MATEMÁTI MATEMÁTICAS CAS I GUÍA No. 2 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS 1. OPERACIONES OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS CON DIAGRAMAS DIAGRAMAS DE VENN A. DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn se usan para ilustrar operaciones y combinaciones entre conjuntos conjuntos en forma sencilla. El conjunto Universal se representa por una región c ircular o poligonal, y los conjuntos se representan con regiones circulares o elípticas que se crucen entre sí. En la figura 1, se representa el conjunto de todos los médicos especialistas, que es a la vez un conjunto referencial o universal. El rectángulo representa todos los médicos especialistas. En la figura 2, se representa el conjunto de todos los médicos cardiólogos. La región elíptica representa al subconjunto de los médicos cardiólogos.
Figura 1.
Figura 2.
Los diagramas de Venn permiten representar gráficamente combinaciones y operaciones entre conjuntos. En los siguientes gráficos se representan las operaciones definidas en la sección anterior.
Figura 3. A∪B
Figura 4. A∩ B
-1-
Figura 5. A – B
Figura 6. AC
Figura 7. A∆ B
Los diagramas de Venn son útiles para representar las combinaciones y operaciones entre tres conjuntos. En las siguientes figuras se presentan tres ejemplos.
Figura 8. (C – B – A) ∪ [(A ∩B∩C)]
Figura 9. (A∩ B) ∪ (A∩C) ∪ ( B∩C)
Figura 10. (A∆B) – C
Los diagramas de Venn facilitan la simplificación de operaciones complejas entre conjuntos y la solución de problemas de conteo de datos relacionados con el principio de Inclusión-Exclusión, ya que permiten organizar la información y guardar cantidades en cada una de las regiones. Ejemplo 1:
Represente gráficamente la operación ( A ∩ BC determine a qué operación es equivalente.
∩
CC )
∪ [
(A
∩
B)
∩ (
A
∩ B ∩
Solución:
C )C ] y
Primero se representan los conjuntos A (Figura 11), BC (Figura 12) y C C (Figura 13), éstos se solapan y da como resultado A∩BC ∩CC (Figura 14).
Figura 11. A
Figura 12. BC
-2-
Figura 13. CC
Figura 14. A∩BC ∩CC Ahora, se representan los conjuntos A ∩B (Figura 15) y (A∩ B∩C)C (Figura 16). Al solapar estas regiones sombreadas resulta la región que representa al conjunto (A∩B)∩(A∩ B∩C)C (Figura 17).
Figura 15. A∩B
Figura 16. (A∩ B∩C)C
Figura 17. (A∩B) ∩(A ∩B∩C) C
Se puede ver en las figuras 14 y 17 que los conjuntos (A ∩BC ∩CC ) y [(A∩B)∩(A∩ B ∩C)C ] son disjuntos y que su unión es equivalente al conjunto A-C. (Figura 18).
Figura 18. (A∩ BC ∩CC )∪[(A ∩B)∩(A ∩ B∩C)C ]= A-C Ejemplo 2:
Represente gráficamente la operación (A∩B∩ CC )∪(A∩B∩C) y determine a qué operación es equivalente. Solución:
Obsérvese que A∩ B∩CC = A∩(B∩CC ) = A∩(B-C), que es la región que se muestra en la Figura 19. Luego se dibuja la región que representa a (A∩B∩C), que es la región común a las tres intersecciones A∩B, A∩C y B ∩C. (Figura 20). Se puede ver que (A∩ B∩ CC ) y (A∩B∩C) son conjuntos disjuntos y que su unión es igual al conjunto A∩B. (Figura 21).
