radical de um quociente
2
É igual ao quociente dos radicais. 6+ 20 = 5 +1
Radic Radical al Simples Duplo b) A
A + A2 − B – 2
=
3− 5
n
A − A2 −B 2
3− 5
=
n
x
n
y
36 = 4 =2 9
a)
B
x y
ou, pela propriedade 3+ 9− 5 – 2
=
3− 9− 5 2
36 = 9
36 9
= 6 =2 3
3− 5
=
3+ 2 3− 2 − 2 2
b)
4
16 4 16 2 = = 81 4 81 3
3− 5
=
5 − 1 (racionalizando, vem:) 2 2
c)
3
125 3 125 5 = 3 = 64 64 4
3− 5
= 5 2− 2 2
3. Radical de um radical
2
É o radical cujo índice é igual ao produto dos índices de todos os radicais.
Exercícios 1. Transformar em radical simples: a) b)
7+ 3 2+ 3
= =
c) d)
= =
a b c
8 − 15 4− 7
Gabarito
a)
5
b)
3
6 4 3
x
d
= a.b.c.d x
x
=2.5.6.4.3 x =720x
1. a)
b)
impossível, pois 72 – 3 = 46 não é um quadrado perfeito. 6 2 + 2 2
30 2 − 2 2
c)
d)
14 2 − 2 2
c)
6
64 = 1264=
=x
3
x6.3x3
=
x x3 3
CAPÍTULO 03
=
I. Propriedades dos radicais
=
1. Radical de um produto
9÷3 1 6 3 . x6÷3
É igual ao produto de radicais n
a)
x.y =n x.n y
9.16= 144=12
3
=
12 6
2
x3.3
3
1 3 6 3 . x2
x2
=
3x9
1
= 212 = 22 = 3
3x3
b) 84
3
8.27=3 8 .
(x2 )3.3x3
= 6 3.
x3
4. Potência de um radical Multiplicamos o expoente da potência pelo expoente do radicando. n
16=3.4 =12 3
3
= 6 3x9
ou, pela propriedade 9.16= 9 .
=
2
27=2.3=6 Cláudio Freire
y
x1
=n
xy
Para Concurso 2
(xy)1 =
a)
7. (EPCAr-2002) A diferença 8 0,666… - 90,5 é igual
(xy)2.1 =xy
a: a) –2
6
3 k3y2 =3 k3y2 6 =3 k18y12 =k6y4 ( )
b)
Macete
)
(
b)
(
c)
(4 x − y )4 = x − y
3
)
2xy
2
3
=x +y
0 e y > 0, é igual a:
=2xy
a)
6
Exercícios radicais:
c)
x. 3
16
3
2
72
f)
2 4
g)
= =
3. 3 9 =
d) e)
8
2y
4
l)
5 3
xy
=
n)
b)
5
x3
y
.3
yx5
x y
, com x >
d)
3
xy2 y
3
a3
=a12a7 , a ∈ R*+
a a a
x2+2x +1
= x + 1, ∀ x ∈ IR
−1
2
=
2x2k
≥0
10. (E.A.M-2002) A expressão 53.3 40 é igual o
=
3
a) =
5
b)
3
c)
5
3
2 25
5 3
c)
d) 10
e) 100
11. (EEAr-2001) Supondo definida em IR a fração:
a2
75 , obtemos: 12
5 2
d)
−1
, o seu valor é:
Sugestão: Aplicar propriedade quociente e fatoração.
0,444 ...
é:
do
produto,
do
a) a +1 b) a + 1 c) a – 1 d) a 12. (EPCAr-85) Sendo a e b números naturais com a > b então a +b −2 ab : Sugestão: Usar produtos notáveis, a+b-2
b) 0,25
c) 0,75 1 3
−
27 5. (PUC-SP) O valor de
125
b)
1 5
c)
5 3
d) 1 é: d)
12 3
b) 2
c) –2
d) -2
a) b) c) d) e)
13.
