MODUL PEMBINAAN OLIMPIADE BIDANG KOMPUTER (OSK/OSP/OSN)
Oleh :
Anifuddin Azis, S.Si., M.Kom.
BAB I PENDAHULUAN
Selain sebagai ajang prestasi tingkat nasional, OSN bertujuan juga untuk mendapatkan calon peserta pembinaan dan seleksi lebih lanjut hingga dipilih empat siswa terbaik untuk menjadi anggota TOKI (Tim Olimpiade Komputer Indonesia). Mereka itulah yang akan mewakili negara dan bangsa untuk bertanding di tingkat dunia yaitu International Olympiad in Informatics (IOI). IOI adalah ajang kompetisi pemrograman di tingkat Internasional yang sudah berlangsung sejak 1985. Indonesia mulai mengikuti IOI sejak 1995. Saat ini IOI diikuti oleh 80-an negara (termasuk semua negara maju) sehingga IOI merupakan lomba paling akbar dalam bidang ini untuk tingkat SMA. Dalam perjalanannya problem-problem yang diberikan mengalami peningkatan tingkat kesulitannya terutama sejak akhir tahun 90-an, hingga pada saat ini pemrograman hanya satu aspek kecil semata di dalam lomba ini. Dengan demikian, aspek utama yang diuji adalah kemampuan menyelesaikan masalahnya sendiri. Sehingga bisa dikatakan bahwa kompetisi IOI adalah menguji kemampuan peserta dalam problem solving dengan pemrograman komputer. Setiap peserta dalamwaktu yang amat terbatas harus mengerjakan sejumlah masalah yang diberikan dengan menyusun program yang menyelesaikan masalah tersebut. Proses seleksi OSN bidang Komputer idealnya adalah mengacu model IOI di atas yaitu problem solving dengan pemrograman. Namun, berbeda dengan bidang OSN lain seperti Fisika, Matematika, Matematika, Kimia dan Biologi, bidang Informatika khususnya khususnya pemrograman pemrograman belum menjadi pelajaran resmi. Oleh sebab itu, materi uji IOI “diterjemahkan” ke dalam materi yang menguji potensi akademis/skolastik tinggi yang relevan dengan aspek-aspek di atas. Diharapkan dari proses seleksi ini, siswa yang berpotensi walaupun belum mahir dalam pemrograman dapat terjaring untuk diberikan pembinaan yang intensif di Pelatnas. Aspek yang sangat bergantung pada ketrampilan peserta dalam pemrograman dikurangi dan digantikan dengan materi uji “analisa dan logika” dan materi uji kemampuan algoritmika. Tingkatan seleksi OSK-OSP dibedakan atas komposisi dari ketiga komponen materi uji:
BAB I PENDAHULUAN
Selain sebagai ajang prestasi tingkat nasional, OSN bertujuan juga untuk mendapatkan calon peserta pembinaan dan seleksi lebih lanjut hingga dipilih empat siswa terbaik untuk menjadi anggota TOKI (Tim Olimpiade Komputer Indonesia). Mereka itulah yang akan mewakili negara dan bangsa untuk bertanding di tingkat dunia yaitu International Olympiad in Informatics (IOI). IOI adalah ajang kompetisi pemrograman di tingkat Internasional yang sudah berlangsung sejak 1985. Indonesia mulai mengikuti IOI sejak 1995. Saat ini IOI diikuti oleh 80-an negara (termasuk semua negara maju) sehingga IOI merupakan lomba paling akbar dalam bidang ini untuk tingkat SMA. Dalam perjalanannya problem-problem yang diberikan mengalami peningkatan tingkat kesulitannya terutama sejak akhir tahun 90-an, hingga pada saat ini pemrograman hanya satu aspek kecil semata di dalam lomba ini. Dengan demikian, aspek utama yang diuji adalah kemampuan menyelesaikan masalahnya sendiri. Sehingga bisa dikatakan bahwa kompetisi IOI adalah menguji kemampuan peserta dalam problem solving dengan pemrograman komputer. Setiap peserta dalamwaktu yang amat terbatas harus mengerjakan sejumlah masalah yang diberikan dengan menyusun program yang menyelesaikan masalah tersebut. Proses seleksi OSN bidang Komputer idealnya adalah mengacu model IOI di atas yaitu problem solving dengan pemrograman. Namun, berbeda dengan bidang OSN lain seperti Fisika, Matematika, Matematika, Kimia dan Biologi, bidang Informatika khususnya khususnya pemrograman pemrograman belum menjadi pelajaran resmi. Oleh sebab itu, materi uji IOI “diterjemahkan” ke dalam materi yang menguji potensi akademis/skolastik tinggi yang relevan dengan aspek-aspek di atas. Diharapkan dari proses seleksi ini, siswa yang berpotensi walaupun belum mahir dalam pemrograman dapat terjaring untuk diberikan pembinaan yang intensif di Pelatnas. Aspek yang sangat bergantung pada ketrampilan peserta dalam pemrograman dikurangi dan digantikan dengan materi uji “analisa dan logika” dan materi uji kemampuan algoritmika. Tingkatan seleksi OSK-OSP dibedakan atas komposisi dari ketiga komponen materi uji:
• Kemampuan K emampuan analitika/logika/aritmatika analitika/logika/aritmatika (nonprogramming) • Kemampuan algoritmika Kemampuan algoritmika (programming) Komponen uji pemrograman tidak mungkin untuk diadakan sehingga digantikan dengan kemampuan dan algoritmika saja. Metoda pengujiannya pun tidak bisa dihindari bersifat test obyektif (pilihan ganda). Metoda ini memang banyak sekali kelemahannya yaitu memungkinkan jawaban asal tapi benar, namun, memungkinkan pemeriksaan yang segera dan efisien. Dampak negatif tersebut bisa dikurangi dengan pembuatan soal dan pilihan jawaban yang dirancang dengan matang. Komposisi analitika/logika di tingkat kabupaten/kota adalah yang paling besar. Di tingkat propinsi pada dasarnya sama dengan di tingkat kabupaten/kota kecuali komposisi algoritmika diperbesar dan sifat tesnya diganti dari tes obyektif menjadi test essay. Ini adalah untuk memacu peserta yang lolos di tingkat kabupaten/kota untuk memperdalam pemahamannya dan ketrampilan prakteknya dalam pemrograman dan tidak asal benar tetapi benar-benar memahami algoritma dan pemrograman. Materi uji tingkat OSN adalah mirip dengan di tingkat IOI. Peserta yang lolos ke Tingkat Pelatihan Nasional (Pelatnas) diharapkan merupakan peserta yang memiliki kemampuan analitikal dan merancang algoritma yang tinggi. Referensi mengenai hal tersebut jauh lebih sulit ditemukan daripada referensi untuk pemrograman itu sendiri. (Sumber : TOKI, Buku Panduan Olimpiade Sains Bidang Komputer)
BAB II ANALISA LOGIKA
Dalam pemodelan masalah pemrograman selain dengan model aritmatika, juga keterhubungan antara entitas/aspek dalam masalah perlu dipahami secara relational untuk mendapatkan model algoritmis yang lebih akurat. Kemampuan analitis tsb diperlukan dalam menghasilkan model keterhubungan/relasional tsb. Sayangnya tidak ada metodologi yang sistematik karena pada dasarnya sangat bergantung pada kreatifitas peserta uji. Namun, ada kesamaan umum dalampemecahan masalahnya, yaitu : • penggunaan model diagram sangat membantu untuk menggambarkan keterhubungannya secara menyeluruh berdasarkan keterhubungan yang fragmental (dari pernyataanpernyataan terpisah atau asumsi-asumsi yang dibuat), • keterhubungan itu sendiri seringkali bersifat implisit sehingga perlu pemahaman yang hati-hati dan perlu pemahaman akan gaya bahasa “penceritaannya”, • khususnya untuk asumsi yang dibuat segera dieliminasi jika kontradiksi dengan model diagram, dan • model diagram yang telah dibentuk perlu diverifikasi (dikaji ulang) dengan pernyatanpernyataan yang diberikan agar terjaga konsistensi, dan • Selalu berpikir adanya kemungkinan yang tertinggal atau tersamar yang belum dikaji ke dalam model
Contoh : 1. Terdapat 7 bilangan bulat A, B, C, D, E, F, dan G yang jika diurutkan membentuk deret bilangan cacah berurutan (misalnya 4,5,6,…) dengan pernyataan-pernyataan dengan pernyataan-pernyataan berikut: (1) D berharga 3 kurangnya dari A (2) B adalah angka di tengah jika semua diurutkan (3) Kurangnya F dari B = kurangnya D dari C (4) G lebih besar dari F Jika diurutkan, urutannya adalah?
