Los Problemas Aritméticos de Enunciados Verbales (PAEV)
Mg. Manuel H. V á squez Hern á ndez
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Los Problemas Aritméticos de Enunciados Verbales (PAEV) de una etapa Las operaciones aritméticas permiten dar respuesta a situaciones problemáticas de la realidad en las cuales se aprecian fenómenos que responden al campo aditivo (adición y sustracción). En el ámbito educativo se presentan al estudiante en lo que suelen llamarse Problemas aritméticos de enunciado e nunciado verbal (PAEV). (PAEV). Es importante proponer diversas estructuras de problemas aditivos que permitan a los estudiantes formular observaciones y poner a prueba sus conocimientos y capacidades. A los docentes les permitirá organizar y enriquecer sus conocimientos acerca de las operaciones. Los problemas de una etapa - problemas simples- son los que se resuelven con una operación aritmética empleada una sola vez. Estos problemas son muy importantes de trabajar con nuestros estudiantes, para que desarrollan los diferentes entendimientos (situaciones) que tiene la adición y la sustracción en su medio. A continuación se presentan los diversos tipos de problemas aditivos que se 2 deben plantear a los estudiantes de primaria.
Los Problemas Aritméticos de Enunciados Verbales (PAEV) de una etapa Las operaciones aritméticas permiten dar respuesta a situaciones problemáticas de la realidad en las cuales se aprecian fenómenos que responden al campo aditivo (adición y sustracción). En el ámbito educativo se presentan al estudiante en lo que suelen llamarse Problemas aritméticos de enunciado e nunciado verbal (PAEV). (PAEV). Es importante proponer diversas estructuras de problemas aditivos que permitan a los estudiantes formular observaciones y poner a prueba sus conocimientos y capacidades. A los docentes les permitirá organizar y enriquecer sus conocimientos acerca de las operaciones. Los problemas de una etapa - problemas simples- son los que se resuelven con una operación aritmética empleada una sola vez. Estos problemas son muy importantes de trabajar con nuestros estudiantes, para que desarrollan los diferentes entendimientos (situaciones) que tiene la adición y la sustracción en su medio. A continuación se presentan los diversos tipos de problemas aditivos que se 2 deben plantear a los estudiantes de primaria.
1.- PROBLEMAS DE COMBINACIÓN (CO) Estos problemas presentan las siguientes características: Se evidencian las acciones de juntar y separar . Hay dos cantidades, las cuales se diferencian en alguna característica (por ejemplo, las cantidades pueden ser de trompos y de canicas). La cantidad total o el todo se obtiene cuando se reúnen las dos cantidades anteriores. anteriores. Combinación 1 (C O1) Se conocen las dos partes y se pregunta por el todo. Es un problema en el que se usa la adición. Sugerido para el primer grado. Combinación 2 (C O2) Es inverso al problema anterior. Se conoce el todo y una de sus partes; luego, se pregunta por la otra parte. Es un problema en el que se usa la sustracción. sustracción. 3 Sugerido para el segundo grado.
COMBINACIÓN 1
COMBINACIÓN 2
Diego tiene 5 lápices verdes y 8 Diego tiene 13 lápices, unos lápices rojos ¿Cuántos lápices verdes y otros rojos. Si tiene 5 tiene Diego? lápices verdes, ¿Cuántos lápices rojos tiene Diego? 13
? 5 •
•
•
8
5
?
En ambos problemas se hace referencia a dos cantidades: parte – parte (número de lápices rojos y número de lápices verdes) que forman un total: todo (número de lápices). Se distinguen dos problemas: uno es el que trata de obtener el todo (incógnita) a partir de las partes (datos) (CO1) y el otro que se trata de hallar el valor de una de las partes (incógnita), conociendo la otra (dato) y el todo (dato) (CO2). Se plantean situaciones que se relaciona con las acciones de UNIR Y SEPARAR. 4
2.- PROBLEMAS DE CAMBIO (CA) Estos problemas presentan las siguientes características: Se evidencian las acciones agregar-quitar, avanzar-
retroceder y ganar-perder. La cantidad inicial y la que se agrega o quita son de la misma naturaleza. Se parte de una cantidad inicial, la cual se modifica en el tiempo para dar lugar a otra cantidad final. Las cantidades están relacionadas con la cantidad inicial, el cambio o la transformación, y la cantidad final. La cantidad inicial crece o decrece. Surgen seis tipos de problemas, según donde esté la incógnita o sean 5 problemas para aumentar o disminuir.
