KATA PENGANTAR Keterkaitan Keterkaitan antar topik dalam matematika matematika pada umumnya dan dalam kalkulus pada khususnya, khususnya, sangatlah kuat. Oleh karena karena itu, agar dapat memahami suatu topik/materi dengan baik maka seorang mahasiswa harus sudah memahami konsep/materi konsep/materi pendukungnya. Akibatnya, Akibatnya, seorang mahasiswa mahasiswa yang mengikuti mengikuti kuliah matematika/kalkulus matematika/kalkulus akan mempunyai mempunyai resiko kegagalan semakin kecil apabila ia belajar secara kontinu sejak hari pertama perkuliahan. Diperlukan sarana yang memadai untuk membiasakan belajar secara kontinu, baik buku-buku referensi untuk memperkaya pemahaman konsep, maupun soal-soal latihan yang dirancang untuk mempertajam pemahaman suatu konsep yang disusun disusun bertahap dari paling paling mudah ke soal paling paling sulit. Di samping itu, soal-soal latihan yang bertahap tersebut juga untuk melatih keterampilan serta untuk memahami pentahapan dan proses dalam suatu penyelesaian soal. Modul MA MAT100 T100 Pengantar Matematika Matematika dan modul MAT104 Kalkulus merupakan pengalaman beberapa dosen pengajar Pengantar Matematika dan Kalkulus dalam persiapan pengajaran, yang kemudian dituangkan/disusun menjadi sebuah modul sebagai upaya untuk membantu mahasiswa agar dapat belajar secara kontinu kontinu dan terarah. Namun demikian, demikian, modul ini disusun bukan sebagai sebagai pengganti peranan buku referensi tetapi sebagai pendamping/pelengkap buku referensi tersebut. Pengajaran Pengantar Matematika/Kalkulus Matematika/Kalkulus TPB IPB diselenggarakan dalam 28 kelas kelas paralel paralel dan diasuh diasuh oleh oleh 28 dosen dosen pengajar pengajar yang yang berbeda, berbeda, dengan dengan sendirin sendirinya ya akan akan terdapat terdapat 28 cara pendekatan. pendekatan. Modul ini diharapk diharapkan an dapat membantu membantu para dosen pengajar dan para mahasiswa untuk menyamakan menyamakan persepsi tentang kedalaman pembahasan dari suatu topik. Pembahasan setiap topik mencakup : 1. Tujuan/sasaran pembelajaran pembelajaran 2. Pengetah Pengetahuan uan prasyarat prasyarat yang yang dibutuhka dibutuhkan n suatu pokok bahasan. bahasan. Untuk Untuk mengetahui prasyarat sudah dikuasai dengan baik oleh mahasiswa, dapat diketahui melalui pemberian soal. 3. Pokok Pokok Bahasan Diberikan teori singkat, singkat, dengan maksud agar para mahasiswa dapat mengetahui materi-materi materi-materi esensial dari setiap setiap topik. Bila pokok bahasan bahasan sudah pernah dipelajari di level pendidikan sebelumnya, perlu diuji kemampuan mahasiswa dengan dengan memberi soal soal yang telah telah dirancang. Dari jawaban jawaban soal ini, pengajar dapat membenarkan, mempertajam konsep yang sudah ada ataukah ataukah memberi konsep konsep baru yang belum diketah diketahui ui mahasiswa. mahasiswa. Pada Pada 1
tahap ini diharapkan terjadi proses belajar aktif karena mahasiswa terlibat langsung langsung dalam dalam proses proses pembelajaran, pembelajaran, mahasiswa mahasiswa diajak berfikir bersama dan akhirnya terjadi peningkatan kemampuan berfikir logis. 4. Soal-soal Soal-soal Latihan Latihan Di akhir kegiatan belajar dari suatu pokok bahasan, dirancang soal-soal latihan yang terdiri dari soal-soal yang sudah diidentifikasi konsep yang terkandung di dalam soal-soal tersebut yang belum terbahas di kuliah atau yang sudah terbahas tetapi pengajar masih ragu apakah mahasiswa sudah mengerti. Dengan Dengan digunak digunakann annya ya modul ini, diharapk diharapkan an para dosen akan mendapat mendapat umpan balik sedini sedini mungkin mungkin,, dan dapat dapat menganti mengantisipas sipasii setiap setiap permasalaha permasalahan n yang dihadapi oleh mahasiswa serta mahasiswa dapat mempersiapkan evaluasi akhir jauh-jauh hari sebelumnya. Terakhir, erakhir, kami akan akan mengucapk mengucapkan an terima terima kasih kepada kepada DUE LIKE yang telah pemberi hibah pengajaran ini dalam b entuk entuk penyusunan penyusunan modul. Bogor, 15 Nopember 2006 Penyusun
2
Petunjuk Bagi Pemakai Modul Buku [1] pada daftar pustaka merupakan buku rujukan utama mata ajaran Pengant Pengantar ar Matematika Matematika dan Kalkulus. Kalkulus. Istilah Istilah dan urutan urutan pembahasa pembahasan n materi materi Pengant Pengantar ar Matematik Matematika a dan Kalkulus Kalkulus mengikuti mengikuti buku tersebut. tersebut. Sedangk Sedangkan an buku [2] dan buku [3] digunakan sebagai pelengkap. Soal-soal latihan dikelompokkan atas: 1. Tugas/bahan diskusi, dimaksudkan soal latihan ini akan membantu membantu mempertajam pemahaman materi/konsep. 2. Latihan terbimbing, dimaksudkan dimaksudkan soal latihan ini akan membantu membantu mahasiswa memahami pentahapan penyelesaian soal. 3. Latihan mandiri, setelah setelah memahami konsep dan pentahapan pentahapan soal, diharapkan pada kelompok soal ini mahasiswa dapat mengerjakan soal secara mandiri.
Siapkan satu buku khusus untuk mengerjakan semua soal yang disediakan pada modul ini, baik soal di bahan diskusi, soal latihan terbimbing maupun soal latihan mandiri. Catatan bagi mahasiswa bahwa mahasiswa bahwa keberhasilan Anda tergantung dari tingkat aktifitas Anda membaca dan memahami buku rujukan, tingkat aktifitas Anda membaca teori singkat pada modul ini yang merupakan rangkuman dari teori yang ada di buku rujukan, serta aktifitas Anda mengerjakan soal-soal latihan pada modul ini. Pada Pada prinsipny prinsipnya a dosen pengajar menyediak menyediakan an sarana, hasil akhir tergantung dari usaha setiap mahasiswa.
Daftar Pustaka [1] [1] Stew Stewar art, t, J. J. (19 (1998 98). ). Kalk Kalkul ulus us.. (Terjemahan)
Edis Edisii kee keemp mpat at,, Erla Erlang ngga ga,, Jak Jakarta arta..
[2] [2] Purc Purcel ell, l, E. E. J. J. dan dan Dale Dale Varber arberg. g. (199 (1995) 5).. Kalk Kalkul ulus us dan dan Geo Geome metr trii Analitis, jilid jilid 1. Edisi kelima, kelima, Erlangga, Jakarta. Jakarta. (Terjamahan). (Terjamahan). [3]
Anton Anton,, H. (1981) (1981).. Calcul Calculus us with with Analyt Analytic ic Geomet Geometry ry.. Brief Brief Editio Edition. n.
3
Daftar Isi 1.
Selang Selang,, Ketaks Ketaksama amaan an dan Nilai Nilai Mutlak Mutlak 1.1 1.1 Urut Urutan an Bila Bilang ngan an Real Real 1.2 Selang 1.3 1.3 Ketak taksam samaan aan Latihan Terbimbing 1.3 Latihan Mandiri 1.3 1.4 1.4 Nila Nilaii Mutl utlak Ketaksamaan dengan Nilai Mutlak Latihan Terbimbing 1.4 Latihan Mandiri 1.4
2.
Fung ungsi dan dan Mode odel 2.1 Fungsi Cara Penyajian Fungsi Latihan Mandiri 2.1 2.2 2.2 Jeni Jeniss-je jeni niss Fungs ungsii Latihan Mandiri 2.2 2.3 2.3 Fungs ungsii Baru Baru dari dari Fungs ungsii Lama Lama Transformasi Fungsi Operasi Aljabar Fungsi Komposisi Fungsi Latihan Terbimbing 2.3 Latihan Mandiri 2.3 2.4 2.4 Mode Mo dell Ma Mate tema mati tik ka Latihan Mandiri 2.4
3.
Limit dan Kekon Limit Kekontin tinuan uan Fungsi ungsi 3.1 3.1 Lim Limit Fungs ungsii Limit Fungsi di Satu Titik Limit Satu Sisi Limit Tak Hingga 3.2
3.3 3.3 3.3 3.3
Hukum Limit Latihan Terbimbing 3.1 dan 3.2 Latihan Mandiri 3.1 dan 3.2 Keko Kekont ntin inia ian n Fungs ungsii Keko Kekont ntin inua uan n di Satu Satu Titi Titik k Kekontinuan Kiri dan Kekontinuan Kanan Kekontinuan Kekontinuan Selang Latihan Terbimbing 3.3 Latihan Mandiri 3.3
4
1
Sela Selang ng,, Ketak Ketaksa sama maan an dan dan Nilai Nilai Mutl Mutlak ak
Pokok Bahasan 1.1 1.1 Urut Urutan an Bila Bilang ngan an Real Real 1.2 Selang 1.3 1.3 Ketak etaksa sama maan an 1.4 1.4 Nila Nilaii Mut Mutlak lak Prasyarat : 1. Sifat Sifat operasi operasi aljaba aljabarr bilang bilangan an real real 2. Perk Perkal alia ian n dan dan pemfa pemfakt ktor oran an 3. Oper Operas asii himp himpun unan an Tujuan/sasaran : Mahasiswa dapat 1. menjel menjelask askan an pengert pengertian ian selang selang,, 2. menen menentuk tukan an himpun himpunan an jawa jawab b ketak ketaksam samaan aan,, 3. menentuk menentukan an himpunan himpunan jawab jawab ketaksam ketaksamaan aan dengan dengan nilai nilai mutlak. mutlak. Perhatikan Perhatikan prasyarat yang yang dibutuhkan dibutuhkan untuk mempelajari subbab ini. Baca dan pelajari lagi materi matematika SMU, kemudian kerjakan Tugas 1. berikut ini. Tugas 1.
