Muestreo Reconstruccion Control Digital

MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES Teoría de circuitos y sistemas

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Introducción • Sabemo emos modelar lar sis sistemas continuos (Laplace) o sistemas discretos (Z). • Pero Pero en much muchos os caso casoss los los sist sistem emas as cont contie ienen nen tant tanto o bloques continuos como bloques discretos. • Ejemplo: control de un sistema físico (continuo) mediante un computador (discreto). • Se nece necesit sitan an eleme element ntos os que perm permititan an inter interco conec necta tarr sistemas continuos con sistemas discretos. • Esto Estoss ele eleme ment ntos os deben deben servir servir para para conv conver ertitirr una una seña señall continua en una secuencia y viceversa:  – Muestreador: convierte una señal continua en una secuencia.  – Bloqueador: convierte una secuencia en una señal continua. 2

Introducción • Sabemo emos modelar lar sis sistemas continuos (Laplace) o sistemas discretos (Z). • Pero Pero en much muchos os caso casoss los los sist sistem emas as cont contie ienen nen tant tanto o bloques continuos como bloques discretos. • Ejemplo: control de un sistema físico (continuo) mediante un computador (discreto). • Se nece necesit sitan an eleme element ntos os que perm permititan an inter interco conec necta tarr sistemas continuos con sistemas discretos. • Esto Estoss ele eleme ment ntos os deben deben servir servir para para conv conver ertitirr una una seña señall continua en una secuencia y viceversa:  – Muestreador: convierte una señal continua en una secuencia.  – Bloqueador: convierte una secuencia en una señal continua. 2

Conexión bloqueador y muestreador  SISTEMA CONTINUO

Señal continua x(t)

MUESTREADOR

Señal discreta {xK}

SISTEMA DISCRETO

Ejemplo en el control de un horno: la temperatura x(t) medida en el horno es introducida a un ordenador como una secuencia {xK}

SISTEMA DISCRETO

Señal discreta {xK}

Señal continua x(t)

BLOQUEADOR

SISTEMA CONTINUO

Ejemplo en el control de un horno: una secuencia de valores {x K} generada por el ordenador es introducida al horno como una tensión x(t) que se debe aplicar en su resistencia. 3

MUESTREO DE SEÑALES

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Muestreo de señales • Permite obtener una secuencia a partir de una señal. x(t)

{xK}

t

T

t

• El muestreador toma los valores de la señal cada cierto tiempo. • Este tiempo se conoce como periodo (T) y normalmente es constante. 5

Representación y comportamiento x(t)

{xK}

T

T = periodo de muestreo Relación entrada/salida en el dominio del tiempo: xk = x(kT) x0 = x(0); x1 = x(T); x2 = x(2T); … 6

Importancia del periodo de muestreo • T debe ser suficientemente pequeño para no perder información de la señal: {x } K

T adecuado

x(t)

t {xK}

t

T excesivo t

• T debe ser elegido en función de la señal a muestrear. 7

Comportamiento del muestreador en los dominios de Laplace y Fourier  • Conocemos la relación x(t) / {xK} en el dominio del tiempo: • Buscamos la relación en los dominios de Laplace y Fourier:  – Dominio tiempo: xk = x(kT)  – Dominio Laplace: X (s) / X(s) ?  – Dominio Fourier : X (ω) / X(ω) ?

{xK}

x(t) X(s)

T

X (s) X (ω)

X(ω)

• Trabajaremos en el dominio de Fourier . • Partimos de las expresiones directa e inversa de la transformada: +∞

 X (ω ) =∫−∞ x(t ) ⋅ e  χ (ω )

=

+∞

∑ xK  ⋅ e

k = −∞

−  jω t 

⋅ dt 

−  jω KT 

 x(t ) =  xK  =

1

+∞

2π  T  2π 

∫−∞ X (ω ) ⋅ e +

∫−

π 

 jω t 

⋅ d ω 

(ω ) ⋅ e  jω KT  ⋅ d ω 

T  χ 

π 

T 

8

•

Operamos sobre el comportamiento del muestreador en el dominio t:  xK  =  x(KT ) =

•

+∞

∫  X (ω ) ⋅ e 2π  −∞

 jω KT 

⋅ d ω 

Dividimos el intervalo de integración en fragmentos de tamaño 2 π/T:

