Números Imaginarios

Mg. Carlos David Laura Quispe

Números Imaginarios 1.Cantidades 1.Cantidades Imaginarias: Son aquellas que resultan de extraer una raíz de índice par a un número negativo.  par 

3.Observación:

i4 1

i 8  i 12  i 16  i 20  ...  i 4 k  1 1 1 1 1      ... 4 8 12 16 20 4 i i i i i i k 

  A  # imagianrio

1.2. 1.2. Unidad Imaginaria: (Notación (Notación de 1 

Gauss) Ej. 9 

i

(9)( 1)

9



1 

a

(a )(1)



a



Observación:

1 

a



b 

i

1

i

2



3i ;

en general. 



a b

ai

1 i3 i



 3  i

i

1 i



2

i2 i

2

 1

1 1

1

i

i

i

i 3

 3 

i4



1 i4

i  224  1 ; i 77591  i 3  i ; i1111 Por tanto deucimos que:

in

 ( 1)

n



i

1



i

(i n ) ; n  N

2.Potencias 2.Potencias de la un idad imaginaria:

i

1



i

i

2



(

3

i i4

 1)

2

i i 3  i i



5

2

 1

4.Propiedades:

i  i2

 i  i  i

2

1

4

i  i  1 i  i 5 2  i  i  i  i  i  1 6  i  i  1  i  i 7 2  i  i  i  i  i  1

i 6 i 7 i i8



3

4

0 2 3 4 5 4 k  i  i  i  i  i  ...  i  0 1 i  i2  i3  0 n n 1 n 2 n 3 i  i   i   i   0; n  Z 

 i

i

4 k 

i i

i

4 k 1

i



4 k  2

i

4 k 3



0; k   Z 

Generalizando:

i4

k 

1

4 k 1

i 4 k  2 i  4 k  3 i

i



1 i

 i

1 i 1

0

i

4

5.Equivalencias 5.Equivalencias Impo rtantes:

 1 0

1;

i

0

4 1

i;i



42

0

 1 ;

i

43

i

Generalizando:

i

0  4  k 



k 

i ; k  Z

0

Donde: 4 : múltiplo de 4 ¡…Importante…!

i

2

2 22

0



i

4

Nota: 2



4 , n



2

1 i 1 i

(1  i ) 2



(1  i) 2

 2i

 i

2i

(1  i)

4



(1  i )

4

 4

(1  i)

8



(1  i )

8

 16

(1  i )

0

i;

 i

(1  i) 3

1 n

 i



3

 1  3i  3i  1  3i  3i

2

2

i

i

3

3

 2(1  i )

 2(1  i )