Tuliskan uliskan rumus-rumus perkalian istimewa dan p emfaktoran yang telah Anda kenal kenal di SMU. Tuliskan uliskan juga definisi operasi operasi gabungan dan irisan irisan dari dua himpunan. Setelah menyelesaikan menyelesaikan Tugas 1., ujilah daya ingat Anda dengan mengerjakan soal-soal soal-soal berikut. berikut. Soal yang yang tidak dapat Anda kerjaka kerjakan, n, dapat didiskusik didiskusikan an dengan dengan kelompok kelompok belajar Anda. Pre-test
1. Uraikan Uraikan setiap bentuk aljabar berikut. (a) x2
2
3
3
3
3
− y = · · · · · · (b) x − y = · · · · · · (c) x + y = · · · · · · (d) x − 2x − 8 = · · · · · · (e) x − 2x + 8 = · · · · · · (f) −3x + 7x − 2 = · · · · · · (g) x − y = · · · · · · 2 2
2
4
4
5
(h) x6
6
− y = · · · · · · (i) x − 1 = · · · · · · (j) x + 1 = · · · · · · (k) x − 1 = · · · · · · (l) x + 1 = · · · · · · 2. Bentuk Bentuk kuadrat kuadrat x − 2x + 4 4 4 6 6
2
adalah adalah definit positif, positif, karena karena
· · · · · · · · · · · ·
3. Secara umum, umum, bentuk kuadrat kuadrat ax2 + bx + c dengan a ,b, dan c konstanta, adalah definit positif jika jika dan definit negatif jika jika .
············
············
4. Sederhanakan Sederhanakan 18 4 6 + = x + 3x x x + 3 2x 2x2 (b) 3 = 2x2 + x x (a)
−
2
−
−
· · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · ·
Tugas 2.
Tuliskan himpunan bilangan asli, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan himpunan himpunan bilangan real. real. Buatlah kaitan kaitan antara antara himpunanhimpunan tersebut menggunakan diagram venn atau menggunakan himpunan bagian.
1.1 1.1
Urut Urutan an Bil Bilan anga gan n Real Real
Dari sistem bilangan real real diperkenalkan diperkenalkan bilangan positif dan negatif. negatif. Kemudian Kemudian didefinisikan istilah lebih besar dan lebih kecil sebagai berikut. x
⇐⇒ ⇐ ⇒ x − y < 0
Berikut ini adalah sifat-sifat urutan bilangan real yang akan kita gunakan untuk menyelesaik menyelesaikan an ketaksamaan. ketaksamaan. Theorem 1 Misalkan a, b, c dan d bilangan real.
1. Jik Jika a a < c, mak maka a a < c (sifat (sifat trans transiti itif) f) < b dan b < c, 2. Jik Jika a a < b, mak maka a a + c < b + c (sifat (sifat penamb penambahan) ahan) < b, 3. Jik Jika a a < 0, maka maka ac < bc bc (sifat (sifat perkalia perkalian) n) < b dan c > 0, 6
4. Jik Jika a a < 0, maka maka ac > bc bc (sifat (sifat perkalia perkalian) n) < b dan c < 0, 5. Jik Jika a 0 < < a < b , maka
1 a
>
1 b
.
Bahan Diskusi
1. Jika Jika
1 x
1 4
atau salahkah salahkah pernyataan pernyataan tersebu tersebutt ? > maka x < 4 . Benar atau
Bila benar, apa alasannya, dan bila salah, beri contoh penyanggahnya. 1 1 2. Jika Jika salahkah pernyataan pernyataan tersebut tersebut ? < maka x > 4 . Benar atau salahk x 4 Bila benar, apa alasannya, dan bila salah, beri contoh penyanggahnya. 3. Jika Jika a b, maka a2 ab . Benar atau salahkah salahkah pernyataan pernyataan tersebut ? Bila benar, apa alasannya, dan bila salah, beri contoh penyanggahnya.
≤
≤
4. Jika Jika a b, maka a3 a 2 b . Benar atau salahkah pernyataan tersebut ? Bila benar, apa alasannya, dan bila salah, beri contoh penyanggahnya.
≤
1.2 1.2
≤
Sela Selang ng
Himpunan bilangan real R dapat digambarkan sebagai suatu garis yang dinamakan garis bilangan. Selang adalah himpunan himpunan bagian dari himpunan himpunan bilangan real R , dilambangkan sebagai berikut. (a, b) = x R : a < x < b [a, b] = x R : a x b (a, b] = x R : a < x b [a, b) = x R : a x < b (a, ) = x R : x > a ( , b] = x R : x b ( , )= R
{ ∈ } { ∈ ≤ ≤ } { ∈ ≤ } { ∈ ≤ } ∞ { ∈ } −∞ { ∈ ≤ } −∞ ∞
Sebelum membahas ketaksamaan, kita mengingat kembali materi prasyarat operasi himpunan dengan cara mengerjakan soal-soal di bawah ini.
7
Pre-test
Diketahui Diketahui himpunan A = [2, ) ; B = (
−∞, 3) ;
∞
= ( 5, 1) ; dan D = [0, 4] C =
−
Tentukan 1. A
∪ B dan A ∩ B 2. A ∩ C dan B ∩ C ∩ D) ∪A ddaan (A ∩ D) ∩ B 3. (C ∩ 4. B ∩ (A ∪ D) 1.3 1.3
Keta Ketaks ksam amaa aan n
Pada subbab ini akan dipelajari cara menyelesa menyelesaik ikan an ketaksamaan. ketaksamaan. Himpunan Himpunan semua bilangan real yang memenuhi ketaksamaan disebut himpunan jawab/himpunan jawab/himpunan penyelesaian ketaksaan. ketaksaan. Menyelesaik Menyelesaikan an ketaksamaan dapat dengan dengan sifat urutan atau dengan garis bilangan bertanda. Bahan Diskusi
Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut. 1. x
≤ 2 + x 2. 5 − x < 1 − x 3. x + 1 ≥ 0 2
4. x2 + 1 < 0 5. (x + 1)2 6. (x + 1)2
≥ 0 ≤ 0
7. (x + 1)2 > 0 8. (x + 1)2 < 0 9. 10.
−1 ≤ 0 x+1 x2 + 1 x 1
− ≥ 0 8
Bahaslah bahan diskusi di atas bersama dengan teman-teman kelompok belajar Anda. Jika Jika ada kesulit kesulitan an atau keragu-ragu keragu-raguan, an, tanyak tanyakan an ke dosen Anda. Setelah membahas bahan diskusi, kerjakan contoh-contoh soal berikut. Contoh 1.
Tentkan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut. 1.
−3 ≤ 2x + 1 < 7 2. 2 − x < x + 4 ≤ 2 x − 1 3. 5x + 3 > 2 x2 4. (x + 1)(x 5. (x2 + 1)2
− 3)(x − 1) ≥ 0 − 7(x + 1) + 10 < 0 2
Bila telah terjawab semua soal contoh, diharapkan Anda sudah siap untuk mengerjakan mengerjakan soal-soal latihan latihan terbimbing terbimbing berikut. Ikutilah petunjuk yang yang diberikan. Latihan Terbimbing
(Kerjakan di buku latihan soal Anda) Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut. 1. 2x
− 3 ≤ 6 − x
Petunjuk Petunjuk : Gunakan Gunakan sifat penamb penambahan ahan dan sifat sifat perkalian perkalian dari dari urutan bilangan bilangan real. real. Pada setiap setiap langkah langkah penyeles penyelesaian, aian, tuliskan tuliskan sifat sifat urutan bilangan real yang digunakan. 2. 1 + x
≤ x + 2 < 2x − 5
Petunjuk Petunjuk :
3. x2
• Gunakan a < b < c ⇐ ⇐⇒ ⇒ a < b dan b < c • Gunakan sifat penambahan dan perkalian • Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk irisan 2 himpunan/selang − 2x ≤ 8
Petunjuk Petunjuk :
• Buatlah salah satu ruas menjadi nol • Faktorkan bentuk kuadrat tersebut • Selesaikan dengan menggunakan sifat urutan, juga menggunakan garis bilangan bertanda.
9
4. (x
− 2)(x + 1)(2x + 1) ≤ 0
Petunjuk Petunjuk :
• Lebih aman diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan bertanda. 5. (ax − 1)(x − b) (x + c) > 0 ; a > 1 , b > 1 , c > 1 2
Petunjuk Petunjuk : ikuti pola pola penyelesaian enyelesaian soal nomor 4, perhati perhatikan kan saat menentukan tanda pada garis bilangan ada faktor linear muncul berulang.
Berikut ini kita akan mempelajari cara menentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan rasional F (x) H (x) (1) G(x) J (x)
≤
dengan F,G,H dan J suku banyak. Secara umum, langkah penyelesaian sebagai berikut.
• Ubah bentuk ketaksamaan (1) menjadi F (x) H (x) − ≤0 G(x) J (x) • Bentuk (2) disamakan penyebutnya, sehingga menjadi A(x) ≤ 0 B (x) • Faktorkan pembilang dari ketaksamaan bentuk (3) • Tentukan tanda ketaksamaan dengan garis bilangan • Tentukan himpunan penyelesaian. Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut. x 2 x+1
− ≤ 0 2x − 1 2. > 1 x−3 3 ≤ x + 1 3. −1 ≤ x−1 1.
4. 1 +
3
2x
− 1 ≤ x 10
(2)
(3)
Soal-soal latihan berikut merupaka merupakan n soal ketaksamaan ketaksamaan bentuk rasional. Ker jakan dengan mengikuti petunjuk yang telah diberikan. Latihan Terbimbing
Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut. 1.
1 x
≥ x
Petunjuk Petunjuk :
• Pindahkan ruas kanan ke ruas kiri, sehingga berbentuk ·· · ≥ 0. • Samakan penyebut dan faktorkan pembilangnya. • Tentukan tanda ketaksamaan pada garis bilangan. • Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk gabungan selang. 1 1 x+1 Petunjuk Petunjuk :
2. x +
≤
Ikutilah pola penyelesaian soal 1., pada saat menentukan tanda pada garis bilangan, perhatikan faktor linear muncul berulang. 3.
