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Número π π (pi) es la relación entre la longitud de una

que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-

circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galés William Jones[2] (1675-1749); aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de π ≈ 3, 14159265358979323846 . . . Arquímedes). Jones plantea el nombre y símbolo de este [3] El valor de π se ha obtenido con diversasaproximaciones número en 1706 y Euler empieza a difundirlo en 1736. a lo largo de la historia, siendo una de las constantes ma- Arquímedes lo calculó con la aproximación de 3 + 10 71 < temáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, π < 3 + 17 , tal como consignó en su obra Medición del juntoconel número e. Cabe destacar que el cociente entre círculo, ciertamente con otra notación.[3] la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no euclidianas.

2 Historia del cálculo del valor π

La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes. π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en geometría euclidiana.

2.1 Antiguo Egipto

1 El nombre π

Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de srcen griego περιφέρεια 'periferia' y περίμετρον 'perímetro' decírculo, un [1] notación Detalle del papiro Rhind. 1

2 HISTORIA DEL CÁLCULO DEL VALOR Π

2 El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,[4] donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:

S = πr2

π

≃

≃

8 d 9

·

2

=

Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.

64 2 64 d = 4r 2 81 81

A

B

256 = 3 ,16049 . . . 81

D

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigadorOtto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,[5] describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 8.

C

2.2 Mesopotamia 2.3 Referencias bíblicas

Método de aproximación de Liu Hui.

Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia: 2.4

Antigüedad clásica

Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos. I Reyes 7:23-24 (Reina-Valera 1995)

El matemático griegoArquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024 % y 0,040 %[6]sobre el valor real. El método usado por Arquímedes era muy simple y consistía en circunscribir Una cita similar se puede encontrar en Segundo Libro de e inscribir polígonos regularesde n-lados en circunferenlas Crónicas. En él aparece en una lista de requerimien- cias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquítos para la construcción del Gran Templo de Salomón, medes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y construido sobre el950 a. C.: fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados. También hizo un mar de metal fundido, el Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero rocual tenía diez codos de un borde al otro, entemano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 ramente redondo; su altura era de cinco codos, midiendo la distancia recorrida en una revolución por una y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía rueda de diámetro conocido. alrededor. En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor II Crónicas 4:2 (Reina-Valera 1995) fraccionario por aproximaciones: Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores π estimaciones egipcia y mesopotámica.

≃ 377 = 3,1416 . . . 120

2.8 Renacimiento europeo

3

2.5 Matemática china El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrónomo chino Zhang Heng (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación √10, que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado.[7] Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir[8] que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96[9] o192 [7] lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3072 lados.[9][10] A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926, al que llamó «valor por defecto», y 3,1415927, «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π, 22/7 y 355/113, muy conocidas ambas,[11] siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en elsiglo XV.[9] John Wallis (1616–1703).

2.6 Matemática india Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como √10, cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.[7]

2.7 Matemática islámica En el siglo IX Al-Jwarizmi, en su Álgebra (Hisab al yabr ua al muqabala), hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando unabase numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

2.8 Renacimiento europeo A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en Leonhard Euler (1707–1783). los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemáticoFibonacci (11701250), en su Practica Geometriae, amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usa- Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una ron polígonos de hasta 393 216 lados para aproximarse precisión de 16 dígitos decimales usando el método de con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Arquímedes.

2 HISTORIA DEL CÁLCULO DEL VALOR Π

4

2.9 Época moderna (precomputacional)

El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac En 1789 el matemático de srcen esloveno Jurij VeNewton desarrolla la serie[12] ga, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord 3 5 7 1 x 1·3 x 1·3·5 x arcsin x = x + · + + + . . . se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William · · 2 3 2·4 5 2·4·6 7 Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran 1 correctos. Con x = 2 obtuvo una serie para: El matemático aficionado de origen inglés William Shanks trabajó, durante 20 años, en hallar los guarismos 1 π de π, habiendo obtenido 707 decimales en 1873. En el arcsin = 2 6 año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en el quingentésimo vigésimo octavo guarismo decimal (528º) de El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos subconocida serie Producto de Wallis: siguientes eran erróneos.[13] En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.[cita requerida] 2 2 4 4 6 6 8 8 π

· · · · · · · ····

1 3 3 5 5 7 7 9

=

2

Algunas aproximaciones históricas de valores de π, an-

En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemá- teriores a la época computacional, se muestran en la sitico inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con guiente tabla: una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:

arctan(x) = x −

x3

3

+

x5

5

2.10 Época moderna (computacional)

− ...

Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords, obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a po1 π arctan √ = co fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de 6 3 esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llePara alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor gó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años Con x =

√1 3

se obtiene una serie para:

de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).

