6.2 Parámetros concentrados: En el análisis de la transferencia de calor, se observa que algunos cuerpos se comportan como un “bulto” cuya temperatura interior permanece uniforme en todo momento durante un proceso de transferencia de calor. La temperatura de esos cuerpos se puede tomar sólo como una función del tiempo, T (t. El análisis de la transferencia de calor que utili!a esta ideali!ación se conoce como análisis de sistemas sistemas concentr concentrados ados,, el cual cual proporc proporcion iona a una gran simplifi simplificac cación ión en ciertas ciertas clases de problemas de transferencia de calor sin muc"o sacrificio de la e#actitud. $el mismo modo podr%a pensarse que el sistema es lo suficientemente peque&o para que las diferencias diferencias de temperatura temperatura en su interior no sean considerables. considerables. 'or ltimo, tambi)n podr%a con*eturarse que el coeficiente de transferencia de calor en la interfase sistema+fluido es lo suficientemente peque&o, y que la diferencia de temperaturas temperaturas entre el fluido y el sistema es relevante en dic"a interfase y no en el interior interior del sistema sistema.. on la intenció intención n de cuantif cuantificar icar esas ideas, ideas, imag%nes imag%nese e un sist sistem ema a que que e#pe e#peri rime ment nta a un proc proces eso o de enfr enfria iami mien ento to o cale calent ntam amie ient nto o en presencia de un fluido. El cociente de la resistencia t)rmica por conducción a la de convección puede escribirse como R conduccion. Rconveccion.
L k
= = 1
hL k
h
El análisis de la transferencia de calor en estado transitorio en estos sistemas es muy sencillo y se conoce como análisis de parámetros concentrados.
onsid)rese onsid)rese un sistema como el que se muestra en la figura, el cual se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme T o. upóngase que de pronto se sumerge el cuerpo en un fluido a una temperatura T oo oo que es constante. i pensamos que la resisten resistencia cia interna interna a la conducc conducción ión es insignif insignifican icante te respecto respecto a la e#terna e#terna de
convección, la temperatura del cuerpo está determinada sólo por el tiempo, es decir, T / T (t. i aplicamos la primera ley de la termodinámica a todo el cuerpo, el calor disipado por convección en cualquier instante se refle*a en una disminución de su energ%a interna. En forma anal%ticahA ( T −T ∞ ) =− ρcV
dT dt
$ondeh / coeficiente promedio de transferencia de calor. A / área del cuerpo donde intercambia calor por convección. ρ / densidad del material que constituye el sistema. V / / volumen del sistema. c / calor espec%fico del material que constituye el sistema.
0l introducir introducir la diferencia diferencia de temperaturastemperaturasθ=( T −T ∞) dθ dT = dt dt
1 que-
2ueda que ρcV dθ =−θ hA dt
$e esta ecuación diferencial se tiene las siguientes condicionesT / T3 θ =θ 0
en t / 3. en t / 3.
eparando variables e integrandoθ
t
ρcV dθ =− dt hA θ θ 0
∫
∫
0
$onde-
θ0=T 1−T ∞
0l evaluar evaluar las integrales integrales se tiene que ρcV θ 0 ln = t … . ( 1 ) hA θ
4 bien−hA t θ T −T ∞ = =e ρcV … (2 ) θ 0 T 1−T ∞
La ecuación 5 sirve para determinar el tiempo que requiere el sólido para alcan!ar alguna temperatura T o, la ecuación 6 es til para calcular la temperatura que alcan!a el sólido en algn tiempo t . Los resultados resultados anterio anteriores res indican que la dife iferen rencia entr ntre las las tempe emperratu aturas del sólido lido y el flui luido debe decaer aer e#ponencialmente a cero conforme t se se apro#ima a infinito.
Este comportamiento se muestra en la figura. Tambi)n es evidente, de la ecuación / hA ) 6, que la cant cantid idad ad ( ρcV / se interpr interpreta eta como como una const constante ante t)rmi t)rmica ca de tiempo Esta constante de tiempo se e#presa comoτ =
1
hA
( ρcV ) ) = R t C t
$onde Rt t)rmica.
es una resistencia resistencia t)rmica t)rmica a la convección convección y
C t una capacitancia
Es decir, decir, el sistema sistema que se muestra muestra en la figura figura tambi)n tambi)n tiene tiene una analog%a analog%a el)ctrica, como se aprecia en el esquema de la figura-
hL La cantidad ( k es un parámetro adimensional. adimensional. e denomina nmero de 7iot,
y desempe&a un papel fundamental en problemas de conducción que implican efectos de convección superficial. El nmero de 7iot proporciona una medida de la ca%da de temperatura en el sólido en relación con la diferencia de temperaturas entre la superficie y el fluido. 'or 'or el mome moment nto, o, bast baste e deci decirr que que si el nme nmero ro de 7iot iot es meno menorr a 3.5, 3.5, apro apro# #ima imadame dament nte, e, la temp temper erat atur ura a en el inte interi rior or de un cuer cuerpo po depe depend nde e fundamentalmente del tiempo y satisface las ecuaciones mostradas. Ejemplo:
8na unión termopar, cuya forma se apro#ima a una esfera, se usará para la medición de la temperatura en un flu*o de gas. e sabe que el coeficiente de convección entre la superficie de unión y el gas es " / 93 :;m 6 <=, y que las propiedades termof%sicas de la unión son > / 63 :;m <=. c / 933 ?;>g <=, y @ / AB33 >g;m C. $eterminea El diámetr diámetro o de la unión necesar necesario io para que que el termopar termopar tenga tenga un tiempo tiempo constante de 5 s. b i la unión unión está a 6BD 6BD y se la coloca en un flu*o flu*o de gas gas que está está a 633D, 633D, cuánto tiempo tardará la unión en alcan!ar 5FFDG $atos-
a omo la la figura figura se apro#ima apro#ima a una esfera se tiene que2
A = π D y V =π D
3
/6 .
e sustituyen en la formula τ =
ρπ D
1
hπ D
2
6
τ =
1
hA
( ρcV ) ) quedando-
3
c
$espe*ando $ que es lo que necesitamos / m2 . K ∗1 s 6 hτ 6∗400 W / D= = =7.06 ! 10−4 m 3 ρc 850 kg / m ∗ 400 / k g . K e utili!a a r;C para L y queda en la ecuación para encontrar el nmero de 7ioth ( # / 3) 400 W / m2 . K ∗3.53 ! 10−4 m "i = = =2.35 ! 10−4 2 k 3∗20 W / m . K b omo el nmero de de 7iot es menor a 3.5 se satisface satisface con la ecuaciónecuaciónt =
t =
ρ ( π D
/ 6 ) c T −T ∞ ρDc T −T ∞ = ln ln T −T ∞ T −T ∞ 6h h( π D ) 3
1
1
2
8500 kg / m
t =5.2 s $ 5 τ 1
∗7.06 ! 10− m∗400 / kg.K 25 −200 ln 199 −200 6∗ 400 W / m . K
3
4
2