1 2
x
+1
≤ x2
Petunjuk : Ikutilah pola penyelesaian soal 1. 4.
x+5 x+1
≥ x2−x 1
Petunjuk Petunjuk : Ikutilah Ikutilah pola pola penyele penyelesaian saian soa soall 1. Perhatikan Perhatikan bahwa bahwa ketakketaksamaan ini memuat bentuk bentuk kuadrat kuadrat definit. Bahaslah cara cara menyelesaikanmenyelesaikannya bersama anggota kelompok belajar atau dibahas saat kuliah. 5.
(x
2
− 3)(x + 2) ≥ 0 (x − 5) 3
Petunjuk Petunjuk : Ikutilah Ikutilah pola pola penyeles penyelesaian aian soal soal 2. 6.
x 1 x+1
− ≤ x
Petunjuk Petunjuk : Ikutilah Ikutilah pola pola penyeles penyelesaian aian soal soal 4. Setelah menyelesaikan semua soal latihan terbimbing di atas, kerjakan soalsoal latihan mandiri mandiri berikut berikut pada ”buku latihan latihan soal” Anda.
11
Latihan Mandiri
Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut. 1. 2x
− 4 < 8 − x 2. −1 ≤ 5 − x < 1 + x 3. 2x < 3 − x 4. x − 3 ≥ 0 5. 4 + x < x + 5 ≤ 1 − 3x 6. (2x + 3)(3x − 1) (x − 5) < 0 7. (x + 1)(x + 2x − 7) ≥ x − 1 4 8. ≤ 2 x 2
2
2
2
9.
x
3
2
≤ x2 ≤ 3 x−1−x
10. 1
2
11. 12.
x2
x2
< 0
− 2x + 5 ≥ 0 x2
13.
x+4 x 3
1−x ≥ − x+2 3+x 14. x ≤ < 4 x−1 15.
−2 < x x+ 3 ≤ 3 2
16. Misalkan Misalkan a > 0 dan b > 0. Buktik Buktikan an (a) a < b
2
2
⇐⇒ a < b ⇐⇒ ⇐⇒ ⇒ a < a +2 b < b (b) a < b ⇐
12
1.4 1.4
Nila Nilaii Mutl Mutlak ak
Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan x adalah adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real yang didefinisikan sebagai didefinisikan sebagai berikut
| |
|x| = { −xx
; x 0 ; x < 0
≥
Berikut Berikut ini adalah sifat-sif sifat-sifat at nilai nilai mutlak mutlak yang akan akan kita gunakan gunakan untuk untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan nilai mutlak.
∈ R
Theorem 2 Misalkan x, y
dan a > 0, 0, berlaku
1. xy = x y
| | | | | | x |x| 2. = |y| y ⇐⇒ ⇒ −a ≤ x ≤ a 3. |x| ≤ a ⇐ ⇐⇒ ⇒ x ≥ a atau x ≤ −a 4. |x| ≥ a ⇐ ⇐⇒ x ≤ y 5. |x| ≤ |y| ⇐⇒ √ 6. x = |x| 2
2
2
Untuk lebih mempertajam pengertian tentang tentang konsep nilai mutlak, mutlak, bahaslah bahan diskusi berikut dengan anggota kelompok belajar atau antar kelompok belajar atau dibahas dibahas saat saat kuliah. kuliah. Bahan Diskusi
1. Tentukan entukan semua nilai x yang memenuhi ketaksamaan berikut. (a) x + 1
| | ≥ 0 (b) |x + 1| ≤ 0 (c) |x + 1| > 0 (d) |x + 1| < 0 (e) |x + 1| ≥ −4 (f) |x + 1| ≤ −4 (g) x + 1 ≥ 0 2
13
2. Tuliskan uliskan dalam bentuk tanpa nilai mutlak 3.
√ x − 2x + 1 = · · · · · ·
|2x − 4| = · · · · · ·
2
Ketaksamaan Dengan Nilai Mutlak
Langkah pertama dalam menyelesaikan ketaksamaan dengan nilai mutlak adalah adalah mengubah mengubah bentukny bentuknyaa menjadi menjadi ketaksam ketaksamaan aan tanpa tanpa nilai mutlak dengan menggunakan Teorema menggunakan Teorema 2 2 atau dengan menggunakan definisi menggunakan definisi nilai mutlak . Berikut Berikut ini diberik diberikan soal-soal soal-soal contoh contoh dan soal latihan latihan terbimbi terbimbing ng (kerjak (kerjakan an dengan mengikutilah petunjuk yang diberikan.) Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut. 1. 3x
| − 2| > 4
1 2. 2 + ≤ 3 x
3. 5x + 1 < 6
|
| | − 3x|
4. 2
≤ |x| ≤ 5 5. |x| − |1 − 2x| ≤ 2 x Latihan Terbimbing
1. Tentukan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian ketaksamaan Petunjuk Petunjuk :
x2 + 2x + 1
≥ 1
• Gunakan sifat nilai mutlak | | x| ≥ a ⇐ ⇐⇒ ⇒ x ≥ a atau x ≤ −a • Selesaikan ketaksamaan yang dihasilkan dari setiap kasus, perhatikan bahwa salah satu kasus memuat bentuk kuadrat definit.
• Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk gabungan selang kedua kasus.
5 2. Tentukan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian ketaksamaan 4 − ≤ x
x ; x > 0
Petunjuk Petunjuk :
• Gunakan sifat nilai mutlak | | x| ≤ a ⇐ ⇐⇒ ⇒ −a ≤ x ≤ a 14
• Gunakan sifat − −a ≤ x ≤ a ⇐ ⇐⇒ ⇒ −a ≤ x dan x ≤ a • Selesaikan ketaksamaan yang dihasilkan dari setiap kasus. • Tuliska Tuliskan n himpunan himpunan penyelesaian enyelesaian dalam dalam bentuk bentuk irisan irisan selang kedua kedua kasus.
3. Tentukan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian ketaksamaan 7x
| − 5| ≥ 2 |1 − 3x|
Petunjuk Petunjuk :
2
2
• Gunakan sifat nilai mutlak | | x| ≥ |y| ⇐⇒ ⇐⇒ x ≥ y . • Buat salah satu ruas menjadi nol : x − y ≥ 0. • Faktorkan bentuk kuadrat tersebut : (x − y)(x + y) ≥ 0. 0 . • Selesaikan dengan garis bilangan bertanda. 4. Tentukan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian ketaksamaan x |x| < |2x − 3| 2
2
Petunjuk Petunjuk :
2
2
• Tidak Tidak dapat dapat digunakan digunakan sifat nilai mutlak |x| ≥ |y| ⇐⇒ x ≥ y . Diskusikan kenapa?
• Untuk mengubah menjadi ketaksamaan tanpa nilai mutlak gunakan definisi definisi nilai mutlak.
• Buat untuk kasus x ≥ 0 atau x < 0, kemudian kemudian gunakan gunakan sifat |x| ≥ a ⇐ ⇐⇒ ⇒ x ≥ a atau x ≤ −a • Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk gabungan selang kedua kasus.
5. Tentukan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian ketaksamaan
|x| − |x + 3| ≤ 2 x
Petunjuk Petunjuk : Gunakan Gunakan definisi nilai mutlak mutlak untuk mengubah mengubah menjadi ketakketaksamaan tanpa nilai mutlak, diskusikan langkah selanjutnya dengan anggota kelompok belajar atau diskusikan saat kuliah.
| − 4| − 1 < x
6. Tentukan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian ketaksamaan x Petunjuk Petunjuk :
2
+1
• Perhatikan bahwa x + 1 = x + 1 untuk 1 untuk setiap x ∈ R. • Kemudian gunakan sifat nilai mutlak | x| ≤ a ⇐ ⇐⇒ ⇒ −a ≤ x ≤ a. • Gunakan sifat − −a ≤ x ≤ a ⇐ ⇐⇒ ⇒ −a ≤ x dan x ≤ a • Selesaikan ketaksamaan yang dihasilkan dari setiap kasus. • Tuliska Tuliskan n himpunan himpunan penyelesaian enyelesaian dalam dalam bentuk bentuk irisan irisan selang kedua kedua 2
2
kasus.
15
7. Tentukan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian ketaksamaan ketaksamaan ( x + 2) x
| − 1| ≤ 0
Petunjuk Petunjuk :
• Gunakan definisi nilai mutlak untuk mengubah menjadi ketaksamaan tanpa nilai mutlak
• Buat untuk kasus x ≥ 1 atau atau x < 1 • Selesaikan dengan garis bilangan bertanda, hasilnya diiriskan dengan untuk kasus satu dan iriska iriskan n dengan dengan x < 1 untuk kasus x ≥ 1 untuk lainnya.
• Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk gabungan selang kedua kasus.
8. Tentukan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian ketaksamaan Petunjuk : ikuti pola penyelesaian soal 7.
x x+1 < 0 3 x
|
−
Latihan Mandiri
Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut 1.
− 4 ≤ x − 3 2. 1 < |x + 2| ≤ 8 3.
|
x2
x+ x
| − 2|| > 6 1 4. x + ≤ 2 x |x| + 1 ≥ 0 5. 4 − |x| 6. x + |x| ≤ |3x + 1| 4 7. |x − 2| > |x + 1| |x| − 1 ≤ 0 8. 2 − |x| |x − 1| ≥ 0 9. 2 − |x| |x + 1| ≤ 2 10. |x − 2| 11. (2x − 1) − 5 |2x − 1| + 4 < 0 2
16
|
2
Fungs ungsii dan dan Mode Modell
Pokok Bahasan 1. Fungsi dan cara penyajian fungsi fungsi 2. Jenis-jen Jenis-jenis is fungsi 3. Fungsi baru dari fungsi fungsi lama 4. Model matematika matematika Prasyarat :
• Ketaksamaan dan nilai mutlak • Sistem Koordinat kartesius, garis lurus dan grafik persamaan Tujuan/sasaran Mahasiswa dapat 1. menjelaskan menjelaskan pengertian fungsi dan dapat menentukan menentukan daerah definisi dan daerah hasil suatu fungsi 2. menjelaskan menjelaskan jenis-jenis fungsi 3. menyajikan menyajikan fungsi dalam bentuk grafik 4. menyelesaik menyelesaikan an operasi fungsi Perhatik Perhatikan an prasyarat prasyarat yang dibutuhkan dibutuhkan untuk mempelajari bab ini. Untuk Untuk mengingat kembali materi prasyarat tersebut, Anda dapat kerjakan soal Tugas 3 dan soal berikut ini Tugas 3.