6. (SANTA CASA - SP) A diferença 80,666… - 9 0,5 é igual a: a) 1
x
x
a. a + a. a − a. a +1
5 2
d) 1
2
0,2
1 ÷ 1 4 32
a) 15
6
c)
= x somente se x
1
é: a) 0,222… b) 0,333… c) 0,444… d) 0,666… 4. (U. Pelotas-RS) O valor da expressão:
a) 0,5
x.y2 x
a a2
b)
=
3. (PUC-RJ) O valor de
0,5
c) –2
2 2 2 2 5 6 d) + = 6 3 3
=
(3 x − y )3
m)
2. (PUC-SP) Simplificando a)
3 4
=
250 4
h) 81 = i) 3 23 64 = j)
=
3
b)
x2
c)
3. 2 . 6 3
xy5 y
3
1. Aplique as propriedades convenientes dos 2.
-3
9. (EPCAr-2001) marque a alternativa falsa: a)
a) b)
2
8. (EPCAr-2002) O inverso de
a)
x +y
b)
2
a) b) c) d) e)
ab =
(
)
a− b
2
a +2 b
a+ b a− b
a −2 b b −2 a
(CEFET-93) 4 2 a − 2ab+ b2 :
Simplificando
o
radical
Sugestão: Transformar a2 – 2ab + b2 em (a – b)2
Cláudio Freire
85
Para Concurso
a) (a + b) (a – b) b) (a – b) 2 c) a −b
d) (a – b)2ab e) (a + b) – 2ab
14. (EAM-98) Sendo x = então o valor de a) 1 b) 2
4
x +2 igual
15. (FAETEC-99) Seja B = {x
21. (CEFET-2001) Considerando a e b números
12+ 13+ 3 12+15
a: d) 8
c) 3
e) a2
e) 10
∈ IN / 3 < x < 20}
a raiz quadrada do número de elementos do conjunto B é: a) 16 b) 8 c) 17 d) 4 e) -4 16. (EsSA-85) Calculando o valor da expressão a a a a , obtemos: a) a16 b) a-16 c) a-15 a
III.
(2a −3b)
IV.
a2 + b2
2
=
=2a −3b a2
+
b2
3a 2b 15a2 = . 7b 5a 14b2
V.
O número de sentenças verdadeiras é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 expressão abaixo, considerando x = 0,625, y = 0,125 e z = 0,625
16 a15
e) e)
a − 2b = 1− 2b a
II.
22. (CEFET-2002) Obtenha o valor numérico da
16 15
−
d) d)
reais não-nulos, analise as sentenças abaixo. I. (a2 + b3)2 = a4 + b6
5
17. (EsPCEx-85) Simplifique
3
18. (EEAr-90) Para x ≠ 0 e y x− y x y é igual a: − y x a) –2xy
b)
1 2xy
xz+2( zy+ xy) +4y2 2 = x2 +4y2 +4xy
3
2 2 2
≠ 0 a expressão
1
c) ( xy) 2
d)
1 xy
n
m
a
an−2
Sugestão usar propriedade do quociente n
am−n+2
b)
n
m+n−2
d) m – n – 2 e)
a
c) m + n – 2
20. (EsSA-93) Sendo a expressão a) a b) a c) 6 a d) a a 3
86
3
a2 a
é:
n
am+2 a
∈
a) b) c) d) e)
O
valor
é:
1 2 3 4 5
24. (UFRN-84) a) b) c) d) e)
, obteremos:
a)
(UNI-RIO-95)
15− 32+ 25− 81
19. (EsSA-85) Racionalizando-se a expressão n
23.
13+ 7+ 2 + 4
é igual a:
4 5 6 7 8
Gabarito 1.
R* o valor da
a) 4 b) 6 c) 3 d) e) 2 f) 6 g) 5
2xy
2. b) 5/2 Cláudio Freire
h) 3 i) 2 j) 24xy l) x – y m) x7 . n) 2x3k
14. b) 2
x
2k
de
Para Concurso
3. d) 0,666…
15. d) 4
4. d) 1
16. e)
5. c) 5/3
17.