-3-
Figura 19. A∩ B∩ CC
Figura 20. A∩ B∩C
Figura 21. A∩B
Ejemplo 3:
Se examinaron los gustos de un cierto número de estudiantes de la universidad hacia tres géneros musicales (clásica, rock, bolero) y se encontró que: a 22 les gusta el rock, a 25 les gusta la música clásica, a 39 les gusta el bolero, a 9 les gusta la música clásica y el rock, a 17 les gusta el rock y el bolero, a 20 les gusta la música clásica y el bolero, a 6 les gustan los tres géneros, a 4 no les gusta ninguno de estos géneros. a) ¿Cuántos estudiantes tienen gusto por dos géneros musicales, pero no por los tres? b) ¿Cuántos estudiantes tienen gusto por un solo género musical? c) ¿A cuántos estudiantes les gusta la música clásica y el bolero, pero no les gusta el rock? Solución:
Sean R, C y B los conjuntos definidos como: R = { x | x le gusta el rock }, C = { x | x le gusta la música clásica } y B = { x | x le gusta el bolero }. Ahora se organiza la información en un diagrama de Venn con los conjuntos R, C y B. Se ubica inicialmente la cantidad correspondiente a R∩ C∩ B, luego se ubican las cantidades correspondientes a R∩C, R∩B y C ∩ B, teniendo en cuenta que ya se ubicaron 6 personas en R∩C∩ B. Finalmente se ubican las cantidades correspondientes a R, C y B, Atendiendo a que deben restarse las cantidades correspondientes a las anteriores intersecciones. (Ver figura22). a) En la figura 23 se señalan las regiones que corresponden a los conjuntos (R ∩ C)–B, (R∩ B)–C y (C ∩B)–R, que son los conjuntos de estudiantes con gusto hacia dos géneros musicales pero no por los tres. Entonces hay 3 + 11 + 14 = 28 estudiantes.
Figura 22.
Figura 23. -4-
b) En la figura 24 se señalan las regiones que corresponden a los conjuntos (R–B)–C, (C–R)–B y (B–R)–C, que son los conjuntos de estudiantes con gusto hacia un solo género musical. Entonces hay 2 + 2 + 8 = 12 estudiantes. c) En la figura 25 se señala la región que corresponde al conjunto (C ∩B)–R, que es el conjunto de los estudiantes con gusto hacia la música clásica y el bolero pero no les gusta el rock. Entonces hay 14 estudiantes.
Figura 24.
Figura 25.
EJERCICIOS Diagramas de Venn
1) Un grupo de congresistas se reúne para discutir cuáles son las mayores necesidades de inversión en obras de infraestructura para la ciudad y concluyen que hay dos prioridades: Mantenimiento del alcantarillado de la ciudad (MA) y Reparación de las vías (RV). Se aprueba una partida de $ 500,000 millones y se debe decidir en cuál de las obras se invierte el dinero. Para evitar mayores discusiones se entrega a cada congresista una tarjeta en donde debe marcar qué obra apoya para ser ejecutada. Después de revisar las tarjetas quedó la información que se representa en el siguiente diagrama:
MA: Mantenimiento de alcantarillado. RV: Reparación de Vías. MA ∩RV: Las dos obras. NM: Tarjetas no marcadas. Figura 1.
¿Cuántos congresistas participaron en la discusión? a) 21 b) 23 c) 33
-5-
d) 37
2) En la situación anterior, ¿cuántos congresistas marcaron estrictamente a favor de una sola obra? a) 17 b) 13 c) 12 d) 9 3) Una encuesta aplicada a amas de casa, acerca del consumo de dos marcas de lácteos, arrojó la siguiente información: 50 hogares consumen únicamente el lácteo tipo A. 30 hogares consumen los dos tipos de lácteos. 120 hogares consumen el lácteo tipo B. 80 hogares no consumen ninguno de los dos tipos de lácteos. § § § §
El número de amas de casa a quienes se aplicó la encuesta es: a) 280
b) 250
c) 220
d) 180
4) Un grupo de jóvenes asistió a una feria académica en donde se presentan los programas que ofrecen las diferentes universidades de la ciudad. En uno de los salones se presentaron los tres programas que ofrece la facultad de Ciencias Humanas de una universidad estatal. Al finalizar la presentación se realizó una pequeña encuesta con el fin de determinar cuál de los programas (Historia (H ), Estudios Literarios (EL) y Filosofía (F )) tenía más aceptación en los jóvenes. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: Preferencias:
Cantidad de jóvenes:
