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Numerología astronómica mesoamericana en la arquitectura y el arte

Numεrología

astronómica

mεsoamεricana en la arquitectura y el arte Margarita Martínez del Sobral

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Arquitectura México, 2010

Créditos de imágenes La autora agradece al INAH, Conaculta, Fondo de Cultura Económica, Editorial Raíces, Siglo XXI Editores, Museo de Jalapa, Gobierno del Estado de Puebla y Editorial Aguilar por autorizar la reproducción en forma gratuita de la mayor parte de las ilustraciones que aparecen en este libro. De igual manera agradece al ingeniero Luis Fernández Peñalosa y a los fotógrafos René Carvajal Ochoa y Adrián Mendieta su generosidad por permitirme utilizar, también en forma gratuita, las siguientes fotografías de su autoría. Rene Carvajal Ochoa, fig. V1. 4, "Vasija olmeca del valle de Tehuacán", y fig. vi. 6, "La vieja diosa lunar". Luis Fernández Peñalosa, fig. vi. 3, "Olla olmeca del valle de Tehuacán". Adrián Mendieta, fig. V. 4. 2, "El Señor de las Limas".

EDITORIALES Editorial Aguilar Códices: los antiguos libros del Nuevo Mundo, figs. 25 y 27. Editorial Raíces Arqueología Mexicana, "Olmecas", edición especial Cabeza 1 de San Lorenzo, monumento 1, p. 50. Cabeza 2 de San Lorenzo, monumento 2, p. 98. Cabeza 3 de San Lorenzo, monumento 3, p. 52. Cabeza 4 de San Lorenzo, monumento 4, p. 29. Cabeza 5 de San Lorenzo, monumento 5, p. 51. Cabeza 6 de San Lorenzo, monumento 6, p. 49. Cabeza 7 de San Lorenzo, monumento 53, p. 49. Cabeza 8 de San Lorenzo, monumento 61, p. 48. Cabeza 9 de San Lorenzo, monumento 2, La Venta, p. 102. Cabeza 10 de San Lorenzo, p, 53. Monumento A, Tres Zapotes, p. 108. Monumento Q, Tres Zapotes, pp. 52 y 53. Monumento 1, La Venta, p. 104. Monumento 2, La Venta, p. 105. Monumento 3, La Venta, p. 106. Monumento 4, La Venta, p. 107. Monumento 1, La Cobata, Veracruz, p. S5. Fondo de Cultura Económica Geometría mesoamericana, "La placa de Leiden", fig. III. 6. "La Coatlicue", figs. V. 44 y V. 46, pp. 156 y 158. Observadores del cielo en el México antiguo, fig. 49, p. 160 (diagrama de P. Dungham). Códice Borgia, p. 23. George Braziller, Inc. The Blood of Kings / Dinasty and Rulership, fig. 65a, p. 190. Gobierno del Estado de Puebla El caminante celeste, fig. 13 a , p. 37.

El calendario azteca y otros monumentos solares, primera página. Jaca Book Teotihuacan, la metrópolis de los dioses, figs. 3 y 71.

Primera edición: 11 de junio de 2010 DR © Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Arquitectura Ciudad Universitaria Coyoacán 04510 México, D. F. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos

Lunwerg Editores-Conaculta-INAH Cultura mexica, Chac Mool. Cultura de occidente, Chac Mool antropomorfo. Cultura tolteca, Chac Mool. Cultura tlaxcalteca, Chac Mool. Cultura maya, Chac Mool, tecomate fitomorfo, tecomate. Periodo clásico medio, vaso, plato con peces. Cultura zapoteca, Monte Albán l, brasero. Cultura mixteca, Oaxaca, lápida lunar, lápida dinástica, disco de turquesas. Cultura Chalchihuites, botellón policromo, vaso trípode. Cultura olmeca, figurilla femenina. Cultura totonaca, hacha. Cultura del centro de Veracruz, vasija, palma. Cultura teotihuacana, figura antropomorfa, figura antropomorfa II, Huehuetéotl, estela. Cultura Casas Grandes, olla antropomorfa. Monclem Ediciones Teotihuacan, la ciudad de los dioses, g. 3, p. 73 (ilustración del cap. II).

patrimoniales

Museo de Xalapa Los olmecas en Mesoamérica, fig. 75, p. 207.

ISBN 978-607-02-1453-0

Siglo XXI Editores, "América Nuestra" Códice borbónico, edición facsimilar, pp. 21, 22 y 34. Los olmecas/La cultura madre, figs. 75 y 68.

Impreso y hecho en México

Ramón Sopena Astronomía, Biblioteca Hispania Ilustrada, p. 86. Thames and Hudson, The Fine Arts Museum de San Francisco Teotihuacan, Art from the City of Gods, fig. 3, p. 73; fig. 5, p. 171; fig. 115, p. 241. Feathered Serpents and Flowering Kings, fig. 111. 21, p. 68. The Art Museum, Princeton University The Olmec World /Ritual and Rulership, figs. 3, 9, 12, 16, 17, 18, 21, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 45, 81, 85, 86, 88, 90, 91, 93, 102, 103, 104, 105, 106, 112, 113, 202, 215.

Este libro se publica gracias al apoyo financiero de la empresa Aves Libres de Patógenos Específicos, S. A. de C. v.

Fernando Ximello Olguin El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán viejo, fig. 30, p. 53; fig. 31, p. 54. Naxacé-Tlatlahuite /El ombligo del mundo en Acoquiaco, fig. 22, p. 89.

Para Miguel, Luisa, Alejandro, Gloria, Regina, Diana, Julia y Pastora

Índice

Agradecimientos

Introducción

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I. Metodología El tema de investigación Preguntas de investigación Fases de la investigación 1. Fase exploratoria o formulativa a) El marco teórico b) Hipótesis de comprobación c) Desarrollo temático 2. Fase descriptiva a) Los estudios descriptivos b) Los estudios correlacionales 3. Fase explicativa

12 12 13 14 14 14 22 23 24 24 25 27

II. De la numerología astronómica en la arquitectura y el arte La numerología astronómica De las constantes de diseño; de los números irracionales y los rectángulos básicos Simbolismo de las más comunes figuras geométricas que pueden ser posibles envolventes virtuales de las obras de arte mesoamericano El círculo El triángulo Los rectángulos Σ El pentágono regular Del sistema básico de diseño y del análisis geométrico Sobre la unidad de medida Clasificación de los números según su significado y función Sistemas de números El 260 como ciclo unitario, la unidad fundamental del tiempo y del cosmos mesoamericanos Sincronía de ciclos, engranaje de ruedas, conjunciones y lubes Las ruedas de números y los ciclos astrales

6

Margarita Martínez del Sobral

28 28 31

34 34 35 35 37 40 41 47 52 56 56 58

III. De los ciclos solares, planetarios y lunares El marco teórico La astronomía en el proceso cultural

64 64

de Mesoamérica: el estudio del espacio Intervalos astronómicos e intervalos calendáricos Ciclos calendáricos particulares de Mesoamérica Los eclipses / El medio año de eclipses y los ciclos lunares Los factores solares y los factores lunares Explicación del cuadro de los factores solares y lunares El 52 como factor común de los ciclos lunares y solares

67 68 74

IV. Del tonalpohualli y del tonalámatl, de los ciclos planetarios y del número de oro Del tonalpohualli Razones diversas del tonalpohualli El tonalpohualli y el mínimo común múltiplo (MCM) de algunos ciclos planetarios y lunares Sincronización del tonalpohualli con los ciclos solares, planetarios y lunares La serie de Fibonacci, el número de oro y los ciclos planetarios y lunares

V. El año trópico y la cruz de San Andrés / El paso cenital del Sol y la cruz de Malta Nahui ollin, 4 Movimiento Los números del Catálogo de Thompson y el simbolismo de las bandas cruzadas o cruz de San Andrés La cruz de Malta o cruz de Quetzalcóatl

vi. Consideraciones generales acerca del sistema de diseño y decodificación de las obras tridimensionales del arte mesoamericano Cánones del sistema de diseño mesoamericano Geometría de las pirámides Sistema general de trazo de pirámides en Mesoamérica

74 78 80 81

82 82 87 90 95 102

106 106

109 116

118 118 119 120

Determinación de la forma de la envolvente virtual de la obra Obtención de números de significado astronómico o de significado calendárico relativos a los números volumétricos Ejemplo de estudio del NV, NSA y NSC de la cabeza colosal olmeca número 8 de San Lorenzo Pasos por seguir en el análisis de cuerpos bi y tridimensionales Cambio de unidades métricas a unidades a la manera indígena NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la Coatlicue (v = 6 240 u3) NV de la vasija del lago de Chalco que señala el ciclo dracónico lunar (v = 2 106 u3)

VII. Las esculturas mesoamericanas de pequeño formato Descripción, número volumétrico y decodificación de 36 esculturas olmecas de pequeño formato y 24 de diversos horizontes temporales y espaciales Esculturas olmecas de pequeño formato Cuadro de análisis de esculturas olmecas de pequeño formato Descripción, obtención y análisis del NV de esculturas de pequeño formato pertenecientes a diversas culturas mesoamericanas Cultura mexica Cultura de occidente Cultura tolteca Cultura tlaxcalteca Cultura maya Periodo preclásico Periodo preclásico medio Cultura zapoteca, Monte Albán 1, Oaxaca Cultura mixteca, Oaxaca Cultura zapoteca, Oaxaca Cultura mixteca, Oaxaca Cultura Chalchihuites Cultura olmeca Cultura totonaca Cultura del centro de Veracruz Cultura teotihuacana Cultura Casas Grandes Cultura olmeca Conclusiones

VIII. Las cabezas colosales 123

124 126 128 129 134 138

140

140 141 181

182 183 184 185 186 187 188 189 191 192 193 194 195 196 197 198 199 202 203 206

de la cultura olmeca El marco histórico Numerología de las cabezas colosales olmecas: obtención y análisis de sus NV Sistema de proporcionamiento para encontrar las medidas de las cabezas colosales Descripción, obtención y análisis de los NV de las cabezas colosales olmecas Cabeza 1, San Lorenzo Cabeza 2, San Lorenzo Cabeza 3, San Lorenzo Cabeza 4, San Lorenzo Cabeza 5, San Lorenzo Cabeza 6, San Lorenzo Cabeza 7, San Lorenzo Cabeza 8, San Lorenzo Cabeza 9, San Lorenzo Cabeza 10, San Lorenzo Monumento A, Tres Zapotes Monumento Q, Tres Zapotes Monumento 1, La Venta Monumento 2, La Venta Monumento 3, La Venta Monumento 4, La Venta Monumento 1, La Cobata Medidas y volúmenes de las cabezas colosales Cuadro comparativo de los volúmenes de las figuras de pequeño formato y de las cabezas colosales

208 208 210 211 212 213 215 216 218 219 221 222 224 226 227 228 229 231 232 233 234 235 237

245

IX. La primera página del Códice Fejérváry-Mayer 246 Descripción 246 Forma del basamento, medidas en unidades U a la manera indígena y decodificación de los NV obtenidos 254

X. La Pirámide del Sol en Teotihuacan El marco histórico El marco teórico La geometría dinámica El prisma recto rectángulo rector de la Pirámide del Sol / Su base y altura / Obtención y análisis de su NV Obtención y análisis del NV del primer cuerpo de la pirámide o chutong Obtención y análisis del NV del segundo cuerpo de la pirámide o chutong Obtención y análisis del NV del tercer cuerpo de la pirámide o chutong con el tablero hipotético

258 258 264 266

266 271 274

276

Índice

Obtención y análisis del NV de la pirámide sin el sagrario hipotético Obtención y análisis del NV del sagrario hipotético Obtención y análisis del NV de toda la pirámide Ornamentación e iconografía hipotética de la pirámide Unas palabras respecto a la orientación de la pirámide

278 278 279 285

Epílogo ¿Es ésta una investigación científica? Conclusiones Una última palabra

306 306 307 325

Apéndice 1 / Números Números

332 334


408 408 409 410 416

289

XI. La pirámide de El Castillo en Chichén Itzá 290 El marco histórico 290 El marco teórico 292 Empleo de la divina proporción o proporción áurea 296 Obtención y análisis de los NV de los prismas rectos rectángulos envolventes virtuales de El Castillo 298 Obtención y análisis del prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales siguen las alfardas de las escaleras 299 Obtención y análisis del prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales tocan los vértices de cada cuerpo 299 Obtención y análisis del NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales siguen la inclinación del talud del primer cuerpo 302 Obtención y análisis del NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual del pie o talud de arranque del primer cuerpo de la pirámide 302 Obtención y análisis del NV del chutong envolvente promedio del cuerpo de la pirámide (V = 1 287 000 u3) 303 Obtención y análisis del NV de las escaleras (v = 90 220 u3) 303 Obtención y análisis del NV del sagrario (V = 51 480 u3) 304 Obtención y análisis del NV del total (V = 1 428 700 u3) 304

8

Apéndice 2 / Sistemas de numeración posicional Sistema maya de numeración posicional Ruedas de números Ruedas de números secuenciales en fundamentales diversas Ruedas de números de fundamentales 7, 9, 11, 13, 17, 20 y 260

Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas Definiciones Prismas Rectángulos Rectángulos derivados del rectángulo áureo o perfecto Funciones trigonométricas De la unidad de medida Teoremas

Glosario de términos astronómicos y calendáricos Definiciones de eventos y ciclos astronómicos Los ciclos calendáricos en Mesoamérica Cuadro 1. Duración de algunos de los ciclos en los cálculos astronómicos mesoamericanos Cuadro 2. Ciclos calendáricos Cuadro 3. Algunos ciclos empleados en los cálculos astronómicos mesoamericanos Cuadro 4. Ruedas astronómicas Cuadro 5. Números con significado astronómico como ciclos representativos

Bibliografía

424 424 427 427 428 429 429 430

432 432 437 440 441 441 442 443

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Agradecimientos

i profundo agradecimiento al doctor en arquitectura Carlos Chanfón Olmos, quien fuera mi querido maestro de Geometría de la Construcción en el doctorado de la UNAM, a quien debo mis conocimientos y pasión por el análisis geométrico. A la antropóloga María Elena Landa por haberme iniciado en el entendimiento de las culturas indígenas. Al ingeniero Fernando Ximello Olguín por haber compartido conmigo sus investigaciones respecto de la cerámica popoloca del valle de Tehuacán, así como a la ingeniera victoria Flores Caballero por su incondicional apoyo para concluir esta obra. De igual manera, a René Carvajal por sus fotografías de varias piezas. Hago un reconocimiento especial al ingeniero Luis Fernández Peñalosa, quien tuvo la paciencia de leer mi manuscrito y hacer las correcciones y sugerencias necesarias, como también su directa intervención en el capítulo relativo a la metodología empleada en este trabajo y en clasificar los números según su función. Asimismo, en brindarme sus escritos acerca de las normas para lograr fotografías que puedan ser empleadas con éxito en el análisis geométrico, así como proporcionarme varias fotografías. Mi agradecimiento al arquitecto Jorge Tamés y Batta, director de la Facultad de Arquitectura de la UNAM, y a los editores arquitecto Gabriel Konzevik y licenciada Silvia Bourdón por su apoyo y gestiones para la publicación de la obra. A todos ellos, muchas gracias.

Introducción

¿Qué hacen los geómetras? Reducen las múltiples formas sensibles, visibles, de los objetos a un repertorio poco numeroso de formas elementales que llaman figuras. Los geómetras borran, por decirlo así, las formas complicadísimas de la realidad sensible y analizan esas formas y las reducen a polígonos, triángulos, cuadrados, círculos, elipses; un cierto número reducido de formas o figuras elementales. Y entonces se proponen, de cada una de estas formas o figuras elementales, como se dice en griego, "dar razón", "explicarlas", decir lo que son; una definición que comprenda su génesis y al mismo tiempo las propiedades de cada una de las figuras. Domenicus Girlandaius, filósofo del siglo XII

El término pirámide referido a las construcciones mesoamericanas se publicará en cursivas, pues la autora pone en duda su pertinencia, ya que "no son piramidales", sino que provienen de la forma de artesa (chumeng) y de la artesa truncada (chutong). (Nota del editor. ) 1 Margarita Martínez del Sobral, Los conventos franciscanos poblanos y el número de oro, edición del Gobierno del Estado de Puebla, INAH y SEP, México, 1988. 2 Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa, El caminante celeste, V Centenario, 14921992, Gobierno del Estado de Puebla, Comisión Puebla, INAH, Puebla, 1992.

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a importancia de esta investigación radica en su objetivo: encontrar el sistema de creación de la arquitectura y el arte de Mesoamérica que, teniendo como herramienta la numerología astronómica, permita lograr su decodificación y correcta restauración. También, con la misma herramienta y el sistema encontrado, lograr la obtención de medidas y la elaboración del plano de la Pirámide* del Sol en Teotihuacan que sirva como modelo para futuras restauraciones de monumentos, más apegadas a la idiosincrasia y geometría mesoamericanas. Con referencia al tema tengo publicados tres libros: Los conventos franciscanos poblanos y el número de oro, que trata sobre la geometría y las proporciones armónicas que rigieron las construcciones conventuales del siglo Xvi en el estado de Puebla y el conocimiento que sobre tales disciplinas tenían los indígenas que participaron en aquéllas. 1 En este libro se explica el sistema por seguir en las medidas del todo y sus partes, con fines principalmente de restauración. El caminante celeste, 2 en coautoría con la antropóloga María Elena Landa (INAH), que consistió en el análisis geométrico e iconográfico de la escultura conocida como Xólotl, que se encuentra en el Landesmuseum de Stuttgart, Alemania, el cual permitió establecer las pautas geométricas y de proporción armónica que rigen su diseño. Asimismo este trabajo revela que la estatuilla tiene el carácter de códice esculpido, no pintado, que habla del planeta

Venus. Finalmente, Geometría mesoamericana, 3 que es un análisis de la geometría plana subyacente en el diseño de varias obras de las culturas mesoamericanas - e s culturas, centros ceremoniales, objetos de alfarería y códices- regidas por modelos de geometría dinámica. El presente libro consta de una introducción, once capítulos, un epílogo y conclusiones, dos apéndices y dos glosarios. Se divide en dos partes: la primera comprende la teoría que trata de los cánones de creación y de las estructuras de información en una obra; los antecedentes del estudio de las formas; los principios de geometría y proporcionamiento armónico; la astronomía en Mesoamérica; las formas de registro numérico y sus significaciones, además de las hipótesis y objetivos de la investigación. También se estudian los números volumétricos (NV) de las envolventes virtuales de las obras, que pueden ser números de significado astronómico (NSA), calendárico (NSC) o geográfico (NSG). En la segunda parte de Numerología astronómica mesoamericana... se explica el diseño geométrico y de proporción en Mesoamérica, así como las reglas de diseño y su aplicación en objetos de transformación que van desde pequeñas hachas olmecas hasta las grandiosas pirámides; se detallan aspectos del proceso de medición y análisis de las obras, como también la decodificación de algunas esculturas de pequeño y mediano formatos, principalmente olmecas, así como de otros horizontes culturales y temporales. Los últimos capítulos tratan de la decodificación de la primera página del Códice

Fejérváry-Mayer y del estudio de la forma, dimensiones y decodificación de la Pirámide del Sol. El último, dedicado al estudio de El Castillo, de Chichén Itzá, demuestra que el sistema empleado en el dimensionamiento y decodificación de los monumentos es correcto. En el capítulo de la Pirámide del Sol se presentan los planos hipotéticos derivados del análisis geométrico y matemático correspondientes al monumento estudiado. Finalmente, se termina con un epílogo y las conclusiones. Los apéndices y los glosarios serán útiles al lector especializado en estos tópicos. El apéndice 1, "Números", es una lista de los números volumétricos (NV), de superficie o lineales, que se encuentran implícitos en el arte, la arquitectura y la iconografía, la cual ahorrará mucho tiempo a los investigadores que no conozcan su significado en la numerología astronómica mesoamericana. La clasificación astronómica del significado de cada número ayudará a la decodificación del arte y a la restauración de la arquitectura. El apéndice 2 aborda las series numéricas o ruedas de números. El "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas" trata de la definición de los términos geométricos, así como también de los teoremas encontrados y de las fórmulas empleadas en los cálculos matemáticos. El "Glosario de términos astronómicos y calendárteos" consiste en la definición de los términos astronómicos empleados y la duración de los ciclos de los planetas, del Sol, de la Luna y de los eclipses.

La importancia de e s t a investigación radica en su objetivo: encontrar el sist e m a de creación de la arquitectura y el arte de Mesoamérica que, teniendo c o m o herramienta la n u m e rología astronómica, permita lograr su decodificación y correcta restauración.

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Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000.

Introducción

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I. Metodología

Esos conocimientos profundos, y los que nos han permitido y permitirán, cada vez con mayor medida, las inscripciones del periodo clásico al avanzar los desciframientos, poseen un valor incomparable. Revelan los patrones del pensamiento y sujeción a fórmulas que obligaron a la cultura maya a recorrer un extraño camino. Sólo con esos conocimientos podemos esperar entender los propósitos a los que estaban subordinadas las artes y la arquitectura de ese gran pueblo. Los estudios de los textos mayas complementan de la manera más efectiva la pala y escobilla del excavador. Sir J. Eric S. Thompson El tema de investigación

A

1

Margarita Martínez del Sobral, Los conventos franciscanos poblanos y el número de oro, edición del Gobierno del Estado de Puebla, INAH y SEP, 1988. Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa, El caminante celeste, v Centenario, 1492-1992, Gobierno del Estado de Puebla, Comisión Puebla, INAH, Puebla, 1992. Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000.

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El calendario ritual o adivinatorio se llama tonalpohualli en náhuatl, tzolkin en maya y piyé en zapoteco.

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Margarita

Martínez

del

Sobral

l realizar investigaciones anteriores a ésta surgieron hallazgos al margen de los temas entonces tratados; uno de ellos fue que en las superficies y en los volúmenes de las posibles envolventes virtuales de las obras de arte y arquitectura mesoamericanas aparecen repetidamente números que coinciden con los lapsos de determinados ciclos celestes, con ciclos calendárteos o con posiciones geográficas. 1 La aparición consistente de esos números, que son prevalentes (NP en adelante) en los volúmenes de las obras, son números volumétricos (NV) con significado astronómico (NSA), números con significado calendárico (NSC) o números con significado geográfico (NSG). Éste es un hallazgo que trasciende lo casual y apunta una intencionalidad y sistematización de la numerología y proporción de las obras, a la vez que integra elementos de conocimiento para su aplicación en un sistema de diseño. Por medio de esos NP los sabios mesoamericanos expresaron los ciclos de la naturaleza y sus relaciones con el ciclo vital del calendario sagrado, augural o tonalpohualli2 de 260 días. Fue un logro genial haber plasmado en las figuras envolventes virtuales de sus obras los números que transmiten sus ideas y adelantos en las ciencias de la geometría, matemáticas y astronomía. La recurrencia y significado de esos NP van más allá del tema de las proporciones geométricas como punto de enfoque para el estudio de las obras mesoamericanas, lo que lleva a tres áreas de conocimientos por investigar:

1. Un sistema de diseño y de proporción geométrica. 2. La existencia de NP en las dimensiones y volúmenes de las obras. 3. La relación del tonalpohualli con los NP, o entre ellos mismos, siendo éstos los números que forman el corpus de la numerología mesoamericana; y aquí se hace referencia a ésta, no en su carácter adivinatorio, sino como la disciplina que relaciona números por asociaciones de orden, de multiplicidad y de significado ligados a cómputos astronómicos. Sir J. Eric S. Thompson sostuvo que la mayoría de las inscripciones con registros calendáricos connotaba fenómenos astronómicos y conceptos relacionados con el destino de los dioses y el mundo a través de los ciclos astrales. 3 La investigación indica que así es; que, además, en el diseño mesoamericano se cumple un principio de conmensurabilidad espacial y cíclica, manifiesto en sus obras mediante un sistema geométrico y numérico que "refleja en la Tierra la armonía de los ciclos celestes". 4 El tema de investigación del presente trabajo es el sistema de diseño de las obras de arte y la arquitectura mesoamericanas, así como también lo son su decodificación y dimensionamiento. Durante el proceso se ha desarrollado una amplia gama de ejercicios de exploración geométrica y aritmética de obras mesoamericanas de diversa índole, cuyos resultados apuntan consistentemente a la existencia de NP en los volúmenes de las envolventes virtuales de las obras estudiadas; asimismo, al uso de proporciones geométricas para lograr volúmenes rectores de las obras, lo que llevó a considerar que su diseño estaba sistematizado.

Preguntas de investigación A lo largo de la investigación surgieron varias preguntas: ¿qué características de las obras mesoamericanas estudia la historia

del arte? ¿Se incluyen las características geométricas, sus proporciones, los números implícitos en sus dimensiones? ¿Existió un sistema de diseño mesoamericano que rigiera las creaciones?, y si existió, ¿cuáles fueron los cánones que emanaban de dicho sistema? ¿Se conferían atributos a las obras mediante el número por medio del diseño geométrico? ¿Cuáles son y qué significan los NP que aparecen consistentemente en la investigación? ¿A qué se refieren las obras de arte analizadas? ¿Fueron los números instrumento para expresar un orden armónico y astronómico? ¿El proporcionamiento con los NP era una forma de consagración de los números, de las obras o de ambos? ¿Se consagraban los números por determinar a los periodos astrales o eran los númenes de esos cuerpos celestes los que consagraban a los números? 5 ¿Acaso las obras guardaron significado astronómico o simbólico, o ambos, a través del número, de los atributos del diseño geométrico, de la iconografía y de la orientación de los monumentos? ¿Cuáles fueron las bases numéricas de los cómputos? ¿Qué números constantes determinaron los mesoamericanos? ¿Usaban en sus cálculos números racionales e irracionales, obtenidos de observaciones astronómicas, de relaciones matemáticas o de deducciones geométricas? Al iniciar la investigación se plantearon los interrogantes ya mencionados, para posteriormente convertirlos en hipótesis. Durante el proceso de su confirmación se utilizaron los hallazgos y conclusiones que iban surgiendo a medida que avanzaba la investigación, los cuales permitieron la adopción provisional de inferencias explicativas para luego someterse a comprobación. Una vez planteadas las hipótesis, al observar la presencia de ciertas características en las obras mesoamericanas -tales como la proporción geométrica, la consistencia de las relaciones de proporción y los NP-, se vislumbró que las obras de creación se realizaban dentro de los cánones de un

Fue un logro

genial haber plasmado en las figuras envolventes virtuales de sus o b r a s los números que transmiten sus ideas y adelantos en las ciencias de la geometría, matemáticas y astronomía.

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Miguel León-Portilla, Códices: los antiguos libros del Nuevo Mundo, Editorial Aguilar, México, 2003, p. 153. Víctor Torres Roldan, Ciudades estelares, Plaza y Janes, México, 2005. Como desde hace mucho se sabe -y se detalla más adelante-, los ciclos celestes fueron abstraídos mediante cuentas de días, de tal forma que determinados números eran directamente relacionados con un cuerpo o evento celeste; por ejemplo, el 584 representaba a Venus o el 117 a Mercurio -sus ciclos sinódicos, respectivamente.

I. Metodología

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sistema de diseño a partir del cual se podrían explicar. Finalmente, las hipótesis fueron confirmadas y contestados los interrogantes que se mencionaron.

Fases de la investigación 6 1. Fase exploratoria o formulativa a) Marco teórico 2. Fase descriptiva a) Estudios descriptivos b) Estudios correlacionales 3. Fase explicativa

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1. Fase exploratoria o formulativa

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Isabel Vázquez Hidalgo, isabelvazquez 27@ yahoo. com. 7 Ibid. 8 Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit. 9 Se encuentra el concepto conocimientos astronómicos mesoamericanos en la información epigráfica, iconográfica, etnológica, arqueológica, arqueoastronómica y calendárica que ha sido reunida y verificada al respecto por diferentes disciplinas.

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Los estudios exploratorios consistieron en la revisión de textos de índole diversa relacionados con el tema de obras mesoamericanas: historia del arte, geometría, astronomía, arquitectura e iconografía, como se puede verificar en la bibliografía publicada al final de este libro. Para lograr el primer conocimiento científico acerca del sistema de creación de las obras de arte en Mesoamérica se hizo una revisión del tema, encontrándose que existen pocos antecedentes en cuanto a la formulación teórica y a su aplicación práctica. La investigación se ha enfocado de manera novedosa al estudio del arte mesoamericano; tal vez a la fecha no se ha realizado ningún trabajo similar, siendo ésta una nueva forma de análisis que puede servir de base a futuras investigaciones. a) El marco teórico. Dentro de la fase exploratoria o formulativa se encuentra el marco teórico. Este marco de referencia se construyó con la investigación documental, la bibliografía, fotografías y planos; dentro de este marco de referencia también se hicieron mediciones directas de los objetos de estudio o la obtención de sus medidas por proporcionamiento de fotografías, dibujos y planos, o por ambos recursos. Es importante decir que de algunas materias de la investigación casi no existe bibliografía especia-


lizada, como puede ser la desarrollada en Geometría mesoamericana. s Si bien de algunos temas no existen textos que sirvan para construir el marco teórico de referencia, en tanto que de otros temas sí hay información aprovechable, se hace énfasis en que dichos materiales sólo ayudan a dar bases a las hipótesis de esta investigación, pues como tal es completamente original. Se puede decir que casi no existen textos, autores o investigaciones de referencia que integren los conocimientos aquí expuestos, de ninguna de las disciplinas que estudian a esas culturas; si acaso sólo acercamientos parciales. En la presente investigación confluyen conocimientos de varias disciplinas de estudio. Se relacionan en este trabajo las matemáticas, la geometría, la arquitectura, la iconografía, algunas teorías sobre el arte mesoamericano y la arqueología en conjunción con la astronomía, a las que se acude para desarrollar las hipótesis y los planteamientos; se abordan los textos y se citan los autores. Respecto a los hallazgos e investigaciones sobre las obras mesoamericanas hay evidencias, profusamente documentadas, acerca de los conocimientos astronómicos y matemáticos, así como relacionadas con los calendarios mesoamericanos, a las que se recurre para indagar relaciones causales y desarrollar explicaciones. Pero también hay que decir que, en muchos de los casos, fueron los objetos mismos los que sirvieron de punto de partida para realizar una investigación profunda acerca del tema. Los conocimientos astronómicos mesoamericanos 9 encontrados en obras y vestigios, así como la información recopilada por los cronistas luego de la Conquista sobre el movimiento aparente del Sol, la Luna y los eclipses, Venus y Marte, además de los sugeridos respecto de Júpiter, Saturno y constelaciones -las Pléyades, entre o t r a s - , están actualmente documentados por la astronomía moderna. En la actualidad la correlación entre las observaciones de los antiguos mesoamericanos, a la luz de la astronomía moderna, ha sido ampliamente desarrollada por muchos importantes

astrónomos, entre los que destacan Jesús Galindo Trejo y Anthony F. Aveni. Los antiguos documentos calendáricos americanos revelan que entre sus logros intelectuales estaban las matemáticas y la astronomía; a decir verdad, se consagraban fanáticamente a estas disciplinas. Para ellos el tiempo era un sistema natural y cada día estaba marcado por un complejo laberinto de ciclos interminables. 10 La presencia del conocimiento astronómico en la civiIización mesoamericana quedó clara desde el inicio de la Nueva España. Los cronistas europeos transmitieron lo que vieron y oyeron al respecto. 11 A lo largo de los siglos los estudiosos han hilvanado las múltiples evidencias y expresiones de ese conocimiento para tratar de entender su mensaje. Investigadores de diversas ramas han planteado hipótesis desde diferentes ángulos para explicar la importancia cultural de la astronomía en Mesoamérica. Sin embargo, no se ha dicho todavía la forma en que sus concepciones astronómicas gravitaban en su cultura y en su estructura y proceso social, importante tema de investigación para los especialistas de las ciencias sociales. De este tema depende cómo se construye nuestro conocimiento sobre su conocimiento, es decir, qué paradigma se erige para sustentar las investigaciones subsiguientes y qué se acepta o se rechaza dentro de esas pautas. Los diferentes modelos que se han erigido no siempre han sido afincados con el concurso de todas las ramas del conocimiento o se han excluido algunos planteamientos por no apegarse al criterio del investigador, o porque han sido construidos desde nuestras concepciones teóricas contemporáneas de la ciencia, la política y la sociología, que no corresponden al mundo mesoamericano. Una corriente de investigadores ha afirmado que en Mesoamérica el quehacer religioso y político, y la vida en general, eran comprendidos a partir de las concepciones astronómico-religiosas y que, por lo tanto, sus actuaciones dependían de las observa-

ciones de los astros que representaban a sus divinidades, de modo que cada acto, cada suceso y cada creación giraban en torno a sus divinidades celestes. Otra corriente ha planteado que los astros y las estructuras calendáricas eran aprovechadas por las jerarquías políticas y religiosas para el dominio y control de los pueblos, ya que, gracias a sus conocimientos, podían predecir los sucesos del cielo y conducir a su pueblo a partir de dicho poder. En un caso se consideraba que los pueblos y sus líderes vivían y gobernaban en función del acontecer celeste, con un sentido de consagración y correspondencia entre sus actos y sus creaciones. En el otro, que los pueblos atestiguaban el poder de los líderes y que éstos gobernaban consagrando su poder, sus actos y creaciones en función del acontecer celeste. Mas no es el objetivo de esta investigación postular si uno u otro paradigma es el adecuado ni resolver la forma en que las concepciones astronómicas gravitaban en las culturas mesoamericanas o intentar explicar hasta sus últimas consecuencias cuáles eran los propósitos a los que estaban subordinados su arte y arquitectura. Como ya se dijo, ésta es tarea de los científicos sociales. El objetivo de la presente investigación es fundamentar que los modelos de proporción geométrica en Mesoamérica estaban inscritos en un sistema de dimensionamiento armónico basado en los NP, NSA y NSC, que forman el corpus de la numerología astronómica mesoamericana, y que ese sistema de diseño era una forma de aplicar y expresar el conocimiento que los acercaba y relacionaba con la divinidad a través del número. Al respecto existen evidencias de que los mesoamericanos confirieron a sus obras determinados atributos para manifestar o reflejar el orden celeste a través de una relación epifánica, de sincronía, de semejanza o de representación, con un sentido de consagración del que posteriormente se abordará. Esos atributos eran conferidos, según el tipo de obra, mediante su ubicación geográfica -particularmente la latitud-, trazo

Se r e l a c i o n a n e n e s t e trabajo las matemáticas, la geomet r í a , la arquit e c t u r a , la iconografía, algunas teorías s o b r e el a r t e mesoamericano y la a r q u e o l o g í a en conjunción con la astronom í a , a l a s que se acude para desarrollar las hipótesis y los planteamientos.

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Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 15. 11 Posteriormente, al paso de los siglos, el estudio de los vestigios en códices, mitos, calendarios, creaciones artísticas, glifos, esculturas, monumentos, orientación astronómica de su arquitectura, etcétera, quedó debidamente documentado.

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Las o b r a s mesoamericanas transmiten códigos.

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Se habla aquí de estilo según la explicación que de este término se expone en Beatriz de la Fuente, Obras, t. 1, El arte, la historia y el hombre, "Reflexiones en torno al concepto de estilo", El Colegio Nacional, México, 2003, pp. 33-47. El estilo puede comprenderse como un concepto creado para agrupar formas que tienen históricamente algo en común.

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urbanístico, orientación, diseño, proporcionamiento y recursos expresivos plásticos, iconográficos o epigráficos, con un concepto metafísico que fusionaba sus creaciones a través de sus atributos con la naturaleza. Es poco probable que los mesoamericanos hayan realizado actividades tan colosales y extraordinarias de creación artística y arquitectónica sólo como resultado del manejo político de sus jerarquías y no con la intención de reflejar el orden cósmicoterrenal, consecuencia de una cosmovisión compartida por el pueblo. Se puede pensar que a esas magníficas obras se les otorgó, mediante el número, un sentido de consagración ritual a lo divino-celeste. Los mensajes codificados contenidos en las obras son resultado de la evolución cultural, artística, religiosa y científica de los pueblos, y son reflejo de su cosmovisión. El urbanismo, la arquitectura, la escultura, la alfarería y la pintura en Mesoamérica tienen expresiones diversas que corresponden a sus diferentes culturas y periodos, y que están emparentadas por estilos 12 y rasgos plásticos comunes. Sus proporciones satisfacen modelos y formas geométricas, y, finalmente, pertenecen a la cosmovisión también común de esas culturas, todo lo cual las caracteriza e identifica como mesoamericanas. La decodificación de los mensajes de una obra debe atender varias estructuras de información. Un punto importante de esta investigación consistió en encontrar y demostrar la existencia de esas estructuras de información presentes en las obras estudiadas, que correspondiera a principios sistematizados de diseño geométrico que complementara su estudio. Si bien sus creaciones provocan una experiencia estética al contemplarlas, se observa que no solamente tienen atributos estéticos, sino que también contienen mensajes que están más allá del arte, que expresan algo en y desde su cultura. Se entiende esto como los códigos y mensajes implícitos en sus propiedades, sus formas y los recursos de representación y de expresión con los que fueron creadas, que eran total-

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mente accesibles a sus creadores y tal vez sólo en forma parcial al pueblo común. Cada una de las propiedades de las obras son signos que contienen o expresan información dentro de un sistema que tiene reglas que permiten formular y, en consecuencia, comprender un mensaje, lo que se denomina un código. Las obras mesoamericanas transmiten códigos. Si los códigos estructuran un mensaje mediante reglas, las obras mesoamericanas muestran a la vista sus signos y mensajes evidentemente estructurados, aun cuando a la fecha no se haya logrado comprenderlos del todo. La portación y transmisión de mensajes codificados tal vez no sea exclusivo de las obras mesoamericanas; no obstante, es de éstas y de una parte inexplorada de sus códigos de lo que se ocupa la investigación. Es importante no confundir la acción de decodificar -aplicar las reglas del código para entender el mensaje- con la de descifrar, término que implica la existencia de una clave cifrada en el mensaje, algo que no parece ser aplicable al propósito de las obras mesoamericanas, cuando en cambio los códigos son resultado de su propia estructura de pensamiento trasladado a las reglas o cánones que crearon para regir sus manifestaciones creativas y de conocimiento, y el mensaje implícito del que dan testimonio. Ambos términos, decodificar y descifrar, tampoco deben confundirse con el de interpretar, que consiste en buscar y explicar el significado de algo, darle un determinado sentido. La descripción y la interpretación son las más frecuentemente realizadas desde las disciplinas que estudian a las culturas mesoamericanas. Un mensaje se constituye a partir de una fuente emisora, que es el artista y su cultura; un canal de transmisión, que en este caso son las obras mismas; y un receptor que las observa. El mensaje de las obras mesoamericanas se sostiene por tres estructuras de información diferentes; por una parte, los recursos plásticos, como son la figura representada, el material, el color, la luz y sombra, etcétera. Están también los recursos escritos, como glifos y numerales.

Finalmente, la tercera estructura, que literalmente radica en la forma que le da origen y su envolvente virtual, su geometría y sus proporciones. La lectura de esas estructuras de información conlleva la conjunción de dos mensajes, el denotado y el connotado, fenómeno siempre presente en el estudio de una obra. El mensaje denotado radica en lo que los artistas mesoamericanos -la fuente emisora- expresan en sus obras -el canal de transmisión- a través de códigos propios. El mensaje connotado consiste en la manera en la que el receptor -nuestra culturalee e interpreta esos signos generalmente con sus códigos propios, no con los empleados en su creación. Si los códigos implícitos estuvieran constituidos por reglas de creación y signos universales o similares a los contemporáneos, hace tiempo que se habrían decodificado y, por tanto, se comprenderían de manera cabal las expresiones de las distintas culturas. Un indicio de las limitaciones en la comprensión del mensaje de las obras mesoamericanas es que las reglas de su creación y sus signos nos siguen siendo ajenos en diversas escalas -según el tipo de estructura de información- y que se han construido interpretaciones cargadas de connotaciones. En síntesis, en la mayoría de los estudios no se decodifica, sino se interpreta. Por otra parte, los códigos no solamente comprenden los atributos estéticos que se les asignen a las creaciones mesoamericanas; están más allá de ellos. No obstante, al observarlas se produce una experiencia estética resultado del empleo de la aplicación armoniosa del número -fuente de belleza estética en sus formas- y a su indiscutible calidad artística. Sin embargo, a lo largo de la historia esas obras también han provocado horror en muchos, a cuyos ojos algunas piezas, como la Coatlicue, resultaban figuras monstruosas que evocaban lo pagano e infernal. Esta visión originada en las connotaciones religiosas y culturales occidentales llegó a alcanzar a la historia del arte, disciplina que hasta el siglo XX estudiaba la obra mesoamericana desde enfoques

occidentales de pobre comprensión.

Si bien sus

Se ha discurrido que el propósito de las creaciones no era el placer estético como lo conocemos en la actualidad y que, en cambio, desde su matriz cultural había una expresión artística para la vinculación religiosa. Al respecto la doctora Beatriz de la Fuente, 13 reconocida especialista en arte mesoamericano, dice en "La vida y la muerte a través del arte":

creaciones

La obra de arte es testigo del pasado y, a diferencia de otras realizaciones humanas, permanece en el presente, cargada de significados, pronta a comunicarlos a quienes comprendan la estructura de su vocabulario, el sentido de su lenguaje. El arte es, entre otras cosas, un medio humano de comunicación, y ha sido aplicado como tal desde la más lejana antigüedad. La barrera producida por las diferencias culturales y el relativismo no elimina las fuerzas del efecto emocional de la comunicación artística. Sin embargo, el arte, como abstracción diferente de otras conductas de la cultura, con el sentido que se le dio en Occidente a partir del Renacimiento, quizá no se produjo cabalmente en Mesoamérica. Lo que hoy consideramos arte prehispánico no fue, acaso, realizado como tal por sus creadores; quizá surgió respondiendo a una necesidad primordial de concretar profundas experiencias religiosas. Al confirmar la experiencia, al hacerla perceptible, la conciencia humana se enriquece y desarrolla. La obra de arte establece y funda en sus formas el ser y la esencia de las cosas, saca a la luz lo que después serán las ideas y los conceptos rectores del pensamiento, de la religión y, tal vez, de las estructuras sociales y políticas. Tales formas, significativas y simbólicas, se irán renovando conforme la experiencia humana vaya cambiando; en las obras de arte han quedado establecidas diferentes modalidades de la existencia, y así el hombre prehispánico, que experimentó la naturaleza, lo animal, lo cósmico, lo trascendental, lo real y lo humano, plasmó esas vivencias en distintas formas a lo largo de más de tres milenios. En

provocan una experiencia estética al contemplarlas, se observa que no solamente tienen atributos estéticos, sino que también contienen mensajes que están más allá del arte, que expresan algo en y desde su cultura.

13

Ibid., "Introducción a la historia del arte prehispánico", pp. 6567.

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resumen, la obra de arte hace visible y representa perceptiblemente por medio de formas significativas la experiencia humana y enriquece y amplía la conciencia del hombre. Ahora bien, si por una parte la obra de arte toma posesión de un segmento del mundo circundante, establece sus dimensiones, define sus formas y amplía la conciencia de la comunidad que la produjo, esa obra, como se ha dicho, acaso no fuera creada estrictamente como tal por los artistas del mundo antiguo mexicano. Su finalidad consciente era, tal vez, ofrecer seguridad y certeza ante los problemas de la vida, del nacimiento, de la muerte, de la supervivencia; su sentido era resolver, aliviar tensiones existenciales entre el mundo interior y el exterior, ambos quizá inexplicables. La obra de arte, esa forma significativa, era aceptada plenamente, ya que su eficacia estaba comprobada. El arte estaba íntimamente vinculado a las experiencias religiosas; era parte indivisible de las ceremonias y del ritual, y éstos, a su vez, permeaban otras experiencias humanas de carácter histórico, secular y cotidiano. 14

14 15

lbid. Un riesgo de esas interpretaciones es que, siendo tan diferentes las concepciones de la civiIización contemporánea respecto de la civiIización mesoamericana, se generen aproximaciones relativas, las cuales pueden estar alejadas de la comprensión de los atributos de las obras y sus culturas, de sus significantes y significados.

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Se puede decir que en las obras mesoamericanas son las formas y proporciones, las expresiones y representaciones que tienen plasmadas y sus atributos plásticos, las que en conjunto manifiestan la armonía estética y el mensaje implícito que contiene el significado, que al ser transmitido por el código vincula y re-liga (re-ligión). Las obras se constituyen así en portadoras de una cosmovisión. Más allá de la fascinación artística que provocan esas obras, existen múltiples interrogantes que una barrera de prejuicios entorpece su respuesta. En la actualidad esa barrera presenta sólo ventanas para tener acceso a la total comprensión de su manera de ver el cosmos y a la de su apropiación, en el sentido de asimilar, de sus concepciones y conocimientos. El intento de respuesta a esas preguntas ha llevado a proponer interpretaciones sobre sus obras estudiadas con nuestros códigos (y sólo parcialmente

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con sus códigos), es decir, desde nuestra concepción del mundo y con las connotaciones de la cultura contemporánea, lo que establece limitaciones per se. Al no indagar sistemáticamente los modelos geométricos y de proporción se ha omitido una parte del código que, junto con los demás atributos de las obras, expresan su ciencia y cosmovisión. ¿Cuáles fueron los códigos de sus creaciones, sus cánones? Para contestar se consideran esas tres estructuras de información: los recursos plásticos, los recursos escritos (glifos) y los atributos geométricos, entre ellos la forma con sus características geométricoproporcionales y sus relaciones numéricoastronómicas, que constituyen también una estructura de información y que se estudian a lo largo de esta investigación. Las obras mesoamericanas de toda índole, urbanísticas, arquitectónicas, escultóricas, cerámicas, son uno de los medios para el estudio de las culturas que las crearon; son sus restos o vestigios que han sido estudiados desde enfoques multidisciplinarios. En los análisis se han atendido los atributos plásticos, los recursos expresivos y las características o propiedades evidentes, tales como materiales, técnicas, inscripciones, esgrafiados, bajorrelieves, colores, la cultura y periodo al que pertenecen, etcétera, con el propósito de lograr interpretaciones artísticas, arqueológicas, iconográficas, astronómicas. 15 A la fecha, el estudio de las obras de Mesoamérica se ha concentrado principalmente en la descripción física de las piezas, la caracterización arqueológica -como la pertenencia a determinados horizontes culturales y temporales, propuestas de clasificación y estilo-, la exaltación de las características plásticas, la interpretación de ciertos rasgos y, en algunos casos, a esbozar interpretaciones. Paradójicamente, no obstante las características geométricas evidentes de sus creaciones, son las descripciones de sus atributos religiosos o rituales, estéticos, los enfoques estético-estilísticos, iconográficos y epigráficos los que han predominado en su estu-

dio, con la excepción de algunos enfoques recientes desde la arquitectura y la arqueoastronomía. Las formas y las propiedades geométricas y de proporción por lo general se han estudiado sólo aislada o parcialmente. Prueba de ello es el escaso material de estudios metódicos sobre los atributos de forma y geometría. La doctora de la Fuente16 cita siete caminos que los estudiosos han recorrido para aproximarse al arte prehispánico, de los que apenas uno da cuenta de la forma, mas no de la geometría que la genera y rige, por lo que se propone que, dentro del marco dado por ella para el estudio del arte prehispánico, se añada el análisis geométrico y numerológico-astronómico de las formas. Los siete caminos son: 1. Historia descriptiva del arte; se procura señalar los elementos característicos y distintivos de los estilos. 2. Establecimiento de categorías fundamentales del arte prehispánico, tales como ritmo, estilización, simbolismo, carácter ornamental, sentido religioso, tremendismo, sublimidad, belleza, barroquismo, decadentismo, etcétera. 3. Comprensión de las obras por la vía del conocimiento histórico-filosófico. 4. Enfoques psicológico-culturales que consideran el arte como expresión de la voluntad del hombre frente al mundo que lo rodea. 5. Historia del arte que traduce los significados de las obras de términos visuales a términos verbales. 6. Historia del arte que estudia el origen y evolución de las formas. 7. Análisis iconográfico del arte. El punto seis se refiere al origen y evolución de las formas dentro de las expresiones características de una o varias culturas a lo largo de sus diversos horizontes temporales -como el caso de la evolución de la forma de la boca del jaguar olmecoide-, mas no da cuenta del origen y evolución de la forma que se genera a partir de la geometría dinámica empleada en Mesoamérica.

Varias razones explican las limitaciones del estudio de la geometría dinámica mesoamericana. 17 Los planteamientos teóricos comúnmente aceptados sobre las obras mesoamericanas se han construido desde ramas de las ciencias sociales, como la arqueología, la antropología y la historia del arte. Los especialistas de esas disciplinas generalmente carecen de formación en matemáticas, geometría y astronomía, y los que tienen esa formación -como los arquitectos, matemáticos, astrónomos- tan sólo recientemente las han incorporado a sus investigaciones, principalmente a través de la arqueoastronomía (1970), 18 con magníficos resultados en sus respectivas áreas. Por otra parte, en algunos estudiosos ha existido la idea de que el virtuosismo de las obras mesoamericanas es resultado solamente del talento artístico de sus creadores y que éstos no ejercían un dominio sistematizado del diseño geométrico y proporcional. La idea de ausencia o limitaciones en el sistema de diseño 19 de las obras indígenas es uno de tantos prejuicios cuyos enfoques parten de considerar el arte occidental como máxima fuente del refinamiento y dominio en la aplicación de la geometría y las proporciones. De estos prejuicios no ha escapado el juicio negativo sobre la arquitectura mesoamericana y su tecnología constructiva. 20 Al no conocer los críticos de arte los cánones de la creación artística en Mesoamérica y emplear enfoques heredados de los europeos, les han faltado referentes para el estudio de las formas. Otro punto de vista equivocado es el que presenta explicaciones fantasiosas del origen del saber o del arte mesoamericano, como atribuir a extraterrestres la creación de la tumba de Pacal o de nuestras magníficas pirámides, negándole al hombre de América el grado de desarrollo intelectual necesario para tener el conocimiento de los astros, de la matemática o de la geometría, así como de cualquiera de las artes que manifiestan sus grandiosas obras. Las concepciones occidentales sobre la proporción surgen del estudio de las formas

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Beatriz de la Fuente, op. cit., "Problemas de historia del arte en culturas prehispánicas de México", pp. 74-75. 17 He llamado geometría dinámica a la que genera todas las formas que emplearon los mesoamericanos a partir del círculo, fuente de creación de las figuras empleadas en el diseño directo o subyacente de las obras de arte de esas culturas. 18 En México los estudios de arqueoastronomía como tal datan aproximadamente de esa fecha. 19 Se refiere aquí el término diseño en su acepción como sistema de proporcionamiento o dimensionamiento. 20 Linda Scheie y David Freidel, Una selva de reyes/La asombrosa historia de los antiguos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1999, pp. 122-123. En el capítulo III, "Cerros: la llegada de los reyes", en una reconstrucción histórica hipotética, los autores proponen que "para construir templos a una escala grandiosa y arquitectónicamente compleja", la gente de la comunidad maya de Cerros recibió ayuda de constructores-maestros y que los templos piramidales emergieron de una larga tradición cultural compartida en toda la región, pero en la que "los mayas de las tierras bajas inventaron una nueva forma de usar la pirámide-templo: la

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y la armonía que guardan entre sí las partes del cuerpo humano en particular, y de la naturaleza en general, que se originaron desde los griegos. 21 Ya Pitágoras consideraba que el hombre es la medida de todas las cosas. La armonía de la naturaleza y la del cuerpo humano como punto de referencia de toda comparación ha sido expresada en proporciones geométricas profusamente estudiadas por la cultura occidental, valiéndose de la filosofía, de la matemática y de la geometría.

hicieron portadora de mensajes políticos... Esos grandes programas escultóricos se convirtieron en la expresión primaria de las doctrinas políticas y religiosas subyacentes a su forma de realeza". Posteriormente, en la nota 16, al pie de página, informan que desconocen la manera en la que se dividían los oficios de construcción en el antiguo mundo maya, pero sospechan que "no contaban con arquitectos en el sentido moderno de la palabra, es decir, especialistas que diseñan edificios y que son responsables de los programas iconográficos y de la ingeniería", por lo que "proponen el término constructor-maestro, en la tradición de Frank Lloyd Wright, I. M. Pei o Mies van der Rohe". Antes, en la nota 1, se discurre que la tecnología más maraviIlosa de los mayas era la agrícola, no la constructiva, a la que se le califica de "primitiva", pues no hay "voladizos espectaculares". Varios cuestionamientos se derivan de esas conjeturas: si la cultura maya "no contaba con arquitectos", cabe pensar que en las culturas mesoamericanas que la antecedieron tampoco los hubo. Luego entonces, ¿los así denominados constructores-maestros no hacían arquitectura? ¿Sólo existen "templos a una escala grandiosa y arquitectónicamente compleja"? ¿Las tradiciones occidentales de la arquitectura o la política contemporáneas sirven para discernir la arquitectura mesoamericana?; o en sentido inverso, a la luz de la cosmovisión maya, ¿cómo se juzgaría la arquitectura occidental moderna, con sus urbes y construcciones caóticas, contaminantes, carentes de integración armónica entre sí y respecto a la naturaleza? La arqueoastronomía lleva ya cuatro décadas documentando y develando la precisión extraordinaria con la que fueron construidos los centros ceremoniales en toda Mesoamérica, con atributos de orientación y planificación urbanísticas espacio-temporales de carácter astronómico, para dar testimonio epifánico de fenómenos celestes, como también para la representación de sucesos mítico-cósmicos. Estos atributos son únicos y originales de la arquitectura mesoamericana, y su precisión astronómica no ha sido igualada por ninguna otra civiIización. Ante estos y otros atributos: ¿pueden sostenerse -con un mínimo de rigorconjeturas y comparaciones simplistas, aislando las obras mayas de la arquitectura o reduciéndolas para su uso como "portadoras de mensajes políticos" o a "la expresión primaria de las doctrinas políticas y religiosas subyacentes a su forma de realeza"? ¿Puede comprenderse el mundo antiguo a partir de comparaciones desde las concepciones del decadente mundo occidental y sus doctrinas políticas? Lamentablemente estos enfoques siguen siendo frecuentes, por lo que es indispensable replantear los paradigmas en diversos ámbitos. 21 Existe consenso acerca de que los maestros griegos Solón, Tales y Pitágoras estudiaron con los sacerdotes astrónomos geómetras egipcios (http: //www. schillerinstitute. org/newspanish/InstitutoSchiller/Ciencia/GreciaEgipto-l. html).

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La proporción es una relación de medidas entre las partes que constituyen un todo, que se establece inicialmente por la comparación de dos objetos, de dos partes de un todo. La proporción armónica se percibe como una apreciación subjetiva de carácter estético. La proporción áurea, divina proporción o partición de la unidad en el punto de oro, número de oro, φ, cuyo valor es 1. 61803398875 (simplificado usualmente en 1. 618), reside en una relación objetiva que puede establecerse en términos lógicos y, desde luego, matemáticos. La expresión algebraica a: b:: b: c se refiere a la unidad dividida en media y extrema razón, que es la proporción recíproca y armónica entre las partes mediante cuya aplicación se logra belleza. Para determinar el punto de partición de una recta en media y extrema razón (o proporción áurea) pueden emplearse métodos geométricos, así como para la construcción del rectángulo áureo y sus ejes de crecimiento armónico que determinan la forma de espiral que presentan algunos seres o formas de la naturaleza, tales como los caracoles marinos Nautilus en el reino animal, o el crecimiento de los tallos del epazote en el reino vegetal, o de los cristales de pirita en el reino mineral. La divina proporción es la que crea la naturaleza: cuando se aplica en la creación humana, permite identificarnos con ella, lo que produce un placer estético; entonces calificamos la obra como bella. Es abundante el material existente sobre la utilización de la divina proporción en la arquitectura, la escultura y en general en las obras de arte de la cultura occidental; también se encuentran muchos ejemplos de su aplicación en Oriente, Asia y Mesoamérica. La proporción áurea no fue la única empleada en Mesoamérica. Además existen otras muchas proporciones manifiestas en los rectángulos derivados del círculo y del cuadrado a través de la geometría dinámica, así como en los prismas rectos rectángulos (PRR) y otras figuras tridimensionales posibles envolventes virtuales de sus obras bi o tridimensionales, las cuales fueron profusamente empleadas en el diseño, como los

rectángulos Σ, que constituyen la forma de las bases mayores de los primeros cuerpos

de las pirámides mesoamericanas. En la cultura occidental, además de emplear proporciones y escalas, se han empleado unidades de medida espacial previamente determinadas e invariables, como son la yarda dentro del sistema inglés o el metro del sistema métrico decimal, usado casi universalmente. Las culturas mesoamericanas, a diferencia de las occidentales, no tuvieron una unidad de medida determinada (U, u) invariable o única, previamente establecida, sino que usaron proporciones logradas a partir de una unidad señalada de alguna manera en cada obra. Esto se verá a fondo en el capítulo II, subcapítulo "Sobre la unidad de medida", como lo merece su gran importancia, ya que no se trata de una unidad de medida única, sino de unidades de medidas diferentes en cada caso. En el diseño mesoamericano lo verdaderamente importante era el número de unidades y no las dimensiones de cada unidad. El estudio sistematizado de la geometría y las proporciones en la arquitectura y el arte mesoamericanos es reciente, a diferencia de su estudio dentro del arte occidental. Se vislumbra que a las formas y proporciones geométricas los mesoamericanos les asociaban conceptos, convirtiéndolas en símbolos; esto se puede ver claramente en los formatos de los códices prehispánicos, donde la forma geométrica está asociada con deidades específicas, 22 así como la vinculación de tales formas y proporciones con cuerpos celestes, cuyo carácter mágico y religioso ha sido documentado con amplitud desde otras ramas del conocimiento. El estudio de la relación de forma con divinidad puede ser tema de otra extensa e importante investigación que solamente se vislumbra en este estudio. Un ejemplo es el del rectángulo áureo que enmarca a los dioses creadores, tal como se presenta en el Códice borbónico. 23 Otros en el mismo códice son los rectángulos Σ en las esquinas de las páginas, de la 3 a la 20, que enmarcan a diversas

divinidades, manifestación dual y primaria del dios único que se presenta en la Tierra. 24 Aunque no contara con los elementos formales para incursionar en el análisis geométrico y sus posibilidades significantes, hace años dichos atributos ya habían sido aprehendidos por Laurette Sejourné: Reducidos a la pureza de esquemas, estos edificios, tan sobrios e incoloros como cuerpos de ascetas de los que todo rasgo de pasión hubiera desaparecido, exaltan ahora la fórmula que los engendró con un rigor inhumano. Despojada de la poesía de los símbolos que, con la ayuda de formas y colores, cantaba su verdad oculta, esta fórmula puesta al desnudo aparece como el resultado de cálculos matemáticos elaborados a partir de la rígida ley de los números, dictada a los hombres por los astros... El orden que presentan los espacios y los monumentos sugiere que la misma ley de los números determinó un estricto sistema de planos. Por ejemplo, observando los diferentes lugares del centro ceremonial, se percibe que se trata siempre de cuadriláteros y de triángulos: amplias plazas cuadradas que encierran una pirámide, y ésta, a su vez, no es más que un cuerpo cuadrangular terminado en triángulo. Como la misma combinación constituye los rasgos esenciales del símbolo del año, es fácil persuadirse de que esta geometría contiene un significado que sería importante descubrir. 25 Sejourné concebía los edificios en la pureza de sus formas geométricas reducidas a su máxima simplicidad, la cual permite realizar estudios profundos que nos acercan a la comprensión de la forma y del significado del arte y la arquitectura mesoamericanos. Es característica de esta investigación el uso de métodos geométricos para el análisis de las obras, como lo es también el empleo de disciplinas aparentemente inconexas que, sin embargo, repercuten en la obra mesoamericana. Ésta reúne elementos de disciplinas que parecen estar conectadas por nexos causales: los efectos que

En el diseño mesoamerioano lo verdaderamente importante era el número de unidades y no las dimensiones de c a d a unidad.

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Se ha propuesto (Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit. ) que la no utilización de la rueda se debió a la asociación del círculo con la forma divina de los cuerpos celestes. Su empleo para fines prácticos tal vez fue considerada como profanación de tan sagrada forma. 23 Códice borbónico, edición facsimilar, "Descripción, historia y exposición del Códice borbónico", Siglo XXI Editores, "América Nuestra", México, 1988, p. 93, "Señores del arte adivinatorio", Oxomoco y Cipaktónal, inventores del calendario. 24 Ibid., p. 21. 25 Laurette Sejourné, Pensamiento y religión en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1957, pp. 100-101.

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Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit. En este libro pueden revisarse a profundidad los principios que rigen el diseño geométrico mesoamericano y los métodos de análisis geométrico. 27 Nótese que no se menciona la figura de pirámide, porque no fue empleada como envolvente virtual de las pirámides mexicanas, según se demuestra más adelante, en los capítulos IX, X y XI. En su lugar se menciona el chumeng y el chutong como la forma verdadera de las pirámides mexicanas. 28 Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit., pp. 101-120; U = unidad de medida a la manera indígena. Ver en el capítulo II del presente libro, "De la numerología astronómica en la arquitectura y el arte", el subcapítulo "Sobre la unidad de medida", en relación con la unidad de medida a la manera indígena.

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se muestran en la observación y la causa que permanece oculta. Ninguno de los elementos relacionados con esas disciplinas podría conectarse sin la existencia de un esquema que sirviera para relacionarlos y que expresara sus configuraciones, vínculos y modos de funcionamiento. En el análisis y decodificación de una obra de arte mesoamericana se deben atender tres estructuras de información ya mencionadas: recursos plásticos, recursos escritos y atributos geométricos. Los atributos geométricos son aquellos relativos a la forma, su dimensionamiento y su proporcionamiento; y, para el objeto del estudio, las relaciones numérico-astronómicas intrínsecas en el proporcionamiento. Este conjunto de atributos es la estructura de información que sustenta este trabajo. Para determinar las reglas que se aplicaron en la relación geometría-proporciones de una obra (esculturas, estelas, pirámides, piezas de alfarería, etcétera) deben realizarse los procedimientos que están establecidos en un análisis geométrico de primer orden. Para el estudio y determinación de la relación sucesiva proporciones-números de significado astronómico (NSA) deben realizarse los procedimientos que están establecidos en un análisis geométrico de segundo orden. Los procedimientos de ambos análisis son especificados a continuación. 26 Análisis geométrico de primer orden. Se procede a 1. Determinar la figura geométrica que puede ser la envolvente virtual de la pieza u objeto en estudio. Si se trata de una figura plana, debe determinarse la superficie de enmarcamiento; si se trata de una figura tridimensional, se busca la figura geométrica de volumen que pueda ser la envolvente virtual del objeto, como puede ser un prisma recto rectángulo (PRR), un cilindro, un tronco de cono o un prisma truncado (chutong y chumeng). 27 2. Determinar la unidad (U, u) de medida a la manera indígena28 que rige el diseño.


3.

Obtener las medidas en unidades a la manera indígena (u, u) de las caras o elementos de la envolvente virtual.

Análisis geométrico de segundo orden. Se procede a 1. Calcular el volumen de la envolvente virtual del objeto utilizando las medidas obtenidas transformadas en unidades a la manera indígena (u, u). 2. Analizar aritmética y astronómicamente el número volumétrico (NV) obtenido. 3. Determinar los números prevalentes (NP) a partir de las proporciones, áreas o volúmenes de las figuras geométricas que pueden ser las envolventes virtuales de las piezas, monumentos, códices, centros ceremoniales, etcétera. 4. Determinar qué relación matemática existe -mediante principios aritméticos de multiplicidad- entre los NV, los NSA y los NSC que el análisis de las obras haya arrojado. 5. Elaborar una interpretación simbólica de su geometría y una decodificación de los números de significado astronómico y calendárico encontrados. No se hacen planteamientos sobre atributos plásticos, iconográficos, epigráficos ni arqueológicos, de los que existe abundante y magnífica información, pues no es éste el objetivo del presente estudio; sin embargo, el resultado obtenido mediante el análisis deberá ser congruente con la iconografía para ser válido. En lo referente al estudio de las proporciones y números subyacentes de una obra se han desarrollado procedimientos particulares de análisis geométrico-numérico. Además el estudio comprende la referencia del horizonte cultural y temporal, denominación, procedencia (de ser posible) y dimensiones conocidas de la obra, así como su ilustración o fotografía. b) Hipótesis de comprobación. De acuerdo con Heinz Dieterich, "una hipótesis de constatación o de primer grado es una proposición

científica que, con base en el conocimiento científico, trata de establecer la presencia o ausencia de un fenómeno o de una propiedad (característica) de un fenómeno". A este fenómeno o característica se le denomina, en metodología, "variable constatable". 29 La hipótesis de comprobación o constatación que aquí se formula es la siguiente: En Mesoamérica existió un sistema con principios de diseño geométrico y proporcional en el que se empleaban abstracciones numéricas con significados astronómicos y simbólicos que, junto con los atributos plásticos, iconográficos y epigráficos, expresaban su cosmovisión. Esta hipótesis se puede desglosar y ampliar de la manera siguiente:

•

•

•

•

• 1. En Mesoamérica existió un sistema de diseño basado en la numerología astronómica que confería un carácter sacro. 2. Este sistema permitió dimensionar las obras urbanísticas, arquitectónicas, escultóricas, pictóricas, preservando y transmitiendo mediante las dimensiones lineales, áreas o volúmenes el conocimiento científico que los ligaba a la divinidad. Los objetivos de esta investigación son establecer si en Mesoamérica existió un sistema de diseño para el dimensionamiento armónico de sus obras. Verificar si dicho diseño estaba basado en números de significado astronómico, calendárico y del tonalpohualli. Comprobar si esos números formaban parte de una numerología de origen astronómico. Establecer si el objetivo del sistema de diseño era aplicar en sus creaciones el conocimiento científico que los acercaba y relacionaba con la divinidad. Conocer los números que están plasmados en sus obras para lograr decodificaciones y restauraciones correctas. c) Desarrollo temático. Para la exposición temática se presentan los fundamentos teóricos de la existencia de números de significado astronómico (NSA), de significado calendárico (NSC) y de significado geográfico (NSG), y su propuesta de clasificación.

•

Se repasan los procedimientos del análisis geométrico de primer orden y se detallan los procedimientos para el análisis geométrico de segundo orden. Se presenta un análisis del procedimiento geométrico e iconográfico en la decodificación del simbolismo de las piezas estudiadas. Se exponen los aspectos de los procedimientos determinantes en la medición de piezas, en la conversión de unidades y en la determinación de los NSA y los NSC relativos a los NV. Se presentan planos de los monumentos estudiados, basados en los cánones de diseño de la geometría mesoamericana. Se presenta una propuesta sobre la forma de consagración de las obras mesoamericanas. Se presentan las conclusiones.

En M e s o a m é r i c a e x i s t i ó un sistema c o n principios de diseño g e o m é trico y p r o p o r cional en el que se empleaban abstracciones numéricas con significados astronómicos y simbólicos q u e , junto c o n l o s atributos plástic o s , iconográfic o s y epigráficos, expresaban su c o s m o v i s i ó n .

Los NSA y los NSC30 presentes en los volúmenes de las obras mesoamericanas conllevan tres elementos de conocimiento: • • •

La existencia de un sistema de proporciones geométricas. La existencia de NV con NP. La relación de dichos números con los ciclos astronómicos y calendáricos.

En las características de los NSA y sus relaciones de multiplicidad, que sincronizan y vinculan intervalos astronómicos cíclicos con el 260 como factor común, es donde reside el carácter sacro que se vislumbra en esta obra. Se tendrá que ir más allá de los elementos que tienen un carácter matemático o geométrico, no por ello menos importantes, que junto con los NV permiten asociar 29 Heinz Dieterich los intervalos de los ciclos astronómicos con Stephan, Nueva guía los calendáricos. para la investigación científica, Editorial Por el momento, dado que el número de Ariel, México, 2003, piezas analizado no es suficiente para afirp. 119. 30 marlo, es imposible asegurar que todas las Para la explicación de los números con sigobras de arte mesoamericano fuesen creanificado astronómico das reflejando el orden cósmico. La investi(NSA) y los números gación apunta a una respuesta positiva, que, con significado calende ser así, colocaría las creaciones y la civiIización mesoamericanas dárico (NSC) véase elcomo exponen capítulo II.

I. Metodología

23

de un arte representativo del orden armónico celeste, en una nueva modalidad en la forma en que lograron medir, abstraer y plasmar los ciclos astronómicos en sincronía con el tonalpohualli, valiéndose de la numerología astronómica que reflejan sus creaciones.

2. Fase descriptiva a) Los estudios descriptivos. Sirvieron para analizar el fenómeno y sus componentes. Consistieron en la medición, determinación de proporciones y hallazgo de constantes numéricas en las figuras geométricas envolventes virtuales de las obras, con el fin de encontrar sus números volumétricos en unidades a la manera indígena. 31 En esta fase se establecieron e identificaron las características de los objetos de estudio y las relaciones entre ellas que permitieron establecer las hipótesis sobre las que gira toda la investigación.

31

Para la comprensión de las unidades a la manera indígena véase Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit., pp. 101-120. 32 Las medidas de las esculturas restantes fueron tomadas de las publicaciones que hizo el INAH con motivo del aniversario 40 de haber abierto sus puertas el Museo Nacional de Antropología; las medidas de las cabezas colosales fueron tomadas de publicaciones totalmente ajenas, principalmente de la revista Arqueología Mexicana. La obtención de las medidas correctas de las pirámides fue uno de los objetivos de esta investigación.

24

La fase descriptiva se inició con el estudio de obras mesoamericanas de pequeño formato, particularmente con figuras de la cultura olmeca talladas en piedra, cuyas medidas fueron tomadas del libro de Michael D. Coe, The Olmec World /Ritual and Rulership, publicado por The Museum of Fine Arts, 1996. En este libro el autor presenta la fotografía de cada pieza, su descripción e interpretación basada en la iconografía, procedencia, fechamiento, material empleado y medidas en sistema métrico decimal. Se seleccionaron al azar 34 figuras olmecas para proceder a un análisis geométrico-astronómico. El estudio se extendió posteriormente a 26 esculturas en arcilla o en piedra de diversas culturas y horizontes temporales de Mesoamérica. 32 Mediante los resultados se pudo vislumbrar que se estaba en el camino correcto, por lo que se decidió extender aún más la investigación a las 17 cabezas colosales olmecas conocidas hasta la fecha y determinar si también en ellas se cumplían las pautas numéricas encontradas en el análisis geométrico de las esculturas de pequeño formato.


En todas las figuras geométricas envolventes virtuales de las piezas estudiadas de pequeño formato se encontró ciertas proporciones que conllevaban números volumétricos relacionados con ciclos astronómicos y con el tonalpohualli. Posteriormente se realizó un análisis de la primera página del Códice Fejérváry-Mayer, representación plana de un monumento solar, que dio interesantes pautas para la revisión y decodificación de los resultados obtenidos en el estudio final de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, así como en El Castillo de Chichén Itzá. Una vez transformadas las medidas de las obras (dadas en sistema métrico decimal o en cualquier otro sistema de medición) en unidades a la manera indígena, y obtenido el volumen de sus envolventes virtuales, se encontró los NSA y NSC que tenían el 260 como factor de manera directa o indirecta. Si así sucedía en las esculturas del arte olmeca y en las diversas obras de pequeño y gran formatos pertenecientes a las culturas y horizontes estudiados, ¿era esto también cierto para los volúmenes de las obras arquitectónicas? Finalmente se decidió ampliar más la investigación y comenzar con el estudio de las pirámides. Para ello se revisó la bibliografía acerca de las medidas, pendientes de los taludes y número de cuerpos que han propuesto los investigadores para las pirámides mexicanas a partir del siglo Xvi. Se encontró que para un mismo monumento las medidas dadas eran tan diversas como estudiosos del tema ha habido. Esto se aplica particularmente para la Pirámide del Sol, donde existen pocos vestigios originales que permitan una medición correcta. Entonces, al no tener seguridad de que los datos obtenidos fueran de acuerdo con las medidas y pendientes originales de los taludes de los monumentos, el objeto de investigación cambió a encontrar primeramente las dimensiones y pendientes correctas de los mismos, para posteriormente encontrar el significado de los números volumétricos que arrojasen sus formas envolventes virtuales, al igual que en los volúmenes de sus

cuerpos reales y sagrarios hipotéticos. Éste fue un problema difícil de resolver, por no haber tenido acceso (no incluyendo la bibliografía mencionada) 33 más que a algunos planos del arqueólogo Salazar de la Pirámide de la Luna. Las medidas in situ no fueron accesibles. 34 No obstante, se encontró un sistema que permitió, mediante proporciones geométricas y números astronómicos, obtener las dimensiones correctas de los monumentos, mismas que deberían estar dentro de los parámetros que marcan las medidas encontradas en la bibliografía y planos accesibles. En la fase descriptiva se usaron las medidas y ángulos de las pendientes de los taludes de los cuerpos ya propuestos por los estudiosos, que en ningún caso arrojaron en sus volúmenes NSA o NSC ni estuvieron relacionados con el tonalpohualli, por lo que se pensó que las medidas correctas deberían ser otras, así como otras también las pendientes de los taludes y aun el número de cuerpos de los monumentos, como de hecho se confirmó al final de la investigación. El sistema que permitió, mediante proporciones geométricas y números astronómicos, obtener las dimensiones correctas de los monumentos se inició calculando los números volumétricos (NV) de cada uno de los cuerpos de las pirámides empleando las medidas que se obtuvieron, como ya se dijo, en la bibliografía y planos accesibles, debidamente transformadas en unidades a la manera indígena. Dado que con esas medidas no se obtuvieron números volumétricos que fuesen NSA o NSC, se tuvieron que proponer otras medidas teóricas y realizar con ellas diversos ejercicios hasta encontrar, mediante el sistema de ensayo y error, aquellas que permitieran obtener números volumétricos que fuesen NSA o NSC. No obstante, las medidas teóricas que se emplearon en las dimensiones de los cuerpos o sus envolventes virtuales, según el caso, así como la determinación de las pendientes de los taludes y el número de cuerpos, deberían estar dentro de los parámetros que han marcado las diversas medidas propuestas por los estudiosos, que, además, deberían ser con-

gruentes con los postulados formulados durante la investigación y confirmados en los estudios de las esculturas olmecas y de otras culturas. [De acuerdo con Gordon L. Dankhe] describir es medir, por lo que en un estudio descriptivo se realizan mediciones de todos los cuestionamientos en forma independiente. 35 Una vez obtenidas las medidas de las pirámides, y dado que los estudios descriptivos pueden ofrecer la posibilidad de predicciones incipientes, se procedió a comprobarlas. El criterio para considerarlas correctas era que esas características deberían ser o estar muy próximas a los parámetros que comprendían las medidas máximas y mínimas que han sido propuestas por los investigadores y que, además, tuviesen significado astronómico o calendárico. b) Los estudios correlacionales. Por su importancia se detallan a continuación los postulados principales empleados en esta investigación, pues en ellos se apoya el presente trabajo. Los cinco primeros ya han sido examinados y demostrados en Geometría mesoamericana; 36 el resto forma parte de las hipótesis de comprobación que se demuestran a lo largo de este estudio. Todos estos postulados son una parte de los cánones de creación de las obras mesoamericanas, siendo básico su conocimiento para comprender el sistema de diseño usado en éstas. •

•

•

•

La unidad de medida (u, u) se encuentra en el ancho del marco que define los límites de algunas figuras planas que se encuentran enmarcadas. La unidad de medida (u, u) está en la diferencia de longitud entre los lados mayores y menores del rectángulo que define los límites de algunas figuras planas. La unidad de medida (u, u) se encuentra en el descuadre de la envolvente virtual de la pieza, si ésta se encuentra descuadrada. La unidad de medida (U, u) deberá caber un número exacto de veces en por

33

El libro más consultado sobre las medidas de la Pirámide del Sol fue la compilación de Eduardo Matos, La Pirámide del Sol / Teotihuacan / Antología, INAH,

México, 1995. Estando en Teotihuacan sobre la Pirámide del Sol se trató de tomar la medida de algunos peraltes de los escalones. Al tratar de hacerlo, un guardia lo impidió, alegando que estaba prohibido tomar medidas porque se podrían deteriorar las piedras al contacto con el metal, pero sin fijarse que encima de las piedras suben y bajan multitud de turistas. Se llegó a la absurda conclusión de que las suelas de los zapatos de los turistas misteriosamente no erosionan las piedras, sino solamente los metros de los investigadores. 35 Gordon L. Dankhe, "Investigación y comunicación", en C. Fernández Collado y Gordon L. Dankhe (comps. ), La comunicación humana: ciencia social, McGrawHill, México, 1986, pp. 385-454. 36 Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit. 34

I. Metodología

25

lo menos uno de los lados del rectángulo que puede encuadrar a la figura. •

•

•

Las bases de las pirámides mexicanas no son cuadradas sino rectangulares (rectángulo Σ), dejando así constancia de la unidad de medida empleada en la diferencia de sus lados. 38

•

Varios sistemas de proporción se encuentran en las obras mesoamericanas: uno de proporciones basadas en múltiplos de una unidad dada; otro, fincado en el sistema de la divina proporción o de proporción áurea a partir de esa unidad; otro más basado en el abatimiento de la diagonal del cuadrado y de las diagonales de los rectángulos derivados del mismo; y, finalmente, un sistema de proporciones obtenidas de diversas combinaciones de rectángulos, siempre dentro de los cánones que marca la geometría dinámica mesoamericana. 39 Derivaron del círculo, de acuerdo con la geometría dinámica mesoamericana, todas las figuras que conforman y determinan el arte y la arquitectura. Dividieron el círculo en 360°. Sus obras no eran proporcionadas al azar. Tenían un sistema de dimensionamiento del diseño que se atestigua desde los olmecas en adelante. En sus diseños se encuentran plasmados números racionales, irracionales y las constantes φ y π. En Mesoamérica sus valores se encuentran entre 1. 6 y 1. 625, y entre 3 y 3. 25, respectivamente.

•

• •

•

26

La unidad de medida (u, u) deberá caber un número exacto de veces en las diferencias de la longitud de los lados del prisma recto rectángulo (PRR) envolvente física o virtual de la figura por estudiar. Los cuerpos que forman las pirámides mexicanas estudiadas en este libro no son piramidales, sino que tienen forma de prisma truncado en forma de artesa (chutong). En el lomo o arista del chumeng (sólido geométrico del que se deriva el chutong) se encuentra contenida la unidad de medida un número exacto de veces. 37


•

Conocieron y aplicaron desde la cultura olmeca la serie de Fibonacci y el número de oro, φ, cuyo valor real es 1. 618... • Desarrollaron la geometría y las matemáticas al tratar de comprender el mundo que los rodeaba y su origen. • Asociaron figuras geométricas con conceptos astronómicos previamente ligados a la divinidad, un caso poco común -tal vez inexistente- en otras culturas. • Crearon símbolos que expresan conceptos religioso-astronómicos a partir de figuras geométricas. En los estudios correlacionales se vincularon diversos fenómenos entre sí para obtener una relación entre dos o más variables. Los procedimientos citados en esta investigación son una herramienta en la búsqueda de información, aún no decodificada, que puede ampliar las perspectivas de entendimiento y conocimiento de las obras mesoamericanas desde diversos ángulos de las ciencias. Los estudios correlacionales se distinguen de los descriptivos principalmente en que, mientras estos últimos se centran en medir con precisión las variables individuales (varias de las cuales se pueden medir con independencia en una sola investigación), los correlacionales vinculan entre sí estas variables. Los estudios consistieron en la correlación entre volúmenes y constantes numéricas que sientan precedentes de aplicación general en la obra mesoamericana; posteriormente, en la correlación de las constantes numéricas dentro de las ruedas de números (ver apéndice 2, subtítulo "Ruedas de números secuenciales... "); y, finalmente, la determinación de un sistema de dimensionamiento de la arquitectura mesoamericana, por lo menos de las pirámides estudiadas. Esta investigación incluye tanto correlaciones con el tonalpohualli como con ciclos planetarios, solares y lunares que fueron utilizados por los astrónomos mesoamericanos y expresados en su arte. En los estudios

correlacionales se vincularon las dimensiones de los monumentos con numerología astronómica y con el tonalpohualli, requisito sine qua non para considerarlas correctas. Esto no se obtuvo mientras se calculó los volúmenes de las pirámides estudiadas como verdaderas pirámides. Sus números volumétricos no coincidían con los modelos numéricos encontrados en las figuras de pequeño y mediano formatos. No fue sino hasta que se consideraron como secciones de prisma y no como pirámides que se logró el resultado deseado, lo que llevó a la conclusión de que la forma de los cuerpos que configuran a esos monumentos no era de pirámide truncada sino de prisma truncado (artesa o chutong). 41 Una vez propuestas nuevas formas y medidas, otros ángulos para las pendientes de los taludes y otro número de cuerpos para algunos monumentos, se procedió a comprobar, mediante el sistema de ensayo y error, que dichos volúmenes tuviesen significado astronómico y que el 260 fuese uno de sus factores o bien sus múltiplos o submúltiplos, de manera directa o indirecta. 42 Si con los números propuestos no se obtenían los resultados deseados, se tendrían que buscar otros, hasta encontrar los esquemas numéricos que arrojasen números de ciclos astronómicos o de sus factores, tanto solares como planetarios y lunares, y en coincidencia con el tonalpohualli. En la heurística este proceso de investigación y de generación de nuevos conocimientos se conoce como abducción y, aunque es diferente de los procesos inductivos y deductivos, no es por ello menos válido. El proceso de abducción difiere de los procesos inductivos y deductivos en que la inducción es un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una conclusión general, por lo que sólo se limita a comprobar planteamientos, mientras que la deducción deriva conocimiento de aquel ya validado. En las etapas de demostración de las hipótesis se recurrió posteriormente a ambos procesos.

las hipótesis planteadas señalaron un camino por seguir, tal vez el más probable entre otros posibles. Finalmente las hipótesis fueron comprobadas.

3. Fase explicativa En esta fase se encontraron las causas de ciertas manifestaciones artísticas y su posible explicación, así como los cánones de diseño y su aplicación en las obras mesoamericanas. Las hipótesis planteadas están constituidas con diversas variables y los resultados pueden configurar un nuevo aporte al marco teórico. Los estudios explicativos consistieron en la búsqueda de un sistema de diseño basado en el empleo de números que expresaran relaciones calendáricas y astronómicas determinantes del código de la obra mesoamericana. Los registros numéricos en la cerámica de Tehuacán viejo (Calcahualco), así como las piedras calendáricas de diversas culturas, son los vestigios y prueba fehaciente de la existencia de la numerología astronómica mesoamericana. Al encontrarse los NP en los volúmenes de los monumentos y figuras estudiados conforme a los modelos de diseño propuestos, quedaron demostradas las hipótesis. Es respecto a los NP y sus relaciones de multiplicidad en donde residen las mayores incógnitas de investigación. El proporcionamiento con base en los NP apunta a la posible existencia de un sistema de diseño mesoamericano que confirma una abstracción creativa, según la cual sus obras tendrían principios tales que resultaran cósmicamente armónicas a través de números que corresponden al orden celeste. Esta posibilidad colocaría a las creaciones y a la civiIización mesoamericanas como exponentes de un arte representativo del orden armónico celeste, en una nueva modalidad por la forma en que plasmaron los ciclos en las dimensiones y proporciones de sus obras.

Asociaron figuras

geométricas con conceptos a s t r o nómicos previamente ligados a la divinidad, un caso poco común - t a l vez inexistente— en o t r a s culturas.

41

Ver "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas", subcapítulo "Chumeng y chutong/Su diferencia con una pirámide y con una pirámide truncada". 42 Es de manera directa cuando el NV es exactamente divisible entre 260; es indirecta cuando el NV tiene que multiplicarse por otro número para que el resultado sea divisible exactamente entre 260.

Para efectos de las observaciones realizadas y de las relaciones que se encontraron,

I. Metodología

27

II. De la numerología astronómica en la arquitectura y el arte

La numerología astronómica

E

n la general acepción esotérica occidental se entiende por numerología la actividad adivinatoria mediante la cual las letras, traducidas a números, pretenden revelar el futuro, siendo sus fines totalmente augurales. No así en Mesoamérica, donde la numerología se refiere a un conjunto de números que tienen significación astronómica, calendárica o geográfica, y que se dividió en dos vertientes: una, la astronómica, de la que aquí se hablará; y otra, la adivinatoria, un interesantísimo tema de futuras investigaciones pero que no es el de ésta. La numerología en Mesoamérica fue desarrollada ex profeso para los fines mencionados y llevada hasta sus últimas consecuencias, de manera que si se quiere comprender a profundidad el pensamiento de los pueblos mesoamericanos no se puede pasar por alto su estudio. La numerología astronómica mesoamericana se vale de algoritmos que conectan diversos ciclos astronómicos entre sí y entre ellos mismos y el calendario sagrado o tonalpohualli. Este lapso, sus múltiplos y submúltiplos, y los números de los ciclos astronómicos, sus múltiplos y submúltiplos, constituyen el corpus de la numerología astronómica. Sus bases se encuentran en la aritmética, la astronomía y la geometría. Es fácil confundir la numerología astronómica mesoamericana con la astrologia, por ser los mismos números los utilizados en ambas. Sin embargo, la diferencia es clara: mientras que el fin de la numerología astronómica mesoamericana es la expresión de las relaciones numéricas entre los números que representan los periodos celestes, los ciclos calendáricos y el calendario sagrado, el fin de la astrologia es fundamentalmente adivinatorio. Sin embargo, se puede decir que en Mesoamérica la astrologia tiene su fundamento en la numerología astronómica.

28


Uno de los fines de la numerología en Mesoamérica era relacionar, enlazar, engranar o hacer coincidir los ciclos astronómicos solares, planetarios o lunares entre estos mismos y con el tonalpohualli. Sir Eric Thompson, en Un comentario al Códice de Dresde, dice que era una verdadera obsesión de los sacerdotes mayas (y aquí se agrega que de todas las etnias de Mesoamérica) hacer coincidir los ciclos celestes con los 260 días del tonalpohualli (o sus múltiplos) y que el lapso que les interesaba podría ser multiplicado por cualquier otro hasta lograr su coincidencia. Por lo anterior (como por la ronda de 13 katunes), es claro que el sacerdote maya trataba de poner todas las actividades humanas y celestiales en relación con el almanaque sagrado, multiplicando el lapso que les interesaba hasta que la cifra también fuera un múltiplo de 260. En Mesoamérica la numerología astronómica se presentó como una expresión numérica de las verdades matemáticas, geométricas y astronómicas que constituían la cosmovisión de sus sabios. Valiéndose de ella, los mesoamericanos crearon un sistema particular de diseño que les permitió plasmar, en forma esotérica 2 en la arquitectura, escultura, cerámica y arte en general, los números que de generación en generación, de manera ininterrumpida desde los olmecas 3 hasta la Conquista, quedaron registrados y transmitidos por medio del diseño geométrico y matemático. Estos números revelan su cosmovisión y expresan por sí mismos o a través de proporciones un orden cósmico armónico, astronómico-matemático, del que su arte es una expresión concreta. Parafraseando a Thompson, se puede decir que es verdaderamente un extraño camino el recorrido por estos pueblos, pues concebir ciertas pautas de pensamiento y la sujeción del arte a fórmulas para preservar y transmitir conocimientos astronómicos a través de sus creaciones es un hecho sorprendente y tal vez único.

Sacralización de los números. Lo sagrado es un concepto que permite a un grupo o determinada sociedad creer en una separación binaria, espiritual o moral, entre los diferentes individuos que la componen, la definen o la representan, como es lo sagrado y lo profano. A lo largo de la historia todas las sociedades y religiones han participado de la noción de lo santo y lo sagrado en forma abstracta. Mas este concepto quedaba en Mesoamérica concretado en personas u objetos al atribuírseles características que, hasta ese momento, eran exclusivas de la divinidad. Sacralizar un objeto consiste en imbuirle ciertas propiedades características de la divinidad, a través de un acto de liturgia o de magia, mediante el ritual correspondiente. Los pueblos mesoamericanos sacralizaban sus obras de arte al darles como medidas de sus envolventes virtuales áreas y volúmenes ciertos números pertenecientes a los ciclos de los astros, la morada de sus dioses. Los números de superficie y los números volumétricos (NV en adelante) de los cuerpos geométricos, envolventes virtuales de sus creaciones de todo género, fueron asociados con los númenes que consideraban regían a cada planeta, la Luna y el Sol, uniendo de esta manera lo numérico a lo divino. Al incluir en la geometría subyacente en los diseños de la cerámica, de la escultura y de los monumentos estos números, quedaban sus creaciones automáticamente sacralizadas, adquiriendo así una de las principales características divinas: el tiempo que duran los distintos ciclos astronómicos o calendáricos traducido a los números sagrados que rigen la geometría del diseño. Los NV de las envolventes virtuales de las esculturas de pequeño formato, de las cabezas colosales o de las pirámides tienen implícitos registros de los ciclos astronómicos que indican, además de su duración, su relación con el tonalpohualli o calendario adivinatorio de 260 días. Por medio de ellos, de la proporción, de las formas y del color, se sacralizaban los espacios y objetos rituales.

Uno de los fines de la numerología en Mesoamérica era relacionar, enlazar, engranar o hacer coincidir los ciclos astronómicos solares, planetarios o lunares entre estos mismos y con el tonalpohualli.

1

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde / Libro de jeroglifos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 69. 2 El término esotérico se toma en su acepción de no evidente, oculto. 3 La escultura olmeca abstracta está dirigida a expresar conceptos astronómicos, matemáticos y numerológicos.

II. De la n u m e r o l o g í a a s t r o n ó m i c a en la a r q u i t e c t u r a y el arte

29

Además de la transmisión de conocimientos, el fin último de las piezas y monumentos e r a honr a r a las deidades, si bien los fines próximos pudieron ser también la celebración de algún evento a s t r o n ó mico, histórico, etcétera.

Al incorporar en la iconografía, en la geometría y en la matemática los números relacionados con los diversos ciclos que creían regidos por los dioses, se infiere que, además de la transmisión de conocimientos, el fin último de las piezas y monumentos era honrar a las deidades, si bien los fines próximos pudieron ser también la celebración de algún evento astronómico, histórico, etcétera. De esta original manera de expresión se valieron para dejar plasmada la frecuencia o duración del más relevante evento biológico -el lapso de gestación del ser humano, de aproximadamente 260 d í a s - , de los ciclos astronómicos, de las relaciones entre los mismos y entre éstos y algunos lapsos calendáricos, como las trecenas, las veintenas y los ciclos de 360 y 364 días, entre otros. Sin duda el número más importante del que dejaron constancia fue el del periodo de 260 días del ciclo del tonalpohualli, que rigió la vida de los pueblos mesoamericanos durante siglos como calendario adivinatorio. Para los tlamatinime o sabios-sacerdotes fue vital encontrar la conexión que mediante los números ligara el destino de los hombres con los eventos de la naturaleza. Lo lograron creando el calendario adivinatorio de 260 días, que tiene como factores, además del importantísimo 52 (en años, el medio siglo mesoamericano), el 20 y el 13, donde el 20 era el número base de sus cuen-

4

El único ciclo sinódico planetario observable a simple vista que no contiene ni el 20 ni el 13 como factores es el de Júpiter, de 399 días. Algunos autores piensan que este ciclo fue ajustado a 400 días, que sí contiene el 20. 5 Serge Gruzinsky, La guerra de las imágenes / De Cristóbal Colón a Blade Runner, Fondo de Cultura Económica, México, 1994. 6 Zelia Nuttall, The Fundamental Principles of Old and New CiviIizations, Archaeological and Ethnological Papers of the Peabody Museum, Universidad de Harvard, 1901. La gestación humana es de aproximadamente nueve meses de 28 días ± 8 días: (9 x 28) + 8 = 260. 7 Serge Gruzinsky, op. cit. Ixiptla es la persona u objeto ya sacralizado que conecta y logra una relación de semejanza entre el cielo y la Tierra. 8 El tonalpohualli era llamado tzolkin por los mayas y piyé por los zapotecas. El ciclo de la vida comienza con la gestación del individuo, por lo que el ciclo de la vida del humano, que dura aproximadamente 260 días, se contaba a partir de su concepción. El primer ciclo de vida de los individuos se cerraba con el nacimiento.

30

Margarita

Martínez

del Sobral

tas y factor del ciclo calendárico solar anual de 360 días, y el 13, factor de la mayoría de los ciclos sinódicos planetarios visibles a simple vista. 4 Fueron los sabios-sacerdotes quienes sacralizaban las creaciones por medio de la geometría sagrada y el número, y los que poseían el conocimiento obtenido a través de la observación de los astros; eran ellos también los que vinculaban a los hombres y los dioses, los que lograban una relación de semejanza, ixiptla, 5 entre el cielo y la Tierra, los que conocían e interpretaban los eventos del universo, dando al tiempo una medida espacial -o si se quiere daban al espacio una medida temporal- al registrar las pautas y ritmos que gobiernan a los fenómenos celestes. El sentido primordial de su arte fue el registro e incorporación del número divino en sus obras para sacralizarlas y así honrar a sus dioses. La relación de eventos astronómicos con el lapso de la gestación humana 6 implica la presencia de los ciclos astronómicos en coincidencia con el 260 y como factores en los volúmenes de las figuras envolventes virtuales de sus obras. De esta manera los sacerdotes ligaban la vida del hombre con los objetos creados, el calendario augural y los ciclos celestes, confiriendo a sí mismos o a sus creaciones la función de ixiptla. 1 De acuerdo con el pensamiento indígena, el tiempo se contaba en ciclos astrales relacionados entre sí y el ciclo de 260 días, 8 lo que satisfizo la urgencia de vincular la vida del hombre con la divinidad. Ésta fue la razón de la indispensable coincidencia del ciclo de 260 días con los periodos celestes. En las culturas de la Antigüedad no solamente fue el pueblo mesoamericano el que consideró el número como divino; los griegos de la escuela pitagórica tuvieron un concepto similar. Un caso significativo es el de la divinización del número, y su empleo en la arquitectura se encuentra en la numerología de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, tal vez el monumento arqueológico más importante de Mesoamérica, que seguramente funcionó dentro del centro ceremonial como un

gigantesco tonalámatl 9 Este monumento tiene en el volumen de cada uno de sus cuerpos y en su totalidad como factor el indispensable 260. 10

De las constantes de diseño; de los números irracionales y los rectángulos básicos Algunos investigadores se han dedicado al estudio del origen y desarrollo de la cultura maya basándose en el Chilam Balam o en el Diccionario calepino de Motul. Otros, como William Goodman, Silvanus Morley y Eric S. Thompson, estudiaron los códices mayas, particularmente el Códice de Dresde. Entre los sabios mexicanos destaca Juan Martínez Hernández, "quien formuló tablas que demuestran las coincidencias de los inicios y finales de los katunes con fechas equinocciales y estableció la fórmula ahau para la correlación del calendario juliano con el maya, que permitió coordinar los cálculos de Gates y de Thompson para llegar a la fórmula GMT, Gates-Martinez-Thompson, que es la más aceptada". 11 Entre otros muchos, no se pueden dejar de mencionar los trabajos de Héctor Calderón, Guillermo Garcés Contreras y José Díaz Bolio. Un lugar especial merecen las investigaciones de Paulino Romero Conde, en cuanto al sistema matemático maya para efectuar operaciones matemáticas valiéndose de matrices. En geometría hay números llamados constantes, obtenidos de la proporción entre dos elementos de una misma figura, tales como π = 3. 1416 (que es la proporción entre el diámetro y la circunferencia del mismo círculo) o φ = 1. 618... o número de oro (cociente resultado de la división de los segmentos resultantes de la partición de una recta en media y extrema razón), que los sabios mesoamericanos conocían con gran aproximación y aplicaban felizmente en sus diseños, según lo demuestran varios objetos cuyo volumen expresa números con significado astronómico (NSA), números con significado calendárico (NSC) o números con significado geográfico (NSG).

También existen números irracionales que fueron empleados como constantes de diseño, que corresponden al módulo (M) 1 2 de ciertos rectángulos máximos que pueden ser inscritos en un círculo, como los generados por la geometría dinámica y que son las bases de las pirámides mexicanas (ver figuras II. 1 y II. 2, "La generación de los rectángulos Σ a partir del círculo").

Tonalpohualli es el

nombre del periodo de 260 días que define al calendario sagrado. El tonalámatl es el libro (o el monumento, como la Pirámide del Sol en Teotihuacan) donde quedó escrito ese calendario sagrado.

Figura 11. 1 La generación de la base de la Pirámide del Sol (rectángulos Σ 26 u x 27 u) a partir del círculo

Trazo de la base de la Pirámide del Sol

División del diámetro del círculo en 38 unidades. Entre los puntos 6 y 32 se encuentra el lado menor de la base de la Pirámide del Sol. El lado mayor se encuentra al pasar perpendiculares por los puntos 6 y 32 que corten el círculo.

10

Ver el capítulo x de este libro. La referencia más antigua que he podido encontrar del empleo del almanaque de 260 días se encuentra en la cultura olmeca, en los volúmenes de las cabezas colosales (1200-400 a. C). Aveni menciona como primer ejemplo de calendario de 260 días el encontrado en las ruinas de San José Mogote, cercanas a Monte Albán, de la cultura olmeca (600 a. C). Actualmente existe la teoría de que este calendario ya era utilizado en Izapa, población de la cultura olmeca. Al no saber qué nombre daban los olmecas a este calendario, he utilizado el nombre náhuatl de tonalpohualli al referirme al lapso de 260 días que incluye el almanaque y el nombre de tonalámatl a los escritos referentes al tonalpohualli y dibujados en papel fabricado con la corteza del amate, de donde toma su nombre. 11 Paulino Romero Conde, Numerología matemática maya, Centro de Estudios del Mundo Maya, Mérida, 2004, p. 2. 12 El módulo (M) de un rectángulo es el cociente obtenido de la división de su lado mayor entre el menor, al que se le da, por convención, el valor de 1. Por ejemplo, el M del rectángulo áureo de base = 1 y altura = 1. 618, su módulo M = 1. 618.


31

Figura 11. 2. La generación de los rectángulos Σ a partir del círculo

Geometría dinámica: Generación del lado menor y del lado mayor de la base de las pirámides a partir del círculo

Otros fueron los derivados del cuadrado (que a su vez deriva del círculo) y su diagonal; entre ellos el rectángulo M 1. 414, el rectángulo M 1. 732..., el rectángulo Σ 7 x 8 M 1. 142... y todos los llamados rec

tángulos Σ, además del rectángulo φ 2 M 2. 618... o el rectángulo K, llamado también Trazo del basamento de un monumento solar en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer

φ M 1. 272..., entre otros.

13

Otros más son

astronómicos, como el año trópico de 365. 2422 días, el año de eclipses de 346. 6 días, el medio año de eclipses de 173. 33 días, el sinódico de la Luna de 29. 5308 días, el dracónico lunar de 27. 2 días y el sidéreo lunar de 27. 3 días. (Ver figura II. 3, "La generación de rectángulos básicos y de los rectángulos Σ a partir del cuadrado y su diagonal". )

13

Trazo de la base de la pirámide de El Castillo

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000, p. 63.

Figura 11. 3. La generación de rectángulos básicos y de los rectángulos Σ a partir del cuadrado y su diagonal

La generación de los rectángulos

Trazo de los rectángulos Σ a partir del cuadrado ABCD; se

a partir

trata de los rectángulos B'GEO y OEF'C

del cuadrado y su diagonal

La generación del rectángulo K de M = 1. 272 a partir

El rectángulo Σ 7 x 8, B'GEO y su suplementario, el rectángulo

del rectángulo φ, y de éste a

Σ 8 x 9, OEFC', forman un doble cuadrado; al Inscribir en el

partir del cuadrado y su dia-

doble cuadrado un ángulo recto (B'EC), se pueden obtener

gonal; AKLD = rectángulo

Rectángulo K, AIJD

Rectángulo φ, AEFD

dichos rectángulos

La presente investigación indica que los matemáticos mesoamericanos, a pesar de no haber dejado constancia escrita de ellos, sí utilizaban en sus cálculos números fraccionarios para hacer coincidir sus ruedas calendáricas con los ciclos expresados mediante números no enteros, como el sinódico lunar de 29. S308... días, con aproximaciones al año trópico, 14 o con números inconmensurables, tales como φ, , que se pueden determinar -y que tal vez así fueron determinados en Mesoamérica- con trazos geométricos. Uno es el caso de la exacta partición en media y extrema razón de una recta en el punto de oro (φ); otro, la creación de los rectángulos de módulos a través de la geometría dinámica aplicada al cuadrado y su diagonal. Prueba de esto es el empleo de los diversos rectángulos cuyo módulo es un número inconmensurable, que enmarca o puede enmarcar a sus obras bi o tridimensionales. 15 En la Tierra existieron puntos fijos de observación y marcadores naturales o artificiales que sirvieron para la observación de los astros visibles a simple vista en la astronomía de horizonte y para el conteo de los ciclos celestes. 16 Esto hizo posible la determinación de los ciclos sinódicos y sidéreos de los planetas y de la Luna. En el cielo tomaron como referencia el norte astronómico y en la Tierra se determinaron puntos fijos para calcular con exactitud los ciclos de los planetas observables a simple vista. Entre los puntos determinados están el norte astronómico (señalado actualmente por la estrella Polar), los puntos de los momentos de los solsticios y de los equinoccios, los pasos cenitales del Sol, las posiciones astrales en diversos tiempos del año, etcétera. De acuerdo con el número fundamental de la cuenta calendárica del ciclo de cada planeta, inicialmente y de manera tentativa, los números en esta investigación se han clasificado dentro de las series o ruedas de números que se presentan en el apéndice 2 del presente libro como del Sol, Luna, Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter o Saturno. Al final del estudio se comprobó

que el 3 es número solar17 y que, además, es un símbolo ritual y sacramental muy antiguo: las tres piedras que contenían el fuego del hogar sobre las que se colocaba la olla o el comal. También son tres las estrellas en el Cinturón de Orion; la que se encuentra en el centro, Zeta (Monis, 18 es la que durante la noche señala en dirección opuesta 180° la posición del Sol en el inframundo. De acuerdo con Zelia Nuttall, los mexicanos habían concebido la idea de dos soles, uno como el Sol joven y luminoso (llamado aquí Sol del supramundo) y otro como el Sol viejo o negro, que no alumbra (llamado aquí Sol del inframundo). 19 El 4 y sus múltiplos pertenecen a los cuatro rumbos del universo y a las consiguientes divisiones de la Tierra. El 5 es número de Venus, pues son cinco sus periodos sinódicos necesarios para igualar a los ocho ciclos solares que generarán una conjunción entre el Sol y Venus (8 x 365 días = 5 x 584 días = 2 920 días). De estos ciclos se puede decir que están en relación de proporción áurea, de la misma manera en que lo son el 8 con el 5 por ser dos números consecutivos de la serie de Fibonacci (Margarita Martínez del Sobral, 2000). El 7 y sus múltiplos son lunares, ya que son 28 las lunas visibles en un ciclo, 20 y 13 x 28 = 364, el número de Tláloc, numen emparentado con la Luna 21 y número de días

14

Para la duración del año trópico de 365. 2422 días, ver Patrick Moore, A-Z of Astronomy, W. W. Norton & Company, Nueva York-Londres, 1987, p. 233. 15 Margarita Martínez del Sobral, op. cit., pp. 35-57. 16 Fernando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán viejo, edición del autor, Tehuacán, 2004, pp. 75-83; y Jesús Galindo Trejo, "Observación celeste en el pensamiento prehispánico", en Arqueología Mexicana, vol. viII, núm. 47, enero-febrero de 2001. 17 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 111: "3, dios del Sol; castigador divino o tormenta de rayos destructora". 18 Esa estrella está sobre la eclíptica. El Sol del inframundo se encuentra diametralmente opuesto a ella, así que al mirarla los astrónomos conocen la posición del Sol en el oscuro cielo superior durante la noche. 19 Zelia Nuttall, op. cit., p. 13 (o 449, numeración antigua). 20 Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 86. 21 J. Eric S. Thompson, op. cit., pp. 196-198. "En vista de la importancia del año de 364 días en los almanaques siguientes, es interesante señalar que las dos posiciones de 9 Kan 12 Kayab distan un múltiplo de siete ruedas calendáricas, siendo siete ruedas calendáricas el mínimo común múltiplo de 365, 360 y 260. "

II. De la n u m e r o l o g í a a s t r o n ó m i c a en la arquitectura y el arte

33

del año del inframundo. El 7 pertenece también a ese ámbito (4 x 7 x 13 = 364). El 12 y su cuadrado (144) son solares, por ser el 12 factor de 360, que es un NSC solar; el 144 corresponde a la milésima parte de un baktún, también número solar entre los mayas. El 13 es factor de los ciclos sinódicos de todos los planetas visibles a simple vista, con excepción de Júpiter (399), 22 lo que lo hace número del sistema solar y del tonalpohuaüi, del que también es factor. El 17 tiene significado lunar en su relación con los eclipses: 16 días x 17 = 272 días, siendo este número igual a 10 veces el ciclo dracónico de la Luna (27. 2 días x 10 = 272 días).

22

Ibid., p. 58. "Spinden (1942) demostró, para su propia satisfacción, que el cómputo largo que conducía al almanaque del 3 Lamat anterior trata, no de Marte, sino de Júpiter. " El 20 748, múltiplo de 399, equivale a 52 ciclos sinódicos de Júpiter (399 x 52 = 20 748), y 57 ciclos solares del inframundo (57 x 364 = 20 748) es también múltiplo de 3, 7, 13, 19, 21, 28, etcétera. Sin embargo, no lo es del 260 (número de días del tonalpohualli), aunque comparte con él el 13 como factor común. El mínimo común múltiplo (MCM) de 260 y 399 sería 103 740, número muy grande que engancha ya a Júpiter con el tonalpohuaüi, por lo que es probable que sí haya existido una rueda calendárica de ese planeta (20 748 x 5 = 103 740). 23 Anthony F. Aveni, op. cit., p. 86. 24 J. Eric S. Thompson, op. cit., pp. 196-198.

34

El 23 es lunar porque es un número funcional (NF) que funge como multiplicador para obtener el gran mínimo común múltiplo (MCM) lunar: 11 960 días (11 960 días = 2 x 23 x 260 días). También el 19 y el 27 son lunares. El primero corresponde a su ciclo metónico en años y el 27, a su ciclo dracónico lunar ajustado en días, o como factor del mínimo común múltiplo (MCM) 11 960 a través de otro de sus factores, el 405 (405 = 15 x 27). Aveni considera que el 28 es lunar: "Los indios del sureste estadounidense contaban las lunas visibles de un ciclo, de suerte que como cuenta lunar más importante aparece el número 28, no el 29 ni el 30". 23 Teniendo el 13 como días de la semana del tonalpohuaüi y el 28 como multiplicador, se obtienen 364 días, del año del Sol del inframundo, que tiene significado lunar calendárico (28 x 13 días = 364 días). El 364 aparece en el Códice de Dresde, en la sección que Thompson llamó "Tablas de multiplicar". 24 Algunos autores dicen que entre los mayas el 29 era considerado como lunar y empleado en sus cálculos por ser conmensurable y estar próximo al indeterminado 29. 5305, que es en días la duración del ciclo sinódico lunar, aunque posteriormente fuese necesario hacer las correcciones necesarias para no desfasar los calendarios. No obstante, el número 29 no aparece en el Códice de Dresde. El 29 es un posible núme-

Margarita Martínez

del Sobral

ro funcional (NF) que como multiplicador se relaciona directamente con el ciclo de Saturno de 377 días y con el de la Luna (29 x 13 días = 377). Existen evidencias de que los mayas emplearon el 29, el 29. 5 o el 30 como números lunares para lograr coincidencias de ciclos.

Simbolismo de las más comunes figuras geométricas que pueden ser posibles envolventes virtuales de las obras de arte mesoamericano El círculo. De todas las figuras geométricas existentes en la geometría dinámica, la figura más perfecta es la del círculo, proyección al plano de una esfera. De aquél se puede decir que contiene en sí y se derivan todas las figuras geométricas posibles, de la misma manera que el Creador contiene en sí toda su creación y derivan de él todos los seres. Es una figura de la que se puede decir que no tiene ni principio ni fin discernibles, característica que lo ha llevado dentro de muchas culturas a ser símbolo de Dios. Al intervenir su diámetro - q u e corresponde a la diagonal del máximo cuadrado que se puede inscribir en el círculo- se logra la primera división de la unidad. Simbólicamente corresponde al inicio del tiempo, el primer momento de la creación. En el círculo es la relación de la circunferencia con su diámetro la que genera una de las importantes constantes de la matemática: π = 3. 1415... Un círculo representa un ciclo o una unidad en la numeración escrita. Tal vez por ser circular la forma de los astros considerados como morada de los dioses y por simbolizar al dios creador, no podían los mesoamericanos servirse de él para fines prácticos; sin embargo, hay ciertas excepciones, como la forma circular de las vasijas de ofrenda y los malacates empleados en los telares. La rueda fue conocida desde la cultura olmeca, según puede verse en el Museo Nacional de Antropología de la ciudad de México, donde se encuentran silbatos que tienen ruedas y ejes. Estos objetos

servían para venerar a alguna deidad, tal vez a Ehécatl, el dios del viento, que silba y mueve las cosas al soplar, por lo que pensar que fueron juguetes para niños es desconocer la idiosincrasia del indígena prehispánico (Margarita Martínez del Sobral, 2000). Estos silbatos de ninguna manera rebajaron su sacralidad siendo juguetes. El círculo como símbolo astral en general y no solamente solar fue utilizado para diseñar ollas simbólicas de la Luna, algunas de ellas elaboradas con barro negro representativo de Tláloc, dios del inframundo, cuyo color es oscuro, o vasijas utilizadas para registrar números calendáricos y eventos astronómicos. 25

mayores que los otros dos en una unidad. El cuadrado, al girar 45° con sus vértices, puede definir un octágono y tiene su mismo simbolismo, al igual que todos los polígonos cuyo número de lados sea múltiplo de 4. El cuadrado y el octágono pueden simbolizar a la Tierra (8 x 45 = 360) y el pentágono, a Venus (584 x 5 = 365 x 8 = 2 920 = 116. 8 x 25). En la igualdad anterior se incluye también a Mercurio, ya que 2 920 / 25 = 116. 8, el número exacto promedio de los días de cinco ciclos sinódicos consecutivos.

Las ollas simbólicamente representan la matriz femenina, donde comienza la vida. Una media olla o media matriz en los códices de Mesoamérica es símbolo de la Luna. También lo es el rizo en forma de signo de interrogación (?), que simboliza el borde de la olla y que a su vez representa los labios de los genitales femeninos. La principal importancia del círculo es que contiene y de él derivan todas las figuras geométricas; entre ellas los rectángulos Σ, que son las bases de las pirámides estudiadas en esta investigación.

Son infinitos los rectángulos que se derivan del cuadrado mediante la diagonal, pero los principalmente utilizados por los mesoamericanos en la geometría subyacente en sus diseños fueron los rectángulos básicos. Emplearon con más frecuencia el rectángulo V2, el rectángulo V3, el rectángulo V4 (doble cuadrado) y el rectángulo V5, así como el rectángulo áureo o perfecto y sus derivados, tanto en proporción áurea ascendente como descendente. Los rectángulos básicos fueron utilizados en la geometría subyacente del diseño mesoamericano (Margarita Martínez del Sobral, 2000). (Véase la figura II. 3, "La generación de rectángulos básicos y de los rectángulos Σ a partir del cuadrado y su diagonal". )

El triángulo. En su modalidad de isósceles, y formando parte de una estrella de cinco puntas (pentagrama), el triángulo fue empleado en las pinturas de los códices para simbolizar a Venus. El cuadrado inscrito en un círculo para las culturas occidentales es símbolo de la Tierra (Robert Lawlord, Sacred Geometry, Thames & Hudson, 1982, pp. 2331), y probablemente también para las mesoamericanas. El cuadrado deriva directamente del círculo cuando dos de sus diámetros perpendiculares se convierten en las diagonales del cuadrado máximo que puede ser inscrito en él. El cuadrado fue poco utilizado en el diseño y, aunque aparentemente son muchas las figuras cuadradas dentro del arte mesoamericano, si se miden meticulosamente se puede observar que se trata en realidad de rectángulos Σ, que, por defini ción, tienen dos de sus lados paralelos

Los rectángulos Σ. Del cuadrado derivan los rectángulos Σ, importantísimos en el diseño mesoamericano. Los rectángulos Σ 2 6 se encuentran, además de en otros muchos diseños, en las bases de las tres pirámides de Teotihuacan y de El Castillo, en Chichén Itzá, así como en el formato de la primera página del Códice Fejérváry-Mayer y en la planta del basamento trapezoidal allí representado. La generación de cada base deriva del círculo y sus dimensiones - p o r lo menos en las bases de las pirámides- se pueden encontrar en la partición del diámetro del círculo en un número exacto de unidades a la manera indígena. En las figuras planas del arte mesoamericano se observa que la unidad de medida se encuentra en la diferencia de longitud de los lados de los rectángulos Σ, que pueden ser sus envolventes reales o virtuales; de ahí el frecuente empleo de este

De todas las figu r a s geométricas existentes en la geometría dinámica, la figura más perfecta es la del círculo, proyección al plano de una esfera. De aquél se puede decir que contiene en sí y se derivan todas las figuras geométricas posibles.

25

Fernando Ximello Olguín, NdachnáTeohuacan, edición del autor, Tehuacán, 1993. 26 Margarita Martínez del Sobral, op. cit., pp. 26-56.


35

tipo de r e c t á n g u l o s .

27

De h e c h o , t o d a s las

bases de las pirámides e s t u d i a d a s en esta

Bonifaz Nuño, acerca de la lucha de contrarios, dice:

investigación resultaron ser rectángulos Σ. Un rectángulo Σ es un c u a d r a d o al que se le

Se ha hablado de la "acción de dos princi-

ha agregado (o quitado) u n a u n i d a d en dos

pios antagónicos que luchan", de "lucha de

de sus l a d o s p a r a l e l o s , lo que equivale a

contrarios", de "la idea de la lucha", de "cho-

decir que la diferencia entre un c u a d r a d o y

que de fuerzas antagónicas".

un rectángulo Σ es otro rectángulo que tiene

... Y me parece que al hacerlo no se ha

c o m o base la u n i d a d y c o m o altura la del

tomado en cuenta un punto esencial: que

c u a d r a d o . A este rectángulo se le ha llama-

las fuerzas antagónicas, los principios con-

do aquí rectángulo-unidad.

trarios, al chocar, al empeñar una lucha, no

Se ha e n c o n t r a d o que en los rectángu-

podrían provocar más que una de dos con-

los Σ en la diferencia del largo de sus lados

secuencias: o se inmoviIizarían entre sí, en

se e n c u e n t r a la u n i d a d (u, u ), que esta dife

caso de ser semejantes o equilibrados en sus

r e n c i a es la q u e origina el m o v i m i e n t o ,

poderes, o se destruirían uno al otro, en

c o m o se explica a continuación: cualquier

caso de contar con poderes desiguales:

r e c t á n g u l o p u e d e g e n e r a r ejes d e creci-

aquel que los tuviera mayores prepondera-

miento armónico por medio de un tercer

ría, sin duda, sobre el otro, ocasionando su

q u e en este caso es la

desaparición. En ambos casos la posibilidad

diferencia de largo entre sus lados. La dife-

de la creación de un fenómeno nuevo que-

elemento neutro,

28

rencia c o r r e s p o n d e a la u n i d a d de m e d i d a

daría definitivamente anulada. El mundo

(u, u ). Al g e n e r a r ejes de crecimiento, se

sería condenado a la inmoviIidad o a la des-

g e n e r a t a m b i é n el m o v i m i e n t o , que sigue

trucción; ésta, en último extremo, otra

la línea de u n a espiral. Por su capacidad de

forma de inmoviIidad.

g e n e r a r movimiento (el movimiento es sig-

... Como no puede admitirse, en manera

no de vida), los rectángulos fueron profusa-

alguna, la posibilidad de que esto ocurra, y

m e n t e utilizados en el diseño m e s o a m e r i -

acudiendo a los testimonios de la realidad,

c a n o . Si no existiera diferencia e n t r e los

habrá que admitir que, siempre que algo se

lados de los rectángulos, éstos serían cua-

produce o tiene origen, interviene, además

d r a d o s , figuras estáticas que tienen diago-

de los principios que antagonizan entre sí,

nales y no ejes de crecimiento.

27

Ibid., pp. 25-56. 28 Rubén Bonifaz Nuño, Imagen de Tláloc, UNAM, México, 1966, p. 138. "Sólo así puede cobrar sentido el encuentro de dos contrarios: con la intervención de un elemento neutro que constituya, juntándose con ellos, una tríada fecunda. " 29 Un monumento en espiral se encuentra en El Tajín, donde se sacralizaba las tormentas y por lo tanto el movimiento. 30 Rubén Bonifaz Nuño, op. cit., p. 138.

36

29

Como ejem-

un tercer elemento que, fecundando y trans-

plo, i m a g i n e m o s vasos c o m u n i c a n t e s q u e

mutando a aquéllos, esto es, al positivo y al

s e llenan d e a g u a , i n i c i a l m e n t e c o n u n a

negativo, al masculino y al femenino, hace

diferencia de nivel. Por esa causa se gene-

posible que su enfrentamiento se convierta

r a m o v i m i e n t o del a g u a q u e f l u y e h a s t a

en alianza productora.

alcanzar un m i s m o nivel. Lo m i s m o o c u r r e

... Dicho tercer elemento, por necesidad,

con la diferencia e n t r e los lados de cual-

al mismo tiempo que no es ni uno ni otro

quier rectángulo Σ, en d o n d e la diferencia

de los dos primeros, ha de tener en sí algo de

en la longitud de sus lados p r o d u c e el movi

ellos y algo distinto a la vez, con lo cual ha

miento que genera vida. Por ello es que este

de serle dado provocar su transmutación y

r e c t á n g u l o , t a n s i m b ó l i c o , fue c o n t i n u a -

su unión con la acción creadora.

m e n t e e m p l e a d o c o m o b a s e de diseño del arte m e s o a m e r i c a n o .

... Al intervenir, pues, este elemento que puede llamarse neutro en los elementos

En un rectángulo Σ los lados opuestos

positivo y negativo, hace nacer en ese

r e p r e s e n t a n fuerzas antagónicas que expre-

mismo punto la posibilidad y la necesidad

san el dualismo creador en el arte mesoa-

de algo que antes no existía.

m e r i c a n o - l o s iguales y los c o n t r a r i o s - ,

... Sólo así puede cobrar sentido el en-

siendo la diferencia entre la longitud de los

cuentro de dos contrarios: con la interven-

lados (la unidad u) un tercer elemento neu-

ción de un elemento neutro que constituya,

tro que h a c e posible el movimiento. Rubén

juntándose con ellos, una tríada fecunda. 30


Los rectángulos básicos. Son todos aquellos rectángulos derivados del cuadrado inscrito en el círculo cuyo diámetro es la diagonal del cuadrado. Corresponden a los rectángulos de módulos , generados mediante la geometría dinámica aplicada al cuadrado y su diagonal. Estos rectángulos básicos pueden estar entrelazados y formar otros, pero sin perder sus características (ver figura 11. 3). Del doble cuadrado y su diagonal se obtiene también el rectángulo áureo o perfecto, utilizado generalmente para representar a los dioses creadores, del que es un claro ejemplo el rectángulo que contiene a los sacerdotes agoreros, quienes, al igual que los dioses creadores Oxomoco y Cipaktónal, echan la suerte a los mortales 31 (ver figuras II. 4 y II. 5, "Los dioses creadores en su manifestación terrenal"). El pentágono regular. Es una figura que rara vez se encuentra directamente en el diseño mesoamericano. Sin embargo, subyace en el trazo de los monumentos en los que el número de oro haya sido empleado para proporcionar la obra, como en el caso de El Castillo, en Chichén Itzá. Allí se aplica el principio de que la recta que una perpen-

dicularmente el vértice del pentágono con su base horizontal puede dividirse en media y extrema razón (proporción áurea) al trazar una paralela a la base que pase por los vértices del pentágono. El pentágono, al igual que el pentagrama, es símbolo de Venus. Ya se dijo que el 5 es número venusino y el 8, terrestre, siendo sus ciclos sinódicos conmensurables en proporción de 5 a 8. Un lapso de ocho años solares deberá transcurrir para que, vistos desde la Tierra, se produzca una conjunción de Venus y el Sol (Anthony F. Aveni, 1991). Esto equivale a cinco ciclos sinódicos de Venus. (Ver la figura II. 6, "Tláloc, Señor del Inframundo". )

31

Códice borbónico, edición facsimilar, Siglo XXI Editores, "América Nuestra", México, 1988, p. 21.

Existe una estrella de cinco puntas, como la que se puede ver en el marcador de alabastro del juego de pelota de Teotihuacan (ver la figura II. 7), que fue utilizada también como símbolo de Venus y que, a pesar de tener cinco puntas, no se deriva del pentágono sino del rectángulo M 1. 732, rectángulo básico que puede ser inscrito en un hexágono regular, como lo está en el trazo subyacente del centro ceremonial teotihuacano. En una figura de la geometría clásica que ha llegado hasta nosotros se muestra un pentágono construido a partir de su

Figura 11. 4. Los señores del arte adivinatorio

Figura II. 5. Los dioses creadores

y el destino de los hombres

en su manifestación terrenal

Códice borbónico Edición facsimilar Siglo XXI Editores "América Nuestra" Detalles tomados

Ibid.

de la página 21

Detalles tomados de la página 22


37

Figura 11. 6. Tláloc, Señor del Inframundo

La doble unidad 2 u

La unidad U

está dada

se encuentre

por el ojo

en el círculo interior de la orejera

La estrella de cinco puntas se puede inscribir en un hexágono a su vez inscrito en un círculo. Cuatro de sus picos determinan un rectángulo M 1. 732, mismo que se encuentra en el diseño primordial del centro ceremonial de Teotihuacan. La estrella de cinco puntas simboliza el planeta Venus en el primer momento de la creación, cuando como heraldo del Sol anuncia el inicio del tiempo y el espacio, al salir de su conjunción superior en su orto helíaco como Estrella de la Tarde. Teotihuacan, la metrópoli de los dioses Eduardo Matos Moctezuma Figura 70, página 154

Figura II. 7. El marcador del juego de pelota en Teotihuacan

La unidad u se encuentra en el iris del ojo

unión con el hexágono. Allí se observa que la intersección de tres círculos iguales corresponde al área común llamada Vesica Piscis. Su eje menor puede ser el lado común del pentágono y del hexágono, a la vez que radio de los círculos. La Vesica Piscis, de acuerdo con el simbolismo de la geometría mesoamericana, se podría interpretar como la coincidencia de los ciclos solar y venusino en un área común. 32 El marcador del juego de pelota en Teotihuacan como la estrella de cinco puntas (véase la figura II. 7) se puede inscribir en un hexágono a su vez inscrito en un círculo. Cuatro de sus picos determinan un rectángulo M 1. 732, mismo que se encuentra en el diseño básico del centro ceremonial. Iconográficamente es la estrella de cinco puntas la que simboliza el planeta Venus en el primer momento de la creación, cuando como heraldo del Sol, como Estrella de la Tarde, anuncia el inicio del tiempo y el espacio al salir de su invisibilidad después de su conjunción superior. Al comparar el ciclo sinódico de Venus con el ciclo solar de 365 y 360 días, se obtiene el número de oro con el valor con el que fue empleado dentro de los parámetros mesoamericanos. El valor de φ para los occidentales es 1. 618... y para los mesoa mericanos va de 1. 6 a 1. 625: (585 / 365 = 1. 603 y 585 / 360 = 1. 625). El promedio de 1. 603 + 1. 625 / 2 = 1. 614 es un valor muy próximo al número de oro. De igual manera, si se comparan los ciclos de 360 y 365 días con el periodo sidéreo de Venus también se obtiene el número de oro: 365 / 225 = 1. 622; 360 / 225 = 1. 6; su promedio (1. 622 + 1. 6 / 2 = 1. 611) es un valor aproximado al número de oro, 33 lo que quiere decir que la divina proporción está implícita en la relación

13° Teotihuacan, la ciudad de los dioses 92 ilustraciones en colores Jorge Angulo

32

Figura 3, página 73

entre el Padre (un círculo), el Hijo (otro círculo) y el

La estrella de cinco puntas se puede inscribir en un hexágono a su vez inscrito en

Espíritu Santo (el tercer círculo). Los tres círculos

un círculo; cuatro de sus vértices determinan un rectángulo M 1. 732, mismo que se encuentra en el diseño primordial del centro ceremonial de Teotihuacan.

En la representación gráfica bizantina de la Trinidad se emplea la Vesica Piscis por ser el área común

son iguales y su unión produce la creación. 33

Entre los mesoamericanos el valor de φ se encuen tra entre 1. 6 y 1. 625.

38

Margarita

Martínez

del

Sobral

entre el Sol, la Tierra y el planeta Venus (Margarita Martínez del Sobral, 2000). Por esto utilizaron como símbolo del planeta Venus -entre otros- un caracol marino cuya sección transversal presenta cinco puntas, una estrella de mar con cinco seudópodos o una estrella del cielo con cinco rayos. La relación de proporción áurea en el pentágono se presenta en la dimensión entre tres rectas paralelas: una recta que coincida con la base del pentágono, otra que pase por los dos vértices de mayor elongación del pentágono y la tercera, por el vértice superior. Haciendo una interpretación de una vasija del valle de Tehuacán, cultura popoloca (Fernando Ximello Olguín, 1993), se infiere que los geómetras mesoamericanos sabían que la suma de los ángulos internos del octágono regular es de 1 080° y la del pentágono regular, 540°, siendo la primera el doble de la segunda y muy de acuerdo con el principio de dualidad, tan considerado por los mesoamericanos, aun en sus cuentas. El empleo del 27, 54 y 108 como representativos del ciclo dracónico de la Luna ajustado es muy frecuente dentro de los NV encontrados a lo largo de este estudio. Tanto 1 080 como 540 tienen como factor el 27, número que expresa el ciclo dracónico lunar conmensurado (en números enteros), a pesar de que lo correcto es 27. 2122 días. El cociente de 1 080° / 540° en números absolutos es 2, el número simbólico de Ometéotl, el Dios Dos de los mexicas. La medida de los ángulos internos del octágono es de 135° y del pentágono, de 108° (relacionados ambos con el ciclo dracónico de la luna: 27 x 5 = 135 y 27 x 4 = 108). Se trata de ángulos que aparecen en los registros esgrafiados de algunos platos trípodes de ofrenda del valle de Tehuacán y que no fueron colocados allí como mera decoración (135 x 13 = 1 755 = 585 x 3). El número 1 755 x 4 = 7 020 y 7 020 / 10 = 702, el número de superficie de la base de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. Mientras que el 135 aparece en los platos trípodes de Tehuacán viejo como un registro numérico, este mismo número está relacionado con la base de dicha pirámide. Ya se dijo

que uno de los objetivos del arte mesoamericano era registrar y transmitir conocimientos antes que buscar el placer estético. En ocasiones tomaron como factor el ciclo sidéreo de la Luna de 27. 3 días para llegar a un número entero, el 819: (819 = 27. 3 x 30), como ciclo lunar contado por ciclos sidéreos, de la misma manera que tomaron el ciclo dracónico conmensurado (27 días) para llegar al ciclo metónico de la Luna de 6 939 días (6 939 = 27 x 257). Es el ciclo metónico el lapso necesario para que la Luna llena vuelva a aparecer en una fecha idéntica del año trópico (ver "El número 27" en el apéndice 1, "Números").

Uno de los objetivos del a r t e mesoamericano era registrar y transmitir conocimientos antes que b u s c a r el placer estético.

Puede existir una coincidencia de ciclos lunar, venusino y solar. El pentágono contiene tanto números venusinos (5) como lunares (27): 108 x 5 = 540; 540 = 20 x 27. El hexágono contiene sólo números solares (360): 120 x 6 = 720; 720 / 2 = 360. El hexágono. En varias culturas de la Antigüedad se ha empleado el hexágono, como en la figura llamada Flor de la vida, que estando inscrita en un círculo puede generar desde su interior los Cinco Sólidos Platónicos, de los que deriva toda forma de vida animal, vegetal o mineral. El hexágono fue muy importante en Mesoamérica; prueba de ello es que de él derivó el trazo del centro ceremonial de Teotihuacan (Margarita Martínez del Sobral, 2000). En la geometría subyacente del diseño de ese centro se encuentra un hexágono inscrito en un círculo, en cuyo centro se encuentra el Sol simbolizado por la pirámide que lleva su nombre. 34 Ésta es una de las varias razones que llevan a considerar que los astrónomos mesoamericanos tenían el concepto de un sistema solar heliocéntrico, del que se hablará más adelante. En las figuras tridimensionales utilizadas como posibles envolventes virtuales de las esculturas, alfarería y arquitectura fueron empleadas las siguientes: •

El prisma recto rectángulo. Como una celda que puede llenar todo el espacio sin dejar huecos. Tiene seis caras paralelas y

34

Margarita Martínez del Sobral, op. cit., pp. 207-214.


39

perpendiculares dos a dos, cuatro de las cuales tienen que ser rectangulares; las otras dos pueden ser cuadradas o rectangulares. En los casos de las pirámides de Teotihuacan y de El Castillo sus envolventes virtuales son prismas rectos rectángulos cuyas bases son rectángulos Σ. La forma de prisma recto rectángulo es tal vez la forma en la que concibieron que el universo mesoamericano podía ser constituido. Del prisma recto rectángulo se desprenden las formas de pirámide, chumeng y chutong que se describen y analizan en el capítulo X (ver las figuras X. l, "El prisma recto rectángulo envolvente virtual del monumento / El chumeng y el chutong/ Nomenclatura para la aplicación de la fórmula", así como la G. l. del "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas").

Los astrónomosmatemáticos realizaban operaciones complejas y precisas, con números fraccionarios y grandes números volumétricos.

•

El cilindro y el cono truncado. Ambos sacralizados por el empleo del círculo como generador directo, fueron empleados como envolventes de muchísimas piezas de alfarería y en los monumentos de base circular, como por ejemplo la pirámide de Cuicuilco.

•

El chumeng y el chutong. Del chumeng (prisma truncado sin nombre en español) deriva, al truncarse nuevamente, el chutong (prisma truncado en forma de artesa), también sacralizado por tener su origen en un prisma recto rectángulo. Fueron las figuras geométricas empleadas en la concepción de las pirámides mexicanas por contener en sí la unidad de medida o proporción (u, u) con la que fueron diseñados esos monumentos. (Para la definición de chumeng y chutong ver la figura G. l, del "Glosario de figuras... ". )

Del sistema básico de diseño y del análisis geométrico La compleja observación de los astros se realizó en Mesoamérica con errores mínimos, a pesar de que se trabajaba con instrumentos rudimentarios. Los astrónomos-matemáti-

40


cos realizaban operaciones complejas y precisas, con números fraccionarios y grandes números volumétricos; aplicaban la trigonometría (cuando menos la función trigonométrica de la tangente) y obtenían los ángulos de los taludes de las caras de los cuerpos que las componían y que les permitían incorporar a sus edificios las alturas necesarias para producir los números volumétricos que tuviesen como factores números con significado astronómico (NSA) O números con significado calendárico (NSC). Es posible que el total significado esotérico de una obra fuese conocido únicamente por una élite, así como los NSA, NSC o NSG (números con significado geográfico), números volumétricos o de superficie que estaban incorporados a los cuerpos de las pirámides o a las posibles envolventes de sus obras bi o tridimensionales. El diseñador de una obra tuvo que haber sido alguien distinto al realizador manual de la misma, pues sería difícil suponer que un mismo hombre pudiese tener los conocimientos necesarios de matemáticas y de astronomía para poder concebir y diseñar correctamente una obra, y a la vez poseer la habilidad manual y artística para realizarla. El artista debía recibir de los sabios el diseño ya debidamente proporcionado y señalada, en alguna parte del diseño mismo, la unidad de medida por emplear. De igual modo, el artista no seleccionaba el tipo de material que utilizaría, ya que por ser simbólico debería ser escogido por el diseñador. De manera sucinta se expone lo que dentro del sistema básico de diseño un artista mesoamericano debía tener en mente antes de comenzar la obra: 1. Qué se quería transmitir. 2. Cuáles serían las medidas lineales y las áreas (números cuadrados en unidades a la manera indígena o NV (números volumétricos en unidades a la manera indígena) que expresaran lo que se quería transmitir. 3. Cuáles NSA, NSC y NSG (con sus múltiplos o submúltiplos), y el tonalpohualli (múltiplos o submúltiplos), deberían ser

incorporados en el volumen (o volúmenes) de la(s) figura(s) geométrica(s) envolvente(s) virtual(es) de la pieza. 35 4. Una vez determinando qué medidas lineales, áreas o volúmenes serían los que expresaran el mensaje que se quería transmitir, se deberían escoger cuáles serían las proporciones que regirían las dimensiones de los lados de la envolvente virtual de la pieza, o del proyecto arquitectónico, o del proyecto urbanístico. 5. Cuál sería el tamaño de la unidad de medida que se emplearía en la proporción de la pieza (u, u), escogido éste de acuerdo con una voluntad de arte, el tamaño del material que se fuera a emplear o el lugar de emplazamiento de la obra. 36 6. Cuáles los sistemas constructivos y los materiales que se usarían. 7. Cuál la iconografía que debía llevar, incluyendo tamaño, posición y color. 8. Cuál la localización y orientación de la obra arquitectónica, centro ceremonial, escultura monumental o pintura mural. 9. Cuál el paisaje que serviría de telón de fondo al centro ceremonial o a la pieza monumental que le diera o añadiera mayor significado. 10. Cuál sería el programa arquitectónico, en el caso de tratarse de una obra de arquitectura. El diseñador le daba al artesano realizador de la obra el número de unidades que deberían caber en los lados de las posibles figuras envolventes (generalmente rectángulos) de las obras, 31 si eran planas, o de los paralelepípedos rectos, de las secciones de prismas o de los conos truncados envolventes virtuales, si eran tridimensionales, que determinaran las áreas o volúmenes que se querían incorporar a las piezas. Estas unidades podrían ser del tamaño que se quisiera, ya que lo que importaba no era la medida de las unidades empleadas en sí, sino el número de ellas, la proporcionalidad entre las partes. El número de unidades daría la proporción entre los lados de las envolventes virtuales. Los números de las áreas o de los volúmenes

representarían la duración de los ciclos astronómicos o calendáricos; en otras palabras, por medio de la geometría se incorporaba a la obra un número tal que su área o volumen numéricamente tuviese significado como NSA, NSC o NSG, y que además estuviera relacionado con el tonalpohualli. El análisis geométrico de una pieza comprende los mismos pasos que los necesarios para su creación, pero a la inversa. Si los pasos necesarios en la creación fueron los señalados en los incisos 1 al 10, para su análisis geométrico se deberá partir del 10 al 1, hasta llegar al significado o decodificación de la obra. Esto se verá prácticamente en los capítulos que abordan la decodificación de las obras que se presentarán más adelante. Se insiste en que en el análisis geométrico de un objeto de estudio en particular se debe encontrar primeramente, o la manera indígena, la unidad de proporción o medida empleada en su diseño. (En los párrafos siguientes se explica la manera de encontrarla. ) No se puede expresar la superficie o el volumen de un objeto mesoamericano en medidas convencionales totalmente ajenas a la cultura de Mesoamérica, tales como metros, varas, yardas, y tratar de obtener resultados correctos al hacer cálculos con ellas.

El diseñador le daba al a r t e s a n o realizador de la obra el número de unidades que deberían c a b e r en los lados de las posibles figur a s envolventes de las o b r a s .

35

Los matemáticos mesoamericanos resolvieron la incorporación de varios ciclos al volumen de sus creaciones, obteniendo el mínimo común múltiplo (el MCM en números absolutos) de los ciclos que querían hacer coincidir.

36

Se tenía un mismo diseño para una pieza grande o chica. Lo que se variaba era la dimensión de la unidad de proporción.

37

La manera de transformar cualquier unidad de medida (metro, yarda, vara, etcétera) a unidades o la manera indígena quedará descrita más adelante en este mismo capítulo.

Sobre la unidad de medida Los estudiosos de Teotihuacan, como Sejourné, Millon, Drewitt, Cowgill, Drucker, Harleston, O'Brien, Christiansen, Sugiyama, Matos y Cabrera más recientemente, además de muchos otros, han tratado de encontrar una unidad de medida de diseño para Teotihuacan, pero, a la fecha, no hay evidencia de que existiera una unidad de medida o proporción única para un mismo horizonte temporal o cultural. No ha sido posible encontrar esa unidad de medida, ni lo será, dado que no existió. Cada obra era creada con su propia unidad, con su unidad implícita. En este cómodo sistema de diseño no se marcaban escalas sino que se señalaba al realizador de la obra el número de unidades que debería tener la


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figura bi o tridimensional que la contendría. La unidad de medida o proporción debería caber un número exacto de veces en el largo, el ancho y la altura de la figura geométrica envolvente real o virtual de la obra.

38

42

Margarita Martínez del Sobral, op. cit., cap. "De la unidad de medida", pp. 101121. Los puntos 1, 2 y 5 ya fueron publicados en el citado libro. Los demás fueron encontrados durante la presente investigación.

Margarita

En el proceso de creación de una obra, por ejemplo, se encomendaba al artista que a partir de un bloque de piedra de cinco unidades de ancho, seis de largo y 12 de altura -pero sin especificar de qué dimensión fuera la unidad- esculpiera o modelara una figura que iconográficamente representara el año de 360 días ( 5 x 6 x 1 2 = 360). La medida de la unidad podía ser cualquiera, y lo mismo se aplicaría para un bloque de piedra grande o uno chico, dependiendo del material disponible o la intención de la obra. El tamaño de la unidad en sí no era relevante, sino la proporción de los lados de la figura geométrica continente o, lo que es lo mismo, el número de veces que la unidad cupiera en el ancho, profundidad y altura de la envolvente real o virtual de la obra. Cada artista podría escoger el tamaño de la unidad, grande o pequeña, de acuerdo con el material o disponibilidad de espacio para crear la obra, ya que lo que se buscaba era una cierta proporción entre los lados del prisma cuyo volumen contuviera el mensaje codificado que se quería transmitir de manera esotérica, oculta, no visible, entendible a profundidad sólo por quien supiera leer en las proporciones de la piedra, del barro, de la pintura. De igual manera, un prisma recto rectángulo de cuatro unidades de ancho, nueve de largo y 10 de altura -donde el tamaño de la unidad sería irrelevante- podría ser la figura tridimensional envolvente de una escultura que representara el año de 360 días (4 u x 9 u x l0 u = 360 u3), conteniendo así una unidad cúbica por cada día del año. Si la escultura fuera a ser monumental, la unidad (u, u) podría ser grande, pero si fuese a ser una escultura pequeña la unidad debería ser chica. El tamaño de la escultura estaría determinado por una voluntad de arte, por el tamaño del material disponible o por su emplazamiento. Son varias las maneras de cómo dejaron constancia de la unidad de medida o pro-

Martínez

del

Sobral

porción que rige al diseño de una pieza. En una obra se pueden manifestar simultáneamente una o varias maneras de dejar constancia de la unidad empleada en su creación. En algunos casos la unidad u se encuentra doble, U: (2u = U). (Ver figuras II. 6, "Tláloc, Señor del Inframundo", y II. 8, "La unidad de medida o proporción señalada de diversas formas a la manera indígena. )

La unidad de medida o proporción (u, u) se puede encontrar en38 1. El ancho del marco de las figuras que se encuentren enmarcadas (Margarita Martínez del Sobral, 2000). 2. El descuadre intencional de los trapecios que se encuentren o subyazcan en el diseño (ibid. ). 3. En algunos casos, en círculos como el iris de algunas de las cabezas colosales olmecas o en las orejeras (Margarita Martínez del Sobral, Los números sagrados en las piedras calendáricas de Mesoamérica, libro en proceso). Para la unidad que rige el formato del Códice Fejérváry-Mayer, la unidad de medida o proporción se encuentra en el diámetro de los círculos que cargan en sus espaldas los volátiles portadores de los años -tochtli, ácatl, técpatl y colli- en las cuatro esquinas de la primera página del códice. 4. En ciertos casos, en el ancho de las alfardas de las escaleras de sus monumentos o en el saliente de las alfardas con respecto al paramento del primer cuerpo de la pirámide (ibid. ). 5. En la diferencia del largo de los lados del rectángulo, posible envolvente de la figura si está en el plano (ibid. ), o en la diferencia entre el largo de los lados del prisma recto rectángulo que puede ser envolvente de la figura si es tridimensional. Esto es, en la relación entre las medidas lineales que determinan las superficies de las figuras geométricas que pueden envolver los objetos de estudio. Éste es el caso de la arista superior

Figura 11. 8. La unidad de medida o proporción señalada de diversas formas a la manera indígena La cruz de Tláloc

La placa de Leiden

La cruz de Tláloc y su unidad de medida o proporción u en el marco de la piedra.

Teotihuacan, Art from the City of Gods Sección "Objetos catalogados" Thames & Hudson Figura 5, página 171

Geometría mesoamericana Fondo de Cultura Económica Figura III. 6, página 59

La placa de Leiden. La unidad u se encuentra en el descuadre de la pieza.


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del prisma truncado (chumeng), que es la envolvente virtual de las pirámides. 6. En la arista o lomo del prisma en forma de artesa (chumeng), 39 envolvente virtual de los cuerpos de las pirámides. La unidad U40 en la arista puede ser un múltiplo de la unidad u. La numerología adivinatoria fue determinante en la vida y destino de la sociedad prehispánica y, por lo tanto, importantísima; no obstante, a la fecha esta disciplina no ha sido suficientemente estudiada. La opinión de Michael D. Coe, en The Maya, es que los mayas no tuvieron ciencia en la acepción moderna de la palabra, sino que crearon únicamente numerología de carácter religioso con fines adivinatorios. Contradiciendo a este autor, la presente investigación señala que los pueblos mesoamericanos observaban la naturaleza y aplicaban las matemáticas para comprender el cosmos, lo que constituye el inicio de las ciencias exactas. Al respecto Coe dice: La ciencia en sentido moderno no estaba presente. En su lugar encontramos, como en las civiIizaciones mesopotámicas, una combinación de datos astronómicos bastante precisos que solamente pueden ser llamados numerología, desarrollada por intelectuales mayas con fines religiosos. 41 Es cierto que, al igual que en Mesoamérica, en Mesopotamia se hicieron observaciones muy precisas de los fenómenos celestes y que se estudiaron las formas geométricas y sus relaciones. Pero, aunque no se tiene noticia de que en Mesoamérica o en

39

Para el significado de la palabra chumeng, ver el "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas", en el apéndice correspondiente, al final de este libro. 40 Se dice U en vez de u porque U puede ser, en este caso, múltiplo de u. 41 Michael D. Coe, The Maya, Thames & Hudson, Londres, 1987, p. 161. "Science in the modern sense was not present. In its place we find, as with the Mesopotamian civiIizations, a combination of fairly accurate astronomical data with what can only be called numerology, developed by Maya intellectuals for religious purposes. " 42 J. Eric S. Thompson, citado por Anthony F. Aveni, op. cit., p. 197.

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Margarita

Martínez

del

Sobral

Mesopotamia se utilizara el método científico tal como se conoce en la actualidad, fueron la astronomía, la matemática y la geometría las ciencias que dieron fundamento a la numerología astronómica. En Mesoamérica el fin de la astrologia era adivinatorio, mas negar que existiera la numerología fundamentada por la matemática, la geometría y la astronomía es un error. Es obvio que primero se tuvieron que desarrollar esas ciencias para posteriormente relacionarlas con su destino, confiriéndole al número características mágico-divinas, pasando así de la numerología astronómica a la astrologia. Thompson participa de la opinión de Coe y dice al respecto: "Hay que aceptarlo: en lo tocante a sus fines, la astronomía maya es astrologia". 42 No se puede afirmar esto tan categóricamente. Al ser la numerología una herramienta que se vale de algoritmos matemáticos y trazos geométricos para encontrar las relaciones y proporciones entre los diversos ciclos de la naturaleza, no se puede asegurar que la predicción del futuro hubiese sido el único fin perseguido al estudiar el cosmos, o si también los sabios eran movidos por el ansia de conocer y entender los fenómenos y leyes del universo, fin último de las ciencias. El número en Mesoamérica. Uno de los hallazgos más importantes de este estudio es que los números en Mesoamérica quedaron registrados como unidades lineales, de superficie o volumétricas implícitas en las figuras geométricas que pueden contener a sus obras de arte. Por ejemplo, los números astronómicos que representaban la duración de ciertos ciclos celestes o los ciclos calendáricos podían ser escritos en un sistema de diseño de proporcionalidad registrado en las dimensiones de sus obras. Además en las culturas olmeca y maya los números eran representados por símbolos cefalomorfos, pintados o tallados en piedra, cuyos vestigios son los códices mayas de París, de Madrid, de Dresde y el Golier, además de las cabezas colosales olmecas, los vestigios más antiguos de esa cultura. No es de extrañar que se

hayan empleado figuras en forma de cabeza, dado que el número es una de las más grandes abstracciones lograda por el ser humano, producto puro que el cerebro - l a cabeza- elabora en forma de pensamiento. Uno de los más grandes logros de los matemáticos mesoamericanos fue la invención del cero y la creación de un sistema numérico posicionai. Barriga Puente opina que ... el afán de registrar gráficamente las cantidades motivó a los antiguos mayas a la invención del cero y les permitió arrimarse al infinito, o dicho en otras palabras, los llevó a desarrollar el principio del valor posicionai en la escritura de los números compuestos y, a la vez, les ofreció la posibilidad de realizar toda suerte de cálculos con un alto grado de exactitud, incluyendo aquellos que se referían a la oscilación de los cuerpos siderales que deambulaban por su retazo de cielo. 43 Y considera que los números, en su origen, fueron metáforas que se desarrollaron en "el caldo de cultivo de la religión". El traslape del número mitológico con el aritmético dio pie a cierta ubicuidad de los numerales, la cual hizo posible racionalizar las creencias religiosas; porque si los multimencionados números representaban las unidades fundamentales del cosmos -si la experiencia vital podía ser reducida a cifras- entonces era posible comprender la verdad de la existencia a través de los propios números... En una primera instancia, la cuenta maya no era concebida como un principio ordenador inventado por el hombre, sino más bien como una clave divina para el cabal entendimiento de la cosmogonía. En los números estaban contenidas las propiedades sagradas del universo y éstas cubrían con un velo de misticismo todos los objetos y todos los eventos contados. 44 A lo largo de la historia el registro puntual de los acontecimientos en la Tierra y en el cielo fue el responsable de desmitificar el número y de agregarle denotaciones arit-

méticas, disminuyendo la utilización de las variantes de cabeza hasta casi desaparecer. De manera que en Mesoamérica existieron números que sirvieron para cuantificar los ciclos de los cuerpos celestes - q u e en este estudio se les ha llamado números con significado astronómico (NSA)-. Asimismo existieron números con significado calendárico (NSC), que se emplearon para cerrar y hacer coincidir ciclos entre sí o con el tonalpohualli, pero que no corresponden a eventos celestes exactos; y, finalmente, números con significado geográfico (NSG), para señalar ángulos de latitud o de distancia, tanto espacial como temporal. En 1886 el doctor Ernst Forstermann descubrió que el símbolo en forma de caracol tenía el valor de cero, lo que implicaba que los mayas del posclásico utilizaban una escritura numérica posicionai. Según Barriga Puente (2004, pp. 136-137), otros glifos representativos del cero fueron la media cruz de Malta (T 153), que también representa completamiento; un maxilar inferior sostenido por una mano y un óvalo vertical con tres marcas diagonales en su interior. En 1897 Goodman afirmó que el concepto de ausencia o vacuidad era privativo del sistema arábigo. En 1923 Kroeber afirmó que el cero maya antecedía con cinco siglos el cero hindú y en 1924 Spinden aseveró que el cero de los antiguos mayas debería ser interpretado como completamiento u ordenamiento, pero no como nada. Entre 1947 y 1948 Fulton publicó que el cero maya correspondía más a un ordinal cíclico que al cardinal vacío, y, por lo tanto, debería ser leído como nuevo principio. Finalmente J. Eric S. Thompson, en 1950, defendió el concepto de completamiento, pero reservándose el derecho de argumentar a favor del significado de ausencia (Francisco José Barriga, 2004, p. 120). Actualmente también se considera que el cero significa un ciclo cerrado, terminado, y que por eso se representa también como un puño cerrado. 45 Se ha dicho que el número, como resultado del proceso cognitivo de contar, antecede al proceso de escribir y que los hombres que cruzaron el estrecho de Bering ya eran

43

Francisco José Barriga Puente, "Tsik, los números y la numerología entre los mayas", tesis para optar por el grado de doctor en antropología, Escuela Nacional de Antropología e Historia, México, 2004, p. 109.


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capaces de registrar y enumerar cantidades de alguna magnitud. Posteriormente, al desarrollarse las culturas mesoamericanas, las matemáticas y el número como elemento cuantitativo y lingüístico evolucionaron hasta llegar a la elaboración de un sistema de numeración de límites altos, indiscutiblemente vinculado con la observación y cuentas astronómicas. 46 Una razón que en el pasado algunos investigadores han propuesto al porqué de las cuentas basadas en la observación de la naturaleza radica primordialmente en la necesidad de contar los días para fines agrícolas; otros la explican como derivada de la implantación de rituales místicos que antecedieron a la agricultura. Sin embargo, todos coinciden en que, de una u otra forma, esos sistemas y cuentas evolucionaron hasta convertirse en la piedra angular de su cosmovisión. La presencia o registro de números en las obras mesoamericanas de todo tipo y su presencia en las estructuras lingüísticas47 en forma de topónimos, antropónimos y teónimos han sido verificadas a partir de una extensa variedad de manifestaciones. 48 Para la comprensión del desarrollo de la matemática y del número en Mesoamérica se deben conocer

46

Ibid., pp. 39-40. Para un estudio profundo de la relación lingüística-numerológica en Mesoamérica es conveniente revisar este trabajo. 47 Ibid., pp. 191-215. "Como es bien sabido, al lado de la cuantificación existen otros usos lingüísticos para los números, sobre todo en el terreno de la composición de palabras. De hecho, en casi todas las lenguas naturales es posible verificar el empleo de raíces numerales en la formación de nombres, verbos, adjetivos y otras clases léxicas menores", p. 191. 48 Huberto Quiñones Garza, "Sobre el ciclo maya de 819 días", en Estudios de Cultura Maya, Instituto de Investigaciones Filológicas de la UNAM, vol. XviI, 1988, pp. 59-63. 49 Esta investigación indica que es muy probable que también utilizaran un conteo 0 sistema posicionai de base 10. 50 Anthony F. Aveni llama cuenta comercial a aquella de base 20 que tiene como multiplicador también el 20: (20 x 20 = 400), en lugar de la cuenta astronómica, que tiene como multiplicador el 18 (20 x 18 = 360) y que sirve para alcanzar la era maya en función de los días del año ajustado a 360 días (360 x 5 200 = 1 872 000). La era maya también es divisible entre 400 (1 872 000 / 400 = 4 680), que sirve para alcanzar la era maya en función de los ciclos sinódicos de los planetas Mercurio y Venus (4 680 = 585 x 8, en donde 585 es el ciclo sinódico de Venus y 4 680 = 117 x 40, en donde 117 es el ciclo sinódico de Mercurio).

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1. Los valores numéricos correspondientes a los intervalos de los ciclos astronómicos. 2. La existencia de un sistema numérico de conteo de fundamental 13 (semana del calendario ritual o sacramental) y la existencia de otro de base 2049 (mes del calendario civiI llamado meztli), originado en el conteo del año, así como la posible utilización de ruedas de números conformadas por series de números de fundamentales múltiples. Éstas pueden ser de fundamental 5 (sistema venusino); fundamental 7 (sistema lunar); fundamental 9 (sistema mercuriano y planetario); fundamental 11 (eclipses); fundamental 17 (eclipses); fundamental 23 (número lunar), etcétera, que se abordan en esta investigación. Los sistemas de notación numérica mesoamericanos. Se caracterizan por el empleo de numerales (entre ellos, cabezas), además de otros glifos numéricos para expresar relaciones de orden y magnitud; por la existencia de una cuenta comercial 50 y de una cuenta larga -calendárica- a partir de la adecuación de la cuenta posicionai maya y por el dominio geométrico-proporcional manifiesto en las obras de arte mesoamericanas bi o tridimensionales. Registro de números en la geometría subyacente del diseño. Principios básicos de diseño de las pirámides. En las obras mesoamericanas se encuentran registros numéricos plasmados por los modelos de proporcionamiento geométrico, según los cuales la unidad de medida a la manera indígena (u, u) deberá caber un número exacto de veces en las bases de las caras de los prismas rectos rectores, envolventes virtuales de las piezas tridimensionales que, además de ser rectángulos o trapecios en las figuras planas, pueden ser prismas, prismas truncados (chumeng y chutong), cilindros o troncos de cono en las tridimensionales. Al hacer el análisis geométrico de una figura tridimensional dentro de un sistema de coordenadas, encontré que en el plano

horizontal están números que indican el número entero de unidades a la manera indígena, que constituyen las bases de los monumentos que reconocemos como pirámides. En el plano vertical generalmente se encuentran los NSA o NSC, que pueden ser fraccionarios y submúltiplos de algún ciclo, por ejemplo del siglo de 104 años solares que aparece en algunos cálculos volumétricos como 10. 4 (104 / 10 = 10. 4) o como el ciclo lunar que puede presentarse como 10. 8 (108 / 10 = 10. 8; 108 = 4 x 27 días), que corresponde a cuatro veces el ciclo dracónico lunar ajustado a 27 días. Los números fraccionarios muchas veces deberán hacerse enteros multiplicándolos por otros hasta tener significado astronómico, pero no necesariamente. Los números que rigen las alturas de sus obras (plano vertical) no son resultado del azar ni de una voluntad de arte, sino del diseño sistemático en el que se incorporan como medidas espaciales las medidas temporales de los ciclos astrales, de sus múltiplos o submúltiplos. Éste es uno de los cánones importantes del arte mesoamericano.

Clasificación de los números según su significado y función Los números pueden tener significación cuantitativa (cardinales: 8 mazorcas, 2 jaguares, 40 casas, etcétera); de sucesión de orden u ordinales (primero, tercero, quinto); significación mítica (el 1 como la unidad absoluta, lo más sagrado; el 4, división cuatripartita del universo y en las cuatro eras cosmogónicas; el 13 como el número de cielos en los que se divide el espacio superior mesoamericano; los nueve escalones para descender al inframundo o ascender del inframundo, los Nueve Señores de la Noche). Significación lingüística. 51 Significación astronómica. Cuando atañe al registro de las cuentas de días entre sucesos celestes. La evidencia, desde varios ángulos de estudio, sugiere que a la significación astronómica de los números en diálogo con las demás significaciones le fue

conferida una significación sagrada, constituyéndose así una numerología astronómica mesoamericana. Significación calendárica. Cuando atañe al registro de números calendáricos, es decir, números que se han ajustado a los ciclos celestes para poderlos hacer coincidir con el tonalpohualli, o números de enlace o funcionales, como puede ser el 13 cuando vincula los ciclos planetarios del sistema solar (planetas visibles a simple vista, con excepción de Júpiter) con el tonalpohualli; el 4, relacionado con la división cuatripartita del espacio, especialmente manejada por la cultura popoloca (ngiwa); el 5, el quincunce venusino, etcétera. La significación astronómico-simbólica señala el orden cíclico y divino de la naturaleza al registrar una variedad de periodos de cuerpos celestes, los que en Mesoamérica tenían rango de divinidades. Así, estos números constituían una parte de su lenguaje cultural y una expresión de su cosmovisión. Aunque los números tienen otros significados, es el astronómico el que le confiere su carácter sagrado. Los números pueden tener significado astronómico (NSA) O significado calendárico (NSC). 52 Si bien en la bibliografía existen abundantes ejemplos sobre los cómputos astronómicos y calendáricos -con base en cuentas de días vinculadas mediante uso de factores y reglas de multiplicidad-, no se encontró ningún autor o estudio que haya realizado una clasificación de los números según su función. Se propone la siguiente clasificación de acuerdo con su función como números de significado astronómico (NSA), números de significado calendárico (NSC), números funcionales (NF), números de ajuste (NA), números de enlace (NE) y números volumétricos (NV). Entre los números que se encuentran en la numerología astronómica mesoamericana están los ciclos astronómicos del Sol, la Luna y los planetas, y los números que los determinan son los que se clasifican como NSA. Los NSA son una abstracción matemática para medir y registrar los eventos astronómicos observables a simple vista; 53 son

A la significación astronómica de los números en diálogo con las demás significaciones le fue conferida una significación s a g r a d a , constituyéndose así una n u m e r o logía astronómica mesoamericana.

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Francisco José Barriga Puente, op. cit. 32 En la bibliografía arqueoastronómica se menciona cuáles ciclos eran conocidos y empleados en Mesoamérica. Para profundizar en este campo es conveniente revisar las publicaciones especializadas, de manera particular los textos de J. Eric S. Thompson y Anthony F. Aveni. 33 Marco Arturo Moreno Corral, "Historia de la astronomía en México", en Lucrecia Maupomé, //. Reseña de las evidencias de la actividad astronómica en la América antigua, Fondo de Cultura Económica, "La Ciencia desde México", México, 4 a ed., 2003, pp. 17-63. En este texto puede encontrarse el más completo resumen de las cuentas de días que los mesoamericanos emplearon para determinar y asociar los ciclos celestes.


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aquellos que corresponden a los números que registran el periodo o recurrencia de eventos celestes (de sus días promedio a lo largo de varios años de observaciones), tales como los ciclos de la Luna (sinódico: 29. 5305 días; sidéreo: 27. 3 días; dracónico: 27. 2 días; metónico: 6 393. 6); los ciclos sinódicos de Mercurio (116. 8 días), Venus (sinódico: 583. 9), Marte (sinódico: 780), Júpiter (sinódico: 399), Saturno (sinódico: 377), los medios años de eclipses: 173. 3 ); el ciclo lunar de saros (6 585. 32), el año trópico solar de 365. 2422 (de 365. 1970 a 365. 2628 días, según los parámetros mesoamericanos).

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El significado astronómico de esos números no es necesariamente directo, es decir, no siempre señalan un periodo astronómico determinado en la forma como se encuentran en el arte mesoamericano; sin embargo, en todos los casos existe una relación simultánea entre los múltiplos de uno o más periodos astronómicos y la cuenta de 260 días del calendario sagrado, éste como múltiplo factor común. Ante esa condición, a esos números puede denominárseles de significado astronómico. Los números de significado calendárico son los que representan ciclos astronómicos ajustados para que coincidan con el tonalpohualli, por ejemplo, el 360, número de días del calendario civiI, lapso que no tiene exactitud astronómica.

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Los NSC54 también comprendidos en la numerología astronómica mesoamericana no reflejan ciclos celestes reales sino ciclos ajustados, redondeados o llevados a números enteros para lograr su sincronización o coincidencia con el tonalpohualli. La coincidencia puede obtenerse por medio de alguno de los factores 13 o 20, o bien con otros factores de ciclos lunares; por lo tanto, los NSC no reflejan verdaderamente la duración de algún ciclo astral, sino el número mediante el cual un ciclo se puede sincronizar, coincidir o engranar con otro. Por ejemplo, el año de 360 días (NSC), por tener como factor el 20, se puede sincronizar con el tonalpohualli y sustituir el año trópico de 365. 2422 días (NSA), que no lo tiene (4 680 = 13 x 360 = 18 x 260). La igualdad anterior indica que habrá sincronía entre el tonalpohualli y el calendario de 360 días (si ambos ciclos inician en el mismo punto) al cabo de 4 680 días. Tal vez el calendario de 360 días fue utilizado para que coincidiera el ciclo solar ajustado, de 365. 2422 días a 360, con el tonalpohualli y con el ciclo de la era maya de 1 872 000 días (360 x 13 = 260 x 18 = 4 680; 1 872 000 = 360 x 52 x 100). El calendario de 360 días fue utilizado particularmente por los mayas, quienes denominaron a ese ciclo tun, al igual que a las piedras rectangulares que se erigieron para señalar el término de un ciclo. En resumen, los NSC como conteos informales no son los que corresponden a los ciclos reales de los astros, sino aquellos que

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resultan de ajustar, conmensurar o redondear los anteriores para poderse sincronizar con otros por medio de factores comunes o números de enlace. Para vincular el tonalpohualli con ciclos astronómicos se seleccionaron los factores 20 y 13 del calendario sagrado. Por ejemplo, el año trópico de 365. 2422 días (NSA), que se ajusta a 365 días (NSC) para relacionarse con otro ciclo que tenga el 5 como factor, como con el ciclo sinódico de Venus de 585 días (5 x 117 = 585 y 5 x 73 = 365, por lo que 585 x 73 = 365 x 117, lo que quiere decir que tanto el ciclo sinódico de Venus como el año ajustado a 365 días (NSC) también pueden expresarse uno en función del otro. El año del Sol del inframundo, por ejemplo, el 364 (NSC), además de poderse relacionar con el tonalpohualli, también lo puede hacer con cualquier otro número que tenga el 13 como factor. Se pueden seguir enumerando casos, como el del ciclo sinódico lunar de 29. 5305 días ajustado a 29. 5 o 30 días (NSC); el del ciclo sinódico de Mercurio de 116. 8 días (NSA) ajustado a 117 días (NSC); el del ciclo sinódico venusino de 583. 9, ajustado a 584 o 585 días (NSC). Un caso particular de ajuste lunar es a partir del ciclo sinódico considerado de 29. 5308 días para hacerlo coincidir con el tonalpohualli, llegando hasta el MCM lunar de 11 960 días (11 960 = 29. 5308 x 405 = 46 x 260). No siempre se hacían estos ajustes en los números que determinan a los ciclos. En muchos casos en esta investigación se ha encontrado que también empleaban los ciclos reales, tal como los presenta la astronomía moderna y que aun así lograban coincidencias con el tonalpohualli. Los ciclos reales, rigurosamente hablando, tampoco corresponden a la duración exacta del ciclo, que puede ser variable, sino al promedio de lecturas efectuadas durante varios ciclos. Se han encontrado números que funcionan como números de ajuste (NA) O como números de enlace (NE). LOS números de ajuste se presentan como consecuencia de emplear en la sincronización de dos o más

ciclos sus números ajustados, por lo que al cerrarse y coincidir los ciclos se tenían que hacer ajustes para no desfasar los calendarios. Tal es el caso de la intercalación de cuatro días en el bisiesto, entre otros. Los NA son los números (generalmente sumandos o diferencias) necesarios para alcanzar un ciclo a partir de otro de ciclo ajustado (364 + 1. 25 = 365. 25); en este caso el NA es 1. 25. Otro ejemplo se tiene cuando al cabo de ocho años solares de 365 días sucede una coincidencia o conjunción con Venus en su periodo sinódico de 584 días por medio del 2 920, mínimo común múltiplo (MCM) de 365 y 584. Siendo la duración real del año trópico de 365. 2422 días, para no desfasar el calendario se debería hacer un ajuste de 1. 938 días (365. 2422 - 365 x 8 = 1. 938). El número de ajuste es 1. 938. Números de enlace de dos ciclos son los factores no comunes que quedan como residuo de factorizar esos ciclos. Su objetivo es obtener el MCM de ambos ciclos. Por ejemplo, se quiere enlazar o hacer coincidir el 260 con el 364, siendo sus factores comunes 4 y 13. Los residuos son 5 y 7, factores que desde luego no son comunes a ambos. El 5 y el 7 son los números de enlace para llegar al MCM de ambos, el 1 820 (1 820 = 7 x 260 = 5 x 364). Los números de enlace se utilizan para obtener un MCM de varios ciclos. Se pueden lograr de acuerdo con el número empleado como base de las diversas ruedas de números que parecen regir sus sistemas numéricos, los cuales se encuentran en el apéndice 2. Los números de enlace o intervalos de días son aquellos que indican cuántas veces se debe tomar un ciclo para llegar a una coincidencia con otro, como puede suceder con el 9, el 11, el 13, el 17, el 23, etcétera. Así, en la siguiente igualdad es claro que el 23 es un número de enlace: 23 x 520 =11 960, en donde el 11 960 es el gran MCM lunar y 520, un importantísimo ciclo para la predicción de eclipses: 520 = 3 x 173. 33, el medio año de eclipses (véanse el número 11 960 y el número 520 en el apéndice "Números"). En ese caso, para obtener

el MCM 11 960, se utiliza el 23 como multiplicador del 520, número que ya se vio relacionado con los medios años de eclipses tomados de 173. 33 días y con el doble tonalpohualli (260 x 2 = 520). Si se pretende hacer una sincronía con el tonalpohualli, el número de enlace será el 46, para obtener el mismo MCM de 11 960. Ahora se trata de enlazar o hacer coincidir el 260 y el 365. Su factor común es el 5, y los números de enlaces son los residuos 52 y 73 obtenidos de dividir 260 / 5 = 52 y 365 / 5 - 73. Estos residuos pueden ser confundidos con números calendáricos, como el 52 (medio siglo mesoamericano) o el 73, la quinta parte del año ajustado a 365 días, pero en realidad en este caso su función es solamente de enlace.

Aunque el criterio de los investig a d o r e s es que los n ú m e r o s fraccionarios no fueron utilizados en los cálculos de los m e s o a m e r i c a n o s , a lo largo de esta investigación se ha podido o b s e r v a r que esto no fue así.

Los números de ajuste y de enlace forman un cuerpo propio con funciones específicas. Por su importancia para los cálculos de los NSA y NSC, y de acuerdo con su función matemática, estos números se denominarán números funcionales (NF). Los NSA pueden ser directos y corresponden directamente a los números que registran eventos celestes, como por ejemplo el ciclo sinódico de Venus en días, 583. 9. Los NSC pueden ser múltiplos de un ciclo calendárico, como por ejemplo el 2 920, que corresponde al lapso entre conjunción y conjunción del Sol y Venus, considerando sus ciclos ya ajustados a 365 y 584 días, respectivamente (2 920 = 584 x 5 = 365 x 8). Existen algunos NSA múltiplos lunares; por ejemplo, el gran ciclo lunar de 11 960 días, MCM de varios ciclos, que se obtiene al multiplicar el sinódico de la Luna de 29. 5308 por 405. El 405 en este caso, como multiplicador, es funcional y solamente un factor del MCM lunar de 11 960 días (405 x 29. 5308 días = 11 960 días). Este gran MCM lunar contiene, en coincidencia con el tonalpohualli (11 960 = 260 días x 46), el medio año de eclipses de 173. 3 días (11 960 días = 69 x 173. 33 días) y el ciclo sinódico lunar de 29. 5308 días (11 960 = 29. 5308 x 405). Números fraccionarios. Aunque el criterio de los investigadores es que los números


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fraccionarios no fueron utilizados en los cálculos de los mesoamericanos, a lo largo de esta investigación se ha podido observar que esto no fue así. En el párrafo anterior la última sincronización del ciclo sinódico lunar con el tonalpohualli y con el medio año de eclipses presupone un perfecto manejo de números fraccionarios, y como este caso se seguirán encontrando muchos. El empleo del 11 960 está documentado en el Códice de Dresde como MCM del tonalpohualli y números lunares. 55 Es obvio que primero tuvieron que hacer observaciones de la Luna para determinar exactamente su ciclo sinódico de 29. 5305 días (para el caso de 29. 5308 días) y posteriormente multiplicarlo por 405 para llegar a un número entero que pudiera ser manejado más fácilmente y lograr coincidencias. Los números fraccionarios tal vez eran convertidos a enteros al multiplicarlos por 10, 100, 1 000 o 10 000, como parecen indicar los números que señalan las alturas de los cuerpos de las pirámides que se explican en los capítulos correspondientes.

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J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 173. En el códice el 11 960 está como el almanaque ampliado "del mínimo común múltiplo del periodo de eclipses y del almanaque de 260 días, a saber 46 x 260 (1. 13. 4. 0)" y p. 175: "La presencia de 7 Lamat, como la de 5 Ben, 15 días antes, en tanto que lubes evidentes, son buena advertencia de que el almanaque ampliado de 1. 13. 4. 0 (46 x 260 y 405 lunaciones) no sólo servía para predecir los días en que se podían observar eclipses solares", ¿y lunares?, "sino también para cálculos de larga distancia de edades lunares, como lo señaló Teeple (1930, p. 86)". 56 vincent H. Malmstrom, Cicles of the Sun, Mysteries of the Moon / The Calendar in Mesoamerican Civilization, http//www. dartmouth. edu/~izapa/CS-MM-Chap. 0/o205. htm, cap. 5, "The Olmec Dawning", pp. 17-20. Acerca de la orientación de las ciudades olmecas, entre otras San Lorenzo (1200 a. C), Malmstrom informa que ha encontrado que están orientadas en conmemoración del paso cenital del Sol el día 13 de agosto en Izapa. Para lograr esa orientación, sugiere que en San Lorenzo fue utilizado el volcán Zempoaltépec para marcar el ocaso del Sol el día del solsticio de invierno. Luego, comenzando la cuenta de días a partir de ese momento, al cabo de 52 días se orientó la ciudad siguiendo la trayectoria del Sol en ese día, logrando la conmemoración del paso cenital del Sol en Izapa, ya que, según Malmstrom, son 52 días los que transcurren entre el día del solsticio de verano y el del segundo paso cenital en la latitud de Izapa (15° N). En otras ciudades y monumentos de igual manera este investigador considera que se utilizó en algunos casos el orto y en otros el ocaso del Sol, ya fuera en el día del solsticio de verano o en el de invierno, para comenzar la cuenta de 52 días, al cabo de los cuales se orientaba la ciudad. Se puede agregar que posteriormente a Izapa, Copán fue fundada en el lugar que ocupa también para conmemorar esa fecha.

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Números funcionales. Los NF pueden ser números factores persistentemente identificados con las cuentas numéricas mesoamericanas, necesarios para la integración de uno o varios ciclos ajustados (13, 18, 20, 52, 73, 156, 360, 676, 1 040, etcétera). Puede ser cualquier número común necesario para la integración de uno o varios ciclos. Los números 1, 4, 5, 13 y sus múltiplos son factores de la mayoría de los ciclos, con excepción del sinódico de Júpiter (399 días), que no los tiene. En su defecto tiene el 19, que es un número primo y la duración en años del ciclo metónico de la Luna. Al tener como factores también el 3 y el 7, el 399 se podrá engranar con ciclos lunares y del inframundo, pero para engranarse con el tonalpohualli sería necesario alcanzar el MCM 103 470 para lograr su coincidencia. Números factores lunares divisores o multiplicadores. Los ciclos lunares tienen factores especiales, ya que los números involucrados no tienen factores comunes ni con el 260 ni con los ciclos del sistema solar (los planetas), por lo que forman un grupo propio que se comporta como submúltiplos de enlace respecto de las cuentas lunares y el 260. Por ejemplo, el multicitado 11 960: (11 960 = 5 x 81 x 29. 5308), del cual el 81 es un número de enlace lunar (NF) y 29. 5308, su ciclo sinódico (véase la rueda de números de fundamental 9 en el apéndice 2). Números con significado geográfico. La presente investigación señala que existe otro grupo de números compuesto por los que se pueden llamar números con significado geográfico (NSG), que corresponden a los ángulos de la latitud del sitio en donde se observan ciertos fenómenos celestes, 56 por ejemplo la latitud de 15° N de Izapa y Copán, en donde se producen los dos pasos cenitales anuales del Sol que dividen el año en 260 y 105 días. Otro es el importante ángulo intertropical de 47°, determinado por los solsticios de verano y de invierno. Asimismo, los ángulos de orientación de ciudades y monumentos, como el ángulo de 17° que conduce al Omeyocan, la casa

del supremo Dios Dos, el Ometéotl de los aztecas (Margarita Martínez del Sobral, 1992). Otros más, como son los ángulos de los límites eclípticos lunares o solares, como el de 25° del ángulo del límite eclíptico lunar y el de 31 ° del límite eclíptico solar, ángulo que aparece con frecuencia como una V en la frente de algunas cabezas olmecas. Menos común es que esta incisión en las cabezas tenga un ángulo de 52° o 104°, en cuyo caso se referirían al medio siglo o al siglo mesoamericanos. Números de la serie de Fibonacci. Esta serie se forma mediante la adición del número antecedente con el consecuente de la siguiente manera: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etcétera (1, 1 + 1= 2; 2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8; 8 + 5 = 13; 13 + 8 = 21; 21 + 13 = 34, etcétera). Cuando dos números consecutivos de la serie son divididos el mayor entre el menor, el cociente tiende a la constante φ = 1. 618..., número conocido como el número de oro. Esta constante también se puede obtener de la comparación de ciertos periodos astrales; por ejemplo, el ciclo sinódico y el sidéreo de Venus con la Tierra -o aparentemente con el Sol- (585 / 360 = φ = 1. 625; 585 / 365 = φ = 1. 602; 365 / 225 = φ = 1. 622; 365. 25 / 225 = φ = 1. 6233). Aunque el valor de φ - 1. 618..., los mesoamericanos lo tomaron dentro del parámetro 1. 6 a 1. 625, números obtenidos como cocientes al dividir 8 / 5 = 1. 6 y 13 / 8 = 1. 625, en donde 5, 8 y 13 son términos consecutivos de la serie de Fibonacci y números muy empleados en las proporciones de los rectángulos subyacentes en el diseño mesoamericano. La función de los números de esta serie en el arte era la de proporcionar armónicamente las medidas de algunas partes de los monumentos o esculturas, lo cual indicaba así la proporción en la que las criaturas fueron creadas, coincidiendo en esto con el muy occidental concepto de haber sido creado nuestro universo "a imagen y semejanza del Creador", es decir, utilizando la divina proporción. 37 Números constantes. Por último está un grupo constituido por números que se

deben tener presentes y que corresponden, además del de las constantes π y φ, al del grupo de los números irracionales V2, V3 o V5, etcétera, que se utilizaron como módulo de los rectángulos básicos empleados frecuentemente como envolventes reales o virtuales de las obras dentro del diseño mesoamericano. El valor de las constantes π y φ en Mesoamérica puede establecerse en forma tanto exacta como ajustada, lo que quiere decir que para las constantes π y φ existe un valor matemático que en Mesoamérica se encuentra dentro de un rango establecido entre 3 y 3. 25 para π, y de 1. 6 a 1. 625 para φ.

Aunque el valor de φ = l. G18..., los mesoamericanos lo tomaron dentro del parámetro 1. 6 a 1. 625.

Un número puede pertenecer a, o clasificarse como, uno o más de los grupos detallados, según su significado o la función que cumpla en una igualdad. Es conveniente clasificar los números, ya que cada uno expresa una unidad de tiempo que indistintamente puede ser ¿días, años, siglos, eras?, que son simplemente ciclos, aunque por lo general significan días. Un ejemplo se encuentra en el número 52, que puede ser factor de días, años, siglos o eras, o bien significar el medio siglo mesoamericano, que a su vez se puede considerar de 18 720, 18 980 o 18 992. 59 días, de acuerdo con la duración que se le asigne al año: ¿360, 365 o 365. 2422 días?, o el número 676, que representa una era cosmogónica en años y que es el producto de 52 veces 13 tlalpillis, ¿o se trata tal vez de 13 veces el medio siglo mesoamericano?, y éste, ¿considerado de cuántos días? En esta investigación la longitud del periodo se tomará con valores variables, de acuerdo con el que ajuste mejor en su coincidencia con otros ciclos, pero particularmente con el de 260 días. De estos grupos, los que tienen trascendencia para los efectos de proporcionamiento y significado en las obras son los NSA directos o múltiplos y los NSC directos o múltiplos, dentro de los NV que arrojan los volúmenes de las figuras envolventes virtuales de las obras, ya que su presencia en el NV de una obra implica la sacralización o consagración de un ciclo, de una conjunción, de una era.

La función de los números de esta serie en el arte era la de proporcionar armónicamente las medidas de algunas partes de los monumentos o esculturas.

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Aunque éste es un concepto bíblico, se puede aplicar también al pensamiento mesoamericano. Prueba de ello es que los dioses creadores del Códice borbónico están contenidos en un rectángulo perfecto o áureo, cuyos lados están regidos por la divina proporción.


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Sistemas de números La duración del ciclo del año trópico (365. 2422 días) o del año vago (365 días) no es divisible exactamente ni entre 13 ni entre 20, y por lo tanto no se podían enlazar esos ciclos con otros que los tuvieran como factores, lo que provocó que se modificara la cifra de días en el año de 365 a 360 (un tun maya, que a su vez es factor de la era maya), que sí es divisible entre 20 y que corresponde y está de acuerdo con el número de grados en que habían dividido el círculo (o la eclíptica), dejando fuera los días baldíos de Dios o nemontemi. Tampoco son divisibles entre 13 o entre 20 los ciclos lunares, por 10 que se tuvieron que encontrar números muy grandes como MCM (mínimo común múltiplo) de esos ciclos y del tonalpohualli que sí lo fueran, por ejemplo, el gran MCM 11 960 lunar, que es divisible entre 13 y entre 20, así como entre 29. 5308, el valor en días del ciclo sinódico lunar (11 960 / 13 = 920; 11 960 / 20 = 598; 11 960 / 260 = 46; 11 960 / 405 = 29. 5308). Por otro lado, tal vez se trate de una mera feliz coincidencia, pero 11 960 / (47 x 81) = 3. 1415... = π, en donde 81 es una constante lunar y 47, en grados, el ángulo intertropical. Se cree que fue creado el sistema de numeración de base 20 por tener el hombre en sus manos y pies 20 dedos, los que inicialmente se utilizaban para contar (Paulino Romero Conde, 2004). Esta investigación señala que, paralelo al sistema numérico de base 20, debe haber existido también un sistema numérico posicionai de base 10. En el sistema posicionai maya para escribir los números se utilizaron simplemente tres símbolos: un punto o un pequeño círculo con valor de 1, una barra hori-

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Fernando Ximello Olguín considera que el origen de la barra horizontal con valor de 5 se debe a la vista de perfil de una mano, que tiene cinco dedos. Así aparece en el horizonte preclásico y clásico. 59 Anthony F. Aveni, op. cit., pp. 159-164. G0 Tendría significado astronómico si el ciclo sinódico de Júpiter fuese de 400 días, en vez de 399, como ha sido propuesto por Víctor Roldán. 61 Huberto Quiñones Garza, en David Pájaro Huertas, Cinta de Moebio, Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de Chile, núm. 15, diciembre de 2002, p. 16 (http: //rehue. csociales. uchile. cl/publicaciones/mebio/15/pajaro. htm).

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zontal con valor de 5 58 y diversos símbolos que valen 0, entre ellos la figura de una mano cerrada, que representaba un ciclo cerrado y, por lo tanto, terminado (Jacques Soustelle, 1988). En la cultura maya el sistema posicional de puntos y barras permitió alcanzar grandes números, como lo requiere el mínimo común múltiplo (MCM) de varios ciclos astronómicos en coincidencia. Los mayas -y posiblemente toda Mesoamérica- emplearon dos sistemas numéricos posicionales de base 20. Uno, que Aveni llama "comercial", 59 en el que el 400 conserva su posición como tercer multiplicador en la tabla de posiciones, y otra "calendárica", en el que el 400 se cambia a 360, factor también de la era maya de 1 872 000 días y ciclo solar anual ajustado a ese número. Cuando se trata de la coincidencia de ciclos astronómicos se encuentra el solar 360 como factor de sus cuentas en lugar del 400, que no tiene significado astronómico. 60 Uno de los principales aportes de esta investigación es haber encontrado que paralelo al operacional y práctico sistema numérico posicionai de puntos y barras, que en la actualidad es perfectamente conocido por los estudiosos de la matemática maya, existió un sistema de carácter simbólico para transmitirlo. Es bien sabido que los mayas emplearon cabezas como numerales, mas no que ya los olmecas empleaban esculturas pequeñas y cabezas colosales para expresar la duración de ciclos astronómicos solares, planetarios o lunares; de igual modo, todas las culturas mesoamericanas emplearon figuras bi o tridimensionales con el mismo fin (véase la figura II. 9, "Las 20 cabezas que son numerales en las inscripciones mayas"). En el análisis de las obras es indispensable que tanto la lectura geométrico-matemática como la iconográfica coincidan en su significado, pues de no ser así alguna de ellas estará equivocada. La numerología revela que existieron sistemas numéricos en los que felizmente se generaron diversas cifras compatibles con observaciones astronómicas de importancia. 61 En todos los pueblos de Mesoamérica fueron los sabios y la

clase alta los que conocieron e hicieron incorporar en las obras dichos números. No obstante, el pueblo debe haber reconocido y sabido interpretar los principales símbolos que empleaba la iconografía, lo más evidente, la piel del arte: el caso de la imagen guadalupana. Existen registros de progresiones aritméticas (series o sumatorias) en la cerámica popoloca del valle de Tehuacán, 62 que por lo general han sido confundidas con elementos meramente decorativos y tratados como tales, no obstante su importancia. Sin embargo, Ximello Olguín ha logrado encontrar algunos de los números representados en fragmentos de platos de ofrenda que no son decoraciones sino numerales. Para hablar de un sistema numérico se necesita un conjunto de símbolos correspondientes a cada número de la base empleada, el concepto de cero y definir la posición de los símbolos para obtener múltiplos o submúltiplos, ya sea en forma vertical u horizontal. Tal es el caso del sistema numérico de base 20 de los mayas, que reúne estas condiciones indispensables para sistematizar operaciones. Paralelamente a este sistema de base 20 existieron conteos de 13 en 13 (trecenas), de 7 en 7, de 11 en 11, de 23 en 23 y otros, pero que no forman un sistema de números con base 13, base 7, base l i o base 23. Está claro que el sistema numérico en Mesoamérica fue de base 20, utilizando los 20 dígitos que constituyen esa cuenta. El icono correspondiente a cada número está debidamente identificado y establecidas las reglas que rigen la constitución aritmética de las cifras. Además existe una escritura convencional para constituir un número. Todas estas condiciones se cumplen para un sistema vigesimal; 63 sin embargo, ya se dijo que esta investigación apunta a que, paralelo al anterior, también existió un sistema numérico posicionai de base 10, igual al que nosotros actualmente utilizamos. Como ejemplo de la importancia del 20 en Mesoamérica debe recordarse que es factor base del sistema de notación comercial 64 (m x 20n) y que es también factor del

Figura 11. 9. Las 20 cabezas que son numerales en las inscripciones mayas

62

Fernando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán viejo, edición del autor, Tehuacán, 2004; y Naxacé-Tlatlahuite I El ombligo del mundo en Acoquiaco, edición del autor, Tehuacán, 1997. 63 Es importante aclarar que el sistema numérico de base 20 trabajaba con números enteros múltiplos del 20 en la cuenta comercial (y del 18 en la cuenta astronómica), lo que no quiere decir que en Mesoamérica no se comprendiera la existencia de los números racionales e irracionales (fracciones) y que se trabajara también con éstos. 64 Este nombre fue dado por Anthony F. Aveni a la cuenta que no cambia el 20 en la segunda posición del sistema numérico posicionai maya. Le dio el nombre de cuenta astronómica a la que cambia al 18 en la segunda posición del sistema de base 20 maya.


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calendario sagrado de 260 días y del calendario solar de 360 días. El sistema comercial difiere sólo del astronómico por el uso del factor 18 - e n vez del 2 0 - en la segunda posición de la notación maya. En las cuentas del tonalpohualli siempre ha estado presente otro factor de igual o mayor importancia, que es el 13. Su importancia radica en que es el factor indispensable para la sincronía del calendario sagrado de 260 días con los astros que tienen ciclos divisibles entre 13, como los planetas visibles a simple vista, con excepción de Júpiter. Asimismo es factor del gran ciclo lunar de 11 960 días. Se observa que la existencia simultánea de un sistema numérico con base 20 con otro de conteo por trecenas no fue casual, sino perfectamente pensado y estructurado.

65

Huberto Quiñones Garza, "Sobre el ciclo maya de 819 días", op. cit., pp. 59-63. 66 Linda Scheley y David Freidel, Una selva de reyes / La asombrosa historia de los antiguos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 2000, pp. 8S-86.

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El profesor Huberto Quiñones, en un ensayo sobre el ciclo maya de 819 días, 65 propone que los mayas (la presente investigación apunta a que todas las culturas de Mesoamérica) dividían el espacio-tiempo en cuadrantes de cuatro colores, que correspondían a los cuatro rumbos cardinales. 66 En el caso del 3 276, cada cuadrante contenía un periodo de 819 días que se movía hacia el siguiente cuadrante en progresión sucesiva. Esta importante estructuración del espacio-tiempo coexistía con los demás calendarios, entre ellos el popoloca del valle de Tehuacán (Fernando Ximello Olguín, 2004). Quiñones explica la importancia del 819 con fundamentos agregados a los que había dado Thompson en 1943, de que el 819 tenía un carácter ritual, sin descartar alguna manifestación astronómica, y lo descompone en 9 x 9 1 , 7x 117, 3 x 2 7 3 = 3 0 x 2 7 . 3 y 7 x 9 x 13, estos últimos de importancia mística para los mayas. Mediante el 27. 3 (273 / 10 = 27. 3) se está incorporando el ciclo sidéreo lunar en el ciclo de 819 días, antiguo calendario lunar que podía engranar con el tonalpohualli gracias a su factor común, el 13: 819 / 63 = 13 y 260 / 20 = 13, por lo que 819 / 63 = 260 / 20. De ahí que 260 = 8 1 9 x 2 0 / 6 3 .


El empleo de ciclos sidéreos en las cuentas mesoamericanas ha sido muy debatido y rechazado por los arqueoastrónomos contemporáneos, quienes aseguran que solamente fueron utilizados los ciclos sinódicos. En efecto, así fue en la mayoría de los casos, pero el empleo del 819 -que es múltiplo de 27. 3, duración del ciclo sidéreo lunar- parece contradecir estas opiniones (ver el número 819 en el apéndice "Números"). Inicialmente Quiñones propone que el interés de los mayas por el 819 pudo estar fundado en razones de índole aritmética como las siguientes: •

El 819 tiene 10 divisores nones: 3, 7, 9, 13, 21, 39, 63, 91, 117, 273. El 91(novena parte de 819) corresponde a la cuarta parte del año del inframundo de 364 días; el 117, al ciclo sinódico de Mercurio; y el 273, a 10 veces el ciclo sidéreo de la Luna.

•

Sus divisores mayores se descomponen en los menores (273 = 3 x 9 1 , 117 = 3 x 39, 63 = 3 x 2 1 , 63 = 7 x 9 ) . De los divisores mayores (39 para arriba), sólo el 63 no divide en entero entre 13. Los más de los divisores del 819: (13, 39, 91, 117, 273), son divisores también de otros números importantes de la aritmética y calendárica mayas, como el 52 y el 260. El 819 es el número que contiene la mayor cantidad de múltiplos de 13. Cada estación del año dura aproximadamente 91 días, y se observa la presencia del 364: (91 x 4), en el sistema de conteo por trecenas; 819 días abarcan nueve estaciones, o sea, dos años solares más una estación del siguiente, lo que lo hace acorde con la geometría dinámica. En el caso anterior sería la aritmética la que explicaría el movimiento.

• •

• •

Cada una de esas nueve estaciones puede corresponder a cada Señor de la Noche en su descenso al (o en su ascenso del) inframundo. Se recuerda que el 364 corresponde al año del Sol del inframundo, por lo que el 819 debe estar íntimamente ligado a

este ámbito (819 / 9 = 91; 364 / 4 = 91). Multiplicando 819 x 4 = 364 x 9 = 3 276, en donde este último corresponde a tres veces el número volumétrico del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, 1 092 u3. Esta pirámide, en sus dos primeros cuerpos, manifiesta una estrecha relación con el ámbito del Sol del inframundo, lo que está en perfecto acuerdo con la cueva subterránea que se encuentra abajo del centro de la base de la pirámide (ver capítulo x). Los sabios tenían claro que en la cuenta de 3 276 días 67 (4 x 819 = 3 276) sucedía la progresión de los cuatro cuadrantes de 819 días en que dividían el espacio-tiempo. 68 Sabían también que en ese periodo sucedían 111 lunaciones y que en 819 días, 69 siete periodos sinódicos de Mercurio (3 276 = 819 x 4; 3 276 / 111 = 29. 5135). Por otro lado, 819 = 30 x 27. 3 (este último es el periodo sidéreo de la Luna), así que en 3 276 días se habrían registrado 120 de estos periodos. El interés maya en el 819 se comprende solamente dentro de un sistema de conteo por trecenas y no por decenas, como en nuestro actual sistema de base 10; ni por veintenas, como en el sistema vigesimal de la aritmética maya. La importancia del estudio de Quiñones reside en que propone una razón aritmética para el 819: la relación directa del valor de la circunferencia (πD = 819) respecto al 260. Ésta pudo haber sido otra razón para elegir ciclos de 819 días como número calendárico (véase el número 819 en el apéndice 1, "Números"). Considérese un círculo tal que su circunferencia mida 819 (unidades cualesquiera). El valor del diámetro será 260, si π = 3. 15, valor que difiere del π moderno (3. 1415... ) en sólo 0. 0085. Esto le da suficiente exactitud para usos prácticos o arquitectónicos (819 / 260 = π = 3. 15). De todo lo anterior derivan los siguien tes postulados: 1.

En la aritmética mesoamericana se utilizaba un sistema numérico de base 20; sin embargo, existía también un conteo por trecenas y por decenas, como lo

expresa la igualdad 13 x 2 x 10 = 260. La igualdad anterior se puede leer indistintamente como que 13 veintenas son un tonalpohualli -si se toman 13 veces los 20 días del mes mexica, por ejemp l o - o como que 20 trecenas (semanas de 13 días) son un tonalpohualli, si se toman 20 veces los 13 días de la semana mexica. No hay que perder de vista que, aunque se tienen 20 símbolos numéricos, el conteo del tonalpohualli se hace por trecenas que corren paralelas a los 20 símbolos de los días. 2. La cifra de los 260 días del tonalpohualli tenía que sincronizarse en forma directa con los ciclos lunares, planetarios o estelares, por ser el 13 la base fundamental de un sistema en el que se generan cifras compatibles con observaciones astronómicas. 3. Este sistema permitía el manejo del 3. 15 como una muy buena aproximación a π. Quiñones encontró que "A cada circunferencia igual a 819 corresponde siempre un diámetro de 260" 70 (819 / π = 260, donde π = 3. 15). 4. La relación del ciclo de 819 días con jeroglíficos de colores y direcciones hallada por Berlin y Kelley puede identificarse con los símbolos de las estaciones (de 91 días en el año del inframundo de 364 días) como el color de la luz de la Luna con el norte y con la estación de invierno, etcétera. Sin el 13 en un conteo por trecenas y sólo con el sistema de conteo por veintenas no se hubieran podido engranar tantos ciclos celestes en ruedas de números o de múltiplos comunes. Tampoco con la mayoría de los ciclos lunares, que requirieron el empleo de otros factores y, por lo tanto, de otros conteos por grupos de 7, 11, 17, 19, 23, etcétera. Fue la combinación del 20 y del 13 la que permitió a los mesoamericanos conmensurar en números enteros los ciclos astronómicos visibles, formar sus ruedas calendáricas y establecer los principios matemáticos ordenadores del universo en sintonía con los periodos de la naturaleza, lo que es uno de

El 20 fue el número b a s e de sus cuentas y el 13 fue el número de enlace y factor del 260, la unidad por excelencia.

67

E1 3 276 = 3 x l 092. El 1 092 es un número volumétrico que se encuentra como volumen del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. 68 Linda Scheley y David Freidel, op. cit., pp. 85-86. 69 El calendario de 819 días fue un calendario lunar utilizado en el valle de Tehuacán. El que 819 sea 30 veces el periodo sidéreo de la Luna de 27. 3 días contradice la opinión de algunos arqueoastrónomos que consideran que los periodos sidéreos no fueron conocidos ni utilizados por los mesoamericanos. 70 Huberto Quiñones Garza, "Sobre el ciclo maya de 819 días", op. cit.


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los fundamentos de su cosmovisión y su axis mundi. El 20 fue el número base de sus cuentas y el 13 fue el número de enlace y factor del 260, la unidad por excelencia.

El 260 como ciclo unitario, la unidad fundamental del tiempo y del cosmos mesoamericanos Existen varios simbolismos que se refieren a los 13 cielos -concepción cosmológica-, a las 13 constelaciones (concepción astronómica mesoamericana), así como a las nueve divisiones o escalones que había que descender para llegar al inframundo, o tal vez los nueve peldaños de ascenso para llegar a la máxima perfección y desarrollo espiritual (concepción mitológico-mística).

71

Se menciona para fines prácticos la segunda posición, pues se multiplica 20 x 18. Aritméticamente, en la secuencia de notación matemática vigesimal, en realidad es la tercera posición la que se modifica (1, 20, 360). 72 Luis Fernández Peñalosa, comunicación escrita. 73 De ahí la importancia del 23 como multiplicador lunar: 920 = 40 x 23.

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Además de la función aritmético-sacramental que el 13 tiene respecto al ciclo de 260 días, el planteamiento sobre la existencia de sistemas numéricos de base vigesimal y del conteo por trecenas combinados puede reforzarse con razonamientos de diversos enfoques. Para entender el sistema de conteo por trecenas inserto en el sistema vigesimal es necesario distinguir los objetivos principalmente aritméticos del sistema vigesimal, de los objetivos particularmente astronómicos y astrológicos del conteo por trecenas que adecúa las cuentas para las representaciones simbólicas en un orden aritmético dentro del sistema solar. Existe, no obstante, un hecho que no se refiere al 13 sino al 18, empleado como factor múltiplo en la segunda posición 71 de la cuenta larga maya para obtener el 360, y a partir de él continuar multiplicando por 20 hasta la quinta posición, en la que entonces se emplea el 13 para obtener la era maya de 1 872 000 días. Este ejemplo indica la intención del sistema aritmético-sacramental, en la que lo esencial era cómo lo aritmético, como instrumento, se adecuaba a los fines sacramentales para lograr la consagración del número. 72 Mediante el conteo por trecenas los mesoamericanos pudieron calcular los in-

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tervalos correspondientes a los ciclos sinódicos de Mercurio (117 = 13 x 9), de Venus (585 = 13 x 45), de Marte (780 = 13 x 60), de la Luna: 11 960 = 13 x 920 73 (ver el número 23 en el apéndice "Números"), del tonalpohualli (260 = 13 x 20), el ciclo solar que aquí se ha llamado del inframundo (364 = 13 x 28), el ciclo de eclipses (520 = 13 x 40), además de una variedad de ciclos calendáricos ya citados, entre los que sobresalen los siguientes: 52, 65, 104, 676, 819, 1 040, 1 820, 2 340, 2 925, 18 720, 18 980, 37 960 y los que siguen en secuencia (ver capítulos viI, viII, IX, X y XI para la correspondencia de estos números con los NV que se hallaron en los monumentos estudiados). Históricamente ha sido establecida la importancia calendárica del ciclo de 260 días por sobre otros ciclos. El 260, al que se vinculan todos los demás ciclos calendáricos mediante relaciones de multiplicidad, puede ser considerado el ciclo unitario, la unidad fundamental del tiempo y del cosmos mesoamericanos. En él los números 13 y 20 son los factores sacramental y aritmético, respectivamente. En este sentido la equivalencia del 819 respecto a π coloca al 260 como una unidad primordial, en este caso como diámetro de la circunferencia, lo que tiene una clara coherencia simbólico-geométrica. Se recuerda que el 260 está relacionado con el periodo de gestación del ser humano y que es mediante el diámetro del círculo que en la geometría dinámica se logra la gestación de todas las formas geométricas que subyacen en el diseño de la arquitectura y el arte mesoamericanos.

Sincronía de ciclos, engranaje de ruedas, conjunciones y lubes Se pueden emplear indistintamente los términos sincronía de ciclos, engranaje de ruedas, conjunciones o lubes, pues para esta investigación significan lo mismo: que dos o más ciclos, después de un cierto número de vueltas, regresen al mismo punto de partida.

Este lugar de reposo para los mayas es lo que en yucateco significa lub. El término fue empleado por Thompson en Un comentario al Códice de Dresde para significar lugar de encuentro y de reposo para los astros en su eterno peregrinar por los cielos. Fernández Peñalosa hace notar que se ha incurrido en confusiones en los intentos por determinar las relaciones numéricas entre los ciclos astronómicos mesoamericanos o el contenido de calendarios e inscripciones a partir de los valores referidos por fuentes históricas. Por ejemplo, algunas fuentes se refieren al tlalpilli (ciclo de 13 años) como uno de los periodos más importantes en Mesoamérica, y para ello se argumenta que en 13 años de 360 días (4 680 días) se sincronizaban o alcanzaban el lub cinco periodos astrales: el de Mercurio, el tonalpohualli, el año civiI de 360 días, el ciclo sinódico de Venus y el ciclo sinódico de Marte (4 680= 117 x 40, 260 x 18, 13 x 360, 585 x 8 y 780 x 6). Pero al contrastar estos datos con el año de 365 días - a u n sin la intercalación de los cuatro para el bisiesto- ninguno de los ciclos engrana con 13 años reales, pues 13 años de 365 días resultan ser 4 745 días, es decir, a 65 días de distancia de la cuenta en la que Mercurio, Venus, Marte y el tonalpohualli podían engranar, pero lejos del ciclo solar. En esta lógica, ¿es el 4 680 un NSA? No. Se trata entonces de un número calendárico. Errores como éste se amplifican cuando se aplican a periodos de 52 y de 104 años -o mayores- por no discernir las funciones de los números con los que se está trabajando o adoptar arbitrariamente valores que, al pasar de lo astronómico a lo calendárico, arrojan incongruencias. Lo mismo se aplica a los intervalos de los planetas dentro de las ruedas de números. Si bien es cierto que se buscaba intervalos conmensurables, para que éstos tengan sentido deben representar los periodos astronómicos sin mayores excentricidades, a fin de que la coincidencia de eventos celestes se cumpla y preserve; si no, se pueden obtener números falsos.

Antes del inicio de la creación, de acuerdo con la cosmovisión mesoamericana, se puede imaginar que todos los astros -y por lo tanto todas las ruedas de númer o s - coincidían en un punto cero, por no existir el movimiento, pero simultáneamente a la creación del tiempo se creó el espacio, cuando cada astro comenzó su recorrido por el firmamento.

Históricamente

ha sido establecida la importancia calendárica del ciclo de 260 días p o r sobre otros ciclos.

Cuando dos o más astros pasaban al mismo tiempo por el punto inicial (conjunción, llegar a un lub), se cerraban sus ciclos; entonces era el momento de calcular el número de vueltas que tendrían que dar para volver otra vez a coincidir en el punto de inicio (su sincronización en la siguiente conjunción). Mas llegaría el día en que todos los astros coincidirían en ese punto, marcando el fin del movimiento y de la vida, a menos que la voluntad de los dioses fuera que los astros siguieran su curso y que se iniciara una nueva era. Fue vital para los habitantes de Mesoamérica llevar una cuenta correcta del tiempo para poder predecir correctamente el futuro; de ahí la exactitud de sus registros. Psicológicamente los habitantes estaban predispuestos a esperar la repetición del evento cíclico y aun a crear subconscientemente las condiciones necesarias para obtener el resultado augurado por los adivinos. Las predicciones eran tenidas por absolutamente ciertas, lo que explica la amistosa recepción que Moctezuma II hizo a Cortés a su llegada a Tenochtitlan y, finalmente, el destino de México. El tiempo para los occidentales es un proceso lineal recto originado en el pasado que, tocando el presente, va hacia el futuro. Para los orientales y mesoamericanos el tiempo era circular, tendiendo a repetirse los eventos de la naturaleza en forma cíclica. En esta característica de ciclicidad se basaban los agoreros para predecir el futuro, pensando que, en caso de ocurrir algún hecho relevante en un momento o fase determinada de algún ciclo celeste, ocurriría un acontecimiento similar en la Tierra cuando los astros llegaran a idéntica posición relativa.


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Para los orientales y meso americanos el tiempo era circular, tendiendo a repetirse los eventos de la naturaleza en forma cícliea.

El lingüista José Barriga Puente, citando a Mircea Eliade, habla sobre la característica de ciclicidad: Como es sabido, la característica de ciclicidad fue elevada por muchas sociedades a la categoría de cosmovisión. Al respecto, Mircea Eliade postula la existencia de una ontologia arcaica, constituida por tres componentes fundamentales. El primero es un arquetipo cosmogónico, estructurado a partir de la secuencia caos-cosmos-caos, reciclada a perpetuidad. El segundo es la fijación simbólica del centro, a la manera de un axis mundi. El tercero tiene que ver con el establecimiento del ritual, o sea, con la repetición del acto creador original en un espacio y tiempo sagrados, lo cual obliga a la destrucción del orden establecido y a la consecuente restauración del caos primordial. Sobra señalar que esta ontologia arcaica garantiza la inmortalidad a través de la fórmula del nacer, morir y renacer. ... resulta razonable afirmar que el significado no cuantitativo de los números mayas es adecuado a la ontologia arcaica, propia de quienes consideran que las acciones y los objetos son importantes en la medida en que imitan y repiten un modelo primordial. Así entonces, el despliegue de las significaciones numéricas de los antiguos mayas es como una lluvia de flechas disparadas al blanco de la abolición del pasado, al de la restauración del caos primordial y al de la repetición del acto cosmogónico. 74

74

Francisco José Barriga Puente, op. cit., p. 94. 75 Zelia Nuttall, op. cit., p. 100.

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Una vez registrados con números los eventos celestes, pudieron ser conectados con eventos de la historia y necesariamente con los 260 días del calendario augural o tonalpohualli, que regía el destino de los hombres desde su gestación. 75 Entonces concibieron las medidas y proporciones que utilizaron en la creación del arte, particularmente la arquitectura, siguiendo los paradigmas celestes que iban descubriendo. Fue un logro genial haber plasmado en los volúmenes envolventes virtuales de sus obras los números que transmitían sus ideas y adelantos en la geometría, las matemáticas y la astronomía.

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Algunos ejemplos de esa presencia o registro numérico son la manifestación de cifras en los sistemas de notación; la creación de glifos para representar números que simultáneamente pueden tener valores fonéticos o emplearse como palabras y, además, simbolizar divinidades; el empleo de puntos, círculos, rayos, etcétera, para representar unidades de valor o números que remiten a un orden geométrico o matemático, o ambos. En algunos casos este tipo de elementos expresa un mensaje del que solamente se ha comprendido que se trata de elementos numéricos o que tienen una disposición geométrica; en otros casos, en los que se ha logrado la decodificación del mensaje, se encuentran manifestaciones de la importancia del registro numérico significante. Una muestra notable es la Piedra del Sol, calendario azteca de gran complejidad que no ha sido decodificado del todo, formado por ruedas de símbolos que representan días, eras, etcétera, determinados por el tamaño y disposición geométrica de los círculos, rayos y glifos que funcionan como numerales y que están presentes en cada rueda, y por las relaciones de orden, magnitud y asociación aritmética implícitas entre dichos elementos. El registro de números en sus diversas expresiones trascendió la intención de referir fechas o cuentas calendáricas: también llevaba implícita una asignación simbólica o mítico-religiosa en ciertos números, por ejemplo, el 585 en el quincunce del calendario venusino, el 13 como factor del sistema solar o el 4 de los soles o eras cosmogónicas.

Las ruedas de números y los ciclos astrales Las series o ruedas de números. Se aclara que la propuesta del empleo de ruedas de números, si bien puede no ser aceptada para explicar cómo operaron los astrónomos mesoamericanos por carecer de evidencias objetivas históricas, por lo menos facilitará la comprensión del tema. Aunque

históricamente no se ha encontrado evidencias de ruedas de números como tales, para explicar su sistema numérico se emplearán series o progresiones aritméticas diversas comprendidas en aquéllas. Se acude a las ruedas de números con el fin de poder relacionar o hacer coincidir de manera objetiva los ciclos planetarios, solares o lunares entre ellos mismos y entre ellos y el tonalpohualli. Además de la rueda de números de base 20 -número básico de sus cuentas y factor del tonalpohualli de 260 días-, la más importante fue la del 13, por ser también factor del 260. Otras series importantes y comunes son las del 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 23, 73 y sus múltiplos, siendo las más frecuentemente empleadas para lograr coincidencias, engranes o sincronías de ciclos, lo que equivale a llegar a un lub. 77 Estas series son las que dan lugar a las ruedas de números, que muestran cómo se enlazan, relacionan o hacen coincidir unos ciclos con otros (ver figuras 2. 1 a 2. 8, "Ruedas de números", en el apéndice 2). Las series o ruedas de números pudieron haber sido creadas para formar el corpus de la numerología mesoamericana. Teóricamente existen varias series o ruedas de números con las cuales se pueden engranar o hacer coincidir los principales ciclos astronómicos. De la investigación se desprende que desde el inicio de la numerología los sabios mesoamericanos deben haber decidido que estos ciclos estuvieran necesariamente relacionados con el tonalpohualli, por lo que tuvieron que ser los números factores del 260, o el mismo 260, los números básicos o fundamentales de las series. Las de base 13 o 20 relacionan los eventos solares con los ciclos sinódicos planetarios de Mercurio, Venus y Marte con el calendario adivinatorio y son los más fáciles de hacer coincidir con el tonalpohualli, precisamente por tener como factores el 13 o el 20. La serie del 9 contiene números tanto solares como lunares y factores del tonalpohualli, pero será mediante la serie del 73 que se logre la relación del ciclo solar ajustado de 365 días con el tonalpohualli. Al respecto Thompson afirma:

También se tabulan múltiplos de periodos largos, a su vez múltiplos de 260, que sirven de marco para el material sobre Venus y la Luna. A decir verdad, en el libro no hay ciclo que no sea de 260 días o que no esté vinculado a un múltiplo de éstos, como es el caso del año de 364 días. Para mayores detalles, véanse Forstermann (1901, 1906), Thompson (1950, pp. 252-261) y Nowotny (1962-1963). 78

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Fue un logro genial

haber plasmado en los volúmenes envolventes virtuales de sus obras los números que transmitían sus ideas y adelantos en la geometría, las matemáticas y la astronomía.

La relación del tonalpohualli con el 364 no es evidente. Se tendrá que llegar al MCM 1 82079 para encontrar la coincidencia de 364 con 260. La era lunar de 1 820 000 días aparece en la rueda de números del 7 (lunar) y es un número de coincidencia del 364 (año del Sol del inframundo) y sus múltiplos. La combinación de los factores 7 y 13 dio pie al concepto mesoamericano del inframundo, cuyo número calendárico representativo por excelencia es el 364, cifra en la que intervienen esos factores (364 = 4 x 7 x 13 = 28 x 13 = 52 x 7). Por tener el 364 como factor el 52, se puede considerar como un número solar del Sol del inframundo, pues el 52 es predominantemente solar y, considerado en días, factor del tonalpohualli. Siendo así, el Sol del inframundo es un sol con características lunares (ya que tiene el 7 como factor), diferente del Sol del supramundo en una unidad (365 días - 364 días = 1 día). En la diferencia se encuentra la unidad. 80 Otra rueda de números importante fue la del 9, ya que la combinación del 13 y el 9 como factores permitió llegar al 11 960, MCM que tiene factores solares (13, 52), lunares (29. 5308) y planetarios (9) (11 960 = 9 x

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Se infiere que la rueda de números de base 20 también funciona para la de base 10. 77 Lub es una palabra yucateca que significa lugar de descanso. Allí, en las encrucijadas celestes, al lub llegaban los númenes de los astros a depositar e intercambiar sus pesadas cargas de tiempo y destino. Thompson la emplea con frecuencia en Un comentario al Códice de Dresde, op. cit. 78 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 64. 79 El 1 820 se encuentra en el Códice de Dresde como lapso para la recuperación del lub de la serie del 91. 80 Zelia Nuttall, op. cit. Menciona que había entre los mesoamericanos la creencia de que había un sol oscuro, el que no daba luz, y el Sol luminoso, lo que aquí se ha llamado Sol del inframundo y Sol del supramundo.


59

9 x 5 x 29. 5308 = 13 x 920 = 2 x 23 x 260 = 10 x 52 x 2 3 = 4 x 10 x 13 x 23). Otro ciclo calendárico importante fue la era cosmogónica de 676 años, que tiene como factores el 13 y el 52, y como sumandos el 364 + 312; el primer sumando (364) corresponde al Sol del inframundo, ámbito de Tláloc, y el segundo (312) al falso Sol que alumbró al mundo durante 312 años, 81 el número de Chalchihuicueye, la parte femenina de Tláloc. Emplear ruedas de números para conteos de varios números (7, 9, 11, 13, 17, 23 y 260)82 permite acercarse a la magia de los números sagrados en Mesoamérica y trascender los fines puros de la aritmética para observar que los ciclos astronómicos, ya fuesen NSA o NSC en el contexto de su cosmología mítica, dieron forma a sus calendarios y se convirtieron en números de consagración. El 1 092: (3 x 364), es número lunar, además de ser solar del inframundo (1 092 / 7 = 156, 1 092 / 364 = 3). También lo es del Sol del supramundo 83 (1 092 / 21 = 52, el medio siglo mesoamericano). El 1 092 corresponde al volumen del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, en unidades a la manera indígena (ver capítulo X). Una de estas tablas está en las páginas 63 (mitad derecha) y 64. Como es habitual en esas distribuciones, la tabla empieza en el ángulo inferior derecho de la página, prosigue

81

Cecilio A. Róbelo, Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México, 1982, en la entrada "Chalchihuicueye". 82 En esta investigación se ha vislumbrado que pudieron haber tantas ruedas de números como números existen. Además de las ya mencionadas, tal vez fueron empleadas otras, como la del 11 y la del 17. 83 El Sol del supramundo es el que está por arriba del horizonte, o sea, el Sol que aparece en el cielo durante el día. El Sol del inframundo es el que está por abajo del horizonte, es decir, el Sol que desaparece del cielo durante la noche. El año del Sol del supramundo es de 365 o 365. 25 días, mientras que el año del inframundo lo es de 364. Las unidades solares del siglo y medio siglo mesoamericanos y sus múltiplos se refieren al Sol del supramundo. Las unidades lunares de siete días y sus múltiplos, 364 días y sus múltiplos, se refieren al Sol del inframundo. 84 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 63 (400 x 364 = 145 600, que es múltiplo de 260. El 91 se encuentra en las ruedas del 13 y del 7: 13 x 7 = 91.

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de derecha a izquierda y continúa hacia la derecha, en la siguiente sección superior de la página. Los lubes son 3 Kan, 3 lx, 3 Cimi, 3 Chicchan y 13 Akbal, días alcanzados por los números de serpiente en las páginas 6162. La distribución es: todos los múltiplos de 91, de 1 a 20, señalando este último la reaparición de los lubes al cabo de 1 820 días, el mínimo común múltiplo de 260 y 364. Luego vienen 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 20 (?), 40 (?), 60 y 80 veces 1 820 días (5. 1. 0). El último número de la tabla también es 400 años de 364 días. 84 Las ruedas de números son auxiliares para multiplicar por el número que se considera como fundamental de esa rueda por otro número cualquiera. Pueden emplearse para hacer las cuentas fáciles y objetivas, y como un registro de los NSA y NSC comúnmente empleados en la aritmética mesoamericana. Por eso se utilizaron las series de números para formar el corpus de la numerología mesoamericana. La primera rueda de números que aquí se estudia es la que tiene como fundamental el 20, en un sistema de base y para un conteo por veintenas (ver figura 2. 6). El sistema consiste en colocar al centro de la rueda su número fundamental. A su alrededor se colocan los números del 1 al 30. Se multiplica el número central por 1, 2, 3, etcétera, hasta llegar al 30, y se colocan los números obtenidos en el siguiente círculo. La siguiente vuelta de la rueda contiene los productos del número fundamental multiplicado por 2; la tercera, por 3; la cuarta, por 4; etcétera. De esta manera se obtienen ciertos ejes (rayos o sectores) que particularmente agrupan a muchos ciclos astronómicos o a sus múltiplos. Se puede observar que en las ruedas de números existen ciertos ejes, sectores o rayos en los que aparecen con mayor frecuencia los números que se han encontrado como NSA o como NSC, o como factores de los NV de los volúmenes de las envolventes virtuales de las obras analizadas. Para obtener así la rueda de números para un conteo por trecenas se procede de

acuerdo con el sistema, pero teniendo como fundamental al centro el número 13. De igual manera se procede para cualquier rueda de números cambiando el número central por el que será la fundamental del conteo. Una vez concebidas las ruedas de números para el conteo por veintenas, por trecenas o por cualquier otro que proporcione los números de ciclos solares y planetarios, para integrar las cuentas lunares se tuvieron que agregar otras ruedas de números, como las de conteos con números como el 5, 7, 11, 17, 23 y otros. Entre éstas tal vez una de las más importantes haya sido la del conteo por septenas (o por grupos de 7 en 7). Sin duda la más importante fue la del conteo por 260, pues esta investigación demuestra que el 260 es el número de mayor importancia en Mesoamérica. La serie del 7 (ver figura 2. 1) apunta al 10 920, que es múltiplo del ciclo sidéreo de la Luna (27. 3 días): 10 920 = 400 x 27. 3. Por otro lado, el 10 920 = 30 x 364, lo que lo relaciona con el inframundo. Esta rueda de números tiende al 1 820 000 o era lunar. La serie del 9 (ver figura 2. 2) apunta tanto al 144 000 como al 1 872 000, un baktún y la era maya, respectivamente. En la rueda de números en fundamental 9 se observa que el sector que produce mayor cantidad de números astronómicos es el que multiplica el 9 x 26, ya que este sector tiende tanto al 144 000 como al 1 872 000 o era maya. La rueda de fundamental 11 (ver figura 2. 3) indica que un NF es en este caso multiplicador. Sin embargo, 11 x 95 = 1 045 = 5 x 1 1 x 1 9 , en donde el 19 corresponde al ciclo metónico de la Luna en años y 1 001 = 11 x 91, en donde 91 = 364 / 4, lo que lo relaciona con la Luna, como también con el inframundo. La rueda de fundamental 13 (ver figura 2. 4) tiene la mayor cantidad de NSA y NSC en los sectores cuyo primer multiplicador es el 9, 12, 20 y 30, como era de esperarse. La rueda de fundamental 17 (ver figura 2. 5) como factor más importante tiene el 27. 2, que corresponde al ciclo dracónico de

la Luna, en el rayo o sector cuyo principal multiplicador es el 20. Por eso se ha dicho que el 17 está relacionado con eclipses. La rueda de fundamental 20 (ver figura 2. 6) tiene en los sectores, cuyos multiplicadores iniciales son 13 y 26, a aquellos que contienen la mayor cantidad de NSA y NSC. Esta rueda de números tiende al 144 000 (un baktún) y al 1 872 000 (era maya). La rueda de fundamental 23 (ver figura 2. 7) tiende al 11 960, MCM que contiene al 29. 5308 del ciclo sinódico lunar (11 960 = 23 x 2 x 260 = 405 x 29. 5308). El 23 es NF. La rueda de números de fundamental 260 (ver figura 2. 7) es la más importante de todas, ya que contiene la mayor cantidad de NSA y NSC, pues comparten las ruedas de números que tienen como fundamentales el 13 y el 20. La serie del 260 apunta al 1 872 000, que es la duración en días de la era maya: 1 872 000 / 7 200 = 260 (ver figuras 2. 4 y 2. 6). En la era maya están contenidos los ciclos sinódicos de Mercurio (1 872 000 / 117 = 16 000), el ciclo sinódico de Venus (1872 000/585 = 3 200) y de Marte (1872 000/ 780 = 2 400). De igual modo está contenido el ciclo solar ajustado a 360 días (1 872 000 / 360 = 5 200), el medio siglo y el siglo mesoamericanos (1 872 000 = 52 x 360 x 100 y 1 872 000 = 104 x 360 x 50), la constante φ (1 872 000 / 1 156 984= 1. 6179) y la constante π (1 872 000/595 894 = 3. 14149... ). Lograron la coincidencia de la era maya de 1 872 000 días con el año trópico, dándole a éste un valor de 365. 2326 días (1 872 000 / 5 125 = 365. 2682 y 1 872 000 / 5 126 = 365. 1970). El promedio es de 365. 2326 días, número aproximado a la duración real del año trópico: 365. 2422 días. Cuentas astronómicas y cuentas calendáricas. En las cuentas astronómicas y en las cuentas calendáricas sobresale que ambas disciplinas se deben haber practicado con base en principios comunes para el cálculo, tal vez mediante el ordenamiento de las cuentas en ruedas de números múltiplos y el imprescindible 260 como unidad fundamental y factor común. Pero esos principios de cálculo tenían objetivos diferentes,


Las r u e d a s de números tienen como propósito conmensurar y e n g r a n a r varios ciclos de forma precisa o de forma ajustada.

por lo que se debe hablar de dos disciplinas: los calendarios tenían como objetivo contar el tiempo y fecharlo, en tanto que el objetivo de las cuentas astronómicas era establecer los intervalos de tiempo entre fenómenos, independientemente de sus fechas, aunque éstas fueran la referencia temporal registrada en los calendarios. Ambas disciplinas y ambos objetivos están imbricados, pues es del ciclo solar de donde se desprende la unidad básica de tiempo: el día. 85 Sin embargo, los ciclos de los diferentes cuerpos o eventos celestes requerían registros de tiempo vinculados con la unidad básica, pero con intervalos no necesariamente iguales a los calendárteos, pues la naturaleza de su periodicidad es distinta a la de las unidades cronológicas calendáricas mesoamericanas. Un ejemplo de esta diferencia es la relacionada con la discusión sobre la existencia en Mesoamérica de un mecanismo de ajuste del año trópico mediante la intercalación de un día adicional cada cuatro años (equivalente al año bisiesto) o la intercalación de 12 o 13 días cada 52 años para ajustar el año civiI (365 días), el año trópico (365. 2422

85

El día no es la única unidad de tiempo, si atendemos la existencia de calendarios solares y lunares o unidades cronológicas mayores, tales como el mes, el año, el siglo, etcétera. Existe la propuesta de algunos investigadores en el sentido de que la noche era el momento de registro de la unidad de tiempo, equivalente al día. 86 Manuel Orozco y Berra, Códice mendocino, ensayo de descifración jeroglífica, "viI. Intercalación-comparación", Anales del Museo Nacional, 1a época, 1. 1, México, 1877, p. 57. 87 Iván Sprajc, Orientaciones astronómicas en la arquitectura prehispánica del centro de México, Instituto Nacional de Antropología e Historia, "Colección Científica", serie "Arqueología", México, 2001, pp. 133-155. Este autor presenta un análisis crítico de los planteamientos que diferentes investigadores han realizado respecto de posibles mecanismos de intercalación, correlación o ajuste cronológico. Independientemente de las dudas que expresa sobre cada planteamiento, concluye afirmando: "no cabe duda de que los especialistas mesoamericanos, al emplear calendarios observacionales tan precisos como lo parecen indicar los alineamientos, conocían la relación entre los años trópico y calendárico con bastante exactitud" (p. 152). 88 virginia Gudea (coord. ), "El historiador frente a la historia / El tiempo en Mesoamérica", en Federico Navarrete Linares, ¿Dónde queda el pasado? / Reflexiones sobre los cronotopos históricos, Instituto de Investigaciones Históricas de la UNAM, México, 2004, p. 41. "Todavía nos falta mucho por conocer de estas diferentes concepciones del espacio-tiempo histórico en Mesoamérica, además de otras que aún no hemos podido identificar... En esta ocasión me concentraré en dos características que me parecen esenciales de los diferentes cronotopos mesoamericanos... La primera es la importancia de la idea de los turnos sucesivos y regulares en el tiempo y en la historia. La segunda es... el reconocimiento por los mesoamericanos de la existencia de una pluralidad de tiempo y cronotopos que convivían entre sí. "

62


días) o el año astronómico de 365. 25 días. A ese respecto Orozco y Berra sostuvo: Pruebas sólidas demuestran que en el sistema del calendario de los mexicanos existía un método de intercalación; quienes lo niegan no estudiaron o no entendieron bien el problema. ¿Pero la intercalación era de un día cada cuatro años o de 13 días a\ cabo del periodo de 52 años? Respondemos que de ambas maneras. Los mexicanos llevaban dos especies de calendario: el astronómico y el civiI o ritual. En el calendario astronómico, para atender el movimiento de los astros, la intercalación se hacía de cuatro en cuatro años... tenía lugar la intercalación de 13 días al fin del ciclo de 52 años en el calendario civiI. 86 Luego de los métodos de intercalación que detalla Manuel Orozco y Berra se explica que la sincronización del año trópico con el astronómico se realizaba suprimiendo ocho días después de un periodo de 1 040 años (20 ciclos de 52 años). La cita apunta a que, más allá de la veracidad o inexactitud del planteamiento de intercalación, se realizaba el orden de las cuentas con objetivos diferentes. 87 Los diversos valores de los ciclos astronómicos y calendáricos, aun cuando hayan sido reducidos a intervalos conmensurables vinculados al 260 o, precisamente por ello, requirieron un seguimiento y registro particulares. Es factible que esto se haya realizado empleando ruedas de números simultáneas para cada planeta y cada ciclo temporal de interés, que eran verificadas y corregidas periódicamente. 88 Varias de estas ruedas pueden funcionar simultáneamente. Como una o varias vueltas de las diferentes ruedas se sucedían en la vida de un astrónomo, se puede mencionar que el periodo de 52 años, que según algunos autores servía para realizar el ajuste del año trópico mediante la intercalación de días, engranaba con varios ciclos planetarios y calendáricos (18 980 = 365 x 52 = 260 x 73 = 32. 5 x 584) con el periodo de 2 920 días (2 920 = 5 x 584 = 8 x 365) y con el periodo de 2 340 días (2 340 = 9 x 260 = 4 x

585 = 3 x 780 = 20 x 117). Un caso especial es el periodo de 11 960 días (32 años y 272 días), cuyo objetivo era registrar el gran ciclo lunar exacto (11 960 = 46 x 260 = 405 x 29. 5308). Las ruedas de números tienen como propósito conmensurar y engranar varios ciclos de forma precisa o de forma ajustada. Estas ruedas, de las que varias pueden correr simultáneamente, se refieren a sincronizaciones planetarias a largo plazo que no podían ser abarcadas en la vida de un astrónomo, por lo que su registro debió ser una actividad heredada a generaciones sucesivas, empleando sus elementos de observación, sus calendarios y el sistema de la cuenta larga de notación vigesimal,

que permite cálculos y manejo de cifras enormes con relativa facilidad. Como ejemplos pueden mencionarse el periodo de 486 89 años de 365. 2489 días, que en esta investigación se ha llamado gran ciclo de tránsitos de Venus, y que es el mismo que aparece en la sincronización de los ciclos del Sol-Venus-Mercurio-Júpiter, según la siguiente igualdad: 177 511 = 304 x 583. 92 = 1 520 x 116. 78 = 445 x 398. 9 = 486 x 365. 2489 = 365. 2422. Y la era cosmogónica de 676 años de 365. 2421 días, en sincronía con Júpiter y el Sol: 676 = 52 x 13 = 11. 86 x 57; 246 903. 72 = 365. 2422 x 676 = 365. 2422 x 11. 86 x 57 y la era maya de 1 872 000 días, que registra la sincronía de casi todos los ciclos (ver el cuadro final del capítulo III).