Untuk memudahkan urutan tsb misalnya [x1 – [x1 –x2 x2 –x3 –x3 –x4 –x4 –x5 –x5 –x6 –x6 –x7] –x7] Dari perny. (2) diketahui x4=B, maka menjadi [x1 – [x1 –x2 x2 –x3 –x3 –B –B –x5 –x5 –x6 –x6 –x7] –x7]
Dari perny. (3) F berada di ruas sebelah kiri B (bisa x1, x2 atau x2). Jika F=x1 maka D adalah x2 dan C adalah x5 ([F –D –x3 –B –C –x6 –x7]), atau D adalah x3 dan C adalah x6 ([F –x2 –D –B –x5 –C –x7]). Akan tetapi dari perny. (1) membatalkan kedua kemungk. asumsi ini karena A harus berada 3 posisi di kanan D yang sudah ditempati C. Jika F=x2 maka D adalah x1 dan C adalah x3 ([D –F –C –B –x5 –x6 –x7]), atau D adalah x3 dan C adalah x5 ([x1 –F –D –B –C –x6 –x7]), atau D adalah x5 dan C adalah x7 ([x1 –F –x3 –B –D –x6 –C]). Akan tetapi dari perny. (1) hanya yang kedua yang mungkin karena yang pertama posisi A = posisi B atau yang ketiga posisi A berada di luar (setelah x7). Untuk sementara [x1 –F –D –B –C –A –x7] dicatat sebagai salah satu solusi. Jika F=x3 maka D adalah x1 dan C adalah x2 ([D –C –F –B –x5 –x6 –x7]), atau D adalah x5 dan C adalah x6 ([x1 –x2 –F –B –D –C –x7]), atau D adalah x6 dan C adalah x7 ([x1 –x2 –F –B –x5 –D –C]). tetapi dari (1) semua tidak mungkin (yang pertama posisi A = posisi B, kedua yang lain posisi A ada di luar). Jadi ternyata hanya tinggal satu kemungkinan yaitu [x1 –F –D –B –C –A –x7]. Dari perny. (4) diperoleh G=x7, sehingga diperoleh juga E=x1. Hasilnya diketahui urutannya adalah E, F, D, B, C, A, G
2. Delegasi-delegasi dari negara W dan negara R duduk berhadap-hadapan pada meja perundingan. Masing-masing delegasi terdiri atas seorang ketua, dua atase militer dan dua wakil kamar dagang negara masing-masing. Delegasi W beranggotakan A, B, C, D, dan E. Delegasi R beranggotakan F, G, H, I, dan J. Masing-masing delegasi berada pada sisi-sisi memanjang berlainan (satu negara pada sisi yang sama dan ketua duduk di tengah delegasinya). Batasan dalam mengatur urutan duduk mereka: (1) Delegasi W menempatkan A dan B di kedua ujung barisannya. (2) Kuping kanan G tuli shg ia harus paling kanan dari delegasi R. (3) Baik D maupun F bukan ketua. (4) Para atase militer W, salah seorangnya B, didudukkan berdampingan, dan
tidak ada satupun yang berseberangan dengan atase militer R (5) G bukan atase militer. (6) C wakil dari kamar dagang, duduk berseberangan dengan H.
Manakah yang paling mungkin mengenai F berikut? (A) Wakil kamar dagang yang duduk di sebelah I (B) Wakil kamar dagang yang duduk di sebelah H (C) Wakil kamar dagang yang duduk berseberangan dengan B (D) Atase militer yang duduk di sebelah I (E) Atase militer yang duduk di sebelah J
Seperti pada contoh sebelumnya, dibuat diagram sbb x1 –x2 –x3 –x4 –x5 negara W y1 –y2 –y3 –y4 –y5 negara R Dari (1) kemungkinan {x1,x5} adalah {A,B} atau {B,A} Dari (2) maka y5=G yang karena pernyataan (4) dan (5) (G bukan a.m dan B adalah a.m) menyebabkan x5=B, sehingga (atase militer dengan bold) A –x2 –x3 –x4 –B
y1 –y2 –y3 –y4 –G
Dari pernyataan (6) dan (4) diperoleh C = x2 dan y2 = H, sehingga A –C –x3 –x4 –B
y1 –H –y3 –y4 –G Dari pernyataan (3) dan diagram di atas D = x4 dan F = y1 atau y4 A –C –E –D –B
y1 –H –y3 –y4 –G Jadi tinggal 2 kemungkinan F=y1 (atase militer), atau F=y4 (wakil kamar dagang). Jika atase militer maka (D) dan (E) salah karena sebelah y1 adalah H. Jika wakil kamar dagang maka (B) salah karena H atase militerdan (C) salah karena B ada di depan G. Jadi tinggal pilihan (A) yang paling mungkin. (Note: ini bukan satu-satunya kemungkinan. Kemungkinan lainnya masih adatapi tidak ada di kelima pilihan itu).
(Sumber : TOKI, Buku Panduan Olimpiade Sains Bidang Komputer)
Latihan : 1. Fredy, Cindy, dan Sandy masing-masing memiliki dua ekor hewan peliharaan. Salah satu diantara mereka tidak memelihara anjing. Cindy satu-satunya yang memiliki kucing. Sandy memelihara anjing. Fredy dan cindy masing-masing memelihara kelinci. Siapa yang memlihara kura-kura ? 2. Terdapat 7 bilangan bulat A-G, yang jika diurutkan membentuk deret bilangan cacah berurutan dengan pernyataan-pernyataan berikut ini: a. D berharga 3 kurangnya dari A b. B adalah angka di tengah bila semua diurutkan c. Kurangnya F dari B = kurangnya D dari C d. G lebih besar dari F Bila diurutkan, urutannya adalah ?
Di sebuah daerah, ada tepat 5 buah sungai, bernama A, B, C, D, E dan tepat 5 buah kota, bernama F, G, H, I, J. Kota F, H, dan J masing-masing dialiri oleh 3 buah sungai. Sungai B, C, dan D masing-masing mengaliri 2 buah kota. Kota I hanya dialiri oleh sungai B dan E, dan kota G hanya dialiri oleh sungai D dan A. Jika sebuah sungai yang mengaliri sebuah kota meluap, maka kota tersebut akan kebanjiran. 3. Jika ada tepat 4 kota yang kebanjiran, berapa jumlah minimal sungai yang meluap? 4. Jika semua sungai-sungai yang mengaliri kota F meluap, berapa banyak minimal kota yang kebanjiran? 5. Jika kota H dialiri oleh sungai A, C, dan E, sungai manakah yang tidak mugkin mengaliri F dan J sekaligus? 6. Jika sungai A mengaliri tepat 4 kota di daerah tersebut, berapa kota yang dialiri oleh sungai E?
Sebuah alat musik baru sedang dibuat.Musik hanya akan membunyikan 5 nada saja; do, re,mi, fa dan sol. Terdapat dua tombol untuk membunyikan nada-nadanya: tombol merah dan tombol putih.Nada yang akan dibunyikan saat penekanan suatu tombol tergantung pada nada sebelumnya dan tombola apa yang ditekan. Pada saat dihidupkan alat musik dalam keadaan reset. Seperti tabel berikut (sementara, pada saar dihidupkan maka mesin akan langsung membunyikan nada do).
Nada
Setelah menekan tombol merah
Sebelumnya
Setelah
menekan
tombol
putih
Do
Mi
Re
Re
Fa
Mi
Mi
Fa
Mi
Fa
Sol
Fa
Sol
mi
Do
7. Jika ditekan 7 kali tombol putih setelah dihidupkan maka nada apa yang terakhir terdengar? 8. Sejak nada do terakhir terdengar sedikitnya berapa kali penekanan yang harus dilakukan agar nada do kembali muncul?
