MÓDULO DE 4º-5º AÑO-R.M-VG

V G

V G

PLANO CARTESIANO Son dos rectas que se cortan en forma perpendicular, dicho punto de intersección se llama origen; el plano cartesiano está compuesto de cuatro cuadrantes y sus elementos son pares ordenados. No te olvides que Plano Cartesiano se llama en honor al célebre matemático francés Renato Descartes (Cartesius) creador de la Geometría Analítica.

Y

¡No te olvides que! es el eje de las absisas.. es el eje de las ordenadas.

II Cuadrante X’

I Cuadrante

o III Cuadrante

Origen

X

IV Cuadrante

Y’

Y

Recuerda que las coordenadas de un punto son los valores de “X” y de “Y” que lo determinan. Además: P(x;y): Se lee: Punto P de coordenadas (x;y). d: Distancia o radio vector.

P(x;y)

y d X’

0

x

X

Y’ PRÁCTICA Nº 4

1. Dibuje un plano cartesiano y ubique los puntos: A (3;2) ; B (5;4); C (3;6); D (1;4). 2. Ubica en un plano cartesiano los puntos: P(−1;−2) ; Q(−1;0) ; A(0;3) ; B(2;−2) ; C(0;−4) .

CAPÍTULO 3

I.E.P. “VIRGEN DE GUADALUPE”

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS San P(x1;y1) y Q(x2;y2) dos puntos ubicados en el plano cartesiano, la distancia entre ellos está dada por: Q(x2;y2)

y2

P(x1;y1)

y1

0

d(P;Q)=

A(x2;y1)

x1

PQ = 2(x−

2 1x

) y +(2 y−

1

2

)

x2

Observamos que:

a) b) c) , si y solo si

Ejemplo 1 a) Halla la distancia entre los puntos: a) A(4;7) y B( − 1; − 2) b) M(1;− 5) y N(3;4) SOLUCIÓN Hallaremos las longitudes entre los puntos dados. a)

C( − 3;− 5) son los vértices de un triángulo isósceles. SOLUCIÓN Hallaremos las longitudes de cada uno de los tres lados.

2 (4 + 21) + (7 +2)

d(A;B)=

25 + 81⇒ d(A;B)=

d(A;B)=

b)

b) Demuestra que los puntos A(1; − 2) , B(4;2) y

106

2 (3 − 21) + (4 +5)

d(M;N)=

4 + 81⇒ d(M;N)=

d(M;N)=

d(A;B)=

2⇒ d(A;B)= 5 (4 − 21) + (2 +2)

d(B;C)=

⇒ d(A;B)= 7 2 ( − 3 − 24) +( −5 −22)

d(A;C)=

⇒ d(A;C)= 5 ( − 3 −21) +( −5 +22)

Los lados AB y AC son iguales, luego se trata de un triángulo isósceles.

85

PRACTICA Nº 5 A) 79 B) 97 C) 29 D) 92 E) 95 5.Halla la distancia entre los puntos: P( − 3;5) y R(1;2) c) A(4;− 5) y B( − 1;7) d) A(0; − 5) y B(1; − 4) . A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 e) P(4;1) y Q(3;− 2) f) M(0;3) y N( − 4;1) J(3;−2) , Pedro en 6. Juanito se encuentra en g) A( − 7;4) y B(1; − 11) h) R(− 1; − 5)y T(2; − 3) P(−2;5) y Horacio en H(3;−3) ; ¿Cuál de los tres está − 2 j) A 1 ;− 1 y B − 1 ; − 2 i) P 3; 2 y Q 2 3; más cerca al punto L(−1;0) ? 2 3 2 7. Los puntos A( − 6;− 2) , B(2;4) ; C(2;− 2) son los 2. Halla la distancia entre: (4;1); (3; –2) 1. Halla la distancia entre los puntos: a) A(3;4) y B(2; − 3) b) A( − 2; − 3) y B( − 4;5)

(

)

(

)

(

) (

)

B) 8 C) 11 D) 10 E) 2 2 3. Halla la distancia entre: (0;3); (–4;1) A) 2 3 B) 3 3 C) 2 7 D) 10 E) 2 5 4. Halla la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos: A( − 2; − 1) y B(7;3) .

vértices del triángulo ABC .¿Cual es su perímetro?. A) 24u B) 23,6u C) 114u D) 48u E) 24,3u

A) 4

8. Si AB = 4 2 ; A(3;8) y B(x;4) . Calcula x2 A) 1 ó 49 B) 2 ó 49 C) 1 ó 25 D) 2 ó 16 E) N.A. Calcula el perímetro del polígono ABCDE si: A(1;− 2) , B(1;1) , C(6;13) , D(10;10) , E(10;− 2) .

9.

Dados los puntos: A( − 2; − 2) y B(3;10) . ¿Cuál es la distancia entre dichos puntos? A) 13u B) 13,5u C) 12,8u D) 11,9u E) 15,7u 11. Un punto P está en el primer cuadrante su abscisa es 12. Si la distancia de P al origen es 13u: ¿Cuál es la ordenada P? A) 5 B) 5 C) 10 D) −5 E) − 5

10.

12.

24. Determina sombreada.

B(2;− 1) y C(6;− 1) . Si D es el punto medio del lado

AB 5 + AC 13 + 8⋅ BC. 5 17

A) 6 B) 9 C) 10 D) 7 E) 4 Si: AB = 61 y A(−2;y) , B(3;−1) . Halla: “y” A) 3 B) 7 C) 5 D) 6 E) −7ó 5 20. Encuentra el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos ( 4;4) , ( 3;3) y ( −1;1)

19.

A) 2 + 34 +2 5B) 3 + 4 C) 3 D) 8 E) 7 21. Halle el perímetro de un triángulo cuyos vértices son (4; 6), (6; 1), (2; 9) A) 13+ 5 + 29 B) 13+ 29 +4 5 C) 13+

el

área

de

la

región

Y C(5;1) 0

X

A(−1;−3)

26.

Determina el área de la región sombreada, si P ( −1;−1) y Q( 1;−3) .

Y

C(3;2)

B) 82

Si: A (2;1) ; B (−4;4) ; C (−2;−5) , evalúa:

R=

región

X

25. Determina sombreada.

29 + 7D) 29+ 4 13 + 5

E) 5 + 13 + 4 29 22. ¿Cuál es el perímetro del triángulo cuyos vértices tienen por coordenadas los puntos (5;8). (5;0) y (11;0)? 23. Determina el área de la región sombreada.

Y A(12;3)

X

P

c) ( 2;−5) , ( −3;4) y ( 0;−3)

18.

la

37º

0

C) 4 2 D) 6 3 E) 5 2 17. Encuentra el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos: a) ( −2;5) , ( 4;3) y ( 7;−2) b) ( 0;4) , ( −4;1) y ( 3;−3)

82

de

A(12;6)

BC . Calcula la longitud de la mediana AD. A)

área

Y

Demuestra que los puntos A(3;8) , B( − 11;3)

y C( − 8; − 2) son los vértices de un triángulo isósceles. 13. Un segmento tiene una longitud de 29 unidades, si el origen de éste segmento es A( − 8;10) y la abscisa del extremo del mismo es 12, calcula la ordenada. A) –11 ó 31 B)11 ó –31 C) –12 D) –24 E) –20 14. La ordenada de un punto P es 9 y la distancia de P al punto A(4;3) es 2 13 . Halla la abscisa de P. 15. Uno de los extremos de un segmento de 6u es el punto A(4;7). Si la abscisa del otro extremo es 8, halla la ordenada. 16. Los vértices de un triángulo son A(3;8) ,

el

A(−1;−3)

D(3;−3)

Q

27.

¿Qué clase de triángulo es aquél cuyos vértices son los puntos P ( 2;−2) , Q( −3;−1) y R( 1;6) ? A) Isósceles B) Escaleno C) Rectángulo D) Equilátero E) N.A 28. ¿Qué clase de triángulo es aquél cuyos vértices son los puntos M( −2;2) , N( 6;6) y P ( 2;−2) ? A) Isósceles B) Escaleno C) Rectángulo D) Equilátero E) N.A 29. Calcula el área de un triángulo equilátero si dos de sus vértices son: A( −3;2) y B( 1;6) A) 2 3

B) 4 3 C) 8 3

D) 6 3 E) 5 3

Si el segmento: EF = 6 ; E ( x;2) ; F ( 5;8) . El valor de “x” es: A) 6 B) –5 C) 5 D) –6 E) 7 31. Halla “y” (y > 0) en el punto C( −2;y) para

30.

que AC sea el lado desigual de un triángulo isósceles ABC en el que A( −8;−1) y Y B( 6;7) . A(x ;y )

y1

1 1

X

A) 7 B) 14 C) 21 D) 28 E) N.A.

M

C(− 6;− 3)

y2

B(x2;y2) x1

x2

X

No olvides que para hallar las coordenadas del punto medio M de un segmento se usa:

PRACTICA Nº 6 1.

Halla las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos: a) A(2;8) y B( − 5;3) b) A(5;4) y B(2;6)

(

)

;2 10. El punto M − 3 2 es punto medio del segmento de

extremos A( 2;−3) y B( −5;y) . Halla “y” A) 7 B) 9 C) 3 D) 6 E) 5 2. Halla las coordenadas del punto medio del 11. Si M( 3;1) es punto medio del segmento de extremos segmento AB , si: A(4; 8) y B(2; 2) A( −2;8) y B( x;y) . Halla “x + y” A) (2; 1) B) (3; 5) C) (3; 4) D) (5; 3) E) (1; 3) A) 2 B) 4 C) 3 D) 1 E) 5 3. El punto medio del segmento AB es 12. Halla la longitud de la mediana EM del triángulo c) A( − 2;5) y B( − 3;8)

d) A( − 7; − 2) y B( − 1; − 9)

cuyos vértices son: E ( −2;1) , F ( 4;−3) y G( 6;4) . A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 − 2) Si ( 2;1) , ( 1;−2) y G( −1;2) son los puntos medios de C) ( − 3;2) D) (0;2) E) (0;13. 4. Se dan los puntos A ; B ; C ; D cuyas los lados de un triángulo. Uno de los vértices del coordenadas son respectivamente (0;0) , (2;-4) , (3;-8) , triángulo es: (11;4) . Calcula la distancia del centro del segmento A) (−3;−2) B) (−2;−1) C) (4;3) D) (0;−5) E) N.A. AB al punto medio del segmento CD . A) 10u B) 12u C) 15u D) 20u E) 24u 14. Los vértices de un triángulo son A( 3;8) , B( 2;−1) y 5. Halla las coordenadas de los vértices de un C( 6;−1) . Si D es el punto medio del lado BC , calcula la triángulo cuyas coordenadas de los puntos medios de longitud de AD. sus lados son ( 3;2) , ( −1;− 2) y ( 5;− 4) . A) 85 B) 82 C)9 D) 10 E) N.A. A) ( 0;0) , ( 1;2) , ( 4;5) B) ( −3;4) , ( 5;0) , ( 1;− 8) C)

M( − 1; 5) ,

si el extremo coordenadas del punto B son: A) (3;2) B) (3;− 2)

( −1;2) , ( 0;1) , ( 4;6)

6.

entonces

las

D) ( 4;1) , ( 6;1) , ( 0;1) E) N.A.

Halla los vértices de un triángulo, conociendo los centros de sus lados: P ( 3;− 2) , Q( 1;6) y R( − 4;2) . A) ( 8;2) , ( 8;4) y ( 2;8) C) ( 2;8) , ( 2;2) y E)

7.

A(1;8)

B) ( 8;−2) , ( − 2;6) y ( − 4; 4 )

( 8;8) D) ( −1;4) , ( 1;−4) ( − 2;−6) , ( 8;2) y ( − 6;10) .

y ( 8;4)

Calcula las coordenadas del punto medio

P ( x;y) del segmento AB que une los puntos: A( −2;−1)

y B( 3;4) .

A) ( 1;1,5) B) ( 0,5;1,5) C) ( 1,5;1,5) D) ( 1,5;0,5) E) ( −1;1,5)

8.

Halla las coordenadas del punto medio P ( x;y)

segmento AB que une los puntos: A( −3;6) y B( 5;−8) .

A) ( −1;−1)

B) ( −1;1)

C) ( 1;−1)

D) ( 1;1)

E) ( 1;0)

El punto A( x;2) equidista de N( 4;2) y M( −8;−2) Halla “x”

9.

A) −

2 3

B) −

4 3

C) –2

8 D) − 3

E) –1

(x3;y3)

Y Si es la posición del baricentro de un triángulo ABC, tal que: ; y , entonces: ;

G

(x2;y2) (x1;y1) O

X

Ejemplo 1 a) Halla las coordenadas del baricentro del triángulo determinado por los puntos: (2; − 3) . (1;− 1) y ( − 1;− 2) Solución

b) Halla las baricentro determinado ( − 2;4) . (0;6) Solución

coordenadas del del triángulo por los puntos: y (3;3)

c)

Halla las coordenadas del baricentro del triángulo determinado por los puntos: ( − 5; − 1) . (2;8) y (4;− 4) Solución

PRACTICA Nº 7

1.

Halla las coordenadas del baricentro del triángulo determinado por las coordenadas de los puntos: a) A( −2;3) , B( 0;−5) y C( 2;5) b) P ( −3;−2) , Q( 1;4) y C( 3;0) c) A( 0;0) , B( −4;4) y C( 3;6)

2.

Halla las coordenadas del punto de intersección de las medianas del triángulo ABC, sabiendo que las coordenadas de sus vértices son A( 1;4) , B( − 5;0) y C( − 2;−1) . A) ( 7;5)

3.

B) ( − 2;1)

C) ( − 5;5)

D) ( 3;7)

Se dan dos vértices de un triángulo ABC, A( 0;5) y B( 5;3)

M( 1;3) , halla el tercer vértice.

A) ( − 3;1)

B) ( − 2;1)

C) ( − 5;0)

D) ( − 3;− 1)

E) ( 1;5)

y el punto de intersección de las medianas E) ( 1;5)

Y

(x3;y3)

S El área de la región triangular, que determinan los puntos ; y , se calcula por el vvalor absoluto de:

(x2;y2)

(x1;y1) O

X

Ejemplo 1 a) Halla al área del triángulo determinado por los puntos: ( − 2;− 3) . (2;− 1) y (1; − 2) Solución

b) Halla al área del triángulo determinado por los puntos: ( − 3; − 4) . (0;8) y (3; − 1) Solución

c)

Halla al área del triángulo determinado por los puntos: (0; − 3) . (2;6) y (3; − 3) Solución

PRACTICA Nº 8

Halla al área del triángulo determinado por los puntos: (0; − 3) . (6;3) y (0;4)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Halla al área del triángulo determinado por los puntos: ( − 3;− 4) . (3;− 5) y (1;3) Halla al área del triángulo determinado por los puntos: (0;0) . (2;7) y (6;3) Halla al área del triángulo determinado por los puntos: ( − 4;3) . (0;8) y (4;1) Determina el área de la figura que se obtiene al unir los puntos (0,0); ( − 5; 7) y ( − 5; 0) . Calcula el área del triángulo cuyos vértices tienen por coordenadas ( − 2; 0) ; (4,0) y (3,3). Halla el área del triángulo cuyos vértices sin los puntos de coordenadas ( 2;− 3) , ( 4;2) y

( −5;− 2) . A) 37

B) 34 C) 17 D) 17,5 E) 18,5 8. Halla el área del triángulo cuyas coordenadas de los vértices son: ( − 8;− 2) , ( − 4;− 6) y ( −1;5) . A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28 0;4 9. Halla el área del triángulo cuyas coordenadas de los vértices son: ( ) , ( − 8;0) y ( −1;− 4) . A) 30 B) 32 C) 24 D) 28 E) 18

CAPÍTULO 4


DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Dado el segmento AB de coordenadas A(x1;y1) y B(x2;y2) . Dividir este segmento en una razón “r” dada, consiste

AP en hallar las coordenadas del punto P(x;y) de manera que:

PB

B(x2;y2)

y2

=r

Del gráfico tenemos estos dos triángulos rectángulos semejantes: B

P(x;y)

y1

P

Q

A(x1;y1) H A

0

x1

x

y2 − y

y − y1

θ

x− x1

H

θ P

x2 − x

x2

En los cuales se cumple:

y − y1 x1 + r ⋅ x2 ; PH AP y + r ⋅ y2 AH = AP ⇒ x− x1 = r ⇒ = ⇒ = r ⇒ y= 1 x = x − x y − y r+ 1 r+ 1 PQ PB BQ PB 2 2

Q

Ejemplo 1 a) Calcula las coordenadas de un punto que divide al segmento AB , de coordenadas A(4;6) y B(−4;3) en dos partes cuya razón es 3. Solución Sea el punto P(x;y)

x=

4− 4(3) ⇒ x = −2; 1+ 3

(

y=

b) Calcula las coordenadas de un punto que divide al A(−1;−2) y segmento AB , de coordenadas

B(−5;16) en dos partes cuya razón es 1 . 4 Solución

6+ 3(3) ⇒ x = 15 4 1+ 3

)

15 Luego: P(x;y) = P −2; 4

PRACTICA Nº 9

Calcula las coordenadas de un punto que A) ( 7; 5,5) B) ( 7,5; 3) C) ( 7,5; 5) D) ( 5,5; 7) A (2; − 2) divide al segmento AB , de coordenadas y E) ( 3; 7,5) B(−6;4) en dos partes cuya razón es 3. 5. Si P1( 1;2) y P2( 6;8) son los extremos del 2. Calcula las coordenadas de un punto que segmento PP 1 2 , encontrar las coordenadas del punto divide al segmento MN , de coordenadas M(3;−3) y

1.

N(6;7) en dos partes cuya razón es 2 . 3 3. Calcula las coordenadas de un punto que divide al segmento AB , de coordenadas A(4;−1) y B(−1;6) en dos partes cuya razón es 1. 5 4. Dados los puntos A( 7;4) y B( 10;− 2) . El punto M parte al segmento AB en la razón

AM = 0,2. Halla las coordenadas del punto M. MB

P ( x;y) que divide a PP 1 2 según la razón: A)

( 23;2) B) ( 31;2)

6. Si P1( − 4;2)

( 223;4)

8  C)  ;2 D) 3  y P2 ( 4;6) son

PP 1 =1 PP2 2

E)

( 223;3)

los extremos del

segmento dirigido PP 1 2 , halla las coordenadas del punto P ( x;y) que divide a razón: A) ( 8;2)

PP 1 PP2

este segmento en la

= −3

B) ( 8;4)


C) ( 2;8)

D) ( −8;2)

E) ( 8;8) .

CAPÍTULO 5

LA LÍNEA RECTA La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos colineales del plano.

