Como el fenómeno de aparición de fallas se comporta como un proceso aleatorio, está claro que no podemos llegar a predecir cuándo ocurrirán las fallas, pero sí podemos determinar con base en la mejor información los tiempos de mantenimiento preventivo y las políticas de mantenimiento más adecuadas a largo plazo. Los propietarios de un sistema deben decidir acerca de sus políticas de mantenimiento o realizarlas utilizando datos proporcionados por su sistema, no basados en intuiciones, pues esto puede ocasionar pérdida de confiabilidad del sistema. En las siguientes secciones se estudian dos de las políticas de mantenimiento preventivo introducidas por Richard E. Barlow y Proschan (1965) [7], las cuales tienen por objetivo lograr un balance entre la disminución del riesgo de llegar a tener una falla y el aumento de los costos de mantenimiento preventivo; de ahí que estos modelos se construyen para determinar el intervalo óptimo entre dos reemplazos sucesivos de componentes. Usaremos reemplazo para referirnos a mantenimiento preventivo o mantenimiento por falla.
La falla de un sistema durante su operación puede ser de poca o mucha importancia dependiendo del tipo de falla, llegando a ser muy costoso y peligroso. Una de las áreas importantes de la teoría de confiabilidad es el estudio de las políticas de mantenimiento para reducir los costos de operación. En esta política de mantenimiento por edad, ya sea que el sistema es reemplazado en el tiempo de falla t, si t < tp, o una vez que el sistema ha alcanzado una edad de operación t p, lo que ocurra primero. Se supone que en ambos casos, luego del reemplazo, el sistema queda en el estado “as good as new”. Es
decir, cada reemplazo, que puede ser mantenimiento preventivo o mantenimiento por falla constituye una renovación del sistema. La edad a la cual el sistema es reemplazado depende, entre otros, de los siguientes factores: Distribución del tiempo de falla. Costos de reemplazo por falla. Costos de reemplazo preventivo. Tiempo de inactividad por falla y reemplazo preventivo. Medida de efectividad: minimizar costos, maximizar disponibilidad, o lograr cierta confiabilidad. Para este modelo vamos a suponer que los reemplazos preventivos son menos costosos que reemplazos por falla, pues además del costo de mantenimiento, se tiene el costo de reparar los daños ocasionados al sistema. También se considera que el costo del tiempo de inactividad asociado con las acciones de mantenimiento preventivo y reparaciones mínimas, las cuales se efectúan cuando el sistema falla, es insignificante, es decir, los reemplazos son instantáneos. Es importante señalar que el modelo solo ser ‘a de utilidad en la etapa de de sgaste u obsolescencia del
componente o sistema, pues en esta etapa el sistema presenta una tasa de falla creciente.
Diremos que un ciclo se completa cada vez que se realiza un reemplazo ya sea por mantenimiento preventivo o por falla. Entonces para este modelo existen dos ciclos Posibles: en el primer ciclo se realiza mantenimiento a la edad especificada t p y en el segundo ciclo el sistema falla antes del mantenimiento preventivo.
Figura 3.1: Reemplazo por edad El objetivo de esta política es encontrar el valor de t p que minimice el costo total esperado por unidad de tiempo, el cual queda definido por la siguiente ecuación:
(3.1) Donde: C
es el costo incurrido durante un ciclo.
D
es el largo de un ciclo. E(C) es el costo esperado de un ciclo. E (D) es el largo esperado de un ciclo. Vamos a considerar
, si T > tp si T ≤ tp Donde: Cp es el costo de mantenimiento preventivo. Cf es el costo de mantenimiento por falla. dp es la duración del mantenimiento preventivo. d f es la duración del mantenimiento por falla. T es el tiempo de falla. tp es el tiempo de operación del componente sin falla después del cual se efectúa un mantenimiento preventivo.