Jelaskan maksud dari 1. Sistem koordinat kartesius kartesius 2. Absis 3. Ordinat Ordinat 4. Kuadran Kuadran I, kuadran II, kuadran kuadran III, dan kuadran IV 5. Gradien Gradien garis lurus 17
Bahan Diskusi
Rumus garis lurus dengan gradien m dan memotong sumbu y di b adalah y = mx + b. Bagaimana gambar garis tersebut jika 1. m > 0 dan dan b > 0 2. m > 0 dan dan b < 0 3. m < 0 dan dan b > 0 4. m < 0 dan dan b < 0 5. m = 0 dan dan b > 0 6. m = 0 dan dan b < 0 Bentuk umum garis lurus adalah ax + by + c = 0, dengan a = 0, b = 0, maka gradien garis tersebut Mengapa dibutuhkan syarat a = 0 , b = 0?
· · · · · ·
Pre-Test
1. Tentukan entukan himpunan penye p enyelesaian lesaian ketaksamaan berikut (a) 2x
2
− x ≥ 0 (b) |x| ≤ 1 + 2 x 2. Tentuk entukan an persamaan persamaan garis dengan gradien gradien m = 2 yang ang melal melalui ui titi titik k ( 1, 3).
−
3. Gambarkan Gambarkan grafik fungsi f dengan f (x) =
2.1 2.1
x
2
; x
≤ 0
− x ;
x > 0
Fungs ungsii
Misalkan A dan B adalah adalah dua himpunan. himpunan. Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang memadankan setiap x A ke tepat tepat satu y B. Aturan fungsi f ditulis y = f (x), x disebut peubah bebas dan y disebut peubah tak bebas. Dalam kasus kasus ini A disebut daerah definisi fungsi f , dan dan himpun himpunan an y B ; y = f (x) , x A disebut daerah nilai fungsi f . dinotasikan
−→ −→ ∈
∈
{ ∈ ∈ } • daerah definisi fungsi f : D = {x ; fungsi f terdefinisi } • daerah nilai fungsi f : W = {y ∈ B ; y = f (x), x ∈ D } f
f f
f
18
Contoh 1
1. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) =
2+2 4 x
− • Daerah definisi fungsi f (D ) = · · · · · · · · · • Daerah hasil fungsi f (W ) = · · · · · · · · · · · · f
f f
2. Diketahui Diketahui fungsi g dengan g (x) = x 2 + 1
• Daerah definisi fungsi • Daerah hasil fungsi g
g (Dg ) =
· · · · · · · · · (W ) = · · · · · · · · · · · · √ 3. Diketahui Diketahui fungsi h dengan h(x) = x − 2x • Daerah definisi fungsi h (D ) = · · · · · · · · · • Daerah hasil fungsi h (W ) = · · · · · · · · · · · · g
2
h
h
Cara Menyajikan Fungsi
Terdapat erdapat empat empat cara untuk menyajik menyajikan an suatu fungsi yaitu yaitu secara secara verbal verbal (dengan kata-kata), secara numerik (dengan tabel angka), secara visual (dengan gambar), dan secara aljabar (dengan (dengan rumus persamaan). persamaan). Berikut ini diberikan diberikan contoh menyajikan fungsi dengan menggunakan cara verbal dan tiga cara lainnya tersebut dapat Anda kerjakan. Contoh 2
1. Secara Verbal Suatu swalayan di kota Bogor menarik ongkos parkir sebesar C (x) rupiah selama waktu x jam. Aturan Aturan ongkos ongkos parkir parkir di swalay swalayan an tersebut tersebut adalah adalah sebaga sebagaii berikut. berikut. Ongko Ongkoss parkir parkir satu jam pertama pertama adala adalah h 200 20000 rupiah, dikenai tambahan ongkos sebesar 1000 rupiah untuk setiap satu jam tambahan berikutny b erikutnya, a, hingga paling lama waktunya waktunya 5 jam. 2. Secara numerik
· · · · · · · · · · · · 3. Secara visual · · · · · · · · · · · · 4. Secara aljabar · · · · · · · · · · · ·
19
Latihan Mandiri 2.1
1. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) =
x2 2x
−
; x 1 1 ; x > 1
≤
(a) Tentukan entukan f (0) (0) dan dan f (2) (b) Tentukan entukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f. 2. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = 2x2
− 4x
(a) Tentukan entukan f (1), f (h), f (x + h), dan dan
f (c + h) h
− f (c)
(b) Tentukan entukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f. 3. Salah satu stasiun TV swasta nasional memberlakukan memberlakukan aturan aturan pemberian tingkat diskon (D) dalam persen, atas banyaknya belanja iklan ( x) dalam dalam juta rupiah sebagai berikut. Banyaknya Banyaknya belanja iklan kurang dari 500 juta rupiah dikenai diskon 5%, belanja iklan dari 500 juta rupiah sampai dengan dengan 1 milyar milyar rupiah diberi diskon diskon 10%, dan belanja iklan iklan lebih dari 1 milyar diberi diskon 30 %. (a) Tingkat Tingkat diskon diskon D tergantu tergantung ng dari banyakny banyaknyaa belanja belanja iklan iklan x, nyatakan hubungan tersebut secara numerik. (b) Nyatakan Nyatakan hubungan hubungan D dengan x secara visual (gambar grafik fungsi D) (c) Nyatakan Nyatakan juga hubungan tersebut secara aljabar.
2.2
Jenis-j Jenis-jeni eniss Fungsi ungsi
Anda tentuny tentunyaa telah mengenal mengenal jenis-jenis jenis-jenis fungsi di SMU. Untuk Untuk mengingat mengingat kembali kembali semua itu, beberapa fungsi sederhana dibuat sebagai tugas tugas atau bahan diskusi. Contoh 3
1. Fungsi linear
±
y = f (x) = ax + b ; a dan b konstanta real
Fungsi g dengan g (x) = b disebut fungsi konstan dan fungsi h dengan h(x) = x disebut fungsi identitas. Df =
dan
g
dan
h
dan
· · · · · · · · · D = · · · · · · · · · D = · · · · · · · · ·
W f f =
· · · · · · · · · W = · · · · · · · · · W = · · · · · · · · · g
h
20
2. Fungsi kuadrat y = f (x) = ax 2 + bx + c ; a,b,c konstanta real, a = 0 . Df =
dan
· · · · · · · · ·
W f f =
· · · · · · · · ·
Bahan Diskusi
1. Apa syarat untuk untuk definit positif dan definit negatif negatif pada fungsi fungsi kuadrat. 2. Gambar grafik fungsi kuadrat untuk semua kasus (untuk (untuk semua kemungkinan tanda dari a dan diskriminan D .) Tugas 4
Fungsi Trigonometri 1. Sebutka Sebutkan n semua semua fungsi trigonometri trigonometri yang telah Anda pelajari di SMU 2. Tentukan entukan daerah definisi dan daerah hasil dari semua fungsi trigonometri tersebut. 3. Gambarkan Gambarkan grafik semua fungsi trigonometri tersebut.
Seteleh membaca buku referensi utama halaman 31 s/d 37 dan mengikuti kuliah kuliah pengantar pengantar matematik matematika, a, diharapk diharapkan an Anda dapat mengerjak mengerjakan an Tugas 5 berikut ini.
Tugas 5
Tuliskan bentuk umum, contoh bentuk khusus, daerah definisi dan daerah hasil dari fungsi polinom, fungsi pangkat, fungsi akar kuadrat, fungsi balikan, fungsi rasional, fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Berikut ini diperkenalkan fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong ( piecewise function). Beberapa contoh piecewise contoh piecewise function adalah function adalah sebagai berikut. 1. Fungsi Nilai Mutlak f (x) =
x x
−
; x 0 ; x < 0
≥
21
2. Fungsi bilangan bulat terbesar terbesar f (x) = [ x ] = n ; n
||
atau diuraikan menjadi
≤ x < n + 1
; x
∈ R
· · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · · untuk n = −2 ; −2 ≤ x < −1 =⇒ f (x) = [|x|] = −2 untuk n = −1 ; −1 ≤ x < 0 =⇒ f (x) = [|x|] = −1 untuk n = 0 ; 0 ≤ x < 1 =⇒ f (x) = [|x|] = 0 untuk n = 1 ; 1 ≤ x < 2 =⇒ f (x) = [|x|] = 1 untuk n = 2 ; 2 ≤ x < 3 =⇒ f (x) = [|x|] = 2 · · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · ·
ditulis
· · · ; −2 ; −1 ; ( )= 01 ;; ·2· · ;;
f x
········· −2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 0 0 ≤ x < 1 1 ≤ x < 2 2 ≤ x < 3 ·········
1 ; ( )= 1 −− 1 ;;
3. Fungsi h dengan h x
x
x
≤ 0 ≤ 1
x
0 < x
x > 1
Contoh 4
1. Tentukan entukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi h tersebut di atas x
( ) = ; −3 ≤ 2
2. Uraikan Uraikan fungsi f dengan f x
x < 5
Tugas 6
Tuliskan uliskan definisi fungsi genap dan definisi. definisi. Berikan Berikan contoh masing-masing. masing-masing. Setelah Anda mengerjakan tugas di atas, kerjakan semua soal berikut tentang menentukan daerah definisi dan daerah hasil dari berbagai jenis fungsi. Ikutilah petunjuk yang diberikan pada setiap soal.
22
Latihan Terbimbing 2.2
1. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = 5
− 2x. (a) D = · · · · · · · · · dan W = · · · · · · · · · (b) Jika Jika D = [ −1, 4), maka W = · · · · · · · · · f
f f
f
f f
Petunjuk : Untuk menentukan W f f , gunakan batasan nilai y dengan menggunakan sifat ketaksamaan. 2
2. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = 4
−x . (a) D = · · · · · · · · · dan W = · · · · · · · · · (b) Jika Jika D = ( −4, 1], maka W = · · · · · · · · · f
f f
f
f f
Petunjuk : Untuk menentukan W f f , gunakan batasan nilai y dengan menggunakan sifat ketaksamaan.
(c) Jika Jika Df = ( , 1], maka W f f = Petunjuk : Untuk menentukan W f f , gunakan batasan nilai y dengan menggunakan sifat ketaksamaan.
