������� �������� �������
���������� ����������
�� ���������� / ����������� / ���������� ���� ������ ��������� & ���������� ��
�������: B��� � ��������� ����������� ��������� (������ ������������)� �� �� �� �� ������ ����� ������� �����������
D��� ���� / ������, � ���� �������� ���� �������� �� ���� �� ������������� ����� �� ��������� ��������������� ���� �������� ��
��������������� ��������� �� �� 6 ����������. ��� �������� ��� ���� �������� ���� �������� ������ ���
���� ����� ����������� ������, ������ ������������ ���� ���� ������ ���. ���� ������ ������������ ���� ���� ���� �� ����� ������� ������������ ���������. ��� ����� ���������� ���� ���� ��������, �� �� ������ ����������, �� ��� ������������. ������� ������������ ��� �� ��������� �� ��������� ������ .
M The ��� ����������� ������� ������ ��� ������ ���� ������ �����. ��������, ���� ����������� ��� �� ���� ���� ���������. ���� ���� ��������� �� ������� ��� �� ������ ������ ���� ������� ����������� ��� ���� ���� ���������. A� � ����������� �� ������������ ������, �� ������ ����� ����� �������� ��� ����� ���������� ��� ���� ������ �� ���� ��� ������ ������������. ��� ������ ��� �� �������� ��� ��������� ���� ������� ����� �� �.�.B������, 1941. ��� ��� ����� ���: ��� � ����� ��������, ����� �������� ������ ��������� ��� ����� �.�. �(��5�), �(��4�),�(��3�),�(��2�),�(���), �(�),�(�+�),�(�+2�),�(�+3�),�(�+4�),�(�+5�). ���, �������� ������������ �� � ����������� �� 11 �� 11. A���� ����� ����������� ������ �� ������ 11 ������ ������������. C���������� ��� �� ���� �� �A��CAD�14 �� ����� ������� �� ������� � ��� ��� �� �������. ��� ���� ���� ����� �� ����� 35 �����; about 261 pages �.
���, ����, ��� (� �� ��), �� � �� ������
2.
�=1, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
3.
�=2, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
4.
�=3, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
5.
�=4, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
6.
�=5, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
7.
�=6, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
8.
�=7, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
9.
�=8, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
10.
�=9, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
11.
�=10, �=10, �=5 (0 �� 10), 11 � 11 ������
��.
���, ���, ��� (� �� �), � � � ������
13.
�=1, �=8, �=4 (0 �� 8), 9 � 9 ������
14.
�=2, �=8, �=4 (0 �� 8), 9 � 9 ������
15.
�=3, �=8, �=4 (0 �� 8), 9 � 9 ������
������� �������� �������
16.
�=4, �=8, �=4 (0 �� 8), 9 � 9 ������
17.
�=5, �=8, �=4 (0 �� 8), 9 � 9 ������
18.
�=6, �=8, �=4 (0 �� 8), 9 � 9 ������
19.
�=7, �=8, �=4 (0 �� 8), 9 � 9 ������
20.
�=8, �=8, �=4 (0 �� 8), 9 � 9 ������
��.
���, ���, ��� (� �� �), � � � ������
22.
�=1, �=6, �=3 (0 �� 6), 7 � 7 ������
23.
�=2, �=6, �=3 (0 �� 6), 7 � 7 ������
24.
�=3, �=6, �=3 (0 �� 6), 7 � 7 ������
25.
�=4, �=6, �=3 (0 �� 6), 7 � 7 ������
26.
�=5, �=6, �=3 (0 �� 6), 7 � 7 ������
27.
�=6, �=6, �=3 (0 �� 6), 7 � 7 ������
��.
���, ���, ��� (� �� �), � � � ������
29.
�=1, �=4, �=2 (0 �� 4), 5 � 5 ������
30.
�=2, �=4, �=2 (0 �� 4), 5 � 5 ������
31.
�=3, �=4, �=2 (0 �� 4), 5 � 5 ������
32.
�=4, �=4, �=2 (0 �� 4), 5 � 5 ������
��.
���, ���, ��� (� �� �), � � � ������
34.
�=1, �=2, �=1 (0 �� 2), 3 � 3 ������
35.
�=2, �=2, �=1 (0 �� 2), 3 � 3 ������
���������� ����������
���, ��������� ������ (��������� ������) ��� �� ��������. � �� ��������� �������� �������� �������� ������� �� ���� �� ������ ������������. ���������� ���������� ��� ���� ������� ��� ���� �������. ���������� ��� �� ���� ��� ��� ����� ����������. ������. �.�.D������ �����.�������@�����.��� �.� �������� ���������1 (19 ��), ���������2 (5 ��), �� ������� �� ����CAD ( ���)
APPENDIX-1 08�11�2018 (14�07�2017)
A������ ��������: N�������� D�������������� �� H����� O����� & O����� & ����� ����������� �� PDE� ����� �� C������� F�������� ��� �������� ������� (17������) 1) N��� ��� ���������� 2) �������� �������� 3) ����� �� �������� 4) O��������� (���������� & �����������)
P��� & O�������: 5) A����������� �� ���������
E������, �������, & �������: 6) ������ �� ����������
7) D����� �������� ���� ����� ���������� 8) F���������� 9) ����� �������� 10) P��������� 11) ������������ 12) ���������� (��������� ������������ �����) 13) G������������� (��������� ������������ �����) 14) E��������� �� ����������
���������� �� ������: 15) ������� �� �������� (������������, ���������������, �����������, ����������� ��� ������) 16) A��������� 17) B����������� ========================
1
1 off 19
08�11�2018 (14�07�2017)
N�������� D�������������� �� H����� O����� & O����� & ����� ����������� �� PDE� F�������� ��� �������� P������ (17������) CHAP�E��1 1. N��� ��� ���������� A���� ���������� ��� �������� (�� 2016) �� ����������� ����������� ������������ ���������� �� �� 10����������� �����������, �� ��� ���� ���� ��� ������ ������ ������ ���� �� ����� ��� ���������� ��������������� ��� ������ �������. I ���� ���� ������� ��� ����������� �� ���� ��������� �� ������� ������������ �� �����������, ������� ���. ������� ������� ��
������������ ��������� �� ������ ����� ��� �� �� 10 ����� �� ������� ���������� ���. ��� �������� ��� �� �� ����
����������� ������ & ���������.
CHAP�E��2 2. �������� ���������:
I� ����� ��� ����� ����� ������������ �� 4���������� ��� ��������� ��������������� �� ��������� �� ������1? C�� �� �������� ��������������� ���������� ��� ������ ����� ������� �����������? C�� �� �������� ����������� �� ��������������� ���������� �� ������� PDE ��������?
