Pa5 Mat Manual

Mat

. 5 ano o

ica t á em

• 4.a série

Orientações para o professor

Marília Centurión • Júnia La Scala • Arnaldo Rodrigues

SUMÁRIO Conversando com o professor ................................................................................................ 3 A coleção .................................................................................................................................. 4 Textos para reflexão ............................................................................................................... 7 A Educação Matemática e o ensino: a necessidade de mudanças ....................................... 7 O sentido da mudança ..................................................................................................... 8 Matemática e exercício da cidadania ................................................................................. 9 A Matemática como Resolução de Problemas ..................................................................11 A Matemática como comunicação .................................................................................. 12 A Matemática como raciocínio ....................................................................................... 14 Estabelecimento de conexões ........................................................................................ 15 Objetivos gerais de Matemática para o Ensino Fundamental .......................................... 17 Avaliação ............................................................................................................................... 18 Aspectos a dar maior e menor atenção na avaliação ........................................................ 19 Bibliografia recomendada.................................................................................................... 19 Sites ........................................................................................................................................ 28 Indicações de instituições e entidades ............................................................................... 31 Objetivos de Matemática para o 5o ano .............................................................................. 32 Conteúdos atitudinais .......................................................................................................... 33 Conteúdo e sugestões de atividades .................................................................................... 34 Unidade 1 – Os números na informação ..................................................................... 34 Unidade 2 – O Sistema de Numeração Decimal .......................................................... 35 Unidade 3 – Espaço e forma ....................................................................................... 39 Unidade 4 – Operações: ideias, algoritmos e propriedades .......................................... 43 Unidade 5 – Múltiplos e divisores de um número natural ...........................................49 Unidade 6 – Números fracionários e Medidas ............................................................. 52 Unidade 7 – Números decimais e Medidas ................................................................. 56 Unidade 8 – Medidas .................................................................................................. 59 Unidade 9 – Espaço e forma ....................................................................................... 61 Unidade 10 – Medidas de superfície, volume e capacidade ........................................... 66 Projetos ................................................................................................................................. 71 Projeto 1 – Explorando regularidades, curiosidades e jogos com calculadoras ................ 71 Projeto 2 – Oficina de construção de jogos com materiais reutilizáveis .......................... 76

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CONVERSANDO COM O PROFESSOR Ao pensarmos num ambiente de Educação Matemática, entendemos que no dia-a-dia da sala de aula cabe ao professor selecionar problemas que levem os alunos a construir conceitos e procedimentos, oferecer textos e materiais que eles não têm condições de obter sozinhos, promover o debate sobre resultados e métodos, orientar as reformulações e valorizar as soluções mais adequadas. Cabe ainda ao professor fixar prazos para a entrega de tarefas, considerando sempre o tempo do educando, incentivando a cooperação entre os alunos, no sentido de proporcionar um ambiente de trabalho que os estimule a criar, comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar ideias. Nesse sentido, esta coleção pretende ser um importante auxiliar do professor na sua prática docente. Os conteúdos foram selecionados e organizados para favorecer o desenvolvimento intelectual dos educandos. As atividades propostas procuram sempre levar em conta o conhecimento prévio dos alunos na construção de significados, proporcionando o estabelecimento de conexões da Matemática com o cotidiano, da Matemática com outras disciplinas e dos diferentes temas matemáticos entre si. As características da sociedade atual levaram-nos a inserir em diversas unidades o tratamento da informação, para que o aluno aprenda a lidar com as informações que recebe cotidianamente, familiarizando-se com dados estatísticos, tabelas e gráficos. Procuramos ainda apresentar várias questões abordando fenômenos ambientais (poluição e desperdício, animais que correm risco de extinção etc.) que remetem às intervenções necessárias à preservação do ambiente (criação de reservas para proteção da fauna e da flora, reciclagem e reaproveitamento de materiais, por exemplo). A interpretação desses fenômenos faz uso de procedimentos de coleta, organização, apresentação e interpretação de dados estatísticos. Houve a preocupação de levar o aluno a compreender que grande parte dos acontecimentos do dia-a-dia são aleatórios, embora seja possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos. Assim, são propostas situações que exploram as noções de acaso e de incerteza. Quanto às operações, procurou-se enfatizar a compreensão das diferentes ideias envolvidas em cada uma delas, as relações entre elas e os diferentes tipos de cálculo: exato, aproximado, mental e escrito. Em relação à Geometria, partiu-se dos objetos do mundo físico, estimulando a criança a perceber semelhanças e diferenças e a identificar regularidades. De extrema importância no currículo – por estarem presentes em quase todas as atividades realizadas na vida –, as grandezas e medidas são exploradas ao longo de toda a coleção, propiciando ao aluno estratégias diversas, tais como o uso de instrumentos não padronizados e a estimativa de medidas. Para ajudar o aluno a compreender, descrever e representar o mundo em que vive, foram incluídas atividades que vão ensiná-lo a localizar-se no espaço, movimentar-se nele e dimensionar a sua ocupação. Materiais de contagem (fichas, palitos, reprodução de cédulas e moedas, embalagens etc.) são utilizados como apoio para o aluno explorar situações-problema. Neste Manual há indicações de outros materiais.

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Para vencer o caráter egocêntrico dos alunos dessa faixa etária, característica bem marcante nessa fase, incentiva-se constantemente os alunos a socializar conhecimentos. Em vários momentos recorre-se a jogos. Os jogos foram apresentados com uma intencionalidade educativa, ou seja, com o intuito de proporcionar algum tipo de conhecimento ou atitude. Ao jogar, o aluno participa ativamente do processo ensino-aprendizagem. Nos jogos de estratégia constrói hipóteses e conclui que existem diversos caminhos que o levam a vencer e que uma derrota indica ser necessário rever as hipóteses. No jogo, muito mais do que ganhar ou perder, o importante é participar, conjecturar, relacionar-se com os competidores, combinar e cumprir regras. A calculadora é usada em diversas situações, não para substituir a construção de procedimentos de cálculo, mas para ajudar os alunos a compreendê-los. Atualmente, a calculadora é tida como um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. Esta coleção objetiva auxiliar significativamente o trabalho do professor, cujo esforço diário é fazer com que as crianças dominem conhecimentos e cresçam como cidadãos plenamente reconhecidos e conscientes de seu papel na sociedade.

A COLEÇÃO

GRÁFICOS Lendo e construindo GRÁFICOS

Lendo e construindo GRÁFICOS E TABELAS

As atividades propostas nestas seções têm por objetivo capacitar os alunos não apenas a ler representações gráficas, mas a interpretar e descrever situações cotidianas.

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Alberto Llinares

Lendo e construindo TABEL TA B E L AS AS

Alberto Llinares

Composta de 5 volumes, esta coleção foi estruturada com seções bem diferenciadas que visam atender às recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais. A partir da leitura e interpretação de gráficos e tabelas, os alunos aprendem a fazer previsões e são incentivados a produzir textos escritos. Com base em informações contidas em textos escritos, os alunos são estimulados a construir gráficos e tabelas.

Qual é a chance? As atividades desta seção desenvolvem nos alunos as primeiras noções de possibilidade e probabilidade, levando-os a observar a frequência de um acontecimento ao longo de certo número de experiências, identificando sucessos possíveis, sucessos seguros e as situações de "sorte".

Brincando

com

Fique sa

Brincando na

Por meio de informações matemáticas e curiosidades, procura-se estabelecer conexões entre a Matemática e temas como ética, meio ambiente, educação do consumidor, folclore etc.

Trabalhando com a

SIMETRIA

Essas atividades levam o aluno a compreender melhor as formas geométricas e suas propriedades. Atividades de simetria estão distribuídas ao longo dos volumes do 1-o ao 4-o ano e localizadas nesta seção no volume do 5-o ano.

Trabalhando com o cálculo mental

Trabalhando com a CALCULADORA

Alberto Llinares

As atividades desta seção servem de base para o cálculo aritmético usado no dia-a-dia. O cálculo mental é apresentado conjuntamente com o cálculo escrito exato e aproximado, para que o aluno perceba as relações existentes entre eles e as diferentes maneiras de calcular.

A calculadora é usada como recurso para ajudar o aluno a compreender os procedimentos de cálculo, sem, entretanto, substituir a construção desses procedimentos. As atividades exploram regularidades e padrões nos cálculos aritméticos, estimativas de resultados, razoabilidade das respostas, estratégias de cálculos etc.

Esta seção sugere a leitura de livros paradidáticos e de literatura infantil relacionados ao tema de cada unidade.

Aqui, são propostas atividades lúdicas como jogos, histórias em quadrinhos, problemas de lógica, problemas não convencionais etc.

Fazendo ESTIM ATIVAS Nesta seção, o aluno exercita a capacidade de estimar quantidades e medidas, bem como analisar a razoabilidade de uma dada resposta.

Alberto Llinares

Atividades exploratórias do espaço, nestas seções, estimulam os alunos a desenvolver a capacidade de estabelecer pontos de referência em seu entorno, a situar-se no espaço e a deslocar-se nele, dando e recebendo instruções, construindo itinerários.

Produção

Nesta seção, os alunos produzem materiais, desenham e realizam experimentos relacionados aos temas trabalhados.

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Material cartonado para destacar

Só para

lembrar Os temas trabalhados são retomados nesta seção, por meio de atividades muito prazerosas.

São fichas que facilitam o trabalho do aluno na montagem de sólidos, jogos, quebra-cabeças e outros materiais de apoio.

Maria-Traça-Dicionário Alberto Llinares

É a personagem que explica o significado de palavras que aparecem no texto.

Estimulados a dar suas opiniões, com base em suas próprias estimativas e cálculos, os alunos desenvolvem a capacidade de argumentar e avaliar, habilidades que os auxiliam a exercer a sua autonomia.

E mais: Lição de casa

Alberto Llinares

Qual é a sua opinião?

Corujinha Sabe-Tudo É a personagem que dá algumas dicas para o desenvolvimento das atividades.

Pequeno

GLOSSÁRIO ILUSTRADO

Está localizado no final de cada livro, para o aluno consultar sempre que sentir necessidade.

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Alberto Llinares

Para cada unidade, há seleção de atividades propostas como Lição de casa. O professor pode, também, selecionar outras atividades do livro para esse fim.

TEXTOS PARA REFLEXÃO

■ A Educação Matemática e o ensino: a necessidade de mudanças

As pesquisas em Educação Matemática apontam para mudanças no ensino. No entanto, preocupações com a prática pedagógica não são prerrogativas dos dias atuais. Em 1632, Comenius, autor do livro Didática Magna, já apontava: Pretendemos apenas que se ensine a todos a conhecer os fundamentos, as razões e os objetivos de todas as coisas principais, tanto das que existem na natureza, como das que se fabricam, pois somos colocados no mundo não somente para que nos façamos de espectadores, mas também de atores. (Comenius. Didática Magna. Fundação Calouste Gulbenkian, p. 146.)

Se, no século XVII, Comenius já mostrava preocupação com um papel ativo do aluno na construção de seu conhecimento, tal preocupação persiste ainda hoje. Um grande esforço no sentido de promover mudanças no ensino da Matemática é observado em propostas inovadoras, como, por exemplo, as contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN-MEC), nos Standards do National Council of Teachers of Mathematics dos Estados Unidos e nas propostas curriculares de diversos países. Tais propostas constituem uma resposta dada pela comunidade de educadores matemáticos de todo o mundo à necessidade de mudanças no ensino, a fim de promover uma aprendizagem com compreensão e que valorize o papel ativo do aluno na construção de seu conhecimento e na transformação de seu ambiente. [...] As propostas elaboradas no período 1980/1995, em diferentes países, apresentam pontos de convergência, como, por exemplo: ◆ direcionamento do ensino fundamental para a aquisição de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores; ◆ importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento; ◆ ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas; ◆ importância de se trabalhar com um amplo espectro de conteúdos, incluindo-se, já no ensino fundamental, elementos de estatística, probabilidade e combinatória, para atender à demanda social que indica a necessidade de abordar esses assuntos; ◆ necessidade de levar os alunos a compreenderem a importância do uso da tecnologia e a acompanharem sua permanente renovação. (MiniStéRio dA EduCAção E do dESPoRto/SECREtARiA do EnSino FundAMEntAL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, 1997. p. 22.)

Em 1986, a direção do National Council of Teachers of Mathematics nomeou a Comissão responsável pelas Normas para a Matemática Escolar. As Normas constituem um documento destinado a estabelecer um quadro amplo de orientações para mudanças no ensino da Matemática; apresentam uma perspectiva de ensino que prevê a consecução de cinco objetivos curriculares globais: aprender a valorizar a Matemática; acreditar nas capacidades pessoais; tornar-se um solucionador de problemas; aprender a comunicar-se matematicamente; e aprender a raciocinar matematicamente.

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■■O sentido da mudança [...] Esta perspectiva pretende englobar o que é a Matemática, o que significa saber e fazer Matemática, o que os professores devem fazer quando ensinam Matemática e o que as crianças devem fazer quando aprendem Matemática. As orientações para o 1º e 2º ciclos refletem implicações desta perspectiva e apresentam um ponto de vista coerente acerca da Matemática, das crianças e da aprendizagem da Matemática pelas crianças.

■ Sumário das alterações nos conteúdos e na ênfase no currículo de Matemática

Tópicos a que se deve dar maior atenção Números ◆◆ Sentido do número ◆◆ Valor de posição ◆◆ Significado de frações e decimais ◆◆ Estimação de quantidades Operações e Cálculo ◆◆ Significado das operações ◆◆ Sentido das operações ◆◆ Cálculo mental ◆◆ Estimação da plausibilidade das respostas ◆◆ Seleção de um método de cálculo apropriado ◆◆ Uso das calculadoras para cálculos complexos ◆◆ Estratégias de raciocínio para operações elementares Geometria e Medição ◆◆ Propriedades das figuras geométricas ◆◆ Relações geométricas ◆◆ Sentido espacial ◆◆ Processos de medição ◆◆ Conceitos relacionados com unidades de medida ◆◆ Medição real ◆◆ Estimação de medidas

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◆◆

Uso de medições e de ideias geométricas ao longo do currículo

Probabilidades e Estatística ◆◆ Coleção e organização de dados ◆◆ Exploração do acaso Regularidades e Relações ◆◆ Reconhecimento e descrição de regularidades ◆◆ Uso de variáveis para exprimir relações Resolução de Problemas ◆◆ Problemas com diferentes estruturas ◆◆ Uso de problema do cotidiano ◆◆ Aplicações ◆◆ Estudo de regularidades e de relações ◆◆ Estratégias de resolução de problemas Práticas de Ensino ◆◆ Uso de materiais manipulativos ◆◆ Trabalho cooperativo ◆◆ Discussão das ideias ◆◆ Colocação de questões ◆◆ Justificação dos raciocínios ◆◆ Escrever sobre a Matemática ◆◆ Abordagem através de situações problemáticas ◆◆ Integração de conteúdos ◆◆ Uso de calculadoras e de computadores

Tópicos a dar menor atenção Números ◆◆ Atenção precoce à leitura, escrita e ordenação simbólica de números Operações e Cálculo ◆◆ Cálculos complexos com papel e lápis ◆◆ Tratamento isolado de cálculos com papel e lápis ◆◆ Adição e subtração sem transporte ◆◆ Tratamento isolado da tabuada da divisão ◆◆ Divisões com muitos algarismos ◆◆ Divisões com muitos algarismos sem resto ◆◆ Cálculo com frações, usando papel e lápis ◆◆ Estimativa por arredondamento

Geometria e Medição ◆◆ Incidência principal na nomenclatura de figuras geométricas ◆◆ Memorização de equivalências entre unidades de medida Resolução de Problemas ◆◆ Uso de palavras-chave para identificar a operação a usar Práticas de Ensino ◆◆ Prática rotineira ◆◆ Memorização de regras ◆◆ Uma resposta e um método ◆◆ Uso de fichas de trabalho ◆◆ Exercícios escritos ◆◆ Método expositivo

(Normas para o currículo e a avaliação em Matemática escolar. Tradução portuguesa dos Standards do National Council of Teachers of Mathematics. Lisboa: Associação de Professores de Matemática/Instituto de Inovação Educacional, 1991. p. 26-27.)

■■Matemática e exercício da cidadania A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (9.394/96), em seu artigo 22, dispõe que: A educação básica tem por finalidade desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores.

Num dicionário de Ciências Sociais podemos encontrar o significado das expressões cidadão e cidadania: Cidadão é o natural ou morador de uma cidade, o habitante das cidades antigas ou Estados modernos, que é sujeito de direitos políticos e que, ao exercê-los, intervém no governo do país. O ato de ser cidadão propicia a cidadania, que é condição jurídica que podem ostentar as pessoas físicas e morais, e que, por expressar o vínculo entre o Estado e seus membros, implica, de um lado, submissão à autoridade, e, de outro, o exercício de direito. (Dicionário de Ciências Sociais – Rio de Janeiro. FGV/MEC, 1986.)

Ao mencionarmos Matemática escolar e cidadania, não pretendemos de forma alguma considerar a educação formal como condição que deva ser atendida antes para o exercício da cidadania, pois esta é garantida ao cidadão, tenha ele uma educação formal ou não, mas, sim, refletir sobre o ensino de Matemática na escola e de que forma esse ensino pode contribuir para o exercício da cidadania democrática. Conforme afirma Maria Laura Mouzinho Leite Lopes, professora emérita do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro e membro fundador do Gepem – Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática:

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[...] É preciso deixar de considerar que o ensino de Matemática deve levar o aluno a escrever fórmulas e fazer cálculos que não têm para ele qualquer significado. O fundamental é capacitá-lo a tomar decisões conscientemente, saber argumentar, expressando com lógica o seu pensamento a fim de torná-lo um cidadão crítico, criativo e autônomo [...] (Entrevista publicada em Educação Matemática em Revista, SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, n. 8, p. 9, jun. 2000.)

A Matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências mais simples como contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, pagamentos e consumo, na organização de atividades como agricultura e pesca, a Matemática se apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade. Também é um instrumento importante para diferentes áreas do conhecimento, por ser utilizada em estudos tanto ligados às ciências da natureza como às ciências sociais e por estar presente na composição musical, na coreografia, na arte e nos esportes. Essa potencialidade do conhecimento matemático deve ser explorada, da forma mais ampla possível, no ensino fundamental. Para tanto, é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares. [...] Desse modo, um currículo de Matemática deve procurar contribuir, de um lado, para a valorização da pluralidade sociocultural, impedindo o processo de submissão no confronto com outras culturas; de outro, criar condições para que o aluno transcenda um modo de vida restrito a um determinado espaço social e se torne ativo na transformação de seu ambiente. A compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais também dependem da leitura e interpretação de informações complexas, muitas vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios de comunicação. Ou seja, para exercer a cidadania, é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente, etc. Da mesma forma, a sobrevivência numa sociedade que, a cada dia, torna-se mais complexa, exigindo novos padrões de produtividade, depende cada vez mais de conhecimento. Uma característica contemporânea marcante é que na maioria dos campos profissionais o tempo de um determinado método de produção não vai além de cinco a sete anos, pois novas demandas surgem e os procedimentos tornam-se superados. Isso faz com que o profissional tenha que estar num contínuo processo de formação e, portanto, "aprender a aprender" é também fundamental. Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de assimilação rápida de informações, resolvendo e propondo problemas em equipe. Para tanto, o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios. (Ministério da Educação e do Desporto/Secretaria do Ensino Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, 1997. p. 29-31.)