−∞ −
· · · · · · · · ·
3. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = x 2 Petunjuk Petunjuk :
• Untuk menentukan D , f
− 2x, tentukan
Df
dan
W f f .
gunakan gunakan aturan aturan menentukan menentukan daerah daerah defin-
isi fungsi polinom.
• Untuk menentukan W ,
ubahlah ubahlah dahulu ke bentuk bentuk kuadrat kuadrat sempurna (f (x) = (x + a) + b; a, b konstanta ) kemudian tentukan batasan batasan y dengan menggunakan sifat ketaksamaan. f f
2
4. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) =
1 + 2x , tentukan Df dan 5 x
Petunjuk Petunjuk :
−
W f f .
• Untuk menentukan D , tetapkan tetapkan syarat syarat penyebut penyebutnya nya tak nol. • Untuk menentukan W , nyatak nyatakan an x dalam y , dari sini diperoleh f
f f
syarat untuk y.
5. Diketah Diketahui ui fungsi fungsi f dengan f (x) = W f f .
x2
− 2x − 3 , tentukan x+1
Df
Petunjuk Petunjuk :
• Untuk menentukan D
f ,
tetapkan tetapkan syarat syarat penyebut penyebutnya nya tak nol. 23
dan
sederha sederhanakan nakan bentuk bentuk f (x) kemudia kemudian n cari batasan y dengan syarat x Df .
• Untuk menentukan W , f f
∈
6. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = Petunjuk Petunjuk :
• Untuk menentukan
√ 9 − x , tentukan 2
Df
dan
W f f .
tetapkan syarat syarat yang didalam didalam akar harus harus Df , tetapkan
tak negatif.
• Untuk menentukan W , untuk semua x ∈ D . f f
tentukan tentukan batas batas y dengan sifat ketaksamaan
f
7. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = Petunjuk Petunjuk :
• Untuk menentukan
√ 2x − x , tentukan 2
Df dan
W f f .
tetapkan syarat syarat yang didalam didalam akar harus harus Df , tetapkan
tak negatif.
• Untuk menentukan W , ubahlah ubahlah yang yang didalam didalam akar menjadi bentu bentu kuadrat kuadrat sempurna sempurna kemudian kemudian tentukan tentukan batas batas y dengan sifat ketaksamaan untuk semua x ∈ D . √ 8. Diketah Diketahui ui fungsi fungsi f dengan f (x) = 1 − 2sin x, tentukan D dan f f
f
f
W f f .
Petunjuk : Ikuti pola penyelesaian soal nomor 6 9. Tentukan entukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f dengan x2 + 2 ; x < 1 y = f (x) = 1 2x ; 1 x 2
Petunjuk Petunjuk :
−
≤ ≤
• Untuk menentukan D , gabungkan gabungkan selang selang semua semua x. • Untuk menentukan W , tentukan tentukan batas batas y dengan sifat ketaksamaan untuk untuk kasus kasus x < 1 atau 1 ≤ x ≤ 2 kemudian gabung selang nilai f
f f
y tersebut.
10. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = [ x ] + x , tentukan Df dan
|| ||
Petunjuk Petunjuk :
W f f .
• Buatlah fungsi ini menjadi fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong. • Untuk menentukan D dan W , ikuti car cara a seperti seperti soal soal nomor 9. x − 4 11. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = dan W . , tentukan D x − 2 f
f f
2
f
f f
Petunjuk Petunjuk :
• Buatlah fungsi ini menjadi fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong. 24
• Untuk menentukan D
f
dan W f cara a seperti seperti soal soal nomor 9 f , ikuti car
12. Periksa apakah apakah fungsi-fungsi berikut merupakan merupakan fungsi genap, fungsi gan jil, ataukah ataukah bukan keduanya. (a) f (x) = 4
4
−x .
2x x2 + 1 (c) f (x) = x + 3 Petunjuk :
(b) f (x) =
• Tentukan f (−x). • Jika f (−x) = f (x) maka
fungsi genap, jika jika f ( x) = f fungsi
−
−f (x)
maka f fungsi ganjil, dan jika tidak memenuhi kedua syarat syarat tersebut maka fungsi f bukan bukan fungsi fungsi genap maupun bukan fungsi ganjil. ganjil.
Latihan Mandiri 2.2
Untuk Untuk soal nomor 1-14, tentuk tentukan an daerah definisi dan daerah hasil fungsi fungsi f dengan f (x) sebagai sebagai berikut. berikut. 1. f (x) = x + 3 ; x < 2 2. f (x) = x 2
− 4x + 5 3. f (x) = 3 + 2 x − x 2
4. f (x) =
2x + 1 x 1
−
2
−2x − 3x + 2 x+2 √ 6. f (x) = 6 − 2x √ 7. f (x) = x + 16 √ 8. f (x) = 3 + 2 x − x 5. f (x) =
2
2
9. f (x) = 1 + 2sin 2 x 10. f (x) = tan(2x) 11. f (x) = 1 + 3 cos( cos( x + π) 12. f (x) = [ x ] + x 4 ; 1 √ 13. f (x) = 1 + 2 x−1
|| | − |
14. f (x) =
1 − ln(
x
≤ x ≤ 6
− 3) 25
15. f (x) = x + x + 1
| | |x| + 1 16. f (x) = x
17. Periksa apakah apakah fungsi berikut merupakan fungsi fungsi genap, fungsi ganjil, ataukah tidak keduanya. keduanya. (a) f (x) = x + cos x
| |
(b) f (x) = x + 3 + x3
26
2.3
Fungsi ungsi Baru Baru Dari Dari Fung Fungsi si Lama Lama
Dari fungsi sederhana dapat dibentuk fungsi baru dengan cara : 1. Transformasi Fungsi Fungsi (Pergeseran, peregangan, dan pencerminan) 2. Operasi Aljabar Fungsi Fungsi (Penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) 3. Komposisi Fungsi. Fungsi. Tugas 7
Gambar grafik fungsi-fungsi sederhana berikut. 1. f (x) = x 2 2. f (x) = 3. f (x) =
√ x 1 x
4. f (x) = x
| | 5. f (x) = [|x|] 6. f (x) = sin x 7. f (x) = cos x 8. f (x) = ln x 9. f (x) = exp(x) Transformasi Fungsi
Pergeseran Grafik Fungsi (Translasi) Grafik fungsi y = f (x a ) + b ; a, b > 0 diperol diperoleh eh dari grafik grafik fungsi fungsi dengan cara menggeserk menggeserkann annya ya a satuan satuan ke kanan kanan (arah sumbu x y = f (x) dengan positif) dan b satuan ke atas (arah sumbu sumbu y positif)
−
27
Bahan Diskusi
Bagaimana arah pergeseran grafik yaitu
y = f (x
− a) + b untuk kasus lainnya,
1. a > 0 dan dan b < 0 2. a < 0 dan dan b > 0 3. a < 0 dan dan b < 0
Peregangan Grafik Fungsi (Dilatasi) Grafik fungsi y = af (bx) ; a,b > 1 diperoleh diperoleh dari grafik grafik fungsi fungsi y = f (x) dengan cara meregangkan secara tegak dengan faktor a , kemudian memampatkan secara mendatar dengan faktor b.
Bahan Diskusi
Bagaimana peregangan yang berlaku pada grafik fungsi f dengan y = f (x) jika terjadi fungsi baru sebagai berikut. 1. y =
1
1
f ( x) a b
1 2. y = af ( x) b
3. y =
1 a
f (bx)
dengan a,b > 1 . Pencerminan Grafik Fungsi (Refleksi) Untuk memperoleh grafik 1. y =
−f (x) , 2. y = f (−x) ,
cermink cerminkan an grafik grafik y = f (x) terhadap terhadap sumbu sumbu x cermink cerminkan an grafik grafik y = f (x) terhadap terhadap sumbu sumbu y
Contoh 5
1. Grafik fungsi y = af (x + b ) + c ; b , c > 0 dan a > 1, diperoleh dari grafik fungsi y = f (x) dengan dengan cara cara mengge menggeser ser sejau sejauh h satuan ke , kemudian meregangkan secara dengan faktor kemudian dicerminkan dicerminkan terhadap sumbu , , kemudian dan terakhir digeser sejauh satuan ke .
− ········· ·········
· · · · · · · · · 28
········· ········· ········· · · · · · · · · ·
2. Grafik fungsi fungsi y = f ( ax) ; a > 1 , diperoleh dari grafik fungsi y = f (x) dengan cara memampatkan secara . dengan faktor ., kemudian dicerminkan terhadap sumbu ..
−
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
− xa + b) + c ; b > 0
3. Grafik fungsi fungsi y = f (
· · · · · · · · ·
dan dan a > 1 , diperoleh dari grafik
fungsi y = f (x) dengan cara meregangk meregangkankan ankan secara . dengan faktor kemudian dicerminkan terhadap sumbu , ., kemudian dan terakhir digeser sejauh satuan ke .
