PARTE
1
Movimiento, fuerza y energía CONTENIDO CAPÍTU LO 1 CAPÍTU LO 2 CAPÍTU LO 3 CAPÍTU LO 4 CAPÍTU LO 5 CAPÍTU LO 6 CAPÍTU LO 7 CAPÍTU LO 8 CAPÍTU LO 9 CAPÍTU LO 10 CAPÍTU LO 11 CAPÍTU LO 12 CAPÍTU LO 13 CAPÍTU LO 14
En el lanzamento, el conjunto del transbordador espacal, ncludos el tanque eteror de combustble y los cohetes aceleradores aulares, tene una masa de 2 × 106 kg. El empuje de los potentes motores de cohete, entre ellos los motores prncpales del orbtador del transbordador que aquí se muestra, acelera todo el vehículo de lanzamento a la velocdad del sondo en sólo 45 segundos.
Espacio, tiempo y masa Movimiento Movimien to rectilín rectilíneo eo Vectores Movimiento Movimien to en dos y tres dimension dimensiones es Leyes del movimien movimiento to de Newton Más aplicaci aplicaciones ones de las leyes de Newton Trabajo y energía Conservación Conserva ción de la energía Gravitación Gravitac ión Sistemass de partícula Sistema partículass Choques Rotación de un cuerpo rígido Dinámicaa de un cuerpo rígido Dinámic Estáticaa y elastic Estátic elasticidad idad
CAPÍTULO
1
Espacio, tiempo y m as a
CONCEPTOS EN CONTEXTO 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
2
Coordenadas y marcos de referencia La unidad de longitud La unidad de tiempo La unidad de masa Unidades derivadas Cifras significativas; coherencia de unidades y conversi conv ersión ón de unid unidades ades
Los geólogos y los topógrafos utlzan un dspostvo láser para medr dstancas. Este mecansmo emte un haz de luz haca un espejo colocado a una dstanca desconocda y mde el tempo que tarda el haz en vajar al espejo y regresar. Una vez meddo este tempo de vaje redondo y la velocdad conocda de la luz, se calcula la dstanca. Como la rapdez de la luz es muy alta, el tempo del recorrdo total es muy pequeño. Con la defncón de las undades de dstanca y tempo que se dan en este capítulo, pueden consderarse las sguentes preguntas: ? ?
¿Qué tan lejos vaja la luz en una pequeña f raccón de segundo? (Ejemplo 1, págna 10) ¿Cómo se mta la precsón en la determnacón de la dstanca por la precsón en la medcón del tempo? (Ejemplo 3, págna 15)
Conceptos en
contexto
3
1.1 Coordenadas y marcos de referencia
E
l nvestgador de cualquer fenómeno: terremoto, relámpago, choque entre dos barcos, debe comenzar preguntando ¿dónde y cuándo sucedó? Los fenómenos ocurren en puntos del espaco y en nstantes de tempo. Un fenómeno complcado, como el choque entre dos buques, se etende a muchos puntos del espaco y del tempo. Pero sn mportar lo complcado que sea, cualquer fenómeno puede descrbrse totalmente epresando lo que ocurró en dversos puntos del espaco y en sucesvos nstantes del tempo. Las medcones de las poscones y los tempos necestan la utlzacón de cuadrículas de coordenadas y marcos de referenca, que se dscutrán en la prmera seccón de este capítulo. Los barcos y otros cuerpos macroscópcos están hechos de átomos. Debdo a que los tamaños de los átomos son etremadamente pequeños en comparacón con las dmensones de los cuerpos macroscópcos, puede consderarse a los átomos como masas cas puntuales, para la mayoría de los fnes práctcos. Una masa puntual sin tamaño ni estructura interna discernibles se llama partícula ideal. En cualquer nstante del tempo, la partícula deal ocupa un solo punto del espaco. Además, la partícula tene masa. Y eso es todo: s se conoce la poscón que ocupa una partícula deal en cada nstante del tempo y se sabe su masa, entonces se conoce todo lo que puede saberse de la partícula. La posición, el tiempo y la masa dan una descripción completa del comportamiento y de los atributos de una partícula ideal .* Como cada cuerpo macroscópco consste de partículas,
es posble descrbr su comportamento y sus atrbutos descrbendo las partículas que lo conforman. Así, las medcones de poscón, tempo y masa son de mportanca fundamental en la físca. En seccones posterores de este capítulo se tratarán las undades que se emplean para estas medcones.
1.1 COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA S está perddo en algún lugar de las carreteras de Canadá y se detene en una gasolnera a preguntar cómo llegar a Moose Jaw, el dependente puede darle nstruccones de r 90 klómetros haca el norte sobre la Ruta 6 y luego 70 klómetros al oeste por la Ruta 1 (véase la fgura 1.1). Al darle estas nstruccones, el dependente está tomando la gasolnera como origen y está especfcando la poscón de Moose Jaw en relacón con este orgen. Para obtener una descrpcón cuanttatva precsa de la poscón de una partícula, los físcos usan cas el msmo procedmento. Prmero toman algún punto convenente del espaco como orgen y luego especfcan la poscón de la partícula en relacón con este orgen. Para este propósto, magnan una cuadrícula de líneas alrededor del orgen y dan la ubcacón que guarda la partícula dentro de esta cuadrícula; es decr, magnan que el suelo está cuberto con papel cuadrculado y luego especfcan la poscón de la partícula por medo de coordenadas que se leen en este papel. Las coordenadas más comunes son las coordenadas rectangulares x y y , que se basan en una cuadrícula rectangular. La fgura 1.2 muestra una cuadrícula de este tpo. Las líneas mutuamente perpendculares que pasan por el orgen O se llaman eje x y eje y . Las coordenadas del punto de la cuadrícula P , donde está colocada la partícula, smplemente ndcan qué tan lejos debe moverse en forma paralela al eje correspondente a fn de llegar desde el orgen O hasta el punto P. Por ejemplo, el punto P que se muestra en la fgura 1.2 a tene las coordenadas x = 3 undades y y = 5 undades. S se mueve desde el orgen en dreccón opuesta a la ndcada por la flecha del eje, entonces la coordenada es negatva; así, el punto P que se muestra en la fgura 1.2 b tene una coordenada negatva, x = –3 undades. * No se consderará por ahora la posbldad de que la partícula tenga tambén una carga eléctrca. La electrcdad es el tema de los capítulos 23-33.
70 km Moose Jaw
Destino La posición se especifica por distancias hacia el norte y hacia el oeste.
90 km
Origen
FIGURA 1.1 Para llegar a Moose Jaw, Canadá, el automóvl tene que vajar 90 km al norte y luego 70 km al oeste.
4
CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
La cuadrícula bdmensonal que se muestra en la fgura 1.2 es adecuada cuando se quere descrbr el movmento bdmensonal (esteoeste y norte-sur) de un automóvl que vaja en un terreno plano o el P y = +5 P y = +5 movmento de un barco en la superfce cas plana del agua de un puerto. Sn embargo, s se desea descrbr el movmento trdmensonal (esteoeste, norte-sur y arrba-abajo) de un vehículo aéreo que está volando o de un submarno que se sumerge en el océano, entonces se necesta un sstema trdmensonal de coordenadas, con ejes x, y y z. Y s se desea O O x x descrbr el movmento de un automóvl por un camno recto, entonces es necesaro un sstema undmensonal; es decr, se requere sólo el eje x , que se magna colocado a lo largo del camno. Cuando se determna la poscón de una partícula medante una cuaUna coordenada en la dirección ...y en dirección de la flecha del eje es positiva… opuesta es negativa. drícula de coordenadas construda alrededor de algún orgen, se realza una medcón relativa : las coordenadas del punto en el que está ubcada FIGURA 1.2 Las coordenadas rectangulares x y y de un la partícula dependen de la seleccón del orgen y de la seleccón de la punto P . a ) Ambas coordenadas son postvas; b) la coordeescala de la cuadrícula de coordenadas. La seleccón del orgen de las nada x es negatva. coordenadas y de la cuadrícula de coordenadas es cuestón de convenenca. Por ejemplo, un captán de puerto puede usar una cuadrícula de coordenadas cuyo orgen sea el puerto; pero un ngenero muncpal podría usar una cuadrícula de coordenadas con su orgen en el centro del pueblo (véase la fgura 1.3 a ) o ben, grada con orentacón paralela a las calles del pueblo (véase la fgura 1.3 b). El tmonel de un barco puede encontrar convenente colocar el orgen en el punto medo de su barco y usar una cuadrícula de coordenadas construda alrededor de este orgen. La cuadrícula se mueve entonces con el barco (véase la fgura 1.3 c ). S el tmonel grafca la ruta de un segundo barco en esta cuadrícula, con sólo mrar ambas cuadrículas puede decr cuál será la dstanca de mayor promdad entre ambas embarcacones y s el otro barco se encuentra en una ruta de colsón, es decr, s cruzará el orgen. Para la descrpcón del movmento de una partícula, debe especfcarse tanto su poscón como el tempo en el que ésta se mantene. Para determnar el tempo, se usa un sstema de relojes sncronzados colocados mentalmente a ntervalos regulares a lo largo de la cuadrícula de coordenadas. Cuando una partícula pasa por un punto P de la FIGURA 1.3 Cuadrículas de coordenadas cuadrícula, las coordenadas proporconan la poscón que ocupa la partícula en el esparectangulares x - y (roja) y x ′- y ′ (negra). co y el tempo regstrado por el reloj más cercano determna el tempo t . Tal cuadrícula a ) Esta cuadrícula rectangular x ′- y ′ está de coordenadas y relojes sincronizados se llama marco de referencia . Al gual que la selecdesplazada en relacón con x - y. b) Esta cón del orgen y de la cuadrícula de coordenadas, la seleccón del marco de referenca cuadrícula rectangular x ′- y ′ se encuentra es cuestón de convenenca. Por ejemplo, la fgura 1.4 a muestra un marco de referenca grada en relacón con x - y . c ) Esta cuaestablecdo alrededor del puerto y la fgura 1.4 b muestra uno construdo alrededor del drícula rectangular x ′- y ′ está en movmenbarco. Los marcos de referenca normalmente se nombran según el cuerpo o punto to en relacón con x - y . a )
b)
y
y
x
x
= + 3
a )
= – 3
Esta cuadrícula de coordenadas tiene su origen en el centro del pueblo. y'
b)
Esta cuadrícula de coordenadas está orientada paralelamente a las calles del pueblo.
Esta cuadrícula de coordenadas se mueve con el barco.
c )
y'
y ' y
y
y
x ' x'
x' x
La cuadrícula de coordenadas roja tiene su origen en el puerto.
x
x
5
1.2 La unidad de longitud
alrededor del cual se construyen. Así, se habla del marco de referenca del puerto, el marco de referenca del barco, el marco de referenca del laboratoro, el marco de referenca de la Terra, etcétera.