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■■A Matemática como Resolução de Problemas O que significa usar a Resolução de Problemas? Consistirá em propor listas de problemas para os alunos resolverem? Considerada como uma estratégia para o ensino e a aprendizagem da Matemática, a Resolução de Problemas é algo bem mais vasto. Ela envolve a discussão de problemas e suas soluções, bem como a análise das situações que conduzem a esses problemas; propicia ainda a formulação de conjecturas e de novos problemas, favorecendo a todo momento a reflexão e o questionamento. Na sala de aula, a Resolução de Problemas acontece a partir de situações típicas, com origens diversas. Algumas vezes as situações decorrem de questões levantadas pelos educandos. Outras vezes, é o professor que as cria, quando propõe um jogo, lança um desafio matemático ou problematiza fatos do contexto de vida do educando. Em qualquer caso, elas dependem, para se desenvolverem, de uma interação professor-classe. Por exemplo, se nascem de propostas iniciais do professor, só progredirão satisfatoriamente em função das contribuições do educando. A seguir, mostraremos algumas situações de Resolução de Problemas. São exemplos simples, colhidos no cotidiano escolar, mas que concretizam aspectos do uso dessa estratégia e ilustram sua contribuição para um ensino preocupado com a construção do conhecimento matemático. Suponha uma 1ª série, na qual a professora pergunta – quase que acidentalmente – se há mais meninos ou meninas na classe. Essa simples questão pode ser tomada como um desafio em um grupo que não domine a contagem. Surgirão propostas diversas para resolvê-la e, eventualmente, a professora precisará auxiliar o grupo (sugerindo, talvez, que cada menino dê a mão a uma menina). A questão também pode ser respondida rapidamente, se o grupo domina a contagem. Mas isso não esgota suas possibilidades. Por exemplo, se um aluno informa que contou "de dois em dois", ele pode ser convidado a explicar a técnica e, a partir daí, essa habilidade pode ser adquirida por todo o grupo. Finalmente, deve-se considerar a possibilidade da questão ser acolhida com desinteresse, não conseguindo motivar o grupo. Esse primeiro exemplo mostra que: ◆◆ uma questão converte-se ou não em problema de acordo com os interesses e as possibilidades do resolvedor; ◆◆ um problema pode ter origem em questões corriqueiras, aparentemente insignificantes; mesmo nesse caso, o problema leva potencialmente à aquisição de habilidades matemáticas (como contar de "dois em dois"). Imagine agora uma 3ª série muito interessada no desenrolar de algum torneio de futebol, quem sabe a Copa do Mundo. No diálogo professor-classe serão abordadas diversas questões ligadas ao tema. E daí pode surgir um desafio como este: "Doze equipes de futebol disputam o campeonato. Cada uma tem 22 atletas (titulares e reservas). Quantos são os atletas?" A classe percebe que deve efetuar 12 × 22 e o desafio parece inócuo. Mas, em seguida, as crianças notam que não aprenderam ainda cálculos desse tipo. O que fazer? Estimuladas pela professora, as crianças começam a trabalhar em grupos. Soluções começam a surgir: alguns efetuam 22 + 22... (doze vezes); outro prefere fazer 2 × 22 e multiplicar o resul-

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tado por 6; dois ou três grupos efetuam 10 × 22 e somam este resultado com o de 2 × 22. Esta solução conduz ao algoritmo que usamos normalmente para multiplicar e será aproveitada pela professora justamente para introduzi-lo. Neste exemplo, observamos: ◆◆ o problema como meio para desenvolver a autonomia do educando (cada um resolve de acordo com suas possibilidades); ◆◆ o uso deliberado do problema como ponto de partida para a construção do conhecimento por parte do educando (no caso, o aprendizado de um algoritmo); ◆◆ o problema como desafio intelectual. Neste exemplo, convém ainda notar que acontecimentos do contexto aumentaram o interesse no problema. Seria possível propor o mesmo problema sem dispor de tais estímulos. Certamente, então, a classe estaria menos motivada embora os resultados pedagógicos pudessem também ser satisfatórios. Consideremos a seguir uma 5ª série habituada a examinar notícias de jornais nas aulas de Português. O professor de Matemática é informado que o aumento das tarifas de ônibus constituiu-se na principal notícia da semana. Ele propõe à classe que comente o acontecimento e o ambiente torna-se propício à discussão de preços em geral, motivando os educandos a formularem questões de diversos tipos. Pode surgir daí uma investigação sobre o custo do transporte no orçamento de uma família, uma conversa sobre o que vem a ser inflação e a possibilidade de explorar conceitos matemáticos como média, proporção e porcentagem. A situação-problema acaba se fragmentando em vários problemas e trabalhos de pesquisa. Situações assim, nas quais os problemas matemáticos decorrem das estruturas socioeconômicas, surgem frequentemente nas classes de adultos. Estes, por se inserirem nos mecanismos produtivos da sociedade, precisam de – e têm interesse em – compreendê-los. Neste exemplo, destacamos: ◆◆ a realidade como ponto de partida para a formulação de problemas; ◆◆ a Resolução de Problemas ajudando o educando a compreender o mundo em que vive e a perceber a utilidade da Matemática. (Prefeitura municipal de são paulo. Movimento de reorientação curricular: Matemática – visão de área, Documento 5. São Paulo, 1992. p. 18-20.)

■■A Matemática como comunicação O estímulo à comunicação matemática compõe certamente um dos aspectos do diálogo já proposto. No entanto, quando consideramos a comunicação matemática em particular, ele caracteriza-se como uma estratégia específica para o ensino e a aprendizagem. Assim como as crianças desenvolvem o domínio da língua materna através da comunicação verbal e escrita, elas também desenvolvem o conhecimento matemático falando, escrevendo, lendo e, eventualmente, criando ou recriando linguagem matemática. Um resultado notável dessas ações está na possibilidade de um grupo compartilhar diferentes interpretações de uma mesma ideia matemática. As interpretações geralmente variam de um indivíduo para outro e somente a partir da comunicação elas podem se difundir, permitindo que cada um colabore com o aprendizado de todos. Trata-se de uma socialização do saber que podemos visualizar logo a seguir:

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José Luís Juhas

Eu também!

Diferentes respostas da questão: Quantas equipes de 5 podem ser formadas com 20 alunos?

Separei 20 em grupos de 5!

Eu fui fazendo 5  5. até o Vinte, deu 4 vezes!

20  5 dá 15, 15  5 dá 10, 10  5 dá 5. vão ser 4 grupos.

Vejamos agora algumas sugestões para implementar a estratégia em questão. Convidar os educandos a: ◆◆ explicarem o caminho usado para resolver um problema; ◆◆ descreverem o recurso que utilizaram em cálculo mental; ◆◆ exporem suas conjecturas e conclusões. Nessas situações, o educando converte-se em mestre e sua nova posição força-o a reorganizar ideias e refinar suas habilidades em termos de comunicação. ◆◆ Propor que os educandos trabalhem em grupos regularmente. Nesse caso, desenvolve-se de maneira natural a comunicação entre eles, possibilitando a compreensão da Matemática a partir da linguagem informal. ◆◆ Pedir aos educandos, com certa frequência, redações curtas nas quais eles expressem suas concepções sobre determinado conceito matemático. Assim, estimula-se principalmente a comunicação do educando consigo mesmo, ou seja, a reflexão. A eficácia desse recurso depende da faixa etária dos educandos, tendo maior potencial nas classes de adultos. ◆◆ Deixamos para o final a sugestão mais forte. Trata-se de fazer as representações espontâneas precederem, sempre que possível, as representações convencionais. Em várias situações matemáticas já vivenciadas ou discutidas verbalmente, o professor, ao invés de apresentar ele mesmo o registro matemático, pede sugestões ao grupo. Como registrar uma sequência de três operações que resolve um problema? Serão necessários parênteses? Como registrar de maneira abreviada o produto 2  2  2  2  2? (É pouco provável que as crianças descubram a notação de potência, mas as ideias que elas apresentam podem contribuir para compreender e utilizar mais tarde a notação padrão.) Como expressar que x é o dobro de y? E que A é proporcional a B? Todos esses momentos levam o educando a refletir sobre a linguagem matemática e a apreciar suas exigências, o que dificilmente ocorreria se ela se apresentasse pronta e acabada. Algumas das sugestões acima mostram uma estratégia que pode complementar ou até mesmo criar as condições necessárias para a Resolução de Problemas. No entanto, elas – e a última delas em especial – também mostram que o estímulo à comunicação matemática pode assumir contornos próprios e contribuir de maneira específica para que se compreenda e se produza Matemática. (Prefeitura municipal de são paulo. Movimento de reorientação curricular: Matemática – visão de área, Documento 5. São Paulo, 1992. p. 21-23.)

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■■A Matemática como raciocínio Na Matemática, destacam-se certas formas de pensar (ou de raciocinar). Vamos apresentar resumidamente algumas das mais evidentes. Compor/decompor e combinar são ações mentais constantes no trabalho matemático.

315  300  10  5 composição aditiva de um número

[...] Fazer combinações encontra-se em diversos processos de contagem e nas regras de nosso sistema de numeração.

1, 9, 11, 19, 91, 111, ... combinando dois símbolos escrevem-se infinitos números

Pensar em transformações [...]

12

5 5

12 7

somar 5 e subtrair 5 são transformações inversas [...]

José Luís Juhas

Estabelecer relações permeia toda a atividade matemática. (A Matemática chegou a ser definida como "o estudo de relações interessantes"...)

sequência do 1 a mais com material concreto Eu tenho o triplo do seu peso!

José Luís Juhas

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Adalberto Cornavaca

[...] Abstrair é um processo mental que está na gênese de toda Matemática. Aparece também toda vez que dada uma situação-problema retiram-se dela os dados relevantes para obter um modelo matemático e solucionar um problema. Partir dos trilhos do trem para chegar à noção de retas paralelas implica abstrair.

Procurar regularidades pode levar à formulação de conjecturas [...] Observando uma simples tabela como esta, as crianças, se estimuladas, descobrem relações. Podem, por exemplo, perceber que todo dobro é número par.

Nas sequências de figuras, as crianças podem encontrar regularidades. Com isso, descobrem os termos seguintes:

Compor/decompor é uma forma de pensar que se desenvolve com o cálculo mental.

número

dobro

1

2

2

4

3

6

4

8

? 240  2  120 porque 200  2  100 e 40  2  20

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O tangram exercita o compor/decompor e o combinar na geometria. Editoria de arte

O conhecido desafio de descobrir o valor das letras é um exercício de dedução. A B  A B

quanto vale A? e B? e C ?

C B B

As porcentagens ora podem ser tratadas por decomposição de um inteiro... 100%

... ora como uma transformação multiplicativa.

10% de 300  300  10

10% de 300  0,1  300

Regras de divisibilidade podem decorrer da observação de regularidades e de generalização.

Como são os múltiplos de 5?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 (Prefeitura municipal de são paulo. Movimento de reorientação curricular: Matemática – visão de área, Documento 5. São Paulo, 1992. p. 26-30.)

■■Estabelecimento de conexões Em termos gerais, o estabelecimento de conexões implica abordar as ideias matemáticas relacionando-as à realidade, de forma a explicitar sua presença e utilidade nos vários campos da ação humana. Nas classes de adultos as conexões costumam ocorrer de maneira natural; os próprios educandos relacionam a Matemática que aprendem com seu trabalho cotidiano; junto às crianças, as conexões demandam bem mais pesquisa e atenção por parte do professor. Em qualquer caso, os laços desta estratégia com as outras, já examinadas, são bastante claros. O estabelecimento de conexões pode ser encarado de forma mais aberta ainda: um exemplo forte ocorre especialmente na concepção de um ensino-aprendizagem interdisciplinar cujos desdobramentos parecem tão ricos quanto interessantes. Neste texto, porém, vamos nos limitar a conexões mais restritas: aquelas entre a Matemática e as demais disciplinas e aquelas que ocorrem entre os diferentes temas do conteúdo matemático. Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais disciplinas amplia as oportunidades de com­preender e utilizar conceitos tanto da Matemática quanto das outras disciplinas. Há inúmeros momentos em que tais conexões são significativas para a aprendizagem. Por exemplo, os sistemas geográficos de orientação e localização utilizam ângulos e coordenadas parecidas às cartesianas: os mapas estão relacionados aos conceitos de semelhança e escala; as ideias de comprimento, área e volume são utilizadas nas ciências físicas e biológicas (a capacidade pulmonar dos mamíferos, por exemplo, só pode ser apreciada a partir

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de conhecimentos de área e volume); os sistemas de medida são fundamentais na experimentação científica; a Matemática disponível em cada momento histórico relaciona-se com a economia das sociedades da época. Certamente, exploram-se pouco as possibilidades indicadas por falta de integração entre os diferentes professores. No entanto, já propusemos um professor que dialoga e pesquisa, capaz de propiciar essa integração. O estabelecimento de conexões entre os temas do conteúdo matemático também contribui significativamente para o aprendizado, favorecendo uma visão mais abrangente e flexível dos conceitos. Por exemplo, há diversos instantes em que a álgebra pode complementar o entendimento de uma ideia geométrica e vice-versa. Também neste caso as possibilidades têm sido bem pouco exploradas e mais experiências pedagógicas são necessárias para implementar esta estratégia. Vamos nos limitar a apresentar alguns tópicos que favorecem claramente o estabelecimento de conexões de ordem matemática. ◆ A representação de números e operações na reta. 7

5  7  12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

◆ As sequências de figuras em geral e dos números figurados em particular.

◆ A representação de fatos numéricos (dados estatísticos, por exemplo) por meio de diagramas e gráficos, desde o início do 1º Grau. Gráfico de frequência: 3 famílias têm 1 criança, 6 famílias têm 2 crianças, etc.

Editoria de arte

A figura seguinte tem 1  2  3  4 pontos.

Famílias 6 5 4 3 2 1

◆ As relações numéricas que ocorrem entre vértices, arestas e faces dos sólidos.

1

2

3

4

5

Crianças

Nas pirâmides, se a base tem n lados, há n  1 vértices.

◆ A resolução de problemas por meio de desenhos. (esquema) Maria tem 7 anos mais que Marta. Se Maria tem 18 anos, qual a idade de Marta?

7 Marta

Maria

◆ O estudo elementar das frações a partir de materiais concretos e figuras, envolvendo resolução de problemas e cálculos a partir destas. Somar é simples, se um denominador é múltiplo do outro.

1  1  3  1 3 6 6 2 1 3

16

1 6

◆ O estudo das medidas apoiado na geometria. Comparando a área dos quadrados, percebe-se: 1 km2  1000 m  1000 m  1000000 m2 sem decorar transformações de unidades.

A  1 km  1 km

A  1 000 m  1 000 m

1 km2

1 000 000 m2

(PREFEituRA MuniCiPAL dE São PAuLo. Movimento de reorientação curricular: Matemática – visão da área, documento 5. São Paulo, 1992. p. 23-25.)

OBJETIVOS GERAIS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL As finalidades do ensino de Matemática indicam, como objetivos do ensino fundamental, levar o aluno a: ◆ identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; ◆ fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente; ◆ resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; ◆ comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas; ◆ estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares; ◆ sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções; ◆ interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (MiniStéRio dA EduCAção E do dESPoRto/SECREtARiA do EnSino FundAMEntAL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, 1997. p. 51.)

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AVALIAÇÃO O tema avaliação é sempre um desafio no esboçar de um currículo. Embora fonte de muitos estudos e pesquisas, tem ainda diferentes modalidades, entre as quais citamos: avaliação do processo, de produto, formativa, diagnóstica, prognóstica etc. Claro está que a concepção de ensino-aprendizagem, bem como as escolhas pedagógicas, definição de objetivos e conteúdos de ensino, estão intimamente ligadas à forma de avaliar. Se pensarmos na avaliação diagnóstica, então avalia-se para agir. O ato de avaliar, nesta concepção, implica dois processos articulados e indissociáveis: diagnosticar e decidir. Dessa maneira, a avaliação só se completará com a tomada de decisão do que fazer com a situação diagnosticada. Segundo Cipriano Luckesi (professor de Pós-Graduação em Educação na UFBA): [...] Caso a situação de aprendizagem diagnosticada seja satisfatória, que vamos fazer com ela? Caso seja insatisfatória, que vamos fazer com ela? A situação diagnosticada, seja ela positiva ou negativa, e o ato de avaliar, para se completar, necessitam da tomada de decisão. A decisão do que fazer se impõe no ato de avaliar, pois, em si mesmo, ele contém essa possibilidade e essa necessidade. A avaliação não se encerra com a qualificação do estado em que está o educando ou os educandos. Ela obriga a decisão, não é neutra. A avaliação só se completa com a possibilidade de indicar caminhos mais adequados e mais satisfatórios para uma ação, que está em curso. O ato de avaliar implica a busca do melhor e mais satisfatório estado daquilo que está sendo avaliado. A avaliação da aprendizagem, deste modo, nos possibilita levar à frente uma ação que foi planejada dentro de um arcabouço teórico, assim como político. Não será qualquer resultado que satisfará, mas sim um resultado compatível com a teoria e com a prática pedagógica que estejamos utilizando. Em síntese, avaliar a aprendizagem escolar implica estar disponível para acolher nossos educandos no estado em que estejam, para, a partir daí, poder auxiliá-los em sua trajetória de vida. Para tanto, necessitamos de cuidados com a teoria que orienta nossas práticas educativas, assim como de cuidados específicos com os atos de avaliar que, por si, implicam diagnosticar e renegociar permanentemente o melhor caminho para o desenvolvimento, o melhor caminho para a vida. Por conseguinte, a avaliação da aprendizagem escolar não implica aprovação ou reprovação do educando, mas sim orientação permanente para o seu desenvolvimento, tendo em vista tornar-se o que o seu SER pede. Concluindo A qualidade de vida deve estar sempre posta à nossa frente. Ela é o objetivo. Não vale a pena o uso de tantos atalhos e tantos recursos, caso a vida não seja alimentada tendo em vista o seu florescimento livre, espontâneo e criativo. A prática da avaliação da aprendizagem, para manifestar-se como tal, deve apontar para a busca do melhor de todos os educandos, por isso é diagnóstica, e não voltada para a seleção de uns poucos, como se comportam os exames. Por si, a avaliação, como dissemos, é inclusiva e, por isso mesmo, democrática e amorosa. Por ela, por onde quer que se passe, não há exclusão, mas sim diagnóstico e construção. Não há submissão, mas sim liberdade. Não há medo, mas sim espontaneidade e busca. Não há chegada definitiva, mas sim travessia permanente, em busca do melhor. Sempre! (o que é mesmo o ato de avaliar a aprendizagem?, em Pátio: revista pedagógica, Porto Alegre, Artmed, n. 12, fev./abr. 2000.)

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■ Aspectos a dar maior e menor atenção na avaliação Maior atenção ◆

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◆

Menor atenção

Avaliar o que os alunos sabem e como pensam sobre a Matemática Encarar a avaliação como parte integrante do processo de ensino Focar uma grande variedade de tarefas matemáticas e adaptar uma visão holística da Matemática Desenvolver situações problemáticas que envolvam aplicações de um conjunto de ideias matemáticas Usar várias técnicas de avaliação, incluindo formas escritas orais e de demonstração Utilizar calculadoras, computadores e materiais manipuláveis na avaliação Avaliar o programa através da recolha sistemática de informação sobre resultados, currículo e ensino Utilizar testes normalizados apenas como um de entre muitos indicadores de resultados

◆ ◆

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◆

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◆

◆

Avaliar o que os alunos não sabem Avaliar pela contagem de respostas corretas nos testes com o único propósito de classificar Focar um grande número de capacidades específicas e isoladas organizadas numa matriz de conteúdos/objetivos comportamentais Usar exercícios ou problemas de palavras que requeiram apenas uma ou duas capacidades Utilizar apenas testes escritos Excluir calculadoras, computadores e materiais manipuláveis do processo de avaliação Avaliar o programa apenas com base nos resultados dos testes Utilizar testes normalizados como único indicador de resultado

(Normas para o currículo e a avaliação em Matemática escolar. Tradução portuguesa dos Standards do National Council of Teachers of Mathematics. Lisboa: Associação de Professores de Matemática/Instituto de Inovação Educacional, 1991. p. 228.)

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ALMEIDA, Theodora Maria Mendes de (Coord.). Quem canta seus males espanta. São Paulo: Caramelo, 1998. (Coord.). Quem canta seus males espanta 2: mais músicas, parlendas, adivinhas e trava-línguas. São Paulo: Caramelo, 2000. ARRUDA, Yolanda de Quadros. Cantos infantis: para uso das escolas normais. São Paulo: Irmãos Vitale Editores, 1960. BRASIL 500: brincadeiras. Suplemento do jornal Folha de S.Paulo, 16 abr. 2000. BRASIL 500: cartilha das brincadeiras. Suplemento do jornal Folha de S.Paulo, 16 abr. 2000. CASCUDO, Luís da Câmara. Dicionário do folclore brasileiro: revisto, atualizado e ilustrado. 10. ed. São Paulo: Global, 2001. NOGUEIRA, Alvarina Jannotti et alii. Guia do folclore fluminense. Rio de Janeiro: Secretaria de Estado de Ciência e Cultura do Rio de Janeiro/ Presença Edições, 1985. NOVAES, Iris Costa. Brincando de roda. 2. ed. Rio de Janeiro: Agir, 1986. RIBEIRO, Wagner. Antologia de cantos orfeônicos e folclóricos. São Paulo: FTD, 1965. Parte I, v. IV. (Folclore Musical.)