CHAP�E��3 3. ����� �� �������� ��
3.1. ����� ������� ��������� �� �� 10 ����� (������ ����� ���������� ����� ���� �������� ������ ��������� ) ������� � ������ & ������� ���������������� ������������ ���������� ��� ��� ������ ���������� &/�� ��������� &/�� ��������� ������. ��������� ���� & ����� PDE�. E����� �������� ��������� ��� ���������� (#4). 3.2. E������ ��� �� ������ ������, ������� ���������� ��������� �������� �������.
N���: ��� ������� ��� ������ ���� ������ �� ���� �� �������� �� �����. ��� ���� �� ������� ����� ��� ��������. �C���������������� �� �������������� �� ������� �� �� �� ��� ������ �� ��� �������� ��� �� �� �������� ����������� & ����������. C��������� ������ �����: I���������� �� ������������ �� ������� ���������� �� ���������? ��
3.3. I��������, ������� ���������� ���� ����� ���������� �� �� 4 ����� ������� ���������� �� ���� �� 4 ���������, ���� ��� �������, ���� ��� ������� ���� ��� ���� ������� ��������� �� �� 10 �� ����� ������� ����������. I ����� �� ����. 3.4. K�� ���������� �� ��������: �
E�������� ����� �� ������������, ������������, & ������� ������������� ������������ ���������� ��� ������ ����� ������� ����������� & ����� ����������� �� PDE�. E����� ������������ ����� �� ����� �� ���� ��������.
�
D����� �������������� ��� �������������� �� PDE.
�
I��������, ����� PDE� ���� ����� ����� ��������.
�
���� ������� PDE� ���� ����� �������� �� ������� . 2
08�11�2018 (14�07�2017)
�
�.�
�.�
D������ � ��IAL F�NC�ION �.�. �(�,�) = � .�
��� ����� ��������, IC�, & BC� ���� ������� PDE. F��� ��������� �������� �, � ���. �) I������� & ������������������� ������ �� ����������; �) E����� ����� ��������� ����� ������ ������ ��� ��� ����������. �)
E����� �������������� �� � PDE.
�) ����� �������� ������ ����� ������ �������� & �������� ��� ���� ����� �� ��� ����� �� ����� �����
�����������. �
M����� �������� �� �� ������: ������: 1D / 2D / 3D PDE ���� ������� ���������� & �������� ����������, �� �� II� ����� ���������� �� � & �� �� ������� ������� ���������� �� �, �, � ���������, C�������� /����������� / ��������� ����������� ��� �� �� ����
CHAP�E��4 4. O��������� (��������� �� ����������, & �����������) I ���� ��������� � ��������� (��������) ��� ��� ��������/������ & ��� ���� �������: 4.1 ��� ������������ �� ��������� ������ �� ���� ������� ��� ��� �������, & ������ ���� ������ �� ������� �� ��������� . ���������� (�.�. ����� ������). ��� ��� ������ ��������� �� �� ���� ����������� ������ ��� ���������. 4.2 �������� ������� ������ �� ����������, ���������, & ���� ���� ���������. 4.3 A����� �� ��� ����� ���� �������� (100 ����� ����) ���� ��������� ���� ��� ���������. �� ������ �� ���� �� �� ������� 4������������� �� ������� 4���������� �� ��������� ��� ������� ������������ ��� ���� ����� �� ���������� ��� ����� ������� ������� & �������� ������������ �� ���������� ������ (����� �������� �������). P��������� ������ �� �������� ������� �������� . E����� ��� �� ������ ������ (��������� ������!). 4.4 ��� ����������� �� ���� ������ �� �� ���� �� �������� �� ����� �������� ������� . ��� ������ �� ���������� ������ �� ����� ��� ������� ���� �������� ������ (��. �� ���������� ) 4.5 ��� ������ ������ ��� ������� ��������� �� ��������� ���� ������ 4.6 ��� ������� ������ ��� ������ ��� ���� �� ��� ���������, ������������, ����������� �� �� ��� ������� 4.7 ��� ����� �� ����������� ������ �� ���� �� ������ (��. �� ���������, ������� ����������� ���� �� �������) 4.8 ��� �������� �� ������� ������ �� ���� �� ������. A���� ����������� ��������� . 4.9 ��� ������������ ��� ���� �� �������������� �� �������� ������� �.�. ���������, ������� ���� �������� �������� ���������� ���. 4.10
F��� ��� ��� ����� ������ ���� ����� ������������ ������� ��� ���������� ���� �� ������� ������������ ���
������ ����� ��������������� ��� ���� ������� ����������� �� ������������ �� ������� ������ ����� PDE� (������� ������������ ���������). 4.11
���������� ������ �� ������ �� �� ����� ���. ���. E����� ������������ E����� ������������ ����� �� ������������ (�� ���� ���). ���) .
4.12
E�������� ������� �� ���� �� ��� ��������� ����� ������� ������ ��� ����������. ���������� .
4.13
D������� ��� �������.
4.14
���� �� �������� ��� ������� & ������� �� ��� ����� ������ 6������� ���� ��������� ���������. O����� 360
������ �������� �� ��� ������� / �������. ������, ������, ������� & ��������� ��� ������� �� ������� ������������. 4.15
D������ ���������� ������� ( ������ �� �������, ������� ����������, ������������ �� ��� �������, ��� ��� )
4.16
I������� ��� ����� ��� ��� ������ �����������
3
08�11�2018 (14�07�2017)
P���: CHAP�E��5 5. A����������� A����������� �� �� ���������: ���� ������ �6 ������ 5.1. A�����������, ����������, & ������� �� ��������� (��� ��������� �������, �����, & ����� ���������) 5.1.1.C����� 5.1.1.C����� ��������� ����������� . C����� ���� �������� ��� ���������. 5.1.2.M��: P������� ������, ��������� ������; ������������ ������������ �������; ������� / ������� ��� �� �� ������� �� ���� 5.1.3.M���� (�� �������) �������� 5.1.4.O���� ��������� (���������, ��������, �������, ���������� ���.) 5.2 A����� ������� & ������� ������� ���������. A������ ��� ��������� �� ��� ������������. 5.2.1 E����� ����������� / ������� / ����� / ������ ������� �� ���� �� �������� & �������� ���
����������� �� ����. 5.2.2 M���CAD�14 & MA�LAB 7.01 ��� ��������� ��� ���������� ��� ������������ & ������ �� ���������� /
������������. 5.3 A�������; ����������, �������, ��� ���������������� ��������������������� ����� 5.3.1 5.3.2 5.3.3
A�������: P������ �� ��������, ������� ����������� ���� ����������� �� ���������. M��� ����������� ������ ��� �����������. C��������� ������� ���������� �� ������� ��� ������� ������� ��������
5.4 K���������������������: 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5
E���������� ����������� I, II, & III P���������� ��������� (FO���AN 77, MA�LAB), ���. D��������� ���� ����� ���������� ( ����� ������� � ���� ����������� ���.) F����� ���������� ���������� �������� �������� E������ ����������������� ( ����������������� (D� �� �����������! ������! ����� �� ���������, ��� �������� �� ������� ���� �� ���� �� ������ ): ����� ����������� (IND�C�ION ME�HOD!).
