M en C. Erick Barrios Barocio. Fis. Arnaldo Hernández Cardona. Laboratorio de Óptica, Facultad de Ciencias, UNAM. Objetivo.
Estudiar el funcionamiento de rejillas de difracción y caracterizar una. Así mismo, utilizar una rejilla de difracción para analizar las componentes de longitudes de onda de una fuente de luz. Material.
Rejillas de difracción. 1 Láser rojo. 1 Láser de otra longitud de onda. 2 Porta lentes. 2 Porta postes grandes con base. 2 Postes extra-grandes. 2 Postes medianos. 1 pantalla. 1 flexómetro. Papel milimétrico. 1 espectrómetro. 1 lámpara espectral. Teoría.
Suma fasorial de ondas [1].
Consideremos una onda senoidal cuya componente de campo eléctrico esté dada por:
=
(1)
Donde es la amplitud de E0 c) a) b) onda y es la frecuencia angular. φ E0 E2 ER Esta onda puede representarse de EP E0 manera gráfica mediante un fasor de magnitud como en la Figura E1 E2 ωt+φ E1 ωt ωt 1a. El fasor forma un ángulo el eje horizontal. Su proyección en Figura 1. Representación y adición de ondas en diagramas de fasores. el eje y representa . En consecuencia, cuando el fasor gira, su proyección (intensidad) oscila. Consideremos una segunda onda (Figura 1b): (2) = ( ( + )
La onda resultante, suma de y , puede representarse de marea E0 ER α α=ϕ/2 gráfica dibujando sus fasores como en la Figura 1c. Y el fasor resultante EP ( ) es la suma vectorial de los dos fasores. En el caso que nos interesa φ α (independencia temporal) es conveniente dibujar los fasores en = 0 (Figura 2); a partir de la geometría de los triángulos rectángulos: Figura 2. Suma de fasores a t=0. / (3) = Lo cual produce: (4) = 2 = 2 cos En consecuencia, la proyección del fasor resultante a cualquier tiempo es: (5) = + = 2 cos + Como la intensidad es: ∝ y la mayoría de los instrumentos detectores de luz miden la intensidad promedio en el tiempo (〈 + 〉 = ): (6) = = = = 99
φ=270° δ=3λ/4
ER =2 45° E0
E0 φ=0 δ=0
φ=45° δ=λ/8
90° φ=90° δ=λ/4
ER =2 270°
180°
E0
φ=180° δ=λ/2
E0 φ=360° δ= λ
Figura 3. Comportamiento de dos fasores a t=0, cuando se varía la fase entre ellos.
Aunque el análisis trigonométrico es útil para ciertas cuestiones, en situaciones prácticas es suficiente limitarnos a la interpretación de fasores de . Por ejemplo, si se quiere saber de forma rápida y sencilla cómo es el patrón de interferencia de dos fuentes coherentes, se usan diagramas de fasores a t=0 (Figura 3) y se estudia la magnitud del fasor resultante, la cual es proporcional a la intensidad del patrón de interferencia, a distintos valores de diferencia de fase (diferencia de camino óptico ). Mediante este análisis, es posible ver que la intensidad es máxima cuando = 0,2,4,… y es mínima cuando = ,3,5,… Este tipo de análisis permite visualizar cómo será el patrón de interferencia de dos rendijas (Figura 5a). Usando el mismo procedimiento, podemos visualizar el patrón de interferencia causado por tres rendijas igualmente espaciadas. Las componentes de campo eléctrico en un punto P sobre la pantalla causado por ondas provenientes de las rendijas individuales pueden expresarse como:
= = ( + ) = ( + 2) ER =3 E0
φ=0 δ=0
φ=60° δ=λ/6
φ=120°
φ=180°
δ=λ/3
δ=λ/2
(7)
φ=240°
φ=300°
φ=360°
δ=2λ/3
δ=5λ/6
δ= λ
Figura 4. Comportamiento de tres fasores a t=0, cuando se varía la fase entre ellos.
Donde ϕ es la diferencia de fase entre las ondas. El análisis con diagramas de fasores (Figura 4), nos muestra que la condición de máxima intensidad se presenta cuando = 0,2,4,…, los cuales son llamados máximos primarios, que ocurren cuando los tres fasores están alineados. Sin embargo, se encontrarán máximos secundarios (de menor intensidad que los primarios) cuando = ,3, …, donde la onda de una rendija cancela solamente la onda de otra, sobreviviendo una sola onda. La interferencia destructiva ocurre cuando los tres fasores forman un triángulo cancelándose totalmente, estos mínimos se presentan cuando = , ,… El patrón de interferencia que se genera se muestra en la Figura 5b. El método de fasores toma relevancia cuando se estudian patrones de interferencia de múltiples rendijas (Figuras 5c, 5d, 5e). 100
Rendija simple
a)
=2 Máx. Primario Máx. Secundario
b)
= 3
c)
= 4
d)
e)
= 5
= 10
Figura 5. Patrones de difracción producidos por distintos números de rendijas.