Solamente Historia Historia Historia, Estudios Literarios y Filosofía Historia y Estudios Literarios, pero no Filosofía Historia y Filosofía pero no Estudios Literarios No les gusta la Historia Ninguna de las tres carreras Les gusta Historia y Filosofía
20 65 2 42 59 23 1 40
¿Cuál de los siguientes diagramas de Venn representa la información recolectada? a)
b)
c)
d)
-6-
5) Con respecto al problema 4, ¿Cuál fue el número de jóvenes encuestados? a) 96
b) 95
c) 89
d) 88
6) Con respecto al problema 4, ¿A cuántos jóvenes les gustaban los Estudios Literarios? a) 29
b) 24
c) 20
d) 17
7) Con respecto al problema 4, ¿A cuántos jóvenes le gustaba solamente la Filosofía? a) 46
b) 17
c) 13
d) 1
8) Con respecto al problema 4, ¿A cuántos jóvenes le gustaban sólo una carrera? a) 39
b) 38
c) 37
d) 35
9) Una encuesta aplicada a 700 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos líquidos: Coca Cola y Postobón. • 590 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. • 390 personas consumían productos Coca cola. • 216 personas consumían productos Coca cola pero no Postobón. ¿Qué porcentaje de las personas consumía solamente productos Postobón? a) 53,4%
b) 35,5%
c) 28%
d) 28,6%
10)Con respecto al problema 9, ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? a) 84,28%
b) 24,8%
c) 15,7%
d) 13,2%
11)Con respecto al problema 9, ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos? a) 53,4%
b) 28,6%
c) 24,8%
d) 15,7%
12)Los conjuntos X, Y y Z se representan en los siguientes gráficos:
(I) Conjunto X
(II) Conjunto Y
(III) Conjunto Z
El conjunto (A ∪B∪C) – (A∩ B) es equivalente a: a) X∪Y
b) X–Y
c) X∩Z
d) X∪Z
13)El conjunto Y ∩Z es equivalente a: a) C∩(A∪ B)–(A∩B∩ C) c) [(A∆B)–C]C
b) (A ∪B)–(B∩C) d) C∪(A∩ B)–(A∩ B∩ C) -7-
14)El conjunto referencial U={a, b, c, e, f, g, p, q, w, x, r, s, u, v, k, m, n, y, z}, y los conjuntos A, B y C se representan en el siguiente diagrama de Venn. El conjunto (A ∩B) ∪(C–A) es: a) b) c) d)
{ p, q, k, m, n } { p, q, w, x, k, m, n, u, v } { u, v, k, m, n, p, q } { a, b, c, p, q, w, x }
15)Con respecto al diagrama anterior, el conjunto [(A∆ B) – C] es: a) { a, b, c, e, f, g, p, q, w, x } c) { a, b, c, e, f, g, p, q }
b) { a, b, c, e, f, g, w, x } d) { a, b, c, e. f, g }
Resuelva los siguientes problemas: 16)Se indagó en un numeroso grupo de estudiantes de una universidad estatal sobre las prioridades en el tema de la inversión social, que deben ser agendadas por el próximo presidente. Los resultados parciales de esta encuesta se presenta en la siguiente tabla: Se debe dar prioridad a:
Cantidad de estudiantes que opinan: 6750 6750 6450 3750 3550 3650 2000 1150
Vivienda Salud Educación Vivienda y Salud Vivienda y Educación Salud y Educación Salud, Vivienda y Educación No contestaron
a. ¿Cuántos estudiantes consideran que se debe dar prioridad sólo a dos temáticas? b. ¿Cuántos estudiantes consideran que se debe dar prioridad a la educación y la salud, pero no a la vivienda? c. ¿Cuántos estudiantes consideran que debe darse prioridad a salud o educación, y no dar prioridad a la vivienda? 17)Exprese los conjuntos que se representan a continuación en términos de las operaciones básicas entre los conjuntos A, B y C.
(I)
(II) -8-
(III)
18)En un colegio se investigó a 80 estudiantes de primer año y se encontró tomaban Inglés, 32 tomaban Historia, 32 tomaban Ciencias Políticas, 16 Ciencias políticas e Historia, 16 tomaban Historia e Inglés, 14 tomaban Políticas e Inglés, y 6 tomaban las tres materias. Organice en un diagrama de cantidades correspondientes a las siguientes preguntas: a) b) c) d) e)
que: 36 tomaban Ciencias Venn las
¿Cuántos estudiantes toman Inglés y ninguna de las otras dos? ¿Cuántos estudiantes no toman ninguno de estos tres cursos? ¿Cuántos estudiantes toman Historia pero ninguno de los otros dos cursos? ¿Cuántos estudiantes toman Ciencias políticas e Historia pero no Inglés? ¿Cuántos estudiantes no toman Ciencias Políticas?
19)En los siguientes gráficos se presentan los conjuntos X, Y y Z.
Conjunto X.
Conjunto Y.
Conjunto Z.