Todos los relojes están sincronizados entre sí.
a ) y
✔ Revisión 1.1 PREGUNTA 1: Para una partícula deal, la poscón y la masa son las dos úncas cantdades
medbles (en cualquer nstante dado). Consdere un cuerpo etenso, por ejemplo, una bola de bolche. ¿Qué cantdades puede usted medr respecto a la bola de bolche, además de la poscón y la masa? ¿Sabe usted las undades de cualquera de estas cantdades? PREGUNTA 2: Consdere una cuadrícula de coordenadas x ′- y ′ desvada en una cantdad fja en relacón con la cuadrícula x - y , como se muestra en la fgura 1.3 a . Marque un punto P en esta cuadrícula. El valor de x ′ para un punto P dado ¿es mayor o menor que el valor de x ? ¿Qué puede decr acerca de los valores de y ′ y y ? PREGUNTA 3: ¿Cuál es la dferenca entre una cuadrícula de coordenadas y un marco de referenca?
1.2 LA UNIDAD DE LONGITUD Para realzar regstros numércos de las medcones de poscón, tempo y masa, es necesaro adoptar una undad de longtud, una undad de tempo y una undad de masa, de tal manera que puedan epresarse las medcones como múltplos numércos o fraccones de estas undades. En este lbro se usarán las unidades del sistema métrico, que está basado en el metro como unidad de longitud, el segundo como unidad de tiempo y el kilo gramo como unidad de masa. Estas undades de longtud, tempo y masa, junto con las
undades de temperatura y carga eléctrca (que se ntroducrán en capítulos posterores), son sufcentes para la medcón de cualquer cantdad físca. Los centífcos y l os ngeneros se referen a este conjunto de undades como el Sistema Internacional de Unidades, o unidades SI (del francés, Système International ).* Orgnalmente, la norma de longtud que especfcaba el tamaño de un metro era el metro patrón que se conserva en la Ofcna Internaconal de Pesos y Meddas en Sèvres, Franca. Este metro patrón es una barra de una aleacón de platno-rdo con una fna
x
O
b) y'
x'
O
Este marco de referencia se mueve con el barco.
FIGURA 1.4 a ) Un marco de referenca consste en una cuadrícula de coordenadas y un sstema de relojes sncronzados. b) Un marco de referenca construdo alrededor de un barco.
Una cuarta parte de la circunferencia polar. 7
10 m
FIGURA 1.5 Barra del metro patrón nternaconal. * Las undades SI tambén se eplcan en el apéndce 5; puede hallarse más nformacón en el sto de red del Natonal Insttute of Standards and Technology: http://www.physcs.nst.gov/cuu/Unts.
FIGURA 1.6 Una cuarta parte de la crcunferenca polar de la Terra es apromadamente gual a 107 m.
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CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
FIGURA 1.7 Algunos bloques de calbracón, co-
múnmente usados por los ajustadores como patrones de longtud. La altura o el espesor de cada bloque srve como norma de longtud.
FIGURA 1.8 Láser establzado en el Natonal Insttute of Standards and Technology.
raya marcada cerca de cada etremo (véase la fgura 1.5). Por defncón, la dstanca entre estas rayas se consderó justamente un metro. La longtud del metro se escogó de manera orgnal para que la crcunferenca polar de la Terra mdera eactamente 40 mllones de metros (véase la fgura 1.6); sn embargo, las determnacones modernas de esta crcunferenca muestran que mde apromadamente 0.02% más que 40 mllones de metros. En Franca se fabrcaron copas del metro patrón prototpo y se dstrbuyeron a otros países para usarlos como patrones secundaros. Los patrones de longtud que se usan en la ndustra y en la ngenería se han dervado de estos metros patrones secundaros. Por ejemplo, la fgura 1.7 muestra un conjunto de bloques de calbracón que se usan comúnmente como patrones de longtud en los talleres mecáncos. La precsón del metro patrón está lmtada por la aspereza de las rayas de marca en sus etremos. Para obtener mayor eacttud, los físcos desarrollaron defncones me joradas del estándar de longtud. La mejora más recente surgó de la nvencón de los láseres establzados (véase la fgura 1.8). Éstos emten ondas de luz etremadamente unformes, que hacen posble determnar la rapdez de la luz con una gran precsón. Lo anteror condujo a la adopcón de una nueva defncón de la longtud del metro en relacón con la rapdez de la luz: el metro (1 m) es la longtud que recorre una onda de luz en el vacío en un ntervalo de 1/299 792 458 segundos. Observe que, como el metro está ajustado de modo que la luz vaje eactamente un metro en 1/299 792 458 segundos, la rapdez de la luz es eactamente Rapdez de la luz = 299 792 458 metros por segundo
(1.1)
Así, la nueva defncón del metro mplca la adopcón de la rapdez de la luz como un estándar de rapdez. La tabla 1.1 muestra una lsta de dstancas y tamaños, de las mayores a las menores. Muchas de las cantdades que aparecen ahí ya se han menconado en el preludo. Las cantdades que se marcan con un sgno ≈ (apromadamente gual) no están defndas con precsón, son apromacones gruesas. La tabla 1.2 es una lsta de múltplos y submúltplos del metro y sus abrevaturas. Los prefijos que se usan en la tabla 1.2 y otros prefjos estándar son abrevaturas de potencas partculares de 10. Los prefjos que representan potencas de 10 y que dferen por factores de 10 3 con frecuenca se usan con cualquer undad, por convenenca o concsón. Estos prefjos estándar y sus abrevaturas se enlstan en la tabla 1.3.
7
1.2 La unidad de longitud
En el Sistema Británico de Unidades, abandonado por Gran Bretaña y cas todos los demás países, pero lamentablemente todavía en uso en Estados Undos, la undad de longtud es el pie (abrevado en nglés ft) que es eactamente 0.3048 m. (Para la conversón mental rápda de pes a metros, multplque por 0.3). La tabla 1.4 proporcona los múltplos y submúltplos del pe, aunque se emplearán poco porque en este lbro dfíclmente se usará alguna vez undades brtáncas. Los esfuerzos esporádcos para adoptar las undades métrcas en Estados Undos han fallado, aunque la mayoría de los fabrcantes estadoundenses de automóvles usan ahora undades métrcas y así lo hace tambén el Ejércto de Estados Undos (observe que, en la jerga del Ejércto de Estados Undos, al klómetro se le llama “klck”, una costumbre recomendable por su brevedad).
TABLA 1.1 ALGUNAS DISTANCIAS Y TAMAÑOS 26 ≈ 1 × 10 m Dstanca hasta la frontera del unverso observable Dstanca hasta la galaa de Andrómeda a ) 2.1 × 1022 m Dámetro de nuestra galaa 7.6 × 1020 m Dstanca a la estrella más cercana (Próma Centauro) 4.0 × 1016 m Dstanca de la Terra al Sol 1.5 × 1011 m Rado de la Terra 6.4 × 106 m 2 ≈ 3 × 10 m Longtud de onda de la onda de rado (banda AM) Longtud del barco Queen Elizabeth b) 3.1 × 102 m Altura del varón promedo 1.8 m Dámetro de una moneda de 5 centavos de Estados Undos c ) 2.1 × 10–2 m Dámetro de un glóbulo rojo sanguíneo (humano) 7.5 × 10–6 m –7 ≈ 5 × 10 m Longtud de onda de la luz vsble Dámetro del vrus más pequeño (vrus PSTV de la papa) d ) 2 × 10–8 m –10 ≈ 1 × 10 Dámetro del átomo m –15 ≈ 8 × 10 Dámetro del núcleo atómco (herro) m –15 Dámetro del protón m ≈ 2 × 10
TABLA 1.2 MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO klómetro (klck)
1 km = 103 m
metro
1m
centímetro
1 cm = 10–2 m
mlímetro
1 mm = 10–3 m
mcrómetro (mcra)
1 μm = 10–6 m
nanómetro
1 nm = 10–9 m
angstrom
1 Å = 10–10 m
pcómetro
1 pm = 10–12 m
femtómetro (ferm)
1 fm = 10–15 m
a ) b)
c ) d )
8
CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
TABLA 1.3
PREFIJOS PARA LAS UNIDADES
FACTOR DE MULTIPLICACIÓN
PREFIJO
SÍMBOLO
1021
zetta
Z
1018
ea
E
15
peta
P
12
tera
T
9
gga
G
6
mega
M
3
10
klo
k
10–3
ml
m
10–6
mcro
μ
10–9
10 10 10 10
nano
n
–12
pco
p
–15
10
femto
f
10–18
atto
a
10–21
zepto
z
10
TABLA 1.4 mlla yarda pe pulgada ml
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL PIE 1 m = 5 280 pes = 1 609.38 m 1 yd = 3 pes = 0.9144 m 1 pe = 0.3048 m 1 pulg = –– ₁₂¹ pe = 2.540 cm 1 ml = 0.001 pulg
✔ Revisión 1.2 PREGUNTA 1: ¿Cuántos centímetros hay en un klómetro? ¿Cuántos mlímetros hay en
un klómetro? PREGUNTA 2: ¿Cuántas mcras hay en un ferm? PREGUNTA 3: ¿Cuántas mcras hay en un angstrom? (A) 106 (B) 104 (C) 10−4 (D) 10−6
1.3 La unidad de tiempo
9
1.3 LA UNIDAD DE TIEMPO La undad de tempo es el segundo. Orgnalmente, un segundo se defnía como 1/(60 × 60 × 24) o 1/86 400 de un día solar medo. El día solar es el ntervalo que tarda la Terra en completar una rotacón sobre sí msma. La longtud del día solar depende de la rapdez de rotacón de la Terra, que está sujeta a una multtud de varacones menores, tanto estaconales como de largo plaz o, que pueden hacer que la rotacón de nuestro planeta sea un cronómetro mperfecto. Para evtar cualquer varacón en la undad de tempo, ahora se usa un estándar atómco de tempo. Éste es el perodo de una vbracón de mcroondas emtdas por un átomo de ceso. El segundo (1 s) se defne como el tempo necesaro para que se realcen 9 192 631 770 vbracones de un átomo de ceso. La fgura 1.9 muestra uno de los relojes atómcos en el Natonal Insttute of Standards and Technology (NIST), en Boulder, Colorado, Estados Undos. En este reloj, las débles vbracones de los átomos de ceso se amplfcan a un nvel que permte controlar el cuadrante del reloj. Los buenos relojes de ceso son muy, muy buenos: se atrasan o se adelantan no más de 1 segundo en 20 mllones de años. La estacón de rado WWV, de Fort Collns, Colorado, transmte contnuamente señales precsas de tempo vnculadas a los relojes atómcos de ceso del NIST. Estas señales pueden recbrse en todo el mundo en receptores de rado de onda corta sntonzados a 2.5, 5, 10, 15 o 20 MHz. Tambén se anuncan contnuamente señales precsas de tempo por teléfono [en Estados Undos, el número de teléfono es (303) 499-7111); la hora precsa tambén está dsponble en línea en www.tme.gov.]. La hora que se anunca en la rado y en el teléfono es la hora unversal coordnada, o tempo de Greenwch, que está eactamente 5 horas adelante de la Hora Estándar del Este de Estados Undos (Eastern Standard Tme). La tabla 1.5 presenta una lsta de algunos ntervalos típcos de tempo y la t abla 1.6 proporcona múltplos y submúltplos del segundo.