BAB III ARITMATIKA
Sekali lagi, walaupun mengambil topik mengenai aritmatika, aspek terpenting dari materi ini bukan pada hitung menghitungnya tetapi pada uji kemampuan analitisnya. Aspekaspek analitis dalam persoalan aritmatika dijelaskan pada bagian berikut ini (Sumber : TOKI, Buku Panduan Olimpiade Sains Bidang Komputer).
1. Mampu Membentuk Model Aritmatika/Matematika serta melakukan deduksi/induksi Model Dalam problem solving, seringkali diperlukan tahapan pemodelan masalah yang sebagian menggunakan model matematika/aritmatika dan menyederhana-kannya sehingga menjadi model yang lebih sederhana dan siap dikomputasikan dalam bentuk algoritma. Model yang tidak tepat berakibat pada kegagalan dalam pemecahan masalah. Contoh: Uang Amir lebih banyak dari uang Ali. Jika dijumlahkan uang keduanya lebih dari 50 ribu rupiah, sementara selisih uang Amir dengan uang Ali lebih dari 30 ribu rupiah. Berapakah kemungkinan uang Amir yang paling tepat? Model permasalahan: Uang Amir = x, Uang Ali = y, dan dari deskripsi di atas • Pers-I: x > y • Pers-II: x+y > 50000 • Pers-III: |x-y| > 30000 Dari Pers-I dan Pers-III: menghasilkan Pers-IV: x-y > 30000 Dari Pers-II dan Pers-IV: jika dijumlahkan menghasilkan 2x>80000. Maka, x > 40000
2. Memahami Sifat-sifat Bilangan Untuk sejumlah masalah, sifat-sifat dari bilangan harus dipahami secara logis Contoh: Jika n dan p adalah dua bilangan bulat, dan n + p berharga ganjil, manakah dari berikut ini bil ganjil? (A) n – p + 1
(B) np (C) n2 + p2 – 1 (D) 3 p + 5n (E) ( p – n)(n – p) A bukan, karena ( n+ p) adalah ganjil maka dari n dan p salah satu ganjil dan yang lain genap. Selisih antara n dan p pasti ganjil sehingga jika ditambah 1 menjadi genap. B bulan karena perkalian antara suatu bilangan genap dengan bilangan apapun akan menjadi genap. C bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan genap, tetap genap, dan ganjil tetap ganjil, kemudian ganjil ditambah genap dan dikurang ganjil menjadi genap. D bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan ganjil tetap bilangan ganjil, dan jumlah dua bilangan ganjil menjadi genap. E benar, karena perkalian antara dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan ganjil.
3. Mengkaitkan dengan Konteks Masalah Konteks dari soal perlu diperhatikan dan konteks tersebut kadang-kadang hanya tersirat saja. Yang dimaksud dengan konteks di sini adalah pemahaman umum akan sesuatu yang sewajarnya diketahui pula. Contoh: jika lonceng berdentang setiap 1 detik, dalam jumlah dentang yang sesuai waktu yang ditunjukkan, maka tepat pada pukul berapa dentang terakhir yang menunjukkan jam 6? Apakah pukul 6:00:06? Salah, seharusnya pukul 6:00:05 karena dentang-dentang tsb pada pukul 6:00:00, pukul 6:00:01, pukul 6:00:02, pukul 6:00:03, pukul 6:00:04 dan pukul 6:00:05!! Konteks disini adalah dentang pertama terjadi pada tepat pukul 6, dan penomoran detik/menit dimulai dari 0, 1, ... dst.
4. Memahami Formula Rekursif Banyak
masalah
pemodelan
dengan
tingkat
kesulitan
yang
tinggi
atau
pemrogramannya sendiri memerlukan pemecahan dengan algoritma rekursif. Pemahaman fungsi rekursif membantu dalam pemahaman memahami bagaimana bekerjanya algoritma rekursif.
Contoh: Jika didefinisikan f (n) = n f (n –1) untuk setiap n > 0 dan f (0) = 1, maka berapakah f (10)/( f (7) x f (6))?
Pahami perilaku fungsi rekursif tsb, sbb, f (n) = n. f (n –1) = n.(n –1). f (n –2) = n.(n –1).(n –2). f (n –3) = ... = n(n –1)(n –2)(n –
3)....2.1 = n! Sehingga, f (10) = 10! dan f (7) = 7! serta f(6) = 6!. 10!/7! = (10.9.8.7.6.5.4.3.2.1)/(7.6.5.4.3.2.1) = 10.9.8 Dan (10.9.8) /(6.5.4.3.2.1) = 1
5. Eksplorasi dalam Masalah Kombinatorik Dalam problem solving seringkali masalah yang diberikan bersifat kombinatorik (mendapatkan setiap kemungkinan kombinasi/permutasi jawaban). Untuk memecahkannya terkadang seluruh kemungkinan tersebut harus diperiksa untuk mendapatkan pemecahan yang umum.
A. Kaidah Menghitung Misalkan ada n percobaan, masing-masing dg pi hasil (Rinaldi Munir, 2005)
Kaidah perkalian (rule of product ) o
p1 p2 … pn hasil
Kaidah penjumlahan ( rule of sum) o
p1 + p2 … pn hasil
Contoh : Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang (a) semua angkanya berbeda (b) boleh ada angka yang berulang. Penyelesaian: (a) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9) posisi ribuan: 8 kemungkinan angka posisi ratusan: 8 kemungkinan angka posisi puluhan: 7 kemungkinan angka Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah. (b) posisi satuan:
5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9); posisi ribuan:
kemungkinan angka (1 sampai 9)
9
posisi ratusan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500
B. Permutasi Definisi. Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan
,
yang dalam hal ini pada setiap kemungkinan
urutan tidak ada elemen yang sama.
( )
Contoh 1:
Tulislah semua permutasi 3 objek {a, b, c} ! Penyelesaian :
Permutasi yang mungkin dari 3 objek {a, b, c} ada 3! = 6 kemungkinan yaitu : abc, acb, bac, bca, cba, cab. Contoh 2:
Suatu undian dilakukan s\dengan menggunakan angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit-digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dengan yang lain, ada beberapa kemungkinan nomor undian ? Penyelesaian :
Dalam undian tersebut, jelas urutan kemunculan angka-angka diperhatikan. Undian dengan nomor 1234567 akan berbeda dengan nomor 7654321. Karena digit-digitnya diharuskan selalu berbeda, maka banyaknya kemungkinan nomor undian adalah P (10,7)
10! 3!
10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604800 macam kemungkinan.
C. Permutasi dengan Ada Elemen yang Sama Secara umum, jika suatu himpunan terdiri dari n objek yang tersusun dari : n1 buah objek sama jenis-1
n2 buah objek sama jenis-2 .... .... nk buah objek sama jenis-k. dengan n1 + n2 + n3 +…+ nk = n Maka banyaknya permutasi berbeda yang mungkin dari n objek tersebut adalah :
n n1
n n1 n 2
n n1 n2 ... nk 1 n n1 n2 n! ........... nk n3 n1!n2!...nk !
Contoh 1 :
Ada berapa banyak cara yang mungkin dari kata MATEMATIKA ? Penyelesaian :
Kata MATEMATIKA terdiri dari 10 karakter huruf, yang tersusun dari : 2 buah huruf M 3 buah huruf A 2 buah huruf T 1 buah huruf E 1 buah huruf I 1 buah huruf K Sehingga banyaknya kemungkinan untuk membuat permutasi adalah :
10 ! 2 ! 3 ! 2 !1!1!11
10.9.8.7.6.5.4 1.2.1.2.1.1.1.1
elemen tersebut.
D. Kombinasi
604800 4
151200 banyaknya cara menyusun elemen-
Misalkan himpunan S mempunyai | S | = n elemen. Banyaknya himpunan bagian S yang terdiri dari k (k n) disebut kombinasi n objek yang diambil sebanyak k objek sekaligus.
n
Simbolnya adalah atau C(n, k) atau nCk. Banyaknya kombinasi yang dimaksud dapat k dinyatakan dalam persamaan C(n, k) C nk
n! (n - k)! k!
