Nuevo Curriculum de Matemáticas en el nivel básico "
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Hugo Balbuena Corro En esta exposición voy a referirme al currículo explícito y prescrito en los materiales de uso común en el Sistema educativo Nacional, es decir, en los libros de texto gratuitos y en los materiales de apoyo para el maestro. Considerare al currículo como el conjunto de propósitos, contenidos, enfoques didácticos y criterios de evaluación que regulan la práctica docente en los niveles de preescolar, primaria y secundaria.
El plan y programas de estudio 4 tiene como propósito organizar la enseñanza y el aprendizaje de contenidos básicos, entendiendo por básico no un conjunto de conocimientos mínimos o fragmentados, sino algo que permite adquirir, organizar y aplicar saberes de diverso orden y complejidad creciente. Uno de los propósitos centrales de la educación básica consiste en estimular
ANTECEDENTES
Las habilidades que son necesarias para el aprendizaje permanente y, en el caso particular de Matemáticas, se trata de desarrollar habilidades intelectuales que permitan aprender permanentemente y con independencia.
El nuevo currículo de Matemáticas en la educación básica ha estado vigente desde el año escolar 1993-1994 y es el resultado de un proceso que se inició en 1989 con una consulta nacional para identificar los principales problemas educativos del país, precisar las prioridades y definir estrategias para su atención. De aquí surgió el Programa para la modernización Educativa 1989-1994,2 en que se establecieron las siguientes prioridades: •
•
•
La renovación de los contenidos y los métodos de enseñanza. El mejoramiento de la formación de maestros. La articulación de los niveles educativos que conforman la educación básica.
El proceso que se inició en 1989 incluyo la evaluación de los planes de estudio, programas y libros de texto, el desarrollo de planes experimentales a través de lo que se llamó la prueba operativa, la puesta en consideración del documento Hacia un nuevo modelo educativo, en el que se dieron a conocer los criterios centrales para la reforma; La firma del Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica 3 en mayo de 1992; un Programa Emergente de Reformulación de Contenidos y Materiales Educativos, del que surgieron las guías para el maestro de enseñanza primaria, que fueron utilizadas durante el año escolar 1992-1993.
Los rasgos centrales que distinguen al nuevo currículo del que estuvo vigente hasta el año escolar 1992-1993, con respecto a cada uno de los aspectos que integran el currículum son los siguientes.
EN RELACIÓN CON LOS PROPÓSITOS Sé el mayor énfasis en el desarrollo de habilidades y del razonamiento matemático para la resolución de problemas a partir de situaciones prácticas. Hay una formulación suficientemente precisa de los propósitos, que otorga al maestro un margen más amplio de desición en la organización de las actividades didácticas, a cambio de la enunciación de un número muy elevado de objetivos que se dividan, en los programas anteriores, en generales, particulares y específicos.
EN RELACIÓN CON LOS CONTENIDOS Y ENFOQUES DIDÁCTICOS Los programas de Matemáticas que integran tanto el plan de estudios de la educación primaria como el de la educación secundaria, organizan la enseñanza y el aprendizaje de contenidos básicos para asegurar que los alumnos adquieran conocimientos, desarrollen habilidades intelectuales y fomenten actitudes positivas hacia el estudio en general. A continuación intentaré describir cada una de estas categorías.
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Programa para la Modernización Educativa 1989-1994, México, SEP, 1990. 3 Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica, México, SEP, 1992.
4
Plan y Programas de estudio (primaria y secundaria), México, SEP, 1993. 11
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
En esta categoría se agrupan los saberes que los alumnos tienen o deberían tener disponibles en la memoria y que puede utilizar en cualquier momento para resolver problemas más complejos. La apropiación de estos saberse puede darse en distintas formas, por ejemplo, a través de la información que les proporciona el maestro, obteniendo sus propias conclusiones después de resolver situaciones problemáticas o a través de la interacción con sus compañeros o con el medio social en que viven. Para mayor claridad sobre este aspecto, lo he dividido en tres subcategorías que a continuación se ejemplifican.
El desarrollo de habilidades matemáticas es la esencia del enfoque didáctico que se propone en el currículum actual para la educación básica. Dichas habilidades se reflejan en la posibilidad que tienen los alumnos de resolver problemas en distintos ámbitos de la matemática, apelando a sus conocimientos y a su inventiva para establecer relaciones de diversa índole.
ALGORITMOS Se entiende por algoritmo un conjunto de pasos que se siguen para resolver una operación. El conocimiento de los algoritmos implica procesos de estudio que se inician desde el nivel preescolar, al resolver situaciones sencillas mediante el uso de procedimientos informales como el conteo. En el transcurso de la educación primaria se desarrollan secuencias de actividades para que los alumnos conozcan las relaciones básicas que se pueden establecer entre los elementos que intervienen en una operación. En el nivel de secundaria se revisan y completan dichos procesos.