1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que unIBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250 000 cifras decimales (en 8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de Leibniz calculó de una forma más complicada en1682 la series de números procedentes de π. siguiente serie matemática que lleva su nombre: En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones ∞ y medio de decimales de pi mediante el uso de una (−1)n 1 1 π = 1 − + −··· = supercomputadora T2K Tsukuba System,compuesta por 2 n+1 3 5 4 n=0 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas conEl inglés William Oughtredfue el primero que empleó la siguen velocidades de procesamiento de 95teraflops. Lo letra griega π como símbolo del cociente entre las lon- obtuvieron en 73 horas y 36 minutos. gitudes de una circunferencia y su diámetro. Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159

∑

andc. = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y fue Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtió En la época computacional del cálculo de π las cifras se en la notación habitual que se usa hasta nuestros días. han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que

3.2 Número irracional y trascendente

5

estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

3 Características matemáticas

• Todos los ensayos estadísticos realizados sobre la

sucesión de los dígitos decimales de pi han corroborado su carácter aleatorio. No hay orden ni regularidad, hay varias series de 7777 y la chocante 999999, hay apariciones que confunden o agradan a los intuicionistas.[19]

3.2 Número irracional y trascendente Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definiSe muestra la relación entre un cuadrado de lado y un círculo tivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no de radio . El área del círculo es . tiene solución. r

r

πr

2

3.1 Definiciones y caracterizaciones Euclides fue el primero en demostrar que la relación

También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,[20] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales “rápidamente convergente” (Stoneham [cita requerida]

entre una [17] circunferencia y su diámetro es una cantidad 1970 constante. No obstante, existen diversas definiciones del número π , pero las más común es:

).

3.3 Primeras cincuenta cifras decimales

es la razón entre la longitud de cualquier circunferenciay la de su diámetro.

•π

Además π es:

A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:

• El área de un •

círculo unitario (de radio que tiene longitud 1, en el plano geométrico usual o plano eu- π ≈ 3, 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 clídeo). Para ver secuencias mayores de este número consúltese [21] 12 El menor número real x positivo tal que sin(x) = 0 las referencias (5·10 decimales), así como Las primeras diez mil cifras decimales A00796 y OEIS. .

ciencia edeingeniería, puede También es posible definir analíticamenteπ ; dos defini- En la mayoría las veces, esta con constante una precisión deemplearse, sólo una ciones son posibles: docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un • La ecuación sobre los números complejoseix + 1 = error más pequeño que el tamaño de un protón.[22] 0 admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente π (véase identidad de Euler). 4 Fórmulas que contienen el núme• La ecuación diferencialS ′′(x) + S (x)′ = 0 con las ro π condiciones de contorno S (0) = 0 , S (0) = 1 para la que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica 4.1 En geometría (la función trigonométrica sin(x) ) cuya raíz positi• Longitud de la circunferenciade radio r: C = 2 π r va más pequeña es precisamente π .

• Adetravés de una integral definida se obtiene el valor π/4. Se integra la función f(x) = 1/ ( 1 + x2 ) de 0 a 1.[18]

Áreas de secciones cónicas:

• Área del círculo de radio r: A = π r²

4 FÓRMULAS QUE CONTIENEN EL NÚMERO Π

6

• Área interior de la elipse con semiejes a y b: A = π ab

Áreas de cuerpos de revolución:

• El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).

• Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de

longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: 2L/Dπ

• Área del cilindro: 2 π r (r+h) • Área del cono: π r² + π r g • Área de la esfera: 4 π r²

4.4 En análisis matemático

Volúmenes de cuerpos de revolución:

• Volumen de la esfera de radior: V = (4/3) π r³ • Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h

• Volumen de un cono recto de radior y altura h: V = π r² h / 3

• Fórmula de Leibniz: ∑∞ (−1) = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 −··· 2n +1 1 3 5 7 9 n

n=0

• Producto de Wallis: 2n · 2n 2n − 1 2n + 1

∏∞

=

n=1

•

Ecuaciones expresadas enradianes:

• Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes. • El volumen del toro conlleva π al cuadrado[23]

=

Euler: ∞ 2 n n !2

∑

(2n + 1)! n=0

π

4

2 2 4 4 6 6 8 8 1 3 3 5 5 7 7 9

· · · · · · · · ·· = π2

1 1 2 1 2 3 = 1+ + + + 3 3 5 3 5 7

· ·

· · · ·· = π · · 2

• Identidad de Euler eπi + 1 = 0

4.2 En cálculo π a2 [24]

• Área limitada por la astroide: (3/8) • Área de la región comprendida por el eje X y un arco 2 de la cicloide: 3 π a