− 5π 

− 3π 

T 

− π  T 

T 

 xK  =

1

+∞

∑ ∫ 2π  = −∞

π 

3π 

T 

( 2 r +1)π 

T  ( 2 r −1)π 

r 

•

1

 X (ω ) ⋅ e

 jω KT 

T 

5π 

t

T 

⋅ d ω 

T 

Hacemos un cambio de variable: ω = Ω + 2πr/T +∞

2π r 

2π r   jΩKT   jKT ⋅ T  1 + ∞ π T  2π r   jΩKT   xK  =  X  Ω + ⋅ e ⋅ e ⋅ d  Ω =  X  Ω + ⋅ d Ω ( ) ( )⋅e ∑ ∑ π  π  − −  ∫  ∫ T  T  2π  r = −∞ T  2π  r =−∞ T  1

π 

T 

9

•

Se introduce 1/T y se cambian de orden sumatorio e integral:

 xK  =

T 

π 

+∞

1

 X (Ω + ∑ ∫ 2π  = −∞ T  T 

−π 

T  r 

•

2π r   jΩKT  ⋅ d Ω )⋅e T 

Comparando con la expresión de xK en la transformada de Fourier, se obtiene:

+∞

2π r   X (ω  + )  χ (ω ) = ∑ T  r = −∞ T  •

La relación en el dominio de Laplace se puede obtener de forma similar:

 χ ( s )

=

+∞

1

∑ T  X ( s +

r = −∞ •

1

2π r  T 

 j )

En ninguno de los casos se puede hablar de función de transferencia, es sólo una relación E/S. 10

Representación gráfica del comportamiento del muestreador en el dominio de Fourier  •

Señal continua de partida (se muestra módulo de su transformada de Fourier y se supone fase 0):  X  (ω )

 A

− ω 0

•

ω 

ω 0

Señal muestreada con periodo T según la fórmula anterior:  χ  (ω )

 A T 

− ω 0

ω 0

ω 

2π  T 

(suma de señales originales escaladas y desplazadas) 11

Periodo de muestreo (I) • • • • •

Interesa conocer el periodo de muestreo T adecuado para cada señal. El objetivo es no perder información. Intuitivamente, señales con contenido en frecuencias más elevadas requerirán menor T (mayor frecuencia de muestreo). La transformada de Fourier nos indica los contenidos frecuenciales. Señal de banda limitada: no contiene frecuencias por encima de un cierto límite, por ejemplo ω0:  X 1 (ω )

− ω 0

ω 0

 X 2 (ω )

− ω 0

ω 

ω 0

ω 

 X 3 (ω )

− ω 0

ω 0

ω 

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Periodo de muestreo (II) •

Muestreamos la señal X2 anterior con 3 periodos distintos:  χ 2 (ω )

T1 − ω 0

ω 

ω 0

2π  T 1  χ 2 (

)

T2 − ω 0

ω 0

ω 

2π  T 2  χ 2 (

T3

− ω 0

)

ω 0

ω 

2π  T 3 13

Periodo de muestreo (III) • •

•

En los dos primeros casos no se produce solapamiento: sería posible reconstruir la señal original (continua) a partir de la señal muestreada. No hay deformación de la señal. En el tercer caso sí se produce solapamiento, y sería imposible reconstruir la señal original. La señal se ha deformado. Relación con el periodo de muestreo: T debe ser suficientemente pequeño para que no se pierda información:

T  <

π  ω 0

•

La misma relación se puede expresar en términos de la frecuencia de muestreo f: 1 T 

>

ω 0 π 

⇒  f  > 2 f 0

La frecuencia de muestreo f debe ser al menos el doble que la máxima frecuencia f 0 contenida en la señal a muestrear (TEOREMA DEL MUESTREO)

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Periodo de muestreo (IV) EJEMPLO: tarjeta de adquisición de datos para un PC. • El tipo de tarjeta a elegir dependerá del tipo de señal a capturar:  – Señales de audio (altas frecuencias): es necesaria una tarjeta con una frecuencia de muestreo rápida (periodo T pequeño).  – Señales de temperatura (variaciones lentas, bajas frecuencias): es suficiente con una tarjeta más simple, con frecuencia de muestreo lenta (periodo T grande).