TABLA 1.5
ALGUNOS INTERVALOS DE TIEMPO
Edad del unverso Edad del Sstema Solar Edad de los fósles más antguos conocdos Edad de la espece humana Edad de los regstros escrtos más antguos (sumeros) Duracón de la vda del ser humano (promedo) Tempo de vaje de la luz desde la estrella más cercana Revolucón de la Terra alrededor del Sol (1 año) Rotacón de la Terra (1 día) Duracón de la vda del neutrón lbre (promedo) Tempo de vaje de la luz desde el Sol Tempo de vaje de la luz desde la Luna Perodo del latdo del corazón (humano) Perodo de la onda sonora (Do medo) Perodo de la onda de rado (banda AM) Perodo de la onda de luz Duracón de la vda de la partícula nestable de vda más corta
4 × 1017 s 1.4 × 1017 s 1.1 × 1017 s 7.9 × 1012 s 1.6 × 1011 s 2.2 × 109 s 1.4 × 108 s 3.2 × 107 s 8.6 × 104 s 9.2 × 102 s 5 × 102 s 1.3 s ≈ 0.9 s 3.8 × 10–3 s –6 ≈ 1 × 10 s –15 ≈ 2 × 10 s –24 ≈ 10 s ≈
FIGURA 1.9 Reloj atómco de ceso en el Natonal Insttute of Standards and Technology.
10
CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
TABLA 1.6
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL SEGUNDO 1 sglo = 100 años = 3.156 × 109 s 1 año = 3.156 × 107 s = 365.25 días 1 día = 84 600 s 1 h = 3 600 s 1 mn = 60 s 1 ms = 10–3 s 1 μs = 10–6 s 1 ns = 10–9 s 1 ps = 10–12 s 1 fs = 10–15 s
sglo año día hora mnuto mlsegundo mcrosegundo nanosegundo pcosegundo femtosegundo
Conceptos en
contexto
El dspostvo láser meddor de dstancas que se muestra en la foto del capítulo es capaz de medr el tempo de vaje de un pulso de luz con una precsón mejor que una mlmllonésma de segundo. ¿Qué tan lejos vaja la luz en una mlmllonésma de segundo (un nanosegundo)?
EJEMPLO 1
SOLUCIÓN: La dstanca que vaja la luz en un nanosegundo es
[dstanca] = [rapdez] × [tempo]
a
2.997 924 58
108
m s
b
(2.997 924 58
1.0)
(108 10�9)
(1.0 10�9 s)
a
m s
s
b
3.0 (10�1) (m) 30 cm
o, en undades brtáncas, cas un pe. La regla que aparece dbujada dagonalmente a través de esta págna muestra la dstanca que vaja la luz en 1 nanosegundo.
✔ Revisión 1.3 S S O A R D T A E M Í L G T U P N E C
PREGUNTA 1: ¿Cuántos mlsegundos hay en una hora? ¿Cuántos pcosegundos hay en
un mcrosegundo? PREGUNTA 2: ¿Cuántos femtosegundos hay en un mnuto?
(A) 3.6 × 1018
(B) 6.0 × 1016
(D) 1.7 × 1013
(E) 1.7 × 1014
(C) 6.0 × 1015
11
1.4 La unidad de masa
1.4 LA UNIDAD DE MASA La undad de masa es el klogramo. El patrón de masa es un clndro de aleacón de platno-rdo que se conserva en la Ofcna Internaconal de Pesos y Meddas (véase la fgura 1.10). El kilogramo (1 kg) se defne como eactamente gual a la masa de este clndro. La masa es la únca undad fundamental para la cual no se tene, hasta ahora, un estándar atómco. La masa se mde con una balanza, un nstrumento que compara el peso de una masa desconocda con una fuerza conocda, tales como el peso de una masa estándar y la traccón de un resorte calbrado. El peso es drectamente proporconal a la masa y, por tanto, pesos guales mplcan masas guales (la dstncón precsa entre masa y peso se eplca en detalle en el capítulo 5). La fgura 1.11 muestra una balanza de watts dseñada por el NIST. Es una balanza de resorte; pero, en vez de una suspensón con resorte mecánco, usa una suspensón magnétca con fuerzas magnétcas calbradas. Para relaconar la masa de un átomo con la masa del klogramo, se necesta saber el número de Avogadro N A, o el número de átomos por mol. Un mol de cualquier elemento químico (o de cualquier compuesto químico) es la cantidad de materia que contiene tantos átomos (o moléculas) como los átomos que hay en exactamente 12 gramos de carbono-12 . La
“masa atómca” de un elemento químco (o la “masa molecular” de un compuesto) es la masa de un mol epresada en gramos. Así, de acuerdo con la tabla de masas atómcas que aparece en el apéndce 8, un mol de átomos de carbono (C) tene una masa de 12.0 gramos; un mol de átomos de hdrógeno (H) tene una masa de 1.0 gramo; un mol de átomos de oígeno (O) tene una masa de 16.0 gramos; un mol de moléculas de oígeno (O2) tene una masa de 32.0 gramos; un mol de moléculas de agua (H 2O) tene una masa de 18.0 gramos, y así sucesvamente. Los datos epermentales dsponbles dan el sguente valor para N A: 23
N A 6.022 14 � 10
átomos o moléculas por mol
FIGURA 1.10 Klogramo patrón
nternaconal.
(1.2)
Como hay N A átomos en un mol, la masa de un átomo es la masa de un mol, o “masa atómca”, dvdda entre N A: [masa del átomo]
[“masa atómica”] �
N A
(1.3)
Por tanto, la masa de, dgamos, un átomo de carbono-12 es [masa del átomo carbono-12]
12 gramos 6.022 14 10
23
1.992 65 10�23 gramo
1.992 65 10�26 kg
(1.4)
Las masas de los átomos se mden con frecuenca en térmnos de la unidad de de la masa del átomo de carbono-12:
masa atómica (1 u), que es eactamente unidad de masa atómica
1 12
1u
1.992 65 10�26 kg 12
(1.5)
Es decr: 1 u 1.66054 10�27 kg
(1.6)
Obsérvese que, con esta defncón de la undad de masa atómca, la “masa atómca”, o el número de gramos en un mol, tene necesaramente el msmo valor numérco que la masa de un átomo epresado en u. Así, el átomo de carbono tene una masa de 12 u; el átomo de hdrógeno, una masa de 1.0 u; el átomo de oígeno, una masa de 16.0 u, y así sucesvamente.
FIGURA 1.11 Una balanza de alta
precsón.
12
CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
¿Cuántos átomos hay en una moneda de 5 centavos de Estados Undos? Suponga que la moneda está hecha de níquel y tene una masa de 5.2 × 10−3 kg, o 5.2 gramos. Las masas atómcas aparecen en el apéndce 8.
EJEMPLO 2
SOLUCIÓN: Recuérdese que la masa atómca es la masa de un átomo epresada en u. De acuerdo con la tabla peródca de elementos químcos que aparece en el apéndce 8, la masa atómca del níquel es 58.69. Así, la masa de un átomo de níquel es 58.69 u, o 58.69 × 1.66 × 10−27 kg = 9.74 × 10−26 kg. El número de átomos en 5.2 × 10−3 kg es, por tanto: 5.2 10�3 kg 9.74
10�26 kg /átomo
5.3 1022 átomos
La tabla 1.7 da algunos ejemplos de masas epresadas en klogramos y la tabla 1.8 es una lsta de múltplos y submúltplos del klogramo. En el sstema brtánco de undades, la undad de masa es la libra , que es eactamente 0.45359237 kg. Para calcular con rapdez la relacón apromada entre undades brtáncas y métrcas, recuérdense las sguentes gualdades apromadas, buenas dentro de ±10% (factores de conversón más eactos se tabulan en el apéndce 7): 1 yarda ≈ 1 m 1 mlla ≈ 1.6 km 1 lbra ≈ klogramo 1 cuarto de galón ≈ 1 ltro 1 galón ≈ 4 ltros 1 12
TABLA 1.7
ALGUNAS MASAS
Unverso observable Galaa Sol Terra a ) Barco Queen Elizabeth Avón jet de pasajeros (Boeng 747), vacío Automóvl b) Hombre (varón promedo) Manzana c ) Moneda de 5 centavos de Estados Undos Gota de lluva Glóbulo rojo de la sangre d ) El vrus más pequeño (PSTV de la patata) Átomo (herro) Protón Electrón
≈
1053 kg 4 × 1041 kg 2.0 × 1030 kg 6.0 × 1024 kg 7.6 × 107 kg 1.6 × 105 kg 1.5 × 103 kg 73 kg 0.2 kg 5.2 × 10–3 kg 2 × 10–6 kg 9 × 10–14 kg 4 × 10–21 kg 9.5 × 10–26 kg 1.7 × 10–27 kg 9.1 × 10–31 kg
a )
c )
b)
d )
13
1.5 Unidades derivadas
TABLA 1.8 MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL KILOGRAMO 1 t = 103 kg 1 kg 1 g = 10–3 kg 1 mg = 10–6 kg 1 μg = 10–9 kg 1 u = 1.66 × 10–27 kg 1 lb = 0.454 kg 1 oz = 28.3 g 1 ton = 907 kg
tonelada métrca klogramo gramo mlgramo mcrogramo undad de masa atómca lbra onza tonelada nglesa
Para obtener un mejor manejo de las undades métrcas, ayuda saber que: • Laalturadeunapersonaes,comúnmente,1.6a1.8m. • Lamasadeunapersonaes,comúnmente,60a75kg. • Ladistanciadelejecentraldelcuerpoalamanoestiradaesalrededorde1m.