Exercícios
2
18. c) ( xy) 2 19. a) n am−n+2
7. d) 1 3
14y 3 − 33 x − 4y 3 − 53 x =10y 3 − 83 x
16 a15 1
6. a) 1
8. b)
f)
x.y2
20. c)
x
9. b) 10. d) 10 11. d) a 12. c) a − b 13. c) a −b
6
1. Identifique o par de radicais semelhantes: a) –x y e xy b) − 3 2 e 2 c) −3 5 e 4 5
a
21. a) 0 22. 1 23. c) 3 24. a) 4
d) xy e y e) 43 5 e
a)
32− 2
=
b)
27+5 3 − 12 =
c)
75+5 3
=
d) 63 9 − 23 9 = e)
I. Operações com radicais
3
a
f) xy
1. Radicais semelhantes São radicais que possuem mesmo radicando e mesmo índice. Podem ser somados ou subtraídos. → são semelhantes a) 3 14 e 14 → são semelhantes b) -2 3 x e 4 3 x → não são semelhantes c) 2 e 3 d) → não são semelhantes 3 e 33
+ 6a k
– 6xy
k
3.
(EsSA-92) encontramos: a) 5 2 +5 3 b) 10 6 c) 5 5 d) 6 5 e) – 5
+ 10xy
Somamos ou subtraímos os termos externos dos radicais “semelhantes” ou se possível “extraímos suas raízes” e simplificamos o resultado.
a) 0 b) 4 c) 18 d) 18−
–6 3 2 + 4 –2
c) d)
3
–4
+1.
x
3
–2
2 –6
y
3
= –7
x
= –5 3 2
(UF-MG) 18− 27−3
3 8 +4 a: a) 10 2 – 9 b) 14 2 – 15
6. (EEAr-87)
49+ 3 27− 4 16= 7+ 3− 2 = 8
a) b) c) d)
e) 3 12+ 75− 27=3 22.3 + 52.3 −4 32.3 = 3 +5 3 −12 3 = − 3
8 4 8 16
=
18−
20 + 45
é igual a:
8−
2
O
número é equivalente
6
3
8 2 –6 3 =8 2 –6 3 (Não podem ser subtraídos, pois não são semelhantes)
=6
5.
k
Simplificando
4. (UF-GO) O número
y
=
a −2a a
2. Adição e subtração de radicais
b)
5
2. Calcule
CAPÍTULO 04
Exemplos: a) –3 x + 5 +3 y
x
48−2 98
3 3
32 + 32
c) 18 d) 4
– 29 – 15
2 2
3 3
é igual a:
2 2 2
7. (CTUR-2001) O valor da expressão: 2
−1 2 + 0,5 + 1 − 81 é: 4 16
a) 2 b) 2,5 Cláudio Freire
87
Para Concurso
c) zero d) -1 e) –2,5
3. c) 5 4. a) 0
8. (EsSA-99) Simplificando
2 8 −4 18+ 32
obteremos: a) 2 b) -
8 8
d) -4
2
e) -2
8
(EEAR-88)
a)
Efetuando
5 2
b)
2
13 3 2
2
6. c) 8
2
– 15
adição
8. d) -4
2
9. c) 12
3
10. d) 32a 11. c)
3
5
a
-1
12. d) 2
c) 12
3
d) 36
CAPÍTULO 05
10. (EEAR-98) Efetuando
3
5 a
encontra-se a) b) c) d)
a
12 + 3 27 obtém-se: 2
2 3+
5. d) 4
7. c) zero
c) c)
9.
5
3
3
+ 3 4a + 7 9a
Redução de radicais ao mesmo índice
15 14a9 15 14a3 32a2 a 32a a
Através do m.m.c. (mínimo múltiplo comum) entre os índices, podemos reduzir os mesmos ao mesmo índice. O novo índice será o próprio m.m.c. Exemplos:
11. (EPCAr-83) A expressão
é
6 −2 5
equivalente a:
a)
42 ,
3
6
x e
4
2y
Solução: Sugestão: Transformar o radical duplo
6 − 20 em radical simples ou transformar 6 - 2
em
(
a) 1
=
6 −2 5
Dividimos o m.m.c. por cada índice e o resultado multiplicamos pelo expoente do radicando.