La rejilla de difracción.
m
La rejilla de difracción es un dispositivo útil para − 2 P analizar fuentes luminosas, se compone de un gran número de rendijas paralelas igualmente espaciadas. − Una rejilla de transmisión puede hacerse cortando líneas 0 d paralelas sobre una placa de vidrio con una máquina de θ rayado de precisión. Los espacios entre las líneas son transparentes a la luz y, en consecuencia, actúan como 2 rendijas individuales. Una rejilla de reflexión puede hacerse cortando líneas paralelas en la superficie de un d material reflejante. La reflexión de la luz de los espacios entre las líneas es especular y la reflexión de las líneas = cortadas en el material es difusa. Figura 6. Patrón de difracción producido por una
−2 −1 0
1 2
rejilla de difracción.
Una sección de una rejilla de difracción se ilustra en la Figura 6, en ella una onda plana incide desde la izquierda, normal a la rejilla. Una lente convergente (opcional) junta los rayos en el punto P. El patrón observado sobre la pantalla es el resultado de los efectos de interferencia y difracción, lo cual puede ser entendido mediante fasores. En la Figura 6, la diferencia de trayectoria δ entre rayos de dos rendijas adyacentes cualesquiera es igual a . Si tal diferencia de trayectoria es igual a una longitud de onda o algún múltiplo entero de una longitud de onda, entonces las ondas provenientes de todas las rendijas están en fase en P y se observa una franja brillante. Por consiguiente, la condición para máximos en el patrón de interferencia en el ángulo es: (2) = = 0,1,2,… Si la radiación incidente contiene varias longitudes de onda, el máximo de orden m-ésimo para cada longitud de onda ocurrirá a un ángulo específico para cada longitud de onda, con excepción del ángulo = 0, el que corresponde a = 0, el máximo de orden cero, que tiene la misma posición independientemente de la longitud de onda. El máximo de primer orden ( = 1) se observa en un ángulo que satisface la relación = ; el máximo de segundo orden ( = 2) se observará en un ángulo θ más grande, y así sucesivamente. Problemas.
1. Luz monocromática de un láser Helio-Neón ( = 632.8) incide en dirección normal sobre una rejilla de difracción que contiene 6000 líneas por centímetro. Encontrar los ángulos a los que se observan los máximos de primero, segundo y tercer orden. 2. El espectro del Hidrógeno tiene una línea roja a 656nm y una línea violeta a 434nm. ¿Cuál es la separación angular entre dos líneas espectrales obtenidas con una rejilla de difracción que tiene 4500 líneas por centímetro, para el primer, segundo y tercer orden? 3. Tres líneas espectrales discretas ocurren en ángulos de 10.09°, 13.71° y 14.77° en el espectro de primer orden de un espectroscopio de rejilla. a) Si la rejilla tiene 3600 rendijas por centímetro, ¿cuáles son las longitudes de onda de la luz? b) ¿A qué ángulos se encuentra estas líneas en el espectro de segundo orden?
101
Procedimiento.
Caracterización de rendijas múltiples.
1. Usando un láser de longitud de onda conocida, iluminar alguna de las rendijas múltiples proporcionadas y, a partir del patrón generado y proyectado en una pantalla (colocada lejos de las rendijas, Figura 7), deducir el número de rendijas que se tiene. 2. Medir la separación entre máximos principales (los más brillantes), específicamente entre el orden = 0 y los = ±1. Con esta distancia y la distancia a la pantalla, calcular la separación entre rendijas ( d ) haciendo uso de la ecuación (2).
Flexómetro
Pantalla
Láser
Rejillas Figura 7. Montaje experimental.
Nota: No en todos los casos se puede hacer la aproximación de ángulo pequeño. 3. Una vez calculado d , calcular la densidad de líneas por milímetro ( ).
4. Repetir lo anterior para todas las rejillas disponibles.
Uso de una rejilla múltiple para calcular la longitud de onda de una fuente monocromática.
1. Usando dos de las rejillas disponibles (de preferencia con grande), calcular la longitud de onda de dos láseres distintos haciendo uso de la ecuación 2 para orden = 1 y orden = 2. Uso de una rejilla múltiple para analizar una fuentes de luz.
1. Usar la rejilla de 600lineas/mm y colocarla en el Rejilla de espectrómetro de la forma mostrada en la Figura 8. difracción Fuente Rayo de de luz orden m=0 2. Analizar dos fuentes de luz espectral mediante el sistema montado en configuración de rejilla de transmisión. Medir las posiciones angulares de las principales líneas espectrales de la fuente para el primer Rayos de orden (m=1) y para el segundo orden ( m=2). orden m=1 3. Con la información anterior, calcular la longitud de Figura 8. Arreglo experimental para análisis onda de las principales líneas espectrales de cada espectral con rejilla de difracción. elemento. Nota: Antes de hacer mediciones, asegurarse de que el espectrómetro está alineado. Datos Importantes.
1. Tabla con datos de mediciones para la caracterización de las rejillas, incluyendo d , e incertidumbres. 2. Tabla con datos de mediciones para el cálculo de longitud de onda de una fuente láser , incluyendo la longitud de onda obtenida e incertidumbres. 3. Tabla de posiciones angulares medidas para las líneas espectrales de una fuente de luz y su valor de longitud de onda correspondiente calculado, incluyendo incertidumbres (tanto para el orden 1 como para el orden 2). Referencias.
[1] R.A. Serway, R.J. Beichner. "Física para ciencias e ingeniería" . 5° edición, McGraw-Hill. 2002 [2] https://sites.google.com/site/laboratoriodeopticabb/ Práctica 15 Rejillas de Difracción. 102