✔ Revisión 1.4 PREGUNTA 1: ¿Cuántos gramos hay en una tonelada métrca? ¿Cuántas toneladas mé-
trcas hay en un mlgramo? PREGUNTA 2: ¿Cuántas undades de masa atómca (u) hay en un klogramo? (A) 1.66 × 10–26
(B) 1.66 × 10–23
(C) 6.02 × 1023
(D) 6.02 × 1026
1.5 UNIDADES DERIVADAS El metro, el segundo y el klogramo son las undades fundamentales, o unidades básicas del sstema métrco de undades. Cualquer otra cantdad físca puede medrse ntroducendo una unidad derivada , que se construye mediante alguna combinación de las unidades básicas . Por ejemplo, área puede medrse con una undad dervada que es el cuadrado de la undad de longtud; así, en el sstema métrco, la undad de área es el metro cuadrado (1 m × 1 m = 1 m2), que es el área de un cuadrado de un metro por lado (fgura 1.12 a ). Y el volumen puede medrse con una undad dervada que es el cubo de la undad de longtud; en el sstema métrco, la undad de volumen es el metro cúbco (1 m × 1 m × 1 m = 1 m 3), que es el volumen de un cubo de un metro por lado (fgura 1.12 b). Las tablas 1.9 y 1.10 proporconan múltplos y submúltplos de estas undades. De manera smlar, la densidad o masa por undad de volumen, puede medrse con una undad dervada que es la relacón de la undad de masa y la undad de volumen. En el sstema métrco, la undad de densdad es el klogramo por metro cúbco (1 kg/m3). Por ejemplo, la densdad del agua es 1 000 kg/m 3, que sgnfca que un metro cúbco de agua tene una masa de 1 000 klogramos. En capítulos posterores se verá que otras cantdades físcas, tales como rapdez, aceleracón, fuerza, etc., se mden tambén con undades dervadas.
a )
1m
2
1m
1m b)
1m
3
1m
1m 1m
FIGURA 1.12 a ) Un metro cuadrado. b) Un metro cúbco.
14
CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
TABLA 1.9
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO
metro cuadrado klómetro cuadrado centímetro cuadrado mlímetro cuadrado
TABLA 1.10
1 m2 1 km2 = 106 m2 1 cm2 = 10–4 m2 1 mm2 = 10–6 m2
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO
metro cúbco klómetro cúbco ltro centímetro cúbco mlímetro cúbco
1 m3 1 km3 = 109 m3 1 ltro = 10–3 m3 1 cm3 = 10–6 m3 1 mm3 = 10–9 m3
El Sstema Internaconal de Undades, o SI, que se usa en este lbro es el sstema más amplamente aceptado de undades en la cenca y en la ngenería. Se basa en el metro, el segundo y el klogramo, además de una undad especal para la temperatura y una undad especal para la corrente eléctrca.
✔ Revisión 1.5 PREGUNTA 1: ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en un metro cuadrado? ¿Cuántos
centímetros cúbcos hay en un metro cúbco? PREGUNTA 2: ¿Cuántos mlímetros cúbcos hay en un klómetro cuadrado? PREGUNTA 3: ¿Cuántos mlímetros cúbcos hay en un klómetro cúbco? (A) 10–18
(B) 10–6
(C) 106
(D) 1018
1.6 CIFRAS SIGNIFICATIVAS; COHERENCIA DE UNIDADES Y CONVERSIÓN DE UNIDADES Cifras significativas Los números que aparecen en las tablas 1.1, 1.5 y 1.7 se escrben en notacón centífca, con potencas de 10. Esto no sólo tene la ventaja de poder escrbr en forma compacta números muy grandes o muy pequeños, sno que tambén srve para ndcar la precsón de los números. Por ejemplo, un centífco que hubera vsto el maratón de Berlín de 1988 en el que Ronaldo da Costa establecó el récord mundal de 2 h 6 mn 5.0 s, habría reportado el tempo de la carrera como 7.5650 × 103 s , o 7.565 × 103 s, o 7.57 ×
15
1.6 Cifras significativas; coherencia de unidades y conversión de unidades
103 s, o 7.6 × 103 s, dependendo de s la medcón de tempo se hzo con un cronógrafo o con un reloj de pulsera con segundero (pero sn botón de detencón), o con un reloj de pulsera sn segundero, o con un reloj “de dseñador” con una de esas carátulas dotas en blanco sn nngún número. La prmera de estas opcones permte hacer medcones con una precsón dentro de 1/10 s; la segunda, dentro de apromadamente 1 s; la tercera, dentro de 10 o 20 s, y la cuarta dentro de 1 o 2 mnutos (s el centífco es bueno para advnar la poscón de la maneclla en la carátula en blanco). En este lbro se adoptará la regla de que sólo se escrben dígtos, o cifras significativas , s se sabe que son confables de modo razonable. De acuerdo con esta regla, el número 7.5650 × 103 s comprende cnco cfras sgnfcatvas, de las cuales la últma (0) representa décmas de segundo; el número 7.565 × 103 s comprende cuatro cfras sgnfcatvas, de las cuales la últma (5) representa segundos y así de manera sucesva. De esta forma, la notacón centífca proporcona una ndcacón nmedata de la precsón dentro de la cual se ha meddo el número. Cuando en los cálculos se multplcan o dvden números en notacón centífca, el resultado fnal debe sempre redondearse de manera que no tenga más cfras sgnfcatvas que los números orgnales, porque el resultado fnal no puede ser más precso que los números orgnales en los que se basó. Así, el resultado de multplcar 7.57 × 103 s por 7.57 × 103 s es 5.73049 × 104 s2, que debe redondearse a 5.73 × 104 s2, porque había sólo tres cfras sgnfcatvas en los números orgnales. Cuando se suman o restan números, el resultado debe redondearse al más grande lugar decmal entre los últmos dígtos de los números orgnales. Así, 89.23 + 5.7 = 94.93, debe redondearse a 94.9 porque uno de los números orgnales se conoce sólo hasta el lugar de las décmas. El dspostvo láser de medcón de dstancas de un topógrafo mde un ntervalo de tempo de 1.176 × 10–6 s para el vaje de da y vuelta de un pulso de luz láser a un marcador. ¿Cuál es la dstanca de vaje redondo, epresada con el número correcto de cfras sgnfcatvas?
EJEMPLO 3
SOLUCIÓN: La dstanca que la luz vaja en un ntervalo de tempo de 1.176 × 10–6 s es
[dstanca] = [rapdez] × [tempo]
a
352.6 m
2.997 924 58
108
m s
b
(1.176
10�6 s )
(1.7)
donde el resultado que aparece en una calculadora, 352.555 930 6 m, se ha redondeado en el últmo paso a 352.6 m; es decr, al msmo número de dígtos del factor conocdo menos precso a partr del cual se calculó. Esta precsón de fraccón de metro concuerda con la dstanca calculada para un ntervalo de un nanosegundo en el ejemplo 1. Algunas veces, ncluso un número conocdo con muchas cfras sgnfcatvas se redondea a menos cfras sgnfcatvas por convenenca, cuando no se necesta alta precsón. Por ejemplo, el valor eacto de la rapdez de la luz es 2.997 924 58 × 108 m/s; pero para la mayoría de los fnes, es adecuado redondear este valor a 3.00 × 108 m/s y con frecuenca se emplea este valor apromado de la rapdez de la luz en los cálculos.* * Al redondear un número, se emplea la sguente regla (por ejemplo, en una calculadora de mano): s el prmer dígto de los que se van a elmnar en el redondeo está entre 5 y 9, el dígto anteror se aumenta en 1 (“se redondea haca arrba”); s el prmer dígto de los que se van a elmnar es de 0 a 4, el dígto anteror permanece sn cambo (“redondeo haca abajo”).
Conceptos en
contexto
16
CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
Consistencia de las unidades En todas las ecuacones de físca, las undades del lado zquerdo y del lado derecho de la ecuacón deben ser coherentes. Esta coherenca se lustra por los cálculos del ejemplo 3, donde se ve que en el lado derecho de la ecuacón (1.7), las undades de tempo se cancelan y el resultado fnal para el lado derecho tene entonces undades de longtud, en concordanca con las undades del lado zquerdo, que es una dstanca y requere undades de longtud. Una regla general es que en cualquer cálculo con ecuacones de físca, las undades pueden multplcarse y dvdrse como s fueran cantdades algebracas, lo que automátcamente da undades correctas para el resultado fnal. Este requsto de consstenca de las undades en las ecuacones de físca puede formularse de manera más general como un requsto de consstenca de dmensones. En este conteto, se dce que las dimensiones de una cantdad físca son longtud, tempo, masa o algún producto o alguna relacón de éstas s las undades de esta cantdad físca son las de longtud, tempo, masa o algún producto o alguna relacón de éstas. Así, el volumen tene las dmensones de [longtud] 3, la densdad tene las dmensones de [masa]/ [longtud]3, la rapdez tene las dmensones de [longtud]/[tempo] y así sucesvamente. En cualquer ecuacón de físca, las dimensiones de ambos lados de la ecuación deben ser las mismas. Por ejemplo, puede probarse la consstenca de la ecuacón (1.7) eamnando las dmensones de las cantdades que aparecen en esta ecuacón: [longtud] [longtud] = [tempo] × [tempo] (1.8) Las dmensones se usan a menudo en pruebas prelmnares de la consstenca de las ecuacones, cuando se sospecha que hay algún error en la ecuacón. Una prueba de la coherenca de las ecuacones no nos dce más que la prueba de la consstenca de las undades, pero tene la ventaja de que no es necesaro comprometerse con una eleccón especal de undades n preocuparse por las conversones entre múltplos y submúltplos de las undades. Tómese en cuenta que s una ecuacón no pasa esta prueba de consstenca, se confrma que está equvocada; pero s pasa la prueba, esto no asegura que esté correcta. Algunas veces, las dmensones se usan para encontrar relacones entre cantdades físcas. Una determnacón así de la proporconaldad correcta entre potencas de cantdades pertnentes se llama análisis dimensional. Éste se realza egendo la consstenca de las dmensones de las undades en cada lado de una ecuacón. El análss dmensonal resultará útl cuando haya más famlardad con más cantdades físcas y sus dmensones. El desastroso fn de la msón espacal Mars Climate Orbiter el 3 de dcembre de 1999 (véase la fgura 1.13) enseña una leccón sobre la mportanca de poner sempre undades junto con una cantdad. Los ngeneros de Lockheed Martn proporconaron los datos operatvos del artefacto espacal, necesaros para la navegacón, en undades brtáncas en vez de métrcas. Los controladores de vuelo supuseron que los datos estaban en undades métrcas; así, la sonda espacal no se comportó como se esperaba cuando se encenderon los cohetes de empuje pertnentes cerca de Marte. La msón de 155 000 000 de dólares fue una pérdda total cuando la nave espacal entró a la atmósfera y se estrelló, en vez de orbtar alrededor de Marte.
Conversión de unidades FIGURA 1.13 Representacón artístca de la nave espacal Mars Climate Orbiter.
