Modul Matematika: Garis dan Sudut
Thalia Thamsir 00000010641 7 April 2016
Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Pelita Harapan Tangerang 2016
Garis dan Sudut Modul Matematika kelas 7
Thalia Thamsir April 2016
Daftar Isi ................................................................................................ i Daftar Gambar ...................................................................................... ii A. Titik dan Garis ............................................................................ 7. 3 1.
Titik .......................................................................................................... 7. 3
2.
Garis ......................................................................................................... 7. 3
3.
Kedudukan Garis ...................................................................................... 7. 4
B. Sudut ........................................................................................... 7. 7 1.
Pengertian Sudut ...................................................................................... 7. 7
2.
Penamaan Sudut ....................................................................................... 7. 8
3.
Satuan Sudut ............................................................................................ 7. 9
4.
Menentukan Besar Sudut yang Dibentuk Jarum Jam ............................ 7. 12
5.
Cara Menggambar dan Mengukur Sudut Menggunakan Busur Derajat 7. 14
6.
Jenis-Jenis Sudut .................................................................................... 7. 15
7.
Hubungan Antar Sudut ........................................................................... 7. 18
C. Hubungan Garis dan Sudut ...................................................... 7. 26 a.
Sudut Sehadap ........................................................................................ 7. 26
b.
Sudut Dalam Berseberangan .................................................................. 7. 28
c.
Sudut Luar Berseberangan ..................................................................... 7. 29
d.
Sudut Dalam Sepihak ............................................................................. 7. 31
e.
Sudut Luar Sepihak ................................................................................ 7. 33
f.
Jumlah Sudut dalam Segi-n .................................................................... 7. 35
Uji Kompetensi ................................................................................ 7. 42 Kunci Jawaban ................................................................................ 7. 45 Glosarium ......................................................................................... 7. iii Daftar Pustaka ................................................................................. 7. vi
7.i
7.ii
Gambar 7. 1 Gerard Mercartor........................................................................................ 7. 1 Gambar 7. 2 Eiffel Tower ............................................................................................... 7. 2 Gambar 7. 3 Titik ............................................................................................................ 7. 3 Gambar 7. 4 Garis ........................................................................................................... 7. 3 Gambar 7. 5 Sydney Harbour Bridge.............................................................................. 7. 3 Gambar 7. 6 Cahaya senter ............................................................................................. 7. 4 Gambar 7. 7 Garis sejajar................................................................................................ 7. 4 Gambar 7. 8 Rel kereta api ............................................................................................. 7. 4 Gambar 7. 9 Jam dinding ................................................................................................ 7. 4 Gambar 7. 10 Garis berhimpit ........................................................................................ 7. 4 Gambar 7. 11 Garis berpotongan .................................................................................... 7. 5 Gambar 7. 12 Sisi rumah ................................................................................................ 7. 5 Gambar 7. 13 Aktivitas sehari-hari dan benda yang membentuk sudut.......................... 7. 7 Gambar 7. 14 Sudut yang terbentuk oleh dua garis ........................................................ 7. 7 Gambar 7. 15 Sudut yang terbentuk dari beberapa garis ................................................ 7. 8 Gambar 7. 16 Atap rumah ............................................................................................... 7. 9 Gambar 7. 17 Lingkaran ................................................................................................. 7. 9 Gambar 7. 18 Jam dinding ............................................................................................ 7. 10 Gambar 7. 19 Sudut pada jarum jam............................................................................. 7. 12 Gambar 7. 20 Busur derajat .......................................................................................... 7. 14 Gambar 7. 21 Jenis-jenis sudut ..................................................................................... 7. 16 Gambar 7. 22 Sudut lancip............................................................................................ 7. 16 Gambar 7. 23 Sudut siku-siku ....................................................................................... 7. 16 Gambar 7. 24 Sudut lurus ............................................................................................. 7. 17 Gambar 7. 25 Sudut tumpul .......................................................................................... 7. 17 Gambar 7. 26 Sudut refleks .......................................................................................... 7. 17 Gambar 7. 27 (a) Sudut lancip dan sudut tumpul membentuk sudut bersuplemen, (b) Dua sudut siku-siku membentuk sudut saling bersuplemen ................................................. 7. 20 Gambar 7. 28 Sudut saling berkomplemen ................................................................... 7. 21 Gambar 7. 29 Sudut saling bertolak belakang .............................................................. 7. 23 Gambar 7. 30 Dua garis sejajar yang dipotong garis lain ............................................. 7. 26 Gambar 7. 32 Sudut sehadap ........................................................................................ 7. 27 Gambar 7. 31 Pola jajargenjang .................................................................................... 7. 27 Gambar 7. 33 Sudut dalam berseberangan.................................................................... 7. 28 Gambar 7. 34 Jajargenjang ........................................................................................... 7. 29 Gambar 7. 35 Sudut luar berseberangan ....................................................................... 7. 30 Gambar 7. 36 Sudut dalam sepihak .............................................................................. 7. 31 Gambar 7. 37 Sudut luar sepihak .................................................................................. 7. 33 Gambar 7. 38 Teorema segitiga 1 ................................................................................. 7. 35 Gambar 7. 39 Teorema segitiga 2 ................................................................................. 7. 36 Gambar 7. 40 Pentagon ................................................................................................. 7. 37
Garis dan Sudut
Garis
Segmen Garis
Sudut
Kedudukan Garis
Sinar Garis
Hubungan Antar Sudut
Jenis Sudut
Dua Garis yang Dipotong Transversal
Tahukah Anda? Gerard Mercartor lahir pada 5 Maret 1512 adalah bapak atlas dunia. Karena dia sangat tertarik pada kosmografi, ia mulai belajar matematika di bawah bimbingan Gemma Frisius (1508-1555), seorang matematikawan Belanda, astronom, kartografer, kosmografer dan profesor di Universitas Leuven. Mercator menjadi terkenal pada tahun 1540 dengan peta Flandersnya yang didedikasikan untuk Kaisar Charles V. Peta ini cukup akurat karena penggunaan metode triangulasi. Perhitungan dengan triangulasi dimulai dari pengukuran satu sisi dari segitiga Gambar 7. 1 Gerard Mercartor
dan
sudut
untuk
menghitung
sisi
lain
dengan
menggunakan trigonometri. Mercartor menggunakan menara gereja sebagai titik acuan Gambar 7.ia2 menggunakan Gerard Mercartoralat ukur sudut dan menghitung jarak ke titik yang jauh dengan kemudian
menggunakan aturan sinus. Pada 1554, ia menghasilkan salah satu karya pertamanya yang menjadi tonggak dalam sejarah kartografi yaitu peta Eropa. Dengan peta Mercartor, Gambarsebuah 7. 3 Gerard Mercartor pelaut dapat mengetahui setiap saat posisi mereka dan pelayaran mereka menjadi lebih
7.1
aman. Gambar 7. 4 Gerard Mercartor
Mengklasifikasi objek geometri dan mempelajari sifat geometri sangat penting karena memiliki banyak pengaplikasian di banyak bidang kehidupan contohnya bidang seni yaitu pola pada ubin lantai; bidang arsitektur yaitu Eiffel Tower; bidang astronomi yaitu menggunakan ukuran sudut untuk menggambarkan ukuran nyata dari sebuah objek di langit malam dan contoh nyata pada kehidupan sehari-hari adalah engsel pada pintu, atap rumah yang menggunakan segitiga, trapesium maupun persegi, kompas, jarum jam, Gambar 7. 2 Eiffel Tower
persimpangan jalan dan lain-lain.
Sama seperti aritmatika yang memiliki objek dasar pembelajaran pada angka, Gambar geometri 7. 9 Eiffel juga Tower memiliki fokus utama pembelajaran yang berhubungan dengan titik, garis, bangun datar dan bangun ruang. Geometri tingkat menengah dimulai dengan sejumlah Gambar 7. 10 Eiffel Tower konsep (titik, garis, dan sudut) yang tidak mudah untuk didefinisikan.
Melalui
geometri,
siswa
mendapat
kesempatan
untuk
mengembangkan Gambar 7. 11 Eiffel intuisi Tower geometri mereka dan belajar bagaimana membangun argumen yang logis.
Garis
Berpotongan
Berpenyiku
Berseberangan
Segmen Garis
Lancip
Berpelurus
Berhadapan
Sinar Garis
Tumpul
Bertolak
Sepihak
Sejajar
Siku-siku
belakang
Berhimpit
Refleks
Tujuan Pembelajaran: Menerapkan konsep kedudukan garis dalam pemecahan masalah nyata Mengukur besar sudut dengan busur derajat Melukis sudut dengan menggunakan busur derajat Mengelompokkan jenis-jenis sudut berdasarkan ukuran besar sudut
Memahami sifat-sifat sudut pada dua garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis.
7.2
Menganalisis permasalahan yang berkaitan dengan hubungan antar sudut
Dalam ilmu Geometri, terdapat beberapa istilah atau sebutan yang tidak memiliki definisi (undefined terms), antara lain titik dan garis.
1. Titik Titik tidak memiliki ukuran, biasanya dideskripsikan menggunakan tanda noktah dan penamaannya menggunakan huruf kapital seperti titik A, titik B atau titik C seperti gambar di bawah ini.
A Gambar 7. 3 Titik
2. Garis Garis merupakan kurva lurus yang tidak memiliki ujung maupun pangkal. Artinya garis dapat diperpanjang kedua arahnya. B
A Gambar 7. 4 Garis
β‘ yang artinya panjang Gambar 7. 4 menunjukkan garis AB dilambangkan dengan π΄π΅ garis AB tidak terbatas. Segmen garis adalah kurva lurus yang mempunyai pangkal dan ujung, Μ
Μ
Μ
Μ
yang artinya panjang garis AB terbatas. Contoh segmen dilambangakan dengan π΄π΅ garis adalah jembatan. Jembatan
merupakan
antara dua tempat
penghubung
yang terpisah.