Cambio 1 (CA1) Se hace crecer la cantidad inicial y se pregunta por la cantidad final, que es de la misma naturaleza. Es un problema en el que se usa la adición. Sugerido para el primer grado.
Cambio 2 (CA2) Se hace disminuir la cantidad inicial y se pregunta por la cantidad final, que es de la misma naturaleza. Es un problema en el que se usa la sustracción. Sugerido para el primer grado. 6
INCÓGNITA
CANTIDAD FINAL
CAMBIO 1 (AUMENTO)
CAMBIO 2 (DISMINUCIÓN)
María tiene 8 pelotas y le María tiene 8 pelotas y regalan 5, ¿Cuántas pierde 5, ¿Cuántas pelotas pelotas tiene ahora? tiene ahora? +5
8 Cantidad inicial
Cambio o transformación.
? Cantidad final
-5
8 Cantidad inicial
Cambio o transformación.
? Cantidad final
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Cambio 3 (CA3) Se conoce la cantidad inicial y la cantidad final, que es mayor que la cantidad inicial; luego, se pregunta por el aumento, que es el cambio o la transformación de la cantidad inicial. Es un problema en el que se usa la sustracción. Sugerido para el segundo grado.
Cambio 4 (CA4) Se conoce la cantidad inicial y la cantidad final, que es menor que la cantidad inicial; luego, se pregunta por la disminución, que es el cambio o la transformación de la cantidad inicial. Es un problema en el que se usa la sustracción. 8 Sugerido para el segundo grado.
INCÓGNITA
TRANSFORMACIÓN O CAMBIO
CAMBIO 3 (AUMENTO)
CAMBIO 4 (DISMINUCIÓN)
María tenía 5 pelotas. Si María tiene 8 pelotas. ahora tiene 8, ¿Cuántas Después de perder pelotas le han regalado? algunas, le quedan 5. ¿Cuántas pelotas ha perdido? +?
5 Cantidad inicial
Cambio o transformación.
8 Cantidad final
-?
8 Cantidad inicial
Cambio o transformación.
5 Cantidad final
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3.- PROBLEMAS DE COMPARACIÓN (CM) Estos problemas presentan las siguientes características: Se comparan dos cantidades a través de las expresiones “más que” o “menos que”, y se establece una relación de comparación entre ambas. Los datos son las cantidades y la diferencia que existe entre ellas. La diferencia es la distancia que se establece entre las dos cantidades o la cantidad en que un conjunto excede al otro. Dado que una cantidad se compara con otra, una cantidad es el referente y la otra cantidad es la comparada, es decir, la cantidad que se compara con respecto al referente. Surgen seis tipos de problemas y en segundo grado, se 10 sugiere trabajar con dos tipos.
Comparación (CM1) Se conocen las dos cantidades y se pregunta por la diferencia “de más” que tiene la cantidad mayor respecto a la menor. Es un problema en el que se usa la sustracción. Sugerido al finalizar el segundo grado.
Comparación (CM2) Se conocen las dos cantidades y se pregunta por la diferencia “de menos” que tiene la cantidad menor con respecto a la mayor. Es un problema en el que se usa la sustracción. 11 Sugerido para el segundo grado.
INCÓGNITA
COMPARACIÓN 1 (AUMENTO)
COMPARACIÓN 2 (DISMINUCIÓN)
DIFERENCIA
Teresa tiene 9 galletas y Antonio tiene 6. ¿Cuántas galletas tiene Teresa más que Antonio?
Antonio tiene 6 galletas y Teresa tiene 9. ¿Cuántas galletas tiene Antonio menos que Teresa?
9
?
?
………
………
6 Teresa
Antonio (referente)
9
6 Antonio
Teresa (referente)
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INCÓGNITA
COMPARACIÓN 3 (AUMENTO)
COMPARACIÓN 4 (DISMINUCIÓN)
COMPARADA
Antonio tiene 6 galletas. Teresa tiene 3 galletas más que Antonio. ¿Cuántas galletas tiene Teresa?
Teresa tiene 9 galletas. Antonio tiene 3 galletas menos que Teresa ¿Cuántas galletas tiene Antonio? 3
3 ………
?
9
………
?
6 Antonio
Teresa
Teresa
Antonio (referente)
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4.- PROBLEMAS DE IGUALACIÓN (IG) Estos problemas presentan las siguientes características: En el enunciado se incluyen las expresiones “tantos como” o “igual que”. Se trata de igualar dos cantidades. Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta conseguir igualarla a la otra. Son al mismo tiempo problemas de cambio y de comparación, pues una de las cantidades se modifica creciendo o disminuyendo para ser igual a la otra. Surgen seis tipos de problemas, pero en el ciclo se trabajarán con dos tipos.