En muchos cálculos, es necesaro convertr cantdades ep resadas en un sstema de undades a otro sstema de undades. Tales conversones no
1.6 Cifras significativas; coherencia de unidades y conversión de unidades
requeren más que sencllas susttucones de cantdades equvalentes en los dos sstemas (puede encontrarse una lsta muy completa de cantdades equvalentes en dferentes undades en el apéndce 7). Por ejemplo, la densdad del agua es 1.000 × 103 kg/m3. Para epresar esto en g/cm 3, se susttuye 1 kg = 1 000 g y 1 m = 100 cm y se encuentra 1.000 � 103
kg m3
1.000 � 103 �
1.000
1 000 g (100 cm)3
1.000 � 103 �
103 g 106 cm3
g cm3
Un método alternatvo para la conversón de undades de un sstema a otro utlza la multplcacón por factores que son déntcamente guales a 1. Como 1 kg = 1 000 g, se tene la dentdad 1
1 000 g 1 kg
�
y de modo smlar, 1
1m �
100 cm
Esto sgnfca que cualquer cantdad puede multplcarse por (1 000 g)/(1 kg) o (1 m)/ (100 cm) sn cambar su valor. Así, comenzando con 1.000 × 103 kg/m3, se obtene 1.000 � 103
kg 3
m
kg
1 000 g
1.000 � 103
1.000 � 103 � 1 000 �
3
m
�
1 kg
�
1m 100 cm
�
1m 100 cm
�
1m 100 cm
kg g 1 1 1 m3 � � � � � 100 100 100 m3 kg cm3
Hacendo las multplcacones y cancelando el kg y el m 3, se encuentra 1.000 � 103
kg 3
m
1.000
g cm3
(1.9)
Relacones tales como (1 000 g)/(1 kg) o (1 m)/(100 cm), que son déntcamente guales a 1, se llaman factores de conversión. Para cambar las undades de una cantdad, smplemente se multplca la cantdad por uno o varos factores de conversón que producrán la cancelacón deseada de las vejas undades. La relacón cocente de dos cantdades con dmensones o undades déntcas no tendrá nnguna dmensón. Por ejemplo, la pendiente de una trayectora en relacón con la dreccón horzontal se defne como la relacón del ncremento de altura al ncremento de dstanca horzontal. Como ésta es la relacón de dos longtudes, es una cantdad admensonal. Del msmo modo, el seno de un ángulo se defne como la relacón de dos longtudes; en un trángulo rectángulo, el seno de uno de los ángulos agudos es gual a la longtud del lado opuesto dvdda entre la longtud de la hpotenusa (véase Ayuda matemátca: Trgonometría del trángulo rectángulo, para un repaso). Así, la pendente, el seno, el coseno y la tangente de un ángulo son ejemplos de cantidades adimensionales. Inmedatamente después del despegue, un avón jet de pasajeros se eleva alejándose de la psta en un ángulo ascendente de 12 ° (véase la fgura 1.14). ¿Cuál es la pendente de la trayectora de ascenso del avón? ¿Qué alttud alcanza a una dstanca horzontal de 2 000 m o 2.0 km desde el punto de despegue?
EJEMPLO 4
17
18
CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
La pendiente de esta línea es la relación de altura a distancia horizontal y es igual a la tangente del ángulo de ascenso.
P
Altura 12
°
O
Q
Distancia horizontal
FIGURA 1.14 Un jet de pasajeros toma altura después del despegue.
SOLUCIÓN: S P es un punto de la trayectora a la dstanca horzontal OQ y a una altura PQ (véase la fgura 1.13), entonces la pendente de la trayectora es PQ [altura] [pendente] = = (1.10) [dstanca horzontal] OQ
La trgonometría dce que en el trángulo rectángulo OPQ , la relacón PQ/OQ es la tangente del ángulo θ (véase el recuadro de Ayuda matemátca); por tanto, [pendente] = tan θ Con la calculadora, se encuentra que la tangente de 12 ° es 0.21. Por tanto, [pendente] = 0.21 Este número admensonal sgnfca que el avón se eleva 0.21 m por cada 1 m que avanza en la dreccón horzontal. Frecuentemente, las pendentes se epresan como relacones; así, una pendente de 0.21 se puede epresar en la forma alterna 21:100. Por proporcones, la altura que alcanza el avón en 2 000 metros de avance horzontal debe ser 2 000 veces más grande que la altura por 1 metro de avance horzontal; es decr, [altura] = 2 000 m × 0.21 = 4.2 × 102 m
TÉCNICAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En todos los cálculos con ecuacones de físca, sempre ncluya las undades en sus cálculos y multplíquelas y dvídalas como s fueran cantdades algebracas. Esto automátcamente producrá las undades correctas para el resultado fnal. S no resulta así, usted ha cometdo algún error en el cálculo. Por tanto, sempre vale la pena segur la psta de las undades en el cálculo, ya que esto da algo de proteccón etra contra errores costosos. S las cancelacones esperadas no ocurren, ¡esto es una señal segura de que hay problemas! S es necesaro cambar las undades de una cantdad, susttuya las undades vejas por cantdades guales de undades nuevas, o ben multplque las undades vejas por los factores de conversón que produzcan la cancelacón de las undades vejas.
UNIDADES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS Sempre redondee su resultado fnal a tantas cfras sgnfcatvas como se especfque en los datos que se tene. Pongamos por caso el ejemplo 3, se redondeó el resultado fnal a cuatro cfras sgnfcatvas, ya que se especfcaron cuatro cfras sgnfcatvas en el ntervalo de tempo meddo por el dspostvo. Cualquer cfra sgnfcatva adconal en el resultado fnal será no confable y engañosa. De hecho, ncluso las cuatro cfras sgnfcatvas en la respuesta [ecuacón (1.7)] no son sufcentemente confables: el cálculo de un tempo especfcado con una precsón de 1 nanosegundo daría una dstanca precsa a sólo 0.3 m, como en el ejemplo 1. Sempre es sensato dudar de la precsón de la últma cf ra sgnfcatva, en el resultado fnal y (algunas veces) tambén en los datos ncales.
19
1.6 Cifras significativas; coherencia de unidades y conversión de unidades
Puede obtenerse un apromado del tamaño de una molécula medante el sguente epermento sencllo. Tome una gota de acete y deje que se etenda en una superfce lsa de agua. Cuando la película de acete adquere su área máma, consste en una capa monomolecular, es decr, consste en una sola capa de moléculas de acete asentadas una al lado de otra sobre la superfce del agua. Dado que una gota de acete de 8.4 × 10−7 kg de masa y una densdad de 920 kg/m 3 se etende como una película de acete con un área máma de 0.55 m 2, calcule la longtud de una molécula de acete.
EJEMPLO 5
SOLUCIÓN: El volumen de la gota de acete es [masa] [volumen] = [densdad]
8.4 10�7 kg 920 kg/m
3
9.1 10�10 m3
(1.11)
El volumen de la película de acete debe ser eactamente el msmo. Este últmo volumen puede epresarse en térmnos del espesor y el área de la película de acete: [volumen] = [espesor] × [área] Consecuentemente, [espesor] =
[volumen] [área] 9.1
�10
10
2
0.55 m
3
m
1.7
�9
10
m
(1.12)
Como se dce que la película de acete consste en una sola capa de moléculas asentadas una al lado de otra, la longtud de una molécula es la msma que el espesor calculado, 1.7 × 10–9 m.
AYU DA M ATE M ÁTI CA
TRIGONOMETRÍA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
u s a t e n o h i p
cateto opuesto
q
cateto adyacente
S θ es uno de los ángulos agudos de un trángulo rectángulo, el lado que está enfrente de este ángulo es el cateto opuesto; el lado que está junto al ángulo es el cateto adyacente y el lado que se encuentra frente al ángulo recto es la hipotenusa .
cos θ =
[cateto adyacente] [hpotenusa]
tan θ =
[cateto opuesto] [cateto adyacente]
El teorema de Ptágoras establece que [hpotenusa]2 = [cateto opuesto]2 + [cateto adyacente] 2
Este teorema mplca que 1 = sen2 θ + cos2 θ . En prncpo, el valor numérco del seno, del coseno o de la tangente de cualquer ángulo puede encontrarse trazando La fgura muestra un trángulo rectángulo con un ángulo θ , un trángulo rectángulo con este ángulo, mdendo sus lados sus catetos opuesto y adyacente y la hpotenusa. El seno, el y calculando las relacones dadas en las defncones. En la práctca, los valores numércos de las tangentes, los cosenos coseno y la tangente de θ se defnen como sgue: y los senos se obtenen medante calculadoras electróncas de [cateto opuesto] mano. sen θ = El apéndce 3 da un repaso adconal de trgonometría. [hpotenusa]
20
CAPÍTULO 1 Espacio, tiempo y masa
✔ Revisión 1.6 PREGUNTA 1: S usted usa una regla ordnara marcada en mlímetros, ¿hasta cuántas
cfras sgnfcatvas puede medr la longtud, la anchura y el espesor de su lbro de teto? Del msmo modo, ¿hasta cuántas cfras sgnfcatvas puede usted calcular el volumen? PREGUNTA 2: ¿Cuántas cfras sgnfcatvas hay en los sguentes números: 7.3, 1.24, 12.4, 4.85 × 106? PREGUNTA 3: Usted multplca 7.3 y 1.24. ¿Cuántas cfras sgnfcatvas hay en el resultado? PREGUNTA 4: Usted suma 73 y 1.2 × 102. ¿Cuál es el resultado? ¿Cuántas cfras sgnfcatvas hay en él? PREGUNTA 5: ¿Cuál es el factor de conversón de m a km?; ¿y el de km a m?; ¿y el de cm a km?; ¿y el de m2 a km2?; ¿y el de m3 a km3?; ¿y el de m/s a m/h? PREGUNTA 6: ¿Cuál es el factor de conversón de m/s a km/h? (A) (1 km/103 m) × (3 600 s/1 h) (B) (103 km/1 m) × (3 600 s/1 h) (C) (103 m/1 km) × (3 600 s/1 h) (D) (103 m/1 km) × (1 h/3 600 s) (E) (103 m/1 km) × (3 600 h/1 s)
RESUMEN TÉCNICAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Undades y cfras sgnfcatvas
AY UD A MA TE MÁ TI CA Trgonometría del trángulo rectángulo
(página 18) (página 19)
PARTÍCULA IDEAL Una masa puntual, cuyo movmento puede descrbrse
completamente, dando su poscón como funcón del tempo. MARCO DE REFERENCIA Un sstema de coordenadas con un conjunto
y'
de relojes sncronzados. O
x'
Este marco de referencia se mueve con el barco.
UNIDADES SI DE LONGITUD, TIEMPO Y MASA Metro, segundo, klogramo. ESTÁNDARES DE LONGITUD, TIEMPO Y MASA Rapdez de la luz, reloj atómco
de ceso y clndro patrón de platno-rdo. NÚMERO DE AVOGADRO
N A = 6.022 × 1023 átomos o moléculas por mol.
(1.2)
UNIDAD DE MASA ATÓMICA
1 u = 1.66 × 10–27 kg.
(1.4)
MO L La cantdad de matera que contene tantos átomos (o moléculas)
como en eactamente 12 g de carbono-12.