ÁNGULO DE INCLINACIÓN Se llama ángulo de inclinación de una recta, al ángulo formado por la recta la parte que se encuentra a la derecha del punto de intersección de la recta el eje X.

  

En la figura, "α " es la medida del ángulo de inclinación de la recta

dada y dada y

Y

LL11.

L2

En la figura, "θ " es la medida del ángulo de inclinación de la recta

Evidentemente "α " y "θ " pueden tener cualquier valor comprendido entre 0º y 180º, es decir su intervalo de variación está dado 0º ≤ α ≤ 180º y 0º ≤ θ ≤ 180º

L2 .

θ

α O

por:

X

PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente “m” de una recta es la razón de cambio entre la distancia vertical y la distancia horizontal de dos

y −y

2 puntos de referencia, y se define como: m=

1

2

1

x −x

,

x ≠x 1

2

B(x2;y2)

y2

Observamos que la pendiente coincide con la tangente del ángulo , es decir:

Cambio Vertical

y2 − y1

α

A(x1;y1)

y1

α

0

Q

x1 x2 − x1

x2

Cambio Horizontal

Debemos tener en cuenta que: Si "α " es un ángulo agudo, la pendiente es positiva ( m> 0).

Si "α " es un ángulo obtuso, la pendiente es negativa ( m< 0).

Si α = 0º entonces la pendiente es cero ( m= 0).

Y

Y

Y

Y

Si α = 90º la pendiente “m” no existe, ya que Tg90º no está definida.

y=a

α

α

0

0

0

0

X

PRÁCTICA Nº 10 1 B) 1 2

A) 2

( 0;2)

( 1;8)

y

B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 Halla la pendiente de la recta que pasa por los

3.

puntos A) 1,2

( −1;14) ( 32;9) y

B) 2,6 C) 3,5 D) 4,2 E) N.A. Halla la pendiente de la recta que pasa por los

4.

puntos

( 2;6)

y

3 2

B)

3 2

A) −

5. A) 4

6.

( 1;4) 1 2

7.

1 2

D)

2 3

E)

1 3

A) 3

( 5;1)

C)

11 2

D) 2

E)

11 . 3

es el valor de “k”, para que los siguientes puntos

sean colineales

( k;−1) , ( 3;3) , ( 9;7) ?

A) –9 B) –6 C) –3 D) 3 E) 6 10. Halla la pendiente “m” y el ángulo de inclinación

"θ " de la recta que une los puntos: ( − 8;− 4) y ( 5;9) . 1 3 1 A) y 30º B)1 y 45º C) y 37º D) 0 y 180º. E) 3 4 0

e indeterminado 11. Halla la pendiente “m” y el ángulo de inclinación

"θ " de la recta que une los puntos. ( 10;− 3) y ( 14;− 7) . 1 A) y 30º B) 0 y 180º C) –1 y 270 D) –1 y 135º E) N. A. 3

y ( −2;1) 12. Halla la pendiente “m” y el ángulo de inclinación B) 3 C) 26 D) 1 E) 0 1 "θ " de la recta que une los puntos: ( 4;6) y ( 1;3) . A) 3 Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos y 30º B) 0 y 180º C) –1 y 270 D) 1 y 45º E) N. A. y ( 3;5) 13. Halla la pendiente de la recta que pasa por los 1 1 B) 1 C) 1 D) 2 E) 1 puntos ( 4;6) y ( 1;3) .

2

3

Una recta tiene pendiente –1 y pasa por los

puntos

8.

C)

Halla la pendiente de la recta que pasa por los

puntos

A)

( 4;3)

9.¿Cuál

X

X

X

1. La recta que pasa por los puntos A (3; –2 ) y A) B(4; –6 ) tiene pendiente: A) –4 B) –3 C) 2 D) 3 E) 4 2. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos

x= b

( −1;4) B) 6

y

( x;−3)

C) 9

Los puntos colineales. Halla “x”

D) 12

( 1;7) , ( −1;5)

de la recta que une los puntos:

E) N.A. y

( x;8)

A) 45º B) 30º C) 60º D) 15º E) 90º. Halla la pendiente “m” y el ángulo de inclinación θ

14.

son

(

)

3;2 y ( 0;1) .

1 y 30º B) 0 y 180º C) –1 y 270 D)1 y 45º E) N. A. 3

A)

Para hallar el punto de intersección de dos rectas, se resuelven dichas rectas como un sistema de ecuaciones.

PRÁCTICA Nº 11 1.

{ {

Halla el punto de intersección de las rectas:

L :5x + 6y − 20 = 0 a) 1 L2 :4x − 3y + 23 = 0 c)

L1 :2x + 5y + 24 = 0 L2 :8x − 3y = 19

2.

{

d)

{

{

L :10x + 9y = 8 b) 1 L2 :8x − 15y = −1 L1 :7x + 4y = 13 L2 :5x − 2y = 19

Halla el punto de intersección de las rectas:

L1 :3x + 7y = 17 L2 :2x + 9y = 20

A) (1;3) B) (1;-1) C) (1;2) D) (2;1) E) (1;1) 3. Halla el punto de intersección de las rectas:

{

L1 :5x − 2y = 7 L2 :7x − 4y = 11

A) (1;3) B) (1;-1) C) (1;2) D) (-2;1) E) (-1;1) 4. Halla el punto de intersección de las rectas:

{

L1 :8x + 3y = −7 L2 :9x − 5y = −33

A) (-1;3) B) (1;-1) C) (1;2) D) (-2;3) E) (-1;1) 5. Halla el punto de intersección de las rectas:

{

L1 :2x − 3y = 7 L2 : 4x + 7y − 1= 0

A) (1;3) B) (2;-1) C) (2;2) D) (-2;2) E) (-1;1) 6. El punto (8; 7) pertenece a la recta de ecuación:

A) 3x + 2y = 10 B) 3x – 2y = 10 C) 2x + 3y – 10 = 0 D) 2x – 3y + 10 = 0 E) Otra recta 7. El punto (1; 2) pertenece a la recta de ecuación: A) x + 2y = –5 B) 3x – 2y = –5 C) 2x – 3y – 1 = 0 D) 5x – 2y + 8 = 0 E) Otra recta 8. Halla el valor de “a”, tal que la recta 3ax + 5y + a − 2 = 0 , pase por el punto (–1; 4) A) –5 B) –9 C) 9 D) 6 E) Otro valor 9.Calcula el valor de “m” para que las mx + 2y + 6 = 0 ; x + y − 1= 0 rectas y

x − y = 5 pasen, las tres, por un mismo punto. A) –3

B) –2 C) 0 D) 6 E) 5 10. Halla “A+B” para que las rectas: Ax + 2y − 8 = 0 y 2x+ By = 3 se corten en el punto (2,1). A) –3 B) –2 C) 2 D) 3 E) 4 11. ¿En qué cuadrante se intersectan las rectas cuyas ecuaciones son: 3x + 2y = 6 ; 5x + 3y − 11= 0 ? A) I Cuadrante B) II Cuadrante C) III Cuadrante D) IV Cuadrante E) No se intersectan 12. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y = 13; 3x + 8y = 47 y x − y = 1. Halla su área

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

El ángulo cuya medida es "θ " formado por dos rectas está dado por

Tgθ =

m −m 2

1

1+ m ⋅ m 2

1

,

m ⋅ m ≠ −1. 1

la fórmula:

Y

L2

2

θ

L1

Donde:

m → Pendiente de L 1 1 m → Pendiente de L 2 2 L → Recta inicial 1 L → Recta final. 2

Un ángulo agudo formado por las r rectas: Es tal que: E

β O

α X

PRÁCTICA Nº 12

Dadas las rectas 3x + y = 3 y −2x + ay = 8 . Determina "a" para que forman un ángulo de 45º. Sol: a=1 A) 3 B) −1 C) 1 D)2 E)N.A.

1.

CAPÍTULO 6


ECUACIONES DE LA RECTA I.

Forma Punto Pendiente Y

L

II.

(

y − y = m x− x 1

P(x;y)

1

Forma Pendiente y Ordenada en el Origen

)

Y

y = mx+ b

L

Donde: m: Pendiente P: Punto cualquiera A: Punto de paso

Donde: m: Pendiente (0;b) : Punto de paso

P(0;b)

A(x1;y1)

α

0

X

0

III. Forma Dos puntos

L

Y

B(x2;y2)

X

IV. Forma Simétrica de la Recta

y − y y− y = 2 1 1 x − x

(

2

)

x x−

1

L

Y

1

P(0;b)

Donde:

m=

A(x1;y1)

0

X

P(x;y)

Donde: P, Q: Puntos de paso

y − y 2

1

2

1

x − x

: Pendiente

A, B: Puntos de paso

x + y = 1 ; a ≠ 0, b≠ 0 a b

0

Q(a;0)

X

V. Forma General de la Recta Toda recta

L

en el plano coordenado tiene asociada una y sólo una ecuación de la forma: Ax + By + C = 0 ,

donde “A”, “B” y “C” son constantes diferentes de cero. Además:

m= − A B PRÁCTICA Nº 12

1.

Halla la ecuación de la recta representada en el siguiente gráfico Y 5 4 3 2 1 0

X

1 2 3 4 5

A) y = 4x −1 B) y = x −1 C) y = 4 − x

2.

D) y − x = 4 E)N.A.

Halla la ecuación de la recta representada en el siguiente gráfico Y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2

1 2 3

X

. A) y = x −1 B) y = 1− x C) y − x =1

3.

D) y = 1− 2x E)N.A.

Halla la ecuación de la recta representada en el siguiente gráfico Y 0 -1 -2 -3 -4

1 2 3 4

X

. A) y = x −3 B) y = 3x −1 C) y + x −3 =0

4.

D) y = 1− 2x E)N.A.

Halla la ecuación de la recta representada en el siguiente gráfico Y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2

1 2 3

X

.

A) y = 2x −1 B) y = x −1 C) y − 2x =1 D) y = 1− 2x E)N.A.

5.

Halla la ecuación de la recta representada en el siguiente gráfico Y 0 -1 -2 -3 -4

1 2 3 4

X

.

A) y = x −2 B) y = x C) y + 2 = 0 D) y = 2 − x E)N.A.

6.

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: ( − 4;1) y

( 3;− 5) .

2x + y + 17 = 0 B) 7x − 6y − 9 =0C) 6x + 7y + 17 = 0 D) 2x − y − 17 = 0 E) 5x − 8y − 10 = 0 7. Una recta de pendiente – 2 pasa por el punto P(2;7) y por los puntos A(x;3) y B(6;y) . Halla la d( A;B) A)

A) 3 5

8.

B) 2 5

C) 2 3

D) 4 3 E) 4 5 .

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: ( − 5;2) y

A) x+ 2= 0 B) y− 2= 0 C) x + y + 2= 0 D)

9. k=0 A)1

y− 10= 0. Determina el valor de k para que los puntos A(2;− 1) , B(1;4) y C(k;9) estén alineados. Sol: B) 0

C)3

D) 4

E) 5.

− y − 7= 0

( 3;2)

E)

10.

¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones corresponde (n) a rectas de pendiente

I) 2x + 3y = 3 II) 3x − 2y − 1= 0 III) 4x − 6y + 5 = 0 A) sólo I B) sólo II C) sólo III D) I y II E) I y III

11. 4 A) 3

12.

Halla el valor de “m”, tal que la recta 4x − my − 7 = 0, tenga pendiente 3. B) –1

D)

E)

1 3

Los puntos A(3;7) y B(−1;−1) pertenecen a una misma recta. Un tercer punto de esta recta tiene coordenadas: C) (1;2)

D)(4; 6) E) (4; 9)

( 2;− 5)

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por

A) 2x + y = 15 B) 4x + y − 15= 0

15.

1 2

C) (0;a) D) (0;a−1) E) (a;a−1)

A) (0;−1) B) (−1;0)

14.

C) 1

¿Por cuál de los siguientes puntos pasa la recta de ecuación y = ax − 1?

A) (a;0) B) (a−1;0)

13.

2 ? 3

C) 2x + 13y = 15

y tiene pendiente 4.

D) 15y + x − 13= 0

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos

A) x + 2y − 4 = 0 B) 5x + 6y − 5= 0

C) 2x + 5y − 5= 0

( − 4;− 3)

D) x − 3y − 5= 0

E) 4x − y − 13= 0 y

( 2;−1)

E) 3x + 4y + 5= 0

La recta de ecuación 6x − y − 9 = 0 pasa por el punto A. Si la ordenada del punto A es el triple de su abscisa, ¿cuál es la abscisa de A?

16. A)

1 4

17. A) –3

18.

B)

1 C) 1 2

D) 2

E) 3

La recta de ecuación 2x − 3y = 6 intersecta al eje Y en el punto de ordenada: B) –2 C) 1 D) 2 E) 3 ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por A(−3;0) y B(0;−2) ?

A) 2x + y = 6 B) 2x − y − 6 = 0 C) 2x + 3y = 6 D) 2x + 3y + 6 = 0

E) 3x + 2y + 6 = 0

En el plano cartesiano los puntos A y B son simétricos respecto a la recta x = 3 , si A(7;2) , entonces las coordenadas de B son: A) (7;−2) B) (−2;7) C) (−1;2) D) (1;2) E) (−1;−2) 20. Busca la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(3;2) y Q (5;6). A) 2x + y = 4B) 2x − y = 4C) 2x − y = 6 D) x − 2y = 4 E) x + 2y = 4

19.

21. A)

−4 3

22.

Halla el valor de “k”, tal que la recta de ecuación: 4x − ky − 7 = 0 tenga pendiente 3. B)

1 2

4 3

C)

D)

− 1 E) – 1 4

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5;−2) y de pendiente 3.

A) 3x − y = −17 B) 3x − y = 17 C) 3x − y = −6 D) 3x − y = 1

23.

E) 3x − y = 0

Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto (−2;−5) y con pendiente 2.

A) 2x − y − 7 = 0 B) 2x − y − 1= 0 C) 2x − y = 0 D) 2x − y + 2 = 0 E) 2x + y = 0

24.

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−2;−6) y (3;1) .

A) 5x + y + 16 = 0 B) 5x − y − 16 = 0 C) 5x + y = 0 D) 5x − y − 2 = 0

25.

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos

A) 5x + y − 4 =0

B) 5x + 6y − 8 = 0 C) 6x + 5y − 5= 0

( − 2;− 3)

E) x − y = 0

y

D) 5x − 6y − 8= 0

( 4;2) .

E) 3x + 3y + 5= 0

26.

Halla la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y – 3, respectivamente. A) 3x + y − 4 =0B) 3x + 6y − 8= 0 C) 6x + 5y − 15= 0 D) 3x − 5y − 15= 0 E) 3x + 3y + 15= 0 . 27. Si la recta 3x + 2y + 3k – 9 = 0 pasa por el origen, entonces el valor de “k· es: A) –1 B) –3 C) 1 D) 3 E) 6 28. El punto (4k – 1;2) pertenece al eje Y, entonces el valor de “k” es: A)

3 4

29.

3 A) − 2

30.

B)

1 2

C)

1 4

D) −

1 4

E) – 2

El punto (–6;3k+2) pertenece al eje de las abscisas, entonces el valor de “k” es: B)

−2 3

C)

2 3

D)

3 2

E)

5 2

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

3x − 5y + 9= 0 y

4x + 7y − 28= 0 y por el punto ( − 3;− 5) . A) 13x + y − 14= 0 B) 12x + 7y − 15= 0 C) 7x + 13y − 15 =0D) x − 14 y −13 =0 E) 13x − 8y − 1 = 0 . 2;8 3x − 5y − 11= 0 y 31. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 3 3 y por la intersección de las rectas 4x + y − 7= 0.

( )

A) 11x − 4y − 11= 0 B) 11x − 4y + 11= 0 C) 7x + 2y = 12 D)

7x + 2y = −12 E) 11x + 4y − 11= 0

32.

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto

( 0;3)

−4. 3 E) 5x − 8y − 10= 0

y su pendiente es

2x + y + 9 = 0 B) 8x − 15y − 9 =0 C) 4x + 3y − 9= 0 D) 2x − y − 9= 0 33. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 0;5) y tiene de pendiente – 2. A)

A)

2x + y − 4= 0 B) x + 2y − 4= 0 C) 2x + y − 5= 0 D) x + y − 5= 0

34.

A)

x + y + 5= 0

Halla la ecuación de la recta que satisface las condiciones siguientes: pasa por el punto ( 0;− 3) y su pendiente es

−2 . A) 2x + y + 3= 0 B) 8x − 15y − 2= 0 C) x − 8y − 10= 0

35.

E)

D) 2x − y − 2= 0

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto

2x + y − 4= 0 B) x + 2y − 4= 0 C) x + y − 2= 0

D)

( 4;− 2)

E) 5x − 8y − 1= 0

y tiene un ángulo de inclinación de 135º.

x + y − 1= 0

E)

x + y + 1= 0.

