Conceptos Generales
1.1. Introducción 1.1.1 Población y muestra 1.1.2 Variables y atributos 1.1.3 Escalas de medida 1.2. Distribuciones unidimensionales de frecuencias 1.2.1 Tipos de frecuencias 1.2.2 Distribuciones unidimensionales de frecuencias 1.3. Representaciones gráficas 1.3.1 Caracteres cualitativos 1.3.2 Caracteres cuantitativos
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1.1. Introducción Para la mejor comprensión de este manual es necesario tener un conocimiento previo sobre una serie de conceptos estadísticos que son utilizados muy frecuentemente. Éstos son: 1. Población y muestra. 2. Variables y atributos. 3. Escalas de medida.
1.1.1. POBLACIÓN Y MUESTRA Se llama población, universo o colectivo al conjunto de elementos que poseen una determinada característica. Cada uno de los elementos que forman parte de la población se denomina individuo o unidad estadística. No siempre es posible estudiar todos y cada uno de los individuos de una población (por razones económicas, de tiempo, etc.) sino solamente una parte de ella, lo que se conoce como muestra. Una muestra es cualquier subconjunto de la población elegido en términos de representatividad. El tamaño de una muestra viene determinado por el número de individuos que contiene.
1.1.2. VARIABLES Y ATRIBUTOS Un carácter o fenómeno estadístico permite clasificar los individuos de una población. Los fenómenos estadísticos pueden ser de dos tipos:
cuantitativos y cualitativos. Los primeros son aquellos que se pueden medir o contar, como por ejemplo la edad de los trabajadores afiliados al sistema de la Seguridad Social, las pensiones de jubilación, los salarios de los trabajadores, el tamaño de una empresa, etc. Los segundos, por el contrario, no se pueden medir o contar; por ejemplo, el nivel de estudios de los trabajadores de una empresa, el tipo de accidentes de trabajo, los tipos de pensiones no contributivas de la Seguridad Social, etc. Se denomina variable a cualquier carácter o fenómeno estadístico que pueda expresarse en valores numéricos. Los resultados derivados de la observación de una variable son los valores o datos. Por ejemplo, la variable salarios puede tomar los valores 800 €, 950 €, 1.400 €, etc.
Generalmente las variables se suelen representar con las últimas letras mayúsculas del alfabeto (…, X , Y , Z ), y los valores con letras minúsculas [( x 1, x 2, x 3, …, x n), (y 1, y 2, y 3, …, y n), (z 1, z 2, z 3, …, z n)]. Página 3 | Inicio del artículo
Las variables pueden ser, a su vez, clasificadas como discretas o continuas. En aras de una fácil comprensión, se dice que una variable es discreta cuando presenta un número finito de valores: por ejemplo, el número de asalariados en una empresa puede ser de 10, 11, 12, 13, etc. Una variable es continua cuando puede tomar infinitos valores dentro del intervalo finito o infinito en el que está definida; la altura de los trabajadores de una empresa es una variable continua puesto que, utilizando un instrumento de medida de gran precisión, entre dos alturas cualesquiera se podrían encontrar infinitos valores de la misma. No obstante, aun en la actualidad, los instrumentos de medida cuentan con una precisión limitada, lo que lleva a tratar muchas variables continuas como si fuesen discretas. Tal es el caso de la altura de los trabajadores de una empresa. Se denomina variable cualitativa, atributo o factor a cualquier carácter o fenómeno estadístico que no pueda presentarse en valores numéricos. Los resultados derivados de la observación de un atributo son las modalidades, categorías o niveles. Por ejemplo, el atributo tipo de accidentes de trabajo puede tener dos modalidades: con baja y sin baja. Normalmente, los atributos se suelen denotar con las primeras letras mayúsculas del alfabeto ( A, B, C , …) y las modalidades con letras minúsculas [(a1, a2, a3, …, an), (b1, b2, b3, …, bn), (c 1, c 2, c 3, …, c n)].