Si suponemos que los tiempos requeridos para llevar a cabo tanto las actividades de mantenimiento preventivo como correctivo son nulos, es decir, que d f = dp = 0 entonces ( tp, si T > tp D = T, si T ≤ tp Recordemos además que Cp < Cf . Por lo dicho anteriormente, el costo total esperado por ciclo está dado por las dos probabilidades, que T > tp, lo cual significa que no hay falla en el intervalo de mantenimiento preventivo, y que T ≤ tp, es decir, que ocurre una falla antes de efectuar el mantenimiento preventivo. Entonces el costo total esperado por ciclo se expresa como sigue:
CpP(T > tp) + Cf P(T ≤ tp)
=
CpR(tp) + Cf [1 − R(tp)]
(3.2)
De la misma forma, el largo esperado de un ciclo está dado por las dos probabilidades, que T > t p y que T ≤ tp. En el caso de que se realice un mantenimiento preventivo en t p, el largo esperado del ciclo es t p. En cambio, si se realiza mantenimiento preventivo antes de t p, el largo esperado del ciclo es el tiempo medio entre falla, pero en el intervalo [0, tp]. Se busca entonces la media de la distribución truncada en tp. Sabemos que para la distribución completa, el , pero como la función de densidad se trunca en t p, el valor medio queda expresado de la siguiente forma
Por lo tanto, el largo esperada del ciclo, E (D) está dado por t pP (T > tp) + M (tp) P (T ≤ tp) = tpR (tp) + M (tp) [1 − R (tp)] (3.3) Hasta aquí, el costo total esperado por unidad de tiempo queda expresado como
La expresión anterior se puede simplificar aun más si realizamos integración por partes en
⇒
Entonces el largo esperado por ciclo queda definido por
(3.4) Finalmente, el costo esperado por unidad de tiempo para un intervalo de reemplazo t p es definido por la siguiente función de costo.
)
(3.5)
Es decir, el costo esperado por unidad de tiempo para un intervalo de reemplazo t p va a estar dado por la razón entre la suma del costo de mantenimiento preventivo multiplicado por la probabilidad de que no ocurra una falla es este intervalo más la probabilidad de que ocurra la falla multiplicada por el costo de mantenimiento por falla, y la confiabilidad acumulada hasta el instante t p. Como ya sabemos, el valor de t p que minimiza la ecuación anterior es aquel que Satisface
.
Tenemos que
Si igualamos las derivada a cero nos queda que
De esta última ecuación se puede observar que el valor de t p para el cual el costo total esperado por unidad de tiempo es mínimo, depende de la relación que existe entre los costos de mantenimiento preventivo y mantenimiento por falla.
Considere un componente cuyos tiempos de falla son modelados con la distribución Weibull con parámetros λ = 0.0025 y β = 2.93. Vamos a analizar el comportamiento del intervalo ´óptimo de mantenimiento preventivo, a partir de la relación que existe entre los costos de mantenimiento preventivo y por falla.
Enseguida vamos a describir la ecuación que describe el costo total esperado por unidad de tiempo para un intervalo de reemplazo t p. Sabemos que R(t) = e −(λt)β es la función de confiabilidad para cualquier instante t ≥ 0. Entonces por (3.5)
En la Figura 3.2 se muestran las gráficas de la función del costo esperado por unidad de tiempo considerando Cp = 1 y Cf = kCp. Los valores de k se asignan de tal forma que los costos de mantenimiento por falla aumenten, pero además que C p < kCf . En las gráficas podemos observar que la función del costo presenta un mínimo una vez que k toma valores por arriba de 1.4. De no ser así entonces t p = ∞, lo cual indica que conviene el reemplazo sólo en la falla. En la Figura 3.3 se puede observar la relación entre el valor de la constante de proporcionalidad k y el tp ´optimo, que indica la frecuencia con la que se debe efectuar el mantenimiento preventivo. Observamos que a medida que aumenta la constante de proporcionalidad, disminuye el valor de t p, es decir, del intervalo de mantenimiento preventivo a un costo mínimo.
Figura 3.2: Costo esperado por unidad de tiempo
Figura 3.3: Relación entre el valor de k y el intervalo de mantenimiento t p óptimo.