Exprese las siguientes operaciones en términos de los conjuntos A, B y C: a. X – Y – Z
b. X∪(Y ∩Z)
c. X∩(Y ∪Z)
d. (X ∪Y ∪Z)C
20)Suponga que una familia realiza una excursión de vacaciones
en su vehículo de
acampar. Considere los eventos A, B y C definidos como: A = {Que el vehículo presente problemas mecánicos durante la excursión}, B = {Que sean multados por violar alguna norma de tránsito durante la excursión} y C = {Que lleguen a una zona de campamento ocupada por otros excursionistas}. En el diagrama de Venn se muestran 8 regiones, cada una representa un evento. Explique con sus palabras los eventos representados por las siguientes regiones: a) Región 5. b) Región 3. c) Regiones 1 y 2 juntas. d) Regiones 4 y 7 juntas. e) Regiones 3, 6, 7 y 8 juntas.
-9-
2. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
A. LEYES DE IDENTIDAD
Sea U el conjunto referencial o universal y A un subconjunto de U, entonces: A1.
A∪∅ = A
A2.
A∪U = U
A3.
A ∩U = A
A4.
A∩∅ = ∅
B. LEYES DE COMPLEMENTO
Sea U el conjunto referencial o universal y A un subconjunto de U, entonces: B1.
A∪AC = U
B2.
(AC )C = A
B4. B7.
UC = ∅ (A∪B)C = AC
B5. B8.
∅
C
∩ B
C
=U (A∩ B)C = AC
B3.
A∩AC = ∅
B6.
A ? AC
C
∪ B
C. LEYES DE IDEMPOTENCIA
Sea U el conjunto referencial o universal y A un subconjunto de U, entonces: C1.
A ∪A = A
C2.
A ∩A = A
D. LEYES CONMUTATIVAS
Sea U el conjunto referencial o universal, A y B subconjuntos de U, entonces: D1.
A∪ B = B∪A
D2.
A∩ B = B∩A
E. LEYES ASOCIATIVAS
Sea U el conjunto referencial o universal. A, B y C subconjuntos de U, entonces: E1.
(A ∪B)∪C = A∪(B∪C)
E2.
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
F. LEYES DISTRIBUTIVAS
Sea U el conjunto referencial o universal. A, B y C subconjuntos de U, entonces: F1.
A∪(B∩C) = (A ∪ B)∩(A∪C)
F2.
A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)
G. OTRAS PROPIEDADES
Sea U el conjunto referencial o universal. A, B y C subconjuntos de U, entonces: G1.
Si A⊆ B, entonces A ∩B = A.
G2.
Si A⊆ B, entonces A∪B = B.
G3.
A – B = A∩ BC
G4.
(A– B)∩(A–C) = A–(B∪ C)
G5.
(A–C)–(B–C) = (A–B)–C
G6.
(A– B)–(A–C) = A∩(C–B)
- 10 -
Ejemplo 1:
Considere los intervalos A = (0,6) y B = (3,9). a) Halle (A∪ B)C . b) Halle AC ∩ BC . Solución:
a)
A∪ B = (0,6) ∪ (3,9) = (0,9). (0,9) C = (-∞,0]∪[ 9,+∞).
b)
AC = (0,6)C = (- ∞,0]∪[6, +∞). BC = (3,9)C = (- ∞,3]∪[9, +∞). AC ∩BC = ((- ∞,0]∪[ 6,+∞) ) C ∩ ((-∞,3]∪[ 9, +∞) ) C = (-∞,0]∪[ 9,+∞).
Comparando a) y b) se puede ver que (A ∪B)C = AC
∩ BC .
Ejemplo 2:
Considere los intervalos A = [ 0,10) y B = (2,6). a) Halle A∪ B. b) Halle A∩ B. Solución:
a) Como el conjunto B = (2,6) está contenido en el conjunto A = [0,10), entonces A∪B = [ 0,10). b) Como el conjunto B = (2,6) está contenido en el conjunto A = [0,10), entonces A∩B = (2,6). Ejemplo 3:
Considere los conjuntos A, B y C definidos como: A = {x ∈ ¥ l x es divisor de 6}, B = {x ∈ ¥ l x es divisor de 9} y C = { x∈ ¥ l x es divisor de 12}. Señale en un diagrama de Venn los conjuntos (A ∪B), (A∪C) y A∪(B∩C). Solución:
Los conjuntos A, B y C son: A = {1, 2, 3, 6}; B = {1, 3, 6, 9}; C = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Los diagramas de Venn correspondientes a (A ∪B), (A∪C) y A∪(B∩C) son:
(A ∪B)
(A∪C)
A∪(B∩C)
La intersecciòn de los conjuntos (A ∪ B) y (A∪ C) da como resultado el conjunto A∪(B∩C), como se puede apreciar en los tres diagramas.
