PARÁBOLA Definición
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco foco y y a una recta fija llamada directriz son iguales.
d
P (x,y) d
Vértice Eje de la parábola o eje focal
Foco (F)
X
p
Directriz(D)
Parábola
!igura ". Par#$ola. dist (P, F)= dist (P, D) PF = PD
Características geométricas y ecuaciones
%értice. Es el punto punto donde la par#$ola par#$ola corta a su eje focal. !oco. Es un punto que se encuentra situado so$re el eje focal y la distancia !oco. Es que se encuentra del &értice al foco' es la misma que del &értice a la (irectriz. Lado recto. La cuerda' perpendicular al eje focal' que contiene al foco y corta a dos puntos de la par#$ola.
1 de ")
(irectriz. L*nea recta donde la dist (P, F)= dist (P, D); PF = PD . %er figura ". Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz. Par#metro p. (istancia del foco al &értice. La ecuaci+n de la par#$ola con &értice en el origen y eje focal so$re el eje , que a$re -acia la derec-a es
D
P
0
x = -p
X F(p,0)
Parábola
!igura /. Par#$ola con &értice en el origen y eje focal so$re el eje , que a$re -acia la derec-a.
La ecuaci+n de la par#$ola con &értice en el origen y eje focal so$re el eje , que a$re -acia la izquierda es
Ecuación y2 = –4px Directriz x= p
2 de ")
P
D
X
0
!igura 0. Par#$ola con &értice en el origen y eje focal so$re el eje , que a$re -acia la izquierda.
F(-p,0)
La ecuaci+n de la par#$ola con &értice en el origen y eje focal so$re
x=p
Parábola
el eje que a$re -acia a$ajo es
D
y=p 0 X
Parábola
P F(0,-p)
!igura 1. Par#$ola con &értice en el origen y eje focal so$re el eje que a$re -acia a$ajo
La ecuaci+n de la par#$ola con &értice en el origen y eje focal so$re el eje que a$re -acia arri$a es
3 de ")
Ecuación Parábola
x2 = 4py F(0,p)
P
0 y = -p
!igura 2. Par#$ola con &értice en el origen y eje focal so$re el eje que a$re -acia arri$a
Ejemplo O$tener la ecuaci+n' el foco y la directriz de la par#$ola con &értice en el origen y contiene al punto B30'14' adem#s su eje focal es paralelo al eje ,. Resoluci+n 5ustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuaci+n y2
Ecuación de una parábola con eje focal paralelo o coincidente con el eje “X”
A continuaci+n se muestra la representaci+n gr#fica de par#$olas con eje paralelo al eje , y &értice en %3-'64
4 de ")
Y D
P
Ecuación (y - k)2 = 4p(x-h) Directriz
V( !,#) F(!"p,#)
x= h - p
X
0 Parábola
!igura 7. Par#$ola con &értice en 3-' 64 y eje focal paralelo al eje ,.
P
D
Ecuación 2
( y – k ) = –4p(x - h) Directriz F(!-p,#)
Parábola
V(!,#)
x= h - p
x = !"p 0
X
!igura 8. Par#$ola con &értice en 3-' 64 y eje focal paralelo al eje ,.
Ecuación de una parábola con eje focal paralelo o coincidente con el eje “Y”
5 de ")
A continuaci+n se muestra la representaci+n gr#fica de par#$olas con eje paralelo al eje y &értice en %3-'64
Ecuación Parábola 2
(x - h ) = 4p(y - k)
D
F(!,p"#) P
Directriz
V(!,#)
y= k - p y = #-p
X 0
!igura 9. Par#$ola con &értice en 3-' 64 y eje focal paralelo al eje con p : ).
6 de ")
Ecuación 2
y = #"p
D
Directriz
V(!,#)
Parábola
(x - h ) = –4p(y - k)
y= k - p
P F(!, #-p) X
0
!igura ;. Par#$ola con &értice en 3-' 64 y eje focal paralelo al eje con p < ).
Ejemplo (eterminar las coordenadas del %értice' !oco y calcular el lado recto de la par#$ola de ecuaci+n y2 $ y " 4 x " 5 = 0 Resoluci+n =ompletando el trinomio al cuadrado perfecto
2
y
$ y "
" 4 x " 5 = 0
factorizando al trinomio al cuadrado perfecto y2 $ y " se o$tiene
Ejemplo (eterminar la ecuaci+n ordinaria' &értice y foco de la par#$ola de ecuaci+n
7 de ")
3 x2 $ y " 6 x " 2 = 0
Resoluci+n Agrupando y completando el trinomio al cuadrado perfecto 3( x2 " 2 x) = y$2
3( x2 " 2 x " 1) = y$2 " 3
simplificando y factorizando el miem$ro derec-o de la ecuaci+n 3( x " 1)2 = y " 1
multiplicando por a la ecuaci+n
5i el lado recto es 4p y en este caso 4p =
, se
tiene que p =
Por lo que la par#$ola tiene ecuaci+n ( x " 1)2
= y " 1
y tiene su eje focal
Ejercicios ". Escr*$ase la ecuaci+n de la para la par#$ola en con &értice en el origen y foco 3)'14. /. El corte trans&ersal de una lupa es representada por una par#$ola' cuya ecuaci+n es elementos de dic-a c+nica.
. Encontrar y es$ozar los
0. >allar la ecuaci+n de la directriz y la longitud del lado recto de la par#$ola' 0y/?9@.
8 de ")
9 de ")
Ejercicio de Apertura. n&estiga y Analiza los siguientes conceptos' para ela$orar un mapa conceptual • • • • • • •
Geometría Analítica unto
!ónica" !ircun#erencia ar$%ola Elip"e &ip'r%ola
10 de
")