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Paridad
Paridad Decimos que un número entero es par si éste es divisible entre dos, y que es impar si no es divisible entre 2. Este concepto, a pesar de su simplicidad, aparece apa rece en la solución de todo tipo de problemas, y resulta ser muy útil para resolverlos, incluyendo algunos que son realmente difíciles. Debido precisamente a la gran simplicidad de este tema, podemos resolver muchos problemas interesantes sin necesidad de muchos conocimientos previos. Es fácil convencerse de que: “ Todo número natural es par o es impar ”. Además, cualquier número par puede ser expresado de la forma 2 k , y cualquier número impar puede ser expresado de la forma 2 k + + 1, o bien 2 k – – 1, para algún valor entero de k . Algunos hechos son los siguientes:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
La suma de dos números pares es par. pa r. En general la suma de números pares es par. La suma de dos números impares es par. La suma de una cantidad par de números impares es par. En general la suma de una cantidad impar de impares es impar. La suma de un par y un impar es impar En general la suma de pares e impares dependerá del número de impares que haya en la suma, es decir, si la cantidad es par la suma es par, si la cantidad es impar la suma es impar.
Definición de Paridad.
Se dice que dos números tienen la misma paridad si ambos son pares o ambos impares. 1) La suma de dos números con la misma paridad es par. 2) La suma y la cantidad de impares en la suma tienen la misma paridad. A continuación, presentamos una serie de problemas con solución, para mostrar cómo es de utilidad el uso de este concepto.
Paridad
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Problema 1.
María y sus amigos están sentados formando un círculo, de forma que los dos vecinos de cada amigo son del mismo sexo. Si de los amigos de María 5 son hombres. ¿Cuantas mujeres hay? Solución.
Hay 5 mujeres. Para ver esto, recordemos que los vecinos de cualquier persona son del mismo sexo, por lo que las mujeres y los hombres están alternados, entonces hay la misma cantidad de hombres que de mujeres. Problema 2.
Siete engranes están acomodados en una cadena como se muestra en la siguiente figura. ¿Pueden todos los engranes rotar simultáneamente? Explica tu respuesta.
Solución.
La respuesta es no. Numeremos los engranes sucesivamente del 1 al 7 empezando por cualquiera de ellos. El primer engrane debe girar en algún sentido, digamos que en el de las manecillas del reloj. Entonces el segundo engrane debe girar en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el tercero en el sentido de las manecillas del reloj y así sucesivamente. Resulta claro entonces que los engranes “impares” deben girar todos en la misma dirección, y los engranes “pares” deben girar todos en la otra dirección. Pero entonces el primero y el séptimo engranes, que son adyacentes, deben girar en la misma dirección, lo cual es imposible. Observación.
Como en el caso del problema anterior, muchos problemas que se resuelven utilizando argumentos de paridad tienen que ver con situaciones imposibles. Por ello, cuando en un problema se pide determinar si algo es posible o no, generalmente la respuesta es no. Problema 3.
Un nadador para entrenar realiza sesiones de entrenamiento de 3, 5 y 7 Km. Su entrenador le recomienda entrenar un total de 35 Km. ¿Podrá realizarlos en 10 sesiones?
Paridad
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Solución.
No es posible. Como en cada sesión debe nadar un número impar de kilómetros, entonces en 10 sesiones nadará un número par de kilómetros, por lo que nunca podrá ser 35. Problema 4.
¿Es posible dibujar una línea quebrada de 11 segmentos, cada uno de los cuales se intersecta (internamente) exactamente con uno de los otros dos segmentos? Solución.
No es posible. Si fuera posible, podemos partir los segmentos en parejas de segmentos que se intersecan, como cada segmento se corta con otro segmento y solamente con uno, tendremos que los segmentos se agrupan en parejas y entonces el número de segmentos debe ser par, lo que es una contradicción. Problema 5.
Demostrar que un polígono cerrado que no se intersecta a si mismo y cuyos lados son verticales u horizontales, tiene un número par de lados. Solución.
Demos a los lados del polígono una letra de la siguiente manera: H a los horizontales y V a los verticales, las letras H y V también se alternan, y como la figura es cerrada al recorrer los lados si iniciamos en H, debemos de terminar en V, así el recorrido lo podemos realizar por pares de lados HV, por lo que tendrá un número par de lados.