Contoh 1 :
Seorang pelatih bola basket akan memilih komposisi pemain yang akan diturunkan dalam suatu pertandingan. Ada 12 orang pemain yang dapat dipilihnya. Berapa macam tim yang dapat ia bentuk ? Penyelesaian :
Dalam memilih pemain yang akan diturunkan, urutan pemilihan tidaklah diperhatikan. Jadi, yang menjadi masalah hanyalah siapa yang dipilih. Tidak menjadi masalah apakah seorang pemain (katakanlah A) terpilih pertama ataupun terakhir. Hal ini berbeda dengan pemilihan ketua dan wakil ketua. Komposisi yang dibuat apabila seseorang (misalnya B) yang terpilih pertama (menjadi ketua) akan berbeda apabila B terpilih kedua (menjadi wakil ketua). Jadi banyaknya tim yang dapat dibentuk oleh pelatih tersebut adalah kombinasi 12 objek yang diambil 5 sekaligus adalah sebagai berikut:
12 12 ! 792 tim. 5 7 ! 5 ! E. Kombinasi dengan Pengulangan Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak .
Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola. Maka Jumlah cara memasukkan bola : C(n,r)
Masing-masing kotak boleh diisi lebih dari satu buah bola. Maka Jumlah cara memasukkan bola : C(n+r-1,r)= C(n+r-1,n-1)
Contoh :
Pada persamaan
Berapa jumlah
kemungkinan solusinya ? Penyelesaian : Kombinasi dengan pengulangan, jadi C(4+12-1,12) = 455 kemungkinan solusi. 6. Berpikir secara “Cerdas”
Jika menghadapi suatu masalah komputasi yang kelihatannya tidak mungkin, pasti ada sesuatu di balik itu!! Dapatkanlah dengan bantuan pemahaman akan sifat-sifat operasi aritmatika untuk mendapatkan model matematis yang lebih sederhana. Contoh 1: Berapa digit terakhir dari 2
2003
? Apakah anda ingin menghitungnya sendiri(secara manual)?
Tentu tidak, pasti ada penyederhanaannya. Dengan mengubah n=1, 2, 3, …, dst, perhitungan n
2 menghasilkan deret 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, dst. Amati angka terakhir dari setiap bilangan, kita mendapatkan perulangan dari 6 – 2 – 4 – 8 pada n mod 4 = 0, 1, 2, 3. Jadi jika n=2003, diperoleh 2003 mod 4 = 3, yaitu memiliki digit terakhir 8. Contoh 2: Ketiga digit awal dari hasil perkalian 2
2002
x 5
2005
jika dijumlahkan adalah? Ini juga tidak
mungkin dihitung manual. Perhatikan bilangan dasarnya 2 dan 5 yang jika dikalikan menjadi 10. Karena setiap pasang faktor 2 dan 5 menghasilkan 10 berarti hanya menambah 0 di digit terkanan. Ada 2002 pasang faktor-faktor tsb sehingga 2
2002
x 5
2005
3
2002
= 5 x 10
= 125 x 10
2002
.
Penjumlahan tiga digit awal 1+2+5=8 Contoh 3: Hitunglah (80! x 38!) /(77! x 40!). Menggunakan sifat sbb untuk a dan b bulat positif, a > b, maka a!/b! = a.(a – 1).(a – 2)…(b 1). Maka: (80! x 38!) /(77! x 40!) = (80!/77!) / (40!/38!) = (80x79x78) / (40x39) = (80/40) x (78/39) x 79 = 2 x 2 x 79 = 316 yang dapat dihitung tanpa kalkulator.
Latihan
7001
1.
Digit terakhir dari 2
adalah?
2.
Jika 2 x 5 = 4x5 = 20 memiliki digit 2 dan 0 sehingga jumlahnya adalah 2+0=2. Maka
2
berapakah jumlah semua digit untuk nilai 2 3.
2005
2007
x5
?
Jika 4!=4x3x2x1=24. Maka nilai digit terakhir dari (1!2!3!4!….999!) dikalikan
dengan 7 adalah? 2007
x 3005
2008
4.
Nilai dari 2002
dibagi 100 menghasilkan sisa pembagian?
5.
Suatu seri angka terdiri dari 4 10 8 14 12 18 angka selanjutnya adalah…
6.
Hasil dari 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... + 1000 adalah?
7.
Sebanyak 3/5 dari peserta kompetisi Pemrograman dan Logika adalah pria. Sebanyak
¼ peserta adalah wanita yang belum memiliki pacar. Bila ada 42 orang peserta wanita yang sudah memiliki pacar, maka jumlah seluruh peserta kompetisi tersebut adalah … orang. 8.
Usia seorang ayah sekarang adalah tiga kali usia anaknya. Dua belas tahun yang lalu
usia ayah enam kali usia anaknya. Tentukan usia mereka saat ini. 9.
Wagimin menghabiskan
1 6
masa hidupnya sebagai anak,
pemuda, kemudian menikah setelah umurnya bertambah
1 7
1 12
hidupnya sebagai
hidupnya. 5 tahun kemudian,
anaknya lahir. Namun sayangnya, anaknya mati muda. Umur anak Wagimin hanya setengah dari umur bapaknya. Karena depresi yang berat setelah kematian anaknya, 4 tahun kemudian Wagimin pun meninggal. Berapa umur Wagimin sebenarnya ? (OSN 2010) 10.
Berapa banyak bilangan yang bisa dibagi 8 atau enam diantara satu hingga 2010?
11.
Berapa banyaknya bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999
itu sendiri) yang semuanya angka berbeda? 12.
Seorang tukang cat dapat mengerjakan pengecatan suatu ruangan dalam x jam.
Tepat pada jam ke 2, catnya habis sehingga terpaksa menunggu kaleng cat berikutnya yang sedang dipesan. Berapa bagiankah pekerjaan yang belum ia selesaikan? 13.
Sebuah lembaga sepak bola mengadakan survey kepada para pelajar di sebuah
sekolah, untuk mengetahui seberapa populer olahraga sepak bola di antara remaja putra dan putri. Dari 100 pelajar yang disurvey, ternyata banyaknya remaja putra yang menyukai sepak bola sama banyak dengan banyaknya remaja putri yang tidak menyukai sepak bola, dan perbandingan antara banyaknya remaja putra yang menyukai sepak bola dan tidak
menyukai sepak bola adalah 3 : 1.Jika 52% pelajar yang disurvey adalah putri, ada berapa pelajar putri yang menyukai sepak bola? 14.
Sebuah truk pengangkut kelapa mengangkut sejumlah kelapa dan mengantarkannya
ke beberapa pos. Setiap kali truk berhenti di sebuah pos, truk wajib menurunkan separuh muatannya (dibulatkan ke bawah). Sebagai imbalannya, pos tersebut akan menambahkan satu butir kelapa ke dalam muatan truk. Jika pada awalnya sebuah truk mengangkut 10000 butir kelapa, berapakah jumlah kelapa yang tersisa di muatan truk ketika truk tersebut tiba di pos ke 60?
15.
Sebuah kereta bergerak meninggalkan sebuah stasiun dengan kecepatan 40 mil/jam.
Dua jam kemudian sebuah kereta yang lainnya berangkat dari stasiun yang sama dengan kecepatan 60 mil/jam. Ketika kereta kedua dapat menyusul kereta yang pertama, berapakah jaraknya dari stasiun ?
16.
Dari 100.000 bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang
mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5 ?
17.
Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf- huruf kata “CONGRESS”
sedemikian hingga dua buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?
18.
Pada persamaan
,
maka
banyaknya solusi adalah…
19.
Berapa banyak cara memasang 10 pesawat telepon di 10 ruang kantor, jika pesawat
telepon terdiri dari 4 berwarna merah, 3 warna putih, dan 3 warna biru ? 20.
Sebuah data disimpan dalam 8 bit (0 dan 1), misal : 11110101. Ada berapa banyak
data 8 bit yang dimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11 ?