·········
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Operasi Aljabar Fungsi
Jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dari fungsi f dan g didefinisikan sebagai fungsi yang aturanya ditentukan oleh 1. (f + + g )(x) = f (x) + g(x) 2. (f
− − g)(x) = f (x) − g(x)
3. (f g )(x) = f (x)g (x) f g
4. ( )(x) =
f (x) g (x)
Fungsi f + g , f
− − g
dan f g mempunyai daerah definisi yang sama yaitu
D = D f Dg , sedangkan fungsi
∩
; g (x) = 0
f mempunyai mempunyai daerah definisi pada g
D
−{ x ∈ R
}
Fungsi Komposisi Misalkan fungsi f dan g memenuhi W f Dg = φ . Komposisi dari g dan f , f ditulis g f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada himpunan bagian dari Df yang aturanya ditentukan oleh (g f )(x) = g (f (x))
∩
◦
◦
dengan daerah definisi Dg ◦f = x D f ; f (x) Dg
{ ∈
∈ }
Tugas 10
Buatlah definisi untuk komposisi g dan f , yaitu fungsi f g (syarat fungsi f g terdefinisi, nilai fungsi dan daerah definisi)
◦ ◦
◦ ◦
Bahan diskusi
1. Dapatkah Dapatkah daerah definisi dan daerah nilai fungsi f g ditentukan sebelum aturan fungsinya?
◦
29
2. Apakah Apakah W f f
∩ D = φ berakibat dengan D ◦ = φ, atau sebaliknya? g
g f
Setelah Anda mengerjakan mengerjakan semua Tugas Tugas dan Bahan diskusi, kerjakan kerjakan soalsoal latihan terbimbing berikut dengan mengikuti petunjuk yang telah diberikan. Latihan terbimbing 2.3
1. Diketah Diketahui ui fungsi fungsi f dan g dengan f ( ( x) = 2x 1 g(x) = x 2 ; x
− 1 ; 0 ≤ x < 4 , dan
≤ −
(a) Periksa apakah apakah f g terdefinisi? (Petunjuk : periksa W g Df = φ ) (b) Jika Jika ya, tentukan tentukan aturan aturan fungsi fungsi f g beserta beserta daerah definisi definisi dan daerah hasilnya. (Petunjuk (Petunjuk : Gunakan Gunakan aturan (f g )(x) = f (g (x)), aturan Df ◦g = kemudian tentukan batasan batasan y dengan x Dg ; g (x) Df , kemudian aturan ketaksamaan dengan x Df ◦g .) (c) Periksa apakah apakah g f terdefinisi? (Petunjuk : periksa W f Dg = φ ) f (d) Jika Jika ya, tentukan tentukan aturan aturan fungsi fungsi g f beserta beserta daerah definisi definisi dan daerah hasilnya. (Petunjuk (Petunjuk : Gunakan Gunakan aturan (g f )(x) = g (f (x)), aturan Dg◦f = kemudian tentukan batasan batasan y dengan x Df ; f (x) Dg , kemudian aturan ketaksamaan dengan x Dg◦f .) (e) Periksa apakah apakah f f terdefinisi? (Petunjuk : periksa W f Df = φ ) f (f) Jika Jika ya, tentukan tentukan aturan fungsi fungsi f f beserta daerah daerah definisi definisi dan daerah hasilnya (Petunjuk : Gunakan aturan (f f )(x) = f (f (x)), aturan Df ◦f = kemudian tentukan batasan batasan y dengan x Df ; f (x) Df , kemudian aturan ketaksamaan dengan x Df ◦f .)
◦ ◦
{ ∈
∈ ◦
{ ∈
∈
◦ ◦
{ ∈
∈
2. Diketahui Diketahui fungsi f dengan
∩
◦ ◦
◦ ◦ ∈
}
∩
◦
◦ ∈
}
∩
◦ ◦
◦ ◦ } ∈ |−x| f (x) = −x
(a) Gambar Gambar grafik fungsi fungsi f . (b) Gunak Gunakan an hasil hasil jawa jawab b a) dan gunak gunakan an aturan aturan transf transform ormasi asi untuk untuk menggambar grafik fungsi g dengan g(x) =
|2 − x| + 1 2−x
Petunjuk:
a) Ubahlah bentuk f (x) tanpa nilai mutlak kemudian gambar. b) Gunakan aturan pergeseran/translasi 30
3. Diketah Diketahui ui fungsi fungsi f dan g dengan f ( ( x) = 2x 4 dan g(x) = x2 . Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f + g
| − |
Petunjuk: a) Tentukan Df dan Dg , barulah tentukan D f +g b) Tentukan b) Tentukan aturan (f + + g )(x), kemudian ubahlah bentuk (f + + g )(x) tanpa nilai mutlak c) Tentukan c) Tentukan batasan y untuk setiap x D f +g , kemudian gabungkan!
∈
4. Diketahui Diketahui fungsi f dan g dengan f ( x) =
√ x − 2 dan g (x) = x
2
(a) Tunjukkan unjukkan bahwa g
◦ f terdefinisi. (b) Tentuk entukan an aturan aturan fungsi fungsi g ◦ f beserta beserta daerah definisi definisi dan daerah hasilnya. Petunjuk :
• Tunjukkan W ∩ D = φ • Gunakan aturan (g ◦ f )(x) = g (f (x)), aturan D ◦ = {x ∈ D ; f (x) ∈ D }, kemudian kemudian tentukan batasan batasan y dengan aturan ketaksamaan dengan x ∈ D ◦ . f f
g
g f
f
g
g f
5. Diketah Diketahui ui fungsi f dengan f ( ( x) = x2 , rumusk rumuskan an g(x) dimana dimana grafik grafik fungsi g didapat dari grafik fungsi f dengan (a) mencermin mencerminka kan n terhadap terhadap sumbu sumbu x , kemudia kemudian n menggeser menggeser sejauh 1 satuan ke kanan, selanjutnya diregangkan secara tegak dengan faktor 2. (b) mencerminkan mencerminkan terhadap sumbu y , dimampatkan dimampatkan secara mendatar dengan faktor 2, kemudian menggeser sejauh 2 satuan ke bawah 6. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f ( ( x) = [ x ]
||
(a) Gam Gambar bar grafik fungsi fungsi f (b) Gunakan Gunakan pencermina pencerminan n untuk untuk menggam menggambar bar grafik fungsi g dengan g (x) = [ x ]
− | |
(c) Gunakan Gunakan pencermina pencerminan n untuk untuk menggamb menggambar ar grafik fungsi h dengan h(x) = [ x ]
|− |
7. Diketahui Diketahui f (x) =
−1 x
g(x) = cos x h(x) = x
Tentukan
| |
− ;
; x 0 2 ; x > 0
≤
−π ≤ x ≤ π
31
(a) f
− − h beserta daerah daerah asal dan daerah hasil ◦ g beserta (b) f ◦ beserta daerah asal dan daerah hasil ◦ g terdefinisi) (Petunjuk : periksa dahulu apakah f ◦ (c) h ◦ f beserta beserta daerah asal dan daerah daerah hasil (Petunjuk : periksa dahulu apakah h ◦ f terdefinisi) (d) f + + g beserta beserta daerah asal dan daerah daerah hasil
√ −
x2 + x 8. Diketah Diketahui ui fungsi fungsi f dengan f ( ( x) = tentukan daerah definisi , tentukan x 2 fungsi f .
(Petun (Petunjuk juk : pandang andang fungs fungsi i f sebagai sebagai hasil operasi operasi beberpa beberpa fungsi, kemudian gunakan aturan menentukan daerah definisi operasi fungsi)
Latihan Mandiri 2.3
√ x. Tentukan || √ √ 2. Diketahui Diketahui fungsi f dan g dengan f ( x) = x − 1 dan g (x) = 2x + 1. Tunjukkan bahwa g ◦ f terdefinisi, tentukan tentukan aturan fungsi g ◦ f beserta 1. Diketahui Diketahui fungsi f dan g dengan f ( x) = [ x ] dan g (x) = daerah definisi dan daerah hasil fungsi f + g dan f g. 2
daerah definisi dan daerah hasilnya.
3. Diketah Diketahui ui fungsi fungsi f dan g dengan f ( ( x) = 2x + 1 ; 0 2 1 ; x 1 g(x) = x
−
≤ −
≤ x < 3
dan
(a) Tentukan entukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f dan g . (b) Selidiki Selidiki apak apakah ah fungsi fungsi f g dan g f terdefinisi
◦ ◦
◦
(c) Jika Jika fungsi fungsi kom komposisi posisi terdefinis terdefinisi, i, tentuk tentukan an aturan aturan fungsi fungsi f g dan definisi dan daerah daerah hasilnya. hasilnya. g f beserta daerah definisi
◦ ◦
◦
4. Diketahui Diketahui fungsi f dan g dengan x ; x < 0 ( x) = dan g (x) = x 2 f ( 2x ; x 0
−
≥
−1
(a) Tentukan entukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f dan g . (b) Selidiki Selidiki apak apakah ah fungsi fungsi f g dan g f terdefinisi
◦ ◦
◦
(c) Jika Jika fungsi fungsi kom komposisi posisi terdefinis terdefinisi, i, tentuk tentukan an aturan aturan fungsi fungsi f g dan definisi dan daerah daerah hasilnya. hasilnya. g f beserta daerah definisi
◦
5. Diketahui Diketahui fungsi f dengan
2 ; ( )= 2 −− 2 ;; x
f x
x
x 0 0 < x 2 x > 2
≤ ≤
32
◦ ◦
(a) Gam Gambar bar grafik fungsi fungsi f (b) Gam Gambar bar grafik fungsi fungsi g dan tentukan rumus g (x) = f (x
− 1)
(c) Gam Gambar bar grafik fungsi fungsi h dan tentukan rumus h (x) = f (2x) + 1 (d) Gam Gambar bar grafik fungsi fungsi H dan tentukan tentukan rumus H (x) = 2f ( x)
−
6. Diketahui Diketahui fungsi f dan g dengan ( x) = f (
x 2
1+x
; x 2 ; x < 2
≥
dan
g (x) =
5
1
−
; x < 0 2x ; x 0
≥
Tentukan f + + g dan g f beserta daerah definisi dan daerah hasilnya. hasilnya.