89

El 486 es el gran ciclo de tránsitos de Venus, ciclo doble representado en la espalda de la escultura del llamado Xólotl (en verdad Tlahuizcalpantecutli), en el Landesmuseum de Sttutgart, Alemania. Se forma, en años, de los periodos siguientes: 8 + 105. 5 + 8 + 121. 5 + 8 + 105. 5 + 8 + 121. 5 = 486.


63

III. De los ciclos solares, planetarios y lunares

El m a r c o t e ó r i c o

1

2

3

Johanna Broda, Stanislaw Iwaniszewsky y Lucrecia Maupomé, "Arqueoastronomía y etnoastronomía en Mesoamérica", en Yólotl González Torres, Los precursores de los estudios sobre los astros en Mesoamérica, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 1991, pp. 13-23. Se refiere a los escritos y estudios sobre calendarios y sobre la astronomía en Mesoamérica de Carlos de Sigüenza y Góngora, en el siglo Xvi; de Antonio León y Gama, Lorenzo Boturini y Francisco Clavijero, en el siglo XviII; y de Manuel Orozco y Berra, Alfredo Chavero y Francisco del Paso y Troncoso, en el siglo XIX, entre otros. El doctor Jesús Galindo Trejo es colaborador de la revista Arqueología Mexicana, para la que ha escrito varios interesantes artículos; entre otros, "La observación celeste en el pensamiento prehispánico", vol. viH, num. 47, enero-febrero de 2001, pp. 29-35. Francisco del Paso y Troncoso, t. II, Ensayo sobre los símbolos cronográficos de los mexicanos, Anales del Museo Nacional, Ia época, México, 1882. A menos de que existan autores que hayan presentado previamente planteamientos sobre los métodos y el desarrollo de la astronomía en Mesoamérica, podría decirse que Francisco del Paso y Troncoso es el padre de la arqueoastronomía moderna.

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ioneros de la astronomía en México. El estudio formal de la astronomía se inició en México hace por lo menos cuatrocientos años, 1 con hombres tan prominentes como Carlos de Sigüenza y Góngora, en el siglo Xvi; Antonio León y Gama, Lorenzo Boturini y Francisco Clavijero, en el siglo XviII; y en el XIX, Manuel Orozco y Berra, Alfredo Chavero y Francisco del Paso y Troncoso, entre otros; en el XX, Johanna Broda, Stanislaw Iwaniszewsky, Lucrecia Maupomé, Anthony F. Aveni y Jesús Galindo Trejo, 2 además de otros muchos. En 1882 Francisco del Paso y Troncoso 3 fundamentó que la astronomía mesoamericana había sido desarrollada mediante métodos de observación a simple vista, empleando marcadores arquitectónicos y elementos topográficos circundantes en el horizonte para referir posiciones y periodos con los que determinaron el ciclo solar y otros ciclos celestes mediante cuentas de días. Del Paso y Troncoso, además, analizó detalladamente las relaciones calendárico-astronómicas a través del número, haciendo hallazgos relevantes en la materia. También fue él quien hizo una magnífica interpretación del Códice borbónico. A lo largo de los siglos los estudiosos han hilvanado las múltiples evidencias y expresiones de ese conocimiento para tratar de entender su importancia, planteando hipótesis desde diferentes ángulos para explicar el peso de la astronomía en Mesoamérica; sin embargo, en las hipótesis principales emitidas no existe consenso sobre la forma en que sus concepciones astronómicas gravitaban en su cultura y en su estructura y proceso social. Existen evidencias documentadas de que los mesoamericanos confirieron a sus obras ciertos atributos para manifestar o reflejar el orden celeste a través

de una relación de epifanía, sincronía, semejanza o representación, con sentido de consagración. Los atributos eran conferidos, según la obra, a través de su ubicación, trazo urbanístico, orientación, diseño, proporcionamiento y recursos expresivos plásticos, iconográficos o epigráficos, con un sentido metafísico que fusionaba sus creaciones con la naturaleza. Los antiguos documentos calendáricos americanos revelan que entre sus logros intelectuales estaban las matemáticas y la astronomía; a decir verdad, se consagraban fanáticamente a estas disciplinas. Para ellos el tiempo era un sistema natural y cada día estaba marcado por un complejo laberinto de ciclos interminables. 4 Es poco probable que los mesoamericanos hayan realizado actividades tan colosales y extraordinarias de creación artística y arquitectónica sólo como resultado del manejo político de sus jerarquías y no con la intención de reflejar el orden cósmicoterrenal, consecuencia de una cosmovisión compartida por el pueblo. Se puede pensar que a esas magníficas obras se les confirió, mediante el número, un sentido de consagración ritual a lo divino-celeste. Los números en los códices mayas de contenido calendárico y ritual. Los códices mayas de contenido calendárico y ritual son los conocidos como de Dresde, de Madrid y de París. Existe otro semejante a los anteriores, el Grolier (siglo Xlll), dado a conocer por Michael D. Coe en 1973, que algunos especialistas no consideran auténtico. 5 Los números volumétricos (NV) de las creaciones tridimensionales del arte mesoamericano fueron comparados con los contenidos en Un comentario..., de Thompson, encontrándose que todos son múltiplos o submúltiplos de los que están registrados en ese códice, algunos como calendáricos y otros como de enlace o de intervalo de días. 519 glifos calendáricos y 976 no calendáricos; 308 glifos fueron de dioses y diosas a los

que se agregaron animales y aves en papeles divinos: glifos de acción (284); glifos adivinatorios (269); glifos abstractos como signos de direcciones, cielos, tierra, milpa, etcétera (55); glifos de colocación dudosa (60). 6 Siendo los números de significado astronómico (NSA) y los números de significado calendárico (NSC) que aparecen en el Códice de Dresde7 los mismos que los plasmados en los volúmenes de las envolventes de las esculturas de pequeño formato olmecas y de otras culturas, de las cabezas colosales, del monumento solar representado en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer y en las pirámides aquí estudiadas, todos sujetos de esta investigación, se puede inferir que esos números fueron conocidos y utilizados de manera continua durante cerca de tres milenios. Las observaciones astronómicas registradas deben haberse comenzado mucho antes de 1200-800 a. C, lapso en el que se dice fueron esculpidas las cabezas colosales olmecas. De acuerdo con el resultado del estudio de estas cabezas (ver cap. Vlll), para entonces ya estaban bien determinados los ciclos sinódicos de los planetas visibles a simple vista, así como los trópicos de Cáncer y de Capricornio, el Ecuador celeste, la trayectoria del Sol en el firmamento o eclíptica, los pasos del Sol por el cénit, etcétera, por lo que se puede decir que las culturas posteriores a los olmecas sólo confirmaron las observaciones astronómicas y predicciones astrológicas ya logradas. 8 En la iconografía de las esculturas prehispánicas se distinguen como astrónomos los personajes que portan gorros diversos que cubren sus cabezas, como los cascos de las cabezas colosales olmecas, entre otros. Analizando los gorros o cascos, así como las orejeras que portan, se puede saber cuáles eran los astros que esos hombres observaban. El doctor Jesús Galindo Trejo nos dice que "Los mesoamericanos idearon una manera de rendir culto a las deidades que habitaban en el firmamento". 9 Esto se logró, entre otras cosas, al incorporar en las esculturas los atributos de los dioses y vistiendo los sacerdotes sus libreas.

4

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 15.

5

Ibid., p. 197. J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde / Libro dejeroglifos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 267. Parece ser que este códice fue copiado de otro más antiguo. El original tal vez se haya pintado entre 1200 y 1450 d. C.

6

7

8

9

Ver capítulos IV, viI, vm y IX de este libro. Jesús Galindo Trejo, "La observación celeste en el pensamiento prehispánico", en Arqueología Mexicana, vol. viH, núm. 47, enero-febrero de 2001, p. 29.


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Mediante el evidente ciclo diario solar llamado día, base del conteo de todos los calendarios, el basado en las fases de la Luna, por ser muy notorias, debe haber sido el primero en desarrollarse; mas por la duración fraccionaria de días de sus ciclos era difícil lograr su sincronía o coincidencia con otros ciclos. Anthony F. Aveni opina que no es sorprendente que, junto con los eventos asociados con un cuerpo celeste, pueda aparecer escondido en unas efemérides el movimiento de un cuerpo completamente diferente, 10 como cuando en el Códice de Dresde aparecen números de la tabla de Venus separados por ciclos de eclipses. Todo parece indicar que los astrónomos mesoamericanos lograron hacer un conteo lunar de gran exactitud. Posteriormente, al observar los movimientos anuales del Sol, desarrollaron un calendario solar sincronizado con el ciclo sinódico de Venus y con el calendario sagrado o tonalpohualli, pero sin dejar de utilizar el de fases de la Luna. Los astrónomos mesoamericanos observaron los astros de cierta magnitud, dando nombre a las estrellas, 11 formando en el firmamento sus propias constelaciones no ideadas de la manera como lo hicieron otros pueblos e inventando distintas formas con figuras que les eran familiares, como el perro o el alacrán. 12 Algunas cons10

Anthony F. Aveni, The Sky in Mayan Literature / The Moon and the Venus Table, Oxford University Press, Nueva York, 1992, p. 88: "the three sets of calendar round base dates running the length of lines 14, 20, and 25 of the Venus table are separated by intervals divisible almost by eclipse cycles, which may be defined as integral or half-integral multiples of both the lunar synodic and draconian months" ("los tres juegos de fechas calendáricas que corren a lo largo de las líneas 14, 20 y 25 de las tablas de Venus están separadas por intervalos divisibles casi por cualquier ciclo de eclipses, los cuales pueden ser definidos como enteros o semienteros múltiplos de ambos ciclos lunares, el sinódico y el dracónico". Traducción de la autora).

11

Zelia Nuttall, The Fundamental Principles of Old and New World CiviIizations, Archeological and Ethnological Papers of the Peabody Museum, Harvard University, Cambridge, vol. II, 1901, p. 8. 12 Existen manchas en la superficie de la Luna en las que todavía la mayoría de los mexicanos cree ver un conejo, mientras que los europeos ven una cara. La manera en que apreciamos las constelaciones en la actualidad es herencia europea, no indígena. 13 Esta constelación está en la base de la escultura de Tlahuizcalpantecutli, conocida como Xólotl, en donde se ve al dios regente de Venus en el momento en que el planeta desciende al inframundo para entrar en conjunción inferior con el Sol. Porta en su cabeza la corona boreal, puesto que desciende del norte.

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telaciones, por su forma tan destacada, seguramente fueron vistas de igual manera por europeos y americanos, como la Corona Borealis, percibida como una diadema. 13 Al respecto el campo de investigación es enorme y todavía no suficientemente estudiado (ver figura πi. l, "La base de la escultura de Tlahuizcalpantecutli"). La base de la escultura conocida como Xólotl muestra el momento en que el planeta Venus desciende del cielo del norte, del reino de Mictlantecutli, señor de los muertos, para después de su periodo como la Estrella de la Tarde hundirse en el inframundo. Su cabeza está coronada por la constelación Corona Borealis, presente en ese momento en el cielo nocturno. Al centro del esgrafiado de la base, a unos 19° por arriba del horizonte, se encuentra la estrella Polar, que indica probablemente la latitud del lugar de hechura de esta pieza.

Figura 111. 1 La base de la escultura de Tlahuizcalpantecutli

Conocida como Xólotl, muestra el momento en el que el planeta Venus se hunde en el Inframundo. Desciende del cielo del norte, del reino de Mictlantecutli, señor de los muertos. Su cabeza está coronada por la constelación Corona Borealis, que en ese momento está presente en el cielo nocturno. El caminante celeste Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa Figura 15, p. 43 Fotografía de Miguel Romero Sánchez

Actualmente están documentados por la arqueoastronomía los conocimientos astronómicos 14 manifiestos en obras y vestigios de toda índole, así como la información recopilada por los cronistas sobre el Sol, la Luna, los eclipses, Venus y Marte, además de los sugeridos respecto de Júpiter, Saturno y constelaciones como las Pléyades, entre otras. 15 La decodifícación de la escritura y numeración mayas, las investigaciones de Thompson 16 respecto al contenido del Códice de Dresde y las evidencias sobre el desarrollo de la astronomía en Mesoamérica aceleraron el despunte de la arqueoastronomía en México. Para 1882 Francisco del Paso y Troncoso había analizado las relaciones calendáricoastronómicas a través del número y obtenido hallazgos relevantes en esa materia, por lo que bien se puede decir que es el padre de la arqueoastronomía en México. 17 Sus mismos planteamientos fueron profundizados y desarrollados después, desde la astronomía moderna, por Anthony F. Aveni18 y por Jesús Galindo Trejo, sobresalientes astrónomos investigadores de los fenómenos celestes observables a simple vista en el cielo del México antiguo. 19 Sus estudios sobre los documentos calendáricos revelan que entre los logros intelectuales de los sabios de Mesoamérica estaban las matemáticas y la astronomía; a decir verdad, esos hombres se consagraban fanáticamente a estas disciplinas. Para ellos el tiempo era un sistema natural en el que cada día daba sentido a una compleja madeja de ciclos interminables.

La astronomía en el proceso cultural de Mesoamérica: el estudio del espacio La presencia del conocimiento astronómico en la civiIización mesoamericana quedó clara para los europeos desde la Conquista. A lo largo de los siglos se han lanzado diversas opiniones para tratar de explicar cuál era el objetivo, importancia y utilización de los conocimientos astronómicos entre los mesoamericanos. Las observaciones iniciales directas del conocimiento astronómico

mesoamericano se deben a los cronistas europeos y, en forma posterior, a las evidencias encontradas por el estudio de sus vestigios, de tal forma que el conocimiento del acontecer celeste que tenían las culturas de Mesoamérica está suficientemente documentado. A lo largo de la historia los diferentes modelos no siempre se han construido con el concurso de todas las ramas del conocimiento. Los paradigmas se han creado tal vez a partir de nuestras concepciones teóricas contemporáneas de la ciencia, la política y la sociología, que no corresponden al mundo mesoamericano. Para estudiar el espacio los tlamatinime se valieron de la geometría dinámica, del círculo y de la perpendicularidad de dos de sus diámetros que pueden determinar los cuatro rumbos cardinales en el plano, y en el espacio a los siete que resultaron de agregar el centro, el cénit y el nadir. A partir de esta división, al fijar mediante ejes la posición de los astros en el cielo y determinar sus movimientos, se hizo más comprensible el universo y se pudieron crear los calendarios. No se puede estudiar la naturaleza sin capturar y comprender el tiempo, dado que el espacio en donde se manifiesta el fenómeno de la vida lo presupone. La importancia del tiempo radica en que es la dimensión que une las fracciones en que se puede descomponer espacialmente el universo.

Actualmente están documentados p o r la a r q u e o a s tronomía los conocimientos astronómicos manifiestos en o b r a s y vestigios de toda índole.

Para 1882 Francisco del Paso y Troncoso había analizado las relaciones calendárieoastronómicas a través del número y obtenido hallazgos relevantes en esa materia, por lo que bien se puede decir que es el p a d r e de la arqueoastrono mía en México.

14 Se emplea el concepto conocimientos astronómicos mesoamericanos para referirse a la información epigráfica, iconográfica, etnológica, arqueológica, arqueoastronómica y calendárica que ha sido reunida y verificada al respecto por diferentes disciplinas. 15 Johanna Broda, Stanislaw Iwaniszewsky y Lucrecia Maupomé, op. cit. Se refiere a los escritos y estudios sobre calendarios y sobre la astronomía en Mesoamérica de Carlos de Sigüenza y Góngora, en el siglo Xvi; de Antonio León y Gama, Lorenzo Boturini y Francisco Clavijero, en el siglo XviII; Manuel Orozco y Berra, Alfredo Chavero y Francisco del Paso y Troncoso, en el siglo XIX, entre otros. 16

J. Eric S. Thompson, op. cit. Francisco del Paso y Troncoso, op. cit. 18 Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., p. 15. 19 Jesús Galindo Trejo, op. cit. pp. 29-35. 17


67

20

Ibid. Cómo determinaban la longitud de un lugar es uno de los misterios aún no resueltos. 22 Iván Sprajc, Orientaciones astronómicas en la arquitectura del centro de México, 1NAH, "Colección Científica", México, 2001, p. 37.

21

23

La posición de la estrella Polar varía con el transcurso de los años. En la época de la construcción de las grandes pirámides de Giza, la estrella que marcaba el polo norte era Thuban. La Tierra tiene un movimiento de su eje, llamado de precesión, que hace que la Polar parezca que gira alrededor del Polo Norte en un ciclo que dura 26 mil años. 24 En Teotihuacan han encontrado marcadores astronómicos en las colinas cercanas y en el Cerro Gordo. 25 Rubén B. Morante, "Las cámaras astronómicas subterráneas", en Arqueología Mexicana, vol. viII, num. 47, enero-febrero de 2001, pp. 46-51. 26 En el avance de la astronomía en Mesoamérica está implícito el desarrollo de sus matemáticas, de su sistema numérico vigesimal y de un sistema de notación que con algunas variantes prevaleció en las diferentes culturas y de los cuales el sistema maya es el más avanzado, lo que permitía operar cálculos y cifras enormes con relativa sencillez.

68

Margarita

El limpio cielo nocturno del México antiguo era una invitación para observar los eventos celestes, y a ello se abocaron los sacerdotes-astrónomos. 20 Con ese fin deben haberse instalado observatorios (Jacques Soustelle, 1988) en los mismos meridianos pero a diferentes latitudes, con objeto de estudiar los cielos sin temor a que, por el mal tiempo, los astros no pudieran ser vistos en un momento y lugar determinados. Colocando en puntos estratégicos sus observatorios, se podía tener la seguridad de que los eventos celestes serían observados por varios astrónomos a la vez, quienes confirmarían e intercambiarían los datos obtenidos en cada sitio; y así durante milenios. 21 Se cree que las orientaciones en Mesoamérica en su mayoría fueron astronómicas (Soustelle, Aveni, Galindo Trejo, Sprajc). 22 Siendo así, en el cielo se debe haber tomado como referencia el norte astronómico -ahora señalado por la estrella Polar-, que se une a la Tierra por medio del eje norte-sur, el cordón umbilical que nos une al Omeyocan, el Ombligo del Mundo, en torno al cual gira nuestra galaxia, Mixcóatl o Vía Láctea. 23 Hablando de los pueblos de la Antigüedad, Mircea Eliade señala que existió un arquetipo cosmogónico estructurado a partir de la secuencia caos-cosmos-caos, reciclado a perpetuidad, lo que los mesoamericanos tradujeron como dualidad; otro fue "la fijación simbólica del centro, a la manera de un axis mundi", el mencionado eje de Mixcóatl que nos une y fija al polo astronómico. En el México antiguo los astrónomos determinaron puntos fijos para calcular con exactitud los ciclos de los planetas observables a simple vista (Jesús Galindo Trejo, 2001), señalando en un día determinado su posición mediante una visual lanzada hacia un astro y hacia un punto fijo seleccionado de antemano como telón de fondo. Estos puntos podrían ser naturales o diseñados ex profeso (Soustelle, 1988; Aveni, 1991). Estos podían localizarse en la arquitectura de sus edificios, como son las esquinas de los cues o sagrarios, que en lo alto los remataban; en las aristas de los taludes de las

Martínez

del

Sobral

pirámides y en las cresterías de los monumentos, así como en lugares relevantes de la naturaleza, tales como peñascos y salientes de los montes donde colocaron marcadores. 24 Un observador se podía situar en el borde de la plataforma última de la Pirámide del Sol en Teotihuacan y desde allí lanzar visuales a ciertas esquinas del cu para confirmar que el Sol llegara a los puntos estacionarios de los solsticios, de verano en el sur y de invierno en el norte (Margarita Martínez del Sobral, Los números sagrados en las piedras calendáricas de Mesoamérica, obra en proceso). En esos momentos se podía rectificar y hacer los ajustes necesarios al calendario solar. Para observar los pasos cenitales se utilizaron profundas cuevas verticales, naturales o construidas por el hombre, con agua en el fondo que reflejara el Sol en el momento de su paso cenital. 25

Intervalos astronómicos e intervalos calendáricos De acuerdo con lo documentado a la fecha, en la astronomía mesoamericana se determinaron, mediante cuentas de días, los ciclos sinódicos planetarios y los ciclos de eventos especiales como eclipses o tránsitos; se trata de la medición de los intervalos cíclicos y de los periodos secundarios que componen cada intervalo, como es el caso de los periodos estacionarios, de retrogradación o de avance de los planetas, etcétera. Los valores determinados por los mesoamericanos son muy cercanos a los que la astronomía moderna reconoce, y en muchos casos más precisos que los conocidos en otras culturas de su tiempo. Pero la búsqueda de precisión no parece haber sido el objetivo central de las cuentas de días, sino más bien el conocimiento de los modelos cíclicos de los astros y eventos celestes -y de la naturaleza- para abstraerlos e integrarlos en un gran engranaje de tiempo y espacio, como lo reflejan sus calendarios. 26 Al conocimiento preciso de los modelos cíclicos de los astros y eventos celestes, y de la naturaleza como objetivo central y a la

cuenta de días, debe sumarse la abstracción de esas cuentas para transformarlas en números que podían ser relacionados unos con otros y entre ellos mismos y el tonalpohualli, y, por consecuencia, con el destino de los hombres. Uno de los objetivos de esta investigación es fundamentar que los modelos de proporción en Mesoamérica estaban inscritos en un sistema de dimensionamiento armónico basado en la numerología astronómica. Algunos arqueoastrónomos contemporáneos consideran que, además de los solsticios, equinoccios y pasos cenitales, los astrónomos mesoamericanos sólo conocieron los ciclos sinódicos de los planetas y de la Luna, por ser fenómenos que pueden ser determinados mediante observación a simple vista. Así, consideraron también que los ciclos sidéreos no pudieron haber sido determinados, pues esto involucraría necesariamente una concepción heliocéntrica del sistema solar, además de observaciones y ecuaciones heterogéneas para cada cuerpo celeste del sistema. Argumentan que no hay razón que induzca a suponer que los mesoamericanos tenían deseos de conocer los verdaderos periodos de revolución de los planetas. 27 La presente investigación contradice lo anterior: las piedras calendáricas y los códices señalan el Sol en el centro de las órbitas de los planetas. Por otro lado, el ciclo sidéreo de la Luna de 27. 3 días fue conocido por los astrónomos mesoamericanos; prueba de ello es la cuenta lunar maya de 819 días integrada por 30 ciclos sidéreos lunares. Existe la propuesta de Víctor Torres de que el ciclo sidéreo de Júpiter sí fue determinado y empleado en las cuentas astronómicas y calendáricas. 28 En cuanto a que creían o no que nuestro sistema solar era heliocéntrico, Thompson hace el esclarecedor comentario que se cita a la letra: Correcciones a las tablas lunares: No sabiendo que la Tierra era redonda y que giraba alrededor del Sol, los mayas nunca hubieran podido conocer el hecho de que un eclipse solar puede ocurrir sólo cuando la Luna

nueva cae dentro de alrededor de diez y ocho días a uno y otro lados del nodo (el punto en que se cruzan las trayectorias del Sol y de la Luna). Pero su meticulosa observación de eclipses visibles les enseñó que un eclipse solar sólo podía producirse en una fecha de Luna nueva que cayera dentro de uno de esos tres segmentos de la rueda de 520 días, como se ha señalado con anterioridad. 29 La medida del tiempo es consecuencia de las observaciones astronómicas. Los intervalos 30 de los ciclos solares observados prevalecieron para la elaboración de su calendario solar, 31 cuyo principio son las cuentas de 260 y 365 días, vinculadas mediante reglas de multiplicidad y la aplicación de los factores 13, 18 y 20, así como de factores comunes empleados para la formación de ciclos más grandes. Éstos aparecen en las ruedas de números 32 (ver apéndice 2). Pero existieron también otros calendarios -representados en las piedras calendáricas-, con cuentas en las que aparecen los ciclos sinódicos de los planetas y de la Luna o sus

27

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 2 a ed., 2005, pp. 125-133. Aquí puede encontrarse un examen detallado de los métodos de observación astronómica a simple vista y cómputos para la determinación de los ciclos sinódicos, así como un análisis sobre la factibilidad de determinar los ciclos sidéreos. 28 Víctor Torres Roldan, Ciudades estelares / Cosmología y simbolismo de las pirámides, Plaza y Janes, México, 2005, pp. 123-131. Este autor propone que el ciclo sinódico de 400 días y el ciclo sidéreo de Júpiter de 11. 86 años pudieron ser determinantes en las cuentas calendáricas mesoamericanas. Indica que el ciclo sinódico pudo conmensurarse mediante la cuenta de 260 días de avance y 140 días de retrogradación, 13 y siete veintenas, respectivamente. Por otra parte, señala que la era cosmogónica de 676 años (13 ciclos de 52 años) coincide con 57 veces el ciclo sidéreo de 11. 86, con apenas unas milésimas de diferencia (365. 2422 x 676 = 246 903. 72 = 11. 86 x 57 x 365. 2422). Dada la exactitud de estos ciclos, puede considerarse que un ciclo sidéreo pudo ser un referente obligado en la astronomía mesoamericana. '•» J. Eric S. Thompson, op. cit., pp. 179-180. 30 Más adelante se presentan las cuentas cíclicas que engranaban diferentes periodos astronómicos con el tonalpohualli. 31 Marco Arturo Moreno Corral (compilador), "Historia de la astronomía en México", en Lucrecia Maupomé, t. II, Reseña de las evidencias de la actividad astronómica en la América antigua, Fondo de Cultura Económica, "La Ciencia desde México", México, 4 a ed., 2003, pp. 17-63. 32 Las ruedas de números son una herramienta que se ha utilizado en esta investigación para encontrar las coincidencias de los ciclos astronómicos y calendarios, entre sí y entre ellos y el tonalpohualli. No existe de ellas a la fecha ningún vestigio físico, pero es probable que una herramienta igual o semejante hubiese sido utilizada para desarrollar sus cálculos matemáticos.


69

Uno de ¡os p r o b l e -

factores (como p o r ejemplo el 7 lunar), y que

todos los ciclos al punto de llegada o de par-

mas matemáticos

t a m b i é n a p a r e c e n en las r u e d a s de n ú m e -

tida, al cumplimiento y a la reiniciación.

de Mesoamérica

ros. U n o de los problemas m a t e m á t i c o s de

Una palabra maya de vez en cuando es útil

fue sin d u d a h a c e r

Mesoamérica fue sin d u d a h a c e r coincidir

para disipar la confusión resultante del uso

c o i n c i d i r u n o s ci-

unos ciclos con otros y con el tonalpohuaili,

excesivo de palabras europeas. 33

clos con o t r o s y con

p a r t i c u l a r m e n t e los ciclos l u n a r e s en los

el

tonalpohuaili.

q u e se t r a b a j a b a c o n fracciones de d í a s ,

J o h a n n a Broda opina que

c o m o p o r ejemplo el 29. 5308 días, la duración del ciclo sinódico lunar d o c u m e n t a d a

La astronomía, los calendarios, las matemá-

en las c u e n t a s a s t r o n ó m i c a s de P a l e n q u e ,

ticas y la escritura expresan el surgimiento

entre o t r a s .

del conocimiento exacto en la civiIización

Respecto de este o r d e n a m i e n t o de nú-

prehispánica. Es, pues, una tarea importante

m e r o s m ú l t i p l o s e n forma d e r u e d a s d e

integrar los campos especializados de la in-

n ú m e r o s que e n g r a n a n todos los ciclos en

vestigación monográfica dentro de una his-

los c a l e n d a r i o s , s o n p e r t i n e n t e s a l g u n a s

toria general de las ciencias en Mesoamérica

ideas, extensivas también a las tablas plane-

y reivindicar esos temas como legítimo cam-

tarias de Eric Thompson, quien comprendió

po de estudio, tan legítimo como la inves-

bien la idiosincrasia m e s o a m e r i c a n a :

tigación sobre las bases materiales y la organización social en el mundo prehispánico. 34

Por otra parte, aunque enorgulleciéndose

33

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 57, nota 1. 34 Johanna Broda et αl., op. cit., p. 97.

70

ciertamente por la exactitud alcanzada, los

Los ciclos solares, lunares y planetarios. Para

sacerdotes-astrónomos mayas pueden ha-

facilitar la c o m p r e n s i ó n de los t é r m i n o s

berse jactado sobre todo de las hábiles ma-

empleados en el estudio de la astronomía,

niobras para recuperar el importantísimo

al final de este libro se encuentra el "Glosario

lub, esto es, la posición en la que el almana-

de términos astronómicos... ", que p u e d e ser

que sagrado de 260 días, en que empezaba

consultado al respecto. Para quienes deseen

toda la tabla, de más de un siglo de duración

explicaciones más amplias se deberán remi-

(37 960 días), y al que se debía de volver

tir a los tratados de astronomía.

para formar el necesario nuevo ciclo... Lub

Los ciclos s i d é r e o s c o r r e s p o n d e n al

designa la fecha de base de ciclos reiterati-

lapso entre los p a s o s sucesivos de un cuer-

vos de tiempo, tan frecuentes en el Códice de

po celeste p o r u n a estrella y equivalen p a r a

Dresde...

los p l a n e t a s a su a ñ o o el t i e m p o que t a r d a

Todos los almanaques, los años quintu-

en d a r la vuelta al Sol. Los ciclos sinódicos

ples de 364 días, las tablas de eclipses y de

de los p l a n e t a s y de la Luna son los m á s

Venus, y todas las tablas de multiplicar, son

f r e c u e n t e m e n t e utilizados en los cálculos

reiterativos en términos del almanaque sa-

de coincidencias cíclicas; c o r r e s p o n d e n a

grado, es decir, que cada cual vuelve a

sus fases y no son exactos. Se c u e n t a c o m o

empezar con el mismo día al completarse

un ciclo sinódico el lapso que t r a n s c u r r e

su ciclo. Los mayas concebían el tiempo

d e s d e q u e se o b s e r v a la fase en q u e se

como una marcha por toda la eternidad de

encuentra la Luna -o un p l a n e t a - y que

todos los periodos de tiempo. Al término de

ésta se vuelva a repetir idéntica c o n respec-

cada día llegaban a un breve reposo, depo-

to al Sol. Los a s t r ó n o m o s t o m a r o n a veces

sitando sus cargas antes de reanudar el via-

los n ú m e r o s p r o m e d i o de esos l a p s o s o

je. A ese lugar de descanso se le llama lub en

aquellos que mejor convinieran p a r a ajus-

yucateco. A otros puntos de descanso más

t a r sus c u e n t a s c a l e n d á r i c a s , s i e m p r e cui-

importantes, que se habían caracterizado

d a n d o de que estuvieran d e n t r o de un r a n -

por el cumplimiento de periodos superio-

go o p a r á m e t r o m a r c a d o p o r sus fechas

res, como el cambio de portador de baktún,

límites. De esta m a n e r a , el ciclo sinódico

se le llama lubay. Como se ha señalado, se

de Venus fue t o m a d o a veces de 585 días,

aplica el término a fechas de reiniciación de

por ser divisible entre 13: (585 / 13 = 45),


pero otras fue tomado de 583. 8 o 584, y aun sus límites extremos de 579. 6 a 588. 1 días. 35 Para coincidir con el tonalpohualli se tendría que tomar de 585 días, que tiene el 5 o el 13 como factores comunes; pero, si se quisiera la coincidencia con el ciclo solar de 360 días, se tendría que tomar el sinódico de Venus de 584 días, para tener el 8 como factor común. Hay una gran diferencia al tomar un ciclo u otro; no obstante, existen evidencias de que algunas veces tomaban 584 días para tener el 8 como factor común y otras veces lo tomaban de 585 días, para así lograr teóricamente la sincronización con otros ciclos, 36 lo que implica que se hacían correcciones para no desfasar los calendarios. El ciclo sinódico de Marte fue considerado de 780 días (780 / 13 = 60); el de Júpiter, de 399 días, aunque hay autores que consideran que para los mesoamericanos el ciclo sinódico de Júpiter era de 400 días. 37 El ciclo sinódico de Mercurio la mayoría de las veces se tomó de 117 días con el fin de que el 13 fuese uno de sus factores y poderlo engranar con otros ciclos (117 / 13 = 9), pero otras veces se tomó de 116 días, para lograr el ajuste del año trópico con el gran ciclo solar de 1 508 años (116 x 1 3 = 1 508); rara vez se tomó de 116. 8 días. El gran ciclo solar también se ajusta por medio del ciclo sinódico de Saturno considerado de 377 días, que también tiene el número 13 como factor (29 x 13 = 377 y 377 x 52 = 19 604 = 1 508 x 13). El ciclo sinódico de la Luna generalmente fue considerado de 29. 5308 días. El ciclo sinódico de Venus va desde 581 hasta 587 días, siendo su promedio de 583. 92; su periodo ajustado es de 584 o 585 días, cinco veces mayor que el ciclo sinódico de Mercurio (5 x 117 = 585 y 5 x 116. 8 = 584), y por ello se pueden confundir en el análisis e interpretación de los volúmenes de los que son factores. La investigación señala que el 117 fue considerado como del ciclo sinódico de Mercurio, independientemente de ser factor del 585. Algo semejante ocurre con el ciclo del tonalpohualli y el ciclo sinódico de Marte, ya que éste es tres veces mayor que aquél, por lo que Thomp-

son no considera el 780 como número representativo del ciclo sinódico del planeta, sino simplemente como tres tonalpohuallis. 38 Esto estaría de acuerdo con la presente investigación, que señala la teoría de que los cálculos astronómicos en coincidencia con el tonalpohualli se hacían mediante la observación de los planetas interiores Mercurio y Venus, que son los que presentan en las piedras calendáricas. 39 Los números de significado astronómico (NSA) y los calendárteos (NSC) que definen a los ciclos del sistema solar a veces fueron factores de ciclos; otras veces pudieron ser tomados como ciclos conmensurados. Para determinar con qué valor se tomarán debe considerarse el contexto en el que éstos se encuentren y recurrir al método de ensayo y error, así como a la iconografía, en caso de haberla. El orto helíaco de Venus. Un momento importante en el camino celeste de Venus es el de su orto helíaco después de la conjunción superior, cuando sale en el noroeste, comenzando un nuevo ciclo como Estrella de la Tarde. En ese momento se comenzaba a contar el tiempo - d e acuerdo con el calendario azteca de esa cultura y tal vez en la cultura olmeca- el día Ce Cipactli o uno lagarto. A partir del orto helíaco de Venus como Estrella de la Tarde, después de su conjunción superior, cada 52 días durante un periodo de 260, el planeta lanzaba mortíferos 35

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo..., 1991, op. cit., p. 100, nota 12. "En realidad, el periodo sinódico de Venus es de 583. 92 días y, en virtud de la naturaleza no circular de las órbitas de Venus y de la Tierra, puede variar entre 579. 6 y 588. 1 días. Cualquier serie de cinco ciclos consecutivos da como promedio 584 días". El 585 puede coincidir con otros ciclos que tengan como factores el 5 o el 13. El 584, con los que tengan como factor el 73 (8 x 73 = 584, enlace con el 365), además de otros. Para utilizar 583. 8 se tiene que multiplicar por 10 = 5 838, que es divisible entre 7, enlace con la Luna. 36 Para conocer la duración exacta de los ciclos astronómicos ver el cuadro 2 en el "Glosario de términos astronómicos... ", al final de este libro. 37 Víctor Torres Roldan, op. cit., pp. 125-131. El autor expone una interesante teoría acerca del origen de los 260 días del tonalpohualli: "Cada año Júpiter se estaciona en una constelación por unos 140 días (siete veintenas), para después avanzar unos doscientos sesenta días (trece veintenas), hasta detenerse en la siguiente constelación". 38 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 58. 39 Al presente la autora analiza las piedras calendáricas aztecas, entre ellas la Piedra del Sol.


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rayos en contra de niños, nobles, guerreros o cosechas. Era indispensable conocer cuándo sucedería esto para tomar providencias, como cerrar los vanos de puertas y ventanas a los hirientes dardos de luz. 40 El Códice de Dresde presenta funestos augurios para ese momento: 41 "las tablas asombrosamente exactas de las revoluciones sinódicas del planeta Venus están acompañadas de glifos que manifiestan el destino (casi invariablemente terrible) de la humanidad, de acuerdo con el día del orto helíaco del planeta, después de la conjunción inferior". 42 Motolinía, uno de los frailes franciscanos que mejor comprendió el pensamiento indígena, comenta de Venus: "La estrella se llama Lucifer, y que por otro nombre se dice Hesper; y de este nombre y estrella nuestra España (Hispania) en un tiempo se llamó Hesperia". 43 Continúa narrando cómo a medida que el Sol va bajando el planeta sube hasta que lo alcanza el Sol y entonces desaparece. Para los mesoamericanos Quetzalcóatl era el numen del planeta Venus, que también se identificaba con Tlahuizcalpantecutli, en su acepción de Estrella de la Mañana, como el heraldo del Sol, como el señor de la aurora y el ocaso. 44

40

Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa, El caminante celeste, Gobierno del Estado de Puebla, Puebla, 1992, p. 5. Aun en la actualidad algunos pueblos de fuerte población indígena del estado de Puebla no ponen ventanas en sus casas, tal vez para evitar en ciertas fechas los mortíferos rayos de Venus. Los días en que eso sucedía están grabados en la escultura de Tlahuizcalpantecutli, conocida como Xólotl, del Landesmuseum de Stuttgart. Los días allí registrados son uno mono, uno casa, uno lluvia, uno pedernal y uno águila. 41 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 164. *2Ibid., p. 13. 43 Es impresionante saber que Lucifer = Venus = Quetzalcóatl era esperado en América y que llegó por el oriente procedente de Hesperia, España. El efecto visual que se logra al caminar en Teotihuacan por la Calle de los Muertos en dirección sur-norte es el mismo que Motolinía describe, ya que la Pirámide de la Luna tiene al norte como fondo el Cerro Gordo. Si partimos del sur hacia el norte, y mirando en esa dirección, el Cerro Gordo parece descender con respecto a la pirámide, que a medida que nos acercamos a ella parece ascender hasta que oculta el cerro. 44 Tlahuizcalpantecutli significa en náhuatl el señor de las casas rojas, es decir, el señor de la aurora y del ocaso. 45 Fray Bernardino de Sahagún, Historia general de las cosas de la Nueva España, Editorial Porrúa, México, 1992, libro viI, p. 439. 46 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 176. 47 Francisco del Paso y Troncoso, en Cecilio A. Róbelo, Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México, 1982, p. 700.

72


Los aztecas creían que en la fiesta a Xiuhteuktli, durante la noche del encendido del Fuego Nuevo cada 52 años, podrían descender los tzitzimine, demonios del país de la oscuridad o del norte que, de no moverse el Sol para salir en la aurora, vendrían a matar a la gente con su envenenado aguijón y a terminar con la humanidad. Para evitarlo hacían sangrientos sacrificios. 45 Del Paso y Troncoso, al interpretar el Códice borbónico de la cultura mexica, dice que los tzitzimine eran dioses llamados también Mictlantzitzímitl, otro nombre de Mictlantecutli, señor de la tierra del norte, o de su mujer, Mictlanxiuhuatzitzímitl. Respecto al numen descendente en el Códice de Dresde, Thompson dice: El décimo dibujo, al final de la tabla, muestra una figura que desciende cabeza abajo desde una banda celeste con símbolos de días sombríos. Forma la cabeza un glifo del planeta Venus y de entre las piernas aparece lo que parece ser un buril de piedra. La escena recuerda a los monstruos llamados tzitzimine o Tzontémoc, nombres que significan cabeza abajo, y que, según los aztecas, se precipitaban a la Tierra durante los eclipses, provocando gran perjuicio. Entre ellos se incluía al dios del planeta Venus como Estrella de la Mañana (Thompson, 1934: 228230). La presencia de ese monstruo de Venus ha dado lugar a especulaciones respecto de una posible relación entre esta tabla y las revoluciones sinódicas del planeta. No obstante, es más probable que la escena aluda simplemente a la oscuridad que reina durante los eclipses solares, pintando a uno de los seres fácilmente reconocibles, acerca de los cuales se creía que se precipitaban sobre la Tierra en esos momentos. 46 A los tzitzimine se les asignaban colores: Itztactzitzímitl, aguijón blanco; Xoxouhcaltzitzímitl, aguijón azul; Coztzitzímitl, aguijón amarillo; y Itlatllauhcatzitzímitl, aguijón rojo. A juzgar por los colores, a cada una de estas criaturas se les asignaba uno de los rumbos cardinales y sus nombres eran divisas que usaban los reyes mexicanos. 47

Se creía que la constelación de la Osa Menor, que semeja a un alacrán que gira alrededor de la Polar, se encontraba anclada a la estrella mediante la punta de la cola, donde se encuentra la ponzoña. Durante el solsticio de verano, la posición del alacrán que viene del sur, Xoxouhcaltzitzímitl, es tal que parece que pudiera descender sobre la Tierra y caer sobre los habitantes del altiplano de México. La creencia popular dice que los alacranes siempre caminan en pareja, y, si se observa la constelación de Draco, se puede comparar con un alacrán mayor que el de la Osa Menor, que también gira alrededor de la Polar, inmediatamente abajo del alacrán más pequeño. El alacrán menor señala perfectamente los cuatro rumbos del universo y las cuatro estaciones, y puede ser el origen de la forma de un pan en forma de S, 48 llamado Xonecuilli (pierna torcida), que es divisa de Tláloc, de acuerdo con el Códice borbónico. 49 Cuando está horizontal, el Xonecuilli señala la estación de las lluvias. Cada posición tenía un nombre, de acuerdo con el color del rumbo del universo que le tocaba regir. Tanto la constelación de la Osa Menor como la de la Corona Borealis podían señalar la proximidad del equinoccio o del solsticio. La constelación de la Corona Borealis fue vista como la diadema de estrellas del dios del norte, Mictlantecutli, dios de la muerte que habita en la región en que muere Venus durante su conjunción superior, al ser ocultado por los rayos solares. Venus a veces se representa como un dios descendente, como se puede ver en la base de la escultura de Tlahuizcalpantecutli. viene de una banda celeste, igual que una figura que corresponde al décimo dibujo del almanaque 71 del Códice de Dresde. En ella la cabeza es el glifo de Venus, que entre sus piernas tiene un técpatl. Es el planeta bajando a la Tierra después de su conjunción superior. Al término de ésta, Venus iniciará su ciclo en el suroeste como Estrella de la Tarde. El gran ciclo de tránsitos de Venus de 486 años. Se ha llamado en esta investigación gran ciclo de tránsitos de Venus a la suma

de los ciclos de tránsitos de Venus por el

disco solar que ocurren en la siguiente secuencia en años: 8, 105. 5, 8, 121. 5, 8, 105. 5, 8 y 121. 5, y así sucesivamente. Ésta es la periodicidad de los tránsitos de Venus, y suman 486 años, número que quedó consignado en la espalda de la escultura de Xólotl, en el museo de Stuttgart, Alemania, que en realidad se trata de Tlahuizcalpantecutli, el planeta Venus. 50 Sucede que después del periodo de 121. 5 años, el más largo entre los tránsitos de Venus, al cabo de ocho años solares ocurre otro tránsito, y será el siguiente después de 105. 5 años. Luego ocurrirá otro tránsito posterior de ocho años, seguido de otro al cabo de 121. 5, hasta tener completo el gran ciclo de tránsitos de Venus de 486 años. 51 Una vez calculado y confirmado el ciclo por los tlamatinime, se podía hacer un ajuste de calendario cada vez que ocurría un tránsito de Venus. El gran ciclo orientado hacia los cuatro rumbos cardinales suma 1 944 años, lapso en el que se habrían celebrado 243 fiestas de la conjunción de Venus y el Sol, celebrada cada ocho años y registrada por Sahagún52 (1 944 / 8 = 243, donde 1 944 = 24 x 81). (Ver el número 243 en el apéndice "Números". ) Mitológicamente los tránsitos de Venus eran considerados como el momento en que Tlahuizcalpantecutli acertaba a flechar al Sol, hiriéndolo, perforándolo y abriendo en su radiante disco un hoyo negro con sus dardos. A su vez el Sol tomaría revancha y mataría a Venus con sus potentes rayos, pero Venus resucitaría. De ahí que este planeta fuera signo de muerte y resurrección. El año trópico, el año civiI y el año vago. El año trópico es el tiempo que aparentemente necesita el Sol para ir de un trópico a otro y regresar al punto de partida; dura exactamente 365. 2422 días. La investigación hasta el momento indica que los valores que emplearon los astrónomos olmecas para el año trópico fueron 365. 1970 o 365. 2682 días. Así, lo hicieron coincidir con la era maya de 1 872 000 días (365. 1970 x 5 126 = 1 872 000 = 365. 2682 x 5 125).

48

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, Siglo XXI Editores, México, 1988, p. 147. 49 Códice borbónico, edición facsimilar, Siglo XXI Editores, "América Nuestra ", México, 1988, pp. 31-32. 50 Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa, op. cit., p. 226. 51 El gran ciclo de tránsitos de Venus equivale a la suma de los años que duran los periodos sucesivos de tránsitos de ese planeta: 8 + 105. 5 + 8 + 121. 5 + 8 + 105. 5 + 8 + 121. 5 = 486. Se obtienen estos números siguientes al ir agregando de uno en uno los periodos de tránsitos: 8 + 105. 5 = 113. 5; 113. 5 + 8 = 121. 5; 121. 5 + 121. 5 = 243; 243+ 8 = 251; 251 + 105. 5 = 356. 5; 356. 5 + 8 = 364. 5; 364. 5 + 121. 5 = 486. 52

Fray Bernardino de Sahagún, op. cit., p. 260.


73

El año lo ajustaron a veces a 360 días -que es el año civiI de 18 meses de 20 díaspara coincidir mediante números enteros con la era maya (360 x 5 200 =1 872 000). Ésta es una de las razones del valor del año ajustado a 360 días. Otra, la coincidencia con los 360 grados del círculo. Al año lo tomaron de 360, 364, 365, 365. 197, 365. 2628, 365. 25 días, a conveniencia, dependiendo de con qué ciclo lo quisieran hacer coincidir.

Ciclos calendárteos particulares de Mesoamérica

53

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 194. 54 El 364 aparece frecuentemente en el Códice de Dresde. Thompson lo llama "año de computación". En este trabajo se ha llamado "año del Sol del inframundo". 53 Cecilio A. Róbelo, Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México, 1982, pp. 136-137.

74

Margarita

El año del Sol del inframundo, año de Tláloc o año lunar y otros ciclos. Fueron sus sabios quienes idearon un año lunar de 364 días, llamado aquí año del Sol del inframundo, año de Tláloc o año lunar, basado en el número calendárico 13, los trece días de la semana del conteo por trecenas del tonalpohualli, que convenientemente multiplicado por 28 coincide con otros ciclos planetarios (13 días x 28 = 364 días). Uno de sus múltiplos más importantes es 1 820, mínimo común múltiplo (MCM) de 260 y 364, que aparece en el Códice de Dresde entre los almanaques septuples de 1 820 días. 53 Idearon también el ciclo de 360 días y el de 365 con el fin de hacer coincidir las ruedas de números y el tonalpohualli. Asimismo idearon el ciclo lunar, que en este trabajo se ha llamado de Chalchihuicueye, de 312 (días, años, ciclos), complemento del 364 (días, años, ciclos) para llegar a coincidir con la era cosmogónica de 676 años, que corresponde en números absolutos a tres siglos mesoamericanos. 54 El ciclo de Chalchihuicueye fue utilizado en sus cuentas calendáricas por ser divisible entre 3 y entre 13, factores con los que fácilmente se podía enganchar con otros ciclos. Una de las eras cosmogónicas fue dividida en dos lapsos: uno de 312 años y el otro de 364; durante 312 años Chalchihuicueye rigió el mundo como falso Sol y durante los restante 364 el regente fue Tláloc, su contraparte. 55 Entre ambos suman 676 años o una era cosmogónica (312 + 364 = 676).

Martínez

del

Sobral

Los indígenas de lengua náhuatl llamaron tonali a los días, metztli o tonalcempoalli a los meses de 20 días, xiuhmolpilli a los ciclos de 52 años. Los cinco días que quedaban fuera del año de 360 días o xíhuitl (hierba muerta) eran llamados nemontemi, baldíos o vacíos de Dios. De acuerdo con Motolinía, tuvieron semanas de 13 días y ciclos de 13 años llamados tlalpillis. Determinaron que la duración del medio siglo mesoamericano fuese de 52 años. Toxiuh molpilia o xiuhmolpilli (atadura de años), como llamaban los mexicas al ciclo de 52 años, cuando se encendía el Fuego Nuevo. El doble, 104 años, era el siglo mesoamericano, huehuetiliztli o una vejez. El mes era llamado metztli (Luna), y constaba de 20 días, por lo que en el año de 360 días había 18 meses. Crearon la era cosmogónica de 676 años y la era maya de 1 872 000 días, pero sin duda el ciclo ideado más importante fue el tonalpohualli de 260 días, como se ha visto a lo largo de esta investigación. Cuando el número astronómico de un ciclo no era exacto, al hacer coincidir los ciclos conmensurados o ajustados, se hacían las correcciones necesarias para no desfasar los calendarios, o antes de hacer los cálculos se multiplicaba el número fraccionario por otro que lo transformara en número exacto, obteniendo de esta manera un número múltiplo del primero, práctica común dentro de la aritmética mesoamericana. En realidad al encontrar múltiplos se obtenían nuevas unidades, lo que no presentaba ningún problema puesto que lo importante en este caso era la sincronía de ciclos.

Los eclipses / El medio año de eclipses y los ciclos lunares Las fases de la Luna y los eclipses. Por ser la Luna el astro con fases más evidentes, la mayoría de las culturas de la Antigüedad tuvo un calendario basado en aquéllas. El ciclo sinódico lunar fue dividido en sus cuatro fases: creciente, llena, menguante y nueva. Por ser el 28 múltiplo del 7, además del

número de lunas visibles del ciclo de 364 días, a este número 28 se le considera uno lunar. 56 La fase conocida como Luna llena se produce cuando tiene lugar una oposición entre el Sol y la Luna, es decir, cuando la Tierra queda entre el Sol y la Luna. En la fase de Luna nueva hay una conjunción entre el Sol y la Luna; esto es cuando la Luna queda entre la Tierra y el Sol. Un eclipse sólo puede acontecer cuando la Luna nueva o Luna llena está cerca de uno de los nodos, que son el punto de cruce de la eclíptica con la curva que describe la trayectoria de la Luna. En el caso de los eclipses de Luna los astros deben estar en oposición. Si la Luna nueva está cerca de los nodos, se produce un eclipse de Sol; si es Luna llena, cuando está cerca de los nodos se produce un eclipse de Luna. 57 Un eclipse sólo puede ocurrir cuando los nodos de la órbita de la Luna se alinean con la Tierra y el Sol. Aveni se pregunta si los mayas contaban las lunaciones a partir de la Luna llena o a partir del momento en que la delgada fase creciente aparecía en el occidente después del ocaso. Tal parece que se contaban a partir de ésta. Aunque el ciclo de fases era reconocido universalmente, los astrónomos antiguos lo registraban de distintas maneras. Habitualmente se contaba como un periodo de 29 a 30 días, que empezaba con la primera aparición de la delgada creciente, pero a menudo el mes se contaba de Luna nueva a Luna nueva o de Luna llena a Luna llena. Hemos de ver que los mayas lograron medir el mes lunar con gran exactitud. Los indios del suroeste estadounidense contaban las lunas visibles de un ciclo, de suerte que como cuenta lunar más importante aparece el número 28 y no el 29 o el 30. 58 El medio año de eclipses o año nodal (173. 31 días) y los ciclos lunares. La predicción del número de eclipses se efectuaba mediante la rueda o almanaque de 520 días (520 = 5 x 104), lapso señalado en las tablas del Códice de Dresde. 59 Al dividir 520 / 3 se obtiene el llamado medio año de eclipses de 173. 31 =

173. 33 días (Anthony F. Aveni; se toma generalmente como los 173. 33... ), que son los días que transcurren entre un nodo y otro, de suerte que pasarán 173. 3 días entre dos eclipses. Así, se puede decir que ocurren tres eclipses por cada dos vueltas del almanaque sagrado. 60 De hecho los eclipses ocurren cada 173. 31 días y no cada 173. 33, por lo que se tenían que hacer ajustes al cabo de 33 años o bien cada 66. Estos números tienen como factor el 11, número relacionado con los eclipses y considerado por Thompson como un intervalo de días, y aquí considerado como número de enlace o de ajuste para lograr coincidencias de ciclos lunares con otros. El siglo mesoamericano de 104 años también está relacionado con los eclipses, dado que el año nodal tomado en números absolutos y multiplicado por 6 corresponde a 10 x 104: (173. 33 x 6 = 1 039. 98 = 1 040). 6i Es posible que el viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan fuese comenzado a construir en el momento (teórico) de una coincidencia de ciclos con un eclipse y con el inicio de un siglo mesoamericano, coincidencia marcada por la salida de Venus de su conjunción superior el día de su orto helíaco como Estrella de la Tarde. Este

Cuando el número astronómico de un ciclo no era exacto, al hacer coincidir los ciclos conmensurados o ajustados, se hacían las correcciones necesarias para no desfasar los calendarios.

56

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo..., 1991, op. cit., p. 86. Ibid., p. 89. 58 Ibid., p. 86. 59 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 68: "5 x 104 (520): almanaque 61 (pp. 38b-41b). A diferencia de la mayoría de los almanaques ampliados, éste carece de CoL -cómputo largo- y de tabla de multiplicar introductorios. No está claro por qué". 60 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 178. "Teeple también fue el primero en llamar la atención sobre el significado del retroceso de los días nodales en el doble almanaque. Tras usar la tabla una vez, esto es, al cabo de aproximadamente 33 años, los dias nodales habrán retrocedido alrededor de 1. 6 días, porque a 69 medios años de eclipses les falta esa cifra para completar 46 x 260 días. Tras usar la tabla dos veces (unos 66 años), dejarán de servir algunas fechas posibles de eclipses que caigan 16-18 días después de los puntos nodales, pues con el retroceso de éstos en esos días el Sol se hallará demasiado lejos del punto de intersección de la trayectoria de la Luna para que se produzca un eclipse. Con el tiempo tendría que hacerse un ajuste en la posición de los grupos de 148 días, tomando en cuenta el retroceso. " El año nodal es 520 / 3 = 173. 3 (173. 31); 173. 3 3 x 6 9 = 11 960; 173. 3 1 x 6 9 = 11 958. 39; 4 6 x 2 6 0 = 11 9 6 0 - 11 958. 39 = 1. 61. No siendo el año nodal exactamente de 173. 3 días, cada 66 años se retroceden 3. 22 días (1. 61 x 2 = 3. 22). 61 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 177. "Incluso se ha sugerido que los mayas eligieron el periodo de 260 días porque es la mitad de la duración de los tres medios años de eclipses, pero sin duda eso equivale a poner la carreta delante del caballo: el almanaque sagrado debe haber existido siglos antes de que los sacerdotes mayas aprendieran a predecir fechas en que podían observarse eclipses. " 57

III. De los ciclos solares, planetarios y l u n a r e s

75

f e n ó m e n o o c u r r e ú n i c a m e n t e c a d a 104

del Sol del inframundo, por lo que está rela-

años y es el motivo de la duración del siglo

cionado con Tláloc ( 9 1 x 4 = 364). El 91 se

mesoamericano. Al respecto se puede escri-

obtiene al dividir 819 entre 9: (819 / 9 = 91).

bir la siguiente igualdad que lo confirma:

R e s p e c t o del ciclo sinódico de la L u n a ,

37 960 = 219 x 173. 333... = 584 x 65 = 146 x

Aveni dice:

260 = 29. 5408 x 1 285 (ver cuadro del 37 960, en el capítulo IV). Se llega al 37 960 no me-

En Palenque varias fechas completas, entre

diante el año trópico, que sería lo correcto,

ellas una cuenta larga y un dato lunar pro-

sino considerando el año de 365 días exactos,

cedente de una serie suplementaria, se

por lo que se tenían que hacer ajustes.

vinculan entre sí mediante la fórmula 81

Cada 520 días (dos vueltas del tonalpo-

lunas = 6. 11. 12, lo cual da un promedio

hualli) existe la posibilidad de tres eclipses,

lunar de 29. 53086, que se sitúa dentro de

p o r lo que al cabo de 104 a ñ o s se tienen

un margen de un milésimo de 1% del valor

219 posibilidades (104 x 365 días = 37 960

moderno: ¡un error de 23 segundos por

62

En esta igual-

lunación! En Copan se usaba la ecuación

dad 219 = 73 x 3; 104 x 73 = 7 592 y 7 592 /

lunar 149 lunas = 12. 4. 0, con resultado lige-

584 = 13; por lo tanto 73 = 219 / 3 = 7 592 /

ramente menos exacto: una lunación =

104 = 584 / 8. Si cada término de la igualdad

29. 5302 días. Este último sistema estuvo

se multiplica por 5, se tiene 365 = 1 095 / 3 =

vigente mucho tiempo después de 9. 13. 0. 0. 0

37 960 / 104 = 2 920 / 8, con lo que queda

(llamado como periodo de uniformidad en el

días y 37 960 / 219 = 173. 33).

relacionado el año vago con el siglo mesoa-

cómputo de lunaciones) en una extensa

mericano, el MCM 37 960, el 2 920 y el 1 095

región alrededor de Copan. Esto indica deci-

(ver los n ú m e r o s 2 920 y 1 095 en el apén-

didamente que aquella ciudad, considerada

dice " N ú m e r o s " de este libro). M u c h o s his-

capital intelectual del mundo maya de la

toriadores consideran que el siglo m e s o a -

época, tuvo marcada influencia en las técni-

mericano tenía 52 a ñ o s , pero b a s á n d o n o s

cas empleadas para el registro de fechas en

en Sahagún lo cierto es que el siglo m e s o -

los centros vecinos...

americano era de 104 años y el medio siglo, de 52 a ñ o s . Sahagún afirma:

Que el calendario lunar estaba acoplado al año trópico queda indicado por un examen de los coeficientes del glifo C. Durante

Decíase aquella fiesta toxiuh molpilia, que

el periodo de uniformidad esos coeficientes

quiere decir átanse nuestros años, y porque

son predecibles para cualquier centro maya

era principio de otros cincuenta y dos años

que haya adoptado el sistema; esto es, los

decían también xiuhtzitzquilo, que quiere

sacerdotes parecen haber buscado grupos

decir se torna el año nuevo, y en señal de

de seis lunaciones que cayeran en posicio-

esto cada uno tocaba las yerbas, para dar a

nes específicas del calendario anual en todo

entender que ya se comenzaba la cuenta de

el territorio maya. 64

otros cincuenta y dos años, para que se cumpliesen 104 años, que hacen un siglo. 63

Y acerca del 173. 33, Aveni, h a b l a n d o de los n ú m e r o s que los mayas utilizaban p a r a

62

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo..., 1991, op. cit., p. 95. 63 Fray Bernardino de Sahagún, op. cit., p. 439. 64 Anthony F. Aveni, Observadores del cielo..., 1991, op. cit., pp. 193-194. 65 Ibid., p. 95.

76

Si el siglo es de 104 años, el medio siglo

predecir los eclipses, sostiene:

será de 52. Tal c o m o opina Sahagún, el Códice mendocino señala, en la franja celeste

Los tres intervalos largos representan los

de los a ñ o s , los palos q u e s a c a n c h i s p a s

números integrales o semiintegrales de meses

c a d a 104 a ñ o s y no cada 52. El año d e n t r o

sinódicos más cercanos al medio año de

de un siglo lo c o n m e n s u r a r o n o ajustaron a

eclipses de 173 días y un tercio. Lo que, como

360, 364, 365, 365. 25, 365. 1970 o 365. 2682

se recordará, es el tiempo necesario para que

días, d e p e n d i e n d o del contexto.

el Sol pase de uno a otro nodo. El intervalo

El n ú m e r o 23 es un n ú m e r o lunisolar de enlace. El 91 es la cuarta p a r t e del año


entre pasos sucesivos por un mismo nodo, 346 días, se llama año de eclipses. 65

El medio año de eclipses está relacionado con el número de oro a través del ciclo dracónico ajustado a 27 días, ya que 173. 33 / (27 x 4) = 1. 6049, que es uno de los valores de φ dentro del parámetro mesoamericano. El 108 se encuentra en la serie del 27 y por lo tanto también en la serie del 9. Tomando 27 x 260 = 7 020 = 10 veces el área de la base de la Pirámide del Sol, en unidades a la manera indígena.66 (Ver el número 108 en el apéndice 1, "Números". ) Del doble almanaque o doble tonalpohualli (520 días), Thompson afirma: De ese modo, si a este doble almanaque se le dibuja como una rueda de 520 rayos, habrá tres radios principales, a una distancia de 173 días, correspondientes a los días nodales. Si como en la tabla del Códice de Dresde, la cuenta comienza en 12 Lamat (día 168), ése será el primer radio principal; el segundo estará a 173 días, en 3 Imix (día 341); el tercero será el 7 Ix (día 514); y otro medio año de eclipses hará volver la cuenta a 12 Lamat, el punto de partida. Las fechas de eclipse posible se congregarán a ambos lados de esos tres radios, con una dispersión a uno y otro lados de alrededor de 18 días, y así es como ocurre. 67 Otros números relacionados con los eclipses y mencionados en Un comentario al Códice de Dresde, de Thompson, son 1 033, 1 211, 1 388, 1 565, 1 742, 3 986. Al multiplicar 173. 33 x 6 = 1 039. 98 = 1 040. Si 1 040 se multiplica por 4, se tiene 4 160, que dividido entre 80 = 52, y si entre 40 = 104, y si entre 520 = 8, y si entre 16 = 260, por lo que puede establecerse una relación entre los eclipses y los siglos, medios siglos mesoamericanos, el tonalpohualli y el número 8 y sus múltiplos (1 211 = 173 x 7; 1 388 = 173. 5 x 8 ; 1565=173. 8 8 x 9 ; 1742= 174. 2 x 10; y 3 986= 173. 3 x 2 3 ) . El número 11 y los eclipses. Los números relacionados con los eclipses mencionados en el códice son múltiplos de los días nodales: 1 211 / 7 = 173, el día nodal ajustado de los eclipses (110 x 11 + 1 = 1 211).

El 1 386 / 8 = 173. 25 = 173. 31, el día nodal de los eclipses (126 x 11 = 1 38G). El 1 565 / 9 = 173. 88, el día nodal de los eclipses ajustado (142 x 11 + 3 = 1 565). El 1 742 / 10 = 174. 2, el día nodal de los eclipses ajustado (158 x 11 + 4 = 1 742). El 3 986 / 23 = 173. 3, el día nodal de los eclipses (362 x 11 + 4 = 3 986). Analizando los cuatro primeros números se observa que todos son múltiplos del 11, si se les restan guarismos del 1 al 4, respectivamente: 1211 — 1 = 1 210; 1 210 / 11 = 110; 1 388 - 2 = 1 386; 1 386 / 11 = 126; 1 565 - 3 = 1 562; 1 562 / 11 = 142; 1 742 4= 1 738; 1 738/11 = 158. Así se forma una serie en la que, si a partir de 1 210 se le agrega 176: (11 x 16 = 176), se encuentra el número siguiente, y si a éste se agrega 176 se encuentra el siguiente, y así sucesivamente: 1 210 + 176 = 1 386; 1 386 + 176 = 1 562; 1 562 + 176 = 1 738; etcétera. Por otro lado, 176 = 11 x 16, siendo el 16 = 4 2 , un número importante para la observación de los eclipses. El 11 se encuentra en el número de rayos que circundan la cabeza de Quetzalcóatl en los tableros de su viejo templo en Teotihuacan, que nos remiten a un eclipse de Sol y de la corona solar durante un eclipse total. Thompson llega a la conclusión de que ... los mayas nunca hubieran podido conocer el hecho de que un eclipse solar puede ocurrir sólo cuando la Luna nueva cae dentro de alrededor de diez y ocho días a uno y otro lados del nodo (el punto en que se cruzan las trayectorias del Sol y de la Luna). Pero su meticulosa observación de eclipses visibles les enseñó que un eclipse solar sólo podía producirse en una fecha de Luna nueva que cayera dentro de uno de esos tres segmentos de la rueda de 520 días, como se ha señalado con anterioridad. Por tener conocimiento de los puntos centrales de cada segmento, sin saberlo habían descubierto los nodos. Calculando a partir de un eclipse por periodos de 177 días (y ocasionalmente de 178), aprendieron que, si la fecha alcanzada caía dentro de uno de esos segmentos, podía indicar un eclipse visible. Si la adición de 177 días llevaba más allá del

66

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 64. "Múltiplos de 54, desde 1 hasta 13, siendo este último el equivalente de 702 días. Luego, múltiplos del 702, desde 1 hasta 10, alcanzándose con éste 7 020 días, término del ciclo y recuperación del lub. Luego vienen los siguientes múltiplos de 7 020: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 y 24. La preferencia por el doble de 7 020 probablemente se debe a que éste es igual a 54 x 260, de modo que el 54 original se recupera como multiplicador. Más aún, 7 020 es un número par de tunes (1. 19. 0. 0). " El 702 corresponde en números absolutos a la superficie de la base mayor del primer cuerpo de la Pirámide del Sol. Es un número lunisolar por estar compuesto del 26 (solar) y del 27 (lunar): 26 x 27 = 702. 67 Ibid., p. 177.


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límite del siguiente segmento, sabían que había llegado el momento de insertar un grupo de cinco lunas (148 días) para que la fecha volviera a caer dentro del segmento, y de ese modo adecuarla como posición en que podía ser visible un eclipse solar. 68 Para determinar los días de eclipses se buscaba el momento en que el Sol y la Luna se cruzaban en su trayectoria. Sólo puede producirse un eclipse solar cuando la Luna nueva cae en uno de los tres segmentos (los medios años de eclipses) de la rueda calendárica de 520 días (520 / 3 = 173. 33). «> Se ha sugerido que los mayas eligieron el periodo de 260 días porque era la mitad de la duración de los tres medios años de eclipses, pero sin duda esto equivale a poner la carreta delante del caballo; el almanaque sagrado debe haber existido siglos antes de que los sacerdotes mayas aprendieran a predecir fechas en que podían observar eclipses. 70 De acuerdo con esta investigación, como se verá en el capítulo correspondiente, tanto el almanaque sagrado como la predicción de eclipses serán tan antiguos como lo sea la escultura olmeca del sarcófago de La Venta (1500 a. C), donde ya se encuentran registrados eclipses y el 260 del tonalpohualli (ver el sarcófago de La Venta, en el cap. viI). s»Ibid., p. 180. 69 Ibid., pp. 179-180. 70 Ibid., pp. 177-178. 71 Los mesoamericanos utilizaron indistintamente los números de los ciclos, sin considerar si eran días, años o siglos. Lo pudieron hacer gracias a que su sistema era de proporcionalidad, de tal manera que si toda la ecuación se multiplica por 365 para cambiar el siglo de 104 años a días, el resultado proporcionalmente no se altera; sólo la dimensión de las unidades empleadas. 72 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 175. "La presencia de 7 Lamat 60 días antes, en tanto que lubes evidentes, son buena advertencia de que el almanaque ampliado de 1. 13. 4. 0 (46 x 260 y 405 lunaciones) no sólo servía para predecir los días en que se podían observar los eclipses solares -¿y lunares?-, sino también para cálculos de larga distancia de edades lunares, como lo señaló Teeple (1930, p. 86). No es tan largo como el almanaque ampliado de Venus; sin embargo, todavía considerado así tiene una longitud de unos treinta y tres años" (260 x 46 = 405 x 29. 53). Observamos que la duración de una lunación es exactamente de 29. 53 días en el Códice de Dresde. Esta evidencia se manifiesta en la numerología de los objetos de estudio de esta investigación y se confirma mediante los números que se encuentran en los datos de campo obtenidos por los arqueólogos, mismos que he utilizado para obtener los volúmenes de las envolventes de algunas piezas.

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Margarita

Martínez

del Sobral

Los factores solares y los factores lunares Uno de los números importantes de ciclos solares con los planetas interiores y la Luna es el 37 960 (el número de días en un siglo de 104 años de 365 días), en el que concurren el ciclo solar ajustado a 365 días, el sinódico venusino de 584, el sinódico de Mercurio de 116. 8 días, el del número del ciclo del siglo mesoamericano (104, en años, que no en días), 71 el medio siglo de 52 años y el ciclo sinódico de la Luna, que tomado de 29. 5408 días también está presente. Desde luego que el tonalpohualli queda incluido. La siguiente igualdad lo demuestra: 365 x 104 = 584 x 65 = 116. 8 x 325 = 104 x 365 = 52 x 730 = 29. 5408 x 1 285 = 146 x 260 = 37 960. El ciclo sinódico lunar aproximado de 29. 5308 días se consideró correcto dentro de los parámetros mesoamericanos. A lo largo de esta investigación se ha encontrado que también utilizaron algunos ciclos aproximados de ese número, como el de 29. 5454 días, además de otros. 72 Si 29. 5308 se hace entero al multiplicarlo por 10 000, tendremos 295 308, que es múltiplo de 36 y de 13, por lo que se puede hacer coincidir con los ciclos que tengan estos factores (295 308 / 22 716 = 364 / 28 = 13; 295 308 x 1 0 / 8 203 = 360, quedando así relacionado con el año de 360 días). Además, 295 308 x 20 = 5 906 160 / 22 716 = 260, un tonalpohualli. Pero en general el ciclo lunar fue calculado a 29, 29. 5 o 30 días. A diferencia de los planetas, para el ciclo lunar exacto, según la astronomía moderna (29. 5305 días), no existen relaciones de multiplicidad respecto del 13 o del 20 que sean directamente aplicables. Alguna vez se conjeturó que la cuenta de 260 días correspondía a cómputos lunares, pero esa versión fue desechada por no corresponder la duración del tonalpohualli a un número entero de lunaciones con el que se pudieran sincronizar otros ciclos. El calendárico 364 sí fue profusamente empleado como número ajustado del año del Sol del inframundo, no por el número de lunaciones en ese ciclo, sino por tener el

13 como factor solar (Sol del inframundo) y poderlo hacer coincidir con el tonalpohualli. Prueba de ello es que 364 es un número que aparece en las tablas de multiplicar del Códice de Dresde. 73 En esta investigación al 364 se le ha llamado año por ser múltiplo del 52 (7 x 52 = 364), número solar del inframundo por estar relacionado con Tláloc, numen del inframundo, como aparece a lo largo de este trabajo. Otros factores lunares fueron el 7 y el 9. El primero para formar el periodo de 28 días que interviene como factor en el año de 364 (28 x 13 = 364) y el segundo como factor del 27, número del ciclo dracónico lunar ajustado. Los Nueve Señores de la Noche pueden referirse al factor 9, relacionado con los eclipses; de ahí ese nombre. Se creía que existían nueve peldaños para descender al inframundo y tal vez cada Señor de la Noche correspondía a uno de ellos. Durante los eclipses se hace la oscuridad, misma que caracteriza al inframundo. Otro periodo relacionado con el 9 fue el calendárico 360 (9 x 40 = 360). Existe consenso acerca de la predicción de eclipses a partir del conocimiento periódico del fenómeno -cuentas de días entre eclipses-, independientemente del mecanismo de desplazamiento y alineamiento de los nodos lunares y la eclíptica que les da origen. Acerca de ellos existen otros periodos lunares importantes: el llamado año de eclipses de 346. 6 días, el medio año de eclipses (520 / 3 = 173. 3 días) relativos a su periodicidad y los intervalos de 146 y 177 días, ocasionalmente de 178 (11 x 16 + 1 = 177 y 11 x 16 + 2 = 178), que aparecen en el Códice de Dresde también para predecir eclipses. 74 En las igualdades anteriores aparece como factor el número 11, por lo que en esta investigación se le considera relacionado con los eclipses. También conocieron y emplearon el ciclo lunar de saros, que corresponde a 6 585. 32 días = 223 lunaciones de 29. 53 días. El ciclo sinódico lunar es un periodo tan excéntrico, con múltiplos de los que resultan números primos y fracciones erráticas, que sus asociaciones de multiplicidad con otros NSA, y en especial con el 260, no son

exactas, ni con la cuenta de 11 960 días o 405 lunaciones de 29. 5308 díasJS Los mayas expresaron el periodo sinódico lunar mediante dos cuentas de gran precisión: la fórmula de 4 400 días = 149 lunaciones de 29. 5302 días y la fórmula de 2 392 días = 81 lunaciones de 29. 53086 días. 76 Para la vinculación del periodo lunar con la cuenta de 260 días se estableció una de 11 960 días (aquí llamado gran ciclo lunar, del que ya se ha hablado) mediante las siguientes igualdades: 11 960 = 405 x 29. 5308 = 260 x 46. Pero para la vinculación de la Luna con el año trópico sólo se puede recurrir al ciclo metónico lunar, consistente en una cuenta de 19 años trópico, que es igual a 235 lunaciones de 29. 5302 días: 6 939. 6 días = 235 x 29. 5302 = 19 x 365. 2422.

Los ciclos de los

planetas visibles a simple vista, con excepción de Júpiter, son múltiplos del 13 y del 20, de manera que todos coinciden con el tonalpohualli.

Los ciclos de los planetas visibles a simple vista, con excepción de Júpiter, son múltiplos del 13 y del 20, de manera que todos coinciden con el tonαlpohuαlli. El ciclo sinódico de Mercurio es de 117 días (promedio) y tiene como factores el 13 y el 9; el de Venus, 585 días, cuyos factores son 5, 9, 13; Marte, 780 días, con los factores 5, 6, 13; y por último Saturno (377 días), cuyos factores son 13 y 29. Se excluye Júpiter por no tener en su ciclo sinódico el 13 o el 20 como factores que lo sincronicen con el tonαlpohuαlli. Un mínimo común múltiplo (MCM) de los ciclos planetarios y del solar es el 2 340, número que aparece con cierta frecuencia en los cálculos de coincidencias. La siguiente

73

Ibid., p. 57. "Tablas de multiplicar: Lo que corresponde a nuestras tablas de multiplicar con frecuencia se localiza entre las SI y los CoL -cómputo largo-, por una parte, y los almanaques sagrados y los años de 364 días por otra. " La nota 1 dice: "Lub significa la fecha de base en los ciclos reiterativos, tan frecuentes en el Códice de Dresde" (Thompson, 1950, pp. 59, 221d, 227, 257). "Todos los almanaques, los años quintuples de 365 días, las tablas de eclipses y de Venus, y todas las tablas de multiplicar, son reiterativos en términos del almanaque sagrado, es decir, cada cual vuelve a empezar en el mismo día al completarse su ciclo. "

™Ibid., p. 175. 75 Ibid. "El total de días mediante la hilera superior de adiciones es 11 958 (nunca se corrigió un error de 0 en vez de 1 en la anotación 25); mediante los intervalos, 11 959. En realidad 405 lunas son 11 959. 89 días. La mayoría de los especialistas está de acuerdo en que la tabla tiene por objeto registrar un almanaque ampliado de 11 960 días, a saber, 1. 13. 4. 0. " 76 Michael D. Coe, The Mαyα, Thames & Hudson, Londres, 1987, pp. 175-176.


79

igualdad muestra la importancia del 2 340 (2 340 = 260 x 9 = 585 x 4 = 117 x 20 = 780 x 3 = 4 5 x 5 2 = 13. 5 x 173. 33). Algunos autores, entre ellos Thompson, no consideran que hayan tomado el ciclo sinódico de Marte para sus cálculos, sino que siendo 780 = 3 x 260, en realidad se tomaba tres veces el valor del tonalpohualli. Esta opinión está reforzada por los códices que expresan representaciones orbitales del sistema solar, como el Códice Borgia, en donde aparece el Sol al centro y luego las órbitas de los planetas interiores únicamente. 77 De acuerdo con una tradición maya, el fin del mundo ocurrirá el finalizar la era maya de 1 872 000 días, el 2 de junio del año 2012, cuando Venus entre en tránsito (en su periodo corto de ocho años) por el disco solar. En esta fecha se cerrarán también los ciclos sinódicos de Mercurio, Venus, Marte, Tierra (con el año trópico de 365. 197 y 365. 2682) y el ciclo de la era maya de 1 872 000 días, que se iniciara en el año 3 113 a. C. 78

Explicación del cuadro de los factores solares y lunares

77

"Tonatiuh, dios solar", en Códice Borgia, edición facsimilar, Fondo de Cultura Económica, México, 1980, p. 23. 78 Esto sucederá teóricamente, ya que los ciclos con los que se hace el cálculo no son exactos. 79 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 194: "b) una tabla de multiplicar, en este caso del año de 364 días y sus cuartas partes (91 días), contados a partir de los nombres y de los números de días alcanzados por el CoL; c) almanaques septuples de 1 820 días, el mínimo común múltiplo de 260 y 364".

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Los números que se encuentran frecuentemente en esta investigación se pueden dividir en dos grandes grupos: números que señalan ciclos lunares y números que señalan ciclos solares. Ambos grupos participan de un factor común, el 52. Pero para los lunares se tomará el 52 en días (52 días x 7 = 364 días) y para el solar en años (52 años x 2 = 104 años, el siglo mesoamericano). Sin embargo, haciendo caso omiso de si son días o años, considerando simplemente ciclos -como lo hacían los mesoamerican o s - , el 52 únicamente será considerado como un ciclo. A su vez estos dos grandes grupos encierran otros ciclos, solares y lunares, que forman parte del sistema solar, en los que basaron sus calendarios. En el grupo de los solares, al centro se encuentra la solar era maya, regida por el Sol del supramundo de 1 872 000 días, que se obtiene de multiplicar 52 x 36 000, es


decir, 100 veces el año de 360 días. Dicha era está vinculada con el año de 360 días, que a su vez se puede factorizar como 2 x 3 x 6 x 10, donde el 3 y el 6 son números solares, lo que hace solar a la era. Dentro del grupo solar se encuentran los ciclos planetarios de Mercurio, Venus y Marte. También a este grupo pertenecen las constantes π y φ. La primera, π, 3. 2, se obtiene al dividir 1 872 000 entre mil veces el ciclo sinódico de Venus, 585: 1 872 000 / 585 000 = 3. 2, donde 3. 2 está dentro del parámetro mesoamericano para π, de 3 a 3. 25. El segundo, 3. 25, se obtiene al dividir 1 872 000 entre cuatro baktunes de 144 000 días, lo que arroja el cociente deseado: 3. 25. [1 872 000 / (4 x 144 000) = 3. 25. ] La constante φ se obtiene al dividir 1 872 000 entre 10 mil veces el ciclo sinódico de Mercurio: 1 872 000 /l 170 000 = 1. 6, valor que es el límite inferior del parámetro mesoamericano para esta constante, que va de 1. 6 a 1. 625. El valor del límite superior se encuentra al dividir 1 872 000 entre 8 baktunes [1 872 000 / (8 x 144 000) = 1. 625]. Así se demuestra que las dos constantes son solares. Por otro lado, al dividir 1 872 000 / 6 000 = 312, número que se ha considerado aquí como lunar, pero que esta clasificación arroja como solar, dándole así la razón a Cecilio A. Róbelo cuando dice que fueron 312 años los que rigió la Luna como falso Sol. Los valores que los olmecas dieron al año trópico de 365. 1970 y 365. 2682 días se obtienen al dividir 1 872 000 entre 5 126 para obtener el primer valor y entre 5 125 para el segundo. Para obtener al año de 360 días habrá que dividir 1 872 000 / 5 200, en donde el 52 aparece como múltiplo del divisor. En el grupo de los ciclos lunares, al centro se encuentra la era lunar regida por el Sol del inframundo de 1 820 000 días, que se obtiene de multiplicar 364 x 5 x 103, es decir, 5 000 veces el año de 364 días. El 52 está implícito en 364: (364 = 7 x 52), donde el 7, que es un número lunar, hace a la era lunar. 79 AI tener la era lunar 1 820 000 días, dividiendo 1 820 000 / 1 137 500 = 1. 6 = φ, que es

el límite inferior del parámetro mesoamericano para φ. El límite superior se encuentra dividiendo 1 820 000 /l 120 000 = 1. 625; se concluye que ambas constantes están relacionadas con el Sol y con la Luna. Por otro lado, al dividir la era lunar entre 61 631 se obtiene 29. 53059, el ciclo sinódico exacto de la Luna (1 820 000 / 61 631 = 29. 53059). Si este ciclo se toma 405 veces, se obtiene muy cercanamente el gran MCM lunar 11 960, múltiplo del 52 y del 260. Tanto 1 872 000 como 1 820 000 son divisibles entre 52 y entre 260, es decir, que 52 y 260 son sus factores comunes.

La diferencia entre la era lunar y la solar es de 52 000 días. A lo largo de este estudio se ha visto que en la diferencia se encuentra la unidad, la cual, en este caso, es de 52 000 días. Se comprueba dividiendo la era de 1 872 000 / 52 000 = 36 y 1 820 000 / 52 000 = 35. La diferencia es de una unidad: 36 - 35 = 1. Se comprueba que en la diferencia se encuentra la unidad y se habrá demostrado que 52 es factor común de ambos grupos; de hecho, el número que los une. El 52 a su vez se transforma en 260 al multiplicarse por 5, haciendo al 260 factor común de ambos grupos.

El 52 como factor común de los ciclos lunares y solares


81

IV. Del tonalpohualli y del tonalámatl, de los ciclos planetarios y del número de oro

Del

tonalpohualli

Tonαlli, de donde deriva tonalpohualli, significa en náhuatl tanto día como destino y ámatl, el árbol de amate de cuya corteza se hacía el papel donde se pintaba el códice. En zapoteco es conocido como piyé y en la cultura maya los investigadores estadounidenses le han llamado tzolkin. El tonalpohualli era el lapso de 260 días registrado en el tonalámatl, códice calendárico o almanaque sagrado donde estaba escrito el destino de los hombres. El tonalpohuque era el agorero encargado de leerlo. Fue utilizado por toda Mesoamérica para conocer el destino particular y el colectivo hasta la llegada de los españoles, aunque se tienen noticias de que todavía es empleado en algunas partes de Guatemala y en el estado de Oaxaca. La palabra tonalpohualli es de origen náhuatl, mas no así su contenido. Lo más probable es que este calendario haya sido inventado por los olmecas, como apunta el análisis matemático-astronómico realizado en algunas esculturas de pequeño formato y en las cabezas colosales de esa cultura, que se presentan en los capítulos viI y viII. En la gran mayoría de ellas, en el número volumétrico (NV) de su prisma envolvente virtual -o en sus múltiplos o submúltiplos-, se registró como factor el lapso de 260 días. Anthony F. Aveni sugiere que su lugar de origen pudo haber sido San José Mogote, Oaxaca, situado a una latitud norte de 17°, mas vincent H. Malmstrom 1 ha comprobado que este calendario es tan antiguo como el centro ceremonial de Izapa, Chiapas, asentamiento localizado a una latitud de 15° N. Munro Edmonson habla del calendario A (olmeca) como uno ya establecido para el año 656 a. C. 2 1

2

vincent H. Malmstrom, The Olmec Dawning, cap. v, p. 1-33, htt: //www. dartmouth. edu/~izapa/CSMM-Chap. %205. htm. Constanza Vega Sosa, Códice Azoyú, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 43.

82


El estudio geométrico y numerológico que se presenta en el capítulo IX y en el X indica que la Pirámide del Sol en Teotihuacan funcionaba como un gran tonalámatl, no pintado como por Jo general se hacía en los códices de papel, sino construido de piedra y

lodo, según se puede deducir del estudio geométrico de la pirámide y de la interpretación de la iconografía de la primera página del Códice Fejérváry-Mayer que hace Miguel León-Portilla. 3 Una de las pruebas es el número volumétrico de la suma de todos los cuerpos de la Pirámide del Sol, que es 2 548 U3, faltando 52 U3 para 2 600 u 3 , que es 10 veces el tonalpohualli. Ya se dijo que "en la diferencia se encuentra la unidad", lo que queda comprobado en la siguiente igualdad: 2 600 U3 - 2 548 u3 = 52 U3, en donde 52 es la unidad La cuenta de los días en ese almanaque sagrado comienza en Ce Cipactli, uno lagarto, primer día de la creación con el que también inicia el calendario venusino. 4 Cosmogónicamente corresponde al momento en que el lagarto mítico o Cipactli emerge sobre las aguas primigenias, separando el universo en tres zonas: la zona superior o cielo de los dioses; la inferior o inframundo, todavía cubierta por las aguas, como se manifiesta en una de las piezas más importantes del arte olmeca: el sarcófago llamado monumento 6 de La Venta. 5 En éste se puede ver que entre el cielo superior y el inframundo, todavía cubierto por las aguas, se encuentra la superficie de la Tierra, que corresponde al lomo del saurio; en él también se aprecia la vegetación que ya crece incipiente sobre la superficie terrestre. En la cara frontal de este importantísimo sarcófago está la cara de Cipactli. En ella se ven representadas las tres zonas del universo indígena. La zona inferior corresponde al inframundo, que manifiesta su entrada en la cara del animal. La zona media, donde se vive y ejerce el sentido de la vista por medio de los ojos, el del olfato por la nariz y el del oído por las orejas, corresponde sucesivamente a los ojos, nariz y oídos de Cipactli. Finalmente, la tercera zona, la más alta o cielo superior, corresponde a la parte de la cabeza en donde se encuentra el cerebro, órgano del pensamiento que nos revela el universo (ver figura IV. 1, "El sarcófago de La Venta"). Cipactli es el saurio que separa las aguas del cielo en el primer momento de la

Figura IV. 1. El sarcófago de La Venta

"Perspectives on the Olmec", The Olmec World / Ritual and Rulership The Art Museum, Princeton University, Italia, 1996 Figura 12, página 35

Cipactli es el saurio que separa las aguas del cielo en el primer momento de la creación. Es Venus en su orto helíaco cuando aparece después de un eclipse en el primer día de la creación; es la serpiente que al adquirir plumas se remonta por arriba de la superficie de la Tierra para sacar del inframundo a los descarnados y llevarlos a cielos superiores.

creación; es la serpiente que al adquirir plumas se remonta por arriba de la superficie de la Tierra para transportar del inframundo a los descarnados hacia cielos superiores. 6 El principal objetivo del tonαlámαtl era revelar lo que los númenes de los astros tenían deparado como destino en la vida de los hombres; pero para poder revelar los designios divinos el calendario augural debería relacionarse con el calendario solar

3

4

5

(i

Miguel León-Portilla, Códices: los antiguos libros del Nuevo Mundo, Editorial Aguilar, México, 2004, pp. 231-232. La investigación apunta a que la cosmogonía mesoamericana tenía como dogma que el primer día de la creación había ocurrido en el momento en que por primera vez apareció Venus en su orto helíaco como Estrella de la Tarde, al salir de su conjunción superior. Michael D. Coe, The Olmec World /Ritual and Rulership, The Art Museum, Princeton University, Princeton, 1996, p. 35, figura. 12, "El monumento 6 de La Venta en forma del dragón terrestre olmeca". El cuerpo de la serpiente es un ducto mediante el cual se conecta la Tierra con el cielo superior. En los bajorrelieves de serpientes de visión se puede ver a algún guerrero saliendo de las fauces del saurio en presencia de la sacerdotisa que ha conjurado el espíritu de ese personaje.

IV. Del tonalpohualli y del tonalámatl, de los ciclos planetarios y del n ú m e r o de oro

83

La capacidad del número 260 p a r a coincidir con el ciclo de gestación del ser humano y, en forma directa o indirecta, con la mayor p a r t e de los ciclos planetarios por medio de sus factores 13 y 20 explican su empleo como número de días del tonalpohualli

(xíhuitl para los mexicas). Para ello los sabios crearon un año de 360 días basado en la división de la bóveda celeste en 360 grados, de manera que a cada día del año correspondiera un grado del círculo y un grado en la esfera celeste. Para lograrlo tuvieron que dejar fuera los días baldíos de Dios, los cinco nemontemi, 7 empatando así el tiempo y el espacio. Por otro lado, la capacidad del número 260 para coincidir con el ciclo de gestación del ser humano y, en forma directa o indirecta, con la mayor parte de los ciclos planetarios por medio de sus factores 13 y 20 explican su empleo como número de días del tonalpohualli. 8 El Códice de Dresde lo registra también a través de sus factores 5 x 52 = 260, 10 x 26 = 260 y 4 x 65 9 = 260, así como a través de otros números que ayudan a comprender la numerología mesoamericana. Al respecto, Motolonía afirmó: Cumplidos estos doscientos y sesenta días y los signos de los p l a n e t a s de ellos, h e m o s de t o r n a r a c o n t a r de p r i n c i p i o q u e es Ce Cipactli, e ir discurriendo de la misma m a n e ra h a s t a el fin, y así a c a b a d a la tabla, c o m o está d i c h o , n o h e m o s p o r r e s p e t o d e e s t a cuenta de mirar en qué m e s se a c a b a y cumple, y p a r a saber el c ó m p u t o del a ñ o y curso del Sol, q u e no es su c u e n t a ni p o r r e s p e t o se n o m b r a y son los signos, sino p o r con-

7

Los griegos también quitaban cinco días del año, los llamados epagómenos. El 360 fue considerado apropiado para el calendario civiI seguramente por tener el 20 como factor y así poderlo relacionar con el calendario adivinatorio. Por otro lado, es el número que relaciona el cuadrado con el círculo, pues sus factores son 4 x 9 x 1 0 = 360. El 3 es número solar y el 4 es simbólico de la Tierra. El 4 corresponde a la división cuatripartita del espacio que nos permite estudiarlo y conocerlo, una vez teniendo un eje y un punto fijo de referencia, en este caso la estrella Polar. El eje es norte-sur y es eje de nuestra constelación, la Vía Láctea. 8 Acerca del nombre tzolkin dado por algunos investigadores al almanaque sagrado, Thompson dice que "No se utilizó el término tzolkin para el almanaque de 260 días. Como lo demostró Long (1924), no hay base para creer que fuera el nombre de ese periodo, y, a decir verdad, se le podría utilizar para cualquier cuenta de días. No conocemos la palabra yucateca que designe al almanaque sagrado; la palabra cakchiquel no corresponde lingüísticamente a tzolkin". 9 J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, pp. 81-116. 10 Fray Toribio Motolinía, El libro perdido / Ensayo de reconstrucción de la obra histórica extraviada de fray Toribio, Edmundo O'Gorman (dir. ), Conaculta, México, 1989, p. 85.

84


templación de la estrella; ni nos admiremos. A esta cuenta la llaman tonalphualli ¡tonalpohualli], que quiere decir cuenta del Sol, porque la interpretación e inteligencia de este vocablo, largo modo, quiere decir cuenta de los planetas o criaturas del cielo que alumbran y dan luz, y no se entiende de sólo el planeta llamado Sol, que cuando hace Luna llamamos metztona, esto es, que da luz y alumbra la Luna. A la estrella también le dicen Citlaltona, la estrella da claridad; empero, porque dar luz y alumbrar es más propio del Sol que de los otros planetas, cuando los haz dicen absolutamente tona... Después del Sol, a esta estrella adoraban y hacían más sacrificios que a otra criatura ninguna, celestial ni terrenal. Después que se perdía en occidente, los astrólogos sabían el día que primero habría de volver a aparecer en el oriente, y para aquel primer día aparejaban gran fiesta y sacrificios, y el señor daba un indio que sacrificaban luego por la mañana como salía y aparecía la estrella, y también hacían otras muchas ceremonias y sacrificios, y desde allí adelante cada día, en saliendo, le ofrecían incienso los ministros de los ídolos, y estaban levantados esperando cuándo saldría para hacer reverencia y sacrificio de sangre y otros muchos indios por devoción hacían lo mismo... Tornando a nuestra estrella, en esta tierra dicen tarda y se ve salir el oriente otros tantos días como el occidente, conviene a saber, otros doscientos y sesenta días. Otros dicen que trece más, que es una semana, que son por todos doscientos y setenta y tres días. 10

El párrafo anterior, que habla de la semana de 13 días, del tonalpohualli (260 días), de Citlaltona (Venus), la Luna (Meztli, periodo sidéreo, 27. 3 días, 27. 3 x 10 = 273), traducido a números enteros se encuentran relacionados mediante su mínimo común múltiplo (MCM) 32 760 en la siguiente igualdad: 32 760 = 273 x 120 = 90 x 364 = 360 x 91 = 56 x 585 = 260 x 126 = 819 x 40. Charles H. Smiley hizo un magnífico estudio acerca de la relación entre el 260 y los intervalos de 117 y 585 días:

... la secuencia completa de 20 x 117 o 2 340

sacerdotes-astrónomos mayas pueden ha-

días representa precisamente nueve ruedas

berse jactado sobre todo de las hábiles

sagradas de 260 días cada una. Es también

maniobras para recuperar el importantísimo

una excelente aproximación a tres periodos

lub, eso es, la posición en la que el almana-

sinódicos promedios de Marte de 779. 93

que sagrado de 260 días en que empezaba

días cada uno. Los periodos sinódicos indi-

toda la tabla, de más de un siglo de duración

viduales de Marte varían de 767 a 803 días,

(37 960 días), y al que se debía de volver para

pero indudablemente fue muy difícil para

formar el necesario nuevo ciclo...

los astrónomos mayas predecir precisamen-

... Lub designa la fecha de base de ciclos

te cuándo Marte estaba en conjunción con

reiterativos de tiempo, tan frecuentes en el

el Sol, ya que Marte se encontraba perdido

Códice de Dresde [Thompson, 1950: 59, 221,

en la brillante área cercana al Sol durante

227, 257]. Todos los almanaques, los años

100 días. •i

quintuples de 364 días, las tablas de eclipses y de Venus, y todas las tablas de multiplicar,

Thompson no considera que el 780 haya

son reiterativos en términos del almanaque

sido utilizado p o r ser el ciclo sinódico de

sagrado, es decir, que cada cual vuelve a

M a r t e , sino p o r ser tres veces el tonalpo-

empezar con el mismo día al completarse

hualli. Refiriéndose al " A l m a n a q u e 69" del

su ciclo. Los mayas concebían el tiempo

Códice de Dresde, T h o m p s o n o p i n a q u e

como una marcha por toda la eternidad de

t o d o s los a l m a n a q u e s adivinatorios tienen

todos los periodos de tiempo. Al término de

que ser múltiplos o submúltiplos del 260 y

cada día llegaban a un breve reposo, depo-

q u e , p a r a sincronizar un ciclo con el calen-

sitando sus cargas [véanse los glifos de figu-

dario augural y llegar al lugar de d e s c a n s o

ra entera en Copan D] antes de reanudar el

12

o lub

y

13

es imperativo b u s c a r un m í n i m o

viaje. A ese lugar de descanso se le llama

c o m ú n múltiplo ( M C M ) t a n t o d e los n ú m e -

lub en yucateco. A otros puntos de descan-

ros representativos de los ciclos astronómi-

so más importantes, que se habían caracte-

cos c o m o del 260, p o r lo que el cálculo del

rizado por el cumplimiento de periodos su-

engranaje o sincronización de ciclos se re-

periores, como el cambio de portador de

d u c e a e n c o n t r a r el MCM de los n ú m e r o s

baktún, se le llama lubay. Como se ha seña-

que se quieren h a c e r coincidir en un lub.

lado, aplico el término a fechas de reinicia-

A m e d i d a que se avanza en este estu-

ción de todos los ciclos (necesariamente de

dio q u e d a m u y claro q u e los n ú m e r o s volu-

260 días o sus múltiplos de esa cifra en ade-

m é t r i c o s (NV) de los c u e r p o s g e o m é t r i c o s

lante), al punto de llegada o de partida, al

q u e p u e d e n ser las envolventes virtuales de

cumplimiento y a la reiniciación. Una pala-

sus m o n u m e n t o s , de m a n e r a directa o indi-

bra maya de vez en cuando es útil para disi-

recta, tienen q u e ser múltiplos o submúlti-

par la confusión resultante del uso excesivo

plos del 260, a d e m á s de r e p r e s e n t a r ciclos

de palabras europeas. , 5

a s t r o n ó m i c o s , calendáricos o geográficos, NSA, NSC o NSG, respectivamente. 14

Del Paso y Troncoso, respecto a lo que

Esta coincidencia de ciclos correspon-

es el tonalámatl q u e p u e d e v e r s e en el

de a lo que T h o m p s o n llama "recuperación

Códice borbónico, al n ú m e r o de días de que

del lub". Un lub era el lugar mitológico de

consta y sus divisiones, a lo que trata c a d a

d e s c a n s o de los astros, los m e c a p a l e r o s o

p á g i n a y a q u é dioses e s t a b a c o n s a g r a d o

c a r g a d o r e s celestes q u e p o r t o d a la eterni-

c a d a periodo, escribe:

d a d llevaban a la espalda la pesada carga de ciclos astrales, p o r t a d o r e s del d e s t i n o . Al

Debajo, y en el segundo renglón, aparecerá el

respecto T h o m p s o n c o m e n t a :

asunto de la primera parte del códice, correspondiente a la serie de las primeras veinte

Por otra parte, aunque enorgulleciéndose

páginas, escrito en mexicano y precedido de

ciertamente por la exactitud alcanzada, los

la traducción castellana: cuenta de los días,

ii Charles H Smiley, "Interpretación de dos ciclos en el Códice de Dresde", en Estudios de Cultura Maya, UNAM, México, 1964, pp. 257-260. 12 Un lub era el lugar adonde llegaban los caminantes celestes (los astros) a tomar un descanso. Ocurría cuando había coincidencia de ciclos (conjunciones, tránsitos, eclipses). 13 Charley H. Smiley, op. cit., p. 257: "lub, según el diccionario de Motul: 'descansadero de los indios de carga' y también 'legua', es decir, la distancia entre dos descansaderos. Thompson aplica el término a la cronología para indicar el fin de un periodo, cuando los cargadores divinos de los ciclos calendáricos depositan su carga" (Maya Hieroglyphic Writing, 1950, p. 59, nota del editor). 14 Las siglas NSA, NSC y NSG corresponden a números con significado astronómico, con significado calendárico y con significado geográfico, respectivamente. Entre los números importantes de recuperación del lub que se encuentran en el Códice de Dresde está el 1 820, que es MCM de 260, 364, 105, 91, 65, 52, 28, 17. 3, 20, 13, 7, 4, 2. is J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 57, nota 1.

IV. Del tonalpohualü y del tonalámatl, de los ciclos planetarios y del número de oro

85

tonalpohualli. En la misma línea tercera vere-

volumétrico de las cabezas colosales olme-

mos especificadas la duración y subdivisiones

cas, fechadas e n t r e 1200 y 800 a. C.,

del periodo; así, ciclo de 260 días dividido en

como en la localización geográfica del cen-

20 trecenarios. Y debajo, escrito en otro ren-

tro ceremonial de Copan o Izapa a 15° N.

glón, que será el cuarto, figurará el asunto

Para Thompson está claro que los sacerdo-

particular de la página, que aquí está con-

tes mayas trataban de poner todas las acti-

sagrado el primer periodo trecena de la

vidades h u m a n a s y celestiales en relación

cuenta de los días; de consiguiente la línea

con el almanaque sagrado, y aquí se puede

reza: primera trecena (signo Ce Cipactli).

agregar que no s o l a m e n t e los s a c e r d o t e s

Númenes: Tonakatekutli y Tonacacíhuatl. 16

mayas, sino todos los sacerdotes m e s o a m e -

lfí

así

ricanos. Se cita a la letra lo que escribe del Eduard Seler opina que el punto de partida p a r a que el tonalámatl tuviese 260 días

Paso y Troncoso respecto a lo que dice el padre Motolinía:

p u d o haber sido p o d e r c o m b i n a r el n ú m e ro 13 con los veinte signos de los días, y

De todo lo anterior resulta que el tonalámatl

comenta:

es un cómputo complejo, en el cual entran los siete astros que forman el sistema plane-

"> Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, Siglo XXI Editores, México, 1988, pp. 50-52. El tonalpohualli es la cuenta de 260 días dividido en 20 trecenarios. Xiuhpohualli, la cuenta de los años: "Ciclo de 52 años dividido en cuatro indicciones de 13 años... donde empieza la cuenta de las veintenas... cuenta de los meses... ciclo de 365 días dividido en 18 veintenas y 5 días aciagos... El mes ickcalli, numen Xiuhtecutli, el símbolo del fuego nuevo". 17 Eduard Seler, Comentarios al Códice Borgia, Fondo de Cultura Económica, México, 1963, t. I, pp. 18-19. 18 Ver cap. vin.

86

Yo opino que una combinación del año solar

tario de los antiguos... Ni nos admiremos si

(que tenía 36S, o sea, 5 x 73 días, de acuerdo

a esta cuenta la llaman tonalpohualli, que

con el cómputo de aquellos viejos astróno-

quiere decir cuenta del Sol, porque la inter-

mos que fueron los autores del calendario) y

pretación e inteligencia de este vocablo, largo

el periodo del planeta Venus (que estimaban

modo, quiere decir cuenta de planetas o cria-

con aproximada exactitud en 584 días, o

turas del cielo que alumbran y dan luz, y no

sea, 8 x 73 días) les proporcionaba un perio-

se entiende de sólo el planeta llamado Sol.

do de 13 x 73 días; este lapso multiplicado

Él sentó tal proposición para compren-

por 20 da, de nuevo, un número redondo de

der en el cómputo ritual a la Luna y a Venus:

años, a saber, el conocido ciclo de 52 años.

nosotros podemos utilizar la definición para

Este periodo mayor componía análogamen-

hacer extensivo el tonalpohualli a los demás

te al año solar y al periodo del planeta

planetas, cuyas relaciones con ese periodo

Venus (de 20 x 13 x 73 días). Y así nació el

acabamos de reconocer.

tonalámatl como una unidad. 17

Este sistema de cómputo, con algunas reformas, fue el que los españoles encon-

Los dioses que regían el espacio en el

traron establecido cuando conquistaron el

m o m e n t o de la c o n c e p c i ó n del individuo

país; pero una obra tan perfecta no pudo

e r a n los q u e d e t e r m i n a b a n su vida en la

improvisarse: hay que reconocer en ella el

Tierra. Para mejorar los augurios, los fíeles

trabajo lento y constante de numerosas ge-

efectuaban rituales y s a n g r i e n t o s sacrifi-

neraciones, cuya existencia en este conti-

cios, mas no siempre se lograba que los dio-

nente se oculta bajo un velo impenetrable.

ses cambiaran un mal destino por otro favo-

Recurro a nuevas hipótesis para explicar la

rable. Eran los s a c e r d o t e s - a s t r ó n o m o s los

marcha progresiva del cómputo de Anáhuac

encargados de hacer los complicados cálcu-

en el transcurso de los tiempos. Los tres

los m a t e m á t i c o s derivados de la a s t r o n o -

números sagrados del tonalámatl entiendo

m í a y de aplicarlos a la astrologia valién-

que marcan las tres edades en que puede

d o s e de la n u m e r o l o g í a c o m ú n a a m b a s ,

subdividirse la historia del cómputo: el 9

siendo u n a de sus actividades más impor-

señalaría la I a edad, en que el cómputo fue

t a n t e s relacionar los eventos celestes con

lunar; el 20, la 2 a , durante la cual predomi-

la vida del ser h u m a n o . Esta actividad debe

nó el cómputo solar; el 13, la 3 a , que intro-

h a b e r sido antiquísima, pues el calendario

dujo el cómputo planetario o complejo.

o almanaque de 260 días quedó registrado,

Daré aquí una ligerísima idea de esos tres

de manera directa o indirecta, en el número


cómputos.

Primera edad. Cómputo lunar. Puede subdi-

habrán sido el 30 de la primera edad y el 20

vidirse en dos épocas. La revolución sinódi-

de la presente.

ca de la Luna serviría de norma durante la 1a época. A ésta perteneció, probablemente, el

Tercera edad. Cómputo planetario. Debido

periodo de 30 días llamado u por los mayas.

a la introducción de la trecena en la medi-

En la 2a época, descubierto el naólin lunar,

da del tiempo para combinar los movimien-

tomarían los indios como base del cómputo

tos del Sol y de la Luna con las revoluciones

la revolución sideral, que monta, aproxima-

de los demás planetas. El 13, cuya noción

damente, a 27 días: el ciclo de nueve días o

habrá venido desde la I a edad, es el núme-

periodo menor de los Acompañados (Que-

ro predilecto de la presente, y entra como

cholli), que es parte alícuota de aquél; corres-

factor con los números señalados en el

pondería a esta 2a época. Sospecho que en

cómputo de las otras dos edades, para formar

esta edad pudo existir el año lunar, que cons-

nuevos ciclos, necesarios a la combinación

taría en la Ia época de 12 lunaciones y en la

indicada. Con el 1 formó la trecena (cocij de

2a de 13 revoluciones siderales, siendo, por lo

los zapotecas) y el ciclo de 13 años (tlalpilli);

tanto, su duración de 354 a 355 días.

con el 4, el ciclo de 52 años (xiuhmolpilli), y por una nueva combinación con este último

Segunda edad. Cómputo solar. También pue-

el ciclo lunisolar de 676 años; con el 5, el

den considerársele dos épocas. La primera

ciclo de 65 días (piyé de los zapotecas); con

marcaría el paso del cómputo lunar al solar,

el 8, el ciclo de 104 años (cehuehueliztli); con el

por el descubrimiento del naólin del Sol, y

9, el ciclo de 117 días o periodo mayor de los

a

habrá constado de años vagos. La 2 estaría

Acompañados; con el 20, el ciclo de 260 días

caracterizada por la introducción de los días

(tonalpohualli); y el de 260 años (gran katún

intercalares. La base de este cómputo es el

de los mayas); con el 20 y el 9, el ciclo simé-

20, número típico de la aritmética. Los

trico de 2 340 días; con el 80, el gran ciclo

pequeños ciclos, o sea, los de los días, sal-

de 1 040 años. Aquí también podemos con-

drían del mismo 20 y de sus factores 4 y 5,

siderar dos o más épocas, según que la

para formar el mes de 20 días (meztli) y los

intercalación haya ido cambiando, pues los

ciclos de cinco días (macuiltianquiztli). Los

autores mencionan tres métodos: el de 13

grandes ciclos provendrían del método de

días por cada xiuhmolpilli, el de 25 por cada

intercalación, y habrían sido el de 365 días

cehuehueliztli y el de 63 días en el periodo de

(xíhuitl); el de cuatro años (teoxíhuitl); el de

260 años, que ha propuesto el padre Fábrega

20 años (ahau katún de los mayas); y el

y sostiene el señor Orozco y Berra. 19

periodo máximo, que parece bien averiguado, fue el ciclo de 80 años; a esta edad

A lo largo de esta investigación se verá

supongo que puede referirse también el ciclo

q u e , en efecto, los n ú m e r o s e n c o n t r a d o s

de ocho años (atamalqualliztii), aunque tiene

d i r e c t a m e n t e o como factores de las envol-

muchos puntos de contacto con la edad

ventes virtuales de las piezas estudiadas son

siguiente. Las intercalaciones cíclicas se

p r e c i s a m e n t e los m i s m o s a los que se refie-

habrían hecho por periodos de cinco y aun de

re del Paso y Troncoso, p o r lo que así que-

20 días, según los casos. Hay vestigios de este

dan verificadas las importantes hipótesis de

cómputo en casi todos los pueblos del Aná-

ese ilustre historiador.

huac: mayas, totonacas, mixteco-zapotecas, nahuas, tarascos, matlaltzincas. Comienza a observarse aquí el método de combinación,

19

R a z o n e s d i v e r s a s del

tonalpohualli

predominante en la edad siguiente: el 9, base del cómputo primitivo, se combina con el

Lα razón numérica del t o n a l p o h u a l l i . De

20 y forma así el año de 360 días útiles y los

acuerdo con el n ú m e r o 260, que se encuen-

18 meses de éste; si admitimos el gran ciclo

t r a c o m o factor de los v o l ú m e n e s de los

de 600 años, que es lunisolar, sus factores

paralelepípedos rectos que p u e d e n encerrar

Francisco del Paso y Troncoso, Ensayo sobre los símbolos cronográficos de los mexicanos, Anales del Museo Nacional, México, 1882, cap. XIII, pp. 371-372.


20

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, 1991, p. 173. "Finalmente, Kelly (comunicación personal) ha sugerido que el ciclo tuvo origen en el metztli, mes . sideral estandarizado de 28 días, al que se multiplicaba por 13 para dar un año de 364 días. "

21

Se pueden transformar los años a días, pero hay que tener cuidado con cuál duración del año se toma: ¿360, 364, 365 o 365. 25 días? 22 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 63. 2: i Zelia Nuttall, The Fundamental Principles of Old and New World CiviIizations, Archeological and Ethnological Papers of the Peabody Museum, Harvard University, Cambridge, 1901, vol. II, p. 297. 24 Los factores 13 y 20, que permiten que el tonalpohualli se engrane con los ciclos sinódicos de los planetas visibles a simple vista, con excepción de Júpiter. Existen otros números, tratados en el capítulo correspondiente a numerología de este libro, que son de enganche o engrane, como el 9, número de los Acompañados o Señores de la Noche, que puede enganchar a otros números que lo tengan como factor.

88

Margarita

a las cabezas colosales olmecas, se puede pensar que ya era utilizado el calendario augural por los agoreros de San Lorenzo Tenochtitlan, La Venta y Tres Zapotes, pues es allí en donde por primera vez aparece el 260 como factor del NV de esas cabezas. Este criterio puede modificarse en el momento en que en alguna pieza del arte prehispánico anterior a los olmecas se encuentre en su NV como factor el número 260. No fue casual ni única la razón de haber escogido 260 días como duración del tonalpohualli. La razón astronómico-matemática es que el 260 tiene como factores el 13 y el 20, que lo son también de la mayoría de los ciclos sinódicos de los planetas visibles a simple vista, con excepción de Júpiter. Igualmente 13, 20 o ambos son factores del calendario civiI, así como de los 13 años en un tlalpilli, de los 13 días en una trecena o semana del año del Sol del inframundo de 364 días, 20 de las eras cosmogónicas de 676 años, de la era maya de 1 872 000 días y de la era lunar de 1 820 000 días. Su coincidencia con el tonalpohualli es mediante el 52, quinta parte del indispensable 260, tomando los números como absolutos. 21 El tonalpohualli, tal como aparece en "Los días y los destinos", una página publicada en el libro Códices, de Miguel LeónPortilla, consiste en 13 columnas (los 20 días del mes mexica), en donde se suceden los 13 días de la semana del tonalpohualli, que van serpenteando de arriba a abajo de 13 en 13. Sumando los números de cada fila horizontal, se observa que cada fila suma 91, la cuarta parte del año del Sol del inframundo de 364 días. Siendo 20 columnas, se tendrá 91 x 20 = 1 820 días, los mismos que suman los dos cuerpos primeros de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, revelándose este monumento como un gran tonalámatl en manipostería. El 1 820 aparece como un número importante en el Códice de Dresde. Thompson lo identifica como el lapso para que aparezcan otra vez los lubes 3 Kan, 3 Ix, 3 Cimi, 3 Chicchán y 13 Akbal, al cabo de 1 820 días -MCM de 260 y 364-, de acuerdo como lo marcan las tablas de las páginas 63 y 64 del códice. 22

Martínez

del

Sobral

El 1 820 puede representar el Sol del supramundo y el del inframundo, ya que tiene como factores tanto el 28 lunar como los solares 13 y 52. La siguiente igualdad lo comprueba: 13 x 140 = 1 820 = 65 x 28 = 5 x 364 = 35 x 52. Si se suman los números por columna, se tendrá que cada una vale 210 días, que multiplicados por 13 (el número de columnas) = 2 730, que corresponde a 10 ciclos sidéreos de la Luna. El 2 730 también es lunar y solar, ya que tiene como factores el 13 solar y el 91 lunar, comprobando así que el tonalpohualli estaba regido no solamente por el Sol, sino que también tenía parte importantísima nuestro satélite, la Luna, en el destino de los hombres de Mesoamérica. Un análisis de la rueda de números con números secuenciales de fundamental 260 (ver figuras 2. 4 y 2. 6 en el apéndice) indica que ésta tiende a 1 872 000 días, la duración de la era maya, y que contiene - m á s que ninguna o t r a - una gran cantidad de NSA y NSC, lo que facilita relacionar estos números con los astros y eventos astronómicos correspondientes. La razón biológica del tonalpohualli. Zelia Nuttall 23 ya había hecho notar que a los 260 días del tonalpohualli corresponde el periodo biológico aproximado de la gestación del ser humano. El calendario augural, al tener 260 días, cada día correspondería a cada uno de la permanencia del feto en el seno materno, criterio fundamental de este estudio. Al nacer el niño, otro ciclo vital de 260 días comenzaba de nuevo y así cada 260 días, hasta la muerte. De esta manera relacionaban el ciclo vital con los astros, cuyos númenes deparaban el destino de los hombres. 24 Por eso era indispensable para el agorero conocer la fecha y hora exactas del nacimiento, para poder leer correctamente el destino del infante en la sección del tonalámatl correspondiente. Si el calendario adivinatorio se originó en la cultura olmeca, es posible que la costumbre de llevar a los recién nacidos con el tonalpouhque para conocer su destino haya comenzado en esa cultura y que se

haya transmitido de generación en generación a toda Mesoamérica. Esta transmisión de creencias y conocimientos debe haber continuado hasta el derrumbe de las culturas, en 1521, por lo que se puede suponer que el destino del emperador Moctezuma II quedó marcado por las funestas predicciones del agorero, a juzgar por el comportamiento del monarca ante la conquista española. Es impresionante ver cómo se cumplió el dramático destino del emperador, de quien hasta el nombre fuera funesto. El valiente guerrero conquistador de numerosas provincias, el gran astrónomo, el supremo sacerdote, el sabio Moctezuma II, se dejó vencer sin luchar en contra del destino, sin dudar de que los dioses así habían deparado su suerte y la de su imperio desde el principio del tiempo. Interpretando la página XXX del Códice borbónico, Francisco del Paso dice que se celebraba cada 260 días una fiesta móviI dedicada a las Cihuateteo o Cihuapipiltin, las mujeres muertas en el parto, y por ello divinizadas. Como fiesta fija se celebraba una fiesta en honor a la patrona de aquellas mujeres, la gran diosa Cihuatetéotl o Toci. 25 Se trata de dos fechas diferentes y de dos fiestas que se celebraban en el Anáhuac, y que no hay que confundir: la fiesta móviI se realizaba cada 260 días, conmemorando el inicio del calendario sagrado; la fija tenía lugar siempre el mismo día del año y estaba determinada por los pasos cenitales del Sol, que ocurren en una misma fecha para un mismo lugar. Del Paso hace hincapié en que Tláloc está muy presente en los dibujos de esa página del códice, lo que es perfectamente congruente con el sentido del dibujo, pues Tláloc, además de ser el dios de las lluvias y de las aguas subterráneas, también se relaciona con la Luna, cuyo numen conlleva todos los fenómenos de la reproducción, 26 particularmente aquellos que ocurren en el misterio de lo oculto, en el interior del vientre materno o del suelo, como la germinación del óvulo en la matriz o las semillas en la tierra. La razón astronómica del tonalpohualli. Víctor Torres Roldan opina que el origen

del 260 está en el tiempo necesario para que Júpiter avance de una constelación a otra, lapso de "unos doscientos sesenta días", después de estar estacionario por 140. 27 Otro motivo que señala la presente investigación como posiblemente más válido es que astronómicamente la duración del tonalpohualli puede estar en función de los eclipses: siendo el medio año de eclipses de 173. 31 días, se necesitará que transcurran tres de estos lapsos para tener un doble tonalpohualli de 520 días y así relacionar también la Luna con el calendario adivinatorio (ver el número 52 en el apéndice "Números" de este libro) (173. 31 x 3 = 520 y 520 / 2 = 260). Por otro lado, la celebración del Fuego Nuevo, que se llevaba a cabo durante la atadura cada 52 años, debería coincidir con un eclipse y, desde luego, con el calendario augural. Esto se analiza en el capítulo IX, en el estudio de la primera página del Códice Fejérváry-Mayer, considerada como plano de una ambivalente pirámide lunisolar, que señala ciclos tanto del Sol del inframundo (lunar) como del Sol del supramundo (solar). Motolinía argumenta que la razón del 260 como duración del tonalpohualli son los días que aproximadamente pasa Venus como Estrella de la Mañana o como Estrella de la Tarde. La razón geográfica del tonalpohualli. No existe verdaderamente una razón de índole geográfica para el tonalpohualli; se puede decir que como consecuencia de este calendario se escogió la latitud de 15° N para fundar importantes asentamientos que marcan espacialmente la Tierra, la división del año en 260 y 105 días, como son Copan, Izapa, La victoria, Salinas la Blanca, El Chayal, Los Naranjos, etcétera. 28 A partir del paso cenital en la latitud de 15° N se comenzaban a contar 260 días, el tiempo que dura la carrera descendente del Sol hacia el sur, hasta el Trópico de Capricornio, y su retorno hasta regresar a su punto de partida a 15° N. El momento del paso del Sol hacia el norte de la latitud de 15° N es el momento del primer paso cenital solar anual en esa latitud; en los 105 días siguientes el Sol estará al

25

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, op. cit., pp. 133-165. "Sabíamos por los autores que la fiesta era movible y se repetía cada 260 días, coincidiendo con el día Xicome Kóatl, en la 7 a trecena Ce Kiáhuitl, regida por los dioses de la lluvia, y esto hemos visto ya en la página viI de nuestro códice; pero aprendemos algo por medio de las páginas XXIx y xxx, que tenemos a la vista, y es que también era fiesta fija, cayendo todos los años en la veintena oxpanictli. Como fiesta móviI la dedicaban a las diosas Ciuateteu o Ciuapipiltin, las mujeres muertas en el parto y divinizadas; como la fiesta fija se celebraba en honra de la patrona de aquellas mujeres, la gran diosa Cihuatetéotl o Toci. " En estas páginas también se habla de la procesión del yelo, seguramente conmemorativa del paso del Sol hacia el norte, la tierra fría en donde se encuentra el hielo.

26 ver el capítulo X, correspondiente a la orientación de Teotihuacan, en este mismo libro, para mayor amplitud del tema. 27 Víctor Torres Roldan, Ciudades estelares, Plaza y Janes, México, 2004, p. 125. 28 Rosemary A. Joyce y John S. Henderson, "Beginnings of viIlage Life in Eastern Mesoamerica", en Latin American Antiquity, Washington, vol. XII, num. 1, marzo de 2001, p. G, fig. 1.


89

2i)

Los 105 días estarán gráficamente representados dentro del simbolismo mexica de origen olmeca por el signo del xonecuilli, en este caso colocado horizontalmente. Marcará la estación de lluvias, que dura aproximadamente tres meses y medio, 105 días. Las otras estaciones también se representarán por el mismo signo. Dependiendo de su posición, significará parado (primavera u otoño) o acostado (verano o invierno). Ver el número 105 en "Números" de este libro.

:i

" Simon Martin, "Escritura maya, una ventana al pasado", en Arqueología Mexicana, vol. viII, num. 48, marzo-abril de 2001, pp. 40-41. : il El año trópico con valor de 365. 1745 días lo encontramos en la cabeza colosal olmeca llamada monumento 1, La Cobata. Aparece como factor del volumen del prisma recto rectángulo que la puede envolver y que es de 59 280 ÚK Ver monumento 1, La Cobata, en el capítulo viH de este libro.

90

Margarita

norte de los 15° N, alcanzando su máxima elongación al llegar al Trópico de Cáncer, situado en una latitud de 23° 27' N, para de allí comenzar su descenso a los 15° N. Al llegar otra vez a esa latitud, el 13 de agosto, tendrá lugar su segundo paso cenital anual y permanecerá 260 días por abajo de 15° N. Durante ese lapso el Sol llegará hasta el Trópico de Capricornio, para regresar después otra vez a los 15° N. Se puede decir que los 260 días que pasa el Sol por debajo de la latitud 15° N son la razón geográfica del tonalpohualli. En realidad es totalmente lo contrario: la fundación de importantes centros de población en la latitud de 15° N marcan los lapsos de 260 y 105 días, mas no son la razón geográfica del tonalpohualli.

260 días, celebrada en ambos lados pero de manera distinta: en Copan, mediante su localización en una latitud precisa que marca el momento del paso cenital en ese lugar; y en Teotihuacan, a través de la orientación de la Pirámide del Sol, que recuerda la latitud de Copan. Recientemente se ha informado que existió una estrecha comunicación entre Copan y Teotihuacan que denota la profundidad de las relaciones entre ambas ciudades. Asociados con los restos del fundador de Copan, Guacamayo-Quetzal, se encontraron objetos teotihuacanos. Al analizar los restos del personaje, se encontró que era oriundo de Teotihuacan. 30

La interpretación de Del Paso y Troncoso a la página XXX del Códice borbónico habla "de la procesión del yelo", festividad conmemorativa del paso cenital del Sol hacia el norte después del primer paso cenital del año en la latitud de 15° N. Se refiere a la tierra fría, en donde se encuentra el hielo, a la dirección del eje de nuestra galaxia, que actualmente señala la Polar. A esta dirección apunta el eje de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, con su desviación de 17° al este del norte. Una antigua tradición mexicana quedó registrada en el Códice borbónico como la Fiesta de la Cucaña. En el códice queda claro que durante esa fiesta se conmemoraba la fecundación de la Madre Tierra por el Sol el día de su segundo paso cenital anual, el 13 de agosto. Pasados 260 días de la fecundación, la Madre Tierra dará a luz el 29 de abril del año siguiente, cuando el Sol vuelva a pasar por el cénit de esa latitud en su carrera ascendente hacia el norte, iniciando la temporada de lluvias, que es el periodo de mayor producción de los frutos de la Tierra en el hemisferio norte. Este lapso es de 105 días y complemento de 260 para el año de 365. 29 Es esta división, tanto del espacio como del tiempo, la que marca la numerología del tonalpohualli. La comunicación que existió entre las ciudades de Copan y Teotihuacan queda manifiesta en la división del año en 105 y

El tonalpohualli y el mínimo común múltiplo (MCM) de algunos ciclos planetarios y lunares

Martínez

del Sobral

Una vez determinados la duración de los ciclos planetarios y que el ciclo del tonalpohualli fuese de 260 días, para lograr su coincidencia era necesario encontrar un número que, además de contener los números de los ciclos NSA, NSC o NSG, contuviera los factores del calendario adivinatorio. Esto equivale a encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de dichos ciclos y del tonalpohualli. El MCM de los ciclos es el número de días contados a partir del lub, momento en el que los astros coinciden en las encrucijadas de los caminos celestes, para que otra vez vuelvan a coincidir e iniciar la cuenta nuevamente a partir del punto cero o de ciclos cerrados, terminados. Para obtener el MCM de unos ciclos con otros es evidente que los mesoamericanos tuvieron que emplear números muy grandes, no solamente enteros, sino también fraccionarios con varios decimales, como cuando se trata de lograr la coincidencia de algún ciclo con el sinódico lunar o con el año trópico. 31 Anthony F. Aveni propone que la suma y la resta fueron probablemente las únicas operaciones matemáticas que utilizaban, arguyendo que no se ha encontrado ni un solo ejemplo que demuestre el empleo de otras computaciones matemáticas. Sin

embargo, en este estudio de las proporciones y medidas de los monumentos, particularmente en las pirámides de Teotihuacan, se encuentra que en algunas de sus cuentas -sumas, restas, multiplicaciones y division e s - utilizaban por lo menos dos decimales y a veces aún más. Paulino Romero Conde demuestra el empleo de matrices para estos cálculos en la cultura maya. Que no se hayan encontrado registros de los cuadernos de notas de los astrónomos-matemáticos no quiere decir que no existieran, mas no como los conocemos en el mundo occidental, sino, como por ejemplo, en los registros de números escondidos en la decoración de ollas y platos de ofrendas del valle de Tehuacán, que el ingeniero Fernando Ximello ha descifrado parcialmente. De acuerdo con los resultados del presente estudio, los números fraccionarios sí fueron empleados por los mesoamericanos en sus operaciones aritméticas. Para ello tal vez los números fraccionarios fueron convertidos a enteros al multiplicarlos por otros, como 20, 100, 1 000 y 10 000, todos dentro del sistema numérico de base 20. Esta investigación apunta que sabían elevar números al cuadrado y al cubo, obtener raíces cuadradas y cúbicas, y hacer uso de la trigonometría, por lo menos de la función de tangente. La relación del ciclo de 260 días con algún evento astronómico puede ser directa o indirecta. Es directa cuando el número del ciclo con el que se quiere hacer coincidir con el tonalpohualli es múltiplo de 260. Es indirecta cuando no lo es, por lo que habrá que multiplicar o dividir el número del ciclo por otro que le permita engranarse con él. Por lo general el multiplicador es 20, base de sus cuentas y el más frecuentemente empleado; en otras palabras, habrá que encontrar el MCM del 260 y del número del ciclo con el que se quiere sincronizar. Otras veces el número por engranar con el tonalpohualli es fraccionario, por lo que primero habrá que hacerlo entero multiplicándolo por otro y luego buscar la coincidencia de ciclos, 32 aunque en muchas ocasiones se emplearon números fraccionarios hasta con cuatro decimales.

Existen diversos números que indican coincidencia de ciclos o llegada al lugar de descanso o lub que corresponden al mínimo común múltiplo (MCM) de otros. Mediante estos números quedaban engranadas las ruedas calendáricas, por lo que el MCM los debe tener como factores para lograr coincidencias. Un símil es el de los viajes de los pochtecas, mercaderes que cargaban con la frente los mecapales que contenían sus preciosas mercancías. Éstas eran transportadas de mercado en mercado y al llegar a la plaza los cargadores descansaban de sus pesados fardos, colocándolos en el suelo, y procedían luego a intercambiar sus mercancías. Era el momento en el que el pochteca tomaba un descanso antes de continuar su viaje a otras plazas, en donde encontraría a mercaderes con otras mercancías, hacer su intercambio y luego continuar su largo viaje. Los mercados o plazas corresponderían a los lub, lugares de descanso y de intercambio en los cuales coincidirían los mercaderes. Los pochtecas corresponden a los astros, que se encuentran unos con otros en su eterno peregrinar, cargando en sus espaldas el tiempo y el destino de los hombres. Son los mecapaleros celestes, que tejen la suerte usando los hilos de los caminos, las madejas de espacio por recorrer en cierto tiempo. Esto era importante para los pochtecas terrestres: consultar el augurio de los astros para saber qué les deparaban los dioses. Del 13 como unidad. El año vago que se empleaba en toda Mesoamérica era de 365 días. La celebración del Fuego Nuevo se debía a la terminación (¿o al inicio?) de un nuevo medio siglo mesoamericano, cuando se celebraba la coincidencia del ciclo solar con el ciclo sinódico de Venus, el amarre, la atadura de años o ciclo cerrado o terminado. Esto ocurría siempre cada 52 años de 365 días, que son 18 980 días. Pero el año tiene 365. 25 días, por lo que 52 años tienen 18 993 días, esto es 13 más que los 18 980 de la cuenta que llevaban, por lo cual a cada 52 años de 365 días había que agregar 13 para no desfasar el calendario. Ahora bien, si se divide 18 993 / 13 = 1 461 y si 18 980 / 13 = 1 460,

32

Este engranar consiste en hacer coincidir los ciclos de la naturaleza o los determinados por el hombre, como los tlalpillis o las eras cosmogónicas, con el calendario sagrado de 260 días. Al hacer coincidir los ciclos, al dividir el mayor entre el menor, los números obtenidos deben ser enteros. Se exceptúan los ciclos lunares de 29. 53 días (o los ciclos ajustados por el hombre con fines prácticos, 29. 25 y 29. 5, como ciclos lunares) y el solar tropical de. 365. 2422 días (o el ciclo ajustado de 365. 25 días).


33

Angel Raúl López, El número 13 en lα vida de los aztecas, CostaAmic Editores, México, 1984, p. 26. ; !4 J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 69: 146 x 260 (37 960): Almanaque 76, las páginas de Venus (24, 46-50). "Es introducido por una SI, un CoL -cómputo largo-, una tabla de multiplicar en parte múltiplos de 2 920 (cinco revoluciones sinódicas de Venus) y algunos registros que representan correcciones por hacer. "

: is

Geoffrey Cornelius y Paul Devereux, The Secret Language of the Stars and Planets, Chronicle Books, San Francisco, 1996, p. 65. 36 El 37 960 es una doble atadura de años, al tener como factores el 260, 365 y 584. Le llamaban los mexicas huehueliliztli o una vejez. Se puede escribir la siguiente igualdad: 37 960 = 260 x 146 = 365 x 104 = 65 x 584. Un ejemplo de cómo encontrar el MCM de varios ciclos se presenta en el "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas", publicado al final de este libro.

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se procede a encontrar la diferencia: 1 461 1 460 = 1, número que indica una unidad. Siendo la diferencia de 13 días, ahora este lapso se toma como unidad, como un paquete o atado compuesto de 13 días, al que Motolinía llamó semana; es decir, que en 18 993 caben 1 461 paquetes o atados de 13 días y que en 18 980 caben 1 460. Siendo esto así, en adelante se podrá decir que en la diferencia (de los paquetes o atados) se encuentra la unidad. Dado que el 13 aparece como unidad desde el inicio de la cultura olmeca, es de suponerse que este pueblo daba al año del Sol del inframundo un valor de 364 días, del que 13 es factor. En este caso el 28 es un mero número de enlace o multiplicador (13 x 28 = 364), el que ata los ciclos. Algo semejante ocurre con la era cosmogónica de 676 años, 33 que equivale a 13 paquetes de 52 años. Considérese que si cada 52 años se pierden 13 días al tomar el año de 365 días-año, en una era cosmogónica se perderán 13 veces 13, esto es, 169 días (132 = 169). Al ser cuatro las eras cosmogónicas, al finalizar este paquete de eras se habrán perdido 676 días (169 x 4 = 676), el NSC de la era cosmogónica en días (en este caso los números deben considerarse como absolutos). Se observa que el 13 también es un número de ajuste. La serie del 13 se encuentra -con excepción de Júpiter- en la mayoría de los ciclos sinódicos planetarios visibles a simple vista: Mercurio, de 117 días = 13 x 9; Venus, 585 días = 13 x 45; Marte, 780 días = 13 x 60; y Saturno, 377 días = 13 x 29. A esto se agrega que el 13 es factor del tonalpohualli, ciclo con el que deberían coincidir los ciclos sinódicos de los planetas, además de los ciclos de 364 días del Sol del inframundo, de la era cosmogónica de 676 años, que convertida a días serían 246 909 (676 x 365. 25 = 246 909, lapso que también es múltiplo del 13). Geométricamente, una era cosmogónica puede representarse por cuatro cuadrados de 13 unidades de lado cada uno, unidos formando un cuadrado de 26 unidades de lado (26 x 26 = 676). Esto indica que tanto el cuadrado de 13 como el de 26 se pueden tomar en sí como unidades, y

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que el ciclo de eras cosmogónicas o soles no puede pasar de ser más de cuatro veces una era, es decir, cuatro eras, por lo que la idea de un quinto Sol debe descartarse. En lugar de quinto Sol lo correcto sería hablar del primer Sol de un segundo ciclo de eras, cuando ya haya avanzado el calendario a un siguiente casillero o era, movido por el dinamismo del tiempo. Coincidencia del tonalpohualli con el 37 960. Uno de los más importantes MCM (mínimo común múltiplo) de los ciclos del sistema solar es 37 960, que aparece en el Códice de Dresde, "Almanaque 76, las páginas de Venus", como 146 x 260 = 37 960, en donde 260 es el número de días en el tonalpohualli y 146, la cuarta parte del ciclo sinódico venusino de 584 días. 34 Los astrónomos olmecas tuvieron un conocimiento temprano y exacto de la duración de los ciclos de Venus, como lo demuestran los volúmenes de los prismas que pueden encerrar virtualmente a algunas de las cabezas colosales olmecas, y posteriormente los astrónomos mayas, pues las tablas de Venus en el códice mencionado registran 65 ciclos de 584 días, que son 37 960 días. 35 Éste es MCM de los ciclos del tonalpohualli, del año vago, del sinódico de Venus, del sinódico de Mercurio, del siglo y del medio siglo mesoamericanos, de los sinódicos y sidéreos de la Luna y de los medios años de eclipses, todos en números absolutos. Por otro lado, si se dividen 37 960 días entre 1 285 = 29. 5408 días, se verá que corresponden a 1 285 lunaciones con una diferencia de 13 días, con error de un centésimo de día por cada lunación (ver "Cuadro del número 37 960": 1 285 x 29. 5308 = 37 947. 078; 37 960 37 947 = 13). El ciclo de 37 960 días, llamado huehueliliztli por los mexicas, fue considerado por Thompson como punto de reiniciación de nuevos ciclos. Se trata del MCM36 del tonalámatl, del siglo de 104 años, del de 52 años o medio siglo mesoamericano, del año de 365 días, del ciclo sinódico de Venus considerado de 584 días y del de Mercurio exacto (116. 8 días), además de ios ciclos lunares: el sinódico considerado de 29. 5454

Cuadro del número 37 960 El gran MCM 37 960 del sistema solar Número

Ciclo

Astro

37 960 37 960 37 960 37 960 37 960 37 960 37 960 37 960 37 960

Tonalpohualli, 260 Año vago, 365 Sinódico, 584 Sinódico, 116. 8 Siglo, 104 Tres medios años de eclipses, 520 Medio siglo, 52 Dracónico, 27. 017 Sinódico, 29. 5408

Sol Sol Venus Mercurio Sol Sol, Luna Sol Luna Luna

días, además de otros (ver el siguiente cuadro). Ciertamente todos los NV que se encuentran a lo largo de este estudio están relacionados directa o indirectamente con el ciclo de 260 días. El ángulo de 73° está en la inclinación de los taludes del basamento solar representado en la primera página del Códice Fejéruáry-Mαyer (ver el cap. IX, "La prime ra página del Códice Fejérváry-Mayer" y el número 73 en el apéndice 1, "Números"). El complemento de 73° es 17° al este del norte, la orientación de la Pirámide del Sol. El MCM 37 960 contiene los periodos sinódicos de Mercurio exactos (37 960 / 325 = 116. 8), Venus y la Luna, el siglo y medio siglo, las eras cosmogónicas y el tonalpohualli (37 960 / 260 = 146). El 146 apunta a una relación directa entre Venus y el calendario sagrado: 584 x 65 = 260 x 146 = 37 960, que es el MCM de ambos. El año vago de 365 días se obtiene si se divide 37 960 / 104 = 365 = 73 x 5. 37 El tonalpohualli y su sincronización con el MCM 152 100. Este MCM indica la coincidencia del ciclo sinódico de Venus con el tonalpohualli, además de los ciclos sinódicos de Mercurio y de la Luna, considerado éste de 29. 5339 días, siendo el correcto de 29. 5305 días (152 100 = 260 x 585 = 5 150 x 29. 5339 = 117x1 300). El número 1 521 (152 100 / 100 = 1 521) se encuentra como factor en numerosas cuentas calendáricas; como factor del MCM 152 100 se encuentra el 1 300, número que fácilmente engrana con otros ciclos al tener a su vez como factor el 13. El 1 300

Número de ciclos 146 104 65 325 365 73 730 1 404 1 285

Factorizaciones 146 = 2 x 7 3 104 = 8 x 13 65 = 5 x 1 3 325 = 5 2 x13 365 / 5 = 73 365 / 5 = 73 730=10x73 1 404= 2 x 7 0 2 1 285 = (17x73)+ 44

-que aparece con frecuencia en los cálculos mesoamericanos- es igual a 5 x 260, por lo que coincide con el tonalpohualli. Los mayas en el año 682 d. C. calculaban otras coincidencias tomando 149 lunas de 29. 5302 días para hacer un total de 4 400 días, que es múltiplo del lunar l l . 38 El tonalpohualli y su sincronización con el gran MCM lunar 11 960. Uno de los problemas matemáticos difíciles de resolver sin duda fue el de hacer coincidir los ciclos sinódicos planetarios, el tonalpohualli y la Luna, ya que ésta presenta en sus ciclos números fraccionarios. 39 El problema lo resolvieron perfectamente los matemáticos mesoamericanos mediante el gran MCM lunar de 11 960 días. La coincidencia del 260

37

Bárbara Tediock, "The Road of Light: Theory and Practice of Mayan Skywatching", en Anthony F. Aveni, The Sky in Mayan Literature, Oxford University Press, Nueva York, 1992, p. 35. Bárbara Tediock tuvo la oportunidad de visitar en Momostenango, Guatemala, varios adoratorios contemporáneos y de comprobar que todavía allí se hace uso de las cuentas lunares utilizando tanto periodos sinódicos como siderales y el ciclo de 260 días. 38 Michael D. Coe, The Maya, Thames & Hudson, Nueva York, 1987, pp. 175-176. 39 Anthony F. Aveni, op. cit., pp. 193-194. "En Palenque varias fechas completas, entre ellas una cuenta larga y un dato lunar procedente de una serie suplementaria, se vinculan entre sí mediante la fórmula 81 lunas = 6. 11. 12, lo cual da un periodo lunar de 29. 53086, que se sitúa dentro de un margen de un milésimo de 1% del valor moderno: ¡un error de 23 segundos por lunación! En Copan se usaba la ecuación lunar 149 lunas = 12. 4. 0, con resultado ligeramente menos exacto: una lunación = 29. 53020 días... Que el calendario lunar estaba acoplado al año trópico queda indicado por un examen de los coeficientes del glifo C. " El ciclo sinódico exacto de la Luna dura 29. 5305 días.


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con el 1 960 se logra al cabo de 46 vueltas del calendario augural (11 960 = 46 x 260), como queda manifiesto en el "Almanaque de eclipses" del Códice de Dresden El 11 960 corresponde al gran MCM lunar que se obtiene de multiplicar 405 por la duración del ciclo sinódico de la Luna considerado de 29. 5308 días. El número 405 corresponde a tomar cinco veces 81 (ver el número 81 en el apéndice "Números" de este libro). La suma de los ciclos solares del Sol del inframundo y del año vago es de 729 días (93 = 729), número que contiene como factor la constante 81, 364 + 365 = 729 = 93.

40

J. Eric S. Thompson, op. cit., pp. 69 y 175. 41 Ibid., p. 260. Se refiere al número 11 960. "El patrón de la tabla de eclipses es básicamente semejante: la longitud es de 11 960 días, equivalentes a 405 lunaciones y a 69 fechas en que podrían producirse eclipses, al cabo de los cuales se podría volver a usar la tabla. " 42 Fernando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán viejo, edición del autor, Tehuacán, 2004, p. 50.

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Margarita

Al dividir 729 / 9, se obtiene 81, número empleado en la decodificación de la piedra de las 405 lunas mediante la fórmula 5 x 8 1 x 29. 5308 = 11 960, que es el gran MCM lunar. Nótese que el 81 está relacionado con el gran ciclo de tránsitos de Venus en números absolutos (486 / 6 = 81). De esta manera seguramente relacionaron el ciclo sinódico de la Luna con los tránsitos de Venus. Fue mediante el 11 960 que se encontró de manera directa la coincidencia de la Luna con el tonalpohualli, con el siglo y medio siglo mesoamericanos, con el medio año de eclipses (173. 31 días y tomado como 173. 33 en números absolutos) y con el gran ciclo de tránsitos de Venus, 486 años, tomado en números absolutos. En la columna de factorizaciones del "Cuadro del número 11 960" aparece el 702, que en unidades a la manera indígena co-

Martínez

rresponde al área de la base de la Pirámide del Sol (ver cap. X). En el número 11 960 está la relación entre el año trópico y las 405 lunas, si se considera una lunación de 29. 5308 días. 41 Se puede encontrar la relación entre 11 960 y 6 940 por ser 6 940 días igual a 19 años metónicos: 11 960 / 6 940 = 1. 7233 y 405 / 235 = 1. 723, y 81 / 47 = 1. 723, por lo que 11 960 / 6 940 = 405 / 235 = 81 / 47 = 1. 723, donde interviene el 81. Considerado el ciclo sinódico venusino de 585 días, el lunar de 29. 5308 y el anual ajustado a 360 días, la coincidencia de sus ciclos se logra mediante el MCM 107 640. Entonces se puede escribir la siguiente igualdad: 184 x 585 = 3 645 x 29. 5308 = 107 640 = 299 x 360 (ver el número 299 en el apéndice "Números)". También 107 640 se puede expresar en función del 13, del 23 y del año de 360 días: 13 x 23 x 360 = 107 640. El tonalpohualli y su coincidencia con el MCM lunar 32 760. Es múltiplo del 273 (el ciclo sidéreo de la Luna = 27. 3 que x 10 = 273). Se encuentra registrado en una vasija de ofrenda del valle de Tehuacán, 42 del horizonte posclásico, cultura popoloca (32 760 = 273 x 120). La coincidencia del 32 760 con el 260 se encuentra de inmediato al dividir 32 760 entre 260 = 126. El 32 760 es la tercera parte de 98 280, MCM que relaciona el Sol del inframundo con la antigua cuenta lunar de 819 días. El año de 364 días no es una inven-

Cuadro del número 11 960

Análisis del MCM lunar 11 960 Número 11 11 11 11 11 11 11 11

960 960 960 960 960 960 960 960

11 960

del

Sobral

Tonalpohualli, 260 Sinódico, 29. 5308 Tlalpilli, 13

Sol Luna Sol

Número de ciclos 46 405 920

Siglo, 104 Medio siglo, 52 Dracónico, 27. 0588 Orientación, 17. 037 Tres medios años de eclipses, 520 Medio año de eclipses, 173. 33

Sol Sol Luna Luna Luna

115 230 422 702 23

Luna

69

Ciclo

Astro

Factorizaciones 46 = 2 x 23 405 = 5 x 81 920 = 5 x 8 x 23 115 = 5 x 2 3 230 = 2 x 5 x 23 422 = 2 x 211 702 = 26 x 27 23 69 = 3 x 23

ción sin fundamento, puesto que 364 es factor del 32 760, así como del número lunar 98 280, lo que comprueba que 364 es un importante número lunar. Ya se vio la relación del 98 280 con Venus, con la Luna, con Mercurio y con el tonalpohualli. El 9 es factor del 27, número que en la iconografía queda simbolizado por medio de bucles u olas de agua -parecidos a la letra griega lamda (λ)-, que son símbolos lunares. El 27 es factor del 32 760 (9 x 3 640 = 32 760 = 90 x 364). De esta manera se habrá enlazado la Luna con el ciclo solar de 360 días (90 x 4 = 360 días) (ver figura IV. 2, "Vasija lunar de ofrenda del valle de Tehuacán que contiene el número 27").

incluido, puesto que 2 x 28 x 585 = 32 760 = 1 8 x 1 820. Si se toma el gran MCM 37 960 y se le resta 32 760, se obtiene 5 200, que es 100 veces la unidad de 52 ciclos, la cual apunta directamente a la era maya (1 872 000 / 5 200 = 360, el año ajustado); 37 960 / 5 200 = 7. 3 y 32 760 / 5 200 = 6. 3; 7. 3 - 6. 3 = 1; nuevamente, en lα diferencia se encuentra la uni dad (ver el cuadro de los factores solares y lunares al final del cap. III).

Sincronización del tonalpohualli con los ciclos solares, planetarios y lunares

A través del número 1 820 (lunar, resultado de multiplicar 364 x 5) se encuentra la coincidencia de varios ciclos relacionados con el tonalpohualli. En el comentario al Códice de Dresde Thompson registra el 1 820 como "Los números de serpiente y los almanaques de 7 x 260 días" 43 (7 x 260 =1 820). Este número es el MCM de 260 y 364 (5 x 364 = 1 820 = 7 x 260). Se divide 1 820 entre 105 = 17. 333; 105 es el tiempo que pasa el Sol por arriba de la latitud 15° N y 17. 333, la décima parte del medio año de eclipses (10 x 17. 333 = 173. 33). Venus también estará

El tonalpohualli y su coincidencia con el año vago de 365 días. El lapso de 18 980 días es la mitad del ciclo de 37 960 días, gran MCM de muchos otros, como el siglo de 104 años y el medio siglo de 52 (ver cuadro del número 37 960). La coincidencia del tonalpohualli con el ciclo solar de 365 días es directa, al ser 18 980 MCM de 365 y de 260 (18 980 = 260 x 73 = 52 x 365). Además son factores de 18 980 el 5, el 52 y el 73 (18 980 = 5 x 52 x 73). El 73 considerado en grados es complemento del ángulo de orientación del eje norte-sur de la Pirámide del Sol en Teotihuacan y es también la latitud de 17° N en San José Mogote, Oaxaca, importante establecimiento olmeca, posible cuna del tonalpohualli. La orientación de la Pirámide del Sol tal vez conmemora la latitud de ese lugar y la sincronización del año bisiesto con otros ciclos. 44 Pero tal vez la más importante razón

Figura IV. 2. Vasija lunar de ofrenda del valle de Tehuacán que contiene el número 27

43 44

El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán viejo Fernando Ximello Olguín Edición del autor Tehuacán, 1997 Figura 30, página 53

El 27 se representa por un rizo negro semejante a la letra griega λ (lamda), que también es el toponímico de Culhuacán. Los nueve signos lamda suman 243, que al multiplicarse por 2 dan 486, el gran ciclo de tránsito de Venus, contados por ciclos dracónicos ajustados lunares.

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 194. Sucede que (17 x 21) + 9 = 366. Si se quiere relacionar el bisiesto con el año del Sol del inframundo (364 días) y el medio año de eclipses (173. 333... días), se tiene 17 x 21 = 357 días. La diferencia entre 366 y 357 es de 9 días. Se puede escribir 17 x 21 = 366 - 9 = 357, de donde 357 / 17 = 21. Por otro lado, 364 x 10 = 3 640 y 3 640 / 21 = 173. 333, que es el año nodal. Ahora sucede que 3 640 x 17 = 61 880 y 357 x 173. 333... = 61 879. 881 = 61 880, y si dos cosas son iguales a una tercera, son iguales entre sí, por lo que se habrá relacionado el 17, el año nodal y el año del Sol del inframundo con el año bisiesto (132 x 366 = 61 854). La corrección sería de 2 x 13 = 26 días. El 61 880 se puede factorizar como 2x 1 7 x 2 0 x 9 1 ; en esta operación se


95

es que el Omeyocan, el nombre náhuatl de la morada del dios supremo, el dios creador, estaba colocado a 17° al este del norte, de acuerdo con el tocado de la escultura de Xólot. 43 El tonalpohualli y su coincidencia con el ciclo del Sol del inframundo de 364 días. El ciclo del año del Sol del inframundo se sincroniza con el tonalpohualli y con el medio siglo mesoamericano (260 x 7 = 364 x 5 = 52 x 35 = 1 820 = 2 x 91 x 10). Cinco tonalpohuallis corresponden a 1 300 días, lapso igual a 44 ciclos sinódicos de la Luna, de acuerdo con la fórmula que emplea un periodo sinódico lunar de 29. 5454 días: 1 300 / (4 x 11) = 29. 5454.,. 46 (ver cap. viI, "Las esculturas mesoamericanas de pequeño formato", figura 29). Ahora este valor se introduce al tonalpohualli: (5 x 260) / (4 x 11) = 29. 5454... y se ve que en esa igualdad se encuentran implícitos números factores, tales como 4, 5, 11, 13 y 20, de los cuales el 11 es un número relacionado con los eclipses y con Venus. 47 Esta relación quedó expresada en la iconografía del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan mediante el número de rayos que circundan la cabeza de Quetzalcóatl en los tableros de esa pirámide: el Sol corresponde a la cabeza y los rayos, a la corona solar, que aparece cuando hay un eclipse total. Cuando esto ocurre, se manifiesta tienen como factores importantes números; el 61 854 se factoriza como 2 x 13 x 61 x 39, en donde aparece el 61, factor también del 366 (366 = 61 x 6). La orientación de la pirámide de Quetzalcóatl en Teotihuacan se escogió para conmemorar los pasos cenitales en Izapa o en Copan, poblaciones que se localizan aproximadamente a 15° N. 4r ' Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa, El caminante celeste, Gobierno del Estado de Puebla, 1992. La escultura se encuentra en el Landesmuseum de Sttutgart, Alemania. 46 Irene Nicholson, Mexican and Central American Mythology, Newness Books, Londres, 1983, p. 49. "Again, five periods of two hundred and sixty days make 1 300 days or forty four revolutions of the moon about the earth. " "Otra vez encontramos que cinco periodos de 260 días hacen 1 300 días o 44 revoluciones de la Luna alrededor de la Tierra. " (Traducción de la autora. ) En la fórmula lunar de Copan, 149 lunas = 4 400 días (11 x 400 = 4 400 = 44 x 100), interviene el número 44 en este cálculo. El número 11 generalmente se relaciona con los eclipses, por lo que se puede considerar lunar. 47 Para obtener el número 11 a partir del 1 300 se le restan dos ciclos sinódicos de Venus y la diferencia se divide entre 12: (1 300 - 1 168) / 12 = 11. La diferencia 132 es múltiplo de 11 (132 / 12 = 11). De manera indirecta el 11 queda relacionado con el ciclo sinódico de la Luna, con el ciclo del tonalpohualli y con el ciclo sinódico de Venus. 48 Irene Nicholson, op. cit., 1983, p. 49. 49 J. Eric. S. Thompson, op. cit., p. 61.

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Margarita

Martínez

del

Sobral

Tláloc en la oscuridad que produce el eclipse. En la iconografía del viejo templo está este dios Sol del inframundo alternando con el del supramundo. Algunas veces se utilizó 29. 5454 días 48 para la cuenta sinódica lunar, que además del factor 13 tiene también el 11, de manera que se puede engranar con todos los ciclos que tienen esos números como factores: 1 300 / (11 x 4) = 29. 5454. Otra manera de incorporar el ciclo lunar a las ruedas calendáricas fue tomando el ciclo de 29. 5 días para obtener una rueda calendárica de 7 670 días que coincidiera con el tonalpohualli y con los ciclos que tuviesen como factores el 13 y el 59. Thompson no está de acuerdo en que se haya empleado en la coincidencia de ciclos con el 260 el sinódico de Marte de 780 días; sin embargo, a lo largo de esta investigación todo apunta a que también se utilizó el 780 como ciclo sinódico de ese planeta en coincidencia con otros ciclos. El tonalpohualli y su coincidencia con el medio año de eclipses o año nodal. Con los medios años de eclipses tomados de 173. 333 días - e n lugar de 173. 31 días- el tonalámatl se relaciona de la siguiente manera: 260 / 15 = 17. 333, y al multiplicar la igualdad por 10 se tiene: 10 x 260 = 15 x 173. 333 = 2 600. Si 2 600 / 15 = 173. 333, se obtiene el año nodal. Esto lleva a pensar que el inicio del tiempo y del calendario augural ocurría en el momento de un eclipse. Se ha afirmado que algunos son múltiplos de revoluciones sinódicas de los planetas, pero, con la libertad de longitudes variables asignadas a esas revoluciones, aparece la coincidencia; escamoteando fracciones de días en la duración de una revolución sinódica [o de cualquier otro tipo], se pueden obtener resultados sorprendentes. 49 Es innegable que se pueden emplear diversos valores para los ciclos y que, efectivamente, escamoteando fracciones de días se pueden obtener resultados sorprendentes. Pero es innegable también que los sabios astrónomos-matemáticos escamoteaban

fracciones de días y luego hacían los ajustes y correcciones necesarios para no desfasar los calendarios, como el mismo Thompson señala en las correcciones a las tablas lunares en el Códice de Dresde. 50 El tonalpohualli y su coincidencia con el medio siglo mesoamericano. De manera directa por medio del número 5 51 (otro de los factores del 260) se logra la relación del tonalpohualli con el medio siglo mesoame-

ponden exactamente a 73 ciclos del tonalpohualli; se recuerda que la mayoría de las veces la coincidencia de ciclos se efectúa en días, pero puede ser también en años, siglos, eras, etcétera, simplemente ciclos. El 65 se puede tomar como unidad para un conteo de 65 en 65. 53 Por medio de aquél se relaciona el tonalpohualli con el ciclo sinódico de la Luna, de Mercurio y de Venus (1 300 / 65 = 20 y 585 / 65 = 9; 9 x 44 x 29. 54 = 585 x 20 = 11 700; 11 700 = 65 x 180). Ahora el 260 se

Cuadro 1

Coincidencia de ciclos con el tonalpohualli Número

Ciclo

Astro

11 700

Tonalpohualli, 260

Sol

2 340

Tonalpohualli, 260

Mercurio

15 600 7 280

Tonalpohualli, 260 Tonalpohualli, 260

7 540 11960

Tonalpohualli, 260 Tonalpohualli, 260

Marte Sol del ¡nframundo Saturno Luna

13 520 260x10 = 2 600

23 660

Tonalpohualli, 260 Dos tonalpohuallis o tres medios años de eclipses 173. 3 3 x 3 = 520 Tonalpohualli, 260

Número de ciclos 45 9 60 28 29 29. 5308

Sol Luna

676 15

Sol del ¡nframundo

364

Factorizacionβs 260 x 45 = 11 700 = 585 x 20 260 x 9 = 2 340 = 117x20 260 x 60 = 780 X 20 260 X 28 = 20 x 364 260 X 29 = 20 X 377 260 x 46 = 29. 53 x 405 260 x 52 = 676 x 20

260 x 91 = 65 x 364

El medio año de eclipses se obtiene en función del tonalpohualli de la siguiente manera: (260 x 2) /3 = 173. 33.

ricano: 260 x 5 = 1 300; pero 52 x 52 = 1 300, por lo que 260 x 5 = 52 x 25 = 1 300 o 100 tlαlpillis (en números absolutos). Volviendo a la duración de 29. 5454 días dado al ciclo sinódico de la Luna en Copan, se puede sustituir 5 x 260 y expresar su duración en función del 52, ya que 52 x 25 = 1 300, y así obtener su ciclo (en números absolutos). Si a 1 300 se le resta el ciclo sinódico de Mercurio, se obtiene medio tonalpohualli (1 300 - 1 170 = 130). Así, 1 300 se relaciona con Venus y con Mercurio como una nueva unidad: 1 300 / 10 = 130; 1 300 / 130 = 10; y 1 170 / 130 = 9; 10 - 9 = 1. De nueva cuenta, en la diferencia se encuentra la unidad, quedando de esta manera el ciclo sinódico de la Luna relacionado con todos ellos. 52 Considerando el medio siglo en días se tienen 52 x 365 = 18 980 días, que corres-

toma como unidad en un conteo de 260 en 260, y se tiene 260 x 1 = 260, un tonalpohualli; 260 x 2 = 520 (tres años nodales); 260 x 3 = 780 (ciclo sinódico de Marte); 260 x 4 = 1 040 (diez siglos mesoamericanos); 260 x 5 = 1 300 (número que ya se analizó); 260 x 6 = 1 560 0 dos ciclos sinódicos de Marte; 260 x 7 = 1 820, que son 20 ciclos de 91 (siendo el 91 la cuarta parte del ciclo lunar anual de 364 días); 260 x 8 = 2 080 o 20 siglos mesoamericanos, 260 x 9 = 2 340 (número que ya se analizó); 260 x 10 = 10 tonalpohuallis; 260 x 11=2 860, que de manera indirecta se relaciona con los eclipses (2 860 x 2) / 520 = 11; 260 x 12 = 3 120, que si se divide entre 10 se obtiene 312 o tres siglos mesoamericanos (el 312 se encuentra como la media altura de uno de los prismas rectos rectángulos que rigen el diseño de El Castillo).

so J. Eric S. Thompson, op. tit., pp. 178-182. 51 El número 5 es de gran importancia en la numerología, ya que, si no se consideran los ceros (que son los que determinan la numeración posicional), multiplicar por cinco equivale a dividir entre dos. Esto se hace comúnmente al tratar de encontrar las coincidencias de ciclos. Como en la numerología mesoamericana lo importante es la proporción, al multiplicar por cinco 0 dividir entre dos la raíz numérica no se altera y se pueden quitar los ceros. 52 Se logra tomando el ciclo sinódico de Venus dos veces. Se ve que es igual al ciclo sinódico de Mercurio tomado 10 veces. Ahora se pueden relacionar con el 1 300. Se observa que el MCM de 1 300, 260, 585 y 117 es 152 100, y que para llegar a este número y que haya coincidencia de ciclos deberán pasar 260 veces el ciclo sinódico de Venus, 585 veces el ciclo del tonalpohualli, 1 300 veces el ciclo de Mercurio y 117 veces el del 1 300, que ya vimos que vale cinco tonalpohuallis. El ciclo sinódico de la Luna, muy aproximado, será igual al MCM 152 100 / 5 148 = 29. 5454... 53 El ciclo de precesión de los equinoccios es de 26 000 años y equivale a 400 ciclos de 65 años. El 400 es un número importante en la numeración posicionai maya.


El estudio de las cabezas colosales indica que el tonalpohualli efectivamente coincide o engrana de manera directa o indirecta con todos ios demás calendarios,

Por otro lado, 260 x 13 = 3 380 = 676 x 5 eras cosmogónicas; 260 x 14 = 3 640, 10 años del Sol del inframundo; 260 x 15 = 3 900, 300 tlαlpillis; 260 x 16 = 4 160, 40 siglos mesoamericanos; 260 x 17 = 4 420, 12 años bisiestos más un ciclo lunar ajustado a 28 días; 260 x 18 = 4 680, 45 siglos mesoamericanos; 260 x 19 = 4 940, 260 ciclos metónicos de la Luna; 260 x 20 = 5 200, 50 siglos mesoamericanos. Se podría seguir multiplicando el 260 por varios números más, pero sólo se ve por su importancia el 11 960, que es igual a 46 veces el 260. El 11 960 es un número importante en las cuentas lunares y equivale a 405 lunas de 29. 5308 días, su periodo sinódico preciso. Ésta es la fórmula más exacta para encontrar el periodo sinódico lunar (405 x 29. 5308 = 11 960). El 11 960 se relaciona con los eclipses a través del 520, número que contiene tres años nodales, por lo que si se divide 11 960 entre 520 se tiene 23. Siendo 23 x 3 = 69, en 11 960 se tienen 69 eclipses, por lo que el 23 se perfila como un factor lunar (número funcional relacionado con ellos).

54

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, op. cu., pp. 64-65. "Las figuras pequeñas contenidas en las casillas forman cuatro series: dos constantes, porque se repiten, sin cambiar de sitio, en todos los trecenarios; y otras dos series variables cuyas figuras, o no vuelven a ocupar los mismos lugares en todo un periodo de 260 días, o solamente se repiten a largas distancias en los mismos sitios. Las dos series constantes quedan formadas, una por 13 númenes, y la otra por 13 volátiles que los acompañan (12 aves y una mariposa); ocupan la zona superior las casillas pareadas horizontales, de donde comienzan a contarse de la izquierda para la derecha, y la zona exterior en las casillas pareadas verticales, continuándose allí la cuenta de abajo a arriba: para mayor claridad he numerado estas casillas del 1 al 13. Las series variables están constituidas una por los 20 signos de los días y otra por los Nueve Señores de la Noche, que acompañan a los de los días en las mismas casillas; esto es, en las inferiores de la serie pareada vertical. Los 20 signos de los días quedan combinados en la pintura con 13 numerales, representados por círculos; y los dos factores dan el número de 260 combinaciones, por lo cual en todo un ciclo adivinatorio no se repite ningún signo de día en la misma casilla. He dado la lista de los 20 días en la página 20, y aquí la repito, pero poniendo solamente los nombres en náhuatl: I Cipactli, 2 Ehécatl, 3 Kalli, 4 Kuetcpallin, 5 Kóuatl 6 Mikictli, 7 Mácatl, 8 Toxtli, 9 Atl, 10 Itzcuintli II Ocomatli, 12 Malinalli, 13 Ácatl, 14 Océlotl, 15 Kuauhtli 16 Kockakuauhtii, 17 Ollin, 18 Técpatl, 19 Kiáhuitl, 20 Xóxitl. " 55 Charles H Smiley, "Interpretación de dos ciclos en el Códice de Dresde", en Estudios de Cultura Maya, UNAM, México, 1964, pp. 257-260. 56 Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, op. cit., p. 82: "y de aquí se ha inferido la existencia de un ciclo simétrico de 2 340 días, compuesto de tres números sagrados (20 x 13 x 9)".

98

Margarita Martínez

del Sobral

El 23 es el sufijo del glifo 552 del Catálogo de jeroglíficos mayas, de Thompson, número relacionado con la Luna y que también habla de eclipses. El 20 es el número de días del mes del calendario civiI, número "base de sus cuentas, por lo que teniéndolo el tonalpohualli como factor fácilmente podía ser sincronizado con otros números astronómicos". Del Paso y Troncoso decía que "el ciclo de 260 días está dividido en 20 trecenarios". Este comentario es clave para justificar la coincidencia con otros ciclos calendárteos mediante los números 13 y 20. El estudio de las cabezas colosales indica que el tonalpohualli efectivamente coincide o engrana de manera directa o indirecta con todos los demás calendarios. Las cabezas pueden ser consideradas como calendáricas, pues en todas ellas está presente el NSC 260 o alguno de sus factores. De esta manera, el calendario augural puede enlazar los acontecimientos humanos con los eventos astronómicos a través de la numerología. De ahí su importancia. Francisco del Paso y Troncoso hace la descripción de un pasaje del tonalámatl en Códice borbónico, de donde se desprende que 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 13, 15, 18 y 20 son factores de ese calendario y que no fueron elegidos al azar. 54 Coincidencia del tonalpohualli con el año ajustado a 360 días. Charles H. Smileyss realizó un estudio de dos ciclos que se encuentran en el Códice de Dresde y concluyó que allí se encuentra una tentativa de un astrónomo maya para relacionar los periodos sinódicos de Mercurio, Venus y Marte con la rueda sagrada de 260 días. La presente investigación indica que también relacionaban con ellos el año de 360 días. El 2 340 como MCM de factores calendáricos. Francisco del Paso y Troncoso habla del 2 340 como "el ciclo simétrico de 2 340 días": "Con el 20 y el 9, el ciclo simétrico de 2 340 días". 56 Este número es producto de los "tres números sagrados": 20, 9 y 13 (20 x 9 x 13 = 2 340). El 2 340 es el MCM de los ciclos sinódicos de los planetas visibles a simple

vista, con excepción de Júpiter. Al ser 2 340 el MCM de los factores del tonalpohualli 1, 2, 4, 5, 13 y 260, al cabo de 2 340 días Mercurio, Venus y Marte se encontrarán en el mismo punto en el que iniciaron su movimiento. Para esto el tonalpohualli habrá dado nueve vueltas; Mercurio, 20; Venus, cuatro; Marte, tres. En otras palabras, habrán llegado a un lub. Obtener el MCM de los números de días de que consta cada ciclo es igual a saber cuántos días (o indistintamente años, siglos, eras, etcétera, en números absolutos) deberán transcurrir para que haya una sincronización, coincidencia o engrane de los ciclos (260 x 9 = 117 x 20 = 4 x 585 = 2 340). El número que encontró Smiley que puede relacionarse con los ciclos de Mercurio, de Venus, de Marte y del tonalpohualli es 2 340, pero este número no tiene como factor entero el 360 del año ajustado, por lo que para que exista coincidencia se tendrá que tomar su doble, el 4 680, MCM de 117, 260, 360, 585 y 780. Se llegará al 4 680 al cabo de 18 ciclos del tonalpohualli y coincidirá con el año de 360 días al cabo de 13; con Mercurio, al cabo de 40; con Venus, al cabo de ocho; con Marte, al cabo de seis. El 4 680 se encuentra como NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual de una escultura de pequeño formato de la cultura olmeca clasificada como hacha votiva, que demuestra que el tonalpohualli ya era empleado por los olmecas en fechas tempranas (ver figura viI. 30, "Hacha votiva", cap. viI). Sin duda los olmecas conocían con exactitud los ciclos planetarios. 57 El empleo del 4 680 como NV del hacha votiva indica que sabían que el ciclo de 360 días cabe un número entero de veces en él, en este caso 13 veces (4 680 / 360 = 13). Se observa que 4 680 días forman un tlalpilli de 13 años de 360 días, lapso que tiene como factores algunos números calendárteos importantes, además del tonalpohualli, por lo que dentro del calendario solar es un lapso especial por contener casi todos los ciclos astronómicos (ver cuadro del número 4 680). Coincidencia del tonalpohualli con el ciclo sinódico de Saturno, de Mercurio y de Venus.

El ciclo sinódico de Saturno (377 días) se encuentra en la serie del 13 y del 29, números mediante los que se podrá enganchar con otros ciclos que también los tengan como factores, entre ellos el tonalpohualli. El MCM de 260 y 377 es 7 540 (7 540 = 260 x 29 = 580 x 13 = 20 x 377). Los ciclos sinódicos de Mercurio y de Venus no son múltiplos directos del 260; sin embargo, la cabeza número 6 de San Lorenzo tiene como volumen 1 170 u3 a la manera indígena. 58 Este número tomado en números absolutos claramente indica 10 veces el ciclo sinódico de Mercurio, que, no obstante, no engrana directamente con el tonalpohualli por no ser su múltiplo. Igualmente sucedería con el ciclo venusino de 585 días, que tampoco engrana directamente con el tonalpohualli y que aparece multiplicado por 10 como 5 850 u3 en el volumen de la cabeza número 2 de San Lorenzo y también registrado en un plato de ofrenda del valle de Tehuacán. 59 Se tendrá que encontrar entonces el MCM tanto del 260 y del 117 en un caso, y del 260 y 585 en otro, para determinar el número de veces por el que cada uno de los ciclos deberá ser multiplicado para llegar a un lub. En el primer caso el MCM de 1 170 y 260 es 2 340; en el segundo el MCM de 260 y 585 también es 2 340 (2 340 = 4 x 585 = 9 x 260, por lo que el ciclo del tonalpohualli puede ser escrito en función del ciclo sinódico de Venus). Coincidencia del tonalpohualli con los ciclos lunares. La relación directa entre Mercurio, el ciclo sinódico lunar y el tonalpohualli se obtiene mediante su MCM 107 640. Como el ciclo sinódico lunar no es entero, para no trabajar con decimales se multiplica por 81, y se obtiene 2 392 (29. 5308 x 81 = 2 392). Para obtener 107 640 (MCM de Mercurio, la Luna y el tonalpohualli), se multiplica 2 340 x 46, en donde 2 340 es el MCM de varios ciclos astronómicos y volumen en unidades a la manera indígena de la figura tridimensional envolvente virtual de la Pirámide del Sol en Teotihuacan (2 340 x 46 = 107 640). Se observa que también es MCM

"2 3 4 0 / 9 = 260, un tonalpohualli; 2 340 / 13 = 180, medio año civiI de 360 días; 2 3 4 0 / 2 0 = 117, ciclo sinódico de Mercurio; 2 340 / 3 = 780, ciclo sinódico de Marte; 2 340 / 4 = 585, ciclo sinódico de Venus. Si 2 340 x 2 = 4 680, el tonalámatl queda relacionado con el 18, número de meses del calendario civiI: 4 680 / 260 = 18. 58 Para los volúmenes de los prismas que pueden envolver a las cabezas colosales olmecas, ver el capítulo viII de este libro. 59 Fernando Ximello Olguín, op. cit., p. 63, figura 40.


99

Cuadro del número 2 392 Número 2 392 x 20 = 47 840 2 392 2 392 2 392 2 392

Ciclo Tonalpohualli, 260 Siglo, 104 Medio siglo, 52 Número de oro, 1. 618 Sinódico, 29. 5308

de Venus, ya que 107 640 / 585 = 184; de Marte, 107 640 / 780 = 138; y del ciclo de 360 días, 107 640 / 360 = 299. Por otra parte, 107 640 / 9 = 11 960 es factor del NV 6 314 880 u3, en unidades a la manera indígena de la figura tridimensional envolvente virtual del viejo templo de Quetzalcóatl (6 314 8 8 0 / 11 960 = 528). Sin considerar el ciclo sinódico lunar, la relación directa entre el ciclo sinódico de Mercurio y el tonalpohualli se encuentra mediante su MCM 2 340: (117 x 20 = 260 x 9 = 2 340). La relación indirecta, y agregando el ciclo sinódico lunar: 117 x 180 = 21 060; 21 060 / 260 = 81. Ahora esta constante se relaciona con la Luna al multiplicarla por su periodo sinódico: 81 x 29. 5308... = 2 391. 99... = 2 392 (ver cuadro del número 2 392).

60

Si se considera el viejo templo de Quetzalcóatl como pirámide, se tiene que su NV es 11 960 u3.

100

El 2 392 está relacionado con el número de oro = 1. 618... (2 392 / 1 478 = 1. 618... = φ). Además tiene como factores el 104 y el 52, siglo y medio siglo mesoamericanos, respectivamente, y el ciclo sinódico lunar exacto. En 2 392 días ocurren 81 ciclos sinódicos lunares y queda el tonalpohualli engranado con diversos eventos astronómicos además de la Luna, como son el siglo y medio siglo mesoamericanos. Si se han dado por buenos los números que los intérpretes de los glifos han encontrado en los códices, de igual manera se deberán dar por buenos los números que se encuentran en los números volumétricos de sus obras tridimensionales. Otra manera de hacer coincidir los ciclos planetarios con el tonalpohualli es por medio del 65 y sus múltiplos 260, 195 y 130. Al dividir cada uno de ellos entre 5 se tiene: 260 / 5 = 52 (medio siglo mesoamericano), 195 / 5 = 39 (tres tlalpillis), 130 / 5 = 26 (un cuarto de siglo mesoamericano) y 65 / 5 =


Astro Luna Sol Sol Luna

Número de ciclos 184 23 46 1 478 81

Factorizaciones 184 = 8 x 2 3 46 = 2 x 23 1 478 = 2 x 739 81 = 9 x 9

13 (un tlalpilli). Si cada uno de los cocientes se divide entre 13, se obtienen 4, 3, 2, 1. Se observa que el 65 (en un cambio de escalas numéricas todos los factores del tonalpohualli pueden considerarse como unidad) se toma como unidad para un conteo de 65 en 65: 65 x 1 = 65; 65 x 2 = 130; 65 x 3 = 195; 65 x 4 = 260; 65 x 5 = 325; 65 x 6 = 390; 65 x 7 = 455; 65 x 8 = 520; 65 x 9 = 585, y se habrá relacionado de otra manera el tonalpohualli con el ciclo sinódico de Venus. Si se toma el 260 como unidad, se tiene que 3 x 260 = 780, el ciclo sinódico de Marte. Ahora se multiplica 260 por 4 y se obtiene el 1 040, diez siglos mesoamericanos y número del volumen de la cabeza colosal número 1 de San Lorenzo. Si se toma 46 veces el 260, se obtiene 11 960, que es equivalente a 405 lunas de 29. 5308 días, y queda así relacionado el tonalpohualli también con la Luna. 60 El número 17, que aparece con frecuencia en los números de Teotihuacan, así como en la orientación de la Pirámide del Sol, es factor de 4 420 y se puede engranar con varios ciclos calendáricos, entre ellos el tonalpohualli (4 420 = 260 x 17). Si se toman 4 400 días en vez de 4 420, lo que equivale a hacer una corrección de una unidad con valor de 20 días, en este caso el 20 sería un número de ajuste: 4 400 = 149 lunas y 4 400 / 149 = 29. 5302, aproximación del ciclo sinódico lunar. Además, 4 400 / 20 = 220 y 4 4 2 0 / 2 0 = 221, donde 221 = 13x17; 221 - 220 = 1; una vez más, en la diferencia se encuentra la unidad. También 1 6 x 1 7 = 272, que es 10 veces el ciclo dracónico de la Luna, por lo que el 17 queda relacionado con los eclipses y el tonalpohualli; ésta puede ser una de las razones de la orientación de las ciudades de la Familia de los 17°. Se puede escribir la siguiente igualdad: 17 =

221 / 13 = 272 / 16, de donde 221 x 16 = 272 x

u n m o m e n t o d a d o conocimientos astronó-

1 3 = 3 536. Con este n ú m e r o s e logra t a m -

micos m u y superiores a los de sus h o m ó l o -

americanos

bién la coincidencia del siglo y del medio

gos c o n t e m p o r á n e o s e u r o p e o s .

poseyeron en un

siglo mesoamericanos con el 17: 3 536 = 2 x 17 x 104 = 4x 1 7 x 5 2 .

En apoyo a lo expresado en el párrafo

Los

salvajes

momento dado

anterior están las piedras calendáricas no

conocimientos

En el tonalámatl de los pochtecas o mer-

contaminadas por la cultura europea (Rubén

astronómicos

c a d e r e s q u e r e p r e s e n t a la p r i m e r a p á g i n a

Bonifaz Nuño, 1996). Con su forma circular,

muy superiores

del

encuentran

de círculo a c h a t a d o o f r a n c a m e n t e elípti-

a los d e s u s

t a n t o el 104 como el 17. 61 El decimoséptimo

co, nos r e p r e s e n t a n la forma que según los

homólogos

día de la veintena y p r i m e r o de la decimo-

m e s o a m e r i c a n o s t e n í a n las órbitas de los

contemporáneos

t e r c e r a t r e c e n a del tonalámatl62 era el del

planetas. Como ejemplo está la elipse que

europeos.

símbolo divinizado del Sol: olin. 63

envuelve los carteles que contienen los sím-

Códice Fejérváry-Mayer se

P a r a e n c o n t r a r la c o i n c i d e n c i a del 17

bolos de los c u a t r o soles en el c a l e n d a r i o

con el tonalpohualli se multiplica 104 x 17 x

azteca, además de muchas imágenes de

20 = 35 360, q u e tiene coincidencia con el

códices y piedras calendáricas d o n d e la ico-

tonalpohualli: 35 360 = 260 x 136. En este

nografía presenta el Sol en el centro, como

caso el 20 es un n ú m e r o funcional que sólo

claramente se observa en el calendario men-

sirve c o m o multiplicador.

c i o n a d o y en u n a i l u s t r a c i ó n del Códice Borgia, p. 23, entre otras, en la que Tonatiuh

¿Acaso concibieron un sistema solar heliocén-

es identificado p o r Seler c o m o el dios solar

trico y conocieron que la Tierra era redonda?

(Seler, 1963). 67

Las observaciones de los astrónomos mesoamericanos eran a simple vista y con instrum e n t o s r u d i m e n t a r i o s (Anthony F. Aveni, 1980; y J e s ú s Galindo Trejo, 2001), p o r lo q u e a l g u n o s a s t r ó n o m o s en la a c t u a l i d a d a s e g u r a n q u e era imposible que h u b i e s e n t e n i d o el c o n o c i m i e n t o de q u e el s i s t e m a solar era heliocéntrico. 6 4 Un error que han cometido numerosos investigadores reside en haber interpretado los registros antiguos de acuerdo a la teoría astronómica moderna, con base en conceptos que los pueblos prehispánicos no podían haber tenido, dada la ausencia de explicaciones teóricas, como por ejemplo la del sistema heliocéntrico, de métodos modernos de observación y de ciertas operaciones matemáticas complejas. 65

En c o n t r a d i c c i ó n con lo anterior, Eric T h o m p s o n c o m e n t a q u e los m a y a s c o n o cían que la Tierra era r e d o n d a , que giraba a l r e d e d o r del Sol y q u e un eclipse solar p o d r í a o c u r r i r sólo c u a n d o la Luna fuese nueva; aclara q u e fue m e d i a n t e la minuciosa o b s e r v a c i ó n de eclipses visibles q u e pudieron predecirlos.

66

De esto se infiere

q u e los salvajes americanos p o s e y e r o n en

61

Se le ha considerado como de los pochtecas o mercaderes, hombres que cargaban sus mercancías de un lugar a otro, mas considero que se trata de los cargadores de años, los mecapaleros celestes cargando el tiempo en sus espaldas, que no dejaban de marchar hasta llegar al lub o lugar de descanso. El 17 se encuentra como el número de secciones del códice. El 44 es el número de páginas. El 17 está como ángulo complementario (17°) de los taludes del basamento en la primera página del códice, que tienen una inclinación de 73°. El 17, en ese caso, señala el paso cenital del Sol. 62 Cecilio A. Róbelo, Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México, 1982, bajo olin. 63 bid. 64 Johanna Broda, Stanislaw Iwaniszewsky y Lucrecia Moupomé, "Arqueoastronomía y etnoastronomía en Mesoamérica", en Yólotl González Torres, Los precursores de los estudios sobre los astros en Mesoamérica, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 1991, p. XV. Memoria del simposio que tuvo lugar en CU del 24 al 28 de septiembre de 1983, organizado por el Instituto de Investigaciones Antropológicas, el Instituto de Investigaciones Históricas y el Instituto de Astronomía. es Ibid. 66 J. Eric S. Thompson, op. cit., pp. 179-180. 67 Facsímil del Códice Borgia, Fondo de Cultura Económica, México, 1963, p. 23.


101

Figura IV. 3. Tonatiuh aparece sacando su cabeza en medio de las órbitas planetarias

La serie de Fibonacci, el número de oro y los ciclos planetarios y lunares Habiendo encontrado mediante el análisis geométrico el empleo del número de oro o relación de proporción áurea en el diseño de algunas obras del arte mesoamericano, se considera necesario exponer aquí algunas de las maneras en las que los matemáticos pudieron haber encontrado la constante φ o número de oro = 1. 61803398875.

Códice Borgia, página 23 Fondo de Cultura Económica

La deidad solar fue identificada por Seler.

Figura IV. 4. El calendario azteca

El calendario azteca y otros monumentos solares Eduardo Matos y Felipe Solís Coπaculta-INAH, 2004

El Sol está en el centro del sistema solar

68

Para estudiar la serie de Fibonacci y todo lo relacionado con el número de oro se recomienda leer a Matila C. Ghyka, El número de oro, Editorial Poseidón, Buenos Aires, 1968. 6» 224-225 días dura el año de Venus.

102

Margarita

Martínez

del Sobral

Los primeros números de la serie de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Se comienza para formar la serie con 1 + 1 = 2 , y para encontrar el número consecuente se suma al obtenido el número antecedente: 2 + 1 = 3 ; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8, etcétera. Esta serie tiene la particularidad de que si se divide uno de sus números entre su antecedente, a medida que crecen los dígitos involucrados, el cociente tiende a 1. 618... = φ, llamado número de oro, sección áurea o partición de la unidad en media y extrema razón. Esta partición de un segmento en media y extrema razón en el punto φ da un sentido de armonía entre las partes y el todo. 68 Al comparar el ciclo sinódico de Venus con el año vago se obtiene con gran aproximación el número de oro = φ = 1. 618... (584 / 365 = 1. 6). Al dividir 365 entre el ciclo sidéreo o año de Venus (= 224. 6 días)69 se encuentra el valor de otra aproximación, 1. 625. El promedio de ambas aproximaciones es casi el valor de φ = 1. 618..., y así quedó incorporado φ a su numerología (1. 6 + 1. 625 = 3. 225 y 3. 225 / 2 = 1. 6125 = φ, el número de oro). Los tlαmαtinime empleaban esos valores para φ, quizá obtenidos de manera directa de algunos números de la serie de Fibonacci: 1 3 / 8 = 1. 625 y 8 / 5 = 1. 6. Tal vez también encontraron el número de oro dividiendo el ciclo sinódico de Venus entre el cuadrado del ciclo metónico de la Luna, 19: (192 = 361): 584/361 = 1. 6177285, siendo ésta una de las mayores aproximaciones a φ. Así se puede relacionar el ciclo metónico con el ciclo sinódico de la Luna, con el año trópico y con el número de oro: 676 / (4 x 104) =

1. 625 = φ dentro de los parámetros mesoamericanos. El número de oro también lo pudieron haber encontrado, de manera indirecta, multiplicando 81 por el ciclo sinódico de la Luna y al producto dividirlo entre 1 478, que es igual a 105. 5 x 14: (81 x 29. 530864 = 2 392; 2 392 / 1 478 = 1. 618... = φ). En la igualdad anterior se utiliza el 105. 5 por ser 105. 5 años el lapso medio entre un tránsito de Venus y otro dentro del gran ciclo de tránsitos de Venus (ver el número 105. 5 en el apéndice "Números"). Al multiplicar el ciclo sinódico de Mercurio conmensurado en 117 días por 10 y por φ (conside rado con un valor de 1. 6), se obtiene 1 872, la milésima parte de la era maya en días (117 x 1. 6 x 10 000 = 1 872 000). En los números que pertenecen al grupo solar se encuentran los ciclos planetarios de Mercurio, Venus y Marte (ver cap. ni). También a este grupo pertenecen las constantes π y φ. La primera, π, se obtiene al dividir la milésima parte de la era maya (1 872 días) entre el ciclo sinódico de Venus, 585 días = 3. 2, valor dentro del parámetro mesoamericano para π de 3 a 3. 25. El segundo se obtiene al dividir 1 872 000 entre cuatro baktunes de 144 000 días, lo que arroja el cociente deseado, 3. 25: [1 872 000 / (4 x 144 000) = 3. 25]. La constante φ se obtiene al dividir la era maya, 1 872 000 días, entre 10 mil veces el ciclo sinódico de Mercurio: 1 872 000 / 1 170 000 = 1. 6, valor que es el límite inferior del parámetro mesoamericano para esta constante, que va de 1. 6 a 1. 625. El valor del límite superior se encuentra al dividir la era maya de 1 872 000 entre ocho baktunes [1 872 000 / (8 x 144 000) = 1. 625]. La diferencia entre la era lunar (1 820 000 días) y la era maya solar de 1 872 000 días es de 52 000 días. A lo largo de este estudio se ha visto que en la diferencia se encuentra la unidad, que, en este caso es, pues, de 52 000 días (52 x 1 000 = 52 000). La era lunar de 1 820 000 días, al dividirse entre 1 137 500: (364 x 3 125, donde 364 es el año del Sol del inframundo) = 1 . 6 = φ, valor del límite inferior del parámetro mesoamericano para esta constante. El

límite superior se encuentra dividiendo esa misma era de 1 820 000 /1 120 000 = 1. 625. Se concluye que ambas constantes están relacionadas tanto con el Sol como con la Luna. 70

Encontrando el número de oro por medio del 105, lapso en días que pasa el Sol por arriba de la latitud 15° N. Otra manera de encontrar el número de oro valiéndose de relaciones astronómicas, como probablemente lo hicieron los tlamatinime, es utilizando el número 105, de la serie del 7 y del 15, que equivale al lapso que permanece el Sol arriba de la latitud 15° N. El 105 es también el complemento de 260 para el año de 365 días. Por otro lado, el 9 en este caso es un número de enlace que se puede relacionar con los Nueve Señores de la Noche. 70 Considerando nueve periodos de 105 días se obtiene el importante número MCM 945, que está en la serie del 27 - p o r lo que se relaciona directamente con el ciclo dracónico de la Luna-, que se toma para obtener el número de oro (27 x 35 = 945). Al dividirse el lapso de 945 días entre el ciclo sinódico de Venus de 584 días, se obtiene el número de oro exacto: (9 x 105) / 584 = 945 / 584 = 1. 618... = φ. Así, se ve que el número de oro está relacionado tanto con Venus como con el periodo de 105 días que el Sol pasa en el hemisferio norte. Asimismo con el 9, número de los Señores de la Noche, asociados con la noche, el norte y la región del hielo, tierra de frío y oscuridad, como cuando la Tierra está ensombrecida por un eclipse. 71 La relación entre el año trópico y φ se puede encontrar también a través de los números de enlace 11 y 23: (11 x 23 x 365. 2422) / 57 466 = 1. 608 = φ, 72 en donde 57 466 equivale a 1 946 veces el ciclo sinódico de la Luna (29. 5303 x 1 946 = 57 466). El ámbito del inframundo, geométricamente hablando, se representa generalmente mediante un rectángulo φ 2 . 73 Este rectángulo es el que puede envolver a la ciudadela situada en el centro ceremonial de Teotihuacan, al sur del río San Juan. Siendo el 2 cociente de 1 / φ menor que 1, indica que el rectángulo en el que se encuentra la ciudadela está acostado (Margarita Martínez

Considero que los Señores de la Noche están relacionados con los nueve periodos de 105 días que pasa el Sol en la Tierra del norte, lugar oscuro y frío. Sin embargo, se les ha considerado relacionados con el ciclo sinódico de Mercurio de 117 días ( 9 x 1 3 = 117).

71

Miguel León-Portilla, op. cit., p. 246. "Varios estudiosos han propuesto, como hipótesis, la relación entre los nueve señores de la noche y los también nueve estratos del inframundo. Paralelamente los trece señores del día guardan relación con los trece pisos celestes. " Se puede proponer, también como hipótesis, la división del día en 22 horas, correspondiendo 13 para el día y 9 para la noche. Esto hace pensar que las nueve divisiones nocturnas están asociadas con los Nueve Señores de la Noche, que pueden ser los nueve astros más brillantes que se ven en la oscuridad de la noche o en pleno día cuando se produce un eclipse de Sol. 72 El valor de φ para los mesoamericanos iba de 1. 6 a 1. 625. 73 Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000, p. 35. El rectángulo φ 2 tiene su módulo M = φ2 = 2. 618...

IV. Del tonalpohualli y del tonalámatl, de los ciclos p l a n e t a r i o s y del n ú m e r o de oro

del Sobral, 2000), con su eje longitudinal de norte a sur, 74 como en efecto lo está en ese centro ceremonial. 75 El rectángulo φ M 1. 618... tiene sus lados en relación de proporción áurea y, por lo tanto, pueden tener como medida dos números consecutivos de la serie de Fibonacci. El rectángulo φ puede represen tar geométricamente el siglo mesoamericano si midieran sus lados 13 u y 8 u (13 ux 8 u - 104 u2). En el caso de que, sin perder su proporción, midieran 21 u x 13 u = 273 u2, o 10 veces el ciclo sidéreo lunar, y en el de que (sin perder su proporción) midieran 34 u x 21 u = 714 u2 = 2 x 3 x 7 x 17. Como se observa, haciendo la unidad más pequeña, el significado astronómico varía de solar a lunar, y al hacerla todavía más pequeña, a lunisolar o geográfica. Aquí se comprueba que el 17 es un número lunar. En el Códice borbónico (p. XXI), en un rectángulo φ enmarcado por la banda celes te, está el viejo Cipaktónal y enfrente de él su contraparte femenina, Oxomoco. La vieja aparece echando la suerte mediante nueve granos de maíz, que pueden representar a "los nueve Acompañados de la Noche" o portadores de la suerte, mientras que Ci-

74

Los mesoamericanos colocaban el oriente en donde los occidentales colocamos el norte en los planos. Un caso ilustrativo se tiene en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer, en donde el norte se encuentra a la izquierda de la página. 75 Margarita Martínez del Sobral, op. cit., p. 35. El rectángulo φ2 tiene su módulo M = 02 = 2. 618... 76 Códice borbónico, facsímil, Siglo XXI Editores, México, 1988, p. 21. Era la suerte del individuo en el momento de su gestación la que quedaba determinada por los dioses superiores Oxomoco y Cipaktónal. 77 Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, op. cit., pp. 92-96. 78 J. Eric S. Thompson, op. cit., pp. 115 y 117-118. "A la diosa de la Luna tal vez se le asignó ese símbolo de la Tierra porque, como en otras partes de Mesoamérica, también era diosa del suelo. " "Mi tesis de que la Luna también era diosa de la Tierra y del maíz es confirmada por Siegel (1941: 66), quien informa que los mames llaman a la Luna, y también a la tierra y al maíz, Nuestra Madre", y que "los tres se identifican en el pensamiento y en el habla. " 79 El rectángulo φ que quizá encierre la cara principal de la Coatlicue puede tener las siguientes medidas conservando la misma proporción: 8 u x 13 u = 104 u2, un siglo mesoamericano; 13 u x 21 u = 273 u2, 10 veces el ciclo sidéreo de la Luna; 34 u x 55 u = 1870 u2 = 11 x 17 x 10, en donde el 11 se asocia con los eclipses y el 17 con el tonalpohualü, la Luna y la orientación de Teotihuacan.

104


paktónal, su compañero, empuña con la mano derecha el tlémaitl o incensario. 76 Ambos son sacerdotes penitentes: Cipaktónal empuña con la mano izquierda un punzón, mientras que todo el rectángulo envolvente se encuentra coronado por dos punzones de sacrificio de hueso de venado. Con arreos de Cipaktónatl aparece Quetzalcóatl (p. XXIl del códice), también como penitente, quien, como numen de Venus, es uno de los dioses creadores, dios del sistema solar. Allí mismo se encuentra el dios del sistema estelar, Tezcatlipoca. Del Paso y Troncoso cree que tal vez no se trate de ese dios, puesto que si lo fuera no carecería del espejo humeante que lo caracteriza, y considera que más bien se trata del dios de la providencia o del fuego. 77 Se puede interpretar entonces que en este caso el rectángulo φ simboliza a los dioses que dejan al azar el destino de los hombres (ver figu ra. II. 4, "Los señores del arte adivinatorio y el destino de los hombres", y figura II. 5, "Los dioses creadores en su manifestación terrenal"). El rectángulo φ se encuentra también en la cara anterior del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la Coatlicue, diosa del suelo, de la superficie de la Tierra y numen de la Luna. 78 La Coatlicue es la parte femenina de uno de los dioses creadores en su manifestación terrenal como Nuestra Madre Tierra, 79 entre otros muchos simbolismos. La unidad (u, u) en las diferencias entre los diversos ciclos astronómicos. Cuando se tiene un conteo basado en el MCM de varios números, como por ejemplo el del ciclo de 52 años, en el que se involucra el 18 960, MCM del 260 y del 365, se pueden utilizar los diversos factores del MCM como unidades para hacer conteos menores. Es precisamente en las diferencias entre longitudes, tanto del espacio como del tiempo, en donde quedan registradas las unidades de medida o proporción, de espacio o de tiempo, utilizadas por los sabios mesoamericanos. Para ilustrar esto se toma eí periodo de 52 años de 365 días, que es igual a 18 980 días.

Ahora se toma 160 veces el ciclo sinódico de Mercurio y se obtiene 18 720 días. La diferencia entre ellos es 260 días o un tonalpohualli (18 980 - 18 720 = 260). El 260 se puede tomar como una nueva unidad y comenzar un conteo de 260 en 260 (260 x 72 = 18 720). Tanto 18 980 como 18 720 están en la serie del 260, y en su diferencia se encuentra la unidad (18 980 / 260 = 73; 18 720 / 260 = 72; 73 - 72 = 1). Ahora se puede comenzar un nuevo conteo de 104 en 104. Como parte de este conteo se tiene 37 960 (104 x 365 = 37 960; 104 x 364 = 37 856; 365 - 364 = 1). De nueva cuenta, en la diferencia se encuentra la unidad. Tratándose de superficies, geométricamente cada día puede ser representado por un cuadrado y por un cubo si las figuras son tridimensionales. Si se trata de ángulos, los días se representarán por grados. Se tienen 360° en un círculo y son 360 días en el año, sin los nemontemi; 73° en días es la quinta parte del año vago y 72° en días es la quinta parte del año ajustado a 360. En la diferencia entre 73 y 72 está la unidad de un día, igual a un grado del círculo o de la eclíptica.

En iconografía un símbolo con un ángulo de 52° puede ser representativo de los 52 años del siglo mesoamericano; el de 104°, del siglo mesoamericano; el de 108° se relaciona con la Luna y los eclipses al tener el 27 como factor; el de 105° puede representar en días el tiempo que pasa el Sol arriba de la latitud 15° N; el de 31° es el límite eclíptico solar y el de 25°, el límite eclíptico lunar; el de 47° corresponde al movimiento solar de un trópico a otro; el de 72° se identifica con la quinta parte del año de 360 días y el de 73°, con la quinta parte del año de 365 días, etcétera. Son de 13° o de 18° los ángulos del pequeño sombrero picudo que le suelen colocar a Quetzalcóatl y de 52° en el gorro de piel de jaguar que simboliza el cielo estrellado de Tezcatlipoca. El hecho de que la iconografía muestre estos ángulos asociados con figuras representativas de ciclos celestes o calendárteos son una prueba de la división del círculo en 360 grados. Si el círculo se hubiese dividido en otro número de grados que no fuese 360, no habría coincidencia entre el símbolo y el número de grados que muestran los ángulos, lo que nunca acontece.

Es precisamente

en las diferencias entre longitudes, tanto del espacio como del tiempo, en donde quedan r e g i s t r a d a s las unidades de medida o p r o p o r ción, de espacio o de tiempo, utilizadas p o r los sabios mesoamericanos.


105

V. El año trópico y la cruz de San Andrés El paso cenital del Sol y la cruz de Malta

Nahui ollin, 4 Movimiento

1

El nombre náhuatl del año de 365 días es xíhuitl.

106


n la iconografía mesoamericana se encuentran dos cruces sobresalientes. Una, la cruz de San Andrés, formada por dos bandas cruzadas que forman un ángulo, generalmente de 47° o de cualquier otro representativo de un ciclo solar, y la otra, conocida como cruz de Quetzalcóatl, en forma de cruz de Malta, con sus brazos perpendiculares. Algunas veces el ángulo entre las bandas cruzadas puede no ser de 47°, sino de 52°, 104° o 105°, que son números también relacionados con el Sol y utilizados para señalar sus distintos ciclos (ver el número 105 y el número 52 en el apéndice 1, "Números"). La cruz de Malta es simbólica de los pasos cenitales del Sol, que solamente ocurren en la zona tropical, entre los trópicos de Cáncer y el de Capricornio. La cruz de San Andrés determina el ángulo intertropical que señala los trópicos. La determinación de los trópicos -cuando el Sol llega a su máxima distancia del ecuador celeste- y de los dos puntos equinocciales -cuando cruza la línea ecuatorial- fue razón suficiente para incorporar el 4 en sus calendarios. Al movimiento anual del Sol al pasar por estos cuatro puntos se le ha llamado nahui ollin, 4 Movimiento; considero que el concepto de que nahui ollin significa temblores es equivocado. Para que el Sol vuelva a una posición igual respecto a un punto fijado de antemano, y proyectando el mismo tamaño de sombra en el mismo lugar, deben transcurrir cuatro años: tres de 365 días 1 y uno de 366, dando un total de 1 461 días. Este lapso dividido entre 4 da la duración aproximada del año trópico de 365. 25 días. La verdadera duración es de 365. 2422 días, número al que, de acuerdo con la presente investigación, se aproximaron mucho los cálculos de los astrónomos olmecas (365. 1970 y 365. 2628 días). Son 13 periodos de

cuatro años (o, si se quiere, cuatro periodos de 13 años, cuatro tlalpillis) los que forman el medio siglo mesoamericano, cuando se festejaba el encendido del Fuego Nuevo (ver figura V. 2, "La fiesta del Fuego Nuevo"). Durante los solsticios el Sol parece estar estático; es el momento en que aparentemente el astro cambia de dirección en el camino de la eclíptica. Se puede comparar la carrera anual del Sol a la trayectoria de la hélice o helicoidal de un tornillo que puede ascender o descender, pero que debe parar su movimiento antes de cambiar de dirección. Cuando el Sol queda parado, es el momento que llamamos solsticio. Se llama equinoccio cuando va a la mitad de su trayecto ascendente o descendente, cuando llega al ecuador celeste. Los astrónomos olmecas descubrieron este movimiento helicoidal y lo simbolizaron con una cruz, 2 la cruz de San Andrés o cruz de movimiento. Esta cruz aparece en el glifo de las bandas cruzadas; entre sus brazos queda generalmente registrado el ángulo intertropical de 47°, que es el doble del ángulo entre el Ecuador y los trópicos de 23. 47° (23° 27') (ver figura V. 3. 1, "Rectángulo de los trópicos o de las bandas cruzadas en el relieve olmeca de pescado", y figura V. 3. 2, "Rectángulo de los trópicos en la parte superior de un altar olmeca"). De acuerdo con el calendario azteca, nahui ollin también puede significar los cuatro momentos de Venus en su ciclo sinódico: el inicio de su periodo como Estrella de la Tarde en el poniente; su periodo de invisibilidad en su conjunción inferior, en el sur; su periodo de visibilidad en el oriente como Estrella de la Mañana; y su periodo de invisibilidad en su conjunción superior, en el norte (ver figura V. l, "La cruz de San Andrés que señala el Trópico de Cáncer, el Trópico de Capricornio, el Ecuador y el ángulo intertropical"). En su totalidad, y tomada como la órbita de Venus la línea continua envolvente de los cuatro carteles que forman el nahui ollin en el calendario azteca, es una elipse, lo que sugiere que los mexicas sabían que las órbitas de los planetas eran elípticas. El lado derecho de la elipse representa el recorrido

Figura V. 1. La cruz de San Andrés que señala el Trópico de Cáncer, el Trópico de Capricornio, el Ecuador y el ángulo intertropical

Polo Norte celeste Trópico

celeste de Cáncer

Bandas cruzadas que marcan el ángulo intertropical

Angulo intertropical 46. 90° =47

Horizonte celeste

Trópico celeste de Capricornio

Polo Sur celeste 1. 2. 3. 4.

Solsticio de invierno Equinoccio de primavera Solsticio de verano Equinoccio de otoño

Figura V. 2. La fiesta del Fuego Nuevo

Códice borbónico Edición facsimilar Siglo XXI Editores "América Nuestra'

La fiesta secular del Fuego Nuevo

En este movimiento helíaco se reconoce la cruz de San Andrés, cruz de movimiento u ollin. Imaginemos que el movimiento ascendente y descendente proyecta una infinidad de cruces: uno de los brazos en el movimiento ascendente y otro, el contrario, en el descendente. El símbolo 4 Movimiento, por lo tanto, no debe referirse a movimientos telúricos, sino al movimiento helicoidal del Sol a lo largo del año.

V. El a ñ o trópico y la cruz de San A n d r é s

107

Figura V. 3. 1. Rectángulo de los trópicos o de las bandas cruzadas en el relieve olmeca de pescado

Figura V. 3. 2. Rectángulo de los trópicos en la parte superior de un altar olmeca

Los olmecas, "La cultura madre" Edición facsimilar Siglo XXI Editores "América Nuestra" Figura 68, página 142

108


de Venus como Estrella de la Mañana; lo mismo ocurre con la figura de espejo al lado izquierdo, pero ahora es Venus en su recorrido como Estrella de la Tarde. Motolinía escribió que a Venus se le rendía tanto homenaje como al Sol y mucho más que a los otros astros, tal vez por ser el Sol y Venus los astros que determinaron los calendarios solares. Algunos autores consideran que el símbolo nahui ollin se refiere al Sol y otros que a Venus. Esta investigación señala que se refiere a ambos. Para Seler nahui ollin simboliza la Estrella de la Mañana (Venus) cuando se encuentra con el Sol el día 4 Cabán (en náhuatl, cuatro movimiento) y señala claramente que era nahui ollin un símbolo de Venus. "El día Ce Ácatl, uno caña, Quetzalcóatl se transformó en lucero del alba. " Quetzalcóatl, equivalente azteca de Kukulkán, ha sido identificado con Tlahuizcalpantecutli, el Señor de la Casa del Alba, que es Venus como estrella matutina. 3 Pero la investigación señala que Venus era identificado entre los mayas como chac efe, la estrella roja; sastal efe, la estrella brillante; noch efe, la gran estrella, conocida como hueycitlali por los aztecas; y xux efe, la estrella avispa, tal como esotéricamente está representada en el calendario azteca. Este dato es importante, ya que en el calendario aparece el símbolo nahui ollin tanto para representar los cuatro movimientos del Sol a lo largo del año (los dos solsticios y los dos equinoccios) como a xux efe, la estrella avispa, Venus. En la iconografía del calendario el símbolo nahui ollin está claramente indicado como una avispa en vuelo descendente, con su aguijón en forma de punta de flecha apuntando al norte. El primer círculo o círculo central del calendario azteca representa el abdomen del insecto; hacia abajo continúa el tórax, señalado por dos quincunces dentro de un rectángulo seguido por cinco plumas; luego la cabeza, formada por un círculo con otro concéntrico y flanqueada por las antenas.

La avispa tiene cuatro alas y cada una de ellas, cada aspa, porta una era cosmogónica; también tiene tres pares de patas y en el calendario azteca las tres de cada lado se posan, como tres pequeños círculos, en el círculo abierto en forma de herradura que se encuentra a cada lado del primer círculo. Para los mayas la avispa era la estrella xux efe4 y los cuatro movimientos son los de sus alas. Venus realiza durante su ciclo sinódico cuatro movimientos, que están marcados por la línea quebrada que forma los cuatro carteles o aspas inscritos en la elipse virtual, y dos símbolos en forma de herradura que representan los puntos erráticos en su trayectoria, los puntos estacionarios, las progresiones y retrogradaciones del planeta. Dos de los carteles, aspas o alas corresponden al lapso de Venus como Estrella de la Mañana (oriente) y en el lado opuesto, como Estrella de la Tarde (poniente); en la parte superior del calendario Venus se encuentra en su conjunción superior con el Sol (norte); y, finalmente, en la parte inferior del calendario se encuentra en su conjunción inferior con el Sol (sur). Estos cuatro movimientos pueden ser los de Venus, que están representados en el calendario azteca. La orientación del calendario con respecto a sus ejes principales no es la convencional mesoamericana, sino la misma que damos los occidentales a nuestros mapas con el norte hacia arriba. Existe en el Museo Nacional de Antropología, en la ciudad de México, un plato de la Isla de Sacrificios3 que tiene en su parte central una avispa o abeja (la abeja es nahual del Sol), que confirma que el nahui ollin en el calendario azteca es una abstracción de este insecto.

Los números del Catálogo de Thompson y el simbolismo de las bandas cruzadas o cruz de San Andrés 6 En el Catálogo de jeroglíficos mayas, de Thompson, se encuentran algunos glifos que están catalogados con los números 129, 152,

3

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5

6

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 211, nota 11. Un nahual es un animal que tiene características que sólo un humano o un dios puede aprehender a voluntad. El nahual del numen de Venus era la avispa y su característica dominante, el envenenado aguijón. Plato con decoración simbólica, Isla de Sacrificios, Veracuz, posclásico. Altura: 4 cm; diámetro: 29. 5 cm. Cultura del centro de Veracruz, Sala Golfo de México. J. Eric S. Thompson, A Catalog of Maya Hieroglyphs, University of Oklahoma Press, Norman, 1962.

V. El año t r ó p i c o y la cruz de San A n d r é s

109

154, 156, 552 y 565. Se han estudiado con objeto de verificar si los glifos cefalomorfos mayas pueden expresar coincidencias de ciclos y ser calendáricos, de la misma manera en que lo son las cabezas colosales olmecas, como se demuestra en el cap. viII. Tal vez por una mera coincidencia Thompson colocó dentro de su Catálogo de jeroglíficos mayas ciertos glifos en el casillero correspondiente al número que quizá consideró relacionado con su significado. 7 No se sabe si la asignación de los números del Catálogo a estos glifos fue intencional, de manera que pudiesen dar una pista acerca de lo que significan, o si solamente se trata de una coincidencia entre el número dado y su significado numérico. Teniendo esto en mente se han incluido algunos de ellos para su estudio en este capítulo; el más importante es el de las bandas cruzadas catalogado con el número 552, con su prefijo 47 y sus sufijos 23 o 24. 8 Otro es el 565.

7

8

9

Thompson hereda catálogos anteriores y no explica ni su criterio ni los de sus antecesores para asignar numeración a los glifos de su catálogo. J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 119. "El glifo en cuestión es el signo de las bandas cruzadas (532) con prefijo 47 y al (23) o il (24). Respecto a los sufijos, Coe (2001) dice: "Afar more common morphosyllabic sign is -IL. This can express an abstractive suffix that transforms a specific noun into its abstract form (somewhat similar to the suffixes ness or ship in English), for example". J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, pp. 119-120.

110

Con anterioridad a la catalogación de Thompson existieron la de Gates y la de Zimmermann. Thompson rehizo la catalogación basándose en la metodología de Zimmermann y conservó algunos de sus números. Sin embargo, a los signos de las bandas cruzadas y del segmento de serpiente les cambió el número del casillero en el Catálogo. El glifo 552 es el llamado símbolo de las bandas cruzadas y el 565, segmento de serpiente; el 552 de Thompson correspondería al 302 en el catálogo de Gates y 1 350 en el catálogo de Zimmermann. En cuanto al 565, segmento de serpiente, le corresponde el 147, 304 y 305 en el catálogo de Gates, y 1 351 y 1352 en el catálogo de Zimmermann. Es posible que al volver a agrupar los símbolos Thompson haya tenido ya una idea de su significado dentro de la astronomía y numerología, y tal vez por eso les asignó esos números. Acerca del glifo 565, segmento de serpiente, nos dice que es uno de los más utilizados en la decoración de cerámica, y es muy posible que así sea, ya que las más de las vasijas y vasos de ofrenda tienen forma circular y simbolizan la bóveda celeste, por lo que no es de


extrañar encontrar allí el glifo segmento de serpiente, que simboliza a la eclíptica. La forma más adecuada para expresar ese concepto es la elíptica. Al tomar los números del Catálogo como números absolutos, se pueden relacionar con el significado del glifo. Respecto al de las bandas cruzadas, Thompson afirma: El de las bandas cruzadas es un glifo común y muy antiguo -aparece ya en los dibujos olmecas- y, como la mayoría de los glifos simples de larga genealogía, con el paso del tiempo probablemente haya reunido varios significados. El uso más común del glifo de las bandas cruzadas tal vez sea en las bandas celestes, respecto a lo cual debe señalarse que con suma frecuencia va de infijo en el glifo del cielo. Particularmente significativa es su aparición en la fachada del ala este de Las Monjas, en Chichén Itzá (Maudslay, 18891902, 3 láms., 11, 13). Allí, solo o por pares, alterna con glifos del planeta Venus rematados por animales, aves, etcétera, que en gran parte son los del zodiaco de París 2324... ... En apoyo de la interpretación de las bandas cruzadas en contextos celestes como algo que atraviesa el cielo, está la inclusión de kaatal kin en el diccionario de Motul como salida del Sol, con kuchi ti ma kaatac kin, llegó antes de que saliera el Sol como ejemplo. La implicación aquí es que, en su marcha diaria, el Sol atraviesa el cielo. 9 Indudablemente las bandas cruzadas significan el cruce del Sol con el ecuador celeste en su carrera siguiendo la eclíptica, aunque el concepto se puede extender al cruce de cualquier cuerpo celeste con el ecuador celeste, como sugiere Thompson. Beyer identificó el glifo 565 como las escamas de un dragón que lleva los signos planetarios en su abdomen. Al igual que el glifo 552, el signo del dragón celeste es también el del saurio o serpiente que puede estar representando a la eclíptica, camino o banda de la que no se desvían mucho los planetas y la Luna en su eterna travesía.

Con bandas cruzadas en el ojo del animal se presenta el glifo de variantes de cabezas con el que los mayas representaban el número lunar 6; cuando el ojo está cerrado, representa a la Luna muerta o Luna nueva. 10 El 552 pertenece a la serie del 23 y del 24, así como a la del 2, 3, 8, 23, 69 y 92, entre otros. Del 23 y del 24 nos habla Thompson al analizar la fonética del glifo. "El glifo en cuestión es el signo de las bandas cruzadas (552), con prefijo 47 y al (23) o il (24) como sufijo. " 11 Independientemente de que se utilicen los símbolos en la fonética, también tienen valor numérico por sí mismos. Ya se vio la importancia del número de oro en la determinación del año trópico en el subcapítulo "Números de la serie de Fibonacci" (cap. II) y en el capítulo III, "De los ciclos solares, planetarios y lunares". Ahora se verá que el número de oro (φ = 1. 6) también es importante para obtener el 552, pues 345 x φ = 552. 12 Si se suman los sufi jos 23 y 24 se obtiene el valor del prefijo 47, valor del ángulo que se forma entre los trópicos (23 + 24 = 47). Si se multiplican entre sí se obtiene 552, el valor del glifo (23 x 24 = 552). ¿Es esto coincidencia? ¿Qué quiere decir el 552? Se tratará de averiguar qué significan el 529 y el 576 empleando los cuadrados de los sufijos 23 y 24. La diferencia entre 576 y 529 es 47, el prefijo del glifo: se aplica el teorema encontrado durante esta investigación, que dice: "La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es igual a su suma", y se tiene: 242 = 576; 23 2 = 529. Se observa que 576 - 529 = 47, el prefijo del glifo. Se concluye que la diferencia de los cuadrados de los sufijos es igual al prefijo: 242 - 23 2 = 576 - 529 = 47, que equivale al número de días que en grados indica el ángulo intertropical. De ser así, el glifo 552 estaría refiriéndose al cruce del Sol por la línea ecuatorial. En este caso, al ser 47 la diferencia, corresponde al ángulo de 47°, unidad espacio-temporal que señala el recorrido del Sol en medio año, por lo que 47 se considerará en adelante una unidad espacio-temporal. La prueba se encuentra en la siguiente igualdad: 552 x 365 = 345 x

584 = 2 920 x 69 = 201 480, que se traduce

Indudablemente

como una coincidencia de ciclos solar y

las bandas cruia-

venusino cada 552 años solares de 365 días o cada 345 ciclos sinódicos de Venus de 584 días.

d a s significan el cruce del Sol con el e c u a d o r celeste en su c a r r e r a siguiendo la eclíptica, aunque el concepto se puede e x t e n d e r al cruce de cualquier cuerpo celeste con el ecuador celeste.

Thompson considera que el glifo puede significar el coito o matrimonio, sin estar totalmente convencido de este significado, pues en ocasiones la cruz se presenta con ilustraciones de la diosa de la Luna teniendo relaciones con un perro o con una calavera. En el cruce de líneas se puede ver una imagen de coito, como aparece en el Códice de Dresde, en donde la diosa lunar tiene trato carnal con un dios viejo, entre otros personajes que pueden ser la representación de cuerpos celestes. Así se explica que la diosa de la Luna se cruce con otros individuos "rematados por animales, aves, etcétera, que en gran parte son los del zodiaco del Códice de París (23-24)", 13 que pueden significar constelaciones. Así se ve en el contexto del Códice de Dresde, donde el símbolo de las bandas cruzadas se asocia con una mujer que representa a la Luna. Sus relaciones con diversos personajes representan conjunciones con cuerpos celestes o con constelaciones, como señala el Códice de París. En este caso la unión con el descarnado dios Mictlantecutli nos habla de Venus en su conjunción superior con el Sol, lo que ocurre en el norte, el ámbito de ese dios. La cruz de San Andrés aparece en el pecho de los niños que cargan algunos sacerdotes olmecas, imagen de la que han quedado numerosas esculturas. En el Códice de Dresde la diosa de la Luna a veces está cargando a un niño, fruto de sus relaciones

10

Demetrio Sodi, Los mayas, el tiempo capturado, Bancómer, México, 1980, p. 90. Estoy totalmente de acuerdo con él en la interpretación del ojo cerrado como de la Luna muerta. 11 J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, op. cit., p. 119. 12 El 345 es un número lunisolar, pues sus factores son 15 solar y 23 lunar (360 / 15 = 24, solar; y 11 960 / 520 = 23, lunar y de elipses). Con el 23 se puede relacionar también la Luna con el 552: 23 x 24 x 365 = 201 480; 23 = 201 480 / (24 x 365); 23 = 11 960 / 520, por lo que 201 480 / (24 x 365) = 11 960 / 520, en donde 13

11 960 = 4 0 5 x 2 9 . 5308... J. Eric S. Thompson, Un Comentario al Códice de Dresde, op. cit., p. 120.

V. El año trópico y la cruz de San Andrés

111

™Ibid., p. 113. "En los almanaques 36, 42 y 52 encontramos escenas un tanto parecidas, pero allí es la diosa de la Luna que sostiene niños ante sí (cf. p. 132), glifos 1, 565è, il. 557, siendo presumiblemente el último elemento el glifo del animal de abajo; 2, 47. 552 //., las bandas cruzadas, kat, compuesto que al parecer representa la unión tanto de la carne como de los cuerpos celestes (p. 120). "

(conjunciones) con otros astros. 14 Los niños son el símbolo del año nuevo, así que las bandas cruzadas determinan el cruce de la eclíptica con el ecuador celeste, momento del comienzo de un año nuevo agrícola, el equinoccio de primavera. En ciertas ocasiones el niño se asociaba con el maíz, tal vez por ser el grano que mantuvo con vida a los pueblos mesoamericanos y cuya siembra se

comenzaba en el momento del inicio del año nuevo agrícola. Era el maíz la planta que representaba, al igual que el niño del año nuevo, una nueva esperanza de vida (ver figura V. 4. 1, "La cruz de San Andrés o rectángulo de los trópicos o de las bandas cruzadas en el monumento 77... de La Venta"; ver también figura V. 4. 2, "La cruz de Malta o de Quetzalcóatl en el Señor de Las Limas").

Figura V. 4. 1. La cruz de San Andrés o rectángulo de los trópicos o de las bandas cruzadas en el monumento 77 del museo de La Venta

Los olmecas, "La cultura madre" Edición facsimilar Siglo XXI Editores "América Nuestra" Figura 75

El Señor de Las Limas Fotografía de Adrián Mendieta Los olmecas en Mesoamérica, página 207 John E. Clark Museo de Xalapa, Veracruz

Figura V. 4. 2. La cruz de Malta o de Quetzalcóatl en el Señor de Las Limas

112


Thompson, refiriéndose a la lingüística, sugiere que las bandas cruzadas en contextos celestes significan que "el Sol atraviesa el cielo", al considerar que se trata de una conjunción. Confirmando lo anterior, se debe añadir que el cruce de las bandas también puede significar el cruce de la eclíptica con la órbita de cualquiera de los planetas o con la Luna. Habrá coincidencia de ciclos también al tomar el ciclo exacto de Mercurio, 116. 8 días, y el de Marte, 780. 9302 días. El gran MCM de ambos es 201 480 días = 23 x 73 x 120, en donde 73 corresponde a la quinta parte del ciclo anual de 365 días (552 x 365 = 201 480) y el 120, a la tercera parte del año de 360 días. En el Códice de Dresde el glifo del segmento de serpiente (565b) a veces sustituye el signo de las bandas cruzadas, y Beyer identifica el glifo 565 con las escamas de una serpiente o dragón celeste, que lleva signos planetarios... La interpretación de 565¿> apoya la lectura sugerida de las bandas cruzadas como travesía celeste. 15 Las bandas cruzadas significan la travesía celeste del Sol, la Luna y los planetas, así como el ángulo que señala los trópicos de Cáncer y de Capricornio, y por lo tanto los solsticios y los equinoccios. Resumiendo se puede decir que la cruz de San Andrés señala la eclíptica, que corresponde al glifo 552 del Códice de Dresde, signo de las bandas cruzadas utilizado en la cultura olmeca. El año trópico/Los números 1 507 y 1 508. El año trópico es el periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol (o según lo vemos nosotros, del Sol alrededor de la Tierra) con respecto al equinoccio de primavera: 365. 2422 días. 16 Es el tiempo necesario para que el Sol vaya de un trópico al otro y su regreso. A pesar de que aproximadamente este lapso fue conocido desde la cultura olmeca, fue poco utilizado en las ruedas calendáricas, por no ser divisible entre los factores más empleados para relacionar los ciclos planetarios y lunares con el tonalpohualli. No obstante, quedó constancia de que

el año trópico era conocido en su exacta duración en las esculturas olmecas que presentan el signo de las bandas cruzadas, 17 a juzgar por la medida del ángulo que forman las bandas. 18 El 13 no es divisor del ciclo solar anual de 365. 2422 días, ni del mensual de la Luna de 29. 5308, ni del de Júpiter de 399 días, por lo que encontrar la manera de relacionar con exactitud estos ciclos entre ellos mismos y con los de los demás ciclos planetarios fue uno de los retos matemáticos del México antiguo. Si bien el conocimiento de la duración del año es necesaria para el trabajo del campo, para un científico tiene un significado que trasciende las actividades agrícolas. Imaginemos la enorme satisfacción de los sabios mesoamericanos cuando determinaron con exactitud la duración del año trópico y comprobaron la precisión de sus cálculos. Esta determinación los llevó a conocer una ley de la naturaleza relativa al movimiento armónico de los astros. ¡Y esto es ciencia pura y no mera numerología adivinatoria! Edmonson especula que el cálculo correcto de los solsticios y de los equinoccios haya comenzado a partir del equinoccio de otoño del año 1122 a. C, fecha que aproximadamente coincide con la de la creación de las esculturas de las cabezas colosales olmecas. Propone cinco tipos de calendarios en Mesoamérica, clasificando como tipo I el que comienza con los años de los cuatro iniciadores o cargadores: Lagarto (Cipactli), Muerte, Mono y Zopilote, que fueron solamente utilizados por los olmecas. 19 Ellos consideraron que 1 Cipactli era la fecha de la creación del mundo, el momento en que se separaron las aguas del cielo, cuando el cocodrilo mítico, nadando en las aguas primigenias, separaba el cielo de las aguas; por eso el nombre 1 Cipactli como primer día del calendario, tal como siglos después aparecería en el calendario azteca. Se puede decir que los olmecas fueron los primeros mesoamericanos en registrar con exactitud los equinoccios y los solsticios. 20 Tan importante fue determinar con toda precisión el momento de los equinoccios y

15

Ibid p. 121.