)2
5 −1 .
- b) 1
2
m.m.c. (3,6,4) = 12
5
3
- c) 1
5
- d) -1
6
e) 1
7
12÷ 3= 4
12. (CN-83)
3 +23 2. 2
− 3 −23 2. 2
é igual
a:
12
Sugestão: Transformar 23 2 2 em 8 e em seguida usar radical duplo, transformando em simples.
12
a) 1
b) 3
c) 4
d) 2
5
e4
88
2 3 3
,
12÷ 6= 2
(42 )4 , 12( x)2 48 ,
e) 5
5
3
2. a) 3 b) 6 c) 10
2 1
12
x2 e
e
(x)1 e
12÷ 4=3
(2y)1
(2y)3
12
8y3
12
Reduzimos ao mesmo índice (m.m.c.) b) Comparar os radicais e colocam em ordem crescente.
Gabarito 1. c) −3
(4 )
2,
4
5,
6
3 e
3
m.m.c. (3,4,6,2) = 12
d) 43 9 e) 5a a f) 5xy k
12÷ 3= 4
21 ,
12 4
12 3
2 ,
Cláudio Freire
12÷ 4= 3
5 ,
51,
12 2
3
e
12÷ 6= 2
12 6
3
31 e
12÷ 2= 6
31
Para Concurso 12
16,
12
125 , 129 e
Resposta:
6
3,
3
72
4
2,
Sabendo-se que x + y = 13 e x.y = 36 calcule: x + y . Solução: Devemos elevar o mesmo ao quadrado:
12
5 e
3
Multiplicação ou divisão de radicais
(
1. Os radicais tem mesmo índice
c) d)
( x +y) . ( x +y) . 3( x +y) = 3(x +y) =( x +y) . 3( x +y)
3
4
3
2y =
3x . 4
4
=
6xy
3
7
21 3 = 3 7
=3
Exemplos:
(x )
2 1
=
6÷ 6= 1
=
6
=
6
x . x
=
6
x2.x8
4 x. x6 4
b)
.
6÷ 3= 2
(x )
4 1
2
2
x+
2
x+
x
4
=
3. 4 3. 4 9 = xy.
2 x. x3
3
16
3 4
h)
2
64
4
x.
3
=
4
= =
3 . 8 xy 3
8
= . 6 x10 = 6 x6.x4 = x6 x4
=
x . 6 x5 . 9 x
x5
12 5
=
=
x
= x. 3 x2
Sugestão: ver exercício resolvido em redução ao mesmo índice para exercícios e
=
2. (EEAr-90) Comparando
Solução: m.m.c. (4,2) = 4
(x2 )1 = 4 (x2 )1 4÷2=2 (x4 )1 4 (x4 )2 4÷4=1
x2−8
b)
g)
x
4
= 25
3. 2 . 6
f)
2 4
=
2
x+
a)
e)
8
=
2
1. Calcular os produtos e as divisões:
d)
(x2)1 . 6 (x4)2 2 6
)2
4
Solução: m.m.c. (6,3) = 6
=
y
x+
c)
x . x = 3
2
y
Exercícios
Primeiramente devemos reduzir os radicais ao mesmo índice, e só assim podemos fazer a multiplicação ou divisão. 6
(
x + y =5
2. Os radicais tem índices diferentes
a)
x. y +
) = x +2. x. y +y y) = x + y +2. x. y y ) =13+2. 36 y) =13+2. 6 y) = 25
x+
x+ y
21
)2 = ( x )2 +2.