BAB IV STRUKTUR DASAR ALGORITMA
1. Struktur Runtunan Sebuah runtunan (sequence) terdiri dari satu atau lebih instruksi. Tiap instruksi dikerjakan sesuai dengan urutan penulisannya, yakni sebuah instruksi dilaksanakan setelah instruksi sebelumnya selesai dilaksanakan. Urutan instruksi menentukan keadaan akhir program. Bila urutannya diubah, maka hasil akhirnya mungkin juga berubah. Contoh berikut adalah program menukar dua buah nilai integer A dan B. Misal sebelum penukaran nilai A = 5, nilai B=3. Setelah penukaran, nilai A=3, nilai B=5. Program Tukar; VAR A,B, temp : integer; Begin write(’Masukkan nilai A :’); readln(A); write(’Masukkan nilai B :’); readln(B); temp:=A; A:=B; B:= temp; writeln(’ Nilai A sekarang = ’, A); writeln(’Nilai B sekarang = ’, B); End.
Jika urutan instruksi di atas diubah, maka hasilnya juga berubah. Misal : temp:=A; A:=B; B:= temp; diubah menjadi : temp:=A; B:= temp; A:=B;
2. Struktur Pemilihan
Pada umumnya, masalah yang akan diselesaikan memiliki beberapa alternatif pelaksanaan aksi. Suatu aksi akan dilaksanakan jika persyaratan atau kondisi dipenuhi. Kondisi adalah sesuatu yang bernilai true atau false, disebut kondisi boolean. Contoh kondisi : x>y m=n k mod 4 = 0 not(ketemu)
Penentuan kondisi bolean dan aksi yang dilakukan bergantung pada jumlah kasus yang terdapat pada masalah tersebut : satu kasus, dua kasus, atau lebih dari dua kasus. Bentuk umum untuk kasus satu kasus : if kondisi then aksi ; Contoh program dengan satu kasus : Program BilanganGenap; Var Bil : integer; Begin write (‘Masukkan bilangan :’); readln(Bil); if bil mod 2 = 0 then write (Bil,’ adalah bilangan genap’); end.
Bentuk umum untuk kasus dua kasus : if kondisi then aksi1 else aksi 2;
Contoh program dengan dua kasus : Program BilanganGenapGanjil; Var Bil : integer; Begin write (‘Masukkan bilangan :’); readln(Bil);
if bil mod 2 = 0 then write (Bil,’ adalah bilangan genap’) else write (Bil,’ adalah bilangan ganjil’); end.
Bentuk umum untuk kasus tiga kasus atau lebih : if kondisi1 then aksi1 else if kondisi2 then aksi2 if kondisi3 then aksi3 .... else aksiN;
Contoh program dengan tiga kasus atau lebih: Program KonversiNilai; {Program untuk merubah nilai angka menjadi nilai huruf} Var Nilai : integer; Begin write (‘Masukkan bilangan :’); readln(Nilai); if Nilai>= 80 then write (‘Nilai =A’) else if Nilai>= 65 then write (‘Nilai = B’) else if Nilai>= 50 then write (‘Nilai = C’) else if Nilai>= 35 then write (‘Nilai = D’) else write (‘Nilai = E’); end.
Untuk masalah dengan tiga kasus atau lebih, struktur Case dapat menyederhanakan penulisan If-Then-Else yang bertingkat-tingkat seperti contoh di atas.
Struktur Case sebagai berikut : Case (nama_variabel) of nilai1 : aksi1; nilai2 : aksi2; ... nilaiN : aksiN; else aksiN1;
Contoh program KonversiNilai menggunakan struktur Case : Program KonversiNilai; {Program untuk merubah nilai angka menjadi nilai huruf} Var NilaiAngka : integer; Begin write (‘Masukkan bilangan :’); readln(NilaiAngka); Case NilaiAngka of 80..100 : write(‘Nilai = A’); 65..79 : write(‘Nilai = A’); 50..64 : write(‘Nilai = A’); 35..49 : write(‘Nilai = A’); 0..34 : write(‘Nilai = A’); else write(‘ Masukkan nilai salah’); end.
Nilai bisa berupa nilai tunggal atau beberapa nilai yang disebutkan satu per satu, atau bisa juga berupa jangkauan nilai.
3. Struktur Pengulangan Struktur pengulangan secara umum :
awal pengulangan badan pengulangan akhir pengulangan Awal dan akhir pengulangan tergantung pada struktur pengulangan yang digunakan. Terdapat tiga macam struktur pengulangan, yaitu : 1. Struktur FOR 2. Struktur WHILE 3. Struktur REPEAT
Struktur FOR Bentuk umum struktur FOR ada dua macam, yaitu : menaik atau menurun.
FOR menaik : for pencacah := awal to akhir do aksi; Keterangan : a. Pencacah haruslah dari tipe data yang memilik predecessor dan successor, yaitu integer, karakter, subrange, dan enumerasi. b. Aksi adalah satu atau lebih instruksi yang diulang. Jika ada lebih dari satu aksi, maka dimulai dengan pernyataan BEGIN dan diakhiri dengan END; . c. Nilai awal lebih kecil atau sama dengan nilai akhir. d. Pada mulanya, pencacah diinisialisasi dengan nilai awal, kemudian secara otomatis bertambah satu, sampai akhirnya nilai pencaca sama dengan nilai akhir. e. Jumlah pengulangan adalah nilai akhir-nilai awal + 1.
Contoh program menghitung nilai faktorial. Program HitungFaktorial; Var i,n : integer; Faktorial : longint; Begin write(‘Nilai faktorial berapa ?’); readln(n); Faktorial :=1;
For i:= 1 to n do Faktorial :=Faktorial * i; write(‘Nilai faktorial ‘,N,’ adalah =’,Faktorial); end.
FOR menurun : Bentuk umum : for pencacah := akhir downto awal do aksi; Keterangan : a. Pencacah haruslah dari tipe data yang memilik predecessor dan successor, yaitu integer, karakter, subrange, dan enumerasi. b. Aksi adalah satu atau lebih instruksi yang diulang. Jika ada lebih dari satu aksi, maka dimulai dengan pernyataan BEGIN dan diakhiri dengan END; . c. Nilai awal lebih kecil atau sama dengan nilai akhir. d. Pada mulanya, pencacah diinisialisasi dengan nilai akhir, kemudian secara otomatis berkurang satu, sampai akhirnya nilai pencaca sama d engan nilai awal.. e. Jumlah pengulangan adalah nilai akhir - nilai awal + 1.
Struktur WHILE Bentuk umum struktur WHILE : while kondisi do aksi;
Aksi akan dilaksanakan berulangkali selama kondisi bernilai true. Contoh program menghitung nilai faktorial : Program HitungFaktorial; Var i,n : integer; Faktorial : longint; Begin write(‘Nilai faktorial berapa ?’); readln(n); Faktorial :=1; i:=1;
While i<=n do begin Faktorial :=Faktorial * i; i:=i + 1; end; write(‘Nilai faktorial ‘,N,’ adalah =’,Fa ktorial); end.
Struktur REPEAT Bentuk umum struktur REPEAT : Repeat aksi; Until kondisi;
Aksi akan dilaksanakan berulangkali sampai kondisi bernilai true. Contoh program menghitung nilai faktorial : Program HitungFaktorial; Var i,n : integer; Faktorial : longint; Begin write(‘Nilai faktorial berapa ?’); readln(n); Faktorial :=1; i:=1; Repeat Faktorial :=Faktorial * i; i:=i + 1; Until i > n; write(‘Nilai faktorial ‘,N,’ adalah =’,Faktorial); end.
Latihan 1. Perhatikan algoritma di bawah ini:
Jika diberikan a, b, c ketiganya adalah 1, maka jika nilai n adalah 20, nilai satuan dari d pada akhir algoritma adalah ... 2. Diberikan algoritma berikut:
Banyaknya karakter '*' yang dicetak ke layar adalah ... 3. Perhatikan potongan program berikut berikut ini : for i := 1 to n do begin case x of 1 : x:= (x+22) mod 6; 2 : x := x*2; 3 : dec(x); 4 : x:= 5-x; 5 : x:= x shr 1 + 1; else x := (x*4) mod 5 + 1; end; writeln(x); end; a. Berapa nilai x yang dicetak terakhir, jika harga mula-mula x = 31 dan n = 1000 ? b. Berapa kali angka 5 muncul pada pencetakan yang dilakukan jika harga mula-mula x = 103 dan n = 100 ?
