SOAL LATIHAN PERSIAPAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT PROPINSI 20 11 BIDANG ALJABAR
A. Logaritma 1. Diketahui y
l
¡
w
x, y
dan
! 40 dan
z
xyz
l
bilangan real lebih dari 1, dan
¢
£
w
8
2
! 12 , maka nilai dari z l
8
¤
w w
¥
bilangan real positif. Jika x log w ! 24 , adalah
2
(AIME 1983)
2
2
2.
Diberikan log ( log x) = log ( log x). Tentukan nilai dari ( log x) .
3.
Untuk Bilangan n maka
(AIME 1988)
® ±8 l n, Jika 8 l n bilangan rasional f ( x ) ! ¯ ± °0 Untuk lainnya
1997
Nilai dari 3 § f (n ) adalah...
(AHSME 1997)
n !1
4.
Ada berapa banyak bilangan prima yang merupakan faktor dari N dan memenuhi 2
3
7
5
log ( log ( log ( log N))) = 11.
(AHSME 1998)
5. Jika b = 2000, hitunglah nilai deret tak hingga berikut :
l 2 l 0
b
¦
6.
¦
§
¦
§
2
l 1
1
54 b l
b
¦
§
¦
2
§
2
¦
§
5 4 ...
log x 1 y 1 x 2 y 2 adalah
n 1
¨
©
x
l
¨
©
y
2
b
x , y ! x1 , y1 dan x 2 , y 2 . Nilai dari
30
l
64
l
225
! 4 dan
1023
x
l
(ARML 2000)
225 y l
64 ! 1 adalah
(AIME 2002)
p , dengan p dan q l n l 100 q n!2 adalah bilangan bulat positif yang tak memiliki akar sama , maka p q
Diketahui an !
l
10
8.
Penyelesaian dari sistem persamaan
10
7.
0
54 b l
b
§
Tentukan
m
n ! 2 ,3,...,1023. Jika
untuk
§
1
an
yang memenuhi persamaan 4
½
log 1
½4 log 2½
B. Persamaan Nilai Mutlak 1. Apakah himpunan jawab dari persamaan
2.
Tentukan semua solusi persamaan
3.
Tentukan nilai minimum dari
x
4
4
log m ! 2008
x
2 3 x ! 14
x
4 ! 2 (OSK 2005)
1
x p
½
log 3 ....
x 15
x p 15
!
(OSP 2003)
untuk suatu nilai
x
dalam batas
p e x e 15 dimana 0 p 15 (AIME 1983) 4.
Diberikan fungsi f ( x ) !
x2 3 a
tiga titik, maka a ! ... 5.
(OSP 2006 )
Ada berapa banyak tripel bilangan bulat ( a , b , c ) yang memenuhi a b c ! 19 dan ab
6.
! 0 . Jika grafik tersebut memotong sumbu
c
! 97 (AHSME 1997)
Untuk a , b , c bilangan real tak nol , semua kemungkinan nilai dari a b c abc a b c abc
halaman 1 dari 3
x
tepat di
Adalah 7.
(AHSME 1977)
Grafik f !
x a b dan f !
x
c d berpotongan di titik 2 ,5 dan 8 , 3 . Nilai a c
adalah 8.
adalah bilangan real yang memenuhi 1 x i
xi x1
9.
(AHSME 1999)
x2
...
xn
! 19
x1
1 dan
x 2 ... x n . Tentukan nilai
n
yang memenuhi (AIME 1988)
Fungsi f (x ) yang memenuhi f ( 3x ) ! 3 f ( x ) untuk semua bilangan real x dan f x ! 1 x 2
untuk 1 e x e 3 . Tentukan bilangan positif 2001)
x
terkecil yang memenuhi f x ! f 2001 (AIME
10. Tentukan semua solusi dari persamaan x
2
x 1 2 3 4 5 ! x 2 x 30
11. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva x
2 C.
Sistem Persamaan 1. m , n adalah bilangan asli yang memenuhi m
2.