5.5 ������������������: (��������� ��� ������������ ������, ��������) 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4
������������� (������� �����������), ���������� �������, ������ ����������, ������ ����������, ��������� ���������� ���. P�����������, ����������� / ���������������, ��������, ������ �������� P������ ���������� ����������: L��������� ���. B������� ������ (����������������)
5.6 E��������������������: �������� ������������?
5.6.1 ������������ �� ��������� ���������������, ���� & ���� 5.6.2 ����� ����������� �� ������� ������������ ��������� ��� ���� ����� �� ����������. 5.6.3 �������, & ��������� ����� �������� �� �A��A�. 5.6.3.1 B���� ��������� �� ������� & ��������� . 4
08�11�2018 (14�07�2017)
���������� �������� ��� ����� ����������� (M���CAD�14, MA�LAB7.01) ��� ������������ �� ���� �������� ��� ���������� �� ��� ��������. �������� �������: ����������������� ������� (17����� �������� ������� ) 9
5.6.3.2
5.6.4
�������� �������� &/�� �������� ���� ���������� ���� ��� ����� � ������������.
�, & �� �������� �
� �������� ��
N���: N����� (������, ��������� ���) ���������� �� ���� ��� ����� ���� ���� , ���� , ����� �� ������� , ���. ��� �� /��� ����� ������ ���� ��� ��? A �������� ����� �� ������� ��� ��� ���� �� ������. I� ���� �� ���� ���� ��� �� ���� �������. � ���� �� ���������� ���� � ���� �������. ���� �� �� �� ������ ����
E������, �������, & �������: 9���� ��������� �����
conceptualization process:
verification
������ �� ����������, ���������� ���� ����� ����������, �����������, ����� ��������, ��������, ����������, ����������, ������������, & �������������� ��������������,, & ������� ��� ����������: ����������:
CHAP�E��6 6. ������ �� ���������� 6.1. A���������, & N�������� �������: �� �����. E������ ����� �� ���������� (������� ��� �� ������ �������). L��� ��� ��� ������ �� ������� �������. �������� & ������ ��� 5��������� �� ���� �� ����5 ��� ����� �� ��� ������� �����. �� ������ �� ���� �� ������������ ���� ������ ������, ������� ��������, ����������, ���������� ��������� / ���������� / �������������� �� ��� ���� ��� ��. �������
�� ����� 5 ������ �������� .
������ ��� ���������� ��� ���������� �� �������� ���� ����� ����������, �����������, ����� ��������, ����������, ����������, ������������, ��������������, & ����� ������������������������������������ ���������� & ���������� ��������. H���, �������� ������ ��������� ��� ���� ����������. I� ��� ���� ����������� ���� 80% ���� ��� ���� �������� �� ������ �� ����������. O��� 20% ���� �� ���� ���
��������� �� �������������� ��� ��� ����� ����� �� ����. N���: ��� ������� , ���������� ����� ��� ������ : P���� ���, �������� ���� ����� / �������/ ���������, ���������� ����� �� ��������, ���������� �� ��� �������, ����������, & ������ �� ��� �������.
4 H��� ����� ����� ��� ��������� ��� ��������� ������� ���������� / �������. ����� ��� ������� . ����� ����� ����� �� � � ������������. # 1: A ���������� �� PDE ������ � M����� �� L ���� (MOL) �������� ���� MA�LAB, 2009 �. �. ��������� & ������ �. ��������� 5
08�11�2018 (14�07�2017)
# 2: ���������� ���� �������� �� PDE� � N�������� ��� ���������� ������� ���� MA�LAB & MAPLE, 2011 �. � .��������� & � . �. ���������
����� �������� A (�� ��� ��� �� ��� ����): M������: 1. ���� ������
2. ��� ������ 3. ������� �������� ������ 4. ������ ����������� ������ 5. ������������� ������
6. ��������� �� ��������� ��������� 7. ����� ������� ( ��� ��� ���) 8. ����� �������� ��������� ��� ���������� ���� ��������
# 3: P������ ������������ ��������� ��� ���������� & ���������, 1993 ������� �. ������ ��� ���������� �� ����� ��� ��������:
1. ���������� �� ��������� 2. �������� ���������� 3. ������ �� ����������� 4. �������������� �� ��� ��������� ���������
5. ��������� ������� 6. ������������ ������� 7. ���������������� ��������� 8. �������� ��������� 9. �������� �� ��������� ������� 10. ����� �������� ��������� #4 C������������ ���������������� ���� MA�LAB, ������ �������, 2018 M������ N.O.������
A��������� ���������� 1.
���������� �� ���������
2.
������ ���������
3.
C�������� �������
4.
I������� ��������� (F������ ����������, L������ ����������)
5.
P����������� �������
N�������� ���������� 1.
F����� ���������� ������� (FD�M, FDFD) 6
08�11�2018 (14�07�2017)
2.
M����� �� �������� ���������
3.
M����� �� ������� (MOM)
4.
F����� ������� ������� (FEM)
5.
������������ ���� ������ (�LM)
6.
M����� �� ����� (MOL)
7.
D������ ������ ���������. ����� ��������, IC� & BC� ���� ������� PDE.
6.2 C��������� ����� ������ �������� �������: ��� ������� �� ��� �������� ��������� ���� �� �� ������ ����. F�������� �� ��� �������� ����� : I� ��� � ��������� �� ���� �� ����������� ������ �� ������ ��������� ��������������� ���� ����� ���������� &/�� ����������� . M�������, ��� �������� �� �������, ����� �� �������� ������� ������������ ������ 4�� ����� ������� �����������. ��������� ��� ���� �� ���� �� ������ ��� ������ ����������� ����������. ��
� ��� 2 ������������
��
� ��� 3 ������������
��
���� 4 ������������
��
���� 5 ������������
1 ����� ���������� 2 ���� 3 ���� 4 ����� ����
��� ������������ ���� ���� ������ �� ������1. N��, ������ ��������7 �� ��������14.