MÓVILES r

VELOCIDAD (v) .-Es aquella magnitud vectorial cuyo módulo (V) nos indica la rapidez con que se mueve un cuerpo de un lugar a otro. Cuando la rapidez es constante el movimiento es uniforme. En esta parte trabajaremos con problemas de MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme) donde la aceleración es cero. Para lo cual tendremos en cuenta que: Para problemas de corrientes, solo Espacio, distancia hay que considerar que cuando se o recorrido navega a favor de la corriente las velocidades del barco y la corriente se suman y cuando se navega en Contra de la corriente, las velocidades se Restan.

d

Velocidad o rapidez

v

Tiempo

t

VG

d = vt .

v= d t

t= d v

MOVIMIENTOS SIMULTÁNEOS Son cuando dos o más móviles inician y terminan su movimiento al mismo tiempo; es decir sus tiempos son iguales. Los movimientos simultáneos pueden ser: I) En sentidos opuestos



II) En sentido contrarios





vB

vA

A

vA

B

A

d



vB

ts =

vB

A

B

B

P unto de encuentro

d Tiempo de alcance

Tiempo de separación

te = d VA + VB





vA

d

Tiempo de encuentro

III) En el mismo sentido

ta =

d VA + VB

d , V >V VA − VB A B

E je m p lo 1 a) Un tren de 200m de longitud pasa por un puente de 600m de largo a una velocidad de 40m/seg. ¿Cuál es el tiempo que emplea el tren en lograrlo? Solución

b) Un tren para atravesar un túnel de 1200 pies de longitud tarda 60s y en pasar delante de un observador tarda 20s. ¿Cuál es la longitud del tren? Solución

c) Un tren viaja a 50 km/h, simultáneamente se empieza a mover otro tren, en sentido contrario, a la misma rapidez. 100 km. Una 200m Se encuentran 600m separados200m paloma, simultáneamente se ponen en movimientos los trenes, vuela de un tren a otro, luego se devuelve ntes de de alA primero y vuelve a ir al otro, yD espúes así sucesivamente. pasar el puente pasar el puente La paloma vuela a 100 km/h. ¿Qué distancia vuela la Lapaloma distancia recorre el cruzan? tren hasta cruzar hasta que que los trenes se completamente el puente es: d = 600+ 200 = 800m; Solución

d) Una tortuga puede "correr" a 6 cm /s mientras un caracol a 1 cm/s. Están sobre un camino con una sola dirección. ¿Qué distancia los separa al cabo de 8 minutos si parten en el mismo sentido? Solución

v = 40m/ seg

e Además t = . v

800 = 20seg Luego: t = 40

100km

El

de encuentro de los 1 trenes es 100 te = = 1h; luego la distancia que voló la paloma 50+ 50 es: d = 100km/h× 1h ⇒ d = 100km

Rp: 2400cm

tiempo

Rp: 2400cm

NIVEL 1 Carlos conduce su auto a 40 km/h y 8. En una pista circular de 3000 m dos velocistas parte hacia el sur a las 7 a.m.; Fernando conduce a una parten juntos en sentidos contrarios y se cruzan al cabo velocidad mayor en 30 km/h que Carlos, y va también de 20’. Después de 5’ llega el más veloz al punto de hacia el sur partiendo a las 8 a.m. si la distancia entre partida. ¿Cuál es la velocidad del otro? los puntos de donde parten es 260 km. ¿A qué hora A) 20 m/min B) 25 m/min C) 30 m/min D)35m/min alcanzará Fernando a Carlos? E) N.A. A) 4 p.m. B) 5 p.m. C) 8 p.m. D) 7p.m. E) 6 p.m. 9. En remar 120 km río abajo y luego en regresar 2. A las 8 de la mañana parten dos autos se emplea 7 horas se sabe que remar 4 km río abajo al encuentro desde dos ciudades distantes 1000km emplea el mismo tiempo que en remar 3 km río arriba. entre sí. Da la hora del encuentro sabiendo que la ¿Cuál es la velocidad del bote? velocidad del más rápido es 20 m/s y la del más lento A) 50 km/h B) 34,2 km/h C) 40 km/h D) 35 km/h es 28 km/h. E) 30 km/h A) 5 p.m. B) 7 p.m. C) 6 p.m. D) 8 p.m. E) 12 m 10. Un corredor da una vuelta completa a una pista 3. A las tres de la tarde sale de la ciudad circular cada 40s otro corredor recorre la pista en un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas sentido contrario y se cruza con el anterior cada 15s. más tarde sale una moto en su persecución a una ¿Qué tiempo emplea el segundo corredor en dar una velocidad de 120Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A vuelta completa a la pista? qué distancia de la ciudad? A) 30s B) 24s C) 32s D) 36s E) N.A. 4. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A 1.

la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25Km/h y el de B a 33Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?

5.

Un motociclista observa que

que ha recorrido equivale a los

1 de lo 5

3 de lo que le falta por 5

recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? A) 10h B) 9 h C) 8 h D) 7 h E) N.A. 6. En la figura mostrada, ¿Al cabo de cuánto tiempo estarán separados nuevamente por 80?

6m/s

2m/s 80m

A) 10s 7.

11. Un yate ha estado navegando durante 14 horas. Si hubiera navegado una hora menos con una velocidad mayor en 5km/h, habría recorrido 6km menos. ¿Cuál es su velocidad? A)71km/h B)70 km/h C)80 km/h D)50 km/h E) N.A. 12. Para recorrer un río de 260km de longitud, un bote demora 13 horas en el sentido de la corriente; pero cuando va en contra de la corriente demora 26 horas. ¿Cuál es la velocidad del bote? A)20 km/h B) 30 km/h C) 25 km/h D)15 km/h E) N.A.

13.

Para recorrer el tramo MN un móvil demora 20 horas, si quisiera hacerlo en 25 horas, tendría que disminuir su velocidad en 8 km/h. ¿Cuánto mide el tramo MN ? A) 900 km B) 600 km C) 700 km D)800 km E) N.A. 14. Todos los días sale de Chiclayo a Lima un ómnibus con velocidad de 100km/h, éste se cruza diariamente a las 12 horas con un ómnibus que viene de Lima con velocidad de 50km/h, cierto día el ómnibus que sale de Chiclayo encuentra malogrado al otro a las 14 horas. ¿A qué hora se malogró el ómnibus que sale de Lima? A) 6 a.m. B)7 a.m. C) 8 a.m. D)9 a.m. E) N.A.

B) 20s C) 30s D) 40s E) 50s Si el tren de longitud L que se desplaza con rapidez constante de 20m/s se demora 5s 15. Un maratonista que corre por la en cruzar completamente el puente de 40m de longitud carretera observa que cada 12’ le alcanzaba un a partir de la posición mostrada. Halla "L": ómnibus y cada 4’ otro de ellos pasaba en dirección contraria. ¿Cada cuánto tiempo salen los ómnibus de L su paradero? A) 3’ B) 7’ C) 4’ D) 5’ E) 6’ A) 120m B) 160m C) 180m D) 100m E) 80m 16. En una pista circular de 3000m dos velocistas parten juntos en sentidos contrarios y se

cruzan al cabo de 20’. Después de 5’ llega el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la velocidad del otro? NIVEL 2 A) 20 m/min B) 25 m/min C) 30 m/min D) 35 m/min 1. Un auto debe emplear 4 horas en cierto trayecto. E) N.A. Una hora después de la partida el chofer acelera la 17. Dos ciclistas parten desde el mismo velocidad a fin de llegar 1 hora antes y hace entonces punto en un circuito de 6000 m en dirección opuesta 2 uno al otro. Si cuando el primero ha completado una 6km más por hora. Halla la longitud del trayecto. vuelta al cabo de 30’ se cruzan por tercera vez. ¿Cuál A) 130 m B) 140 m C) 110 m D) 120 m E) 160 m es la velocidad del más rápido? 2. Si 2 ciclistas Raúl y Manuel disputan una carrera de 800 m. Si Raúl da una ventaja a Manuel de 200 m A) 200 m/min B)300 m/min C) 250 m/min llegan al mismo tiempo a la meta. En cambio si le da una D) 400 m/min E) N.A. ventaja de 80 m le gana por 20 segundos. ¿Cuál es la 18. Dos jinetes corren en un hipódromo de velocidad de Raúl? 30 m de circunferencia y en el mismo sentido. El A) 6 m/s B) 4 m/s C) 8 m/s D) 10 m/s E) N.A primero que tiene 20m de adelanto corre a 5 m/s y el 3. Silverio recorre una distancia en 120 minutos, al segundo a 3 m/s. Calcula la suma de la distancia regreso aumenta su velocidad en 11 metros por minuto y recorrida hasta su encuentro. recorre la misma distancia en 105 minutos. Halla la distancia recorrida. A) 280 m B)260 m C) 300 m D) 240 m E) N.A. A) 9240 m B) 18480 m C) 18840 m D) 19. Dos trenes “A” y “B” marchan en 9420 m E) N.A. sentidos contrarios a 25 y 35 km/h respectivamente, un 4. Dos móviles “A” y “B” separados por una distancia pasajero del tren “A” ve pasar al de “B” en 6 segundos. de 240km parten a la misma hora y en el mismo sentido, ¿Cuál es la longitud del tren “B”? si el primero en cada hora recorre 60km y el segundo A) 80 m B)100 m C)120 m D)110 m E) N.A. 40km. Determina qué distancia recorrió “B”, cuando se 20. Un ciclista razonaba de la siguiente encuentra con “A”. C) 360 km D) 480 km manera “si voy a 10km/h llegaré a mi destino a las 3pm, A) 720 km B) 520 km E) N.A. pero si marcho a 15km/h llegaré a la 1 p.m. ¿qué 5. Dos muchachos que pasean en bicicleta, se hallan velocidad deberá llevar para llegar a las 2p.m.? a 40 kilómetros uno del otro. En este momento empiezan A) 12,5 km/h B) 12 km/h C) 13 km/h a ir al uno hacia al otro, al mismo tiempo que una paloma D) 11 km/h E) N.A. que está posada en el manillar de una de las bicicletas 21. Un tren parte de “A” a las 6 a.m. y empieza a volar hacia el otro. En el momento en que llega llega a “B” a las 4 p.m., otro tren parte de “B” a las 7 al manillar de la otra bicicleta da la vuelta y vuelve hacia la primera, y así sucesivamente. Si cada bicicleta se mueve a.m. y llega a “A” a las 3 p.m. si la distancia de “A” a “B” a 10 km/h y la paloma a 15km/h, ¿qué distancia habrá es 400km. ¿A qué hora se encontrará por el camino? volado la paloma cuando se encuentren las 2 bicicletas? A) 10 am B) 11 am C) 12 m A) 10km B) 20km C) 30km D) 12km E) N.A. D) 9 amE) N.A. Un ciclista viaja por una pista a velocidad 22. Dos móviles se dirigen uno al encuentro del 6. otro. Inicialmente se encuentra separados 195 km y la constante. Parte del kilómetro a0b y una hora velocidad de uno de ellos es 35 km/h; si se encuentran luego después está en el kilómetro aab. Si en la primera de 2,5 h. ¿Cuál es la velocidad del otro? A) 80 km/h B) 50 km/h C) 60 km/h D) 40 media hora llegó al kilómetro ab0, halla “a + b”. km/h E) 43 km/h A) 5 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15 23. Dos móviles se desplazan en línea recta y en 7. Una hormiga va de “A” a “O” en línea recta a la direcciones opuestas (al encuentro); la velocidad de uno de velocidad de 3cm/s, recoge en “O” un maní para ellos es el doble de la velocidad del otro, aumentado en 1 km. llevarlo en línea recta a su escondite en “B” a Si el tiempo de encuentro es numéricamente igual a la velocidad constante. Si en esta segunda etapa centésima parte del espacio que los separa inicialmente, emplea un tiempo que es cuatro veces más que el calcular la velocidad del más veloz. anterior, ¿con qué velocidad recorrió la distancia OB A) 67 km/h B) 90 km/h C) 40 km/h ? D) 60 km/h E) 33 km/h B 24. Corriendo a 60 km/h llega a un automovilista a Huancayo a las 9 p.m.; si corriera a 90 km/h llegaría a las 7 p.m. ¿A qué velocidad debería ir A 12 para llegar a las 8 p.m.? 4 A) 68 km/h B) 70 km/h C) 75 km/h D) 71 km/h E) 72 km/h 25. Un atleta se propone llegar a las 3 p.m. a la meta establecida. ¿A qué velocidad debería correr sí ha probado que a 3 kilómetros por hora llegaría 1 hora atrasado y que yendo a 5 kilómetros por hora llegaría 1 hora adelantado?

3

O

A) 13cm/s B) 39cm/s

5

A) 4 km/h B) 3,5 km/h C)3,75 km/h D) 3,8 km/h E) 3,2 km/h 26. ¿Cuántas horas emplea un tren que viaja a una velocidad de 40km/h, entre dos paradas para recorrer “a” km, si hace “n” paradas de “m” minutos cada una? 3a + 2mn 3a + 2mn a + mn a + 40mn A) B) C) D) 120 12 40 40 E) 3a + 2mn

25

E) 6cm/s

5

C) 5cm/s

D) 8cm/s

REPASO 1. Un automóvil para recorrer 120 km. emplea un galón menos de gasolina de 95 octanos que de 84 octanos. ¿Cuántos galones de 84 octanos usa para el recorrido, si se sabe que el de 95 octanos rinde 10 km. más por galón que el de 84 ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 5 2. Una persona se encuentra delante de una pared, efectúa un disparo y luego de dos segundos escucha el impacto; pero si hubiera estado 102 metros más cerca de la pared, ¿al cabo de qué tiempo escucharía el impacto? ( V sonido = 340 m/s ; V bala = 85 m/s ) A) 1 s. B) 0,5 s C) 1,5 sD) 2 s E) 0,8 s 3. Dos trenes de igual longitud se desplazan con rapidez constante y tardan 6 segundos en cruzarse cuando viajan en sentidos contrarios. Si el de mayor rapidez tarda 8 segundos en pasar totalmente al otro cuando van en el mismo sentido, la relación entre la rapidez de los trenes es: A) 1/7 B) 3/4 C) 6/7 D) 5/9 E) 3/7 4. Dos personas “A” y “B” separadas por una distancia de 3600 metros salen a la misma hora y van al encuentro una de otra. El encuentro ocurre a los 2000 metros de uno de los puntos de partida. si la persona que va más despacio hubiera salido 6 minutos antes que la otra, el encuentro hubiera ocurrido en el punto medio del camino, ¿cuál es la rapidez de cada persona? A) 60 m/min y 70 m/min B) 50 m/min y 75 m/min C) 50 m/min y 70 m/min D) 60 m/min y 75 m/min E) 65 m/min y 75 m/min 5. Dos ciclistas separados por 240km parten al mismo tiempo. Si van en el mismo sentido, se encuentran luego de 8 horas; pero si van en sentidos opuestos se encuentran luego de 5 horas ¿Cuál es la rapidez de cada uno? (en km/h) A) 39 – 9 B) 36 – 12 C) 32 – 16 D) 40 – 8 E) NA 6. La rapidez de una canoa, en aguas en reposo es de 12km/h. Sabiendo que recorre 36km aguas abajo y regresa al punto de partida en un tiempo de 8h, hallar la rapidez de la corriente del río, en km/h a) 5 B) 8 C) 6 D) 7 E) 9 7. Una madre y su hija trabajan en la misma oficina. La hija, de su casa a la oficina emplea 30min; y la madre, 40min ¿En cuántos minutos alcanzará la hija a su madre si ésta sale 8min antes? A) 12 B) 24 C) 6 D) 12 E) NA 8. Juan y María salen al encuentro uno del otro de dos lugares distantes 200m. Se sabe que Juan se mueve con una rapidez de 3m/s y María se mueve con una rapidez de 2m/s. En el mismo instante que inician el recorrido de encuentro, un pajarillo que está en el hombro de Juan vuela en dirección a María con una rapidez de 8m/s, cuando el pajarillo lega donde María, regresa en dirección a Juan, luego, nuevamente donde María y así sucesivamente hasta que Juan y María se encuentran. ¿Cuál fue la distancia total recorrida por el pajarillo? A) 240m B) 300m C) 320m D) 360m E) NA 9. La rapidez de un bote de ida es de 20km/h; cuando va de regreso (contra la corriente) logra una rapidez de 15km/h. hallar el espacio recorrido si va de Iquitos a Nauta; sabiendo que además de ida demora 5 horas menos que de regreso A) 500km B) 150km C) 225km D) 300km E) NA 10. Dos móviles se mueven en el mismo sentido; la rapidez de uno es el triple de la del otro. En un instante dado, la ventaja es de 60km y después de 2 horas, se ha triplicado la ventaja. ¿Cuál es la rapidez del más rápido? a) 45km/h B) 60km/h C) 75km/h D) 90km/h E) 120km/h 11. Una liebre perseguida por un galgo se encuentra a 40 saltos de liebre, del galgo. La liebre da 4 saltos mientras que el galgo da 3, pero 5 saltos del galgo equivalen a 7 saltos de liebre ¿Cuántos saltos dio la liebre antes de ser alcanzada? A) 800 B) 1600 C) 1500 D) 750 E) 550

12. El microbús de la línea “90" recorre en una hora toda la avenida Venezuela mientras que el de la línea “87" lo hace en 35 minutos. Si el micro más lento parte 15 minutos antes, el otro lo alcanzará en: A) 21 min B) 22 min C) 23 min D) 24 min E) 25 min 13. Un remero tarda 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista a 90 km. Si el tiempo que emplea en recorrer 5 km a favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente. ¿Cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h? A) 2 B) 1 C) 2,5 D) 1,5 E) N.A. 14. Un tren sale de una estación con una velocidad de 36 km/h. A los 5 minutos de marcha, obedeciendo a una señal de precaución, disminuye su velocidad a 20 km/h recorriendo con ésta 2 km y volviendo a marchar con la velocidad primitiva hasta la estación inmediata, a la que llega a los 21 minutos de haber partido. ¿Qué distancia hay entre las estaciones? A) 8 km B) 12 km C) 10 km D) 11 km E) N.A. 15. La pista atlética del Estadio Nacional mide 420m, dos corredores que parten de un mismo punto y en el mismo sentido, al cabo de 30 minutos uno de ellos, le saca dos vueltas de ventaja al otro, pero si parten en sentido contrario a los 6 minutos se cruzan por segunda vez. ¿Cuál es la velocidad del más lento? A) 50 m/min B) 46 m/min C) 42 m/min D) 28 m/min E) 56 m/min

16. Un tren de carga que va a 42km/h es seguido 3 horas después por un tren de pasajeros que va a 60km/h ¿En cuántas horas el tren de pasajeros alcanzará al tren de carga y a que distancia del punto de partida? A) 5h; 350km B) 6h; 420km C) 9h; 500km D) 8h; 600km E) 7h; 420km

CAPÍTULO ASPECTOS COMERCIALES DE COM PRA Y VENTA Sean: Pc :Precio de costo; Pv :Precio de venta; G: Ganancia; P: Pérdida; PL : Precio de lista; PF : Precio fijado. I) Pv = Pc+ G ó Pv = Pc − P

II) Pv + Recargo− Descuento= P c+ G

III) Si hay gastos efectuados desde la compra hasta la venta: Pc + Gastos+ G= Pv

y

GBruta = GNeta + Gastos IV) Si fijamos un precio en un artículo en venta: PF − Descuento = Pv V) Si nos fijan un precio al comprar un artículo: PL − Descuento = Pc Toda pérdida o ganancia se obtiene con respecto al precio de costo, salvo se indique lo contrario.

