CORRECCIÓN SEGUNDO PREVIO MECÁNICA DE FLUIDOS
OSCAR DAVID GALLO MARTINEZ
MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER SANTANDER SEDE BUCARAMANGA 2017
PROBLEMA 1. La dis!i"#$i%& id'a(i)ada d'( $a*+, d' -'(,$idad's 's dada +,!/
u=
x 1 + t
v=
y
0
1 + 2 t
D''!*i&a! 3 di"#4a!/ a5 Las (6&'as d' $,!!i'&' "5 Las (6&'as d' !a3'$,!ias $5 Las (6&'as d' !a)a (as $#a('s +asa& a !a-s d'( +#&, 89,:,Z,5 '& 0. T,*' '( +#&, 89,:,Z,5 di;'!'&' d'( ,!i<'& =#' $!'a *s $,&-'&i'&' +a!a !'a(i)a! (,s $,s.
SOLUCION: COMO:
u=
x 1 + t
v=
y
0
1 + 2 t
DE LA ECUACION DE LINEAS DE CORRIENTE TENEMOS:
a5 Las (6&'as d' $,!!i'&'
dx dy = ⟹ u v
∫
dx = x 1 + t
∫
dy y
⟹
dy =1 + 2 t ∫ ∫ dx x y
1 + t
1+ 2 t
REALIZANDO LA INTEGRAL
∫
dx = x 1 + t
∫
dy y 1 + 2 t
ln ( y )∗(1 + 2 t )= ln ( x )∗(1 + t )+ c ⟹ ln ( y ) =
1 + t
ln 1+ 2 t
( x ) +c
DESPE?ANDO EL L& : APLICANDO e A AMBOS LADOS 1+ t
y = x
1+ 2 t
∗C
+a!a 0
:0 @O C
⟹
C
⟹
y =
y 0 x 0
+ ( + ) ∗ x 1
t
1 2 t
"5 Las (6&'as d' !a3'$,!ias
dx x =u = ⟹ dt 1+ t
dt =∫ ∫ dx x 1 + t
INTEGRANDO A AMBOS LADOS DE LA ECUACIÓN
ln ( x ) = ln ( 1 + t ) + C
DESPE?ANDO EL L& : APLICANDO e A AMBOS LADOS x =C 1∗( 1 + t ) t =0 x 0=C 2
dy y ⟹ = v = dt 1 + 2 t
dt =∫ ∫ dy y 1 + 2 t
INTEGRANDO A AMBOS LADOS DE LA ECUACIÓN
1 ln ( y )= ln ( 1 + 2 t )+ C 2
DESPE?ANDO EL L& : APLICANDO e A AMBOS LADOS 1
y =C 3∗( 1 + 2 t ) t =0 y 0=C 3 2
¿
8@, 3, 5 y 0 x 0
TENEMOS x = x 0∗( 1 + t ) 1
y = y 0∗( 1 + 2 t )
2
⟹
y = y 0 ∗( 1+ 2 t ) 2
2
DESPE?ANDO EN CADA ECUACIÓN E IGUALANDO 2
x y 1 −1= − 2 x 0 2 2 y 0
DESPE?ANDO : EN TRMINOS DE 9 y =
√
2 y 0
y = y 0
√
2
x x 0
1
( − ) 2
x x 0
( 2 −1 )
$5 Las (6&'as d' !a)a (as $#a('s +asa& a !a-s d'( +#&, 89,:,Z,5 '& 0. T,*' '( +#&, 89,:,Z,5 di;'!'&' d'( ,!i<'& =#' $!'a *s $,&-'&i'&' +a!a !'a(i)a! (,s $,s.
D' (as '$#a$i,&'s d' !a3'$,!ia s#s#i*,s a d&d,(' -a(,! d' (as *is*as x 0=C 1∗( 1 + t ) ⟹ C 1=
x0 1 + δ
1
y 0=C 3∗( 1 + 2 t )
2
⟹
C 3=
x =
⟹
y0 1
( 1 + 2 δ )
2
x0
δ 3 !'*+(a)a&d, '&
∗(1 + t )
1 + δ
⟹
y =
1
y0 1
( 1 + 2 δ )
∗( 1 + 2 t )
2
2
DESPE?ANDO δ EN 9 : REMPLAZANDO OBTENEMOS y =
y0
√
x 0 ( 1+ t )
1+ 2 (
x
−1 )
Pa!'&d, d' (a $,&di$i%& i&i$ia( d'( +!,"('*a d' $#a(=#i'! 8 x 0 , y 0 , z0 ¿ '&,&$'s ,*, x 0=6 y y 0=6 3 $,& 0 +a!a $a!