• Área encerrada por la cardioide: (3/2) π a2 • Área de la región entre el eje polar y las dos[25]primeras3 vueltas de la espiral de Arquímedesr = aα a2

es 8π

Área entre la curva de Agnesi y la asíntota es S =

• πa2.[26] • Cisoide • Estrofoide • Caracol de Pascal. El área usando esta curva y cualquiera de las anteriores lleva en la fórmula el valor de pi[27]

• Área bajo la campana de Gauss: ∞ √ e− dx = π x2

−∞

• Fórmula de Stirling: √ n n! ≈ 2πn e • Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735: 1 1 1 1 π2 ζ (2) = 2 + 2 + 2 + 2 + ·· · = 1 2 3 4 6 n

•

Euler: 1

ζ (4) =

• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²

Si se eligen al azar dos números positivos menores

• que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π−2)/4

+

1 1 1 + + + 24 34 44

4

·· · = π90

π tiene varias representaciones como fracciones continuas:

• Además, π

4

4.3 En probabilidad

14

1

=

1

1+

4

3+

9

5+ 7+ 9+

16 25 36 11 + 13 +

49

..

.

5.3 Métodos eficientes

7

5.3 Métodos eficientes

• También como desarrollo en series: ∑∞ 2(−1) 3 − π= k

1 2

k

2k + 1

k =0

• Formas de representación aproximada aπ [28] 355 ≈ 3.141592.... 113

Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los récords más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1 241 100 000 000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenadorde64nodos Hitachi SR8000 con una me-

29

√261424513284461 ≈ π

• Método de Montecarlo

En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2r (2 veces el radio), el área del círculo es π r² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.[29]

• Fórmula de

Srinivāsa Rāmānujan demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, descubierta en 1910. Es muy eficaz porque aporta 8 decimales a cada iteración: √ ∞ 1

π

=

2 2

(4 )!(1103 + 26390 ) ∑ 9801 ( !) 396 k

k=0

k

k

4

4k

5 Cómputos de π 5.1 Pi y los números primos

moria de un terabyte capaz de llevar a cabo dos billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:

• K. Takano (1982). π

4

= 12 arctan

1 1 1 1 +32 arctan 5 arctan +12 arctan 49 57 239 110443

−

• F. C. W. Störmer (1896). π

4

= 44 arctan

1 1 1 1 +7 arctan 12 arctan +24 arctan 57 239 682 12943

−

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

6 Aproximaciones geométricas a π

Utilizando el inverso del producto de Euler para la Es posible obtener una aproximación al valor de π de forfunción zeta de Riemann y para el valor del argumento ma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obigual a 2 se obtiene: tener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculoo, lo que es 1 1 1 1 1 1 1 6 área igual al área de = lim 1 − 2 1− 2 1− 2 1 − 2 lo mism 1 − o, 2obtener = de ... 1un−cuadrado 2 2 ζ (2) 2 3 5 7 11 p π n P un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π. pn n donde es el -ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando Una vez demostrado que era imposible la obtención de π la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios Problema de Basilea. métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando única5.2 Fórmula de Machin mente un compás). n→∞ pn ∈

Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de 6.1 Método de Kochanski Machin, descubierta en 1706: Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al π 1 1 segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que = 4 arctan − arctan 4 5 239 corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averi- y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la guar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posicio- es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunnes decimales de π). ferencia.

7 USO EN MATEMÁTICA Y CIENCIA

8

un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente. Demostración (suponiendo R = 1)

√3 OD = √3 − 1 = √2 √(OD − M B)2 + M O2 BE = BE = BD = √ 2 √3 2 + 1 = 3 √ 6 BD = 2 4 √− − Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB' BB ′ · AE = AB · EB ′ + BE · AB ′ √ √ √ √ 2 · AE = 1 + 6 + 9 − 3 · 6 = 3, 142399... AD = AC =

Método de Kochanski.

Demostración (suponiendo R = 1) BC 2

=

OF = DA EF

=

AB 2

+ (3

√

−

7 Uso en matemática y ciencia

DA)2

π es ubicuo en matemática; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la geometría euclídea.[30]

3 2

OA OF

1 → 1/2 = √3/2 → DA = DA

Sustituyendo en la primera fórmula: √ 2 BC 2 = 22 + 3 3, 141533...