Si se tiene una cantidad “a” y se rebaja en un b%, para volver a la cantidad inicial se debe aumentar en:

E je m p lo1 a) He comprado un televisor en s/.3 200. Después de haber obtenido una rebaja del 20%. ¿Cuál era el precio original del televisor? Solución

b) Si al vender una casa en s/.15 600 se gana s/.2 600. ¿Cuál es el % de ganancia? Solución

PRÁCTICA 1. Si al vender una casa en s/.15 600 se 4. Si un artículo se ha vendido en S/. 12000 gana s/.2 600. ¿Cuál es el % de ganancia? ganando el 20% del precio de costo más el 15% A) 10% B) 20% C) 30% D)40% E) 50% del precio de venta, entonces el precio de costo de 2. Se desea vender un reloj que se ha dicho artículo, es: comprado en s/.640, y que debido a desperfectos, se A)8000 B)8500 C)8600 D)8800 E) N.A. tendrá que perder el 40% del valor del precio de 5. He comprado una refrigeradora en s/.3200 compra. ¿En cuánto se venderá el reloj? después de haber obtenido una rebaja del 36%. A) 36,4 B) 38 C) 384 D)39 E) 39,4 ¿Cuánto pedían por la refrigeradora? 3. Si al vender 2 terrenos por $7200 cada A)4600 B)4800 C)5000 D)5500 E)6000 uno, en uno se pierde el 25% del precio de venta y en 6. Un pantalón cuesta cinco veces lo que el otro se gana el 25% del costo; entonces se puede una camisa. Si compro ambos artículos me afirmar que: rebajan el pantalón en un 52% y la camisa en un A) Se ganó $360 B) Se ganó $180 C) Se perdió 40%. Esto equivale a una rebaja sobre el costo $180 D) Se perdió $360 total inicial del: E) No se perdió ni se ganó A) 40% B) 50% C) 55% D) 65% E) 30%

7. Se vende un artículo en 150 soles con una el importe de la venta fue de S/. 38 000. Cual es ganancia del 25% sobre el costo. Si se ganó tanto como se el número de vacas que se compró? descontó. ¿Cuál fue el precio fijado para la venta al público? a) 32 b) 36 c) 40 D) 45 e) 48 A) 130 B) 238 C) 150 D) 180 E) 243 9. Un comerciante vende cierto artículo a S/.1310 8. Cirilo pregunta en una tienda que obteniendo una ganancia liquida de S/.202 descuento le pueden hacer sobre el precio de un siendo el impuesto a la venta el 16% de la repuesto y le responden que el 20%, va a otra tienda y ganancia bruta y los otros gastos ascienden a compra el mismo repuesto con un descuento del 25%, S/.50. Determinar qué porcentaje del precio de ahorrándose así s/. 350. ¿Cuánto costaba el repuesto? fábrica es la ganancia neta. A)1500 B)3500 C)5500 D).6 000 E)7 000 a) 12% b) 20% c) 24% 9. Un artículo se vende en s/.240, habiendo d) 18% e) 30% perdido el 20% ¿Cuál fue el precio de costo? 11. Un vendedor de libros compra cada libro de A) 200 B)300 C)400 D)500 E) 240 Aritmética en cierta editorial a 14 soles cada uno. Deseando ganar en su venta el 20% del 10. Un artículo se ha vendido en s/.195, precio de costo, se dirige a la academia habiendo ganado el 30% ¿Cuál fue el costo? Excelents para que le permitan vender dichos A)100 B)110 C) 120 D)140 E) 150 libros a todos los estudiantes; luego la 11. Un objeto fue vendido en s/.2 340, academia le autoriza vender pero si paga el dejando una utilidad del 30% sobre el costo.¿En cuánto 30% de la venta de cada libro. Cuánto más debería venderse para ganar solamente el 20% sobre gano la academia que el vendedor por cada el costo? libro? A)1800 B)2160 C)2700 D)1950 E)2340 a) S/. 5.20 b) S/. 4.40 c) S/. 3.60 12. Un artículo cuyo precio de costo es S/. d) S/. 4.80 e) S/. 4.20 2800 se vende ganando el 20% del precio de venta 12. Luis compró un lote de artículos cuyo precio de más el 20% del precio de costo. ¿Cuál es el precio de lista era S/. 3000 con una rebaja del 25% de venta? dicho precio; luego vendió todos los artículos A) 3800 B) 3600 C) 4000 D) 4200 E) N.A. de la siguiente forma: vendió el 20% ganando 5 13. Para fijar el precio de un artículo se soles por artículo, vendió el 30% perdiendo 2 aumentó su costo en 300 soles, pero al momento de soles por artículo y finalmente vendió lo realizar la venta se rebajó 100 soles y así se ganó el restante ganando 4 soles por artículo. Si como 20% del costo. A que precio se vendió el artículo. producto final de esta venta Luis ganó S/. 720. A) 3800 B) 3600 C) 4000 D) 1200 E) N.A. A que precio compró cada artículo? 14. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo a) S/. 10 b) S/. 8.50 c) S/. 9 que costó S/. 300, sabiendo que se va a hacer un d) S/. 12 e) S/. 7.50 descuento del 20% de dicho precio y aún así se ganará 13. Un carpintero se comprometió a realizar el 20% del costo? 250 sillas iguales. En las 30 primeras perdió el A) 350 B) 400 C) 390 D) 450 E) 500 10% del importe respectivo. Estimuló a sus 15. Un artículo tiene un costo de S/.3 300. operarios y ganó en las sillas restantes el 40%, ¿Cuál será el precio que debe fijar para que al venderlo por lo que gratifico a sus ayudantes con S/200 con un descuento del 20% se obtenga una ganancia resultando de todo ello un beneficio del 32% de del 25% del precio de venta? la cantidad estipulada inicialmente. Cuál es el A) 4300 B) 4400 C) 5500 D) 5300 E) N.A. precio de una silla. 16. En la venta de un reloj gané tanto a) S/.42 b S/.50 c) S/.40 como rebajé , que es el 20% de lo que me costó d) S/.25 e) S/.20 .¿Cuánto pensaba ganar sin rebajar si me costó 60 14. Un comerciante compra cierta soles más de lo que gané? mercadería y vende la tercera parte ganando el A) 30 B) 50 C) 40 D) 42 E) 36 12% y el resto lo da a un comisionista que lo 17. Para fijar el precio de venta de un vende ganando el 15%, quedándose este con artículo se aumenta su costo en 30% pero al el 7% y le entrega al comerciante el 8% de esta venderlo se hace una rebaja del 10% de este precio manera el comerciante logra una ganancia total fijado. Si se ganó S/. 680. ¿Cual fue el costo del de S/.2870. Cuánto costo esta mercadería? articulo? a) S/.3870 b S/.3075 c) S/.3025 a) S/. 4200 b) S/. 4000 C) 3600 D) 3200 e) N.A. d) S/. 3125 e) S/.3825 18. Un comerciante vende dos celulares a 15. Dos televisores se ofrecen a 450 y 480 soles S/. 480 cada uno. Si en uno de ellos ganó el 25% de respectivamente, sin embargo ambos se su costo y en el otro perdió el 20% de su costo, al vendieron al mismo precio. Si los porcentajes final el comerciante ganó o perdió y cuanto. de descuentos realizados al momento de a) ganó S/. 24b) perdió S/. 24 c) ganó S/. 36 vender están en relación de 4 es a 5. ¿A qué d) perdió S/. 36 e) no gana ni pierde precio se vendió cada televisor? 19. Un ganadero compró vacas a S/. a) S/. 280 b) S/. 350 c) S/. 330 800 cada una y las vendió con un beneficio neto d) S/. 420 e) S/. 410 de S/.5100. Durante el tiempo transcurrido desde 20. El precio de costo de un artículo es el la compra hasta la venta, las vacas le originaron 75% del precio de venta. ¿Qué porcentaje de un gasto del 15% del beneficio bruto. Por lo cual la ganancia es el precio de venta?

A) 25% 500%

B) 75%

C) 200%

D) 400%

E)

I.E.P. “VIRGEN DE GUADALUPE

CAPÍTULO TANTO POR CUANTO TANTO POR CUANTO Es una expresión que representa a una cantidad (tanto) que se toma de cuantas unidades iguales o de cuántas partes iguales se hayan dividido el todo o la unidad.

E je m p lo1

Sea el todo o unidad dividida en 15 partes iguales, de la cual tomaremos 6 partes. La parte sombreada representa a:  6 partes de 15  6 por cada 15  6 por 15 

6 15

Del caso que acabamos de analizar podemos decir que estamos hablando del 6 por 15.

Recuerda, el “a” por

a) Si el 3 por 5 de un número que ha sido disminuido en 1, equivale al 4 por 7 del mismo número cuando ha sido aumentado en 1. Halla el número. Solución

b) Para comprar un terreno de s/ 3240 Polidoro vendió su auto y le falta todavía el 2 por 43 del dinero que obtuvo por la venta de su auto. Si en la venta ganó el 7 por 36 del predio de costo, ¿cuánto costó el auto? Solución

3240(43) 2 Pv = 3240 ⇒ Pv = 43 45 3240(43) 7 Pv = Pc + Pc ⇒ 43Pc = 36 36 45 ⇒ Pc = 2592 Pv +

EJERCICIOS 1. A) 100 2. A) 100 3. A) 82

Halla el 3 por 4 de 200. B) 150 C) 180 D) 160 E) 120 Halla el 5 por 8 de 200. B) 150 C) 180 D) 160 E) 125 Halla el 3 por 20 del 7 por 12 de 320. B) 41 C) 14 D) 28 E) 56

4.

Halla el

A) 10

B) 20

5 por 4 de 240. 6 C) 30

RAZ-MATEMÁTICO

D) 40

E) 50 LIC. LUIS ROBINSON BOCANEGRA NEYRA


2 por 3 más que la edad de Juan. Halla la edad 3

5.

Juan tiene 45 años y Pedro tiene el

de Pedro. A) 10

B) 35

6.

Tiburcia tiene s/. 180 y Cleófila tiene el

C) 55

¿Cuánto tiene Cleófila? A) 160 B) 164 C) 174

7.

D) 65

D) 184

Tengo s/.180 y gasto el

A) 36

B) 63

E) 85

C) 42

1 por 6 menos de lo que tiene Tiburcia. 5

E) 154

1 1 por . ¿Cuánto me queda? 5 4

D) 54

E) 46

1 Un libro cuesta el por 6 de s/. 84. ¿Cuánto cuesta el libro? 2

8. A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

1 1 por . ¿Cuántos mangos vendió? 4 2

9.

Torcacio tiene 72 mangos y vende el

A) 48 10. A) 1025

B) 36 C) 24 D) 12 E) 16 Si el 26 por 91 de un capital es s/.350. Halla el capital. B) 1225 C) 490 D) 1500 E) 1050

11.

El 350 por 400 de un capital equivale al

1 1 por de 630. Halla el capital. 2 3

A) 1080 B) 1160 C) 480 D) 960 E) 1000 12. ¿Qué tanto por 20 es s/.240 de s/.1200? A) 4 por 20 B) 3 por 20 C) 2 por 20 D) 1 por 20 E) N.A. 13. Si s/.242 es el 11 por 91 de un capital. Halla el capital. A) 1001 B) 2200 C) 2002 D)2020 E) 4004 14. Si s/.280 es el 20 por 35 de mi dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente? A) 490 B) 280 C) 160 D) 140 E) 120 15. ¿Qué tanto por mil de 150 es 72? A) 48 B) 480 C) 72 D) 720 E) 680 16. Luego de gastar el 12 por 30 y el 11 por 25 de mi propina me sobra s/.8. ¿Cuánto fue la propina? A) 50 B) 500 C) 20 D) 200 E) 40 17. Si el 15 por 20 del quíntuplo de un número equivale al 20 por 15 del triple del mismo número disminuido en 12. Halla el número. A) 320 B) 192 C) 64 D) 32 E) 8 18. Romualdo al vender un artículo en s/.1026 ha ganado el 7 por 50 de su costo. Halla el costo del artículo. A) 1100 B) 1050 C)1000 D) 950 E) 900 19. Hemeregildo vendió un artículo por s/.520 lo que le costó s/.800. El tanto por 20 del costo que ha perdido es: A) 3 por 20 B) 5 por 20 C) 7 por 20 D) 8 por 20 E) N.A. 20. Si el 2 por 5 del 4 por 8 de un número, menos 12 equivalen al 1 por 8 del mismo número. Halla el 5% del número. A) 8 B) 10 C) 9 D) 16 E) 20 21. Se vende 2 artículos en s/.1200 cada uno. En uno de los artículos se ganó el 15 por 75 de su costo y en el otro se pierde el 10 por 70 de su costo. ¿Cuánto se ganó o se perdió? A) Se ganó s/.120 B) Se ganó s/.850 C) Se perdió s/.900 D) Se ganó s/.1005 E) Ni se ganó ni se perdió 22. Si Eleocadio gasta los 3 por 11 de su dinero y luego le da a su madre el 2 por 5 del resto y todavía le sobran s/.240. ¿Cuánto tuvo? A) 440 B) 550 C) 660 D) 770 E) 880

23. A) 10

Anacleta tiene s/. 1200 y gasta el B) 20 C) 30

D) 4,8

1 1 % por . ¿Cuánto gasta? 5 2

E) 50

NIVEL 3

1.

Para comprar un lote de terreno por $ 8000, se vende un artefacto eléctrico y hace falta el 11 por 29 de esta venta. Si así se ganó el 4 por 25 del precio de costo, halla el costó del artefacto eléctrico. A) 5000 B) 6000 C) 6500 D) 7000 E) 7500 2. El precio de venta de un artículo es de “n” soles, se le recarga el 5 por 8 y luego se descuenta el 4 por 15. Si la ganancia después de esta operación es de 5 por 12 de “n”, halla precio de costo. A)

19n 20

B)

19n C) 21n 30 40

RAZ-MATEMÁTICO

D)

31n 40

E)

47n 50

LIC. LUIS ROBINSON BOCANEGRA NEYRA


CAPÍTULO PORCENTAJEO TANTO POR CIENTO Es un caso especial del tanto por cuanto y se refiere a una cantidad que se toma de cada 100 unidades o de cada 100 partes iguales del todo o la unidad.

E je m p lo1 Sea el todo o unidad dividida en 100 partes iguales, de la cual tomaremos 20 partes. La parte sombreada representa a:  20 partes de 100  20 por cada 100  20 por ciento  20% 

Recuerda que

20 100

No te olvides q que:

A Además:

¡Aja!, es cierto, pero amigo Bruce, para saber el P% de que número N es R,, se usa

Recuerda Marylin que para hallar el P% de una cantidad N,, se usa

E je m p lo1 a)Halla el 18% de 900. Solución

P × N = R, 100 donde P = 18; N = 900. 18 × 900 = 162 Luego: R = 100

Usando la fórmula

1.

b) El 40% más de qué número es 980. Solución

c)El 80% menos de qué número es 450. Solución

PROPIEDADES Toda cantidad representa el 100% de sí misma. RAZ-MATEMÁTICO


I.E.P. “VIRGEN DE GUADALUPE Es decir, si “N” es una cantidad entonces N = 100% N . 2. Los porcentajes se pueden sumar o restar, siempre que sean respecto a una misma cantidad.

± ± b c)%N Es decir, si “N” es una cantidad entonces a%N ±b%N±c%N= (a

3.

Tanto por ciento del tanto por ciento.-Se llama así al cálculo del porcentaje sobre otro porcentaje. Es decir, el cálculo del a% del b% del c% de N se plantea así:

a × b × c× 100 100 100

N .

E je m p lo1 a)En una fiesta el número de damas es “n”, trascurrido 2 horas llegaron “m” parejas, resultando que las mujeres ahora constituyen el 40% de los presentes, entonces el número de hombres que había inicialmente es: Solución Nº de damas: n; Nº de hombres: H Nº de damas dentro de 2 horas: n + m. Nº de hombres dentro de 2 horas: H + m. Por condición del problema:

m+ n = 40 ( n+ m+ H+ m) 100 H = m+ n 2

b)De un colegio, salen de paseo el 30% de los hombres con el 20% de las mujeres: Si los hombres son el 40% de los alumnos del colegio, halla el porcentaje de los alumnos que salieron de paseo. Solución Nº de mujeres: M; Nº de hombres: H Nº total de alumnos: T. ⇒ T = M + H Sea P el número de alumnos que salieron de paseo. Por condición del problema:

P = 30%H + 20%M ; H = 40%T ; M = 60%T 30(40%T +) 20(60%) T 30H + 20M ; Luego: P = P= 100 100 P = 24T ⇒ H = 25%T 100

NIVEL1 1. Halla: A) 340 B) 50 C) 310 D) 380 E) 308 a) El 20% de 500 b) El 12,5% de 4 000 Halla el 24% de 15. c) El 15% de 2 400 d) El 75% de 800 A) 3 B) 3,4 C) 3,5 D) 3,6 E) 3,7 e) El 24% de 700 12. Halla el 30% de 4 800. 2. ¿Cuál es el número cuyo 30% del 1 440 B) 1 455 C) 1450 D) 1400 E) 1350 4 de su 20% equivale a 40% de 1 80% del 70% de los 13. Halla el 33 % de 1 . 3 3 5 6 de 5? la quinta parte del 140% de las A) 3 B) 6 C) 1 D) 1 E) 9 3 9 10 A) 10 B) 12,5 C) 13 D) 14 E) 14. ¿Qué % de 340 es 42,50? 16 A) 13,5% B) 12,5% C) 14% D) 14,5% E) 10% 3. ¿Cuál es el número cuyo, 10% de 15. ¿Qué tanto por ciento de 540 es 405? A) 68% B) 69% C) 72% D) 75% E) 70% 3 2 los de su 21% equivale al 20% de los de 7? 16. Halla el 15% de 30 3 10 A) 4 B) 4,5 C) 2,5 D) 3,5 E) 1,5 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 17. ¿Qué tanto por ciento de 50 es 120? E) 60 A) 24 % B)200% C)240% D)220% E) 150% 4. ¿Qué porcentaje del 0,5% de 200 es el 20% del 0,2% de 800? 18. Calcula de quien es 12,5 el 331 %. 3 A) 32% B) 35% C) 38% A) 3,75 B) 37,5 C) 250 D) 66,3 E) 66 D) 36% E) 34% 19. Halla el 10% del 25% del 40% de 16000 5. ¿3, que porcentaje es de 10% del 30% A) 16 B) 160 C) 1600 D) 18 E) 180 de 2000? A) 3% B) 5% C) 8% D) 6% E) 4% 20. El 5% del 10% de los 4 de un número es 15. 3 6. El 37% de 1580 es: Halla ese número A) 586 B) 587 C) 589,50 D) 591,30 E) 584,60 A) 2250 B) 2000 C) 4000 D) 2350 E) 3250 7. Halla el 15% de 30 21. ¿Qué tanto por ciento es 0,05 de 0,1? A) 4 B) 4,5 C) 2,5 D) 3,5 E) 1,5 A) 30% B) 40% C) 45% D) 50% E) 60% 8. El número 18 es el 25% de. 22. Halla el 0,04% de 45. A) 62 B) 80 C) 70 D) 72 E) 65 A) 0,18 B) 0,018 C) 1,8 D) 18 E) 180 9. El número 480 es el 32% de. 23. ¿A qué fracción equivale el 25%? A)1040 B) 1100 C)1500 D) 1600 E) 950 10. ¿El 10% de qué número es 31? RAZ-MATEMÁTICO


I.E.P. “VIRGEN DE GUADALUPE A) 24.