16

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 116. 17 Constanza Vega Sosa, Códice Azoyú, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 42. Tanto el número 1 508 como 1507 son números que aparecen en la numerología mesoamericana: 365 x 1 508 / 1 507 nos da el año trópico (Munro Edmonson, "El reino de Tlachinollan", en ibid., p. 42). 18 Las esculturas olmecas que señalan la duración del año trópico son las que presentan a los llamados niños-jaguares y a la cruz de San Andrés, como se explica en este capítulo. 19 Munro Edmonson, op. cit., p. 43. 20 Como una reminiscencia olmeca en el altiplano mexicano, en un acto de eclecticismo religioso se equipara Tláloc con san Pedro y con san Juan, ya que sus festividades ocurrían en plena temporada de lluvias. En la fiesta de san Juan, el 24 de junio, todavía hace pocos años en la ciudad de México se acostumbraba echar agua a los transeúntes, sin duda un remanente en el subconsciente colectivo de la manera de honrar al dios de la lluvia.

V. El a ñ o t r ó p i c o y la crux de Sao. Ajαdrés

113

los solsticios que el hecho quedó registrado tanto en las cabezas colosales como en esculturas de pequeño formato, y, de manera principal, en los niños-jaguares como el que presenta en brazos el Señor de Las Limas. Los mayas en El Castillo de Chichén Itzá no solamente tenían claro el momento de los equinoccios; también habían desarrollado algo semejante a lo que en arquitectura se llama montea solar, que permite dar una orientación a una construcción de acuerdo con el asoleamiento que el arquitecto tenga en mente para sus fachadas en un determinado día del año. El tema recurrente del sacerdote cargando a un niño simboliza el comienzo de nuevos ciclos, celestes y terrestres, como lo es el sacerdote que presenta el niño al pueblo al comienzo de la temporada de lluvias, anunciando un nuevo ciclo agrícola y de resurrección de la naturaleza. Posteriormente este simbolismo será trasladado a Xipe Totee en la cultura mexica.

21

Constanza Vega Sosa, op. cit., p. 42. 22 Ibid. Edmonson es quien hace esta observación. 23 ¡bid. También Edmonson es el que hace esta observación. 24 Fernando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa, de Tehuacán viejo, edición del autor, Tehuacán, 2004, p. 50.

114

El sacerdote con el niño es la representación del nuevo registro calendárico que se estableció en toda Mesoamérica a partir de 1122 a. C, "con un calendario que localizó el año nuevo de esa fecha en 1 Muerte y con el conocimiento de que debía retrocederse al solsticio de verano 377 años después en un año comenzando con 1 Mono". 21 Se puede observar que se retrocedían 377 años, el equivalente numérico en días del ciclo sinódico de Saturno, lo que equivale a hacer un ajuste de un año repartido en cuatro partes, cada una correspondiendo a 377 años (377 x 4 = 1 508). El año trópico se relaciona con los números 1 507 y 1 508. Al multiplicar 1 507 x 365. 2422 = 550 420 y 1 507 x 365 = 550 055. La diferencia es de un año (550 420 - 550 055 = 365). En esta operación se toma el año trópico exacto de 365. 2422 días. 22 Al perderse un año después de 1 507, el año siguiente, 1 508, se torna un año especial, ya que de hecho habrá que agregar 365 días para alcanzarlo. Como el año trópico tiene una duración de 365. 2422 días y el año vago solamente de 365, existe una diferencia de 0. 2422 de día por año, por lo que se requerirán 1 508 años de 365 días


para igualar a 1 507 años de 365. 2422 días (365. 2422 x 1 507 = 365 x 1 508 = 550 420). Edmonson llama era solar al lapso de 1 508 años, que corresponde a 550 420 días (1 508 x 365 = 550 420 días). Se observa que, si se considera el xíhuitl de 365 días exactos, al cabo de 1 507 años se pierde todo un año: 365. 2422 x 1 507 = 550 420 días y 550 420 550 055 = 365 días. 23 Como se dijo, al perderse un año después de 1 507 años, el año siguiente se torna uno especial, ya que de hecho habrá que agregar 365 días para alcanzarlo y llegar al 1 508. También se añade que 29 x 52 = 1 508 y que 1 508 / 4 = 377, la duración del ciclo sinódico de Saturno. El registro de un cuarto de la era solar de Edmonson (137 592 x 4 = 550 368 días) se encuentra en la reconstrucción de un plato de ofrenda cerámica popoloca del valle de Tehuacán. Esto indica que los popolocas contabilizaban con el año de 364 días, de acuerdo con la siguiente igualdad: (1 512 x 364) + 52 = 1 507 x 365. 2422, siendo este último la duración exacta del año trópico. Otra igualdad puede ser (1 512 x 364) / 4 = 137 592, 24 en donde 1 512 se puede factorizar como 6 x 252, que equivale a seis periodos de Venus como Estrella de la Tarde de 252 días (ver figura V. 5, "Fragmento de plato ritual de la cultura popoloca del valle de Tehuacán que contiene el número 137 592"). El lapso de 1 507 años convertido en días es 550 420, tomando el año trópico en su duración exacta (1 507 x 365. 2422 = 550 420). La diferencia entre 550 420 y el del mismo ciclo solar al considerarse el año de 365 días 0 xíhuitl es de 365 días o un año (550 420 días - 550 055 días = 365 días; 550 420 días / 365 días = 1 508 años de 365 días; 550 055 días / 365 días = 1 507 años de 365 días. La diferencia entre 1 508 años y 1 507 años = 1 año de 365 días. Una vez más, en la diferencia se encuentra la unidad. Por otro lado, 1 507 días x 0. 2422 = 365 días, lo que confirma que conocían perfectamente la duración del año y la pérdida de días, por lo cual deberían hacer las correcciones pertinentes con objeto de no desfasar el calendario.

Acerca del bisiesto, fray Bernardino de S a h a g ú n dijo:

Figura V. 5. Fragmento de plato ritual de la cultura popoloca del valle de Tehuacán que contiene el número 137 592

Demás de esta cuenta tenían que de ocho en ocho años hacían un ayuno de pan y agua por espacio de ocho días, y hacían al cabo una fiesta donde hacían solemne areíto de diversos personajes, donde decían que descubrían ventura, o que la merecían, y llamábanla atamalqualiztli. Otra fiesta hacían de cuatro en cuatro años a honra del fuego, donde agujeraban las orejas a todos los niños y niñas, y la llamaban pillanahualiztli, y en esta fiesta es verosímil y hay conjeturas que hacían su bisiesto, contando con seis de nemontemi. 25

A los cinco días restantes del año, que son los cuatro últimos de enero y el primero de febrero, llamaban nemontemi, que quiere decir días baldíos, y teníanlos por aciagos y de mala fortuna: hay conjetura que cuando agujeraban las orejas a los niños y a las niñas, que era de cuatro en cuatro años, echaban seis de nemontemi, y que es lo misEl sistema de numeración

mo del bisiesto que nosotros hacemos de

ngiwa de Tehuacán viejo

cuatro en cuatro años. 26

Fernando Ximello Olguín Figura 31, página 54

Para ver la coincidencia de ciclos planet a r i o s y el tonalpohualli c o n el 1 508 se t o m a n los g u a r i s m o s en forma absoluta en los siguientes cálculos: 1 508 / 52 = 29 m e -

25

dios siglos m e s o a m e r i c a n o s ; 1 508 = 4 (13 x

En el cuadro se observa que 1 508 / 29 =

29) = 4 x 377. V e m o s q u e 1508 está en la

52, igualdad que n o s remite al ciclo del 52 y

serie del 29, al igual que el 377 (1 508 / 377 =

del 29. El ciclo sinódico de Saturno es de

4 y 377 / 29 = 13) (véase el c u a d r o del n ú m e -

377 días. El ajuste se podía h a c e r m e d i a n t e

ro 1 508, el g r a n ciclo solar).

ese planeta (377 = 29 x 13).

Fray Bernardino de Sahagún, Historia general de las cosas de la Nueva España, Editorial Porrúa, México, 1992, p. 260. 26 Ibid., p. 94.


Análisis del lapso de 1 508 años, el gran ciclo solar de Edmonson Número 1 508x10 = 15 080 1 508 15 080

Tonalpohualli, 260 Sinódico, 116 Medio año de eclipses, 173. 33

sol Mercurio Sol


15 080 15 080 15 080 15 080

Medio siqlo, 52 Siglo, 104 Sinódico, 377 Sinódico, 585 / 9

Sol Sol Saturno Venus

290 145 40 232

Ciclo

Astro

Factorizaciones 58 = 2 X 29 Un tlalpilli 87 = 3 X 29 290 = 2 X 5 X 29 145 = 5 x 2 9 40= 5x2 3 232 = 2a x 29


115

La cruz de Malta o cruz de Quetzalcóatl No hay que confundir la cruz de San Andrés con la cruz de Quetzalcóatl, cuyas bandas perpendiculares simbolizan el paso del Sol por el cénit y cuyo simbolismo es claro: es el momento en que se inicia la cuenta calendárica del tonalpohualli, cuando el Sol en su segundo paso cenital anual en la latitud de 15° norte lanza sus rayos perpendicularmente sobre la superficie horizontal de la Tierra, fecundándola. El ángulo entre sus brazos es de 90°; de esta manera, midiendo el ángulo entre los brazos, sabremos si el glifo en forma de cruz está hablando de un paso cenital (la cruz de Quetzalcóatl, 90°) o del año trópico (la cruz de San Andrés, 47°, 52°, 104°). (Ver figura V. 6, "La cruz de Quetzalcóatl en el costado de Tlahuizcalpantecutli". )

La cruz de Quetzalcóatl es el símbolo perfecto de la dualidad y de los opuestos que son necesarios para la vida. En un conjunto de cruces, una es el complemento de otra forma (la del juego de pelota en forma de H), a la que da significación, de la misma manera que la vida da significación a la muerte, lo blanco a lo negro, lo caliente a lo frío, la luz a la oscuridad. Mientras que la cruz de Quetzalcóatl significa la vida y el movimiento, el juego de pelota, al que le da significación, es la muerte y la quietud. Para que exista vida o movimiento debe haber una diferencia entre los dos opuestos que intervienen en el proceso de creación. Es condición de vida que exista la muerte; en otras palabras, la vida da significación a la muerte y viceversa. El continuo vital no se acaba sino que simplemente se transforma. Al tomar varias cruces de Quezalcóatl

Figura V. 6. La cruz de Quetzalcóatl en el costado de Tlahuizcalpantecutli Define en negativo el juego de pelota, dándole significación Es la entrada al inframundo

Monumento 9 de Chalcatzingo

Trópico de Capricornio

Cruz de Quetzalcóalt Juego de pelota Cruz de Quetzalcóalt Juego de pelota Cruz de Quetzalcóall

Norte

Trópico de Cáncer El caminante celeste Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa Gobierno del Estado de Puebla, 1992 Figura 13a, página 37

116


para llenar todo el espacio, al acomodarlas de la manera como se presentan en el costado de la escultura de Tlahuizcalpantecutli (que se encuentra en el Landesmuseum de Stuttgart y allí es conocida como Xólotl), se tomarán como opuestos: por un lado, como positivo, las tres cruces de Quetzalcóatl que se encuentran allí esgrafiadas, y, por otro, como negativo, las formas de juego de pelota, que se definen mediante el contorno de esas mismas cruces significando que el paso cenital produce vida, mientras que el juego de pelota produce muerte. Tomando el negativo y el positivo quedará lleno todo el espacio. La planta de las cuatro escaleras de El Castillo de Chichén Itzá forma una de estas cruces de Quetzalcóatl, consagrando este símbolo. La cruz de Quetzalcóatl simboliza los pasos cenitales, el momento de fecundación de la Tierra, el día del paso cenital del Sol por Copan o Izapa, ambos establecimientos situados a una latitud aproximada de 15° N. Una vez fecundada la Tierra, los 260 días que pasa el Sol por debajo de esta latitud son los días de gestación; la Tierra dará a luz al siguiente año, el día del primer paso cenital del Sol en su carrera ascendente hacia el Trópico de Cáncer. En la Fiesta de la Cucaña representada en el Códice borbónico - q u e se celebraba durante el segundo paso cenital del a ñ o - se festejaba el principio de la vida, el momento de la fecundación, pero al mismo tiempo significaba la muerte, cuando la semilla se entierra en lo profundo de la superficie terrestre, donde tendrá lugar una transformación, al igual que el cadáver que se entierra para liberar al espíritu. Entonces éste, ya sin su cobertura terrena, podrá ser transportado hasta el cielo de los dioses, el cielo superior, a través de un ducto, tal como es el tronco del árbol de la vida o el

Figura V. 7. La serpiente vomita al guerrero en el cielo superior Bajorrelieve maya de Yaxchilán, Chiapas

vientre de la Serpiente Emplumada. Este ducto puede ser visto como el vientre de la serpiente de visión de los bajorrelieves mayas. El segundo paso cenital del año significa la fecundación de la Tierra, mientras que el primero es el tiempo de fructificación. El eterno ciclo de la resurrección después de la muerte y la renovación de la naturaleza (ver figura V. 7, "La serpiente vomita al guerrero en el cielo superior").

The Blood of the Kings "Dinasty and Ritual in Maya Art" Linda Scheie y Mary Ellen Miller George Braziller Figura 65a, página 190


117

VI. Consideraciones generales acerca del sistema de diseño y decodificación de las obras tridimensionales del arte mesoamericano

Cánones del sistema de diseño mesoamericano ntes de iniciar el proceso de análisis de las obras mesoamericanas se deberán conocer los procedimientos (cánones) del sistema de diseño empleados en su creación que hasta el momento arroja la investigación. Aunque ya se han mencionado parcialmente en capítulos anteriores, es importante tenerlos en mente al hacer el análisis de las obras. Números volumétricos (NV) de significado astronómico (NSA) O calendárico (NSC). Para que un número volumétrico adquiera significado debe estar necesariamente asociado con el ciclo del tonalpohualli, un ciclo astronómico (NSA) O un ciclo calendárico (NSC), y ser coincidente con uno o más ciclos, o con sus múltiplos o submúltiplos. Una vez obtenida el área o volumen de la pieza (NV) y de cada uno de sus cuerpos (en el caso de una pirámide), y corroborados los resultados, deberá revisarse si el NV corresponde a alguno de aquellos NSA o NSC, factores de los ciclos astronómicos o calendáricos que los consagran. Cuando se presenta un NV se debe investigar si se trata de un NSA, buscando cuáles pueden ser los factores que estén contenidos en aquél. El NV tiene su definición aritmética como el mínimo común múltiplo (MCM) de varios ciclos, por lo que la tarea consiste en aplicar los métodos aritméticos correspondientes hasta encontrar los factores que serán específicamente los que corresponden a los NSA y a los NSC. Por lo general el ensayo de dividir sucesivamente el NV entre los sucesivos NSA o NSC permite desmadejar rápidamente sus asociaciones de multiplicidad con cada uno de ellos e identificar qué función tiene cada número involucrado.

Cánones del sistema de diseño del arte mesoamericano •

La unidad de medida o proporción utilizada en el diseño de una pieza deberá estar consignada en la obra misma. Dicha unidad se puede encontrar:

•

• a) En la diferencia del largo de los lados de los rectángulos que puedan ser envolventes de las obras bidimensionales. b) En la diferencia del largo de los lados de las caras de los prismas rectos rectángulos (PRR en adelante) envolventes de las obras tridimensionales. c) En el descuadre de los trapecios envolventes de las obras que tengan esa forma. d) En el lomo o arista del chumeng envolvente de las obras tridimensionales en forma de chutong. e) En el iris del ojo en algunas cabezas olmecas. f) En el ancho del marco de las obras bidimensionales que se encuentren enmarcadas. •

•

•

•

•

•

Las plantas de las pirámides deberán ser necesariamente rectángulos Σ para dejar constancia de la unidad de medi da (U, u) en la diferencia del largo de los lados. La forma de la envolvente virtual de las pirámides deberá ser necesariamente un chumeng, para dejar en su lomo o arista la unidad de medida. Los volúmenes de las envolventes de las pirámides o números volumétricos (NV) deberán tener necesariamente como múltiplos o submúltiplos los números de significado astronómico o calendárico. Las alturas de los cuerpos deberán tener como factores NSA o NSC, que podrán ser números enteros o fraccionarios. Los NV de los cuerpos de las pirámides solares deberán poseer como factor el 260, los NSA o los NSC. La suma total de los NV de los cuerpos

•

de las pirámides solares deberá tener como factores 260, NSA o NSC. Dado que cada uno de los cuerpos tiene que tener necesariamente el 260 como factor, su suma también deberá tenerlo. La planta de las pirámides podrá ser obtenida a partir del círculo por medio de la geometría dinámica. La divina proporción, el número de oro o φ (1. 618... ) fue utilizado en Mesoamérica con valor de 1. 6 a 1. 625 para dimensionar algunas obras de arte. El valor de π en Mesoamérica se encontraba entre 3 y 3. 25.

P o r lo general el ensayo de dividir sucesivamente el NV entre los sucesivos NSA O NSC permite d e s m a d e j a r rápidamente sus asociaciones de multiplicidad con cada uno de ellos e identificar qué función tiene cada número involucrado.

Geometría de las pirámides El prisma recto rectángulo (PRR) como celdaunidad. Las culturas mesoamericanas crearon muchas de sus expresiones artísticas tridimensionales a partir de un PRR, que como celda-unidad puede llenar todo el espacio y representa ciclos astronómicos o calendárteos. Estos ciclos fueron concebidos como figuras geométricas de volumen (tridimensionales), entre ellas los PRR compuestos por unidades espaciales. De éstas derivan otras, pero con características propias. Tal es el caso de las llamadas pirámides mexicanas, cuyos cuerpos provienen de un prisma recto rectángulo que tiene por base un rectángulo Σ. El PRR se puede descom poner en dos pirámides y cuatro chumenes, pero no serán los cuerpos piramidales los que sean empleados como forma de las pirámides mexicanas, sino los chumenes. De los chumenes derivarán los chutones, 1 verdadera forma de los cuerpos de las pirámides mexicanas. Se entiende por geometría dinámica aquella en donde una forma geométrica procede o se origina de una anterior y que puede a su vez generar otra. Así, en esta geometría se genera el trazo de las pirámides de México. De acuerdo con la geometría dinámica, los mesoamericanos descomponían los PRR para obtener las figuras volumétricas

1

Ver las definiciones de chumeng y de chutong en "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas".

vi. Consideraciones generales acerca del sistema de diseño...

119

que empleaban en los cuerpos de sus pirámides (ver figura X. 5, "Descomposición de un prisma recto rector cuya base es un rectángulo Σ" en dos pirámides y cuatro chumenes). Son cuatro rectángulos imaginarios o virtuales que forman las caras del PRR envolvente virtual de una pirámide. En éstos, en el plano vertical, se proyecta la pirámide, con la condición de que las diagonales de los rectángulos coincidan con los ángulos de los taludes del primer cuerpo. En los capítulos X y XI se obtendrán y analizarán los PRR envolventes virtuales de la Pirámide del Sol en Teotihuacan y de El Castillo en Chichén Itzá, que son determinantes de la geometría de esos monumentos. Al estar el chumeng -envolvente virtual del primer cuerpo de la pirámide- contenido como fragmento de un PRR, que puede ser un NSA o NSC, se puede decir que el PRR conjuntaba y materializaba en una unidad espacial (el propio PRR) lapsos de tiempo, ciclos astronómicos o calendárteos. Las unidades volumétricas de estos cuerpos pueden ser transformadas en unidades temporales que correspondan a ciclos expresados mediante un NSA o NSC. Fue la numerología la disciplina encargada de asociar cada número con un periodo astronómico o cíclico de la naturaleza. Fueron la geometría y la matemática las ciencias encargadas de determinar qué figuras geométricas y qué números deberían ser empleados para proporcionar las figuras que, al igual que los números en ellas contenidos, deberían simbolizar conceptos espacio-temporales. Dado que siempre dejaron consignada la unidad de medida o proporción empleada en cada obra es que se puede llegar a desentrañar su significado. Por lo anterior se puede decir que las culturas mesoamericanas en general crearon muchas de sus expresiones artísticas volumétricas a partir de un PRR, que representa lapsos de ciclos astronómicos. De esta manera, el concepto mesoamericano del tiempo pudo ser manejado y expresado a través de formas geométricas cargadas de simbolismo.


Sistema general de trazo de pirámides en Mesoamérica El inicio de todos los cuerpos, de acuerdo con la geometría dinámica, está en el círculo, figura plana que corresponde a la proyección de la esfera en el plano y de la que derivan otras figuras bidimensionales. Obtención de lα base de una pirámide cualquiera. A lo largo de este trabajo se llegó a la conclusión de que para indicar la unidad de medida con la que se trazaba una pirámide y poder calcular sus dimensiones solamente una base en forma de rectángulo Σ podría servir para señalar o dejar constancia de la unidad de medida empleada en el diseño. Esto se logra mediante la diferencia del largo de sus lados. En esa diferencia se encuentra la unidad. Se presenta como ejemplo la obtención de la base de la Pirámide del Sol (ver figura II. 1, "La generación de la base de la Pirámide del Sol [rectángulos Σ 26 ti x 27 u] a partir del círculo"). Esta base es la misma, tanto para el primer cuerpo de la pirámide como para el PRR, su envolvente virtual. En las pirámides estudiadas la base siempre ha sido un rectángulo Σ, que, por defi nición, tiene dos lados mayores en una unidad: la base de la Pirámide del Sol en unidades a la manera indígena mide 26 u x 27 u; y la base de El Castillo, 182 u x 183 u, como se demuestra en los capítulos correspondientes (ver la figura II. 2, "La generación de los rectángulos Σ a partir del círculo"). Las medidas o número de unidades en estas bases se determinan de acuerdo con los números que se necesiten incorporar como factores ai NV de la envolvente virtual de la obra. En el caso de la base de la Pirámide del Sol el 26 es factor del medio siglo (52), del siglo mesoamericano (104), de la era cosmogónica (676), de la era maya (1 872 000) y del año del Sol del inframundo (364), lo que comprueba la naturaleza solar de la pirámide. Por otro lado, el 26 tiene como factor el 13, con lo que se garantiza la coincidencia con los ciclos planetarios que también lo tengan. Como en todos

los NV de las pirámides, debe estar comprendido el 260 del tonalpohualli como factor directo o indirecto, de manera que fue conveniente tener el 26 en la base por ser factor del 260; asimismo fue conveniente tenerlo para la coincidencia con los números astronómicos del sistema solar que tienen como factor el 13 (13x2 = 26; 26 x 10 = 260). El número 27 en la base asegura la presencia de números lunares como factores del NV final, así como la del 9: (9 x 3 = 27), que lo relaciona con los ciclos de Mercurio y de la Luna. Una vez seleccionado el número de unidades que tendrán los lados del rectángulo Σ -que es la forma de la base, 26 u y 27 u en este caso-, se procede a dibujarlo. A partir de los vértices se trazan líneas de 45°. Se dibuja otra recta paralela a los lados mayores que una los puntos de cruce. Esta línea será la proyección a la base del lomo del chumeng, y en ésta queda consignada la unidad de medida, u (i j = u) (ver figura X. 3, "El prisma recto rectángulo... ", envolvente virtual de la Pirámide del Sol en Teotihuacan). Tomando el centro del rectángulo Σ se traza un círculo que tenga por radio la semidiagonal del rectángulo y que pase por sus cuatro vértices (ver figura II. 1). Se trazan por el centro del círculo los diámetros vertical y horizontal. Se verifica que la unidad u, determinada por la diferencia de las medidas de los lados del rectángulo, quepa un número exacto de veces en el espacio que queda entre los lados verticales y horizontales del rectángulo y los extremos del diámetro del círculo. De esta manera se observa que es el círculo la figura que contiene al rectángulo, que lo determina y proporciona el número de unidades en las que pueda quedar dividido el diámetro. Si se procediera de manera inversa, quedaría demostrado que al aplicar la geometría dinámica se observa que ese rectángulo Σ procede del círculo, como puede verificarse en la figura II. 2, donde aparecen los distintos trazos de bases de las pirámides estudiadas. La elección de las medidas de los lados de la base del primer cuerpo de la pirámide (del rectángulo Σ, que es la forma de la

base) se hace tomando en cuenta que estas medidas serán las que determinen el cálculo del número volumétrico (NV) o volumen del PRR envolvente virtual del monumento, cálculo que deberá arrojar números con significado astronómico (NSA), con significado calendárico (NSC) o con significado geográfico (NSG) que sacralicen el monumento. Obtención del PRR, envolvente virtual de la obra. Una vez determinadas las medidas de la base se procede a encontrar las del PRR, que será la envolvente virtual del monumento. Para ello siempre se deberá trabajar con el lado menor de la base de la pirámide, para obtener el levantamiento correcto del PRR, pues si se trabaja con el lado mayor de la base se obtendrá un falso PRR (ver la solapa I de este libro, "Un prisma recto rectángulo que contiene un monumento que se proyecta al cielo"). Para comenzar a encontrar tanto las medidas de la base como de la altura del PRR se deberá consultar lo que dicen los estudiosos del monumento respecto a la altura del primer cuerpo y respecto al ángulo de inclinación de su talud, que es determinante de la geometría de la pirámide. Con los datos obtenidos se procede a dibujar una de las caras del PRR, cuya base es la misma que la de la pirámide, pero trabajando con la cara del prisma en lado menor, como ya se dijo. La altura del PRR se encuentra gráficamente colocando el ángulo que se crea adecuado en uno y otro extremos de la base, y prolongándolo hasta que sus lados corten dos líneas rectas perpendiculares a la base que previamente se habrán colocado en los extremos. En los puntos de corte se encontrará la altura del PRR. Trigonométricamente se obtiene conociendo la base y la tangente del ángulo del talud del primer cuerpo (ver figura X. 3, "El prisma recto rectángulo; retícula o enrejado para su trazo", y figura X. 4, "Caras del prisma recto rectángulo, rector del trazo por talud, envolvente virtual de la Pirámide del Sol). Conocida la altura se tienen ya las tres dimensiones del PRR y se procede a calcular su NV. Si éste fuese múltiplo del 2602 y si se

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Por lo general habrá que multiplicar por 20 (número base de sus cuentas) para encontrar la coincidencia con el tonalpohualli.


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pudiese descomponer en factores que fuesen NSA o NSC, se habrá encontrado el PRR correcto y por ende la pendiente exacta de los taludes de las caras del monumento. De no ser así, se buscará otra pendiente (otro ángulo) hasta encontrar las condiciones que señalan los cánones del diseño mesoamericano. Para encontrar el volumen correcto se puede variar la altura, pero en todos los ejercicios efectuados durante esta investigación se obtuvieron mejores resultados variando el ángulo del talud y conservando una altura que fuese múltiplo o submúltiplo de algún NSA o NSC. Habiendo encontrado el PRR envolvente virtual exacto, se procede a encontrar las formas y dimensiones de los cuerpos que compongan el monumento. Trazo del enrejado o retícula rectora. El trazo del primer cuerpo de la pirámide se inicia con una retícula -si así puede llamárselecuyo lado horizontal se divide mediante líneas paralelas en el mismo número de unidades que tiene el lado menor de la base del PRR, en este caso de la Pirámide del Sol de 26 u (ver figuras X. 3 y X. 4). Las paralelas se trazan por cada unidad y en forma perpendicular a la base. En los extremos se coloca el ángulo de la pendiente de los taludes que ya ha sido encontrado (42. 7°), de la manera como se indicó en párrafos anteriores. Se prolongan los lados de los ángulos hasta que corten la cuarta paralela, del extremo hacia el centro. Al cortar la cuarta paralela vertical se habrá llegado a la altura del primer cuerpo. De la cuarta a la quinta paralela se encuentra el ancho del pasillo. Para el trazo del segundo cuerpo se procede de igual manera, pero ahora colocando el vértice del ángulo (que resultó de 50. 5°) después del pasillo. Se prolongan los lados de los ángulos hasta que corten las primeras tres paralelas después de los pasillos. Al cortar la última se habrá llegado a la altura del segundo cuerpo. De la novena a la décima paralela se encuentra el ancho del pasillo. Se repite la operación para el tercer cuerpo, pero allí no habrá pasillo sino un tablero que soporta el cuarto cuerpo (o

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prolongación del tercero), para finalmente llegar a la última plataforma, en donde se encuentra el sagrario. Las dimensiones del sagrario serán tales que su NV señale, o sea, múltiplo o submúltiplo de la unidad de medida que rige el monumento. Teniendo ya las dimensiones de la base mayor y de la base menor de cada cuerpo, así como su altura, se procede a encontrar sus volúmenes, tomando en consideración que la forma tridimensional de cada cuerpo no es la de una pirámide, sino la de un chutong. Se procede a calcular su volumen de acuerdo con la fórmula correspondiente (ver "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas"). Los NV obtenidos serán múltiplos directos o indirectos del tonalpohualli o sus factores NSA o NSC; de no ser así habrá que revisar el procedimiento. Se observa que la altura de los cuerpos son NSA, NSC o sus factores. Muchas veces los NV no son exactos debido al empleo de números fraccionarios, lo que lleva a pensar que los matemáticos mesoamericanos sí empleaban decimales en sus cálculos, aunque tal vez convertidos a números enteros mediante su multiplicación por 10, 100 o 1 000. También se puede pensar, por la frecuencia en que se encuentran los números fraccionarios multiplicados por 10, 100 o 1 000, que empleaban en sus cálculos un sistema de base 10. Esto no necesariamente tenía que ser así, ya que multiplicando por 20 (base de sus cuentas), 200 o 2 000 también se podían obtener números enteros. Lo importante no eran los números en sí, sino conservar las proporciones de las figuras geométricas para no alterar los resultados de los NV. Por lo general los pasillos tienen de ancho una unidad o un múltiplo o submúltiplo de ésta, pero no siempre es así: algunas veces en el pasillo de la fachada principal y en la posterior correspondiente se amplía el pasillo al cambiar la pendiente del cuerpo, como sucede en la Pirámide del Sol; esto se hizo con el doble propósito de tener un pasillo más amplio para colocar allí un ídolo o un altar, así como para obtener un NV que tuviese como factor el 260.

Para encontrar las dimensiones de los demás cuerpos se procede de igual manera; sin embargo, algunas veces para obtener los NV correctos será necesario variar la pendiente de los mismos y no modificar la altura de los cuerpos. En el caso de la Pirámide del Sol es posible que a la mitad del tercer cuerpo se haya agregado un tablero, con el doble propósito de marcar la unidad principal que rige su diseño y para indicar en su NV una atadura de años, así como aparece un símbolo parecido a una A en los códices mixtéeos simbolizando una atadura de años o amarre de ciclos. Usualmente es en el sagrario donde queda consignada la unidad de medida o proporción (u, u) que rige todo el monumento. Ésta es una elegante manera de dejar constancia y señalar la consagración de esa unidad en particular y de los NV correspondientes en el monumento que rige. La sabiduría que respecto a la aritmética, geometría y astronomía demuestran los NV de las envolventes virtuales de las esculturas mesoamericanas queda manifiesta en su análisis; de ahí su importancia. La clasificación de los NV de algunas esculturas no monumentales se hizo basada en números que representan los ciclos astronómicos y el tonalpohualli, factores contenidos en los NV que representan indistintamente días, años, siglos, etcétera. Ellos definían el prisma recto rectángulo del que deriva el prisma truncado en forma de artesa (chumeng3), envolvente virtual de la pieza. La decodificación de las piezas consideró la iconografía, observando desde luego el tipo de piedra, color, tamaño, posición, cantidad de símbolos y otros factores del objeto de estudio. Al respecto los artistas indígenas fueron en extremo perfeccionistas, dado el carácter de códice matemático-geométricoastronómico que se manifiesta a quien sabe leer sus expresiones artísticas.

Determinación de la forma de la envolvente virtual de la obra Verdadera forma de las pirámides. Aunque aparentemente en las pirámides de Teoti-

huacan se utilizaron secciones de pirámides truncadas como envolventes virtuales de esos monumentos, la investigación señala que los volúmenes de los cuerpos que las componen no son de secciones de pirámides, sino de secciones de prismas truncados en forma de artesa o chutong, como se demuestra en el capítulo correspondiente (ver figura X. 5). Algunas veces el cono truncado fue empleado como envolvente de un monumento, como en el caso de la pirámide de Cuicuilco, entre otras de base circular. La forma y proporciones de una pieza de pequeño formato pueden ser determinadas directamente en ésta o bien en imágenes fotográficas. En este último caso existen requerimientos técnicos mínimos que deben satisfacerse a fin de obtener proporciones confiables, como son, entre otros muchos, enfocar la lente en el centro de la pieza y de manera perpendicular a su plano vertical, para que el objeto se deforme lo menos posible. En ningún caso se deberán fotografiar los objetos de 3/4 de perfil o con algún ángulo que se pueda considerar más artístico. Imaginemos que la pieza está contenida en una caja de cristal en forma de PRR. Esta caja deberá fotografiarse de frente, de perfil (las dos caras), de espalda, a ojo de pájaro y a 180° de la anterior, es decir, que por cada pieza deberán tomarse seis fotografías. Las piezas de gran formato y los monumentos se fotografiarán con lentes especiales que corrijan las deformaciones. Es necesario señalar que los basamentos y pirámides no son susceptibles de análisis geométrico y de proporción a partir de fotografías. Dado su tamaño y volumen, prácticamente no es posible hacer tomas fotográficas en las que se satisfagan los lincamientos necesarios para piezas de pequeño, medio o gran formato debido al alineamiento colineal con el eje central vertical y al centro de la altura del monumento, la nivelación y centrado de la imagen, y la distancia entre la cámara y el cuerpo para evitar la distorsión angular, que es inevitable dada la perspectiva que provoca un gran volumen si es de forma piramidal. Cuando en el análisis de una pieza de pequeño formato se emplee una fotografía:

Los artistas indígenas fueron e•n extremo perfeccionistas, dado ei carácter de códice maternático-geométrico-astronómico que se manifiesta a quien sabe leer sus expresiones artísticas.

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Ver chumeng y chutong en "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas".


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* De las alteraciones o deterioros de la forma por causas naturales no se salva prácticamente ningún material, sea piedra (de cualquiera de sus tipos), madera, cerámica, hueso, etcétera; sea en forma de contracción, degradación físico-química, fisuramiento o agrietamiento, intemperie mo, estallamiento, erosión. Sin embargo, la cerámica, el hueso y la piedra son tal vez los materiales que conservan mejor su forma, salvo cuando son sometidos a cargas o impactos directos. Por otra parte, en el caso de los basamentos piramidales, además del deterioro de sus materiales constitutivos, han estado expuestos a intervenciones de restauración poco exitosas, asentamientos del subsuelo, desplazamientos de laderas, erosión, colapsos, saqueos, etcétera, todo lo cual ha distorsionado progresivamente su forma original. Será necesario un equipo especializado e interdisciplinario para poder realizar medidas de conservación y restauración.

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1. Se deberá determinar cuál fue la unidad de medida o proporción (u, u) empleada en el diseño de la pieza (ver cap. II, subcapítulo "Sobre la unidad de medida"). 2. Una vez conocida la unidad (U, u) se acotarán con ella las tres caras del prisma recto rector envolvente virtual de la pieza (la caja de cristal mencionada). 3. Se determinarán cuáles son los rectángulos rectores empleados en las proporciones de la pieza; cuál es su altura H, su ancho w y su profundidad L. 4. Se obtendrá el volumen (u3, u3) de la pieza en unidades cúbicas, o la manera indígena, mediante la multiplicación de las tres dimensiones dadas: V = W x H x L. 5. Se considerará el NV obtenido y se revisarán sus relaciones de multiplicidad respecto a los NSA y a los NSC. Es posible que el proceso no resulte satisfactorio en alguna de sus etapas en el primer intento y que se deban realizar nuevos ensayos, hasta obtener resultados apegados al cumplimiento total de los principios de diseño (cánones) y proporcionamiento de la pieza. La congruencia del proceso con los resultados reside en el cumplimiento de los cánones de diseño mesoamericano mencionados en este capítulo. No obstante, algunas veces se puede encontrar una pequeña diferencia entre las medidas dadas por los diversos investigadores y las que harían congruente el proceso; en ese caso se darán por buenas estas últimas, siempre y cuando estén dentro de los parámetros de las medidas propuestas por los arqueólogos y estudiosos. Para llevar a cabo un análisis geométrico adecuado, además del cumplimiento de dichos cánones, será necesario tener en cuenta que para la medición de una pieza primeramente se deberá encontrar en dónde dejaron constancia de la unidad de medida o proporción (U, u) y con ella proceder a medirla. También habrá que considerar el estado físico de la pieza, ya que puede presentar alteraciones en su forma por roturas, erosiones o desprendimientos, que pueden llevar a datos y resultados in-


congruentes, pero susceptibles de ser corregidos satisfactoriamente con algún ajuste menor en la dimensión de la cara afectada. En este sentido es importante recordar que las obras elaboradas con piedra, por ejemplo estelas o esculturas, pueden presentar irregularidades de forma dadas las dificultades de esculpir dicho material con medidas exactas; pero éste no es un caso frecuente, dado el espíritu perfeccionista que caracterizaba al artista indígena. Muchas veces lo que se ha considerado como una imperfección puede ser un voluntario descuadre de la envolvente de la pieza, donde precisamente queda consignada la unidad (u, u). A las dificultades del trabajo escultórico sobre materiales pétreos o al pictórico sobre muros se debe agregar el deterioro accidental o natural que las piezas arqueológicas hayan sufrido a lo largo de los siglos. 4 Por todo esto, considerar algún ajuste menor de las dimensiones de la pieza no debe ser una licencia arbitraria que se tome para obtener resultados convenientes para el investigador, sino un ensayo justificado en el análisis de la pieza. Siempre debe realizarse una revisión completa del proceso que incluya las tareas de medición, de determinación o conversión de dimensiones a unidades a la manera indígena (u, u); de cálculos para obtener las áreas o volúmenes (NV) de la pieza o de los diferentes cuerpos que la conformen, como en el caso de las pirámides; y de determinación de las relaciones numérico-astronómicas de las áreas o volúmenes calculados y el tonalpohualli.

Obtención de números de significado astronómico o de significado calendárico relativos a los números volumétricos Para que un NV adquiera significado debe estar necesariamente asociado al ciclo del tonalpohualli, a un ciclo astronómico (NSA), a un ciclo calendárico (NSC) o a un espacio geográfico (NSG).

Una vez obtenida el área o volumen de la pieza (y de cada uno de sus cuerpos, en el caso de una pirámide) y corroborados los resultados, debe revisarse si el NV corresponde o es múltiplo o submúltiplo de alguno de los NSA o NSC, factores de los ciclos astronómicos o calendárteos que consagran dichos números. Cuando se trata de un NV debe investigarse si se trata de un NSA, de un NSC o de un NSG, buscando cuáles pueden ser los factores que estén contenidos en él y que lo determinan. El NV tiene su definición aritmética como el mínimo común múltiplo (MCM) de varios ciclos, por lo que la tarea consiste en aplicar los métodos aritméticos correspondientes hasta encontrar los factores que serán específicamente los que correspondan a los NSA, a los NSC o a los NSG. Por lo general el ensayo de dividir sucesivamente el NV entre los sucesivos NSA, NSC o NSG permite desmadejar rápidamente sus asociaciones de multiplicidad con cada uno de ellos e identificar cuáles factores están involucrados en cada NV. Ejemplos de revisión de NV; estudio de NSA o de NSC en una pieza, así como los procedimientos sobresalientes del análisis geométrico y aritmético. Se presenta aquí como muestra la revisión de los NV que se puede hacer de los números obtenidos como resultado del análisis de la cabeza colosal olmeca número 3 de San Lorenzo. El siguiente ejemplo puede servir de modelo para todos los análisis de piezas tridimensionales que puedan estar contenidas en un PRR (envolvente virtual). Las dimensiones que se encontraron a partir del análisis geométrico-aritmético que se presenta en el capítulo viH, "Las cabezas colosales de la cultura olmeca", arroja las siguientes medidas, ya convertidas a unidades a la manera indígena U: altura, H = 15 U; ancho, w = 13 U; largo, L = 8 u. Siendo el volumen del prisma recto rectángulo igual al producto de la multiplicación de la altura por el ancho y el largo, en este caso v = H x W x L = 1 5 U x l 3 U x 8 u = V = 1 560 U3. 5

El NV 1 560 U3 es un NSA que, al dividirlo sucesivamente por los factores que arrojen como cociente un número exacto, se puede observar que corresponde a dos ciclos sinódicos de Marte (780 días x 2 = 1 560 días) y a nueve ciclos de medios años de eclipses (173. 33 días x 9 = 1 560 días). También tiene como factor el imprescindible 260: (6 x 260 días = 1 560 días), el siglo mesoamericano de 104 años (15 x 104 = 1 560) y el medio siglo de 52 años (30 x 52 = 1 560). (Ver cuadro del número 1 560. ) Respecto a este tipo de números conviene preguntarse: ¿cómo se pueden jerarquizar los números encontrados como factores del 1 560? De primera importancia son los NSA, cuyos múltiplos señalan directamente uno o más ciclos celestes, y el 260, cuya importancia augural y ritual es manifiesta y que debe estar presente como factor, múltiplo o submúltiplo. Por otro lado, algunos de los números encontrados se pueden clasificar como NSA o NSC, tales como 1 560, 780, 173. 3, que se refieren a ciclos dados en días. Pero por lo general el 104, 52 y 312 están considerados en años, y no por eso deben ser descartados, ya que representan ciclos solares dentro del sistema calendárico solar. La expresión de ciclos dados en días o en años es en ambos casos válida, pues, si se quiere, los años se pueden transformar en días y luego buscar la correspondencia adecuada. Por ejemplo, en el caso anterior, el 52, 104 y 312 representan ciclos solares en años, pero se transforman en ciclos en días al multiplicarlos por alguno de los valores que se le pueden asignar al año. Así, al tomar el ciclo solar de 360 días, se tiene 360 x 52 = 18 720 días, que corresponde a la centésima parte de la era maya en días. El 18 720 es divisible exactamente entre 260 (18 720 / 260 = 72), por lo que se habrá logrado su coincidencia con el tonalpohualli. Ahora se considera el año de 364 días: 52 x 364 = 18 928, que no es divisible exactamente entre el 260 del tonalpohualli, por lo que el 364 no puede considerarse como factor multiplicador en este caso. Consideremos ahora el año de 365 días: 52 x 365 = 18 980 días, que sí es

Muchas veces lo que se ha consider a d o como una imperfección puede ser un voluntario descuadre de la envolvente de la pieza, donde precisamente queda consignada la unidad (U, u).

5

Ejemplo de estudio desarrollado por la autora.


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divisible exactamente entre 260, lo que indica que se ha llegado a una coincidencia con el 260. Ahora se procede de igual manera con el 104: 104 x 360 = 37 440; 37 440 / 144 = 260; 104 x 364 - 37 856, que no es divisible exactamente entre 260, por lo que el año no puede, en este caso, considerarse de 364 días. El 1 560 se obtiene de dividir la era maya entre 1 200: 1 872 000 / 1 200 = 1 560; 1 560 = 780 x 2, donde 780 es un NSA correspondiente al ciclo sinódico de Marte o a tres tonalpohuallis; el 2 es un número funcional (NF), simple multiplicador. Por otro lado, 1 560 = 260 x 6, es decir, seis ciclos del tonalpohualli. Considerado en años: 1 560 = 104 x 15; 1 560 = 52 x 30. Por lo anterior se puede observar que no importa si el análisis se hace en días o en años; el resultado final es que habrá congruencia entre el NV y el 260 o con otros números de los ciclos astronómicos con los que se quiera comparar: días con días y años con años, simplemente ciclos con ciclos. Algunos números, aun cuando sean de la numerología astronómica mesoamericana, como por ejemplo el 11, pueden no tener mayor relevancia astronómica al ser, en ciertos casos, solamente números funcionales de enlace de los números previamente encontrados. Finalmente, en algunas ocasiones mediante la asociación del NV con un NSA, con un NSC o bien asociaciones adicionales, deberá obtenerse la coincidencia de ciclos al multiplicar el NV por 20 (base del sistema numérico). Éste es un ejercicio válido para un sistema de proporciones que permite distinguir la asociación directa con otros NSA o NSC. No obstante, la pertinencia de esta revisión se aplica sólo en algunos casos en los que las asociaciones prevalecientes no sean directas en los análisis iniciales, o bien cuando permitan resaltar asociaciones de importancia mayor, generalmente con el tonalpohualli. La importancia del número. Su importancia cuando esté presente en la obra radica en el carácter astronómico que la sacraliza y en

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los ciclos de mayor o menor jerarquía que señala. Para fines de decodificación de la obra que lo contiene se debe tener en mente que siempre que se satisfagan los cánones citados anteriormente se estará ante la consagración del número mismo, lograda a través de las proporciones asignadas a las obras de arte. Esos números tendrán significado astronómico o calendárico y reflejarán un orden temporal y celeste en las proporciones de las obras que los contengan. Los NV resultantes alcanzan una importancia mayor cuando son sacralizados, cuando son éstos el mínimo común múltiplo (MCM) de varios ciclos importantes, astronómicos o calendáricos, y siempre del tonalpohualli, y que además por sí mismos tengan significado astronómico o calendárico. El mejor ejemplo es el MCM 1 872 000, número que contiene, engrana o sincroniza una importante variedad de ciclos astronómicos y calendáricos, y alcanza un gran lub: la era maya de 1 872 000 días.

Ejemplo de estudio del NV, NSA y NSC de la cabeza colosal olmeca número 8 de San Lorenzo Análisis de la cabeza colosal número 8 de San Lorenzo (v = 10 920 u: i)

Al considerar el n ú m e r o 10 920 en días, los ciclos que se e n c o n t r a r o n son lunares en su mayoría: 10 920 x 20 = 218 400 = 260 x 840 = 780 x 280 = 583. 93 x 374 = 520 x 420. Al dividir 10 920 / 10 = 1 092, se e n c u e n t r a el NV del p r i m e r c u e r p o de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. NSA: 29. 51 (ciclo sinódico lunar); 173. 3 (medio a ñ o de eclipses); 780 (ciclo sinódico de Marte). NSC: 364 (año del inframundo). Ciclo del tonalpohualli: 260. Factores funcionales encontrados: 2, 10, 20. NSA: 27. 3, 104. NSC: 52, 104. Las asociaciones del 10 920 con los NSA y

1 2 5 4 J í 7 » f 10J1 l i 15 U U lí 17 3S lí »

NSC obtenidas en el análisis se refieren al ciclo sinódico y sidéreo lunar y sinódico de Marte. Calendáricamente, con el 1 040, 10 ciclos calendáricos de 104 años; con el 364, año del inframundo; y el 260 del tonalpohualli.

Altura H = 26 u

Esas asociaciones son demostrativas del

w = 20 u

c a r á c t e r a s t r o n ó m i c o del 10 920, q u e al

L = 21 U

multiplicarlo por 20 se vincula con el tonal-

V= 10 920 U

3

pohualli, el ciclo sinódico de Venus (583. 93) y el a ñ o de eclipses (346. 6 días), a d e m á s de m a n t e n e r las asociaciones previamente determinadas. Algunas otras asociaciones interesantes de este n ú m e r o que expresan las relaciones que suelen e n c o n t r a r s e en la numerología

Cuadro del número 10 920 Análisis del 10 920 considerado en días Número 10 10 10 10 10 10

Ciclo

920 920 920 920 920 920

Astro

Tonalpohualli, 260 Año del inframundo, 364 Sinódico, 780 Medio año de eclipses Sinódico, 29. 5135 Sidéreo, 27. 3

Número de ciclos 42 30 14 63 370 400

Sol Luna Júpiter 173. 33 Luna Luna

Factorizaciones 42 = 7 X 6 30 = 5 X 6 14 = 7 x 2 63 = 7 X 9 370= 1 0 x 3 7 400 = 20 x 20

Análisis del 10 920 considerado en años Número

Ciclo

Astro

Número

10 920

Siglo mesoamericano, 104 a ñ o s

Sol

de ciclos 105

10 920 10 920

Medio siglo mesoamericano, 52 Tlalpilli, 13 a ñ o s

Sol Sol

210 840

Factorizaciones 105 = lapso que p a s a el Sol arriba de 15° N 210 = 7 x 3 0 840 = 6 x 7 X 20


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Los datos confirman que la numerología astronómica mesoamericana permitia calcular grandes ciclos mediante números de relevante significado.

astronómica mesoamericana, aunque no todas necesariamente significativas, se muestran a continuación: Si el 10 920 se factoriza siendo un NSA, se tiene que 10 920 = (104 x 104) + 104 = 104 x 105. Al dividir 10 920 entre el φ mesoamericano en sus límites superior e inferior, resulta que 10 920 / 1. 625 = 6 720 y 10 920 / 1. 6 = 6 825, de donde 6 825 - 6 720 = 105. El 105 es el lapso en días que pasa el Sol por arriba de la latitud 15° N. Si se divide 10 920 entre uno de los valores del π mesoamericano, resulta que 10 920 / 3. 15 = 3 466, que al dividirse entre 10 = 346. 6 o un año de eclipses. Al revisarlo como NSA resulta que 10 920 x 20 = 365. 2422 x 597. 96 = 583. 92 x 374. 023 = 29. 5254 x 7 397 = 218 400. El 218 400 sincroniza o engrana 598 años, 374 ciclos de Venus y 7 397 lunaciones aproximadas (29. 5254 días). No es de asombrar que el número 1 092 (la décima parte del 10 920) aparezca como número volumétrico del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. Los datos no parecen casuales; por el contrario, confirman que la numerología astronómica mesoamericana permitía calcular grandes ciclos mediante números de relevante significado.

Pasos por seguir en el análisis de cuerpos bi y tridimensionales La medición física de una pieza o monumento. No siempre es posible obtener las dimensiones físicas precisas de una pieza,

Eduardo Matos, La Pirámide del Sol / Teotihuacan /Antología, INAH, México, 1995. Esta antología presenta las dimensiones que diferentes investigadores han encontrado al paso de los años. Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000. Para una lectura más detallada de las discrepancias, revisar su capítulo vi, pp. 196-197. Iván Sprajc, Orientaciones astronómicas en la arquitectura prehispánica del centro de México, INAH, "Colección Científica", "Arqueología", México, 2001. En "Medición de los alineamientos" (pp. 37-44) el autor presenta algunas exigencias que los levantamientos arquitectónicos debieran satisfacer y hace un repaso de las deficiencias que manifiestan los planos de las zonas arqueológicas sobre orientación, no obstante los atributos de orientación astronómica, que

128

Margarita Martínez

del Sobral

escultura o monumento, ya que en el estudio arqueológico y arquitectónico no siempre ha existido el rigor necesario para la metrología y el registro de dicha información; además, por lo general los registros de las mediciones no están presentes en los catálogos arqueológicos, o bien solamente se proporcionan el ancho y la altura, mas no la profundidad; pocas veces se registran bibliográficamente o los registros son poco confiables. Pero también es información limitada institucionalmente, pues el acceso a los acervos de investigaciones y estudios realizados es limitado: el solo intento de medir una escultura o un monumento con cinta métrica es algo que se sanciona en los museos y zonas arqueológicas. Una situación frecuente es que un texto, estudio o plano contenga las dimensiones con datos erráticos debido a fallas humanas al medir, registrar o transcribir o capturar la información. Otra causa de errores se presenta al estudiar obras que presenten deterioros, erosiones o desprendimientos que hacen difícil determinar los límites originales, lo que provoca que las dimensiones señaladas en textos, estudios o planos puedan no ser confiables. Un ejemplo es la diversidad de dimensiones que se han registrado para la Pirámide del Sol, 6 a pesar de ser uno de los monumentos más importantes de Mesoamérica. Debe señalarse que algunas dimensiones han sido especificadas antes de la reconstrucción del monumento, cuando ya presentaba serios deterioros, y otras después de la reconstrucción. En todas se encuentran divergencias. 7 La ausencia o carencia de información dimensional es un indicio más de que la forma, la geometría y las proporciones han estado ausentes en las disciplinas de estudio del arte y la arquitectura mesoamericanas. Algo semejante ocurre con las orientaciones, que en la mayoría de los casos no se manifiestan en los planos y que raramente se especifican si son astronómicas o magnéticas. 8 Al respecto casi nunca se especifica la posición de los cuerpos en sus tumbas con respecto al norte, o sea, su orientación, dato

sumamente importante que también debe ser registrado. Para el estudio de las proporciones es necesario obtener las dimensiones físicas siempre que sea posible, vigilando los aspectos técnicos de la medición para controlar y registrar la información necesaria y útil para el estudio. Ya se ha señalado que los basamentos y pirámides no son susceptibles de análisis geométrico y de proporción a partir de fotografías. Debe realizarse a partir de sus dimensiones reales. Esto también debe observarse para cualquier cuerpo mayor de 400 cm, y con más razón si se encuentra inclinado, en desnivel o en recintos estrechos, lo que hace extremadamente difícil satisfacer los lincamientos fotográficos. Fuentes de información para el análisis geométrico y proporcional. Existen fuentes de información antiguas o modernas con imágenes o planos de obras mesoamericanas que pueden ser empleadas para estudios geométricos, y que en algunos casos tal vez sean las únicas fuentes disponibles. Al utilizar planos, archivos de microfilmación, fotografías o reproducciones por escaneo es conveniente tener en cuenta que en cualquier caso es indispensable tramitar la autorización para reproducir dichas imágenes y hacer mención de los créditos correspondientes. En algunas publicaciones pueden encontrarse las dimensiones de ciertas obras mesoamericanas. Considerar esas dimensiones para estudio muchas veces es la única posibilidad que tiene el investigador, aunque se deberán tomar con reserva por las razones ya explicadas. Cambio de unidades métricas a unidades a la manera indígena Ya se ha explicado la manera de convertir unidades dadas en cualquier sistema comparativo de medición a unidades a la manera indígena (ver cap. II, "De la numerología astronómica en la arquitectura y el arte", subcapítulo "Sobre la unidad de medida"). Es importante cambiar las medidas dadas

en metros, yardas, varas, centímetros, etcétera, a unidades a la manera indígena, pues utilizar cualquier otra unidad no estaría de acuerdo con la metodología empleada, y los resultados de su análisis serían erróneos. Un ejemplo para ilustrar lo anterior es el análisis geométrico de la piedra llamada cruz de Tláloc con las medidas proporcionadas por la investigadora Sonia Lombardo de Ruiz 9 (ver figura II. 8). En el sistema métrico esta almena tiene 129 cm de altura, 104 cm de ancho y 12 cm de profundidad. Un marco en forma de banda la circunda y, siguiendo el criterio de que hay que buscar la unidad de medida o proporción en el ancho de las figuras enmarcadas (Margarita Martínez del Sobral, 2000), se toma como unidad la medida del marco vertical izquierdo. Considerando que ésta puede ser la unidad, mediante el sistema de ensayo y error se prueba en el largo, ancho y profundidad del prisma recto rectángulo que pueda ser la envolvente virtual de la almena. De ser la unidad correcta (u, u), deberá caber un número exacto de veces en las tres dimensiones de los lados del prisma recto rectángulo rector de la pieza y su envolvente virtual. Se rectifica verificando que esta unidad se encuentre también un número exacto de veces en la diferencia de la longitud de los lados del prisma. En el caso presente las medidas están dadas en centímetros, pero si estuvieran en metros, yardas, pies, varas, etcétera, se procedería de idéntica manera a cambiarlas en unidades a la manera indígena, ya que lo importante para calcular correctamente el volumen no es la medida de la unidad en sí sino las proporciones de los lados de la envolvente y el número de unidades que quepan exactamente en los lados del prisma. Para ello se comienza encerrando la almena en un prisma recto rectángulo. Puesto que en la diferencia de la longitud de sus lados se encuentra la unidad de medida o proporción - q u e en este caso mide lo mismo que el ancho de la cinta que enmarca la almena-, se nota que la unidad cabe 24 veces en el lado horizontal, 30 veces en el vertical y 2. 8 en el fondo. Como la unidad u

La ausencia o

carencia de información dimensional es un indicio más de que la forma, la geometría y las proporciones han estado ausentes en las disciplinas de estudio del a r t e y la arquitectura mesoamericanas.

son ampliamente reconocidos en la arquitectura mesoamericana. A partir de identificar las necesidades de medición y precisión, sería deseable que estos aspectos fueran atendidos de forma conjunta por quienes realizan estudios de medición en zonas arqueológicas. Sonia Lombardo de Ruiz, en The Art in Ancient Mexico, Electa, 1992, p. 51. "Architectural element representing Tlaloc. Teotihuacan culture. Classic (A. D. O-750). Stone. Eight, 129 cm, with 104 cm; depth, 12 cm. In stone. MNA, cat. No. 9-4565. Inv. No. 10-136721. " ("Elemento arquitectónico representando a Tláloc. Cultura teotihuacana: Clásico (750 d. C). Piedra. Altura, 129 cm; ancho, 104 cm; profundidad, 12 cm. " Traducción de la autora. )

VI. Consideraciones generales acerca del sistema de diseño...

129

debe necesariamente caber un número entero de veces en todos los lados del prisma recto rectángulo, se multiplican por 10 todas las medidas para no perder la proporción. Las medidas por lo tanto serán 240 u, 300 u y 28 u para los lados del prisma recto rectángulo que puede envolver virtualmente la almena. Las medidas de la cara frontal corresponden a la proporción de los lados de un rectángulo Σ 5 x 4 de M 1. 25, que tiene el mismo módulo que el rectángulo Σ 300 x 240, M 1. 25.

10

Linda Scheie y David Friedel, Una selva de reyes, Fondo de Cultura Económica, México, 1990, p. 107, nota 31: "El dios K, deidad de la cuenta de 819 días, comenzó 6. 15. 0. (=2 460)días antes de la creación y está asociado con el nacimiento de la madre de los dioses en el texto del templo de la cruz de Palenque (Londsbury, 1976 y 1980; Scheie, 1981 y 1984b): dividían la progresión del tiempo en cuadrantes de 819 días. En las inscripciones registran este ciclo; decían que el dios K, un pequeño dios parecido a un maniquí al que llamaban Kawil (véase el glosario de dioses), regía la dirección adecuada durante aquel cuadrante temporal'".

130

El área del rectángulo que puede ser envolvente de la cara de la almena es igual a la longitud de la base por la altura, 72 000 u2 (240 u x 300 u = 72 000 u2), que en números absolutos equivale a 200 veces el año ciVII ajustado a 360 días (NSC), por lo que se sabe que la piedra manifiesta ese ciclo solar ajustado. Siendo el volumen del prisma recto rectángulo igual a la base por la altura por la profundidad, se tiene V = 72 000 u2 x 28 u = 2 016 000 u3, NV que tiene como factores 36 y 28; el primero es la décima parte del año de 360 días y el 28, un número lunar, por lo que se sabe que la piedra es tanto solar como lunar. El 28 está relacio-

nado con Tláloc, por ser factor del 364, número asociado con ese dios y con el inframundo, y por tener como factor el 7, número lunar (364 / 13 = 28). (Ver los números 28, 364 y 7 en el apéndice 1. ) La iconografía sugiere que esta piedra está relacionada con el Sol del supramundo y con el del inframundo. Para comprobarlo se obtiene el MCM del ciclo sidéreo de la Luna, del año del inframundo, del año ajustado a 360 días y de la cuenta de 819 días, antiguo calendario basado en el ciclo sidéreo de la Luna. 10 El número volumétrico 2 016 000 se puede factorizar como se muestra en el cuadro correspondiente. El 312, además de corresponder a tres siglos mesoamericanos, es el número de Chalchihuicueye, contraparte de Tláloc (ver figura II. 8, "La cruz de Tláloc" y su unidad de medida o proporción u en el marco de la piedra). En la almena se observan trazas de pintura roja, que indican que la pieza es solar, lo que confirman las dimensiones de la pieza, tomadas desde luego en unidades a la manera indígena, que remiten a 360 días. En la base de la almena hay una partición que

Cuadro del número 2 016 000 Número 2 016 000/1 000 = 2 016 2016x13x10 = 262 080 262 080 262 080 262 080 262 080

Ciclo

Astro

Número de ciclos 1 008

Tonalpohualli, 260

Sol

Sol del inframundo, 364 Año ajustado, 360 Siglo, 104

Sol Sol Sol Sol

2 520

262 080

Medio siglo, 52

Sol

5 040

262 080 262 080 262 080 262 080 262 080 262 080 262 080 262 080

Sidéreo, 27. 3 Sinódico, 29. 5301 Sinódico, 585 Sinódico, 117 Sinódico, 780 Calendario lunar, 819 Medio año de eclipses, 173. 3 Tlalpilli, 13, enanos; 13, en días: corresponde a la semana sacramental

Luna Luna Venus Mercurio Marte Luna Luna Sol

720 728

9 600 8 875 448 2 240 336 320 1 512 20 160

Factorizaciones 1008 = 7 x 144

720 = 2 X 360 728 = 2 X 364 2 520=10 x 252 262 080 = 1 040 x 252 5 040=10x504* 9600 = 8 x 1 0 2 x 1 2 8 875= 125x71 448 = 2 x 224 2 240 = 28 x 80 336 = 4 X 84 320 = 2 x 1 0 x 1 6 1 512 = 2 x 2 7 x 2 8 20 160 = 40x504*

El 504 se puede factorizar como 2 x 252, es decir, dos periodos de Venus como Estrella de la Tarde.


sale verticalmente, dividiéndola claramente en dos partes iguales. Simboliza las dos mitades del año, el lapso entre el solsticio de invierno y el de verano. Por otro lado, se encuentra en la geometría subyacente al diseño el ángulo de 105°, que indica el tiempo que pasa el Sol arriba de la latitud 15° N. 11 Es durante los 105 días comprendidos entre el equinoccio de marzo y el de septiembre cuando se presenta la época de lluvias con mayor intensidad en Mesoamérica, y es la razón para asociar ese tiempo con Tláloc, dios de la lluvia. En el interior de las fauces del Monstruo de la Tierra (la entrada al inframundo, el ámbito de Tláloc) se encuentran cuatro dientes que representan cuatro chorros de agua saliendo de lo alto, de la misma manera en que muchas veces se representa en esculturas de Tláloc por medio de colmillos de felino o de víbora. Los colmillos representan los chorros de agua que brotan del fondo de la tierra como manantiales. La parte superior de la banda simboliza el recorrido de la Luna, diosa del suelo y de la superficie terrestre, que dará sus frutos entre la primavera y el verano. Esta banda corresponde al símbolo lunar volteado hacia la superficie de la Tierra, como una especie de jicara boca abajo, que derrama el agua necesaria para que se produzcan los recursos necesarios para la vida. La banda -que fue de color amarillo o blanco, el color de la Luna- forma el contorno de la cara olmecoide del Monstruo de la Tierra, de donde sale la lengua bifida del saurio, que simboliza la eclíptica en dos mitades o la banda celeste dividida en dos. En esta piedra se marcan las tres divisiones del espacio sagrado: el espacio medio o superficie de la Tierra; el mundo inferior, que se localiza por debajo de la superficie; y el cielo superior, por arriba. La superficie de la Tierra, suelo o parte media que divide (o conecta) el cielo superior y el inframundo es el ámbito de los humanos. Abajo de la superficie terrestre está el ámbito de los descarnados y de Tláloc, el inframundo, con su entrada en forma de boca abierta; la cara del Monstruo de la Tierra, con su lengua bifida, dos colmillos, cuatro

dientes y un indicador de la división del año en dos partes iguales. A cada diente se le puede dar un valor simbólico de 91 días, la cuarta parte del año de 364, número del año del Sol del inframundo. Un ejemplo en la escultura de Tláloc de Coxcatlán, Puebla/El NV (número volumétrico) del prisma recto rectángulo, envolvente virtual de esa escultura. El análisis de la numerología encontrada en esta escultura (periodo posclásico) demuestra que los números hallados en ésta y en los de la Pirámide de la Luna son los mismos, lo cual confirma que Tláloc y la Luna están fuertemente emparentados. Es una figura zoomorfa tallada en piedra volcánica de color muy oscuro, que tiene ojos y cuerpo de rana, con un gorro picudo como de mago, que caracteriza a Quetzalcóatl. El gorro se amarra a la cabeza por medio de una cuerda, que sin duda significa amarre o coincidencia de ciclos astrales. La cuerda presenta 13 torceduras y la copa del sombrerito, 11 gajos. 12 Es el mismo simbolismo que el de la iconografía de los tableros del viejo templo de Quetzalcóatl, en donde aparecen tanto Tláloc (dios de las aguas representado muchas veces como un sapo) como la cabeza de la Serpiente Emplumada, de la que se desprenden 11 rayos. En este caso se trata del Sol del supramundo en el momento de un eclipse, cuando se forma la corona solar. Cada 11 años 13 es cuando el Sol tiene mayor actividad electromagnética; entonces se producen manchas solares y se desprenden grandes rayos de su superficie (ver la figura VI. 1, "Escultura de Tláloc encontrada en Coxcatlán, Puebla").

11

Sonia Lombardo de Ruiz, op. cit., p. 51. Hace mención de que seis de estas piezas se encontraron en excavaciones al final del siglo XIX y principios del XX en Teotihuacan, todas en un edificio llamado Los Subterráneos. "Tradicionalmente conocida como la cruz de Tláloc, la pieza representa esquemáticamente al dios Tláloc: los labios representados por bandas, y enseña largos colmillos y lengua bifida. La pieza originalmente estaba cubierta por una capa de estuco y pintada de rojo. " 12 De acuerdo con la numerología, el sombrerito simboliza el ciclo sinódico de Venus: 4(11 x 13)+ 13 = 585. 13 Stanley P. Wyatt, Principles of Astronomy, University of Illinois, Allyn and Bacon, Boston, 1977, p. 357.


131

coincidencia de ciclos del tonalpohualli con los ciclos sidéreo y sinódico de la Luna. La iconografía apoya esta interpretación. Su simbolismo demuestra que durante el periodo posclásico los habitantes de lo que ahora es el sur del estado de Puebla utilizaban el calendario sagrado de 260 días y conocían exactamente el periodo sinódico de la Luna y su gran MCM que lo enlaza con otros ciclos, como por ejemplo el MCM lunar 11 960.

Figura VI. 1. Escultura de Tláloc encontrada en Coxcatlán, Puebla

Escultura de Tláloc Colección particular Fotografía de René Cavajal Ochoa

14

Ver el "Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas" al final de este libro. 15 Margarita Martínez del Sobral, op. cit., p. 155. 16 Fray Bernardino de Sahagún, Historia general de las cosas de la Nueva España, Editorial Porrúa, México, 1992, p. 439. "Decíase aquella fiesta toxiuh molpilia, que quiere decir átanse nuestros años, y porque era principio de otros cincuenta y dos años decían también xiuhtzitzquilo, que quiere decir se torna el año nuevo, y en señal de esto cada uno tocaba las yerbas, para dar a entender que ya se comenzaba la cuenta de otros cincuenta y dos años para que se cumpliesen ciento cuatro años, que hacen un siglo. " La mayoría de los investigadores considera el siglo mesoamericano de 52 años, pero siguiendo a Sahagún lo he tomado de 104 años.

132

La altura de la escultura es de 28. 75 cm = 23 u (unidad de proporción encontrada frecuentemente en Teotihuacan) de 1. 25 cm. La base: 8. 75 cm de fondo y 16. 25 cm de frente, que en unidades a la manera indígena son 28. 75 cm = 23 u; 8. 75 cm = 7 u; y 16. 25 cm = 13 u. El NV del prisma envolvente es 7 u x 13 u x 23 u = 2 093 u3 x 4 = 8 372 u3 (ver cuadro del número 8 372). Por su numerología se puede saber que esta escultura representa el inframundo y la

Otro ejemplo: la Coatlicue. Otro ejemplo de decodificación de una escultura a través del análisis geométrico y de la numerología astronómica se tiene en el caso de la Coatlicue. La superficie que puede limitar el frente de esta escultura es un rectángulo φ M 1. 618, de 16 x 26 1 4 unidades de propor ción obtenidas a la manera indígena, quedando la unidad u que rige el diseño consignada en la diferencia de la longitud de los lados de ese rectángulo. Esta unidad cabe 16 veces en la base y 26 en la altura, por lo que su superficie es de 416 u2, que se puede asociar con el siglo mesoamericano de 104 años15 (16 u x 26u = 416u 2 ). Si se mide la profundidad de esta escultura con la misma unidad encontrada para la superficie, se verifica que cabe 15 veces en el fondo, así que el volumen de la escultura será de 6 240 u3 (15 u x 416 u2 = 6 240 u3), lo que quiere decir que está representando 60 siglos mesoamericanos de 104 años 16 (60 x 104 = 6 240u 3 ). De esta manera, relacionando las medidas de la figura geométrica que puede envolver la

Cuadro del número 8 372 Número

8 372x10 = 83 720 83 720 83 720 83 720 83 720 83 720 83 720 83 720


Ciclo

Astro

Número de ciclos

Factorizaciones

Tonalpohualli, 260

Sol

Sol del inframundo, 364 1/20 sinódico, 65 Sinódico, 29. 5308 Lunar ajustado, 27. 006

Sol Venus Luna Luna

Medio año de eclipses, 173. 333... MCM 11 960 Sinódico, 585. 45

Luna

483

230 = 2 x 5 x 23 1 288 = 2 x 2 2 x 7 x 23 2 835 = 3 x 5 x 7 x 27 3 100 / 1 0 0 = 3 1 , el ángulo del límite eclíptico solar 483 = 3 x 1 6 1

Luna Venus

7 143

7, Nsc lunar 143= 11 x 13

322 230 1 288 2 835 3 100

322 = 2 x 7 x 23

escultura con un evento astronómico, se descifra el significado temporal de su volumen y por lo tanto el de la escultura como un todo. 17 En su volumen caben 24 tonalpohuallis. Con relación al año nodal se tiene que 6 240 / 36 = 173. 33, lo que indica 36 eclipses (12 x 3 = 36). Se observa que 13 veces el volumen de la Coatlicue en años corresponde a 120 eras cosmogónicas (13x6 240 años = 81 120

años, que al dividirse entre 120 = 676 años, la era cosmogónica). (Ver cuadro del número 6 240. ) La relación con la era cosmogónica es indirecta: 6 240 / 20 = 312, el número de Chalchihuicueye, la esposa de Tláloc, señor del inframundo, complemento de 364 -que es el número de Tláloc- para la era cosmogónica (312 + 364 = 676). (Ver figura VI. 2, "Escultura de la Coatlicue, el universo indígena". )


Ciclo

Astro

6 6 6 6 6 6

Tonalpohualli, 260 Chalchihuicueye, 312 Siglo, 104 Medio siglo, 52 Tlalpilli, 13 Año nodal, 173. 333

Sol Luna Sol Sol Sol Luna

240 240 240 240 240 240

Número de ciclos 24 20 60 120 480 36

El 6 240 apunta a la era maya de 1 872 000 días: 6 240 x 300 = 1 872 000.

Figura VI. 2. Escultura de la Coatlicue, el universo indígena

Factorizaciones 24 = 2 X 3 X 4 20 = 4 x 5 60 = 3 x 4 x 5 120 = 2 x 3 x 4 x 5 480 = 2 x 3 x 42 x 5 36 = 62

17

El siglo mesoamericano de 104 años, a diferencia de nuestro siglo de 100 años que se utiliza en la actualidad y que obedece solamente a una convención del sistema decimal y no a algún evento astronómico en particular, sí coincide con eventos astronómicos: 104 x 365 = 37 960; 65 x 584 = 37 960; 146 x 260 = 37 960, tomando el ciclo sinódico de Venus de 584 días, el tonalpohualli de 260 y el año vago de 365. La conjunción del planeta Venus con el Sol ocurre cada ocho años sidéreos, que equivalen a cinco ciclos sinódicos de Venus (584 x 5 = 365 x 8 = 2 920 días). Al dividir 2 920 / 20, obtenemos 146 días, lapso a partir de la conjunción superior que pasa para obtener la máxima brillantez del planeta, Hueycitlali. Consideremos que tomamos ahora (104 x 28) + 8 = 2 920, lo que quiere decir que el lapso de 2 920 ciclos es igual al ciclo de 104 (años, días, etcétera) tomado 28 veces y agregado otro ciclo de ocho (años, días, etcétera). Si multiplicamos 584 x 52, obtendremos 30 368, y si le agregamos 52 (medio siglo mesoamericano), tendremos 30 420 días, que equivalen a 30 420 / 260 = 117 tonalpohuallis. Además 30 4 2 0 / 117 = 260 ciclos sinódicos de Mercurio.

Geometría mesoamericana Margarita Martínez del Sobral Fondo de Cultura Económica Figuras V. 44 y V. 45, páginas 156 y 158

VI. Consideraciones generales a c e r c a del sistema de diseño...

133

NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la Coatlicue (V = 6 240 u3) Matemáticamente el volumen de la Coatlicue indica el conocimiento de varios ciclos: el calendárico del tonalpohualli de 260 días, el ciclo lunar de Chalchihuicueye de 312 años (NSC), el ciclo solar del siglo mesoamericano de 104 años y del medio siglo de 52, el tlalpilli de 13 años y el año nodal de 173. 3 días. Los números que son de ciclos en años pueden ser transformados en ciclos de días con el mismo resultado; por ejemplo, el medio siglo de 52 años puede ser expresado en días: 52 x 365 días = 18 980 días o, lo que es más correcto, 52 x 365. 25 días = 18 993. Esto indica que al cabo de 52 años, siguiendo el calendario correspondiente a 360 días, al final de 18 980 días se tenía que hacer una corrección de 13 días que debían agregarse para no desfasar el calendario. Se sabe que, efectivamente, 13 días eran agregados, pero no se sabe con certeza cuándo. La Coatlicue como escultura significa, entre otras cosas, las dos mitades en que se puede dividir el año -el lapso intertropical-, representado por las dos cabezas de serpiente que se unen formando una sola en el cielo superior. 18 De esta cabeza formada por innumerables estrellas salen los cuatro chorros de agua que se pueden ver en la almena de la que se habló en párrafos anteriores -chorros representados por los dientes del saurio- y la lengua bifida que

simboliza los dos lapsos intertropicales o medios años. En el pecho de la Coatlicue se encuentra el medallón de medio caracol rodeado de cuatro manos y dos corazones. Las manos y los corazones representan las dos grandes fuerzas creadoras: la acción mediante la mano y el pensamiento-sentimiento por el corazón. Siendo dos corazones y cuatro manos se indica la dualidad del dios creador, que como tal contiene un principio de vida femenino (el corazón) y otro masculino (la mano). Al centro se encuentra una calavera que señala la muerte como punto central del universo, uno también dual, de vida y de muerte. Indica tal vez que los descarnados pueden ascender al reino de Mictlantecutli, el reino del norte, en donde Venus muere opacado por el Sol al pasar por atrás de aquél en su conjunción superior. Hasta allí llega en la escultura el límite del cielo superior, el Omeyocan de los mexicas. La parte media de la escultura significa la superficie de la Tierra, nuestro ámbito donde las serpientes reptan antes de poderse elevar al cielo de los dioses. Y finalmente la parte inferior, el inframundo. Desde luego que el volumen solamente da información acerca de eventos astronómicos y de su relación con el tonalpohualli. 19 El resto de la información se encuentra en las dimensiones, posición y formas de los símbolos esculpidos en la escultura, por lo que para su correcta interpretación se debe utilizar tanto la geometría y numerología como la iconografía.

18

Ésta es una concepción cubista del espacio: la cabeza de la Coatlicue se puede ver tanto como dos cabezas de serpiente de perfil o como una sola vista de frente. Las serpientes de perfil en realidad son una, la eclíptica. 19 La relación con el tonalpohualü se encuentra al dividir 1 560 / 260 = 6 vueltas del calendario. Esto no es rigurosamente exacto si no se consideran números absolutos como representativos de ciclos, sin importar que éstos sean de días, de años o de siglos. Para que la relación sea exacta se tomarán 104 años 15 veces, lo que nos da 1 560 años, en este caso años del Sol del inframundo de 364 días, resultando 567 840 días, que divididos entre 260 días nos da 2 184 ciclos del tonalámatl. 20 Los habitantes del Anáhuac durante los eclipses metían a las mujeres embarazadas dentro de una gran olla y junto colocaban a un guerrero como guardia, ya que en caso de no salir el Sol las embarazadas se convertirían en monstruos que deberían ser muertos antes de que atacaran a los hombres. También la población solía subir a las azoteas de sus casas para observar los eclipses solares, no sin antes haber tomado la precaución de taparse el rostro con caretas de hojas de maguey. Todo esto puede verse en la página 34 del Códice borbónico.

134


Olla olmeca del valle de Tehuacán. Un ejemplo más en una olla olmeca del valle de Tehuacán, fase Santa María, horizonte preclásico (800-150 a. C). Representa un eclipse 20 y tiene en esgrafiado cuatro símbolos lunares en forma de signo de interrogación (?). Tres de estos signos tienen adjuntos siete círculos en pastillaje; el cuarto tiene solamente seis. La suma de los círculos es 27, el número del ciclo dracónico lunar ajustado y también factor del gran ciclo lunar de 11 960 días (11 960 = 27 x 15 x 29. 5308; este último es el ciclo sinódico

lunar). El 27 también es factor de la era lunar de 1 820 000 días (1 820 000 / 67 407 = 27. 0001 = 27). Está trabajada en barro negro y tiene dos asas que representan la eclíptica (ver la figura VI. 3, "Olla olmeca del valle de Tehuacán"). Esta olla, por ser negra, despeja toda duda acerca del empleo del 27 como número del ciclo dracónico lunar, lo que demuestra claramente que en algunos casos se utilizó el número entero en vez de 27. 2, en días el ciclo dracónico correcto, pero fraccionario. Tratándose de los ciclos dracónico y sidéreo lunares, en algunas ocasiones emplearon el entero 272 en vez del fraccionario 27. 2 y el 273 en vez del fraccionario 27. 3, pero para indicar en días el ciclo sinódico de la Luna utilizaron el fraccionario 29. 5308 o algún otro próximo, como 29. 5454 (ver el número 273 en el apéndice "Números"). Otras veces recurrieron a un múltiplo del 29. 5454, el 1 300, resultado de multiplicar 29. 5454 x 11 x 4, logrando así coincidencias con todos los ciclos que tuviesen el 13 como factor. El empleo del 273 como número lunar tiene su razón de ser como fracción del 819, número calendárico lunar: 819 / 3 = 273 y 819 / 30 = 27. 3 (ver el número 819 en el apéndice 1). Otra olla en barro negro, procedente del valle de Tehuacán, fase Santa María, tiene

Figura VI. 3. Olla olmeca del valle de Tehuacán

Olla del valle de Tehuacán Colección particular Fotografía de Luis Fernández Representa un eclipse; tiene en esgrafiado cuatro símbolos lunares en forma de signo de Interrogación (?) o bucle. Tres de estos bucles tienen siete círculos en pastlllaje y el cuarto tiene solamente seis. La suma de todos es 27, número lunar. Está trabajada en barro negro y tiene dos asas que representan la eclíptica en el momento del eclipse.

en esgrafiado cuatro símbolos lunares en forma de signo de interrogación (?). Dos de ellos tienen adjuntos siete círculos en pastillaje y los otros dos tienen nueve. La suma de todos los círculos es 32: (7 + 7 + 9 + 9 = 32), factor de la era lunar de 1 820 000 días. Al multiplicar el ciclo dracónico lunar de 27. 2 días por 20 = 544. Este número se compone de dos factores, 32 y 17 (ver la figura VI. 4, "Vasija olmeca del valle de Tehuacán").

Figura VI. 4. Vasija olmeca del valle de Tehuacán

Vasija del valle de Tehuacán Colección particular Fotografía de René Cavajal Ochoa Vasija que tiene en puntos de pastillaje los números 9 y 7. Representa un eclipse y tiene un total de 32 puntos: 9 + 9 y 7 + 7: (18+ 14 = 32).


135

21

Fernando Ximello Olguín, NdachináTeohuacan, edición del autor, Tehuacán, 1994, p. 89, figura 22. 22 Ver el cap. VII, "Las esculturas mesoamericanas de pequeño formato". 23 César Lizardi Ramos, Esplendor del México antiguo, Editorial del Valle de México, México, 1988, p. 236. 24 Al 27 se le considera lunar de acuerdo con el estudio de esa olla. 25 J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde / Libro de jeroglifos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 117.

El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, combinado con el de la Tierra alrededor del Sol, produce un movimiento aparentemente ondulatorio cicloidal en la trayectoria de la Luna, mismo que quedó representado en una pieza de cerámica del valle de Tehuacán. 21 Esto indica el grado de avance que tenían los popolocas acerca de los movimientos de nuestro satélite, del Sol y de nuestro planeta (ver figura VI. 5, "Vasija del valle de Tehuacán que señala el movimiento cicloide de la Luna"). Figura VI. 5. Vasija del valle de Tehuacán que señala el movimiento cicloide de la Luna

Naxacé-Tlatlahuite / El ombligo del mundo Fernando Ximello Olguín Edición del autor Figura 22, página 89 El calendario lunar popoloca, con 13 divisiones cada una que contienen el número 7.

Figura VI. 6. La vieja diosa lunar generalmente se representa en esculturas con la cara marcada por las arrugas de la edad

Lα vieja diosa lunar. En el conjunto de las esculturas olmecas de pequeño formato del valle de Tehuacán se encuentra una figurilla que representa a un personaje anciano, con la cara llena de arrugas, la vieja diosa lunar. Tal vez el numen lunar fue considerado como viejo porque su calendario fue el más antiguo. Se puede comprobar que en el volumen del paralelepípedo recto rectángulo, envolvente virtual de esa figura, están implícitos números lunares que confirman que efectivamente la figura representa la Luna 22 (ver la figura VI. 6, "La vieja diosa lunar... "). Otra manera de representar nuestro satélite se encuentra en el signo del decimoquinto día del mes del calendario maya, men; 23 otra, mediante una olla; en otra más, mediante un bucle que algunos ven como signo de interrogación (?), que puede valer 27 unidades, según se encontró en la olla del valle de Tehuacán ya mencionada; 24 y finalmente como un signo parecido a la letra griega lambda, λ, que también es el toponímico de Culhuacán y que puede valer 27 o 27. 2, de cualquier manera ciclo dracónico lunar. La Luna en muchas ocasiones es representada por medio de una olla que puede contener agua, al igual que la matriz femenina el líquido amniótico. En los códices se suele representar como corte transversal de una olla, con los bordes retorcidos hacia fuera, en forma de signo de interrogación. En otros casos el contorno de la olla está representado por una serpiente de dos cabezas, las cuales forman el borde de la olla. Estas dos cabezas significan los dos iguales y contrarios necesarios en la creación, la dualidad del dios creador (ver la figura VI. 7, "Vasija que señala el periodo dracónico lunar"). La diosa de la Luna en Mesoamérica también era diosa del suelo. Su nombre entre los mexicas era nuestra madre Tonantzin, refiriéndose a la superficie del planeta que puede ser cultivada y es fuente de nutrimento. 25

Vasija del valle de Tehuacán

La cultura olmeca consideró en su numerología el ciclo de 364 días como base de la cuenta del año del Sol del inframundo,

Colección particular Fotografía de René Carvajal Ochoa

136

Margarita

Martínez

del Sobral

Figura VI. 7. Vasija que señala el periodo dracónico lunar

Teotihuacan /Art from the City of Gods Katleen Berrín y Esther Pastory The Fine Arts Museum of San Francisco Figura 115, página 241

por ser el número más próximo al año vago de 365 días, que fuera divisible entre 13 (28 x 13 = 364), pero estando muy conscientes de que, con esa cuenta, cada 365 años se perdía un año de 364 días. La numerología de la pirámide de Quetzalcóatl en Teotihuacan y la de los nichos en Tajín, con sus 28 tableros, indican que consideraron un ciclo lunar de 364 días o 28 semanas de 13 días, como los llama Motolinía. 26 Aveni nos informa que los indios del sureste de los Estados Unidos contaban las 28 lunas visibles de un ciclo. "Los indios del sureste estadounidense contaban las lunas visibles de un ciclo, de suerte que como cuenta lunar más importante aparece el número 28, no el 29 ni el 30. " 27 La importancia del 28 en el diseño de este monumento resulta trascendental.

El 7 y el 28 son factores del 364: (52 x 7 = 364 = 28 x 13), 28 que al no ser divisible exactamente entre 20 fue cambiado por el 360 (NSC), que sí lo es (360 / 20 = 18), creando un año ciVII de 18 meses. Los cinco días sobrantes fueron los baldíos de Dios. 29 Los estudiosos de los calendarios, como Alfonso Caso, J. Eric S. Thompson y Raúl Noriega, parecen no admitir que hubiese habido en Mesoamérica un calendario lunar de 28 intervalos de 13 días (llamados por Motolinía semanas), a pesar de la afirmación del fraile: "Del año diré abajo en otra regla; tienen veintiocho semanas de a trece días y más un día, que es el mismo número de trescientos sesenta y cinco días". 30 Esta aseveración implica un año de 364 días más un día que hacen el año de 365, si no, ¿por qué fragmentar el año de 365 días en dos sumandos? J. Eric S. Thompson reconoce que "el año de 364 días era un instrumento de cálculo importante", al que llama "año de cómputo". 31 En un estudio numerológico de fragmentos de cerámica de un plato trípode del periodo posclásico del valle de Tehuacán 32 se encontró registrado el número 137 592, que es producto de 378 x 364, lo que indica que el 364 fue empleado allí como número calendárico en conteos de 364 días (¿o años del inframundo?): 33 (137 592 / 378 = 364). En ese valle se encuentran numerosas esculturas de piedra negra volcánica que representan a Tláloc, seguramente por ser Tehuacán una zona famosa por sus manantiales, de los que Tláloc fue numen.

26

Fray Toribio Motolinía, El libro perdido, Edmundo O'Gorman (dir. ), Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, México, 1989, p. 94. 27 Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 86. 28 El ciclo de 52 (años, días, siglos, etcétera) determina el medio siglo mesoamericano de 52 años y es eminentemente solar. 29) Habiendo dividido el círculo en 360 grados, un grado por cada día del año, no cabían en él los cinco nemontemi, así que los dejaban fuera de la cuenta. Eran días que no tenían ningún numen protector, ya que tampoco tenían cabida en el círculo celeste. Cada día del año era orientado hacia uno de los grados en que se había dividido el cielo. Allí debería vivir el dios que le había tocado regir esa parte del cielo. Por esto las personas que nacían durante los nemontemi eran despreciadas y consideradas sin valor, puesto que no tenían un dios protector. 30

El empleo del 364 en una vasija del lago de Chalco. Como empleo del 364 como factor del volumen de un cilindro envolvente, a continuación se presenta el estudio de una vasija del lago de Chalco fechada entre 650 y 750 a. C, encontrada en la isla de Xico, en lo que fuera el lago de Chalco, valle de México (ver figura VI. 7, "Vasija que señala el periodo... ). La investigación indica que la incorporación del periodo dracónico a las ruedas calendáricas ya se había logrado para la fecha de hechura de esta vasija, como lo

Fray Toribio Motolinía, op. cit., p. 94. 31 J. Eric S. Thompson, op. cit., pp. 51, 55, 57, 62, 63 y 197. : 32 Fernando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán Viejo, edición del autor, Tehuacán, 2004, pp. 52-55, fig. 31. 33 Fernando Ximello Olguín, NdachináTeohuacan, op. cit., fig. 24 c, p. 35. Más adelante presento mi interpretación de ese registro.


137

34

Kathleen Barrin y Esther Pastory, Teotihuacan /Art from the City of Gods, Thames & Hudson, The Fine Arts Museum, San Francisco, 1993, fig. 115, p. 241. 35 Para determinar el empleo del más alto se usó el sistema de prueba y error. Así se encontró un número significativo astronómico como volumen del cilindro. 36 Kathleen Barrin y Esther Pastory, op. cit., ñg. 115, p. 241.

comprueba su numerología. Es de barro negro y las medidas que proporcionan Kathlen Barrin y Esther Pastory en unidades métricas son 45 cm x 30 cm. 34 Se propone que la unidad que rige su diseño sea u - 2. 5 cm. Teóricamente la altura de la vasija debe ser de 45 cm y su diámetro, 30 cm, igual a las medidas dadas por las investigadoras mencionadas. Transformando las medidas dadas en cm en unidades a la manera indígena y, como ya se dijo, tomando como medida de la unidad 2. 5 cm, se tiene 45 cm / 2. 5 cm = 18 u de altura y 30 cm / 2. 5 cm = 12 u de diámetro de la vasija. Como el valor de π era considerado por los matemáticos mesoamericanos entre 3 y 3. 25, se toma el más alto para hacer el cálculo del volumen del cilindro que pueda encerrar la vasija. 35 El volumen entonces será v = πr2h, en donde h = 18 u, r = 6 u y π = 3. 25. El volu men resultante es 2 106 u 3 , NV que contie ne coincidencias de varios ciclos, entre ellos el dracónico lunar ajustado (ver cuadro del número 2 106).

presa también ciclos solares, como son 52 y 104, además del Sol en el lapso de 13 años, que es un tlalpilli. El dios tiene los ojos saltones de batracio, que simbolizan a Tláloc, numen del Sol del inframundo. Esto queda claro al ver la iconografía de la vasija del lago de Chalco, ya que su color es negro, símbolo de lo oscuro, de la ausencia del Sol que ya ha entrado debajo de la superficie terrestre. Es también una jarra símbolo de la Luna en sus manifestaciones como diosa de la Tierra y del agua.

NV de la vasija del lago de Chalco que señala el ciclo dracónico lunar (V = 2 106 u3) La coincidencia con el tonalpohualli no es directa. Para lograrla habrá que multiplicar el NV por 20, número base de sus cuentas (2 106 x 20 = 42 120). Se puede observar en el cuadro del 2 106 que esta vasija es lunar y se refiere a eclipses. No obstante, también se remite a Mercurio y al ciclo dracónico (ajustado a 27 días) de la Luna. Ex-

La vasija puede dividirse en tres espacios sagrados: en la parte superior, el cielo de los dioses, en donde se encuentran tres grandes corazones coronados, cada uno con el símbolo de la lluvia. Cada corazón tiene tres rayas verticales que simbolizan el Sol. El número tres es solar (ver el número 3 en el apéndice 1, "Números"). En el cielo superior, inmediatamente abajo, se encuentra el lazo que indica coincidencia de ciclos -amarre cada 52 a ñ o s - , el cual con la iconografía anterior señala que cada 52 años debería ocurrir un eclipse. Más abajo, el espacio medio en el que se manifiestan los sentidos vista, olfato y oído, que hacen comprensible nuestro mundo. La unidad de medida o proporción del diseño de esta vasija, en este caso, se encuentra en el diámetro del círculo que forma el ojo del dios. Por debajo de la nariguera, que representa a la Luna, se encuentran tres "motivos únicos que fueron desarrollados como tres elementos florales que adornan la vasija". 36 Los motivos que se presentan son tres flores con pétalos rodeando el gineceo,

Cuadro del número 2 106 Número 2 106 x 20 = 42 120 42 120 42 120 42 120 2 106 2 106 2 106

138


Ciclo

Astro

Factorizaciones

Número de ciclos 162

162 = 81 x2

Tonalpohualli, 260

Sol

Medio año de eclipses, 173. 33 Medio siglo, 52 Siglo, 104 Dracónico, 27 Tlalpilli, 13 Sinódico, 117

Sol-Luna

243

243 = 3 x 81

Sol Sol Luna Sol Mercurio

810 405 78 162 18

81 = 27 X 3 405 = 27x15 78 = 6 x 1 3 162 = 2 x 3 x 2 7

órgano en el se realiza la fecundación. Nueve hojas o plumas rodean estas tres flores, simbolizando lo precioso, la maraVIIla que se produce bajo tierra cuando la semilla fecundada por el agua comienza su germinación debajo de la superficie terrestre. El cuerpo del dios es en forma de olla, que contiene el agua que da la vida. Tiene, como se comentó, los ojos saltones de batracio y las cuatro patas son de sapo, animal que permanece en estado de hibernación durante la temporada de secas y que vuelve a la vida con las primeras lluvias, por lo que se consideró símbolo de resurrección. La representación escultórica muestra que el Sol alternativamente se encuentra en el cielo superior y en el inferior, a la manera en que está en los tableros del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan (ver la figura VI. 8, "Los tableros del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan... ").

Figura VI. 9. El mural de Zacuala

Feathered Serpents and Flowering Trees, Katleen Berrín The Fine Arts Museum of San Francisco Figura III. 21, página 68

Representa a un sacerdote de Tláloc dentro de una cueva, bendiciendo las semillas para la siembra

Figura VI. 8. Los tableros del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan, en donde se registra la alternancia de Quetzalcóatl y Tláloc en la regencia del mundo

Teotihuacan, ciudad de los dioses Jorge Angulo

Ésta es la razón de la alternancia de las esculturas de los dos opuestos necesarios para que exista la vida, los dioses creadores manifestándose como el Sol visible-luminoso, el Sol del supramundo, y el oculto y oscuro, Tláloc, el Sol del inframundo. El color de la vasija sugiere eclipses, lo que se confirma mediante la numerología que

Página 23

37

Esther Pastory, Feathered Serpents and Flowering Trees, The Fine Arts Museum, San Francisco, 1988, fig. 111. 21, p. 68.

encierra, y al observar que las tres flores del inframundo, lugar de oscuridad, tienen tres pétalos cada una (3 x 3 x 3 = 27). El mural de Zacuala, que representa a un sacerdote de Tláloc dentro de una cueva, bendiciendo las semillas para la siembra, contiene varios numerales: tres estrellas de cinco puntas, que representan tres periodos de Venus (3 x 585 = 1 755), además de nueve glifos en forma de signos de interrogación (?), ganchos o bucles (λ) simbólicos de la Luna, que tienen un valor de 27 cada uno, su periodo dracónico ajustado: 585 x 3 = 1 755 = 65 x 27, en donde 585 es venusino y 27, lunar (585 / 6 5 = 9 y 9 x 3 = 27). El Sol del inframundo y la Luna están íntimamente relacionados: uno es dios del agua que fecunda y el otro, de la superficie del suelo que se fecundará. También se observa que generalmente la Luna y Venus en la iconografía aparecen juntos (ver figura número VI. 9, "El mural de Zacuala"). 37 En el mural de Zacuala se encuentra un sacerdote de Tláloc, dios de las profundidades, que en medio de grandes voces y cantos arroja a la superficie de la Tierra las semillas que al germinar darán nueva vida y sustento a hombres y animales. El rojo significa el poder fecundante del Sol del supramundo, que invade todo. Esta pintura demuestra que la numerología e iconografía deben apoyarse mutuamente y tener igual significado.


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VII. Las esculturas mesoamericanas de pequeño formato

Descripción, número volumétrico y decodificación de 36 esculturas olmecas de pequeño formato y 24 de diversos horizontes temporales y espaciales

Michael D. Coe, The Olmec World /Ritual and

Rulership, The Art Museum, Princeton University, Princeton, 1996.

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onsideraciones generales. En el capítulo anterior algunas esculturas fueron presentadas como ejemplos de la manera en que se pueden decodificar las piezas tridimensionales. Habiendo ya explicado el sistema, y siguiendo los mismos pasos que se dieron para decodificar esos ejemplos, se intenta ahora la decodificación de algunas esculturas olmecas de pequeño formato, así como otras que pertenecen a diversos horizontes culturales y temporales del arte mesoamericano. Las medidas de las figuras olmecas aquí estudiadas fueron tomadas del libro de Michael D. Coe The Olmec World/Ritual and Rulership. 1 Se advierte que pueden existir discrepancias milimétricas entre las dimensiones dadas de las piezas y las que se proponen aquí, tal vez debido a la dificultad que presenta medir correctamente las esculturas. No es de extrañar que algunas de las medidas empleadas para encontrar el número volumétrico (NV) del prisma recto rectángulo (PRR) o del cilindro envolvente virtual de la pieza difieran ligeramente de las dadas en ese libro; así se señalará cuando ocurra. El análisis comparativo entre los NV de las envolventes virtuales de las esculturas de pequeño formato estudiadas y de las cabezas colosales olmecas, que se verán en el capítulo siguiente, tuvo entre sus objetivos determinar si existe entre ellas alguna relación numérica e iconográfica. El análisis confirma que el simbolismo de los números aquí propuestos como NV de las piezas de estudio coincide con el simbolismo de su iconografía, validando su decodificación.

Por lo general en el análisis basado en la numerología astronómica se encuentran NV dados en días; no obstante, algunas veces pueden estar expresados en años, siglos o eras, simplemente como ciclos. Esto se puede objetar diciendo que debería haber consistencia al expresarlos, pero dado el carácter de los NV obtenidos mediante las proporciones entre los lados de los PRR envolventes virtuales de las esculturas de pequeño formato, así como de las cabezas colosales, bastará con multiplicar el volumen directo de la figura estudiada por el número de días del año con el que se pretenda comparar: año trópico, año ciVII, año del Sol del inframundo, etcétera, y proceder a encontrar las coincidencias entre los ciclos solares, lunares o planetarios dados también en días.

creyeran que durante los eclipses se establecía comunicación entre las tres zonas del universo: el supramundo, el espacio medio -donde vivimos los humanos- y el inframundo. 2

Esculturas olmecas de pequeño formato 1. Efigie sobrenatural (V=8 748 u 3 ) 3 [ver figura VII. 1]. Procedencia: México; material: piedra verde. Sus dimensiones dadas en cm y en unidades a la manera indígena son H = 2. 25 cm = 9 u; W = 13. 5 cm = 54 u; D = 4. 5 cm = 18 u; u = 0. 25 cm. 4

Figura VII. 1. Efigie sobrenatural

Los números solares encontrados coincidirán necesariamente con el 260 del tonalpohualli, ya que es la unidad vital de Mesoamérica, y en días el tiempo aproximado de gestación del ser humano; son números solares los que definen ciclos del Sol o de los planetas del sistema solar visibles a simple vista. Los números lunisolares coincidirán con el tonalpohualli de manera directa o indirecta, y son aquellos que definen tanto ciclos lunares como solares. Son ciclos lunares los que definen exclusivamente esos ciclos, y no coincidirán necesariamente con el tonalpohualli. Las figuras de este capítulo: placa (fig. 21), máscara con incisiones (fig. 22), figura parada (fig. 27), placa de efigie sobrenatural (fig. 32) y efigie en forma de hacha (fig. 33), que se decodificarán más adelante, tienen como característica común una banda en la frente que tiene dos esferas situadas arriba de los ojos. La banda, compuesta de dos líneas horizontales, corresponde a la eclíptica, por lo que sobre ella están el Sol y la Luna. Cuando el Sol y la Luna se encuentran sobre los nodos representados por las esferas de la banda, se produce un eclipse. Los NV de las Mool, al contener del ciclo dracónico eclipses. Es posible

figuras llamadas Chac como factor el número de la Luna, representan que los mesoamericanos

AB = 9u AD = 54 u DF = 18 u AD x DF = 972 u Vol. = 972 u 2 x 9 u = 8 7 4 8 u 3

Este artefacto tallado en piedra verde proviene de algún lugar no identificado de México y está fechado entre 300 y 100 a. C. Se ha llamado Efigie sobrenatural por ser del saurio que mitológicamente separa la Tierra de las aguas primigenias. Representa el principio de la vida en nuestro universo. Se trata de una figura muy ornamentada en forma de perforador o punzón con el que los olmecas se autosacrificaban hasta sangrarse. Tiene el ojo de reptil y la ceja flamígera (o tal vez de plumas de águila), que simbolizan el fuego solar en el cielo de los dioses. La mandíbula superior, de la que salen colmillos, se transforma en un hocico achatado; las fauces curvadas recuerdan las

2

3

4

Esta idea está basada en el Códice borbónico. Michael D. Coe, op. cit.. p. 212, fig. 106, "Supernatural Effigy". Ver la unidad de medida o proporción en Teotihuacan en el capítulo X de este libro.

VII. Las esculturas m e s o a m e r i c a n a s de p e q u e ñ o f o r m a t o

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5

Fernando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán Viejo, edición del autor, Tehuacán, 2004, p. 53. 6 El 486 es el número que suman los tránsitos de Venus en un doble ciclo de (8 años + 105. 5 años + 8 años + 121. 5 años) + (8 años + 105. 5 años + 8 años + 121. 5 años) = 486 años. 7 Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 100, nota 12. "En realidad el periodo sinódico de Venus es de 583. 92 días, y en virtud de la naturaleza no circular de las órbitas de Venus y de la Tierra puede variar entre 579. 6 y 588. 1 días. Cualquier serie de cinco ciclos consecutivos da como promedio 584 días. " 8 Los mesoamericanos por lo general consideraban de 29. 5308 días el ciclo sinódico de la Luna. 9 Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa, El caminante celeste, V Centenario, 1492-1992, Gobierno del Estado de Puebla, Puebla, 1992, láms. 52 y 52α. El 486 es el número de años que suman los tránsitos de Venus en un ciclo completo, descrito en la nota 6. 10 Anthony F. Aveni, op. cit., p. 100, nota 12.

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figuras fluidas del arte de Izapa. Se ve solamente algo de la mandíbula inferior porque el animal la tiene parcialmente sumergida en el agua. La escultura es de color verde, simbólico del planeta Venus y por consiguiente de su numen, del que se desconoce el nombre olmeca. Se trata efectivamente de Venus como perforador, por ser una de las funciones del planeta horadar el disco solar en el momento del tránsito. El sacrificio por medio de este instrumento pudo haber sido ofrecido al dios olmeca correspondiente al mexica Tlahuizcalpantecutli, numen del planeta Venus, el que lanza sus dardos al Sol y lo perfora. Se encuentra este saurio, de manera ininterrumpida, desde la cultura olmeca hasta la azteca antes de la llegada de los españoles. Es el símbolo con el que comienza el calendario solar azteca, Ce Cipactli (uno cocodrilo). Tanto en la cultura azteca como en la olmeca es el momento en que Venus aparece en el cielo vespertino como Estrella de la Tarde, después de su conjunción superior con el Sol, su periodo más largo de ocultamiento en el norte. El Cipactli es la conexión entre el inframundo y el cielo superior o cielo de los dioses. Existen algunas imágenes mayas en las que se ve que de las fauces del saurio emerge un ser humano. Esto puede significar que el hombre, después de ser tragado por el Monstruo de la Tierra, puede manifestarse en espíritu en el ámbito terrestre, de acuerdo con las posteriores serpientes de visión. Su volumen es 9 u x 54 u x 18 u = 8 748 u3, un número de significado astronómico (NSA): V = 8 748. Análisis del 8 748: 8 748 / 324 = 27 (lunar); en días, el ciclo dracónico lunar ajustado que tiene relación con los eclipses. En este caso el 324 es un número funcional y el 27 un número de significado calendárico (NSC), el ciclo dracónico conmensurado de 27. 2 a 27 días. El número 324 se encuentra en los registros numéricos de la cerámica de Tehuacán Viejo5 y es uno de los números que maneja Thompson en su Catálogo.


8 748 / 108 = 81, la constante de Palenque para obtener 405 lunas (Raúl No-

riega). 8 748 / 18 - 486, en años un gran ciclo de tránsitos de Venus. 6 8 748 / 15 = 583. 2, en días el ciclo sinódico de Venus, aproximadamente. 7 Tomando el año trópico de 365. 2422 días, en 486 años se tienen 486 x 365. 2422 = 177 507. 7 = 177 508 días, que corresponden a 6 526 ciclos dracónicos de la Luna (27. 2 días), lo que equivale a decir que al cabo del gran ciclo venusino de 486 años ocurrirá un eclipse (177 508 / 27. 2 = 6 526 y 177 507. 7 / 173. 34 = 1 024 = 322). También en 486 años estará involucrado Venus con su ciclo sinódico exacto de 583. 9 días (177 508 / 304 = 583. 9). Se considera el 27 (NSC) como factor del gran ciclo lunar de 11 960 días, en el que además interviene como factor el ciclo sinódico lunar de 29. 5308 días (NSA): 8 29. 5308 días x 15 x 27 = 11 960 días, donde el 15 es meramente funcional. Se observa que, al ser el volumen de la estatuilla sobrenatural 8 748 u3, su NV es un NSA. Lo confirman los números siguientes: 8 748 / 18, gran ciclo de tránsitos de Venus de 486 años 9 (486 es un NSA). 8 748 / 15 = 583. 2, el ciclo sinódico de Venus 10 (583. 2 es un NSA). 8 748 / 324 = 27, el ciclo dracónico ajustado (NSC). El 324 es un número del Catálogo de Thompson relacionado con la Luna y los eclipses. 8 748 / 322 = 27. 167 = 27. 2, el ciclo dracónico lunar relacionado con los eclipses (27. 2 es NSA). 8 748 / 296 = 29. 5540 = 29. 5308, el ciclo sinódico lunar (29. 5308 es un NSA). En este caso el 27 también es un número funcional que sirve para relacionar el 11 960 con el 8 748: 8 748 / 324 = 27 y 11 960 / 29. 5308 =15 x 27, de donde 27 = 11 960 / (15 x 29. 5308). Pero si dos cosas son iguales a una tercera son iguales entre sí, se puede escribir la siguiente igualdad: 8 748 /

324 =11 960 / (15 x 29. 5308), con lo que queda relacionado el NV de esta pieza con el ciclo sinódico de la Luna: 8 748 / 324 = 27, número lunar que corresponde al ciclo dracónico ajustado que señala un eclipse. Habiéndose efectuado en párrafos anteriores el procedimiento matemático para relacionar la escultura de pequeño formato con la cabeza colosal monumento número 4 de La Venta, en las esculturas siguientes se seguirá un proceso semejante, en el que se dará solamente el factor común, que en este caso fue el 27. El 324: (324 = 12 x 27), al multiplicarse por 4 = 1 296 = 36 2 , por lo que el 324 está relacionado con la Luna y el ciclo del año de 360. Dado el color verde de la estatuilla y el número 8 748 (NSA) que corresponde a su NV, se puede decir que el objeto se refiere al inicio del tiempo, a la Luna y al Sol en eclipse, y a Venus en tránsito por el disco solar. Al principio del tiempo, cuando comenzó el movimiento creándose el espacio, Venus arrancó como heraldo del Sol, anunciando con sus rayos su orto y el fin del eclipse; así se inició un nuevo ciclo, una nueva era. Siendo lunar, no coincide necesariamente con el solar tonalpohualli. La cabeza colosal olmeca con la que se puede relacionar esta escultura es el monumento número 4 de La Venta, que tiene su V = 5 400 u3, como se verá en el capítulo siguiente. El factor común de los NV de ambas piezas es 27, número lunar que puede funcionar también como número de enlace. 2. Sarcófago de La Venta, monumento número 6 (V=l 872 u3) [ver figura VII. 2]. Tal vez este sarcófago es el monumento que nos proporciona más luz acerca de las creencias cosmogónicas de los olmecas. Fue encontrado por Stirling en La Venta, Tabasco, en el año 1942, en unos montículos llamados Complejo A, que fueron tumbas, de acuerdo con más de 50 ofrendas funerarias allí encontradas. Se desconoce en dónde se encuentra hoy este sarcófago, pues fue sacado de México. Las medidas dadas en el catálogo son las del sarcófago sin su tapa. 11

Figura VII. 2. Sarcófago

AB = 8u

AD = 26u DF = 9u ADxDF = 234 u Vol. = 234u 2 x8u = 1 872 u3

El trabajo de decodificación se ha efectuado siguiendo las medidas de Michael Coe: H = 86 cm; W = 96 cm; y D = 280 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena son H (altura) = 8 u; W (ancho) = 9 u; y D (profundidad) = 26 u, siendo en este caso u = 10. 75 cm (aproximadamente). Las dimensiones exactas deberían ser H = 86. 25 cm; W = 96. 75 cm; y D = 279. 76 cm. 12 El volumen V = 8 u x 9 u x 26 u = 7 2 u 2 x 2 6 = 1 872 u3, la milésima parte del valor de la era maya en días: V = 1 872 u3. Análisis del 1 872 u3: Este número es importante en la numerología astronómica mesoamericana por ser un mínimo común múltiplo (MCM) de varios ciclos astronómicos y calendáricos (ver los números 1 872 y 37 960 en el apéndice 1, "Números"). 1 872 x 1 000 = 1 872 000 días, la duración de la era maya (1 872 es un NSA); 1 872 x 10 / 24 = 780, ciclo sinódico de Mercurio conmensurado. 1 872 000 / 7 200 = 260, un tonalpohualli. 1 872 / 36 = 52, la duración en años del

11

Las dimensiones son las que proporciona el catálogo de la exposición. 12 Rebecca González Lauck, "La Venta: An Olmec Capital", en Olmec Art in Ancient Mexico, National Gallery of Art, Washington, 1996, p. 78; y F. Kent Reilly, The Olmec World, The Art Museum, Princeton University, 1996, p. 35.


143

medio siglo mesoamericano (52 es un NSA). 1 872 / 18 = 104, la duración en años del siglo mesoamericano (104 es un NSA). 1 872 / 13 = 144 tlalpillis (144 es la milésima parte de un baktún y por lo tanto NSC). 1 872 / 32 = 58. 5 (que multiplicado por 10 = 585, el ciclo sinódico de Venus). Los números 1 000, 36, 18, 13 y 32 son números funcionales, en este caso multiplicadores. Por otro lado se tiene 1 872 x 10 = 18 720 y 18 720 / 108 = 173. 33..., un medio año de eclipses (18 720 / 520 = 36; 36 x 3 = 108 eclipses). Al ser el principio de la era maya el inicio del tiempo, se concluye que también el Sol estaba eclipsado y que se hizo la luz al comenzar el movimiento, al terminar el eclipse.

13

El año trópico para los mesoamericanos tenía como parámetros 365. 1970 y 365. 2628 días. "Charles H. Smiley, "Indigenous Mayan Science", en la recopilación de artículos de Shri Dukishisyama Pattanagak, Commemoration Volume, Orissa, Bubaniswar, pp. 177-181.

144

18 720 / 260 = 72 tonalpohuallis. 18 720 / 360 = 52 años solares ciVIIes, ajustados a 360 días. 1 872 / 117 = 16 ciclos sinódicos de Mercurio conmensurados. 18 720 / 585 = 32 ciclos sinódicos de Venus conmensurados. 1 872 x 1 000 = 1 872 000 = era maya. 1 872 000 / 10 800 = 173. 3, el medio año de eclipses. 1 872 000 / (400 x 173. 3) = 27, ciclo dracónico lunar conmensurado. 1 872 000 / 5 125 = 365. 2682..., el año trópico, límite superior del parámetro para el valor del año trópico en Mesoamérica. 1 872 000 / 5 126 = 365. 1970, el año trópico, límite inferior del parámetro. 13 1 872 000 / 63 392 = 29. 5305..., un ciclo sinódico de la Luna exacto. Ésta es una de las razones del ciclo de la era maya de 1 872 000 días (ver cuadro del número 18 720). 1 872 000 /l 170 000 = 1. 6, el límite inferior del parámetro para φ en Mesoamérica. 1 872 000 / 1 152 000 = 1. 625, el límite


superior del parámetro para φ en Mesoamérica. 1 872 000 / 624 000 = 3, el límite inferior del parámetro para π en Mesoamérica. 1 872 000 / 576 000 = 3. 25, el límite superior del parámetro para π en Mesoamérica. Por lo anterior se concluye que al inicio del tiempo los planetas Mercurio, Venus Tierra y Marte estaban en conjunción, al igual que el Sol y la Luna. El análisis del 1 872 000 indica que los mesoamericanos conocían, ya desde la cultura olmeca, los parámetros de los valores que perduraron en Mesoamérica durante siglos para π y para φ. El NV está relacionado con el 312, número de la Chalchihuicueye mexica (1 872 / 6 = 312). El 312, además de ser tres veces un siglo mesoamericano, es el complemento de 364 para la era cosmogónica de 676 años (312 + 364 = 676). El 364 es un NSC que corresponde al Sol del inframundo. Al multiplicar 1 872 x 5 se obtiene 9 360, uno de dos números que los mayas utilizaron para predecir eclipses: el thix de 9 360 días y el fox de 11 960, 14 que es un gran MCM lunar. El primero corresponde a 36 tonalpohuallis, que equivale a 26 ciclos de 360 días. Si 9 360 se divide entre 30, se obtiene 312, número de Chalchihuicueye, y entre 520 señala la posibilidad de 54 eclipses. También corresponde a 90 siglos mesoamericanos, en números absolutos: 9 360 días. El segundo es el gran MCM lunar de 11 960 días. La combinación, según Smiley, del thix y el fox da la siguiente igualdad: (104 x 320) (11 960 + 9 360) = 11 960, equivalente a 46 tonalpohuallis. Posibilidad de 69 eclipses. Para encontrar el 52 como unidad -por ser 1 820 el MCM (mínimo común múltiplo) de 260 y de 364- se resta del 1 872 y se encuentra en la diferencia la unidad buscada (1 872 - 1 820 = 52; 1 872 / 52 = 36; y 1 820 / 52 = 35; 36 - 35 = 1). En la diferencia se encuentra la unidad. Esta unidad solar (52) es importante, pues es el medio siglo en años; su doble es

el siglo mesoamericano de 104 años. Éste es un caso en que el 52 señala directamente el número de años del medio siglo, ya que por lo general los números de los ciclos están dados en días. El volumen del sarcófago de La Venta (1 872 u3 = 936 u3 x 2) tiene relación directa con el volumen de la cabeza número 5 de San Lorenzo, 9 360 u3 (9 360 u3 x 2 = 18 720 u3; y 1 872 u3 x 10 = 18 720 u3). El factor común es 936, que equivale a 3 x 312 = 936 = 9 x 104 o nueve siglos mesoamericanos. Se recuerda que el 9 360 es el llamado thix por los mayas (9 360 = 27 x 346. 66; este último es el año de eclipses) y es uno de los números utilizados para la predicción de eclipses. El 936 va directamente a la era maya (1 872 000 / 2 000 = 936 = 36 x 26) y corresponde a la mitad del volumen del sarcófago de La Venta. La diferencia entre 11 960 y 9 360 es 2 600. El 2 600 es el NV total de la Pirámide del Sol, más un agregado de 52 años, la unidad solar mesoamericana (ver "La Pirámide del Sol en Teotihuacan", cap. x). La iconografía del sarcófago: Su iconografía muestra al saurio flotando sobre las aguas e indica el primer momento de la creación, la separación de la Tierra de las aguas primigenias del cielo superior. Su lomo representa la superficie de la Tierra rodeada por las aguas, posteriormente el Cem Anáhuac de los mexicas. La boca olmecoide simboliza la entrada al inframundo (7 x 260 = 5 x 364 = 20 x 91) y los números 5, 7, 364 y 20 están relacionados directamente: el 5 con Venus, el 7 y su múltiplo 364 con la Luna, y el 20 con el Sol. El sarcófago olmeca es una caja de piedra donde se depositó un cuerpo, como una semilla que se siembra esperando su resurrección, su germinación en el interior de la tierra. El difunto fue tragado - q u e equivale a ser plantado- en el vientre del saurio, la Tierra. Posteriormente será vomitado o transportado hasta el cielo de los dioses, resucitado a su debido tiempo. El concepto de que un guerrero sale del vientre de un saurio o de una serpiente se puede ver en un bajorrelieve maya de

Yaxchilán, donde aparece una serpiente de visión revelándose a una vidente elegantemente ataviada. El significado del relieve es el mismo que el del sarcófago: el vientre de la serpiente es un ducto, un camino que conducirá al difunto al cielo de los dioses. Así, la serpiente es la criatura-puente que, levantándose de la superficie de la Tierra mediante plumas de quetzal (Quetzalcóatl), teniendo su cuerpo apoyado en el suelo y con la cabeza elevada, une el inframundo con el supramundo, y llega al ámbito del Dios de los Muertos, en el norte: el reino del dios mexica Mictlantecutli. En el relieve el difunto y la serpiente se están revelando a la vidente, que parece estar en éxtasis. Entre los cristianos la resurrección de Cristo en el tercer día de su muerte es fundamento de su fe. Resucitar en ámbito divino es un concepto similar al que dio origen a la preservación de los cuerpos entre los egipcios. El mismo concepto debe haber existido entre los olmecas cuando fue tallado el sarcófago; entonces pudo haber existido la creencia de que el alma del difunto sería transportada a través de un ducto o un camino -como más tarde la Calle de los Muertos en Teotihuacan- hasta su destino, el lugar del norte donde resucitaría. Tal parece que en culturas posteriores, como la mexica, el cocodrilo olmeca que flotaba en las aguas primigenias fue sustituido por la Serpiente Emplumada, que unía el cielo y la Tierra, funcionando como ixiptla. El sarcófago de La Venta está fechado en 400 a. C. y labrado de una sola pieza en piedra arenisca. Alguna vez tuvo una tapa, según se ve en una fotografía que publicó Ignacio Bernal en 1968 y que permite saber que sí existió y cómo era esa cubierta. 15 Si se supieran las dimensiones de la lápida que cubría el sarcófago, tal vez el monumento, a través de su NV, además de referirse al Sol, también lo haría a la Luna y al sistema solar en general. La lápida tapando el sarcófago (el Sol) podría indicar un eclipse. 16 De acuerdo con el Popol Vuh -manuscrito poshispánico descubierto entre los mayaquichés en el siglo XIX-, el inframundo era

El análisis del

1 872 000 indica que los mesoamericanos conocían, ya desde la cultura olmeca, los p a r á m e t r o s de los v a l o r e s que perduraron en Mesoamérica d u r a n t e siglos p a r a π y p a r a φ.

15

Ignacio Bernal, The Olmec World, Uni versity of California Press, Londres, 1968, placa 35. "The La Venta sarcophagus at the time of its excava tion, with its cover still in place. " ("El sarcófago de La Venta al tiempo de su excavación, con la tapa todavía en su lugar". Traducción de la autora. )

16

Michael D. Coe, The Maya, Thames & Hudson, Nueva York, 1987, p. 167.

VII. Las esculturas m e s o a m e r i c a n a s de p e q u e ñ o formato

145

un lugar de terror. La epopeya que lo narra probablemente data del horizonte preclásico tardío. El meollo de la historia es que dos gemelos son llamados al Xibalbá (o inframundo de los mayas) por sus gobernantes, los que tienen nombres de terribles enfermedades. Después de sufrir tormentos indecibles, los gemelos finalmente son decapitados al final de un juego de pelota y las cabezas colgadas en un árbol de calabazo. Pero la cabeza de uno de ellos, Hun Hunalhpú, al pasar enfrente de ella una joven princesa del inframundo, llamada Señora Sangre, la escupe y queda embarazada. En castigo la princesa es arrojada a la superficie de la Tierra, en donde entra a la casa de su suegra para dar a luz a los gemelos heroicos, Hunalhpú y Xbalanqué. Con el tiempo ellos también son llamados al inframundo para jugar a la pelota con los xibalbanos, quienes ganan la partida. Al pasar por la superficie de la Tierra, los gemelos se elevan al cielo en apoteosis convertidos en la Luna y el Sol.

17

Ésta es una coincidencia con los egipcios anteriores a la invasión de los hicsos, pues en las más antiguas mastabas se han encontrado murales con espigas de cebada como símbolo de resurrección.

18

Códice borbónico, Siglo XXI Editores, México, 5a ed., 1988, edición facsimilar, pp. 28-32.

146

Esta leyenda muestra que entre los mayas existía la creencia de que en el inframundo quedaba plantada la semilla de resurrección y que creían que no habría una extinción total después de la muerte: había esperanza de una nueva vida. De acuerdo con el Popol Vuh, la semilla del padre de los gemelos germinó y salió a la superficie para crecer y fructificar en su propio mundo. De manera similar, habiéndose plantado la semilla del maíz por debajo de la superficie de la tierra, en el Xibalbá resucitó como Dios del Maíz, con su cabeza rapada, lo que significa la cosecha de las mazorcas. 17 En los costados del sarcófago se ve al saurio nadando sobre las aguas, de las que sobresale su lomo -la superficie terrestre-, del que brotan vegetaciones. Esta imagen puede haber dado origen posteriormente al concepto del Cem Anáhuac de los mexicas: la tierra rodeada por las aguas. El cuerpo del saurio, al flotar con medio cuerpo sumergido en las aguas y la otra mitad por encima de ellas, une el cielo con las aguas o, si se prefiere, las separa. Al frente del sarcófago está la cara del animal,


representada en un solo plano, y contiene las tres divisiones del espacio sagrado o universo indígena. En la parte más alta se encuentra el mundo superior, que está por arriba del agua, donde se encuentran las cejas flamígeras (¿plumíferas?) del saurio, el fuego del Sol. Más abajo, formando parte del espacio medio o el mundo en que vivimos, están los ojos y la nariz remangada, así como el lomo del saurio, que es la superficie de la Tierra. Se observa que los órganos de los sentidos: los ojos, los oídos, la nariz, el cerebro, la lengua, están en el espacio medio, el que representa el mundo en que se vive y que puede ser conocido únicamente a través de ellos. Inmediatamente debajo de la nariz, ya en el espacio inferior o inframundo, se encuentran los carnosos labios abiertos por los que asoma una lengua bifida y dos serpientes, que en iconografías de tiempos posteriores se convertirán en colmillos de felino y que significan chorros de agua. La cara tiene forma de argolla que atraviesa el tabique nasal, la cual puede ser el origen de las narigueras que las personalidades encumbradas solían usar. Se ha llamado boca de jaguar a la boca olmecoide, a pesar de que ésta no tiene nada que ver con la cara de ese animal, puesto que los felinos no tienen labios ni mucho menos carnosos. Comparando la boca olmeca con los cráteres de los volcanes, los labios corresponderían a los bordes y, en términos humanos, a los carnosos labios del pubis femenino, entrada a un mundo en donde se siembra la semilla que genera vida. Las páginas que muestran la Fiesta de la Cucaña en el Códice borbónico indudablemente representan la fecundación de la Tierra en el momento del paso cenital del Sol, cuando un rayo penetra perpendicularmente en la Tierra y la embaraza. La Madre Tierra dará a luz 260 días después, cuando el Sol vuelva a pasar por el cénit en su regreso del sur, de la misma manera que una mujer que haya sido fecundada dará a luz aproximadamente nueve meses más tarde. 18 La boca olmeca es el lugar de entrada al inframundo, lugar de gestación de una

nueva vida. En el sarcófago todo lo que queda por abajo del nivel del agua y del lomo del saurio pertenece a ese ámbito. Se trata de un lugar subterráneo, húmedo y oscuro, semejante a la matriz femenina en donde se planta la semilla que allí germinará. Es el mundo del dios llamado Tláloc por los mexicas y del que se desconoce el nombre olmeca. El dios tiene ojos y cuerpo de batracio, y es el señor de las aguas subterráneas, las cuales tan a menudo se representan como una olla que se asocia con la Luna. La olla tiene forma de matriz que contiene el agua en donde el feto humano flota hasta su nacimiento. Todos los animales que medran en la oscuridad pertenecen al inframundo. Es el habitat de los murciélagos (el dios murciélago de los mixtéeos), de los animales ponzoñosos, como las arañas capulinas y los alacranes; son los tzitzimine de la cultura mexica, los que clavan su mortal aguijón cuando descienden del cielo superior. ¿Acaso el lugar olmeca correspondiente al Mictlán mexica - q u e se localizaba en el norte- y el reino del dios de las lluvias olmeca, que corresponde al Tláloc mexica que habitaba por debajo de la superficie de la Tierra, tenían una estrecha relación? ¿Ascendían los espíritus perfectos al Mictlán después de haber sido descarnados los cuerpos en el inframundo, reino de Tláloc, para luego ascender al reino de Mictlantecutli? ¿Creían que los guerreros y las mujeres muertas en el primer parto acompañaban al Sol, purificándose, para después renacer en la Tierra? ¿Se podía llegar por méritos hasta el supremo dios, al Dios Dos mexica, Ometéotl, el Invisible, el Impalpable, el Señor del Cerca y el Junto, del que sólo se podía afirmar que era creador, que habitaba en el Omeyocan, tal vez en el Polo Norte celeste, único lugar inamovible del universo y punto de referencia de las observaciones astronómicas? Si esto hubiese sido así, los pueblos mesoamericanos habrían tenido una idea muy semejante a la que tienen los budistas de la rueda del Samsara, el eterno morir y renacer hasta que, finalmente, habiéndose extinguido todo karma se entra al Nirvana. 19

El sarcófago tendría la función de la

matriz: guardar al feto hasta que estuviese listo para su nueva vida. Existen numerosas representaciones en los códices de ollas en forma de matriz que contienen un conejo, el conejo de la Luna, 20 o que contienen un técpatl o cuchillo de sacrificio que cuando cayó del cielo a la Tierra produjo una chispa vital. A pesar de ser instrumento de muerte, el técpatl, al igual que el conejo, es símbolo de vida. 21 En Mesoamérica el técpatl era un instrumento importante, que, al matar, generaba nueva vida mediante la sangre de los sacrificados. 3. Perforador (v = 520 u3) [ver figura VII. 3]. Este artefacto, fechado entre 900 y 600 a. C, está tallado en jadeíta verde grisácea y fue encontrado en Río Pesquero. Es considerado como un perforador utilizado para derramar sangre de autosacrificio. Actualmente pertenece a una colección privada. Las dimensiones dadas en el libro de Michael D. Coe son H = 8. 9 cm = 13 u; W = 3. 1 cm = 5 u; y D = 5 cm = 8 u, por lo que el volumen del prisma envolvente es 13 u x 5 u x 8 u = 520 Φ. 520 / 2 = 260, un tonalpohualli. 520 / 5 = 104, un siglo mesoamericano. 520 / 3 = 173. 333, un año nodal o medio año de eclipses. 520 / 10 = 52, medio siglo mesoamericano. 520 / 40 = 13, un tlalpilli.

19

Charles Godfrey Leland, Fusang or the Discovery of America by a Chinese Buddhist Priests in the Fifth Century, Elibron Classics Series, 2003, edición facsimilar de la publicada en Londres en 1875 por Trubner & Co. Es interesante saber que existen escritos budistas que demuestran que existieron misiones de esta filosofía que partieron de China hacia el oriente para adoctrinar en otras tierras allende el mar. 20 Los habitantes del sureste de Asia y los de Mesoamérica ven en la Luna a un conejo; los europeos, una cara. 21 Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000 (ver "La diagonal", p. 28). Geométricamente el técpatl corresponde a la diagonal de alguna figura, particularmente del cuadrado. Al ser dividido en dos por la diagonal, el cuadrado produce el doble de vida en dos cuerpos diferentes: dos triángulos isósceles. El técpatl está asociado con Venus como símbolo de vida y de muerte. (Ver técpatl en el Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México, 1982. )

VII Las esculturas m e s o a m e r i c a n a s de pequeño formato

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Para la coincidencia con Venus, de manera indirecta, se toma nueve veces el volumen, operación que no modifica la proporción del perforador. Se recuerda que lo importante en el arte mesoamericano es la proporción entre las partes y el todo, y no la dimensión de la unidad de medida o proporción empleada en el diseño: 520 u3 x 9 = 4 680 u3 (ver cuadro del número 4 680). Tomando nueve veces su volumen se tienen 4 680 u3 (9 x 520 = 4 680). Este nuevo volumen tiene como factor común el 52: (52 = 2 x 26), con el volumen de las siguientes cabezas colosales: Cabeza 1 de San Lorenzo, V = 1 040 ú3. Factor común, 52. Cabeza 2 de San Lorenzo, V = 5 850 u3. Factor común, 26. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52.

Figura VII. 3. Perforador

Cabeza 9 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, V = 1 040 u3. Factor común, 52. El factor común es 52, número solar y NSA. Teniendo el 52 como factor, todos los números volumétricos pueden enlazarse y por lo tanto relacionar esas cabezas y monumentos entre sí, lo que se logra mediante su MCM 1 872 000. 4. Efigie en forma de canoa (v = 308 u3) [ver figura VII. 4]. Proviene de México y actualmente se encuentra en el Museo de Bellas Artes de Boston. Está fechada entre 1 150 y 550 a. C; la talla se hizo en jade verde. Tiene las siguientes dimensiones, tanto en cm como en unidades a la manera indígena: H = 13. 9 cm = 22 u; W = 4. 4 cm = 7 u; D = 1. 27 cm = 2 u. El valor de u en este caso es de 13. 9 / 22 = 0. 6318... cm; 4. 4 / 7 = 0. 628... cm; 1. 27 / 2 = 0. 635 cm, por lo que las dimensiones corregidas son H = 13. 98 cm; W = 4. 425 cm; y D - 1. 263 cm. El volumen será de 11 u x 7 u x 22 u = 308 u3. El 308 se puede factorizar en 28 x 11 = 308. En este caso u = 0. 6318 cm: (V = 308 u3).

Análisis del 308 308 / 11 = 28, el número de lunas visibles en un ciclo sinódico y 1/13 del año del inframundo. 308 x 1 3 = 4 004. 4 004 / 11 = 364, el año del inframundo. 40 040 / 1 355 = 29. 5498 = 29. 5308, el ciclo sinódico de la Luna. 40 040 / 231 = 173. 33, medio año de eclipses. El volumen 308 se puede factorizar como l l x 28 = 4 x 7 x 1 1 ; con excepción del 4, todos son números lunares. La relación

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con el tonalpohualli es indirecta, ya que 308 se tiene que multiplicar por 65 para lograrla (308 x 65 = 20 020); 20 020 / 77 = 260, un tonalpohualli; 260 x 77 x 2 = 520 x 77 = 520 x 7 x 11 = 231 x 173. 33 = 308 x 130. Al tener como NV el 173. 33 como factor, se está implicando el medio año de eclipses o año nodal.

Figura VII. 4. Efigie en forma de canoa

La relación con la Luna se encuentra al dividir 40 040 / 1 355 = 29. 5498, aproximadamente la duración del ciclo sinódico de 29. 5454 días. Al dividir 4 004 / 11 = 364, el año del Sol del inframundo y número de Tláloc, numen de ese ámbito. Siendo número lunar, no tiene coincidencia directa con el tonalpohualli. Para encontrar la relación con Venus será necesario obtener el MCM de 308 y del ciclo sinódico venusino, ahora considerado de 584 días. Este MCM es 44 968. Se puede establecer la siguiente igualdad que los relaciona: 584 x 77 = 308 x 146 = 44 968. El color verde de la pieza simboliza de alguna manera a Venus, en este caso en su ciclo sinódico de 584 días. El NV del PRR, envolvente virtual de la canoa, es 308 ¿i3. Se puede equiparar al NV del PRR envolvente virtual del monumento 1 de La Venta, 18 928 u3 (18 928 = 28 x 676); el factor común es 28, número lunar. Se puede escribir la siguiente igualdad: 28 x 7 436 = 208 208 y 18 928 x 11 = 308 x 676 = 208 208 = 2 002 x 104 = 4 004 x 52 = 364 x 572 = 91 x 2 288. En la igualdad anterior se tienen como factores de NSA y NSC importantes el 676, que es el número de años de la era cosmogónica; el 11 está relacionado con los eclipses; el 104 y el 52 son los años del siglo y medio siglo mesoamericanos, respectivamente; el 13 es el número de días de una semana o número de enlace en años (un tlalpilli, 13 años); y el 7 es número lunar. Se puede apreciar que ya desde los olmecas el número 676 (en años la duración de la era cosmogónica) estaba en uso, al igual que los números 52, 91, 104 y 364. Los eclipses significan muerte. Se trata de una canoa que lleva el alma del difunto hasta el inframundo. El trayecto de la canoa debe haber seguido la ruta del Sol, del

oriente al occidente, donde el Sol desaparece al entrar al inframundo. Se puede comparar con la barca de Osiris, que en Egipto cumplía igual función. 5. Vasija grabada (v - 780 u3) [ver figura VII. 5]. La vasija es muy antigua, pues se cree que fue torneada entre 1500 y 900 a. C. Proviene de Las Bocas, Puebla, y es de barro negro con trazas de pigmento rojo. Sus dimensiones son H = 8. 9 cm = 6 u. Diámetro = 19 cm = 13 u; la unidad u - 1. 461 cm. Para calcular el volumen se considera π = 3. 0769, lo que está dentro del parámetro de 3 a 3. 25 utilizado en las culturas mesoamericanas para esa constante. La fór2 mula del volumen es π x H; V = 3. 0769 x 2 (6. 5 u) x 6 u = 3. 0769 x 42. 25 x 6 = 780 u 3 , el ciclo sinódico de Marte en días.


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Análisis del 780 780 / 3 = 260, un tonalpohualli. 780 / 15 - 52, medio siglo mesoamericano. 7 800 / 45 = 173. 33, medio año de eclipses.

22

Rebecca González Lauck, op. cit., p. 78; y F. Kent Reilly, op. cit., p. 35.

El 780 contiene tres tonalpohuallis y 15 medios siglos mesoamericanos en coincidencia con el planeta Marte, el planeta rojo, por lo que en partes tiene pigmento de ese color. El barro negro simboliza en este caso eclipses: 7 800 / 45 = 173. 33, un medio año de eclipses o año nodal. El volumen 780 u3 se puede equiparar con el de la cabeza 3 de San Lorenzo, 1 560 u3. El factor común es el 780. Se puede escribir la siguiente igualdad: 7 800 = 5 x 1 560 (ver el número 156 en el apéndice 1, "Números").

Figura VII. 5. Vasija grabada

Esta vasija muy pulida tiene una representación del dragón olmeca. El diseño está logrado por medio de una serie de líneas curvas combinadas con rectas que aparecen inclinadas en la parte superior, formando las cejas flamígeras (o plumíferas), símbolo del fuego solar en el cielo superior del dios más antiguo, Huehuetéotl, el dios del fuego, el Xiuhteuktli de los mexicas. Por debajo de ellas aparece el ojo de reptil, en esta ocasión como un rectángulo. El cuerpo del saurio se representa por medio de bandas horizontales. Adelante del ojo, las fauces toman una forma de rehilete poco usual que consiste en un centro y cinco curvas que sugieren movimiento. Siendo el 5 un número venusino, puede tratarse del ciclo sinódico del planeta Venus, que a veces también queda representado por medio de una garra de cinco dedos o por los cinco puntos del quincunce. El color negro de la vasija sugiere un eclipse. 6. Tazón grabado (v = 9 360 u3) [ver figura VII. 6]. Proviene de México y está fechado entre 1200 y 900 a. C. Está hecho de barro negro con trazas de pigmento rojo y pertenece a una colección anónima. Actualmente se encuentra prestado al Museo de Arte de la Universidad de Princeton.

AB = 6u AD = 13 u Vol. = πr¾ r2 = 6. 5 u x 6. 5 u = 42. 25 u2 π = 3. 0769 h = 6u π r¾ = 3. 0769 x 42. 25 u x 6 u = 1 3 0 x 6 u = 780u 2

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Sus dimensiones son H = 6. 6 cm = 17 u y diámetro = 10 cm = 26 u. En este caso π = 3. 2579185..., ligeramente pasado del parámetro superior 3. 25 para el valor de π, lo que usualmente no sucede. El trabajo de decodificación se ha efectuado siguiendo las medidas de Coe: H = 86 cm, w = 96 cm y D = 280 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena son H (altura) - 8 u, w (ancho) = 9 u y D (profundidad) = 26 u, siendo en este caso u = 10. 75 cm, aproximadamente. Las dimensiones exactas deberían ser H = 86. 25 cm, w = 96. 75 cm y D = 279. 76 cm. 22 El volumen V = 8 u x 9 u x 26 a = 72 u2 x 26 = 1 872 u3, la milésima parte del valor de la era maya en días: V = 9 360 u3.

Análisis del 9 360 (el thix maya) Fue empleado para predecir eclipses. 9 360 / 36 = 260, un tonalpohualli. 9 360 / 54 = 173. 33, medio año de eclipses. 9 360 x 2 = 18 720, en días el medio siglo mesoamericano o 52 años de 360 días. 18 720 x 100 = 1 872 000 días, la duración de la era maya (1 872 es un NSA). 18 720 / 360 = 52, la duración en años del medio siglo mesoamericano (52 es un NSA). 18 720 / 180 = 104, la duración en años del siglo mesoamericano (104 es un NSA). 18 720 / 130 = 144 tlalpillis (144 es la milésima parte de un baktún y por lo tanto un NSC). 18 720 / 32 = 585, el ciclo sinódico de Venus. Los números 100, 360, 180, 130 y 32 son funcionales, en este caso multiplicadores. Por otro lado se tiene 1 872 x 10 = 18 720 y 18 720 / 108 = 173. 33..., un medio año de eclipses (18 720 / 520 = 36; 36 x 3 = 108 eclipses). Al ser el principio de la era maya el inicio del tiempo, se concluye que también el Sol estaba eclipsado y que se hizo la luz al comenzar el movimiento, al terminar la fase del eclipse. 18 720 / 260 = 72 tonalpohuallis. 18 720 / 360 = 52 años solares ciVIIes, ajustados a 360 días. 1 872 / 117 = 16 ciclos sinódicos de Mercurio conmensurados. 18 720 / 585 = 32 ciclos sinódicos de Venus conmensurados. 18 720 / 780 = 24 ciclos sinódicos de Marte conmensurados. 1 872 x 1 000 = 1 872 000 = era maya. 1 872 000 / 10 800 = 173. 33, el medio año de eclipses. 1 872 000 / (400 x 173. 3) = 27, ciclo dracónico lunar conmensurado. 1 872 000 / 5 125 = 365. 2682..., el año trópico, límite superior del parámetro para el valor del año trópico en Mesoamérica.

1 872 000 / 5 126 = 365. 1970, el año trópico, límite inferior del parámetro. 23 1 872 000 / 63 392 = 29. 5305..., un ciclo sinódico de la Luna exacto. Ésta es una de las razones del ciclo de la era maya de 1 872 000 días (ver cuadro del número 18 720). 1 872 000 /l 170 000 = 1. 6, el límite inferior del parámetro para φ en Mesoamérica. 1 872 000 / 1 152 000 = 1. 625, el límite superior del parámetro para φ en Mesoamérica. 1 872 000 / 624 000 = 3, el límite inferior del parámetro para π en Mesoamérica. 1 872 000 / 576 000 = 3. 25, el límite superior del parámetro para π en Mesoamérica. Por lo anterior se concluye que al inicio del tiempo los planetas Mercurio, Venus, Tierra y Marte estaban en conjunción, al igual que el Sol y la Luna. El NV está relacionado con el 312, número de la Chalchihuicueye mexica (1 872 /

23

El año trópico para los mesoamericanos tenía como parámetros 365. 1970 y 365. 2628 días.

Figura VII. 6. Tazón grabado

AB= 17 u AD = 26 u Vol. = πrh π= 3. 2579185 r = 1 3 u x 13 u= 169 ir h = 17u πfh = 3. 2579185 x 169 u; x 17 u Vol. = 9 360 u1


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6 = 312). El 312, además de ser tres veces un siglo mesoamericano, en años es el complemento de 364 para la era cosmogónica (312 + 364 = 676). El 364 es un NSC que corresponde al Sol del inframundo. Al multiplicar 1 872 x 5 se obtiene 9 360, uno de los dos números que los mayas utilizaron para predecir eclipses: el thix de 9 360 días y el fox de 11 960, 24 que es un gran MCM lunar. El primero corresponde a 36 tonalpohuallis, que equivale a 26 ciclos de 360 días. Si 9 360 se divide entre 30 se obtiene 312, número de Chalchihuicueye, y si entre 520, señala la posibilidad de 54 eclipses. También corresponde a 90 siglos mesoamericanos. El segundo es el gran MCM lunar de 11 960 días. La combinación, según Smiley, del thix y del fox da la siguiente igualdad: (104 x 320) - (11 960 + 9 360) =11 960, que equivale a 46 tonalpohuallis. Posibilidad de 69 eclipses. Para encontrar el 52 como unidad -con el 1 820 como MCM (mínimo común múltiplo) de 260 y de 364- se resta del 1 872 y se encuentra en la diferencia la unidad buscada (1 872 - 1 820 = 52; 1 872 / 52 = 36 y 1 820 / 52 = 35; 36 - 35 = 1). En la diferencia se encuentra la unidad. Esta unidad solar (52) es importante, pues es el medio siglo en años, siendo su doble el siglo mesoamericano de 104 años. Éste es un caso en el que el 52 señala directamente el número de años del medio siglo, ya que por lo general los números de los ciclos están dados en días. El volumen del sarcófago de La Venta (1 872 u3 = 936 u3 x 2) tiene relación directa con el volumen de la cabeza número 5 de San Lorenzo, 9 360 u3 (9 360 u3 x 2 = 18 720 u3; y 1 872 u3 x 10 = 18 720 u3). El factor común es 936, que equivale a 3 x 312 = 936 = 9 x 104 o nueve siglos mesoamericanos. El 9 360 va directamente a la era maya (1 872 000 / 200 = 9 360 = 36 x 260 = 360 x 26). La diferencia entre 11 960 y 9 360 = 2 600. El 2 600 es el NV total de la Pirámide del Sol menos 52, la unidad solar mesoamericana (2 600 - 52 = 2 548. Corresponde a 49 medios siglos 24 Charles H. Smiley, op. mesoamericanos). (Ver "La Pirámide del Sol cit., pp. 177-181. en Teotihuacan", cap. X. )

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La figura puede ser contenida en un cilindro. Para obtener el volumen de dicho cuerpo, y conservar π dentro del parámetro de 3. 25, se debe considerar la altura del tazón de 17. 0414 u. El NV 9 360 señala la coincidencia de 36 ciclos del tonalpohualli con 12 ciclos sinódicos de Marte; con Venus, al cabo de 16 ciclos sinódicos; con 90 siglos mesoamericanos; con 180 medios siglos; con 26 ciclos anuales de 360 días; con 54 medios años de eclipses; con 30 años de Chalchihuicueye; con 18 ciclos de 520 días; y con 54 eclipses. El color negro en este caso es indicador del Sol del inframundo o de eclipses (ver cuadro del número 9 360). El NV del prisma recto rectángulo, 9 360 u3, envolvente virtual de esta escultura, es igual al NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la cabeza número 5 de San Lorenzo, aunque la medida de la unidad no es la misma. El factor común es 936, significativo de eclipses. 7. Tazón grabado (V = 7 800 u3) [ver figura VII. 7]. Este tazón, que pertenece a una colección privada, está fechado entre 1200 y 900 a. C. y procede de Tenenexpan, Veracruz. Es de barro negro y sus dimensiones son altura H = 7 cm; D = diámetro 12 cm. Las dimensiones cambiadas a unidades a la manera indígena son H = 15 u; diámetro (D) = 26 u; π = 3. 0769. El valor de π para las culturas mesoamericanas puede ir de 3 a 3. 25. Su volumen es V = H πr 2 = 7 800 u3 y su decodificación es la misma que la de la figura 5, vasija grabada, V = 780 u3. El NV 7 800 señala 10 ciclos sinódicos de Marte, 75 siglos mesoamericanos, 30 vueltas del tonalámatl, seis veces el ciclo del 1 300 y 25 ciclos del 312 (ver el número 1 300 en el apéndice "Números" de este libro). El 312 es el número que lo relaciona con Chalchihuicueye, y por lo tanto con Tláloc, señor del inframundo. El 7 800 / 6 = 1 300 y 1 300 / 44 = 29. 5454..., el ciclo sinódico de la Luna, de acuerdo con Irene Nicholson, por lo que queda relacionado con la Luna. Así, uno de los factores del

NV 7 800 sería el ciclo de 29. 5454 días, que cabe éste 264 veces; otros, el 4 y el 11. Además, 7 800 / 288 = 27. 08, número muy aproximado a 27, el ciclo dracónico lunar ajustado. Tal vez sea la razón para que haya 11 pétalos o rayos circundando la cabeza del numen solar que en forma de cabezas de serpiente adornan los tableros del viejo templo de Quetzalcóatl: (7 800 - 1) / 709 = 11. El 11 siempre se encuentra relacionado con eclipses. El número 1 300 se puede obtener de la siguiente manera: 177 + 148 = 325, que orientado hacia los cuatro rumbos cardinales se tiene 325 x 4 = 1 300. El 177 y el 148 son números utilizados por los mayas en el cálculo de eclipses y aparecen con ese fin en las tablas del Códice de Dresden Por otro lado, 7 800 / 45 = 173. 33, lo que indica 45 años nodales o medios años de eclipses; de ahí el color negro de la vasija. El volumen 780 u3 se puede equiparar con el de la cabeza número 3 de San Lorenzo, cuyo número volumétrico es 1 560 u3. El factor común es 780. Para asociarlo con el Sol del inframundo se obtiene el MCM de 364 y de 780, que es 5 460. Este número tiene como factor el 27. 3, que corresponde en días al ciclo sidéreo de la Luna (5 460 / 200 = 27. 3).

vasija anterior, pero su significado es el mismo. Sin embargo, dado el color negro de la anterior, es posible que se esté refiriendo también a un eclipse de Sol, lo que no sucede con la presente vasija color rojo claro, que representa el Sol brillante. El 780 corresponde a tres tonalpohuallis, al ciclo sinódico de Marte, el planeta rojo; también a 15 medios siglos mesoamericanos, con sus correspondientes celebraciones del Fuego Nuevo. Si se toma 780 x 3 = 2 340, se obtiene un volumen que tiene correspondencia con otros ciclos, entre ellos el sinódico de Venus (2 340 / 4 = 585). Esta vasija simboliza principalmente al Sol y a Marte, tal como lo indica el pigmento rojo y el NV (ver cuadro número 2 340). La era maya de 1 872 000 días tiene como factor el 780: 1 872 000 / 2 400 = 780. En la era maya se encuentran como factores 5 126 y 5 125. El

b

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 201.


Los diseños esgrafíados, aunque son de estilo olmeca, parecen haber sido hechos cuando el barro ya estaba seco. El color negro generalmente es indicador de eclipses o del Sol del inframundo. 3

8. Tazón grabado (V = 780 u ) [ver figura VII. 8]. Proviene del estado de Morelos y pertenece a una colección privada. Está fechado entre 1200 y 900 a. C. y está manufacturado con barro gris oscuro y resaltadas las líneas de diseño con pigmento rojo. Sus medidas son H = 6 cm y diámetro 13 cm.

AB=15u AD = 26u Area = 520 u2 Vol. =πr¾ r2 = 1 3 u x 1 3 u = = 1 6 9 u 2

π = 3. 0769 h=15u

πr¾ = 3. 0769 x 169 u2 x 15 u = 7 800 u1

Las dimensiones a la manera indígena son iguales a las dadas en centímetros: H = 6 u, diámetro (D) = 13 u y el volumen del cilindro que la puede envolver es V = 780 u3, tomando a π = 3. 07692... Este volumen es igual al de la figura 5, vasija grabada, V = 780 3 u , y 10 veces más pequeño que el de la


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primero cabrá 365. 197 veces y el segundo, 365. 26829 veces, siendo éstos los valores de los parámetros del año trópico en Mesoamérica. El color rojo de la vasija demuestra que su tema principal es el Sol. El volumen 780 u3 se puede equiparar con el de la cabeza número 3 de San Lorenzo, 1 560 u3, del que es mitad. Su decodificación es igual a la de la vasija número 5 y el tazón 7, ya analizados.


AB = 13u CD = 6u Vol. = πr r2= 6. 5 ux 6. 5 u = 42. 25 u2 π = 3. 07692 h = 6u πr = 3. 07692 X 42. 25 u2 x 6 u Vol. = 780 u3

Figura VII. 9. Figura acuclillada en vías de transformación

9. Figura acuclillada en vías de transformación (V = 4 940 u3) [ver figura VII. 91. Esta figura proviene del estado de Veracruz y está fechada entre 900 y 600 a. C. El material del que está hecha es jadeíta azul-verdosa con incrustaciones de cinabrio. Las dimensiones dadas son H = 10 cm, w = 10. 5 cm, D = 7 cm. Para obtener significado astronómico las dimensiones deberían ser H = 10 cm; W = 10. 52 cm; D = 6. 84 cm. Considerando u a la manera indígena, se tiene que H = 19 u, w = 20 u, D = 13 u. Pertenece a una colección privada. Su volumen e s l 9 u x 2 0 u x l 3 u = v = 4 940 ú3. El NV 4 940 se puede factorizar como 20 x 13 x 19, en donde el 19 significa, en años, el ciclo metónico de la Luna.

Análisis del 4 940

AB= 19 u AD=13u DF = 20 u ABCD=13x19 = 247u Vol. = 380u2 x13u = 4940u 3

4 940 / 19 = 260, un tonalpohualli. 4 940 / 260 = 19, un ciclo metónico lunar. 4 940 / 380 = 13, un tlalpilli. 4 940 / 95 = 52, un medio siglo mesoamericano. 4 940 / 182 = 27. 1428, aproximadamente el ciclo dracónico de la Luna. 4 940 / 167 = 29. 5808, aproximadamente el ciclo sinódico de la Luna. La numerología de la figura es lunisolar. Las incrustaciones de cinabrio, que dan un toque de color rojizo a la figura, se refieren al Sol, mas lo oscuro de la pieza sugiere un eclipse. Su NV es 4 940 u3; tiene entre sus factores a los solares 13, 26 y 52, por lo que se

154


puede equiparar con el NV de varias cabezas colosales olmecas, que también tienen el 52 como factor. Volumen de la escultura, 4 940 u3 Cabeza 1 de San Lorenzo, V = 1 040 u3. Factor común, 52. Cabeza 2 de San Lorenzo, V = 5 850 u3. Factor común, 26. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, V - 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento A, Tres Zapotes, V = 2 548 u 3 . Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, V = 1 040. Factor común, 52. Esta escultura parece tener la forma de un jaguar, pero si se observa detenidamente se aprecia que tiene manos en vez de patas. Se puede tratar del Sol transformándose enjaguar, como Sol del inframundo. La forma del jaguar fue trabajada en una piedra triangular por medio de cinceles de piedra, de los que todavía se pueden ver las marcas donde no fue terminada la figura. 10. Figura abrazando a un niño (v = 832 u3) [ver figura VII. 10]. La figura, que pertenece a una colección privada, proviene de Tabasco y está fechada entre 900 y 600 a. C. Está hecha de arcilla compacta de color verde claro. Sus dimensiones en sistema métrico son altura, H = 5 cm; ancho, w = 3 cm; y profundidad, D = 3 cm (deberían ser w y D = 3. 0769 cm). Al pasar las dimensiones a unidades a la manera indígena, se tiene H = 1 3 u , w = 8 u y D = 8 u. Su NV es V = 832 u3.

Análisis del 832 832 / 8 = 104, un siglo mesoamericano. 832 / 16 = 52, medio siglo mesoamericano. 8 3 2 / 6 4 = 13, un tlalpilli. 832 x 20 = 16 640 (16 640 / 64 = 260, un tonalpohualli). Corresponde el NV 832 u3 a la coincidencia de los ciclos siguientes: ocho siglos mesoamericanos, 16 medios siglos mesoamericanos, 64 tlalpillis. Por otro lado, 832 x 365 = 303 680 y 303 680 / 520 = 584, con lo que queda relacionado el año de 365 días y el ciclo sinódico de Venus; por eso el color verde claro de la piedra. Para coincidir de manera indirecta con el tonalpohualli, 832 se tiene que multiplicar por 20, número base de sus cuentas (832 x 20 = 16 640 y 16 640 / 64 = 260, un tonalpohualli). Se trata de una figura solar relacionada, además, con el siglo mesoamericano, con el año de 365 días y con el ciclo sinódico de Venus.

Figura VII. 10. Figura abrazando a un niño

AB = 13u AD = δ u DF = δ u ABx AD = 104u Vol. = 1 0 4 u x 8 u = 8 3 2 u 3


1S5

Por su NV de 832 u3 se puede equiparar con la cabeza número 1 de San Lorenzo, V = 1 040 u 3 . Factor común, 52. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, v = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, v = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento A, Tres Zapotes, V = 2 548 u3. Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, V = 1 040. Factor común, 52.

26

He observado que los astrónomos por lo general son representados por cabezas que portan un gorro que los caracteriza. Los adornos en el gorro indican qué astro observaban, como por ejemplo un gorro liso indica que observaban la Luna. Esto se puede ver claramente en los gorros de los astrónomos representados en las cabezas colosales olmecas, observadores de ciertos ciclos astrales que se distinguen por su numerologia e iconografía. 27 Alfonso Caso, Los calendarios prehispánicos, Instituto de Investigaciones Históricas de la UNAM, México, 1967, p. 134.

156

La actitud del personaje es la de quien se dedica a la observación de los astros, que, a juzgar por el gorro que porta, es un astrónomo 26 en actitud de presentar el nuevo ciclo solar (xiuhmolpilli) de 52 años en la figura de un niño: el medio siglo había terminado pero se iniciaba un nuevo ciclo. Las representaciones de sacerdotes-astrónomos cargando a niños fueron frecuentes entre los olmecas. Es común que los niños en alguna parte de su cuerpo tengan tallada o esgrafiada la cruz de San Andrés, la que generalmente tiene entre sus bandas un ángulo de 47°, que corresponde al ángulo intertropical. El año trópico exacto de 365. 2422 días es el tiempo que el Sol tarda en hacer su recorrido entre los trópicos, regresando al punto de partida, y es lo que representan estas esculturas. De acuerdo con Alfonso Caso, unos cilindros de piedra encontrados en la calle de Las Escalerillas, en la ciudad de México, eran representaciones del xiuhmolpilli, fiesta que se celebraba cada 52 años con la ceremonia del encendido del Fuego Nuevo y la atadura de años.


... son representaciones del xiuhmolpilli, o sea, del siglo indígena de 52 años, pero los aztecas decían que al terminar un siglo se ataban los años y como esto sucedía en el año 2 Caña, Orne Ácatl, precisamente por eso vemos figurado el jeroglífico de este año en el centro del cilindro o haz de cañas atadas, que está representado en la figura 9... Sabemos entonces que los altares de calaveras se usaban para depositar en ellos, como en una tumba, los cilindros de piedra que eran el símbolo del siglo que había terminado o muerto en el año 2 Caña y que el haz de cañas representaba precisamente el siglo terminado o muerto. 27 Los altares de calaveras con los rollos de terminación de siglo son la antítesis de las figuras olmecas de personajes que presentan niños. Los rollos de terminación de siglo representan la muerte, el fin del ciclo solar. Se sabe que al finalizar el siglo se sacrificaba gran cantidad de guerreros para que a cambio de su sacrificio la vida continuara en nuestro planeta. Los niños representan el año o siglo nuevo, el principio de un nuevo ciclo, el inicio de una nueva vida. 11. Figura sentada cargando a un niño (v = 4 056 u3) [ver figura VII 11]. Representa a una figura sentada cargando a un bebé. Proviene de México, quizá de Tabasco o Veracruz, y está tallada en serpentina verdosa. Sus dimensiones son H = 11. 4 cm = 26 uala manera indígena, w = 5. 7 cm = 13 u, D = 5. 4 cm = 12 u, por lo que el volumen del prisma que puede cubrir a esta figura es de 4 056 u3.

Análisis del 4 056 4 056 x 20 / 312 = 260, un tonalpohualli. 4 056 / 39 = 104, un siglo mesoamericano. 4 056 / 78 = 52, medio siglo mesoamericano. 4 056 / 6 = 676, una era cosmogónica. La escultura expresa a través de ios factores de su número volumétrico que el niño

representa el comienzo de un nuevo ciclo solar, medio siglo, siglo y era cosmogónica. Al ser el astrónomo quien mediante sus observaciones da a conocer los calendarios, es él también quien sostiene y presenta el niño al pueblo, el Sol que inicia su vida en ese momento. En este caso se trata de una figura solar relacionada directamente con el siglo y medio siglo mesoamericanos. Lo demuestra la siguiente igualdad: 104 x 39 = 4 056 = 52 x 78 = 13 x 312, siendo este último el número de Chalchihuicueye (el falso Sol), complemento del 364 para la era cosmogónica (312 + 364 = 676). También está relacionada con el periodo sinódico más corto de Venus; por eso la serpentina verde en la que está tallada la figura28 (4 056 / 7 = 579. 42, el límite inferior del ciclo sinódico de Venus). El verde es el color del numen del planeta Venus y símbolo de vida y resurrección. Para coincidir con el tonalpohualli se multiplica el volumen por 20: 20 x 4 056 = 81 120; 81 120 / 312 = 260. El 312 es el número de Chalchihuicueye. Por su NV 4 056 u3 se puede equiparar con el monumento 1, La Cobata, cuyo volumen es de 59 280 u3, teniendo como factor común el 312, número lunar-solar de Chalchihuicueye, y el 52 y 104, números solares. La siguiente igualdad habla por sí misma: 4 056 / 13 = 59 280 / 190 = 312, de donde 4 056 x 190 = 59 280 x 13 = 770 640, por lo que 770 640 / 59 280 = 13.

6 916 / 40 = 172. 9, aproximadamente 40 ciclos del medio año de eclipses de 173. 3 días. 6 916 / 364 - 19, en años, un ciclo metónico lunar. 6 916 / 19 = 364, un año del Sol del inframundo.

28

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 100. El periodo sinódico de Venus puede variar entre 579.6 y 588.1 días. Cualquier serie de cinco ciclos consecutivos da un promedio de 584 días.

Figura VII. 11. Figurilla sentada cargando a un niño

AB = 26 u AD = 13u DF = 12u AB x AD = 338 u2 Vol. = 338u 2 x12u = 4056u 3

Figura VII. 12. Hombre sentado

12. Figura de hombre sentado (v = 6 916 u3) [ver figura VII. 12]. Proviene de México, probablemente de Tabasco o Veracruz, y está fechada entre 900 y 600 a. C. Pertenece al Wadsword Atheneum, en Hartford, Estados Unidos. Está tallada en hematita y sus dimensiones son H = 11 cm = 26 u, a la manera indígena; w = 8 cm = 19 u; D = 6 cm = 14 u, por lo que V = 6 916 u3.

Análisis del 6 916

AB = 26 U AD = 14 u DF= 19 u

6 916 / 133 = 52, en días, la séptima parte del año del inframundo.


157

El 6 916 corresponde 19 veces el año del inframundo de 364 días. Su iconografía representa el Sol del inframundo, pues la hematita brilla como Sol y al mismo tiempo es casi negra. Se trata de una figura totalmente lunar, por lo que no tiene coincidencia directa con el calendario solar tonalpohualli. 13. Figura sentada (v - 504 u3) [ver figura VII 13]. Proviene de Veracruz y está fechada entre 900 y 600 a. C. El material en el que está tallada es serpentina verde clara con pátina amarilla. Sus dimensiones son H = 4 . 45 cm, w = 2. 2 cm, D = 2. 5 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena son H = 12 u, w = 6 u, D = 7 u, por lo que el volumen del prisma que lo pueda encerrar es V = 504 u3. La unidad u que rige a la figura en este caso es 4. 45 / 12 = 0. 37... cm; 2. 2 / 6 = 0. 366... cm; 2. 5 / 7 = 0. 357... cm. Se propone tomar u 0. 364 cm, medida promedio de las dadas.

Análisis del 504

29

Fernando Ximello Olguín, op. cit., pp. 55-56. 30 Anthony F. Aveni, op. cit., p. 86. "Los indios del sureste estadounidense contaban las lunas visibles de un ciclo, de suerte que como cuenta lunar más importante aparece el número 28, no el 29 ni el 30. "

158

504 / 2 = 252, el periodo de Venus como Estrella de la Tarde. 504 / 7 = 72, la quinta parte del año de 360 días. 504 x 65 = 32 760. 32 760 / 126 = 260, un tonalpohualli. 32 760 / 91 = 360, un año justado sin los nemontemi. 32 760 / 90 = 364, un año del Sol del inframundo. 32 760 / (25 x 91) = 14. 4, la diez milésima parte de un baktún. 32 760 / (2 x 28 ) = 585, el ciclo sinódico de Venus. El 504 es el doble de 252, el periodo de Venus como Estrella de la Tarde; por ello el color verde de la piedra. Corresponde su volumen a la mitad del 1 008, número lunar. Tiene como factor el 21, del que a su vez es factor el 7, número lunar. Asimismo el 1 008 tiene como factor el 28, también número lunar. El número 1 008


aparece registrado en la cerámica de Tehuacán Viejo29 y corresponde a cuatro veces el periodo de Venus como Estrella Vespertina. De manera directa el 504 se relaciona con el ciclo lunar considerado de 28 días; 30 de ahí la pátina amarilla de la piedra (504 / 28 = 18). De manera indirecta el 504 se relaciona con Venus; por eso el color verdoso de la piedra en que está tallada la estatuilla. Se tiene que 504 / 7 = 72; el 7 es un número lunar y el 72, la quinta parte del ciclo de 360 días. El ángulo de 72° proviene del pentágono, figura asociada directamente con Venus, por tener el 5 (número venusino) en el número de lados y derivarse de él la estrella de cinco puntas, símbolo de Venus. También en la geometría del pentágono aparece la proporción áurea, misma relación de proporción que guarda Venus con la órbita aparente del Sol tomando las dimensiones de sus órbitas en días (585 / 365 = 1. 6027 y 365 / 225 = 1. 622; φ se en cuentra entre los parámetros de 1. 6 y 1. 625, considerados por los mesoamericanos). Por otro lado, 5 040 / 173. 33 = 29 años nodales. Éste es un caso en el que está como factor el año nodal pero no hay coincidencia con el tonalpohualli. Para obtenerla se multiplica el volumen original por 65, obteniéndose así 126 tonalpohuallis o 56 ciclos sinódicos de Venus. De ahí el color verde claro de la piedra (126 x 260 = 32 760 = 65 x 504). El 32 760 es un importante MCM lunar que contiene a Venus como Estrella Vespertina: 504 x 65 = 32 760 (ver el número 32 760 en el apéndice "Números"). Siendo el NV 504 u3, se equipara con el volumen de la cabeza número 5 de San Lorenzo (9 360 u3), que tiene como factor común el número 36 (504 / 14 = 36; 9 360 / 260 = 36, de donde 504 / 14 = 9 360 / 260). Se puede escribir la siguiente igualdad que prueba que desde la época olmeca ya se conocía el ciclo sinódico de la Luna de 29. 5308 días: se multiplica 504 x 260 (el 504 equivale a dos veces el ciclo de Venus como Estrella de la Tarde) = 131 040. Multiplicando 131 040 x 10, se obtiene 1 310 400,

que entre 44 374 = 29. 5308, el ciclo sinódico lunar en Mesoamérica. Se trata de un anciano con barba contemplando atentamente el cielo. Seguramente es un astrónomo que estudia las órbitas de Venus y la Luna, a juzgar por el gorro liso con banda en la frente - q u e es el característico de quienes observan la Lunay el color amarillo de la pátina de la piedra. El color amarillo en la iconografía de la piedra simboliza la Luna. El NV 504 corresponde a dos veces el periodo de Venus como Estrella de la Tarde en días. Se puede escribir la siguiente igualdad para probar que desde la época olmeca ya se conocía y se transmitía, en forma esotérica, dentro del arte el ciclo sinódico de la Luna de 29. 5308 días: 504 x 260 = 9 360 x 14 = 131 040, pero 1 310 400 / 44 374 = 29. 5308, donde el 44 374 es meramente funcional y el 29. 5308, el ciclo sinódico de Venus. Encontrar este volumen en una figura olmeca fechada entre 900 y 600 a. C. indica que para esa época ya era conocido el ciclo de Venus como Estrella de la Tarde.

Figura VII. 13. Figurilla sentada

AB = 12 u AD = 6u DF = 7 u , ABCD = 72 u Vol. = 72 u2 x 7 u = 504 u

Figura VII. 14. Figura sentada

14. Figura sentada (v - 4 680 u3) [ver figura VII 14]. La estatuilla proviene de Oaxaca y está fechada entre 900 y 600 a. C. El material en el que está tallada es serpentina verde olivo. Pertenece a una colección privada. Sus dimensiones son H = 14. 2 cm, w = 8. 1 cm, D = 6. 3 cm. Sus dimensiones en unidades a la manera indígena pueden ser H = 26 u, w = 15 u y D = 12 u, dando un volumen de V = 4 680 ú\

Análisis del 4 680 4 680 / 18 = 260, un tonalpohualli. 4 680 / 45 = 104, siglo mesoamericano. 4 680 / 90 - 52, medio siglo mesoamericano. 4 680 / 40 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio. 4 680 / 8 = 585, un ciclo sinódico de Venus. 4 680 / 173. 33 = 27, un ciclo dracónico ajustado de la Luna.

AB = 26 u AD=15u DF=12u ABAD = 390 u2 Vol. = 3 9 0 u 2 x 1 2 u = 4680u 3

4 680 / 27 = 173. 33, medio año de eclipses. 4 680 / 13 = 360, un año ajustado a 360 días. 4 680 / 15 = 312, el número de Chalchihuicueye. 4 680 / 360 - 13, un tlalpilli.


159

Los ciclos sinódicos de Venus están de acuerdo con el color verde de la serpentina en la que está tallada esta figura. El 4 680 es factor de la era maya de 1 872 000 días: 400 x 4 680 = 1 872 000. El 4 680 se puede factorizar como 2 x 2 340, número que aparece en el Códice de Dresde. En el volumen del prisma recto rectángulo virtual que la contiene se encuentran como factores números de los ciclos de los astros del sistema solar. Por ser el volumen de 4 680 u3 se puede equiparar con el de la cabeza número 5 de San Lorenzo, 9 360 u3. El factor común es 2 340, importante MCM de varios ciclos. La escultura ha sido simplificada, dejando únicamente los elementos estrictamente necesarios para dar su mensaje. Las

facciones las definen unos agujeros hechos con taladro y corresponden a los ojos. La boca está esgrafiada y la misma línea que define la parte superior de la boca define la base de la nariz. Los dedos de las manos están burdamente señalados. 15. Figura sentada (v= 18 252 u3) [ver figura VII. 15]. Esta figura proviene de Honduras y pertenece a una colección privada. Está fechada entre 1000 y 500 a. C, y tallada en serpentina verde muy oscuro. Sus dimensiones son H ~ 10. 5 cm, w = 10 cm, D = 10 cm, por lo que u = 0. 388 cm. En unidades a la manera indígena pueden ser H = 27 u, W = 26 u y D = 26 u (V = 18 252

Análisis del 18 252 18 252 / 351 = 52, el medio siglo mesoamericano. 18 252 / 27 = 676, la era cosmogónica. 18 252 / 676 = 27, el ciclo dracónico lunar ajustado. Indica que la era cosmogónica está relacionada en su inicio o en su final con un eclipse: lo negruzco y grueso de la figura lo comprueba, ya que Aveni nos informa que un eclipse sólo se produce cuando hay Luna nueva y llena cerca de uno de los nodos de su órbita: en el primer caso se tiene eclipse de Sol; en el segundo se produce un eclipse de Luna. En este caso la figura de la Luna como Luna nueva, y por lo tanto posiblemente represente un eclipse de Sol.

Figura VII. 15. Figurilla sentada

AB = 27 u AD = 26 u DF = 26 u AB x AD = 702 u2 Vol. = 7 0 2 u 2 x 2 6 u = 18 252u 3

160


18 252 x 10= 182 520. 182 520 / 312 = 585, el ciclo sinódico de Venus; por esto lo verduzco de la serpentina. El color verde en la iconografía señala a Venus. 182 520 / 702 = 260, un tonalpohualli. 182 520 / 260 = 702, el área de la base de la Pirámide del Sol en números absolutos (26 u x 27 u = 702 u1). Indica que la base de la pirámide está formada por números solares y lunares.

182 520 / 1 053 = 173. 33, el medio año de eclipses; de ahí lo oscuro de la piedra. 182 520 / 585 = 312, el número de Chalchihuicueye. 182 520 / 312 = 585, el ciclo sinódico de Venus.

Figura VI 1. 16. Figura sosteniendo su cabeza

Siendo el volumen del prisma que encierra a esta escultura 18 252 u3, se puede equiparar con el del prisma que puede encerrar al monumento 4 de La Venta: 5 400 u3. Factor común = 27. Un astrónomo inusualmente gordo observa el cielo. La gordura y lo negro del observador expresa la Luna nueva, pues en este caso no hay luz reflejada y el Sol está eclipsado. Puesto que el personaje trae un gorro aparentemente liso, se trata de un astrónomo observador de la Luna nueva. El color verde relaciona la figura con Venus, como lo confirma su numerología. 16. Figura sosteniendo su cabeza (v = 1 170 u3) [ver figura VII. 16]. Pertenece en la actualidad a una colección privada y proviene de Orizaba, Veracruz. El material en el que está tallada es esteatita verde claro con pátina oscura y está fechada entre 900 y 600 a. C. Sus dimensiones son H = 13 cm, w = 9. 1 cm, D = 9. 9 cm, que convertidas en unidades a la manera indígena tenemos aproximadamente H = 13 u, W = 9 u y D = 1 0 u , por lo que su volumen e s v = 9 u x l O u x 13 u = 1 170 u 3 .

Análisis del 1 170 1 170 / 10 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio. 1 1 7 0 / 9 0 = 13, un tlalpilli. 1 170 / 2 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 1 170 x 20 = 23 400; 23 400 / 90 = 260, un tonalpohualli. 23 400 / 65 = 360, un año ajustado a 360 días. 23 400 / 135 = 173. 33, el medio año de eclipses.

AB = 13 u AD = 9 u

DF = 10 u A B x A D = 117 u2

Vol. = 1 1 7 u 2 x 1 0 u = 1 170 u

El volumen de 1 170 u3 corresponde directamente a 10 veces el ciclo sinódico de Mercurio (1 170/ 10= 117) y dos veces el de Venus (1 170 / 2 = 585). Si se multiplica el volumen por 2, tendremos 2 340, y si por 4, tendremos 4 680, todos números calendáricos. En 4 680 se puede encontrar la relación con el tonalpohualli: 4 680 / 260 = 18 y también con los eclipses: 4 680 / 173. 33 = 27. Si el volumen inicial se multiplica por 8, tendremos 9 360, número relacionado con los eclipses; y si por 16, será 18 720, la centésima parte del mayor ciclo mesoamericano, la era maya. En este ciclo cabe la mayor parte de los ciclos astronómicos y calendaricos, y por eso digo que a eso se debe el gran tamaño de la cabeza. Si 1 170 se multiplica por 32, se obtendrá 37 440, todos importantes MCM que indican coincidencias


161

31

Algunas figuras son difíciles de medir, por lo que una pequeña diferencia en las medidas encontradas puede ser ajustada.

de ciclos. Por otro lado, si al gran MCM 37 960 se le resta el volumen del prisma 1 170 u3 multiplicado por 32, se tiene 37 960 37 440 = 520, en donde se encuentra otra unidad, el 520. En la diferencia está una nueva unidad, 520, que es indicadora de dos tonalpohuallis o de tres medios años nodales. La pátina oscura de la figura puede señalar falta de luz debido a un eclipse y el color verde de la piedra simboliza coincidencia con el ciclo sinódico de Venus. Se trata de una figura acuclillada de un individuo con una gran cabeza un tanto prismática y pesada, por lo que el hombre se ayuda con sus manos para sostenerla. Es un anciano, a juzgar por las arrugas que pueden verse en sus mejillas, que observa el cielo. Posiblemente se trata de un astrónomo y que lo grande de su cabeza represente a Mercurio muy grande, cercano a la Tierra, y que no se trata de una deformación por enfermedad, como se ha pensado. Las esculturas olmecas usualmente no son realistas sino simbólicas. El volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura, 1 170 u3, es el mismo

del prisma que pueda encerrar a la cabeza 6 de San Lorenzo, 1 170 u3. Por ser los dos volúmenes iguales, la interpretación de esta escultura y la de la cabeza 6 de San Lorenzo es la misma. 17. Figura sosteniendo su cabeza (V = 2 860 u3) [ver figura VII. 17]. Proviene de México, quizá de Tabasco o Veracruz, y está fechada entre 900 y 600 a. C. Está tallada en piedra y sus dimensiones pueden ser31 H = 26. 4 cm = 20 u ala manera indígena; W = 14. 52 cm= 11 u; D = 17. 16 = 13 u. Se encuentra en The Metropolitan Museum of Art, en Nueva York. Su volumen es V = 2 860 u3.

Análisis del 2 860 2 860 / 11 = 260, un tonalpohualli. 2 860 / 55 = 52, medio siglo mesoamericano. 2 860 / 220 = 13, un tlalpilli. 2 860 / 44 = 65, novena parte del ciclo sinódico de Venus (585 / 9 = 65). 2 860 / 97 = 29. 4845, aproximadamente el ciclo sinódico de la Luna.

Figura VII. 17. Figura sosteniendo su cabeza

Con los siguientes monumentos se tiene como factor común el 52, medio siglo mesoamericano:

AB = 20 u AD = 11u DF=13u ABxAD = 220 u Vol. = 2 2 0 u 2 x 1 3 u = 2 860u 3

162

Margarita

Martínez

del Sobral

Cabeza 1 de San Lorenzo, V = 1 040 u3. Factor común, 52. Cabeza 2 de San Lorenzo, V = 5 850 u3. Factor común, 26. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento A, Tres Zapotes, v = 2 548 u3. Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52.

El astrónomo representado es un observador de la Luna, dado el color amarillo pálido de la piedra. 18. Figura de acróbata (v = 520 u3) (ver figura VII. 18]. Proviene de México, probablemente de Tabasco o Veracruz. Está tallada en piedra y sus dimensiones son H = 5. 7 cm, w = 9. 5 cm, D = 3. 8 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena son H = 8 u, w = 13 u, D - 5 u, lo que da un volumen de 5 u x 8 u x 13 u = 520 u3 (V = 520 u3).

Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, V = 1 040 u3. Factor común, 52. El color negro de esta figura señala eclipses, al igual que el 520: (520 = 3 x 173. 33). El acróbata cierra un círculo al tocar con los pies su cabeza, lo que indica que el ciclo de 520 días ha concluido. Este ciclo se cierra al término de tres años nodales o de medios años de eclipses (173. 33 x 3 = 520). 32

32

El año de eclipses no es exactamente de 173. 33 días, sino ligeramente menor. En el Códice de Dresde existen unas tablas de eclipses que utilizan el 177 y el 146 para su cálculo.

Análisis del 520 Figura VII. 18. Acróbata

520 / 2 = 260, un tonalpohualli. 520 / 5 = 104, un siglo mesoamericano. 520 / 10 = 52, medio siglo mesoamericano. 520 / 3 = 173. 33, un medio año de eclipses. El 520 señala coincidencia de dos tonalpohuallis, 10 ciclos de 52 (días, años, siglos, etcétera) en números absolutos, cinco siglos mesoamericanos, lo que señala un número solar, pero el color indica oscuridad y por lo tanto eclipse solar. El 520 representa la posibilidad de tres eclipses: 520 / 3 = 173. 33, el medio año de eclipses. El volumen 520 u 3 tiene como factor común el 52 con los siguientes monumentos olmecas: AB = 8 u AD = 13 u DF = 5 u A B x A D = 104 u 5 Vol. = 1 0 4 u 2 x 5 u = 520u 3

3

Cabeza 1 de San Lorenzo, V = 1 040 u . Factor común, 52. Cabeza 2 de San Lorenzo, V = 5 850 u3. Factor común, 26. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento A, Tres Zapotes, V = 2 548 u3. Factor común, 52.

19. Figura con los pies en la cabeza (v = 63 544 u3) [ver figura VII. 19]. La figura proviene de San Jerónimo, Guerrero, y está fechada entre 900 y 500 a. C. Es de piedra de esteatita verde-azul con pátina mineral de color café. Sus dimensiones son H = 23. 5 cm, w = 13 cm, D = 26 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena son H = 47 u, w = 26 u, D - 52 u, por lo que su volumen es de 63 544 u3.


163

20 el volumen: 63 544 x 20 = 1 270 880. Así, 1 270 880 / 4 888 = 260. Por otro lado, 1 270 880 / 173. 33 = 7 332 medios años de eclipses, que también apunta la pátina oscura de la piedra. El volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura es de 63 544 u3, el cual tiene el 52 y el 676 como factores comunes solares con el volumen del prisma que puede encerrar al monumento 1 de La Venta (V = 18 928 u3). Siendo el factor común 676, una era cosmogónica - e n números absolut o s - , se tiene la siguiente igualdad: 63 544 / 94 = 676= 18 9 2 8 / 2 8 .

Figura VII. 19. Con los pies en la cabeza

AB = 47 AD = 26 DF = 52 AB x AD Vol. = 1

u u u = 1 222 u2 222 u2 x 52 u = 63 544 u3

La unidad u en este caso vale 23. 5 cm / 47 = 0. 5 cm, 13 cm / 26 = 0. 5 cm, 26 cm / 52 = 0. 5 cm, por lo que V = 63 540 u3.

Análisis del 63 544 63 544 / 611 = 104, un siglo mesoamericano. 63 544 / 94 = 676, una era cosmogónica. 63 544 / 1 222 = 52, medio siglo mesoamericano. 63 544 / 611 = 104, un siglo mesoamericano. 63 544 x 20 = 1 270 880. 1 270 880 / 4 888 = 260, un tonalpohualli. El 63 544 corresponde directamente a 94 eras cosmogónicas, a 1 222 ciclos del 52, a 4 888 tlalpillis, todo en números absolutos que pueden tomarse como años, días, siglos, etcétera. Para obtener la coincidencia con el tonalpohualli habrá que multiplicar por

164


63 544 / 94 = 676, una era cosmogónica en años. 63 544 / 1 352 = 47, en grados el ángulo intertropical que marca el año trópico. El color rojo claro de esta figura y el hecho de que el acróbata esté tocando con sus pies la cabeza señalan un ciclo solar, el siglo mesoamericano que se ha cerrado, terminado, al igual que otro mayor ciclo solar: una era cosmogónica. 20. Cabeza con incisiones (v = 728 u3) [ver figura VI1. 20]. Esta cabeza tallada en mármol gris verdoso con veta negra pertenece a una colección particular. Proviene de Puebla y está fechada entre 900 y 600 a. C. Sus dimensiones son H = 12. 7 cm, w = 8. 1 cm, D = 6. 9 cm, que para obtener coincidencias con ciclos astronómicos se propone que sean H = 13 cm, w = 8 cm, D = 7 cm. Al tratar de transformarlas en unidades a la manera indígena se observa que permanecen las medidas iguales, pues en ambos casos la unidad vale 1 cm. Su NV = 728 u3, que equivale a dos ciclos del año del inframundo de 364 días: V = 728 u3.

Análisis del 728 728 / 2 = 364, un año del Sol del inframundo. 728 / 14 = 52, medio siglo mesoamericano. 728 / 7 = 104, un siglo mesoamericano. 728 x 20 = 14 560. 14 560 / 56 = 260, un tonalpohualli.

Para obtener una coincidencia con el tonalpohualli habrá que multiplicar el volumen por 20. El NV 728 define dos ciclos del 364 (364 x 2 = 728), lo que demuestra que efectivamente la cabeza está relacionada con el ciclo anual del Sol del inframundo. El volumen de 728 u 3 significa siete siglos mesoamericanos (en números absolutos), por lo tanto el 728 es tanto lunar como solar. Éste se puede factorizar como 26 x 28. En la Pirámide del Sol, en Teotihuacan, el 26 aparece como número solar en la planta rectangular de la base de la pirámide de 26 x 27 unidades. El 28 (lunar y solar) se relaciona con la cuenta del ciclo de 364 días. El 7 280 corresponde a 28 tonalpohuallis y a 42 medios años de eclipses (7 280 / 260 = 28 y 7 280 / 173. 33 = 42). La diferencia entre el cuadrado de 27 y el número volumétrico es de 1. En la diferencia se encuentra la unidad (27 x 27 = 729; 729 - 728 = 1). El volumen 728 se tiene que multiplicar por 73 para obtener un volumen de 53 144 u3 y lograr la coincidencia con Venus para estar de acuerdo con la iconografía, pues su color es verdoso, lo que indica coincidencia con Venus. El color gris verde o con vetas negras del mármol en que está tallada confirma los eclipses que la numerología apunta. Por ser el volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura de 728 u3 se puede equiparar al volumen del prisma que puede encerrar al monumento 1 de La Venta, de 18 928 ú\ El factor común es 26: (728 / 28 = 26; 18 928 / 728 = 26, por lo que 728 / 28 = 18 928 / 728, de donde 7282 = 28 x 18 928 = 529 984). Este número tiene como factores el 7 y el 13, por lo que es tanto lunar como solar. El ciclo sinódico de Venus en este caso valdría 582. 4 días. Se cree que esta cabeza formó parte de una figura más grande. No obstante, por sí misma significa coincidencia de varios ciclos astronómicos. Si así fuera, tal vez el escultor consideró cada parte del cuerpo, por lo menos cabeza, tronco y extremidades, como partes de un todo en el que cada una tendría por sí misma significados como NSA o NSC, al igual que todo el conjunto, de la misma manera en que en las pirámides

mexicanas cada cuerpo tiene significado por sí mismo. Pero la suma de las partes que hacen el todo debe tener como NV un NSA O NSC.

La cabeza tiene un cierto aire de las cabezas colosales, por los labios carnosos, la nariz chata y el casco muy parecido a los que ellas portan. Dado lo liso del casco, la cabeza parece ser la del sabio astrónomo dedicado a los estudios de nuestro satélite.

Figura VII. 20. Cabeza con incisiones

AB = 13u AD = 8u DF = 7u ABx AD = 104 u2 Vol. = 1 0 4 u 2 x 7 u = 728if

21. Placa (V = 572 u¾) [ver figura VII. 21]. Eclipse de Sol. Proviene de Veracruz y está fechada entre 900 y 600 a. C, y tallada en jadeíta verde casi negro. Sus dimensiones son H = 4. 5 cm, w = 3. 7 cm, D = 1. 5 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena: H = 13 u, w = 11 u, D = 4 u. En este caso la unidad u = 4. 5 cm / 13 = 0. 3461...; u = 3. 7/ 11 = 0. 3363...; u = 1. 5 / 4 = 0. 375. Los factores de 572 son 4 x 11 x 13, lo que sugiere un eclipse solar (ver el número 143 en el apéndice 1, "Números").


165

33

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde / Libro de jeroglifos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 68. 34 Francisco del Paso y Troncoso, Ensayo sobre los símbolos cronográficos de los mexicanos, Anales del Museo Nacional, México, 1882, cap. x, p. 352.

Su volumen e s V = 1 3 u x l l u x 4 u = 572 u3, y para hacerlo coincidir con el tonalpohualli se tiene que multiplicar 572 x 20. Análisis del 572 572 /11 = 52, medio siglo mesoamericano. 5 7 2 / 4 4 = 13, un tlalpillí. 5 7 2 x 2 0 = 11440; 11 4 4 0 / 6 6 = 173. 33, un medio año de eclipses. 11 440 / 44 = 260, un tonalpohualli. El 572 corresponde a 44 tlalpillis de manera directa. Corresponde también a l l ciclos del 52. ¿Qué sucede al tomar el 52 como unidad?: si al volumen se resta el número de ciclos de eclipses, se tiene 572 520 = 52. En la diferencia se encuentra la nueva unidad, 52 (52 x 11 = 572; 52 x 10 = 520). El 52 es factor común del ciclo de eclipses y del 572 (tres años de eclipses = 173. 33 x 3 = 520 y a la vez dos tonalpohuallis).

AB=13u AD = 11 u DF = 4 u AB x AD = 143 u2 Vol. = 1 4 3 u 2 x 4 u = 572u 3

Margarita

Martínez

572 x 20 = 11 440, 11 440 / 44 = 260, un tonalpohualli. 11 440 / 11 = 1 040 (ver el número 11 en relación con los eclipses en el apéndice 1, "Números"). 1 040 / 3 = 346. 6, el año de eclipses. El 1 040 lo menciona Thompson como 5 x 208 (1 040): Almanaque 55 (pp. 32α-39α). 33 Del Paso y Troncoso informa con res pecto al número 2 028: "Casi con la misma exactitud que daba el periodo de 1 040 años, coinciden dos conjunciones de Venus, la primera inferior y la segunda superior, o viceversa, pasando un término de 2 028 años, o sea, 39 ciclos de 52, habiendo siempre una anticipación de algunos días". 34 El ángulo del límite eclíptico solar de 31° se forma entre las tangentes de las dos esferas de la banda en la cabeza de la figura. El volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura (572 u3) se puede equiparar al volumen del prisma que puede encerrar al monumento 1 de La Venta de 18 928 u3. El factor común es 26: (572 / 22 = 26 y 18 928 / 728 = 26), por lo que 572 / 22 = 18 928 / 728; de donde 572 x 728 = 18 928 x 22 = 416 416; 416 416 / 1 144 = 364, el número del año del Sol del inframundo: 416 416 / 1 001 = 416, cuatro siglos mesoamericanos.

Figura VII. 2 1 . Placa

166

Su relación con el tonalpohualli y con los años nodales o de medios años de eclipses es la siguiente:

del Sobral

El color casi negro de la figura apunta a un eclipse del que nos remite la banda que ciñe la frente de la figura y que corresponde a la eclíptica. La banda se divide en tres tiras, que significan los tres medios años de eclipses necesarios para formar el periodo de 520 días que marca eclipses. Las tiras están adornadas con dos círculos en cuyo interior aparece una vesica piseis; es el momento de contacto del Sol y la Luna, cuando comienza o termina el eclipse. La placa tiene en la cabeza una incisión angular de 105°, lo que hace pensar que el eclipse ocurrió en época de lluvias en el altiplano mexicano, cuando el Sol se encontraba por arriba de la latitud de 15° N o que

señala el ángulo entre las estrellas Polar y Zeta Orionis, estrella perteneciente a la constelación de Orion, cuyo cinturón señala durante la noche la carrera del Sol cuando éste se encuentra en el inframundo.

Figura VII. 22. Máscara con incisiones

22. Máscara con incisiones (v = 1 092 u3) [ver figura VII. 22]. Esta máscara proviene de La Venta, Tabasco. Está fechada entre 900 y 600 a. C. y tallada en una piedra verde muy claro, con las siguientes dimensiones: H = 6. 5 cm, w = 6. 2 cm, D = 7 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena son H = 13 u, w = 12 u, D = 14 u, por lo que su volumen e s v = 1 3 u x l 2 u x 7 u = 1 092 u3.

AB= 13 u AD = 12u DF = 7u Área = 156 u2 Vol. = 1 5 6 u 2 x 7 u = 1 092 u3

Análisis del 1 092 1 092 / 21 = 52, medio siglo mesoamericano. 1 092 / 3 = 364, un año del Sol del inframundo. 1 092 / 37 = 29. 5135, aproximadamente el ciclo sinódico de la Luna. 1 092 / 40 = 27. 3, un ciclo sidéreo de la Luna. 1 092 x 3 = 3 276; 3 276 / 4 = 819, antiguo conteo lunar maya (ver el número 819 en el apéndice 1, "Números", al final del libro). 1 092 x 10 = 10 920; 10 920 / 63 = 173. 33, un medio año de eclipses. 1 092 x 20 = 21 840; 21 840 / 84 = 260, un tonalpohualli. El divisor 84 corresponde en unidades a la manera indígena al diámetro de la Piedra del Sol o calendario azteca. 1 092 x 60 = 65 520; 65 520 / 112 = 585, un ciclo sinódico de Venus; por esto lo verdoso de la piedra. Para encontrar su engranaje con el tonalpohualli habrá que multiplicarlo por 20: 1 092 x 20 = 21 840 = 260 x 84; y para engranarlo con Venus (el color verdoso de la piedra lo sugiere) habrá que multiplicar 21 840 x 3 = 65 520; 65 520 / 112 = 585, el ciclo sinódico de Venus; 2 184 / 2 = 1 092, número

volumétrico del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan (ver cuadro del número 1 092 en el cap. X). Se puede equiparar al volumen del prisma que puede encerrar a los siguientes monumentos: Monumento 1 de La Venta, de 18 928 u3. 18 928 / 1 092 = 17. 333, que por 10 = 173. 333, el medio año de eclipses. El ángulo del límite eclíptico lunar de 25° se encuentra entre las tangentes en forma de cruz que tocan las dos esferas unidas por la banda de la frente de la figura. Factores comunes con cabezas colosales olmecas Monumento 1 de La Venta, V = 18 928 u3. Factor común, 52. Cabeza 1 de San Lorenzo, V = 1 040 IÍ 3 . Factor común, 52.


167

Cabeza 2 de San Lorenzo, V = 5 850 u3. Factor común, 26. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V - 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento A de Tres Zapotes, V = 2 548 u3. Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, v = 1 040 u3. Factor común, 52. El significado último de esta máscara es el de un eclipse y conjunción con Venus. Ya se dijo que el eclipse es un fenómeno que sólo se produce cuando hay Luna nueva o Luna llena cerca de uno de los nodos de su órbita: en el primer caso se tiene un eclipse de Sol; en el segundo, un eclipse de Luna. 3S La banda en la frente tiene los dos astros, el Sol y la Luna, además del ángulo del límite eclíptico lunar de 25° en las tangentes a éstos, por lo que el eclipse parece ser de Luna. 35

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 89. 36 Fernando Ximello Olguín considera que los banquitos popolocas señalan la entrada al inframundo y que sus patas son los colmillos del Monstruo de la Tierra, umbral que hay que pasar para llegar al lugar de los descarnados. En la iconografía del sello de Cuauhtemoc que aparece como contraportada del libro Naxacé- Tlatlahuite, escrito y editado por Ximello, en Tehuacán, 1997, aparecen expresados estos conceptos.

168

23. Máscara barbada con incisiones (v = 585 u3) [ver figura VII. 23]. Proviene de Tabasco y está tallada en serpentina verde y fechada entre 900 y 600 a. C. Pertenece a una colección privada. Sus dimensiones son H = 7. 6 cm, w = 5. 4 cm, D = 3 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena son H = 13 u, w = 9 u, D = 5 u, por lo que su volumen es V = 5 u x 9 u x l 3 u = 585 u3, directamente el ciclo sinódico de Venus. La unidad u en este caso tiene los siguientes valores: 0. 5846... cm; 0. 6 cm; tal vez la unidad correcta sea 0. 6, ya que 0. 6 / 2. 5 = 0. 24, que por 100 = 24, un número entero y calendárico que tiene como factores el 3 (solar) y el 4 (terrestre).


Análisis del 585 585 = ciclo sinódico del planeta Venus. 585 x 20 = 11 700; 11 700 / 45 = 260, un tonalpohualli. El NV 585 indica directamente un ciclo sinódico de Venus. Al multiplicarlo por 20 quedará relacionado con el tonalpohualli (585 x 20 = 11 700 y 11 700 / 45 = 260, un tonalpohualli); con los medios años de eclipses o años nodales: 11 700 x 10 = 117 000 / 675 = 173. 33, un año nodal o medio año de eclipses, y con Mercurio: 11 700= 117x100. Por ser el volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura de 585 u3 se puede equiparar al volumen del prisma que puede encerrar a la cabeza 2 de San Lorenzo, de 5 850 u3. El factor común es 585, el ciclo sinódico de Venus. La cara de la máscara tiene un yacapapálotl o nariguera, que solamente las personalidades importantes podían usar. La boca tiene la forma de los banquitos36 de la cultura popoloca, de fuerte influencia olmeca, que se han encontrado en algunas tumbas del valle de Tehuacán (horizonte posclásico). Las patas del banquito están en lugar de los colmillos que flanquean la entrada de la boca, la entrada al inframundo. Acerca de los colmillos, dientes y boca del Monstruo de la Tierra, como se ha llamado a la representación de Tláloc como dios del inframundo, se puede decir que los colmillos representan los chorros de agua que salen del subsuelo en los manantiales. Una nariguera debe haber estado colgando del tabique nasal. La lengua sale de la boca, lo que quiere decir que se trata de un dios que en este caso es el numen de Venus, dado el color verde de la piedra en que está labrada y las 585 u3 del volumen, una unidad volumétrica por cada día del ciclo sinódico del planeta. Confirmando lo anterior, el historiador Orozco y Berra hace la relación de una piedra que algunos han considerado como almena. Se puede tratar de una piedra que señala la entrada al inframundo, por su iconografía:

En el lado occidental de la Calle de los Muertos y en el interior de las construcciones que M. Charnay llama "palacio", encontró dos losas de gran importancia, una de las cuales cerraba completamente la entrada de un subterráneo.... .... de menos de metro y medio de altura por algo más de un metro de ancho, representa una cruz que reposa en un zócalo, y muestra huellas del antiguo rojo de que estuvo pintada. Una cinta de doce centímetros de altura, que se repliega a ambos lados a manera de greca, forma los brazos y de ella caen esculpidos en bajorrelieve cuatro dientes. En el centro de la base, y también en relieve, se levanta una flecha que penetra algo entre los dos dientes del centro. 37 Manuel Orozco y Berra también llega a la conclusión de que la cruz de Teotihuacan, como él la llama, "tiene tres importantes significados: es deidad de las lluvias, símbolo del tlachco del Sol y de su movimiento, y signo del gran periodo cronológico de los toltecas". 38 La cruz de Teotihuacan es representativa de la deidad de las lluvias. Está formada por la boca olmecoide de la que salen los cuatro dientes de felino y la lengua bifida del saurio primigenio, que posteriormente será Quetzalcóatl, y que corresponde a la flecha que penetra "entre los dos dientes del centro".

res que caracterizan al dios y como cejas dos serpientes emplumadas, sin duda símbolo de Quetzalcóatl. 39 Estas serpientes sustituyen a las llamadas cejas flamígeras de las esculturas olmecas, pero conservan el mismo significado. Acerca de las serpientes que forman las anteojeras de Tláloc, se tiene un buen ejemplo en el calendario azteca, en el que dos reptiles (culebras o tal vez chintetes) circundan los ojos del dios solar en el centro de la piedra calendárica. Se puede imaginar que aquí en la Tierra se juntan las dos deidades dadoras de vida, Tláloc y Quetzalcóatl, el inframundo y el supramundo. En la máscara de oro aparece en forma ovalada la entrada al inframundo, la morada de Tláloc. Quetzalcóatl cae en ese lugar cada vez que Venus entra en conjunción inferior con el Sol, mientras que Tláloc siempre permanece en sus dominios.

37

Manuel Orozco y Berra, "Los monumentos de Teotihuacan", en Roberto Gallegos Ruiz (coord. ), Antología de documentos para la historia de la arqueologia de Teotihuacan, INAH, México, 1997, p. 168.

38

Ibid. 39 Miguel Covarrubias, Indian Art of Mexico and Central America, Alfred A. Knopf, Nueva York, 1957, p. 284.

Figura VII. 23. Máscara barbada con incisiones

En la máscara olmeca los colmillos son símbolo de Tláloc, deidad de las lluvias y del agua subterránea. Los chorros de agua que salen de la boca o entrada del inframundo simbolizan que en este lugar también se genera vida por medio del agua, líquido vital. Tláloc es el dador de la vida del inframundo a través del agua; Quetzalcóatl es el dador de la vida a través del aire y del poder fecundante del Sol. La piedra mencionada por Orozco y Berra pudo haber estado tapando la entrada al subterráneo en el que se veneraba el numen del inframundo. Hablando de Tláloc, existe una sección de una máscara repujada en hoja de oro proveniente del cenote sagrado de Chichén Itzá en donde se ven las anteojeras circula-

AB = 1 3 u AD = 9u DF = 5 u A B x A D = 117 u 2 Vol. = 117 u 2 x 5 u = 585u 3

VII. Las e s c u l t u r a s m e s o a m e r i c a n a s de p e q u e ñ o formato

169

Quetzalcóatl, habiendo resucitado, se remonta como Estrella de la Mañana nuevamente en el aire hasta llegar al cielo de los dioses superiores. También se puede imaginar que allí desaparecerá en el norte, en el Mictlán, en el momento de su conjunción superior con el Sol. El numen del planeta resucitará y saldrá de ese lugar retomando su camino ahora como Estrella de la Tarde, en su descenso hacia el sur por la ruta del poniente. Este recorrido de Venus, que se repite eternamente, sirvió para corregir, complementar y precisar el calendario solar. Lo que ocurre en realidad es que Venus sale de su conjunción superior con el Sol en el norte, luego desciende hacia el sur siguiendo el camino del poniente como Estrella de la Tarde; posteriormente desaparece en su conjunción inferior, cuando entra al inframundo, en donde permanece unos días para salir resucitado otra vez y comenzar su ascenso hacia el norte por el camino del oriente como Estrella de la Mañana. Nuevamente Venus vuelve a entrar en conjunción superior con el Sol, etcétera.

Figura VII. 24. Figura obesa sentada

24. Figura obesa sentada (v = 1 280 u3) [ver figura VII. 24]. Proviene de Veracruz y está fechada entre 900 y 600 a. C. Fue tallada en basalto verde-azul muy oscuro y sus dimensiones son H = 8. 3 cm, W = 5. 1 cm, D = 4. 2 cm. En este caso la unidad u - 0. 518...; 0. 51; 0. 525. Tal vez la correcta es u = 0. 525, ya que 52. 5 / 2. 5 = 21, número entero que tiene como factores tanto el 3 (solar) como el 7 (lunar). Transformando las unidades de centímetros a unidades a la manera indígena, se tiene H = 16 u, W = 10 u, D = 8 u, por lo que el volumen e s v = 8 u x l 0 u x l 6 u = l 280 u3.

Análisis del 1 280 1 280 / 47 = 27. 23, el ciclo dracónico lunar. 1 280 x 13 = 16 640; 16 640 / 64 = 260, un tonalpohualli. El gorro liso del personaje representa a un astrónomo observador de la Luna y el color oscuro de la estatuilla indica un eclipse. El 1 280 pertenece a la serie del 16, que es igual a 4 2 . El número 4 es terráqueo. El hombre obeso simboliza la Luna llena, que es oscura porque está eclipsada. Que se trata de un eclipse lo comprueba su ciclo dracónico (27. 23 días), que es factor de su número volumétrico: el eclipse está determinado por el ciclo dracónico de la Luna (47 x 27. 23 = 1 280). Para lograr la coincidencia con el tonalpohualli se debe multiplicar el volumen por 13: 13 x 1 280 u3 = 16 640 u3. 16 640 / 64 = 260, un tonalpohualli. 16 640 /160 ~ 104, un siglo mesoamericano. 16 640 / 320 = 52, medio siglo mesoamericano. 16 640 / 32 = 520, tres años nodales. 16 640 / 173. 333 = 96 eclipses solares, por lo que la escultura es casi negra. 16 640 / 611 = 27. 23..., el ciclo dracónico lunar. Se hace hincapié en que el eclipse es un fenómeno que sólo se produce cuando hay

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Luna nueva o Luna llena cerca de uno de los nodos de su órbita: en el primer caso se tiene un eclipse de Sol; en el segundo, un eclipse de Luna (Anthony F. Aveni, 1991).

Figura VII. 25. Figura sentada

25. Figura sentada (v= 3 328 u3) [ver figura VII. 25]. Proviene de Las Bocas, Puebla, y está fechada entre 1200 y 900 a. C. Está tallada en piedra color marfil con pátina de cinabrio. Pertenece a la colección de Laura y Raymond Wuielgus y se exhibe en el Museo de Arte de la Universidad de Indiana. Sus medidas son H = 11 cm, w = 10. 8 cm, D = 8. 9 cm, que transformadas en unidades a la manera indígena son H = 16u, w = 1 6 u, D = 13 u. Se propone que en este caso u = 0. 675 cm. El volumen, V = 16 u x 16 u x 13 u = 3 328 u3. Se puede escribir la siguiente igualdad: 3 328 u3 = 104 x 32 = 52 x 64 = 13 x 256; V = 3 328 u3.

Análisis del 3 328 3 328 x 10 = 33 280, que es divisible entre el medio año de eclipses de 173. 33 días (33 280 / 192 = 173. 33). La gordura del personaje indica que se trata de Luna llena. 3 328 / 64 = 52, un medio siglo mesoamericano. 3 328 / 32 = 104, un siglo mesoamericano. 3 328 / 113 = 29. 451, aproximadamente el ciclo sinódico de la Luna. 3 328 x 20 = 66 560; 66 560 / 256 = 260, un tonalpohualli. Al restar 3 380 - 3 328 = 52 se comprueba que en la diferencia se encuentra una nueva unidad, el 52 (3 380 / 65 = 52; 3 328 / 64 = 52). El 3 328 es un número solar. Por otro lado, 11 960 / 115 = 104; 3 328 / 32 = 104, y si dos cosas son iguales a una tercera son iguales entre sí, por lo que se puede escribir la siguiente igualdad que relaciona el volumen 3 328 con el gran ciclo lunar de 11 960 días: 11 960 = (115 x 3 328) / 32. El 29. 5308, que es el ciclo sinódico de la Luna, es factor del 11 960 (29. 5308 x 405 = 11 960).

AB = 16 u AD = 16 u DF = 13 u AB x AD = 256 u2 Vol. = 2 5 6 U

2

X 1 3 U = 3 328LJ

Al ser el volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura de 3 328 u 3 , se puede equiparar al del prisma que puede encerrar a las siguientes esculturas: Cabeza 1 de San Lorenzo, V = 1 040 u3. Factor común, 52. Cabeza 2 de San Lorenzo, V = 5 850 u3. Factor común, 26. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, v = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento A, Tres Zapotes, V = 2 548 u3. Factor común, 52.


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Monumento 1, La Venta, V - 18 928 u3. Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, v = 1 040. Factor común, 52. El color blanco marfil es lunar, lo que confirma el gorro liso que representa la Luna, al parecer Luna llena, por lo obeso de la figura del astrónomo que la observa. En este caso la Luna eclipsa el Sol, como lo indica el cinabrio de la pátina. El color rojo del cinabrio le da características solares a los objetos que recubre.

26. Figura de hombre acuclillado (v = 936 u3) [ver figura VII. 26]. Esta figura tallada en esteatita procede de Puebla y está fechada entre 900 y 500 a. C. Pertenece al Museo de Arte de Dallas. Tiene las siguientes medidas: H = 7. 6 cm, w = 4. 6 cm, D = 5. 1 cm. Una vez transformados los centímetros en unidades a la manera indígena se tiene H= 13 u, w = 8 u, D = 9 u, por lo que el volumen es V = 13 u x 8 u x 9 u - 936 u3. Este volumen es igual al que presenta la figura 6, tazón grabado, V = 9 360 u3 y la 49, vaso trípode, V = 9 360 u3, por lo tanto su decodificación es la misma.

Análisis del 936 936 / 18 = 52, un medio siglo. 936 / 9 = 104, un siglo mesoamericano. 936 / 8 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio. 9 360 / 317 = 29. 5268, aproximadamente el ciclo sinódico lunar. 9 360 = thix maya para predecir eclipses. 9 360 / 16 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 9 360 / 54 = 173. 33, el medio año de eclipses. 9 360 / 346. 6 (el año de eclipses) = 27, el ciclo dracónico de la Luna ajustado.

Figura VII. 26. Hombre acuclillado

AB = 13 u AD = 9 u DF = 8u ABxAD = 117u 2 Vol. = 117u2x 8u = 936u3

172


Este volumen corresponde a tres ciclos de 312, número de Chalchihuicueye que lo relaciona con el inframundo, y con nueve siglos mesoamericanos. El 9 360: (936 x 10 = 9 360), es el número que los mayas llamaban thix y era utilizado para predecir los eclipses, ya que contiene como factores el 520 y el 173. 33. La figura tiene color negro, 10 que confirma un eclipse; 9 360 / 317 = 29. 5268, que es aproximadamente el ciclo sinódico lunar. La diferencia es de únicamente 4 milésimas de día. La unidad de medida empleada en este caso puede ser 0. 584, 0. 511 y 0. 675, ya que 7. 6 / 13 = 0. 584... cm; 4. 6 / 9 = 0. 511... cm; 5. 1 / 8 = 0. 6375 cm. Tal vez la correcta sea 0. 675. Se puede dividir 0. 675 entre 2. 5, cuyo cociente es 0. 27. Este número multiplicado

por 100 - 27, número lunar relacionado con los eclipses. Su relación con los medios años de eclipses y con el tonalpohualli es de la siguiente manera: 936 x 10 = 9 360; 9 360 / 260 = 36; y 9 360 / 173. 33 = 54, que a su vez = 2 x 27. El hombre acuclillado es muy viejo; tiene barba, nariz ganchuda y muestra sus genitales. Mira al cielo y porta un gorro totalmente liso, por lo que puede ser un astrónomo que estudia la Luna, Venus y Mercurio, y que está en espera de que ocurra un eclipse solar. Al astrónomo lo ponen viejo y desnudo para indicarnos que ha habido observadores de la Luna desde tiempo atrás, tal vez desde el inicio de la era maya, ya que 936 x 2 000 = 1 872 000, que en días es la era maya, el inicio del tiempo presente. 27. Figura parada (v = 2 184 u3) [ver figura VII. 27]. Está fechada entre 900 y 600 a. C, y proviene de Tajumulco, Guatemala. Está tallada en jade azul verdoso y tiene las siguientes dimensiones: H = 9. 5 cm, w - 5. 1 cm, D = 2. 8 cm, que transformadas de centímetros a unidades a la manera indígena son H = 24 u, w = 13 u, D = 7 u. La dimensión de u, de acuerdo con H = 9. 5 / 24 = 0. 395...; W = 5. 1 / 13 = 0. 3923...; D = 2. 8 / 7 = 0. 4. Parece que es esta última el valor de u correcto. Entonces las dimensiones del prisma que puede envolver a esta pieza son H = 24 x 0. 4 = 9. 6 cm; W = 13 x 0. 4 = 5. 2 cm; y D = 7 x 0. 4 = 2. 8 cm. Esta última medida corresponde a la unidad teórica. El volumen en unidades a la manera indígena es V = 7 u x 13 u x 2 4 u = 2 184 u3.

Análisis del 2 184 2 184 / 42 = 52, medio siglo mesoamericano. 2 184 / 21 = 104, un siglo mesoamericano. La escultura tiene esgrafiado en el pecho el símbolo de las bandas cruzadas o cruz de San Andrés, que confirma el cambio de año y siglo. 2 184 / 6 = 364, un año del Sol del inframundo.

Figura VII. 27. Figura parada

AB = 24 u AD = 13 u DF = 7 u ABxAD = 312u 2 Vol. = 3 1 2 u 2 x 7 u = 2 184u 3

2 184 / 28 = 78, número de lunas visibles en un ciclo sinódico o de fases. 2 184 / 7 = 312, el número de Chalchihuicueye. 2 184 x 20 = 43 680; 43 680 / 168 = 260, un tonalpohualli. 43 680 / 520 = 84, el número de unidades a la manera indígena del diámetro de la Piedra del Sol o calendario azteca. 2 184 x 15 = 32 760; 32 760 es un importante MCM lunar que tiene como factor el 819, antiguo conteo lunar maya (ver el número 32 760 en el apéndice "Números").


173

Análisis del 32 760

40

En algunos casos ¡as referencias son de días y en otros de años, por lo que se señala que se trata solamente de ciclos. Sin embargo, los números que significan ciclos en años pueden ser transformados a ciclos en días. En ciertas ocasiones el año se toma con su duración real, como año trópico; en otras, de 360 o de 36S días. El siguiente ejemplo lo demuestra: 2 184/42 = 52, que se puede interpretar como 42 ciclos de fuegos nuevos. Esto en días sería 52 x 365x42 = 18 980 x 42 = 797 160. La interpretación de este número se vuelve más amplia, ya que ahora se puede encontrar su coincidencia con el tonalpohualli: 797 160/ 3 066 = 260; 797 160/ 2 184 = 365; 797 160/ 2 190 = 364. De esta manera se sabe qué ciclos está representando la escultura, mas no necesariamente la cantidad de ellos. Saber cuántos ciclos son nos lleva a saber cuándo se produce su coincidencia, lo que también es importante.

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32 760 / 1 109 = 29. 54, el ciclo sinódico de la Luna. 32 760 / 40 = 819, antiguo calendario lunar maya. 32 760 / 56 = 585, el ciclo sinódico de Venus; 52, 90, 91, 104, 117, 260, 360, 364, 780, son sus factores. 32 760 / 130 = 252, un ciclo sinódico de Venus como Estrella de la Mañana de 252 días. El intervalo verdadero es de 263 días. 32 760 / 1 200 = 27. 3, el ciclo sidéreo de la Luna. 32 760 / 126 = 260, un tonalpohualli. El engrane con el tonalpohualli se obtiene también cuando se multiplica el volumen por 20: 2 184 x 20 = 43 680; 43 680 / 168 = 260, un tonalpohualli. 32 760 / 189 = 173. 33, un medio año de eclipses. El NV 2 184 (todos los números considerados solamente como ciclos)40 corresponde a 42 fuegos nuevos o medios siglos mesoamericanos; 21 siglos mesoamericanos; 24 periodos de 91 días o cuarta parte del año del Sol del inframundo, 364; seis ciclos del año del Sol del inframundo; 168 tlalpillis, etcétera. Un dato iconográfico importante es el color verde de la piedra, que señala una relación con Venus. Esto se logra al multiplicar 2 184 x 15 = 32 760, importantísimo MCM de números astronómicos y calendárteos, particularmente los lunares. En la cabeza de la escultura se encuentra la banda de la eclíptica; de ahí que se encuentre como factor el 173. 33, el medio año de eclipses. Por ser el volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura de 2 184 u3, se puede equiparar a los volúmenes de los prismas que pueden encerrar a las siguientes esculturas: Cabeza 1 Factor Cabeza 2 Factor


de San Lorenzo, V = 1 040 u3. común, 52. de San Lorenzo, V - 5 850 u3. común, 26.

Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V - 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, v = 4 160 w3. Factor común, 52. Monumento A de Tres Zapotes, V = 2 548 u3. Factor común, 52. Monumento 1, La Venta, V - 18 928 u3. Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, V = 1 040. Factor común, 52. La escultura presenta en la frente una banda con dos esferas que, al unirlas por medio de dos tangentes, se forma el ángulo de 31°, que es el del límite eclíptico solar.

28. Figura parada cargando una efigie sobrenatural (V = 288 u3) [ver figura VII. 28]. Esta pequeña escultura proviene de Tabasco o Veracruz, y está tallada en jade. La fecha de su hechura está entre 800 y 500 a. C. Tiene las dimensiones siguientes: H = 21. 9 cm, w = 8. 1 cm, D = 4. 1 cm, que en unidades a la manera indígena son H = 16 u, w = 6 u, D = 3 u. El valor de u en este caso se encuentra entre las siguientes medidas: 21. 9 cm / 16 = 1. 368... cm, 8. 1 / 6 =1. 35 cm, 4. 1 cm / 3 = 1. 366... cm: V = 288 u3.

Análisis del 288 288 / 2 = 144, la milésima parte del haktún maya de 144 000 días. El NV del prisma que puede encerrar a esta pieza = 1 6 u x 6 u x 3 u = 288 u3, que es el doble del 144. Si 144 se multiplica por 1 000, se tiene un haktún maya o 144 000 días. El MCM del NV 288 y del ciclo sinódico de Venus 585 = 18 720, la centésima parte de la era maya. El color verde de la piedra

sugiere la presencia de Venus (18 720 / 65 = 288 y 18 720 / 32 = 585); 18 720 / 520 = 36, lo que indica 108 posibilidades de eclipse (36 x 3 = 108. El 36 se multiplica por 3, ya que el medio año de eclipses vale 173. 3 días y 5 2 0 / 3 = 173. 33). De manera indirecta, si 18 720 se multiplica por 3, se tiene 18 720 x 3 = 56 160, que es divisible entre 27, número relacionado con el ciclo dracónico de la Luna causante de los eclipses solares: 56 160 / 2 080 = 27. La orientación de un baktún hacia los cuatro rumbos cardinales equivale a multiplicarlo por 4 (144 000 x 4 = 576 000). Ahora se encuentra la relación con el año trópico aproximado: 576 000 / 1 577 = 365. 25, con el 27 y con el 520. La estatuilla representa la coincidencia de ciclos del año trópico y del ciclo sinódico de Venus, así como del cambio a un nuevo siglo. Siendo el NV del prisma recto rectángulo que puede encerrar a esta escultura de 288 u3, se puede equiparar al NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u 3 . Factor común, 36. Del ciclo sinódico de Venus nos remite esta escultura: el color verde del jade lo indica y el NV de la escultura lo confirma (18 720 / 32 = 585, el ciclo sinódico de Venus). Por otro lado, el NV 288 simboliza el Sol: 144 000 (un baktún maya) / 500 = 288. El niño que carga el hombre es el símbolo de un nuevo ciclo solar, en este caso del comienzo del siglo de 104 años. Puede ser también el inicio del año trópico exacto. La cinta o diadema con dos círculos que adorna la frente del niño señala que dos astros se encuentran en la eclíptica (ver cap. V, "El año trópico y la cruz de San Andrés / El paso cenital del Sol y la cruz de Malta"). 29. Efigie en forma de hacha (v = 3 640 u3) [ver figura VII. 29]. Esta estatuilla proviene del actual estado de Oaxaca y pertenece a una colección privada. Está fechada entre 900 y 600 a. C, y tallada en serpentina oscura con venas color verde claro.

Figura VII. 28. Figura parada cargando una efigie sobrenatural

AB = 16u AD = 6u DF = 3u ABxAD = 96 u2 Vol. = 96 u2 x 3 u = 288 u3

Figura VII. 29. Efigie en forma de hacha

AB = 28 u AD = 13 u DF = 10u ABxAD = 364 u2

Vol. =364u 2 x10u = 3640u3


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Sus dimensiones son dadas en cm y transformadas después a unidades u a la manera indígena, que en este caso mide 1 cm: H = 28 cm = 28 u; W = 13 cm = 13 u; D = 10 cm = 10 u; V = 3 640 u3.

Análisis del 3 640 3 640 / 10 = 364, el año del Sol del inframundo. 3 640 / 70 = 52, medio siglo mesoamericano. 3 640 / 35 = 104, el siglo mesoamericano. 3 640 / 21 = 173. 33, un medio año de eclipses. 3 640 / 14 = 260, un tonalpohualli. La cabeza no presenta la incisión en V característica de tantas cabezas olmecas, pero sí la boca olmecoide de entrada al inframundo. En el tórax de la escultura pueden verse granos de maíz con incisiones, lo que indica una variante del símbolo de los cuatro círculos con barra en medio que significan los cuatro rumbos del universo y el árbol de la vida, en este caso enraizado en el inframundo. Como todas las hachas votivas olmecas, se puede ver una gran incisión en el cuello que delimita la cabeza del tórax. El prisma recto rectángulo envolvente virtual tiene un NV de 28 u x 13 u x 10 u = 3 640 u3, mismo que se relaciona directamente con el año del Sol del inframundo, lo que confirma el color oscuro de la piedra. La relación con el tonalpohualli: 3 640 / 14 = 260. Por otro lado, 3 640 / 21 = 173. 33, el medio año de eclipses; por esto lo oscuro de la piedra. Representa 14 tonalpohuallis y 21 años nodales. Al ser el número volumétrico del prisma recto rectángulo envolvente virtual de esta escultura 3 640 u3, se puede equiparar al NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual del monumento 1 de La Venta, de 18 928 u3. El factor común es 364, el año del Sol del inframundo.

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30. Hacha votiva (V = 4 680 u3) [ver figura VII. 30]. Esta hacha votiva está fechada entre 900 y 500 a. C. y proviene de Tabasco. Esculpida en piedra gris oscuro con venas blancas, se encuentra en el Museo de Arte de Dallas. Sus dimensiones en cm y en unidades u a la manera indígena son H = 26. 4 cm, w = 14. 6 cm, D = 11. 9 cm. Se propone que estas medidas se modifiquen ligeramente a H = 26 cm, w = 15 cm y D = 12 cm. Así, la unidad uala manera indígena medirá 1 cm y se obtendrá un NSA en su volumen: V = 26 u x 15 ux 12u = 4 680u 3 .

Análisis del 4 680 4 680 / 2 = 2 340, importante número dentro de la numerología mesoamericana, llamado número simétrico por del Paso y Troncoso (ver el número 2 340 en el apéndice 1, "Números"). 4 680/45 = 104, un siglo mesoamericano. 4 680 / 6 = 780, un ciclo sinódico de Marte. 4 680 / 90 = 52, medio siglo mesoamericano. 4 680 / 8 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 4 680 / 18 = 260, un tonalpohualli. 4 680 / 13 = 360, un año ajustado a 360 días. 4 680 / 173. 33 = 27, el ciclo dracónico de la Luna. 4 680 / 27 = 173. 33, el medio año de eclipses. Tal vez por tener como factores el 27 y el 173. 33 es que del Paso y Troncoso llama al 2 340 (4 680 / 2 = 2 340) número simétrico. De hecho, 27 x 173. 333... =4 680. El 4 680 es uno de los principales MCM utilizados por los mesoamericanos en sus coincidencias de ciclos, dado que tiene como factores varios importantes NSA y NSG. Entre ellos los siguientes: 45 siglos mesoamericanos, seis ciclos sinódicos de Marte, 90 ceremonias del Fuego Nuevo, ocho ciclos sinódicos de Venus, 13 ciclos

de 360 días. Su relación con el tonalpohualli es directa: 4 680 = 18 x 260; 4 680 / 27 = 173. 33, un año nodal, y por eso el color oscuro de la piedra (ver cuadro del número 4 680 en este capítulo). Se puede apreciar el número 27 como número de enlace, pero si se divide 4 680 / 173. 333 = 27 se puede decir que 27 es NSC, el ciclo dracónico de la Luna ajustado a 27 días.