CHAP�E��7 7. D����� �������� ���� ����� ���������� ==============================================================================================
�������� ������ ���������: 2
3
4
��+1: �(�+�) = �� + �.��/!1 + (2�) .���/!2 + (2�) .����/!3 + (2�) .�����/!4 +��. ��: �(�) 2
3
4
���1: �(���) = �� � �.��/!1 + (2�) .���/!2 � (2�) .����/!3 + (2�) .�����/!4 � ��.
����������� ���� ����� ��������� (������� �����������): ������ ������ ��������� (II������ ���������� �����) & 4 � ���������: � �+2 �+2(�) � �(�+2.�) � �+1 �+1(�) � �(�+�) � � � �(�) � ��1 ��1(�) � �(���) � ��2 ��2(�) � �(��2.�) • • • •
��(�) = (� �+1 �� (��+1 � ��)/� �+1 � � ��1 ��1) / 2.� 2 ���(�) = (� �+1 �+1 � 2.� � + � ��1 ��1)/ � 3 ����(�) = (� �+2 �+2 �3.� �+1 �+1 + 3.� � � � ��1 ��1)/� 4 �����(�) =(� �+2 �+2 � 4.� �+1 �+1 + 6.� � � 4.� ��1 ��1 + � ��2 ��2)/�
N���: 7
08�11�2018 (14�07�2017)
����� ������3, 3�� & 3��. ========
When “exact function is unknown” , explore trial solution solution in Cartesian coordinates for odd order or even order or mixed order (odd order + even order) spatial derivatives with exp or other method a.t ).e( e( b.x ) … for all PDEs ( 1D 1D PDE ) • u(x,t) = e ( ). a.t …for even order even order spatial derivatives, 1D 1D PDE PDE • u(x,t) = e( ). sin(b.x) a.t …for odd order order –do-, 1D PDE • u(x,t) = e( ).cos(b.x) a.t • u(x.t) = e( ). {cos(b.x) + sin(b.x)}…for mixed order –do-, 1D PDE ????? a.t x 2D PDE PDE • u(x,y,t) = e( ).(e ).sin(y)…depending upon IC & BCs, 2D a.t x y 0.5 3D PDE PDE • u(x,y,z,t )= e( ).(e ).(e ).sin(2 .z) .. –do- , 3D •
u(x,t) = =e( e( a.t )*cos(b.t) )*cos(b.t)*sin(b.x)…for *sin(b.x)…for 2 nd order in t, first order spatial derivative in x
�����, � = 0, 1,�, π/6, π/4, π/2, π/3,�.,π ��� N���: A������ ������ �� # 3 �)
E����� IC� & BC� ��� ����������.
��)
E����� ����� ��������� ����� ������ ������ ��� ��� ����������.
���)
E����� �������������� �� � PDE.
======== 7.1 D��������� ���� ����� ����������: A� ����� ���� ����������� ���� �� ���� ���� ����� ����������. F�������� 4� ��������� �� ���� �� 4���������� ���� ��� �������� ���� �� ����� �����. ���� ����� �� �� ���� ����� �� ������� ��
�������� �� ������������. ����� ������1 ��� ��� ������������, ��������� ���� ��� 4����������. D����� ���������� ��
��
�������� ��� 5 & 6 ����� ���������� �� ��������. I� ���� ���� ��� ����������.
H���, ������ ������ ��������� ��� ���� ���� ��� ����� ���� ����������� . ������ ����� ����� ���������� ��� ���� �������. F������ ����������� ��� 5�� ����� ������� ��� ��� ��������. N��� ���������:
7.1.1
E����� ������������ E����� ������������ ����� �� ���� �� ��� ������������ ���� �� ���� ��� ���� ����.
7.1.2
A������� ���������� ���� ����� �������� ��� ������� ����������� ���� ����������� ���� ����� ����������.
7.1.3
����� �������� ���� ���� �� ���������� �� ������������. ������������.
7.1.4
P������ ���������: ���� �� ��� ���� ������� ��� ��� ���� �� ������������� ������� ��� ������������ ����� ��� �� �������� ������� ���������������� ���������� ��� �� ��������� ��� ���� ������� ����������� ������� �������������� �� ������� ��� �� �����
N���: � ���� ��������� & ������������ ������� ����� ������������ �� ��������� ������� ��� ��������������� & ����. ����� �����A� ����
����� 02�05�2017 . �
7.2 M���������� ��� �������� ���������������� ������������ ����������: (E � 1) 8
, E=1, �=1,2,3,�,10
08�11�2018 (14�07�2017)
�����: M���CAD (PDF ����) ��� �� ������� �� PDE, ����� ������ ����� ����� �����������. ��� ����������� �� �������� ��������� ��� ���������� ���� ���� �� ��������� ������� �����������. (1
�1)
(1
�1) � (1
�1)
(1
�1)�(1
�1)�(1
�1)
(1
�1)�(1
�1)�(1
�1)�(1
�1)
=1
�1
�.
= 1
�2
1
=1
�3
3
�1
=1
�4
6
4
(1)
�.
(2) ��� �����
�.
(3)
1 �.
(4)
C������� ��� ���� ��� ���� ��� ����.
H�� �� ���������� & ���� ����� ������������: (����� # 2): C����� ���������������� ��������� 1
�1
1
�1
==========M�L�IPL� 1
�1
�
�1
1
=============================ADD 1
�2
1
�� (2)
===============================
I� I ���� ����� ��� �� ������� ��� ���� , �� ����� �� ��������� ��������� �� ��������� � ����� �� ����� ������. I ���� ������ ��� �������� �� ����������� �� �� ������ �����, ����� �� ������ ����� ���������� �����. F�� ������ �������� �� ��������� � ������, I ��� ������ ��������� ��� � � �������� ���� ������ ����� ���������� �����. ����� �������� ��� ������4. I ���� ��� �� �������� �������� ������� �� ��� ��� ������������ ����� �� ������4 ��� ��.
CHAP�E��8 8. F���������� 8.1. P���� ������������ �� ������ �������� �� ����� �� ������3, 3(A), & 3(B).
CHAP�E��9 9. ����� ��������: ������� ��� �� ������ ������ ( ��������� ��������� ������! ) ��������� �����: 9.1: F�� ������������ ������������ ����� ��� �������, ������� ��������� ��
9.1.1 K����� ������� ��� ������� ��� ������������ �� �� ��� ���������� ���������� ���� �� � ���� ��������� ���� 2 ��� ��
��
��
��
������������ ��� 1 ��� ������������, 3 ��� �� 2 ��� ������������, ��� 4�� ��� �� 3 ��� ������������.