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Igualación (IG1) Se conocen las dos cantidades a igualar y se pregunta por el aumento de la cantidad menor para que sea igual a la mayor. Es un problema en el que se usa la sustracción. Sugerido al finalizar el primer grado.
Igualación (IG2) Se conocen las dos cantidades a igualar y se pregunta por la disminución de la cantidad mayor para que sea igual a la menor. Es un problema en el que se usa la sustracción. 15 Sugerido al finalizar el segundo grado.
INCÓGNITA
IGUALACIÓN 1 (AUMENTO)
IGUALACIÓN 2 (DISMINUCIÓN)
IGUALACIÓN
Ana tiene 14 canicas y Pedro tiene 8 canicas. ¿Cuántas canicas tiene que ganar Pedro para tener tantas como Ana?
Ana tiene 14 canicas y Pedro tiene 8 canicas. ¿Cuántas canicas tiene que perder Ana para tener tantas como Pedro?
……………….
?
? 14
14
……………….
8 Pedro
8 Ana (Referente )
Ana
Pedro (Referente)
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PROBLEMAS A DESARROLLAR EN EL III CICLO GRADO
PRIMERO
SEGUNDO
COMBINACIÓN
1
1,2
CAMBIO
1, 2
1, 2, 3, 4
COMPARACIÓN
-
1,2
IGUALACIÓN
1
1,2
TIPOS DE PROBLEMAS
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PROBLEMAS ADITIVOS DE MÁS DE UNA ETAPA Los problemas aditivos compuestos, o de más de una etapa, son aquellos que involucran más de una relación aditiva. Lo que ocasiona que para resolverlo se requiere más de una operación. Si el problema contiene dos relaciones se necesitan solo dos operaciones y decimos que se trata de un problema de dos relaciones , dos pasos o dos etapas.
Ejemplo: En un ómnibus había 19 pasajeros. En la primera parada bajan 8 pasajeros y suben 5. ¿Cuántos pasajeros hay ahora en el ómnibus?
-8
19
+5
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Este es un problema de dos etapas en la que hay dos acciones sucesivas implicadas. (dos acciones de cambio o transformación)
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CUADRO COMPARATIVO DE LOS PAEV CRITERIO
COMBINACIÓN
CAMBIO
COMPARACIÓN
IGUALACIÓN
ACCIONES
JUNTAR - SEPARAR
AUMENTAR - QUITAR
COMPARAR
IGUALAR
TÉRMINOS
TOTAL – EL RESTO
HABÍA – TENÍA – ALGUNOS - AHORA
MÁS QUE MENOS QUE
TANTOS COMO IGUAL COMO
ELEMENTOS
TODO - PARTES
INICIO 2(1,2) CAMBIO 2(3,4) FINAL 2 (5,6)
DIFERENCIA COMPARADOS (MUEVEN) REFERENTE (ESTABLE)
DIFERENCIA (IGUALACIÓN) COMPARADOS REFERENTE
TIPOS
1(JUNTAR) 2(SEPARAR)
1,2,3,4,5,6
1,2,3,4,5,6
1,2,3,4,5,6
NOCIONES
CLASIFICACIÓN
CONTEO, CARDINALIDAD (REVERSIBILIDAD Y SEIACIÓN)
CORRESPONDENCIA
CORRESPONDENCI A
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Modelos matemáticos
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MODELOS LINEALES Línea numérica, según Resnick (1983) es un esquema mental que integra sucesión de términos que sirven para contar.
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MODELOS CARDINALES Se sugiere para la resolución de problemas de combinación en situaciones de juntar – separar.
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MODELOS LONGITUDINALES Uso de regletas (Cuisenaire) cada regleta representa un número del 1 al 10. se sugiere para la resolución de problemas de combinación, cambio, comparación e igualación.
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MODELOS FUNCIONALES Se sugiere para todo tipo de problemas. Además en este modelo se usan los diversos esquemas.
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MODELOS NUMÉRICOS Utilizan números y símbolos matemáticos.
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Bibliografía •
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MINEDU. (2015). Rutas del Aprendizaje . Área curricular Matemática III Ciclo. Lima. MINEDU. MINEDU. (2016) . Dossier II Taller de fortalecimiento de capacidades docentes – Soporte Pedagógico. Lima. MINEDU.
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ANEXOS
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