1 2

B)

3 4

C)

1 4

D)

9 20

¿A qué fracción equivale el 162 %? 3

E)

A) 1 2

25. A) 1

B) 1

C) 1

3

D) 1

4

5

¿A qué fracción equivale el 0,12%?

200

B) 3

200

C)

3 2500

D) 3

250

E) 1 6

E) 3

260

NIVEL 2 1. Si “A” es el 150% de “B”, ¿Qué A) 700 B) 0.7 C) 0.07 D) 70 E) 7× 10−2 porcentaje es B de “ ”? ¿Qué tanto por ciento del 10% del A) 25% B) 30% C) 40% D)20% 20%de 84 000 es 16,8? E) 40% A) 4% B) 5% C) 1% D) 3% E) N.A. ¿Qué % del triple del 30% de un 2. Halla el ( a + b )% de número es el 15% del 60% de dicho número? A) 5% B) 6% C) 7% D) 10% E) 12% A) B) C) 1 D) E) N.A ¿Qué tanto por ciento de 0,05 es 0,1? 3. El % de es . El valor de “x” es: A) 30% B) 40% C) 45% D) 50% E) 60% A) 16 B) 9 C) 5 D) 7 E) 4 3 4. Si el 84% de N es igual al 105% de “ 21. ¿A qué tanto por ciento equivale 4 ? ”. ¿Qué porcentaje de “N” representa 192? A) 60% B) 65% C) 70% D) 75% E) 80% A) 24 B) 36 C) 48 D) 16 E) 32 22. ¿A que es igual: x% de “y” dividido 5. Si “P” aumenta en 60% se iguala a entre el y% de “x”? “Q”. ¿Qué porcentaje de “Q” es lo que aumenta “P”? A) x B) y C) 1 D) 10 E) 100 A) 24% B)26% C) 48% D) 75% E) N.A 23. En un jardín de 130 plantas, el 30% son 6. El 40% del 50% de “x” es el 30% de paltos. ¿Cuántos paltos tiene el jardín? “y”. ¿Qué porcentaje de es ? A) 30 B) 35 C) 39 D)38 E) 31 A) 25% B)12,5% C) 20% D)10% E) 22,5% 24. Un objeto costaba s/.2,50 hace 8 años, 7. El 20% de es igual al 40% de . ahora cuesta s/.13. ¿Cuál es el tanto por ciento de ¿Qué porcentaje representa respecto de ? aumento? A)120% B)150% C)300% D)200% E) 250% A)180% B) 240% C)300% D)380% E) 420% 8. Si “A” es el 25% de “C” y “B” es el 25. Polidoro tiene la décima parte de $ 10000 pero va a las Malvinas y gasta $ 400. ¿Qué 40% de “C”. ¿qué parte de “B” es “A”? porcentaje de lo que gastó no gastó? A) B) 4 C) D) E) A) 120% B) 100% C) 80% D)140% E) 150% 9. ¿Halla “n” después de ser disminuido 26. En una caja hay “x” bolas de las cuales el 2 en 16 %? 25% son blancas y el 75% son rojas. Si se duplica 3 las blancas, ¿cuál es el porcentaje de las rojas 5 6 1 1 7 A) n B) n C) n D) n E) n respecto del nuevo total? 6 3 6 7 6 A) 45% B) 50% C) 40% D)60% E) 25% 10. ¿Qué porcentaje de “A” es “B” si: 27. En una reunión el 25% son hombres y el 30%A = 50%B ? resto son mujeres, si se retiran 40% de los A) 53% B) 45% C) 50% D)60% E) 80% hombres y el 50% de las mujeres. ¿Qué porcentaje de las mujeres que quedan son hombres? 1 11. ¿De qué número es 135,73 el 3 % A) 45% B) 50% C) 30% D) 40% E) 55% 20 28. Una persona lee durante una semana el más A) 410 B) 140 C) 150 D) 180 E) 810 60% de las páginas de un libro más 20 páginas, en la segunda semana lee el 50% de lo que falta y en 12. ¿De qué número es 501,6 el 0,32% la tercera semana lee las 90 páginas restantes. más? ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 300 B) 400 C) 500 D) 600 E) 700 A) 450 B) 500 C) 550 D) 650 E) N.A. 13. ¿De qué número es 907,5 el 21% 29. Un comerciante vendió un artículo más? ganando el 20% del precio de costo y con dicha A) 7,5 B) 75 C) 750 D) 57 E) 5,7 ganancia compró otro artículo que lo vendió 14. ¿De qué número es 60 el 25% más? ganando el 25% del precio de venta. ¿En qué A) 48 B) 44 C) 46 D) 50 E) 42 relación se encuentran los precios de venta de los 15. ¿De qué número es 920 el 54% dos artículos? menos? 9 4 C) 7 D) 6 E) 9 A) B) A) 20 B) 200 C) 2 000 D) 10 E) 100 2 5 3 5 5 1 30. Tres personas almuerzan juntos en un 16. ¿De que número es 39,95 el % 8 restaurante. Se sabe que lo que comió la primera es menos? 1/5 del total y lo que comió la tercera es el 70% de A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 lo que comió la segunda. Si la tercera pagó 84 soles 17. El 30% de qué número es el 30% del por lo que comió, ¿cuánto tuvo que pagar la primera 10% de 700 persona? RAZ-MATEMÁTICO


I.E.P. “VIRGEN DE GUADALUPE A) 58 B) 81 C) 51 D) 62

E) 39

NIVEL 3 1. En una compañía trabajan 160 A)S/.22 B)S/.50 C)S/.14 D)S/.10 E)S/.16 personas, y el 25% son mujeres. ¿Cuántas mujeres 12. Si al 25% de cierta cantidad le quito un deben contratarse para que el 40% del personal 20% me quedan s/.15. ¿Cuánto tenía inicialmente? sean mujeres? A) s/.55 B) s/.60 C) s/.65 D) s/.75 E) s/.300 A) 80 B) 40 C) 50 D) 60 E) 24 13. Gasté el 25% de lo que no gasté. Si de s/.800. ¿Cuánto gasté? 2. Un comerciante compró un objeto y disponía lo vendió ganando el 30%. Con la ganancia de A) la s/.120 B) s/.160 C) s/.200 D)s/.400 E) s/.600 14. Si gasto el 25% de lo que no gasto, venta, más S/. 500, pagó su deuda y con el resto porcentaje de mi dinero gasto? del importe de la venta compró otro objeto, que ¿qué lo A) 24% B) 22% C) 21% D) 20% E) 15% vende con una utilidad del 80% ganando en esta 15. En una sesión de profesores se vio que el 65% venta una cantidad igual que su deuda. ¿Cuánto le costó el primer objeto? trabaja en colegios nacionales, 220 en colegios A) 600 B) 700 C) 750 D) 800 E) 1800 particulares y el 20% en colegios particulares y 3. Un empleado recibe s/.110 por hora de nacionales. ¿Cuántos eran en total? trabajo en cierta empresa, y recibe 20% de A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) 800 bonificación cuando trabaja luego de las 6p.m. 16. Si me rebajan mi sueldo en un 20% quedo ¿Cuánto recibirá por trabajar desde las 4p.m hasta ganando s/.1040 mensuales. ¿Cuánto gano ahora? las 8:20p.m? A) 1200 B) 1250 C) 1300 D) 1350 E) 1030 A) 476 B) 271 C) 528 D) 364,5 E) 582 17. Un trabajador recibe un descuento del 20% de su salario, entonces podrá recibir su salario original si 4. En una granja el 20% del número de recibe un aumento de: gallinas es igual al 30% del número de pavos. Si se A) 25% B) 20% C) 30% D) 40% E) 10% retiran 150 gallinas, el número de pavos será el 60% del total. Halla el número de pavos. 18. Si: “x” aumenta en el 20% de su valor y “y” A) 40 B) 75 C) 180 D) 125 E) 80 disminuye en el 40% de su valor, luego el producto 5. Si Maclovio tuviese un 12% menos de "x.y" la edad que tiene, tendría 22 años. ¿Cuál es su A Disminuye en 28%) B)Disminuye en 20% edad actual? C) Aumenta en 20% D)Disminuye en 60% E) N.A. A)23 B)24 C)25 D)26 E)27 19. Un propietario dispone que cada dos años el 6. Tengo S/. 2 000, si gastara el 20% de alquiler de su casa aumente en un 10% del monto lo que tengo y ganara el 20% de lo que me correspondiente al periodo inmediato anterior. Si al quedaría. ¿Cuánto tendría? comienzo del quinto año debe recibir s/.6050, ¿cuánto A) 2 000 B) 2100 C) 1980 D) 1900 E) 1920 fue el alquiler inicial? 7. En una reunión el 60% del número de A) 4800 B) 5500 C) 5045 D) 5000 E) 4900 hombres es igual al 40% del número de mujeres. 20. Una señora compra 2 750 huevos por S/. 1000, ¿Qué porcentajes del total son hombres? pero se le rompen 350 y vende los restantes a 7 soles A) 40% B) 57,1% C) 52,3% D)54,3% E) N.A. la docena. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia? 8. En una clase de 80 alumnos, el 25% A) 30% B) 40% C) 120% D)140% E) 24% son niñas. Si el 10% de los niños y el 20% de las 21. Tú tienes 25% menos de lo que yo tengo. Si yo niñas salen de paseo. ¿Qué % de la clase salió de tuviera 20% más de lo que tengo y tú tuvieras 20% paseo? menos de lo que tienes, lo que tú tendrías sería 12 A) 10% B) 12% C) 12 1 % D) 20% E) 30% soles. menos de lo que yo tendría ¿cuánto tengo? 2 A) 80 B) 40 C) 23 D) 22 E) 20 9. Una persona lee durante una semana 22. Al preguntar un padre a su hijo cuánto había el 60% de las páginas de un libro más 20 páginas, gastado de los s/.50 que le dio, el hijo le contestó que en la segunda semana lee el 20% de lo que falta y gastó el 25% de lo que no gastó. ¿Qué cantidad en la tercera semana lee las 80 páginas gastó? restantes. ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) N.A. A) 800 B) 400 C) 300 D)600 E) 500 23. Gasté el 25% de lo que no gasté y aún me 10. De un granero el 40% es arroz; si se quedan 160 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? ha vendido el 15% del arroz. ¿En qué porcentaje A) 100 B) 600 C) 300 D) 200 E) N.A. disminuye el granero? 24. Si de una lata saco el 20% de lo que no saco y de A) 55% B) 15% C) 25% D) 6% E) 5% lo que saco devuelvo el 25% de lo que no devuelvo, 11. El 20% de lo que tengo excede al 30% resulta que ahora hay 208 litros en la lata. ¿Cuántos de lo que tienes en S/.2, si entre ambos tenemos litros no devolví? s/.30. ¿Cuánto tengo más que tú? RAZ-MATEMÁTICO


I.E.P. “VIRGEN DE GUADALUPE A) 20 B) 10 C) 32 D) 23 E) 40 25. En la U.N.T. se han realizado las elecciones para el tercio estudiantil. El 48% de los sufragantes eran mujeres y el 25% de ellas votaron por la lista A que además obtuvo los votos del 50% de los hombres. ¿Qué tanto por ciento de los sufragantes votaron por la lista A? A) 36% B) 40% C) 38% D)40% E) N.A. 26. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería 312 soles. ¿Cuánto tengo? A) 1000 B) 2000 C) 3000 D)1300 E) N.A. 27. Si Loreta gastara el 30% del dinero que tiene y ganara el 28% de lo que le quedara, aún perdería S/. 1560. ¿Cuánto dinero tiene María? A) S/.12 000B) S/.14 000 C) S/.15 000 D) S/.16 000 E) N.A.

RAZ-MATEMÁTICO



CAPÍTULO 4 ANÁLISIS COMBINATORIO El análisis combinatorio estudia las diversas agrupaciones que pueden hacerse a partir de un conjunto finito de objetos con ciertas condiciones de ordenación que deben reunir las mismas. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Si un suceso “A” puede ocurrir de “m” maneras diferentes y el suceso “B” de “n” maneras diferentes, entonces los sucesos “A” y “B” pueden ocurrir en forma conjunta de "m× n" maneras, siempre que se efectúe uno después del Este principio se otro. puede generalizar para más de 2 sucesos.


a)De una ciudad “A” a otra ciudad “B” hay 5 caminos diferentes Nº y de la=ciudad m× n“B” a la ciudad “C” hay Es decir: 4 caminosManeras diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de “A” a “C” pasando por “B”? . Solución:

F1

E jem p lo 1 A

b) Porfirio tiene 2 libros de física y Cirila tiene 3 libros de química. ¿De cuántas maneras podrá prestarse un libro? Solución:

B

C F2

Hay 5 maneras de ir de A a B

Q2 Q3

Hay 4 maneras de ir de B a C

Luego NºManeras = 5× 4 = 20

Q1

Hay 2 maneras de prestar los 2 libros

Hay 3 maneras de prestar los 3 libros

Luego NºManeras = 2× 3 = 6


c) ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar 20 libros iguales en un estante de 5× 5 casilleros (cuadrado) con la condición que en cada casilla haya a lo más un libro y en cada fila y en cada columna 4 libros? . Solución: El hecho de que en cada fila o columna haya 4 libros equivale a decir que en cada fila o columna haya necesariamente un casillero vacío. Luego: -En la 1º columna hay 5 opciones para que quede un casillero vacío. -En la 2º columna hay 4 opciones para que quede un casillero vacío (ya hay 1 casillero vacío) -En la 3º columna hay 3 opciones para que quede un casillero vacío. -En la 4º columna hay 2 opciones. -En la 5º columna hay 1 opción. Luego Nº de maneras = 5× 4× 3× 2× 1= 120



PRINCIPIO DE ADICIÓN Si un evento o suceso “A” ocurre de “m” maneras diferentes y un evento 0 suceso “B” ocurre de “n” maneras diferentes, entonces el evento A ó B (no simultáneamente) se podrá realizar de “m+n” maneras. Dichos sucesos deben ser mutuamente excluyentes Es decir:

NºManeras = m+ n


b) Según la figura, ¿de cuántas maneras, es posible ir de “A” a “B” sin retroceder? A

B

. Solución: Buscando una forma equivalente, obtenemos estas dos formas: B

A

B

E jem p lo 1

A

Escogeremos la segunda Para formaque parase solucionar cumpla este problema este principio, se 3 debe 10 20 que no 1 4 verificar 6 1 1 sea posible 2 10 que los 1 3 6 A 3 1 sucesos y B ⇒ 2 ⇒1 2 3 4 ocurran juntos. 1

A

1 1

⇒

1 1

1

A

1

A 1 1 1

B

70 5 15 35 35 4 10 20 3 6 10 15 2 3 4 5

A 1 1 1 1

.

Carlota proyecta un viaje de “A” a “B” y decide ir en avión o en ómnibus, si hay 4 líneas aéreas y 6 agencias de ómnibus. ¿De cuántas maneras puede realizar dicho viaje? Solución:

A

B

Hay 4 maneras de ir de A a B en avión

Hay 70 formas de ir de “A” a “B”

A

B

Hay 6 maneras de ir de A a B en ómnibus

Luego NºManeras = 4+ 6 = 10




VARIACIONES O ARREGLOS Son las diferentes ordenaciones (es decir, importa el lugar que ocupa un elemento) que se pueden lograr tomando para ello grupos de determinado tamaño de un total de elementos. Dos ordenaciones cualesquiera se diferencian por lo menos en un elemento o por el orden en que están colocados Dado: A = { a;b;c} , halla todas las posibles variaciones tomando de 2 en 2 elementos. Solución Las variaciones son: ab; ba; ac; ca; bc; cb.

E jem p lo 1


El número total de variaciones de “m” elementos tomados de “n” en “n” es:

E je m p lo 2


a)Si 3 alumnos se matriculan en una academia preuniversitaria que cuenta con 5 aulas. ¿De cuántas maneras se puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes? . Solución: Tenemos que: m= 5; n= 3 Luego

V35

V35

= 5! = 5! ( 5− 3) ! 2!

= 2!× 3× 4× 5 = 60 2!

b) ¿Cuántos números diferentes de 2 cifras se pueden formar con los dígitos: 1; 2; 3; 4? Solución: Tenemos que: m= 4; n= 2 4

Luego V2 =

4!

( 4− 2) !

V24 = 2!× 3× 4 ⇒ 2!

= 4! 2! V24 = 12


PERMUTACIÓN LINEAL Son las diferentes variaciones en las que entran todos los elementos en sus diversas ordenaciones, de modo que dos grupos cualesquiera contienen los mismos elementos y solamente difieren en el orden en que están colocados. Dado: A = { a;b;c} , halla todas las posibles permutaciones. E je m p lo 2 Solución Las permutaciones son: abc ; acb; cba ; cab; bac ; bca . ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 6 personas en un banco? . Solución: Tenemos que: n= 6

E je m p lo 1

Luego P6 = 6! P6 = 720


El número total de permutaciones de “n” objetos es:

PERMUTACIONES CON LUGARES FIJOS


Si en una permutación “m” elementos deben permanecer fijos, es decir, constantes en su posición, entonces, el número de permutaciones que se pueden formar esta dado por:

Pn = (n − m)! ,

donde “m” es el número de

elementos fijos.

E je m p lo 1

a)¿De cuántas maneras diferentes se podrán colocar 5 libros de cursos diferentes (química, álgebra, aritmética, historia, geografía) si el de historia debe permanecer en su sitio inicial? Solución Elemento inmóvil (libro de historia): m= 1. Elementos móviles: n= 4 . Luego: P5 = (5− 1)! ⇒ P5 = 4!= 24

b)¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en una banca 3 niños y 4 adultos, si uno de los adultos es un profesor y debe estar en el centro? Solución Elemento inmóvil (profesor): m= 1. Elementos móviles: n = 6. Luego: P7 = (7− 1)! ⇒ P7 = 6!= 720


PERMUTACIÓN CIRCULAR Es un arreglo u ordenamiento de elementos diferentes alrededor de un objeto. Para calcular el número total de permutaciones usaremos: PC = (n− 1)!


En este tipo de ordenaciones, los elementos no tienen ni principio ni final, es decir, no existe primer lugar, entonces, cada elemento cambio su posición en un sentido de rotación o en el otro. b)¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse E jea)¿De m p lo 1cuántas maneras pueden sentarse 6 personas alrededor de una mesa circular? 8 discos compactos, en el plato de un equipo de Solución sonido? Solución Tenemos que: n= 6. Tenemos que: n= 8. Luego: P = (6− 1)! ⇒ P = 5!= 120 Luego: P = (8− 1)! ⇒ P = 7!= 5040


PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN Es el arreglo de elementos donde algunos de ellos se repiten. Si se tiene “n” elementos donde hay: k1; k2 ; k3 ; k4 ; ...

kr : Elementos de cada clase que se repiten. Además: k1 + k2 + k3 + K + kr = n


n n! Pk ;k ;k ; K;k = r 1 2 3cuántas kmaneras !×k × ! ...× k !r a)¿De diferentes es posible 1 2 ordenar 7 libros de matemática, si 2 son de E jeprimero, m p lo 13 de cuarto y 2 de quinto? Solución Tenemos que: k1 = 2 de primero; k2 = 3de cuarto;

k3 = 2 de quinto. Además: n = 7 7

7!