Los atributos gozan de gran importancia en el campo de las relaciones laborales. Como ejemplos se pueden citar los siguientes: el tipo de salario (en dinero o especie); la raza, sexo, edad, estado civil, condición social, ideas políticas o religiosas del trabajador; las circunstancias de la ausencia laboral remunerada (licencia por matrimonio, enfermedad, traslado de domicilio habitual, etc.); los motivos de suspensión del contrato laboral (por mutuo acuerdo entre las partes, por causas consignadas válidamente en el contrato laboral, salvo que las mismas constituyan abuso de derecho manifiesto por parte del empresario, por incapacidad temporal del trabajador, por maternidad de la mujer trabajadora, por adopción o recogimiento de menores de 5 años, etc.); las causas de extinción del contrato laboral (por expiración del tiempo convenido o realización de la obra o servicio objeto del contrato, por la dimisión del trabajador, por muerte, gran invalidez o invalidez permanente total o absoluta del trabajador, por mutuo acuerdo entre las partes, por jubilación del trabajador, etc.); las infracciones del empresario (leves, graves y muy graves); las causas de accidentes laborales (sobreesfuerzo, caídas de personas, golpes, atropellos, etc.); el nivel de riesgo laboral (bajo, medio y alto); las prestaciones del Régimen General de la Seguridad Social (asistencia sanitaria, prestaciones farmacéuticas, maternidad, incapacidad temporal, incapacidad permanente, jubilación, etc.); las prestaciones por desempleo (de nivel contributivo, de nivel asistencial), etc. Página 4 | Inicio del artículo
1.1.3. ESCALAS DE MEDIDA Las observaciones de un carácter o fenómeno pueden presentarse en tres tipos de escalas:
A. Escala nominal. Las observaciones de un carácter vienen expresadas en escala nominal cuando se pueden clasificar en varias categorías, excluyentes entre sí, entre las cuales no existe ninguna relación de orden y, por tanto, no se puede establecer un origen de referencia, como tampoco es posible operar matemáticamente. Vienen dados en este tipo de escala los caracteres cualitativos, es decir, los atributos, como por ejemplo: el estado civil, el sexo, los sectores de actividad económica, las prestaciones del Régimen de la Seguridad Social, las causas de extinción del contrato laboral, etc. B. Escala ordinal. Se diferencia de la escala anterior en que, en este caso, se pueden establecer relaciones de orden entre las diferentes categorías, existiendo, por tanto, un origen de referencia. Estas categorías se pueden
ordenar según el grado en que posean cierta característica, lo que permite decir que una categoría es preferible o mejor que otra, pero no se puede determinar cuánto más se prefiere o es mejor. Los atributos también vienen expresados en este tipo de escala, pero solamente aquéllos en los cuales se pueda establecer un orden entre sus categorías: por ejemplo, el nivel de estudios (bajo, medio, alto), las infracciones laborales del empresario (leves, graves, muy graves), el nivel de riesgo laboral (bajo, medio, alto), etc.
C. Escala cuantitativa. A diferencia de las dos anteriores, la escala cuantitativa posee una unidad de medida, con lo cual se puede operar matemáticamente y obtener una serie de medidas que van a caracterizar el fenómeno que se está analizando. Las observaciones derivadas de los caracteres cuantitativos vienen dadas en este tipo de escala.
1.2. Distribuciones unidimensionales de frecuencias Toda la información obtenida acerca de los diferentes valores o modalidades que pueda tomar una variable o atributo se puede ordenar y presentar en las denominadas tablas1 o distribuciones de frecuencias. Antes de proceder al estudio de estas tablas, es necesario conocer los diferentes tipos de frecuencias que existen. Para ello se hará referencia a las variables, siendo extensible el comentario para los atributos. Página 5 | Inicio del artículo