CONCEPTOS En esta subcategoría se incluye el significado de términos matemáticos que permiten comprender los problemas que se plantean de manera oral o escrita, así como la comunicación en general. Se trata de la familiarización gradual con el vocabulario que se utiliza en matemáticas. Términos tales como número primo, divisor, paralela, ángulo agudo, etcétera.
HECHOS BÁSICOS Se incluye en este apartado el conocimiento de ciertos axiomas, reglas o teoremas aritméticos o geométricos que llegan a formar parte de la cultura matemática del alumno, tales como el que la suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a 180 grados; que el producto de dos números negativos da como resultado un número positivo; que calcular el 50% equivale a obtener la mitad, etcétera. 12
La diferencia más importante en términos de desarrollo de habilidades, entre la educación primaria y secundaria, radica en la inclusión, en este último nivel, de actividades que implica los primeros acercamientos hacia el razonamiento deductivo. Un ejemplo de este tipo de actividades se refiere a la deducción de algunas fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas (libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, pp.279283). En los propósitos generales de la asignatura se distinguen siete tipos de habilidades en la educación primaria y uno más en la educación secundaria. Estas habilidades se interrelacionan y confluyen en la posibilidad que tiene los alumnos para resolver problemas. A continuación se describe brevemente cada uno de los tipos de habilidad que se pretende desarrollar en la educación básica. 1. La habilidad de estimar resultados cuando se resulten problemas, se efectúan operaciones o se realizan mediciones. El desarrollo de esta habilidad trae consigo el fomento de una actitud muy importante en el estudio de las matemáticas que se refiere al trabajo autónomo y a la responsabilidad matemática (Chevallard, Y. 1997) 5 Esta última no consiste más que en hacerse cargo de los resultados que se obtiene, verificarlos y en caso necesario validarlos ante los demás compañeros. Se sabe que esta actitud no surge espontáneamente de los alumnos, más bien lo que se observa es una gran dependencia para que el profesor dé su aprobación ante cualquier intento de solución.
5
Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, y. Chevallard et al., Barcelona, Horsori, 1997.
El desarrollo de esta habilidad se favorece a través de lo que se ha llamado actividades permanentes (libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, 1994, p.46) que se sugiere realizar cada vez que se va a resolver un problema, una operación o cuando se intenta realizar alguna medición. Antes de que los alumnos empiecen realizar sus cálculos el profesor puede preguntar: ¿Cómo cuánto creen que va a resultar? Los alumnos anticipan un resultado y enseguida verifican qué tan cerca o qué tan lejos estaban. Este recurso didáctico que parece tan simple trae consecuencias muy positivas para la formación de los alumnos: •
•
• •
Los anima a entender mejor el problema Obtienen elementos para controlar el resultado que buscan Se responsabilizan de la solución Se motivan al confrontar el resultado que anticiparon con el que obtienen después de seguir un procedimiento más riguroso.
El estudio de las ecuaciones es un tema fundamental en la educación secundaria y en muchos casos conviene que los alumnos estimen la solución antes de utilizar un procedimiento formal. Por ejemplo, al resolver la ecuación x + 75x – 850 = 0, no es difícil ver que una de las soluciones es 10, puesto que 10 +75(10)850= 0. La segunda solución es menos evidente pero puede ser encontrada sin mucha dificultad, tomando como referencia la primera. Por supuesto que no siempre la estimación es el recurso más eficiente para llegar al resultado preciso pero sirve para tener idea del rango numérico en el que puede estar. 2. La habilidad de medir o de establecer relaciones entre magnitudes para encontrar una medida (longitudes, superficies, volúmenes, masa, etcétera) utilizando unidades arbitrarias o convencionales, así como para seleccionar una unidad de medida adecuada a las situación que se presenta. A diferencia d lo que sucede en los programas de matemáticas de la educación primaria, en los que la medición constituye en eje temático, puesto que las actividades se centran en la construcción de la noción de medir, en los programas de secundaria los
contenidos de medición se incluyen en el estudio de la geometría, de manera que uno de los propósitos en este nivel es “la resolución de numerosos problemas de cálculo geométrico” (libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, p. 33). A continuación se muestra un ejemplo de este tipo de problemas: Calcular la altura de un triángulo isósceles de base igual a 1.5 cm. y área igual a 12.5 cm². 3. La habilidad de imaginar que se desarrolla fundamentalmente con el estudio de la geometría, se refiere, por ejemplo, a establecer correspondencias entre desarrollos planos y cuerpos geométricos, determinar figuras y cuerpos conociendo algunas características, anticipar la forma de figuras o cuerpos en revolución, transformar superficies en sus equivalentes, etcétera. Un ejemplo de problema que implica la habilidad de imaginar es el siguiente: Utilizando compás o escuadras, ¿cómo harías para dividir un triángulo cualquiera en 4, 9, 16, 25,36… triángulos pequeños congruentes entre sí? 4. La habilidad de operar. De acuerdo con el enfoque actual para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el nivel básico, conviene hacer una separación entre la habilidad que desarrollan los alumnos para resolver problemas y el uso de diferentes técnicas para efectuar los cálculos (Balbuena, et al., 1995). Se puede hablar de dos procesos paralelos íntimamente relacionados que requieren un tratamiento didáctico propio. La habilidad para resolver problemas se logra descubriendo relaciones a partir de cierta información que se presenta en un texto, una ilustración, una gráfica, o bien entre elementos u objetos del mundo físico. En muchos casos es necesario efectuar cálculos y se recurre a las operaciones o instrumentos con los que se tiene cierta familiaridad. En el ámbito matemático, la habilidad de operar consiste en descubrir relaciones entre números o expresiones para 13
producir un resultado. Esta habilidad puede revelarse al encontrar elementos faltantes en una operación, al formular operaciones que cumplan condiciones establecidas o, en general, al efectuar cálculos mentalmente o por escrito.