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. Suplemento: Programa de primeiro grau — ensino regular — implementação curricular de estudos sociais; de ciências físicas e biológicas e saúde; de Matemática — 1ª a 4ª séries. São Paulo, D.O.M. de 30/04/1987. PREMEN — MEC/IMECC — UNICAMP. D'AMBROSIO, Ubiratan (execução do projeto); BASTOS, Almerindo Marques (Coord.). Geometria experimental: livro do professor. Rio de Janeiro, 1985. . Geometria experimental: 3ª série. Rio de Janeiro, 1985. . Geometria experimental: 4ª série. Rio de Janeiro, 1985. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO. Atividades matemáticas: ciclo básico. 3. ed. São Paulo: SE/ CENP, 1991. v. 1. . Atividades matemáticas: ciclo básico. 5. ed. São Paulo: SE/CENP, 1991. v. 2. . Atividades matemáticas: 3ª série do 1º grau. 4. ed. São Paulo: SE/CENP, 1991. . Atividades matemáticas: 4ª série do 1º grau. 2. ed. São Paulo: SE/CENP, 1991.

. Prática pedagógica: Matemática 1o grau. São Paulo: SE/CENP, 1993. . Proposta curricular para o ensino de Matemática: 1º grau. 4. ed. São Paulo: SE/CENP, 1991. . Proposta curricular de Matemática para o CEFAM e habilitação específica para o magistério. São Paulo: SE/CENP, 1990. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO/FUNDAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO. A didática e a escola de 1º grau. n. 11. São Paulo: FDE, 1992. (Série Ideias.) . Matemática: construtivismo em revista. n. 20. São Paulo: FDE, 1993. (Série Ideias.) SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO DE CURITIBA. Currículo base: uma contribuição para a escola pública brasileira. Curitiba: Imprensa Oficial do Estado do Paraná, 1988. . Currículo básico para a escola pública do estado do Paraná. Curitiba, 1992.

SITES http://taturana.com/cantigas.html → Trabalho que explora cantigas e brincadeiras de roda. A discussão teórica é ilustrada com exemplos práticos. ◆ http://bve.cibec.inep.gov.br/ → Biblioteca virtual de educação. Neste site você vai encontrar uma seleção de sites educacionais do Brasil e do exterior organizados em 4 grandes categorias, divididas em subcategorias. Prioriza avaliação e estatísticas educacionais. ◆ http://jangadabrasil.com.br → Revista on-line dedicada ao registro e divulgação da cultura popular brasileira e suas diferentes formas de manifestação. Traz jogos, lendas, mitos, cantigas, festas, notícias, curiosidades sobre a cultura e o folclore brasileiro etc. ◆

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http://www.apm.pt → Site da Associação de Professores de Matemática (APM) de Portugal. ◆ http://www.bcb.gov.br → Site do Banco Central do Brasil. No menu é possível encontrar opções como: Cédulas e moedas, Museu de valores, Cédulas e moedas brasileiras e História do Dinheiro. ◆ http://www.bibvirt.futuro.usp.br → A biblioteca virtual do estudante brasileiro. Dados, textos de atualização, imagens, sons, gráficos, atividades e outras informações em geral. ◆ http://www.escolanet.com.br → Home pages: trabalhos dos alunos, projetos nas escolas, guia do professor, sites de estudos (laboratório de Matemática, problemas curiosos etc.). ◆

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http://www.estadinho.com.br/ → Site mantido pela editoria do caderno Estadinho do jornal O Estado de S.Paulo, com poesias animadas, brincadeiras, dicas de passeios, atividades etc. http://www.fe.usp.br/laboratorios/labrimp/ labrimp1.htm → Labrimp (Laboratório de Brinquedos e Materiais Pedagógicos da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo) apresenta um inventário de jogos e brincadeiras tradicionais. http://www.funarte.gov.br/ → Catálogo de edições da Funarte abrangendo áreas como: teatro, dança, ópera, circo, artes plásticas e gráficas, fotografia, cinema, vídeo, música, pesquisa e documentação, folclore e cultura popular. http://www.futuro.usp.br/ → A Escola do Futuro, núcleo de pesquisa da Universidade de São Paulo (USP), tem como principal atividade a investigação das novas tecnologias de comunicação aplicadas à educação. Por meio do desenvolvimento de suas pesquisas e projetos, a Escola do Futuro deseja explorar e implementar propostas inovadoras e eficazes que, utilizando recursos como a Internet e a multimídia, contribuam decisivamente para a maximização das possibilidades do ensino e da aprendizagem. h t t p: // w w w.g e o c i t i e s .c o m /A t h e n s / Sparta/1350/msicae.htm → Site com músicas e coreografias populares. http://www.geocities.com/eduriedades/ assuntoseducacionais.html → Site que traz informações sobre assuntos educacionais como psicologia, jogos infantis, poemas, literatura infantil etc. h t t p : / / w w w. g e o c i t i e s . c o m / S o H o / Village/7540/ → Site que apresenta uma seleção de cantigas de roda, algumas com orientações sobre a forma de brincar. http://www.guiadoscuriosos.com.br → Site do escritor Marcelo Duarte, autor do Guia dos curiosos, publicado pela Companhia das Letras, traz alguns dados numéricos e curiosidades em geral. http://www.ibge.gov.br → Site do Instituto

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Brasileiro de Geografia e Estatística no qual é possível encontrar uma seção especial: O IBGE para quem tem de 7 a 12 anos de idade. Nesta seção, além de encontrar informações sobre a população do Brasil e sobre sua Geografia, ficamos sabendo como é o trabalho feito pelo IBGE e para que servem os dados recolhidos e as estatísticas que foram feitas. Há ainda curiosidades, jogos, testes e mapas para você escolher e imprimir. A maior parte das informações do Censo Demográfico 2000 pode ser obtida via Internet, por meio deste site. http://www.ibge.gov.br e o site do IBGE Teen, dirigido aos adolescentes. Há também informações sobre o projeto educacional Vamos Contar! Esse projeto apresenta propostas e orientações de atividades que auxiliam os professores no trabalho com mapas e informações estatísticas, geográficas e cartográficas. A escola pode inserir as atividades do projeto no currículo sempre que o planejamento pedagógico permitir e o professor julgar oportuno. www.monica.com.br → Site da Turma da Mônica com passatempos (quebra-cabeças, jogo dos sete erros, ligue-pontos, labirintos, descubra a figura etc.). http://www.ime.usp.br/caem → CAEM (Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática) do IME-USP (Instituto de Matemática e Estatística) oferece cursos e oficinas pedagógicas para professores. http://www.mec.gov.br → O site proporciona a navegação por áreas como: Educação Superior, Pós-Graduação, Ensino Médio, Ensino Fundamental, Educação Profissional, Educação a Distância, Educação Especial, Educação Infantil, Educação de Jovens e Adultos, Assuntos Internacionais, Comunicação do MEC. http://www.nordesteweb.com/nejunino. htm → Site que mostra as festas juninas do Nordeste. http://www.paginadogaucho.com.br/fest/fja. htm → Site que fala sobre as festas juninas do Rio Grande do Sul.

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http://www.procon.sp.gov.br → Na seção Projetos e Atividades do site da Fundação Procon – SP, há orientações sobre o Programa de Educação para o Consumo. Esse programa, que visa formar um consumidor consciente, crítico e participativo, é uma das metas prioritárias da Fundação Procon–SP. Tal programa, realizado nas escolas, permeia os conteúdos das atividades educativas como tema transversal, visando à reflexão e à mudança de atitudes no comportamento do consumidor/cidadão. Para saber mais sobre o projeto (exclusivo para professores e estudantes), entre em contato pelo e-mail [email protected]. http://revistaescola.abril.com.br/home/ → Na seção Edições especiais do site você pode acessar os seguinte temas: JOGOS E BRINCADEIRAS — Uma brincadeira muito séria (no qual você encontra 90 sugestões de atividades dirigidas a crianças de 3 meses a 10 anos). FAZER, APRENDER E BRINCAR (no qual você encontra 27 sugestões de trabalhos manuais que apresentam propostas de atividades para a sala de aula). MEIO AMBIENTE — Conhecer para preservar (no qual você encontra o que nós precisamos saber para ajudar a preservar a vida no planeta). http://www.acordacultura.org.br → Na seção Memória das palavras do site você poderá conhecer algumas influências africanas em palavras que utilizamos na Língua Portuguesa. http://www.bibvirt.futuro.usp.br/especiais/ cultura_africana_e_afro_brasileira → Nesse site você encontrará informações sobre cultura africana e afro-brasileira. http://www.socioambiental.org/pib/portugues/comovivem/artes.shtm → Site no qual você encontra diferentes estilos de arte indígena, além de muitas outras informações. O site apresenta imagens muito interessantes. http://www.arteducacao.pro.br/hist_da_ arte/hist_da_arte_prebrasil.htm → Nesse site você encontra temas, como: A arte dos

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índios brasileiros, Uma arte utilitária, O período pré-cabralino: a fase Marajoara e a cultura Santarém, As culturas indígenas, A arte do trançado e da tecelagem, Cerâmica, Plumária, Máscaras, A pintura corporal. http://amoakonoya.com.br/arteindi.html → Esse site apresenta uma boa quantidade de fotos de artesanato indígena, como: cestaria, tecelagem, peças rituais, cerâmica, arte plumária, armas, objetos de madeira etc. http://www.proem.pucsp.br → Nesse site há informações sobre o Cabri-Géomètre, software sobre geometria para alunos do Ensino Fundamental, comercializado pela PUC de São Paulo. http://www.sitededicas.com.br/ → Site dedicado à Educação Infantil, com muitas dicas para professores e pais sobre o uso racional do computador em sala de aula e em casa, entre outros temas. http://www.sitededicas.com.br/brincar. htm → Apresenta uma seleção de brincadeiras infantis de todos os tipos para qualquer ambiente. http://www.tvcultura.com.br → Site de acesso ao ALÔ ESCOLA. http://www.ufmg.br → Sistema de biblioteca da UFMG: Biblioteca Central da UFRJ, Biblioteca Sesc — São Paulo, Biblioteca Virtual do Estudante e outras. A pesquisa pode ser feita por título e por autor. http://www.uol.com.br/aprendiz → Nesse site o professor encontra temas sobre a educação para a cidadania. Possui artigos de jornalistas e de educadores sobre escola, adolescência, drogas etc. http://www.uol.com.br/cienciahoje/ → O Projeto Ciência Hoje oferece publicações e produtos de divulgação científica da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC), entidade civil sem fins lucrativos fundada em 1948. Ao longo dos últimos anos, o Projeto tem se dedicado à difusão do conhecimento científico e tecnológico por meio de publicações com enfoques diferenciados para os diversos segmentos de seu público-alvo.

INDICAÇÕES DE INSTITUIÇÕES E ENTIDADES A seguir relacionamos algumas instituições e entidades que oferecem cursos, palestras e publicações da área como apoio ao trabalho do professor. ◆ CAEM – Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática Instituto de Matemática e Estatística da USP Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP: 05508-090 Cidade Universitária – São Paulo – SP C.P. 66281 – CEP 05315-970 Fone e Fax: (0XX11) 3091-6160 e-mail: [email protected] Publicações: Cadernos do CAEM

◆ Cecimig – Centro de Ciências de Minas Gerais Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Faculdade de Educação – Cidade Universitária Avenida Antonio Carlos, 66 227 – Pampulha CEP 31270-901 – Belo Horizonte – MG Fone: (0XX31) 3499-5337

◆ Cempem – Centro de Estudos, Memória e Pesquisa em Educação Matemática da Faculdade de Educação da Unicamp Faculdade de Educação da Unicamp – CEMPEM, Rua Bertrand Russel, 881 CEP 13083-970 – Campinas – SP Fone: (0XX19) 788-5587 – Fax: (0XX19) 788-5576 e-mail: [email protected] site: www.cempem.fal.unicamp.br

◆ Faculdade de Educação/Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Comparada – Projeto USP/BID Cidade Universitária Avenida da Universidade, 308 CEP 05508-040 – São Paulo – SP Fone: (0XX11) 3091-3099 – Fax: (0XX11) 3815-0297 Publicações: Cadernos de Prática de Ensino – Série Matemática – USP

◆ FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação Rua Rodolfo Miranda, 636 – Bom Retiro CEP 01121-900 – São Paulo – SP PABX: (0XX11) 3227-4000 – Fax: (0XX11) 3311-7314 Publicações: Cadernos – Série Ideias

◆ GEPEM – Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática Instituto de educação da UFRRJ – sala 30 Rod. BR 465, km 7 CEP: 23890-000 – Serapedica – RJ fone e fax: (0XX21) 2682-1841 e-mail: [email protected] site: www.gepem.ufrrj.br Publicações: Boletim GEPEM

◆ Laboratório de Ensino de Geometria Universidade Federal Fluminense (UFF) Rua Mário Santos Braga, s/nº – Centro CEP 24020-140 – Niterói – RJ

◆ Leacim – Laboratório de Ensino e Aprendizagem de Ciências e Matemática Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) Avenida Fernando Ferrari, 5/4 Campus de Goiabeiras CEP 29075-910 – Vitória – ES Fone: (0XX27) 3335-2479 Fax: (0XX27) 3335-2827

◆ LEM – Laboratório de Ensino de Matemática Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – Imecc C.P. 6065 – CEP 13083-970 – Campinas – SP Fone: (0XX19) 3521-6017 – Fax: (0XX19) 3521-5937 e-mail: [email protected]

◆ LEM – Laboratório de Ensino de Matemática Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) Departamento de Matemática Avenida Prof. Luis Freire, s/nº – Cidade Universitária CEP 50740-540 – Recife – PE Fone: (0XX81) 2126-7650

◆ Projeto Fundão — Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Instituto de Matemática Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108 Cidade Universitária C.P. 68530 – CEP 21941-972 – Rio de Janeiro – RJ Fone e fax: (0XX21) 2562-7511

◆ SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática UFPE – CCEN – Departamento de Matemática – sala 108 Av. Prof. Luis Freire, s/no – Cidade Universitária CEP: 50740-540 – Recife – PE e-mail: [email protected] Fone e fax: (0XX81) 3272-7563 Publicações: A Educação Matemática em Revista Temas & Debates

◆ Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109 – Jardim Botânico CEP: 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ Fone: (XX21) 2529-5073 Publicações: RPM – Revista do Professor de Matemática e-mail: [email protected]

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OBJETIVOS DE MATEMÁTICA PARA O 5O - ANO No 5o- ano, o ensino de Matemática deve levar o aluno a: ◆ Ampliar o significado do número natural pelo seu uso em situações-problema e pelo reconhecimento de relações e regularidades. ◆ Construir o significado do número racional e de suas representações (fracionária e decimal), a partir de seus diferentes usos no contexto social. ◆ Interpretar e produzir escritas numéricas, considerando as regras do sistema de numeração decimal e estendendo-as para a representação dos números racionais na forma decimal. ◆ Resolver problemas, consolidando alguns significados das operações fundamentais e construindo novos, em situações que envolvam números naturais e, em alguns casos, racionais. ◆ Ampliar os procedimentos de cálculo — mental, escrito, exato, aproximado — pelo conhecimento de regularidades dos fatos fundamentais, de propriedades das operações e pela antecipação e verificação de resultados. ◆ Refletir sobre procedimentos de cálculo que levem à ampliação do significado do número e das operações, utilizando a calculadora como estratégia de verificação de resultados. ◆ Estabelecer pontos de referência para interpretar e representar a localização e movimentação de pessoas ou objetos, utilizando terminologia adequada para descrever posições. ◆ Identificar características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias, ampliações e reduções. ◆ Recolher dados e informações, elaborar formas para organizá-los e expressá-los, interpretar dados apresentados sob forma de tabelas e gráficos e valorizar essa linguagem como forma de comunicação. ◆ Utilizar diferentes registros gráficos — desenhos, esquemas, escritas numéricas — como recurso para expressar ideias, ajudar a descobrir formas de resolução e comunicar estratégias e resultados. ◆ Identificar características de acontecimentos previsíveis ou aleatórios a partir de situações-problema, utilizando recursos estatísticos e probabilísticos. ◆ Construir o significado das medidas, a partir de situações-problema que expressem seu uso no contexto social e em outras áreas do conhecimento e possibilitem a comparação de grandezas de mesma natureza. ◆ Utilizar procedimentos e instrumentos de medida usuais ou não, selecionando o mais adequado em função da situação-problema e do grau de precisão do resultado. ◆ Representar resultados de medições, utilizando a terminologia convencional para as unidades mais usuais dos sistemas de medida, comparar com estimativas prévias e estabelecer relações entre diferentes unidades de medida. ◆ Demonstrar interesse para investigar, explorar e interpretar, em diferentes contextos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento, os conceitos e procedimentos matemáticos abordados neste ciclo. ◆ Vivenciar processos de resolução de problemas, percebendo que para resolvê-los é preciso compreender, propor e executar um plano de solução, verificar e comunicar a resposta. MiniStéRio dA EduCAção E do dESPoRto/SECREtARiA do EnSino FundAMEntAL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. 1997.

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CONTEÚDOS ATITUDINAIS ◆ Confiança em suas possibilidades para propor e resolver problemas. ◆ Perseverança, esforço e disciplina na busca de resultados. ◆ Segurança na defesa de seus argumentos e flexibilidade para modificá-los. ◆ Respeito pelo pensamento do outro, valorização do trabalho cooperativo e do intercâmbio de ideias, como fonte de aprendizagem. ◆ Apreciação da limpeza, ordem, precisão e correção na elaboração e na apresentação dos trabalhos. ◆ Curiosidade em conhecer a evolução histórica dos números, de seus registros, de sistemas de medida utilizados por diferentes grupos culturais. ◆ Confiança na própria capacidade para elaborar estratégias pessoais de cálculo, interesse em conhecer e utilizar diferentes estratégias para calcular e os procedimentos de cálculo que permitem generalizações e precisão. ◆ Curiosidade em conhecer a evolução histórica dos procedimentos e instrumentos de cálculo utilizados por diferentes grupos culturais. ◆ Valorização da utilidade dos sistemas de referência para localização no espaço. ◆ Sensibilidade para observar simetrias e outras características das formas geométricas, na natureza, nas artes, nas edificações. ◆ Curiosidade em conhecer a evolução histórica das medidas, unidades de medida e instrumentos utilizados por diferentes grupos culturais e reconhecimento da importância do uso adequado dos instrumentos e unidades de medida convencionais. ◆ Interesse na leitura de tabelas e gráficos como forma de obter informações. ◆ Hábito em analisar todos os elementos significativos presentes em uma representação gráfica, evitando interpretações parciais e precipitadas. (MiniStéRio dA EduCAção E do dESPoRto/SECREtARiA do EnSino FundAMEntAL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. 1997. p.75.)

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CONTEÚDO E SUGESTÕES DE ATIVIDADES

Unidade 1

Os números na informação

Embora o trabalho com a leitura e interpretação de gráficos tenha sido enfocado ao longo de toda a coleção nas atividades propostas nas seções Lendo e construindo gráficos, uma atenção especial ao Tratamento da Informação foi dada nesta Unidade. Nesta perspectiva, foram exploradas diversas situações que envolvem a organização, a interpretação e a representação de dados numéricos em tabelas e gráficos. Procurou-se ainda evidenciar a organização dos dados em formulários (documentos como certidão de nascimento e RG). Uma linha do tempo apresentando o advento das principais invenções ligadas à comunicação e à informação, tais como o telégrafo, o telefone, o rádio, o primeiro computador eletrônico, a televisão, o telefone celular, a Internet etc., além de retomar os conceitos de século e de década, enfatiza a evolução dos meios de comunicação na história da humanidade, procurando, dessa maneira, evidenciar a conexão entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, contribuindo, assim, para a formação integral dos alunos. São propostas diversas atividades que implicam a coleta, organização e apresentação de dados em tabelas e gráficos. Este é um momento bastante adequado para que se retomem os diferentes usos do número natural, a partir da demanda do tratamento dos dados de uma informação no contexto social (números que envolvem contagens, medidas e códigos numéricos).