En resumen, la política de mantenimiento preventivo basado en la edad, sugiere que se efectúe el reemplazo del componente cuando ocurre la falla o una vez que el componente haya alcanzado una edad de operación t p, lo que ocurra primero.
Esta política considera que se realizan reemplazos preventivos a intervalos constantes, independientemente del número de fallas intermedias (que también tienen un costo). En caso de que ocurra una falla antes de t p, se realiza mantenimiento por falla. De la misma forma que en la política anterior, la longitud del intervalo de tiempo (o edad) en el cual el sistema es reemplazado depende, entre otros, de los siguientes factores:
Distribución del tiempo de falla. Costos de reemplazo por falla. Costos de reemplazo preventivo. Tiempo de inactividad por falla y reemplazo preventivo. Medida de efectividad: minimizar costos, maximizar disponibilidad, o lograr cierta confiabilidad. Se supone que el tiempo considerado para realizar reemplazos preventivos y por falla es nulo y que los costos de mantenimiento preventivo son menores que los costos de mantenimiento por falla. Este modelo podrá´ implementarse solo en la etapa de desgaste del componente, en la cual la tasa de falla es creciente.
Figura 3.4: Reemplazo a intervalos constantes. Nuevamente, el objetivo es encontrar el intervalo ´optimo entre reemplazos preventivos, el cual minimiza el costo total esperado por unidad de tiempo. El costo total, generado durante un ciclo, esta´ dado por N(tp)
C = X Cfi + Cp i=1
N(tp) es una variable aleatoria que mide el número de fallas que ocurren en el intervalo (0,t p]. De ahí que el conjunto de variables aleatorias {N(t p), tp ≥ 0} es un proceso de conteo que describe un Proceso no homogéneo de Poisson (NHPP) con función de intensidad h(t p), tp ≥ 0 [8]. Por definición se tiene que el proceso de conteo {N(t) , t ≥ 0} describe un NHPP con función de intensidad h(t), t ≥ 0 si satisface las siguientes propiedades:
a) N(0)=0 b) El proceso tiene incrementos independientes, es decir, si 0 ≤ t 1 < t2 < t3 < t4, entonces las variables aleatorias [N(t2) − N(t1))] y [N(t4) − N(t3))] son independientes.
c) P {N(t + δt) − N(t) = 1} = h(t)δt + o(δt), d) P {N(t + δt) − N(t) ≥ 2} = o(δt),
δt → 0
δt → 0
En un Proceso de Poisson Homogéneo (NPP) la función de intensidad h (t), a diferencia de la función de intensidad del NHPP que depende del tiempo, ahora es una función constante. Esto significa que si el Proceso de Poisson es homogéneo, con función de intensidad constante ρ, la distribución del número de fallas que ocurren en un intervalo de longitud t es Polisón con media ρt. De las propiedades c) y d) se tiene que
Entonces, el número esperado de fallas en el intervalo de longitud t p esta´ dado por
Por lo expuesto anteriormente, el costo total esperado por ciclo es Cp + Cf H (tp) Inicialmente el largo del ciclo es D = t p + dp; pero como nuevamente dp = 0, el largo esperado del ciclo es simplemente tp, el intervalo de mantenimiento preventivo. Por lo tanto, el costo esperado por unidad de tiempo para un intervalo de reemplazo t p es definido por la siguiente función de costo
Esto significa que el costo esperado por unidad de tiempo para un intervalo de reemplazo t p es la razón entre la suma del costo de mantenimiento preventivo más el costo de mantenimiento por falla multiplicado por el número esperado de fallas en el intervalo de reemplazo, y la longitud del intervalo, que es tp.
Sabemos que el valor de t p que minimiza el costo total esperado por unidad de tiempo es aquel que satisface
Si igualamos la derivada a cero tenemos
Esta última ecuación indica que nuevamente el intervalo óptimo de mantenimiento preventivo depende de la relación existente entre los costos de mantenimiento preventivo y por falla.