Figura VII. 30. Hacha votiva

Por ser el volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura de 4 680 u3, se puede equiparar al de los prismas que pueden encerrar a las siguientes cabezas: Cabeza 1 de San Lorenzo, v = 1 040 u3. Factor común, 52. Cabeza 2 de San Lorenzo, V = 5 850 u3. Factor común, 26. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento A de Tres Zapotes, V = 2 548 ÚΛ. Factor común, 52. Monumento 1, La Venta, V = 18 928 u3. Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, V = 1 040. Factor común, 52. La cabeza presenta una incisión de 105° en la frente, que significa los días que el Sol está por arriba de la latitud de 15° N y tiene una especie de moño o mariposa que representa amarre o coincidencia de ciclos. La boca trapezoidal olmecoide está delimitada por el labio superior y tiene la forma de los banquitos mortuorios del valle de Tehuacán, que indican la entrada al inframundo. Dos grandes colmillos salen de la boca como chorros de agua, probablemente indicando los manantiales relacionados con Tláloc.

AB = 26 u AD= 15 u DF= 12 u AB x AD = 390 u2 Vol. = 390 i f x 1 2 u = 4680 u3

31. Efigie en forma de hacha (v = 4 680 u3) [ver figura VII. 31]. Proviene de Tabasco y está fechada entre 1000 y 500 a. C. La piedra en la que está tallada es verde oscuro con venas blancas. Pertenece a una colección privada. Sus dimensiones dadas tanto en cm como en unidades a la manera indígena son H = 26 cm, W = 15 cm, D = 12 cm. La decodificación de esta esculturilla es la misma que la de la figura anterior, pues sus dimensiones son iguales. La única diferencia se encuentra en la apertura del ángulo en la frente, en este caso de 31°, que corresponde al límite eclíptico solar (ver el número 31 en el apéndice "Números" y cuadro del número 4 680 en este capítulo). Por ser el volumen V = 4 680, su decodificación será la misma que para la figura anterior y se puede equiparar a las siguientes cabezas colosales olmecas:


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Todas las hachas votivas olmecas que se han encont r a d o en e n t e r r a mientos están relacionadas con el infratnundo.

Cabeza 1 de San Lorenzo, V = 1 040 u3. Factor común, 52. Cabeza 2 de San Lorenzo, V = 5 850 u3. Factor común, 52 / 2 = 26. Cabeza 3 de San Lorenzo, V = 1 560 u3. Factor común, 52. Cabeza 5 de San Lorenzo, V = 9 360 u3. Factor común, 52. Cabeza 8 de San Lorenzo, V = 10 920 u3. Factor común, 52. Cabeza 9 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Cabeza 10 de San Lorenzo, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento A de Tres Zapotes, V = 2 548 u3. Factor común, 52. Monumento 1, La Venta, V = 18 928 u3. Factor común, 52. Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u3. Factor común, 52. Monumento 3, La Venta, V = 1 040 u3. Factor común, 52.


AB = 26 u AD=15u DF = 12 u AB x AD = 390 u2 Vol. = 3 9 0 u 2 x 1 2 u = 4 680u3

178


32. Placa con efigie sobrenatural (v= 156 u3) [ver figura VII. 32]. Proviene de Cuautla, Morelos, y está tallada en una piedra amarillo-verdosa. Sus dimensiones en cm son H = 14. 9 cm, W = 6. 7 cm, D = 2 cm. Se proponen las siguientes: H = 14. 898 cm, w = 6. 687 cm, D = 2. 29 cm., que transformadas en unidades o la manera indígena son H = 13 u, w = 6 u y D = 2 u, que son muy aproximadas a las dadas. Con estas medidas el volumen es V = 3 1 3 Ü X 6 U X 2 U =156 u (ver el número 156 en el apéndice 1, "Números").

Análisis del 156 156 x 10= 1 560. 156 x 20 = 3 120 u3. El volumen habrá que multiplicarlo por 10 o por 20 para hacerlo coincidir con el tonalpohualli: 3 120 / 12 = 260, un tonalpohualli y coincidencia con varios otros ciclos. 3 120 / 60 = 52, un medio siglo mesoamericano en años. 3 120 / 30 = 104, un siglo mesoamericano. 3 120 / 3 = 1 040 = 3 x 346. 6; este último factor corresponde al año de eclipses. 3 120 x 3 = 9 360, el thix maya empleado en la predicción de eclipses. De ahí que aparezca la banda de la eclíptica en la frente de la escultura. 9 360 / 16 = 585, el ciclo sinódico de Venus. Por esto el color verdoso de la piedra. Porque el volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura es de 156 u3, se puede equiparar al NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual de los monumentos citados en los párrafos anteriores que tienen como factor común el 52. Se observa que todas las hachas votivas olmecas que se han encontrado en enterramientos están relacionadas con el inframundo. De esto se infiere que tal vez representan la semilla que se coloca por debajo y adentro de la tierra en el inframundo, que con el agua y el calor fecundante del Sol germinará y

traerá nueva vida. En la cabeza esta hacha tiene la incisión de 52°, la cual representa el Fuego Nuevo, la renovación de la vida y esperanza de resurrección. En la frente tiene una banda (la eclíptica) con dos salientes en forma de rectángulos (algunas veces en otras cabezas son circulares), que representan los nodos donde ocurren eclipses. ¿Quiere esto decir que el espíritu del difunto resucitará al final de un eclipse para ascender al cielo superior de los dioses?

Figura VII. 32. Placa con efigie sobrenatural

33. Efigie en forma de hacha (v= 27 664 u3) [ver figura VII. 33]. Proviene de Veracruz y ha sido fechada entre 1000 y 500 a. C. Está tallada en granito gris rosado y pertenece al Museo de Arte de la Universidad de Princeton. Sus dimensiones, dadas tanto en cm como en unidades u a la manera indígena, son H = 30 cm = 52 u; W = 16 cm = 28 u; D = 11 cm = 19 u, por lo que u = 0. 576 cm (v = 27 664 u3).

AB=13u AD = 2 u DF = 6 u ABx ADxDF = 156 u2 Vol. = 1 3 u x 6 u x 2 u = 156u 3

Análisis del 27 664 27 664 / 266 = 104, un siglo mesoamericano. 27 664 / 76 = 364, un año del Sol del inframundo. 27 664 / 988 = 28, número de lunas visibles en un mes lunar. 27 664 / 532 = 52, medio siglo mesoamericano. 27 664 / 1 456 = 19, en años el ciclo metónico lunar.


El NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual de esta figura es de 52 u x 28 u x 19 u = 27 664 u3 y corresponde a 266 siglos mesoamericanos, 76 ciclos de 364 días o ciclo del Sol del inframundo y aproximadamente cuatro ciclos metónicos de la Luna, que corresponden a 19 años de 365. 2422 días. Al multiplicar 27 664 por 10 obtenemos 276 640, que corresponde a 1 064 tonalpohuallis. Al dividir 276 640 / 173. 33 = 1 596 medios años nodales o medios años de eclipses.


179

¥"•

Estas esculturas prueban que los olniecas conocían también perfectamente el ciclo metónico de la Luna.

El volumen del prisma que puede encerrar a esta escultura es de 27 664 u3, por lo cual se puede equiparar al del prisma recto rectángulo que puede ser la envolvente virtual del monumento 1, La Cobata, con volumen de 59 280 u3. El factor común es 19, un ciclo metónico lunar que se relaciona con el ciclo del 312, número de Chalchihuicueye (59 280 / 19 = 312 x 10). Estas esculturas prueban que los olmecas conocían también perfectamente el ciclo metónico de la Luna. Para hacerlo coincidir con el tonalpohualli habrá que multiplicarlo por 20: 27 664 x 20 = 553 280; 553 280 / 2 128 = 260, un tonalpohualli; 553 280 / 28 = 19 760 lunas visibles. La cabeza no presenta ninguna incisión en la frente. En su lugar tiene una media banda que representa la eclíptica. En ella aparecen dos círculos, el Sol y la Luna, coincidiendo en los nodos. Las tangentes que se pueden trazar entre los dos círculos marcan un ángulo de 25°, que corresponde al del límite eclíptico lunar.

Figura VII. 34. Hombre y mujer abrazados

AB=9u AD = 5 u DF = 6 u AB x AD = 45 u' Vol. = 4 5 u a x 6 u = 270u 3

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34. Hombre y mujer abrazados (v - 270 u3) [ver figura VII 34]. Pertenece esta escultura a una colección privada y procede de Las Bocas, Puebla. Está fechada entre 1200 y 900 a. C. El material en el que está moldeada es una mezcla de barro fino y agua utilizada por los ceramistas. Es de color marfil y tiene trazas de pigmento rojo. En la iconografía el color marfil representa la luz de la Luna y el rojo, la del Sol. Sus medidas, iguales en cm que en unidades u a la manera indígena, miden 1 cm, y son las siguientes: H = 9 cm = 9 u; w = 5 cm = 5 u; D = 6 cm = 6 u, por lo que el volumen del prisma que la puede encerrar es 9 u x 5 u x 6 u = 270 u3: V = 270 u3.

Análisis del 270 270 / 10 = 27, el ciclo dracónico lunar ajustado. 270 x 26 = 7 020; 7 020 / 27 = 260, un tonalpohualli. 7 020 / 135 = 52, medio siglo. 7 020 x 2 = 14 040; 14 040 / 81 = 173. 33, medio año nodal. Un volumen de 270 u3 es significativo del ciclo dracónico de la Luna (ajustado) y relativo a eclipses. Para encontrar la coincidencia con el tonalpohualli se debe multiplicar el volumen por 26 para obtener el número 7 020 u3. Aquí se observa la misma numerología que la planta de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, por lo que se puede decir que la base del primer cuerpo de la pirámide representa la conjunción del Sol con la Luna en un eclipse (26 u x 27 u - 702 u2 x 10 u = 7 020 u3). Siendo el NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual de esta escultura 270 ¿i3, se puede equiparar al NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual del monumento 4 de La Venta, de 5 400 u3. Factor común, 27, un ciclo dracónico lunar. Representa esta escultura la unión de la Luna con el Sol - u n eclipse-, de la misma manera como se puede ver en algunas

figuras del Códice de Dresde, en las cuales la Luna está abrazada con el Sol. A juzgar por la numerología y por la iconografía, se trata de una conjunción de la Luna y el Sol o de un eclipse de Sol. 41

Cuadro de análisis de esculturas olmecas de pequeño formato En el cuadro siguiente se tiene un resumen de los números volumétricos de las piezas de escultura olmeca de pequeño formato. 42 Se

presenta con varias columnas: en "Objeto" está el nombre de la pieza. Sigue el número volumétrico, que muchas veces se tiene que multiplicar por 10, 20, 100 o 1 000 para trabajar con números enteros y encontrar la coincidencia con el tonalpohualli. En ese mismo casillero están las "Coincidencias" con otros ciclos y el nombre del ciclo del astro con el que coincide. Las medidas de los objetos estudiados están dadas en el libro de Michael D. Coe en cm; en este cuadro han sido transformadas en unidades a la manera indígena, de acuerdo con el método ya explicado.

41

Códice de Dresde, edición facsimilar, Fondo de Cultura Económica, México, 1983, pp. 79 (59) y 80 (60). 42 Michael D. Coe, op. cit. De este libro fueron tomadas en centímetros todas las medidas de las esculturas y transformadas en unidades u a la manera indígena.

Análisis de los números volumétricos de las envolventes de las esculturas

Objeto Sarcófago, monumento 6 Perforador de sacrificio Efigie sobrenatural Efigie en forma de canoa

Tazón grabado Tazón grabado Tazón grabado Vasija grabada Efigie sobrenatural Figura abrazando a un niño Fiqura acróbata Figura en transformación Figura sentada Figura sosteniendo su cabeza Hombre barbado

Figura de hombre sentado Hombre sentado Figura parada con efigie sobrenatural Efigie reducida Máscara con incisiones

Cabeza con incisiones Efiqie reducida Figura parada

Número en u3 (volumen o NV) 1 872; 1 872 X 1 000 = 1 872 000 / 260 = 7 200 18 7 2 0 = 173. 33 X 108 560; 560 X 13 = 7 280 8 748 = 486 X 18 = 29. 554 X 296 8 748 + 40 = 8 7 8 8 = 6 7 6 x 1 3 308; 308 X 13 X 10 = 40 040 = 154 x 260 = 173. 33 X 231 = 5 2 x 7 x 11 X 10

6 760; 6 760 = 26 X 260 6 760 = 39 X 173. 33 9 360; 9 360 = 36 X 260 9 3 6 0 = 2 x 2 7 x 1 7 3 . 33 7 800; 7 800 = 3 0 x 2 6 0 7 800 = 45 X 173. 33 = 780 x 10 780; 780 = 3 x 260 7 8 0 0 = 173. 3 3 x 4 5 1 248; 12 480 = 48 X 260 = 72 X 173. 33 832; 8 320 = 32 X 260 = 48 X 173. 33 520; 520 = 2 X 260 = 173. 3 X 3 4 940; 4 9 4 0 = 1 9 x 2 6 0 4 940 X 2 = 173. 33 X 57 18 252; 18 2 5 2 = 1 3 x 2 7 x 5 2 = 1 6 9 x 1 0 8 = 6 7 6 x 2 7 18 252 X 20 = 365 040 = 1 404 X 260 2 860; 2 860 = 11 X 260 = 55 X 52 = 44 X 65 286 000 = 783 X 365. 2618 28 600 = 173. 33 X 165 936; 936 = 9 x 1 0 4 = 1 8 x 5 2 1 872 0 0 0 / 2 0 0 0 = 1 1 7 x 8 9 360 = 36 X 260 = 312 X 30 = 360 X 26 9 3 6 0 = 173. 3 3 x 2 x 2 7 3 328, 33 280 = 128 X 260 = 104 X 320 = 1 1 2 8 x 2 9 . 503 33 2 8 0 = 173. 33 X 192 1 040, 1 040 = 10 X 104 = 4 X 260 = 6 X 173. 333 288 = 144 x 2, en donde 144 es la milésima parte del baktún Va indirectamente a la era maya 27 644 = 29. 5341 X 3 X 312 = ( 2 6 0 x 1 0 6 ) + 84 2 184 / 2 = 1 092; 1 092 X 10 = 10 920 = 260 X 42; 12x91 = 3 x 3 6 4 10 920 = 173. 3 3 x 6 3 728; 7 2 8 0 = 2 8 x 2 6 0 = 3 6 4 x 2 0 = 173. 3 3 x 4 2 3 640; 3 640 = 14 X 260 = 173. 33 X 21 2 184; 21 840 = 84 X 260 21 8 4 0 = 173. 33 X 126

Coincidencias Tonalpohualli, era maya, Sol, Luna, Venus, Mercurio, Marte Eclipse 7 280 / 28 = 260, un tonalpohualli (indirecto), Luna Venus en su gran ciclo de tránsitos, Luna, era cosmogónica, tonalpohualli (indirecto) Sol, Luna, eclipse 40 040 = 260 X 154 = 520 X 77 = 52 X 7 X 11 X 10 = 231 X 173. 33 Tonalpohualli (indirecto) Tonalpohualli, eras cosmogónicas Eclipse Tonalpohualli, ajuste solar con Venus Eclipse Tonalpohualli, Sol, eclipses, Marte Tonalpohualli, Marte Eclipse Tonalpohualli, Sol, eclipses Tonalpohualli, solar, eclipses Tonalpohualli, solar, eclipses Tonalpohualli, solar, eclipses en un ciclo metónico sí y otro no Luna, medio siglo mesoamericano, era cosmogónica Tonalpohualli (indirecto) Tonalpohualli, solar, Venus, eclipse, año trópico de 365. 2618 días Tonalpohualli, Sol, Mercurio 936 x 1 0 = thix maya Era maya = 936 x 2 X 1 000 = 1 872 000 días Eclipse Tonalpohualli, solar Eclipse Tonalpohualli, solar, eclipses Tonalpohualli, año trópico, solar ajustado, 360 días; 288 / 2 = 144; 144 x 1 000 = 144 000, un baktún Eclipse Lunar sinódico, Chalchihuicueye Tonalpohualli (indirecto) Tonalpohualli, Sol del inframundo Eclipse Tonalpohualli, Sol del inframundo Eclipse Tonalpohualli, Luna, Sol del inframundo, eclipse Tonalpohualli, lunar mensual y anual solar ajustado Eclipse

VII Las esculturas m e s o a m e r i c a n a s de p e q u e ñ o f o r m a t o

181

Análisis de los números volumétricos de las envolventes de las esculturas Número en u3 ('volumen o NV)

Objeto Figura sentada

Figura obesa sentada Figura sentada Figura sosteniendo su cabeza Hacha votiva Máscara barbada con incisiones Figura con los pies en la cabeza Figura sentada cargando a un niño Placa Hombre y mujer abrazados

504 = 7 X 72 5 040=14x360 5 040=173. 79x29 504 X 65 = 32 760 32 760/40 = 819 1 280 X 13 = 64 X 260 = 1 040 X 16 1 280 = 47 X 27. 23 4 680 =18x260 4 680=173. 33x27 1 170; 11700 = 45x260 117 000 = 173. 33x675 4 680=18x260 4 680=173. 33X27 585; 58 500 = 260 X 225 5 850 000 = 173. 33 X 33 750 635 440 = 2 444 X 260 63 544 = 94 X 676 635 440 = 3 666x173. 33 4 056; 40 560 =156x260 4 056 = 6X676 = 39X104 40 560=173. 33x234 572 = 2a X 11x13 5720 = 2x11 X260 5 720=173. 33x33 520 =2x260 = 3x173. 33

De las 34 figuras olmecas estudiadas solamente seis tienen coincidencia indirecta con el tonalpohualli y se refieren a la Luna; las 28 solares restantes coinciden directamente con el tonalpohualli y se remiten al Sol, lo que indica que el calendario sagrado o adivinatorio estaba regido por el Sol.

43

Felipe Solís, Mexicα, Museo Nacional de

Descripción, obtención y análisis del NV de esculturas de pequeño formato pertenecientes a diversas culturas mesoamericanas

Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, fotografías de Michael Calderwood, Jorge Pérez de Lara, Jorge Plata Gutiérrez, Michel Zabé y Enrique Macias, México, 2004. Todos los datos fueron tomados de las publicaciones del Museo.

182

Este estudio no quedaría completo si no se incluyera por lo menos una figura de otras culturas mesoamericanas. Aquí se presenta el análisis volumétrico y posible decodificación de algunas de las piezas que exhibe el Museo Nacional de Antropología, de México. En el año 2004, con motivo del cuadragésimo aniversario de haber abierto el Museo sus puertas al público, el Consejo


Coincidencias Solar ajustado, eclipses Año ciVII, 360 Venus Tonalpohualli (indirecto) Calendario lunar Tonalpohualli (indirecto), Luna Eclipse Tonalpohualli, varios planetas Eclipse Tonalpohualli, Venus, Mercurio Eclipse Tonalpohualli, varios planetas Eclipse Tonalpohualli, sinódico y sidéreo de Venus Eclipse Tonalpohualli, eras cosmogónicas Eclipse Tonalpohualli, eras cosmogónicas, 39 siglos, solar, Inicio de un nuevo siglo Tonalpohualli, medio siglo Eclipse Tonalpohualli, solar, eclipse

Nacional para la Cultura y las Artes (Conaculta) y el Instituto Nacional de Antropología e Historia (INAH) 43 publicaron una colección de objetos de diversas culturas. En este trabajo se publicaron las fotografías que ilustran los textos y dado crédito tanto a Conaculta-INAH como al fotógrafo. La colección comprende los títulos siguientes: Preclásico, Norte, Oaxaca, Occidente, Maya, Mexica, Tolteca, Teotihuacan, Costa del Golfo. Son varias las figuras de Chac Mool que se presentan a continuación: la mexica de la ciudad de México del periodo posclásico tardío (1300-1521 d. C); dos de Mixco, Tlaxcala, del posclásico temprano (900-1200 d. C); la maya de Chichén Itzá, del mismo periodo que las anteriores; y la michoacana de Ihuatzio, del periodo posclásico (900-1521 d. C). Con excepción de la figura yucateca, que está hecha de piedra caliza, las demás son de basalto, piedra volcánica. Se hace notar que todas las figuras pertenecen al periodo posclásico.

Aquí se ha considerado que Chac Mool representa a un astrónomo o a un gobernante-astrónomo que observa el cielo del México antiguo. Pero la interpretación que por lo general se le ha dado es que representa a un mensajero que lleva las ofrendas de sacrificio al Sol y que, además, está relacionado con el agua de lluvia. La decodificación lograda a través de la numerología astronómica y del análisis numérico e iconográfico señala que los Chac Mool están vinculados con el dios de la Luna y del inframundo, con Tláloc. La oscura piedra volcánica de que la mayoría de las figuras está hecha confirma lo anterior, al igual que el Chac Mool yucateco tallado en piedra caliza color luz de Luna. Pero además los números señalan un eclipse - e n este caso de Sol-, representado en el plato de ofrenda: es el momento en el que se forma la corona solar durante un eclipse total de Sol, cuando se hace de noche en pleno día. Otro fenómeno que este plato puede revelar también es el del momento del paso cenital del Sol del lugar en donde se hubiese colocado el Chac Mool, ya que, si se llenara de agua el platillo que sostiene en las manos, la imagen del Sol quedaría reflejada en aquél en ese momento. Minutos antes de la salida o de la puesta del Sol en el firmamento aparece Venus como su heraldo, brillando como Estrella de la Mañana o como Estrella de la Tarde. El personaje del Chac Mool de Yucatán tiene la mirada hacia el horizonte; tal vez por estar colocado en un terreno plano el personaje no tenía que levantar la vista para contemplar la salida de Venus en su orto helíaco sobre el mar, cuando emergía como Estrella de la Mañana. Los demás Chac Mool miran por arriba del horizonte, tal vez porque el lugar donde fueron colocados tiene montañas, lo que hace necesario levantar la vista para ver el planeta en su orto helíaco. El Chac Mool de Yucatán mira hacia su derecha al contemplar a Venus como Estrella de la Mañana, mientras que los demás miran hacia su

izquierda para encontrarlo como Estrella de la Tarde. Las figuras, salvo el Chac Mool de la ciudad de México, portan en su cabeza el característico gorro de astrónomo. El de México tiene penacho de plumas, lo que sugiere que se trata de un gobernante. Puede tratarse de Moctezuma II, del que se sabe que, además de emperador, fue consumado astrónomo. En las esculturas de Chac Mool se ha encontrado que tienen como factor del NV del PRR - s u envolvente virtual- los números 27 o 27. 2. Ambos números corresponden al periodo dracónico de la Luna y, por lo tanto, a un eclipse.

Chac Mool representa a un astrónomo o a un gobernante-astrónomo que observa el cielo del México antiguo.

Cultura mexica 35. Chac Mool (V = 3 465 u3) [ver figura VII. 35]. Sala Mexica, Museo Nacional de Antropología, México. Felipe Solís escribe: "Personaje recostado que sostiene una vasija en el vientre, cuyo origen se remonta al mundo maya y a Tula; los mexicas lo vinculan con el agua y los atributos del agua, dios de la lluvia". 44 Efectivamente, apuntan los factores de su número volumétrico a números lunares, a Tláloc, dios de la lluvia, cuya parte femenina es la Luna. Cultura: Mexica. Periodo: Posclásico tardío (1300-1521 d. C). Procedencia: Centro Histórico de la ciudad de México. Material: Basalto. Sus dimensiones son 74 cm de altura, 104 cm de largo, 54 cm de ancho, que convertidas en unidades o la manera indígena son altura, 74 cm = 15 u (u = 4. 933 cm); largo, 104 cm = 21 u (u = 4. 952 cm); ancho, 5 4 c m = 11 u ( u = 4. 909 cm). NV del paralelepípedo recto rectángulo, envolvente virtual del Chac Mool, V = área de la base por la altura = 2 1 u x l l u x 15u = 3465u 3 : V = 3465 u3.

Los Chac Mool están vinculados con el dios de la Luna y del inframundo, con Tláloc. ** Ibid., p. 5.

VII Las esculturas mesoamericanas de pequeño formato

Figura VII. 35. Chac Mool mexica

El 3 465 tiene los siguientes factores: 3, 5, 7, 9, 11, 33 y 105. El 3 es solar; mediante el 7 se indica una relación con la Luna; por el 11 y el 33, relación con eclipses; a través del 105 se puede pensar en pasos cenitales y del tiempo en días que pasa el Sol por arriba de los 15° N. Asimismo, al tener como factor el 5, se puede relacionar con Venus: 3 465 = 5 x 7 x 9 x 11; 3 465 / 20 = 173. 25, lo que indica que se trata muy cercanamente del medio año de eclipses (ver estos números en el apéndice 1, "Números"). Si se toma un volumen 13 veces mayor, se puede sincronizar con el ciclo sinódico de Venus de 585 días: 3 465 u3 x 13 = 45 045 u3 y 45 045 / (11 x 7) = 585. Así como también 3 465 / 128 = 27. 0703, aproximadamente un ciclo sinódico ajustado de la Luna; indica un eclipse. En resumen esta figura, que tal vez represente a Moctezuma II, significa pasos cenitales, eclipses y la Luna.

Cultura de occidente

Análisis del 3 465 3 465 / 2 0 = 173. 25 m, aproximadamente el medio año de eclipses. 3 4 6 5 x 3 9 = 135 135. 135 135 / 231 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 135 135 / 4 968 = 27. 201..., el ciclo dracónico lunar. 135 135/ 1 287= 105. 45

Dolores Flores VIIlatorio, Occidente, Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, México, 2004.

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El 3 465 u3 se puede factorizar como 11 x 21 x 15 o como 105 x 3 x 11. El NV se remite directamente a los años nodales o años de eclipses, pues 3 465 / 10 = 346. 5, aproximadamente el año de eclipses (346. 6 días).


36. Chac Mool antropomorfo (V = 7 106 u3) [ver figura VII. 36]. Sala de Occidente, Museo Nacional de Antropología. Dolores Flores VIIlatorio escribe: "Escultura antropomorfa Chac Mool. Figura masculina recostada con las piernas flexionadas y un recipiente sobre el vientre, desnuda y con genitales marcados; su rostro -surcado por arrugas- mira al frente". « Cultura: Tarasca. Periodo: Posclásico. Procedencia: Ihuatzio, Michoacán. Material: Basalto. Sus dimensiones son 84 cm de altura, 150 de largo y 48 de ancho, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura, 84cm= 19 u, si u = 4. 421; largo, 150 cm = 34 u, si u = 4. 411 cm; ancho = 48 cm = 11 u, si u = 4. 363 cm. El volumen (NV) del paralelepípedo recto rectángulo, envolvente virtual de esta

escultura, v = 3 4 u x l l ux 19u = 7 106 u3; 7 106u 3 = 2x 11 x 17 x 19: V= 7 106 u3.

Figura VII. 36. Chac Mool antropomorfo

Análisis del 7 106 7 106 / 646 = 1 1 , número relacionado con los eclipses. 7 106 / 418 = 17, la orientación de monumentos y ciudades de la Familia de los 17°. 7 106 / 323 = 22 = 2 x 11, este último relacionado siempre con los eclipses. 7 106 / 41 = 173. 317, el medio año de eclipses. 7 106 / 263 = 27. 01, el ciclo dracónico lunar (ajustado). 7 106 / 374 = 19, en años un ciclo metónico lunar. Está relacionado el Chac Mool con los eclipses, el tonalpohualli y el año metónico lunar. Esta figura se remite a la Luna y los eclipses.

46 Federica Sodi Miranda, Tolteca, Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, México, 2004.

Cultura tolteca Figura VII. 37. Chac Mool tolteca 3

37. Chac Mool (v = 280 500 u ) [ver figura VII. 37]. Sala Tolteca, Museo Nacional de Antropología, México. Federica Sodi Miranda dice: "Esta figura fue representada frecuentemente como parte del discurso arquitectónico. La caracterizan su clásica postura y el recipiente que sostiene sobre el vientre". 46 Cultura: Tolteca. Periodo: Posclásico temprano. Procedencia: Mixco, Tlaxcala. Material: Basalto. Sus dimensiones son 64. 2 cm de altura, 65. 6 cm de espesor y 142 cm de largo, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura = 64. 2 cm = 50 u, si u = 1. 284 cm; espesor = 65. 6 cm = 51 u, si u = 1. 286 cm; largo = 142 cm = 110 u, si u = 1. 290 cm. Volumen (NV) del paralelepípedo recto rectángulo, envolvente virtual del Chac Mool, V = 50 u x 51 u x 110 u = 280 500 u3.


185

Análisis del 280 500 280 500 / 25 500 = 11, número relacionado con los eclipses. 280 500 / 16 500 = 17, orientación de las ciudades de la Familia de los 17°. 280 500 / 10 388 = 27. 002, el ciclo dracónico lunar (ajustado). Eclipse. 280 500 / 1 619 = 173. 25, aproximadamente un medio año de eclipses (ver el número 173 y el 177 en el apéndice 1, "Números"). 280 500 / 480 = 584. 375 (dentro de los parámetros del ciclo sinódico de Venus). 280 500 días / 768 = 365. 2343 días, la duración aproximada del año trópico (365. 2422 días). Esto demuestra que durante el periodo posclásico temprano ya se había alcanzado el conocimiento de la duración del año trópico con gran aproximación; un error de solamente 73 milésimos de día.

Cultura tlaxcalteca 47

Sabino Yano Bretón, ficha del Museo de Tlaxcala, Tlaxcala.

38. Chac Mool (v = 16 848 u3) [ver figura VII. 38]. Museo de Antropología, Tlaxcala.

El doctor Sabino Yano Bretón escribe para la cédula informativa de este Chac Mool de Tlaxcala: "Escultura en piedra que representa al mensajero divino que recibía y llevaba al Sol la ofrenda de corazones de los sacrificios humanos. Fue encontrada en el pueblo de Mixco, perteneciente al municipio de Nativitas, y documentada hacia fines de la segunda mitad del siglo XIX por el historiador Antonio Peñafiel. Se distingue del Chac Mool de los mayas en que mira a la derecha y éste a la izquierda. En su vientre tiene un reborde formando un cuadro del que salen dos picos hacia abajo, que semejan las fauces y colmillos estilizados de una serpiente". 47 Periodo: Posclásico temprano. Procedencia: Mixco, Tlaxcala. Material: Basalto. Sus dimensiones son 80. 8 cm de altura, 57. 5 a 60. 7 cm de ancho y 128. 8 a 130. 7 cm de largo, que convertidas en unidades a la manera indígena: altura = 80. 8 cm = 24 u, si u = 3. 366 cm; ancho = 60. 7 cm = 18 u, si u = 3. 372 cm; largo = 130. 70 cm = 39 u, si u = 3. 351 cm; V = 24 u x 18 u x 39 u = 16 848 u3.

Análisis del 16 848 Figura VI 1. 38. Chac Mool tlaxcalteca

AB = 24u AD = 39u DF= 18u Vol = A B x A D x D F Vol. = 24u x 3 9 u x 1 8 u = 1 6 8 4 8 u 3

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16 848 / 624 = 27, número del ciclo dracónico lunar. Eclipse. 16 848 / 324 = 52, el medio siglo mesoamericano. 16 848 / 208 = 81, la constante lunar para las 405 lunas ( 5 x 8 1 = 405). 16 848 / 24 = 702, el número de u2 en la base de la Pirámide del Sol. 168 480 / 288 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 168 480 / 648 = 260, un tonalpohualli. 168 480 / 324 = 520, tres veces el medio año de eclipses o dos tonalpohuallis. 168 480 / 972 = 173. 333, el medio año de eclipses. 168 480 / 9 910 = 17. 001, los 17° de orientación. 168 480 / 90 = 1 872, la milésima parte

de la era maya. Esta era debe haber terminado -¿o comenzado?- con un eclipse. Los 17° generalmente se relacionan con la Luna y los eclipses; 27. 2 (ciclo dracónico lunar) x 10 = 272 / 16 = 17 (ver el número 17 en el apéndice 1, "Números"). El 17 es factor de 10 veces el ciclo dracónico lunar; de ahí su empleo. Esta escultura está relacionada con el Sol, el tonalpohualli, los eclipses solares, el ciclo dracónico lunar, el medio año de eclipses, por lo que se deduce que la escultura conmemora un eclipse solar. Venus, al hacerse la oscuridad, se encontraba como Estrella de la Tarde en el occidente, ya que la escultura voltea a su lado izquierdo. Esto indica que, para observar este fenómeno, la cabeza del observador miraría de frente hacia el norte, por lo que el eclipse debe haber ocurrido durante los meses de verano, cuando el Sol se encuentra por arriba de la latitud 15° N. Se puede argumentar que el observador pudo tener la cabeza mirando hacia occidente y estar viendo a Venus como Estrella de la Mañana, pero al estudiar el Chac Mool maya la cabeza mira hacia su lado derecho. Como en Yucatán el horizonte se encuentra casi a nivel del mar por no haber montañas, si el astrónomo mirara hacia el oriente podría ver a Venus en su orto helíaco en el mar, mientras que si mirara hacia el poniente lo haría hacia tierra adentro. Entonces debería tener la mirada hacia arriba, y sin embargo la tiene hacia el horizonte. En cambio los otros Chac Mool, dos de Tlaxcala y uno de Michoacán, tienen la mirada levantada, lo cual indica que proceden de un lugar montañoso, como en efecto acontece. La escultura nos significa el Sol y el tonalpohualli, pero principalmente la Luna y los eclipses.

Cultura maya 39. Chac Mool (v = 54 756 u3) [ver figura VII. 39]. Sala Maya, Museo Nacional de

Figura VII. 39. Chac Mool maya

Antropología, México. Amalia Cardos de Méndez comenta: "El Chac Mool es una suerte de mensajero que lleva ofrendas a los dioses". 48 Es posible que los mesoamericanos hayan pensado que durante un eclipse era más fácil llegar al Sol con las ofrendas, pues era tal vez el momento en que el inframundo, el supramundo y el espacio medio se podían comunicar. Cultura: Maya. Periodo: Posclásico temprano. Procedencia: Chichén Itzá, Yucatán. Material: Piedra caliza. En este caso el material de basalto fue reemplazado por piedra caliza, dada la escasez de basalto en Yucatán y la abundancia de piedra caliza. El color de ésta semeja el de la Luna o del Sol durante un eclipse.

48

Amalia Cardos de Méndez, Maya, Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, México, 2004.


187

49

Patricia Ochoa Castillo, Preclásico, Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, México, 2004.

Sus dimensiones son 113 cm de altura y 156 de largo; ancho, 81 cm.; esta última medida, a diferencia de las demás, fue tomada directamente de la escultura. La unidad de medida o proporción es de 3 cm, por lo que la altura de 113 cm = 39 u; el largo de 156 cm = 52 u; y de ancho o profundidad, 81 cm = 27 u. El volumen (NV) del paralelepípedo recto rectángulo, envolvente virtual del Chac Mool, es V = 39 u x 52 u x 27 u = 54 756 u3. Análisis del 54 756 54 756 / 2 028 = 27, el ciclo dracónico de la Luna (ajustado). Eclipse. Número lunar y de los Nueve Señores de la Noche. 54 756 / 78 = 702, el área de la base de la Pirámide del Sol en Teotihuacan (ver cap. x). 54 756 / 1 053 = 52, en años el medio siglo mesoamericano. 54 756 x 20 = 1 095 120; (54 756 x 20) / 4 212 = 260, un tonalpohualli.

1 095 120 / 6 318 = 173. 33, el medio año de eclipses. Todos los NV de los Chac Mool indican que se trata de esculturas que se refieren a la Luna y conmemoran eclipses. La coincidencia con los ciclos del sistema solar y con el tonalpohualli se presenta de manera directa solamente en algunos de ellos, pero no en todos. Esto podría indicar que el tonalpohualli era un ciclo de vida, mientras que los eclipses significaban muerte. Aunque la muerte da significación a la vida y viceversa, se trata de fenómenos diametralmente opuestos y antagónicos que no quisieron representar juntos.

Periodo preclásico 40. Tecomate fitomorfo (V = 8 320 u3) [ver figura VII. 40]. Sala Preclásico, Museo Nacional de Antropología, México. Patricia Ochoa Castillo escribe: "Tecomate fitomorfo. La calabaza, al parecer uno de los primeros cultivos de estos grupos, les sirvió como alimento y fuente de inspiración para elaborar objetos de uso cotidiano". 49

Figura VII. 40. Tecomate fitomorfo

Periodo: Preclásico medio (1200 a 600 a. C). Procedencia: Tlatilco, Estado de México. Material: Arcilla. Sus dimensiones son 8. 8 cm de altura y 12. 9 de diámetro, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura, 8. 8 = 17 u (si u = 0. 517 cm); diámetro, 12. 9 cm = 25 u (si u = 0. 516 cm). El NV del cilindro envolvente virtual de este tecomate es V = πr2h. Considerando π = 3. 1322, se tiene que V = 3. 1322 x (25 / 2) 2 x 17 = 8 319. 9 = 8 320 u3.

Análisis del 8 320 8 320 / 80 = 104, un siglo mesoamericano. 8 320 / 32 = 260, un tonalpohualli. 8 320 / 160 = 52, medio siglo mesoamericano.

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8 320 / 80 = 104, un siglo mesoamericano. 8 320 / 640 = 13, un tlalpilli.

Figura VII. 41. Tecomate

De acuerdo con la numerología este tecomate se remite a los ciclos solares, y el color rojo lo confirma.

Periodo preclásico medio 41. Tecomate (V = 16 790 u3) [ver figura VII. 41]. Sala Preclásico, Museo Nacional de Antropología, México. Patricia Ochoa Castillo dice: "La práctica del arte cerámico se inicia en el preclásico, y copia los elementos de la naturaleza más vinculados con la cotidianidad. Esta pieza, de perfección técnica y extraordinaria calidad, está elaborada con arcilla blanca muy fina". 50 Periodo: Preclásico medio. Procedencia: Tlatilco, Estado de México. Material: Arcilla. Sus dimensiones son 11. 6 cm de altura y 14. 5 cm de diámetro, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura, 11. 6 cm = 24 u, si u = 0. 4833 cm; 11. 6 cm / 24 u = 0. 4833 cm. Diámetro 14. 5 cm = 30 u, si u = 0. 4833 cm; 14. 5 cm / 30 u = 0. 4833 cm. Volumen (NV) del cilindro envolvente virtual de este tecomate: V = πr2h. Considerando π = 3. 10925, se tiene que V = 3. 10925 x 15 2 x 24 = 16 790 u3.

Análisis del 16 790 16 790 / 46 = 365, un año de 365 días. El tecomate representa 46 años de 365 días, por lo que es solar; su color rojo lo confirma.

costa del golfo, fue hallada en el centro de México. Muestra a dos seres sobrenaturales con la boca abierta, simbolizando la entrada al inframundo, además de las cejas flamígeras y la hendidura craneal, elementos típicos de las fases tardías del preclásico medio". 51 Periodo: Preclásico medio. Procedencia: Valle de México. Material: Arcilla. Sus dimensiones son 16. 1 cm de altura y 15. 8 cm de diámetro, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura, 16. 1 cm = 50 u, si u = 0. 322 cm; 16. 1 / 50 = 0. 322 cm; diámetro, 15. 8 cm = 49 u, si u = 0. 322 cm; 15. 8 cm = 0. 322 cm. Considerando un cilindro envolvente del vaso, V = πr 2 h. 3 Si π = 3. 14122, su V = 94 276 u .

Periodo preclásico medio 3

42. Vaso (V = 94 276 u ) [ver figura VII. 42]. Sala Preclásico, Museo Nacional de Antropología, México. Patricia Ochoa Castillo informa: "Emblemática de los sitios de la

Análisis del 94 276 94 276 / 259 = 364, el número del año del inframundo. La numerología confirma

50 51

Ibid. Ibid.


189

lo que expresa su iconografía, que este vaso se remite al inframundo - c o m o ya lo había notado Patricia Ochoa Castillo en su descripción de la pieza- y al año de Tláloc de 364 días (ver el número 364 en el apéndice 1, "Números").

Figura VII. 42. Vaso

Es impresionante la exactitud de π en este caso (π = 3. 14122... ). Las medidas del vaso son perfectas. (En este artículo se presentan las medidas exactas del objeto de estudio. ) Tal vez fue utilizado para consumir bebidas en los rituales lunares, ya que tiene como factores el 7 y 364. Además tiene el 13 como factor de consagración (94 276 = 13 x 7 252). 43. Plato con peces (v= 11 088 u3) [ver figura VII. 43]. Sala Preclásico, Museo Nacional de Antropología. "Este bello plato de silueta compuesta está decorado con dos peces, posiblemente de agua dulce. Este tipo de platos es representativo de una amplia área de Mesoamérica durante los años de 1000 a 800 a. C. " 52

52 Ibid.

Figura VII. 43. Plato con peces

Periodo: Preclásico medio. Procedencia: Zohuapilco, Tlapacoya, Estado de México. Material: Arcilla (clara). Sus dimensiones son 5. 5 cm de altura y 29 cm de diámetro, que convertidas en unidades a la manera indígena son las siguientes: Altura 5. 5 cm = 8 u, si u = 0. 6875 cm. Diámetro 29 cm = 42 u, si u = 0. 69 cm. Volumen del cilindro envolvente virtual: V = πr2h. Si π = 3. 1428, entonces el volumen (NV) = V = 3. 1428 x (42 / I)1 x 8 = 3. 1428 x 441 x 8 = 3. 1428 x 3 528 = 11 087. 79 = 11 088; V = 11 088 / 396 = 28, número lunar, tal como indica el color del plato.

Análisis del 11 088 11 088 / 1 008 = 11. El 11 indica eclipse. 11 088 / 1 584 = 7, número lunar.

190


11 088 / 64 = 173. 25, aproximadamente Figura VII. 44. Brasero el medio año de eclipses. 11 088 / 77 = 144, milésima parte de un baktún de 144 000 días. El NV 11 088 corresponde a un cilindro que registra un valor muy aproximado de π = 3. 1428.

Cultura zapoteca, Monte Albán I, Oaxaca 44. Brasero (V = 10 920 u3) [ver figura VII. 44]. Sala Preclásico, Museo Nacional de Antropología, México. Martha Carmona Macias escribe: "Brasero que representa al joven dios del fuego, a quien se reconoce por la banda frontal". 33 Cultura: Zapoteca. Periodo: Preclásico (Monte Albán, i). Procedencia: Monte Albán, Oaxaca. Material: Arcilla. Sus dimensiones son 17. 9 cm de altu ra, 12. 8 cm de diámetro (diámetro menor del brasero), ancho 14. 1 cm (referido tal vez a las orejeras), que convertidas en unidades a la manera indígena son altura, 17. 9 cm = 28 u, si u = 0. 6392 cm; diámetro, 12. 8 cm = 20 u, si u = 0. 640 cm; ancho, 14. 1 cm = 22 u. Volumen del cilindro que puede ser la 2 envolvente del brasero: V = πr h; V = 3. 2231 x 112 x 28 = 3. 2231 x 121 x 28 = 10 920 u 3 . Si el volumen es 10 920 u3, el valor de π deberá ser 3. 2231; V= 10 920 u3.

Análisis del 10 920 10 920 / 30 = 364, año del inframundo. 10 920 / 1 560 = 7, número lunar. 10 920 / 210 = 52, medio siglo mesoamericano. 10 920 / 840 = 13, un tlalpilli. 10 920 / 42 = 260, un tonalpohualli. 10 920 / 63 = 173. 33, medio año de eclipses. 10 920 /105 = 104, un siglo mesoamericano.

AB = 28u AD = 0 22 u Vol. = πr r =11 ux11 u = 121 u2 π = 3 . 2231 h = 28u πr =3. 2231x121 u2x 28u= 3 3. 2231x3 388u 2 =10 920u

El 364 es número de Tláloc, el Sol del inframundo, tal como lo indica la boca del joven. Sin embargo, el color del brasero indica un Sol del supramundo, lo que es consistente con la función del brasero de contener fuego. En este caso hay una aparente contradicción entre la numerología y la función del objeto. También este volumen tiene como factores el 7 y el 28, que confirman que es un brasero lunar que contuvo tal vez sólo brasas. Considerando ahora el ancho o diámetro del cilindro envolvente, no tomando en cuenta las orejeras, el diámetro será de 20 u, por lo que v = πr = 3. 12 x 100 x 28 = 8 736 u3. 8 736 / 32 = 273, 10 veces el ciclo sidéreo de la Luna. 8 736 / 28 - 312, el número de Chalchihuicueye, que como falso Sol alumbró el mundo durante 312 años (la Luna).

8 736 / 312 = 28, el número de lunas visibles en un ciclo sinódico.

53

Martha Carmona Macias, Oaxaca, Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, México, 2004.


191

8 736 / 336 = 26, un cuarto de siglo mesoamericano. 8 736 / 168 - 52, medio siglo mesoame ricano. 8 736 / 5 400 = 1. 6177, con el valor de φ = 1. 618. 8 736 = (252 x 173. 33) / 5, en donde 252 es el lapso de Venus como Estrella de la Mañana y 173. 33, el medio año de eclipses. 8 736 x 20 = 174 720 = 672 x 260, donde está el tonalpohualli. 8 736 / 24 = 364, el año del inframundo. 8 736 / 8 = 1 092, número volumétrico que se encuentra en el primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. Este cuerpo está relacionado con el dios del inframundo, como lo comprueba la cueva que se encuentra debajo del primer cuerpo de la pirámide. Cultura mixteca, Oaxaca

54

ibid.

45. Lápida lunar (v = 351 u: í) [ver figura VII. 45]. Sala Preclásico tardío, Museo Nacional de Antropología. Martha Carmona Macias afirma: "Lápida que representa a la Luna a la manera de los códices mixtecas.

Cultura: Mixteca. Periodo: Preclásico tardío. Procedencia: Tlaxiaco, Oaxaca. Material: Piedra. Sus dimensiones son 76 cm de altura, 48 cm de ancho, 17 cm de espesor, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura, 76 cm = 13 u, si u - 5. 846 cm; ancho, 48 cm = 9 u, si u = 5. 333 cm; espesor, 17 cm = 3 u, si u = 5. 666 cm. Cada uno de los numerales corresponde a una unidad y el conjunto marca el número 4. Tomando una abertura de compás igual al diámetro de los círculos-unidad, se observa que cabe 13 veces en la altura, nueve en el ancho y tres en el espesor. Ahora obtendremos el volumen del paralelepípedo recto que puede ser la envolvente de la pieza: v = 1 3 x 9 x 3 = 351 u 3 .

Análisis del 351 351 / 13 = 27; el 27 es un número lunar y el 13, un número del sistema solar. 351 / 3 = 117, el ciclo sinódico de Mercurio. 3 510 / 6 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 35 100 / 12 = 2 925, conjunción de Venus y el Sol. 35 100 / 45 = 780, el ciclo sinódico de Marte. 35 100 / 135 = 260, un tonalpohualli. 35 100 / 1 300 = 27, el ciclo dracónico lunar (ajustado).

Figura VII. 45. Lápida lunar

AB = 13 u AD = 9u DF = 3 u ABx AD= 117 u' Vol. = 1 1 7 u ' x 3 u = 351 u'

192

Destaca el número 4, marcado por círculos, y un conejo, animal relacionado míticamente con el astro". 54


El planeta Mercurio está representado también en esta placa mediante el círculo concéntrico que sigue después del primero, que envuelve al conejo y que corresponde al símbolo de la Luna; 351 = 3 x 117, en donde 117 es el ciclo sinódico de Mercurio en días. También está Venus representado en su ciclo sinódico de 585 días mediante los seis

rayos que salen del siguiente círculo o plano posterior: 351 / 6 = 58. 5, que es la décima parte del ciclo ( 3 5 1 0 / 6 = 585). Finalmente, en el plano posterior que representa a la Tierra, se encuentran otros 12 pequeños rectángulos adosados a cada lado de los rayos. El 12 es un número terrestre y es factor del 360.

Figura VII. 46. Lápida dinástica

Cultura zapoteca, Oaxaca 46. Lápida dinástica (V = 235 872 u3) [ver figura VII. 46]. Sala Oaxaca, Museo Nacional de Antropología. "Lápida con dos escenas: en la superior se celebra un matrimonio presenciado por un ancestro cuya cabeza emerge del cielo; la inferior muestra dos ancianos. Numerosos cartuchos glíficos citan fechas y nombres. " s s Cultura: Zapoteca. Periodo: Clásico tardío. Procedencia: Zaachila, Oaxaca. Material: Piedra. Sus dimensiones son 61 cm de altura, 33 cm de ancho, 9 cm de espesor, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura, 61 cm = 144 u, si u = 0. 423 cm; ancho, 33 cm = 78 u, si u - 0. 423 cm; espesor 9 cm = 21 u, si u = 0. 428 cm; V = 144 u x 78 u x 21 u = 11 232 x 21 = 235 872 u3: V = 235 872 u3.

Análisis del 235 872 235 872 / 648 = 364, un año del Sol del inframundo. 235 872 / 8 736 = 27, un ciclo dracónico lunar ajustado. 235 872 / 336 = 702, en unidades cuadradas a la manera indígena, la base del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. 235 872 / 2 016 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio. 235 872 / 18 144 = 13, un tlalpilli. 235 872 / 4 536 = 52, medio siglo.

AB = 144u AD = 78 u DF = 21 u ABxAD = 11 232 u2 Vol. = 11 232 u2x 21 u = 235 872 u3

235 872 / 2 268 = 104, un siglo. 235 872 x 10 = 2 358 720; 2 358 720 / 9 072 = 260, un tonalpohualli. En la parte superior de la lápida se abren las quijadas de la boca del inframundo para dar salida a un hombre que está hablando con una mujer. Se trata de un dios que está arrojando dones por medio de su mano a los personajes que los reciben en sendos recipientes. En el cuadrante inferior es el hombre el que está hablando y la mujer sostiene en sus manos un recipiente más pequeño. Los números que arroja como factores el NV del paralelepípedo recto rectángulo envolvente virtual de la lápida están confirmando que se remite al inframundo por medio del 364, número del año del inframundo. La piedra volcánica indica que efectivamente se trata del reino de Tláloc, el

55 Ibid.


193

dios del interior de la Tierra, 56 de donde sale el basalto, material del que está hecha la lápida. El número 27 está relacionado con la Luna y el 117, con Mercurio. Probablemente, como el nombre del relieve indica, se trate de pedir a los dioses la fertilidad para una pareja de la nobleza. El color de Tláloc es el negro o el azul, por ser el color jeroglífico del agua.

Cultura mixteca, Oaxaca 47. Disco de turquesas (área = 3 120 u2) [ver figura VII. 47]. Sala Oaxaca, Museo Nacional de Antropología, México. "Disco dividido en ocho secciones, cuatro de las cuales marcan los rumbos del universo y presentan figuras de guerreros. "Los personajes están trabajados con pequeños y delicados mosaicos de turquesas, piedra verde y concha. " 57 Cultura: Mixteca. Periodo: Posclásico tardío. Procedencia: Zaachila, Oaxaca. Material: Turquesa, concha y piedra verde.

Figura VII. 47. Disco de turquesas

Sus dimensiones son 21. 5 cm de diámetro y 2 cm de espesor o altura, que convertidas en unidades a la manera indígena son diámetro = 21. 5 cm = 35 u (siendo u = 6. 1428 cm); espesor 2 cm = 3. 25 u. La superficie (A) del círculo, si π = 3. 13469, A = πr 2 = 3. 13469 x (35 / 2) 2 = 3. 13469 x 306. 25 = 960 u1 (el valor de la constante π entre los mesoamericanos iba de 3 a 3. 25). Siendo V = h x πr 2 = 960 x 3. 25 = v = 3 120 u3.

AB = 24 u AD = 35 u Vol. = πr 2 h 2

2

r = 17. 5 ux 17. 5 u = 306. 25 u

π= 3. 13469 h = 3. 25 u V=πr 2 h =3 120u3

56

57

Cecilio A. Róbelo, Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México, 1982. Al respecto dice: "Tláloc (llalli, tierra; i, su; yolotli, corazón: su corazón de la tierra, esto es, lo que bebe la tierra, la lluvia). El dios de las aguas, pero de las aguas del cielo, a diferencia de Chalchihuicueye, que es la diosa de las aguas de la tierra, esto es, de los mares, ríos, lagos y fuentes. Tláloc es la lluvia divinizada. Llamábanlo fecundador de la tierra y protector de los bienes temporales, y creían que residía en las más altas montañas, donde se forman las nubes, y acudían a las alturas para implorar su protección.... Así como en el Mictlán se esconde el Sol, en el Tlaloccan la Luna, y así como el fuego crea al Sol, Tláloc o el agua es padre de la Luna". Tláloc es el dios y Sol del inframundo, además de ser de las aguas subterráneas, de los manantiales, de las lagunas, de las cavernas que se hunden en el interior de la tierra, de la profundidad de los cenotes; de las tormentas, de los rayos y padre de los Tlaloques. Su color es el negro o el azul y su piedra, el basalto, aunque puede ser cualquier piedra oscura, no necesariamente opaca. La diosa de la Luna y Tláloc se llegan a confundir como dioses del inframundo. Tláloc y la diosa de la Luna tienen poderes sobre la fecundidad de la tierra y de los seres vivos. Martha Carmona Macias, op. cit.

194


Análisis del 3 120 3 120 / 10 = 312, el número de Chalchihuicueye (ver el número 312 en el apéndice "Números"). 3 120 / 30 = 104, el siglo mesoamericano. 3 120 / 60 = 52, el medio siglo mesoamericano. 3 120 / 12 = 260, un tonalpohualli. El azul turquesa indica una relación con Venus, que no es directa. Habrá que multiplicar 312 x 15 para encontrarla: 312x15 = 4 680. 4 680 / 8 = 585, un ciclo sinódico de Venus. 4 680 / 40 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio.

Cultura Chalchihuites

Figura VII. 48. Botellón policromo

48. Botellón policromo (v = 28 080 u3) [ver figura VII. 48]. Sala del Norte de México, Museo Nacional de Antropología, México. "Con la técnica del cloissoné se lograron impresionantes motivos decorativos, donde se observan representaciones zoomorfas, además de otros diseños geométricos de vistoso colorido". 58 Cultura: Chalchihuites. Periodo: Clásico tardío. Procedencia: Chalchihuites, Zacatecas. Material: Arcilla. Sus dimensiones son 12. 4 cm de altura y 11. 6 cm de diámetro, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura = 12. 4 cm = 34 u, si u = 0. 364 cm; diámetro = 11. 6 cm = 32 u, si ü = 0. 3625 cm; el NV del cilindro envolvente virtual del botellón: V =

AB = 34 u AD = 0 32 u Vol. = Jtr r2 =16ux16 u=256 u2 π= 3. 2261 h = 34u πr2h =3. 2261x256 u2x34u =28080u3

πr = 28 080 u3. Si el valor de π = 3. 2261, entonces V = 3. 2261 x 8 704 = 28 080 u3.

Análisis del 28 080 / 12 = 2 340 u3 (ver el número 2 340 en el apéndice 1, "Números") 28 080 / 240 = 117, el ciclo sinódico de Mercurio. 28 080 / 48 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 28 080 / 36 = 780, el ciclo sinódico de Marte. 28 080 / 108 = 260, un tonalpohualli. 28 080 / (2 x 81) = 173. 33 el medio año de eclipses. 28 080 / 1 040 = 27, el ciclo dracónico de la Luna. 28 080 / 950 = 29. 5578..., aproximadamente el ciclo sinódico de la Luna. 28 080 / 1 651 = 17. 007, la orientación de la ciudades de la Familia de los 17°.

58

Eduardo Gamboa Carrera, Norte, Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, México, 2004.

Figura VII. 49. Vaso trípode

AB = 30 u AD = 0 20 u Vol. = πr2h r2= 10 U x10u = 100u2 π=3. 12 h = 30u πr =3. 12 x 100 u2x 30 u = 9 360 u3


195

El 9 360 e r a el número utilizado p o r los mayas p a r a predecir eclipses. Le d a b a n el nombre de thix. El otro número utilizado con el mismo fin es el 11 960, llamado fox por los mayas.

28 080 / 540 = 52, el medio siglo mesoamericano. 28 080 / 270 = 104, el siglo mesoamericano. 28 080 / 78 = 360, el año ajustado. Este botellón es de particular importancia por tener en su volumen como factor el 2 340, número relevante de la numerología mesoamericana, ya que tiene como factores el 117, periodo sinódico de Mercurio; el 585, periodo sinódico de Venus; el periodo sinódico de Marte de 780 días; el medio siglo mesoamericano de 52 años; el periodo solar o tlalpilli de 13 años; el tonalpohualli; el ciclo dracónico de la Luna (tomado de 27 días); y el ciclo solar de 360 días, entre otros. El rojo es color solar y el marfil, lunar; la línea oscura sugiere eclipse. El reptil con lengua bifida (Sol y Luna) y cola en forma de espiral apoya esta interpretación. Siendo un garrafón para contener agua, tiene que referirse a la Luna.

49. Vaso trípode (V = 9 360 u3) [ver figura VII. 49]. Sala del Norte de México, Museo Nacional de Antropología, México. "En este elegante vaso con soportes globulares advertimos la representación de deidades delineadas en negro sobre fondo blanco y rematadas con una banda de motivos simbólicos y geométricos que armonizan la composición de las escenas y la forma del recipiente. " 59 Cultura: Chalchihuites. Periodo: Clásico tardío. Procedencia: La Ferrería, Durango. Material: Arcilla.

59 60

Ibid. Mareia Castro-Leal Espino, Costa del Golfo, Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, 2004.

196

Sus dimensiones son 19. 5 cm de altura y 12. 9 cm de diámetro, que al convertirlas en unidades o la manera indígena son altura = 19. 5 cm = 30 u, si u = 0. 650 cm; diámetro = 12. 9 cm = 20 u, si u - 0. 645 cm. El NV del cilindro envolvente virtual del vaso es V = πr 2 h; si π = 3. 12, el volumen será V = 3. 12 x 102 x 30 = V = 9 360 u3.


Análisis del 9 360 9 360 / 90 = 104, el siglo mesoamericano. 9 360 / 104 = 90, cuarta parte del ciclo solar de 360 días. 9 360 / 30 = 312, número de Chalchihuicueye, lunar, Sol del inframundo. 9 360 / 16 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 9 360 / 346 = 27. 05, ciclo dracónico lunar. 9 360 / 36 = 260, un tonalpohualli. 9 360 / 54 = 173. 33, el medio año de eclipses. 9 360 / 27 = 346. 66, el año de eclipses. 9 360 / 80 = 117, el ciclo sinódico de Mercurio. 9 360 / 16 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 9 360 / 12 = 780, el ciclo sinódico de Marte. 9 360 / 65 = 144, la milésima parte de un baktún. 93 600 = 260 x 360, ciclo solar ajustado a 360 días. El vaso se remite al sistema solar y a eclipses. Ya se ha dicho al analizar otras esculturas de volumen similar que el 9 360 era el número utilizado por los mayas para predecir eclipses. Le daban el nombre de thix. El otro número utilizado con el mismo fin es el 11 960, llamado fox por los mayas. Es interesante notar que la base del vaso está pintada de negro y la parte superior, de rojo. Esto indica una vasija solar y al mismo tiempo un eclipse solar, tal como lo confirma su numerología.

Cultura olmeca 50. Figurilla femenina (V = 1 050 u3) [ver figura VII. 50]. Sala Costa del Golfo, Museo Nacional de Antropología, México. "Su postura, así como el pectoral, evidencian su alto rango en la sociedad de La Venta, Tabasco. " 60 Cultura: Olmeca. Periodo: Preclásico medio.

Procedencia: La Venta, Tabasco. Material: Jade, hematita, cinabrio.

Figura VII. 50. Figurilla femenina

Sus dimensiones son 7. 5 cm de alto, 5 de ancho y 3. 5 de espesor, que convertidas en unidades o la manera indígena son altura = 7. 5 cm = 15 u, si u = 0. 5 cm; ancho = 5 cm = 10 u, si u - 0. 5 cm; espesor = 3. 5 cm, 7 u, si u = 0. 5 cm. El NV del paralelepípedo recto rectángulo envolvente virtual de la figura: V = 15 u x 10 u x 7 u = 1 050 uh V = 1 050 u3.

Análisis del 1 050 1 050 / 10 = 105, el tiempo que pasa el Sol por arriba de la latitud 15° N. 1 050 / 150 = 7, número lunar. 105 x 260 = 27 300, MCM del tonalpohualli y de 105. El 27 300 = 27. 3 x 1 000, donde 27. 3 es el ciclo sidéreo de la Luna. Dado el color rojo, esta figura es lunisolar y representa 10 periodos de 105 días, siendo 105 días el tiempo que pasa el Sol por arriba de la latitud 15° N. Se trata de una mujer, porque son las mujeres quienes logran que fructifique la simiente.

Figura VII. 51. Hacha

El periodo de 105 días es uno de fructificación en los lugares por arriba de la latitud de 15° N. El espejo de hematita representa la luz lunar, y la Luna está relacionada con los fenómenos de la reproducción humana.

Cultura totonaca 51. Hacha (v = 79 650 u3) [ver figura VII. 51]. Sala Costa del Golfo, Museo Nacional de Antropología. "Hacha de piedra verde que reproduce la cabeza de un tlacuache con los ojos abiertos y abultados; su cola era apreciada por sus propiedades curativas. "61 Cultura: Totonaca. Periodo: Clásico medio. Material: Piedra verde.

AB = K>u AD = 59u

DF = 27u

ABxAD = 2950u 2 Vol. = 2 950 u2 x 27 u = 79 650 u3


197

62

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 175. "Los números inferiores cuentan intervalos de 177 días, con algún intervalo ocasional de 178 (seis lunaciones son 177. 18 días). " 63 Ibid. 64 Mareia Castro-Leal Espino, op. cit.

Sus dimensiones son 20. 6 cm de alto, 11. 4 de ancho y 24. 3 de largo, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura = 20. 6 cm = 50 u, si u - 0. 412 cm; ancho = 11. 4 cm = 27 u, si u = 0. 422 cm; largo = 24. 3 cm = 59 u, si u = 0. 4118 cm. El NV del paralelepípedo recto rectángulo envolvente virtual de la figura = 50 u x 27 u x 59 u cm: V = 79 650 u3.

Análisis del 79 650 79 650 / 2 950 = 27, un ciclo dracónico de la Luna ajustado. 79 650 / 450 = 177, número utilizado por los mayas para predecir eclipses. Se encuentra en el Códice de Dresde. 62 El color verde, sin embargo, simboliza el planeta Venus (79 650 / 354 = 225, el ciclo sidéreo de Venus en días). Al dividir 79 650 / 2 697 = 29. 5328, cifra muy cercana a 29. 5308, el ciclo sinódico de la Luna. Por lo tanto, la Luna también está presente. Una lunación equivale a 29. 5308 días y 405 lunaciones dan el gran lapso de 11 960 días (ajustado) que se encuentra en la piedra calendárica de las 405 lunas: "el almanaque ampliado de 1. 13. 4. 0 (46 x 260 = 405 Figura VII. 52. Vasija

lunaciones) no sólo servía para predecir los días en que se podían observar los eclipses solares -¿y lunares?- sino también para cálculos de larga distancia de edades lunares, como lo señaló Teeple (1930, p. 86)". 63 Es una figura solar y lunar que indica un eclipse de Luna o Luna nueva. Representa un tlacuache por ser éste un animal nocturno que recuerda que no hay Sol. En la cabeza se marcan ocho divisiones, mismas que corresponden a un número solar, mientras que en las cejas se muestran solamente siete, que corresponden a un número lunar. El ojo cerrado es de muerto, es decir, de un astro muerto, apagado, eclipsado. Por estar la Luna muerta, correspondería esta figurilla a la cabeza colosal número 17 de La Cobata, que también presenta el ojo de muerto.

Cultura del centro de Veracruz 52. Vasija (V=9 009 u3) [ver figura VII. 52]. Sala de la Costa del Golfo. Museo Nacional de Antropología. "Estilo cerámico con rica decoración de escenas religiosas en relieve y con diversos colores. " 64 Cultura: Centro de Veracruz. Periodo: Clásico. Material: Arcilla y pintura. Sus dimensiones son 12. 7 cm de alto y 19. 7 cm de diámetro, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura = 12. 7 cm = 17 u, si u = 0. 747 cm; diámetro = 19. 7 cm = 26 u, si u = 0. 757 cm; r = 13 u. El NV del cilindro envolvente virtual de 2 2 la vasija = volumen = πr h = 3. 1357 x (13 u) x 2 17 u = 3. 1357 x 169 u x 17 u = 3. 1357 x 2 873 u 3 : V = 9 009 u 3 .

Análisis del 9 009 9 009 = 7 x 9 x 11 x 13, todos números muy empleados en la numerología mesoamericana. 9 009 x 20 = 180 180 = 693 x 260, un tonalpohualli.

198

Margarita

Martínez

del Sobral

9 009 / 52 = 173. 25, el medio año de eclipses. 9 009 / 173. 25 = 52, medio siglo mesoamericano.

Figura VII. 53. Palma

La iconografía de la vasija, por los colores, representa un eclipse de Sol mediante el color negro y el Sol mediante el color rojo. 53. Palma (v=3 510 u3) [ver figura VII. 53]. Sala de la Costa del Golfo, Museo Nacional de Antropología. "Escultura relacionada con la ceremonia del juego de pelota cuya original forma es única en el México prehispánico. " 65 Cultura: Centro de Veracruz. Periodo: Clásico. Material: Piedra. Sus dimensiones son altura H = 41. 2 cm; de ancho, w = 18 cm; y de espesor, D = 12. 5 cm, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura = 41. 2 cm = 30 u, si u = 1. 373 cm; ancho = 18 cm = 13 u, si u = 1. 384 cm; espesor = 12. 5 cm = 9 u, si u = 1. 388 cm; V = 30 u x 13 u x 9 u = 3 510 u3.

AB = 30 u AD = 13u DF = 9u AB x AD = 390 u2 Vol. = 3 9 0 u 2 x 9 u = 3 510u 3

dos con sencillos tocados horizontales, y sus rasgos faciales sugeridos mediante oquedades. " 66

Análisis del 3 510 3 510 / 135 = 26, dos tlalpillis o un cuarto de siglo mesoamericano. 3 5 1 0 / 5 = 702, en números cuadrados el área de la base de la Pirámide del Sol. Significa eclipses. 35 100 / 135 = 260, un tonalpohualli. 35 100 / 675 = 52, medio siglo mesoamericano. 35 1 0 0 / 1 300 = 27, un ciclo dracónico lunar (ajustado).

Cultura teotihuacana 54. Figura antropomorfa I (V = 336 u3) [ver figura VII. 54]. Sala Teotihuacana, Museo Nacional de Antropología, México. "Representaciones esquemáticas tendientes al geometrismo. Los personajes están atavia-

Cultura: Teotihuacana. Periodo: Clásico. Procedencia: Teotihuacan, Estado de México. Material: Piedra verde. Sus dimensiones son 15. 2 cm de altura, 6. 6 cm de ancho y 2. 9 de espesor, que convertidas en unidades a la manera indígena son altura = 15. 2 cm = 16 u; ancho = 6. 6 cm = 7 u; espesor: 2. 9 cm = 3 u. Volumen del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la figura: V = 16 u x 7 ux3 u = 336u 3 .

Análisis del 336 336 / 48 = 7, número lunar. 336 / 12 = 28, número lunar.

es Ibid. 66 Rubén Cabrera Castro, Teotihuacan, Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, México, 2004.


199

Figura VII. 54. Figura antropomorfa

El gorro que porta esta figura es típico de los astrónomos observadores de la Luna, lo que se confirma mediante la numerología obtenida. Lo oscuro de la piedra sugiere un eclipse y el verde, una relación con Venus. Esto se logra haciendo el volumen obtenido 65 veces más grande: 336 x 65 = 21 840 (el 65 es factor del ciclo sinódico de Venus: 65 x 9 = 585). 21 840 / 126 = 173. 33, un medio año de eclipses, como lo sugiere lo oscuro de la piedra. 21 840 / 20 = 1 092, el número volumétrico del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan calculado con unidades a la manera indígena. 67 21 840 / 1 092 = 20, el número de días del mes mexica. 21 840 / 336 = 65, la novena parte del ciclo sinódico de Venus de 585 días. 21 840 / 60 = 364, el año del Sol del inframundo y número de Tláloc. 21 840 / 800 = 27. 3, ciclo sidéreo de la Luna. 21 840 / 187 = 116. 791 = 116. 8, el ciclo sinódico exacto de Mercurio. 21 840 / 1 680 = 13, un tlalpilli. 21 840 / 420 = 52, el medio siglo mesoamericano. 21 840 / 210 = 104, el siglo mesoamericano.

Figura VII. 55. Figura antropomorfa ll

55. Figura antropomorfa II (V=3 780 u3) [ver figura VII. 55]. Sala Teotihuacana, Museo Nacional de Antropología, México. "Representaciones esquemáticas tendientes al geometrismo. Los personajes están ataviados con sencillos tocados horizontales, y sus rasgos faciales sugeridos mediante oquedades. " 68 Cultura: Teotihuacana. Periodo: Clásico. Procedencia: Teotihuacan, Estado de México. Material: Piedra verde. 67

Margarita Martínez del Sobral, cap. x del presente libro. 68 Rubén Cabrera Castro, op. cit.

200


Sus

dimensiones

son

18.5

cm

de

altu-

Figura VII.56. Huehuetéotl

ra, 6.6 cm de ancho y 2.7 de espesor, que convertidas en unidades a la manera indíge-

na son altura = 18.5 cm / 0.44 = 42 u; altura = H = 42

X

0.44 = 18.48 cm; ancho = 6.6

cm / 0.44 = 15 u; ancho = W = 15 u x 0.44 cm = 6.6 cm; espesor = 2.7 cm / 0.44 = 6 u; espesor = D = 6 u x 0.44 cm = 2.64 cm. Volumen del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la pieza: V = 4 2 u x 1 5 u x 6 u = 3 7 8 0 u 3 .

Análisis del 3 780 3 780 / 540 = 7, número lunar. 3 780 / 140 = 27, ciclo dracónico lunar. 3 780 / 21 = 180, medio año de 360 días. 3 780/210 = 18, número del mes del año. 56. Huehuetéotl (V = 26 000 u3 ) [ver figura VII.56]. Sala Teotihuacana, Museo Nacional de Antropología. “Representación moldeada en arcilla de Huehuetéotl, dios del fuego, quien aparece como un anciano encorvado y sedente, con los rasgos faciales delineados.” 69 Cultura: Teotihuacana. Periodo: Clásico. Procedencia: Teotihuacan. Material: Arcilla.

AB = 40 u AD = 26 u DF = 25 u AB X AD = 1 040 u2 Vol. = 1 040 u2 x 25 u = 26 000 u3

Sus dimensiones son 15.9 cm de altura, 10.4 cm de ancho y 10 cm de espesor, que transformadas en unidades o la manera indígena son altura = 15.9 cm = 40 u, si u = 0.397 cm; ancho = 10.4 cm = 26 u, si u = 0.4 cm; espesor = 10 cm = 25 u, si u = 0.4 cm. Volumen del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la pieza: V = 40 u x 26 u x 25 u = 26 000 u3, lo que equivale a huehueliztli o una vejez, 26 000 días. Se recuerda que cada u3 corresponde a un día (v = 26 000 u3).

Análisis del 26 000 26 000 / 100 = 260, un tonalpohualli. 26 000 / 250 = 104, número solar, el siglo mesoamericano.

26 000 en años, la precesión de los equinoccios. 26 000 / 500 = 52, medio siglo mesoamericano. 26 000 / 2 000 = 13, un tlalpilli. 26 000 x 72 = 1 872 000 días, la era maya. El número volumétrico 26 000 es igual a 10 x 2 600. El número volumétrico de la Pirámide del Sol es 2 600 - 52 y en la diferencia se marca la unidad que rige el diseño. El 52, en años, es una unidad de tiempo. Es interesante recordar que la escultura de Huehuetéotl se encontraba en la Pirámide del Sol.

69

ibid., p. 13.


201

Figura VII.57. Estela de la Ventilla

Cultura: Teotihuacana. Periodo: Clásico.

u = 8.4 cm

Procedencia: Teotihuacan, Estado de México. Material: Andesita. Sus dimensiones son 210 cm de altura y 77 cm de diámetro, que cambiadas a unida-

Diám. = 77 cm = 9 u

des a la manera indígena: altura = 210 cm = 25 u, si u = 8.40 cm; diámetro = 77 cm = 9 u,

si u = 8.55 cm; área = πr 2 = 3.2094 x 20.25 = 65 u2, si π = 3.209, valor que está dentro de

los parámetros mesoamericanos (3 a 3.25): A = 65 u 2.

El 65 es un número muy versátil, ya que contiene el 13: (13 x 5 = 65), número del sistema solar. Si se tomaran unidades de la mitad del valor que las que se tomaron, se tendría que A = 260 u 2 , el número del tonalpohualli y que a su vez puede ser cinco siglos mesoamericanos (52 x 5 = 260). Dentro de la era maya, que es el periodo más grande de una era, también está implícito el 260: (1 872 000 / 7 200 = 260).

AB = 25 u AD = 0 9 u A=

La parte superior de la pieza es solar y

πr2

r2 = 4.5 u x 4.5 u = 20.25 u2 π = 3.2094 h = 25 u πr2 = 3.2094 x 20.25 u2= 65 u3

comprende el tonalpohualli. Dado que la pieza es desarmable, no se puede saber con exactitud si la escultura tenía otra parte más abajo ni cómo pudo haber sido. Tampoco se sabe su espesor, por lo que se obtuvo solamente el área de la pieza circular superior.

Huehuetéotl significa dios viejo; también se ha traducido como dios del fuego, dado que algunas vasijas que representan a este dios portan un brasero en la cabeza a manera de tocado. El 26 000 corresponde en años al ciclo de precesión del eje de la Tierra; de ahí el dios viejo representado en esta escultura.

70

ibid., p.

20.

57. Estela de la Ventilla (área = 65 u 2 ) [ver figura VII.57]. Sala Teotihuacana, Museo Nacional de Antropología. “Esta espléndida escultura, formada por cuatro secciones desarmables, es un marcador para el juego de pelota y aparece representada en los murales de Tepantitla.” 70

202 Margarita Martínez del Sobral

En el círculo superior se encuentran 52 divisiones, que significan el medio siglo mesoamericano. En la parte central se observan dos espirales complementarias, los dos elementos iguales y contrarios, los que los chinos llaman ying y yang, que pueden significar el día y la noche, la luz y la oscuridad, lo masculino y lo femenino, etcétera.

Cultura Casas Grandes 58. Olla antropomorfa (V = 19 320 u 3 ) [ver figura VII.58]. Sala del Norte de México, Museo Nacional de Antropología. “En la cerámica antropomorfa con decoración

policroma de Casas Grandes se observa el maquillaje facial con que adornaban su cara y su cuerpo.” 71

Figura VII.58. Olla antropomorfa H = 20.2 cm = 30 u

Cultura: Casas Grandes. Periodo: Posclásico. Procedencia: Nueva Casas Grandes, Chihuahua. Material: Arcilla.

W = 15.4 cm = 23 u

Sus dimensiones son 20.2 cm de altura, 15.4 de ancho y 18.8 cm de espesor, que ahora se convierten en unidades a la manera indígena: altura = 20.2 cm = 30 u, si u = D = 18.8 cm = 28 u 0.673 cm; ancho = 15.4 cm = 23 u, si u = 0.669 cm; espesor = 18.8 cm = 28 u, si u = 0.671 cm. El NV del prisma envolvente virtual de la olla = 30 u x 23 u x 28 u = 19 320 u3 (V = 19 320 u3).

Análisis del 19 320 19 320 / 840 = 23, factor del gran lunar 11 970. 19 320 / 2 760 = 7, número lunar.

MCM

19 320 / 690 = 28, número lunar. 19 320 / 654 = 29.5412, aproximadamente el ciclo sinódico lunar. Se trata de una figura lunar, una Luna llena, como lo indica la iconografía de la pieza.

AB = 30 u AD = 23 u DF = 28 u AB x AD = 690 u2 Vol. = 690 u2 x 28 u = 19 320 u3

Cultura olmeca 59. Monumento 1 de Zazacatla (v=4 368 u 3 ) (ver figura VII. 59). Zazacatla, Morelos. Encontrado en excavaciones recientes (2007), de acuerdo con el artículo “Los señores de Zazacatla”, publicado en Arqueología Mexicana, vol. XV, núm. 85, p. 16, por Giselle unidades a la manera indígena. Para ello se

Canto Aguilar y Víctor Mauricio Castro Mendoza. Ficha técnica: Nombre, monumento 1 de Zazacatla; cultura, olmeca; periodo, clásico medio; material, andesita;

divide el lado mayor (57 cm) entre 26 u, resultando cada unidad de 2.192 cm. Esta unidad ahora es el divisor de la siguiente

localización, Centro

medida de 31 cm; 31 cm / 2.192 = 14.14,

INAH,

Morelos.

Sus medidas son 57 x 31 x 27 cm. Las medidas dadas en cm se transforman en

que se considerará como 14 unidades. Se comprueba: 31 cm / 14 = 2.214 cm, siendo

71

Eduardo Gamboa Carrera, Norte,

Museo Nacional de Antropología, Conaculta-INAH, Lunwerg Editores, México, 2004.


la diferencia entre la medida de las unidades de 0.022 cm, por lo que se da por cier-

Análisis del 4 368

ta. La tercera medida, 27 cm, se divide entre

4 368 / 4 = 1 092, NV del primer cuerpo

2.214 cm = 12.195. Se comprueba: 27 / 12 = 2.25. La diferencia entre 2.25 y 2.214 = 0.036 cm, por lo que también se da por válida.

de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. 4 368/42 = 104, un siglo mesoamericano. 4 368 / 84 = 52, medio siglo mesoame-

Las medidas en unidades o la manera indígena resultaron ser 26 u x 14 u x 12 u,

ricano. El número 84 en unidades a la manera indígena se encuentra en

por lo que su V = 364 u2 x 12 u = 4 368 u3.

el diámetro del la Piedra del Sol o calendario azteca. 4 368 / 12 = 364, un año del Sol del

inframundo. La boca olmecoide de entrada al inframundo lo confirma. 4 368 x 10 = 43 680; y 43 680 / 252 = 173.33, en donde el divisor 252 co-

rresponde al periodo de Venus como Estrella de la Tarde. Para que coincida con el tonalpohualli habrá que multiplicar 4 368 x 20 =

Figura VII.59. Monumento 1 de Zazacatla

87 360; 87 360 / 336 = 260, un tonal-

pohualli. De inmediato se ve que 364 es uno de los factores, por lo que el señor del monumento 1 de Zazacatla está relacionado con el Sol del inframundo. Otro de sus factores es 1 092, número volumétrico del primer cuerpo de la Pirámide del Sol y que está también relacionado con los eclipses (ver el número 1 092 en el apéndice 1 y el análisis del 1 092 en el cuadro del mismo número en el cap. X); 4 368 es múltiplo del siglo de 104 años (números absolutos), del año

AB = 26 u AD = 14 u DF = 12 u AB x AD = 364 u2 Vol. = 364 u2 x 12 u = 4 368 u3

nodal en días (173.33); del tlalpilli, en años (13); del falso Sol que alumbró el mundo (Chalchihuicueye, 312 años). Para tener los ciclos del tonalpohualli se deberá multiplicar por 20: 4 368 x 20 = 87 360 u 3 ; 87 360 / 336 = 260, un tonalpohualli. El 52 (medio siglo mesoamericano en años) es factor de 1 092. Siendo esto así, se puede decir que la pieza está relacionada directamente con el Sol del inframundo (Tláloc, 364). De manera indirecta, con el Sol del supramundo (52 años), y también está relacionado con los eclipses (173.33). Nótese que en la cabeza tiene una banda en cuyos extremos presenta dos adornos de forma redondeada. Tal vez representan el Sol y la Luna en la eclíptica, como ya hemos


visto en esculturillas olmecas. En la frente se observa el característico ángulo de las frentes olmecas, que si fuese de 31° repre-

Figura VII.60. Monumento 2 de Zazacatla

sentaría el ángulo del límite eclíptico solar. Los labios arqueados simbolizan la entrada al inframundo. Los arqueólogos informan que presenta evidencia de color rojo en el área de los ojos, lo que indica que es una escultura solar. 60. Monumento 2 de Zazacatla (V= 7 488 u 3) [ver figura VII.60]. Zazacatla, Morelos. Encontrado en excavaciones recientes (2007), de acuerdo con el artículo mencionado “Los señores de Zazacatla”. 72 Nombre: Monumento 2 de Zazacatla. Cultura: Olmeca. Periodo: Clásico medio. Material: Andesita. Localización: Centro INAH, Morelos. Sus medidas son 46 cm x 32 cm x 28 cm; serán transformadas en unidades a la manera indígena. Para ello se divide el lado mayor (46 cm) entre 26 u, resultando cada unidad de 1.769 cm. Esta unidad ahora es el divisor de la siguiente medida de 32 cm: 32 cm / 1.769 = 18, que se considerará como 18 unidades. Se comprueba: 32 cm / 18 = 1.777 cm, siendo la diferencia entre la medida de las unidades de 0.008 cm, por lo que se da por cierta. La tercera medida, 28 cm, se divide entre 1.769 cm = 15.828 ≈ 16. Se comprueba: 28 / 16 = 1.75. La diferencia entre 1.769 y 1.75 = 0.019 cm, por lo que se da por corroborada. Las medidas en unidades o la mane-

AB = 26 u AD = 18 u DF = 16 u AB x AD = 468 u2

Vol. = 468 u 2 x 16 u = 7 488 u3

ra indígena resultaron ser 26 u x 18 u x 16 u = V = 7 488 u3.

Análisis del 7 488 7 488 / 72 = 104, un siglo mesoamericano. 7 488 / 144 = 52, medio siglo mesoamericano. 7 488 / 64 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio. 7 488 / 52 = 144, la milésima parte del baktún maya.

7 488 x 10 = 74 880, que / 432 = 173.33, medio año de eclipses. 7 488 / 4 = 1 872, la milésima parte de la era maya. 7 488 x 250 = 1 872 000, la era maya. Al dividir este número volumétrico entre 4, se obtiene como factor 1 872, por lo que el señor del monumento 2 de Zazacatla está

72

Giselle Canto Aguilar y Víctor Mauricio Castro Mendoza, en Arqueología Mexicana, vol. XV, núm. 85, p. 16 (monumento 2 de Zazacatla).


205

Es posible que los

relacionado con la era maya de 1 872 000

un grano de maíz que germinará en el inte-

mesoamericanos

días (1 872 x 1 000 = 1 872 000 = era maya).

rior de la tierra y creará una nueva planta.

hayan pensado que durante un

La era maya es solar y contiene el mayor número de factores de ciclos del sistema

El grano de maíz es símbolo de muerte y resurrección, y por eso aparece en entie-

eclipse era el

solar (ver el análisis del 1 872 en el cuadro

rros, tal vez como un amuleto que ayudaría

momento en que el inframundo, el

a la resurrección. Se observa también que una gran parte de los NV de esas piezas se

supramundo y el

correspondiente del capítulo VIII). Uno de los factores de la era maya es 5 125, que cabe en ella 365.2682 veces, sien-

espacio medio se podían comunicar; que era el

do este número el valor máximo del año trópico entre los mesoamericanos. El valor de éste estaba comprendido entre 365.1970

En el estudio de todas las 60 figuras se encontró que el número 3 y sus múltiplos

momento en que los espíritus podían descender o ascender al

y 365.2682 días. Para relacionar el 7 488

mundo, que puede ser de Mercurio tam-

con el tonalpohualli habrá que multiplicarlo por 20: 7 488 x 20 = 149 760; 149 760 / 576 = 260, un tonalpohualli.

bién; su color es el rojo. El 5 es número venusino y su color es el verde. El 7 y sus

cielo de los dioses, al cielo superior, donde habi-

Se trata indudablemente de una escultura solar que, teniendo como factor el 173.333 o medio año de eclipses o medio

co, amarillo pálido o marfil. Si se trata del 364, su color es oscuro, por ser del infra-

año nodal, representa eclipses. La boca olmecoide está retorcida y enmarcada por dos serpientes que señalan

ma numérico posicionai. El 11 está relacionado con eclipses. El 12, por ser múltiplo del 3, es solar, al igual que sus múltiplos. El

la entrada al inframundo. La piedra en que está esculpida es de origen volcánico, procedente del centro de la Tierra, lo que con-

13 y sus múltiplos son del sistema solar, particularmente de los planetas visibles a simple vista, con excepción de Júpiter. El

tan los númenes celestes.

refiere a eclipses.

son solares, con excepción del 9 del infra-

múltiplos son lunares y su color es el blan-

mundo. El 10 y el 20 son base de su siste-

firma que esta escultura representa el Sol

17 está relacionado con los eclipses y con-

del inframundo.

junciones. El 19, con la Luna, y su color es el blanco, amarillo pálido o marfil. El 23 es factor lunar. El 25 es lunar cuando se

Conclusiones

encuentra como el ángulo eclíptico lunar. El 27 es lunar; su color es oscuro y denota eclipses. El 27.2 también es lunar y su color

El estudio de las esculturas olmecas de pequeño formato indica que para cuando éstas fueron talladas la numerología astronómica ya era aplicada al arte; eran conocidos con exactitud los ciclos planetarios

es oscuro por la misma razón. El 27.3 y su múltiplo 819 son lunares; su color es el blanco, amarillo pálido o marfil. El 31 es solar

astronómicos, los ciclos lunares y el año trópico; además, ya habían inventado los ciclos calendáricos, como el 260, el 360 y el 364; podían pronosticar eclipses. Fueron los olmecas quienes enseñaron las ciencias de la astronomía, la geometría y las matemáticas a los pueblos aborígenes.

tico solar (ver el apéndice 1, “Números”). Se infiere que los olmecas y demás etnias mesoamericanas creían que para vivir habría que morir y que la vida verdadera se encontraba después de la muerte, tal como lo piensan los cristianos. En sus entierros se

Al hacer el análisis numerológico de las piezas de Mesoamérica no se puede descuidar la iconografía, ya que la numerología y

videncias que tomaban para llegar a la otra vida.

la iconografía están en éstas íntimamente relacionadas. Se observó que la mayoría de las piezas olmecas de pequeño formato representa el Sol del inframundo; que las llamadas hachas votivas tienen la forma de

Luna, a su ciclo metónico y a los eclipses. Es posible que los mesoamericanos hayan pensado que durante un eclipse era el momento


cuando se encuentra como el ángulo eclíp-

nota la preocupación que tenían y las pro-

La figura de Chac Mool se remite a la

en que el inframundo, el supramundo y el espacio medio se podían comunicar; que

era el momento en que los espíritus podían

se dan significación, por lo que algunas

Los números

descender o ascender al cielo de los dioses, al cielo superior, donde habitan los núme-

veces se representaron juntos, como en la escultura de Tlahuizcalpantecutli, conoci-

sagrados de los

nes celestes. Entonces era más fácil llegar al Sol con las ofrendas y era el momento de los sacrificios.

da como Xólotl, que se encuentra en el Landesmuseum de Sttutgart, Alemania. Los números sagrados de los ciclos

quedaban implícitos en las dimensiones de

En los Chac Mool la coincidencia de los ciclos del sistema solar con el tonalpohualli se presenta de manera directa solamente en

astrales quedaban implícitos en las dimen-

las figuras geo-

siones de las figuras geométricas virtuales que contenían sus obras de arte, sacralizán-

métricas virtuales que contenían

algunos de ellos. El tonalpohualli era un

dolas a su vez. Tener los números sagrados

ciclo solar, un ciclo de vida, mientras que los eclipses significaban muerte. La muerte y la vida son fenómenos diametralmente

presentes en éstas debe haber sido una forma de oración que pensaron grata a los

sus obras de arte, sacralizán-

opuestos y antagónicos que, sin embargo,

ciclos astrales

dolas a su vez.

dioses de los cuerpos celestes que los contenían en sus ciclos.


207

VIII. Las cabezas colosales de la cultura olmeca

El marco histórico l empleo de cabezas humanas como numerales. En 1859 un campesino tabasqueño descubrió casualmente una cabeza

E

colosal1 en la selva colindante con la costa de Veracruz. Ochenta años más tarde Matthew W. Stirling, director de la Oficina de Etnología Americana del Smithsonian, habiendo oído hablar de este descubrimiento, viajó a México y encontró la escultura en medio de varios montículos artificiales de tierra, enterrada hasta las cejas, en un sitio denominado Tres Zapotes, que había sido un centro ceremonial desconocido hasta entonces. Al año siguiente, financiado por la National Geographic Society, regresó al sitio y descubrió una estela sin inscripciones; luego halló otra estela cargada de numerales que le permitió pensar que pertenecía a una civilización anterior a la maya. En 1940 Stirling llegó a La Venta, Tabasco, donde descubrió otras cuatro cabezas colosales que, al igual que la primera, no tenían cuerpo y que portaban una especie de casco con símbolos y grandes orejeras. Dedujo que “podría muy bien ser

1

Charles C. Mann, 1491 / Una nueva historia de las

Américas antes de Colón, Taurus, versión española de Santillana Ediciones Generales, Madrid, 2006, pp. 277-278. 2 Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 159. “Ocasionalmente los mayas sustituían los puntos y las barras por formas de cabezas grotescas, cada una de las cuales en honor de los muchos dioses del panteón maya, hecho que subraya la estima en que los mayas tenían su sistema de numeración.” Además de cabezas, los mesoamericanos se valieron de los volúmenes de los paralelepípedos rectos que pueden envolver a sus esculturas de pequeño y gran formatos, a las cabezas colosales y a los cuerpos de sus pirámides (ver figura 11.7, “Las veinte cabezas que son numerales en las inscripciones mayas”).

208


la civilización primigenia a partir de la cual se desarrollaron centros de tan elevado arte como el de los mayas, los zapotecas, los toltecas y los totonacos”. Le dio a esa cultura el nombre de olmeca, que quiere decir hombre de hule, por ser en esas tierras en donde crece el árbol del hule. Posteriormente otros investigadores descubrieron en lugares como San Lorenzo y La Cobata 12 cabezas más, cuyos rasgos negroides los llevaron a pensar que eran de origen africano. Esta investigación señala que las proporciones de las cabezas fueron escogidas ex profeso para que el volumen del prisma recto rectángulo (PRR) envolvente virtual de cada una fuese un número de significado astronómico (NSA) o calendárico (NSC), por lo que no pueden ser retratos realistas. Fue común entre los mayas y los olmecas utilizar cabezas humanas como numerales.2 Jacques Soustelle señaló que no solamente

utilizaban una notación numérica con base en puntos y rayas, sino que con frecuencia las cifras del 1 al 20 se representaban en el

tránsitos de los planetas interiores por el

Para decodificar

disco solar o simplemente coincidencia de ciclos, etcétera. En cuanto al tocado, un

las cabezas colosales olmecas es

plano mediante cabezas de perfil, a lo que hay que agregar que, de acuerdo con el presente estudio, las tridimensionales cabezas

personaje con casco simboliza a un observador del cielo o astrónomo; pero si el casco es liso o con sólo una banda horizontal indi-

colosales olmecas también representan números. Pero estos números contenidos en los PRR envolventes virtuales de las cabe-

ca un astrónomo especializado en el estudio de la Luna. Un casco con adornos en forma de cuerda indica una atadura de años o coin-

importante notar qué tipo de casco o tocado y de orejera portan, pues en su iconografía

zas colosales no son numerales cualesquie-

cidencia de ciclos, un lugar de descanso de

ra, sino NSA y NSC. Estas cabezas pueden ser las de los patronos de los ciclos astronómicos, los númenes de los astros a los que

los caminantes celestes, los astros, o un lub, mientras que otro adornado con círculos concéntricos significa coincidencia de ciclos

pertenecen los números sacralizados que están imbuidos en ellas. El que las cifras del 1 al 20 se hayan representado con cabezas

planetarios con ciclos solares, generalmen-

es una prueba más de que existió un sistema de cuenta por veintenas o ruedas de números de base 20 dentro de las matemáticas mesoamericanas, que fue utilizado principalmente en la rama de la numerología que a su vez dio pie a la astrologia de carácter adivinatorio. Hablando de cabezas dibujadas en el plano y tomadas como numerales, Soustelle dice: Las cabezas de los dioses que eran patro-

nos de ciertos números se les podía descifrar gracias a ciertos atributos: un tocado adornado con un disco para el número 3; un signo de tun como tocado para el número 5; una mandíbula descarnada para el número 10.3

firmación del significado de la numerología de cada cabeza.

te conjunciones con el Sol. Un arete en forma de cilindro o de prisma rectangular representa el siglo mesoamericano, mientras que una nariguera en forma de mariposa remite a Venus. La iconografía de una escultura y su numerología deben significar lo mismo para validar su decodificación. Existen referencias astronómicas en la numerología de los glifos clasificados por Thompson con los números 129, 152, 154 y 552 de su Catálogo que confirman que los mayas utilizaron cabezas humanas para registrar ciclos astronómicos. La utilización de cabezas por los olmecas con el mismo fin queda demostrada en este capítulo, como se verá más adelante. En la Placa de Leiden, al igual que en la mayoría de bajorrelieves mayas, se pueden ver cabezas acompañadas de numerales que indican cuántas veces se deben tomar ciertas unidades astronómicas,

Efectivamente, también para decodificar las cabezas colosales olmecas es impor-

tales como un kin (día), un uinal (mes de 20 días), un tun (año de 360 días), un katún (20 años de 360 días = 7 200 días) o un baktún

tante notar qué tipo de casco o tocado y de orejera portan, pues en su iconografía es en donde se encuentra la confirmación del sig-

(400 años de 360 días = 144 000 días). Puesto que los volúmenes de los PRR envolventes virtuales de las cabezas colo-

nificado de la numerología de cada cabeza. Estudiando las orejeras y los tocados que las adornan se pueden identificar a los pa-

sales deben ser iguales o múltiplos del número de días de algún ciclo astronómico, encontrar su número volumétrico se reduce a encontrar los tres números o factores

tronos de los NSA o NSC, que son o que se

es en donde se encuentra la con-

encuentran como factores de sus números volumétricos (NV). Así, la numerología de la cabeza que porte un arete en forma de signo de interrogación o bucle (¿) simboliza la

que constituyen el NV deseado. Por ejemplo, en el caso del NSC que corresponde al ciclo del año del Sol del inframundo (364 días)

Luna; si porta una garra de tigre, el Sol; dos círculos concéntricos pueden significar

multiplicados entre sí den 364 u3, como 1988, p. 186. pueden ser 4 u x 7 u x 1 3 u = 3 6 4 u 3 . UMéxico, n

3

se

deberán

encontrar

tres

números

que

Jacques Soustelle, Los mayas, Fondo de Cultura Económica,


209

4

Ann Cyphres, “Escultura monumental olmeca / Las cabezas colosales”, en Arqueo logia Mexicana (“Los olmecas, la cultura madre / La religión en Mesoamérica”), vol. II, núm. 12, marzo-abril de 1995, pp. 43-45. Las medidas de estas cabezas fueron tomadas del suplemento “Mapamundo olmeca / Catálogo de cabezas colosales”, en el número citado de Arqueología Mexicana.

210

ejemplo real es el de la escultura de pequeño formato olmeca Efigie en forma de hacha

otras relativas a las cabezas colosales olmecas que se comprueban en este capítulo:

analizada en el capítulo anterior, cuyo NV es 3 640 u3 y sus factores son 10, 13 y 28. Al incorporar el artista estos números como medi-

a) Las cabezas colosales olmecas, que de acuerdo con los arqueólogos fue-

da de la altura, largo y ancho del PRR en el

ron realizadas entre 1200 y 800 a.C.,

que se tallaría la escultura, quedaba resuelto el problema (10 u x 13 u x 28 u - 3 640 u3).

preservan y transmiten el conocimiento astronómico al que sus sabios

Desde luego que para expresar el NV de

habían llegado a través de los volú-

ciclos solares se incorporaban en el PRR

menes (nv) de los PRR envolventes

envolvente virtual de la obra por esculpirse números que aquí se han clasificado

virtuales de las cabezas. b) Las obras escultóricas olmecas reali-

como solares. Si la escultura fuera a expre-

zadas entre 1200 y 900 a.C. demues-

sar NSA o NSC venusinos, los números factores de su NV deberían ser números venusinos; si fuera a expresar NSC o NSA lunares,

tran, a través de la numerología y de los NV de los PRR envolventes virtuales, la relación de los ciclos astronó-

los números factores de su NV deberían ser lunares, etcétera. El sistema empleado para preservar su

micos con el tonalpohualli. Al verificar estas hipótesis mediante la

conocimiento astronómico aportó unidad al arte mesoamericano e identidad a los pueblos que lo produjeron. Así, los NV más

iconografía y el análisis geométrico de las piezas estudiadas, quedará comprobada, una vez más, la primera hipótesis planteada.

frecuentemente empleados en las estelas de Xochicalco, en las pirámides de Teotihuacan, en las vasijas del valle de Tehuacán, así como en otras muchas obras del arte

Numerología de las cabezas colosales olmecas:

mesoamericano, son los mismos que aparecen en el estudio de las cabezas colosales y en las esculturas no monumentales de la

obtención y análisis de sus NV4

cultura olmeca. Esto indica que la nume-

que la mayoría de los eventos astronómicos

rología astronómica mesoamericana cuyo corpus está formado por todos los ciclos astronómicos reales o conmensurados, así como por ciclos calendáricos -entre ellos el del tonalpohualli de 260 días-, se remonta a esa cultura, al igual que el modo de codificar su mensaje. En la “Introducción” se vio que quedó asentada la primera hipótesis que compren-

deberían engranar o coincidir en un lub, en la numerología de 12 de las 17 cabezas estudia-

de todo el sentido de esta investigación: que existió una numerología basada en las observaciones de los ciclos astronómicos y de la gestación del ser humano plasmada en el tonalpohualli que permitió a las obras de arte mesoamericano preservar y transmitir, mediante la numerología de sus dimensiones lineales, o áreas, o volúmenes, el conocimiento astronómico-matemático que ligaba a los hombres con la divinidad. De esta primera hipótesis se desprenden


Por ser el tonalpohualli el calendario con el

das se encontró como factor el 260 en forma directa y en las otras cinco en forma indirecta. Se considera en forma directa cuando el volumen es directamente múltiplo o submúltiplo del 260 e indirecta cuando es necesario multiplicar el NV inicial por otros factores -generalmente por 20, número base de sus cuentas- o por el 13, que relaciona los ciclos sinódicos de los planetas visibles a simple vista (con excepción de Júpiter) para llegar a su sincronización o coincidencia. Si el 260 no fuera factor del volumen calculado, ya sea de manera directa o indirecta, el cálculo estará equivocado y se deberá buscar otro número volumétrico que lo contenga. Ésta es una condición sine qua non para aceptar como correctos los NV de los PRR envolventes virtuales de las cabezas colosales.

Aunque las esculturas contienen varios simbolismos, se considera como principal el que coincida directamente con la icono-

Medidas de la cabeza número 1 de San Lorenzo. Como ejemplo del sistema por proporción para encontrar las medidas de las

grafía de la pieza. Por lo general son mu-

cabezas colosales a partir de una imagen de

de los ciclos as-

chos los símbolos que coinciden con los NV calculados, lo que dificulta determinar cuál tiene mayor importancia.

la que se conocen una o dos de sus medidas se presenta el caso de la cabeza colosal número 1 de San Lorenzo.

tronómicos y de la gestación del ser humano plasmada

El NV también se puede identificar como perteneciente de manera principal a algún ciclo de determinado astro por el

Para el estudio de esta cabeza se parte de un dibujo de frente y de perfil del que Cyphres da únicamente la medida de la

en el tonalpohualli que permitió a las obras de arte

color de la pieza: el rojo pertenece al Sol del supramundo, al Tonatiuh de los aztecas o su equivalente en otras culturas, siendo el

altura (h) en unidades métricas. Por proporción, utilizando el compás de diez puntas o de divisiones iguales, se encuentra una

mesoamericano

rojo del oriente más intenso que el del

apertura entre las puntas de manera que

poniente; el verde identifica a Venus; el marfil, a la Luna; y el negro o gris, al Sol del inframundo, al Tláloc de los aztecas o su equivalente en otras culturas. El cuadro de análisis de esculturas olmecas de pequeño formato que se en-

esa apertura quepa un número entero de veces en la altura (H), en el frente (w) y en el fondo (d). Esto se hace por el sistema de

numerología de sus dimensiones lineales, o áreas,

cuentra en el capítulo VII sirve para comparar la numerología de las cabezas colosales con la de esas esculturas. En ese cuadro las medidas de la altura

(h),

ancho del frente

(w) y profundidad (d) se presentan tanto en unidades métricas como en unidades u a l a manera indígena. Los volúmenes, solamente en u3. En este capítulo se hace la comparación de los NV de las esculturas de pequeño formato con los de las cabezas colosales y se presentan las conclusiones derivadas.

Sistema de proporcionamiento para encontrar las medidas de las cabezas colosales No habiendo encontrado ninguna fuente ajena a esta investigación que proporcione las medidas de las cabezas colosales olmecas salvo las alturas que se encuentran en el estudio y dibujos que de ellas ha realizado Ann Cyphres,5 son éstas las que se han utilizado en la presente obra para calcular -por proporcionalidad- las dimensiones del frente y del fondo del PRR, su envolvente virtual. Para la descripción y fechamiento de cada pieza se cita a la letra en este estudio a Ann Cyphres.

prueba y error hasta encontrar la apertura correcta y, habiéndola encontrado, ésa será la medida de la unidad (u, u) con la que fue diseñada esa cabeza. En el caso de la cabeza 1 la unidad u que corresponde a la apertura entre cada punta del compás cabe 13 veces en la altura (H), 10 veces en el frente (w) y 8 en el fondo (D). Siendo la (h) repor-

Existió una numerología basada en las observaciones

preservar y transmitir, mediante la

o volúmenes, el conocimiento astronómicomatemático que ligaba a los hombres con la divinidad.

tada = 285 cm, el valor de la unidad u será = 285 cm / 13 = 21.92 cm. Habiendo encontrado este valor, las otras medidas serán W = 10 u = 10 x 21.923 cm = 219.23 cm; D = 8 u - 8 x 21.923 cm = 175.384 cm, por lo que el volumen en u3 a la manera indígena será V = 13 u x 10 u x 8 u = 1 040 u3. Para encontrar la unidad u (diferente en cada caso) que rige a cada una de las cabezas y esculturas del arte mesoamericano el procedimiento es similar. Se toma como NV principal o significativo de las cabezas el que su volumen de manera directa señale. Por ejemplo, 1 040 u3 señala directamente la relación con el siglo mesoamericano: 10 siglos de 104 años o 20 medios siglos de 52 años. También el NV 1 040 nos remite a cuatro tonalpohuallis, ya que 1 040 = 4 x 260. La iconografía de esta cabeza muestra una orejera en forma de cilindro, que en otras figuras puede ser en forma de trapecio o de rectángulo. Siendo el número volumétrico de esa cabeza un múltiplo del siglo de 104 años, si se encuentra ese mismo

5

La altura de estas cabezas fue tomada del artículo de Ann Cyphres, ibid. Algunas medidas de estas cabezas fueron rectificadas por el Museo Nacional de Antropología a petición del INAH.


211

En Mesoamérica es la proporción

número como prevalente en otras cabezas o figuras del arte mesoamericano, y si en

Una vez determinada en unidades u a la manera indígena la altura (h), el ancho

entre dos números lo que importa.

todas ellas aparece una orejera consistente

(w) y el fondo (d), se procede a calcular el

en un cilindro, rectángulo o trapecio, se infiere que ésa es la forma geométrica empleada para simbolizar ese ciclo. Así, cuan-

volumen. El NV obtenido corresponderá al número de ciclos (días, años, siglos, eras, simplemente ciclos) o sus múltiplos o sub-

do se encuentre una cabeza o cualquier otra figura con orejeras en forma de cilindro,

múltiplos que determinan a qué se está re-

trapecio

dificación

o

rectángulo,

se

podrá

esperar

se

recurre

a la

iconografía, en caso de haberla. Si el sentido de los números y de los símbolos es el mismo, se habrá acertado en la decodificación de ambos; de no ser así lo más proba-

de 10, 13, 20, 26, 40, 52, 104, 208, 260 y 520. Se puede objetar que en la igualdad 13 x

ble es que el NV esté equivocado, lo que puede ocurrir por varias razones: a) La unidad de medida u ala manera indígena con

80 = 52 x 20 = 104 x 10 = 260 x 4 = 520 x 2 = 1 040 están mezclados días (260) y años

la que fue medido el objeto no es correcta; b) Las medidas en pies, metros, etcétera, no fueron tomadas correctamente o fueron

(104), lo que ya ha sido analizado en otros

aproximadas; c) Se cometió un error al

capítulos. La objeción es válida, pero se pueden cambiar los años a días de manera que la correspondencia subsista. Se sostu-

transformar las unidades dadas en metros, yardas, pies, etcétera, a unidades u a l a manera indígena; d) El cálculo del volumen de

vo que en Mesoamérica es la proporción entre dos números lo que importa. En muchas ocasiones, al hacer el análisis de un

la envolvente virtual del objeto de estudio está equivocado; e) Se escogió como envolvente virtual de la obra estudiada una figu-

NV de alguna obra del arte mesoamericano, se va a encontrar una situación semejante. Para ejemplificar lo dicho se toma la igualdad anterior: 10 x l04 = 4 x 260 = 1 040 y se estudia en qué proporción están sus términos: (10 x 104) / (4 x 260) = 1. Se cambian los términos de la proporción sin alterarla al multiplicarlos por 360, convirtiendo así

ra geométrica que no corresponde a la de la pieza. Un ejemplo de esto último es el error en el que han incurrido los estudiosos de

los años en días (el valor del año puede ser 360, 364, 365 o 365.2422, lo que no tiene

estar en días, años, etcéterasimplemente como ciclos.

correcta

sus múltiplos o submúltiplos. De igual manera sucede con los demás números volunos. En esta cabeza, siendo el NV = 1 040 u3, será también mínimo común múltiplo (MCM)

los periodos astronómicos -que pueden

sea

como NV o como factor del mismo el 52 y

métricos de las cabezas y sus respectivos ico-

Los mesoamericanos tomaban

firiendo la obra. Para verificar que la deco-

importancia, pues al multiplicar ambos términos la proporción se conserva): 10 x 104 x 360 = 374 400 = 4 x 260 x 360. Se observa que la proporcionalidad de sus términos no se altera: (10 x 104 x 360) / (4 x 260 x 360) = 374 400 / 374 400 = 1. Esta demostración es importante, ya que, como se dijo, aparecen con frecuencia siglos, etcétera, en máticas necesarias dencias de ciclos.

ciclos en días, años, las operaciones matepara encontrar coinciSe recuerda que los

mesoamericanos tomaban los periodos astronómicos -que pueden estar en días, años, etcétera- simplemente como ciclos.


las pirámides mexicanas al tomar como piramidales las envolventes virtuales de los cuerpos que las conforman, cuando la verdadera forma de su envolvente virtual es un prisma en forma de artesa o chumeng (ver cap. X, figs. X.1 y X.5).

Descripción, obtención y análisis de los NV de las cabezas colosales olmecas A continuación se presentan la descripción, análisis y decodificación de las 17 cabezas olmecas que se han encontrado a la fecha. Para lograrlo el sistema empleado ha consistido -al igual que en las piezas de pequeño formato estudiadas en el capítulo anterioren encontrar su NV y hacer las correspondencias con otros ciclos, particularmente con el tonalpohualli. En el capítulo VII se

demuestra mediante la decodificación de la

Figura VIII.1. Cabeza 1, San Lorenzo

figura 2, sarcófago de La Venta, monumento 66 -cuyo NV 1 872 es la milésima parte de la era maya-, que los valores extremos para el año trópico en Mesoamérica van de

AB = 13 u AD = 10 u DF = 8 u AB x AD = 130 u2 Vol. = 1 3 0 u 2 x 8 u = 1 0 4 0 u 3

365.1970 a 365.2628 días (1 872 000 días / 5 126 = 365.1970 días y 1 872 000 días / 5 125 = 365.2682 días). En el promedio se encuentra el valor aproximado del año trópico de 365.2422 días (365.1970 + 365.2628) / 2 = 730.4598 / 2 = 365.2299. Esto demuestra que, para la fecha en que fueron esculpidas las cabezas colosales, ya se conocían perfectamente los ciclos de los planetas, de la Luna y del año trópico, y que estaba en uso el calendario augural de 260 días. El procedimiento para encontrar la unidad u de medida necesaria para calcular el NV es igual para todas las cabezas y ha sido descrito en capítulos anteriores. Se recomienda ver el apéndice 1, “Números”, para explicaciones más amplias de los NV de las cabezas colosales olmecas.

Cabeza 1, San Lorenzo, V - 1 040 u3 (Monumento 1) [ver figura VIII. 1]. Sol, siglo mesoamericano. Se encuentra en el Museo de

resaltada por el entrecejo fruncido, la mirada bizca y la boca entreabierta. Los contornos de los párpados dan al ojo una forma triangular, debido al pliegue cutáneo lateral, característica de las personas viejas. 7

Antropología en Jalapa. H, altura = 285 cm = 13 u. W, ancho = 219.23 cm = 10 u. D, fondo = 175.384 cm = 8 u. Por lo tanto, u = 285 cm / 13 = 21.923 cm. Comprobación: 13 x 21.923 = 284.999; 10 x 21.923 = 219.23; 8 x 21.923 = 175.384. V = 1 3 u x l0 u x 8 u = l 040 u3. Llamada El Rey, es la cabeza más alta de San Lorenzo; representa a un gobernante con orejeras cilindricas que perforan los lóbulos de las grandes orejas y porta un casco sencillo, caracterizado por una banda horizontal y otra remetida; un elemento alargado con cuatro dedos estilizados lo cubre. Tres barrenos la han mutilado, dos en

El frente de la cabeza puede encerrarse en un rectángulo pitagórico, M 1.333..., siendo su altura 13 u y el frente 10 u, por lo que la superficie será de 130 u2 (u = 285 / 13 = 21.92 cm). El perfil puede contenerse en un rectángulo ϕ M 1.618 (de 13 u de altura y 8 u de fondo) y su volumen es 1 040 u3 . Se observa que cuando en una de las caras del

6

Figura tomada del libro de Michael D. Coe, The Olmec World /Ritual and Rulership, The Art Museum, Princeton University, Princeton, 1966, fig. 12, p. 35.

7

Todas las descripciones de las cabezas colosales que se publican en forma de transcripción fueron tomadas de la revista Arqueología Mexicana (“Los olmecas”), de un artículo escrito por Enrique Vela. Las ilustraciones empleadas para

las aletas de la nariz y otro debajo del ojo

realizar su estudio son de Magda Juárez y Concepción Reyes, y aparecen en la

derecho. El rostro tiene una expresión seria,

misma revista.

VIII. Las cabezas colosales de la cultura olmeca 213

PRR, envolvente virtual de la figura, apare-

el número 1 040 en el apéndice “Números”

ce un rectángulo φ cuyos lados midan 8 u y

en relación con el orto helíaco de Venus).

13 u, en su superficie o área queda expresado el siglo mesoamericano. En la multiplicación 8 x 13 = 1048 se observa que el 13 y el 8

La relación del 1 040 con el tonalpohualli es directa: 1 040 / 4 = 260. Al considerar números absolutos: 1 040 / 520 = 2. Tomados

son números consecutivos de la serie de Fibonacci y que su cociente, 1.625, es uno de los parámetros del valor del número de oro

como días, en ese lapso se pueden producir seis eclipses: 1 040 / 6 = 173.3 = el año nodal o medio año de eclipses en días. El 1 040

(φ) entre los matemáticos mesoamericanos;9

está relacionado con la orientación de las

el otro = 1.6: (13 / 8 = 1.625 y 8 / 5 = 1.6).* El NV de esta cabeza se relaciona de

ciudades de la Familia de los 17° a través del 73, que es complemento de 17: (1 460 / 20 =

manera directa con el tonalpohualli, con el

73). Considerando los años de 365 días, se

siglo mesoamericano, con el medio siglo, con el tlalpilli o trecenas y con los años y

tiene: 1 040 x 365 = 379 600, número que dividido entre 260 = 1 460. Por otro lado, 146 es la cuarta parte del ciclo sinódico de

medios años de eclipses.

Venus considerado de 584 días. Esto demuestra que los olmecas ya conocían el ciclo de Venus y le daban un valor conmensura-

Análisis del 1 040

do, como en este caso, de 584 días. Más 1 040 / 4 = 260 días, un tonalpohualli. 1 040 / 10 = 104 años, un siglo mesoa* Las operaciones entre paréntesis junto a otra cifra no significan en estos casos multiplicación. (Nota del editor.) 8 El 104 es el número de años del siglo mesoamericano. 9

El número de oro (ϕ) en Mesoamérica se encuentra entre 1.6 y 1.625, cocientes de 8 /

mericano. 1 040 / 20 = 52 años, un medio siglo mesoamericano, encendido del Fuego Nuevo. 1 040 / 80 = 13 años, un tlalpilli. En días, una semana del calendario adivinatorio. 1 040 / 3 = 346.6 días, el año de eclipses.

adelante se verá que también consideraban el ciclo sinódico de 585 días como valor para el mismo ciclo (ver el número 1 040 en el apéndice “Números”). Múltiplos de 1 040, como 63 x 1 040 = 65 520, tienen los factores siguientes: 65 520 = 80 x 819 = 366 x 179.016. Otro múltiplo es 1 040 x 5 = 5 200 = 20 x 260 = 52 x 10. Es interesante observar que dichos números se hayan preservado en la numero-

El 1 040 lo menciona Thompson como 5 x 208 = 1 040; almanaque 55 (pp. 32a-

logía de estos monumentos. Importancia y significado del 1 040 como NV

5 y de 13 / 8, respectivamente. El promedio es 1.6125, número muy próximo a

39o).10 Del Paso y Troncoso informa con respecto al 1 040: “Casi con la misma exactitud que daba el periodo de 1 040 años coinciden dos conjunciones de Venus, la

1.61803398875, ver-

primera inferior y la segunda superior, o

dadero valor de φ, generalmente simplificado como 1.618. 10 J. Eric S. Thompson,

viceversa, pasando un término de 2 028 años, o sea, 39 ciclos de 52, habiendo siempre una anticipación de algunos días”11 (ver

para la decodificación del mensaje que expresa, puesto que permite encontrar los ciclos astronómicos o calendáricos que contiene. La iconografía de esta cabeza, o de

Un comentario al Códice de Dresde / Libro de jeroglifos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 68. 11 Francisco del Paso y Troncoso, Ensayo sobre los símbolos cronográficos de los mexicanos, Anales del Museo Nacional, México, 1882, cap. X, p. 352.

de la cabeza número 1 de San Lorenzo. Se puede decir que el NV encontrado en cualquier escultura mesoamericana es clave

Cuadro del número 1 040 Número 1 040 1 040 1 040 1 040


Ciclo Tonalpohualli, 260 Medio año de eclipses o año nodal, 173.33 días Siglo, 104 años Tlalpilli, 13 años

Astro Sol Luna


Factorizaciones 4 = 22 6 = 2x3

Sol Sol

10 80

10 = 2x5 80 = 22 x 22 x 5

cualquiera de las siguientes estudiadas, con-


firma la consagración a ciertos astros de los NSA o NSC cuyos NV son el resultado de la

multiplicación de las medidas de su envol-

AB = 25 u AD = 18 u DF = 13 u AB x AD = 25 u x 18 u = 450 u Vol. = 450 u2 x 13 u = 5 850 u3

vente virtual (transformadas en unidades a la manera indígena), que reflejan en sus proporciones un orden temporal y celeste. El 1 040 y sus múltiplos se pueden relacionar con las medidas de los diver-

5 850 /10 = 585, un ciclo sinódico de Venus 5 850 / 50 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio 5 850 / 198 = 29.5454, un ciclo sinódico de la Luna 5 850 x20 =117 000, mil ciclos sinódicos de Mercurio 117 000 / 450 = 260, un tonalpohualli

sos elementos analizados en esta investigación: 1 040 x 10 = 10 400 = 40 x 260 = 27.01 x 385; este último es el número de cabezas de Tláloc y de Quetzalcóatl que Sugiyama considera debieron existir en las cuatro fachadas del viejo templo de Quetzalcóatl. De ser así, cada cabeza tendría un valor de 27.01 ≈ 27, número empleado en el conteo lunar ya desde la cultura olmeca (ver figura VI.2). Por otra parte, 10 400 = 352 x 29.5454, donde 29.5454 puede ser considerado como el ciclo sinódico de la Luna. Irene Nicholson lo encuentra como constante lunar al dividir 1 300 / 44 = 29.5454. 12 El 352 se puede factorizar como 11 x 32. El número 11 se puede observar en la corona de rayos o pétalos de las cabezas de serpiente emplumada (Quetzalcóatl) en el viejo templo. Si a 10 400 se le agregan 4 unidades, tendremos 10 404, que se puede factorizar como 17 x 17 x 36, donde el 17 es la orientación del eje mayor de la Pirámide del Sol y 36, la

rasgos del gobernante, pero aún se pueden apreciar los ojos oblicuos y bizcos. El pliegue cutáneo lateral de los párpados proporciona una forma triangular al ojo. En la

décima parte del año de 360 días. Otro múltiplo del 1 040 es 1 040 x 63 = 65 520, que a su vez se puede factorizar como 80 x 819 = 180 x 364.

banda horizontal de su casco lleva tres sím-

Considerado desde este punto de vista,

hundido; se ha sugerido que esta cabeza se

el 1 040 viene a relacionar las cabezas colosales y esculturas de pequeño formato cuyo

fabricó a partir de un trono. El rostro gentil

bolos de guacamayo y aparenta un tejido abierto.

Usa

orejeras

redondas

colgantes.

Como en el lado derecho, muestra un arco

transmite una mirada intensa y seria.13

NV sea 1 040 con el viejo templo de Quetzal-

cóatl (ver el número 1 040 en el apéndice

Habiendo

encontrado

veces en la altura H,

“Números”).

y

que

u

cabe

12

Irene Nicholson, Mexican and Central American Mythology, Newness Books, Londres, 1983, p. 49.

13

Como se mencionó en la nota 7, todas las descripciones de las cabezas colosales que se publican en forma de transcripción fueron tomadas de la

25

siendo ésta = 269 cm,

la unidad u = 269 / 25 = 10.76 cm.

u3

H = 25 u = 25 x 10.76 cm = 269 cm.

Cabeza 2, San Lorenzo, V = 5 850 (Monumento 2) [ver figura VIII.2]. Venus. Se encuentra en el Museo Nacional de Antro-

w

pología, México.

V= 5 850 u 3 .

Se encuentra mutilada por múltiples barrenos y algunas afiladuras que casi borran los

=

18

u = 18 x

10.76 cm = 193.68 cm.

D = 13 u = 13 x 10.76 = 139.88 cm.

El frente de la cabeza o cara se puede encerrar en un rectángulo de 25 u de altura

revista Arqueología Mexicana.


215

y 18 u de frente, con una superficie de 450 u2.

venusinos; sin embargo, también tiene rela-

El perfil está contenido en un rectángulo de 25 u de altura y 13 u de fondo y volumen total de 5 850 u3. Este NV equivale a 10 ciclos sinódicos de Venus de 585 días y a 50 ciclos sinódicos de Mercurio (50 u x 117 u = 5 850 u2). Señala una coincidencia de ciclos venusinos y mercuriales con el tonalpohualli.

ción con Mercurio, Marte y la Luna. La iconografía muestra una orejera en forma de chalchíhuitl, que simboliza un ciclo cerrado, tal vez una conjunción de Venus con el Sol, fenómeno que ocurre cada ocho años. Por otro lado, 5 x 8 x 585 = 23 400, importantísimo en la numerología mesoamericana por ser MCM de muchos NSA y NSC.

Es interesante notar que el ciclo sinódi-

Análisis del 5 850 co 5 850 / 10 = 585, un ciclo sinódico de Venus.

lunar

también

fue

considerado

de

29.5454 días, número que quedó registrado en la cabeza número 2 de San Lorenzo.

5 850 / 130 = 45 veces medio tonalpohualli. 5 850 / 117 = 50 ciclos sinódicos de Mercurio.

Cabeza 3, San Lorenzo, V = 1 560 u 3 (Monumento 3) [ver figura VI1I.3]. Solar; 1.78 m de alto. Se encuentra en el Museo de Antro-

5 850 / 198 = 29.5454, un ciclo sinódico de la Luna. Al multiplicar el volumen de esta cabeza por 20, se relaciona indirectamente con el calendario augural, con el planeta Mercurio y

pología de Jalapa. Más ancha en la corona que en la base, la cabeza tiene el lado inferior quebrado y 27 barrenos en el casco, el cual porta cuatro cuerdas paralelas cruzadas por elementos

con Marte:

escalonados. La parte superior del casco

5 850 x 20 = 117 000; 117 000 / 450 = 260, un tonalpohualli. 117 000 / 1 000 = 117, un ciclo sinódico

lleva una banda que circunda la corona, de

de Mercurio. 117 000 / 150 = 780, el ciclo sinódico de Marte. Puede significar también un

gobernante está lograda por los ojos grandes

elipse de Sol, 117 000 / 675 = 173.33; 117 000 / 520 = 225, lo que parece indicar 675 posibilidades de eclipse y un año sidéreo de Venus. Es claro que esta cabeza se refiere principalmente y de manera directa a los ciclos

la cual cuelgan tiras anchas que cubren las orejas. La expresión de serenidad de este y oblicuos asociados al pliegue epicántico. Los contornos bien definidos de los pómulos y el mentón dan una apariencia de madurez.

Las dimensiones, ya convertidas por el método gráfico en unidades a la manera indígena, que se encontraron a partir del análisis geométrico-matemático de la cabeza colosal olmeca número 3 de San


Análisis del 5 850, volumen de la cabeza 2 de San Lorenzo Número 5 850 x 20= 117 000 5 850 5 850 5 850

Ciclo Tonalpohualli, 260 Sinódico, 585 Sinódico, 29.5454* Sidéreo, 225

Astro Sol Venus Luna Venus

Número de ciclos 450 10 198 26

Factorizaciones 450 = 32 x 5 x 10 10 = 2x5 26= 13 x 2

*Irene Nicholson, Mexican and Central American Mythology, op. cit., p. 49. “Again, five periods of 260 days make 1300 or 44 revolutions of the moon about the earth.” “Otra vez, cinco periodos de 260 días hacen 1 300 o 44 revoluciones de la Luna alrededor de la Tierra” (traducción de la autora); 1300 / 44 = 29.5454.


Lorenzo, son las siguientes: altura ( H ) = 1 5 u; ancho ( w ) = 1 3 u; largo ( l ) = 8 u. Siendo el NV del prisma recto rectán-


gulo envolvente virtual de la cabeza igual al producto de la multiplicación de la altura por el ancho y el largo, V = 1 5 u x l 3 u x 8 u = 1 560 u3. Se puede afirmar que el NV 1 560 es un NSA porque, al dividirlo sucesivamente entre los factores que arrojen como cociente

AB = 15 U AD = 13 u DF = 8 u AB x AD = 195 u2 Vol. = 195 u2 x 8 u = 1 560 u3

un número exacto, se puede observar que corresponden a dos ciclos sinódicos de Marte (780 x 2 = 1 560) y a nueve ciclos de eclipses (173.33 x9 = 1 560).

1 560 / 6 = 260, un tonalpohualli 1 560 / 104 = 15 siglos mesoamericanos 1 560 / 2 = 780, un ciclo sinódico de Marte

También tiene como factores los números calendáricos 260 (6 x 260 = 1 560), 104 (15 x 104 = 1 560) y 52 (30 x 52 = 1 560) (ver cuadro del número 1 560). Por otro lado, 1 560 / 5 = 312; este último el número solar y también calendárico de los años que Chalchihuicueye alumbró el mundo como falso Sol, de acuerdo con la leyenda de los Cuatro Soles. 14 Al ser la altura de 178 cm y cabiendo la unidad u 15 veces en ella, cada unidad valdrá 178 cm / 15 = 11.866. u = 11,866cm. H=

15 u x 11.866 cm = 178 cm. 13 u x 11.866 cm = 154.258 cm. D = 8 u x 11.866 cm = 94.928 cm. V = 15 u x 13 u x 8 u = 1 560 u 3 .

1 560 / 52 = 30 medios siglos. 1 560 / 5 = 312, número de Chalchihui-

W=

cueye y complemento de 364 (número de Tláloc y año del Sol del inframundo) para valer una era cosmogónica. 1 560 / 13 = 120 tlalpillis.

Análisis del 1 560

1 560 / 2 = 780, un ciclo sinódico de Marte.

De manera directa se puede relacionar con 1 560 / 6 = 260, un tonalpohualli. 1 560 / 104 = 15 siglos mesoamericanos.

Se observa que 1 560 es factor de la era maya (1 560 x 1 200 = 1 872 000). Por otro lado, 1 560 / 600 = 2.6 = ϕ 2 , dentro de los

14

Cecilio A. Robelo,

Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México, 1982.


Número 1 560 1 560 1 560 1 560 1 560 1 560 1 560

Ciclo Tonalpohualli, 260 Siglo, 104 Medio siglo, 52 Chalchihuicueye, 312 Tlalpilli, 13 Sinódico, 780 Medio año de eclipses, 173.33

Astro Sol Sol Sol Luna Sol Marte Luna-Sol


120 2 9

Factorizaciones 6 = 2x3 15 = 3x5 30 = 2 x 3 x 5 1 560 = 39 X 40 120 = 2 x 3 x 4 x 5 2= 1 x 2 9 = 3x3


217

parámetros mesoamericanos. Esta constante fue muy empleada en el diseño de El Castillo y en el viejo templo de Quetzalcóatl. En el frente del casco y en los cordones que caen del tocado sobre el cachete derecho de la escultura se distinguen dos

mento de la era cosmogónica -lapso totalmente solar- o como tres siglos mesoameri-

alfardas con cuatro escalones cada una. No se ve la orejera, pues la oreja está cubierta por cuatro cuerdas que amarran el casco y

años. La iconografía de las cuatro cuerdas amarrando el casco lo confirma. Se recuer-

que rematan en tres franjas horizontales

para que el Sol vuelva a estar en idéntica

lisas. Este conjunto de cuerdas representa el número 4. Si se toma como multiplicador, se

posición con respecto a algún punto de la Tierra, en el mismo lugar y dando el mismo

tiene 4 x 1 560 = 6 240, múltiplo de 312, número de Chalchihuicueye. Pero esta cabeza es francamente solar porque está relacionada con el ciclo de 52 años y con el siglo

tamaño de sombra. El rectángulo Σ que

mesoamericano. En ella el 312 es comple-

Cabeza 4, San Lorenzo, V = 3 380 u 3 (Monumento 4) [ver figura VIII.4]. Solar; 1.78 m de alto. Se encuentra en el Museo de Antropología de Jalapa.

canos, que también lo son (312 / 3 = 104). Esta cabeza, además de señalar la correspondencia con el tonalpohualli, significa el amarre de ciclos solares de 52 y 104

da que son necesarios cuatro años trópicos

representa al 1 560 es de 39 x 40 = 1 560, M = 1.025641...


Cuatro cuerdas paralelas rodean el casco liso y varias tiras cuelgan de tres borlas. El personaje usa orejeras en forma de círculo y gancho. El rostro, alargado y angosto, presenta una expresión de disgusto; resaltan los gruesos labios entreabiertos, la nariz ancha y los ojos bizcos. Los párpados presentan el pliegue cutáneo lateral, evidencia de la avanzada edad del personaje. H = 178 cm = 20 u w = 115.7 cm = 13 u D = 115.7 cm = 13 u u = 8.9 cm Vol. = 3 380 u3 3 380 /13 = 260, un tonalpohualli 3 380 / 65 = 52, medio siglo mesoamericano 3 380 / 5 = 676, una era cosmogónica

La altura de esta cabeza = 178 cm; u cabe 20 veces en esa altura: u = 178 cm / 20 = 8.9 cm. H = 20 u x 8.9 = 178 cm. W = 13 u x 8.9 = 115.7 cm. D = 13 u x 8.9 = 115.7 cm. V = 2 0 u x 1 3 u x 1 3 u = 3 3 8 0 u3 .

El frente de esta cabeza puede encerrarse en un rectángulo de 20 u de altura y 13 u de base. La superficie del frente será de 20 u x 13 u = 260 u2, por lo que este rectángulo puede representar el tonalpohualli. El perfil tiene la misma altura que el frente y el fondo, 13 u, siendo el volumen 3 380 u 3 (ver el número 3 380 en el apéndice “Números”, al final de este libro); 260 u2 x 13 u = 3 380 u3.


De manera directa se tienen las siguien- Figura VIII.5. Cabeza 5, San Lorenzo tes coincidencias: H = 186 cm = 26 u w = 143.06 cm = 20 u D= 128.754 cm = 18 u u = 7.153 V = 9 360 u3

Análisis del 3 380

9 360 / 36 = 260, un tonalpohualli 9 360 / 26 = 360, un año de 360 días 9 360 /16 = 585, un ciclo sinódico de Venus 9 360 / 54 = 173.33, un medio año de eclipses

3 380 / 13 = 260, un tonalpohualli. 3 380 / 52 = 65 medios siglos mesoamericanos. 3 380 / 260 = 13, un tlalpilli. Se puede establecer la siguiente igualdad: 3 380 x 7 = 1 820 15 x 13 = 91 x 260 = 364 x 65 = 23 660, MCM de esos números. 3 380 / 5 = 676, una era cosmogónica (13 x 260 = 5 x 676 = 3 380). El NV de esta cabeza demuestra que los olmecas conocían y aplicaban el calendario de 260 días, el medio siglo de 52 años, el tlalpilli de 13 años y consideraban como número calendárico el 676, periodo llamado era cosmogónica. Las orejeras en forma de garra se reconocen como símbolo del Sol. El casco con cuatro bandas que lo sostienen en la cabeza significan amarre de ciclos. Por ser cuatro representan la división cuatripartita del año señalada por los dos puntos solsticiales y los dos equinocciales, es decir, el nahui ollín mexica. Puede significar también los cuatro años que deben transcurrir para que el Sol esté en la misma posición proyectando la misma sombra en el mismo lugar. Por la numerología se trata de una cabeza solar, y su iconografía así lo confirma.

La cabeza, de forma redondeada, presenta un casco compuesto por una banda lisa y un tejido con cuentas redondas. Atraviesan el casco en sentido vertical dos patas de tres dedos, cada una con uñas largas. Las oreje-

Cabeza 5, San Lorenzo, V=9 360 u 3 [ver figura VIII.5]. Eclipses. Se encuentra en el Museo de Antropología de Jalapa. El 9 360

ras consisten en un disco pendiente en forma

corresponde al thix maya para la predicción

cen mirar hacia abajo. La boca, ancha y

de eclipses.

entreabierta, tiene las comisuras ligeramente

de gancho. Los grandes ojos presentan el estrabismo convergente característico y pare-

Análisis del volumen de la cabeza 4, San Lorenzo

3 380 3 380 3 380 3 380

Ciclo Tonalpohualli, 260 días Medio siglo, 52 años Tlalpilli, 13 años Era cosmogónica, 676 años

Astro Sol Sol Sol Sol

El 1 820 es un número volumétrico que resulta de la suma de los volúmenes de los dos primeros cuerpos de la Pirámide del Sol. Es un número ambi-


Número

15


Observaciones En días En años En años En años

valente, que tanto puede ser del Sol del supramundo como del inframundo, y que aparece como un número importante del Códice de Dresde (1 820 = 52 x 35 = 5 x 364).


219

Ésta es una de

hacia abajo. Se observan algunos barrenos

El frente de la cabeza se encierra en un

las más importantes cabezas del arte mesoameri-

a los lados de los ojos, en la boca y el men-

rectángulo de 26 u de altura y 20 u x 18 u en

tón. El aspecto de este personaje es muy

la base.

solemne.

cano, por tener un número ya registrado por los

Ésta es una de las más importantes cabezas del arte mesoamericano, por tener un

olmecas en esta

número ya registrado por los olmecas en

9 360 / 520 = 18, lo que indica 1 8 x 3 =

cabeza (9 360), el mismo que empleaban los

esta cabeza (9 360); es el mismo que empleaban los mayas para predecir eclipses,

54 posibilidades de eclipses. 9 360 / 36 = 260, un tonalpohualli.

el thix. En el volumen del paralelepípedo

9 360 /12 = 780, un ciclo sinódico de Marte.

mayas para predecir eclipses, el

recto rectángulo que la puede contener se encuentran los ciclos del Sol, la Luna, Marte, Mercurio, Venus, el tonalpohualli, el

9 360 / 26 = 360, año de 360 días (ajustados sin los nemontemi). 9 360 / 80 = 117, un ciclo sinódico de

siglo y el medio siglo mesoamericanos y el año ajustado a 360 días. Pero lo principal es que el NV 9 360 x 200 = 1 872 000, el núme-

Mercurio. 9 360 / 16 = 585, un ciclo sinódico de

thix.

Análisis del 9 360

Venus. 9 360 / 30 = 312, número de Chalchihui-

ro en días de la era maya. El 9 360 correspon-

cueye y complemento de 364 para una era cosmogónica de 676 años y tres siglos mesoamericanos (3 x 104 = 312).

de, como ya se dijo, a uno de los dos números utilizados por los mayas para predecir eclipses, el thix; el otro es el fox = 11 960.

9 360 / 520 = 18, el número de meses del calendario civil. 9 360 / 20 = 468, cuatro ciclos sinódicos

El 9 360 es divisible tanto entre 173.33 -la duración del año nodal en días- como entre 27, que en días es el ciclo dracónico

de Mercurio.

lunar ajustado (9 360 / 173.333 = 2 x 27 y 9 360 / 346.66 = 27, donde 346.66 es el año de eclipses). De esto se puede inferir que la era maya debe comenzar (o terminar) con

9 360 / 317 = 29.5268, aproximadamente el ciclo sinódico lunar de Tehuacán Viejo. 9 360 / 90 =104, un siglo mesoamericano. 9 360 / 52 = 180 medios siglos mesoamericanos.

un eclipse. Si u = 7.153 cm, las medidas del prisma recto rectángulo envolvente virtual de esta cabeza son

9 360 / 344 = 27.2093, número muy cercano al ciclo dracónico de la Luna (27.212 días).

H = 26 u x 7.153 cm = 186 cm. W = 20 u x 7.153 =143.06 cm. D = 18 u x 7.153 = 128.754 cm.

9 360 / 54 = 173.33, un año nodal o

V = 2 6 u x 2 0 u x 1 8 u = 9 3 6 0 u3 .

medio año de eclipses.

Cuadro del número 9 360 El volumen 9 360 u3 de la cabeza 5 de San Lorenzo y su relación con los ciclos de los astros y el tonalpohualli Número 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360 9 360

220


Ciclo Tonalpohualli, 260 Sinódico, 585 Sinódico, 117 Solar ajustado, 360 Sinódico, 780 Chalchihuicueye, 312 Siglo, 104 Medio siglo, 52 Sinódico aproximado, 29.5268 Medio año de eclipses, 173.33 Dracónico, 27.052 Dracónico, 27.209 Tlalpilli, 13

Astro Sol Venus Mercurio Sol Marte Luna Sol Sol Luna Luna Luna Luna Sol

Número de ciclos 36 16 80 26 12 30 90 180 317 54 346 344 720

Factorizaciones 36 = 22 x 32 16 = 22 X 22 80 = 22 x 22 x 5 26 = 2x 13 12 = 22 X 3 30 = 2 X 3 X 5 90 = 2 x 32 X 5 180 = 22 x 32 x 5 54 = 2 x 33 346 = 2x 173 344 = 23 X 43 720 = 2 x 360

En el casco se distinguen dos garras de


águila desolladas, símbolo de la renovación de la naturaleza o del comienzo de una nueva era (Xipe Tótec de los mexicas). La orejera en forma de garra define a la

H = 167 cm = 13 u w = 128.46 cm = 10 u D = 115.614 cm = 9 u u = 12.846 cm V = 1 170 u3

cabeza como solar y la banda lisa significa la Luna. La iconografía de esta cabeza confirma que se trata de un eclipse y de la era maya, que acaba de cerrarse, pero que

1 170 /10 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio 1 1 7 0 x 2 0 = 23 400 23 400 / 90 = 260, un tonalpohualli

está por iniciarse otra nueva (9 360 x 200 = 1 872 000). Esta cabeza simboliza también la renovación de la naturaleza (9 360 / 26 = 360); he ahí una razón más para el año de 360 días. Puede representar el inicio de una nueva era, con Venus en su orto helíaco como Estrella de la Mañana y Mercurio en tránsito por el disco solar mientras ocurre un eclipse de Sol. En el volumen están implícitos ciclos solares, lunares y eclipses. Cabeza 6, San Lorenzo, V = 1 170 u 3 (Monumento 6) [ver figura VIII-6]. Mercurio. Museo Nacional de Antropología, México. Rodeado por una banda lisa, el casco presenta un tejido abierto unido por cuentas redondas.

Las

orejeras

tienen

forma

de

embudo, a manera de una concha. El rostro manifiesta el estrabismo convergente y, por

servación, aunque tiene barrenos en la nariz,

El frente está contenido en un rectángulo pitagórico M 1.3..., de 13 u de alto y 10 u de frente, con una superficie de 130 u2 (u = 167 cm / 13 = 12.846... cm). El perfil se encierra en un rectángulo de 13 u de altura y 9 u de fondo, siendo el volumen 130 u2 x

el tocado y cerca del ojo derecho.

9 u = 1 170 u3.

la forma de la boca y los carrillos flácidos, refleja una expresión belicosa. El entrecejo fruncido con dos abultamientos resalta el pliegue cutáneo lateral en el ojo derecho. Es una de las cabezas en mejor estado de con-

Conociendo la altura de la cabeza, las demás medidas se pueden calcular por proporcionalidad, teniendo como se tienen los dibujos de las cabezas de frente y de perfil. Al ser la altura de 167 cm, y cabiendo la

Análisis del 1 170 1 170 / 10 = 117, un ciclo sinódico de

unidad 13 veces en ella, cada unidad mide 167 cm / 13 u= 12.846 cm; u = 12.846 cm.

Mercurio. 1 170 / 90 = 13, un tlalpilli. 1 170 / 2 = 585, un ciclo sinódico de

H = 13 u x 12.846 cm = 167 cm. W = 10 u x 12.846 cm = 128.46 cm.

Venus. 1 170 / 723 = 1.618..., la más cercana aproximación a la constante φ. 117 / 72 = 1.625, el límite superior del

D = 9 u x 12.846 cm = 115.614 cm. V=13 u x 10 u x 9 u =1 170

u3.

parámetro para φ en Mesoamérica.


Cuadro del número 1 170 Número 1 170 x 20 = 23 400 1 170 1 170 1 170 1 170

16

El caracol marino es símbolo venusino.

Ciclo Tonalpohualli, 260 Sinódico, 117 Tlalpilli, 13 Sinódico, 585 Dracónico, 27.2

Astro

Número de ciclos

Sol Mercurio Sol Venus Luna

Factorizaciones 90 10 90

90 = 9 x 10 10 = 2x5 90 = 360/4

2

43

43 = 1 x 43

Si se multiplica 1 170 x 70 = 81 900 = 100 x 819 = 225 x 364. El número 819

Venus. El adorno del casco en forma de chalchíhuitl unido por tiras señala el amarre

corresponde al conteo lunar; 225 es el ciclo

o coincidencia de ciclos mercuriales y venu-

sidéreo de Venus; y 364, el año del Sol del inframundo. El NV de la cabeza es directamente mer-

sinos; pero la orejera en forma de medio ca-

curiano, aunque también está relacionado con Venus. Se recuerda que 117 es la quinta parte de 585, en días el ciclo sinódico de

Cabeza 7, San Lorenzo, v = 756 u 3 (Monumento 53) [ver figura VIII.7]. Luna. Se encuentra en el Museo de Antropología de

racol define a esta cabeza como venusina. 16

Jalapa. Figura VIII.7. Cabeza 7, San Lorenzo

Se asemeja a la cabeza 2 de San Lorenzo por los múltiples barrenos y afiladuras que casi

H = 270 cm = 12 u w = 202.5 cm = 9 u D = 157.5 cm = 7 u u = 22.5 cm V = 756 u3

borran la expresión benigna de la cara. Los ojos almendrados y estrábicos parecen tener los párpados hinchados. El casco, formado por una banda lisa y dos manos estilizadas

756 / 28 = 27, un ciclo dracónico lunar ajustado 756 / 3 = 252, ciclo de Venus como estrella vespertina 756 / 27 = 28, número de lunas en un ciclo

con cinco dedos hacia arriba; por la parte posterior desciende una pluma preciosa. Las orejeras son pendientes compuestos de placas y discos. El lado derecho presenta dos arcos hundidos, vestigios del nicho frontal del trono a partir del cual se esculpió esta cabeza, según ciertos especialistas.

Dada la altura, las demás medidas del prisma que puede encerrar a esta cabeza se obtienen por proporcionalidad. De esta manera, por ser la altura de 270 cm y cabiendo la unidad u 12 veces en ella, u = 270 cm / 12 u = 22.5; u = 22.5 cm. H = 1 2 u x 22.5 cm = 270 cm. W = 9 u x 22.5 = 202.5 cm. D = 7 u x 22.5 cm = 157.5 cm. V = 1 2 u x 9 u x 7 u = 756 u3. El frente se puede encerrar en un rectángulo pitagórico, M 1.333...., de 12 u de altura y 9 u de ancho (u - 270 cm /12 = 22.5 cm). El perfil, en un rectángulo V3


M 1.732...

Su volumen es 12 u x 9 u x 7 u = 756 u 3 . De

Análisis del 756

acuerdo con Thompson, el número 756 cae dentro de la tabla del 6 x 9 : (54), registrada en el Códice de Dresde, que se refiere tanto al

756 / 28 = 27, el ciclo dracónico lunar

tonalpohualli como a la Luna (756 / 14 = 54 =

756 / 3 = 252, el ciclo de Venus como

9 x 6). Este autor continúa diciendo que “Múltiplos de 54, desde el 1 hasta 13, siendo éste equivalente a 702 días”. 17 (702 + 54 = 756) y (702 / 13 = 54). Una vez obtenido el

estrella vespertina. 756 / 27 = 28, el número de lunas en un ciclo.

factor 54: (756 / 14 = 54), de manera indirecta se podrá relacionar el volumen 756 u 3

Si se multiplica 756 x 5 = 3 780 = 128 x 29.5312 = 135 x 28, en donde 29.5312 es

con el tonalpohualli y la Luna.

aproximadamente el ciclo sidéreo lunar y

ajustado.

De manera directa se tiene 756 / 7 = 108, número lunar al igual que el divisor 7:

28 el número de lunas visibles en un ciclo.

27 x 4 = 108, en donde el 27 corresponde al

27; este último es el ciclo ajustado dracóni-

ciclo dracónico lunar conmensurado (756 / 28 = 27, el ciclo dracónico lunar). Se puede factorizar el 756 como 27 x 28 o como (27 x 27) + 27, números que señalan que se trata de una cabeza eminentemente lunar, lo que se confirma por la orejera en

El factor 135 se puede descomponer en 5 x co de la Luna. La manera de lograr la coincidencia con el tonalpohualli es considerando un volu-

forma de signo de interrogación (?) o borde de jarro para agua. Se observa que esta cabeza presenta 27 barrenos; el 27 es el número del ciclo dracónico lunar ajustado,

men de 49 140 u3, que corresponde a 189 tonalpohuallis. Por otro lado, 49 140 es MCM de 756 y 260, y tiene como factor el 21, número ambivalente solar y lunar. El 756 se puede factorizar como 27 x 28, números ambos con significado lunar.

por lo que se sospecha que los barrenos fueron intencionales (ver figura VIII.7, “Cabeza 7 de San Lorenzo”). El 27 también es

Es posible que no coincida directamente con el tonalpohualli por tratarse de una figura eminentemente lunar. En las figuras

factor del ciclo metónico lunar, 6 939 días (6 939 = 27 x 257). El 28 es factor del año del Sol del inframundo (364 = 28 x 13).

declaradamente lunares a veces es difícil hacer coincidir el número volumétrico (NV) con el tonalpohualli.

Cuadro del número 756 Número 756 756 756

Ciclo

Astro

Estrella vespertina, 252 Dracónico, 27 Número de lunas en un ciclo, 28

Número de ciclos

Venus Luna Luna

Factorizaciones 3 28 27

28 = 4 x 7 27 = 3 x 9

Cuadro del número 49 140 Número 49 140 49 140 49 140 49 140

Ciclo Tonalpohualli, 260 Dracónico, 27 Sinódico, 29.53125 Sol del inframundo, 364

Astro Sol Luna Luna Luna

Número de ciclos 189 1 820 1 638 135

Factorizaciones 189 = 3 x 7 x 9 1 820 = 5 X 364 1 638 = 2x819 135 = 5 x 27

17

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 207.


223

Si se considerara correcto 49 140 u3, se

de días de la antigua cuenta lunar utilizada

49 140 / 260 = 189 tonalpohuallis.

en Yucatán y en el valle de Tehuacán. ¿Acaso esto indica que los astrónomos de ese valle tenían comunicación con sus

49 140 / 60 = 819, en días una antigua cuenta lunar maya: 60 ciclos lunares de 819 días (ver el número 819 en el

homólogos olmecas, o que tal vez eran olmecas? La orejera en forma de signo de interrogación o de borde de jarro (?) se

tendrían las siguientes coincidencias:

apéndice “Números”). 49 140 / 7 = 7 020, 10 veces el área de la planta de la Pirámide del Sol en números absolutos. El número 702 se factoriza como 27 x 26, por lo que se considera lunisolar. 49 140 / 2 340 = 21, número que se puede factorizar como 7 x 3 , por lo que se considera también lunisolar. De cualquier manera, el simbolismo de

puede ver también como media matriz femenina, imagen acorde con la influencia lunar en el ciclo femenino y la reproducción de la especie. Cabeza 8, San Lorenzo, V = 10 920 u 3 [ver figura VIII.8]. Sol del inframundo. (Esta cabeza sirvió de ejemplo de decodificación en el capítulo VI. Aquí se amplía su significado.) Alto, 2.20 m. Se encuentra en el Museo de Antropología de Jalapa.

esta cabeza es marcadamente lunar. En ésta se encuentra como factor el 819, número Es la única cabeza procedente de San Lorenzo que no tiene la parte dorsal plana y Figura VIII.8. Cabeza 8, San Lorenzo

pulida, sino redondeada e irregular. Aunque muestra algunas acanaladuras y barrenos, su

AB = 26 u AD = 20 u DF = 21 u H= 220 cm = 26 u W = 169.3 cm = 20 u D= 177 .66 cm = 21 u u= 8.46 cm V = 10 920 u3

estado de conservación es excelente. Porta un casco con una banda lisa adornada por elementos en forma de gancho, y las orejeras también tienen la forma de disco y gancho. Sus labios entreabiertos revelan los dientes.

10 920 / 42 = 260, un tonalpohualli 10 920 / 30 = 364, un año del inframundo

Los ojos bizcos están ligeramente hundidos y

10 920 / 105 = 104, un siglo mesoamericano; significa muerte y resurrección

los párpados muestran el pliegue lateral, el cual les da una forma triangular. La expresión del rostro de este gobernante transmite gran autoridad.

Dada la altura de 220 cm y que en ella caben 26 u, cada u valdrá 220 cm / 26 = 8.46 cm. Por proporcionalidad se obtienen el frente y el fondo del prisma virtual envolvente de esta cabeza. H = 26 u x 8.46 cm = 220 cm. W = 20 u x 8.46 cm = 169.2 cm. D = 21 u x 8.46 cm = 177.66 cm. V = 26 u x 20 u x 21 u = 10 920 u3. El frente puede inscribirse en un rectángulo de 26 u de altura y 20 u de ancho, con una superficie de 520 u2 (u = 220 cm / 26 = 8.4615... cm). El perfil tiene de fondo

224


21 u, lo que da un número volumétrico de la cabeza de 10 920 u3.

El casco tiene al frente como adorno un

De manera directa se tienen las coincidencias siguientes:

frijol germinando, importante gramínea en la dieta de los mesoamericanos. El NV de esta cabeza está relacionado con el Sol,


pues, si 104 x 105 = 10 920, se está indicando que representa 104 ciclos de 105 días, y 105 días, el tiempo que pasa el Sol al norte

10 920 / 42 = 260, en días un tonalpohualli.

de la latitud de 15° N, cuando se cosechan los frutos de la tierra, entre ellos el frijol. La cabeza con el casco adornado con la gra-

18

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, Siglo XXI Editores, “América Nuestra”, México, 1988, p. 129. Concretamente se aborda la Fiesta de la Cucaña en la p. 28 del

10 920 / 30 = 364, en días el año del Sol del inframundo. 10 920 / 104 = en años 105 siglos mesoamericanos.

mínea germinada representa la abundancia

Códice borbónico:

de la cosecha en ese lapso. La cabeza se puede asociar directamente con la Luna, dado que es la única redondeada en la nuca

“Estudiemos ahora la pintura que nos dice muchísimo con pocas figuras. Descuella en

10 920 / 52 = en años 210 medios siglos mesoamericanos. 10 920 / 104 = 105, en días el tiempo

en forma de una olla, símbolo de nuestro satélite. Las cosechas también están relacionadas con la Luna, pues de acuerdo con

primer término el madero enhiesto, llámasele kuáuitl íkak, xócotl o como se quie-

que el Sol pasa cada año arriba de la latitud de 15° N. 10 920 / 105 = en años 104, un siglo mesoamericano.

sus fases los campesinos deciden el tiempo de siembra y de cosecha. El 10 920 se relaciona con el año del Sol del inframundo: 10 920 / 30 = 364. Y es en éste, por debajo

vense grandes hojas de papel, que también llamaban xókotl, y

10 920 / 780 = en días 14 ciclos sinódicos de Marte.

de la superficie terrestre, donde se plantan las semillas para que germinen y propor-

10 920 / 402 = en días 27.164, aproxi-

cionen los mantenimientos necesarios para la vida.

madamente el ciclo dracónico de la Luna. En forma indirecta 10 920 = (16 x 676) + 104, que equivale a 16 eras cosmogónicas más un siglo mesoamericano. El volumen de esta cabeza es de 10 920 u3 y está relacionado con el ciclo sinódico de Marte, ya que corresponde a 14 de ellos. También corresponde a 30 ciclos lunares anuales de 364 días o año del inframundo.

La Fiesta de la Cucaña y el paso del Sol por el cenit 18 están ilustrados en el Códice borbónico. Es el tiempo de la renovación de la naturaleza. Las fiestas en honor de Xipe Tótec, cuando los muchachos celebraban su virilidad parando un palo en un lugar

tumbraban adornar siempre la efigie de sus difuntos, plantándolas encima de su tocado, como están en la lámina 7 del Códice Nuttall, y se pueden ver en otras varias de diversos códices: por eso están aquí expuestas encima del bulto liado y adornado como di-

una latitud de 15° N, la de ciudades donde

funto, que se ve arriba de la cucaña, y que también hace alusión a la gran fiesta de los

Análisis del 10 920, número volumétrico de la cabeza 8 de San Lorenzo Ciclo

también grandes banderas (pantli), una de las cuales tiene vistoso adorno de plumas. Con banderas acos-

abierto, y en competencia trataban de subir por él para obtener gloria. Esta ceremonia conmemoraba el paso del Sol por el cenit en


Número

ra, en cuya punta

Astro

10 920

Tonalpohualli, 260

Sol

10 920 10 920 10 920 10 920 10 920 10 920 10 920 10 920

Siglo, 104 Medio siglo, 52 Sinódico, 780 Sol del Inframundo, 364 Sinódico, 29.513 Sidéreo, 27.164 Orientación, 17.009 Medio año de eclipses, 173.33

Sol Sol Marte Luna Luna Luna Polar Lunar

Número de ciclos 42 105 210 14 30 370 402 642 63

Factorizaciones 42 = 2 x 3 x 7 105 = 3 x 5 x 7 210 = 2x3x5x7 14 = 2x7 30 = 2 X 3 X 5 370 = 2 X 5 X 37 402 = 2 X 3 X 67 642 = 2x3x 107 63 = 32 X 7

muertos, y también al punto cardinal llamado por nosotros norte o por los indios Miktlampa, literalmente hacia el lugar de los muertos, el cual sitio acaba de abandonar el Sol, y donde quedaban los difuntos, a los que invocaban este mes desde las azoteas o tapancos, volviendo las caras al norte, según refiere un autor”.


225

el año se divide en 260 y 105 días. Al penetrar el Sol verticalmente en las profundidades de la tierra ese día, como puede ser en

tos y vive, y así de la muerte se hace vida. La eterna paradoja, los iguales y contrarios para que exista la vida.

los cráteres, cavernas, cenotes o cualquier orificio vertical, nuestro planeta quedaba fecundado. La tierra dará a luz 260 días después, renovándose y dando frutos du-

Cabeza 9, San Lorenzo, V=4 160 u3 [ver figura VIII.9]. Sol, siglo mesoamericano. Se

rante los 105 días restantes. El simbolismo de esta cabeza, cuyo

encuentra en el Museo de Antropología de Jalapa.

volumen tiene como factores 260, 105, 364,

Este

52, 104, 29.5308, 27, es el del ciclo de muerte y resurrección: la semilla se siembra en la tierra (muerte) y la tierra queda fecun-

gas producidas por la sonrisa se comple-

personaje

sonriente

presenta

roturas

en la nariz y en el labio superior. Las arru-

mentan

con

las

comisuras

de

los

labios

dada por el Sol (transformación). La Luna

hacia

manda el agua, el Sol, su calor fecundante; la semilla brota y la tierra da frutos durante la estancia del Sol arriba de la latitud de

estrabismo

15° N. El hombre recoge los mantenimien

pieza, con líneas incisas onduladas. La cali-

arriba. y

Los el

ojos pliegue

grandes

muestran

epicántico.

Lleva

grandes orejeras en las orejas pequeñas y estilizadas. El casco parece ser de una sola

dad del retrato se destaca en esta cabeza por el realismo que muestra.


Siendo la altura de 165 cm y cabiendo 20 u en ella, cada u valdrá 165 cm / 20 u = H = 165 cm = 20 u w = 132 cm = 16 u D = 107.25 cm = 13 u u = 8.25 cm V = 4 160 u3 4 160 / 16 = 260, un tonalpohualli 4 160 /40 = 104, un siglo mesoamericano 4 160 / 80 = 52, un medio siglo mesoamericano

8.25 cm; u = 8.25 cm, por lo que sus medidas deben ser: H = 20 u x 8.25 = 165 cm. W = 16 u x 8.25 = 132 cm. D = 13 u x 8.25 = 107.25 cm. V = 20 u x 16 u x 13 u = 4 160 u3. El frente puede encerrarse en un rectángulo √ϕ 20 x 16, M 1.272, de 20 u de altura y 16 u de ancho, con una superficie de 320 u2 (u = 165 cm / 8.25 cm). El perfil se encierra aproximadamente en un rectángulo ϕ M 1.618, de 20 u de altura. (La altura tendrá una u menos que el rectángulo φ de 21 u de altura y fondo 13 u.) V = 4 160 u3 (20 u x 1 6 u x 1 3 u = 4 160 u3). De manera directa se tienen las siguientes coincidencias:

Análisis del 4 160 4 160 / 104 = 40 siglos mesoamericanos. 4 160 / 16 = 260, un tonalpohualli. 4 160 / 141 = 29.5, un ciclo sinódico de la Luna.

226


4 160 / 8 = 520, lapso en que pueden


ocurrir 24 eclipses. 4 160 / 13 = 320 tlalpillis. 4 160 / 80 = 52, un medio siglo mesoamericano. El NV 4 160 u3 corresponde a 40 siglos mesoamericanos, por lo que está relacionado directamente con el Sol. La orejera representa un medio caracol marino, símbo-

AB = 20 u

lo de Venus, que sugiere que la cabeza también es venusina, aunque no es directa la relación con este planeta. Para lograrla se necesita multiplicar por 9 el volumen original: 4 160 x 9 = 37 440 = 585 x 64. Al ser el nv de esta cabeza múltiplo del NV de la cabeza 1 de San Lorenzo, su sim-

AD = 16 u DF = 13 u H = 180 cm = 20 u w = 144 cm = 16 u D= 117 cm = 13 u u = 9 cm V = 4 160 u 3

4 160 /16 = 260, un tonalpohualli 4 160 / 40 = 104, un siglo mesoamericano 4 160 / 80 = 52, un medio siglo mesoamericano

bolismo es el mismo. Cabeza 10, San Lorenzo, v = 4 160 u 3 [ver figura VIII.10]. Sol, siglo mesoamericano. Se encuentra en el museo comunitario de Tenochtitlan, Veracruz. Tiene el mismo volumen en unidades a la manera indígena que las cabezas 4 y 9 de San Lorenzo y por lo tanto el mismo simbolismo. Este personaje porta el casco más elaborado de todas las cabezas colosales; está cubierto por numerosas cuentas cuadradas. Al frente aparece una pata o mano con tres dedos y uñas cortas. Las grandes orejeras son discos circulares con una depresión central que no llega a ocultar las grandes orejas estilizadas. Sus ojos alargados muestran el estrabismo y el pliegue epicántico. El entrecejo fruncido le da seriedad a su expresión agradable y benigna. Los labios son carnosos y la nariz, ancha.

Tiene

tres

barrenos

o

mutilación

intencional.

Cuadro del número 4 160 Análisis del número volumétrico 4 160 de la cabeza 9 de San Lorenzo Número

Ciclo

Astro

Tonalpohualli, 260 Siglo, 104 Medio siglo, 52 Medio año de eclipses, 173.33

Sol Sol Sol Luna

4 160

Sinódico, 29.5035

4 160 4 160

Tlalpilli, 13 Dracónico, 27.0129

Luna Sol

4 160 4 160 4 160 4 160

Luna

Número de ciclos 16 40 80 24 141 320 154

Factorizaciones 16 = 22 x 22 40 = 23 x 5 80 = 22 x 22 x 5 24 = 2 x 22 x 3

141 = 3 x 4 7 320 = 2 x 22 x 23 X 5

154 = 2 x 7 x 11


227

Las medidas se obtienen de la misma manera que en las cabezas anteriores. Su altura es de 20 u y la base es de 13 u x 16 u, y por lo tanto tiene un NV de 4 160 u 3 (u = 180 cm / 20 = 9 cm).

misma que con la cabeza 9 de San Lorenzo. El casco cubierto por chalchihuites y la orejera en forma de disco con una depresión central indican coincidencia de ciclos con el Sol y con Venus cada ocho años. La garra de tigre en el frente del casco simboliza el

20 u x 9 cm = 180 cm.

Sol y la renovación anual de la naturaleza.

W = 16 u x 9 cm = 144 cm.

Se puede decir que esta cabeza es solar y venusina. El 40 es uno de los factores del

H=

D=13 u x 9 cm = 117 cm. V — 2 0 u x 1 6 u x 1 3 u = 4 160 u3. volumen (40 x 104 = 4 160); indica número de distancia en la peregrinación del Códice Porrúa. También está relacionado con los Su interpretación es la misma que la de años nodales (4 160 / 24 = 173.33...). El la cabeza 9 de San Lorenzo, ya que tiene el 4 160, al tener como factores el 64 y el 65, mismo número volumétrico, al igual que el puede ser representado por un rectángulo Σ de la cabeza 1 de San Lorenzo. 3 65 x 64, M 1.015625. El ciclo dracónico de la El NV 4 160 u corresponde a 40 siglos mesoamericanos, por lo que está relacionada directamente con el Sol. La manera de encontrar la coincidencia de ciclos es la

Luna está tomado de 27.0129 días ≈ 27 días. Monumento A, Tres Zapotes, V=2 548 u3 [ver figura VIII.11], Sol del inframundo. Se encuentra en el Museo Comunitario de Tres Zapotes.

Figura VIII.11. Monumento A, Tres Zapotes La cabeza tiene una forma ligeramente cuaAB = 14 u AD = 13 u DF = 14 u H = 147 cm = 14 u W= 136.5 = 13 u D = 147 cm = 14 u u= 10.5 cm V = 2 548 u3 2 548 / 7 = 364, un año del Sol del inframundo 2 548 / 49 = 52, un siglo mesoamericano 2 548 / 91 = 28, número de lunas en un ciclo

drada, resaltada por la poca altura del casco y la anchura de la banda horizontal. El casco se encuentra situado mucho más arriba de las cejas que el de las cabezas de San Lorenzo y La Venta. Las orejeras cilindricas que perforan el lóbulo de la oreja se extienden hacia la boca, sobre los cachetes. Los labios gruesos con las comisuras hacia abajo, las líneas profundas a los lados de la nariz y el exagerado entrecejo aplanado le proporcionan un aspecto gruñón.

Las medidas u a la manera indígena son u = 147 cm / 14 = 10.5 cm. H = 14 u x 10.5 = 147 cm. W = 13 u x 10.5 = 136.5 cm. D = 14 u x 10.5 cm = 147 cm. V = 1 4 u x 1 3 u x 1 4 u = 2 5 4 8 u3.

El frente de la cabeza puede encerrarse en un rectángulo de 1 3 u de ancho y 1 4 u de altura. La unidad doble, 2 u, se encuentra consignada en el iris del ojo. Las relaciones de proporción áurea con respecto a la unidad se encuentran en el eje vertical de la

228


figura y los múltiplos, en el eje horizontal,

Figura VIII. 12. Monumento Q, Tres Zapotes

de acuerdo con el riguroso diseño en el que se empleó la geometría mesoamericana. El perfil se encierra en un cuadrado de 14 u x 14 u= 196 u 2 .

AB = 18 u AD = 16 u DF = 20 u H = 147 cm = 18 u W = 130.65 cm = 16 u D= 163.32 cm = 20 u u= 8.166 cm V = 5 760 u3

Análisis del 2 548

5 760 /16 = 360, un año ajustado a 360 días 5 760 / 195 = 29.5384, aproximadamente un ciclo sinódico de la Luna

2 548 / 7 = 364, un año del Sol del inframundo. Las coincidencias directas de ciclos: 2 548 / 28 = 91 ciclos lunares de 28 días. 2 548 / 49 = 52, medio siglo mesoamericano. 2 548 / 94 = 27.1, aproximadamente el ciclo dracónico de la Luna. Por ser una piedra lunar, sólo de manera indirecta se puede relacionar con el tonalpohualli si se multiplica por 20: (2 548 x 20 = 50 960). 50 960 / 196 = 260, un tonalpohualli. (2 548 x 10) / 280 = 91, un cuarto del año del Sol del inframundo. 25 480 / 392 = 65 y 65 x 9 = 585; de ahí la relación con Venus.

trico 2 548 u3 es exactamente el mismo que

el del volumen total de la Pirámide del Sol en 25 480 / 173.333... = 147, relación con Teotihuacan. Es interesante notar que el simeclipses (147 = 7 x 7 x 3 . Los dos pri- bolismo de esa pirámide y el de esta cabeza meros, lunares; y el tercero, solar). es el mismo, y que el número volumétrico de ambas viene ya desde los olmecas. El volumen 2 548 u3 corresponde a siete años lunares de 364 días y a 91 periodos de

Monumento Q, Tres Zapotes, v = 5 760 u 3 [ver

28 lunas. La iconografía del casco indica, por lo liso, que se trata de la Luna, mas la orejera en forma de un cilindro que perfora el lóbulo de la oreja señala que la cabe-

figura VIII.12], Sol y Venus. Se encuentra en el Museo de Santiago Tuxtla, Veracruz.

za está también relacionada con el medio siglo mesoamericano. El número volumé-

la base que en el casco, dándole un aspecto

La forma del monumento es más ancha en de pesantez. El rostro prognato tiene la nariz

Cuadro del número 2 548 Número 2 548 2 548 2 548 2 548 2 548 X 20 = 50 960

Ciclo Sol del inframundo, 364 Lunas visibles en un ciclo sinódico, 28 Dracónico 27.10 ≈ 27 Medio siglo, 52 Tonalpohualli, 260

Astro

Número de ciclos

Sol Luna Luna Sol Sol

7 91

Factorizaciones 7= 1 x 7 91 =7x 13

94

94 = 2 x 47

49 196

49 = 7 x 7 196 = 72 x 22


229

das alrededor de la nariz y la boca. El casco

El frente de la cabeza puede encerrarse en un rectángulo de 16 u y de 18 u de altura (u = 147 cm / 18 = 8.1666... cm). El perfil

porta una banda horizontal con un cuadro

está contenido en un rectángulo de 18 u de

resaltado en el centro y un motivo en bajorrelieve en la parte superior. Los lóbulos de

altura y 20 u de fondo. El volumen de la cabeza es de 18 u x 16

las grandes orejas están perforados por las

u x 20 u = 5 760 u 3 , que equivalen a 16 años

orejeras en forma de embudo, a manera de

de 360 días. De manera directa se tienen las siguien-

y los ojos relativamente pequeños. Refleja una edad madura debido a las líneas marca-

conchas.

tes coincidencias: Dado que la unidad de medida o proporción cabe 18 veces en la altura, u= 1 4 7 / 1 8 = 8.166 cm, las medidas a la manera indígena

Análisis del 5 760

y en cm son H = 18 u x 8.166 = 147 cm.

5 760 / 16 = 360, un año ajustado a 360 días.

W = 16 u x 8.166 = 130.65 cm.

5 760 / 195 = 29.5384..., aproximada-

D = 20 u x 8.166 cm = 163.32 cm. V= 18 u x 16 u x 2 0 u = 5 7 6 0

Figura VIII.13. Monumento 1, La Venta AB = 28 u AD = 26 u DF = 26 u H = 240.8 cm = 28 u W = 223.6 cm = 26 u D = 223.6 cm = 26 u u = 8.6 cm V = 18 928 u3

u3 .

mente un ciclo sinódico de la Luna. 5 760 / 213 = 27.042, aproximadamente el ciclo dracónico de la Luna. Siendo una piedra lunar, sólo de manera indirecta puede relacionarse con el tonalpohualli y otros ciclos si se multiplica el volumen por 13; 5 760 u3 x 13 = 74 880 u3. Análisis del 74 880 74 880 / 288 = 260, un tonalpohualli (74 880 / 1 440 = 52, medio siglo

18 928 / 364 = 52, un medio siglo mesoamericano 18 928 / 52 = 364. un año del inframundo 18 928 / 91 = 208, dos siglos mesoamericanos

mesoamericano). 74 880 / 720 = 104, un siglo mesoamericano. 74 880 / 128 = 585, un ciclo sinódico de Venus. 74 880 / 640 = 117, un ciclo sinódico de Mercurio. 74 880 / 96 = 780, un ciclo sinódico de Marte. 74 880 / 208 = 360, un año ajustado de 360 días. 74 880 / 52 = 1 440, centésima parte de un baktún. El casco liso simboliza la Luna, mientras que la orejera en forma de medio caracol estilizado indica una relación con Venus. El cuadro en el casco es símbolo solar, por lo que puede considerarse esta cabeza, además de lunar, venusina y solar.

230


Cuadro del número 5 760 Análisis del volumen 5 760 u3, del monumento Q de Tres Zapotes

Número

Astro

Ciclo

5 760 x 13 = 74 880 5 760 5 760 5 760 5 760

Sol Sol

Tonalpohualli, 260

Baktún, 144 Año, 360 Sinódico, 29.538 Sidéreo, 27.042

Monumento 1, La Venta,

V

Sol

Luna Luna

= 18 928 u3 [ver

figura VIII.13]. Se encuentra en el ParqueMuseo La Venta, Villahermosa. En la vista lateral de este monumento puede observarse

un

prognatismo

notable.

Este

personaje usa un casco compuesto por una banda horizontal que se divide en dos bandas paralelas a los lados. Sobre el casco aparece un elemento en forma de U con tres ganchos

que

parecen

uñas

orejeras

son

grandes

cuentas

estilizadas.

Sus

rectangulares

con las esquinas redondeadas y en su inte-

Número de ciclos 288 40 16 195 213

Factorizaciones 288 = 2 X 144 40 = 5 x 8 16 = 22 x 22 195 = 3 x 5 x 1 3 213 = 3x71

Análisis del 18 928 18 928 / 676 = 28 eras cosmogónicas. 18 928 / 364 = 52 años del Sol del inframundo. 18 928 / 52 = 364 medios siglos mesoamericanos. 18 928 / 29.53 = 641 ciclos sinódicos lunares. 18 928 / 91 = 208, dos siglos mesoamericanos. 18 928 / 701 = 27.0014, el ciclo dracónico de la Luna (ajustado).

rior está grabado un rombo con un círculo. El conjunto de rasgos faciales, como son los gruesos labios de la boca con las comisuras hacia abajo, los ojos protuberantes y los párpados hinchados, le da un aspecto majestuoso y singular.

Las medidas del prisma que puede encerrar a esta cabeza se obtienen a partir de la altura dada y mediante la proporcionalidad que se puede encontrar en los dibujos. Dada la altura de 241 cm, y a que la unidad u cabe 28 veces en ella, u = 241 cm / 28 = 8.6 cm H =

28 u x 8.6 cm

=

240.8 cm

=

240 cm.

La relación con el tonalpohualli es indirecta y se encuentra al multiplicar por 20 el volumen original: 18 928 u3 x 20 = 378 560 u3, que / 1 456 = 260, un tonalpohualli. Por otro lado, 18 928 = (260 x 72) + (4 x 52). Es interesante observar que en este registro se manejan números solares y lunares que se dan significación respectivamente. La garra de águila en la frente puede representar el Sol dominando la cuenta de los días. El volumen 18 928 u3 corresponde a 28 eras cosmogónicas, por lo que está directamente relacionado con ellas. Las orejeras, según están descritas, son “grandes cuentas rec-

un rectángulo también de 28 u de alto y 26 u de fondo. Su volumen será entonces de

tangulares con las esquinas redondeadas y en su interior está grabado un rombo con un círculo... Sobre el casco aparece un elemento en forma de U con tres ganchos que parecen uñas estilizadas”.19 La garra desollada sugiere la renovación anual de la naturaleza. También está relacionada con las eras cosmogónicas, cuando al terminar la era y comenzar otra se renueva la faz de la Tierra.

26 u x 26 u x 28 u = 18 928 u 3 De manera

Dado el mal estado de conservación de las

directa se tiene:

orejeras, no se puede ver con precisión su

W = 26 u x 8.6 cm = 223.6 cm. D = 26 u x 8.6 cm = 223.6 cm. V = 28 u x 26 u x 26 u = 18 928 u3 . El frente se encierra en un rectángulo de 28 u de altura y 26 u de ancho (u = 241 / 28 = 8.60 cm). El perfil está contenido en

19

Enrique Vela, op. cit.


231


Número 18 928 X 20 = 378 560 18 928 18 928 18 928 18 928 18 928 18 928

Ciclo Tonalpohualli, 260 Eras cosmogónicas, 676 Sol del inframundo, 364 Medio siglo, 52 Sinódico, 29.528 Doble siglo, 208 Sidéreo, 27.001

Astro Sol Sol Sol Sol Luna Sol Luna

Número de ciclos 1 456 28 52 364 641 91 701

Factorizaciones 1 456 = 4 X 364 28 = 4 X 7 52 = 22 x 13 364 = 22 x 7 x 13 641 =(72 x 13)+ 22 91 = 7x 13 701 = (22 x 52 X 7) + 1

iconografía. A juzgar por la garra de águila

Monumento 2, La Venta, V = 4 160 u 3 [ver

en el casco, se trata de una cabeza solar, pero por lo liso puede ser lunar, tal vez el Sol del inframundo. Simboliza las eras cos-

figura VIII.14]. Sol, siglo mesoamericano. Se encuentra en el Museo Regional de Antropología de Villahermosa.

mogónicas y el inframundo. Esta cabeza se refiere a las eras cosmogónicas, al Sol del inframundo, al medio

A pesar de la erosión y mutilación, en esta

siglo mesoamericano, al ciclo sinódico y al sidéreo lunar, y en forma indirecta al tonalpohualli.

cabeza resalta una amplia sonrisa, que revela los dientes centrales superiores. Los ojos hundidos, el pliegue lateral de los párpados, las arrugas y los pómulos prominentes definen un personaje maduro. El casco, completo y liso, contiene dos elementos en forma de ganchos irregulares. Las orejeras son discos con pendientes en forma de gancho.

Figura VIII. 14. Monumento 2, La Venta AB = 20 u AD = 16 u DF = 13 u H = 167 cm = 20 u W= 133.6 cm =16 u D = 108.55 cm = 13 u u = 8.35 cm V = 4 160 u3 Este volumen 4 160 es el mismo que el de las cabezas 9 y 10 de San Lorenzo, por lo que su interpretación es la misma

Las medidas se obtuvieron a partir de la altura dada, de manera igual que en las otras cabezas: u = 167 / 20 = 8.35 cm. H = 20 u x 8.35 cm = 167 cm. W = 16 u x 8.35 cm = 133.6 cm. D = 13 u x 8.35 cm = 108.55 cm. V = 2 0 u x 1 6 u x 1 3 u = 4 160 u3. El frente puede encerrarse en un rectángulo √ϕ M 1.272, de 20 u de altura y 16 u de ancho, con una superficie de 320 u2 (u = 167 c m / 2 0 = 8.35 cm). El perfil se encierra en un rectángulo φ, M 1.618, de 20 u de altura y de fondo 13 u, dando un volumen de 4 160 u3. De manera directa se tiene:

Análisis del 4 160 4 160 / 16 = 260, un tonalpohualli. 4 160 / 104 = 40 siglos mesoamericanos. 4 160 / 29.5035 = 141 lunaciones.

232


4 160 / 8 = 520 ciclos de tres medios

Figura VIII.15. Monumento 3, La Venta

años de eclipses. 4 160 / 13 = 320 tlalpillis. 4 160 / 80 = 52, un medio siglo mesoamericano. 4 160 / 154 = 27.012, aproximadamente el ciclo dracónico de la Luna.

AB = 13 u AD = 10 u DF = 8 u H = 163= 13 u W= 125.3 cm = 10 u D= 100.24 = 8 u u = 12.53 cm V = 1 040 u3

(Ver cuadro del número 4 160, p. 227.) Representa la coincidencia de ciclos de siglos y medios siglos mesoamericanos,

Este volumen 1 040 es el mismo que el de las cabezas 9, 10 y monumento 2 de La Venta, por lo que su interpretación es la misma

lunaciones, tlalpillis y tonalpohualli. Considerado en días, 4 160 es el lapso en el que pueden ocurrir 24 eclipses. El volumen 4 160 u3 es el mismo que está representado en las cabezas 4, 9 y 10 de San Lorenzo, por lo tanto la interpretación de su volumen es la misma. El frijol (planta bicotiledónea) germinando y lo liso del casco indican que esta cabeza también está relacionada con la Luna, satélite que determina los ciclos agrícolas y biológicos de reproducción en la naturaleza. La orejera de esta cabeza tiene la forma de una garra, por lo que confirma que es solar. Monumento 3, La Venta, V = 1 040 u 3 [ver figura VIII. 15], Sol, siglo mesoamericano; 1.63 m de alto. Parque-Museo La Venta, Villahermosa. Coincidencia de ciclos de siglos y medios siglos mesoamericanos y el

tonalámatl. Vista de lado, esta cabeza muestra que los rasgos

se

encuentran

dentro

de

un

solo

plano. La erosión excesiva y la mutilación intencional casi han borrado los rasgos de la

El frente puede encerrarse aproximadamente en un rectángulo pitagórico M 1.333..., de 13 u de altura y 10 u de base (u = 163 cm / 13 = 12.538 cm). El perfil, en un rectángulo ϕ de 13 u de altura y 8 u de base. Si se obtiene el volumen de este paralelepípedo recto rectángulo, se tendrán 13 u x 10 u = 130 u2 en el frente (medio tonalámatl) por 8 u de fondo: 130 u2 x 8 u = 1 040 u3. De manera directa se tiene:

cara y parte del tocado. Un casco completo cubre la mayor parte de las orejas estiliza-

Análisis del 1040

das, las cuales portan grandes discos.

Al ser la altura de 163 cm, y cabiendo la unidad u 13 veces en ella, tenemos u = 12.53 cm.

1 040 / 4 = 260, un tonalpohualli. 1 040 / 10 = 104, un siglo mesoamericano. 1 040 / 20 = 52, medio siglo mesoamericano. 1 040 / 2 = 520, tres medios años de eclipses y por lo tanto seis eclipses.

H = 13 u x 12.53 cm = 163 cm. W = 10 u x 12.53 cm = 125.3 cm.

1 040 / 6 = 173.33, el medio año de

D = 8 u x 12.53 cm = 100.24 cm. 3

V=13 u x 10 u x 8 u = l 040 u .

eclipses. (Ver cuadro del número 1040, p. 214.)


233

El volumen de 1 040 u3 equivale a la cuarta parte del volumen de la cabeza monumento 2 de La Venta, que presenta una

5 400 / 200 = 27, el ciclo dracónico de la Luna. 5 400 / 15 = 360, un año ajustado sin los nemontemi.

orejera de chalchíhuitl, la cual simboliza coincidencia de ciclos, al igual que esta cabeza. A juzgar por los ciclos implícitos

La relación con el tonalpohualli es indi-

de su volumen, la cabeza es solar. Los gran-

recta y se encuentra al multiplicar 5 400 x

des discos de la orejera lo confirman.

13 = 70 200. Se observa al dividir 70 200 /

Monumento 4, La Venta, V = 5 400 u3 [ver

área de la base de la Pirámide del Sol.

100 = 702, que en números absolutos es el figura VIII. 16]. Sol, Luna. Paso cenital. Se encuentra en el Parque-Museo La Venta, Villahermosa. Coincidencia de ciclo solar


ajustado a 360 días y tonalpohualli. El casco está compuesto por dos bandas paralelas al frente con diseños en bajorrelieve a los lados; el motivo que identifica al personaje es una pata con tres dedos y uñas largas. En los grandes círculos como orejeras hay una cruz interior. Los ojos grandes y ligeramente saltones muestran el estrabismo convergente y el pliegue epicántico, dándole una mirada intensa. La boca entreabierta, donde asoman cuatro dientes, domina el gesto.

70 200 / 270 = 260, un tonalpohualli. 70 200 / 2 600 = 27, el ciclo dracónico de la Luna (ajustado). 70 200 / 675 = 104, un siglo mesoamericano. 70 200 / 1 350 = 52, medio siglo mesoamericano. 70 200 / 195 = 360, un año ajustado, sin los nemontemi. 70 200 / 2 377 = 29.5330, aproximadamente el ciclo sinódico de la Luna. 70 200 / 120 = 585, un ciclo sinódico de Venus.

Dada la altura de 226 cm y que la unidad u cabe 20 veces en ella, u - 226 / 20 = 11.3 cm. 20

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 207. “La segunda multiplicación, cuyo lub es ix, trata de vincular 702 (13 x 54) con el almanaque sagrado de 260

H = 2 0 u x 1 1 . 3 = 226 cm. W = 15 u x 11.3 cm = 169.5 cm. D = 18 u x 11.3 cm = 203.4 cm. V = 2 0 u x 1 5 u x 1 8 u = 5 400 u3.

En un almanaque del Códice de Dresde el 27 es el lub que corresponde a la duración del mes dracónico utilizado para predecir los eclipses. Aparece como longitud en unidades a la manera indígena del lado poniente de la base de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. El lado norte mide 26 u. La superficie es de 702 u2, que tomada 100

días, dando múltiplos de ese número (1.17.2) con los días alcanzados hasta el décimo

El frente puede encerrarse en un rectángulo de 20 u x 15 u. Desgraciadamente, la fotografía de la que se obtuvo el dibujo de esta cabeza no fue tomada completamente

múltiplo 7 020 (19.9.0). A decir verdad, hay mayor insistencia en el doble de

de frente, por lo que la interpretación numerológica de esta pieza es hipotética. La unidad doble, 2 u (u) está registrada en el

blemente fue uno de los descubrimientos más apasionantes de la astronomía antigua. Aquella revelación debe de haber exigido

iris del ojo. La unidad cabe 18 veces en la base del perfil y 20 veces en la altura. El área del

observaciones persistentes y genio indivi-

ese número, 14 040 (1.19.0.0), seguramente porque también es un número par de tunes y además introduce los 13 tunes míticos; 1 tun equivale a 360 días; el katún vale 20 x 360 = 7 200.”

frente es de 15 u x 20 u = 300 u2. El perfil puede encerrarse en un rectángulo idéntico al del frente, de 18 u x 20 u. De manera directa se tiene:


veces da 70 200.20 Que los eclipses se repiten en ciclos prolongados a largos periodos de tiempo induda-

dual, a fin de encontrar los complejos patrones que se desprendían de los datos. Los eclipses se repetirán cuando concuerden entre sí múltiplos enteros de los periodos lunares y solares. Supóngase que una Luna llena se eclipsa en uno de los nodos. Un mes

sinódico después (29.53059 días) vuelve a

Figura VIII.16. Monumento 4, La Venta

ser Luna llena, pero entonces ya ha pasado por el nodo. El intervalo entre pasos sucesivos de la Luna por un nodo determinado es AB = 20 u AD = 15 u DF = 18 u H = 226 cm = 20 u W = 169.5 cm = 15 u D = 203.4 cm = 18 u u = 11.3 cm V = 5 400 u3

de 27.21222 días. Se llama mes dracónico por el dragón que, según los antiguos chinos, devoraba al Sol o a la Luna durante los eclipses. Una Luna llena eclipsada se repetirá al cabo de un número igual a un múltiplo entero de los intervalos sinódico y dracónico. Si estos periodos consistieran en números enteros simples, por ejemplo 32 días, ocurriría un eclipse después de 270

5 400 / 200 = 27, ciclo dracónico de la Luna ajustado 5 400 / 15 = 360, un año ajustado sin los nemontemi

días (nueve Lunas llenas o diez pasos por el nodo). De hecho, un múltiplo semiintegral

H = 2.26 m = 20 u

del mes dracónico también sería factible, pues la Luna quedaría eclipsada en el nodo opuesto. No hay ningún número que llene a la perfección la condición deseada, pero algunos intervalos largos casi se acercan a ella. 21

En vez de 27.2122 días, el número 27 como periodo dracónico lunar aparece en una pequeña olla del valle de Tehuacán (ver figura VI.2), de influencia olmeca y perteneciente al periodo formativo, en donde también se encuentran cuatro símbolos lunares en forma de signo de interrogación. Tres de ellos tienen siete círculos en pastillaje que representan un total de 21 días ( 7 x 3 = 21). El cuarto símbolo lunar solamente tiene seis círculos, que si se suman al 21 nos da el número 27, por lo que se puede decir que,

uña de la garra confirma que se trata de un calendario solar o tonalpohualli contado a partir del segundo paso cenital en la lati-

Anthony F. Aveni, op. cit, pp. 95-96. 22J. Eric S. Thompson, op. cit, p. 105. El alma-

siguiendo a Aveni, el número dracónico para los olmecas fue de 27 días. 22 El mes dracónico de los chinos se llama así porque según ellos un dragón devoraba al Sol

tud de 15° N. La orejera en forma de cruz de Quetzalcóatl simboliza asimismo un paso cenital.

durante los eclipses. La iconografía de la Pirámide de Quetzalcóatl presenta, en los taludes de cada cuerpo, a la Luna como un

Monumento 1, La Cobata, V - 59 280 u 3 [ver figura V1I1.17]. Rancho La Cobata, cerro de El Vigía, Veracruz. Se encuentra en la plaza

naque 27 se encuentra dentro del ciclo del calendario adivinatorio (5 x 52). 23 La semejanza de estos conceptos olmecas y teotihuacanos con el diseño chino y el concepto astronómico que

dragón o serpiente que ondula en la superficie de las aguas primigenias, siendo el mismo que serpentea en la franja celeste. 23

de Santiago Tuxtla, Veracruz. Aunque es la cabeza colosal más grande

El 27 es factor del ciclo metónico lunar de

encontrada hasta ahora, este monumento

6 939 días (27 x 257 = 6 939). El casco que cubre la cabeza tiene una garra de águila; puede representar al Sol en

del tocado, los ojos cerrados y la boca, ras-

el cenit, pero en sus lados aparece el serpenteo del movimiento cicloide lunar. La

difiere de los demás por la forma estilizada gos que le quitan la calidad de retrato que

21

manifiesta la numerología en vasijas chinas contemporáneas es verdaderamente impresionante. El dragón chino puede fácilmente corresponder al saurio mesoamericano, particularmente al

poseen las otras cabezas. El casco, que care-

maya. Esta semejanza

ce de motivos, está formado por una banda

se puede observar


horizontal lisa que rodea la parte superior.

59 280 / 304 = 195 = 585 / 3, la tercera

La falta de realismo se observa también en la nariz aplastada y sin fosas nasales. Algunos especialistas opinan que represen-

59 280 / 342 = 173.33, un medio año de eclipses.

parte del ciclo sinódico de Venus.

ta a un muerto. La cabeza tiene los ojos cerrados, como

La iconografía del casco liso, al igual que su numerología, que simboliza la Luna

un muerto, y representa a la Luna muerta o

muerta o eclipsada, indica que la cabeza

eclipsada. Siendo la altura de 340 cm, cabe la unidad u 40 veces en ella (u = 340 / 40 = 8.5 cm).

principalmente es lunar. Los olmecas conocían la duración del ciclo sidéreo, sinódico y dracónico lunares. Fueron ellos quienes pudieron haber iniciado el cambio al calen-

H = 40 u x 8.5 cm = 340 cm. W = 38 u x 8.5 cm = 323 cm.

dario solar, mas sin dejar de utilizar el lunar, de acuerdo con la numerología de

D - 39 u x 8.5 cm = 331.5 cm. V = 40 u x 38 u x 39 u = 59 280 u3.

numerosas vasijas del valle de Tehuacán y de las cabezas colosales olmecas. Esta cabeza tiene como factor el 19, lo que indica que

El frente se encierra en un rectángulo

conocían también el ciclo metónico de la

de 40 u de altura y 38 u de ancho, lo que da una superficie de 1 520 u2. El fondo del per-

Luna24 (ver el número 19 en el apéndice 1,

fil es de 39 u y el V = 59 280

u 3.

“Números”). Esta cabeza está relacionada numéricamente con la figura 33 del capítulo VII, “Efigie en forma de hacha” de la cultura olmeca, cuyo número volumétrico señala un

De manera directa se tiene:

59 280 / 228 = 260, un tonalpohualli. 59 280 / 3 120 = 19, ciclo metónico lunar

eclipse de Luna. Por otro lado, 59 280 / 217 = 273.179 ≈ 27.3 x 10 = 273, 10 veces el ciclo sidéreo lunar. Anthony F. Aveni dice que, para que se produjera un eclipse de Luna

en años. 59 280 / 190 = 312, ciclo de Chalchihuicueye, esposa de Tláloc.

llena, debería pasar un número de días múltiplo del ciclo sidéreo lunar. La cabeza monumental representa a la

59 280 / 2 007 = 29.5366, aproximadamente un ciclo sinódico lunar. 59 280 / 2 195 = 27.0068, aproximada-

Luna muerta o eclipsada, lista para comenzar el inicio de una nueva cuenta lunar al final de un ciclo metónico de 19 años, lo

mente el ciclo dracónico tomado de

que indica que los olmecas ya conocían la

27 días.

duración de ese ciclo lunar.


también con la simbología del dragón que todavía ondula en las barcas que navegan en las aguas del río Mekong, a la altura de Ciudad HÔ Chi Minh, en Vietnam. 24 John Anthony West, Serpent in the Sky, Quest Books, Wheaton, 1993, p. 43. “El 19 fue un número utilizado por los egipcios y pitagóricos griegos. El hexágono y el círculo están íntimamente conectados. Un hexágono está formado cortando el perímetro de un círculo seis veces con su radio. El seis está íntimamente conectado con todos los temas del tiempo y del espacio.” (Traducción de la autora.)

236

Cuadro del número 5 400 Número 5 400 5 400 5 400 5 400 x 13 X 2 = 140 400

Ciclo Sidéreo, 27 Sinódico, 29.508 Año, 360 Tonalpohualli, 260 (no es directo)

* El número 61 es la sexta parte del año bisiesto de 366 días.


Astro Luna Luna Sol Sol


Factorizaciones 200 = 23 x 52 183 = 3x61 * 15 = 3x5 540 = 5 X 22 X 33

Cuadro del número 59 280 Ciclo

Número

59 280 59 280 59 280 59 280 59 280 59 280 59 280

Número de ciclos

Astro

Tonalpohualli, 260 Metónico, 19 (en años) Chalchihuicueye, 312 Medio siglo, 52 Siglo, 104 Sinódico, 29.5366 Sidéreo, 27.0068

Sol-Luna Luna Luna Sol Sol Luna Luna

Solamente esta cabeza colosal y la llamada “Figura acuclillada en transformación”

Factorizaciones

228 3 120 190 1 140 570 2 007 2 195

228 = 12 x 19 3 120 = 30 x 104 190= 10x 19 1 140 = 6 x10 X 19

570= 1 9 x 3 0 2 007 = 9 X 223 2 195 = 5 x 4 3 9

Figura VIII.17. Monumento 1, La Cobata AB = 40 u AD = 38 u DF = 39 u H = 340 cm = 40 u W = 323 cm = 38 u D = 331.5 cm = 39 u u = 8.5 cm V = 59 280 u3

de las esculturas olmecas de pequeño formato (volumen = 4 940 u3) tienen como factor el 19.

Medidas y volúmenes de las cabezas colosales

A continuación se presenta el cuadro número 1, con el número de unidades en los lados del PRR que puede encerrar virtualmente a cada una de las cabezas colosales y su volumen.

59 280 / 228 = 260, un tonalpohualli 59 280 / 2 007 = 29.5366, aprox. un ciclo sinódico lunar 59 280 / 2 195 = 27, aprox. ciclo dracónico lunar tomado de 27 días 59 280 / 342 = 173.33, un medio año de eclipses

De este cuadro se desprende que la cabeza 1 de San Lorenzo y el monumento 3 de La Venta tienen igual NV, 1 040 u3, número que representa el siglo mesoamericano de 104 años. El 1 040 equivale a cuatro tonalpohuallis (4 x 260 = 1 040). También es doble de 520, número que contiene tres veces el año de eclipses, por lo que puede señalar este fenómeno (173.33 x 3 = 520). Francisco del Paso y Troncoso escribe: Si suponemos que el día inicial del primer periodo de 8 años coincidía con el orto helíaco

matutino de

Venus, el fenómeno se

reproduciría,

aproximadamente,

menzase

periodo

el

siguiente,

cuando

co-

hasta

que

pasados 104 años, o sea, 13 periodos de 8, volviese a coincidir el mismo fenómeno con el principio del segundo cehuehuitiliztli. Por eso aseguré arriba que los ciclos de 104 años están presididos también por Venus. Pero como 5 revoluciones del planeta no miden exactamente 8 años, este periodo renovado 13 veces presentaría ya una diferencia de consideración al cabo de 104 años, porque

VIII.

Las cabezas colosales de la cultura olmeca

237

Cuadro número 1

Monumento

(H), altura

Volumen (u3)

(D), fondo

(w), ancho del frente

Cabeza 1, San Lorenzo

13

10

8

1 040


25

18

13

5 850


15

13

8

1 560


20

13

13

3 380


26

20

18

9 360


13

10

9

1 170


12

9

7

756


26

20

21

10 920


20

16

13

4 160


20

16

13

4 160

Monumento a, Tres Zapotes

14

13

14

2 548

Monumento Q, Tres Zapotes

18

16

20

5 760

Monumento 1, La Venta

28

26

26

18 928


20

16

13

4 160


13

10

8

1 040


20

15

18

5 400

Monumento 1, La Cobata

40

38

39

59 280

los 2.40 días se habrían convertido en 31.20

ciclo, hasta el ocaso helíaco matutino, que

días. Así que el día inicial del segundo

se presentaba al comenzar el décimo-, así

cehuehuitiliztli no coincidiría ya con el orto

es que durante el primer gran ciclo de 1 040

helíaco matutino de Venus, porque tal fenó-

años todo cehuehuitiliztli estaría presidido,

meno se habría verificado unos 31 días

en tal hipótesis, por el lucero del alba.

antes: al comenzar el tercer ciclo de 104

Consideremos

ahora

lo

que

pasaría

años; la diferencia entonces sería de 62 días;

durante el segundo gran ciclo de 1 040 años:

93 al principio del cuatro; 124 al principio

su día inicial sería también el primer día del

del quinto; 156 en el primer día del sexto; de

decimoprimer ciclo de 104 años, y, siguien-

187 cuando comenzara el séptimo; de 218 al

do la proporción que acaba de establecerse,

principio del octavo; de 249 en el noveno; y

caería 312 días después del orto helíaco

cuando se iniciase el décimo ciclo ya esa

matutino del planeta; es decir que habría

diferencia habría montado unos 280 días.

transcurrido entonces el tiempo suficiente

-A pesar de tales discrepancias, todos los

para que el lucero pasase de matutino a ves-

días iniciales de esos 10 primeros ciclos de

pertino...

104 años tendrían una propiedad común: la

El padre Fábrega, según dice Humboldt,

de coincidir con la aparición de Venus como

juzgaba que el ciclo de 1 040 años servía

estrella matutina, aunque las digresiones

para la corrección del cómputo solar, por-

fuesen diferentes, puesto que pasaban por

que al fin de él se pasaban por alto 8 días

todos los grados de separación, desde el

para hacer concordar así el año juliano con

orto helíaco que se observaba en el primer

el trópico. Otra operación semejante había


que hacer para rectificar el cómputo de

un volumen de 1 560, equivale a dos veces

Venus, porque a una conjunción inferior del años después, con anticipación de unos

el ciclo sinódico de Marte de 780 días o a seis tonalpohuallis. La cabeza 5 de San Lorenzo apunta

cuantos días. Sería pues ésta una nueva apli-

directamente a la era maya, de la que es la

cación del ciclo de 1 040 años, destinado tal

200ava. parte. Tres de las cabezas son lunares, como el monumento 4 de La Venta (v =

planeta corresponde otra superior, 1 040

vez, no sólo a la rectificación del cómputo solar, sino también a la del cómputo del planeta Venus... Y como antes supuse que el principio de cada cehuehuitiliztli coincidiría con la aparición del lucero del alba, el principio de cada

xiuhmolpilli, en tal hipótesis, coincidiría también con la estrella de la tarde. Tomando en la tabla del ciclo de 1 040 años (capítulo x) los días del xiuhmolpilli impares, de modo que formen una primera serie, y en seguida los iniciales de los xiuhmolpilli pares para construir una segunda serie, la primera estaría en relación con la estrella matutina y la segunda con la vespertina, pasando el primer gran ciclo, como las relaciones de Venus con los días iniciales se alternan, la primera serie, o sea, la de los ciclos pares, al

5 400 u3), cabeza marcadamente lunar (27 x 200 = 5 400), cuyo NV no coincide directamente con el calendario augural y habrá que multiplicar su volumen por 13 para

25

Francisco del Paso y Troncoso, op. cit., cap. XI, pp. 350-351. 26 Si se divide 7 020 / 10 = 702, se obtiene el área de la base de la Pirámide del Sol. Los lados de la base son de

hacerlo coincidir de manera indirecta con aquél (5 400 x 13 = 70 200 = 270 x 260).26 Los números volumétricos de la cabeza 2 de San Lorenzo (v = 5 850 u3), de la cabeza 6 de San Lorenzo (V = 1 170 u3), del monumento A de Tres Zapotes (V = 2 548 u3) y del monumento 1 de La Venta (V = 18 928 u3) en general se multiplicarán por 20 para lograr la coincidencia. Algunos números, sus múltiplos o submúltiplos aparecen como numerales en las cabezas mayas y tienen símbolos diversos.27 El 3 y sus múltiplos son solares y los

27

26 u x 27 u = 702 u2. Anthony F. Aveni, op. cit., p. 162. En los párrafos del texto corrido todo lo que está entrecomillado es de Aveni. El autor, hablando sobre los numerales mayas de cabezas, dice que “En la figura 49 se muestran algunas de las formas de numerales

Las cabezas 9 y 10 de San Lorenzo, ade-

mayas los representaban en los numerales de cabezas por medio de “un tocado a modo de turbante, que con frecuencia con-

de variantes de cabeza reconocidas. Todas ellas aparecen de perfil. Al numeral 1 de

más del monumento 2 de La Venta, al tener como NV 4 160 u3, tienen el mismo significado que las anteriores, ya que 4 160 = 4 x 1 040. Éstas son cabezas principalmente

siste de un disco con puntos”. El 4 y sus múltiplos son números terrestres y tienen “un signo de Sol a la derecha”. El 5 es totalmente venusino y “es el rostro

solares que se refieren primordialmente al ciclo de 104 años o siglo mesoamericano. Otras, como las cabezas 3, 5 y 8 de San

de un anciano”. Sin embargo, de acuerdo con la presente investigación, un rostro

variante de cabeza, identificable por el mechón de cabellos, se le ha vinculado con la diosa de la Luna. El numeral 2 muestra una mano abierta arriba de la cabeza y simboliza muerte y sacrificio. El 3, con un tocado a modo de turbante, que con frecuencia consiste de un

lucero de la mañana.25

Lorenzo, también señalan múltiplos del siglo mesoamericano y por lo tanto son también solares, pero de algún modo relacionadas con el lucero del alba, de igual manera la 9 y la 10 de San Lorenzo, el monumento 2 y el monumento 3 de La Venta; finalmente, el monumento 1 de La Cobata, también con múltiplos del siglo y medio siglo mesoamericanos. Otras cabezas son directamente plane-

anciano corresponde a la Luna. El 6 es número lunar ligado a Tláloc y representa lluvias y tormentas; dentro de la iconografía maya “se reconoce fácilmente por el símbolo de hacha con que se representa su ojo”. El 7 y sus múltiplos son números lunares y simbolizan el Sol nocturno por ser fac-

tarias, como la cabeza 2 de San Lorenzo, con un NV de 5 850 u3, que es 10 veces el sinódico de Venus; la cabeza 6 de San Lorenzo, cuyo NV corresponde a 10 veces

tores de 364, número de días del Sol del inframundo. El 8 es solar y también es número de la Tierra, en cuya superficie crece el maíz; simboliza “al dios del maíz; el maíz es visible en el tocado de éste”. El 11 está relacionado con los eclipses

el ciclo sinódico de Mercurio (o dos veces el de Venus); la cabeza 3 de San Lorenzo, con

y por lo tanto con la Luna, y “muestra el símbolo de montaña-tierra”.

disco con puntos, simboliza viento y lluvia. El 4 tiene un signo de Sol a la derecha, mientras que el 5 es el rostro de un anciano. El 6 se reconoce fácilmente por el símbolo de hacha con que se representa su ojo; este dios significa lluvias y tormentas. El 7 simboliza el Sol nocturno -¿el Sol del inframundo?- y el 8, al dios del maíz; el maíz es visible


239

en el tocado de éste. El número 9 lleva puntos en la mandíbula y representa una serpiente. El 10 es el primero de una serie de dioses con el hueso de la mandíbula descarnado, como símbolo de muerte. El 11 muestra el símbolo de montaña-tierra; el 12, que simboliza a Venus, lleva un signo de cielo sobre la cabeza. Los números 13 a 19 son variantes de los números 3 a 9. La mandíbula descarnada parece indicar que a los numerales inferiores se les debe agregar 10 para obte28

29

30

ner los superiores”. Un baktún en el calendario maya son 144 000 días. Ángel Raúl López, El número 13 en la vida de los aztecas, CostaAmic Editores, México, 1984. Valerie Vaughan, “The Fibonacci Numbers: Connections within the Mathematics and Calendarical Systems of Ancient America”, http://www.onereed. com/articles/fib. html. Aclara que los mayas tomaron 117 días para el año sinódico de Mercurio, en vez de 116, que es lo correcto, de acuerdo con el Códice de Dresde. Tal vez lo tomaron con un día de diferencia para utilizar el número 13, ya que 9 x 13 = 117.

240

El 9 es mercurial, particularmente de

Como una generalización de los PRR

enlace lunar, y participa como factor en muchos números astronómicos; es el núme-

rectos envolventes virtuales, en el cuadro número 2 se encuentran los volúmenes

ro de los Señores de la Noche. “El número 9 lleva puntos en la mandíbula y representa una serpiente.” El 12, “que simboliza a Venus, lleva un

encontrados en las envolventes de las cabezas colosales y de las esculturas de pequeño formato con las medidas dadas en uni-

signo de cielo sobre la cabeza”, aunque es un número solar que está implícito en un

ancho (w) y profundidad (d). El doble del 260, el 520, sirve para predecir el número

baktún (12 x 12 x 1 000 = 144 000, un bak-

de eclipses que pueden ocurrir en ese lapso,

dades a la manera indígena, de la altura (h),

tún). El 13 es de particular importancia al ser factor del tonalpohualli y de los ciclos

que son tres, pues tres son los medios años de eclipses o años nodales (173.33 días) que

28

sinódicos de los planetas visibles a simple

caben en 520 días. Los eclipses tienen lugar

vista, con excepción de Júpiter, por lo que se le ha llamado el número cósmico o del sistema solar.

cada 173.31 días, lapso llamado medio año de eclipses, la mitad de 346.6 días (aproximadamente), que es el año de eclipses. Los

El 17, en grados, es la orientación de la Pirámide del Sol en Teotihuacan y señala la

mayas calcularon que tres medios años de

latitud en donde, según Aveni, tal vez se inició el tonalpohualli, en San José Mogote,

tonalpohuallis, por lo que cada 520 días podría haber tres eclipses (173.31 x 3 = 260 x

Oaxaca. El 19 y el 27 son lunares y representa el primero su ciclo metónico y el segundo el

2 = 520). Cada 66 años se hacían los ajustes necesarios para no desplazar los calendarios. Estos números considerados sagrados

dracónico. “Los números 13 a 19 son variantes de los números 3 a 9”. El 23 es de enlace lunar. El 29 es tam-

se registraron por los olmecas en las obras escultóricas que expresan ciclos planetarios y lunares en coincidencia con el tonalpohualli, 260 días. Posiblemente también

bién lunar y el 31 (en grados) es el ángulo límite eclíptico solar. El 47, en grados, es el ángulo intertropical; el 25, en grados, es el del límite eclíptico lunar, etcétera.

eclipses equivalen aproximadamente a dos

quedaron plasmados en sus obras arquitectónicas, como se demuestra en la presente investigación. Se observa que no hay coincidencia directa de ciclos con el tonalpohualli cuando la cabeza es francamente lunar. Para

Los números básicos son el 20 y el 13, factores del tonalpohualli de 260 días, siendo sin duda el más importante de todos los que utilizaron los mesoamericanos. Su importancia radica en que, mediante el 13 o el 20, sus factores, se relaciona con los números que determinan la mayoría de los

deberá multiplicar generalmente el volumen por 13 o por 20, como ya se había advertido.

acontecimientos cíclicos astronómicos y con la gestación del ser humano. Su utilización se remonta cuando menos al tiempo

En el siguiente cuadro comparativo se presentan las cabezas colosales y las figuras de pequeño formato agrupadas de tal ma-

de las cabezas colosales olmecas, según apunta este trabajo.

nera que están juntas las que tienen significado similar. En la primera columna se encuentra el nombre de la cabeza colosal y en la segunda su NV. En la tercera columna se encuentra la clasificación aquí dada y el nombre de las esculturas de pequeño formato, y en la cuarta su volumen. Se deja un espacio entre líneas para indicar los grupos. Al comparar los volúmenes de los PRR que pueden envolver virtualmente a las

[El número 13] Aparece en los cielos según los mitos; en la religión, en las tonas o aves protectoras, en la edad de los jóvenes para entrar al servicio de sus dioses y como ofrenda en los templos. Además es determinante en el quehacer político, en lo económico y en la cuenta del tiempo.29


lograr la coincidencia en forma indirecta se

figuras de pequeño formato estudiadas en el

tercera, con un

capítulo anterior con los de las cabezas colosales que se acaban de analizar se obtuvieron los resultados siguientes:

819 días o tal vez del ciclo sidéreo de la Luna (27.3 días: 819 = 27.3 x 30), tal como aparece en la figura 32, “Placa con efigie

Mientras que todas las cabezas colosales olmecas tienen en su volumen un factor común con alguno de los volúmenes de las

sobrenatural”. Sus dimensiones podrían ser, de la primera, 12 u x 12 u x 13 u = 1 872 u3; de la segunda, 4 u x 6 u x 1 2 u = 288 u3; y de la tercera, 7 u x 9 u x 1 3 u = 819 u3.

figuras de pequeño formato, no todas las figuras de pequeño formato tienen un factor en su NV común con el NV de alguna de las cabezas colosales, lo que indica que todavía quedan por descubrir por lo menos tres de ellas: una cuyo volumen tenga relación con la era maya, expresada en la figura 2, “Sarcófago”, siendo su NV 1 872 u3, que como número absoluto es factor de la era maya (1 872 000). La segunda tendría un NV igual al de la figura 28, “Figura parada cargando una efigie sobrenatural”, que es de 288 u3, y también factor de la era maya (1 872 000 días / 288 días = 6 500). La

NV

que exprese el lapso de

Se observa que no hay coincidencia directa de ciclos con el tonalpohualli, porque la cabeza es lunar. Esto indica que fue el 13 únicamente el número que lograba la coincidencia de ciclos solares con el tonalpohualli de manera directa. Los ciclos lunares tenían que lograr su coincidencia de manera indirecta, por medio de factores que son meros números funcionales (NF), como por ejemplo el 23 o el 405 como factores del gran ciclo lunar de 11 960 días (11 960 días = 520 días x 23 = 405 x 29.5308 días).

Cuadro número 2

De los volúmenes de los prismas rectos rectángulos envolventes de las esculturas de pequeño y gran formatos/ El factor 260

Altura (u)

Frente (u)

Volumen (u3)

Fondo (u)

13

2

2

52 52 x 10 = 520

13

4

2

104 104 x 10 = 1 040 117

Evento astronómico Medio siglo mesoamericano Fuego Nuevo Dos tonalpohuallis

13

3

3

117x10 = 1 170

Un siglo mesoamericano Cuatro tonalpohuallis Año sinódico de Mercurio* 45 tonalpohuallis

13

4

5

260

Un tonalpohualli

13

7

4

364

Lapso más próximo al año de 365 días

364 X 10 = 3 640 13

8

5

520

Un año del Sol del inframundo 14 tonalpohuallis Dos tonalpohuallis Tres eclipses solares

13

8

10

1 040

10 siglos mesoamericanos Cuatro tonalpohuallis

* Valerie Vaughan, “The Fibonacci Numbers: Connections within the Mathematics and Calendarical Systems of Ancient America", http://www.onereed.com/articles/fib.htmt. Aclara que los mayas tomaron 117 días para el año sinódico de Mercurio, en vez de 116, de acuerdo con el Códice de Dresde. Tal vez lo tomaron con un día de diferencia para utilizar el número 13, ya que 9 x 1 3 = 117.


241

Continuación del cuadro número 2

Altura (u) 13

Frente (u)

Volumen (u3)

Fondo (u)

9

5

585 585 x 20 = 11 700

13

12

5

780

13

12

6

936 936 x 10 =

Evento astronómico Ciclo sinódico de Venus 45 tonalpohuallis Ciclo sinódico de Marte Tres tonalpohuallis Nueve siglos mesoamericanos 36 tonalpohuallis

9 360 13

4

13

676 676 X 10 = 6 760

13

13

5

845 845 X 20 = 16 900

13

6

13

1 014 1 014x 10 =

Una era cosmogónica 26 tonalpohuallis 13 veces 65 o quincunce ** o cinco veces un cuarto de era cosmogónica 65 tonalpohuallis Seis veces un cuarto de era cosmogónica 39 tonalpohuallis

10 140 13

7

13

1 183 1 183 x 20 = 23 660

13

13

8

1 352 1 352 x 10 = 13 520

13

13

9

1 521 1 521 x 20 = 30 420

13

13

10

1 690 1 690 x 20 = 33 800

13 veces un cuarto del ciclo de 364 días, siete veces un cuarto de era cosmogónica 91 tonalpohuallis Ocho veces un cuarto de era cosmogónica, 26 medios siglos mesoamericanos 52 tonalpohuallis 260 veces el ciclo sinódico de Mercurio 117 tonalpohuallis 52 veces el ciclo sinódico de Venus 52 ciclos sinódicos de Venus 130 tonalpohuallis 650 veces 52, que en años es el medio siglo mesoamericano 195 veces (en días) el medio año de eclipses

13

13

11

1 859 1 859 x 20 = 37 180

13

13

12

2 080

11 veces un cuarto de era cosmogónica 143 tonalpohuallis 20 siglos mesoamericanos Ocho tonalpohuallis

13

13

13

2 197 2 197 x 20 =

El cubo de 13 = 2 197 132 tonalpohuallis

43 940 13

13

14

2 366 2 366 x 10 = 23 660

(13 x 13 x 13) + (13 x 13) 91 tonalpohuallis

13

13

15

2 535 2 535 x 20 =

195 tonalpohuallis

13

13

18

50 700 3 042

234 tonalpohuallis

3 042 X 20 = 60 840 **Se ha dicho que el quincunce equivale a 13 x 5 = 65, es decir, un tlalpilli (ciclo de 13 unidades de cuatro años) orientado a los cuatro rumbos cardinales, además del centro (eje cenit-nadir). La investigación indica, sin embargo, que el quincunce corresponde a cinco periodos de 117 días, es decir, al ciclo sinódico de Venus, de 585 dias.



Altura (u)

Frente (u)

13

Volumen (u3)

Fondo (u)

13

20

Evento astronómico

3 380

13 tonalpohuallis Cinco eras cosmogónicas 125 sidéreos lunares

13

13

26

4 394

132 tonalpohuallis

4 394 x 10 = 43 940 13

15

3

13

15

8

1 560

13

16

5

1 040

585 585 x 20 =

Un ciclo de fases de Venus 45 tonalpohuallis

11 700 Dos ciclos sinódicos de Marte Seis tonalpohuallis y 15 siglos mesoamericanos 10 siglos mesoamericanos Cuatro tonalpohuallis 13

16

10

2 080

20 siglos mesoamericanos Ocho tonalpohuallis

13

16

20

4 160

40 siglos mesoamericanos

26

16

5

2 080

20 siglos mesoamericanos Ocho tonalpohuallis

26

16

10

4 160

40 siglos mesoamericanos

16 tonalpohuallis

16 tonalpohuallis

Cuadro número 3

Las unidades encontradas en la altura (h), frente (w), fondo (d) y volumen (v) de las cabezas colosales olmecas / Su simbolismo Pieza Cabeza 1, San

Altura (H)

Frente (w)

Fondo (D)

13 u

10

8

25

18

13

Volumen (V)

1 040 U3 10 siglos mesoamericanos

Cuatro tonalpohuallis

Lorenzo Cabeza 2, San

Significado

5 850 u3 10 ciclos sinódicos de Venus 50 ciclos sinódicos de Mercurio

Lorenzo

450 tlalpillis 45 medios tonalpohuallis


15

13

8

1 560 u3 Seis tonalpohuallis 15 siglos 30 medios siglos

Cinco números de Chalchihuicueye Dos ciclos sinódicos de Marte 120 tlalpillis Cabeza 4, San Lorenzo

20

13

13

3 380 u3

13 tonalpohuallis 65 medios siglos 260 tlalpillis 125 ciclos dracónicos de la Luna


243


Pieza Cabeza 5, San

Altura (H) 26

Frente (w) 20

Fondo (D) 18

Volumen (v)

Significado

9 360 u3 90 siglos

Lorenzo

12 ciclos sinódicos de Marte 26 años de 360 días 36 tonalpohuallis 80 sinódicos de Mercurio

Cabeza 6, San

13

10

9

1 170 u3 10 periodos sinódicos de Mercurio

Lorenzo

Dos sinódicos de Venus Nueve veces medio tonalpohualli

Cabeza 7, San

12

9

7

756 u3 756 = 27 x 28, medidas de un

Lorenzo

rectángulo Σ que contiene el ciclo dracónico y el número de lunas en un ciclo sinódico

Cabeza 8, San

26

20

21

10 920 u3 42 tonalpohuallis, 105 siglos, 104

Lorenzo

veces el lapso del Sol arriba de 15° N, 14 ciclos sinódicos de Marte, 30 años del Sol del inframundo, 370 ciclos sinódicos de la Luna (29.513 días), 63 medios años de eclipses

Cabeza 9, San

20

16

13

4 160 u3 16 tonalpohuallis, 40 ciclos de 104

Lorenzo

días y 80 ciclos de 52 días, 24 medios años de eclipses, 141 ciclos sinódicos lunares (29.5035)

Cabeza 10, San

20

16

13

4160 u3 Igual a la anterior

14

13

14

2 548 u3 Siete años del Sol del inframundo,

Lorenzo Monumento A, Tres Zapotes

149 ciclos de 17°, 94 ciclos dracónicos lunares (27.1)

Monumento Q,

18

16

20

5 760 u3 16 ciclos de 360 días, 195 ciclos

Tres Zapotes

sinódicos lunares (29.538), 338

Monumento 1, La

dracónicos de la Luna (27.042) 28 eras cosmogónicas, 52 años

ciclos de 17.04°, 213 ciclos 28

26

26

18 928 U3

del Sol del inframundo, 364

Venta

medios siglos, 641 ciclos sinódicos lunares (29.528), 1 113 ciclos de 17.006°, 701 ciclos dracónicos lunares Monumento 2,

20

16

13

4 160 u3 Igual a la cabeza 10 de San

13

10

8

1 040 u3 Igual a la cabeza 1 de San

20

15

18

Lorenzo

La Venta Monumento 3,

Lorenzo

La Venta Monumento 4, La Venta

5 400 u3 200 ciclos dracónicos de la Luna ajustados (27), 183 ciclos sinódicos de la Luna (aproximadamente 29.508), 15 años de 360 días

244


Cuadro comparativo de los volúmenes de las figuras de pequeño formato y de las cabezas colosales Pieza Cabeza 1, San Lorenzo Cabeza 8, San Lorenzo Cabeza 9, San Lorenzo Monumento 2, La Venta Monumento 3, La Venta Cabeza 2, San Lorenzo Cabeza 3, San Lorenzo

Volumen 104 x 10 = 1 040 10 920 4 160 4 160 4 160 585 x 10 = 5 850 1 560 = 2 x 780

Astro Sol

Figura de pequeño formato 12. Hombre sentado

Sol Sol Sol Sol Venus

25. Figura sentada 27. Figura parada 30. Hacha votiva 31. Efigie de hacha 23. Máscara barbada

Marte

5. Vasija grabada


3 380

Sol


9 360

Luna-Sol, Venus


1 170 = 10x 117

Mercurio


756 = 27 X 28

Luna

Monumento 4, La Venta Cabeza 5, San Lorenzo

5 400 = 27 X 200 9 360 = 2 X 27 X 173.33 18 928

Luna Eclipse Luna-Sol Sol del inframundo

5 760

Sol (baktún)


Monumento Q, Tres Zapotes

Monumento 1, La Cobata Todas las que coinciden con los tránsitos de Venus y con el tonalpohualli

59 280

Luna Luna

7. Tazón grabado 21. Placa 3. Perforador 1. Efigie sobrenatural 26. Hombre acuclillado 6. Tazón grabado 16. Figura sosteniendo su cabeza 34. Hombre y mujer abrazados

1 040

Factor común 104

3 328 2 184 4 680 4 680 585

104 104 104 104 585

780

780

7 800 572 520 8 748

780 13 13 9

936

9

9 360 1 170

9 117

270= 10 x 27

27

Volumen

6. Tazón grabado

9 360

27 27

33. Efigie en forma de hacha

27 664

364

14. Figura sentada

4 680

12

30. Hacha votiva 31. Efigie en forma de hacha 9. Figura acuclillada 3. Perforador

4 680 4 680

12 12

4 940 520

52 13


245

IX. La primera página del Códice Fejérváry-Mayer

Descripción entro de los códices del grupo Borgia se encuentra el Códice Fejérváry-Mayer, de posible origen mixteco,1 llamado tam-

D

bién Tonalámatl de los pochtecas. Miguel León-Portilla lo

interpreta como un calendario augural o cuenta de los destinos, integrado por 44 páginas en 17 secciones que presentan diversas formas de desarrollo del tonalpohualli.2 La primera página del códice es muy conocida y representa “una imagen horizontal del universo, con el espacio cósmico dividido en cinco grandes partes: el oriente en la parte superior; el norte a la izquierda; el poniente 1

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 177. 2 Miguel León-Portilla, Códices: los antiguos libros del Nuevo Mundo, Editorial Aguilar, México, 2003,

3

p. 228. Ibid., p. 229.“Elemento muy significativo es que en esta imagen del espacio cósmico se integra,

abajo; el sur a la derecha, además del espacio cuadrado que enmarca el centro del mundo”3 (ver figura IX. 1, “Geometría de la primera página del Códice Fejérváry-Mayer”). Para orientar debidamente en el espacio esta primera página se debe colocar el norte en la esquina inferior izquierda, donde se encuentra un círculo en cuyo centro está el simbólico portador del año, técpatl o pedernal. Colocada con el norte en esa dirección, la

mediante signos calendáricos, la concepción mesoamericana del tiempo. Una primera manifestación de ello la tenemos en la presencia de los cuatro glifos portadores de los años, que funcionan aquí también como indicadores de los varios

página del códice norte, misma que El punto cardinal al portador tochtli

sectores cósmicos: ácatl, caña (oriente), ángulo superior izquierdo. Siguiendo luego en sentido contrario al de las manecillas del reloj: técpatl, pedernal (norte); calli, casa ( poniente); y tochtli,

el poniente, por el portador calli, casa; y, finalmente, el norte por técpatl, pedernal o cuchillo de sacrificio. El Códice matritense del Real Palacio nos informa que cada por-

conejo (sur)." Los mesoamericanos acotaban en sus representaciones gráficas el norte a la izquierda, y no como en la actualidad, que lo consideramos arriba. 5 Códice matritense del Real Palacio (textos en náhuatl de los indígenas informantes de Sahagún), edición facsimilar de Francisco del Paso y Troncoso, fototipia de Hauser y Menet, Madrid, 1907-1909, vol. VII, fol. 269 r.