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Interpretando, colhendo e organizando dados em tabela 1. Peça aos alunos que observem as fichas técnicas do pugilista brasileiro Acelino Freitas, o Popó, e do desafiante mexicano Juan Carlos Ramirez. Popó derrotou o pugilista mexicano em luta realizada no dia 16 de março de 2003. Com a vitória, o pugilista brasileiro manteve os cinturões dos superpenas da Associação Mundial de Boxe (AMB) e da Organização Mundial de Boxe (OMB).

Acelino Freitas

Juan Carlos Ramirez

Popó

apelido

Ranchero

27 anos

idade

25 anos

1,68 m

altura

1,70 m

1,71 m

envergadura

1,75 m

32

vitórias

29

29

nocautes

12

0

derrotas

4

dados publicados em Folha de S.Paulo, São Paulo, 15/3/2003, e Agora S. Paulo, São Paulo, 17/3/2003.

2. Proponha questões de interpretação e comparação dos dados da tabela. Por exemplo: a) Qual dos dois pugilistas é o mais alto? Ranchero (Juan Carlos Ramirez) b) Dos dois pugilistas pode-se dizer que o mais alto é também o mais velho? Não, o mais velho é o Popó, e o mais alto é o Ranchero.

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c) A envergadura é o comprimento da extremidade de uma mão à extremidade da outra mão, com os braços abertos e estendidos horizontalmente. Em qual dos dois atletas a medida da altura é aproximadamente a mesma que a da envergadura? No caso de Popó, a envergadura e a altura estão mais próximas, a diferença entre as duas medidas é de apenas 0,03 metro ou 3 centímetros.

3. Incentive os alunos a construir uma ficha técnica como a que apresentamos ao lado. Peça a cada aluno que tome suas medidas com uma fita métrica e anote na ficha técnica. Se o aluno tiver dificuldade em realizar algumas das medições, oriente-o para que peça a ajuda de alguém. Proponha aos alunos que, se quiserem, escolham outras medidas, como barriga da perna, tornozelo, pé etc., para acrescentar à ficha.

Nome: idade altura envergadura peito normal “peso” cintura pescoço pulso

4. Para que os alunos interpretem e comparem os dados da própria ficha técnica, proponha algumas questões. Por exemplo: a) A medida da sua altura é aproximadamente a mesma que a da sua envergadura? b) Qual a diferença entre a medida de sua altura e a medida de sua envergadura? c) Se você tomasse um barbante com a mesma medida da volta de seu pescoço, quantas voltas você daria em seu pulso? d) Quantos centímetros de altura você tem a menos que Popó? e) Quantos centímetros de envergadura Popó tem a mais que você? ATIVIDADE 2 ■ Das tabelas para os gráficos e dos gráficos para as tabelas Peça aos alunos que tragam recortes de jornais e revistas com tabelas e gráficos. Oriente-os a lerem, em grupos, os recortes que os colegas trouxeram. Depois, peça que escolham duas tabelas e dois gráficos que mais lhes agradaram. Peça que, em grupos, construam em papel quadriculado gráficos para representar os dados das tabelas escolhidas. Em um segundo momento, peça que organizem em tabelas os dados dos gráficos dos recortes escolhidos.

Unidade 2

O Sistema de Numeração Decimal

O Sistema de Numeração Decimal é apresentado sob um enfoque histórico. A evolução da História da Matemática mostra que este conhecimento foi construído como resposta a diversas situações-problema vivenciadas pela humanidade, apresentando a Matemática como uma ciência dinâmica, em constante progresso.

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Retoma-se e aprofunda-se o estudo de suas características e regras (sistema decimal, posicional, aditivo, multiplicativo e com apenas dez símbolos) em diversas situações. A partir de atividades envolvendo a história do sistema monetário brasileiro, trabalha-se com a classe dos milhares. A classe dos milhões é enfocada a partir de dados do IBGE – Censo Demográfico 2000 (número de habitantes do Brasil), e a dos bilhões, a partir de dados da população mundial. Dessa maneira, além de sistematizar o processo de agrupamentos e trocas da base dez, proporciona-se ao aluno uma contextualização dos números abordados. É importante, mais uma vez, destacar que o significado dos números “grandes” aqui abordados resulta das conexões que o aluno estabelece entre eles, seu cotidiano e as demais disciplinas, evidenciando-se, assim, o caráter instrumental proporcionado pela Matemática. Foram usados alguns recursos metodológicos, como o ábaco e o material dourado, para auxiliar no trabalho com agrupamentos e trocas. A partir de dados históricos sobre a participação do Brasil nas copas mundiais de futebol, retoma-se o trabalho com números ordinais. Dando continuidade ao enfoque histórico, são explorados os antigos sistemas de numeração (egípcio e romano). É importante que os alunos identifiquem a ideia de número e suas representações como criação humana, resultante das necessidades da vida cotidiana de diversos povos em diferentes momentos.

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Com a calculadora de ponta-cabeça Explore a representação de números na forma digital. Veja algumas sugestões: 1. Peça aos alunos que digitem os números de 0 a 9 da tabela abaixo em uma calculadora simples. Depois, peça que virem a calculadora de ponta-cabeça para descobrir que letra do alfabeto vai aparecer. 2. Após realizarem a atividade sugerida no item anterior, peça aos alunos que investiguem quais os números que devem ser digitados para que, ao virarem a calculadora de ponta-cabeça, apareçam palavras como as da tabela. Número digitado

Letra que aparece

1

I

3

E

5

S

8

B

0

O

3. Em seguida, peça que investiguem que números devem ser digitados para que apareçam as palavras BOLO, SELO e LOBO. Ao digitar 0708, para fazer aparecer a palavra BOLO, no visor da calculadora aparecerá apenas 708, sendo possível ler BOL, pois o zero à esquerda do número, sem a vírgula, não tem significado e, assim, não aparece na calculadora. Entretanto, é possível fazer aparecer o plural BOLOS. Alguns alunos poderão propor a digitação de números decimais como solução. Ao digitar 0.708 e virar a calculadora de ponta-cabeça, aparecerá no visor BOL.O.

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4. Peça aos alunos que observem como vemos o número digitado quando viramos a calculadora de ponta-cabeça.

Palavra

Número

BOI

108

posição de ponta-cabeça

LEI

137

525

525

ELE

373

1961

1961

SOS

505

252

252

BIS

518

1691

1691

SOL

705

BIBI

1818

ESSE

3553

ELIS

5173

BOLOS

50708

SELOS

50735

LOBOS

50807

posição normal

Pergunte a eles se acham que isso ocorre sempre, ou só com alguns números. Que números são esses? Peça que deem mais exemplos.

ATIVIDADE 2 ■ Jogo de cartões com dados do Censo Demográfico 2000

1. Inicialmente, peça aos alunos que embaralhem os 27 cartões e coloquem o monte no centro da mesa com as costas dos cartões viradas para cima. 2. Cada jogador retira um cartão do monte e observa os dados sobre a Unidade da Federação desse cartão, sem que os outros participantes vejam. 3. Seguindo a ordem de sorteio, a cada retirada dos cartões, um jogador escolhe um dos dados: o nÚmero de mulheres do meu cartão é maior. fico com os cartões de vocÊs.

eu escolho o nÚmero de mulheres.

ilustrações: José Luís Juhas

Os cartões reproduzidos do final do livro podem ser usados num jogo com 2 a 3 participantes.

população total do estado, número de habitantes do sexo masculino (homens), número de habitantes do sexo feminino (mulheres) ou população da capital. 4. Após ser declarada a escolha, todos os participantes mostram seus cartões. Aquele que tiver o maior número no quesito escolhido fica com os cartões dos outros jogadores.

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5. Novamente todos os participantes retiram um cartão do monte no centro da mesa. O próximo a escolher o dado não pode repetir o que foi escolhido na rodada anterior. Após ser declarada a escolha, todos os participantes apresentam seus cartões e novamente fica com os cartões aquele que tiver o maior número no quesito escolhido. E assim por diante, o jogo continua até que os cartões do monte acabem. No final, cada participante conta os cartões que tem. Ganha quem tiver o maior número de cartões. 6. Pode-se propor que os alunos joguem invertendo a regra: em vez de ficar com os cartões aquele que tiver o maior número no quesito escolhido, fica com eles o que tiver o menor número. 7. No caso de 4 ou mais participantes, podem-se juntar 2 jogos de cartões, obtendo-se, assim, 54 cartões. No caso de 2 jogadores sortearem o mesmo cartão (já que, nesse caso, passam a ser dois exemplares de cada cartão), eles devem dividir os cartões da rodada entre os dois. ATIVIDADE 3 ■ Explorando um jogo de dardos adaptado para sala de aula Pode-se confeccionar um jogo de dardos bem simples para explorar a contagem e a comparação dos totais de pontos dos participantes em sala de aula. Um retalho de feltro pode servir para confeccionar o alvo. Com tinta traçam-se as linhas para delimitar os espaços que valem pontos e escrevem-se os respectivos valores. Os dardos podem ser improvisados com bolinhas de meia envoltas com tiras de velcro, que fixam em feltro. Para que funcione perfeitamente, convém não pintar as faixas do alvo. Veja algumas propostas de questões que podem ser vivenciadas pelos alunos: 1. Calcule o total de pontos que cada criança conseguiu no jogo de dardos. 1 EU JOGUEI OS DARDOS

.

10 100

20 000 1 1 000 1 400 1 20 1 3 5 21 423

1 000

Mariângela Haddad

10 000 OS MEUS DARDOS SÃO OS

.

20 000 1 1 000 1 400 1 30 1 2 5 21 432

Qual das crianças marcou mais pontos? Ana. 2. Complete a tabela com o cálculo do total de pontos destes outros jogadores. ◆◆

Rita

20 000 1 4 000 1

100

1

40

1

1

200

1

20

1

2

100

1

50

1

2

24 141

Moacir



Celso

10 000 1 3 000 1

Sandra



40 000

1 1 000 1

300

1

10

1

3

5 41 313

Raul



20 000

1

4 000

100

1

40

1

1

5 24 141

30 000

1 1 000 1

1

a) Quem fez mais pontos? Sandra. b) Quem fez menos pontos? Celso. c) Houve empate entre quais jogadores? Rita e Raul.

38

5

5 31 222 5

13 152

Unidade 3

Espaço e forma

O estudo das formas geométricas, já iniciado nos volumes anteriores desta coleção, é retomado nesta Unidade. São apresentadas diversas situações em que os alunos não só devem perceber semelhanças e diferenças entre poliedros e corpos redondos, mas também levantar hipóteses e estabelecer relações entre eles. Assim, por exemplo, os alunos são estimulados a perceber que poliedros apresentam apenas faces planas, enquanto corpos redondos apresentam pelo menos uma superfície não plana, “arredondada”, daí rolarem com facilidade. O trabalho com embalagens favorece o estudo das formas geométricas. Nesse processo, é interessante que os alunos sejam estimulados a fazer conjecturas sobre suas observações e argumentar sobre suas conclusões. As atividades de planificação de caixas oferecem situações em que se podem explorar formas geométricas planas (polígonos e círculos) e espaciais (poliedros e corpos redondos), levando o aluno a perceber semelhanças e diferenças entre elas (superfícies planas, arredondadas, formas das faces, simetrias etc.) e reconhecer os elementos que as compõem (lados, ângulos, faces, vértices e arestas). Embora não se objetive a formalização precoce de conceitos, estimula-se a observação de padrões e regularidades, tais como a relação existente entre os números de faces, vértices e arestas de poliedros convexos: F 1 V 5 A 1 2. Na seção Qual é a chance? são apresentadas as planificações de três dados com faces coloridas, para que o aluno, montando-os e jogando-os, analise a chance de obter determinada cor na face superior, atividade que busca promover a integração do estudo das formas com o de probabilidades.

Sugestões de atividades Uma atividade que pode ser desenvolvida com os alunos em grupo é a construção de uma máscara com traços do artesanato africano. 1. Peça a cada grupo de alunos que providencie um retângulo de papelão grosso. 2. Oriente-os para que retirem uma fina camada de um dos dois lados do papelão. Assim, o retângulo fica com a superfície ondulada, o que o torna mais maleável. 3. Confira com os grupos o comprimento do retângulo, que deve ter o tamanho suficiente para dar uma volta completa na cabeça de um dos alunos. 4. Peça a cada grupo que faça uma abertura para a boca e outras duas para os olhos. Será necessário que os alunos meçam com uma régua a altura em que devem fazer as aberturas e também a distância entre as aberturas dos olhos. Uma sugestão é utilizar pedaços de barbante com as medidas das alturas e das distâncias necessárias, sobrepondo-os ao retângulo de papelão na hora de fazer os cortes para as aberturas.

Cartoon Estúdio

ATIVIDADE 1 ■ Construindo uma máscara africana que lembra o cilindro

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5. Se possível, leve os grupos a uma biblioteca ou consiga alguns livros sobre artesanato africano, para que eles possam pesquisar e elaborar algumas ideias para enfeitar a máscara e conhecer os diferentes materiais alternativos (sisal, folhas de palmeira, figuras pintadas em papelão etc.) que poderão usar na colagem. 6. Use fita adesiva para prender as laterais do papelão, deixando-o como se fosse a superfície lateral de um cilindro. 7. Agora, é só se divertir com a máscara pronta. O material produzido pelos alunos pode ser aproveitado para uma exposição sobre artesanato africano. ATIVIDADE 2 ■ Montando formas geométricas espaciais

Ilustrações: Editoria de arte

Veja como podem ser construídas algumas formas geométricas espaciais. 1. Recorte em papel-cartão triângulos e quadrados (o triângulo e o quadrado devem ter a mesma medida de lado), como nos modelos a seguir:

2. Dobre as abas das figuras que você pretende usar e prenda-as com um elástico, como mostramos na ilustração ao lado. 3. Com os cartões recortados e presos por elásticos, é possível construir diferentes formas geométricas espaciais. Veja algumas delas:

Após a construção das formas espaciais, proponha aos alunos que verifiquem semelhanças e diferenças entre elas e se a relação F 1 V 5 A 1 2 (trabalhada na página 60 do livro) vale para todos os poliedros convexos. ATIVIDADE 3 ■ Geometria e arte Geralmente, as bibliotecas dispõem de livros com reproduções de quadros de arte. Escolha uma dessas reproduções na qual apareçam diferentes formas geométricas espaciais ou figuras geométricas planas para mostrar aos alunos. Pintores como Alfredo Volpi, Hélio Oiticica, Luís Sacilotto, Paul Cézanne, Wassily Kandinsky, Piet Mondrian, Pablo Picasso, Paul Klee, Henri Matisse, Juan Miró, entre outros, são excelentes fontes para desenvolver esse trabalho.

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Miró – A ALDEIA. 1917, Fundação Guggenheim, Nova Iorque

1. Inicialmente, diga qual o título da obra e conte um pouco sobre o pintor. 2. Depois, pergunte aos alunos se eles conseguem encontrar na pintura algumas das formas geométricas espaciais ou algumas das figuras geométricas planas que conhecem. Deixe que cada aluno se expresse livremente. 3. Para encerrar, peça aos alunos que finjam que são pintores e criem uma obra de arte com base naquela que conheceram. Organize uma mostra com as pinturas dos alunos. Se possível, convide pais e funcionários para visitar a exposição. Como atividade extraclasse, programe uma visita a um museu ou pinacoteca, para que os alunos tenham contato com obras de arte. Outra sugestão é convidar um artista plástico da comunidade para conversar com os alunos sobre seu trabalho e mostrar algumas de suas obras. Veja, a seguir, uma sugestão de trabalho com a pintura A aldeia, de Miró. Inicialmente, mostre a imagem do quadro e diga o nome dado pelo pintor para a obra. Depois pergunte: “Se você fosse o pintor, que nome daria a esta pintura?”; “O que você acha que representam as faixas coloridas no canto esquerdo da pintura?”. Motive os alunos a falar sobre as formas geométricas espaciais e as figuras geométricas planas que eles identificam na pintura: “Alguém consegue encontrar uma forma parecida com uma pirâmide nessa pintura?”; “E uma figura parecida com um paralelogramo?”. Fale um pouco sobre a vida do pintor para os alunos: Juan Miró nasceu em Barcelona, em 20 de abril de 1893. (Com o auxílio de um globo terrestre, mostre aos alunos onde fica o Brasil e onde fica a cidade de Barcelona, na Espanha.) Desde criança, demonstrava vocação para a pintura, mas o pai achava que a vida de artista não tinha futuro e insistiu muito para que ele estudasse numa escola de comércio. Miró obedeceu ao pai. Aos dezessete anos, ele terminou os estudos e, de repente, se viu trabalhando numa empresa de construção e de produtos químicos, tendo abandonado a pintura. O pai estava contente, mas Miró, atormentado com a situação, entrou em depressão, que se agravou por uma febre tifoide. A doença de Miró acabou convencendo o pai a deixá-lo ir para uma escola de Arte. Então, ele aprendeu várias técnicas de pintura, e sua obra tornou-se muito famosa. Miró morreu em 1983, aos 90 anos. Peça aos alunos que, inspirados na obra de Miró, criem uma pintura com formas geométricas espaciais e figuras geométricas planas para representar uma aldeia. ATIVIDADE 4 ■ Confeccionando pequenos livros a partir de figuras simétricas A ideia pode ser utilizada para fazer pequenos livros com versos, para os alunos darem de presente no dia das Mães ou dos Pais.

41

1

Cartoon Estúdio

1. Peça aos alunos que dobrem ao meio 3 ou 4 folhas de sulfite, conforme se vê na ilustração. Em seguida, peça que marquem com uma régua a dobra obtida. 2. Oriente-os para que prendam as folhas usando um grampeador. 3. Em seguida, é preciso dobrar as folhas novamente ao meio, pela linha marcada, e desenhar a metade da figura simétrica que dará forma ao pequeno livro. 4. Depois, peça aos alunos que cortem pelo contorno o desenho feito. 5. Em seguida, os alunos poderão pintar a capa do livro. Para finalizar, peça que escrevam pequenos versos, deixando a primeira folha para escrever o nome da pessoa que pretendem presentear e fazer uma dedicatória.

2

3 4 5

Cartoon Estúdio

Desenvolva com os alunos uma oficina para construir toalhinhas de papel, como as da foto, faixas geométricas e outras figuras que apresentam simetria, por meio de dobradura e recorte. Observe como conseguir uma “toalhinha” a partir de um quadrado de papel de seda:

Sérgio Dotta Jr/The Next

ATIVIDADE 5 ■ Oficina de recortes simétricos

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Unidade 4

Cartoon Estúdio

Mostre como confeccionar em papel “bonequinhos” de mãos dadas. Basta dobrar uma faixa de papel (pode ser colorido) em forma de sanfona, desenhar a metade de um bonequinho e recortá-lo. Depois, ao abrir a faixa, o aluno perceberá que, embora tenha desenhado metade de um bonequinho, este aparecerá por inteiro e de mãos dadas com outros iguais a ele.

Operações: ideias, algoritmos e propriedades

As ideias da adição e da subtração são retomadas em atividades que envolvem medidas de comprimento. Retomam-se ainda nesta Unidade as ideias ligadas à multiplicação (organização retangular, adição de parcelas iguais, a combinatória e a proporcionalidade) e à divisão (repartir em partes iguais e a ideia de medida: quantas vezes uma quantidade cabe em outra). Diversos jogos são propostos para apresentar as propriedades da adição e da multiplicação. O trabalho com as propriedades da adição e da multiplicação com números naturais busca incentivar e ampliar os procedimentos de cálculo utilizados pelos alunos. Espera-se que o aluno observe regularidades e faça uso das propriedades para calcular com agilidade, utilizando estratégias pessoais ou mesmo o algoritmo convencional, escolhendo o processo que melhor lhe convier. Retoma-se o trabalho com o cálculo mental. São explorados ainda os arredondamentos, a decomposição das escritas numéricas, o uso do quadro valor de lugar e o Material Dourado. Ao aluno reserva-se o direito da escolha da estratégia de cálculo que preferir. Dessa maneira, os procedimentos de cálculo realizados pelos alunos favorecem o desenvolvimento da criatividade, da autonomia, ou seja, da capacidade de tomar decisões, com atitudes de confiança na resolução de problemas numéricos do cotidiano. Na sequência apresenta-se o trabalho com expressões numéricas, o qual, sempre que possível, é feito a partir de situações-problema que auxiliam, de forma significativa, a compreensão das regras que estabelecem a ordem em que devem ser efetuadas as diferentes operações.