1.2.1. TIPOS DE FRECUENCIAS Supóngase que de un colectivo determinado se quiere analizar la variable X , que toma los valores ( x 1, x 2, x 3, …, x n), donde cada uno de ellos puede repetirse una o varias veces. Se define la frecuencia total (N) como el número total de observaciones, valores o datos que se tienen de la variable X . El número de veces que se repite el valor x i se denomina frecuencia absoluta(ni ) o, simplemente, frecuencia. Si la variable X presenta n valores distintos, cada uno de los cuales se repite una o varias veces, la suma de las respectivas frecuencias de cada valor será igual a la frecuencia total:
La frecuencia absoluta indica el número de veces que se repite un determinado valor, pero no aporta nada acerca de la importancia relativa de dicho valor. Por ejemplo, si en una empresa con 50 empleados 10 de ellos tienen un salario mensual de 1.100 €, la frecuencia absoluta del valor 1.100
es 10, y, si en otra empresa con 20 empleados, 10 tienen también un salario mensual de 1.100 €, la frecuencia absoluta del valor 1.100 es, igualmente,
10. Sin embargo, ambas frecuencias no significan lo mismo, puesto que en la primera empresa 10 equivale al 20% del total de empleados y en la segunda al 50%. Para conocer la importancia relativa que tiene cada valor dentro del conjunto total de valores observados se utiliza la frecuencia relativa, que se define como el cociente entre la frecuencia absoluta del valor considerado y la frecuencia total:
La expresión anterior multiplicada por 100, refleja la frecuencia absoluta en porcentaje respecto del número total de datos. La suma de frecuencias relativas es igual a la unidad (o a 100 si se trabaja con porcentajes):
Muchas veces interesa considerar cada valor, no de forma aislada, sino puesto en relación con los demás. Por ejemplo, si en una empresa de 30 trabajadores hay 5 que ganan mensualmente 720 €, 7 que ganan 800 €, 8 que ganan 1.300 €Página 6 | Inicio del artículoy 10 que ganan 1.000 €, cabría preguntarse: ¿cuántos trabajadores ganan menos de 1.000 €? Para
ello se deberían considerar todos los trabajadores que ganan 720, 800 y 1.000 €, es decir, habría que acumular sus respectivas frecuencias
absolutas: 5 + 7 + 10 = 22. La frecuencia absoluta acumulada hasta el valor x i (N i ) indica el número de frecuencias que hay hasta el valor x i , incluido éste y supuestos los valores ordenados de menor a mayor:
La última frecuencia asboluta acumulada es igual a la frecuencia total N :
En consonancia con la frecuencia relativa, se define la frecuencia relativa acumulada (F i ) como el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y la frecuencia total,
expresión que multiplicada por 100 es equivalente a la frecuencia acumulada en porcentaje respecto del total. La última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad (o a 100 si se trabaja con porcentajes):
Todo lo expuesto anteriormente queda reflejado en la siguiente tabla, tabla de frecuencias, en la cual la primera columna representa los valores de la variable analizada ( x i ), la segunda las frecuencias absolutas ( ni ), la tercera las frecuencias relativas (f i ), la cuarta las frecuencias absolutas acumuladas (N i ) y la quinta las frecuencias relativas acumuladas ( F i ). Página 7 | Inicio del artículo
Recuadro: Ocultar
EJEMPLO 1.1 En una empresa con 20 empleados, 5 perciben un salario mensual de 1.500 €, 3 de 2.000 €, 7 de 2.500 €, 4 de 3.000 € y 1 de 3.500 €.
La tabla de frecuencias correspondiente sería:
donde: n2 = 3 indica que hay 3 trabajadores cuyo sueldo es x 2 = 2.000 €.
f 3 = 0,35 significa que, del total de trabajadores, el 35 por 100 tiene un sueldo de x 3 = 2.500 €. Página 8 | Inicio del artículo N 4 = 19 quiere decir que existen 19 trabajadores con un sueldo igual o inferior a x 4 = 3.000 €. F 2 = 0,4 refleja que el 40 por 100 de los trabajadores percibe un sueldo igual o inferior a x 2 = 2.000 €.
Recuadro: Ocultar
EJEMPLO 1.2 Según el Departamento de Treball i Industria de la Generalitat de Catalunya, en 2004 los accidentes laborales con baja, según su gravedad, fueron: Leves: 172.671 Graves: 2.076 Mortales: 215
En este caso, la tabla de frececuencias sería:
Recuadro: Ocultar
EJEMPLO 1.3 La tabla de frecuencias siguiente hace referencia al paro registrado por sectores económicos, en España, en noviembre de 2005.