9
08�11�2018 (14�07�2017)
9.1.2
D� �� ��� ��� ���� �� ����������� �� ������������ ������� ��� ���������� ����? I� ���, ���� ���� �� ���� ����? �1
�1�. ���� ����� �� �������? F��� 1�� �� 4�� ���.
9.1.3
��� �� ��� ������������ �� ���� ��� �� ����� �� ����.
9.1.4
B� �������� ��� ������, ������� ������������ �� ���� ������ ����� ����������� �.�. 5 ����������. C������ ������������ ��������� ��� 5 ��
��
��
��
& 6 �����
��
& 6 ����� ���������� ���� ���� �� ����������
��
����������� ���� ��� 5 & 6 ����� ����������. I� ����� ���������� �� ��� ���������? I� �� ��������� &
�� ���������� ��� ��������.
CHAP�E��10 10. P��������� �� �� 10.1. P������ ������������ (�� ��������� �� 9.1.4) ��� 5 �� 10 �� ������ �����. D������ ���������������� ������������
��������� ��� ���� ������� ����������.
10.2. D��������� ���� �������� ���� ���� ������ 30 ������� (MAN�ALL�!).
CHAP�E��11 11. ������������ 11.1. ������ ��� ������� �� ��� ���� ��������. E����� ��� ���������� ���� ���� ���.
11.2. ��� ���������������� ����������� ���������� ���������� ���� �� ������� �� ������ ������� ������� ����������� �� �������� �� PDE �� ����� ��������� �� ���� ���� ���� ����������� ���� ��. I� ��������, ���� � ��� �� ��������� ��
��������� �� ��� ������ �������. 11.3. PDE �� ��� ��������� �� �� ODE� ��� ��������� ��� �������� .
CHAP�E��12 12. ���������� 12.1.
E����� ������������ ����� ������ �� ���� ��� (9.1.3) �.�. ��� �� ��� ������������ ���� �� ���� ���� ��� ����
���. �� ���� ���� ��� ���������� ����. ���������� ���� ���� �� ������� �� �� ��� ���� ��������� ���� �� ������ ��������� ���� �������� ���� ��������� ������ (����, ������ (����, ��������� ������ ��� �������� ���� ���������� ������)
12.2.
N�������� ������ ���� ���������������� ��������� ���� ���������� ����� �������� ���� ��� ��������� & �
����������� ����� �� ��� ���� ����� �� ������� ����������.
CHAP�E��13 13. G������������� 13.1. P������ ��� ��� & �������� ���� (1 �1) �� ������ ������������ �� ���� ������ ����� ����������. �
O�, C����������� = (E � 1) , ����� E=1, �=1,2,3,�.,10 13.2. A���� ������������ ����� �� ��������� �� ����������. 13.3. N��, ����� ����.
10
08�11�2018 (14�07�2017)
CHAP�E��14 14. E��������� �� ����������
E����� ��� ��� ���������� (������������������������������������) ��� ���. ����� ����� # 4.
14.1.
CHAP�E��15 ���������� �� ������: 15. ������� �� �������� (������������, ���������������, �����������, ����������� ��� ������): A������������� ��
���������� & ���������� �������: 15.1 A�����������: ���� ��� ���� ��������? I ��� ���� �� ��� ����� ���� �������� ���� ��������� �������� ���� ����� ����������� ���� ������� ���� ����
��� �������� �� ��� ������ ������� �� ���� �� ��� �������� �������� ���� ���� ���� ��� ������� . A������������, I ����� ������ 4 � �������� ���� ����� ����������. I ����� �� ����. •
��� ���� ������� ���� ��� �� ���� � ������� ���� �� ������������ ������� ��� ���� �� ������������ �� ����������, �� ��������� �� �������� ����. I� ���, 9���� ��������� ����� ���� �������� �� ��������� �� �������� ������� ������: o
������ /������ �� ����������, ���������� ���� ����� ����������, �����������, ����� ��������, ����������, ����������, ������������, ��������������, ���� ��� ���������� (���������������������������� ������� ���)
•
O��� �� ����� � ������� ����� ����� (1 �1), �1), ������� ��� ���������� ����, ��� ����������. �� ��� ���� ��� �� �� �
����� ���� ���������� ���������������. G������������� ��� ���� ���� ����. A��� ������������ ����� ��� ������� �� ������������ �� ���� ��� �.�. �.�. ��� �� ��� ������������ ���� �� ���� �� ���� ��� ��� ����� ��� ����� �� �� ��������. • •
��
�D�������������� ������������ ��������� ������ 4 ����� ������� ����������� ����� �� ��������. N��, I �� ���� ��������� ����������� �� ������������ �� ������� ������ ����� ���� (������� ������������ ���������).
•
K�� ���������� ���� ���� ������������. 17 ������������. 17 ����� �������� ������� ��� ���� ����������.
����� ����������� ����������� ��� ���� 16 ������ (��������) . K��� ����������� �� ��� ��� �� ��������� ������������ �� ������. ������ �������������� & �������� ���� �������. I� �� � ��������� ������. ���� 15.2 ���������������: ���� ��� ��� ���������������? •
E����� ���������������� ������������ ��������� ��� ������� ��� PDE� �� ��� ��� ����� �� ��� �����: F��
E���� ��������, ���� C�������� �����������, 1D PDE, �� �� ������ ����� ���������� �� � & �� �� ����� ����� ������� ����������� �� �. • •
15.3 •
PDE ���� ��� ����� �� ���� ����� �� ����� ����� ������� ����������� ���� ���� ����.
A��������� �� ���� �� ��������� ������ ��� ���� ����. L����������: ���� ���� ����������� �� ��� �����?
I ����� ��� ���� ��: ����� ��������, C�������� ����������� �� 1D /2D / 3D PDE, �� �� ������ ����� ����������
�� � & �� �� ����� ����� ������� ����������� �� �. �������� ��� ��������� ��� ������� ������� �� ����� ��������. C�� ��
�� ���� �� ������� �� 4 ����� �������� ���������� �� � ? •
E������� ���� ����������� �� ���� �� ��������� ����������� ���� ��� ���� ��������. 11
08�11�2018 (14�07�2017)
15.4
����� ��� ����������� �� ������: ���� ����� �� ���� ��� ����������� �� ������? •
����� �������������.