Perhatikan algoritma berikut ini:
Jika nilai x, y, dan z diberikan masing-masing 2, 6, 21; nilai yang dicetak ke layar adalah …
BAB V SUB PROGRAM 1. Sub Program Dalam bahasa pemrograman prosedural, program bisa terdiri dari beberapa sub program. Dengan membuat sub program, penulisan kode program yang sama berulangkali bisa dihindarkan, juga memudahkan menulis dan menemukan kesalahan program. Dalam Bahasa Pascal terdapat dua subprogram, yaitu Prosedur dan Fungsi. Sub program ini hanya perlu ditulis sekali, tetapi dapat dipanggil berkali-kali oleh program utama atau sub program lain.
2. Pendeklarasian Prosedur Bentuk deklarasi prosedur (tanpa parameter) adalah :
Procedure NamaProsedur; Bagian deklarasi; Begin Bagian pernyataan; End;
Contoh : Procedure HitungLuasSegitiga; Var alas, tinggi, Luas : real; Begin write(‘Masukkan panjang alas segi tiga :’); readln(alas); write(‘Masukkan tinggi segi tiga :’); readln(tinggi); Luas:=(1/2)*alas*tinggi; write(‘Luas segi tiga = ‘,Luas); End;
A. Pemanggilan Prosedur Prosedur bukan program yang berdiri sendiri, jadi tidak bisa dieksekusi secara langsung. Prosedur baru dilaksanakan dengan cara memanggil namanya dari program utama atau sub program lain. Ketika nama prosedur dipangil, kendali program secara otomatis akan berpindah ke prosedur tersebut. Instruksi di dalam prosedur dilaksanakan. Setelah semua selesai, kendali program berpindah secara otomatis ke instruksi sesudah pemanggilan tersebut. Contoh program utama untuk memanggil prosedur HitungLuasSegitiga di atas : Begin HitungLuasSegitiga; End.
B. Variabel Global dan Lokal Variabel yang dideklarasikan dalam prosedur hanya dikenal di badan prosedur tersebut, sehingga disebut variabel Lokal. Sedangkan variabel yang dideklarasikan di dalam program utama bersifat Global, karena dikenali di semua bagian program. Program TukarNilai; Var A, B : integer; {A,B variabel global} Procedure Tukar; Var temp : integer;{temp variabel lokal} begin temp:= A; A:= B; B:=temp; end; Begin write(‘Masukkan nilai A = ‘);readln(A); write(‘Masukkan nilai B = ‘);readln(B); Tukar; writeln(‘Nilai A sesudah ditukar = ‘,A); writeln(‘Nilai B sesudah ditukar = ‘,B); End.
C. Parameter
Kebanyakan program memerlukan pertukaran informasi antara prosedur (atau fungsi) dengan pemanggilnya.Tiap item data ditransfer antara parameter aktual dan parameter formal yang bersesuaian. Parameter aktual adalah parameter yang disertakan waktu pemanggilan, sedangkan parameter formal adalah parameter yang dideklarasikan di dalam bagian Nama Prosedur. Berdasarkan maksud penggunaannya, terdapat tiga jenis parameter formal yang disertakan di dalam prosedur : 1. parameter masukan 2. parameter keluaran 3. parameter masukan/keluaran
Parameter masukan adalah parameter yang nilainya berlaku sebagai masukan untuk prosedur. Pada bahasa pemrograman seperti Pascal, parameter masukan dinamakan parameter by value. Parameter keluaran adalah parameter yang menampung keluaran yang dihasilkan oleh prosedur. Pada bahasa pemrograman seperti Pascal, parameter keluaran dinamakan parameter by reference. Parameter masukan/keluaran adalah parameter yang berlaku sebagai masukan sekaligus keluaran bagi prosedur tersebut. Pada bahasa pemrograman seperti Pascal, parameter masukan/keluaran termask dalam parameter by reference. Pada bahasa Pascal, parameter formal by value tidak menggunakan kata VAR dalam deklarasinya, sedangkan parameter by reference menggunakan kata VAR.
Parameter Masukan (By value) Contoh program menggunakan parameter masukan dalam deklarasi prosedurnya:
Program SegitigaKarakter; var M : integer; K : char; Proedure CetakSegitiga(C : char; N : integer); var i,j : integer; Begin for i:=1 to N do
Begin for j :=1 to i do write(C); writeln; End;
End;
Begin write(‘Masukkan karakter yang akan dicetak :’); readln(K); write(‘Masukkan tinggi segi tiga :’); readln(M); CetakSegitiga(K,M); End.
Parameter Keluaran (By reference) Bila prosedur menghasilkan satu atau lebih nilai yang digunakan oleh program pemanggil, maka nilai keluaran ditampung di dalam parameter keluaran. Bila prosedur yang mengandung parameter keluaran dipanggil, nama parameter aktual akan menggantikan nama parameter formal yang bersesuaian (berlawanan dengan parameter masukan, yang dalam hal ini, nilai parameter aktual yang di assign ke dalam parameter formal). Berikut contoh perbedaan parameter masukan dan keluran : Program ABC; Var A, B, C : integer; Procedure XYZ(X,Y : integer; var Z : integer); {X dan Y parameter masukan, Z parameter keluaran} Begin X:= X + 1; Y:= Y + 1; Z := X + Y; End;
Begin
A:= 2; B:= 5; XYZ(A,B,C); {Pemanggilan prosedur XYZ} writeln(A,’ ‘, B,’ ‘,C); Menampilkan nilai A, B, dan C setelah pemanggilan prosedur} End.
Pada Program ABC di atas, X dan Y adalah parameter masukan, sedangkan Z adalah parameter keluaran. Ketika Prosedur XYZ dipanggil dengan parameter aktual A=2 dan B=5, maka nilai itu mengisi nilai parameter formal X dan Y. Sedangkan nama parameter aktual C secara semu menggantikan nama parameter formal C (bukan nilainya yang diisikan). Sehingga setelah pemanggilan, nilai variabel A dan B tetap, yaitu A=2 dan B =5. Sedangkan nilai variabel C berubah menjadi 9.
Parameter Masukan/Keluaran (By reference) Parameter masukan/keluaran berfungsi sebagai masukan untuk prosedur sekaligus menampung nilai keluaran prosedur. Sehingga bila keluarannya berbeda dengan masukannya, maka hasilnya mengikuti nilai keluarannya. Contoh Program TukarNilai berikut : 2 nilai integer A dan B merupakan parameter formal Prosedur Tukar. Setelah instruksi di dalam prosedur dilaksanakan, maka nilai keluaran A dan B berubah. Karena A dan B adalah parameter masukan/keluaran, maka nilai parameter aktual pemanggilnya juga berubah sesuai nilai keluaran yang dihasilkan prosedur. Program TukarNilai; Var X, Y : integer; Procedure Tukar (var A,B : integer); Var temp : integer; Begin temp := A; A := B; B:=temp; End. Begin
X:= 2; Y:= 5; Tukar (X,Y); writeln(‘Nilai X setelah ditukar = ‘,X); writeln(‘Nilai Y setelah ditukar = ‘,Y); End.
3. Definisi Fungsi Fungsi adalah sub program yang memberikan/mengembalikan sebuah nilai dari tipe tertentu. Sebagaimana halnya prosedur, fungsi diakses dengan memanggil namanya. Selain itu, fungsi juga dapat mengandung daftar parameter formal. Parameter formal pada fungsi selalu berupa parameter masukan, karena parameter pada fungsi merupakan masukan yang digunakan oleh fungsi tersebut untuk menghasilkan nilai.