Luego: P2;3;2 = 2!× 3!× 2! 7

P2;3;2 =

7× 6× 5× 4× 3× 2 2× 2× 3× 2

7

⇒ P2;3; 2 = 210

b)¿De cuántas maneras diferentes es posible ordenar 8 cuadernos si 3 son rojos, 2 azules y 3 verdes? Solución


COMBINACIONES Son las diferentes variaciones (el orden no interesa) que pueden formarse con “m” elementos tomados de “n” en “n” de modo que dos grupos cualesquiera difieran por lo menos en un elemento.

E je m p lo 1

Dado: A = { a;b;c;d} , halla todas posibles combinaciones tomando de 2 en 2 elementos.


Solución Las combinaciones son: ab; ac; bc; bd; ad; dc . Propiedades: El número total de combinaciones es:

n

b) C1 = n

n

n

d) Ck = Cn−k

a) C0 = 1

n

c) Cn = 1 n

n

n

n

n

n

e) C0 + C1 + C2 + K + Cn = 2 n

n

n

n

n

f) C1 + C2 + C3 K + Cn = 2 − 1


E je m p lo 1 a) Con seis pesas de 1; 2; 5; 10; 20 y 50 kg. ¿Cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse tomadas de tres en tres? Solución Tenemos que: m= 6 y n = 3 , luego: 6

C3 = 6× 5× 4 1× 2× 3

6

⇒ C = 20 3

b) Con los frutos: manzana, piña, plátanos y papaya. ¿Cuántos jugos de diferente sabor se podrán hacer? Solución


NIVEL I Según el esquema. ¿De cuántas formas se podrá ir de A hacia D?

1. A

A) 34

B

B) 28

D

C

C)36

D)32

E)30


2. Angélica dispone de 5 pares de sandalias, 4 pares de zapatos negros, 3 pares de zapatos marrones y 2 pares de zapatillas. ¿D e cuántas maneras diferentes podrá usar los calzados? A) 120 B) 15 C) 14 D) 100 E) 16 3. Si cada flecha es una ruta diferente, ¿cuántas rutas distintas existen para ir de A hasta C sin retroceder?

A A) 14 4.

B

C

B) 18 C) 24 D) 32 E)30 ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de “A” hacia “E”?


A) 13

B) 20 C) 35 D) 30 E) 21

5.

¿1De cuántas formas distintas se pueden ir de Lima a Loreto?


Huaraz Lima

Loreto

Trujillo

Chiclayo

A) 28 B) 31 C) 23 D) 24 E) 25 6. Una persona posee 3 anillos distintos. ¿De cuántas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano derecha, colocando sólo un anillo por dedo, sin contar el pulgar? A) 12 B) 24 C) 36 D) 120 E) 720


7. Para ir de Trujillo a Lima, primero hay que pasar por Chimbote; de Trujillo a Chimbote se puede ir en 4 buses distintos y de Chimbote a Lima, en 6 buses diferentes. ¿De cuántas formas distintas se puede ir de Trujillo a Lima? A) 24 B) 23 C) 22 D) 21 E) 25 8. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa circular? A) 120 B) 60 C) 24 D) 12 E) N.A. 9. ¿Cuántos números naturales impares de 3 cifras existen? A) 540 B) 900 C)650 D)500 E)450 10. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los 5 dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5, sin que repita uno de ellos en el número formado? A) 15 B) 60 C) 120 D) 20 E) N.A. 11. Tres viajeros llegan a una ciudad en la que hay 6 hoteles. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos debiendo estar cada uno en un hotel diferente?


A) 18

B) 240 C) 120 D) 180 E) 112 Se tienen 3 bolas azules y 2 negras, todas numeradas del 1 al 5. ¿De cuántas maneras se puede ordenar en una fila? A) 80 B) 6 C) 28 D) 120 E) 10 13. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse en una banca de 6 asientos, 4 personas? A) 60 B) 24 C) 120 D) 360 E) N.A. 14. Se desea viajar a Colombia y se dispone de 5 barcos, 7 aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí) ¿De cuántas maneras se puede viajar a Colombia? A) 140 B) 240 C) 18 D) 16 E) 24 15. Un funcionario desea viajar de Lima a Tacna y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizar dicho viaje? A) 15 B) 2 C) 8 D) 4 E) 30

12.


16. De una ciudad “A” a otra ciudad “B” hay 6 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta, si en el regreso no puede tomar el camino de día? A) 12 B) 42C) 25 D) 36 E) 30 17. Hay 6 ómnibus diferentes que viajan entre Lima y Huancayo. ¿De cuántas maneras puede viajar una persona a Huancayo y regresar en un ómnibus diferente? A) 48 B) 30 C)24 D)18 E)N.A. 18. ¿De cuántas maneras podía vestirse una persona que tiene 3 pares de zapatos, 3 pantalones, 3 pares de medias y 5 camisas? A) 115 B) 125 C) 135 D) 150 E) 14 19. Tremebunda tiene 3 anillos distintos. ¿De cuántas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano izquierda, colocando sólo un anillo por dedo, sin contar el pulgar? (Considere una sola forma de colocación en cada dedo) A) 36 B) 48 C) 16 D) 24 E) 6


NIVEL II 1. ¿Cuántos números impares de 4 cifras existen tales que comiencen con cifra par? A) 2000 B) 2500 C) 4000 D) 3600 E)3800 2. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a D en la siguiente red de caminos, sin pasar dos veces por el mismo sitio? B

A

C

A) 18 3.

D

B)20 C)24 D)28 E)17 ¿De cuántas maneras se puede ir de A hasta D (sin regreso) en la siguiente red de caminos?


A

B

C

D

A) 24

B) 12

C)36

D)48

V2n.C2n

E)14

= 450

4.

Halla “n” en:

A) 4

B) 5

5.

10 Simplifica: H = C3 ×

A)120 B) 60 C)24

C) 6

D)128

D) 7

(

E) 8

C25 ÷ V25 E)136

)


6.

Simplifica: E =

A) 1

B)

7. A) 10 8. A) x3

3C37 + C47

3 C) 1 4 4

4C37

D)2

E)N.A.

Halla “x”, sabiendo que: B) 12 Reduce: B) x

C) 13

4C5x 4C6x

D) 14

=

2 3 E) 15

C3x + 4C3x+1 + C3x+2 C) 1

D) 6

E) x2


9.

n

n

Halla “n” en: V2 .C2 = 450

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 10. Hay 4 ómnibus diferentes que viajan entre Laredo y Trujillo. ¿De cuántas maneras una persona puede ir a Laredo y regresar en un ómnibus diferente? A) 8 B)6 C) 10 D) 12 E)N.A. 11. ¿De A a B hay 6 caminos diferentes y de B a C hay 4 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta de a A a C pasando por B? A) 24 B) 120 C) 56 D) 48 E) N.A. 12. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas de diferentes colores, izando 3 en cada vez? A) 604 B) 504 C)485 D)336 E)27


13. ¿De cuántas maneras 2 peruanos, 4 colombianos y 3 paraguayos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? A) 864 B) 684 C) 1728 D) 1278 E) N.A. 14. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás. ¿El número de personas presentes era? A) 12 B) 14 C) 16 D) 15 E) 20 15. Una directiva debe estar compuesta por un presidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántos modos podría formarse dicha directiva si se dispone de 7 personas aptas para cualquier cargo? A) 21 B) 35 C) 210 D) 840 E) N.A. 16. Francisco tiene 6 libros diferentes: 3 con pasta roja y 3 con pasta azul. ¿De cuántas formas diferentes podrá arreglar estos libros es un estante, de tal manera que los libros vecinos no tengan pasta de un mismo color? A) 75 B) 70 C) 72 D) 69 E) N.A.


17. Entre las ciudades A y B hay 5 rutas y entre B y C 7 rutas. ¿De cuántas maneras distintas se podrá ir de “A” hacia “C”, pasando por “B” y regresar? A) 1 225 B) 1 200 C) 1 344 D) 3 226 E) 325 18. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a E sin pasar ni regresar por el mism camino?

B C

A E A) 30

D B) 33

C) 40

D) 53

E) 73


19. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden alinear 8 monedas de las cuales 5 son de 20 céntimos y las otras de 50 céntimos? A) 70 B) 56 C) 78 D) 28 E) 210 20. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a D sin retroceder? A

A) 18

C

B

B)21

D

C)20

D) 24

E) 23

NIVEL III 1. Consideremos una colonia experimental de 10 abejas obreras y una reina. ¿De cuántas maneras puede ser escogido un grupo de 4 abejas, si:


a)La reina tiene que pertenece al grupo de 4 abejas A) 80 B) 90 C)100 D)110 E)120 b) La reina no debe pertenecer al grupo? A) 120 B) 140 C)180 D)200 E)210 2. De un grupo de 5 hombres y 4 mujeres. ¿Cuántos comités de 3 miembros se pueden formar, si cada comité debe contener cuando menos 2 mujeres? A) 34 B) 20 C)40 D)64 E)N.A. 3. Cleto tiene 7 amigos, si para su cumpleaños invitará cuando menos a 4 de ellos. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? A) 64 B) 66 C) 68 D)70 E)N.A 4. De 5 varones y 4 mujeres, ¿Cuántos comités de 4 personas se podrán formar tal que siempre en cada comité haya 2 varones? A) 20 B) 30 C) 60 D)90 E)24


5. De 5 hombres y 4 mujeres se debe escoger un comité de 6 personas. ¿De cuántas maneras se podía hacer esto si en el comité deben haber 2 mujeres? A) 30 B) 36 C) 42 D) 25 E) 45 6. ¿De cuántas maneras se pueden repartir dos premios entre 10 personas, sabiendo que ambos premios no se pueden conceder a una sola persona? A) 100 B)80 C)40 D)90 E) 45 7. ¿De cuántas maneras se pueden repartir dos premios entre 10 personas, sabiendo que ambos premios se pueden conceder a una sola persona? A) 100 B)50 C)25 D)90 E) N.A. 8. ¿Cuántos números mayores que 20 y menores que 300 se pueden formar con los dígitos 0; 1; 3; 4; 6; 8? Ninguna cifra se repite. A) 100 B) 110 C)120 D)130 E)N.A


9. De 5 físicos, 4 químicos y 3 matemáticos se tiene que escoger un comité de 6, de modo que se incluyan: 3 físicos, 2 químicos y 1 matemático. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto? A) 180 B) 182 C) 190 D) 200 E) 360 10. ¿Cuántos números enteros positivos de 10 cifras existen cuyo producto de cifras sea 60? A) 3600 B) 3960 C) 300 D) 3900 E) 3600 11. ¿Cuántas rutas mínimas diferentes se tiene para llegar al punto “B” partiendo de “A”?. Da como respuesta la suma de ambos resultados A

A

(I)

B

(II)

B


12.

¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de “A” a “B” sin retroceder en ningún momento?

A) 155 B) 145 C) 150 D) 165 E) 135 13. Carlota tiene 8 amigas de confianza y desea hacer una reunión. ¿De cuántas maneras diferentes puede invitar a 5 de ellas, si dos de ellas no se llevan bien y no asisten juntas? A) 12 B) 20 C) 24 D) 30 E) 36


PROBABILIDADES EXPERIMENTO ALEATORIO O NO DETERMINÍSTICO Es todo proceso que consiste en la ejecución de un acto o prueba una o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza.

Ejemplo 1

Sea el experimento de tirar un dado y observar la cara superior. En este experimento, no podemos determinar con exactitud qué número aparecerá en la parte superior del dado.


EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO Cuando el resultado de la observación es determinado en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dicho proceso.

Ejemplo 1

Sea el experimento de sacar 3 bolas rojas de una bolsa que contiene 20 bolas rojas De hecho que las 3 bolas extraídas son rojas, a este tipo de experimento se le llama determinístico. ESPACIO MUESTRAL Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Este conjunto se denota por A cada elemento del espacio muestral se le llama punto muestral. El espacio muestral se describe por:

Ejemplo 1

Ω = { ω /ω es un punto muestral}

Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el resultado obtenido.

Ω.


El espacio muestral es

Ejemplo 2 Solución

Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Sea el experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces. Halla el espacio muestral


3era

da

2

1era

Prueba

Prueba

C

C

Prueba

C S C

S S C C S

S C

S S

Donde: C: Cara; S: Sello El espacio muestral es Ω = { CCC; CCS; CSC; CSS; SCC; SCS; SSC; SSS}


Ejemplo 3

Sea el experimento aleatorio de lanzar una moneda y un dado a la vez. Halla el espacio muestral

Solución El espacio muestral es

Ω = { 1C; 2C; 3C; 4C; 5C; 6C; 1S; 2S; 3S; 4S; 5S; 6S} . Donde: C: Cara; S: Sello

Ejemplo 4

Sea el experimento aleatorio de lanzar una moneda tantas veces como sea necesario hasta que aparezca la primera cara. Solución El espacio muestral es

Ejemplo 5 Solución

Ω = { C; SC; SSC; SSSC;K } . Donde: C: Cara; S: Sello

Sea el experimento aleatorio medir la vida útil (en horas) de una marca de focos.


Su espacio muestral es

Ω = { t∈ ¡ / t ≥ 0}

CLASIFICACIÓN DE LOS ESPACIOS MUESTRALES 1) Discretos Finitos.- Consisten de un número finito de elementos como los ejemplos 1; 2 y 3. 2) Discretos Infinitos.- Consisten de un número infinito numerable de elementos como el ejemplo 4. 3) Continuos.- Consisten de un número infinito no numerable de elementos como el ejemplo 5.

EVENTOS O SUCESOS Se denomina evento a cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denota generalmente con las primeras letras mayúsculas del alfabeto.

Ejemplo 1

Sea el experimento: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.


El espacio muestral asociado a este experimento es

Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Halla los eventos: a) A: Observar un número impar. b) B: Observar un número menor que 3. c) C: Observar un número múltiplo de 3. d) D: Observar un número divisible por 2. Solución a)

A = { 1; 3; 5} b) B = { 1; 2} c) C = { 3; 6} d) D = { 2; 4; 6} A) Evento Imposible.-Es aquél que no tiene puntos B) Evento Seguro o Cierto.-Es el mismo espacio muestrales, en consecuencia no ocurre nunca. Se CLASES DE EVENTOS muestral, Ω es un evento seguro, ya que es el denota por ∅ . que contiene a todos los eventos elementales. Ejemplo 1 Ejemplo 1 Sea el experimento: Extraer dos Sea el experimento: Lanzar un dado y bolas negras de una bolsa que contiene 20 bolas observar un número mayor que 6. negras. Como vemos, esto es imposible, ya la numeración Podemos observar que las dos bolas extraídas son de un dado es hasta 6, luego su espacio muestral negras. es ∅ .


C) Evento Compuesto.-Es aquél que consiste de dos o más eventos elementales.

D) Evento Unitario o Elemental.-Es aquél que tiene un solo punto muestral.

Ejemplo 1

Sea el experimento: Lanzar un dado y observar un número que sea par y primo. Su espacio muestral es

A = { 2} .


I) Unión de Eventos.-Dados los eventos A y B, al evento A∪ B que consiste de todos los puntos muestrales que pertenecen a A o a B, o a ambos, esto es:

A∪ B = { ω ∈ Ω /ω ∈ A ∨ ω ∈ B}

Ejemplo 1

II) Intersección de Eventos.-Sean A y B dos eventos cualesquiera de un experimento aleatorio, el evento A∩ B contiene todos los resultados que pertenecen a A y a B simultáneamente.

OPERACIONES Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos: A: Observar un número impar. B: Observar un número divisible por 3. Halla A∪ B . Solución El espacio muestral asociado a este experimento es: Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Los eventos son: Luego:

A= { 1; 3; 5} ; B = { 3; 6} .

A∪ B = { 1; 3; 5; 6}

Es decir A∩ B = { ω ∈ Ω /ω ∈ A ∧ ω ∈ B} CON EVENTOS

Ejemplo 1

Un experimento consiste en lanzar dos monedas y observar la cara que aparece. Sean los eventos: A: Observar por lo menos una cara. B: Observar a lo más una cara. Halla A∩ B . Solución El espacio muestral asociado a este experimento es:

Ω = { CC; CS; SC; SS}

Los eventos son:

A = { CC; CS; CS} ;

B = { CS; SC; SS} . Luego: A∩ B = { CS; SC}


III) Eventos Mutuamente Excluyentes.-Sean A y B dos eventos de un cierto experimento aleatorio, se dice que estos eventos son mutuamente excluyentes (disjuntos) si no pueden ocurrir juntos, es decir A∩ B = ∅

IV) Complemento de un Evento.-El complemento de un evento A con respecto al espacio muestral Ω , es el evento que ocurre si A no ocurre. Es decir

c

−

A = A = A' = { ω ∈ Ω / ω ∉ A}

Ejemplo 1

Un experimento consiste en seleccionar un alumno de la U.N.T y observar su edad. Sean los eventos:M: El alumno seleccionado al azar tiene más de 18 años. N: El alumno seleccionado al azar tiene más de de 22 años. Luego M ∩ N = ∅ .

Ejemplo 1

Un experimento consiste en seleccionar un alumno de la U.P.A.O . Sea el evento A: El alumno seleccionado al azar fuma. Halla A’ A’ = El alumno seleccionado no fuma.



PROBABILIDAD DE UN EVENTO Definición clásica.-La probabilidad de un evento A es la razón geométrica entre el número de casos (sucesos) favorables y el número total de casos (sucesos) posibles. n(A) Recuerda que: Casos favorables de A ⇒ P(A) = Es decir: P(A) = 1.-La probabilidad de un evento A esta Casos posibles n(Ω) comprendido desde cero hasta 1. Es decir: . 2.-Si A es un evento imposible, entonces su probabilidad es cero. 3.-Si A es un evento seguro, entonces su probabilidad es 1. 4.-Sea “A” un evento y su complemento, se tiene que: .



PROBABILIDAD DE UN EVENTO O SUCESO SIMPLE Es aquella probabilidad en que la ocurrencia o no ocurrencia del evento no está relacionada con ningún otro evento.