SITUACIÓN COMÚN: señales no de banda limitada. • Muchas señales reales (por ejemplo, un tren de pulsos rectangulares) no son de banda limitada, contienen todas las frecuencias. • Estas señales nunca se pueden muestrear sin pérdida de información, por pequeño que sea el periodo de muestreo.  X 4 ( )

El módulo de la transformada de Fourier de la señal X4 no llega a hacerse cero; la señal contiene todas las frecuencias

− ω 0

ω 0

ω 

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RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES

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Reconstrucción de señales • Obtención de una señal a partir de una secuencia. Reconstruir = volver a obtener una señal que ha sido muestreada.

• Elemento que realiza la operación: bloqueador. {xK} {xK}

B

x(t) x(t)

NOTA: veremos cómo el ejemplo de reconstrucción mostrado es físicamente irrealizable. 17

Representación del bloqueador  • 2 posibilidades:  – Respuesta impulsional.  – Función de transferencia (en ω o en s). NOTA: para el bloqueador SÍ existe función de transferencia (para el muestreador NO)

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Respuesta impulsional g(t) • Señal continua de respuesta ante una secuencia impulso de entrada. {δK} {δK}

B

g(t) g(t)

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Uso de la respuesta impulsional • La respuesta impulsional de un sistema permite conocer la salida del sistema ante cualquier señal de entrada. • La salida se obtiene como la convolución entre la respuesta impulsional y la entrada. • En el caso del bloqueador, se trata de una convolución híbrida.

 x (t ) = { xK } * g (t ) =

+∞

 x ∑ = −∞

n

⋅ g (t  − nT )

n

20

Función de transferencia • Se utiliza en el dominio s y en el dominio ω. • Se obtienen a partir de las transformadas de Fourier y Laplace de la respuesta impulsional:

G (ω ) = F [g (t )] •

G ( s ) =  L[g (t )]

Ambas permiten conocer la salida (señal continua) a partir de la entrada (secuencia discreta) en los dominios s o ω:

 X (ω ) = G (ω ) ⋅  χ (ω )

 X ( s ) = G ( s ) ⋅ χ ( s )

• Se trata de funciones de transferencia híbridas. 21

Tipos de bloqueadores • En función del criterio seguido para reconstruir una señal continua a partir de los valores de la secuencia. • Estudiaremos 3 tipos:  – Bloqueador ideal.  – Bloqueador de orden 0.  – Bloqueador de orden 1.

22

Bloqueador ideal (I) • Es capaz de reconstruir perfectamente la señal original, si se ha muestreado con un periodo T adecuado (teorema del muestreo). • Visto en el dominio de Fourier, el objetivo es recuperar la transformada de Fourier de la señal original: {xK}

x1(t)

Bi

X (ω)

T

X1(ω)

 X 1 (ω )

 χ (ω )

ω 

−π T 

π 

x2(t) X2(ω)

 X 2 ( )

ω 

ω 

T 

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Bloqueador ideal (II) • La función de transferencia en ω del bloqueador ideal, debe “cancelar” las repeticiones y debe restaurar la escala original:  Bi (ω )

T 

−π 

T 

π 

ω 

⎧T  ⎪  Bi (ω ) = ⎨ ⎪⎩0

ω 

< π  T 

ω 

≥ π  T 

T 

• El valor cero fuera del intervalo central cancela las repeticiones. • El valor T dentro de ese intervalo restaura la escala.

24

Bloqueador ideal (III) • Respuesta ante impulso: −1

g (t ) = F  [G (ω )] =

1 2π 

∞

∫−∞ G (ω ) ⋅ e

 jω t 

⋅d ω  =

1

π 

∫ 2π  −

T 

π 

T  ⋅ e

 jω t 

⋅d ω  =

T 

⎛ π  t  ⎞  j t   j t  ⎤  j t   j t  − − sen ⎡ ⎜ ⎟  j t  T  ⎡ e ⎤ T  T  ⎢ e T  − e T  ⎥ e T  − e T  ⎝ T   ⎠ = sen(ω 1t ) = = = = π  π  ⎥ 2π  ⎢⎣  jt  ⎥⎦ − 2π  ⎢ ω 1t   jt   j t  t  ⋅ 2 T  ⎣ ⎦ T  T  ω 

