Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad Facult ad de Ingenier´ Inge nier´ıa El´ ectr ectr ica E.A.P. E.A .P. de Ingenie Ing enier´ r´ ıa ıa El´ ectrica ect rica Laboratorio de M´ etodos etodos Num´ ericos, ericos, 2017 - II M´ etodos etodos Abiertos: Pto Fijo, Newton, Secante Secante y Newton Modificado Modificado
Pr´actica actica 3 M´etodo etodo del Punto Punto Fijo, Newton - Raphson, Secante y Newton Raphson Modificado 1. Haga un programa en MatLab para que halle una aproximaci´ on o n de f (x) = x etodo etodo del pto Fijo e − x, utilizando el m´ −
Soluci´ on: on:
%scr %scrip ipt t que que calc calcul ula a la ra´ ra´ız ı z de una una func funci´ i´ on on %usa %usand ndo o el m´ etodo etodo del punto punto fijo. fijo. %para %para la funci´ funci´ on on exp(-x)-x exp(-x)-x) ) %en %en el punt punto o x0=0 x0=0 %con %con 5 iterac iteracion iones es clear; clc; x(1)=0; n=5; g=inline(’exp(-x)’); for i=2:n, i=2:n, x(i)=g(x(i-1)); end fprint fprintf(’ f(’\n \n La ra´ ız ız aproxi aproximad mada a de f(x)=e f(x)=exp( xp(-x) -x)-x -x es: %3.5f %3.5f \n’,x( \n’,x(n)) n)); ;
2. Modifique Modifique el programa programa anterior anterior de tal manera manera que se pueda pueda general generalizar izar para cualquier cualquier funci´ on y nos sirva para resolver los ejercicos de la pr´ on actica actica 3. 3. Use el programa que dise˜ no en el ejercicio anterior para aproximar los puntos no fijos (si es que hay alguno) alguno) de cada una de las siguien siguientes tes funciones funciones.. Las respuestas spuestas deben tener tener 12 cifras cifras decimal decimales es exactas exactas.. Diguje Diguje adem´ as una gr´ afica afica de cada funci´ on o n y de la recta y = x que muestre claramente los puntos fijos que haya. (a) x5 − 3x3 − 2x2 + 2
(b) cos(sen(x))
(c) x2 − sen(x + 0 .15)
(d) xx
cos(x cos(x)
−
4. Deduzca la ley de recurrencia recurrencia para el m´etodo etodo de Newton Raphson: Raphson: xi+1 = x i −
Prof. Prof. Edwin Ch´ avez R.
f (xi ) f (xi )
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5. Deduzca la ley de recurrencia para el m´etodo de la Secante: xi+1 = x i −
xi f (xi 1 ) − xi 1 f (xi ) f (xi 1 ) − f (xi ) −
−
−
6. Deduzca la ley de recurrencia para el m´etodo de Newton Raphson modificado: f (xi )f (xi ) [f (xi )]2 − f (xi )f (xi )
xi+1 = x i −
7. Encuentre la ra´ız de tan(x) − 0.1x = 0
en π < x < 1.5 π mediante el m´etodo de Newton, con una tolerancia de 0.0001 8. Encuentre las ra´ıces de las ecuaciones mediante el m´etodo de Newton con una tolerancia de 0.0001. (a) tan(x) − x + 1 = 0,
(b) sen(x) − 0.3ex = 0,
0 < x < 3 π x > 0
−x3 + x + 1 = 0 (d) 16x5 − 20x3 + x2 + 5x − 0.5 = 0 (c)
9. Las frecuencias naturales de vibraci´ on de una varilla sujeta en ambos extremos satisfacen tan(βl ) = tanh(βl ), β > 0 donde se supone que l es 1, como en el problema anterior. Utilice el m´etodo de Newton con base en una aproximaci´ on por diferencias para evaluar la derivada, y determine los valores m´ a s peque˜ n os de β > 0 que satisfacen la ecuaci´ on anterior. No incluya β = 0 como respuesta. Sugerencia :
ex − e tanh(x) = x e + e
x
−
x
−
10. Hallar la ra´ız de f (x) = sen(x) − x + 1
mediante el m´etodo de Newton.
11. Encuentre todas las ra´ıces de las siguientes ecuaciones, mediante el m´etodo de la Secante (a) f (x) = 0.5ex/3 − sin(x) = 0
x > 0
(b) f (x) = loge (1 + x) − x2 = 0 (c) f (x) = e x − 5x2 = 0
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(d) f (x) = x 3 − 2x − 1 = 0 (e) f (x) =
√
x + 2 − x = 0
12. Dos ra´ıces complejas de y = 2 − x + 2 x2 + x4
son −0.5 + 1.5i y 0.5 − 0.7i, aproximadamente. Utilice estos valores como suposiciones iniciales y encuentre los valores exactos de las dos ra´ıces complejas mediante el m´etodo de Newton. 13. La ecuaci´ on de equilibrio de un modelo qu´ımico est´ a dado por: (1 − x)(10.52 + x)1/2 3.6 = x(1 + x)1/2 determine el valor de x mediante el m´etodo de Newton. 14. Los problemas que se presentan a continuaci´ on son dos casos especiales donde no es posible aplicar el m´etodo de Newton - Raphson. (a) Dada la funci´ on
1 5 2 2 aproxime la ra´ız positiva, use como aproximaci´ on inicial x0 = 1 y realice 6 iteraciones. ¿Qu´e sucede? ¿Porqu´e ocurre esto? f (x) = − x3 + x
(b) Dada la funci´ on f (x) = (x − 1)3 (x − 2)
aproxime la menor ra´ız, use como aproximaci´ on inicial x0 = 1, 75 ¿Qu´e sucede? ¿A qu´e atribuye este hecho? 15. Resuelva los ejercicios anteriores usando el m´etodo de Newton Raphson Modificado 16. Haga una comparaci´ on del m´ etodo de Newton Raphson tradicional con el m´etodo de Newton Raphson modificado para f (x) = x 4 − 6x3 + 12x2 − 10x + 3
(a) Considerando x0 = 0 (b) Considerando x0 = 3.4
Prof. Edwin Ch´ avez R.
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