Andaikan sisi kiri sungai sebagai titik A, sisi kanan sungai sebagai titik B maka Gambar 7. 5 Sydney Harbour Bridge
titik A dan titik B dapat terhubung
dikarenakan oleh segmen garis AB. Jika titik A merupakan titik pangkal segmen garis AB, maka titik B merupakan titik ujung segmen garis AB. Sinar Garis adalah kurva lurus yang mempunyai pangkal namun tidak berujung, dilambangkan dengan π΄π΅ . Contoh sinar garis dapat dilihat pada cahaya yang dihasilkan senter. Jika Anda mengamati gambar 7. 6 maka Anda akan
7.3
menemukan objek yang memiliki titik awal yaitu titik A, namun tidak memiliki ujung (garis yang melewati titik B tidak berujung). Pada gambar 7. 6 garis AB merupakan sinar garis. Gambar 7. 6 Cahaya senter
3. Kedudukan Garis a. Sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas dan jarak antar kedua garis tersebut selalu sama. Contoh garis sejajar dapat ditemukan pada lintasan rel kereta api. Pada lintasan rel kereta api, jarak antara dua rel akan selalu tetap dan tidak pernah saling berpotongan antara satu dengan lainnya. Apabila dua Gambar 7. 7 Rel kereta api
buah rel kereta api dianggap sebagai dua
buah garis, maka dapat digambarkan seperti:
Gambar 7. 8 Garis sejajar
Garis π dan garis π diatas, jika diperpanjang sampai tak berhingga maka kedua garis tidak akan pernah berpotongan. Sehingga garis π dan π merupakan garis sejajar dan dinotasikan dengan β//β. b. Berhimpit Gambar jam dinding disamping menunjukkan pukul 12.00 dan jarum panjang berimpit dengan jarum pendek sehingga membentuk satu garis. Ini merupakan contoh kedudukan garis yang berhimpit. Dari gambar jam dinding di samping dapat disimpulkan bahwa dua garis dikatakan saling
Gambar 7. 10 Garis berhimpit
π
7.4
π
Gambar 7. 9 Jam dinding
berimpit ketika suatu garis terletak pada garis lain atau sebaliknya dan membentuk satu garis lurus. Pada gambar di atas garis k dan l saling berhimpit, dalam sajian geometri direpresentasikan sebagai garis yang sama (identik). c. Garis Berpotongan Garis-garis yang terletak pada bidang datar dikatakan berpotongan apabila garis-garis tersebut memiliki satu titik persekutuan yang disebut titik potong. π
Titik Potong
Garis p, q, dan r saling berpotongan karena memiliki titik potong di titik O.
O π
Gambar 7. 11 Garis berpotongan
d. Garis Bersilangan Dua garis yang saling bersilangan. Jadi, garis k dan l dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar, dan tidak terletak pada bidang yang sama. Pada gambar di samping, garis a dan b adalah garis bersilangan karena garis a dan b bukanlah π
garis yang sejajar dan kedua garis terletak pada sisi atau bidang yang berbeda. Apabila kedua garis diperpanjang, kedua garis tersebut tidak
Gambar 7. 12 Sisiπrumah
akan pernah berpotongan.
1. Sketsa dan berikan label sebuah garis segmen serta tuliskan simbol penulisan garis segmen tersebut 2. Gambarkan dan berikan label pada setiap komponen geometri berikut! d. Sinar garis
b. Garis
e. Garis sejajar
c. Segmen garis
f. Garis berhimpit
7.5
a. Titik
g. Garis berpotongan
h. Garis bersilangan
3. Perhatikan gambar laying-layang di bawah ini! Jika
R
garis Μ
Μ
Μ
Μ
ππ dan Μ
Μ
Μ
Μ
π
π diperpanjang
maka
kedudukan kedua garis adalah V =
S
T
4. Perhatikan gambar di bawah ini! tentukan titik potong antara:
n x y
w z
m p
q
a.
Garis m dan n
b.
Garis m dan p
c.
Garis n dan q
d.
Garis m dan q
e.
Pasangan garis mana sajakah yang
saling sejajar, berpotongan, atau bersilangan? 5. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
Kemungkinan kedudukan
garis-garis
diagonal bidang pada masing-masing sisi
G
H
kubus adalahβ¦. E
F
D A
C B
7.6
1. Pengertian Sudut Banyak aktivitas yang manusia lakukan dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan sudut. Misalnya pada saat duduk, sudut terbentuk antara perut dengan kaki. Sudut juga ditemukan pada pemanah yaitu antara tangan dengan badan pemanah. Selain aktivitas manusia sudut juga dapat di temukan pada bendabenda sekitar misalnya sudut yang terbentuk antara jarum jam.
Gambar 7. 13 Aktivitas sehari-hari dan benda yang membentuk sudut
Sudut terbentuk dari dua sinar yang titik pangkalnya berimpit A
Ket. Garis BA dan BC adalah kaki sudut
B C Gambar 7. 14 Sudut yang terbentuk oleh dua garis
Titik B adalah titik sudut Daerah yang diarsir adalah daerah sudut
Kaki sudut adalah sinar garis yang membentuk suatu sudut. Titik sudut Gambar 7. 79 Sudut yang terbentuk oleh dua adalah titik potong garispangkal sinar dari
kaki sudut. Daerah sudut yaitu daerah yang
terbentuk antara dua kaki sudut. Gambar 7.14 menunjukkan besar sudut yang sama walaupun panjang kaki-kaki sudutnya tidak sama panjang sehingga dapat Gambar 7. 80 Sudut yang terbentuk oleh dua garis disimpulkan bahwa besar sudut tidak ditentukan oleh panjangnya kaki sudut.
Gambar 7. 81 Sudut yang terbentuk oleh dua garis
7.7
2. Penamaan Sudut E
D
A B
πΌ
Gambar 7. 15 Sudut yang terbentuk dari beberapa garis
7.8
C G Pada gambar 7. 15 sudut yang diarsir dapat dinamai dengan: a Gambar 7. 86 Sudut yang terbentuk dari beberapa garis m B dan ditulis β π΅ i. Satu huruf yaitu sudut b ii. Tiga huruf yaitu sudut ABC atau sudut CBA dan ditulis β π΄π΅πΆ atau a r Gambar 7. 87 Sudut yang β πΆπ΅π΄ terbentuk dari beberapa garis 7 iii. Simbol yaitu sudut. alpha ditulis β πΌ 8 iv. Jika πΌ diganti menjadi angka misalnya 1 maka penulisan sudut Gambar 7. 88 Sudut yang 2 terbentuk dari beberapa garis β π΅1 menggunakan huruf kapital dan angka yaitu sudut π΅1 ditulis S Note: jika sudut yang dimaksud uadalah sudut yang diarsir seperti gambar 7. 15 d maka perlu dinamai dengan utiga huruf yaitu β π΄π΅πΆ atau β πΆπ΅π΄ untuk t memperjelas sudut yang dimaksud karena pada titik sudut β π΅ terdapat beberapa y a sudut. n g t e r b 1. Tentukan kaki sudut, titik sudut, dan tulislah nama sudut P e dari gambar di samping! n Q t R u k d 2. Berapakah banyak sudut yanga terbentuk pada gambar di samping? Sebutkan! ri b e P b e r Q a p R a g a ri s
3. Sebutkan bagian-bagian manakah dari atap rumah di samping yang membentuk sudut!
Gambar 7. 16 Atap rumah
Coba amati lingkungan sekitar Anda. Benda-benda apa sajakah yang membentuk sudut? Sebutkan kaki sudut, titik sudut, dan daerah sudutnya!
3. Satuan Sudut Lebih dari 3000 tahun yang lalu, orang Babylonia telah menemukan bahwa untuk mengelilingi matahari satu kali putaran penuh pada lintasan yang berbentuk lingkaran, bumi memerlukan waktu 360 hari. Mereka membagi lintasan itu menjadi 360 bagian yang sama. Setiap bagian itu dinamakan satu derajat. Satuan sudut dinyatakan dalam dua jenis, yaitu derajat (ΒΊ) dan radian (rad). Namun satuan sudut yang akan digunakan pada modul ini adalah derajat (ΒΊ). Dalam satuan derajat, keliling lingkaran dibagi menjadi 360 bagian yang sama. Tiap bagiannya disebut 1 derajat (1Β°). Dengan demikian, ada 360 derajat dalam satu π
putaran penuh. Jadi, πΒ° = πππ putaran atau 1 putaran = πππΒ°
Gambar 7. 17 Lingkaran
Pada jarum jam sebuah jam dinding, untuk menunjukkan waktu 1 jam, jarum menit harus berputar putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 Gambar 1 7. 92 Jam dindingGambar 7. 93 Lingkaran berputar 1 putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 menit = 60 detik. Gambar 7. 94 Jam dinding
Gambar 7. 95 Jam dindingGambar 7. 96 Lingkaran
Gambar 7. 97 Jam dindingGambar 7. 98 Lingkaran
7.9
jam = 60 menit. Adapun untuk menunjukkan waktu 1 menit, jarum detik harus
Hal ini juga berlaku untuk satuan sudut. Sehingga Hubungan antara derajat (Β°), menit (β²), dan detik (β²β²) dapat dituliskan sebagai berikut: πΒ° = ππβ² πβ² = ππβ²β² Gambar 7. 18 Jam dinding
πΒ° = ππ Γ ππβ²β² = ππππβ²β²
Ingat! πΒ° =
π πππ
πβ² = ππβ²β²
putaran
πΒ° = ππ Γ ππβ²β² = ππππβ²β²
1 putaran = πππΒ° πΒ° = ππβ²
1. Nyatakan ukuran-ukuran sudut berikut dalam derajat! a.
1
b.
putaran 3
1
putaran 5
c.