4

246


tendría una desviación de 17° hacia el oriente del presenta el eje norte-sur de la Pirámide del Sol.4 sur estaría señalado por el círculo que contiene o conejo; el oriente, por el portador ácatl o caña;

tador de años “Trece años porta, encamina, lleva a cuestas siempre, cada uno de los años. Y él va por delante, guía, comienza, se hace principio, introduce todos los signos del año: ácatl, técpatl, calli, tochtli”.5 Los cuatro glifos ácatl, técpatl, calli y tochtli o símbolos de los portadores del año se encuentran en cada esquina de esta página del códice, en el centro de una especie de herradura formada por

Figura IX. 1. Geometría de la primera página del Códice Fejérváry-Mayer

IX. La primera página del Códice Fejérváry-Mayer 247

otros pequeños círculos.6 Cada una de las

en el talud del viejo templo de Quetzalcóatl

herraduras de las esquinas está formada por 24 circulitos que valen una unidad, además de otro círculo grande entre ellos que

en Teotihuacan. Mirando la página del códice como si fuera un plano aéreo de un monumento se

contiene el glifo del portador del año. En la herradura, por su tamaño, el círculo puede valer 13 u, unidad equivalente al tlalpilli de

percibe una pirámide desdoblada en planta, en cuyo centro se encuentra Xiuhteuktli, dios del fuego, señor del tiempo. Del Paso

13 años mexicas. Considerando que hay un círculo que vale 13 años en cada esquina, con los cuatro se estará representando un ciclo solar de 52

y Troncoso, al comentar sobre el tonalpohuallli, señala que el primer día del calendario augurai es Ce Cipactli, y que corresponde a Xiuhteuktli:

años (13 x 4 = 52). Respecto al valor de cada herradura, al tener 12 circulitos a cada lado y un círculo grande entre ellos (que por su

Antes de que se comiencen a usar estas lis-

contexto también puede valer 2 u), se tienen 104 ciclos [(12 x 2) + 2 = 26 y 26 x 4 = 104], el valor en años del siglo mesoamericano. Los

serie corrida de los Acompañados, tal como

circulitos representan un ciclo que puede valer tanto un día como un año o un siglo, siendo como son unidades astronómicas o

Miguel León-Portilla, op. cit., pp. 228 y 229. 7 Anthoni F. Aveni, op. cit., p. 173.“Finalmente, Kelly (comunicación personal) ha sugerido que el ciclo tuvo origen en el meztli, mes sideral estandarizado de 28 días, al que se multiplicaba por 13 para dar un año de 364 días.” 8

Fernando Ximello Olguín, NaxacéTlatlahuite / El ombligo del mundo en Acoquiaco, edición del autor, Tehuacán, 1996, p. 89, fig. 22.

9

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, Siglo XXI Editores, México, 1988, p. 83.

248

se comienzan a contar del primer día del

tonalpohualli en adelante, pues a ese primer día, Ce Cipactli, corresponde Xiuhteuktli, según todos los cómputos conocidos. 9

El 104 recuerda la recuperación del lub al cabo de 37 960 días del que habla Thompson (104 x 365 = 37 960), por ser 37 960 el míni-

Xiuhteuktli se encuentra presidiendo la página, al centro, mas no encerrado en un cuadrado, como algunos creen ver, sino en un rectángulo Σ 10 x 9, M 1.111 (se marca

mo común múltiplo (MCM) de varios ciclos solares, uno de ellos el del año de 365 días (37 960 / 104 = 365).

en la diferencia de la longitud de sus lados la unidad de medida con la que el plano fue dibujado). Esta pequeña unidad es submúl-

Por semejanza entre los monumentos solares es probable que las esquinas que forman los taludes de las caras de la

tiplo de la unidad que se encuentra señalada en el enmarcamiento de las caras delimitadas por las bandas de colores. El ancho de

calendáricas: son simplemente ciclos.

6

tas, advertirá que la primera corresponde a la

Pirámide del Sol, cerca de la base, hayan

estas bandas a su vez es submúltiplo de la

estado adornadas con glifos semejantes a los que aparecen en las esquinas del monumento representado en la primera página

unidad que se marca en la diferencia entre la longitud de los lados mayores y menores de la base del monumento allí representado.

del códice. Aveni ha encontrado que entre los indios del sur de los Estados Unidos en un

La base menor o base superior del monumento es un rectángulo Σ, y queda consignada la unidad de medida en la diferen-

mes lunar (un ciclo sinódico) se contaban 28 lunas; en un año lunar o del Sol del inframundo, 28 x 13 lunas, lo que daba un año del inframundo de 364 días.7

cia de la longitud de sus lados.

De la misma manera lo contaban los popolocas del valle de Tehuacán, de acuerdo con una vasija que presenta un bajorrelieve con 13 veces el número 7, lo que hace un total de 91 días, la cuarta parte del ciclo de 364.8 Se representa en el plato también el movimiento cicloidal de la Luna, movimiento ondulatorio que recuerda el rastro que dejan las serpientes al reptar, como se ve


Esta unidad (u) corresponde a la altura de la pequeña plataforma superior de la pirámide truncada. Al igual que en la Pirámide del Sol en Teotihuacan, en la de la Luna y en el viejo templo de Quetzalcóatl, en la primera página del códice no se representa una pirámide truncada verdadera, sino un chutong o prisma truncado de la figura que le precede, que es un chumeng en forma de artesa. Esto queda bien señalado en el rectángulo central, que contiene al dios del fuego,

Figura IX.2. El chumeng y el chutong en la geometría del monumento

situado en la última plataforma o cuerpo de la pirámide, donde desde las cuatro esquinas del rectángulo que lo contiene brotan sendos chorros de sangre que convergen en dos puntos que pueden unirse por una línea o arista superior del chumeng, lo que indica que la geometría del monumento representado no es la de una pirámide truncada sino la de un chutong. Si se trata-

ración a Xiuhteuktli, dios del fuego y señor del calendario, a quien estaría consagrada en primer lugar esta pirámide. Alrededor del dios están cuatro sectores, cada uno constituido por dos elementos: Cada uno de estos sectores está constituido por dos elementos. Por una parte hay un espacio

trapezoidal

que

incluye

en

cada

ra de una pirámide, no existiría esa arista de

caso dos deidades, un árbol y un ave cósmi-

unión (ver figura IX. 2).

cos.

La última plataforma soporta el sagrario, el Ombligo del Mundo, el lugar de vene-

Por

otra

hay

un

espacio

oblongo

a

modo de herradura, situado en cada ángulo de la imagen del universo. En los extremos

IX. La primera página del Códice Fejérváry-Mayer

249

superiores de tales espacios oblongos están

rresponde a la desviación del eje de la Pirá-

los círculos con los glifos portadores de los

mide del Sol en Teotihuacan, al este del norte. Teniendo las bases trapezoidales enmarcadas, se puede encontrar en el ancho del marco la unidad de medida o proporción

años. Éstos se hayan sobre los cuerpos de cuatro aves, de las que se hablará luego. 10

Es evidente que, siguiendo el contorno de la cruz de Malta dibujada en la primera

indicada en este plano, no en unidades métricas, sino en unidades a la manera indígena.

página del códice, se puede formar un cuer-

Con esta unidad se mide la altura y las demás

po tridimensional. No se trata de una pirámide truncada sino de un chumeng truncado o chutong.

partes del edificio. También se puede medir

En este libro se publica en cursivas la palabra pirámide cuando se habla de los monumentos mexicanos, que aparente-

longitud de los lados de la base mayor. Por lo tanto, se pueden obtener los números volu-

mente tienen forma de pirámide truncada,

del monumento. La escalera en el dibujo muestra cinco peraltes que indican que la última plataforma está relacionada con Venus. El ángulo

para recordarnos que estos monumentos no son piramidales, aunque aquí se les seguirá llamando así por tradición. En el arte mesoamericano son numerosas las representaciones arquitectónicas de templos en forma de maquetas en barro o

la longitud de los lados de la plataforma o base menor de las figuras trapezoidales y la

métricos (nv) del basamento y del sagrario

de 73° determina el volumen del prisma recto rectángulo (PRR) envolvente virtual del monumento. Su empleo no es casual

en piedra,11 mas no en planos, por lo que la imagen de la primera página del Códice Fejérváry-Mayer podría ser un caso raro de

sino causal; al tener un ángulo de 73° en los taludes del basamento, al sumarle 17° se obtiene un ángulo de 90°, que indica un

representación

paso cenital. Éste está señalado por el cruce de la línea de prolongación de los taludes de las caras menores trapezoidales del basamento y el eje vertical de composición, el

plana

de

un

monumento

solar.12

Miguel León-Portilla,

Su iconografía es rica en símbolos y ya ha sido magníficamente tratada por varios especialistas, por lo que aquí se ha-

op. cit., p. 231. 11 Cecilio A. Robelo, Diccionario de mitología nahoa, primera

blará únicamente de aquellos elementos que refuerzan la hipótesis de que se trata de un plano de una pirámide solar, a la vez

Ombligo del Mundo (ver figura II.2 y figura IX.3).

edición facsimilar, Editorial Porrúa, México, 1982, p. 128: “Cu. Templo de ídolos...”. En maya kue

que de un tonalámatl. Los espacios trapezoidales en el plano corresponden a los cuatro lados del monumento. Si se recortara en el códice el con-

El número 17, el ciclo de 273 días y la división espacio-tiempo en cuadrantes. La división del universo en cuadrantes se encuentra ya en

significa pequeño adoratorio o túmulo. 12 En algunos códices se representan pequeños

torno de estos espacios, se podría armar la pirámide en tres dimensiones, en donde el espacio cuadrangular central sería, como ya se dijo, la plataforma o cuerpo final de la pirámide. Cada lado estaría formado por los trapecios, cuyos lados mayores estarían en la base del primer cuerpo del edificio y único en este caso. Indudablemente la primera página del Códice Fejérváry-Mayer es uno de los planos más antiguos que se han conservado.

10

templos mediante dibujos. Generalmente tienen en su interior a un observador del cielo, por lo que se dice que los templos servían como observatorios. 13 Linda Schele y David Freidel, Una selva de reyes / La asombrosa historia de los antiguos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1999, pp. 85-86.

En el plano está dibujado el ángulo de inclinación de los taludes a 73°, que simboliza en días la quinta parte del año de 365. Por otro lado, 17° es complemento de 73°, y co-


inscripciones olmecas de registros astronómicos. Los astrónomos olmecas utilizaban un conteo de 364 días, que puede dividirse en cuadrantes de 91 días, como se observa en el volumen de la cabeza colosal número 8 de San Lorenzo, 10 920 u3, que tiene como factor el 364 y por consiguiente el 91: (10 920 / 30 = 364 y 10 920 / 120 = 91). El registro de 364 días se encuentra en el Códice de Dresde y puede expresarse como 364 = 4 x 9 1 = 2 1 x 17.33 y 17.33 x 10 = 173.33, que es el medio año de eclipses o año nodal. La división cuatripartita calendárica fue utilizada también por los mayas en el conteo lunar de 819 días, de acuerdo con Linda Schele:13 si se orienta 819 hacia los cuatro

Figura IX.3. Medidas del basamento Primera página del Códice Fejérváry-Mayer

Geometría dinámica: Generación del lado menor de la base mayor del monumento trapezoidal a partir de un círculo. El empleo de los ángulos de 70' y 73' en los taludes del monumento al descomponerlo en cuatro cuerpos.


Figura IX.4. El tocado de la escultura de Tlahuizcalpantecutli (Venus) apunta hacia el Omeyocan mediante un angulo de 17°

Escultura de Tlahuizcalpantecutli (Venus), conocida como Xólotl

Figura IX.5. El ángulo de 17° marca la desviación al este del norte del eje mayor de la Pirámide del Sol en Teotihuacan

El ángulo de 17° señala al Omeyocan en el basamento del monumento representado en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer

252


rumbos del universo, se obtiene un calendario

Figura IX.6. El cu con el sagrario de Xiuhteuktli en el centro de la imagen

de 3 276 días (819 x 4 = 3 276). Siendo 3 276 = 364 x 9, se puede escribir la siguiente igualdad: 364 x 9 = 819 x 4, lo que indica que el

Primera página del Códice Fejérváry-Mayer

conteo del 819 en realidad lo es también del 364, el del Sol del inframundo (ver figuras IX.3, IX.4 y IX.5). Observando la imagen de Xiuhteuktli, señor del tiempo, 14 del fuego y del Sol, por su posición en el sagrario y su tamaño se conoce que está determinando un monumento solar. Pero, ¿cuáles serían las características de un monumento solar en un análisis matemático-astronómico? Para ello sería condición que los números volumétricos (NV) que lo definen contuviesen ciclos solares, de la misma manera que un monumento lunar es de esperar que contenga ciclos lunares, por lo que en este estudio primeramente se verificó que los NV de los cuerpos del monumento presentaran ciclos solares, como en efecto sucede. Esto se comprueba más adelante (ver figura IX.6). La primera página del códice representa

mesoamericana e importantísimos en la decodificación del códice el 3, 4, 5, 7, 11, 13, 52, 104, 156 y 260, señalados en su iconografía. 20

el universo, y se manifiesta el cosmos con sus

Arriba del basamento se encuentra el

fuerzas vivas. Está dividido en cinco partes: al centro, un rectángulo Σ, 15 desde donde

sagrario. 21 Un disco solar inicia su recorrido en el lado oriente para morir en el poniente,

Xiuhteuktli rige el tiempo. 16 A su alrededor,

en el inframundo, desde donde renacerá

cuatro trapecios orientados a los cuatro rumbos del universo, que conforman un basamento en forma de chutong y no de pirámide

cada día trayendo esperanza de resurrección. Para ascender al sagrario se encuentra una escalera en el centro de una especie de T,

truncada, como generalmente se piensa. En cada esquina está un elemento en forma de herradura con 104 pequeños círculos que, sumados a los 156 que se encuentran en el marco o cintas de color que enmarcan a las figuras trapezoidales y en las herraduras, dan

14

16

un total de 260, los días del tonalpohualli. Las esquinas rematan en dos águilas y dos guacamayas que portan el tiempo, cargadas con sendos grandes círculos con los años tochtli, ácatl, técpatl y calli.17 Estas aves son símbolo de los pochtecas o mercaderes 18 celestes que transportan cada una el peso de un doble tlal-

los cuatro brazos de la cruz de Malta. Son números prevalentes en la numerología solar

tud de sus lados. Miguel León Portilla, op. cit., p. 229.“Elemento muy significativo es que en esta imagen del espacio cósmico se integra, mediante signos calendáricos, la con-

cepción mesoamericana del tiempo.” Ibid. 18 En México mecapalero es palabra derivada del náhuatl y significa el hombre que carga bultos por medio de una correa o mecate en la frente. Los pochtecas eran 17

19

pilli, unidad solar de 13 años, 19 lo cual da entre las cuatro un total de 104. La diferencia entre 260 y 104 = 156 se encuentra en la suma de los circulitos de las bandas que circundan

Es señor del tiempo y numen solar, ya que el Sol genera la unidad de medida

de tiempo llamado día, base de cualquier calendario. 15 Un rectángulo Σ es aquel que tiene una unidad de diferencia (U) entre la longi-

los mercaderes nahuas. J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 57, nota 1: “Los mayas concebían el tiempo como una marcha por toda la eternidad de todos los periodos de tiempo. Al término de cada día -cada ciclo- llegaban a un breve reposo, depositando sus cargas

(véanse los glifos de figura entera en Copán, I) antes de reanudar su viaje”. 20 Miguel León-Portilla, op. cit., dedica una parte del libro a la interpretación del Códice Fejérváry-Mayer como un tonalámatl de los pochtecas. En el texto aparece con frecuencia tanto el 52 como el 260, es decir, son prevalentes en la nume21

rología que expresa el texto. Se ha llamado cu en este trabajo únicamente al sagrario que remata al basamento.


símbolo del talud y tablero, de la atadura de

cede a medir con ella los elementos del

años o ciclos terminados de 52 años (xiuhumolpilli). En el poniente está una rana simbólica del numen del inframundo (Tláloc),

plano. Para el PRR envolvente virtual del monumento se encontró que la base es un rectángulo Σ de 18 u x 17 u (caras orienteponiente y norte-sur, respectivamente, con

de cuya boca sale un gran chorro de agua que hace florecer la tierra.

una altura de 55.562 u: V = 17 u x 18 u x 55.562 u= 17 001.972 « 17 004 u3.

Forma del basamento, medidas en unidades u a 7a manera indígena

Volumen del PRR, 17 004 u3. El volumen de un PRR es igual al producto que se obtiene

y decodificación de los NV obtenidos

de multiplicar el área de la base por la altura. En el caso del PRR envolvente virtual del

Valiéndose de la geometría dinámica se observa que, si el diámetro de un círculo se divide entre 13 partes iguales22 -que se numeran del 1 al 13- y por las divisiones número 2 y 11 se trazan perpendiculares al diámetro, la distancia entre ellas se puede

Para la explicación de este concepto, ver Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana,

Fondo de Cultura Económica, México, 2000, p. 63. 23 La unidad U encontrada es solamente aproximada a la verdadera. Los números siguientes lo explican: 25 / 13 = 1.923; tomando nueve de estas unidades tendremos 9 x 1.923 = 17.3 U. Para igualar las unidades se deberá trabajar con solamente un decimal: 25 / 13= 1.9 y 1.9x9 = 17.1 a 17 U. A partir de la unidad u = 1 se traza todo el plano del monumento solar. 24

No disponiendo del códice original, me he basado en la fotografía del plano que se encuentra en el libro de Miguel León-Portilla, op. cit., lámina 27.

tró que la base es un rectángulo Σ de 18 u x 17 u (caras oriente-poniente y norte-sur, respectivamente) y una altura de 55.562, por lo que su volumen V = 17 001.972 » 17 004 u3.

cabe un número exacto de veces en el diá-

El volumen del prisma recto rectángulo es V = 17 004 u3. Se multiplica por 20 para hacerlo múltiplo del tonalpohualli: 17 004 x

metro (25 veces) y en el lado menor de la base mayor del basamento (17 veces).23 La unidad cabe un número entero de veces en

20 = 340 080, que sí lo es; 17 004 es 327 veces el medio siglo y 1 308 veces el tlalpilli. Prevalencias numéricas 3, 4, 13 y 52.

la diferencia del largo de los lados de la base mayor y de la base menor, de manera que se habrá encontrado, a la manera indígena, la unidad u.24 Al ser la base un rectán-

Obtención y análisis del NV del basamento. La base mayor del basamento es un rectángulo Σ de 18 u x 17 u (caras oriente-ponien-

gulo Σ, si el lado menor mide 17 u, por definición el mayor medirá 18 u. Esta u es la misma que aparece en el ancho del marco

te y norte-sur, respectivamente) y la base menor, otro rectángulo Σ de 10 u x 9 u (caras oriente-poniente y norte-sur, respectiva-

o cintas de colores que enmarcan el basamento en el plano del códice. También un múltiplo de la unidad queda consignado en

mente). La altura del basamento es 10.8 u,

dividir en 17 partes iguales (ver figura II.2). Cada división es una unidad u = 1, que

22

monumento representado en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer se encon-

el lomo o arista del chumeng envolvente virtual de la pirámide.

NC múltiplo del 27 cuando se hace entero (10.8 x 10 = 108 = 4 x 27, donde el 27 corresponde a un ciclo dracónico ajustado de la

Obtención del NV del PRR envolvente del monu-

Luna). El volumen del basamento en forma de artesa (chutong) = 2 028 u3. El ángulo de inclinación de los taludes es de 73°, comple-

mento. Habiendo obtenido la unidad, se pro-

mento del ángulo de 17°.

Cuadro del número 17 004 Número volumétrico del prisma recto rectángulo 17 004 X 20 = 340 080 17 004 17 004


Ciclo, años, días Prevalencias numéricas

Astro

Tonalpohualli, 260 Medio siqio, 52 Tlalpilli, 13

Sol Sol Sol

Número de ciclos o números de enlace 1 308 327 1 308

Observaciones Solar Solar Solar

Volumen del basamento en forma de artesa o

el diámetro de los grandes círculos portado-

chutong. La fórmula empleada para obtener el volumen del prisma truncado en forma

res de los 13 años de los que ya se ha hablado. Siendo cuatro los símbolos de los años (tochtli, ácatl, técpatl y calli), se tendrá un total de 156 x 13 = 2 028, el número volumétrico que expresa el plano del basamento del monumento solar en la primera página

de artesa o chumeng y del chutong es: H / 6 [ι (2a + a') + ι'(2a'+ a)], en donde H es la altura del cuerpo; a = lado mayor de la

base mayor; a'= lado mayor de la base menor; ι = lado menor de la base menor; y ι'= lado menor de la base menor. Para tener el volumen del chutong el último término de la fórmula desaparece, ya que ι' = 0. Los datos para obtener el volumen del

del Códice Fejérváry-Mayer y corresponde al número de días que necesariamente deben transcurrir para llegar a idéntica posición en el tonalámatl. Del Paso y Troncoso, respecto al 2 028, afirma: 2o. Que al comenzar la primera edad cos-

basamento en forma de artesa o chutong son: Lado mayor de la base mayor = a = 18 u Lado menor de la base mayor = ι = 17 u Lado mayor de la base menor = a' = 10 u Lado menor de la base menor = ι' = 9 u H=

10.804 u

corriendo desde allí sin interrupción, durante 2 028 años, hasta la quinta edad; podemos inferir,

además,

que

la

cuenta

trecenal

comenzase el día Ce Cipactli, porque éste es el que casi todas las tradiciones señalan

V = H / 6 [ι (2a + a') + ι' (2 a' + a)] Sustituyendo se tiene: V = 10.804 / 6 [17 (2 x 18 + 10) + 9 (2 x

10 + 18) = 1.804 [17 (2 x 18 + 10) + 9 (2 x 10 + 18)] = 10.804 [17 (46) + 9 (38)] = 1.804 (782 + 342) = 1.804 x 1 124 = 2 027.696 ≈ 2 028 u3 V

mogónica se inició el cómputo trecenal,

como el principio de los tiempos, sentado todo lo cual llegaríamos a esta conclusión: el cómputo trecenal comenzó 2 028 años antes del quinto Sol, y, si suponemos que el día inicial de la primera edad fuera Ce

Cipactli, corriendo los periodos rituales sin

25

piado en el día Ce Tochtli.26

La altura del prisma para tener un volumen de 2 028 u3 debe ser

Esta hipótesis explica igualmente la prefe-

11.1 u, que se cierra a 11. La diferencia es difícil de detectar en

interrupción, la quinta edad habría princi-

= 2 028 u3. El volumen del basamen-

to sin el sagrario es V = 2 028 u3.2S Análisis del volumen del basamento en forma de chutong: v= 2 028 u3. El 156 es el número de superficie o área que manifiesta el formato del Códice Fejérváry-Mayer, que tiene

rencia concedida por los aztecas a los símbolos tochtli, ácatl, técpatl y calli cuando los escogieron para que precediesen los años; y da también la razón de haber iniciado sus

la forma de un rectángulo Σ de 13 u' x 12 u', por lo que su superficie es 156 u3, número que considerado como absoluto es también

ferencia que habrían concedido a uno de los

el volumen del sagrario, como se verá más

demás. 27

cómputos por diferentes días y años, la pre20 ciclos de la serie de 1 040 años sobre los

el dibujo del códice. Francisco del Paso y Troncoso, Ensayo sobre los símbolos cronográficos de los mexicanos, Anales del Museo Nacional de México, México, 1877, cap. XI, p. 354. 27 Ibid. 26

adelante. Las unidades u' se encuentran en

Cuadro del número 2 028 Número volumétrico del basamento o chutong 2 028 X 20 = 40 560 2 028 2 028 2 028 40 560 40 560

Ciclo

Astro

Tonalpohualli, 260 Medio siglo, 52 Tlalpilli, 13 Era cosmogónica, 676 Medio año de eclipses, 173.33

Sol Sol Sol Sol Mercurio

Sinódico, 117

Mercurio


Factorizaciones Solar (13 x 12) Solar (13 x 3) Solar (13 x 12) Solar (13 x 52) 117 = ciclo sinódico de Mercurio

173.33


Si se multiplica 2 028 por 20 para hacerlo múltiplo del tonalpohualli, se tienen 40 560 u3,

apéndice 1, “Números”). V = 156 u3. El NV del sagrario se multiplica por 20 para hacer-

que sí lo es. El 2 028 también es 39 veces 52 (en años, el medio siglo mesoamericano), 156 tlalpillis y tres eras cosmogónicas sola-

lo múltiplo del tonalpohualli. El 156 corresponde a tres ciclos solares de 52 años y a 12 tlalpillis, ciclo calendárico solar de 13 años; 156 es la mitad del ciclo de Chalchihui-

res de 676 años. Prevalencias numéricas 3,

cueye, de 312.29 El número 312 es complemento del 364

4, 13, 52, 156 y 676, que confirman que se trata de un monumento solar.28

(días en el año del Sol del inframundo) para 28

El 156 = 3 x 52; por otro lado, 156 x 2 =

Medidas y volumen del sagrario. Las medidas del sagrario fueron tomadas directa-

hacer una era cosmogónica de 676 años.

312, el número de Chalchihuicueye, el

mente del plano en unidades o la manera

52; 156 es la docemilésima parte de la era

indígena: lado mayor de la base = 9 u; lado menor, 8 u; altura, 2.16 u. Al multiplicar 2.16 x

solar maya (1 872 000 días).

falso Sol que alumbró el mundo durante 312 años, de acuerdo con Cecilio A. Robelo. 29

Cecilio A. Robelo, op. cit., bajo “Chalchihuicueye”.

Prevalencias numéricas solares, 3, 4, 13 y

100 para hacerlo entero, se observa que 216 = 8 x 27; este último es un número lunar.

La suma del NV del basamento más el NV del sagrario tiene que ser múltiplo de un número de significado astronómico (NSA),

9 u x 8 u x 2.16 u = 155.52 ≈ 156 u3 calendárico (NSC) o geográfico tonalpohualli. (ver cuadro del número 156 abajo y en el V=

(NSG)

y del

Cuadro del número 156 NV del sagrario 156 x 20 = 3 120 156 156

Ciclo (años, días) Prevalencias numéricas Tonalpohualli, 260 Medio siglo, 52 Tlalpilli, 13

Astro

Número de ciclos o números de enlace

Sol Sol Sol

Observaciones 12 3 12

Solar Solar (52 x 2) Solar

Cuadro del número 2 184*

2 184 x 20 = 43 680

Tonalpohualli, 260

Sol

Número de ciclos y de enlace 168

2 184

Siglo mesoamericano, 104

Sol

21

21 = 3x7

2 184

Medio siglo, 52

Sol

42

42 = 6 x 7

2 184

Sol del inframundo, 364**

Sol

6

2 184

Tlalpilli, 13

Sol

168

168 = 24 x 7

2 184

Chalchihuicueye, 312

Luna

7

El 7 es lunar

2 184

Sidéreo, 27.3

Luna

80

2 184

Sinódico, 29.5135****

Luna

74

Número volumétrico

Ciclo (años, días) Prevalencias numéricas

Astro

Factorizaciones 168 = 7 x 24

Tláloc, numen del inframundo

273 = 39 x 7***

* No habiendo bestias de carga en Mesoamérica, eran los mecapaleros los hombres que cargaban con la trente las mercancías. Un ejemplo de un dios mecapalero es la escultura de Tlahuizcalpantecutli, conocida como Xólotl, que se encuentra en el Landesmuseum de Stuttgart, Alemania. En la espalda lleva el fardo del sistema solar, señalando los tránsitos de Venus, a la manera de los cargadores aztecas, los pochtecas. ** El 364 corresponde a los 13 meses lunares de 28 días del calendarlo lunar utilizado en el sureste de los Estados Unidos (Aveni, op. cit.). “Los indios del sureste estadounidense contaban las lunas visibles de un ciclo, de suerte que como cuenta lunar más Importante aparece el número 28, no el 29 ni el 30.” *** Aquí el 7 es un factor lunar dentro de un número volumétrico solar (21 840 / 7 = 3 120 = 10 x 312). Al haber posibilidad de 126 eclipses, necesariamente tiene que estar la Luna presente. **** El ciclo sinódico lunar en Mesoamérica por lo general era tomado de 29.5308 y 29.5454 días. Thompson lo acepta de 29.5 días. El 2 184, el 364 y el 312 son ambivalentes al tener como factores el 7 lunar y el 13 solar. Por lo tanto pertenecen tanto al ámbito del Sol del supramundo como al del inframundo.

256


Volumen del basamento = 2 028 u3.

por lo que se puede decir que la numerolo-

Volumen del sagrario = 156 u3. Volumen total = 2 028 u3 + 156 u3 = 2 184

gía de la pirámide simboliza tanto el Sol del supramundo como del inframundo. La primera página del Códice FejérváryMayer corresponde a la representación

u3 (ver cuadro del número 2 184).

plana de un monumento solar dedicado Volumen del basamento más el volumen del sagrario, 2 184 u3. La altura total del monumento es 13 u y se compone de la suma de la altura del basamento más la del sagrario. Resumiendo: Con las medidas obtenidas se calculó el NV del prr envolvente virtual de la pieza, que es igual a 17 004 u3 (17 004 = 52 x 327). El NV del basamento en forma de artesa (chutong) es igual a 2 028 u3 ( 2 028 = 52 x 39). El volumen del sagrario es igual a 156 u3 (156 = 52 x 3). El volumen total es de 2 184 u3 (2 184 = 52 x 42). El volumen total del monumento, 2 184

tanto al Sol del supramundo, que renace cada día con la aurora, como al del inframundo, que muere cada noche con una nueva esperanza de vida y resurrección. Se trata del Sol en sus dos acepciones: diurna y nocturna. Siguiendo la interpretación de la iconografía de la primera página del códice que hace León-Portilla, tratándose de un plano paradigmático, por semejanza se puede

lunares: 27.3 y 29.5135, ciclos sidéreo y

saber de qué color estaba pintada la Pirámide del Sol y cuáles ídolos estaban colocados y en dónde. La primera página del códice es un plano de un monumento solar, un tonalámatl de los pochtecas celestes,30 los astros que en el cielo cargaban el destino de los hombres con su mecapal en la frente. Por paralelismo, la Pirámide del Sol en Teotihuacan pudo haber funcionado como un gi-

sinódico lunares, respectivamente, así como 173.33 (medio año de eclipses) y 364, número de días del año del Sol del inframundo,

gantesco tonalámatl para los pochtecas, los mercaderes que también cargaban con mecapales sus pesados fardos de mercancías.

u3, se hace múltiplo del 260 al multiplicarlo por 20. Se obtiene 43 680 u3, que sí lo es. Prevalencias numéricas solares, 3, 4, 7, 13, 52, 104, 156. Se observa que al sumar el volumen del basamento más el volumen del sagrario también se obtienen prevalencias

30

Miguel León-Portilla, op. cit., p. 69.


X. La Pirámide del Sol en Teotihuacan

El marco histórico

L

as diversas medidas propuestas por los estudiosos de la pirámi-

de. Al contemplar las pirámides de Teotihuacan difícilmente puede creerse que en el siglo XVI, en los años de la conquista de México, estos monumentos se encontraban ya en ruinas, pues tal como los vemos en la actualidad son reconstrucciones comenzadas hace apenas un siglo, cuando la arqueología se iniciaba como disciplina. No fue sino hasta mediados del siglo XIX que la Comisión Científica de Pachuca hizo mediciones de las pirámides con rigor científico, obteniendo medidas muy precisas.1 El iniciador de los trabajos de restauración de la Pirámide del Sol fue Leopoldo Batres, a principios del siglo pasado. Sus trabajos de restauración han sido duramente criticados, mas se puede decir en su defensa que “la culpa fue del tiempo y no de España”. Entre los principales arqueólogos y arquitectos que han intervenido de alguna manera en la restauración de Teotihuacan y dejado información escrita al respecto se cuentan Manuel Gamio, Alfonso Caso, Rubín de la Borbolla, Ignacio Marquina, José R. Pérez, Sygvald Linné, Costa Montiel, Jorge R. Acosta, Alberto Ruz, Román Piña Chan, Eduardo Noguera, Remy Bastien y otros en años pasados. En años más recientes, Jorge Angulo, Eduardo Matos, Ponciano Salazar, Agustín Delgado, Héctor V. Gálvez, Florencia Muller, Rubén Cabrera y Saburo Sugiyama, entre otros.2

1

Se hace referencia a la Comisión Científica de Pachuca en 1865, en la que participó Ramón Almaraz. 2 Para la historia de la arqueología y los arqueólogos que han intervenido en la restauración de Teotihuacan ver Roberto Gallegos Ruiz (coord.), Antología de documentos para la historia de la arqueología de Teotihuacan, INAH, México, 1997.

258


Eduardo Matos, al emprender los trabajos del Proyecto Especial Teotihuacan (1993-1994), recopiló los trabajos de varios estudiosos de las pirámides, así como los nombres de los textos que se refieren a éstas. Aparecen en su libro La Pirámide del Sol / Teotihuacan / Antología (INAH, México, 1995). Algunos documentos del siglo XVI en adelante que proporcionan los datos necesarios para iniciar la investigación son “Leyenda de los soles”, en Códice Chimalpopoca (1558); fray Bernardino de

Sahagún, Historia general de las cosas de la

aquello que apoye o confírme las hipótesis

Nueva España (1565-1577); Códice matritense del Real Palacio; Diego Muñoz Camargo,

propuestas, mas sin pretender que se haya hecho un estudio más profundo de los ritos

Historia de Tlaxcala, siglo XVI; fray Gerónimo de Mendieta, Historia eclesiástica indiana (1604); Juan Francisco Gemelli Carrera,

y mitos en Mesoamérica. En el presente trabajo se estudia la Pi-

Viaje a la Nueva España (1700); Francisco Javier Clavijero, Historia antigua de México (1780); Alejandro de Humboldt, Ensayo político sobre el reino de la Nueva España (18071811);

Francis

Erskine

Inglis,

marquesa

rámide del Sol sin el adosado o apétlatl de la fachada poniente y sin la muralla que rodea a las tres caras.3 La función de la muralla a la fecha sigue sin ser resuelta. Pudiera ser que se hubiese agregado por

Calderón de la Barca, La vida en México (1840); Ramón Almaraz, Memoria de los tra-

motivos de estabilidad de la cara oriente de la pirámide, lo que se propone como mera hipótesis. De acuerdo con el ingeniero

bajos efectuados por la Comisión de Pachuca (1865); Gumersindo Mendoza, Anales del Museo Nacional (1877); Manuel Orozco y

Femando Ximello Olguín,4 esta muralla en forma de u pudo tener la misma función que los banquitos de piedra de la cultura popolo-

Berra, Historia antigua y de la conquista de México (1880); Enrique Olavarría y Ferrari, Actas, Congreso Internacional de Americanistas (1895); Leopoldo Batres, Teotihua-

ca del valle de Tehuacán, que servían para enmarcar las cabezas de los difuntos. En la pirámide podrían ser la puerta del Sol saliendo vivo del oriente, como está dibujado en la

can (1906); “Visita del señor general Díaz”,

primera página del Códice Fejérváry-Mayer. Las medidas propuestas para las pirámide de Teotihuacan, de acuerdo con las distin-

en El Imparcial (1906); Manuel Gamio, La población del valle de Teotihuacan (1922); José R. Pérez, El México antiguo, exploración del túnel de la Pirámide del Sol; Remy Bastien, La Pirámide del Sol en Teotihuacan (1947); Ignacio Marquina, Arquitectura prehispánica (1951); René Millon y Bruce Drewitt, “Estructuras tempranas en la Pirámide del Sol en Teotihuacan”, en American Antiquity (1961); Doris Heyden, “Una interpretación en tomo a la cueva que se encuentra bajo la Pirámide del Sol en Teotihuacan”, en American Antiquity (1975); Eduardo Matos, Excavaciones recientes en la Pirámide del Sol (1993-1994). La antología de Matos es la mejor recopilación de la información que han aportado diversos investigadores del tema, desde la época del virreinato hasta la última intervención del compilador, en 1993-1994. Otra fuente de valiosa información es la Antología de documentos para la historia de la arqueología de Teotihuacan, coordinada por Roberto Gallegos Ruiz, publicada por el INAH en 1997. Se han consultado ambas para los datos arqueológicos y medidas que sirvieron para el inicio del estudio de las pirámides de Teotihuacan. De la bibliografía acerca de los mitos prehispánicos se ha tomado únicamente

tas fuentes de información consultadas, son muy diversas. Para obtener las medidas algunos arqueólogos se han basado en vestigios de partes del monumento consideradas como originales, como por ejemplo restos de estuco todavía adheridos a maniposterías, sin tener en cuenta que también esas partes pudieron haber sufrido movimientos causados por terremotos, fallas del suelo, fallas estructurales y aun posibles reestructuraciones prehispánicas, como puede apreciarse en la Pirámide de la Luna en su actual etapa visible, por lo que hay que tomar estas medidas con reserva. Los restauradores aparentemente no han seguido un sistema apegado a la mentalidad y geometría mesoamericanas que garantice que las dimensiones actuales de los monumentos sean las que tuvieron originalmente. No obstante, para el inicio del estudio de las pirámides se han tomado las medidas propuestas por ellos. Se han revisado los cánones geométricos expuestos en Geometría mesoamericana (Margarita Martínez del Sobral, 2000) y comprobado que los procedimientos para encontrar las unidades de medida a la manera indígena que rigen las medidas y los

3

Remy Bastien, “La Pirámide del Sol en Teotihuacan”, en Eduardo Matos, La Pirámide del Sol / Teotihuacan/Antología, INAH, México, 1995, p. 214. Plataforma en U: “La rama sur está muy deteriorada a consecuencia de los edificios modernos allí levantados. Cortando en el ángulo sureste. Las ramas este y norte están mal definidas a causa del escombro que llena el espacio entre la plata-

forma y el primer cuerpo de la pirámide. Ningún tramo reconstruido” (1947). 4 Comunicación oral del ingeniero Femando Ximello Olguín.


259

En 1864 Ramón Almaraz había calcu-

ángulos de inclinación de los taludes arrojen números dentro de los parámetros presenta-

lado

dos por los estudiosos del monumento.

Pirámide del Sol y descubrió que la orienta-

las

coordenadas

Se revisaron las fuentes que hablan de la Pirámide del Sol, encontrándose que, por lo general, las más antiguas tienen pocos

ción hacia la estrella Polar no coincidía con el meridiano magnético. Proporcionó la

detalles arquitectónicos. Sin embargo, la Relación de Teotihuacan, del siglo XVI, es

medidas son aproximadamente las mismas que arrojan los cálculos al seguir los cáno-

una de las que presentan más información:

nes de la geometría mesoamericana, según

siguiente información,

geográficas

de

la

que en cuanto a

se verá más adelante. Tenían en dicho pueblo un cu muy alto en el cual avia tres descansos para poder subir a

Lado mayor de norte a sur, 232 metros, y

lo alto; en la cumbre de él estava un ydolo

de este a oeste, 224 metros; altura, 62

de piedra tosca que llamaban por nombre

metros. El tlátel que en la Pirámide de la

Tonacatecuhtli, el cual era de una piedra

Luna se encuentra en la cara austral, en ésta

tosca y muy dura toda de una pieza: tenía

se mira en la occidental. Tiene además una

tres brazas grandes de largo y otra en ancho

especie de muralla o trinchera circunvalan-

y una en gordor: estatua buelta al poniente y

do tres de sus caras, exceptuando la occi-

en un llano que se azia delante del dicho cu

dental; la muralla tiene de espesor 40 me-

estaba otro cu mas pequeño de tres estrados

tros; de altura, seis metros; los rostros no

en alto en el cual estaba otro ydolo poco

son verticales sino en talud, dejando en la

menor que el primero, llamado Mictlan-

parte superior un plano horizontal. 8

tecutli, que quiere decir señor del infierno: esta estatua buelto azia el primero asentado sobre una peña grande quebrada de una bara en cuadra en todas partes. 5 [Se conserva la ortografía original.]

En 1780 Clavijero propuso para “la base o cuerpo inferior del templo del Sol 300 varas de largo y 200 de ancho, y su altura, según la impresión de Gemelli Carrera, será de unas 67 varas”.6 5

En Remy Bastien, op. cit., p. 209. 6 Francisco Javier Clavijero, “Apoteosis del Sol y de la Luna”, en Eduardo Matos, 7

op. cit., p. 51. Remy Bastien cita a Boturini, Humboldt y Prescott, op. cit., p. 210.

8

Ramón Almaraz, citado por Remy Bastien,

op. cit., p. 211. 9 Enrique Olavarria Ferrari, “Excursion a Teotihuacan”, en Eduardo Matos, op. cit., p. 90. 10 Remy Bastien, op. cit., pp. 234-242.

Manuel Orozco y Berra, en 1880, llamó a la Pirámide Tonatiuh Itzácual y dio por buenas las medidas de Almaraz. García Cubas propone las siguientes dimensiones: “Lados norte y sur de la base, 232 m; lado este-oeste, cara austral, 220; altura tomada por la parte sur, 46 m”.9 Del número de cuerpos en la pirámide. Ha habido confusión acerca del número de

Boturini, al ver las pirámides, dijo que todavía quedaban en Teotihuacan dos altos cerros fabricados a mano, lo que indica que

cuerpos del que consta la Pirámide del Sol.

cuando él los vio la destrucción era tan grande que los edificios se podían confundir con cerros. Sin embargo, todavía alcanzó a reconocer un edificio “de cuatro altos”,

alto, infiriéndose que tenía cuatro cuerpos. Batres opina que “la Pirámide del Sol tuvo originalmente cuatro cuerpos, número que concuerda con el del apétlatl. Las dos

que iba a la cumbre en declinación. Humboldt menciona que los dos teocalis de Teotihuacan tenían cuatro asientos

caras del tercer cuerpo subían paralelamente hasta el descanso actual número cuatro”.10 Remy Bastien habla de un quinto cuerpo por considerar un descanso que tal vez nunca existió. Dice: “Quinto cuerpo: Mide 8.78 metros de altura, y tiene una sola esca-

principales, cada uno de ellos subdividido en pequeñas gradas en las que se podían distinguir todavía los descansos. Prescott añade que el recubrimiento consistía en una gruesa capa de estuco, semejante en su color rojizo a la que se encuentra en las ruinas de Palenque.7


En la Relación de Teotihuacan se habla de los tres descansos que había para subir a lo

lera de cinco metros de anchura, cuyas alfardas han sido recubiertas con argamasa por Batres”. Bastien dudó si efectivamente fueron tres o cuatro los cuerpos: “Las

observaciones

la

construido. Bastien considera que el cuarto

división de la pirámide en tres o cuatro

arquitectónicas

proponen

cuerpo, tal como hoy puede verse, es falso, y que proviene de 1905-1906,15 cuando Batres lo inventó al no entender que en ese lugar pudo haber existido un talud con su tablero,

cuerpos”. Concluye que “las divisiones de la pirámide proponen la división en tres o cuatro

cuerpos

piramidales

superpuestos”.11

Esta confusión se debe a que el tercer cuerpo presenta un hundimiento y cambio de pendiente del talud, por lo que parece como

tal como lo propone Ignacio Marquina, propuesta que esta investigación confirma.

si otro cuerpo se introdujera entre el tercero y cuarto, lo que da la apariencia de que la pirámide tuviese cinco cuerpos.

Alturas propuestas. Almaraz propone una altura para la pirámide de 62 m. Batres sostiene: “en el tercer cuerpo del costado sur,

La Pirámide del Sol presenta en la actualidad un hundimiento en el tercer cuerpo, en donde debe haber existido un tablero de caras verticales, lo que ya ha sido señalado

paramentos

verticales

hechos

de

piedra

elemento que significa atadura de años. El

unida con lodo”. “Es casi seguro que este descubrimiento aumente un cuerpo más a la Pirámide.”16 “El tercer cuerpo termina por un descanso cotado, en el ángulo suroeste, 53.06 metros, elevado 19.45 metros sobre el descanso del cuerpo anterior, cotado 33.61 metros en el mismo ángulo.”17

símbolo correspondiente puede verse claramente expresado en el Códice Nuttall, en forma parecida a una A, es decir, una figura

Bastien propone para la altura del primer cuerpo 15.5 m a partir de lo que llama nivel 0.00, mas sin indicar en dónde está

triangular con la atadura al centro.12

localizado este banco de nivel. Propone también las bases del primer y segundo cuerpos como rectangulares y las siguientes cuadradas (la investigación señala que la base menor del segundo cuerpo, que sirve de desplante del tercer cuerpo, sí es de for-

por Bastien y por Marquina. En este estudio se ha considerado la pirámide con tres cuerpos, mas el tercero zunchado por un tablero,

Cuando la pirámide estaba completa, pudo haberse apreciado una especie de pasillo que correspondería al extradés del tablero13 (si así se le puede llamar) o parte superior horizontal de dicho elemento que sobresalía como una repisa. Al ser el empotramiento del tablero la parte más vulnerable del edificio, debe haber sido lo primero en fallar y, con el paso del tiempo, pudo caerse, dejando un hueco al llevarse consigo los amarres de piedra que lo unían al núcleo de la pirámide. Este hueco, que puede

11

Ibid., pp. 219-222 y 238. 12 Códice Nuttall, editado por Zelia Nuttall, Dover Publications, Nueva York, 1975, pp. 80 y 83. 13

Se llama intradós en un arco a la cara

interna del mismo. Se le llama extrados a la cara externa. 14 Todas las citas de Bastien y de Batres aparecen en Eduardo Matos, op. cit. 15 Remy Bastien, op. cit., p. 234. “La intención -de Batres- al construir la escalera fue impedir que se descubriera el fraude; ¿quién pensaría que las lajas empotradas en las alfardas habían sido puestas por Batres? ¿Qué, el estuco y la pintura eran para dar el timo? Pero lo que no se pudo

ma cuadrada). También señala que posiblemente existió un tablero. De acuerdo con este estudio, la función del tablero sería la de marcar una

ocultar fue la inclinación del segundo plano del cuarto cuerpo, que es simplemente continuación del

importante atadura de años, el de los 676, que constituye una era cosmogónica (el número volumétrico 676 corresponde al

tercero; se olvidó pegar en una que otra parte pedazos de estuco, para que el des-

apreciarse en la actualidad, parece un pasillo que delimita otro cuerpo, originándose así la confusión acerca de cuántos cuerpos fueron.

volumen del tercer cuerpo con todo y tablero). La altura que esta investigación arroja para el tablero es de 0.52 U = 4.47 m, que concuerda con la opinión de Bastien acer-

canso falso pareciera como los demás, los cuales conservan siempre restos de

Del tablero. Hablando del tablero, Bastien dice: “Si hubo tablero sobre talud, el tablero mediría por lo menos cuatro m de altura; ¿aguantarían el peso las láminas corres-

ca de que “Si hubo tablero sobre talud, el tablero mediría por lo menos cuatro m de altura; ¿aguantarían el peso las láminas

aplanado.” (Ibid., p. 237.) 16 Leopoldo Batres, en Eduardo Matos, op.

pondientes?”.14 Esto hace pensar que en el tercer cuerpo quizá habría un talud y un ta-

correspondientes?”.18 Una reconstrucción que ignora, con razón,

blero que no pudo ser sostenido por las piedras empotradas en el barro, dejando una huella al desprenderse, como ya se ha dicho. En la actualidad parece ser parte de un cuar-

las lajas es la del arquitecto Marquina (figu-

to cuerpo que no fue convenientemente re-

Continúa Bastien:

17

cit., p. 102. Remy Bastien, op. cit.,

18

p. 236. Como se indicó en la nota 14, todas las citas de Bastien y de Batres aparecen en Eduardo Matos, op. cit.

ra 222-c, p. 249). En ella el tablero mide cosa de cuatro metros.19 19

Remy Bastien, op. cit., pp. 234-235


261

Ahora bien, ¿qué hay de la altura del tercer

ro sobre talud, 5.58 m; cuarto cuerpo, 8.78

cuerpo? Mide 19.45 metros en el ángulo

m; y la plataforma con el piso original, con

suroeste, según las cotas de Batres, pero

la que terminaba la pirámide, ha desaparecido totalmente, por lo que la altura del

en el noroeste alcanza solamente 14.28

respuesta. Se supone 66 metros de altura a

último cuerpo se refiere a su estado actual”.22 Consideró asimismo que la altura del tercer tablero y cuarto cuerpo sea de

la pirámide [las cursivas son de la autora],

28.22 m, medida que difiere de la que arro-

pero en La población del valle de Teoti-

huacan las medidas dadas para sus cinco

ja la presente investigación, de 4.16 U = 35.83 m. La altura total aquí propuesta es,

cuerpos suman 63.97 metros. Fueron toma-

efectivamente, un poco mayor: 7.8 u =

das, al parecer, en la fachada, donde las superposiciones han cambiado la elevación

67.197 m. Menciona Bastien que su construcción

del primer cuerpo.

se puede atribuir a los toltecas o a los toto-

metros; en el sureste, 13.11 metros; el promedio es de 15.61 metros. No es toda la

Hay que tener en cuenta el desnivel longitu-

nacas, lo que contradice la opinión de Orozco y Berra de que los toltecas no levantaron obras de esta clase, y sabemos que

dinal de los descansos para el desagüe, ya

ya estaban construidas cuando los toltecas

que éste se efectuaba por medio de canales.

llegaron a Tollan.

La altura absoluta de éste, sobre su base en el ángulo sureste, es de 20.80 metros.

Este desnivel, que se puede obtener siguien-

20

Ibid., pp. 238-239.

21

Ibid., pp. 219-222 y 238.

22

Ignacio Marquina, “Descripción de los edificios,” en Eduardo Matos, op. cit., p. 260. 23 Ibid., p. 260.

do los restos de estuco, no sé de cuánto es;

Un promedio muy aproximado de las medi-

no tuve medios para calcularlo. El tercer

das obtenidas para cada cuerpo: primer

cuerpo, a pesar de su altura, mayor que la

cuerpo: 16.68 metros, que aumentaron dos

del segundo, no rompía la armonía de la pi-

metros al hacerse las excavaciones; segundo

rámide. A corta y larga distancias la pers-

cuerpo: 16.07 metros; tercer cuerpo: 13.86

pectiva lo reducía a justas proporciones,

metros; tablero sobre talud: 5.58 metros;

como se puede ver cuando se suman men-

cuarto cuerpo: 8.78 metros; la plataforma

talmente el tercer y cuarto cuerpos actuales.

con el piso original, con la que terminaba

El cuarto cuerpo era el obstáculo a la exis-

la pirámide, ha desaparecido totalmente,

tencia de tableros en lo alto de los cuerpos.

por lo que la altura del último cuerpo se

Con él, reconstruido, como es acostumbra-

refiere a su estado actual. La suma de las

do hacerlo, el perfil de la pirámide se veía

alturas de estos cuerpos da una altura total

con cornisas en cada cuerpo. Ahora me

aproximada de 63 metros, que originalmen-

inclino a creer que fueron decorados con

te debe haber sido un poco mayor23 [las cur-

tableros de 2.93 m, pero no lo afirmo.20

sivas son de la autora].

En 1947 Bastien propuso para el tercer cuerpo una altura promedio de 15.61 m; un cuarto cuerpo en dos secciones, con alturas de 2 m y 3.5 m, respectivamente, y un quinto cuerpo con una altura de 8.78 m, además de una plataforma de 3.87 m de altu-

Ángulo de inclinación de los taludes de las caras de los cuerpos. Únicamente Marquina

ra. La altura total del monumento la calcula de 63.97 m a 66 m,21 y supone que hubo un sagrario.

tuvo una inclinación mayor a la actual: 40

La investigación señala que la altura de los tres cuerpos sin el sagrario es de 67.197 m = 7.8 U. En 1951 Ignacio Marquina propuso un “tercer cuerpo de 13.86 m de altura; table-


y Bastien hacen alguna referencia al ángulo de inclinación de los taludes: El talud del segundo cuerpo de la fachada grados, en lugar de 33.5. En los demás se han de encontrar diferentes inclinaciones en uno mismo. Varias medidas indican 42 y hasta 45 grados para ciertas secciones del primer cuerpo, lado oeste; pero, como ya dije, el talud ondula... Es más probable que la inclinación de 40 grados obtenida en el segundo

cuerpo fuese la de todas las caras, como lo

Diversidad de medidas. Ante esta diversidad

hizo Marquina en su reconstrucción.24

de medidas ha sido necesario valerse de la numerología, geometría y astronomía para encontrar las que sean consecuentes con el

Como se verá más adelante, la investigación indica que el talud del primer cuerpo es de 42.7°. Continúa Bastien afirmando: El cuarto cuerpo: En contraste con la pendiente de arcilla de los demás cuerpos, el perfil actual del cuarto cuerpo ofrece una combinación

de

dos

troncos

piramidales

superpuestos y de inclinación diferente. La base la constituye un tronco piramidal de dos metros promedio de altura y cuyos lados están inclinados a más de 65 grados. La segunda sección tiene mucho menor pendiente, 40 grados, y mide 3.50 metros en promedio.25

pensamiento mesoamericano, lo que equivale a encontrar las formas y medidas de las pirámides por medio de un sistema apegado a los cánones del arte prehispánico. De acuerdo con los números que arroja esta investigación, las medidas más aproximadas de la geometría de la planta de la base mayor del primer cuerpo de la pirámide son las que obtuvo el ingeniero Ramón Almaraz en 1864, cuando formaba parte de la Comisión Científica de Pachuca. Su propuesta de 224 m para los lados norte y sur de la pirámide, y 232 m para los oriente y poniente, son medidas congruentes con los cánones de la geometría mesoamericana y casi idénticas

24

Remy Bastien, op.

cit., p. 209. 25 Ibid., p. 221.

Resumen de las diversas medidas propuestas * Autor Relación de Teotihuacan Francisco Gamelli Lorenzo Boturini Francisco Javier Clavijero Alejandro de Humboldt Manuel Rivera Cambas Ramón Almaraz

Año

Altura

Ángulo

Siglo XVI 1700 1746 1780 18071811 Después de 1840 1864

Manuel Orozco y Berra Antonio García Cubas

1895

Leopoldo Batres

1906

El Imparcial

Base

1880

1906

Número de cuerpos Tres descansos o cuatro cuerpos

300 varas por lado 300 varas de largo; 200 de ancho 300 varas de largo; 200 de ancho

67 varas ** 200 varas

Cuatro cuerpos

208 m de largo

55 m

232 m de lado mayor; 224 m de lado menor Lado mayor, 232 m; lado menor, 224 m Lado mayor, 232 m; lado menor, 224 m Lado mayor, 232 m; lado menor, 220 Lado mayor, 225 m; lado menor, 219 m

62 m

Lado mayor, 253 m;

Cuatro altos

Cuatro asientos

62 m**** 62 m

Cuatro pisos

46 m

Cuatro cuerpos y tres descansos

66 m

19.45 m tercer cuerpo 95 m

220 lado menor

Manuel Gamio Remy Bastien

1922 1947

215 m por lado

64 m 66 m altura total

Altura del primer cuerpo, 15.55 m Altura del cuarto cuerpo, 2 m Altura de la segunda sección, 3.5 m Altura del quinto cuerpo, 8.78 m

Cuarto cuerpo, primera sección: pendiente del talud, más de 65° Segunda sección, 40°

Cinco cuerpos

* Eduardo Matos, op. cit. Todos los datos de este cuadro están tomados de esa antología. ** Francisco Javier Clavijero, op. cit., p. 51. *** Roberto Gallegos Ruiz (comp.), Antología de documentos para la historia de la arqueología de Teotihuacan, inah, México, 1997, p. 122. **** Ramón Almaraz, citado por Remy Bastien, op. cit., p. 211.

X. La Pirámide del Sol en Teotihuacan 263

Porque el monu-

a las aquí calculadas: 224 m para los lados

de un prisma recto rectángulo

mento se deteriora

norte y sur, y 232.615 m para los oriente y

pirámides y cuatro chumenes (ver figura X. 1.,

poniente.

“El prisma envolvente virtual del monumento. El chumeng y el chutong. Nomenclatura para la aplicación de la fórmula”, y figura

El marco teórico

X.5, “Descomposición de un prisma recto rector cuya base es un rectángulo Σ”).*

con el paso del tiempo, luego entonces habrá que considerai· más próximas a

(prr)

en dos

las medidas origi-

Forma y dimensiones de los cuerpos que com-

A pesar de que la verdadera traza de la

nales aquellas que sean más antiguas.

ponen la Pirámide del Sol en Teotihuacan. Se comienza por estudiar la forma y proporción de la base de la pirámide valiéndo-

envolvente virtual de las pirámides mexicanas no tiene forma piramidal (ni de pirámide truncada), se les seguirá dejando a los

se de las medidas que los estudiosos hayan

monumentos el nombre de pirámides por

hecho hasta el presente, tomando en consideración aquellas que no por ser antiguas

tradición, pero publicando en cursivas la palabra para recordar que no lo son.

deban ser desechadas, sino al contrario, porque el monumento se deteriora con el paso del tiempo, luego entonces habrá que considerar más próximas a las medidas ori-

La exactitud de las medidas de Almaraz para la planta del monumento quedó confirmada al coincidir exactamente con la de este estudio en las caras norte y sur: 224 m.

ginales aquellas que sean más antiguas. La otra razón, porque los levantamientos antiguos son, por lo general, más precisos que

propone una medida de 232 m, que difiere de la que arroja la investigación de 232.615

los actuales, a pesar de que ahora se cuen-

m por sólo 0.615 m. Ya en Geometría meso-

ta con mejores instrumentos de medición y de dibujo. Las medidas dadas por Almaraz en el siglo XIX para la planta del monumen-

americana (Margarita Martínez del Sobral, 2000) se habían propuesto estas medidas.

to, de acuerdo con los cánones de la geometría mesoamericana aplicados al cálculo de las dimensiones de la pirámide, son las más exactas. Esta investigación señala que las bases de los primeros cuerpos de las pirámides estudiadas no tienen forma cuadrada sino

Medidas de la base de la pirámide en unidades a la manera indígena. Uno de los grandes problemas de la filosofía de la Antigüedad

de rectángulo Σ, uno de los rectángulos básicos de la geometría mesoamericana, que por definición tiene una unidad de dife-

En este capítulo las figuras mencionadas se publican de la página 281 a la 287. (Nota del editor.) 26 Para la definición de chumeng y chutong, ver “Glosario de figuras, términos geométricos...”.

264

En las caras oriente y poniente Almaraz

fue la existencia de los números irracionales. Los griegos de la escuela de Pitágoras, al encontrarse con la dificultad de explicar estos números, prefirieron mantener silencio, al grado de convertirlos en secreto de su hermandad. Pero la irraciona-

rencia entre las medidas de sus lados (Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana).

lidad finalmente no podía ser eludida, puesto que se encontraba aun dentro de la simplicidad de un cuadrado. El cuadrado es una figura de las más

Habiendo considerado que la forma de la envolvente virtual del monumento es piramidal, y hecho sin éxito innumerables intentos para encontrar los volúmenes

simples, por tener cuatro lados iguales paralelos dos a dos; cuatro ángulos iguales (90°), además de dos diagonales que no son ejes de crecimiento armónico. Pero en

correctos de los cuerpos tridimensionales envolventes virtuales del monumento, se llegó a la conclusión de que la verdadera

la razón o proporción entre la diagonal y uno de los lados aparece un número irracional: la raíz cuadrada de dos (√2 =

forma de la envolvente por talud de las pirámides no era una pirámide, sino un prisma truncado en forma de artesa que recibe el nombre de chutong.26 Éste deriva a su vez del chumeng o prisma resultante de la partición

1.41421356237...). Aritméticamente este número tiene tantos decimales que parece no tener fin, aunque geométricamente corres-


ponde a un punto bien determinado de una recta. Lo mismo sucede con la constante ϕ,

cuyo valor es indeterminado (1.618...), pero que

geométricamente

queda

perfectamente

determinado en una recta que se haya dividido en media y extrema razón, en relación de proporción áurea.

Éste no fue un problema privativo de los griegos. Los mesoamericanos también

232.615 m = 27 U de lado mayor y 224 m = 26 U, lado menor. La diferencia de 232.615 224 = 8.615 m, que cabe exactamente en el lado mayor 27 veces y en el lado menor, 26, dándole a la base una forma de rectángulo Σ 27 x 26 M 1.038... Se confirma: 232.615 m /

se tropezaron con él. Prueba de ello es el empleo en sus diseños de figuras geométri-

8.615 = 27 u en el lado mayor de la base mayor y 224 / 8.615 = 26 U en el lado menor de la base mayor. Por lo tanto la unidad

cas tales como el rectángulo ϕ y sus deriva-

correcta para el trazo de la Pirámide del Sol

dos, además de los rectángulos básicos √2, √3, √4 y √5.27

es U = 8.615 m. En la diferencia se encuentra la unidad. La base de la Pirámide del Sol es un rec-

Dentro del sistema de diseño mesoamericano la manera gráfica de resolver el problema fue encontrando una unidad básica y subdividiéndola en otras unidades más pequeñas, submúltiplos de la ini-

tángulo Σ 27 x 26, cuyo eje mayor está orientado con una desviación de aproximadamente 17° al este del norte astronómico.

cial. Así fue el sistema empleado en diseños tan complejos como el de la Pirámide de la Luna, por ejemplo, en donde apare-

existieron 27 ermitas. Tanto la desviación como el número de ermitas, al multiplicarse por la superficie de la base de la Pirámide

cen números indeterminados y fraccionarios, tales como ϕ = 1.618 o 27.3 (el ciclo sidéreo lunar) o 29.5308 (su ciclo sinódico).

del Sol (702 u2), nos conduce a dos importantes números: 11 960 y 18 980. El primero corresponde al gran mínimo común múltiplo (mcm) lunar y el segundo al ciclo en

En el caso de la Pirámide del Sol la base es un rectángulo Σ 27 x 26, cuyo módulo M = 1.0384615... (27 / 26 = 1.0384615...). Posi-

Por otro lado, en la Calle de los Muertos

números

702 = 18 980, la mitad del ciclo de 37 960 días del ciclo de 52 años.28 Los cánones de la geometría mesoamericana señalan que los lados de la pirámide

φ o π, deben haber hecho lo mismo para

medida de los lados de la base mayor del

convertirlos a enteros, pero además con ellos se hacían aproximaciones de acuerdo con ciertos parámetros: para φ el parámetro era de 1.6 a 1.625 y para π, de 3 a 3.25.

primer cuerpo (chutong) de la pirámide.30

para

no

trabajar

con

En todas las pirámides estudiadas la unidad de medida o proporción se encuentra en la diferencia de longitud de los lados del rectángulo Σ, que es la forma de la base. En la Pirámide del Sol la base mide 27 U y 26 U, por lo que en su diferencia se encuentra la unidad, confirmando que se trata de un rectángulo Σ: (27 U - 26 U = 1 U; 232.615 m - 224 m = 8.615 m, por lo que U = 8.615 m para esta pirámide). Para la Pirámide del Sol las medidas consideradas en esta investigación son

deben ser divisibles exactamente entre la unidad U, y aquí se cumple esta condición;29 por lo tanto queda confirmada la

Área de la base. El área de la base es 26 U x 27 U = 702 U2. El análisis del 7 020: (702 = 7 020 / 10), indica que tiene como factores el 585, ciclo sinódico de Venus, y el 260 del tonalpohualli (7 020 = 12 x 585 = 27 x 260). De acuerdo con la igualdad anterior, las medidas de la base de la pirámide no fueron escogidas al azar. A través del 7 020 se aseguraban los arquitectos proyectistas que tanto el ciclo del tonalpohualli como el ciclo sinódico de Venus estarían incluidos en el volumen de la pirámide. El número 7 020 se puede dividir entre 27 para obtener el tonalpohualli, en cuyo caso el 27 refleja la

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000, pp. 35-57.

días del medio siglo mesoamericano: 27 x 26 = 702, 17.037 x 702 = 11 960 y 27.037 x

fraccionarios los mesoamericanos los multiplicaban por 10, 100 o 1 000, según el caso, es decir, hacían a cada unidad 10, 100 o 1 000 veces más pequeña y trabajaban con ella sin perder la proporción. En el caso de números irracionales, como las constantes

blemente

27

28

El número 27 corresponde al ciclo dracónico lunar, que se ajustaba a 27 días con el fin de coincidir con otros ciclos. El número 17 rara vez se encuentra exacto. Por lo general es ligeramente mayor, también para obtener coincidencia con

otros ciclos. Posteriormente deberían hacerse los ajustes necesarios para no desfasar el calendario. 29 La condición es que la unidad de medida o proporción a la manera indígena se encuentre en la diferencia de longitud de los lados del rectángulo. 30 Ver el “Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas” para la definición de chumeng y chutong.


265

Luna en su ciclo dracónico ajustado a 27

verificado que fuera el correcto mediante

días, siendo el 27 un factor común dentro de numerosas operaciones lunares. Gumersindo Mendoza observó que fueron 27 las ermitas que se encontraban a lo largo de la Calzada de los Muertos para llegar a la

el sistema de ensayo y error. Después de

Pirámide de la Luna en Teotihuacan,31 dato que

demuestra

efectivamente

el

carácter

lunar del 27.

innumerables ensayos se llegó a la conclusión de que solamente con un ángulo θ = 42.709° (cuya tangente = 0.923) se podría llegar a un NV que tuviera como factores el 260 y NSA o NSC (números de significados astronómico y calendárico)33 satisfactorios, tanto para el volumen del PRR (prisma recto rectángulo) como para el

La geometría dinámica

NV

del primer

cuerpo. Se sabe que el ángulo buscado es correcto cuando el NV del cuerpo que determina tiene como factor obligado el 260 de

31

El trazo de la base de la Pirámide del Sol a partir del círculo.32 De acuerdo con la geo-

manera directa o indirecta, además de otros factores que sean NSA o NSC. Es condición

metría dinámica, para el trazo de la base

sine qua non de los cánones del diseño mesoamericano para dar por bueno un NV.

mayor del primer cuerpo de la Pirámide del Sol se toma un círculo cualquiera, se divide su diámetro en 38 partes iguales y se Eduardo Matos, op.

cit., pp. 79-80. 32 Para el trazo a partir del círculo de las bases de los primeros cuerpos de las pirámides mexicanas estudiadas valiéndose de la geometría dinámica ver figura II.1, “Geometría dinámica: generación del lado menor y del lado mayor de la base de las pirámides a partir de un círculo”. Para el trazo particular de la Pirámide del Sol ver figura X.2a), “Trazo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan” y figura X.2b), “Planta de la pirámide. Dimensiones de las bases de los cuerpos de la pirámide ". 33 Ver el significado de nsa, NSC y NSG en el capítulo VII, sobre las esculturas de pequeño formato, en este libro. 34 Otros prismas envolventes pueden ser, por ejemplo, los que definen la altura de cada uno de ellos por medio del ángulo del segundo o del tercer cuerpo.

266

numeran. Por los puntos 6 y 32 se trazan perpendiculares al diámetro. Se prolongan las perpendiculares y donde corten el círculo se tendrán los puntos D, A, E, H, que determinan el rectángulo Σ DAEH, 27 u x 26 U, que es el de la base del monumento (ver figuras II. 1 y X.2, “Dimensiones de las bases de los cuerpos de la Pirámide del Sol”). Siendo U = 8.615 m, los lados oriente y poniente medirán 27 x 8.615 = 232.605 m y los lados norte y sur, 26 x 8.615 m = 223.99 ≈ 224 m. Una vez trazada en el plano horizontal la base mayor del primer cuerpo como rectángulo Σ 27 u x 26 U, se trazan las proyecciones en planta de las aristas del chumeng DAEH-IJ, envolvente virtual de la pirámide, que a partir de los vértices en el plano hori-

Los taludes del primer cuerpo de la pirámide corresponden a las diagonales del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la pirámide. La pendiente del primer cuerpo es también la del chumeng, es decir que la inclinación del talud corresponde a un ángulo θ = 42.709°. Este ángulo determina la altura del PRR envolvente virtual y rector de la geometría del monumento y por lo tanto importantísimo (ver figura X.3, “Caras del prisma recto rectángulo; retícula o enrejado para su trazo”).

El prisma recto rectángulo rector de la Pirámide del Sol / Su base y altura / Obtención y análisis de su NV Procedimiento para encontrar otras medidas

zontal o planta van a 45° hacia el centro de la base, llegándose a cortar no en un punto sino en una recta: I-J. En ésta queda consignada la unidad U: 8.615 m.

de la pirámide. Pueden existir varios prismas envolventes por talud (el talud del primer cuerpo corresponde a las diagonales de las caras del PRR envolvente virtual) en

Habiendo ya encontrado que la base del monumento tiene forma de un rectángulo Σ 27 x 26, se procede a encontrar la inclinación del talud del primer cuerpo, para lo que se tomaron inicialmente los diversos ángulos propuestos por los arqueólogos.

la Pirámide del Sol. Aquí se presenta solamente el NV y el correspondiente análisis de la envolvente virtual de toda la pirámide tomando el ángulo del talud del primer cuerpo, que es el que rige la geometría del monumento34 (ver figura X.3, “Caras del pris-

Para obtener el volumen del prisma recto rector, como para el NV (número volumétrico) del primer cuerpo, cada ángulo propuesto por los arqueólogos fue probado y

ma recto rectángulo...”). Para las cuatro caras de un cuerpo el ángulo del talud es igual; sin embargo, el de cada cuerpo será diferente en cada uno. Se


exceptúa el segundo cuerpo de la pirámi-

tenga por base un rectángulo Σ), cuatro chu-

De acuerdo con

de, ya que habrá un cambio en el ángulo del talud de la cara principal, según se verá más adelante.

menes y dos pirámides (ver figura X.5, “Descomposición de un prisma recto rector cuya base es un rectángulo Σ”).

la geometría dinámica, para encontrar las

De acuerdo con la geometría dinámica,

También se pueden obtener un prisma

demás medidas

para encontrar las demás medidas de la pirámide es necesario encontrar primero las

unidad y seis pirámides Al obtener estos cuerpos, el cálculo de sus volúmenes se sim-

de la pirámide es necesario encon-

medidas de la planta, que es la misma que la de su PRR por talud, envolvente virtual de la Pirámide del Sol (ver figura X.4, “Caras

plifica; tal vez así fue como lo calcularon los matemáticos mesoamericanos. Los cuerpos que se puede obtener, como se muestra en

trar primero las medidas de la planta, que es la

del prisma recto rectángulo, rector del trazo

la figura X.5, son a) el prisma recto rectán-

misma que la de

por talud, envolvente virtual de la Pirámide del Sol”).

gulo Σ, ABCD-EFGH envolvente, cuyas diagonales son las aristas del (doble) chumeng, así como en b) el prisma unidad; c) el pris-

su PRR por talud.

Habiendo obtenido las medidas necesarias, se procede a calcular el volumen de cada cuerpo. El número volumétrico (nv) o volumen

que

se

obtenga

necesariamente

deberá ser múltiplo directo o indirecto del tonalpohualli. Si se fracasara con el ángulo propuesto en la obtención de un NSA o NSC que no fuese múltiplo directo o indirecto del tonalpohualli, se buscará otro que satisfaga esa condición, puesto que es uno de los cánones del diseño de estos monumen-

ma recto rectángulo dividido en cuatro chumenes y dos pirámides; d) dos de los cuatro chumenes en la división del prisma recto rectángulo; e) las dos pirámides; f) Los cuatro chumenes; g) el chumeng con la unidad de medida U en la arista o lomo; h) el chutong en forma de artesa que corresponde a la forma envolvente virtual de la pirámide; i) el prisma recto rectángulo, ABCD-EFGH, envolvente virtual de la pirámide, que contiene el chumeng IJ-BFGC y el chutong AEHD-

tos. Para lograrlo es más conveniente variar la inclinación o ángulo del talud en vez de la altura del cuerpo, ya que en las medidas en

A'E'H'D'.

unidades o la manera indígena de las alturas de los cuerpos es donde se encuentran los factores que permitan obtener los NV

Obtención del prisma recto rectángulo (PRR) envolvente virtual de la pirámide. Una vez determinadas las medidas de la base y pro-

deseados, que a su vez deberán ser NSA o NSC múltiplos o submúltiplos de los nv. Por

puesto el ángulo de inclinación del talud, se procede a encontrar las medidas del PRR envolvente virtual del monumento y de su proyección vertical. Para ello siempre se

lo tanto es preferible variar el ángulo, cuya medida en este caso no tiene significado ni astronómico ni geográfico, que no la altura, que sí lo tiene. Pero será necesario que el ángulo propuesto esté siempre dentro de los límites impuestos por la retícula o enrejado -si así puede llamársele-, fundamento del diseño rector del monumento, lo cual se verá más adelante, así como dentro de

deberá trabajar con el lado menor de la base mayor de la pirámide para obtener el levantamiento correcto del PRR, pues si se trabaja con el lado mayor de la base mayor se

los parámetros dados por los arqueólogos y estudiosos de estos monumentos que ya han sido citados (ver figura X.4, “Caras del

la altura y el volumen del prisma recto rector envolvente virtual de la pirámide y de su proyección vertical. Por trigonometría me-

prisma recto rectángulo...”).

diante el ángulo θ = 42.709° se encuentra la

Fracción de un prisma recto rectángulo Σ cualquiera. Empleando la geometría dinámica se pueden obtener, mediante la fracción de un PRR Σ (este prisma es aquel que

obtendrá un falso PRR. Una vez conocidas las dimensiones de la base y el ángulo del talud, se puede calcular

altura del PRR, que en este caso es H = 24 U (H = 26 U x tangente 42.709° = 26 x 0.92306... = 23.999 ≈ 24 u) (ver figura X.3). La altura del prisma se puede encontrar también gráficamente colocando el ángulo


267

El estudio de la

Pirámide del Sol se ha empezado por la descripción y análisis del volumen del PRR,

rector

del diseño

de la pirámide.

de 42.709° a uno y otro extremos del lado menor de la base mayor del primer cuerpo de la pirámide y prolongándolo hasta que sus

a la misma altura en que se cortan las dia-

lados corten las dos líneas rectas perpendiculares a la base, que se habrán colocado previamente en los extremos. En los puntos de

cuerpo. La arista I-J es la unidad U (ver figura X.3). Así dejaron en el trazo de la pirámide constancia de la unidad U empleada en el

corte se encontrará la altura H. Una vez determinadas la forma y di-

diseño. Si en el lado mayor de la base se conti-

mensiones de la base, y el ángulo Θ de incli-

nuaran los lados de los ángulos hasta cor-

nación de las caras del primer cuerpo, se

tar las perpendiculares de los extremos, se

trazan sobre los lados menores de la base los rectángulos rectores por talud, que son

tendría la altura de un falso PRR, que no puede existir, pues tendría su parte central

gonales del rectángulo rector por talud asentado sobre la base menor del primer

los envolventes de las caras norte y sur del

en dos dimensiones, lo que es imposible en

PRR. La altura de estos rectángulos se en-

una figura tridimensional.

cuentra trazando el ángulo de inclinación del talud del primer cuerpo (42.709°), mismo que se coloca en los extremos del lado

Obtención y análisis del NV

menor de la base mayor del primer cuerpo. Se prolongan sus lados hasta que se crucen

del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la pirámide

en el eje central del monumento o punto medio 0. Se continúan prolongando hasta que corten las perpendiculares (previamente trazadas) cuyos pies se encuentren en los

Conocida ya la altura H se tienen las tres dimensiones del PRR y se procede a calcular su volumen.

extremos de la base. Hasta allí llegará la altura del rectángulo correspondiente a la cara sobre el lado menor de la base mayor del pri-

Base: lados mayores, oriente y poniente = a = 27 U. Lados menores norte y

mer cuerpo de la pirámide (ver figura X.2 a). En el prisma recto rectángulo dos de sus caras paralelas, ABFE y DCGH, son cada

sur = / = 26 U. Ángulo de inclinación de los taludes del primer cuerpo, Θ = 42.709°.

una un rectángulo en el plano vertical. Ambos tienen su base en el lado menor de la pirámide (26 u) (ver figura X.3). Las diagonales DG y CH del rectángulo se cortan

Altura: Tangente 42.709° = 0.9230. Altura = 26 x 0.9230 = 23.998 ≈ 24 U. Fórmula del volumen del prisma: V = a x b xh.

en el punto medio (H / 2 = 12 u), correspondiente a la media altura del prisma recto rectángulo envolvente ABCD-EFGH. Las otras

V=

dos caras paralelas del prisma son cada una un rectángulo, el AEHD y el BFGC en el plano vertical, que tienen su base en el lado mayor de la base de la pirámide. Las diagonales de esos rectángulos (y de estas caras del prisma), al igual que las de las otras dos caras, siguen el talud del primer cuerpo del

V

27 U x 26 U x 24 U = 16 848 U3. = 16 848 u 3 (ver cuadro del número 16 848).

En el NV del PRR envolvente virtual del monumento se encuentran NSA, como el del ciclo sinódico y de tránsitos de Venus. Para lograr la coincidencia con el tonalpohualli habrá que multiplicar el NV por 20. Las coincidencias de ciclos son 16 848 x 20 /

monumento (Θ = 42.709°). Se hace hincapié en que las diagonales de la cara del rectángulo sobre el lado mayor de la base mayor no se cortan en un punto (como sucede en el

468 = 360, el año civil o ajustado; el medio

trazo de las diagonales de la cara del rectángulo sobre la cara del lado menor de la base mayor), sino en una arista I-J, situada

siglo y el siglo, de 52 y 104 años, el medio año de eclipses de 173.33 días y el tlalpilli de 13 años.


1 296 = 260, un tonalpohualli; 16 848 / 144 = 117, el ciclo sinódico de Mercurio; 168 480 / 288 = 585, el ciclo sinódico de Venus; 168 480 /

Volumen del PRR envolvente virtual de la pirámide Cuadro del número 16 848 Número

Ciclo (días, años) Tonalpohualli, 260

Astro

336 960 336 960

Sinódico, 585 Año ajustado a 360

Venus Sol

336 960

Medio año de eclipses, 173.33

SolLuna

336 960 16 848 16 848

Sinódico, 780 Sinódico, 117 Dracónico ajustado, 27

Marte Mercurio Luna

432 144 624

16 848

Medio siglo, 52

Sol

324

16 848 16 848

Siglo, 104 Tlalpilli, 13

Sol Sol

162 1 296

16 848 x 20 = 336 960*

Sol


576 936 1 944

Observaciones 1 296 = 4 x 324; 324 es el número de unidades del lado menor del viejo templo de Quetzalcóatl 576 = 4x 144 936, décima parte del thix maya para predecir eclipses 1 944 = 4 x 486; 486 es el número de años del gran ciclo de tránsitos de Venus 432= 16 x 27 144, milésima parte de un baktún 624 = 2 x 312, número de Chalchihuicueye o tres siglos mesoamericanos 324 = número de unidades del lado menor del viejo templo de Quetzalcóatl 162 = 2 x 81 1 296 = 362

Para obtener un número volumétrico que contenga al tonalpohualli, el volumen 16 848 se deberá multiplicar por 20, recurso que he seguido a lo largo de este estudio.

Siendo el NV obtenido múltiplo del 260

actual del edificio; la excepción se puede

de manera indirecta, que se puede descom-

presentar en la base de los cuerpos, en donde los materiales, por deslizamiento, se podrán haber acumulado con el paso del tiempo, por lo que el material derrumbado al nivel de la base podría salir fuera de la

poner en factores que son NSA o NSC, se habrá encontrado el PRR correcto y por ende la pendiente de los taludes de las caras del primer cuerpo del monumento. De no haber sido así, se debería buscar otra pendiente (otro ángulo en el talud) hasta encontrar esas condiciones, ya que éste es uno de los cánones estrictos del diseño mesoamericano. Habiendo encontrado el PRR envolvente virtual correcto, se procede a encontrar las formas y dimensiones de los demás cuerpos.

Obtención y análisis del NV del chumeng, envolvente virtual de la pirámide En el estudio de la pirámide es importante no perder de vista los datos de campo proporcionados por los arqueólogos, así como comparar la línea envolvente del resultado final del diseño del monumento con la línea envolvente del perfil de la ruina señalado en los levantamientos. La línea propuesta como envolvente de los cuerpos del monumento siempre deberá ser mayor que la

línea envolvente propuesta. El estudio de la Pirámide del Sol se ha empezado por la descripción y análisis del volumen del PRR, rector del diseño de la pirámide, porque de alguna manera se tenía que comenzar a explicar el origen del diseño de ésta. Pero se presenta el dilema: ¿qué fue primero, el prisma rector o el chumeng? De acuerdo con la geometría dinámica, se propone que primero fue el PRR, que puede fraccionarse en dos pirámides y cuatro chumenes. Uno de ellos es el chumeng envolvente virtual de la pirámide. (Ver el “Glosario de figuras...” y las figuras X.5, “Descomposición de un prisma recto rector cuya base es un rectángulo Σ / El chumeng BFGC-IJ y el chutong AEHD-A'E'H'D'” y X.l, “El prisma envolvente virtual del monumento / El chumeng y el chutong / Nomenclatura para la aplicación de la fórmula”.) No es casual que los lados del rectángulo Σ, que es la base de la Pirámide del Sol,


269

Será necesario

midan 26 U y 27 U. La numerología indica

chumeng es igual a 0, el tercer término de la

establecer un

que en el cuadrado de 26 está implícita la

ecuación se anula, quedando la fórmula del

enrejado (si es

volumen del chumeng V = H / 6 [ι (2a + a'] .

mársele) sobre el

era cosmogónica solar de 676 años (26 x 26 = 676). En el cuadrado de 27: (272 = 729),* está implícita la constante lunar 81: (729 / 9 =

lado menor de la

81), además de su ciclo dracónico ajustado

que así puede lla-

(Ver figura X.l.) Datos para la obtención del volumen del chumeng envolvente virtual de la pirámide

primer cuerpo de

a 27 días (729 / 27 = 27). Al introducir estos

la pirámide para

medidas de la base de la pirámide, los dise-

ι = 26 u

proceder a en-

ñadores se aseguraban de que el NV del primer cuerpo estuviera relacionado con el Sol y con la Luna. Éstos eran los cuerpos celes-

a'= 1 u ι' = 0 Ángulo θ = 42.709°; H = 2 4 ; H / 2 = h =

tes que gobernaban el calendario y eran honrados al estar en la base de la pirámide. Al multiplicar 26 x 27 x 10 = 7 020, se obser-

12 u V = 12 / 6 [26 ( 2 x 27 + 1 )] = V = 2 860 u3

va que también en este número está implí-

El volumen 2 860 está relacionado con

cito el 585, ciclo sinódico de Venus, planeta que también regía el calendario (7 020 /

el medio siglo mesoamericano y con el to-

base mayor del

contrar las medidas del resto del monumento.

números

en

a = 27 u

las

12 = 585). Fórmula y nomenclatura para obtener el volumen de cualquier cuerpo tridimensional

nalpohualli: 2 860 / 55 = 52 y 2 860 / 11 = 260. Números recurrentes: 5, 11,13, 52, 55, 143 y 260. La recurrencia del 11 en el 55: (11 x 5 = 55), y en el 143: (11 x 13 = 143), parece indicar eclipses.

en forma de artesa o chutong y la del chumeng del que proviene. Esta fórmula también se utilizó para encontrar el volumen

Si se multiplica 2 860 x 20 = 57 200, que es divisible entre 143, número que se encuentra como factor del volumen del

del basamento piramidal dibujado en la pri-

prisma recto rector por talud de basamen-

mera página del Códice Fejérváry-Mayer.

to de la pirámide en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer. También 57 200 está en la rueda de números de fundamental 11, lo que sugiere eclipses, y también en la rueda del 13, que lo hace del sistema solar. Además, 2 860 - 260 = 2 600, 10

Fórmula del chutong: V = H / 6 [ι (2a + aj + ι'(2a + a)] Nomenclatura Lado mayor de la base mayor = o Lado menor de la base mayor = ι Lado mayor de la base menor = a' Lado menor de la base menor = ι'

tonalpohuallis. Otro análisis indica que en el 2 860 se encuentra implícita la desviación del eje

Altura H / 2 = h

mayor de la pirámide de Teotihuacan, así

La nomenclatura es igual para todos los cuerpos de las pirámides. Dado que ι' en el

como el diámetro en unidades (84 a la manera indígena) del calendario azteca: 2 860 / (6 x 28) = 17.02; 2 860 / (2 x 17.02) = 84.

Volumen del chumeng envolvente virtual de la pirámide (v = 2 860 u3 ) Cuadro del número 2 860 * Una cifra junto a otras con paréntesis no indica necesariamente multiplicación. (Nota del editor.)

Número

2 860 2 860 2 860


Ciclo

Tonalpohualli, 260 Medio siglo, 52 Tlalpilli, 13

Astro Sol Sol Sol

Número de ciclos

Factorizaciones 11

55 220

11 = 1 x 11 55 = 5 x 11

220 = 2 x 1 1 x 1 0

Obtención y análisis

Empleo de un enrejado en el trazo de la pirá-

del NV del primer cuerpo de la pirámide o chutong

mide. Será necesario establecer un enrejado (si es que así puede llamársele) sobre el lado menor de la base mayor del primer cuerpo

El primer cuerpo de la pirámide está com-

de la pirámide para proceder a encontrar

puesto por dos bases: una mayor desplantada sobre el suelo y otra menor o superior desde donde se desplanta el segundo cuerpo.

las medidas del resto del monumento (ver figuras X.4 y X.6).

La fachada principal mira hacia el poniente y la escalera en esa cara es la vía de descenso del Sol hacia el inframundo. Bastien dice que

Obtención de las alturas de los cuerpos. Por medio de la geometría dinámica se obtienen

“Su base no es cuadrada. Existe una diferen-

las alturas de los cuerpos de la pirámide: se

dos tlalpillis36 que tomados en números absolutos representan la mitad y cuarta parte del medio siglo y siglo mesoamericanos,

divide el lado mayor de la base (caras oriente y poniente = 27 u) en 54 nuevas unidades u (u = 0.5 u). Convertidas al sistema métrico se tiene que si U = 8.615 m, u = 4.307 m. En el lado menor de la base deberán caber 52 u, ya que por construcción hay una unidad U de diferencia en la medida de los lados. Esta división de las bases en unidades se emplea para obtener las alturas y bases de los demás cuerpos, así como para encontrar sus volúmenes y las dimensiones de los pasi-

respectivamente, además de ser la décima parte del ciclo del tonalpohualli. El número 27 (longitud del lado mayor de la base

llos. Para efectos de este estudio se han considerado para toda la pirámide tres cuerpos (el tercero como uno solo, con un table-

mayor del primer cuerpo en unidades a la manera indígena) indica el ciclo dracónico lunar ajustado, y tiene como factores el 9 y

ro colocado a la mitad de la altura) y un sagrario. Se propone que el tercer cuerpo esté zunchado por un tablero que forma parte de su volumen.

cia de unos seis metros entre su eje este-oeste y el del norte-sur, diferencia sin duda intencional si se considera la idoneidad de los constructores en materia de geometría”.35 El número 26 (longitud del lado menor de la base mayor del primer cuerpo en unidades a la manera indígena) corresponde a

el 3; 3 7 de hecho es número solar.38

33,

donde el

3

es un

35

El 27 exacto (que sustituye ya ajustado al ciclo dracónico de la Luna) es factor de su ciclo metónico de 6 939 días (6 939 = 27 x 257). En este caso 257 es solamente un número multiplicador. El ciclo metónico es el lapso necesario para que la Luna llena regrese a un mismo lugar en una fecha idéntica del año trópico. El 27 es igual a 3 3 , lo que indica que se puede relacionar con los ciclos sinódicos de Marte y de los planetas inferiores, todos divisibles entre 3. 39 Son números lunares el (su ciclo sidéreo) y el 81 (ambos divisibles entre 3), constante lunar y factor del MCM 11 960, respectivamente, pudiéndose así relacionar los ciclos sinódicos de Mercurio, Venus y Marte a través del 3 como factor común 27.3

(117 / 3 = 39; 585 / 3 = 5 x 39; 780 / 3 = 260; 273 / 3 = 91 (81 x 5)

y

81 / 3 = 27).

Por otro lado, 11

= 29.5308, ciclo sinódico

lunar).40

960 /

Remy Bastien, op. cit., p. 232. Un tlalpilli es un periodo calendárico de 13 años. 37 Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura 36

Económica, México, 1991, p. 95; 270 = 27 x 10. El 270, en días, corresponde a nueve lunas llenas o 10 pasos por el nodo. 38 Se encontró arriba de la pirámide un ídolo de 3 x 1 x 1 varas. Esto quiere decir que la proporción del ídolo era de 1 a 3, es decir que mediante esta escultura se daba culto al 3 como número solar.“Tenían en dicho pueblo un cu muy alto en el cual avia tres descansos para poder subir a lo alto; en la cumbre de él estava un ydolo de piedra tosca que llamaban por nombre Tonacatecuhtli, el cual era de una piedra tosca y muy dura toda de una pieza: tenía tres brazas grandes de largo y otra en ancho y una en gordor: estatua buelta al poniente y en un llano que se azia delante del dicho cu estaba otro cu mas pequeño de tres estrados en alto en el cual estaba otro ydolo poco menor que el primero, llamado Mictlantecutli, que quiere decir señor del infierno: esta estatua buelto azia el primero asentado sobre una peña grande quebrada de una bara en cuadra en todas partes”. (“Relación de Tequizistlán y su partido”, en René Acuña (comp.), Relaciones geográficas del siglo XVI, UNAM, México, 1986, vol. II, pp. 235-236.) Ver Remy Bastien, op. cit., p. 236. Son tres las piedras que rodean el fuego en las cocinas indígenas. Sobre ellas se pone el comal. 39 Los planetas que se pueden ver a simple vista: Mercurio, 117 / 3 = 39; Venus, 585 / 3 = 195; Marte, 780 / 3 = 260; Júpiter, 399 / 3 = 133; un Sol de 360 / 3 = 120. 40 Tres eran las piedras que se utilizaban para sostener los comales sobre el fuego, por lo que el 3 se asocia con este elemento. Son tres círculos los que forman la nariz del dios Sol en el calendario azteca o Piedra del Sol. El fuego y el Sol también se asocian por su luminosidad y calor.


271

El número 1 092

Sobre las caras oriente y poniente del

está aproximada -

monumento se trazan los rectángulos correspondientes a las caras del prisma recto rector. Sus diagonales estarán en un ángu-

mente en relación de proporción

cosmogónica

lo de 42.709° con respecto a la base. En las caras norte y sur, al trazar las diagonales, se observa que se cruzan en el punto medio a una altura de 12 u de la base. En las caras

( 1 092 / 676 = 1.615384).

oriente y poniente se aprecia que las diagonales no se cortan en el punto medio, sino

áurea ron el 676, que es la duración en años de una era

en dos puntos I-J que están a l u d e distancia uno de otro, y a la altura del punto medio, 12 U. Allí queda marcada la unidad de medida que rige todo el monumento.

mos para expresar los ciclos y sus coincidencias entre sí y con el tonalpohualli (ver cuadro del número 1 092 y el número 1 092 en el apéndice “Números”). El número volumétrico 1 092 aparece por primera vez en una máscara con incisiones de la cultura olmeca. La máscara proviene de La Venta, Tabasco. Está fecha-

en 54 partes iguales (27 U x 2 = 54 U), se to-

del Sol, de manera indirecta al multiplicar-

man los puntos 4 y 50, y por ellos se trazan rectas paralelas perpendiculares a la base,

lo por 5, se relaciona con el tonalpohualli: 1 092 x 5 = 5 460; 5 460 / 21 = 260. Directa-

mismas que cortarán a las diagonales de las

mente se relaciona con el ciclo del Sol del inframundo de 364 días y con el ciclo lunar de 28: (364 x 3 = 1 092 = 28 x 39). El número 1 092 está aproximadamen-

una altura de 1.82 y se obtiene el lado mayor de la base menor del primer cuerpo (caras oriente y poniente). Se unen asimismo los puntos 4 y 48 a la misma altura de 1.82 u y se obtiene el lado menor de la base menor del primer cuerpo (caras norte y sur). El ángulo de inclinación del talud es Θ = 42.709°, mismo ángulo de las diagonales del PRR rector del trazo. La unidad de medida en m = U = 8.615 m. Altura = 1.82 u = 15.679 m. Esta altura corresponde a la del apétlatl o templo posteriormente adosado a la cara principal, muy cercana a la que da Bastien de 15.55 m.42 a = lado mayor de base mayor = 27 u. a' = lado mayor de base menor = ι = lado menor de base mayor = 26 u. ι'= lado menor de base menor = 22.0566

del primer cuerpo de la pirámide (15.55 m).”

Ángulo θ = inclinación de los taludes del primer cuerpo = 42.709°.

22 U.


te en relación de proporción áurea con el 676, que es la duración en años de una era cosmogónica (1 092 / 676 = 1.615384); en Mesoamérica el parámetro para φ es de 1.6 a 1.625. El 1 092 es un importante MCM de otros ciclos, y para relacionarlo con ellos habrá que multiplicarlo por 30: 1 092 x 30 = 32 760 = 260 x 126. La relación con el ciclo sinódico de Venus: 56 x 585 = 32 760, así como con el ciclo del año civil: 360 x 91 = 32 760 y con el ciclo de Mercurio: 117 x 280 = 32 760. También con el ciclo de Marte: 780 x 42 = 32 760 y con el siglo y medio siglo mesoamericanos, 104 x 315 = 32 760 = 52 x 630. El número 1 092 se puede descomponer en dos sumandos importantes: 312 + 780 = 1 092. Se encuentra en la rueda de números de fundamental 7. Equivale a 39 x 28 o 39 veces la treceava parte del ciclo solar de 364 días. Al dividirlo entre 37 se

23.0566 ≈ 23 U.

dría cuatro cuerpos idénticos, con una altura total de 15.44 m, muy semejante a la

272

Como resultado de los cálculos con números fraccionarios, los volúmenes se han acercado a los NSA que se han creído ópti-

Trazo del primer cuerpo. Habiendo dividido la cara poniente en el lado mayor de la base

15.55 m.41 Se unen el punto 4 con el 50 a

Remy Bastien, op. cit., p. 219. 42 Ibid., p. 241. “Según las medidas obtenidas, el apétlatl ten-

Se tiene V = 1 094.42 U3 ≈ V = 1 092 U3.

da entre 900 y 600 a.C. y está tallada en piedra verde claro (ver cap. VII, fig. 22). El NV del primer cuerpo de la Pirámide

caras del PRR. En donde se corten estará la altura del primer cuerpo, 1.82 U = 15.679 m, muy aproximada a la que da Bastien de

41

Fórmula V = H / 6 [ι (2a + a') + ι'(2a'+ a)].

≈

obtiene el ciclo sinódico lunar aproximado: 1 092 / 37 = 29.5135 (ver cuadro del 1 092). El 1 092 remite directamente al Sol del inframundo, Tláloc. Al escalar la pirámide se sube desde la cueva subterránea ubicada debajo de la pirámide, en el ámbito del

inframundo, hasta el cielo superior, la mora-

men asociado tanto con el Sol del inframun-

da de los dioses arriba del último cuerpo. El

do (1 092 / 3 = 364, en días) como con el Sol del supramundo (1 092 / 21 = 52, en años), los dos soles fundamentales de la cosmogonía indígena.

simbolismo del monumento es que el Sol renace del inframundo y muere en el inframundo; este simbolismo podría indicar que tal vez existió otra escalera -que no agregara volumen- en el oriente. El 1 092 está en la serie del solar 52,

El símbolo del número 3 como tres signos de admiración (!!!) corresponde a un símbolo solar en un contexto de inframun43

número del Sol del inframundo (en días) y del supramundo (en años), lo que se confirma al tener el monumento su fachada principal y escalera hacia el poniente, hacia el

olmeca en piedra en Chalcatzingo, Morelos. Allí el contexto de inframundo lo sugiere una cueva desde la cual un sacerdote de

lugar donde se dirige el Sol en su diario camino al inframundo, y por tener la pirámide una cueva en el interior de su base (1 092 = 21 x 52 = 7 x 156 = 3 x 7 x 5 2 = 3 x 7 x 52).

Tláloc da grandes voces, tal vez suplicando al dios por lluvia, el preciado líquido. El 364 está relacionado con la era cosmogónica,44 por lo que de alguna manera

Con frecuencia en la iconografía del Sol en Teotihuacan aparecen tres gotas de san-

debía quedar registrado en el diseño de la Pirámide del Sol, al igual que el 52, número solar por excelencia. Siendo la altura del

gre. Estas gotas pueden simbolizar los tres ciclos de 364 días necesarios para llegar a 1 092 días (364 x 3 = 1 092). El primer cuerpo de la pirámide está relacionado no solamente con el Sol del supramundo, por ser el 52 submúltiplo del 104 y del 676, el siglo mesoamericano y la era cosmogónica, respectivamente, sino también del 312, número de Chalchihuicueye, y del 364, año del Sol del inframundo, del que Tláloc es numen.43 Confirmando lo anterior está la cueva debajo de la Pirámide del Sol. No es de extrañar, entonces, que el primer cuerpo de la pirámide tenga su volu-

do, tal como se encuentra en un grabado

Editores, “América Nuestra”, México, 1988, p. 67. Como deidad nocturna tenemos a Teckatlipoca, dios de la providencia, representado por el búho, tekólotl. Al ser deidad nocturna y Tláloc deidad de lo

primer cuerpo 1.82 U, al multiplicar 1.82 x 200 = 364. El resultado es un NSC, fundamento del conteo calendárico de 364 días.

oscuro del inframundo, pueden confundirse. Teckatlipoca es el dios del sistema estelar visible durante la noche. Otra deidad nocturna y del inframundo es Miktlanteuktli, representado o acompañado por la lechuza, ave nocturna también. Tláloc como Tlauteuktli es el dios

A lo largo de esta investigación se ha observado que por lo general para obtener los ciclos del tonalpohualli en coincidencia con los NV de los cuerpos de la pirámide éstos deberán multiplicarse por 20, número base de sus cuentas. Es raro el caso en que no se proceda así, por lo que el NV del primer cuerpo de la pirámide, 1 092 u3, se multipli-

de la Tierra y Xalxíuitl Ikue es diosa de la lluvia, de acuerdo con Miguel León-Por-

ca por 20 para obtener la coincidencia o sincronización con el tonalpohualli.

tilla (Códices: los antiguos libros del Nuevo Mundo, Editorial Aguilar, México,


Ciclo

Astro

1 092 X 20 = 21 840 21 840 21 840

Tonalpohualli, 260 Sidéreo, 27.3 Dracónico, 27.029 (aproximadamente) Sol del inframundo, 364 Sinódico, 29.5135 Siglo, 104 Año nodal, 173.33 Tlalpilli, 13 Medio siglo, 52 Sol arriba de 15° N, 105 (dfas) Chalchihuicueye, 312 Sinódico, 585 Sinódico, 117 Sinódico, 780 Año ajustado, 360

Sol Luna Luna

84* 84 = 2 X 6 X 7 800 800 = 8 x 102 808 808 = 8 x 101

Sol Luna Sol Sol Sol Sol Sol Falso Sol Venus Mercurio Marte Sol

3 37 105 63 84 21 104 35 56 280 42 91

1 092 1 092 10 920 10 920 1 092 1 092 10 920 10 920 1 092 X 30 = 32 760 1 092 X 30 = 32 760 1 092 X 30 = 32 760 1 092 X 30 = 32 760

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, Siglo XXI

Número de ciclos

* El 84 corresponde al diámetro del calendario azteca en unidades a la manera indígena.

2003, p. 234). Tezcatlipoca, entendido como otro título de la deidad suprema, es señor del espacio, Tloqueh-Nahuaqueh, Dueño del Cerca y del Junto, y también del tiempo.

Factorizaciones

3=1 x 3 37 = (7 X 5) + 2 105 = 3 x 5 x 7 63 =32 x 7 84 = 3 X 4 X 7 21 =3 x 7 104 = 23 x 13 35 = 5 X 7 56 = 23 X 7 280 = 7x40 42 = 6 X 7 91 =7x 13

44

La relación de la era cosmogónica con el 364 se encuentra en la siguiente igualdad: 13 x 364 = 676 x 7 = 4 732, que corresponde en números absolutos a 91 ciclos de 52 años.


273

La relación con el año solar de 365 días

nales del rectángulo rector por talud, allí

se logra mediante el tonalpohualli también: 365 x 1 092 = 398 580 = 7 (156 x 365) = 7 (260 x 219). Por otro lado, el 73 es número solar (365 = 5 x 73) que señala el paso ceni-

será la altura del segundo cuerpo, y habremos obtenido los extremos del lado menor de la base menor del segundo cuerpo. Habiendo dejado un espacio de una unidad

tal en el basamento del plano de un monumento solar en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer.

u (que corresponde al pasillo entre el primer y segundo cuerpos), se desplanta el segundo con una altura igual de 1.82 U. Nótese

En la primera página del Códice Fejérváry-Mayer el número 1 092 también quedó

que 1.82 x 100 = 182, la mitad del año del

expresado en la división cuatripartita espa-

Sol del inframundo, y que 1.82 + 1.82 = 3.64, que x 100 = 364, el año del Sol del infra-

cio-temporal. En ella están representadas

mundo. Nótese también que 1.82 x 100 es

21 semanas de 13 días, de cipactli a cipactli en la primera vuelta y, en una segunda, de

múltiplo del 13: (13 x 14 = 182), como lo serán todas las alturas de los cuerpos de la pirámide (con excepción de la del sagrario),

cipactli a izquintli.45 Traducido a números lo anterior, el resultado es el volumen 1 092, obtenido de multiplicar cuatro veces 21 x 13 = 273: (4 x 273 = 1 092), en donde 273 = 10 x 27.3, el 45

Miguel León-Portilla,

op. cit., p. 242. “Otro ejemplo lo ofrece, como ya vimos, la página primera del códice, en la que con glifos y series de puntos se desarrollan

días (246 740 / 226 = 1 091.77 ≈ 1 092) (ver figura X.2, “Dimensiones de las bases de los cuerpos de la Pirámide del Sol”).

ne de 1.82 U = 15.679 m. La dimensión de la base mayor en el lado mayor es a = 22 U (189.53 m) y en la base menor, lado mayor ι = 21 U (180.915 m) en el menor (ver figura X.7,

distintas regiones cósmicas.

(155.07 m), por lo que la base menor del

incorporados a las

Remy Bastien, op.

cit., p. 232. “Los aspectos de la pirámide son varios. Su

Obtención y análisis del NV del segundo cuerpo de la pirámide o chutong

segundo cuerpo es un cuadrado de 18 U x 18 U, cosa poco usual en el diseño mesoamericano. Ya Bastien46 había observado que

Trazo del segundo cuerpo / Obtención y dimensiones de los pasillos (ver figura X.4,

era un cuadrado. La base menor del segundo cuerpo está agrandada hacia los lados oriente y poniente

base no es cuadrada. Existe una diferencia de unos seis metros entre su eje esteoeste y el de norte a sur, diferencia sin duda intencional si se considera la idoneidad de los constructores en materia de geometría. Sin embargo, la base del tercer cuerpo de la pirámide es cuadrada, así como la de los dos subsiguientes.” 47

vertical divisiones a cada 0.13 u que sean factores de las alturas de cada cuerpo. En el segundo cuerpo la altura se mantie-

“Detalle de alzados de la Pirámide del Sol”). En la base menor el lado mayor a' = 18 U (155.07 m) y el lado menor ι' = 18 U

dos tonalpohuallis,

46

ciclo sidéreo de la Luna y tercera parte del conteo lunar de 819 días. La relación con las eras cosmogónicas de 676 años se logra al multiplicar 365 x 676 = 246 740, que son 226 ciclos de 1 092

por lo que se puede establecer una verdadera retícula de trazo: en el lado horizontal el número de unidades en la base y en el

Ibid. “El resultado es

“Caras del prisma recto rectángulo, rector del trazo por talud, envolvente virtual de la Pirámide del Sol”). Teniendo la base de la pirámide el lado menor de la base mayor numerado del 1 al 52, para encontrar la dimensión del pasillo entre el primer y segundo cuerpos se traza una horizontal del punto 4 hacia el 5; se traza otra a partir del punto 48 al 47. El ancho del pasillo será de 0.5 u = 4.307 m en las cuatro caras de la

para dejar entre el segundo y tercer cuerpos un pasillo de 1 U (8.615 m), logrando así un mayor volumen en el cuerpo y un pasillo más grande.47 El ángulo del talud del segundo cuerpo se abre como una bisagra hacia el oriente y hacia el poniente. Viendo hacia las caras norte y sur, el ángulo cambiará de 42.709° a 50.5° para lograr una ampliación de los pasillos que corren de norte a sur entre el segundo y tercer cuerpos. Esta ampliación se realizó con el fin de obtener un

allí más de trece

pirámide (u = U / 2, U = 8.615 m; u = 4.307 m). Al terminar el pasillo se llega al desplante del segundo cuerpo. Se traza una paralela a la base menor del primer cuerpo, a una

volumen mayor y lograr un NSC para el NV de ese cuerpo, y la ampliación tai vez fue aprovechada para colocar allí una gran pie-

metros.”

altura de 1.82 U, y, donde corte a las diago-

dra de jade que señalara el ángulo noroeste

una diferencia marcada en la anchura del segundo descanso en el lado oeste; mide

274


al terminar el segundo cuerpo, según Ba-

Se tendrán que agregar dos cuñas en

Es posible que

tres.48 Los pasillos quedaron agrandados por efecto del cambio de ángulo, lo que

los extremos de las caras norte y sur para aumentar el volumen del cuer-

también una

ocurre solamente en la cara oriente y en la poniente. Las aristas de la pirámide parece que ondulan.

po. La cuña tiene como base 0.5 u y

escalera en la

1.82

u de altura. Volumen de la cuña

v 2 = [(base x altura) / 2] x 18. Siendo

Por ser la pirámide simétrica en sus

dos cuñas V = 16.38 U 3 .

lados oriente y poniente, es posible que haya existido también una escalera en la cara oriente, por donde el Sol subía hasta el

ι = lado menor de base mayor = 21 U. ι'= lado menor de base menor = 18 U.

sagrario para después del mediodía descender por el lado poniente, hacia el inframundo; sin embargo, nadie ha manifestado evi-

Nótese que a' = lado mayor de la base menor = 18 u, y que ι'= lado menor de la base menor = 18 u. Por lo tanto la base me-

dencias de que así haya sido. Después del ocaso el Sol del inframundo permanecería en ese ámbito hasta el amanecer, para al

nor del segundo cuerpo es un cuadrado de 18 u de lado. Ya Bastien había notado que la base de desplante del tercer cuerpo es cua-

final de la noche aparecer nuevamente en el

drada. Esta base corresponde a la base menor

oriente, de igual manera cada día, como Sol del supramundo.

del segundo cuerpo de la pirámide.50 Aplicando la fórmula V1 = H / 6 [ι (2a + a') + ι' (2a'+ a), se tiene 711.62 U3.

Se puede pensar que con el cambio a un ángulo mayor se puso en peligro la estabilidad del monumento. Quizá para estabilizarlo se debe haber agregado la muralla que corre a lo largo de las caras sur, oriente y norte. Bastien, hablando del segundo pasillo o descanso entre el segundo y el tercer cuerpos, dice: “El resultado es una diferencia marcada en la anchura del segundo descanso -léase pasillo entre el segundo y tercer cuerpos- en el lado oeste; mide allí más de trece metros contra seis en los otros tres lados”.49 La investigación señala que el pasillo del lado oriente y el pasillo del lado

haya existido

cara oriente, por donde el Sol subía hasta el sagrario para después del mediodía descender por el lado poniente, hacia el inframundo.

V1 = H / 6 [ι (2a + a') + ι'(2a' + a) = 711.62 U3. Este es el volumen inicial del segundo cuerpo (v1), pero al cambiar el ángulo habrá que sumar el volumen de las cuñas que se aumentan al volumen inicial (v1). El volumen v2 es el de las cuñas que se aumentan: V2 = 17.593 u3. Suma de v1 + v2 = 711.62 U3 + 17.593 U3 = 729.21 U3≈ V = 728 U3. El segundo cuerpo tiene un volumen igual a la suma de v1 y v2. V1 = 711.62 U3 y V2 = 17.593 U3, por lo que V = 729.213 U3 ≈ V = 728 U3.

poniente fueron ampliados de 0.5 U a 1 U = 8.615 m, y que los pasillos de los lados norte y sur permanecieron de 0.5 U = 4.308 m.

Al aumentar las cuñas, los ángulos de los taludes del segundo cuerpo no serán iguales.

Dimensiones del segundo cuerpo (U=8.615 m) H = altura = 1.82 U. a = lado mayor de base mayor = 22 u.

Caras oriente y poniente: ángulo θ = 42.7°. Caras norte y sur: ángulo θ = 50.5°. V = 728 U3. (Ver el cuadro del número

a' = lado mayor de base menor = 18 u.

728.)

Cuadro del número 728

Número

Ciclo

Astro

728 x 20 = 14 560 728 728 728 7 280

Tonalpohualli, 260

Sol Sol Sol Luna Sol-Luna

Siglo mesoamericano, 104 Medio siglo, 52 Año del Sol del inframundo Medio año de eclipses, 173.33

Observaciones

Número de ciclos

48

56 7 14 2 42

56 = 7 X 8 El 7 es lunar El 14 es lunar 42 = 7 x 6

Leopoldo Batres, op.

cit., p. 123. 49

Remy Bastien, op.

cit., p. 232. 50 Ibid.


275

El 7 280 equivale a 1 820 x 4 = 20 x 364 = 28 x 260 = 52 x 140. Thompson, hablando de

Obtención y análisis del NV del tercer cuerpo de la pirámide o chutong con el tablero hipotético

los presuntos métodos mayas de cálculo, ha hecho ver “que, al operarse con la unidad superior inmediata al año de cálculo 364 x 20 = 7 280 días, las operaciones resul-

Propuesta de tablero hipotético. En este estu-

tan igualmente fáciles, ya que no cambian el día ni su número, y que el deslizamiento

dio se hace una propuesta de tablero hipotético en la parte media del tercer cuerpo.

en el haab es de un uinal". Este comentario

En apoyo de esta idea está la Memoria de

confirma la importancia del 728: (728 x 10 =

Batres (1906): “En el tercer cuerpo del cos-

7 280), en los cálculos calendáricos mayas y comprueba que, existió comunicación

tado sur han aparecido paramentos verticales hechos de piedra unida con lodo. Es casi

entre los sabios mesoamericanos. El número volumétrico 728 se encuentra por primera vez en la figura VII.20,

un cuerpo más a la pirámide”.54

seguro de que este descubrimiento aumente

“Cabeza con incisiones”, de la cultura olme-

Dimensiones del tercer cuerpo y tablero

ca. Proviene de Puebla y está fechada entre

a = Lado mayor de la base mayor = 17 U. ι = Lado menor de la base mayor = 16 U. a' = Lado mayor de la base menor = 9 U.

900 y 600 a.C. El 1 820 se encuentra en el Códice de Dresde como un periodo de las tablas de multiplicar. Thompson lo menciona como un almanaque séptuple que destaca en el

ι' = Lado menor de la base menor = 8 U. H = 4.16 U.

Ángulo de inclinación de los taludes =

París51

Códice de o como un almanaque ampliado (70) de 1 820 días.52 El 1 820 es tanto 7 x 260 como 5 x 364. De acuerdo con Thompson, “La tabla de 5 x 13 (pp. 73b-70c) da primeramente todos los múltiplos de 65 hasta 28 x 65, cuando se recupera el lub (4 Eb)".53 Éste es 7 x 260 = 1 820 (5.1.0). La tabla continúa con múltiplos de 7 x 260, mas se omiten algunos de ellos, entre los que se encuentra el importantísimo MCM 32 760. Los que se encuentran allí son 3 640, 5 460, 7 280, 14 560, 21 840, 29 120, 36 400, 43 680, 50 960, 58 240, 65 520, 72 800, 87 360, 94 640, 109 200. Estos números, al tener como factores el 7 y el 260, relacionan al inframundo y la Luna con el tonalpohualli. Todos son múltiplos también de 364.

51 J.

46.12°.

Aplicando la fórmula v = H / 6 [ι (2a + a') + ι' (2a' + a)] V = 4.16 / 6 [16 (2 x 17 + 9) + 8 (2 x 9 +

17)] =V = 671.1466 U3.

Volumen del tablero Perímetro de intersección superior del tablero con el cuerpo (P) = 50 U. Altura del tablero (H) = 0.52 u. Ancho del tablero = 0.5 u. Área transversal (At) = 0.13 U2. Fórmula: A t x P + 8 / 3 h . x 2 = 6.84666 U3. Suma del volumen del chutong más el volumen del tablero: Vch = 671.1466 + Vt = 6.8466 = 677.99 ≈ V = 676 U3.

Eric S. Thompson,

Un comentario al Códice de Dresde /

Libro de jeroglifos

Suma de los nv del primer y segundo cuerpos = 1 092 U3 + 728 U3 = 1 820 U3

mayas, Fondo de Cuadro del número 1 820

Cultura Económica, México, 1988, p. 266. 52

Ibid., p. 59.

53

Ibid., p. 62.

54

Remy Bastien, op.

cit., p. 221.

276

Número

Ciclo

Astro

1 820 1 820 1 820

Tonalpohualli, 260 Medio siglo mesoamericano, 52 Año del Sol del inframundo, 364

Sol Sol Sol


Número de ciclos

Observaciones 7 35 5

El 7 es lunar 35 = 5 x 7 El 5 es venusino

A partir del segundo cuerpo se desplanta el tercero; otra vez, siguiendo el enrejado de la misma manera que se hizo para

A una altura de 2.08 U (17.919 m) del

Los cuerpos

encontrar el segundo cuerpo, ahora tenien-

tercer cuerpo se inserta el tablero con una altura de 0.52 U = 4.479 m y un volumen = 6.846 U3, que sumado al volumen del tercer

deben haber perdido volumen por deslizamiento de

do el talud un ángulo de 46.123° se llega hasta el tablero con 2.08 u = 17.919 m. Continúa el tablero vertical con una altura

cuerpo, V = 671.522 U3 , da 678.368 U3, aproximadamente 676, que en años es una era cosmogónica. El tablero fue colocado allí

material tratando de encontrar su ángulo de reposo.

de 0.52 u = 4.479 m. Se prolonga el talud del tercer cuerpo para formar el cuarto y último (que en realidad es una prolongación

para indicar el fin de una era, la atadura de años, de la misma manera como se indica en los códices mixtécos, y debe haber sido

Actualmente están muy disminuidas sus medi-

del tercero), siempre siguiendo el enrejado hasta llegar a una altura de 1.56 u. La suma de las alturas del tercer cuerpo, del cuarto y del tablero es de 4.16 U = 35.838 m.

de lo primero en caerse, pues un tablero de más de cuatro metros de altura no era fácil de conservar estable. Remy Bastien dice al

das tanto por

Obsérvese que 4.16 es múltiplo del 0.13. El 4.16 es un número que al multiplicarse por 100 equivale a cuatro siglos mesoamerica-

respecto: “Si hubo tablero sobre talud, el tablero mediría por lo menos cuatro metros de altura”.56

pérdida de material como por antiguas malas restauraciones.

En el tercer cuerpo el ángulo de inclina-

nos en años. La altura de los dos primeros cuerpos suma 3.64, que multiplicado por 100 = 364, el número del Sol del inframun-

ción de los taludes cambia a θ = 46.12°, y la altura del tercer cuerpo con el tablero propuesto es de 4.16 U. El ángulo θ = 46.12°

do, que es divisible entre 13. La altura del tablero, de 0.52 U, es múltiplo de 0.13 u y, en este caso, se puede decir que las alturas todas son múltiplos del 13, siendo NSA o

corresponde a todo el tercer cuerpo, considerado como uno solo y con una misma pendiente, sin considerar la interrupción del tablero. Ángulos tan elevados tuvieron

NSC

los números que se encuentran en las alturas de los cuerpos, otro de los cánones del diseño mesoamericano.

que ser perjudiciales para la estabilidad del edificio. Los cuerpos deben haber perdido volumen por deslizamiento de material tra-

Para encontrar el volumen del tablero se obtiene la sección transversal del saliente del tablero y se multiplica por la longitud de sus lados. El tablero tiene sus caras late-

tando de encontrar su ángulo de reposo. Actualmente están muy disminuidas sus medidas tanto por pérdida de material como por antiguas malas restauraciones.57

rales verticales55 y un volumen de 6.846 u3 . La altura total del monumento hasta la plataforma del sagrario es de 7.8 u = 67.197

El número de oro casi exacto se encuentra dividiendo el volumen del primer cuerpo de la Pirámide del Sol entre el volumen del ter-

m. El 7.8 U x 100 = 780, que en días es el ciclo sinódico de Marte o tres tonalpohuallis, además de ser múltiplo del 13. Si U =

cer cuerpo: 1 092 / 676 = ϕ = 1.615... Señala el Códice Fuenleal para la primera edad

8.615 m, la altura en metros será 67.719 m, ligeramente más alta que la medida propuesta por Almaraz y otros estudiosos de esta pirámide de 66 m.

55

una duración de 676 años (Anales, t. II, pág.

cerrado a números enteros; sin embargo, rigurosamente hablando, las medidas correctas tienen deci-

88). La segunda se extiende al mismo periodo; la tercera, a 364; y la cuarta, a 312 años, respectivamente. Estas cuatro edades suman

Volumen del tercer cuerpo de la Pirámide del Sol con tablero =

males de más de cuatro cifras. 56 Remy Bastien, op.

676 u3


Número

Ciclo

Astro

676 x 10 = 6 760 6 760 6 760 6 760 676

Tonalpohualli, 260 Medio siglo, 52 Siglo mesoamericano, 104 Medio año de eclipses, 173.33 Tlalpilli, 13

Sol Sol Sol Sol Sol

Número de ciclos

Las medidas se han

Observaciones 26 676 = 26 x 26 = 262 130 65 39 Posibilidad de 39 eclipses 52

cit., p. 222. La primera restauración fue hecha por Leopoldo Batres a principios del siglo XX (1906), cuando la arqueología estaba todavía en pañales.


277

La pirámide sim-

así 2 028 años y encierran, tal vez, alguna

boliza el Sol en sus dos aspectos:

nueva

aplicación

de

los

movimientos

de

Venus al cómputo, aunque los dos primeros

hacerlos coincidir con el 260 o sus múltiplos. En el caso de todos los números volumétricos de la pirámide se deberá proceder

vida; y el Sol noc-

La era cosmogónica es de 676 años, o

de acuerdo para hacerlos coincidir con el tonalpohualli (1 092 x 20 = 21 840, que / 84 = 260; 728 x 20 = 14 560, que / 56 = 260; 676 x

turno, que repre-

sea, 13 veces el ciclo de 52 años. También

20 = 13 520, que / 52 = 260; 52 x 20 = 1 040,

el Sol diurno, que representa la

senta la muerte, pero muerte con esperanza de

ciclos sean más bien lunisolares.58

= 676.

que / 4 = 260); 2 496 x 20 = 49 920, que entre

Además 20 x 676 = 52 x 260 = 13 520 y 52 x 365 = 18 980 = (28 x 676) + 52 = 260 x 73.

tantes cánones del diseño mesoamericano:


que los números volumétricos deberán ser múltiplos o submúltiplos del tonalpohualli. Se observa que la mayoría de los ciclos

es el cuadrado de 26: (13 +

13)2

resurrección.

192 = 260. Así se cumple uno de los impor-

de la pirámide sin el sagrario hipotético

son solares.

Para la obtención y análisis del NV de la


pirámide se suman los volúmenes de todos los cuerpos: primer cuerpo, 1 092 u3 + se-

del NV del sagrario hipotético Medidas del sagrario hipotético

gundo, 728 u3 + tercero, con tablero, 676 u3 = 2 496 El NV 2 496 u3 + el NV del sagrario hipotético, 52 u3 = 2 548 u3. Se observa que este

Lado mayor a = 7.6 u. Lado menor ι = 6.6 u. Altura H = 1.04 U.

está cercano a 10 tonalpohuallis (10 x 260 = 2 600), y, como en la diferencia se encuentra la unidad, 2 600 - 2 548 = 52, donde 52 es el factor por excelencia de los

V=

u3.

52.166 ≈ 52 U3. Volumen del sagrario hipotético = 52 U3.

NV

El 52 en años fue una unidad temporal

NV de

esta pirámide. Analizando los números obtenidos al multiplicar cada uno de los volúmenes por

muy importante en Mesoamérica. Son 104 años los que se requieren para un siglo y 52 para el medio siglo mesoamericanos. La

20, se observa que el 52 cabe como factor en todos ellos, por lo que se puede considerar como unidad común de tiempo el medio

ceremonia del encendido del Fuego Nuevo se celebraba, al menos en Tenochtitlan, cada 52 años y no cada 104, ya que, si así hubie-

siglo mesoamericano, que determina a la

se sido, pocas personas hubiesen tenido

pirámide como solar. Sir Eric Thompson decía que era una

oportunidad de celebrarla durante su vida. El 52 en días también tenía importancia,

obsesión de los sacerdotes mayas (y aquí

pues los mortíferos rayos de Venus descen-

se agrega que de cualquier otra etnia) multiplicar unos números por otros hasta

dían cada 52 días, cuando Venus estaba como Estrella de la Tarde, a causar muerte

Volumen con el del tercer cuerpo: 1 820 + 676 = 2 496 u3 Cuadro del número 2 496

58

Francisco del Paso y Troncoso, Ensayo sobre los símbolos cronográficos de los mexicanos, Anales del Museo Nacional, 1882, cap. XI, p. 352.

278

Número

Ciclo

Astro

2 496 X 20 = 49 920 49 920 2 496 2496 2 496

Tonalpohualli, 260

Sol

192 192 = 12 x 4 x 4

Medio año de eclipses, 173.33 Medio siglo mesoamericano, 52 Siglo mesoamericano, 104 Tlalpilli, 13

Sol-Luna Sol Sol Sol

288 48 24 192

Se observa que la mayoría de los ciclos es solar.


Número de ciclos

Factorizaciones

288 = 12 x 4 x 6 48=12 x 4 24= 12 x 2 192= 12x4x4


Ciclo

Astro

2 548 X 20 = 50 960 2 548 2 548

Tonalpohualli, 260

Sol

2 548

Medio siglo, 52 Año del Sol del inframundo, 364 Tlalpilli, 13

Sol Sol del inframundo Sol

2 548

Constante Φ, 1.618

2 548 X 20 = 50 960

Medio año de eclipses, 173.33


Sol

49 7

Observaciones 196 = 7 x 28, relación con la Luna 49 = 7 x 7, relación con la Luna 7, relación con la Luna

196

196 = 7 x 28, relación con la Luna 1 574 La constante φ se asocia con el crecimiento de los seres vivos 294* 294 = 7 x 2 x 21, relación con la Luna

* En el número de ciclos aparece el 294, que es la mitad del límite máximo de la duración del ciclo sinódico de Venus de 588 dias.

entre niños, ancianos, nobles, guerreros y cosechas. Por otro lado, 52 es múltiplo de 13,

boliza el Sol en sus dos aspectos: el Sol diurno, que representa la vida; y el Sol nocturno,

número factor de la mayoría de los ciclos planetarios visibles a simple vista. Se ha observado que las unidades temporales importan-

que representa la muerte, pero muerte con esperanza de resurrección. Es el dualismo cosmogónico de los iguales y opuestos necesarios para la vida, de la luz y la oscuridad,

tes quedaban consignadas en el NV de los sagrarios. Tal es el caso de esta pirámide.

del frío y del calor, de lo femenino y lo masculino, del ying y yang de los chinos. Número recurrente en todos los volú-

Obtención y análisis del NV de toda la pirámide

menes: 52 (medio siglo mesoamericano o xiuhmolpilli). Como número calendárico se encuentra el 13. El atado de hierbas cada

Para obtener el NV de toda la pirámide se suman los NV de los tres cuerpos y del sagrario hipotético:

52 años o atado de años en náhuatl se llama xiuhtlapilli o toximolpilli, que en realidad significa nudo de hojas verdes.

Primer cuerpo: NV = 1 092 U 3. Comentarios acerca de la escalera. Almaraz dice que “Las escalinatas se localizan en la cara oeste, haciendo notar su pésimo estado de conservación”.59 Batres sitúa una

Segundo cuerpo: NV = 728 U3. Tercer cuerpo: NV = 676 u3.

Sagrario: NV = 52 u3. Total = NV = 2 548 U 3. Como

se

observa

en

el

cuadro

“Los

escalera de 13.80 m de ancho en el lado poniente del segundo cuerpo de la pirámi-

do (en días) como del siglo y medio siglo

de, que en este estudio se propone de 1.625 U = 13.999 m ≈ 14 m, con alfardas, y 1.32 U = 11.372 m, sin alfardas. Cada alfarda mide 0.15 U = 1.292 m. Bastien, hablando de la

mesoamericanos (en años). La pirámide sim-

escalera en el cuarto cuerpo, sostiene:

números volumétricos NSA y NSC en cada cuerpo”, el número prevalente es el 52, que puede ser factor tanto del año del inframun-

Los números volumétricos nsa y NSC en cada cuerpo Cuerpo 1 2 Subtotal 3 + tablero Subtotal Saqrario hipotético Total

Número volumétrico 1 092 728 1 092 + 728 = 1 820 676 2 496 52 2 548

Factores 13, 52, 364 13, 52,364 13, 23 13, 52 13,52 13 13,52

Prevalencia numérica (Medio siglo mesoamericano) 52 52 52 52 52 52 52

59

Ramón Almaraz, op. cit., p. 211.


279

Una escalera única da acceso al plano supe-

3 = 364). Por otro lado, 1 092 / 7 = 156, la

rior del cuerpo y sigue su perfil general. Sus

mitad del número de Chalchihuicueye (312 /

diez

2 = 156 y 156 - 104 = 52; 52 x 3 = 156; 156 x

primeras

huellas

son

muy

mayores

que

éstas.

angostas

y

once

3 = 468; 468 / 4 = 117). (Ver el número 1 092

cm,

y huella, 28.3 cm.60

en el apéndice 1, “Números”.) El segundo cuerpo, 728, se puede factorizar como 364 x 2, o sea, dos ciclos del Sol del inframundo.

Y acerca del quinto cuerpo dice que

La suma del primer y segundo cuerpos es

los

peraltes,

escalones

restantes

miden:

Los

peralte,

22.6

tiene una sola escalera de 5 m de anchura, cuyas alfardas han sido recubiertas de argamasa por Batres.61 La investigación indica

1 820, que corresponde a cinco veces el 364. El tercer cuerpo, 676, corresponde a la solar era cosmogónica. El hecho de que en ese

que la unidad registrada en el ancho aproximado de las alfardas de la escalera en el segundo cuerpo es de 1.30 m.

cuerpo hipotéticamente se haya tenido un tablero símbolo de amarre de años indica que, efectivamente, cada 676 años se creaba un nuevo sol, una nueva era. De ahí la

Simbolismo del tablero y de cada cuerpo. El tablero funciona como símbolo de atadura

leyenda de los Cuatro Soles. El tablero es símbolo precisamente del amarre de ciclos,

de años; de ahí su forma parecida a una A

años, eras, soles... El sagrario es el lugar más sagrado del edificio y por lo tanto el que quedaba sacralizado por medio de la unidad, en este caso

que presentan tanto algunos códices como fin de un ciclo de 52 años, lo que viene a reforzar la idea de que existió un tablero que zunchaba al tercer cuerpo, aunque éste sea un solo cuerpo que muestra una atadura de años o coincidencia de ciclos.62 El volumen del primer cuerpo de la

el número 52. La suma de todos los cuerpos más el sagrario resultó en un NV que marca al 52

Pirámide del Sol de 1 092 U3 simboliza el Sol del supramundo (1 092 / 52 = 21) y el Sol del inframundo (1 092 / 364 = 3). Al dividir

rencia entre el número más sagrado, 260 (considerado 10 veces, 2 600) y el 2 548 (2 600 2 548 = 52). En la diferencia se encuentra la unidad. Al ser el 52 factor tanto de un NV del inframundo (364) como del supramundo

1 092 entre 3 se obtiene un cociente que es número del ámbito del inframundo (1 092 /

como unidad. Ésta se encuentra en la dife-

(104, 676), la pirámide es tanto solar del

60 Remy 61 62

Bastien, op. cit., p. 221.

Ibid., p. 222.

Zelia Nuttall, op. cit. Allí se encuentran varios símbolos de atadura de años o coincidencia de ciclos, que consisten en una especie de A con un aro zunchándola al centro. De igual manera el tablero hipotético propuesto aquí para la pirámide del Sol zuncharía al tercer cuerpo del monumento. Estos símbolos se encuentran en el citado códice: página 83, cargadores tochtli, calli; p. 52, cargador calli; p. 42, cargadores calli y técpatl; p. 32, cargador técpatl; p. 30, cargador calli; p. 28, cargador calli; p. 26, cargadores técpatl, ácatl, tochtli y calli; p. 25, cargador calli; p. 23, cargadores calli y ácatl; p. 22, cargador ácatl; p. 21, carga-

supramundo como solar del inframundo. La cueva que se localiza por debajo de ésta lo confirma. Se concluye que la pirámide está dedicada tanto al Sol del inframundo como al del supramundo, es decir, al Sol en cualquiera de sus modalidades; que consta de tres cuerpos y un tablero que zuncha al tercero por la mitad y que su volumen total

dor ácatl; p. 20, cargador ácatl; p. 19, cargador tochtli; p. 18, cargador calli; p.

corresponde a 2 548

16, cargadores tochtli y técpatl; p. 15, cargador ácatl; p 13, cargadores técpatl, calli y ácatl; p. 12, cargador ácatl; p. 10, cargador calli; p. 9, cargador calli; p. 6, cargador ácatl; p. 5, cargadores técpatl, tochtli, calli y ácatl; p. 4, cargadores téc-

número 2 548 para el significado de toda la pirámide).

U3

(ver cuadro del

patl, calli. En esa misma lámina aparece un símbolo de atadura de años o coincidencia de ciclos, pero con el símbolo lunar en forma de signo de interrogación en el centro, lo que tal vez quiere decir coincidencia con ciclos lunares. Es el cuarto cuadrado, línea inferior, de derecha a izquierda, p. 3, cargadores, calli y ácatl; p. 2, cargadores técpatl, ácatl; p. 1, cargadores ácatl, técpatl, ciclos, pero con el símbolo lunar en forma de signo de interrogación en el centro, lo que tal vez quiere decir coincidencia con ciclos lunares.

280


Ancho de los pasillos. Los tetzotzoncatlatzontequini o arquitectos se valieron de un ancho variable en los pasillos para obtener números volumétricos que fuesen NSA o NSC, lo que se lograba variando el ángulo

del talud y corriendo hacia el eje central

corresponde a cuatro veces 104, lo que lo

vertical los taludes de los cuerpos una unidad o media unidad, como en el caso del segundo cuerpo de la pirámide, base menor. Esto quiere decir que el ancho de los pasi-

hace número solar del supramundo. El 312 también corresponde a tres siglos mesoamericanos. La altura del tablero, de 0.52 U (en m = 4.479 m). La altura del sagrario

llos se ajustaba y estaba supeditado al número volumétrico establecido de antemano para cada cuerpo.63 Los pasillos, con excepción del segundo cuerpo, en sus cuatro lados miden lo mismo. El ancho de los

hipotético, 1.04 u (en m = 12.4 m), parece ser muy alto; se puede pensar que el edificio fuese más bajo, pero que tuviera un remate de almenas en lo alto que lo llevara hasta la altura propuesta.

pasillos se obtiene por medio de la geometría dinámica, una vez que se tienen los án-

Al incorporar en la geometría de la pirámide esos números para las alturas de los

gulos de inclinación de los taludes. Los pasillos tienen un ancho igual a u / 2 = 0.5 u = u = 4.307 m o a un múltiplo, con excepción

cuerpos del monumento, los tlamatinime y los tetzotzoncatlatzontequini tenían la certeza de que quedarían registrados en los volúmenes de los prismas envolventes.

del falso pasillo que corresponde al extradós del tablero y el de la ampliación del segun-

63

Una manera de lograr el ajuste es variando la altura de cada cuerpo, cosa poco probable, o variando el ángulo de los taludes. Parece ser que esto último es lo que se hizo en Teotihuacan. En el caso del

do cuerpo, que mide 1 U (ver figura X.6, “Medidas de la Pirámide del Sol”).

La suma de las alturas de los cuerpos. Al sumar la altura del primer cuerpo con la del

primer cuerpo la altu-

Bastien da referencias acerca de los pasillos entre cada cuerpo: “el descanso del primer cuerpo -léase entre el primer y segundo

segundo se obtiene 3.64 u, que por 100 = 364, el año del inframundo. La altura del tercer cuerpo es de 4.16 u, que por 100 = 416, cua-

ra exacta para tener un volumen de 1 092 U3 es de 1.815... U, que se ha cerrado a

cuerpos- medía alrededor de cinco metros, como parece que fue”.64 Esto confirma que es correcto el aquí propuesto de 4.308 m.

tro siglos mesoamericanos. Si se suman todas las alturas se tiene 7.8 u, que por 100 = 780, el ciclo sinódico de Marte o tres tonalpohuallis. Al agregar la altura del sagrario

1.8 para el cálculo del volumen de todos los cuerpos. La altura de 1.815 U cambiaría el

Alturas de los cuerpos. En cuanto a las alturas de los cuerpos se tiene 1.82 u (1.82 x 100 = 182), la mitad del número 364 del Sol

hipotético de 1.04 u se tiene 8.84, que por 100 = 884 u. Es interesante notar que tiene dos significativos números como factores:

42.238° y el volumen del primer cuerpo no sería un NSA. 64 Remy Bastien, op.

del inframundo (4.16 U x 100 = 416), que

(884 / 17 = 52). Del número 17 Robelo opina:

ángulo de arranque a

cit., p. 232.

Figura X.1. El prisma envolvente virtual del monumento / El chumeng y el chutong / Nomenclatura para la aplicación de la fórmula

Pirámide

Pirámide

Chumeng

Chumeng

truncada

truncado

o chutong

Fórmula del chumeng

Fórmula del chumeng truncado o chutong


281

Figura X.2. Dimensiones de las bases de los cuerpos de la Pirámide del Sol

Obtención de la unidad u en el diseño de la pirámide

Prisma recto rectángulo, rector por talud de la Pirámide del Sol


Ya sea porque el olin era objeto empleado en

ferencia de cuenta la estrella Polar (el nor-

el culto, ya porque simbolizaba un fenóme-

te), deberían pasar 17 días (17°) para que coincidiera la cuenta solar con la del calendario sagrado.

no

del

ambas

Sol,

el

causas,

dios lo

Tonatiuh,

hicieron

dios

ya

sea

también,

por y

lo colocaron como uno de los signos de los

Ésta podría ser otra razón de la desvia-

meses o veintenas, pues era el 17° día de la

ción de 17° al este del norte del eje nortesur de esta pirámide.

veintena

y

primero

de

la

13a

trecena

del

tonalámatl. Cuando al olin le tocaba ser cuarto día, que era en la segunda trecena del tonalámatl, entonces el nombre del día nahui olin coincidía con el nombre del fenómeno solar, nauholin, y se hacía gran fiesta en honor al Sol. La figura del olin en los jeroglíficos es el Sol, Olin Tonatiuh.65

Aquí la importancia del 17 radica en que el olin como jeroglífico simbolizaba el Sol, siendo el decimoséptimo día de la veintena del mes y, al mismo tiempo, el primero de la trecena del tonalámatl. Ya se ha dicho en este estudio que a cada grado de la circunferencia dividida en 360° correspondía un día del año ajustado

La escalera en la fachada poniente y la altura total de la pirámide / Peralte y número de escalones. No se tomó en cuenta el volumen de la escalera en el volumen total de la pirámide porque no sobresale del paramento poniente, como lo hace la del templo viejo de Quetzalcóatl. Batres encontró el inicio de la escalera y la consideró de 13.80 m de ancho.66 La alfarda mide aproximadamente 1.3 m de ancho (medición directa). Tomando U = 8.615 m, se tiene que el ancho de la escalera es igual a 1.625 U x 8.615 m = 14 m, dimensión más cercana a la informada por Leo-

a 360 días. Siendo la Pirámide del Sol un

poldo Batres. Se considera en el primer cuerpo una escalera idéntica a la del segundo cuerpo,

gigantesco tonalámatl, y tomando como re-

pero que fue tapada por el adosado de la

65

Cecilio A. Robelo, Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México, 1982, p. 300.

66

Remy Bastien, op. cit., p. 219.

Figura X.3. Caras del prisma recto rectángulo; retícula o enrejado para su trazo Trazo de la Pirámide del Sol Caras del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la Pirámide del Sol


283

Figura X.4. Caras del prisma recto rectángulo, rector del trazo por talud, envolvente virtual de la Pirámide del Sol

Prisma recto rectángulo envolvente virtual de la Pirámide del Sol

67

Los nombres de los dioses están escritos como del Paso y Troncoso propone en

Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, op. cit.

284

cara principal de la pirámide. En el tercer cuerpo la reconstrucción que se ve actual-

sagrarios contiguos, como ocurría en el Templo Mayor. Se cree remota porque se

mente presenta dos escaleras, de las que no se ha encontrado ninguna razón para esta división, aunque pudiera ser que fuese por-

encontró in situ sólo un ídolo, que ha sido interpretado como el dios de los mantenimientos, Tonakateuktli, aunque tal vez se

que la pirámide estaba consagrada tanto al Sol del supramundo como al del inframundo. Pero por otro lado la pirámide estaba dedicada al fuego en todas sus acepciones, el del

refiera al dios del fuego, Xiuhteuktli.67 Actualmente en el tercer cuerpo, segunda sección, existe una escalera de 5 m de ancho, y no es evidente la razón por la que

cielo superior y el del cielo inferior, al dios Xiuhteuktli, tal como aparece en el centro del plano paradigmático de la pirámide

se haya reconstruido con esa dimensión; Bastien dice que posiblemente esa escalera fue inventada.

solar en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer (ver el cap. IX). Existe la remota posibilidad de que hubiesen existido dos

En este estudio se propone una sola escalera con un ancho de 14 m desde el inicio hasta el último cuerpo. Esta medida


resulta de obtener la primera relación de

ma del sagrario se obtendrían 260 peraltes,

proporción áurea ascendente de la unidad U : U x 1.625 = 8 . 6 1 5 m x 1.625 = 1 3 . 9 9 9 m. Recordemos que para los mesoamericanos el valor de ϕ está entre 1.6 y 1.625.

un escalón por cada día del tonalpohualli. La Pirámide del Sol es un gran tonalámatl de los pochtecas celestes, los astros car-

Siendo la altura promedio de los dos primeros cuerpos 1.82 u = 15.679 m, se consideran 65 escalones para cada uno, con un peralte hipotético (promedio) de 24.12 cm. El tercer cuerpo, con sus dos secciones más el tablero, para efectos de la escalera se ha considerado de un solo cuerpo, con una altura de 4.16 U, que correspondería a 130 escalones. La altura total hasta el sagrario es 7.28 U = 62.717 m (7.28 U x 8.615 m = 62.717 m). Suponiendo peraltes de 24.12 cm y dividiendo la altura total hasta la platafor-

gadores del tiempo que regían el destino de Mesoamérica. Este gran tonalámatl podía ser contemplado por todos los pobladores de Teotihuacan e interpretado por los sacerdotes versados en esas artes.

Ornamentación e iconografía hipotética de la pirámide

Equiparando la primera plana del códice con el plano de la Pirámide del Sol, se puede

Figura X.5. Descomposición de un prisma recto rector cuya base es un rectángulo Σ Geometría dinámica: El prisma recto rectángulo compuesto por dos pirámides y cuatro chumenes

a) El prisma recto rectángulo ABCD-EFGH dividido en cuatro chumenes y dos pirámides

b) El prisma unidad

c) El prisma recto rectángulo dividido en cuatro chumenes y dos pirámides

d) Dos de los cuatro chumenes en la división del prisma recto rectángulo

g) El chumeng, con la unidad de medida u en la arista o lomo e) Las dos pirámides f) Los cuatro chumenes

h) El chutong en forma de artesa que corresponde a la forma del basamento

i) El prisma recto rectángulo, envolvente virtual (ABCD-EFGH) Chumeng: IJ-BFGC Chutong: AEHD-A'E'H'D'


285

Figura X.6. Medidas de la Pirámide del Sol

Alzado: Caras norte y sur

Alzado: Caras oriente y poniente

Alzados del prisma recto rectángulo envolvente virtual de la Pirámide del Sol en Teotihuacan

Caras norte y sur

Caras norte y sur


Caras oriente y poniente


Figura X.7. Detalle de alzados de la Pirámide del Sol

Caras norte y sur


saber qué glifo o representación escultórica la decoraba. La representación escultórica del primer día, cipactli, pudo haber estado en la esquina sureste de la plataforma del cuerpo superior de la Pirámide del Sol. En la misma plataforma, y en contra

noroeste, la de malinalli y de cuetzpallin; y en la esquina suroeste, la de ollin y de atl. En el centro, en la plataforma más alta, se debe haber encontrado la escultura del dios del fuego, Xiuhtectli. Considerando la cara oriente, se encon-

oeste, la de ozomatli; y finalmente en la

traría la secuencia de los días siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj. Comenzando por la esquina sureste de la plataforma superior de la pirámide, se tiene

esquina suroeste la de izcuintli. Al nivel de la base de la pirámide podría haber estado en la esquina sureste la representación de

iniciando a cipactli, desde donde se desciende hacia océlotl en la base de la pirámide; se continúa horizontalmente hacia el norte

Ehécatl y de océlotl; en la esquina noreste las de mázatl y de quiáhuitl; en la esquina

hasta mázatl, en la esquina noreste de la base de la pirámide; de allí se asciende

de las manecillas del reloj, debe haber estado en la esquina noreste la escultura o representación de tochtli; en la esquina nor-


287

A pesar de que el

hasta xóchitl, en la plataforma o base supe-

mide, hasta donde debe haber estado atl; al

Códice Fejérváry-

rior de la pirámide. Se habrá recorrido un camino que delimita la cara roja oriente del

continuar horizontalmente, siguiendo el lado sur de la base de la pirámide, se debe haber

monumento. En cada tramo del camino se

culturas y tiempos diferentes,

tienen 13 pequeños círculos, que dan un total de 13 x 3 = 39 ciclos. Continuando con la cara norte, se tiene

llegado a Ehécatl, para ascender desde allí hasta quiáhuitl, en la base superior de la pirámide, esquina sureste. Se habrá recorrido un camino que delimita la cara verde

tienen elementos

al inicio de la esquina noreste de la plata-

sur del monumento. En cada tramo se tie-

comunes.

forma superior de la pirámide a miquiztli; de allí se desciende hasta la esquina noreste de

nen 13 pequeños círculos, con un total de

la pirámide, hasta quiáhuitl; continuando horizontalmente, al seguir el lado norte de la base de la pirámide, se llega a malinalli,

Se observa que el curso de los días se representa, subiendo y bajando, siguiendo el contorno de una cruz de Malta o de

para ascender desde allí hasta cóatl, en la base superior de la pirámide, esquina noroeste. Se habrá recorrido un camino que delimita la cara amarilla norte del monu-

Quetzalcóatl. Como son 13 semanas y sola-

mento. En cada tramo del camino se tienen 13 pequeños círculos, los cuales dan un

tli, efectuando idénticos movimientos, pero corriéndose los días un cuadrante de posición. Esta diferencia entre 12 y 13 semanas

Mayer y la Pirámide del Sol pertenecen a dos

total de 13 x 3 = 39 ciclos. Al considerar la cara poniente, la secuencia de los días siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj y comenzando por la esquina noroeste de la plataforma superior de la pirámide, se tiene iniciando a ozomatli, desde donde se desciende a cuetzpalin, en la base de la pirámide; se continúa horizontalmente hacia el sur, hasta ollin, en la esquina suroeste de la base de la pirámide; de allí se asciende

68

El volumen del primer cuerpo de la Pirámide del Sol es de 1 092 u3, que corresponde a 1 092 días. La diferencia entre 2 028 y 1 092 = 936; 936/3 = 312, el

hasta izcuintli, en la plataforma o base superior de la pirámide. Se habrá recorrido un camino que delimita la cara azul poniente del monumento. En cada tramo se tienen 13 pequeños círculos, que dan un total de 13 x 3 = 39 ciclos. En la cara sur se tiene, iniciando en la

número de Chalchihuicueye y también tres siglos mesoamericanos (3 x 104 = 312).

esquina suroeste de la plataforma superior de la pirámide, a cozcacúauhtl; de allí se desciende hasta la esquina suroeste de la pirá-

13 x 3 = 39 ciclos.

mente caben 12 en esta cruz (por ser cuatripartita y de tres semanas por cuadrante), la decimotercera semana iniciará en cipac-

es lo que hace que se mueva el calendario, que de otra manera sería estático y no representativo del continuo fluir del tiempo. Al cabo de cuatro vueltas se habrá llegado a la posición inicial, habiendo transcurrido 156 semanas de 13 días (13 x 156 = 2 028 días)68 (ver el número 156 en el apéndice 1). De esa manera debieron estar colocados los símbolos iconográficos de los días en la Pirámide del Sol. Sumando las cuatro caras de la pirámide, se tiene 39 x 4 = 156 ciclos. Efectuando un juego de números con los NV encontrados a lo largo del estudio de la pirámide se llega a lo siguiente: El volumen total de la Pirámide del Sol de 2 548 u3 necesitaría 52 unidades más para ser un múltiplo directo del tonalpohualli (260 x 10 = 2 600). Pero en esta investigación se ha visto que en la diferencia se encuentra la unidad. En este caso la unidad es 52, que al sumarla al volumen 2 548 + 52 = 2 600, 10 tonalpohuallis. Consideremos ahora la diferencia entre

Rumbo Oriente Norte Poniente Sur

Colores identificados rojo negro blanco azul

* Miguel León-Portilla, op.cit., p. 239.


Colores menos frecuentes amarillo rojo-amarillo azul rojo-verde*

2 600 y 1 872 (la milésima parte de la era maya): 2 600 - 1 872 = 728. Entonces se obtiene el número volumétrico del segundo cuerpo de la pirámide, que equivale a tres tonalpohuallis, a dos años del Sol del inframundo y al ciclo sinódico de Marte.

Medidas propuestas en u a la manera indígena para la Pirámide del Sol (u = 8.615 m)

Cuerpo

Base mayor

Base mayor

Base menor

Base menor

Altura

Lado mayor a

Lado menor ι

Lado menor ι'

H

1 2

a= 27 U a = 22 u

ι = 26 u ι = 21 u

Lado mayor a' a’=23 u a'= 18 U

ι' = 22 u ι' = 18 U

1.82 U 1.82 U

42.71° 50.5° 42.71°

Subtotal 3

a= 17 u

ι = 16 u

a’= 9 U

ι' = 8 U

4.16 U

46.123°

a= 13 U

ι = 12 u

0.52 U

90°

Tablero Subtotal Subtotal Sagrario Total

Volumen teórico

<0

7.2 u a = 7.6 u

1.04 u

90°

corresponde al norte. El Mictlán era el reino del norte, el reino de Mictlantecutli y des-

el siglo mesoamericano, todos éstos números sagrados imbuidos en lo más exquisito del arte mesoamericano.

tino final de algunas almas privilegiadas. Los 17° en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer se encuentran también entre

de la pirámide Si se trasladara la orientación y los glifos de los portadores de años registrados en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer a la Pirámide del Sol, se tendría que ácatl (que en el códice aparece en el ángulo superior izquierdo) quedaría en la esquina nororiente de la base de la Pirámide del Sol; en la esquina noroeste, en contra de las maneci-

1 820 U3 676 u3

1 823.64 u3 671.146 U3

676 U3

4.853 U3 675.99 u3

2 496 u3

2 496 u3

52 u3

52 u3

los taludes de las caras trapezoidales y las líneas curvas como herraduras que se hallan en las cuatro esquinas del códice, que señalan un paso cenital. Los ángulos de 17° aparecen ocho veces en el códice (dos veces en cada esquina) y al ser 8 x 17 = 136 -la mitad de 10 ciclos dracónicos de la Lunase trata tal vez de un eclipse solar registrado en la latitud de 17° N (2 x 8 x 17 = 272 / 10 = 27.2). Éste podría ser el motivo de la localización de San José Mogote, Monte Albán y Mitla, aproximadamente en esa latitud. A pesar de que el Códice Fejérváry-Ma-

tli. Se observa que, con respecto al punto cardinal sur, la desviación de 17° se encuentra entre la arista sureste y el glifo cipactli,

yer y la Pirámide del Sol pertenecen a dos culturas y tiempos diferentes, tienen elementos comunes. Se aclara que los portadores de años en Teotihuacan fueron viento, venado, yerba y movimiento. Éstos corresponderían a caña, cuchillo de sacrificio, casa

que inicia la cuenta de los días, tal como lo

y conejo.

llas del reloj, estaría técpatl; en la esquina surponiente se encontraría calli; y, finalmente, en la esquina suroriente estaría toch-

1 094.43 u3 729.21 u3

3

Veamos ahora la suma de 2 600 + 1 872 =

a la orientación

1 092 u3 728 U3

2 548 u

4 472. Si se divide entre 43, se obtiene 104,

Unas palabras respecto

Volumen real

indica el Códice matritense del Real Palacio cuando expresa que, siendo el primero, el signo tochtli va por delante y guía a todos los signos del año. De acuerdo con Marquina, la orientación astronómica de la Pirámide del Sol es de 17° al este del norte, coincidiendo con la registrada en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer, y

X. La Pirámide del

Sol en Teotihuacan

289

XI. La pirámide de El Castillo en Chichén Itzà

El marco histórico escripción de la pirámide. De las pirámides mexicanas es

D

tal vez El Castillo uno de los monumentos que a través del tiempo se logró conservar mejor, pudiendo así ser restaurada con mayor apego a la original. Por esto en el presente estudio no se hace ninguna propuesta de medidas o del número de cuerpos que la componen ni sugerencias para la medida de los ángulos de inclinación de los taludes del monumento. El estudio de los números volumétricos (NV) de los prismas rectos rectángulos envolventes virtuales del monumento, así como del NV del chutong envolvente promedio virtual de la suma de los volúmenes de los nueve cuerpos que lo componen, se llevó a cabo con el fin de comprobar, una vez más, que la metodología y el sistema propuestos para la obtención de los NV, su análisis y su decodificación son correctos. La pirámide de El Castillo es un monumento del periodo posclásico de la cultura maya, conocido también como templo de Kukulcán. Pertenece al Grupo Norte de los monumentos de Chichén Itzá y tiene gran influencia de las culturas del centro de México. Hace algunos años “fue reconstruida cuidadosamente por la Dirección de Antropología, por lo que ahora se puede conocer su forma y ha quedado asegurada su conservación”.1 El arquitecto Ignacio Marquina la describe de planta cuadrada de 55.50 m por lado, con nueve cuerpos escalonados y en talud, que alcanzan una altura de 24 m, la cual, agregada a la del sagrario, llega aproximadamente a 30 m. La pirámide tiene cuatro escaleras; es la del lado norte la de la fachada principal; cada una tiene 91 escalones, que hacen un total de 364, el número de días del año del inframundo. Si se agrega a estos escalones el que es base del sagra1

Ignacio Marquina, Arquitectura prehispánica, INAH, México, 1990, p. 849. 2 Ibid., pp. 848-851, láminas 261 y 262.

290


rio en la planta alta, se tendrán 365, los días del año vago o xiuhpohualli de los mexicas.2 Los nueve cuerpos componentes del chumeng de El Castillo sugieren la presencia de los Nueve Señores de la

Noche, que presidían el lapso nocturno,

tableros hundidos, el central decorado con

comenzando desde el ocaso hasta el amanecer, mientras el Sol recorría el ámbito del inframundo, el lugar de las nueve divisiones.3 Marquina escribe:

un mascarón. La crestería desaparece y es sustituida por almenas en forma de caracoles cortados. Las jambas de las puertas y los pilares interiores llevan labradas figuras de guerre-

El templo que ocupa la parte alta se compo-

ros toltecas con atavío típico: casco de pare-

ne de un aposento central de 6 por 4.50 m,

des verticales decorado con círculos, cintu-

con dos pilares al centro y techado con

rón con adorno y átlatl; todavía conservan

bóveda; está rodeado por una estrecha gale-

restos de los brillantes colores con que estu-

ría de 2 m de ancho, que al frente forma el

vieron pintados.4

vestíbulo que da acceso al edificio. Una puerta frente a cada escalera da acceso a la galería, con excepción de la que ve al norte, que es la entrada principal y que constituye un pórtico de tres claros, en el que encontramos las típicas columnas toltecas que repre-

Las almenas de las que habla Marquina, por tener forma de medio caracol marino, sugieren que Venus debe estar presente de alguna forma en El Castillo, como de hecho lo está como uno de los factores del NV del

sentan una serpiente emplumada, en la que

prisma recto rectángulo rector del trazo del

la cabeza es la base, el cuerpo el fuste y los

pie o talud de arranque del monumento, como se verá más adelante (ver figura XI. 1, “Dimensiones de la planta y de la escalera

crótalos el capitel. La decoración de la fachada es sobria, el basamento es un pequeño talud y después se levanta verticalmente el muro, formado entre dos comisas de tres elementos, un friso vertical con tres

de la pirámide de El Castillo en Chichén Itzá” y figura XI.2, “Plano de la pirámide de El Castillo en Chichén Itzá).

3

4

Jacinto de la Sema, Manual de ministros de indios para el conocimiento de sus idolatrías y extirpación de ellas, Imprenta del Museo Nacional, México, 1892, p. 345. Ignacio Marquina, op. cit., p. 849.

Figura XI. 1. Dimensiones de la planta y de la escalera de la pirámide de El Castillo en Chichén Itzá

XI. La pirámide de El Castillo en Chichén Itzá 291

Figura XI.2. Plano de la pirámide de El Castillo en Chichén Itzà

Plano hipotético de la pirámide de El Castillo en Chichén Itzà

Planta

Caras norte y sur

292


El marco teórico

Nuestro satélite, la Luna, aparece en la fachada, en los entrantes y salientes que adornan los taludes del monumento. Estos relieves simulan una serpiente que va reptando con movimientos zigzagueantes, ondulantes, como lo hacen las víboras siguiendo un movimiento ondulatorio semejante

como base para sustentar la interpretación hipotética que aquí se propone; con igual fin se ha consultado el libro de Luis E. Arochi, La

al cicloide de la Luna. Ésta cruza el camino de la eclíptica, provocando o sufriendo eclipses, cuando se encuentra con el Sol en los nodos a lo largo de su recorrido celes-

pirámide de Kukulcán, su simbolismo solar. Sin embargo, sería interesante verificar las dimensiones del monumento, obteniendo inicialmente la medida exacta del ancho de las

te. Los teotihuacanos creían que la Luna durante los eclipses de Sol lo mordisqueaba, provocando que arrojara gotas de sangre,

alfardas in situ, pues es allí en donde se encuentra consignada la unidad de medida o proporción de este edificio. Esta unidad, u,

fuente de vida que se convierte en agua para hacer a la Tierra fecunda, como puede verse en los murales de Tetitla.

cabe cuatro veces en el ancho de cada alfarda, por lo que al tener su medida correcta se podrá saber lo que vale u en metros.


Los planos y las medidas en metros que presenta el arquitecto Marquina han servido

Siendo éste un estudio de proporcionali-

de múltiplos y submúltiplos de la unidad, así

dad, una vez verificada la unidad empleada, las medidas pueden ser obtenidas de acuer-

como de relaciones de proporción áurea, tanto ascendentes como descendentes, como se puede ver en las figuras XI.3, 4 y 5.

do con el sistema de diseño mesoamericano

Figura XI.3. Relación de proporción áurea respecto a la unidad u, que corresponde al ancho de la alfarda, y respecto a la mitad del ancho de la escalera con todo y alfarda

Primer caso La unidad u del ancho de la alfarda

XI. La pirámide de El Castillo en Chichén Itzá

293

Figura XI.4. Considerando como una nueva unidad de proporción áurea el ancho de la escalera con todo y alfarda, se obtiene el largo de la plataforma del cuerpo superior del edificio

Segundo caso

Se toma como unidad nueva U', que será igual a ϕ3. Se tiene U'ϕ, que corresponde al ancho de la escalera con todo y alfardas, y U'ϕ3, que corresponde al lado mayor del último cuerpo; Uϕ3 + U es la medida de una parte de la base del edificio, desde el paño exterior de la alfarda hasta el fin de la primera plataforma de desplante del primer piso, a ras de suelo.

Figura XI.5. Al considerar como una nueva unidad el ancho de la escalera, y tomando del paño exterior de una alfarda al paño interior de la otra, se obtiene una nueva unidad U

Tercer caso

294


Como en todas las pirámides que hasta

de la planta del edificio. Siendo éste un estu-

La base de des-

este momento he estudiado (primera página del Códice Fejérváry-Mayer, Sol y Quetzalcóatl en Teotihuacan), la base de desplante

dio de proporciones, aun sin tener estos datos, se ha podido hacer un plano hipotético de El Castillo. Al encontrarse que u cabe

de los taludes no es cuadrada y la forma del monumento no es de pirámide truncada sino de un prisma truncado en forma de

cuatro veces en el ancho de las alfardas de las escaleras, será fácil encontrar, siguiendo el método aquí propuesto, todas las medi-

plante de los taludes no es cuadrada y la forma del monumento no es de

artesa o chutong, con una pequeñísima diferencia de una unidad (u = 30.328 cm) entre el lado mayor y el menor. Estudiando el

das exactas del edificio. El estudio de medidas y proporciones en esta investigación señala que la planta no es cuadrada sino que tiene la forma de un rec-

plano mencionado, se observa que la esquina noreste de la planta sufre un remetimiento (lámina 262 del plano de Marquina), por lo que está descuadrada. Tal vez la plan-

tángulo Σ. Empleando el sistema de ensayo y error, se llegó a la conclusión de que sola-

ta cuadrada que propone el arquitecto se refiere a las líneas de desplante de las alfardas de las escaleras, que aparentemente for-

que el lado mayor del edificio podría caber un número exacto de veces, tanto en el lado mayor a) como en el menor ι ), así como en

u x 199 u). El es intencional, u de medida o en este estudio

el descuadre de la planta y en el ancho de la alfarda. Se encontró que la planta de los cuerpos (tomada hasta la prolongación al suelo de los taludes con mayor ángulo de inclinación en el primer cuerpo y sin los salientes de las escaleras) tiene en sus lados una diferencia de una unidad y que esta

man casi un cuadrado (198 remetimiento de la planta para marcar en él la unidad proporción. Ya se ha dicho

y en Geometría mesoamericana que una de las formas de dejar constancia de la unidad de medida es en el descuadre intencional de

diferencia es la unidad de medida o proporción de diseño, u. Como esta diferencia es muy pequeña, los estudiosos del monumen-

Encontrando la unidad de medida o propor-

mento a partir de la unidad u se consideró

to han tomado la planta como cuadrada; no obstante, la planta de El Castillo es un rectángulo Σ 183 x 182 de módulo M = 1.0055, y son los rectángulos Σ, por definición,

la opinión del arquitecto Marquina respecto a la forma y medidas de la base del monumento. Él propone una planta cuadrada

todos aquellos que tienen una unidad de diferencia entre el largo de sus lados (Margarita Martínez del Sobral, Geometría me-

de 55.50 m de lado; sin embargo, no indica de qué punto a qué punto tomó esta medida ni en qué lado del edificio. De igual manera, cuando habla de una altura de 24 m tampo-

soamericana). Lo mismo sucede con la pirámide de Quetzalcóatl en Teotihuacan, que también ha sido considerada erróneamen-

co especifica dónde estaba el banco de nivel o a partir de dónde toma esa medida. Ante estas omisiones se aclara que se ha conside-

sa o chutong.

te de planta cuadrada. Siguiendo a Marquina, se ha tomado como dimensión del lado mayor 55.50 m y 24 m de altura hasta la base del sagrario.

consideró como primer cuerpo, el que tiene su talud con el mayor ángulo, de 69.68°, la mayor inclinación de todo el monumento (ver figura XI.9). En la prolongación del

Por ser la dimensión del lado mayor 55.50 m, la unidad de medida o proporción o la manera indígena sería u = 5 550 cm / 183 u = 30.328 cm, en donde 183 es el número de unidades obtenidas teniendo el círculo como generador y dividido el diámetro en 258 unidades (ver figura II.2). La diferencia

talud del primer cuerpo hasta el suelo se ha considerado los 55.50 m para el lado mayor

entre los lados o descuadre será de cuatro veces este valor: 4 x 30.328 = 121.31 cm y

rado en esta investigación como nivel + 0.00 el arranque del pie o pequeño talud, de donde se desplanta lo que tal vez Marquina

da sino de un prisma truncado en forma de arte-

mente una unidad 183 veces más pequeña

las envolventes virtuales de las piezas o monumentos.

ción en El Castillo (u = 30.328 cm). Para encontrar las medidas de todo el monu-

pirámide trunca-


debe corresponder al ancho de la alfarda U (U = 4 u), que será tomada como una nueva

unidad y, de esta manera, la unidad u queda consignada en el ancho de la alfarda y corresponde a un múltiplo de la primera; así se habrá obtenido a partir de la unidad de medida (u = 30.328 cm) el ancho de la alfarda (U = 4u = 121.31 cm). Por otro lado, se habrá obtenido el lado mayor de la base

182 u x 30.328 cm = 5 519.696 cm. Resumiendo: el lado mayor de la base mayor de la pirámide mide 55.50 m = 183 u y el lado

las obtenidas por medios matemáticos. Sin embargo, para trazo en campo creo que se debe haber aplicado un método semejante. 7 Luis E. Arochi, op. cit. Las medidas que consigna en la base de la pirámide son de 1.34 m y 1.30 m. Son ligeramente más angostas en el noveno cuerpo. La medida teórica debería ser 1.213 m.

pirámide de El Castillo en Chichén Itzá”). Obtención de la planta mediante un círculo. La planta de 183 u x 182 u puede obtener-

cm). El peralte de los escalones, por lo tanto, debe ser o estar muy cercano a 26.37 cm. Arochi lo considera de 27 cm.5

se mediante un círculo cuyo diámetro se divide en 258 u (ver figura II.2). Si se numeran en secuencia las divisiones del diáme-

que la escalera, a paños exteriores de las alfardas, medirá 37 u, aproximadamente

Mediante este trazo geométrico se obtienen medidas aproximadas con respecto a

menor mide 55.196 m = 182 u (ver figura XI.1, “Dimensiones de la planta... de El Castillo en Chichén Itzá” y XI.2, “Plano de la

forma antes del sagrario de 24 m y teniendo cada escalera 91 peraltes, cada peralte será de 26.374 cm. (2 400 cm / 91 = 26.374

Ancho de la escalera. La unidad u cabe cuatro veces en el ancho de la alfarda y 27 veces en el ancho de los escalones, por lo

6

diadas, una unidad menos para que la plan-

de la base mayor ι = 182 u = 55.197 m. Por ser todo el sistema proporcional, basta con

narlo todo. Ahora se obtiene la altura del peralte de cada escalón: al ser la altura de la plata-

su simbolismo solar, Panorama Editorial, México, 1984.

medida dada. El lado menor deberá medir, por analogía con las otras pirámides estuta sea un rectángulo Σ, 183 u x 182 u, donde

obtener, en este caso, el ancho correcto de

Luis E. Arochi, La pirámide de Kukulcán,

manera indígena son 183. Cada unidad mide 30.328 cm (183 x 30.328 cm = 5 550.024 cm = 55.50 m), lo que está de acuerdo con la

mayor, a = 183 u (55.50 m) y el lado menor

las alfardas de las escaleras para dimensio-

5

El lado mayor de la planta del primer cuerpo del monumento mide, de acuerdo con Marquina, 55.50 m, que en unidades a la

11.22 m. En adelante las dimensiones de las partes del edificio se darán solamente en unidades u ala manera indígena, en el entendimiento de que u - 30.328 cm.

tro del 1 al 258, y se trazan por los puntos 38 y 220 perpendiculares al diámetro que se prolongan hasta cortar el círculo, la distancia entre los puntos de corte será de 183 u y la altura 182, con lo que se habrá creado un rectángulo Σ 183 x 182, base de El Castillo.6

Empleo de la divina proporción o proporción áurea

Sistemas de medida y proporción empleados en el diseño mesoamericano. En mi libro Geometría mesoamericana dije que en el

Es en el proyecto de este edificio en donde se ha empleado con mayor profusión la

diseño mesoamericano existieron dos sistemas para dimensionar las obras de arte: uno de múltiplos y submúltiplos de una uni-

divina proporción o proporción áurea. Para su estudio debe considerarse que otra unidad de proporción puede ser múltiplo de u,

dad dada y otro de relaciones de proporción áurea, tanto ascendentes como descendentes respecto de esa misma unidad.

de manera que si en todo el monumento u = 30.328 cm, otra unidad de proporción puede ser U = 4 u, que corresponde al ancho

En el caso de El Castillo se comprueba nuevamente que así es. Se observa que no sólo fue utilizada una unidad u, sino que en realidad fueron em-

de la alfarda (121.312 cm), como se dijo en

pleadas varias unidades U con valores diversos, todas relacionadas entre sí y consignadas en la fachada principal.


párrafos anteriores: (U = 4 x 30.328 cm = 121.312 cm).7 Valores de ϕ ϕ = 1.618 (ϕ1) ϕ2 = 2.618

ϕ 3 = 4.2358

con esta nueva unidad el ancho del capitel

ϕ4 = 6.853

de las columnas serpentinas que sostienen el techo de la entrada principal del sagrario, así como el ancho del friso (ver figura XI. 5).

ϕ-1

=

0.618

Cuarto caso. Con otra nueva unidad -que seguiremos llamando U = el ancho de las escaleras con todo y alfardas- U ϕ corres-

Primer caso. Se toma como unidad de proporción el ancho de la alfarda (u = 121.31 cm); su tercera proporción áurea (u ϕ3) corresponde al ancho de media escalera con

ponde al lado mayor de la base mayor del tercer cuerpo. Es muy posible que otras relaciones de proporción áurea se hayan

ϕ2 =0.381 8

todo y alfarda. Multiplicando por 2 el resultado se obtiene el ancho total de la escalera: 2 U ϕ3.

escapado en el estudio de este monumento, que presenta gran armonía entre el todo y sus partes (ver figura XI.6).

8 Margarita

Martínez del Sobral, Geometría

mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000, p. 21.

A partir del ancho de la escalera se obtienen las dimensiones del sagrario. Obsérvese que también se obtienen los ejes de las columnas serpentinas que sostienen el techo de entrada al sagrario, y que en el vano de la puerta central se marca la unidad u. Haciendo las operaciones matemáticas necesarias para comprobar lo anterior, se observa que ϕ es ligeramente más alto que el utilizado

en

Mesoamérica

en

su

Figura XI.6. Considerando como unidad de proporción el ancho de la alfarda, se obtiene el ancho de media escalera con todo y alfarda

Cuarto caso

límite

mayor: 1.625. En este caso se observó que ϕ = 1.6355. Esto tal vez se deba a que el valor de ϕ (1.618) es un número fraccionario que no afecta el trazo geométrico, pero sí el cálculo matemático (ver figura XI.3, “Primer caso / Relación de proporción áurea respecto a la unidad U, que corresponde al ancho de la alfarda, y respecto a la mitad del ancho de la escalera con todo y alfarda”). Segundo caso. Considerando como una nueva unidad de proporción áurea, que seguiremos llamando u = ancho de la escalera con todo y alfarda, se obtiene el largo de la plataforma del cuerpo superior del edificio (ver figura XI.4. “Considerando como una nueva unidad de proporción áurea el ancho de la escalera con todo y alfarda, se obtiene el largo de la plataforma del cuerpo superior del edificio”). Tercer caso. Al considerar otra nueva unidad -que seguiremos llamando u = el ancho de la escalera, tomado del paño exterior de una alfarda al paño interior de la otra-, se obtiene una nueva unidad u, siendo U ϕ la diagonal de la envolvente virtual del sagrario. También se puede determinar

XI. La pirámide de El Castillo en Chichén Itzà

297

Para comprobar el sistema empleado en

Obtención y análisis de los NV

el dimensionamiento y decodificación de los obtenidos se ha realizado el estudio de

de los prismas rectos rectángulos envolventes virtuales de El Castillo

NV

El Códice de Dresde y la numerología de El Castillo. Se ha dicho que el Códice de Dresde proviene de la parte occidental o de la parte

virtuales del monumento y del chutong envolvente virtual del cuerpo del edificio. Posteriormente se procedió a encontrar los NV

central de Yucatán, tal vez de Chichén Itzá.

del chutong envolvente de los nueve cuer-

“La distribución de glifos resulta valiosa para zanjar esta cuestión.

pos, de las escaleras, del sagrario y de la suma de estos tres elementos.

’’Algunos glifos de códices, principalmente del Códice de Dresde, no se encuentran en otros lugares; sólo en los monumentos de

Los prismas rectos rectángulos envolventes virtuales de las partes del monumento. 1. Prisma

Chichén Itzá”,9 y es posible agregar que

recto rectángulo envolvente virtual cuyas

algunos números de significado calendárico (NSC) sólo se encuentran en las dimensiones de El Castillo. Por ser este monumen-

diagonales siguen las alfardas de las escaleras (ver figura XI.7); 2. El prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diago-

los prismas rectos rectángulos envolventes

9

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde / Libro de jeroglifos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 42.

to uno de los mejor conservados antes de su

nales tocan los vértices de los cuerpos (ver

restauración, su estudio a partir de las medidas proporcionadas por autores ajenos a este

figura XI.8); 3. El prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales siguen

trabajo no se ha llevado a cabo en su totalidad, es decir, cuerpo por cuerpo, como se ha hecho con los monumentos anteriormente

la inclinación del talud del primer cuerpo

estudiados; en este caso se ha tomado el chu-

desplante del monumento (ver figura XI.10);

tong envolvente promedio de los nueve cuerpos de El Castillo.

y 5. El chutong envolvente virtual de los cuerpos del edificio (ver figura XI.11).

(ver figura XI.9); 4. El prisma recto rectángulo envolvente virtual del talud (pie) de

Figura XI.7. Prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales siguen las alfardas de las escaleras

Caras norte y sur

298





del prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales

del prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales

siguen las alfardas de las escaleras

tocan los vértices de cada cuerpo

(Ver figura XI.7, “Prisma recto rectángulo


envolvente virtual cuyas diagonales siguen las alfardas de las escaleras”.)

envolvente virtual cuyas diagonales tocan los vértices de los cuerpos”.)

a = 218.29 u.

a = 191 u. ι = 190 u.

ι = 217.29 u.

H = 229.5938 u.

H = 218.399 u.

Ángulo de inclinación = 50.99°.

θ = 45.15°. V = Área de la base x altura = 218.29 u x 217.29 u x 218.3995799 u= 10359 180 u 3 . V = 10 359 180 u3 .

V = Área de la base x altura = 191 u x

190 u x 229.5938 u ≈ 8 331 960 u3 . V = 8 331 960 u3 . Este NV es significativo por la gran aproximación del valor real del año trópico, del ciclo sinódico lunar y la coincidencia directa con el tonalpohualli. El número volumétrico 8 331 960 contiene el año trópico casi exacto, por lo que la hierofanía del descenso del Sol por la alfarda del edificio se repite anualmente. La diferencia con los cálculos en esta pirámide es de 24 diezmilésimos de día.

Cuadro del número 10 359 180 Número

Cido

Astro

10 359 180

Tonalpohualli, 260 Año trópico, 365.2356 Medio siglo, 52 Sinódico, 377 Tlalpilli 13 Sinódico, 29.5308 Sinódico, 585

Sol Sol Sol Saturno

39 843 28 363 199 215 27 478

Sol

796 860 350 792

10 359 180 10 359 180

10 359 180 10 359 180 10 359 180 10 359 180 10 359 180

Dracónico, 27.2

Número de ciclos

Luna Venus Luna

Factorizaciones

17 708 380852

39 843 = 9 X 4 427 28 363 = 1 X 28 363

199 215 = 45 x 4 427 27 478 = 2x11 X1 249

796 860 = 180 x 4 427 350 792= 104* x 3 373 17 708 = 4 X 4 427 380852 = 4 x 95 213

* El siglo mesoamericano está aquí en función del ciclo sinódico de la Luna: 104 = 10 359 180 / (29.5308 x 3 373).


Ciclo

Astro

8 331 960

Tonalpohualli, 260 Año trópico, 365.2446 Año del inframundo, 364 Sinódico, 29.53077 Medio siglo, 52 Siglo mesoamericano, 104 Medio año de eclipses, 173.3309

Sol Sol Luna Luna Sol Sol

8 331 960 8 331 960 8 331 960

8 331 960 8 331 960 8 331 960

Luna-Sol

Factorizaciones

Número de ciclos 32 046 22 812 22 890

282 145 160 230 80 115 48 069

32 046= 14 x 21 x 109 22 812= 12 x 1 901

22 890= 10 x 21 x 109 282 145 = 5x56 429 160 230 = 7 x 7 x 30 x 109

80115 = 7x105x109 48 069 = 9 X 49 X 109


299

Figura XI.8. Prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales tocan los vértices de los cuerpos

Figura XI.9. Prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales siguen la inclinación del talud del primer cuerpo

Caras norte y sur

300



Figura XI.10. Prisma recto rectángulo envolvente virtual del talud (pie) de despante del monumento

Caras norte y sur


Figura XI.11. El chutong envolvente virtual de los cuerpos del edificio

Caras norte y sur



Obtención y análisis del NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual cuyas diagonales

Obtención y análisis del NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual del pie o talud de arranque del primer

siguen la inclinación del talud del primer cuerpo

cuerpo de la pirámide Base: Lado mayor a = 199 u.


Lado menor ι = 198 u.

envolvente virtual cuyas diagonales siguen la inclinación del talud del primer cuerpo”.)

H = 24.319 u. θ = 7°. Este ángulo es la máxima inclinación orbital de Mercurio con respecto a la eclíptica. V = Área de la base x altura = 198 u x 199 u x 24.319 u = 39 402 x 24.319 =

Lado mayor = a = 183 u. Lado menor = ι = 182 u. Altura del prisma H = 491.53.

958 217.238 ≈

θ = 69.68°. Volumen del prisma recto rectángulo envolvente virtual por talud del pri-

V = 958 230 u3. El NV 958 230 comprende factores que

mer cuerpo:

se remiten a la era cosmogónica (solar), del ciclo sidéreo de Venus de 225 días y del siglo, pero particularmente de los diversos

V = 182 u x 183 u x 491.53 u = 16 370 898.18 ≈ 16 370 900 u3. V= 16 370 900 u3.


Ciclo

Astro

16 370 900 16 370 900 16 370 900 16 370 900 16 370 900 16 370 900

Tonalpohualli, 260 Año trópico, 365.2425 Medio siglo, 52 Año del inframundo, 364 Sinódico, 29.5306 Tlalpilli, 13

Sol Sol Sol Luna Luna Sol

16 370 900 16 370 900

Sinódico, 584.9885 Sinódico, 116.7999

Venus Mercurio

Factorizaciones

Número de ciclos 62 965 44 822 314 825 44 975 554 367 1 259 300 27 985 140 162

62 965 = 7 X 7 X 5 X 257 44 822 = 2 x 22 411 314 825 = 25 X 49 x 257 44 975 = 7 X 25 X 257 1 259 300 = 7 X 100 x 1 799 27 985 = 5 X 5 597 140 162 = 2 x 70 081


10

Linda Schele y David Freidel, A Forest of Kings, Quill William Morrow, Nueva York, 1990, p. 78.

Número

Ciclo

Astro

958 230 X 20 = 19 164 600 19 164 600 19 164 600 958 230 958 230 958 230 958 230 958 230 958 230

Tonalpohualli, 260

Sol

Era cosmogónica, 676 Siglo, 104 Sinódico, 117 Sinódico, 29.53125 Sinódico, 585 Dracónico ajustado, 27 Conteo lunar, 819* Sidéreo, 27.3

Sol Sol Mercurio Luna Venus Luna Luna Luna

Número de ciclos

Factorizaciones 73 710 28 350 184 275 8 190 32 448 1 638 35 490 1 170 35 100

73 710 = 90 x 819 28 350 = 21 X 27 x 50 184 275 = 225 x 819 8 190= 10 x 819 32 448 = 16 X 2 028 1 638 = 2 x 819 35 490 = 7 X 30 x 132 819 = 30 x 27.3 35 100= 13 x 27 x 100

* Linda Schele considera un calendario lunar de 819 días para la zona maya de Yucatán, pero se pregunta cuál es su origen. El valor 819 se encuentra en la división cuatrlpartita del espacio-tiempo, cuyo valor es 32 760, gran MCM lunar dividido entre 10 (32 760 / 10 = 3 276). Ahora dividimos 3 276 / 4 = 819 (ver cuadro del número 32 760).


conteos calendáricos lunares. Esto quiere

a = 187.47 u.

decir que la era cosmogónica también podía ser integrada por ciclos lunares; 958 230 x 365 = 349 753 950, el NV en días considerando los años de 365 días, número que apare-

ι = 186.47 u. ι' = 55.52 u. H = 79.11 u.

a' - 56.52 u.

ce con frecuencia en los NV de esta pirámide (349 753 950 / 819 = 427 050, que dividido entre 1 170 = 365).

V = H / 6 [ι (2a +a') + ι' (2a'+a)] = 79.11 /

En capítulos anteriores ya se mencionó que los números por lo general se deben considerar como absolutos, ya que se refieren simplemente a ciclos. El 117 del ciclo

V = 1 280 773.251 u3 ≈ 1 280 760 u3, que

sinódico de Mercurio se encuentra como factor, lo que era de esperarse dado que el ángulo de 7° es el grado máximo de inclina-

lli sería necesario que fuese 4 950 x 260 =

ción de la órbita de Mercurio con respecto a la eclíptica.

la pirámide expresa eclipses, año del infra-

6 [186.47 (2 x 187.47 + 56.52) + 55.52 (2 x 56.52 + 187.47)] = 1 280 773.251.

es múltiplo del tonalpohualli. Para que fuese múltiplo del tonalpohua1 287 000.

La envolvente promedio del cuerpo de mundo y ciclo sinódico de la Luna astronómicamente exacto.

Obtención y análisis del NV del chutong envolvente promedio del cuerpo de la pirámide


(V = 1 287 000 u3)

de las escaleras (v = 90 220 u3)

El NV del chutong envolvente del cuerpo de

Frente = 37 u (2 alfardas de 4 u c/u y

la pirámide es un número aproximado, ya que no se hizo sumando el NV de cada cuerpo, sino que se tomó la envolvente promedio de los cuerpos.

escalones de 29 u de ancho dan un total de 37 u). Fondo = 15.41 u. Altura = 79.11 u.


Ciclo

Astro

1 287 000 1 287 000 1 287 000

Tonalpohualli, 260 Sinódico, 585 Sinódico, 29.5305*

Sol Venus Luna

1 287 000 1 287 000

Medio año de eclipses, 173.333 Sinódico, 780

Luna-Sol Marte

Número de ciclos

4 950 2 200 43 582 7 425 1 650

Factorizaciones

4 950 = 9 x 11 x 50 2200 = 2 x 11 x 100 43 582 = 2 x 7 x 11 283 7425 = 27 x 25x11 1 650 = 3 x 5 x 10 x 11

x

* El ciclo sinódico lunar exacto.


Ciclo

Astro

90 220 90 220 90 220 90 220 90 220 90 220

Tonalpohualli, 260 Tlalpilli, 13 Sinódico, 29.5319 Medio siglo, 52 Medio año de eclipses, 173.166 Año trópico, 365.263157

Sol Sol Luna Sol Luna-Sol Sol

Número deciclos

347 6 940 3 055 1 735 521 247

Factorizaciones

6 940 = 20 X 347 3 055 = 5 x 611 1 735 = 5 X 347 247= 13 x 19


V = (base x altura) / 2 x frente del escalón (15.41 u x 79.11 u) / 2 x 37 u = 22 553.074 u3 ≈ 22 555 u3, que al ser cuatro escaleras tendremos 90 212 ≈

o = 42 u. ι = 4 9 u. H = 25.06 u (con todo y almenas). Volumen = 42 u x 49 u x 25.06 u = V = 51 573.48 u3 ≈ 51 465 u , si se baja la

90 220 u3.

altura a 25 u; V = 51 465 u3. Obtención y análisis del NV

Se observa que este NV es múltiplo de

del sagrario (v = 51 480 u3)

365, mas no del 260. Para que resulte múltiplo de 260 el volumen tendría que ser 51 480 u3, por lo que la altura debería ser de 25.01

Las dimensiones del sagrario, de acuerdo con Luis E. Arochi, se detallan de la siguiente forma: Las paredes se angostan gradualmente por

u, que se cierra a 25 u. La factorización del 51 480 = 2 x 9 x 1 1 x l 3 x 20, todos números sagrados para los mesoamericanos.

la parte exterior, del piso hacia arriba, 0.86 metros, por lo cual las medidas que aparecen entre paréntesis corresponden a esa má-


xima angostura. La base de la fachada nne

del NV del total (V = 1 428 700 u3)

mide 14.95 metros (14.01) de alto. En el lado metros (14.47) el lado y

ESE

y

SSO

y

la entrada, 2.48

la base tiene 15.36

la entrada, 2.23 de alto. En

la base mide 13.77 metros (12.70)

la entrada tiene de altura 2.27. El lado

tiene de base 13.25 metros (12.07)

y

ONO

Chutong = 1 287 000 u3. Escaleras (4) = 90 220 u3. Sagrario = 51 480 u3. Suma total = 1 428 700 u3.

la entra-

Observaciones. Se manifiesta la utilización

da, 2.23 de alto. La almena de arriba mide un metro de alto y 80 centímetros de ancho.11

de números fraccionarios hasta de cuatro o más decimales, lo que indica que para la fecha en que fue construido este monumen-

Según el plano de Marquina, las medidas son de la fachada principal norte y sur, o = 45.5 u = 13.79 m. Fachadas oriente y

to los matemáticos mayas empleaban con facilidad y profusión números fraccionarios e irracionales.

poniente, ι = 40 u (12.13 m). Al no informar Arochi sobre ninguna medida igual para los cuatro lados del sagrario, se optó por trabajar, de manera apro-

De todos los monumentos estudiados, éste es el que tiene como submúltiplos del NV total las constantes φ y π con sus valo-

ximada, con las del plano del arquitecto Marquina. Las medidas que se han tomado en esta

res exactos. La exactitud del año trópico que está como factor del NV del prisma recto rectángulo envolvente virtual por vértices de

investigación son las siguientes:

El Castillo es verdaderamente asombrosa:


11

Luis E. Arochi, op. cit., pp. 47-48.

304

Número

Ciclo

Astro

51 480 51 480 51 480 51 480 51 480 51 480

Tonalpohualli, 260 días Medio siglo, 52 años Sinódico, 585 Sinódico, 117 Sinódico, 780 Medio año de eclipses, 173.33

Sol Sol Venus Mercurio Marte Sol-Luna

* El 27 aparece como factor con el medio año de eclipses: 11 x 27 x 173.33 = 51 479.01.


Número de ciclos

Factorizaciones 198 990 88 440 66

297

198 = 2 x 9 x 11 990 = 9 x 10 x 11 88 = 8 x 11 440 = 4x10x11 66 = 6 x 11 297 = 2 7 * x 1 1


Cido

Astro

1 428 700 1 428 700 1 428 700 1 428 700 1 428 700 1 428 700 1 428 700 1 428 700 1 428 700

Tonalpohualli, 260 días Medio siglo, 52 años Tlalpilli, 13 años Sinódico, 29.53079 Año del inframundo, 364 Año trópico, 365.2096 Sinódico, 116.8 Sinódico, 585.05 Número de oro (ϕ) = 1.617999...

Sol Sol Sol Luna Luna Sol Mercurio Venus

1 428 700

Diámetro de la circunferencia (π) = 3.141601872*

Número de ddos 5 495 27 475 109 900 48 380 3 925 3 912 12 232 2 442 883 004 454 768

Factorizaciones 5 495 = 5 x 7 x 157 27 475 = 7 X 25 X 157 109900 = 7 x 100 x 157 48 380 = 20 X 2 419 3 925 = 25 x 157 3 912 = 24 x 163 12 232 = 8 x 11 x 139 2 442 = 2 X 3 x 407 883 004 = 4 X 31 X 7 121 454 768= 16 x 164 x 173.3109

‘Teniendo una circunferencia con valor de 1 428 700, su diámetro será 454 768, siendo π = 3.1416, valor exacto de esta constante.

365.2446, en vez de 365.2422 días, duración del año que considera la astronomía moderna. Es una diferencia de solamente

Esto implica un perfecto conocimiento de los movimientos solares a lo largo del año (montea solar) y de los días en que ocurren

El Castillo es un monumento perfecto en sus pro-

0.0024 de día, lo que corresponde a 3.456 minutos en un año. Como es bien sabido, el día del equi-

los equinoccios y los solsticios. Este conocimiento permitió a los arquitectos proyectistas del monumento orientarlo de mane-

porciones y en sus volúmenes.

noccio de primavera ocurre un impresionante efecto solar: una sombra que se proyecta sobre la alfarda de la escalera principal semeja una serpiente que descien-

ra exacta para lograr tal efecto. El Castillo es un monumento perfecto en sus proporciones y en sus volúmenes que con justicia ha ganado el título de

de desde el sagrario hasta llegar al suelo.

maravilla del mundo moderno.


305

Epílogo

¿Es ésta una investigación científica?

De acuerdo con el criterio de Umberto Eco,1 esta investigación es científica por cumplir los cuatro postulados necesarios para serlo. Éstos son los siguientes: 1. Que verse sobre un objeto reconocible y definido de tal manera que también sea reconocible para los demás. Los objetos de estudio fueron 34 figuras tridimensionales olmecas de pequeño formato, esculpidas probablemente entre 1200 a.C. y 800 a.C., así como 17 cabezas colosales también olmecas de gran formato creadas en ese mismo lapso, además de 29 esculturas de horizontes temporales y culturales diversos de Mesoamérica. De las obras arquitectónicas se estudiaron la Pirámide del Sol de la cultura teotihuacana y El Castillo, de la cultura maya. También se decodificó la primera página del Códice Fejérváry-Mayer, llegándose a la conclusión de que se trata de una representación plana de un monumento solar, a la vez que un gran tonalámatl de los pochtecas, tal como Miguel LeónPortilla ha señalado. 2. La investigación debe decir cosas nuevas sobre el objeto. Lo novedoso de este trabajo es la hipótesis no antes planteada de que existió en Mesoamérica un sistema de diseño basado en la numerología astronómica que permitió el dimensionamiento de las obras de arte y su decodificación; que este dimensionamiento se basa en ciclos astrales en coincidencia con el tonalpohualli, excepto las obras que representan ciclos lunares únicamente, las cuales no 1

Heinz Dieterich cita a Eco en su Nueva guía para la investigación científica, Editorial Ariel, México, 2003, pp. 101-102.

306


coinciden directamente con el ciclo de 260 días. Se aporta un nuevo método para el análisis de la historia del arte mesoamericano, que amplía las bases epistémicas de esta disciplina.

Se encuentra la verdadera forma y dimensiones de la Pirámide del Sol en Teotihuacan.

virtuales de sus creaciones. El sistema cum-

Lo novedoso de

ple una serie de reglas y procedimientos (cánones) para el dimensionamiento de los elementos de las obras, que implican la utilización de la geometría dinámica y la aplicación de diversos algoritmos basados en números astronómicos o calendáricos

este trabajo es la hipótesis no antes planteada de que existió en Mesoamérica un sistema de diseño

3. Tiene que ser útil a los demás. Se aporta una

-muchos de ellos decimales- en el cálculo de superficies y volúmenes, así como en las pendientes de los taludes de los cuerpos de

basado en la numerología astronómica que

nueva herramienta para entender el significa-

las pirámides. Se infiere que en sus cálculos

do último de las obras mesoamericanas, así como para la correcta restauración de las

los sabios mesoamericanos utilizaban decimales y funciones trigonométricas, cuando menos la tangente.

permitió el dimensionamiento de las obras de arte y su decodificación.

Se propone que los mesoamericanos emplearon ruedas numéricas -o algo semejante- para encontrar las relaciones entre los ciclos astronómicos y el tonalpohualli, así como para el dimensionamiento mismo de las obras.

pirámides: el sistema de diseño basado en la numerología astronómica mesoamericana. 4. Debe suministrar elementos para la verifi-

Los números volumétricos (nv) de los cuerpos tridimensionales, envolventes virtuales de las obras mesoamericanas, demues-

cación y la refutación de las hipótesis que presenta. En el estudio descriptivo se proporcionan todos los elementos de verificación,

tran que las formas escultóricas de Mesoamérica tienen un contenido esotérico que se remite a las relaciones de los ciclos astronó-

relacionando las obras con la propuesta.

micos y calendáricos entre sí, y con el tonal-

Al cumplirse estos cuatro postulados, el estudio realizado acerca de la numerología astronómica mesoamericana en la ar-

pohualli. El 260 o sus múltiplos están necesariamente presentes, de manera directa o indirecta, como factores de los NV solares

quitectura y el arte que aquí se presenta es científico.

de las envolventes virtuales de las piezas. Los números que expresan dichos volúmenes (nv) fueron asociados a los númenes

La numerología astronómica mesoamerica-

que creían que rigen a cada planeta, como por ejemplo Venus, como parte del sistema solar asociado a Quetzalcóatl; la Luna, a Chalchihuicueye o parte femenina de Tláloc;

na fue determinante del proporcionamiento y diseño del arte. No la numerología concebida con carácter adivinatorio, sino la que

el Sol del supramundo, a Tonatiuh; el Sol del inframundo, a Tláloc; y el sistema estelar, a Tezcatlipoca.

trata de las relaciones numéricas de sincronicidad entre los ciclos de los astros, y entre ellos y el tonalpohualli. Es una herramienta

Debido al gran respeto que profesaron a sus hombres de ciencia y al cuidado que tuvieron de conservar sus enseñanzas, el

que puede ser usada tanto en la creación como en la decodificación del sistema de diseño mesoamericano. La belleza que se encuentra en las

conocimiento que reflejan las creaciones olmecas pudo ser transmitido durante cerca de 3 000 años, por lo menos de 1200 a.C., posible fecha de la creación de las cabezas

obras, más que resultado de una voluntad estética que sin duda existió, se debe a la armónica aplicación del número que sacra-

colosales, a 1521 d.C, fecha de la caída de Tenochtitlan a manos de los españoles. Esto indica el gran aprecio que tuvieron por la

lizaron como divino. El sistema o proceso

sabiduría depositada en sus sabios, quienes

de creación del arte y la arquitectura exigía que los números de la duración y de la coincidencia de los ciclos astronómicos queda-

deben haber contado con la protección de su propio pueblo y la de sus mismos enemigos. Se asume que nadie se atrevería a ani-

ran sacralizados para ser incorporados en los volúmenes de los cuerpos envolventes

quilarlos, pues eran ellos quienes lograban la religión, la unión entre el cielo y la Tierra,

Conclusiones

Epílogo 307

un siglo mesoamericano contiene a su vez ocho tlalpillis.

que tuvieron de

pueblos, los más valiosos entre los hombres. Era en el tonalámatl, versión escrita del tonalpohualli, donde los agoreros leían el

La figura envolvente de sus obras tridimensionales pudo ser un prisma recto rectángulo (prr), un cilindro, un cono trun-

conservar sus

destino particular y colectivo de los pueblos.

cado o una sección de prisma, mas en las

enseñanzas, el

Una equivocación en los cálculos astronómicos podría ser fatal en la predicción del futuro; de ahí el espíritu perfeccionista que

obras estudiadas nunca se encontró que fuera utilizada la forma de pirámide trunca-

caracterizaba a los indígenas antes del encuentro con la brutalmente impuesta cultura europea.

Todas sus creaciones artísticas fueron eminentemente simbólicas. Para asegurar

No se ha encontrado una unidad ni sistema de medida dimensional común en Mesoamérica,2 aun cuando se ha buscado

dores fueron consistentes en las dimensiones de sus obras y en la iconografía. Tal vez solamente los gobernantes, sabios, sacer-

afanosamente. Su ausencia puede parecer caótica a los occidentales, y en consecuencia considerar que estaba ausente un sistema de diseño y que los objetos de arte eran

fundidad, interpretaron y transmitieron sus códices durante milenios.

creados siguiendo únicamente la voluntad de su creador; sin embargo, las proporciones y los modelos geométricos que eviden-

Sistemas numéricos. Existió un sistema numérico de base 20 y un conteo por trecenas que corría paralelo al anterior, lo que hacía

cian sus obras, así como el elaborado diseño de las pirámides y el desarrollo urbano del centro ceremonial de Teotihuacan, seña-

posible la relación de este sistema y del

respeto que profesaron a sus hombres de ciencia y al cuidado

conocimiento que reflejan las creaciones olmecas pudo ser transmitido durante cerca de 3 000 años.

Las proporciones y los modelos geométricos que evidencian sus obras señalan la aplicación al arte del conocimiento avanzado de la geometría, las matemáticas y la astronomía, que ya se tenía desde la cultura olmeca.

2

U = 104 u). La igualdad anterior nos dice que

ixiptla; eran ellos el instrumento de contacto con los dioses, los que conocían y manejaban el destino de los individuos y de los

Debido al gran

No se ha encontrado una unidad de medida espacial -aunque se han propuesto varias, ninguna confirmada ni general-,

da, como erróneamente se cree.

su correcta decodificacion los artistas crea-

dotes y gente de la élite conocieron a pro-

conteo vigesimal con el 260 del tonalpohualli, por ser el 20 uno de sus factores y otro el 13, que relacionaba la semana de 13 días

lan la aplicación al arte del conocimiento avanzado de la geometría, las matemáticas y la astronomía, que ya se tenía desde la cultura olmeca. Obras tan complejas y con

y los ciclos planetarios visibles a simple vista -con excepción de Júpiter- con el tonalpohualli. Además del sistema numéri-

tanto contenido esotérico no podrían elaborarse sin un sistema de diseño. En el proceso de creación cada pieza

co de base 20 y de los conteos por trecenas (de fundamental 13), la investigación apunta hacia diversos conteos calendáricos con

tuvo una unidad propia, que de alguna manera quedó registrada en la obra. Lo importante no era la dimensión de la unidad

fundamental 7, 8, 9, 11, 12, 17, 23, 27, etcétera (ver figuras 2.1 a 2.7).

empleada, sino el número de éstas y la pro-

Estudio del espacio. Fue mediante la geome-

porcionalidad entre las partes del diseño. Por ejemplo, una unidad de tiempo (o una magnitud) como el siglo mesoamericano podía

tría dinámica que los sabios estudiaron el espacio. Se valieron del círculo y de la perpendicularidad de dos de sus diámetros

ser representada mediante una línea que midiera 104 unidades, cada unidad de cualquier dimensión. Si para medida del siglo

para señalar los cuatro rumbos cardinales en el plano, y en el espacio los siete que resultaron de agregar el centro, el cenit y el

pendientes, uno solar y otro adivinatorio, con varias cuentas periódicas y simultá-

tomamos 104 u, habremos tomado una unidad de cualquier dimensión por cada año del siglo; pero también podría ser representada por ocho unidades mediante una uni-

nadir. A partir de esta división, al fijar

neas de ajuste: 360, 819, 2 340, 2 925, etcétera, además de la cuenta larga maya.

dad U, 13 veces mayor que la primera u, una unidad por cada tlalpilli (el tlalpiüi a su vez contiene 13 años): (1 U = 8 u, por lo que 13

pero sí sistemas y unidades cronológicas. Los mesoamericanos contaban y medían el tiempo con unidades en días, meses, siglos y eras, en un sistema de dos calendarios interde-

308


mediante ejes la posición de los astros en el cielo y determinar sus movimientos, se hizo comprensible el universo y se pudieron crear los calendarios. No se puede estudiar la naturaleza sin capturar y comprender el tiempo, dado que el espacio en donde se

presenta el fenómeno de la vida lo presupo-

hualli. Una de las funciones de su arte era

A diferencia del

ne. La importancia del tiempo radica en que es la dimensión que une las fracciones en

plasmar en los volúmenes de las formas geométricas envolventes virtuales de sus obras los NV que correspondieran a los ciclos celes-

arte occidental. que manejaba el

La astronomía a simple vista. La astronomía

tes. Ésta fue una manera de transmitir y dar a conocer los números de los ciclos astronómicos y calendáricos a aquellos que los

por el arte, los mesoamericanos manejaban el

mesoamericana fue desarrollada con méto-

supiesen leer en el arte. Estos números nos

arte por su tras-

dos de observación a simple vista, empleando marcadores arquitectónicos y elementos

cendencia.

topográficos circundantes en el horizonte

los transmiten también sus códices. Los mesoamericanos proporcionaron a sus obras determinadas características para

para referir posiciones y periodos, con los que determinaron el ciclo solar y otros ciclos celestes mediante cuentas de días.3

manifestar o reflejar el orden celeste a través de una relación epifánica, de sincronía, de semejanza (ixiptla). Esos atributos eran

En el México antiguo los astrónomos determinaron puntos fijos para calcular con exactitud los ciclos de los planetas, seña-

conferidos a la obra con un sentido metafísico de consagración, que fusionaba sus creaciones con la naturaleza y con las dei-

lando en un día determinado su posición mediante una visual lanzada hacia un astro y hacia un punto fijado de antemano como telón de fondo. Estos puntos eran diseñados

dades que la representaban. Se buscaba una penetración en el mundo metafísico plasmando diversos números dentro del orden racional, especialmente aquellos que rela-

ex profeso (Soustelle, 1988; Aveni, 1991; Galindo Trejo, 2001). Podían localizarse tanto en las mismas estrellas como en la

cionaban el movimiento astral y el ciclo del tonalpohualli. Se buscaba, además, una influencia de este espacio trascendente en

arquitectura de sus edificios, en las esquinas de los cúes o de los sagrarios que en lo alto los remataban, en las aristas de los taludes

nuestro mundo cotidiano y real. A diferencia del arte occidental, que manejaba el concepto del arte por el arte, los mesoamericanos

de las pirámides y en las cresterías de los

manejaban el arte por su trascendencia.

edificios, así como en lugares relevantes de la naturaleza, tales como peñascos y salientes de los montes donde colocaron marca-

Los ciclos astronómicos o calendáricos y sus relaciones con el tonalpohualli. Eric Thompson,

dores.4 Un observador se podía situar en el borde de la plataforma última de la Pirámide del Sol en Teotihuacan y desde allí

en sus comentarios al Códice de Dresde, hace alusión a la insistencia, casi obsesiva, que tenían los astrónomos-sacerdotes mayas de

lanzar visuales a ciertas esquinas del monumento para confirmar que el Sol llegara a los puntos estacionarios de los solsticios de verano o de invierno. En esos momentos se

poner en relación los números de los ciclos astronómicos con el tonalpohualli. Verdaderamente fue uno de los objetivos de esos sabios poder relacionar el calendario augu-

podían rectificar y hacer los ajustes necesarios al calendario solar. Para observar los pasos cenitales se utilizaron profundas cue-

ral con los astros, siendo el objetivo de los astrólogos predecir el futuro, tanto individual como colectivo. Que los sabios astró-

vas verticales, naturales o construidas por el hombre, teniendo en el fondo agua para reflejar la imagen del Sol en el instante en

nomos de Mesoamérica -no solamente los mayas, de acuerdo con esta investigacióntenían obsesión por relacionar los volúme-

que pasara por el cenit del lugar.5

nes de los PRR, posibles envolventes virtua-

que se puede descomponer espacialmente el universo.

Lo consagración de los números. Los sabios mesoamericanos se valieron de la numerología astronómica para hacer coincidir los ciclos astronómicos con el ciclo del tonalpo-

les de sus obras tridimensionales, con el 260 del tonalámatl ha quedado demostrada a lo largo de este estudio. Deben haberse creado las ruedas calendáricas o algo semejante -ruedas de números

concepto del arte

3

Jesús Galindo Trejo, “La observación celeste en el pensamiento prehispánico”, en Arqueología Mexicana, vol VIII, núm. 47, México, enero-febrero de

4

2001, p. 32. En Teotihuacan se han encontrado marcadores astronómicos en las colinas cerca-

nas y en el Cerro Gordo. 5 Rubén B. Morante, “Las cámaras astronómicas subterráneas”, en Arqueología Mexicana, vol. VIII, núm. 47, México, enero-febrero de 2001, pp. 46-51.

Epílogo 309

o series de números secuenciales-, que ini-

Los sabios mesoamericanos conocieron

hipótesis de que sus astrónomos se

cialmente coincidían en un punto cero por no haber movimiento, de acuerdo con el

los números de los ciclos planetarios y lunares. Dejaron constancia de ellos en la

adelantaron centenares de años a sus homólogos

pensamiento indígena que procuraba interrelacionar todos los ciclos astronómicos entre sí y de manera particular los ciclos so-

decoración de la cerámica y en las medidas lineales, de superficie o volumétricas, de las figuras geométricas, envolventes vir-

europeos al conce-

lares con el 260 del calendario augural. Al

tuales de sus obras de arte. Diferenciaron

bir la idea de que

crearse el tiempo y el espacio cada astro

perfectamente

la Tierra es redonda, que el Sol está

comenzó el recorrido de su órbita en el firmamento y cuando dos o más astros pasaban

saros, revoluciones dracónicas, sinódicas y

en el centro del sistema solar y de que las órbitas de

simultáneamente por el punto inicial se cerraban sus ciclos. Entonces se podía calcular el número de vueltas que las ruedas

eclipses. Sabían, además, que un eclipse solar solamente puede ocurrir cuando la Luna

los planetas son

calendáricas tendrían que dar para volver a coincidir en su punto de inicio (llegar a un lub), mas llegaría finalmente el día en que

días a uno y otro lados del nodo y que si la Luna es llena se producirá un eclipse de Sol. Se presenta aquí la hipótesis de que sus

todos los astros se encontraran otra vez en

astrónomos se adelantaron centenares de

el punto inicial, cesando todo movimiento, cerrándose así una gran era o ciclo para dar comienzo a otro.

años a sus homólogos europeos al concebir la idea de que la Tierra es redonda, que el Sol está en el centro del sistema solar7 y de que

Considerar el tiempo como circular y dividirlo en ciclos, de manera que cada uno de los planetas tuviese su propia rueda de

las órbitas de los planetas son elípticas. Esto puede verse en el diseño del calendario azteca y en el de otras piedras calendáricas sola-

números, haciendo corresponder los ciclos de unos y otros para definir los calendarios, demuestra una mente ordenada, analítica, sintetizadora y paciente que llevó a

res, así como en dibujos de algunos códices: el Sol está al centro, y siguiendo un orden hacia el exterior se encuentran círculos concéntricos que representan los ciclos de los

los mesoamericanos a conocer diversos eventos de la naturaleza. Entre ellos el ciclo de 104 años, con un significado astronómico

planetas y a veces también los de la Luna,8 entre otros conceptos (Martínez del Sobral, próxima publicación).

del que nuestro siglo de 100 años carece.6

Los números 3, 4, 5, 7, 9, 13 y 20 fueron utilizados como factores de los ciclos celestes, además del 92 = 81 y otros como el 260,

Se presenta aquí la

elíptica s.

6

Si consideramos nuestro siglo de 100 años, tendremos al final del ciclo 36 500 días, un mínimo común múltiplo (MCM) no tan bueno como el de 37 960, pues éste sí coincide con el tonalpohualli mientras que el otro no (37 960 / 260 = 146, un número exacto de vueltas del calendario augural, mientras que en 36 500 / 260 = 140.3846..., número no entero, por lo que al cabo de 100 años no habrá ninguna coincidencia de ciclos astronómicos ni con el tonalpohualli ni con nada, más que con el 365 del que partimos inicialmente. Esto quiere decir que el siglo de 100 años coincide solamente con el número de días vueltas (100) del ciclo de 365. Nuestro siglo de 100 años tiene su razón de ser en nuestro sistema numérico de base 10.

7

8

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde / Libro de jeroglifos mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, pp. 179-180. “No sabiendo que la Tierra era redonda y que giraba alrededor del Sol, los mayas nunca habrían podido conocer el hecho de que un eclipse solar puede ocurrir sólo cuando la Luna nueva cae dentro de alrededor de 18 días a uno y otro lados del nodo”, el punto en que se cruzan las trayectorias del Sol y de la Luna. A veces las órbitas quedan representadas por círculos achatados, que probable-

mente quisieron ser elipses sin llegar a serlo. En glifos cercanos a la Conquista se pueden ver elipses trazadas correctamente, como en el calendario azteca. 9 La evidencia de que el círculo estaba dividido en 360 grados se encuentra en los ángulos que aparecen con numerales en el calendario azteca.


entre

ciclos

metónicos,

sidéreas de la Luna y pudieron predecir los

nueva cae dentro de aproximadamente 18

duración del ciclo del tonalpohualli; el 360, ciclo solar ajustado a los 360 grados del círculo,9 dejando fuera los cinco nemontemi; la duración del año trópico; el 52 en años o medio siglo, y el 104 en años o siglo mesoamericano; el año del inframundo de 364 días; el 676 en años o era cosmogónica (13 x 52 años); y el 1 872 000 días o era maya (360 x 5 200). El Códice de Dresde es testigo de los números empleados para indicar la duración y relación entre los ciclos astronómicos. Una de sus grandes invenciones calendáricas fue la del año del inframundo de 364 días, número ambivalente que tiene como factores tanto el 52 como el 28, números solar y lunar, respectivamente. Thompson lo llama “año de cálculo” y

Forstermann, “año ritual”,10 pero en esta

Los NV de los prismas rectos rectángulos (PRR)

La constante φ =

investigación se le ha llamado año del inframundo por estar relacionado con este ámbi-

envolventes virtuales de las piezas olmecas. En Mesoamérica existieron códices como

1 .618 ... (el número de oro) pudo

to. Otra invención fue la del ciclo de 819

el Códice Aubin o el Códice borbónico, de

días del antiguo calendario lunar; otra más fue el tlalpilli, ciclo calendárico de 13 años,

contenido calendárico y ritual, o los de contenido matemático y astronómico, como el de Dresde, el de Madrid, el de París y pro-

ser determinada por medios geométricos y mate-

que es la cuarta parte del ciclo de 52. Es

máticos; también

interesante observar que también 13 es el número de grados que diariamente recorre la Luna en el cielo, que 12 son las estrellas

bablemente el que se han conservado a la fecha. Algunos de los NV de las creaciones del arte mesoamericano están

pudo ser determinada por medio de observaciones

circunpolares suman 13.11

contenidos en el Códice de Dresde como múltiplos o submúltiplos de los allí registrados; algunos como números astronómi-

astronómicas de los ciclos venusinos y de la apa-

correspondía al medio año de eclipses y que éste y la cuenta de 260 se corresponden entre sí: 3 x 173.3 = 2 x 260 = 520.12 En el Códice de Dresde, para las cuentas lunares

cos (NSA), otros calendáricos (NSC) como (NF) de ajuste o de enlace.15 códice (siglo IX d.C., tal vez copia anterior)16 aparecen los mismos NV

rente órbita solar (585 / 365 = 1.6 y 5 8 5 / 3 6 0 = 1.625).

de eclipses, se “cuentan intervalos de 177 días con algún intervalo ocasional de 178 (seis lunaciones son 177.18 días), pero antes

envolventes virtuales de la piezas olmecas sujetos de esta investigación, por lo que se puede decir que para el año 1200 a.C. se

de cada uno de los nueve dibujos espaciados irregularmente a lo largo de la tabla el intervalo es de 148 días (cinco lunaciones de

pronosticaban eclipses, se ajustaban fechas calendáricas y se tenían tablas de cálculos que sirvieran para largos periodos de pro-

147.65 días)”.13 La suma de 177 + 148 = 325 es un número importante de su numerología; quedó registrado en unidades a la manera indígena en el lado mayor de la base

nóstico.17 El almanaque sagrado existía ya en la época en que fueron esculpidas las cabezas colosales olmecas (1200 a.C.-800 a.C), siglos antes de que los sacerdotes

mayor del primer cuerpo del viejo templo de Quetzalcóatl (ver el número 325 en el apéndice 1, “Números”). La mitad de 325

mayas asentaran en el Códice de Dresde los números relacionados con el cálculo de predicción de los eclipses. La mayoría de los

que

Encontraron

agregadas que

el

a

la

número

Polar 173.3

es 162.5, que dividido entre 100 = 1.625, uno de los parámetros del número de oro, φ, para los mesoamericanos, siendo el otro 1.6, que se obtiene como resultado de la división de 8 / 5, donde el 5 y el 8 son números consecutivos de la serie de Fibonacci. La constante φ = 1.618... (el número de oro) pudo ser determinada por medios geométricos y matemáticos; también pudo ser determinada por medio de observaciones astro-

Grolier,14

y otros En ese de uno de las

10

César Lizardi Ramos, “Presuntos métodos mayas de cálculos cronológicos”, en Estudios de Cultura Maya, UNAM, México, 1964, p. 295.

11

Tal vez ésta fue la razón de los doce apóstoles, con Cristo al centro. Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura

12

Económica, México, 1991, p. 207. Eric S. Thompson, op. cit., p. 175.

13J. 14

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 197. los números que se encuentran en Un Comentario...: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 35, 36, 39, 40, 42, 47, 48, 49, 52, 54, 60, 62, 65, 66, 74, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 104, 108, 117, 121, 130, 139, 140, 146, 148, 168, 172, 173.31, 177, 178, 182, 192, 194,

15Entre

nómicas de los ciclos venusinos y de la

195, 196, 208, 216, 234, 236, 250, 260, 263, 270, 312, 324, 325, 326, 360, 361, 364, 365, 378, 390, 400, 405, 420, 455, 468, 486, 520, 540, 546, 552, 558, 559, 560, 576, 584, 585, 592, 593, 594, 624, 648, 650, 667, 702, 715, 780, 820, 845, 910, 936, 975, 1 026, 1 040, 1 055, 1 092, 1 105, 1 160, 1 168, 1 170, 1 235, 1 300,

aparente órbita solar (585 / 365 = 1.6 y 585 / 360 = 1.625). Emplearon con mucha aproximación la

1 365, 1 404, 1 430, 1 494, 1 495, 1 560, 1 625, 1 690, 1 744, 1 752, 1 755, 1 820,

constante π en el diseño circular de obras de alfarería, por lo que se puede asegurar que conocieron perfectamente la relación

1 841, 1 988, 2 340, 2 078, 2 328, 2 336, 2 340, 2 386, 2 572, 2 602, 2 912, 2 920, 3 945, 5 460, 5 840, 7 020, 7 200, 7 280, 8 424, 8 760, 9 360, 10 660, 11 680, 11 960, 14 600, 17 520, 18 980, 20 440, 23 360, 26 280, 29 200, 32 120, 33 280 35 040, 37 960, 59 800, 68 900, 75 920, 113 880, 131 040, 151 320, 151 840, 185 120.

del diámetro del círculo con su circunferen-

16

cia. En la era maya de 1 872 000 días π y ϕ están como factores exactos.

haya pintado entre 1200 y 1450 d.C. 17 Algunos expertos opinan que el Códice de Dresde es una copia de otro anterior.

Parece ser que este códice fue copiado de otro más antiguo. El actual tal vez se

Epílogo 311

La cultura olmeca creó la corriente

NV de los PRR envolventes virtuales de las

de pensamiento

260 como factor. Al ser esos números fac-

que aculturó Mesoamérica, la

tores de los NV encontrados en el análisis de las piezas, se infiere que las observaciones astronómicas debieron haber comenzado

cual le dio unidad e identidad.

cabezas colosales tiene de manera directa el

libros del Nuevo Mundo, Editorial Aguilar, México, 2003, p. 225.

312

cual le dio unidad e identidad. El calendario augural o tonalpohualli. El

zas colosales olmecas, cuando éstas fueron

hombre siempre ha escudriñado el cielo tra-

esculpidas ya se pronosticaban eclipses y estaban bien determinados los ciclos sinódicos de los planetas visibles a simple vista,

tando de conocer el futuro por medio de los astros. En Mesoamérica la asociación del calendario augural o tonalpohualli -por-

así como el año trópico y los trópicos de

tador de la suerte de los hombres- con los

Cáncer y de Capricornio, el ecuador celeste, la trayectoria del Sol en la eclíptica, los pasos del Sol por el cenit, etcétera.18

ciclos astronómicos fue indispensable para aquellos que creían que desde el vientre materno su destino estaba determinado por

Entre los NSA, NSC y números de signi-

los astros. La necesidad de relacionar los eventos astronómicos con la gestación de la vida humana obligaba a que el 260 estu-

calendario sagrado, 260 días; medio año de eclipses, 173.33 días; era cosmogónica, en

viese presente como factor de los números de ciclos solares que aparecen en los volúmenes de las figuras tridimensionales que

años, 676; el número 9 360, en días el thix

pueden ser envolventes virtuales de las

maya para predecir eclipses; el número 780, en días el ciclo sinódico de Marte (o tres tonalpohuallis); el número 13, en años el

obras de arte mesoamericano. No solamente quedaron los tonalámatl escritos en los códices. La Pirámide del Sol

tlalpilli; el número 27, en días el ciclo dracónico lunar ajustado; el número 52, en días la quinta parte del tonalpohualli y en años el

en Teotihuacan de cierta manera es un gran tonalámatl en mampostería, de la misma manera en que lo es el plano de la pirámi-

medio siglo mesoamericano; el número 104,

de solar pintada en la primera página del

en años el siglo mesoamericano; el número 364, en días el año del Sol del inframundo; el número 819, en días el calendario lunar

Códice Fejérváry-Mayer: un tonalámatl de los pochtecas celestes.19

atribuido a los mayas, y también estará como factor el 27.3, que en días es el ciclo sidéreo lunar; el número 31, en grados el

días puede ser múltiple: astronómico, matemático, biológico y geográfico. El origen biológico radica en que coincide con el

ángulo eclíptico solar; el número 585, en días el ciclo sinódico de Venus; el número 117, en días el ciclo sinódico de Mercurio.

tiempo aproximado de la gestación del ser humano de 260 días. El origen matemático, en que el 260 tiene como factores el 20 y el

Al analizar esta lista se confirma que ya

13, al igual que los tiene la mayoría de los

en la cultura olmeca eran empleados todos los ciclos calendáricos y astronómicos como NSA y NSC de los NV encontrados en las

ciclos sinódicos planetarios visibles a simple vista, además del 676 (en años) o era cosmogónica y el 1 872 000 (en días, la era

envolventes virtuales de sus obras. En verdad las culturas posteriores sólo vinieron a confirmar y tal vez afinar las observaciones

maya), o el año del inframundo de 364 días. El origen astronómico está relacionado con los eclipses, y es el 520, el doble de 260, un

astronómicas y predicciones logradas por los astrónomos olmecas. Ellos empleaban el calendario augural o tonalpohualli, y

número que contiene tres medios años de eclipses (520 = 3 x 173.33). La manera de relacionar el tonalpohua-

todos los elementos astronómicos, geomé-

lli con eventos astronómicos es mediante el

to olmecas se encuentran los siguientes:

capítulos IV, VII, VIII y IX de este libro. 19 Miguel León-Portilla, Códices: los antiguos

comprendidos, establecidos y manejados. La cultura olmeca creó la corriente de pensamiento que aculturó Mesoamérica, la

muchos siglos antes de 1200 a.C. De acuerdo con el resultado del estudio de las cabe-

ficado geográfico (NSG) que se empleaban como NV en las figuras de pequeño forma-

18 Ver

tricos, matemáticos y numerológicos con los que trabajaron eran ya perfectamente


El origen del calendario augural de 260

MCM (mínimo común múltiplo) de 260 y de

ra

los números que expresan la duración de los ciclos con los que se quisiera enganchar, engranar o hacer coincidir. Esta coinciden-

duración del ciclo del

cia de ciclos corresponde a lo que Thompson llama “recuperación del lub”. Todos esos ciclos se pueden relacionar o engan-

mas

char a través del 13 o del 20 mediante su

mesoamericanos en general.

mínimo común múltiplo, de manera que matemáticamente el calendario augural siempre estuvo íntimamente ligado a lo

augural

astronómico y a lo biológico. La fundación de poblaciones prehispánicas en el paralelo 15° N está relacionada con el tonalpohualli. Se explica al dividir el año de 365 días o año vago en dos: un lapso de 260 días y el otro de 105 días. El lapso de

sagradas.

ciclos

astronómicos

Luna

mediante rectos

tualmente esculturas

y

ron

empleaban

o

las

olmecas

y

el

calendario

todos

con

vira

los

geométricos,

ya

la

pris-

envuelven

objetos

numerológicos

eran

de

los

colosales

y

la

de los

y

de

que

diversos

astronómicos,

cos

planetas

cabezas

tonalpohualli

elemenmatemáti-

los

que

perfectamente

trabaja-

comprendidos,

establecidos y manejados por ellos.

Números

volumétricos

astronómico (nsa)

260 días -la duración del tonalpohualli- es

co (nv)

humana; el lapso de 105 días es tiempo de fructificación y corresponde a los días que permanece el Sol arriba de la latitud citada,

calendárico

siderado que, por semejanza, el día del segundo paso cenital del Sol en esa latitud la Tierra quedaba embarazada por los ver-

los

volúmenes

olmecas o

tos

las

expresaron

tonalpohualli,

de

los

de

Los

olmecas

rectángulos

a

el tiempo aproximado que permanece el feto humano en la matriz de la madre; de ahí su relación con el tiempo de gestación

cuando el Sol está en la región del norte o del hielo, y es el tiempo que el Sol permanece cada año por arriba del paralelo 15° N.20 Los mesoamericanos deben haber con-

Los

(NSC).

riamente a

Para

adquiera

un

que

un

al

debe

ciclo

astronómico (NSC),

de

significado

número

significado

asociado ciclo

(nv)

de significado calendári-

o

así

volumétrico

estar

necesa-

tonalpohualli,

del

(nsa)

o

a

como

ser

un

ciclo

coinciden-

te con uno o más ciclos, o con sus múltiplos o submúltiplos. Una

vez

obtenida

el

área

o

volumen

de

la pieza (NV) y de cada uno de sus cuerpos, en

el

los

caso

de

pirámide y corroborados

una

resultados,

debe

revisarse

si

el

NV

corresponde a alguno de los NSA o NSC, factores

de

ricos

que

los

ciclos

astronómicos

consagran

ticales rayos solares y, como consecuencia, nuestro planeta daría a luz 260 días más tarde, durante el primer paso cenital del Sol

primer orden.

en la latitud ya mencionada, cuando va el

investigar

astro rey en dirección norte hacia el Trópico de Cáncer. El Sol pasa 105 días por arriba del paralelo 15° N,21 tiempo en que la Tierra

cuáles

constituye

dichos

su

definición

lo

que

análisis

de

presenta

un

NV

se

se

trata

un

NSA,

buscando

pueden estén

un

se

si

que

calendá-

números,

verdaderamente

Cuando

y

ser

de

sus

contenidos

factores

en

éste.

aritmética

o

números

El

como

debe

NV el

tiene

mínimo

da sus frutos durante la época de lluvias en el altiplano mexicano. Existen calendarios adivinatorios en el

lo que la tarea consiste en aplicar los méto-

Códice Aubin o en el Códice borbónico donde se emplean los mismos números que se encuentran al hacer el análisis de las obras

mente

común

dos

cos, que quedaron también registrados en la cerámica, en la escultura y en la arquitectu-

(mcm)

aritméticos

encontrar

los

los

de

ciclos,

correspondientes

factores

que

varios

que a

los

20

hasta

serán

correspondan

por

específicaNSA

y

Por lo general el ensayo de dividir sucesivamente NSC

el

NV

permite

entre

de

de

identificar

e

número involucrado.

sucesivos

desmadejar

asociaciones ellos

los

rápidamente

multiplicidad qué

NSA

que los pasos del Sol por el cenit dividen el año en dos partes con duración de 260 y 105 días.”

o sus

con

cada

uno

función

tiene

cada

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 170. “Según cierta explicación, la cuenta ritual de 260 días tuvo origen en Copán, situada a una latitud de 14° 57', en

a

los NSC.

bi o tridimensionales mesoamericanas. Pero es en el Códice de Dresde en donde directamente está la mayoría de los números obtenidos por métodos geométricos-matemáti-

múltiplo

21

Jesús Galindo Trejo, op. cit., pp. 33-35.