◦
7. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) =
1
2
−
; x 2 x ; x < 2
≥
Didefinisikan g (x) = f ( 4 + x ) dan dan h(x) = 2f (x)
|
|
− g(x), tentukan
(a) daerah daerah definisi dan daerah hasil fungsi g dan h (b) gam gambar bar grafik fungsi g dan h
2.4
Model Model Matem Matemat atik ika a
Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi fungsi atau persamaa persamaan) n) dari fenomena fenomena dunia dunia nyata nyata.. Tujuan ujuan model adalah adalah memahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan tentang perilaku di masa depan. Latihan Mandiri 2.4
1. Sebuah perahu meninggalkan meninggalkan dermaga pada pukul 14.00 dengan kecepatan kecepatan konstan. konstan. Pada pukul 16.00 perahu perahu sampai sampai di pulau pulau P yang yang berjarak berjarak 60 km dari dermaga dermaga.. Nya Nyatak takan an jarak jarak , S , sebagai fungsi linear dari waktu, t. Gambarkan grafik fungsinya. 2. Sebuah Sebuah balon berbentuk berbentuk bola dengan dengan jari-jari jari-jari r meter, mempunyai mempunyai isi 1 2 entukan fungsi yang menyatakan menyatakan banyaknya banyaknya udara yang V (r) = 3 πr . Tentukan diperlukan untuk menggelembungkan balon dari jari-jari r meter meter ke jari jari (r + 1) meter. meter. 3. Menurut Menurut penelitian, penelitian, lingka lingkarr (garis (garis tengah) tengah) batang batang pohon jati, P , yang yang tumbuh tumbuh di tanah dengan kesubura kesuburan n tertent tertentu u akan akan mem membesar besar menurut menurut umur pohon jati, t , tersebut tersebut sebaga sebagaii berikut. berikut. Pada Pada umur umur kurang kurang dari 3 tahun, garis tengah batang pohon jati tumbuh linear dengan laju 5 cm 33
per tahun. tahun. Pada Pada umur umur 3 sampai sampai dengan dengan 10 tahun tahun garis garis tengah tengah batang batang pohon jati membesar secara linear dengan laju 20 cm per tahun, dan pada umur lebih dari 10 tahun garis tengah batang pohon jati bertambah secara linear dengan laju 2 cm per tahun. (a) Tentukan entukan fungsi garis tengah batang pohon jati, P , terhadap umur pohon , t. (b) Gambarkan Gambarkan grafik P (t) (c) Berapa Berapa garis garis tengah tengah batang batang pohon jati jati yang yang berumur berumur 2 tahun, tahun, 8 tahun, dan 12 tahun. 4. Sebuah toko bahan bangunan menerapkan menerapkan diskriminasi diskriminasi harga batu merah kepada kepada pembeliny pembelinya, a, maksudny maksudnyaa adalah adalah total uang yang yang harus dibayar, dibayar, B , tergantung dari banyaknya genteng, x , yang dibeli dengan aturan sebaga sebagaii berikut. berikut. Jika Jika membeli membeli kurang kurang dari 100 batu batu merah merah,, pembeli pembeli harus membay membayar ar harga per buah batu merah 1000 rupiah. rupiah. Jika Jika membeli 100 sampai dengan 500 batu merah, harga batu merah per buah didiskon 5%, dan jika membeli lebih dari 500 batu merah maka harga batu merah per buah didiskon didiskon 10%. (a) Nyatakan Nyatakan secara aljabar hubungan antara tingkat tingkat diskon, D , dengan banyaknya batu merah yang dibeli, x. (b) Berapa Berapa rupiah rupiah total uang yang harus dibayar dibayar jika membeli membeli 300 batu merah dan membeli 700 batu merah. (c) Nyatakan Nyatakan secara secara aljabar aljabar hubungan hubungan antara total uang yang yang harus dibayar, B , dengan banyaknya batu merah yang dibeli, x. (d) Gam Gambar bar grafik D(x) dan dan B (x).
34
3
Limit Limit dan dan Kek Kekon ontin tinuan uan Fungsi ungsi
Pokok Bahasan 1. Limit Fungsi Fungsi 2. Hukum Limit Limit 3. Kekontinuan Kekontinuan Fungsi Fungsi Prasyarat : Fungsi, daerah definisi definisi dan daerah hasil, hasil, operasi aljabar fungsi, fungsi, fungsi komposisi. Tujuan/sasaran Mahasiswa dapat 1. menjelaskan menjelaskan pengertian limit secara intuisi 2. menggunakan menggunakan teorema limit utama, teorema substitusi, substitusi, teorema jepit/apit, untuk menghitung limit fungsi. 3. merumuskan merumuskan definisi kekontinuan kekontinuan fungsi di satu titik dan kekontinuan kekontinuan pada selang. 4. menjelaskan menjelaskan dan menggunakan teorema nilai antara.
3.1 3.1
Limi Limitt Fungs ungsii
Limit Fungsi di Satu Titik Limit fungsi di satu titik menggambarkan perilaku fungsi jika peubah bebasnya mendekati suatu titik. Misal fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat c, kecuali mungkin di c. lim f (x) = L x−→c artinya apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan cara membuat nilai x cukup dekat ke c, tetapi x = c
Tugas 11
Diketahui fungsi f dengan 2 ; x =0 f (x) = 3 ; x = 0
lim f (x) = lim x−→0
x−→0
· · · = ·· · · · 35
Limit Satu Sisi Limit satu sisi menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau kanan. Ilustrasi Perhatikan Perhatikan fungsi f dengan
+ 1 ; ( )= 1 −+ 2 ;; x
f x
x
x2
≤ 0 ≤ 1 ≤ ≤ 4 x
0 < x 1 x
• nilai
sedekat mungkin ke ke 0 dengan cara mengambil mengambil x f (x) dapat dibuat sedekat cukup dekat ke 1 dari arah kiri, x = 1 , dilambangkan sebagai
lim f (x) = 0
x−→1−
• nilai
sedekat mungkin ke ke 3 dengan cara mengambil mengambil x f (x) dapat dibuat sedekat cukup dekat ke 1 dari arah kanan, x = 1 , dilambangkan sebagai
lim f (x) = 3
x−→1+
Theorem 3 lim f (x) = L x−→c
⇐⇒ ⇐ ⇒
lim f (x) = lim + f (x) = L x−→c
x−→c−
Tugas 12
Dengan memanfaatkan cara menentukan menentukan limit suatu fungsi yang sudah dipela jari di SMU dan pengetahuan limit satu sisi, maka tentukan lim − f (x), lim x−→1 x−→1+ 2 x ; x < 1 jika diketah diketahui ui f (x) = f (x) , dan lim f (x) jika 2x ; x 1 x−→1
≥
Limit Tak Hingga Limit tak hingga menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik. Ilustrasi
• Perhatikan fungsi f dengan lim f (x) =
x−→1
f (x) =
1
|x − 1|
∞
artinya nilai f (x) dapat dibuat dibuat besar tanpa tanpa batas (besar (besar tak hingga) dengan cara mengambil nilai x cukup dekat ke ke 1, tetapi x = 1 .
36
• Perhatikan fungsi f dengan lim f (x) = ∞ −→ lim f (x) = −∞ −→ 3.2 3.2
x
0+
x
0−
f (x) =
1 x
Huku Hukum m Limi Limitt
Theorem 4 (Teorema Limit Utama)
Misalkan k konstanta, n bilangan bulat positif, lim f (x) dan lim g (x) ada, x−→c x−→c maka 1. lim k = k x−→c 2. lim x = c x−→c 3. lim kf (x) = k lim f (x) x−→c x−→c 4. lim (f (x) + g (x)) = lim lim f (x) + lim lim g (x) x−→c x−→c x−→c 5. lim (f (x) x−→c
− g(x)) =
lim lim f (x)
x−→c
−
lim g (x)
x−→c
6. lim (f (x)g (x)) = lim lim f (x)lim g (x) x−→c x−→c 7. lim x−→c
( ) f x g (x)
lim f (x)
=
x−→c
lim g (x) x−→c
n
lim ( ) −→ ( ) = lim ( ) ; jika jika lim
8. lim (f (x))n = x−→c 9. lim x−→c
; jika jika lim g (x) = 0 x−→c
n
f x
x
n
c
f x
f x
x−→c
x−→c
f (x) > 0 untuk n genap
Bahan Diskusi
Selesa Selesaik ikan an lim ([ x ] + [ x ]) x−→2 Bagaimana anda menyelesaikan soal ini, dapatkah teorema limit utama digunakan sebagai sebagai alat untuk menyelesaik menyelesaikan an soal tersebut. Berikan Berikan alasan Anda.
||
|− |
37
Theorem 5 (Teorema Substitusi) Jika f fungsi polinom dan fungsi rasional, rasional, c dalam daerah daerah definisi fungsi f , maka
lim f (x) = f (c)
x−→c
Theorem 6 (Teorema Jepit/Apit) Jika f (x) g (x) h (x) berlaku pada x disekitar c (kecuali mungkin di lim h(x) = L , maka lim g (x) = L c) dan lim f (x) = lim
≤
x−→c
≤
x−→c
x−→c
Latihan Terbimbing 3.1 dan 3.2
1. lim (x2 + 1) x−→2 (Petunjuk : gunaka teorema substitusi)
√
2. lim (2 + x) x−→4 (Petunjuk : gunakan teorema limit utama, aturan penambahan) 3. lim [ x ] = x−→2 (Petunjuk : gunakan limit satu sisi)
| | · · · · · · · · ·
4. lim ([ x ] x) x−→0 (Petunjuk : gunakan limit satu sisi)
||
x3 + x + 1 5. lim x−→4 2x2 + 1 (Petunjuk : gunakan teorema substitusi) x2 + x = 2 6. lim x−→1 x2 1
−
(Petunjuk (Petunjuk : sederha sederhanakan nakan fungsinya fungsinya,, kemudian kemudian gunakan gunakan teore teorema ma substisubstitusi)
7.
lim
− 4 x−2
x2
x−→2
(Petunjuk (Petunjuk : sederha sederhanakan nakan fungsinya, fungsinya, kemudian kemudian gunakan gunakan limit satu sisi)
38
8.
√ −
lim x3 1 x−→−1 (Petunjuk : gunakan teorema limit utama, aturan akar)
√
9. lim x2 + 1 x−→1 (Petunjuk : gunakan teorema limit utama, aturan akar)
√
x2 + x 10. 10. lim lim x−→0 x + 1
(Petunjuk : cari daerah definisi, kemudian gunakan limit satu sisi)
11.
2 lim − = dan 2 x−→2 x (Petunjuk : limit tak hingga)
lim x−→2+ x
· · · · · · · · ·
−
2
− 2 = · · · · · · · · ·
2 − 1 ; ( )= 2− ; x
12. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f x Tentukan (jika ada)
x x2
x 1 1 < x < 2 x 2
≤ ≥
(a) (a) lim lim f (x) x−→0 (b) (b) lim lim f (x) x−→1 (c) (c) lim lim f (x) x−→2 13.
x2 + 1 lim − 1)(x + 1)3 x−→1 (x (Petunjuk : limit tak hingga)
−
14. 14. lim lim (x x−→1
2
− 1)
sin
π x
−1
Latihan Mandiri 3.1 dan 3.2
1. lim 3 + x x−→2
3
−x
1 − ; ( )= ( +−11); x
2. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f x Tentukan (jika ada)
39
x x
2
1 x 1 < x < 0 x 0
≤ − − ≥
(a)
lim f (x)
x−→−1
(b) (b) lim lim f (x) x−→0 (c) (c) lim lim f (x) x−→2 3.
4.
3 5x lim x−→−2 x + 1
−
x+1
lim x−→2+ x
−2
x+2 5. lim 2 x−→0 x (x 2)
−
6. lim x−→0 7.