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Explorando a adição e a subtração em um jogo de cartelas Cada grupo de três alunos necessitará de um jogo de 30 cartelas: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

Os alunos devem sentar-se um de frente para o outro. Embaralham as 30 cartelas e distribuem 10 cartelas para cada um. A seguir, cada aluno, sem olhar as cartelas, divide o seu monte de 10 em dois montes com 5 cartelas cada. Os participantes colocam os seus dois montes de cartelas lado a lado, com os números voltados para baixo. Cada aluno vira ao mesmo tempo uma cartela de cada

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um dos seus montes e calcula a soma entre os dois números. Quem obtiver a maior soma fica com as seis cartelas (duas dele e quatro dos adversários). Em caso de empate, as cartelas devem ser divididas entre os que empataram. Quando os montes terminam, conta-se o número de cartelas que cada um ganhou. Vence o jogo aquele que tiver o maior número de cartelas. Este jogo permite um grande número de variações, o que o torna muito interessante, pois com isso é possível avaliar a capacidade dos alunos de interpretar as novas regras que forem propostas. Pode-se sugerir uma ou mais das seguintes mudanças: ◆◆ Ganha as seis cartelas o aluno que obtiver a menor soma entre os números de suas cartelas. ◆◆ Pode-se trabalhar com as cartelas numeradas de acordo com os seus objetivos. Por exemplo, pode-se substituir as cartelas numeradas de 1 a 10 por estas: 1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

8 000

9 000

10 000

Em vez de explorar a maior e a menor soma, pode-se explorar a maior e a menor diferença. ◆◆ Ao final, em vez de cada aluno contar o número de cartelas que conseguiu para descobrir quem ganhou o jogo, passa-se a somar os números que aparecem nas cartelas. O aluno que obtiver a maior soma será o vencedor. Nessa variante, nem sempre quem tem o maior número de cartelas consegue a maior soma de pontos. ◆◆

ATIVIDADE 2 ■ Jogo de ludo, tômbola ou víspora

160 : 2 , 240 : 10

225 : 5 , e

6

144 : 12

Outros jogos populares podem também ser adaptados, cabe ao professor escolher aqueles que são mais conhecidos pelos alunos da região.

✦

24

40

28

✦

✦

45

80

9 ✦

12

51 36

64

72

90

80

100

ATIVIDADE 3 ■ Explorando o cálculo mental no calendário 1. Incentive os alunos a investigar a soma de grupos de 4 números Fevereiro 2008 em diferentes meses de um calendário. Observe alguns exemD S T Q Q S S plos baseados no mês de fevereiro de 2008. 1 2 a) Adicionando os números de quatro quadrinhos consecutivos 3 4 5 6 7 8 9 na horizontal: 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6 1 7 1 8 19 5 ? Observe que 6 1 9 5 15 e que 7 1 8 também é igual a 15. 24 25 26 27 28 29 Assim, basta somar os dois quadrinhos das extremidades ou os dois quadrinhos centrais e, depois, dobrar o resultado: (6 1 7 1 8 1 9 5 15 1 15 5 30 ou 6 1 7 1 8 1 9 5 2 3 15 5 30)

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Ilustrações: Editoria de arte

Este jogo apresenta denominações regionais diferentes, mas é bastante conhecido e muito simples. Para substituir as tradicionais pedras com números que são cantados, confeccionamos fichas com as divisões exatas que queremos trabalhar. As cartelas são idênticas às do jogo tradicional, contendo apenas os quocientes das divisões escolhidas. O professor ou um aluno canta as divisões das fichas sorteadas, enquanto os demais marcam em suas cartelas os quocientes correspondentes. O jogo termina quando um dos alunos preencher sua cartela. Observe na ilustração algumas fichas do jogo de ludo e uma cartela com os produtos das fichas já marcados.

b) Adicionando os números de quatro quadrinhos consecutivos na vertical: 4 1 11 1 18 1 25 5 ? Observe que 4 1 25 5 29 e que 11 1 18 também é igual a 29. Assim, basta somar os dois quadrinhos das extremidades ou os dois quadrinhos centrais e, depois, dobrar o resultado: (4 1 11 1 18 1 25 5 29 1 29 5 58 ou 4 1 11 1 18 1 25 5 2 3 29 5 58) Uma maneira de calcular mentalmente 29 1 29 é pensar em 30 1 30 5 60 e depois subtrair 2 unidades: 60 − 2 5 58. c) Adicionando os números de quatro quadrinhos consecutivos Fevereiro 2008 na diagonal: D S T Q Q S S ◆◆

3 1 11 1 19 1 27 5 ?

Observe que 3 1 27 5 30 e que 11 1 19 também é igual a 30. Assim, basta somar os dois quadrinhos das extremidades ou os dois quadrinhos centrais e, depois, dobrar o resultado: (3 1 11 1 19 1 27 5 30 1 30 5 60 ou 3 1 11 1 19 1 27 5 2 3 30 5 60) ◆◆

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Ilustrações: Editoria de arte



20 1 14 1 8 1 2 5 ?

Observe que 20 1 2 5 22 e que 14 1 8 também é igual a 22. Assim, basta somar os dois quadrinhos das extremidades ou os dois quadrinhos centrais e, depois, dobrar o resultado: (20 1 14 1 8 1 2 5 22 1 22 5 44 ou 20 1 14 1 8 1 2 5 2 3 22 5 44) Peça aos alunos que investiguem a soma de outras sequências ou agrupamentos de quatro quadrinhos. Incentive o trabalho com o cálculo mental. 2. Peça aos alunos que observem 3 números em quadrinhos consecutivos em linha, coluna ou diagonal de um mês no calendário. Observe alguns exemplos baseados no mês de fevereiro de 2008. a) Solicite aos alunos que adicionem os números dos quadrinhos das "extremidades" e, em seguida, comparem a soma obtida com o número do quadrinho do "centro": Fevereiro D

S

T

2008 Q

Q

S

S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

3 1 5 5 8 → o número do quadrinho do “centro” é 4 ◆◆ 14 1 26 5 40 → o número do quadrinho do “centro” é 20 ◆◆ 2 1 16 5 18 → o número do quadrinho do “centro” é 9 ◆◆

Os alunos, provavelmente, perceberão que o número do quadrinho do “centro” é sempre a metade da soma dos outros dois números. A mesma observação pode ser formulada desta outra maneira: a soma dos números dos quadrinhos das “extremidades” é sempre o dobro do número do quadrinho do “centro”. 2008 b) Peça que investiguem se o mesmo acontece quando escolhe- Fevereiro D S T Q Q S S mos 5 números em quadrinhos consecutivos. 1 2 ◆◆ 3 1 7 5 10 e 4 1 6 5 10 → o número do quadrinho do 3 4 5 6 7 8 9 “centro” é 5 10 11 12 13 14 15 16 ◆◆ 26 1 2 5 28 e 20 1 8 5 28 → o número do quadrinho 17 18 19 20 21 22 23 do “centro” é 14 24 25 26 27 28 29

45

ATIVIDADE 4 ■ Investigando propriedades com o uso dos algoritmos Proponha aos alunos a sequência de atividades a seguir. Incentive os alunos a investigar o que acontece a cada alteração proposta em cada cálculo: 1. Efetue a adição. A seguir, você vai descobrir interessantes propriedades de uma adição.

1

M

C

D

U

2

4

2

1

1a parcela

4

5

2

3

2a parcela

6

9

4

4

soma ou total

a) Se subtrairmos uma das parcelas da soma, que valor encontraremos? o valor da outra parcela

46

b) Se adicionarmos 10 unidades a cada parcela, o que vai acontecer com a soma? Aumentará em 20 unidades.

M C D U

M C D U

M C D U

M C D U

6

9

4

4

6

9

4

4

2

4

2

1 110

2

4

3

1

2 4

5

2

3

2 2

4

2

1

1 4

5

2

3 110 1 4

5

3

3

2

4

2

1

4

5

2

3

6

9

4

4

9

6

4

6

Editoria de arte

Neste caso, o número do quadrinho do “centro” é sempre a metade da soma dos números dos quadrinhos das “extremidades” ou a metade da soma dos números dos quadrinhos “vizinhos” ao do centro. A mesma observação pode ser formulada desta outra forma: a soma dos quadrinhos das “extremidades” ou a soma dos quadrinhos “vizinhos” ao quadrinho do “centro” é sempre o dobro do número do quadrinho “central”. c) Peça aos alunos que investiguem se o mesmo acontece quando escolhemos 7 números em quadrinhos consecutivos. Incentive o trabalho com o cálculo mental. 3. Incentive os alunos a investigar a soma de grupos de 9 números (dispostos em 3 colunas e 3 linhas) em diferentes meses de um calendário. Observe alguns exemplos baseados no mês de fevereiro de 2008. a) Podemos calcular a soma dos números dos quadrinhos ama- Fevereiro 2008 relos usando a adição: D S T Q Q S S 10 1 11 1 12 1 17 1 18 1 19 1 24 1 25 1 26 5 162. 1 2 Outra forma mais simples de obter o resultado é multiplicar 3 4 5 6 7 8 9 por 9 o número do quadrinho amarelo central: 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9 3 18 5 162. b) Vamos calcular a soma dos quadrinhos azuis usando a adição: 24 25 26 27 28 29 7 1 8 1 9 1 14 1 15 1 16 1 21 1 22 1 23 5 135. Agora, usando a multiplicação: 9 3 15 5 135. Peça aos alunos que investiguem a soma de outros agrupamentos de nove quadrinhos. Incentive o trabalho com o cálculo mental.

c) Se subtrairmos 10 unidades de cada parcela, o que vai acontecer com o total? Diminuirá em 20 unidades.

M C D U

d) Se aumentarmos uma das parcelas em 10 unidades e diminuirmos a outra em 10 unidades, o que vai acontecer com a soma? Permanecerá a mesma.

M C D U

M C D U

M C D U

2

4

2

1 210

2

4

1

1

2

4

2

1 110

2

4

3

1

1 4

5

2

3 210 1 4

5

1

3

1 4

5

2

3 210 1 4

5

1

3

6

9

4

4

9

2

4

6

9

4

4

9

4

4

6

2. Efetue a subtração. A seguir, você vai descobrir interessantes propriedades de uma subtração.

a) Se subtrairmos o resto do minuendo, que valor encontraremos? o subtraendo

2

6

M

C

D

U

7

8

6

9

minuendo

3

2

1

4

subtraendo

4

6

5

5

diferença ou resto

b) Se adicionarmos o resto ao subtraendo, que valor encontraremos? o minuendo

M C D U

M C D U

7

8

6

9

3

2

1

4

2 4

6

5

5

1 4

6

5

5

3

2

1

4

7

8

6

9

c) Se o minuendo aumentar em 10 unidades, o que vai acontecer com a diferença? Aumentará em 10 unidades.

d) Se aumentarmos o minuendo em 10 unidades e diminuirmos o subtraendo em 10 unidades, o que acontecerá com o resto? Aumentará em 20 unidades.

M C D U

M C D U

M C D U

M C D U

7

8

7

9

7

8

6

9 110

7

8

7

9

7

8

6

9 110

2 3

2

1

4

2 3

2

1

4

2 3

2

1

4 210 2 3

2

0

4

4

6

5

5

4

6

6

5

4

6

5

5

6

7

5

e) Se adicionarmos 10 unidades ao minuendo e 10 unidades ao subtraendo, o que acontecerá com a diferença? Permanecerá a mesma.

M C D U

4

M C D U

7

8

6

9 110

7

8

7

9

2 3

2

1

4 110 2 3

2

2

4

4

6

5

5

6

5

5

4

Após a atividade dos alunos, destaque que, numa subtração, quando somamos o mesmo valor ao minuendo e ao subtraendo, a diferença não se altera. Destaque, também, que, quando subtraímos o mesmo valor do minuendo e do subtraendo, a diferença não se altera.

47

3. Efetue a multiplicação. Depois, você vai descobrir importantes propriedades da multiplicação. a) Se dividirmos o produto por um dos fatores, que valor encontraremos? o valor do outro

1 2 3 8

9 6

b) Se triplicarmos o menor fator, por quanto fica multiplicado o produto? por 3

fator 9 6 8

9 6 12

2 8

D U

2 9 6 U

1 6

1 2

0 0 8

2 1 6 0 0

4. Efetue a divisão. Depois, você vai descobrir importantes propriedades de uma divisão.

a) Se multiplicarmos o quociente pelo divisor e ao resultado adicionarmos o resto, que número vamos obter? o dividendo

1

1 2 3 8

33

1 2 3 2 4

3 3 96 5 288

4 8 1 2 4 0 2 8 8



9 6

9 9 9 8 2 8 1 2 4 1 9 2 1 6 3 9 2 3 2 0 7

b) Se aumentarmos o dividendo em 1 unidade, o que acontece com o quociente? E com o resto? Ao dividirmos 1 000 por 8 obtemos 125 como quociente e resto igual a 0.

1 3 1 2 4 3 8

9 9 2 1 7

9 9 2

9 9 9

c) Se aumentarmos o divisor em 1 unidade, o que acontece com o quociente? E com o resto? Ao dividirmos 999 por 9, obtemos

9 9 9 8 2 8 1 2 4 1 9 2 1 6 3 9 2 3 2 0 7

1 0 0 0 8 2 8 1 2 5 2 0 2 1 6 4 0 2 4 0 0 0

111 como quociente e resto 0.

9 9 9 8 2 8 1 2 4 1 9 2 1 6 3 9 2 3 2 0 7

48

9 9 9 9 2 9 1 1 1 0 9 2 9 0 9 2 9 0

d) S e diminuirmos o dividendo em 7 unidades, o que acontece com o quociente? E com o resto? O quociente continua igual a 124, e o resto será 0. 9 9 9 8 2 8 1 2 4 1 9 2 1 6 3 9 2 3 2 0 7

9 9 2 8 2 8 1 2 4 1 9 2 1 6 3 2 2 3 2 0 0

Unidade 5

Múltiplos e divisores de um número natural

A partir dos conhecimentos já construídos pelos alunos sobre a multiplicação e a divisão com números naturais, são introduzidos os conceitos de múltiplo e de divisor. Na seção Produção, explora-se o conceito de múltiplo de um número natural usando tirinhas coloridas (Material Cuisenaire adaptado em papel quadriculado). Comparando as diversas tirinhas, os alunos vão fazendo suposições sobre quais são as maneiras possíveis de compor uma tirinha a partir de outra; as suspeitas vão cedendo lugar às certezas, e das descobertas empíricas, observando padrões e regularidades nas sequências obtidas, descobrem relações e propriedades, passando a identificar os múltiplos de um número natural. Em diversas atividades, o aluno é incentivado a identificar as relações entre múltiplos e divisores de um número natural. É imprescindível que o aluno tenha a oportunidade de levantar hipóteses sobre os conceitos de múltiplo, divisor, divisível e de divisibilidade, para testá-las e tirar conclusões sobre estes importantes conceitos, aplicando-os na resolução de problemas. Para tanto, foram propostas diversas situações-problema do cotidiano dos alunos, envolvendo os conceitos de divisibilidade, menor múltiplo comum, maior divisor comum, números primos e números compostos.

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Explorando padrões geométricos em um trabalho com múltiplos Utilizando um quadro com números de 0 a 99, é possível sequência de múltiplos de um número natural. Por exemplo: 1. Solicite aos alunos: “Pinte suavemente de amarelo o quadrinho com 1 0 zero e, depois, conte de 2 em 2 quadrinhos e pinte 10 11 de amarelo sempre o segundo quadrinho.” Em seguida, peça: “Agora, pinte suavemente de 20 21 azul o quadrinho com zero e, depois, conte de 3 30 31 em 3 quadrinhos e pinte de azul sempre o terceiro quadrinho.” 40 41

produtos da tabuada de multiplicação por 2.)

◆◆

azul?” (Os números representam a sequência de produ-

2

3

4

5

6

7

8

9

12

13

14

15

16

17

18

19

22 23 24 25 26 27 28 29 32 33 34 35 36 37 38 39 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Editoria de arte

2. Pergunte aos alunos: a) “O que vocês observam na sequência dos números dos quadrinhos que foram pintados de: ◆◆ amarelo?” (Os números representam a sequência de

explorar padrões geométricos na

tos da tabuada de multiplicação por 3.)

O objetivo é estimular o aluno a identificar a multiplicação como uma adição sucessiva de uma mesma parcela, que, neste exemplo, para os quadrinhos amarelos é 2 (múltiplos de 2) e para os quadrinhos azuis é 3 (múltiplos de 3). b) “A mistura do amarelo com o azul fez com que alguns quadrinhos ficassem com cor verde. O que vocês observam na sequência dos números dos quadrinhos com cor verde?” (Os números representam a sequência de produtos da tabuada de multiplicação por 6.)

49

3. É importante que os alunos concluam que no mosaico pintado destaca-se em: ◆◆ amarelo e verde os quadrinhos com a sequência dos múltiplos de 2 menores que 100. ◆◆ azul e verde os quadrinhos com a sequência dos múltiplos de 3 menores que 100. ◆◆ apenas em verde os quadrinhos com a sequência dos múltiplos de 6 menores que 100. Desta forma, o aluno poderá verificar que os múltiplos de 6 são múltiplos comuns de 2 e 3, pois 2 3 3 é a decomposição de 6 em fatores primos. 4. Utilizando o mesmo quadro com números de 0 a 99, é possível explorar outros padrões geométricos a partir de sequências de múltiplos de um número natural.

ATIVIDADE 2 ■ Formando grupos para obter os divisores de um número natural Para a realização desta atividade, proponha inicialmente a construção do tabuleiro. 1. Solicite a cada aluno que: a) Com o auxílio de uma régua, divida uma folha de papel sem pauta em 10 partes iguais. b) Usando botões comuns, combine com um amigo o número total de botões que vocês usarão para formar grupos, cada um com a mesma quantidade de botões, sem que sobrem botões. Vamos supor que os alunos tenham optado por trabalhar com 40 botões: Assim, posso formar 8 grupos de 5 botões, pois 8 3 5 5 40.

Também posso formar 5 grupos de 8 botões, pois 5 3 8 5 40.

Cartoon Estúdio

São 40 botões no total.

Desta maneira, os alunos identificarão, de forma lúdica, alguns dos divisores do número escolhido de botões para formar grupos. No caso do exemplo acima, é possível perceber que 5 e 8 são fatores de 40. Também podemos dizer que 5 e 8 são divisores de 40.

50

2. Peça aos alunos que, a partir de uma quantidade total de botões, investiguem todas as possibilidades de formar grupos, cada um com a mesma quantidade, sem que sobrem botões fora dos grupos. O tabuleiro pode auxiliar nessa investigação. Oriente os alunos a fazer o registro de cada verificação em uma tabela, como a que mostramos a seguir: Número total de botões

Número de grupos

Número de botões por grupo

40

;

5

5

8

, pois

8

3

5

5

40

40

;

8

5

5

, pois

5

3

8

5

40

40

;

10

5

4

, pois

4

3

10

5

40

40

;

4

5

10

, pois

10

3

4

5

40

40

;

2

5

20

, pois

20

3

2

5

40

40

;

20

5

2

, pois

2

3

20

5

40

40

;

1

5

40

, pois

40

3

1

5

40

40

;

40

5

1

, pois

1

3

40

5

40

Assim, pode-se chegar facilmente aos divisores de 40. 2 3 20 5 40 ou 20 3 2 5 40 5 3 8 5 40 ou 8 3 5 5 40

Os divisores de 40 são:

1

2

4

5

8

10

20

40

4 3 10 5 40 ou 10 3 4 5 40 1 3 40 5 40 ou 40 3 1 5 40

3. Trabalhando com diferentes quantidades de botões para formar grupos, cada um com a mesma quantidade, sem que sobrem botões fora dos grupos, o aluno compreenderá melhor os conceitos de fatores e divisores de um número natural. Ao escolher um número primo de botões, como, por exemplo, 31 botões, o aluno perceberá que só é possível formar 31 grupos de 1 botão (31 : 31 5 1, pois 1 3 31 5 31) ou 1 grupo de 31 botões (31 : 1 5 31, pois 31 3 1 5 31). Portanto, concluirá que 31 tem apenas dois divisores: o número 1 e o número 31.