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Nota: Si los objetos se pueden ir alternando, siendo estos de dos tipos, tenemos que:
a) si iniciamos y terminamos con objetos del mismo tipo, el número total de objetos es impar y si b) iniciamos con un objeto de un tipo y terminamos con un objeto del otro tipo, el número de objetos es par. Problema 6.
Un gusano se desplaza verticalmente sobre un árbol. Cada día puede solamente subir o bajar. Si el primer día recorre 1 cm., el segundo día recorre 2 cm., y así sucesivamente, ¿será posible que después de 17 días el gusano se encuentre en el lugar donde partió? Solución. No es posible . Si fuera posible, tenemos que el conjunto {1, 2, 3,…, 17} se puede dividir en dos conjuntos {a1,…, an} y {b1,…, bm}, las cantidades que el gusano va
hacia arriba y las cantidades que baja. Éstas cumplen las siguientes dos cosas: a1 +…+ an = b1 +…+ bm, y a1 +…+ an + b1 +…+ bm = 1 + 2 +…+ 17 = 153, pero la suma de dos números iguales no puede ser impar. En estos problemas se puede observar que los argumentos utilizados permiten concluir que las respuestas van en la dirección de "no es posible hacer tal cosa". En la mayoría de las veces, un argumento de paridad sirve exactamente para eso: mostrar que un determinado hecho no puede ocurrir. Esto no debe desanimar, por el contrario, sirve para convencerse y no gastar tiempo en tentativas inútiles. Las experiencias son valiosas en el sentido de abrirnos los ojos para no insistir en caminos donde no hay soluciones y buscar a partir de ahí argumentos que resuelvan definitivamente el problema. Otros hechos importantes. Al igual que tenemos las reglas de paridad para la suma de números naturales, tenemos las reglas de paridad para la multiplicación.
1) 2) 3) 4)
El producto de dos números pares es par. El producto de dos números impares es impar. El producto de un número par con un impar es par. En general, es par si y sólo si alguno de sus factores es par.
Ahora presentamos un conjunto de problemas de práctica en los cuales se aplica la paridad.
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Problemas Propuestos 1. Un saltamontes brinca a lo largo de una línea. En su primer brinco salta 1 cm., en el segundo 2 cm., y así sucesivamente. En cada salto él puede ir a la izquierda o a la derecha. Muestre que después de 2001 saltos, el saltamontes no puede regresar al punto de partida. 2. Un grupo de n economistas y n políticos están sentados alrededor de una mesa. Algunos de ellos siempre dicen la verdad y los otros siempre mienten. Se sabe que el número de economistas mentirosos es el mismo de políticos mentirosos. Cuando se les hace la pregunta: “¿Qué es tu vecino de la derecha?” todos responden "político". Muestra que n es par. 3. Los números 1, 2, 3,…,..., 2002 se escriben en un pizarrón. Un alumno escoge dos de estos números, los retira, y coloca en el pizarrón la diferencia (no negativa) de ellos. Después de varias de estás operaciones queda escrito un solo número, ¿Es posible que éste sea el cero? 4. A un libro de 100 hojas, con las páginas numeradas del 1 al 200, se le desprendieron 25 hojas. Los números de las páginas desprendidas se suman, ¿puede esta suma ser igual a 2000? 5. En un tablero de ajedrez, un caballo parte de una casilla y regresa a esa casilla después de varios saltos (de caballo). Muestre que el caballo realizó un número par de movimientos. 6. El producto de 22 enteros es igual a 1. Muestre que la suma de estos números no puede ser cero. 7. ¿Se pueden intercalar los símbolos “+” o “-” entre los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 de manera que la suma sea 13? 8. Las 28 fichas de dominó están acomodadas en una cadena, de manera que el número de puntos en los extremos unidos de un par de fichas adyacentes coinciden. Si uno de los extremos de la cadena es un número 5, ¿cuál es el número en el otro extremo de la cadena? 9. Se escogen 45 puntos a lo largo de una línea AB, todos ellos fuera del segmento AB. Pruebe que la suma de las distancias desde esos puntos al punto A no puede ser igual a la suma de las distancias desde esos puntos al punto B. 10. Durante un congreso las personas van intercambiando saludos. Una persona será impar si intercambia un número impar de saludos, y diremos que es par en