•
E������ ���������������� ������������ ���������� ���� �������� ������ ��������� ���� ������ ����� ����������. ����������. ����� ������4. ������4. ���� ����� ����� �� �������� ����� .
•
E������ ������� ������������ ���������� ��� �� ���� ��� ���������� �� ��� PDE�. PDE�.
CHAP�E��16 16. A��������� 16.1.
������1, 2��, 2��, & 3 (������������ �� ��������� ��� �������� ������ ��������� ���� ������ ������
����������) ����������) 16.2.
������4 (������������ �� ��������� ��� �������� ������ ��������� ���� ������ ������ ���������� )
16.3.
E���� ����� ������� �������� ���� ��� ����� (17.8 & 17.9)
CHAP�E��17 17. B�����������
Top-5 books #: Shown in RED 17.1 The Numerical Numerical Method Method of Lines (MOL) – Integration of PDEs, 1991, W.E.Schiesser 17.2 Dynamic modeling of of transport process systems, 1992, Silebi, Silebi, & W.E.Schiesser 17.3 Recent development in numerical methods & software for ODE / DAE / PDE , 1992, G.D.Byrne, & W.E.Schiesser (pp 97-123) 17.4 Computational mathematics in engineering and applied science, 1994, W.E.Schiesser 17.5 Computational transport phenomena, 1997, W.E.Schiesser 17.6 Adaptive method of lines (MOL), 2001, W.E.Schiesser (chapter-1) 17.7 Ordinary & PDE routines in …MATLAB, …MATLAB , 2004, Lee, & W.E.Schiesser 17.8 A compendium of PDEs models: method of lines analysis with MATLAB , 2009, W.E.Schiesser, and G.W.Griffiths 17.9 Travelling wave analysis of PDEs: numerical and analytical solutions with MATLAB & MAPLE, MAPLE, 2012, G.W.Griffiths & W.E.Schiesser 17.10 PDE analysis in biomedical engineering, biomedical engineering, 2013, W.E.Schiesser W .E.Schiesser 17.11 Differential equations analysis in in biomedical biomedical science & engineering: Differential equations with R, 2014, W.E.Schiesser 17.12 PDEs analysis in biomedical science & science & engineering: PDEs with R, 2014, W .E.Schiesser 17.13 An introductory global CO2 model, model, 2015, McHugh A.J, & W.E.Schiesser 17.14 Method of lines (MOL) PDE analysis in biomedical science & engineering, 2016, W.E.Schiesser (with MATLAB programs) MATLAB programs) 17.15 Spline collocation methods for PDEs – With applications in R, 2017, W.E.Schiesser W.E.Schiesser 17.16 Numerical methods for ODEs, ODEs, II edition, edition, 2008, J.C.Butcher J.C.Butcher (pp-146) 17.17 Fundamental numerical methods for electrical electrical engineering, 2008, Stanislaw Rosloneic (ch-6) 17.18 Solving applied mathematical mathematical problems with MATLAB, MATLAB, Xue, & Chen 17.19 Handbook of non-linear PDEs, Polyanin 17.20 Numerical analysis analysis using R, Graham W. Griffiths, Griffiths, 2016 17.21 The Numerical Methods in FORTRAN, 1990, M.G. Salvadori Salvadori & McCormick McCormick 17.22 PDEs with Fourier Fourier series & BV problems, II edition, 2005, Nakhle’ H. Asmar (for Laplace equations in 2D & 3D PDEs) 17.23 Numerical Methods, Methods, Robert Robert W. Hornbeck, 1982 (Chapter-3) (Chapter-3) 17.24 Numerical PDEs for Environmental Scientists Scientists & Engineers Engineers – a practical course, 2005 (Chapter-2) 17.25 Computational electromagnetic electromagnetic with with MATLAB, fourth edition, edition, 2018, Matthew N.O.Sadiku 12
08�11�2018 (14�07�2017)
Note: Above books are available with me. Top-articles: # In RED 17.26 Formulae for numerical differentiation, W. G. Bickley, Bickley, Mathematical Gazette, vol-25, issue 263, pp 19-27,1941 (//www.cambridge.org/). 17.27 Generation of finite difference formulas on arbitrarily spaced grids, B.Fornberg, Mathematics of computation, vol-51, no. 184, 1988, pp 699-706 17.28 B. Fornberg, 1992 (pp 97 – 124) 1 24) in “recent developments of software… 17.29 Calculation of weights in finite difference formulas, B. Fornberg, Fornberg, SIAM Rev., vol-40, no.3, pp 685691, 1998 17.30 Web site: //http.lehigh.edu/~wes1/books/mol //http.lehigh.edu /~wes1/books/mol/library /library Programs are Programs are available for some of the above books authored by W.E.Schiesser
13
08�11�2018 (14�07�2017)
N�������� D�������������� �� H����� O����� & O����� & ����� ����������� �� PDE� P��������� �� ��������� ��� ����� ��������: ������1 C�� �� ������� ������������ & ���� �� ��� ����� ��� � �� � ����� �����������? A�� ������������ ����� �� ������������?
O���� �� ���������� I II III I� � �I �II �III I� �
C����������� ��� ��������� ���������������
1 1
1 1 �3 �4
0 �2 0 6
�1 1 3 �4
� � �1 1
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
N���: A����� ��� ����� ���� ��� ��������� �� ������2.
===================================================================
P��������� �� ��������� ��� ����� ��������: �������� : ������2 C�� �� ������� ������������ & ���� �� ��� ����� ��� I �� I� ����� �����������? A�� ������������ ����� �� ������������?
C����������� I II III I� � �I �II �III I� �
1 1
1 1 �9 �10
1 1 �7 �8 36 45
�5 �6 21 28 �84 �120
10 15 �35 �56 126 210
0 �20 0 70 0 �252
�10 15 35 �56 �126 210
N���: F�� ������2: A����� ���������:
�
��� �� ���� �� ��� ������2, � ������ ��������� �� ������1.