3

−

3

√

3 3

BC =

→

6.2 Método de Mascheroni

√

40−6 3 3

7.1 Geometría y trigonometría =

Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es π r2 . Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la circunferencia, comoelipses, esferas, conos, y toroides.[31] π aparece en integrales definidasque describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del área de un círculo unitarioes:[32] 1

√1 −

x2 dx =

π

2 −1 y la mitad de la longitud de la es:[33] 1

circunferencia unitaria

√1 1− x2 dx = π

−1 Se puede integrar formas más complejas comosólidos de revolución.[34]

De la definición de las funciones trigonométricasdesde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos( x) = cos(x + 2π n). Porque Método de Mascheroni. sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibuja el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono = (π/180) radianes. regular. El punto D es la intersección de dos arcos de cir- En la matemática moderna, π es a menudodefinido usancunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. do funciones trigonométricas, por ejemplo como el meObtenemos el punto E como intersección del arco DE, nor entero positivox para el cual sinx = 0, para evitar decon centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es pendencias innecesarias de las sutilezas de la geometría

7.4 Física

9

√ [36] ∞ −x euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede −∞ e dx = π. ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Ex- Una consecuencia es que el resultado de la división enpandir funciones trigonométricas inversas comoseries de tre la función gamma de un semientero (la mitad de un potencias es la manera más fácil de obtener series infini- número impar) y √π es un número racional. tas para π. 2

∫

7.4 Física

7.2 Variable compleja

Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.

• La constante cosmológica:[37] Λ=

8πG ρ 3c2

• Principio de incertidumbre de Heisenberg:[38] h

∆x ∆p

≥ 4π

• Ecuación del campo de Einsteinde la relatividad ge[39] Representación geométrica de la fórmula de Euler.

La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler[35]

neral: Rik

− g 2R + Λg ik

ik

=

8πG c4

Tik

• Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:[40] |q1q2| F = 4πε 0 r 2

iϕ

e

= cos ϕ + i sin ϕ

donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fóri2 = implica −1 que las potencias imaginarias de e describen mula rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad

(k = 0, 1, 2,...,n

µ0 = 4π 10−7 N/A2

· • Tercera ley de Kepler: P2 (2π )2 = a3 G(M + m)

7.5 Probabilidad y estadística

eiπ + 1 = 0 .

e2πik /n

• Permeabilidad magnética del vacío:[41]

− 1).

En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen aπ, incluyendo:

• la función

de densidad de probabilidad para la distribución normalcon media μ y desviación estándar σ, que depende de laintegral gaussiana:[42]

7.3 Cálculo superior La integral de Gauss

f (x) =

√1

σ 2π

2

e−(x−µ)

/2σ 2

8 CURIOSIDADES

10

• la función

de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy(estándar):[43]

8 Curiosidades 8.1 Reglas mnemotécnicas

f (x) =

1 π(1 + x2 )

.

Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que ∞ f (x) dx = 1 , entonces −∞usarse para producir otras las fórmulas anteriores pueden fórmulas integrales paraπ.[44]

∫

Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

• con Unaeste forma de memorizar primeros dígitos poema, sólo hay los que20 contar las letras de es cada palabra:

Soy y seré a todos definible mi nombre tengo que daros cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros

t a

b l

Representación del experimento el modelo de la “aguja fon”, se lanzan dos agujas ( a, b)enambas con longitud dil . EndeelBufbujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja b no.

El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una aproximación empírica deπ. Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (cont > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Montecarlo, lanzándola gran cantidad de veces:[45][46][47][48]

π

≈ 2xtnl .

Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos (incluyendo el “3” inicial) requiere de millones de lanzamientos,[45] y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si

• Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros

•

dígitos, es la siguiente: «¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!» Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π. Un tercer poema: Voy a amar a solas, deprimido no sabrán jamás que sueño hallarte, perímetro difícil, escondido que en mis neuronas late... Oscuro el camino para ver los secretos que tú ocultas ¿hallarlos podré?...

• Otra regla, que permite recordar las primeras 32 ci-

fras: «Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual.» (del autor Rafael Nieto París[49]) Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.

• Otra forma, que permite recordar las primeras 14 cifras:

“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics![50] Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar

la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo los primeros 3834 dígitos. De esta forma, tomando “A” tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho como 1, “B” como 2, “C” como 3, etc., el nombre de menos de 9 dígitos. la historia saca los dígitos de pi, como “Cadaeic” es la

8.3 Otras curiosidades

11

primera palabra de 7 dígitos de pi:

Cadaeic 3.1 4 1 5 9 3

Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas mnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para “Piso-Pi”, mosaico en la entrada del edificio de la matemática en TU Berlín. descubrir el arte empleado en cada idioma).

8.2 Aparición en medios

• En el año

1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números. Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace

• aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.

Detalle del “Mazda Pi”, se añadieron 27 cifras decimales de π a este automóvil.

• En la película The Net, Aparece en la parte inferior

derecho de una página de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se accede a la interfaz de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, Que pedía un Usuario y un Password.

• En la serie de dibujosThe Simpsons, en el episodio

“Bye Bye Nerdie”, el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es tres exactamente!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.