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caso contrario. Demuestre que en todo momento hay un número par de personas impares. 11. Si a1, a2,…, an es una permutación de los números 1, 2, 3,…, n, muestre que si n es impar, entonces el producto ( a1 – 1) (a2 – 2) (a3 – 3) ··· (an – n) es par. 12. En una urna se colocan 2001 canicas marcadas con los números 1, 2,..., 2001. Se sacan al azar 2 canicas de la urna, y se calcula la suma de los números en ellas. ¿Qué es más probable que la suma sea par o que sea impar? 13. Hay 2001 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar líneas entre los puntos, por turnos. Empieza A. Gana el primero que complete un ciclo. ¿Cuál de los jugadores tiene estrategia ganadora? 14. Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba y cuántas con el lado negro hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona en su turno hace una de las siguientes dos cosas: a) Retirar cualquier número de fichas, con la condición de que todas las fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba. b) Voltear cualquier número de fichas, con la condición de que todas las fichas volteadas tengan el mismo color hacia arriba. Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede asegurar que ganará, el primero en jugar o el segundo? 15. Un polígono se dice que es ortogonal si todos sus lados tienen longitudes enteras y cada dos lados consecutivos son perpendiculares. Demuestre que si un polígono ortogonal puede cubrirse con rectángulos de 2 × 1 (sin que éstos se traslapen) entonces al menos uno de sus lados tiene longitud par. 16. En el pizarrón se tienen escrito once números 1. Se permite tomar dos números y sumarle uno a ambos, restarle uno a ambos, o sumarle uno a uno y restarle uno al otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener escrito en el pizarrón once números 10? 17. En una cuadrícula de 5 x 5 se escribe en cada cuadrito un 1 o un –1. Se calcula el producto de los números en cada renglón y en cada columna. Demuestra que la suma de esos diez productos no puede ser cero. 18. En las casillas de un tablero de 3 × 3 hay 9 focos que cambian de estado (encendido y apagado). Apretando un foco de la orilla del tablero, el foco cambia de estado junto con sus vecinos (a los lados y en diagonal), y si
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apretamos el foco del centro, sólo cambian de estado sus 8 focos vecinos. Inicialmente todos los focos están apagados, ¿es posible que apretando sucesivamente los focos se pueda llegar a que todos los focos queden encendidos? 19. Los números 1, 2, …, 2002 se escriben en un pizarrón. Un alumno escoge dos de estos números, los retira y coloca en el pizarrón la diferencia (no negativa) de ellos. Después de varias de estas operaciones queda escrito un solo número. ¿Es posible que éste número sea el cero? 20. Considera un tablero de ajedrez de 8 × 8. En un movimiento puedes intercambiar dos renglones o dos columnas del tablero. ¿Es posible, mediante una secuencia de tales movimientos, llegar a que el borde izquierdo del tablero sea blanco y el borde derecho sea negro? 21. ¿Será posible dividir la superficie de una esfera en un número impar de regiones triangulares? 22. Tenemos 16 focos acomodados en un tablero de 4 × 4, todos apagados. Cada vez que alguien toca un foco, éste cambia de estado junto con todos los focos de su fila y columna. i) Demuestra que es posible, después de tocar los focos adecuados, que todos los focos queden encendidos. ii) Si el tamaño del tablero fuera de 5 × 5, ¿será posible terminar con todos los focos prendidos? 23. Demuestra que la ecuación
1
a
1 +
b
1 +
c
1 +
d
=1
, no tiene solución para a, b, c, d
enteros impares. 24. Muestre que si a, b, c son enteros impares, entonces la ecuación no tiene raíces racionales.
ax
2
+ bx + c =
0
25. Demuestre que la suma de dos cuadrados perfectos impares no puede ser un cuadrado perfecto. 26. Los 20 vértices de un polígono regular de 20 lados se han dividido en 10 parejas que se conectan con una cuerda. Demuestre que hay dos cuerdas con la misma longitud. 27. Los enteros positivos se colorean de blanco y negro, de manera que la suma de dos números de diferente color es negro y su producto es blanco. ¿De qué color es el producto de dos números blancos?