A. Pendeklarasian Fungsi Deklarasi fungsi adalah : function NamaFungsi(daftar parameter masukan):tipe data; bagian deklarasi Begin Bagian Pernyataan; End;
B. Pemanggilan Fungsi Fungsi diakses dengan cara memanggil namanya dari program utama atau sub program lain, diikuti dengan daftar parameter aktual (jika ada). Karena fungsi menghasilkan nilai, maka nilai tersebut dapat ditampung dalam suatu variabel (peubah) yang bertipe sama dengan tipe fungsi. (i). peubah := NamaFungsi(daftar parameter aktual); atau dimanipulasi langsung seperti : (ii) write(NamaFungsi(daftar parameter aktual)); (iii) if NamaFungsi(daftar parameter aktual) > 0 then.... (iv) y := 2* NamaFungsi(daftar parameter aktual) +3;
Contoh : Program Terbesar Var A,B,C,D,Z : integer; Function Maks(X,Y : integer) : integer; Begin if X > Y then Maks:= X else Maks := Y; End;
Begin A := 3; B := 6; C:= 10; D := 8; writeln(‘Bilangan terbesar antara ‘,A, ‘ dan ‘, B,’ adalah ‘,Maks(A,B)); Z:= Maks(C,D); writeln(‘Bilangan terbesar antara ‘,C, ‘ dan ‘,D,’ adalah ‘, Z); If Maks(A,B) > Maks(C,D) then writeln(‘Yang terbesar antara ‘, A,’ ‘,B,’ ‘,C,’
dan
‘,D,’ adalah = ‘, Maks(A,B)) else writeln(‘Yang terbesar antara ‘, A,’ ‘,B,’ ‘,C,’
dan
‘,D,’
adalah
=
‘,
Maks(C,D)); End.
4. Rekursi Suatu subprogram tidak hanya bisa memanggil sub program lain, tetapi juga bisa memanggil dirinya sendiri. Cara ini dikenal dengan sebutan rekursi. Rekursi banyak dipakai pada persoalan yang dapat dipecahkan secara induktif. Misalnya untuk menghitung faktorial.
m!
jik a m 0
1,
1 x 2 x3 x 4.... xm
jik a m 0
Pemecahan secara rekursif : 0!=1
(penghentian rekursi)
jika m > 0, m ! = m x (m-1) ! (langkah induksi)
A. Fungsi Rekursif Fungsi yang memanggil dirinya sendiri disebut fungsi rekursif. Contoh fungsi rekursif untuk menghitung faktorial.
Function FaktorialR(m:byte) : longint; Begin If m = 0 then FaktrialR:= 1 else FaktorialR:= m * FaktorialR(m-1); End;
B. Prosedur Rekursif Rekursi juga bisa diterapkan pada prosedur. Berikut contoh prosedur Balik :
Procedure Balik (X : integer); Var Sisa : integer; Begin; write (X mod 10); Sisa := X div 10; If Sisa <> 0 Then Balik(Sisa); End;
Jika prosedur di atas dipanggil dengan Balik(1024) apa hasilnya ?
Latihan 1. Perhatikan algoritma rekursif berikut: function f(m,n: integer): integer; begin if (m = 0) or (n = 0) then f := 1 else f := f(m-1, n-1) + f(m-1, n); end; Hasil pemanggilan f(6,6) adalah…
2. Diberikan sebuah fungsi dalam Pseudopascal berikut:
function P(x, y: integer): integer; begin if (x = 0) then P := y else begin P := P(x-1, y+1); end; end; Berapakah nilai writeln(P(5,10), ‘ dan ‘,P(2010,2011)); ? 3. Dimiliki suatu prosedur berikut :
procedure coba2(a:integer); begin c:=c+1; if (a>0) then begin coba2(a div 2); write(a mod 2); end; end;
Jika dipanggil dengan coba2(10) akan menampilkan hasil… 4. Dimiliki prosedur berikut :
procedure coba6(a,b : integer); begin if (a<>0) then begin coba6(a div b,b); write(a mod b); end; end; Jika dipanggil coba6(8,2) akan menghasilkan keluaran…
BAB VI TIPE DATA ARRAY
Array atau larik terdiri atas bagian-bagian komponen yang memiliki tipe data sama. Dalam penyimpanannya array selalu mempunyai jumlah komponen yang tetap yang ditunjukkan oleh indeksnya.
A. Deklarasi Array Variabel array dideklarasikan dengan mencantumkan tipe data dan nama variabel yang diikuti dengan nomor indeks yang menyatakan banyaknya lokasi memori yang ingin dibuat. var nama_variabel : array [indeks] of tipe data; contoh var N : array[1..100]of integer;
B. Mengakses Data larik : Cara mengakses data larik adalah dengan menunjukkan : Nama_Larik[no.indeks] ; Misal : x[1] berarti kita mengakses data larik x pada no.indeks ke-1.
Keuntungan : Menggunakan data larik, kita tidak akan kehilangan nilai dari suatu data.
Kelemahan : Saat ditentukan suatu variabel bertipe data array maka ia akan langsung mengambil tempat pada memory penyimpanannya sesuai dengan tipe data yang digunakan pada array, baik nantinya semua komponen pada array itu digunakan ataupun tidak.
C. Array Dimensi Banyak Dalam
pemrograman
kadang
kita
menghadapi
masalah
saat
kita
akan
mendeklarasikan suatu matriks. Dengan adanya tipe data array maka masalah itu dapat diselesaikan, yaitu dengan menggunakan array dengan dimensi dua atau lebih yang kemudian dikenal dengan array dimensi banyak. Pendeklarasian : var nama_variabel : array [indeks,indeks] of tipe data; contoh var M : array[1..10,1..10]of integer;
Berarti matriks itu akan mempunyai dimensi (10x10), namun itu hanya batas atas dari indeks yang dipesan dalam memori penyimpanan (di atas itu tidak akan disimpan), sedangkan apabila nantinya kita hanya memasukkan jumlah baris misal 2 dan jumlah kolom 2 itu boleh saja selama tidak lebih dari 10. Entry-entry dari matriks tersebut dapat kita panggil dengan mengetikkan Nama_Array[indeks] ; dari contoh diatas berarti M[2,3] yaitu entry dari matriks pada baris kedua kolom ketiga.
Contoh Kasus menggunakan tipe data array Program menghitung nilai maksimum, minimum, rata-rata dari sejumlah data integer.
Var i,n,maks,min,jum,h : integer; Nilai : array[1..10] of integer; Rerata : real; Begin Write(‘Banyaknya data :’); readln(n); Jum :=0; for i:= 1 to n do begin write(‘Data ke – ‘,i,’ = ‘); readln(nilai[i]); jum :=jum + nilai[i]; end; rerata := jum/n; maks=nilai[1]; min=nilai[1]; for i:= 1 to n do begin if (nilai[i]>maks) then maks :=nilai[i]; if (nilai[i]
writeln(‘Nilai Terkecil = ‘ ,min); writeln(‘Nilai Terbesar = ‘ ,maks); writeln(‘Nilai Rata-rata = ‘ ,rerata); readln; end.
Latihan 1. Diberikan array berikut:
dan diberikan algoritma berikut:
Nilai elemen ke 9 dari array tersebut (atau a[9]) adalah... 2. Perhatikan kode program di bawah ini “cek” adalah sebuah array dengan indeks mulai dari 1 s/d 1000 yang setiap elemennya bernilai true atau false. Pada awal program semua elemen array “cek” diberi nilai “false”. for i:=1 to n do begin j:=i; repeat cek[j]:=not cek[j]; j:=j+i; until j>n; end; for i:=1 to n do if cek[i] then write(i,'*'); Jika n berharga 100, maka output yang akan dihasilkan adalah .....
3. Jika pada program didefinisikan sebuah array berikut ini:
dan diberikan sebuah fungsi hitung berikut ini:
Nilai hitung(4) adalah… 4. Dimiliki suatu larik a sebagai berikut :
var a : array [1..10] of integer = (1,3,5,9,8,7,6,6,4,2); dan potongan algoritma berikut : c:=0; for i := 1 to 9 do begin d:=i; m:=a[i]; for j:= (i+1) to 10 do if ( m>a[j]) then begin d:=j; m:=a[j]; end; if (d<>i) then begin temp:=a[i]; a[i]:=a[d]; a[d]:=temp; c:=c+1; end; end; Pada saat i = 3 dan iterasi j selesai dilakukan, nilai a*4+ adalah…
5. Dimiliki larik x : array [1..7] of integer= (2,4,5,9,11,12,14); Dan potongan program berikut : procedure coba1(c,a,b : integer); var t : integer; k : boolean; begin i:=i+1; k:= false; if (a<=b) then begin t:= (a+b) div 2; if c = x[t] then begin d:=t; k:=true; end else if (c> x[t]) then coba1(c,t+1,b) else coba1(c,a,t-1); end else d:=-1; end;
Jika dipanggil dengan coba1(9,1,7), berapa nilai d ?