Produtos Notáveis
( ( ( ( (
Multiplicamos ou dividimos os radicando e conservamos os índices. Exemplos: a) 3 2xy. 3 2xy=3 4x2y2 b)
x+ y
= 4 x−6 =
=
4 4
1 4
x6
x2 x8
=
=4 1 x3
3. Caso especial de produto
x2 8
x
= 4 x2 ÷ x8 =
I. II. III.
3
(0,1)
3
4<4 8
5
33
4
>3 0,00
> 8 272
Pode-se afirmar que: a) II e I são falsos b) I e II são verdadeiros c) I e III são verdadeiros d) somente o II é verdadeiro
Exemplo: Cláudio Freire
89
Para Concurso
3. (EPCAr-84) Se A =
3,
B = 32, C = 45, assinale a opção que apresenta numa sentença verdadeira: a) C < B < A b) A < C < B c) C < A < B d) B < C < A e) B < A < C
4. (PUC-SP) Os números
4
5,
3
3 e
2
são
colocados: a) em ordem crescente b) em ordem decrescente c) em ordem não decrescente d) nada disso 2
+
igual a: a) 56 b) 14
6
+6
6. (FIA-SP) A expressão
2
5
.
3 6
10. (EEAr) Simplificando a expressão:
(
)
3− 2
2
(
−21−
) −(
6
3
.
18
é
(1+3 3) 8
é igual a:
7. (IEEP-SP) Se a =
obtém-se: a) b) c) d)
0 1 2 3
a) 2 5 +3 2 =5 7 b) 12 2 −6 2 +2 2 = 4 c) 33 2.2 3 = 66 10 d) 4 2 +3 2. 2 =14
y3 − xy2 −yx2 + x3
÷
x2 −y2
e b =
2
a,
então o
a) b) c) d)
resultado: a) um número racional b) a expressão 5 − 2 c) a expressão 3 5 − 3 2 d) o número inteiro 117 e) o número inteiro 3
8
8
4
4
8. (UMC-SP) Se x = 1 +
2,
então x2 – 2x + 1
é igual a:
2 2 2
9. (UFRN) O valor que devemos adicionar a 5 para obtermos o quadrado de Sugestão: Calcular
a) b) 2 90
6 2
(
como
simplificando e racionalizando a expressão: p=
27 10−2 5. 10+2 5 6 20
+62,5÷0,12
15. (CTUR-90) O resultado mais simples de 3 − 2 5+ 3 ÷ , é: 5− 3 3+ 2
2
2+ 1+
obteremos
14. (ETFQ-93) Determine o valor numérico
Sugestão: Para evitar um cálculo muito extenso, transformar x2 – 2x + 1 em (x – 1) 2
a) b) c) d)
, obtém-se:
13. (EPCAr-81) Efetuando o produto
(3 5 − 3 2)(3 25+ 3 10+ 3 4)
4
2
12. (EEAr) Simplificando a expressão
valor de a . b é:
4
)
3+ 2
a) x – y b) y – x y −x c) x −y d)
a) 13 b) 14 c) 2 10 d) n.d.a.
8
)(
3− 2
11. (EEAr) É verdadeira a igualdade:
5. (MACK-SP) A expressão c) d)
c) 2 d) 2
)
2+ 3
2
+
3
é:
a) 3 b)
2
c) d) Cláudio Freire
5 1 7 22 2− 3
Para Concurso
e)
20. (CN-2002) Se 2 < x < 3então;
2+ 3
x +2 x −1 − x −2 x −1
16. (CN-2001) O valor da expressão − 3 2 3 −16+16.(0,333 ...+1 ) −− 27 9 4
a) b)
3
3
é igual a:
Sugestão: Igualar toda expressão acima a “k” e elevar ao quadrado os dois membros. 25 +3 2
a) b) c) d) e)
é:
−1 3
2 x
2 2 3
x −1 x
21.
(EsPCEx-84) 3 − 3 2 − 3 3+ 3 : 2 + 3
−2
3
Calcular
e
racionalizar
Gabarito
c) 0 d) 1 e) -1
1.
17.
(CEFET-99)
3+2 2
− 3−2 2
O número d = é um natural. Qual é esse
a) 6
c) x
b) 3
d) 2
3y
e) 2 f)
8
g) x 18x5 x5y
h)
24
x5
número? Sugestão: Elevar os dois membros da equação ao quadrado.