51

Unidade 6

Números fracionários e Medidas

A partir de diferentes usos no contexto social, o trabalho com números racionais representados na forma fracionária é retomado e ampliado nesta Unidade, com destaque para situações-problema que envolvem medidas usadas no dia-a-dia. Trabalha-se inicialmente com a relação parte-todo, em que o todo é dividido em partes equivalentes (frações de figuras). Trabalha-se também com frações de uma quantidade em que o todo é dividido em grupos com o mesmo número de elementos. Estimula-se ainda o trabalho com estimativas envolvendo números fracionários. Na seção Qual é a chance? da página 141 é proposto um trabalho com bandeiras no qual a fração, como uma razão, é explorada no cálculo de possibilidades e de probabilidades. Dando continuidade à integração entre os temas Números e Medidas, propõem-se atividades 1 1 hora, em que os números fracionários indicam medidas usadas no dia-a-dia, tais como: 4 2 3 m etc. É importante explorar oralmente situações do cotidiano que envolvem de quilograma, 4 expressões como “metade de”, “um quarto de”, “meia hora”, “meio quilo”, “meio a meio” etc., para facilitar a compreensão do conceito de fração pelos alunos. Na seção Produção é proposta a construção de um jogo de frações, que pode ser utilizado em algumas atividades sobre equivalência ou simplificação de frações. A partir do uso do jogo na resolução de diversas situações-problema apresentadas, é possível retomar e aprofundar a noção de fração, sua representação e a comparação de números fracionários. É comum que, gradativamente, à medida que constrói os conceitos, o aluno, por opção própria, deixe de usar o jogo. Notícias em jornais ou revistas fornecem uma boa fonte de informações para o estudo das porcentagens de maneira contextualizada. Foram explorados, assim, temas como a reciclagem do lixo, a parte da superfície da Terra coberta por água, a quantidade de água potável no mundo, o gasto de energia elétrica em uma casa etc. Na seção Qual é a chance? da página 155 o cálculo de probabilidades é apresentado na forma de percentuais. Foram apresentadas diversas situações-problema envolvendo operações com frações, de modo que os alunos possam ampliar suas possibilidades de interpretação e resolução de problemas, priorizando procedimentos de cálculo já estudados e interpretados por eles no estudo dos números naturais, procurando-se enfatizar sempre a análise das diferentes estratégias de solução.

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Um jogo de frações com um Tangram diferente Este jogo é composto por um tabuleiro quadrado dividido em 8 triângulos iguais e um quebra-cabeça de 5 peças (3 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo). Cada triângulo no tabuleiro re1 do inteiro. presenta 8

52

3 cm

1 8

3 cm

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

3 cm

Ilustrações: Editoria de arte

1. Veja a seguir o modelo de tabuleiro e o das peças do quebra-cabeça:

3 cm

Para o trabalho com os alunos, é interessante que cada dupla tenha um tabuleiro e um quebra-cabeça. 2. Veja abaixo algumas figuras que podem ser compostas com as 5 peças do quebra-cabeça.

árvore

ave

torre

barco

3. Veja a seguir algumas propostas de atividades para o trabalho com frações. a) Peça aos alunos que coloquem os 3 triângulos do quebra-cabeça sobre o tabuleiro, de forma a compor um retângulo.

1 8

1 8

1 8

1 8

◆◆

Quantos oitavos ficaram “cobertos” pelas 3 peças? 4 oitavos ou

◆◆

Quantos oitavos ficaram “descobertos”? 4 oitavos ou

◆◆

Com os 3 triângulos foi possível “cobrir”:

4 . 8

4 . 8

( ) menos que a metade do tabuleiro. ( x ) exatamente a metade do tabuleiro. ( ) mais que a metade do tabuleiro.

53



1 8

Existem 3 soluções possíveis: os 3 triângulos; o quadrado e os 2 triângulos menores; o paralelogramo e os 2 triângulos menores.

1 8

1 8

1 8

1 8 1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

Ilustrações: Editoria de arte

b) Proponha aos alunos que escolham 3 peças do quebra-cabeça, com as quais possam “cobrir” exatamente a metade do tabuleiro.

1 8 1 8

c) Proponha aos alunos que escolham 2 peças do quebra-cabeça, com as quais possam “cobrir” metade das casas do tabuleiro, ou seja, 4 casas.



1 8

Existem 3 soluções possíveis: o quadrado e o paralelogramo; o quadrado e o triângulo maior; o paralelogramo e o triângulo maior.

1 8

1 8

d) Com uma peça é possível cobrir corresponde a cobrir

1 8

1 8 1 8

1 do tabuleiro? Qual seria? 4

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

Sim. É fácil verificar que

1 do tabuleiro 4

2 . Assim, existem 3 opções: com o quadrado, com o triângulo maior ou com o paralelogramo é possível 8

2 do tabuleiro. 8

e) Quais as peças que você usaria para cobrir

3 do tabuleiro? Existem 4 soluções possíveis: com os 3 triân4

gulos e o paralelogramo; com os 3 triângulos e o quadrado; com o quadrado, os 2 triângulos menores e o paralelogramo; com o quadrado, o paralelogramo e o triângulo maior.

f) Peça aos alunos que cubram o tabuleiro com as 5 peças do quebra-cabeça. Quantos oitavos ficarão “sem cobrir” se retirarmos: ◆◆

o triângulo maior?

2 8

◆◆

um dos triângulos menores? 1 8

1 8

54

1 8

1 8

◆◆

1 8

o quadrado?

1 8

2 8

ATIVIDADE 2 ■ Jogo de frações com tiras

Editoria de arte

Para trabalhar diversas situações-problema que envolvam frações com outros denominadores, sugere-se a confecção de um jogo de frações com tiras retangulares, que podem ser reproduzidas e recortadas para a manipulação pelos alunos. 1 (o inteiro)

1 4

1 8

1 9 1 10

1 2

1 3

1 6 1 5 1 7

1 8

1 8 1 6

1 9 1 10

1 4

1 7

1 9

1 10

1 5

1 8

1 9

1 6

1 10 1 7

1 10

1 9 1 5 1 7

1 4

1 8

1 3

1 6

1 10

1 2 1 8

1 9 1 10 1 7

1 5

1 8

1 9

1 6

1 4 1 3 1 9

1 10

1 7

1 8

1 10

1 6 1 5 1 7

1 9 1 10

Peça aos alunos que, usando o jogo de frações, investiguem a solução de situações-problema que envolvam: a) a comparação de frações de um mesmo inteiro 4 1 ◆◆ O que é maior: a parte da tira que representa ou a parte que representa ? Comparan8 2 do a parte da tira correspondente a facilmente que

◆◆

1 4 1 com a parte que representa (quatro partes de lado a lado), perceberá 2 8 8

1 4 5 . 2 8

O que é menor: a parte da tira que representa

3 2 ou a parte que representa ? Comparando 6 3

3 1 2 1 (três partes de lado a lado) com a parte que representa (duas partes de 6 6 3 3 3 2 lado a lado), perceberá facilmente que , . 6 3

a parte da tira correspondente a

b) a ideia de equivalência de frações ◆◆

1 são necessárias para cobrir a parte que repreQuantas partes da tira que representa 9 1 senta ? Usando as tiras, o aluno perceberá facilmente que serão necessárias três partes de 19 para cobrir uma 3 parte da tira que corresponde a

◆◆

Quantas partes de

(

)

1 3 1 5 . 3 9 3

1 4 são necessárias para cobrir a parte que representa ? 9 6

com as tiras, o aluno perceberá facilmente que serão necessárias seis partes de corresponde a

(

Novamente

1 para cobrir a parte da tira que 9

)

4 6 4 5 . 6 9 6

55

c) as ideias de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações 1 1 ◆◆ Colocando lado a lado uma parte da tira que representa e uma parte que representa , 3 6 que fração da tira obtemos? Colocando lado a lado as partes solicitadas, o aluno verificará que 13 1 16 5 12 . ◆◆

De uma tira inteira, “tirando” sentam

◆◆

5 , quanto “sobra”? Compondo a tira inteira com as partes que repre7

1 2 e depois “tirando” 5 das 7 partes, o aluno compreenderá que sobra . 7 7

Quantas partes de

1 1 “cabem” sobre a parte da tira que representa ? Com as tiras, o aluno 10 2

verificará que “cabem exatamente” cinco partes de

◆◆

1 1 sobre 10 2

Qual é a parte da tira que corresponde à metade de pode ser representado por dois décimos

Unidade 7

1 1 :25 . 5 10

53

1 1 1 1 5 , ou ainda, : 5 5. 10 2 2 10

1 ? Usando as tiras, o aluno perceberá que 5

1 5

Números decimais e Medidas

O trabalho com números racionais representados na forma decimal é introduzido a partir de informações retiradas de jornais ou revistas. Nas representações referentes ao sistema monetário ou mesmo nos resultados de medições apresentados na forma de tabelas e gráficos, os alunos facilmente perceberão que os números racionais escritos na forma decimal aparecem no dia-a-dia com frequência maior do que os representados na forma fracionária. O uso das calculadoras contribuiu muito na divulgação dos números racionais na sua forma decimal. Desse modo, o recurso às calculadoras foi bastante explorado no trabalho com a escrita decimal associada à divisão sucessiva de 1000 por 10, obtendo-se como quocientes 100; 10; 1; 0,1; 0,01 e 0,001, e nas operações com números decimais. São apresentados ainda números inteiros escritos com vírgula. Tais números, muito utilizados pela mídia, representam grandes quantidades de maneira sintética, para facilitar sua leitura. Foi citada, por exemplo, uma notícia publicada num jornal que mencionava a idade do crânio mais antigo da América já encontrado: 11,68 mil anos. Sem a vírgula, este número pode ser assim escrito: 11 680. Foi ainda citado, de uma outra notícia em jornal, que a produção brasileira de litros de leite em 2002 foi de 21,6 bilhões de litros. O que se pretende é que o aluno perceba as diferentes utilizações dos números escritos com vírgula. É importante que a criança seja incentivada a buscar outras informações nas quais apareçam números, decimais ou naturais, escritos com vírgula. Este é um momento bastante adequado também para se trabalhar com o cálculo mental e com estimativas de medidas.

56

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Usando a estimativa para descobrir onde colocar a vírgula

PhotoDisc

Fotos: Corel Stock Photo

Proponha situações-problema que envolvam estimativas de medidas. Peça aos alunos que observem bem cada animal (nas fotos pode-se ter uma falsa impressão do tamanho real de cada um deles). Faça algumas perguntas sobre os três animais para facilitar a comparação das massas: “Qual desses três animais é o mais leve? Qual é o mais ‘pesado’?”. A seguir peça que usem a estimativa para decidir em que posição colocar a vírgula em cada caso. Veja os exemplos: Qual a massa aproximada de cada animal? Coloque a vírgula que está faltando para indicar quantos quilogramas tem cada animal.

Coiote

34 quilogramas

Urso polar 340,0 kg

3400 kg

340 quilogramas

Coelho 3,400 kg

3400 kg

3 quilogramas e 400 gramas

PhotoDisc

AnimalsAnimals/Keystone

34,00 kg

3400 kg

Dromedário 500,00 kg

50000 kg 500 quilogramas

Gato 5,0000 kg

50000 kg

Elefante africano

5 quilogramas

5 000,0 kg

50000 kg

5 000 quilogramas

Também é possível elaborar situações-problema deste tipo explorando dados como o comprimento e a altura dos animais.

1. Não atinja nem passe de 1 inteiro Este jogo, que trabalha a adição de décimos com décimos, é disputado entre duas pessoas. a) Peça aos alunos que tirem na sorte quem deve iniciar o jogo. b) Quem iniciar o jogo deverá anotar em uma folha um dos seguintes números: 0,1 ou 0,2 ou 0,3 ou 0,4. c) O outro jogador adiciona ao número anotado um segundo número, que também deve ser escolhido entre 0,1 ou 0,2 ou 0,3 ou 0,4. E assim sucessivamente. d) Perde a partida o primeiro que obtiver total maior ou igual a 1 inteiro.

Adalberto Cornavaca

ATIVIDADE 2 ■ Explorando jogos com números decimais

ORGANIZE NOVAS DUPLAS PARA QUE OS ALUNOS JOGUEM COM OUTROS COLEGAS DE TURMA.

57

ATIVIDADE 3 ■ Explorando diferentes estratégias na resolução de situações-problema com números decimais A partir de uma mesma situação-problema é possível desafiar os alunos a encontrar diferentes estratégias para a resolução. 1. Proponha aos alunos, por exemplo, uma situação-problema como a que apresentamos a seguir: O pau-de-novato ou novateiro ou pau-de-formiga pode alcançar até 18 metros de altura, e suas folhas grandes atingem até 30 centímetros de comprimento. Quantas vezes o comprimento da folha “cabe” na altura da árvore? 2. Fale aos alunos: “Eu quero que vocês investiguem uma estratégia para resolver o problema usando a calculadora e outra fazendo os cálculos por escrito”. 3. Converse com os alunos sobre os dados que aparecem no problema. Pergunte sobre as unidades de medida que aparecem no enunciado. É importante que cada aluno conclua que deve trabalhar com a mesma unidade de medida de comprimento. Se optar por trabalhar com: ◆◆ centímetros, deverá utilizar: altura da árvore 18 m 5 1 800 cm e comprimento da folha 30 cm. ◆◆ metros, as medidas serão: altura da árvore 18 m e comprimento da folha 30 cm 5 0,3 m. 4. Veja algumas das descobertas que podem surgir na sala de aula: a) Usando a calculadora, o aluno pode perceber, por exemplo, que: 30 cm 1 30 cm 1 30 cm 1 30 cm 1 30 cm 1 30 cm 5 180 cm e subtrair 180 cm de 1 800 cm, sucessivamente, observando que 180 cm “cabe” 10 vezes em 1 800 cm. Logo, 30 cm “cabe” 6 3 10 vezes em 1 800 cm, ou seja, 30 cm “cabe” 60 vezes em 1 800 cm. b) Da mesma forma, usando a calculadora, o aluno pode perceber, por exemplo, que: 0,3 m 1 0,3 m 1 0,3 m 1 0,3 m 1 0,3 m 1 0,3 m 5 1,8 m e subtrair 1,8 m de 18 m, sucessivamente, observando que 1,8 m “cabe” 10 vezes em 18 m. Logo, 0,3 m “cabe” 6 3 10 vezes em 18 m, ou seja, 0,3 m “cabe” 60 vezes em 18 m. c) Fazendo cálculos por escrito, podem surgir estratégias como: altura da árvore: 18 m 5 1 800 cm ou altura da árvore: 18 m comprimento da folha: 30 cm comprimento da folha: 30 cm 5 0,3 m 1 800 cm : 30 cm 5 60 60 vezes 18 m : 0,3 cm 5 60 60 vezes Podem surgir entre os alunos outras estratégias com ou sem o uso da calculadora. É muito interessante discutir com a turma as diferentes propostas de resolução, para o amadurecimento dos alunos no que se refere às habilidades ligadas à elaboração de estratégias para a resolução de situações-problema.

58

Silvestre Silva

2. Não obtenha diferença igual a zero Este jogo, que trabalha a subtração sucessiva de décimos, também é disputado entre duas pessoas, como o jogo anterior. a) Peça aos alunos que tirem na sorte quem deve iniciar o jogo. b) Quem iniciar o jogo deverá anotar em uma folha 1 inteiro e subtrair um dos seguintes números: 0,1 ou 0,2 ou 0,3 ou 0,4. c) O outro jogador subtrai da diferença obtida pelo jogador anterior um segundo número que também deve ser escolhido entre 0,1 ou 0,2 ou 0,3 ou 0,4. E assim sucessivamente. d) Perde a partida o jogador que obtiver diferença igual zero.

Unidade 8

Medidas

As situações apresentadas nesta Unidade têm por objetivo aprofundar o estudo das medidas que já vinha sendo desenvolvido nos anos anteriores, com as medidas de tempo, de comprimento e de massa. Na sequência, introduz-se a medida de temperatura. Para tanto, foram apresentadas diversas situações de medidas do cotidiano. Exploraram-se atividades em que o aluno deve identificar instrumentos de medida, trabalhando com a ideia de comparar medidas de mesma espécie: comprimento com comprimento, massa com massa, temperatura com temperatura etc. Na seção Lendo e construindo gráficos e tabelas, uma interessante atividade é proposta aos alunos: a observação, durante dez dias, das condições de tempo e de temperatura. Veja a atividade 3 proposta nesta unidade. O resultado dessas observações deve ser anotado numa tabela e apresentado num gráfico. Mais uma vez, o que se pretende é a integração entre os diversos campos da Matemática (Números, Medidas, Tratamento da Informação). Ao longo desta Unidade, os alunos são levados a compreender os procedimentos de medida, os padrões mais utilizados, explorando-se tanto estratégias pessoais de medição quanto o uso de instrumentos, tais como a fita métrica, a balança, o termômetro etc. São também apresentadas atividades contemplando a estimativa de medidas e medidas não padronizadas.

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Usando o pé para medir comprimentos Peça aos alunos que realizem algumas medições usando o pé. 1. Solicite que meçam o comprimento e a largura da quadra de esportes ou o comprimento e a largura do pátio da escola, por exemplo, e anotem em uma tabela como a seguinte as medidas encontradas. Medida a ser tomada

Número de pés que obtive

Comprimento da quadra Largura da quadra

Depois, peça que comparem as medições realizadas com as de seus colegas, para ver se a medida encontrada é a mesma.

2. Solicite a cada aluno que contorne o pé em uma folha de papel. Depois, peça que meçam, em centímetros, o comprimento do próprio pé. 3. Explore a conversão das medidas que o aluno registrou na tabela para centímetros e para milímetros. Por exemplo: Medida a ser tomada

Números de pés obtidos

Transformando pés em centímetros

Transformando pés em milímetros

Comprimento da quadra

pés

3

5

cm

3

5

mm

Largura da quadra

pés

3

5

cm

3

5

mm

59

Solicite que comparem as medidas registradas em pés e as transformadas em centímetros com as de outro colega. Novamente, espera-se que os alunos percebam que o número de pés obtidos para uma mesma medida pode ser diferente, pois nem todos têm o mesmo tamanho de pé. No entanto, ao compararem as medidas transformadas em centímetros, perceberão que os valores obtidos em uma mesma medida são bem próximos. ATIVIDADE 2 ■ Conhecendo uma antiga relação para calcular o tamanho de uma meia Cartoon Estúdio

Aqui os alunos devem trabalhar em duplas. Um aluno fecha a mão. O outro corta um pedaço de barbante do tamanho de uma volta da mão fechada do colega, como mostra a figura. Depois, comparam o comprimento do barbante com o comprimento do pé do mesmo colega.

Cartoon Estúdio

Os alunos perceberão que esses comprimentos são aproximadamente iguais. Essa coincidência ainda é usada por pessoas que tricotam meias. A relação entre os dois comprimentos também pode ser usada na hora de comprar meias. Como, geralmente, não é permitido experimentar para checar se o tamanho está bom, basta verificar se da ponta da meia até ao calcanhar é possível dar uma volta na própria mão fechada. ATIVIDADE 3 ■ Observando e registrando as condições de tempo e temperatura

Editoria de arte

Proponha aos alunos uma atividade de observação e registro como a apresentada nas páginas 194 e 195. Para isso, será preciso providenciar um termômetro. Fale aos alunos: “Que tal repetirmos a experiência feita pela turma de Lúcia? Durante 10 dias, vocês irão observar as condições de tempo e temperatura sempre numa mesma hora do dia, que pode ser, por exemplo, a hora do início ou do retorno do recreio. Vocês farão as anotações em uma tabela como esta que iremos fixar aqui no mural, mas cada um terá que anotar também no próprio caderno.

Dia da semana

Temperatura em oC Céu claro Parcialmente nublado

Nublado

Pancadas de chuva

Chuva

Com os dados da tabela, vocês farão em grupo um gráfico. Depois, os gráficos serão expostos no mural, para que todos os colegas da escola possam apreciar o trabalho de vocês”.

