Miguel A. Sánchez Bravo
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Introducción
Las ecuaciones de Lagrange (también conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange) nos permiten contar con un procedimiento analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de un sistema en base a un enfoque energético. La metodología lagrangiana indica como primer paso la determinación del número de grados de libertad (GDL’s) del sistema, a cada uno de los cuales se debe asociar seguidamente segui damente una coordenada generalizada generalizada q j.
Comentarios
Los conceptos de funciones lagrangianas pueden aplicarse a la mecánica clásica, problemas de electromagnetismo, electromagne tismo, entre otros campos. No es una nueva teoría para la mecánica, los resultados obtenidos por este método han de ser idénticos a los que proporcionan las leyes de Newton, lo que varía es el procedimiento para llegar al resultado, en este caso se manejan magnitudes asociadas al cuerpo (energías).
Ecuación
d L L D --- ---- - ---- + ---- = Q j dt q j’ q j q j’ K: Energía cinética total del sistema. U: Energía potencial total del sistema. D: Función de disipación del sistema. Lagrangiana: L = K – U q j : Coordenada generalizada para cada grado de libertad. liberta d. q j’ : Derivada Derivada temporal de la coordenada coordenada generalizada. Q j : Fuerzas generalizadas.
Observaciones
Existe una ecuación por cada grado de libertad, por lo que la elección de coordenadas generalizadas libres conduce directamente al mínimo número de ecuaciones dinámicas. Se trata de ecuaciones diferenciales de segundo orden (al existir exis tir derivadas temporales de los términos L/ q j’ que dependen, a su vez, de q j’). Es necesario aplicar las reglas analíticas de derivación, lo cual puede obtenerse con programación de software de matemática simbólica como MATLAB, MAPLE, MATHEMATICA, entre otros.
Modelo del péndulo invertido El sistema a considerar consiste en un carro sobre el cual se encuentra un péndulo invertido sujetado mediante un pivote sin fricción. El carro es movido por un motor que en el instante t ejerce una fuerza u(t) en sentido horizontal, que es la acción de control. Suponemos que todos los movimientos ocurren en un plano, es decir que el carro se mueve a lo largo de una recta.
ϴ: ángulo en el que el péndulo se
desvía de la vertical. x: desplazamiento del centro de gravedad del carro con respecto a un punto fijo.
Modelo del péndulo invertido El modelo del péndulo invertido es un ejemplo clásico en la literatura de control porque tiene múltiples aplicaciones: desde el control de misiles, estabilidad de grúas, vehículos de transporte, hasta el análisis de la biomecánica de la marcha, balance y postura humana.
Modelo del péndulo invertido L senϴ
Grados de libertad: 2: q1 = x , q2 = ϴ Energía cinética:
L cosϴ
K = (1/2)Mx’2 + (1/2)mxp’2 + (1/2)my p ’2
donde: xp = x + L senϴ y p = L cosϴ K = (1/2)Mx’2 + (1/2)m { ( x’ + L cosϴ ϴ’ )2 +
( - L senϴ ϴ’ )2 }
K = (1/2)Mx’2 + (1/2)m ( x’2 + 2L cosϴ x’ ϴ’ + L2 ϴ’2 )
Modelo del péndulo invertido Energía potencial:
U = mgLcosϴ
Función Lagrangiana: L = K – U = (1/2)Mx’2 + (1/2)m ( x’2 + 2L cosϴ x’ ϴ’ + L2 ϴ’2 ) - mgLcosϴ Aplicando la ecuación de Lagrange, Lagrange, para q1 = x: d L L --- ---- - ---- = u dt x’ x d --- ( Mx’ + mx’ + mLcosϴ ϴ’ ) – 0 = u dt
Modelo del péndulo invertido ( M+ m ) x’’ + mL ( - senϴ.ϴ’2 + cosϴ.ϴ’’ ) = u
(1)
Aplicando la ecuación de Lagrange, para q2 = ϴ: d L L --- ---- - ---- = 0 dt ϴ’ ϴ d --- ( mLcosϴ x’ + mL2 ϴ’ ) – ( - mLsenϴ ϴ’ x’ + mgLsenϴ ) = 0 dt cosϴ.x’’ + L ϴ’’ – g.senϴ = 0
(2)
Péndulo inv invertido ertido
Veamos : Veamos Inverted pendulum with Matlab-Simulink based control algorithms (Rapid Prototyping solution)running in real time http://www.youtube.com/watch?v=CdIZmr8ZdRE
Péndulo invertido invertido lineal UPRM
http://www.youtube.com/watch?v=f4kOPxpRGrk&NR=1
Modelo del doble péndulo
De Wikipedia, la enciclopedia libre. En general, un doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos,, con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso péndulos más simple, se trata de dos péndulos simples, simples, con el inferior colgando de la masa pendular pendul ar del superior. superior. Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un doble péndulo plano, plano, con dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es caótico caótico..
Modelo del doble péndulo
Modelo del doble péndulo
Nos serviremos de las siguientes siguie ntes coordenadas: coordenadas: posició n horizontal y vertical de la masa de un x,y = posición péndulo = ángulo de un péndulo respecto a la vertical vertical (0 = vertical vertical hacia abajo, abajo, antihora antihorario rio es positiv positivo) o) θ
l = longitud long itud de la varilla (constante)
Modelo del doble péndulo
Modelo del doble péndulo Aplicando la ecuación de Lagrange, Lagrange, para q1 = ϴ1 : d L L --- ------ - ---- = 0 dt ϴ1’ ϴ1 ( m1 + m2 ) l1 ϴ1’’ + m2 l2 ϴ2’’ cos (ϴ1 - ϴ2 ) + m2 l2 (ϴ2’)2 sen (ϴ1 - ϴ2 ) + ( m1 + m2 ) g sen ϴ1 = 0 … (1)
Modelo del doble péndulo Aplicando la ecuación de Lagrange, para q2 = ϴ2 : d L --- -----dt ϴ2 ’
L - ----- = 0 ϴ2
l2 ϴ2’’ + l1 ϴ1’’ cos (ϴ1 - ϴ2 ) - l1 (ϴ1’)2 sen (ϴ1 - ϴ2 ) + g sen ϴ2 = 0 … (2)
Doble péndulo
Veamos: Veamos: http://www.youtube.com/watch?v=nfXKUuXrU6w http://www.youtube.com/watch?v=st_oZzewcb4&NR =1