14
5 �6 �21 28 84 �120
�1 1 7 �8 �36 45
� � �1 1 9 �10
� � � � �1 1
08�11�2018 (14�07�2017)
N�������� D�������������� �� H����� O����� & O����� & ����� ����������� �� PDE�: ������3 O���� �� ���������� I II III I� � �I �II �III I� �
C����������� ��� ��������� ���������������
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8 �9 �10
� 1 3 6 10 15 21 28 36 45
� � �1 �4 �10 �20 �35 �56 �84 �120
� � � 1 5 15 35 70 126 210
� � � � �1 �6 �21 �56 �126 �252
� � � � � 1 7 28 84 210
� � � � � � �1 �8 �36 �120
������
� � � � � � � 1 9 45
� � � � � � � � �1 �10
� � � � � � � � � 1
N���: P��������� �� ��������� ��� ����� �������� . O������ ������������ �� ��� ������1: ����� ������ (K��� �����������, ������ ��������������): ����� ��������: ����� ����� # ================================================================================
15
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
08�11�2018 (14�07�2017)
N�������� D�������������� �� H����� O����� & O����� & ����� ����������� �� PDE� ������3(�): E��� ������3(�): E��� ����� ����������� O���� �� ���������� I II III I� � �I �II �III I� �
C����������� ��� ��������� ��������������� ��+5 � � � � � � � � 1
��+4 � � � � � � � 1 � �10
��+3 � � � � � 1 � �8 � 45
��+2 � � � 1 � �6 � 28 � �120
��+1 � 1 � �4 � 15 � �56 � 210
�� � �2 � 6 � �20 � 70 � �252
�I�1 � 1 � �4 � 15 � �56 � 210
���2 � � � 1 � �6 � 28 � �120
������ ���3 � � � � � 1 � �8 � 45
���4 ���4 � � � � � � � 1 � �10
���5 � � � � � � � � � 1
� 3 � 5 � 7 � 9 � 11
������3(�): O�� ������3(�): O�� ����� ����������� O���� �� ���������� I II III I� � �I �II �III I� �
C����������� ��� ��������� ��������������� ��+5
��+4
� � �
� � �
� � � 1 �
� 1 � �9 �
��+3 � � � � 1 � �7 � 36 �
��+2 � � 1 � �5 � 21 � �84 �
� �+5 �+5 = �(�+5.�)
� ��5 ��5 = �(��5.�)
� �+4 �+4 = �(�+4.�)
� ��4 ��4 = �(��4.�)
� �+3 �+3 = �(�+3.�)
� ��3 ��3 = �(��3.�)
� �+2 �+2= �(�+2.�)
� ��2 ��2 = �(��2.�)
� �+1 �+1 = �(�+�)
� ��1 ��1 = �(���)
��+1 1 � �3 � 10 � �35 � 126 �
�� �1 � 3 � �10 � 35 � �126 �
�I�1
� 1 � 5 � �21 � 84 �
� � = �(�)
16
���2 � � � � �1 � 7 � �36 �
������ ���3 � � � � � � �1 � 9 �
���4 � � � � � � � � �1 �
���5 � � � � � � � � � �
� 2 � 4 � 6 � 8 � 10 �
08�11�2018 (14�07�2017)
��
������4: �� ������4: �� �� 4 ����� ����������� (������ ����� ���������� �����) �����) O���� �� ���������� I II III I� � �I �II �III I� �
C����������� ��� ��������� ��������������� ��+5
��+4
� � � � � � �
������
� � �
��+3 � � �1 �1
��+2 �1 �1 8 12
��+1 8 16 �13 �39
�� 0 �30 0 56
�I�1 �8 16 13 �39
���2 1 �1 �8 12
���3 � � 1 �1
���4 � � � �
���5 � � � �
� 4 5 6 7
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����: 1. N�������� PDE� ��� ������������� ���������� & ��������� � A ����� ��������� ������, 2005 (����� 2.6), ������ �. ����� 2. N�������� M������, (C�������3) ������ �. �������� , 1982
17
08�11�2018 (14�07�2017)
A ���������� �� PDE ������ � M����� �� ����� �������� ���� MA�LAB, 2009 D�. �.E.��������� & D�. G.�.G��������
�. N�.
C������ #
E���� �������� �����?
O���� �� δ�/δ�
O���� �� ������� ���������� �� ���������� �� PDE
������� ����������
M����� �������
1D
2D
3D
�������
1
2
���
1
II
���
�
�
C�������� ����������� C�������� �����������
2
3
���
1
II
���
�
�
3 4
4 5
��� ���
1 1
II II
��� ���
� �
� �
��� ���
���� ����, ��� ���������� , �������� ������., ������������� ����
C�������� ����������� C�������� �����������
5
6
���
1
II
���
�
�
���
����
6
7
���
1
III
���
�
�
����
7
8
N�
2
II
���
�
�
����
8
9
N�
2
II
���
�
�
9
10
N�
0
II
�
���
�
10 11
11 12
N� ���
0 1
II III
� ���
� �
��� �
��� ���
12
13
N�
1
������ ����� �� �, ����� ����� �� �
���
�
���
����������� �����������, �����. E���, ����������, 2D PDE�
13
14
N�
1
������ ����� �� � ��� θ
���
���
���
��������� �����������, ��������� ��������
P�������������
���
����
E������� ���� �������# E���� �������� �����
E���� �������� �������
B���� K�������� ��������
2, 12
8
P������� ��������
3, 5, 7
10
4, 6
9, 11, 13, 14
A������� ��������� �������
C������� 2 C������� 10
2D PDE
C�������
3D PDE
1D PDE
18
���� ���� ����, ����� ����������
08�11�2018 (14�07�2017)
���������� ���� �������� �� PDE� � N�������� & A��������� ������� ���� MA�LAB & 2012 D�. G����� �. G�������� & D�. �.E.���������
�. N�.
C������ #
E���� �������� �����?