1 6
putaran
Penyelesaian: 1 putaran penuh = 360Β° a. b. c.
1 3 1 5 1 6
1
putaran = 3 Γ 360Β° = 120Β° 1
putaran = 5 Γ 360Β° = 72Β° 1
putaran = 6 Γ 360Β° = 60Β°
2. Berapa putaran sudut yang besarnya a. 45Β°
b. 150Β°
c. 210Β°
Penyelesaian: 1
1Β° = 360 putaran 1
1
150
5
5
b. 150Β° = 360 = 12, jadi 150Β° = 12 putaran
7.10
4
a. 45Β° = 360 = 8, jadi 45Β° = 8 putaran
210
7
7
c. 210Β° = 360 = 12, jadi 45Β° = 12 putaran
3. Tentukan kesamaan besar sudut berikut! a. 5Β° = β¦β²
c. 45,6Β° = β¦Β°β¦β²
b. 8β² = β¦β²β²
d. 48Β°48β² =β¦Β°
Penyelesaian: a. Karena 1Β° = 60β² maka 5Β° = 5 Γ 60β² = 300β² b. Karena 1β² = 60β²β² maka 8β² = 8 Γ 60β²β² = 480β²β² c. 45,6Β°
= 45Β° + 0,6Β° = 45Β° + (0,6 Γ 60β² ) = 45Β° + 36β² = 45Β°36β² 48
d. 48Β°48β² = 48Β° + (60) Β° = 48Β° + 0,8Β° = 48,8Β°
Lengkapi satuan sudut berikut sesuai dengan perintah soal 1.
5 9
5. 88,155Β° = β¦Β°β¦β²β¦β²β²
putaran penuh = ...Β°
3Β°
6. 20 4 = β¦β²β²
2. 126β² = ...Β°...β² 3. 68Β°70β²56β²β² = ...Β°...β²...β²β² 4. 900β²β² = ...Β° Selesaikanlah soal-soal berikut 7. 9Β° β 90β² β 240β²β² = β¦β²β² 8. 13Β°15β²36" β 8Β°20β²6β²β² 9. 86Β°27β² 13β²β² β 57Β°46β² 59β²β² + 23Β°14β²33β²β² 10. 36Β°17β² 12β²β² + 28Β°45β² 13β²β² β 38Β°17β²24β²β²
11. Jika π = 5Β°, π = 30β² dan π = 90β²β² maka hitunglah: (dalam detik)
b. 6π β 8π β 20π
(dalam menit)
c. 8π β 10π + 12π
(dalam derajat)
12. Jika π = 12Β°, π = 25β² dan π = 60β²β² maka hitunglah:
7.11
a. 3π β 5π + 2π
a. 15π β 4π β 6π
(dalam menit)
b. 10π β 9π + 7π
(dalam derajat)
4. Menentukan Besar Sudut yang Dibentuk Jarum Jam Pada sebuah jam dinding, jarum panjang dan pendek dari jam tersebut akan selalu membentuk sudut mulai dari 0Β° hingga 180Β°. Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan pendek digunakan penjumlahan atau pengurangan sudut. Ada beberapa aturan yang harus diperhatikan yaitu sebagai berikut. (i) Untuk jarum panjang 1 jam = 60 menit maka besar sudutnya adalah 360Β°. Jika 1 menit maka besar sudutnya adalah
360Β° 60
= 6Β°
(ii) Untuk jarum pendek 1 jam = 60 menit maka besar sudutnya adalah 30Β°. 30Β°
1Β°
Jika 1 menit maka besar sudutnya adalah 60 = 2
Langkah-langkah menentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek adalah sebagai berikut: a. Buatlah garis bantu seperti gambar di bawah ini Garis bantu
Garis bantu (a)
(b) Gambar 7. 19 Sudut pada jarum jam
Jika garis bantu terletak di luar jarum panjang dan pendek seperti gambar (a) maka sudut antara garis bantu dan jarum panjang dikurang dengan sudut antara jarum panjang dan pendek. Maka ο·
Sudut antara garis bantu dengan jarum panjang yaitu 20
7.12
menit maka besar sudutnya 20 Γ 6Β° = 120Β°
ο·
Sudut yang dibentuk antara garis bantu dengan jarum pendek 1
yaitu 2 jam lebih 20 menit sehingga (2 Γ 30Β° ) + (2 Γ 20Β°) = 60Β° + 10Β° = 70Β° ο·
Besar sudut yang terbentuk antara jarum panjang dan jarum pendek adalah 120Β° β 70Β° = 50Β°
Jika garis bantu terletak di antara jarum panjang dan pendek seperti gambar (b) maka sudut antara jarum panjang dan garis bantu dijumlahkan dengan sudut antara jarum pendek dan garis bantu. ο·
Sudut antara garis bantu dan jarum panjang yaitu 10 menit maka besar sudutnya 10 Γ 6Β° = 60Β°
ο·
Sudut yang dibentuk antara garis bantu dan jarum pendek 1Β°
yaitu 6 jam kurang 20 menit sehingga 2 Γ 20Β° = 10Β° ο·
Besar sudut yang terbentuk antara jarum panjang dan jarum pendek adalah 60Β° β 10Β° = 70Β°
Tentukanlah besar sudut terkecil yang terbentuk antara jarum jam panjang dan jarum jam pendek yang ditunjukkan oleh jam berikut 1.
2.
Tentukan besar sudut terkecil yang terbentuk dari 3. Pukul 13.45 4. Pukul 5.08
7.13
5. Pukul 09.26
5. Cara Menggambar dan Mengukur Sudut Menggunakan Busur Derajat Salah satu alat yang dapat digunakan untuk mengukur satu sudut adalah busur derajat. Pada busur derajat terdapat dua skala, yaitu skala atas dan skala bawah. Pada skala atas terdapat angka-angka 0, 10, 20, ..., 180 berturut-turut dari kiri ke kanan, sedangkan pada skala bawah terdapat angka-angka berturut-turut dari kanan ke kiri 0, 10, 20, ..., 180.
Gambar 7. 20 Busur derajat
Ukurlah sudut di samping menggunakan busur derajat P Q
R
Untuk mengukur sudut PQR di atas caranya sebagai berikut: a. Letakkan pusat busur derajat pada titik sudut, yaitu titik Q. Himpitkan garis horizontal busur derajat yang tertulis angka 0 pada salah satu kaki sudut, yaitu QR. Seperti gambar di bawah ini
7.14
P
Q
R
b. Lihatlah angka pada busur derajat yang berimpit dengan kaki sudut yang lain, yaitu kaki sudut QP berimpit dengan garis yang menunjukkan angka 140. Jadi ukuran β PQR di atas adalah 140Β°.
Tentukan ukuran sudut berikut dengan menggunakan busur derajat! 1.
3.
2. 4.
Gambarkan sudut berikut menggunakan busur derajat! 5. 75Β°
6. 135Β°
7. 230Β°
8. 360Β°
Jumlah ukuran dua sudut dapat ditulis dengan A
sebuah sudut yang ukurannya sama. Perhatikan gambar di
B
samping. Jika β APB = (11x - 5)Β° , β BPC = (7x)Β°, dan β APC = 85Β°, maka tentukan nilai x dan besar β APB!
P
C
Untuk mengenal jenis-jenis sudut berdasarkan besar sudutnya, ukurlah sudut-sudut di bawah ini menggunakan busur derajat.
7.15
6. Jenis-Jenis Sudut
P
K
A
B
C
L
M Q
R
S
O
Y
X
T
Z
Gambar 7. 21 Jenis-jenis sudut
Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa β π΄π΅πΆ besarnya lebih dari 90Β° namun kurang dari 180Β° sehingga disebut sudut tumpul. β πΎπΏπ besarnya tepat 90Β°, sehingga disebut sudut siku-siku. β πππ
besarnya kurang dari 90Β°, sehingga disebut sudut lancip. β πππ besarnya tepat 180Β° sehingga disebut sudut lurus. β πππ besarnya lebih dari 180Β° namun kurang dari 360Β°, disebut sudut refleks. a. Sudut Lancip
18Β°
45Β°
33Β°
88Β°
22.5Β°
7Β°
Gambar 7. 22 Sudut lancip
Dari gambar 7. 22 dapat disimpulkan bahwa sudut lancip adalah sudut yang mempunyai ukuran sudut antara 0Β° dan 90Β°. πΒ° < πΆ < ππΒ°, maka πΆ adalah sudut lancip
b. Sudut Siku-siku
Gambar 7. 23 Sudut siku-siku
Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya tepat 90Β° Sudut siku-siku dinotasikan dengan βββ. πΆ = ππΒ°, maka πΆ adalah sudut siku-siku
7.16
c. Sudut Lurus
Gambar 7. 24 Sudut lurus
Sudut lurus adalah sudut yang besarnya tepat 180Β° πΆ = πππΒ°, maka πΆ adalah sudut lurus d. Sudut Tumpul
Gambar 7. 25 Sudut tumpul
Dari gambar 7. 25 dapat disimpulkan bahwa sudut tumpul adalah sudut yang ukuran sudutnya antara 90Β° dan 180Β°. ππΒ° < πΆ < πππΒ°, maka πΆ adalah sudut tumpul e. Sudut Refleks
Gambar 7. 26 Sudut refleks
Dari gambar 7. 26 dapat disimpulkan bahwa sudut tumpul adalah sudut yang ukuran sudutnya antara 180Β° dan 360Β°. πππΒ° < πΆ < πππΒ°, maka πΆ adalah sudut refleks
gambarkan sudut tersebut!