Ejemplo 1 Se lanza una moneda 3 veces. Calcula: a) El espacio muestral b) La probabilidad que ocurra dos caras.

c) La probabilidad que ocurra al menos dos caras.

d) La probabilidad que ocurra a lo más dos caras.



Ejemplo 2 Consideremos el lanzamiento de dos dados. Calcula: a) El espacio muestral b) La probabilidad de obtener suma 7.

c) La probabilidad de obtener suma 6.

d) La probabilidad de obtener una suma mayor que 5.


a) Un grupo de estudios está conformado por 11 hombres y 7 mujeres. Si se escogen 4 estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todos sean varones? Solución

Ejemplo 3

b) Una caja contiene 100 focos de los cuales hay 20 defectuosos. ¿Diga cuál es la probabilidad de que al sacar una muestra de 3 focos los 3 sean defectuosos. Solución



PROBABILIDAD DE UN EVENTO O SUCESO COMPUESTO Es aquella probabilidad de la ocurrencia de dos o más eventos simples, además un suceso compuesto puede clasificarse en: I. Siendo “A” y “B” dos eventos no excluyentes entre sí; III. Siendo “A” y “B” dos eventos tenemos que: independientes; tenemos que:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) II.

Siendo “A” y “B” dos eventos mutuamente excluyentes entre sí; tenemos que:

P(A∪ B) = P(A) + P(B)

P(A∩ B) = P(A)× P(B)

Ejemplo 1 a) Las probabilidades de 3 jugadores de que conviertan un penal son respectivamente

2; 4 y 3 5

7 . Si cada uno cobra una única vez, cuál es la 10 probabilidad de que: a) Todos conviertan en gol Solución

RP:

b) En una caja hay 5 bolas rojas y 7 negras, se saca una sin mirar, ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja y cuál es la probabilidad de que la bola sea negra? Solución

b)Todos fallen

28 , 1 75 50

NIVEL I

1.

En un Ómnibus viajan 16 Varones, 1 1 5 ; 7 C) 7 ; 11 D) 1; 1 E) N.A. A) ; B) 18 damas y 20 niños ¿Cuál es la probabilidad de que 5 12 12 12 12 12 7 5 el primero en bajar sea un niño? 9. Se lanzan un par de dados. Si los números que resultan son diferentes. Halla la probabilidad de que se 15 10 A) B) 18 C) D) 38 53 53 suma sea impar. 27 53 A) 2/5 B) 3/5 C) 7/10 D)1/3 E) 2/8 35 E)

53

10. Halla la probabilidad de sacar una espada o un corazón en un solo intento, de u mazo de casinos de 52 cartas.

2.

Una caja contiene 12 cartas roja, 6 blancas y 8 negras, se saca una sin mirar.¿Cual es la probabilidad de que la carta sea roja? 3. Sin mirar se oprime una de las 27 letras de una maquina; halla la probabilidad de que sea una vocal. 4. Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se saca una bola, ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra? A)

5 8

B)

1 4

C)

1 8

D)

3 8

E)

A)

11.

1 2

B)

1 13

C)

3 4

D)

1 E) 1 4 5

Si en un ánfora colocamos 100 bolas de las

cuales 6 son negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola negra? A) 3% B) 5% C) 6% D) 10% E) N.A. 12. En un ánfora hay 25 bolas blancas, 35 bolas rojas y 40 bolas negras. Expresar en términos de %, la posibilidad de extracción de una bola negra. A) 25% B) 26,3% C) 40% D) 42,1% E) N.A. 13. ¿Cuál es la probabilidad de que al retirar una carta se obtenga “as”?

3 4

5.

Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que 10?

1 B) 2 C) 1 D) 3 E) 1 52 13 26 13 13 1 1 6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 14. Si P(A) = ; P(B) = y si A y B son eventos 2 4 un número mayor que 3 al tirar un dado? c 5 B) 1 C) 7 1 E) 1 mutuamente excluyentes. Calcula: a) P(A ) b) P(A ∩ B) A) D) 6 3 9 2 9 1 1 B) 1; 0 C) 1; 1 D) 1; 1 E) N.A. A) ; 7. Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la 2 8 2 2 4 3 6 A)

1 72

B)

1 C) 1 12 8

D)

1 6

E)

1 4

probabilidad de obtener una suma mayor que 10?

A)

15.

Al lanzar 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad de

1 7 que el resultado del primer dado sea mayor que el B) 12 C) 24 D) 1 E) 1 5 9 segundo? 8. En una caja hay 5 bolas rojas y 7 5 1 B) 1 C) 1 1 A) D) E) negra, se saca una sin mirar, ¿cuál es la probabilidad 6 2 3 30 12 de que la bola sea roja y cuál es la probabilidad de 16. Una caja contiene 20 bolas numeradas del 1 al 20. que la bola sea negra? ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola resulte

A) 3 4

múltiplo de 2 o múltiplo de 5?

A)

1 4

B)

1 2

C)

3 5

D)

7 10

E)

2 5

NIVEL II 1. Una caja contiene 30 bolas numeradas de 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola resulte par o múltiplo de 5?

5 6

A)

3 5

B)

2. juntos? A) 1

2

3. niños?

C)

7 9

D)

1 4

E) N.A.

Si 9 amigos se sientan al azar en círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos queden

1 B) 1 C) 1 D) E) 1 3 5 4 8 Una pareja planifica tener 4 hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que entre ellos haya a lo más 3

A) 1 B) 3

C) 15 D) 15 E) 5 32 8 16 4. Una pareja y sus cuatro hijos salen al campo. Una vez que llegan prenden una fogata y se sientan alrededor de ésta. ¿Cuál es la probabilidad de que los padres estén siempre juntos? A) 1 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 2 5 3 5 5 5. De una baraja de naipes de 52 cartas, se extraen 2 cartas al azar. ¿cuál es la probabilidad de que las cartas extraídas sean uno rey y una jota?

16

16

4 A) 4 B) 2 C) 1 D) 8 E) 663 663 1326 663 13 6. La probabilidad de que Ruth estudie computación es 0,75 y la probabilidad que estudie enfermería es 0,50. Si la probabilidad de que estudie computación ó enfermería es 0,85 ¿Cuál es la probabilidad de que estudie sólo una de estas carreras? A) 0,21 B) 0,35 C) 0,45 D) 0,56 E) 0,64 7. En una caja hay 160 bolas iguales, numeradas del 1 al 160. Una persona extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga un número que sea múltiplo de 4? A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 3 8 6 4 2 8. Juan y cuatro amigos se ubican en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan quede en el centro? A) 1

10

B) 1

120

C)

5 36

D) 1 4

E) 1 5

9. Yazmín; Helen y 4 amigas más van a ser ubicadas en una banca de 6 asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que Yazmín y Helen se sienten juntas? 1 A) 1 B) C) 1 D) 1 E) 1 5 6 4 2 3 10. Se tiene 5 libros; 3 de R.M y 2 de R.V.; ordenados en un estante. ¿cuál es la probabilidad de que los Libros de R.V. sean separados por los 3 libros de R.M.? A) 0,20 B) 0,25 C) 0,30 D) 0,50 E) 0,10 11. Seis personas se sientan al azar, alrededor de una fogata. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas ocupen lugares continuos? A) 0,3 B) 0,4 C) 0,6 D) 0,7 E) 0,9 12. A una señora embarazada le diagnosticaron que tendría cuatrillizos. ¿Cuál es la probabilidad que el día del parto nazcan 4 mujeres? A)

1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 8 2 16 24 6

13. Para una rifa se vende 20 boletos, comprando Elia 2 de ellos. Si se ofrecen dos premios. ¿Cuál es la probabilidad de que Elia obtenga sólo uno de los premios? A)

9 10

B)

1 36

C)

5 36

D)

1 4

E)

2 9

14.

Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera, A tiene doble posibilidad de ganar que B, y B el doble de ganar que C. ¿Cuál es la probabilidad de que B o C ganan? A)

1 7

B)

2 7

C)

4 7

D)

3 7

E) N.A.

15. Si una bolsa de caramelos de los cuales 7 son de limón y 5 son de menta. Si extraemos 3 caramelos, una por uno sin reposición ¿Cuál es la probabilidad de que el primero sea de limón y el segundo, sea de menta y el tercero de limón?

A) 7

5 C) 7 D) 5 E) 494 12 44 11 16. ¿Cuál es la probabilidad de que al ver el reloj sean más de las doce meridiano? A) 1,9 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5 17. De 10 señoritas de un salón de secretariado; 3 tienen ojos azules. Si se escogen 2 señoritas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que una por lo menos tenga ojos azules? 3 8 2 7 D) 2 A) B) C) E) 15 10 10 17 15 18. En una competencia ciclística donde participan Jorge, Esteban y Luis, se sabe que Jorge tiene 3 de la posibilidad que tiene de ganar Luis.¿Cuál es la doble posibilidad de ganar que Esteban; y Esteban los 4 posibilidad de que Esteban o Luis ganen? 4 7 C) 7 7 E) 5 A) B) D) 13 13 8 52 52 19. En una bolsa, se han depositado 5 bolas rojas, 8 bolas blancas y 4 bolas negras; se extraen tres al azar. Determina la probabilidad de obtener 2 bolas blancas y una negra. 14 14 7 D) 1 14 A) B) C) E) 75 95 17 85 85

44

B)

20. De una baraja de 52 cartas se sacan 3 cartas. Determina la probabilidad que todos sean corazones. A)

21.

11 50

11 52

B)

C)

11 700

D)

11 E) 1 850 2

Se elige una carta aleatoriamente de una baraja de 52 cartas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un palo negro (espadas o tréboles)? Nota Cada palo está compuesto de 13 caras. A)

2 3

B)

1 3

C)

1 2

D)

3 E) 1 4 5

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un diez? A)

2 13

3 13

B)

C)

4 13

D)

1 E) 5 13 13

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Rey, Reina o Sota? A)

1 13

3 13

B)

C)

1 2

D)

2 E) 1 13 26

d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cuatro o menos? A)

22.

4 13

3 13

B)

C)

1 2

D)

2 E) 1 13 13

Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad que ocurran: a) Dos caras. A)

3 5

B)

3 4

C)

3 8

D)

1 E) 1 8 2

1 4

D)

1 E) N.A. 5

7 8

D)

3 E) 3 8 4

b) Al menos dos caras. A)

1 2

B)

1 3

C)

c) A lo más dos caras. A)

1 8

23.

1 4

C)

Determina la probabilidad de que al extraer 2 cartas de una baraja, éstas sean corazones. A)

24.

B)

1 13

B)

1 2

C)

1 17

D)

3 28

E)

4 25

En una urna hay 3 bolas amarillas y 2 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al mismo tiempo dos bolas sean de distinto color? A)

3 5

B)

1 2

C)

2 5

D)

3 10

E)

7 10

25. Si se arrojan 5 monedas, la probabilidad de obtener 3 sellos y 2 caras es. A) 0,5 B) 0,32 C) 0,3275 D) 0,1 E) 0,3125 26. Un grupo de estudio está conformado por 11 niños y 7 niñas. Si se escogen 4 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean niños? A) 0,1074 B) 0,1076 C) 0,1078 D) 0,1080 E) 0,1000 27. Si se lanzan dos monedas de diferente tamaño al aire. Calcular la probabilidad de que:

I)

Salga exactamente una cara. II) Salga por lo menos una cara. A) 0,5 y 0,25 B) 0,5 y 0,125 C) 0,25 y 0,25 D) 0,5 y 0,75

E) 0,25 y 0,75

28. Al lanzar dos dados. ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo? A)

5 12

B)

9 12

C)

17 36

D)

3 7

E)

19 36

29. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 15 negras, sin reintegrar, las bolas extraídas?

7 29

A)

B)

1 2

C)

1 15

D)

3 8

E)

4 29

30.

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja, el puntaje de ésta sea: I. Mayor que 8? II. Un número primo mayor que 2? A)

2 1 5 4 B) ; ; 13 52 13 13

C) 5 ; 5

13 13

D)

3 2 ; 52 13

E)

2 5 ; 13 52

NIVEL III Una clase tiene 10 niños y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes de la clase al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean todos niños?

1.

A)

5 7

2.

B)

9 13

C)

2 3

D)

30 91

E) N.A.

Las probabilidades que tienen A, B y C de resolver un mismo problema son:

1 3 1 , y 2 5 6

respectivamente. Si intentan hacerlo los tres, determina la probabilidad de que no se resuelva el problema. A)

1 3

3. diferentes A)

7 23

B)

5 6

C)

1 2

D)

1 6

E)

1 5

Si se lanza 5 veces un dado ¿cuál es la probabilidad de que los 5 números que aparecen sean B)

31 32

C)

1 32

D)

1 3

E)

5 54

4. Se quiere seleccionar un comité de 5 personas a partir de 7 mujeres y 6 varones. ¿Qué probabilidad habría que el comité esté integrado por 2 mujeres? A)

1 7

B)

37 91

C)

141 429

D)

140 429

E)

3 38

5.

En una competencia atlética de 100 m intervienen, los atletas A; B, C, D y E. ¿Cuál es la probabilidad de que al finalizar B llegue luego de A? A)

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

3 4

6. Se va ha seleccionar por lote un comité de 5 hombres, a partir de un grupo de 8 norteamericanos, 5 ingleses y 3 franceses. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté compuesto por 2 norteamericanos, 2 ingleses y 1 francés? A)

3 5

B)

7 13

C)

5 26

D)

1 9

E)

31 63

7.

Se quiere seleccionar un comité de 5 personas, a partir de un grupo de 7 peruanos, 4 chilenos y 3 argentinos. ¿Qué probabilidad habría de que en el comité se encuentren: 2 peruanos, 2 chilenos y 1 argentino? A) 0,1788 B) 0,1888 C) 0,1878 D) 0,8181 E) 0,1118 8. De una baraja de 52 cartas, se sacan 3 naipes, de uno en uno y se devuelven después de cada extracción. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean tréboles? A)

1 4

B)

1 13

C)

1 16

D)

1 64

E)

1 21

9. Si 6 parejas de casados se encuentran en una habitación, si 4 personas se escogen al azar, encontrar la probabilidad de que se escojan 2 parejas de casados. A)

1 2

B)

1 3

C)

1 17

D)

1 33

E)

2 5

10. De una baraja de naipes (52 cartas), se extraen 2 cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas extraídas sea una reina y una jota?

4 663

A)

B)

11.

2 663

C)

1 1326

8 663

D)

E)

4 13

Sabiendo que la probabilidad de que ocurra un accidente en 1 km de una carretera es

1 . ¿Cuál es 3

la probabilidad de que ocurra encontrar al menos un accidente en 3 km. de esa carretera?

1 3

A)

B)

1 27

C)

8 27

2 3

D)

E)

19 27

12.

Sobre una mesa hay 10 monedas con 4 caras y 6 sellos a la vista. Se separan 6 monedas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulten 3 caras y 3 sellos?

1 7

A)

B)

2 3

C)

5 21

8 21

D)

E) N.A.

13.

En una compañía hay 6 varones y 4 damas que aspiran a ser miembros de un comité. Si se deben escoger 2 al azar escribiendo los nombres en hojas de papel y sacándolos de una urna. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean hombres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean un hombre y una mujer o dos mujeres?

1, 2 3 3

A)

B)

1, 2 5 5

C)

3, 1 4 4

1, 2 2 3

D)

E) N.A.

14.

¿Se escogen al azar 3 lámparas entre 15, de las cuales 5 son defectuosas. Halla la probabilidad de que por lo menos una sea defectuosa? A)

24 91

B)

45 91

C)

67 91

46 91

D)

CAPÍTULO

E) N.A.

8 MÓVILES

r

VELOCIDAD (v) .-Es aquella magnitud vectorial cuyo módulo (V) nos indica la rapidez con que se mueve un cuerpo de un lugar a otro. Cuando la rapidez es constante el movimiento es uniforme. En esta parte trabajaremos con problemas de MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme) donde la aceleración es cero. Para lo cual tendremos en cuenta que: Espacio, distancia o recorrido

d Velocidad o rapidez

v

t

d = vt.

v= d t

Tiempo

t= d v

MOVIMIENTOS SIMULTÁNEOS Son cuando dos o más móviles inician y terminan su movimiento al mismo tiempo; es decir sus tiempos son iguales. Los movimientos simultáneos pueden ser: I) En sentidos opuestos





vB

vA

A

B

II) En sentido contrarios



vA

A

d Tiempo de encuentro

te = d VA + VB



vB B d

Tiempo de separación

ts =

d VA + VB

III) En el mismo sentido





vB

A

B

vA

P unto de encuentro

d Tiempo de alcance

ta =

d , V >V VA − VB A B

E jem p lo 1 a) Un tren de 200m de longitud pasa por un puente de 600m de largo a una velocidad de 40m/seg. ¿Cuál es el tiempo que emplea el tren en lograrlo? Solución

200m

600m

b) Un tren para atravesar un túnel de 1200 pies de longitud tarda 60s y en pasar delante de un observador tarda 20s. ¿Cuál es la longitud del tren? Solución

200m

A ntes de pasar el puente

D espúes de pasar el puente

La distancia que recorre el tren hasta cruzar completamente el puente es: d = 600+ 200= 800m;

v = 40m/ seg

e Además t = . v

800 = 20seg Luego: t = 40

Rp: 2400cm

c) Un tren viaja a 50 km/h, simultáneamente se empieza a mover otro tren, en sentido contrario, a la misma rapidez. Se encuentran separados 100 km. Una paloma, simultáneamente se ponen en movimientos los trenes, vuela de un tren a otro, luego se devuelve al primero y vuelve a ir al otro, y así sucesivamente. La paloma vuela a 100 km/h. ¿Qué distancia vuela la paloma hasta que los trenes se cruzan? Solución

d) Una tortuga puede "correr" a 6 cm /s mientras un caracol a 1 cm/s. Están sobre un camino con una sola dirección. ¿Qué distancia los separa al cabo de 8 minutos si parten en el mismo sentido? Solución

100km

El

tiempo

de

encuentro

de

los

1

trenes

es

te = 100 = 1h; luego la distancia que voló la paloma 50+ 50 es: d = 100km/h× 1h ⇒ d = 100km

27. Una persona suele caminar con una velocidad de 7,2km/h. ¿Cuántos metros recorre por cada segundo que transcurre? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 28. Dos móviles parten de un mismo punto en direcciones opuestas. La velocidad de uno es 50km/h y del otro es 40km/h. ¿En cuántas horas llegan a apartarse 360km? A) 2,5h B) 3,5h C) 3h D) 4h E) 4,5h 29. Un peatón se dirige del punto “A” al punto “B”, empleando 2 horas. Al regresar ha recorrido 11 metros más por minuto y ha hecho el trayecto en 105 minutos. Halla la distancia de “A” a “B” en kilómetros. A) 8,15 B) 9,24 C) 7,66 D) 8,42 E) 9,32

Rp: 2400cm

NIVEL 1 30. Dos autos parten al mismo tiempo y en la misma dirección desde dos puntos distantes 80 km entre sí. El auto que va adelante viaja a 70 km/h y el que va detrás viaja a 60 km/h. Si ambos autos parten a las 7 a.m. ¿A qué hora alcanzará uno al otro? A) 3 p.m. B) 5 p.m. C) 1 p.m. D) 2 p.m. E) No ocurre tal alcance. 31. Dos móviles se encuentran alejados 100 km y se dirigen uno al encuentro del otro con velocidades de 60 y 40 km/h. Indica después de cuánto tiempo estarán separados 80 km. A) 12 min B) 25 min C)30min D)35 min. E) 40 min.