Nótese que, en este caso, no tiene demasiado sentido calcular las frecuencias acumuladas ya que no se puede establecer ningún orden de preferencia entre los diferentes sectores económicos. Página 9 | Inicio del artículo
1.2.2. DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS El término «unidimensional» hace referencia a la observación exclusiva de una variable o atributo. La distribución de frecuencias de dicha variable o atributo está formada por los diferentes valores o modalidades que puede tomar y sus respectivas frecuencias. Como las frecuencias absolutas ( ni ) son las que se conocen habitualmente, la distribución de frecuencias se denota genéricamente por los pares de valores ( X i ; ni ). Cuando el número de valores que toma la variable no es demasiado grande (queda a juicio del investigador establecer si es grande o pequeño), toda la información disponible aparece recogida en la tabla, donde cada uno de los valores se encuentra asociado con su correspondiente frecuencia. En este caso, se dice que la distribución se encuentra no agrupada en intervalos, como la utilizada en el ejemplo 1. Si todas las frecuencias absolutas son iguales a 1, la distribución se denomina de frecuencias unitarias. Sin embargo, a veces sucede que la variable objeto de análisis presenta un elevado número de valores, por lo que es aconsejable agrupar dichos valores en intervalos con el fin de facilitar su presentación y de que, a la hora de realiar ciertos cálculos, éstos sean relativamente fáciles de determinar. Cuando se presenta o se da esta situación, la distribución de frecuencias obtenida se denomina agrupada en intervalos, siendo la frecuencia de cada intervalo igual a la suma de las frecuencias de todos los valores incluidos en él. La agrupación en intervalos hace manejable la distribución pero, sin embargo, con ella se pierde información.
Una distribución agrupada en intervalos se representa por ( Li-1 – Li ; ni ), donde Li-1 es el extremo inferior del intervalo y Li el extremo superior. La diferencia entre ambos extremos es la amplitud del intervalo, que se denota por c i . Normalmente se establece que los intervalos son abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha ( Li-1 — Li ], con lo cual incluyen los valores comprendidos entre Li-1 y Li , incluido Li y excluido Li-1. En el caso particular del primer intervalo ambos extremos se consideran cerrados. Las distribuciones agrupadas en intervalos son útiles cuando se trabaja con variables continuas. Se denomina recorrido o rango de una variable a la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de la variable:
Finalmente, cuando se trabaja con distribuciones agrupadas en intervalos, no es posible asignar a cada valor del intervalo su frecuencia (ya que ésta corresponde a un conjunto de valores y no a uno solo), ni tampoco se puede operar matemáticamente para determinar ciertos cálculos de interés. Ante esta situación, se eligePágina 10 | Inicio del artículocomo valor representativo del intervalo la marca de clase, x' i , que se define como el punto medio del mismo:
Esta manera de proceder lleva implícita la suposición de que los valores se encuentran uniformemente distribuidos a lo largo del intervalo. Recuadro: Ocultar
EJEMPLO 1.4 Las pensiones por invalidez de 50 individuos, agrupadas por intervalos, son las que se recogen en la siguiente tabla de frecuencias:
1.3. Representaciones gráficas A la hora de describir el comportamiento de un carácter estadístico, a menudo resulta complicado manejar toda la información recogida en la tabla de frecuencias. Sin embargo, dicha información puede ser resumida en unas cuantas cifras, como se verá en el Capiítulo 2, o bien puede representarse en un gráfico que refleje, de manera más simple y rápida, el comportamiento global de dicho carácter.
1.3.1. CARACTERES CUALITATIVOS Comenzando por los caracteres cualitativos o atributos, se pueden destacar en primer lugar los diagramas de sectores (Gráfico 1.1), que reflejan las frecuencias absolutas o relativas de las diferentes modalidades de un carácter cualitativo mediante sectores circulares. El ángulo central de cada sector es proporcional a la frecuencia de la modalidad que representa y, consecuentemente, también lo será su área. Página 11 | Inicio del artículo
G ráfico 1.1. Paro registrado en España (noviembre, 2005). Diagrama de sectores. Fuente: Distribución del Ejemplo 1.3.
Los diagramas de barras (Gráfico 1.2) expresan mediante rectángulos verticales las frecuencias absolutas o relativas de las distintas modalidades observadas. En este caso, los rectángulos tienen la misma base y la altura es proporcional a la frecuencia.
Gráfico 1.2. Paro registrado en España (noviembre, 2005). Diagrama de barras (frecuencias absolutas). Fuente: Distribución del Ejempio 1.3.
El diagrama de Pareto combina un diagrama de barras con un polígono acumulativo de frecuencias. Se puede observar en el Gráfico 1.2 (diagramas de barras) que, de las cinco modalidades existentes, los sectores servicios e industria son los que cuentan con mayor número de parados. En el diagrama de Pareto (Gráfico 1.3) estas modalidades se encuentran ordenadas por orden decreciente de frecuencias, lo que indica, por ejemplo, que más del 60% de los parados proviene de los sectores terciario e industrial. Página 12 | Inicio del artículo
G ráfico 1.3. Paro registrado en España (noviembre, 2005). Diagrama de Pareto. Fuente: Distribución del Ejemplo 1.3.