21
Preguntas para discusión
Una undad construda medante alguna combnacón de las undades báscas de longtud, tempo y masa. UNIDADES DERIVADAS
1m
3
1m
1m 1m
Los dígtos de un número que se conocen con certeza (el últmo de estos dígtos a menudo no es completamente confable). Cuando se multplcan o dvden dos o más cantdades, el resultado tene el msmo número de cfras sgnfcatvas que el menor número de cfras sgnfcatvas en las cantdades orgnales. Cuando se suman o se restan dos o más cantdades, el número de cfras sgnfcatvas en el resultado se determna por el más lejano lugar después del punto decmal entre los últmos dígtos en las cantdades orgnales. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
En cualquer ecuacón, las dmensones (las potencas de la longtud, el tempo y la masa) a cada lado de la ecuacón deben ser las msmas. COHERENCIA DE LAS UNIDADES
FACTORES DE CONVERSIÓN La relacones que son déntcamente guales a 1,
que se usan como factores para cambar las undades de una cantdad.
PREGUNTAS PARA DISCUSIÓN 1. Trate de estmar vsualmente las longtudes, en centímetros o metros, de unos pocos objetos en su entorno nmedato. Luego mídalos con una regla o con una vara métrca. ¿Cuán buenos fueron sus estmados? 2. ¿Cuán prómo está su reloj ahora del tempo estándar? ¿Apromadamente cuántos mnutos se adelanta o se atrasa por mes? 3. ¿Qué sgnfca la frase “un instante en el tiempo”? 4. Los relojes mecáncos (con péndulos) no se nventaron hasta el sglo x de nuestra era. ¿Qué relojes usaban los antguos gregos y romanos? 5. Contando en voz alta “uno cento uno, dos cento dos, tres cento tres”, etc., con una rapdez moderadamente rápda, usted puede medr segundos con razonable precsón. Trate de medr 30 segundos de esta manera. ¿Qué tan buen tomador de tempo es usted? 6. Los relojes de péndulo se afectan por la temperatura y la presón del are. ¿Por qué? 7. En 1761, un cronómetro precso, construdo por John Harrson (véase la fgura 1.15) se probó a bordo del buque HMS Deptford durante un vaje de 5 meses en el mar. En este vaje, el cronómetro acumuló un error menor de 2 mnutos. Por este logro, se otorgó fnalmente a Harrson un premo de 20 000 lbras esterlnas que había ofrecdo el gob erno brtánco por el descubrmento de un método precso para l a determnacón de la longtud geográfca en el mar. Eplque cómo usa un cronó-
metro y la observacón de la poscón del Sol en el celo el navegante de un barco para encontrar la longtud geográfca.
FIGURA 1.15 Cronómetro de Harrson H.4. 8. Wrinkles in Practical Navegation, del captán Lecky, famoso lbro de teto del sglo xix sobre navegacón celeste, recomenda que cada barco lleve tres cronómetros para la medcón precsa del tempo. ¿Qué puede hacer el navegante con tres cronómetros que no pueda hacer con dos? 9. Suponga que por un desastre natural o un acto vandálco se destruyera el klogramo patrón de Sèvres. ¿Destruría esto al sstema métrco?
22
CAPÍTULO 1
Espacio, tiempo y masa
10. Estme las masas, en gramos y klogramos, de unos pocos cuerpos en su entorno. Verfque las masas con una balanza s tene una a la mano. 11. Consdere el trozo de papel en el que está escrta esta frase. S tuvera a su dsposcón nstrumentos adecuados, ¿qué cantdad físca podría usted medr en este pedazo de papel? Haga
la lsta más larga que pueda y dé las undades. ¿Son todas estas undades dervadas del metro, el segundo y el klogramo? 12. ¿Podría tomarse la longtud, el tempo y la densdad como las tres undades fundamentales? ¿Qué podríamos usar como estándar de la densdad? 13. ¿Podría tomarse la longtud, la masa y la densdad como las tres undades fundamentales? ¿Y la longtud, la masa y la rapdez?
PROBLEMAS 1.2 La unidad de longitud 1. ¿Cuál es su altura en pes? ¿Y en metros? 2. Con una regla, mda el espesor de este lbro, ecluyendo las pastas. Deduzca el espesor de cada una de las págnas que forman el lbro. 3. Una cancha de fútbol amercano mde 100 yd × 53 13 yd. Eprese cada una de estas longtudes en metros. 4. S cada paso que usted da es de 0.60 m, ¿cuántos pasos necesta para andar 1 km? 5. La pca es una undad de longtud que usan los mpresores y los dseñadores de lbros; 1 pca = 16 pulgada, que es la dstanca estándar entre una línea de tpos producda en una máquna de escrbr y la sguente línea (a renglón segudo). ¿Cuántas pcas de longtud y anchura mde una hoja estándar de papel de 11 pulgadas de largo y 8 12 pulgadas de ancho? 6. Eprese los últmos cuatro elementos de la tabla 1.1 en pulgadas. 7. Eprese las sguentes fraccones de pulgada en mlímetros: 12 , 1 1 1 1 1 4 , 8 , 16, 32 y 64 de pulgada. 8. Eprese 1 ml (una mlésma de pulgada) en mcrómetros (mcras). Eprese 1 mm en mls. 9. Las analogías pueden ayudar a menudo a magnar las dstancas muy grandes o muy pequeñas que ocurren en la astronomía o en la físca atómca. a ) S el Sol fuera del tamaño de una toronja, ¿de qué tamaño sería la Terra? ¿Qué tan lejos estaría la estrella más cercana? b) S su cabeza fuera del tamaño de la Terra, ¿de qué tamaño sería un átomo? ¿De qué tamaño sería un glóbulo rojo de la sangre? 10. Uno de los objetos más dstantes que observan los astrónomos es el quásar Q1208+1011, a una dstanca de 12.4 ml mllones de años luz de la Terra. S usted qusera grafcar la poscón de este quásar a la msma escala que el dagrama en la parte superor de la págna XXXVI del Preludo, ¿cuán lejos del centro del dagrama tendría usted que colocar este quásar? 11. A la escala del segundo dagrama de la págna XXXVI del prefaco, ¿cuál tendría que ser el tamaño del punto central s tuvera que representar felmente el tamaño del Sol?
12. Un interferómetro usa la magen que se produce mezclando ondas de luz láser con objeto de medr dstancas con etremada precsón. La longtud de onda de las ondas de luz láser que se usa es de 633 nanómetros. Un nterferómetro de fbra óptca puede medr una dstanca de 10 –6 veces el tamaño de una longtud de onda. ¿Cómo se compara esta precsón con el dámetro de un átomo? *13. La cuerda de un tornllo se descrbe a menudo en térmnos del número de vueltas completas que se necestan para que el tornllo avance una pulgada (undades nglesas) o en térmnos del número de mlímetros que avanza el tornllo en una vuelta completa (undades métrcas). Para ajustes delcados, los centífcos usan a menudo tornllos, con cuerda de 80 vueltas por pulgada o con una cuerda de 0.5 mm por vuelta. Eprese cada una de éstas en térmnos del número de mcrómetros que avanza el tornllo al grar una vuelta parcal con un ángulo de 5°. *14. Una mlla náutca (nm) es gual a 1.151 m, o 1 852 m. Demuestre que la dstanca de 1 nm a lo l argo de un merdano de la Terra corresponde a un cambo en lattud de 1 mnuto de arco. **15. Una físca planta un poste vertcal en la línea de agua en la orlla de un lago tranqulo. Cuando ella se para junto al poste, la punta de éste queda al nvel de sus ojos, 175 cm sobre la línea de agua. Ella luego rema a través del lago y camna a lo largo de la línea de agua en la orlla opuesta hasta que se coloca tan lejos del poste que la vsta de éste queda totalmente bloqueada por la curvatura de la superfce del lago, es decr, todo el poste queda debajo del horzonte (fgura 1.16). Ella encuentra que esto sucede cuando su dstanca al poste es de 9.4 km. A partr de esta nformacón, deduzca el rado de la Terra. 9.4 km
1 .7 5 m R
FIGURA 1.16 La dstanca entre la físca y el poste es de 9.4 km.
Problemas
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1.3 La unidad de tiempo
1.4 La unidad de masa
16. ¿Cuál es su edad en días? ¿Y en segundos? 17. La edad de la Terra es de 4.5 × 109 años. Eprese esto en segundos. 18. Una computadora puede realzar un solo paso de cálculo cada nanosegundo (10−9 s). ¿Cuántos pasos puede realzarse en una hora? 19. Carlos Lopes, de Portugal, establecó un récord olímpco de maratón de 2 h 9 mn 21 s en 1984. Eprese el tempo en segundos. 20. Joan Benot, de Estados Undos, establecó el récord olímpco de maratón femenl en 1984, con un tempo de 2 h 24 mn 52 s. Eprese este tempo en segundos. 21. El día solar es el ntervalo en el que la Terra completa una rotacón alrededor de sí msma y el día sderal es el nter valo en el que la Terra completa una rotacón respecto a estrellas dstantes. El día solar tene eactamente 24 horas. ¿Cuántas horas y mnutos hay en un día sderal? (Sugerenca: Un año tene 365.24 días solares, pero 366.24 días sderales. ¿Por qué?) 22. Un reloj mecánco de pulsera hace tc 4 veces por segundo. Suponga que este reloj trabaja durante 10 años. ¿Con qué frecuenca hace tc en este ntervalo? 23. ¿A cuántos días equvale 1 mllón de segundos? 24. ¿Cuántas horas hay en una semana? ¿Cuántos segundos? 25. Su corazón late 71 veces por mnuto. ¿Con qué frecuenca late por año? *26. Cada día al medodía, un reloj mecánco de pulsera se comparó con las señales de tempo de WWV. El reloj no se ajustó. Se atrasaba unformemente como sgue: 24 de juno, retrasado 4 s; 25 de juno, retrasado 20 s; 26 de juno, retrasado 34 s; 27 de juno, retrasado 51 s. a ) Para cada uno de los ntervalos de 24 horas, calcule la rapdez con la que el reloj de pulsera se retrasó. Eprese su respuesta en segundos de retraso por hora. b) ¿Cuál es el promedo de las rapdeces de retraso que se encontraron en el ncso a )? c ) Cuando el reloj de pulsera muestra el 30 de juno, ¿cuál es el tempo correcto WWV? Haga este cálculo con la rapdez promedo de retraso del ncso b) y tambén con las rapdeces más altas de retraso que se encontraron en el ncso a ). Estme con cuántos segundos de precsón puede confarse en el reloj de pulsera el 30 de juno, después de haber hecho la correccón para la rapdez de retraso. *27. El navegante de un velero trata de determnar su longtud geográfca observando a qué hora (Coordnated Unversal Tme: CUT) alcanza el Sol el cent en su poscón (medo día local). Suponga que el cronómetro del navegante está equvocado y está 1.0 segundos retrasado en comparacón con el CUT. ¿Cuál será el consecuente error de longtud (en mnutos de arco)? ¿Cuál será el error de poscón (en klómetros) s el barco está en el Ecuador?