7.17
Tentukan jenis sudut di bawah ini (lancip, tumpul, atau siku-siku) dan
1. 2.
1 3 2 3
5
sudut lurus
3. 180Β° β 6 sudut lurus
putaran penuh
4. Pukul 18.20 5. Pukul 12.30
6. Tentukan banyaknya sudut pada tiap bangun berikut, kemudian sebutkan namanya! C
N
M S
R O
A
B
D
E
F P Q Perhatikan gambar dibawah ini untuk menjawab soal nomor 7 β 8! K
L
7.
H
G
Diketahui β πΆππ· = (2π₯ β 5)Β°, β π΅ππΆ =
(4π₯ β 7)Β°, β π΅ππ· = 150Β°. Tentukan besar β π΅ππΆ! 8.
Jika β π΄ππΈ = π₯Β°, β π΄ππ· = (7π₯ + 20)Β°.
Tentukan besar β π΄ππ·! 9. Perhatikan gambar di bawah ini! β π·ππΈ = (2π₯ + 9)Β°, β πΈππΆ = (5π₯ β 3)Β°, dan β π·ππΆ = 93Β°. Tentukan besar: a.
β πΈππΆ
b.
β πΈππ΄ + β πΆππ΅
10. Pesawat terbang dari kota A ke kota B terbang ke Barat sejauh 270Β°. Di atas kota B menara pegawas memerintahkan pesawat terbang merubah arah sejauh 295Β°. Berapakah derajat pesawat berputar? Gambarkan diagramnya.
7. Hubungan Antar Sudut a. Sudut Bersuplemen (Berpelurus)
lain maka sudut tersebut disebut pasangan linear dan akan membentuk sebuah
7.18
Jika dua sudut bersuplemen yang saling bersebelahan satu dengan yang
garis lurus. Dua sudut dikatakan bersebelahan apabila memiliki titik sudut dan kaki sudut yang sama. kaki sudut
πΒ° + πΒ° = πππΒ°
titik sudut
πΒ° + πΒ° = πππΒ°
Teorema 1 βJika sebuah garis lurus berpotongan dengan garis lurus sudut πΒ° +lain πΒ° maka = πππΒ° yang berdampingan membentuk sudut berpelurus (bersuplemen).β
πΒ° + πΒ° = πππΒ°
Μ
Μ
Μ
Μ
bertemu garis lurus Μ
Μ
Μ
Μ
Jika garis lurus ππΆ π΄π΅ di titik O maka untuk membuktikan bahwa β π΄ππΆ + β π΅ππΆ = 180Β° adalah
Pernyataan
Argumen
1. β π΄ππ΅ = 180Β°
Garis Lurus
2. πΒ° + πΒ° = 180Β°
β π΄ππ΅ adalah garis lurus
β΄ β π¨πΆπͺ + β π©πΆπͺ = πππΒ°
Pernyataan (1) dan (2)
Teorema 2 βJika dua sudut yang bersebelahan merupakan sudut berpelurus maka kaki sudut luar dari kedua sudut tersebut terletak pada garis lurus.β Oleh karena β π΄ππΆ dan β π΅ππΆ adalah sudut bersebelahan maka berdasarkan teorema 1 diperoleh β π΄ππΆ + β π΅ππΆ = 180Β°, dan untuk membuktikan bahwa π΄ππ΅ adalah garis lurus maka gambar terlebih dahulu garis lurus Μ
Μ
Μ
Μ
ππ· seperti di gambar.
7.19
Pernyataan
Argumen
1. Anggap β π΄ππ· adalah garis lurus
Asumsi
2. β π΄ππ· = 180Β°
Garis lurus
3. β π΄ππΆ + β πΆππ· = 180Β°
Pernyataan (1)
4. β π΄ππΆ + β π΅ππΆ = 180Β°
Teorema 1
5. β π΄ππΆ + β πΆππ· = β π΄ππΆ + β π΅ππΆ
Pernyataan (3) dan (4)
6. β΄ β πΆππ· = β π΅ππΆ
β΄ sebuah sudut bagian tidak akan
*yang adalah tidak mungkin
sama dengan sudut totalnya
7. β΄ Asumsi pernyataan (1) adalah
Pernyataan (1)
salah 8. β΄ π¨πΆπ© adalah garis lurus
Pernyataan (6) dan (7)
Dua sudut dikatakan sudut bersuplemen apa bila jumlah kedua sudut tersebut adalah 180Β°. Dan dua sudut dapat saling bersuplemen ketika: i.
Satu sudut adalah sudut lancip dan satu sudut lain adalah sudut tumpul
ii.
Kedua sudut tersebut adalah sudut siku-siku
(a)
Gambar 7. 27 (a) Sudut lancip dan sudut tumpul membentuk sudut bersuplemen, (b) Dua sudut siku-siku membentuk sudut saling bersuplemen
7.20
(b)
1. Jika sudut antara tangga bagian bawah dengan
πΒ°
dinding adalah πΒ° = 48Β°. Maka sudut antara πΒ° πΒ°
tangga bagian atas dengan dinding adalah β¦. Penyelesaian: Diketahui: πΒ° = 48Β° πΒ° + πΒ° = 180Β°
πΒ°
48Β° + πΒ° = 180Β° πΒ° = 180Β° β 48Β° πΒ° = 132Β° 2. Tiga kali penyiku suatu sudut besarnya lima kali pelurusnya. Berapa besar sudut tersebut? Penyelesaian: Diketahui: Sudut yang dimaksud: π₯Β° Tiga kali penyiku sudut tersebut: 3(90Β° β π₯Β°) Lima kali pelurusnya: 5(180Β° β π₯Β°) 3(90Β° β π₯Β°) = 5(180Β° β π₯Β°) 270Β° β 3π₯Β° = 900Β° β 5π₯Β° 2π₯Β° = 630Β° π₯Β° = 315Β° b.
Sudut Berkomplemen (Berpenyiku)
Dua sudut disebut sudut saling berkomplemen (berpenyiku) apabila jumlah kedua sudut tersebut 90Β°. P
πΒ° + πΒ° = 90Β° R
πΒ°
O
Q
Gambar O 7. 28 Sudut saling berkomplemen
πΒ°
πΒ°
7.21
πΒ°
Teorema 3 βJika terdapat dua sudut dan masing-masing sudut berkomplemen dengan sudut ke-tiga maka kedua sudut tersebut kongruen (sama).β
Pernyataan
Argumen
1. β π΄ dan β π΅ saling berkomplemen
Asumsi I
2. β π΅ adalah komplemen dari β π΄
Pernyataan (1)
β΄ β π΄ + β π΅ = 90Β°
Definisi sudut berkomplemen
3. β π΄ dan β πΆ saling berkomplemen
Asumsi II
4. β πΆ adalah komplemen dari β π΄ β΄ β π΄ + β πΆ = 90Β°
Pernyataan (2) Definisi sudut berkomplemen
5. β π΄ + β π΅ = β π΄ + β πΆ
Pernyataan (1) & Pernyataan (2) Komplemen dari sudut β π΄ yaitu β π΅ atau β πΆ adalah sudut yang kongruen
β΄ β π© = β πͺ
(β π΅ = β πΆ)
Tentukan nilai π₯ dari gambar-gambar berikut ini! 1.
Penyelesaian: 35Β°
π₯ 35Β°
35Β° + π₯ = 90Β° (berkomplemen) π₯ = 90Β° β 35Β° π₯ = 55Β°
π₯
2.
Penyelesaian 41Β° + π₯ = 90Β°
41Β° π₯ 41Β°
π₯ = 139Β°
7.22
π₯ = 90Β° β 41Β°
π₯
Perhatikan gambar jalan di samping. Garis AB adalah tepi jalan yang lurus. Carilah pasangan dua sudut yang saling berpelurus!
c. Sudut Bertolak Belakang Ketika dua garis lurus saling berpotongan satu sama lain akan terbentuk sudut yang saling bertolak belakang karena kedua sudut memiliki titik sudut yang sama. πΒ°
X πΒ°
O πΒ°
Y
πΒ° = πΒ°
πΒ°
πΒ°
P
πΒ°
Q
πΒ° = πΒ°
Gambar 7. 138 Sudut saling πΒ° = πΒ° Teorema 4 πΒ° bertolak Gambar 7. 142 Sudut saling bertolak belakang βSemua sudut yang saling bertolak belakang memiliki ukuranbelakang sudut yang
πΒ°
Gambar 7. 29 Sudut saling bertolak belakang
πΒ° = πΒ° πΒ° = πΒ°
sama.β Gambar 7. 143 Sudut saling bertolak belakang
Gambar 7. 139
Pada gambar 7. 29 sudut yang saling bertolak belakang adalahSudut dengan πΒ°β πΒ° =saling πΒ° Gambar 7. 144 Sudut saling bertolak belakang
sudut β πΒ° dan β πΒ° dengan β πΒ° sehingga
Pernyataan 1. β πΒ° = β πΒ°, β πΒ° = β πΒ°
bertolak belakang
Argumen Pernyataan (1)Gambar 7. 140 Sudut
2. πΒ° + πΒ° = 180Β°
Bersuplementersaling
3. πΒ° + πΒ° = 180Β°
Bersuplementerbertolak
4. πΒ° + πΒ° = πΒ° + πΒ°
Pernyataan (2) & πΒ° (3) = πΒ° Teorema 4
5. β΄ πΒ° = πΒ°
Gambar 7. 141 Sudut saling bertolak belakang
πΒ° = πΒ°
7.23
Hitunglah nilai π₯ pada gambar di bawah ini!
belakang
Penyelesaian: 2π₯ + 5 = 105 (2π₯ + 5)Β°
105Β°
2π₯ = 100 π₯ = 50
(2π₯ + 5)Β°
105Β°
Ingat! οΌ 2 Sudut saling berpelurus (bersuplemen), maka πΒ° + πΒ° = πππΒ° οΌ 2 Sudut saling berpenyiku (berkomplemen), maka πΒ° + πΒ° = ππΒ° οΌ 2 Sudut saling bertolak belakang, maka πΒ° = πΒ°
1. AOB adalah sebuah garis lurus.
D
Tentukan nilai dari β COD !