√ x + 1 − √ 1 − x x
lim x−→1+
x2
− |x − 1| − 1 |x − 1|
8. lim x + x−→2 9. lim [ 2x ] x−→1 10. 10. lim lim x−→2 11. 11. lim lim x−→0
1 2
| | √ 1+ x−2 x+1
1 x 4+x
√
−
1 2x
√ x − x √ lim lim −→ 1 − x 2π lim lim |x| cos −→ x 2
12. 12. 13. 13. 14.
x
1
x
0
|x − 2| − [|x|]
lim x−→2+ x
40
3.3
Kekon Kekontin tinuan uan Fungsi ungsi
Kekontinuan Di Satu Titik Misalkan fungsi f terdefinisi pada pada selang I yang memuat c . dikatakan dikatakan kontinu kontinu di c jika
Fungs ungsii f
lim f (x) = f (c)
x−→c
atau, syarat fungsi f kontinu di c jika jika dijabarkan sebagai berikut 1. f (c) terdefi terdefinis nisii 2. lim f (x) ada x−→c 3. lim f (x) = f (c) x−→c Jika Jika ada dari 3 syara syaratt di atas tidak tidak dipenu dipenuhi, hi, maka maka dikata dikatak kan f tidak kontinu di c. Tugas 13
1. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f ( ( x) =
x2 x
−1 −1
(a) Periksa apakah apakah f kontinu di x = 1 (b) Beri alasan alasan 2. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f ( ( x) =
x +1 ; ; x2
x 1 x > 1
≤
(a) Periksa apakah apakah f kontinu di x = 1 (b) Beri alasan alasan 3. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f ( ( x) =
1
| x − 1|
(a) Periksa apakah apakah f kontinu di x = 1 (b) Beri alasan alasan
( ( ) = 5
4. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f x
x2 + x 2 ; x 1
(a) Periksa apakah apakah f kontinu di x = 1 41
−
−
;
x =1
x = 1
(b) Beri alasan alasan
Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan
• Misalkan fungsi
terdefinisi pada selang selang ( a, b]. Fungsi f dikatakan f terdefinisi kontinu kiri di b lim f (x) = f (b)
⇐⇒ −→ x
• Misalkan fungsi
b−
terdefinisi pada selang selang [ a, b). Fungsi f dikatakan f terdefinisi kontinu kanan di a lim f (x) = f (a)
⇐⇒ −→ x
a+
Kontinu Selang
1. Fungsi f dikatakan dikatakan kontinu kontinu pada selang terbuka terbuka ( a, b). jika f kontinu pada setiap titik pada selang tersebut. 2. Fungsi f dikatak dikatakan an kontin kontinu u pada selang selang tutup tutup [ a, b]. jika f kontinu pada setiap setiap titik titik pada selang selang terbuka terbuka ( a, b), f dikatakan dikatakan kontinu kontinu kiri di dikatakan kontinu kontinu kanan di a. b, dan f dikatakan Tugas 14
1. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f ( ( x) =
√ 4 − x
2. Periksa apakah apakah f kontinu di x = 4 3. Periksa apakah apakah f kontinu kontinu kiri di x = 4 4. Periksa apakah apakah f kontin kontinu u pada selang selang tutup tutup [1, 4] Bahan Diskusi
1. Jika Jika fungsi f kontinu kontinu di x = c, maka fungsi f kontinu kontinu kanan pada selang [c, d] Benarkah? beri alasan! 2. Jika Jika fungsi f kontinu kontinu kanan kanan pada selang [ c, d], maka fungsi f kontinu di x = c Benarkah? beri alasan!
42
1. Jik Jika a f dan g kontinu di c dan k konstanta, konstanta, maka fungsi
Theorem 7
+ g, f f +
− − g, fg, kf = 0. c asalkan g (c)
juga kontinu kontinu di c serta serta fungsi fungsi
f juga kontinu di g
2. Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah daerah definisinya (a) fungsi fungsi polinom polinom (b) fungsi fungsi rasional rasional (c) fungsi fungsi trigonometri trigonometri (d) fungsi fungsi akar Teorema Limit Fungsi Komposisi 3. Teorema
Jika
lim g (x) = L
x−→c
dan f kontinu kontinu di L, maka maka
lim f (g (x)) =
x−→c
f ( lim g (x)) = L x−→c
Teorema Kekontinuan Fungsi Komposisi 4. Teorema
Jika fungsi g kontinu di c dan fungsi fungsi f kontinu di g(c), maka fungsi komposisi f g kontinu di c
◦ ◦
Teorema Nilai Antara Antara 5. Teorema
Jika fungsi f kontinu pada pada selang tutup [a, b] dan bilang bilangan an w berada diantara f (a) dan (b), maka dijamin dijamin ada bilangan bilangan c antara a dan b sehingga f (c) = w
Untuk mempertajam pengertian konsep kekontinuan fungsi, bahaslah dengan anggota kelompok belajar Anda atau diskusikan saat kuliah soal-soal pada bahan diskusi dan soal-soal pada latihan terbimbing maupun pada latihan mandiri. Bahan Diskusi
1. Perhatikan Perhatikan Teorema Teorema Limit Fungsi Fungsi Komposisi. Jika Jika syarat cukup teorema teorema tersebut tersebut tidak tidak dipenuhi, dipenuhi, apakah apakah lim f (g(x)) tidak ada? beri alasan dan x−→c contoh kasusnya. 2. Perhatikan Perhatikan Teorema Teorema Kekontinuan Kekontinuan Fungsi Fungsi Komposisi. Jika syarat syarat cukup teorema tersebut tidak dipenuhi, apakah f g tidak kontinu di c? beri
◦ ◦
alasan dan contoh kasusnya. 43
Latihan Terbimbing 3.3
1. Diketahui Diketahui fungsi f dengan
( )= 21−+ √ x2
f x
; x < 1 ; 1 < x 4 x x ; x > 4
≤
(a) Periksa apakah apakah fungsi f kontinu di x = 0? beri alas alasan an (b) Periksa apakah apakah fungsi f kontinu di x = 1? beri alas alasan an (c) Periksa apakah apakah fungsi f kontinu di x = 4? beri alas alasan an 2. Tentukan entukan daerah kekontinuan kekontinuan fungsi f berikut dengan
√ 4 − x √ 1− x (b) f (x) = x−2
2
(a) f (x) =
Petunjuk Petunjuk : pandang pandang fungsi f sebagai fungsi hasil oparasi oparasi beberapa beberapa fungsi, sehingga gunakan aturan kekontinuan operasi operasi fungsi dalam menentukan daerah kekontinuan
3. Tentukan entukan konstanta a, b, c, dan d agar fungsi f kontinu pada
+ 3 −2 ( )= 2 −−17
ax2 b ; ; x c x2 ;
f x
R. dengan
x 0 0 < x 2 2 < x d x >d
≤ ≤ ≤
Petunjuk Petunjuk : periksa periksa kekontin kekontinuan uan di titik-titik titik-titik x = 0, x = 2, dan x = d 4. Diketahui Diketahui fungsi fungsi f den denga gan n lim lim f (x) = 2 dan fungsi fungsi g dengan g (0) = 3 x−→0 (a) Jika Jika f kontinu di x = 0, tentuk tentukan an (f + + g)(0) (b) Jika Jika g kontinu di x = 2 dan lim2 (g f ) (x)
x−→0
◦
5. Diketahui Diketahui fungsi f dan g dengan x 1 ; x =1 f (x) = x 1 0 ; x = 1
|
− − |
dan g(x) = x 2 + 1. Tentukan (jika ada) (a) (a) lim lim f (x) x−→1 (b) (b) lim lim (g f ) (x) x−→1
◦
44
lim g (x) =
x−→0
−5, maka tentukan
(c) kekontinuan kekontinuan fungsi g
◦ f
di x = 1
(d) (d) lim lim g (x) x−→0 (e) (e) lim lim (f g ) (x) x−→0 (f) kekontinuan kekontinuan fungsi f g di x = 0
◦ ◦
◦ ◦
6. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f (x) = x 3
2
− 4x − 5x + 9
(a) Periksa apakah apakah fungsi f kontin kontinu u pada pada selang selang [0, 4] (b) Buktika Buktikan n persamaan persamaan f (x) = 5 mempuny mempunyai ai penyelesa penyelesaian ian pada pada selang selang [0, 4] Petunjuk Petunjuk : periksa periksa dahulu dahulu syarat syarat cukup TNA, jika dipenuhi dipenuhi maka terbukti.
−
Latihan Mandiri 3.3
( )=
1. Diketahui Diketahui fungsi f dengan f x
x2 9 x+3
−
2
(a) Periksa apakah apakah fungsi f kontinu di x =
x=
−3 x = −3
−3?
beri ala alasan san
(b) Periksa apakah apakah fungsi f kontinu di x = 1? beri alas alasan an 2. Tentukan entukan daerah kekontinuan kekontinuan fungsi f dengan x 1 x2 + 4
− √ x x−1 (b) f (x) = x −4 5 √ (c) f (x) = 5 − x − 16 (a) f (x) =
2
2
45
3. Tentukan entukan konstanta A dan B agar fungsi f kontinu di x = di x = 2 Ax + B ; x< 1 3 x +2 1 x 2 f (x) = Bx 2 A x > 2
||
−
−1
dan
− − ≤ ≤
4. Buktika Buktikan n bahwa bahwa ada bilangan bilangan c yang memenuhi memenuhi persamaan c3 + c 2 = 1 + 2c 5. Diketahui Diketahui fungsi f dan g dengan
−1 ; ( )= 23 −− 3 ;;
f x
g(x) =
x
x+1 ;
−1 ≥ −1
x< x
x > 3 x 3
≤
(a) Tentuk entukan an (jika (jika ada) lim g (x) x−→3 (b) Periksa apakah apakah f kontin kontinu u di x =
−1
(c) Tentuk entukan an (jika (jika ada) lim (f g ) (x) x−→3 (d) Periksa Periksa kekon kekontin tinuan uan fungsi fungsi f g di x = 3
◦ ◦
◦ ◦
(e) Tentuk Tentukan an (jika (jika aada) da) lim f (x) x−→−1 (f) Periksa Periksa apakah apakah g kontin kontinu u di x = 3 (g) Tentuk Tentukan an (jika (jika aada) da) lim (g f ) (x) x−→−1 (h) Periksa Periksa kekon kekontin tinuan uan fungsi fungsi g f di x =
◦ ◦
46
−1