28. ¿Cuál es su masa en lbras? ¿En klogramos? ¿En undades de masa atómca? 29. ¿Qué porcentaje de la masa del Sstema Solar está en los planetas? ¿Qué porcentaje está en el Sol? Use los datos de la tabla mpresa dentro de la cuberta (guarda) de este lbro. 30. ¿Cuál es la relacón de la mayor a la menor de las longtudes enlstadas en la tabla 1.1. ¿Cuál es la relacón del tempo más largo al más corto en la tabla 1.5? ¿Cuál es la relacón de la masa más grande a la más pequeña en la tabla 1. 7? ¿Ve algunas concdencas (o cas concdencas) entre estos números? Algunos físcos han propuesto que las concdencas entre estos grandes números deben eplcarse medante nuevas teorías cosmológcas. 31. El átomo de urano tene 92 electrones, cada uno con masa 9.1 × 10−31 kg y un núcleo. ¿Qué porcentaje de la masa total corresponde a los electrones y cuál al núcleo del átomo? 32. Una mcrobalanza de laboratoro puede medr una masa de una décma de mcrogramo, una muy pequeña mota de matera. ¿Cuántos átomos hay en una mota así de oro, que tene 197 gramos en un mol? 33. Las undades nglesas usan la lbra ordnara, llamada tambén lbra avoirdupois , para especfcar la masa de la mayoría de clases de cosas; sn embargo, a menudo se usa la l bra troy para medr pedras precosas, metales precosos y medcnas donde 1 lbra troy = 0.822 86 lbras avordupos. S adoptamos estas lbras dferentes, ¿cuántos gramos hay en una lbra troy de oro?, ¿y cuántos en una lbra avordupos de plumas? 34. Los nanooscladores mecáncos pueden detectar un cambo de masa tan pequeño como 10−21 kg. ¿Cuántos átomos de herro (55.85 g/mol) debe depostarse en un osclador para producr un cambo de masa medble? 35. a ) ¿Cuántas moléculas de agua hay en una taza de agua? Una taza contene alrededor de 250 cm 3. b) ¿Cuántas moléculas de agua hay en el océano? El volumen total del océano es de 1.3 × 1018 m3. c ) Suponga que verte una taza de agua en el mar, permte que se mezcle por completo y luego toma una taza de agua del mar. En promedo, ¿cuántas moléculas que estaban orgnalmente en la taza estarán nuevamente en la taza? *36. ¿Cuántos átomos hay en el Sol? La masa del Sol es de 1.99 × 1030 kg y su composcón químca (por masa) es apromadamente 70% hdrógeno y 30% helo. *37. La composcón químca del are (por masa) es: 75.5% N2, 23.2% O2 y 1.3% Ar. ¿Cuál es la “masa molecular” promedo del are? Es decr, ¿cuál es la masa de 6.02 × 1023 moléculas de are? *38. ¿Cuántos átomos hay en un cuerpo humano de 73 kg? La composcón químca (por masa) del cuerpo humano es: 65% oígeno, 18.5% carbono, 9.5% hdrógeno, 3.3% ntrógeno, 1.5% calco, 1% fósforo y 0.35% otros elementos (gnore los “otros elementos” en su cálculo).
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CAPÍTULO 1
Espacio, tiempo y masa
1.5 Unidades derivadas 1.6 Cifras significativas; conversión de unidades 39. Como se ve desde la Terra, el Sol tene un dámetro angular de 0.53°. La dstanca entre la Terra y el Sol es de 1.5 × 1011 m. A partr de esto, calcule el rado del Sol. 40. El año luz es la dstanca que recorre la luz en un año. Eprese el año luz en metros. 41. La dstanca de nuestra galaa a la galaa de Andrómeda es 2.2 × 106 años luz. Eprese esta dstanca en metros. 42. En una analogía con el año luz, puede defnrse el segundo luz como la dstanca que recorre la luz en un segundo, y el mnuto luz como la dstanca que recorre la luz en un mnuto. Eprese la dstanca Terra-Sol en mnutos luz. Eprese la dstanca Terra-Luna en segundos luz. 43. Los astrónomos usan frecuentemente la undad astronómca (AU), el parsec (pc) y el año luz. La AU es la dstanca de la Terra al Sol;† una AU = 1.496 × 1011 metros. El pc es la dstanca a la que 1 AU subtende un ángulo de eactamente 1 segundo de arco (fgura 1.17). El año luz es la dstanca que recorre la luz en 1 año. * a ) Eprese el pc en AU. b) Eprese el pc en años luz. c ) Eprese el pc en metros. U 1 A
1"
c 1 p
FIGURA 1.17 Geometría que relacona la
undad astronómca (AU) con el parsec (pc). 44. ¿Cuántos pes cuadrados hay en un metro cuadrado? 45. ¿Cuántos pes cúbcos hay en un metro cúbco? 46. Una cancha de tens mde 78 pes por 27 pes. Calcule el área de esta cancha. Eprese sus resultados en metros cuadrados. 47. El hombre más alto fue Robert Wadlow, que contnuó crecendo durante toda su vda y llegó a una estatura de 8 pes 11.1 pulgadas un poco antes de su muerte en 1940. Eprese su altura en metros. ¿Cuántas cfras sgnfcatvas hay en su resultado? 48. Un campo de fútbol amercano mde 100 yd × 53 13 yd. Calcule el área de este campo; eprese sus resultados en metros cuadrados. 49. La densdad del cobre es de 8.9 g/cm3. Eprese esto en kg/m 3, lb/pe3 y lb/pulg3. †
Estrctamente, es el eje semmayor de la órbta de la Terra.
50. ¿Cuál es el volumen de un cuerpo humano promedo? (Sugerenca: La densdad del cuerpo es apromadamente la msma que la del agua.) 51. Su corazón bombea 92 cm3 de sangre por segundo (en reposo). ¿Cuánta sangre bombea por día? Eprese la respuesta en m 3. 52. Como se ndca en el problema precedente, su corazón bombea 92 cm3 de sangre por segundo. S su volumen total de sangre es de 5.2 ltros, ¿cuál es el tempo promedo de vaje para que su sangre complete un vaje completo por su sstema crculatoro? 53. Las computadoras usan comúnmente muchos mllones de transstores; cada transstor ocupa un área de apromadamente 10–6 m × 10–6 m = 10–12 m2. ¿Cuántos de estos transstores pueden acomodarse en un chp de slco de 1 cm 2? Las computadoras de generacones futuras pueden eplotar un acomodo trdmensonal de los transstores. S cada capa de transstores tene un espesor de 10 –7 m, ¿cuántos transstores podrían acomodarse en un cubo de slco de 1 cm 3? 54. El agua tene una densdad de 1.00 g/cm3. Eprese esto en lbras por galón. 55. Eprese los resultados de los sguentes cálculos en notacón centífca con un número apropado de cfras sgnfcatvas: a ) 3.6 × 104 × 2.049 × 10–2. b) 2.581 × 102 – 7.264 × 101. c ) 0.079832 ÷ 9.43. 56. Nuestro Sol tene un rado de 7.0 × 108 m y una masa de 2.0 × 1030 kg. ¿Cuál es la densdad promedo? Eprese su respuesta en gramos por centímetro cúbco. 57. Los púlsares o estrellas de neutrones tenen comúnmente un rado de 20 km y una masa gual a la del Sol (2.0 × 1030 kg). ¿Cuál es la densdad promedo de un púlsar como éstos? Eprese su respuesta en toneladas métrcas por centímetro cúbco. 58. El volumen total de los océanos de la Terra es 1.3 × 1018 m3. ¿Qué porcentaje de la masa de la Terra está en los océanos? 59. Una manguera contra ncendo surte 300 ltros de agua por mnuto. Eprese esto en m3/s. ¿A cuántos klogramos de agua por segundo equvale esto? 60. Los meteorólogos generalmente reportan la cantdad de lluva en térmnos de la altura en pulgadas a la que se acumularía el agua en una superfce plana s no se dspersara. Suponga que 1 pulgada de lluva cae durante una tormenta. Eprese esto en metros cúbcos de agua por metro cuadrado de superfce. ¿A cuántos klogramos de agua por metro cuadrado de superfce equvale esto? 61. Los núcleos de todos los átomos tenen apromadamente la msma densdad de masa. El núcleo de un átomo de cobre tene una masa de 1.06 × 10–25 kg y un rado de 4.8 × 10–15 m. El núcleo de un átomo de plomo tene una masa de 3.5 × 10–25 kg. ¿Cuál es su rado? El núcleo de un átomo de oígeno tene una masa de 2.7 × 10–26 kg. ¿Cuál es su rado? Suponga que los núcleos son esfércos. 62. La tabla mpresa dentro de la tapa del lbro da las masas y los rados de los prncpales planetas. Calcule la densdad promedo
Problemas de repaso
de cada planeta y haga una lsta de los planetas en orden de densdades decrecentes. ¿Hay una correlacón entre la densdad de un planeta y su dstanca al Sol? 63. El techo de una casa tene una pendente o nclnacón de 1:1 (es decr, 45°). El techo tene una forma compleja, con varos gabletes y buhardllas (véase la fgura 1.18), pero todas las superfces de techo tenen la msma pendente. El área del pso de planta es de 250 m2. ¿Cuál es el área de la superfce del techo?
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65. Algunos crstales pueden pulrse en un ángulo para producr “escalones atómcos” agudos (véase la fgura 1.20). ¿Cuál ángulo θ debería escogerse para producr un escalón cada cnco átomos? ¿Y cuál para un escalón cada dez átomos? ¿Cuántos átomos habrá a lo largo de un escalón s un crstal es puldo en forma tan plana como se acostumbra normalmente en la práctca, de manera usual alrededor de 0.10 °? q
FIGURA 1.20 Escalones atómcos de un crstal. FIGURA 1.18 Techo de una casa. 64. El Sstema de Posconamento Global (GPS) que usan los na vegadores de barcos y avones utlza señales de rado de satéltes artfcales para determnar la poscón de la nave. Las undades portátles que se usan en los yates (véase la fgura 1.19) ncluyen un receptor de rado y una computadora. Dan la poscón con una precsón dentro de ±15 m. ¿Qué error de ángulo de lattud corresponde a un error norte-sur de 15 m a lo largo de la superfce de la Terra?
FIGURA 1.19 Receptor de Sstema de Posconamento Global (GPS).