Otras representaciones muy utilizadas son los denominados cartogramas y pictogramas. Un cartograma (Gráfico 1.4) es un gráfico realizado sobre un mapa, en el cual el carácter cualitativo analizado se señala en determinadas zonas con diferentes colores o rayados, y un pictograma es un dibujo alusivo al carácter representado.
Gráfico 1.4. Fondo de garantía salarial: Empresas afectadas según causa de la prestación. Fuente: Anuario de Estadísticas Laborales y de Asuntos Sociales 2004.Ministerio de Trabajo y Asuntos Sociales.
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1.3.2. CARACTERES CUANTITATIVOS Cuando los caracteres son cuantitativos, es decir, cuando se analizan variables, es necesario distinguir si la distribución de frecuencias está agrupada en intervalos o no. 1.3.2.1. Distribuciones no agrupadas en intervalos
Los diagramas de puntos (Gráfico 1.5) consisten en superponer tantos puntos como frecuencias (absolutas o relativas) se observen en cada valor de la distribución.
Gráfico 1.5. Diagrama de puntos. Fuente: Distribución del Ejemplo 1.1.
Los diagramas de barras (Gráfico 1.6) surgen cuando se traza para la base correspondiente a cada valor de la variable una perpendicular al eje de abscisas de
Gráfico 1.6. Diagrama de barras. Fuente: Distribución del Ejemplo 1.1.
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altura igual a su frecuencia (absoluta o relativa). Uniendo los extremos superiores de las barras se tienen los llamados polígonos de frecuencias(Gráfico 1.7). Si se trabaja con frecuencias acumuladas (absolutas o relativas), los gráficos resultantes son los polígonos acumulativos de frecuencias (Gráfico 1.8).
Gráfico 1.7. Polígono de frecuencias. Fuente: Distribución del Ejemplo 1.1.
Gráfico 1.8. Polígono acumulativo de frecuencias. Fuente:Distribución del Ejemplo 1.1.
Una forma muy peculiar de presentar los caracteres cuantitativos es mediante el diagrama de tallo y hojas (Gráfico 1.9), en el cual los datos aparecen recogidos en una tabla con dos columnas: en la derecha (hoja) se encuentran las unidades de los valores y en la izquierda (tallo), de derecha a izquierda, las decenas, centenas, etc. de los mismos.
Gráfico 1.9. Diagrama de tallo y hojas.
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1.3.2.2. Distribuciones agrupadas en intervalos
Si la distribución de frecuencias está agrupada en intervalos, los gráficos más utilizados son los histogramas (Gráfico 1.10). Éstos se construyen levantando sobre cada intervalo un rectángulo cuya área sea proporcional a la frecuencia absoluta (o relativa) del correspondiente intervalo. Si los intervalos tienen la misma amplitud la altura de los rectángulos es la
frecuencia absoluta (o relativa), y si la amplitud es distinta la altura es igual a la densidad de frecuencia(d i ), definida como el cociente entre la frecuencia absoluta (o relativa) y la amplitud.
Gráfico 1.10. Histograma de frecuencias. Fuente: Distribución del Ejemplo 1.4.
Otros gráficos utilizados en las distribuciones agrupadas en intervalos son los polígonos acumulativos de frecuencias (Gráfico 1.11), que resultan de la unión de los puntos (Li ; N i ) (Li ; F i ). Página 16 | Inicio del artículo
Gráfico 1.11. Polígono acumulativo de frecuencias. Fuente:Distribución del Ejemplo 1.4.
1 Cuando se trabaja con dos variables o atributos la tabla es de doble entrada: tabla de correlación (variables) y tabla de contingencia (atributos).
Cita de fuente
(MLA 8th Edition)
Montero Lorenzo, Jóse Maria. "Conceptos Generales." Estadística descriptiva, Paraninfo, 2007, pp. 1-16. Gale Virtual Reference Library , go.galegroup.com/ps/i.do?p=GVRL&sw=w&u=unad&v=2.1&id=GALE%7CCX 4052100007&it=r&asid=0a7332df0d4700de0bd272caa41e1718. Accessed 25 Aug. 2017.