2
mn
m n ! 71 , dan
m
2
n mn
2
! 880 , tentukan
(AIME 1991)
Selesaikan sistem persamaan 2
yz ! 3
2
xz ! 4
2
xy ! 5
y z
4.
1 ! 2
n2
x
3.
y
Tentukan semua penyelesaian pasangan real yang memenuhi 2 2 x y x y ! 12 xy x y ! 3 a a a Tunjukkan bahwa jika 1 ! 2 ! 3 dan p1 , p2 , p3 { 0 , maka b1
b2
b3
n
¨ a1 ¸ p1 a1n p2 a2n p3 a3n © ¹ ! © b ¹ p b n p b n p b n ª 1 º 2 2 1 1 3 3 5.
(Canadian MO 1969)
Diberikan x1
4 x 2 9 x 3 16 x 4 25 x 5 36 x6 49 x7 ! 1
4 x 1 9 x 2 16 x 3 25x 4 36 x 5 49 x 6 64 x 7 ! 12 9x 1 16 x 2 25x 3 36x 4 49 x 5 64 x 6 81x 7 ! 123 9x1 + 16x2 + 25x3 + 36x4 + 49x5 + 64x6 + 81x7 = 123.
Tentukan nilai dari 16 x 1 25 x 2 36 x 3 49 x 4 64 x 5 81x 6 100 x 7 6.
Selesaikan sistem persamaan berikut y y
7.
(AIME 1989/OSN 2004)
2
! ( x 8 )( x 2 2 )
2
( 8 4 x ) y ( 16 16 x 5x 2 ) ! 0
(Irish MO 1999)
Tentukan semua tripel ( x , y , z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan yang lain hasilnya adalah 2 (Canadian MO 1970)
halaman 2 dari 3
8.
9.
Tentukan bilangan real x , y , z yang memenuhi x
yz
! 42
y
xz
!6
z
xy
! 30
(COMC 1997)
Selesaikan sistem persamaan berikut: ¨ 1 ¸ ¹!2 3x ©© 1 x y º¹ ª ¨ 1 ¸ ¹!4 2 7 y ©© 1 ¹ x y ª º
(Vietnamese MO 199 6)
10. Buktikan bahwa persamaan x 2 y 2 2 xy 2001 x 2001 y 2002 ! 0 tepat memiliki 2001 solusi ( x , y ) dimana x dan y adalah bilangan bulat positif D. Sistem Pertidaksamaan x
y
z
1.
Tentukan nilai minimum dari
2.
Untuk a , b , c bilangan positif buktikan ketaksamaan ( a b )( b c )(c a) u 8 abc
3.
Tentukan nilai minimum dari
2y
4z
8x
9x 2 si 2 x 4 untuk 0 x T . x si x
(OSP 2009/AIME 1983)
4.
Tentukan bilangan bulat terbesar n sehingga terdapat bilangan unik k yang memenuhi n 8 7 (AIME 1987) 15 n k 13
5.
Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan real x maka 1 2 2 x si x x c s x x "0 2
(Indian RMO 199 5)
n n1
6.
Tentukan nilai n asli terkecil yang memenuhi kondisi
7.
Diketahui x dan y adalah bilangan real positif yang memenuhi x + y = 1. Buktikan bahwa 1 ¸¨ 1 ¸ ¨ (Canadian MO) 1971) © 1 ¹©© 1 ¹¹ u 9 x ºª y º ª
0 ,01
8. Jika a b c d e ! 8 dan a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 ! 16 maka tentukan nilai maksimal dari e. (Hongkong PSC 1999) 9.
Tunjukkan bahwa jika a,b dan c bilangan real positif maka: 9 1 1 1 ¸ i. e 2 ¨© ¹ ab c ª a b a c b c º 1 1 1 1 ¨ 1 1 1 ¸ ii. e © ¹ a b a c b c 2 ª a b c º
10. Jika a, b , c > 0 dan a 2 b 2 c 2 ! 3 maka buktikan bahwa 1 1 1 3 u 1 ab 1 bc 1 ca 2
halaman 3 dari 3
(Irish MO 1998)
(Belarusian MO 1999)