C 63Β°
42Β°
A
B
O 63Β°
42Β° B
2. AOB adalah sebuah garis lurus. Tentukan β DOB! D
O
108Β°
85Β° 108Β° 85Β° A
7.24
Tentukan nilai π₯ dan π¦ berikut!
C
6.
3.
M 130Β° π₯
2π¦ β 10Β° π₯
130Β°
P 2π¦ β 10Β°
34Β°
Q
N
π₯
7.
π₯ 34Β°
4.
7π₯
3π₯
5π₯
18Β°
π₯ 2π₯
6π₯
7π₯
3π₯
3π₯ 5π₯
18Β°
π₯ 6π₯
8.
2π₯
5. 36Β°
π₯
2π₯ 36Β°
π₯
2π₯
3π₯
π¦ 7π₯ π¦ 7π₯
9. Jika ukuran β πππ = (3π₯ β 4)Β° , ukuran β π
ππ = (2π₯ + 5)Β° , dan ukuran β π
ππ = 111Β°. (i) Tentukan ukuran β π
ππ! (ii) Jika ukuran β πππ = (2π₯)Β°, dan ukuran β πππ = (5π₯ β 23)Β° . Tentukan ukuran P
β πππ!
1 10. P Penyiku dari suatu sudut besarnya sama dengan 5 pelurus sudut tersebut.
Tentukan besar empat kalinya sudut tersebut! 11.
1
1
Penyiku dari 4 pelurus 3 sudut adalah 50Β°. Berapa besar sudut tersebut? 1
P
Tiga kali penyiku suatu sudut besarnya lima kali pelurusnya. Tentukan 6 sudut tersebut!
7.25
12.
P
13.
Diketahui β πΏ = (7π₯ + 5Β°) dan β π = (6π₯ β 6Β°). Jika β πΏ dan β π saling berpenyiku, maka besar sudut berpelurus dengan β π adalah β¦
14.
1
Pelurus dari tiga kali penyiku dua kali sudut besarnya 6Β°. Tentukan 4 sudut
tersebut! 15.
Tentukan besar sudut yang belum diketahui!
πΒ° 138Β° πΒ° πΒ°
100Β° π₯Β° π¦Β° 100Β° π₯Β° π¦Β°
πΒ° 138Β° πΒ° πΒ° πΒ° πΒ° πΒ° 70Β°
πΒ°
πΒ°
πΒ° πΒ° πΒ° πΒ°
52Β°
52Β°
πΒ° πΒ° 70Β°
πΒ°
Ketika dua buah garis sejajar misalnya garis m dan garis n dipotong oleh garis ketiga yaitu garis π (gambar 7. 30) maka akan membentuk 8 sudut yaitu β π΄1 , β π΄2 , β π΅7, dan β π΅8 yang merupakan sudut-
π π 2 π΄ π
1
π΄
1
π
4 2 4
6
5
3
merupakan sudut-sudut dalam. Garis yang
π
3
sudut luar dan β π΄3 , β π΄4 ,β π΅5, dan β π΅6 yang memotong kedua garis tersebut (garis π )
7
π
8
disebut garis transversal. Akibat kedua garis
π΅6
sejajar tersebut dipotong oleh garis lain maka
Gambar 7. 30 Dua garis sejajar yang dipotong garis lain
π΅
akan terbentuk pula pasangan-pasangan sudut, yaitu sudut sehadap, sudut dalam
berseberangan, sudut luar berseberangan, sudut dalam sepihak, dan sudut luar sepihak. a. Sudut Sehadap Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka akan terbentuk
β π΅7 pada gambar 7. 32. Sudut β π΄3 dan β π΅7 merupakan sudut sehadap karena
7.26
empat pasang sudut sehadap yang besarnya sama contohnya adalah sudut β π΄3 dan
sudut-sudut tersebut menghadap ke arah yang sama sehingga kedua sudut tersebut sama besar. π΄ π
π
π΅
2 3
6
1 π΄4
5
2 3 1
7 8 π΅
6
4
π
π Gambar 7. 31 Sudut sehadap
π π sudut sehadap memiliki ukuran sudut yang Untuk membuktikan bahwa
sama maka perhatikan pola jajargenjang pada gambar 7. 31.
E A
F B
G C
H D
Gambar 7. 32 Pola jajargenjang
Apabila jajargenjang ABFE di geser ke kanan sejauh AB sehingga menempati jajargenjang BCGF, maka: β πΈπ΄π΅ β β πΉπ΅πΆ, berarti β πΈπ΄π΅ = β πΉπ΅πΆβ¦β¦(i) Jika jajargenjang ABED digeser sejauh 2π΄π΅ sehingga menempati jajargenjang GCDH, maka: β πΈπ΄π΅ β β πΊπΆπ·, berarti β πΈπ΄π΅ = β πΊπΆπ·β¦β¦(ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh β πΈπ΄π΅ = β πΉπ΅πΆ = β πΊπΆπ·. Sudut-sudut tersebut adalah sudut sehadap.
βJika dua buah garis sejajar dipotong oleh suatu garis, maka sudut-sudut sehadap yang terbentuk sama besar.β
7.27
Sifat I
Tentukan besar sudut πΒ°, πΒ°, πΒ°, πΒ°, πΒ°, πΒ° dan πΒ°! πΒ° πΒ°
Penyelesaian:
πΒ° πΒ°
65Β° πΒ°
πΒ° = 180Β° β 65Β° = 115Β° πΒ° = 115Β° (bertolak belakang dengan
πΒ° πΒ°
πΒ° πΒ°
πΒ° πΒ°
65Β° πΒ°
πΒ°)
πΒ° πΒ°
πΒ° = 65Β° (bertolak belakang dengan 65Β°) πΒ° = 115Β° (sehadap dengan πΒ°) πΒ° = 115Β° (sehadap dengan πΒ°) πΒ° = 65Β° (sehadap dengan πΒ°) πΒ° = 65Β° (sehadap dengan 65Β°)
b. Sudut Dalam Berseberangan Sifat II βJika dua buah garis sejajar dipotong oleh suatu garis ketiga, maka pasangan sudut-sudut dalam berseberangan yang terbentuk memiliki besar sudut yang sama.β
Sudut
π π
π΅
2 3
6 5
1 π΄4 2 3 1
berseberangan
adalah dua sudut dalam yang tidak
π΄ π
dalam
berdekatan pada sisi yang berseberangan 7
8 π΅ 6
4 π
terhadap garis transversal. Pada gambar di samping β π΄3 dan β π΄5 merupakan pasangan sudut dalam berseberangan sehingga β π΄3 = β π΄5 .
Gambar 7. 33 Sudut dalam berseberangan
Untuk
membuktikan
sifat
II
perhatikan gambar jajargenjang di bawah ini. π
7.28
π
π·
πΆ π΅β²
π΄β²
π΅β²
π΄β²
π
π·
π π΅ πΆβ²
π΄
π·β²
Gambar 7. 34 Jajargenjang
π΄
π΅ πΆβ²
π·β²
Jajar genjang ABCD diputar 180Β° di titik P (titik tengah BC) sehingga π΅ β πΆβ² dan πΆ β π΅β². Maka:
Pernyataan
Argumen
1. β π΄π΅πΆ = β πΆπ·π΄
Bertolak belakang
2. β π΄β² π΅β²πΆβ² = β πΆπ·π΄
Sehadap
β΄ β π¨π©πͺ = β π¨β² π©β²πͺβ²
Sifat II
Tentukan nilai π₯Β°, π¦Β° dan π§Β°! Penyelesaian: π§Β°
π¦Β°
π₯Β° π§Β° π₯Β°
108Β°
108Β° π¦Β°
π₯Β° = 108Β° (dalam berseberangan dengan 108Β°) π¦Β° = 180Β° β 108Β° = 72Β° (berpelurus) π§Β° = 72Β° (dalam bersebrangan dengan π¦Β°)
c. Sudut Luar Berseberangan Sifat III βJika dua buah garis sejajar dipotong oleh suatu garis, maka sudut-sudut luar berseberangan sama besar.β Pasangan β π΄1 dengan β π΅7 pada gambar 7. 35 di bawah ini merupakan
7.29
pasangan sudut luar berseberangan. Sudut luar berseberangan adalah dua sudut
luar yang tidak berdekatan pada sisi-sisi yang berseberangan terhadap garis transversal (garis π). π΄
π΅
2
π
6
3 5
1 π΄4 2
π
1
7 8 π΅
6
3 4
π
π Gambar 7. 35 Sudut luar berseberangan
π Untuk membuktikan bahwa β π΄π1 = β π΅7 lihat tabel di bawah ini
Pernyataan
Argumen
1. β π΄1 = β π΄3
Bertolak belakang
2. β π΄3 = β π΅7
Sehadap
β΄ β π¨π = β π©π
Sifat III
Tentukan nilai π₯Β° + π¦Β° + π§Β°! Penyelesaian: π₯Β°
π§Β° π¦Β°
78Β°
78Β°
π¦Β° = 180Β° β 78Β° = 102Β° (berpelurus) π₯Β°
π§Β° π¦Β°
π₯Β° = 78Β° (luar berseberangan)
π§Β° = 102Β° (luar berseberangan dengan π¦Β°) π₯Β° + π¦Β° + π§Β° = 78Β° + 102Β° + 102Β° = 282Β°
1. Tentukan nilai π₯ lalu hitung besar sudut
D
yang lain!