O���� �� δ�/δ�
O���� �� ������� ���������� �� ���������� �� PDE
������� ����������
M���� ����
1D
2D
3D
1
2
���
1
I
���
�
�
2
3
���
1
II
���
�
�
3
4
���
1
II
���
�
�
4
5
���
1
II
���
�
�
5
6
���
1
II
���
�
�
6
7
���
1
II
���
�
�
7
8
���
1
II
���
�
�
8
9
���
1
II
���
�
�
9
10
���
1
II
���
�
�
10
11
���
1
I�
���
�
�
11
12
���
1
�
���
�
�
12
13
���
1
II
���
�
�
13
14
���
1
I
���
�
�
14
15
���
2
II
���
�
�
15
16
���
2
II
���
�
�
16
17
���
2
II
���
�
�
17
18
���
2
I�
���
�
�
18
19
���
2
II
���
�
�
P������������� B���� K�������� ��������
E������� ���� �������# 2, 3, 11, 12, 15
P������� ��������
4�10, 14, 16�19
A������� ��������� ��������
13
19
APPENDIX-2
weight coefficients
10/26/17 12:25 AM
c =
m..>
0
MATLAB Command Window
1 of 1
Coefficients of m=2, 3pts 1
2
0
-0.5000
1.0000
1.0000
0
-2.0000
0
0.5000
1.0000
3 x 3 matrix alpha-1 alpha-2 alpha-3
wtrial02z3ptable1.m
Refer table-1, center approximations, B.Fornberg, table1 (m=0 to 4), 1988
m n p alpha1,...,alpha11
... order of derivative ... order of accuracy ... ...weight coefficients
1 off 5
10/26/17 12:15 AM
c =
MATLAB Command Window
1 of 1
coefficients for m=4, 5 pts. 5 x 5 matrix
m..>
0
1
2
3
4
0
0.0833
-0.0833
-0.5000
1.0000
0
-0.6667
1.3333
1.0000
-4.0000
1.0000
0
-2.5000
0
6.0000
0
0.6667
1.3333
-1.0000
-4.0000
0
-0.0833
-0.0833
0.5000
1.0000
wtrial04z5ptable1.m
alpha-1 alpha-2 alpha-3 alpha-4 alpha-5
MATLAB Commfor andm=6, Wind7pts ow Coefficients
10/25/17 11:49 PM
1 of 1
7 x 7 matrix
c =
m=6
0
1
0
-0.0167
0
2
3
4
5
6
0.0111
0.1250
-0.1667
-0.5000
1.0000
0.1500
-0.1500
-1.0000
2.0000
2.0000
-6.0000
0
-0.7500
1.5000
1.6250
-6.5000
-2.5000
15.0000
1.0000
-0.0000
-2.7222
0
9.3333
0
-20.0000
0
0.7500
1.5000
-1.6250
-6.5000
2.5000
15.0000
0
-0.1500
-0.1500
1.0000
2.0000
-2.0000
-6.0000
0
0.0167
0.0111
-0.1250
-0.1667
0.5000
1.0000
wtrial06z7ptable1.m
alpha-1 alpha-2 alpha-3 alpha-4 alpha-5 alpha-6 alpha-7
10/26/17 12:32 AM
c =
m...>
MATLAB Command Window Coefficients for m=8, 9 pts.
0
1
2
0
0.0036
-0.0018
0
-0.0381
0
3
1 of 1
9 x 9 matrix
4
5
6
7
8
-0.0292
0.0292
0.1667
-0.2500
-0.5000
1.0000
0.0254
0.3000
-0.4000
-1.5000
3.0000
3.0000
-8.0000
0.2000
-0.2000
-1.4083
2.8167
4.3333
-13.0000
-7.0000
28.0000
0
-0.8000
1.6000
2.0333
-8.1333
-4.8333
29.0000
7.0000
-56.0000
1.0000
-0.0000
-2.8472
-0.0000
11.3750
-0.0000
-37.5000
0
70.0000
0
0.8000
1.6000
-2.0333
-8.1333
4.8333
29.0000
-7.0000
-56.0000
0
-0.2000
-0.2000
1.4083
2.8167
-4.3333
-13.0000
7.0000
28.0000
0
0.0381
0.0254
-0.3000
-0.4000
1.5000
3.0000
-3.0000
-8.0000
0
-0.0036
-0.0018
0.0292
0.0292
-0.1667
-0.2500
0.5000
1.0000
Refer table-1, center approximations, B.Fornberg, 1988
alpha1
alpha9
1 f o 1
1 1 a h p l a
1 a h p l a
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 . . . . . . . . . . . 1 0 5 0 0 2 0 0 5 0 1 1 4 2 1 5 1 2 4 1 - 1 2 2 2 1 -
0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 5 0 5 0 0 0 0 5 0 5 . . . . . . . . . . 0 4 3 4 1 1 4 3 4 0 - 1 2 2 2 2 1 -
9
x 3 3 0 0 0 0 0 0 0 3 3 i 3 3 0 0 0 0 0 0 0 3 3 r t 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 3 a 8 3 3 0 0 0 0 0 0 0 3 3 8 . . . . . . . . . . . m 0 4 3 8 6 4 6 8 3 4 0 - 2 6 2 5 2 6 2 1 - 1 1 1 1 x 3 7 0 0 0 0 0 0 0 7 3 1 8 6 5 0 0 0 0 5 6 8 1 7 0 6 2 0 5 5 0 2 6 0 2 1 6 0 7 7 0 6 1 2 7 . . . . . . . . . . 0 2 8 7 5 - 1 1 -
7 2 & 6 2 p p , 1 4 9 1 , y e n k c i B . G . W : r e f e R
5 7 8 2 0 1 1 -
2 7 5 0 0 0 0 0 5 7 2 4 1 7 0 5 0 5 0 7 1 4 5 9 3 0 7 5 7 0 3 9 5 6 0 7 4 5 3 1 3 5 4 7 0 . . . . . . . . . . . 0 0 5 9 0 1 0 9 5 0 0 - 1 4 5 4 1 -
. 6 s t p 1 w 1 , o 1 8 8 0 2 0 2 0 8 8 1 d 0 5 7 8 0 9 0 9 0 8 7 5 n 1 4 2 1 0 2 0 2 0 1 2 4 i 5 0 5 7 5 7 0 7 5 7 5 0 5 W = . . . . . . . . . . . 0 0 2 6 6 0 6 6 2 0 0 d m - f n a o m m s t 4 4 0 5 2 7 2 5 0 4 4 o n 5 3 4 7 2 1 2 7 4 3 5 C 4 0 8 4 6 7 4 7 6 4 8 0 4 e i 0 0 6 4 2 7 2 4 6 0 0 B c . . . . . . . . . . . i A f 0 0 3 9 2 9 3 0 0 0 f L 0 1 T e A o M C 8 4 0 7 1 0 1 7 0 4 8 6 3 3 3 8 0 8 3 3 3 6 3 0 8 8 3 1 0 1 3 8 8 0 0 0 4 7 3 0 3 7 4 0 0 . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 2 0 2 1 0 0 0 - -
3
3 0 7 1 7 2 7 1 7 0 3 0 5 9 8 6 7 6 8 9 5 0 0 0 3 3 6 2 6 3 3 0 0 2 0 0 0 2 6 9 6 2 0 0 0 . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 -
2
8 9 5 1 3 0 3 1 5 9 8 0 9 9 8 3 0 3 8 9 9 0 0 0 5 3 3 0 3 3 5 0 0 1 0 0 0 2 8 0 8 2 0 0 0 . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - -
1
M A 6 0 : 2 1 8 0 / 7 1 / 6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 > . . m
0 0 0 . 1
> . . . . . . m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 1 1 1
1 a h p l
m . 1 e l b a t p 1 1 z 0 1 l a i r t w