Epílogo 313

El proceso de análisis en piezas escultóricas

Es factible que el proceso no resulte

de piedra o barro. Para realizar el análisis

satisfactorio en alguna de sus etapas al primer intento y que se deban realizar nuevos

geométrico

de

una pieza sus proporciones

fotográficas,

ensayos, hasta obtener resultados apegados al cumplimiento total de los principios de diseño y proporcionamiento de la pieza.

pero en ambos casos existen requerimien-

La congruencia del proceso con los resulta-

tos

dos reside en el cumplimiento de las reglas de trabajo explicadas antes; no obstante, algunas veces se puede encontrar una pe-

u medidas en unidades a la manera indígena

pueden

ser

determinadas

directamente

en

ésta

bien

en

o

técnicos

facerse

a

fin

imágenes

mínimos de

que

obtener

deben

satis-

proporciones

y

medidas confiables. Se excluye de este pro-

estos monumentos no podrán ser determina-

queña diferencia entre las medidas dadas por otros investigadores y las que harían congruente el proceso; en ese caso se debe-

das

necesitarán

rán dar por buenas estas últimas, siempre y

levantamientos o planos precisos para poder

cuando estén dentro de los parámetros de las medidas propuestas por los estudiosos.

ceso el análisis de las pirámides ya mencionado en el capítulo X, ya que las medidas de mediante

fotografías;

se

encontrar correctamente su unidad de medi-

Para llevar a cabo un análisis geomé-

da en unidades a la manera indígena. 1. Se deberá determinar cuál fue la unidad de medida o proporción (u, u)

2. Una vez conocida la unidad (u, U) se

siguientes: Para iniciar la medición y conversión de medidas en unidades a la manera indíge-

acotarán con ella las caras de la figu-

na (u, u) en cada pieza se debe encontrar en

ra geométrica PRR o cilindro envol-

dónde dejaron constancia de ella. Se debe considerar que el estado físico de la pieza

empleada en el diseño de la pieza o monumento.

vente virtual de la pieza: altura (h), ancho (w) y profundidad (L). 3. Se obtendrá el volumen (u3, U3) de la pieza (NV) en unidades cúbicas a la manera indígena mediante la fórmu-

puede presentar alteraciones en su forma por roturas, erosiones o desprendimientos, que pueden llevar a datos y resultados incongruentes pero susceptibles de ser

co obtenido como NV y se revisarán

corregidos satisfactoriamente con algún ajuste menor de la dimensión de la cara afectada. En este sentido es importante

sus

recordar que las obras elaboradas con pie-

la correspondiente. 4. Se considerará el número volumétrirelaciones

de

multiplicidad

pecto a los NSA y a los NSC.

22

trico adecuado, además del cumplimiento de las reglas (cánones), es necesario tener en cuenta los aspectos del procedimiento

De las alteraciones o deterioros de la forma por causas naturales no se salva prácticamente ningún material, sea piedra (de cualquiera de sus tipos), madera, cerámica, hueso, etcétera, sea en forma de contracción, degradación físico-química, fisuramiento o agrietamiento, intemperismo, estallamiento, erosión. Sin embargo, la cerámica, el hueso y la piedra son tal vez los materiales mejor dotados para conservar su forma, salvo cuando son sometidos a cargas o impactos directos.

res-

dra o en barro, por ejemplo estelas o esculturas, pueden presentar irregularidades intencionales de forma, dado el sentido de esa pieza en particular. Muchas veces lo que se ha considerado como una imperfección, como por ejemplo un descuadre intencional de la envolvente de la pieza, se debe a que allí, en el descuadre mismo, se está marcando la unidad de medida o proporción con la que fue proyectada.

Por otra parte, en el caso de los basamentos piramidales, además del deterioro de sus materiales constitutivos, han estado expuestos a intervenciones de restauración poco exitosas, asentamientos del subsuelo, desplazamientos de

A las dificultades del trabajo escultórico sobre materiales pétreos se debe agregar el deterioro accidental o natural que las pie-

ladera, erosión, colapsos, saqueos, todo lo cual ha distorsionado su forma progresivamente, generándose un desafío especializado e interdisciplinario para poder reconstruir hipotéticamente sus dimensiones originales y emprender medidas de conservación y restauración.

zas arqueológicas han sufrido a lo largo de los siglos, por lo que es lógica la posibilidad de encontrar irregularidades en la forma.22

314


Por estas razones considerar algún ajuste

produce un eclipse, simbolizado por los gli-

La cruz de

menor en el proceso de conversión de unidades de medida no debe ser una licencia arbitraria que se tome para obtener resulta-

fos 552 y 565 del Catálogo de Thompson.

Quetzalcóatl

La cruz de Malta o cruz de Quetzalcóatl.

simboliza el segundo paso

dos convenientes al investigador, sino un ensayo que debe estar plenamente justificado y que debe informarse como tal en el

Mucho ha intrigado a los investigadores de

cenital del Sol

la historia del arte y arqueólogos la cruz de Quetzalcóatl o cruz de Malta, que tiene for-

en el año, cuando fecunda a la

análisis de cualquier pieza. Siempre debe realizarse una revisión completa del proceso que incluya las tareas

ma de cruz griega al tener sus brazos perpendiculares y del mismo largo. Pero mientras que en una cruz griega los lados son del

Tierra y genera vida.

de medición, de determinación o conver-

mismo ancho, la de Quetzalcóatl tiene algu-

sión de dimensiones en unidades a la manera indígena, de cálculos para obtener las áreas o volúmenes de la pieza o de las sec-

nas veces un brazo más ancho en una unidad que el otro, dejando en la diferencia de medida la unidad o proporción usada en el dise-

ciones de los cuerpos, como en el caso de las pirámides, y de determinación de las relaciones numérico-astronómicas preva-

ño de esa cruz en particular. La sincronización del año trópico con el tonalpohualli se logra mediante el núme-

lentes de las áreas o volúmenes calculados

ro 550 420, MCM del 260 y del 365.2422:

entre estos mismos o entre ellos y el tonalpohualli, de 260 días.

550 420 / (29 x 73) = 1 507 x 365.2422. En la igualdad anterior está el solar 73 (NSC); el 29 (NF) y el 377 (NSA) del ciclo sinódico de

La cruz de San Andrés o de las bandas cruzadas. Esta cruz, tan empleada en la cultura olmeca, es un símbolo astronómico que

Saturno. (Ver cuadro del 550 420.) Para la coincidencia con el tonalpohualli considerando el año vago o xíhuitl de 365

significa el movimiento del Sol a lo largo de la eclíptica. El punto de cruce de los brazos de la cruz generalmente forma un ángulo de 47°, que es el ángulo intertropical, aun-

días tendrá que pasar o girar la rueda solar de engranajes 1 508 veces, pero si se considera el año trópico exacto de 365.2422 girará 1 507 veces, por lo que habrá una dife-

que también puede tener la medida de algún ciclo solar, como 104°, 105° o 52°. Los extremos de los brazos señalan los tró-

rencia de un año que habrá que compensar (365 x 1 508 = 365.2422 x 1 507 = 550 420.)23 La cruz de Quetzalcóatl simboliza el

picos de Capricornio al sur y el de Cáncer al norte. Esta cruz aparece con frecuencia en las esculturas olmecas de hombres o muje-

segundo paso cenital del Sol en el año, cuando fecunda a la Tierra y genera vida. El segundo paso cenital del Sol, en la latitud

res que presentan entre sus brazos a un niño que simboliza un nuevo ciclo solar, el año trópico del que los olmecas conocieron la duración aproximada. A veces este sím-

de 15° N, marca el inicio del tiempo de gestación de los frutos de la Tierra, incluyendo el del ser humano. El primer paso cenital del Sol en el año marca el momento del

bolo aparece en el pecho mismo del niño. Los números del Catálogo de Thompson 552 y 565 señalan el cruce del Sol en la

nacimiento, época de abundancia, cuando la Tierra da a luz sus frutos. La cruz de Quetzalcóatl significa la fecundación, el

eclíptica con el recorrido celeste de la Luna. Beyer identificó el glifo 565 como las escamas de un dragón que lleva los signos pla-

comienzo de un nuevo ciclo de vida.

netarios en su abdomen. Al igual que el glifo

Las esculturas de pequeño formato. Se efectuó el análisis de 60 objetos, de los cuales 34

552, el signo del dragón celeste está representando la eclíptica, camino o banda celeste de la que no se desvían mucho los plane-

son de pequeño formato de la cultura olmeca y las restantes 26 procedentes de diversos horizontes culturales y temporales de

Constanza Vega Sosa, Códice Azoyú / El reino de Tlachinollan,

tas y la Luna en su eterna travesía. Al encontrarse el Sol y la Luna en un nodo se

Mesoamérica. Sus medidas fueron tomadas de publicaciones ajenas a esta investigación.

Económica, México,

23

Munro Edmonson, en

Fondo de Cultura

1991.

Epílogo 315

Todas las

Las esculturas mesoamericanas de pequeño

esculturas anali-

formato, y en particular las de la cultura olmeca, expresan por lo general la coinci-

zadas tuvieron

nos y los corazones representan las dos grandes fuerzas creadoras: la acción y el pensamiento-sentimiento; la mano y la

den dividir en

dencia de los ciclos de los astros entre estos mismos y, cuando son solares, entre éstos y el tonalpohualli. El análisis de los números

tres grandes gru-

que arrojan los volúmenes de las figuras geo-

mente-corazón. Mediante dos corazones y cuatro manos se está indicando la característica de dualidad del creador. Al centro se encuentra una calavera, Mictlantecutli,

pos: las solares,

métricas tridimensionales que pueden ser envolventes virtuales de las esculturas permite una decodificación que confirma su

numen del reino del norte, donde Venus muere opacado por el Sol al pasar por atrás de él en su conjunción superior. Hasta allí

iconografía. En el capítulo II, figura II.8, se presenta un análisis numérico e iconográfico de

el cielo superior. La parte media significa la superficie de la Tierra, nuestro ámbito, donde las serpien-

la almena conocida como la cruz de Tláloc, con el propósito de servir de ejemplo del cambio de medidas dadas en sistemas ajenos al empleado en Mesoamérica -yardas,

tes reptan antes de poderse elevar al cielo de los dioses. Finalmente, en la parte inferior, el inframundo, el reino de las tinieblas.

pies, varas, etcétera- en unidades a la manera indígena. Su estudio reveló que en la piedra se señala el paso del Sol por el

esculturas olmecas de pequeño formato se puede asegurar que fueron los hombres de ese pueblo los primeros en tener esos profun-

ecuador celeste el día de los equinoccios, cuando el Sol cruza el ecuador celeste dividiendo el año y el día en dos partes iguales.

dos conocimientos astronómicos y de utilizar los números con significado astronómico (NSA) o calendárico (NSC) en el dimensionamiento

La pieza es simétrica con relación a su eje

de sus obras de arte. Las demás culturas de

vertical, al igual que el día y la noche durante los equinoccios con relación al meridiano del lugar. También esta piedra

Mesoamérica tuvieron el mérito de conservar un particular sistema de diseño, de hacer los números de los ciclos astronómicos suyos y

nos remite al agua que trae la Luna y al lapso que el Sol pasa por arriba de la latitud 15° N (105 días), tiempo de lluvias en el

de plasmarlos y transmitirlos de manera ininterrumpida hasta la Conquista. Todas las esculturas analizadas tuvie-

altiplano mexicano. Otro ejemplo de coincidencia de la interpretación iconográfica con la numéri-

ron significado astronómico y se pueden dividir en tres grandes grupos: las solares, las lunares y las venusinas. Los demás

significado astronómico y se pue-

las lunares y las venusinas.

Una vez terminado el estudio de las 34

ca se tiene en la Coatlicue, cuyo análisis del

ciclos astrales también fueron representa-

sistema de decodificación también ya fue tratado (ver el capítulo VI, figura VI.1, subcapítulo “Otro ejemplo: la Coatlicue”). En

dos en las esculturas, aunque los más comúnmente expresados fueron sin duda los

esa escultura las dos mitades del año (o tal vez dos ciclos anuales) quedan representadas por las dos cabezas de serpiente de per-

indicando eclipses-, seguidos de Venus en tercer lugar. Las solares tienen sus ciclos coincidiendo directamente con el tonalpo-

fil que se unen formando una sola de frente en el cielo superior, tachonado de estrellas. De las fauces del animal salen cuatro chorros de agua en forma de dientes de

hualli y siempre tienen como factor el 13, lo que indica que estaban consagradas al Sol (el 13 es un número del sistema solar),

del Sol y de la Luna -muchísimas veces

saurio, iguales a los que se pueden ver en la almena de la que se habló anteriormente. La lengua bífida confirma que se trata de

mientras que en las lunares los factores se encuentran usualmente son el 7 y el de ahí la dificultad de hacer coincidir ciclos con el calendario adivinatorio.

dos ciclos (la dualidad) y en el pecho se encuentra el medallón de Venus rodeado de cuatro manos y dos corazones. Las ma-

factores frecuentes de las venusinas, además del 13, fueron el 5 y el 73, que sí coinciden con el tonalpohualli.


que 27; sus Los

Otros ciclos que revelan las esculturas

...con frecuencia confundido con el saros y

de pequeño formato olmecas son, además de los ciclos de Mercurio, Venus y la Luna, de los

el periodo de regresión lunar, uno de los ciclos más conocidos entre los astrónomos

que se habla en el capítulo VII, figura núme-

del Viejo Mundo es el ciclo metónico en que

ro 7 de ese mismo capítulo, la cual indica

la Luna llena regresa a una fecha idéntica

que los olmecas ya conocían el ciclo de Venus como Estrella de la Tarde. La figura

del año trópico, lo cual se logra casi exac-

número 13 revela que conocían el ciclo sinódico lunar de 29.5454 días, lo que prueba que hacían cálculos con gran exactitud

(6 939.6018 días) = 235 meses sinódicos

en los que intervenían números fraccionarios; la figura número 26 del mismo capítulo demuestra que también empleaban el 29.5268 como ciclo sinódico lunar, pero el número del ciclo sinódico de la Luna exacto, 29.5305, quedó plasmado como factor del NV del PRR envolvente virtual del sarcófago de La Venta (figura número 2, capítulo

tamente en un periodo de 19 años trópicos lunares (6 939.6884 días), faltando sólo dos horas por ciclo.24

Todas las hachas votivas de la cultura olmeca que se han encontrado en enterramientos están relacionadas con el inframundo, lo que hace pensar que simbolizaban el instrumento para plantar la semilla que se colocaba dentro de la Tierra, en el

1 872 000 / 63 392 = 29.53054).

inframundo (el grano de maíz), que con el agua y el calor fecundante del Sol germinaría trayendo nueva vida.25 Algunas de

El NV de la escultura de pequeño formato número 25, “Figura sentada”, 3 380 u3, indica que para cuando fue tallada esta

estas hachas tienen en la cabeza una incisión de 31°, que simboliza el ángulo del límite eclíptico solar; puede ser la incisión

estatuilla ya conocían el medio año de

de 52° y representar el ciclo solar de 52

eclipses, de 173.3 días, y que habían determinado que las eras cosmogónicas valieran 676 años (5 x 676 = 3 380). La era cosmogó-

años, el Fuego Nuevo, la renovación de la vida y esperanza de resurrección; otras, un ángulo de 104o,26 que significa el siglo

nica puede tener un origen geométrico: un cuadrado de 260 unidades de lado, con superficie de 67 600 u2, que en eras cosmo-

mesoamericano; y otras más en la frente tienen una banda con dos salientes en forma de rectángulos (en otras cabezas pue-

gónicas corresponde a 100 de éstas. El NV de la escultura de pequeño formato número 32, “Placa con efigie sobrenatural” (NV = 210 u3), se hace coincidir con el

den ser circulares) y tal vez representen los nodos donde ocurren los eclipses. Las cabezas colosales olmecas. Estas cabe-

tonalpohualli al multiplicarlo por 130, resultando un nv que corresponde mil veces al ciclo sidéreo de la Luna (210 x 130 = 27 300 =

zas son numerales, igual que los numerales mayas de cabezas en pinturas y bajorrelieves. Sus NV son registros de ciclos planeta-

105 x 260). Ese NV también está relacionado con el 7 y el 91, ambos números lunares; el último es la cuarta parte del año del inframundo:

rios y de su coincidencia con el tonalpohualli. Los rostros de estas cabezas colosales no pueden ser realistas, ya que las dimensiones de su PRR, envolvente virtual, esta-

13 650 / 210 = 65 = novena parte del ciclo sinódico de Venus. El NV 27 664 u3, que corresponde a la

ban sujetas a los números sagrados que deberían representar. Tal vez algunos de sus rasgos principales pudieran ser los de los sabios sacerdotes-astrónomos-matemá-

VII; NV = 1 872 000 u3, la era maya en días:

envolvente de la escultura de pequeño formato número 33, “Efigie en forma de hacha”, tiene como factor el 19 (19 años trópicos

ticos, que observaban y registraban el movimiento diario de los planetas y de la Luna

aproximadamente), lo que indica que tam-

con relación al Sol; quizá trataban de dar

bién los olmecas conocían el ciclo metónico

gloria a sus sabios astrónomos dada la forma de los cascos que cubren sus cabezas,

de la Luna.

24

Anthony F. Aveni, op. cip., p. 98. 25 Estas hachas se pueden comparar con el falo, que tiene igual función. 26 Algunas veces es difícil medir el ángulo cuando es muy abierto. Se puede confundir el de 104° con el de 105°. El significado de este último sería el lapso que pasa el Sol por arriba de la latitud de 15° N, que en Mesoamérica corresponde a la época de lluvias.

Epílogo 317

a los hombres que estaban observando algo en el cielo, y no a los gobernantes y guerre-

eclipse. El color del material en que están esculpidas bastará para saber a qué astro

ros, quienes utilizaban complicados tocados, como penachos y grandes gorros de papel, y no simples cascos. Al igual que otros estudiosos de las cabezas colosales,

se está refiriendo; si es verdoso, represen-

gobernantes relevantes, pero esta investi-

respectivamente. En los NV de los prismas que pueden encerrar a estas cabezas están representa-

gación ha demostrado que las esculturas

dos los ciclos sinódicos de la Luna y de los

tenían que ajustarse a ciertas medidas y proporciones, predeterminadas por sus

planetas Mercurio, Venus y Marte, los mismos que se encuentran en el Códice de

sabios, para que el volumen que las contu-

Dresde. La mayoría de ellos coincide de

viera fuera un NSA o NSC representativo de algún ciclo astral. Por esto las dimensiones y proporciones de las envolventes virtuales

manera directa con el tonalpohualli de 260 días, mas en aquellos números que son marcadamente lunares habrá que multipli-

de las cabezas colosales necesariamente debían estar sujetas a dimensiones preestablecidas y a ciertos NV, NSA o NSC, por lo que

carlos por otro para lograr indirectamente la coincidencia. De las 17 cabezas que se conocen a la fecha, 12 coinciden de mane-

no pueden ser retratos realistas de nadie.28

ra directa con el tonalpohualli y solamente

Los tocados en Mesoamérica servían para distinguir a los dioses y, por exten-

cinco coinciden de manera indirecta. Estas últimas son cabeza 2 de San Lorenzo; con

sión, a los sacerdotes de esos dioses. En el

Venus; ciclo sinódico de Venus:

Códice borbónico se puede ver que el tocado de Tezcatlipoca es un sombrero con un cielo estrellado (la piel del jaguar), mien-

(5 850 u3 = 10 x 585 días). Cabeza 6 de San Lorenzo; con Mercurio; ciclo sinódico de Mercurio: V = 1 170 u3 (1 170 u3 = 10 x 117

tras que el de Quetzalcóatl es un sombrero picudo. Los ángulos que forman, tanto el sombrero como el sombrero picudo, deter-

días). Monumento A de Tres Zapotes; con el Sol del inframundo: V = 2 548 u3 (2 548 u3 = 7 x 364 días). Monumento 1 de La Venta;

minan que Tezcatlipoca es señor del siste-

con el Sol y la Luna:

ma estelar (52°, 52 días, 52 años, etcétera) y Quetzalcóatl, del sistema solar (13°, 13 días o semana del tonalpohualli, 13 años o

52 x 364 días). Monumento 4 de La Venta; con el Sol, la Luna; paso cenital: V = 5 400 u3 (5 400 u3 = 200 x 27 días).

tlalpilli, 13 ciclos de 52 años o era cosmogónica de 676 años, 13 baktunes de 144 000 días o era maya). En ocasiones aparecen

Pueden proponerse diversas interpretaciones al simbolismo de estas cabezas por encontrarse en ellas coincidencias de ciclos

sabios que los gobernantes está en la transmisión ininte-

sacerdotes utilizando este mismo tipo de tocados. Por lo general los observadores del cielo en el México antiguo están represen-

diversos, mas las que determinan el carácter primordial de la escultura son las coincidencias que se encuentran de manera

rrumpida de conoci-

tados con gorros bastante simples, como

directa en los análisis de sus

por ejemplo los observadores de la Luna, que tienen gorros lisos. En algunas de las esculturas olmecas

es indispensable que los ciclos más importantes manifiestos en la escultura coincidan con los que señale su iconografía. Hay

de pequeño formato estudiadas aparecen en los gorros y sobre las frentes una banda de tres hilos o listones. Dicha banda, que

que observar el color de la piedra de la que esté hecha y la forma y signos en el casco, particularmente las orejeras, de las que hay

ros podían ser sacrifi-

parece que representa a la eclíptica, algunas

cados a los dioses. Sus sacerdotes-matemáticos-astrónomos debieron ser intocables.

veces tiene dos esferas que coinciden con las cejas de la cara y que representan al Sol y a la Luna momentos antes de entrar en un

varios tipos: pueden ser en forma de chalchíhuitl, como una cuenta perforada o como dos círculos concéntricos, símbolo de coin-

Tatiana Prokouriaskoff27 creyó ver en las estelas mayas información dinástica de

27

tará de alguna manera a Venus; si es color marfil, a la Luna; y si es negro o tiene rojo, al Sol del inframundo o al del supramundo,

Jacques Soustelle, Los mayas, Fondo de

Cultura Económica, México, 1988, p. 190. 28 La prueba de que importaban más los

mientos astronómicos y del tonalpohualli en Mesoamérica durante más de dos mil años. Esto implica un gran respeto por los sabios que los poseían. Los gobernantes y guerre-


V

V

= 5 850 u3

= 18 928 u3 (18 928 =

NV.

Asimismo,

cidencia de tránsitos de Venus o Mercurio

por el disco solar, o de conjunción de pla-

cual el cubo, al tener seis caras, es el sím-

Los olmecas que

netas con el Sol. Si las orejeras tuviesen forma de medio caracol, se estará tratando

bolo perfecto de volumen.32 En los cuerpos tridimensionales el cubo puede llenar todo el espacio. Un hexágono tiene también seis

esculpieron las perfectamente los

caras y puede llenar el espacio bidimensio-

ciclos sinódicos de

nal, como una celda. Esta figura fue la utilizada en el diseño del centro ceremonial

los planetas

del planeta Venus y de su numen Quetzalcóatl.29 y 30 Simbolizan el Sol la forma de garra de tigre o de águila. Las orejeras pueden tener forma de rectángulo, trapecio o cilindro cuando simbolizan el siglo o el medio siglo mesoamericano. La Luna puede simbolizarse por una forma de jicara, de olla

Este estudio no deja duda acerca de que los olmecas que esculpieron las cabezas

(u), de signo de interrogación (¿ ?) o medio

conocían perfectamente los ciclos sinódi-

jarro. A veces también aparecen como símbolo lunar unas olas en la superficie del

cos de los planetas y de la Luna. De nuestro satélite, además, conocían sus ciclos

agua, que tienen la forma de varias c unidas

sidéreo, sinódico y dracónico. Del Sol, el

(λ).31

o en forma de la letra griega lambda Las cabezas que tienen las orejeras en forma de signo de interrogación o de medio

ciclo ajustado a 360 días o tun de los mayas (sin los cinco nemontemi de los mexicas),34 el de 365 días y el año trópico de 365.1970-

jarro pueden tener un casco liso con una banda también lisa en la frente y estar relacionadas con la Luna. Un casco liso siempre es lunar.

364.2628 días, de Venus el sinódico de 585 o 584 días y el de Mercurio de 117 días. Después de los ciclos solares y del ciclo sinódico lunar, fue el ciclo sinódico de Venus

Los colores naturales de las piedras en que fueron talladas las esculturas, así como el color de la pintura del barro en objetos de

el más importante para la astronomía de Mesoamérica, porque mediante este brillante planeta se podía ajustar el calendario

este material, también son simbólicos: el color oscuro del basalto significa la falta de luz, un eclipse, luna nueva o el inframundo,

solar. Algo interesante es que los pueblos de Mesopotamia también consideraron muy importante a Venus. Esto puede verse en el

lugar de tinieblas; el color verde del jade simboliza el renacimiento de las plantas en la primavera e indica vida, así como a Ve-

British Museum de Londres, en una piedra

de

29

cabezas conocían

y de la Luna.

Teotihuacan.33

nus en coincidencia con otros astros o

El signo de interrogación puede tomarse como la mitad de una olla que puede contener agua. Las ollas son signos inequívocos de la Luna y del dios de las

ciclos calendáricos; el color marfil significa la pálida luz lunar; el amarillo, el Sol al atardecer, próximo a bajar al inframundo; el

aguas subterráneas, llamado Tláloc en la cultura mexica. El número 5 es sin duda de Venus, porque en su máxima brillantez aparece como una estrella de cinco puntas o pentagrama. Éste está contenido en el pentágono regular, en el que se encuentra implícita la divina proporción o proporción áurea, misma que

rojo, el Sol en el oriente.

aparece entre las órbitas de Venus y de la Tierra: 585 / 365 = 1.6 y 365 / 225 = 1.622. Su promedio es 1.611, casi ϕ = 1.618. Por esto es que el pentágono se asocia con Venus y con el caracol marino que presenta cinco puntas, al igual que la estrella de mar.

La materialización del tiempo. Los mesoamericanos, en su materialización del tiempo, emplearon unidades cúbicas. Un día materializado corresponde a un cubo que tiene como dimensión de sus lados el espacio que recorre el Sol en su órbita aparente durante un día. Por eso es que se puede usar indistintamente un grado (1o) o un cubo de lado 1 = u3 como unidad igual a un ciclo de un día o unidad cúbica. El espacio es tridimensional, por lo que requiere seis

30

31

32

tir de un punto fijo o centro: arriba y abajo, adelante y atrás, izquierda o derecha, por lo

llamado siempre por su nombre mexica. Esta letra aparece como símbolo del ciclo dracónico lunar en una vasija del valle de Tehuacán y como símbolo del topónimo de Culhuacán. John Anthony West, Serpent in the Sky, Quest Books, Weathon, 1993, p. 45. “El cubo es el símbolo de la manifestación del tiempo y del espacio. El pensamiento simbólico y no el capricho artístico subyace en la práctica bastante común entre los egipcios de hacer esculturas cúbicas o saliendo de un bloque.”

(Traducción de la autora.) 33 Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura 34

direcciones para definir su extensión a par-

Se le llama Quetzalcóatl a la deidad credora venusina en la cultura mexica, Kukulcán en la maya yucateca y Gucumatz en la quiché. En este libro se le ha

Económica, México, 2000, p. 207. El ciclo solar anual fue ajustado a 360 días para hacerlo coincidir con la división de 360° del círculo. El 360 es divisible entre 20, número de coincidencia con el tonalpohualli. Por otra parte, mediante el 360 se logra además un ajuste lunar.

Epílogo 319

olmecas la unidad

tallada hace más de 3 000 años, que representa, junto al Sol, a la Luna en creciente y a la diosa Ishstar -Venus- como una estre-

el tonalpohualli de manera directa. Aunque las esculturas contienen varios simbolismos, se considera como principal el que

quedó registrada en el diámetro del iris del ojo o en

lla de ocho puntas y no de cinco, como se representaba en Mesoamérica. Las ocho puntas representan los ocho años solares

coincida mayormente con la iconografía de la pieza. El cuadro de análisis de objetos tridi-

los circulos de las orejeras.

necesarios para que ocurra otra conjunción de Venus y el Sol. En Mesoamérica las cinco puntas del medio caracol marino

mensionales de pequeño formato que se encuentra en el capítulo correspondiente sirve para comparar la numerología de las

representan los cinco ciclos sinódicos de

cabezas colosales con la de las esculturas de

Venus necesarios para que ocurra dicha conjunción. Algo en común entre los artistas meso-

pequeño formato. Las medidas de la altura H, ancho del frente w y fondo D se manifiestan tanto en unidades métricas como en

americanos y los mesopotámicos es que ambos dejaron señalada la unidad de medida o proporción empleada en sus creacio-

unidades u, a la manera indígena. Se observa que los NV o sus factores son los mismos en las figuras de pequeño formato y en aque-

nes artísticas mediante pequeños círculos,

llas de gran formato. Al ser la numerología

tal vez porque el círculo representa la unidad absoluta como símbolo universal. En una escultura mesopotámica analizada, la

de las cabezas colosales representativa de ciclos astronómicos y del tonalpohualli, quedan verificadas las hipótesis propuestas.

unidad que sirvió para proporcionar el rectángulo √ϕ,35 envolvente del frente de esa piedra, se encuentra en los círculos que

Los Chac Mol. Tres de las cuatro esculturas de Chac Mool estudiadas están esculpidas

representan a Venus y al Sol. En algunas de las cabezas colosales olmecas la unidad quedó registrada en el diámetro del iris del

en basalto, porque es un mineral que se produce en lo más profundo de la Tierra, en el ámbito de Tláloc, de los volcanes de

ojo o en los círculos de las orejeras, entre otras formas.36 En ambas culturas se utilizaron serpientes para simbolizar la banda celeste o eclíptica.37

donde sale esa piedra de color oscuro que

Siendo el tonalpohualli el calendario con el que la mayoría de los eventos astronómicos debe engranar, en la numerología de

en piedra caliza color luz de Luna. Todas pertenecen al periodo posclásico y son de las más bellas esculturas del arte mesoa-

12 de las 17 cabezas estudiadas aparece el 260 en forma directa. En las otras cinco se encuentra en forma indirecta. Se considera

mericano, particularmente la michoacana. El Chac Mool maya tiene en su pecho el símbolo de Venus y sus antebrazos ador-

en forma directa cuando el

es múltiplo

nados con plumones que también lo sim-

o submúltiplo del 260 e indirecta cuando para que enganche con otros eventos astronómicos es necesario multiplicar o dividir el

bolizan. Son las bolas de plumón que embarazaron a la Coatlicue, de acuerdo con la leyenda del nacimiento de Huitzilopochtli.

NV

inicial por otros factores, generalmente 10, 20 o 65. Si el 260 no fuera factor del NV calculado, ya sea de manera directa o indi-

También son símbolo de Venus los cuchillos de sacrificio. ¿Por qué de los cuatro Chac Mool es-

recta, el cálculo estará equivocado y se

En algunas de fas cabezas colosales

35

Margarita Martínez del Sobral, op. cit., p. 25. El rectángulo √ϕ es uno de los rectángulos básicos de la geometría mesoamericana.

36

Tal es el caso de la cabeza colosal conocida como monumento número 4 de La Venta, que se encuentra en el ParqueMuseo de Villahermosa, Tabasco (ver monumento número 4 de La Venta en el

capítulo “Las cabezas colosales olmecas” de este libro). 37 La fotografía de esta

NV

indica fuego en brasas y calor. Tres de ellas tienen la cabeza volteando hacia su izquierda. La cuarta, que es la maya, está labrada

escultura se encuentra en el libro de Geoffrey Cornelius y Paul Devereux, The Secret

deberá buscar otro NV que lo contenga, pues ésta es una condición sine qua non para aceptar como correctos los volúme-

tudiados tres tienen la mirada levantada y el restante, el de Chichén Itzá, mira hacia el horizonte? ¿Tal vez porque el Chac Mool maya observa a Venus desde un lugar al

Language of Stars and Planets, Chronicle Books, San Francisco, 1996, p. 69.

nes de las envolventes de las cabezas colosales de simbolismo solar. Ya se dijo que las de simbolismo lunar no sintonizan con

nivel del mar mientras que los otros contemplan a Venus desde lugares con mayor altitud? Esto implicaría que las observaciones

320


astronómicas de Venus las hacían los astró-

insistencia en señalar los eclipses ¿se debe

nomos reclinados. Como la península de

acaso a que el principio del tiempo para los

Yucatán tiene un horizonte muy bajo, un observador reclinado -como el caso del Chac Mool yucateco- podría contemplar a

mesoamericanos había sido determinado por un eclipse que también marcaba el inicio del tonalpohualli?

Venus como Estrella de la Mañana con una mirada apuntando hacia el horizonte. Las otras cuatro esculturas provienen de lugares montañosos que tienen su horizonte

Las hipótesis planteadas al inicio del epílogo quedan comprobadas en este estudio mediante el análisis de los objetos que aquí se presentan. Sin embargo, no fueron los úni-

más alto, por lo que las miradas de los observadores se debían levantar para observar el cielo en el momento de la salida de

cos objetos del arte mesoamericano analizados que produjeron resultados similares a los aquí apuntados.

Venus, como lo hacen en efecto los astrónomos de piedra representados en los Chac Mool. Los personajes tienen en la cabeza el gorro liso de astrónomo, característico de

Con excepción de algunas piezas que representan ciclos lunares, en su mayoría las envolventes de las obras analizadas tienen de manera directa o indirecta en sus

los observadores de la Luna, con excepción del Chac Mool mexica, que porta un penacho de plumas, lo cual representaba a un

números volumétricos el 260 como factor, lo que indica que las piezas son solares o planetarias en coincidencia con el tonalpo-

gobernante. ¿Acaso se refiere al emperador Moctezuma, hombre muy versado en astronomía?

hualli. Aquellos cuyos volúmenes no tienen el 260 directamente como factor pueden ser NV lunisolares que se pueden hacer coinci-

Todos tienen sobre el abdomen un plato tallado en piedra que puede representar al disco solar. El plato lleno de agua podría

dir con el calendario augurai de manera indirecta, al multiplicarlos generalmente por 20, número básico de sus cuentas. La coincidencia no se logrará si el NV es completamente lunar.

reflejar el momento preciso del tránsito de Venus por la superficie solar o tal vez el paso cenital del lugar donde el Chac Mool estuviera colocado. También podría tratar-

La primera página del Códice Fejérváry-

se del momento en que se forma la corona solar en un eclipse total, cuando se hacen las tinieblas. En ese momento se efectua-

Mayer. En el análisis de esta página se indican los días que deben transcurrir para que los astros, los pochtecas celestes, lleguen a

ban sacrificios y los corazones de las vícti-

un lub,38 lugar de reposo en las encrucijadas

mas eran ofrecidos a los dioses. No se debe descartar entonces la posibilidad -mencionada por otros autores- de que el plato circu-

(coincidencia de ciclos) de los caminos celestes y del destino de los hombres, donde los númenes astrales depositan su pesada

lar tuviese como función contener las ofrendas a los dioses. La decodificación de los Chac Mool está

carga numérica para descansar y luego continuar su eterno viaje. El ángulo de 17°, complemento del ángu-

avalada tanto por su iconografía como por los NSA, NSC o NSG, que son factores de los volúmenes de los PRR que pueden ser sus

lo de inclinación del talud del basamento (73°), señala la orientación que conduce al Omeyocan, en el norte, el ámbito de Ometéotl, dios supremo de los mexicas y, tal vez

envolventes virtuales. En muchos de los NV aparece con frecuencia como factor el 173.33, que es la duración en días de los años nodales o medios años de eclipses. Se

con otro nombre, de toda Mesoamérica.39 El NV del cuerpo trapezoidal representado en la primera página del Códice Fejér-

puede escribir la igualdad 2 x 260 = 520 = 3 x 173.333..., que debe leerse como el lapso que señala dos tonalpohuallis y que corres-

váry-Mayer, 2 028 U3, contiene el tonalpohualli y los ciclos solares 12 y 13: (2 028 = 12 x 132). Al multiplicarlo por 10 tiene el 260

ponde a tres medios años de eclipses. La

como factor (2 028 x 10 = 20 280 = 260 x 78 y

38

En yucateco lub quiere decir lugar de descanso, y es el término que emplea Thompson en

el desciframiento del Códice de Dresde. 39 El nombre del dios me es desconocido en otras lenguas.

Epílogo 321

primera

117 x 173.33), el ciclo sinódico de Mercurio

Mesoamérica.

página del Códice

y el medio año de eclipses. El NV del sagrario

Fejérváry-Mayer es uno de los planos arquitectóni-

hace al monumento solar y del tonalpohualli, además de representativo tanto del Sol del inframundo como del supramundo. El

rematado por un sagrario. La confusión acerca del número de cuerpos que tuvo este monumento dio como consecuencia la forma que actual-

cos más antiguos que se conocen

volumen total, 2 184 u3, tiene, además de todo lo anterior, como factor el ciclo sidéreo de la Luna (2 184 = 84 x 26 = 8 x 273 =

mente tiene el monumento: una pirámide distorsionada por las reconstrucciones no fundamentadas hechas a partir del inicio

1.615 x 52 x 26). Queda así demostrada la hipótesis inicial de que la imagen de la primera página

del siglo XX. Entonces la arqueología estaba en pañales y se desconocía la numerología astronómica mesoamericana, así como

La

Este

tercer

cuerpo

estuvo

del Códice Fejérváry-Mayer es la representa-

el sistema de diseño congruente con la

ción plana de un monumento solar, sin dejar por ello de ser un tonalámatl o calendario

mentalidad indígena con el que fue diseñada esta pirámide. Puede decirse que “culpas

augural cíclico de 260 días. Se demuestra

fueron del tiempo y no de España”. Eduar-

asimismo la existencia de un sistema de diseño del arte mesoamericano basado en la numerología astronómica que relacionaba,

do Matos, refiriéndose al arqueólogo Leopoldo Batres, iniciador de la reconstrucción que podemos ver actualmente (principios

mediante el número (que puede ser fraccionario), el arte mismo con los astros -ámbito de la divinidad- y el destino de los hom-

del siglo xx), dice: ... y como al inicio de los trabajos habla de

bres, y se comprueba una vez más el grado

que hay una costra que cubre otra etapa

de adelanto astronómico-matemático que se había alcanzado en Mesoamérica. La primera página del Códice Fejérváry-

mejor conservada y cómo va a proceder a

Mayer es uno de los planos arquitectónicos más antiguos que se conocen y que revela “los patrones del pensamiento y

minaba parcialmente una de las últimas eta-

sujeción a fórmulas que obligaron a las culturas -de Mesoamérica- a recorrer el extraño camino al que estaban subordina-

reviste errores graves, pues pese a la clara

das las artes y la arquitectura de esos grandes pueblos”.40

retirarla para dar paso a la que se encuentra en mejor estado. Con lo anterior se elipas parte,

constructivas la

del

edificio.

reconstrucción

del

Por

otra

monumento

mención en varios autores de que son visibles cuatro cuerpos superiores que conforman el edificio, se le añade uno más, con lo que se distorsiona totalmente la imagen real de la pirámide.42

La Pirámide del Sol en Teotihuacan. Si40 J.

Eric S. Thompson, op. cit., p. 271. Thompson no se refiere a la primera página del códice, sino al arte mesoamericano en general.

41

La presente propuesta consiste en un edificio de tres cuerpos en forma de chutong zunchado por un tablero y rematado

mente, apegada al proyecto original de la Pirámide del Sol. En el presente estudio se ha considera-

por un sagrario. El ángulo de los taludes va a variar en cada cuerpo y los pasillos servirán para ajustar los volúmenes a NV convenientes que tengan significado como NSA

do la pirámide con tres cuerpos, mas el tercero zunchado por un tablero, elemento que allí significa atadura de años. Un sím-

o NSC. El segundo cuerpo tendrá el ángulo de inclinación del talud aumentado en la cara poniente o cara principal para llegar a un NV tal que señale una era cosmogónica. El ángulo del primer cuerpo al segundo varía de 42.36° a 50.5° y vuelve a variar

Antología, INAH,

bolo que eso representa puede verse claramente expresado en el Códice Nuttall en forma parecida a una A, es decir, una figura triangular con la atadura al centro,41 lo

México, 1995, p. 21.

que indica que este símbolo era utilizado en

lo que pareciera ser un pasillo en realidad

Códice Nuttall, editado por Zelia Nuttall, Dover Publications, Nueva York, pp. 80 y 83.

42

guiendo el método propuesto a lo largo de este trabajo, se puede hacer una reconstrucción hipotética de la etapa constructiva de la pirámide que se puede ver actual-

Eduardo Matos Moctezuma, La Pirámide del Sol / Teotihuacan /

322


para el tercero a 49.9°. En el tercer cuerpo

es el extrados del tablero que sobresale del

neo está rodeado de 40 rayos que signifi-

Se ha dicho que

chutong, como una repisa. El monumento presenta en la actuali-

can un baktún, es decir, 40 años de 360 días (40 x 360 x 10 = 144 000, un baktún). Puede

El Castillo es el

dad un hundimiento en el tercer cuerpo, en donde se propone que debe haber existido un tablero de caras verticales, ya señalado por Bastien y por Marquina.

tratarse también del año de 365 días, en cuyo caso hay coincidencia del año de 365 días con el ciclo sinódico de Venus tomado

perfecto de

Se observa que en todos los cuerpos se han obtenido NSC relacionados con el Sol, ya sea del supramundo o del inframundo.

del año del Sol del inframundo (40 x 364 = 14 560). Al estar esta piedra enfrente de la pirámide, debió haber pertenecido a las

Se puede apreciar en los números que arroja el cálculo de los NV de los cuerpos de la pirámide la importancia del 260, los días del

esculturas que adornaban el monumento. La fachada principal mira hacia donde el Sol va a morir o a iluminar el mundo de los muertos.

calendario augural. La numerología indica que la pirámide es un gran tonalámatl, al igual que la primera página del Códice FejérváryMayer -como ya lo había advertido Miguel

y en verdad lo es.

Las cuevas en Mesoamérica eran consideradas como ámbito del numen del inframundo, el Sol nocturno. El lugar de entrada al inframundo está señalado por la orientación de la cara poniente de la pirámide y por la boca de la cueva que se en-

pirámide fue la de dejar constancia de la era cosmogónica o Sol de 676 años y de su atadura por medio del tablero que señala un

cuentra debajo de dicho monumento, sin duda dedicada a Tláloc, dios del subsuelo y del agua subterránea. De acuerdo con Doris Heyden, el sitio para construir Teotihuacan

lapso de 52 años. La Pirámide del Sol, como su nombre indica, es eminentemente solar, del Sol del supramundo, por el hecho de que algunos de los factores que se encuen-

fue elegido por la posición de esa cueva, que se encuentra casi en el centro de la Pirámide del Sol, “y una línea que vaya del

tran en los volúmenes de sus cuerpos son 13, 52, 104 y 676, números solares, además de la constante φ, que también allí aparece,

centro a la boca de ésta coincidirá cercanamente con el eje este-oeste de la pirámide”.44 La numerología de la pirámide corro-

aunque ésta no es exclusivamente solar sino del sistema solar. También está representado el Sol del inframundo mediante los factores 7, 91 y 364, números lunares.

bora la suposición de Heyden: los números volumétricos que presentan sus dos primeros cuerpos se refieren tanto al Sol del supramundo como al del inframundo, por

El monumento se remite a eclipses si consideramos que las eras cosmogónicas terminaban con uno. La palabra eclipse

lo que se infiere que la pirámide estaba dedicada a ambos. Algo semejante ocurre con el calendario azteca, que en el centro

viene del griego y significa literalmente abandonar, dejar, y es el momento en que aparentemente el Sol abandona la Tierra.

presenta tanto al Sol del supramundo como al del inframundo.45

Durante un eclipse total se puede ver cómo

La pirámide de El Castillo. Se ha dicho que El Castillo es el monumento más perfecto de Mesoamérica, y en verdad lo es. Se ha descrito como un monumento de nueve

que lo desaparece. Existe un “gran cráneo rodeado de rayos, hallado frente a la Pirámide del Sol. Piedra con restos de pintura roja. Museo

Mesoamérica,

de 584 días (40 x 365 = 14 600 = 584 x 25) o

León-Portilla-, pero no de amate ni de pergamino, sino de tierra y manipostería. Una de las funciones esotéricas de la

un disco de oscuridad poco a poco va comiéndose la cara brillante del Sol, hasta

monumento más

cuerpos coronado por un sagrario y que, para subir a él, son necesarios 91 escalones en cada una de sus cuatro escaleras, lo que

Nacional de Antropología, ciudad de Mé-

da un total de 364, el número del año del

xico. Simboliza al sol que se pone para iluminar el mundo de los muertos”.43 Este crá-

inframundo. Para subir al sagrario hay que subir uno más, haciendo un total de 365 -el

43

Eduardo Matos Moctezuma, Teotihuacan, la metrópoli

de los dioses, Jaca Book Milano, Barcelona, 1990, fig. 71. 44 Anthony F. Aveni, 45

op. cit., p. 265. Eduardo Matos Moctezuma y Felipe Solís, El calendario azteca y otros monumentos solares, Conaculta, México, 2004, p. 64.

Epílogo 323

de este edificio es

Sol del supramundo-, que corresponde a los días del calendario solar o xíhuitl. Se ha

curio están en tránsito por el disco solar. Esto, de acuerdo con la idiosincrasia indí-

que en los NV se

hablado mucho también del fenómeno de

gena, debió ocurrir al principio de la crea-

encuentran como

números de todos

luz y sombra que ocurre durante el solsticio de primavera y el solsticio de otoño. Pero lo más notable de este edificio es que en los

ción, al inicio del movimiento, cuando Venus anunció la salida del Sol. Un tercer PRR, envolvente virtual por

los ciclos tanto

NV se encuentran como factores los núme-

astronómicos

ros de todos los ciclos tanto astronómicos (NSA) como calendáricos (NSC) conocidos.

talud de la pirámide, tiene además como factores de su NV el ciclo del año del infra-

Lo más notable

factores los

(NSA) como calendáricos (NSC) conocidos.

Luna (27.3 días), el sinódico de la Luna (29.5308 días). Un cuarto PRR, envolvente virtual por

La pirámide de El Castillo en Chichén

alfardas de la pirámide, tiene como factores

PRR,

Itzá, mediante el volumen de uno de los dos posibles envolventes virtuales del monumento, simboliza directamente el ciclo

de su NV el ciclo dracónico de la Luna (ajustado de 27 días) y el ciclo metónico lunar de 6 939 días.

sinódico de Mercurio, que a su vez está relacionado con el de Venus, del que es la quinta parte.

El volumen de la pirámide envolvente virtual de todo el monumento, además de todos los ciclos mencionados, también posee como

Estos

dos

planetas

desempeñan

un

papel importante en la astronomía a simple vista que se practicó en Mesoamérica, dado que ambos son planetas interiores y de

324

mundo (364 días), el ciclo sidéreo de la

Es el mayor registro de todos ellos, ya que allí quedaron consignados para quien sepa leerlos.

factor el 819, antiguo conteo lunar. El NV del monumento contiene también el gran ciclo de tránsitos de Venus de 486 años, además de los ciclos sinódicos exac-

ciclos no muy largos, y por lo tanto fácilmente mensurables, aunque Mercurio es difícil de observar. Además ambos planetas

tos de Mercurio y de Venus. El volumen del sagrario, tomando las dimensiones del plano de Marquina, contie-

presentan periodos estacionarios, progresiones y retrogradaciones que mucho intrigaron a los astrónomos de la Antigüedad.

ne el ciclo del tonalpohualli, el año del inframundo, el medio siglo y el siglo mesoamericanos, las 28 lunas visibles en el año del

En el NV de El Castillo se encuentran

inframundo (364 días), el ciclo sinódico

como factores el ciclo del tonalpohualli (260), el del año trópico (en este caso de 365.2416 días, con un error de solamente

(29.5308 días) y el sidéreo lunar (27.3 días), el ciclo dracónico exacto (27.2 días), el

seis diezmilésimas de día), el ciclo sinódico de la Luna (29.5308), el medio año de eclipses (173.33), la era maya de 1 872 000 días

pilli (13 años). El NV total contiene como factores el tonalpohualli (260), el thix maya para prede-

y el ciclo de Chalchihuicueye de 312 años. El otro de los posibles PRR, envolventes virtuales de la pirámide (ver capítulo XI), señala los mismos ciclos que el anterior,

cir eclipses (9 360), el siglo (104) y medio siglo (52) mesoamericanos, el sinódico de Mercurio (117), Venus (585) y Marte (780);

pero además el año de 360 días, el ciclo sinódico de Saturno de 377 días y el de Marte de 780, por lo que se puede decir que

civil de 360 días y el antiguo calendario lunar de 819 días. Es el monumento que contiene como factores la mayor cantidad

todos los ciclos planetarios y el sinódico de Venus están como factores de esos números volumétricos.

de números astronómicos (NSA) y números con significado calendárico (nsc), lo cual nos muestra el grado de avance al que

El monumento se remite también a la Luna y los eclipses. Es posible que se refiera a un eclipse solar en el que la Luna eclipsa totalmente al Sol mientras Venus y Mer-

había llegado la cultura maya.


medio año de eclipses (173.33 días) y el tlal-

el medio año de eclipses (173.33), el año

Se concluye que la decodificación de estos monumentos es el resultado de la aplicación de las reglas (cánones) correctas

y necesarias para ello,46 y su cumplimiento

En desacuerdo con la cita anterior está

indica el empleo de un sistema regido por la intención y la sistematización de las proporciones de las obras plásticas de los diseñado-

el comentario de J. Eric S. Thompson que, a mi juicio, ha tenido los mayores aciertos en la interpretación del Códice de Dresde,

res. Se concluye también que su sistema

uno de los códices con mayor contenido

numérico era refinado y de extraordinaria abstracción, basado en una numerología

astronómico y numerológico. Al respecto se cita a Thompson en Un comentario al Códice de Dresde:

astronómica que utilizó la conmensurabilidad cíclica y espacial para hacer comprensible el espacio y el tiempo, dejando de todo ello registro numérico en su arte como muestra de su ciencia y cosmovisión.47 Por último, se presenta a reflexión un fragmento del texto de Johanna Broda en la presentación de un simposio llevado a cabo en la Ciudad Universitaria, de la ciudad de México, del 24 al 28 de septiembre de 1983:

No sabiendo que la Tierra era redonda y que giraba alrededor del Sol, los mayas nunca hubieran podido conocer el hecho de que la Luna nueva cae dentro de alrededor de

quiero

destacar

otro

pirámides de Teotihuacan y de El Castillo en Chichén

(el punto en que se cruzan las trayectorias del Sol y de la Luna). Pero su meticulosa observación de los eclipses visibles les ense-

rasgo

cirse en una fecha de Luna nueva que caye-

mediante el cual se ha caracterizado a la

ra en uno de esos tres segmentos de la rueda

arqueoastronomía en Mesoamérica. La acti-

de 520 días, como se ha señalado con ante-

vidad astronómica prehispánica era observa-

rioridad.49

47

ción a simple vista, es decir, los antiguos astrónomos basaban sus observaciones únicamente en lo que estaba al alcance de sus ojos, trabajando con instrumentos rudimentarios. Por esto las observaciones de la salida y puesta del Sol sobre el horizonte y la integración de la orientación de edificios y centros ceremoniales con el paisaje forman unidades

básicas

de

investigación

de

la

arqueoastronomía. Un error que han cometido numerosos investigadores en el pasado

En cuanto a las complejas operaciones aritméticas, la presente investigación señala que sí eran efectuadas, que utilizaban números fraccionarios -por ser fracciona-

Itzá. Las expresiones números de significado astronómico, números prevalentes, intervalos conmensurables y conmensurabilidad cíclica y espacial son conceptos propios de esta investigación para explicar o denominar el conjunto de fenómenos relativos a conocimientos astronómicos, calendáricos y numerológicos de los mesoamericanos, en el contexto de

rios muchos de los ciclos astronómicos con los que trabajaban- que convertían en números enteros muy grandes, que conocían el valor de φ y de π exactamente, y que utilizaban por lo menos la función trigonométrica de la tangente en sus cálculos.

He verificado que las mismas premisas son válidas para la decodificación de las tres

dieciocho días a uno y otro lados del nodo

ñó que un eclipse solar sólo podía produFinalmente,

46

un eclipse solar puede ocurrir sólo cuando

un sistema de proporcionamiento de sus obras. 48 Johanna Broda,

reside en haber interpretado los registros

Stanislaw Iwanis-

antiguos de acuerdo a la teoría astronómica

Una última palabra

zewsky y Lucrecia Maupomé (editores), “Arqueoastronomía y etnoastronomía en

Sería muy interesante ampliar las investigaciones que prominentes astrónomos ya han iniciado acerca de la orientación de las

Mesoamérica”, en Franz Tichy, Los cerros sagrados de la cuenca de México en el sistema de ordenamiento del espacio y de la planificación de los poblados / ¿El sistema

gía y la antropología pone el énfasis en la

construcciones y centros ceremoniales de Mesoamérica. A pesar de no haberlo hecho en el presente estudio, se considera necesario decir una palabra al respecto, así como

recreación y el entendimiento de la evolu-

aclarar ciertos conceptos en relación con el

ción

como parte del desarrollo cultural global y

tema. La alineación astronómica planificada,

de la interacción del hombre con su medio

llamada orientación arqueoastronómica de

ambiente.48

las construcciones mesoamericanas, se

moderna, con base en conceptos que los pueblos prehispánicos no podían haber tenido, dada la ausencia de explicaciones teóricas, como por ejemplo la del sistema heliocéntrico, de métodos modernos de observación y de ciertas operaciones matemáticas complejas. La integración de la arqueoastronomía con la geografía cultural, la arqueolo-

de

las

observaciones

astronómicas

ceque de los Andes en Mesoamérica?, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 1991, p. XV. 49


Epílogo 325

50

efectuaba con fines de observación, registro

precisar que la orientación puede estar diri-

y celebración de eventos cósmicos observables en el horizonte (planificación urba-

gida hacia un rumbo específico o variar unos grados dentro de un rango muy cerca-

nística espacio-temporal), y es uno de los

no. Por esta razón los monumentos y trazos

atributos más estudiados de la arquitectura mesoamericana. Se conocen tres familias

urbanísticos se han agrupado en familias, aunque desde luego existen basamentos

de orientación que agrupan monumentos y

con otras orientaciones que no se repiten

plantas de conjunto de centros ceremoniales que registran ciclos astronómicocalendáricos; esas tres familias han sido

tan frecuentemente como en las tres fami-

establecidas a partir de los intervalos entre fechas calendáricas significativas50 o bien por su desviación (ángulo) hacia el este res-

orientación de los monumentos permitió establecer calendarios observacionales llamados calendarios de horizonte.52 Estos

pecto del norte astronómico,51 conformándose así la familia orientada hacia el norte, la orientada 7° al este del norte y la orien-

calendarios, además del horizonte y de referencias topográficas referidas a los puntos astronómicos de interés, utilizaba los mismos

tada a 17° al este del norte. Es importante

monumentos como marcadores de fechas

Beatriz de la Fuente (coordinadora), “Muros que hablan, ensayos sobre la pintura mural prehispánica en México”, en Jesús Galindo Trejo, Del cielo al muro; la visión astronómica del hombre mesoamericano, El Colegio Nacional, México, 2004, pp. 123-140.

51

Iván Sprajc, Orientaciones astronómicas en la arquitectura prehispánica del centro

de México, Instituto Nacional de Antropología e Historia, Colección Científica, Serie Arqueología, México, 2001, p. 88. Esta investigación se concentra en verificar las orientaciones astronómicas de los basamentos piramidales estudiados para fines calendáricos y parte de la premisa de que los calendarios y las orientaciones tenían como propósito regir la actividad agrícola. Encuentra rumbos

(azimutes) entre puntos intersolsticiales, que convertidos en cuentas de días marcan el tiempo en periodos de 13 y 20 días y sus múltiplos, confirmando lo que había sido planteado antes por otros autores. Parece conveniente expresar que, aunque el propósito agrícola presentado en el estudio pudo ser el origen de las alineaciones, no parece consistente como enfoque prevaleciente sobre los fines rituales que se manifiestan a través de hierofanías y epifanías -tales como el fenómeno del descenso solar por la alfarda de El Castillo en Chichen Itzá o el Sol rasante, entre otros-, pues significa en términos prácticos el reduccionismo de la ciencia y la tecnología mesoamericanas, que fueron capaces de construir edificios sincronizados con precisión en tiempo, espacio y forma para celebrar o manifestar sucesos celestes. En ese estudio no se verifican los pasos cenitales ni se considera enfoque alguno respecto a la disposición urbano-arquitectónica -orientación tambiénpara la representación epifánica de fenómenos celestes nocturnos, lo que asimismo ha sido planteado. La metodología presenta formalidad y es rigurosa en cuanto a la precisión de las mediciones y el agrupamiento de los resultados y observaciones, y éstos se contrastan sucesivamente con los planteamientos de otros autores que paulatinamente ayudaron -con exactitud o sin ella- a conformar y verificar el conocimiento arqueoastronómico mesoamericano en el registro de los sucesos celestes. El estudio presenta resultados de interés y examina profusamente múltiples fuentes. 52

Jesús Galindo Trejo, “Bonampak, conjunción de caminos celestes”, en Beatriz de la Fuente (coordinadora), op. cit., pp. 361-378.

53

Existen indicios de que la orientación astronómica era empleada también para señalar eventos de algunas estrellas y constelaciones, y de que no sólo se empleaban las alineaciones de los basamentos sino también jambas de puertas y ventanas, así como la disposición urbano-arquitectónica para la representación de hierofanías y epifanías, como se dijo.

54

Franz Tichy, Los cerros sagrados de la cuenca de México..., op. cit., pp. 447-459.

326


lias señaladas. La planificación arquitectónica de la

significativas, y era su principal propósito el de señalar los momentos de actualización de los calendarios, así como facilitar las cuentas de los ciclos de la Luna, de Venus, de Marte, de los eclipses, etcétera. El estudio arqueoastronómico de la arquitectura conlleva la sincronía espacio-temporal de la orientación de los monumentos, la relación espacial que guardan entre sí los diversos elementos arquitectónicos y sus dimensiones, así como los NV que revelan lapsos de ciclos astronómicos o calendáricos. Pero la orientación de monumentos y centros ceremoniales tenía otros propósitos además del calendárico.53 Tenía un significado ritual en honra de los númenes de los astros, particularmente del Sol, la Luna y Venus, así como la posible conmemoración de fechas míticas, como la señalada mediante la orientación de la Pirámide del Sol hacia el ocaso el 13 de agosto -segundo paso cenital del Sol en la latitud de 15° N-, día de la fecundación mítica de la Tierra por el Sol, de particular importancia ritual. A la orientación arqueoastronómica se suma otro atributo: el ordenamiento planificado geométrico-radial de los centros de población con relación a un lugar principal, a cerros, a referencias naturales específicas y a marcadores topográficos o astronómicos. En su investigación, Franz Tichy54 elaboró un mapa para la zona de Teotihuacan (cita además otras zonas), en donde

En el edificio 1 de Bonampak se

existe una distribución radial de los pobla-

ción masiva, el fenómeno sólo se cumple

dos respecto de sitios centrales y montañas destacadas mediante líneas de orientación (azimutes) que tienen ángulos de 4.5° entre

-con cierta imprecisión- en las escaleras del segundo cuerpo, que son tal vez las únicas originales; sin embargo, está presente.

observan expresiones elocuentes

sí, de lo que resulta que la circunferencia quedaba dividida en 80 unidades que rigen las orientaciones o rumbos. El autor men-

Estos fenómenos trascienden el propósito de orientación astronómica para fines calendáricos e implican un conocimiento per-

de obra arquitectónica y pictórica en consonancia

ciona que, en ciertos casos, esos rumbos

fecto de los ciclos astronómicos, de las

son también referencias calendárico-astronómicas, lo cual es descartado por Sprajc55

trayectorias de los rayos solares y de la geometría descriptiva (monteas solares) apli-

con eventos cósmicos.

con base en los resultados de su propio

cados al diseño arquitectónico. Son una

estudio. Si bien la división del espacio circundante en 80 rumbos de 4.5° puede no haber regido las orientaciones astronómi-

concepción de sincronía espacio-temporal, geométrico-arquitectónica y astronómicomítica para representar fenómenos celes-

cas, la disposición radial de centros ceremoniales, poblaciones y sitios topográficos salta a la vista en los mapas. Se trata de una

tes. Esta concepción no sólo se observa en las pirámides sino también en el ordenamiento de las plazas.

concepción planimétrica regida por trazos geométricos planificados. En la arquitectura mesoamericana existe una forma adicional de orientación y sincronización geométrico-tempoespacial de eventos celestes diferente de las señaladas. Se trata de una hierofanía consistente en la

En cambio, podría decirse que sus grandes espacios abiertos, sus grandes plazas, crean lugares armónicos con la bóveda celeste; es decir,

los

espacios

urbano-arquitectónicos

enmarcan o se conjugan con los acontecimientos de su cosmovisión, pues a través de

aparición del Sol en el sagrario, en el remate superior del monumento, seguido del descenso de los rayos solares por las escalinatas

esta arquitectura relacionan los eventos celes-

del templo, en fechas sagradas, fenómeno conocido como Sol rasante. Eso ocurre cuando existe un alineamiento simultáneo del eje principal arquitectónico del edificio,

Sol, en los días significativos de su movimien-

del eje de las escaleras y el ángulo de inclinación de las alfardas respecto al ángulo de incidencia de los rayos solares a horas y fechas específicas. Así sucede en el conocido caso del juego de luz y sombra que se observa en El Castillo, en Chichén Itzá, cuando el numen solar aparece como luz en el sagrario para luego descender, en forma de serpiente, por la alfarda de la pirámide el día del equinoccio de primavera y

tes, tanto al oriente como al occidente, las apariciones, ocultamientos y posiciones del to anual, con los pasajes mítico-religiosos. Conceptualmente podría decirse que los entornos de estos espacios hacen las veces

55 Iván

Sprajc, op. cit, pp. 102-107.

56

de piedra riñón de una gran bóveda en donde se va plasmando evangélicamente la historia sagrada de su cosmovisión.57

En el edificio 1 de Bonampak se observan expresiones elocuentes de obra arquitectónica y pictórica en consonancia con

México, 1991, pp. 413-444. 57 Johanna Broda, Stanislaw Iwaniszewsky y Lucrecia Maupomé, “Arqueoastronomía y etnoastronomía en Mesoamérica”, en

eventos cósmicos.58 El prominente astrónomo e investigador Jesús Galindo Trejo detalla que las pinturas murales muestran, ade-

del equinoccio de otoño. Según las observaciones de Ponce,56 en el caso de diversas pirámides existen casos del descenso rasan-

más de escenas de batallas y de glorificación del soberano triunfante, diversas representaciones de la Vía Láctea, la Luna, una

te de los rayos solares por las escaleras en

manada de pecaríes (las Pléyades), una tor-

la pirámide de Quetzalcóatl y de las estelas en Xochicalco; en la del Sol, en Tula; en El Castillo de Chichén Itzá; y en El Castillo de

tuga con tres estrellas en su caparazón (el Cinturón de Orión), varios glifos de estrellas, algunos personajes que pueden repre-

Tulum. En la Pirámide del Sol en Teotihuacan, que fue objeto de una reconstruc-

sentar planetas y cuerpos celestes, así como las bandas imaginarias de la eclíptica y del

Arturo Ponce de León H., Propiedades geométrico-astronómicas de la arquitectura prehispánica, UNAM,

Arturo Ponce de León H. (comp.), Propiedades geométrico-astronómicas de la arquitectura prehispánica, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 1991, pp. 413-444. 58

Beatriz de la Fuente, op. cit., pp. 361-378.

Epílogo 327

ecuador celeste. Según sus observaciones, los elementos de la obra pictórica guardan, como eje de semejanza, el orden celeste d.C. y además el alineamiento de los ejes arquitectónicos del edificio con la Vía Lác-

historia nos tocó hasta la fibra más íntima. Los grandes símbolos cósmicos de los antiguos mayas son un mapa del cielo, pero el

tea, tanto en el sentido longitudinal, como

propio cielo es un gran espectáculo que

en el transversal, con diferencia de unas

repite la creación en el patrón de sus movi-

horas en la misma fecha. Adicionalmente observa que el Sol ilumina determinados

mientos anuales.62

observado la noche del 6 de agosto de 792

símbolos y un personaje en fechas de relevancia para el calendario maya.

Torres Roldán a su vez hace una interpretación cosmológica del trazo urbanístico de Teotihuacan -y de varias ciudades

A partir de la información iconográfica de de orientación de los diferentes elementos

prehispánicas más- según la cual éste presenta en la disposición de sus ejes, su calzada, sus plazas y sus edificios un reflejo

arquitectónicos del edificio y de las fechas

geométrico y simbólico del mapa celeste en

registradas en su interior, hemos podido esclarecer el papel relevante que jugó la astro-

el momento de la creación, de acuerdo con el mito del Popol Vuh, lo que debió acontecer

nomía en el discurso pictórico de exaltación

la noche del 13 de agosto de 3114 a.C.63 En

y poder de los murales de Bonampak.59

esa lectura dos ejes transversales representan la Vía Láctea y la posición de la constelación de Géminis y el Cinturón de Orión;

significado astronómico, de las mediciones

...en el edificio 6, situado en la parte superior de la acrópolis, existe un hermoso dintel labrado con una representación de Chaan Muan I, un antepasado del soberano que mandó realizar las pinturas del edificio 1. Dicho dintel puede considerarse como un resumen del plan conceptual realizado por el soberano para poner su obra terrenal, el edificio 1, en completa consonancia con los movimientos del cosmos.60

Un estudio de Freidel y Schele61 decodifica la relación intrínseca entre los perso-

59

Ibid., p. 369. 60 Ibid., p. 377. 61

David Freidel, Linda Schele, Joy Parker, El

cosmos maya, Fondo de Cultura Económica, México, 1999, pp.109-110. 62

Ibid.

63

Víctor Torres Roldán,

Ciudades estelares / Cosmología y simbolismo de las pirámides, Plaza y Janés, México, 2005.

Cuando reunimos las imágenes y los textos de la creación del periodo clásico con el mito del Popol Vuh, el prodigio de toda la

los ejes corresponden a la Calzada de los Muertos y a un eje arquitectónico transversal, con dos plazas y basamentos perimetrales, a uno y otro lados de la calzada, cuya disposición geométrico-arquitectónica es similar a la posición en el firmamento de los cuerpos celestes mencionados. El ave celestial del mito corresponde a la constelación de la Osa Mayor, que se mueve sobre la Pirámide de la Luna, del mismo modo que ciertos montículos que están loca-

najes del mito maya de la creación en el Popol Vuh y ciertos sucesos celestes específicos relativos a las constelaciones de Gé-

lizados al sur del centro ceremonial presentan un trazo coincidente con la disposición

minis y Orión, además de otras, los planetas, la Vía Láctea, la eclíptica y el norte astronómico, ocurridos al inicio de la creación y que

corpión. Según el autor, los cálculos permiten corroborar que en la noche del 13 de agosto de 3114 a.C. la posición de las estre-

se repiten en fechas significativas. Se trata de una investigación que descubre y relaciona los significados simultáneos de orden astronómico-calendárico, mitológico-cosmológi-

llas en el firmamento coincide con esta disposición urbano-arquitectónica, que tiene así un carácter conmemorativo y de reflejo sim-

co y epigráfico-iconográfico que forman la cosmología y la cosmogonía mayas en el Popol Vuh. Las obras manifiestan un sim-

planteamiento de esa posible hierofanía no cancela las demás representaciones de orden cósmico-divino y espacio-temporal,

bolismo mitológico que puede verificarse en sus atributos arquitectónicos respecto a los sucesos celestes.

sino que se suma a ellas. Se trata de una concepción espacio-temporal, geométricoarquitectónica y astronómico-mítica para


estelar que forma la constelación de Es-

bólico del cosmos en una fecha sagrada. El

armonizar el espacio terrenal con los sucesos celestes de interés que debieron ser reflejados. A partir de los principios de estudio de la geometría mesoamericana se realizó un aná-

De acuerdo con un extenso análisis de

Mientras los

los procesos de evangelización y transcultu-

españoles veían

ración en América a consecuencia de la Conquista, en los que la idoloclastia fue parte de una guerra para imponer las imágenes

en las imágenes cristianas sólo una representa-

lisis de la relación de proporción de las dis-

cristianas sobre las creaciones escultóricas y

ción de lo sagra-

tancias, trazo y orientación entre las pirámides del Sol, la Luna y la Ciudadela en Teotihuacan.64 Los resultados gráficos con-

pictóricas que veneraban los indígenas, Serge Gruzinsky expone las diferencias culturales que los mesoamericanos tenían respecto a

do, los indígenas asociaban a sus creaciones artís-

servan la Pirámide del Sol como centro cósmico y se establece que respecto a la Pirámide de la Luna existe una distancia en

los europeos por la forma de concebir los ídolos y las imágenes. En el transcurso de la Conquista y la evangelización, los españo-

ticas y pirámides los números de los ciclos de los

proporción que la sitúa en la órbita de Venus respecto a la primera y a la Ciudadela en la órbita de la Tierra, respectivamente, lo que puede interpretarse en el sentido de que la

les emprendieron una guerra de imágenes, emprendiendo la destrucción de los ídolos y figuras indígenas. Mientras los españoles veían en las imágenes cristianas sólo una

relación de semejanza que los sacralizaba.

hoy conocida Pirámide de la Luna representa también a Venus, dadas estas proporciones. Se trata de una concepción urbano-

representación de lo sagrado, los indígenas asociaban a sus creaciones artísticas y pirámides los números de los ciclos de los

arquitectónica que, a través de la geometría, se manifiesta en las pirámides como la representación de las relaciones de proporción

astros, en una relación de semejanza que los sacralizaba.

cósmica y armónica de los cuerpos celestes.

Pero un abismo... separó los dos mundos:

De esta manera quedaron plasmadas las disposiciones que reflejan el cielo y que comprueban que en Teotihuacan conocían el

los

carácter heliocéntrico del sistema solar. Adicionalmente, entre el eje de alineamiento entre las cúspides de ambas pirámides -que tiene una desviación de 17° al este

cuenta. Esclavos de su mirada y convenci-

del norte astronómico- y una paralela al eje norte-sur de la Pirámide del Sol, existe una representación epifánica vista desde la

turas de aire tan “feroz y espantable”, en

Ciudadela, pues la Pirámide de la Luna (que puede ser llamada indistintamente de Venus por sus características numéricas y

indios

no

compartían

la

astros, en una

concepción

española de la imagen. Los cronistas y los evangelizadores fueron los últimos en darse dos de que los indígenas tenían que compartirla, se

asombraron

de

que hubieran

hecho de sus dioses unas pinturas o escullugar de producir figuras típicamente antropomorfas... En Europa, bajo la influencia del modelo fonético, la escritura se consideraba como la calca de la palabra y la pintura como la calca

posicionales en el centro ceremonial) aparece como la estrella en su orto helíaco -aparición en el horizonte- respecto a la

de la realidad visible. En China, por lo con-

Pirámide del Sol.

figuraba un dominio que mantenía con la

trario, donde la escritura no se redujo a la representación de la palabra, la pintura conrealidad visible una relación de conocimien-

Ixiptla.65 Dadas las relaciones de sincronía, representación, consonancia o semejanza

to, de analogía y no de redundancia o de

que la obra terrenal debía satisfacer respecto del orden divino y cósmico, según se ha documentado, debería existir un concepto

tercer caso: como en China, la escritura se

entre los mesoamericanos que refiriera dicha concepción, y en lengua náhuatl el

ya que siguió siendo indisociable de la pintura, lo que habían presentido los españoles,

Colón a Blade Runner, Fondo de Cultura

concepto existe: ixiptla, cuyo significado es

que designaron, indistintamente, los códi-

Económica, México,

relación de semejanza.

ces pictográficos con el nombre de pintura

1994.

reproducción.

Mesoamérica

constituiría

un

libró del paradigma de la escritura fonética, pero sin alcanzar una existencia propia,

64

Margarita Martínez

del Sobral, op. cit., pp. 199-216. 65 Serge Gruzinsky, La guerra de las imágenes / De Cristóbal

Epílogo 329

o de libro. La pintura mexicana pretendía,

confundirse con el rostro que representa,

por otra parte, captar los principios organi-

dando testimonio una vez más de la unión

zadores de las cosas, se proponía expresar

del significante y del significado.67 Así están dados algunos antecedentes sobre las diversas formas en las que se cum-

la estructura del universo, al mismo tiempo que creaba un lenguaje rigurosamente cifrado pero que nunca se fijó en una mera sucesión de signos abstractos. La representación indígena -si es que aquí se puede hablar de representación- no

mesoamericanas, con un carácter de ixiptla

tendía, pues, a la calca de la realidad sensible, aunque se refiriera a ella. Un concepto

respecto al orden cósmico-divino. Esto confirma que en sus creaciopes de todo tipo,

nahua permite llevar más lejos el análisis:

desde el urbanístico y arquitectónico, hasta

ixiptla. Los evangelizadores franciscanos lo

las esculturas y piezas de cerámica, los mesoamericanos aplicaban métodos, técnicas y prácticas por ellos desarrollados a tra-

utilizaron para denominar el icono cristiano, la imagen del santo, mientras que antes de la

dios -diríamos, con los conquistadores, el

vés de los cánones de creación que rigieron su arte, para la integración ritual de la obra humana con la obra divina mediante

ídolo-, la divinidad que aparece en una

relaciones de semejanza. En este contexto,

visión, el sacerdote que la representa cu-

el que a las obras escultóricas, de alfarería, arquitectónicas, se les haya diseñado con principios geométricos y proporciones

Conquista designaba varias manifestaciones de la divinidad. Son ixiptla la estatua del

briéndose con sus adornos, la víctima que se convierte en el dios destinado al sacrificio. Las diversas semejanzas -es así como en español se traduce a veces ixiptla- podían yuxtaponerse en el curso de los ritos: el

empleando números de significado astronómico (NSA) o calendárico (NSC) es la consecuencia y manifestación de esa concep-

que, empero, sus apariencias fueran por

ción. Los NSA y NSC son el corpus de una numerología astronómica que responde a principios aritméticos de multiplicidad. No

fuerza idénticas.

se ha referido aquí el término numerología

sacerdote que representaba al dios se colocaba junto a la estatua que representaba, sin

La noción nahua no dio por sentada una similitud de forma: designó la envoltura que recibía, la piel que recubría una forma divina surgida de las influencias cruzadas que emanaban de los ciclos del tiempo. El ixiptla era el receptáculo de un poder, la presen-

cia reconocible, epifánica, la actualización de una fuerza imbuida en un objeto, un ser ahí, sin que el pensamiento indígena se

a la acepción esotérica adivinatoria occidental, sino como la serie de conocimientos numérico-aritmético-astronómicos que permiten relacionar números y cifras por asociaciones de orden, de multiplicidad y de significado. Asimilar un sistema numérico semejante permite acercarse a los números sagrados y trascender los fines de la aritmética

apresurara a distinguir la esencia divina y el

-como se entiende en la actualidad- para

apoyo material.66

Gruzinsky abunda diciendo que el obje-

observar cómo la armonía de los ciclos celestes, plasmados en cada número, eran una llave para entender el universo. El valor

to del ixiptla era manifestar la presencia divina, pero se podría agregar del ixiptla que constituye y es el producto de elemen-

de los números como expresión del cosmos se deriva del orden tempoespacial atestiguado en el cielo y sintetizado en éstos. Ello valor simbólico y sagrado como representantes de los ciclos celestes. Que en la numerología astronómica mesoamericana apareciera vinculado el número 260 del

66

Ibid., pp. 60-61.

tos y de combinaciones por oposición a la imagen occidental, que se abre sobre un otro real o ficticio. En el mismo orden de ideas se observa

67

Ibid.

que la máscara mesoamericana tiende a

330

plen los principios de relación epifánica, de consonancia, de sincronía, de semejanza para la consagración ritual de las obras


explica que a los números se le asignara un

tonalpohualli apunta el carácter divino de

monumentos

su concepción, dada la significación sagrada que tiene el 260 con relación al ciclo de

mericanas son

gestación, a los periodos de 105 y 260 días para pasos cenitales en la latitud 15° N -y

orientación y sincronización arqueoastronómicas), acompañados en todos los casos de recursos plásticos, iconográficos, epigráficos, en sintonía con el mensaje que quería

por ende su relación con las estaciones y la

mostrarse.

ción cósmica.

agricultura-, además de la vinculación del 260 con los ciclos planetarios de Venus y Marte (así como Júpiter y Saturno, según

La metodología y procedimientos relativos a esta investigación pueden ayudar a la búsqueda de información y mensajes en

una propuesta particular)68 y los eclipses, entre otros. Los números resultantes de esa numero-

las obras mesoamericanas que sus creadores denotaron con sus códigos, ampliando así las perspectivas para contribuir a un

logía pueden tener varios significados: el astronómico y el calendárico, además de la significación cuantitativa, mitológica, lingüística, etcétera, que se fusionaron culturalmen-

mayor conocimiento y estudio desde varios ángulos complementarios: astronómico, matemático, arqueológico, iconográfico y otros.

te en Mesoamérica. Todo indica que en los NSA, NSC y en los calendarios se cumple un

Si el arte que el hombre crea es una representación del orden de la naturaleza, las obras mesoamericanas son una expre-

principio

de

conmensurabilidad

cíclica

y

espacial, una abstracción del tiempo-espacio, tal y como los mesoamericanos los concebían. Al plasmar dichos números en las obras se realizaba una conversión de lo tempo-espacial a lo espacio-temporal a través de un sistema de diseño simple y elegante.

(junto

con

las

técnicas

de

Las obras mesoauna expresión que alcanza niveles de significa-

sión que alcanza niveles de simbolización, más que estética, de significación cósmica, no por el sistema de creencias (religión) que las subyace, sino por el conocimiento de la naturaleza que nos manifiestan.

No se pretende afirmar que la totalidad de las obras, edificios, piezas, utensilios o elementos ornamentales que se manufacturaron o construyeron fueron objeto de un sistema de diseño y proporcionamiento tan sofisticado; eso es algo que amerita más investigación.69 Sin embargo, por la frecuencia con la que se detecta cualquiera de las formas de consagración detalladas a lo largo de este trabajo, es factible considerar que no había obra en la que no se atendieran reglas de creación y se realizara alguna forma de consagración. Los cánones de diseño y proporcionamiento pueden considerarse una forma más de consagración, en este caso geométricomatemático-astronómico, que ratifica al arte mesoamericano como portador de una cosmovisión en la que el número y la proporción manifestaban el orden del cosmos mesoamericano. En lo relativo al diseño de proporciones con NSA puede considerarse que debió aplicarse para la fabricación de obras rituales de alfarería, para la hechura de esculturas y para la construcción de

68

Víctor Torres Roldán, op. cit., pp. 123-131. pesar de que se presentan aquí más de 100 ejemplos de análisis de obras mesoamericanas, como muestreo estadístico no sería un número suficiente, por lo que se recomienda a los investigadores continuar efectuando este tipo de análisis en las obras que puedan estar disponibles. Este estudio es sólo la punta

69A

del iceberg.

Epílogo 331

Apéndice 1 / Números

Alrededor de medio milenio antes del principio de la era cristiana se desarrolló un sistema de numeración en el sur de Mesoamérica. Surgido probablemente en la región de Monte Albán, Oaxaca (Marcus, 1976), estaba destinado a ser más refinado que el sistema usado por aquel entonces en cualquier parte del mundo. Para presentar números del orden de cientos de millones se usaban únicamente combinaciones de tres símbolos: un punto equivalía a uno y una barra horizontal a cinco, en tanto que una diversidad de símbolos representaban al cero.

Anthony F. Aveni

os números que se presentan en este apéndice fueron encontrados al

L

hacer el cálculo de medida lineal, área o volumen de las posibles figuras geométricas envolventes de los objetos estudiados. En muchos de

los casos los números fueron tomados en forma absoluta, como algunas veces deben haberlos tomado los sabios mesoamericanos, sin importar que puedan significar indistintamente días, años, siglos, eras, pues señalan simplemente ciclos. Por ejemplo, el 104 -que es la duración del siglo mesoamericano en años- podrá también significar ciclos de 104 días, años, eras, tonalpohuallis, dependiendo del contexto en el que se encuentre. Significa 104 ciclos. Este apéndice es un catálogo de algunos de los números más comúnmente empleados por los sabios mesoamericanos, tanto en sus creaciones artísticas, como en sus predicciones astrológicas, que nos permiten entender un poco más el significado del arte mesoamericano. Además de los números enteros, los sabios mesoamericanos hicieron uso de números fraccionarios, así como de constantes como φ o π. Tuvieron conocimientos de trigonometría, particularmente de la función tangente, y pudieron multiplicar y dividir números muy grandes, algunos de los cuales han quedado registrados en las estelas mayas. Estos conocimientos se remontan hasta la época olmeca; los sabios de este pueblo fueron quienes dieron a las demás culturas mesoamericanas un sistema numérico desarrollado y aplicado a la astronomía. El número 360 no corresponde a ningún ciclo astronómico. Es un número calendárico del que se puede decir que

332


a) Coincide con la division del círculo en 360°. El círculo

por lo que son también factores de éstas. Por ejemplo, consi-

ya había sido dividido de esta manera, según lo reve-

deremos el 13 como número de enganche; supongamos que queremos enganchar el ciclo del Sol del inframundo de 364

la la profusión de ángulos del diseño del arte mesoamericano, como por ejemplo el de 47°, que es el ángu-

días con el ciclo sinódico de Mercurio de 117 días. Primero se

lo intertropical.

obtiene su MCM, 3 276, donde tendremos como factor común

b) Coincide con el calendario lunar basado en el ciclo sideral del satélite (ver el número 819 en este apéndice).

el 13: (364 / 28 = 13; 117 / 9 = 13; 3 276 / 13 = 252; 28 x 9 = 252; 364 x 9 = 2 8 x 1 1 7 = 3 276). Esto quiere decir que, si los dos

c) Es factor del número 4 680:* (4 680 = 13 x 360). El volu-

ciclos se iniciaran al mismo tiempo, al cabo de nueve años

men 4 680 es el mínimo común múltiplo (MCM) de

del Sol del inframundo Mercurio volverá a coincidir con la

numerosos

éste

Luna, al igual que al cabo de 28 ciclos sinódicos de Mercurio,

coinciden con el tonalpohualli: (4 680 = 18 x 260 = 8 x

o sea, 3 276 días. Entonces las dos ruedas calendáricas se

585 = 40 x 117 = 6 x 780 = 360 x 13 = 104 x 45 = 52 x 90 =

habrán enganchado al llegar a la posición inicial, lo que equi-

27 x 173.333). Esto quiere decir que serán necesarias 18

vale a haber alcanzado el lub o lugar de descanso, de acuer-

vueltas del tonalpohualli, cuando coincida con Venus al

do con la nomenclatura de Thompson. Luego se iniciarán

ciclos

astronómicos

que

mediante

cabo de ocho vueltas de su ciclo sinódico, de 40 del de

otros ciclos lunares y mercuriales que volverán a enganchar al

Mercurio, de seis del de Marte, de 13 del año ajustado

cabo de 3 276 días, y así hasta la eternidad: (9 x 364 días = 28 x

a 360 días, de 45 del siglo, de 90 del medio siglo meso-

117 días = 3 276 días).

americano y de 27 del medio año de eclipses. De mane-

Existieron también los números cuadrados y los números

ra indirecta coincidirá con la era cosmogónica: [4 680 =

cúbicos, frecuentemente empleados en sus cálculos de ciclos

(676 x 7) - 52], El 4 680 es factor de la era maya: 4 680

astronómicos, lo que indica que sabían efectuar operaciones

x 400 = 1 872 000.

como elevar al cuadrado y al cubo, así como obtener las raíces correspondientes.

El número 13 y el 20, números básicos de sus cuentas,

Uno de los hallazgos más importantes de este estudio es

también fueron agregados a su numerología, no por corres-

que los números en Mesoamérica quedaron registrados como

ponder a algún evento astronómico, sino para relacionar unos

unidades lineales, de superficie o volumétricas implícitas en

ciclos con otros o con el tonalpohualli de 260 días.

las figuras geométricas que pueden contener a sus obras de

Hay números llamados constantes, como φ o π, que son

arte. Por ejemplo, los números astronómicos que representa-

se

ban la duración de ciertos ciclos celestes o los ciclos calendá-

obtienen como módulo (m) al inscribir en un círculo ciertos

ricos podían ser escritos en un sistema de diseño de propor-

rectángulos máximos, tales como el rectángulo √3 Μ 1.732...,

cionalidad acotado en las dimensiones de sus obras de arte.

números

indeterminados;

otros

también

indeterminados

En las culturas olmeca y maya los números eran represen-

el rectángulo Σ 7 x 8 Μ 1.142... y todos los demás especificados Σ, además del rectángulo

φ2

M 2.618... o el rectángulo K,

tados por símbolos cefalomorfos, pintados o tallados en pie-

Las constantes

dra, cuyos vestigios son los códices mayas de París, de

de diseño fueron empleadas en los monumentos y plantas de

Madrid, de Dresde y tal vez el Golier, así como las cabezas

conjunto de centros ceremoniales, lo que indica que los sabios

colosales olmecas, los vestigios más antiguos de esa cultura.

mesoamericanos sí utilizaban en sus cálculos números fraccio-

No es de extrañar que se hayan empleado figuras en forma de

narios; prueba de ello es que hicieron coincidir sus ruedas

cabeza, dado que el número es una de las más grandes abs-

calendáricas con ciclos expresados mediante números no ente-

tracciones lograda por el ser humano, producto puro que el

ros, como las constantes φ o π, así como el ciclo sinódico lunar

cerebro -la cabeza- elabora en forma de pensamiento. Uno

o el año trópico (aproximados).2

de los más grandes logros de los matemáticos mesoamerica-

llamado también M 1.272..., entre

otros.1

Para relacionar unos ciclos con otros existieron números de enlace o de engrane -factores comunes de los números

nos fue la invención del cero y de un sistema numérico posicionai. Francisco José Barriga Puente opina:

enlazados-, como fueron el 9, el 11, el 13, el 17, el 23, el 29, etcétera, y sus múltiplos, además de ciertos números primos, como el 61, factor de otros números empleados no con tanta frecuencia, como el 366, que es la duración del año bisiesto

* Cifras junto a factorizaciones no indican necesariamente multiplicar, pues sólo reflejan necesidades de redacción. (Nota del editor.)

tomado en días. Se hace notar que los números de enlace son 1

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cul-

2

La duración real del año trópico es de 365.2422 días y la del ciclo sinódico

números primos o múltiplos de números primos que no representan ningún evento astronómico por sí mismos, sino que sirven para enganchar unas con otras las ruedas calendáricas,

tura Económica, México, 2000, p. 63.

de la Luna es de 29.5305 días.


333

...

el

afán

de

registrar

gráficamente

las

cantidades

motivó

a

los

Números

antiguos mayas a la invención del cero y les permitió arrimarse al infinito o, dicho en otras palabras, los llevó a desarrollar el prin-

El cero

cipio del valor posicionai en la escritura de los números compuestos y, a la vez, les ofreció la posibilidad de realizar toda suerte de

La

cálculos

natural

con

un

alto

grado

de

exactitud,

incluyendo

a

aquellos

existencia motivó

de

números

redondos

la

creación

de

un

y signo

la

de

ciclos

numérico

sin

que,

coeficiente

por

comodi-

que se referían a la oscilación de los cuerpos siderales que deam-

dad, se le ha llamado cero. En un principio tomó la forma de media

bulaban por su retazo de cielo. 3

cruz de Malta, y en casi todas las ocasiones -al igual que en los

Y considera que los números, en su origen, fueron metáfo-

periodo que cuantificaba.

susodichos

ras que se desarrollaron en “el caldo de cultivo de la religión”.

números

naturales-

apareció

prefijado

al

signo

del

... durante el posclásico, en los registros cronológicos contenidos en los códices -sobre todo en el Códice de Dresde- la media cruz

El

traslape

cierta

las

lizar

número

la

de

los

creencias

números -si

del

ubicuidad

religiosas;

representaban experiencia

mitológico

con

numerales,

las

vital

la

el

unidades ser

dio

pie

a

hizo

posible

si

los

multimencionados

porque

podía

aritmético

cual

fundamentales reducida

a

del

cifras-,

maltesa y los otros glifos del cero fueron sustituidos por un caracol.

racionaFrancisco José Barriga Puente

cosmos entonces

En 1886 el doctor Ernst Forstermann descubrió que, en la

era posible comprender la verdad de la existencia a través de los

cultura maya del posclásico, el símbolo en forma de caracol

propios números...

tenía el valor del cero y que utilizaban una escritura numéri-

...En

una

primera

como

un

principio

instancia

la

cuenta

maya

inventado

por

no

era

concebi-

ca posicionai. Según Francisco José Barriga, otros glifos repre-

sino

sentativos del cero fueron la media cruz de Malta (T 153), que

de

también representa completamiento; un maxilar inferior forma-

propieda-

do por una mano y un óvalo vertical con tres marcas diago-

des sagradas del universo, y éstas cubrían con un velo de misti-

nales en su interior. En 1897 Goodman afirmó que el concep-

da más la

bien

como

cosmogonía.

una En

ordenador

clave los

divina

números

para

el

estaban

cismo todos los objetos y todos los eventos

cabal

el

hombre,

entendimiento

contenidas

las

contados.4

to de ausencia o vacuidad era privativo del sistema arábigo. En 1923 Kroeber afirmó que el cero maya antecedía con cinco

A lo largo de la historia el registro puntual de los acon-

siglos al cero hindú y en 1924 Spinden aseveró que el cero de

tecimientos en la Tierra y en el cielo fue el responsable de

los antiguos mayas debería ser interpretado como completa-

desmitificar el número y de agregarle denotaciones aritméti-

miento u ordenamiento, pero no como nada o vacuidad. Entre

cas, disminuyendo la utilización de las variantes de cabeza

1947 y 1948 Fulton publicó que el cero maya correspondía

hasta casi desaparecer. En Mesoamérica existieron números

más a un ordinal cíclico que al cardinal vacío y, por lo tanto,

que sirvieron para cuantificar los ciclos de los cuerpos celes-

debería ser interpretado como nuevo principio. Finalmente J.

tes, que en este estudio se les ha llamado números con signi-

Eric S. Thompson, en 1950, defendió el concepto de comple-

así como números con significado

tamiento, pero reservándose el derecho para argumentar en

que se emplearon para cerrar y hacer coin-

favor del significado de ausencia (Barriga Puente, 2004, p.

ficado astronómico calendárico

(NSC),

(NSA),

cidir ciclos entre sí o con el tonalpohualli, pero que no corres-

120). Actualmente también se considera que el cero significa

ponden a eventos celestes exactos; también existieron núme-

un ciclo cerrado, terminado, por lo que se representa como un

ros con significado geográfico

puño cerrado, entre otras formas.

(NSG)

para señalar ángulos de

latitud, de distancia o intervalos astronómicos.

El número 1. En náhuatl se representa como una piedra, tetl, porque en los albores de la ciencia matemática para contar se utilizaban piedras.5 El número 1 se representa por un círculo o punto. Es símbolo de la unidad absoluta que, así como el círculo, no tiene ni principio ni fin y que contiene en sí y deri3

Francisco José Barriga Puente, “Tsik, los números y la numerología entre los mayas”, tesis para optar por el grado de doctor en antropología,

va de él todo lo creado. En la escritura de numerales de los

Escuela Nacional de Antropología e Historia, México, 2004, p. 109.

mayas el 1 se identifica con un visible mechón de cabellos

4

Ibid., p. 219.

rizados, que se ha vinculado con la diosa de la Luna.6 Barriga

5

Femando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán

Viejo, edición del autor, Tehuacán, 2004, pp. 15 y 77. 6

Puente identifica el número 1 con el dios Junab K'u: “Único

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de

dios, el más grande de los dioses de Yucatán. Deidad supre-

Cultura Económica, México, 1991, p. 162.

ma de carácter celeste, dador de lo bueno y de lo malo. No

334


tenía imagen, era incorpóreo. Tal vez se trate de Itzamná”.7

planeta y la Luna estén en la misma fase al cabo de 584 x ϕ días

También el número 1 se ha vinculado con la Luna como

El número 1.25. La diferencia entre el año trópico solar de 365.25

(584 x 1.618 ≈ 945). Con frecuencia se encuentra la simbología de Venus y de la Luna en una misma representación iconográfica con numerales. Al multiplicarse ϕ por sí mismo se obtienen otros números, ya sea en forma ascendente o descen-

días y el año solar del inframundo o ciclo lunar anual de 364 es

dente, ϕ, ϕ2, ϕ3, ϕ4, ϕ5, ϕ6, ϕ7, ϕ-1 y ϕ-2, de los que se valieron

de 1.25 días. Es un número mediante el cual se pueden obtener

los artistas para sus diseños, según lo demuestra la geometría subyacente en éstos.11

madre, el origen, el principio.

ciclos astronómicos a partir de otros; por ejemplo:

Más adelante, cuando se analice la gran era maya de 1 872 000 365 / 1.25 = 292, la mitad del ciclo sinódico de Venus. 364 / 1.25 ≈ 290, número de la serie del 29 relacionada con la Luna.8

días, se volverán a encontrar coincidencias de los ciclos lunares y venusinos. Pero será tomando tres veces la era maya (5 616 000 días) donde se encuentre la verdadera coinciden-

260 / 1.25 = 208, doble siglo mesoamericano.

cia de ciclos lunares y venusinos: 5 616 000 / 585 = 9 600 y

585 / 1.25 = 468, cuatro veces el ciclo sinódico de

5 616 000 / 27 = 208 000; por otro lado, 9 600 x 585 = 208 000 x 27 = 5 616 000, lo que quiere decir que Venus y la Luna coin-

Mercurio.

cidirán al cabo de 5 616 000 días, que en años es igual a 15 600 El 1.618..., la constante llamada número de oro. Esta constante está relacionada con algunos ciclos astronómicos y fue empleada en el diseño mesoamericano para encontrar la altu-

años de 360 días, igual a 21 600 tonalpohuallis, a 54 000 siglos de 104 años (en números absolutos) y a 108 000 ciclos lunares (ver cuadro del número 5 616 000).

ra y otros elementos arquitectónicos de algunos monumentos.9 Al dividir dos números consecutivos de la serie de Fibonacci, el mayor entre el menor, a medida que crecen estos números el cociente se acerca al 1.618... Los sabios mesoamericanos le dieron valores entre 1.6 y 1.625: (8 / 5 = 1.6) y (13 / 8 = 1.625). Es un número que se encuentra en las proporciones de la naturaleza y que rige el crecimiento armónico entre las partes y el todo. Otra manera de obtener esta constante que se designa con la letra griega ϕ (léase fi) es dividiendo 945 entre el ciclo

7

Francisco José Barriga Puente, op. cit., pp. 203-210.

8

Michael D. Coe, Reading the Maya Glyphs, Thames & Hudson, Nueva York,

sinódico de Venus (945 / 584 = 1.61815...). El 945 se puede

2001, p. 53. “Glyph A consists of the moon sign read twenty, plus the bar and

considerar tanto lunar como venusino, ya que se puede fac-

dot numbers 9 or 10. It thus tells one whether the current lunation has 29 or

torizar como 5 x 7 x 27 = 945, en donde el 5 es un número

30 days. Although as we have said, the synodic lunar month is about 29 1/2

venusino, el 7 lunar y el 27 el ciclo dracónico ajustado de la

days, the Maya astronomers didn’t deal infractions but in integral or whole numbers. Therefore they calculated that 6 lunations had three 29-day moons,

Luna, dependiendo de la igualdad en que se encuentren, ya

and three 30 day moons.” “El glifo A consiste en un glifo de Luna, que se

que también pueden ser simplemente números funcionales de

lee como 20, más los números de barra y punto 9 o 10. Esto nos dice si la

enlace (nf). A su vez el número 945 es igual a dos veces 42 mul-

lunación actual tiene 29 o 30 días. Aunque, como hemos dicho, el mes sinódico lunar es de 29.5 días, los astrónomos mayas no trabajaban con

tiplicado por el ciclo sinódico de la Luna: 2 x 42 x 29.5308... =

fracciones, sino con números íntegros o enteros.” Contradiciendo esta

944.9856 ≈ 945. El ciclo calendárico lunar de 819 días se obtie-

opinión, puedo decir que, aunque es más cómodo trabajar con números

ne de la siguiente igualdad en la que interviene el 945 (lunar)

enteros, no por esto dejaron los mesoamericanos de utilizar para sus cálculos

y el 585 (venusino): 945 / 5 = 189 y 585 / 5 = 117; 189 x 117 =

números fraccionarios e indeterminados, como en el caso del cálculo del ciclo sinódico de 29.5308 días o del año trópico de 365.2422. Una vez

22 113 = 27 x 819. Esto se puede interpretar como que 27 es

conocidos estos números se calculó el número de vueltas que su rueda

el número que enlaza el calendario de Venus con el de

calendárica necesitaría dar para coincidir con otro ciclo calendárico. Es el

Mercurio y con el de la Luna. El MCM del ciclo calendárico

caso de la rueda calendárica de las 405 lunas, que al multiplicarse por 29.5308 obtenemos el 11 960, número registrado en la pirámide que puede

lunar de 819 días y el del sinódico de Mercurio de 117 días,

ser la envolvente del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan. Las seis

el de Venus de 585 días y del sidéreo de la Luna (27.3 días) es

lunaciones dan un total de 177 días, número registrado por Aveni como

4 095.

lapso entre eclipses.

La constante φ se encuentra en la relación de proporción

9 10

entre el ciclo sinódico lunar (tomado 32 veces) y el venusino

Ver la fotografía (p. 135) de la vasija del valle de Tehuacán, de iconografía lunar, en donde aparecen 32 puntos de pastillaje en cuatro grupos: dos de

(29.5308 x 32) / 584 = 1.6181...).10 El 32 es importante como multiplicador del periodo sinódico de Venus para que este

Ver el capítulo x, correspondiente a la Pirámide del Sol en Teotihuacan.

nueve puntos y dos de siete (2 x 9 = 18 y 2 x 7 = 14; 18 + 14 = 32). 11

Margarita Martínez del Sobral, op. cit., p. 21.

Apéndice 1 / Números 335

valor real de ϕ = 1.618... (1.6 + 1.625) / 2 = 1.6125, pero la forma

Cuadro del número 5 616 000

más exacta para encontrar la constante ϕ es por medio del

Coincidencia de Venus y la Luna Número

Ciclo

Astro

5 616 000

Sol Sol

3

Sol

39

Sol

15 600

5 616 000

Tonalpohualli, 260 Era maya, 1 872 000 Baktún, 144 000 Año ajustado, 360 Sinódico, 585


5 616 000 5 616 000

Sidéreo, 27 Siglo, 104

Luna Sol

5 616 000

Constante ϕ, 1.61798 Tlalpilli, 13

Sol

3 470 976

Sol

432 000

5 616 000 5 616 000 5 616 000

5 616 000

Venus

9 600 208 000 54 000

Factorizaciones

número 1 156 340, que es divisor de la era maya: 1 872 000 / 1 156 340 = 1.618... El 1 156 340 se puede factorizar como 2 x

21 600 = 23 x 33 x 100 3 es número solar 39 = 3x 13 15 600 = 3 X 52 X 100 9 600 = 3 X 22 X 23 x 100 208 = 22 x 52 54 000 = 33 X 2 x 1 000 3 470 976 = 12 052 x 288 432 000 = 42 x 27 X 103

179 x 19 x 17 x 10, por lo que se puede enganchar con el ciclo metónico lunar (19) y con la orientación de Teotihuacan (17). Por último, tres eras mayas = 3 x 1 872 000 = 5 616 000 entre (4 x 288 x 23 x 131) da como resultado ϕ = 1.61798... (ver el número 1 156 340 en este apéndice). Se hace la aclaración de que la mayoría de cálculos representa aproximaciones al número de oro, las cuales fueron utilizadas en el diseño arquitectónico. Existe otra relación de proporción que nos permite una mayor aproximación a φ: (104 x 11)/(101 x 7) = 1 144/ 707 = 1.61810.12 El 5 y el 8, que suman 13, son los tres números consecutivos de la serie más

Cálculo del número de oro. No se sabe con certeza de qué ma-

comúnmente empleados en el diseño mesoamericano. Me-

nera fue calculado el número de oro por los matemáticos

diante el 13, que además es factor del tonalpohualli, pudieron

mesoamericanos, pero lo más probable es que haya sido uti-

relacionar el almanaque sagrado con el número de oro.

lizando el 5, el 8 y el 13, números consecutivos de la serie de

Se considera la suma, la multiplicación y la división de los

Fibonacci, ya que los cocientes obtenidos de dividir 8 / 5 y 13 /

siguientes números consecutivos de la serie: 8 + 13 = 21, que

8 dan los parámetros de los valores de φ utilizados en el dise-

contiene el número lunar 7 y el solar 3 como factores.

ño mesoamericano (13 / 8 = 1.625 y 8 / 5 = 1.6). Por otro lado, 5, 8 y 13 son números que se encuentran frecuentemente en

8 x 1 3 = 104, el número de años del siglo mesoamericano.

los elementos iconográficos.

13 / 8 = 1.625, parámetro superior de φ para los mesoa-

Existen varias maneras de determinar el número de oro mediante números astronómicos que deben haber sido cono-

mericanos. (El valor de ϕ = 1.618...) 13 + 21= 34 = 2 x 1 7 (ver el número 17 en este apéndice).

cidas por los sabios mesoamericanos. Una de ellas es divi-

13 x 21 = 273; 273 /3 = 91, un cuarto de 364.

diendo el ciclo sinódico venusino entre la duración del año

21 / 13 = 1.615, número aproximado a ϕ.

ajustado a 360 días. Otra, dividiendo el año de 365 días entre

34 + 21 = 55; 55 / 5 = 11, cuya importancia se refleja en el

el año venusino de 225 días (585 / 360 = 1.625; 584 / 365 = 1.6;

cálculo de los eclipses; 34 / 21 = 1.619, número apro-

365 / 225 = 1.6222...). Asimismo se encuentra 1 092 / 676 =

ximado a φ.

1.61538..., relación que tiene que ver con la Luna y con las eras cosmogónicas; 676 años es una era cosmogónica y 1 092 es

El número 2. El dios supremo de los mexicas era el Dios Dos,

tres veces el ciclo del Sol del inframundo; también es el volu-

Ometéotl, el creador así llamado por contener los principios

men en unidades a la manera indígena del primer cuerpo de la

masculino y femenino. No podía ser representado. El concep-

Pirámide del Sol en Teotihuacan (364 x 3 = 1 092). Otra mane-

to geométrico, ligado a los números desde luego y de acuer-

ra de encontrar el número de oro es dividiendo 47 / 29 = 1.620,

do con esta investigación, es que el uno es la unidad absolu-

constante utilizada en el diseño mesoamericano. El 47 es el

ta, cuya máxima extensión es el dos.

ángulo intertropical y el 29 fue considerado como el valor de

El 2 es el número de elementos en los que el diámetro

una lunación entre los mayas (1.62 x 100 = 162; 162 / 2 = 81 =

divide al círculo de manera inmediata y simple; se manifies-

3 x 27). (Ver los números 27, 47 y 81 en este apéndice.)

ta en el primer momento de creación separando lo que pare-

Otra manera sería dividiendo 48 / 29.5308 = 1.625, que fue

cía indivisible. Esta división13 hace que se comprenda la im-

uno de los parámetros del valor de ϕ en Mesoamérica. Para los

portancia del diámetro, línea que manifiesta la dualidad en la

sabios mesoamericanos el valor de ϕ se encontraba entre el

unidad del círculo. Puede haber un número infinito de diáme-

1.625

tros implícitos en el círculo, mas no forman parte esencial de

y 1.6. Curiosamente, el promedio se acerca mucho al

éste de la manera en que lo hace la circunferencia que lo delimita, y de la cual solamente se puede decir que es π veces 12

Para mayores datos acerca de la proporción áurea entre números astronómicos consultar el capítulo II de este libro.

13

más grande que el diámetro del círculo. Los puntos en que dos

Se puede comparar el diámetro con el horizonte terrestre, que une o sepa-

diámetros perpendiculares cortan el círculo determinan los

ra el cielo del suelo o el día de la noche.

vértices y los ejes del máximo cuadrado que se puede inscribir


en ese círculo. Estos ejes corresponden a las mismas diagona-

mediante los abatimientos de su diagonal, un cuadrado se

les del cuadrado. El 2 es el número mínimo de diámetros per-

pueda

pendiculares de un círculo que permiten comprender el uni-

la unidad. Este proceso de la geometría dinámica simboliza al

verso al dividirlo en cuatro cuadrantes.

Creador y su creación en su máxima extensión.

El número 2 se representa por el doble cuadrado, figura

transformar

en

doble

cuadrado,20

máxima

extensión

de

La duración del año trópico (365.2422 días) o del año vago

geométrica máxima extensión del cuadrado en la geometría

(365 días) no son divisibles exactamente entre 3, así que crea-

dinámica de Mesoamérica. El doble cuadrado se obtiene

ron -correspondiendo un día por cada grado de los 360 del

mediante la diagonal que actúa en el cuadrado abatiéndose

círculo- el año de 360 días (el tun maya), que sí lo es.21

sobre uno de sus lados y produciendo el rectángulo √2. La

En la numeración de los mayas que Aveni llama comercial,

diagonal continúa actuando de la misma manera en los rec-

el 400 se conserva como tercer multiplicador de las tablas,

tángulos que se forman subsecuentemente hasta llegar al doble

mientras que en las calendáricas se cambia a 360, lo que da

cuadrado. Así se observa cómo un cuadrado se desdobla hasta

por resultado dos números diferentes como factores de la era

llegar a ser un doble cuadrado, pasando por una primera etapa

maya: uno 360 y el otro 400. La división del círculo en 360° se

en la que aparece el rectángulo √2

1.414; a continuación

derivó de la observación del Sol a lo largo del año. Cada día

aparece una segunda etapa, en la que este rectángulo se trans-

el Sol recorre 1o de su órbita, así que necesitaría 365.2422

forma en el rectángulo √3

1.732; y finalmente una tercera

días (un año trópico) para llegar al mismo punto de partida.

etapa en la que el rectángulo anterior se transforma en el rec-

Como esta cantidad no es divisible ni entre 13 ni entre 20,

2 o doble cuadrado.14 Éste es un proceso de geo-

dejaron cinco días fuera de la cuenta, los días aciagos llama-

tángulo √4

M

M

M

metría dinámica, en donde una figura se genera de la prece-

dos nemontemi por los nahuas. Del año trópico pasaron al año

dente. Es la expresión geométrica del principio de causa y

ajustado de 360 días, que por lo menos es divisible entre 20 y

efecto.

puede hacerse coincidir con el tonalpohualli por tener el 20

Del dinamismo de esta geometría se valieron los mesoa-

como factor común, resultando así la división del círculo en

mericanos para expresar la vida y el movimiento en sus dise-

360°. Al dividir la era maya entre 360 se obtiene 1 872 000 /

ños. En el caso del cuadrado se obtiene el movimiento y la

360 = 5 200 o 100 medios siglos mesoamericanos. Así hicieron

creación de las figuras subsecuentes por medio de la diagonal,

coincidir la geometría con la astronomía y con la cuenta maya

como ya se dijo, mientras que en el caso de cualquier rectán-

alterada, llamada por Aveni astronómica. Algunos autores pro-

gulo el movimiento se genera, además, por medio de sus ejes

ponen la división del círculo en 400 grados, lo que no tendría

de crecimiento armónico que generan espirales. Ambos siste-

ningún sentido astronómico.

mas fueron empleados en el arte

Al dividir la era maya entre 4002 se obtiene: 1 872 000 /

mesoamericano.15

El símbolo cefalomorfo del 2, T 1086, Piedras Negras, y el

160 000 = 11.7, que multiplicado por 10 = 117, el ciclo sinódi-

de Palenque, presentan ambos una cabeza que tiene una mano

co de Mercurio. Al multiplicar 400 x l l 7 x 5 x 8 = 585 x 8 x 400 =

por arriba de la frente; el simbolismo es clarísimo: las dos fuer-

1 872 000 días. Aquí se encuentran los números básicos de los

zas que mueven el mundo son las ideas, que se generan en la cabeza, órgano del pensamiento; y la acción, que es producto

14

de la mano. En las variantes de cabeza maya el 2 se simboliza

2, 3, para comenzar alguna acción después del tercer número. Al tercer intento se reproduce la figura original, el cuadrado del cual se parte.

por una mano abierta arriba de la cabeza y representa muerte y sacrificio; es la mano la que empuña el cuchillo de sacrificio, que ya se ha equiparado a la diagonal,16 instrumento que divi-

Margarita Martínez del Sobral, op. cit. Tal vez éste es el origen de contar 1,

15

Ibid., pp. 29-45.

16

Ibid.

17

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, Fondo de Cultura

de a la unidad, matándola, pero produciendo el doble.

Económica, México, 1988, p. 111. “Glifos 1, 2, se repite TI, lahbil kinte; 3, el dios del Sol; castigador divino o tormenta de rayos destructora, según se lea cauac como ku o como tormenta. Esto último casi automáticamente

El número 3. Es el número solar17 asociado directamente con

sigue al glifo del Sol. Desde luego, las tormentas eléctricas se asocian a un

la divinidad; de acuerdo con Thompson, corresponde al dios

tiempo caluroso y agobiante, pero es más temible el castigo del dios en forma de siembras quemadas.”

del Sol. Este astro es circular, tiene poder fecundante, da calor 18

y vida, la conserva o puede matar, participando así de los atri-

En la figura de la página 23 del Códice Borgia el dios solar Tonatiuh se encuentra en el centro de varios círculos concéntricos que representan las

butos del creador.18 Tres piedras o tres círculos simbolizan a

órbitas de los planetas, lo cual indica un sistema solar heliocéntrico.

Xiuhteuktli, ya que son tres el mínimo de piedras necesarias

Alrededor del Sol las órbitas de los planetas gravitan y quedan subordinadas a éste. El astro rey es el centro del sistema solar.

para soportar las ollas en el fuego encendido sobre el piso; 19

tres también son el número de patas en los vasos trípodes y

J. Eric S. Thomson, op. cit., p. 111.

20

Margarita Martínez del Sobral, op. cit., p. 29.

vasijas de ofrenda.19 Tal vez se tomó el 3 como número solar por

21

Los restantes cinco días o nemontemi quedaron fuera del calendario de 360

ser geométricamente el número de pasos necesarios para que,

días, mas no de la cuenta solar.


calendarios venusinos y mercuriales, así como el número de

Para encontrar el simbolismo de las tres gotas de sangre o

distancia 40 con relación a la era maya (40 x 10 = 400). De los

de agua tienen que considerarse tres eras mayas o 5 616 000

pueblos de la Antigüedad, el griego también dividió el círcu-

días. Durante ese lapso deben ocurrir también, además de un

lo en 360°, dejando fuera los cinco días llamados epagómenos.

eclipse de Sol, un tránsito de Venus y otro de Mercurio. El fin

El número 3 corresponde al triángulo, figura con el míni-

de tres eras mayas indica el principio de otras tres. Estos con-

mo número de lados que se puede inscribir en un círculo. El

juntos de tres eras mayas a lo largo de este estudio se les ha

triángulo rectángulo isósceles, mitad del máximo cuadrado

llamado gran era maya de 5 616 000 días. Al inicio y al cabo

que puede ser inscrito, participa de la misma naturaleza del

de una gran era maya tanto el Sol como la Luna, Mercurio y

cuadrado y del círculo al tener el diámetro por base o lado

Venus estarán en la misma fase y en el mismo lugar del espa-

mayor, que a la vez es la diagonal del cuadrado. En la forma-

cio con respecto a la Tierra. En ese momento se inicia un

ción de este triángulo el diámetro participa de manera direc-

nuevo ciclo anunciado por Venus, cuando después de su orto

ta; de ahí la importancia del diámetro y la relación del trián-

resplandece como Estrella de la Tarde. Es posible que esto ocurra a 17° al poniente del norte, ángulo que conmemoran

gulo con el círculo.22 En la cultura maya el símbolo cefalomorfo del número 3

las ciudades cuyo eje de orientación norte-sur tiene una des-

aparece como una cabeza de perfil con un disco con puntos

viación con respecto al norte hacia el oriente de 17°, como es

distribuidos en forma circular

1080, Palenque y Chichén

el caso del eje del centro ceremonial de Teotihuacan, entre

Itzá). El 3 aparece como número solar en un mural de Atetelco,

otros. La aparición de Venus como Estrella de la Tarde es

en Teotihuacan, como tres gotas de sangre que salen de tres

símbolo de una nueva vida, una nueva era. Es por eso que

felino.23

Quetzalcóatl en su acepción de Venus es símbolo de resurrec-

(t

corazones en movimiento que está devorando un

Estas gotas salen del ojo de reptil o de la boca de Tláloc en

ción y renovación.

otros murales, así como de un marcador del juego de pelota,

El número 3 se encuentra en el símbolo olmeca de un

también teotihuacano. Si algunas veces emergen de la boca de

sello cilindrico de cerámica encontrado en las tierras altas del

Tláloc y en otras ocasiones salen de las fauces del jaguar, es

estado de Puebla.24 En otros dos cilindros del mismo sitio se

porque en general representan el agua y en el jaguar, la san-

ven escurrimientos de agua, símbolo de vida, que caen del

gre (agua preciosa). La sangre es al hombre lo que el agua es

cielo en forma de tres vertientes, tal vez simbolizando las tres

a la superficie de la Tierra, ya que tanto la sangre como el

eras mayas que componen la gran era maya. Al comparar el

agua son indispensables para que haya vida. Cuando sale del ojo

diseño del sello con el del centro ceremonial de Teotihuacan

de reptil, representa el agua que trae del oriente el dios del

se observa que tanto el sello como el centro ceremonial pue-

viento, Ehécatl. Por otro lado, 27 (el ciclo dracónico lunar

den ser contenidos en un rectángulo ϕ2 M 2.618... Esto quie-

ajustado y determinante de los eclipses) es divisible entre 3,

re decir que, si al lado menor del rectángulo o al lado menor

como también lo es entre el 9, que es el cuadrado de 3.

del sello se le da el valor de 1, el lado mayor medirá φ2, es decir, 2.618 en unidades absolutas. Observando el sello se ve que la división entre el símbolo de las gotas de lluvia y la

22

El triángulo equilátero simboliza en la religión cristiana a la Santísima

superficie del agua ondulante corresponde, equiparando el

Trinidad. Este triángulo es la máxima figura formada con el mínimo de

trazo del sello con el del centro ceremonial de Teotihuacan,

elementos que puede ser contenida dentro del círculo. Esto nos deja entre-

al río San Juan. Por debajo de él se encuentra la plaza de la

ver una relación geométrica que explicaría el significado de la Santísima

Ciudadela, en la región que corresponde a la zona del infra-

Trinidad: tres personas distintas pero un solo Dios verdadero. Las tres personas estarían simbolizadas por los tres lados iguales que forman una figu-

mundo. Esta zona en el sello queda representada por tres lí-

ra distinta al círculo, participando así de su naturaleza. De ahí que el trián-

neas paralelas ondulantes.

gulo equilátero sea una figura simbólica de lo sagrado. Otro cuerpo geométrico que podría representar a la Trinidad por sus características podría ser el cubo, ya que 1 x 1 x 1 = 1 3 = 1. 23

Jorge Angulo, Teotihuacan, la ciudad de los dioses, Bonechi, Florencia,

El espacio que representa el sello se puede equiparar al espacio sagrado mesoamericano que a su vez se puede dividir en tres regiones: el cielo superior o morada de los dioses

1998, pp. 73 y 64-65. El símbolo de la lluvia, agua o sangre es similar al

celestes diurnos; la superficie de la Tierra, morada de los hom-

que se encuentra en una estela olmeca de Chacaltzingo que aparece en el

bres en donde se desarrolla la vida humana; y el inframundo,

libro coordinado por Michael D. Coe, The Olmec World, fig. 24, p. 101. 24

The Olmec World, The Art Museum, Princeton University, Nueva Jersey, 1996, pp. 86-87, fig. 5b, en donde son tres las gotas de lluvia que ocupan la parte media del sello, es decir, la Tierra.

25

Las antorchas en el mundo olmeca simbolizan el fuego. En este caso el Sol en el oriente y en el poniente. Los dos círculos, uno negro y el otro lumi-

morada de los dioses nocturnos y de los descamados. En el sello mencionado el cielo de los dioses corresponde a la bóveda celeste, simbolizada con bandas cruzadas flanqueadas por dos antorchas y dos círculos,25 uno en la parte

noso, simbolizan el norte y el sur, el Sol diurno del supramundo y el Sol

superior y otro en la inferior. La lluvia se derrama de la bóve-

nocturno del inframundo.

da celeste a la superficie de la Tierra, y más abajo aparece el

338


agua representada por tres líneas paralelas ondulantes, el agua

El número 4. Tiene como símbolo la figura del cuadrado máxi-

que fertiliza la superficie de la Tierra antes de desaparecer en

mo29 que puede ser inscrito en un círculo. Esta figura es de la

el inframundo. Allí crecen las raíces de las plantas que fruc-

misma naturaleza que el círculo, ya que interviene para for-

tifican en la Tierra y son los mantenimientos de los hombres.

marlo la línea máxima implícita, el diámetro, que tomado con

Nótese la división entre el inframundo y la superficie de

otro diámetro perpendicular entre ambos marcan los vértices

la Tierra por el río San Juan, que en el sello queda de mani-

del máximo cuadrado que puede ser inscrito en el círculo

fiesto mediante las líneas ondulantes que representan el agua

correspondiente. El diámetro no toma parte de manera direc-

y “En la figura del dios de la lluvia aparece el glifo 1 serpien-

ta en la formación de esta figura; no obstante, es su diagonal.

te, la víbora de agua que en la parte superior simboliza el agua

Al participar en la naturaleza del círculo que lo contiene, se

de las nubes y en la inferior el agua de los manantiales”.26

puede decir que el cuadrado es la manifestación de la unidad

Esta víbora es el xonecuilli, que anuncia las lluvias y que apa-

en la Tierra. A pesar de que el número 4 define nuestro pla-

rece en las banderas que portan los sacerdotes de Tláloc en el

neta mediante los cuatro rumbos cardinales, no hay que olvi-

Códice borbónico.27

dar que nahui ollin quiere decir cuatro movimiento, los cuatro

En las variantes de cabezas mayas el 3 es una cabeza con un

movimientos del Sol que definen los puntos de los solsticios

turbante, la cual con frecuencia consiste en un disco con pun-

y equinoccios, así como del ecuador celeste, por lo que el 4

tos que simboliza viento y lluvia.28

corresponde al Sol diurno, el que podemos ver salir y ponerse en el horizonte. Este Sol era frecuentemente representado

El número 3.1416... Esta constante conocida como π se obtie-

entre los mayas como una guacamaya que portaba una antor-

ne al dividir la circunferencia de un círculo entre su diámetro.

cha (Códice de Dresde). La figura de una antorcha representan-

Los mesoamericanos consideraron su valor entre 3 y 3.25. Al

do el Sol aparece en la cultura olmeca. El nahual del Sol era

dividir el número 819 / 260 se obtiene 3.15, una cercana apro-

la abeja o la avispa, animales diurnos.

ximación a π (ver el número 819 y el 260 más adelante). La

Aparentemente el cuadrado fue una figura muy utilizada en

constante π se encuentra en el volumen de los cilindros o

el diseño prehispánico, mas si se pone atención a las figuras que

conos con los que se pueden envolver sus creaciones artísti-

parecen ser cuadradas se observa que generalmente no lo son,

cas, tales como monumentos troncocónicos, vasijas y platos

ya que tienen un lado mayor o menor que el otro en una uni-

de ofrenda. Un ejemplo se encuentra en la pirámide de El

dad. En realidad se trata de un rectángulo Σ, que por definición

Castillo en Chichén Itzá, en donde π queda expresado como

tiene un lado mayor que el otro en una unidad, misma que se

cociente cuando se divide la altura del prisma envolvente por

encuentra en la diferencia del largo de sus lados.30 En las variantes de cabezas mayas el 4 tiene un Sol que

talud entre su base. En ese caso el valor de la constante es 3.09523..., que se obtiene al dividir 6 5 / 2 1 , ambos núme-

debe tener el mismo significado que el nahui ollin mexica (cuatro movimiento), el cual no se refiere a los movimientos telú-

ros calendáricos: el 65 es un número venusino y el 21 es tanto

ricos sino a los aparentes del Sol durante el año: al norte, al

3.095238..., que también corresponde al módulo del rectángulo

M

solar como lunar, por lo que el rectángulo M 3.095 relaciona

sur, al este y al oeste. Los cuatro bacabes de la cultura maya,

los ciclos de estos astros; de ahí su empleo.

Kantul Ti'Bakab, que son los cuatro hermanos que sostienen

Otros valores de π entre los mesoamericanos son los siguien-

el mundo por las esquinas, en los cuatro puntos cardinales.

tes cocientes: (2 x 11) / 7 = 3.1428...; 650 / 210 = 3.0952... se

Son dioses relacionados con las zarigüeyas, las abejas y el col-

encuentra en El Castillo, en el prisma envolvente virtual del

menar, asociados con los colores del mundo (Barriga Puente,

doble de la pirámide envolvente del talud del primer cuerpo, al

2004). El glifo solar T 544 es una flor de cuatro pétalos.

verse la fachada norte o la sur; 650 / 208 = 3.125. También se encuentra en algunos de los volúmenes de ciertos cilindros que puedan encerrar a las vasijas circulares del arte olmeca. En el calendario azteca tiene un valor de 3.25 o 3.24. Con esos valores se emplea en la obtención del área, circunferencia y volumen de los círculos que dividen en zonas dicho calendario y que arro-

26

Acoquiaco, edición del autor, Tehuacán, 1996, pp. 126-127. 27

Códice borbónico, edición facsimilar, Siglo XXI Editores, “América Nuestra”,

28


jan cifras con significado astronómico.

El número 3.2. Este número se considera muchas veces en las

México, 1988, pp. 31-32.

29

número 32 más adelante.)

A esto tal vez se refiere la Biblia cuando menciona “las cuatro esquinas de la Tierra”, expresión que al tomarse literalmente sirvió de base para creer

piedras circulares como valor de π. Multiplicado por 10 se tiene 32, dos veces el cuadrado de 4: (42 x 2 = 32). (Ver el

Fernando Ximello Olguín, Naxacé-tlatlahuite / El ombligo del mundo en

que la Tierra era plana, ya que tenía cuatro esquinas. 30

Son rectángulos Σ aquellos que tienen en uno de sus lados una unidad de más o de menos que un cuadrado.


...el relato de cómo se acabó de formar el cielo y la tie-

víboras cuyas cabezas se tocan, al igual que sus colas, que

rra, cómo fue formado y repartido en cuatro partes, cómo

tienen cuatro o tres cascabeles, que significan el amarre de

fue señalado y el cielo medido y se trajo la cuerda de

cuatro ciclos y en ocasiones las tres era mayas de 1 872 000

medir y fue extendida en el cielo y en la tierra, en los cua-

días necesarias para tener la gran era maya (1 872 000 x 3 =

rincones.31

5 616 000 días). En las variantes de cabezas mayas el 5 tiene

tro ángulos, en los cuatro

el rostro de un anciano.

El número 5. En la cultura maya está asociado a la deidad Jo Jabnal Tok', Cinco Pedernales Afilados, divinidad que está rela-

El pentágono regular es una figura geométrica difícil de trazar, que no fue empleada en el diseño mesoamericano. En

cionada con las profecías del Tun 13 Muluk (Barriga Puente,

su lugar se utiliza un pentágono no regular que tiene en su

2004). Es interesante notar que habla de pedernales o cuchillos

base dos ángulos de 105° a 105.5° y, en los otros tres, ángu-

de sacrificio y que éstos a su vez están relacionados con la geo-

los de 110°. Esta modificación al pentágono regular puede

métrica diagonal; se han equiparado precisamente con el téc-

tener dos explicaciones: la primera es que se trata de una figu-

patl o cuchillo de sacrificio, que al matar produce el doble de

ra esotérica (oculta) con gran simbolismo y la segunda es que

vida (Martínez del Sobral, 2000). El 5 es un número eminen-

fue utilizada para marcar, en los ángulos de la base, el tiem-

temente venusino: de ahí la estrella de cinco puntas, llamada

po (si son de 105° tomados en días) que pasa el Sol por arri-

por los pitagóricos pentagrama, que simboliza a Venus en

ba de la latitud de Copán o Izapa, 14° 57' N (que se toman

varias culturas, entre ellas la mesoamericana, la egipcia y la

como 15°).34 En caso de ser de 105.5°, estarían indicando uno de los periodos cortos, en años, del gran ciclo de tránsitos de

mesopotámica. El 5 representa el número de ciclos sinódicos venusinos

Venus.35

necesarios para que se produzca una conjunción con el Sol al

Los ángulos interiores del pentágono en el que se inscri-

920).32

be el pentagrama miden 72° y recuerdan que 72 cabe cinco

También el ciclo sinódico de Venus y el de Mercurio quedan

veces en el año ajustado a 360 días (72 x 5 = 360), de la misma

relacionados por el 5, ya que el venusino es cinco veces mayor

manera que el ciclo venusino se tiene que repetir cinco veces

que el mercuriano (117 x 5 = 585). Quetzalcóatl, numen del pla-

para que coincida con el solar de ocho años (5 x 585 = 8 x

neta Venus, quedará simbolizado por el número 5. Así lo

365.625

manifiesta el medio caracol que usa como joyel al cuello, pues

el ángulo indicado en la orientación del eje oriente-poniente

la concha de este caracol marino tiene cinco puntas. En una

en Teotihuacan con respecto al oriente verdadero.36 El ángu-

pieza del horizonte clásico tardío encontrada en Maltrata, y

lo de 73° se obtiene de dividir el ciclo sinódico venusino entre

con clara influencia teotihuacana, se encuentra la Serpiente

5, el número de ciclos venusinos que tienen que pasar para

cabo de ocho años solares (5 x 584 = 8 x 365 = 2

puntas.33

= 2 925). El ángulo de 73° multiplicado por 5 = 365 es

En los códi-

entrar en conjunción con el Sol (584 / 8 = 73). Por otro lado,

ces en general aparece Venus como estrella de cinco puntas

73° es el complemento de 17°, ángulo de desviación del norte

Emplumada sobre una estrella de cinco

en medio de la banda celeste representada por la Serpiente

al

Emplumada. La banda celeste es el camino que sigue el Sol y

Pirámide del Sol y Aveni para la Ciudadela en Teotihuacan. El

oriente

que

el

arquitecto

Marquina

propone

para

la

los planetas: la eclíptica. Como existen tanto el Sol del infra-

ángulo de 17° se encuentra como la mitad de la punta de fle-

mundo como el del supramundo (Tláloc y Quetzalcóatl), y

cha que señala el norte en el calendario azteca, como una

ambos recorren la banda celeste, en ésta se representan dos

reminiscencia de la orientación de Teotihuacan. El ángulo de 1° se obtiene de la diferencia entre 73° y 72°. El pentágono

31

32

Primera página del Popol Vuh / Las antiguas historias del Quiché, traducción

regular contiene en sus ángulos números lunares y el núme-

de Adrián Recinos, Fondo de Cultura Económica, México, 1993, p. 21.

ro de sus lados es 5, que es venusino. Los ángulos interiores

El número 2 920 está registrado por Thompson en Un comentario al Códice de Dresde: “146 x 260 (37 960): Almanaque 76, las páginas de Venus (24, 46, 50). Es introducido por una SI, un

Col,

una tabla de multiplicar en parte

del pentágono regular miden 108°, que en números absolutos y multiplicado por 100 corresponde al 10 800.37 El 108 tiene

múltiplos de 2 920 (cinco revoluciones sinódicas de Venus) y algunos regis-

como factor el 27, que lo relaciona con el ciclo dracónico

tros que representan correcciones por hacer”.

lunar ajustado a 27 días.

33

The Olmec World, op. cit., p. 90.

34

Ver el capítulo acerca de la latitud de las ciudades mesoamericanas.

35

El gran ciclo de tránsitos de Venus es de 486 años; dos de los sumandos

5 = 540°, que corresponde a 20 ciclos dracónicos de la Luna

son de 105.5 años. Los otros son cuatro de ocho años y dos de 121.5 años,

tomados de 27 días, por lo que el pentágono contiene tanto

en el orden siguiente: 8, 105.5, 8, 121.5, 8, 105.5, 8, 121.5. El gran ciclo

números lunares como venusinos. La unión de los ciclos venu-

suma 486 años.

La suma de los ángulos interiores del pentágono es 108° x

sinos y terrestres sería uno de los muchos contenidos esoté-

36


37

El 10 800 se aborda en este mismo apéndice.

ricos del 13, ya que está formado por Ja suma del 5 + 8.38 El

38

El simbolismo de los demás números se analizará a lo largo de este estudio.

número 5 está implícito en el Códice de Dresde (en el almanaque

340


adivinatorio 3) como 5 x 52 = 260, quedando así relacionado con el tonalpohualli de 260 días, del que es factor.

La creencia popular de que el ciclo sinódico lunar dura 28 días y el hecho de que el 7 sea factor del 28 son suficientes razones para considerar que el 7 es número lunar. Zelia Nuttall

El número 6. En la cultura maya el 6 está relacionado con el

presenta en su libro The Fundamental Principles of Old and

dios del maíz, Sak Wak Nal, Seis Mazorca Blanca; con Wak

New World Civilizations una lámina en donde se ven tres sím-

Chan Ajaw, Señor Seis Cielos; con Wak Chowak Nal, Seis

bolos: el marcado con el número 1 es el símbolo de Culhuacan,

Mazorca Larga, otro nombre del dios del maíz (Barriga Puente,

que se refiere a las Pléyades, de acuerdo con el calendario

2004). El número 6 está en el número de vértices de la estre-

azteca; el marcado con el 2, el medio caracol que simboliza a

lla que se forma al cruzar dos triángulos isósceles. Este cru-

Venus, tiene en su interior una espiral que simboliza la Luna;

zamiento revela el principio de dualidad manifiesto en la

y el marcado con el 3 es igual que el anterior, pero el caracol

acción del dios que crea mediante los dos iguales, opuestos y

tiene ahora siete puntas, característico de la Luna. Este meda-

complementarios necesarios para la vida. Es el origen mascu-

llón representa el número 7 como lunar. Obsérvense los siete

lino y femenino de los mesoamericanos, el ying y el yang de

ángulos del medallón que encierra el símbolo de la Luna como

los chinos; por eso es que aparece un hexágono inscrito en un

signo de interrogación (?). Pero a pesar de ser el 7 un núme-

círculo como figura básica en el primer paso del diseño del

ro que aparece en el conteo lunar, algunos autores lo consi-

centro ceremonial de Teotihuacan.39 El cuadrado de 6 es 36 y

deran solamente como factor del 364. Fue muy útil el 364

su cubo, 216: (216 = 3 x 72). El 216 mediante 72 se relaciona

como número de conteo calendárico, por poderse relacionar

con el ciclo solar de 360 días (72 x 5 = 360) y mediante el 8 se

con el tonalpohualli, ya que tanto el 260 como el 364 tienen

relaciona con el ciclo dracónico de la Luna (216 / 8 = 27).

como factor el 13. Hermann Beyer nos dice que comparte con

Dos triángulos isósceles encontrados producen una estrella de lados iguales y seis puntas que definen un hexágono. La

Forstermann su opinión de que los mayas tuvieron un mes lunar de 28 días.45

distancia entre uno de sus lados y la tangente al círculo para-

En el calendario azteca aparecen en el último círculo dos

lela a dicho lado corresponde a una unidad que cabe 15 veces

serpientes de fuego o xiuhcóatl, cuyas cabezas rematan en un

en el diámetro, y es una constante entre las muchas utilizadas

símbolo como el del toponímico de Culhuacan (Cerro Torcido).

Teotihuacan.40

El 6 es

Es una especie de trompa o prolongación vertical de la man-

importante también en cuanto a que multiplicando su cua-

díbula superior, en cuyo borde se encuentran siete estrellas.

en el diseño del centro ceremonial de

= 36) por 10 da el número de días del año de 360, así

Es probable que se trate de la constelación de las Siete Ca-

como el número de grados del círculo. En vasijas de barro de

brillas, que marcaban el paso cenital el día del encendido del

Tehuacán Viejo el 6 aparece relacionado con Tláloc,41 tal vez

Fuego Nuevo. Sahagún afirmaba:

drado

(62

por ser el Sol del inframundo y por la relación que tiene ese dios con el ciclo dracónico de la Luna, que se describió en el

La mayor cuenta del tiempo que contaban era de hasta ciento

párrafo anterior. Tláloc es el dios de los eclipses, ya que un

cuatro años, y a esta cuenta llamaban un siglo; a la mitad de

eclipse basta para que el Sol desaparezca en el inframundo,

esta cuenta, que son cincuenta y dos años, llamaban una gavilla

ámbito del que Tláloc es numen. El número 6 queda relacio-

de años.

nado con el ciclo sinódico lunar considerado de 29.5 días y los

...pero tenían por muy averiguado, y como de fe, que el mundo

eclipses. Los mayas tomaban tres ciclos de 29 días y tres de

se había de acabar en el fin de una de estas gavillas de años; y te-

30, lo que da un total de seis ciclos de 29.5 días (6 x 29.5 = 177)

nían pronóstico u oráculo que entonces había de cesar el movi-

para el cálculo de eclipses

42

miento de los cielos, y tomaban por señal el movimiento de las

En las variantes de cabezas mayas

el 6 se reconoce por tener su ojo en forma de hacha. Significa lluvias y tormentas, que están relacionadas con Tláloc.43 39


40

Ibid., p. 207.

41

Información oral del ingeniero Fernando Ximello Olguín.

42


43

Ibid., p. 162.

mente, el ciclo de la Luna se divide en dos periodos iguales.

44

Francisco José Barriga Puente, op. cit., p. 29.

Durante el primero la Luna nueva crece durante 14 días hasta

45

Ernst Forstermann, Comentar zur Mayahandschift, Dresden, 1910,

El número 7. De acuerdo con Francisco José Barriga Puente: El número 7 y el 14 se relacionan con la Luna, porque, efectiva-

quedar completamente iluminada. En el segundo la Luna llena

p. 48.

“La revolución de la Luna” (28), p. 49; “780 meses de 28 días” (debe decir 7 800 meses), p. 132; “al mes lunar de 28 días”, en Hermann Beyer, “El

mengua otros 14 días hasta quedar en la penumbra total. De ahí que el 14 sea un número importante, como también lo es el 7, cifra, esta última, que corresponde a los cuartos de

fase.44

México antiguo”, en Revista Internacional de Arqueología, Etnología,

Folklore, Historia, Historia Antigua y Lingüística Mexicanas, Sociedad Alemana Mexicanista, t. X, 1965, p. 299.


341

Cabrillas la noche de esta fiesta que ellos llamaban toxiuh molpi-

...llegados allí miraban las Cabrillas [Pléyades] si estaban en

lia, de tal manera caía que las Cabrillas estaban en medio del cielo,

medio [en el cenit] y si no estaban esperaban hasta que llegasen;

a la medianoche, en respecto de este horizonte

mexicano.46

y cuando veían que ya pasaban del medio entendían que el movimiento del cielo no cesaba y que no era allí el fin del mundo, sino

Dado que la numerología íue de gran importancia para las predicciones del futuro, relacionar los números de ciertos

que habían de tener otros cincuenta y dos años seguros que no acabaría el mundo.50

ciclos astronómicos con el calendario adivinatorio era indispensable para el pronóstico de la suerte de los individuos y de

Es posible que los aztecas mirasen las Siete Cabrillas

los pueblos. Por esto es probable que se utilizara el 364 en

durante la noche para saber dónde se encontraba el Sol en el

vez del 365 o 360, con el fin de hacer coincidir los ciclos

inframundo, de la misma manera que los egipcios hacían con

mediante el factor común 13. Debido a este motivo al 364 se

una estrella del Cinturón de Orión. En Guatemala, en el cre-

le encuentra frecuentemente registrado tanto en la cerámica

púsculo nocturno del primer paso del Sol por el cenit, pueden

como en la escultura.

verse las Pléyades en su ocaso helíaco, mientras que la Cruz

El número 7 es el resultado de dividir el año lunar o del

del Sur empieza a salir muy abajo, hacia el sureste. El Cinturón

Sol del inframundo (364) en 52 partes (364 / 52 = 7). El 7 fue

de Orión desaparece al oeste unas dos horas después. La Cruz

utilizado por todos los pueblos que basaron su calendario en

del Sur experimenta su ocaso helíaco el 12 de agosto, mien-

las fases de la

Luna,47

y no es de extrañar que simbolice el Sol

nocturno,48 es decir, el Sol del inframundo. La constelación de las Pléyades fue muy importante en Mesoamérica. Aveni escribe:

tras que al alba del mismo día pueden verse las Pléyades cruzando por el cenit (Girard, 1948). Esto sucede también en Izapa, Chiapas, una antigua ciudad olmeca situada a los 15° de latitud norte. Es importante saber que para que la constelación de las Pléyades sea visible es necesario que el Sol esté

Su aparición cerca de la eclíptica [como están señaladas en el

a 17° por abajo del horizonte; de otra manera las taparía con

calendario azteca] permite cierta exactitud en la determinación

sus rayos,51 lo que ocurre alrededor del 4 de junio. Ésta es tal

del orto y el ocaso helíacos.

vez la razón que explica la orientación astronómica de las ciu-

Los aztecas determinaban la llegada de su día festivo más

dades y monumentos de la Familia de los 17°. Al año siguien-

importante por la aparición de las Pléyades, que señalan el quin-

te, “hacia el 3 de mayo, el Sol se acerca a los 17° y las Pléyades

to punto cardinal. De acuerdo con Sahagún (1985), la ceremo-

entran en otro ocaso helíaco, siendo esta vez difícilmente

nia de atadura de años tenía lugar cada 52 años, y empezaba al

detectables arriba del horizonte occidental al término del

pasar las Pléyades por el cenit a medianoche (hacia mediados de

crepúsculo”.52

noviembre), lo cual sugiere que los aztecas marcaban el tiempo

El 364 es el número más próximo al 365, número de días

nocturno. Llegado el momento, los sacerdotes subían al cerro

del año, y es el producto de 13 x 28; este último factor es

de la Estrella a observar el movimiento de las Pléyades con pro-

resultado de 7 x 4, números utilizados en los calendarios luna-

funda

ansiedad.49

res. El 364 queda mencionado en Un comentario al Códice de Dresde, de J. Eric S. Thompson como

46

Fray Bernardino de Sahagún, Historia general de las cosas de la Nueva

47

En los más antiguos registros calendáricos, como son las cabezas colosales

España, Editorial Porrúa, México, 1992, p. 258.

La tabla de multiplicar de 364 días, que ocupa la tercera parte de la página 45, última al reverso, puede estar no completa, pues,

olmecas (1200 a.C.), he encontrado el 7 como número lunar. 48


49

Ibid., p. 46.

50


51

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 129. Este autor refiere que las Pléyades son visibles cuando el Sol está a 16° o 17° bajo el horizonte. Su orto helíaco

para empezar la tabla, eran de esperarse múltiplos de 91 a la derecha de ella, como en otros casos, pero no hay ninguno.53

Anteriormente, en la página 50 de Un comentario..., dice:

debe producirse alrededor del 4 de junio.

“La segunda comprende dos cantos vinculados con el año de

52

Ibid., p. 136.

364 días”. El número 7 aparece en el Códice de Desde en los

53

J. Eric S. Thompson, op. cit., pp. 263-264.

almanaques de 7 x 260 días (7 x 260 = 1 820). “Almanaques

54

Ibid., p. 194. El 260 y el 364 quedaban relacionados entre sí por medio del 1 820, MCM de ambos. Parece ser que Thompson no considera el 364 como lunar, sino que, siendo el número más próximo al 365, se podía enganchar

séptuplos de 1 820 días, el mínimo común múltiplo de 260 y 364.”54

con el tonalpohualli haciendo las correcciones necesarias, ya que el 364 y el 260 tienen como factor el 13. El 7, el 28 y el 364 quedan como números lunares, aunque el verdadero ciclo lunar mensual es de 29.53 días (13 x 28 =

En el noveno capítulo del Popol Vuh, el libro mítico de los indios

364). Sin embargo, hay constancia de que el 7, el 28 y el 364 en las culturas

quichés, aparece el siguiente extraño pasaje: “Este Gumatz era un

mesoamericanas fueron utilizados para significar la Luna.

hechicero. Siete días subía al cielo (hacia arriba) y siete días a los


mundos infernales. Siete días era en verdad una serpiente, siete

17° por abajo del horizonte en el momento del paso de las

días un águila, siete días un jaguar -se convertía en verdad en

Pléyades por el cenit el día de la celebración del Fuego Nuevo

un águila y una serpiente- y siete días no era más que una masa

para que sean visibles en su orto helíaco) y a la orientación de

de

sangre.55

la Pirámide del Sol en Teotihuacan. Zelia Nuttall muestra en su libro una representación

Otra figura que representa a la Luna es la de una olla que

lunar57 que consiste en un círculo dividido por medio de 22

tiene en su interior un técpatl. Representa a la matriz de la

pequeñas rayas en el exterior de la figura. Este círculo también

diosa de la Luna, que va a dar a luz a un pedernal, el que

está atravesado por siete puntas o ángulos oscuros que ro-

caerá de arriba y que, al chocar con la Tierra, sacará chispas

dean una olla que contiene un técpatl. Lo interesante de la

vitales. Es el cuchillo de sacrificio que al matar genera vida.

representación es que en ésta aparecen tanto el 11 como el 7.

Existe en el libro de Zelia Nuttall una ilustración de la matriz

Como están asociados con una matriz fecundada, sin duda

de la diosa de la Luna como una olla que contiene al técpatl.56

simbolizan un ciclo de reproducción. El técpatl en el interior

(ver fig. 1-1, p. 10, del libro de Zelia Nuttall).

está a punto de ser enviado desde arriba a la Tierra, para que

Sin embargo, el ciclo sinódico de la Luna es de 29.5305

se produzca, mediante el choque del pedernal, la chispa de la

días y no 28. El 28 se utilizó en la obtención de un año que

vida. Ahora veamos la numerología de esta figura: el círculo

constara de 13 meses de 28 días. Al tener un total de 364 días

exterior presenta en negro 11 divisiones en cada medio círcu-

y poderlo relacionar con el tonalpohualli mediante el factor

lo, esto es, el periodo de gestación del ser humano (aproxima-

común 13, se llega al 1 820, MCM de 364 y 260, que tienen

damente 264 días) dividido entre 22, lo que nos da 12. El 12

también como factor el 13. El 260 es el periodo aproximado

está representado en el interior de la matriz como un círculo

de la gestación del ser humano, de nueve meses de 28 días. Es

con tres veces cuatro especies de ondas (12 x 22 = 264).

posible que haya existido un calendario lunar de base 7, de acuerdo con una vasija de ofrenda del valle de Tehuacán que

El número 8 (ver el número 4 en este apéndice). En la cultura

lo registra. Por otra parte, tomando 13 periodos de 28 días se

maya Aj Waxak Yol K'awil, Ocho Corazón del Sustento, es

tienen 364: (4 x 7 x 13 = 364), por lo que sería fácil hacer un

otro nombre del dios del maíz (Barriga Puente, 2004), pero en

ajuste alternado de un día cada año durante tres años y de dos

cuanto a que es la Tierra la que proporciona el sustrato que

días cada cuatro, para no desfasar el calendario al usar un

soporta a la planta del maíz. Indica el número de veces que la

conteo de 364 días.

Tierra tiene que recorrer su órbita para quedar alineada con

Además, si se considera una parte de la serie del 7, que

el Sol y Venus. Son ocho años los que deben pasar para que

es número lunar, se tiene 7 x 26 = 182, que equivale a la mitad

coincida una vez más con el ciclo sinódico venusino (365 x 8 = 584

del ciclo del Sol del inframundo, 364: (364 / 2 = 182).

x 5 = 2 920 días.)

7 x 27 = 189: “cabe recordar que la deidad del siete corres-

Si suponemos que el día inicial del primer periodo de ocho años

ponde al Sol nocturno, o sea, al dios del jaguar del

coincidía con el orto helíaco matutino de Venus, el fenómeno se

inframundo” (Barriga Puente, 2004, p. 211).

reproduciría, aproximadamente, cuando comenzase el periodo

7 x 28 = 196; 385 = 7 (27 + 28) = 7 x 5 x 11, igualdad que

siguiente, hasta que pasados 104 años, o sea, 13 periodos de

señala al 7 y al 11 (números lunares) y al 5 (número

ocho, volviese a coincidir el mismo fenómeno con el principio del

venusino).

segundo cehuehuitiliztli. Por eso aseguré arriba que los ciclos de 104 años están presididos también por Venus.58

7 x 52 = 364, el año del inframundo. 7 x 1 1 7 = 819, el antiguo conteo lunar.

Por ser el 8 doble del 4 se puede considerar como núme-

7 x 39 = 273,10 veces el ciclo sidéreo de la Luna. También la tercera parte del ciclo lunar 819.

ro representativo de la Tierra. Geométricamente simboliza el

Si se suma 27 + 28 = 55, se observa que es igual a 5 x 11. Ahora se forma la siguiente serie: 5 + 2 = 7; 7 + ( 2 + 2) =11; 11 +

55

Hermann Beyer, Mito y simbología del México antiguo, Sociedad Alemana

56

Zelia Nuttall, The Fundamental Principles of Old and New World

(2 + 2 + 2) = 17; 17 + (2 + 2 + 2 + 2) = 25, etcétera. Se observa que en (2 + 2) = 4; (2 + 2 + 2) = 6; (2 + 2 + 2 + 2 ) = 8; 4, 6, 8,

Mexicanista, México, 1965, p. 296.

Civilizations, Peabody Museum of American Archeology and Ethnography,

son los sumandos que hay que agregar para obtener una nueva serie: 5, 7, 11, 17. Tomando solamente esta sección de la nueva serie se observa que el 5 apunta a Venus, el 7 a la Luna, el 11 a los eclipses y el 17 al paso de las Pléyades (el Sol debe estar

Cambridge, 1901, p. 57, fig. 26-3. 57

Ibid., p. 10, fig. 1-1.

58

Francisco del Paso y Troncoso, Ensayo sobre los símbolos cronográficos de

los mexicanos, Anales del Museo Nacional, México, 1882, cap. XI, p. 350.


doble cuadrado, cuyos lados medirán 4 y 8 unidades. Si se toma

otra parte, tiene como factor el 7, número que lo relaciona

ocho veces el ciclo sinódico de Venus de 585 días, se tiene 4 680,

con la Luna: (945 / 7 = 135; 135 = 5 x 27), en donde el 27

que equivale a 40 ciclos de Mercurio; el 40 es un número de dis-

corresponde al ciclo dracónico de la Luna, por lo que señala

tancia, como lo llama Thompson. En días es el número que

eclipse (ver el número 27 en este apéndice).

pasa Venus en el inframundo, en su conjunción inferior, de

Tal vez existió un conteo de base 9, como parece ser que los mayas plasmaron en sus estelas y que era común en

acuerdo con los mesoamericanos. En las variantes de cabezas mayas el 8 es el dios del maíz

Mesoamérica; como ejemplo está El Castillo, de Chichén Itzá,

y tiene una mazorca en su tocado. Se ve en la figura sobre la

edificio de nueve cuerpos. Al considerar su planta rectangular

entrada oeste de los subterráneos del Palacio de Palenque, el

se tienen cuatro caras por cuerpo ( 9 x 4 = 36; 36 x 10 = 360). Si

mismo que adornaba la fachada de la estructura 22 en Copán.

se considera el plano de la fachada, se observa que la escalera

“El número ocho comprende el maíz, la agricultura, el auto-

lo divide en dos, el número calendárico 18, número de meses

sacrificio, la decapitación, el renacimiento, la tortuga, el balché y el acto cosmogónico... la planta del maíz señala el axis mundi en el tablero de la cruz foliada.”59

del año (9 x 2 = 18). El 9 sirvió para enlazar varios ciclos, como fueron el anual de 360 días, el mercuriano de 117, el venusino de 585 y el tonalpohualli a través del

MCM

4 680: 4 680 / 520 = 9

(ver el número 4 680). El cuadrado de 9 = 81 es la constante

El número 9. En la cultura maya la deidad del número 9 está

de la fórmula de Palenque con relación a las 405 lunas.61 El 9

asociada con el trance del renacimiento (Barriga Puente, 2004,

es un número generalmente relacionado con Mercurio, ya que

p. 218). A nuestro entender, el 9 constituye los nueve pelda-

su ciclo sinódico es igual a nueve veces 13: (9 x 13 = 117) o la

ños que el alma tiene que ascender para llegar finalmente al

combinación de nueve trecenarios. De esta manera, cada uno

cielo de los dioses, a lo que se llama en náhuatl Omeyocan. Es

de los Nueve Señores de la Noche desarrollará su serie de 13

la máxima altura a la que un humano puede aspirar a llegar,

en 13; éste es el número cósmico por excelencia (117 x 9 =

espiritualmente hablando. El número 9 (32 = 9) está relaciona-

1 053 = 3 x 13 x 27). Aquí se encuentra como factor el 27, el

do con el Sol

nocturno60

y en la cultura maya se le conoció

ciclo dracónico de la Luna, lo que indica que los Nueve

como Bolón Ti' Ku, Nueve Dioses, Señores del Inframundo,

Señores de la Noche aparecen en el cielo diurno durante los

que gobernaban en interminable sucesión en un ciclo de nueve

elipses solares totales. Así considerados, podrían ser nueve

noches (Barriga Puente, 2004). Es también base del año ajus-

medios años de eclipses, o sea, 1 560 días (173.33 x 9 ≈ 1560).

tado a 360 días, que da importancia al 40, número usado en la numerología mesoamericana como número de distancia para

En cuanto a los Nueve Señores de la Noche, al desarrollar su

medir la Tierra, algunas veces simbolizado por huellas de pies.

serie de 13 en 13, forman 117 combinaciones y se repiten cada

Además el 40 es doble del 20, número básico de sus cuentas.

nueve trecenarios, así es que ocupan respectivamente los mismos

Si se toma el cuadrado de 9: (92 = 81), se obtiene 81, constan-

sitios en la 1a, 10a y 19a trecenas; en la 2a, 11a y 20a; en la 3a y

te lunar para las 405 lunas, encontrada con frecuencia en

12a; en la 4a y 13a; etcétera, etcétera.62

Palenque. Si se multiplica 105 x 9 = 945, se habrán tomado el 9 y el 105 como factores -en donde el 105 es el número de días

En Un comentario al Códice de Dresde, Thompson asocia el

que pasa el Sol por arriba de la latitud de 15° N- y complemen-

9 con 3 Kan, el 19 con 3 Ix y el 11 x 91 con 3 Cimi ( 1 1 x 9 1 =

ta a 260 para obtener un año (105 + 260 = 365). La importan-

1 001,11 veces un cuarto de año lunar), agregando que la sig-

cia del 105 como complemento del 260 (número de días del

nificación de esos intervalos le es desconocida. Se menciona

calendario adivinatorio) se comprueba al estudiar la orienta-

esto porque aparecen en el códice el 9, el 19 y el 11, números

ción de la Calle de los Muertos en Teotihuacan. El 945, por

que se encuentran frecuentemente empleados en la numerología mesoamericana.63 El 9 se asocia con Mercurio y los Nueve Señores de la Noche, el 19 es el ciclo metónico de la

59


Luna y el 11 se relaciona con la Luna, el Sol y los eclipses de

60

Ibid.,p. 171.

manera indirecta.

61

La fórmula es 5 x 81 x 29.5308 días = 11 960 días, número que aparece en

En una vasija de la fase Santa María encontrada en

el volumen de la posible pirámide envolvente del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan. Thompson, en Un comentario al Códice de

Tehuacán Viejo aparecen dos sietes y dos nueves. Se pueden

Dresde, op. cit., p. 175, también menciona un periodo de 11 959 días. En

agrupar de la siguiente manera: (9 + 9) + (7 + 7) = 32. Al mul-

la p. 69: “(46 x 260 = 11 960): Almanaque 71, la tabla de eclipses. Con

tiplicarlos por 2, se tiene (2 x 18) + ( 2 x 14 ) = 64. Ahora todo

SI, CL

y tabla de multiplicar de 11 960”. 62

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice

63

Ibid., p. 197.

borbónico, Siglo XXI Editores, México, 1988, pp. 64-65.


por 13: 13 x 36 = 468; 13 x 28 = 364; 13 x 64 = 832. El 468 es cuatro veces 117, el ciclo sinódico de Mercurio; el 364 es la duración del año del Sol del inframundo; y 832

equivale a ocho siglos mesoamericanos. De esta manera se

eclipses, ya que el 693 está en la serie del 11: (693 / 11 = 63;

habrán relacionado todos esos ciclos y, por consiguiente,

63 = 21 x 3 = 32 x 7). Ver el cuadro del número 819, en donde

decodificado la vasija.

aparece con frecuencia 32 x 7 como factor del número de ciclos

En las variantes de cabezas mayas el número 9 lleva puntos en la mandíbula y representa una serpiente.64

del 819, el antiguo calendario lunar basado en los ciclos sidéreos de la Luna considerados de 27.3 días (27.3 x 30 = 819). El número 11 es el factor que como número de enlace sirve

El número 10. Fue utilizado en conteos de 10 en 10 por ser el

para hacer coincidir los ciclos siguientes:

104

número de dedos de las manos, además de ser la mitad del 20,

37 960 / 1 1 = 3 450.9; 3 450.9 / 29.5308

116.85.

=

x

365

=

37 960

y

Aquí se rela-

que es el número total de dedos de pies y manos, y base de la

cionan el

numeración vigesimal. No es un número astronómico por sí

sinódico de Mercurio y el año de

mismo, pero sirve para multiplicar y llevar a otros a su coin-

sirve únicamente como multiplicador si se considera en años.

cidencia con varios ciclos.

En números absolutos el

Una mandíbula descamada puede ser su

símbolo.65

“El

descarnado.”66

De

acuerdo

con

Barriga

el ciclo sinódico de la Luna, el ciclo

104

365

días. En este caso el 104

queda relacionado también con

los ciclos anteriores por medio del 11.

diez es el primero de una serie de dioses con el hueso de la mandíbula

MCM 37 960,

En las variantes de cabezas mayas se encuentra el 11 y en

Puente

la cultura maya el glifo de Kabán constituye el rasgo caracte-

(2004, p. 213), el 10 remite al inframundo y al fin de la vida;

rístico cefalomorfo del 11 (Barriga Puente, 2004, p. 174).

es por lo tanto un número necromaniaco precursor del rena-

Kaufman y Norman, analizando fonéticamente la voz proto-

cimiento. Su idea es que el uno está relacionado con la idea

cholana kab, concluyen que significa Tierra, por lo que tal vez

de la fertilidad, al ser la cifra de la preñez, del nacimiento y

el viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan estuvo dedica-

de la cosecha, mientras que el 10 es morir en la Tierra e inte-

do a nuestro planeta.

grarse con la simiente, el ciclo de vida, muerte y resurrección expresado numéricamente. De acuerdo con este criterio, los

Así las cosas, resulta lógico también incluir a la deidad del once

números del 1 al 9 serían números del supramundo y del 10

en el segregado [sic], ya que ésta representa al mismo Dios de la

al 19 lo serían del inframundo, por ya contener el 10.

Tierra, quien -como se muestra en el vaso de Huehuetenangose sangra el miembro viril durante el acto cosmogónico.68

El número 11. Este número es factor de enlace que nos lleva El 11 está en la iconografía de la pirámide de Quetzalcóatl

a diferentes ciclos. De acuerdo con los dos párrafos anteriores, el 11 correspondería al segundo número del inframundo.

en relación con los eclipses solares. La construcción de la

En la iconografía de los tableros en el viejo templo de Quetzal-

pirámide se pudo haber debido, entre otras cosas, a la conme-

cóatl en Teotihuacan el 11 está representado por un resplan-

moración de un eclipse de Sol; éste puede ser el simbolismo

dor de 11 plumas alrededor de la cabeza solar de Quetzalcóatl:

de las cabezas de serpientes rodeadas de rayos que vemos en

346.5

= (7 x 9 x 11) / 2. La cabeza es la de una serpiente. En

los tableros del viejo templo de Quetzalcóatl: el número de

este trabajo el 11 se ha considerado número relacionado con

pétalos y rayos del resplandor es 11. El Códice de Dresde regis-

los eclipses, ya que durante un eclipse solar el Sol es manda-

tra 69 fechas en las que ocurren elipses en un lapso de 33

do al inframundo. Pero 4 x 11 x 29.5454 = 1 299.9976 ≈ 1 300,

años,69 o sea, en tres periodos de 11 años. El 63 es divisible

número que va directamente a la era maya: 1 300 x 1 440 (la centésima parte de un baktún). El simbolismo es que tenemos

64


65

Jacques Soustelle, Los mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p.

que morir para vivir, esto es, que después del inframundo

186. “La notación de los números mediante las barras y los puntos no era la

(Tláloc) viene la resurrección y la vida (Sol del supramundo).

única utilizada por los mayas. Las cifras del 1 al 13 y el 0 con frecuencia se representaban en las inscripciones mediante cabezas, vistas de perfil.”

Es interesante observar que la planta del viejo templo de Quetzalcóatl (en unidades a la manera indígena) es de 325 uni-

66


67

Ibid., p. 116. “Año de eclipses: Intervalo entre pasos sucesivos del Sol por

68


69

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 178. “Teeple también fue el primero en lla-

dades en su lado mayor. En el menor es de 324. Pero al multiplicar 325 x 4 = 1 300. De acuerdo con Aveni, el 346.5 corresponde al año de

el mismo nodo de la órbita lunar; 346.5 días.”

mar la atención sobre el significado del retroceso de los días nodales en el

eclipses y es el intervalo entre pasos sucesivos del Sol por el

doble almanaque. Tras usar la tabla una vez, esto es, al cabo de aproxima-

mismo nodo de la órbita lunar.67 Sostiene Aveni que “una

damente 33 años, los días nodales habrán retrocedido alrededor de 1.6

estación de eclipses ocurre durante el periodo de paso prolongado”. Considerando dos años de eclipses, se tiene 346.5 x 2 =

días, porque a 69 medios años de eclipses les falta esa cifra para completar

46 x 260 días. Tras usar la tabla dos veces (unos 66 años), dejarán de servir algunas fechas posibles de eclipses que caigan 16-18 días después de los

693, que a su vez corresponde a 11 periodos de 7 x 9 días (7 x

puntos nodales, pues, con el retroceso de éstos en esos días, el Sol se

11 x 9 = 693). Aquí se encuentra la relación del 11 con los

hallará demasiado lejos del punto de intersección de la trayectoria de la


tanto entre 9 como entre 7, por lo que estará relacionado con Mercurio y con la Luna. Los tránsitos de Mercurio son irre-

En la numerología de la Pirámide del Sol el 11 queda registrado como factor del 143: (143 = 11 x 13).

gulares, pero pueden ocurrir a intervalos sucesivos de 13, 7,

La relación entre el año trópico y ϕ se puede encontrar uti-

10 y 3 años (suman 33 años), por lo que en un periodo de 33

lizando el 11 y el 23: (11 x 23 x 365.2422) / 57 466 = 1.608 = ϕ.74

años puede ocurrir un eclipse cuando Mercurio esté en trán-

A la inversa, si se toma el 11 y la serie del 23 se obtiene el núme-

sito por el disco solar.70

ro de oro, ϕ: 11 x 23 = 253; 253 x 16 = 4 048; 4 048 / 2 502 =

Acerca del número 11, indirectamente Thompson, hablando de las fechas de bases lunares vigentes en el Códice de

Dresde, dice que “Tras usar la tabla una vez, esto es, al cabo

1.6179... = ϕ.75 El número de oro está también implícito en la relación del ciclo sinódico de Venus y el año vago: 584 / 365 = 1.6.

de aproximadamente 33 años (11 x 3), los días nodales habrán

Respecto al número 11, Thompson lo identifica como sím-

retrocedido alrededor de 1.6 días”.71 El Dios R es el dios del

bolo del Dios R,76 que es asimismo una deidad terrestre, una

número 11, que es una deidad terrestre.72

mujer con un signo de interrogación invertido en la sien. Se

Analizando las series del 11 y la del 9 se encuentra que ambas

trata de un signo de fertilidad que representa a la Luna, saté-

coinciden en el número 1 871 991: (1 871 991 = 11 x 170 181 = 9 x

lite relacionado con la reproducción y los ciclos femeninos. “A

207 999). El 11 indirectamente se encuentra como factor en la era

la diosa de la Luna tal vez se le asignó ese símbolo de la Tierra

maya: 170 181 x 11 = 1 871 991, pero habrá que hacer una

porque, como en otras partes de Mesoamérica, también era

corrección de nueve días: 1 871 9 9 1 + 9 = 1 872 000: 1 872 000 /

diosa del suelo.”77 El nombre más común de la diosa de la

9 = 208 000 y 1 871 991 / 9 = 207 999. Como 208 000 - 207 999 =

Luna era Nuestra Madre (Tonantzin), y era considerada diosa

1, en la diferencia se encuentra la unidad. En las variantes de

de los alumbramientos, de la medicina, de la adivinación, ade-

cabezas mayas el 11 muestra el símbolo de montaña-tierra.

más de tener cierta relación con el crecimiento de las plantas.

El 11 relaciona el paso cenital en Teotihuacan con el ciclo

Zelia Nuttall presenta en sus estudios el número 11 repre-

venusino: (2 x 298) - S85 = 11; el 298 es el número de días que

sentado por 11 círculos que rodean una especie de olla que

el Sol pasa por debajo de la latitud de Teotihuacan.73 De esta

contiene a un conejo. Se observa que la boca de la olla tiene

manera dejaron constancia de que conocían perfectamente la

forma de signos de interrogación, característica lunar.78

latitud de esa ciudad y que el lugar de su fundación no fue deja-

Considerando el 583 dentro del ciclo sinódico de Venus,

do al azar, sino que consideraron tanto el paso cenital del Sol

se tiene 11 x 53 = 583, y se habrá relacionado el 11 con Venus.

como el periodo sinódico de Venus, además de su relación con

Ahora se toma el ciclo de 585 días y se tiene 585 - 365 = 220;

los eclipses. Como dato curioso, Teotihuacan se encuentra

220 = 11 x 20; 220 x 8 = 1 760; 1 760 / 20 = 88; 88 / 11 = 8; son

situado entre la distancia de las ciudades fundadas a los 16.5°

ocho años de 365 días los que se requieren para que coinci-

latitud norte y el Trópico de Cáncer (23.45° - 16.5° = 6.95°;

dan los años de 365 días con el ciclo sinódico de Venus con-

6.95° / 2 = 3.475°; 16.5° + 3.475° = 19.975°; 165 / 5 = 3 x 11).

siderado de 584 días.

Si en el párrafo anterior en lugar de (2 x 298) - 585 = 11

Al tomar 11 siglos mesoamericanos en números absolu-

consideramos (2 x 298) - 584 = 12, se encuentra un número

tos se obtiene 1 144: (11 x 104 = 1 144), que puede factorizar-

solar que apunta directamente a la era maya.

se como 1 3 x 1 1 x 8 , medidas que pudieran ser las del prisma envolvente de una escultura olmeca todavía no descubierta.

Luna para que se produzca un eclipse. Con el tiempo tendría que hacerse un ajuste en la posición de los grupos de 148 días, tomando en cuenta el

Thompson identifica con el número 1 026 de su Catálogo -que corresponde a un glifo- a una cabeza de mujer con un

retroceso.” El año nodal, llamado también año de eclipses, es 520 / 3 =

70

173.33 (173.31); 173.33 x 69 = 11 960; 173.31 x 69 = 11 958.39; 46 x 260 =

rizo o signo de interrogación en la cabeza. Este símbolo

11 960 - 11 958.39 = 1.61. Por no ser el año nodal exactamente de 173.3

corresponde al borde de la olla que representa a la Luna. Este

días, cada 66 años se retroceden 3.22 días (1.61 x 2 = 3.22).

símbolo lunar señala su identificación con el número 11 (eclip-

José Comas Solá, Astronomía, Editorial Ramón Sopena, Barcelona, 1957, p. 291.

71

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 178. Observemos que 33 años = 11 x 3 y que

72

Ibid., p. 117.

ses) y con el 19 (ciclo metónico lunar). Se recuerda que la Luna también era diosa del suelo, de la superficie de la Tierra.

1.6 es = φ para los mesoamericanos.

73

El glifo [1 026] siempre es la cabeza de una mujer con el signo de

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 265. Aveni da como fechas de los pasos cenitales en Teotihuacan el 18 de mayo y el 24 de julio, por lo que son 298 los

interrogación invertido en la sien. Se ha considerado que éste

días que transcurren entre un paso y otro.

representa un rizo y es aquel que identifica a las mujeres, a pesar

74

El valor de ϕ para los mesoamericanos iba de 1.6 a 1.625.

de que nunca aparece en los retratos naturalistas de la dama en

75

Cifra muy cercana a 1.618.

76

J. Eric S. Thompson, op. cit., p.l 17.

cuestión. En realidad se trata de cab, símbolo de la Tierra, que

77

Ibid.

siempre se orienta hacia la derecha, pero que puede orientarse

78

Zelia Nuttall, op. cit., fig. A1.4.

hacia la izquierda, como en los glifos de esa persona. También

346


es el símbolo que identifica al Dios R, dios del número 11, asi-

piente Emplumada corresponde a la corona solar que se forma

mismo una deidad terrestre...

durante un eclipse total de Sol. El número 11 se puede utili-

...A la diosa de la Luna tal vez se le asignó ese símbolo de la

zar también para determinar el año trópico, razones todas

Tierra porque, como en otras partes de Mesoamérica, también

para que aparezca en la simbología de la pirámide en referencia al Sol y su año. El Códice de Dresde registra 69 fechas en

era diosa del suelo.79

las que ocurren elipses en un lapso de 33 años,83 que equivaSe comparte la idea de Thompson cuando dice que el 11

len a tres periodos de 11 años. Considerando dos años de

pertenece a una deidad terrestre, en este caso la Luna, que era

eclipses (346.5 días x 2 = 693 días), se tiene que corresponde

diosa del suelo. El 1 026 es el número del glifo tomado del

a 11 periodos de 7 x 9 días. Aquí se encuentra la relación del

Catálogo de Thompson, que se puede descomponer en los fac-

11 con los eclipses.

tores siguientes: 1 026 = 2 x 19 x 27. Más adelante se verá que

Una manera de relacionar el 11 con el 364 y con el año

el 27 es un número lunar que corresponde a su ciclo dracónico

trópico es la siguiente: en el viejo templo de Quetzalcóatl en

ajustado en días y que el 19 corresponde al ciclo metónico

Teotihuacan el área de la sección transversal de la escalera que

lunar en años.

sobresale del paramento de la fachada poniente es de 1 092 u2

Ya se dijo que el 11 indirectamente es factor en la era

(en unidades a la manera indígena). También el volumen del

maya, pues 1 872 000 = 11 x 17.018 x 10 000, en donde el 17.018

primer cuerpo de la Pirámide del Sol es de 1 092 u3. Conside-

corresponde aproximadamente a la orientación de la Pirámide

rando 1 092 como absoluto, tanto el área de uno como el volu-

del Sol en Teotihuacan: 1 872 000 - 1 870 000 = 2 000, una nueva

men de otro se observa que son iguales. Al hacer el análisis del

unidad: 1 872 000 / 2 000 = 936; 1 870 000 / 2 000 = 935; 936 -

1 092 se encuentra que 3 x 364 = 1 092.

935 = 1, la unidad. En la diferencia se encuentra la unidad.

Al multiplicar 1 092 x 200 se obtiene 218 400, que se puede factorizar como 583.956 x 2 x 1 1 x l 7 . Se sustituye el 1 092 por

936 / 13 = 72; 585 / 13 = 45; por lo que 936 x 45 = 72 x 585 = 42 120.

3 x 364 y se tiene 3 x 364 x 200 = 11 x 2 x 17 x 583.9572 = 218 400 = 8 x 105 x 260, con lo que se habrá relacionado el

42 160 / (81 x 2) = 260, un tonalpohualli.

tonalpohualli y el 105, complemento del 260 para 365 (ver los

42 160 / 117 = 360, un año ajustado a 360 días.

números 17 y 105 en este apéndice); 218 400 / (585 + 13) =

42 160 / 360 = 117, el ciclo sinódico de Mercurio.

365.21739, el año trópico con una diferencia de solamente 24 milésimas de día.

Tomando el doble del intervalo entre pasos sucesivos del Sol por el mismo nodo de la órbita lunar, 346.5

días,80

Ahora se relaciona con el ciclo sinódico de la Luna: 218 400 =

se obtienen 693

(11 960 / 20) x 365.21739, en donde 11 960 = 405 x 29.5308. Se

días (346.5 x 2 = 693), cuyos factores son 7, 9 y 11: 81 (693 = 7 x 9 x

observa que por medio del 218 400 se relacionan con el tonal-

11). También son factores el 21 y el 33: (21 x33 = 7 x 3 x 3 x 11),

pohualli los ciclos sinódicos de Mercurio, Marte, la Luna,

que son todos números nones: el 3 es número solar; el 7, lunar;

Venus y el año trópico. El 218 400 se relaciona con el ciclo de

el 9, solar y mercurial; y el 11, número de enlace entre los

10 920, que es una tercera parte de 32 760, un MCM ya descri-

meses sinódicos lunares y el año trópico. Al respecto 9 x 1 1

to, que es también la vigésima parte de 218 400.

meses sinódicos lunares equivalen a 2 923.53 días y ocho años trópicos son 2 921.94 días. También se enlaza con cinco veces

218 400 / 600 = 364, el número de Tláloc.

el ciclo sinódico de Venus: 5 x 585 = 2 925 o 5 x 584 = 2 920

218 400 / 700 = 312, el número de Chalchihuicueye.

días. Se puede escribir la siguiente ecuación: 9 x 11 x 29.5308 ≈ 8 x 365.2422 ≈ 5 x 585 ≈ 2 925. El 63 (factor del 693: 11 x 63 = 693) tiene a su vez el 9 y el 7 como factores, por lo que se puede relacionar con Mercurio

79


80

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 116. “Año de eclipses: Intervalo entre pasos

y la Luna. El 11 está empleado en la iconografía de la pirámi-

sucesivos del Sol por el mismo nodo de la órbita lunar; 346.5 días. Se dice

de de Quetzalcóatl por estar relacionado con los eclipses solares y con Mercurio. Un eclipse solar debe haber ocurrido en

que una estación de eclipses ocurre durante el periodo de paso prolongado.” 81

Los 11 pétalos que forman la aureola de la cabeza de Quetzalcóatl son pétalos dobles, ya que están divididos en dos por una línea. Tal vez con esto nos

la latitud de Teotihuacan alrededor del año 150 d.C., en cuya

indican que se deben tomar 693 días, que es el doble de 346.5, por ser el

conmemoración pudo haber sido concebido el plano del cen-

lapso entre dos pasos sucesivos del Sol por el mismo nodo de la órbita lunar.

tro ceremonial.82 82

Un eclipse probablemente quedó expresado en las cabe-

exactas respecto al horizonte hacia 150 d.C., cuando creemos que fue con-

zas de serpientes que se ven en los tableros de la pirámide de Quetzalcóatl: el resplandor que rodea a la cabeza de la Ser-

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 256. “Las estrellas aparecen en sus posiciones

cebido el gran proyecto del centro ceremonial.” 83

Ver nota 64.


El número 11 se encuentra en una escultura de Tláloc,

del año. Tiene importancia en las culturas mesoamericanas

Señor del Inframundo, figura zoomorfa tallada en basalto negro

por estar relacionado con el 3, número solar, y con el 4, núme-

de origen volcánico encontrada en Cozcatlán, Puebla, con ojos

ro terrestre. El 12 se relaciona directamente con el 360, pues

y cuerpo de rana, del periodo posclásico, que tiene un gorro en

12 x 30 = 360. Algunas veces el 12 se expresa a través de su

punta como de mago, el cual se amarra a la cabeza por medio

quintuple, el 60: (12 x 5 = 60), sexta parte del año.

de una cuerda, lo que significa amarre de ciclos. La cuerda

Esta forma de representación se encuentra en algunas

presenta 13 torceduras y la copa del sombrero, 11 gajos.84 Se

piedras calendáricas en las que aparece el Sol en el centro y

trata del mismo simbolismo que presenta la iconografía de los

en seguida, como círculos concéntricos, las órbitas de Mer-

tableros del viejo templo de Quetzalcóatl, en donde aparece

curio y Venus; le sigue el de la Tierra, que se representa por

Tláloc como dios de las aguas, representado a veces como una

otro anillo dividido en seis partes mediante seis pares de dos

rana, y la cabeza de la Serpiente Emplumada. En los tableros

pequeñas rayas paralelas. La división del círculo en seis par-

el número 11 se puede encontrar en el resplandor de 11 plu-

tes seguidas, cada una del símbolo de las dos rayas paralelas

mas que la rodea. Todo esto significa el amarre del año trópi-

-cada una vale 5, como en la numeración maya-, nos indica

co con Tláloc, dios del agua, y con el tonalpohualli.

que el 6 debe tomarse 10 veces. Si cada división vale enton-

En el valle de Tehuacán, famoso por sus manantiales, el

ces 60 y son seis divisiones, se tienen los 360 días del año,

culto a Tláloc fue muy importante, a juzgar por las numero-

que corresponden a los 360 grados del círculo. Por otro lado,

sas esculturas que se han encontrado de ese dios. Típicas de

12 x 6 = 72, que corresponde a la quinta parte del ciclo anual

esta zona son los Tláloc en piedra como un ser en forma de

de 360 días y a su vez es la mitad del cuadrado de 12: (122 =

olla y ojos saltones. Similares esculturas también se encuen-

144), que se verá más adelante. Por otro lado, la era maya

tran en la zona olmeca de Veracruz. Generalmente están talla-

tiene el 12 como factor: (1 872 000 / 12 = 156 000), en donde

das en piedra volcánica muy oscura, como el basalto, lo cual

12 x 13 = 156.

manifiesta que proceden de los volcanes, del interior de la Tierra, es decir, del inframundo.

El 12 es factor del 24, que en grados corresponde al ángulo en que se puede dividir el círculo mediante 15 divisiones,

En la escultura de la fachada del templo 1, en Tabas-

cada una de ellas de 24°. Que estas divisiones fueron utiliza-

queña, Campeche, se encuentran a cada lado del vano de

das como solares hay constancia en la vasija del estado de

entrada 11 signos de lunaciones en forma de signo de interro-

Puebla.87 Dividir en 15 partes el círculo equivale a lo inverso

gación, símbolo de la Luna. Si están a cada lado de la puerta,

de lo que actualmente se hace, al dividir la circunferencia de

darán un total de 11 x 2 y 22 x 29.5454 = 650, que equivale a

la Tierra en 24 husos horarios, cada uno de 15°. Los números

la novena parte de 10 ciclos sinódicos de Venus: 5 850 / 9 =

12 y 15 quedan relacionados con el 360, del que 12 es la tri-

650. Se observa que para hacer este cálculo se utilizó el valor

gésima parte y el 15 es la vigesimocuarta.

de una lunación de 29.5454 días.

Considerando 1 000 veces el cuadrado de 12: (122 = 144), se obtiene 144 000, número clave de la cuenta maya ajustada

El número 12. De acuerdo con el Códice Borgia, son 12 días los

con el 360. Al multiplicar el 360 por 400 se tiene 144 000, un

que pasa Venus en su desaparición inferior.85 En las varian-

baktún; 144 000 / 360 = 400 y 144 000 / 400 = 360; 360 = 18 x

tes de cabezas mayas, según Aveni, el 12 simboliza a Venus y

20 y 400 = 20 x 20. También 144 000 = (2 x 12) x [1000 (12 / 2)].

lleva un signo de cielo en la cabeza, pero no aclara el motivo

Se observa la importancia del número 12.

de esa

relación.86

El número 12 es solar y terrestre a la vez -ya

que tiene como factores el 3 y el 4-, tan importante en algu-

El número 13. Es el número cósmico que se asocia con el axis

nas culturas de la Antigüedad, como la egipcia y la babilóni-

mundi porque intercomunica los diferentes planos del univer-

ca, cuyo sistema de numeración de la última era de base 60

so al ser factor de los ciclos sinódicos de los planetas visibles

(12 x 5 = 60). El 12 es importante aún en la actualidad, ya que

a simple vista: Mercurio, Venus, Marte y Saturno, así como del

el día se divide en dos periodos de 12 horas y son 12 los meses

tonalpohualli. Al 13 le corresponde ser el séptimo en la serie de Fibonacci y por lo tanto suma de los dos anteriores, el 5 y el 8, que repre-

84

La numerología del sombrero es la siguiente: 11 x 13 = 143; 143 x 4 = 572;

sentan a Venus y a la Tierra, respectivamente. El rectángulo

585 - 572 = 13, un tlalpilli.

perfecto o rectángulo φ representaría a este número en cuanto

85

Lucrecia Maupomé, “Reseña de las evidencias de la actividad astronómica en

a la medida de sus lados, que pueden medir 5 y 8 unidades. En

la América antigua”, en Marco Arturo Moreno Corral (comp.), Historia de la

astronomía en México, Fondo de Cultura Económica, México, 2003, p. 47.

cuanto a su superficie (5 u x 8 u = 40 u2) correspondería a un

86


número de distancia terrestre, el 40. Este rectángulo simboliza

87

Fernando Ximello Olguín, Naxacé-tlatlahuite..., op. cit., p. 85.

ciertamente a los dioses creadores de la Tierra, de acuerdo con


el Códice borbónico, donde aparecen pronosticando la suerte

13 = un tlalpilli; 52 = medio siglo mesoamericano; 117 = ciclo sinó-

a los hombres.88

dico de Mercurio; 208 = dos siglos mesoamericanos; etcétera. Ahora se consideran las diferencias: 52 - 13 = 39; 117 —

Las

cuatro

eras

cosmogónicas

o

soles

se

iniciaron

y

finalizaron

52 = 65; 208 - 117 = 91; 325 - 208 = 117; 468 - 325 = 143; 637

-

en los años Uno Caña, Uno Pedernal, Uno Casa y Uno Conejo de

468 = 169; 832 - 637 = 195; 1 053

- 832 = 221; 1 300 - 1 053 =

los

247; 1 573 - 1 300 = 273; 1 872 -

1 573 = 299; 2 197 - 1 872 =

concordara, al final de cada una de las eras se dejaron pasar 13

325; 2 548 -2 197 = 351; 2 925 -

2 548 = 377; 3 328 - 2 925 =

años, ya que si se inició la primera en un año Ce Ácatl terminó

403; 3 757 - 3 328 = 429; 4 2 1 2 - 3 757 = 455.

en

aztecas.

otro

del

siguiente

era

Para

mismo en

que

este

nombre

otro

o

fenómeno

símbolo,

y

ácatl, puesto

año

astronómico-matemático

no que

se

podía

tendrían

iniciar que

la

Además la serie o rueda del 13 indica diferentes ciclos astronómicos o calendáricos:

seguir

13 x 1 = 13; solar, un tlalpilli.

una secuencia. Tampoco la

trecena

cisamente

debería

iniciarse en

siguiente. durante

Para

los

lo

años

Dos

antes uno,

Pedernal,

dicho

hay

continuando

sino que que su

sería

comenzar orden,

y

1 3 x 2 = 26; solar, 26 x 10 = 260, un tonalpohualli.

a

pre-

13 x 4 = 52; solar, medio siglo mesoamericano.

para

13 x 5 = 65; venusino, novena parte del ciclo sinódico de Venus.

que esto ocurriera tendrían que pasar 13 veces los años uno, es

13 x 6 = 78; lunar y marciano: (78 = 2 x 39, en donde 39 es

decir, 676 años.89

lunar; 78 x 10 = 780, el ciclo sinódico de Marte). Así se explica insertar 13 años al final de cada era, así

13 x 7 = 91; lunar, cuarta parte del año del Sol del infra-

como el origen de la segunda vuelta calendárica o segundo

mundo.

gran ciclo de eras que comenzó en Orne Ácatl (727 d.C.). El 13

13 x 8 = 104; un siglo mesoamericano.

es el número que enlaza o relaciona90 la mayoría de los even-

1 3 x 9 = 117; un ciclo sinódico de Mercurio.

tos astronómicos con el tonalpohualli, del que es factor; de

13 x 10 = 130; medio tonalpohualli.

ahí su importancia. Además puede ser una unidad por sí mismo, ya que un tlalpilli corresponde a una trecena de años que se toma como unidad, en el conteo de 13 en 13, para rela-

El número 15. Se considera un número solar, aunque sus factores son el 3 y el 5, el primero solar y el segundo venusino. Para encon-

cionarlo con todos los ciclos de los que es factor, en particu-

trar la constante que se puede usar como unidad de medida en

lar con el cómputo de la revolución sinódica de Mercurio.

alguna piedra circular, se encierra la piedra en un círculo. Se

Además el 13 corresponde en grados al arco que la Luna des-

determina su centro y por medio del radio se traza un hexágono.

cribe diariamente en su órbita.91

Numerando los vértices del hexágono del 1 al 6, se unirá el 2 al 3, al 5 al 6 y se habrá trazado un rectángulo V3. Se pasa una tan-

Daban este nombre a cada una de las cuatro fracciones de

gente por el punto del círculo en donde corta el diámetro y la

13 años en que estaba dividido el ciclo de 52 años. El conjunto, la unión, la liga de 13 años, era el tlalpilli de los me-

88

Códice borbónico, op. cit., p. 21.

89

Ángel Raúl López, El número 13 en la vida de los aztecas, Costa-Amic

90

Cecilio A. Robelo, Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa, México,

xicanos.

Editores, México, 1984, p. 119.

...Así es que cada 13 años el primer día de la primera veintena era también primer día de la primera trecena, y ambos llevaban el signo Ce

1982, p. 573. “ Tlalpilli. Derivado de tlal-pia, ligar, unir alguna cosa, comp. de tla, algo, alguna cosa; y de ilpia, ligar, unir, anudar, etcétera. Tlalpilli

Cipactli.92

significa, pues, ligado, unido. Daban este nombre a cada una de las cuatro fracciones de 13 años en que estaba dividido el ciclo de 52 años. El con-

El número 13 forma una serie cuando se multiplica por el

junto, la unión, la liga de 13 años, era el tlalpilli de los mexicanos. Esta liga de años no era arbitraria; reconocía por origen la coincidencia del primer

cuadrado de los números que forman la numeración corrida: 13 x

1 2=

13; 13 x

22

= 52; 13 x

32

= 117; 1 3 x

42

día del año solar de 365 días con el primer día del año de Venus, de 260

= 208; 13 x

días. Así que cada 13 años el primer día de la primera veintena era tam-

52 = 325; 13 x 62 = 468; 13 x 72 = 637; 13 x 82 = 832; 13 x 92 =

bién el primer día de la primera trecena, y ambos llevaban el signo Ce

1 053; 13 x 102 = 1 300; 13 x 112 = 1 573; 13 x 122 = 1 872; 13 x

Cipactli. Como los días llevan numeración trecena!, y ésta no cabe exacta-

132

mente ni en los 20 días del mes ni en los 360 del año, suprimidos los cinco

= 2 197; 13 x

142

= 2 548; 13 x

152

= 2 925; 13 x

162

=

nemontemi, va cambiando en el principio de las trecenas y de los años; y

3 328; 13 x 172 = 3 7 57; 13 x 182 = 4 212; 13 x 192 = 4 693; 13 x

solamente se encuentra con el número 1 cada 13 veintenas y cada 13 años.

202 = 5 2 00; 13 x 212 = 5 733; 13 x 29.53082 = 11 336 = 109 x

Por esto dice Chavero que entre los mexicanos el tlalpilli de 13 años vino a

104 = 11 336; 13 x 27.32 = 13 x 745.29 = 9 688.77; 745.29 x 100 =

ser el periodo perfecto de la combinación de los días, y en él entraban

74 529 = 169 x 441 = 132 x 3 x 147 = 132 x 32 x 72.

completos 18 tonalámatl de 260 días.” 91

Stanley P. Wyatt, Principles of Astronomy, Allyn and Bacon, Boston, 3 a ed.,

92

Cecilio A. Robelo, op. cit., p. 573.

En esta serie todos los números en negrillas están relacionados con algún evento astronómico o calendárico. Por ejemplo,

1977, p. 136.


distancia (o flecha) entre el lado del hexágono y dicha tan-

que lo demuestra: 360 / 90 = 4; 272 / 68 = 4, por lo que 360 /

gente será la unidad de medida o proporción a la manera indí-

90 = 272 / 68, de donde 272 = (360 x 68) / 90 y 360 = (272 x 90) /

gena de esa piedra circular o calendárica. Esta unidad será la

68. De igual manera se puede proceder con el 364.

constante que cabrá 15 veces en el diámetro del círculo y será

Si dividimos 272 / 16, obtendremos el 17, número relacio-

1/24 del ciclo de 360 días. Corresponde al número de unida-

nado con los eclipses y con la muerte de Venus. En el calen-

des en que se puede dividir un diámetro tomando como uni-

dario azteca las puntas de flecha que Matos nombra como

dad la mitad de la diferencia entre éste y el lado mayor del

rayos solares miden 17° x 2, siendo 17° el ángulo que se forma

máximo rectángulo √3 que se pueda inscribir en el círculo.

entre el norte astronómico y la línea que une el centro de la

Éste es el primer trazo básico del centro ceremonial de

Pirámide del Sol con el centro de la de la Luna, que también

Teotihuacan.93

es de Venus.94

Habiendo obtenido la medida del diámetro de 15 u, se procede a calcular la superficie del círculo tomando como π = 3.2, en vez de 3.1416... Área del círculo =

πr2

= 3.2 x

(7.5)2

= 3.2 x

El número 17. Algunas puntas de flecha del valle de Zapotitlán y del valle de Tehuacán Viejo en sus primeras fases (Aco-

= 180 u2. Considerando el revés y el frente de la piedra,

quiaco) tienen un ángulo de 17° en la punta. Este ángulo, que

se tiene 1 8 0 x 2 = 360, el año ajustado al número de grados de

es de muerte, equivale al que se forma entre el norte astronó-

un círculo.

mico y la línea que une los centros de las pirámides de la Luna

56.25

Si ahora se toma la medida del diámetro como radio, se

(que es también de Venus) y la del Sol en Teotihuacan. Este

tiene lo siguiente: área = 3.2 x 152 = 3.2 x 225 = 720 u2, que

ángulo se encuentra también en las puntas de flecha que

equivale a 180 x 4 = 720. De esta manera, mediante la cuadra-

Matos ha considerado como rayos solares en la Piedra del

tura del círculo, se puede obtener la superficie del mismo, sim-

Sol. La relación entre una y otra cosas se encuentra en que el

plemente considerando 3.2 veces el cuadrado construido sobre

Sol mata a Venus en su conjunción superior cuando se

el diámetro. Ésta es la razón del empleo del 32: (3.2 x 10 = 32),

encuentra en un ángulo de 17o del planeta.

o sus submúltiplos en el lenguaje numérico de símbolos expre-

Es posible que los aztecas mirasen las Siete Cabrillas

sado en vasijas y piedras circulares. El número 32 y el núme-

durante la noche para saber dónde se encontraba el Sol en el

ro 15 están entonces relacionados con la superficie del círcu-

inframundo, ya que al estar cercanas a la eclíptica podrían

lo. El 15 indica la coincidencia del ciclo sinódico y el ciclo

indicar los movimientos del Sol nocturno, de la misma mane-

sidéreo de Marte, por lo que es un número circular.

ra que los egipcios hacían con la estrella Zeta Orionis, del

El 15 tiene la virtud de ser un factor del tonalpohualli cuan-

Cinturón de Orión. En Mesoamérica también deben haber uti-

do éste se multiplica por 10: 260 x 10 = 2 600; 2 600 / 15 =

lizado el Cinturón de Orión, ya que en Guatemala durante el

173.33, que corresponde a los días del medio año de eclipses.

crepúsculo nocturno del primer paso del Sol por el cenit pue-

También apunta al gran

lunar 11 960 a través de la

den verse las Pléyades en su ocaso helíaco, mientras que la

siguiente igualdad: 11 960 / 29.5308 (el ciclo sinódico lunar) =

Cruz del Sur empieza a salir muy abajo, hacia el sureste. El

405, como lo confirma la llamada Piedra de las 405 Lunas. Y

Cinturón de Orión desaparece al oeste unas dos horas después.

405 = 15 x 27, número que también apunta al mismo gran

La Cruz del Sur experimenta su ocaso helíaco el 12 de agosto,

MCM

MCM

lunar.

mientras que al alba del mismo día pueden verse las Pléyades cruzando por el cenit (Girard, 1948). Esto sucede también en

El número 16. (Ver el número 8.) Es el cuadrado de 4, núme-

Izapa, Chiapas, una antigua ciudad olmeca situada a los 15° de

ro muy empleado en la numerología mesoamericana. Al ser

latitud norte. Es importante saber que para que la constelación

factor de 272 (10 veces el ciclo dracónico de la Luna ajusta-

de las Pléyades sea visible es necesario que el Sol esté a 17° por

do; 272 = 16 x 17), se puede relacionar tanto con la Luna (364)

abajo del horizonte; de otra manera las taparía con sus rayos,95

como con el Sol (360). Puede escribirse la siguiente igualdad,

lo que ocurre alrededor del 4 de junio. Ésta es tal vez la razón que explica la orientación de las ciudades y monumentos de la Familia de los 17°. Al año siguiente, “hacia el 3 de mayo el Sol se acerca a los 17° y las Pléyades entran en otro ocaso helíaco, siendo esta vez difícilmente detectables arriba del horizonte

93


94

Ibid., p. 210, fig. VI.12.

95

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 129. Este autor se refiere a las Pléyades, que son visibles cuando el Sol está a 16° o 17° bajo el horizonte. Su orto helía-

96

occidental al término del crepúsculo”.96 El 17 se encuentra como factor del número 7 072, que equivale a 17 veces cuatro siglos de 104 años (7 072 = 17 x 4 x

co debe producirse alrededor del 4 de junio.

104). El 7 072 también corresponde a la superficie de 10 rec-

Ibid., p. 136.

tángulos que cada uno tenga 26 y 27.2 unidades de lado (26 x

350


27.2

= 707.2; 707.2 x 10 = 7 072). Los mesoamericanos toma-

es de 17° con respecto al norte. Tomando 25 veces este núme-

ron algunas veces el ciclo dracónico de la Luna de 27.21222

ro se llega al 544: (32 x 17 = 544). El mes dracónico lunar es

días como de 27 días para volverlo entero; otras veces lo toma-

de 27.2122 días, y se llama dracónico porque en China se creía

ron de 27.2 días solamente.

que un dragón (la Luna) se tragaba al Sol, es decir, que se producía un eclipse. Se multiplica 27.2 por 20, el número base

Teeple (1931) da los valores de ajuste que se hacían en diversas

de sus cuentas, y se obtiene 544, que es igual a 2 x l 6 x l 7 , l o

ciudades y la precisión que con ellos se lograba para los valores

que indica geométricamente dos rectángulos Σ 17 x 16. Por lo

de la lunación y para los periodos de eclipses, que predecían con

tanto

exactitud asombrosa. Tomaban 17 lunaciones cada 502 días

donde el 16 es un número terrestre (42 = 16). El 17 queda liga-

(Morley, 1915), lo que implica 29.5294 días para cada periodo

do a los eclipses y por ello puede ser tanto solar como lunar.

estos rectángulos pueden

simbolizar un eclipse, en

Otra serie relacionada con la Luna y con el tonalpohualli

sinódico de la Luna.97

es la del 17: 16 x 17 = 2 72, 10 veces el ciclo dracónico de la El 17 fue un número utilizado para la orientación de diver-

Luna, por lo que el 17 queda relacionado con los eclipses (16 x

sos monumentos y ejes de composición de centros ceremonia-

17) + 1 = 273; 273 = 91 x 3, en donde 91 es la cuarta parte de

les,98 tales como el eje de la Pirámide del Sol en Teotihua-

364, número de Tláloc. Además de que 3 x 9 1 = 273, 273 x 3 =

can,99 Tepozteco y Tula; la pirámide de Tenayuca y “un patrón

819, número de la antigua cuenta lunar. (Ver el número 819

de 17° en campos abiertos de las tierras bajas tropicales de

en este apéndice.)

Veracruz a Belice”.100

y 101

(Ver el número 73 en este mismo

apéndice.)

(17 x 17) + 3 = 292; 292 = 584 / 2, la mitad del ciclo sinó-

En la numerología de la Pirámide del Sol el 17 queda

dico de Venus.

registrado como factor del 221: (2.21 u x 100 = 221 u y 221 =

(18 x 17) + 6 = 312; 312 es el número de Chalchihuicueye,

13 x 17), número de unidades en la altura del tercer cuerpo de

esposa de Tláloc.

la pirámide (11 x 13 = 143).

(19 x 17) + 9 = 332; 332 = (83 x 364) / 91. (20 x 17) + 12 = 352; 32 x 11. (Ver el número 32 en este

El número 17 se encuentra en registros prehispánicos del valle de Tehuacán, de acuerdo con la interpretación que hace

apéndice.)

Femando Ximello de una vasija del horizonte posclásico, como

(21 x 17) + 15 = 372; 372 = 12 x 31, en donde el 31 es el

la relación 273 = (4 x 68) +1, siendo el 68 = 4 x 17.102 El 68 apa-

límite eclíptico.

rece en los brazos de una cruz que se forma por líneas curvas que valen la sumatoria del 12 al 5 = 68. Se multiplica 4 x 68 y

Así, se forma otra serie: mientras que el 17 queda como

se le agrega una unidad marcada al centro como un pequeño

factor fijo, el otro factor aumenta de 1 en 1. Los sumandos

círculo, y así se obtiene 273. Este número corresponde a 10

aumentan de 3 en 3 y el resultado, de 20 en 20.

veces el ciclo sidéreo de la Luna y 4 x 68 = 272 corresponde a 10 veces su ciclo dracónico. El número 17 es factor del ciclo dracónico de la Luna, 27.2 días. Si se multiplica por 10 se tiene 272, que dividido entre 17 = 16. Tal vez por eso la orientación de la Familia de los 17° se refiera a eclipses.

97

Lucrecia Maupomé, op. cit., p. 32.

98

Anthony F. Aveni, “Calendarios en Mesoamérica y Perú”, p. 79, en Arturo Ponce de León, Fechamiento arqueoastronómico en el altiplano de México,

Por una parte, 702 x 17 = 11 934; 11 934 + 26 = 11 960; 405 x

BAR, Londres, 1983. Para Aveni las orientaciones en Teotihuacan son

29.5308

= (1 495 x 136) / 17 es aproximadamente 11 960. Ésta

como sigue: Calzada o Calle de los Muertos = 15° 28'. Eje de la Pirámide

es la manera de relacionar el gran ciclo lunar de 11 960 días con el 17, que a su vez se relaciona con el ciclo dracónico de

del Sol = 17°; pirámide o viejo templo de Quetzalcóatl = 16° 30'. 99

nales; la desviación del eje es aproximadamente de 17° del oeste al norte.” El arquitecto Marquina fue uno de los mejores investigadores del

Por otra, 17 x 687.117 = 11 681, en donde 687.1 es el perio-

INAH

que estudió, a mediados del siglo pasado, la orientación de esa calle. 100

al periodo sinódico de Mercurio.

Arturo Ponce de León, op. cit., p. 74. Dice que en 1977 Aveni estudió un grupo de orientaciones de 17° y el ajuste casi perfecto de Teotihuacan con

El ciclo sidéreo de la Luna de 27.3 se divide entre φ: (1.6),

la posición de la puesta de las Pléyades en el horizonte, así como la salida helíaca de ese mismo grupo de estrellas el día en que ocurre el primero de

y se obtiene 17.0625.

los tránsitos del Sol por el cenit de Teotihuacan. 101

tico, que es la primera página del Códice Fejérváry-Mayer, se encuentra que la desviación del eje norte-sur de la pirámide

México, 1951 p. 71,

Reconstrucción hecha tomando en cuenta los ángulos de los taludes origi-

ción del ciclo sinódico lunar: 27.2 x 10 = 272; 272 / 16 = 17.

En el estudio de la pirámide solar en el plano paradigmá-

INAH,

lám. 12. “Teotihuacan. Pirámide del Sol. Planta y vista de frente.

la Luna. De esta manera se podía expresar un eclipse en fun-

do sidéreo de Marte; 11 681 / 100 = 116.81, que corresponde

Ignacio Marquina, Arquitectura prehispánica,

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., pp. 268-269.

102

Femando Ximello Olguín, Naxacé-tlatlahuite..., op. cit., pp. 91-93.


3S1

Considerando ( 1 9 x 1 7 ) + 9 = 332 y tratando de relacionar

sinódico de Júpiter y el número de oro. Al igual que el 399 (en

este número con Tláloc se tiene que el MCM de 364 y 332 es

días el ciclo sinódico de Júpiter, 19 x 7 x 3 = 399) aparece

30 212.

como una dimensión del prisma recto que puede ser envolvente de la pirámide de El Castillo. (Ver la pirámide de El Castillo

30 212 = 52 x 581; 581 es el límite inferior del ciclo sinódico de

en el capítulo XI de este libro.) El 19 se relaciona con el 6 y su doble mediante la igualdad 1 + 6+ 12 = 19.

Venus.103

30 212 = 83 x 364, el año del inframundo. 30 212 = 91 x 332; 332 = (83 x 364) / 91, con lo que se

Aveni escribe acerca del 19:

habrá relacionado el 332 con Tláloc por medio del 91 y del 364.

Diecinueve años trópicos equivalen mediante la computación moderna a 6 939.6 días. Pero aún más importante es que éstos

Una igualdad interesante es 365 = (16 x 17) + (3 x 31), en

equivalgan a 235 lunaciones; es el llamado ciclo metónico, men-

donde aparece tanto el 17 como el 31. (Ver el número 31 en

cionado en el capítulo III. El ciclo funcionaba a modo de equipa-

este apéndice.)

rar las fases de la Luna con el año de estaciones. Nos dice que, si

El número 18. Son 18 meses de 20 días los que tiene el calen-

Washington en 1980, podemos esperar que una Luna nueva se

dario solar, por lo que el 18 corresponde a la vigésima parte del

repita el día de su natalicio en 1999, 19 años trópicos después.106

una Luna nueva se produce el día del natalicio de George

año ajustado a 360 días. El ángulo de 18° es el complemento del de 72°, que se forma en los vértices de la estrella de cinco pun-

Las siguientes operaciones muestran el grado de exacti-

tas conocida como pentagrama que puede contener un pentá-

tud de los cálculos de los sacerdotes-astrónomos mayas: 235

gono regular. El 72 es la quinta parte del año ajustado a 360

lunaciones x 29.5308 días = 6 939.738 días, el ciclo metónico

días. La suma de 13° y 18° da el ángulo de 31°, que se encuen-

lunar, que dividido entre 19 se obtiene aproximadamente el

tra en la incisión en la frente de algunas cabezas olmecas, así

año trópico exacto de 365.2422 días (6 939.738 / 19 =

como en los vanos de la Casa del Gobernador en Uxmal. Este

365.2493). Por otro lado, al dividir 520 entre 19 se obtiene 27.368,

ángulo es el del límite eclíptico solar.

muy cercano al ciclo sidéreo de la Luna (27.321 días), siendo

El número 19. El ciclo metónico de la Luna es de 19 años.104

520 / 3 = 173.33 el medio año de eclipses.

El número 19 está relacionado tanto con el Sol como con la

El 19 fue utilizado en las dimensiones del prisma recto

Luna, ya que 19 años solares equivalen a 235 meses o ciclos

rectángulo que puede ser la envolvente de la cabeza colosal

sinódicos lunares: 19 x 365.2422 = 6 939.6018, aproximada-

olmeca conocida como monumento 1, rancho La Cobata,

mente 235 x 29.5305. “El ciclo metónico es pobre en eclipses

encontrada en el cerro El Vigía, Veracruz, y que actualmente

(255 meses dracónicos = 6 939.1161 días) a causa del desliza-

se encuentra en la plaza de Santiago Tuxtla, Veracruz. Su volu-

miento de alrededor de

6o

de movimiento lunar por

ciclo.”105

men en unidades a la manera indígena es de 59 280 u3, que

El 19 es factor del ciclo sinódico de Júpiter de 399 días;

corresponde en números absolutos a 59 280 / 19 = 3 120, que a

el otro es el 21, que se puede descomponer a su vez en otros

su vez es igual a 312 x 10, operación en la cual 312 es el núme-

dos, 3 y 7, que indica una relación lunar, solar y de Júpiter (3 x

ro de Chalchihuicueye, que corresponde también a tres siglos

7 x 19 = 399). El cuadrado de 19 es 361, que tomado como divi-

mesoamericanos.

sor del ciclo sinódico de Venus da el número de oro φ =

Si se toma 15 veces el periodo sinódico de Marte, se obtie-

1.618...: (584 / 361 = 1.6177....). Por lo tanto, el 19 sirve para

nen 11 700 días (15 x 780 = 11 700 días). Si se le agrega un tonal-

relacionar el año trópico, el ciclo metónico de la Luna, el ciclo

pohualli de 260 días, se obtiene el gran

MCM lunar de 11 960; y

si se le resta 100 veces el periodo exacto para el ciclo sinódico de Mercurio, se tiene como diferencia 19 días (11 700 - 11 681 días =19 días). 103

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit.,

El Códice de Dresde parece un catálogo de los números

p. 216. 104

Enrique de Villena, Tratado de astronomía, Editorial Humanitas,

empleados por los astrónomos mesoamericanos, números que

Barcelona, 1983, p. 83, tabla. “A la fecha, los ciclos de 28 años para el Sol

se encuentran en las tablas de multiplicar, en los almanaques

y de 19 para la Luna son periodos muy utilizados en el calendario lunar

diversos y en los especializados, como el de la Luna y el de

eclesiástico”, lo que indica que al hacer astronomía a simple vista pudieron también ser conocidos por los astrónomos mesoamericanos.

Venus, entre otros. En los comentarios de Thompson, dentro

105

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., p. 98.

de los submúltiplos del 78, aparecen el 2, 3, 4, 6 y 9. Al mul-

106

Ibid., p. 195.

tiplicar 19 x 780 = 14 820. (Ver cuadro del número 14 820.)


cruza el inframundo y renace, una vez más, en el oriente. Cier-


tamente la cuenta inicia en uno (el número de origen) y continúa Número

Ciclo

Astro

14 820

Tonalpohualli, 260 Tlalpilli, 13 Sinódico, 780 Medio siglo, 52 Metónico, 19

Sol

14 820 14 820 14 820 14 820

Número de ciclos

Factorizaciones

hasta el diez (la base de la muerte). Luego, progresa del once al 57

Sol Marte Sol

1 140 19 285

Luna

780

57 = 3x 19

diecinueve (el tramo en que todos los números están compues-

1 140 = 60 x 19 19 = 1 X 19 285 = 15 x 19

tos con los reflejos mortecinos de la'j), hasta llegar al veinte (la

780 = (19 x 41)+ 1

empezar. (Barriga, 2004, p. 215.)

base del renacimiento), donde se cierra el ciclo para volver a

De acuerdo con los cálculos anteriores, Thompson se

A lo largo de la investigación se notó que con frecuencia,

equivoca al considerar un error del amanuense multiplicar

para lograr la coincidencia de ciclos con el tonalpohualli, el

19 x 780. Dice:

número del ciclo debía ser multiplicado por 20.

No es seguro que los múltiplos de 19 x 780 se den intencional-

El número 21. Es resultado de multiplicar 3 x 7 y está relacio-

mente. Lo normal es que esas tablas sigan un patrón vigesimal;

nado tanto con la Luna como con el Sol. Se encuentra con fre-

el amanuense debe haber pensado que, al llegar a 2.1.3.0 (19 x

cuencia como factor en los números de coincidencias de ciclos.

780), había anotado 20 x 780, luego de lo cual prosiguió con múl-

El diámetro de la Piedra del Sol o calendario azteca es de cua-

tiplos de esa unidad superior al sistema vigesimal. Sin embargo,

tro veces 21, es decir, 84 unidades a la manera indígena.108

en ninguna otra parte de este códice se encuentran errores acu-

780 tuviera alguna importancia ritual o de otro tipo que todavía

El número 23. Es número lunar y sufijo del 552 o número de las bandas cruzadas en el Catálogo de Thompson,109 que tiene

escapa a los investigadores.107

su prefijo 47 y sus sufijos 23 o 24.110 El 552 pertenece a la

mulativos de esa naturaleza, por lo que bien pudiera ser que 19 x

rueda de números lunares de base 23 o de base 24, ya que ¡Desde luego que el modelo es vigesimal! y la inclusión de

23 x 24 = 552. Pertenece a los números de enlace y establece la serie del

los múltiplos de 19 x 780 es intencional. En este caso se trata del número 14 820, resultado de multiplicar 19 x 780 = 14 820,

23, de la que forma parte el MCM 11 960, que enlaza el tonal-

lo que remite a coincidencia de ciclos del tonalpohualli, el

pohualli con el ciclo sinódico de la Luna y con la constante de

medio siglo mesoamericano y el ciclo sinódico de Marte, por

Palenque (81), por lo tanto con las 405 lunas: 11 960 / 23 = 520,

lo que no parece que se trate de un error del amanuense del

número para calcular eclipses, además de ser dos tonalpohua-

Códice de Dresde. Se trata de un conteo de 19 en 19 hasta lle-

llis (ver el número 520 en este apéndice). La quinta parte del

gar a 14 820: (14 820 = 19 x 780 = 260 x 57 = 52 x 285).

11 960 es 2 392, que es divisible entre 23. El 2 392 es igual también a 81 x 29.5308 y a 8 x 299, cuyo producto a la vez es igual

El número 20. Es el número básico de las cuentas, derivado tal

a 184 x 13 y a 23 x 104. También tiene relación con el siglo

vez de contar con dedos de manos y pies. También es el núme-

mesoamericano, por lo que es también solar. El 23 se perfila

ro de días de un mes del calendario mexica y probablemente

en el 209 682 720 como el factor del sistema solar que define

de todos los calendarios mesoamericanos. Al ser factor del

al siglo mesoamericano: 209 682 720 / 23 = 9 116 640, que a su

ciclo de 260 días del tonalpohualli, sirve para relacionarlo con

vez es 18 720 x 48; 18 720 / 60 = 312 o tres siglos mesoameri-

otros ciclos que también tengan como factor el 20. El víncu-

canos (ver el número 209 682 720 en este apéndice).

lo luna-veinte se manifiesta a través del uinal, la unidad maya de cómputo cronológico que tiene un valor de 20 días. El mes,

meztli (Luna en náhuatl), tiene 20 días. El análisis de los números 1, 10 y 20 revela que la cuenta maya es una representación de los elementos de su cosmogonía, de aquella que postula la sucesión intermitente de las génesis y los

107 J. 108

apocalipsis. Se trata de una concepción de la existencia como una lucha divina y permanente, como una retahila de triunfos

Eric S. Thompson, op. cit., p. 190.

Margarita Martínez del Sobral, Estudio del calendario azteca y otras piedras

calendáricas, por publicarse, 109

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 119. “El glifo en cuestión es el signo de las bandas cruzadas (552) con prefijo 47 y al (23) o il (24). Respecto a los sufi-

alternados entre las fuerzas celestes y las del inframundo.

jos, Coe (2001) dice: “Afar more common morphosyllabic sign is -il. This can

Consecuentemente se puede equiparar a la progresión de los

express an abstractive suffix that transforms a specific noun into its abstract

números -he aquí la segunda cuestión- con la ruta mítica del Sol,

form (somewhat similar to the suffixes -ness or -ship in English), for example .

que nace en el oriente, atraviesa el cielo, muere en el poniente,

110

Ibid., p. 119.


Como dato curioso, el ángulo cuya tangente es 2.615 ≈ 2.618... = ϕ2 es el de 68.999° ≈ 69°, siendo los factores de 69 = 3 x 23. El rectángulo

ϕ2

es simbólico del inframundo y forma

de Venus en el periodo corto de ocho años (8 x 15 x 24 = 2 880; 2 920 - 2 880 = 40). Con los números anteriores se tiene la siguiente igualdad, en donde el 40 es un número de distancia: (15 x 8 x 24) + 40 = 584 x 5 = 2 920. Se divide entre 5 para obte-

parte importante del trazo de Teotihuacan.111 Es posible que la unidad u se multiplicara por 33 para

ner el ciclo sinódico de Venus.

relacionarla con los lapsos necesarios para que ocurrieran eclipses, pues es necesario que pasen 33 años (tres periodos

El número 25. Algunas puntas de flecha del valle de Zapotitlán

de 11 años) para que ocurran 69 eclipses solares, por lo que

y del valle de Tehuacán Viejo en sus primeras fases (Acoquia-

en 11 años ocurrirán 23. De esta manera el número 23 queda

co) tienen un ángulo de 25° en la punta. Este ángulo, que es de

relacionado con los eclipses como número

lunisolar.112

El 23 es sufijo del glifo catalogado con el número 552 o número de las bandas cruzadas en el Catálogo de

muerte, corresponde al del límite eclíptico lunar, es decir, el ancho de la franja observada desde la Tierra en la que puede

Thompson113

ocurrir un eclipse de Luna. Este ángulo se encuentra en la

(con su prefijo 47 y sus sufijos 23 o 24).114 El 552 pertenece a la

Piedra del Sol. La relación entre una y otra cosas está en que

rueda de números lunares de base 23 o 24, ya que 23 x 24 = 552.

El concepto geométrico ligado a los números de acuerdo

el Sol mata a la Luna durante un eclipse, lo que ocurre en la franja de cielo correspondiente al límite eclíptico lunar.

con esta investigación es que el uno es la unidad absoluta, cuya máxima extensión es el dos. El concepto biológico correspon-

El número 26. En números absolutos es el doble de una trece-

de al que en el párrafo anterior expresa Barriga Puente. En un

na de años o tlalpilli y la cuarta parte del siglo mesoamerica-

sistema de base 20 éste corresponde al 2.

no de 104 años. Éste es un número importante, ya que tomado

Si se divide 11 960 entre 6, se tiene que es = 1 993.333, que

10 veces se obtiene en días la duración del tonalpohualli. Es un

al multiplicarlo por 3 = 5 980, que a su vez = 2 x 2 990, en

número solar que por ser múltiplo de 13 engrana con facili-

donde 2 990 = 130 x 23. El 23 como número de enlace entre

dad con casi todos los ciclos del sistema solar.

los tránsitos de Venus y el ciclo sinódico lunar. Ésta es una de las razones por la que en la iconografía mesoamericana

Se encuentra como número de unidades o la manera indígena en los lados menores de la base de la Pirámide del Sol en

muchas veces la Luna y Venus aparecen juntos (13 455 / 585 =

Teotihuacan, que no es cuadrada sino rectangular. La unidad

405 x 29.5308 / 520).

se manifiesta en la diferencia del largo de los lados del rectángulo que puede encerrar a la base, siendo un rectángulo Σ de

El número 24. Aparece como sufijo del glifo número 552 o

26 x 27 unidades. Los lados mayores, que miran al oriente y

número de las bandas cruzadas del Catálogo de glifos mayas de

al poniente, miden 27 unidades.117 El número 26 se encuen-

Thompson.115

Tiene particular interés por estar relacionado

tra en los lados norte y sur de la base. Por ser el cuadrado de

con el ciclo sinódico de Venus. También se encuentra en el

26 igual a una era cosmogónica (262 = 676), es una de las razo-

Códice de Dresde como el número que se tiene que agregar

nes por las cuales el 26 se encuentra en la planta de la pirá-

para hacer una corrección a ese ciclo sinódico para que coinLa igualdad es la siguiente:

mide. Las eras cosmogónicas son el tema primordial expresado en los volúmenes de la pirámide, en particular en su

301 x 584 = 175 784. Si se le resta 24, se tiene 175 784 - 24 =

segundo cuerpo, cuyo volumen es de 676 unidades cúbicas a

175 760. Corresponde a 260 eras cosmogónicas en números

la manera indígena.

cida con el del tonalpohualli.

116

absolutos (175 760 / 260 = 676). Es 1/15 del ciclo de 360 días y 1/6 de 122 = 144, que multiplicado por 1 000 = 144 000, un

El número 27. En la página 3 del Códice borbónico, cuadrante

baktún. Mediante el 15 se relaciona también con los tránsitos

superior izquierdo, aparecen Tezcatlipoca y Quetzalcóatl, este último con el joyel del viento en el pecho. Este joyel está compuesto por la estrella de cinco puntas con el símbolo de la

111

112

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit., p. 209,

Luna al centro. Por ser el símbolo de la Luna, su valor en este

fig. VI.10.

caso es de 27 días, que corresponde al ciclo dracónico ajus-

Ya se vio que el 23 aparece en la altura de la escultura zoomorfa de

tado (su valor real es de 27.2 días). Para decodificar este sím-

Tehuacán y cómo se relaciona con la unidad de 1.25 cm.

bolo me he valido de un fondo de plato trípode publicado por

113


114

Ibid.

Femando Ximello:118 “14 rayas verticales + 1 línea inferior

J. Eric S. Thompson, A Catalog of Maya Hieroglyphs, University of

nos da la cantidad 14 + 13 = 27, por el factor de cinco círcu-

115

Oklahoma Press, Norman, 1962. 116

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, op. cit., p. 155.

los, 27 x 5 = 135, que por 13 cuadretes nos da la cantidad 135

117

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit., p. 120.

x 13 = 1 755; 1 755 / 3 = 585, esto es, tres años venusinos”. En

118

Femando Ximello Olguín, Naxacé-tlatlahuite..., op. cit., p. 101, fig. 26 b.

el caso del joyel tendremos 5 (las cinco puntas) x 27 (el ciclo

354


dracónico ajustado) = 135. Si se multiplica 13 x 135, podremos

(255 meses dracónicos = 6 939.1161 días), por el deslizamiento de

hacer la siguiente igualdad: 13 x 135 = 1 755 = 3 x 585, y habre-

cerca de 6o de movimiento lunar por ciclo; sin embargo, los eclip-

mos relacionado el ciclo sinódico de Venus con el ciclo dra-

ses metónicos pueden llamar mucho la atención cuando ocu-

cónico de la Luna. Es ésta la causa por la cual con mucha fre-

rren, porque el periodo representa un ritmo fundamental entre

cuencia en el arte mesoamericano aparecen Venus y la Luna

dos de los ritmos menos disfrazados de la naturaleza.121

en un mismo símbolo. Se sabe que en Teotihuacan, en la Calle de los Muertos,

Al dividir el ciclo metónico de la Luna (6 939 días) entre

existieron 27 ermitas, de las que Gumersindo Mendoza toda-

257, se obtiene 27 exactamente (6 939 / 257 = 27). Se puede

vía alcanzó a ver siete.

relacionar con el 17, ya que 6 939 también es divisible entre 17: 6 939 / 408 = 17.0073, número próximo al ángulo de orien-

De las ermitas han quedado siete y la que fue demolida por la

tación de Teotihuacan. La siguiente igualdad lo demuestra: 27 =

Comisión de Pachuca hacen ocho: nosotros hemos visto las hue-

(17.0073 x 4 0 8 ) / 2 5 7 .

llas de otras ocho y los ancianos que han vivido entre estas rui-

De que el 27 está relacionado con los eclipses hay evi-

nas, refiriéndose a la tradición de sus antepasados, nos han dicho

dencia en restos de cerámica del valle de Tehuacán; también

que había 27 de ellas; ahora bien, ¿qué más pruebas queremos

de que al 27 lo tomaron algunas veces los tlamatinime como la

para confirmar nuestra aserción de que los habitantes de esta

duración ajustada del ciclo dracónico lunar y otras como fac-

ciudad cubierta de polvo de los siglos eran adoradores de la

tor del ciclo metónico (6 939 / 257 = 27).

Luna? Y en verdad no se perciben huellas de otra calle igual a la

El 27 es factor de tres veces la era maya: 1 872 000 x 3 =

anterior, que se dirigiese a la Pirámide del Sol; y ese número de las

5 616 000; 5 616 000 / 27 = 208 000, que equivale a 2 000 veces

mansiones de la Luna representadas por sus correspondientes

el siglo mesoamericano en números absolutos. Ya se ha dicho

símbolos, y que debieron existir en cada una de las 27 ermitas, es

que las tres gotas de sangre o de agua (la sangre de la Tierra)

una prueba irrefutable de lo que acabamos de asentar.119

que se ve que salen de las fauces de un saurio en los murales de Atetelco pueden representar las tres veces que se tiene que

El 27 apunta al gran MCM lunar 11 960 de acuerdo con la

tomar la era maya para que sea divisible entre 27. Estas tres

igualdad 11 960 / 29.5308 = 405, del que el 27 es factor (405 =

gotas también pudieran simbolizar los tres periodos de 27 días

27 x 15). También del 81, número de enlace lunar: 81 / 3 = 27.

para alcanzar la constante lunar de Palenque, 81: (3 x 27 = 81).

El 27 exacto se relaciona con el ciclo metónico de la Luna

Hablando de un posible zodiaco Aveni dice que, en la

de 6 939 días, y en ese caso el 27 es un simple número de

antigua China, el ecuador celeste (no la eclíptica) se dividía en

enlace o multiplicador (6 939 = 27 x 257). El ciclo metónico es

27 o en 28 mansiones lunares, indicadas mediante constela-

el lapso necesario para que la Luna llena regrese a una fecha

ciones que señalaban el curso de la Luna entre las estrellas,

idéntica del año trópico. A través del 27 se puede relacionar

por lo que el 27 podría representar también el número de esas

el ciclo metónico con el gran MCM lunar: 11 960 / (29.5308 x

mansiones.