18. (EEAr-2002) Se K = igual a:
3+ 5 ,
então
15
é
Sugestão: Elevar os dois membros ao quadrado.
4. b) em ordem decrescente 2
6. c) 2
2
k2
7. c)
4
2
(1+3 3)
10
8
8. a) 2
c) K 2 – 8 d) k2
19.
3. d) B < C < A
5. d)
2 a) k − 8
b)
2. d) somente o II é verdadeiro
9. d) 2 (CN-2001) 1
O
valor
de
1
4 2 2 4 2 2 2 a +a3.b3 +b2 +a3.b3
é:
6
10. c) 2 11. c) 33 2.2 3 = 66 10
Sugestão: igualar toda a expressão acima a k e elevar ao quadrado os dois membros.
12. d)
x −y
2
a) b) c)
3 3 2 a3 +b2 3
14. P = 500
2
15. c)
3 2 2 a3 +b2
3 2 3 a2 +b3 3
d)
2 2 3 a2 +b3
3
e)
13. e) o número inteiro 3
2 2 2 a3 +b3
7 22
16. c) 0 17. d = 2
Cláudio Freire
91
Para Concurso
Exemplos:
2 18. a) k − 8
2
a)
19. e)
3 5
3 2
2 2 a3 +b3
b)
=
2
5
2 3
5
3
x− y
.
21
=3
5
24
=
24
2 x−y
35 16 5
25
=
35 16 2
3
( x − y) 2
3
2
.
( x − y)
=
23 ( x − y)
2
x−y
20. a) 2 c)
21. 2 +
3
3.7 36 = . = = 4.3 4.7 3 4.7 31 7 36 4.7 37 3
7
3
37 36
36
7
=
36 4
CAPÍTULO 06 I. Racionalização de denominadores Racionalizar significa tornar racional o denominador, ou seja, eliminar qualquer raiz do denominador de uma fração sem alterar a mesma. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador sempre pelo mesmo número. Não existe uma fórmula específica para tal, mas sim alguns artifícios aos quais veremos a seguir.
1. O denominador é um radical de índice 2 Multiplicamos o denominador e o numerador pelo mesmo número. Exemplos: 1
a)
2
2
1
=
.
2
2
= 2
=
22
= . a+ b a+ b 3
2
c)
5
=
5
2
.
a + b
=
( a + b)
5 2 5
= 5
2
5
=
2
= 3 a+ b a+ b
x −y
x −y
x −y x −y
=
2 5 5
x1
=
4
24 x = x x4
)
2 x −y
( x − y) 2
2
x x −2
=
x −2 x
.
x + 2
= x + 2 (
(
)
x x +2 x
)
2
− ( 2) 2
=
(
)
x x +2 x−4
Casos especiais
=
Lembrete: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) x5 + 1 = (x + 1) (x4 – x3 + x2 – x + 1) x7 + 1 = (x + 1) (x 6 – x 5 + x 4 – x 3 + x 2 – x + 1) x5 – 1 = (x – 1) (x 4 + x3 + x2 + x + 1) x7 – 1 = (x – 1) (x 6 + x5 + x4 + x3 + x3 + x2 + x + 1)
2 x −y x −y
2. O denominador é um radical com índice diferente de 2 Multiplicamos o denominador e o numerador por um radical de mesmo índice e mesmo radicando do original, porém com o seu expoente sendo a diferença do índice e expoente do radicando do original. 92
4
24 x
b)
e) .
.