A 2π₯Β°
E
B
C
7.30
2π₯Β°
2. Hitunglah nilai π₯ dan π¦
D
C
π¦Β° π₯Β°
63Β° π¦Β° π₯Β° 26Β° B
A 63Β°
3. Tentukan nilai π₯Β°!
26Β° 67Β°
π₯Β°
67Β°
58Β° π₯Β° 58Β°
d. Sudut Dalam Sepihak Sifat IV βJika dua buah garis sejajar dipotong oleh suatu garis maka sudut-sudut dalam sepihak jumlahnya 180Β° (berpelurus).β
Sudut dalam sepihak adalah dua sudut π΄ π
π π
π΅
2 3 1 4 π΄
6 5
2 3 1 4
dalam yang terletak pada sisi yang sama. 7
8 π΅ 6
π
merupakan contoh sudut dalam sepihak sehingga β π΄3 + β π΅6 = 180Β° .
Untuk
membuktikan bahwa β π΄3 + β π΅6 = 180Β°
π Gambar 7. 36 Sudut dalam sepihak
π
Pasangan β π΄3 dan β π΅6 pada gambar 7. 36
lihat tabel di bawah ini:
Pernyataan
Argumen
1. β π΄3 = β π΅7
Sehadap
2. β π΅7 = 180Β° β β π΅6
Berpelurus
β΄ β π¨π + β π©π = πππΒ°
Pernyataan (1) & (2) Sifat IV
7.31
3. β π΄3 = 180Β° β β π΅6
Garis p // garis q. Tentukan besar β π΄ dan β π΅! Diketahui: β π΄ = (5π₯ β 10)Β° β π΅ = (3π₯ + 20)Β° Penyelesaian: β π΄ + β π΅ = 180Β° (5π₯ + 20)Β°
(5π₯ β 10)Β° + (5π₯ + 20)Β° = 180Β°
(5π₯ β 10)Β°
10π₯ + 10Β° = 180Β°
(5π₯ + 20)Β°
10π₯ = 170Β° π₯ = 17Β°
(5π₯ β 10)Β°
1. Tentukan nila π₯ dan π¦! B 40Β°
π¦Β° 55Β° π¦Β°
π₯Β°
40Β°
55Β°
A
Untuk soal no. 2-5 tentukan nilai π₯!
π₯Β°
2. 48Β° 2π₯Β° π₯Β° 48Β°
2π₯Β° π₯Β°
3.
10π₯
π₯ + 5Β°
10π₯
7.32
π₯ + 5Β°
4. 138Β°
280Β°
π₯Β° 138Β°
280Β°
5. π₯Β° 30Β° πΒ° πΒ° 30Β° πΒ°
πΒ°
πΒ° πΒ°
40Β°
πΒ°
πΒ°
40Β°
e. Sudut Luar Sepihak Sudut luar sepihak adalah dua sudut luar yang terletak pada sisi yang sama. Pada
π΄ π
2 3 1 4 π΄
π
2 3 1 4
π
π΅ 6 5
gambar 7. 37 contoh pasangan sudut luar 7
8 π΅
sepihak adalah β π΄2 dan β π΅7.
6 π
Gambar 7. 37 Sudut luar sepihak
Sifat π V
π
βJika dua buah garis sejajar dipotong oleh suatu garis maka sudut-sudut luar sepihak jumlahnya 180Β° (berpelurus).β Sehingga β π΄2 + β π΅7 = 180Β°. Untuk membuktikan bahwa β π΄2 + β π΅7 = 180Β° lihat tabel di bawah ini:
Pernyataan
Argumen Sehadap
2. β π΄2 + β π΄3 = 180Β°
Berpelurus
7.33
1. β π΄2 = β π΅6
3. β π΅7 = β π΄3
Sehadap
β΄ β π¨π + β π©π = πππΒ°
Sifat V
Pada gambar di samping ini, diketahui garis l // m β π΄1 = 78Β°. Tentukan besar β π΅2, β π΅3 dan β π΅4 ! Penyelesaian: β π΅4 = 180Β° β 78Β° = 102Β°
(luar
sepihak
degan β π΄1 ) β π΅2 = 102Β° (bertolak belakang dengan β π΅4) β π΅3 = β π΄1 = 78Β° (luar berseberangan dengan β π΄1 )
1. Tentukan nilai π£ berikut!
J
F
38Β°
G
M 3π£
π£
L
H
3π£
2. Tentukan nilai π₯ berikut!
38Β°
K
π£
π₯ 80Β° π₯ 50Β° 80Β°
3. Garis AB sejajar dengan garis CD. Tentukan nilai π₯ dan π¦! 50Β°
7.34
4. Tentukan nilai π!
πΒ° 105Β° πΒ°
35Β°
105Β°
35Β°
5. Tentukan nilai π₯! π₯Β°
π₯Β°
124Β°
124Β°
75Β°
75Β° f. Jumlah Sudut dalam Segi-n a. Segitiga Teorema 1 βJumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180Β°.β
Perhatikan gambar di bawah untuk membuktikan teorema 1.
πΒ°
1 2 3
πΒ° πΒ°
41 5 2 πΒ°
4
πΒ°
Gambar 7. 38 Teorema segitiga 1
1. β 1 + β 2 + β 3 = 180Β°
πΒ°
Argumen Sudut pelurus
7.35
πΒ° Pernyataan
πΒ°
2. β 1 = β 4
Dalam berseberangan
3. β 3 = β 5
Dalam berseberangan
4. β 1 + β 2 + β 3 = β 4 + β 2 + β 5
Pernyataan (2) & (3)
β΄ β π + β π + β π = πππΒ°
Teorema 1
b. Segi-n Teorema 2 z
Jumlah sudut dalam segi-π adalah (π β 2) Γ 180Β°.
Untuk membuktikan teorema ke-2, ujikan kepada segitiga dan segi lima. ο Segitiga Bagi sebuah segitiga menjadi tiga segitiga seperti gambar 7. 39. A
Dari gambar 7. 37 diperoleh persamaan yaitu
πΒ° πΒ° π₯Β° = 180Β° β (πΒ° + πΒ°) β¦ (i) π₯Β° π§Β° π¦Β° = 180Β° β (πΒ° + πΒ°) β¦ (ii) π¦Β° πΒ° πΒ° π§Β° = 180Β° β (πΒ° + πΒ°) β¦ (iii) πΒ° πΒ° πΒ° πΒ° π₯Β° π§Β° Jumlahkan ketiga persamaan B C π¦Β° Gambar 7. 39 Teorema segitiga 2 maka diperoleh πΒ° πΒ° πΒ° π₯Β° + π¦Β° + π§Β° = 3 Γ 180Β° β (πΒ°πΒ°+ πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ°) β¦ (iv) Karena π₯Β° + π¦Β° + π§Β° = 360Β° (lingkaran) atau dapat ditulis π₯Β° + π¦Β° + π§Β° = 2 Γ 180Β° β¦(v) Substitusikan persamaan (v) ke persamaan (iv), maka diperoleh π₯Β° + π¦Β° + π§Β° = 3 Γ 180Β° β (πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ°) 2 Γ 180Β° = 3 Γ 180Β° β (πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ°) (πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ°) = (3 β 2) Γ 180Β° (πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ°) = 1 Γ 180Β° β΄ (πΒ° + πΒ° + πΒ° + π
Β° + πΒ° + πΒ°) = πππΒ°
7.36
ο Segi-lima (Penatagon)
Untuk menguji kebenaran rumus sudut dalam segi-n adalah (π β 2) Γ 180Β° coba buktikan pada pentagon (segi-5) dengan membagi pentagon menjadi 5 segitiga seperti gambar 7. 40 D Dari
8 7
gambar
7.
38
diperoleh
persamaan yaitu E
9 10
6 C 5
πΒ° πΒ° πΒ° πΒ° πΒ°
πΒ° = 180Β° β (β 2 + β 3) β¦ (i) πΒ° = 180Β° β (β 4 + β 5) β¦ (ii) πΒ° = 180Β° β (β 6 + β 7) β¦ (iii) πΒ° = 180Β° β (β 8 + β 9) β¦ (iv)
1
2
A
34 B
Gambar 7. 40 Pentagon
πΒ° = 180Β° β (β 10 + β 1) β¦ (v)
Jumlahkan kelima persamaan maka
diperoleh πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° = 5 Γ 180Β° β (β 2 + β 3 + β 4 + β 5 + β 6 + β 7 + β 8 + β 9 + β 10 + β 1) β¦ (vi) Karena πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° = 360Β° (lingkaran) dapat ditulis πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° + πΒ° = 2 Γ 180Β° β¦ (vii) Substitusikan persamaan (vi) ke persamaan (vii), maka diperoleh 2 Γ 180Β° = 5 Γ 180Β° β (β 2 + β 3 + β 4 + β 5 + β 6 + β 7 + β 8 + β 9 + β 10 + β 1) (β 2 + β 3 + β 4 + β 5 + β 6 + β 7 + β 8 + β 9 + β 10 + β 1) = (5 β 2) Γ 180Β° (β 2 + β 3 + β 4 + β 5 + β 6 + β 7 + β 8 + β 9 + β 10 + β 1) = 3 Γ 180Β° β΄ (β π + β π + β π + β π + β π + β π + β π + β π + β ππ + β π) = (π β π)πππΒ° (β 2 + β 3 + β 4 + β 5 + β 6 + β 7 + β 8 + β 9 + β 10 + β 1) = 540Β°
Melalui pembuktian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus sudut dalam segi-n adalah (π β π) Γ πππΒ°
7.37
1. Pada gambar di bawah diketahui garis g // k, β π2 = β π3 dan β π
1 = β π
2 . Jika β π1 = 128Β°, tentukan besar sudut yang lain!