Un ejemplo de problema que implica la habilidad de operar es el siguiente:
En cada cuadrito anota los números que sean convenientes de tal forma que al realizar la operación los dígitos que aparecen correspondan a la operación indicada.
1
7
x
5
6 28
1
7
3
4
0 7 1 6
5
Un ejemplo más en el que se plantea un problema abierto acerca de las relaciones entre los términos de una división, es el siguiente: Encontrar cinco divisiones que tengan como residuo 30 Un ejemplo más en el que se requiere utilizar la relación entre los sumandos y la suma: El siguiente cuadro es mágico, en este cuadrado la suma de cada columna, renglón o diagonal debe dar como resultado 3 / 2. En los espacios en blanco anota las fracciones que completen el cuadro mágico.
5 / 14
41 /
5 /
42
29 /
14
42
6
5. La habilidad de comunicar e interpretar tiene que ver con el uso del lenguaje simbólico, tablas, diagramas o gráficas. Por ejemplo, se trata de que los alumnos puedan comunicarse mediante números o expresiones algebraicas de distintas maneras, a la vez que puedan interpretarlos. El desarrollo de esta habilidad en el nivel de secundaria es de vital importancia por el uso del lenguaje algebraico. Un ejemplo de problema que favorece el desarrollo de esta habilidad es el siguiente: (Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, p. 340) En la siguiente tabla se presenta la constitución química (en porcentajes) de algunos animales de granja. Encontrar la constitución química, en porcentajes, del animal de granja promedio. De entre los animales de la lista, ¿cuál es el que se aproxima más al animal promedio?
Animal
Caballo
Prótidos
Lípidos
17
Glúcidos
Minerales
Agua
17
1.5
4.5
60
4.6
54
Buey
15
26
0.4
Borrego
16
20
0.6
Puerco
15
24
0.2
2.8
58
Pollo
21
19
0.8
3.2
56
6. Una habilidad más es la de inferir (del latín inferre, llevar a una parte). Sacar una consecuencia de un hecho o un principio. Se refiere a la posibilidad de establecer relaciones entre los datos que aparecen en texto, en una ilustración, en una tabla, grafica o diagrama, para encontrar un resultado. Un ejemplo de problema que favorece el desarrollo de esta habilidad es el siguiente:
C
d
60
Un ejemplo más en el que se requiere obtener una consecuencia a partir de un conjunto de datos es el siguiente: Determinar el número que cumple con las siguientes condiciones: Tiene ocho cifras, cuatro son iguales y están juntas, la cifra de las centenas de millar es sucesor de la cifra de las decenas y es el sucesor de la cifra de las unidades de millón.
Cuatro hermanos quieren comprar una enciclopedia que vale $950.00. Para hacerlo, cada uno ahorra la misma cantidad mensualmente y sus padres deciden ayudarlos con $ 75.00 cada mes. Si al cabo de cinco meses ya habían completado para pagar la enciclopedia y les sobraban $25.00, ¿cuánto ahorro cada hermano mensualmente?
Millones
3.4
Sólo una de las cifras del número es impar y doble de su valor es la cifra de las decenas de millón. También se sabe que la cifra de las unidades es el cuádruplo de la cifra de las centenas.