7− 3
3 10 3 10 3 10 = 3 2 . 5 = = = 2 4 . 5 20 4 5 4 5 5 4 5 2
x3
(
3 2
=
4
x1
Multiplicamos os termos da fração pelo conjugado do denominador. Exemplos: a) 7 − 3 2( 7 − 3) 2 2 = = = . 2 2 − 7+ 3 7+ 3 7 3 ( 7)2 − ( 3) x + y x – y x – y2
d)
2
=
x3
4
= 2 7− 3 = 7− 3
3 a+ b
a + b
4
2
3. O denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um deles radical
2 2
b) 3
d)
2
Alguns exemplos relativos ao lembrete: a)
(
)
3 32 + 23 3 + 4 2 3 9 + 23 3 + 4 = . =3 = 3 3 3 3 3 −2 3 − 2 3 32 + 23 3 + 4 − 3 2 2 3 3
Cláudio Freire
2
2
x – y
x – xy + y2
(x –) y
Para Concurso
(
(
3 3 3 3 = 2 9+ 2 3+ 4 = − − 2 9+ 2 3+ 4
3− 8
b)
3. Racionalize os denominadores
5
3 − 1 = . 3 3 2 3 2 3 − 3 3+1 3 − 3 3 + 1 3 + 1 3
=
3
2
x – xy +
(
(
33 3 − 1
(
x+y
c) d)
3
x –
e)
5 x4 − 5 x3 + 5 x2 − 5 x + 1 = = . c) 5 5 5 5 5 4 3 2 x +1 x + 1 x − x + x − 5 x + 1 x + y x4 – x3 + x2 – x 3
y 4
=
3 x− y
x 1−y x +1
2− x 2
4
5 2 4 x1 − 5 x + 1 5 x4 − 5 x3 ++ = = 5 5 5 ( x) + (1)
4 5 x4
a +1
b)
3 3 3 −y21 3 3 3 + 1 = = 3 3 3 + 3 1 4 3 +1
( )
6
a)
3
x5 + − 5 x3 +5 5 x2 − 5 x + 1 1 x +1
f)
x −2 y x+ y
4. (MACK-SP) Racionalizando o denominador da 1
fração
5 −2
, obtemos:
a) 2 + 5 b) 2 - 5 c) 3 + 5 d) 5 -2
Exercícios
5.
1. Racionalizar:
denominador, vemos que a razão
a) b) c) d)
2 7 2
2 3 4 3 x
x+y x
e)
xy
2. Racionalize: a) b) c) d)
3 3
5 3
5
4
5
2 6 x+ k x y+2
(CESGRANRIO)
igual a: a) 2 + 3 b) b) 3 + c) 1 + 2 3 d) 2 + 2 3
a) b) c) d) 2
2+ 5
1+ 3 3 −1
é
é igual a:
+1 5 -1 5 +3 5 -3 5
2
7. (FUVEST-SP) a) b) c) d)
o
2
4+ 5
6. (UNIP-SP)
Racionalizando
5 5 5 5
+ + +
3
3
2
é igual a:
+ 34 - 32
3
3
5− 3
2
−3
-
3
-
2
3
4
e)
5
f)
32 6
8. (FUVEST-SP) Qual é o valor da expressão 3 +1 + 3 −1 : 3 −1 3 +1
3
62
a) 4
7
Cláudio Freire
93
Para Concurso
b) 3 c) 2 d)
Sugestão: Transformar 6 4 em 3 2 e em seguida usar o produto notável (x – y) (x 2 + xy + y 2) 2
9. (CTUR-2000) O inverso do número
3 é: 3
a) − 3
a)
2 −1 3 2 −1
4
2 +1 3
b) c)
3 b) − 3
3
2 −1 3 e) 3 2 +1 6
c) 3 d) 3 e) –3
d)
10. (EPCAr-81) Depois de simplificar a fração
14. CEFET-93) (2ª fase) Mostre que:
7−
1 2 7.7
7−
1 72
a) -6
, você encontrará:
7
c) –7
11. (PUC-96) Considere os números a = 2
,b=
3 2
eC=
3 4 3
1 2 +1
2+ 3
Efetuando
135+ 3 625
6
5
3
5
c)
3
17 76
c)
3
(
125+ 45
a) b)
b)
2 2 + 3 + 5 +1
expressão 3
a) 4
3 2 + 3 + 5 +2
12. (C.M.R.J.-97) O valor simplificado da
e)
(CN-82)
+
2− 3
d) 2/3
2
2+ 3
e) 1
)
2
−1
−
1
é:
2+ 3+ 5
Sugestão: Fatorar ( 2 + 3 + 5 +1)2 −1 como diferença dois quadrados x 2 – y2 = (x – y) (x + y)
a) é:
3 + 4 2 − 15 12
b) 2 3 − 3 2 − 30 24
c) 2 3 + 3 2 + 4 30 24
d)
17 76
2+ 3+ 5 12
e) 2 3 + 3 2 − 30
5
24
13. (C.M.R.J.-98) Racionalizando o denominador da expressão
94
2− 3
16. (CN-97) O valor de:
, então:
a< b < c b
6
15.