En el caso de la distribución exponencial, para la cual la tasa de fallas es const ante, realizar mantenimiento preventivo genera un gasto extra, pues en este caso la probabilidad de falla es la misma para cualquier instante independientemente del tiempo que lleve funcionando el componente. Esto se ve en la solución del tiempo de mantenimiento preventivo ´optimo, que es t p = ∞. Para esta distribución
Entonces el costo total esperado por unidad de tiempo queda como sigue:
Luego
Nos interesa el valor de t p para el cual
Esta última ecuación indica que t p = ∞, lo cual significa que el mantenimiento preventivo se realiza una vez que ocurre la falla.
Consideremos nuevamente el componente con tiempos de falla de distribución Weibull, cuyos parámetros son λ = 0.0025 y β = 2.93. Haremos uso de esta nueva política para realizar el análisis
del comportamiento del valor que indica el intervalo de mantenimiento para costo mínimo, a partir de la relación que existe entre los costos de mantenimiento preventivo y por falla. A continuación se describe la función del costo total esperado por unidad de tiempo, para un intervalo de reemplazo t p, en el caso de la distribución Weibull. Recordemos que la tasa de fallas está descrita por t≥0 h(t) = λβ(λt)β−1, Entonces el número esperado de fallas H (t p) nos queda como
Para la distribución Weibull, el número esperado de fallas en el intervalo (0, tp] es una potencia de λ veces la longitud del intervalo. La potencia viene a ser el parámetro de forma de la distribución. Según (3.8)
En la Figura 3.5 se muestran la gráficas de la función del costo esperado por unidad de tiempo considerando los parámetros Cp. = 1 y Cf = kCp. Nuevamente los valores de la constante k se asignan de tal forma que los costos de mantenimiento por falla aumenten y que C p < kCf . En las gráficas se puede observar que a diferencia de la política de reemplazo basado en la edad, en este caso sí se tiene un mínimo para valores 1 ≤ k < 1.4. En la Figura 3.6 se muestra nuevamente la relación entre la constante de proporcionalidad k y el intervalo de reemplazo t p a costo mínimo. Se puede observar que el intervalo ´óptimo de mantenimiento preventivo disminuye a medida que crece la constante de proporcionalidad k.
Figura 3.5: Costo esperado por unidad de tiempo
Figura 3.6: Relación entre el valor de k y el intervalo de mantenimiento t p óptimo. k Cf = kCp
Reemplazo a intervalos constantes
Reemplazo por edad
(tp,C(tp))
(tp,C(tp))
tp:tiempo ´óptimo para costo mínimo C(t p)
1
(314,0.0048)
(∞,0.0029)
1.2
(295,0.0052)
(∞,0.0034)
1.5
(273,0.0056)
(416,0.0042)
1.7
(262,0.0058)
(366,0.0046)
3
(216,0.0070)
(250,0.0063)
7
(161,0.0094)
(171,0.0090)
10
(143,0.0106)
(149,0.0103)
20 (113,0.0135) (115,0.0132) En la tabla anterior podemos observar que la política de reemplazo por edad genera menos reemplazos que la política de reemplazo a intervalos constantes. De hecho cuando k = 1.2 mientras que la política de reemplazo a intervalos constantes presenta un óptimo en t p = 295, la política de reemplazo por edad sugiere que el reemplazo preventivo se realice hasta que ocurra la falla.
En resumen, la política de mantenimiento preventivo a intervalos constantes indica que el mantenimiento preventivo del componente se debe realizar en los instantes t p, 2tp, 3tp,..., independientemente del número de fallas intermedias.
En lo que sigue, vamos a realizar un análisis del mantenimiento preventivo del elevador del Edificio AT, ubicado en la Universidad Autónoma Metropolitana-Unidad Iztapalapa, en el cual se tiene programado un mantenimiento preventivo cada 30 días. Se aplicarán las políticas de reemplazo por edad e intervalos constantes para comparar el intervalo de reemplazo preventivo indicado por cada una de estas políticas con el intervalo de mantenimiento preventivo que tiene considerado el departamento de mantenimiento de la universidad. El paro del funcionamiento del elevador del Edifico AT, es ocasionado principalmente por dos tipos de fallas: falla en los botones de llamada y puertas de cabina trabadas. Independientemente del mantenimiento preventivo que se tiene programado cada 30 días, cuando aparece una falla en el elevador, ´este deja de funcionar y entonces se lleva a cabo un mantenimiento correctivo, con la
finalidad de poner nuevamente en funcionamiento el elevador. Los costos estimados de mantenimiento preventivo y correctivo son $400.00 y $1050.00 respectivamente. En la siguiente tabla se muestran los tiempos de falla del elevador ocurridos durante el periodo Enero 2012- Abril 2013.