BAB VII KOMPLEKSITAS ALGORITMA
Sebuah masalah dapat mempunyai banyak algoritma penyelesaian. Contoh: masalah pengurutan (sort ), ada puluhan algoritma pengurutan. Sebuah algoritma tidak saja h arus benar, tetapi juga harus mangkus ( efisien). Algoritma yang bagus adalah algoritma yang mangkus (efficient ). Kemangkusan algoritma diukur dari waktu ( time) eksekusi algoritma dan kebutuhan ruang (space) memori. (Munir, 2005) Algoritma yang mangkus ialah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang. Kebutuhan waktu dan ruang suatu algoritma bergantung pada ukuran masukan ( n), yang menyatakan jumlah data yang diproses. Kemangkusan algoritma dapat digunakan untuk menilai algoritma yang bagus dari sejumlah algoritma penyelesaian masalah.
Model Penghitungan Kebutuhan Waktu
Menghitung kebutuhan waktu algoritma dengan mengukur waktu sesungguhnya (dalam satuan detik) ketika algoritma dieksekusi oleh komputer bukan cara yang tep at. Alasan: 1. Setiap komputer dengan arsitektur berbeda mempunyai bahasa mesin yang berbeda waktu setiap operasi antara satu komputer dengan komputer lain tidak sama. 2. Compiler bahasa pemrograman yang berbeda menghasilkan kode mesin yang berbeda waktu setiap operasi antara compiler dengan compiler lain tidak sama.
Model abstrak pengukuran waktu/ruang harus independen dari pertimbangan mesin dan compiler apapun.
Besaran yang dipakai untuk menerangkan model abstrak pengukuran waktu/ruang ini adalah kompleksitas algoritma . Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu:
kompleksitas ruang.
kompleksitas waktu dan
Kompleksitas waktu, T (n), diukur dari jumlah tahapan komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.
Kompleksitas ruang, S(n), diukur dari memori yang digunakan oleh struktur data yang terdapat di dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.
Dengan menggunakan besaran kompleksitas waktu/ruang algoritma, kita dapat menentukan laju peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma dengan meningkatnya ukuran masukan n.
Ukuran masukan ( n): jumlah data yang diproses oleh sebuah algoritma.
Contoh: algoritma pengurutan 1000 elemen larik, maka n = 1000.
Contoh: algoritma TSP pada sebuah graf lengkap dengan 100 simpul, maka n = 100.
Contoh: algoritma perkalian 2 buah matriks berukuran 50 x 50, maka n = 50. Dalam praktek perhitungan kompleksitas, ukuran masukan dinyatakan sebagai
variabel n saja.
Kompleksitas Waktu
Jumlah tahapan komputasi dihitung dari berapa kali suatu operasi dilaksanakan di dalam sebuah algoritma sebagai fungsi ukuran masukan (n).
Di dalam sebuah algoritma terdapat bermacam jenis operasi: o
Operasi baca/tulis
o
Operasi aritmetika (+, -, *, /)
o
Operasi pengisian nilai ( assignment )
o
Operasi pengakasesan elemen larik
o
Operasi pemanggilan fungsi/prosedur
o
dll
Dalam praktek, kita hanya menghitung jumlah operasi khas (tipikal) yang mendasari suatu algoritma.
Contoh Operasi Khas dalam Algoritma Algoritma pencarian di dalam larik Operasi khas: perbandingan elemen larik
Algoritma pengurutan Operasi khas: perbandingan elemen, pertukaran elemen Algoritma penjumlahan 2 buah matriks Operasi khas: penjumlahan Algoritma perkalian 2 buah matriks Operasi khas: perkalian dan penjumlahan
Contoh 1. Tinjau algoritma menghitung rerata sebuah larik ( array ). sum 0 for i 1 to n do sum sum + a[i] endfor rata_rata
sum/n
Operasi yang mendasar pada algoritma tersebut adalah operasi penjumlahan elemen-elemen ai (yaitu sumsum+a[i]) yang dilakukan sebanyak n kali. Kompleksitas waktu: T (n) = n.
Contoh 2. Algoritma untuk mencari elemen terbesar di dalam sebuah larik (array) yang berukuran n elemen. procedure CariElemenTerbesar(input a 1, a2, ..., maks : integer) { Mencari elemen terbesar dari sekumpulan elemen ..., an. Elemen terbesar akan disimpan di dalam maks. Masukan: a 1, a2, ..., a n Keluaran: maks (nilai terbesar) } Deklarasi k : integer
a n :
integer,
larik
integer
output a
1,
a2,
Algoritma maks a1 k2 while k n do if ak > maks then maksak endif ii+1 endwhile { k > n }
Kompleksitas waktu algoritma dihitung berdasarkan jumlah operasi perbandingan elemen larik (A[i] > maks ). Kompleksitas waktu CariElemenTerbesar : T (n) = n – 1.
Pengelompokan Algoritma Berdasarkan Notasi
Kelompok Algoritma O(1) O(log n) O(n) O(n log n) 2 O(n ) 3 O(n ) n O(2 ) O(n!)
O -Besar
Nama konstan logaritmik lanjar n log n kuadratik kubik eksponensial faktorial
Urutan spektrum kompleksitas waktu algoritma adalah : O(1)
O(log n)
O(n)
O(n log n)
2
O(n )
3
O(n )
n
... O(2 )
algoritma polinomial
O(n!)
algoritma eksponensial
Penjelasan masing-masing kelompok algoritma adalah sebagai berikut: O(1)
Kompleksitas O(1) berarti waktu pelaksanaan algoritma adalah tetap, tidak bergantung pada ukuran masukan. Contohnya prosedur tukar di bawah ini: procedure tukar(var a:integer ; var b:integer ); var temp:integer ; begin
temp:=a; a:=b; b:=temp; ; end
Di sini jumlah operasi penugasan (assignment ) ada tiga buah dan tiap operasi dilakukan satu kali. Jadi, T (n) = 3 = O(1).
O(log n) Kompleksitas
waktu logaritmik berarti laju pertumbuhan waktunya berjalan lebih lambat daripada pertumbuhan n. Algoritma yang termasuk kelompok ini adalah algoritma yang memecahkan persoalan besar dengan mentransformasikannya menjadi beberapa persoalan yang lebih kecil yang berukuran sama (misalnya algoritma pencarian_biner). Di sini basis algoritma tidak terlalu penting sebab bila n dinaikkan dua kali semula, misalnya, log n meningkat sebesar sejumlah tetapan.
O(n)
Algoritma yang waktu pelaksanaannya lanjar umumnya terdapat pada kasus yang setiap elemen masukannya dikenai proses yang sama, misalnya algoritma pencarian_beruntun. Bila n dijadikan dua kali semula, maka waktu pelaksanaan algoritma juga dua kali semula. 2
O(n
)
Algoritma yang waktu pelaksanaannya kuadratik hanya praktis digunakan untuk persoalana yang berukuran kecil. Umumnya algoritma yang termasuk kelompok ini memproses setiap masukan dalam dua buah kalang bersarang, misalnya pada algoritma urut_maks. Bila n = 1000, maka waktu pelaksanaan algoritma adalah 1.000.000. Bila n dinaikkan menjadi dua kali semula, maka waktu pelaksanaan algoritma meningkat menjadi empat kali semula.
Latihan 1. Dimiliki potongan program berikut : for i :=1 to p do writeln('*'); for j:= 1 to p-1 do writeln('*'); for k:= 1 to p-2 do writeln('*'); Berapa kali ‘’ dicetak, jika p = 10 … 2. Diberikan potongan algoritma berikut : for i :=1 to p do c:=c+1; for j:= 1 to p-1 do begin for k:= 1 to p-2 do c:=c+1; end; Jika nilai c mula-mula adalah 0 dan nilai p = 10, maka nilai akhir c adalah… 3. Dimiliki prosedur sebagai berikut : procedure hitungsaja(n : integer; m : integer); var k : integer; begin if (n < m) then begin writeln(‘hello’); k := (m + n) div 2; hitungsaja(n,k); hitungsaja(k+1,m); end else writeln(‘hello’); end; Pada pemanggilan hitungsaja(5,24), berapa kali dicetak ‘hello’ ?