- 11 -
EJERCICIOS Propiedades de los Conjuntos
Para los ejercicios del 1 al 5, tenga en cuenta los conjuntos A, B, C y universal U definidos como: A = {xä R l x5 – 3x4 – 5x3 + 15x2 + 4x – 12 = 0}, B = {xä R l x5 + 5x4 – 3x3 – 29x2 + 2x + 24 = 0}, C = {xä R l x5 – x4 – 5x3 + 5x2 + 4x – 4 = 0}, U = A∪ B∪C. 1. Los elementos del conjunto A∩B∩C son: a) {-1, 2}.
b) {-1, -2}.
c) {-1, 2}.
d) {-2, 2}.
2. Los elementos del conjunto A?B son: a) {-1, -2, 2, 3}.
b) {-1, -2, -3, 3}. c) {-2, 3, -3, -4}.
d) {-2, 3, -3, 4}.
3. Los elementos de (A∪B)–C son: a) {-1, -2, 2}.
b) {3, -3, -4}.
c) {-2, 3, -4}.
d) {1, 3, 4}.
c) {-3, -4}.
d) {1, 4}.
4. Los elementos de B∩CC son: a) {-1, 2}.
b) {-1, -4}.
5. Los elementos de (A–B–C) ∪(B–A–C) ∪(C–B–A) son: a) {-1, 1, 2, 3}.
b) {-1, 2, -3, -4}
.c) {- 1, 3, 4, -4}.
d) {1, 3, -3, -4}.
Para los ejercicios del 6 al 10, tome las regiones limitadas por los siguientes gráficos como conjuntos A, B y C.
Conjunto A.
Conjunto B.
- 12 -
Conjunto C.
6. La región sombreada que representa al conjunto (B – C) es:
a)
b)
c)
d)
7. La región sombreada que representa al conjunto (B – A) es:
a)
b)
c)
d)
8. La región sombreada que representa al conjunto (A∩B∩ C) es:
a)
b)
c)
d)
9. La región sombreada que representa al conjunto (A - C) es:
a)
b)
c)
d)
10. La región sombreada que representa al conjunto A ∩(B∪C) es:
a)
b)
c)
- 13 -
d)
11. El conjunto A∩(B∪ C) es igual al conjunto: a) (A∩B)∪(A ∩C).
b) A – B – C.
c) A – (B∪C).
d) (A∪B) – C.
c) A – (B∪C).
d) (A∪B) ∩(A∪C).
c) B – A.
d)
c) (A ∪B)C .
d) BC – AC .
c) (A ∪B)C .
d) BC – AC .
12. El conjunto A∪(B∩ C) es igual al conjunto: a) (A∩B)∪(A ∩C).
b) A – B – C.
13. El conjunto A∩(B-A) es igual al conjunto: a) (A∩B). b) A – B.
∅.
14. El conjunto AC ∪BC es igual al conjunto: a) (A∩B)C .
b) AC – BC .
15. El conjunto AC ∩BC es igual al conjunto: a) (A∩B)C .
b) AC – BC .
16. La afirmación falsa es: a) (A∩B)C = AC ∩ BC .
b) AC – BC = B – A.
c) (A∪B)C = AC ∩ BC .
d) BC – AC = BC
∩ A.
17. La afirmación falsa es: a) (A∩B)C = AC ∪ BC . c) (A∪B)C = AC ∩ BC .
b) AC – BC = BC – AC . d) A – B = BC ∩ A.
18. La afirmación falsa es: a) (A – B)C
= AC – BC .
b) A∪(B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C).
c) (A∪B)C = AC ∩ BC .
d) BC – AC = A – B.
19. La afirmación verdadera es: a) A∪AC = ∅ .
b) A∩AC = ∅C.
c) A – ∅ = A∪∅.
d)
C
∅
– AC = AC .
20. La afirmación verdadera es: a) (A–B)
⊆
B.
b) (A–B) ⊆ A.
c) (A∪B) ⊆ (A–B).
d) (A∩B) ⊆ (A∩ B∩C).
- 14 -