15) = 6 939 / 257 = 27, lo que quiere decir que el gran MCM

El 27 se encuentra como el número de unidades a la

lunar dividido entre 15 veces el ciclo sinódico de la Luna es

manera indígena que tienen los lados mayores oriente y

igual al ciclo metónico lunar divido entre 257.

poniente del rectángulo Σ 26 x 27 M 1.0385, que corresponde

El 27 es el cubo de 3: (33 = 27). Si el 27 se multiplica por 3, se obtiene

81,120

la constante de Palenque que enlaza las 405

lunas consideradas en su periodo sinódico aproximado de 29.5308

días con el MCM lunar de 11 960 días (27 x 3 = 81;

81 x 5 = 405; 405 / 15 = 27; 405 x 29.5308 = 11 960). El 11 960

a la base de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. Es curioso observar que midiendo los lados de la base de la pirámide, 26

u (el 26 es número del sistema solar) y 27 u en unidades a la manera indígena (siendo su área 702 u2), al multiplicarse por el ángulo de orientación de la Pirámide del Sol (17°), se obtiene

se encuentra en la tabla de eclipses, almanaque 71, del Códice de Dresde, y es un número que siempre se relaciona con eclipses.

Un ciclo lunar bien conocido entre los antiguos astrónomos del

119

Roberto Gallegos Ruiz, Antología de documentos para la historia de la

arqueología de Teotihuacan, INAH, México, 1997, p. 245.

Viejo Mundo, generalmente confundido con el saros y el perio-

120

do de regresión nodal lunar, es el ciclo metónico, que regresa

sentar las tres veces que se tiene que tomar el ciclo de 27 días para obte-

la Luna llena a una fecha idéntica en el año trópico. Es un perio-

ner, así agrupado, la constante de Palenque de 81 días (27 x 3 = 81). De

do de 19 años (6 939.6018 días) = 235 ciclos sinódicos lunares (6 939.6884 días), con una diferencia de solamente dos horas por ciclo. El ciclo metónico es un ciclo pobre para predecir eclipses

Las tres gotas de sangre o de agua (la sangre de la Tierra) que se ve que salen de las fauces de un saurio en los murales de Atetelco pueden repre-

esta manera se relaciona con el gran MCM lunar de 11 960 días. 121

Anthony F. Aveni, Skywatchers, University of Texas Press, Austin, 2001, p. 80.


aproximadamente el gran MCM lunar de 11 960 días: 26 x 27 x

Se toma 520 veces 27 y se obtiene 14 040, número relaciona-

17 = 11 934. La diferencia es de 26 días. El ángulo para que

do con el 108 y con el tonalpohualli (108 x 130 = 14 040). El 108

fuera el exacto debería ser de 17.037°

se obtiene al orientar el 27 hacia los cuatro rumbos cardina-

Midiendo la base de la pirámide, 26 x 27 unidades a la

les (27 x 4 = 108; 108 x 130 = 14 040; 14 040 / 520 = 27; 27 x

manera indígena, el 27 es un número lunar factor del área de

3 = 81 posibilidades de eclipses). Aquí se encuentra otra vez

la base de la Pirámide del Sol (26 x 27 = 702), en unidades a

el 81, la constante lunar de Palenque, ahora apuntando a eclip-

y siempre relacionado con los eclipses

ses. El 27 es factor de 10 800 y de 11 960, junto con el factor

(7 020 = 27 x 260; 7 020 x 2 = 14 040; 14 040 / 81 = 173.33, el

29.5308: (27 x 400 = 10 800 y 11 960 / 29.5308 = 405; 405 / 15 =

medio año de eclipses).123 Se escogieron estos números de

27). La importancia del 27 está en que puede relacionar el

la manera

indígena122

unidades en la base de la pirámide para poderla relacionar

ciclo sinódico lunar con el año trópico, con el de 360 días y

con varios ciclos, entre ellos los eclipses y el tonalpohualli.

con el año de eclipses.125

Si se divide el gran MCM lunar 11 960 entre 5, se obtiene

El 27 también se encuentra en una interesante ecuación

2 392, que corresponde a la constante de Palenque (81) mul-

que relaciona un factor del 11 960, el 405: (405 x 29.5308 =

tiplicada por el ciclo sinódico de la Luna: 81 x 29.5308 = 2 392.

11 960), con el ciclo sinódico venusino. Si se divide tanto el 405

Este número se puede descomponer en dos sumandos, 1 092

como el 585 entre 15, se obtienen 27 y 39, respectivamente; un

y 1 300, en donde 1 092 corresponde al volumen del primer

número lunar y otro del sistema solar (405 x 39 = 585 x 27 =

cuerpo de la Pirámide del Sol (en unidades a la manera indígena) y 1 300 corresponde a 5 tonalpohuallis o a 44 revolucio-

81; 585 / 5 = 117, y también 81 x 585 = 117 x 405 = 47 385.

nes sinódicas de la Luna, quedando así relacionados el volu-

Ahora se divide tanto el 81 como el 117 entre 9 y se tiene 81 /

men de la Pirámide del Sol y el ciclo sinódico de la Luna.124

9 = 9 y 117 / 9 = 13. Por otro lado, 9 x 39 = 13 x 27 = 351, que

15 795). Si el 405 y el 585 se dividen entre 5, se tiene 405 / 5 =

Otra forma de descomponerlo en sumandos es 2 340 + 52 =

es igual a 27 x 13. Por último, se divide tanto 39 como 27 entre

2 392. Mediante estos números quedan relacionados el volu-

3 y se tiene 39 / 3 = 13 y 27 / 3 = 9, de donde 39 x 9 = 13 x 27 =

men de la Pirámide del Sol y el ciclo solar de 52 años. Con-

351. Si el 405 y el 585 se dividen respectivamente entre 45, se

siderando 260 x 5 = 29.5308 x 11 x 4 = 1 299.3552 ≈ 1 300 (no

tiene 405 / 45 = 9 y 585 / 45 = 13, por lo que 585 x 9 = 405 x 13 =

es exacto por el empleo de decimales). El número 11 toma

5 265 = 15 x 351.

parte de la ecuación por ser un número de enlace entre el ciclo lunar mensual y el calendario sagrado.

El 27 se relaciona con el ciclo anual lunar o del Sol del inframundo, 364, de la manera siguiente: 1 2 x 8 1 9 = 27 x 364 =

Un cuadrado perfecto de 702 unidades de lado (en núme-

9 828, número que es el MCM del 27 y del 364 (ver el número

ros absolutos) tiene como área 7022 = 492 804 u2. Esta área se

819). Femando Ximello escribe que los números encontrados

divide entre 1 521 y se obtiene 324, que equivale a cuatro

como ornamentación de vasijas del valle de Tehuacán relacio-

veces 81, y así queda también relacionada la base de la

nados con el 27 son 270, 273, 135, 324 y 1 296.

Pirámide del Sol con la constante de Palenque y con el 27.

Como hipótesis se propone que las 27 ermitas que se

En el capítulo IV, figura IV.2, se analiza una vasija de

encontraban en la Calle de los Muertos en Teotihuacan esta-

barro negro del valle de Tehuacán que representa un eclipse

ban señalando el camino que tenían que transitar las almas de

solar. En ella aparece el número 27 en cuatro símbolos de la

los muertos para pasar del inframundo al cielo de los dioses.

Luna en forma de signos de interrogación. Tres de ellos a lo

La Calle de los Muertos era el eje que desde el centro de la

largo tienen siete círculos de pastillaje, pero el cuarto tiene

Tierra estaba desviado 17° del norte hacia el oriente, eje que

solamente seis. Su suma es (3 x 7) + (1 x 6) = 27, por lo que se

conectaba el centro de la Tierra con ese lugar en donde se

trata de un número lunar, el ciclo dracónico relacionado con

encontraba el dios supremo, Ometéotl, por arriba del mundo,

los eclipses de Sol. Se sabe que el año de eclipses es de 173.31

fuera de la física, en la metafísica. A la Calle de los Muertos

días, casi la tercera parte del doble tonalpohualli o 520 días.

la llamaban “el lugar de las brillantes serpientes” en el único códice encontrado por Batres en Teotihuacan.126

122

Ver el capítulo X, “La Pirámide del Sol en Teotihuacan”, de este libro.

123

El año de eclipses es de aproximadamente 346 días. Se toma como medio año de eclipses 173.33 días por ser un tercio del doble tonalpohualli, de

124

125

como camino de las estrellas, podía representar a la Vía Láctea;

260 días (260 x 2 = 173.333... x 3 = 520).

señaló que para los indios de Mesoamérica la Vía Láctea era

Irene Nicholson, Mexican and Central American Mythology, Newnes Books,

conocida como el sendero de los muertos, porque creían que los

Londres, 1987, p. 49.

126

Hagar opinaba que el camino de los muertos, conocido también

Ver al respecto en este mismo apéndice el número 10 800.

espíritus pasaban a ella y regresaban de ella, entre la Tierra y el

Peter Tompkins, El misterio de las pirámides mexicanas, Editorial Diana,

lugar de las almas, situado en medio de las estrellas. Hagar sugie-

México, 1987, pp. 220-221.

re que Mixcóatl, la serpiente de nube mexicana, representa a la


Vía Láctea. Para Hagar era evidente que Teotihuacan había sido

Multiplicando 27.321 x 3 = 81.963, que se toma como 82,

una ciudad sagrada, porque representaba en la Tierra un mapa

periodo importante en la astronomía mesoamericana.131 Si

supuesto en medio del cielo, “donde moraban las deidades y los

ahora se multiplica 27.3 x 10 = 273, que corresponde a la ter-

espíritus de los

muertos”.127

cera parte del 819, número de conteo lunar. Tomado como 27.3

y multiplicado por 1 000 = 27 300, que es divisible exac-

Con relación a la era maya, si se divide entre 173.33, que

tamente entre 260: (27 300 / 260 = 105). De esta manera queda

es el año nodal, se tiene 1 872 000 / 173.33 = 10 800, aproxi-

relacionado el año de 365 días (260 + 105) con el tonalpohua-

madamente por el empleo de decimales, y 10 800 / 27 = 400.

lli y con el lapso del Sol por arriba de los 15° N de 105 días

Así se relaciona la era maya con el año nodal, el ciclo dracó-

cada año.

nico de la Luna (aproximadamente) y el 400, número importantísimo en la escritura numérica posicionai de los mayas.

Por otro lado, 27 300 / 924 = 29.5454, que es como el ciclo sinódico de Venus era considerado durante un tiempo por los astrónomos de Copán. Así queda relacionado el mes sideral

El número 27.2122, mes dracónico de la Luna. Recibe el nom-

lunar con su periodo sinódico. Se puede escribir la siguiente

bre de mes dracónico el intervalo entre pasos sucesivos de la

igualdad: 29.5454 = 325 / 1 1 . Tanto el 325 como el 11 son

Luna por un nodo determinado y tiene una duración de

números básicos de la decodificación del viejo templo de

27.2122 días.128 Debe su nombre a que algunos pueblos de la

Quetzalcóatl.

Antigüedad, como el chino, creían que se producía un eclipse cuando un dragón devoraba el Sol. El ciclo dracónico de la

El número 28. Se encuentra en el calendario lunar de 13 meses

Luna de 27.2 días, al dividirlo entre 17 tomando números

de 28 días, que forma el año del inframundo de 364 días (28 x

absolutos, da el número de oro (27.2 / 17 = 1.6 = ϕ). Ahora se

13 = 364).

multiplica 27.2 x 10 = 272, que es = 17 x 16, por lo que un rectángulo Σ 17 x 16 M 1.0625 es símbolo de la orientación de 17°

Los indios del sureste estadounidense contaban las lunas

al este del norte, del eje norte-sur de la Pirámide del Sol. El

visibles de un ciclo, de suerte que como cuenta lunar más

mes dracónico de 27.212 días a veces era tomado en sus cuen-

importante aparece el número 28, no el 29 ni el 30.132

tas calendáricas de 27 días, a pesar de que conocían la duración exacta del ciclo.129

Hermann Beyer nos dice que comparte con Forstermann su opinión de que los mayas tuvieron un mes lunar de 28

El número 27.321, mes o periodo sideral de la Luna. El intervalo

días.133

entre pasos sucesivos de la Luna por la misma estrella se llama

Es el producto de 4 x 7 y corresponde al periodo lunar

mes sideral, y es de 27.32166 días. Por ser un número fraccio-

ajustado a 28 días.134 Es la treceava parte del ciclo del Sol del

nario de días, la Luna ocupará esa misma posición después de

inframundo de 364 días o año lunar de 13 meses de 28 días.135

1/3 de día (8 horas) que en el periodo anterior. Desde un punto de vista puramente empírico, tal vez fuera conveniente imaginar que los meses siderales transcurren en grupos de tres. Así, al cabo de un periodo de 3 x 27.333 = 82 días, la Luna

127

Ibid., p. 221.

128


129

Ibid, “Una Luna llena eclipsada se repetirá al cabo de un número de días igual a un múltiplo entero de los intervalos sinódico y dracónico. Si estos

llegará a su posición original. Por simple conveniencia, al seña-

periodos consistieran en números enteros simples, por ejemplo, 30 y 27

lar el movimiento de la Luna entre las constelaciones, los astró-

días, ocurriría un eclipse después de 270 días (nueve Lunas llenas o 10

nomos antiguos tal vez hayan concedido mayor importancia al periodo de 82 días que al de 27 1/3...

pasos por el nodo.)” 130

Ibid., p. 88.

131 Ibid.,

El mes sideral es cuando la Luna, la Tierra y la estrella quedaban alineadas.130

do de 82 días que al de 27 1/3”. El presente estudio muestra lo contrario. 132

El nombre de mes sideral viene del latín sidus, sideris,

“...al señalar el movimiento de la Luna entre las constelaciones, los

astrónomos antiguos tal vez hayan concedido mayor importancia al perio-

133

Ibid., p. 86. Ernst Forstermann, Comentar zur Mayahandschift, Dresden, 1910, p. 48. “La revolución de la Luna (28)”, p. 49; “780 meses de 28 días” (debe decir

que significa estrella, o sea, un mes lunar medido mediante

7 800 meses), p. 132; “al mes lunar de 28 días”, en Hermann Beyer, “El

una estrella.

México antiguo”, en Revista Internacional de Arqueología, Etnología,

Folklore, Historia, Historia Antigua y Lingüística Mexicanas, Sociedad

El lapso de 27.3 se hace entero al multiplicarlo por 10. Se obtiene 273, que corresponde a tres veces la cuarta parte del ciclo del año lunar o del Sol del inframundo de 364 días (364 x 3) / 4 = 273.

Alemana Mexicanista, t. X, 1965, p. 299. 134 135

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., p. 86. Hermann Beyer, Mito y simbología del México antiguo, Sociedad Alemana Mexicanista, t. X, México, 1965, p. 296. “Por el hecho de que los signos de


Se ha relacionado este número con la Luna por ser múltiplo del 7, número lunar ( 7 x 4 = 28). Al multiplicarse por 9,

porque su promedio es 29.5, número muy cercano al 29.5308, que es la duración en días casi exacta del sinódico lunar.

se obtiene el 252: (28 x 9 = 252, el periodo de Venus como Estrella de la Tarde), que está en la serie del 9 y del 3.

El número 29.5308. Corresponde al ciclo sinódico de la Luna.

También puede relacionarse con el 144, número de la

El periodo exacto es de 29.5305 días, aunque también le die-

rueda de números del 12. Por otro lado, 72 x 5 = 360. La dife-

ron otros valores, como por ejemplo de 29.5454 días. También

rencia entre 360 y 252 = 108, que es = 4 x 27. De esta manera

se le llama a este periodo mes de fases de la Luna. Se encuen-

se obtiene tanto el 28 como el 27, ambos números relaciona-

tra en la fórmula de Palenque como 2 392 días = 81 lunas, y

dos con la Luna. El 252, como se dijo, es el lapso que perma-

en el Códice de Dresde como 11 960 = 405 lunas.

nece Venus como Estrella de la Tarde. El llamado por los astrónomos andén del Sol es de 28 años,

El número 29.5454. Es la duración del ciclo sinódico lunar que

que son 10 227 días: 10 227 / 365.25 = 28; 10 227 / 7 = 1 461 =

se obtiene al dividir 1 300 días entre 44 revoluciones de la

(365.25 x 100) / 25. También 1 461 / 3 = 487 y 487 = 486 +1, es

Luna (1 300 / 44 = 29.5454). “Otra vez, cinco periodos de 260

decir, el gran ciclo de tránsitos de Venus más 1 año (487 - 1

días hacen 1 300 días o 44 revoluciones de la Luna alrededor

= 4 8 6 / 6 = 81).

de la Tierra.”137

Al tomar 13 ciclos de 28 días se tienen 364 días, el año del Sol del inframundo.

El número 30. No es un número empleado con frecuencia en la numerología, pero sí en el diseño mesoamericano, como

El número 29. Es factor del ciclo sinódico de Saturno (29 x 13 =

por ejemplo en el trazo del centro ceremonial de Teotihua-

377 días) y de la gran era solar de 1 508 años. En la gran era

can.138 Se emplea como factor del 360, y su doble, el 60, es el

solar se encuentra la siguiente relación: 1 507 x 365.2422 =

valor de cada uno de los ángulos internos del triángulo equi-

1 508 x 365, y en este periodo coinciden el año trópico y el año

látero. Los ángulos de 30° y 60° son los que forman la escua-

civil. También el periodo de 29 tlalpillis queda relacionado

dra del constructor. Si al lado menor de la escuadra se le da

mediante el 52 con el año vago para ajustar con el año trópi-

el valor de una unidad (u = 1), entonces la tangente del ángulo

co. Aquí se observa la justificación del 52 como medio siglo

de 30° será de 0.577 y su recíproco valdrá 1.732: (1 / 0.577 =

mesoamericano, ya que en este periodo coinciden el año tró-

1.73...), que corresponde a √3 = 1.732... Se puede decir que el

pico y el año vago. Por ello la celebración del Fuego Nuevo

30 y el 60 son los valores de los ángulos que se forman al cor-

cada 52 años. Al cabo de 1 508 años se habrán celebrado 29

tar por medio de su diagonal el rectángulo básico √3 M 1.732,

fuegos nuevos, porque 29 x 52 = 1 508.

rectángulo importante en el trazo del centro ceremonial de

El 29 no se encuentra frecuentemente en los cálculos

Teotihuacan.139 Este rectángulo cuando está inscrito en un

calendáricos, salvo para los ajustes del año trópico.136 Algunos

círculo permite encontrar una constante importante del dise-

autores opinan que el 29 es un número lunar, al igual que el 30,

ño relacionado con dicho trazo.140

El número 31. El ángulo de 31° corresponde al límite eclíptidías de los antiguos mexicanos pueden hacerse proceder de un zodiaco de

co solar. El 31 es un sumando que al agregarse a alguna serie

13 constelaciones, he concluido que los pueblos mexicano-centroamerica-

nos lleva a un número calendárico básico. Como ejemplo se

nos en un tiempo necesariamente debieron haber tenido un año de 13

toman los números 360 y 292. El 360 = (7 x 47) + 31; el 292 =

meses. En vista de que el periodo en que se usaba el mes de 28 días se encontraba en un tiempo muy remoto, no es imposible que la memoria de

(9 x 29 ) + 31. El 360 no está directamente en la serie del 7, que

esta división del año se hubiera ya perdido en el siglo XVI. Mi comproba-

es lunar, o en la del 47, que indica el ángulo correspondiente

ción, entonces, tendría como única base la posibilidad de una estructura

a los trópicos, sino en la del 36, que es solar. El 292 no corres-

interior. Creo, sin embargo, poder aportar algunos datos que demuestren que en tiempos históricos todavía existiera una cierta tradición procedente

136

ponde a la serie del 9 ni a la del 29, sino a la del 584, que es

de la época en que se usaban los meses de 28 días.”

venusino (292 x 2 = 584, en días el ciclo sinódico de Venus).

El andén del Sol es de 28 años, que son 10 227 días: 10 227 / 365.25 = 28.

El 292 corresponde a la serie del 73, que por medio del 31 se

Además, 10 227 / 1 461 = 7, número lunar. Sin embargo, 1 461 / 3 = 487, una

enlaza con otros ciclos mediante la serie del 9 y del 29. El 584

unidad de más del 486, el gran ciclo de tránsitos de Venus. 137

Irene Nicholson, op. cit., p. 49. “Again, five periods of 260 make 1 300 days,

or 44 revolutions of the Moon about the Earth. ” 138

Margarita Martinez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit., p. 207, fig. VI-7. El ángulo de 30 grados se encuentra de manera indirecta en el hexágono.

está en la serie del 73, ya que 584 = 8 x 73. El ángulo de 31° aparece en algunas puntas de flecha de la fase Santa María y Palo Blanco en el valle de Tehuacán, así como en el gorro de piel de jaguar que se encuentra como toca-

139

Ibid., p. 207.

do de Quetzalcóatl en el Códice borbónico. Corresponde al valor

140

Ibid., pp. 63 y 207, fig. VI.6.

del ángulo que algunas veces se presenta como una incisión en

358


cabezas olmecas, principalmente en las hachas de pequeño

Hablando de Mesoamérica, si a cada grado del círculo

formato que representan el límite eclíptico solar de 31°. Los

corresponde un día del año, a un ángulo de 260° correspon-

sumandos del 31 son 13 y 18, que al multiplicarse dan 234

derán los 260 días del tonalpohualli. Los 105 días restantes

(ver el número 2 340 en este apéndice 1). El 31 está directa-

son los que pasa el Sol por arriba de la latitud 15° norte, divi-

mente relacionado con el Sol.141 Una igualdad peculiar es

diendo el espacio en dos: una por arriba de la latitud 15° norte,

365 = (16 x 17) + (3 x 31), en donde aparece tanto el 17 como

que dura 105 días; y otra por debajo, que dura 260 días. Aquí

el 31 (ver el número 17 y el 31 en este apéndice 1).

se puede ver que son los mismos números que se han emplea-

Es interesante notar que entre los años 2700-2600 a.C. se

do en ambas culturas. Pero, ¿qué querían expresar los egip-

formaba un ángulo de 31° entre el horizonte egipcio y la estre-

cios con esto? ¿Acaso es una coincidencia más de las muchas

lla Thuban, que en ese momento era la Polar. Este hecho

que hasta el momento se han encontrado a lo largo del estu-

quedó asentado en el alineamiento estelar que tiene uno de los

dio de la geometría mesoamericana subyacente en el diseño

dos tiros de la Cámara del Rey, en la gran pirámide de Keops,

de artefactos y monumentos?146

hasta ahora considerados como de ventilación y que en rea-

Se debe haber escogido la estrella Zeta Orionis por ser la

lidad fueron un observatorio de esa estrella.142 En un corte

que señala el camino del Sol a lo largo de la eclíptica cuando

de la gran pirámide de Giza se observa que se forma un ángu-

es de noche. En donde esta estrella se encuentre se encontra-

lo de 31° entre el horizonte y la estrella. Para ilustrar las orien-

rá el Sol diametralmente opuesto a ella, por lo que se puede

taciones de centros arqueológicos importantes, no refirién-

saber en dónde se encuentra el Sol con sólo mirar a Zeta

dose a Mesoamérica sino a la cultura egipcia de la Antigüedad,

Orionis, cosa muy conveniente para los pueblos adoradores

Geoffrey Cornelius dice:

del Sol y con sistema calendárico solar. Mediante Zeta Orionis podían continuar viendo el Sol sin necesidad de tenerlo pre-

Este corte enseña el alineamiento estelar de los ductos de la gran

sente y saber su localización precisa en el inframundo.

pirámide. A partir de la Cámara del Rey, el ducto sur ha sido

Los egipcios creían que el espíritu del faraón, al morir,

descubierto que se alinea con Zeta Orionis, en el Cinturón de

hacía un viaje hacia la constelación de Orión, que para ellos

Orion [la constelación asociada con el dios egipcio Osiris], mien-

simbolizaba al dios Osiris y el gran ciclo de nacimiento, muer-

tras que el ducto norte se alinea con Thuban [la estrella Polar de

te y resurrección. Probablemente el viaje ocurría el día en que

los antiguos egipcios] en su culminación. [El punto más alto al

la estrella Thuban, Alfa Draconis, llegaba a su máxima altu-

que llega en el cielo, mostrando aquí ser de 31o.]143

ra, estando a una distancia de 105° de Zeta Orionis, estrella en el cinturón de la constelación de Orión que servía para

Al estudiar el resto de las alineaciones de los ductos, se

conocer dónde se encontraba el Sol durante la noche, por

encontró que la visual dirigida desde el ducto sur se alinea

estar diametralmente opuesta al Sol y sobre la eclíptica. En ese

con la estrella Zeta Orionis, del cinturón de la constelación de

momento el alma del faraón podía ascender al cielo superior,

Orión, a su paso por el cielo formando con el horizonte un

desde donde en compañía de Osiris mantenía el ciclo de las

ángulo de

Si se mide el ángulo entre la visual dirigida

estaciones. Queda muy claro que el cielo se dividía en el cielo

a esta estrella desde el ducto sur y la visual dirigida a Thuban

superior o de los dioses y el del inframundo, y que uno tiene

desde el ducto norte se forma un ángulo de 105°. El día en que

una duración de 105 días y el otro de 260.

44°.144

la Polar de esos años llegaba a su máxima altura en el cielo (31°) la visual del ducto norte formaba un ángulo de 105° con la visual lanzada a Zeta Orionis.

141

Tomando el ciclo anual de 365 días, un día por cada grado

Karnak, en Egipto.

del círculo (360°), y conservando los heru repente de los egip142

cios (epagómenos para los griegos y nemontemi para los mesoamericanos), que no tenían cabida en él, al restarle 105° se obtiene un ángulo de 260°, un grado por cada día del calen-

El ángulo de 31° se encuentra en los vanos de la Casa del Gobernador, en Uxmal, así como en el ángulo entre los pilones de la entrada del templo de

Geoffrey Cornelius y Paul Devereux, The Secret Language of Stars and

Planets, Chronicle Books, San Francisco, 1996, pp. 135-136. 143 Ibid., 144

p. 136.

La explicación de que estos ductos servían para ventilación de la Cámara del Rey ha sido ya superada. Por un lado, si fueran hechos con ese propó-

dario augural

sito, se hubiera escogido el camino más corto, que es el de la perpendicular desde la Cámara a la cara externa de la pirámide. Por otro lado, la ven-

En el calendario egipcio Hermes Thot despoja a la Luna de un setenta y dos avos de cada uno de los días y de la suma de estos

tilación hubiera sido insuficiente, dado el pequeño diámetro del ducto. 145

360 setenta y dos avos deduce 360 / 72 = 5, los cinco días epagómenos durante los cuales los egipcios celebraban el nacimiento de los dioses.145

Matyla C. Ghyka, El número de oro, Poseidón, Buenos Aires, 1968, p. 127, nota 6. Los días epagómenos corresponden a los nemontemi de los mesoamericanos.

146

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit, pp. 257272.


Ésta es una división del espacio idéntica a la mesoameri-

blanco y el negro, era el verde, símbolo de la resurrección.149

cana, pero en Teotihuacan la Calle de los Muertos -se propo-

Como dios del inframundo, Osiris era la forma nocturna del

ne como hipótesis- es la vía de ascenso del alma desde el

Sol; de hecho, algunas personas creían verlo como la Luna al

inframundo (la zona de la Ciudadela en Teotihuacan) hasta la

observar sus fases, interpretándolas como la muerte y resu-

Luna y el planeta Venus (la Pirámide de la Luna), cuando en

rrección del dios. Existió más tarde un mito acerca del des-

el norte este planeta entra en conjunción superior con el Sol,

membramiento de Osiris, cuando varias ciudades pretendían

haciéndose invisible.

tener como reliquias alguna parte del dios. Cada una de estas

En las culturas mesoamericanas se creía que al morir los

ciudades tenía una tumba de Osiris, localizada en una isla que

guerreros sus almas iban a escoltar al Sol en su camino desde

recordaba la colina primigenia. Se plantaba un árbol cerca

la aurora hasta el mediodía. Pero no es claro qué sucedía con

del sarcófago, que implicaba que el dios se había levantado de

el alma de los sabios, los tlamatinime, si iban a la región de los

la tumba.

muertos, al norte en dirección a la Polar, el ámbito de Mictlan-

En el caso mesoamericano era Tláloc el dios del infra-

tecutli, el dios de los descarnados, o ¿adonde? Curiosamente,

mundo, y entre los mexicas, Xipe Tótec, el que resucita cada

ambas direcciones coinciden con las que daban en Egipto

año brotando de la Tierra. El color negro era símbolo de Tláloc

para el ascenso del alma del faraón.147 Para los egipcios el

y el verde, de Quetzalcóatl y de Xipe Tótec. El grano símbolo

ángulo de 31° indicado por la Polar en el día de su máxima

de la vida y la resurrección era el maíz.

altura era aquel en que el alma del faraón se reunía con Osiris,

En la cultura maya se encuentra la tapa del sarcófago de

en un lugar situado a 105° hacia el poniente a partir de la

Pacal, en Palenque, que presenta al rey muerto junto al árbol

estrella.

de la vida en forma de planta del maíz, que como un gran eje

Es muy probable que para los olmecas haya tenido el

vertical de composición asciende hacia el cielo superior. El

mismo significado la incisión de 31° en la frente de sus esta-

difunto exhala la fuerza vital que lo animaba en vida simboli-

tuillas funerarias, puesto que todas ellas fueron encontradas

zada como una semilla de maíz.

en tumbas como ofrenda. Otras estatuillas funerarias tienen el

Los cereales en la cultura egipcia fueron muy importan-

ángulo de 105°, que indica el norte y la temporada de lluvias,

tes. La cebada fue considerada como planta sagrada, de la

el tiempo en que la naturaleza, habiendo estado muerta, vuel-

que se obtenía cerveza y pan. Era símbolo de las fuerzas que

ve a la vida; algunas más pueden tener el ángulo de 52° o el

preservaban la vida y por eso la representación del cultivo de

de 104°, que señala el medio siglo y el siglo mesoamericanos.

la cebada excede en número a cualquier otra en las mastabas

Los dos pueblos de la Antigüedad que adoraron al Sol y

egipcias. Existen dibujos, especialmente en papiros, que mues-

que tuvieron un calendario solar fueron solamente el egipcio

tran gérmenes de cebada saliendo del cuerpo muerto de Osi-

y el mesoamericano. El calendario de los incas, por ejemplo,

ris,150 de la misma manera que en la lápida de la tumba de Pa-

no fue solar sino lunar, aunque hay algunos autores que supo-

cal se observa un grano de maíz saliendo de la nariz del rey,

nen que sí existió un calendario solar, mas no lo afirman. Para

como su último suspiro.

los egipcios el culto al Sol llegó a su cúspide durante el anti-

Al analizar las orientaciones de tumbas olmecas en Chal-

guo imperio, de la dinastía II a la IV (2686 a 2181 a.C), cuan-

caltzingo, Morelos, se encuentra que la gran mayoría está

do era Memphis la capital.148

orientada de oriente a poniente y algunas pocas, de norte a

Durante el imperio medio era Ra el dios solar diurno y

sur. Como hipótesis se propone que los guerreros eran ente-

Osiris el solar nocturno o del inframundo. Osiris era también

rrados en las primeras, las más numerosas. Quizá las norte-sur

el dios de la resurrección y de la renovación de la vida. En su

estaban reservadas para los grandes sacerdotes, que, merecían

advocación como dios de la resurrección estaba simbolizado

ir directamente a la tierra del norte, el lugar de los descarna-

por un grano de cebada y su color emblemático, además del

dos, cuyo dios era Mictlantecutli. En un cementerio de Palenque excavado por Bárbara C. Rands y Robert L. Rands se encontró que las tumbas tienen orientación norte-sur, con

147

La visual hacia el Cinturón de Orión prolongada en dirección contraria

la cabeza del difunto hacia la estrella Polar, y una desviación

(180°) coincide exactamente con el Sol. Al apuntar hacia Zeta Orionis se

con respecto al norte de 13°, lo que lleva a pensar que la orien-

estaba apuntando al Sol del inframundo, al Sol de la noche que está diametralmente opuesto a la localización en el cielo del Sol diurno. 148

El arquitecto más famoso de la Antigüedad fue Imhotep, el constructor de la pirámide escalonada de Saqqara, durante el reinado de Zoser, de la tercera dinastía del imperio medio.

149

150

Manfred Lurker, The Gods and Symbols of Ancient Egypt, an Ilustrated

tación en grados corresponde a los que diariamente se desplaza la Luna en el firmamento. Se puede pensar que tanto en Egipto como en Mesoamérica fue posible creer que pocos eran los hombres dignos de

Dictionary, Thames & Hudson, Londres, 1980, p. 136.

llegar al Omeyocan -en el caso de los mexicas- y que esta

Ibid., p. 136.

suerte solamente estaba reservada a los grandes líderes.


A pesar de todas las semejanzas que se pudieran encontrar

El número 37. Se encuentra registrado en una vasija de Cal-

entre una cultura y otra, existe una diferencia que indiscutible-

cahualco (Tehuacán Viejo).151 Es un número funcionai (NF) de

mente las separa. Ésta consiste en el empleo del 13, número que

enlace de ciclos. Un número de enlace es el factor común entre

en Mesoamérica es básico de los calendarios, mientras que en

dos ciclos, por ejemplo, en la igualdad 37 x 780 = 28 860 = 111 x

Egipto fue el 12, que seguramente venía de los mesopotamios,

260, el 37 es número de enlace entre el tonalpohualli y el ciclo

quienes tenían una numeración de base 60: (12 x 5 = 60). En Me-

sinódico de Marte. Además el 28 860 / (13 x 37) = 60, la sexta

soamérica los mayas fueron los que se aproximaron al empleo

parte del año ajustado a 360 días.152

del 12 como factor del 360: (12 x 30 = 360), cuando se llegó al

baktún (12 mil docenas), 144 000 días o 400 años de 360 días.

Si se considera 28 860 como 37 veces el ciclo sinódico de Marte, se tienen 111 tonalpohuallis (37 x 780 = 28 860 = 111 x

Se puede considerar que el ángulo de 17° al este del norte

260). Por otro lado, 28 860 / 370 = 78, que equivale a seis tlal-

astronómico que presenta el eje de la Pirámide del Sol en

pillis. El número 37 es factor del 28 860 -número al que se

Teotihuacan era el camino por el que deberían ascender las

refiere el párrafo anterior-; es también factor el 780, el ciclo

almas para llegar hasta Venus el día de su orto helíaco como

sinódico de Marte. Se puede factorizar el periodo de 28 860

Estrella de la Tarde. La dirección queda perfectamente seña-

como 52 x 555, en el que interviene directamente el 52 o medio

lada en el calendario azteca mediante el símbolo que Matos

siglo mesoamericano. Sirve de número de enlace.

llama rayo solar. El ángulo de este rayo está formado por dos de 17°, la orientación de la pirámide.

El número 40. El periodo de 40 días (dos veces el uinal) todavía es llamado por algunos mayas modernos pie del año, relacionado

El número 32. Corresponde a 25. Se encuentra en una vasija del valle de Tehuacán que tiene como signos de interrogación esgrafiados que simbolizan la Luna. Dos de estos signos están formados por nueve círculos y otros dos por siete, lo que nos da un total de 32 círculos, en donde cada uno representa un día. Esta vasija tuvo un par de asas y dos especies de abolla-

151

Desciframiento de una vasija del valle de Tehuacán, de acuerdo con el ingeniero Femando Ximello Olguín.

152

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., pp.

duras intencionales, para que, al asentar la vasija en una

108-109, cuadro 7. Conmensurabilidades entre los periodos sideral y sinó-

superficie horizontal sobre una de las abolladuras, se indica-

dico de los planetas. De acuerdo con Aveni, se puede derivar la siguiente

ra el ángulo de la eclíptica, cuando la Luna y el Sol se encuen-

ecuación del periodo sideral (p) de un planeta, su periodo sinódico (S) y el año trópico (e): “nS = mP = qE, en donde n , m y q son números enteros,

tran en un nodo produciendo un eclipse. Al multiplicar 27.2 x 10

m + n = q corresponden a un planeta superior y m - n - q , a un planeta

se obtiene 272, que multiplicaremos por 2 para obtener 544.

inferior. Como nS y qE son cantidades observables, n y q son, por consi-

Este número se compone de dos factores: 32 y 17, que tam-

guiente, determinables por separado. Por ejemplo, para Venus: nS = qE =

2 920, de donde S = 583.92 y E = 365.2422.

bién podremos factorizar como 2 x 16 x 17. Aquí se tienen

’’Encontramos que, cuando N = 5 y q = 8, la igualdad se logra con un error

dos rectángulos Σ 1 7 x 1 6 Μ 1 .0625. Ahora se puede decir que

de menos de dos días. En el cuadro 7 tabulamos intervalos similares debida-

este rectángulo simboliza un eclipse solar. El 17 se encuentra

mente proporcionados (esto es, conmensurables) para otros planetas.

como factor del 272: (272 = 16 x 17). Por otro lado, 272 se puede

’’Como el Sol se desplaza 1 o por día sobre la eclíptica, la columna de error nos da la diferencia en longitud entre el Sol y el planeta luego del

factorizar como 10 x 27.2, donde 27.2 es en días la duración del

número entero de periodos sinódicos tabulados. Como puede verse, algu-

ciclo dracónico de la Luna (ver figura

nos cielos planetarios son más precisos que otros.

VI.4,

“La vasija del valle

de Tehuacán que tiene el número 32 en pastillaje”). El 32 al

”De ese modo, observando la repetibilidad estacional de conjunciones de Marte con estrellas escogidas, tai vez se hayan determinado también múl-

multiplicarse por 29.5312 nos da 945 (ver el número 945 en

tiplos del periodo sideral marciano. Por ejemplo:

este apéndice).

a) 17 x 687.1 (periodo sideral) = 11 681 días (una diferencia de 19 días en 32 años).

El número 33. Es necesario que pasen 33 años (tres periodos de 11 años) para que puedan ocurrir 69 eclipses solares, por

15 x 780 (periodo sinódico medio observable) = 11 700 días.

b) 25 x 687.1 = 17 177 (una diferencia de 18 días en 47 años). 22 x 780 = 17 160 días.

lo que en 11 años podrán ocurrir 23. De esta manera el núme-

c) 42 x 687.1 = 28 858 días (una diferencia de dos días en 79 años).

ro 23 y el 33 quedan relacionados con los eclipses.

37 x 780 = 28 860 días. ”Así, la décima séptima, vigésima quinta y cuadragésima segunda conjunciones de Marte con una estrella dada ocurrirían, pasando por alto las

El número 36. Es la décima parte del año de 360 días. Se puede factorizar como 12 x 3, en donde aparecen el 12 y el 3, números solares (360 / 12 = 30). El 360 es uno de los factores de la era

curvas retrógradas, aproximadamente en la misma fecha del año trópico. El ciclo de Marte descrito en el ejemplo c) es el más preciso porque los intervalos tabulados son casi iguales; sin embargo, como ese periodo tiene casi ocho décadas de duración, su deducción a partir de observacio-

maya, por lo que fue empleado como año solar en las ruedas

nes repetidas sobre diversos ciclos parece menos probable que aquella de

calendáricas.

los ciclos a) y b).” (Las negrillas son mías.)


con la cuenta lunar calendárica basada en el al 819.153 Es lla-

El número 42 (ver su doble, el 84). Es el resultado de multipli-

mado número de distancia y se representa por huellas de pies.

car 6 x 7, en donde el 6 es solar y el 7, lunar. Corresponde en

Es factor del 360, año solar ajustado (360 /40 =

32).

El número

unidades a la manera indígena al radio del calendario azteca.

40 es el resultado de multiplicar 5 x 8 y es un número de dis-

tancia, factor del 360, además de ser el doble del número bási-

El número 42.12. Este número es el del ángulo del talud del pri-

co de las cuentas, el 20. El 40, al igual que el 13, serán utili-

mer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. Si lo mul-

zados para encontrar nuevas unidades a partir de la inicial

tiplicamos por 100 para hacerlo entero tendremos 4 212, que

utilizada en el cálculo de los volúmenes de los cuerpos de la

se puede factorizar como 156 x 27 (ver el número 27 y el 156

Pirámide del

en este apéndice).

Sol.154

El número 41. Mitad del periodo lunar de 82 días que provie-

El número 47. Es prefijo del número

ne de considerar tres periodos sidéreos lunares: 27.321 x 3 ≈

Thompson como número de las bandas cruzadas.156 El ángulo

82. Aveni considera el periodo de 82 días como muy impor-

intertropical de

tante en

Mesoamérica155

porque siendo el 82 número entero

47°

552,

catalogado por

se obtiene al lanzar una visual desde el cen-

tro de la Tierra a los trópicos. De manera indirecta se tiene que

simplificaba los cálculos en los que intervenía el 27.321 del

(47 x 1 1) + 3 = 520,

el doble del tonalpohualli y número relacio-

ciclo sidéreo, que no es entero.

nado con eclipses

(47 x 404) - 8= 18 980,

que es la mitad del

gran MCM 37 960: (47 x 697) + 1 = 32 760, de la serie del 819. Los prefijos del número que aparece en el Catálogo de Thompson son el 23 y el 24, cuya suma es 47. Para obtener π = 153

Valerie Vaughan, The Fibonacci Numbers: Connections within the

Mathematics and Caiendarical Systems of Ancient Mesoamerica,

3.1415... nos valemos del 47, que es factor del 3 807, divisor

http://www.onereed.com/articles/fib.html, pp. 8-10. “One particularly impor-

del gran

tant calculational value was 819-day count. In Classic Maya inscriptions, it

3 807, se obtiene π = 3.1415...

MCM

lunar 11 960: (81 x 47 = 3 807). Al dividir 11 960 /

was one of the ongoing cycles specified by a Distance Number that was counted backwards to a particular tzolkin name day that had a coefficient of one. Because 819 is divisible by 13, this coefficient always remained the same. In

El número 51. Corresponde a tres veces 17 y se encuentra

Mayan hieroglyphics, there are verb glyphs that usually accompanied such a

como factor del volumen de la escultura del Chac Mool de

count, such as the God K who was commonly associated with the 819 day

Chichén Itzá. Es un número relacionado con eclipses y con el

count. According to some sources, God K was a rain god, possibly related to Mercury. Another connection with the 819-day count was the period of forty

tonalpohualli.

days, symbolized in the texts by images of footprints. In the mythological passage from the Chilam Balam of Chumayel called ‘The Creadon of the Uinal', there are images of footprints used to measure the world, and this period of 40 days (twice the uinal) is still called by some modem Maya ‘one foot of the

El número 52. El número 52 corresponde al número de años del medio siglo mesoamericano. De la combinación del xíhuitl

year'... It is the sum of the numbers 2 through 40. ” “Un particularmente

o año solar de 365 días con el calendario augural o tonalpo-

importante valor de cálculo fue la cuenta de 819 días. En las inscripciones

hualli de 260 días se producen ciclos solares de 52 años (xiuh-

en maya clásico era uno de los ciclos usados para especificar el número de

molpilli). También eran 52 días entre cada arremetida de Tla-

distancia que se contaba hacia atrás hasta un día del tzolkin que tuviera como coeficiente el número 1. Porque 819 es divisible entre 13, este coefi-

huizcalpantecutli (Venus) en contra de niños, nobles y otros

ciente siempre quedaba como 1. En los jeroglíficos mayas había glifos de

durante el periodo correspondiente a la duración de Venus

verbos que usualmente acompañaban dicha cuenta, tal como el Dios K,

como Estrella de la Tarde, al terminar su conjunción supe-

que comúnmente se asociaba con la cuenta de 819 días. De acuerdo con algunas fuentes, el Dios K era el dios de la lluvia, posiblemente relaciona-

rior con el Sol. Se encuentra en el volumen del tablero que

do con Mercurio. Otra conexión con la cuenta de 819 días era el periodo

debe haber existido zunchando el tercer cuerpo de la Pirámide

de 40 días, simbolizado en los textos por imágenes de huellas de pies. En

del Sol en Teotihuacan, cuyo volumen es de 676 u3 (en unida-

el mitológico pasaje del Chilam Balam de Chumayel llamado ‘La creación

des a la manera indígena), lo que equivale a una era cosmo-

del uinal', hay imágenes de huellas de pies usadas para medir el mundo, y este periodo de 40 días (dos veces el unial) es llamado todavía por algunos mayas modernos un pie del año... Es la suma de los números del 2 al 40.” (Traducción de la autora.) La asociación del Dios K con el 819 no se limita a Mercurio, sino que debe ser incluido Tláloc, dios de la lluvia, mediante el número 49. El 22 932 es MCM de 819 y de 364, este último año del infra-

gónica de los mexicas. Ésta también es múltiplo de 52: (676 = 13 x 52). Cada 52 años se celebraba la fiesta del Fuego Nuevo. Por ser el número 52 una nueva unidad (el medio siglo mesoamericano de 52 años), se tendrá como factor en cada

mundo o de Tláloc: 22 932 / 49 = 468 y 468 = 4 x 117, en donde 117 es el

uno de los volúmenes de los cuerpos de la Pirámide del Sol en

ciclo sinódico de Mercurio.

Teotihuacan. En el primero el volumen es 1 092 unidades cúbicas, que corresponde a 21 periodos de 52 años. En el segun-

154

Ver el capítulo X, “La Pirámide del Sol”, en este libro.

155


156

J. Eric S. Thompson, A Catalog of Maya Hieroglyphs, op. cit., p. 119. “El

do su volumen es de 728 u3, que equivalen a 14 ciclos de 52

glifo en cuestión es el signo de las bandas cruzadas (552), con prefijo 47 y

años, uno más que la era cosmogónica que comprende 13

al (23) o il (24).”

periodos de 52 años. El tercer cuerpo en su totalidad tiene un

362


volumen de 676 U3, o sea, 13 periodos de 52 años. La suma

primera página del códice mixteco Fejérváry-Mayer. El ángu-

total (sin el hipotético cu de 52 u3) de 2 548 u3 en ciclos de 52

lo de 72° se encuentra en las puntas de la estrella de cinco

años será 49. Si se le agrega el volumen del cu, se tendrán 2 600

puntas -llamada por los griegos pentagrama-, que se deriva

U3 o un tonalpohualli multiplicado por 10, del que también es

del pentágono regular y que simboliza a Venus. Matyla C.

múltiplo el 52: (260 = 5 x 52).

Ghyka dice al respecto:

La coincidencia de ciclos planetarios con el periodo de 52 años se puede lograr perfectamente, dado que 52 es divisible

El jeroglífico del número nupcial en la república que asigna a

entre 13, número que enlaza varios eventos de la naturaleza.

un ciclo lunar las coyundas propicias a la generación se resuel-

Para lograrlo es necesario trabajar con números absolutos y

ve también por una construcción de proporciones entre sólidos.

no tratar de convertirlos a días, años, etcétera, ya que son

Converge la interesante relación entre cuatro cubos: 63, 33, 43, 53.

simplemente ciclos.

Observemos que 63 = 216 = 3 x 72. En la leyenda de Pitágoras 216

El ángulo de 52° se encuentra generalmente en el gorro

es el número de años que transcurren entre dos encamaciones

de Tezcatlipoca, numen del sistema estelar. Cada grado en el

sucesivas del maestro y 72 es uno de los números que con más

gorro simboliza un año del ciclo del Xiuhmolpilli. La fiesta

frecuencia reaparecen en astrologia y en cosmogonía mitológi-

del Fuego Nuevo era celebrada cada 52 años.

ca: es la 360ava parte de 25 920, duración del gran año precesional (metacósmosmesis de los pitagóricos); 72 años correspon-

El número 53. Es la diferencia entre

262

y

272;

729 - 676 = 53; el

den, pues, a un desplazamiento del punto vernal sobre la

26 y el 27 constituyen el número de unidades en los lados de

eclíptica. En el calendario egipcio Hermes-Thot despoja a la Luna

la base de la Pirámide del Sol. El 676 corresponde a la era

de un 72avo de cada uno de los días y de la suma de estos 360

cosmogónica.

setenta y dos avos deduce 360 / 72 = 5, los cinco días epagómenos durante los cuales los egipcios celebraban el nacimiento de los

El número 65. Este número es la novena parte del ciclo sinódi-

dioses. En la mitología pura tenemos los 72 componentes de

co de Venus. Se utiliza para relacionar este planeta con ciertos

Tifón (contra Osiris), los 72 genios que corresponden a 72 por-

números que tienen el 5 y el 13 como factores ( 5 x 13 = 65). Se

ciones de la esfera (Paccioli atribuye gran importancia a un polie-

encuentra en el Códice de Dresde, en las tablas de multiplicar.

dro de 72 caras que sirvió en la Antigüedad de modelo para ciertas bóvedas esféricas, entre otras la del Panteón), las 72 flechas

El número 67. Es el número de días que pasa el Sol al norte de

que traspasaron al profeta Hossein. Citemos también los 72 ar-

la latitud de Teotihuacan entre sus dos pasos cenitales, del

tículos de las constituciones de los templarios. Como ángulo, 72°

18 de mayo al 24 de julio. Existe un observatorio de paso ceni-

representa la quinta parte de la circunferencia (360 / 5 = 72), es

tal muy cercano a la Pirámide del Sol, que informa Rubén B.

decir, el ángulo del centro que subtiende el lado del pentágono

Morante López.157 Si le quitáramos al volumen total de la

regular. Es, pues, uno de los ángulos centrales importantes del

Pirámide del Sol el volumen de su posible tablero -todos los volúmenes en unidades o la manera indígena (ver “La Pirámide

von Laban lo señala como el ángulo máximo de torsión y de fle-

del Sol en Teotihuacan” en este libro)-, tendríamos 2 340 - 52 =

xión del cuerpo.158

dodecaedro y del icosaedro. En sus tratados de danza rítmica R.

2 288 = 2 x 17.074 x 67. Esto es una reminiscencia del paso cenital de Copán e Izapa, en donde al estar situadas a una

De lo anterior se desprende que los antiguos egipcios

latitud de 15° N el Sol pasa 105 días al norte de esta latitud;

tuvieron cinco días en los que se celebraba el nacimiento de

en Teotihuacan, solamente 67, que al multiplicarlo por la

los dioses, que no contaban en su calendario. Este lapso se dis-

orientación de la Calle de los Muertos nos da el volumen de

tingue en forma particular en Grecia (días epagómenos), como

la pirámide sin el tablero (67 x 17.07462687 = 1 144; 1 144 x 2 =

herencia directa de Egipto. En América aparece el mismo con-

2 288; 2 340 - 52 = 2 288).

cepto como los cinco días nemontemi o baldíos de Dios. El 72 en grados corresponde al ángulo central de un pen-

El número 72. Corresponde a la quinta parte del año vago (5 x

tágono, lo que lo convierte en solar. Es curioso observar que

72 = 360). Se encuentra también como ángulo en la estrella de

el ángulo de 72° se produce en el pentagrama (pentágono,

cinco puntas que se deriva del pentágono y que es símbolo de Venus. Multiplicado por 10 tenemos 720, que es el doble del ciclo de 360 días (ver el número 7 200 en este apéndice). El ángulo de 72° corresponde a la 26 milésima parte de la

157

era maya y a la quinta parte del año civil de 360 días. Se encuentra en la base de los trapecios en los que se divide la

Rubén B. Morante López, “Las cámaras astronómicas subterráneas”, en

Arqueología Mexicana, vol. VIII, núm. 47, México, p. 50. 158

Matyla C. Ghyka, op. cit., “I. Los ritmos”, p. 127.


363

Tomando el doble de 73 y multiplicándolo por 260 tendre-

cinco lados) y que son cinco años venusinos para que se pro-

mos 73 x 2 x 260 = 37 960, lapso en el que transcurren 219

duzca un tránsito de Venus por el disco solar.

eclipses. También el 73 puede referirse a grados (73°), que

El número 73. El número 73 sirve para relacionar el año vago con el tonalpohualli, como se verá más adelante en este apén-

son los que indican la orientación de la Calle de los Muertos

dice. Su doble es el 146, que Thompson identifica como afijo

toma como punto de partida no el norte sino el oriente. El 17

en Teotihuacan si la orientación la cambiamos de ejes y se

del dios de la caza y corresponde a la cuarta parte del ciclo

es el ángulo de orientación que propuso el arquitecto Ignacio

sinódico de Venus. Tal vez se trata del dios Tlahuizcalpan-

Marquina para la Calle de los Muertos (90° - 73° = 17o).162 Al

tecutli en su función de cazador, cuando persigue al Sol para

ser el 73 un número venusino, podremos decir que se relacio-

perforarlo con sus mortales dardos durante los tránsitos.159 El

na también con Venus como Estrella de la Mañana. Por estar

73 es factor tanto del ciclo sinódico de Venus (73 x 8 = 584)

el 73 relacionado con los ciclos solares y venusinos mediante

como del año vago (73 x 5 = 365), y determina la orientación

el 5 y el 8: (73 x 5 = 365 y 73 x 8 = 584), señala el tránsito de

de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, indicándonos que este

Venus por el disco solar cada ocho años (584 x 5 = 365 x 8 =

monumento fue tal vez utilizado como un gran tonalámatl en

2 920). Por otro lado, 2 920 / 73 = 40, número de distancia y

piedra (ver el capítulo correspondiente).160 El 73 marca el

de enlace entre el Sol y Venus.

momento en que Venus aparece en el oriente como Estrella de

Si 13 años en días se orientan a cada uno de los cuatro

la Mañana, con el Sol al salir de su conjunción inferior al fina-

rumbos del universo, se tiene 13 x 365 x 4 = 4 745 x 4 = 18 980

lizar una era maya de 1 872 000 días.

días. Durante este tiempo el tonalámatl podrá dar 73 vueltas

El 73 es la octava parte del ciclo sinódico venusino y tam-

(18 980 / 260 = 73). Esto quiere decir que el año de 365 días,

bién la quinta parte del año (584 / 8 = 73 y 365 / 5 = 73), por

el calendario adivinatorio y el ciclo de 52 días pueden quedar

lo que lo consideraremos ambivalente; la diferencia entre el 73

relacionados. La relación con Venus existe al tener el 18 980

y el 72 es de un día, y pertenece a un grado del círculo divi-

el 73 como factor, ya que es la octava parte del ciclo sinódi-

dido entre 360 grados, correspondiendo cada grado a un

co de ese planeta (584 / 8 = 73); sin embargo, no es una rela-

día.161

ción directa, ya que para obtener un número entero se tiene

Los 73 días equivalen a 73° del círculo e indican una con-

que multiplicar 18 980 x 2 = 37 960: (37 960 / 584 = 65).

junción de Venus con Mercurio y el Sol al cabo de 42 705

El 73 marca el momento en que Venus aparece en el

días: 365 x 117 = 585 x 73 = 42 705. Si el 73 se multiplica por

oriente como Estrella de la Mañana, con el Sol al salir de su

1 000, habrá al cabo de 73 000 días una conjunción con la

conjunción inferior (73° al sur del este o su complemento 17°,

Luna, ya que 73 000 / 2 472 = 29.5307, casi el periodo mensual

que está al este del sur). Continuando con el 73, ahora se multiplica por 52, el

lunar exacto de 29.5308 días.

número de años del medio siglo mesoamericano. 52 x 73 = 3 796; para obtener números enteros se multiplica 3 796 x 2 = 7 592. 7 592 / 584 = 13. 7 592 / 73 = 104. 5 x 7 592 = 37 960, el gran MCM de varios ciclos calendá159


ricos.

“Al parecer el dios de la caza de T1 es uno de los dioses con el que el planeta Venus está en conjunción o asociado de alguna otra manera, porque

37 960 / 520 = 73.

el dios negro, asignado al oeste en la página 50b, lleva puesto en la oreja el

37 960 / 65 = 584.

afijo 146, que es parte del glifo nominal del dios de la caza, y lo mismo

37 960 / 104 = 365.

parece ocurrir en la página 50c, en la cabeza correspondiente.”

37 960 / 146 = 260.

160

Ibid.

161

Hacer la división del círculo en 360 grados es un problema difícil de resolver si no se encuentra la manera de tripartir un ángulo o de obtener un

Nos podremos dar cuenta de que el 37 960 es un gran

ángulo de 1 o. La tripartición de un ángulo por medios geométricos fue uno MCM

de los problemas sin solución planteados en la Antigüedad. 162

Ignacio Marquina, Arquitectura prehispánica, INAH , México, 1951, p. 71, lám. 12, “Teotihuacan. Pirámide del Sol. Planta y vista de frente.

El número 73 (en grados) es el complemento de 17°. De

Reconstrucción hecha tomando en cuenta los ángulos de los taludes originales; la desviación del eje es aproximadamente de 17° del oeste al norte”. El arquitecto Marquina fue uno de los mejores investigadores del estudió la orientación de esa calle a mediados del siglo pasado.


de 7, 13, 52, 65, 73, 104, 146, 260, 365, 520 y 584. El

número 104 es el número de años del siglo mesoamericano.

inah

que

acuerdo con Marquina, la orientación de la Pirámide del Sol en Teotihuacan es de 17°. De una u otra manera, la división del ciclo sinódico de Venus entre 8 es importante ya que el 73,

resultado de esta division, es el complemento de 17° para

189, en

obtener 90°, como ya se vio (584° / 8 = 73°, un día por cada

(MCM lunar).

grado). Esto quiere decir que, al cabo de ocho años, Venus vol-

945 = 2 260 440; 2 260 440

verá a estar en la misma posición con respecto al Sol.163 El 73 también es la cuarentava parte del ciclo venusino-solar de 2 920 días (73 x 40 = 2 920 = 365 x 8 = 584 x 5). El ángulo de inclinación del basamento representado en la primera página del Códice Fejérváry-Mayer es de 73°.

El número 77. Corresponde al número de días que pasa Venus en su desaparición superior, de acuerdo con el Códice Borgia.164

donde se encuentran el 5 (número venusino) y el 11 960

De la igualdad anterior: 11 960 x 189 = 2 392 x / 299 = 7 560; 7 560 / 20 = 378, en donde 20 es el número base de sus cuentas y el 378 agregado de siete unidades nos da el número total de cabezas de Tláloc y de Quetzalcóatl que se alternan en los tableros del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan (378 + 7 = 385 cabezas). También 378 / 7 = 2 x 27, número que se toma como del ciclo sidéreo o del dracónico lunar. En el gran MCM lunar 2 260 440 se encuentra también el número de Chalchihuicueye: 2 260 440 / 7 245 = 312, que indica tanto tres siglos mesoamericanos de 104 años como 24 tlalpillis (13 x 24 = 312); (2 260 440 / 299 = 7 560).

El número 78. Aparece en las tablas de multiplicar del Códice de Dresde ( 6 x 1 3 = 78). Teniendo como factores el 13 y el 26,

dremos que 2 260 440 / 6 210 = 364, con lo que se habrá rela-

es fácil relacionarlo con los ciclos del 52 y el 104. Multiplicado

cionado también el 364, número de Tláloc, cuya cabeza se

por 10 corresponde al ciclo sinódico de Marte y a tres veces

encuentra en los tableros del viejo templo. También está

el ciclo del tonalpohualli (260 x 3 = 780). Eric Thompson no lo

Quetzalcóatl representado por el número de enlace, el 23:

considera como un número que pueda relacionarse con la

2 260 440 / 23 = 98 280. Por otro lado, también está el número

coincidencia del ciclo de Marte, pues bien se puede tratar de

de la antigua cuenta lunar, 819: 2 260 440 / 819 = 2 760 (ver

sólo un número de ajuste. Lo mismo se puede decir del 117,

el número 819 en este apéndice). También 2 260 440 / 378 x

ciclo sinódico de Mercurio, que es la quinta parte del ciclo

10 = 598, que es igual al ciclo sinódico de Venus + 13 = 598.

Volviendo a 2 392 x 945 = 11 960 x 189 = 2 260 440, ten-

sinódico de Venus. Sin embargo, existen evidencias numériligados a la astronomía, pero pocas evidencias iconográficas.

El número 84. Es el número de unidades U a la manera indígena que contiene el diámetro de la Piedra del Sol o calenda-

La siguiente igualdad habla por sí sola: 780 x 487 = 365.25 x

rio azteca: 84 = 1 2 x 7 , igualdad en la que se encuentra el 7

860165

lunar como factor. El 12 es solar, por lo que el 84 contiene fac-

cas del empleo de estos números en cálculos matemáticos

1 040 = 260 x 1 461 = 379

(ver las páginas XXIII y

XXIV

del Códice de París, que muestran los glifos de los planetas).

tores de ambos, del Sol y de la Luna. Si ahora el 84 se multi-

El número 81. El cuadrado de 9 = 81= 27 x 3 = 34. Este núme-

Venus de 588.1 días.

plica por 7, se obtiene 588, el periodo sinódico extremo de ro es la constante lunar utilizada en la fórmula para encontrar el 11 960, MCM del ciclo sinódico lunar, del tonalpohualli, etcétera: 11 960 / (81 x 5) = 29.5308. En el volumen de la pirámide envolvente del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan se encuentra el número 11 960; en días, la duración del ciclo de fases lunares. El número 81 también está relacionado con Venus, pues su gran ciclo de tránsitos tiene una duración de 486 en números absolutos, que equivale a seis veces 81, la misma constante de Palenque para la obtención del ciclo sinódico lunar.

163

Ver los números 72 y 73.

Por un lado, 11 960 = 5 x 81 x 29.5308, de donde 81 = 11 960 /

164


165

29.53085; por otro lado, 486 = 6 x 81, de donde 81 = 486 / 6.

Michael D. Coe, The Maya, Thames & Hudson, Londres, 4a ed., 1987, p. 175, fig. 139g. Coe cree ver el símbolo de Marte en un glifo maya que yo

Si dos cosas son iguales a una tercera, son iguales entre sí. Se

identifico como el segundo signo de los días en el calendario azteca, aso-

tiene que 486 / 6 = 11 960 / (29.5308 x 5), que se lee como

ciado de alguna manera con Quetzalcóatl, pero de ninguna manera con

sigue: la sexta parte del gran ciclo de tránsitos de Venus es igual al gran MCM lunar dividido entre cinco veces su ciclo

Marte. Los signos planetarios se pueden ver en el Códice de París, páginas XXIII y XXIV, presentadas en el libro de Demetrio Sodi, Los mayas / El tiem-

po capturado, Bancómer, México, 1980, p. 130. Se muestran los glifos del

sinódico, lo que quiere decir que el gran ciclo de tránsitos de

Sol, Luna, Mercurio, Júpiter, Marte, Saturno, Venus, Marte, Luna y Sol. El

Venus es igual a seis veces 11 960 entre cinco veces el ciclo

glifo de Marte son dos bandas cruzadas, lo que demuestra que conocían la coincidencia de su ciclo con el del año trópico. El símbolo de una banda

sinódico lunar. Mediante el 81 se puede relacionar Venus con la Luna de acuerdo con la siguiente igualdad: 5 = 11 960 / 2 392 = 945 /

cruzada también representa el año trópico, tal vez coincidiendo con el ciclo sinódico de Venus: 5 125 x 365.26819 = 585 x 3 200 = 1 871 999.474

≈;

1 872 000, una era maya.


365

El número 88. Es el periodo sideral o año de Mercurio.

segundo cehuehuitiliztli. Por eso aseguré arriba que los ciclos de 104 años están presididos también por Venus.167

El número 90. Corresponde a la cuarta parte del ciclo solar de 360 días. Es el tiempo que consideraban los mesoamericanos

El número 105. Acerca de este número Aveni escribe lo

que pasaba Venus en su conjunción superior, lo cual no es

siguiente:

correcto (90 días = 3 ciclos sinódicos lunares +1.41 días).166 Según cierta explicación, la cuenta ritual de 260 días tuvo origen

El número 91. Se encuentra en las tablas de multiplicar del

en Copán, situada a una latitud 15° (n), en que los pasos del Sol

Códice de Dresde ( 7 x 1 3 = 91). Corresponde a la cuarta parte

por el cenit dividen el año en dos partes con duración de 260 y

del año lunar de 364 días, por lo que se relaciona con la Luna.

105 días (véase el cuadro 3). Ambos periodos se aproximan a la

Equivale a 13 periodos de siete días; es un número lunar.

temporada de siembras larga y corta que aún se acostumbran en la actualidad.168

El número 99. Se puede escribir la siguiente igualdad: 99 meses sinódicos lunares = 2 923.53 días y ocho años trópicos =

El número 105 es el complemento del 260 para llegar a

2 921.94 días, por lo que 99 x 29.5308 = 8x 365.2422, de donde

365, número de días del año. Son 260 días los que el Sol pasa

99 = (8 x 365.2422) / 29.5308. Se puede decir que el 99 es un

debajo de la latitud norte de 14° 57’ y que los 105 días restan-

número de enlace entre el año trópico y el ciclo sinódico lunar.

tes del año se encuentra arriba de esta latitud. Esto llevó a la fundación de ciudades precisamente en la latitud dicha, como

El número 101. Es el complemento del 264: (4 x 66 = 264), para

el caso de Copán e Izapa, pasando el Sol por el cenit en lap-

el 365. Se encuentra como factor para obtener la razón áurea

sos alternados de 105 y 260 días. Ya se ha dicho que los 260

de la manera siguiente: 7 x 101 x 1.618 = 1 144.

días de que se compone el tonalpohualli corresponden a la

El 1 144 se puede factorizar como 104 x 11, con lo que

gestación del ser humano y lo más probable es que los meso-

queda relacionado con el siglo mesoamericano. Tendremos

americanos comenzaban a contar el tiempo de vida al inicio

la siguiente igualdad: 101 x 10 x 17.1 = 17 271, que es igual a

de la concepción y no el día del nacimiento. Por ser el tonal-

585 x 29.523, este último aproximadamente el ciclo sinódico

pohualli un calendario adivinatorio de la suerte de los indivi-

de la Luna. El 17.1 es la raíz cuadrada del medio ciclo sinódi-

duos, era necesario conocer perfectamente la fecha de gesta-

co de Venus considerado de 585 días.

ción para poder predecir correctamente el futuro.

El número 104. Es el número de años de un siglo mesoame-

Para ilustrar lo que se está diciendo recurrimos al Códice borbónico, en donde está la celebración de la Fiesta de la Cu-

ricano y está relacionado con un evento astronómico de gran

caña, fecha en que se conmemoraba precisamente el paso del

importancia, el orto helíaco de Venus después de su con-

Sol por el cenit en Tenochtitlan, reminiscencia tal vez de anti-

junción inferior con el Sol. El número de días en 104 años es

guas ceremonias que probablemente se remontan al comien-

37 960, el MCM de los ciclos mencionados (ver el número 37 960

zo de la cultura olmeca. Entre los rituales de la ceremonia

en este apéndice).

había uno en que un palo era colocado verticalmente, marcan-

El 104 aparece como la mitad del número de unidades

do exactamente el momento del cenit del lugar. En Copán e

(208) que mide la base de la pirámide de El Castillo en los

Izapa y en todos los lugares de latitud semejante esto ocurría

lados oriente y poniente; 104 es el número de años del siglo

el 13 de agosto, cuando el Sol, al caer perpendicularmente a

mesoamericano, como se ha dicho.

la Tierra, la fecundaba. Pasados los 260 días de embarazo de la Tierra, el Sol vuelve en su regreso hacia el norte a pasar por


el cenit de los lugares que se encuentren en dicha latitud, pero


esta vez la Tierra dará a luz y rendirá sus frutos durante un


periodo de 105 días, lapso en que el Sol se encuentra al norte

siguiente, hasta que pasados 104 años, o sea, 13 periodos de

de la latitud mencionada. Éste es el significado de los núme-

ocho, volviese a coincidir el mismo fenómeno con el principio del

ros 105 y 260, ambos importantísimos en la numerología mesoamericana. El 105 es la diferencia entre el año vago de 365 días y el

tonalpohualli de 260. En lugares de latitud 14° 57’ 166

Anthony F. Aveni, Skywatchers, op. cit., p. 348.

167


168

N, como

Copán e Izapa, el primer paso cenital ocurre el 30 de abril y

los mexicanos, op. cit., cap. XI, p. 350.

el segundo el 13 de agosto, por lo que el Sol permanece duran-


te 105 días por arriba de la latitud de 14° 57’


N y 260 días por

abajo de esa latitud. El espacio, al igual que el tiempo (el año),

les pueden ser medidos por medio de 32 lunas, con una

queda entonces dividido en dos periodos: uno de 105 días,

corrección (9 x 105 = 945; 945 / 32.00048 = 29.5308..., el perio-

que en Mesoamérica corresponde a la época de lluvias y de

do sinódico lunar).

abundancia, cuando el Sol está arriba de 14° 57’ N, y otro de 260 días, cuando está abajo, que se puede equiparar al embarazo

El número 105.5. Es uno de los números que en años forma

de la mujer con el de la Madre Tierra y con la duración del

parte del gran ciclo de tránsitos de Venus de 486 años. El ciclo

tonalpohualli. (Ver la Fiesta de la Cucaña en el Códice borbó-

se forma de los periodos siguientes en años: 8, 105.5, 8, 121.5,

nico.) El 105 generalmente aparece relacionado con el maíz,

8, 105.5, 8, 121.5, lo cual da un total de 486 años, la duración

porque 105 días constituyen el periodo de lluvias y la abun-

del doble del ciclo completo.

dancia de este grano. El centro ceremonial de Teotihuacan presenta, entre otras,

El número 108. El ángulo de 108° es el ángulo interno del vér-

una orientación de 15.5°, como una reminiscencia de la latitud

tice del pentágono. Simboliza la Luna y es cuatro veces su

de esos lugares particulares. De acuerdo con esta teoría, es pro-

periodo sideral (108 / 4 = 27). El número 108 se encuentra en

bable que el viejo templo de Quetzalcóatl haya iniciado su cons-

la serie del 9 y del 27, por lo que queda asociado con los lados

trucción un 13 de agosto, fecha que conmemora el paso cenital,

oriente y poniente de la base de la Pirámide del Sol en

no en Teotihuacan, sino en las ciudades ya mencionadas. El

Teotihuacan, que mide en unidades o la manera indígena 26 u x

105 aparece como la mitad del número de unidades (210) que

27 u = 702 u2. Esta área multiplicada por 10 equivale a 7 020:

mide la base de la pirámide de El Castillo, en Chichén Itzá, en

27 x 260 = 7 020, número que encontramos en el Códice de

la cara norte o sur. De acuerdo con Thompson, en el Códice de Dresde,169 en

Dresde, segunda parte del almanaque 70, de acuerdo con Thompson.170 El área de la base de la Pirámide del Sol multi-

el almanaque 26, al hablar de T2 se refiere a “4, abundancia

plicada por 10 se relaciona también con el 65, con el 108 y, por

de maíz”. Más adelante, en T4 también nos habla del maíz.

lo tanto, con el ciclo sinódico de Venus y con el tonalpohualli

Thompson hace una corrección al amanuense que escribió

(108 x 65 = 7 020 y su doble 14 040 / 24 = 585; 14 040 / 54 =

esta parte del códice: “Sospecho que el amanuense por des-

260). También se relaciona con la era maya y con el medio año

cuido escribió el prefijo 267 en vez del 168”, y tiene razón,

de eclipses de acuerdo con la siguiente igualdad: 1 872 000 =

según el siguiente cálculo: 2 x 260 x 105 = 54 600 = 168 x 325

108 x 100 x 173.333.

y 260 x 105 = 27 300 = 273 x 100, igualdad que enlaza el tonal-

pohualli con el 105 y con el ciclo sidéreo lunar.

El número 116.8. Corresponde al ciclo sinódico de Mercurio.

El almanaque comienza con 5 x 52, lo que nos da el 260 del calendario adivinatorio, que tomado dos veces y multipli-

El número 117. Pertenece al ciclo sinódico (ajustado) de Mer-

cado por el periodo de lluvias de 105 días nos da la igualdad

curio y está directamente relacionado con el número 1 521,

ya señalada de 2 x 260 x 105 = 54 600 = 168 x 325.

que nos sirve para encontrar el MCM 4 680. El 1 521 es el resul-

Considerando en números absolutos el volumen de la

tado de tomar 13 veces el ciclo sinódico de Mercurio (13 x

escultura de la Coatlicue (1 560 u3), se puede relacionar con

117 = 1 521). Se calcula el cuadrado de 117 (1172 = 13 689) y

la diosa de los mantenimientos y, por consecuencia, del maíz.

se divide entre 13 = 1 053: (13 689 / 13 = 1 053). La diferencia

El frente de la escultura cabe en un rectángulo ϕ de 8 x 13. En

entre 1 521 - 1 053 es 468. El número 117 se engancha con la

el fondo de la escultura caben 15 unidades, así que el volumen

serie del 13, del 3 o de alguno de sus múltiplos (117 / 13 = 9;

será de 8 u x 13 u x 15 u = 1 560 u3 y equivale a 15 siglos meso-

1 1 7 / 9 = 13).171

americanos (1 560 / 15 = 104). Por otro lado, 364 x 15 x 10 = 2 x 105 x 260 = 54 600, que dividiremos entre 1 560, obtenien169

do 35, resultado de multiplicar 7 x 5. El primer factor es lunar

170


Ibid., p. 207. “La segunda multiplicación, cuyo lub es 9 Ix, trata de vincular

y el segundo, venusino. De esta manera habremos relaciona-

702: (13 x 54), con el almanaque sagrado de 260 días, dando múltiplos de

do esta escultura con el maíz, con la Luna, con Venus y con

ese número (1.17.2) con los días alcanzados, hasta el décimo múltiplo, 7 020 (19.9.0), que es también 27 x 260. A decir verdad, hay mayor insistencia en

el tonalpohualli.

el doble de ese número, 14 040 (1.19.0.0), seguramente porque también es

El empleo del 105 se encuentra en una jarra de barro proveniente del valle de Tehuacán, fase Santa María, que tiene 32 puntos de pastillaje. Su iconografía revela que se trata de una vasija lunar, por lo que se debe encontrar la relación de Tláloc

un número par de tunes y además introduce los 13 tunes míticos.” 171

El gran ciclo de tránsitos de Venus equivale a la suma de los años que duran los periodos sucesivos de tránsitos de ese planeta: 8 + 105.5 + 8 + 121.5 + 8 + 105.5 + 8 + 121.5 = 486. Se obtienen los números siguientes al ir agregando de uno en uno los periodos de tránsitos: 8 + 105.5 = 113.5;

y el ciclo de la Luna con el 32, y es la siguiente: 9 x 105 = 32 x

113.5 + 8 = 121.5; 121.5 + 121.5 = 243; 243 + 8 = 251; 251 + 105.5 = 356.5;

29.53125 = 945. Se tienen nueve periodos de 105 días, los cua-

356.5 + 8 = 364.5; 364.5 + 121.5 = 486.


318. Se tiene la siguiente igual-

mediante este número: 585 = 1.25 x 4 x 117. Esto quiere decir

dad: 486 x 13 = 1 1 7 x 2 x 27 = 6 318. Al estar en la igualdad el

que el ciclo sinódico de Venus es igual a cuatro veces el de

número 27, es probable que también esté involucrado un eclipse

Mercurio multiplicado por el factor de Teotihuacan 1.25.

El MCM

de 117 y 486 es

6

de Sol (ver el número 27). La correspondencia del ciclo sinódico de Venus con el de la Luna se logra mediante el ciclo de

El número 129. En los signos del calendario maya que apare-

Mercurio, pero haciendo ajustes también. Tendrá que girar

cen en forma de cabeza está el 129, representado por una

la rueda calendárica de Venus 20 veces para obtener 100 veces

cabeza con el ojo cerrado en forma de u, símbolo caracterís-

el periodo mercurial (585 días x 20 = 11 700 días). La corrección

tico de la Luna nueva o Luna muerta. Este concepto de Luna

es de un tonalpohualli que habrá que agregar: 11 700 + 260 =

muerta ya había sido expresado mediante un ojo cerrado en

11 960 días, el tiempo necesario en días para obtener el ciclo

forma de

sinódico de la Luna exacto, todos

Cobata. La iconografía del casco liso indica que la cabeza

NSC

relacionados con los

U

en la cabeza conocida como monumento 1 de La

colosal es lunar. Su numerología se remite a la Luna muerta

ciclos planetarios. Acerca del 117: (117 / 9 = 13), Thompson lo localiza en el

o Luna nueva.

Códice de Dresde (almanaque 65, pp. 30c-33c) y se pregunta si

Los olmecas conocían la duración del ciclo sinódico y del

en realidad ese almanaque está relacionado con los Señores

dracónico lunares. Fueron ellos quienes pudieron haber inicia-

de la Noche,172 a lo que yo contestaría que sí, por medio del

do el cambio al calendario solar, mas sin dejar de utilizar el

9 como número de enlace. El número clave es 20 x 117 = 2 340.

lunar, de acuerdo con la numerología de numerosas vasijas del

Este número es igual a 9 x 260, por lo que está relacionado con

valle de Tehuacán y de las cabezas colosales olmecas. Tiene

el tonalámatl, al igual que los Nueve Señores de la Noche. Si

como factor el 19, lo cual indica que ya conocían el ciclo metó-

el 2 340 se multiplica por 2, se obtiene 4 680. Si este número

nico de la Luna173 (ver el número 19). La cabeza presenta los

se divide entre 27 (el cubo de 3), se obtiene 173.333..., núme-

ojos cerrados, como un muerto. Representa también a Venus

ro de distancia entre eclipses o medio año de elipses. Los

muerto, cuando está por salir en su orto helíaco como heral-

Señores de la Noche, como se ha visto, son los planetas y la

do del Sol, anunciando otro nuevo ciclo (ver figura VIII. 17,

Luna, que se hacen visibles en un eclipse de Sol. Son los acom-

“Monumento 1, La Cobata”).

pañados, ya que siguen al Sol en su viaje por la eclíptica. Los nahuales de los planetas y de la Luna son los animales que los

129. Tomado dos veces el 129: (129 x 2 = 258), 258 x 29.4767 =

representan.

7 605, que equivale a 13 veces el ciclo sinódico de Venus (13 x

Se estudia la relación de la Luna con Venus a través del

585 = 7 605). Si los mayas utilizaban como valor de una luna-

El 121.5. Es uno de los números que en años forma parte del

ción 29.5 días, se habría encontrado la correspondencia entre

gran ciclo de tránsitos de Venus de 486 años, en periodos de

la Luna y Venus. Esto se verifica en los números de los volú-

8, 105.5, 8, 121.5, 8, 105.5, 8, 121.5, dando su suma un total

menes de la pirámide de Quetzalcóatl.

de 486 años. El 121.5 es la cuarta parte del gran ciclo de tránsitos de Venus. Su enlace con el ciclo sinódico lunar es a tra-

Ahora la correspondencia se amplía a Mercurio y las eras cosmogónicas.

vés del 405, que es factor del MCM 11 960, junto con el número de la duración del ciclo sinódico lunar de 29.5308 días (405 = 81 x 5 y 11 960 = 29.53308 x 405). En la serie del 121.5 se

7 605, que equivale a 65 ciclos sinódicos de Mercurio: 7 605 / 117 = 65.

encuentra el 243, que corresponde a la mitad del gran ciclo de

7 605 / 45 = 169; 169 x 4 = 676, una era cosmogónica.

tránsitos de Venus, que también es 243 = 81 x 3.

7 605 / 5 = 1 521; y 1 521= 13 x 117 o 13 ciclos sinódicos de Mercurio.

El número 125 =

53.

Se puede establecer la siguiente igualdad,

que relaciona el ciclo sinódico de Mercurio con el de Venus

El 29.5 es el número encontrado por Thompson para descifrar alguna parte lunar del Códice de Dresde. La cara del numeral maya 129 indica que se trata de un ciclo lunar de 29.5 días. Es muy probable que las lunas se comenza-

172


173

John Anthony West, Serpent in the Sky, Quest Books, Wheaton, 1993, p.

ran a contar a partir de la Luna nueva, cuando se dejaba atrás la Luna muerta, la de la cara con el ojo cerrado en forma de U.

43. “El 19 fue un número utilizado por los egipcios y pitagóricos griegos. El hexágono y el círculo están íntimamente conectados. Un hexágono está

seis está íntimamente conectado con todos los temas del tiempo y del

El número 143. Se encuentra en la rueda del número 11, lo que sugiere eclipses, y en la rueda del 13, que lo hace solar,

espacio...” (Traducción de la autora.)

por lo podría indicar un eclipse de Sol (11 x 13 = 143).

formado cortando el perímetro de un círculo seis veces con su radio. El

368


El número 144. Es el cuadrado de 12 y uno de los números de

El número 154. El símbolo utilizado en el calendario maya

la serie de Fibonacci que multiplicado por 1 000 nos da un

para expresar el número 154 es muy parecido al del número

baktún, 144 000 días.

129, así que se puede pensar que tal vez existía una relación entre ambos números. La numerología indica que sí existe: 154 / 2 = 77 y 77 / 11 = 7. El número 11 corresponde, según

El número 146. Corresponde a la cuarta parte del ciclo sinódico de Venus de 584 días. Al cabo de 52 años vagos (52 x 365 = 18 980) habrán transcurrido 146 x 10 trecenas, o sea, 73 periodos rituales de 20 trecenas. Se puede escribir la siguiente igualdad: 189 800 = 520 x 365 = 325 x 584 = 10 x 73 x 260. Así queda

Thompson, al Dios R del panteón maya; también dice que la diosa de la Luna se representa con el número 1. La diosa de la Luna lo es de la superficie de la Tierra y del suelo179 y algunas veces se simboliza por medio de un signo como de interro-

relacionado Venus con el año vago y con el tonalpohualli.174

gación. La olla completa simbolizaría la Luna llena y los signos de interrogación, el cuarto menguante y el cuarto creciente.

El número 148. Este número sirvió para pronosticar eclipses y

Los números 14, 11 y 6 quedan relacionados en el número 154.

aparece en las tablas de eclipses del Códice de Dresde. Allí se observa que de manera indirecta llega a 11 960, el

MCM

lunar

por excelencia que sirve para pronosticar eclipses: (36 x 325) +

154 / 11 = (7 x 2) = 14 (en donde el 7 es un número lunar).

260 = 11 960. Es el producto de 37 x 4 = 148 (ver el número 37).

154 x 12 = 1 848; 1 848 / 14 = 132; 132 / 2 = 66; 66 / 11 =

Aveni explica que el intervalo de 148 días es en el que pue-

6, número solar relacionado con los eclipses. El rectángulo Σ 6 x 7 comprende en sus lados precisamente el 6 solar y el 7 lunar, por lo que este rectángulo significaría

den ocurrir eclipses de Sol y de Luna durante una secuencia de lunaciones.175 “Por otra parte, los intervalos entre eclipses de Sol sí resultan sumas de una serie de ciento setenta y

tal vez eclipses. El módulo M = 7 / 6 = 1.1666; 1.166 x 1 000= 1 166 = 2 x 11 x 53.

siete y ciento cuarenta y ocho; de esta manera la tabla pudo haberse usado exclusivamente para los elipses de Sol.”176 Corresponde al intervalo en días entre los eclipses lunares reales del siglo V expresados como una serie de intervalos de cinco lunas.177

El número 149. En Copán fue utilizada la ecuación lunar 149 lunas = 12.4.0, dando un resultado ligeramente menos preciso para la duración de una lunación = 29.5302 días. 178

El número 152. Otro signo lunar en el calendario maya es el del número 152: (152 = 19 x 8, donde 19 es el ciclo metónico de

Dado que 129 x 2 = 258, dividiremos 7 605 / 258 = 29.476, que cerramos a 29.5, número encontrado por Thompson para descifrar la parte lunar del Códice de Dresde. Como la cara del numeral indica, se trata de un ciclo completo lunar de 29.5 días que nos asegura que las lunas se comenzaban a contar a partir de la Luna nueva, que viene después de la Luna muerta, la del ojo cerrado en forma de U. El número 156. Con frecuencia se encuentra como 156 x 10 = 1 560. Está como prevalencia numérica en el plano paradig-

la Luna), que multiplicaremos por la duración de la vigésima

mático que es la primera página del Códice Fejérváry-Mayer

parte del ciclo sinódico de Venus: (585 / 20 = 29.25); 152 x

como el volumen del cu señalado en ese mismo plano y como factor de 2 028, que corresponde al volumen del basamento en unidades a la manera indígena (13 x 156 = 2 028).

29.25

= 4 446 (ver cuadro del número 4 446) 152 x 19 = 2 888;

260 x 11 = 2 860; 2 860 + 28 (ciclo lunar) = 2 888, que equivale a 11 tonalpohuallis más un ciclo de 28 días.

174


los mexicanos, op. cit., cap. X, p. 345.


175

Relación de la Luna en su ciclo metónico con Venus y Mercurio Número 4 446 x 10 4 446 4 446 4446 4 446

Cido Tonalpohualli, 260 Sinódico, 117 Metónico, 19 Sinódico, 399 Sinódico, 29.25

Astro Sol


Factorizadones


176 Ibid,,

p. 205.

177 Ibid.,

p. 204.

178

Anthony F. Aveni, Skywatchers, op. cit., p. 163. “Que ese calendario lunar estaba engranado al año trópico se indica por el examen de los coeficien-

171 = 32 x 19

tes del glifo C. Durante el Periodo de Uniformidad, estos coeficientes po-

Mercurio Luna

38 234

38 = 2x 19 234 = 2X 117

Luna

152

152 = 8 x 19

dían predecirse en cualquier centro maya que adoptara el sistema; esto es, parece que los astrónomos por todo el territorio maya agrupaban seis lunaciones para caer en posiciones específicas en el calendario del año.” 179

Ibid., p. 117.


156 es la quinta parte del ciclo sinódico de Marte (780 / 5 =

Un prisma o celda que pueda llenar todo espacio sin

156). Sus múltiplos son números astronómicamente

dejar huecos sería un prisma mayor compuesto por 16 cubos

significativos.

de 13 unidades de lado, es decir que contendría 16 x (169 x

156 x 2 = 312, uno de los sumandos en los que se puede

13) = 35 152 unidades cúbicas. Para poder relacionar este

descomponer el 364: (312 + 52 = 364), y que corresponde

número con el tonalpohualli se deberá multiplicar por 5 y ten-

a la suma del volumen de la primera sección del tercer

dremos 175 760 = 260 x 676, o sea, será igual a un tonalpohua-

cuerpo de la Pirámide del Sol más el volumen del ta-

lli tomado 676 veces o a una era cosmogónica tomada 260

blero. El número 312 es el de Chalchihuicueye y com-

veces. Considerando todos los números como absolutos se tiene

plemento de 364 para la era cosmogónica.

que 132 = 169, número que orientado a los cuatro rumbos car-

156 x 3 = 468 = 117 x 4, cuatro ciclos sinódicos de

dinales nos da una era cosmogónica (169 x 4 = 676) y que multiplicado por 365 nos da 61 685.

Mercurio. 156 x 4 = 624, seis siglos mesoamericanos. 156 x 5 = 780, un ciclo sinódico de Marte.


156 x 6 = 936, nueve siglos mesoamericanos. 156 x 7 = I 092, tres ciclos anuales lunares o del Sol del inframundo.

La relación de las eras cosmogónicas, el gran ciclo de tránsitos de Venus, el año vago, el ciclo sinódico de Venus y el periodo de 105.5 años parte del gran ciclo de tránsitos de Venus

156 x 8 = 1 248, 12 siglos mesoamericanos. Número

Ciclo

Astro

61 685 X 20 = 1 233 700 1 233 700

Tonalpohualli, 260 Era cosmogónica, 676 Año vago, 365 Un periodo del gran ciclo de tránsitos de Venus, 105.5* Sidéreo, casi, 27.28217

Sol


Sol

1 825

Sol

169

156 x 9 = 1 404, 27 medios siglos mesoamericanos. 156 x 10 = 1 560, dos ciclos sinódicos de Marte. 156 x 11 = 1 716, que es 11 x 12 x 13 o 33 medios siglos mesoamericanos.

61 685 61 685

Aquí se encuentra la relación entre el 156 y el 11, con el 12, el 13, el 33 y los medios siglos mesoamericanos de 52 años, tomando como absolutos todos lo números: 3 x 11 x 52 = 1 716. Éste es el simbolismo del 3 como número solar relacionado con el 11. El 11 se encuentra en el viejo templo de Quetzalcóatl

61 685

Venus

Luna

584.6919

2 261

Factorizaciones 4 745 = 13 x 365 1 825 = 5 X 365

169= 132 584.6919, ciclo sinódico de Venus

2 261 = 133 x 17

* El gran ciclo de tránsitos de Venus es 8, 105.5, 8, 121.5, 8, 105.5, 8, 121.5 días, que da un total de 486 días.

como resplandor de pétalos que rodea la cabeza del dios. Para relacionar 1 716 con el tonalpohualli se debe multiplicar por ros que aparecen en el Códice de Dresde y múltiplo del 11;

El número 173.33. Es la duración en días del medio año de eclipses y corresponde a la tercera parte de 520, doble tonal-

10; así se obtiene 17 160, que entre 260 = 66, otro de los núme17 160 / 520 = 33, así que habrá 99 posibilidades de eclipses,

pohualli o 10 veces el medio siglo mesoamericano. El núme-

todos números múltiplos del 11. Además 156 / 3 = 52, el medio

ro 17.333 es la quinceava parte del tonalpohualli de 260, que

siglo mesoamericano.

multiplicado por 10 nos da el medio año de eclipses de 173.33. En realidad el número correcto es 173.31 días,180 pero en las

El número 169. Es igual al cuadrado de 13

(132

= 169) y corres-

cuentas de este estudio se ha tomado de 173.33.

ponde a la cuarta parte de una era cosmogónica (169 x 4 = 676), por lo que se puede decir del 169 lo mismo que lo que

El número 177. Este número se encuentra en el almanaque

se dice de una de esas eras. Geométricamente hablando, una

ampliado (almanaque 71, la tabla de 1.13.4.0., 46 x 260 y 405

era se forma por cuatro cuadrados de 13 unidades por lado,

lunaciones)181 del Códice de Dresde, en donde aparece tam-

que forman otro cuadrado de 26 x 26 unidades por lado (26

bién el 148 (cinco lunaciones = 147.65 días). Sirven estos

u x 26 u = 676

u2).

números para pronosticar eclipses. 182 El 177 se encuentra al multiplicar 29.53 días x 6 lunaciones = 177.18 días. Si se utiliza 29.5 como duración del ciclo sinódico de la Luna, en vez del exacto 29.5308, se tienen 177 exactos. Al encontrar el

MCM

de 29.5 y 360, se obtiene 21 240, que dividido entre 120 = 177; (21 240 / 120 = 177). El 177 corresponde al ciclo sinódico de la Luna tomado

180


181


como 29.5: (29.5 x 6 = 177). Aparece como un intervalo en

182


días entre los eclipses lunares reales del siglo V expresados

370


como una serie de intervalos de lunas. El intervalo de cinco es

entero de los meses dracónicos, el 242 para ser exactos. Si el pri-

igual a 148 días.183

mer eclipse tuvo lugar exactamente en el nodo, el segundo ocurrirá poco antes de que la Luna llegue a él, porque, en realidad,

El número 178. Algunas veces se empleaba como la duración

242 meses dracónicos son alrededor de una hora más larga que

en días del periodo sinódico lunar. Una cuenta de cuatro lunas

223 meses sinódicos...

de 30 días y dos de 29: [(4 x 30) + (2 x 29) / 6 = 29.666 días].

...El saros merece mayor atención, porque también es aproximadamente equivalente a un número entero de años. De ese

El número 182. Es el doble del 91 y mitad del 364, por lo que es

modo, los eclipses del ciclo de saros son estacionales.184

un número lunar (ver el número 364 en este mismo apéndice).

El número 225. Es el periodo sideral de Venus, el año del plaEl número 183. Es la mitad del año bisiesto de 366 días. Corres-

neta (promedio 224.7).

ponde a 61 x 3 = 183; el 61 es factor del bisiesto: 61 x 6 = 366.

El número 234. El 234 corresponde a dos veces el ciclo sinóEl número 195. Es la cuarta parte del ciclo sinódico de Marte (780 / 4 = 195) y 15 veces un tlalpilli, tomado en números abso-

dico de Mercurio. Ya que el ciclo sinódico de Venus es 585 =

lutos (13 x 15 = 195 = 3 x 65). También corresponde a la ter-

siguiente igualdad: 234 x 5 = 585 x 2 = 1 170, o sea, 10 veces

cera parte del ciclo sinódico de Venus (585 / 3 = 195).

el ciclo sinódico mercurial.

El número 208. El 208 corresponde a dos siglos mesoamerica-

El número 235. Corresponde a los 235 meses sinódicos luna-

nos de 104 años o a cuatro medios siglos de 52 (ver el número

res (6 939.6886 días) que tiene el ciclo metónico lunar. Es el

117 x 5, podremos relacionar ambos ciclos mediante la

104 en este mismo apéndice). Como cosa curiosa, 208 x 325 =

periodo en que la Luna regresa a una fecha idéntica del año

67 600 = 2602, que corresponde a 100 eras cosmogónicas o al

trópico, lo que se logra casi en un periodo de 19 años trópi-

cuadrado del tonalpohualli. El cubo del calendario augurai es

cos: 6 939.6018 días = 235 meses sinódicos lunares (6 939.6886

17 576 000, que puede factorizarse como 208 x 260 x 325.

días, faltando sólo dos horas por ciclo). Por otro lado, 235 x 29.5308 días = 6 939.738 días = 19 x 365.249 días.

El número 216. Corresponde a ocho veces el 27, por lo que es lunar. Su mitad en grados, 108, corresponde a la medida de

El número 236. El lapso algunas veces fue considerado erró-

los ángulos interiores del pentágono perfecto. Este pentágo-

neamente por los mesoamericanos como el tiempo de Venus

no sirve para relacionar geométricamente el Sol con Venus,

como Estrella de la Tarde: 236 días = ocho ciclos sinódicos de

Mercurio y la Luna mediante la estrella de cinco puntas o

la Luna.185

pentagrama, en donde aparece el ángulo de 72° / 2, que tomado cinco veces (5 x 36 = 180) nos da medio año solar o 180

El número 243. En el Códice Borgia está como el tiempo que

días. Si tomamos 20 ciclos sinódicos de Mercurio, veremos

Venus aparece como Estrella de la Mañana.186 Se encuentra

que es igual a 65 veces el ángulo de 36° (117 x 20 = 36 x 65 =

como número volumétrico del chumeng187 en el prisma recto

2 340). El cuadrado de 36 es igual a 1 296, número que tiene

rector por talud que puede ser envolvente virtual de la cabe-

=

za número 8 de San Lorenzo. Por ser 243 divisible entre 81 se

81 x 16 = 1 296; el 81, la constante de Palenque, relaciona el

puede establecer la siguiente relación con el periodo sinódi-

como factores el cuadrado de 9 y el cuadrado de 4:

92

x

42

11 960 con el ciclo sinódico lunar exacto.

co lunar: 5 x (243 / 3) x 29.5308 = 11 960, el gran MCM lunar (ver el número 11 960).

El número 221. Es igual a 17 x 13. Mediante este número se logra la relación con el tonalpohualli: 260 x 17 = 2 2 1 x 20 = 4 420, de donde 260 = (221 x 20) / 17.

El número 223. Corresponde a las 223 lunas nuevas que forman el saros o número de días que deben transcurrir (6 585.32) para poder esperar otro eclipse solar. Un saros también corresponde a 242 meses dracónicos.

A partir de un eclipse solar se puede esperar otro tras 223 lunas nuevas, toda vez que el intervalo de saros es también un número

183

Ibid., p. 204.

184

Ibid., pp. 96-97.

185

Anthony F. Aveni, Skywatchers, op. cit., p. 348.

186


187

Ver la definición de chumeng en el “Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas”.


Observaciones de radar en los sesenta demostraron que Venus

El número 260. Aparece con frecuencia en el Códice de Dresde

gira en sentido retrógrado cada 243 días y que su eje de rotación

y es el número de días del calendario augural o tonalámatl.

se encuentra a pocos grados de la perpendicular a su plano orbi-

Thompson no utiliza la palabra tzolkin para el almanaque de días, pues considera que no hay bases para creer que

tal. Esta figura, acoplada con la de su periodo orbital de 225

260

días, indica que el intervalo entre sucesivos ortos helíacos en un

fuera para los mayas el nombre de ese periodo. Su nombre en

punto determinado de Venus es de 117 días.

zapoteco es piye. En días corresponde al tiempo que pasa el

A diferencia de Mercurio, no existe una relación numérica

Sol en el sur a partir del segundo paso cenital en las localida-

simple entre el periodo rotacional de Venus y su periodo de revo-

des situadas a una latitud de

lución alrededor del Sol. Sin embargo, es un hecho curioso que

Copán

el periodo de 243 días de rotación retrógrada expone la misma

y su regreso al primer paso cenital en su carrera ascendente

(14.57°)

15° N,

como son los casos de

e Izapa, hasta llegar al Trópico de Capricornio

cara de Venus hacia la Tierra cada conjunción inferior, como se

hacia el Trópico de Cáncer. Es el periodo de embarazo de la

ve en la figura 8.5. En otras palabras, una rotación retrógrada de

Tierra después de haber sido fecundada por los rayos del Sol

243 días significa que alguna característica notable que esté en

que se encuentra en el cenit durante el día de su segundo paso

el centro del disco venusino en su acercamiento mayor a la Tierra

por una latitud de

15° N.

Corresponde al periodo aproxima-

será otra vez centrado en el disco en su conjunción inferior 584

do de gestación del ser humano. Su doble, el

días más tarde...

predecir los eclipses.

520,

sirve para

El medio año de eclipses vale 173.3 (173.31 es lo correc-

...Venus ha sido llamado el planeta gemelo de la Tierra.188

to); no es otra cosa que la tercera parte de 520: (520 / 3 = Una cosa curiosa es que, aunque el globo sólido [del planeta

173.33). También el 260 es el quintuple del medio siglo meso-

Venus] tiene un periodo de rotación de 243 días (más largo que

americano o del ciclo del 52. (Está en la rueda del 52: 5 x 52 =

el año del planeta de 224 días), las marcas de nubes sugieren

260.) En el Códice de Dresde forma la base o marco del calen-

una rotación más rápida, de cerca de cuatro

días.189

dario adivinatorio. Muchos de los volúmenes de esculturas y obras de arquitectura tienen como factor el 260, sus múl-

El número 250. Es el lapso que erróneamente algunas veces los

tiplos o submúltiplos. Sus factores principales son 4, 5, 13 y

mesoamericanos consideraban que Venus pasaba como Es-

20.

trella de la Mañana. El intervalo correcto es aproximadamente de 263 días.190

En suma, en el libro todas las cuentas se vinculan al almanaque sagrado de 260 días, que, a su vez, era el corazón del universo

El número 252. Corresponde al número de días que pasa Venus

maya. Creo que los mayas consideraban que cada aspecto de la

como Estrella de la Tarde.191

vida estaba regido por esos 260 días deificados, de modo que, una vez que se sondearan todas las influencias y las interrelaciones

El número 256. Es el cuadrado de 16: (162 = 256). Puede con-

en términos del almanaque sagrado, estaría en sus manos la

siderarse como factor del periodo de Venus como Estrella de

clave de todo el esquema ordenado de la existencia. Por consi-

la Mañana. Aveni dice al respecto: “Más aún, asignaron valo-

guiente, como es natural, todos los esquemas de adivinación

res desiguales a los intervalos que le corresponden como estre-

tenían que conformarse con el prototipo del supuesto. Para los

lla de la mañana y como estrella vespertina, 250 y 236 días. En

mayas el tiempo no sólo era cíclico; también era supremo: mode-

realidad, los verdaderos intervalos equivalen a aproximada-

laba toda la vida del cielo y de la tierra en una máquina cíclica

mente 263 días”.192

que giraba para toda la eternidad.193

Esto implica, dado el carácter adivinatorio del códice, que todo estaba relacionado con el ciclo de 260 días. Sin embargo, fuera de los números del códice, existen expresiones numéricas en las dimensiones (en unidades convertidas a unidades a la

manera indígena) del arte escultórico y arquitectónico mesoa188 189

Stanley P. Wyatt, op. cit., p. 222. (Traducción de la autora.) James Muerden, The Amateur Astronomer s Handbook, Harper & Row, Nueva York, 3 a ed., 1983, p. 163.

190 Anthony 191

F. Aveni, Skywatchers, op. cit., pp. 84 y 348, nota 23.


192 Anthony

F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., p.


372

ciclos sinódicos y no su relación con el tonalpohualli, como es el caso de los números volumétricos de algunas cabezas colosales olmecas (ver el capítulo VIII). Cada vuelta del tonalpohualli (260 días) sobrepasa en ocho

102. 193

mericanos que expresan principalmente la duración de los


días el producto de 9 x 28 días = 252 días (260 - 252 = 8).

Tomando 104 veces 252 se tiene 26 208, que se puede factorizar como 4 x 9 x 26 x 28.

una aproximación del tonalpohualli de 260 días. Aveni escribe: “Señalamos de paso que el verdadero intervalo de aparición de

Otra factorización e s 8 x 1 3 x 1 4 x 1 8 . Además 252 x 104 x Venus como estrella matutina y vespertina está próximo a los 365 = 9 565 920, número MCM de los siguientes ciclos:

260 días, número sumamente importante en el calendario maya, como veremos posteriormente”.195

9 565 920 / 260 = 36 792. 9 565 920 / 9 = 1 062 880. 9 565 920 / 28 = 341 640.

El número 270. Corresponde a las tres cuartas partes del ciclo de 360 días y a 10 veces el ciclo dracónico lunar considerado de

9 565 920 / 7 = 1 366 560.

27 días (ver el número 27 en este apéndice).

9 565 920 / 73 = 131 040. El ángulo de 73° se encuentra en la inclinación de los taludes de la pirámide solar que se

El número 272. En Mesoamérica era utilizado para predecir

encuentra como plano paradigmático en la primera

eclipses y a veces se tomaba para las cuentas calendáricas de

página del Códice Féjerváry-Mayer.

27.2 días (27.2 x 10 = 272).

9 565 920 / 72 = 132 860. La diferencia entre estos dos últimos es 132 860 - 131 040 = 1 820. (Ver el número

El intervalo entre pasos sucesivos de la Luna por un nodo deter-

1 820 más adelante.) Ahora 1 820 se convierte en una

minado es de 27.21222 días. Se llama mes dracónico por el dra-

nueva unidad: 132 860 / 1 820 = 73 y 131 040 / 1 820 =

gón que, según los antiguos chinos, devoraba al Sol o a la Luna

72; 73 - 72 = 1, en la diferencia se encuentra la unidad.

durante los eclipses. Una Luna llena eclipsada se repetirá al cabo

Si se divide 9 565 929 / (72 x 73) = 1 820. La represen-

de un número de días igual a un múltiplo entero de los interva-

tación geométrica de 72 x 73 es un rectángulo Σ 73 x

los sinódico y dracónico. Si estos periodos consistieran en núme-

72 M 1.01388, que corresponde a la tangente del ángu-

ros entero simples, por ejemplo 30 y 27 días, ocurriría un eclip-

lo de 45.3948°.

se después de 270 días (nueve lunas llenas o

9 565 920 / 36 792 = 260, un tonalpohualli.

10

pasos por el

nodo).196

9 565 920 / 26 280 = 364, el año del Sol del inframundo.

El

9 565 920 / 105 120 = 91, cuarta parte del Sol del inframundo y número de escalones de las escaleras de El Castillo. 9 565 920 / 16 352 = 585, el ciclo sinódico de Venus. 9 565 920 / 91 980 = 104, el siglo mesoamericano. 9 565 920 / 183 960 = 52, el medio siglo mesoamericano. 9 565 920 / 4 088 = 2 340, el volumen de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. 9 565 920 / 26 572 = 360, el año ajustado sin los nemontemi.

272

se puede factorizar como

16 x 17.

Frecuentemente

se encuentra en los volúmenes de esculturas y obras de arquitectura, ya que se puede relacionar con el 360, número solar [272 + (8 x 11) = 360]. Se encuentra en forma de sumatoria en una vasija del valle de Tehuacán, del horizonte posclásico:197 12 + 11 +10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 68; (272 = 68 x 4). Si 272 / 10 = 27.2, se obtiene el mes dracónico lunar. El número exacto es 27.21222 días.

9 565 920 / 26 208 = 365, el año ajustado a 365 días. 9 565 920 / 26 190 = 365.25, el año trópico casi exacto (365.2322 días).

El número 273. Corresponde a 10 veces el ciclo sidéreo lunar: 27.3 días x 10 = 273 días. También a tres veces un cuarto de

9 565 920 / 323 930 = 29.5308, el ciclo sinódico lunar.

año del Sol del inframundo de 364 días (91 x 3 = 273) y a su

9 565 920 / 350 400 = 27.3, el ciclo sidéreo lunar.

vez es la tercera parte del 819, número relacionado con la

9 565 920 / 81 760 = 117, el ciclo sinódico de Mercurio.

Luna y con Venus principalmente (ver el número 819). Pero

9 565 920 / 12 264 = 780, el ciclo sinódico de Marte.

105 x 260 = 27 300, donde 105 es el número de días que pasa el Sol por arriba de los 15° N y 260 el número de días del to-

El cuadrado de 260 = 67 600 corresponde a 100 eras cos-

nalpohualli (ver cuadro del número 27 300).

mogónicas. El tonalámatl, de una precisión admirable en la observación de Marte, pudo servir para la predicción de sus diversas posiciones con relación al Sol, como conjunciones, oposiciones, cuadraturas y

194

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice borbónico, op. cit., p. 370.

semicuadraturas.194 195

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., pp. 102-103, nota 15.

El número 263. El lapso que pasa Venus como Estrella Matutina es, en promedio, de 263 días, que pueden tomarse como

196

Ibid., pp. 95-96.

197

Fernando Ximello Olguín, Naxacé-tlatlahuite..., op. cit., pp. 91-92.


Un medallón ornamental que informa Zelia Nuttall198 en

un número lunar. Por otro lado, 273 / 16 = 17.0625 días o

verdad es la representación gráfica del 273. En el medallón se

17.0625°, la desviación aproximada de Teotihuacan. El ciclo

observan tres círculos concéntricos. El primero, de afuera hacia

dracónico de la Luna es de 27.2 días que multiplicado por 100 =

adentro, formado por 13 figuras elípticas que valen 13 u. El

272 días y 272 + 1 = 273.

segundo contiene siete círculos, cada uno con otro círculo

El 273 está representado en una vasija ritual del valle de

concéntrico y un punto en su interior. Vale 7 x 3 = 21 u.

Tehuacán. Se encuentra en el dibujo que sirve de adorno, divi-

Finalmente otro círculo dividido en tres partes: vale 3 u. Se

dido en cuatro partes, una en cada uno de los pétalos de una

tiene 13 x 21 = 273.

flor y colocados en forma de cruz swástica. En cada pétalo se

Se toma 105 veces el 260 y se obtiene 27 300, número

encuentra el número 68 y en el centro el número 1, lo que da un total de 273. Se llega al 68 por medio de una sumatoria que

igual a

va del 12 al 5 = 68. El 12 está indicado por medio de 12 27 300 / 52 = 525 medios siglos mesoamericanos.

dedos.200

27 300 / 13 = 2 100 tlalpillis. 27 300 / 28 = 975 lunas visibles.

El número 288. Es igual a 2 x 144 y 144 días x 1 000 = 144 000

27 300 / 364 = 75 años lunares.

o un baktún maya. Corresponde a la rueda de números del 12.

27 300 / 100 = 273, el ciclo sidéreo lunar y tercera parte del calendario lunar de 819 días.

El número 292. Es la mitad del ciclo sinódico de Venus, 584, y cuatro veces el 73 (ver el número 73).

El 273 es la tercera parte de un ciclo que Linda Schele reporta como un antiguo calendario maya de 819 días. El 273

El número 292.5. Al hacer este número entero multiplicándo-

equivale a 10 veces el ciclo sidéreo de la Luna. En la inscrip-

lo por 2 se obtiene el ciclo sinódico de Venus, 585 días. Al

ción de un plato popoloca del periodo posclásico del valle de

multiplicarlo por 10 se obtiene 2 925. Sus factores pueden ser

Tehuacán publicada por Femando Ximello aparece este nume-

25 x 1 3 x 9 = 2 925. El factor 25 indica la coincidencia del

ral como motivo ornamental del mismo. Son “cuatro progre-

ciclo de Mercurio con el de Venus a través de este número

siones formando un arreglo cruciforme, con el número ini-

( 1 1 7 x 2 5 = 5 x 585 = 2 925). Estos factores probablemente son

cial 12 y 7 barras horizontales que representan el número

las dimensiones en unidades o la manera indígena de alguna

68 = 1 2 + 1 1 + 1 0 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 ; la figura central es un círcu-

escultura prehispánica. Si se multiplica 108 x 3 = 324 y si se

lo con el número 1, por lo que al sumar las progresiones y el

divide 2 925 / 9 = 325, se ve que la diferencia entre 324 y 325

número central tendemos: 68 + 68 + 68+ 68 + 1 = 273”.199

es de un día, la unidad solar por excelencia. El 108 es un

Se observa que 27 300 / 100 = 273 y corresponde a tres cuartos de año del Sol del inframundo, razón suficiente para

número lunar relacionado con los eclipses (108 / 27 = 4) y el 325 está relacionado con Venus.

considerar que existieron calendarios lunares de 28 semanas de 13 días. Motolinía mencionaba la existencia de semanas de

El número 297. Se puede factorizar como 11 x 27, por lo que

13 días. El 273 es la tercera parte de 819.

es un número relacionado con los eclipses (ver los números 11

Si se considera 17 x 16 = 272 y 272 + 1 = 273; 273 / 3 = 91,

y 27 en este apéndice).

una cuarta parte del ciclo de 364 días. El ciclo sidéreo lunar es de 27.3 días, por lo que el 17 lo podemos considerar como

El número 299. Es la cuarentava parte del

MCM 11 960, rela-

cionado con la Luna (11 960 / 40 = 299), pero directamente no corresponde a ningún ciclo astronómico. Se encuentra en la rueda de números de la serie del 23 y equivale a 23 tlalpillis (13 x 23 = 299). El número de años en 299 siglos mesoamericanos es 299 x 104 años = 31 096 años, que equivale a 13 x 23 x 104, y tomando números absolutos se puede establecer la siguiente igualdad: 23 x 104 = 299 x 8 = 2 392, número que considerando años y días se puede relacionar con Venus: 2 392 años de 365 días son 873 080, que equivalen a 1 492 ciclos sinódicos de Venus. Si 873 080 se divide entre 260, se obtie198

Zelia Nuttall, op. cit., vol. II, p. 49, fíg. 22 c.

199

Fernando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán

Viejo, op. cit., p. 49. 200 Ibid.,

p. 50, fíg. 27.


nen 3 358 tonalpohuallis, que corresponden a 23 veces el ciclo del 37 960, el gran MCM de tantos números astronómicos importantes.

Por medio del 299 se entienden los prefijos señalados por

veces el doble tonalpohualli o lapso de 520 días -existe la posi-

Thompson para el glifo correspondiente al 552 de su Catálogo,

bilidad de tres eclipses cada 520 días-, se tendrá un total de

los números 23 y 24. Se relaciona el siglo mesoamericano con

552 eclipses (184 x 3 = 552). Se verá el análisis de este impor-

el 24 y se observa que 104 x 24 = 2 496 y que 2 496 / 624 = 4. Se

tante número más adelante, al analizar algunos números del

multiplica 624 x 23 = 14 352; 14 352 / 552 = 26. Si se toma 552 x

Catálogo de Thompson (95 680 / 520 = 184 y 184 x 3 = 552). Por

26, se ve que es igual al siglo mesoamericano multiplicado

otro lado, 27 x 12 = 324, y ya se sabe que el 27 es un número

por 138, cuyo resultado es igual a 23 x 624, que a su vez es igual

lunar relacionado con los eclipses, por lo que se confirma lo

a 24 x 598 = 14 352. La diferencia entre (552 x 26) - (520 x 27) =

anterior. El viejo templo de Quetzalcóatl se remite a un eclip-

312, que corresponde a tres siglos mesoamericanos. El 312 es

se solar, por lo que habrá que buscar el inicio de su construc-

la diferencia, tomando todos los números como absolutos,

ción, o tal vez su dedicación, coincidiendo con un eclipse solar

entre una era cosmogónica de 676 años y 364, el ciclo anual

para celebrar ese acontecimiento.

del Sol del inframundo de 364 días (676 - 364 = 312). El 312 se ha considerado como el número de Chalchihuicueye y tam-

El ingeniero Ximello Olguín encontró el número 324 en una vasija popoloca del valle de Tehuacán.203

bién como número solar, ya que corresponde a tres siglos mesoamericanos: 71 760 / 299 = 240. El 71 760 es el volumen de la escultura de Chalchihuicueye (ver el capítulo VII sobre las

El número 325. Se encuentra como el número de unidades a la manera indígena en el lado mayor de la planta del primer

esculturas de pequeño formato en este libro).

cuerpo del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan. Es la

El número 312. Este número corresponde a tres siglos meso-

los de eclipses en el Códice de Dresde (148 + 177 = 325). Es un

americanos de 104 años, de acuerdo con Sahagún.201 Es el

número que multiplicado por 4= 1 300, número relacionado

complemento de 364 para valer una era cosmogónica (312 +

con la Luna, y si dividido entre 5 se tiene 65, la novena parte

suma de 148 y 177, números que corresponden a los interva-

364 = 676). De acuerdo con una antigua leyenda, fueron 364

del ciclo sinódico de Venus. El 1 300 equivale a 100 tlalpillis

años los que reinó Tláloc antes de ser sustituido por un falso

y a 44 veces el ciclo sinódico lunar de 29.5454 días (ver el

Sol, Chalchihuicueye, su contraparte femenina, de manera

número 1 300 en este apéndice). También se relaciona con el

que el 364 corresponde a Tláloc y a Chalchihuicueye le corres-

ciclo del tonalpohualli y con el ciclo de 52 años, tomando todos

Es también 24 tlalpillis (24 x 13 = 312). Si se

éstos como números absolutos (1 300 = 5 x 260 = 13 x 100 =

multiplica por 10 = 3 120, corresponde a 12 tonalpohuallis (ver

52 x 25 = 325 x 4). El 325 es el resultado de multiplicar 11 x

el capítulo “La Pirámide del Sol” en este libro). El 312 se ha

29.5454, este último ciclo sinódico lunar aproximado.

ponde el 3 1

2.202

considerado como el número de Chalchihuicueye y también como número solar, ya que corresponde a tres siglos mesoamericanos. El 71 760 es el volumen de la escultura de Chalchihuicueye (ver el capítulo VII, sobre las esculturas de pequeño formato). El 312 es un ciclo lunisolar, ya que seis periodos de 52 años suman 312 años, que a su vez corresponden a 3 859 lunaciones: 3 859 x 29.53049 = 113 958.16 días y 312 x 365.25 =

201

Fray Bernardino de Sahagún, op. cit., p. 439. Con 104 años de 365 días tenemos la coincidencia de los ciclos siguientes: 146 tonalpohuallis y 65

113 958 días; la diferencia es de únicamente 0.16 días.

ciclos venusinos de 584 días. Ésta es la razón por la que Sahagún considerara el siglo de 104 años.

El número 324. Se encuentra en la base del viejo templo de

202

Cecilo A. Robelo, op. cit., p. 137. “El ser supremo, Tonacatecutli, y su esposa, Tonacacíhuatl, procrearon cuatro hijos, Tlatlauhqui Tezcatlipoca,

Quetzalcóatl en Teotihuacan. Es igual a cuatro veces la constan-

Yayauhqui Tezcatlipoca, Quetzalcóatl y Huitzilopochtli; que estos cuatro

te de Palenque, el 81: (81 = 3 x 27, el ciclo lunar dracónico ajus-

dioses crearon el mundo y dieron al agua organización particular, a cuyo

tado a 27 días), por lo que se relaciona con la Luna (324 / 81 =

efecto se juntaron los cuatro hermanos y formaron a Tlalocantecutli y a Chalchiuhtlicue, y los declararon dioses del líquido elemento. También

4). También es igual a 27 x 12 e igual al cuadrado de 18 (182 =

vimos en ese artículo que Tlatlauhqui Tezcatlipoca y Quetzalcóatl se con-

324); el 18 es el número de meses del calendario de 360 días.

virtieron en Sol sucesivamente, para alumbrar el mundo. Y que al fin,

Multiplicando 324 por 10 se tiene 3 240, que es igual a 9 x 360 =

cuando dejaron de ser Sol, lo fueron también sucesivamente Tláloc y

405 x 8. El 3 240, por tener como factor el 405, se puede rela-

Chalchihuicueye, ésta durante 312 años, al fin de los cuales las aguas pro-

cionar con 11 960, MCM de varios ciclos astronómicos, entre

dujeron un diluvio sobre la tierra. Resulta pues que Chalchihuicueye fue una diosa creada esposa de Tláloc y que alumbró el mundo durante 312

ellos el ciclo sinódico lunar exacto: 11 960 / 405 = 29.5308. Se tiene que 29.5308 x 3 240 = 11 960 x 8; 260 x 368 = 520 x 184 = 95 680. Considerando que en 95 680 días se tienen 184

años.” 203

Fernando Ximello Olguín, El sistema de numeración ngiwa de Tehuacán

Viejo, op. cit., pp. 52-53.


El número 336. Diez veces el ciclo dracónico de 27.2 días al

al sistema decimal y vigesimal mesoamericanos. La diferen-

multiplicarse por 2 y dividir el resultado entre el número de

cia con el año vago es de cinco días, los llamados nemontemi

oro (aproximadamente 1.619) es igual a 336. También es igual

o vacíos de Dios. El 360 corresponde con la división en gra-

a 12 x 28; el 28 es número lunar. También es igual a cuatro

dos del círculo, uno para cada día del año. La esfera celeste

veces el diámetro del calendario azteca en unidades o la mane-

estaba dividida también en 360°, uno por cada día del año, en

ra indígena.

cada uno de los cuales residía alguno de los dioses. Al no tener cabida en el círculo los cinco días sobrantes, no se po-

El número 338. El 3 380: (338 x 10 = 3 380), se encuentra como

dían orientar hacia ningún lado y, por lo tanto, no tenían

número volumétrico de la cabeza colosal número 4 de San

numen que los rigiera. Otra razón para utilizar el 360 como

Lorenzo (2 x

13 2

= 338).

lapso anual es que es divisible entre 20, uno de los factores del

tonalpohualli, con el que debía coincidir en algún momento el El número 346. Es el tiempo necesario para que el Sol pase de

ciclo solar y el ciclo del calendario adivinatorio. Esto sucede-

uno a otro nodo. “El intervalo entre pasos sucesivos por un

rá al cabo de 4 680 días: 360 x 13 = 260 x 18 = 4 680.

mismo nodo, 346 días, se llama año de eclipses.”204 Es igual

El 360 geométricamente corresponde al número de grados

a aproximadamente dos veces el medio año de eclipses, 173

en que se divide el círculo y es casi exactamente el número de

días y un tercio.

días que requiere la Tierra para recorrer su órbita alrededor del Sol. El 360 no es un número significativo astronómi-

El número 346.5 y su doble, el 693. De acuerdo con Aveni, el

camente; sin embargo, se utilizó, ya que podrá quedar engan-

346.5 corresponde al año de eclipses y es el intervalo entre

chado con algún número de la serie del 2, del 3, del 5 o de

pasos sucesivos del Sol por el mismo nodo de la órbita lunar,

algunos de sus múltiplos, y para poder corresponder a cada

346.5 días, y dice además que una estación de eclipses ocu-

día del año con un grado del círculo. A cada parte del espa-

rre durante el periodo de paso prolongado. Considerando dos

cio correspondía una deidad, de tal manera que el espacio

años de eclipses, tendremos 346.5 x 2 = 693, que a su vez

quedaba sacralizado mediante la división geométrica y aritmé-

corresponde a 11 periodos de 7 x 9 días. Aquí se encuentra la

tica. No existió o existe ninguna religión en el mundo, que yo

relación del 11 con los eclipses. En la iconografía de los table-

sepa, que haya sacralizado la vida y el espacio de los hombres

ros del viejo templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan el 11 está

mediante la matemática, geometría y astronomía de la mane-

representado en el resplandor como rayos que salen de la

ra en que se hizo en Mesoamérica.

cabeza de Quetzalcóatl, y está relacionado con los eclipses (7 x 9 x 11 /2 = 346.5).

El 360 y el 585 quedarán relacionados en el 1 872 000 o era maya de la siguiente manera: 32 x 585 = 52 x 360 = 18 720, centésima parte de la era maya.

El número 351. Corresponde a tres ciclos sinódicos de Mercu-

El 360 se puede agrupar y factorizar como (16 x 17) +

rio (117 x 3 = 351). Es importante porque sirve para relacio-

( 8 x 1 1 ) = 360. La multiplicación de 16 x 17 = 272 tiene una uni-

nar el 27: (351 = 13 x 27), que es un número lunar, con el

dad menos que 273, el cual corresponde a su vez a un núme-

tonalpohualli y con Mercurio: 7 020 = 13 x 20 x 27 = 260 x 27 =

ro lunar (91 x 3 = 273). Lo anterior se puede representar por

13 x 540 = 351 x 2 0 = 1 1 7 x 3 x 20. También es divisible entre

medio de un rectángulo Σ 273 x 272

9: (351 / 9 = 13 x 3), por lo que podremos relacionarlo con

plicamos 272 x 273, tendremos 74 256, que es múltiplo del

cualquier número que tenga el 9 como factor. Por ejemplo,

número 364.

M

= 1.003676. Si multi-

mediante el 14 040 quedará relacionado con el año civil de 360

El 360 aparece como ornamentación de una vasija circu-

días (351 x 40 = 360 x 39 = 14 040). El 14 040 es 20 x 702; este

lar popoloca del valle de Tehuacán. La interpreta el ingenie-

último es el área de la base de la Pirámide del Sol en unidades

ro Ximello Olguín como 10 grupos de progresiones que tienen

a la manera indígena.

como número inicial el 8 y siete barras horizontales: 8 + 7 + 6 + 5+4 + 3 + 2+ l= 36; 36 x 10 = 360, el año ajustado a 360 días,

El número 360. Es el número de días del calendario civil o año

sin los nemontemi.205

ajustado a 360 días, múltiplo de 10 y de 20, que corresponde

El número 364. Considerado como número de la tabla de multiplicar que ocupa la tercera parte de la página 45, última al reverso del Códice de Dresde, este número debió ser importan204


p. 95. 205

tísimo en la numerología mesoamericana, pues corresponde


a la duración del año del Sol del inframundo. Thompson

Viejo, op. cit., fíg. 36, p. 59.

opina:

376


Los almanaques sagrados de 260 días y los cómputos de 364 días

La Luna, Venus y el Sol están íntimamente relacionados

son invocaciones y adivinaciones tocantes al tiempo, a la agricul-

en la numerología mediante los números 5, 7, 9, 13 y sus múl-

tura, la labranza con bastón, la enfermedad, la medicina, la

tiplos. Observemos que todos son números nones. Al multipli-

manufactura de redes, la captura de mariscos o de mariscos y

car 7 por el ciclo sinódico de Mercurio se obtiene el 819: (7 x

peces [?], al matrimonio [?], a los días para la adivinación, al

117 = 819); para relacionarlo con Venus será necesario multi-

nacimiento de los niños [?], a los comerciantes y quizá a la con-

plicarlo por 5: (5 x 7 x 117 = 4 095 = 585 x 7). El 16 380: (364 x 45 = 16 380), sería ejemplo de un núme-

junción de constelaciones y planetas con la Luna.206

ro MCM de todos los ciclos, tanto lunares como venusinos, del C ol

tonalpohualli y del Sol del inframundo y la Luna (1 820 x 9 =

es un múltiplo de la cuenta de 260 días o puede ser múltiplo

819 x 20 = 585 x 28 = 260 x 63 = 364 x 45 = 16 380). El 819 es

ambos”.207

Y más adelante agrega que “Con suma frecuencia, el del año de 364 días, o de

No es de extrañar enton-

producto de una cuenta venusina (29.25, aproximadamente

ces que el 364 se encuentre como leit motiv de la numerología

la vigésima parte del ciclo sinódico de Venus, y otra solar del

de El Castillo. Hablando de las tablas que están en las pági-

inframundo, el 28, la treceava parte del ciclo de 364 días: 29.25 x

nas 63 (mitad derecha) y 64 del Códice de Dresde, Thompson

28 = 819). También 27.3 x 30 = 819; es el 27.3, en números

dice que “el último número de la tabla también es de 400 años

absolutos, la duración aproximada del ciclo sidéreo de la Luna,

de 364 días”.208

27.32166 días. Si se convierte a enteros el 27.3, se tiene 273 =

Acerca de este número diversos autores consideran que

3 x 9 1 (ver el número 819 en este apéndice).

se ha tomado el 364 por estar muy próximo al 365, al expre-

Si se multiplica 364 x 31, se obtiene 11 284, que al sumarle

sar un ciclo solar divisible entre 13 o sus múltiplos, como el

676, la era cosmogónica en números absolutos, nos da 11 960,

52, por ejemplo (7 x 52 = 364). Otros sugieren que el 364 es un

el MCM del ciclo sinódico lunar. El 31 en grados corresponde

número lunar precisamente por ser múltiplo del 7 y del 28,

al ángulo del límite eclíptico solar, la zona del firmamento en

considerados ambos como números lunares en el ámbito

la que se producen los eclipses solares.

mesoamericano, a pesar de ser el 28 número también del

Thompson refiere que, en suma, “en el libro -el Códice de

andén del Sol. Sin embargo, el 28 es el número de semanas de

Dresde- todas las cuentas se vinculaban con el almanaque

13 días del año del inframundo (28 x 13 = 364). Thompson, en

sagrado de 260 días, que a su vez era el corazón del mundo

su Comentario al Códice de Dresde, dice: “La primera tabla

maya”.210

de multiplicar, con 4 Eb de lub, es de múltiplos de 1 820 días (5.1.0), mínimo común múltiplo de 260 y 364 (7 x 260 y 5 x

El número 365. Éste es un número calendárico que correspon-

364), que está asociado con los demás números de serpiente”,

de al número entero de días del año solar que los mayas lla-

sin reparar en la gran importancia que tiene para la cosmo-

maron haab y los mexicas xíhuitl; estaba compuesto por 18

gonía mesoamericana como número del Sol del inframundo.

meses de 20 días más cinco llamados nemontemi o baldíos de

Sin embargo, en los comentarios finales sostiene:

Dios. Al no ser divisible 365 entre 13 o entre 20, no se puede enlazar con el tonalpohualli; sin embargo, es utilizado en la

El total de 1 820 es tanto 7 x 260 como 5 x 364. Obviamente, el

numerología mesoamericana por ser divisible entre 5 y entre

año de 364 días tenía para los mayas gran significación; al con-

73, pudiendo así enlazarse con el ciclo sinódico de Venus, que

siderar la función del año de 364 días como una computadora

también es divisible entre 5 y entre 73: 365 x 117 = 73 x 585. Una

fácil de usar (Thompson, 1941), inconscientemente di la impre-

igualdad interesante es 365 = (16 x 17) + (3 x 31), en donde apa-

sión de que suponía que era su única función, aunque, como es

recen tanto el 17 como el 31 (ver el número 17 y el 31 en este

natural, bien conocía su uso en las tablas del zodiaco. Vale la

apéndice).

pena tener presente el número de cómputos largos divisibles entre 1 820. 209 [1820 = 364 x 5.]

En la iconografía mesoamericana se puede ver la entrada al inframundo como una boca olmecoide, con su labio superior formado por dos serpientes que se miran de perfil, semejando una especie de bigote. Estas dos serpientes aparecen también de perfil y enfrentándose en el calendario azteca o Piedra del Sol

206


207

Ibid., p. 53.

208

Ibid„ p. 68.

para la creación y la vida. Estas dos serpientes también son las

209

Ibid., p. 266.

que forman los anteojos de Tláloc y significan la dualidad.

210

Ibid., p. 267.

como la franja celeste. Son los iguales y contrarios necesarios


El número 365.2422. Es la duración del año trópico en días.

Si se encuentra la diferencia entre 550 420 y 542 880, se ten-

Aveni se pregunta si hay algún testimonio calendárico de que

drá 7 540, que equivale a 20 ciclos sinódicos de Saturno (20 x

los mayas se interesaran por el año trópico y explica que en

377 = 7 540). Finalmente, 542 880 es igual a 1508 x 360.

algunos lugares ha encontrado fechas de cuenta larga separa-

También mediante el ciclo sinódico de Saturno podre-

das por 19.5.0 o 6 940 días, las cuales equivalen a 19 años tró-

mos encontrar el 819, número que es igual a (2 x 377) + 65 =

picos, que a su vez equivalen a 235 lunaciones (235 x 29.5308 =

819; 65 es la novena parte del ciclo sinódico de Venus. Al ciclo

6 939.738 = 19 x 365.2422). Desde los olmecas hasta los azte-

sinódico de Saturno lo podremos relacionar con los ciclos

cas el interés por el año trópico ha sido constante, pues a lo

sinódicos de Venus, de Mercurio (tomado de 116 días) y el

largo de esta investigación se ha visto que el año trópico inter-

tonalpohualli. La siguiente igualdad lo demuestra; 585 x 116 =

viene como factor de varios números volumétricos y que la

260 x 261 = 67 860 = 377 x 180 (ver el número 819 en este

duración que se le asigna va de 365.1970 a 365.26 días.

apéndice).

Munro Edmonson ha encontrado que 1 507 x 365.2422 =

También encontramos que 2602 + 260 = 2 340 x 29 = 67 860,

550 419.9954 ≈ 550 420 y que 1 508 x 365 = 550 420, y a este

número relacionado con el ciclo sinódico de Saturno, 67 860 /

ciclo lo ha llamado gran era solar. Para igualar el calendario de

377 = 180, medio ciclo solar considerado de 360 días.

cuenta de 365 días con el del año trópico habría que descontar un año cada 1 508 años (ver el número 1 508 más adelante).

El número 378. Se puede factorizar como 3 x 7 x 18; el 3 es solar; el 7, lunar; y el 18, factor del año ajustado a 360 días.

El número 365.25. Es aproximadamente el periodo sideral de

El 378.1 corresponde al ciclo sinódico de Saturno.

la Tierra, uno observado con respecto a las estrellas fijas. Corresponde también al año base del calendario juliano, esta-

El número 385. Este número es el de la suma de las cabezas de

blecido por Julio César en Roma durante su gobierno.

Tláloc y de la Serpiente Emplumada que deben haber existi-

El 365.25 corresponde aproximadamente a la duración

do en los tableros del viejo templo de Quetzalcóatl, en

del ciclo solar anual conocido como año trópico, cuya dura-

Teotihuacan, además de 16 cabezas de serpiente en las alfar-

ción real es de 365.2422... días, y en algunos cálculos los meso-

das, que dan un total de 385. Este número se puede descom-

americanos así lo tomaron.

poner en 5 x 7 x 11. Por otro lado, 385 x 3 = 1 155, que equivale a 11 x 105.

El número 366. En algunos cálculos se encuentra el 61 como

En ambos casos el 11 es factor, y está representado como

factor (61 x 64 = 3 904). Corresponde al año bisiesto de 366

11 plumas, pétalos o rayos que rodean la cabeza de Quetzal-

días, ya conocido por el mundo mesoamericano, de acuerdo

cóatl en ese templo. El 105 es significativo del tiempo que

con Sahagún:

pasa el Sol por arriba de la latitud de 15° N, tiempo que transcurre entre el primer y segundo pasos cenitales del Sol en esa

A los cinco días restantes del año, que son los cuatro últimos de

latitud (Copán e Izapa). El tiempo de fructificación cuando la

enero y el primero de febrero, llamaban nemontemi, que quiere

Madre Tierra da a luz los frutos de su embarazo iniciado

decir días baldíos, y teníanlos por aciagos y de mala fortuna:

durante el segundo paso cenital del Sol, el 13 de agosto en

hay conjetura que cuando agujereaban las orejas de los niños y

Izapa y Copán.

niñas, que eran de cuatro años, echaban seis días de nemontemi,

El número (385 x 2) / 245 = 3.1428 = (2 x 5 x 7 x 11) / (5 x

y es lo mismo del bisiesto que nosotros hacemos de cuatro en

49) = π. Esta constante en Mesoamérica vale de 3 a 3.25. Por

cuatro años.211

otro lado, 385 - 1 = 13 x 29.5384; este último es el ciclo sinódico de la Luna, aproximadamente.

El número 377. Éste es el número de días del ciclo sinódico ajustado de Saturno (378.1 días es el promedio) y equivale a

El número 399. Corresponde al ciclo sinódico de Júpiter (398.9

29 tlalpillis, en números absolutos (13 x 29 = 377). Se puede

días promedio). Es un número que no se puede enganchar

decir que el ciclo sinódico de Saturno es igual a la diferencia

directamente con el tonalpohualli, por no ser múltiplo ni del

entre 550 797 y 550 420, en donde 550 797 = 1 508 x 365.25 y

13 ni del 20, por lo que fue poco empleado en la numerolo-

550 420 = 1 508 x 365. El 377 es un número de la serie de

gía mesoamericana. No obstante, por ser múltiplo del 7,

Fibonacci (ver el número 1 508).

número lunar, fue utilizado como la altura del prisma recto rector envolvente virtual, tomado por talud, del primer cuerpo de El Castillo en Chichén Itzá. En el capítulo “Las supuestas tablas planetarias” de Un comentario... Thompson dice lo

211



siguiente:

Valiéndose de algunos hallazgos de Ludendorff, Spinden demos-

El número 511. Su factorización es 73 x 7 y también (17 x 30) +

tró, para su propia satisfacción, que el CoL que conducía al alma-

1. En la diferencia se encuentra la unidad: 511-510 =1.

naque del 3 Lamat anterior trata, no de Marte, sino de Júpiter.212

El número 520. Es igual a dos tonalpohuallis y sirve para conEl número 405. Es factor del MCM 11 960: 11 960 / 405 =

tar el número de eclipses posibles en un lapso de 520 días.

29.5308. Contiene como factor el 81, la constante lunar de

Durante ese tiempo pueden ocurrir tres eclipses. El llamado

Palenque (405 / 5 = 81). Se encuentra en la piedra calendári-

medio año de eclipses dura 173.31 días y es aproximadamen-

ca llamada Piedra de las 405 Lunas. Al respecto Thompson

te la tercera parte del ciclo de 520. Comprende 10 xiuhmolpi-

escribe: “Pese a algunas irregularidades, en mi opinión, la

llis -celebraciones del Fuego Nuevo- y de cinco siglos mesoamericanos, además de 40 tlalpillis (13 años es un tlalpilli),

tabla lunar está claramente destinada a formar un nuevo ciclo de 11 960 días, que son 46 x 260 = 405 lunaciones213 (11 960 =

considerando todos los números como absolutos. El 47 está

46 x 260 = 405 x 29.5308).

relacionado con el 520, ya que 520 = (11 x 47) + 3. El 520 cabe

El número 441. Los factores 72 x 32 = 441 lo relacionan con la

mencionado en Un comentario al Códice de Dresde, de Thomp-

Luna y con Mercurio. (El 7 es lunar, el 9 solar y mercurial.)

son, como almanaque 61; 5 x 104 = 520.

El número 468. Si a 520 se le restan 52 años, se tiene 520 - 52 =

El número 552. Éste es uno de los más intrigantes números

468, que corresponde a 4 x 117, es decir, cuatro veces el ciclo

del catálogo de glifos mayas de Thompson, que indica el glifo

sinódico de Mercurio ( 1 1 7 x 4 = 468). (Ver el número 4 680.)

de las bandas cruzadas y que tiene como prefijo el 47 y como

23 veces en el 11 960; 11 960 = 23 [(11 x 47) + 3]. El 520 está

sufijos el 23 o el 24.216 El 23 es sufijo del glifo catalogado con

El número 486. Es la suma de ocho tránsitos consecutivos de

el número 552 o número de las bandas cruzadas del Catálogo

Venus que se ha llamado gran ciclo de tránsitos de Venus. Se

de Thompson.217 El número 24 aparece como sufijo del glifo

encuentra en la espalda de la escultura de Tlahuizcalpan-

número 552 o número de las bandas cruzadas del Catálogo de

tecutli,

de

glifos mayas de Thompson.218 Tiene particular interés por estar

Stuttgart, Alemania.214 Los periodos en años entre los tránsitos

relacionado con el ciclo sinódico de Venus. Todo indica que

son de (8+ 105.5+ 8)+ 121.5+ (8+ 105.5 + 8)+ 121.5 = 486 años.

este glifo tiene relación con los eclipses y el año trópico, y

conocida

como

Xólotl,

en

el

Landesmuseum

que representa la unión de la Luna y el Sol, por lo cual los

El número 487. Se obtiene de tomar 28 veces el ciclo del año

arqueólogos creen ver en esto un coito. Efectivamente, es el

trópico como de 365.25 días y el resultado dividirlo entre 21:

momento en que la Luna y el Sol se unen provocando un eclip-

(365.25 x 28 = 10 227; 10 227 / 21 = 487).

se. Se sabe que para que se produzca un eclipse la Luna debe estar en un nodo, es decir, que cruce la eclíptica por el punto

El número 504. Este número lo encontramos como la suma de

en donde se encuentre el Sol en ese momento. El glifo de las

espacios y rectángulos que adornan las fachadas de El Castillo

bandas cruzadas se puede interpretar a través de la geome-

en Chichén Itzá. Allí aparecen 288 rectángulos y 216 espa-

tría y trigonometría; por ser sus factores 23 y 24,219 geomé-

=

tricamente, a la manera indígena, se puede representar por un

144), que tomado 1 000 veces nos da el baktún maya de 144 000

rectángulo Σ 23 x 24 M 1.043. El ángulo que forma la diago-

días. El 216 es el doble del 108, número lunar importante que

nal de ese rectángulo con su lado menor es de 46.2188°, que

cios. El 288 corresponde al doble del cuadrado de 12:

(122

se explicó al hablar del 27, correspondiente al ciclo dracónico lunar ajustado. El 504 está tanto en la serie del 21: ( 7 x 3 = 21), como en

212


213

Ibid., p. 266.

214

la del 28: ( 7 x 4 = 28), por lo que puede expresar ciclos lunares, de la Tierra y solares. Sus factores son 23 x 32 x 7 = 504 y los múl-

215

tiplos de estos factores. El 504 está expresado en la cerámica del valle de Tehuacán como uno de los números clave del

Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa, El caminante celeste, edición del Gobierno del Estado de Puebla-INAH, México, 1992. Fernando Ximello Oguín, Ndachiná-Teohuacan, edición del autor, Tehuacán, 1994, pp. 34-35.

216

J.

Eric

S.

Thompson,

A Catalog of Maya Hieroglyphs, op. cit.,

p. 119. “El glifo

en cuestión es el signo de las bandas cruzadas (552) con prefijo 47 y

calendario popoloca, en un plato de ofrenda de cerámica roja;

al

(23) o

il (24).” Respecto a los sufijos, Coe (2001) dice: “Afar more common morpho-

se encuentra en la banda de la orilla y en el centro está el

syllabic sign is il. This can express an abstractive suffix that transforms a speci-

número 273: (3 x 91 = 273), del “calendario lunar arcaico de

fic noun into its abstract form (somewhat similar to the suffixes -ness or -ship

Mesoamérica”. 215

in English), for example”. 217 218

El número 510. Su factorización es 17 x 30 y 51 x 10.

Ibid. Ibid.

219 Ibid.


379

es aproximado al ángulo de 47° entre los trópicos determina-

neta 116.872 días de duración, lo que es correcto. La relación

dos por la eclíptica, y es el mismo ángulo de la cruz de San

con Júpiter, cuyo ciclo sinódico es de 399 días, puede ser la siguiente: el

Andrés que se presenta en este libro. Por medio del 299 se entienden los prefijos señalados por Thompson para el glifo correspondiente al 552 de su catálo-

MCM

de 35 880 y 399 = 4 772 040 es igual a 133

35 880, que es igual a 11 960

x

x

399. De igual manera, 4 772 040

es igual a 780 x 6 118.

go, los números 23 y 24. Se relaciona el siglo mesoamericano

Lo anterior nos indica que la Luna entra en conjunción

con el 24 y se observa que 104 x 24 = 2 496 y que 2 496 / 624 =

con diversos planetas; de ahí la leyenda de que la Luna era

4. Se multiplica 624 x 23 = 14 352, que entre 552 = 26. Si se

casquivana y que a pesar de ser la esposa del Sol tenía rela-

toma 552 x 26, se ve que es igual al siglo mesoamericano mul-

ciones con otros astros. En el Códice de Dresde, junto con el

tiplicado por 138, cuyo resultado es igual a 23 x 624, que a su

glifo marcado por Thompson con el número 552, efectiva-

vez es igual a 24 x 598 = 14 352. La diferencia entre (552 x 26) -

mente se ve a la Luna copulando con diversos individuos,

(520 x 27) = 312, que corresponde a tres siglos mesoamerica-

entre los que se encuentran el Sol, Marte, Venus, Mercurio,

no. El 312 es la diferencia, tomando todos los números como

Júpiter y Saturno.

absolutos, entre una era cosmogónica de 676 años y 364, el

El número 552, ya analizado cuando se explicó el año trópico y su engranaje con el tonalpohualli, es el signo de las

ciclo anual del Sol del inframundo (676 - 364 = 312). El 552 pertenece tanto a la rueda de números lunares de

bandas cruzadas. Puede ser uno de los más importantes de la

base 23 como a la de números de base 24, ya que 23 x 24 = 552.

numerología mesoamericana, ya que demuestra que se cono-

Thompson, al hablar acerca del 11 960; (46 x 260 = 11 960 =

cía perfectamente el valor del año trópico; se dejó constancia

405 x 29.5308 ), nos dice que “(46 x 260 y 405 lunaciones) no

de ello, no solamente mediante este número, sino principal-

sólo servían para predecir los días en que se podían observar

mente por el signo de las bandas cruzadas que se ven con

eclipses solares, sino también para cálculos de larga distan-

mucha frecuencia en los niños-jaguar de la cultura olmeca y

cia de edades lunares, como lo señaló Teeple (1930, p.

86)”.220

en los sacerdotes que cargan o presentan a estos niños.

Para el número de eclipses se utiliza el 520: 23 x 520 = 11 960.

≈ 11 960 (la diferen-

Un glifo común y muy antiguo -aparece ya en dibujos olme-

cia se debe al empleo de decimales), número que confirma un

cas-, y como la mayoría de los glifos simples de larga genealo-

eclipse. Los factores del 552 son 23 y 24: (23 x 24 = 552).

gía, con el paso del tiempo probablemente haya reunido diver-

Por otro lado, 29.5308 x 405 = 11 959.974

sos significados.221

Cuadro del número 552 La relación entre el ciclo sinódico de Marte, de la Luna, la constante de Palenque (81), los tres medios años de eclipses o 520 mediante el número 35 880 = 552 x 65 Número

Ciclo

Astro

35 880 35 880 35 880 35 880

Tonalpohualli, 260 Sinódico, 780 Sinódico, 29.5308 Medios años de eclipses, 173.33 Dos tonalpohuallis, 520

Sol Marte Luna Luna

35 880


Factorizaciones 138 = 2 x 3 x 23 46 = 2 x 23 1 215 = 3x405 207 = 32 x 23

Continúa Thompson diciendo acerca del glifo que lleva el número de catálogo 552:

El glifo en cuestión es el signo de las bandas cruzadas (552) con prefijo 47 y al (23) o il (24) como sufijo. Por aparecer en esta clase de escenas, se le ha interpretado como signo de coito y, aunque de manera poco convincente, en una ocasión se le ha

Sol

69

69 = 3 x 23

leído fonéticamente como matrimonio. Fuera de la extrema improbabilidad de que los mayas aplicaran este término para

Se puede ver la siguiente igualdad, que muestra varias coin-

matrimonio -tomar marido- a la intimidad con criaturas como

cidencias de ciclos: 35 880 / 23 = 1 560 = 2 x 780 = 260 x 6 = 12 x

buitre, un venado, un perro (porque el glifo está arriba de esce-

130 = 120 x 13. Así vemos que mediante el 35 880 la Luna se

nas o de textos de ese tipo), el mismo compuesto figura con ilus-

relaciona con Marte y con el tonalpohualli, e igualmente con

traciones con temas enteramente distintos, por ejemplo cuando

Venus a través del 65, su novena parte, ya que 35 880 / 65 = 552,

la diosa aparece con niños, en el almanaque sobre factura de

el número que nos ocupa. La relación con Venus es indirec-

redes (D.2c) y en la escena de sacrificio humano (D.3a).222

ta, pues (65 x 3) x 552 = 107 640 = 585 x 184. La relación con Mercurio es directa tomando como ciclo sinódico de ese pla-

La aparición de esta diosa con niños no es de extrañar, pues se dijo anteriormente que es precisamente con niños, niños-jaguar, que se simboliza el cruce del Sol con el ecuador

220


celeste, cuando ocurren los equinoccios. De esta unión nace

221

Ibid.

un año nuevo. La interpretación como signo de coito la con-

222

Ibid., ρ 120.

sidero correcta. Ya hablamos acerca de las infidelidades de la


Luna, que aunque no se separa de la eclíptica más de 5o tam-

se trata de planetas, ya que las bandas cruzadas implican cru-

bién se cruza con la órbita de otros astros provocando conjun-

zamiento de órbitas con la eclíptica, y a esta línea correspon-

ciones que se pueden equiparar con las infidelidades de nues-

de el camino que siguen los planetas, con diversas inclinacio-

tro satélite.

nes, mas no lejano del recorrido del Sol.

“En apoyo de la interpretación de las bandas cruzadas en

Para comprobar todo esto se recurre a la aritmética. Se

contextos celestes como algo que atraviesa el cielo.”223 No

dijo que los sufijos del glifo 552 son el 23 y el 24. Tomados en

solamente que lo atraviesa, sino que se cruza con la línea

grados, su suma será de 23° + 24°= 47°, que significa el ángu-

ecuatorial imaginaria, la eclíptica y las líneas de órbita de los

lo entre los trópicos, tomando como vértice el Sol en el

planetas y de otros astros, como Aldebarán, de la constelación

momento de los equinoccios. La latitud del Trópico de Cáncer

de Tauro, en el caso de la Luna.

es aproximadamente 23.5° latitud norte y la del Trópico de

Estoy de acuerdo con Thompson en considerar que el

Capricornio es 23.5° latitud sur, que sumados dan 47°. Ésta es

glifo se remite al viaje de la Luna por el cielo, pero más bien

la razón por la que tal vez Thompson interpreta con este valor

se refiere al nodo por el que atraviesa en su recorrido celeste

el número 47, prefijo del glifo 552.

alcanzando el Sol y provocando un eclipse. En cuanto al coito,

El 552 es el resultado de multiplicar 23 x 24 = 552. El glifo

se puede tomar en sentido figurado como la unión de estos

pertenece a la serie del 23, que marca el infijo, y a la serie del

astros de la que nacerá el niño-jaguar, el hijo del Sol. Pero la

24, que marca el otro infijo (552 / 23 = 24). Esto quiere decir

Luna, al cruzarse con otros astros, también tendrá hijos de

que siendo ambos factores del 552 los infijos que se señalan

ellos, como lo demuestra el Códice de Dresde, en el que se ve

en el códice son también los que determinan a qué serie per-

a una mujer -que representa a la Luna- cargando a niños o

tenece este número. Los factores del 552 son 23 y 24: (23 x 24 =

teniendo

que Thompson

552). Se puede formar un prisma recto con los números abso-

describe como un buitre, un venado o un perro. Hay que agre-

relaciones

con diversas criaturas,

lutos 24 x 24 x 23 = 13 248 unidades cúbicas. Si este número lo

gar a esta lista a una calavera y a un tejón. Todas estas cria-

dividimos entre 82, tendremos 13 248 / 64 = 207, que es igual a

turas representan a alguno de los astros con los que la Luna

23 x 9. Otra vez se encuentra el 23, que marca el infijo.

tiene relaciones. El planeta que es posible identificar con la

El 11 960 tiene también como factor el 23, que a su vez es

calavera es a Venus, de acuerdo con la escultura de Tlahuiz-

factor del 552, por lo que quedan relacionados mediante ese

calpantecutli, cuyo frente es una calavera y en la espalda apa-

número. Además 11 960 / 23 = 520; el 520 es igual a dos tonal-

rece el sistema solar representado por Quetzalcóatl, dios del

pohuallis, el número mediante el cual se calcula la cantidad de

sistema planetario. Los planetas tienen órbitas que asemejan

eclipses, pues contiene exactamente tres medios años de eclip-

el zigzaguear de las culebras al compararse con la eclíptica. El

ses (520 / 3 = 173.333). Se concluye por lo tanto que el infijo

ojo de reptil sería el óvalo que se forma entre la línea de la

23 nos señala posibilidad de eclipses.

eclíptica y la de la órbita de un planeta al pasar entre dos

Si al 585 se le resta 552, se obtiene 33, número relaciona-

nodos; por esto el reptil es símbolo de la franja celeste. Es el

do con eclipses. Si al 552 se le resta 117, se tiene 435, que

camino que recorren todos los planetas

dividido entre 15, número solar, da un número lunar, el 29. Si

“Por lo general hay consenso en que esa banda representa al planeta Venus en conjunción con diversas constelaciones

se resta 552 de 780, se obtiene 228, que dividido entre 12 (número solar) da el 19, número lunar.

o en las casas de ellas.”224 El consenso es correcto en cuanto

Se puede considerar como todavía dentro del límite de la

que representa una conjunción, pero creo que se trata de la

duración de los ciclos sinódicos de Venus el 583. Si a 583 le

Luna con diversas constelaciones y con los planetas, y no

restamos 31 obtendremos 552, que a su vez es igual a 23 x 24,

Venus. La Luna es el satélite que entra en conjunción con

que nos estaría indicando una conjunción de Venus con la

estrellas de cinco constelaciones, como son Aldebarán (10°

Luna. Si al 584 le restamos 32, obtendremos 552. El 32 corres-

norte), Antares (3o sur), Póllux (5o sur), Régulus (10° sur) y

ponde a un factor lunar como número funcional (NF).

Spica

(3o

sur).225

Además entra en conjunción con Mercurio,

Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Para tratar de saber si se trata de conjunciones con constelaciones o con planetas, recurrimos al Códice de Dresde, en donde vemos que la mujer que

223

representa a la Luna tiene relaciones con cinco figuras diver-

224 Ibid.

sas, entre las que se ve a una en forma de calavera, que representa en este caso a Venus. 226 Como son cinco tanto conste-

Ibid.

225

Datos tomados del 164 calendario del más antiguo Galván, México, 1990.

226

Margarita Martínez del Sobral y María Elena Landa, op. cit. La escultura de Tlahuizcalpantecutli que se encuentra en Stuttgart, Alemania, tiene el

laciones como planetas con los que puede tener relaciones,

frente de una calavera. Toda la figura se remite al planeta Venus, de la

bien se puede tratar de unas u otros. Me inclino a pensar que

dualidad vida y muerte.


381

Para tener una coincidencia de ciclos de Venus con el año, lo multiplicaremos por el número 552: 365.25 x 552 =

El número 583.92. Corresponde al ciclo sinódico promedio de Venus en la astronomía moderna.

201 618 días. Ahora dividiremos el producto entre 23 (que es el infijo) tomado 18 veces, que equivale a 414: 23 x 18 = 414;

El número 584. Algunas veces fue considerado como el núme-

201 618 / 414 = 487, que equivale al ciclo de tránsitos de Venus

ro de días de la revolución sinódica de Venus, aunque su dura-

más 1. Así habremos relacionado de manera indirecta los trán-

ción media es de 583.92 días. El 584 está en relación de pro-

sitos de Venus con el año y con el número 552.

porción áurea con el ciclo solar de 365 días -considerando el valor de φ entre 1.6 y 1.625, como lo fue en Mesoamérica (584 /

El número 565. Otro número del Catálogo de Thompson es el

365 = 1.6).

565, que se encuentra en la rueda de números venusinos de base 5. Es un número que aparece con el glifo de las bandas

El número 585. Generalmente fue considerado como la dura-

cruzadas. Entre los numerales mayas en forma de cabezas se

ción en días de la revolución sinódica de Venus. El 585 está

encuentra el 565, número que se obtiene al agregar al 552 el

en relación de proporción áurea -considerando el valor de φ

sufijo que vale 13, y que aparece en el glifo de las escamas del

entre 1.6 y 1.625- con el ciclo solar de 360 y de 365 días (585 /

vientre de serpiente que a veces sustituye al glifo de las ban-

360 = 1.625 y 585 / 365 = 1.6027).

das cruzadas. Se tiene que 552 + 13 = 565.227 La serpiente de

El 585 en unidades es la altura de un prisma que he lla-

vientre escamado no es más que la banda celeste, el camino

mado prisma de Venus, que tiene 26 u x 27 u en su base. Si a

del Sol y los planetas: es la eclíptica.

936 le restamos 585, obtenemos 351. El 351 es un número

La diferencia entre el 585 (duración de una revolución sinódica de Venus) y el 565 es de 20 días o un mes del calen-

lunar que contiene 13 veces el ciclo dracónico ajustado de la Luna, 27.

dario civil. Si se multiplica (585 / 5) x (565 / 5) = 117 x 113 = 13 221, que dividido entre 13 x 113, que es igual a 1 469, nos

El número 637. Corresponde a 13 x 72 = 637 y a 7 x 91 = 637,

da 9. De esta manera quedan relacionados el 585 y el 565

que es un número lunar.

mediante el número 9, el 13 y el 113: (9 x 13 x 113 = 13 221). Con estas cuentas habremos relacionado tanto a Venus como

El número 676. Corresponde a una era cosmogónica de 676

a Mercurio.

años y a 13 veces el ciclo del 52. También es el cuadrado de

Además 23 + 24 = 47, número que aparece como sufijo del

26: (13 + 13)2 = 676. Por otro lado, 20 x 676 = 52 x 260 = 13 520

565 en el Códice de Dresde y del que se hablará al exponer la

y 52 x 365 = 18 980 = (28 x 676) + 52 = 260 x 73. La diferencia

significación del ángulo entre los trópicos. También 23 x 24 =

entre 18 980 y 13 520 son 21 tonalpohuallis.

552; 552 + 13 (un tlalpilli) = 565. Thompson nos dice al respec-

La relación con el ciclo lunar de 29.5308 días se obtiene

to: “el glifo del segmento de serpiente (565 b) a veces sustitu-

así: 364 x 32 = 11 648; 11 960 - 11 648 = 312, complemento de

ye al signo de las bandas cruzadas y tiene el mismo prefijo

364 para valer 676: (364 x 32) + 312 = 405 x 29.5308.

47". 22 8

Ya que el glifo del segmento serpiente (565 b) a veces sus-

Señala el Códice Fuenleal para la primera edad una duración

tituye al signo de las bandas cruzadas y tiene el mismo prefi-

de 676 años (Anales, t. II, p. 88). La segunda se extiende al

jo 47, se considera este prefijo común en la numerología del

mismo periodo; la tercera, a 364; y la cuarta, a 312 años, res-

552. El 47 equivale a la suma de 23 y el 24: (23 + 24 = 47). Si

pectivamente. Estas cuatro edades suman así 2 028 años, y

se divide 47 / 2 = 23.5°, que equivale (en grados) a la distan-

encierran, tal vez, alguna nueva aplicación de los movimientos

cia entre el ecuador celeste y los trópicos, por lo que está rela-

de Venus al cómputo, aunque los dos primeros ciclos sean más

cionado con el movimiento anual del Sol. El ángulo de 23.5°

bien lunisolares.229

es la máxima altura del Sol a partir del ecuador celeste y corresponde al Trópico de Cáncer en el hemisferio norte y al Trópico de Capricornio en el hemisferio sur.

Si se multiplica 364 por 31 en vez de por 32, se obtiene 364 x 31 = 11 284; 11 960 - 11 284 = 676, la era cosmogónica, con la que quedan relacionados los ciclos siguientes: 364, 312, 29.5308

y 676. De esta manera se puede equiparar la Luna

con el Sol del inframundo. Probablemente se podría representar lo anterior mediante un rectángulo Σ 32 x 31 227 228

J. Eric S. Thompson, A Catalog of Maya Hieroglyphs, op. cit., p. 121.

Ibid.

229

M

=

1.03225. La suma de 32 + 31 = 63 = 21 x 3 = 32 x 7. Estando


como factor el 7, se tratará de un número lunar. Si ahora mul-


tiplicamos un lado del rectángulo por otro, tenemos 31 x 32 =


992, número relacionado con el ángulo del límite eclíptico

(19.9.0.) para completar un ciclo y volver al

(31°) por tener como factor el 31 (ver el número 31 en este

la que presentamos a continuación:

apéndice). 230

lub.

La secuencia es

Múltiplos de 54, desde 1 hasta 13, siendo éste el equivalen-

La era cosmogónica se puede dividir en dos sumandos:

te de 702 días. Luego múltiplos de 702, desde 1 hasta 10, alcan-

312 + 364 = 676. De acuerdo con la leyenda, 364 años fueron

zándose con éste 7 020 días, término del ciclo y recuperación

los que rigió Tláloc al ser sustituido por Chalchihuicueye, por

del

lub.

Luego vienen los siguiente múltiplos de 7 020: 2, 4, 6, 8,

lo que se puede considerar que éste es el número de Tláloc, Sol

10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 y 24. La preferencia por el doble de

del inframundo, y que su complemento, el 312, es número de

7 020 probablemente se deba a que éste es igual a 54 x 260, de modo

Chalchihuicueye, su contraparte, la Luna.

que el 54 original se recupera como multiplicador. Más aún, el

En el volumen total del tercer cuerpo de la Pirámide del

7 020 es un número par de tunes (1.19.0.0.).232

Sol en Teotihuacan, expresado en números absolutos, quedó registrado el 676, que equivale a una era cosmogónica de 676

El número 728. Es el doble de 364, el año del Sol del inframun-

años o 13 veces el ciclo de 52 años. El 676 es el cuadrado de

do, y por lo tanto se puede interpretar de la misma manera.

26 = 676. También 20 x 676 = 52 x 260 y 52 x 365 = 18 980 =

Corresponde a 26 meses lunares de 28 días, calendario lunar uti-

28 x 676 + 52, y de esta manera se relaciona también con el

lizado en el sureste de Estados Unidos. “Los indios del sureste

tonalpohualli.

estadounidense contaban las lunas visibles de un ciclo, de suerte

El número de oro aproximado se encuentra dividiendo el

que como cuenta lunar más importante aparece el número 28,

volumen del primer cuerpo de la Pirámide del Sol entre el vo-

no el 29 ni el 30.”233 Se encuentra también como número volu-

lumen del segundo: 1 092 / 676 = ϕ = 1.615... (ver el número

métrico del segundo cuerpo de la Pirámide del Sol.

1 092 en este apéndice).

El número 687. Es el periodo sidéreo de Marte en días.231

El número 780. Corresponde al ciclo sinódico de Marte. Se ha considerado que es un número utilizado en el Códice de Dresde no como un número planetario sino solamente como un múl-

El número 693. En dos años de eclipses se tienen 346.5 días x

tiplo del 260: (260 x 3 = 780); 10 x 78 = 780. Se encuentra en

2 = 693 días, que corresponden a 11 periodos de 7 x 9 días: (7 x

los almanaques ampliados, almanaque 63, de acuerdo con

11 x 9 = 693). Por pertenecer el 693 a la serie del 11 nos expli-

Thompson, quien dice: “Este almanaque triple, examinado

camos su relación con los eclipses (693 / 11 = 63; 21 x 3 = 32 x

con anterioridad, es introducido por un Col y por una tabla

7 = 63).

de multiplicar de 6 x 13”. Los múltiplos de 78 se encuentran

A través del 36 036, MCM de 364 y de 693, relacionamos

en las páginas 24 y 46-50 de ese códice.

este último con el Sol del inframundo y con el ciclo del medio siglo mesoamericano por medio de la siguiente igualdad: 36 036 = 364 x 9 x 11 = 693 x 52. El 693 representa la Luna y

los eclipses. 230

El número 702. El 702 u2 es el área de la base del primer cuerpo de la Pirámide del Sol. Por ser 26 x 27 = 702 el área de la

Zelia Nuttall, op. cit., p. 49. Presenta en esa página una figura que tiene 13 unidades en el círculo exterior, siete en el segundo, tres en el tercero y una en el centro. Se sabe que este dibujo estará relacionado con la Luna y con el sistema solar, por incorporar en el número final el 13 (13 unida-

base de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, tiene como factor

des en el círculo exterior) y el 7 (siete unidades en el siguiente círculo). Del

el 27, que ajustado es el ciclo dracónico lunar relacionado con

centro hacia afuera está otro círculo dividido en tres partes que vale tres

los eclipses. El 702 corresponde a seis ciclos sinódicos de

unidades. Si esto fuese así, la figura sería un calendario que relaciona la

Mercurio, y si se le agrega otro ciclo mercurial se obtiene 819,

Luna con el 273 y por lo tanto con el calendario lunar de 819 días. Los dobles círculos que separan cada círculo aparentemente significan multi-

número lunar: 117 x 7 = 819 (ver el número 27 y el 81). Si al

plicación por 8, así que multipliquemos todos los términos: 13 x (7 x 8) =

819 se le suma 117, se obtiene 936, que va directamente a la

728 (el doble de 364, el ciclo del año del inframundo relacionado con la

era maya: 1 872 000 / 936 = 2 000. También 936 = 3 x 312,

Luna); 728 x 3 = 2 184, que es el doble de 1 092, número que se encuentra en el volumen de la Pirámide del Sol. Señala seis años del Sol del infra-

este último el número de Chalchihuicueye. Si 936 x 10 = 9 360,

mundo (2 184 / 6 - 364). Si 2 184/ 13 = 168: (11 960 / (81 x 5) = 29.5308, el

obtendremos el thix maya para calcular eclipses.

ciclo sinódico lunar; 2 184 / 8 = 273, 10 veces el ciclo sidéreo lunar;

2 184 /

7 = 312, el número de Chalchihuicueye, complemento de 364 para la era cosmogónica, 676 años: 364 + 312 = 676; 312 también equivale a tres

A la derecha de la página 73 se inserta un número 2 x 7 020, singularmente elevado, tal vez omitido por error de su lugar en la

siglos mesoamericanos: 312 / 3 = 104. 231


página 71 b. El lub de la tabla es 9 Ix, que se alcanza mediante

232


un número de serpiente de la página 69. Se necesitan 7 020 días

233


p. 86.


El número 803. Es el producto de 73 x 11 ; 73 corresponde a la

299, número de enlace = 23 x 13; 170 = 17 x 10, siendo el 17

quinta parte del año de 365 días y el 11 es representativo de eclip-

la orientación de la Pirámide del Sol en Teotihuacan; 104, los

ses. Es la unión o MCM del ciclo sidéreo y sinódico de la Luna,

años del siglo mesoamericano; 90, la cuarta parte de 360 días;

27.212 x 29.509 = 803. Si lo multiplicamos por 4 y por 1.6189 =

65, novena parte del ciclo sinódico de Venus; 27, aproxima-

5 200, número factor de la era maya; 1 872 000 / 5 200 = 360.

damente el ciclo sidéreo de la Luna; 20, el número base de sus

Se puede utilizar el 803 para calcular el valor de ϕ a partir de la era maya: 1 872 000 / 360 = 5 200; 5 200 / 3 212 =

cuentas; 9, el número de los Señores de la Noche; 5, el número de Venus; 2, la dualidad.

1.618... = ϕ, el número de oro. Podemos decir que el número de

Si 27.3 se multiplica por 10 se obtiene 273, que es la ter-

oro es igual a la era maya dividida entre 1 156 340 = 1.618...

cera parte de 819. A su vez la tercera parte de 273 es 91, que

El 1 156 340 está en la rueda de números de base 17, relacio-

es la cuarta parte del ciclo lunar de 364 días. En otras pala-

nado con los eclipses.

bras (819 / 9) x 4 = [(273 x 3) / 9] x 4 = 364, lo cual relaciona el ciclo del Sol del inframundo o ciclo lunar de 13 meses de

en cuadrantes de 819 días en estructura cuatripartita,234 lo que

28 días. Esto parece probarlo el hecho de que la palabra meztli en náhuatl quiere decir mes. También existieron 28 sema-

da un total de 819 x 4 = 3 276 = 120 x 27.3 días. Eso quiere decir

nas de 13 días. Seguramente hubo un calendario lunar basado

que el calendario basado en 819 días (819 / 30 = 27.3) tiene como

en el ciclo sidéreo de la Luna y expresado por medio del 819:

fundamento los meses sidéreos lunares que se cuentan a partir

(819 = 27.3 x 30 = 28 x 29.25 = 13 x 63 = 32 x 7 x 13 = 21 x 39).

El número 819. Los mayas dividieron la progresión del tiempo

de volver a estar la Luna en la misma posición con respecto a

Es importante porque sirve, de manera directa o indirecta,

una estrella fijada de antemano.235 Se ha confundido el divisor

para enlazar números astronómicos y el tonalpohualli, pero su

30 con el número de días (30) en un ciclo lunar.

importancia radica principalmente en que es el producto de dos

En cada ciclo sidéreo de la Luna de 27.3 días se produce

cuentas lunares, el 28 y el 29.25: (28 x 29.25 = 819). El tonalpo-

un alineamiento de una estrella, la Luna y la Tierra. Además

hualli queda enganchado con el ciclo del Sol del inframundo o

se tiene que (585 / 20) x 28 = 819, por lo que se llega a la

año lunar de 364 días, como ya se vio. También esto se logra a

siguiente igualdad: 29.25 x 28 = 27.3 x 30 = 819. Para trabajar

través del MCM de 364 y 260, el 1 820: (5 x 364 = 7 x 260 = 1 820).

con el ciclo sinódico de Venus entero se multiplica la igual-

El 819 es utilizado en algunas ocasiones como número

dad por 20. Por otro lado, 585 x 28 = 546 x 30 = 8 1 9 x 20 =

de enlace, ya que a través de él se logra relacionar el ciclo

16 380, número que se analiza en el cuadro de ese número en

sideral lunar con el tonalpohualli y con el ciclo sinódico de

este apéndice. Así se habrá relacionado el ciclo sinódico de

Venus. Esto es mediante el MCM 16 380 = 32 x 5 x 364 = 20 x

Venus con el sideral lunar de 27.3 días.

819 = 27.3 x 600 = 63 x 260 = 28 x 585 (ver cuadro del núme-

El 819 se puede expresar por medio de la sumatoria del

ro 129). Por lo anterior en la iconografía mesoamericana gene-

2 al 40, probablemente manifestada en alguna pieza de cerá-

ralmente aparecen la Luna y Venus juntos.236 A la luz de los

mica del valle de Tehuacán, como lo ha sido el 273, su terce-

números se observa que la Pirámide de la Luna en Teotihuacan

ra parte. En la sumatoria aparecen los siguientes números

es ambivalente, ya que tanto puede ser de la Luna como de

importantes que están explicados de forma individual en este

Venus. En la iconografía suelen aparecer símbolos lunares

mismo apéndice: 702, superficie de la base de la Pirámide del

junto a símbolos venusinos, como sucede en el marcador del

Sol; 405, las lunas en el MCM 11 960; 377, el ciclo sinódico de

juego de pelota de alabastro en Teotihuacan, en donde Tláloc

Saturno; 324, en la pirámide de Quetzalcóatl en Teotihuacan;

y la Luna se confunden en la iconografía. Algunas veces se simboliza a Tláloc en forma de olla para contener agua, de la misma manera en que la matriz femenina contiene el agua en la que

234

Linda Schele y David Freidel, Una selva de reyes, Fondo de Cultura Económica, México, 2000, p. 85.

235


236 Así

aparecen también en la iconografía de la virgen de Guadalupe: el ángel

a sus pies simboliza el planeta Venus y la Luna está como creciente, soste-

flota el feto, pero la olla también puede simbolizar la Luna. En el Códice borbónico se puede ver cómo el símbolo lunar es una matriz vista en corte vertical, en cuyo interior algunas veces aparece un cuchillo de sacrificio, que simboliza a Venus, y otras tiene un conejo, símbolo de la Luna llena (de un cone-

niéndolo. La virgen es también la Luna ocultando el Sol en un eclipse, por lo que solamente se ven los rayos de la corona solar que rodean a la ima-

jo) o embarazada. En ese momento Venus está en el infra-

gen. La virgen está embarazada y alrededor de su cintura se encuentra una

mundo y no visible por estar en conjunción inferior, esperan-

cinta anudada en un moño, que debió ser rojo, con el fin de evitar que el niño fuera dañado por el eclipse, de acuerdo con la mentalidad indígena. 237

Cecilio A. Robelo, op. cit., pp. 568-569. Que Tláloc tiene una íntima rela-

do renacer como Estrella de la Mañana o estrella de cinco puntas. Esta estrella puede simbolizar también a Mercurio si

ción con la Luna ya ha sido observado por Robelo, que reconoce en

se le da un valor a cada punta igual a la duración de uno de

Tláloc al padre de la Luna y en íntima relación con ella.

sus ciclos (5 x 117 = 585).237


Linda Schele consideraba que los mayas pensaban en la

Tomando 10 veces el producto de haber orientado el 819

sucesión de los días como en una sucesión de localizaciones

a cada uno de los rumbos del universo tendremos 10 x (819 x

en el espacio dividido en cuadrantes, cada uno de 819 días con

4) = 32 760 días = 14 x 2 340 = 16 380 x 2 = 32 760, que es un

su dirección y color.

gran MCM, pues en él coinciden los siguientes ciclos (ver el cuadro del número 819).

Sus antepasados remotos usaban esa estructura cuatripartita de

Cuadro del número 819

otro modo: dividían la progresión del tiempo en cuadrantes de 819 días... Se desconoce la razón exacta para escoger como base este

Análisis del 32 760, gran MCM igual a 819 multiplicado por el número de distancia 40

ciclo de 819 días, pero la suma es el resultado de multiplicar 7 x

Número

9 x 13, todos ellos números sagrados para los mayas.238

32 760 32 760

Por ser el 7 número lunar ( 7 x 4 = 28), el 9 mercurial (9 x 13 = 117) y el 13 del sistema solar, al quedar multiplicados entre sí para obtener el 819, quedan implicados la Luna, Mercurio y el Sol en el calendario de 819 días. Otra razón para escoger como base del antiguo calendario lunar el 819 puede

32 760 32 760 32 760 32 760

ser el ciclo sidéreo de la Luna de 27.3 días, la treintava parte

32 760 32 760

de 819: (819 / 30 = 27.3). Siendo el 30 un divisor exacto del 360,

32 760

la relación entre el calendario lunar y el solar se encuentra por

32 760 32 760

medio del 9 828 o 12 ciclos de 819 días: (9 828 = 819 x 12 = 12 x 30 x 27.3 = 360 x 27.3). De esta manera, el calendario lunar podría ser equiparado con el solar y el año podía ser contado por medio de los ciclos sidéreos de la Luna, dejando desde

Ciclo

Astro

Tonalpohualli,

Sol

260 Anual ajustado, 360 Sol del Inframundo 364 Siglo, 104 Medio siglo, 52 Medio año de eclipses, 173.33* Ciclo lunar, 819 Sidéreo, 27.3 Sinódico, 585 / 20 Sinódico, 117 Sinódico, 29.54


Factorizadones 126 = 2 x 32 x 7

Luna

91

91 = 13x7

Luna

90

90 = 360/22

315 630 189

Sol Sol Sol

Luna Luna

40 1 200

Venus

1 120

Mercurio Luna

280 1 109

315 = 5 x 32 x 7 630 = 10 X 3a X 7 189 = 33 x 7

40 = 22 x 10 1 200 = 3 x 22 x 100 1 120 = 22 x 7 x 22 x 10 280 = 10 x 28 1 109= (33 x 41)+ 2

*Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991, p. 95. ‘Los tres intervalos largos representan los números integrales o semiintegrales de meses sinódicos más cercanos al medio año de eclipses de 173 días y un tercio.”

luego fuera los cinco días nefastos o nemontemi. La coincidencia del ciclo solar del inframundo y el lunar dracónico

El 819 era utilizado por los mayas precisamente por tener

ajustado a 27 días sería cada 12 ciclos del antiguo calendario

como factores el 7, 9 y 13: ( 1 3 x 9 x 7 = 819), pues mediante

lunar de 819 días, ya que 12 x 819 = 9 828 y 9 828 / 27 = 364.

ellos se puede enganchar con los números de la serie del 7, 9,

Tomando el 12 como número absoluto, éste, además del 20,

13 y de sus múltiplos.239 Así tenemos, dentro de los de estas

sería el fundamento del baktún de 144 000 días, tan empleado

series, el 63 y el 91, números que nos permiten relacionar el

por los mayas y factor de la era maya: (122 x 1 000 = 144 000;

819 directamente con el ciclo sidéreo de la Luna, con el sinó-

1 872 000 / 144 000 = 13). Indirectamente se tiene 1 872 000 =

dico de Mercurio y con el Sol del inframundo (819 = 1 1 7 x 7 =

(819 x 2 285) + 585, igualdad que indica que el ajuste al calen-

63 x 13 = 91 x 9 = 30 x 27.3 = 21 x 39 y mediante el MCM 3 276

dario lunar se debería hacer agregando un ciclo sinódico de

con el 364: 3 276 = 364 x 9 = 819 x 4). La coincidencia con

Venus.

Venus se dará mediante el 3 276 x 10 = 32 760; 32 760 / 585 =

Orientando el 819 hacia cada uno de los cuatro cuadran-

28 x 2.

tes en que dividían el espacio, se tendría 819 x 4 = 3 276 días;

Un estudio del 819 hecho por Huberto Quiñones Garza

3 276 / 364 = 9 años lunares o del Sol del inframundo; 3 276 /

revela que una de las propiedades de este número es que al

117 = 28 ciclos sinódicos de Mercurio. Se toman siete de ellos,

dividirlo entre 260 se obtiene una buena aproximación de π:

uno por cada cuerpo de la pirámide de Quetzalcóatl, y se tiene

819 / 260 = 3.15. El valor de la constante π lo he encontrado

117 x 7 = 819. Este número corresponde a nueve veces un cuarto de año lunar (364 / 4 = 91; 91 x 9 = 819) y está íntimamente relacionado con los ciclos sinódicos de Venus (29.25 x 20 = 585), como con el andén del Sol (en números absolutos):

238

Linda Schele y David Freidel, op. cit., p. 87. Según Saburo Sugiyama, Eric

819 / 29.25 = 28. Así se habrá relacionado el lapso de 819 días

Thompson fue el primero, en 1960, en descubrir que el 819 es un ciclo

con Mercurio, con el año lunar de 364 días, con el andén del

calendárico encontrado en las inscripciones del periodo clásico maya. El

Sol y con el ciclo lunar mensual ajustado a 28 días. Es intere-

819 es un arcaico calendario lunar de la zona popoloca del estado de

sante notar que la diferencia entre 29.25 y 28 es 1.25, la uni-

Puebla. 239

J. Eric S. Thompson, “Maya Epigraphy: A Cicle of 819 Days”, en Notes on

dad de medida espacio-temporal en Teotihuacan. En la dife-

Middle American Archeology and Ethnollogy, Division of Historical

rencia se encuentra la unidad.

Research, num. 19, Cambridge, 1943.


en esta investigación de 3 a 3.25. Tanto el 3.25 como el 3.15

Confirmando lo dicho anteriormente, MacLeod dice que

los hallé como valor de π con frecuencia en los cálculos de los

los mayas pudieron haber utilizado el número 819 en la cuen-

mesoamericanos.240

ta de los días de ciclos sinódicos, como un instrumento para

El 819 es un número relacionado tanto con el ciclo sidé-

rastrear las posiciones de los planetas. Considerando que los

reo lunar como con el ciclo sinódico venusino: 819 = (585 x 63) /

periodos sinódicos observables a simple vista se pueden inte-

45; 585 = (819 x 45) / 63.

grar como sigue:

En las inscripciones en maya clásico era uno de los ciclos utili-

819 = 780 (un ciclo sinódico de Marte) + 39 (o 3 x 13).

zados como un número de distancia, que se contaba hacia atrás,

819 = 2 x 377 (un ciclo sinódico de Saturno) + 65 (o 5 x 13,

hasta llegar al nombre de un tzolkin particular que tuviera uno

o 1/4 de tonalpohualli).

como coeficiente. Porque el número 819 es divisible entre 13,

819 = 7 x 1 1 6 (un ciclo sinódico de Mercurio ) + 7 o 7 x 117

este coeficiente siempre permanecía invariable. En los jeroglífi-

(un ciclo de Mercurio de acuerdo con el Códice de

cos mayas existen glifos de palabras acompañados generalmen-

Dresde).

te por esta cuenta, tal como el Dios K, que generalmente está aso-

819 = 2 x 399 (un ciclo de Júpiter) + 21 (o 3 x 7).

ciado con el 819. De acuerdo con algunas fuentes, el Dios K era

Se puede decir que

un dios de las lluvias, generalmente asociado con Mercurio.

819 x 4 = 364 x 9.

Otra relación con la cuenta de 819 era el periodo de 40 días, simbolizado en los textos por huellas de pies. En los pasajes

El 819 probablemente se encuentra registrado en forma de

mitológicos del Chilam Balam llamado “La creación del uinal”

sumatoria del 2 al 40, dibujada o esgrafiada en alguna pieza

hay imágenes de huellas de pies usadas para medir el mundo, y

de cerámica del valle de Tehuacán, ya que de esta manera

este periodo de 40 días (dos veces el uinal) todavía es llamado por

acostumbraban expresar sus números astronómicos.

algunos mayas modernos un pie del año. Es la suma del número 2 al 40.241

También este número se puede asociar con el ciclo de Venus y con otros ciclos planetarios: 819 x 5 = 7 x 585; 819 x 5 = 4 095 = 585 x 7; 585 = 45 x 13 = 65 x 9 = 39 x 15 = 5 x 117.

Es indudable la relación del 819 o calendario antiguo

Al asociar 819 con el tzolkin maya o el tonalpohualli mexi-

lunar con Mercurio (819 = 7 x 1 1 7 ) . (Ver el cuadro del núme-

ca (ciclo de 260 días, años, siglos), obtenemos una relación

ro 819.) La pirámide de Quetzalcóatl está relacionada con

precisa entre Venus y la Luna:

Mercurio a través de su ciclo sinódico, pero considero que el Dios K, siendo dios de la lluvia, está más relacionado con la

819 x 260 = 364 x 585.

Luna que con ese planeta.

819 x 115.95 (ciclo de Mercurio) = 260 x 365.2425 (año

Al respecto Valerie Vaughan sostiene:

trópico). 819 x 40 (un paso del año) = 360 (un tun) x 91 (duración

Existe gran número de evidencias de que múltiplos de 364 fue-

de una estación del año).244

ron utilizados por los mayas, particularmente 20 x 364 = 7 280. El número 16 380 también fue utilizado (45 x 364 = 16 380 = 20 x

Mediante el 13 se engancha Venus con Mercurio, con

819). El 819 es factor de enlace del 364; es equivalente a tres

Marte y con el tonalpohualli: 117 / 9 = 13; 585 / 45 = 13; 780 /

tzoltkin242 (39 x 20) + 39243 o (20 x 41) - 1, lo que significa que

60 = 13; 260 / 20 = 13, por lo que 117 / 9 = 585 / 45 = 780 / 60 =

podía ser utilizado como huella de pie o pie indígena.

260 / 20 = 13. Su MCM es 2 340, el volumen de la Pirámide del Sol ( 8 1 9 x 4 = 3 6 4 x 9 ) . El 819 queda asociado con el ciclo de Venus y de Mercurio: 819 x 5 = 7 x 585 = 4 095, y así vemos cómo el ciclo de Venus se puede relacionar con otros ciclos planetarios: 819 x 5 = 4 095 = 585 x 7.

240

David Pájaro Huertas, Cinta de Moebio, núm. 15, diciembre de 2002, Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de Chile,

585 = 45 x 13 = 65 x 9 = 39 x 15 = 5 x 117.

http://www.moebio.uchile.cl/15/frames05.htm.

819 x 13 = 10 647; 10 647 / 117 = 91, un cuarto de año

241

Valerie Vaughan, op. cit., pp. 8-10.

242

Un tzolkin equivale a 260 ciclos (días).

243

Equivale a 780 días o ciclo sinódico de Marte.

244

Valerie Vaughan, op. cit., pp. 9-11. El ciclo sinódico de Venus varia entre 581 y 588 días; 584 es la media de esos números.

386


lunar. El 11 se relaciona indirectamente con el 819: (364 x 8) + (6 x 11) = 2 978 y (2 978 x 11) + 2 = 32 760 = 40 x 819. Otros

números como el 173.33 es la tercera parte del doble del tonalpohualli y equivale al medio año de eclipses;245 fue utilizado

manera: 819 x 18 720 = 819 x 52 x 360 = 72 x 260 x 819, y se

para predecirlos.

lli de 260, el ciclo del 52 y el del 72 (ver los números 52 y 72

En el cuadro del número 819 se manifiesta el enlace del

habrá relacionado el ciclo lunar de 819 días con el tonalpohuaen este apéndice).

819 con el ciclo del tonalpohualli, el año del Sol del inframun-

La altura de la escultura de Tláloc, de la que se habló al

do, el ciclo sinódico de Mercurio, el de Venus, el de Marte, el

analizar el número 11, es de 28.75 cm, que equivalen a 23 uni-

tlalpilli, el siglo mesoamericano, el tiempo (105 días en núme-

dades de 1.25 cm, medida que coincide con la unidad más

ros absolutos) que permanece el Sol arriba de 15.5°

la cuar-

pequeña de Teotihuacan. Si se toman siete ciclos de Mercurio,

ta parte del año ajustado a 360 días, el ciclo sidéreo de la Luna

se tiene 1 1 7 x 7 = 819, un número base de una antigua cuen-

y el volumen de la Pirámide del Sol tomada como unidad (ver

ta lunar: 819 / 29.25 = 28. Dado que tanto el 29.5 como el 28

el cuadro 819).

pertenecen a los ciclos lunares mensuales ajustados, la medi-

N,

da también está relacionada con la Luna. Si al 819 se le resta Cuadro del número 819

585, se obtiene el doble ciclo sinódico de Mercurio. Se concluye que la pirámide de Quetzalcóatl se refiere a este planeta,

Análisis del número 819 x 100 = 81 900 Número

81 900 81 900 81 900 81 900 81 900 81 900 81 900 81 900 81 900 819 000 819 000

Ciclo

Astro

Tonalpohualli, 260 Sinódico, 117 Sinódico, 585 Sinódico, 780 Medio siglo, 52

Sol

Sol del Inframundo, 364 Año ajustado, 360/4 Sidéreo, 27.3 Sol arriba latitud N, 105 Siglo, 104 1/5 anual ajustado, 72

Mercurio Venus Marte Sol

Número de ciclos 315 700 140 105 1 575

Sol

225

Luna-Sol

910

Luna

3 000

Sol

780

Sol

7 875

Sol

11 375

Factorizaciones

315 = 32 x 5 x 7 22

x 52

700 = 7 x 140 = 7 x 22 x 5 105 = 7 x 3 x 5 1 575 = 7 x 32 x 52 225 = 32 x 52

910 = 2x 5 X 7 X 13 3 000 = 3 x 23 x 53 780 = 22 x 3 x 5 x 13 7 875 = 32 x 53 x 7 11 375 = 53 x 91

Venus y la Luna.

El número 832. Este número corresponde a ocho periodos de 104. Se relaciona con los eclipses al producirse un eclipse (teóricamente) cada 104 años.

El número 936. Corresponde a nueve siglos mesoamericanos y a tres ciclos del 312, número de Chalchihuicueye. Si se multiplica por 10, se obtiene 9 360, que corresponde al número que llamaban los mayas thix y que servía para predecir eclipses. Se encuentra en el volumen del prisma recto que puede envolver a la escultura olmeca “Figura de hombre acuclillado”. La tercera parte de 936 es 312, número relacionado con el año solar del inframundo de 364 días, del que es complemento para tener una era cosmogónica (312 + 364 = 676). Se

El número de ciclos tiene como factores recurrentes el

escribe la siguiente igualdad: (312 x 364) / 936 = 121.333, que

22, 32, 5, 52 y 7. En el último renglón del cuadro 91 = 13 x 7,

para obtener números enteros se deberá multiplicar por 3:

que lo hace lunar.

(121.333 x 3 = 364). Esto quiere decir que se deberán multiplicar todos los números por 3 para obtener números enteros

El 819 en la era cosmogónica y en la era maya. Para poder

sin perder la proporción: 312 x 3 = 936; 364 x 3 = 1 092 (el NV

relacionar el 819 con otros ciclos deberemos considerar dos

del primer cuerpo de la Pirámide del Sol). Ahora los suma-

de sus factores, 9 y 13, mediante los que se podrán lograr

mos: 936 + 1 092 = 2 028 = 676 x 3. Así estaremos relacionan-

coincidencias. La era maya 1 872 000 / 9 = 208 000, que nos

do números solares con el siglo y medio siglo mesoamerica-

lleva al siglo mesoamericano (208 000 / 2 000 = 104). Por otro

nos; con el 312, número de Chalchihuicueye; con el 364, número

lado, 1 872 000 / 13 = 144 000 nos lleva a un baktún maya.

de Tláloc; con el 676, de la era cosmogónica; con el 1 092, que

La relación entre la era cosmogónica y el ciclo lunar de

es número también del inframundo (364 x 3 = 1 092).

819 días se expresa en la siguiente igualdad: 676 x 63 = 819 x 52 = 42 588, por lo que 676 = (819 x 52) / 63.

El número 945. Pertenece a la serie del 27: (945 / 35 = 27), así

La relación entre el 819 y la era maya se logra en forma

como a la serie del 5, del 7 y del 9. Curiosamente, 9 x 105 =

indirecta mediante la siguiente igualdad: 1 872 000 = (819 x

945, número también importante, producto de multiplicar los

2 285) + 585. Habrá que agregar un ciclo sinódico de Venus al

Nueve Señores de la Noche por el lapso de 105 días. El 105

cabo de 2 285 veces el ciclo de 819 días.

pertenece además tanto a la serie lunar del 27: (945 / 35 = 27)

Utilizando el producto de 52 veces el ciclo de 819 días = 42 588 días se puede llegar a la siguiente igualdad: 42 588 x 360 = 15 331 680, que dividido entre una centésima de la era maya se tiene 15 331 680 / 18 720 = 819. Expresado de otra

245



como a la serie del 5 venusina y del 7 lunar. También 945 / 5 =

El número 1 001. Es igual a 143 x 7, por lo que es un número

189. El 189 es un número lunar que se puede factorizar como

lunar. Está relacionado con los eclipses, ya que también es

33 x 7. Si 9 x 260 = 2 340, que duplicamos, se obtiene 4 680, el

91 x 11. Su múltiplo, 4 004 = 364 x 11, está relacionado con el

cual dividido entre 27 es 173.3333..., número de distancia

ciclo del Sol del inframundo.

entre

eclipses

llamado

también

medio

año

de

eclipses.

Thompson anota en Un comentario... que “Un almanaque de

El número 1 008. Este número fue utilizado por la cultura popo-

nueve periodos (número 65) quizá vincule a los Señores de la

loca del valle de Tehuacán y aparece en un fragmento de plato

Noche con los regentes del almanaque sagrado”, lo que con-

de ofrenda como 12 x 84, en donde aparece el 84, número de

De la manera apuntada el

unidades a la manera indígena del diámetro del calendario

almanaque número 65 logra vincularlos no solamente con los

azteca.248 Corresponde a 7 x 144 = 14 x 72, lo que lo hace luni-

regentes del calendario sagrado sino con los periodos de eclip-

solar: 1 008 / 4 = 252, Venus como Estrella de la Tarde.

firma lo supuesto

anteriormente.246

ses. Esto es lógico, ya que los acompañados o Nueve Señores de la Noche brillarán en pleno día cuando ocurra un eclipse

El número 1 040. Es el número volumétrico del prisma recto

solar y se haga la oscuridad.247

rectángulo (PRR) envolvente virtual de la cabeza colosal núme-

De esto se puede deducir que cada Señor de la Noche

ro 1 de San Lorenzo, en unidades a la manera indígena. Es 10

tiene un valor de 105: (9 x 105 = 945). El 945 es de la serie del

veces 104 o 10 siglos mesoamericanos. El 1 040 equivale a

21 y del 45, y se puede factorizar como 7 x 135. Si tomamos

cuatro tonalpohuallis (4 x 260 = 1 040). También es doble de

13 veces 135, tendremos 1 755, que es tres veces el ciclo sinó-

520, número que contiene tres veces el medio año de eclipses,

dico de Venus (3 x 585 = 1 755).

por lo que puede señalar este fenómeno (173.33 x 3 = 520).

El 945 sirve para obtener una muy buena aproximación al

Francisco del Paso y Troncoso afirmaba:

número de oro al dividirlo entre el ciclo sinódico de Venus: 945 / 585 = 1.61538... Se utiliza también para relacionar el


ciclo sinódico de Venus con el sinódico lunar y con el núme-


ro de oro. Para lograrlo se toma dos veces el cuadrado de 4 y


se multiplica por el ciclo sinódico de la Luna. El resultado

siguiente, hasta que pasados 104 años, o sea, 13 periodos de 8,

dividido entre el ciclo venusino es igual a φ: 2 x (2 x 2) 2 x

volviese a coincidir el mismo fenómeno con el principio del

29.5308... = 944.9856; 944.9856 / 584 = 1.618126 = φ.

segundo cehuehuitiliztli. Por eso aseguré arriba que los ciclos de

El 945 se obtiene de multiplicar 9 x 105, o sea, de tomar

104 años están presididos también por Venus. Pero como cinco

el periodo de 105 días en que el Sol permanece en la tierra del

revoluciones del planeta no miden exactamente ocho años, este

norte (arriba de la latitud de 15.5° N) en su viaje intertropical.

periodo renovado 13 veces presentaría ya una diferencia de con-

A su vez corresponde a uno de los sumandos del año de 365

sideración al cabo de 104 años, porque los 2.40 días se habrían

días: 260 + 105 = 365.

convertido en 31.20 días. Así que el día inicial del segundo cehuehuitiliztli no coincidiría ya con el orto helíaco matutino de Venus,

El número 949. Se obtiene de la suma de 584 + 365 = 949. Si

porque tal fenómeno se habría verificado unos 31 días antes: al

se multiplica por 100, se tiene la siguiente igualdad: 949 x 100 =

comenzar el tercer ciclo de 104 años, la diferencia entonces sería

94 900 = 260 x 365; si se multiplica por 40, se tiene uno de los

de 62 días; 93 al principio del cuarto; 124 al principio del quin-

MCM más importantes de diversos ciclos astronómicos, el 37 960.

to; 156 en el primer día del sexto; de 187 cuando comenzara el

El 949 se puede factorizar como 13 x 73 (ver el número 73 en este

séptimo; de 218 al principio del octavo; de 249 en el noveno; y

apéndice).

cuando se iniciase el décimo ciclo ya esa diferencia habría montado a unos 280 días. A pesar de tales discrepancias, todos los días iniciales de esos 10 primeros ciclos de 104 años tendrían una propiedad

246 J. 247

Eric S. Thompson, Un comentario ai Códice de Dresde, op. cit., p. 266.

Cecilio A. Robelo, op. cit., p. 840. “Si bien reflexionamos, además de su

común: la de coincidir con la aparición de Venus como estrella matutina, aunque las digresiones fuesen diferentes, puesto que

representación general de símbolos nocturnos, tenían referencia los acompañados a los cuatro astros de la siguiente manera y de dos en dos: Sol,

que se observaba en el primer ciclo, hasta el ocaso helíaco matu-

Quiáhutl; Tierra, Xóchitl y Centéotl; sobra un acompañado, que es

tino, que se presentaba al comenzar el décimo.

Tlazoltéotl, y ya sabemos cómo es el mismo que Teonexquimilli, la negra noche, la noche misma.” 248

pasaban por todos los grados de separación, desde el orto helíaco

Tetl y Atl; Estrella de la Tarde, Técpatl y Miquiztli; Luna, Tepeyolotli y

Así es que durante el primer gran ciclo de 1 040 años todo


cehuehuitiliztli estaría presidido, en tal hipótesis, por el lucero

Viejo, op. cit., pp. 52-55.

del alba.

388


Consideremos ahora lo que pasaría durante el segundo gran ciclo de 1 040 años.

lo entre el ecuador celeste y los trópicos, que es de 23° 27’. Traducido a decimales es 23.45°.

Su día inicial sería también el primer día del ciclo 11 de 104

Aparece el 1 080 como ornamentación de una vasija popo-

años, y siguiendo la proporción que acaba de establecerse cae-

loca del valle de Tehuacán del periodo posclásico estudiada

ría 312 días después del orto helíaco matutino del planeta; es

por Ximello Olguín. Se trata de un plato circular que tiene

decir que habría transcurrido entonces el tiempo suficiente para

señaladas ocho progresiones y como número inicial el 25,

que el lucero pasase de matutino a vespertino... El padre Fábrega, según dice Humboldt, juzgaba que el ciclo

seguido de cinco barras horizontales, que representan precisamente la progresión: 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 135; 135 x

de 1 040 años servía para la corrección del cómputo solar, por-

8= 1 080. “El 135 es uno de los números básicos en la nume-

que al fin de él se pasaban por alto ocho días para hacer concor-

rología popoloca o ngiwa, y se utiliza para enlazar el ciclo

dar así el año juliano con el trópico. Otra operación semejante

sinódico venusino ajustado a 585 días y el año de 360 días.”252

había que hacer para rectificar el cómputo de Venus, porque a una conjunción inferior del planeta corresponde otra superior

El número 1 092. Es el volumen del primer cuerpo de la

1 040 años después, con anticipación de unos cuantos días. Sería

Pirámide del Sol e importante

pues ésta una nueva aplicación del ciclo de 1 040 años, destina-

ra indirecta al multiplicarlo por 5 lo relacionamos con el tonal-

do tal vez, no sólo a la rectificación del cómputo solar, sino tam-

pohualli: 1 092 x 5 = 5 460; 5 460 / 21 = 260. Directamente se

bién a la del cómputo del planeta Venus.

relaciona con el ciclo solar del inframundo de 364 días y con

Y como antes supuse que el principio de cada cehuehuitiliz-

MCM de varios ciclos. De mane-

el de 28 días (364 x 3 = 1 092 = 28 x 39).

tli coincidiría con la aparición del lucero del alba, el principio de

El 1 092 está en relación de proporción áurea con el 676,

cada xiuhmolpilli, en tal hipótesis, coincidiría también con la

una era cosmogónica (1 092 / 676 = 1.615384...). La relación

estrella de la tarde. Tomando en la tabla del ciclo de 1 040 años

de proporción áurea la volveremos a encontrar al dividir 945

(capítulo

X)

los días del xiuhmolpilli impares, de modo que for-

men una primera serie, y en seguida los iniciales de los xiuhmol-

unidades entre el ciclo sinódico de Venus: 945 / 585 = 1.615384... (ver el número 945 en este apéndice).

pilli pares para construir una segunda serie, la primera estaría en

Para relacionarlo con otros ciclos habrá que multiplicarlo

relación con la estrella matutina y la segunda con la vespertina.

por 30: 1 092 x 30 = 32 760 = 260 x 126. La relación con el ciclo

Pasando el primer gran ciclo, como las relaciones de Venus con

sinódico de Venus: 56 x 585 = 32 760, así como con el ciclo del

los días iniciales se alternan, la primera serie, o sea, la de los

año civil: 360 x 91 =32 760 y con el ciclo de Mercurio: 117 x

ciclos pares, al lucero de la mañana.249

280 = 32 760. También con el ciclo de Marte: 780 x 42 = 32 760 y con el siglo y medio siglos: 104 x 315 = 32 760 = 52 x 630.

El número 1 053. Corresponde a 3 x 351, por lo que se puede

El número 1 092 se puede descomponer en dos sumandos

decir que es un número relacionado con el ciclo dracónico

importantes: 312 + 780 = 1 092. Se encuentra en la rueda de

lunar ajustado a 27 días: 1 053 / 39 = 27. Al tener como fac-

números de base 7, por lo que se puede considerar un núme-

tor el 39: (13 x 3 = 39), podremos decir que también es solar.

ro lunar. Equivale a 39 x 28 o 39 veces 28 días. Al dividirlo

Se puede relacionar con el ciclo sinódico de Venus de la mane-

entre 37 tendremos el ciclo sinódico lunar casi exacto: 1 092 /

ra siguiente: (1 053 x 5) / 9 = 585, el ciclo sinódico de Venus;

37 = 29.5135 (ver el cuadro del número 1 092).

50 x 117 = 5 850 = 2 x 2 925 = (365 x 8) + 5.

El número 1 055. Este número aparece en las páginas 46-50 del Códice de Dresde. La segunda imagen de cada página representa, de acuerdo con Thompson,250 a un agresivo personificador de Venus, con lanzadardos en alto, listo para la acción. Una de las víctimas es el dios 1 055 (el agua) en años de ahau. El periodo corto de tránsitos de Venus en su ciclo de 486 años es de 105.5 años. El 1 055 corresponde a 10 veces este lapso. 249


los mexicanos, op. cit., cap. XI, pp. 350-351.

El número 1 080. Equivale a 27 x 40, por lo que al tener el 27 como factor queda relacionado con los eclipses. También se

250 251

Factorizándolo tendremos 1 080 = 2 x 23 x 23.47826, el ángu-

Al estudiar la planta de la Pirámide del Sol en Teotihuacan se vio que su planta es un rectángulo Σ 26 x 27, cuya área en unidades o la manera indí-

obtiene al multiplicar 108 por 10 o de dividir 14 040 entre 13; 14 040 es el doble de 27 x 260. También (26 x 27 x 20 = 14 040).251

J. Eric S. Thompson, Un comentario..., op. cit., 159.

gena es de 702 u2. 252


Viejo, op. cit., p. 59, fig. 35.


389


El número 1 134. El 1 134 es un número que incluye varios

Análisis del número volumétrico del primer cuerpo de la Pirámide del Sol, 1 092 U3 (en números absolutos)

ciclos: lunar, solar, venusino y número de oro. Se puede factorizar en 6 x 7 x 27 = 1 134. Si dividimos 1 134 entre 6 obten-

Número

Ciclo

Astro

1 092 x 10 = 10 920 1 092 X 30 = 32 760 1 092 x 30 = 32 760 1 092 x 30 = 32 760 1 092 x 30 = 32 760 1 092 x 10 = 10 920 1 092

Tonalpohualli, 260 Sinódico, 585

Sol

Sinódico, 117

Mercurio

Sinódico, 780

Marte

Año ajustado, 360 Siglo, 104 Medio siglo, 52 Sinódico, 29.5135 Sol del inframundo, 364

1 092 1 092


Factorizaciones 42 = 6 X 7

dremos 189, que es igual a 7 x 27. Si 189 lo multiplicamos por 5 (para relacionarlo con Venus, ya que el 5 es un número venu-

56

56 = 23 X 7

sino), obtendremos 945. Al dividir este número entre el perio-

280

280 = 7 X 40

do sinódico del planeta Venus tomado de 584 días obtene-

42

42 = 6 X 7

mos la razón áurea, 1.618... Ésta es una muy digamos elegante

Sol

91

91 =7X 13

manera de encontrar el número de oro, y creo que fue la fór-

Sol

105

105 = 7 x 15

mula teotihuacana para determinarlo: (189 x 5) / 584 =

Sol

21

21 =3 x 7

Luna

37

37 = (7 x 5) + 2

Venus

1.6181506. Por otro lado, se enlaza con el tonalpohualli de manera indirecta mediante la siguiente igualdad: 105 x 9 = 189 x 5 =

Sol

3

1 092 = 22 x 3 x 7 x 13

945, en donde 105 es el complemento de 260 para tener el año de 365 días. Se ha hablado del 9 como el número de los

El 1 092 se remite directamente al Sol del inframundo,

Señores de la Noche, y claramente se puede ver que está aso-

Tláloc. Desde el ámbito subterráneo se tiene que escalar hasta

ciado con los 105 días que pasa el Sol por arriba de la latitud

el Omeyocan, el ámbito del Dios Dos, Ometéotl. Al escalar la

15° N,

pirámide se estará subiendo desde la cueva subterránea que se

ciada por la mente mesoamericana con el frío, la oscuridad y

ubica por debajo de la pirámide, en el inframundo, hasta el deci-

el hielo.

motercer cielo por arriba del último cuerpo de ésta.

en su recorrido intertropical, en la tierra del norte aso-

Mediante el 1 134 tendremos números lunares, como el 7

El 1 092 está en la serie del número 7, ya que 1 092 / 7 =

y el 27; números venusinos, como el 945, que es el ciclo sinó-

156. De igual manera lo está el 364, ya que 364 / 7 = 52. Se

dico de Venus multiplicado por el número de oro; y números

puede establecer la siguiente igualdad: 1 092 = 2 1 x 5 2 = 7 x

solares, como el 360. Para llegar a este número deberemos

156 = 3 x 7 x 52. Se observa que el 3 aparece con mucha fre-

multiplicar 1 134 x 20 = 22 680 = 63 x 360.

cuencia en la iconografía del inframundo. La forma como apalluvia o de sangre; la lluvia es la sangre de la Tierra y la segun-

El número 1 144. Corresponde a 11 siglos mesoamericanos y a 88 tlalpilllis, ya que se puede factorizar como 104 x 11 y

da, del hombre. Tal vez éste sea el motivo del empleo del sím-

como 8 x 1 1 x 1 3 = 1 144. El 1 144 se descompone en dos

bolo del número tres parecido a tres signos de admiración

sumandos también: 676 + 468, en donde el primero es una era

rece este número generalmente es por medio de tres gotas de

(!!!), que corresponden al Sol en un contexto de inframundo,

cosmogónica y el segundo cuatro ciclos sinódicos de Mercurio

como sucede con la lluvia también representada de la misma

(ver los números 676 y 468 en este apéndice). Corresponde a

manera que se encuentra en el grabado olmeca realizado en

tres chumenes del prisma de la era maya de 80 u x 90 u x 260

piedra en Chalcatzingo, Morelos. El contexto de inframundo

u = 1 872 000 u3. Cada chumeng tiene un volumen de 381.333,

lo sugiere la cueva en la que está un sacerdote de Tláloc dando

que se hace entero al multiplicarlo por 3=1 144. El ángulo de

grandes voces, tal vez suplicando al dios de la lluvia por el

estos chumenes es 72.89727° ≈ 73°, y es el que aparece en el

preciado líquido.

plano de una pirámide que es la primera página del Códice

252

Matila C. Ghyka, op. cit., pp. 106-107. “Georgiades demuestra que estos números α, β y δ, como consecuencia de sus factores comunes y de las

Fejérváry-Mayer (ver el plano paradigmático de una pirámide, que es la primera página del Códice Fejérváry-Mayer, en el capítulo IX de este libro).

proporciones que los relacionan al canon 9 216 (ancho del estilóbato), suministran, por combinaciones simples (adiciones, sustracciones, relaciones), todos los intervalos y acordes que corresponden a la gama diatónica. Por ejemplo, β / 4 (β - α) = 1 296 / 864, da la quinta... Anotemos que el número 576 se encuentra en el ajuste proporcional de la Gran Pirámide (es

El número 1 296. En la Grecia clásica Platón lo llamó número del alma del mundo.253 Se obtiene de multiplicar 16 x 81: (42 x 92 = 1 296).

igual a 4 x 144, número de codos reales de a + c, suma del cateto menos y la hipotenusa del semitriángulo meridiano en el Número del alma del mun-

do, de Platón (igual, por otra parte, que 1 296 y 9 216, que también es igual

obtiene 1.2963 = 2.1767, que puede redondearse en 2.18. Por

a 8 x 72, siendo 72° la quinta parte de 360° / 5, ángulo del centro del pen-

otro lado, tiene relación de proporción entre la unidad en

tágono). Y anotamos en fin que el número 108, que aparece en diversos múltiplos de estos elementos diatónicos del estilóbato del Partenón, es el

254

Si este número dividido entre mil se eleva al cubo, se

metros que rige a la Pirámide de la Luna (18.775 m)254 y la

ángulo del vértice del pentágono.”

unidad en metros que rige a la Pirámide del Sol (8.615 m):

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit., pp. 200-201.

18.775

390


/ 8.615 = 2.179, que puede redondearse en 2.18. Tanto

en este caso como al obtener el cubo de 1.296 se observa que

ro sinódico de la Luna aproximado de 29.5454... días (1 300 /

el resultado es 2.18. De esta manera se relacionan mediante

44 = 29.545454...).

este número las unidades utilizadas en ambas pirámides: 18.775

/ 8.615 = 2.179;

3√2.179

≈

Cinco tonalpohuallis corresponden a 1 300 días, lapso que

1.296, y de esta forma se

es igual a 44 revoluciones de la Luna alrededor de la Tierra.258

relaciona esta proporción con el 1 296. También estará rela-

La fórmula lunar 1 300 / (4 x 11) = 29.5454..., el periodo sinó-

cionado con la constante lunar 81: (81 x 16 = 1 296).

dico lunar aproximado.

Un hecho interesante es que al hacer el estudio de la unidad de medida 8.615 m -que determina la medida de los lados

El número 1 460. El 146 corresponde a la cuarta parte del ciclo

del rectángulo Σ 26 x 27, base de la Pirámide del Sol, y de la uni-

sinódico de Venus tomado de 584 días. Su mitad, 73, es la

dad de medida 18.775 m, que rige a la Pirámide de la Luna-255

quinta parte del ciclo solar de 365 días. El 1 460 es cuatro

se observa que, si se divide una unidad entre otra y se saca su

veces el año vago: 365 x 4 = 1 460. Al dividir 584 / 365 = 1.6

raíz cúbica, tomando siempre números absolutos, se obtiene

ϕ, uno de los parámetros mesoamericanos para esa constante.

≈

1.296, que multiplicado por 1 000 da 1 296: (18.775... / 8.615 = 2.1793...; 3√2.1793 = 1.296...; 1.296 x 1 000 = 1 296). El 1 296 equivale al cuadrado de 36. El número 1 296 fue

El número 1 461. Es igual a cuatro veces el año terrestre de 365.25 días259 (365.25 x 4 = 1 461). Si se divide entre 5 se obtie-

encontrado por Ximello Olguín como ornamentación de una

ne la mitad del ciclo sinódico de Venus (1461 / 5 = 292.2 y

vasija popoloca del valle de Tehuacán, periodo posclásico.

292.2 x 2 = 584.4).

Consiste en una forma cruciforme formada por cuatro pro-

Equivale a tres veces el gran ciclo de tránsitos de Venus,

gresiones que representan el 324 con el 40 como número ini-

al que se agregan tres unidades para alcanzar este número

cial y ocho barras horizontales. Cada brazo de la cruz por lo

(486 x 3) + 3 = 1 461. Si al 486 x 3 no se le agregan estas tres

tanto vale lo siguiente: 40 + 39 + 38 + 37 + 36 + 35 + 34 + 33 +

unidades, y se divide entre 2, se tendrá el 729, que es el cua-

32 = 324. Por ser cuatro brazos se tendrá 324 x 4 = 1 296, el

drado de 27, número lunar relacionado con los eclipses. Tal

número buscado. Se trata de un número principalmente lunar,

vez ésta sea la razón del empleo del símbolo tres parecido a

ya que es divisible exactamente entre 27, su ciclo dracónico

tres signos de admiración (!!!), que corresponde al Sol en un

ajustado (1 296 / 27 = 48).

contexto de inframundo, como sucede con la lluvia, también

El gran MCM lunar 11 960 es divisible entre 405: 11 960 / 29.5308

(el ciclo sinódico lunar) = 405. Por otro lado, 15 x 27 =

405. Como si dos cosas iguales a una tercera son iguales entre

representada de la misma manera, que se encuentra en el grabado olmeca realizado en piedra en Chalcatzingo, Morelos, ya descrito en el número 1 092.

sí, se tiene la siguiente igualdad: 11 960 / 29.5308 = 15 x 27 = 405, de donde 11 960 = 15 x 27 x 29.5308. Se sustituye 27 por

El número

1 296 / 48 y se tiene (15 x 1 296 x 29.5308) / 48 ≈ 11 960.

tes astronómicos, pues cada 1 508 años se podía hacer un

1 508. Era un MCM extraordinario para hacer ajus-

ajuste con el tonalpohualli, con Venus, con Mercurio y con el

El número 1 300. El 1 300 / 44 = 29.5454..., por lo que queda

ciclo del medio siglo mesoamericano:

relacionado con el ciclo sinódico de la Luna. Uno de sus factores sería dicho ciclo y el otro el 11, ya que 1 1 x 4 = 44. Es

1 508 / 26 = 58 cuartos de siglo mesoamericano.

posible que ésta sea la causa de los 11 pétalos o rayos que

1 508 / 52 = 29 medios siglos mesoamericanos.

circundan la cabeza del numen solar de los tableros del viejo

1 508 = 4 (13 x 29) = 4 x 377, por lo que 1 508 está dentro de la serie del 29.

templo de Quetzalcóatl en Teotihuacan. En la diferencia entre el 1 300 y 1 296 se encuentra el 4,

1 508 / 116 = 13 veces el ciclo sinódico de Mercurio.

número que puede ser tomado como una nueva unidad: 1 300 / 4 = 325; 1 296 / 4 = 324. El 324 U y 325 U (en unidades U a la

manera indígena) es la medida de los lados de la base de la pirámide de Quetzalcóatl. En la diferencia se encuentra la unidad.

255 Ibid., 256

p. 202.

Irene Nicholson, op. cit., p. 49. “Again, five periods of two hundred and

sixty days make 1 300 days or forty four revolutions of the moon about the earth. ” “Otra vez cinco periodos de 260 días hacen 1 300 días o 44

“Cinco periodos de doscientos sesenta días hacen 1 300

revoluciones de la Luna alrededor de la Tierra.” (Traducción de la

días o cuarenta y cuatro revoluciones de la Luna alrededor de la Tierra.”256 El 1 300 se puede obtener de la siguiente mane-

autora.) 257

258

dinales tendremos 325 x 4 = 1 300. El 177 y el 148 son núme-


ra: 177 + 148 = 325, que orientado hacia los cuatro rumbos car259

Irene Nicholson, op. cit., p. 49. Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit.,

ros para predecir eclipses que aparecen en las tablas de

p. 111. Lo llama Aveni año terrestre cuando se refiere al periodo de

eclipses del Códice de Dresde.257 El 1 300 es múltiplo del núme-

365.25 días.


391

1 508 x 10 = 15 080. 15 080 / 58 = 260,

un tonalpohualli.

15 080 / 29 = 520, dos tonalpohuallis, lapso para que ocurran seis eclipses solares. 15 080 / 116 = 130, medio tonalpohualli. 1 508 y 260

tienen como MCM el 7 540, que es la mitad de

15 080.

ca consistió en determinar con toda exactitud la regularidad del intervalo entre solsticios y equinoccios; dieron una duración al año trópico de 365.1970 días a 365.2628 días, cuyo promedio es aproximadamente 365.2422 días. Como el año trópico tiene una duración de 365.2422 días y el año vago solamente 365, existe una diferencia de 0.2422 días por año, por lo que se requerirán 1 508 años de 365 días

1 508 / 4 = 377, un ciclo sinódico de Saturno.

para igualar 1 507 años de 365.2422:262 (365.2422 x 1 507 = 365 x

1 508 x 2.5 = 3 770, 10 ciclos sinódicos de Saturno; el 2.5,

1 508 = 550 420).

tomado en números absolutos, es la medida espaciotemporal de Teotihuacan.

Edmonson llama era solar al lapso de 1 508 años: 1 508 x 365 = 550 420 días; 377 x 365 = 137 605 días, que corresponden a la cuarta parte de 550 420 días o ciclo solar. Encuentro

Ahora el 1508 se multiplica por 5 = 7 540, y se obtiene 7 540 / 260 = 29 tonalpohuallis.

que también quedaron engranados estos ciclos con el sinódico de la Luna de 29.53 días y con el medio siglo mesoamericano de 52 años, tomados en números absolutos; 550 420 / 18 640 =

7 540 / 1 508 = 5 ciclos de ajustes de los que se hacen

29.5289... y 377 x 52 = 19 604 = 1 508 x 13; 550 420 / 2 117 =

7 540 / 116 = 65 veces el ciclo sinódico de Mercurio.

260, quedando de esta manera todo relacionado con el tonalpohualli. Si el ciclo solar de 550 420 lo multiplicamos por 2,

7 540 / 377 = 20, número de días del mes.

obtendremos 1 100 840, que corresponde a 1 885 ciclos sinó-

7 540 / 65 = 116, el ciclo sinódico de Mercurio considera-

dicos de Venus. Si dividimos 550 420 entre 4, obtendremos

cada 1 508 años.

do de 116 días.

137 605, que dividido entre 1 178 nos da el ciclo sinódico exacto de Mercurio de 116.81 días; y si es dividido entre 706,

Se especula que el cálculo correcto de los solsticios y de los

obtendremos 779.63..., aproximadamente el ciclo sinódico de

equinoccios haya comenzado a partir del equinoccio de otoño

Marte de 780 días. Estas correspondencias numéricas indi-

del año 1122 a.C., fecha que coincide con las de las escul-

can que los matemáticos mesoamericanos conocieron y tra-

turas de las grandes cabezas olmecas, determinadas por el méto-

bajaron con fracciones numéricas.

do de carbón 14: 1200-400 a.C.

Los lapsos de 1 508, 1 507 y 1 512 años se relacionan con

Edmonson propone cinco tipos de calendarios en Me-

el andén del Sol de 28 años (en números absolutos) o con el

soamérica, clasificando como tipo 1 al que comienza los años

de la Luna ajustado a 28 días, el xíhuitl de 365 días y el año

con los cuatro portadores: Lagarto, Muerte, Mono y Zopilote;

trópico en su duración real de la siguiente manera:

este último solamente fue utilizado por los olmecas.260 Se han llegado a establecer tres fases históricas basadas en el cálcu-

1 508 x 365 = 550 420.

lo del año bisiesto intercalendárico. La fase que nos interesa

1 507 x 365.2422 = 550 419.9954, lo que se toma por igual

es la 1, en la que se corrige el calendario:

a 550 420 días. 1 512 x 364 = 550 368; 550 368 + 52 = 550 420, posible

Tipo 1. Época de verano (protoolmeca).

confirmación del ciclo de 52 años como medio siglo

Tipo 2. Época de primavera (protozapoteca).

mesoamericano. En la diferencia se encuentra la uni-

Tipo 3. Época de otoño (mixteco de Yucuñudahui).261

dad: 550 420 - 550 368 = 52: (550 368 / 52 = 10 584; 550 420/52 = 10 585).

En la fase tipo 1 se deben haber sentado las bases para el calendario augural de 260 días puesto que este lapso ya apa-

De esta manera sabemos que los olmecas tenían un cono-

rece consignado en las cabezas colosales. El gran logro olme-

cimiento perfecto de la duración del año trópico de 365.2422 días, que el xíhuitl (año vago) era considerado de 365 días y el año lunar, de 364 días. Este conocimiento lo manifestaron en la elegante numerología de las cabezas colosales; queda tam-

260

261

Munro S. Edmonson, en Constanza Vega Sosa, Códice Azoyú, Fondo de

bién de alguna manera manifestado en la numerología de las

Cultura Económica, México, 1991, pp. 41-43.

pirámides de Teotihuacan y en la cerámica del valle de

Ibid., p. 42.

262 Ibid. 263

Tehuacán del periodo posclásico. Ximello Olguín encuentra la

Fernando Ximello Olguín, interpretación de la cerámica del valle de

siguiente relación: 137 592 = (1 512 x 364) / 4 = (1 508 x 365 /

Tehuacán, comunicación verbal, abril de 2001.

4) - 13.263

392


Esto implica que en Mesoamérica fue el pueblo de la cul-

El número 1 560. Es un número lunisolar que contiene como

tura olmeca el primero en considerar con exactitud los sols-

factores a su vez números solares, el 12 y el 13; (12 x 13 =

ticios y los equinoccios. La numerología de la cabeza colosal

156). Además 9 x 173.33 = 1 560, por lo que se puede estable-

número 4 de La Venta presenta, en el volumen del paralele-

cer la siguiente igualdad: 10 x 12 x 13 = 9 x 173.33; este últi-

pípedo recto rectángulo que la puede inscribir, el número

mo corresponde al medio año de eclipses. El 1 560 se encuen-

365.2422, duración exacta del año trópico. Fue tan importan-

tra como NV de la cabeza colosal número 3 de San Lorenzo.

te este descubrimiento que quedó expresado tanto en la cabe-

Considerado en días corresponde a seis tonalpohuallis o a dos

za colosal número 4 de La Venta como en esculturas de peque-

ciclos sinódicos de Marte; en años, a 15 siglos mesoamerica-

ño formato y, de manera general, en los niños-jaguar, como

nos de 104 años.

el que tiene en su regazo el Señor de Las Limas. El tema recurrente del sacerdote cargando a un niño no es sino la simbo-

El número 1 755. Es la cuarta parte de 10 veces la superficie

logía del nuevo registro astronómico que, de acuerdo con

de la base mayor del primer cuerpo de la Pirámide del Sol. Se

Munro Edmonson, se estableció en toda Mesoamérica a par-

puede factorizar como 1 755 = 5 x 13 x 27, por lo que puede

tir de 1122 a.C., “con un calendario que localizó el año nuevo

coincidir con los ciclos planetarios, particularmente el de

de esa fecha en 1 Muerte y con el conocimiento de que debía

Venus, y con la Luna en su ciclo dracónico ajustado a 27 días.

retrocederse al solsticio de verano 377 años atrás (en un año

Está plasmado en una vasija del valle de Tehuacán analizada

comenzando con 1

Mono)”.264

por Ximello Olguín. La relación es 13 [5 x ( 14 + 13)] = 1 755.

Todo apunta a que los olmecas llamaron 1 Cipactli al primer día de la creación del mundo, fecha que señala el momen-

El número 1 820. Es el mínimo común múltiplo (MCM) de 260

to en que se separan las aguas del cielo por medio del coco-

y de 364: (7 x 260 = 5 x 364 = 20 x 91). El 7 280 equivale a 1 820 x

drilo mítico que aparece nadando en las aguas primigenias

4 = 5 x 364 = 7 x 260 = 52 x 35. El 1 820 se encuentra en el

llevando sobre su lomo a la Tierra y sus frutos, de acuerdo con

Códice de Dresde como periodo dentro de las tablas de multi-

el sarcófago de La Venta. Por eso el nombre 1 Cipactli (uno

plicar. Thompson lo menciona como un almanaque séptuple

cocodrilo) como primer día del calendario y la superficie de

que destaca en el Códice de París266 o como un almanaque

la Tierra simbolizada por una cuadrícula: la piel del cocodri-

ampliado. El 1 820 es tanto 7 x 260 como 5 x 364.

lo; por ello también muchas veces se representa el saurio sin

De acuerdo con Thompson, “La tabla de 5 x 13 (pp. 73b-

la mandíbula inferior, pues queda sumergida e invisible bajo el

70c) da primeramente todos los múltiplos de 65 hasta 28 x 65,

agua. Cipactli es el que divide -o si se quiere une- el cielo supe-

cuando se recupera el lub (4 Eb)". 267 Éste es 7 x 260 = 1 820,

rior del inframundo. La superficie de la Tierra es el lomo del ani-

5.1.0.

mal y sobre aquélla habitarán hombres, animales y plantas. El

ten algunos de ellos. Los que se encuentran allí son 3 640,

saurio, una vez levantado y alado, viajará por los cielos siguien-

5 460, 7 280, 14 560, 21 840, 29 120, 36 400, 43 680, 50 960,

do la banda celeste o eclíptica. Convertido con el tiempo en el

58 240, 65 520, 72 800, 87 360, 94 640, 109 200.