2. Tentukan nilai π₯ dan π¦! π¦ + 20Β°
4π₯Β°
π¦Β° π₯ + 30Β°
1
3. Perhatikan gambar di samping! β πΆπ΅π΄ = 2 β πΆπ΄π΅. Tentukan besar β π΄π΅π·!
4. Tentukan nilai π₯!
simetris jika dilihat dari kelima sudutnya. Berapakah β π΄ + β π΅ + β πΆ + β π· + β πΈ?
7.38
5. Gambar di bawah ini adalah bangun bintang beraturan yang mempunyai sifat
A
E
B 108Β°
D
C
Ingat! οΌ β π¨ danβ π© adalah sudut dalam berseberangan; β π¨ = β π© οΌ β π¨ danβ π© adalah sudut luar berseberangan; β π¨ = β π© οΌ β π¨ danβ π© adalah sudut dalam sepihak; β π¨ + β π© = πππΒ° οΌ β π¨ danβ π© adalah sudut luar sepihak β π¨ + β π© = πππΒ° οΌ Jumlah sudut dalam segi-π adalah (π β π) Γ πππΒ°
7.39
Ringkasan ο Garis adalah kurva lurus yang tidak memiliki ujung maupun pangkal ο Jenis-jenis garis: -
Segmen garis: Kurva lurus yang mempunyai pangkal dan ujung
-
Sinar garis: Kurva lurus yang mempunyai pangkal namun tidak berujung
ο Kedudukan Garis: -
Sejajar: Dua buah garis yang terletak pada satu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas
-
Berhimpit: Suatu garis terletak pada garis lain atau sebaliknya dan membentuk satu garis lurus
-
Berpotongan: Dua buah garis yang memiliki satu titik persekutuan
-
Bersilangan: Dua buah garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar dan tidak terletak pada bidang yang sama
ο Hubungan antara derajat dengan waktu: 1Β° = 60β² (menit) 1β² = 60β²β² (detik) 1Β° = 60 Γ 603β²β² = 600β²β² (detik) ο Jenis-jenis sudut: -
Sudut lancip: 0Β° < πΌ < 90Β°
-
Sudut siku-siku: πΌ = 90Β°
-
Sudut tumpul: 90Β° < πΌ < 180Β°
-
Sudut refleks: 180Β° < πΌ < 360Β°
ο Hubungan antar sudut: -
Sudut berpenyiku (berkomplemen): β π΄ + β π΅ = 90Β°; β π΄ danβ π΅ adalah sudut berpenyiku
-
Sudut berpelurus (bersuplemen): β π΄ + β π΅ = 180Β° ; β π΄ dan β π΅ adalah sudut berpelurus
-
Bertolak belakang: β π΄ = β π΅; β π΄ danβ π΅ adalah sudut bertolak belakang
pasangan sudut yaitu: -
Sudut Sehadap β π΄ = β π΅; β π΄ danβ π΅ adalah sudut sehadap
7.40
ο Dua garis sejajar yang dipotong garis lain akan membentuk pasangan-
-
Sudut dalam berseberangan β π΄ = β π΅ ; β π΄ dan β π΅ adalah sudut dalam berseberangan
-
Sudut luar berseberangan β π΄ = β π΅ ; β π΄ dan β π΅ adalah sudut luar berseberangan
-
Sudut dalam sepihak β π΄ + β π΅ = 180Β°; β π΄ danβ π΅ adalah sudut dalam sepihak
-
Sudut luar sepihak β π΄ + β π΅ = 180Β° ; β π΄ dan β π΅ adalah sudut luar sepihak
ο Jumlah sudut dalam segi-π adalah (π β 2) Γ 180Β°
7.41
A. Pilihan Berganda 1. Pada gambar segitiga di samping ini,
π΄
π΄π΅ = π΄πΆ , β π΅π΄π· = 30Β° dan π΄πΈ = 30Β°
π΄π· . Maka besar β πΆπ·πΈ adalahβ¦ (American High School Mathematics
πΈ π₯
Examination, 1956)
π΅
πΆ
π·
a. 7,5Β° b. 10Β° c. 12,5Β° d. 15Β° e. 20Β° 2. Pada gambar βπ΄π΅πΆ, π΄π· = π΄π΅ = π΅πΈ. Garis-garis pembagi yang membagi rata sudut luar β π΄ dan β π΅ berpotongan pada titik D dan E. Maka besar β π΄ πΆ
πΈ
adalah⦠(Mathematical Olimpiad in China, 1986)
π΄ π΅
π·
a.
8Β°
b.
10Β°
c.
11Β°
d.
12Β°
e.
15Β°
3. βπ΄π΅πΆ , siku-siku di π΅ . Μ
Μ
Μ
Μ
π΄πΆ diperpanjang
π΄
sampai π· sehingga πΆπ· = πΆπ΅ . Garis bagi
π₯ π₯
sudut π΄ bertemu π΅π· di titik πΈ . Maka β π΄πΈπ΅ adalahβ¦ (CEMC, 2012) a. 60Β° b. 45Β°
d. 25Β°
πΆ
π¦
πΈ
π¦ π·
7.42
c. 30Β°
π΅
e. 22,5Β°
π΄
4. Tentukan jumlah sudut π΄ , π΅ , πΆ , π· dan πΈ yang terdapat dalam gambar di samping! (CEMC, 2012) a. 180Β°
π΅ πΈ
b. 225Β° c. 270Β° d. 360Β°
πΆ
π·
e. 420Β° 5. Pada gambar di bawah ini, Jalan Elok akan di bangun sejajar
Jalan Hasan
Jalan Elok
dengan Jalan Hasan. Maka besar sudut π₯ yang menghubungkan
70Β°
π₯
Jalan Elok dengan Jalan Hasan adalah β¦ a. 80Β° b. 90Β° c. 100Β° d. 110Β° e. 120Β°
B. Essay 1. Dua buah segitiga samakaki yang empat sudut di dalamnya sama besar dan disimbolkan dengan π₯ seperti gambar. Dua sudut lain yang si simbolkan dengan π¦ juga memiliki besar yang sama. Tentukan persamaan hubungan antara π₯ dan π¦! (CEMC, 2012)
π₯
π¦
π₯
π¦
π₯
7.43
π₯
2. Kapal laut A berlayar dari teluk Jakarta menuju Banjarmasin dengan arah 65Β°. Diteruskan ke lombok dengan arah 155Β°. Tentukan derajat perputaran kapal! 3. Perhatikan gambar di samping. Tentukan nilai π + π + π + π + π + π + π + β + π! (OSN, 2007)
4. Terdapat empat titik π΄ , π΅ , πΆ dan π· dalam sebuah bidang sedemikian rupa sehingga tiga titik pada bidang tersebut tidak kolinear (terletak pada suatu garis lurus). Buktikan bahwa dalam segitiga π΄π΅πΆ , π΄π΅π· , π΄πΆπ·, dan π΅πΆπ· terdapat setidaknya minimal satu segitiga yang memiliki sudut bagian dalam yang besarnya tidak lebih dari 45Β°! (Mathematical Olimpiad Series, Vol 6, 2010) 5. Jelaskan minimum 4 langkah yang berbeda dalam memperoleh nilai π₯ pada gambar di bawah!