60

ATIVIDADE 4 ■ Explorando estratégias de cálculo mental com horas e minutos Proponha situações-problema que desenvolvam o cálculo mental com horas e minutos. Veja alguns exemplos: 1. Paulo treina pingue-pongue duas vezes por dia. Ele está se preparando para um campeonato. Pela manhã ele joga com o irmão por 1 hora e 20 minutos; na parte da tarde, joga com a irmã por mais 1 hora e 20 minutos. a) Quanto Paulo treina por dia? 1 h e 20 min 1 1 h e 20 min 5 2 h e 40 min

b) Quantos minutos ele treina por dia? 2 h e 40 min 5 2 3 60 min 1 40 min 5 5 120 min 1 40 min 5 160 min

2. Cecília tem 2 horas e 20 minutos de aula antes do recreio e 1 hora e 50 minutos após o recreio. a) Quantos horas de aula Cecília tem por dia? 2 h e 20 min 1 1 h e 50 min 5 3 h e 70 min

b) Quantos minutos de aula ela tem por dia? 4 h e 10 min 5 4 3 60 min 1 10 min 5

3 h 1 60 min 1 10 min

Unidade 9

4 h e 10 min

5 240 min 1 10 min 5 250 min

Espaço e forma

O estudo da Geometria é retomado nesta Unidade. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar padrões e regularidades etc. Estudos sobre os estágios do pensamento geométrico indicam que o primeiro deles é a visualização. Visualizar, representar, compor e decompor, discernir sobre as características de uma figura são ações que envolvem o pensamento geométrico e que levam o aluno ao reconhecimento das figuras bidimensionais e à identificação de suas propriedades. Não se deve priorizar a formalização precoce de conceitos; os estágios subsequentes do pensamento geométrico, a dedução e o rigor não devem ser trabalhados com crianças desta faixa etária. É fundamental que o aluno seja estimulado a progredir na sua capacidade de estabelecer pontos de referência no plano. Nas seções Brincando com percursos foram propostas diversas atividades de localização, em que ele é convidado a situar-se num determinado ponto da malha e deslocar-se nela, a partir de instruções, tais como girar à direita ou à esquerda, deslocando-se a uma determinada distância, e comparar sua localização final com a dos colegas. Outro procedimento importante a ser explorado é o da construção de itinerários, a partir de instruções dadas. Partindo-se de deslocamentos e de giros (um quarto de volta, meia volta, um oitavo de volta etc.), foi explorado o conceito de ângulo. Dessa maneira, evitando-se definições, procurou-se ressaltar, a partir de situações significativas, uma das possibilidades mais fascinantes do ensino da Geometria, que consiste em levar a criança a perceber e a valorizar a presença da Matemática no seu cotidiano.

61

Numa proposta de integração entre os temas da Matemática (Números, Medidas e Geometria), o conceito de ângulo foi também trabalhado no relógio, associando-se frações de hora aos giros e ângulos formados entre os ponteiros. No decorrer dessas atividades, o aluno terá oportunidade de efetuar a adição de frações, como resultado de giros consecutivos dos ponteiros do relógio. Retomando-se o estudo dos polígonos, foram aprofundados os conhecimentos em relação à sua classificação quanto ao número de lados (e, consequentemente, de ângulos e de vértices) e à percepção da simetria como característica de algumas figuras e não de outras, identificando-se assim os polígonos regulares. Foram também propostas diversas atividades de estimativa de medidas de ângulos.

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Explorando ilusões de ótica em figuras geométricas Proponha ilusões de ótica que exploram algumas das ideias geométricas trabalhadas: Editoria de arte

1. Será que as retas horizontais são paralelas? Incentive os alunos a criar estratégias para verificar se as retas horizontais são paralelas ou não. Podem surgir ideias como: ajustar uma régua na primeira reta horizontal e deslizá-la lentamente na direção das outras retas horizontais; dobrar a folha em uma das retas paralelas para verificar se há sobreposição das retas da figura; colocar a figura sobre uma folha de caderno para comparar as retas com as retas paralelas do caderno; etc. Editoria de arte

A

2. O ponto B está mais próximo do ponto A (um dos vértices do triângulo) ou do ponto C (que está na base do triângulo)? Os alunos ficarão surpresos ao constatar que a medida de B até A é a mesma de B até C. ATIVIDADE 2 ■ Explorando o jogo Ligando pontos

B

C

Preparando o material Construa um quadro de 10 cm de altura por 10 cm de largura. Cada jogador deve usar uma caneta ou lápis. Como jogar Trata-se de um jogo para dois participantes: um deve marcar pares de pontos identificados pelas letras de A a I, dentro do quadro; o outro deve unir, com uma linha, os pares de pontos, começando pelos pontos A, depois os pontos B, os pontos C e assim sucessivamente. Para unir os pares de pontos identificados pela mesma letra, o competidor deve observar as seguintes regras: ◆◆ Não cruzar nenhuma outra linha. ◆◆ Não tocar outras letras. ◆◆ As linhas traçadas não devem sair do espaço do quadro.

62

I

Quem vence Quando o participante consegue unir todos os pares de pontos de uma mesma letra, obedecendo as regras, ele vence. Se, entretanto, ele se engana, cruzando uma linha, tocando alguma letra ou saindo do quadro, considera-se que ele perdeu a partida. Nesse caso, o vencedor é o participante que escreveu os pares de pontos. Após cada jogada, invertem-se os papéis: o que marca os pontos passa a uni-los.

H

F C

J

E

B

A 10 cm

E

G D

G

B A

I

D

F

H

C

10 cm

ATIVIDADE 3 ■ Explorando o jogo Traçando segmentos sem tirar o lápis do papel Este jogo pode ser trabalhado individualmente ou em grupos. O objetivo é cobrir as linhas tracejadas, para fazer o desenho, sem tirar o lápis do papel nem cobrir mais de uma vez o mesmo tracejado. Contudo, é permitido cruzar um segmento já traçado. Veja, ao lado, a ordem indicada pelas setas em azul para cobrir os tracejados, traçando assim os segmentos que formam a figura.

6

5�

isc

oD

4 s:

to

Fo

3

t ho

P

1

Existem outras soluções.

2

Proponha outras figuras como estas para que os alunos descubram como traçar os segmentos de acordo com as regras do jogo. 7

1

6

8

1

7

2

6

5

3

4

3

4

5

2

5 1

4

7

9

6

2

3

Existem outras soluções.

Peça aos alunos que pesquisem ou criem outras situações desse tipo e que tragam para a escola. Deixe cada grupo apresentar a figura pesquisada ou criada para que os demais grupos encontrem a sequência em que os segmentos devem ser traçados.

63

ATIVIDADE 4 ■ Construindo o contorno de polígonos com canudinhos

1. Para construir o contorno de um triângulo, os alunos devem cortar três pedaços de canudinho, transpassá-los com um barbante e fechar o contorno do triângulo dando um nó no barbante. Dependendo dos tamanhos dos pedaços, os alunos perceberão que, para “fechar” o contorno de um triângulo, o comprimento de dois pedaços juntos deve sempre ser maior do que o terceiro pedaço. 2. Peça que, usando uma régua para medir os comprimentos dos canudinhos, cortem pedaços de canudinhos para construir um contorno de triângulo com: a) os três lados de mesma medida b) dois lados de mesma medida e um lado de medida diferente c) os três lados de medidas diferentes 3. Proponha a construção de outros contornos de polígonos, como, por exemplo: a) com quatro lados de mesma medida b) com cinco lados de mesma medida c) com seis lados de mesma medida d) com um par de lados opostos de mesma medida e outro par com medidas diferentes 4. Também é possível explorar a construção de “esqueletos” de formas geométricas espaciais. Para isso, basta passar varetas por dentro dos canudinhos, para que a armação fique mais rija, e prender as extremidades dos canudinhos com fita adesiva. Veja algumas construções:

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Fotos: Sérgio Dotta Jr/The Next

Esta é uma oficina de trabalho bem simples. Os grupos de alunos irão precisar de canudinhos de refrigerante, barbante, régua, tesoura sem ponta e um pedaço de arame para usar como agulha. Proponha situações que envolvam a construção de polígonos. Veja os exemplos:

ATIVIDADE 5 ■ Estimando a medida de ângulos em objetos Apresente diferentes objetos para que os alunos estimem se o ângulo indicado por você é: menor, igual ou maior que o ângulo reto. 1. Apresente, por exemplo, um triângulo (instrumento musical) usado em fanfarras de escolas. Fale aos alunos: “Vejam, estou segurando um instrumento musical chamado triângulo. Ele tem esse nome porque sua forma lembra o contorno de um triângulo. Observem este ângulo interno que estou indicando. Vocês acham que mede menos de 90°, é igual a 90° ou mede mais de 90°? E os outros dois ângulos desse triângulo?”. (Nesse caso, os 3 ângulos são menores que 90°.)

PhotoDisc

2. Um instrumento bem interessante para este tipo de atividade é o leque. Fale aos alunos sobre o leque, pergunte se alguém sabe para que um leque é usado. Geralmente, ele é usado pelas pessoas para se abanar. Em algumas regiões do Brasil costuma-se usar um leque de palha para atiçar as brasas no fogão a lenha.

Pho

toD

isc

Com o leque, é possível representar diferentes aberturas e, com o desenvolvimento da habilidade de estimar medidas de ângulos, é possível propor situações mais complexas como: “Essa abertura que fiz com o leque representa um ângulo maior ou menor que 150°:”. (Nesse caso, a abertura do leque representa um ângulo menor que 150°. A medida do ângulo representado pelo leque é de aproximadamente 130°.)

ATIVIDADE 6 ■ Usando um geoplano construído com uma tábua e pregos para explorar contornos de polígonos

Fotos: Sérgio Dotta Jr/The Next

Com um geoplano e elásticos, é possível construir contornos de diferentes polígonos. Veja na sequência de fotos:

Com a construção de contornos de polígonos no geoplano podem ser exploradas diferentes ideias geométricas, de forma prazerosa. Peça, por exemplo, que os alunos representem com elásticos no geoplano o contorno de um: a) quadrilátero que tenha os quatro ângulos retos b) quadrilátero que tenha os quatro lados de mesma medida e ângulos diferentes do reto c) triângulo que tenha os três ângulos menores que 90° d) hexágono que apresente apenas dois eixos de simetria As atividades propostas podem ser trabalhadas também em malha pontilhada.

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ATIVIDADE 7 ■ Usando o geoplano para explorar contornos de figuras simétricas Incentive os alunos a construírem, com elásticos, contornos de figuras que apresentem: a) um eixo de simetria (Veja foto ao lado.) b) dois eixos de simetria c) três eixos de simetria

ATIVIDADE 8 ■ Usando dobraduras para verificar a soma dos ângulos internos de um triângulo Uma forma de verificar se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, além daquela proposta na Produção da página 245, é usando dobraduras, como mostra a sequência de fotos:

ATIVIDADE 9 ■ Verificando a soma dos ângulos internos de um quadrilátero

Fotos: Sérgio Dotta Jr/The Next

De forma semelhante à que foi apresentada na Produção da página 245, levando os alunos a verificar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, é possível levá-los a constatar que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. Veja a sequência de fotos.

Unidade 10

Medidas de superfície, volume e capacidade

Retomando-se o estudo das medidas, nesta Unidade são trabalhados os conceitos de área, de volume e de capacidade, conhecimentos de forte relevância social, pelo seu evidente caráter prático e utilitário.

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Escolhe-se uma unidade adequada, compara-se essa unidade com o que se deseja medir (área com área; volume com volume; e capacidade com capacidade) e estabelece-se o número de unidades obtidas. É importante que o aluno perceba que, embora se possa medir usando padrões não convencionais, os sistemas convencionais são importantes na comunicação do resultado da medição. Assim, foram apresentados o centímetro quadrado, o decímetro quadrado e o metro quadrado como unidades padronizadas de medida de superfície. Como unidades de volume, foram apresentados o centímetro cúbico e o decímetro cúbico e, para medir capacidades, foram utilizados nas atividades propostas o litro e o mililitro. Esse tema oferece grande oportunidade de se estabelecerem conexões entre a Matemática e outras áreas, permitindo a utilização da Matemática em projetos interdisciplinares. Assim, por exemplo, ao se trabalhar unidades de área, foi apresentada uma tabela com a extensão territorial dos cinco maiores países do mundo, além de um gráfico comparativo das extensões dos continentes. Foi também proposta uma questão ambientalista: a devastação das florestas no mundo. A estimativa de medidas foi bastante explorada nesta Unidade. Num primeiro momento, os alunos foram convidados a recortar quadrados de jornal, com um decímetro quadrado de área. Depois, deveriam juntar esses quadrados e fazer uma colcha com um metro quadrado e estimar algumas áreas, como a da quadra de esportes da escola, utilizando a colcha para conferir suas estimativas. Para que o aluno tivesse a “ideia” da extensão de um quilômetro quadrado, deveria imaginar um milhão dessas colchas formando um novo quadrado. Tais constatações costumam surpreender os alunos e, por esse motivo, sugerimos que sejam propostas mais atividades de estimativas de medidas.

Sugestões de atividades ATIVIDADE 1 ■ Compondo o mapa estilizado de São Paulo com triângulos retângulos Verificando as fotos da página 255 deste volume, proponha aos alunos a observação dos padrões geométricos, comuns em calçamentos de cidades do estado de São Paulo, que lembram o contorno estilizado do mapa desse estado. Traga para a sala um mapa oficial de tal estado e peça aos alunos que façam a comparação entre os dois contornos.

Cartoon Estúdio

1. Veja como orientar os alunos na construção dos triângulos retângulos que serão utilizados na atividade.

Peça aos alunos que construam 2 quadrados de mesmo tamanho em cartão ou cartolina.

Em seguida, solicite que unam os vértices opostos de cada quadrado com uma régua, dividindo-os em 4 triângulos retângulos de mesmo tamanho, conforme mostra a ilustração.

Agora, oriente-os a recortar os triângulos formados.

67

Editoria de arte

2. Peça aos alunos que construam o mapa estilizado do estado de São Paulo com os 8 triângulos recortados. Fale aos alunos que, se considerarmos este triângulo retângulo como unidade de medida de superfície, a área do mapa estilizado montado é igual a 8 destes triângulos.

3. Incentive os alunos a fazer outras composições com os triângulos. 4. Peça aos alunos que “cubram” algumas superfícies com os triângulos para calcular a área aproximada de cada superfície escolhida. Oriente-os a registrar os resultados obtidos em uma tabela como a que mostramos abaixo. Número de triângulos retângulos usados para cobrir a superfície Superfície medida

Medida aproximada da área

Capa do caderno Capa deste livro Tampo da carteira Tampo da mesa do professor ATIVIDADE 2 ■ Pesquisando e registrando padrões de pavimentação com o traçado de paralelas, concorrentes e perpendiculares

Fotos: Corel Stock Photo

Incentive os alunos em grupos a pesquisar e registrar em diferentes tipos de malhas padrões encontrados em pavimentações, mosaicos, tapetes etc.

A partir da pesquisa, os grupos poderão criar outros padrões, que poderão culminar com uma exposição dos registros feitos.

68

Ilustrações: Editoria de arte

Veja alguns exemplos de registro em: ◆◆ malha quadriculada

◆◆

malha de retângulos

◆◆

malha pontilhada

◆◆

malha de triângulos equiláteros

A partir do trabalho de representação de diferentes padrões de pavimentação, é possível propor atividades como: a) Entregar uma malha a cada aluno ou grupo de alunos com um padrão já iniciado para que os alunos terminem de pintá-la. b) Pedir que os alunos estimem quantas vezes um determinado padrão irá “caber” em uma malha com dimensões fixadas, se continuarem a pintar o mesmo padrão. c) Solicitar que os alunos determinem a área de uma figura já pintada por eles em uma malha, usando como unidade de medida de superfície a figura (padrão) que se repete.

69

ATIVIDADE 3 ■ Explorando o jogo Dominando a área Preparando o material Para jogar, construa uma malha pontilhada de 6 pontos na largura por 6 pontos na altura. Para facilitar, coloque uma folha de papel quadriculado (1 cm por 1 cm) por baixo do papel no qual fará a malha pontilhada e marque os pontos, utilizando os encontros das linhas. Cada jogador vai precisar de uma cor diferente de lápis para pintar a área do quadradinho que dominar.

1 cm 1 cm

Como jogar Este jogo é para ser disputado por dois competidores, mas nada impede que joguem três ou até quatro, desde que se amplie a quantidade de pontos na malha pontilhada. Decide-se a ordem dos jogadores. Cada um, na sua vez, une dois pontos, com um segmento de 1 centímetro, traçado na horizontal ou na vertical. Ao completar o contorno de um quadradinho, o jogador tem direito de pintá-lo com a sua cor e unir mais dois pontos. Se completar mais um contorno de quadradinho, pinta-o e continua jogando. sc di to o Ph O jogo termina quando toda a área de 25 centímes: to Fo tros quadrados estiver pintada. Vence aquele que tiver pintado o maior número de centímetros quadrados, ou seja, a maior área. ATIVIDADE 4 ■ Construindo pilhas de cubos 1o) Oriente os alunos a desenhar um cubo na malha pontilhada. Veja uma representação feita passo a passo:

ilustrações: Editoria de arte

2o) Combine com os alunos que cada um desses cubos desenhados irá representar 1 centímetro cúbico. Em seguida, peça que os alunos desenhem uma pilha com: b) 11 cm3 c) 40 cm3 a) 7 cm3

70

As pilhas apresentadas ao lado são apenas sugestões. Há outras formas de representar uma pilha com o volume solicitado.

Editoria de arte

3o) Quando os alunos já dominarem melhor a representação de pilhas na malha pontilhada, proponha que façam investigações. Por exemplo, peça que desenhem diferentes blocos retangulares com volume de 36 cm3.

Marinez Gomes

Em seguida, solicite que comparem com os colegas os blocos retangulares para verificar outras construções diferentes daquelas que fizeram. Outra sugestão é que os alunos realizem inicialmente os possíveis empilhamentos usando cubinhos do Material Dourado e, na continuidade, registrem os blocos retangulares desejados na malha de pontos.

PROJETOS PROJETO

1

Explorando regularidades, curiosidades e jogos com calculadoras

Este projeto pode ser desenvolvido gradualmente ao longo do ano ou da forma que o professor achar mais adequada.

Objetivo Estas atividades podem ser realizadas individualmente ou em grupo, se nem todos os alunos dispuserem de calculadora. É importante que a calculadora seja simples, para facilitar o trabalho. O uso da calculadora agiliza os cálculos na resolução de situações-problema. O tempo ganho permite que os alunos se detenham mais na elaboração e discussão de estratégias de resolução e os leva a uma maior compreensão dos algoritmos, das propriedades das operações, dos conceitos de estimativa e de aproximação. Espera-se que a calculadora, longe de ser unicamente uma ferramenta para calcular, estimule os alunos a inventar seus próprios algoritmos. ATIVIDADE 1 ■ Explorando o sistema de numeração 1. Digite em uma calculadora as seguintes sequências de teclas: a) 1 ◆

b) 0 ◆

0

0

0

0

0

0

0

Que número apareceu no visor da calculadora? 10 000 000

0

0

0

0

0

0

dez milhões

1

Que número apareceu no visor da calculadora? 1

um

71

2. Faça outras investigações digitando a tecla 0

antes e depois de outras teclas. O que você

concluiu? (Mesmo que se aperte a tecla do zero, ele não aparece no visor da calculadora à esquerda de um número. O zero à esquerda de um número não tem valor.)

3. Observe quantos algarismos é possível digitar no visor da sua calculadora. Geralmente, nas calculadoras mais comuns é possível digitar no máximo 8 algarismos. As soluções apresentadas nos itens abaixo levam em conta esse limite.)

a) Qual o maior número com algarismos diferentes que é possível digitar? 98 765 432 b) Qual o menor número com algarismos diferentes que é possível digitar? 10 234 567 ATIVIDADE 2 ■ Quantos cabem? Quando queremos calcular quantas vezes uma determinada quantidade cabe em outra, usamos geralmente a divisão. Porém, podemos usar também subtrações sucessivas para calcular quantas vezes um número “cabe” em outro. Para saber, por exemplo, quantas vezes 15 “cabe” em 120, podemos usar a seguinte estratégia: a) Digite em uma calculadora o número 120: 1 2 0 . b) Subtraia 15 de 120: 2

1

5

5 .

c) Observe a diferença obtida e continue a subtrair 15 até obter zero no visor. Em seguida, proponha: a) Quantas vezes você subtraiu 15 de 120 até obter zero no visor? 8 vezes b) Agora, calcule em sua calculadora 120 : 15. Qual o quociente que você obteve? 8 c) Compare as respostas dos dois itens anteriores. O que você concluiu? (O número de vezes que se subtraiu 15 de 120 é igual ao quociente de 120 por 15.)

d) Faça outras investigações com seus colegas de grupo. Verifique quantas vezes: ◆◆ 32 “cabe” em 384. 12 ◆◆ 13 “cabe” em 117. 9 ◆◆ 46 “cabe” em 506. 11 ATIVIDADE 3 ■ Investigando curiosidades Vamos fazer algumas operações curiosas usando uma calculadora. Peça aos alunos que... 1o) ... digitem na sequência as teclas

c

Dis oto

Ph

72

,

8

e

7

que aparecem em uma mesma fileira horizontal. Em seguida, subtraiam o número formado quando digitamos as mesmas teclas “de trás para a frente”:

7

9

,

8

e

9

.