32. Dos autos van por una misma autopista en sentidos contrarios uno al encuentro del otro con velocidades de 80 y 70km/h. Si inicialmente estaban separados 300km y parten al mismo tiempo. ¿Al cabo de cuántas horas se encuentran? A) 1h B) 2h C) 3h D) 4h E) 5h 33. Dos móviles se encuentran separados inicialmente 270 Km. y se dirigen uno al encuentro del otro con velocidades de 60 y 30 Km/h. Indica el tiempo que demora el móvil de mayor velocidad en llegar al punto de partida del otro móvil, luego del encuentro. A) 2h B) 3h C) 1h D) 1,5 hE) 4h 34. ¿Cuántas horas se tardará un avión en un viaje de ida y vuelta, si en la ida emplea “h” horas y en el regreso “x” minutos menos? A) 2h− x B) h − h − x C) 2h − x D) h + h − x E) 60 60 60 60 2h − 60x 35. Carlos conduce su auto a 40 km/h y parte hacia el sur a las 7 a.m.; Fernando conduce a una velocidad mayor en 30 km/h que Carlos, y va también hacia el sur partiendo a las 8 a.m. si la distancia entre los puntos de donde parten es 260 km. ¿A qué hora alcanzará Fernando a Carlos? A) 4 p.m. B) 5 p.m. C) 8 p.m. D) 7p.m. E) 6 p.m. 36. A las 8 de la mañana parten dos autos al encuentro desde dos ciudades distantes 1000km entre sí. Da la hora del encuentro sabiendo que la velocidad del más rápido es 20 m/s y la del más lento es 28 km/h. A) 5 p.m. B) 7 p.m. C) 6 p.m. D) 8 p.m. E) 12 m 37. Un ciclista calcula que, caminando a razón de 20km/h llega a su destino un cuarto de hora antes que recorriendo 920m cada 3 minutos. ¿Cuál es la distancia que tiene que recorrer? A) 575 m B) 575km C) 57 500m D) 675m E) N.A. 38. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad? 39. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25Km/h y el de B a 33Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?

40.

Un motociclista observa que

ha recorrido equivale a los

1 de lo que 5

3 de lo que le falta por 5

recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? A) 10h B) 9 h C) 8 h D) 7 h E) N.A. 41. Un corredor da una vuelta completa a una pista circular cada 40s otro corredor recorre la pista en sentido contrario y se cruza con el anterior cada 15s. ¿Qué tiempo emplea el segundo corredor en dar una vuelta completa a la pista? A) 30s B) 24s C) 32s D) 36s E) N.A.

42. Un maratonista que corre por la carretera observa que cada 12’ le alcanzaba un ómnibus y cada 4’ otro de ellos pasaba en dirección contraria. ¿Cada cuánto tiempo salen los ómnibus de su paradero? A) 3’ B) 7’ C) 4’ D) 5’ E) 6’ 43. En una pista circular de 3000m dos velocistas parten juntos en sentidos contrarios y se cruzan al cabo de 20’. Después de 5’ llega el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la velocidad del otro? A) 20 m/min B) 25 m/min C) 30 m/min D) 35 m/min E) N.A. 44. Dos ciclistas parten desde el mismo punto en un circuito de 6000 m en dirección opuesta uno al otro. Si cuando el primero ha completado una vuelta al cabo de 30’ se cruzan por tercera vez. ¿Cuál es la velocidad del más rápido? A) 200 m/min B)300 m/min C) 250 m/min D) 400 m/min E) N.A. 45. Dos jinetes corren en un hipódromo de 30 m de circunferencia y en el mismo sentido. El primero que tiene 20m de adelanto corre a 5 m/s y el segundo a 3 m/s. Calcula la suma de la distancia recorrida hasta su encuentro. A) 280 m B)260 m C) 300 m D) 240 m E) N.A. 46. Dos trenes “A” y “B” marchan en sentidos contrarios a 25 y 35 km/h respectivamente, un pasajero del tren “A” ve pasar al de “B” en 6 segundos. ¿Cuál es la longitud del tren “B”? A) 80 m B)100 m C)120 m D)110 m E) N.A. 47. Un ciclista razonaba de la siguiente manera “si voy a 10km/h llegaré a mi destino a las 3pm, pero si marcho a 15km/h llegaré a la 1 p.m. ¿qué velocidad deberá llevar para llegar a las 2p.m.? A) 12,5 km/h B) 12 km/h C) 13 km/h D) 11 km/h E) N.A. 48. Un tren parte de “A” a las 6 a.m. y llega a “B” a las 4 p.m., otro tren parte de “B” a las 7 a.m. y llega a “A” a las 3 p.m. si la distancia de “A” a “B” es 400km. ¿A qué hora se encontrará por el camino? A) 10 am B) 11 am C) 12 m D) 9 am E) N.A. 49. Para ir de un punto a otro una persona camina a razón de 8km/h y para volver al punto de partida a 5km/h. ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos, sabiendo que el viaje de ida y vuelta ha empleado en total 13 horas? A) 50 km B) 40 km C) 60 km D)45 km E) N.A. 50. Un peatón recorre 23 km. en 7 horas, los 8 primeros con una velocidad superior en 1 km a la velocidad del resto del recorrido. Calcula la velocidad con que recorrió el primer recorrido. A)3km/h B)4 km/h C) 6km/h D)2km/h E) N.A. 51. ¿Cuántas horas emplea un tren que viaja a una velocidad de 40km/h, entre dos paradas para recorrer “a” km, si hace “n” paradas de “m” minutos cada una? 3a + 2mn 3a + 2mn a + mn A) B) C) 120 12 40 a + 40mn D) E) 3a + 2mn 40

NIVEL 2 8. Un auto debe emplear 4 horas en cierto trayecto. Una hora después de la partida el chofer acelera la velocidad a fin de llegar 1 hora antes y hace entonces 6km más por hora. Halla la longitud del 2 trayecto. A) 130 m B) 140 m C) 110 m D) 120 m E) 160 m 9. Si 2 ciclistas Raúl y Manuel disputan una carrera de 800 m. Si Raúl da una ventaja a Manuel de 200 m llegan al mismo tiempo a la meta. En cambio si le da una ventaja de 80 m le gana por 20 segundos. ¿Cuál es la velocidad de Raúl? A) 6 m/s B) 4 m/s C) 8 m/s D) 10 m/s E) N.A 10. Silverio recorre una distancia en 120 minutos, al regreso aumenta su velocidad en 11 metros por minuto y recorre la misma distancia en 105 minutos. Halla la distancia recorrida. A) 9240 m B) 18480 m C) 18840 m D) 9420 m E) N.A. 11. Dos móviles “A” y “B” separados por una distancia de 240km parten a la misma hora y en el mismo sentido, si el primero en cada hora recorre 60km y el segundo 40km. Determina qué distancia recorrió “B”, cuando se encuentra con “A”. A) 720 km B) 520 km C) 360 km D) 480 km E) N.A. 12. Dos muchachos que pasean en bicicleta, se hallan a 40 kilómetros uno del otro. En este momento empiezan a ir al uno hacia al otro, al mismo tiempo que una paloma que está posada en el manillar de una de las bicicletas empieza a volar hacia el otro. En el momento en que llega al manillar de la otra bicicleta da la vuelta y vuelve hacia la primera, y así sucesivamente. Si cada bicicleta se mueve a 10 km/h y la paloma a 15km/h, ¿qué distancia habrá volado la paloma cuando se encuentren las 2 bicicletas? A) 10km B) 20km C) 30km D) 12km E) N.A. 13. Un ciclista viaja por una pista a velocidad constante. Parte del kilómetro a0b y una hora después está en el kilómetro aab. Si en la primera media hora llegó al kilómetro ab0, halla “a + b”. A) 5 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15 14. Una hormiga va de “A” a “O” en línea recta a la velocidad de 3cm/s, recoge en “O” un maní para llevarlo en línea recta a su escondite en “B” a velocidad constante. Si en esta segunda etapa emplea un tiempo que es cuatro veces más que el anterior, ¿con qué velocidad recorrió la distancia OB ? B A

12

4 3

A) 13cm/s

5

01. 02. 03. 04.

07. 08. 09.

O

5

B) 39cm/s

25

C) 5cm/s

D) 8cm/s

E) 6cm/s

Dos móviles distan 360 km y van al encuentro con velocidades de 3 km/h y 7 km/h. Después de qué tiempo estarán separados 140 km por primera vez. Dos automóviles parten de un mismo lugar en direcciones opuestas, el primero viaja a 5 Km/h más rápido que el segundo. Después de 8 h se encuentran a 360 Km el uno del otro. ¿Cuál es la velocidad del primer auto? Blanca camina a razón de 3 metros por cada segundo de tiempo y Carolina lo hace a razón de 5 metros en cada segundo. Si Carolina persigue a Blanca, ¿En qué tiempo la alcanzará si al empezar lo hacen a la vez y desde dos puntos separados 70 metros entre sí? Cinco horas demora un auto en viajar de Lima a Huaraz a una velocidad de 80km/h. Si cada 10km en la carretera que une ambas ciudades se desea colocar un banderín. ¿Cuántos banderines se requieren? 6. Un tren demora 3 min para pasar por delante de un observador y 8 min para atravesar completamente un túnel de 250 m de longitud. ¿Con qué rapidez corre el tren y cuál es su longitud? Un conductor de carros tiene que recorrer de un pueblo A a otro B, si se dirigiera a una velocidad de 100 Km/h llegaría a las 3 p.m. y si condujera a 150 Km/h, llegaría a la 1p.m. ¿Cuál será la velocidad a la que debe ir si debe llegar a las 2p.m.? Un automóvil se dirige de una ciudad A a otra B, la mitad de su camino recorre con una velocidad de 30 Km/h y la otra mitad a 70 Km/h. Hallar la velocidad promedio del recorrido. Un padre y su hijo trabaja en la misma oficina. El hijo de su casa a la oficina emplea 30 minutos y su padre 40 minutos. ¿En cuántos minutos alcanzará el hijo a su padre, si éste sale 8 minutos antes?

10. Juliana camina a razón de 3 metros por cada segundo de tiempo y Mónica lo hace a razón de 5 metros en cada segundo. Si Carolina persigue a Blanca, ¿En qué tiempo la alcanzará si al empezar lo hacen a la vez y desde dos puntos separados 70 metros entre sí? 11. Dos personas parten al mismo tiempo desde los puntos A y B en sentidos contrarios; en el momento que se encuentran, la primera había recorrido 36 Km más que la segunda. A partir de ese momento, la primera empleó 4h en llegar a B y la otra, 9h en llegar a A. Halla la distancia de A a B. 12. Dos microbuses se cruzan en un punto M a las 10 p.m, uno de ellos va a 55 km/h y el otro a 40 km/h. ¿A qué hora volverán a estar separados una distancia de 427,5 km?. 13. Un móvil hizo el recorrido de “A” a “B” a razón de 40Km/h y de “B” a “A” a razón de 20 Km/h. El tiempo total empleado en ida y vuelta fue de 810 minutos. La velocidad promedio de dicho móvil 14. Carlos conduce su auto a 40 km/h y parte hacia el sur a las 7 a.m; Fernando conduce a una velocidad mayor en 30 km/h que Carlos, y va también hacia el sur partiendo a las 8 a.m. Si la distancia entre los puntos de donde parten es 260 km, ¿A qué hora alcanzará Fernando a Carlos? 15. Dos móviles pasan por las ciudades A y B en las horas indicadas y en sentido contrario. ¿A qué hora ocurrirá el encuentro?

17. 18. 19. 20.

16. Liz y Victoria caminan desde dos puntos distintos en sentidos contrarios encontrándose al cabo de 12 minutos. Liz es más veloz que Victoria por 5 m/min. Si al momento de encontrarse Victoria efectuó un recorrido de 120 m, ¿cuál es la distancia que separaba inicialmente a ambas personas? Dos autos que viajan en sentidos contrarios se encuentran al cabo de 8 horas. Si uno de ellos es más veloz que el otro por 10 km por hora de viaje, ¿Cuál es la distancia inicial que separa a los autos al partir, si se sabe que el más lento recorrió 320 km hasta el momento del encuentro? Luis sale en su auto de un punto A de la ciudad a una velocidad de 60 km/h y 2 horas más tarde sale Arturo del mismo punto a una velocidad de 80 km/h en su auto nuevo. Si Arturo parte a las 10 a.m., ¿A qué hora alcanza a Luis? En una pista circular de 3 000 m, dos atletas parten juntos en sentido contrario y se cruzan al cabo de 20 min. Después de 5 min llega el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la velocidad del otro en m/min? . Dos trenes marchan en sentido contrario y sobre vías paralelas, con velocidades de 13 y 7 m/s respectiva-mente, un pasajero en el segundo tren calculó que el primero demoró en pasar 9 segundos. ¿Cuál es la longitud de este último tren?

CAPÍTULO TANTO POR CUANTO TANTO POR CUANTO Es una expresión que representa a una cantidad (tanto) que se toma de cuantas unidades iguales o de cuántas partes iguales se hayan dividido el todo o la unidad.

E je m p lo1

Sea el todo o unidad dividida en 15 partes iguales, de la cual tomaremos 6 partes. La parte sombreada representa a:  6 partes de 15  6 por cada 15  6 por 15 

6 15

Del caso que acabamos de analizar podemos decir que estamos hablando del 6 por 15.

Recuerda, el “a” por

a) Si el 3 por 5 de un número que ha sido disminuido en 1, equivale al 4 por 7 del mismo número cuando ha sido aumentado en 1. Halla el número. Solución

b) Para comprar un terreno de s/ 3240 Polidoro vendió su auto y le falta todavía el 2 por 43 del dinero que obtuvo por la venta de su auto. Si en la venta ganó el 7 por 36 del predio de costo, ¿cuánto costó el auto? Solución

3240(43) 2 Pv = 3240 ⇒ Pv = 43 45 3240(43) 7 ⇒ 43 Pv = Pc + Pc P = 36 36 c 45 ⇒ Pc = 2592 Pv +

EJERCICIOS Halla el 3 por 4 de 200. 34. El 350 por 400 de un capital equivale B) 150 C) 180 D) 160 E) 120 1 1 por de 630. Halla el capital. Halla el 5 por 8 de 200. 2 3 B) 150 C) 180 D) 160 E) 125 A) 1080 B) 1160 C) 480 D) 960 E) 1000 Halla el 3 por 20 del 7 por 12 de 320. 35. ¿Qué tanto por 20 es s/.240 de B) 41 C) 14 D) 28 E) 56 s/.1200? 5 A) 4 por 20 B) 3 por 20 C) 2 por 20 D) 1 por 20 27. Halla el por 4 de 240. 6 E) N.A. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 36. Si s/.242 es el 11 por 91 de un capital. Halla 2 el capital. 28. Juan tiene 45 años y Pedro tiene el A) 1001 B) 2200 C) 2002 D)2020 E) 4004 3 37. Si s/.280 es el 20 por 35 de mi dinero. por 3 más que la edad de Juan. Halla la edad de Pedro. ¿Cuánto tenía inicialmente? A) 10 B) 35 C) 55 D) 65 E) 85 A) 490 B) 280 C) 160 D) 140 E) 120 1 29. Tiburcia tiene s/. 180 y Cleófila tiene el 38. ¿Qué tanto por mil de 150 es 72? 5 A) 48 B) 480 C) 72 D) 720 E) 680 menos de lo que tiene Tiburcia. ¿Cuánto tiene Cleófila? 39. Luego de gastar el 12 por 30 y el 11 por 25 A) 160 B) 164 C) 174 D) 184 E) 154 de mi propina me sobra s/.8. ¿Cuánto fue la 1 1 30. Tengo s/.180 y gasto el por . ¿Cuánto mepropina? 5 4 A) 50 B) 500 C) 20 D) 200 E) 40 queda? 40. Si el 15 por 20 del quíntuplo de un número A) 36 B) 63 C) 42 D) 54 E) 46 equivale al 20 por 15 del triple del mismo número 1 disminuido en 12. Halla el número. 31. Un libro cuesta el por 6 de s/. 84. 2 A) 320 B) 192 C) 64 D) 32 E) 8 ¿Cuánto cuesta el libro? 41. Romualdo al vender un artículo en s/.1026 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 ha ganado el 7 por 50 de su costo. Halla el costo E) 11 del artículo. 32. Torcacio tiene 72 mangos y vende el A) 1100 B) 1050 C)1000 D) 950 E) 900 42. Hemeregildo vendió un artículo por s/.520 lo 1 por 1. ¿Cuántos mangos vendió? que le costó s/.800. El tanto por 20 del costo que ha 4 2 perdido es: A) 48 B) 36 C) 24 D) 12 E) 16 A) 3 por 20 B) 5 por 20 C) 7 por 20 D) 8 por 20 33. Si el 26 por 91 de un capital es s/.350. E) N.A. Halla el capital. 43. Si el 2 por 5 del 4 por 8 de un número, menos A) 1025 B) 1225 C) 490 D) 1500 E) 1050 12 equivalen al 1 por 8 del mismo número. Halla el 5% del número. 24. A) 100 25. A) 100 26. A) 82

A) 8

B) 10

C) 9

D) 16

E) 20

NIVEL 3

3.

Para comprar un lote de terreno por $ 8000, se vende un artefacto eléctrico y hace falta el 11 por 29 de esta venta. Si así se ganó el 4 por 25 del precio de costo, halla el costó del artefacto eléctrico. A) 5000 B) 6000 C) 6500 D) 7000 E) 7500 4. El precio de venta de un artículo es de “n” soles, se le recarga el 5 por 8 y luego se descuenta el 4 por 15. Si la ganancia después de esta operación es de 5 por 12 de “n”, halla precio de costo. A)

19n 20

B)

19n C) 21n 30 40

D)

31n 40

E)

47n 50

MÓDULO DE 4º-5º AÑO-R.M-VG

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