π₯Β°
45Β°
75Β°
7.44
A. Pilihan Berganda 1. Jawaban: D π₯ = β π΄π·πΆ β β π΄π·πΈ π₯ = β π΄π·πΆ β β π΄πΈπ· (π΄π· = π΄πΈ berarti β π΄π·πΈ = β π΄πΈπ·) β β π΄πΈπ· = 180Β° β β π·πΈπΆ β β π΄πΈπ· = 180Β° β (180Β° β π₯ β π΄πΆπ·) β β π΄πΈπ· = π₯ + β π΄πΆπ· π₯ = β π΄π·πΆ β (π₯ + β π΄πΆπ·) π₯ = β π΄π·πΆ β π₯ β β π΄πΆπ· 2π₯ = β π΄π·πΆ β β π΄πΆπ· 1 π₯ = 2 (β π΄π·πΆ β β π΄πΆπ·)
π΄
30Β°
πΈ π₯
π΅
π·
πΆ
β β π΄π·πΆ = 180Β° β β π΄π·π΅ β β π΄π·πΆ = 180Β° β [180Β° β (30Β° + β π΄π΅πΆ)] β β π΄π·πΆ = 30Β° + β π΄π΅πΆ 1 π₯ = 2 (30Β° + β π΄π΅πΆ β β π΄πΆπ·) ; β π΄π΅πΆ = β π΄πΆπ· karena π΄π΅ = π΄πΆ π₯ = 15Β° 2. Jawaban: D π΄π· = π΄π΅ = π΅πΈ
β πΈπ΄π΅ = β π΄πΈπ΅ = πΌ β π΄π·π΅ = β π΄π΅π· = π½ β πΆπ΅πΈ = πΎ, β π΄πΆπ΅ = πΏ *β π΄π΅π· = 2 Γ β πΆπ΅πΈ (bertolak belakang dan garis BE membagi rata β B) Atau dapat ditulis π = ππΈ β¦ (i) *β π΄π΅π· = 180Β° β β π΄π΅πΆ β π΄π΅π· = 180Β° β [180Β° β (β π΄πΆπ΅ + β πΈπ΄π΅); Jumlah sudut bagian dalam segitiga β π΄π΅π· = β π΄πΆπ΅ + β πΈπ΄π΅ atau dapat ditulis π½ = πΏ + πΌ β¦ (ii) *β π΄πΆπ΅ = 180Β° β β πΈπΆπ΅ β π΄πΆπ΅ = 180Β° β [180Β° β (β πΆπ΅πΈ + β π΄πΈπ΅)] β π΄πΆπ΅ = β πΆπ΅πΈ + β π΄πΈπ΅ atau dapat ditulis πΏ = πΎ + πΌ β¦ (iii)
β π΅π΄π· + β π΄π΅π· + β π΄π·π΅ = 180Β° ; β π΄π΅π· = β π΄π·π΅ = π½
7.45
Dari pers (ii) & (iii) di dapat π½ = 2πΌ + πΎ β¦ (iv) Substitusi pers (iv) ke (i) 2πΎ = 2πΌ + πΎ. Menjadi πΎ = 2πΌ. Sehingga π· = ππΆ
1 2 1 2
(180Β° β β πΈπ΄π΅) + 2π½ = 180Β° (180Β° β πΌ) + 2π½ = 180Β° πΌ
2π½ = 180Β° β (90Β° β 2 ) πΌ
2π½ = 90Β° + 2
4π½ = 180Β° + πΌ ; karena π½ = 4πΌ, maka 16πΌ β πΌ = 180Β° ; 15πΌ = 180Β° β΄ πΆ = ππΒ° atau β π΄ = 12Β° 3. Jawaban: B π΄πΈ memotong β π΅π΄πΆ, sehingga β π΅π΄πΈ = β πΈπ΄πΆ = π₯ πΆπ΅ = πΆπ·, βπ΅πΆπ· sama kaki maka β πΆπ΅π· = πΆπ·π΅ = π¦ *βπ΄π΅π·: 2π₯ + (90Β° + π¦) + π¦ = 180Β° 90Β° + 2π₯ + 2π¦ = 180Β° 2π₯ + 2π¦ = 90Β° π₯ + π¦ = 45Β° *βπ΄π΅πΈ: π₯ + (90Β° + π¦) + β πΈπ΄π΅ = 180Β° 90Β° + (π₯ + π¦) + β πΈπ΄π΅ = 180Β° 90Β° + 45Β° + β πΈπ΄π΅ = 180Β° β΄ β π¬π¨π© = ππΒ° 4. Jawaban: A π, π, π, π, π merupakan sudut bagian luar pentagon. Sehingga π + π + π + π + π = 360Β° atau Jumlah sudut bagian dalam dari 5 segitiga adalah 5 Γ 180Β° = 900Β° * π+π+π+π+π+π+π+β+π+π+π+ π + π‘ + π’ + π£ = 900Β° (π + π + π + π + π) + (π + π + β + π + π) + π + π + π‘ + π’ + π£ = 900Β° *360Β° + 360Β° + π + π + π‘ + π’ + π£ = 900Β° π + π + π‘ + π’ + π£ = 900Β° β 720Β° π + π + π‘ + π’ + π£ = 180Β°; β΄ π¨ + π© + πͺ + π« + π¬ = πππΒ° 5. Jawaban: D
7.46
β π₯ dalam sepihak dengan 70Β° sehingga π₯ = 180Β° β 70Β° = 110Β°
B. Essay 1. β 3 dan β 4 = π¦ karena bertolak belakang β β 1 + β 2 + β 3 + β 4 = 360Β° β¦ (i) β 1 = 180Β° β 2π₯ β¦ (ii) β 2 = 180Β° β 2π₯ β¦ (iii) *Substitusi pers (ii) & (iii) ke pers (i) 180Β° β 2π₯ + 180Β° β 2π₯ + π¦ + π¦ = 360Β° β4π₯ + 2π¦ = 0 2π¦ = 4π₯ ; β΄ π = ππ
π¦
π₯ 2
π₯
3 1 4
π¦
π₯
π₯
2. Buat diagram pemecahan masalah Kapal berputar ke kanan sebesar 155Β° β 65Β° = 90Β° 155Β°
65Β°
3. Bentuk segi 9 tak beraturan tersebut menjadi 7 bagian segitiga seperti gambar sehingga nilai π + π + π + π + π + π + π + β + π = 7 Γ 180Β° = 1260Β° atau menggunakan rumus jumlah sudut dalam segi- π adalah (π β 2) Γ 180Β° = (9 β 2) Γ 180Β° = 7 Γ
Segi-9
180Β° = 1260Β°
4. Penyelesaian bergantung pada gambar, namun dua gambar berikut sudah dapat mencakup pembuktian tersebut
(b)
7.47
(a) Untuk gambar (a);
β π·π΄π΅ + β π΄π΅πΆ + β π΅πΆπ· + β πΆπ·π΄ = 360Β°, setidaknya satu dari sudut tersebut lebih kecil dari 90Β°. Asumsikan β πΆπ·π΄ β₯ 90Β°, maka dalam βπΆπ·π΄, β π·πΆπ΄ + β πΆπ΄π· β€ 90Β°, sehingga salah satu dari kedua sudut tersebut tidak ada yang lebih besar dari 45Β°. Untuk gambar (b); β π΄π·π΅ + β π΄π·πΆ + β π΅π·πΆ = 360Β°, setidaknya satu dari tiga sudut tersebut lebih besar dari 90Β°. Anggap β π΄π·π΅ > 90Β°, maka β π·π΄π΅ + β π·π΅π΄ < 90Β°, sehingga salah satu dari β π·π΄π΅ dan β π·π΅π΄ lebih kecil dari 45Β°. β 5 = 45Β° (bertolak belakang) β 5 = β 2 = 45Β° (sehadap) β π₯ = 180Β° β 75Β° β β 2 (sudut dalam segitiga) β π₯ = 105Β° β 45Β° = 60Β°
5. Cara I: β 3 = 180Β° β 75Β° = 105Β° (berpelurus) β 3 = β π₯ + 45Β° (dalam berseberangan) 105Β° β 45Β° = β π₯ β π₯ = 60Β°
Cara IV: β 4 = 75Β° (dalam berseberangan) β 4 + β π₯ + 45Β° = 180Β° (berpelurus) 75Β° + β π₯ = 135Β° β π₯ = 60Β°
Cara II: β 4 = 75Β° (dalam berseberangan) β 1 = β 4 = 75Β° (bertolak belakang) β 6 = 180Β° β β 1 β 45Β° β 6 = 180Β° β 75Β° β 45Β° = 60Β° β π₯ = β 6 = 60Β° (bertolak belakang)
Cara V: β 2 = 45Β° (dalam berseberangan) β π₯ = 180Β° β 75Β° β β 2 (sudut dalam segitiga) β π₯ = 105Β° β 45Β° = 60Β°
Cara III:
6
5
4
3
1
45Β° π₯Β°
75Β°
2
7.48
B Busur Derajat
: Salah satu alat yang dapat digunakan untuk mengukur satu sudut
D Daerah Sudut
: Daerah yang terbentuk antara dua kaki sudut
Derajat
: Satuan sudut
G Garis
: Kurva lurus yang tidak memiliki ujung maupun pangkal
Garis Berhimpit
: Suatu garis terletak pada garis lain atau sebaliknya dan membentuk satu garis lurus
Garis Berpotongan
: Dua buah garis yang memiliki satu titik persekutuan
Garis Bersilangan
: Dua buah garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar dan tidak terletak pada bidang yang sama
Garis Sejajar
: Dua buah garis yang terletak pada satu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas
Garis Transversal
: Garis yang memotong garis lainnya
K Kaki Sudut
: Sinar garis yang membentuk suatu sudut
S Segmen Garis
: Kurva lurus yang mempunyai pangkal dan ujung
Sinar Garis
: Kurva lurus yang mempunyai pangkal namun tidak berujung
Sudut
: Suatu daerah yang dibentuk oleh dua buah garis yang memiliki titik pangkal yang sama (berimpit).
Sudut Berpelurus
: Dua buah sudut yang jumlah kedua sudutnya 180Β°
Sudut Berpenyiku
: Dua buah sudut yang jumlah kedua sudutnya 90Β°
Sudut Berseberangan : Dua sudut yang tidak berdekatan baik dalam maupun luar
Sudut Bertolak-belakang: kedua sudut memiliki titik sudut yang sama Sudut Lancip
: Sudut yang besarnya antara 0Β° dan 90Β°
7.iii
pada sisi yang berseberangan terhadap garis transversal
Sudut Refleks
: Sudut yang besarnya antara 180Β° dan 360Β°
Sudut Sehadap
: Sudut-sudut yang menghadap ke arah yang sama
Sudut Sepihak
: Dua sudut baik dalam maupun luar yang terletak pada sisi yang sama
Sudut Siku-siku
: Sudut yang besarnya 90Β°
Sudut Tumpul
: Sudut yang besarnya antara 90Β° dan 180Β°
T Titik Sudut
: Titik potong pangkal sinar dari kaki sudut
7.iv
Brown, P., Evans, E., Hunt, D., Mclntosh, J., Pender, B. & Ramagge, J. (2011). Introduction to plane geometry: Measurement and geometry. Melbourne: Australian Mathematical Sciences Institute. Dris, J. & Tasari. (2011). Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Jiagu, X. (2010). Lecture notes on mathematical olympiad courses. Toh Tuck Link, Singapore: World Scientific Publishing Co. Ltd. Manik, D. R. (2009). Penunjang belajar matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Nuharini, D. & Wahyuni, T. (2008). Matematika 1: Konsep dasar dan aplikasinya. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Pelfrey, R. (2000). Open-ended questions for mathematics. Lexington, USA: Appalachian Rural Systemic Initiative. The Centre for Education in Mathematics and Computing. (2012). Intermediate math circles. Waterloo, Canada: CMEC. Thohir, A. (2013). Materi: Contoh soal dan pembahasan olimpiade matematika. Grobogan: Yayasan Futuhiyah. Tohir, M., et al. (2014). Matematika kurikulum 2013 edisi revisi. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Wagiyo, A., Surati, F., & Supradiarini, I. (2008). Pegangan belajar matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
7.v