• En la serie Futurama aparecen diferentes referencias

a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.

• La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que

luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.

8.3 Otras curiosidades

• Eldosmétodo de Arquímedes no fue superado en casi mil años a pesar de los grandes avances realizados en su evaluación numérica.[51]

Tarta con el número pi.

• El valor de Pi usado por

Posidonio (135-51 a. C.) debió ser correcto en varias cifras decimales. El valor que obtuvo para la circunferencia de la tierra fue adoptado tres siglos más tarde por el astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo y mucho después por Cristobal Colón, entre muchos otros.[52]

• El día 22 de julio(22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.

8 CURIOSIDADES

12

• En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rom-

pió el record mundial recitando durante 13 horas 83 431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100 000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.

• El máximo número de dígitos de π necesario para

buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.

• Existe una canción de Kate Bush llamada “Pi” en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.

• Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encontrada por Ramanujan.

En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es ∗31416.[53]

• El valor principal de[54]la expresión i • El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Esta-

dos Unidos) se marca también como el día pi en el queactuaciones. los fans de este número lo es celebran con diferentes Curiosamente el cumpleaños de Einstein.

• 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡cuasi-perfecta!

• John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada “Something Tells Me”. La canción acaba con una letra como: “What’s the secret of life? It’s 3.14159265, yeah yeah!!".

• El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenbergo en este enlace.

• La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592

i

es un número

real y está dado por ii = eiπ /2

i

2

= ei

π /2

= e −π/2 = 0.207879...

• Existe un vehículoMazda 3 modificado,[55]al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3.

• Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproxi-

mada, con regla y compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que √ obtuvo un segmento aproximadamente igual a r π :[56] segmento =

d

2

355 113

≈ r √π

• Los hebreos consideran al número pi como “el nú-

mero de Dios”. En la película Pi: Fe en el Caos los estudiantes de la Torá consideran los 216 (6x6x6) primeros decimales como representación del verdadero nombre de Dios. En la Biblia (hebrea y cristiana) el nombre de Dios aparece en el capítulo 3 y versículo 14 del Libro del Éxodo É ( xodo 3,14).

8.4 Días de Aproximación a Pi

• Se emplea este número en la serie de señales envia-

das por la tierra con el objeto de ser identificados Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son: por una civilización inteligente extraterrestre.

esco• La probabilidad de que dos enteros positivos 2 gidos al azar sean primos entre si es 6/π .

• Existen programas en internet que buscan tu número

de teléfono en las 50 000 000 primeras cifras de π.

En algunos lenguajes de programación se pueden

• averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».

• 14 de marzo (3/14 en formato de fecha inglés) • 26 de abril • 22 de julio (22/7 que es una aproximación de pi) • 10 de noviembre (es el 314º día del calendario gregoriano)

• 21 de diciembre (es el día 355, en referencia a la aproximación 355/113)

13

8.5 Canción de π Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, Qué serie preciosa valorando, enunció su amor hacia ti. A los 7 continentes comunicaría Mi cariño y amor hacia ti El mundo entero recorrería Solo para verte aullarían sonreír Lobos y perros Al verme junto a ti Y para siempre mi vida Estaría muy feliz ¿Y cómo reúno infinidad de amor? Tiene que haber tiempo y espacio Mas mi amor es infinito Y nunca te dejaré ir Los océanos yo nadaría, En la Antártida viviría, De la selva me alimentaria Con tal de verte a ti Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, Qué serie preciosa valorando, enunció su amor hacia ti. Todo lo haría por ti Nada ni nadie sabe cómo yo te amo y te amo sin fin Si los granos de arena Y las estrellas contaras Tendrías una idea Del amor que tengo por ti

9 Cuestiones abiertas sobre π

• Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?

• La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión

decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?

• ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir,

• Día de pi • Lista de constantes matemáticas • Número e • Número irracional • Número trascendente Tau (2π)

• 11 Referencias [1] G L Cohen and A G Shannon, John Ward’s method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144 [2] New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London [3] Beskin. Fracciones m aravillosas. Mir Moscú, (1987). [4] Gay Robins y Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text , British Museum Publications, London, 1987, véase “Squaring the Circle”, páginas 44 a 46. [5] “The Exact Sciences in Antiquity”, Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York, (nueva edición de 1969). [6] Beckmann, Petr: A History of Pi , publicado por primera vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por Barnes and Books, New York, 1993. [7] Bailey, D. H., Borwein, J. M., Borwein, P. B., y Plouffle, S. « The quest for Pi.» The Mathematical Intelligencer 19 (1997), pp. 50-57. [8] A. Volkov, «Calculation of π in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi.» Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139157. [9] Boyer Carl (1999). Historia de la Matemática. Madrid : Alianza Editorial. 84-206-8186-5. [10] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Liu Hui» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive , Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/Biographies/Liu_Hui.html.

¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema deci- [11] C. Jami, Une histoire chinoise du 'nombre π', Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50 mal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal? [12] Arndt J., Haenel C. Pi unleashed (trad. de C. y D. Lisch-

• No se sabe si π+e, π/e, ln(π) son

ka). Berlin, Nueva York: Springer, 2001, pp. 188 y 228.

irracionales. Se ISBN 978-3-540-66572-4 sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden [13] Gardner: Nuevos pasatiempos matemáticos ISBN 84206-1391-6 109 .[57][58]

[14] Bailey. David H. «Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation» (2003). Disponible en este enlace. Consultada:22 de abril de 2008

10 Véase también

• Cuadratura del círculo

[15] Yomiuri Online, 17 de agosto de 2009, «…» (en japonés)

11 REFERENCIAS

14 [16] Pi Computation Record, por Fabrice Bellard (en inglés) [17] Euclides, Elementos. Libro V [18] Apostol: Calculus [19] Gardner: obra mencionada, en El trascendente número Pi . [20] Mahler, K. “On the Approximation of.” Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 3042, 1953.

[40] Nave, C. Rod ( 2005-06-28). «Coulomb’s Constant» . HyperPhysics. Georgia State University. Consultado el 9 de noviembre de 2007. [41] «Magnetic constant». NIST. 2006 CODATArecommended values. Consultado el 9 de noviembre de 2007. [42] Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Con-

sultado el 8 de noviembre de 2007. [43] Weisstein, Eric W. «Cauchy Distribution». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Con[22] Bailey, David H., Borwein, Peter B. & Borwein, Jonathan sultado el 8 de noviembre de 2007. M. (January 1997). «The Quest for Pi.» Mathematical Intelligencer (1): 50-57. [44] Weisstein, Eric W. «Probability Function». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Con[23] Schaumm: Cálculo superior, McGraw Hill, EE. UU. sultado el 8 de noviembre de 2007. [24] La ecuación se halla en Cálculo de Granville [45] Weisstein, Eric W . «Buffon’s Needle Problem» . En [25] Maynard Kong: Cálculo integral Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 10 de noviembre de 2007. [26] Bronshtein-Semendiaev: Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes, Editorial Mir, Moscú (1987). [46] Bogomolny, Alexander. «Math Surprises: An Example». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en in[27] Bonshtein. Semediaev: Op. cit, pág. 116. glés). Consultado el 28 de octubre de 2007. [28] Existen otras doce representaciones de π en http:// functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ [47] Ramaley, J. F. (Oct 1969). «Buffon’s Noodle Problem». The American Mathematical Monthly 76 (8): 916-918. [29] Calculation of Pi Using the Montecarlo Method [21] http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details. html, 133-144

[30] «Japonés rompe el récord de memorizar cifras de pi» . [48] «The Monte Carlo algorithm/method» . datastructures. BBC News. 2 de febrero de 2005. Consultado el 30 de oc2007-01-09. Consultado el 7 de noviembre de 2007. tubre de 2007. [49] http://www.matematicasdivertidas.com/Poesia% [31] «Área y circunferencia de un Círculo de Arquímedes». 20Matematica/poesiamatematica.html Penn State. Consultado el 8 de noviembre de 2007. [32] Weisstein, Eric W (28 de enero de 2006). «UnitDisk Inte- [50] Beckmann, Petr (2006). Historia de Pi. CONACULTA. p. 167. gral». MathWorld. Consultado el 8 de noviembre de 2007. [33] «Area and Circumference of a Circle by Archimedes». [51] Beckmann, Petr (2006). Historia de Pi. Conaculta. p. 101. Penn State. Consultado el 8 de noviembre de 2007. [34] Weisstein, Eric W (4 de mayo de 2006). «Solid of Re- [52] Beckmann, Petr (2006). Historia de Pi. CONACULTA. p. 167. volution». MathWorld. Consultado el 8 de noviembre de 2007. [53] «Plan de seguridad para el subte.» Clarín. [35] Granville y otros: Cálculo diferencial e integral, Uteha, México D. F. pág. 538. [54] Unidad imaginaria en Mathworld (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008 [36] Schaumm: Cálculo superior. Mc graw Hill, EE: UU: [37] Miller, Cole. «The Cosmological Constant» (PDF). [55] “Mazda Pi” en Gaussianos.com. Consultado el 23 de abril University of Maryland. Consultado el 8 de noviembre de de 2008. 2007. [56] Ramanujan, Srinivasa (1913). «Squaring the circle» [38] Imamura, James M ( 2005-08-17). «Heisenberg Uncer(djvu). Journal of the Indian Mathematical Society . Containty Principle». University of Oregon. Archivado desde sultado el 25 de abril de 2008. el srcinal el 28 de noviembre de 2015. Consultado el 9 de noviembre de 2007. [57] Bailey, D. H. «Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e and Euler’s Constant.» Math. [39] Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the General

Comput. 50, 275-281, 1988a. Theory of Relativity»(PDF). Annalen der Physik. Archivado desde el srcinal el 28 de noviembre de 2015. Consultado el 9 de noviembre de 2007. [58] Pi en Mathworld (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008

15

12 Enlaces externos

•

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número π. Commons

•

Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Número π. Wikiquote Número Pi con 10 000 decimales.