Cuadro 3.1: Tiempos entre fallas, en días 5
7
7
9
13
14
15
16
19 20 21 22 25 28 29 30 Con ayuda del programa estadístico MINITAB, realizamos un ajuste paramétrico de las distribuciones Weibull y Normal a los tiempos de falla, para ver cuál de la dos distribuciones es la que mejor se ajusta a los datos. En la Figura 3.7 se muestra el grafico de probabilidad de los tiempos de falla correspondiente a la distribución Weibull. Los para ‘metros estimados de la distribución son: λ = 19.78 y β = 2.4273. El grafico de probabilidad de los tiempos de falla correspondiente a la distribución Normal se muestra en la Figura 3.8, los para ‘metros estimados son: µ = 17.5 y σ = 7.85. Podemos observar que los tiempos de falla pueden ser modelados tanto por la distribución Weibull como por la distribución Normal. De hecho el estadístico Anderson Darling (que se muestra en las Figuras 3.7 y 3.8 como AD ) nos da una medida de lo alejados que se encuentran los tiempos de falla de la recta que representa a cada ∗
Figura 3.7: Grafico de probabilidad para tiempos de falla del elevador. Distribución Weibull.
Figura 3.8: Grafico de probabilidad para tiempos de falla del elevador. Distribución Normal. Distribución. Cuanto mejor sea el ajuste, menor será el valor de dicho estadístico. Los valores del estadístico son 1.044 para la distribución Weibull y 1.032 para la distribución normal. Ahora veamos cómo se comporta la tasa de falla para los tiempos de falla del elevador. En la Figura 3.9 se muestra la tasa de falla para cada distribución. Observe que para ambos casos la tasa de falla es creciente, pero después de cierto tiempo ´esta crece más rápido en el caso de la distribución Normal.
Figura 3.9: Tasa de falla para las distribuciones Normal y Weibull.
Cuadro 3.2: Distribución Weibull Política
Intervalo de reemplazo ´optimo
Costo mínimo
de reemplazo
(días)
($/día)
Edad
14
50.48
Intervalos constantes 11 Cuadro 3.3: Distribución Normal
59.30
Política
Intervalo de reemplazo ´optimo
Costo mínimo
de reemplazo
(días)
($/día)
Edad
15
48.98
Intervalos constantes 12 57.52 En los cuadros 3.2 y 3.3 se muestran los resultados obtenidos para el intervalo óptimo de reemplazo preventivo y el costo mínimo en cada política de reemplazo y para cada distribución. Se puede observar que cuando se supone que los tiempos de falla son modelados por la distribución Weibull, la diferencia entre los intervalos de reemplazo ´optimo es 3 días. Como es de esperarse, el costo mínimo es más grande en la política de reemplazo a intervalos constantes. El mismo comportamiento se tiene cuando los tiempos de falla son modelados por la distribución Normal. En las Figuras 3.10 y 3.11 se muestran las gráficas del costo esperado por unidad de tiempo para las dos políticas de reemplazo, según sea la distribución Weibull o Normal.
Figura 3.10: Costo esperado por unidad de tiempo. Distribución Weibull
Figura 3.11: Costo esperado por unidad de tiempo. Distribución Normal En el Cuadro 3.4 se muestran los costos que se derivan del plan actual de mantenimiento del elevador. Estos costos se calcularon evaluando la función del costo esperado por unidad de tiempo correspondiente a la política de mantenimiento basado en la edad, para un valor de t = 30 días.