Qual a diferença que aparece no visor? 198

,

2o) ... façam o mesmo com outras sequências de três teclas horizontais vizinhas e registrem as diferenças encontradas. 654 − 456 5 198 e 321 − 123 5 198 o 3 ) ... investiguem o que acontece quando exploramos, da mesma forma, as fileiras verticais. A diferença é sempre 594. Exemplos: 741 − 147 5 594; 852 − 258 5 594 e 963 − 369 5 594. 4o) ... escolham, agora, três teclas vizinhas de uma das diagonais e calculem a diferença entre o maior e o menor número que conseguem formar usando as três teclas na sequência. 951 − 159 5 792 e 753 − 357 5 396 ATIVIDADE 4 ■ Mais curiosidades Vamos fazer outras operações curiosas usando uma calculadora. Peça aos alunos que... 1o) ... digitem na sequência as teclas

3

9

6

,

e

, que aparecem em uma mesma fileira verti-

cal. Em seguida, subtraiam o número formado quando digitamos na sequência as teclas e

2

8

,

5

da fileira vertical vizinha. Qual a diferença

que aparece no visor? 111 c

Dis

oto

Ph

2o) ... investiguem para quais outras situações semelhantes se obtém esta mesma diferença explorando as fileiras de teclas verticais de cima para baixo e de baixo para cima.

A diferença é sempre 111. Exemplos: 852 − 741 5 111; 369 − 258 5 111 e 258 − 147 5 111. o

3 ) ... investiguem o que acontece quando exploramos, da mesma forma, as fileiras horizontais da esquerda para a direita e da direita para a esquerda. A diferença é sempre 333. Exemplos: 789 − 456 5 333; 456 − 123 5 333; 987 − 654 5 333; 654 − 321 5 333. ATIVIDADE 5 ■ Explorando a obtenção de múltiplos No desenvolvimento desta atividade, dependendo do tipo de calculadora, podemos observar duas situações: 1a) Ao digitar um número e em seguida pressionar a tecla 1 e a tecla 5, continuará a aparecer no visor o número digitado inicialmente. Ao acionar pela 2a vez a tecla 5, no visor aparecerá a soma do número inicialmente digitado com ele mesmo. a 2 ) Ao digitar um número e em seguida pressionar a tecla 1 e a tecla 5 duas vezes seguidas, no visor continuará a aparecer o número digitado inicialmente. Para que algumas calculadoras possam funcionar como na 1a situação, a tecla 1 deverá ser acionada duas vezes antes da tecla 5, para que a calculadora fixe a operação indicada pela tecla 1 acionada anteriormente. Para o desenvolvimento das atividades em que se usa a estratégia de pressionar a tecla de igual repetidas vezes, o tipo de calculadora apresentado na primeira situação é o mais adequado. Se necessário, organize grupos, de forma que todos trabalhem com o primeiro tipo de calculadora apresentado.

73

1. Pressione em uma calculadora a seguinte sequência de teclas: 3 a) Observe no visor da calculadora o valor obtido. 6

1

3

5 .

b) Em seguida, pressione 5 . O que você observou?

A calculadora agiu como se tivessem sido pressionadas as teclas 1

c) Continue pressionando 5

5

3

5 .

5 ... Observe o valor obtido no visor da calculadora a

cada vez que pressionar a tecla 5 . Qual a sequência que você observou no visor da calculadora? 6, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... (sequência da tabuada do 3 ou sequência dos múltiplos de 3 a partir do 6)

2. Use a mesma técnica para obter a tabuada do 8. 3. Investigue com seu grupo se o mesmo ocorre com as outras operações.

Ao digitar uma subtração, uma multiplicação ou uma divisão e, depois, continuar pressionando a tecla de igual, dependendo do tipo, a calculadora continuará subtraindo, multiplicando ou dividindo respectivamente pelo segundo número digitado.

ATIVIDADE 6 ■ Jogo Zerando o visor da calculadora O aluno vai usar a calculadora em um jogo muito divertido. Primeiro, ele digita um número com 4 algarismos diferentes, então deverá zerar o visor da calculadora com o menor número de operações possível. Para isso, poderá utilizar as quatro teclas de operações (1, −, 3 ou 4), digitando apenas números menores que 100. Fica proibido multiplicar por zero. Atenção: inicialmente parece ser mais fácil Número de 4 algarismos digitado: 1 363 diminuir o número do visor usando a divisão; 1a) 1 363 − 3 5 1 360 → (Subtraindo para porém, quando se obtém quocientes decimais obter zero na casa das unidades.) pode ficar mais difícil zerar o visor da calculadoa 2 ) 1 360 : 2 5 680 ra. Dessa forma, é melhor explorar apenas casos 3a) 680 : 20 5 34 de divisão exata. 4a) 34 − 34 5 0 Veja o exemplo de uma partida com quatro operações no quadro ao lado. ATIVIDADE 7 ■ Produzindo estratégias individualmente ou em grupo O trabalho com calculadoras favorece a produção de estratégias de cálculo. Veja algumas sugestões de atividades: 1. Uma calculadora apresenta defeito nas teclas 6

e 8 . Discuta com seu grupo uma estraté-

gia para se obter o produto 6 3 48 usando a calculadora defeituosa. Como 6 5 2 3 3 e 48 5 6 3 8 5 5 2 3 3 3 2 3 2 3 2, uma estratégia possível é usar os fatores de 6 e 48: 6 3 48 5 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 5 288.

2. Sem usar as teclas 9

e 1 , de uma calculadora, crie uma estratégia para obter o produto

15 3 9. Uma estratégia possível: 10 3 15 − 15 5 135. 3. Faça aparecer no visor da calculadora o número 5 030, usando apenas as teclas:

1 , 0 ,

1 e 5 . Há diversas possibilidades. Uma delas é a sequência: 1 000 1 1 000 1 1 000 1 1 000 1 1 000 1 10 1 10 1 10

74

4. Pretende-se efetuar a subtração 863 − 123 usando uma calculadora. Mas a tecla 3

não fun-

ciona. Como obter a diferença, usando a calculadora com a tecla defeituosa? Use uma calculadora para testar a sua estratégia. Depois, descreva a estratégia que você usou. Lembre os alunos de que, numa subtração, quando adicionamos o mesmo valor ao minuendo e ao subtraendo, a diferença não se altera. Uma das estratégias possíveis é acrescentar 1 unidade tanto ao minuendo quanto ao subtraendo: no lugar de 863 digitamos 864, no lugar de 123 digitamos 124. Assim, temos: 863 − 123 5 864 − 124 5 740.

5. Discuta com seu grupo uma estratégia para multiplicar 4 por 67, supondo que devam usar uma calculadora com a tecla do 4

defeituosa. Depois, use uma calculadora para testar essa estra-

tégia.



Uma estratégia possível é multiplicar 67 por 3 e depois adicionar 67 3 3 67 1 67 5 268. Outra estratégia possível é multiplicar 67 por 5 e depois subtrair 67 5 3 67 − 67 5 268. É possível ainda que os alunos proponham a adição 67 1 67 1 67 1 67. É importante que sejam discutidas e testadas as diferentes estratégias apresentadas na sala. Esse processo é muito enriquecedor na construção de conceitos matemáticos.

6. Você só pode usar as teclas: 0 , 1 , 3 , 5 , 1 , 2 , 3 e 5 . Veja como obtive 1 035 no visor da calculadora usando algumas dessas oito teclas:

1

0

0

0

1

3

5

5

I035

Agora é sua vez! Invente outras formas de fazer aparecer no visor da calculadora o número 1 035 usando algumas dessas oito teclas. Atenção: não vale digitar diretamente o número 1 035 na calculadora, para que ele apareça no visor. Algumas soluções possíveis: 1 135 − 100 5 1 035 1 000 1 135 5 1 135 1 050 − 15 5 1 035 135 3 10 5 1 350 → 1 350 − 300 5 1 050

7. Imagine que você pode utilizar apenas as teclas 2 , 3 , 3 , 2 , 1 e 5 . Que números de 0 a 10 você consegue obter usando duas ou mais dessas teclas? É possível obter todos os números de 0 a 10. Existem várias soluções: 3 − 3 5 0; 3 − 2 5 1; 2 3 2 − 2 5 2; 2 3 3 − 3 5 3; 2 3 3 − 2 5 4; 2 1 3 5 5; 2 3 3 5 6; 3 3 3 − 2 5 7; 2 3 2 3 2 5 8; 3 3 3 5 9; 2 3 3 1 2 1 2 5 10.

8. Após digitar na calculadora o número 520, que operação você deve fazer para que o resultado no visor da calculadora seja: d) 1 000? adicionar 480 a) 420? subtrair 100 b) 52? dividir por 10 c) 5 200? multiplicar por 10 Há outras soluções possíveis.

ATIVIDADE 8 ■ Construindo um jogo de cartelas com situações-problema criadas pelos alunos Como atividade de produção para o encerramento do projeto, proponha aos alunos que, individualmente ou em duplas, criem cartelas com situações-problema que envolvam alguma tecla defeituosa ou que impeçam o uso de uma determinada tecla. Providencie cartelas quadradas, todas de mesmo tamanho e cor. Distribua 2 a 3 cartelas por dupla. Peça às duplas que, de um lado da cartela, escrevam os seus nomes e a situação-problema que criaram; do outro lado, peça que coloquem uma solução para a situação-problema criada. Recolha as cartelas e proponha um jogo para a classe. Você lerá a situação-problema e o nome dos alunos que a criaram. Se uma das outras duplas apresentar uma solução correta, ganha 5 pontos. Se, ao contrário, nenhuma dupla apresentar uma solução, a dupla que criou o problema apresenta a solução e, estando correta, ganha 10 pontos. Depois que todas as duplas tiverem apresentado a situação-problema que inventaram, somam-se os pontos e verifica-se quem é (são) o(s) vencedor(es).

75

PROJETO



2

Oficina de construção de jogos com materiais reutilizáveis

Objetivos ◆◆ ◆◆ ◆◆ ◆◆ ◆◆

Resgatar jogos do universo cultural da comunidade. Levar o educando a partilhar objetos, espaços, valores, conhecimentos e significados e negociar conflitos e disputas. Estabelecer laços de sociabilidade. Construir sentimentos e atitudes de solidariedade e de amizade. Desenvolver habilidades relacionadas: ✓✓ à comunicação, à expressão e à tomada de decisões em situações reais; ✓✓ à coleta e organização de dados; ✓✓ à tabulação de dados; ✓✓ ao registro de dados em tabelas e gráficos; ✓✓ à construção de jogos e brinquedos com materiais alternativos (reutilizáveis); ✓✓ à elaboração e registro de regras para os jogos construídos; ✓✓ à interpretação das regras para participar dos jogos; ✓✓ à criação de estratégias para atingir o objetivo proposto por determinado jogo.

Por que este projeto? A brincadeira é um lugar de construção de culturas fundado nas interações sociais entre as crianças. É também suporte da sociabilidade. O desejo de brincar com o outro, de estar e fazer coisas com o outro, é a principal razão que leva as crianças a se engajarem em grupos de pares. Para brincar juntas, necessitam construir e manter um espaço interativo de ações coordenadas, o que envolve a partilha de objetos, espaços, valores, conhecimentos e significados e a negociação de conflitos e disputas. Nesse contexto, as crianças estabelecem laços de sociabilidade e constroem sentimentos e atitudes de solidariedade e de amizade. (BORBA, Ângela Meyer. O brincar como um modo de ser e estar no mundo. In: Ministério da Educação E do desporto/Secretaria de Educação Básica/ Departamento de Educação Infantil e Ensino Fundamental. Ensino Fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília: FNDE, 2006. p. 43.)

Importantes no desenvolvimento intelectual, motor e afetivo, os jogos e as brincadeiras destacam o papel que a imaginação desempenha na vida da criança, as diversas possibilidades de representação do real, os modos próprios de interagir com as regras, expressando sentimentos e ideias. Participando de jogos e brincadeiras, os alunos aprendem a conhecer e a dominar a realidade, orientando-se no espaço e no tempo, desempenham papéis, sentem emoções, cooperam entre si e amadurecem em um ambiente de aceitação. A natureza do jogo e da brincadeira permite o erro e a exploração de novas maneiras de resolver problemas, em um clima de colaboração. Nessas situações, muitas aprendizagens ocorrem de forma não consciente e, durante o processo, os alunos as absorvem alegre e descontraidamente, o que favorece o desenvolvimento da criatividade, proporcionando uma base em que se podem inserir aprendizagens mais complexas, como ler, por exemplo. Ao participar de jogos, as crianças interagem de forma descontraída, e as aprendizagens surgem de maneira natural. Por isso, os jogos e as brincadeiras devem permear a atividade pedagógica,

76

permitindo aos educandos que entrem em contato com temas relacionados ao mundo em que vivem. Muitos dos jogos e brincadeiras do universo da criança podem ser explorados nas atividades de alfabetização matemática. Muitas cantigas do cancioneiro popular, brincadeiras, como a dança das cadeiras, quebra-cabeças, dominós, dados, jogos de encaixe, labirintos etc., encerram conceitos e podem constituir a base para o aprendizado. Jogos eletrônicos também desenvolvem habilidades importantes no educando, mas apresentam como aspectos negativos o incentivo ao sedentarismo e a diminuição das possibilidades de socialização. Assim, é importante priorizar jogos e brincadeiras tradicionais de nossa cultura, garantindo sua transmissão às novas gerações. É essa a importância deste projeto, que pode envolver não só professores e alunos, mas toda a comunidade escolar. O resultado desse envolvimento poderá ser observado no produto final do projeto, pois a experiência do brincar cruza diferentes tempos e lugares, sendo marcada pelo conjunto de práticas, conhecimentos e artefatos construídos e partilhados pelos sujeitos nos contextos históricos e sociais vividos.

A participação dos pais e membros da comunidade no projeto Pais e membros da comunidade escolar poderão auxiliar: ◆◆ no resgate de jogos tradicionais muitas vezes já esquecidos; ◆◆ nas entrevistas; ◆◆ na separação dos materiais alternativos (caixas, garrafas, tubos de papel etc.) que poderão ser utilizados na confecção de jogos e outros brinquedos; ◆◆ na limpeza e adequação dos materiais para que não haja risco no manuseio pelos alunos; ◆◆ na orientação e acompanhamento da confecção dos jogos e brinquedos; ◆◆ no resgate das regras básicas de cada jogo.

Conteúdos trabalhados neste projeto As atividades propostas neste projeto devem ser adaptadas à faixa etária da turma em que serão implementadas. Assim como o brincar envolve múltiplas aprendizagens, as atividades deste projeto proporcionam um trabalho interdisciplinar entre Matemática (coleta de dados, contagem, tabulação, registro em tabelas e gráficos, desenvolvimento de estratégias etc.), Ciências Naturais (reciclagem: uso de materiais reutilizáveis), Língua Portuguesa (elaboração e registro das regras), História e Geografia (os jogos incorporam a experiência social e cultural do brincar ao longo do tempo).

A execução do projeto 1a etapa: pesquisa 1. Explique aos alunos que eles terão de entrevistar 4 ou 5 adultos, perguntando: “Qual jogo ou brinquedo de sua infância poderíamos construir usando materiais recicláveis?” 2. Esclareça aos alunos que eles terão de anotar as respostas e trazê-las para a sala de aula. 2a etapa: tabulação das respostas obtidas pelos alunos Após a realização da pesquisa, organize com a turma a tabulação das respostas dos entrevistados em tabela ou gráfico de barras ou colunas. A tabela ou o gráfico podem ser feitos numa folha de papel pardo e expostos para que todos possam vê-los. Exemplos:

77

Este é um exemplo de tabela em que estão registrados os jogos mais votados numa pesquisa hipotética.

Jogos mais votados Jogo

Número de vezes que foi citado

Total

Dama

      

7

Peteca

        

9

Boliche

         

10

Editoria de arte

Este é um exemplo de gráfico que registra o resultado da mesma pesquisa hipotética.

Jogos mais votados Dama Peteca Boliche 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Observando a quantidade de tracinhos para cada item da tabela ou os quadrinhos pintados em cada barra do gráfico, os alunos serão capazes de responder perguntas como: “Qual jogo foi mais escolhido pelos entrevistados?”; “Qual jogo foi menos escolhido?”; “Quantos votos o mais escolhido teve a mais que o menos escolhido?”; “Quantos votos o 2o colocado teve a menos que o 1o colocado?” etc. 3a etapa: produção de jogos e brinquedos pelos alunos Esta é a etapa em que os alunos, conhecedores do resultado da pesquisa, deverão decidir que brinquedos ou jogos produzirão. Trata-se de uma etapa bastante importante do projeto, pois envolve decisões que devem surgir, não apenas da avaliação do resultado da pesquisa, mas do consenso dos alunos, momento em que o diálogo e o respeito mútuo serão imprescindíveis na negociação de eventuais disputas e conflitos. Nesse momento, é interessante dividir a turma em grupos. Cada grupo produzirá um jogo ou um brinquedo.

78

Como exemplo, apresentamos algumas sugestões de jogos e brinquedos que podem ser construídos com materiais reutilizáveis.

Ricardo Dantas

a) Jogo de boliche com garrafas pet e bola de jornal amassado. Para dar estabilidade às garrafas plásticas, os alunos poderão colocar um pouco de areia dentro de cada uma.

Mariângela Haddad

c) Jogo de argolas de papelão com garrafas pet.

Ricardo Dantas

José Luís Juhas

b) Jogo de dama com tabuleiro de papelão e tampinhas de garrafa. Basta fazer uma malha quadriculada de 8 3 8 no papelão e pintar um quadrinho sim outro não.

d) Tiro ao alvo com tampinhas de garrafa e placa de ovos.

79

4a etapa: a elaboração das regras Nesta etapa, cada grupo deve ser estimulado a refletir sobre as regras do jogo que produziram. É muito importante o trabalho do professor como orientador e mediador nesta fase, pois quando as regras surgem do consenso elas são seguidas com mais comprometimento pelos alunos. Auxilie no registro coletivo das regras criadas para serem seguidas em um determinado jogo. 5a etapa: o trabalho com as diferentes estratégias É de suma importância o trabalho do professor como orientador e mediador na troca de experiências e na socialização das estratégias desenvolvidas pelos alunos. Incentive os alunos a conversar sobre: ◆◆ as estratégias que levam ao sucesso em um determinado jogo; ◆◆ os erros que podem levar ao insucesso em um determinado jogo. Solicite aos alunos que expliquem as estratégias utilizadas para serem bem-sucedidos em certo jogo. Auxilie no registro coletivo das estratégias desenvolvidas.

Última etapa: produto final Cada grupo apresentará para os demais alunos o jogo ou brinquedo construído, suas regras e procedimentos, como produto final de seu projeto. Os diferentes jogos produzidos podem fazer parte de uma “caixa comunitária de jogos da classe”, tornando-se, assim, o produto coletivo final do projeto.

Avaliação das atividades desenvolvidas no projeto É importante acompanhar todo o processo de execução do projeto, avaliando: ◆◆ os avanços que os alunos demonstraram durante as diferentes etapas (a pesquisa e tabulação dos dados, a construção dos jogos e brinquedos, a elaboração coletiva das regras, a utilização dos jogos construídos e a socialização das estratégias); ◆◆ o desenvolvimento das diferentes habilidades envolvidas.

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Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD Avenida Antonio Bardella, 300 Fones: (0-XX-11) 2412-1905 e (0-XX-11) 2412-8099 07220-020 GUARULHOS (SP)