Sugestão: Racionalizar e em seguida transformar o radical duplo em radical simples
e) 1
d)
x − x2 − 4x 1 . = 1 − 2 2 2 x − 4x x + x − 4x x − 4x
obtém-se:
d) 7
E=
x2 − 4x
7
b) -
a) b) c) d) e)
x + x−
3
4 −1
17. (EsSA-92) Racionalizando a fração
6
4 −1
, obtemos: a) 10 + 5 3 b) 10 – 5 3
, encontraremos
Cláudio Freire
d) -5 e) 5
(
3
)
3− 2
5 3+ 2
Para Concurso
c) 5
- 10
3
18. (EsSA-91) Racionalizando o denominador 3− 2
da expressão a) 3
3+ 2
b) -2 c) 2 +
6
3
19. (EPCAr) Depois de racionalizar e efetuar os 3( 5 + 2) − 2 10 , obtem-se como cálculos em 5− 2 resultado: a) 7 b) 7 - 2 10 c) 7 −2 10
d) e)
5+
da fração 2 2
a)
2− 2
b)
5 − 2 −2 10
c)
2
racionalize
o
6
da fração
2+ 3− 5
a) − (
2+ 3+ 5
b) − (
2− 3+ 5
2+ 3+ 5
)
c)
)
d) − 2 − 3 − 5
2
2
26. (EsPCEx-83) Racionalizar o denominador da a + b − a −b a + b + a −b
27. (EsPCEx-85) Simplifique
2 2
3+ 6 3+ 2
9
21. (CN-94) O número a)
2 +1
b)
2 +2
c)
2 −1
d)
−
e)
1− 2
1 4
2 2 +3
1. a)
b) c)
1 3
4 − 3 2 +1 3
3
4+ 3 2+1 3
3
4
(1+
)
2
2
e
2 +1
encontramos: d) e)
3
3+ 3 2+1
c)
e)
x x+y
xy
x+y
y
3
3
d)
c)
7− 3 3
-
5 e) 7 27 3
( ) a) 6 a −1 a −1
3+ 3 2+1
4
y+2
3 4 c) 6 ( x + k)
b)
23. (EPCAr-85) A expressão
5 + 4 d) x ( y 2)
3.
3 3
3 a) 3 25 5 5 b) 3 16 2
x+k
3 − 3 2 +1
equivalente a: a) -2 7
2
d)
3 4
2.
22. (EPCAr-84) Racionalizando o denominador
3
b)
2 7 7
Sugestão: Transformar 4 2 2 +3 em em seguida racionalizar
a)
:
Gabarito
é:
2 −1
da expressão
denominador
obtém-se:
e)
6 6
d)
7
25. (EEAr-85) Racionalizando-se o denominador
expressão
encontramos:
2 4
,
3x − 5 − 1
2 − 2 10
20. (EPCAr-83) Racionalizando o denominador 2 −1
+
simplificando o quociente encontrado e calcule o valor numérico para x = 2: a) 1 b) 0 c) 2 d) -2 e) –3
e) 2 3 + 3 2 4
+5
6
3
3
x−2 3
d) 3 +
e)
3
24. (EPCAr-85) Considere a expressão E =
, obtemos:
6
b) -2 c) 2
+ 3− 7 é
7
3( x + y ) x−y
(
x 1+
3
6
(
d) ( x + 1) 2 + x
)
4− x
e) 2( x + 2)
)
x−4 y( x − y ) f) x −y
5
16.
1− y
4. a) 2 + Cláudio Freire
y
f)
e) 95