E&,&$'s (as '$#a$i,&'s =#'da& L6&'a d' $,!!i'&' + ( + ) y = x 1
1
t
2 t
L6&'as d' !a3'$,!ia
y =6
√
x
( −1) 3
(6&'as d' !a)a y =
6
√
1+ 2 (
6 ( 1 + t )
x
− 1)
PROBLEMA 2 S' ",*"'a a<#a a #& d'+%si, a( $,*, s' *#'s!a '& (a ><#!a *'dia&' #& #", d' <,*a =#' 's #&id, a (a a+a d'( d'+%si,. Esa a+a +#'d' d's+(a)a!s' -'!$a(*'&'. P,! ,!a +a!' '( d'+,si, '&' #& #", d' sa(ida a (a "as' +,! '( $#a( '( a<#a sa(' '& #4, (a*i&a! $,& #&a dis!i"#$i%& d' -'(,$idad's dada +,!/
( ))
u=Umax ( 1 −
r R
2
E( $a#da( d' '&!ada '& '( d'+,si, 's m3 / s . E( !'a d' (a s'$$i%& !'$a d'( d'+,si, 's A 3 (a a(#!a d'( (i=#id, '& '( 's '& #& *,*'&, dad,. Si s' sa"' =#'/ U max =C 1 hconC 1 dado
S' +id' '&$,&!a! '& ;#&$i%& d'( '*+,. S' s#+,&d! =#' '& '( i&sa&' 0 s' '&' =#' . !'+!'s'&a! $a*'&' 85 3 dis$#! (a ;,!*a d' (a $#!-a '& ;#&$i%& d' .
COMO EL AREA DE UN CIRCULO ES/ 2
A = π R →dA =2 πrdr
CONOCIENDO LA FORMULA DE LA VELOCIDAD MEDIA : SUSTITUIMOS NUESTRO DIFERENCIAL DE AREA dA/
A
R
∫ UdA Um=
0
⟹
A
∫ Umax (1 −( 0
r R
πR
)) 2
2 πrdr
2
S,(#$i,&a&d, (a i&'
Umax 2
=Usalida
: SABEMOS UE LA ECUACION DE CAUDAL ES/ Q=
Uentrada Usalida A = ⟹ Uentrada = Usalida A Ae Ae
DEL MISMO MODO TENEMOS UE Q=
V dh∗ A = t dt
SUSTITU:ENDO/ Umax dh∗ A dh Usalida∗ A dh = Uentrada∗ A ⟹ = = ⟹ dt dt Ae dt
TENIENDO EN CUENTA UE/ U max =C 1 h
C 1 h dh = dt
2
∗ A
Ae
h
t
C 1 A dh C 1 A dh ⟹ dt ⟹ dt = = h Ae Ae 0 H h
∫
∫
SOLUCIONANDO ln ( h ) −ln ( H ) =C 1
A A ( t ) ⟹ ln ( h ) =ln ( H ) C 1 ( t ) Ae Ae
2
Ae
∗ A
DESPE?ANDO EL L& : APLICANDO e A AMBOS LADOS
h ( t )= H ∗e
C 1 A ( t ) Ae
PROBLEMA H U& *'did,! d' ,!i>$i, $,&sis' '& #& '&$,<#!a. Si s' *id'& (as +!'si,&'s a&'s 8P15 3 d's+#s 8P25 d'( ,!i>$i, d''!*i&a! '( $a#da( =#' +asa +,! (a #"'!6a '& ;#&$i%& d' #& $,'>$i'&' d' $a#da( Cd dad, =#' D 3 d s,& $,&,$id,s.
CON LA ECUACIÓN DE BERNOULLI DECIMOS UE/ 2
U 1 P1 2g
+
2
+ ! = 1
U 2 P 2 2g
+
+ !
2
Z1Z20 COMO NO A: PERDIDAS NI GANANCIAS TENEMOS/ 2
2
U 1 P1 U 2 P 2 + = + 2 g 2g
SABEMOS UE EL CAUDAL ES
Q=U 1 A 1=U 2 A2 →
Q Q =U 1 y =U 2 A 1 A 2
SUSTITUIMOS EN LA ECUACIÓN 2
Q ( ) A 1 2g
2
Q ( ) P A + 1= 2 2g
2
Q ( ) A 1
P 2 →
+
2
Q −( ) A 2 2g
COMO EL AREA TRASNVERSAL ES/ π
A 1=
4
π
2
∗( " ) y A = ∗( d ) 2
2
4
SUSTITU:ENDO EN LA ECUACION/
( )( )
2
Q ∗[
2
−
π 4
Q
2
1
( " )
2
2
1
π 4
( d )
]=
( P − P ) 2 g 2
1
2
( P − P ) 2 g 2
= [
( )( ) 1
π 4
Q=Cd
1
2
( " )
√( 2
−
2
[
2
1
π 4
( d )
]
2
( P − P ) 2 g 2
1
π 4
1
)( ) 2
−
2
( " )
2
1
π 4
( d )
2
]
=
P2− P1