• • Historia del cálculo de Pi y algoritmos utilizados. • Rodríguez del Río, Roberto (2008) El número Pi: de la Geometría al Cálculo Numérico.

• Historia de Pi, en astroseti.org • Club de Amigos de Pi • Para buscar cualquier número entre las primeras 200 000 000 de cifras de Pi

•

Programa para el cálculo de π y de otro gran número de constantes (en inglés)

•

Lista con los valores calculados con autores y valores (en inglés)

13 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS

16

13 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias 13.1 Texto •

Número π Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80?oldid=92034345 Colaboradores: Eralos, Joseaperez, Sabbut, Moriel, Frutoseco, Pieter, ManuelGR, Robbot, Cdlfd, Angus, Kraton~eswiki, Achury, Sanbec, Vivero, Diego Caro, Apartidista, Jamawano, Surscrd, Interwiki, Rosarino, Dodo, Ascánder, Tostadora, Tano4595, Ramjar, Barcex, Jarfil, Feliciano, Gengiskanhg, Oconel, Arkady, Cinabrium, Robotico, Richy, FAR, Peejayem, Petronas, Airunp, Edub, Natrix, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), LP, Magister Mathematicae, RedTony, Suso de la Vega, Further (bot), Alpertron, RobotQuistnix, Alhen, Superzerocool, Chobot, Pertile, Palica, YonDemon, Yrbot, Amadís, BOT-Superzerocool, Oscar ., FlaBot, Vitamine, .Sergio, YurikBot, Mortadelo2005, Cameri, ALVHEIM, Zaka, GermanX, David gonzalez, Wewe, Euratom, Gaijin, KnightRider, Jclerman, Santiperez, Heliocrono, Banfield, CHV, Dove, Kepler Oort, Götz, Purodha, Morza, Maldoror, Cheveri, Chlewbot, Tomatejc, Jarke, Filipo, Folkvanger, Arthurfx, Paintman, Jgomez53, Jorgechp, Faelomx, Kn, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty, JEDIKNIGHT1970, Gizmo II, CEM-bot, Jorgelrm, Lordsito, Laura Fiorucci, Gonmator, JMCC1, -jem-, Rpmi1640, Ignacio Icke, Sefirah, Aswarp, Hispalois, QnanG5284, Baiji, Ezequiel3E, Roberpl, Davius, Rosarinagazo, Antur, Julian Mendez, Luis Cortés Barbado, CF, Wiles, Dorieo, Brahma~eswiki, Ingenioso Hidalgo, Resped, Thijs!bot, Alvaro qc, Srengel, Roberto Fiadone, Escarbot, Zupez zeta, Hugone, RoyFocker, Jordissm, Irfit, Bryant1410, Mauricio Maluff, Segavi, OiraM, Sapiensjpa, Botones, Isha, MSBOT, Gusgus, LitOrdes, Cgb, Mpeinadopa, JAnDbot, Stifax, Kved, Diego Godoy, Rafa3040, Homo logos, Trejina, Muro de Aguas, Gaius iulius caesar, Cristianuz12, Gsrdzl, El Caro, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Cronos x, Gustronico, Bot-Schafter, Humberto, Netito777, Pabloallo, Rei-bot, ZrzlKing, Nioger, Felknight, Idioma-bot, Pólux, Snakefang, Rovnet, Jtico, Bucephala, Fremen, Remedios.Frutos, Lmcuadros, Cinevoro, VolkovBot, Snakeyes, Technopat, Nicoguaro, Stormnight, Megalfático, Mahey94, Nestoreleditor, Barba roja, Josell2, Dcoetzee, Matdrodes, Synthebot, ElVaka, House, DJ Nietzsche, BlackBeast, Shooke, Lucien leGrey, KPM, AlleborgoBot, Bnom, Muro Bot, Edmenb, Numbo3, Alvaro 789, SieBot, Ferenckv, Ctrl Z, PaintBot, Harvin, Loveless, Carmin, Cobalttempest, Diego hurtado, Drinibot, Novellón, Bigsus-bot, Luiscg, BOTarate, Manwë, Furado, Govalant, Chico palm, Belb, PipepBot, Chico512, Jorosmtz, Jacksys, Gijzopium, Tirithel, Mutari, JaviMad, M S, Jarisleif, Javierito92, Dnu72, Miguel, GeminiSaga, HUB, Antón Francho, Gydunhn, DragonBot, Quijav, Makete, Eduardosalg, Mcleod ideafix, Rafagb, Leonpolanco, Pan con queso, Alejandrocaro35, LordT, Romanovich, Petruss, Ener6, Alexbot, Juan Mayordomo, Valentin estevanez navarro, Crypdan, El guardian999, Raulshc, Açipni-Lovrij, Osado, Dequet, MarcosTusar, Kadellar, UA31, Abajo estaba el pez, Krysthyan, AVBOT, David0811, LucienBOT, MastiBot, Angel GN, Ezarate, Diegusjaimes, MelancholieBot, HerculeBot, Arjuno3, Raúl González Molina, InflaBOT, Madalberta, Luckas-bot, FariBOT, Jesam, Vivaelcelta, Nixón, XZeroBot, Soro 04, Pilielena, ArthurBot, Billyrobshaw, Javivierjavi, SuperBraulio13, Navelegante, Almabot, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, GhalyBot, Fonshu23, -Erick-, Pablocuchis3902, Ricardogpn, Marsi Mario, Mariantobis, Igna, AstaBOTh15, Zulucho, BOTirithel,