La tabla continúa con múltiplos de 7 x 260, mas se omi-

saurio que une los tres planos de existencia, el cielo superior, la

Al tener como factores el 7 y el 260, todos relacionan al

superficie de la Tierra y el inframundo, lo veremos en la cultu-

inframundo y la Luna con el tonalpohualli. Todos son múlti-

ra maya como la Serpiente de Visión, vomitando a los guerre-

plos también de 364.

ros muertos a un plano superior de existencia.

El número 1 872. Milésima parte de la era maya de 1 872 000. El El número 1 521. Este número se relaciona con el ciclo sinó-

1 872 se encuentra como número volumétrico del sarcófago

dico de Mercurio directamente, ya que es el resultado de mul-

del monumento 6 de La Venta. En éste coinciden 18 siglos

tiplicar 13 x 117 = 1 521. Siendo 1172 = 13 689 y 13 689 / 13 =

mesoamericanos, 36 ceremonias del Fuego Nuevo, 16 ciclos

1 053, obtenemos su diferencia, que es 468, la cual corres-

sinódicos de Mercurio y 72 tonalpohuallis divididos entre 10,

ponde a cuatro veces el ciclo sinódico de Mercurio (468 / 4 =

lo que lo hace eminentemente solar.

117: (1 053 - 585 = 468).265 Tomando números absolutos (1 521 / 9) x 4 = 676 = 132 x

264

Munro S. Edmonson, op. cit., pp. 42-46.

265

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, op. cit., p. 153.

4, es igual a la era cosmogónica de 676 años. Esto quiere decir

El ciclo grande de tránsitos de Venus se encuentra señalado en la espalda

que, si se toma el cuadrado de 13 cuatro veces, se tiene otro

de la escultura de Tlahuizcalpantecutli (Xólotl), en el Landesmuseum, de

cuadrado, esta vez de 26 unidades de lado: 262 = 676. Éste es

Stuttgart. Los numerales indican los números siguientes: 8 + 105.5 + 8 +

uno de los motivos por los cuales son 26 unidades o la mane-

ra indígena en el lado menor de la planta de la Pirámide del Sol. Es un rectángulo Σ de 26 x 27 unidades.

121.5 + 8 + 105.5 + 8 + 121.5 = 486 días. 266

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, op. cit., pp. 59 y 266.

267 Ibid.,

p. 62.


El número 2 028. Es el número volumétrico que expresa el

ríamos

plano del basamento del monumento solar que es la primera

años antes del quinto Sol, y, si suponemos que el día inicial de

página del Códice Fejérváry-Mayer. Allí se encuentra que en él

la

caben solamente 12 semanas, a pesar de que un tonalámatl

les sin

expresa 20 semanas de 13: (260 = 13 x 20). De las 13 semanas

Ce

solamente caben 12 en esa cruz de Malta, contorno de las

cedida por los aztecas a los símbolos tochtli, ácatl, técpatl y calli,

a

esta

primera

edad

conclusion:

fuera

interrupción,

Tochtli.

Esta

la

el

Ce

cómputo

hipótesis

corriendo

Cipactli,

quinta

edad

explica

trecenal

habría

comenzó

los

periodos

principiado

igualmente

la

2

en

028

rituael día

preferencia

con-

caras piramidales en el plano (por ser cuatripartita y de tres

cuando los escogieron para que precediesen los años; y da tam-

semanas por cuadrante), por lo que la decimotercera iniciará

bién la razón de haber iniciado sus cómputos por diferentes días

otra vez en cipactli, habiéndose corrido los días de posición un

y años, la preferencia que habrían concedido a uno de los 20

cuadrante. Esta diferencia entre 12 y 13 semanas es lo que

ciclos de las series de 1 040 años sobre los demás.270

hace que se mueva el calendario, que de otra manera sería estático y no representativo del continuo fluir del tiempo. Al

El número 2 268. Corresponde a la suma de los siguientes números

cabo de cuatro vueltas se habrá llegado a la posición inicial y

calendáricos: 1 134 + 676 + (312 + 52) + (91 + 3) = 2 268. El 2 268 /

transcurrido 156 semanas de 13 días, esto es, 2 028 días (13 x

21 = 108, que es igual a 4 x 27, con lo que queda relacionado

156 = 2 028 días).268 “Casi con la misma exactitud que daba el

con la Luna. El 1 134 es igual a la superficie de la planta de la

periodo de 1 040 años, coinciden dos conjunciones de Venus,

Pirámide del Sol multiplicado por ϕ: (702 x 1.615 = 1 134 = 2x

la primera inferior y la segunda superior, o viceversa, pasan-

7 x 81). Se recuerda que para los mesoamericanos el número

do un término de 2 028 años, o sea, 39 ciclos de 52, habien-

de oro (ϕ) vale de 1.6 a 1.625. El 676 es una era cosmogónica,

do siempre una anticipación de algunos

días.”269

el 312 son tres siglos mesoamericanos y está relacionado con

Este ciclo representa la suma de las cuatro edades cosmo-

Chalchihuicueye, diosa de la lluvia para los mexicas.271 El 52

gónicas (soles o eras cosmogónicas) según dos textos de pro-

es el ciclo del encendido del Fuego Nuevo, el 91 es la cuarta

cedencia indígena: el Códice Fuenleal y otro códice que perte-

parte del ciclo de 364 días o del Sol del inframundo.

neció a Boturini (de acuerdo con del Paso y Troncoso), conocido como Códice Chimalpopoca. El Códice Fuenleal seña- El número 2 340. Es el MCM de los números que relacionan el la una duración de 676 años para la primera edad o era cos-

tonalpohualli con los ciclos sinódicos de los planetas visibles

mogónica; la segunda es igual a la primera; la tercera es de 364

a simple vista, con excepción de Júpiter y Saturno. Es muy uti-

años; y la cuarta, de 312 años. En este trabajo se ha conside-

lizado para hacer coincidir el ciclo sinódico de Mercurio de

rado que la tercera y cuarta mencionadas son en realidad una,

117 días y el de Venus de 585 días con el tonalpohualli: 117 x

pero dividida en dos periodos: uno de 364 años y el otro de

20 = 585 x 4 = 260 x 9 = 2 340. Por otro lado, 23 400 / 9 = 2 600

312, que sumados hacen 676. La suma de estas edades o eras

y 23 409 / 9 = 2 601; 2 601 - 2 600 = 1; en la diferencia se

cosmogónicas da 2 028 años.

encuentra la unidad. Thompson lo menciona en Un comenta-

rio al Códice de Dresde cuando dice “El

es el equivalente

Col

De todo lo anterior resulta: que los 600 años del primer periodo

a 72 ruedas calendáricas, que a su vez equivalen a 2 340 revo-

no estuvieron regidos por el cómputo trecenal, sino por otro que

luciones sinódicas no corregidas de Venus”.272 También seña-

podremos llamar vigesimal. Que al comenzar la primera edad

la que 20 x 117 = 2 340 y añade: “Almanaque 65 (pp. 30c-33c).

cosmogónica se inició el cómputo trecenal, corriendo desde allí

Ausencia de introducción comprensible si este almanaque

sin interrupción, durante 2 028 años, hasta la quinta edad.

ampliado en realidad se vincula con los Señores de la Noche”.

Podemos inferir, además, que la cuenta trecenal comenzase el día

La presente investigación indica que el 2 340 es un número

Ce Cipactli, porque éste es el que casi todas las tradiciones seña-

que representa al sistema solar en su asociación con el tonalpohualli, ya que es múltiplo del ciclo sinódico de Mercurio de

lan como el principio de los tiempos, sentado todo lo cual llega-

117 días (20 x 117 = 2 340), del de Venus de 585 días (585 x 4 = 2 340), del de Marte de 780 días (3 x 780 = 2 340). Naturalmente, también lo es del 260 (9 268

El volumen del primer cuerpo de la

Pirámide

del Sol es de 1 092 u 3, que

x

260 = 2 340). Al inter-

venir el 9 como factor es que se relaciona con los Nueve

corresponde a 1 092 días. La diferencia entre 2 028 y 1 092 = 936; 936 / 3 = 312, el número de Chalchihuicueye y también tres siglos mesoamericanos

Señores de la Noche: (23 400 / 135 = 173.33).

(3 x 104 = 312). 269

Francisco del Paso y Troncoso,

270

27l

Ibid.,

cap.

XI,

op. cit.,

J. Eric S. Thompson,

394

El señor Orozco y Berra, en su Historia (tomo II, p. 33), supone la

p. 354.

Cecilio A. Robelo,

272

Ensayo sobre los símbolos cronográficos de

cap. x, p. 3S2.

los mexicanos, op. cit.,

“Chalchihuicueye”.

Un comentario al

Códice de Dresde,


existencia

de

un

periodo

formado

por

la

combinación

de

los

tres números sagrados 9 x 13 x 20 = 2 340 días; le asigna la op. cit.,

p. 153.

denominación

de

ciclo

simétrico

y

lo

aplica

a

la

corrección

del

cómputo de Venus. Porque, efectivamente, cuatro revoluciones

final del año de 1506 y no en 1507, de acuerdo con el Códice

sinódicas del lucero, calculadas a razón de 584 días, suman 2 336

mendocino, en donde claramente se ve que fue al final de 1506

días, siendo la diferencia entre ambos periodos de cuatro días

cuando tuvo efecto dicha ceremonia. El comentarista del códi-

solamente.273

ce señala también esa fecha para la última ceremonia del encendido del Fuego Nuevo.276

Si la revolución sinódica se considera de 585 días, como en muchas ocasiones fue considerada por los mesoamerica-

El número 2 920. Periodo de conjunción de Venus con el Sol.

nos, el cálculo es exacto.

También se obtiene esta conjunción en función del ciclo sideral del planeta y del número 13: (13 x 224.615 = 2 919.995), por

El número 2 392. Corresponde a la fórmula lunar de Palenque: Luna”

(81

x

29.5308 = 2

“81

392).

Se conoce como

lo que se puede utilizar tanto el periodo sinódico como el side-

veces el ciclo sinódico de la

ral del planeta para lograr una conjunción casi exacta: 584 x

2 340 + 52.

Se recuerda que

11 960

es el

de varios ciclos astronómicos relacionados con el ciclo

MCM

sinódico de la Luna (ver el

81

y el

11 960

2 392

es la quinta parte del ciclo del

tores

2, 4, 8, 13, 23

y

en este apéndice). El

11 960

y tiene como fac-

81; (2 392 / 104 = 23

siglos mesoameri-

5 = 2 920 = 8 x 365 = 13 x 224.615. Curiosamente en esta igualdad aparecen el 5, 8 y 13 como factores, números consecutivos de la serie de Fibonacci.

El número 2 925. Equivale a cinco periodos sinódicos de Venus

canos). Para hacerlo coincidir con el tonalpohualli se tendrá

y a 25 de Mercurio. Es múltiplo del 325, número lunar: 9 x 325 =

que multiplicar por

lunar.

2 925 (ver el número 325 en este apéndice). También está rela-

que lo relaciona con el siglo mesoa-

cionado con el ciclo sinódico lunar: 2 925 / 99 = 29.5454, el

5,

Pertenece a la serie del mericano:

23

x

obteniéndose 23,

104 = 2 392.

se habrá encontrado el

11

960,

Al multiplicar

MCM

gran

2 392

x

MCM

45 = 107 640

del siglo, del medio siglo meso-

americano, de la Luna (ciclo sinódico exacto), de Mercurio, de

ciclo utilizado en Copán para sus cálculos astronómicos. Aquí aparece el 11 otra vez en relación con la Luna (2 925 = 9 x 11 x 29.5454).

Venus y del tonalpohualli. Multiplicando 2 392 x 3 obtenemos 7 176. Además 7 182

El número 3 276. Es un número lunar que corresponde a tres

es el volumen de la cabeza colosal conocida como monumen-

veces 1 092, que es el volumen en unidades a la manera indí-

to número 4 de La Venta. La diferencia entre 7 182 y 7 176 es

gena del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan

6 unidades, número que pasará a ser una nueva unidad: 7 182 /

(1 092 x 3 = 3 276). Si se multiplica el ciclo sidéreo lunar con-

6=1 197 y 7 176 / 6 = 1 196. La diferencia será ahora 1, que

siderado 10 veces por 13: (273 x 13 = 3 549), se observa que

es la unidad (1 197 - 1 196 = 1); en la diferencia se encuentra

3 549 - 3 276 = 273, por lo que se puede tomar el 273 como

la unidad. Esta manera de generar distintas unidades a partir

una unidad lunar. En la diferencia se encuentra la unidad. Al

de las precedentes fue muy utilizada tanto en la matemática

ser 364 x 9 = 3 276 se demuestra que el 364 también es un

como en la geometría dinámica, de la que es sustento.

número lunar, el del año del Sol del inframundo, cuyo numen es Tláloc; 3 276 es tres veces el MCM de 364 y 273.

El número 2 513. Este número está en el Códice Chimalpopoca: El número 3 380. Se encuentra como número volumétrico de Mucho tiempo ha sucedido que [se] formó [a] los animales y [se]

la cabeza colosal olmeca número 4 de San Lorenzo, en el

empezó a dar de comer a cada uno de ellos: sólo así se sabe que

Museo de Antropología de Jalapa (v = 3 380 u3). El volumen

dio principio a tantas cosas el mismo sol, hace dos mil quinientos trece años, hoy día 22 de mayo de 1558”.274 273

El reinado de estos monarcas abraza una época de 2 5 1 5.275 274

Códice Chimalpopoca, en Leyenda de los soles, UNAM, “Primera Serie Prehispánica”, núm. 1, México, 1975, p. 162.

Nótese la proximidad al 2 513. Este número no pudo ser dado al azar, sino que se tuvo



275

Hernando Alvarado Tezozómoc, Crónica mexicana, Códice Ramírez, Editorial Porrúa, México, 1987, p. 189.

en consideración el paso cenital del Sol en Tula (22 de mayo),

276 Códex

Mendoza, editado por Kurt Ross, Liber, Friburg, 1984, p. 323.

además de mencionar una fecha que, en forma esotérica, coin-

“Moctezuma Xocoyotzin, 9th. and last ruler of Tenochtitlan, from 1502-1520.

cidía con un día predeterminado, el 22 de mayo de 1558, día

Note behind his name-glyph (meaning “brave lord”) the sign for the kindling

en que se celebraría la ceremonia del Fuego Nuevo de no haber

of the New Fire, in 1506.” (“Moctezuma Xocoyotzin, noveno y ultimo gobernante de Tenochtitlan, de 1502 a 1520. Nótese por atrás del glifo de

interrumpido el ciclo la conquista de Tenochtitlan (1558 - 52 =

su nombre (que significa valiente señor) el signo del encendido del Fuego

1506). El último encendido del Fuego Nuevo tuvo lugar allí al

Nuevo en 1506”.)


3 380 u3 es igual a 13 tonalpohuallis o a cinco eras cosmogó-

El número 6 552. Corresponde a ocho veces 819, la antigua cuenta lunar de los mayas.

nicas (13 x 260 = 5 x 676 = 3 380).

El número 3 807. Corresponde al divisor del

MCM lunar 11 960

para encontrar el valor de π: 11 960 / 3 807 = 3.1415. El 3 807

El número 6 585.32. Corresponde a un saros, periodo de eclipses de 6 585.32 días.

tiene como factor el 47, el valor del ángulo intertropical: 3 807 / 47 = 81, factor también del 11 960; 11 960 = 5 x 81 x 29.5308642,

A partir de un eclipse solar se puede esperar otro tras 223 lunas

el ciclo sinódico de la Luna.

nuevas, toda vez que el intervalo de saros es también un número entero de los meses dracónicos, el 242 para ser exactos. Si el

El número 4 332.5. Es el periodo aproximado del ciclo sidéreo

primer

de Júpiter.

ocurrirá poco antes de que la Luna llegue a él, porque, en reali-

El número 4 400. Equivale aproximadamente a 149 lunas:

que 223 meses sinódicos....

eclipse

tuvo

lugar

exactamente

en

el

nodo,

el

segundo

dad, 242 meses dracónicos son alrededor de una hora más larga

29.5302 días x 149 = 4 400 días,277 y se conoce como fórmula

El

lunar de Copán. El número 44: (4 400 / 100 = 44), se encuen-

madamente

tra en la sumatoria del 40 al 2, que da 819.

modo, los eclipses del ciclo de saros son estacionales.278

saros

merece

equivalente

mayor a

un

atención,

porque

también

número

entero

de

es

años.

aproxiDe

ese

El número 4 680. Es el doble del MCM 2 340 y 40 veces el ciclo

El número 6 939.6018. Corresponde al ciclo metónico lunar y

sinódico de Mercurio (ver el número 2 340 en este apéndice).

es aproximadamente un periodo de 19 años trópicos. También

El 4 680 es el MCM de numerosos ciclos astronómicos que en

aproximadamente 235 meses sinódicos lunares (6 939.6884

él coinciden con el tonalpohualli: 4 680 = 18 x 260 = 8

días).

40 x 117 = 6

x

780 = 360

x

13 = 104

x

45 = 52

x

x

585 =

90 = 27

x

173.333. Esto quiere decir que serán necesarias 18 vueltas del

El número 6 940. Equivale aproximadamente a 19 años trópi-

tonalpohualli cuando coincida con Venus al cabo de ocho vuel-

cos de 365.2631 días y a 235 lunaciones. El año trópico real es

tas de su ciclo sinódico, de 40 del de Mercurio, de seis del de

de 365.2422 días y las 235 lunaciones equivalen a cinco veces

Marte, de 13 del año ajustado a 360 días, de 45 del siglo, de 90

el ángulo intertropical de 47°. Aveni nos dice que “El ciclo

del medio siglo mesoamericano y de 27 de medios años de

metónico funcionaba a modo de equiparar las fases de la Luna

eclipses. De manera indirecta coincidirá con la era cosmogó-

con el año de las estaciones”.279 Se puede escribir la siguien-

nica: 4 680 = (676 x 7) - 52. El 4 680 es factor de la era maya:

te igualdad: 19 x 365.2631 = 235 x 29.5308 ≈ 6 940.

4 680 x 400 = 1 872 000.

El número 4 745. Este número se obtiene de multiplicar 13 x

El número 7 020. Es un número que tiene como factor el 260, por lo que se puede enganchar con el tonalpohualli. Por tener

365 = 73 x 65, lo que indica que mediante estos números se

como factor el 27 está relacionado con los eclipses de Sol. Es

puede obtener una relación con el ciclo solar de 365 días (73 x

igual a 20 veces el ciclo del 351, que a su vez es igual a 13 x

5 = 365)

y con Venus

con el rectángulo Σ su producto = 2

x 7.

El

7

(65 x

9 =

585).

Es un número relacionado

6 x 7 M = 1.1666...

La suma de

6

+

7 =13;

= 42, que puede ser factorizado como

27: (27 x 260 = 351 x 20 = 7 020). También corresponde a nueve veces el ciclo sinódico de Marte (9 x 780 = 7 020). Es la mitad

3 x

del 14 040, número relacionado con la Luna. Se encuentra en

pertenece a la serie del Sol del inframundo, mien-

el Códice de Dresde como múltiplo del 54 -como 54 x 130-, en el

7 x 6

tras que el 6, al Sol del supramundo, por lo que el rectángu-

almanaque 74 (ver el número 14 040 en este apéndice).

lo Σ 6 x 7 M = 1.1666 simboliza la unión de ambos soles.

El número 7 072. Equivale a 68 siglos de 104 años (68 x 104 = El número 5 184. Se puede decir de este número lo mismo que

7 072). También corresponde a la superficie de 10 rectángu-

para el 324 y para el 4, ya que 324 x 42 = 5 184. Tiene como

los que cada uno tenga 26 y 27.2 unidades de lado (26 x 27.2 =

factor la constante lunar 81: (5 184 / 64 = 81).

707.2; 707.2 x 10 = 7 072). Los mesoamericanos tomaron el ciclo dracónico de la Luna de 27.21222 días como de 27 días para volverlo entero. La base de la Pirámide del Sol en Teotihuacan tiene 26 u x 27 u como lados del rectángulo Σ

277


M =

27 / 26 = 1.0384. Si se tomara como de 26 x 27.2 U ya no sería

278 Ibid.,

pp. 96-97.

un rectángulo Σ, condición indispensable para las bases de

279 Ibid.,

p. 195.

las pirámides mexicanas.

396


El número 9 360. Se encuentra en el Códice de Dresde, CoL G

El 10 800 es un número que enlaza muy cercanamente el

1.6.0.0.1 Ahau = 9 369. Los mayas utilizaron dos números para

ciclo sinódico de la Luna, el año trópico, el medio ciclo sinó-

predecir eclipses, el thix de 9 360 días y el fox de 11 960.280 El

dico de Venus y el ciclo de 360 días, pero en el 10 800 direc-

primero corresponde a 36 tonalpohuallis, que equivalen a 26

tamente no aparece el tonalpohualli. Al dividir la era maya

ciclos de 360 días. Si lo dividimos entre 30, obtendremos 312,

entre 10 800 obtenemos el año de eclipses, por lo que el 10 800

el número en unidades a la manera indígena que se encuen-

es importante, pues contiene en sí todas estas relaciones. Al

tra en la altura del posible prisma envolvente virtual de El

multiplicar el 10 800 x 13 = 140 400 ya lo podremos relacio-

Castillo, tomado por talud del primer cuerpo. Es el número de

nar con el tonalpohualli: 140 400 / 260 = 540.

Chalchihuicueye, también relacionado con Tláloc, que se remi-

El 10 800 aparece en la cabeza colosal olmeca número 4

te a la Luna. Si se divide entre 520, obtendremos 18, que al

de San Lorenzo. Si se divide 10 800 / 37 se tiene 291.89, que

multiplicarse por 3 darán 54 eclipses. Recordemos que el 27:

es la mitad del ciclo sinódico de Venus, con el cual se relacio-

(54 / 2 = 27), es un número de eclipse. La numerología, según

na. Si se divide entre 365.25, se tiene 10 800 / 365.25 = 29.568,

Smiley, del thix y del fox nos da la siguiente igualdad: 33 280 -

aproximadamente el ciclo sinódico lunar, con el que también

(11 960 + 9 360) = 11 960, en números absolutos 104 x 320 = 33 280,

queda relacionado. Se puede decir que 10 800 es el MCM cer-

que equivaldría a 128 tonalpohuallis.

cano tanto del 29.568 (aproximadamente el ciclo lunar) como del año trópico de 365.25 días. La siguiente igualdad lo com-

El número 10 758.9. Aproximadamente el ciclo sidéreo de

prueba: 29.568 x 365.25 = 10 799.71, aproximadamente 10 800.

Saturno en días.

El número 10 800. La relación de la cuenta sideral lunar con

El número 10 920. Corresponde a 10 veces el volumen del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan. Además es un

el año trópico y con el ciclo solar ajustado de 360 días se logra

tercio de 32 760, que es el MCM de 104, 260, 360, 364, 585, 117,

mediante el número 10 800, el cual equivale a 30 años de 360

819, 780. El ingeniero Ximello Olguín propone que el 10 920 se

días (30 x 360 = 10 800, que pertenece a la serie del 27: 10 800 /

encuentra en estas pirámides como una reminiscencia del anti-

27 = 400 =

202,

siendo el 20 el número básico de las cuentas

guo calendario maya de 819 días (819 x 40 = 32 760). El núme-

mayas; 10 800 / 365.2422 = 29.56, coincidencia del ciclo sinódi-

ro 819 lo encuentra Sugiyama en la Ciudadela de Teotihuacan

co lunar aproximado y el solar trópico. En el caso del ajuste de

siguiendo el curso del río San Juan.282 El volumen 10 920 (en

los ciclos sinódicos de la Luna y el año trópico tenemos lo

números absolutos) es el que más se ajusta a los datos de

siguiente: 365.2422 x 29.5308 = 10 785.89436, que tiene con el

campo que dan Cabrera y Sugiyama. Aquí se utiliza en el cálcu-

10 800 una diferencia de 14.105 días, lo que parece excesivo, ya

lo del volumen de la pirámide de Quetzalcóatl.283 Este número se encuentra en una tabla de diferencias

que se tendrían que hacer ajustes de 14.105 días cada 10 800 días, aunque en ocasiones se hacían ajustes aún por más días.281 El número 10 800 se puede descomponer de la siguiente

entre el ciclo lunar de 11 960 días y el ciclo de 52 años. Es la tercera parte del gran ciclo lunar de 32 760 días, que corresponde a “158.5 (13 años de 360 días) y otro de 246.5 (20 años

manera:

de 364 días)”.284 Esto quiere decir que una parte del 11 960 se 272 = 729; 729 x 14 = 10 206, que restado de 10 800 = 594, el cual tiene como factores el 2, 11 y 27; (2

x

cuenta con base en el 360 y otra en el 364: 20 x 364 = 7 280

11 x 27 =

594). 10 800 = (14 x 729) + 594 = (14 x 729) + 2 (11 x 27) = (2 x 7 x 272 ) + 2 (11 x 27). 262 = 676; 676 x 15 = 10 140, que restado de 10 800 = 660, el cual tiene como factores el 10 y el 66, que a su vez

280

Charles H. Smiley, “Indigenous Mayan Science”, en la recopilación de ar-

se descompone en 6 x 11. Observen el papel del 11 y su

tículos de Shri Dukishisyama Pattanagak, Commemoration Volume, Orissa, Bubaniswar, pp. 177-181.

importancia en las cuentas astronómicas. 15 x 26 x 27 = 15 x 702 = 10 530; 10 800 - 10 530 = 270,

281

Ver el 37 960, gran MCM de varios ciclos astronómicos importantes.

282

un tonalpohualli +10. El número de unidades de la base de la Pirámide del Sol

283

México, 1991, p. 125. Los ángulos de reconstrucción de este edificio se

El tonalpohualli se enganchará con el 10 800 mediante su 140 400.

140 400 / 10 800 = 13; 140 400 / 540 = 260.

Rubén Cabrera Castro, “Los sistemas de relleno en algunas construcciones teotihuacanas”, en Teotihuacan, 1980-1982 /Nuevas interpretaciones, INAH,

en Teotihuacan es 26 y 27.

MCM,

Saburo Sugiyama, “Worldview Materialized in Teotihuacan, Mexico”, en

Latin American Antiquity, vol. IV, núm. 2, junio de 1992, p. 113.

tomaron de esa publicación. 284

Demetrio Sodi, Los mayas, el tiempo capturado, Bancómer, México, 1980, p. 89.


días; 13 x 360 = 4 680 + 7 280 = 11 960. Los números 7 280 y

La cuenta habitual parece haber consistido en tres lunas con

4 680 los podremos reducir a 28 y 18, respectivamente, al divi-

duración de 29 días y tres con duración de 30 (véase con ante-

dirlos entre 260: (7 280 / 260 = 28 y 4 680 / 260 = 18). El 28 es

rioridad la exposición sobre el glifo

número del Sol del inframundo y el 18, del Sol del supramundo.

empleaba cuatro lunas de 30 días y dos de 29, iniciativa de orien-

La siguiente igualdad expresa una coincidencia: 42 x 260 =

A.

Al parecer la cuenta de 178

tación correcta cuando sabemos que el mes sinódico es ligera-

30 x 364 = 10 920. Aquí podemos encontrar el empleo del 30

mente más largo que 29

y del 42: (7 x 6), como números lunisolares.

dibujos son 1 742, 1 034, 1 210, 1 742, 1 034, 1 210, 1 565 y 1 211

A través del 32 760 se encuentra la relación directa con Venus: 32 760 / 585 = 28 x 2.

1/2

días. Los intervalos entre los nuevos

días, todos los cuales se pueden reconocer como ciclos de eclipses reales, de acuerdo con nuestro examen de la astronomía a

La diferencia entre 11 960 y 10 920 es igual a 1 040, el

simple vista (véase especialmente el cuadro 5). En fin, el núme-

equivalente a 10 siglos. Ya se dijo que también es la décima

ro total de días de la tabla es 11 958 (alrededor de 33 años) o muy

parte de 10 920: (1 092), que en números absolutos corres-

cerca de 405 lunas (405 lunas = 11 959.89 días). Recordemos que

ponde al volumen del primer cuerpo de la Pirámide del Sol en

es esa exactamente la misma cuenta lunar usada en Palenque

Teotihuacan. Si dividimos el volumen del primer cuerpo entre

(5 x 81 lunas). Más aún, ese número también corresponde al

el volumen del segundo -que es 676 en números absolutos,

ciclo de 260 días (46 x 260 = 11 960 días = 405 lunas), es decir que

valor de una era cosmogónica-, obtendremos con mucha

se puede usar para la recuperación del mismo día del tzolkin con

aproximación el número de oro: 1 092 / 676 = 1.61538...

sólo un ligero cambio en la fase de la Luna...

El número 11 960. Es un gran

lunar y corresponde al fox

ro 11 960 representa una elección adecuada si los astrónomos

maya para predecir eclipses. El 11 960 se encuentra en el

deseaban asociar eclipses con otros ciclos astronómicos. Por

Códice de Dresde como 46 x 260 = 11 960, almanaque 71, tabla

ejemplo, ese número también equivale a 32 años trópicos con un

...Como lo han señalado Kelly y Kerr (1974, p. 183), el númeMCM

de eclipses; con SI, CL y tabla de multiplicar de 11 960, de

remanente de 0.745, o sea, casi tres cuartas partes del año. Así

acuerdo con Thompson. Corresponde a la coincidencia de va-

pues, el intervalo tal vez se haya utilizado para cálculos del año

rios ciclos astronómicos, principalmente lunares, y el tonalpo-

trópico; por ejemplo, para pasar del solsticio al equinoccio. Al

hualli. En el 11 960 se encuentra ya el ciclo sinódico lunar de

cabo de cuatro repeticiones, las efemérides volverían casi al

29.5308

mismo sitio del año trópico.286

días. Para obtener el 11 960 se toma cinco veces la

constante de Palenque (81 x 5 = 405), número de lunas registrado por Noriega en la piedra calendárica Piedra de las 405

Al cabo de cuatro repeticiones el número 11 960 cambia-

Lunas: 11 960 días / 405 = 29.5308 días, el ciclo sinódico

rá a 47 840, que aproximaremos a 47 844. Ahora bien, 47 844 /

lunar.285

365.2422

En días el 11 960 es igual a 405 lunaciones de 29.5308

= 130.9925, de lo que se deduce que haciendo algu-

días, mientras que el ciclo de Palenque es de 2 392 días, que

nas correcciones el 11 960 se puede relacionar con el año tró-

equivale a 81 lunaciones de 29.5308 días. Tanto el 11 960

pico: 47 844 / 131 = 365.221374, en lugar de 365.2422. La dife-

como el 2 392 son múltiplos del número 23: 2 392 = 23 x 104,

rencia es de 0.0209 de día. Así se explicarían las cuatro

y corresponde a 23 siglos mesoamericanos: 2 392 / 104 = 23,

repeticiones del símbolo en forma de S, el xonecuilli, pues “al

lo que quiere decir que en ese periodo habrá la posibilidad de

cabo de cuatro repeticiones, las efemérides volverían casi al

23 x 3 = 69 eclipses.

mismo sitio del año trópico”, lo cual confirma que este símbo-

El 23 tiene como función engranar el tonalpohualli con el ciclo sinódico lunar, por lo que es un número de enlace.

lo servía para caracterizar las estaciones al asumir cuatro posiciones diferentes: dos horizontales, invierno y verano; y dos verticales, primavera y otoño. La horizontal de verano corresponde a la época de lluvias,

285

El 45 es importante, pues puede ser utilizado para la misma cuenta: 45 x 9 = 405, además de ser factor de 360: 45 x 8 = 360, pudiéndose entonces aso-

dote vestido con la librea de Tláloc porta un banderín blanco

ciar la Luna con el año de 360 días (360 x 9 = 405 x 8 = 3 240). El número

con un xonecuilli negro durante la fiesta en honor a la Tierra,

40 aparece cuando dividimos 3 240 / 81 = 40. Lo anterior puede ser el sig-

Nuestra Madre.287 El xonecuilli servía para caracterizar las esta-

nificado del empleo del rectángulo Σ 8 x 9 M 1.125. Además 9 x 8 = 72 y 72 x 45 = 3 240. Su simbolismo podría ser la relación de la Luna con la Tierra. 286

ciones que quedan definidas en función del año trópico, los

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., nota

equinoccios y solsticios.288 Todo esto explica el 11 960 en el

17.

volumen de la pirámide envolvente virtual que puede encerrar

287 Códice

borbónico, edición facsimilar, Siglo XXI Editores, “América Nuestra’’,

México, 1988. 288

como se puede ver en el Códice borbónico, en donde un sacer-

El xonecuilli aparece en la imagen de la virgen de Guadalupe como un moño en la cintura de la virgen.

398


al viejo templo de Quetzalcóatl. Aparece en el Códice de Dresde en el almanaque 71, la tabla de eclipses y tabla de multiplicar del 11 960. Se puede

dividir 11 960 / 69 y se obtiene el medio año de eclipses de 173.333... días, siendo el correcto de 173.31 días

Con los factores de la primera expresión se puede formar un rectángulo de base 10 u y altura 17 u, cuyas diagonales

Este códice contiene un verdadero catálogo de los núme-

presenten en los lados del rectángulo los siguientes ángulos:

ros empleados por los astrónomos mesoamericanos, entre ellos

59.53° y 30.465°. Si el rectángulo tiene por lados 10 u y 16.64 u,

los contenidos en las tablas de multiplicar, en los almanaques

los ángulos de las diagonales con los lados serán de 59° y 31°.

diversos y en los especializados, como el de la Luna y el de

Si queremos expresar los lados sin decimales tendremos un

Venus, entre otros. La mayoría de estos números puede ser

rectángulo con base 1 000 y altura 1 664. El 1 664 se puede fac-

encontrada en las superficies o en los volúmenes de los cuer-

torizar como 42 x 104. Éste es uno de los motivos del ángulo

pos envolventes de las esculturas y pirámides mesoamericanas.

de 31° en las cabezas olmecas. También se pueden utilizar rectángulos de 832 y 500, 416 y 250, 208 y 125. Se conserva el

En apoyo a la naturaleza integradora de los calendarios mayas

ángulo de 31° y se marcan múltiplos del siglo mesoamerica-

contenidos en los códices, Spinden (1930, p. 92) ha señalado que

no. El ángulo de 31° corresponde al ángulo del límite eclípti-

el calendario lunar formal de 11 960 días vincula puntos signifi-

co solar, que es la zona que rodea al nodo dentro de la cual

cativos del calendario de Venus; por ejemplo, 1 Ahau 18 Kayab

puede ocurrir un eclipse de Sol. El límite eclíptico lunar es

(una de las fechas de rueda calendárica escrita en la tabla de Ve-

aquella zona que rodea al nodo en la que puede ocurrir un

nus) más 11 960 días es igual a 1 Ahau 13 Mac, otra fecha de

eclipse de Luna (en este caso el límite eclíptico es de 25°). Con los factores de la segunda expresión se forma un rec-

rueda calendárica escrita en ella. Spinden demuestra que el mismo 11 960 (lo recordamos como la longitud de la tabla de eclip-

tángulo Σ 16 x 17 M 1.0625 y de ángulos entre diagonales

ses lunares del Dresde, 51-58) se puede asociar con la fecha de

46.735 y 43.264 grados. A su vez el área de este rectángulo es

partida de la tabla, 9.9.9.16.0.289

272: (272 = 27.2 x 10; 27.2 es el ciclo dracónico de la Luna). Thompson dice: “Un almanaque de nueve periodos (núm.

Al analizar el 11 960 en números absolutos se tiene lo siguiente:

65) quizá vincule a los señores de la noche con los regentes del almanaque sagrado”.290 Ya se vio que 11 960 / 405 = 29.5308, en donde 405 = 45 x 9, logrando de este modo la vinculación

11 960 / 184 = 65, novena parte del ciclo sinódico venusino.

entre la Luna y el almanaque sagrado: 11 960 / 69 = 173.33.

11 960 / 29.53 = 405, las famosas 405 lunas. 11 960 / 585 no es un número exacto, así que de manera

El basamento en la primera página del Códice FejérváryMayer es de 18 u x 17 u = 306 u2; 306 x 39 = 11 934. Como en

indirecta encontramos que si lo descomponemos en

la diferencia se encuentra la unidad, y la diferencia entre 11 960

dos sumandos, 11 700 y 260, observaremos que equi-

y 11 934 es 26, la unidad será el 26. Se confirma: 11 960 / 460 =

vale a 20 ciclos sinódicos de Venus más un tonalpo-

26 y 11 934/459 = 26.

hualli (20 x 585) + 260 = 11 960. 11 960 / 260 = 46 tonalpohuallis. 11 960 / 69 = 173.333, el medio año de eclipses. 11 960 / 520 = 23, lo que nos indica que el 11 960 se

El número 14 040. Este número aparece en el Códice de Dresde y vale 18 x 780 = 14 040. Está relacionado con el tonalpohualli por el factor 54, mismo que al contener el 27 (54 / 2 = 27)

encuentra en la serie del 23 y que este número sirve

queda relacionado con los eclipses. Su factorización es 14 040 =

como número de enlace. Así tenemos que 11 960 / 520 =

2 x 27 x 260.

23 y 23 x 3 eclipses. También se puede relacionar con Venus de manera indirecta: (585 + 13) x 20 = 11 960;

El número 14 820. El ciclo metónico de la Luna es de 19 años.291

585 x 20 = 11 700; 11 960 - 11 700 = 260, lo que indica

La diferencia entre 19 x 780 = 14 820 y 18 x 780 = 14 040 es 780

que 260 puede ser por sí mismo una unidad, ya que resul-

en números absolutos. Por ser una diferencia puede ser toma-

ta de una diferencia: 11 960 / 260 = 46; 11 700 / 260 = 45;

do este intervalo como unidad, un ciclo sinódico de Marte.

46 - 45 = 1. En la diferencia se encuentra la unidad, 1. El 11 960 y el ángulo de 31° en hachas olmecas y esculturas

289

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., p.

218, nota 28.

de pequeño formato que fueron ofrendas funerarias. El 11 960

290

se puede descomponer en dos sumandos: 5 840 y 6 120. El 5 840 puede factorizarse como 10 x 584 o 16 x 365. El 6 120 puede factorizarse como 17 x 360. De esta manera el 11 960

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, op. cit., p. 266. El 11 960 lo menciona Thompson en esta obra, pp. 175-176 y 266.

291

Enrique de Villena, Tratado de astronomía, Editorial Humanitas, Barcelona, 1983, p. 83, tabla. “A la fecha los ciclos de 28 años para el Sol y de 19 para la Luna son periodos muy utilizados en el calendario lunar

se puede expresar de dos maneras: 11 960 = (10 x 584) + (17 x

eclesiástico”, lo que indica que al hacer astronomía a simple vista pudie-

360) y 11 960 = (16 x 365) + (17 x 360).

ron también ser conocidos por los astrónomos mesoamericanos.


El producto de la multiplicación de los lados del mismo rec-

El número 16 380. Es el M C M de 260, 364, 180 y 585, por lo que sirve para relacionar el tonalpohualli, el ciclo del 364, el medio

tángulo es 42: (7 x 6 = 42), y dividiendo 1 092 / 42 = 26 se

ciclo de 360 y el ciclo sinódico de Venus. La siguiente igual-

obtiene un cuarto de siglo mesoamericano.

dad lo comprueba: 260 x 63 = 364 x 45 = 180 x 91 = 585 x 28 = 16 380. Este número es importante, pues generalmente en la

42 x 13 = 546, número solar y lunar, ya que tiene como factores el 6 y el 7, además del 13.

iconografía aparece junto con los símbolos de la Luna y de Venus. Esto es debido a que el 364 se relaciona con el Sol del

546 / 7 = 78; 78 / 13 = 6, número solar relacionado con los

inframundo y con la Luna. El que Venus esté presente en la

eclipses al tomarse como sumando en el ciclo sidéreo

iconografía junto con la Luna descarta que el planeta pueda

de la Luna: 7 + 7 + 7 + 6 = 27; 546 / 6 = 91, cuarta parte

ser considerado como el Sol del inframundo. Más bien éste se

del año lunar ajustado a 364.

refiere al Sol cuando se esconde por debajo de la superficie de la Tierra, el Sol representado por una calavera. No se trata

Tomando como divisor el 13 (obtenido de la suma de 6 +

del planeta Venus puesto que es este planeta el que brilla

7), relacionaremos Venus, la Luna, el Sol, Mercurio y Marte.

cuando el Sol ya se ha puesto y el que lo anuncia antes de su

Tendremos como divisor el 7: (45, 28, 315, 140 y 21); 585 / 13 =

orto. Es su precursor y antecesor, por lo tanto no puede ser

45. En la iconografía mesoamericana es común ver símbolos

el mismo. Como consecuencia, el 364 es ambivalente, ya que

de Venus y de la Luna en una misma obra; 364 / 13 = 28; (585 x

queda como número del Sol del inframundo y de la Luna, mas

28) = (364 x 45) = 16 380 (ver cuadro del número 16 380).

no como de Venus. El 364 es el número de Tláloc, numen de la Luna, al igual que Chalchihuicueye. El ciclo de 360 días es también ambivalente, ya que puede ser tanto solar como lunar.

Se observa que como factores del número de ciclos intervienen de manera recurrente el 22 y el 32, además del 3, 5 y 7.

Inscribiendo la cabeza de La Cobata en un rectángulo Σ 6 x 7 (cuyos lados suman 13), queda este rectángulo relacionado con los tlalpillis, Marte, medio siglo mesoamericano, la Luna y las eras cosmogónicas de la manera siguiente: al tener Cuadro del número 16 380

como factores el 6 y el 7, podremos considerar también sus múltiplos, 24, 28, 78 y 91, y los multiplicaremos por el factor común 13. Obtendremos: 13 x 3 = 39 o tres tlalpillis; 39 x 2 = 78. 13 x 6 = 78; 78 x 2 = 156; 12 x 13 = 156; 156 x 10 = 1 560, que es el volumen en números absolutos de la escultura de la Coatlicue, la Madre Tierra, la madre nutricia. 156 x 5 = 780, ciclo sinódico de Marte.

Relación del tonalpohualli, Sol, Luna, Venus, Mercurio y Marte a través del 16 380 Número

Ciclo

Astro

16 380 16 380 16 380 16 380 16 380

Tonalpohualli, 260 Medio siglo, 52 Sinódico, 117 Sinódico, 780 Volumen de la Pirámide del Sol, 2 340 Sinódico, 585 Sol del inframundo, 364 Sol del inframundo, 1 092 = 364 X 3 Calendario lunar, 819 Sidéreo, 27.3

Sol Sol Mercurio Marte Sol

156 / 52 = tres medios siglos mesoamericanos.

16 380 16 380

13 x 7 = 91; 27 x 3 = 81, un cuarto del año lunar ajustado.

16 380

13 x 28 = 364, un año lunar ajustado. 13 x 24 = 312 = (104 x 3); 312 + 364 = 676 o era cosmogónica = 132 x 4.

16 380 16 380


Factorizaciones

63 = 32 x 7 315 = 32 x 7 x 5 140 = 22 x 7 x 5 21 =3x7 7 es número lunar

Venus Luna

28 45

28 = 22 x 7 45 = 32 x 5

Luna

15

15 = 3x5

Luna

20

20 = 22 x 5

Luna

600

600 = 23 x 3 x 52

Se toman los números 6 y 7 implícitos en los lados del rectángulo Σ 6 x 7 y se suman (6 + 7 = 13). Ahora el 6 y el 7 se multiplican por su suma y se tiene, de manera directa o indirecta, la relación con Marte, Luna, así como también siglo y medio siglo mesoamericanos.

Si se toman cada uno de los lados y los multiplicamos por 13 tendremos 6 x 13 = 78; 7 x 78 = 6 x 91 = 546 = 42 x 13; 546 x 2 = 1 092; 7 x 13 = 91; 1 092 / 3 = 364, un año lunar ajus-

6 x 1 3 = 78, la décima parte del ciclo sinódico de Marte. 7 x 13 = 91, un cuarto de año lunar ajustado a 364. 7 x 78 = 6 x 91 = 546; 546 x 2 = 1 092; 1 092 / 3 = 364, un año lunar. 1 092 / 52 = 21 ciclos de medios siglos mesoamericanos.

400


tado o ciclo del Sol del inframundo. Si se toma ahora la multiplicación de los lados del rectángulo Σ 6 x 7 = 42: 1 092 / 21 = 52 o 21 ciclos de medios siglos mesoamericanos; 1 092 / 42 = 26, un cuarto de siglo mesoamericano en el lado menor de la base de la Pirámide del Sol.

El número 16 425. Si se toma cinco veces este número tendremos 16 425 x 5 = 82 125, cuya factorización comprende el ciclo sidéreo de Venus 82 125 = 73 x 5 x 225; 73 es factor del 365 y 225, el ciclo sidéreo de Venus.

Cuadro del número 27 300293 Número 27 300 27 300 27 300

El número 16 848. Corresponde al volumen que tiene el prisma que se puede formar sobre la base de la Pirámide del Sol

27 300 27 300

(16 848 u3) y una altura de 312 unidades. Se puede factorizar

27 300

como 2 x 27 x 312, en donde el 27 es el ciclo dracónico lunar

27 300

Cido

Astro

Tonalpohualli,

Sol

260 Sol al norte, 105 Sidéreo exacto, 27.3 Medio siglo, 52 Sol del inframundo, 364 Tlalpilli, 13 Ciclo lunar del inframundo, 28

Número de ciclos

Factorizaciones 105

Sol Luna

260 1 000

Sol Sol

525 75

Sol

2 100

Luna

975

105 = 3 x 5 x 7 260 = 2a X 5 X 13 1000 = 23 x 53 525 = 3 X 52 X 7 75 = 3 x 52 2 100 = 22 x 3 x 52 x 7 975 = 3 x 52 x 13

ajustado y 312, el número de Chalchihuicueye o tres siglos mesoamericanos.

El número 18 980. Corresponde a la mitad del 37 960, del que se hablará más adelante. La diferencia con éste es que

El número 32 760. Corresponde al importante mínimo común

el 18 980 no es divisible entre 104 y sí lo es entre 52, lo que

múltiplo (MCM) de los ciclos siguientes: 29.5135 (casi el ciclo

explica que algunas veces se tome el siglo y otras el medio

sinódico lunar), 52, 90, 91, 104, 117, 260, 360, 364, 585, 780,

siglo mesoamericano en las correspondencias de ciclos. Por lo

819. Es un número relacionado con el calendario azteca, pues

demás tienen ambos las mismas características. En el Códice de Dresde se encuentra en el almanaque 70. Se puede estable-

todos los números que son sus factores aparecen en éste.

cer la siguiente igualdad: 18 980 = 52 x 365 = 73 x 260, con lo

El número 33 280. Equivale a 57 revoluciones sinódicas de Venus

que queda relacionado con el 73 (ver el número 73 en este

de 584 días menos 8 días. Se encuentra en el Códice de Dresde,

apéndice).

CoL F 4.12.8.0.

1 Ahau = 33 280. Se puede escribir la siguiente

igualdad: 32 x 1 040 = 128 x 260 = 320 x 104 = 640 x 52.

El número 27 000. Se encuentra en la diferencia entre el calendario solar y la era maya: 1 872 000 días / 365.2682 días (muy

El número 37 960 (5.5.8.0. en la escritura numérica maya). Es

próximo al año trópico real) = 5 125 ciclos; 360 días x 5 125

el mínimo común múltiplo (MCM) de los ciclos de 104, 260,

ciclos = 1 845 000 días, una diferencia de 27 000 días que

365, 520, 584, 468. También 146 x 260 = 104 x 365 = 37 960.

había que ajustar: 75 años de 360 días.

Corresponde en días a la duración del siglo mesoamericano, y en el Códice de Dresde es un importante lub o posición en el

El número 27 300. Es

MCM

de varios ciclos astronómicos.

Corresponde al ciclo sidéreo de la Luna multiplicado por 1 000:

almanaque sagrado de 260 días. Son varios los ciclos con los que se puede engranar este número.

27.3 x 1 000 = 27 300. Por ser 27 300 múltiplo de 364 se puede pensar que existieron calendarios lunares de 13 meses de 28

37 960 / 2 920 = 13; 2

días. Si se multiplica 27.3 x 30 = 819, número de una cuenta

37 960 / 584 = 65.

lunar antigua divisible exactamente entre 9: 819 / 9 = 91, la

37 960 / 520 = 73.

cuarta parte del año del Sol del inframundo (364 / 4 = 91).

37 960 / 365 = 104. Una interesanteigualdad es 40 x (364 +

Multiplicando el ciclo sidéreo lunar de 27.3 días por 1 000

920 =584 x 5 = 8 x 365.

585) = 949 x 40 = 37 960.

se obtiene un número que contiene como factores el tonalpohualli, el lapso del Sol en el norte de la latitud 15°, el medio siglo, el Sol del inframundo, el tlalpilli y el 28, que como núme-

hacer una corrección de 26 días cada 104 años para tener la

ro lunar es factor del 27 300, que se analizará a continuación

verdadera duración de ese ciclo. De esta manera tenemos que

(ver cuadro del número 27 300). El 1 820 Thompson lo consi-

37 960 + 26 = 37 986 días. Ahora lo podremos corresponder

dera en los números de los almanaques ampliados del Códice

con el ciclo sinódico lunar, pero también se tendrán que hacer

de Dresde (almanaque 75, pp.

correcciones, ya que no es el ciclo exacto: 37 986 /1 286 = 29.5381.

73b-71c).292

Al considerar el año de 365 días y no de 365.25 se tiene que

La diferencia con el ciclo correcto es 29.5381 - 29.5308 = 0.0073 días por cada ciclo lunar. Se tendrán que agregar 39 292

J. Eric S. Thompson, Un comentario ai Códice de Dresde, op. cit., p. 68.

días a 1 285 ciclos de 29.5308 días para llegar a 37 986 días

293

Ibid., pp. 85 y 288. El 273 hace referencia a “arrancarle un ojo a él”. “Ése

(1 285 x 29.5308 = 37 947.078; 37 947 + 39 = 37 986), que son

es el acto ritual llamado colop u vich, arrancarle el ojo, en fuentes yucatecas primitivas; además existe un dios omnipotente llamado Colop u Uich Kin, Arrancarle el Ojo al Sol (Roys, 1965, p. 145).”

104 años de 365.25 días. Esto quiere decir que cada siglo de 104 años trópicos habrá una misma posición para Venus y la


Luna con respecto al Sol, cuando el planeta se encuentre saliendo del inframundo. En ese momento también se pre-


Ciclo

Astro

49 140 49 140 49 140

Tonalpohualli, 260 Medio siglo, 52 Sol arriba de la latitud 15° N, 105 Sinódico, 585 Sinódico, 117 Sinódico, 780 Año del Sol del inframundo, 364 Ciclo lunar ajustado, 28 Dracónico ajustado, 27 Sidéreo, 27.3 Cuenta lunar, 819

Sol Sol Sol

sentará un eclipse y las Pléyades se encontrarán a 90° de distancia al noroeste del punto del orto helíaco de Venus, hacia donde apunta la cueva que se encuentra abajo de la Pirámide del Sol en Teotihuacan.294 Si se considera cada año del siglo cada siglo para obtener los 37 986 días (ver los números 52,

49 140 49 140 49 140 49 140

104, 73 y 676).

49 140

de 365 días en vez de 365.25, tendremos que agregar 26 días

49 140

El número 49 140. Se considera este número importante dentro de los MCM de Mesoamérica por ser múltiplo del tonalpo-

49 140 49 140


Venus Mercurio Marte Sol Luna

Luna Luna

84 420 63 135

Factorizaciones

189 = 9 x 21 945 = 5 X 9 X 21 468 = 2 X 234 84 = 7x 12 420 = 20 x 21 63 = 7 X 9 135 = 5 x 27

1 755

1 755 = 5X351

1 820

1 820 = 20 X 91

1 800 60

1 800 = 20 x 90 60 = 2 X 3 X 10

hualli (260 x 189 = 49 140), del 52 (52 x 945 = 49 140) y del 945, que a su vez se puede dividir en nueve grupos de 105 días. El 105 pertenece tanto a las series lunares del 7: (945 / 135 = 7), y del 27: (945 / 35 = 27 = 3 x 9), así como a la serie

El número 59 280. Se encuentra como número volumétrico del

venusina del 5: (945 / 5 = 189 = 3 x 7 x 9). No es casual que el

monumento 1, que corresponde a la cabeza colosal de La

945 corresponda a un múltiplo del lado mayor de la base de

Cobata. Se tiene lo siguiente:

la Pirámide del Sol (27 u), lado que corresponde a los números lunares (27 x 5 x 7 = 945). Thompson anota en su Un

59 280 / 228 = 260, un tonalpohualli.

comentario... que “Un almanaque de nueve periodos (núme-

59 280 / 3 120 = 19, ciclo metónico lunar en años.

ro 65) quizá vincule a los Señores de la Noche con los regen-

59 280 / 190 = 312, ciclo de Chalchihuicueye, esposa de

tes del almanaque sagrado”.295 Los nueve periodos del alma-

Tláloc.

naque sagrado hacen un total de 2 340 días: 9 x 260 días =

59 280 / 2 007 = 29.5366, casi el ciclo sinódico lunar.

2 340 días. El almanaque 65 del Códice de Dresde vincula a

59 280 / 2 195 = 27.0068, el ciclo dracónico tomado de 27

los Señores de la Noche, no solamente con los regentes del

días.

calendario sagrado, sino con los periodos de eclipses, lo cual es lógico, ya que los acompañados o Nueve Señores de la Noche considerados como planetas brillarán en pleno día cuando ocurra un eclipse solar y se haga la oscuridad.296 Se puede

El número 68 900. Corresponde a 118 revoluciones de Venus menos 12 días. Se encuentra en el Códice de Dresde, col E 9.11.7.0,1 Ahau = 68 900. Se puede factorizar como 265 x 260.

escribir la siguiente igualdad que demuestra lo dicho: 49 140 = 945 x 52 = 2 340 x 21 = 260 x 189 = 105 x 468 = 117 x 420 = 585 x

El número 70 980. Corresponde a 273 tonalpohuallis. El 273

84 = 780 x 63 = 364 x 135 = 28 x 1 755 = 819 x 60 = 273 x 180

equivale a 10 veces el ciclo sidéreo lunar. Se puede factorizar

(ver cuadro del número 49 140).

como 70 980 = 273 x 260 = 195 x 364 = 121.5 x 584.19; el 121.5 corresponde al periodo largo de tránsitos de Venus y 584.19, al ciclo sinódico de ese planeta.

El número 93 600. Corresponde a la rueda de profecías de katún y es el M C M (mínimo común múltiplo) del katún y del almanaque sagrado (360 x 260 = 93 600 = 13 x 7 200 = 585 x 160).

El número 107 640. Pertenece a la serie del 23 y del 104, lo que 294

Geoffrey Cornelius y Paul Devereux, The Secret Language of Stars and

Planets, Chronicle Books, San Francisco, 1996, pp. 152-153. 295 296

J . Eric s . Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, op. cit., p. 2 6 6 .

lo vuelve solar, pero al tener también como factor el 2 392 (81 x 29.5308 = 2 392) también es lunar, por contener su ciclo

Cecilio A. Robelo, op. cit., p. 840. “Si bien reflexionamos, además de su

sinódico. El

representación general de símbolos nocturnos, tenían referencia los

número coinciden Mercurio, Venus, la Luna (ciclo sinódico

acompañados a los cuatro astros de la siguiente manera y de dos en dos:

exacto) y el tonalpohualli, además del siglo y medio siglo meso-

Sol, Tetl y Atl; Estrella de la Tarde, Técpatl y Miquiztli; Luna, Tepeyolotli y Quiáhutl; Tierra, Xóchitl y Centéotl; sobra un acompañado, que es

MCM

de 2 392, 117, 585 y 260 es 107 640. En este

americanos. La siguiente igualdad lo demuestra: 107 640 =

Tlazoltéotl, y ya sabemos cómo es lo mismo que Teonexquimilli, la negra

117 x 920 = 585 x 184 = 260 x 414 = 3 645 (ver cuadro del

noche, la noche misma.”

número 107 640).

402


En estas ecuaciones intervienen el ciclo sinódico lunar


Ciclo

Astro

107 640

Tonalpohualli, 260 Sinódico, 117 Sinódico, 585 Siglo, 104 Medio siglo, 52

Mercurio Venus Sol Sol

107 640 107 640 107 640 107 640

Sol

Número de ciclos 414 920 184 1 035 2 070

Factorizaciones

414= 18 x 23 920 = 40 X 23 184 = 8 x 23 1 035 = 45 X 23 2 070 = 90 X 23

(29.5308 días) y el gran ciclo de las 405 lunas (11 960 días).

El número 185 120. Se encuentra en el Códice de Dresde, Col D 1.5.14.4.0, 1 Ahau = 185 120. Se encuentra en la rueda del 89: (89 x 2 080 = 185 120). Corresponde a 317 revoluciones sinódicas de Venus menos 8 días.

El número dominante como factor del número de ciclos es el 23, número de enlace.

El número 218 400. Es 200 veces el volumen del primer cuerpo de la Pirámide del Sol: 200 x 1 092 = 218 400 y lo mismo

El número 119 574. Tiene como factores 273 y 819. Otra fac-

puede decirse acerca del área de la sección transversal de la

torización es 234 x 511, en donde 234 = 117 x 2 o dos veces el

escalera que sobresale del paramento poniente de la pirámi-

ciclo sinódico de Mercurio. La diferencia con 10 veces el gran

de de Quetzalcóatl en Teotihuacan. Se puede factorizar como

ciclo lunar MCM 119 600 es de 26 días. Si se divide 119 574 / 26 = 4 599; si se divide 119 600 / 26 = 4 600, y la diferencia es

218 400 / 374 = 583.9572, el ciclo sinódico de Venus.

de un día, una unidad. En la diferencia se encuentra la unidad.

218 400 / 800 = 273, 10 veces el ciclo dracónico lunar. 218 400 / 598 = 365.21739, el año trópico con una diferen-

El número 119 600. Corresponde a 10 veces 11 960.

cia de 0.02481 días; 598 es el producto de 23 x 26, en donde 23 x 520 = 11 960 y el 26, la décima parte del

El número 134 160. Se encuentra en la página 59 del Códice de

tonalpohualli. El 598 también es la vigésima parte del

Dresde como 172 x 3 x 260 igual a 134 160. Pertenece a la

MCM lunar 11 960 e igual a 299 x 2 (ver el número 299).

serie del 43. Se puede factorizar como 10 x 43 x 312.

El número 229 320. Es MCM del ciclo dracónico de la Luna El número 144 000. Pertenece a la serie del 12 y corresponde

(27.2028; el correcto es 27.21222 días, que los mesoamerica-

a 400 ciclos del 360. Es uno de los números importantes de la

nos cerraron a 27.2), del tonalpohualli (260), del sidéreo de la

cuenta maya y corresponde a un baktún.

Luna (27.3), del año ajustado a 360 días, del medio siglo mesoamericano en años (52), del siglo mesoamericano (104 en

El número 151 320. Se encuentra en las páginas 43b-44b del Códice de Dresde y está en función del tonalpohualli: 151 320 /

años), del número de “lunas visibles de un ciclo” (28),297 del calendario lunar (819 días), del 84, número de unidades a la

260 = 582. Con una corrección de dos días se tendría el ciclo

manera indígena del diámetro del calendario azteca. Se trata,

sinódico de Venus. Se puede factorizar como 173.21 x 27.3 x 32.

pues, de un número que abarca ciclos tanto lunares como solares.

El número 152 880. Equivale a 588 tonalpohuallis. Se encuentra en el Códice de Dresde en la tabla del 6 x 1 3 (pp. 43b-44b),

El número 341 640. Número estudiado por Forstermann,

vinculada al almanaque triple de 780. Está en la serie del 49

Morley y Thompson; Lounsbury, Calderón.298 Su importancia

y del 21: (21 x 7 280 = 49 x 312 x 10 = 152 880; 3 120 x 49 =

radica en que es múltiplo tanto del ciclo sinódico de Venus

152 880).

tomado de 584 como de 585 días, ya que 584 x 585 = 341 640.

El 3 120 corresponde a 10 veces el número 312 y que junto con la división superior se llega al 364, ciclo lunar anual o del

Se puede factorizar como 936 x 365. Al dividirse entre 1 971 se obtiene el medio año de eclipses.

Sol del inframundo, con lo que puede estar relacionado. La diferencia con el número anterior es de 1 560, o sea, dos periodos de 780.

El número 442 000. Equivale a 1 700 tonalpohuallis; el 17 corresponde en grados a la orientación hacia el este del eje norte-sur de la Pirámide del Sol en Teotihuacan y a la latitud

El número 162 000. Tiene como factores el 27, ciclo dracóni-

de San José Mogote, Oaxaca, donde fue tal vez inventado el

co lunar (27.2 días) ajustado en Mesoamérica a 27; el 360,

calendario de 260 días o tonalpohualli.

ciclo solar sin los nemontemi ajustado en Mesoamérica; el 29.5350, aproximadamente el ciclo sinódico lunar (29.5308 en Mesoamérica); el 225, ciclo sidéreo de Venus; y el 81, la constante lunar. Se puede factorizar como 400 x 405; 162 000 = (11 960 x 400) 7 29.5308; 11 960 = (162 000 x 29.5308) / 400.

297 298

Anthony F. Aveni, Observadores del cielo en el México antiguo, op. cit., p. 86. Lucrecia Maupomé, op. cit., p. 35.


De acuerdo con los estudiosos del calendario maya, la

El número 585 000. Es el ciclo sinódico de Venus tomado mil veces, por lo que sabemos que la pirámide es venusina. Se

era actual comenzó en el año 3114 a.C.300 y terminará en 2012

puede factorizar como 10 x 225 x 260, en donde el 225 es el

d.C., en el momento en que entren en conjunción varios pla-

ciclo sidéreo de Venus.

netas (coincidencia de varios ciclos), como debe haber ocurrido al inicio de la era.

El número 828 000. Entre 2 300 = 360.

Si la era maya de 1 872 000 días se divide entre la duración del año de 365 días, se tiene un número fraccionario, no

828 000 / 2 267 = 365.2404.

así si la dividimos entre 360. Ésta es una de las razones del

828 000 / 28 044 = 29.525.

calendario de 360 días, ya que cabe un número exacto de

828 000 / 3 184 = 260.

veces en ella, por lo que existió una cuenta de 360 en 360: (1 872 000 / 360 = 5 200). Observamos que al efectuar la divi-

El número 1 156 340. Es el divisor de la era maya para encon-

sión el cociente es 52 x 100, y el 52 es uno de los números más

trar la constante ϕ: 1 872 000 / 1 156 340 = 1.618... También

importantes del calendario solar. El número de días de la era

tiene como factores los siguientes: 1 156 340 / 20 = 57 817;

maya corresponde al mínimo común múltiplo (MCM) de los

5 256 x 11 = 57 816. En la diferencia de 57 817 - 57 816 = 1 se

ciclos del Sol de 360 días (1 872 000 / 360 = 5 200), del sinó-

encuentra la unidad; 57 817 / 3 401 = 17, la orientación de la

dico de la Luna (1 872 000 / 63 392 = 29.5305), del sinódico de

Pirámide del Sol en Teotihuacan. También 3 401 - 3 400 = 1.

Mercurio (1 872 000 / 117 = 16 000), del de Venus (1 872 000 /

Nuevamente, en la diferencia se encuentra la unidad. Además,

585 = 3 200), del de Marte (1 872 000 / 780 = 2 400), del siglo

1 156 340 = 68 020 x 17, donde 68 020 = 3 401 x 20. Por todo

y medio siglo mesoamericanos (1 872 000 / 52 = 36 000) y del

lo anterior se puede decir que el 17 está relacionado con el

tonalpohualli (1 872 000 / 260 = 7 200), entre otros. Para obte-

principio del tiempo, con la era maya y con la constante φ.

ner el ciclo sidéreo de la Luna tomamos tres veces la duración de la era maya o 5 616 000 días (3 x 1 872 000 = 5 616 000), la

El número 1 170 000. Corresponde a 10 mil veces el ciclo sinó-

dividimos entre 208 000 (mil veces el doble siglo mesoameri-

dico de Mercurio y a 4 500 tonalpohuallis, entre otros ciclos.

cano) y obtenemos 27, el ciclo dracónico de la Luna: 5 616 000 /

Si 1 170 000 se multiplica por φ = 1.6, se obtiene la duración

27 = 208 000 = 104 000 x 2 (ver cuadro del número 1 872 000).

de la era maya en días.

El número 1 199 016. Entre otros, se remite al ciclo del año del Cuadro del número 1 872 000

Sol del inframundo, 364, y a los meses lunares de 28 días (ver el capítulo XI de este libro).

Análisis de coincidencias de ciclos con la era maya Número

Ciclo

Astro

1 872 000

Tonalpohualli, 260 Tlalpilli, 13

Sol-Luna


Sol

144 000

El número 1 872 000, la era maya (13.0.0.0.0). De especial interés es el estudio de la era maya, con duración de 1 872 000 días. Tomando números absolutos, tiene como factores a φ

1 872 000

(1.61799...), 13,52, 104,260, 360, 585, 117, 520, 173.333, 780 y

1 872 000

29.53054, por lo que está relacionado con la divina propor-

1 872 000

ción,299 los ciclos del medio siglo y siglo mesoamericanos, los ciclos sinódicos de Mercurio, Venus, Marte y Luna, además del ciclo del medio año de eclipses y el del tonalpohualli. Observemos que, al ser 1 872 000 múltiplo tanto del medio año de eclip-

Sol

1 872 000

Año ajustado, 360 Sinódico, 29.5305 Sinódico, 585

1 872 000

Sinódico, 780

Marte

2 400

1 872 000

Sinódico, 117

Mercurio

16000

1 872 000

Luna

1 872 000

Chalchihuicueye, 312 Siglo, 104

Sol

18 000

1 872 000

Medio siglo, 52

Sol

36 000

1 872 000

Sidéreo, 27

Luna

ses como del sinódico de la Luna, indica un eclipse (1 872 000 / 173.333 = 10 800 posibilidades de eclipses). El 364 no es uno de sus factores, pero sí el 312, que es su complemento para tener la era cosmogónica (364 + 312 = 676); 1 872 000 / 312 = 6 000.

63 392

Venus

3 200

6 000

208 000

X3=

5 616 000 1 872 000 299

5 200

Luna

Orientación, 17.0011

110 110

Luca Paccioli llamó divina proporción a la constante que tenga como cociente el número de oro, 1.618..., φ.

300

Simon Martin, “Escritura maya, una ventana al pasado / Cómo las inscripciones mayas esclarecen la historia, la arqueología y el arte”, en Arqueo-

logía Mexicana, vol. VIII, núm. 48, México, marzo-abril de 2001, p. 39.

404


1 872 000

Divina proporción (ϕ) = 1.618...

1 156 984

Factorizaciones

7 200 = 6 X 12x 100 144 000 = 122 X 1 000 5 200 = 52 x 100 63 392 = 4 x 7 x 8 x 283 3 200 = 4 x 8 x 100 2 400 = 3 x 8 x 100 16 000 = 2 X 8 X 1 000 6 000 = 5 x 12 x 100 18 000 = 3 X 60X 100 36 000 = 4 X 9 X 1 000 208 000 = 2 x 104 x 1 000 110 110 = 910 x 112 110110 = 1 430 x 7 x 11 110 110= 10 x 112 x 91 1 156 984 = 715 070 x 1.618. = ϕ

1 872 000 / 4 000 = 468, cuatro ciclos sinódicos de

del tonalpohualli (2 140 320 / 8 232 = 260). Es un número solar,

Mercurio (4 680 = 585 x 8), por lo que también se relaciona con

ya que 2 140 320 es divisible entre 13, 52, 104. También es

Venus. Por otro lado, si tomamos 21 veces el 468: (468 x 21 =

divisible entre 520, por lo que corresponde a una cuenta de

9 828), y el resultado lo dividimos entre 27, obtendremos 364,

eclipses.

la relación con el Sol del inframundo. Todo esto quiere decir que al cabo de 1 872 000 días se

El número 2 340 000. El

2 340 000 es mil veces el importante

habrán alineado los planetas con el Sol y la Luna. Ésta estará

MCM 2 340 de los números que relacionan el

en la misma fase, mas no en la misma posición con respecto al

ciclos sinódicos de los planetas visibles a simple vista, con

Sol al principio de la primera era. Será necesario que trans-

excepción de Júpiter y Saturno. Es muy utilizado para hacer

tonalpohualli con los

curran tres eras (1 872 000 x 3 = 5 616 000 días) para que tam-

coincidir el ciclo sinódico de Mercurio de 117 días y el de

bién la Luna quede alineada y entonces también habrá un

Venus de 585 días con el tonalpohualli: 117 x 20 = 585 x 4 =

eclipse. Al finalizar Venus saldrá de su tránsito y resplande-

260 x 9 = 2 340.

cerá como Estrella de la Tarde, iniciando un nuevo amanecer.

Si el 2 340 se multiplica por 1 000 y se le resta 2 140 320,

De acuerdo con las creencias de los sabios mesoamericanos

que es el volumen de la pirámide envolvente con todo y sagra-

podría ser el momento del fin del universo, si los astros no

rio de El Castillo en Chichén Itzá, se obtiene como diferencia

comienzan a moverse iniciando otro gran ciclo de tres eras.

199 680, del cual es factor 312: (2 340 000 - 2 140 320 = 199 680;

Esto da a Venus como Estrella de la Tarde una gran importan-

199 680 / 640 = 312). También 199 680 / 4 992 = 40 y 199 680 /

cia, pues será la primera en salir de la conjunción. Todo esto

12 480 = 16. Además 199 680 / 260 = 768, que pertenece a la

ocurrirá a 17° de desviación al poniente con respecto al norte

serie del 12: (768 / 12 = 64). El 199 680 también pertenece a

y explica la orientación de las ciudades del grupo de los 17°.

la serie del 13: (199 680 / 13 = 15 360).

Éste es uno de los motivos de la orientación de la Pirámide de la Luna, cuya fachada principal ve al sur, pudiéndose obser-

El número 6 318 000. Corresponde a 24 300 tonalpohuallis.

var desde su sagrario los eventos astronómicos que ocurren en

Coincide además con varios ciclos planetarios, así como el de

esa área del cielo.

la Luna.

Son precisamente estas necesarias tres eras las que quedaron

representadas

en

la

iconografía

mesoamericana

por

tres gotas que salen del rostro del saurio (Serpiente Emplu-

El número 6 760 000. Equivale a 26 000 tonalpohuallis; 26 000 años es un ciclo de precesión del eje de la Tierra.

mada) y en esculturas que presentan tres puntos o tres gotas de líquido precioso: el agua o la sangre. El número 3 es solar

El número 6 938 028. Se remite al ciclo dracónico lunar ajus-

y caracteriza, entre otras cosas, a las tres eras mayas.

tado a 27 días, al sinódico lunar de 29.5306 y al gran ciclo lunar de 11 960 días.

Ciclo del tonalpohualli: 1 872 000 / 260 = 7 200, que se descompone en los factores 72 y 100. El número 72 es la quinta parte

También

al

del

año

trópico

con

gran

aproximación

(365.2362 días).

del año de 360 días y el valor del ángulo del pentagrama. El complemento del 72° para 90° es 18°, un grado por cada mes

El número 7 194 096. Corresponde al volumen del prisma recto

del año. 720 días son el doble del año de 360 días, con lo que

rector por talud de todos los cuerpos de la pirámide de El

queda relacionado el 7 200, el 360 y el tonalpohualli (360 x 20 =

Castillo en Chichén Itzá. Coincide, entre otros ciclos, con el

7 200; 7 200 x 260 = 1 872 000).

año del Sol del inframundo de 364 días.

Ciclo solar, año trópico: 1 872 000 / 365.2422 = 5 125.366, que

El número 8 489 664. Coincide con los ciclos sinódico, dracó-

no es número entero, por lo que deberemos considerar con ese

nico y el medio año de eclipses.

fin el año de 365.1970 días, como lo hicieron los olmecas.

El número 9 360 000. Corresponde a cinco eras mayas, a 26 000 El número 2 140 320. Este número corresponde en unidades a

años de 360 días y a 25 626.83 años trópicos. Se puede facto-

la manera indígena al volumen de la pirámide envolvente de la pirámide truncada de El Castillo en Chichén Itzá. Pertenece a

rizar como 9 360 000 = 5 x 20 x 260 x 360.

la serie del 7 y del 13, entre otras.

El número 9 391 824. Es el volumen, en unidades a la manera indígena, del prisma recto rector por talud a partir del primer

Al ser divisible entre 7 y entre 91, se considera un número lunar. Siendo divisible entre 364, queda relacionado con

cuerpo de la pirámide de El Castillo en Chichén Itzá (ver el

Tláloc y el Sol del inframundo. También coincide con el ciclo

capítulo XI).


El número 38 329 200. Corresponde, entre otros muchos ciclos,

El ángulo de 13°. Arco que la Luna describe diariamente en su

a 147 420 tonalpohuallis y a 105 300 años del Sol del inframun-

órbita y corresponde a un ciclo de 13 unidades.305 Es el com-

do. Tiene como factores el 27 y el 13, el 39 y el 100.

plemento de 18° para valer 31°, el ángulo del límite eclíptico

El número 53 508 000. Se puede factorizar como 7 x 294 x 100 x

Mesoamérica los meses del año eran 18 y tenían 20 días cada

260. El 294 en días corresponde al máximo valor del periodo

uno. Las semanas eran de 13 días. El ángulo de 13° se encuen-

sinódico de Venus.

tra en el gorro picudo que generalmente porta Quetzalcóatl.

Ángulos

El ángulo de 15°. Corresponde a la orientación de las ciudades

solar. El 18 es la vigésima parte del ciclo de 360 días. En

y centros ceremoniales fundados en esa latitud. Entre los más En todo el mundo la división del círculo en 360 grados se debe

importantes se cuentan Izapa y Copán.

a una razón astronómica. Cada grado corresponde a un día del año, dejando desde luego fuera los cinco sobrantes (llamados

El ángulo de 15° 28'. Es el ángulo de orientación del eje prin-

nemontemi por los mesoamericanos y epagómenos por los grie-

cipal del centro ceremonial de Teotihuacan (Calle de los

gos), por lo que, si a cada grado corresponde un día del año,

Muertos) propuesto por Millon.306

a cierto número de grados corresponde cierto número de días y viceversa. Para los mesoamericanos los grados son medidas tanto de espacio como de tiempo.

El ángulo de 16° 30'. Al sur del este, es la orientación del eje oriente-poniente que de acuerdo con Millon se obtiene en Teotihuacan.307

El ángulo de 1o. Equivale a un día del año de 360 días. Encontrar la medida de 1o mediante métodos geométricos

El ángulo de 17o. Uno de los más importantes de Mesoamérica.

utilizando solamente compás y escuadra es y ha sido desde la

Señala el ángulo en que aparece Venus como Estrella de la

Antigüedad un problema sin solución.

Tarde, después de su conjunción superior con el Sol, cuando el planeta resucita en el poniente. Marca el inicio del tiempo,

El ángulo de

3o

24'. Es el de la máxima inclinación orbital de

Venus con respecto a la eclíptica.301

de acuerdo con el calendario mesoamericano que quedó inscrito en la Piedra del Sol. También es el ángulo que determina el momento en el que las Pléyades pueden ser observadas

El ángulo de 5o 09'. El que tiene la máxima inclinación orbital

sin que las tapen los rayos solares, por lo que tal vez por todo

de la Luna con respecto al plano de la eclíptica. Los puntos de

lo anterior fue ese ángulo utilizado para orientar varias ciuda-

intersección de la eclíptica y la órbita lunar se llaman nodo

des mesoamericanas. A todas ellas Aveni las agrupa bajo el

ascendente y nodo descendente de la órbita de la Luna, y la

nombre de ciudades de la Familia de los 17°. Es posible que

línea que los une, línea de nodos.

esta orientación, que incluye la de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, se haya dado en conmemoración de la latitud de

El ángulo de

6o.

Corresponde al deslizamiento de la Luna por

la primera ciudad que empleó el 260 como número básico del

ciclo. “El ciclo metónico es pobre en eclipses (255 meses dra-

tonalpohualli, San José Mogote, Oaxaca, o que, por el contra-

cónicos = 6 939.1161 días) a causa del deslizamiento de alre-

rio, esta ciudad se haya fundado en la latitud norte de 17°

dedor de 6o de movimiento lunar por ciclo.”302

para orientarla hacia la morada del dios supremo, llamado Ometéotl por los nahuas, y del que se desconoce su nombre

El ángulo de 7o. Es la máxima inclinación orbital de Mercurio con respecto a la

eclíptica.303

olmeca, que habitaba en el Omeyocan, situado en el norte astronómico, en ese momento señalado por la estrella Polar. De esta manera honraron a la ciudad cuyos sabios crea-

El ángulo de 10°. Medida del ancho de la Vía Láctea observa-

ron el almanaque sagrado de 260 días, alma de la vida en Me-

da a simple vista desde la Tierra. 304

soamérica. Además de corresponder a la latitud de San José Mogote es complemento de 73° para valer 90°.

301


302 Ibid.,

p. 98.

303

Stanley P. Wyatt, op. cit., p. 216.

304


305

Stanley P. Wyatt, op. cit., p. 136.

El ángulo de 73° es en días la quinta parte del año vago de 365. Se encuentra en el plano de un basamento solar con su sagrario, que es la primera página del Códice Fejérváry-

306


Mayer, donde aparece como complemento del ángulo de 73° en la inclinación de los taludes de las caras del basamento

307

Ibid., p. 253.

que señalan el norte.

406


Un petroglifo en forma de cruz se encuentra en un salien-

cinco puntas -llamada por los griegos pentagrama-, que se

te rocoso cerca de la cima del Cerro Gordo, en Teotihuacan.

deriva del pentágono regular. El 72 es la quinta parte del año

Aveni dice que “medir la orientación entre ambas (refirién-

de 360 días (360 / 72 = 5) y corresponde también a la vigesi-

dose a la Pirámide del Sol) sólo parece ahondar más el miste-

mosexta milésima parte de la era maya.

rio. La línea trazada entre ellas apunta a 17° al este del norte astronómico, casi exactamente perpendicular a la calle este-

El ángulo de 73°. Corresponde, en días, a la quinta parte del

oeste más importante”.308 El arquitecto Ignacio Marquina da

año de 365 días. Es el complemento del ángulo de 17°, por lo

como orientación de Teotihuacan 17°.

que pueden tener el mismo significado (90° - 73° = 17°). Se

De acuerdo con Doris Heyden, el sitio para construir

encuentra en el plano paradigmático de la primera página del

Teotihuacan fue elegido por la posición de una cueva que se

Códice Fejérváry-Mayer, donde aparece como complemento

encuentra por debajo y casi al centro de la Pirámide del Sol,

del ángulo de 73° en la inclinación de los taludes de las caras

“y una línea que vaya del centro a la boca de ésta coincidirá

del cuerpo de la pirámide y señalando un paso cenital. El 73

cercanamente con el eje este-oeste de la

pirámide”.309

La

es la octava parte del ciclo sinódico de Venus (73 x 5 = 365 y

pirámide corrobora la suposición de

73 x 8 = 584).312 El 73 también es la cuarentava parte del ciclo

Heyden. Los números volumétricos que presentan sus dos

venusino-solar (¿Tierra?), de 2 920 días (73 x 40 = 2 920 = 365 x

primeros cuerpos se refieren tanto al Sol del supramundo

8 = 584 x 5).

numerología

de

la

como al del inframundo, por lo que se infiere que la pirámide estaba dedicada a ambos. Las cuevas en Mesoamérica eran

El ángulo de 104°. Significa el siglo mesoamericano.

consideradas como ámbito del numen del inframundo, el Sol nocturno. La desviación del norte de 17° hacia el oriente corresponde a la orientación de la Pirámide del Sol en

El ángulo de 105°. Días que pasa el Sol por arriba de la latitud 15° N. Es complemento de 260, los días del tonalpohualli.

Teotihuacan y conduce hacia el Omeyocan.

El ángulo de 108°. Se relaciona con el ciclo dracónico lunar El ángulo de 25°. Ángulo del límite eclíptico lunar. Corres-

ajustado a 27 días ( 27 x 4 = 108), al igual que el ángulo de 135°

ponde en la eclíptica a la zona que rodea al nodo, dentro de

y todos los múltiplos de 27.

la cual puede ocurrir un eclipse de Luna. El límite eclíptico lunar se extiende 12 o 13 días a ambos lados del paso nodal.310

El ángulo de 28°. Máxima elongación de Mercurio.311 El ángulo de 31°. Límite eclíptico solar. Corresponde al ángulo a uno y otro lados del nodo, zona en la cual puede ocurrir un eclipse de Sol. Se encuentra como incisión en la frente de algunas cabezas y hachas olmecas. También es el ángulo del gorro de piel de jaguar de Quetzalcóatl, como aparece en el

Códice borbónico y en algunos otros lugares, tales como el Palacio del Gobernador, en los vanos de la fachada.

El ángulo de 62°. Corresponde al ángulo de inclinación de la Vía Láctea respecto al ecuador celeste.

El ángulo de 47°. Ángulo intertropical. El ángulo de 52°. Significa el medio siglo mesoamericano y se encuentra en el ángulo del gorro de Tezcatlipoca, tal como aparece en el Códice borbónico.

El ángulo de 72°. Quinta parte del año de 360 días. Se encuen-

308

Ibid., p. 256.

309

Ibid., p. 265.

310 Ibid.,

pp. 93-94.

tra en el pentágono regular (ver el número 72 en este apéndi-

311

James Muerden, op. cit., p. 159.

ce). El ángulo de 72° se halla en las puntas de la estrella de

312

Ver los números 72 y 73 en este apéndice.


Apéndice 2 / Sistemas de numeración posicional Las ruedas de números o series / Cuadros de diversos MCM

Sistema maya de numeración posicional

L

as investigaciones de H.R. Harvey y B.J. Williams1 acerca de la aritmética azteca, de la notación posicional y del cálculo de área indican que las culturas prehispánicas del altiplano de México tenían una

notación numérica posicionai que estuvo en uso desde los olmecas hasta la llegada de los españoles, y aun entrado el siglo XVI. De estas investigaciones se infiere que no sólo los mayas usaron la numeración posicional. En la notación numérica maya los símbolos se disponían en columnas verticales, aumentando su valor de posición de abajo hacia arriba. En este sistema vigesimal la posición más baja o primer renglón vale 1; la siguiente, 20; 202 = 400; 203 = 8 000; 204 = 160 000; 205 = 3 200 000; 206 = 64 000 000, etcétera. A esta cuenta numérica Aveni la llama comercial. Cuando en la tercera posición se cambia de 202 = 400 a 18 x 20 = 360, Aveni le da el nombre de cuenta calendárica.2 Las cuentas se expresan de la siguiente manera:

Valores posicionales

Cuenta comercial

Cuentacalendárica

160 000

144000

8 000

7200

400

360

20

20

1

1

Los registros de las estelas escritas en un sistema vigesimal modificado o 1

H.R. Harvey y B.J. Williams, “Aztec Arithmetic:

de notación astronómica en el tercer renglón de abajo a arriba presentan 360:

Positional Notation and Area Calculation”, en Science,

(18 x 20 = 360), en vez de 202 = 400, ajustándose así los demás renglones a con-

vol. 210, 1980, pp. 499-505. 2

Anthony F. Aveny, Observadores del cielo en el México

teos de 360 en 360. Supóngase que utilizando el sistema de notación astronó-

antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991,

mica se quiere saber qué significa 13.0.0.0.0. Esta notación se descifra como

p. 163.

la duración de la era maya, 1 872 000 días.

408


Ejemplo de cuenta calendárica

Venus).6 El 4 680: (468 x 10), es uno de los números que con-

(¿Qué significa 13.0.0.0.0?)

tiene una mayor cantidad de coincidencias de ciclos

(203 x 18) (20 2 x 18)

13 x (203 x 18) = 1 872 000 0 x 202 x 18 = 0

(20 x 18) = 360

Ruedas de números

0 x (20 x 18) = 0

(20) (1)

0 x 20 = 0

En Mesoamérica existió un sistema numérico de acuerdo con

0x1=0

la relación de posición que existe entre los diversos ciclos astronómicos o calendáricos y sus factores, que puede expre-

Total 1 872 000 (13.0.0.0.0)

sarse mediante las ruedas de números. De acuerdo con la numerología7 pueden existir tantas series o ruedas de núme-

Coincidencia del ciclo sinódico lunar con otros ciclos astronómi- ros como ciclos astronómicos o de la naturaleza, ya que cada

cos y el tonalpohualli. Fue una hazaña matemática haber logra-

uno de los números que los definen, de significado astronó-

do la coincidencia de los ciclos planetarios y solares con el

mico (NSA), calendárico (NSC) o geográfico (NSG), se pueden

ciclo sinódico lunar, que es un número fraccionario, 29.5305

tomar como fundamento (fundamental) de una serie.

días, y por lo general 29.5308 en los cálculos de los astrónomos mesoamericanos.

A la luz de la investigación se puede decir que cada planeta tuvo una propia rueda de coincidencias o de números

Uno de los ciclos lunares que recoge el Códice de Dresde

coincidentes en su posición, misma que estaba relacionada

y que Thompson llama almanaque lunar ampliado3 es el de

con las demás y necesariamente con el tonalpohualli de 260

11 960 días (1.13.4.0), número mediante el cual se logró la

días, calendario sagrado o augural. Para Thompson fue muy

coincidencia del ciclo lunar de 29.5308 días con otros ciclos

claro que el sacerdote maya trataba de poner todas las acti-

astronómicos y el tonalpohualli. Para llegar a este número los

vidades humanas y celestes en relación con el almanaque

matemáticos

sagrado multiplicando por el lapso que le interesaba, hasta

mesoamericanos

debieron

haber

multiplicado

9 x 9 x 5 x 29.5308 = 11 959.974 (muy cercano a 11 960) y

que la fecha fuera un múltiplo de 260.8

hecho las correcciones de ajuste pertinentes para no desfasar

Las ruedas de números son series numéricas que parten

las fechas de ocurrencia de eclipses.4 Los factores de coinci-

de un cierto punto de inicio o punto 0. De la investigación se

dencia entre otros ciclos y el almanaque lunar ampliado son

desprende que las series fundamentales (ruedas de números)

11 960 = 2 x 2 3 x 2 6 0 = 3 x 23 x 173.33= 10 x 23 x 52 = 5 x 23 x

son las del 3, 7, 13 y 20, además de la del tonalpohualli de 260

104 = 405 x 29.5308, en donde 260 es el número de días del

días, así como la solar de 360 días y la lunar de 11 960 días.

tonalpohualli; 173.33, el medio año de eclipses; el 52, el medio

Existen otras también importantes que se derivan de las ante-

siglo mesoamericano; y el 29.5308, el ciclo sinódico de la

riores, ya que cada uno de sus factores puede ser fundamen-

Luna,5

to de otras series. Como ejemplo está el MCM de 11 960, 360

por lo que el 11 960 es mínimo común múltiplo (MCM)

de varios ciclos astronómicos y del tonalpohualli. En la rueda de números se observa que es 11 960 el número que reúne ciclos solares (52, 104) con el ciclo sinódico de la Luna (29.5308) y con el 520, que contiene a su vez tres veces el 173.33, que corresponde aproximadamente al medio año de eclipses de 173.31 días.

3

Los matemáticos mesoamericanos deben haber multipli-

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 180. “Sin embargo, como ya se ha señalado, por ser demasiado largo el almanaque lunar ampliado de 11 960 días...”

cado el número fraccionario 29.5308 por 10 000 para hacerlo 4

Ibid. “La tabla (1.13.4.0 equivale a 11 960 días) es 0.12 días más larga que

entero y poder trabajar con él: 29.5308 x 10 000 = 295 308. Al

405 lunas (11 959.88), por lo que después de usarse ocho veces se acumula

dividir este número entre 631 se obtiene 468, que es cuatro

un error de casi un día, y ese error puede ser considerable cuando se hacen cálculos con varios baktunes.”

veces el ciclo sinódico de Mercurio (117 x 4 = 468). Esto quiere decir que el 295 308 se encuentra en la rueda del 117 y en

5

El valor real del ciclo sinódico de la Luna es de 29.5305 días.

6

El ciclo sinódico de Venus se tomaba de 584 o 585 días, mas su duración es

7

La astrologia en la Antigüedad comprendía la astronomía, y no fue sino con

la de sus factores 13 y 9. Además es múltiplo de 52: (295 308 / 52 = 5 679), por lo tanto se encuentra en la rueda solar del 52

variable. El promedio es 583.92 días.

el pensamiento ilustrado que se consideró la astrologia y la numerología

y se puede hacer coincidir con él. De esta manera el ciclo

como disciplinas poco serias, practicadas sólo por brujas y charlatanes,

sinódico lunar puede coincidir con el 13 (un tlalpilli o 13 años),

separándose de la astronomía. Los planetas que se ven a simple vista son

52 (medio siglo mesoamericano), 117 (ciclo sinódico de Mercurio) y 584.7683 (aproximadamente el ciclo sinódico de

Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno, además del satélite Luna. 8


Apéndice 2 / Sistemas de numeración posicionai 409

y 240, que corresponde al número 107 640, por lo que se

rre porque un eclipse debe producirse aproximadamente dentro

puede decir que, en ese caso, la rueda fundamental de las fun-

de los 18 días anteriores o posteriores al nodo y porque la tra-

damentales es la del 107 640. Existen, sin embargo, otras series

yectoria de la Luna y del Sol se cruzan cada 173.31 días. Tres

relacionadas con la Luna que no se derivan de las anteriores,

veces a ese periodo le falta menos de la décima parte de un día

a las que hay que desarrollar hasta encontrar sus factores

para el doble almanaque de 520 días. De ese modo, si a este

comunes para lograr las coincidencias.

doble almanaque se le dibuja como una rueda de 520 rayos, habrá tres radios principales, a una distancia de 173 días, correspondientes a los días nodales.11

Ruedas de números secuenciales en fundamentales diversas

Rueda de números secuenciales en fundamental 13. (Serie del 13; ver figura 2.4, “Números secuenciales en fundamental 13”.) La

Series de números. La serie del 260 es una de las más impor-

representación gráfica de las series de números se puede hacer

tantes (ver figura 2.7, “Números secuenciales en fundamental

mediante una rueda, que en el caso de la serie del 13 tiene en

260”). Ya se citó a Thompson, en capítulos anteriores, al sos-

el centro este número como fundamental. En el caso de la

tener que los sabios mayas no vacilaban en multiplicar los

serie del 9 tendrá como fundamental el 9; en la rueda del 7,

ciclos calendáricos o astronómicos por algún otro número

el 7, etcétera. En orden del interior al exterior se colocan

para que coincidieran con los 260 días del tonalpohualli o con

círculos concéntricos. El primer círculo, del centro a la peri-

sus múltiplos o submúltiplos.

feria, contiene la secuencia de los números del 1 al 30, pero

Por ser el 13 uno de los factores de este calendario los números secuenciales en fundamental 260 fueron los em-

podría ser mayor y llegar hasta cualquier otro número que conviniera: éste es el círculo de los números multiplicadores.

pleados con más frecuencia para dimensionar sus obras de

El segundo círculo del centro a la periferia tiene el núme-

arte. Una de las razones de su empleo es porque el 13 es fac-

ro 1, indicando que el número base de la serie (en este caso

tor tanto del tonalpohualli como de los ciclos sinódicos de los

el 13) se multiplica una vez por el multiplicador, dos veces,

planetas visibles a simple vista (exceptuando Júpiter), así como

tres, etcétera.

del ciclo del Sol del inframundo. Fueron importantes también

El tercer círculo tiene el resultado de estas operaciones.

las ruedas de números de fundamental 7, 9, 11, 13, 17, 20, 23,

El cuarto círculo tiene el número 2 como multiplicador y

54 (como doble del 27) y del 73. Además deben haber utiliza-

el quinto círculo muestra el resultado de la multiplicación. El

do muchas otras, como la de fundamental 52 (el medio siglo

sexto círculo tiene el 3 como multiplicador y en el séptimo

mesoamericano) o de fundamental 91, que es la cuarta parte

está el resultado, y de esta manera se puede ir hasta el infini-

del año del Sol del inframundo. Otra importante fue sin duda

to. Por motivos de espacio las ruedas de números han llega-

la de fundamental 520, que equivale a tres veces el cruce en

do aquí hasta el 10 como multiplicador. El resultado de la

su trayectoria del Sol con la Luna cada 173.31 días o medio

multiplicación está en el último círculo.

año de eclipses.

En cada rayo o sector de la rueda de números aparecen unas flechas que indican hacia qué número tiende dicho sec-

Múltiplos del 54, desde el 1 hasta el 13, siendo este último el

tor. En el caso de la rueda del 13 se observa que en general

equivalente a 702 días. Luego múltiplos de 702, desde 1 hasta 10,

tiende al 11 960 (gran MCM lunar) y al 1 872 000, que es el

alcanzándose con éste 7 020 días, término del ciclo y recupera-

número de días comprendidos en la era maya. La prueba de

ción del lub.9 Luego vienen los siguientes múltiplos de 7 020: 2,

que trabajaban con series está en el mismo Códice de Dresde.

4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 y 28. La preferencia por el doble

En la rueda de números de fundamental 13 (figura 2.4) es

de 7 020 probablemente se deba a que éste es igual a 54 x 260,

en el rayo o sector que tiene como multiplicador inicial en el

de modo que el 54 original se recupera como multiplicador. Más

primer círculo el número 20 el que muestra la mayor cantidad

aún, el 7 020 es un número par de tunes (1.19.0.0).10

de números en coincidencia, ya que 13 x 20 es 260, el núme-

Teeple (1930) demostró que si en una rueda de 520 días se

ro obligado a coincidir en la mayoría de los casos (se excep-

señalan los días de la tabla de 1.14.4.0, esto es, un doble alma-

túan algunos números lunares). Luego sigue el sector con mul-

naque sagrado, aquellos se dividen en tres grupos. El hecho ocu-

tiplicador 28, de tal manera que mediante este número se producen los números de coincidencias lunares y del Sol del inframundo.

9 10

11

La recuperación del lub equivale a una coincidencia de ciclos. J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 64. Para los mayas un tun era un lapso de

Se observa que el sector con mayor número de coinci-

360 días.

dencias comienza en el círculo que tiene el 20 como multipli-

Ibid., p. 177.

cador, dando la multiplicación 260, el número de días del


tonalpohualli. Le sigue en ese mismo sector 260 x 2 = 520,

canos; el 1 300, que ya fue explicado; el importantísimo 1 820,

número que contiene varios factores interesantes además del

MCM o mínimo común múltiplo del 260 y del 364, año del Sol

20 y del 13: 520 = 3 x 173.33, que es un medio año de eclip-

del inframundo, que corresponde a la suma de los números

ses; 520 = 52 x 10, en donde 52 es el medio siglo mesoamerica-

volumétricos del primer y segundo cuerpos de la Pirámide del

no; 520 = 5 x 104; éste es el siglo mesoamericano. El siguiente,

Sol; el 2 340, MCM de varios ciclos solares planetarios; el

780, corresponde al ciclo sinódico de Marte. Le sigue 1 040 o

3 120, 10 veces 312, el número de Chalchihuicueye o tres siglos

10 siglos mesoamericanos; a continuación está el 1 300, núme-

mesoamericanos; el 3 640, 10 veces el ciclo anual del Sol del

ro tanto solar como lunar; le sigue el 1 560, número solar y fac-

inframundo; el 4 680, doble del 2 340; el 5 200 o 100 veces

tor de la era maya; después está el 1 820, tan importante que

medio siglo mesoamericano; el 7 020, MCM al que se refiere de

aparece en el Códice de Dresde. Está relacionado con el año del

manera particular el Códice de Dresde y que corresponde a 10

Sol del inframundo de 364 días (1 820 / 5 = 364). Finalmente

veces la superficie de la base mayor del primer cuerpo de la

el 26 000 o 100 tonalpohuallis es el ciclo de la precesión de los

Pirámide del Sol, en unidades cuadradas a la manera indíge-

equinoccios (ver figura 2.4, “Números secuenciales en funda-

na; el 7 280, 20 veces el ciclo del Sol del inframundo y 10

mental 13”).

veces el número volumétrico (NV) del segundo cuerpo de la

Otro sector importante es el que tiene como primer mul-

Pirámide del Sol; el 10 920, que comprende tanto ciclos sola-

tiplicador el 14, pues en él se encuentran el 364, la duración

res como lunares; el 11 700 o 100 veces el ciclo sinódico de

del año del inframundo; el 1 092, que es el volumen en unida-

Mercurio; el 11 960, ciclo lunar por excelencia mediante el

des a la manera indígena del primer cuerpo de la Pirámide del

cual se logra la correspondencia del ciclo sinódico lunar con

Sol en Teotihuacan; y en esa rueda de números vuelve a apa-

el tonalpohualli; el 18 980, el 37 960 y el 1 872 000, principa-

recer el 1 820, del que se habló en el párrafo anterior.

les ciclos planetarios y solares.

El 13 como número de ajuste. El número 13 también puede ser

Rueda de números secuenciales en fundamental 9. (Ver figura

considerado como un número de ajuste en ciertos casos, como

2.2,

por ejemplo si se consideran 52 años de 365 días, que son 18 980

9 presenta números importantes, tales como el 81, factor de

días. Al tener el año 365.25 días (aproximadamente), cada 52

las 405 lunas que multiplicadas por el ciclo sinódico de la

años habrá que agregarse 13 días. Esto quiere decir que, si no

Luna de 29.5308 días dan 11 960, gran MCM lunar; 108, el

“Números secuenciales en fundamental 9”.) La rueda del

se quiere desfasar el calendario, a cada siglo de 104 años debe-

doble de 54, que ya fue explicado; 144, la milésima parte de

rán agregarse 26 días. Constando la era cosmogónica de 676

un baktún; 288, la 500ava parte de un baktún; 324, en unida-

años o 13 veces 52, se deberían añadir 169 días. Al cabo de

des a la manera indígena, como longitud del lado menor de la

cuatro eras se agregarían 4 x 169 = 676 días, mismo número

base mayor de la pirámide de Quetzalcóatl en Teotihuacan; el

(tomado en años) que señala una era cosmogónica de 676

número 360 para el año ajustado al quitar los nemontemi o días

años. Éste es un ejemplo de cómo un mismo número (676)

baldíos; el 468, cuatro veces el periodo sinódico de Mercurio;

puede señalar tanto días como años, es decir, señala simple-

el 486, ciclo de tránsitos de Venus; el 585, el ciclo sinódico de

mente ciclos.

Venus; el 702, área de la base de la Pirámide del Sol;12 el 819, del antiguo calendario lunar popoloca;13 el 936, al igual que el

Rueda de números secuenciales en fundamental 260. (Ver figu- 1 080 y 1 170; el 1 404, que es el doble de 702, ya mencionado; ra 2.7, “Números secuenciales en fundamental 260”.) La rueda

el 1 872, que son 18 siglos mesoamericanos; el 2 340, gran MCM

del 260 es importante por estar el tonalpohualli, obligado por

de varios ciclos astronómicos y del tonalpohualli; el 4 680, doble

la mentalidad mesoamericana a coincidir con tantos ciclos

del anterior. Al crecer los números, la rueda tiende al 14 040,

astronómicos

que equivale a 45 veces el número de Chalchihuicueye (45 x

como

sea

aritméticamente

posible.

Algunas

veces la coincidencia puede ser mediante un número que con-

312 = 14 040) y a 20 veces la base de la Pirámide del Sol; 144 000,

tenga tanto ciclos solares como lunares; tal es el caso del

un baktún maya. Finalmente 1 872 000, la era maya. Al estar

1 300, que corresponde a cinco tonalpohuallis, a 100 tlalpillis

presente 108: (12 x 9 = 108), y tomarlo como factor, se llega a la

(en años) y a 44 ciclos sinódicos lunares, de acuerdo con la

era maya multiplicándolo 100 veces por el medio año de eclipses,

duración de 29.5454 días asignada en ocasiones a este ciclo.

quedando así el 9 y el 12 relacionados con ellos (17 333.33 x

Entre los números que mayor interés presentan, además del an-

12 x 9 = 1 872 000).

terior, están el 520, número utilizado para la predicción de eclipses al ser igual a tres veces el medio año de eclipses de 173.33 días (173.333 x 3 = 520); el 780, número de días del ciclo sinódico de Marte; el 1 040, que es igual a 10 siglos mesoameri-

12

Ver el capítulo X, “La Pirámide del Sol en Teotihuacan”.

13

Fernando Ximello Olguín, comunicación verbal, Tehuacán, 2003.



La rueda de números secuenciales en fundamental 7 coin-

2.5.) El discutido origen de la orientación de varias ciudades

cide con la del 9 a través del 10 920 (o 1 092 x 10), que apa-

de Mesoamérica hacia los 17° al este del norte, entre ellas la

rece en ambas ruedas de números. De esta manera se pueden

Pirámide del Sol en Teotihuacan, se explica claramente al estu-

enlazar o hacer coincidir todos los ciclos astronómicos más

diar la rueda de números secuenciales en fundamental 17 (ver

importantes con el tonalpohualli.

figura 2.5). Al multiplicar 17 x 16 se obtiene 272, que corres-

Dresde

31a-32a hay otra tabla de multiplicar de 7 x 13 que

ponde a 10 veces el ciclo dracónico lunar o ciclo de eclipses de

En

27.2

parte de posiciones de cuenta larga de

días. Observamos que en toda la rueda de números son

13 Akbal.

Aparecen hasta

aquellos que son múltiplos de 17 x 16 los que tienen significa-

11 veces múltiplos de 91, pero el cuarto y el octavo, esto es, el

do astronómico, además del 340 (17 x 20 = 340) y sus múlti-

primer y segundo años de 364 días, aparecen separadamente

plos, en los que se considera el ciclo dracónico lunar ajusta-

seguidos por el tercero, cuarto y quinto múltiplos del año de 364

do a 27 días.

días. Como ya se ha dicho, este último señala el regreso del

lub

Si dividimos el gran ciclo lunar de 11 960 días entre 702

y es el equivalente de 1 820 días (5.1.0). Luego vienen 2, 3, 4, 8,

(el área de la Pirámide del Sol en Teotihuacan en números

12, 16, 20, 40 y 80 veces 1 820 días. Resulta notable que casi no

absolutos), obtendremos 17.03, que debe ser la orientación

haya diferencia entre estas dos tablas de multiplicar de 7 x 13.14

correcta del lado poniente de dicho monumento. El número 702 es la combinación perfecta de un número


solar, 26, con otro lunar (26 x 27 = 702). La fundamental 17

2.1, “Números secuenciales en fundamental 7”.) En el caso

refleja un número que denota eclipses, por lo que de manera

de la rueda de fundamental 7 uno de los sectores comprende

definitiva el significado del 17 no es astronómico sino nume-

el 1 820, por lo que esta rueda tenderá al 1 820 000. Dividiendo

rológico, y por eso es que fue escogido para marcar la orien-

este número y el de la era maya de 1 872 000 días entre 1 000

tación de la Pirámide del Sol.

se obtiene 1 872 y 1820, respectivamente, que tiene como fac-

Coincidencia de las ruedas de números. Se observa que las

veces en el 1 872 y 35 veces en 1 820, convirtiéndose así en una

series solares y planetarias coinciden en el 2 340, número que

nueva unidad. En la diferencia se encuentra la unidad. Al ser 35

se presenta en el sector de la rueda de fundamental 20 cuan-

el producto de 5 x 7, se habrán incorporado el 7, que es núme-

tor el 52. En este caso el 52 se vuelve una unidad que cabe 36

do se tiene como multiplicador el 13 y en la rueda de funda-

ro lunar, y el 5, que es número venusino, como factores del

mental 13 cuando se tiene como multiplicador el 20. En la

1 820: (5 x 7 x 52 = 1 820). El 9, que es número mercurial; el 4,

rueda del 9 aparece el 2 340 cuando se tiene como multipli-

que es terrestre; y el 6, que es solar, se habrán incorporado al

cador el 26. Se puede decir que esta rueda es planetaria, solar

1 872 por ser factores del 36; ( 4 x 9 x 5 2 = 1 872). Al tener tanto

y lunar si se analizan los números contenidos en ella. Va a

el 1 872 como el 1 820 el 52 como factor se puede observar que

ser mediante esta rueda que también se logren coincidencias

ambos están en la rueda del 52, por lo que se concluye que es

con los ciclos lunares, como con el 819, entre otros; coinciden-

este número el que resuelve el problema de la coincidencia de

cia con el ciclo sinódico de Venus y con el de Mercurio, ade-

los ciclos solares, planetarios, lunares y el tonalpohualli.

más de otros ciclos de interés, como el de tránsitos de Venus de 486 años.

En ese esquema se presenta el sistema solar con la duración de la era maya de 1 872 000 días, el año trópico de 365.1970 o de 365.2682 días, el año ajustado a 360, el ciclo de 312 días o ciclo solar de Chalchihuicueye y las constantes φ =

14


1.61799 y π = 3.141598. Mediante este esquema se puede ver

15

Cecilio A. Robelo, Diccionario de mitología nahoa, Editorial Porrúa,

que el número 312, aunque es de Chalchihuicueye,15 a quien

México, 1982, pp. 136-137. “Tonacatecteuctli y su esposa Tonacacíhuatl procrearon cuatro hijos, Tlatlauhqui Tezcatlipoca, Yayauhqui Tezcatlipoca, Quetzalcóatl y Huitzilopochtli; que estos cuatro dioses crea-

se ha considerado como la esposa de Tláloc, dios del inframundo, en realidad pertenece al sistema solar. Esto se expli-

ron el mundo y dieron al agua organización particular, a cuyo efecto se

ca por la naturaleza dual (masculina y femenina) que tienen

juntaron los cuatro hermanos y formaron a Tlalocantecutli y a

los dioses. Por otro lado, 364 es un ciclo del Sol del inframun-

Chalchiuhtlicueye, y los declararon dioses del líquido elemento. También vimos en este artículo que Tlatlauhqui Tezcatlipoca y Quetzalcóatl se con-

do; sin embargo, la suma de ambos ciclos en años es igual a

virtieron en Sol sucesivamente para alumbrar al mundo, y que al fin cuan-

la era cosmogónica: 312 + 364 = 676, lo que indica que la era

do dejaron de ser Sol lo fueron también sucesivamente Tláloc y

cosmogónica comprende aspectos tanto solares del inframun-

Chalchiuhtlicueye, ésta durante 312 años, al fin de los cuales las aguas produjeron un diluvio sobre la Tierra. Resulta, pues, que Chalchiuhthcueye fue una diosa creada, que fue la esposa de Tláloc, y que alumbró al mundo como Sol durante 312 años.”


do como lunares. El ciclo sinódico de la Luna exacto de 29.5305 días, el MCM lunar de 11 960 días y el ciclo del Sol del inframundo de

364 días claramente indican que tanto en el sistema solar

Lo anterior se puede expresar mediante el siguiente cuadro:

como en el lunar es el número 52 el que logra la coincidencia de ciclos. En ambos sistemas se encuentra presente el tonal-

Número básico

Número de vueltas

Número de engranes en la serie

(El número del ciclo)

(Factor por el que se multiplica)

(Fundamental de fundamentales) 107 640 107 640 107 640

pohualli de 260 días. De las ruedas de base 7, 13 y 20 se hizo un intento gráfi-

360 260 9

co que aquí se presenta. Las otras por engranar serían de 260, 360 y 11 960 engranes, pero la rueda mayor fundamental de

299 414 11 960

las fundamentales es de 107 640 engranes, de la que no se ha hecho presentaciones gráficas.

El factor 299 a su vez se puede factorizar como 13 x 23. El factor 414 a su vez se puede factorizar como 18 x 23.

Rueda de números en fundamental 52. Una de las razones por las cuales se celebraba la ceremonia del encendido del Fuego

Un problema consiste en que el 9 no tiene como factor el

Nuevo como comienzo de un nuevo ciclo fue la coincidencia

23. Sin embargo, si en el cuadro anterior, en donde está el 9,

de 52 ciclos solares de 365 días (365 x 52 x 2 = 37 960) con los

se coloca el 11 960 y viceversa, es decir, que el número de la

ciclos sinódicos de Venus considerados de 584 días, de

serie (ciclo) se cambia por el número de vueltas (factor por el

Mercurio de 116.8 días y del tonalpohualli de 260 días. No

que se debe multiplicar), todo se resuelve.

obstante, de manera directa el MCM solar y planetario 37 960 no comprende números lunares, salvo el 133.33 del medio año de eclipses. Fue mediante el 52 que se logró incorporar el ciclo sinó-

Número básico

Número de vueltas

Número de engranes en la serie

(El número del ciclo)

(Factor por el que se multiplica)

(Fundamental de fundamentales) 107 640 107 640 107 640

360 260 11 960

dico lunar a los ciclos solares y planetarios, como se vio en párrafos anteriores, por lo que la ceremonia del encendido

299 414 9

del Fuego Nuevo se debe haber realizado también conmemorando el poder de este número para unir ciclos astronómicos entre sí y entre éstos y el tonalpohualli (ver el esquema que

El 520, además de dos tonalpohuallis, es tres veces el año

muestra “El 52 como factor común de los ciclos lunares y

nodal y sirve para pronosticar eclipses (173.33 x 3 = 520). Su

solares” al final del capítulo III).

décima parte es el medio siglo mesoamericano. Así es claro que el número de enlace es el 23, que es un número meramen-


te funcional. Que un número fundamental de una serie se tenga que

107 640 / 23 = 4 680, NSA y MCM de importantes ciclos, incluyendo el tonalpohualli. 107 640 / 360 = 299, cuyos factores son 13 y 23. Son 299 vueltas para regresar al punto de inicio 0. 107 640 / 260 = 414; sus factores son 23 y 18; 414 vueltas para regresar al punto de inicio.

cambiar por el del número de vueltas se ha visto que ocurre con cierta frecuencia. Esto se puede ver en los números que han quedado en varios de los capítulos, en los cuadros de coincidencias. Por esto los números de los ciclos se deben tomar como factores y los factores como ciclos, que pueden ser intercambiables; por ello hay que tomar los números como

107 640 / 3 645 = 29.5308.

absolutos. Todos los ciclos calendáricos están relacionados

107 640 / 13 = 8 280; 107 640 / 52 = 2 070; 107 640 / 104 =

unos con otros y esto queda expresado en los cuadros de coin-

1 035. 107 640 / 585 = 184; 107 640 / 117 = 920.

cidencias, pero unas veces están como números fundamentales de los ciclos o series y otras veces como número de vueltas o factores. No hay que confundir unos con otros.

El 107 640 es un gran MCM que reúne el tonalpohualli, el año de 360 días, el ciclo sinódico de la Luna, el tlalpilli, el

Hipótesis. En los números del 1 al 20, el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10,

medio siglo y el siglo mesoamericanos. Para la coincidencia

12, 13, 15, 16, 18 y 20, tomados como engranes de las ruedas

con la rueda fundamental de fundamentales (MCM 107 640)

dinámicas (factores), pertenecen al sistema planetario y solar,

son necesarias 299 vueltas de la rueda del 360 para llegar al

y los restantes, 7, 11, 17 y 19, corresponden a la Luna. El 23

punto de inicio (107 640 / 360 = 299), 414 vueltas de la rueda

es un número de enlace que generalmente se asocia con ciclos

del 260 para llegar al punto inicial (107 640 / 260 = 414) y

lunares.

nueve vueltas de la rueda 11 960 para llegar al punto de arranque 0: (107 640/ 11 960 = 9).

Los tlamatinime usaron en general los números siguientes para la duración de los ciclos.


Los tres divisores anteriores son los números más impor-

Número en días 117; factor 13 585; factor 5 360 (ajustado); factores 2 y 4 364 (ajustado); factores 13 y 7

Ciclo Sinódico de Mercurio Sinódico de Venus Año solar Año solar (Sol del inframundo) Año vago (Sol del supramundo) Sinódico de la Luna

tantes

los

mesoamericanos

tomaron

de

la

serie

de

Fibonacci, 5, 8 y 13. Cuando se divide 8 / 5 = 1 . 6 y 1 3 / 8 = 1.625, se obtienen los parámetros de la constante φ para los mesoamericanos.

365 (ajustado); factores 5 y 73 29.5308; (29.5308 x 10 000 = 295 308; factores 468 y 631 (ver el número 4 680 en el apéndice 1) 27.3: (27.3 x 10 = 273; factores 3, 7 y 13) 27.2 : (27.2 x 10 = 272; factores 16 y 17) 27 (ajustado): factor 3 19 años; número primo

Sidéreo de la Luna Dracónico de la Luna Dracónico de la Luna Metónico de la Luna

que

2 600 / 8 = 325. 2 600 / 15 = 173.333 o medio año de eclipses. 2 600 / 20 = 130. Si se aumenta 100 veces el número de engranes de la rueda fundamental, se tendrán 26 000 engranes. Ahora se puede agregar el 16 como factor y seguir teniendo números

Planteamiento. Considérese una rueda con fundamental 260 (260 engranes), uno por cada día del tonalpohualli, además de

enteros en el número de vueltas.

otras ruedas más pequeñas con 2, 4, 5, 10, 13 y 20 engranes con las que deberá ajustar la fundamental del 260. Si ésta se mantiene estática, la rueda de dos engranes tiene que dar 130 vueltas para volver a llegar al punto de arranque, el punto 0. Se continúa con las ruedas que tienen un número de engranes igual a los factores 4, 5, 10, 13 y 20, en los que se puede descomponer el 260, y se obtiene la siguiente lista con núme-

Rueda estática Tonalpohualli 26 000 26 000/2= 13 000 26 000/4 = 6 500 26 000 / 5 = 5 200 26 000 / 8 = 3 250 26 000 /13 = 2 000 26 000 / 16 = 1 625 26 000 / 20 = 1 300

Rueda dinámica Factores 16

Número de vueltas 1 625

Residuo 0

ros del 1 al 30. 260 = 1 x 260.

Tal vez se llegó hasta el 26 000, por ser el número de años

260 = 2 x 130.

que tiene que transcurrir para que la aparentemente inmóvil

260 = 4 x 65.

estrella Polar vuelva a ocupar su mismo sitio en el cielo al

260 = 5 x 52.

cabo de un ciclo de 26 000 años, el ciclo celeste mayor o del

260 = 10 x 2 6 .

movimiento de precesión de la Tierra. Se observa que el número de días del tonalpohualli, 260,

260 = 13 x 20.

tiene como factores, de los 20 primeros dígitos, el 1 , 2 , 4, 5,

260 = 15 x 17.333.

10, 13 y 20. Se presenta un cuadro en donde aparece el 260 Aunque el 17.333 no es entero se anota por ser 17.333 x

como número de engranes de una rueda estática fundamen-

10 = 173.33, el año nodal en días. La coincidencia es con el

tal (tonalpohualli) en la primera columna; en la segunda, el

doble de 260, 520: 520 = 3 x 173.333, en este caso en días. Se

número de engranes (factores); en la tercera, el número de

pueden considerar también 52 años, pero de 360 días para

vueltas que tendrá que dar cada rueda dinámica para llegar al

llegar a una coincidencia de ciclos: 52 x 360 = 18 720 días, que

punto de inicio.

entre 173.333 se tienen 108 ciclos de años nodales. El 108 es lunar y múltiplo del 27, que también lo es (108 / 4 =27); 260 = 20 x 13. Si se aumenta 10 veces el número de engranes de la rueda estática fundamental, o sea, 2 600 engranes, se puede agregar el 8 como factor y seguir teniendo números enteros en el número de vueltas.

Rueda estática Tonalpohualli 2 600 2 600 / 2 = 1 300 2 600/4 = 650 2600/5 = 520 2 600 / 8 = 325 2 600/13 = 200

Rueda dinámica Factores

Número de vueltas 8


Residuo 325

Rueda estática Tonalpohualli 260 260 260 260 260 260 260 2 600 26 000

Rueda dinámica Factores

Número de vueltas 1 2 4 5 10 13 20 8 16

260 130 65 52 26 20 13 325 1 625

Residuo

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

La rueda estática engrana con las dinámicas exactamente si tienen como número de engranes o factores el 1,2, 4, 5, 10, 13 o 20.

En las ruedas dinámicas no están como factores el 3, 6, 7,

la órbita lunar.16 Considerando dos años de eclipses se tiene

9, 11, 12, 14, 17 y 19. De estos números el 6, 9, 12 y 18 son

346.5

múltiplos del 3, por lo que corren una suerte semejante.

días ( 7 x 9 = 6 3 y 7 x 9 x 1 1 = 693). Al estar el 693 en la serie

x 2 = 693, que a su vez corresponde a 11 lapsos de 63

del 11 queda relacionado con los años de eclipses (693 / 11 =

Análisis de cada número. No son el 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17,

63). El 17.0625 se encuentra como factor del ciclo sidéreo de

18 y 19 divisores exactos del 260, del 2 600 o del 26 000; sin

la Luna tomado 10 veces: 27.3 x 10 = 273 = 16 x 17.0625. Se

embargo, al dividir 2 600 / 15, se obtiene 173.33, que corres-

puede decir también que 27.3 / 17 = 1.605 ≈ ϕ para los meso-

ponde en días al medio año de eclipses, número muy utiliza-

americanos. El 19 en años corresponde a un ciclo metónico de

do como factor de otros ciclos.

la Luna.

El 3 es un número solar por ser divisor del 360 y una de

De la investigación se desprende que son tres las ruedas

las muchas razones del ajuste del año a 360 días. El 32 es divi-

numéricas que van a relacionar a la mayoría de los ciclos

sor del ciclo sinódico de Mercurio y de Venus ( 1 1 7 / 9 = 1 3 y

astronómicos con el tonalpohualli: la del 260, la del 360 y la del

585 / 9 = 65).

11 960, que a su vez engranan con la del 107 640, gran MCM de las tres.

360 / 3 = 120, solar.

De acuerdo con la numerología17 pueden existir tantas

117 / 3 = 39, mercurial.

ruedas o series de números como ciclos astronómicos o de la

585 / 3 = 195, venusino.

naturaleza, ya que cada uno de los números que los definen

Se pueden agregar dos planetas exteriores: Júpiter, cuyo

tigación se observa que cada planeta tuvo su propia rueda de

ciclo sinódico es de 399 días, que dividido entre 3 es igual a

números que se relacionaba con las demás y necesariamente

133; y Marte, cuyo ciclo sinódico es de 780 días, el cual divi-

con el tonalámatl o calendario augural.

se puede tomar como base de una serie. A la luz de la inves-

dido entre 3 es igual a 260 días.

Este estudio demuestra que son tres las ruedas (series de

Son múltiplos de 3 el 6, 9, 12, 15 y 18, y todos divisores

números) fundamentales: la del tonalpohualli de 260 días, la

del 360: (360 / 6 = 60; 360 / 9 = 40; 360 / 12 = 30; 360 / 15 = 24).

solar de 360 días y la lunar de 11 960 días. Existen otras tam-

Se descarta el 13 por ser número (factor) del sistema planeta-

bién importantes que se derivan de estas tres, puesto que cada

rio interior (117/13 = 9y 585 / 13 = 45), y quedan el 7, 11, 14,

uno de sus factores puede ser fundamento de otros sistemas

17 y 19, números que no se han encontrado como divisores

o ruedas de números. El MCM de 240, 360 y 11 960 es 107 640,

exactos ni del tonalpohualli ni de los ciclos solares, venusinos

por lo que la rueda fundamenta] de las fundamentales es la del

o mercuriales.

107 640 (en números absolutos). Existen, sin embargo, otras

El 3 es número del sistema planetario interior, del que

relacionadas con la Luna que no se derivan de las anteriores,

forman parte el Sol, Mercurio y Venus ( 1 1 7 / 3 = 39; 585 / 3 =

de las que hay que encontrar sus factores comunes para lograr

195, además del ciclo del año ajustado a 360 días: 360 / 3 =

coincidencias.

120). El 6 es factor del 360: (360 / 6 = 60). El 9 es factor del ciclo sinódico de Mercurio ( 1 1 7 / 9 = 13), del de Venus (585 / 9 = 65) y del año ajustado a 360 días (360 / 9 = 40). El 12 es factor del año de 360 días (360 / 12 = 30) y el 18 es factor del 360 (360 / 18 = 20). Ahora se descartan el 3 y sus múltiplos, que pertenecen al sistema planetario interior y al Sol ajustado a 360 días. Quedan solamente el 7, 11, 14, 17 y 19, números que se asocian con la Luna, el astro que faltaba considerar del sistema planetario interior, por las siguientes razones: el 7, al igual que su múltiplo el 14, son factores del año del Sol del inframundo de 364 días, que se asocia siempre con la Luna (364 / 7 = 52; 364 / 14 = 26). El 17 es factor del ciclo dracónico lunar (16 x 17 = 272, que dividido entre 10 = 27.2, el ciclo dracónico lunar o de eclipses). 16

El 11 está relacionado también con los eclipses. De acuer-

sucesivos del Sol por el mismo nodo de la órbita lunar; 346.5 días. Se dice

do con Aveni, el 346.5 corresponde al año de eclipses y es el intervalo entre pasos sucesivos del Sol por el mismo nodo de

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 116. “Año de eclipses: intervalo entre pasos

que una estación de eclipses ocurre durante el periodo de paso prolongado.” 17

Véase la nota 7.


Ruedas de números de fundamentales 7, 9, 11, 13, 17, 20 y 260

Figura 2.1. Números secuenciales en fundamental 7

Ruedas de números

10 920 (1 092 x 10 = 10 920)

Sistema solar (52)

Marte (780) Tonalpohualli (260) Sol del inframundo (364) Luna, sidéreo (27.3) Venus,

Estrella

Vespertina

(252)

Mercurio (117)

Luna, dracónico (27-27.2) Periodo sinódico de Júpiter (399)

Apéndice 2 / Sistemas de numeración posicionai

417

Figura 22. Números secuenciales en fundamental 9 Rueda de números

Sistema solar (52) Marte (780) Tonalpohualli (260)

Luna, sinódico (29.5305) Venus (585) Mercurio (117) Sol ajustado (360) Año trópico (365.2682)

Ciclo sidéreo (225) Lu n a

(7)

Venus, Estrella Vespertina (252)


1 872 000


Ruedas de números


Ruedas de números

Sistema solar (52) Marie (780)

Tonalpohualli (260)

Venus (585) Mercurio (117) Luna, eclipse (173.33)

Sol ajustado (360) Luna (7) Luna, Sidéreo (27.3)


4 680

Figura 2 5. Números secuenciales en fundamental 17

Ruedas de números

Luna, dracónico (27-27.2)


Figura 2.6. Números secuenciales en fundamental 20 Ruedas de números

Sistema solar (52) Marte (780) Tonalpohualli (260) Venus (585) Mercurio (117) Luna, dracónico (27-27.2)

Luna, sinódico (29.5305) Sol ajustado (360) Luna (7)


1 872 000


Ruedas de números

1 872 000, era solar

Sistema solar (52)

Marte (780) Tonalpohualli (260)

Venus (585) Mercurio (117) Luna, sinódico (29.5305) Sol ajustado (360) Saturno (377) Luna (7)


Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas

Definiciones Ángulo Θ: El que se forma entre la horizontal y el talud de las caras de una pirámide.

Chumengy chutong (ver figuras X.l y X.5). Su diferencia con una pirámide y con una pirámide truncada: Especial atención merecen las figuras tridimensionales chumeng y chutong, ya que el chutong es la forma de los cuerpos de las

pirámides y el chumeng, la figura de la que derivan. No se tiene un nombre en español para un prisma doblemente truncado de base rectangular, pero en chino su nombre es chumeng. La forma de este prisma corresponde a la del techo o cobertizo para el pienso que en China se llama chumeng, de acuerdo con el libro Jiuzhang suans-

hu o Aritmética en nueve capítulos, escrito por Liu Hui en el tercer siglo d.C. Cuando ese prisma es truncado otra vez por un plano paralelo a su base la figura resultante se llama chutong. En los países de habla hispana se le conoce como artesa, y es la verdadera forma de la envolvente virtual de los cuerpos de las pirámides mexicanas. Liu Hui en su libro transcribe el contenido de otro libro anterior, por lo que se cree que los sistemas matemáticos allí expuestos sean todavía más antiguos.

El capítulo V del Jiuzhang suanshu ostensiblemente se refiere a trabajos de tierra y a la

cantidad

de trabajo

necesaria para construirlos. Las únicas partes del capítulo que

son particularmente interesantes desde el punto de vista de la matemática, sin embargo, son aquellas que dan algoritmos para calcular los volúmenes de sólidos... 1

Se menciona este libro porque demuestra que los matemáticos chinos 1

Donald B. Wagner, “An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid: Liu Hui, Third Century A.D.”, en Historia mathematica, 1979, vol. VI, pp. 164

conocían la existencia de un cuerpo tridimensional particular que llamaban

chumeng, del que podían calcular con toda exactitud su volumen. Si los chi-

188 ( http://www.sataf.hum.ku.dk/dbwagner/Pyramid/

nos pudieron emplear en sus construcciones este prisma truncado en forma de

Pyramid/Pyramid.html).

artesa y calcular su volumen, pudieron hacerlo también los mesoamericanos,

424


como de hecho lo hicieron. De lo anterior se infiere que estas

Fórmulas de los volúmenes del chumeng y del chutong

formas debieron haber sido empleadas en la arquitectura china, puesto que a esos sólidos tridimensionales ya se les

Nomenclatura

había dado el nombre de chumeng -en el caso del sólido sec-

Lado mayor de la base (mayor) = (AD) = a.

ción de prisma truncado- y de chutong -al prisma triplemen-

Lado menor de la base (mayor) = (HD) = ι

te truncado, resultado de truncar el chumeng-. El algoritmo

Lado mayor de la base menor que corresponde a la diferen-

para encontrar la fórmula del volumen del chumeng consiste

cia entre los lados (IJ = a' = u). Esta diferencia es igual a la uni-

en dividir la sección de prisma en varios cuerpos de fórmula

dad u = 1.

conocida, obtener sus volúmenes y sumarlos. Uno de los obje-

Lado menor de la base menor = ι'. En el chumeng ι'= 0. Altura

tivos del libro de Liu Hui era enseñar a calcular los volúme-

H/2=

h.

nes de esos cuerpos para saber la cantidad de tierra que se tenía que mover para realizar ciertas construcciones cuyo tipo

Volumen

no especifica.

Volumen del chumeng: V = h / 6 [ι ( 2a + a')]

¿Acaso para cuantificar la cantidad de tierra necesaria

Volumen de la artesa o chutong: 2 V = H / 6 [ι (2a + a')] + ι'(2'+

para la construcción de las pirámides escalonadas chinas cer-

a)], en donde H es la altura del chumeng; 1, el lado menor de la base; a, el lado mayor; a', la arista o lomo. Volumen de la pirá-

canas a Shiang? Como no recibe nombre aquello que no corresponde a un

mide: V = 1 / 3 Bh, en donde B = área de la base y h = altura.

concepto, al no encontrar en español ningún nombre en par-

Volumen de la pirámide truncada: V = h/3 [B + b + √(Bb)], en

ticular que defina estos sólidos, se puede pensar que no fue-

donde B = área de la base mayor y b = área de la base menor.

ron utilizados por los pueblos de habla hispana. Por no existir estas palabras en español en este trabajo se han utilizado las palabras chinas chumeng y chutong.

Chumeng: Prisma doblemente truncado de base rectangular, y en las pirámides mexicanas siempre un rectángulo Σ. Su forma corresponde a la forma de un techo o cobertizo de pienso. Se

Obtención del chumeng y del chutong mediante la partición del prisma recto rectángulo / Geometría dinámica: De acuerdo con

obtiene al descomponer un prisma recto rectángulo en dos

la geometría dinámica utilizada por los mesoamericanos, un

X.4 y X.5 d)

pirámides y el espacio sobrante en dos chumenes (ver figuras

elemento del diseño es el antecedente de otro, que a su vez lo rectangular puede dar origen, al ser fraccionado, a dos pirá-

Chutong: Prisma triplemente truncado que se obtiene al truncar un chumeng por un plano paralelo a su base (ver figuras X.4

mides y cuatro chumenes, los que al truncarse darán origen a

y X.5 h).

es de otro, éste de otro, etcétera. Un prisma recto de base

dos chutones, sólidos envolventes virtuales de las pirámides

Círculo: Porción del plano limitado por una circunferencia.

mexicanas (ver figuras X.l, X.4 y X.5). Nótense en la figura X.5 e) las dos pirámides: a un lado del prisma, la pirámide ABFE-I, y al otro, DCGH-J. Véanse los cuatro

Circunferencia: Lugar geométrico de los puntos equidistan-

chumenes: al frente, ABCD-IJ. Atrás, BFGH-U. Arriba, BFGC-IJ. Abajo,tes de uno llamado centro. AEHD-IJ. Esta división corresponde a la del espacio mesoamerica-

Cuadrado: Figura plana cerrada por cuatro rectas iguales

no en arriba, abajo, centro, norte, sur, oriente y poniente. En cada cuerpo los ángulos Θ que determinan los taludes

formando ángulos rectos.

de las caras respecto a los lados de la base deberán ser iguales. Se exceptúa en la Pirámide del Sol su segundo cuerpo,

Diagonal: Recta que une un ángulo con otro no contiguo en

donde tres de sus caras tienen la misma inclinación, mas no

un polígono de cuatro lados.

así la cara poniente, como se vio cuando se hizo el cálculo de su número volumétrico (NV) en el capítulo X. En el segundo cuerpo los tetzozoncatztzontequini (arquitectos) constructores de la pirámide agrandaron el ángulo del talud de la fachada principal para aumentar el NV del segundo cuerpo y hacer que los factores de su volumen fueran números de significado astronómico (NSA) o calendárico (NSC), como se vio en el capítulo X. Luego aprovecharon el espacio ampliado, tal vez para colocar allí un altar.

2

Ramón García Pelayo y Gross, Pequeño Larousse Ilustrado, Ediciones Larousse, París, 1976.

Glosario de figuras, términos geométricos, fórmulas y teoremas 425

Diámetro: Línea que pasa por el centro del círculo dividién-

Número de oro o ϕ = 1.618...: Razón a la que tienden dos

dolo en dos partes iguales.

números consecutivos de la serie de Fibonacci al dividir dos de sus términos consecutivos, el mayor entre el menor. En un

Ejes de crecimiento armónico: Rectas perpendiculares entre sí

rectángulo áureo es la razón entre la altura y la base, toman-

que se originan a partir de un rectángulo del que serán sus ejes

do ésta como unidad. Cuando el lado mayor se encuentra en

de crecimiento armónico; uno de los ejes es la diagonal del rec-

el lado vertical, la razón será mayor que 1; cuando el lado

tángulo, mientras que el otro tiene su origen en el ángulo opues-

menor se encuentra en el eje horizontal, la razón será menor

to a dicha diagonal, extendiéndose hasta el lado opuesto.

que 1, y este rectángulo será el recíproco del primero. Por lo tanto, cuando el módulo M es menor que 1, el rectángulo esta-

Espiral de crecimiento armónico: Aquella que tiene por ojo

rá acostado; y cuando M es mayor que 1, el rectángulo estará

el cruce de los ejes de crecimiento armónico que la determinan.

parado. Al dividir el menor entre el mayor, se obtiene su recíproco. Es un número indeterminado matemáticamente, pero

Geometría dinámica: Parte de la geometría que estudia la gene-

perfectamente determinado geométricamente.

ración de una figura geométrica a partir de otra. Por ejemplo, el cuadrado cuyos lados valen 1 ; mediante su diagonal puede

Pirámide: Sólido geométrico con base cuadrada, rectangular

generar los rectángulos básicos de módulo M = √2, √3, √4 o doble

o poligonal que termina siempre en un ángulo poliédrico,

cuadrado, √5, etcétera. En la geometría dinámica se encuentra

ápice o vértice.

la obtención del número de oro o del punto de oro por medio del doble cuadrado de donde se genera. También se encuentra

Una pirámide es un poliedro limitado por las caras de un ángu-

la obtención de los rectángulos Σ, que son las bases de la

lo poliedro y un plano que corta esas caras sin pasar por el vér-

Pirámide del Sol, de la Luna y del viejo templo de Quetzalcóatl,

tice. Cortando ese poliedro con otro plano que corte a su vez

en Teotihuacan, así como de El Castillo, en Chichén Itzá.

todas las aristas laterales sin pasar por el vértice, se obtiene un

Geometría plana: Parte de la geometría que estudia las figu-

paralelo o no al de la base de la pirámide... En una pirámide el

ras bidimensionales en el plano.

vértice del ángulo poliedro es el vértice de la pirámide, las caras

tronco de pirámide o una pirámide truncada, según sea el plano

son las caras laterales de la pirámide y el plano secante, la base

Módulo (m) de un rectángulo: Cociente que resulta de divi-

de la pirámide. Si la base es un triángulo, la pirámide es trian-

dir el lado mayor entre el menor.

gular; si es un cuadrilátero, cuadrangular; etcétera. La distancia del vértice a la base es la altura de la pirámide. Si la base es un polígono regular

y

el vértice pertenece a la perpendicular a la

base trazada por el centro del polígono, la pirámide es regular. La distancia del vértice a uno cualquiera de los lados de la base de una pirámide regular es la apotema de la pirámide. El área total de una pirámide regular es el semiperímetro de la base por la suma de la apotema de la base más la apotema de la pirámide. El volumen de una pirámide cualquiera es el producto del 3

Diccionario enciclopédico Quillet, Editorial Argentina Aristides Quillet, Buenos Aires, 1967. Un prisma es “Sólido limitado por dos polígonos igua-

4

área de la base por el tercio de la altura. En un tronco de pirámide la distancia entre las bases es la altura. Si un tronco de

les y paralelos, que son sus bases, y por paralelogramos o caras que unen

pirámide tiene como áreas las bases

dos a dos los lados correspondientes de las mismas”.

volumen es V = 1/3 h

(B

B y

b,

y

por altura h, su

+ b + √ Bb).3

“Cada lado del polígono de una base forma una arista de base con la cara correspondiente; dos caras adyacentes forman una arista lateral. Según el número de lados de la base se califica el prisma de triangular, cuadrangu-

Las proyecciones de las aristas de la pirámide a la base

lar, etcétera. Si el triángulo, el cuadrilátero, etcétera, son regulares, se dice

son de 45° solamente en el caso de que la base sea cuadrada,

que el prisma es también regular; en caso contrario es irregular. Por otra

en cuyo caso los ángulos de inclinación de los taludes también

parte, dicese que el prisma es recto cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases y, cuando no lo son, se tiene un prisma oblicuo. El

serán todos iguales. Cuando la base de una pirámide no es

área lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la

cuadrada sino rectangular, las proyecciones de las aristas de

base por la longitud de la arista lateral (altura del prisma). El área lateral del prisma oblicuo se halla de la misma manera, aunque considerando el perímetro de una sección perpendicular a su eje. El volumen de un prisma

las caras a la base no son de 45° y la inclinación de los taludes varía de dos en dos.4 Por lo anterior, la forma de los cuerpos

es igual al producto del área de su base por su altura o del área de la sec-

geométricos tridimensionales envolventes de las pirámides

ción recta por la longitud de la arista lateral.”

mexicanas no corresponde a una pirámide, como en Egipto,

426


no por ser las de México truncadas y las de Egipto no, sino por

Rectángulos

definición de lo que es o no es una pirámide.

Doble cuadrado de módulo M 2: Fue utilizado para señalar Prismas

el ámbito de los dioses del cielo medio al superior, y el rectángulo ϕ2 para el de los dioses del inframundo. De los rectángu-

Prisma recto: Sólido limitado por dos polígonos iguales y para-

los OME puedo decir que significan la carrera del Sol a lo largo

lelos, que son sus bases, y por paralelogramos o caras que unen

del año.

dos a dos los lados correspondientes de las mismas. Un prisma recto es un cuerpo tridimensional de base triangular, cuadra-

Rectángulo: Paralelogramo de ángulos rectos y lados conti-

da, rectangular o poligonal que tiene sus caras rectangulares

guos desiguales y perpendiculares.

perpendiculares respecto a las bases. Por definición, un tronco de prisma o prisma truncado es un sólido que se obtiene al

Rectángulos básicos: Son aquellos que en la geometría diná-

cortar un prisma por un plano no paralelo a las bases.5

mica se originan a partir del cuadrado (de módulo M = 1) y su diagonal. Los rectángulos básicos8 fueron las figuras más

Prisma recto rectángulo: Es todo aquel que tenga como base

comúnmente empleadas en el diseño mesoamericano.

un rectángulo cualquiera, sus cuatro caras laterales perpendiculares a la base y la cara superior paralela a la inferior.

Entre ellos se encuentra el rectángulo ϕ, que por definición tiene uno de sus lados más corto que otro en una unidad. El rectángulo ϕ de módulo M = 1.618...; el rectángulo √ϕ o K de

Prisma recto rectángulo Σ: Es el que tenga como base un

módulo M = 1.272; los rectángulos √2, √3 de M = 1.414 y 1.732,

rectángulo Σ, sus cuatro caras laterales perpendiculares a la

respectivamente; el rectángulo √4 o doble cuadrado de módu-

base y la cara superior paralela a la inferior. El prisma recto

lo M = 2; el rectángulo pitagórico de M =1.333...; el rectángu-

rectángulo Σ se puede descomponer en seis cuerpos: dos pirá-

lo ϕ2 de M = 2.618...; el rectángulo OME de M = (3 a 3.25) (ver

mides, cuyas bases son las caras laterales del prisma y su altu-

figura II.3, “La generación de rectángulos básicos y de los rec-

ra igual a la mitad de los lados mayores de la base, y cuatro

tángulos Σ a partir del cuadrado y su diagonal”).

chumenes6

que tienen como base las caras frontal, trasera,

superior e inferior del prisma recto rectángulo y como altura

Rectángulo √2 de M 1.414...: Se puede considerar solar. En

la mitad de la altura de ese prisma (ver figura X.5 a). El prisma recto rectángulo Σ envolvente virtual de la pirá-

la rueda de números de fundamental 13 se tiene que 28 x 1.4 =

mide se puede truncar por medio de dos pirámides que a su

364, si se considera solamente un decimal en la raíz cuadra-

vez tienen como sendas bases dos de las caras paralelas del

da de 2, en cuyo caso el rectángulo √2 estaría relacionado con

prisma (ver figura X.5 c). De esta manera, un prisma recto rec-

el Sol del inframundo de 364 días. Si se consideran dos deci-

tángulo se puede descomponer en dos pirámides y cuatro pris-

males: 1.41 x 28 = 39.48 y 39.48 x 100 = 3 948 / 84 = 47, este

mas truncados o chumenes. 7 Estos chumenes tienen una aris-

último número solar también. Para obtener la duración del

ta en el lomo, en donde se registra la unidad de medida o

año trópico exacto la √2 debería ser 1.40477.

proporción u (o un múltiplo de ésta en algunos casos), lo que no acontece en una pirámide que, por definición, debe termi-

Rectángulo √3 de Μ 1.732...: Puede considerarse solar tam-

nar en un ápice o vértice.

bién, pero con el año ajustado a 360 días. Siendo V3 = 1.732..., en la rueda de base 13 se tiene que 13 x 17.3 = 224.9 ± 225,

Prisma truncado: Sólido que se obtiene al cortar un prisma

número venusino. Dividiendo 225 entre 45 se obtiene 5, que

por un plano no paralelo a las bases.

Prisma unidad: Un prisma unidad es aquel que tenga por base un rectángulo cuyo lado menor mida una unidad u y el mayor uno de los lados del prisma recto rectángulo del que

5

Diccionario ilustrado de las ciencias, Ediciones Larousse, México, 1988, p.

6

Ver la definición de chumeng en la primera página de este glosario.

7

Chumeng es un nombre chino que se ha tomado para nombrar ese cuerpo

deriva. Su altura es la misma del prisma recto rectángulo (ver figura X.5 b). El prisma unidad, sumado al prisma recto de base cuadra-

1172.

geométrico tridimensional, ya que no existe en español, que yo sepa, nom-

da, forma un prisma recto rectángulo. Este prisma se puede descomponer en un prisma unidad y seis pirámides de volúmenes iguales.

bre para este cuerpo. Ver la primera página de este glosario. 8

Margarita Martínez del Sobral, Geometría mesoamericana, Fondo de Cultura Económica, México, 2000, pp. 35-57.


es el número de Venus por excelencia (584 x 5 = 365 x 8 =

Rectángulos derivados

2 920).

del rectángulo áureo o perfecto

Rectángulo √4 o doble cuadrado de

M

2: Es la máxima

Rectángulo áureo o perfecto, rectángulo ϕ, Μ 1.618...: En

extensión del cuadrado al reproducirse exactamente y formar

Mesoamérica suele tener como dimensiones de sus lados 13

un doble cuadrado. Siendo el módulo M del doble cuadrado =

y 21 unidades, por lo que su superficie es de 13 U x 21 U= 273

2, en fundamental 13 tendremos 26. Directamente se relacio-

U 2,

na con el tonalpohualli, del que es la décima parte. Se puede

Luna. Así, se puede decir que está relacionado dicho rectán-

decir que simbólicamente el doble cuadrado llega hasta el

gulo con nuestro satélite. También es común el empleo del

destino del ser humano.

rectángulo ϕ que mide 8 U x 13 U. La relación es solar, ya que

en donde 273 = 27.3 x 10; 27.3 es el ciclo sidéreo de la

el producto de 8 x 13 = 104, número de años del siglo meso-

Rectángulo √5 de M 2.236...: En base 13 se tiene 13 x 2.236 =

americano. El rectángulo ϕ M 1.618 representa por lo tanto a

29, número que consideraron los mayas, entre otros, como el

los dos dioses creadores, el Sol y la Luna. Este rectángulo

ciclo sinódico lunar. Al multiplicarlo por 13 se obtiene el ciclo

tiene en su interior a los dioses señores del arte adivinatorio

132

-dueños del destino, además de creadores del calendario y

sinódico de Júpiter de 377 días:

x 2.236 ≈ 377.

por lo tanto del tiempo-, lanzando su suerte a los hombres por

Rectángulo Σ: Es una figura dinámica que por definición

medio de nueve granos de maíz, como aparecen en la página

tiene dos de sus lados paralelos menores en una unidad (u)

21 del Códice borbónico. Del Paso y Troncoso los reconoce

con relación a los otros dos. Es esta diferencia la que la hace

como Cipaktónal y Oxomoco.11

dinámica y la que provoca el movimiento, el espacio y el tiempo. El cuadrado, al no tener diferencia en la longitud de sus

Rectángulo ϕ2,

lados, presenta diagonales y no ejes de crecimiento, por lo

tual envolvente del centro ceremonial de Teotihuacan. De la

que no puede generar espirales. Solamente un rectángulo

misma manera en que el rectángulo ϕ está asociado con la

puede tener ejes de crecimiento por tener en sí un tercer ele-

vida, el rectángulo φ2 está asociado con la muerte. El 17 está

mento neutro,9 en este caso la diferencia de longitud de sus

relacionado con el ciclo dracónico de la Luna y por consiguiente

lados. Así, mediante esta diferencia, un rectángulo Σ10 tiene

con los eclipses. Es un número también asociado a la muerte.

la capacidad de expresar movimiento y vida, por lo que fue profusamente empleado en el diseño mesoamericano.

M

2.618...: Este rectángulo es la figura vir-

En fundamental 13 se tiene 13 x 2.618 = 34.034

≈

34, que

es igual a 2 x 17. El 17 es un número que aparece con frecuencia en la orientación de las ciudades de la Familia de los

Rectángulo Σ con lados de 12 U x 13 U, formato del Códice

17°. En la primera página del Códice Fejérváry-Mayer apare-

Fejérváry-Mayer: Este rectángulo fue utilizado en la obten-

ce en el ángulo de cambio de lectura del tonalámatl12 (ver el

ción de las dimensiones del basamento que aparece en la pri-

número 17 en el apéndice 1, “Números”).

mera página del Códice Fejérváry-Mayer, en su formato y en el diseño de las bases de los tres monumentos que he estudiado.

Rectángulo ϕ -3

M

0.231...: Al multiplicar el módulo de este

rectángulo por 13 se obtiene 13 x 231 = 3 003, que dividido entre 11 nos da 10 veces el ciclo sidéreo de la Luna (3 003 / 11 = 273).

Rectángulo ϕ-2, M 0.382...: Es el recíproco del rectángulo ϕ2, por lo que puede tener el mismo significado. Al multiplicar el módulo de este rectángulo por 13 se tiene 13 x 1.333... = 9

Rubén Bonifaz Nuño, Imagen de Tláloc, UNAM, México, 1966, p. 138. “Sólo

17.329, que multiplicado por 10 es aproximadamente el medio

así puede cobrar sentido el encuentro de dos contrarios: con la interven-

año de eclipses y corresponde a la tercera parte de 520, el

ción de un elemento neutro que constituya, juntándose con ellos, una tríada fecunda.” 10

11

Un rectángulo Σ, por definición, es todo aquel que tenga una unidad de

cano. Por otro lado, el número 17.3... es la quinceava parte del

diferencia en la longitud de sus lados.

tonalpohualli de 260, que multiplicado por 10 nos da casi el

Francisco del Paso y Troncoso, Descripción, historia y exposición del Códice

medio año de eclipses de 173.31 días (15 x 17.33 = 259.95 ≈

borbónico, Siglo XXI Editores, México, 5 a ed., 1988, p. 92. 12

doble del tonalpohualli o 10 veces el medio siglo mesoameri-

Miguel León-Portilla, “El tonalámatl de los pochtecas (Códice Fejérváry-

260).

Mayer, estudio introductorio y comentarios)”, en Arqueología Mexicana, edición especial, “Códices”, núm. 18, México, 2005, p. 20.


Rectángulo ϕ-1, M 0.618...

Rectángulo ϕ / 2, Μ 0.809...

Rectángulo √5 M 2.236: Se genera por el del entrelazamiento

Rectángulo ϕ-2, Μ 0.382...

un cuadrado.

Rectángulo ϕ3 ο de Venus, Μ 4.325...; En la rueda de núme-

Rectángulo M 2.427: Es producto del entrelazamiento de dos

ros de fundamental 13 se tiene que 13 x 4 325 = 56 225 = 173 x

rectángulos que tienen en el centro como área común un rec-

325.

tángulo M 1.236.

de dos rectángulos ϕ que tienen en el centro como área común

Al igual que en el párrafo del rectángulo

ϕ-2,

se puede

decir que 173 es el número aproximado de la duración en días

Rectángulo ϕ2 M 2.618: Se obtiene del entrelazamiento de

del medio año de eclipses y es la tercera parte de 520, núme-

dos rectángulos ϕ que tienen en el centro como área común

ro doble de los días del tonalpohualli o que 520 es 10 veces el

un rectángulo ϕ-1 = rectángulo 1 / ϕ M 0.618.

medio siglo mesoamericano. Además el número 17.3 es la quinceava parte del tonalpohualli de 260, que multiplicado por 10 nos da el medio año de

Rectángulo M 2.732: Generado por el entrelazamiento de

eclipses. Se relaciona con Venus cuando se divide 56 225 /

un doble cuadrado.

dos rectángulos ϕ que tienen en el centro como área común

865 = 65, que como se ha dicho corresponde a la novena parte del ciclo sinódico de ese planeta. El 325 se encuentra en uni-

Rectángulos

dades a la manera indígena en la base del viejo templo de

ten a otro para formar un cuadrado.

complementarios:

Aquellos

que

complemen-

Quetzalcóatl en Teotihuacan.

Rectángulos suplementarios: Aquellos que complementen a Rectángulo κ o rectángulo √ϕ, Μ 1.272...: Es el primer armónico del rectángulo

ϕ 2.

Rectángulo ϕ-3,

0.231 : En la rueda de números de funda-

M

otro para formar un doble cuadrado.

Funciones trigonométricas

mental 13 se tiene que 13 x 231 = 3 003, que dividido entre 11 nos da 10 veces el ciclo sidéreo de la Luna (27.3 x 10 x 11 =

Tangente

3 003).

a) Es una línea recta que toca en un solo punto una curva. Rectángulo pitagórico, M 1.333...: En la rueda de números de fundamental 13 se tiene que 13 x 1.333... = 17.329, que multiplicado por 10 es aproximadamente el medio año de

En el círculo la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

b) En un triángulo rectángulo se llama tangente a la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.

eclipses.

c) En trigonometría la función de tangente es igual al Rectángulo

OME M

3 a

M

3.25: Se forma tomando como base

el diámetro de una circunferencia cualquiera y como altura la

cociente del lado opuesto sobre el lado adyacente en un triángulo rectángulo.

longitud de ésta. La constante π en ese caso puede valer entre 3 y 3.25, de acuerdo con la geometría mesoamericana. Es el rectángulo que representa el recorrido anual del Sol.

De la unidad de medida

Rectángulo entrelazado: Es todo aquel formado por el entre-

Unidad de medida o proporción a la manera indígena:

lazamiento de dos rectángulos básicos que tengan por área

Cuando una medida se ha dado en unidades del sistema

común cualquiera de esos rectángulos.

métrico decimal, del sistema inglés de yardas, pies y pulga-

Rectángulo M 1.89: Se obtiene del entrelazamiento de dos

biada a unidades o la manera indígena. Esto se logra, en obje-

cuadrados que tienen en el centro como área común un

tos bidimensionales, encontrando la diferencia entre los lados

das o en cualquier otro sistema de medidas, deberá ser cam-

Rectángulo

del rectángulo envolvente virtual del objeto de estudio. Esta

ϕ-3.

Rectángulo M 2.13: Es producto del entrelazamiento de dos

diferencia puede ser directamente la unidad de medida o la manera indígena siempre y cuando quepa un número entero

rectángulos K que tienen en el centro como área común un

de veces en los lados del rectángulo envolvente. Pero puede ser

rectángulo ϕ-3.

que la diferencia mencionada sea un múltiplo de la unidad de


medida, por lo que se deberán hacer todos los intentos nece-

de longitud entre los lados mayor AD y menor DH es la unidad

sarios para encontrar una unidad tal que quepa un número

(u), que cabe un número entero de veces en los lados del rec-

entero de veces, tanto en la longitud de los lados del rectán-

tángulo base. Esta unidad corresponde también a IJ, que a su

gulo, como en su diferencia. Hay otras maneras, como deja-

vez corresponde a la arista o lomo de los chumenes; IJ son los

ron constancia de la unidad empleada en una obra.

puntos de concurrencia de los taludes de los lados menores de

Si el objeto es tridimensional, se seguirá el mismo proce-

los chumenes. De acuerdo con el teorema que se quiere demos-

so que el anterior, pero ahora agregando una medida más: la

trar, cuando al prisma recto rectángulo se le resta el volumen

de la profundidad del objeto. La unidad a la manera indígena

del prisma unidad, se obtiene otro prisma que se puede des-

deberá caber un número exacto de veces en el largo, ancho y

componer en seis pirámides de volúmenes iguales cuyos vér-

altura del cuerpo tridimensional envolvente virtual del obje-

tices o ápices convergen en el punto J (ver figura X.5).

to de estudio. Cuando se haya encontrado, se podrá decir que se habrá hallado la unidad a la manera indígena. Para calcular el área o el volumen de alguna pieza o monumento prehispánico deberán estar sus medidas en uni-

Teorema: La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es igual a su suma. Considérense

dos

números

consecutivos

cualesquiera.

dades a la manera indígena, ya que no sería viable hacer nin-

Por ejemplo, los números de la longitud de los lados de la

gún cálculo en unidades ajenas a las empleadas por los mate-

base del viejo templo de Quetzalcóatl, 325 y 324. Su suma es

máticos mesoamericanos y obtener resultados correctos.

649. El cuadrado de 325 = 105 625. Y el cuadrado de 324 = 104 976. La diferencia de los cuadrados es 649. Otro ejemplo, el de la base de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, 26 y 27.

Teoremas

El cuadrado de 27 = 729; el cuadrado de 26 = 676. La diferencia = 53. La suma de 26 + 27 = 53. La demostración es empírica. El

A lo largo de esta investigación se han encontrado tres nue-

número 53 puede estar relacionado con los eclipses. Es la dife-

vos teoremas que se pueden incluir en la geometría mesoame-

rencia entre 262 y 272: (262 = 676 y 272 = 729; 729 - 676 = 53).

ricana. Es posible que los sabios mesoamericanos emplearan,

Los números 26 y 27 son unidades a la manera indígena que

para obtener el volumen del chumeng, el teorema del chu-

miden los lados de la base de la Pirámide del Sol, conjugan-

meng, que se refiere al volumen del envolvente virtual de los cuerpos de las pirámides mexicanas. Una vez obtenido el NV

do un número solar con otro lunar. El 676 en años es la dura-

del chumeng, a partir de él se puede calcular el nv del chutong.

a2 = (a + 1) + a (a + 1)2 - a2 = 2a + 1. Desarrollando el cuadra-

ción de la era cosmogónica. Demostración algebraica: (a + l)2 do de un binomio: a2 + 2a + 1 - a2 = 2a + 1. Eliminando: 2a +

Teorema: Si a un prisma recto rectángulo Σ de altura cualquiera se le resta el volumen de su prisma unidad, se obtiene otro prisma recto rectángulo que se puede descomponer en seis pirámides de volúmenes iguales (ver figura X.l, “El prisma envolvente virtual del monumento”).

Teorema: Si a un prisma recto rectángulo Σ de altura cualquiera se le resta el volumen de su prisma unidad, se obtiene otro prisma compuesto por seis pirámides con volúmenes iguales dos a dos, cuyas bases son las caras del nuevo prisma (ver figura X.5, “Descomposición de un prisma...”).

Corolario: Un prisma recto rectángulo Σ de altura cualquiera se puede descomponer en dos pirámides de volumen igual y cuatro chumenes de volumen igual. El volumen de cada uno de esos chumenes es igual al volumen de una de esas pirámides más la cuarta parte del volumen del prisma unidad (ver figura X.5 c).

Construcción: Sea el prisma recto rectángulo ABCD-AEHD, cuya base es el rectángulo Σ AEHD y altura AB. La diferencia

430


1 = 2a + 1; los dos términos son iguales.

Figura X.5. Descomposición de un prisma recto rector cuya base es un rectángulo Σ Geometría dinámica: El prisma recto rectángulo compuesto por dos pirámides y cuatro chumenes

a) El prisma recto rectángulo ABCD-EFGH dividido en cuatro chumenes y dos pirámides

b) prisma unidad

El c) El prisma racto rectángulo dividido en cuatro chumenes y dos pirámides

d) Dos de los cuatro chumenes en la división del prisma recto rectángulo

arista o lomo e) Las dos pirámides

f) Los cuatro chumenes

h) El chutong en forma de artesa que corresponde a la forma del basamento

i) El prisma recto rectángulo, envolvente virtual

(ABCD-EFGH) Chumeng: IJ-BFGC Chutong: AEHD-A'E'H'D'


Glosario de términos astronómicos y calendáricos1

Definiciones de eventos y ciclos astronómicos

Año lunar: Periodo de 12 meses o lunaciones de 29.5305 días. Tiene aproximadamente 354 días, quedándose corto en 11 días por año, pasando por todo el ciclo de las estaciones en un lapso de 34 años, lapso que se puede factorizar como 1 7 x 2 .

Año nodal o año de eclipses:2 Intervalo entre pasos sucesivos del Sol por el mismo nodo de la órbita lunar. Periodo de 346.6 días. Son dos medios años de eclipses de 173.3 días.

Año sidéreo de Venus: Periodo de 224 o 225 días que tarda Venus en recorrer su órbita alrededor del Sol.

Año trópico:3 Periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol (o, según lo vemos nosotros, del Sol alrededor de la Tierra) con respecto al equinoccio de primavera: 365.24220 días.

Calendario lunisolar: Se compone de 12 lunaciones, teniéndose que intercalar siete años de 13 meses lunares en un lapso de 19 años trópicos, al final de los cuales el ciclo lunar coincide con el ciclo solar. Habrá transcurrido un ciclo metónico.

Cenit: El punto directamente arriba opuesto a una plomada.

1

La mayoría de los términos astronómicos está tomada del libro de Anthony F. Aveni Observadores del cielo en

Ciclo de saros de la Luna: Ciclo de eclipses similares que se repite tras un periodo de aproximadamente 18.3 años o 6 583.32 días.

el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991. 2

Ibid., p. 95.

Ciclo dracónico lunar o mes dracónico: Es el intervalo entre pasos sucesi-

3

Ibid., p. 116.

vos de la Luna por un nodo determinado de su órbita. Vale 27.2122 días y está

432


relacionado con los eclipses. Generalmente fue tomado de

días; sin embargo, el de 224 días es el más utilizado en los

27.2

cálculos mesoamericanos; el de la Luna es de 27.3 días. Es lo

días, o bien su valor ajustado o conmensurado a 27 días.

Se llama mes dracónico por el dragón que según los antiguos

que se considera un año de ese planeta. “Es el intervalo entre

chinos devoraba al Sol o a la Luna durante los eclipses.

pasos sucesivos de un cuerpo por una estrella dada; para la

Generalmente se toma de 27.2 días o se ajusta a 27.

Luna, 27.32166 días.”10 “El tiempo que Venus tarda en completar una revolución alrededor del Sol y en volver al mismo

Ciclo metónico de la Luna: Es el lapso de 19 años o 6 939.6

sitio de su órbita con respecto a la estrella se llama periodo de

días; corresponde a 235 lunaciones (6 939.6 días = 29.5302 x

revolución sideral. El periodo sideral de Venus es de 225 días;

235), en los que la Luna llena vuelve a la misma fecha del año

el de la Tierra, 365 1/4 días.”11

calendárico.4 Se cuenta a partir de que la Luna regresa a una fecha idéntica del año trópico al cabo de 235 meses sinódicos

Ciclo sinódico o revolución sinódica: Se define como el

lunares (19 x 365.25 = 6 939.75 = 235 x 29.5308). Se observa

intervalo entre dos configuraciones sucesivas idénticas del

que 99 meses sinódicos lunares corresponden aproximada-

planeta con relación al Sol. Estos ciclos también son los de

días).5

Aveni informa

fases de la Luna o de los planetas, por lo que un ciclo sinódi-

sobre la coincidencia del ciclo lunar mensual y el año trópi-

co equivale a uno de fases. El mes sinódico lunar (29.53059)

co registrada en una cuenta larga de los mayas mediante el

días es el mes de las fases, pero en Mesoamérica el valor más

número 6 940 días,6 que equivalen a 19 años trópicos

común en sus cálculos fue de 29.5308.12 También utilizaron

mente a ocho años trópicos (2 921.94

(365.2422 x 19 = 6 939.60 ≈ 6 940 / 19 =

365.2631).7

El ciclo

29.5

y 29.5454 días.“Periodo sinódico es el intervalo entre dos

metónico de la Luna es el tiempo necesario para que el saté-

oposiciones sucesivas de un planeta exterior. Para los plane-

lite vuelva como Luna llena en la misma fecha calendárica o

tas interiores (Mercurio y Venus) el término es aplicado al

idéntico día del año. Esto es porque 235 meses lunares son

intervalo entre conjunciones sucesivas con el Sol.”13 Los ciclos

aproximadamente 19 años solares. Este ciclo sirve para pre-

sinódicos de los planetas y de la Luna son los más frecuente-

decir

eclipses.8

En este punto coinciden los ciclos sinódicos

mente utilizados en los cálculos de coincidencias cíclicas;

lunares y los ciclos solares llamados año trópico: 19 años tró-

corresponden a sus fases y no son exactos. Se cuenta como un

picos son 6 939.6018 días, que equivalen a 235 ciclos sinódi-

ciclo sinódico el lapso que transcurre desde que se observa la

cos lunares de 29.53022 días o una lunación (235 = 5 x 47 = 5 x

fase en que se encuentra la Luna o un planeta y que ésta se

2 x 23.5). En esta factorización se encuentra el ángulo entre los

vuelva a repetir idénticamente con respecto al Sol. Los astró-

trópicos de 47°. El ángulo entre los trópicos y el ecuador es

nomos mesoamericanos tomaron a veces los números pro-

de 23.5°, teniendo su vértice en el centro de la Tierra, por lo

medio de esos lapsos o aquellos que mejor convinieran para

que el ángulo intertropical es de aproximadamente 47°. “El

ajustar sus cuenta calendáricas, siempre cuidando de que

segundo ciclo es el metónico de 19 años: es el ciclo básico de los calendarios lunisolares, como el eclesiástico, ya que se basa en la igualdad 19 años solares = 235 meses lunares.”9

4

Enrique de Villena, Tratado de astronomía, Editorial Humanitas, Barcelona, 1983, p. 80. “A la fecha, los ciclos de 28 años para el Sol y de 19 para la Luna son periodos muy utilizados en el calendario lunar eclesiástico”, lo

Ciclo sideral o sidéreo lunar: Es equivalente al año sidéreo.

que indica que al hacer astronomía a simple vista pudieron también ser

Intervalo en el que la Luna vuelve a la misma posición con res-

conocidos por los astrónomos mesoamericanos.

pecto a una estrella fija. El intervalo entre pasos sucesivos de la Luna por la misma estrella se llama mes sideral, de la pala-

5

Anthony F. Aveni, op. cit., pp. 95-100.

6

Ibid., p. 238.

7

J. Eric S. Thompson, Un comentario al Códice de Dresde / Libro de jeroglifos

bra latina sidus, sideris, que significa estrella; es decir, un mes

mayas, Fondo de Cultura Económica, México, 1988, p. 104. Considera el 19, al igual que el 17, como un número de intervalo de días. Al 19 no lo

medido mediante las estrellas. Los astrónomos modernos han

relaciona con el ciclo metónico lunar. Sin embargo, Michael D. Coe dice

determinado que la longitud del mes sideral es de 27.32166

que “hay una pequeña indicación de que utilizaron el ciclo metónico lunar

días (Aveni, 1991, p. 86). Se tomaba con frecuencia de 27 días.

de 19 años (en el que el número de oro en el Libro de la Oración Común está basado)”. Michael D. Coe, The Maya, Thames & Hudson, Nueva York,

Dado que 27.32166 es un número fraccionario, se puede convertir a entero al multiplicarlo por 3 y se obtiene un lapso

4 a ed., 1987, p. 175. 8

Patrick Moore, A-Z of Astronomy, W. W. Norton & Co., Nueva York, 1987,

9

Enrique de Villena, op. cit., pp. 74-80 y la tabla de la p. 73.

muy aproximado de 82 días, al cabo de los cuales la Luna volverá a su posición original.

p. 118.

10

Ciclo sidéreo o revolución sideral o sidérea: Es el paso

Ibid. Es el tiempo que transcurre la Luna en dar una vuelta a nuestro planeta, pero no mostrando la misma fase.

11


sucesivo de un cuerpo celeste por una estrella y equivale, para

12

Ibid., p. 118.

los planetas, a su año. El ciclo de Venus es de 223.8 a 225

13

Patrick Moore, op. cit., p. 206.

Glosario de términos astronómicos y calendáricos 433

estuvieran dentro de un rango o parámetro marcado por sus

21 y del 57, de manera directa se puede relacionar con el ciclo

fechas límites. De esta manera, el ciclo sinódico de Venus fue

mensual lunar de 28 días -o con el andén del Sol de 28 años-

tomado a veces de 585 días, por ser divisible entre 13: (585 / 13 =

tomando estos números como absolutos. Orientando el ciclo

Para coincidir

sinódico de Júpiter hacia los cuatro rumbos cardinales -lo

con el tonalpohualli se tendría que tomar de 585 días, que

que equivale a multiplicarlo por 4-, se obtienen 1 596 días,

tiene el 5 y el 13 como factores comunes, pero si se quisiera

que corresponden a 57 ciclos lunares mensuales ajustados a

la coincidencia con el ciclo solar de 360 días se tendría que

28 días (399 días x 4 = 1 596 días; 1 596 / 28 = 57 ciclos luna-

45), pero otras fue tomado de 583.8 o

584.14

tomar de 584 días, para tener el 8 como factor común. Hay

res mensuales de 28 días). De manera directa también se

una gran diferencia al tomar un ciclo u otro; no obstante, exis-

puede relacionar con el año del Sol del inframundo, ya que

ten evidencias de que algunas veces tomaban 584 días y otras

364 x 57 = 399 x 52 = 20 748, igualdad que indica que al cabo

585 para lograr teóricamente la sincronización con otros

de 20 748 días el ciclo del Sol del inframundo y el de Júpiter

ciclos,15 lo que implica que los valores los cambiaban a con-

van a coincidir.

veniencia, aunque se hacían correcciones para no desfasar

De manera indirecta se puede hacer coincidir con el tonal-

los calendarios. El ciclo sinódico de Marte fue considerado de

pohualli. Si el ciclo de Júpiter se multiplica por el de Mercurio,

780 días (780 / 13 = 60); el de Júpiter, de 399 días.16 El ciclo

se obtiene 117 x 399 = 46 683 días. Ahora se multiplica por 20

sinódico de Mercurio la mayoría de las veces se tomó de 117

-número básico de su aritmética- y se obtiene 933 660: (46 683 x

días con el fin de que el 13 fuese uno de sus factores y poder-

20 = 933 660), que equivale a 3 591 tonalpohuallis, que a su vez

lo engranar con otros ciclos ( 1 1 7 / 1 3 = 9), pero otras veces se

corresponden a nueve veces el ciclo de Júpiter. Si 933 660 se

tomó de 116 días para lograr el ajuste del año trópico con el

divide entre 399, se obtiene 2 340. (Ver el número 2 340 en el

gran ciclo solar de 1 508 años (116 x 13 = 1 508). El gran ciclo

apéndice 1, “Números”.)

solar asimismo se ajusta por medio del ciclo sinódico de

Ahora se vuelve al 46 683, orientándolo hacia los cuatro

Saturno considerado de 377 días, que también tiene el 13

rumbos cardinales. El producto se divide entre el ciclo solar

como factor (29 x 13 = 377 y 377 x 52 = 19 604 = 1 508 x 13).

del inframundo y se obtienen 513 ciclos de 364 días (46 683 x

El ciclo sinódico de la Luna la mayoría de las veces fue con-

4) / 513 = 364.

siderado de 29.5308 días, pero en Tehuacán Viejo fue tomado de 29.5263.*

También mediante el ciclo sinódico de Júpiter y con una corrección de 21 días se obtiene 819, número lunar que ya se mencionó al hablar del ciclo sinódico de Marte (2 x 399) + 21 =

Ciclo sinódico de Júpiter: En los ciclos sinódicos de los pla-

819. (Ver el número 819 en el apéndice “Números”.)

netas visibles a simple vista se encuentra el de Júpiter, con una duración de 399 días; el periodo de su revolución alrededor del

Ciclo sinódico de la Luna: Los planetas y la Luna presentan

Sol o ciclo sidéreo es de 11.86 años (año de Júpiter). Al no ser

ciclos de fases llamados ciclos sinódicos. Los mesoamericanos

el 399 divisible exactamente ni entre 13 ni entre 20, no se

los conocieron cerca de dos mil años antes que los europeos;

puede relacionar directamente con el tonalpohualli, por lo que

no fue sino hasta el siglo

XVII

que Galileo pudo ver las fases

fue poco utilizado en las ruedas calendáricas, mas por el tama-

de Venus mediante el telescopio. Los indígenas de Mesoamé-

ño y brillantez del planeta convenía poder usarlo de alguna

rica, sin la ayuda de este instrumento, ya conocían los ciclos

manera. El empleo del 399 creaba un problema difícil, mas no

de Venus y de Mercurio, de acuerdo con los registros en las

imposible, de resolver. Tal vez lo consiguieron de la siguien-

cabezas colosales olmecas. El ciclo sinódico de la Luna era

te manera: al estar el 399 en la serie del 3, del 19, del 7, del

considerado en Copán igual a 149 lunas = 4 400 días. Esta fórmula arroja 29.5302 días para el ciclo sinódico lunar. En Palenque se le daba un valor de 29.5308, que es el que más

14

El 585 puede coincidir con otros ciclos que tengan como factores el 5 o el 13. El 584, con los que tengan como factor el 73: (8 x 73 = 584, enlace con el

aparece a lo largo de esta investigación. Otro valor que también se presenta con frecuencia es el de 29.5454 días.

365), además de otros. Para utilizar 583.8 se tiene que multiplicar por 10 = 5 838, que es divisible entre 7, enlace con la Luna. 15

16

Ciclo sinódico de Marte: El intervalo entre dos oposiciones

Para conocer la duración exacta de los ciclos astronómicos ver el cuadro 2 de este glosario.

consecutivas, o sea, una revolución sinódica, es de 780 días,

Víctor Torres Roldán, Ciudades estelares, Plaza y Janés, México, 2004, pp.

que equivale a dos años y 50 días (365 x 2) + 50 = 780 días. El

125-131. El autor expone una interesante teoría acerca del origen de los 260 días del tonalpohualli: “Cada año Júpiter se estaciona en una constelación por unos 140 días (siete veintenas), para después avanzar unos 260 días (trece veintenas) hasta detenerse en la siguiente constelación”. * Comunicación oral de Fernando Ximello Olguín.

434


780 corresponde a la sumatoria de los números del 1 al 39, tal vez expresada en la decoración de círculos concéntricos en algún plato de ofrenda de la cultura popoloca del valle de Tehuacán, ya que estos pueblos así registraron sus números

calendáricos. Por otro lado, se puede hacer la corrección de

Conjunción:

39 días para llegar al número lunar 819, importante dentro de la

queda en la misma posición que otro o cerca de él (Aveni,

numerología mesoamericana (39 + 780 = 819). (Ver el núme-

1991, p. 116).

Configuración

de

un

cuerpo

celeste

cuando

ro 819 en el apéndice 1, “Números”.) La revolución sidérea de este planeta (año de Marte) es de 686.98 días.

Conjunción inferior: Configuración de un planeta en la que éste se oscurece por pasar frente al Sol (Aveni, 1991, p. 116).

Ciclo sinódico de Mercurio: Fue generalmente considerado de 117 días, aunque en realidad es ligeramente menor (116.8

Conjunción superior: Configuración de un planeta en la que

en promedio). Los pasos de Mercurio por el disco solar o trán-

éste se oscurece por pasar por detrás del Sol (Aveni, 1991, p.

sitos se registran cuando el planeta pasa por sus nodos en

116).

mayo y en noviembre, siendo su periodicidad muy irregular, aproximadamente en intervalos de 13, 7, 10 y 3 años. Aparece

Eclipse: Fenómeno que sólo se produce cuando hay Luna

en el firmamento, al igual que Venus, como Estrella de la

nueva o Luna llena cerca de uno de los nodos de su órbita. En

Mañana o de la Tarde17 (ver el número 117 en el apéndice

el primer caso se tiene un eclipse de Sol; en el segundo, se pro-

correspondiente a “Números”).

ducirá un eclipse de Luna (Aveni, 1991, p. 86). Eclipses notables en el periodo clásico: 13 de agosto de 128 d.C. y 19 de

Ciclo sinódico de Saturno: Tiene una duración de 377 días

noviembre de 290 d.C. (Aveni, 1991, p. 97). Es interesante

y se puede obtener agregando 13 días al ciclo del Sol del infra-

hacer notar que el día 12 de agosto corresponde al segundo

mundo de 364 días (377 - 364 = 13; 377 / 13 = 29; 364 / 13 =

paso cenital del Sol en Izapa y Copán, y que fue el 12 de agos-

28; 29 - 28 = 1). En la diferencia se encuentra la unidad. Ahora

to de 1521 cuando Tenochtitlan cayó en manos de Hernán

se hace coincidir con el tonalpohualli, cosa fácil teniendo

Cortés. La gran mayoría de los historiadores da como fecha de

ambos ciclos el 13 como factor común. Se obtiene el MCM,

la rendición el día 13 de agosto, pero otros el 12. Quienes apo-

que es 7 540 y que corresponde a 29 tonalpohuallis; 7 540 / 377 =

yan que fue el 12 dicen que se celebraba el día 13 por ser esta

20 ciclos sinódicos de Saturno. Se puede entonces escribir la

fecha la fiesta de San Hipólito, cuyo nombre significa doma-

siguiente igualdad: 29 x 260 = 20 x 377 = 13 x 20 x 29 = 7 540.

dor de caballos, ya que fue este animal un gran aliado de los

Esto quiere decir que, al cabo de 29 vueltas del tonalpohualli,

españoles en las guerras de conquista. Por otro lado, el 12 de

éste coincidirá con Saturno, que habrá dado a su vez 20 vuel-

agosto es día de santa Clara de Asís, de espíritu eminente-

tas. El 29 coincidirá con el ciclo sinódico de Saturno, puesto

mente pacifista, quien no tenía nada que ver con estas guerras.

que éste coincidirá con los otros ciclos al cabo de 29 vueltas.

Tan agradecido quedó Cortés con san Hipólito que mandó construir en la ciudad de México la iglesia que lleva su nom-

Ciclo sinódico de Venus: Va desde 579.6 hasta 588.1 días; su

bre. Cada año el Paseo del Pendón era encabezado por el

promedio es de 583.92 días. Su periodo conmensurable es de 584

virrey para conmemorar la caída de Tenochtitlan y llegaba

o 585 días, cinco veces mayor que el ciclo sinódico de Mer-

hasta dicha iglesia para agradecer a Dios y a san Hipólito.

curio (5 x 117 = 585 y 5 x 116.8 = 584), y por ello en el análisis e interpretación de los números volumétricos (NV), de los

Eclíptica: Es la elipse que recorre la Tierra alrededor del Sol,

que son factores, se pueden confundir. La investigación seña-

pero que aparentemente recorre el Sol alrededor de la Tierra

la que el 117 fue considerado como del ciclo sinódico de

a lo largo del año. Su extensión hasta la esfera celeste delimi-

Mercurio, independientemente de ser factor del 585. Algo

ta el plano de revolución de la Tierra alrededor del Sol. El

semejante ocurre con el ciclo del tonalpohualli y el ciclo sinó-

plano que delimita la eclíptica forma un ángulo de 23° 27’ con

dico de Marte, ya que éste es tres veces mayor que aquél, por

el ecuador celeste. Observado desde la Tierra, esta elipse

lo que Thompson no considera el 780 como número repre-

marca el movimiento anual del Sol en el cielo con respecto al

sentativo del ciclo sinódico del planeta, sino simplemente

trasfondo de estrellas distantes.

como tres

tonalpohuallis.18

Los números de significado astro-

nómico (NSA) y calendárico (NSC), que definen los ciclos del

Inclinación de la órbita lunar: Con respecto a la eclíptica, es

sistema solar, a veces fueron a su vez factores de ciclos; otras

de 5o 09’ (Aveni, 1991, p. 88). La coincidencia de ciclos o

veces pudieron ser tomados como números de los ciclos conmensurables, como se puede ver en ocasiones en los cuadros que aquí se presentan. Para saber si deben tomarse de una u

17

otra manera se debe considerar el contexto en el que se encuentren y recurrir a la iconografía, en caso de haberla.

José Comas Solá, Astronomía, Editorial Ramón Sopena, Barcelona, 1970, p. 291.

18



empate del año trópico con las fases lunares o año metónico

Mes anomalístico de la Luna: Es el intervalo de 27.55455

y las fases lunares puede verse en las estelas mayas, al igual

días entre pasos sucesivos de la Luna por su perineo o punto

que en los volúmenes de esculturas y monumentos de todas

más cercano a la Tierra. Los astrónomos mesoamericanos dis-

las etnias mesoamericanas (Aveni, 1991, p. 195). En la fórmu-

tinguieron entre lo que son las diversas revoluciones de los

la de Copán está implícito el número 11, relacionado con la

astros, aunque la coincidencia de ciclos la hicieron conside-

Luna y los eclipses.

rando los ciclos sinódicos en la mayoría de los casos, exceptuando la Luna, en que se tomaron todos sus ciclos.

Latitud de San José Mogote, Oaxaca, 17°. Mes o ciclo sinódico: Intervalo entre configuraciones suceLímite eclíptico lunar: Es de 25°. Se define como la zona que

sivas de un cuerpo con respecto al Sol (Aveni, 1991, p. 95).

rodea el nodo y en la cual se puede producir un eclipse. Puesto que el diámetro del disco lunar es de 1/2° y que el diámetro de

Mes sinódico lunar: Intervalo entre configuraciones sucesi-

la sombra de la Tierra a la distancia de la Luna es de 1 1/2°,

vas de la Luna con respecto al Sol. El mes sinódico lunar

un simple cálculo geométrico demostrará que el límite eclíp-

(29.53059) es el mes de las fases (Aveni, 1991, p. 95). Los meso-

tico lunar es un arco de eclíptica de aproximadamente 25° de

americanos generalmente lo tomaron de 29.5308 días.

longitud o cerca de 7% del largo de la eclíptica (Aveni, 1991, p. 93).

Nadir: Es el punto de las antípodas diametralmente opuesto al cenit (Aveni, 1991, p. 116).

Límite eclíptico solar: Zona en tomo al nodo en la cual puede tener lugar un eclipse solar. Comprende la región donde se

Nodo: La intersección de dos órbitas cuyos planos pasan por

sitúan el Sol y la Luna para que se produzca un eclipse (Aveni,

el centro del Sol.

1991, p. 94). El ángulo de 31° se encuentra a menudo marcado como una incisión en la frente de las cabezas olmecas.

Números circulares de los planetas: Son llamados números

También se encuentra en los vanos del Palacio del Gobernador

circulares de los planetas aquellos que indican la coinciden-

en Uxmal.

cia de un ciclo sinódico y uno sidéreo del mismo planeta. Aparecen en la antigua astrologia europea y seguramente fue-

Lunas visibles en un ciclo: Son 28. Los indios del sureste esta-

ron empleados en la numerología mesoamericana. Son el 15,

dounidense contaban las lunas visibles de un ciclo, de suerte

el 8 y el 20 e indican la coincidencia de los ciclos sinódicos con

que como cuenta lunar más importante aparece el número 28 y

los ciclos sidéreos de Marte, Venus y Mercurio con la Tierra,

no el 29 o el 30 (Aveni, 1991, p. 86). Un Sol del inframundo

respectivamente.19 Siendo las revoluciones sidéreas de Marte

consta de 13 veces 28 días, es decir, 364 días, siendo más corto

de 15 años de 365 días y las sinódicas de 780 días, se tiene la

en 1.25 días que el año trópico tomado como 365.25 días.

siguiente igualdad, que indica una coincidencia de las revoluciones sinódicas con las revoluciones sidéreas de ese plane-

Medio año de eclipses: Corresponde a la mitad del año de

ta al cabo de 15 años, por lo que el 15 será considerado como

eclipses (173.33 x 2 = 346.66). El valor verdadero del medio año

número circular (15 x 365 = 5 475 = 73 x 75). “Puede, por tanto,

de eclipsis es de 173.31 días, pero los mesoamericanos los

decirse que Marte realiza ocho revoluciones sidéreas y siete

relacionaban con el tonalpohualli al darle un valor de 173.33

sinódicas en el periodo aludido de 15 años”20 (ver el número

días (173.33 x 3 = 260 x 2). “El medio año de eclipses y la

15 en el apéndice 1, “Números”).

cuenta de 260 días se corresponden claramente entre sí: 3 x 173.3 = 2 x 260 = 520” (Aveni, 1991, p. 207).

Tomando las revoluciones sidéreas de Mercurio de 20 años y las sinódicas de 116.8 días, se obtiene una igualdad que indica que al cabo de 73 000 días su ciclo sidéreo y su ciclo sinódico se encuentran en un mismo punto, por lo que el 20 será considerado como un número circular (20 x 365 x 10 = 116.8

x 625 = 73 000 días)21 (ver el número 20 y el 73 en el

apéndice 1, “Números”). Si 73 se multiplica por 1 000, al cabo de

19

Julio Samsó y Pedro M. Cátedra, Tratado de astrologia atribuido a Enrique

de Villena, Editorial Humanitas, Barcelona, 1983, p. 74.

73 000 días habrá una coincidencia con el ciclo sinódico de la

20

Ibid., p. 74.

Luna, ya que 73 000 / 2 472 = 29.5307, el periodo sinódico lunar.

21

J. Eric S. Thompson, op. cit., p. 69: “52 x 365 = 18 980: almanaque 77 (pp. 25-28). Las cuatro páginas de profecías y portadores de año (13 por página

Considerando la revolución sinódica de Venus de 584

pero sin números) son iguales a 73 x 260”. El 73 aparece implícito en esos

días, cada ocho años vagos se tiene una igualdad que indica

cálculos.

que llegan al mismo punto las revoluciones sinódicas y las


sidéreas al cabo de ocho años, por lo que el 8 es considerado

365.2422

un número circular (8 x 365 = 584 x 5 = 2 920 días). En ocho

27.212 x 2 x 112 = 29.530511 x 223.

= 18.03). Se puede factorizar como 27.212 x 242 =

años Venus describe 13 revoluciones sidéreas y 5 sinódicas22 (13 x 224.615 = 5 x 584 = 2 920 días. Más exactamente, 13 x

Solsticio de invierno: Momento en el que en un punto de la

225 días = 5 x 585 días = 2 925 días). “En ocho años Venus des-

esfera celeste el Sol alcanza su mayor distancia al sur del ecua-

cribe 13 revoluciones sidéreas y cinco sinódicas, mientras que

dor celeste; alrededor del 20 de diciembre.

Mercurio realiza 83 revoluciones sidéreas y 63 sinódicas en 20 años”,23 de ahí el empleo de los números consecutivos de la

Solsticio de verano: Momento en el que un punto de la esfe-

serie de Fibonacci 5, 8 y 13 en los cálculos en donde se toman

ra celeste el Sol alcanza su mayor distancia al norte del ecua-

los ciclos venusinos en que se expresa una relación de propor-

dor celeste.

ción áurea: 13 / 8 = 1.625 y 8 / 5 = 1.6; estos cocientes fueron tomados como parámetros del valor del número de oro (ϕ)

Tránsito: Paso de un planeta por el disco solar observado

por los mesoamericanos (ϕ = 1.6 a 1.625).

desde la Tierra.

Haciendo corresponder por cada día un grado del círculo y tomando dos ruedas calendáricas que coincidan en el punto

Trópico de Cáncer: Paralelo de latitud 23° 27’ N. Se toma a

0, una de 365 días y otra de 360, al cabo de 365 días de rota-

veces como + 27.5° N.

ción se observa que la rueda de 365 días sobrepasa la de 360 días en 5 días. Se necesitarán 72 años o 72 vueltas para que

Trópico de Capricornio: Paralelo de latitud 23° 27’ S. Se

ambas ruedas vuelvan a coincidir en el punto de inicio (5 x 72 =

toma a veces como 23.5° N.

360). Si ahora se consideran 117 años de 365 días se tendrán 42 705 días, al cabo de los cuales hay una sincronización de ciclos de la Luna, Venus, Mercurio y el Sol (29.5331 x 1 446 = 365 x

Los ciclos calendáricos en Mesoamérica

117 = 585 x 73 = 42 705; 272 x 157 = 42 704).

Año civil: periodo de 360 días o tun de los mayas: Los Oposición: Está en oposición un planeta cuando está opuesto

mesoamericanos al periodo de 365 días le quitaban cinco, al

exactamente al Sol en el cielo estando la Tierra al centro.

que llamaban los mexicas nemontemi, para contar su año civil.

En una oposición el planeta, el Sol y la Tierra caen apro-

Corresponden los días en grados a la división del círculo en

ximadamente en una línea recta. Obviamente los planetas

360°, uno por cada día del año. Nemontemi quiere decir bal-

interiores Mercurio y Venus, por serlo, nunca pueden estar

dío o vacío. Para los mesoamericanos, ¿vacío de qué? Vacío

en oposición.

de la fuerza del dios protector, ya que a cada día, al estar orientado a determinada región del cielo, le correspondía la

Orientación de la Pirámide del Sol en Teotihuacan, 17° al

protección del numen que regía esa porción del espacio. Las

este del norte: El 17 está relacionado con los eclipses y con

personas que nacían durante los días nemontemi eran tenidas

el tonalpohualli. Generalmente se encuentra no como un

como despreciables por no contar con ningún numen que las

número entero sino fraccionario (17.04) y se ajusta a 17.

protegiera, es decir, estaban vacías de Dios. Este concepto es como uno similar cristiano, ya que cada día del año cristiano

Precesión: Movimiento que efectúa el eje de rotación de la

está dedicado a algún santo que de alguna manera intercede

Tierra alrededor de los polos celestes y que dura cerca de 26 000

particularmente por las personas nacidas durante ese día, o

años (Aveni, 1991).

bien durante ese día el santo confiere favores especiales a aquellos que los piden fervientemente.

Revolución sidérea: Una revolución sidérea es “el tiempo que le toma a un cuerpo para completar una jomada alrededor del

Sol”.24

“Se entiende por revolución sidérea, ciclo o

periodo sidéreo o sideral el lapso que separa dos pasos sucesivos de un planeta por un mismo punto de su

órbita.”25

Año de Chalchihuicueye: Es el lapso de 312 ciclos (días, años, siglos, etcétera) complemento de 364 para la era cosmogónica (676 años = 312 + 364). El ciclo de Chalchihuicueye fue

Es lo

que llamamos los legos en astronomía un año.

22

La razón de 13 / 5 = 2.6, que está dentro de los parámetros que en Mesoamérica se dio para ϕ2; ϕ 2 = ϕ x ϕ = 1.618 x 1.618 = 2.618. (Ver el

Saros: Son ciclos de eclipses similares que se repiten tras un periodo aproximado de 6 585.32 días (Aveni, 1991). Un saro equivale muy cercanamente a 18 años trópicos (6 585.32 /

número 26 en el apéndice “Números” en este libro.) 23

Julio Samsó y Pedro M. Cátedra,

op. cit.,

p.

74.

op. cit., p. 187. 25 Anthony F. Aveni, op. cit., p. 118.

24

Patrick Moore,


ideado como un ciclo solar (¿lunar?) de 312 (días, años), com-

horizonte de un observador sobre la Tierra. Es un periodo de

plemento del 364 (días, años) para llegar a coincidir con la

oscuridad que se contrapone al Sol del supramundo, que

era cosmogónica de 676 (años, días) y que también corres-

alumbra durante el día. Los mesoamericanos lo relacionaban

ponde en números absolutos a tres siglos

mesoamericanos.26

con Tláloc, a quien consideraban numen del inframundo.

El ciclo de Chalchihuicueye fue utilizado en las cuentas calendáricas por ser divisible entre 3 y entre 13, factores con los que

Año vago: Periodo de 365 días que nosotros en la actualidad

fácilmente podía enganchar con otros ciclos. Una de las eras

llamamos año. Es más corto que el año trópico en 0.2422 días,

cosmogónicas fue dividida en dos lapsos: uno de 312 años y

por lo que cada cuatro años agregamos un día para no desfa-

el otro de 364; en la primera regía la Luna y en el segundo el

sar el calendario, y de esta manera tenemos el año bisiesto de

Sol. El 312 es submúltiplo de 9 360, el thix de los mayas para

366 días.

pronosticar eclipses (312 x 30 = 9 360). El fox, también de los

Era cosmogónica: Lapso de 676 años que corresponde a 13

mayas, de 11 960 días, fue utilizado con el mismo fin. Cuando el número del ciclo utilizado no era exacto, se hacían las correcciones necesarias para no desfasar los calendarios

medios siglos mesoamericanos de 52 años. En la Leyenda de los Cuatro Soles a cada Sol se le llama era cosmogónica.

o se multiplicaba por otro que lo transformara en exacto, obteniendo de esta manera un número múltiplo del primero, prác-

Era maya: Lapso de 1 872 000 días que corresponden a 5 200

tica común de la aritmética mesoamericana. En realidad al

años trópicos de 360 días o a 5 126 años trópicos de 365.197

encontrar múltiplos se obtenían nuevas unidades, lo que no pre-

días o a 5 125 años de 365.2682 días. Se inició en 3113 a.C.,

sentaba ningún problema puesto que lo importante no eran

teóricamente con un eclipse de Sol y con un tránsito de Venus

tanto los números por sí mismos sino las proporciones entre

por el disco solar, y terminará con otro en el año 2012 d.C.,

éstos.

repitiéndose

las

mismas

circunstancias.

Mercurio

también

estará en conjunción con el Sol y Venus saldrá del inframundo

Año del Sol del inframundo, año lunar o año de Tláloc:

como Estrella de la Mañana, anunciando la salida del Sol y el

Los sabios mesoamericanos idearon un año de 364 días, que

inicio de una nuera era. Es el periodo más largo registrado

en este estudio se ha llamado año del Sol del inframundo, año

como era por los mesoamericanos y comprende coincidencias

lunar o año de Tláloc. Este periodo convenientemente tuvo

de muchos ciclos astronómicos (ver cuadro del 1 872 000 en

una duración de 364 días, para tener el 13 como factor y poder

el apéndice “Números”).

coincidir con todos los periodos astronómicos que también lo

En el inicio de la creación comenzó el movimiento de los

tuviesen y, desde luego, con el tonalpohualli. Entre sus múlti-

astros; todos se encontraban en el punto de arranque cero,

plos más importantes se encuentra el 1 820, mínimo común

inmóviles en el 0. Al terminar la era, después de 1 872 000

múltiplo (MCM) de 260 y 364, que aparece en el Códice de

días, otra vez los astros se encontrarán en el punto 0, para tal

Dresde entre los almanaques séptuples de 1 820

vez iniciar otra nueva era. El número 1 872 -milésima parte

días27

(5 x 364 =

1 820), donde 364 es el año del Sol del inframundo. Tomando

de la era maya- es uno que se repite con frecuencia en los

1 000 veces el periodo de 1 820 días se llega al 1 820 000, gran

números volumétricos de las esculturas olmecas. En la figu-

era lunar. La diferencia entre la era solar maya (en realidad,

ra 2.6 se observa que los números del rayo 20 de la rueda de

olmeca; ver figura VII.2, “El sarcófago de La Venta”, en el

números tienden al 1 872 000, la era maya.

capítulo VII) de 1 872 000 días y la gran era lunar de 1 820 000 días es de 52 000 días, 1 000 veces la unidad temporal de 52

Era lunar: Lapso de 1 820 000 días que comprende 5 000 años

años o medio siglo mesoamericano. El lapso de 364 días com-

del Sol del inframundo de 364 días (5 000 x 364 = 1 820 000). El

puesto por 13 periodos de 4 x 7 días es más corto en 1.25 días

valor del ciclo sinódico lunar en esta era Lunar es de 29.5310

que el año trópico tomado como 365.25 días. El ciclo del Sol

días. Curiosamente el valor de ese ciclo en la era lunar es tam-

del inframundo es el tiempo que pasa el Sol por abajo del

bién de 29.5310 días. La diferencia entre la era maya y la era lunar es de 52 000 días (1 872 000 - 1 820 000 = 52 000). El 52 es factor (en días) del 364, pero también (en años) de la era cosmogónica solar de 676 años (676 / 13 = 52).

Fórmula del ciclo sinódico de la Luna de 29.5308 días: En 26

El 364 aparece frecuentemente en el Códice de Dresde. Thompson lo llama

año de computación. En este trabajo se ha llamado año del Sol del infra27

Palenque el ciclo sinódico de la Luna era considerado de

mundo.

29.53086 días (4 400 días = 44 x 100 = 149 x 29.5308 días


[Aveni, 1991, pp. 193-194]; la duración verdadera es de

438


29.53059 días). El gran MCM lunar de 11 960 días / 5 = 2 392

Periodo sideral (o ciclo sidéreo) de la Luna: Intervalo entre

días = 81 x 29.5308 días; 11 960 / (81 x 5) = 29.5308, en donde

pasos sucesivos de un cuerpo por una estrella dada (Aveni,

81 x 5 = 405). “En Copán se utilizaba la ecuación lunar 149

1991). Un periodo sideral se define como el intervalo de dos

lunas = 12.4.0, con resultado ligeramente menos exacto: una

pasos sucesivos de un cuerpo celeste por una estrella. El perio-

lunación, 29.53020 días” (Aveni, 1991).

do sidéreo de la Luna se cuenta a partir de su alineación con

Se ha propuesto otra fórmula que utiliza 29.5454 días para

la Tierra y una estrella tomada como referencia. Siendo su

la cuenta sinódica lunar, que además del factor 13 tiene tam-

duración de 27.32166 días, algunas veces los mesoamericanos

bién el 11, de manera que se pudiese engranar con todos los

lo multiplicaron por 3 para manejar periodos de 82 días como

ciclos que tuviesen esos números como factores: 1 300 / (11 x

ciclos enteros (27.3 x 3 = 81.9 82). Otras veces lo multiplica-

4) = 29.5454.

ron por 10 (27.3 x 10 = 273) para trabajar también con números enteros.

Mes dracónico de la Luna. Los nodos: Se llama mes dracó-

Tomando la duración del ciclo sinódico de Mercurio de

nico de la Luna al intervalo entre pasos sucesivos del satélite

116 días y el de la Luna de 29 (29 días x 4 = 116), se podía

por un nodo, por lo que está relacionado con los eclipses. Un

hacer coincidir su rueda calendárica con el ciclo sinódico de

nodo es el punto de cruce de la eclíptica28 con la trayectoria

la Luna y con el de Saturno (13 x 29 días = 377 días) por tener

lunar. El mes dracónico tiene una duración de 27.2122 días y

ambos el 29 como factor común o número de enlace. Para

fue tomado por los astrónomos mesoamericanos de 27, 27.2

hacerlo coincidir con el de Venus, siendo el ciclo sinódico de

o 272 días (27.2 x 10 = 272), dependiendo con qué otro ciclo

Mercurio en realidad de 116.8 días, se tendría que dividir

lo quisieran hacer coincidir. No era necesariamente tomando

116.8

/ 4 para obtener 29.2 días, que multiplicados por 20

su duración exacta -que indudablemente conocieron con toda

(número base de sus cuentas) da 584, número que correspon-

precisión-, por lo que se tenían que hacer ajustes de tiempo

de a la duración del ciclo sinódico de Venus, logrando median-

en tiempo.29 Un eclipse de Luna llena siempre se repetirá al

te la numerología una conveniente coincidencia de ciclos.

cabo de un número de días iguales a un múltiplo entero de los

Como la realidad astronómica es distinta, estaban obligados

intervalos sinódico y dracónico (Aveni, 1991). Considerando 10

los astrónomos a hacer correcciones para no desfasar los

ciclos de 27.2 días se tienen 272 días, que es igual a 17 x 16,

calendarios.

relacionando así el 17 con los eclipses.30 Ésta puede ser una razón -entre muchas otras- para que se orientaran algunas

Zeta Orionis: Estrella primera del Cinturón de Orión,

ciudades de Mesoamérica a 17° al este del norte, como suce-

Mamalhuaztli, que sigue el curso diametralmente opuesto al

de con la Calle de los Muertos, en Teotihuacan, eje principal

Sol en su recorrido por la eclíptica. Se utilizó en la Antigüedad

de composición del centro ceremonial que remata precisa-

para seguir la exacta posición del Sol durante la noche.

mente en la Pirámide de la Luna. Los valores que se ajustaban con más frecuencia con fines prácticos fueron los lunares, tanto en su ciclo sinódico como en el sidéreo (en la actualidad se considera su verdadera duración de 29.5305 días). Algunas veces se tomaba como 28,31 29.5035, 29.5454 o 29.5; 29.525, 29.528, 29.5308, 29.532, 29.5312, 29.5454, etcétera, a conveniencia. El ciclo dracónico de 27.2 días se tomaba en muchos casos de 27, 27.001, 27.0068, 27.012, 27.164, 27.2 días, etcétera. El ciclo sidéreo para evitar fracciones se podía considerar triple, de 82 días 28

La eclíptica es la línea imaginaria que sigue el Sol (aparentemente observa-

29

J. Eric S. Thompson, op. cit.,

(27.3 x 3 = 81.9 ≈ 82), y muchas veces fue multiplicado por 30 para alcanzar el 819, un número entero de conteo lunar fre-

do desde la Tierra) en el año. p. 181. Muestra que los mayas tomaban

2 386

lunas como 70 460 días en vez de 70 459.98 días, es decir, que a veces

cuentemente utilizado (30 x 27.3 = 819). (Ver el número 819 en

redondeaban el número, práctica que encuentro común en toda

el apéndice 1, “Números”.) Fue empleado el 273 -10 veces el

Mesoamérica. El ciclo sinódico lunar es de 29.530595 días, pero en este

ciclo sidéreo lunar- para sus cálculos calendáricos por ser la

caso se toma de 29.51 días: 365 x 19 = 29.51 x 235 = 6 935 y 6 935 / 95 = 73

tercera parte de 819 y múltiplo del 7, con el que se podía

y 73 X 5 = 365.

engranar con los números lunares que lo tienen como factor, al igual que el 13 (273 / 7 = 39, en donde 39 = 13 x 3; 273 = 13 x

30

Un rectángulo Σ 17 x 16 M 1.0625 puede ser la representación geométrica

31

Anthony

de un eclipse o de un mes dracónico.

F. Aveni, op. cit.,

p. 86. Aveni dice que los indios del norte de

21; 364 = 13 x 28; 756 = 27 x 28). (Ver el número 13 en el apén-

América utilizaban el periodo de 28 días, por lo que no hay razón para que

dice “Números”.)

no usaran este mismo periodo los de Mesoamérica.


Cuadro 11

Duración de algunos de los ciclos en los cálculos astronómicos mesoamericanos2

Ciclo

Duración

Factorizaciones

Ciclo sinódico de Mercurio

116.8 dias; 117 días, de acuerdo con el Códice de Dresde3 También 116 dias

117= 1 3 x 9 116 = 4 x 2 9

Ciclo sidéreo de Mercurio

20 años de 365 días = 7 300 días

Rotación de Mercurio alrededor del Sol

87.9694 = 88 días

7 300= 100 x 73 73 X 5 = 365 88 = 8 x 11

Ciclo sinódico de Venus Ciclo de oposiciones de Venus Revolución sidérea de Venus Ciclo sidéreo de Marte Ciclo sinódico de Marte Oposiciones de Marte Ciclo sinódico de Júpiter Ciclo sinódico de Saturno Ciclo sideral de Saturno Ciclo sinódico de la Luna Ciclo sidéreo de la Luna Revolución anomalística Medio año de eclipses Año de eclipses Mes dracónico de la Luna Ciclos sinódicos lunares ajustados

583.92 dias; conmensurado a 584 o 585 días5 8 años = 2 920 días 224.7 = 225 días6 686.98 = 687 días8 780 días9 15 años10 399 dias 377 dias" 29 años con 167 días 12 29.53059 dias; generalmente se toma de 29.5308 dias 27.32166 días; usualmente se toma de 27.3 dfas 27.55455 dias; normalmente se toma de 27.5 dias 173.31 días; por lo general se toma de 173.33 días 346.6 días (Aveni, 1991) 27.21222 días; usualmente se toma de 27.2 dias 28; 29; 29.5; 29.5308; 30 dias Valor real = 29.5305 días 364 días 13

585 = 13 X 9 X 5 2 920 = 5 X 584 225 = 32 x 52 7 687 = 3 x 229 780= 1 5 x 5 2 15 = 3x5 399 = 1 9 x 2 1 = 7 x 5 7 13 x 29 = 377 10 759 días = 7 x 1 537 295 308 = 468 x 631 = 156 x 3 x 631 27.3 x 10 = 273 = 3 x 9 1 27.5 x 10 = 275 = 5 x 5 5

365 dias 360 dfas 365.2422; valor real, 365.197; 365.26, ajustado 11 años 315 dias15 52 años 104 años 676 años 676 años +13 años = 689 años 1 872 000 días 13 años 260 años

365 = 5 x 7 3 = 5 (90-17) 360 = 4 x 9 x 1 0 1 4 3 652 290 = 486 x 1 5 x 5 0 1

Ciclo solar del inframundo Año vaqo Año civil o ajustado Año trópico Año sideral de Júpiter Medio siglo mesoamericano Siglo mesoamericano Era cosmogónica Era cosmogónica más cargador de años Era maya Tlalpilli Tonalpohualli

1

27.2 x 10 = 272 = 16 x 17 Usados en Mesoamérica 364 = 13 x 28

4 332 días = 361 x 12 52 = 4 x 13 104 = 2 X 4 X 13 676 = 52 x 13 689 = 13 x 53 1 872 000 = 2 x 936 x 1 000 13 x 360 = 4 680 260= 13 x 20

Para aquellos lectores que quieran profundizar en la arqueoastronomía de Mesoamérica se recomienda la lectura del libro de Anthony F. Aveni Observadores del cielo en el México antiguo, Fondo de Cultura Económica, México, 1991. Ibid., p. 106. Los valores que da Aveni para los periodos importantes (en días) de los planetas visibles a simple vista, haciendo la aclaración de que los intervalos fluctúan considerablemente, pero por lo común quedan más o menos dentro de un margen de 10 días con respecto a los valores citados, son periodo sideral de Mercurio, 88; Venus, 114.7; Marte, 687.1; Júpiter, 4 332.5; Saturno, 10 758.9. Periodo sinódico de Mercurio, 115.9; Venus, 583.9; Marte, 780; Júpiter, 398.9; Saturno, 378.1. 3 Valerie Vaughan, The Fibonacci Numbers: Connections whithin the Mathematics and Calendarlc Systems of Ancient America (http:/www.onereed.com/articles/fib.htm). 4 José Comas Solá, Astronomía, Editorial Ramón Sopena, Barcelona, 1970, p 292. 5 Se utilizaron diversos números para simbolizar la duración del ciclo sinódico de Venus, ya que no siempre es igual. Generalmente se toma el valor promedio, pero no necesariamente. 6 José Comas Solá, op. cit., p. 296. 7 Ibid., p. 298. 8 Ibid., p. 303. 9 Ibid., p. 303. 10 Ibid., p. 304. 11 Anthony F. Aveni, op. cit., p. 106. 12 José Comas Solá, op. cit., p. 363. 13 Algunos investigadores, como J. Eric S. Thompon, consideran el 364 no como número lunar sino solamente como un número adecuado para cálculos calendáricos, por estar muy próximo a 365 y por ser divisible exactamente entre 13. Es un número que la investigación apunta como el año del Sol del inframundo, por lo que se confunde con la Luna, ya que ésta generalmente aparece cuando el Sol está abajo del horizonte. 14 Matyla C. Ghyka, El número de oro, “I. Los ritmos", Editorial Poseidón, Buenos Aires, 1968, p. 127. “El jeroglífico del número nupcial en la República que asigna a un ciclo lunar las coyundas propicias a la generación se resuelve también por una construcción de proporciones entre sólidos. Converge la interesante relación entre cuatro cubos: 63, 33, 43, 53. Observemos que 63 = 216 = 3 x 72. En la leyenda de Pitágoras 216 es el número de años que transcurre entre dos encarnaciones sucesivas del maestro y 72 es uno de los números que con más frecuencia reaparecen en astrologia y en cosmogonía mitológicas; es la 360ava parte de 25 920, duración de! gran año precesional (metacósmosmesis de los pitagóricos); 72 años corresponden, pues, a un desplazamiento del punto vernal sobre la eclíptica. En el calendario egipcio Hermes-Thot despoja a la Luna de un 72avo de cada uno de los días y de la suma de estos 360 setenta y dosavos deduce 360 / 72 = 5, los cinco días epagómenos durante los cuales los egipcios celebraban el nacimiento de los dioses. En la mitología pura tenemos los 72 componentes de Tifón (contra Osiris), los 72 genios que corresponden a 72 porciones de la esfera. (Paccioli atribuye gran importancia a un poliedro de 72 caras que sirvió en la Antigüedad de modelo para ciertas bóvedas esféricas, entre otras la del Panteón), las 72 flechas que traspasaron al profeta Hossein. Citemos también los 72 artículos de las constituciones de los templarios. Como ángulo, 72° representa la quinta parte de la circunferencia (360 / 5 = 72), es decir, ei ángulo del centro que subtiende el lado del pentágono regular. Es, pues, uno de los ángulos centrales importantes del dodecaedro y del icosaedro. En sus tratados de danza rítmica R. von Laban lo señala como el ángulo máximo de torsión y de flexión del cuerpo.” De lo anterior se desprende que los antiguos egipcios tuvieron cinco días en los que se celebraba el nacimiento de los dioses, que no contaban en su calendario. Este lapso no se distingue en forma particular en Europa, que es heredera directa de Egipto. Sin embargo, aparece el mismo concepto en América como los cinco días nemontemi o baldíos de Dios. 16 José Comas Solá, op. cit., p. 342. 2


Cuadro 2

Ciclos calendáricos Ciclo

Duración

Tonalpohualli Año civil o ajustado Ciclo solar del inframundo Año vago (xiuhpohualli) Tlalpilli Medio siglo mesoamericano (xiuhmolpilli) Siglo mesoamericano (huehuetlliztli) Era cosmogónica Era maya Era lunar

Intervalo: 260 días; 13 x 20 días Intervalo redondeado: 360 días; 18 x 20 días Intervalo redondeado: 364 días; 13 x 28 días Intervalo redondeado: 365 días; (18 x 20) + 5 días Intervalo redondeado: 13 años de 365 días; 4 745 días Intervalo redondeado: 52 años de 365 días; 18 980 días Intervalo redondeado: 104 años de 365 días; 37 960 días Intervalo redondeado: 676 años; 13 x 52 años de 365 días; 246 740 días 1 872 000 días 1 820 000 días

Cuadro 3 Algunos ciclos empleados en los cálculos astronómicos mesoamericanos1 Ciclo

Duración

Principales factores

Ciclo sinódico de Mercurio

116.8 días; 117 días, de acuerdo con el Códice de Dresde2 También 116 días 20 años = 7 300 días

117 = 13x9 1 168 = 584 x 2 116 = 29 x 4 7 300= 100 X 73 73 X 5 = 365 88 = 8x11 585 = 13 X 9 X 5 2 920 = 5 X 584 225 = 9 x 256 687 = 3 X 229 780 = 15 X 52 15 = 3x5 399= 19 x 21 =7 x 57 13 x 29 = 377 10 759 días = 7 x 1 537 295 308 = 468 X 631 = 156 X 3 X 631

Ciclo sidéreo de Mercurio Rotación de Mercurio alrededor del Sol Ciclo sinódico de Venus Ciclo de oposiciones de Venus Revolución sidérea de Venus Ciclo sidéreo de Marte Ciclo sinódico de Marte Oposiciones de Marte Ciclo sinódico de Júpiter Ciclo sinódico de Saturno Ciclo sideral de Saturno Ciclo sinódico de la Luna Ciclo sidéreo de la Luna Revolución anomalística Mes dracónico de la Luna Ciclos sinódicos lunares ajustados Medio siglo mesoamericano Siglo mesoamericano Medio siglo mesoamericano Siqlo mesoamericano Año vaqo Año civil Año trópico real Año trópico ajustado Año sideral de Júpiter Tlalpilli Tonalpohualli El andén del Sol Era maya

87.969 3 ≈ 88 días 584 o 585 días4 8 años = 2 920 días 224.7 = 225 días5 686.98 = 687 días7 780 días8 15 años 9 399 días 377 días10 29 años con 167 días 11 29.53059 días; se toma de 29.5308 o de 29.5454 27.32166 días 27.55455 días 27.21222 días 28; 29; 29.5; 30 días 52 años 104 años 52 años de 365 días 104 años de 365 días 365 días 360 días 365.2422 365.1970 a 365.2682 días 11 años 315 días14 13 años 260 días 28 años 1 872 000 días

273 = 3 X 91 275 = 11 x 25 272= 16 x 17 12 295 = 5 X 59 52 = 4 x 13 104 = 2x 4 X 13 52 x 365 = 18 980 104 x 365 = 37 960 365 = 5x73 = 5(90-17) 360 = 4 x 9 x 1013 3 652 290 = 486 X 15 X 501 4 332 días = 361 x 12 13 x 360 = 4 680 260 = 13 X 20 28 X 360 = 10 080 360 X 5 200 = 1 872 000

1

Anthony F. Aveni, op. cit., p. 106. Los valores que da para los periodos importantes (en días) para los planetas visibles a simple vista, haciendo la aclaración de que los intervalos fluctúan considerablemente, pero por to común quedan más o menos dentro de un margen de 10 días con respecto a los valores citados, son periodo sideral de Mercurio, 88; Venus, 114.7; Marte, 687.1; Júpiter, 4 332.5; Saturno, 10 758.9. Periodo sinódico de Mercurio, 115.9; Venus, 583.9; Marte, 780; Júpiter, 398.9; Saturno, 378.1. 2 Valerie Vaughan, op. cit. 3 José Comas Solá, op. cit., p. 292. 4 Se utilizaron diversos números para simbolizar la duración del ciclo sinódico de Venus, ya que no siempre es igual. Generalmente se toma el valor promedio, pero no necesariamente. 5 José Comas Solá, op. cit., p. 296. 6 Ibid., p. 298. 7 Ibid., p. 303. 8 Ibid. 9 Ibid., p. 304. 10 Anthony F. Aveni, op. cit., p. 106 11 José Comas Solá, op. cit., p. 363. . 12 El factor 17.041 corresponde al ángulo de desviación de la orientación de las ciudades de la Familia de los 17 grados. Generalmente se cierra a 17 y es un numero lunar relacionado con los eclipses. (Ver año lunar en este glosario.) 13 Matyla C. Ghyka, op. cit., p. 127. 14 José Comas Solá, op. cit., p. 342.


Cuadro 4

Ruedas astronómicas Intervalo ajustado

Correlación

Año vago solar

365 dfas

Ciclo sinódico de Saturno Ciclo sinódico de Júpiter Ciclo sidéreo de Júpiter

380 días 400 dfas 4 332 días (11.86 años) 173, 173.33, 177, 178 días 584, 585 días

365 = 5 x 73 365=105 + 260 380 = (12 x 20) + (7 x 20) 400 = (13 x 20) + (7 x 20) 4 332= 12 x 361

Ciclo

Medio año de eclipses, tonalpohualli Ciclo de Venus Ciclo de Marte, tonalpohualli

780 días

Ciclos de Mercurio, Venus, Marte, año de eclipses, medio siglo, era maya, tonalpohualli

2 340 dfas

Ciclo sinódico de la Luna, de Júpiter, medio siglo, siglo

2 392 dfas

Ciclo dracónico de la Luna Ciclo sinódico de Venus, Sol Cuenta lunar

108 días 2 920

Sinódico de la Luna Saros, Sol-Luna, año de eclipses Metónico lunar de 19 años (6 939.75 dfas)

819 días 3 276 días 4 400 días 6 585.32 días 6 939.75 dfas

Gran ciclo lunar (MCM) de 11 960 días, tonalpohualli, medio siglo, siglo

11 960

Ciclo solar, 18 980

18 980

Cuatro siglos, 416

151 840

Periodo de 486 años, Venus, Mercurio, Venus, Júpiter, Sol

177 511 días

Era cosmogónica, 676 años

246 903.72

Periodo de 1 247 años

455 457 días

Periodo de 3 744 años, Venus-Sol-Marte, tonalpohualli

1 366 560

Tonalpohualli, 260 días Año civil o ajustado, 360 Año del inframundo, 364 Año vago (xiuhpohualli) Calendario lunar, 819 días

260 días 360 dfas 364 dfas 365 días 819 días

Periodo de 1 820 días Conjunción Venus-Sol Tlalpilli, 13 años Medio siglo mesoamericano (xiuhmolpilli), 52 años Siglo mesoamericano (huehueliztli), 104 años Era cosmogónica, 676 años Periodo de 1 040 años

1 820 días 2 920 días 4 745 días 18 980 días 18 720 días 37 960 días

Era maya, 1 872 000 días

1 872 000 días

442

246 903.72 días 379 860 días


520 = 260 x 2 520= 173.33 x 3 584 = 73 x8 585 = 45 x 13 780 = 260 x 3 780 = 20 x 39 780= 13 x 60 2 340 = 20 x 117 2 340 = 4 x 585 2 340 = 3 x 780 2 340 = 45 x 52 2 340 = 1 872 000 / 800 2 340 = 260 x 9 2 392 = 81 x 29.5305 2 392 = 6 x 398.66 2 392 = 46 x 52 = 184 x 13 = 104 x 23 2 920 = 584 x 5 2 920 = 365 x 8 = 73 x 40 = 20 x 146 819 = 27.3 x 30 3 276 = 819x4 = 111 x29.51 4 400 = 149 x 29.5305 = 11 x 202 6 585.32 = 223 x 29.5305 6 585.32 = 19 x 346.595 6 939.75 = 235 x 29.5308 6 939.75 = 19 x 365.2422 11 960 = 405 x 29.5308 11 960 = 5 x 81 x 29.5308 11 960 = 46 x 260= 13 x 920 11 960 = 52 x 230 = 5 x 23 x 104 18 980 = 52 x 365 = 260 x 73 18 980 = 18 720 + 260 151 840 = 4 x 365x104 151 840 = 260 x 584 177 511 =304 x 583.92 177 511 = 1 520x 116.7835 177511 =445 x 398.9 177 511 =486 x 365.2489 676 = 52x13=11.86x57 246 903.72 = 365.2422 x 676 455 457 = 1 247 x 365.2422 455 457 = 583.92 x 780 1 366 560 = 780 x 1 752 1 366 560 = 584 x 2 340 1 366 560 = 365 x 3 744 1 366 560 = 360 x 3 796 1 366 560 = 260 x 5 256 260=13 x 20 = 52 x 5 = 65 x4 360= 18 x 20 = 4 x 9x 10 = 36 x 10 364= 13 x 28 = 4 x 7 x 13 365 = 5 x 73 = 260+ 105 819 = 63 x 13 = 117 x 7 819 x 260= 585 x 364 1 820 = 5 x 364 = 7 x 260 2 920 = 5 x 584 = 8 x 365 4 745 = 365 x 13 = 65 x 73 18 980 = 365 x 52 = 260 x 73 = 32.5 x 584 18720 = 360x52 = 260x72 37 960 = 365 x 104 37 960 = 146 x 260 = 65 x 584 676 = 52x13= 11.86 x 57 246 903.72 = 365.2422 x 676 379 860 = 365.25 x 1 040 1 040 = 52 x 20 = 260 x 4 1 872 000 = 360 x 5 200 = 360 x 1 040 x 5 = 117 x 16000 =780 x 2 400 = 13 x 144 000 = 104 x 18 000 = 2 925 x 640

Cuadro 5 Números con significado astronómico como ciclos representativos

Ciclo Ciclo sinódico de Mercurio Ciclo sinódico de Venus Ciclo sinódico de Marte Ciclo sinódico de Júpiter Ciclo sidéreo de Júpiter Ciclo sinódico de Saturno Ciclo sinódico de la Luna Medio año de eclipses Año de eclipses Año trópico

Duración Valor exacto: 116.8 días Intervalo redondeado: 116 o 117 días Valor exacto: 583.92 días Intervalo redondeado: 584 o 585 días Valor exacto: 779.94 días intervalo redondeado: 780 días Valor exacto: 398.9 días Intervalo redondeado: 399 o 400 días Valor exacto: 11.86 años = 4 331.77 días Intervalo redondeado: 4 332 días Valor exacto: 378.1 días intervalo redondeado: 378, 379 o 380 días Valor exacto: 29.53059 días Intervalo redondeado: 29, 29.5 o 30 días Valor exacto: 173.31 días Intervalo redondeado: 173 o 173.33 días Valor exacto: 346.6 días intervalo redondeado: 346 días Valor exacto: 365.2422 Intervalo redondeado: 365 días o 365.25 días


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Coordinación editorial: Silvia Bourdón Cuidado de la edición: Miguel Ángel Guzmán Concepto gráfico: Miguel Ángel Guzmán y Rosana de Almeida Diseño de interiores y forros, diagramación, formación y preprensa: Rosana de Almeida Diagramas, cuadros y figuras: Margarita Martínez del Sobral Producción editorial: Centro Editorial Versal, S.C. Avenida

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260-6

Cuauhtémoc

06100 México, D.F. (55) 52 71 88 00 y 52 76 37 61

[email protected] www.versal.com.mx

La primera edición de Numerologia astronómica mesoamericana en

Las pruebas digitales ORIS fueron hechas con plóter Epson

la arquitectura y el arte, de Margarita Martínez del Sobral, se termi

Stylus Pro 10600. La salida directa a láminas, a 133 líneas por pul

nó de imprimir y encuadernar en la ciudad de México el 11 de

gada, con procesadora CtP Lüscher XPose.

junio de 2010 en Impresora y Encuadernadora Progreso, C.V. (IEPSA);

S.A.

de

Avenida San Lorenzo, 244; Paraje San Juan; delegación

Iztapalapa; 09830 México, D.F. Para la composición se utilizaron las familias tipográficas Mayathán y Helvética 10/14.05, 9/14.05, 8/11, 7/11 y 13/14.05, en

La impresión, con prensas offset de cama plana ocho oficios Speedmaster dos tintas con perfector y cinco tintas, de Heidelberg. La encuadernación fue realizada a la rústica, cosida con hilo y pega da, con tren Müller-Martini. Para la impresión de los interiores se utilizó papel Bond de 90 g,

caja áurea-del reloj, con modulación de cinco columnas: tres para

fabricado por Copamex; para los forros, cartulina sulfatada Nordic

la entrada de capítulo, dos para columnas principales y una para

de 14 puntos; ambos distribuidos por Comercializadora de Papel

auxiliar en el texto corrido; para los apéndices, dos columnas. Se

San Miguel, S.A. de C.V.

digitalizaron las imágenes a 300 puntos por pulgada.

La edición consta de mil ejemplares.

La composición de este libro se realizó con la familia tipográfica Mayathán,

ticos

producto de un convenio suizo-mexicano acordado entre la Escuela de Dise

presentes en los manuscritos coloniales (

ño de Letra de la Universidad de Basilea, Suiza, y la Maestría y Doctorado en

, además de elementos gráficos ).

La coordinación por la parte mexicana estuvo a cargo de Rosana de Almeida,

Estudios Mesoamericanos de la Facultad de Filosofía y Letras de la unam, Mé

con la colaboración del lingüista Fidencio Briseño Chel. La coordinación del di

xico, signado por el rector Alois Mueller y la doctora Mercedes de la Garza,

seño de letra, de André Gürtler, con la participación de los diseñadores gráficos

respectivamente, en diciembre de 1997. El proyecto respondía a la necesidad

mexicanos, entonces becarios de la Escuela de Diseño de Letra, David Kimura,

de crear una familia tipográfica que satisficiera las exigencias lingüísticas de

Verónica Monsivais y María de los Ángeles Suárez.

las lenguas mayas coloniales, en un principio, y de las lenguas mayas moder nas, en una segunda etapa, las cuales no han tenido expresión adecuada con

Mayathán es el primer paso para la creación, en el futuro, de otras fami lias tipográficas que ayudarán a la adecuada representación y conservación

las familias tipográficas en uso. Por ejemplo, la ch herida o glotalizada (ch), la

de las lenguas indígenas que requieran el uso de signos ortográficos especia

c invertida (ɔ), la p glotal (p); otros caracteres presentes en lenguas quiché y

les. Queda expresamente prohibido el uso de la familia tipográfica Mayathán

cakchiquel coloniales, como el tresillo (ɛ), el cuatrillo (ɡ) y otros signos foné

sin la autorización de sus creadores y licenciatarios.

Numerología astronómica mesoamericana en la arquitectura y el ar.pdf

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