Cuadro 3.4: Plan de mantenimiento actual Reemplazo por
Intervalo de reemplazo
Costo
edad
(días)
($/día)
Weibul
30
58.31
Normal 30 57.89 En lo que se refiere a que política de reemplazo habría que elegir, nuevamente optamos por elegir la política de reemplazo por edad, que es la que indica el intervalo de reemplazo más grande para cualquiera de las distribuciones. Podemos observar que el intervalo más grande, 15 días, se obtiene cuando los tiempos de falla están normalmente distribuidos. Por otro lado, ¿qué función de distribución es la que vamos a utilizar? Hemos visto que el mejor resultado, 15 días con un costo mínimo de $48.98, se obtiene con la distribución Normal; no obstante, computacionalmente con la distribución Weibull se requieren menos cálculos y tiempo para obtener los resultados que con la distribución Normal. Con la aplicación de estas políticas se ha logrado optimizar, bajo ciertas suposiciones, los costos de mantenimiento preventivo del elevador. ¿Qué sucede con los costos de mantenimiento del plan actual? La política de reemplazo basado en la edad indica que el costo que se genera con el actual intervalo de mantenimiento preventivo, 30 días, es de $58.31 en el caso de la distribución Weibull y $57.89 para la distribución normal. No ‘tese que ambos costos son más altos que los que sugiere la política de mantenimiento por edad ($50.48 y $48.98 respectivamente). Por otro lado, hemos hablado de que el mantenimiento preventivo tiene por objetivo aumentar la confiabilidad de un equipo o sistema, y por ende, disminuir la tasa de falla del sistema. En lo que sigue vamos a calcular el MTBF del elevador cuando se consideran actividades de mantenimiento preventivo programadas cada 14 días para después compararlo con el MTBF que se obtiene cuando se lleva a cabo un mantenimiento programado cada 30 días. En la sección 2.4 estudiamos la función de densidad que resulta cuando se practican actividades de mantenimiento preventivo. Se dedujo que la función resultante es de tipo exponencial. De manera general, la función de densidad de falla que se tiene después del mantenimiento preventivo está descrita por
Si consideramos el caso en el que los tiempos de falla del elevador son modelados Por la distribución Weibull entonces
En nuestro caso tp = 14 días, λ = 19.78 y β = 2.4273. Por tanto ,
si ktp < t < (k + 1)tp MP
0, de otra forma. Es la función de densidad de fallo con mantenimiento preventivo. Con esto se tiene que
Es el tiempo medio entre fallas con mantenimiento preventivo. Esta expresión se resuelve numéricamente. Una aproximación que ha funcionado en aplicaciones se basa en la tasa de falla sin mantenimiento preventivo. Como f MP (·) es de tipo exponencial, el MTBF con mantenimiento preventivo se puede aproximar usando la expresión 1/h (t), donde h (t) es el valor medio de h(t) en el intervalo [0,tp], siendo tp la longitud del intervalo de mantenimiento preventivo. ∗
∗
La tasa de falla en el caso de la distribución Weibull es
Si sustituimos los valores de los para ‘metros λ y β tenemos que la tasa de falla del elevador para cada valor de t es H (t) = 0.1227(0.05t) 1.4273. Ahora calculamos el valor medio de h(t) en el intervalo [0,14]
De esta última expresión se tiene que MTBF = 32.68 es el valor del tiempo medio entre fallas con mantenimiento preventivo cada 14 días. Hemos visto entonces como las actividades de mantenimiento preventivo programadas cada 14 días, según la política de reemplazo basado en la edad, mejoran el MTBF del elevador, pasando de 17.54 días, que es la media de la distribución Weibull (ver Figura 3.7) a 32.68 días si se realiza el mantenimiento preventivo. Podemos concluir que el tipo de mantenimiento que resulta ´optimo es el de edad a 14 días con un costo de $50.48 que es el mínimo. El tiempo medio entre fallas es de 32.68 días, el cual es mejor que el que se tenía con mantenimiento programado cada 30 días con un costo de $58.31