Millares
u
c
6
7. La habilidad de generalizar que se refiere fundamentalmente al desarrollo del razonamiento inductivo, el cual se produce cuando se logra obtener una conclusión general a partir de varios casos particulares. Un ejemplo típico de problemas que permiten el desarrollo de esta habilidad es el que consiste en hallar patrones numéricos o geométricos, o bien modificar las condiciones de un problema para derivar diferente resultados a partir de un caso particular. El desarrollo de esta
d
Unidades
u
c
d
u
2
habilidad también genera una actitud positiva por parte del alumno si, de manera sistemática, siempre que las condiciones del problema y el tiempo lo permitan, el maestro plantea la pregunta: ¿y qué pasaría si en vez de tal cantidad, figura, término, etcétera, fuera tal? Poco a poco se irá generando en los alumnos una actitud de búsqueda, más allá de lo que el maestro les pregunta.
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A continuación se muestra un ejemplo de problema en el que se requiere encontrar un patrón numérico para poder anticipar diversos números que forman una sucesión.
7² - 6² = 345² - 344² = n² - (n – 1)² = Observa los resultados que se obtienen en las primeras seis operaciones y luego sin que hagas las últimas operaciones, escribe cuál es el resultado
Problema 1 Observa la operaciones: 2² 3² 4² 5² 6²
-
1² 2² 3² 4² 5²
siguiente
secuencia
de Un ejemplo más en el que se parte de una disposición geométrica para encontrar un patrón numérico, es el siguiente:
= = = = =
Problema 2 Observa la siguiente sucesión de figuras
La primera figura tiene un solo cuadrado, la segunda tiene cuatro, etcétera. ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupe el lugar numero 100?
Las ocho habilidades descritas anteriormente confluyen en lo que es el propósito medular de la enseñanza, el estudio y el aprendizaje de las matemáticas en la educación básica, esto es, la habilidad para resolver problemas.
Y un ejemplo más en el que se trata de resolver un problema que implica un proceso de generalización.
Problema 3 Si esta semana ahorro un peso y la siguiente el ahorro el doble, es decir $ 2 y la siguiente duplico mi ahorro, esto es, $4, y sigo así todas las semanas, ¿cuánto ahorrare en dos meses? ¿Cuántas semanas tardaré en ahorrar aproximadamente $ 10 000? ¿Con cuánto debo iniciar si duplicando mi ahorro cada semana, quiero acumular $994.50 en dos meses? 8. La habilidad para deducir (del latín deducere), es decir, sacar consecuencias de un principio, proposición o supuesto y, en general, llegar a un resultado por un razonamiento. El desarrollo de esta habilidad se menciona en los programas de segundo y tercero de secundaria y se dan algunas orientaciones en el libro para el maestro. Lo sustancial es que mediante el análisis de algunos casos particulares los alumnos hagan conjeturas y puedan validarlas o desecharlas.
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ACTITUDES Aunque el desarrollo de actitudes sólo aparece explícito en el libro para el maestro, Matemáticas. Sexto grado, 6 implícitamente está presente en muchas de las recomendaciones didácticas que se pueden leer en los libros para el maestro de los diferentes grados. De aquí he desprendido tres categorías que me parecen las más importantes:
COLABORACIÓN En la propuesta curricular hay una orientación clara hacia el trabajo en equipos, lo que implica una labor sistemática por parte del maestro para que los alumnos compartan opiniones que les permita resolver los problemas que se les plantea. Se pretende que los integrantes de cada equipo asuman la responsabilidad de los procedimientos que utilizan y de los resultados que obtienen, de manera que cualquiera de ellos esté en posibilidad de explicarlos y validarlos.
6
Libro para el maestro. Matemáticas (de primero a sexto grados), México, SEP, 1993-1994.
INVESTIGACIÓN Dado que un aspecto importante del enfoque didáctico que se propone en el currículo de la educación básica consiste en que el maestro plantee problemas y los deje en manos de los alumnos para que éstos busquen diferentes alternativas de resolución, esto favorece el desarrollo de una actitud de búsqueda y de comprobación de diferentes estrategias.
AUTONOMÍA Como consecuencia de la manera en que el profesor interactúa con los alumnos, se fomenta en éstos la autonomía para el estudio y para validar sus descubrimientos. En la medida en que los alumnos se hacen cargo de los procedimientos y resultados que encuentran, la tarea de revisar los trabajos se implica considerablemente.
EN RELACIÓN CON LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN Uno de los aspectos a evaluar en la educación básica se refiere a los conocimientos, habilidades y actitudes, mediante un proceso formativo y continuo que permita mejorar permanentemente los niveles de logro. Aunque en los materiales de apoyo para el maestro no hay sugerencias concretas de instrumentos que permitan recabar información, se dan criterios generales para que haya coherencia entre el enfoque didáctico y la evolución. Por ejemplo, la necesidad de evaluar sobre todo los procedimientos y no únicamente los resultados, que los errores se utilicen como una fuente de aprendizaje, la importancia de la evaluación cualitativa, etcétera.
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