66. Usted desea calcular la altura de un rascacelos desde el pso. Para hacerlo, camna 50 pasos (apromadamente 75 m) alejándose de una pared vertcal y, usando un transportador, mde un ángulo de 78°, que es la línea del campo de vsón que el rascacelos hace con la horzontal hasta lo alt o. ¿Cuánto mde el rascacelos? ¿Cuántas cfras sgnfcatvas hay en su resultado? 67. En un año astronómco, o “año tropcal”, de 365.24 días, la Terra se mueve una vez alrededor del Sol; es decr, se mueve 360 ° a lo largo de su órbta y regresa al msmo punto de la órbta. ¿Qué tan lejos alrededor del Sol, en grados, se mueve la Terra en 4 años calendaro consecutvos (uno de los cuales es un año bsesto de 366 días)? *68. En las Galápagos (sobre el Ecuador), la pequeña sla de Marchena está a 60 km al oeste de la pequeña sla de Genovesa. S el Sol se oculta a las 8:00 p.m. en Genovesa, ¿cuándo lo hará en Marchena? *69. Para los árboles altos, el dámetro en la base (o el dámetro en cualquer punto del tronco, como el punto medo) es proporconal en forma apromada a la longtud elevada a –³₂ . La enorme secuoya en Sequoa Natonal Park en Calforna mde 81 m, un dámetro de 7.6 m en la base y una masa de 6 100 toneladas métrcas. Una secuoya foslzada que se halló en Nevada mde 90 m. Estme el dámetro en la base y tambén la masa que tenía cuando aún vvía.
PROBLEMAS DE REPASO 70. La Terra es apromadamente una esfera de 6.37 × 106 m de rado. Calcule la dstanca del polo al Ecuador, medda a lo largo de la superfce de la Terra. Calcule la dstanca del polo al Ecuador, medda a lo largo de una línea recta que pase a través de la Terra. 71. La “masa atómca” del urano fsonable es de 235.0 g. ¿Cuál es la masa de un solo átomo de urano? Eprese su respuesta en klogramos y en undades de masa atómca.
72. ¿Cuántas moléculas de agua hay en 1.0 ltros de agua? ¿Cuántos átomos de oígeno? ¿Cuántos átomos de hdrógeno? 73. ¿Cuántas moléculas hay en un centímetro cúbco de are? Suponga que la densdad del are es de 1.3 kg/m 3 y que consste completamente en moléculas de ntrógeno (N 2). La masa atómca del ntrógeno es de 14.0 g. 74. La sangre humana normal contene 5.1 × 106 glóbulos rojos por mlímetro cúbco. El volumen total de la sangre en un hombre de 70 kg es de 5.2 ltros. ¿Cuántos glóbulos rojos tene este hombre?
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CAPÍTULO 1
Espacio, tiempo y masa
75. Una pntura epóca se usa para pntar el casco de un barco y se aplca a razón de un ltro de pntura por 8 metros cuadrados de superfce del casco. ¿Cuál será el espesor de la película de pntura recén aplcada? 76. Las chmeneas en Estados Undos arrojan alrededor de 8 × 106 toneladas métrcas de cenzas por año. S este materal se sedmenta unformemente sobre toda la superfce de ese país (9.4 × 106 km2), ¿cuántos klogramos de cenza se depostarán por metro cuadrado cada año? 77. Durante muchos años, el límte federal de velocdad en carretera era de 55 m/h. Eprese esto en klómetros por hora, pes por segundo y metros por segundo. 78. El núcleo de un átomo de herro es esférco y tene un rado de 46 × 10−15 m. La masa del núcleo es 9.5 × 10−26 kg. ¿Cuál es la densdad del materal nuclear? Eprese su respuesta en toneladas métrcas por centímetro cúbco. 79. La duracón de vda humana más larga ofcalmente verfcada es la del japonés Shgechyo Izum, quen muró en 1986 a la edad de 120 años y 237 días. Eprese esta edad en segundos. ¿Cuántas cfras sgnfcatvas tene su resultado? 80. Un camno de subda a una colna tene una pendente de 1:9. ¿A qué altura ascende en 300 metros de dstanca horzontal? ¿Cuál es la dstanca correspondente medda a lo largo del camno? 81. Una avoneta de un solo motor está volando a una altura de 5 000 metros a una dstanca (horzontal) de 18 km del aeropuerto de San Francsco cuando el motor se apaga. La avadora sabe que, sn el motor, el avón planeará haca abajo a un ángulo de 15°. ¿Puede llegar a San Francsco? *82. Usted está cruzando el Atlántco en un velero y espera recalar en las Azores. El pco más alto de las Azores mde 2 300 m. ¿Desde qué dstanca puede ver este pco salendo apenas del horzonte? Suponga que sus ojos están (cas) al n vel del agua. *83. Algunos ngeneros han propuesto que, para vajes de larga dstanca entre cudades, se debe ecavar túneles de coneón per-
fectamente rectos a través de la terra (véase la fgura 1.21). Un tren que corra a lo largo de un t únel así aceleraría al nco, en la prmera mtad del túnel, como s fuera en bajada. Alcanzará la rapdez máma en el punto medo del túnel, y gradualmente dsmnurá su velocdad en la segunda mtad del túnel, como s fuera en subda. Suponga que un túnel así se ecavara entre San Francsco y Washngton, D.C. La dstanca entre estas cudades, medda sobre la superfce terrestre, es de 3 900 km.
San Francisco 3 9 0 0 k m
Washington
R E
FIGURA 1.21 Un túnel propuesto a través de la terra.
a ) ¿Cuál es la dstanca a lo largo del túnel recto? b) ¿Cuál es la profunddad del túnel en su punto medo, en al-
guna parte debajo de Kansas? c )
¿Cuál es la pendente haca abajo del túnel en relacón con la dreccón horzontal en San Francsco?
Respuestas a las revisiones Revisión 1.1 1. Los cuerpos etensos tenen muchas característcas que pueden medrse; por ejemplo, puede especfcarse el tamaño y la forma mdendo el dámetro de las bolas de bolche, el área superfcal o el volumen, con undades de longtud, longtud al cuadrado y longtud al cubo, respectvamente. Otras cantdades mensurables ncluyen la densdad, la dureza, la temperatura, el color y la composcón químca; se eamnarán las undades de tales c antdades en capítulos posterores. 2. Como el orgen de la cuadrícula de coordenadas x ′- y ′ está desplazada del orgen del sstema x - y por una cantdad negatva en la dreccón x , y por una cantdad postva en la dreccón y , cualquer punto tendrá valores mayores de x ′ comparados con x
y menores valores de y ′ comparados con y , como en la fgura 1.3a . 3. Una cuadrícula de coordenadas se usa para especfcar poscones en el espaco. Un marco de referenca ncluye relojes que especfcan el tempo en el que algo ocurre en certa poscón.
Revisión 1.2 1. Hay 100 centímetros en un metro y hay 1 000 metros en un klómetro, de modo que hay 100 × 1 000 = 105 centímetros en un klómetro. Del msmo modo, con 10 mlímetros cúbcos en un metro, hay 103 × 103 = 106 mlímetros en un klómetro.
Respuestas a las revisiones
2. Como hay 106 mcras en un metro y 10 −15 metros en un ferm, hay 10−15 × 106 mcras = 10−9 en un ferm. 3. (C) 10−4. Hay 106 mcras en un metro y 10 −10 metros en un angstrom. Por tanto, hay 10 −10 × 106 mcras = 10−4 mcras en un angstrom.
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2. Usando la tabla 1.9, 1 km2 = 106 m2 × (1 mm2)/10−6 m2 = 1012 mm2. 3. (D) 1018. De la tabla 1.10, 1 km3 = 109 m3 × (1 mm3)/10−9 m3) 18 3 = 10 mm .
Revisión 1.6 Revisión 1.3 1. Hay 60 × 60 = 3 600 segundos en una hora y hay 1 000 mlsegundos en un segundo. De modo que hay 1 000 × 3 600 = 3.6 × 106 mlsegundos en una hora. Hay 10 12 pcosegundos en un segundo y 10 6 mcrosegundos en un segundo, de modo que hay 106 pcosegundos en un mcrosegundo. 2. (B) 6.0 × 1016. Hay 1015 femtosegundos en un segundo y 60 segundos en un mnuto, de modo que hay 60 × 1015 = 6.0 × 1016 femtosegundos en un mnuto.
Revisión 1.4 1. De la tabla 1.8, hay 103 kg en una tonelada métrca. Como hay 103 gramos en un klogramo, entonces hay 10 3 × 103 = 106 gramos en una tonelada métrca. Además, hay 10 9 mlgramos en una tonelada métrca y por tanto 10−9 toneladas en un mlgramo. 2. (D) 6.02 × 1026. Hay 1.66 × 10−27 klogramos en una u. De modo que el número de u por klogramo es la nversa, 1 u/(1.66 −27 × 10 kg) = 6.02 × 1026 u/kg.
Revisión 1.5 1. Como 1 m = 102 cm, entonces un metro cuadrado es (1 m) 2 = (102 cm)2 = 104cm2. De gual manera, un metro cúbco es (1 m)3 = (102 cm)3 = 106cm3. Estos valores tambén pueden obtenerse drectamente de las tablas 1.9 y 1.10.
1. Como la longtud y la anchura son alrededor de 20 a 30 cm, una medcón de cualquera de estas dmensones al mlímetro más prómo (1 mm = 0.1 cm) dará tres cfras sgnfcatvas. El espesor es de sólo unos pocos centímetros, de modo que su medcón al 0.1 cm más prómo tendrá dos cfras sgnfcat vas. El volumen es el producto de estas tres longtudes y tendrá sólo tantas cfras sgnfcatvas como el menor número de cfras sgnfcatvas en las cantdades multplcadas; el volumen, por tanto, tene dos cfras sgnfcatvas. 2. Sólo se lee el número de dígtos. El prmer número tene dos cfras sgnfcatvas y los otros tenen tres. 3. El producto tene sólo tantas cfras sgnfcatvas como el menor número de cfras sgnfcatvas en las cantdades multplcadas. Aquí, el producto tene dos cf ras sgnfcatvas. 4. Cuando se suma, sólo el mayor lugar decmal entre las últmas cfras sgnfcatvas de las cantdades sumadas es sgnfcatvo en el resultado. Aquí, se tene que redondear al últmo 10, ya que sólo se conocía el dígto de 10 s en el segundo número que se do. Así, se escrbe: 1.9 × 102 para la suma. 5. Para los factores de conversón, sólo se escrbe la relacón para cantdades guales, que proporcona las undades deseadas. Para las conversones dadas, los factores son, respectvamente: 1 km/103 m; 103 m/1 km; 1 km/105 cm; 1 km2/(103 m)2; 1 km3/(103 m)3; (1 km/103 m) × (3 600 s/1 h); (1 m/1 609 m) × (3 600 s/1 h). 6. (A) (1 km/103 m) × (3 600 s/1 h). Cuando se multplca por m/s, esto proporcona al msmo tempo las undades deseadas de km/h y contene los factores correctos de conversón.