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13.2 Imágenes •

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Archivo:Approximately_squaring_the_circle.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Approximately_ squaring_the_circle.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Own creation using eukleides and inkscape. The eukleides code is as follows: Artista srcinal: GrafZahl Archivo:Archimedes_pi.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Archimedes_pi.svg Licencia: CC-BY-SA3.0 Colaboradores: Trabajo propioArtista srcinal: Leszek Krupinski (disputed, see File talk:Archimedes pi.svg) Archivo:Artículo_bueno.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Art%C3%ADculo_bueno.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Circle taken fromImage:Symbol support vote.svg Artista srcinal: Paintman y Chabacano Archivo:Broom_icon.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Broom_icon.svg Licencia: GPL Colaboradores: http://www.kde-look.org/content/show.php?content=29699 Artista srcinal: gg3po (Tony Tony), SVG version byUser:Booyabazooka Archivo:Buffon_needle.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/58/Buffon_needle.svg Licencia: CC BY 2.5 Colaboradores: Buffon_needle.gifArtista srcinal: Buffon_needle.gif: Claudio Rocchini Archivo:CircleArea.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/61/CircleArea.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propioArtista srcinal: kn Archivo:Commons-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public domain Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions used to be slightly warped.) Artista srcinal: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab. Archivo:Egyptian_A'h-mosè_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/ Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista srcinal: ?

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LicenArchivo:Euler’{}s_formula.svg https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Euler%27s_formula.svg cia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores:Fuente: Este archivo deriva de Euler’s formula.png : Artista srcinal: Original: Gunther Derivative work:Wereon Archivo:John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/John_ Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg Licencia: Public domainColaboradores: National Portrait Gallery: NPG 578 Artista srcinal: Según Sir Godfrey Kneller Archivo:Leonhard_Euler_by_Handmann.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Leonhard_Euler_by_ Handmann.png Licencia: Public domain Colaboradores: Cropped from: http://www.euler-2007.ch/doc/Bild0015.pdf Artista srcinal: Jakob Emanuel Handmann Archivo:Liuhui_Pi_Inequality.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Liuhui_Pi_Inequality.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores:

Liuhui_Pi_Inequality.jpg Artista srcinal: derivative work:Pbroks13 (talk) Archivo:Matheon2.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Matheon2.jpg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio (own photo)Artista srcinal: Holger Motzkau Archivo:Metodo_Kochanski_aprox_pi.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Metodo_Kochanski_ aprox_pi.svg Licencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propioArtista srcinal: Nicolás Guarín Archivo:Metodo_Mascheroni_aprox_pi.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/Metodo_Mascheroni_ aprox_pi.svg Licencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propioArtista srcinal: Nicolás Guarín Archivo:Pi-CM.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f3/Pi-CM.svg Licencia: Public domain Colaboradores: No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Artista srcinal: No machine-readable author provided. Phrood~commonswiki assumed (based on copyright claims). Archivo:Pi-unrolled-720.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Pi-unrolled-720.gif Licencia: CC-BY-SA3.0 Colaboradores: Edited version of Image:Pi-unrolled.gif. Artista srcinal: John Reid Archivo:Pi_pie2.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Pi_pie2.jpg Licencia: Public domain Colaborado-

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