π 

π 

π 

π 

π 

π 

g (t ) =

sen(ω 1t ) ω 1t  25

Bloqueador ideal (IV) • Representación de g(t): •La respuesta impulsional toma valores para instantes anteriores a cero.

g(t)

•Es un bloqueador no causal •Se trata de un sistema físicamente irrealizable. 0

t

(recordar ejemplo 1ª transparencia)

• No existen bloqueadores ideales en la práctica. • Sólo se estudiarán teóricamente. 26

Bloqueadores causales • La salida en un cierto instante t0 sólo depende de los valores que toma la entrada en instantes anteriores t
• Bloqueador de orden 0: la señal continua de salida toma el valor del último dato conocido para la entrada (ajuste polinomial de orden 0). • Bloqueador de orden 1: la señal continua de salida se obtiene a partir de los dos últimos datos conocidos para la entrada (ajuste polinomial de orden 1). 27

Bloqueador de orden cero (I) {xK}

x(t)

B0

{xK}

x(t)

t

t

28

Bloqueador de orden cero (II) • Respuesta impulsional: {δK}

⎧0 t  < 0 ⎪ g (t ) = ⎨1 0 ≤ t  < T  ⎪0 t  ≥ T  ⎩

g(t)

t

t

• Funciones de transferencia: ∞

G (ω ) = F [g (t )] = ∫−∞ g (t ) ⋅ e ∞

G ( s ) =  L[g (t )] = ∫0 g (t ) ⋅ e

−  jω t 

− st 

T 

⋅ dt  = ∫0 e T 

−  jω t 

⋅ dt  =

⋅ dt  = ∫0 e − st  ⋅ dt  =

1 − e −  jω T   jω 

1 − e − sT  s

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Bloqueador de orden uno (I) {xK}

B1

{xK}

x(t)

x(t)

t

t

30

Bloqueador de orden uno (II) • Respuesta impulsional:

⎧0 ⎪ ⎪1 + g (t ) = ⎨ ⎪1 − ⎪ ⎩0

g(t)

{δK}

t

t  < 0 t  0 ≤ t  < T  T  t  T  ≤ t  < 2T  T  t  ≥ 2T 

• Funciones de transferencia: ∞

G (ω ) = F [g (t )] = ∫−∞ g (t ) ⋅ e ∞

G ( s ) =  L[g (t )] = ∫0 g (t ) ⋅ e

−  jω t 

− st 

⋅ dt  = ... =

⋅ dt  = ... =

1 +  jω T ⎛ 1 − e −  jω T  ⎞ T 

⎜ ⎟ ω   j ⎝   ⎠

1 + sT  ⎛ 1 − e − sT  ⎞

⎜ T  ⎝ 

2

s

2

⎟  ⎠ 31

Comparación f. de transferencia en ω  Bi (ω )

T 

−π 

T 

ω 

π 

T   B1 (ω )

 B0 (ω )

T 

T 

−π 

T 

π 

T 

ω 

−π 

T 

π 

ω 

T  32

Resumen muestreo y reconstrucción Muestreadores x(t)

{xK}

Bloqueadores {xK}

T

⎧

 Bi : ⎨ g (t ) =

 xk  =  x (k ⋅ T )

2π r  ⎞ ⎛  ⎟ T  r = −∞ ⎝  T   ⎠ 1 + ⎛ s + 2π r   j ⎞  X   χ ( s ) = ∑ ⎜ T  ⎟ T  r =−∞ ⎝   ⎠  χ (ω )

=

1

+

∑  X ⎜ ω  +

B

 

x(t)

sen(ω 1t )

ω 1

=

π 

T  ω 1t  ⎩ 1 − e −  j T  ⎧ ⎪⎪ B0 (ω ) =  jω   B0 : ⎨ − sT  ⎪ B ( s) = 1 − e ⎪⎩ 0 s 2 ⎧ 1 +  jω T  ⎛ 1 − e −  j T  ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ B1 (ω ) = ω  T   j ⎪ ⎝   ⎠  B1 : ⎨ 2 1 + sT  ⎛ 1 − e − sT  ⎞ ⎪ ⎪ B1 ( s ) = T  ⎜ s ⎟ ⎝   ⎠ ⎩ ω 

ω 

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